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S T A T I C T H R E E D I M E N S I O N A L

E L E C T R I C A L I M P E D A N C E T O M O G R A P H Y

P . J . V a u h k o n e n , M . V a u h k o n e n , T . S a v o l a i n e n a n d J . P . K a i p i o

D e p a r t m e n t o f A p p l i e d P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f K u o p i o , P . O . B o x 1 6 2 7 , 7 0 2 1 1 K u o p i o , F i n l a n d

A b s t r a c t . I n e l e c t r i c a l i m p e d a n c e t o m o g r a p h y a n a p p r o x i m a t i o n f o r t h e i n t e r n a l r e s i s t i v i t y

d i s t r i b u t i o n i s c o m p u t e d b a s e d o n t h e k n o w l e d g e o f t h e i n j e c t e d c u r r e n t s a n d m e a s u r e d

v o l t a g e s o n t h e s u r f a c e o f t h e b o d y . I t i s o f t e n a s s u m e d t h a t t h e i n j e c t e d c u r r e n t s a r e

c o n n e d t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o d e p l a n e , a n d t h e r e c o n s t r u c t i o n i s b a s e d o n t w o -

d i m e n s i o n a l a s s u m p t i o n s . H o w e v e r , t h e c u r r e n t s s p r e a d o u t i n t h r e e d i m e n s i o n s a n d

t h e r e f o r e o - p l a n e s t r u c t u r e s h a v e s i g n i c a n t e e c t o n t h e r e c o n s t r u c t e d i m a g e s . I n

t h i s p a p e r w e p r o p o s e a n i t e e l e m e n t - b a s e d m e t h o d f o r t h e r e c o n s t r u c t i o n o f t h r e e -

d i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n s . T h e p r o p o s e d m e t h o d i s b a s e d o n t h e s o - c a l l e d

c o m p l e t e e l e c t r o d e m o d e l t h a t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e p r e s e n c e o f t h e e l e c t r o d e s a n d t h e

c o n t a c t i m p e d a n c e s . B o t h t h e f o r w a r d a n d t h e i n v e r s e p r o b l e m s a r e d i s c u s s e d a n d r e s u l t s

f r o m s t a t i c r e c o n s t r u c t i o n s w i t h r e a l m e a s u r e m e n t d a t a a r e g i v e n .

1 I n t r o d u c t i o n

E l e c t r i c a l i m p e d a n c e t o m o g r a p h y , E I T , i s a n i m a g i n g m o d a l i t y t h a t p r o d u c e s i m a g e s b y c o m p u t i n g

e l e c t r i c a l c o n d u c t i v i t y w i t h i n t h e s u b j e c t . S i n u s o i d a l c u r r e n t s a r e a p p l i e d t o t h e o b j e c t u s i n g e l e c -

t r o d e s a n d t h e r e s u l t i n g v o l t a g e s o n t h e e l e c t r o d e s a r e m e a s u r e d . T h e i n t e r n a l r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n

i s c o m p u t e d b a s e d o n t h i s b o u n d a r y d a t a . M a n y a p p l i c a t i o n s o f t h i s t e c h n o l o g y h a v e b e e n d e v e l o p e d

b o t h f o r m e d i c a l a n d i n d u s t r i a l u s e ( W e b s t e r 1 9 9 0 ) .

I n t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 D ) E I T a n a r r a y o f e l e c t r o d e s i s a t t a c h e d a r o u n d a n o b j e c t a n d t h e i m a g e s a r e

r e c o n s t r u c t e d b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e i n j e c t e d c u r r e n t s a r e c o n n e d t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l

e l e c t r o d e p l a n e . H o w e v e r , w h e n e l e c t r i c c u r r e n t p a s s e s t h r o u g h t h e o b j e c t t h e c u r r e n t s p r e a d s o u t i n

t h r e e d i m e n s i o n s . I f t h i s f a c t i s n o t c o n s i d e r e d i n t h e i m a g e r e c o n s t r u c t i o n , m a n y e r r o r s , e s p e c i a l l y

i n s t a t i c e l e c t r i c a l i m p e d a n c e t o m o g r a p h y , a r e p r o d u c e d .

I n t h i s p a p e r w e d i s c u s s t h e e s t i m a t i o n o f t h r e e - d i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n s . W e u s e t h e

s o - c a l l e d c o m p l e t e e l e c t r o d e m o d e l t o d e s c r i b e t h e E I T m e a s u r e m e n t s . T h e n i t e e l e m e n t m e t h o d

( F E M ) i s u s e d t o o b t a i n a d i s c r e t i z a t i o n o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . T h e F E M i s s u i t a b l e f o r

c o m p l i c a t e d g e o m e t r i e s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e s o l u t i o n o f t h e 3 D r e s i s t i v i t y e s t i m a t i o n

p r o b l e m i s b a s e d o n t h e g e n e r a l i z e d T i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o n . W e e v a l u a t e t h e p r o p o s e d m e t h o d w i t h

t h e r e a l m e a s u r e m e n t s m a d e f r o m a c y l i n d r i c a l s a l i n e l l e d t a n k . R e s u l t s f o r s t a t i c i m a g i n g w i t h r e a l

m e a s u r e m e n t s a r e g i v e n . W i t h t h e F E M a p p r o a c h w e u s e d t h e s e c o n d o r d e r b a s i s f u n c t i o n s i n t h e

c a l c u l a t i o n o f t h e p s e u d o r e f e r e n c e m e a s u r e m e n t s ( V a u h k o n e n e t a l 1 9 9 7 ) .

2 M e t h o d s

T h e m e t h o d s f o r t h e r e c o n s t r u c t i o n o f i m p e d a n c e i m a g e s a r e b a s e d o n m a t h e m a t i c a l m o d e l s t h a t

c o n n e c t t h e i n t e r n a l r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n t o t h e m e a s u r e m e n t s m a d e o n t h e s u r f a c e o f t h e o b j e c t .

F r o m t h e s e m o d e l s t h e c o m p l e t e e l e c t r o d e m o d e l i s t h e m o s t a c c u r a t e m o d e l f o r t h e E I T s i n c e i t

c a n t a k e i n t o a c c o u n t t h e e e c t s o f t h e e l e c t r o d e s a n d t h e c o n t a c t i m p e d a n c e s b e t w e e n t h e o b j e c t

a n d t h e e l e c t r o d e s ( C h e n g e t a l 1 9 8 9 , S o m e r s a l o e t a l 1 9 9 2 ) . W i t h t h e c o m p l e t e e l e c t r o d e m o d e l

t h e m e a s u r e d p o t e n t i a l s c a n b e p r e d i c t e d w i t h t h e p r e c i s i o n o f t h e m e a s u r e m e n t s y s t e m . T e t r a h e d r a l

e l e m e n t s a n d 2 n d o r d e r F E M b a s i s f u n c t i o n s w e r e u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e p o t e n t i a l s t h a t

c o r r e s p o n d t o t h e r e f e r e n c e r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n

0

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2 . 1 S o l u t i o n o f t h e i n v e r s e p r o b l e m

F o r t h e i n v e r s e c o m p u t a t i o n s w e g r o u p e d t h e t e d r a h e d r a t h a t w e r e u s e d i n t h e f o r w a r d c a l c u l a t i o n s

s o t h a t t h e u n i o n o f t h r e e t e t r a h e d r a c o m p o s e d o n e e l e m e n t f o r t h e i n v e r s e c a l c u l a t i o n s . T h e

r e c o n s t r u c t i o n o f t h e r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n b a s e d o n t h e s u r f a c e m e a s u r e m e n t s i s a n o n l i n e a r p r o b l e m .

H o w e v e r , i f w e c a n a s s u m e t h a t t h e r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n i s a s m a l l p e r t u r b a t i o n f r o m s o m e a s s u m e d

d i s t r i b u t i o n ( u s u a l l y u n i f o r m ) i t i s o f t e n a d e q u a t e t o s o l v e o n l y a l i n e a r i z e d v e r s i o n o f t h e p r o b l e m .

B e c a u s e o f t h e i l l - p o s e d n e s s o f t h e p r o b l e m , r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d s h a v e t o b e u s e d . W e u s e d t h e

g e n e r a l i z e d T i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o n i n o r d e r t o o b t a i n s t a b l e s o l u t i o n s ( G r o e t s c h 1 9 9 3 ) . I f w e a s s u m e

t h a t t h e m e a s u r e d v o l t a g e s c a n b e a p p r o x i m a t e d a s ( l i n e a r i z a t i o n )

U

m e a s

U (

0

) + J ? J

0

( 1 )

t h e r e g u l a r i z e d v e r s i o n o f t h e l i n e a r i z e d E I T r e c o n s t r u c t i o n p r o b l e m c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

m i n

f k

e

U ? J k

2

+ k L ( ?

0

) k

2

g ( 2 )

w h e r e J i s t h e J a c o b i a n o f U ( ) w i t h r e s p e c t t o ,

e

U = U ? U (

0

) + J

0

a n d L i s a r e g u l a r i z a t i o n

m a t r i x . T h e J a c o b i a n i s c a l c u l a t e d i n a r e f e r e n c e d i s t r i b u t i o n

0

( u s u a l l y a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n ) .

T h e r e g u l a r i z a t i o n m a t r i x L

L =

1

L

1

2

L

2

( 3 )

t h a t w e u s e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n a p p r o x i m a t e s t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e s i n t h r e e d i m e n s i o n s . T h e

p a r a m e t e r s

1

a n d

2

a r e t h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s . I n L

1

w e t a k e i n t o a c c o u n t t e n n e a r e s t

e l e m e n t s f r o m t h e h o r i z o n t a l p l a n e a n d i n L

2

t w o n e a r e s t e l e m e n t s f r o m t h e v e r t i c a l p l a n e , e x c e p t o n

t h e b o t t o m a n d o n t h e t o p o f t h e d i s c r e t i z e d i m a g e w e t a k e i n t o a c c o u n t o n l y o n e n e a r e s t e l e m e n t .

T h e c h o s e n e l e m e n t s a r e w e i g h t e d b y t h e i n v e r s e o f t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h e c e n t e r s o f t h e e l e m e n t s .

T h e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s w e r e a d j u s t e d a p o s t e r i o r i b y v i s u a l e x a m i n a t i o n .

2 . 2 S t a t i c i m a g i n g

I n s t a t i c i m a g i n g w e h a v e o n l y o n e s e t o f v o l t a g e m e a s u r e m e n t s a n d e v e n i n t h e s o l u t i o n o f t h e

l i n e a r i z e d p r o b l e m o n l y , w e n e e d t o c a l c u l a t e t h e m e a s u r e m e n t s U (

0

) t h a t c o r r e s p o n d t o t h e l i n -

e a r i z a t i o n d i s t r i b u t i o n

0

w i t h g r e a t a c c u r a c y . I f t h e o r i g i n a l n o n l i n e a r p r o b l e m i s t o b e s o l v e d , t h e s e

m e a s u r e m e n t s h a v e t o b e s o l v e d i n e a c h i t e r a t i o n s t e p . T h e s o l u t i o n t o ( 2 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e

f o r m

=

0

+ ( J

T

J + L

T

L )

? 1

( J

T

( U

m e a s

? U (

0

) ) ) : ( 4 )

T h e l i n e a r i z a t i o n p o i n t ( o r t h e i n i t i a l g u e s s i f t h e n o n l i n e a r p r o b l e m i s t o b e s o l v e d )

0

h a s b e e n

c h o s e n i n t h e f o l l o w i n g w a y . B y i n v e s t i g a t i n g t h e f o r m u l a f o r U

w e o b t a i n ( J a r v e n p a a 1 9 9 5 )

U (

0

; z

0

) =

0

U ( 1 ; ) ( 5 )

w h e r e = z

0

=

0

a n d

0

; z

0

a r e c o n s t a n t s . I f w e x t o s o m e v a l u e , w e c a n s o l v e t h e h o m o g e n o u s

r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n

0

t h a t m i n i m i z e s t h e f u n c t i o n a l

k U

m e a s

?

0

U ( 1 ; ) k ( 6 )

t h e s o l u t i o n o f w h i c h i s

0

= ( U ( 1 ; )

T

U ( 1 ; ) )

? 1

( U ( 1 ; )

T

U

m e a s

) ( 7 )

A s i m i l a r a p p r o a c h h a s a l s o b e e n u s e d i n ( C h e n e y e t a l 1 9 9 0 ) .

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200

250

300

350

400

450

500

550

100

150

200

250

300

350

400

450

500

a ) b )

F i g u r e 1 : a ) S t a t i c r e c o n s t r u c t i o n f r o m r e a l m e a s u r e m e n t s w h e n

1

=

2

= 5 1 0

? 5

. T h e t r u e

( m e a s u r e d ) r e s i s t i v i t y o f t h e t a r g e t w a s 1 6 1 c m a n d t h e r e s i s t i v i t y o f t h e s a l i n e 4 3 2 c m . b ) S a m e

a s a ) b u t t h e r e s i s t i v i t y o f t h e t a r g e t w a s 8 1 c m a n d t h e r e s i s t i v i t y o f t h e s a l i n e 4 3 0 c m

P l a n e 1 . P l a n e 2 . P l a n e 3 . P l a n e 4 . P l a n e 5 .

F i g u r e 2 : T h e r e c o n s t r u c t e d r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n o f F i g . 1 b ) i n d i e r e n t p l a n e s .

3 R e s u l t s

A s t h e t e s t p h a n t o m w e u s e d a c y l i n d r i c a l t a n k w i t h 4 8 e l e c t r o d e s , 1 6 e l e c t r o d e s i n t h r e e p l a n e s ,

w i t h r a d i u s o f 1 5 c m a n d h e i g h t o f 3 0 c m . T h e t a n k w a s l l e d t o 2 0 c m f r o m t h e b o t t o m w i t h t h e

s a l i n e . O n t h e b o t t o m o f t h e t a n k , h a l f w a y f r o m t h e c e n t e r t o t h e e d g e , t h e r e w a s a n a g a r t a r g e t

h a v i n g r a d i u s o f 3 c m a n d h e i g h t o f 1 0 c m . T h e r e s i s t i v i t y o f t h e t a r g e t w a s e i t h e r 1 6 1 c m o r 8 1

c m a n d t h e r e s i s t i v i t y o f t h e s a l i n e a p p r o x i m a t e l y 4 3 0 c m . W e i n j e c t e d c u r r e n t s a n d m e a s u r e d

v o l t a g e s b e t w e e n a d j a c e n t e l e c t r o d e s s o t h a t t h e m e a s u r e m e n t s o r c u r r e n t i n j e c t i o n s b e t w e e n t h e

a d j a c e n t o r b e t w e e n t h e l o w e s t a n d t h e h i g h e s t e l e c t r o d e p l a n e s w e r e n o t u s e d . V o l t a g e s m e a s u r e d

o n t h e c u r r e n t c a r r y i n g e l e c t r o d e s w e r e n o t u s e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n s .

R e s u l t s f r o m t h e s t a t i c r e c o n s t r u c t i o n s w i t h t h e s e c o n d o r d e r F E M b a s i s a r e s h o w n i n F i g s . 1 - 2 . I n

E l e c t r o d e p l a n e 1 . E l e c t r o d e p l a n e 2 . E l e c t r o d e p l a n e 3 .

F i g u r e 3 : 2 D r e c o n s t r u c t i o n s ( d i e r e n c e ) w i t h t h e s a m e d a t a a s i n F i g . 1 b ) a n d F i g . 2 .

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t h e s e s i m p l e e x p e r i m e n t a l c a s e s t h e a b s o l u t e v a l u e s o b t a i n e d f r o m t h e r e c o n s t r u c t i o n s c o r r e s p o n d

w e l l t o t h e t r u e ( m e a s u r e d ) v a l u e s o f t h e t a r g e t s . I t c a n a l s o b e s e e n f r o m F i g . 2 t h a t t h e t a r g e t i s

w e l l l o c a l i z e d a n d t h e r e i s n o d i s t i n c t a p p e a r a n c e o f t h e t a r g e t o n t h e t h i r d p l a n e .

A s a c o m p a r i s o n w e a l s o r e c o n s t r u c t e d 2 D d i e r e n c e i m a g e s f r o m t h e s a m e o b j e c t . A s a r e g u -

l a r i z a t i o n m a t r i x w e u s e d t h e h o r i z o n t a l p a r t o f L , i . e . , t h e m a t r i x L

1

. S t a t i c i m a g e s c o u l d n o t

b e e n r e c o n s t r u c t e d w i t h 2 D c o m p u t a t i o n s . F r o m t h e F i g . 3 w e c a n s e e t h a t t h e r e i s m o r e d i s t i n c t

\ s h a d o w " o f t h e t a r g e t o n t h e m i d d l e e l e c t r o d e p l a n e ( e l e c t r o d e p l a n e 2 . ) t h a n i n 3 D c a s e i n F i g .

2 o n p l a n e 3 . A l s o t h e r e c o n s t r u c t i o n c o r r e p o n d i n g t o t h e r s t e l e c t r o d e p l a n e i s q u a l i t a t i v e l y w o r s e

i n 2 D c a s e t h a n i n f u l l y 3 D r e c o n s t r u c t i o n .

4 D i s c u s s i o n

T h e p r o p o s e d r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d f o r E I T d o e s n o t i m p o s e a n y r e s t r i c t i o n s o n t h e g e o m e t r y o f

t h e o b j e c t ( b o u n d a r y ) o r t h e g e o m e t r y o f t h e t a r g e t s s o i t i s p o s s i b l e t o r e c o n s t r u c t i m a g e s a l s o

f r o m t h e h u m a n s w i t h o u t s i m p l i f y i n g t h e g e o m e t r y . T h i s i s e s p e c i a l l y i m p o r t a n t i f s t a t i c i m a g e s

a r e c o n s i d e r e d . I n s t a t i c i m a g i n g t h e a c c u r a c y r e q u i r e m e n t o f t h e c o m p u t e d p o t e n t i a l s o n t h e

e l e c t r o d e s t h a t c o r r e s p o n d t o t h e ( i n i t i a l ) d i s t r i b u t i o n

0

i s v e r y h i g h . I t w a s f o u n d t h a t i n t h i s

c a s e t h e r e q u i r e d a c c u r a c y c a n b e o b t a i n e d w i t h F E M w h e n s e c o n d o r d e r b a s i s f u n c t i o n s a r e u s e d .

I n p r i n c i p l e t h i s r e q u i r e d a c c u r a c y c o u l d a l s o b e o b t a i n e d w i t h t h e r s t o r d e r b a s i s b u t t h i s w o u l d

n e c e s s i t a t e t h e c o n s t r u c t i o n o f a n o t h e r m u c h m o r e d e n s e m e s h . I f w e w i s h t o o b t a i n s t a t i c i m a g e s

f r o m h u m a n s w e s h o u l d c a r e f u l l y c o n s i d e r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e \ c u t t i n g p l a n e s " , o r t h e

t e r m i n a t i o n b o u n d a r i e s , o f t h e F E M m e s h . I n t h i s s t u d y w e w e r e a b l e t o p r o c e e d w i t h a c c u r a t e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( n o c u r r e n t o w o u t f r o m t h e b o t t o m o r t h e t o p o f t h e s a l i n e l l e d c y l i n d e r )

b u t i n p r a c t i c e t h i s w o u l d n o t b e t h e c a s e .

I n o r d e r t o o b t a i n m o r e a c c u r a t e i m a g e s i t i s p o s s i b l e t o i n c r e a s e t h e q u a l i t y o f t h e e s t i m a t e s o m e w h a t

b y i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f e l e c t r o d e p l a n e s a n d a l s o t h e n u m b e r o f e l e c t r o d e s o n e a c h p l a n e .

H o w e v e r , i t i s a s y e t n o t c l e a r t o w h i c h t a s k o n e s h o u l d d i r e c t t h e e o r t , f o r e x a m p l e , t h e i n c r e a s e

o f t h e n u m b e r o f e l e c t r o d e s , e s t i m a t i o n o f f e a s i b l e c o n d i t i o n s f o r t h e t e r m i n a t i o n b o u n d a r y o r t h e

a c c u r a c y o f t h e g e o m e t r i c a l m o d e l l i n g o f t h e o b j e c t b o u n d a r y .

R e f e r e n c e s

J . G . W e b s t e r . E l e c t r i c a l I m p e d a n c e T o m o g r a p h y . A d a m H i l g e r , 1 9 9 0 .

M . V a u h k o n e n , P . J . V a u h k o n e n , J . P . K a i p i o a n d P . A . K a r j a l a i n e n . T h r e e - d i m e n s i o n a l e l e c t r i c a l i m p e d a n c e

t o m o g r a p h y u s i n g c o m p l e t e e l e c t r o d e m o d e l . I n S P I E - 9 7 : C o m p u t a t i o n a l , e x p e r i m e n t a l a n d n u m e r i c a l

m e t h o d s f o r s o l v i n g i l l - p o s e d i n v e r s e i m a g i n g p r o b l e m s , S a n D i e g o , U S A , J u n e 2 7 - A u g u s t 1 , 1 9 9 7 .

K . - S . C h e n g , D . I s a a c s o n , J . C . N e w e l l , a n d D . G . G i s s e r . E l e c t r o d e m o d e l s f o r e l e c t r i c c u r r e n t c o m p u t e d

t o m o g r a p h y . I E E E T r a n s B i o m e d E n g , 3 6 : 9 1 8 { 9 2 4 , 1 9 8 9 .

E . S o m e r s a l o , M . C h e n e y , a n d D . I s a a c s o n . E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s f o r e l e c t r o d e m o d e l s f o r e l e c t r i c c u r r e n t

c o m p u t e d t o m o g r a p h y . S I A M J A p p l M a t h , 5 2 : 1 0 2 3 { 1 0 4 0 , 1 9 9 2 .

C . W . G r o e t s c h . I n v e r s e P r o b l e m s i n t h e M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s . V i e w e g , 1 9 9 3 .

T . J . Y o r k e y a n d J . G . W e b s t e r . A c o m p a r i s o n o f i m p e d a n c e t o m o g r a p h i c r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s . C l i n P h y s

P h y s i o l M e a s , S u p p l A , 8 , 1 9 8 7 .

S . J a r v e n p a a . A n i t e e l e m e n t m o d e l f o r t h e i n v e r s e c o n d u c t i v i t y p r o b l e m . P h i l . L i c . t h e s i s , R o l f N e v a n l i n n a

I n s t i t u t e , F i n l a n d , 1 9 9 5

M . C h e n e y , D . I s a a c s o n , J . C . N e w e l l , S . S i m s k e , a n d J . G o b l e . N O S E R : A n a l g o r i t h m f o r s o l v i n g t h e i n v e r s e

c o n d u c t i v i t y p r o b l e m . I n t J I m a g i n g S y s t e m s a n d T e c h n o l o g y , 2 , 1 9 9 0 .