Hernn B. Garrafa araGnMATE MTI CA F I N A N C I E R A Rector AurelioPadillaRosPrimerVicerrector JosS.MartnezTalledoSegundoVicerrector LuisCabelloOrtegayPresidentedelaComisindelProgramaEditorialEduardodeHabich-TextosUNIPrimeraedicin,juniode2008MateMtica FinancieraImpresoenelPer/PrintedinPeru HernnB.GarrafaAragn Derechos reservadosEditorialUniversitariadelaUniversidadNacionaldeIngeniera

Av.TupacAmaru210,Rmac-LimaPabellnCentral/StanoTelf.:481-1070anexo240E-mail:eduni@uni.edu.peJefeEDUNI:Prof. lvaro Montao FreireDiseoyDiagramacin:EDUNIImpresopor...................................ISBN:..............................................HechoelDepsitoLegalenlaBibliotecaNacionaldelPerN.........................................Prohibidalareproduccndeestelibroporcualquiermedio,totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor.A mi esposa, JessicaA mi hija, YemitsuA mis padres: Braulio y MargaritaA mi hermana, InsA mis hermanos: Jos, Franck, TinoA mi sobrina, Vanesa.ConTEnIdoPrlogoyagradecimientos 13Introduccin 15Inters sIMPle1.1.Introduccin 171.2.Elinterssimple201.3.Perododetiempo231.4.Intersexactoeintersordinario231.5.Normacomercial241.6.Valorpresente 241.7.Monto241.8.Variacionesdetasas261.9.Ecuacionesdevalor28Problemasresueltos 32Problemaspropuestos39 Inters CoMPuesto2.1.Introduccin 432.2.Interssimpleeinterscompuesto432.3.Monto452.4.Valoractual 472.5.Montoconvariacionesdetasas 492.6.Ecuacionesdevalor51Problemasresueltos55Problemaspropuestos68DesCuento 3.1.Introduccin 73 3.2.Descuentoracional74 3.3.Descuentobancario76 3.4.Descuentocomercial801238 Hernn B. Garrafa araGn Problemasresueltos83 Problemaspropuestos90tasas 4.1.Introduccin 93 4.2.Tasanominalytasaproporcional94 4.3.Tasaefectiva 96 4.4.Tasasequivalentes98 4.5.Tasaactivaypasiva103 4.6.Tasadeinterscompensatorio 106 4.7.Tasadeintersmoratorio 107 4.8.Tasadeinterslegal109 4.9.Tasadeinflacin110 4.10.Tasareal 113 4.11.Tasadedevaluacin114 4.12.Tasasconcapitalizacincontinua118 Problemasresueltos120 Problemaspropuestos131anualIDaDes 5.1.Introduccin 137 5.2.Montodeunaanualidadvencida138 5.3.Valorpresentedeunaanualidadvencida 140 5.4.Montodeunaanualidadanticipada143 5.5.Valorpresentedeunaanualidadanticipada 144 5.6.Anualidadesdiferidas146 Problemasresueltos154 Casos167 Problemaspropuestos172anualIDaDes PerPetuas 6.1.Introduccin 177 6.2.Valorpresentedeunaanualidadperpetuavencida 177456 MateMtica financiera 6.3.Valorpresentedeunaanualidadperpetuaanticipada 179 Problemasresueltos181 Problemaspropuestos194GraDIentes 7.1.Introduccin 197 7.2.Valorpresentedeanualidadesquevaranenprogresinaritmtica197 7.3.Valorpresentedelosgradientesuniformes 198 7.4.Equivalenciasentreanualidadesuniformesyanualidadesquevaranenprogresinaritmtica 199 7.5.Valorpresenteconanualidadesenprogresin geomtrica 203 Problemasresueltos206 Problemaspropuestos218aMortIzaCIn 8.1.Introduccin 221 8.2.Fondodeamortizacin221 8.3.CuadrodelFondodeAmortizacin221 8.4.Amortizacin 224 8.5.CuadrodeAmortizacin 224 8.6.Valoractualneto228 8.7.Tasainternaderetorno231 8.8.Depreciacin 233 Problemasresueltos237 Casos265 Casopropuesto 276 Problemaspropuestos277oblIGaCIones 9.1Introduccin 281 9.2.Terminologa 282 9.3.Bonos28378910 Hernn B. Garrafa araGn 9.4Opcindecompra284 9.5.Valuacindeunagraduacin 285 9.6.Larelacinentretasadeinterseinflacin 291 9.7.BonosBrady 392BonosPar 292BonosalDescuento293BonosFlirbs(FrontLoadInterestReductionBonds)293 BonosdeConversindeDeuda(DCBs)y NuevoDinero(NMBs)293 BonosdeInteresesRetrasados 294 BonosdeInteresesCapitalizados294 Problemasresueltos295 Problemaspropuestos300Glosario303Citasbibliogrficas 313Referenciasbibliogrficas313Anexo31511 MateMtica financiera nDICe De tablastabla Descripcin Pgina1ATasaactivapromedioensolesydlares.Fuente:BCRP.1051BTasapasivapromedioensolesydlares.Fuente:BCRP.1052AndicedepreciosalconsumidordeLima.(ndicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI.1112BInflacinmensualdeLima(variacin%mensual).Elaboracin:propia.1113ATCydevaluacinorevaluacin(nuevosol/dlar).Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec.116nDICe De GrFICosFiguraDescripcin Pgina 1.1Evolucindelatasadeintersensolesydlares.Fuente:DatosdelBCR.Grfico:Elaboracinpropia.201.2 RelacinentrePysuvalorfuturo. 211.3 Relacinvalorpresenteymonto. 251.4 Interssimpleconvariacionesdetasa. 272.1 Relacinentreinterssimpleycompuesto. 442.2 Capitalizacinanualversuscapitalizacintrimestral. 452.3 Relacinentrevaloractualymonto. 488.1 EvolucindelVANenfuncindelcostodecapital. 230Prlogo y agradecimientosEstelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosaosmehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalasoperacionesconbancosque, comocualquier ciudadano,herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasdepartededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorarlacalidaddeestetrabajo.Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germn Ros,funcionariodeMiBanco,quepermitiincluirproblemasdeope-raciones financieras que se generan, comnmente, en la bancaprivadapara,deestamanera,hacermsefectivoytilestelibroparaestudiantesdelamateria.TambinmireconocimientoalaSeccindePostgradodelaFIECSenlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHu-malaTassoporelapoyoaestapublicacin,convocandoalospro-fesoresDr.LuisNavarroHuamanyMag.JuanLamlvarezquie-nes colaboraron en la revisin de este material.Al seor FreddyBartolaporlastilesideasparamejorarestaprimeraedicin.EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMa-temticaFinancieraconloscualesseresolvivariosejemplosyproblemasplanteadosenelpresentevolumen.IntroduccinEste libro est dirigido al estudiante universitario en elcursodeMatemticaFinancieraenlasespecialidadesdecienciaseconmicas,ingeniera,administracinyconta-bilidadenlascualessedictaestecurso.Matemtica Financiera est considerada en el campo de la ma-temtica aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo,teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyeltiempoparaobtenerunmontoointersquepermitentomarde-cisionesdeinversin.Conesaptica,permitiralalumnoelaborarmodelosmatemti-cosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancie-rosque,confrecuencia,sepresentanenlagestindelasempre-sas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancarioyfinanciero.Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaacualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adqui-rirunautomvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoaplazo;solicituddecrditos,contratodeplizas,acciones,obliga-ciones(bonos)uotrotipodeinversinrentable.Elconocimientodelasmatemticasfinancieras,portanto,lepermitiralalumna-doprestaroinvertirsudineroenunaformamsracional.Lacaractersticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfrmu-las,inusualenlostextosdeMatemticaFinanciera,para,deestamanera,darlesimplicidadalasolucindelosproblemasycasos.Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestrealizadoen16 Hernn B. Garrafa araGnExcel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciacin,radicacinylogaritmo.A lo largo del libro se plantea y resuelve problemas prcticosparaasilustrarmejorlasfrmulasdesarrolladasenlateora.Tambin, en este tomo, se ha recogido problemas al nivel demaestraeneconoma,administracinycontabilidadloscualeshan sido resueltos tratando siempre de que la solucin de losmismosseasimple.Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacindenuestrabancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,porejemplo, que la frmula aplicada para determinar el monto delpagoperidicoeslamismadesarrolladaenlateoraexistiendopequeas diferencias con respecto a cmo lo obtiene el bancoconrespectoaestateora.Esporelloquesemuestraeldesarrollodeestetipodeproblemasyculesladiferenciaconrespectoalateoramostradaenellibro.Los temas financieros ocupan una posicin muy relevante ennuestrasociedad.Sepuedeobservarinformacinfinancieraenlosdiarios,revistas,televisin,etc.yesqueparatomarunadecisin,de ndole financiera, se debe estar informado y asesorado poruna persona con conocimientos en finanzas. Es esta crecientenecesidad de conocimientos de temas financieros lo que haceposible la edicin de libros de matemticas financieras comouninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelasfinanzas.MatemticaFinancieraeselcursoinicialbsicoparalassiguientesmaterias:AnlisisFinancierooAdministracindeInversionesyIngeniera Financiera; su aplicacin se orienta a personas quetienen como funcin tomar decisiones de financiamiento; paraello deben tener y procesar informacin para, de esta manera,estarencondicionestomarunadecisinadecuada.Finalmente, debo precisar, con respecto al libro, que resultaraabsurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales-critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadodeAdamSchaff(HistoriayVerdad):Lanicaoriginalidadquepuedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaenunconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehagadeeseconjuntoensusrazonamientos.CaptuloInTErs sIMPlE1.1. Introduccin Antesdedesarrollarestetema,explicarelconceptodeinters,debidoasuimportanciaenloscaptulosposteriores.Elinterseselprecioapagarporelusodedineroquenoesnuestro,esdecir,losprstamosquegeneralmentenosbrindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstitucinbancaria,etc.Por este prstamo, solicitamos un tiempo determinado para su devolucin.Determinarestepreciosignificasaberculeslacuantadelprstamo?yporcuntotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresaporunidad de capital y unidad de tiempo, se le llama tasa de inters (magnitudindependientedelaunidadmonetariautilizadaparaelprstamo),elcualde-pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestardeterminadoporlaofertaylademandadedineroenlaeconoma(ofertaodemandamonetaria)ystas,asuvez,dependendelapolticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedine-roenlaeconomasuniveldeprecioaumentarycuandoexisteabundanciadedinero,suniveldepreciodisminuir.Adicionalmente,paraesteniveltambininfluyenlasexpectativasdelosagenteseconmicossobreelcomportamientofuturodelaactividadeconmica.Todosestosfactoresdeterminanesteniveldeprecio.AcontinuacinseexplicarelconceptoDinero,OfertaMonetaria,InversinyCrdito,antesdeiniciareltemadeinterssimple.Dinero. Se conoce comnmente por aquello que puede ser utilizado comomediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementosepuedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank).Desde este punto de vista, son llamados dinero: las monedas de metal, lasmonedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrdito(engeneral,llamadodineroplsticoodinerodeplsticoesunatarjetadeplsticoconunabanda magntica) Visa, MasterCard, etc., todas ellas pueden ser utilizadascomomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.118 Hernn B. Garrafa araGnoferta monetaria.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamsrestringidaesla que expresa que estn constituidos exclusivamente por los billetes y mo-nedasencirculacinmslosdepsitosalavistaoencuentacorrientequesehallanenelsistemabancario.Tambin,esllamadaofertamonetariabsicaocirculante.Elbienestardeloshabitantesdeunpasestrelacionadoporlaofertamone-taria(Ayres,Jr.Frank).Siexistepocodineroenunaeconoma,aparecelarecesin(existenciadebie-nesyserviciosdondeparadjicamenteloshabitantesengeneralnotienenlacapacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededineroenlaeconoma,entoncesaparecelainflacin(escasezdeciertosbienesyser-vicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso,un producto puede tener un precio en la maana y otro mayor por la tarde.Tantolarecesincomolainflacinsonnocivasparalaeconomadeunpas.Porello,elBCRP1eslainstitucinquedebeproporcionaranuestropasunaofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,stadebeserindependientedelmanejopolticodelgobierno.Inversin.Eslaoperacindecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(di-neroquesetransformaencapitalcuandoconlproducimosriqueza)conlafinalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconmicosporde-positareninstitucionesquepaganuninters,trabajandosucapital.Alrealizarestaaccin,seestinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonasnaturales, empresas, instituciones y el gobierno.Al hacer estas inversionesbuscan:1.no tener prdida de capital. Esimportantesaberdeunainstitucinseriaenlaquepuedacolocarsucapital,nodejndosellevarporlapropagandaacercadealtastasasdeinters,comofueCLAE(bancoinformal)enelcualmuchaspersonasnaturalesyjurdicasperdieroncompletamentesucapital.2.Proteccin a las inversiones. Lasempresasalvenirainvertirlohacenenunmarcojurdicoynosepuedecambiarsteporqueunadelaspartesasloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridadenlainversin.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraqueotras empresas extranjeras podran traer futuras inversiones. Para queestosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautnomoynodependientedelgobiernodeturno.1 8arco Cerlra| de |a Reserva de| Peru.1 MateMtica financiera 3.beneficios a corto plazo. Todaempresatrataderecuperarsuinversinenelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueencortotiemporecuperaronsuinversincomo:TelefnicayLuzdelSur.4.Incrementarelvalordelainversin.Esto tambin puede suceder deformacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaenunazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaellauna Universidad o un Hospital, automticamente pasa a ser valorizadaesacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalormonetariodelapropiedad.5.Ventajasfiscales. Son medidas que adopta un ente para propiciar eldesarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo(exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeaccionescon la finalidad de atraer inversiones a zonas pobres como son las defronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasqueinviertanenesosmbitos.Crdito.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condine-ropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficienteparacancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevioacuerdodecancelarperidicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado.Loquesehaceesadquirirunprstamo.Estaoperacinesconocidacomoob-tencindeuncrditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoalvalordeesteprstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinters(preciodelprstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestobtenien-doelintersocosto del crditoquesepagaporelvalordelprstamo.EstatasadeintersesfijadaporelBancoCentraldecadapasalosotrosban-cosystos,asuvez,lafijanalaspersonasporlosprstamosodepsitos.ElBCRPeselentequeregulalatasadeintersparaprstamosodepsitos.Unadeestetipoeslatasadeintersactivapromedioennuevossoles(TAMN)ylatasadeintersactivapromedioendlaresoTAMEX.Laevolucindeestatasadeintersennuestropas,expresadoenporcentajeentrelosaos1997y2006.20 Hernn B. Garrafa araGnFigura 1.1.Evolucindelatasadeintersennuevossolesydlares.Sepuedeapreciarqueestatasaestreducindosetantoennuevossolescomoendlares.1.2. el inters simpleTambinllamadorgimendecapitalizacinsimpleenelquelosinteresespro-ducidosaltrminodelperiododecapitalizacinofechaquesedaporfina-lizadalaoperacinseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,deestaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenidosureembolso.Sedenominacapital inicialoprincipalalacantidaddedineroquerecibimoscomoprstamoodepositamosaliniciodeunaoperacin,sien-doelprecioquesepagaporelusodeestedinerointerselcualdependedelossiguientesfactores: Elriesgo queconllevalaoperacin,implicarlamayoromenortasadeinters.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantaquepuedepresentarelsolicitantedelprstamoparalacancelacindelmismopermitirobte-nerelprstamoencondicionesmsconvenientes.Ejemplo,elfinparaelquesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunprstamoparalacompradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismopres-taraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenosonconsideradascomotales.21 MateMtica financiera A mayor periodo de tiempo, habr un mayor pago por concepto deinters. Del mercado, puede en determinado momento existir una gran ofertamonetaria,entonceslatasadeinterstiendeabajar,comopuedesucederel caso contrario. Ejemplo, cuando la situacin econmica, social ypolticadeunpaspresentacaos,elriesgopas2(indicadordeconfianzaen la economa de un pas) tiende a subir automticamente, por tanto,la tasa de inters sube, lo que implica el mayor pago por concepto deinters.Entonces,elinters(I)dependedecmoevolucionanestosfactores.Parade-terminarelinterssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial(P),tasadeinters(r)yelperiododetiempo(n).I=Prn(1)Donde:I Interspagadoporelprstamoocrdito.P Capitalinicialoprincipal.r Tasadeinterssimpleporunidaddetiempo.n Periodo de tiempo, expresado en las mismas unidades quela tasa deinters.EsteintersserelacionaconP deacuerdoalasiguientegrfica:Figura 1.2. RelacinentrePysuvalorfuturo.ejemplo1. Una persona concedi un prstamo a un amigo por S/. 35 000comprometindose ste a devolverlo dentro de un ao. Por el mencionadoprstamo le cobr una tasa de inters simple del 12% anual. Cul ser elintersquedeberpagaresteamigoporelprstamo?solucin:En este caso, se tiene como datos P, n y r, de la frmula (1) setiene:2 E| Peru l|ere uroajo r|esgo pais er re|ac|r a olros paises de Arr|ca Lal|ra.22 Hernn B. Garrafa araGn P=35000soles r=12%anualcomoI=Prn n=1aoentoncesI=35000x12%x1=4200soles ElintersapagarserdeS/.4200.ejemplo 2. Desarrolleelejemploanterior,considerandounatasadeintersdel12%semestral.solucin: Como r y n tienen que ser expresados en unidades homogneas,entonces: P=35000soles r=12%semestral De(1)setieneque: n=2semestresI=35000x12%x2=8400solesEnestecasoelintersapagarserdeS/.8400.ejemplo 3.Unaparejadeesposossolicitaunprstamoaunapersonaporunmontode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein-terssimpleparaprstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizarsernde$520,qupartedelprimerpagosedestinaalpagodeintersyasaldarelprstamo?solucin:Setienequecalcularelintersquesepagaporelprimermes,lain-formacindelatasadeintersesanual,comosenecesitamensual,porlotantosedivideentre12(nmerodemesesquetieneelao).Lapartequeamortizaladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinters. P=23000dlares r=2%mensual n=1mesI=23000x2%x1=460dlaresPara el pago de inters destin $ 460 y para saldar la deuda $ 60 ($ 520-$460).ejemplo 4. UnseorsolicitunprstamodeS/.800paraliquidarloentresmesesypagporelloS/.120porconceptodeinters.Culeslatasadein-terstrimestralyanual?solucin: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:23 MateMtica financiera P=800solescomo r=I/Pn P=800solescomor=I/Pnn=1trim. r=120/800 n=3/12aos r=120/(800x3/12)I=120soles r=0.15trim.I=120soles r=0.60anualLatasadeintersesde15%trimestralo60%anual.1.3. Perodo de tiempoBsicamente,setienedosformasdecuantificarelnmerodedascompren-didosentredosfechas.Tiempoexactoqueincluyetodoslosdas,exceptoelprimero.Laotrasereltiempoaproximado,elcualconsisteenconsiderar,porejemplo,quetodoslosmesestienen30das.ejemplo 1.Calculareltiempoexactoyaproximadoentreel4deabrilyel28deagosto.solucin: Serealizarestaoperacinmesamesydeestaformasedetermi-narelnmerodedasquetienecadames.Mest. exactot.aproximadoAbrilMayoJunioJulioAgosto26das(30-4)31303128Vemosqueelnmerodemesesdel4deabrilal4deagosto,resultando4x30das,luegoleadicionamos24das(28ago-4ago)total 146 das 144 das1.4. Inters exacto e inters ordinario Comnmentenosenfrentaremosantelasituacindequenecesitamosexpresarlosplazosqueestnendasaaosoviceversa,cuandoestosucedeyutiliza-mosundivisorde360selellamarinters ordinario anual.Ysiutilizamosundivisorde365366selellamarinters exacto anual.Desimilarformasepuedeobtenerelintersordinariooexactosemestral.ejemplo 1.Calcularelintersexactoeintersordinariodeunprstamode$500a90das,silatasaesde18%anual.solucin: SetieneP=500yr=18%anualdelafrmulasepuedeobtener:24 Hernn B. Garrafa araGn Intersordinario=500x0.18x90/360=$22,50 Intersexacto=500x0.18x90/365=$22,19Elhechodeusar365366dependersielaoesbisiestoono.1.5. norma comercialDeloanteriorsepuedeconcluirqueexistendosformasdecalculareltiempo(exactoyaproximado)ydostiposdeinters(exactoyordinario),estogeneracuatroformasparacalcularelinterssimple.1. Tiempoexactointersordinario.2. Tiempoexactointersexacto.3. Tiempoaproximadointersordinario.4. Tiempoaproximadointersexacto.De las cuatro formas, el de uso ms frecuente es la forma 1, tiempo exactointersordinario,queestambinconocidocomonormabancaria.1.6.Valor presenteEn el caso de inters simple, tambin es llamado capital inicial y es aque-llacantidaddedineroqueestinvolucradaenunprstamoodepsitoenelmomentoinicialdelaoperacin,llamadomomentocero,yseobtienedeladefinicindeinterssimple:P=I/(rn)(2)DondelasvariablesP,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.1.7. MontoCuando al valor presente le adicionamos el inters, a esta expresin se de-nominamonto(M)otambinvalorobtenidoalfinaldelaoperacinyserexpresadopor:M=P+IM=P(1+rn)(3)DondelasvariablesM,P,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.Enlasiguientefigurasemuestralarelacinentrevalorpresenteymonto.

25 MateMtica financiera

Figura 1.3. Relacinvalorpresenteymonto.Como se observa, el valor presente P puede ser llevado desde el periodo 0hastaelperiodon;deigualmanera,elmontoMpuedeserregresadodesdeelperiodonhastaelperiodo0 medianteesasrelaciones.ejemplo 1. SetieneuncapitaldeS/.1500,queseencuentradepositadopor5trimestresaunatasade60%anual.Determinarelmontogeneradoalfinaldelplazomencionado.solucin: Comonestexpresadoentrimestres,rtienequeestarexpresadoenlamismaunidad.Estosignificaquelatasaanualtienequeestarexpresadaentasatrimestral.Oenestecasocomolatasaestexpresadaanualmentesepuedeexpresarnenaos(5/4)yluegoaplicarlafrmula(3),obtenindose:P=1500soles r=60%anualn=5/4aos LuegoM=P(1+rn)=1500(1+60%x5/4)=2625ElmontoserdeS/.2625.ejemplo 2. Resolverelproblemaanteriorconsiderandounatasade60%se-mestral.solucin:Comonyrtienenqueserexpresadosenunidadeshomogneas,enestecasolatasaestexpresadaenformasemestral,luegonqueestdadoentrimestres,tienequeserexpresadoensemestres. P=1500soles n=5/2semestres. Luego r=60%semestral M=P(1+rn)= 1500(1+60%x5/2)=3750ElmontoseradeS/.3750.26 Hernn B. Garrafa araGnejemplo3. Una empresa prev la necesidad de S/. 50 000 para finales deltercerao,Culeselcapitalinicialadepositareldadehoyparaobteneresemontosisesabequelatasaapagarporeldepsitoesde10%anual?solucin:Enestecaso,laincgnitaeselcapitalinicialovalorpresentedelafrmula(3),despejandoPsetiene: M=50000soles n=3aos.Luego r=10%anualP=M/(1+rn)= 50000/(1+10%x3)=38461,54ElcapitalinicialadepositareldadehoyseraS/.38461.54.ejemplo4. Una inmobiliaria tiene como meta ganar un inters simplede$100000enunperiododedosaosymedio.Culdebeserelcapitalinicialadepositar,sabiendoquepuedeobtenerunatasade1%trimestral?solucin:Enestecaso,setienecomodatoelintersquedeseaobtenerlain-mobiliaria,expresandonentrimestresdetalmaneraqueseahomogneoconr,yaplicandolafrmula(2)setiene: I=100000dlares n=2.5x4trimestres. Luego r=1%trimestral P=I/(rn)= 100000/(1%x10)=1000000Elcapitalinicialadepositarserade$1000000.1.8.Variaciones de tasas Enunhorizontedetiempo[0,n]conperiodos[ni,ni+1]puedesucedervariacio-nesdetasa.Esdecir,seinicialaoperacineneltiempo0aunatasadetermi-nadadeinterssimpleparaunperiododeterminado;paraelsiguienteperiodoestatasapuedecambiar.Laaccinpuedesucederhastallegaraltiempon.UnejemplodeestetipodetasaeslaLibor3,queeslatasadereferenciaquesenegocianloseurodlares.Sepuedecalcularelinterstotalcuandoseproduceestetipodesituacionescomosemuestraenlasiguientefigura:33|g|a de |a Lordor lrler 8ar| 0ller Rale.27 MateMtica financiera Figura 1.4. Interssimpleconvariacionesdetasas.SeaI1elintersgeneradoporlatasar1yelperiododetiempon1;aplicandolafrmula(1)setienequeI1=Pr1n1,deigualmaneraI2=Pr2n2yas,su-cesivamente,secalculaIq=Prqnq,elinterstotalserigualalasumadelosinteresesparciales I1+I2+I3++Iq. I=Pr1n1+Pr2n2++Prqnq I=P=qi 1i i n r (4)Parahallarelmontosepuedeaplicarlafrmula(3),entonces M=P(1+=qi 1i i n r )(5)ejemplo 1.UnaseorarealizaunprstamodeS/.2000aunfamiliar,conlafinalidaddequeselosdevuelvadentrodeunao,ofrecindoleunatasade1%mensualdurantelosprimeroscuatromeses,ylosmesesrestantesaunatasade1,5%mensual.Culseralacantidadqueobtendraalfinalizarelao?solucin: Se aplica directamente la frmula (5) a la informacin delejemplo1. Capitalinicial=2000soles n1=4meses r1=1%mensualn2=8meses r2=1.5%mensualluego M=2000(1+1%x4+1.5%x8)LacantidadqueobtendraalfinalizarelaoseradeS/.2320.ejemplo 2.Enelejemploanterior,sielfamiliardesearapagarenvezder1yr2unatasanicar, Cultendraqueserestatasaparaqueestaseoranoseperjudique?28 Hernn B. Garrafa araGnsolucin:Paraqueestaseoranoseperjudique,alfinaldelaotendraquere-cibirigualmonto,utilizandoestatasar queenelcasoanteriorcuandoseutilizr1yr2,plantendoselasiguienteecuacin:2320=2000(1+r x 12) r=1,33%Latasanicasera1,33%mensual.1.9. ecuaciones de valor Muchasvecesnosencontramosconeldilemadecomparardiferentescapita-les.Porejemplo,S/.100dehoyesigual,mayoromenoraS/.100dentrodeunao,sifueraladevolucindeunprstamoodonacinQuprefiere?recibirhoyodentrodeunao.Haceresteanlisissignificadeterminarelvalordeldineroeneltiempo,ylarespuestaaestainterrogantedependerdediferentesfactores;porejemplo,latasadeintersinvolucradaenestaoperacin.Deahlaimportanciadeestetemaelcualpermitecompararcapitalesendiferentesmomentosdeltiempo,losotrosfactoresatenerencuentasonlossiguientes: La inflacin, puesto que dentro de un ao el poder adquisitivo de esedinerosermenor.Porejemplo,siconS/.100aliniciodeaosecompra10unidades,luegodetranscurrido1aopuedeserquesecompreslo8unidades. El costodeoportunidad, los usos alternativos del dinero implicanexistencia de alternativas rentables, este dinero hoy puede generar unautilidad. El riesgo que significa la incertidumbre de lo que puede suceder en eltranscursodeunperiododetiempo.Porlotanto,silaopcinfuerarecibirlosdentrodeunperiododetiempo,sepodraaceptarsolamentesiseentregaraunacantidadadicionalquecompen-saralosfactoresanteriormentemencionados,debidoaqueeldinerotienelacapacidaddeproducirmsdinero,generandoriqueza.Tomandoencuentaelfactortasadeinters,analizaremoselsaldarunadeu-daqueestcompuestapordosdeudas;laprimera,porS/.200eldadehoyylasegundaporS/.112,quesetendrquepagardentrodeunaoaunatasadel12%anual.Parapoderobtenerelvalordeestadeuda,senecesitasaberculeselvalorpresentedelosS/.112.EllosignificatrasladarlosS/.112aldadehoy,ysepuedeobtenerdespejandoPenlafrmula(3),luegoP=112/(1+12%x1),entoncesP=S/.100.Parasaldarestadeudahoy,setendraquepagarS/.300(S/.200+S/.100).2 MateMtica financiera Sepodraanalizarelejemploanteriorinteresadoensaberculseraelvalordedeudasisepagaracuandovencelasegundadeuda(dentrodeunao).Paraello,necesitamossaberculserelvalordelaprimeradeudaS/.200,dentrode un ao, o hallar el monto (llamado tambin valor futuro) de esta deuda.Aplicandodirectamentelafrmula(3)setieneM=200(1+12%),luegoM=S/.224.Entonces,elvalordeladeudadentrodeunaoseralacantidaddeS/.224+S/.112=S/.336.Finalmente,sepuedeafirmarque:S/.200eldadehoyyS/.112dentrodeunao,esequivalentea:S/.300eldadehoyyS/.336dentrodeunaoEntonces, para poder comparar capitales que estn en diferentes tiempos esnecesariollevaratodosellosaunamismafecha.Astaseledenominafecha focalofecha de comparacin.Alllevarestoscapitalesaesafecha,seformaunaecuacinystaesllamadaecuacindevalor.ejemplo 1.ElhospitalMaraAuxiliadoradeseaadquirirmaterialquirrgicoparapoderbrindarunmejorservicioycuentaparaellocondospropuestasquedebenseranalizadasporeldepartamentodelogstica,acargodelaseoraJessicaAricoche:PropuestaA:Cuotainicial$20000,00y2cuotasmensualesde$15000cadauna.PropuestaB:Cuotainicial$12554,11y2cuotasmensualesde$19000cadauna.Sielcostodeldineroesel5%deinterssimplemensual,culeslamejoroferta?solucin: Enestecaso,loquesetienequecompararesculdelosproveedo-restieneelmenorvalorpresente,siendoelmenorelmsconvenienteparaelhospital;delainformacinsetiene:ProveedorA ProveedorB Cuotainicial=$20000 Cuotainicial=$12554,11 Cuotamensual=$15000 Cuotamensual=$19000 Nmerodecuotas=2Tasa=5%mensual30 Hernn B. Garrafa araGnComosetienequeobtenerelvalorpresente(VP)delosproveedores,consi-deramoselmomento0comolafechafocal;ellosignificallevarlascuotasmensualesaesteperiodo.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:Diagrama de flujo para la propuesta aUnavezquelascuotasmensualeshansidotrasladadasalafechafocal0seprocederacalcularelvalorpresentedelapropuestaA,queeslasumadetodasestascantidades.VPpropuestaA=20000+15000/(1+5%)+15000/(1+5%x2)=$47922,08

Diagrama de flujo para la propuesta bDeigualmaneraseprocederparalapropuestaB

VPpropuestaB=12554,11+19000/(1+5%)+19000/(1+5%x2)=$47922,08Conestaptica(fechafocalenelorigen),lasdoscantidadessoniguales,porello la seora JessicaAricoche puede afirmar que es indiferente aceptar laofertadelproveedorAoB.ejemplo 2.Unpadredefamiliacolocasucapitalmedianteprstamosainterssimple.Elprimeroysegundoprstamosde$7500y$2800,respectivamente;realizaelsegundoprstamo7mesesdespusdelprimero.Latasaqueofrecen31 MateMtica financiera pagarleesdel2%pormes,culeselmontogeneradoporestosprstamossiambaspartesdecidenmantenerestaoperacinporunaomsdespusdelltimoprstamo?solucin:Enestecaso,sepidecalcularelmontogeneradoporestosdosprs-tamos;paraelprimerprstamoelnmerodeperiodoses19meses(7+12),paraelsegundoprstamoserde12mesesylatasadel2%mensual.Consi-derandolafechafocalalfinaldelao,setiene: 1erdepsito=7500dlares 2dodepsito=2800dlares Periodos=19mesesPeriodos=12MesesM = 7500 (1 + 2% x 19) + 2800 (1 + 2% x 12) M = 13 822 dlaresEl monto generado por estos dos prstamos sera de $ 13 822. El siguientediagramadetiempovisualizaeldesarrollodeesteejemplo.32 Hernn B. Garrafa araGnProbleMas resueltos1. SedepositaS/.3500por19meses,aunatasade12%anual.Culserelmontogeneradoporestaoperacin? solucin: P=3500soles n=19meses r=12%/12 EntoncesM=3500(1+1%x19)=4165 ElmontogeneradoseradeS/.4165.2. Uninversionistacolocsucapitalde$30000comoprstamoaunaen-tidadcomercialpor5aosyainterssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempolatasadeinterstuvolassiguientesvariaciones: 0,5%quincenaldurantelosprimeros7meses. 2,5%semestralporlos5mesesconsecutivos. 1,2%mensualporlossiguientes4trimestres. 6%anualporlossiguientes5semestres. 0,016%diarioporlossiguientes4meses. 1,5%bimestralporlos2ltimosmeses.a) Elinversionistadeseaconocerelintersgeneradoporsucapital.b) Culeslatasaacumulada(tasatotaleneltiempoqueduralaoperacin)ylatasanicaanualdeestaoperacin?solucin: (VerAnexopginaI). Como en esta operacin se producenvariaciones de tasas, se tiene que aplicar la frmula (4), pero para ellola tasa y los periodos de tiempo tienen que ser homogneos, es decir,expresadoenlasmismasunidades. P=30000dlares n1=7x2quincenas r1=0,5% n2=5/6semestresr2=2,5% n3=4x3mesesr3=1,2% n4=5/2aosr4=6%33 MateMtica financiera n5=4x30dasr5=0,016% n6=1bimestrer6=1,5% 30000(0.5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1) I=$12571a) Elinversionistarecibirporsucapitalunintersde$12571alfinaldeloscincoaos. Latasaacumuladaenestos5aos,esigual: 0,5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1=0,4190 LatasanicaconvierteP=$30000enunperiodode5aosenunmonto M = $ 42 571 ($ 30 000 + $ 12 571), de la frmula (3) setiene:42 571 = 30 000 (1 + r x 5) r = 8,3806%b) Latasaacumuladaenlos5aoses41,9%ylatasanicaes8,381%anual.3. Unapersonainvierte$50000aunatasadel12%deinterssimpleanual;alcabode3aosinviertelautilidadaunatasadel3%deinterssimplemensual.Siluegodetranscurridountiemponlautilidaddelasegundainversinesel75%delautilidaddelaprimera(enlostresaos),ycomonovaharetirarlainversininicial,entonces,acuntoasciendeelmontototal?solucin:En este caso, se tiene que analizar el inters que genera lautilidadparaalfinalpoderobtenerelmonto. P=50000dlaresr=0,12anual Deacuerdoalafrmula(1),elinterssimpleI3aosparalosprimeros3aosaestatasaser: I3aos=50000x12%x3=18000 ConformeelenunciadodelproblemaennmesesmselinterssimpleI2generadoporunatasadel3%mensualesigualal75%deI3aos(utilidaddelaprimera),entonceselinterssimplegeneradoporestautilidadser: I2=75%x18000=18000x3%xn Elcualdacomorespuestaqueeltiempotranscurridoesn=25meses.34 Hernn B. Garrafa araGn Adicionalmente,setienequeelcapitalinicialgenera,durante25meses,aunatasadel1%mensual(12%/12),uninterssimpleI3: I3=50000x1%x25=12500 Entonces,elinterssimpleIgeneradoenestaoperacinser: I=I3aos+I2+I3=18000+13500+12500=44000 SetienequeM=P+I=50000+44000. Elmontototalasciendea$94000.4. LaempresamineraBuenaventuratieneensuplandestinar$9000000aunainversindelaqueesperauningresode$5200000en6mesesyde$6300000dentrodeunao.Considerandoelorigencomopuntofocalyqueestaoperacinesrealizadaainterssimple,determinar:a) Latasadeintersquehaceindiferentelainversin.b) Lanuevatasadeinterssialcabodeloctavomesadiciona$500000alainversin.solucin: Enunaoperacinenlaqueestninvolucradosegresoseingresoslo que busca todo inversionista es obtener utilidades. Ello implica que losegresosseanmenoresalosingresos;enelmomentoquestosseaniguales,sedicequeesindiferentelainversin,enelsentidoquenoexistenprdidasogananciasenlainversin.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene: Considerandocomopuntofocalelorigen,sumaremoslosingresosylosigualaremosalosegresos(lainversinrealizada)enestepunto,luego: 9000000=5200000/(1+rx6)+6300000/(1+rx12) Considerandoarlatasadeinterssimplemensual.a) Aplicando la interpolacin, se tiene que r es igual a 3,06212742%mensual.b) es similar al caso anterior; se adiciona una nueva inversin a lainversin inicial; entonces se tiene que hallar el valor total de esta35 MateMtica financiera inversin,locualsignificasumarestasdosinversionesenelpuntofocal,elorigen.Eldiagramadeflujoparaestecasoserdelasiguienteforma: 9000000+500000/(1+r1x8)=5200000/(1+r1x6)+6300000/(1+r1x12) Lanuevatasadeinterssimpler1es2,4260252%mensual.5. Una fbrica tiene dos deudas con un prestamista. La primera es por unmontode$1350convencimientodentrode28dasylasiguientedeudaesde$5400quevenceralos42das.Lafbricadeseacancelareltotalde sus deudas mediante dos pagos de igual monto dentro de 35 y 70das,respectivamente.Culserelmontodelospagosaefectuarporlafbricasielprestamistaaceptestaformadepagoyestandodeacuerdoambos en aplicar una tasa de inters simple mensual del 8% para lasoperacionesrealizadasdentrodelos42primerosdasyde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocalelda70.solucin:Al considerar como fecha focal el da 70, significa trasladarfuturasdeudasypagosaesafecha,teniendoencuentalavariacindetasaqueserealizaelda42.Eldiagramadeflujoserelsiguiente: ElmontodelospagosparacubrirladeudaserelvalordeXenelda70,adicionandoelvalordeXenelda35,perollevadoalda70,elcuales: X+X(1+8%x7/30+7%x28/30)=2,084xX36 Hernn B. Garrafa araGn Elvalordeladeudaserlasumadelasdosdeudasllevadasalda70,elcuales: 1350(1+8%x14/30+7%x28/30)+5400(1+7%x28/30)=7241,31 El monto de los pagos debe ser igual al valor de la deuda, ello implicaque2,084 x X = 7241,31 X = 3474,72 Elmontodelospagosarealizarserde$3474,72elda35yelmismomontoelda70.6. Enelproblemaanterior,culserelmontodepagosalaplicarunatasadeinterssimplemensualdel8%paralasoperacionesrealizadasdentrodelos50primerosdas,yde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocalelda70.solucin:Enestecaso,cambialafechaparalavariacindetasadelda42 al da 50, entonces ahora calcularemos nuevamente el monto de lospagoselda70. X+X(1+8%x15/30+7%x20/30)=2,087xX Elnuevovalordeladeudaser: 1350(1+8%x22/30+7%x20/30)+5400(1+8%x8/30+7%x20/30)=7259,40 Comoenelcasoanterior,elvalordeestasdosecuacionestienenqueserigualesimplicandoparaelloelmontoapagarque,enestecaso,serX=$3478,95elda35y70,respectivamente.7. Unprestamistaanalizaunatransaccincomercialllevadaconanterioridadenlaqueinvirtiuncapitalalatasadeinterssimpledel6,5%mensual,la cual se convirti en $ 3600. Si hubiese invertido a la tasa de interssimpledel5%mensualyunaomenosqueenelcasoanterior,elintersserade$450.Obtener: a) Loinvertidoporelprestamista. b) Eltiempodeestaoperacinenaos.solucin:Paraelprimercaso,setienecomodatoelmontoylatasa;enelsegundocaso,setienecomodatoelintersgeneradoenestaoperacinylatasa,entonces:37 MateMtica financiera 1ercaso2docaso Monto=3600dlaresInters=450dlares r=6.5%x12 r=5%x12 n=taosn=t-1aos Paraelprimercaso,aplicandolafrmula(3),setiene:3600=P(1+6.5%x12xt);paraelsegundocaso,aplicandolafrmula(1),setiene:450=Px5%x12x(t-1),deestasdosecuacionessetieneque: a) Loinvertidoporelprestamistafue$1693,82. b) Eltiempodeestaoperacinfue1,44aos.8. Una persona tiene hoy una deuda de S/. 23 000, comprometindose acancelartaldeudadentrode360das,aunatasadeinterssimplede1%mensual.Contandoconefectivo,dentrodelplazoprevistorealizaciertospagosdeS/.13500elda90,S/.4500elda180yS/.500elda270.Culserelpagofinalelda360? a) Realizandolaoperacinelmismodadelpago. b) Realizandolaoperacinteniendocomofechafocalelda360.solucin:Ladeudaesnica,confechasfocalesdistintas;paraelcasoa)setienequellevarladeudahaciacadafechadelospagos,restandoluegoelvalordepagorealizadoenesafecha,entonces: Paraelda90,elvalordeladeudaser:23000(1+1%x90/30)-13500=10190 Paraelda180,elvalordeladeudaser:10190(1+1%x90/30)-4500=5995,7 Paraelda270,elvalordeladeudaser:5995,7(1+1%x90/30)-500=5675,57 Paraelda360,elvalordeladeudaser:5675,57(1+1%x90/30)=5845,84a) En este caso, el pago final ser de S/. 5845,84. En el caso b) setienequellevarestospagos,yladeudaalafechafocal(da360),ladiferenciaeslaquesetendraquepagar. Elvalordeladeudaenlafechafocales:38 Hernn B. Garrafa araGn 23000(1+1%x360/30)=25760 Elvalordelospagoses: 13500(1+1%x270/30)+4500(1+1%x180/30)+500(1+1%x90/30)=20000b) EnestecasoelpagofinalserS/.5760.9. Sihoyinvertimos$10000enunCertificadodeDepsito,aunatasadeintersdel3%mensualduranteseismeses. (www.gacetafinanciera.com). a) Cuntoserelmontofinaldelosseismeses? b) Cuntoserelmontoalfinaldecadames?solucin:Delainformacinsetiene: P=10000dlares r=3%mensual M=P(1+rn) n=6meses M=10000(1+3%x6)=11800 a)Alcabodelosseismeses,setendra$11800. Paraelcasob),seobtieneelsiguientecuadroresumen: Periodo Capitalinicial IntersCapitalfinal1 10,000 300 10,3002 10,300 300 10,6003 10,600 300 10,9004 10,900 300 11,2005 11,200 300 11,5006 11,500 300 11,800 Como se observa, el monto al final del sexto mes es el mismo valorobtenidoparaelcasoa),comoeralgicodeesperar.3 MateMtica financiera ProbleMas ProPuestos1. Uninversionistacolocsucapital,deS/.150000,comoprstamoaunparticularpor6aosyainterssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempo,latasadeinterstuvolassiguientesvariaciones: 0,5%quincenaldurantelosprimeros6meses. 1,5%semestralporlos6mesesconsecutivos. 2%mensualporlossiguientes4trimestres. 1,5%anualporlossiguientes5semestres. 0,012%diarioporlossiguientes2meses. 1,25%bimestralporeltiemporestante. a) Elinversionistadeseaconocerelintersgeneradoporsucapital b) Culeselinterspromediomensual?2. IsaacMattostieneuncapitalque,porconveniencia,lodivideen2partes.Una parte o primer capital colocado a una cierta tasa de inters simpledurante2/5deao.Elresto,queesmayoren$50000alprimercapital,escolocadoalamismatasadeintersdurante3/5deao.Ladiferenciaentrelosinteresesgeneradosasciendea$2250ylasumadeestosintere-seses$6250.Calcularelmontodeestoscapitalesylatasadeinters.3. Unaempresainmobiliariaofreceunainversinqueduplicarsudineroen10aos.Qutasadeinterssimpleleestarnofreciendo?4. Enformasimilaralproblemaanterior,supongaquelehanofrecidounainversinquetriplicarsudineroen10aos.Qutasadeinterssimpleleofrecern?5. DoshermanostienenahorradociertocapitalquedifiereenS/.100000.Un prestamista les paga por ese capital el 2% y 6% anuales respecti-vamente,laoperacinespormedioao.Sesabe,adems,quesiestoshermanos juntaran sus capitales, les pagaran 8% por un ao y serasuperiorenS/.15000altotaldelosintereses.Culeselcapitalquetienenahorradoestoshermanos?6. UnafamiliahalogradoreuniruncapitaldeS/.75000.Paradiversificarelriesgo,unterciodeestecapitalescolocadodurante15mesesal24%anual,mientrasquelosdosterciosrestantessoncolocadosdurante4mesesaunatasadeinters,detalmodoquealfinaldelplazoelintersgeneradoentotalasciendeaS/.17500.Culeslatasadeintersmensualalaquesecolocelsegundocapital?40 Hernn B. Garrafa araGn7. Giancarlo lvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al1,2%trimestralporunperiodode2aos.UnasegundaopcinenelcasodequeincrementeelprimerdepsitoenS/.12000durante1ao,lepagaran2,6%semestralconloquesegeneraraunmontoigualaldobledelcapitaloriginal.Culeseldinerodepositadoyelmontodelaprimeraopcin?8. Enelproblemaanterior,qupasasisegeneraraunmontoequivalentealdobledelcapitaloriginal.9. DavidEspinozahalogradoreuniruncapitaldeS/.33000.Unapersonaleofrecepagar12%deinterssimple.Porlosriesgosqueestaoperacinrepresenta,slodecidedepositar1/3desucapital,porunlapsodetiempode 8 meses, y el resto del capital logra colocarlo al 9% anual a interssimple,porunlapsodetiempo,detalformaquesegeneraraporestasdosoperacionesunagananciatotaldeS/.2860.Cuntotiempotendraqueestarcolocadoelsegundocapital?10. ManuelMachucaesunprestamistayleexpresaaPedroBarrientosquesi coloca su capital al 3,5% mensual por un lapso de tiempo, le generaun monto de S/. 2000. Finalmente, logra colocar este capital al 18,5%mensualporelmismotiempo,generndoseunmontodeS/.6000.Pedroquieresaber.Culeseltiempoyelcapitalacolocar?11. ElseorManuelCortstieneuncapitalde$12000quelogracolocarloaunatasadeinterssimpleanualdel4,2%.Pasadountiempo,leofre-cenunatasadeinterssimpleanualdel5%,considerandolamejoraenlatasa,decideretirarsucapitalyelintersgeneradoycolocarlopor6mesesmsqueenlaanterioroperacin.Alfinal,Manuellograobte-nerporlasegundaoperacin,entreelnuevocapitalyelintersgene-rado,$16000.Culfueellapsodetiempoenqueestuvocolocadoelcapitalenlaprimeraoperacin?12. Con relacin al problema anterior, cunto tiempo tendra que pasar siparalasegundaoperacinsloretira3/4desucapital?13. LaseoritaVanesalvareztieneuncapitaldeS/.9500.Estecapitalestuvoprestadoyhalogradogenerarunacantidad,detalformaqueaumentadaenun8%seraS/.1450.LaseoritaVanesasabequesucapitalestuvoprestadoporunaoyloquequieresaberes.Aqutasamensualestuvoprestado?14. Conrelacinalproblemaanterior,qupasasienvezdeestaraumentadaenun8%estuvodisminuidaen4%?15. Setieneunciertocapitalqueseplaneaprestaren2partes.Si3/7deestecapitalseprestaal7%anualyladiferenciaal9%anual,porestaoperacin41 MateMtica financiera se genera un inters. Como a mayor monto se obtiene una mejor tasa,decideaumentardichocapitalenS/.27000ylepagaran10%anual.Si,finalmente,elintersaumentaenS/.4500.Culeselcapitalinicialsilaoperacinseraporunao?16. Conrelacinalproblemaanterior,qupasasilaspartesson3/5y2/5?17. Mara Mujica tiene los capitales de S/. 126 000 y S/. 94 000, que porrazones de riesgo estn colocados a distintas tasas de inters. Comofueroncolocadosaplazofijodeunao,alfinaldelmismosetienequelasumadelosinteresesgeneradosporestosdoscapitalesesunacantidaddeS/.12460.Adicionalmente,setienequeelintersgeneradoporunodeloscapitalessuperaalotroenS/.1280.Culessonlastasasdeintersconlaqueestuvieroncolocadosdichoscapitales? 18. Seprestaundeterminadomontodedineropor1aoal10%mensual.Sipasados los 6 meses se tiene un tiene en total S/. 25 000. Cul ser lacantidaddedineroquesetendraalfinalizarelao?19. Seprestaunacantidaddedinero,ainterssimple,desdeel05/03al28/09.Durante los primeros 3 meses, le pagaron 5% mensual y el resto deltiempoa12%anual.Culeslacantidaddedineroinicialmenteprestadasi,pornecesidadel28/07,retirS/.15000?20. UnalavadoracuestaS/.1299,segnelpreciodelista,tratandodemostraralternativasdeventaesofrecidaendosmodalidades:a) Alcontado:conundescuentodel20%sobreelprecioenlista;b) Financiada: 50% de anticipo y el 50% restante a los 6 meses, sininters. Enrealidad,qutasadeintersestcobrandolacompaa?21. Se tiene un capital de $ 9000, que es colocado el 1/3/2004 por el quepagan6%anualmente,yel23/8/2005,porunapuro,retiran$3600.Culeselsaldoal24/12/2007?22. Unainmobiliariatienelaposibilidaddecomprarunterreno,eldueodelterrenolepropone2opcionesdeventa: a) Unacuotainicialde$7000y$33000alfinaldelsegundoao. b) $33000decontado. Sieldineroquenoseutiliceparaelpagopuedecolocarseaunatasadeinters simple del 9% anual. Por cul de las opciones la inmobiliaria,finalmente,decidira?42 Hernn B. Garrafa araGn23. Conrelacinalproblemaanterior,culdeberaserelpagodecontado,detalmaneraquelasdosopcionesseanindiferentes?24. JosAragn planifica su economa; es por ello que realiz un depsitodeS/.23000el1/3/2003aunatasadeinterssimpledel3%semestral;el6/2/2004retirunacantidaddedinero.El8/8/2005latasadeintersvara,detalformaqueel12/11/2007lograobtenerporestaoperacinunsaldofavorableporunmontodeS/.28420,00.Encuntovarilatasadeintersparalograrestesaldo?25. Un prestamista coloca su dinero con la condicin que se lo devuelvandentrode4y14mesesS/.7500yS/.15000,respectivamente.Recibelacontraofertadepartedelprestatariodecancelarladeudaconunsolopagoa los 7 meses, si le cobra una tasa de inters simple mensual del 1.5%porloqueelprestamistaacepta.Culeselpagoquetendrquerealizarste?