12.3.2. Área y volumen de una Esfera - Libreria online ... · 12.3.6A. Centroide (G) ... La recta que une el centro de una esfera y el de un círculo menor de la esfera es perpendicular

799Und. 12 – Cuerpos Redondos798 Geometría

Toda sección de la esfera correspondiente al plano que pasa por su centro recibe el nombrede círculo máximo.

12.3.2. Área y volumen de una Esfera

Respecto a la figura (b) se verifican las siguientes relaciones:

12.3.2A. Área de la superficie esféricaEl área de una superficie esférica, denotada como ASE, es igual al cuádruplo del área de uncírculo máximo.

ASE 4R2

12.3.2B. Volumen de la EsferaEl volumen de una esfera es igual a 4/3 del área de círculo máximo multiplicado por lalongitud del radio.

VE 43 R3

12.3.3. Huso Esférico y Cuña Esférica

12.3.3A. Huso esféricoSe llama huso esférico a la superficie esférica comprendida entredos semiplanos secantes cuyo borde común es un diámetro.

Si los semiplanos secantes forman un ángulo diedro de medidaº, llamado amplitud, y el radio de la esfera es «R», entonces elárea del huso esférico, denotado por AHE, viene dado por:

2HE

º90ºA R

12.3.3B. Cuña esféricaLa cuña esférica es el sólido geométrico comprendido entre dos semiplanos secantes quetienen como borde común un mismo diámetro y el huso esférico.

En física, las ondas esféricas son ondas tridi-mensionales que se propagan a la misma velo-cidad en todas direcciones. Se llaman ondasesféricas porque sus frentes de ondas son esfe-ras concéntricas, cuyo centro coincide con laposición de la fuente de la perturbación entodas las direcciones.Un ejemplo de este tipo de ondas son las on-das sonoras que se propagan a través del aireen reposo. Otros ejemplos de ondas esféricaslo son las ondas luminosas y en general todotipo de ondas electromagnéticas.

12.3.1. Esfera y Superficie Esférica

12.3.1A. DefiniciónSea «O» un punto cualquiera y sea «R» un número positivo arbitrario. Se llama esfera al cuerpoformado por todos aquellos puntos del espacio que no distan más de «R» del punto «O».

El punto «O» se llama centro de la esfera y el número «R» se conoce como el radio de la esfera.Ver figura (a). La frontera de la esfera se denomina superficie esférica. Los puntos de la super-ficie esférica son aquellos puntos de la esfera que están a una distancia igual al radio.

La esfera es un sólido geométrico que se genera por la rotación de un semicírculo que girauna vuelta completa alrededor de su diámetro, como se aprecia en la figuras (b) y (c).

12.3.1B. Teorema«Toda sección de la esfera correspondiente a un plano es un círculo y el centro de este círculoes el pie de la perpendicular trazada desde el centro de la esfera al plano secante». Fig. (a).


B1. Área total{Área total} {Área de la zona} {Área de las bases} ; 2 2

SEG 2A Rh a b

B2. Volumen

El volumen de un segmento esférico está dado por: 3 2 2SEG

16 2V h h a b

12.3.4C. Casquete Esférico (CE)Se llama casquete esférico a la parte de la superficie esférica obtenida al cortar a la esfera porun plano que no pasa por su centro.

Si el plano secante es diametral, los casquetes obtenidos son congruentes y se denominancasquetes semiesféricos. Si el plano secante no pasa por el centro de la esfera se obtienen uncasquete menor y un casquete mayor que un hemisferio.

A continuación analizamos el casquete de la Fig. (b) para determinar el área de su superficiey el volumen del segmento esférico limitado por el casquete y el plano secante. Para elloestablecemos una relación entre el radio «R» de la esfera, la altura «h» del casquete y el radio«a» de la base del casquete:

i) Aplicando el teorema de Pitágoras en el OMF de la Fig. (c):

R2 (R – h)2 a2 2 2

2a hR

h . . . ()

ii) Área del casquete esférico (ACE).- El valor de esta área es igual al área lateral de un cilindrorecto cuya base es un círculo de radio «R» y su altura «h» es igual al del casquete:

ACE 2Rh

Y de (): ACE (a2 h2)

iii) Volumen del segmento esférico (VCE):2

CE (3 )3hV R h

Y de (): 2 2CE 36

hV a h

Si los semiplanos secantes forman un ángulo diedro de medida º, y el radio de la esfera es«R», entonces el volumen de la cuña esférica, denotado por VCE, viene dado por:

3CE

º270ºV R

12.3.4. Partición de una Esfera

Un plano secante divide a la esfera en dos sólidos lla-mados segmentos esféricos, y a la superficie esférica endos porciones llamadas casquetes esféricos.

Si el plano secante es diametral, los dos casquetes y losdos segmentos son iguales, y se llaman hemisferios.

Si el plano secante no es diametral se tendrán un cas-quete y un segmento esférico mayor y menor, respecti-vamente, que un hemisferio.

En ocasiones a los casquetes esféricos se les llama cas-carones esféricos, cuando su interior es vacío.

12.3.4A. Zona Esférica (ZE)Se llama zona esférica a la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos secantes.

Por ejemplo en la figura, ABCD es una zona esfé-rica. Estos planos cortan a la superficie esféricasegún dos círculos paralelos llamados bases de lazona. Asimismo la distancia entre los planos pa-ralelos es la altura de la zona.

Si «h» es la altura de la zona esférica, o del cas-quete, y «R» es el radio de la superficie esférica,entonces el área AZE de un casquete o de una zonaesférica es la de la superficie lateral de un cilin-dro recto de igual altura y radio:

AZE 2Rh

12.3.4B. Segmento Esférico (SEG)Es un sólido geométrico definido como la porciónde esfera comprendida entre dos planos secantes yparalelos, o bien, la porción de esfera comprendidaentre una zona esférica y sus bases.

Si a y b son los radios de las bases del segmentoesférico ABCD, «h» su altura y «R» es el radio de laesfera, se cumple que:


Ejemplo.- Un plano «P» es tangente en el punto «M» a una esfera de centro «O». Si «R» es unpunto del plano «P», el radio de la esfera mide 3 y OR 5; calcule MR.

Por propiedad, sabemos que:

OM P OM MR En el OMR aplicamos el Teorema de Pitágoras:

32 x2 52 x 4

12.3.6. Teorema de Pappus y Guldinus

12.3.6A. Centroide (G)«Es un punto característico de una figura cuya ubicación guarda relación directa con laequidistribución de los puntos que lo conforman».

12.3.6B. Área de una superficie

«El área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la curvageneratriz por la distancia recorrida por el centroide de la curva al generar el área de lasuperficie».

Si AB es la longitud de una curva y x es la distancia de su centroide a un eje de giro dado,el área S de la superficie generada al dar una vuelta está dado por:

2 ABS x

Ejemplo.- Determinar el área de la superficie generada por:

a) El segmento AB respecto del eje «L».

AB 4 m

1,5 mx

2 (1,5)(4)S 12

12.3.4D. Sector Esférico (SEC)Se llama sector esférico a la porción de esfera limitada por una superficie cónica, con vérticeen el centro, y el casquete correspondiente.

El área lateral del sector esférico es el que se obtiene al sumar el área lateral de la superficiecónica con el área del casquete.

Área total del Área de la Área delsector esférico superficie cónica casquete esférico

En cuanto al volumen del sector esférico (VSEC) este viene a ser un tercio del producto delárea del casquete correspondiente por la medida del radio.

SEC CE13V A R

12.3.5. Propiedades

1ra Propiedad.- Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al radio que pasa por elpunto de contacto. Fig (a)

2da Propiedad.- La recta que une el centro de una esfera y el de un círculo menor de laesfera es perpendicular al plano del círculo.

3ra Propiedad.- Planos equidistantes del centro de una esfera la cortan en círculos iguales.Fig. (b)

804 Geometría 805Und. 12 – Cuerpos Redondos

01.- El gráfico muestra un casquete esférico ubi-cado en una esfera de radio «R».

Completar el siguiente cuadro:

02.- En el gráfico se muestra una semiesfera ins-crita en un paralelepípero rectangular.

I. Calcule el volumen del paralelepípedo cuan-do el radio de la semiesfera mide 2.

......................................................................

II. Calcule los dimensiones del paralelepípedo,cuando el volumen de la semiesfera es 18.

......................................................................

III. Calcule el radio de la semiesfera, cuando elvolumen del paralelepípedo mide 500.

......................................................................

IV. Calcule la diagonal del paralelepípedo, cuan-do el radio de la esfera mide 3.

......................................................................

03.- La figura sombreada está conformada porun cuadrante y un rectángulo de modo que dichafigura gira 360º en torno a la recta L .

L

Si «V» es el volumen del sólido que se obtiene,completa el siguiente cuadro:

04.- De acuerdo al gráfico mostrado.

Completa el siguiente cuadro:

b) La semicircunferencia AB respecto del eje «L».

R 3 m

x m2(3) 6

S 2 (3 6) 36

12.3.6C. Volumen

«El volumen que encierra una superficie de revolución es igual alproducto del área generatriz por la distancia recorrida por elcentroide del área al generar el volumen».

Si SC es el área de una figura cerrada y x es la distancia de sucentroide a un eje de giro dado, el volumen «V» generado poréste, al dar una vuelta, está dado por:

C2V x S

Ejemplo.- Determinar el volumen generado por:

a) La región triangular ABC respecto del eje «L».

AB 6 m, BC 8 m

AB 6 2 m3 3

x

2 ( 2V 6 8)2 396 m

b) El semicírculo AB respecto del eje «L».

R 3 m

4( 3x )3

4

22

C(3) 9 m2 2

S

2V 4

92

336 m


Prob. 01

Calcular el volumen de una esfera, sabiendoque éste es numéricamente igual al área de susuperficie.

Representando gráficamente la esfera, se-gún condición del problema:

V(esf.) = S(esf.) 3 24 43 R R

Simplificando: R = 3

V 3(esf.)

4= (3) = 363

Prob. 02

Calcular el área total de una semiesfera cuyoradio mide «R».

Tengamos en cuenta que la semisuma tie-ne una base la cual es el círculo máximo dela esfera:

Sea Sx el área de la semiesfera, donde:

Sx = SL + SB Sx = 2R2 + R2

Sx = 3R2

Prob. 03

Calcular el radio de la esfera que se puede cons-truir con el material fundido de dos esferas deradios 1 y 2.

Graficamos la condición de equivalenciade las esferas pequeñas y de la obtenidapor fundición:

Según condición del problema:

3 3 34 4 4(1) (2)3 3 3x x3 = (1)3 +(2)3 = 9

3= 9x

Prob. 04

Dos esferas sólidas de radios «r» y «2r» sefunden para formar un cilindro circular rectode radio básico igual a «3r». Calcular la alturadel cilindro.

Graficamos y ubicamos los datos del pro-blema:

05.- En el gráfico mostrado el círculo gira 360ºalrededor de la recta «L».

a. ¿Cuál es el volumen del sólido generado, cuan-do R = 2 y d = 4?

......................................................................

b. Si R = 3 y el área de la superficie generada es962. ¿Cuánto mide «d»?

......................................................................

c. Si R = d y el área de la superficie generada es64. ¿Cuál es el volumen del sólido generado?

......................................................................

06.- En el gráfico se muestra un rombo el cualgira en torno a la recta

L .

Correlaciona ambas columnas coherentemente.

a. Distancia del centro de gravedad al eje.( ) 20

b. Perímetro del rombo. ( ) 288c. Área del rombo. ( ) 6d. Área de la superficie generada. ( ) 24e. Volumen del sólido generado. ( ) 240

07.- En el gráfico el hexágono regular gira entorno a la recta

L .

Escribir (V) o (F), según las proposiciones seanverdaderas o falsas.

I. El perímetro del hexágono mide 12. ( )

II. El área del hexágono mide 24 3 . ( )

III. La distancia del centro de gravedad hacia eleje mide 2 3 . ( )

IV. El área de la superficie generada es 48 3 .( )

V. El volumen del sólido generado es 96 3 .( )

08.- En el gráfico mostrado «P» es un plano se-cante a la esfera, de modo que la sección deter-minada es un círculo y «d» es la distancia delcentro de la esfera a dicho plano.

Completar el siguiente cuadro:


Sean: Ve: Volumen de la esfera

Vc: Volumen del cono

Vx: Volumen del cilindro

Luego: 3e

43V R y 2

c1 (2 )3V R R

Entonces: 3 3e c

4 23 3V V R R

De donde: 2R3 = 100 . . . (1)

Nos piden: Vx = R2(2R) = 2R3 . . . (2)

Comparando (1) y (2) obtenemos:

Vx = 100

Prob. 08

Una esfera de radio 5 es intersectada por unplano que dista del centro 3. Calcular el volu-men del menor segmento esférico determinado.

En la esfera graficamos la sección circularmenor producida por el plano secante:

Siendo «V» el volumen del segmento esfé-rico, entonces:

3 21 16 2V h ha . . . (1)

Del gráfico: h = 5 – 3 = 2 y a = 4

Reemplazando en (1):

3 21 1(2) (2)(4)6 2V

52= 3V

Prob. 09

Calcular el volumen del sólido generado por elcírculo mostrado.

De acuerdo al gráfico y alas condiciones del pro-blema:

Aplicamos el Teorema dePappus-Goulding:

V = (2)2· 2(2)

V = 162

Prob. 10

Calcular el área total de una semiesfera, en lacual se encuentra inscrito un cubo de arista 2y una de sus caras descansa en la base delcilindro.

De acuerdo a la condición:

3 3 24 4 (2 ) (3 )3 3r r r h

12r3 = 9r2h

h r4= 3

Prob. 05

Una semicircunferencia de diámetro 6, gira 90ºalrededor de su diámetro. Calcular el área de lasuperficie generada.

Esquematizando el problema y ubicandodatos tenemos:

Reconociendo la superficie sombreadacomo un huso esférico de área «S», enton-ces:

2 2 90º(6)90º 90ºS R

S = 36

Prob. 06

La sección producida en una esfera por un pla-no secante, dista 5 del centro y tiene 144 deárea. Calcular el área de la superficie esférica.

Graficamos la esfera y así también la sec-ción circular determinada por el punto se-cante:

La sección producida es un círculo de ra-dio «r».

Por condición del problema:

r2 = 144 r = 12

Se observa en el OHB que:

R2 = 52 + r2 = 25 + 122

R2 = 169

Nos piden: S(esf) = 4R2

S(esf) = 676

Prob. 07

Un cono circular recto y una esfera se encuen-tran inscritos en un cilindro circular recto. Si lasuma de los volúmenes del cono y de la esferaes 100, calcular el volumen del cilindro.

Elaboramos el gráfico que se ajuste a lascondiciones del problema:


Sea «O» el centroide de la región cuadradaABCD, luego:

De la figura: OD 2 2

El volumen del sólido generado será:

2(S.G.) (4) 2 (2 2 )V

(S.G.) = 64 2V

Prob. 14En un triángulo equilátero ABC de lado 6, setraza la altura BH . Calcular el área de la figuragenerada por dicho triángulo al girar en tornoa una recta paralela a BH y que dista de ella 9.


Sea «G» el centroide del triángulo ABC,luego el área de la figura generada será:

S(F.G.) = (6 + 6 + 6)2(9)

S(F.G.) = 324

Prob. 15

Calcular el volumen del sólido generado por laregión correspondiente a un tríangulo equilá-tero de 6 de lado, que gira 360º alrededor deuno de sus lados.

Esquematizamos el problema según sucondición:

Según el Teorema de Pappus-Goulding:

V = S(ABC)· 2d

Donde:2

( ABC)6 3 9 34S

Del gráfico: 3 3BH 33 3d

Graficamos y ubicamos los datos, ademásreconocemos que el centro «O» de la basede la semi esfera lo es también de la basedel cubo.

Sea «R» la longitud del radio, en el AOBtendremos:

R2 = 22 + (OA)2

Además: 2 2OC OA 22

2 2 22 ( 2 )R R2 = 6

Nos piden: ST = 3R2 = 3(6) ST = 18

Prob. 11

Calcular el área de la superficie de una esferaque está inscrita en un cono equilátero cuyageneratriz es de 4 3 de longitud.

Elaboramos el gráfico y ubicamos los datos:

Dado que el cono es equilátero, entonces:

VA VB AB 4 3

Además: PA PB 4 3

En el POB de 30º y 60º: R = 2

Reemplazando: SS.E. = 4R2 = 4(2)2

SS.E. = 16

Prob. 12

Una región rectangular ABCD, gira entorno aAD , si: AB = 4 y BC = 6, calcular el volumendel sólido generado.

Reconocemos que «G» es el centro del rec-tángulo y «d» la distancia de este al eje derotación:

Por el Teorema de Pappus–Goulding:

Vx = S(ABCD) · 2d

Donde: S(ABCD) = 4· 6 = 24 y d = 2

Luego: Vx = 24· 2· 2

Vx = 96

Prob. 13

Calcular el volumen del sólido generado por elcuadrado ABCD al girar entorno a .


Luego: x9 422V

Vx = 36

Prob. 19

Las diagonales AC y BD de un rombo ABCDmiden 6 y 8 respectivamente. La prolonga-ción de AC interseca en «P» a una recta paralela a BD . Si: AB = CP, calcular el área dela superficie generada por dicho rombo al girar360º entorno a .

Graficamos la situación problémica don-de indicamos los datos del mismo:

Luego: d = OC + CP = 3 + 5 = 8

Sx = 2(ABCD)· 2· d

2(ABCD) = 5(4) = 20 y d = 8Luego: Sx = 20· 2· 8 Sx = 320

Prob. 20

Un cuadrado de lado 3 2 gira en torno a unarecta que contiene a un vértice y forma conuno de sus lados 30º. Calcular el volumen delsólido generado.

Elaboramos el gráfico correspondeinte endonde ubicamos los datos del problema:

El volumen del sólido generado (V(S.G.)) es:

V(S.G.) = a2· 2d . . . (1)

En el OHD de 15º y 75º:

6 2422

da

( 3 1)4ad

En (1):3

2(S.G.)

( 3 1)2 ( 3 1)4 2aaV a

Como: a3 = 2 (S.G.) = ( 3 + 1)V

Prob. 21

La región triangular mostrada ABC, gira alre-dedor del eje AC

, si: BH = 3 y AC =4. Calcular

el volumen del sólido generado.

Trazamos la mediana BM del triánguloABC.

Luego: 9 3 2 3V

V = 54

Prob. 16

Determinar la distancia del centroide de un se-micírculo a su diámetro, si éste mide 2R.

Sea «G» el centroide del semicírculo yGO = d es la distancia buscada.

Al girar el semicírculo se determina unaesfera de volumen:

343V R

Por Pappus: 2

(S.G.) 22RV d

3 243 R R d

4= 3Rd

Prob. 17

Un rectángulo ABCD, gira en torno a una rectaque pasa por «D» y forma 30º con AD , si:AB = 2 y BD = 4. Calcular el volumen del sólidogenerado.

Sea «L» la recta que sirve como eje de giro y«O» el centroide del rectángulo:

En el BAD de 30º y 60º:

AD 2 3 y ADB 30ºm

En el OHD de 30º y 60º: 3d

Luego: (S.G.) (2)(2 3) 2 ( 3)V

V(S.G.) = 24

Prob. 18

Un semicírculo cuyo diámetro AB mide 6, giraentorno a AB . Calcular el volumen del sólidogenerado.


Aplicando el Teorema de Pappus-Goulding:

Vx = S · (2d)

Donde: S = 23 9

2 2

4 43

Rd


Sea «G» el baricentro del ABC y «d» sudistancia al eje de rotación , luego em-pleando el Teorema de Pappus:

Vx = S(ABC)· 2d . . . (1)

ABC6 8 242S . . . (2)

Donde: CBM ~ CTG

23 3d k

k

d = 2 . . . (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):

Vx = (24)(2)(2)

Vx = 96

Prob. 24

Un cuadrado ABCD gira en torno a una rectaexterior paralelo a AC . CD prolongadointerseca en «P» a . Calcular el área de lasuperficie generada, si: PD = 4 y AB = 6.

Construimos el gráfico según la condicióndel problema:

En el cuadrado ABCD: BG GD 3 2

En el DHP de 45º: DH HP 2 2

De donde: 3 2 2 2 5 2d

Sea Sx el área de la superficie generada:

Luego: Sx = 2(ABCD)· 2· d

Sx = 24(2· 5 2 )

x = 240 2S

Prob. 25

Las diagonales de un rombo miden 6 y 8. Cal-cular el área de la superficie generada por di-cho rombo al girar 360º alrededor de uno desus lados.

Graficamos el rombo y el eje de rotaciónque contiene a AD .

Del gráfico y según el Teorema de Pappus-Goulding:

Sx = 2(ABCD)· 2d . . . (1)

En el AOD: AD = 5 y 4 3 2,45d

Reemplazando en (1): Sx = (20)(2)(2,4)

Sx = 96

Sea «G» el centroide de la región ABC y«d» su distancia al eje .

Por el Teorema de Pappus-Goulding:

x4 3 22V d

Vx = 12d . . . (1)

Donde BHM ~ GTM:

3 3d k

k d = 1

Vx = 12

Prob. 22

Un círculo gira en torno a una recta coplanar(ver figura) si: MN = 7. Calcular el volumen delsólido generado.

En el gráfico, trazamos OK tal que:

OK = 8

Sea «Vx» el volumen pedido.

Luego por el Teorema de Pappus-Goulding:

x ( )2 (OK)V S . . . (1)

2(3) 9S

Entonces: OK = 8

Reemplazando en (1): Vx = 9· 2· 8

Vx = 1442

Prob. 23

Determinar el volumen del sólido generado poruna región triangular rectangular ABC que giraentorno a BC , si: AB = 6, BC = 8 y AC = 10.

Elaboremos el gráfico correspondeinte se-gún las condiciones del problema:


Prob. 28

Calcular el volumen del sólido generado por laregión cuadrada ABCD al girar entorno a .

Sea AC BD G

De la figura reconocemos que «G» elcentroide de la región ABCD y «d» su dis-tancia a .

En el cuadrado ABCD:

BG = GD = 2

En el GHD de 30º y 60º: 3d

Luego el volumen «Vx» pedido será:

2x (2 2 ) 2 3V

x = 16 3V

Prob. 29

Si los lados de un romboide están en la razónde 3 a 7. Calcular la razón de los volúmenes delos sólidos que se obtienen mediante la rota-ción de la región limitada por dicho romboideen torno a sus lados adyacentes.

Elaboramos el gráfico y ubicamos datos:

Del dato: sean:

AB = 3k y AD = 7

También sean: V1 el volumen generado porel romboide al girar sobre y V2 el volu-men generado por el romboide al girar so-bre .

Por teorema del Pappus - Gulding:

V1 = SABCD · 2 · y

V1 = (3k)(2x)· 2 · y ... (1)

Además: V2 = SABCD · 2 · x

V2 = (7k)(2y)· 2 · x ... (2)

Dividimos (1) y (2): 1

2

37

VV

Prob. 26

Calcular el volumen del sólido generado por laregión cuadrada ABCD al girar entorno a .

Ubicamos el centro «G» del cuadrado y tra-zamos GT de modo que GT = d.

De la figura: APD DQC (A.L.A.)

AP DQ 3PD CQ 4

Y en el APD: a = 5

En el trapecio PACQ: 3 4 72 2d

Luego: Vx = S(ABCD)· 2d

2x

7(5) 2 2V

Vx = 175

Prob. 27En la figura, AB = 13, BC = 15 y AC = 14.Calcular el volumen del sólido generado por laregión ABC al girar alrededor de .

Ubicamos el centroide «G» (baricentro) de laregión ABC y trazamos GG' (GG’ = d)

Por Teorema de Pappus-Goulding:

Vx = SABC· 2· d . . . (1)

Por el Teorema de Herón:

(ABC) 21(21 13)(21 14)(21 15)S

S(ABC) = 84

Por propiedad: 8 8 10 123d

Reemplazando en (1): Vx = 84· 2· 12

Vx = 2016


01.- Calcular el volumen de una esfera de radioigual a 3.

A) 36 B) 30 C) 40

D) 44 E) 45

02.- El volumen de una esfera es numéricamen-te igual al triple del área de la superficie esféri-ca. Calcular el radio.

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

03.- Siendo área de una superficie esférica igual144, calcular el volumen de la esfera.

A) 288 B) 144 C) 196

D) 120 E) 156

04.- Calcular el volumen de la esfera inscrita enun cubo cuya longitud de su arista es igual a 6.

A) 30 B) 18 C) 46

D) 40 E) 36

05.- Calcular el área de la esfera circunscrita aun cubo de área total igual a 72.

A) 24 B) 28 C) 30

D) 32 E) 36

06.- Calcular el volumen de la esfera inscrita enun cilindro recto de volumen 300.

A) 100 B) 150 C) 200

D) 250 E) 270

07.- Una esfera cuyo radio mide 3 es equiva-lente a un cono circular recto cuyo radio de labase mide 2. Calcular la medida de la altura delcono.

A) 12 B) 48 C) 24

D) 36 E) 27

08.- Calcular el volumen de la cuña esférica mos-trada.

A) 9

B) 10

C) 12

D) 15

E) 20

09.- Calcular el área del casquete esférico mos-trado.

A) 9

B) 10

C) 12

D) 15

E) 20

10.- Si el triángulo ABC gira en torno a ,calcular el área de la superficie generada.

A) 288

B) 144

C) 324

D) 196

E) 720

Prob. 30

Una región paralelográmica ABCD gira entor-no a . Calcular el volumen del sólido gene-rado, si: AB = 5, AD = 8 y m A 53º .

Elaboramos el gráfico y ubicamos los da-tos:

Por el Teorema de Pappus-Goulding:

Vx = S(ABCD)· 2d .....(1)

S(ABCD) = 8· 4 = 32 .....(2)

Además, BTD: 4 22d .....(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):

Vx = 32· 2· 2

Vx = 128


20.- En la figura AB es diámetro del círculomáximo de la esfera. Calcular el área de la su-perficie esférica, sabiendo además: AC = 6,

BAC 60ºm .

A) 144

B) 48

C) 72

D) 52

E) 54

21.- De una esfera cuya área es «S», se hanobtenido dos semiesferas. Calcular el área co-rrespondiente a una de las semiesferas.

A) S B) S/2 C) 3S/4

D) 2S/3 E) 4S/3

22.- Calcular el volumen del sólido generadopor la región sombreada al girar en torno a .

A) 64

B) 72

C) 84

D) 90

E) 100


A) 144

B) 72

C) 36

D) 260

E) 288

24.- Calcular el volumen de la esfera mostrada.

A) 20

B) 24

C) 30

D) 36

E) 40

25.- Si el cuadrado ABCD gira en torno a ,además AD = CM, calcular el área de la superfi-cie generada.

A) 260

B) 240

C) 300

D) 360

E) 450

26.- Si el paralelogramo ABCD gira en torno a. Además: AB + BC = 12 y AC = 4 3 ,

calcular el área de la superficie generada.

A) 132

B) 140

C) 144

D) 150

E) 168


A) 1150

B) 1200

C) 1250

D) 1300

E) 1344

11.- Si el rectángulo ABCD gira en torno a ,calcular el área de la superficie generada.

A) 84

B) 90

C) 98

D) 100

E) 105

12.- Un círculo de radio «R», gira en torno deuna recta tangente a ella. Calcular el volumendel sólido generado.

A) 2R3 B) 22R3 C) 32R3

D) 42R3 E) 82R3

13.- Calcular el volumen del segmento esférico.

A) 52/3

B) 50/3

C) 6

D) 8

E) 9

14.- Dos esferas tangentes exteriores de radios12 y 3, se apoyan en un plano horizontal. ¿Cuáles la distancia entre sus puntos de apoyo conel plano?

A) 9 B) 12 C) 18

D) 15 E) 6 3

15.- Un plano secante a una esfera determinauna sección de 25de área. Si el radio de laesfera es igual a 13, ¿a qué distancia del centrose trazó el plano secante?

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

16.- Calcular el volumen del sólido generadopor un triángulo equilátero de lado «a» quegira alrededor de una recta que contiene a unode sus lados.

A) 3

4a B)

3

2a C) a3

D) 3

3a E)

3

8a

17.- Del gráfico, calcule el área de la superficiegenerada por el rectángulo ABCD al girar 360º,entorno a . Si: 3(AB) = 2(AD) = 3(DE) = 6.

A) 70

B) 60

C) 50

D) 40

E) 75

18.- El rombo ABCD gira en torno a ;BD , además: AO = OC = CM = 3, calcularel área de la superficie generada.

A) 200

B) 220

C) 240

D) 260

E) 280

19.- ABCD es un cuadrado. Calcular el volu-men del sólido generado por la región cuadra-da al girar 360º, alrededor de .

A) 36 2

B) 64 6

C) 2504

D) 216 2

E) 2264



A) 1650

B) 1500

C) 1440

D) 1360

E) 1668

37.- Calcule el volumen del sólido generadopor la región ABCD al girar 360º alrededor de

. Si: AD = 15.

A) 7500

B) 700

C) 600

D) 500

E) 800

38.- En un triángulo ABC: AB = 13, BC = 15 yAC = 14. Calcular el volumen del sólido genera-do por la región triangular ABC al girar unavuelta alrededor de AC.

A) 672 B) 670 C) 688

D) 667 E) 660

39.- En un rombo ABCD: B 60m , por «D»se traza una recta «L» que forma 30º con CD .Calcular el volumen del sólido generado por elrombo al girar 360º alrededor de «L»; la distan-cia «C» a «L» es 1.

A) 6 3 B) 6 C) 6 2

D) 12 E) 24 3

40.- Calcular el área de la superficie generadapor el cuadrado al girar en torno a , AB = 4 yAB .

A) 25 B) 32 2 1

C) 48 2 1 D) 75

E) 16

41.- En la figura: «G» es el centroide de la re-gión ABCD. Calcular el valor de «x».

A) 2 2a ba b

B) aba b C) ab

D) 2 2

3( )a b ab

a b

E) 2 2a b ab

42.- En la figura: «G» centroide del cuadranteAOB. Calcular «x».

A) 43

R

B) 23

R

C) 13

R

D) 35

R

E) 53

R

43.- Calcular el volumen del sólido engendra-do por el triángulo equilátero ABC.


A) 200

B) 230

C) 240

D) 250

E) 260


A) 80 3 B) 30 C) 36 2

D) 40 2 E) 56 2


A) 288 B) 288 2 C) 144 2

D) 136 2 E) 160 2

31.- Calcular el volumen de la esfera máximaque se puede inscribir en una semiesfera deradio «R».

A) 3

4R B)

3

5R C)

3

6R

D) 3

7R E)

3

8R

32.- Una esfera de radio «R», se encuentra ins-crita en un prisma regular triangular de volu-men 3162 3 u . Determinar el volumen de laesfera.

A) 54 B) 18 C) 72

D) 27 E) 36

33.- A qué distancia del centro de una esfera sedebe trazar un plano, de modo que el área de lasección determinada sea igual a la diferenciaentre las áreas de los dos casquetes esféricosformados, además el radio de la esfera mide( 5 2 ) cm.

A) 0,5 cm B) 5 cm C) 2 cm

D) 1 cm E) 1,5 cm

34.- El radio de la base de un cono de revolu-ción es 21 m y el radio de la esfera circuns-crita al cono mide 5 m. Calcular el volumen delsegmento esférico formado por la base del conoy la esfera.

A) 36 B) 18 C) 26

D) 39 E) 523

35.- Un hexágono regular ABCDEF, cuyo ladomide «a», gira en torno a una recta que contie-ne a AF . Calcular el volumen del sólido engen-drado.

A) 392 a B) 37

2 a C) 3a3

D) 2a3 E) a3

824 Geometría

A) 16 2

B) 8 2

C) 10 2

D) 12 2

E) 12

44.- En la figura, ABCD es un cuadrado de lado24 – 3. Calcular la distancia del centroide de lafigura sombreada a AD .

A) 10

B) 12

C) 14

D) 5

E) 15

45.- Determinar el volumen del sólido engen-drado por la región sombreada.

A) ( – 1) B) ( – 2) C) ( – 3)

D) ( 1)2 E) ( 2)2

46.- Calcular el área de la esfera mostrada.

01A

09B

17A

25A

33D

02D

10A

18C

26C

34A

03A

11C

19D

27E

35A

04E

12B

20A

28C

36A

05E

13A

21C

29A

37A

06C

14B

22D

30B

38A

07E

15D

23E

31C

08A

16A

24D

32E

CLAVES

39A

40B

41D

42A

43A

44A

45B

46C

47C

48C

A) 9 B) 10 C) 12

D) 13 E) 16

47.- Las bases de un trapecio isósceles miden2 y 6 metros respectivamente. Calcular la longi-tud del lado no paralelo, si la razón del volumeny la superficie generado por el trapecio al giraruna vuelta en torno a la base mayor es igual a larazón del área de la región trapecial y su res-pectivo perímetro.

A) 6 m B) 7 cm C) 8 m

D) 10 m E) 12 m

48.- En un romboide ABCD: AB = 1 y BC = 3. Siel volumen del sólido generado por la regiónparalelográmica ABCD al girar en torno a ABes 12 m3. Calcular el volumen del sólido gene-rado por la misma región al girar en torno aBC .

A) 2 m3 B) 3 m3 C) 4 m3

D) 5 m3 E) 6 m3

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12.3.2. Área y volumen de una Esfera - Libreria online ... · 12.3.6A. Centroide (G) ... La recta que une el centro de una esfera y el de un círculo menor de la esfera es perpendicular