Capit 02Trigonometria -areoseangulosI.Nocapituloanterior, trabalharnoscomviriasrelas:oesenvolvendoasmedidasdeladosede angulos de urn triangulo.Entre as relas:oes estudadas estavam as razoes trigonometricas deangulosagudos: seno, cosseno e tangente.oramodamatematicaqueestudaessestiposderelas:oese chamadotrigonornetria (dogregotrigonon, triangulo,emetria, medis:ao, atodemedir).Os prirneiros estudos sobre trigonometria tiveramorigemnas relas:oes existentes entre la-dose angulos numtrianguloe datam demuitotempo.Neste capitulo,prepararemos0 terreno para0 estudodealgumasnovasfuns:oes, chama-dastrigonornerricas, entreasquaisas fllns:oessenoe cosseno.Essasfuns:oes saomuitoimportantes, poisinurnerosfenomenos queocorrememnossavolta sao descritospOl' funs:oesdessetipo.Assim, pOl' exemplo, ocorre com a eletricidade, com as ondas sonoras, com estudostopo-graficos etc.A oeDois pontos Ae B quaisquer, tornados so-bre umacircllnferencia, dividem-na emduaspartes, cadaumadelaschamadaarcodacir-cunferencia.A figuraaoladomostra0 arco A:B. Nele,oponto Ae a suaorigemeB, a sua extrerni-dade.A medida docomprimento doarcoAB pode ser feitautilizando-se qualquer dasunida-des usadas para rnedir seu raio, como0 metro, 0 centimetro etc. As unidades mais comumen-teusadas sao0 grau e0 radiano.2. Arcos e angulos Medida de urn arco utilizando0 grau como unidadeCom relas:aoaograu, ja sabemosqueeumaunidadedemedidadeurnarcodecircun-ferencia, tal que:1Urngrau(1) corresponde a da circunferencia ondeesta0 arco a ser medido.360Portanto a circunferencia tern3600.269Sabemos aindaque:I1 tem 60' e I' tem 60" Ie que, a partirdesegundos, voltamosa utilizar 0sistemadecimal, usandodecimos, centesi-mos etc. (de segundo).Assim:a) 12 20' significa12 graus e 20minutos;b) 5 10' 30"significa5 graus, 10minutos e 30 segundos;c) 30 15'10,5"significa30 graus, 15minutos, 10 segundos e5 decimosde segundo.Vejan10sumexemplo de a p l i c a ~ a o .Considerando-se umrel6giocom pomeiro dashoras e ponteiro dos minutos, calcular:a) 0deslocamento do ponteiro das horas em1 hora.b) 0deslocamentodo ponteiro das horas em1 minuto.c) 0deslocamemo do ponteirodos minutos em1 hora.d) 0deslocamento do ponteiro dosminutos em1 minuto.e) 0menor arcodeterminado pelos dois ponteiros quandofor 3 h10min.Soluriioa) Veja 0queocorre, por exemplo, das3 has 4h.12 12Notando que0mostrador esta divididoem12 partes iguais(umapara cada hora),entao,para cada hora, corresponded um deslocamemo de360 --:- 12, ou seja, em 1 hora 0 pon-teirodas horasse desloca30.b)Ta sabemos que em1 hora (60min) 0pomeiro das horas se desloca30,Temos a seguin-teregra de tres simples e direta:--------.... xDeslocamento (graus)-------+>30Tempo (min)60160 30 1Temos que: -- = --~ 60. x = 30 ~ x = - ou0, 5.1 x 2Entao, em cada minuto 0ponteiro dashoras se desloca 0,5, ou seja,30',c) Em1 hora0pomeirodosminutosdauma volta completa, ou seja, 0deslocamentoe de360.d)Em1 hora(60min)0ponteiro dosminutossedesloca360.Temosa regra detres sim-ples e direta mostrada a seguir.270xTempo (min) Deslocamento (graus)60 -------+. 3601Entio: 60 = 360 => 60. x =360 => x =6.1 xPorranto, em eada minuto0 ponteiro dosminutos se desloea 6.e)Vamos analisar0 queoeorre desdeas3 hate3 h10 min.12l3 h123 h10 minAs3 h0 areoera de3. 30, ou seja, 90. 1Nos10 min0 ponteiro das horas se desloeau 10 - grau, ou seja, 5 (aumentou0 area).2Nos mesmos10 min0 ponteiro dos minutos se desloeou10. 6, ou seja, 60(diminuiuoareo).Entao0 area proeuradomede:90 +5 - 60 = 35.omenor areaas3 h10minmede35.EXERCiclOSPROPOSTOS _1. Um rel6gio tem0ponteiro de horas e 0de minu-tos. Determine0 deslocamento do ponteiro dashoras depois de passados:a) 4 hb) 25 minc) 2 h 15 min2. Nesse mesmorel6gio, determine0deslocamento do ponteiro dos minutos depois de passados:a) 20 min b) 30min30 s3. Ainda com0 mesmo rel6gio, calcule 0 menor dos angulos determinados pelos ponteiros quando marcarem:a) 3 h 20 min b) 1 h 15 min c) 7 h 30 min4. Umrel6gio perdeu0ponteiro dos minutos, masainda tem 0 das horas. Num determinadomomento, esse ponteiro esta posicionado comomostra a figura ao lado.Que horas sao?271"1300,,,,~Medida de urn arco usando0 radiano como unidadeVamos entender0 quee radiano atraves da situac;ao a seguir.Urnciclista comec;a a rodar suabicicleta para a direita...ChaoA...e, quandopercebe que nochao existe tinta vermelha, queesra "pintando"0 pneu...Chao)A... de para. S6 que, ao parar, de ja havia ava.l1c;ado lUna dist3..l1cia igual ao raio da roda da bicicleta.Aociclista volta, defe, para a posic;ao inicial. rChao-Posic;ao inicial.ChaoChao272Poisbem, 0 ciclista voltou aposirraoinicial mas, nisso, uma partedo pneu foipintada devermelho! Exatamente a parte correspondente ao arco H' da figurae eujo eomprimentoeigual ao doraio.Umareaeujoeomprimentoe igual aodoraiodacircunferenciaondeseeneantramede1radianoe e indicado por 1rad. Nonossoexemplo, H' mede1 rad.Entao, definimos:Radianoeumaunidadedemedir arcos. Eumarcodeeamprimentoigual aoraiodacircunferencia onde esta0 area a ser medido.eimportantenotarque, como0 comprimentode umacircunferencia edadopor C =2. 7T . r, em que rea medida do raio, entio, em radianos, a circunferencia toda ted.:11800 earrespondem a7T rad.IA transformarraodamedida deumarcodada em grauspara radianos (e vice-versa)e feitasimplesmente aplicando-seuma regra de tres simples e direta.Vejamos alguns exemplos.12. 7T . f rad, ou seja, 27T rad(7T vale aproximadamente3,14).f1Dessa forma, para uma circunferencia qualquer, temosque360 correspondem a27Trad,ou sep:Exemplo1900Exprirnir 150 em radianos.SolufaoTemos a regra detres simples e direta:Arco(graus) Arco(rad)180000180 7TIt 150,x6Entao:1-8'0 7T=> 6x 57T => X57T2700l-s6---x 65'IT"2oarcomede57T-- rad.6Exemplo 2'IT0Exprimir7Trad em graus.6SolUfaoComo 7T rad corresponde a 180, entao7T d d I 1800. 300ra correspon era a ---, ou seJa, .6 6273Exemplo 3Exprimir em graus0 arcode ~ rad.50SolUtiio180Como'JT rad corresponde a 180, entao~ rad correspondera a50 50Vamos dividir180 por50:Restooarea procurado mede3 36' .30 (resto)X601800'1800'300'00~36'EXERCICIOSPROPOSTOS _5. Exprima emradianos:a) 6006. Deemgraus:21Ta) 3 rad7. Transforme:a) 10emradianosb) 31T rad4c) 71T rad6b) 1 rademgrausd) 1200d) ~ rad153. Medida deurnangulocentralVirnos emnossos estudos de1Q grau que urnangulo, com vertice nocentro deumacir-cunferencia, e chamado angulo central. 1\A figura abaixomostra0 angulo central AGB.O_-----.,:..:.A--Emuito eanveniente adotar como unidade de medida de urn angulo central0 angulo quedetermina na circunferencia urnarco unitario.Dessa forma:1\onumeroqueexprimea medida doangulo AGBe0 mesmoqueexprimea medidadoarco AB.274Assima) Se a w1idade de medida tor0 grau e 0 areaABmedir, por exemplo, 60, entao1\oanguloAGBtambemmedira 60.b) Se a unidade de medida for0 radiano e0...----.. 1Tarea AB medir, por exemplo, - rad,61\entao 0 anguloAGBtambem medinl1T rad.6Oe-.l.-----4.,..A'-----..---i- radOF---'----+,---Vejamos algunsexemplos.-i- radExemplo1A eireunfereneia dafiguraabaixotem8em deraio. Um insetoparte dopontoAe anda so-1\bre ela ate0ponto B. Sabendo que a medida do angulo central AGBe 60, determinar quan-toseentimetros andou0 inseto.Oe----'------tASolUfiioTemos a seguinte regrade tres simples e direta:Angulo central(graus)360f 60Entao:Comprimento do areo(em)2.1T 8x360602. 1T . 8 2. 1T 8. 60=>x= =>xx 3603,14. 83=> x = 8,37Portanto0 inseto andouaproximadamente8,37 em.Exemplo 2Numa eireunfereneia que tem 28 em de diametro, um areo tem 12 em de eomprimento. Quale a medida (emrad)doangulo central earrespondente?275SolUfiioSe0 diametro mede 28 em, entao0 raio mede14 em. Temos a seguinte regra detres simplese direta:Portanto:Comprimento doarco(em)12. 'IT' 1412Angulocentral(rad)2'ITx2. 'IT . 14122'IT=---=>x=X2' 122' 14=> x =0,86Assim sendo, 0 angulocentralmede aproximadamente0,86rad.de urn modo geral, ehamando de So eomprimento de tun area, de a a medida, emradianos, do angulo central eorrespondente, e de l' a medida do raio, temos a seguinte regra de tres:Comprimento do arco Medida do angulo central(emrad)1Entao:Sportanto IS = a' r IUtilizemos essa formulapara solueionar0 problema dado.Como S =12 em e l' =14 em,temos:12 em=a' 14 em => a =1214=> a=0,86 radExemplo3Determinar quanto mede0 raio de uma eireunfereneia, sabendo que urn area que mede10 emearresponde a urnangulocentralderadianos.6SolUfiioSejar a medida do raio, em em. Temos a regradetressimples e direta:Comprimento doarco AngulocentralI(em) I(rad)2''IT'r 2'IT10 56Assim sendo:2'IT r 6=---=>--=-=>r5 10 566. 10 => r =125Portanto0 raioda eireunfereneia mede12 em.276EXERCiclOS PROPOSTOS(Paraos exercfcios seguintes, usar'IT = 3,14.)8. Determine:a) 0comprimentodeumarcodecircunferencia(emcm), sabendoqueelatem12cmderaioe0angulo central correspondentemede 20.b) 0angulo central (emrad)correspondentea um arco de15 cmde comprimento, sabendo que elatemraiode 20 cm.c) a medida do raio de uma circunferencia (em cm),sabendo que nela um angulo central de 15cor-responde a umarco de 30 cm.9. Aroda dianteira deuma bicicleta tem40 cmderaio.a) Quantos metros ela percorre ao dar 5 000 voltas?b) Quantas voltasela deve dar para percorrer 9420 m?4. 0 cicio trigonometricoQuandoemnossosestudosde1Q grauestabelecemosa ideiadeeixo, naverdade 0 quefizemosfoi 0 seguinte:a) Tinha-se umareta. b) Tomou-se umde c) Estabeleceu-se um d) Estabeleceu-se umaseuspontos. sentido positivo. unidadedemedir.oQuetalfazermosisso comuma circunfercncia?Veja:o+o I +a) Temosumacircunfercncia.o.b) Tomemosumdeseus pontos comoorigem dosarcos.0. - - - - - - - Ac) Estabele