184 Pdfsam Anc3a1lisis Real Lima

8/18/2019 184 Pdfsam Anc3a1lisis Real Lima

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172 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12

Ası, f n → f puntualmente en X cuando, dados ε > 0 y x ∈ X existe n0 (que depende de ε y de x) tal que n > n0 ⇒ |f n(x) −f (x)| < ε.

Graficamente, en cada recta vertical que pasa por un punto x ∈X queda determinada una sucesion de puntos (x, f 1(x)), . . . , (x, f n(x)), . . .las intersecciones de dicha recta con los graficos de f 1, . . . , f n. Estospuntos convergen a (x, f (x)), la interseccion de la recta vertical conel grafico de f .

Ejemplo 1. La sucesion de funciones f n : R → R, donde f n(x) =x/n converge puntualmente a la funcion f : R → R identicamentenula. En efecto, para cada x, se tiene lım

n→∞(x/n) = 0.

Un tipo de convergencia de funciones, mas fuerte que la con-vergencia puntual, es la convergencia uniforme, que definimos acontinuacion.

Una sucesion de funciones f n : X → R converge uniformemente

a una funcion f : X → R cuando, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N(que depende exclusivamente de ε) tal que n > n0

⇒ |f n(x)

−f (x)

|ε

se cual fuere x ∈ X .

En el plano R2, dado ε > 0, la banda de radio ε alrededor delgrafico de f es el conjunto

F (f ; ε) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ X, f (x) − ε < y < f (x) + ε} .

Decir que f n → f uniformemente en X significa que, para todoε > 0, existe n0 ∈ N tal que el grafico de f n esta contenido en labanda de radio ε alrededor de f para todo n > n0.



Seccion 1 Convergencia puntual y convergencia uniforme 173

f nf

x

}ε

}ε

Fig. 10 - El grafico de f n esta contenido en la bandaF (f ; ε).

Ejemplo 2. Nunguna banda de radio ε alrededor del eje de abscisas(grafico de la funcion identicamente nula) contiene al grafico de

cualquier funcion f n : R → R, f n = x/n. Luego la sucesion (f n) delEjemplo 1 no converge uniformemente a la funcion identicamentenula. Por otra parte, si X ⊂ R es un conjunto acotado, supongamosque |x| ≤ c para todo x ∈ X , entonces f n → 0 uniformementeen X . En efecto, dado ε > 0, basta tomar n0 > c/ε. Entoncesn > n0 ⇒ |f n(x)| = |x|/n < c/n0 < ε.

Ejemplo 3. La sucesion de funciones continuas f n : [0, 1] → R,f n(x) = xn, converge puntualmente a la funcion discontinua f :[0, 1] → R, f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1, f (1) = 1. La convergencia es

uniforme en cada intervalo de la forma [0, 1 − δ ], 0 < δ < 1, perono es uniforme en [0, 1]. Estas dos afirmaciones son consecuencia depropiedades generales (a saber, los Teoremas 1 y 2 de abajo), perose pueden probar facilmente a partir de la definicion. En efecto,si escribimos a = 1 − δ , tenemos 0 < a < 1, luego lım

n→∞an = 0.

Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ an < ε. Entoncesn > n0 ⇒ 0 < f n(x) < an < ε para todo x ∈ [0, a]. Por tantof n → 0 uniformemente en el intervalo [0, 1 − δ ]. Por otra parte, sitomamos ε = 1/2 afirmamos que, sea cual fuere n0 ∈ N, existenpuntos x ∈ [0, 1] tales que |f n0(x) − f (x)| ≥ 1/2, o sea, xn0 ≥1/2. Basta observar que lım

x→1−

xn = 1. Luego existe δ > 0 tal que

1 − δ < x < 1 ⇒ xn0 > 1/2. Esto demuestra que f n no convergeuniformemente a f en el intervalo [0, 1].




y

= x

y = x

2

y =

x 3

y =

x 4

Fig. 11 - Las funciones f n(x) = xn convergen puntual-

mente en el intervalo [0, 1] a una funcion discontinua.

Ejemplo 4. La sucesion de funciones continuas f n : [0, 1] → R,f n(x) = xn(1

−xn), converge puntualmente a la funcion identica-

mente nula. Esta convergencia no es uniforme. En efecto, para todon ∈ N tenemos f n( n

1/2) = 1/4. Luefo, si ε = 1/4, ninguna fun-

cion f n tiene su grafico contenido en la banda de radio ε alrededorde la funcion 0. Por otra parte, si 0 < δ < 1, tenemos f n → 0 uni-formemente en el intervalo [0, 1 − δ ], pues xn → 0 uniformementeen dicho intervalo y 0 ≤ xn(1 − xn) ≤ xn.

1

4

10

f 1

f 2

f 3

Fig. 12

Las consideraciones hechas en esta seccion incluyen a la sumaf =

f n de una serie de funciones f n : X → R. En este importante

caso particular se tiene f = lım sn, sn(x) = f 1(x) + · · ·+ f n(x) para



Seccion 2 Propiedades de la convergencia uniforme 175

todo n ∈ N y x ∈ X . Ası, decir que la serie

f n converge uniforme-mente significa que la sucesion (sn) converge uniformemente, y esequivalente a afirmar que la sucesion de funciones rn : X → R (“res-tos” de la serie), definidas mediante rn(x) = f n+1(x) +f n+2(x)+ · · ·converge uniformemente a 0. En efectom basta observar que rn =

f − sn.

2. Propiedades de la convergencia uniforme

Teorema 1. Si una sucesi´ on de funciones f n : X → R converge

uniformemente a f : X → R y cada f n es continua en el punto

a ∈ X entonces f es continua en el punto a.

Demostracion: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |f n(x)−f (x)| < ε/3 para todo x ∈ X . Fijemos un numero natural n > n0.Como f n es continua en el punto a, existe δ > 0 tal que x

∈ X ,

|x − a| < δ ⇒ |f n(x) − f n(a)| < ε/3, de donde

|f (x) − f (a)| ≤ 1f n(x) − f (x)| + |f n(x) − f n(a)| + |f n(a) − f (a)|<

ε

3 +

ε

3 +

ε

3 = ε.

Lo que prueba el teorema.

Ejemplo 5. La sucesion de funciones continuas f n(x) = xn nopuede converger uniformemente en [0, 1], pues converge puntual-mente a la funcion discontinua f : [0, 1] → R, f (x) = 0 si 0 ≤x < 1, f (1) = 1. Por otra parte, la sucesion de funciones continuasf n(x) = xn(1 − xn) converge puntualmente a la funcion 0 en el in-tervalo [0, 1], que es continua, sin que esto implique la convergenciauniforme. La misma observacion se puede hacer a proposito de lasucesion de funciones continuas f n : R → R, f n(x) = x/n. De es-to trata el proximo teorema. Antes de demostrarlo, daremos unadefinicion.

Se dice que una sucesion de funciones f n : X → R, converge

mon´ otonamente a f : X → R cuando, para todo x ∈ X , la suce-sion de funciones (f n(x))n∈N es monotona y converge a f (x). Por

ejemplo, las funciones de los Ejemplos 1 y 3 convergen monotona-mente.




Es claro que si f n → f monotonamente en X , entonces |f n+1(x)−f (x)| ≤ |f n(x) − f (x)| para todo x ∈ X y todo n ∈ N.

Teorema 2. (Dini). Si la sucesi´ on de funciones continuas f n :X → R converge mon´ otonamente a la funci´ on continua f : X → R

en un conjunto compacto X entonces la convergencia es uniforme.Demostracion: Dado ε > 0, escribimos, para cada n ∈ N, X n ={x ∈ X : |f n(x) − f (x)| ≥ ε}. Como f n y f son continuas, cadaX n es compacto. A su vez, la monotonıa de la convergencia implicaX 1 ⊃ X 2 ⊃ X 3 ⊃ · · · . Finalmente, como lım

n→∞f n(x) = f (x) para

todo x ∈ X , vemos que∞

n=1 X n = ∅. Del Teorema 9, Capıtulo 5,se deduce que algun X n0 (y por tanto todo X n tal que n > n0) esvacıo. Esto significa que n > n0 ⇒ |f n(x)−f (x)| < ε, sea cual fuerex ∈ X .

Ejemplo 6. La sucesion de funciones continuas f n : [0, 1) →

R,f n(x) = xn, converge monotonamente a la funcion (continua) identi-camente nula en el conjunto [0, 1), que no es compacto; sin embargo,la convergencia no es uniforme. En efecto, dado 0 < ε < 1, paratodo n ∈ N existen puntos x ∈ [0, 1) tales que xn > ε, ya quelımx→−1

xn = 1 > ε.

Teorema 3. (Paso al lımite bajo el signo integral). Si la

susesi´ on de funciones integrables f n : [a, b] → R converge uniforme-

mente a f : [a, b] → R entonces f es integrable y

b

a f (x)dx = lımn→∞ b

a f n(x)dx .

En otra palabras: si la convergencia es uniforme, ba

f (x)dx = lımn→∞

ba

f n.

Demostracion: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |f n(x)−f (x)| < ε/4(b − a) para todo x ∈ [a, b]. Fijemos m > n0, como f mes integrable exist una particion P tal que, si indicamos medianteωi, ω′

i las oscilaciones de f y f m, respectivamente, en el intervalo[ti−1, ti] de P , se tiene

ω′i(ti − ti−1) < ε/2. Por otra parte, para

cualesquiera x, y ∈ [ti−1, ti] se tiene:

|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − f m(y)| + |f m(y) − f m(x)| + |f m(x) − f (x)|< ω′

i + ε

2(b − a) .




Por tanto, ωi < ω′i + ε/2(b − a). De donde

ωi(ti − ti−1) ≤

ω′i(ti − ti−1) + [ε/2(b − a)]

(ti − ti−1)

< ε/2 + ε/2 = ε .

Esto demuestra que f es integrable. Ademas, ba

f (x)dx − ba

f n(x)dx

=

ba

[f (x) − f n(x)]dx

≤

ba

|f (x) − f n(x)|dx

≤ (b − a)ε

4(b − a) < ε

si n > n0. En consecuencia, lımn

→∞

ba

f n(x)dx =

ba

f (x)dx.

Observacion. Si cada f n es continua la demostracion se simplificaconsiderablemente pues entonces f tambien es continua, y por tantointegrable.

Ejemplo 7. Si una sucesion de funciones integrables f n : [a, b] → R

converge puntualmente a f : [a, b] → R, puede suceder que f no seaintegrable. Por ejemplo, si {r1, r2, . . . , rn, . . .} es una enumeracionde los numeros racionales en [a, b] y definimos f n como la funcionque vale 1 en los puntos r1, r2, . . . , rn y cero en los demas puntos de[a, b], entonces f n converge puntualmente a la funcion f : [a, b] → R

tal que f (x) = 1 s i x ∈ Q ∩ [a, b] y f (x) = 0 s i x es racional.Evidentemente, cada f n es integrable, y sin embargo f no lo es.

Ejemplo 8. Incluso cuando una sucesion de funciones integrablesf n : [a, b] → R converge puntualmente a una funcion integrable

f : [a, b] → R, puede suceder que lımn→∞

ba

f n(x)dx = ba

f (x)dx.

Por ejemplo, para cada n ∈ N, sea f n : [0, 1] → R definida comof n(x) = nxn(1 − xn). Entonces f n(1) = 0 y 0 ≤ f n(x) < nxn si 0 ≤x < 1. Ahora bien, lım

n→∞nxn = 0 si 0 ≤ x < 1. Por tanto f n converge

puntualmente en [0, 1] a la funcion identicamente nula. Ademas 10

f n(x)dx = n2/(n + 1)(2n + 1); por tanto lımn→∞

b0

f n(x)dx = 1/2

y sin embargo 10

f (x)dx = 0.




Para que se verifique que la derivada del lımite sea igual al lımitede las derivadas, en vez de suponer que f n converge uniformemen-te, se tiene que postular que la sucesion de las derivadas converjauniformemente.

Teorema 4. (Derivacion termino a termino). Sea (f n) una sucesi´ on de funciones de clase C 1 en el intervalo [a, b]. Si la sucesi´ on

formada por los n´ umeros (f n(c)) converge para alg´ un c ∈ [a, b] y

las derivadas f ′n convergen uniformemente a una funci´ on g en [a, b],entonces (f n) converge uniformemente a una funci´ on f , de clase C 1,

tal que f ′ = g en [a, b]. En resumen: (lım f n)′ = lım f ′n siempre que

las derivadas f ′n converjan uniformemente.

Demostracion: Por el Teorema Fundamental del Calculo, paracada n ∈ N y todo x ∈ [a, b], tenemos f n(x) = f n(c) +

xc

f ′n(t)dt.Si hacemos n

→ ∞, vemos por el Teorema 3, que existe f (x) =

lımn→∞

f n(x) y que f (x) = f (c) + x

c g(t)dt. Ademas, por el Teorema

1, g es continua, luego (de nuevo por el Teorema Fundamental delCalculo) f es derivable y f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b]. Enparticular, f ′ es continua, esto es, f es de clase C 1. Solo nos faltaprobar que la convergencia f n → f es uniforme. Ahora bien,

|f n(x) − f (x)| ≤ |f n(c) − f (c)| +

xc

|f ′n(t) − g(t)|dt .

Como f ′n → g uniformemente, resulta que f n → f uniformemente.

Ejemplo 9. La sucesion de funciones f n(x) = sen(nx)/n conver-ge uniformemente cero en toda la recta. Sin embargo la sucesi onf ′n(x) = cos(nx) no converge, ni tal siquiera puntualmente, enningun intervalo. (Todo intervalo contiene algun numero de la for-ma x = mπ/p, con m, p enteros, luego cos(nx) alcanza infinitasveces los valores 1 y −1.

En el caso de una serie

f n los teoremas anteriores se formulancomo sigue:

1. Si

f n converge uniformemente a f y cada f n es continua en elpunto a entonces f es continua en el punto a.




2. Si cada termino f n : X → R es una funcion continua tal quef n(x) ≥ 0 para todo x ∈ X , y la serie

f n converge a una

funcion continua f : X → R en el compacto X , entonces laconvergencia es uniforme.

3. Si cada f n : [a, b] → R es integrable y

f n converge uniforme-mente a f : [a, b] → R, entonces f es integrable y

ba

f n(x)dx = b

a f (x)dx.

4. Si cada f n : [a, b] → R es de clase C 1,

f ′n converge uniforme-mente en [a, b] y

f n(c) converge para algun c ∈ [a, b], enton-

ces

f n converge uniformemente a una funcion de clase C 1 y(

f n)′ =

f ′n.

Ejemplo 10. La serie

∞n=0 x2/(1 + x2)n, cuyos terminos son fun-

ciones continuas definidas en toda la recta, converge a la suma 1+ x

2

para todo x = 0. En el punto x = 0 todos los terminos de la serieson nulos, luego la suma es cero. De donde la serie dada convergepuntualmente en toda la recta; sin embargo, la convergencia no esuniforme, pues la suma es una funcion discontinua.

El teorema basico sobre convergencia de series de funciones,enunciado a continuacion, no tiene analogo para sucesiones.

Teorema 5. (Criterio de Weiertrass). Dada la sucesi on de

funciones, f n : X → R, sea

an una serie convergente de n´ umeros

reales an ≥ 0 tales que |f n(x)| ≤ an para todo n ∈ N y xd ∈ X .En estas condicionesm las series

|f n| y

f n son uniformemente

convergentes.

Demostracion: Por el criterio de comparacion, para todo x ∈ X la serie

|f n| (y por tanto la serie

f n) es convergente. Dadoε > 0, existe n0 ∈ N tal que

n>n0

an < ε. Escribiendo

Rn(x) =k>n

|f n(x)| y rn(x) =k>n

f n(x) ,

se tiene inmediatamente que |rn(x)| ≤ Rn(x) ≤ k>n ak < ε paratodo n > n0 luego

|f n| y

f n son uniformemente convergentes.




3. Series de potencias

Las funciones mas importantes del Analisis se pueden escribircomo sumas de series de la forma:

f (x) = ∞n=0

an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + · · · + an(x − x0)n + · · · .

Estas series, que son la generalizacion natural de los polinomios,se llaman series de potencias .

Para simplificar la notacion, preferimos tratar el caso en quex0 = 0, esto es, series de la forma

∞n=0

anxn = a0 + a1x + · · · + anxn + · · · .

El caso general se reduce a este haciendo el cambio de varia-bles y = x − x0. Ası, los resultados que obtengamos para las series

anxn se pueden adaptar facilmente al caso∞

n=0 an(x − x0)n.

La primera propiedad destacable sobre la serie de potencias∞n=0 an(x − x0)n es que el conjunto de valores de x para los que

esta converge es un intervalo centrado en x0. Dicho intervalo puedeser acotado (abierto, cerrado o semiabierto), igual a R, o simple-mente reducirse a un unico punto. Demostraremos esto en breve;antes veamos un ejemplo que ilustra todas estas posibilidades.

Ejemplo 11. Por el criterio de d’Alembert, la serie

xn/n! con-verge para cualquier valor de x. La serie

[(−1)n/(2n + 1)]x2n

converge si, y solo si, x ∈ [−1, 1]. La serie

[(−1)n/n]xn convergesi x ∈ (−1, 1] y diverge fuera de dicho intervalo. El conjunto depuntos x ∈ R para los que la serie geometrica

xn converge es

el intervalo abierto (−1, 1). Finalmente, la serie

nnxn convergeexclusivamente en el punto x = 0.

Dada una serie de potencias

anxn, la localizacion de los pun-tos x donde esta converge se hace mediante el criterio de Cauchy

(Teorema 6, Capıtulo 4), que pone de manifiesto el compartamientode la sucesion ( n

|an|).



Seccion 3 Series de potencias 181

Si la sucesion ( n

|an|) no esta acotada entonces la serie

anxn

converge solamente cuando x = 0. En efecto, para todo x = 0 lasucesion de numeros n

|anxn| = |x| n

|an| no esta acotada, ası que

ocurre los mismo con |anxn|, luego el termino general de la serie

anxn no tiende a cero.

Por otro parte, si la sucesion ( n

|an|) esta acotada entonces el

conjunto:

R = {ρ > 0 : n

|an| < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente grande}

no es vacıo. En realidad, es facil ver que si ρ ∈ R y 0 < x < ρ enton-ces x ∈ R. Luego R es un intervalo del tipo (0, r), (0, r] o (0, +∞),donde r = sup R. El numero r se llama radio de convergencia dela serie

anxn. (Si R no esta acotada convendremos en escribir

r = +

∞).

El radio de convergencia r de la serie de potencias

anxn ve-rifica las siguientes propiedades;

1. Para todo x ∈ (−r, r) la serie

anxn converge absolutamente .En efecto, tomando ρ tal que |x| < ρ < r tenemos n

|an| < 1/ρ,

por consiguiente n

|anxn| = |x| n

|an| < |x|/ρ < 1 para todo

n ∈ N suficientemente grande. Luego, por el criterio de Cauchy,anxn converge absolutamente.

2. Si |x| > r la serie anxn diverge . En efecto, en este caso x /∈ R,

luego no se tiene n |an| < 1/|x| para todo n suficientemente

grande. Esto significa que n

|an| ≥ 1/|x|, y por tanto |anxn| ≥ 1,

para infinitos valores de n. Luego el termino general de la serieanxn no tiende a cero y por tanto la serie diverge.

3. Si x = ±r, en general, no puede afirmarse nada: la serie

anxn

puede ser divergente o convergente, segun los diferentes casos.

4. Si existe L = lımn→∞

n

|an| entonces r = 1/L. (Se sobreentiende

que si L = 0 entonces r = +∞). En efecto, para todo ρ ∈ Rexiste n0

∈N tal que n > n0

⇒ n

|an

|< 1/ρ. Haciendo n

→ ∞obtenemos L ≤ 1/ρ, de donde ρ ≤ 1/L. Se deduce que r =sup R ≤ 1/L. Ahora supongamos, por reduccion al absurdo, quer < 1/L, entonces tomarıamos c tal que r < c < 1/L, de donde




L < 1/c. Por la definicion de lımite tendrıamos n

|an| < 1/c

para todo n suficientemente grande, de donde c ∈ R y ası c ≤ r,que es una contradiccion. Luego r = 1/L.

El analisis que acabamos de hacer se puede resumir como sigue:

Teorema 6. Una serie de potencias

anxn, ´ o converge exclusiva-mente cuando x = 0, ´ o existe r, 0 < r ≤ +∞, tal que la serie con-

verge absolutamente en el intervalo abierto (−r, r) y diverge fuera

del intervalo cerrado [−r, r]. En los extremos −r y r la serie puede

converger o diverger. Si existe L = lım n

|an| entonces r = 1/L. El

n´ umero r se llama radio de convergencia de la serie. Adem´ as, se

tiene 0 < ρ < r ⇔ n

|an| < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente

grande.

Observacion: Del Teorema 7, Capıtulo 4, se deduce que si loscoeficientes an son diferentes de cero y existe lım |an+1|/|an| = L,

entonces el radio de convergencia de la serie

anxn

es r = 1/L.

Teorema 7. Una serie de potencias

anxn converge uniforme-

mente en todo intervalo compacto de la forma [−ρ, ρ], donde 0 <ρ < radio de convergencia.

Demostracion: La serie

anρn es absolutamente convergente y,para todo x ∈ [−ρ, ρ]. se tiene |anxn| ≤ |an|ρn. Del criterio deWeiertrass (Teorema 5) se sigue que la serie

anxn converge uni-

formemente en el intervalo [−ρ, ρ].

Corolario 1. Si r > 0 es el radio de convergencia de la serieanxn, entonces la funcion f : (−r, r) → R, definida mediante

f (x) =

anxn, es continua.

Ejemplo 12. La serie

anxn no es necesariamente uniformementeconvergente en todo el intervalo (−r, r), donde r es el radio de con-vergencia. Esto esta claro en el caso de la serie

xn/n!, que tiene

radio de convergencia infinito, para la cual rn(x) =

k>nxk/k! >

xn+1/(n + 1)! si x es positivo. Dado ε > 0, independiente del nescogido, es imposible que rn(x) < ε para todo x positivo.

Teorema 8. (Integracion termino a termino). Sea r el radio

de convergencia de la serie anxn. Si [α, β ]

⊂(

−r, r) entonces: β

α

anxn

dx =

ann + 1

(β n+1 − αn+1) .



Seccion 3 Series de potencias 183

Demostracion: La convergencia de

anxn es uniforme en el in-tervalo [α, β ], pues si escribimos ρ = max{|α|, |β |} < r tendremos[α, β ] ⊂ [−ρ, ρ]. Luego, por el Teorema 3, podemos integrar terminoa termino.

Teorema 9. (Derivacion a termino a termino). Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias

anxn. La funci´ on f :

(−r, r) → R, definida como f (x) =

anxn, es derivable y f ′(x) =∞n=1 nanxn−1; adem´ as la serie de potencias f ′(x) tambien tiene

radio de convergencia r.

Demostracion: Sea r′ el radio de convergencia de la serie

n≥1 nanxn−1,que converge si, y solo si, x

nanxn−1 =

nanxn converge. Luego

r′ tambien es el radio de convergencia de esta ultima serie. Abrevia-mos la expresion “para todo n suficientemente grande” escribiendo“n ≫ 1”. Si 0 < ρ < r entonces, tomando c con 0 < ρ < c < r, tene-

mos n |an| < 1/c, n ≫ 1. Por otra parte, como lım

n

√ n = 1 entoncesn

√ n < c/ρ, n ≫ 1. Multiplicando las dos ultimas desigualdades se

tiene n

|an| < 1/ρ, n ≫ 1. Por tanto, 0 < ρ < r ⇒ 0 < ρ < r′. Co-

mo es obvio que 0 < ρ < r ′ ⇒ 0 < ρ < r, concluimos que r = r′. Ası,las serie de potencias

n≥0 anxn y

n≥1 nanxn−1 tienen el mismo

radio de convergencia. Dado cualquier x ∈ (−r, r) tomamos ρ talque |x| < ρ < r. Ambos series son uniformemente convergentes en[−ρ, ρ] luego, por el Teorema 4, tenemos f ′(x) =

n≥1 nanxn−1.

Corolario 1. Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias

anxn. La funcion f : (

−r, r)

→ R, definida mediante f (x) =

anxn, es de clase C ∞. Ademas para cualesquiera x ∈ (−r, r) yk ∈ N se tiene

f (k)(x) =n≥k

n(n − 1) · · · (n − k + 1)anxn−k .

En particular, ak = f (k)(0)/k!.

Por tanto, a0 + a1x + · · · + anxn es el polinomio de Taylor deorden n de la funcion f (x) =

anxn en un entorno del punto

x = 0.

Corolario 2. (Unicidad de la representacion en serie de po-tencias). Sean

anxn y

bnxn series de potencias convergentes

en el intervalo (−r, r) y X ⊂ (−r, r) un conjunto que tiene al 0




como punto de acumulaci´ on. Si

anxn =

bnxn para todo x ∈ X entonces an = bn para todo n ≥ 0.

En efecto, las hipotesis nos aseguran que las funciones f, g :(

−r, r)

→ R, definidas como f (x) = anxn y g(x) = bnxn,

tienen las mismas derivadas, f (n)(0) = g(n)(0), n = 0, 1, 2, . . .. Luegoan = f (n)(0)/n! = g(n)(0)/n! = bn.

4. Series trigonometricas

Demostraremos ahora, sucintamente, como se pueden definir deforma precisa las funciones trigonometricas sin apelar a la intuiciongeometrica.

Las series de potencias:

c(x) =

∞n=0

(−

1)n

(2n)! x2n

y s(x) =

∞n=0

(−

1)n

(2n + 1)! x2n+1

tienen radio de convergencia inifinita, luego definen funciones c :R → R y s : R → R, ambas de clase C ∞.

Es inmediato que c(0) = 1, s(0) = 0, c(−x) = c(x) y s(−x) =−s(x). Derivando termino a termino, se tiene s′(x) = c(x) y c′(x) =−s(x).

La derivada de la funcion f (x) = c(x)2 + s(x)2 es

2cc′ + 2ss′ = −2cs + 2cs = 0 ,

luego es constante. Como f (0) = 1, concluimos que c(x)2+s(x)2 = 1para todo x ∈ R.

De forma analoga se prueban las formulas de la suma:

s(x + y) = s(x)c(y) + s(y)c(x) ,

yc(x + y) = c(x)c(y)

−s(x)s(y) .

Para esto basta fijar y ∈ R y definir las funciones f (x) =s(x+y)−s(x)c(y)−c(x)s(y) y g(x) = c(x+y)−c(x)c(y)+s(x)s(y).







Seccion 5 Series de Taylor 187

Si queremos obtener desarrollos finitos podemos escribir, respec-tivamente,

1

1 − x = 1 + x + · · · + xn +

xn+1

1 − x, x = 1,

11 + x

= 1 − x + · · · + (−1)nxn + (−1)n+1x

n+1

1 + x , x = −1,

1

1 + x2 = 1 − x2 + · · · + (−1)nx2n +

(−1)n+1x2n+2

1 + x2 , x ∈ R .

En cada una de estas expresiones el ultimo sumando es el restode la formula de Taylor. En efecto, si llamamos, respectivamente,r, s y t a estos restos vemos facilmente que

lımx→0

r(x)

xn = lım

x→0

s(x)

xn = lım

x→0

t(x)

xn = 0 .

3. Funcion exponencial

La serie∞

n=0 xn/n! converge para todo x ∈ R, luego la funcionf : R → R, definida como f (x) =

∞n=0 xn/n!, es de clase C ∞.

Derivando termino a termino vemos que f ′(x) = f (x). Como f (0) =1, del Teorema 17, Capıtulo 9, se concluye que f (x) = ex para todox ∈ R. Por tanto:

ex = 1 + x + x2

2 +

x3

3! + · · ·

es la serie de Taylor de la funcion exponencial en el punto x = 0.

4. Funcion logaritmo

Como la funcion logaritmo no tiene sentido cuando x = 0, con-sideraremos la funcion log(1 + x), definida para todo x > −1. Pordefinicion, log(1+ x) =

x0 dt/(1 + t). Integrando termino a termino

la serie de Taylor de 1/(1 + x), que acabamos de ver, obtenemos:

log(1 + x) = x − x2

2 +

x3

3 − x4

4 + · · · =

∞n=1

(−1)n+1xn

n ,

la serie de Taylor de log(1 + x), que es convergente en el intervaloabierto (−1, 1), pues su radio de convergencia es 1. Por el Teo-rema de Leibniz (Teorema 3, Capıtulo 4) se tiene que esta serie




converge tambien para x = 1 (sin embargo diverge para x = −1).Serıa interesante saber si la funcion f : (−1, 1] → R, definida co-mo f (x) =

n≥1(−1)n+1xn/n, que coincide con log(1 + x) cuando

|x| < 1, tambien coincide con log(1 + x) en el punto x = 1. Estoes verdad, como veremos a continuacion. En efecto, si integramos

termino a termino el desarrollo finito de 1/(1 + x) visto anterior-mente, obtenemos (llegando hasta el orden n en vez de n + 1):

log(1 + x) = x − x2

2 +

x3

3 − · · · + (−1)n

xn

n + rn(x) ,

donde

rn(x) = (−1)n x0

tn

1 + tdt .

Para x = 1, tenemos |rn(x)| ≤ 10

tndt = 1n+1

.Por tanto, lım

n→∞rn(1) = 0. De donde

log 2 = 1 − 1

2 +

1

3 − · · · +

(−1)n

n + · · · .

Esta es una expresion interesante de log 2 como suma de una seriealternada que demuestra que la serie de Taylor

∞n=1(−1)n+1xn/n

representa log(1 + x) en el intervalo (−1, 1].

5. Funcion arctan x

De los cursos de Calculo es conocido que la funcion tan : (−

π

2, π2

)→R es una biyeccion de clase C ∞ con derivada positiva, y que su in-

versa arctan : R → (−π/2, π/2) tiene derivada igual a 1/(1 + x2),para todo x ∈ R. El desarrollo de tan x en serie de Taylor es com-plicado, mientras que el de arctan x es bastante simple; por esopasamos a exponerlo. Tenemos que arctan x =

x0 dt/(1 + t2), para

todo x ∈ R. Cuando |x| < 1, podemos integrar termino a termino eldesarrollo de Taylor de 1/(1 + x2) visto anteriormente, obteniendo:

arctan x = x− x3

3 +

x5

5 −· · ·+(−1)n

x2n+1

2n + 1+· · · =

∞n=0

(−1)n x2n+1

2n + 1.

Este argumento (integracion termino a termino) nos garantiza lavalidez de esta igualdad cuando −1 < x < 1. Sucede que la serie en



Seccion 5 Ejercicios 189

cuestion tambien converge en los puntos x = 1 y x = −1. Por tanto,es natural esperar que el desarrollo de arctan x en serie de Taylorvalga en todo el intervalo cerrado [−1, 1]. Para ver esto integramosel desarrollo finito de 1/(1 + x2), obteniendo:

arctan x = x − x3

3 + x5

5 − · · · + (−1)n−1 x2n−1

2n − 1 + rn(x) ,

donde rn(x) = (−1)n x0

t2n

1+t2dt.

Para todo x ∈ [−1, 1] tenemos

|rn(x)| ≤ |x|0

t2ndt = |x|2n+1

2n + 1 ≤ 1

2n + 1 ,

luego lımn→∞

rn(x) = 0, por tanto vale la igualdad:

arctan x = ∞n=0

(−1)n x2n+1

2n + 1

para todo x ∈ [−1, 1]. En particular, para x = 1, obtenemos laformula de Leibniz:

π

4 = 1 − 1

3 +

1

5 − 1

7 + · .

5. Ejercicios

Seccion 1: Convergencia puntual y Convergencia uniforme1. Demuestre que la sucesion de funciones f n : [0, +∞) → R,

dadas por f n(x) = xn/(1 + xn) converge puntualmente. De-termine la funcion lımite y demuestre que la convergencia noes uniforme.

2. Pruebe que la sucesion del ejercicio anterior converge uni-formemente en todos los intervalos de la forma [0, 1 − δ ] y[1 + δ, ∞); 0 < δ < 1.

3. Pruebe que la serie ∞n=1 xn(1

−xn) converge cuando x per-

tenece al intervalo (−1, 1]. Ademas la convergencia es unifor-me en todos los intervalos de la forma [−1 + δ, 1 − δ ], donde0 < δ < 1/2.



190 Sucesiones y series de funciones Cap. 12

4. Pruebe que para que una sucesion de funciones f n : X → R

sea uniformemente convergente es necesario y suficiente que,para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |f m(x) −f n(x)| < ε para cualquier x ∈ X . (Criterio de Cauchy).

5. Si la sucesion de funciones f n : X → R converge uniforme-mente a f : X → R, pruebe que f esta acotada si, y solo si,existen K > 0 y n0 ∈ N tales que n > n0 ⇒ |f n(x)| ≤ K paratodo x ∈ X .

6. Si la sucesion de funciones f n : X → R es tal que f 1 ≥ f 2 ≥· · · ≥ f n ≥ · · · y f n → 0 uniformemente en X , pruebe que laserie

(−1)nf n converge uniformemente en X .

7. Si |f n(x)| es uniformemente convergente en X , pruebe que

f n(x) tambien lo es.

Seccion 2: Propiedades de la convergencia uniforme

1. Si f n → f y gn → g uniformemente en el conjunto X , pruebeque f n+gn → f +g uniformemente en X . Pruebe tambien quesi f y g estan acotadas entonces f n ·gn → f ·g uniformementeen X . Finalmente, si existe c > 0 tal que |g(x)| ≥ c para todox ∈ X , pruebe que 1/gn → 1/g uniformemente en X .

2. Sea p : R → R un polinomio de grado ≥ 1. Demuestre quela sucesion de funciones f n : R → R, dadas por f n(x) =

p(x) + 1/n, converge uniformemente a p en R; sin embargo(f 2n) no converge uniformemente a p2.

3. Considere la sucesion de funciones f n : [0, 1] → R, dondef n(x) = sen(nx)/

√ n. Pruebe que (f n) converge uniformemen-

te a 0, pero que la sucesion de las derivadas f ′n no convergeen ningun punto del intervalo [0, 1].

4. Demuestre que la sucesion de funciones gn(x) = x + xn/nconverge uniformemente en el intervalo [0, 1] a una funcionderivable g y que la sucesion de derivadas g′n converge pun-tualmente en [0, 1]: sin embargo, g ′ no es igual a lım g′n.

5. Sea g : Y → R uniformemente continua. Si la sucesion defunciones f N : X → R converge uniformemente a f , con



Seccion 5 Ejercicios 191

f (X ) ⊂ Y y f n(X ) ⊂ Y para todo n ∈ N, pruebe que g◦f n →g◦f uniformemente en X . Analice tambien el caso mas sencillof n ◦ g → f ◦ g.

6. Sean X compacto, U abierto y f : X

→ R continua tal que

f (X ) ⊂ U . Pruebe que si una sucesion de funciones f n : X →R converge uniformemente a f , entonces existe n0 tal quen > n0 ⇒ f n(X ) ⊂ Y .

7. Si una sucesion de funciones continuas f n : X → R es unifor-memente convergente en un conjunto denso D ⊂ X , pruebeque (f n) converge uniformemente en X .

8. La sucesion de funciones f n : [0, 1] → R, f n(x) = nx(1 − x)n,converge, pero no uniformemente. Demuestre que, no obstan-te, se tiene:

10

lımn→∞ f n

= lım

n→∞ 10

f n .

9. Dada una sucesion de funciones f n : X → R, suponga queexiste c ∈ R tal que n

|f n(x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X

y n ∈ N suficientemente grande. Pruebe que |f n| y

f n

convergen uniformemente en X .

10. En el ejercicio anterior suponga que f n(x) = 0 para todon ∈ N y x ∈ X y, en vez de n

|f n(x)| ≤ c < 1, suponga que

|f n+1(x)/f n(x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X y n suficientementegrande. Obtenga la misma conclusion.

Seccion 3: Series de potencias

1. Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias

an(x−x0)n. Pruebe que si r ∈ R+ entonces r = 1/L, donde L es elmayor valor de adherencia de la sucesion acotada ( n

|an|).

Por tanto, r = 1/(lım sup n

√ an).

2. Pruebe que si lım n

|an| = L entonces la series de potencias

∞

n=0

anx2n y∞

n=0

anx2n+1

tiene radio de convergencia igual a 1/√

L.



192 Sucesiones y series de funciones Cap. 12

3. Determine el radio de convergencia de las siguientes series:

an

2

xn,

a√ nxn y

n

logn

n xn .

4. Pruebe que la funcion f : (−r, r) → R

, dada por f (x) =∞

n=0 anxn, donde r es el radio de convergencia de la serie, esuna funcion par (respectivamente, impar) si, y solo si, an = 0para todo n impar (respectivamente, par). (Ver Ejercicio 2.4,Cap. 8).

5. Sea∞

n=0 anxn una serie de potencias cuyos coeficientes estandeterminados por las igualdades a0 = a1 = 1 y an+1 = an +an−1. Demuestre que el radio de convergencia de dicha seriees igual a (−1 +

√ 5)/2.

6. Pruebe que la funcion

f (x) =∞n=0

(−1)n 1

(n!)2

x

2

2n

esta bien definida para todo x ∈ R y que f ′′ + f ′

x + f = 0

para todo x = 0.

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