�UTIS. KTMS. Äkonometrik üïldliïn sudalgaany professoryn bag

MT102. MATEMATIK II(4kr, 3:2:2)

M.BanzragqMT11

ba4665@csms.edu.mnba4665@yahoo.com

1

ÜNDSÄN AGUULGA

1. OXF, II ärämbiïn gadarguu, OXF�iïn x¶zgaar, tasraltgüï qanar

2. OXF�iïn ulamjlal, differencial

3. Dääd ärämbiïn ulamjlal, differencial

4. OXF�iïn äkstremum, XIU, XBU, nöxcölt äkstremum

5. Xoërloson integral

6. Gurwalsan integral

7. I, II törliïn muruï ²ugaman integral

8. Differencial täg²itgäl

9. Cuwaa

2

A�IGLAX NOM, PROGRAMM XANGAMJ

1. Injeneriïn matematik 1

2. Dääd mätematik 2

3. Calculus

4. Internet

5. Matematica 5.0

6. MathCad

7. MathLab

3

Olon xuw´sagqiïn funkc

Lekc 1-1

Ündsän aguulga1. Xawtgaï ba ogtorguï dax olonlog

• Ogtorguï dax cägiïn orqin.• Zadgaï ba bitüü olonlog.• Xolboost olonlog.• Rn ogtorguï dax x¶gaaryn tuxaï oïlgolt.

2. Olon xuw´sagqiïn funkciïn tasraltgüï qanar ba x¶zgaar

• Olon xuw´sagqiïn funkciïn tuxaï oïlolt.• X¶lbar gadarguunuud.• Funkciïn cäg däärxi x¶zgaar.• Olon xuw´sagqiïn funkciïn tasraltgüï qanar.

4

Xawtgaï ba ogtorguï dax olonlog

• (x1, x2, . . . , xn) gäsän n toony xi, i = 1, 2, . . . , n bodit toonuudaas togtox äräm-bälägdsän xosuudyn olonlogiïg Rn ogtorguï gädäg.

• x = (x1, x2, . . . , xn) xos büriïg Rn ogtorguïn cäg gäx ba xi toog ug cägiïn i

dügäär koordinat gänä.

Rn ogtoruïn x = (x1, x2, . . . , xn) ba y = (y1, y2, . . . , yn) xoër cägiïn xoorondoxzaïg

ρ(x,y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2 (1)

tom³ëogoor todorxoïlj bolno.

5

• Rn ogtorguïn duryn xoër cägiïn xoorondox zaïg zaaj ögsön bol ug ogtorguïgRn metrik ogtorguï gädäg.

Rn metrik ogtorguïg wektor ogtorguïn adilaar ¶marq xoër x = (x1, x2, . . . , xn)

ba y = (y1, y2, . . . , yn) gäsän älementiïnx n´ (wektor)xuw´d daraax

x = y⇔ (x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn) (2)

täncüügiïn xarcaa, x + y niïlbäriïn

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) (3)

tom³ëo, mön αx, x ∈ R toogoor ürjüüläx

αx = (αx1, αx2, . . . , αxn) (4)

tom³ëog todorxoïlj bolno.

6

Üünääs gadna, x ba y wektoruudyn skal¶r ürjwäriïg

(x,y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn (5)

täncätgäläär todorxoïlj bolox ba ändääs x ∈ Rn wektoryn normyg (urt)

||x|| =√

(x, x) =√

x21 + x2

2 + · · · + x2n (6)

tom³ëogoor, xarin x ba y wektoruudyn xoorondox ρ(x,y) zaïg (1) tom³ëotoïdawxcax

ρ(x,y) = ||x + y|| =

√√√√n∑

i=1

(xi − yi)2 (7)

täncätgäläär zaaj ögj bolno.

• x0 = (x01, x

02, . . . , x

0n) n´ ¶mar nägän D ⊂ Rn olonlogiïn cäg baïg. D olon-

logiïn ρ(x,x0) < ε nöxcliïg xangax büx x cägüüdiïn olonlogiïg x0 cägiïn ε

radiustaï orqin gäj närlääd Uε(x0) gäj tämdäglädäg7

Ö.xUε(x0) = {x ∈ D ⊂ Rn|ρ(x,x0) = ||x− x0|| < ε}. (8)

• x0 cägiïn Uε(x0) orqnoos x0 cägiïg ööriïg n´ xassan U̇ε(x0) = Uε(x0)\x0 olon-logiïg ug cägiïn coorxoït orqin gänä

n = 2 üed x1 = x, x2 = y ba x0 = M0 = (x0, y0) gäj awbal M0 cägiïn ε radiustaïorqin n´

Uε(M0) = {(x, y) ∈ D ⊂ R2|√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < ε} (9)

xälbärtäï baïx ba M0 cäg däär töwtäï ε radiustaï duguïg ögnö.

y0

M0 ε

(D)

X

Y

O x0

8

• M0 ∈ D cäg ¶mar nägän ε radiustaï orqnyxoo xamt D olonlogt aguulagddagö.x. ε > 0 too oldood Uε(M0) ⊂ D bol M0 cägiïg D olonlogiïn dotoodcäg gänä.

D olonlogiïn büx dotood cägüüdiïn olonlogiïg tüüniï dotor gääd◦D gäj

tämdäglänä. D olonlogiïn büx cäg n´ dotood cäg boldog.

• Duryn M0 ∈ D xuw´d Uε(M0) ⊂ D baïx ε > 0 too or²in baïwal ug olonlogiïgzadgaï olonlog gänä.

• Duryn orqin n´ D olonlogoos tögsgölgüï toony cäg aguulax cägiïg ug olon-logiïn x¶zgaaryn cäg gänä.

9

• D olonlog ba tüüniï x¶zgaaryn cägüüdiïn olonlog xoëryn nägdäliïg D olon-logiïn bitüüräl gääd D gäj tämdäglänä.

D olonlog ööriïnxöö bitüürältäï täncüü ö.x D = D bol bitüü olonloggädäg. Γ = D\ ◦

D olonlogiïg D olonlogiïn xil gänä.

Ji²ää. M0 ∈ Rn cägiïn ε radiustaï duryn orqin n´ zadgaï olonlog baïna.�un türüünd M�iïg Uε(M0) ⊂ Rn olonlogiïn duryn cäg baïxaar aw³¶. Tägwälorqny todorxoïlolt ësoor ρ(M0,M) = d < ε baïna. Iïmd δ = ε−d radius büxiïUδ(M0) orqin Uε(M0) olonlogt aguulagdax n´ ilärxiï.

• [a, b] ⊂ R xärqmiïg Rn ogtorguïd buulgasan tasraltgüï buulgaltyg Rn daxtasraltgüï zam gäj näräl´e.

10

• D olonlogiïn duryn A ba B cägüüdiïg xolboson A�gaas äxlältäï, B däärtögsgöltäï ug olonlogt büxläärää aguulagdax zam or²in baïdag bol D olon-logiïg xolboost olonlog gänä.

• D olonlogiïn duryn xoër cägiïg xolbox ug olonlogt büxläärää aguulagdaxxärqim olddog bol ug olonlogiïg güdgär olonlog gänä.

Güdgär olonlog xolboost baïx n´ ilärxiï.

• Olonlogiïn xiliïn cägüüdiïn olonlog xolboost olonlog bol ug olonlogiïgnäg xolboost olonlog gänä.

11

• Xäräw tüüniï xiliïn olonlog n toony ül ogtolcox xolboost olonlooos togt-dog bol n�xolboost olonlog gänä.

• Xolboost zadgaï olonlogiïg muj gänä.

• D olonlogiïg büxläär n´ aguulax tögsgölög r radius büxiï bömbölög or²inbaïwal ug olonlogiïg zaaglagdsan olonlog gänä.

• Duryn ε > 0 too songon awaxad tüünääs xamaaran N(ε) dugaar oldood m ≥N(ε) baïx büx m dugaaruudyn xuw´d

ρ(x(m),x0) < ε (10)12

täncäl bi² bieläx bol Rn ogtorguïn älementüüdääs zoxioson{x(m)} = {x(m)

1 , x(m)2 , . . . , x(m)

n }daraallyg x0 ∈ Rn cägrüü niïlj baïna gädäg.

Änä üed bid limm→∞

x(m) = x0 gäj biqnä.Iïmd (

limm→∞

x(m) = x0)⇔

(lim

m→∞ρ(x(m),x0) = 0

). (11)

Teorem 1. {x(m)} = {x(m)1 , x

(m)2 , . . . , x

(m)n } daraalal x0 ∈ Rn cägrüü niïlj baïx

zaïl²güï ba xürälcäätäï nöxcöl bollim

m→∞x

(m)i = x0

i , i = 1, 2, . . . , n (12)baïx ¶wdal µm.

Ingääd {x(m)} ∈ Rn daraallyn x0 ∈ Rn cägrüü niïläx ¶wdal n´ {x(m)} daraallynx0 tooruu niïläxtäï änqacuu bolj baïna.

13

Olon xuw´sagqiïn funkciïn tasraltgüï qanar ba x¶zgaar

• D n´ ¶mar nägän M = (x, y) gäsän xawtgaïn cägüüdiïn olonlog baïg. (x, y) ∈D cäg bürd todorxoï näg z toog xargalzuulax f dürmiïg xoër xuw´sagqiïnfunkc gääd z = f (x, y) buµu z = f (M) gäj tämdägläe.

D olonlogiïg ug funkciïn todorxoïlogdox muj gäx ba D(f ) gäj tämdäglänä.Xarin

E(f ) = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ D} (13)

olonlogiïg f funkciïn utgyn muj gäj näräldäg.

z = f (x, y) buµu z = f (M) toog f funkciïn M(x, y) cäg däärxi utga, x, y-iïgül xamaarax xuw´sagqid buµu argumentüüd gänä.

14

Ji²ää. f : (x, y) → x + y düräm n´ x, y xos too bürd tädgääriïn niïlbärbolox x + y toog xargalzuulax ba f (x, y) = x + y funkciïg todorxoïlno. Änätoxioldold D(f ) = R2, xarin E(f ) = R baïx n´ ilärxiï.

Erönxiï toxioldold guraw ba tüünääs dää² n toony xuw´sagqiïn funkciïgtodorxoïlj bolox bögööd u = f (x1, x2...xn) gäj tämdägläx ba towqdoo olonxuw´sagqiïn funkc gäj närläj baïx bolno. Änd n n´ ül xamaarax xuw´sagqiïntoo µm.

Olon xuw´sagqiïn funkciïn grafik n´ Gf baïg. Xoër xuw´sagqiïn funkciïnxuw´d (x, y) ∈ D cäg bür däär funkciïn z = f (x, y) utgyg bodox ²aardlagataïbögööd (x, y, z) = (x, y, z = f (x, y)) gurwal n´ XYZ koordinatyn sistemd ¶marnägän P cägiïg todorxoïlno. Ö.x

Gf = {(x, y, z)|z = f (x, y), (x, y) ∈ D} (14)

n´ todorxoï näg S gadarguug dürslänä.15

Guraw ba tüünääs dää² n xuw´sagqiïn funkciïn xuw´d grafikiïg mön

Gf = {(x1, x2, . . . , xn, u)|u = f (x1, x2, . . . , xn), (x1, x2, . . . , xn) ∈ D} (15)

olonlogoor todorxoïlogdox giper gadarguug ögnö.

f (x, y) = c (c− const) nöxcliïg xangax muruïg z = f (x, y) funkciïn tüw²niï²ugam gänä. (ö.x. z = f (x, y) funkc nägän ijil utga awax xawtgaïncägüüdiïn olonlogiïg ögögdsön gadarguugiïn tüw²niï ²ugamuudgänä.) Funkciïn tüw²niï ²ugam n´ c-iïn ¶nz büriïn utgand muruïnuudyn bülüüsgänä.

Xoëroos olon xuw´sagqiïn funkciïn xuw´d tüw²niï ²ugamyn tuxaï oïlgoltu-udygtodorxoïlj bolox bögööd änä toxioldold tüw²niï gadarguu gäj ¶r´dag.

16