Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû

Ëåêöèè 13�14

Å.À. ßðåâñêèé

28 ôåâðàëÿ 2019

Ìåòîäû ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé (ÎÄÓ)

ÓðàâíåíèåF (x , u, u′, . . . , u(n)) = 0

íàçûâàåòñÿ îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì n-ãî ïîðÿäêà,åñëè F îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà êàê ôóíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ, è çàâèñèòîò u(n).Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ðàçðåø¼ííîå îòíîñèòåëüíî ñòàðøåéïðîèçâîäíîé:

u(n) = f (x , u, u′, . . . , u(n−1)). (1)

Ðåøåíèå íà èíòåðâàëå I = [a, b] � ôóíêöèÿ u(x) òàêàÿ, ÷òî:1) u(x) ∈ C n[a, b],2) (x , u(x), u′(x), . . . , u(n−1)(x)) ∈ D(f ) ∀x ∈ I ,3) u(n) = f (x , u(x), u′(x), . . . , u(n−1)(x)) ∀x ∈ I .

Îñíîâíûå òèïû çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ

Çàäà÷à Êîøè (íà÷àëüíàÿ çàäà÷à)Íàéòè òàêîå ðåøåíèå ÎÄÓ, ÷òî

u(x0) = u0, u′(x0) = u′

0, . . . , u(n−1)(x0) = u

(n−1)0

,

ãäå u(i)0

� çàäàííûå ÷èñëà.

Êðàåâàÿ çàäà÷à. Äëÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà:u′′ = f (x , u, u′), x ∈ [a, b],α1u(a) + β1u

′(a) = γ1,α2u(b) + β2u

′(b) = γ2,

ãäå |αi |+ |βi | 6= 0, i = 1, 2.

Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ôóíêöèè îäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è,γ1 = γ2 = 0.

Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè

Òåîðåìà Ïåàíî. Åñëè f � íåïðåðûâíà â D, òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè(x0, u0, u

′0, . . . , u

(n−1)0

) ∈ D ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1),îïðåäåë¼ííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè x0 ∈ I .Åäèíñòâåííîñòü íå ãàðàíòèðóåòñÿ!

Òåîðåìà Êîøè-Ïèêàðà. Åñëè f � íåïðåðûâíà â D è óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ïåðåìåííûì u, u′, . . . , u(n−1), ò.å.

|f (x , µ1, µ2, . . . , µn)− f (x , ν1, ν2, . . . , νn)| < Ln∑

k=1

|µk − νk |,

òî äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0, u0, u′0, . . . , u

(n−1)0

) ∈ D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîåðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåë¼ííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè x0 ∈ I .

Çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà

Óðàâíåíèå (1) ìîæíî ñâåñòè ê ñèñòåìå

duidx

= fi(x , u0, u1, . . . , un−1), i = 0, 1, . . . , n − 1,

ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïóò¼ì çàìåíû ui(x) = u(i)(x).Ìåòîäû ðåøåíèÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ íà ñèñòåìû; áóäåìâíà÷àëå ðàññìàòðèâàòü îäíî óðàâíåíèå

u′ = f (x , u), u(a) = u0. (2)

Ðàçîáü¼ì [a, b] íà N ÷àñòåé a = x0 < x1 < . . . xN .Ïóñòü u(xi) = ui � òî÷íîå, à yi � ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå â òî÷êå xi .

Äâà îñíîâíûõ òèïà ÷èñëåííûõ ñõåì:

ÿâíûå: yi = G (yi−k , yi−k+1, . . . , yi−1) � âûðàæåíèå;

íåÿâíûå: yi = G (yi−k , yi−k+1, . . . , yi) � óðàâíåíèå.

Ìåòîä, âû÷èñëÿþùèé íîâîå çíà÷åíèå yi ïî k ïðåäûäóùèì, íàçûâàåòñÿk-øàãîâûì.Åñëè k = 1, ìåòîä íàçûâàåòñÿ îäíîøàãîâûì.

Ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè

Ïðè ðåøåíèè ÎÄÓ âàæíû äâà òèïà ïîãðåøíîñòè: ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü èãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè.

Ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü di � ïîãðåøíîñòü, ñäåëàííàÿ íà äàííîì øàãå, ïðèóñëîâèè, ÷òî ïðåäûäóùèå çíà÷åíèÿ òî÷íû (è íåò îøèáîê îêðóãëåíèÿ):

di = yi+1 − ui+1,

ãäå ui+1 � òî÷íîå ðåøåíèå ÎÄÓ, ïîñòðîåííîå ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ â òî÷êåxi .

Ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ei � ðàçíîñòü ìåæäó âû÷èñëåííûì ðåøåíèåì èòî÷íûì ðåøåíèåì, îïðåäåëÿåìûì èñõîäíûì óñëîâèåì â òî÷êå x0:

ei = yi − ui .

Åñëè f (x , u) íå çàâèñèò îò u, òî ðåøåíèå ÎÄÓ ôàêòè÷åñêè ñâîäèòñÿ êâû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà. Ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà ñóììå ëîêàëüíûõïîãðåøíîñòåé íà èíòåðâàëàõ.Åñëè çàâèñèìîñòü åñòü, òî ei ìîæåò áûòü êàê áîëüøå (äëÿ íåóñòîé÷èâûõóðàâíåíèé) òàê è ìåíüøå (äëÿ óñòîé÷èâûõ) ñóììû ëîêàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé.

Ïîðÿäîê ÷èñëåííîãî ìåòîäà.Ìåòîä èìååò ïîðÿäîê p, åñëè ñóùåñòâóåò C , íå çàâèñÿùåå îò i è hi :

|di | ≤ Chp+1

i , èëè di = O(hp+1

i ).

Íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå ÷èñëî øàãîâ

N = (b − a)/h.

Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îøèáêè ïðèáëèæ¼ííî ñêëàäûâàþòñÿ, òî ãëîáàëüíàÿîøèáêà

ei ≈ N · O(hp+1) = O(hp).

Ïîëó÷åíèå ÿâíûõ ñõåì èç ðÿäà Òåéëîðà

u(x + h) = u(x) + hu′(x) +h2

2u′′(x) + . . .+

hn

n!u(n)(x) + . . . .

Åñëè u(x) � ðåøåíèå (2), òî u′(xi) = f (xi , ui) è

u′′(xi) =d

dxf (x , u)|xi = f ′x (xi , ui) + f ′u(xi , ui)f (xi , ui),

u′′′(xi) = f ′′xx(xi , ui) + 2f ′′xu(xi , ui)u′(xi) + f ′′uu(xi , ui)u

′2(xi) + f ′u(xi , ui)u′′(xi), . . . .

Àíàëîãè÷íî ìîæíî âûðàçèòü âñå ïðîèçâîäíûå. Òîãäà

ui+1 = ui + hf (xi , ui) +h2

2[f ′x (xi , ui) + f ′u(xi , ui)f (xi , ui)] + . . . .

Îáðûâàÿ ðÿä íà ðàçíûõ ïîðÿäêàõ, ïîëó÷àåì ðàçëè÷íûå ìåòîäû.

Ìåòîä Ýéëåðà (ìåòîä ëîìàíûõ)

Ñîõðàíÿåì â ðÿäå Òåéëîðà òîëüêî ÷ëåíû 1ãî ïîðÿäêà ïî h:

yi+1 = yi + hf (xi , yi), y0 = u0,

ïîëó÷àåì ìåòîä Ýéëåðà.

Ìîæíî èñïîëüçîâàòü áîëåå âûñîêèå ïîðÿäêè:

ui+1 = ui + hf (xi , ui) +h2

2[f ′x (xi , ui) + f ′u(xi , ui)f (xi , ui)]

è ò.ä., îäíàêî íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ìíîãî ïðîèçâîäíûõ.Ýòî òåõíè÷åñêè ñëîæíî äåëàòü äëÿ ïðîèçâîëüíî çàäàâàåìûõ ôóíêöèé.Äëÿ óðàâíåíèé, êîòîðûå ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü î÷åíü ìíîãî ðàç ñ îäíîé è òîéæå ôóíêöèåé f , òàêàÿ ñõåìà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé.

Ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà

Çàìåíèì ïðîèçâîäíûå â ôîðìóëå Òåéëîðà èõ ðàçíîñòíûìè àíàëîãàìè:

ui+1 = ui + h[αf (xi , ui) + βf (xi + γh, ui + δh)

]+ . . . ,

Êîíñòàíòû îïðåäåëèì, ïîòðåáîâàâ ñîâïàäåíèÿ äî ìàêñèìàëüíî äîñòóïíîéñòåïåíè ïî h. ( äàííîì ñëó÷àå: O(h3)).Ðàçëîæèì f (xi + γh, ui + δh) â ðÿä:

ui+1 = ui + h(α + β)f (xi , ui) + βh2[γf ′x (xi , ui) + δf ′u(xi , ui)

]+ O(h3).

Ñðàâíèâàÿ ñ ðÿäîì Òåéëîðà, ïîëó÷èì:

α + β = 1, βγ = 1/2, βδ = f (xi , ui)/2.

Âûðàçèì âñå ïàðàìåòðû ÷åðåç β, ïåðåéä¼ì îò ui ê yi :

yi+1 = yi + h

[(1− β)f (xi , yi) + βf (xi +

h

2β, yi +

h

2βf (xi , yi))

], 0 < β ≤ 1.

Ñåìåéñòâî ðàçíîñòíûõ ñõåì Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêà.Äâà âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè.Îáû÷íî âûáèðàþò β = 1/2 èëè β = 1.

 îáùåì ñëó÷àå: âûáèðàåì ÷èñëà

α1, . . . , αq, p1, . . . , pq, βij , 0 < j < i ≤ q;

íàõîäèì

k1(h) = hf (x , y)

k2(h) = hf (x + α2h, y + β21k1(h))

. . . . . .

kq(h) = hf(x + αqh, y + βq1k1(h) + . . .+ βq,q−1kq−1(h)

).

è

y(x + h) ≈ z(h) = y(x) +

q∑i=1

piki(h).

Ïàðàìåòðû ïîäáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû îáåñïå÷èòü îáíóëåíèå ìàêñèìàëüíîéñòåïåíè ïî h ôóíêöèè y(x + h)− z(h).

Ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêà

Îäèí èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¼ííûõ è óïîòðåáèòåëüíûõ ìåòîäîâ:

yi+1 = yi +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4),

k1 = f (xi , ui), k2 = f (xi + h/2, yi + hk1/2),

k3 = f (xi + h/2, yi + hk2/2), k4 = f (xi + h, yi + hk3).

Åñëè çàâèñèìîñòè îò y íåò, ïîëó÷àåì çíàêîìûå ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ:ìåòîä Ýéëåðà � ëåâûå ïðÿìîóãîëüíèêè,ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêà ñ β = 1 � ôîðìóëà ñðåäíèõ,ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêà ñ β = 1/2 � ôîðìóëà òðàïåöèé,ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêà � ôîðìóëà Ñèìïñîíà ñ øàãîì h/2.

Îöåíêà ïîãðåøíîñòè îäíîøàãîâûõ ìåòîäîâ

en = yn(xn)− u(xn) = yn(xn)− y0(xn) + y0(xn)− u(xn) =

=n∑

j=1

(yj(xn)− yj−1(xn)) + (y0(xn)− u(xn)).

Îöåíèì ðàçíîñòü äâóõ ðåøåíèé:Ïóñòü Yi(x) � ðåøåíèÿ y ′ = f (x , y), f (x , y) � íåïðåðûâíà è íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìà ïî y . Òîãäà

Y2(β)− Y1(β) =(Y2(α)− Y1(α)

)exp

{∫ β

α

fy (x , y(x))dx

}, (3)

ãäå y(x) çàêëþ÷åíî ìåæäó Y1(x) è Y2(x).Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷òåì äðóã èç äðóãà:

Y ′2= f (x ,Y2), Y ′

1= f (x ,Y1).

Ïî ôîðìóëå Ëàãðàíæà:

f (x ,Y2)− f (x ,Y1) = fy (x , y)(Y2 − Y1),

ãäå y � ìåæäó Y1 è Y2. Ïîëó÷àåì ëèíåéíîå ÄÓ:

(Y2 − Y1)′ = fy (x , y)(Y2 − Y1).

Ôóíêöèÿ

fy (x , y(x)) =f (x ,Y2(x))− f (x ,Y1(x))

Y2(x)− Y1(x)

íåïðåðûâíà, äàëåå ðåøàåì ÄÓ è ïîëó÷àåì (3).

Ïóñòü α = xj , β = xn, Y1(x) = yj−1(x), Y2(x) = yj(x), òîãäà

yj(xn)− yj−1(xn) =(yj(xj)− yj−1(xj)

)exp

{∫ xn

xj

fy (x , yj(x))dx

},

y0(xn)− u(xn) =(y0(x0)− u(x0)

)exp

{∫ xn

x0

fy (x , y0(x))dx

}= 0.

ò.ê. ñ÷èòàåì, ÷òî íà÷àëüíîå óñëîâèå y0(x0) = u(x0) âûïîëíåíî òî÷íî.

Òåïåðü ïîãðåøíîñòü çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:

en =n∑

j=1

ωj exp

{∫ xn

xj

fy (x , yj(x))dx

},

ãäå ωj = yj(xj)− yj−1(xj).ωj � ýòî ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü dj .Ïóñòü ïîðÿäîê ìåòîäà ðàâåí p,

|ωj | ≤ Chp+1

j .

Îáîçíà÷èì

L = maxx|fy | <∞, h = max

jhj , |ωj | ≤ Chphj .

Ïðè a = x0 ≤ xj ≤ xn ≤ b âûïîëíåíî:

exp

{∫ xn

xj

fy (x , yj(x))dx

}≤ exp {L(xn − xj)} ≤ exp {L(b − a)}.

Îöåíèâàåì en:

|en| ≤ exp {L(b − a)}n∑

j=1

|ωj | ≤ exp {L(b − a)}n∑

j=1

Chphj ,

|en| ≤ exp {L(b − a)} Chp(b − a).

Åñëè fy (x , y) ≤ −m < 0, òo â îöåíêå ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò ðåçêî ðàñòóùåãîìíîæèòåëÿ:

|en| ≤ C2hp.

Õîðîøî ðàáîòàåò ïðè îòûñêàíèè óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé.

Ìåòîäû Àäàìñà

Äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè âûïîëíåíî:

u(xn+1) = u(xn) +

∫ xn+1

xn

f (x , u(x))dx .

Ïóñòü íàì èçâåñòíû ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ yi â k òî÷êàõ xn−k+1, xn−k+2,. . . , xn.(Íàïðèìåð, ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà.)Ñòðîèì ïî ýòèì òî÷êàì èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Pn,k(x) äëÿ f (x , u(x)).Èíòåãðàë ñ÷èòàåòñÿ ÿâíî, ïîëó÷àåì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ fi = f (xi , yi) ñíåêîòîðûìè âåñàìè λi . Ïîëó÷àåì

yn+1 = yn +

∫ xn+1

xn

Pn,k(x)dx = yn +k∑

i=1

λi f (xn+1−i , yn+1−i)

� k-øàãîâàÿ ÿâíàÿ ôîðìóëà Àäàìñà.

Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû

Îáùèé ëèíåéíûé k-øàãîâûé ìåòîä îïðåäåëÿåòñÿ êàê

yn+1 =k∑

i=1

αiyn+1−i + hk∑

i=0

βi f (xn+1−i , yn+1−i),

ãäå αk èëè βk íå ðàâíî 0.Åñëè β0 = 0, ìåòîä ÿâëÿåòñÿ ÿâíûì,åñëè β0 6= 0 � íåÿâíûì.

Îáû÷íî íà êàæäîì øàãå ñîâìåñòíî èñïîëüçóþòñÿ äâà ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäà.Îäèí ÿâíûé ìåòîä (ïðåäèêòîð),îäíî èëè íåñêîëüêî ïðèìåíåíèé íåÿâíîãî ìåòîäà (êîððåêòîð).Âñÿ ñõåìà: ìåòîäû ïðåäèêòîð-êîððåêòîð (èëè ïðîãíîç-êîððåêöèÿ).

Ïðèìåð: ìåòîäû Àäàìñà âòîðîãî ïîðÿäêà

1) ßâíûé ìåòîä:èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì äëÿ y ′ = f ïî òî÷êàì xn−1, xn:

Pn,2(x) = fn−1 +fn − fn−1

h(x − xn−1).

Èíòåãðèðóåì:

yn+1 = yn +

∫ xn+1

xn

Pn,2(x)dx = yn +h

2(3fn − fn−1).

2) Íåÿâíûé ìåòîä:èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì äëÿ y ′ = f ïî òî÷êàì xn, xn+1:

Pn+1,2(x) = fn +fn+1 − fn

h(x − xn).

yn+1 = yn +

∫ xn+1

xn

Pn+1,2(x)dx = yn +h

2(fn+1 + fn).

Ìåòîä Àäàìñà ÷åòâ¼ðòîãî ïîðÿäêà

ïðåäèêòîð: yn+1 = yn +h

24(55fn − 59fn−1 + 37fn−2 − 9fn−3),

êîððåêòîð: yn+1 = yn +h

24(9fn+1 + 19fn − 5fn−1 + fn−2).

Ñõåìà ðàáîòû ïðåäèêòîð-êîððåêòîð:1. Èñïîëüçîâàòü ïðåäèêòîð äëÿ âû÷èñëåíèÿ y

(0)n+1

, i = 0. (P)

2. Âû÷èñëèòü f(i)n+1

= f (xn+1, y(i)n+1

). (E)

3. Âû÷èñëèòü y(i+1)n+1

ïî ôîðìóëå êîððåêòîðà. (C)4. Èëè èòåðèðîâàòü ñ 2., i := i + 1, äî äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè; èëè

ñäåëàòü ôèêñèðîâàííîå êîë-âî øàãîâ m.Îáû÷íî âûáèðàþò P(EC )m èëè P(EC )mE .Ñ ó÷¼òîì ïîãðåøíîñòè è óñòîé÷èâîñòè, äëÿ ìåòîäîâ Àäàìñà îáû÷íîâûáèðàþò PECE .

Àäàïòèâíûå ìåòîäû (êîíòðîëü ïîãðåøíîñòè)

Êàê ïðàâèëî, íå çíàåì íåîáõîäèìûé ðàçìåð øàãà.Ìîæåì ïîïðîáîâàòü ìåíÿòü øàã â ïðîöåññå âû÷èñëåíèé.Ïóñòü ãëàâíûé ÷ëåí ïîãðåøíîñòè â òî÷êå x :

Cshs+1.

Òî÷êà x + h áëèçêà, â íåé ïîãðåøíîñòü òàêàÿ æå. ðåçóëüòàòå äâóõ øàãîâ ïîëó÷èì äëÿ ïðèáëèæåíèÿ y (1):

y (1) − u(x + 2h) ≈ 2Cshs+1.

Åñëè ñäåëàòü ñðàçó øàã 2h, òî äëÿ çíà÷åíèÿ y (2):

y (2) − u(x + 2h) ≈ Cs(2h)s+1.

Èñêëþ÷àåì Cs , íàõîäèì ãëàâíûé ÷ëåí ïîãðåøíîñòè íà øàãå:

y (1) − u(x + 2h) ≈ y (2) − y (1)

2s − 1.

Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äâîÿêî:

1. Îöåíêà ïîãðåøíîñòè íà øàãå y (2) − y (1) ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàêïàðàìåòð äëÿ âûáîðà øàãà.Ââîäÿò äâå ïîãðåøíîñòè ε0 è ε1 < ε0.Åñëè |y (2) − y (1)| > ε0, øàã óìåíüøàþò.Åñëè |y (2) − y (1)| < ε1, øàã óâåëè÷èâàþò.

2. Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ìîæåò òàêæå èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ óòî÷íåíèÿðåøåíèÿ:

y(x + 2h) ≈ y (1) +y (1) − y (2)

2s − 1.

Èç ñåìåéñòâ ôîðìóë çàäàííîé òî÷íîñòè ïîäáèðàþò ìåòîä,ìèíèìèçèðóþùèé êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûé âû÷èñëåíèé ïðàâîé ÷àñòèóðàâíåíèÿ äëÿ äâóõ øàãîâ: h è 2h.

Óñòîé÷èâîñòü âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåì

Îïðåäåëåíèå. Ðåêóððåíòíàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿóñòîé÷èâîé îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé δj , j = 0, 1, . . . , q − 1, íà÷àëüíûõäàííûõ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî C , ÷òî äëÿ ëþáîãî k = q + 1, q + 2, . . .âûïîëíåíû îöåíêè

|δk | ≤ C max0≤j<q

|δj |.

( íàøåì ñëó÷àå δk = uk − yk .)Âîçüì¼ì ëèíåéíûé ìåòîä â âèäå

yk =

q∑i=1

αiyk−i +

q∑i=0

βi fk−i .

Äëÿ òî÷íûõ çíà÷åíèé ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ñ ïîãðåøíîñòüþ:

uk =

q∑i=1

αiuk−i +

q∑i=0

βi fk−i + Rk .

Âû÷èòàÿ ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì

δk =

q∑i=1

αiδk−i + Rk .

Áëàãîäàðÿ ëèíåéíîñòè, ïîãðåøíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû:

δk = δ′k + δ′′k ,

ãäå δ′k çàâèñèò òîëüêî îò ïîãðåøíîñòåé íà÷àëüíûõ äàííûõ,à δ′′k îïðåäåëÿåòñÿ ïîãðåøíîñòÿìè àïïðîêñèìàöèè Rj .

Óñòîé÷èâîñòü îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ äàííûõ

δ′k =

q∑i=1

αiδ′k−i , k = q, q + 1, . . . .

Ðåøåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè δ′0,, ò.å. q ëèíåéíî

íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé.Èùåì â âèäå ñòîëáöîâ δ′j = λj . Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:

λq =

q∑i=1

αiλq−i .

Ïóñòü λj , j = 1 . . .m, � åãî êîðíè ñ êðàòíîñòÿìè `j , `1 + `2 + . . .+ `m = q.Êàæäîìó êîðíþ λj îòâå÷àþò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ψ

(r), r = 0, 1 . . . `j − 1:

ψ(0) =

1λjλ2j...λqj...

, ψ(1) =

dψ(1)

dλj=

012λj...

qλq−1j...

, . . . .

Îáùåå ðåøåíèå - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ.Ñêëàäûâàåì âñå ðåøåíèÿ äëÿ ðàçíûõ êîðíåé:

δ′k =m∑j=1

`j−1∑i=0

Cjiλk−ij

k!

(k − i)!.

Âàæíî ïîâåäåíèå δ′k ïðè áîëüøèõ k .Îñíîâíîé âêëàä äàþò ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå max ïî ìîäóëþ êîðíÿì.

Ïóñòü max |λj | äîñòèãàåòñÿ ïðè j = p è ðàâåí q, òîãäà

|δ′k | ∼ Cqk k!

(k − `p + 1)!.

Ïðè q > 1, ïîãðåøíîñòü íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò.Ïðè q = 1,

|δ′k | ∼ Ck`p−1.

Äëÿ ïðîñòîãî êîðíÿ, ïîãðåøíîñòü îñòà¼òñÿ îãðàíè÷åííîé. ñëó÷àå êðàòíîãî êîðíÿ, `p > 1, ïîãðåøíîñòü èìååò ñòåïåííîé ðîñò.

Êîðåíü λ = 1 èìååòñÿ âñåãäà.Äåéñòâèòåëüíî, ïðè f (x) = 0, y(x) = u(x) = C , è

C =

q∑i=1

αiC .

Òåîðåìà.Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä óñòîé÷èâ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåéíà÷àëüíûõ äàííûõ, åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëåæàò âêðóãå |λ| ≤ 1 è âñå êîðíè, ðàâíûå ïî ìîäóëþ åäèíèöå, � ïðîñòûå.

Î÷åâèäíî, ÷òî îäíîøàãîâûå ìåòîäû óñòîé÷èâû.

Ïðèìåð óñòîé÷èâîãî äâóõøàãîâîãî ìåòîäà:

yn =1

5yn−2 +

4

5yn−1 +

4

5hfn−1 +

2

5hfn.

Óñòîé÷èâîñòü ïî îòíîøåíèþ ê ïîãðåøíîñòÿì àïïðîêñèìàöèè

Ïóñòü ñõåìà îáëàäàåò óñòîé÷èâîñòüþ ïî îòíîøåíèþ ê íà÷àëüíûì äàííûì.Äëÿ δ′′k ïîëó÷àåì:

δ′′q = Rq, δ′′q+1= α1δ

′′q + Rq+1, . . . δ

′′2q−1 =

q−1∑i=1

αiδ′′2q−1−i + R2q−1,

δ′′k =

q∑i=1

αiδ′′k−i + Rk , k = 2q, 2q + 1, . . .

Âàæíî ïîâåäåíèå ïîãðåøíîñòè ïðè áîëüøèõ k .

δ′′k ëèíåéíà ïî Ri íà øàãàõ i = q, q + 1, . . . , k , òîãäà

δ′′k =k∑

i=q

ckiRi .

cki � ïîãðåøíîñòü δ′′k , îòâå÷àþùóþ ñëó÷àþ Rj = δij .

Çàäà÷à èõ îïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ðàññìîòðåííîé ðàíåå íà÷àëüíîé çàäà÷åéäëÿ δ′k ïðè íåíóëåâîé ïîãðåøíîñòè òîëüêî ó δ′i .Ò.î., äëÿ cki âåðíû ïîëó÷åííûå îöåíêè.Åñëè ÷èñëåííàÿ ñõåìà óñòîé÷èâà ê ïîãðåøíîñòÿì íà÷àëüíûõ äàííûõ, òî

|cki | ≤ C .

Òîãäà

|δ′′k | ≤ Ck∑

i=q

|Ri | ≤ C (k − q)R ≤ C (x − a)R

h, R = max

q≤i≤k|Ri |.

Òåîðåìà.Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä óñòîé÷èâ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåéàïïðîêñèìàöèè, åñëè:1) ôîðìóëà óñòîé÷èâà îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé íà÷àëüíûõ äàííûõ,2) ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî C , ÷òî |Rj | ≤ Ch äëÿ ëþáîãî h > 0.

Îïðåäåëåíèå.Ìåòîä íàçûâàåòñÿ ñòðîãî óñòîé÷èâûì, åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ, êðîìå åäèíèöû, ïî ìîäóëþ ñòðîãî ìåíüøå 1.

Ïðèìåð

Ðàññìîòðèì äâóõøàãîâûé ìåòîä:

yn+1 = yn−1 + 2hfn.

Íàïîìèíàåò ìåòîä Ýéëåðà, íî èìååò âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè.Ïðèìåíèì åãî ê óðàâíåíèþ

y ′ = −2y + 1, y(0) = 1,

ñ òî÷íûì ðåøåíèåìy(x) = 0.5e−2x + 0.5.

Òî÷íîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå: λ2 = 1, êîðíè λ = ±1.×èñëåííàÿ ñõåìà óñòîé÷èâà.

×èñëåííûé ìåòîä äëÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ âûãëÿäèò êàê

yn+1 = yn−1 + 2h(−2yn + 1), y0 = 1.

Çíà÷åíèå y1 âîçüì¼ì èç òî÷íîãî ðåøåíèÿ: y1 = 0.5e−2h + 0.5.Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ðåøåíî òî÷íî:

yn = c+ωn+ + c−ω

n− + 0.5, ω± = −2h ±

√1+ 4h2,

c± =1

4± y1 + h − 0.5

2√1+ 4h2

.

Ïîâåäåíèå ïðè n→∞ îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè h > 0

|ω+| < 1, |ω−| = 2h +√1+ 4h2 > 1.

Ïðè÷èíà � îòñóòñòâèå ñòðîãîé óñòîé÷èâîñòè.

×èñëåííûé ìåòîä äëÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ âûãëÿäèò êàê

yn+1 = yn−1 + 2h(−2yn + 1), y0 = 1.

Çíà÷åíèå y1 âîçüì¼ì èç òî÷íîãî ðåøåíèÿ: y1 = 0.5e−2h + 0.5.Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ðåøåíî òî÷íî:

yn = c+ωn+ + c−ω

n− + 0.5, ω± = −2h ±

√1+ 4h2,

c± =1

4± y1 + h − 0.5

2√1+ 4h2

.

Ïîâåäåíèå ïðè n→∞ îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè h > 0

|ω+| < 1, |ω−| = 2h +√1+ 4h2 > 1.

Ïðè÷èíà � îòñóòñòâèå ñòðîãîé óñòîé÷èâîñòè.

Ëèòåðàòóðà

1. Áàõâàëîâ Í.Ñ., Æèäêîâ Í.Ï., Êîáåëüêîâ Ã.Ì., ×èñëåííûå ìåòîäû, Ì.:Áèíîì. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2012. - 636 ñ. Ïàðàãðàôû 8.2, 8.4, 8.8, 8.9.2. Ôîðñàéò Äæ., Ìàëüêîëüì Ì., Ìîóëåð Ê., Ìàøèííûå ìåòîäûìàòåìàòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé, Ì.: Ìèð, 1980. - 280 ñ. Ïàðàãðàôû 6.1 � 6.5.3. Îðòåãà Äæ., Ïóë Ó., Ââåäåíèå â ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, Ì.: Íàóêà, 1986. - 288 ñ. Ïàðàãðàô 2.5.