116559681 S1 MQ I Analyses Mathematiques I Prises Des Notes

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Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Anne Universitaire : 2012/2013

Matire : Analyse Mathmatique I Module : METHODES QUANTITATIVE I

Analyse Mathmatique I Prises des notes Page 1

La Campagne Estudiantine pour Rsumer

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Option : Science Economique et Gestion

Module : METHODES QUANTITATIVES I

Matire : Analyse Mathmatique I

Semestre : 1

Type de document : Prises des notes

Anne universitaire 2012-2013


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Chapitre 1 La Continuit

I-La continuit :Dfinition 1 :

Soitf: A IR et soitx0 Afest continue enxo =f(xo)

Dfinition 2 : Une fonction fqui nest pas continue au pointxo est dite discontinue en ce point etxo est

appel un point de discontinuit de f.

Proprit 1 :

Soitfet g etxo IR

On a : f + g(, IR) ; ; (si g (xo) 0)

fet g sont continus auxo.Proprit 2 :

Soitfet g etxo IR= =f(xo) f est continue auxo.

Dfinition 3: fa une discontinuit de premire espce enxo si les limites droite et gauche existence.

Dfinition 4 :fest continue sur IR sifest continue en tout point de IR.

Exemple : Soit f: et IR

Donc f est continue au IR.

Dfinition 5 :Soitfune fonction definie sur I et g une foction dfinie surf(I) :

IRfg

IRf

)I(:

I:

Sifest continue en I0 x et g est continue enf(x0), alors gofest continue enx0.

Remarque : goffog

Exemple : Calculez les fonctions composes gofetfog des deux fonctions suivantes :

3)( 2 xxf et 12)( xxg

443123)()( 22 xxxgxgffog 721621321)(2)( xxxxfxfggof


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II- La discontinuit : 1er espce liminable :

Cas 1: liminable :[ = ] f(xo)

- f prsente une discontinuit de premire espce liminable. Cas 2: Non liminable :

f(x) = Car : = 1 ; = 0

- f prsente une discontinuit de non liminable.- Si f(xo) = : la discontinuit est dite rgulire. Second espce liminable :

Si les limites gauche ou droite est infinie, fprsente une discontinuit de seconde espce infinie.

f(x) =

- f prsente une discontinuit de seconde espce liminable.III- Domaines de dfinition et de continuit :

- Domaine de dfinition : DD- Domaine de continuit : DC

DC = DD : Le domaine de dfinition de continuit est gal domaine de dfinition sifest continue enxo. Sifest discontinue enx0, le domaine de continuit est gal : DC = DD - 0x . Exemples des domaines de dfinition des fonctions suivants :

La fonctionxe est dfinie sur IR

La fonction )ln(x est dfinie sur *R,0 .La fonction racine est toujours dfinie sur R,0 ; 0R x .

La fonctionf(x) =1

2

x

x; Df= 0

1

2

x

xet 01 x

x + 20 ou x + 2 0 et x1 0

x 2 ou x2 et x 1

,12,Df Calcul des limites

xx

lnlim

xx

lnlim0

x

xelim 0lim

x

xex

0ln

lim nx x

x

1

1lnlim

0

x

x

x

x

ex

xlim 1

1lim

0

x

ex

x

11

lnlim

1

x

x

x 0lnlim

0

xx

x 0lim

x

xe x

x

xe

x

a

1lim


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Chapitre 2 La Drivabilit

I-La drivabilit :1) Dfinition 1 :Soit f: A IR etxo A

On dit que la fonctionfest drivable enx0 si : lxx

xfxf

xx

0

0 )()(

lim0

; (lIR)

Ou : lh

xfhxf

xx

)()(lim 00

0

; (lIR)

Cette limite note parf(x0) et l est la valeur de drive defenx0.

! Si

0

0 )()(lim0 xx

xfxf

xxfest non drivable.

Dfinition 2 :

fest drivable enxo si : l

xx

xfxf

xx

0

0 )()(lim0

et l

xx

xfxf

xx

0

0 )()(lim0

- fd(xo) sappelle valeur de la driv droite dexo.- fg(xo) sappelle valeur de la driv gauche dexo

fest drivable enxo si :fd(xo) =fg(xo)

II- Interprtation gomtrique :Soitdla droite passant par les points : )(A 00 x,fx et )(P xx,f

Lquation de la droitedest : )()()(

00

0

0 xfxXxx

xfxfY

Lquation de la droite test : )()()(lim 000

0

0

xfxXxx

xfxfY

xx

)()(' 000 xfxXxfY

f(x0)reprsente la pente de la droite tangent la courbe de fonctionfau point de cordonn )(A 00 x,fx


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III- Drives des fonctions relles :Fonctionf Fonctionf Fonctionf Fonctionf

0 f+ g f+ g

x 1 .f .fx f. g f. g+ f. g

x x2

1

f

1

'

f

f

x

1

1

x rf

1' rffr

rx 1rrx g

f

''

g

gfgf

n x 1

1nn xn

f f

f

2

'

xlog x

1 n f 1

'n

n fn

f

xcos xsin )(xgof )(')(' xfxfg

xsin xcos )(1 xf )('1

1 xff

xtan *

cos

1tan1

x

x

)cos( bax )(in baxsa

xe xe )sin( bax )cos( baxa

fe f

ef ' )tan( bax baxa

cos

)(sin xarc 1

1

x )(cos xarc

1

1

x

)(sin xfarc

1

'

f

f

)(cos xfarc

1

'

f

f

)(tan xarc 1

1

x )(tan xfarc

1

'

f

f

1

1

x 1)1(

)1(!

n

n

xn

*x

x

x

x

x

xx

x cos

cos

cos

sin

cos

cossin

cos

1

1

cos

sin

x

xx

x

xtan1

cos

sin1


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Chapitre 3 Rgle de lhospital et la formule de Taylor

I-Les formes dtermines : LimitesForme e

0

e 00

0 e IR

e

e

0

l

0

l

)(lim0

xfxx

0 0 l 0 l > 0 l < 0 l > 0 l < 0

+ +

Exemple 11

x

x

x0=1x

x

1

x0 =+

x

x

1

x0=0+

5 x

x0 = 2

3

x

x0=-2

3x

x0=

xx 3

x0= +

x

5

x0=0+

x

5

x0=0+

x

2

x0=0-

2

x

x0=0-

f(x) + l >0 l


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III- Rgle de lhospital :Soitfet g deux fonctions :

On pose :0

0

)(lim

0

xg

f (x)

xxou

)(lim

0 xg

f (x)

xx, dans ces deux cas, on utilise la rgle de lhospital.

)('

'lim

0 xg

(x)f

xx

est parfais ncessaire dappliquer plusieurs fois, la rgle de lhpital, pour pouvoir liminer

lindtermination ou aura :(x)g

(x)f

(x)g

(x)f

xg

f (x)

xxxxxx "

"lim

'

'lim

)(lim

000

IV- Autres types dindterminationde la rgle de lhospital :Les autres types dindtermination peuvent toujours tre ramens une indtermination de

0

0 ou

via les

transformations suivantes :

Expressions Indtermination Transformation Rgle de lhpital

lxgf (x)ax

)(lim

)(

1

)(1

)(1

lim

xgf (x)

xfxg

ax l =

0

0

lxgf (x)ax

)(lim 0.

)(

1

)(lim

xg

xf

ax

)(

1

)(lim

xf

xg

ax

l =0

0

l =

lf (x) xgax

)(lim 0

0 )(log)(lim xfxgax log l = 0.()

lf (x) xgax

)(lim (+) 0 )(log)(lim xfxgax log l = 0.(+)

lf (x) xgax

)(lim (1)

)(log)(lim xfxgax log l = .0

V-Formule de Taylor :Soitf[a,b] IR dfinie et continue sur [a,b] et tous les drivs defjusqu lordre n sont continus sur [a,b]On peut crire la formule de Taylor sous la forme suivante : nxnxf R)(P)(

Avec : )(!

)()(

!2

)('')(

!1

)(')()(P

)(

axn

afax

afax

afafxn

n

et : ),()!1(

)(),(R

1

axn

axaxn n

n

Le terme Rnsappelle le terme Lagrange.


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VI- Thorie dAccroissement Finis (A.F) :Soitf[a,b] IR continue sur [a,b] et drivable sur ]a,b[ , alors c]a,b[ tel que :

(c) =ab

afbf

)()(.

VII- Thorie des Accroissements Finis Gnraliss :Soitfet g deux fonctions dfinit sur [a,b], continue sur [a,b] et drivable sur ]a,b[. si g ne sannule pas en

aucun point de , alors c]a,b[

)('

)(')()(

cg

cf

ab

afbf

VIII-Thorie de Rolle et ses applications :Soitf[a,b] IR continue sur [a,b] tel quef(a) =f(b) Alors c]a,b[ tel que (c) = 0 .

On a continue sur [a,b] : x]a,b[ , )()(lim 00

xfafxx

c [a,b] tel quef(c) = m

c[a,b] tel quef(c) =M

x[a,b] m


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Chapitre 4 Lintgral

I-Tableau dintgral :Fonction Primitive F(x) Fonction Primitive F(x)

x + c xcos cx sin

rx cr

xr

1

1

xsin cx cos

x

1 cx log ou cx ln

xx

cos

1tan1

cx tan

U

U'

cUlog ce

bax

cea

bax 1

xe

ce x

x

x'

cx 2

f cF

U

'U

cU2

cax

ca

ax

ln )(U)(U' xex

ce x )(U

xe cex )cos( bax cbaxs

a )(in

1

'ffr 1

1

r

fr

)sin( bax cbaxa

)(cos1

fef ' cef

1

'

f

f

)(cos xfarc

f+ g F + G 1

'

f

f

)(sin xfarc

f. g+ f.g f. g + C1

'

f

f

)(tan xfarc


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II- Intgrales dfinies :Pour toutes fonctionfet g intgrables sur [a,b] on a :

1) bab

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

2) IR : bab

adxxfdxxf )()(

Relation de Chale :c(a,b) :

b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

Intgrale par partie :Soitfet g deux fonctions drive continue sur [a,b], alors :

dxxgxxgxfdxxgxfb

a

b

a

b

a )(')(F)()()()('

Changement des variables :Soit w une fonction strictement monotone de [a,b] IR drive continue sur [,] etfune fonction

continue de sur w([a,b]) IR, alors : dttwtwfdxxf

)(')()(

Avec : a = w() , b = w() , x = w(t) , dx = w(t).dt

Intgration des fonctions rationnelles enx :Exemple :

Dcomposons en fractions simples la fonction rationnelle :1

B

1

A

)1)(1(

24

xxxx

x

4x + 2 = A(x + 1) + B(x1)

Pour :x = 1 => B = 3

Pour :x =1 => A = 1

Il vient que :1

3

1

1

)1)(1(

24

xxxx

x

Lintgration des fonctions simples ce base sur le rsultat suivant : caxax

dx

ln

Il vient donc pour notre exemple :

13

1)1)(1(

24

x

dx

x

dxdx

xx

x

cxx 1log31log


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Chapitre 5 Suites des nombres rels

I-Dfinitions :

Chapitre 6 Sries numriques

II- Dfinitions :- On appelle srie numrique la suite des sommes partielles IN)S( nn dfinie partir dune suite

IN)U( nn =

n

n

1k

KUS

Srie convergence :- Au lieu de IN)S( nn , on note la srie par

1nU n , elle est dite convergente si SSlim

n

xou SU

1n

n ;

- Une srie non convergente est dite divergente.- Un est appel le terme gnral de la srie.

III- Critre de convergence :1) Critre de comparaison

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