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MATEMATICAS PARA EL

ANLISIS ECONMICO

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MATEMATICAS PARA EL

ANLISIS ECONMICO

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" MATEMATICAS PARA EL

ANLISIS ECONMICO

Knut fu:!lsaeter University olOslo

Peter Hammond Stanlord u niversity

CJB F.SPOl~

Traduccin: Manuel Jess Soto Prieto

Jos Luis Vicente Crdoba Universidad de Sevilla

Revisin tcnica: Emilio Cerd Tena

Universidad Complutense de Madrid

Xavier Martnez Guiralt Universidad Autnoma de Barcelona

PRENTICE HALL CID. J!:SPOt

Madrid e Upper Saddle River e Londres e Mxico e Nueva Delhi Ro de Janeiro e Singapur e Sydney e Tokio e Toronto

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/ datos de catalogacin bibliogrfica

SYDSAETER, K. Y HAMMOND, P. Matemticas para el anlisis econmico PRENTICE HALL,Madrid,1996

ISBN: 0-13-240615-2 MATERIA:

Matemticas 51 Economa en general 33 CDU 51.7

Formato: 200 x 250nun Pginas 796

KNUT SYDSAETER & PETER HAMMOND Matemticas para el anlisis econmico

No esta permitida la reproduccin total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisin por cualquier medio o mtodo sin autorizacin escrita de la Editorial.

DERECHOS RESERVADOS 1996 respecto a la primera edicin en espaol por: P R E N TIC E H A L L International (UK) Ltd. Campus 400, Maylands Avenue Heme! Hempstead Hertfordshire, HP2 7EZ Simon & Schuster International A Viacom Company

ISBN: 0-13-240615-2 Depsito legal: M. 9.651-1998 1. reimpresin, 1998

Traducido de: MATHEMATICS FOR ECONOMIC ANALYSIS. P R E N TIC E H A L L , INC.- Simon & Schuster International A Viacom Company Copyright MCMXCV ISBN: 0-13-583600-X

Edicin en espaol: Editor: Andrs Otero Diseo de cubierta: Diseo y Comunicacin Visual Composicin: Manuel Jess Soto Impreso por: Fareso S.A.

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAlN

Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos

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MATEMATICAS PARA EL

ANLISIS ECONMICO

A nuestras esposas internacionales, Gull-Maj y Mrudula, cuyas prontas sonrisas nos ayudan tanto.

Contenid~s

Prlogo xvii

1 _____ _ Introduccin 1 1.1 Por qu los economistas usan las matemticas 1 1.2 El mtodo cientfico en las ciencias empricas 3 1.3 El uso de los smbolos en matemticas 5 1.4 El sistema de los nmeros reales 9 1.5 Algunos aspectos de lgica 15 1.6 Demostracin matemtica 21 1.7 Teora de conjuntos 23

2 ____ _ Funciones de una variable: introduccin 30 2.1 Introduccin 30 2.2 Funciones de una variable real 32 2.3 Grficas 37 2.4 Grficas de funciones 43 2.5 Funciones lineales 46

3 _____ _ Polinomios, potencias y exponenciales 58 3.1 Funciones cuadrticas 58 3.2 Ejemplos de problemas de optimizacin cuadrtica 62

CID. ESPOL

ix

X Contenidos

3.3 Polinomios 64 3.4 Funciones potenciales 69 3.5 Funciones exponenciales 75 3.6 El concepto general de funcin 79

4 _____ _ Clculo diferencial de una variable 83 4.1 Pendientes de curvas 83 4.2 La pendiente de la tangente y la derivada 85 4.3 Tasas de variacin y su significado econmico 90 4.4 Una pincelada sobre lmites 93 4.5 Reglas sencillas de derivacin 100 4.6 Derivacin de sumas, productos y cocientes 104 4.7 Derivadas de segundo orden y de orden superior 111

5 _____ _ Ms sobre derivacin 114 5.1 La Regla generalizada de la potencia 114 5.2 Funciones compuestas y regla de la cadena 117 5.3 Derivacin implcita 122 5.4 Aproximaciones lineales y diferenciales 128 5.5 Aproximaciones polinmicas 132 5.6 Elasticidades 135

_,_6 _____ _ Lmites, continuidad y series 139 6.1 Lmites 140 6.2 Continuidad 146 6.3 Continuidad y derivabilidad 151 6.4 Sucesiones Infinitas 153 6.5 Series 155 6.6 Valor actual descontado e inversin 161 6.7 Un estudio riguroso de los lmites (opcional) 164

Contenidos xl

. 7 _____ _ Consecuencias de la continuidad y de la derivabilidad 169 7.1 El teorema del valor intermedio 170 7.2 El teorema de los valores extremos 172 7.3 El teorema del valor medio 175 7.4 Frmula de Taylor 179 7.5 Formas indeterminadas y regla de 1 'Hpital 184 7.6 Funciones inversas 187

8 ____ _ Funciones exponenciales y logartmicas 196 8.1 La funcin exponencial natural 196 8.2 La funcin logartmica natural 200 8.3 Generalizaciones 209 8.4 Aplicaciones de exponenciales y logaritmos 214 8.5 Inters compuesto. Valores actuales descontados 220

"'--9 _______ / Optimizacin en una variable 224 9.1 Definiciones bsicas 224 9.2 El test de la derivada primera para los puntos ptimos 226 9.3 Maneras alternativas de hallar mximos y mnimos 230 9.4 Mximos y mnimos locales 234 9.5 Funciones convexas y cncavas y puntos de inflexin 241 9.6 Ms sobre funciones cncavas y convexas 250

-10 ___ _ Integracin 256 10.1 reas bajo curvas 257 10.2 Integrales indefinidas 261 10.3 La integral defiriida 266 10.4 Aplicaciones econmicas de la integracin 272

xii Contenidos

11 ___ _ Otros temas de integracin 279 11.1 Integracin por partes 279 11.2 Integracin por sustitucin 283 11.3 Extensin del concepto de integral 288 11.4 Una nota sobre distribucin de rentas y curvas de Lorenz 296

_12 ___ _ lgebra lineal: vectores y matrices 300 12.1 Sistemas de ecuaciones lineales 301 12.2 Vectores 304 12.3 Interpretaciones geomtricas de los vectores 308 12.4 El producto escalar 311 12.5 Rectas y planos 317 12.6 Matrices y operaciones con matrices 320 12.7 Multiplicacin de matrices 323 12.8 Reglas para la multiplicacin de matrices 327 12.9 La traspuesta 332

- 13 ____ _ Determinantes y matrices inversas 336 13.1 Determinantes de orden 2 336 13.2 Determinantes de orden 3 339 13.3 Determinantes de orden n 343 13.4 Reglas bsicas para los determinantes 346 13.5 Desarrollo por adjuntos 351 13.6 La inversa de una matriz 354 13.7 Una frmula general para la inversa 360 13.8 Regla de Cramer 364

'14 ___ _ Otros temas de lgebra lineal 367 14.1 Independencia lineal 367 14.2 El rango de una matriz 372 14.3 Resultados principales sobre sistemas de ecuaciones lineales 375

14.4 Autovalores 380 14.5 Diagonalizacin 385 14.6 El teorema espectral para las matrices simtricas 388

15 ____ _ Funciones de varias variables 390 15.1 Funciones de dos o ms variables 390

Contenidos xiii

15.2 Representacin geomtrica de las funciones de varias variables 395 15.3 Derivadas parciales en dos variables 401 15.4 Derivadas parciales y planos tangentes 406 15.5 Derivadas parciales de funciones de varias variables 409 15.6 Derivadas parciales en economa 412 15.7 Modelos lineales con objetivos cuadrticos 415 15.8 Formas cuadrticas en dos variables 420 15.9 Formas cuadrticas en varias variables 423

-16 ____ _ Tcnicas de esttica comparativa 429 16.1 La regla de la cadena 429 16.2 Generalizaciones de la regla de la cadena 435 16.3 Derivadas de funciones definidas implcitamente 440 16.4 Elasticidades parciales 447 16.5 Funciones homogneas de dos variables 451 16.6 Funciones homogneas generales y funciones homotticas 455 16.7 Ms sobre derivacin implcita 460 16.8 Aproximaciones lineales y diferenciales 462 16.9 Sistemas de ecuaciones 467 16.10 El teorema de la funcin im.plcita (opcional) 473

17 ___ _ Optimizacin en varias variables 475 17.1 Optimizacin en dos variables 476 17.2 Mximos y mnimos con nociones de Topologa 480 17.3 El teorema de los valores extremos y cmo usarlo 483 17.4 Puntos ptimos locales 488

xlv Contenidos

17.5 Conjuntos convexos 494 17.6 Funciones cncavas y convexas 496 17.7 Condiciones tiles de concavidad y convexidad 502 17.8 Tests de la derivada segunda para concavidad y convexidad: El caso de dos

variables 505 17.9 Tests de la segunda derivada para concavidad y convexidad: El caso de n

variables 509 17.10 Funciones cuasi cncavas y cuasiconvexas 513

* 18 ____ _ Optimizacin restringida 520 18.1 Dos variables y una restriccin de igualdad 521 18.2 El mtodo de los multiplicadores de Lagrange 523 18.3 Demostracin analtica del mtodo lagrangiano (opcional) 530 18.4 Condiciones suficientes 532 18.5 Problemas lagrangianos ms generales 535 18.6 Interpretaciones econmicas de los multiplicadores de Lagrange 539 18.7 Resultados sobre envolventes 542 18.8 Programacin no lineal: Una gua informal 544 18.9 Ms sobre programacin no lineal (opcional) 552 18.10 Resultados precisos (opcional) 558

==19 ___ _ Programacin lineal 563 19.1 Preliminares 563 19.2 Introduccin a la teora de la dualidad 569 19.3 El teorema de dualidad 572 19.4 Una interpretacin econmica general 575 19.5 Holgura complementaria 576

20 ___ _ Ecuaciones en diferencias 583 20.1 Ecuaciones en diferencias de primer orden 583 20.2 Inters compuesto y valor actual descontado 591 20.3 Ecuaciones lineales cQn coeficientes variables 593 20.4 Ecuaciones de segundo orden 5?5

20.5 Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 600

21 ____ _ Ecuaciones diferenciales 607 21.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 607 21.3 Hallar el camino conociendo la direccin 610 21.3 Ecuaciones diferenciales de variables separables I 611 21.4 Ecuaciones diferenciales de variables separables 11 616 21.5 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden I 620 21.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 11 624 21. 7 Teora cualitativa y estabilidad 626 21.8 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 631 21.9 Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes 634

==A _____ _ lgebra elemental 641 A.1 Potencias 641 A.2 Races cuadradas 646 A.3 Reglas algebraicas 648 AA Factorizaciones 651 A.5 Fracciones 654 A.6 Ecuaciones sencillas y cmo resolverlas 659 A.7 Desigualdades 662 A.8 Ecuaciones cuadrtias o de segundo grado 667 A.9 Dos ecuaciones con dos incgnitas 672

-B _____ _ Sumas, productos e induccin 675 B.1 Notacin sumatoria 675 B.2 Reglas de las sumas 679 B.3 Sumas dobles 684 B A Productos 686 B.5 Induccin 687

Contenidos XV

xvi Contenidos

c ____ _ Funciones trigonomtricas 690 C.l Definiciones y resultados bsicos 690 C.2 Derivadas de las funciones trigonomtricas 696 C.3 Nmeros complejos 701

==D _____ _ Geometra 705

Soluciones a los problemas impares 708

Bibliografa 765.

ndice analtico 767

Prlogo

Propsito del libro Los estudiantes de economa de hoy necesitan diversas herramientas matemticas importantes. Entre otras, son necesarias el clculo para funciones de una y varias variables, as como unos conocimien-tos bsicos de los problemas de optimizacin en varias variables, con restricciones o sin ellas. El lgebra lineal se usa en teora econmica y ms extensamente en econometra. Todas estas tcnicas son tiles, y hasta esenciales, para los cursos superiores de economa, como economa del trabajo, organizacin industrial y finanzas pblicas. Los estudiantes de otras ramas, como la economa del desarrollo y del medio ambiente, en las cuales hay que considerar la evolucin de un sistema econ-mico a lo largo del tiempo, pueden sacar un enorme partido de la teora de ecuaciones diferenciales y en diferencias.

La experiencia indica que bastantes profesores de estas reas de la economa suelen asignar como trabajo a los estudiantes la lectura de artculos recientemente publicados. As ven que, en general, la base matemtica de los estudiantes no es adecuada para entender incluso los trabajos menos tcnicos de este tipo. Incluso estudiantes que hayan realizado con aprovechamiento cursos intermedios en micro y macro--economa han utilizado poco clculo, si es que lo han utilizado. En general, los conocimientos de clculo que tienen los estudiantes de economa provienen, bien de la enseanza media, bien de cursos impartidos por los departamentos de matemticas de sus propias Facultades durante los primeros aos. Estos conocimientos no suelen sobrepasar la barrera de las funciones de una variable y, en general, se han adquirido per se, sin ver aplicaciones al campo de la economa.

El propsito de este libro es ayudar a los estudiantes a adquirir las habilidades matemticas que necesitan para leer los artculos de economa menos tcnicos, al menos, y as ser capaces de desempear una labor de economistas o de analistas financieros en el mundo contemporneo. Como el ttulo del libro indica, se trata de un libro de matemticas, en el cual el material est ordenado de tal manera que los conocimientos se van adquiriendo progresivamente. Si, al mismo tiempo, el estudiante adquiere algunas intuiciones o tcnicas econmicas muy elementales, tanto mejor. A veces damos importancia a lo econmico no solamente para motivar un tema matemtico, sino para ayudar a tener una intuicin matemtica. Obviamente, para entender los ejemplos econmicos que aqu se exponen, ser bueno que el estudiante tenga un cierto conocimiento rudimentario de economa y de lo que sta trata. Sin embargo, es posible estudiar este libro antes de embarcarse en estudios de economa propiamente dichos.

ste no es un libro sobre economa ni sobre economa matemtica. Esperamos que los estudian-tes aprendan teora econmica, de forma sistemtica, en otros cursos. Consideraremos que habremos

xvii

xviii Prlogo

tenido xito cuando estos estudiantes se puedan concentrar en la parte puramente econmica de dichos cursos, sin preocuparse de las matemticas subyacentes, que ya hayan aprendido aqu.

Caractersticas especiales Desde luego que ste no es el primer texto del mundo escrito con el propsito que acabamos de indicar. Pero creemos que una parte de su originalidad radica en cmo se ha organizado el material que contiene. Uno de los autores (Sydsreter) es profesor de matemticas en un departamento de eco-noma. Tiene muchos aos de experiencia enseando a estudiantes materias de este tipo en Noruega, y gran parte del contenido de este libro est basado y traducido de sus libros de texto, escritos en noruego, que han sido utilizados ampliamente en Escandinavia. El otro autor (Harnmond) ha inves-tigado y enseado teora econmica a ambos lados del Atlntico, y tiene una larga experiencia en la utilizacin de variadas tcnicas matemticas en el anlisis econmico. Tambin ha explicado cur-sos de matemticas para economistas, durante varios aos, en el departamento de economa de la Universidad de Stanford.

A lo largo de todos estos aos hemos reunido un cierto nmero de ejemplos resueltos, as como problemas para proponer a los estudiantes. Incluimos en el libro una amplia seleccin de ellos. Somos conscientes de que nosotros mismos aprendimos bastante del material que incluimos a base de ejemplos y problemas. El hecho de que los libros de texto contengan un gran nmero de problemas es clsico para libros de matemticas, pero quizs no tanto en los de matemticas para economistas. Este libro contiene las soluciones de los problemas con nmeros impares. Las otras se pueden encontrar en otro libro, Instructor's Manual.!

Hay otro aspecto de los problemas que merece la pena destacar. Aparentemente algunos de ellos contienen un exceso de notacin. Por ejemplo, una expresin del tipo Anoab se podra sustituir simplemente por una constante c. Pero el punto importante de estos problemas es el ensear al estudiante a ver cundo se pueden hacer esas sustituciones y para qu sirven. Adems, en muchos de los casos, la notacin de esos problemas est tomada de artculos publicados de economa.

Temas estudiados Hemos incluido una gran parte de material elemental en los primeros captulos del libro, as como en los apndices. La experiencia indica que es muy difcil empezar un libro como ste a un nivel que sea realmente demasiado elemental. Hoy da, los estudiantes que ingresan en nuestras Facultades de Econmicas tienen una amplia cantidad de conocimientos bsicos y tcnicas matemticas, desde unas reglas algebraicas elementales hasta una cierta facilidad para el clculo con funciones de una variable. Sin embargo, hemos credo necesario incluir estos temas introductorios para que sirvan para refrescar conocimientos a aquellos estudiantes que los tengan ms flojos, de tal manera que todos pueden incorporarse al estudio del ncleo del libro. De nuevo esto viene motivado por la necesidad creciente de tcnicas matemticas en cursos avanzados de economa.

Hemos incluido en el Instructor' s Manual algn material para tests, con la finalidad de que estudiantes y profesores. puedan comprobar la marcha del curso. El profesor ajustar el punto de partida y el ritmo a la situacin particular de sus estudiantes. Pero es ms importante que quien estudia pueda ver por s mismo sus particulares puntos fuertes y dbiles, sobre todo para pedir ayuda para salvar stos. As es probable que los primeros captulos sean de ms utilidad a los estudiantes menos aventajados. Adems, la gran cantidad de ejemplos econmico,s, como los problemas de optimizacin cuadrtica del Captulo 3, se ponen para motivar a los estudiantes que hayan podido encontrar tedioso estas materias en el pasado.

1 N. del T. No traducido al espaiol en el momento de la publicacin de este libro

Prlogo xix

Despus del material introductorio en los Captulos 1 a 3 viene un tratamiento sencillo del clculo en una variable, contenido en los Captulos 4 a 11. Creemos que este es la materia que debe contener un curso elemental de este tipo. Luego viene el lgebra lineal (Captulos 12 a 14), clculo en varias variables (Captulos 15 y 16), teora de la optimizacin (Captulos 17 a 19) y ecuaciones en diferencias y diferenciales (Captulos 20 y 21), como materias importantes en economa. En un cierto sentido los captulos 12 a 21 son el ncleo del libro, la primera parte del cual es el lgebra lineal. Las personas que tengan una buena base de clculo en una variable casi pueden empezar aqu. De los primeros once captulos necesitarn solamente revisar rpidamente algunos temas especiales no tratados en los cursos estndar de clculo.

La ordenacin de los captulos tiene su lgica, aunque hay algunas otras posibilidades. Por ejemplo, se podra haber puesto el Captulo 19 (sobre programacin lineal) antes del 14, o incluso del 13 (sobre lgebra lineal). En este caso las referencias al teorema de Kuhn-Tucker tendran que ser pospuestas hasta despus del Captulo 18. Tambin es posible que algunos profesores no quieran detenerse mucho en la integracin, especialmente en el Captulo 11, Y que la falta de tiempo impida estudiar los ltimos captulos.

Conceptos y tcnicas clave Las personas menos ambiciosas pueden querer concentrarse en aprender justo lo esencial de cada captulo. Por eso se han enmarcado estos puntos en el texto, para resaltar su importancia. Los pro-blemas son esenciales para la comprensin de los conceptos, y se deben hacer los ms elementales. Las personas con ms ambiciones, o las dirigidas por profesores ms exigentes, deben intentar los problemas ms avanzados. Tambin pueden estudiar las secciones opcionales o el material en letra pequea. Este ltimo proporciona explicaciones de por qu ciertas tcnicas son adecuadas, o es una demostracin de un resultado. Siempre que sea posible, el estudiante debe saber por qu son ciertos los resultados y por qu hay que intentar resolver los problemas de una cierta forma; por eso hemos incluido explicaciones a nivel adecuado. Somos conscientes de que, aunque slo una minora de estudiantes comprender el libro en su totalidad, los otros pueden estar interesados en adquirir una cierta intuicin de las matemticas que estudian.

Otra razn para incluir en el libro este tipo de material es que este texto puede servir de base para que profesores de departamentos de matemticas que quieran dar cursos, o partes de cursos, especializados en aplicaciones a la economa. Adems, si comparamos este libro con lo estndar para clculo en algunos departamentos de matemticas aplicadas, vemos que nosotros damos ms explicaciones y demostraciones.

Agradecimientos Nancy Ralbin ley cuidadosamente la versin preliminar e hizo una buena cantidad de observaciones valiosas. Ella tambin nos ha ayudado a corregir algunos errores embarazosos.

Ame Strjijm nos ha ayudado de muchas formas con los macros de TEX, con las figuras, y con sus comentarios sustanciosos sobre el material.

Anders Rjijyer Berg ha comprobado las soluciones a la mayora de los problemas y ha sugerido varias correcciones al texto.

Anders Fyhn ha hecho la mayora de las figuras usando MG (Mathematical Graphics System, de Israel y Adams).

Agradecemos a Thorsten Rens, Uday Rajan, Mario Epelbaum, Susan Snyder y Reinhart John sus valiosas sugerencias que provienen de su experiencia de impartir cursos en Stanford y en Alema-nia usando versiones preliminares de este libro.

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XX Prlogo

El Instituto de Economa de la Universidad de Oslo y los Departamentos de Economa del Ins-tituto Universitario de Florencia y de la Universidad de Stanford han acogido a los autores. Nuestro trabajo ha sido ms fcil gracias a la ayuda econmica prestada por el Instituto de Economa de la Universidad de Oslo, el Instituto Universitario de Florencia y la Fundacin Alexander von Humboldt.

Vaya nuestro agradecimiento a estas personas e instituciones as como a todas las que nos han ayudado a que este libro sea una realidad.

Peter Hammond y Knut Sydsteter

Kiel y Oslo, Febrero de 1994

N. del T. La traduccin al espaol ha sido realizada en la Universidad de Sevilla, en la primavera de 1996

..

1 Introduccin

El mundo econmico es una regin nebulosa. Los primeros exploradores usaron visin no asistida.

La Matemtica es elfaro mediante el cual lo que antes se vea tenue ahora surge con trazos firmes y marcados.

La viejafantasmagor(a1 desaparece. Vemos mejor. Tambin es mayor el alcance de nuestra visin.

-lrving Fisher (1892)

1.1 POR QU LOS ECONOMISTAS USAN LAS MATEMTICAS La actividad econmica ha sido parte integrante de la vida humana durante miles de aos. La misma palabra "economa" viene del griego clsico y significa "gestin domstica". Incluso antes de los griegos, haba vendedores y mercaderes que mostraban comprensin de ciertos fenmenos econmicos. Por ejemplo, saban que una cosecha pobre implicaba un aumento de precio del maz, pero que una escasez de oro provocaba una disminucin de este precio. Durante muchos siglos los conceptos econmicos ms bsicos se expresaban en trminos sencillos, que requeran solamente una matemtica rudimentaria. A los vendedores, mercaderes, agricultores y otros agentes econmicos les bastaban ~onceptos como enteros y fracciones, junto con las cuatro reglas de la aritmtica, para discutir y debatir las actividades y sucesos econmicos que afectaban a sus vidas diarias. Con esas herramientas los mercaderes tenan suficiente para su contabilidad y para calcular los precios. Incluso los clculos de intereses de los prstamos no revestan complicacin. La aritmtica bastaba para cumplir estas tareas, aun sin los conceptos de cero y de sistema de numeracin decimal. Cuando se necesitaba un aparato para calcular, el baco tena suficiente potencia.

La ciencia de la economa dio un giro en redondo en el siglo XVIII con la publicacin de trabajos como el de David Hume, Political Discourses (1752), el Tableau Economique de Fran~ois Quesnay (1758-1759), o The Wealth ofNations de Adam Smith (1776). Se empezaron a formalizar

"Fantasmagora" es un tnnino inventado en 1802 para describir una exhibicin de ilusiones pticas producidas por una linterna mgica.

1

2 Captulo 1 Introduccin

los razonamientos econmicos y a desarrollarlos en teoras. Esto cre la necesidad de expresar interrelaciones e ideas, de complejidad creciente, de una manera automtica. Hacia mitad del siglo XIX algunos autores comenzaron a usar las matemticas para elaborar sus teoras. Entre los pioneros estaban economistas como Agustn Cournot (que fue el primero en definir y dibujar una curva de demanda y en usar el clculo diferencial para resolver problemas de maximizacin en economa) y Lon Walras (que se distingui por redactar y resolver el primer modelo multiecuacional para el equilibrio general de oferta y demanda en todos los mercados simultneamente). Descubrieron que muchas de sus ideas se podan formular de forma ms efectiva usando lenguaje matemtico, que inclua smbolos algebraicos, diagramas y grficos sencillos. En verdad, el uso del lenguaje matemtico ha hecho posible la introduccin de conceptos econmicos mucho ms sofisticados y de teoras econmicas cada vez ms complejas.

Hoy da es esencial para un estudiante de economa una comprensin slida de las matemti-cas. Aunque se pueden dar de forma clara, sin usar matemticas, razonamientos convincentes de problemas econmicos sencillos que impliquen dos o tres variables, si queremos considerar muchas variables y la forma como interaccionan, es necesario recurrir a un modelo matemtico.

Por ejemplo, supongamos que un organismo gubernamental planea dar una gran cantidad de nuevos permisos de construccin en un terreno que controla. Qu consecuencias tendr esto para el empleo? En principio, la incidencia mayor estar en el sector de la construccin, debido a la creacin de nuevos puestos de trabajo. Sin embargo, la construccin de casas nuevas requiere ladri-llos, cemento, acero para refuerzos, madera, cristal y otros muchos materiales. As debe crecer el empleo en las empresas de suministro de estos productos. Pero estas empresas necesitan, a su vez, materiales que fabrican otras, y as sucesivamente. Adems de todos estos efectos de produccin, el crecimiento del empleo conlleva el de los ingresos. Si stos no son completamente absorbidos por los impuestos, se producir una mayor demanda de bienes de consumo. Esto, a su vez, implicar una mayor necesidad de nuevos empleos entre los productores de bienes de consumo y, de nuevo, el flujo de datos de entrada crece. Al mismo tiempo hay respuestas del sistema. Por ejemplo, ms ingresos generan ms demanda de vivienda. De esta forma, tanto los cambios positivos como los negativos en un sector de la economa de transmiten a los otros.

La enseanza de este ejemplo es que el sistema econmico es tan complejo que los efectos finales son muy difciles de calcular sin recurrir a dispositivos matemticos formales tales como el "modelo de flujo circular de la renta", Un ejemplo es el modelo input-output que presentamos en la Seccin 12. L

Anlisis matemtico El tema principal de este libro es una rama importante de las matemticas que se llama Anlisis Matemtico. Incluye el clculo diferencial e integral y sus extensiones. El clculo se desarroll al final del siglo XVII de la mano de Newton y Leibniz. Sus hallazgos transformaron completamente las matemticas, la fsica y las ingenieras, inyectndoles una nueva vida. De forma anloga, la introduccin del clculo en economa ha cambiado radicalmente la forma en que los economistas analizan el mundo que les rodea. Ahora se usa el clculo en muchas reas diferentes de la economa. Por ejemplo, se usa para estudiar los efectos de las variaciones de precios relativos sobre la demanda, los efectos de la variacin del precio o disponibilidad de una materia prima esencial como el petrleo en el proceso de produccin, las consecuencias econmicas del crecimiento de la poblacin, y hasta qu punto se pueden reducir las emisiones de dixido de carbono por la creacin de un impuesto sobre el uso de la energa.

El siguiente episodio ilustra cmo los economistas usan el anlisis matemtico para resolver problemas prcticos. En febrero de 1953 se produjo en Holanda la inundacin ms importante de su historia. Los diques que protegan el pas fueron arrasados y murieron ms de 1.800 personas. Los

Seco 1.2/ El mtodo cientffico en las ciencias empricas 3

daos se cifraron en el 7% del producto nacional bruto de aquel ao. Se cre una comisin de inves-tigacin sobre los hechos y sobre cmo prevenir desastres semejantes en el futuro. La reconstruccin de los diques de tal forma que la seguridad fuese total requera desembolsos astronmicos, y poda no ser factible. El problema real era, entonces, lograr una especie de compromiso, o equilibrio, entre costes y seguridad: diques ms altos eran ms costosos, pero reducan las posibilidades de futuras inundaciones. Por tanto, la comisin se enfrent al problema de seleccionar la altura ptima de los diques. Algunos economistas aplicaron el anlisis coste-beneficio, que es una rama de la economa que usa el anlisis aatemtico, para sopesar los costes y beneficios de las diferentes alternativas de reconstruccin de los diques. Se discutir este problema con mayor detalle en el Problema 7 de la Seccin 8.4.

Estos tipos de compromisos son centrales en economa. Conducen a problemas de optimizacin de un tipo que el anlisis matemtico maneja de forma natural.

1.2 EL MTODO CIENTFICO EN LAS CIENCIAS EMPRICAS La economa se considera hoy da como una ciencia emprica. Estas ciencias participan de una metodologa comn, que incluye los siguientes como sus elementos ms importantes:

l. Observaciones cualitativas y cuantitativas de los fenmenos, bien directamente o por experimen-tos cuidadosamente diseados.

2. Procesamiento numrico y estadstico de los datos observados. 3. Construccin de modelos tericos que describan los fenmenos observados y expliquen las rela-

ciones entre ellos. 4. Uso de esos modelos tericos para deducir predicciones. 5. Correccin y mejora de los modelos para que permitan mejores predicciones

As las ciencias empricas se asientan sobre procesos de observacin, modelizacin y verificacin. Si una actividad pretende ser considerada como una ciencia emprica, cada uno de los puntos anteriores es importante. Observaciones sin teora producen un dibujo puramente descriptivo de la realidad, que carece de poder explicativo. Pero la teora sin observacin tiene el riesgo de perder el contacto con esa realidad que trata de explicar.

Muchos episodios de la historia de la ciencia demuestran el peligro de que la "pura teora" carezca de fundamentos reales. Por ejemplo, hacia el ao 350 A.c. Aristteles desarroll la teora de que los objetos en cada libre tienen velocidad constante y que un objeto cae ms rpidamente cuanto ms pesado es. Esto fue refutado por Galileo Galilei de forma convincente en el siglo XVI cuando demostr (en parte dejando caer objetos desde la Torre Inclinada de Pisa) que, despreciando los efectos del rozamiento con el aire, la velocidad de cada de un objeto es proporcional al tiempo que lleva cayendo, y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los objetos, inde-pendientemente de su peso. As la teora aristotlica qued desacreditada mediante observaciones empricas.

Hay un segundo ejemplo, que procede de la astronoma. En el ao 1800, Hegel dio un razona-miento filosfico para demostrar que slo puede haber siete planetas en el sistema solar. No obstante Hegel, el asteroide Ceres (que es un octavo cuerpo planetario) fue descubierto en enero de 1801. Se descubri Neptuno, el octavo planeta, en 1846 y en 1930, el noveno, Plutn. 2

Vista a posteriori, parece elemental la falsedad de las afirmaciones de Aristteles y Hegel. Sin embargo, en todas las ciencias hay aseveraciones falsas que se repiten una y otra vez y solamente

2 El proceso del descubrimiento se bas en el estudio de cmo el movimiento de los planetas conocidos se desviaba de las rbitas previstas por la teora de la gravitacin de Newton. Estas perturbaciones permitan, incluso, predecir dnde se encontraba el planeta adicional que las produca. Hasta tiempos recientes los cientficos estaban usando an la teora de Newton para buscar un dcimo planeta cuya existencia sospechaban. Sin embargo, clculos ms exactos de las masas de los planetas exteriores parecen sugerir que no hay ms planetas por descubrir, despus de todo.

4 Capftulo 1 Introduccin

son refutadas ms tarde. La correccin de teoras inexactas es una parte importante de la actividad cientfica, y los ejemplos anteriores prueban la necesidad de asegurarse de que los modelos tericos estn apoyados por evidencia emprica.

En economa, las hiptesis son normalmente menos precisas que en las ciencias fsicas y, por tanto, su eventual falsedad es menos evidente que las afirmaciones de Aristteles y Hegel que aca-bamos de ver. Sin embargo, hay unas pocas viejas teoras que se han desacreditado tanto que pocos economistas las toman ahora en serio. Un ejemplo de ellas es la "curva de Phillips" que pretenda demostrar cmo una economa poda establecer un compromiso entre desempleo e inflacin. La idea se basaba en que se poda crear empleo con recortes en los impuestos y/o aumento del gasto pblico, pero a costa de aumentar la inflacin. Recprocamente, se poda reducir la inflacin aumentando los impuestos o reduciendo el gasto pblico, pero a costa de mayor desempleo.

A diferencia de Hegel, que no poda esperar contar todos los planetas, o de Aristteles, que presumiblemente no observ jams con atencin la cada de un cuerpo, la curva de Phillips se basaba en una observacin emprica. En un artculo publicado en 1958, A.W. Phillips estudi las medias de aumentos anuales de sueldos y el desempleo en la economa del Reino Unido en un largo periodo: 1861-1957. El dibujo de esas observaciones dio lugar a la curva de Phillips'y el binomio inflacin-desempleo form parte de la economa convencional hasta la dcada de los setenta. Sin embargo, la dcada de elevada inflacin y desempleo que experimentaron muchas econ!,mas occidentales en el periodo 1973-1982 produjo observaciones que estaban claramente fuera de la curva de Phillips. El pretendido compromiso inflacin-desempleo fue muy difcil de mantener.

De la misma fonna que las afinnaciones de Aristteles y Hegel se revisaron a la luz de nuevas eviden-cias, el episodio anterior produjo una profunda revisin de la teora en la que se basaba la curva de Phllps. Se sugiri que, confonne la poblacin aprenda a vivir con la inflacin, se ajustaban salarios y contratos de prstamos a las tasas de inflacin previstas. Entonces, el compromiso entre paro e inflacin que la curva de PhiUips pretenda describir se susttuy por uno nuevo, esta vez entre desempleo y desviacin de la inflacin de su tasa esperada. Pero la tasa esperada crece segn sube la inflacin actual. Por tanto, se pens que la disminucin del paro conducira, no slo a un aumento de la inflacin, sino a acelerar la inflacin que creca en cada periodo en ms de lo esperado. Por otra parte, cuando se poda esperar una inflacin alta, el combatirla con polticas conducentes a aumentar el paro llevara solamente a disminuciones graduales de la inflacin, ya que las expectativas que la gente tiene sobre la inflacin decaen lentamente. As hubo que revisar y extender la teora original de la curva de Phillips, a la luz de evidencias ms recientes.

Modelos y realidad En el siglo XVIII el filsofo Emmanuel Kant consider la geometra eucldea como una descripcin absolutamente cierta del espacio fsico que observamos a travs de nuestros sentidos. Esta concep-cin pareca evidente por s misma y la compartan todos los que haban reflexionado sobre ello. La razn de este acuerdo radicaba en el hecho de que todos los resultados de esta geometra se podan deducir, mediante una lgica irrefutable, de unos pocos axiomas que eran considerados como verdades evidentes sobre el espacio fsico. La primera persona que cuestion este punto de vista fue el matemtico alemn Gauss hacia principios del siglo XIX. Insisti en que la relacin entre el espacio fsico y el modelo de Euclides poda c1arificarse solamente por mtodos empricos. Durante la dcada de 1820 se desarroll la primera geometra no eucldea, esto es, una geometra basada en unos axiomas distintos de los de Euclides. Desde entonces se acepta que slo las observaciones pueden decidir qu modelo geomtrico suministra la mejor descripcin del espacio fsico.

Esto prueba que puede haber una diferencia importante entre un modelo matemtico y sus posibles interpretaciones en la realidad. Ms an, puede ocurrir que haya ms de un modelo capaz de describir un cierto fenmeno, como la relacin entre la oferta monetaria y la inflacin en EE.UU. o Alemania. Ciertamente, ste parece ser a menudo el caso en economa. En tanto que los modelos

Seco 1.3/ El uso de los sfmbolos en matemticas 5

a considerar son consistentes internarnente, la mejor manera de seleccionar entre explicaciones que compiten entre s consiste normalmente en ver cul de ellas suministra la mejor descripcin de la realidad. Pero esto es, a menudo, muy difcil, especialmente en economa.

Adems, debemos reconocer que un modelo cuyo objetivo sea explicar un fenmeno como la inflacin, no puede ser considerado nunca como una verdad absoluta; en el mejor de los casos es solamente una representacin aproximada de la realidad. No podemos jams considerar todos los factores que influyen en un fenmeno tan complejo. Si tratramos de hacerlo, obtendramos una teora descorazonadoramente complicada. Esto es cierto no s610 para los modelos de los fenmenos fsicos, sino para todos los modelos en las ciencias empricas.

Estos comentarios son particularmente relevantes en la investigacin econmica. Consideremos, una vez ms, los efectos de permitir la construccin de nuevas viviendas. Para entender todas las implicaciones de esto, un economista requerira una cantidad increble de datos sobre millones de consumidores, negocios, bienes y servicios, etctera. n si se pudiera disponer de ellos con este nivel de detalle, su cantidad sobrepasara las capacidades de los computadores ms modernos. En sus intentos de entender las relaciones subyacentes al entramado econmico, los economistas se ven forzados a usar varios tipos de datos agrupados, entre otras simplificaciones. As debemos recor-dar siempre que un modelo es capaz solamente de dar una descripcin aproximada de la realidad. El objetivo de los investigadores empricos debera pasar por hacer que sus modelos reflejasen la realidad de la manera ms fiel y exacta posible.

1.3 El USO DE lOS SMBOLOS EN MATEMTICAS Antes de comenzar a estudiar cualquier tema, es importante que todo el mundo se ponga de acuerdo en un "lenguaje" comn con el que hablar de l. Anlogamente, en el estudio de las matemticas (que es un lenguaje en s mismo en cierto sentido) es importante asegurarse de que todos entendemos lo mismo cuando vemos el mismo smbolo. Algunos smbolos en matemticas representan casi siempre un objeto matemtico definido. Unos ejemplos de esto son 3, .../2, 7r, Y [O, 1], que significan, respectivamente, tres nmeros especiales y un intervalo cerrado. Los smbolos de este tipo se llaman constantes lgicas. Frecuentemente necesitamos tambin smbolos que representen variables. Los objetos que se supone que una variable representa se dice que forman su dominio de variacin. Por ejemplo, usamos la letra x como un smbolo que representa a un nmero cuando escribimos

X2 - 16 = (x + 4)(x 4)

Expresado en palabras esto dice lo siguiente:

La diferencia entre el cuadrado del nmero que aqu se llama x y 16 es siempre igual al producto de los dos nmeros que se obtienen sumando 4 al nmero y restando 4 de l.

La igualdad X2 - 16 (x + 4)( x - 4) se llama una identidad porque es vlida para todo x. En tales casos escribimos a veces X2 - 16 == (x + 4)(x 4), donde~ es el smbolo de identidad.

El signo de igualdad se usa tambin de otras formas. Por ejemplo, escribimos que A 7rr2 es la frmula del rea A de un crculo de radio r. Adems, el signo = se usa en ecuaciones como

X2 + x 12 O

donde x es ahora el smbolo de un nmero desconocido. Si sustItUimos x por varios nmeros descubrimos que la igualdad no se verifica casi nunca. De hecho, la ecuacin es cierta solamente para x = 3 y para x -4, por consiguiente esos nmeros se llaman sus soluciones.

6 Capftulo 1 / Introduccin

Ejemplo 1.1 Un granjero tiene 1.000 metros de malla para cercar un terreno rectangular. Si un lado del rectngulo es x (medido en metros), hallar el rea cercada cuando se hace x igual 150, 250, 350, Y para un x general. Qu valor de x cree el lector que encierra la mayor rea posible? Solucin: Si el otro lado del rectngulo es y, entonces 2x+2y = 1.000. Por tanto, x+y 500, luego y = 500-x (vase Figura Ll) El rea A de este rectngulo (en mZ) es, por consiguiente,

A x(500 - x) = 500x xZ

Puesto que ambos lados deben ser positivos, x debe ser positivo y 500 - x debe ser positivo. Esto significa que x debe estar entre y 500 m. Las reas, cuando x = 150, 250 y 350 valen 150 . 350 52.500, 250 . 250 = 62.500, y 350 . 150 = 52.500, respectivamente. De ellos, x = 250 da el mayor valor. En el Problema 7 de la Seccin 3.1 pediremos demostrar que x = 250 da realmente la mayor rea posible.

x

FIGURA 1.1

Cuando se estudian problemas que requieren varias variables (pero no demasiadas), designamos a stas frecuentemente por letras distintas, como a, b, e, x, y, z, A, B, y as sucesivamente. A menudo se suplementan las letras del alfabeto latino con letras griegas maysculas y minsculas, como a, /3, , r, y Q. Si crece el nmero de variables, usamos subndices o superndices para distinguir unas de otras. Por ejemplo, supongamos que estamos estudiando el empleo de un pas que est dividido en 100 regiones, numeradas del 1 al 100. As designamos por NI al nmero de personas con empleo en la regin 1, por N z al de la regin 2 y as sucesivamente. En general definimos

Ni = nmero total de personas con empleo en la regin , 1,2, ... ,100

La expresin = 1, 2, ... , 100 significa que el ndice i puede ser un nmero arbitrario entre 1 y 100. Si N S9 = 2.690, esto significa que 2.690 personas tienen empleo en la regin 59. Si queremos ir ms lejos y dividir a los trabajadores en hombres y mujeres, podemos designar por Ni(M) (Ni(H) al nmero de mujeres (hombres) con empleo en la regin i. As debe ser Ni(M) + NiH) Ni, para i = 1, 2, ... , 100. Obsrvese que esta notacin es mucho ms clara que si tuviramos que usar 100 letras diferentes para representar a las variables Ni -incluso si pudiramos encontrar 100 letras distintas en una combinacin de los alfabetos latino, griego, cirlico y snscrito!

Muchos estudiantes que estn acostumbrados a manejar expresiones algebraicas en una sola variable (usualmente x) tienen dificultades al principio manejando expresiones en varias variables. Sin embargo, para los economistas, el ejemplo anterior demuestra lo importante que es tratar con expresiones y ecuaciones algebraicas en muchas variables distintas. Damos otro ejemplo.

Seo. 1.3/ El uso de los s(mbolos en matemticas 7

Ejemplo 1.2 Consideramos el modelo macroeconmico sencillo

(1) donde Y es el producto nacional neto, e es el consumo e Ila inversin total, que se considera fija. 3 La tres letras 1, a y b, designan constantes numricas positivas -por ejemplo, 1 lOO, a = 500 Y b = 0,8 son valores posibles de esas constantes. Ms bien que pensar en dos modelos distintos, uno con 1 = lOO, e = 500 + 0,8Y Y otro con 1 = 150, e = 600 + 0,9Y es preferible considerarlos como un caso particular del modelo general (1), donde 1, a y b son desconocidos y pueden variar; usualmente se les llama parmetros. Sin embargo, debe diferencirselos de las variables e e Y del modelo.

Despus de estas consideraciones sobre constantes como parmetros del modelo, resolver (1) en Y. Solucin: Sustituyendo el valor e = a + bY dado por la segunda ecuacin de (1) en la primera, se obtiene

y a+bY +1 Ahora se reordena esta ecuacin de tal forma que los trminos que contienen Y pasan al lado izquierdo. Se puede hacer esto aadiendo -bY a ambos miembros, cancelando as el trmino b Y de la derecha, para obtener

Y -bY =a+l Ntese que el miembro de la izquierda es igual a (1 b)Y, luego (1 b)Y a+. Dividiendo ambos miembros por 1 - b, de tal manera que el coeficiente de Y sea 1, se obtiene la respuesta, que es

Y a 1-lb + lb I Esta solucin nos da una frmula que expresa Y en trminos de los tres parmetros 1, a y b. Se puede aplicar la frmula para valores particulares de las constantes, como 1 lOO, a = 500, b = 0,8, para obtener la respuesta correcta en todos los casos. Ntese la potencia de esta forma de operar: se resuelve el modelo una nica vez y se hallan las respuestas numricas simplemente sustituyendo valores apropiados para los parmetros del modelo.

Problemas 1 (a) Una persona compra X, X2 Y X3 unidades de tres productos cuyos precios unitarios son, respectiva-

mente, P, P2 Y P3 Cul es el gasto total?

3

(b) Un automvil de alquiler cuesta F dlares al da de cuota fija y b dlares por kilmetro. Cunto paga un cliente que conduce x kilmetros en 1 da?

( c ) Una compaa tiene costes fijos de F dlares por ao y costes variables de e dlares por unidad producida. Hallar la expresin del coste total por unidad (coste total medio) que tiene la compaa si produce x unidades en un ao.

(d) Una persona tiene un salario anual de L dlares y recibe un aumento del p% seguido de un segundo aumento del q%. Cul es el nuevo salario anual de esta persona?

(e) Se pretende hacer una caja sin tapa a partir de una plancha cuadrada de estao de 18 cm de lado cortando cuadrados iguales de lado x de cada esquina y doblando sobre las aristas. Hallar el volumen de la caja. (Dibujar una figura.)

En economa se usa frecuen~emente W1a barra sobre W1 snbolo para indicar que es fijo.

8 Captulo 1 Introduccin

2 (a) Demostrar que

se puede escribir en la forma

ap a+---

100 ( a. p) a+ToO 'p

100

(b) Un objeto cuesta inicialmente 2.000$ y luego su precio aumenta un 5%. Ms adelante el objeto se rebaja un 5%. Cul es el precio final?

(c) Un objeto cuesta inicialmente a dlares y luego su precio aumenta un p%. Ms adelante el objeto se rebaja un p% (del nuevo precio). Cul es el precio final? (Despus de resolver este problema, vase la expresin de la parte (a).)

(d) Qu resulta si primero se rebaja el precio en un p% y luego se aumenta en un p%?

3 Resolver las siguientes ecuaciones en las variables que se indican: (a) x = ~(y 3) + Y en Y (b) ax - b = ex + d en x (c) AKVL Yo en L (d) px + qy = m en y

(e) a

1 + r 1 +b

l+r

e en r (f) Y = a(Y - tY - k) + b + Ip + G en Y

4 La relacin entre la temperatura medida en grados Celsius (o centgrados) (e) y Fahrenheit (F) est dada por e = ~(F 32). (a) Calcular e cuando F es 32; calcular F cuando e = 100. (b) Hallar la expresin de F en trminos de e. (c) Un cierto da la temperatura en Oslo era de 40F, mientras que en Los ngeles era de 80F. Qu

respondera el lector a la afirmacin de que en Los ngeles haca el doble de calor que en Oslo? (Indicacin: Hallar las dos temperaturas en grados Celsius.)

5 Si se extendiese una cuerda a lo largo de la superficie de la Tierra por el Ecuador, sera aproximadamente circular de una longitud de 40 millones de metros. Supongamos que queremos alargar la cuerda de tal manera que se eleve sobre el Ecuador 1 metro en cada punto. Cuntos metros de cuerda necesitaramos? (Trate el lector primero de intuir y luego halle la respuesta mediante un clculo preciso. Vase la frmula de la longitud de la circunferencia en el Apndice D.)

Problemas avanzados 6 Resulvase el siguiente par de ecuaciones simultneas en x e y:

px + (1 q)y = R y qx + (1 - p)y = S

7 Considrese un tringulo equiltero y sea P un punto arbitrario del tringulo. Sean h, h2 y h3 las distan-cias ms cortas desde P a cada uno de los tres lados. Probar que la suma h + hz + h3 es independiente de donde est colocado P en el tringulo. (Indicacin: Calcular el rea del tringulo como la suma de la de los tres tringulos.)

Seco 1.4/ El sistema de los nmeros reales 9

1.4 EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Dios cre los enteros; el resto es obra del hombre. --L. Kronecker

Originariamente se introdujeron los nmeros reales para medir caractersticas fsicas como longitud, temperatura y tiempo. Los economistas los usan tambin para medir precios, cantidades, ingresos, tipos impositivos, tipos de inters y costes medios, entre otras cosas. Supondremos aqu que el lector tiene un cierto conocimiento del sistema de los nmeros reales pero, debido a su papel fundamental, estudiaremos de nuevo sus propiedades bsicas.

Nmeros naturales, enteros y racionales Los nmeros que usamos cada da para contar son 1, 2, 3, .... stos son los llamados nmeros naturales. Aunque resulten familiares, estos nmeros son, en realidad, conceptos ms bien abstractos y avanzados. La civilizacin cruz un umbral significativo cuando capt la idea de que un rebao de cuatro ovejas y una coleccin de cuatro piedras tiene algo en comn: el carcter de "cuatro". Esta idea se represent por smbolos, como el primitivo :: (usado an en el domin o las cartas), el moderno 4 y el nmero romano IV. Esta nocin de cuatro se vuelve a inventar cuando cada nio pequeo comienza a desarrollar sus habilidades matemticas.

Durante los estadios iniciales de muchas culturas, los problemas diarios motivaron las cuatro reglas de la aritmtica: adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin. Si se suman o multiplican dos nmeros naturales se obtiene un nmero natural. En cambio, las operaciones de sustraccin y divisin sugieren que se debe tener un cero (4 4 = O), nmeros negativos (3 5 = -2), Y fracciones (375 3/5). Los nmeros O, 1, 2, 3, ... se llaman enteros. Se les puede representar sobre una recta numrica como la de la Figura 1.2.

FIGURA 1.2 La recta numrica.

Los nmeros racionales son aquellos que, como 3/5, se pueden escribir en la forma a/b, donde a y b son enteros. Un entero n es tambin un nmero racional, porque n = n/!. Son ejemplos de nmeros racionales los siguientes:

2' 11 70'

125 7 '

O O 1 '

19, 126

-126 = -, 100

Se pueden representar tambin los nmeros racionales sobre la recta numrica. Imaginemos que marcamos primero el nmero 1/2 y todos sus mltiplos, luego 1/3 y todos sus mltiplos y as sucesivamente. Se puede excusar al lector si piensa que, "al final" de todo este proceso, no quedar sitio en la recta para poner ms puntos. Sin embargo, esto es completamente falso. Ya los antiguos griegos comprendieron que quedaran "agujeros" en la recta numrica despus de representar sobre ella a todos los nmeros racionales. Esto se demuestra en la construccin de la Figura 1.3.

El teorema de Pitgoras nos dice que 8 2 12 + 12 = 2, luego 8 ..;2. Se puede probar que no hay dos enteros p y q tales que..;2 p/q. Por tanto, ..;2 no es un nmero racional. (Euclides prob este resultado hacia el ao 300 A.c., vase el Problema 3 en la Seccin 1.6.)

Los nmeros racionales son, por tanto, insuficientes para medir todas las longitudes posibles, ms an reas y volmenes. Podemos remediar esta deficiencia ampliando el concepto de nmero

10 Captulo 1 Introduccin

-1 o 1 v'2 2 3

FIGURA 1.3

para incluir a los llamados nmeros irracionales. Esta extensin se puede llevar a cabo de una forma natural usando la notacin decimal para los nmeros.

El sistema decimal La manera en que la mayora de la gente escribe hoy da los nmeros se llama el sistema decimal o sistema de base 10. Se trata de un sistema de posicin, con 10 como nmero base. Se puede escribir todo nmero natural usando slo los smbolos O, 1,2, ... , 9, que se llaman dgitos. El lector notar que "dgito" proviene de la palabra latina "digitus", que significa "dedo", y que la mayora de los humanos tienen 10 dedos. El sistema de posicin define cada combinacin de dgitos como una suma de dgitos por potencias de 1 O, por ejemplo,

1.996 = 1 . 103 + 9 . 102 + 9 . 101 + 6 . 10

Todo nmero natural se puede expresar en esa forma. Con el uso de los signos + y -, se pueden escribir todos los enteros, positivos o negativos, de la misma manera. La coma decimal nos permite expresar nmeros racionales no enteros, como por ejemplo,

3,1415 = 3 + 1/101 + 4/102 + 1/103 + 5/104

Los nmeros racionales que pueden escribirse usando slo un nmero finito de cifras decimales se llaman fracciones decimales finitas.

Cada fraccin decimal finita es un nmero racional, pero no todo nmero racional se puede expresar como una fraccin decimal finita. Nos vemos obligados a considerar tambin fracciones decimales infinitas como

100/3 33,333 ...

donde los puntos indican que el dgito 3 se repite indefinidamente.

Seco 1.4/ El sistema de los nmeros reales 11

Si la fraccin decimal es un nmero racional. entonces ser siempre peridica --esto es, hay un cierto lugar en la expresin decimal a partir del cual, o bien no hay ms dgitos, o bien se repite indefinidamente una sucesin finita de ellos. Por ejemplo, u/70 0,1 5714285714285 ....

--------------

Nmeros reales La definicin de nmero real aparece como continuacin de la discusin anterior. Definimos un nmero real como una fraccin decimal arbitraria. Por tanto, un nmero real es de la forma x m.Q' Q'2Q'3 , donde m es un entero y Q'n (n = 1, 2 ... ) es una sucesin de dgitos cada uno en el valor O a 9. Acabamos de identificar las fracciones decimales peridicas con los nmeros racionales. Aparte hay otros infinitos nmeros representados por fracciones decimales no peridicas. A stos se les llama los nmeros irracionales. Como ejemplos estn Vi. -O, 7!', 20, Y 0,12112111211112 ....

En general ocurre que es muy difcil saber cundo un nmero dado es racional o irracional. En el ao 1776 se demostr que 7!' es irracional y en 1927 que 20 lo es asimismo. Sin embargo quedaba an por saber en 1993 si 20 + 30 era irracional o no. Se puede sacar la impresin de que hay relativamente pocos nmeros irracionales. Pero esto es falso; en un cierto sentido, hay infinitamente ms nmeros irracionales que racionales.

Hemos dicho antes que cada nmero racional se puede representar como un punto de la recta numrica, pero no todos los puntos de ella representan nmeros racionales. Los irrac"ionales "relle-nan" los huecos de la recta numrica, despus de que se hayan marcado en ella los racionales. As, un modelo satisfactorio de los nmeros reales es una recta, sin extremos y sin agujeros, con un ori-gen y una unidad de longitud. De esta forma decimos que hay una correspondencia biunvoca entre los nmeros reales y los puntos de una recta numrica.

Se dice que los nmeros racionales de un lado, y los irracionales de otro, son "densos" en la recta numrica. Esto significa que entre dos nmeros reales distintos, por muy juntos que se encuentren, hay siempre un nmero racional y otro irracional --de hecho hay infinitos de cada clase.

Cuando las cuatro reglas de la aritmtica se aplican a los nmeros reales, el resultado es siempre un nmero real. La nica excepcin es que no se puede dividir por O.

a - no est definido para ningn nmero real a O

Esto es muy importante y no debe confundirse con Ola O, para todo a =F O. Ntese en particular que 010 no est definido. Por ejemplo, si un automvil necesita 60 litros de combustible para recorrer 600 kilmetros, entonces el consumo es de 60/6 = 10 litros cada 100 kilmetros. Sin embargo, si nos dicen que un automvil necesita O litros de gasolina para recorrer O kilmetros, no sabemos nada sobre el consumo; 010 no est definido.

Desigualdades En matemticas, y especialmente en economa, se encuentran desigualdades casi tan frecuentemente como igualdades. Por tanto, es importante saber y entender las reglas de clculo con desigualdades. Se dan stas en la Seccin A.7 del Apndice A. El ejemplo siguiente tiene inters en estadstica.

12 Captulo 1 / Introduccin

Ejemplo 1.3 Probar que, si a 2: y b 2: 0, entonces

-;-b a + b yao 0 4 4 4 4-

Ntese que se puede usar la misma demostracin para probar que v;;b < !(a + b) a menos que a = b.

El nmero! ((1, + b) se llama la media aritmtica de a y b, y v;;b se llama la media geom-trica. Qu dice de estas medias la igualdad (1.1)?

Intervalos Si a y b son dos nmeros de la recta numrica, el conjunto de los nmeros que estn entre a y b se llama un intervalo. En muchas situaciones es importante distinguir entre intervalos que incluyen sus extremos e intervalos que no los incluyen. Cuando a < b, hay cuatro intervalos distintos, todos con extremos a y b, como se ve en la Tabla 1.1. Ntese que los nombres de la tabla no distinguen [a, b) de (a, b]. Si quisiramos hacerlo deberamos hablar de intervalos "cerrados a izquierda", "abiertos a derecha", y as sucesivamente. Ntese asimismo que un intervalo abierto no incluye ninguno de sus extremos; en cambio, uno cerrado incluye a los dos. Los cuatro intervalos tienen sin embargo la misma longitud, a saber b - a. TABLA 1.1

El intervalo consta de todos Notacin Nombre los x que verifican:

(a, b) Intervalo abierto a

Seco 1.4 / El sistema de los nmeros reales 13

Los intervalos que hemos mencionado son todos intervalos acotados. Pero tambin usamos la palabra "intervalo" para designar a ciertos conjuntos no acotados de nmeros. Por ejemplo, tenemos

[a, 00) = todos los nmeros x, tales que x :2 a ( - 00, b) = todos los nmeros x, tales que x < b

donde 00 es el smbolo usual para el infinito. Ntese que el smbolo 00 no es en absoluto un nmero y, por tanto, las cuatro reglas de la aritmtica no valen para l. En [a, 00), el smbolo 00 es solamente una notacin til, que significa que estamos considerando el conjunto de todos los nmeros mayores o iguales que a, sin limitacin del tamao del nmero. Ya debe ser evidente de lo anterior lo que llamamos (a, 00) y (-00, b l. A veces se denota al conjunto de todos los nmeros reales por el smbolo (-00, 00 ).

Valor absoluto Sea a un nmero real e imagnese su posicin sobre la recta numrica. Se llama valor absoluto de a a la distancia de a a O. Si a es positivo o O, el valor absoluto es el mismo a; si a es negativo, el valor absoluto es el nmero positivo -a, puesto que la distancia debe ser positiva.

El valor absoluto de a se designa por 1 a 1 y

lal = { a, -a,

si a :2 O si a < O

Por ejemplo, 1131 = 13, 1-51 = -(-5) = 5,1-1/21 = 1/2, y 101 = O.

(1.2)

Nota: Es un error muy comn suponer que a debe designar a un nmero positivo, aun cuando no se haya dicho explcitamente. Anlogamente, al ver -a, muchos estudiantes creen que esta expresin es siempre negativa. Obsrvese, sin embargo, que el nmero -a es positivo cuando a es negativo. Por ejemplo, si a = -5, entonces -a = -( -5) = 5. No obstante lo anterior, es un convenio til en economa definir variables cuyos valores sean positivos ms bien que negativos. All donde una variable tenga un signo definido, trataremos de seguir este convenio.

Ejemplo 1.4 (a) Calcular Ix - 21 para x = -3, x = O Y x = 4. (b) Escribir 1 x - 21 de otra forma usando (1.2).

Solucin:

(a) Para x = -3, Ix - 21 = 1-3 - 21 = 1-51 = 5

Para x = O, Ix - 21 = 10 - 21 = 1-21 = 2

Para x = 4, Ix - 21 = 14 - 21 = 121 = 2

14 capItulo 1 / Introduccin

(b) Segn (1.2), Ix 21 = x - 2 si x - 2 ~ O, esto es si x ~ 2. Sin embargo, Ix - 21 -(x - 2) = 2 x si x 2 < O, esto es si x < 2. Por tanto,

Ix - 21 = {~ 2, s x ~ 2 x, si x < 2 (Comprubese esta solucin ensayando los valores de x que usamos en la parte (a).)

Sean Xl y X2 dos nmeros arbitrarios. La distancia entre Xl y X2 en la recta numrica es igual a Xl X2 si Xl ~ X2 Y a -(Xl - X2) si Xl < X2. Tenemos. pOr tanto,

(1.3)

En la Figura 1.5, hemos resaltado geomtricamente que la distancia entre 7 y 2 es 5, mientras que la distancia entre -3 y -5 es igual a 2 porque 1-3 - (-5)1 = 1-3 + 51 = 121 = 2.

1-3-(-5)1=2 17-21=5 J ! I 1, I I I I I I I I I I

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 2 3 4 5 6 7

FIGURA 1.5 La distancia entre 7 y 2, Y entre -3 y-s. Supongamos que Ixl = 5. Qu valores puede tener x? Hay slo dos posibilidades: X = 5 o

X -5, porque ningn otro nmero tiene valor absoluto igual a 5. Generalmente, si a es mayor o igual que O, entonces Ixl = a equivale a que X a x -a. La ecuacin Ixl a no tiene solucin cuando a < O porque Ixl ~ O para todo x.

Si a es positivo y Ixl < a, la distancia de x a O es menor que a y as

Ixl < a equivale a -a < x < a (1.4)

Ms an, si a es no negativo, est claro que

(1.5)

Ejemplo 1.5 Hallar todos los x tales que 13x - 21 S; 5. Comprubese primero si esta desigualdad se cumple para x -3, x = O, x 7/3 y x = 10. Solucin: Para x = -3, 13x - 21 = 1 - 9 - 21 11; para x = O, 13x - 21 = 1- 21 = 2; para x 7/3.13x - 21 = 17 - 21 5 y para x = 10, 13x 21 = 130 - 21 = 28. Vemos, por tanto, que la desigualdad dada se verifica para x = O Y x = 7/3, pero no para x = -3 x = 10.

ne (1.5) deducimos que 13x 21 S; 5 equivale a -5 S; 3x - 2 ::::: 5. Sumando 2 a los tres miembros obtenemos - 5 + 2 S; 3x 2 + 2 S; 5 + 2, 6 - 3 S; 3x S; 7. Dividiendo por 3 se tiene -1 S; x S; 7/3.

Seco 1.5/ Algunos aspectos de lgca 15

Problemas 1 Cules de los siguientes nmeros son naturales, enteros, o racionales?

(a) 3,1415926 (b) J~ - ~ (e) (0 + V)(0 V) (d) 3'l1" - ! 2 Cules de los enunciados siguientes son correctos?

(a) 1.996 es un nmero natural. (b) -5 est a la derecha de -3 en la recta numrica. (e) 13 es un nmero natural. (d) No hay ningn nmero natural que no sea racional. (e) 3,1415 no es racional. (f) La suma de dos nmeros irracionales es irracional.

3 Para qu nmeros reales x est definida cada una de las expresiones siguientes? 3 x - 1 3x

(a) x _ 4 (b) x(x + 2) (e) X2 + 4x - 5

4 Resolver en y las desigualdades siguientes, en trminos de la(s) otra(s) variable(s): (a) 3x+4y::;12 (b) -x+3y-z>y-(x-y)+~z (e) px+qy::;m (q>O)

S Considrese el Problema 1 (e) de la Seccin 1.3. Encontrar una desigualdad que determine cuntas unida-des x debe producir la compaa antes de que el coste medio caiga por debajo de q dlares. Resulvase la desigualdad en X. Tmese F = 100.000, e = 120, q = 160, Y resulvase el problema en este caso.

6 Calcular 12x - 31, para x = 0, 1/2 Y 7/2.

7 (a) Calcular 15 3xl, para x = -1, 2y4. (b) Resolver la ecuacin 15 - 3xl = O. (e) Escribir de otra forma 15 - 3xl usando (1.2).

8 Determinar x de forma que (a) 13 - 2xl 5 (d) 13 8xl:s 5

(b) Ixl:S 2 (e) Ixl > V

(e) Ix - 21 ::; l (f) Ix2 - 21 ::; 1

9 Hay que cortar una varilla de hierro de 5 metros de longitud. Se necesita que la longitud no se desve ms de 1 mm de lo planeado. Escribir una especificacin para la longitud x de la varilla en metros: (a) usando una doble desigualdad y (b) usando el smbolo de valor absoluto.

1.5 ALGUNOS ASPECTOS DE LGICA Un astrnomo, unfsico y un matemtico viajaban en un tren por Escocia. Vieron por la ventana un rebao de ovejas que pastaban en un prado. El astrnomo observ: "En Escocia todas las ovejas son negras:' E/fsico protest: "Algunas ovejas de Escocia son negras:' El matemtico declar: "En Escocia existe un rebao de ovejas, todas las cuales son negras al menos de un lado."

Hemos puesto de relieve el papel de los modelos matemticos en las ciencias empricas, especial-mente en economa. Cuanto ms complicados son los fenmenos que hay que describir, ms impor-tante es ser exactos. Los errores en modelos aplicados a situaciones prcticas pueden tener conse-cuencias catastrficas. Por ejemplo, en los primeros estadios del programa espacial americano hubo

16 Capftulo 1 / Introduccin

que destruir un misil valorado en varios millones de dlares, segundos despus de su lanzamiento, solamente porque faltaba un punto y coma en el programa de computador diseado para guiarlo.

Aunque las consecuencias pueden ser menos dramticas, aparecen fcilmente errores en el razo-namiento matemtico. Vamos a dar un ejemplo de cmo un estudiante (o un profesor) puede usar un razonamiento incorrecto y as obtener una respuesta errnea a un problema.

Ejemplo 1.6 Hallar una solucin de la ecuacin x + 2 J 4 - x. "Solucin": Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene (x + 2f = (J4 - x )2, y as X2 + 4x + 4 = 4 - x. Reordenando se tiene X2 + 5x = O. Simplificando por x queda x + 5 = O, luego x -5.

Segn este razonamiento, la respuesta debe ser x = -5; comprobmoslo. Para x = -5 tenemos x + 2 = -3. Pero J 4 - x J9 = 3, luego la respuesta es incorrecta. En el ejemplo 1.9 explicaremos dnde est el error. (Ntese que es prudente comprobar la respuesta al resolver una ecuacin.)

Este ejemplo pone de relieve los peligros del clculo rutinario sin una reflexin adecuada. Puede ser ms fcil evitar errores semejantes despus de estudiar la estructura del razonamiento lgico.

Proposiciones Las afirmaciones que son ciertas o falsas se llaman enunciados o proposiciones. La mayor parte de las proposiciones de este libro son matemticas, pero otras pueden provenir de la vida diaria. "Todos los individuos que respiran estn vivos" es un ejemplo de una proposicin cierta, mientras que "todos los individuos que respiran estn sanos" es un ejemplo de una proposicin falsa. Ntese que si las palabras que se usan para expresar estas afirmaciones carecen de sentido preciso, ser a menudo difcil distinguir entre una proposicin verdadera y una falsa.

Supongamos que una afirmacin tal como "x2 } O" incluye una o ms variables. Susti-tuyendo la variable x por varios nmeros reales, podemos generar muchas proposiciones diferentes, algunas ciertas y otras falsas. Por esta razn decimos que la afirmacin es una proposicin abierta. De hecho, la proposicin X2 - 1 = O es cierta si x 1 -}, pero es falsa en cualquier otro caso. As, una proposicin abierta no es simplemente verdadera o falsa. No es ni lo uno ni lo otro hasta que no elegimos un valor particular de la variable. En la prctica descuidamos un poco el distinguir una proposicin de una proposicin abierta: llamamos proposiciones a los dos tipos.

Implicaciones Para llevar el control de cada paso de un razonamiento lgico es prctico usar las flechas de impli-cacin.

Supongamos que P y Q son dos proposiciones tales que, cuando P es cierta, Q lo es necesa-riamente. En este caso escribimos

P==>Q que se lee "P implica Q", o "si P, entonces Q", o "Q es consecuencia de P". El smbolo ==> es una Oecha de implicacin, y apunta a la direccin de la implicacin lgica. Damos algunos ejemplos de implicaciones verdaderas.

Seco 1.5/ Algunos aspectos de lgica 17

Ejemplo 1.7 (a) x > 2 ===> X2 > 4. (b) xy O ===> x O y = O. (e) x es un cuadrado ===> x es un rectngulo. (d) x es una persona sana ===> x respira.

Ntese que la palabra "o" significa en matemticas el "o inclusivo", lo que quiere decir que "p Q" significa "o P, o Q, o ambas".

Todas las proposiciones del ejemplo 1.7 son proposiciones abiertas, como la mayora de las que encontramos en matemticas. Una implicacin P ===> Q significa que, para cada valor de una variable para el que P es verdadera, Q lo es tambin.

En algunos casos en que la implicacin (*) es vlida, puede deducirse la conclusin lgica en la otra direccin:

Q P En estos casos, podemos escribir ambas implicaciones juntas en una nica equivalencia lgica:

En este caso decimos que "p es equivalente a Q", o "P si y slo si Q." Ntese que el enunciado "p slo si Q" expresa la implicacin P ===> Q, mientras que "p si Q" expresa Q P.

El smbolo {:=} es una flecha de equivalencia. En el ejemplo 1.7 anterior vemos que se puede sustituir la implicacin de (b) por una equivalencia, porque tambin es cierto que x = O y = O implica xy = O. Ntese que no se puede sustituir ninguna otra implicacin de ese ejemplo por una equivalencia. En efecto, de que X2 sea mayor que 4 no se deduce que x sea mayor que 2 (por ejemplo x = - 3). Asimismo, un rectngulo no tiene por qu ser un cuadrado. Finalmente, el hecho de que una persona x respire no significa que est sana.

Condiciones necesarias y suficientes Hay otras maneras que se usan frecuentemente para expresar que la proposicin P implica la pro-posicin Q, o que P es equivalente a Q. As, si P implica Q, decimos que P es una "condicin suficiente" para Q. Despus de todo, para que Q sea verdadera, es suficiente que P lo sea. De manera anloga. sabemos que si P se verifica, entonces es cierto que Q tambin se verifica. En este caso decimos que Q es una "condicin necesaria" para P. De hecho, Q debe ser necesariamente cierta si P lo es. Por tanto,

P es una condicin suficiente para Q significa: P ===> Q Q es una condicin necesaria para P significa: P ===> Q

Por ejemplo, si formulamos la implicacin del ejemplo 1.7 (c) en este lenguaje, se tendra: Una condicin necesaria para que x sea un cuadrado es que x sea un rectngulo.

o

Una condicin suficiente para que x sea un rectngulo es que x sea un cuadrado.

La expresin verbal correspondiente a P {:=} Q es: P es una condicin necesaria y suficiente para Q, o P si y s6lo si Q. De lo anterior reslta evidente que es muy importante distinguir entre las pro-

18 Capftulo 1 / Introduccin

posiciones "P es una condicin necesaria para Q" (que significa Q =:} P) y "p es una condicin suficiente para Q" (que significa P =:} Q). Para poner de relieve la cuestin, considrense las dos proposiciones siguientes:

1. Respirar es una condicin necesaria para que una persona est sana. 2. Respirar es una condicin suficiente para que una persona est sana.

Evidentemente la proposicin 1 es cierta. En cambio, la 2 es falsa porque un enfermo (vivo) respira. En las pginas siguientes incluiremos una y otra vez condiciones necesarias y suficientes. El enten-derlas y entender las diferencias entre ellas es una condicin necesaria para comprender el anlisis econmico. Desgraciadamente no es una condicin suficiente.

Resolucin de ecuaciones Damos ahora unos ejemplos de cmo el uso de flechas de implicacin y equivalencia puede ayudar a evitar errores al resolver ecuaciones como la del ejemplo 1.6. Ejemplo 1.8

Hallar todos los x tales que (2x - 1)2 - 3x2 = 2 G - 4x). Solucin: Desarrollando ambos miembros obtenemos una nueva ecuacin que tiene, evidente-mente, las mismas soluciones que la dada:

(2x - lf - 3x2 = 2 (~ - 4x) {::::::} 4x2 - 4x + 1 - 3x2 = 1 - 8x Sumando 8x - 1 a ambos lados de la segunda igualdad y reduciendo trminos semejantes se obtiene la expresin equivalente

4x2 - 4x + 1 - 3x2 = 1 - 8x {::::::} X2 + 4x = O Ahora bien, X2 + 4x = x(x + 4), Y el segundo miembro es O si y slo si x = O x + 4 = O. Esto es,

X2 + 4x = O {::::::} x(x + 4) = O {::::::} x = O x + 4 = O {::::::} x = O x = -4 Resumiendo, hemos construido una cadena de equivalencias que prueba que la ecuacin dada se satisface para los dos valores x = O Y x = -4, Y slo para ellos. Esto es,

22 1 (2x - 1) - 3x = 2( - - 4x) {::::::} x = O x = -4 2

Ejemplo 1.9 Hallar todos los x tales que x + 2 = J4 - x (vase Ejemplo 1.6). Solucin: Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin se obtiene

(X+2)2 = (J4-X)2 Consecuentemente, X2 + 4x + 4 = 4 - x, esto es, X2 + 5x = O. De la ltima ecuacin se deduce que

x(x + 5) = O lo que implica que x = O x = -5. AS, una condicin necesaria para que x sea una raz de x + 2 = J4 - x es que x = O x = -5. Sustituyendo x en la ecuacin dada por cada uno de los dos valores posibles se ve que slo x = O verifica la ecuacin. As la ecuacin tiene una nica solucin, que es x = O.

Seco 1.5/ Algunos aspectos de lgca 19

Al buscar la solucin al Ejemplo 1.9, por qu era necesario comprobar si los valores que hall-bamos daban soluciones, mientras que este paso no era necesario en el Ejemplo 1.8? Para responder a esto debemos analizar la estructura lgica de nuestra solucin al Ejemplo 1.9. Ayudndonos con flechas numeradas de implicacin y equivalencia, podemos expresar la solucin anterior as:

x+2= ~ (x+2)2=4 x ~ x2+4x+4=4-x~ x2+5x=O (4) (5)

=:::;. x(x + 5) O =:::;. x = O x -5 La implicacin (1) es cierta (porque a = b =:::;. a2 b2 y (vaYa). Es importante observar que no se puede sustituir esta implicacin por una equivalencia. Si a2 b2 entonces, bien ab a -b; no es necesariamente cierto que a b. Las implicaciones (2), (3), (4) Y (5) son tambin ciertas; ms an, todas ellas son equivalencias, aunque esto no sea necesario para hallar la solucin. Hemos obtenido, por tanto, una cadena de implicaciones que van de la ecuacin x + 2 V 4 - x a la proposicin "x O x = -5". Puesto que la implicacin (1) no se puede invertir, no hay una cadena de implicaciones en la direccin opuesta. As hemos comprobado que si el nmero x verifica x + 2 V4 - x, entonces x debe ser O -5; ningn otro valor puede verificar la ecuacin dada. Sin embargo, an no hemos probado que O -5 verifiquen realmente la ecuacin. Hasta que no sustituyamos, en la ecuacin, x por O y no podremos ver que solamente x = O es una solucin. Ntese que, en este caso, el test que hemos propuesto no slo sirve para comprobar nuestros clculos, sino tambin su necesidad lgica,

Volviendo al Ejemplo 1.6, vemos ahora que cometimos dos errores. En primer lugar, la impli-cacin X2 + 5x = O => x + 5 O es falsa porque x O es tambin una solucin de X2 + 5x O. En segundo lugar, es lgicamente necesario comprobar si O - 5 verifican realmente la ecuacin.

El mtodo que hemos usado para resolver el Ejemplo 1.9 es el ms comn. Se establece una cadena de implicaciones que comienza en la ecuacin dada y acaba en un conjunto de soluciones

\ posibles de ella. Comprobando cada una de estas soluciones encontramos cules verifican realmente la ecuacin. Aun si la cadena de implicaciones es una cadena de equivalencias (como en el Ejem-plo 1.8), esta comprobacin es un test til de la validez, no slo de los clculos, sino de la lgica.

Problemas 1 Las implicaciones y equivalencias se pueden expresar de fonnas que difieren de las ya mencionadas. Usar

flechas de implicacin o equivalencia para marcar en qu direccin cree el lector que van las conclusiones lgicas en las siguientes proposiciones: (a) La ecuacin 2x 4 2 se verifica slo cuando x 3. (b) Si x = 3, entonces 2x - 4 = 2. ( e ) La ecuacin x'2 2x + l = O se satisface si x = 1. (d) Si X2 > 4, entonces x > 2 x < -2 y recprocamente.

2 Considrense las seis implicaciones siguientes y decdase en cada caso: (i) si la implicacin es cierta y (ii) si la implicacin contraria es cierta. (x, y, z son nmeros reales.) (a) x = 2 e y 5 =:::;. x + y = 7 (b) (x - l)(x - 2)(x 3) O =:::;. x = 1 (e) X2 + y2 = O X O y = O (d) x = O e y = O X2 + y'2 = O (e) xy xz y z (f) x > y2 =:::;. X > O

3 Considrese la proposicin 2x + 5 ~ 13. (a) Es x ~ O una condicin necesaria, suficiente, o necesaria y suficiente para que la proposicin sea

cierta?

20 Captulo 1 / Introduccin

(b) Responder a la misma pregunta cuando se sustituye x 2: O por x 2: 50. (c) Responder a la misma pregunta cuando se sustituye x 2: O por x 2: 4.

4 Resolver la ecuacin (x+I)2 (x-l)2 3x+l ~----''--- + - 2-- = O x(x-l) x(x+l) x 2 -1

5 Resolver las siguientes ecuaciones: (a) x + 2 = v'4x + 13 (b) Ix + 21 = v'4 - x

6 Resolver las siguientes ecuaciones: (a) v'x-4=v'X+5-9 (b) v' x - 4 = 9 - v'X+5

7 Rellenar las casillas con "si y slo si" cuando el resultado sea un enunciado cierto o, en otro caso, con "si" o "slo si."

(a) x = v'4 [ I x=2 (b) X2 > O I I x>O

( c) X2 < 9 I I x -3

8 Considrese el siguiente intento de resolver la ecuacin x + v' x + 4 = 2:

"De la ecuacin dada se deduce que v'x + 4 = 2 - x. Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene x + 4 = 4 - 4x + X2. Despus de simplificar se ve que esta ecuacin implica que X2 - 5x = O. Cancelando x, obtenemos x - 5 = O y esta ecuacin se verifica cuando x = 5."

(a) Escribir en forma de flechas las implicaciones o equivalencias del razonamiento anterior. Cules son correctas?

(b) Resolver correctamente la ecuacin.

9 Enunciar la negacin de cada una de las 6 proposiciones siguientes, de la forma ms simple posible.

(a) x 2: O e y 2: O. (b) Todo x verifica x 2: a. (c) Ni x ni y es menor que 5. (d) Para cada E > O, existe un t5 > O tal que se verifica B. (e) Nadie puede evitar que le gusten los gatos. (f) Cada uno ama a alguien algunas veces.

10 "El Tribunal Supremo no admi~e a trmite el recurso a una decisin de un tribunal inferior, en la que se aprueba el rechazo de un juez a permitir que un acusado se niegue a hablar". Tiene el acusado derecho a negarse a hablar?

Seco 1.6/ Demostracin matemtica 21

1.6 DEMOSTRACiN MATEMTICA En ciencia, lo que se puede probar no debe ser credo sin demostracin.4

-R. Dedekind (1887)

Los resultados ms importantes de cualquier rama de las matemticas se llaman teoremas. La cons-truccin de demostraciones lgicamente vlidas de estos resultados puede ser, a menudo, complicada. Por ejemplo, el "Teorema de los cuatro colores" dice que cualquier mapa plano puede ser coloreado con cuatro colores, a lo ms, de tal manera que regiones contiguas tengan colores distintos. La demostracin necesita la comprobacin de cientos de millares de casos distintos, una tarea que slo es posible con la ayuda de un complicado programa de computador.

En este libro omitimos a menudo las demostraciones formales de los teoremas. En su lugar ponemos el nfasis en indicar cmo se puede captar de forma intuitiva lo que los teoremas nos dicen. Sin embargo, aunque las demostraciones no constituyen una parte importante de este libro, es til entender algo sobre los distintos tipos de demostracin que se usan en matemticas. De hecho, una demostracin que es legible se basa, hasta cierto punto, en la intuicin del lector. Aunque muchos lgicos matemticos se toman la molestia de escribir cada paso y cada razonamiento (y esto puede ser una tcnica necesaria para programar computadores para que comprueben demostraciones) el resultado suele ser algo ilegible para la mayora de la gente.

Todo teorema matemtico se puede formular como una implicacin p Q

donde P representa una o varias proposiciones, llamadas premisas ("lo que sabemos"), Q representa una o varias proposiciones que se llaman las conclusiones ("lo que queremos saber"). Se puede considerar a un enunciado de la forma P {=} Q como dos teoremas.

Normalmente es ms natural demostrar un resultado del tipo (*) empezando en las premisas P y procediendo sucesivamente hasta la conclusin Q. Esta tcnica se llama una demostracin directa. Sin embargo, a veces hay que dar una demostracin indirecta de la implicacin P ===? Q. En este caso partimos de que Q no es cierta y, sobre esta base, probamos que P tampoco puede ser cierta. Esto es absolutamente legtimo porque se tiene la siguiente equivalencia:

Es til ver cmo esta regla de la lgica se aplica a algunos ejemplos concretos: Si llueve, la hierba se moja

afirma exactamente lo mismo que Si la hierba no se moja. entonces no llueve.

Si T designa a un tringulo, entonces La igualdad de ngulos en la base de T implica que T es issceles

afirma exactamente lo mismo que Si T no es issceles, entonces sus ngulos en la base son distintos.

(1.6)

Hay un tercer mtodo de demostracin que es til a veces. Se llama demostracin por contra-diccin. Se basa en un principio lgico fundamental: es imposible que una cadena de inferencias

,vlidas vaya de una proposicin verdadera a una falsa. Por tanto, si tenemos una proposicin R 4 Damos la frase original en alemn: "Was beweisbar st. sol! in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werilen."

22 CapItulo 1 Introduccin

y deducimos una contradiccin de la suposicin de que R sea falsa. se deduce que R debe ser verdadera.

Ejemplo 1.10 Usar tres mtodos distintos para probar que

_x2 + 5x - 4 > O ==} x > O Solucin:

(a) Demostracin directa: Supongamos que _x2 + 5x - 4 > O. Sumando X2 + 4 a cada miembro de la desigualdad se tiene 5x > X2 + 4. Puesto que x2 + 4 ~ 4, para todo x, tenemos que 5x > 4, Y as x > 4/5. En particular, x > O.

(b) Demostracin indirecta: Supongamos que x ~ O. Entonces 5x ~ O Y as _x2 + 5x - 4 es ~ O por ser la suma de tres nmeros no positivos.

(c) Demostracin por contradiccin: Supongamos que el enunciado no es cierto. Entonces tiene que existir un x tal que -x2 + 5x - 4 > O Y x ~ O. Pero si x ~ O, entonces -x2 + 5x - 4 ~ -x2 - 4 ~ -4, Y as hemos llegado a una contradiccin.

Razonamientos deductivo e inductivo Los tres mtodos de demostracin que acabamos de describir someramente son ejemplos de razona-miento deductivo, esto es, razonamiento basado en reglas lgicas. Por otra parte, muchas ramas de la ciencia usan razonamiento inductivo. Este tipo de proceso saca conclusiones generales basndose slo en unas pocas (o muchas) observaciones. Por ejemplo, la afinnacin de que "el ndice de precios ha aumentado cada ao durante los ltimos n aos; por tanto aumentar el ao prximo tambin" muestra un razonamiento inductivo. Los propietarios de casas en California saben lo peligroso que este razonamiento puede llegar a ser en economa. Este proceso inductivo es, no obstante, de una importancia fundamental en las ciencias experimentales y empricas, a pesar de que nunca se puedan considerar como absolutamente ciertas las conclusiones a que se llega.

El razonamiento inductivo no se considera una forma de demostracin matemtica. Supon-gamos, por ejemplo, que se pide a estudiantes de un curso de geometra probar que la suma de los ngulos de un tringulo vale 180 grados. Si miden fatigosamente, lo ms exactamente posible, 1.000 (o incluso un milln) de tringulos distintos, probando en cada caso que la suma de los ngulos es 180, no servira esto como demostracin? No. Aunque estas medidas representaran una buena indicacin de que la proposicin es cierta, no constituyen una demostracin matemtica. Anlogamente, en economa de la empresa, el hecho de que los beneficios de una compaa hayan crecido durante los ltimos 20 aos no es garanta de que crecern el presente ao.

No obstante, hay una forma matemtica de induccin que se usa bastante para crear demostra-ciones vlidas. Se expone en la Seccin B.5 del Apndice B.

Problemas 1 Considerar el siguiente enunciado (dudoso): "Si la inflacin crece, el paro disminuye". Cules de los

enunciados siguientes son equivalentes a l? (a) Para que disminuya el paro, la inflacin debe crecer. (b) Una condicin suficiente para que disminuya el paro es que la inflacin crezca. (c) El paro disminuye soIaxpente si la inflacin crece. (d) Si el paro no disminuye, la inflacin no crece.

Sec. 1.7/ Teor(a de conjuntos 23

(e) Una condicin necesaria para que crezca la inflacin es que el paro disminuya.

2 Analizar el siguiente epitafio: (a) usando la lgica y (b) desde un punto de vista potico. Los que lo conocieron lo amaron. Los que no lo amaron no lo conocieron.

3 Dar los detalles de la siguiente demostracin de que .Ji is irracional. Supongamos que.Ji p/q, donde p y q son enteros primos entre s. Entonces p2 2q2, lo que significara que p2, Y por tanto p, seran divisibles por 2. AS, P 28 para un entero 8, luego 482 = 2if. Por tanto, if 282 De aqu se sigue que q sera tambin divisible por 2, lo que contradice la hiptesis de que p y q son primos entre s.

1.7 TEORA DE CONJUNTOS Si sabes teor(a de conjuntos hasta el fondo, y nada ms de matemticas, no sirves de nada a nadie. Si supieras muchas matemticas, pero nada de teor(a de conjuntos, podrfas conseguir mucho. Pero si supieras un poco de teora de conjuntos, tendras una comprensin mucho mayor del lenguaje de las matemticas.

-l. Stewart (1975)

En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. Por ejemplo, nos refe-rimos al profesorado universitario significando todo el personal acadmico de la universidad. Un jardfu significa todas las plantas que crecen en l. Hablamos de todas las empresas con ms de 1.000 empleados, de todos los contribuyentes de Los ngeles que ganaron entre 50.000 y 100.000 dlares en 1992, y as sucesivamente. En todos estos casos tenemos una coleccin de objetos que se ve como una globalidad. En matemticas, tilla tal coleccin se llama un conjunto, y los objetos se llaman sus elementos o miembros.

Cmo se define un conjunto? La manera ms sencilla es dar una lista de sus elementos, en cualquier orden, entre las dos llaves { y }. Un ejemplo de conjunto es

S = {a,b,c} cuyos elementos son las tres primeras letras del alfabeto de la mayora de las lenguas de origen europeo. O bien podra tratarse de un conjunto con tres elementos representados por las letras a, b, c. Por ejemplo, si a = O, b 1 Y c = 2, entonces S {O, 1, 2}. Tambin S designa al conjunto de las races de la ecuacin cbica

(x a)(x b)(x - c) O en la incgnita x, donde a, b y c son tres nmeros reales cualesquiera.

De otra forma, supongamos que el lector come en un restaurante que ofrece varias alternativas para el plato fuerte. Podran ser cuatro: pescado, pasta, tortilla y pollo. Entonces el conjunto de las posibilidades, E, tiene estos cuatro elementos y est completamente definido por

E {pescado, pasta, tortilla, pollo} Ntese que el orden en la lista de los platos no importa. El conjunto de posibilidades es el mismo, aun cuando se cambie el orden de los elementos del men.

Se considera que dos conjuptos A y B son iguales si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. En este caso, escribimos A = B. Esto significa que

24 Captulo 1 / Introduccin

los dos conjuntos tienen los mismos elementos. Consiguientemente, {1,2, 3} {3, 2,1} porque el orden en que se colocan los elementos no significa nada. Adems {1, 1,2, 3} = {1, 2, 3}, porque un conjunto no cambia si sus elementos aparecen ms de una vez.

Dar una propiedad No se puede definir cualquier conjunto dando una lista de sus elementos. Algunos conjuntos son infinitos, esto es, contienen un nmero infinito de elementos.

De hecho, esos conjuntos infinitos son bastante corrientes en economa. Tmese, por ejemplo, el conjunto presupuestario que aparece en la teora del consumidor. Supongamos que hay dos bienes, en cantidades designadas por x e y, que se pueden comprar a los precios p y q, respectivamente. Una cesta de consumo es un par (x, y) de cantidades de los dos bienes. Su valor a los precios p y q es px + qy. Supongamos que un consumidor tiene una cantidad m para gastar en los dos bienes. Entonces la restriccin presupuestaria es px + qy ::; m (suponiendo que el consumidor puede no gastar todo su dinero). Si tambin se acepta que la cantidad consumida de cada bien no es negativa, entonces el conjunto presupuestario (al que designaremos por P) consta de las cestas de consumo (x, y) que verifican las tres desigualdades px + qy ::; m, x 2:: O e y 2:: O. (El conjunto P es el de la Figura 2.41.) Una notacin estndar para este conjunto es

P = {(x,y) :px + qy::; m, x 2:: O, y 2:: O} (1.7) Se siguen usando las llaves { } para designar al "conjunto que consta de". Sin embargo, en lugar de enumerar todos sus elementos, lo que es imposible pues son infinitos, se define el conjunto en dos partes. A la izquierda de los dos puntos se pone (x, y), que es la manera en que se designa un elemento tpico de P, en este caso una cesta de consumo que se especifica por una lista de las cantidades de los dos bienes. A la derecha de los dos puntos se colocan las tres propiedades que deben verificar esos elementos tpicos. As queda definido el conjunto. Esto es un ejemplo de la definicin general:

s {elemento tpico : propiedades a satisfacer} Ntese que no slo se pueden definir los conjuntos infinitos por propiedades -los finitos tambin. De hecho, hay que definir de esta manera algunos conjuntos finitos, como el de los seres humanos que hoy viven o, como esperamos, el conjunto de los lectores de este libro.

En matemticas se hace uso frecuente de los conjuntos infinitos. Por ejemplo, en la Seccin 1.4, estudiamos el conjunto de los enteros positivos, que se designa usualmente por N, as como el de los nmeros racionales, que se designa por Q, y el de los nmeros reales, que se designa por R. Todos estos conjuntos son infinitos.

Pertenencia a un conjunto Como dijimos antes, los conjuntos estn formados por elementos. Hay una notacin estndar para designar la relacin entre un conjunto y sus elementos. Primeramente,

xES

indica que x es un elemento de S. Ntese el smbolo especial E (que es una variante de la letra griega E, o "psilon"). A veces se usa S :3 x para expresar exactamente la misma relacin x E S. El smbolo :3 se llama "posee", pero no se usa frecuentemente. Para expresar el hecho de que x no es un elemento de S, escribimos x ti:. S. Por ejemplo, d ti:. {a, b, e} quiere decir que d no es un elemento del conjunto {a, b, e}.

Para ilustrar la notacin de pertenencia a un conjunto, volvamos a nuestros ejemplos anteriores. Dado el conjunto presupuestario P de (1.7), designemos por (x*, y*) las compras que hace el

Seco 1.7/ Teora de conjuntos 25

consumidor. Entonces debe verificarse que (X*, y*) E P. Si un cliente del restaurante elige una opcin s en el conjunto E = {pescado, pasta, tortilla, pollo} de los platos fuertes del men, debe ser s E E. ste es el que llamamos "