1 The power of equations lies in the philosophically di ... · PDF file3.5 La curva di Phillips ed il modello AD-AS nel tasso di in azione .21 ... 8 La Nuoav Macroeconomia Classica

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The e�ort of the economist is to 'see', to picture the interplay of economic

elements. The more clearly cut these elements appear in his vision the better;

the more elements he can grasp, the better. The economic world is a misty

region. The �rst explorer used unaided vision. Mathematics is the lantern by

which what before was dimly visible now looms up in the �rm, bold outlines.

The old phantasmagoria desappear. We see better. We also see further. - IrvingFisher

The power of equations lies in the philosophically di�cult correspondence be-tween mathematics, a collective creation of human minds, and an external phys-ical reality. Equations model deep patterns in the outside world. By learning tovalue equations, and to read the stories they tell, we can uncover vital featuresof the world around us. . . - Ian Stewart

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PremessaQueste note dal titolo impegnativo si propongono due risultati: individuare i

contributi analitici delle principali teorie succedutesi nel novecento e, nello stessotempo ottenere i risultati in modo analitico, in antitesi all'abuso di spiegazionigra�che che in molti casi complicano invece di sempli�care i concetti.

Dice eccellentemente Jevons al capitolo I che costituisce l'Introduzione dellasua "Teoria dell'economica Politica", nel paragrafo intitolato: Carattere matem-atico della scienza :

�Mi sembra, che le nostre scienze devono essere matematichesemplicemente perché trattano di quantità. Appena le cose di cuiuna scienza si occupa sono suscettibili del più o del meno, i lororapporti e le loro leggi sono di natura matematica. Le leggi ordi-narie dell'o�erta e della domanda trattano solo di quantità di mercichieste od o�erte ed esprimono il modo nel quale queste quantità var-iano coi prezzi. Come conseguenza, queste leggi sono matematiche.Gli economisti non potrebbero cambiare la loro natura cambiandoglinome; potrebbero anche provare a cambiare la luce rossa chiaman-dola blu. Che le leggi matematiche dell'economia siano formulata inparole o nei simboli abituali, x, y, z, p, q, ecc., sono un fatto inciden-tale ed una questione di pura convenienza. Se non avessimo nessunriguardo per l'imbarazzo e la prolissità, i problemi matematici piùcomplicati potrebbero essere abbordati nel linguaggio ordinario, e laloro soluzione cercata ed enunciata con le parole.�

L'insegnamento dell'economia ha preso una strada intermedia, sostituire le for-mule con i gra�ci. A nostro parere i gra�ci sono uno strumento eccellente ed inalcuni casi insostituibili, come nell'illustrazione della domanda e dell'o�erta inMankiw (che in generale fa un eccellente uso dei gra�ci), nell'analisi del surplusall'apertura dei mercati con l'estero o nella curva di La�er, ma in altri casi diven-tano fonte di confusione: per esempio la pseudo dimostrazione dell'overshootingdei cambi nel modello di Dornbush, ma anche nelle curve di costo dell'impresa:perchè sono così? Se non c'è un minimo di analisi restano vuote.

Riteniamo che anche gli e�etti delle politiche economiche sono meglio rap-presentati da formule piuttosto che da spostamenti di curve, perchè se non siconosce la formula non è a�atto immediato capire se una curva si sposta sopra,sotto o di lato a seguito di uno shock; inoltre nessun gra�co dice di quanto sisposta.

In�ne, mettendo in forma analitica i concetti si è costretti ad essere precisie questo aiuta ad individuare anche i problemi nascosti.

Concludiamo chiarendo che queste note possono essere lette da chiunqueabbia le conoscenza della matematica insegnata al primo anno di Economia, cioèalgebra lineare e calcolo in�nitesimale. Ulteriori concetti matematici necessari,quali le equazioni di�erenziali, i processi aleatori e la stabilità sono introdottiin modo non formale e solo per quanto necessario allo studio.

Contents

1 Il Modello Classico 5

1.1 La produzione ed i suoi fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ottimo Produttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Scelta individuale e scelta collettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 L'agente rappresentativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Ottimizzazione vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Il breve periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Prezzi e moneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Il ruolo dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Log linearizzazione 11

3 Teoria Keynesiana 13

3.1 Il principio della domanda e�ettiva e la funzione dell'investimento 133.2 Il lungo periodo: Harrod-Domar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Il modello IS-LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 L'occupazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.2 Il ruolo dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.2.1 La dinamica del debito . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Il modello AD-AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 La curva di Phillips ed il modello AD-AS nel tasso di in�azione . 21

4 Sistemi dinamici e stabilità 23

4.1 Sistemi tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.1 SISTEMI DEL PRIMO ORDINE . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1.1 sistema autonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.1.2 Risposta al gradino . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.2 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE . . . . . . . . . . . 254.1.2.1 Sistema Autonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.2.2 Risposta al gradino . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.1 Primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2 Secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Esempio: soluzione del modello AD-AS . . . . . . . . . . . . . . 31

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CONTENTS 4

5 Sintesi Neoclassica 32

5.1 Il modello di Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Il modello Monetarista 36

6.1 La domanda di moneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 AD-AS monetrarista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3 L'in�azione da debito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Incertezza:Variabili casuali e processi aleatori 40

7.1 Variabili casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Processi Stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8 La Nuova Macroeconomia Classica ed il Ciclo Economico Reale 44

8.1 Aspettative Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Real Business Cicle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2.1 Le imprese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2.2 Consumatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2.3 L'equilibrio dei mercati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.3 Incoerenza temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 Il modello New Keynesian 50

9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.2.1 Famiglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2.2 Imprese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.2.3 Equilibrio generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.2.4 Banca Centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.3 Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.4 Il meccanismo di trasmissione monetaria . . . . . . . . . . . . . . 579.5 Superare la critica delle aspettative razionali . . . . . . . . . . . 579.6 I Modelli DSGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9.6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.6.2 Il modello Smets-Wouters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.6.3 Critiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chapter 1

Il Modello Classico

1.1 La produzione ed i suoi fattori

L'economia è iniziata indagando le cause della ricchezza delle nazioni. La primarisposta è stata �la mano invisibile�, cioè il libero scambio. Solo se si può scam-biare si produce più del fabbisogno individuale e ci si specializza nel lavoro �noa avere botteghe e fabbriche. Lo scambio tra pari avviene solo se è mutuamenteconveniente e si possono scambiare solo cose �utili� cose cioè che qualcuno èdisposto a pagare per averle. Ciò fa in modo che non si producano cose �inutili�,il libero mercato,cioè, magicamente, fa in modo di equilibrare tutti gli interessisoggettivi, garantendo l'ottima allocazione delle risorse.

Le risorse di un paese erano state individuate in Terra, Lavoro e Capitale.La Terra intesa in senso ampio signi�ca agricoltura e risorse naturali, ma

anche spazio per insediamenti produttivi, turismo etc; il lavoro è la quantitàe qualità della popolazione attiva ed il capitale è ... tutto il resto. Capitale èuna parola usata in più sensi, indica sia l'insieme delle fabbriche, degli impianti,u�ci che le materie prime e semilavorati (il capitale circolante), ma anche ilcapitale �nanziario, fonte di �nanziamento del primo, costituito da moneta etitoli di varia natura.

Ben presto il capitale ha assorbito la Terra perchè quando c'è tanto capitale sipuò investire all'estero come nel caso del Giappone che con un piccolo territorioè divenuto la seconda economia mondiale grazie ai capitali.

Capitale e Lavoro sono la fonte della ricchezza ma il suo valore, il prodottoche danno, dipende da come si combinano. Il risultato, cioè, è funzione di essie si indica con:

Y = f(K,N)

la forma della funzione include la tecnologia l'organizzazione e le conoscenzein possesso di un paese. Dato che i fattori non possono essere accoppiatiin maniera arbitraria risulta che aumentando uno lasciando invariato l'altrosi ottiene un aumento di prodotto via via decrescente, cioè la produttività

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CHAPTER 1. IL MODELLO CLASSICO 6

marginale dei fattori è decrescente, in sinboli: ∂f/∂K = fK > 0;∂2f/∂K2 < 0;∂f/∂N > 0 ; ∂2f/∂N2 < 0.

Nel 1928 Charles Cobb e Paul Douglas pubblicarono uno studio in cuimodellavano la crescita dell'economia Americana durante il periodo 1899 - 1922.Essi considerarono una visione sempli�cata dell'economia, dove la produzionedipende dal lavoro impiegato e dal capitale investito. Nonostante siano molti ifattori che determinano le performance del sistema economico, il loro modellosi dimostrò molto preciso. Cobb e Douglas hanno dimostrato statisticamenteche le quote di lavoro e capitale sull'output totale erano costanti nel tempo neipaesi sviluppati; essi spiegarono ciò mediante una funzione di produzione ot-tenuta con il metodo dei minimi quadrati. La funzione di produzione da loroutilizzata è del tipo: Y (N,K) = ANαKβ dove: Y = produzione totale (valoremonetario di tutti i beni prodotti in un anno) , N = lavoro impiegato (numerototale di lavoratori per ore lavorate in un anno), K = capitale investito (valoremonetario dei macchinari, degli impianti, etc), A = produttività totale dei fat-tori, α;β sono, rispettivamente, le elasticità del lavoro e del capitale, costantideterminate dalla tecnologia disponibile.

Usando i dati pubblicati dal governo americano, Cobb e Douglas presero il1899 come anno base e a Y ,K,N venne assegnato il valore 100. I valori pergli altri anni vennero espressi come percentuali rispetto a quelli del 1899. Poi,Cobb and Douglas hanno usato il metodo dei minimi quadrati per stimare iparamtri della funzione ottenendo:

Y (N,K) = 1.01(N0.75)(K0.25)

La funzione Cobb - Douglas è molto usata in economia perchè gode di tuttele proprietà teoriche che ci si aspetta da una funzione di produzione ed a liv-ello macroeconomico riproduce i dati statistici di molti paesi. Considerando ifattori della produzione, il capitale è uno stock che varia lentamente, basta pen-sare al tempo necessario per realizzare uno stabilimento o una strada, mentrel'occupazione varia molto rapidamente e continuamente, cosa che ci consente didistinguere tra breve periodo, in cui il capitale è �sso, e lungo periodo in cui ilcapitale varia. La variazione del capitale dipende dai nuovo investimenti e dalgrado di consumo dell'esistente.

1.2 Ottimo Produttivo

L'ottimo produttivo si ha quando si massimizza il pro�tto, cioè la di�erenzatra ricavi e costi. Il costo del lavoro è il salario w, per il costo del capitale,considerato che esso è usato in più periodi si considera il costo di a�tto che devecoprire il tasso di interesse sull'equivalente capitale in titoli e l'ammortamento(costo dell'invecchiamento del capitale) cosicchè si deve massimizzare:

π = PY (K,N)− (Kr +Nw)

Condizione necessaria per l'ottimo è l'annullamento delle derivate prime i.e. :


{dπdK = P ∂Y

∂K − r = 0dπdN = P ∂Y

∂N − w = 0

ovvero: {∂Y∂K = r

P∂Y∂N = w

P

(1.1)

dove r = r + δ. Dalla prima equazione si ricava la domanda di capitali edalla seconda la domanda di lavoro che vanno eguagliate alle rispettive o�erteche dipendono dalle scelte dei consumatori che sono anche detentori delle risorseproduttive.

Sull'equivalenza tra costo di a�tto del capitale e tasso di interesse non tuttisono d'accordo e tra i classici c'è chi ritiene il tasso di interesse il costo delsolo capitale Nuovo, cioè dell'investimento. Il tasso di interesse si stabiliscenell'equilibrio tra investimento e risparmio (che dipende dagli individui). Se con-sideriamo P=1 per comodità e consideriamo che il capitale aumenta in quantitàdiscrete la 1) diventa:

∆Y = r∆K

ovvero

∆Y

Y= r

∆K

Y= r

I

Y

I(r) =∆Y

r=Ior

che asseriscono: 1)la crescita percentuale dipende dal tasso di interesse e dalrapporto degli investimenti sul reddito attuale e 2) l'investimento per un datoincremento di reddito è inversamente proporzionale al tasso di interesse, il suovalore e�ettivo dipende dal risparmio delle famiglie perchè, secondo i classici,il risparmio genera automaticamente un investimento che l'assorbe ovvero, gliimprenditori per aumentare il reddito decidono di investire generando domanadadi risparmio e le famiglie o�rono risparmio in cambio dell'interesse. Non ha sensolasciare il denaro infruttifero, anzi se non c'e investimento non c'è interesse enon c'è neanche risparmio.

1.3 Scelta individuale e scelta collettiva

Gli individui scelgono in base alle loro preferenze, cioè dato un paniere di beniogni individuo sceglie la combinazione che più gli aggrada in modo da ottimiz-zare la sua soddisfazione per il livello di reddito che ottiene dalla vendita dellesue dotazioni di capitale e lavoro. Le preferenze possono espresse da una fun-zione che associa un valore più alto a combinazioni più preferite.

La funzione delle preferenze viene ancora chiamata utilità in onore alla storiama non ha più niente a che vedere con l'utilitarismo, tant'è che oggi si ritiere


solo ordinale ed è quindi nota a meno di una trasformazione monotona che nonaltera la preferenza.

La funzione di utilità ha delle proprietà simili a quella di produzione: cres-cente per incrementi di un qualsiasi bene nel paniere ma che tende a suturare,cioè utilità marginale decrescente cose che matemeticamente si esprimono con:

∂U

∂x≥ 0;

∂2U

∂x2≤ 0

Per analogia una Cobb-Douglas interpreta bene anche l'utilità salvo alcuni casiquali i beni indi�erenti e i �mali� cioè rinunce per i quali una forma addivitameglio rappresenta la realtà. Dovendo trattare mali quali il lavoro ed il risparmiouseremo spesso una funzione di preferenza detta CRRA di un bene B ed maleM:

U(B,M) =B1−σ

1− σ− M1+η

1 + η

che nel caso σ = 1,η = −1si riduce alla forma logaritmica:

U(B,M) = lnB − lnM

tale forma rispetta le proprietà generali e consente di avere una utilità nonnulla in assenza di �male� ( M=0).

1.3.1 L'agente rappresentativo

Possiamo sintetizzare il comportamento dei consumatori in quello di un unicosoggetto: il consumatore rappresentativo, che esprime il comportamento medio/aggregatodei consumatori e, analogamente, possiano considerare una singola impresa rap-presentativa come produttore del reddito aggregato.

1.4 Ottimizzazione vincolata

Gli individui ottimizzano la propria utilità ma sotto il vincolo di bilancio.Trovare il massimo vincolato è stato reso facile da Lagrange che ha dimostratocome ciò si riduca ad un estremo libero di una funzione ausiliaria detta appuntolagrangiana.

Data una funzione f(x, y)ed un vincolo espresso da una equazione g(x, y) = 0la Lagrangiana è data da:

L(x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y)

questa funzione è di tre variabili e λè detto moltiplicatore di lagrange. Lacondizione necessaria per un estremo è che le tre derivate parziali rispetto adx, y, λsiano nulle, condizione che da tre equazioni in tre incognite per trovare levariabili.


1.5 Il breve periodo

Se consideriamo il breve periodo, dove per de�nizione il capitale è �sso, possiamoincorporare il suo uso nella costante A detta produttività totale dei fattori edabbiamo che Y = ANα, quindi, se indichiamo con P l'indice dei prezzi e con Wil salario, l'ottimo produttivo è il massimo della funzione pro�tto PY (N)−WNdove WN è il costo del prodotto; la condizione del primo ordine ci da: P dY

dN =

W ovvero dYdN = W

P , cioè il prodotto marginale del lavoro eguaglia il salarioreale. Nel caso della Cobb-Douglas W

P = α YN ovvero N = αY PW rappresenta la

domanda di lavoro, crescente con la produzione e decrescente nel salario.L'o�erta di lavoro deriva dalle famiglie che devono scegliere tra lavoro e

consumo, legati dal vincolo di bilancio, in base alle preferenze. Se ipotizziamole preferenze rappresentate da una funzione di utilità del tipo U = Y 1−σ

1−σ −N1+η

1+ηed il vincolo di bilancio da PY = WN l'ottimo si ottiene dalla condizione delprimo ordine sulla Lagrangiana:

L = Y 1−σ

1−σ −N1+η

1+η − λ (PY −WN)∂L∂Y = Y −σ − λP = 0;∂L∂N = −Nη + λW = 0

ricavando λdalla prima e sostituendo nella seconda λ = Y −σ

P , Nη = Y −σ WPche rappresenta l'o�erta di lavoro.

L'equilibrio sul mercato del lavoro consente di trovare il salario reale. Per fareciò usiamo una tecnica molto utilizzata in macroeconomia, la log-linearizzazione,che nella versione più semplice, applicabile quando ci sono solo potenze, moltipli-cazioni e divisioni, consiste nel prendere i logaritmi di entrambi i lati dell'equazione,ovvero, indicando con le minuscole i logaritmi delle grandezze:

domanda di lavoro: n = a+y− (w − p) o�erta di lavoro ηn = −σy+(w−p)all'equilibrio

ηa+ ηy − η(w − p) = −σy + (w − p)⇒ ηa+ (η + σ)y = (1 + η)(w − p)

w − p =ηa

1 + η+η + σ

1 + ηy

Che dimostra che esiste sempre un valore del salario reale che equilibria domandaed o�erta di lavoro e, di conseguenza domanda ed o�erta di beni.

Risolvendo l'ultima equazione rispetto ad y troviamo che il reddito nazionaledipende in ultima analisi solo dal salario reale che determina quante personee�ettivamente lavoreranno.

y =(1 + η)

(η + σ)(w − p)− η

(η + σ)a

In sintesi, data la funzione di produzione, il numero di lavoratori che decidedi lavorare determina il salario di equilibrio e la produzione . Non c'è maidisoccupazione involontaria, ovvero esiste sempre un valore del salario reale che


consente a chi vuole lavorare di occuparsi e a tutti gli occupati di acquistaretutta la produzione. L' ultima proposizione è detta Legge di Say.

1.5.1 Prezzi e moneta

In questo modello il livello dei prezzi P è determinato solo dalla quantità dimoneta in circolazione. Infatti la moneta è considerata solo strumento per letransazioni per cui, se V è la velocità di circolazione, vale l'equazione quantita-

tiva della moneta:

PY = MV

quindi la politica monetaria determina solo il livello dei prezzi e agisce sulsalario reale, ma non è necessaria se W è libero di �uttuare.

Tutta la teoria classica indica che, nel breve periodo tutto dipende solo dalmercato del lavoro. Se i salari sono liberi di �uttuare si raggiunge sempre lapiena occupazione.

1.5.2 Il ruolo dello stato

La teoria classica, per quanto riguarda la politica economica, si basa sul famosolaissez-faire di smithiana memoria, in base al quale l'intervento dello statonell'economia è del tutto inutile, o addirittura dannoso, perchè se i mercati sonoperfettamente concorrenziali, gli individui seguono comportamenti ottimizzantie prezzi e salari �uttuano liberamente in modo da garantire sempre l'uguaglianzatra costo dei fattori e valore della loro produttività marginale, dunque si ha sem-pre il pieno impiego delle risorse.

Se invece nel mercato vi sono dei fallimenti, lo stato deve limitarsi ad imporreregole, e non misure discrezionali, per far si che i mercati siano concorrenziali,e quindi sempre in grado di raggiungere il pieno impiego delle risorse.

Naturalmente lo Stato deve fornire i beni pubblici, quei beni cioè che nonè conveniente o opportuno che i singoli producano da sè quali le infrastrutture(strade, ferrovie, aeroporti etc), la difesa, la giustizia e l'ordine pubblico. Per�naziare questi beni lo stato impone delle tasse ed il loro costo costituisce laspesa pubblica. per i classici le tasse devono servire a coprire i costi ed il bilanciodello stato deve essere sempre in pareggio. naturalmente posso esserci situazionieccezionali che richiedono un aumento della spesa. Un risultato importante dellateoria classica è la famosa equivalenza ricardiana, in base alla quale, gli e�etti diun �nanziamento della spesa pubblica tramite imposte o debito, sulla produzioneaggregata sono equivalenti perchè entrambe le modalità spiazzano il consumoprivato, in quanto, un aumento delle imposte riduce il reddito disponibile dellefamiglie, e l'emissione di debito viene percepita come un maggior aumento delleimposte in futuro.

Chapter 2

Log linearizzazione

la log linearizzazione è una tecnica molto utilizzata in macro perchè consente distudiare le variazioni percentuali rispetto ad un valore di riferimento. La logicadi base è quella dello sviluppo in serie di Taylor al primo ordine i.e.

f(x) ' f(x) + f′(x)(x− x)

che applicata ai logaritmi ci da

x = lnx

x= ln(1 +

x− xx

) ' x− xx

Quindi data una qualsiasi funzione

z = f(x, y)

la log-linearizzazione consiste nel porre

x = xex; y = yey; z = zez

e linearizzare primo e secondo membro:

zez = f(xex, yey)

z + zz = f(x, y) + fxxx+ fyyy

z = f(x, y)

per cui

z =fx(x, y)x

f(x, y)x+

fy(x, y)y

f(x, y)y

i coe�cienti sono le elasticità.Un caso particolare è la funzione implicita

11

CHAPTER 2. LOG LINEARIZZAZIONE 12

f(x, y) = 0

in tal caso si ha:

fxxx+ fyyy = 0

da cui

y = −fxxfyy

x

Nel caso di una equazione alle di�erenze

xt+1 = f(xt)

si usa linearizzare intorno allo steady-state x = f (x) per cui

xext+1 = f(xext)

x+ x ˆxt+1 = f(x) + f′(x)xxt

xt+1 = f′(x)xt

ESEMPIProporzione z = ax⇒ z = ax

z x = x

Moltiplicazione z = xy ⇒ y = yxxy x+ xy

xy z = x+ y

Cobb-Douglas z = xαy1−α ⇒ y = αxα−1y1−αxxαy1−α

x+ (1−α)yαxαyxαy1−α

= αx+(1− α) y

Somma z = ax+ by ⇒ z = axz x+ by

z y = axz x+ byz y

Chapter 3

Teoria Keynesiana

3.1 Il principio della domanda e�ettiva e la fun-

zione dell'investimento

Il modello keynesiano è nato come critica al modello classico in seguito allagrande depressione. L'osservazione fondamentale è che in un' economia svilup-pata la capacità produttiva non è quasi mai completamente utilizzata e, cosìcome una singola azienda produce solo quello che riesce a vendere (la sua do-manda), così un intero paese produce quello che è domandato (principio della

domanda e�ettiva). Questo comporta che possono esserci stati di disoccupazionepersistente aggravati dal fatto che in realtà nè i prezzi nè i salari sono �essibili.I prezzi sono �ssati dalle aziende nei loro listini e cambiano lentamente; la pre-senza dei sindacati fa sì che i salari vengono �ssati alle scadenze contrattuali.

La funzione di produzione rimane alla base dell'impianto, ma la domandae�ettiva determina il livello di produzione e la funzione di produzione inversa,che Keynes chiama funzione dell'occupazione, determina l'occupazione. I prezziin prima approssimazione hanno poca incidenza sull'equilibrio di breve periodo.

La domanda e�ettiva è costituita dai consumi e dagli investimenti e, la cosafondamentale è che i consumi hanno un ruolo passivo, cioè dipendono solo dalreddito complessivo, precisamente sono proporzionali al reddito, cioè:

C = cY

c è detta propensione marginale al consumo. Nel breve periodo possiamosempre usare questa funzione come approssimazione della curva C (Y ). Quindi

Y = C + I = mI

dove m = 11−c è il moltiplicatore dell'investimento. La teoria si riduce quindi

ad una teoria dell'investimento.A posteriori il reddito viene ad essere uguale al consumo più l'investimento

per cui la condizione di equilibrio è:

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CHAPTER 3. TEORIA KEYNESIANA 14

S = I

cioè una volta deciso il livello degli investimenti l'economia è in grado diprodurre la quantità di risparmio che serve a �nanziarli.

Per spiegare l'investimento Keynes introduce il concetto di e�cienza marginaledel capitale, che è quel tasso di sconto che eguaglia gli utili futuri attesi dall'investimentoal suo prezzo di o�erta, cioè al prezzo a cui un produttore è disponibile a pro-durre una unità di capitale.

Questo concetto è molto simile a quello di ROI usato in economia aziendalese si sostituisce il prezzo di o�erta al valore di mercato ed è quello che useremo,cioè, considerando solo due periodi, presente e futuro:

ρ =Ut+1 − It

It

da cui

It =Ut+1

1 + ρ

la presenza dei pro�tti futuri introduce l'incertezza nel modello in quantoil futuro si può solo prevedere, ma non conoscere. Se esprimiamo i pro�tti inpercentuale dell'incremento di produzione questa diventa:

It =ν(Yt+1 − Yt)

1 + ρ

posto a = υ1+ρ detto anche acceleratore si ha

It = a(Yt+1 − Yt)

Keynes non sviluppò formalmente il modello, non era suo interesse comescrisse nel 1937 sul Quarterly Journal of Economics:

�I am more attached to the comparatively simple fundamental ideas whichunderlie my theory than to the particular forms in which I have embodied them,and I have no desire that the latter should be crystallised at the present stageof the debate. If the simple basic ideas can become familiar and acceptable,time and experience and the collaboration of a number of minds will discoverthe best way of expressing them.�

Altri però formalizzarono le sue idee in modelli che sono diventati famosiperchè da generazioni riempiono i libri di testo: Il modello IS-LM proposto daHicks che lo sottopose a Keynes, il modello AD-AS proposto da Modigliani edil modello di crescita di Harrod-Domar.

3.2 Il lungo periodo: Harrod-Domar

Il modello Keynesiano fu adattato al lungo periodo indipendentemente da Har-rod e Domar che, partendo da presupposti diversi arrivarono alla stessa conclu-


sione. Harrod (1939) si poneva il problema dell'esistenza di un sentiero tempo-rale del reddito in grado di mantenere costantemente la piena occupazione dellacapacità produttiva e della stabilità di tale sentiero. Domar (1941) si poneva ilproblema dell' esistenza di un livello o un sentiero temporale dell'investimentoin grado di mantenere costantemente la piena occupazione della capacità pro-duttiva. Il formalismo ed i risultati sono identici e portano al modello a lorointitolato.

Considerando la funzione dell'investimento

It =ν(Yt+1 − Yt)

1 + ρ

nel lungo periodo 1 + % si incorpora in ν, l'acceleratore per cui

It = a(Yt+1 − Yt)

ma l'investimento deve essere uguale al risparmio S = (1 − c)Y = sYt percui avremo:

sYt = a(Yt+1 − Yt)ovvero

Yt+1 − YtYt

=s

a

equazione che, letta in modo deterministico dice che il saggio di crescita delPIL è costante e pari al rapporto tra la propensione al risparmio e l'acceleratore.In verità il valore futuro del reddito è solo stimabile e questa equazione al piùci dà un criterio di previsione: il valore probabile del prossimo periodo è datodal trend di crescita.

Il rapporto

g =s

a

è detto tasso di crescita garantito ed è tale che il sentiero di crescita in equilibrioè quello che si realizza quando gli investimenti che le imprese programmanodi e�ettuare sono tali da generare la crescita del reddito che rende i risparmiesattamente uguali agli investimenti. Questo avviene solo se le aspettative suY sono realizzate. Se le aspettative non sono realizzate, la di�erenza tra ged il tasso di crescita e�ettivo ge indica uno squilibrio. Se ge > g ci sarà uneccesso di investimenti sui risparmi. Le imprese penseranno di aver investitopoco e aumenteranno ancora di più gli investimenti. L'economia si allontaneràsempre più da sentiero di crescita in equilibrio. Il contrario avverrà quandoge < g , ci sarà un eccesso di capacità produttiva e le imprese penseranno diaver investito troppo e, riducendo la quota di investimenti non faranno altro cheportare l'economia in una situazione di recessione.

3.3 Il modello IS-LM

Nel breve periodo, considerata la stima dell'utile data, la funzione dell'investimento,si puo scrivere:


It =I0

1 + ρ

Questa relazione viene spesso proposta in forma lineare. Dato che per x� 1,1/(1 + x)n ' 1− nx il modello si può esprimere in modo lineare:

It = I0 − I1ρ

l'investimento è conveniente se il ROI è maggiore o almeno uguale al tassodi interesse corrente per cui sostituendo ρcon r possiamo interpretareI0 comel'investimento massimo che si e�ettua dato un certo tasso di interesse.

Dipendendo l'investimento, e, quindi, la produzione, dal tasso di interesse,c'è bisogno di una teoria che spieghi come si forma il tasso di interesse.

Anche qui Keynes è stato innovativo in quanto ha ritenuto che questo nondipende dalla domada ed o�erta di capitali, ma dall'equilibrio sul mercato dellamoneta.

Per Keynes la moneta oltre ad essere uno strumento per e�ettuare transazioniè anche, e fondamentalmente, riserva di valore, per cui le famiglie detengonomoneta per scopi di transazione, scopi precauzionali e scopi speculativi. I primidue sono proporzionali al reddito mentre il terzo dipende dal tasso di interesse,cioè le famiglie investono in titoli la loro ricchezza solo se il tasso d'interessesupera una certa soglia, altrimenti la detengono come moneta, cioè la domandaè inversamente proporzionale al tasso di interesse. Quindi, detta L0 la ricchezzamobiliare massima che può essere detenuta in moneta, la domanda di monetaper scopi speculativi si può scrivere

LS(r) =L0

1 + r

in de�nitiva la domanda di moneta totale è:

L(Y, r) = kY +L0

1 + r

L'o�erta di moneta è una costante M determinata dalla banca centrale percui l'equilibrio sul mercato della moneta è dato da:

M = kY +L0

1 + r

NOTA: ai tempi di Keynes le banche centrali avevano come target il controllo

degli aggregati monetari, cioè l'o�erta di moneta, politica poi abbandonata in

favore dell' in�ation targeting , ma il modello è ancora utile perchè c'è dualità

tra tasso di interesse e quantità di moneta.

L'equilibrio generale è dato dal modello IS-LM due equazioni in due incogniteda risolvere contemporaneamente:{

Y = m( I01+r )

M = kY + L0

1+r


Il modello base può essere risolto analiticamente dando luogo al modello in

forma ridotta infatti, sostituendo la prima nella seconda si ha, in sequenza:

M = kmI01 + r

+L0

1 + r

da cui

1 + r =kmI0 + L0

M

Y = mI0M

kmI0 + L0

Il tasso di interesse è inversamente proporzionale alla quantità di moneta incircolazione (e viceversa) ed il reddito è positivamente in�uenzato dalla quantitàdi moneta in circolazione attraverso un moltiplicatore monetario.

La versione lineare del modello spesso utilizzata per le rappresentazionigra�che è:

Y = C + I0 − I1r

M = kY + L0 − L1r

La versione log-linearizzata è:

y =c

yc− I1r

yr

m = ky

my − L1r

mr

in pratica, nel modello log linearizzato spariscono le costanti ed i coe�cientidiventano elasticità. Introducendo nuove costanti per le elasticità abbiamo unaforma semplicissima

y = cc− ir

m = ky − lr

questa forma è compatibile con una descrizione della IS - LM del tipo

Y = Cce−ir

M = Y ke−lr

che sono ancora corrispondenti allo spirito Keynesiano e consentono di avereuna forma logaritmica senza passare per la log-linearizzazione.


3.3.1 L'occupazione

sempre considerando il breve periodo la funzione di produzione diventa Y =f(N) per Keynes diventa importante la sua inversa che chiama, appunto, fun-zione dell'occupazione N = f−1(Y ) e fornisce il numero di occupati per un datolivello di domanda e�ettiva.

3.3.2 Il ruolo dello stato

Dato che il sistema è in equilibrio di sotto occupazione il reddito può aumentarecon un aumento di spesa pubblica. Introducendo la spesa pubblica dobbiamointrodurre anche le tasse, in tal caso la propensione al consumo si applicherà alsolo reddito disponibile. Se ipotizziamo T = tY la IS lineare diventa:

Y = c(1− t)Y + I0 − I1r +GY = m (I0 − I1r +G) =⇒ 4Y = m4G ; con m = 1

1−c(1−t) che ci dicecome un aumento della spesa pubblica induce un aumento del reddito di misuramaggiore grazie al moltiplicatore maggiore di 1. E' interessante notare comeil ritorno in tasse per l'amministrazione statale sia sempre inferiore alla spesainfatti

4T = t4Y = tm4G

4T4G

=t

1− c(1− t)< 1

infatti t < 1 − c + ct =⇒ t(1 − c) < 1 − c sempre vero se t < 1 . Quindi unaumento di spesa pubblica implica anche un aumento del debito pubblico, perciòla teoria keynesiana va completata con una analisi della dinamica del debito.

Anche l'aumento di liquidità, facendo diminuire il tasso di interesse, ha e�ettistimolanti per la domanda e�ettiva infatti dal modello in forma ridotta abbiamo

4Y =mI0

kmI0 + L04M

Forse il maggior difetto di questa teoria è stato proprio quello di far apparirelo stato come onnipotente; con una opportuna combinazione di politiche �scalie monetarie sembra che si possa raggiungere qualsiasi obiettivo di reddito edoccupazione.

3.3.2.1 La dinamica del debito

Il debito in generale va rapportato alle possibilità di ripagarlo, quindi nel casodi uno stato al PIL. Se uno stato ha un debito D deve pagare gli interessi ecoprirlo con l'avanzo primario, cioè la di�erenza tra entrate e spese pubbliche.La variazione netta sarà:

D = rD −A


se de�niamo d = D/Y abbiamo ln d = lnD−lnY e di�erenziando dd = D

D−YY

l'ultimo valore è il tasso di crescita dell'economia g, il secondo lo ricaviamodall'espressione sopra ottenendo:

d

d= r − AY

DY− g

ovvero

d = (r − g)d− a

questa è una equazione lineare a coe�cienti costanti che governa la dinam-ica del debito, non conteniene alcuna assunzione sui valori quindi è di portatagenerale.

Essa ci dice che la dinamica del debito è governata dalla di�erenza tra iltasso di interesse ed il tasso di crescita, se la crescita è superiore all'interesse ildebito diminuisce progressivamente, diventa esplosivo se il tasso r supera il tassodi crescita cosa che avviene regolarmente nei paesi sviluppati che , ad aggravareil fenomeno mettono pure degli avanzi primari negativi, cioè de�cit.

3.4 Il modello AD-AS

Il modello IS-LM riconduce la teoria generale di keynes ad un equilibrio generaledel mercato dei beni e della moneta ma non contiene i prezzi a cui Keynes avevadedicato un capitolo del suo trattato. Una interpretazione più estesa della teoriakeynesiana comprendente i prezzi è stata o�erta da Modigliani in un articolodel 1944 che introduce il modello AD-AS.

Per inserire nel modello IS-LM i prezzi. bisogna considerare che la primaequazione, curva I-S, lega grandezze reali per cui i prezzi vanno sia al primoche al secondo membro sempli�candosi, nell'equilibrio monetario, la curva L-M,invece M è già una grandezza monetaria, quindi vanno moltiplicati per P sia Yche L0 e la LM diventa

M

P= kY +

L0

1 + r

e la soluzione esplicita (detto anche modello ridotto) diventa:

1 + r = (kmI0 + L0)P

M

Y =mI0

kmI0 + L0

M

P= mM

M

P

la seconda equazione, rappresenta una relazione decrescente tra reddito elivello dei prezzi detta AD (aggregate demand)

Il livello dei prezzi richiede una nuova equazione che è ricavata dall'equilibriosul mercato del lavoro. Da notare che nel sistema keynesiano in stato di disoc-cupazione l'o�erta di lavoro è perfettamente elastica al salario determinato dalla


contrattazione sindacale. Quindi il salario è un dato. Solo quando si raggiungela piena occupazione il salario tende a salire. Come nel modello classico Keynesconserva la funzione di produzione solo che ritiene importante la sua inversaN = f−1(Y )detta funzione dell'occupazione che determina il numero di occu-pati corrispondente ad una data domanda e�ettiva. Come nel modello classicoil salario reale eguaglia la produttività marginale del lavoro cioè f

′(N) = W/P ,

se usiamo per f una Cobb-Douglas e indichiamo con A la produttività del lavoroabbiamo:

Y = ANα

AαNα−1 =W

P

N = (1

αA

W

P)

1α−1

Y = A(1

αA

W

P)

αα−1

e considerando che α < 1

Y = A[αAP

W]α

1−α = [αA1αP

W]α

1−α

essendo l'esponente positivo questa costituisce una relazione crescente tareddito e livello dei prezzi che costituisce la AS aggregate supply. Il modelloAD-AS viene quindi ad essere:{

Y = mMMP

Y = [αA1αPW ]

α1−α

La AS è quindi una relazione tra il livello dei prezzi ed il reddito che varisolta in contemporanea con la AD.

ricordando che la AD è la versione ridotta del modello possiamo dire chemodello AD - AS è un modello di tre equazioni in tre incognite y, r, p. Questomodello permette di analizzare fenomeni di in�azione ma ha avuto scarsa fortunaperchè la AS è stata presto sostituita dalla curva di Phillips.

Il modello in forma logaritmica diventa molto semplice:{y = mM +m− py = β[a− w + p]

dove si è posto a = ln(αA1α ) , β = α

1−α


3.5 La curva di Phillips ed il modello AD-AS nel

tasso di in�azione

Mentre col modello AD-AS si tentava di dare conto dell'in�azione, nel 1958Phillips pubblicò un famoso studio empirico in cui legava il tasso di variazione deisalari con la disoccupazione in Inghilterra, trovando una relazione decrescenteche si annulla in un valore speci�co della disoccupazione che è stato chiamatotasso naturale di disoccupazione.

Linearizzando in un intorno di un abbiamo la forma lineare tale relazione:

w = −a(u− un)

dove a ha un valore vicino all'unità.I keynesiani riconobbero che questa rappresentava una spiegazione migliore

del mercato del lavoro e, considerato che le imprese �ssano i prezzi con un mark-up sui costi marginali, questa equazione dà conto dell'in�azione e dà origine aduna AS empiricamente fondata.

Infatti se P = µW , per de�nizione u = (FL−N)/FL e N = Y/A, allora lavariazione percentuale del salario è uguale a quella dei prezzi, cioè l'in�azione,e dunque

πt = θ(Yt − Yn)

dove ϑ = a/(A ·FL) = a/Yp e Ynè il reddito corrispondente ad in�azione nulla,cioè alla disoccupazione naturale ed è detto reddito naturale. In piena lineakeynesiana l'in�azione aumenta quando ci si avvicina al pieno impiego quandoi salari aumentano e le imprese riversano gli aumenti sui prezzi.

Data la AS nell' in�azione bisogna anche trasformare la AD nel tasso diin�azione per cui basta derivare rispetto al tempo la AD log-linearizzata infattiddt lnx = x

x 'xt−xt−1

xt, ma lo stesso risultato si ottiene di�erenziando la AD

normale ed abbiamoy = m− p


ovveroYt = Yt−1(1 + m− p)

Dato che la AS è linearizzata intorno al reddito naturale anche nella AD sipuò considerare la variazione intorno a tale reddito ciòè y = Y

Y 'YYn

da cui ilmodello AD-AS nel tasso di in�azione p = π

Y = Yn(m− π)

π = β(Yt − Yn)

Questo è il modello Keynesiano completo ancora oggi utilizzato con la solacorrezione della curva di Phillips cui viene aggiunto un termine di in�azioneattesa ed è il primo modello realmente dinamico nella teoria economica. Il mod-ello IS-LM è statico e si studia col metodo della statica comparata, il modelloAD-AS si studia col metodo dinamico.

Per fare ciò introduciamo l'output gap

x =Yt − YnYn

che rappresenta la deviazione percentuale del reddito e�ettivo da quello nat-urale,ed avremo

Y

Yn=Yt − Yt−1

Yn=Yt − YnYn

− Yt−1 − YnYn

= xt − xt−1 = x

ed il modello diventa il modello AD-AS nell'output gap{x = m− ππ = βx

combinando le due equazioni abbiamo

x+ βx = m

questa è una equazione dove compare sia la funzione che la sua derivata edè detta equazione di�erenziale del primo ordine.

Con questo sistema la dinamica, già introdotta con il modello di Harrod-Domar e nell'analisi del debito, fa il pieno ingresso nei modelli macroeconomici,conviene pertanto inserire una parentesi per trattare le basi della dinamica.

Chapter 4

Sistemi dinamici e stabilità

I modelli economici che abbiamo introdotto mettono in relazione grandezze vari-abili nel tempo, cioè dinamiche.

A volte fenomeni diversi hanno la stessa rappresentazione analitica inducendoa fondare una teoria generale che vale per tutti i fenomeni descritti dallo stessomodello: La teoria dei Sistemi.

L'evoluzione nel tempo può avvenire ad istanti precisi o con continuità dovecon continuità dobbiamo intendere intervalli molto brevi rispetto alla scala dievoluzione del fenomento. In economia è facile trovare dati provenienti da bilanciannuali ed è spontaneo usare modelli a tempo discreto ma abbiamo già dovutorilevare che il capitale varia molto più lentamente del consumo o dell'occupazionecostringendoci a distinguere tra breve e lungo periodo. Cioè preso un intervallodi tempo T alcune grandezze rimangono costanti, altre variano e vanno studiatead intervalli τ < T per evitare ciò conviene studiare i sistemi nel continuo, laloro evoluzione ci dirà qual'è l'intervallo giusto per prendere i valori, e�ettuarecioè la trasformazione x = dx

dt = xt−xt−1

T e porre T = 1 . In base a questaosservazione inizieremo coi sistemi a tempo continuo passando poi al discreto.

Il problema più serio che riguarda i sistemi dinamici è la stabilità. Capirecioè se tende spontaneamente ad uno stato di equilibrio o no e cosa succedese una forza lo allontana da tale stato. Vediamo adesso di formulare metodigenerali.

4.1 Sistemi tempo continuo

Se l'evoluzione del sistema dinamico può essere descritta con distanze tempo-rali arbitrariamente piccole, allora si può assumere t ∈ R, il tempo t assumecioè valori appartenenti all'insieme dei numeri reali. Un sistema dinamico con-tinuo unidimensionale, descritto cioè da una sola variabile, sarà generalmenterappresentabile gra�camente con una curva nel piano (t, x). In questo caso lalegge di evoluzione del sistema , sarà rappresentata da Equazioni Di�erenziali(ED). Sia x una funzione della variabile reale t; si chiama equazione di�erenziale

23

CHAPTER 4. SISTEMI DINAMICI E STABILITÀ 24

nell'incognita x una relazione del tipo: F( t, x(t), x'(t), x� (t), . . . , xn(t)) = 0Le equazioni di�erenziali sono equazioni che contengono derivate (o di�eren-

ziali), esprimono i saggi di variazione nel tempo di funzioni continue.L'ordine di un' equazione è quello della derivata di ordine più elevato. La

più semplice equazione di�erenziale è:

y′(t) = g(t)

che ha l'ovvia soluzione:

y(t) =

ˆg(t)dt+ c

che rappresenta una famiglia di curve detta integrale generale . La curvae�ettiva si può trovare solo imponendo una condizione iniziale x(t0) = x0Ilproblema di risolvere un'ED del primo ordine, data la c.i., prende il nome diProblema di Cauchy. Per le equazioni di�erenziali in forma normale, sotto largheipotesi, il Problema di Cauchy ammette un'unica soluzione, almeno localmente,cioè per t in un intorno del punto t0 in cui è assegnata la condizione iniziale.Se è data la condizione iniziale la soluzione dell'equazione elementare si scriveanche

y(t) =

ˆ t

to

g(τ)dτ

eliminando la costante arbitraria.Un sistema dinamico si dice autonomo se le derivate delle grandezze dipen-

dono solo dalle grandezze stesse e non da altre funzioni, un sistema non au-tonomo si dice anche forzato.

In un sistema lineare vige il principio di sovrapposizione degli e�etti, cioè ilrisultato è sempre somma dei risultati ottenuti applicando singolarmente forzecioè se g(t) = f1(t) + f2(t) allora y(t) = y1(t) + y2(t) =

´ ttof1(τ)dτ +

´ ttof2(τ)dτ

per la linearità dell'integrale. dato che g(x) = 0+g(x) ne deriva che, la soluzionesi può sempre trovare come somma della soluzione della omogenea e di unasoluzione particolare. Questo risultato è valido per equazioni lineari di qualsiasiordine.

4.1.1 SISTEMI DEL PRIMO ORDINE

4.1.1.1 sistema autonomo

Trovare la soluzione di un sistema dinamico a tempo continuo signi�ca trovarela legge che descrive l'evoluzione del sistema in esame.

Il sistema lineare di primo ordine autonomo: x = ax si può scrivere comexx = a e, la sua soluzione èx = x0e

at. il suo comportamento dipende dal valoredel parametro a:

1) a > 0: la soluzione diverge, cioè limt→∞ x = ∞ ed il sistema si diceinstabile.


2) a = 0: la soluzione è costante ed avremo stabilità semplice.3) a < 0: limt→∞ x = 0 ed avremo stabilità asintotica.I punti di equilibrio si hanno quando x = 0 cioè quando la variazione è nulla.

Nel nostro caso abbiamo ax = 0 che si annulla solo in 0 cioè l'unico punto diequilibrio è l'origine quindi:

� con a > 0 l'origine è detta repulsore globale e l'equilibrio sarà instabile;� con a < 0 l'origine è detta attrattore globale e l'equilibrio è asintoticamente

stabile;� con a = 0 l'origine è un punto di equilibrio semplicemente stabile.

4.1.1.2 Risposta al gradino

Nel caso di un sistema dinamico lineare del primo ordine non autonomo lasoluzione generale sarà data dalla somma della soluzione dell'omogenea più lasoluzione particolare.

Nello studio dell'economia si deve spesso considerare quando una grandezzapassa da un valore costante tipicamente 0 ad un altro valore costante. E' im-portante perciò valurate il sistema quando è forzato da una costante:

Dato il sistema:x− ax = b

una soluzione particolare sarà: xp = A dove A è una costante. Sostituendonell'equazione abbiano A=-b/a per cui l'integrale generale sarà:

x(t) = keat − b/a

per t = 0 abbiamox(0) = k− b/a ovvero k = x(0) + b/a e la soluzione �nalediventa

x(t) = (x0 +b

a)eat − b

a

il punto di equilibrio dell'equazione è xe = −b/a e la soluzione si allontana daesso quando a > 0 (repulsore, equilibrio instabile) , si avvicina ad esso quandoa < 0 (attrattore, equilibrio stabile) e vi rimane quando a = 0 (equilibriosemplice)

4.1.2 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE

4.1.2.1 Sistema Autonomo

Un sistema dinamico continuo, lineare, omogeneo, del secondo ordine omogeneoè descritto da una equazione di�erenziale del secondo ordine o da un sistema didue equazioni del primo ordine. I due modi sono del tutto equivalenti, infattise:

x+ ax+ bx = 0

allora ponendo x = y abbiamo


x = y

y = −ay − bx

viceversa se

x = ax+ by

y = cx+ dy

derivando la seconda e sostituendvi la prima avremo

y = cx+ dy

y = acx+ cby + dy

e, ricavando x dalla seconda equazione x = y−dyc

y = ay − ady + cby + dy

ovvero

y = Tr(A)y − det(A)y

dove

A =

(a bc d

)è la matrice del sistema e tr(A) la sua traccia, cioè la somma della diagonale edet(A) il suo determinante: a*d-c*b.

Il piano (x,y) costituisce il piano delle fasi e la soluzione x (t), y (t) descriveuna curva di fase. I punti di equilibrio si trovano ponendo x = 0 e y = 0 nelsistema omogeneo descritto dall'equazione l'unico punto di equilibrio è l'origine(0, 0).

Si cerca una soluzione del tipo eλt e sostituendo nell'equazione (λ2 + aλ +b)eλt = 0 se esolo se λ è soluzione dell'equazione caratteristica

λ2 + aλ+ b = 0

questa è la stessa equazione caratteristica della matrice per cui λ sono gliautovalori infatti nella forma di sistema l'equazione diventa(

xy

)=

(0 1−a −b

)(xy

)e l'euazione caratteritica det(A − λI) = 0 da la stessa dell'equazione. Le

radici dell'equazione sono:


λ1,2 =−a±

√a2 − 4b

2

abbiamo quindi tre casi distinti:con a2 − 4b > 0 troveremo radici reali e distinte e la soluzione sarà:

x = k1eλ1t + k2e

λ2t

(y = x ha un andamento simile)essa sarà asintoticamente stabile se λ1 < 0 λ2 < 0 e d il punto di equilibrio

è un attrattoresemplicemente stabile se un valore è nullo e l'altro negativoinstabile negli altri casi e l'origine è detta repulsore.Essendo k1 e k2 determinati dalle condizioni iniziali la stabilità dipende da

essi, infatti anche nel caso di una radice positiva ed una negativa, se le condizioniiniziali sono tali da annullare il coe�ciente della radice positiva la soluzionediventa stabile. Il punto stazionario è detto sella.

Con a2 − 4b = 0 abbiamo una radice doppia e la soluzione è

x = k1eλ1t + k2te

λ1t

Se λ1 < 0 la soluzione è stabile, instabile negli altri casi. Infatti se λ1 = 0 lasoluzione diventak1 + k2t divergente con t a meno che k2 = 0

con a2−4b < 0 abbiamo due radici complesse e coniugate α±iω e la soluzioneè

x = eαt(k1 cosωt+ k2 sinωt)

che viene fuori dalla de�nizione di eit = cos t+sin t dovuta ad Eulero, ovveroponendok1 = h sinφ k2 = h cosφ ed usando le formule di addizione del seno

x = heαt sin(ωt+ φ)

Essendo seno e coseno compresi tra -1 e 1 la stabilità la governa solo αcon α < 0 avremo stabilità, con α = 0 oscillazioni stabili, con α > 0 insta-

bilità.

4.1.2.2 Risposta al gradino

Come per i sistemi del primo ordine è importante valutate il sistema quando èforzato da una costante:

x+ ax+ bx = m

avendo studiato l'equazione omogenea si tratta di cercare una soluzione x =k per veri�care k = m/b per cui la soluzione sarà una delle omogenee più lacostante forzante ridotta del coe�ciente della x.

L'aggiunte di una costante non varia le proprietà di stabilità delle soluzioni,cambia solo il punto di equilibrio e la dinamica sarà convergente o divergente


da esso, ma è interessante notare il caso speci�co delle radici complesse. In talcaso infatti, partendo da condizioni iniziali di equilibrio ed m = 1 e ponendob = 2ω2

n e a2

4b = δ2 le radici si scrivomo λ1,2 = −δωn ± iωn√

1− δ2e la rispostaal gradino diventa con ω = ωn

√1− δ2

x = 1− e−δωnt sin(ωt+ φ)

se δ = 0 le radici diventano immaginarie pure la soluzione diventa unaoscillazione pura alla frequenza ω = ωndetta frequenza naturale. L'andamentonel tempo è il seguente:

cioè per valori di δ inferiori ad uno si ha il fenomeno dell'overshooting: ilsistema supera il valore di equilibrio a cui tende oscillandoci intorno.

4.2 Sistemi a tempo discreto

Se la conoscenza di un fenomeno avviene ad intervalli regolari �niti T allorala variazione può essere approssimata x = dx

dt = ∆x = xt−xt−1

T con T = 1 lavariazione seconda sarà ∆2x = ∆t+1 −∆t = x

t+1− xt − (xt − xt−1) etc. Una

equazione dove la variabile appare a diversi istanti di tempo costituisce unaequazione alle di�erenze �nite.

4.2.1 Primo ordine

Una equazione del primo ordine omogenea è del tipo

xt+1 = axt

I suoi punti di equilibrio si trovano ponendo partendo xt+1 = xt vera solo sea = 1 oppure xt = 0, il primo caso indica mancanza di evoluzione quindi l'unico


punto di equilibrio è lo zero. Partendo da un punto iniziale x0 abbiamo x1 = ax0

, x2 = ax1 = a2x0 per cui la cui soluzione è

xt = x0at

cioè una serie armonica. Ricordando che

(a0 + a1 + a2 + a3 + ....+ an)(1− a)

1− a=

1− an+1

1− a

abbiamo immediatamente le condizioni di stabilità:xtè stabile se il modulo di ‖a‖ ≤ 1 altrimenti diverge, cioè se0 < a < 1:

at decresce al crescere di t, avvicinandosi sempre di più all'asse orizzontale,ma mantenendosi sempre positiva. Si ha uno smorzamento �no ad arrivareall' equilibrio, il sistema converge monotonamente ed il punto di equilibrio èattrattore.

sea = 0 : at= 0 per tutti i valori di t. Partendo da qualsiasi condizioneiniziale, nel periodo successivo si raggiungerà lo zero.

se −1 < a < 0: at avrà segno alterno e si avvicinerà sempre di più all'asseorizzontale al crescere di t. Avremo delle oscillazioni improprie smorzate che altrascorrere del tempo convergeranno allo zero.

se a < −1 : at oscillerà e si allontanerà sempre di più dall'asse orizzontale.Si avrà un' oscillazione impropria ampli�cata. La successione diverge a + ∞.L'origine è un repulsore.

-Nel caso di un sistema dinamico lineare del primo ordine non autonomo la

soluzione generale sarà data dalla somma della soluzione dell'omogenea più unasoluzione particolare.

xt+1 = axt + b

La soluzione generale è :

xt = (x0 −b

1− a)at +

b

1− aLe proprieta di stabilità dimangono invariate rispetto al nuovo punto di

equilibrio

4.2.2 Secondo ordine

Un sistema dinamico lineare del secondo ordine omogeneo autonomo ha equazione:

xt+2 + axt+1 + bxt = 0

ovvero sistema di equazioni

xt+1 = yyt+1 = −ay − bx


ovvero, forma matriciale(xt+1

yt+1

)=

(0 1−a −b

)(xtyt

)con identica dimostrazione del caso continuo si può a�ermare che un sistema

del primo ordine (xt+1

yt+1

)=

(a bc d

)(xtyt

)è equivalente all'equazione

yt+2 = Tr(A)yt+1 − det(A)yt

I punti di equilibrio si ottengono ponendo xt+1 − xt = 0 , yt+1 − yt = 0 checome soluzione non banale danno solo l'origine (0,0).

pertanto si procede con l'equazione. Cercando soluzioni del tipoλt , λ deveessere radice dell'equazione caratteristica

λ2 + aλ+ b = 0

λ1,2 =−a±

√a2 − 4b

2

avremo i tre casicon a2 − 4b > 0 troveremo radici reali e distinte e la soluzione sarà:

x = k1λt1 + k2λ

t2

essa sara asintoticamente stabile se ‖λ1,2‖ < 1 e l'origine è un attrattore,semplicemente stabile se un valore è unitario e l'altro in modulo minore di 1

instabile negli altri casi con origine repulsore.Nel caso di una radice positiva ed una negativa (sella) le condizioni iniziali

che annullano il coe�ciente della radice esplosiva danno vita ad un percorsostabile.

con a2 − 4b = 0 abbiamo una radice doppia e la soluzione è

x = (k1 + k2t)λt

Se ‖λ‖ < 1 la soluzione è stabile instabile negli altri casi. Infatti se λ = 1 lasoluzione diventak1 + k2t divergente con t

con a2−4b < 0 abbiamo due radici complesse e coniugate λ±iω e la soluzioneè

x = λt(k1 cosωt+ k2 sinωt)

che viene fuori dalla de�nizione di eit = cos t+sin t dovuta ad Eulero, ovveroponendok1 = h sinφ k2 = h cosφ


x = hλt sin(ωt+ φ)

Essendo seno e coseno compresi tra -1 e 1 la stabilità la governa solo λcon ‖λ‖ < 1 avremo stabilità, con ‖λ‖ = 1 oscillazioni stabili altrimenti

instabilità.La risposta al gradino consiste solo nell'aggiungere una costante al sistema ,

spostendo il punto di equilibrio e le proprietà di stabilità permangono, rendendoil nuovo equilibrio attrattivo o repulsivo.

4.3 Esempio: soluzione del modello AD-AS

Se m = m costante, e lo stato iniziale è quello del pieno impiego x(0) = 0 lasoluzione di questa equazione si ottiene come somma di una soluzione particolarepiù la soluzione della omogenea associata cioè x(t) = xo(t) + xp(t) se proviamola soluzione del tipo ceλt , si vede che λ è soluzione dell'equazione caratteristicaλ+β = 0 cioè λ = −β , quindi la soluzione della omogenea è ce−βt, la soluzioneparticolare si cerca di tipo costante (principio di somiglianza) x = k , dunquesi sostituisce nell'equazione e si trova k = m/β, la soluzione è quindi x(t) =ce−βt + m/β , dove la costante c si calcola imponendo la condizione inizialex(0) = x0 cioè c = x0 −m/β in de�nitiva

x = x0e−βt +

m

β

[1− e−βt

]e, quindi

π = βx0e−βt +m

[1− e−βt

]considerando che per t −→ ∞ l'esponenziale tende a zero il nuovo equilib-

rio consisterà in un aumento di reddito pari mβ ed un corrispondente aumentodell'in�azione pari ad m l'in�azione aumenta più del reddito se β > 1 .

Il sistema è stabile, cioè qualsiasi sia la condizione iniziale tende sempreall'equilibrio, il che signi�ca che l'economia è stabile se la moneta aumenta atasso �sso (regola di Friedman) l'unica fonte di instabilità può essere l'o�erta dimoneta cioè il comportamento delle autorità della politica economica.

Chapter 5

Sintesi Neoclassica

La �Rivoluzione� keynesiana aveva posto al centro dell'analisi economica i datiaggregati dell'economia dando vita, appunto, alla macroeconomia, ma nullaaveva detto circa il comportamento degli operatori, consumatori ed imprese, cheera rimasto dominio della teroria classica, ribattezzata microeconomia. Questodualismo era insoddisfacente ed una intera generazione di economisti lavorò aduna sintesi, la cosiddetta Sintesi Neoclassica che teorizzò un comportamentodell'economia Keynesiano nel breve periodo e valrasiano nel lungo periodo. At-traverso l'estensione della teoria Keynesiana, comprendente il modello AD-ASe la microfondazione del consumo e dell'investimento si arrivò ad un insieme distrumenti condivisi costituenti la NewEconomics. Uno dei risultati più dura-turi di questa sintesi è stato il modello di Solow che, partendo dalla critica delmodello Harrod-Domar, sviluppò il celeberrimo modello di crescita.

5.1 Il modello di Solow

Nel lungo periodo sia il lavoro che i capitali variano, quest'ultimi per e�ettodegli investimenti e del deprezzamento δ < 1 secondo la regola:

K = I + δK

L'ipotesi minima è che l'investimento venga �nanziato col risparmio, cioè nontutto il reddito si consuma, ma una parte si risparmia. Secondo la teoria classicail risparmio è rinuncia oggi per consumare di più domani, quindi ha senso solose c'è un interesse che rivaluta la rinuncia di oggi. L'interesse viene ad essere ilprezzo dei capitali, cioè il prezzo da pagare per e�ettuare gli investimenti e sidetermina dall' equilibrio sui mercati dei capitali. Nella realtà la propensioneal risparmio s = S/Y presenta una elesticità molto bassa rispetto al tasso diinteresse, è più frutto delle abitudini, e viene considerata costante in pieno stilekeynesiano. Abbiamo quindi le seguenti identità cotabili:

S = I

32

CHAPTER 5. SINTESI NEOCLASSICA 33

Y = S + C

ovvero il sistema di equazioni di lungo periodo:

K = I + δK

I = sf(K,N)

Y = C + I = f(K,N)

questo è il modello base di Solow.Il modello di Solow può essere risolto analiticamente se si ipotizza un tasso

costante di crescita della popolazione cioè N = N0ent che è soluzione delle-

quazione NN = n, in tal caso, considerando anche la produttività totale dei

fattori uguale ad 1, possiamo scrivere:Y = KαN1−αYN = KαN1−α

NαN1−α =(KN

)α ⇒ y = kα

dove con le lettere minuscole si sono indicati i valori procapite. Convienequindi portare anche l'equazione del capitale in forma intensiva dividendo perN :

KN = s

(KN

)α+ δKN

K = KNN = kN ⇒ K = kN + kN = kN + knN ⇒ K

N = k + nkovvero

k = skα − (δ + n)k

Questa è una equazione di�erenziale di Bernoulli che si trasforma in linearecon la sostituzione: v = k1−α =⇒ v = (1−α)k−αk ovvero dividendo l'equazioneperkα, si ottiene:

kk−α = s− (δ + n)k1−α

da cui, dividendo entrambi i membri per 1− α, abbiamo:

v

1− α= s− (n+ δ)v

da cui otteniamo:

v + (n+ δ)(1− α)v = (1− α)s

Questa è una equazione di�erenziale lineare che risolviamo per mezzo di unaformula generale:

Data l'equazione di�erenziale

y′

= a(t)y + b(t)

di cui


y′

= a(t)y

costituisce l'omogenea associata. b(t) è detto termine forzante, posto A(t) =´a(t)dt dato che y

′

y è la derivata di ln(y) si ha ln(y) = A(t) + c cioè y = CeA(t)

la soluzione generale si trova considerando variabile C, cioè C = C(t) così chey′

= C′(t)eA(t) +C(t)a(t)eA(t) e sostituendo nell'equazione originaria si ottiene

una nuova equazione in C: C′+Ca = aC + b(t)e−A(t) ovvero C

′= be−A(t) che

ci dà C(t) =´b(t)e−A(t)dt da cui la soluzione generale :

y(t) = eA(t)

[ˆ t

t0

e−A(t)b(t)dt

]Posto A(t) =

´(−(n+ δ)(1− α)) dt = −(n+ δ)(1− α)t ls soluzione è

v(t) = e−(n+δ)(1−α)t

[ˆ t

0

e(n+δ)(1−α)τ (1− α)sdτ

]=

(1− α)s

(n+ δ)(1− α)e−(n+δ)(1−α)t

[e(n+δ)(1−α)τ

]t0

=

s

(n+ δ)e−(n+δ)(1−α)t

[e(n+δ)(1−α)t − 1

]v(t) = (

s

n+ δ)[1− e−(n+δ)(1−α)t]

Essendo α < 1, n, δ > 0, quando t → ∞ l'esponenziale tende a zero el'evoluzione è verso uno stato di equilibrio v∗ = s/(n+δ), in pratica l'esponenteè trascurabile dopo 3 o 4 volte il valore τ = 1/(n+ δ)(1− α) detto costante ditempo.

Nota: da v (t) si ricava k (t) e quindi y (t)

k(t) = (s

n+ δ)

11−α [1− e−(n+δ)(1−α)t]

11−α

y(t) = (s

n+ δ)

α1−α [1− e−(n+δ)(1−α)t]

α1−α

Questo risultato ci dice che una popolazione, partendo da zero e risparmiandocostantemente la stessa percentuale di reddito che viene tutto reinvestito, ha untetto al suo sviluppo, non può, cioè crescere oltre il livello di ricchezza procapiteym = ( s

n+δ )α

1−α determinato dal saggio di risparmio, dal tasso di crescita dellapopolazione, dal tasso di deperimento del capitale e dalla tecnologia impiegatarappresentata da α, cioè la produttività del capitale.

L'unico modo per superare questa soglia è aumentare la produttività delcapitale.

Interessante notare che la velocità con cui raggiunge il risultato, misuratadalla costante di tempo non dipende dal saggio di risparmio, che viene quindia determinare il livello del reddito raggiungibile, ma non il tempo in cui siraggiunge.


Un altra implicazione di questa soluzione è che paesi simili, con simili pro-duttività e deperimento del capitale devono avere simili redditi procapite, cioè,se la tecnologia si di�onde facilmente tra i paesi si ha una convergenza versolivelli di ricchezza simili.

Chapter 6

Il modello Monetarista

Il monetarismo nacque dalla critica a Keynes in particolare riguardo alla do-manda di moneta e alle aspettative.

6.1 La domanda di moneta

Il punto di partenza fu la critica alla domanda di moneta e quindi alla funzionedi consumo. Infatti in un' economia avanzata la moneta assume molte formeed è sostituta non solo di titoli, ma di ogni attività mobiliare o immobiliareche una persona può detenere, inoltre è molto di�uso il credito al consumo, lecarte di credito ed altri strumenti �nanziari che consentono di consumare anchein assenza di reddito perchè quello che conta è il reddito permanente, de�nitocome

Yp =∑t

Y et(1 + r)t

L'ipotesi di reddito permanente ha implicazioni per il consumo infatti essoviene a dipendere dal tasso di interesse dato che:

C = cYp

In accordo con la tradizione neoclassica, i soggetti tendono a conseguire ilmassimo livello di soddisfazione distribuendo la propria ricchezza nelle diverseforme in modo da uguagliare l'utilità marginale ponderata di ciascuna di esse:

∂U/∂xipi

=∂U/∂xjpj

(distribuzione del consumo fra i singoli beni, del reddito fra consumi erisparmi, del risparmio fra singole forme di impiego).

36

CHAPTER 6. IL MODELLO MONETARISTA 37

La domanda di moneta, che non è altro che uno dei tanti modi di detenerericchezza, dipenderà dalle variabili che in�uenzano le scelte dei soggetti, e so-prattutto dalla ricchezza complessiva, dai rendimenti delle sue componenti e daigusti:

Md = f(R, Yp, im, ib, ia,dP

P)

dove R = ricchezza (capitale umano, beni capitali, moneta, azioni, ob-bligazioni ecc.), im = rendimento della moneta (zero per la moneta legale, pos-itivo per i depositi), ib = rendimento delle obbligazioni, ia= rendimento delleazioni, dP/P = rendimento dei beni (dipendente dalla variazione dei prezzi).Data questa ampia possibilità di spostamento tra le varie forme di attività,l'elasticità della domanda rispetto al reddito permanente è molto bassa per cuipossiamo scrivere:

M = k(R, im, ib, ia,dP

P)�Yp

. La stabilità di k fu dimostrata con uno studio empirico famosissimo �A Mone-

tary History of the United States, 1867-1960� scritto nel 1963 da Milton Fried-man ed Anna J. Schwartz.

Date queste assunzioni se ipotizziamo due soli periodi, presente e futuro, ilreddito permanente sarà:

Yp = Yt +Yt+1

1 + r' Yt + Yt+1(1− r)

ed il sistema IS-LM nella forma lineare diventa:

Y = cY + cY1 − cY1r + I0 − I0r

Y = m(cY1 + I0)−m(I0 + cY1)r

M

P= k(Y + Y1)− kY1r

Cioè la curva IS viene ad essere più inclinata rispetto a quella std mentrela LM lo è molto meno quindi si capovolgono le indicazioni di politica econom-ica: il �scalismo ha poco e�etto, il monetarismo molto di più anche se nonconviene usarlo perchè, il funzionamento e�ettivo del sistema non è noto concertezza nel breve periodo ed esistono ritardi di conoscenza e di e�cacia dellapolitica monetaria, lunghi e variabili, che impediscono di fatto una sua concretae corretta utilizzazione per scopi di controllo delle �uttuazioni. A causa deiritardi può succedere che una politica monetaria anticiclica �nisca per agire expost in maniera prociclica, cominciando a operare nella fase in cui il sistema hagià reagito autonomamente agli shock esogeni e si sta riportando rapidamenteall'equilibrio naturale.

Friedman conclude pertanto che la causa primaria dell'instabilità deve es-sere ricercata nel comportamento del settore pubblico rispetto alla creazione di


moneta. In de�nitiva, a di�erenza di quanto sostenuto dai neokeynesiani, peri quali �l'economia di libero mercato ha bisogno di essere stabilizzata, può es-sere stabilizzata e quindi deve esserlo�, per i monetaristi �non c'è necessità distabilizzare l'economia, non è possibile farlo e quindi non si deve farlo�, perchécon l'uso delle politiche di stabilizzazione sarebbe più probabile aumentare in-vece che diminuire l'instabilità. Il suggerimento migliore per la gestione dellapolitica monetaria è dunque quello di sottrarre il controllo dell'o�erta di monetaalla Banca Centrale e attenersi alla regola del k%, ovvero alla regola secondo laquale la quantità di moneta deve crescere annualmente ad un tasso percentualek, pari alla somma della crescita del reddito potenziale più un tasso di in�azioneottimale (empiricamente prossimo a zero).

6.2 AD-AS monetrarista

Lo schema monetarista ra�orza il ruolo delle aspettative nel sistema economico,infatti adesso da esse dipendono non solo gli investimenti ma anche il consumo.

Per i monetaristi le aspettative sono adattative: il valore atteso di una vari-abile viene via via corretto sulla base della di�erenza tra il valore atteso nelperiodo precedente e il valore e�ettivamente sperimentato. Nel breve periodo vipuò essere una divergenza fra grandezze attese e grandezze e�ettive. E' questadivergenza che consente le �uttuazioni intorno alla posizione di equilibrio.

Applicando questo concetto al mercato del lavoro i monetaristi osservanoche i sindacati contrattano il salario tenendo conto del fenomeno in�azionisticoper cui dalla variazione del salario va sottratta l'in�azione attesa e la curva diPhillips va corretta, diventando un fascio di curve:

w − pe = −a(u− u∗)

Applicando le de�nizioni di mark-up e disoccupazione come nel caso Key-nesiano, il risultato consiste nell'aggiungere un termine di in�azione attesa allacurva di Phillips. Rimanendo uguale il sistema IS-LM, la AD moneterarista èla stessa dei Keynesiani, per cui il modello monetarista è:

Yt = Yn(m− p)

p = pe + β(Yt − Yn)

o in termini di output gap x = Y−YnYn

x = m− π

π = πe + βx

combinate insieme queste equazioni si riducono ad una:

x+ βx = +m− πe


Strutturalmente simile al modello ad-as quindi stabile se ˙m− πe = costqui abbiamo come ulteriore fonte di instabilità le aspettative sull'in�azione chehanno i lavoratori.

Da notare che mentre i lavoratori devono stimare l'in�azione, le imprese, chedeterminano il prezzo, la conoscono determinando un contesto di informazione

asimmetrica nuovo concetto importante della macroeconomia.

6.3 L'in�azione da debito

Nell'esporre l'indirizzo presidenziale dell'American Economic Association, Mil-ton Friedman disse di non doversi aspettare molto dalle politiche monetarieperchè queste non potevano incidere molto sul reddito e sull'occupazione men-tre potevano esercitare un buon controllo dell'in�azione specialmente nel lungotermine.

Alcuni anni più tardi Sargent e Wallace (1981) dimostrarono che neancheciò è possibile dando vita alla teoria �scale dell'in�azione che, nella sua essenzaè molto semplice. Partiamo dall'equazione del debito pubblico di uno stato chenon emette moneta:

D = rD −A

dve D è il debito, r il tasso di interesse sui titoli pubblici e A l'avanzo primariotutto in termini nominali. In termini reali. detto P il livello dei prezzi (de�attoredel PIL) abbiamo:

D

P= r

D

P− A

P

detto d il debito reale si ha che

d = −DP

+D

P

P

Povvero

d = −(r − π)d+ a

dove a è l'avanzo primario in termini reali. La condizione di sostenibilità deldebito implica d = 0 ovvero

π = r +A/Y

D/Y

quindi una in�azione indotta dal debito che avvalore la tesi che il debito pubblico(almeno in parte) è anch'esso moneta e che ci dice che una politica monetarianon coordinata con quella �scale può essere inutile per controllare l'in�azione.

Nei paesi con avanzo primario molto piccolo in rapporto al debito in praticasi ha π = r .

Chapter 7

Incertezza:Variabili casuali e

processi aleatori

Keynes aveva parlato di aspettative in particolare in rapporto agli investimenti,ma, essendo stato modellato il breve periodo alla �ne queste non hanno avutoimpatto analitico. Nel modello monetarista il ruolo delle aspettative aumentae l'aspettativa sull'in�azione entra di diritto nell'analisi. Parlare di aspettativesigni�ca parlare di previsioni quindi incertezza.

lo studio dell'incertezza è iniziato in rapporto al gioco d'azzardo ed ha con-sentito di de�nire la probabilità come rapporto tra i casi favoreli sul totale deicasi. Così nel lancio del dado il 3 ha probabilità 1/6. Questa de�nizione potevasposarsi con le previsioni solo se lanciando il dado molte volte il numero di voltein cui esce il 3 sarebbe risultato 1/6. Alcuni si sono cimentati nel lancio di dadie monete �no ad oltre un milione di volte dando vita alla de�nizione statisticadi probabilità come il rapporto tra casi favorevoli e totali in una sequenza diprove ripetute indipendenti.

Questa de�nizione non va bene se i risultati sono continui per cui esiste unade�nizione geometrica della probabilità. Nella teoria moderna la probabilità èuna qualsiasi misura de�nita sull'insieme dei risultati possibili (detto spazio diprova) che goda di queste proprietà:

P (Φ) = 0

P (S) = 1

0 ≤ P (E) ≤ 1

A⋂B = 0 =⇒ P (A

⋃B) = P (A) + P (B)

Questi assiomi letti praticamente signi�cano che la probabilità che succedaniente (insieme vuoto) è zero, che succeda qualcosa (tutto lo spazio S) è uno edati due eventi indipendenti cioè la probabilità che esca due oppure tre al lanciodel dado è la somma.

Nell'analisi le aspettative si modellano col valore atteso o speranza matem-atica che si de�niscono in funzione delle variabili casuali, che, quando dipendonodal tempo si chiamano processi stocastici o aleatori.

40

CHAPTER 7. INCERTEZZA:VARIABILI CASUALI E PROCESSI ALEATORI41

7.1 Variabili casuali

Data una variabile x che può assumere un insieme di valori xi che possonoveri�carsi con probabilità pi x è detta variabile aleatoria ed il suo il valoreatteso è

x =

n∑i=1

xipi

Se i valori sono equiprobabili pi = 1/n ed il valore atteso viene a coinciderecon la media aritmetica. Ricordiamo che per de�nizione di probabilità

0 < pi < 1

e ∑pi = 1

il valore atteso è molto probabile se i valori di x non si discostano molto daesso. Lo scostamento è de�nito dalla varianza σ2 :

σ2 =

n∑1

(xi − x)2pi

σ è detta deviazione standard.Se i valori di x sono continui in un intervallo [a, b] la probabilità sarà una

funzione di x p(x) e la somma diventa un integrale avendosi:

x =

ˆ b

a

xp(x)dx

σ2 =

ˆ(xi − x)2p(x)dx

in questo caso p(x) è detta densità di probabilita e´ bap(x)dx = 1 la variabile

aleatoria x è detta continua.La più banale variabile aleatoria è la uniforme U(a, b) cioè assume sempre il

valore p(x) = 1/(b− a) nell'intervallo [a, b] la cui media è µ = (b− a)/2 e la cuivarianza è σ2 = (b− a)/12

La più famosa densità di probabilità è la Gaussiana o Normale che, scopertain relazione agli errori di misura, svolge un ruolo centrale grazie al teorema cen-trale del limite che le assegna il valore di limite di ogni serie di variabili causali,ovvero, volgarizzando, signi�ca che ogni volta che l'evento dipende da numerosecause esso si distribuisce gaussianamente. La variabile gaussiana è caratterizzatada due soli parametri µe σ ovvero la media e la deviazione standard:

p(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2


quando µe σ sono unitarie la distribuzione si dice normalizzata ed i suoivalori sono tabellati in ogni testo di statistica di base. Questa distribuzioneè de�nita in tutto il campo dei numeri Reali quindi la media e la varianza sicalcolano estendendo l'integrale da [−∞,∞]

La media di una variabile X si indica con E(X) e ricordando che E(.) èun operatore integrale non si può invertire con nessuna funzione, mentre si puòinvertire con la derivata se la funzione integranda gode di alcune proprietà chenoi supporremo sempre soddisfatte. cioè supporremo sempre possibile:

d

dx[E(f(x)] = E

[d

dxf(x)

]Quando si considerano due variabili casuali, in generale queste si in�uenzano

a vicenda e per studiarle bisoga conoscere la probabilità di realizzazione diciascuna coppia di valori ovvero la densità di probabilità multivariata

p(x, y)

ciò non è necessario se p(x, y) = p1(x)p2(y) in tal caso le due variabili sidicono indipendenti. In assenza della probabilità multivariata si cerca una re-lazione attraverso parametri sintetici quali la covarianza ed il coe�ciente dicorrelazione

σxy = COV (X,Y ) = E(X − x)(Y − y)

ρXY =σXYσXσY

Il coe�ciente assume sempre valori compresi tra -1 e 1, se è 0 la variabilisi dicono incorrelate. Due variabili indipendenti sono anche incorrelate ma nonviceversa. Il coe�ciente di correlazione è importante nella regressione lineare,infatti si può dimostrare che se Y = a+ bX il miglior stimatore per b è

b = ρXY σY /σX

Le variabili causali si usano in contesti statici mentre in contesti dinamici siusano i processi stocastici (detti anche aleatori o casuali).

7.2 Processi Stocastici

Un processo stocastico Xt (detto anche processo aleatorio e talvolta indicatocon X(t) ) è una famiglia di variabili casuali descritte da un parametro t ap-partenente ad un insieme parametrico T.

Per Noi t sarà sempre il tempo, in modo che se in ogni istante si realizza unvalore xi(t) avremo una realizzazione del processo stocastico.

I processi stocastici sono molto utilizzati nell'analisi delle serie storiche, chesono viste come realizzazioni, appunto di un processo stocastico. Ciò consentedi prevedere lo sviluppo di una serie anche quando non si conoscono variabili


esplicative ritenendo che in ogni istante sia de�nita una variabile aleatoria ed ilvalore realizzato sia solo un valore molto probabile tenendo conto che i singolieventi non sono indipendenti.

Per i processi aleatori si de�nisconomedia µ(t) = E(X(t))

varianza σ2(t) = E [X(t)− µ(t)]2

autocovarianza γ(t, k) = E [(Xt − µt)(Xt−k − µt−k] per k = ±1,±2..... dettolag o sfasamento temporale.

ESEMPIOXt = A+Bt dove A è una normale a media nulla N(0, 1) e B è uniforme in

[0, 1] costituisce un processo deterministico in quanto osservato in un istante sideterminano i valori in ogni altro istante sono determinati. Per tale processo,ricordando che la media o valore atteso è un operatore lineare si ha:

µ(t) = E(A) + E(B)t = µ+ 12 t

Un processo si dice stazionario (in senso debole) se la media e la varianzanon dipendono dal tempo e se l'autocovarianza dipende solo dal lag k.

Un particolare processo molto usato è il White Noise WN(0, σ2) che è unprocesso stazionario a media nulla, varianza σ2 ed autocovarianza nulla γ(k) = 0utile proprio per simulare i disturbi aleatori in quanto in ogni istante sonoincorrelati agli istanti precedenti distribuendosi sempre intorno allo zero. Avolte si suppone gaussiana la distribuzione istantanea ed il processo si dicerumore bianco gaussiano.

Un processo che è una sequenza di rumore bianco è detto processo MA(moving average) un MA(p) è de�nito da

Xt = εt + a1εt−1......+ apεt−p

Per l'analisi delle serie storiche si usano e processi autoregressivi AR(p) cheriproducono un fenomeno che dipende dai valori passati �no ad un certo tempop.

Xt = α1Xt−1 + α2Xt−2 + ......+ αpXn−p + εt

con εt = WN(0, σ2) Si dimostra che questi processi sono stazionari in sensodebole sotto certe condizioni.

Le serie storiche di molti paesi si possono stimare con un processo AR(2).

Chapter 8

La Nuova Macroeconomia

Classica ed il Ciclo

Economico Reale

8.1 Aspettative Razionali

Le tesi monetariste furono estese da Lucas col concetto di aspettative razionali.Il soggetto razionale sfrutta tutte le informazioni in suo possesso e sa risolvereil modello, non commette errori sistematici nello stimare le variabili future, inparticolare il tasso d'in�azione. Quindi gli unici errori che commettono sonocasuali e solo questi, non prevedibili, sono causa del ciclo.

Le equazioni AD-AS usate dalla NMC per dimostrare questa proposizionesono quelle del modello monetarista, cioè:

Yt = Yt−1(1 + mt − pt)pt = pet + θ(Yt − Yf )Sostituendo la prima equazione nella seconda, otteniamo:pt = pet + θ(Yt−1 + mtYt−1 − ptYt−1 − Yf )Da questa equazione otteniamo che la stima del tasso d'in�azione è la seguente:pet (1 + θYt−1) = pt

e + θ [Yt−1(1 + mt)− Yf ]e risolvendo, abbiamopet (1 + θYt−1 − 1) = θYt−1 (1 + mt) − θYf ⇒ pt

e = 1 + mt − θYfθYt−1

= 1 +

mt − YfYt−1

Sostituendo la stima del tasso d'in�azione nel modello, otteniamopt = 1 + mt − Yf

Yt−1+ θ (Yt − Yf )

Ora inseriamo questa equazione nella AD e otteniamo

Yt = Yt−1

(1 + mt − 1− mt +

YfYt−1

− θ (Yt − Yf ))

= Yf − θYt−1 (Yt − Yf )

Da questa otteniamo Yt (1 + θYt−1) = Yf (1 + θYt−1)⇒ Y ∗t = Yf e dunque,anche Yt−1 = Yf

44

CHAPTER 8. LA NUOVAMACROECONOMIA CLASSICA ED IL CICLO ECONOMICO REALE45

Andando ad inserire questo risultato nell'equazione del tasso d'in�azione,abbiamo che

p∗t = 1 + mt − YfYt−1

= mt

Se consideriamo il tasso di variazione della moneta mt = m∗t +εt, dove m∗t è lacomponente sistematica stabilita dalle autorità monetarie e εt è una componentestocastica di tipo white noise (dunque media pari a zero), possiamo scrivere lasoluzione del modello nel seguente modo:

Yt = Yt−1 (1− εt)p∗t = m∗t + εtQueste equazioni sono la dimostrazione della �proposizione di ine�cacia della

politica economica� di Lucas.Se le politiche economiche sono ine�caci il sistema non può che seguire la

sua naturale evoluzione, cioè una successione di Equilibrio Generale DinamicoStocastico.

8.2 Real Business Cicle

Il �lone più pro�cuo di questo approccio è senza dubbio quello RBC (RealBusiness Cicle) che cerca di spiegare le oscillazioni aleatorie del PIL attornoal trend ricorrendo a shock tecnologici � e quindi di natura reale: tali shocksono generati, da variabili stocastiche che in�uenzano le variabili rappresenta-tive della tecnologia. In genere i modelli RBC non possono essere risolti analiti-camente, per cui le conclusioni che si possono trarre da loro vengono derivatetramite una speci�ca procedura di simulazione numerica: la �calibrazione�, cheverrà brevemente discussa in seguito. Uno degli obiettivi primari dei modelliRBC è pertanto quello di generare dinamiche che si adattino ai principali �fattistilizzati� dedotti dalle serie storiche e�ettive delle principali variabili macroeco-nomiche. Il loro scopo e il loro banco di prova è mostrare se sia possibile fornireuna buona descrizione delle caratteristiche osservate del ciclo tramite un mod-ello pienamente walrasiano. La teoria RBC ha prodotto una letteratura vastae consolidata, e i suoi modelli sono in genere piuttosto complicati da punto divista tecnico. In seguito si si svilupperà un modello estremamente sempli�catoche incorpora, comunque, alcune delle caratteristiche di fondo delle teoria delciclo reale.

8.2.1 Le imprese

La teoria RBC richieda un'analisi esplicitamente dinamica, in cui le diverse vari-abili economiche possono variare da un periodo di tempo t al successivo t+1.Dal lato della produzione, l'economia è rappresentata da un gran numero diimprese rappresentative (sostanzialmente tutte uguali) che operano in concor-renza perfetta sia nel mercato dei beni prodotti � in cui si vende un unico beneomogeneo, Yt , che rappresenta la produzione aggregata � sia nei mercati deidue input macroeconomici: il capitale aggregato Kt (omogeneo al prodotto) el'input di lavoro complessivo Lt


Utilizzando la sempli�cazione dell'agente rappresentativo, si può pensareche la produzione aggregata sia realizzata da un'unica impresa che impiega unatecnologia valida per l'intera economia e rappresentata dalla seguente funzionedi produzione:

Yt(N,K) = AtN1−αt Kα

t

Dove At è un processo aleatorio che rappresenta la produttività totale deifattori nel tempo.

la domanda di lavoro e di capitale si ricava dalla massimizzazione del pro�ttoche, a prezzi costanti si scrive:

Π = Yt −WtNt − rrKt

Le conzioni del primo ordine danno la domanda di lavoro ed il tasso diequilibrio:

Wt = (1− α)Y/Nrt = αY/KSupponiamo che le imprese occupino sempre tutti i lavoratori che accettano

sempre il salario di equilibrio quindi possiamo normalizzare l'occupazione a 1 inmodo che le grandezze siano da intendersi procapite. queste condizioni diven-tano:

Wt = (1− α)AtKαt

rt = αAtKα−1t

8.2.2 Consumatori

Il modello è a generazioni sovrapposte: si ipotizza che in ogni istante di temposiano presenti nell'economia due gruppi di individui-conumatori: i giovani, cheo�rono lavoro, consumano ed e�ettuano risparmio, e i vecchi che consumano eutilizzano il risparmio accumulato nel periodo passato � per semplicità si assumeche ogni agente viva solo due periodi. Sempre come ipotesi di comodo, si assumeche vecchi e giovani siano in ogni istante di tempo presenti sempre nella stessaproporzione e che la popolazione complessiva non vari nel tempo. La funzionedi utilità è data da

U = lnCt + βE(lnCt+1)

βè il fattore di sconto intertemporale dell'agente. I vincoli di bilancio neidue periodi è :

Ct + St = Wt

Ct+1 = (1 + rt)St

che combinate ci danno:

Ct+1 = (1 + rt+1)(Wt − Ct)


la Lagrangiana del consumatore è dunque:

L = lnCt + βE(lnCt+1)− λ [Ct+1 − (1 + rt)Ct − (1 + rt)Wt]

e le condizioni del primo ordine sono:

∂L

∂Ct=

1

Ct+ λ(1 + rt) = 0

∂L

∂Ct+1= βE(

1

Ct+1) + λ = 0

essendo Ct+1 completamente determinato al tempo t si il valore atteso coincidecol valore calcolato e può essere omesso ottenendo l'equazione di Eulero delconsumo:

1

Ct− β(1 + rt)

1

Ct+1= 0

e sostituendo Ct+1 = St(1 + rt) = (1 + rt)(Wt − Ct) ovvero Ct = βWt−Ct da cui

la domanda di consumo ed il risparmio da giovane:

Ct = Wt/(1 + β)

St =β

1 + βWt

8.2.3 L'equilibrio dei mercati

L'equilibrio generale sul mercato del lavoro dà il salario determinato dalla do-manda perchè l'o�erta è costante quindi sostituendoWt dalla domanda dell'impresa

St =β(1− α)

1 + βAtK

αt = It

L'equilibrio sul mercato dei capitali implica

St = It

e l'equazione dinamica del sistema con deprezzamento totale dei beni nelprimo periodo implica

Kt+1 = It

da cui

Kt+1 =β(1− α)

1 + βAtK

αt

che si esprime meglio nei logaritmi

kt+1 = h+ at + αkt


e può essere trasformata in una equazione in y ricavando k dalla funzione diproduzione log-linearizzata yt = a+ αkt ⇒ kt+1 = (yt+1 − at+1)/α

yt+1 = at+1 + hα+ αyt

cioè il reddito è determinato da una serie storica. E' in�uenzato solo daivalori passati del reddito che incorporano gli aumenti di capitale e da disturbialeatori nella produttività totale dei fattori che dipendono dalla tecnologia.

Conviene esprimere l'equazione come variazione percentuale del reddito ∆yt =yt−yt−1 ed ipotizzare per at una random walk at = z+at−1 + εt con εt rumorebianco e z tasso di crescita della produttività, in tal caso si ha:

∆yt = z + α∆yt−1 + εt

Che ancora una volta ci dice che la variazione percentuale del reddito dipendesolo dalla tecnologia, dalle variazioni precedenti e da un disturbo aleatorio.

8.3 Incoerenza temporale

Il modello originale è stato sviluppato e calibrato sull'economia americana rius-cendo a replicare le serie economiche. A questo punto lo stato non ha piùruolo e la moneta addirittura non entra nel modello in piena sintonia con laproposizione di ine�cacia. Allo stato non rimane che la risposta di Kydland ePrescott nel loro paper del 1977: Rules Rather than Discretion: The Inconsis-

tency of Optimal Plans che assegna alle autorità il ruolo di dettare le regole delgioco anzichè intervenire nel gioco, motivandolo con un altro forte argomento:la time inconsistency o incoerenza temporale.

Secondo questi studiosi, il problema centrale della politica è la sua credibil-ità: regole �sse sono preferibili perché ne aumentano la credibilità, mentre ladiscrezionalità è alla radice del fenomeno della 'incoerenza temporale'. Si haincoerenza temporale quando una politica ritenuta ottimale al tempo t0 nonappare più tale al tempo tn. In questo caso, il policy-maker è indotto a usare isuoi poteri discrezionali per cambiare politica. Tale cambiamento potrebbe es-sere considerato un aggiustamento razionale rispetto alla nuova situazione; mase, come spesso avviene, gli operatori economici sono in grado di anticiparlo,essi modi�cheranno i loro comportamenti in modo tale da vani�care l'obiettivodella politica monetaria. È ovvio che il fenomeno dell'incoerenza temporale noninteressa solo la politica monetaria. Poiché in democrazia una legislatura nonpuò vincolare quella successiva, ed una coalizione di governo non può assumereimpegni per i governi futuri, tutte le politiche pubbliche corrono il rischio dirisultare temporalmente incoerenti. In mancanza di un impegno credibile deigoverni a seguire con coerenza una certa linea, la credibilità stessa delle politichene risulta compromessa.

Per dirla in altre parole:le autorità pubbliche che adottano politiche dis-crezionali sono incapaci di raggiungere gli obiettivi che si pre�ggono poiché lamancanza di credibilità dei loro impegni, che deriva dall'in�uenza degli eventi


esterni e delle azioni future sulle decisioni prese nel presente, è perfettamenteintegrata nel loro comportamento da agenti razionali.

Chapter 9

Il modello New Keynesian

9.1 Introduzione

La Nuova Macroeconomia Classica NMC ed in particolare la teoria del ciclo realeRBC sorprendono per i loro risultati. Se un equilibrio dinamico walrasiano dovesolo la tecnologia è stocastica riproduce le serie storiche dei dati macro lo Statoe la banca centrale sono disarmati. Qualsiasi cosa facciano è inutile, non hannostrumenti. La disoccupazione involontaria e l'in�azione sono problemi non af-frontabili eppure nei momenti di crisi tutti guardano allo stato. La risposta diKidland e Prescott è lapidaria sin dal titolo: regole e non discrezione. Lo statodeve creare le regole del gioco e deve lasciare ad altri il gioco stesso, diversamentefa solo guai a causa della incoerenza temporale.

La teoria New Keynesian nasce come una sorta di s�da alla NMC. Inserendola rigidità dei prezzi in un modello di equilibrio generale non concorrenziale incui le imprese �ssano i prezzi col criterio del mark-up ma non possono farlocontinuamente a causa dei costi che questo comporta propongono un nuovoschema che restituisce dignità alla politica economica ed in particolare a quellamonetaria.

Usare un modello con imprese che �ssano il prezzo signi�ca intendere l'economiain modo diverso dall'equilibrio Walrasiano. Per esempio sul mercato del lavoroquesto comporta una occupazione sempre inferiore infatti se tutto il mercatoè interpretato come monopolista l'ottimo per le imprese nella loro globalità èdato da max Π = P (Y )Y −WL(Y ) dove P (Y ) è la domanda aggregata inversaquindi la condizione necessaria per l'ottimo è

dΠ

dY= P

′Y + P −WL

′= 0

WL′

= P (P ′Y

P+ 1) = P (1− 1

η)

dL

dY=

P

W(1− 1

η)

50

CHAPTER 9. IL MODELLO NEW KEYNESIAN 51

dY

dL

1

(1− 1η )

=W

P

questa relazione è rappresentata gra�camente da una curva decrescente chia-mata PRW (price determinated real wage) ovvero salario reale determinato dalprezzo; essa ci dice che per ogni livello di occupazione, il salario reale risultasempre inferiore alla produttività marginale del lavoro ovvero dY

dN che rappre-senta la domanda di concorrenza perfetta LDCP . I lavoratori, per ottenere piùforza in sede di contrattazione per la �ssazione dei salari monetari devono orga-nizzarsi in sindacati, e grazie a questa organizzazione possono contrattare, datele aspettative sui prezzi, un salario monetario superiore a quello che avrebberoottenuto contrattando singolarmente; possono dunque ottenere un salario mon-etario maggiore di quello che otterrebbero in ipotesi di concorrenza perfetta.La curva BRW (bargained real wage) rappresenta il salario reale contrattato,ossia il salario reale contrattato ed ottenuto dai sindacati per ogni livello di oc-cupazione; giace sempre sopra la curva LSCP di o�erta di lavoro concorrenziale.

Mettendo sullo stesso gra�co al contempo sia la curva PRW che la curvaBRW otteniamo il punto CCE (competing claims equilibrium) de�nito equilib-rio degli obiettivi contrapposti di imprese e sindacati circa la distribuzione delreddito . Nel punto CCE corrisponde l'occupazione L∗; al livello di occupazioneL∗ il salario reale che i sindacati cercano di raggiungere tramite contrattazionecoincide col salario reale che emerge dalla politica di prezzo che le impreseattuano sui mercati di vendita al �ne di massimizzare il pro�tto; il tasso didisoccupazione al livello di occupazione d'equlibrio L∗ è il NAIRU (non ac-

celariting in�ation rate of unemployment) ossia tasso di disoccupazione di nonaccelerazione in�azionistica.

Per un livello di occupazione maggiore di L∗, la BRW sta sopra la PRW e sialza inevitabilmente l'in�azione perchè i sindacati chiederanno sempre maggiori


salari e le imprese risponderanno adeguanto in aumento i prezzi. Di contro perun livello di occupazione inferiore a L∗ è la PRW a stare sopra la BRW cosicchèi sindacati tuteleranno l'occuazpione dei lavoratorti, accettando al momento dirinnovo dei contratti una riduzione di salario reale; per questo anche le impresechiederanno un minor aumento dei prezzi a parità di riduzione salariale e ciòcomporterà ad un fenomeno di disin�azione. Solo ad un livello d'occupazionepari a L∗ il tasso d'in�azione resta costante. In corrispondenza del NAIRU si hadisoccupazione involontaria perchè il punto CCE giace sopra la curva d'o�erta dilavoro, ossia l'o�erta di lavoro è maggiore dell'e�ettiva occupazione. Da notareche per e�etto della variazione delle due curve il salario di equilibrio viene adessere all'incirca uguale a quello della concorrenza perfetta.

Sulla base di queste semplici considerazioni costruiamo un modello di equi-librio economico generale con imprese price-maker e salario walrasiano.

9.2 Il modello

9.2.1 Famiglie

Il modello New Keynesian standard considera, dal lato della domanda, un soloagente rappresentativo che ha una funzione di utilità dove compare la disutilitàdel lavoro da massimizzare sotto un vincolo di bilancio intertemporale. Lafunzione di utilità dell'agente rappresentativo è la seguente:

U = E0

{∑∞t=0 β

t[C1−σt

1−σ −N1+ηt

1+η

]}dove β = 1

1+ρ è il fattore di sconto soggettivo e ρil corrispondente tasso;1

1−σ ,1

1−η misurano l'elasticità di sostituzione di consumo e o�erta di lavoro , tra

il periodo corrente ed il periodo futuro; E0 misura l'aspettativa al tempo 0.

Il vincolo di bilancio intertemporale sotto il quale l'agente massimizza la sua

funzione di utilità è il seguente:

Ct + BtPt

= WtNtPt

+ (1 + it−1) Bt−1

Pt+∏t

dove Pt è il livello medio dei prezzi al tempo t; Bt è la domanda di titoli; Wt

è il salario nominale; it−1 è il tasso d'interesse sui titoli nel periodo precedente;∏t rappresenta i pro�tti reali in quanto nell'aggregato le imprese sono possedute

dalle famiglie.

Le attività �nanziarie durano un periodo e all'inizio del periodo successivo

danno un reddito pari a (1 + it−1)che può essere utilizzato per acquistare nuove

attività �nanziarie o beni di consumo. L'esistenza di queste attività �nanziarie

permette lo smoothing del consumo nel tempo.

Per risolvere il problema di ottimo intertemporale formiamo la Langragiana

con in�niti vincoli:


L = E0

{∑∞t=0 β

t[C1−σt

1−σ −N1+ηt

1+η

]−∑∞t=0 αt

[Ct + Bt

Pt− WtNt

Pt− (1 + it−1) Bt−1

Pt−∏t

]}deriviamola rispetto al consumo, all'o�erta di lavoro e alla domanda di titoli,

ponendo le derivate uguali a zero, otteniamo:∂L∂Ct

= βtC−σt − αt = 0 ; ∂L∂Nt

= −βtNη + αtWt

Pt= 0 ; ∂L

∂Bt= −αtPt +

(1 + it)Et

(αt+1

Pt+1

)= 0.

Ora, eliminiamo i moltiplicatori di Lagrange, dalla prima otteniamo βtC−σt =

αt che sostituita nella seconda e nella terza, ci danno l'o�erta di lavoro e

l'equazione di Eulero per il consumo:NηtC−σt

= Wt

Pt

C−σt = β (1 + it)Et

(PtPt+1

C−σt+1

)Sfruttando le proprietà dei logaritmi e approssimando ln (1 + x) ' x quando

x� 1 , e dopo qualche passaggio algebrico, otteniamo la forma log-linearizzata

seguente:

wt − pt = σc+ ηn

ct = Et (ct+1)− 1σ [it − ρ− Et (πt+1)]

con πt+1 = lnpt+1

ptche rappresenta il tasso d'in�azione al tempo t+1.

Nota pratica: in generale non si può scambiare lnE(X) con E(lnx) ma nelcaso della log-linearizzazione si perchè in tal caso ogni variabile si log-linearizzae la media è un operarore lineare quindi E(C−σ) = E(C + exp(−σc)) ' E(C −σCc)

9.2.2 Imprese.

L'ipotesi base è un mercato di concorrenza monopolistica dove vi sono im-

prese che operano con una funzione di produzione lineare: cjt = AtNjt ,

dove At rappresenta la produttività marginale del lavoro che viene descritta

come un processo aleatorio e j indica un'impresa generica. La produzione

aggregata sarà quindi C = AtNt impiegando solo lavoro il costo aggregato è

K = WtNt ovvero la funzione di costo K(C) = WtCt/A e il costo marginale

MCt = ωt = dKdC=

1AtWt eguaglia il costo medio .

Le imprese �ssano il prezzo come un monopolista, ma alcune, in un dato t,

non possono cambiarlo in modo ottimale e lo mantengono al livello del periodo

precedente t − 1. Se θ è la probabilità di cambiare prezzo al tempo t + 1

l'impresa previdente sceglierà il prezzo attuale come media(geometrica) tra il

prezzo futuro scontato e quello attuale cioè, nei logaritmi:


vt = (1− θβ) (µ+ ωt) + θβvt+1

Si può dimostrare che questa è una regola ottima, nel senso che minimizza

una funzione di perdita. θ rappresenta anche la frazione di imprese che non

aggiustano il prezzo, e di conseguenza con 1− θ la frazione di quelle che invecelo cambiano, il livello medio dei prezzi espresso in logaritmi al tempo t sarà

determinato dalla cosiddetta regola di Calvo:

pt = (1− θ) vt + θpt−1

dove vt è il prezzo nominale ottimale delle imprese che aggiustano e pt è

una media dei prezzi aggiustati al periodo t e del prezzo medio nel periodo

precedente.

Sostituendo vte vt+1ricavati dalla regola di Calvo nell'equazione del prezzosi ottiene:

pt − θpt−1 = θβ (pt+1 − θpt) + (1− θβ) (1− θ) (µ+ ωt)

e de�nendo l'in�azione πt = pt − pt−1 e, quindi πt+1 = pt+1 − pt si ottiene,in sequenza:

pt − θpt + θπt = θβ (pt + πt+1 − θpt) + (1− θβ) (1− θ) (µ+ ωt)

pt (1− θ) + θπt = θβπt+1 + θβ (1− θ) pt + (1− θβ) (1− θ) (µ+ ωt)

pt (1− θ) + θπt = θβπt+1 − (1− θβ) (1− θ) pt + (1− θβ) (1− θ) (µ+ ωt)

πt = βπt+1 +((1− θβ) (1− θ))

θ(µ+ ωt − pt)

πt = βπt+1 + κ (µ+ ωt − pt)

dove κ = ((1−θβ)(1−θ))θ ovvero la Curva di Phillips New Keynesian nei costi

marginali reali.

9.2.3 Equilibrio generale

Siccome il modello New Keynesian è di breve periodo, non ci sono investimenti,

quindi tutto il reddito viene consumato possiamo porre Yt = Ct ⇒ yt = ct.


Sostituendo nell'equazione linearizzata del consumo otteniamo la IS-AD New

Keynesian:

yt =(yet+1

)− 1

σ

[it − ρ− πet+1

]l'equilibrio sul mercato del lavoro, dove la domanda si ottiene dalla funzione

di produzione aggregata Nt = CtAt; e l'o�erta si ricava dalle condizioni di ottimo

nella massimizzazione della funzione di utilità ci da: Wt

Pt=

NηtC−σt

=Cη+σt

Aη , il costo

marginale è quindi: MCt = 1AtWt = PtC

η+σt /Aη+1

ovvero nei logaritmi ωt − pt = (η + σ) c− (η + 1) aUsando l'espressione del costo marginale calcolata sopra, con c = y nella

curva di phillips delle imprese si ottiene :πt = βπet+1 + κ[µ + (η + σ) y − (η + 1) a], ovvero, ponendoyn = (η+1)a−µ

η+σ il

reddito corrispondente al NAIRU e κ = (1−θ)(1−βθ)(σ+η)θ la AS New Keynesian

o la New Keynesian Phillips Curve:

πt = βπet+1 + κ (y − yn)

9.2.4 Banca Centrale

Per quanto riguarda la politica monetaria, la Banca Centrale non adotta un

regime di monetary targeting, il cui obbiettivo è il controllo dell'o�erta di mon-

eta, ma adotta un regime cosiddetto di in�ation targeting, in cui o�re alle banche

tutta la liquidità necessaria, l'obbiettivo �nale è il controllo dell'in�azione e

l'obbiettivo operativo è il tasso d'interesse sul mercato monetario i. Come de-

terminare il tasso di interesse? La determinazione discrezionale comporterebbe

tutti i problemi dell'incoerenza temporale quindi il comportamento migliore con-

siste nel �ssare una policy rule (MPR) una regola che minimizza una funzione

di perdita è stata proposta da Taylor e viene appunto detta regola di Taylor:

it = at + g(πt − πT

)+ h (yt − yn) (9.1)

dove πT è il target d'in�azione della Banca Centrale, yn è il reddito cor-

rispondente al NAIRU, e dunque(πt − πT

)rappresenta l'in�ation gap, cioè la

deviazione del tasso d'in�azione e�ettivo rispetto al target della Banca Cen-

trale; e (yt − yn)rappresenta l'output gap, cioè la deviazione del reddito e�ettivo

rispetto a quello corrispondente al NAIRU; at = i∗M = r∗+π∗t : valore che it deve

assumere quando in�ation gap ed output gap sono nulli; r∗è il tasso d'interesse


reale di equilibrio; g e h sono i pesi assegnati all'in�ation gap e all'output gap

e ne vengono a segnare le preferenze.

In base a questa regola, se g > 1, it stabilizza l'in�azione in modo tanto

più veloce quanto maggiore è g: in presenza di in�ation gap positivo, la Banca

Centrale aumenta it in maniera aggressiva. Se g < 1, it si muove in modo da

accomodare in parte la dinamica in�azionistica. Ragionamenti analoghi valgono

per h.

Questa regola di politica monetaria, tuttavia, è soggetta a una critica: in

quanto yn e r∗sono di�cili da stimare, perchè non osservabili, vi è la possibilità

che una politica monetaria capace di conseguire il target d'in�azione generi

una eccessiva volatilità nell'in�azione, oltre che nell'output, perchè rende lo

stato dell'economia particolarmente sensibile al cambiamento delle aspettative,

mentre restano incerte le reazioni del sistema a shock esogeni per questo motivo

la costante può anche rappresentare un disturbo stocastico e rappresentare le

decisioni discrezionali.

Per le Banche centrali che hanno solo l'obiettivo di in�azione, come la BCEla regola si riduce a:

it = at + g(πt − πT

)9.3 Sintesi

Nonostante la rigorosa microfondazione ed i calcoli che comporta il modello newkeynesian base assume una forma strordinariamente semplice di tre equazioniin tre incognite molto simile al modello AD-AS tradizionale:

yt = Et (yt+1)− 1σ [it − ρ− Et (πt+1)]

πt = βEt (πt+1) + κ (yt − yn)it = a+ g

(πt − πT

)+ h (yt − yn)

se poniamo x = y − yn output gap e ponendo ut = Etyn,t+1 − yn,t cioèl'errore di previsione sul reddito potenziale futuro il sistema si scrive anche

xt = Et (xt+1)− 1σ [it − ρ− Et (πt+1)] + ut

πt = βEt (πt+1) + κ (xt)it = at + g

(πt − πT

)+ h (xt)

Questo modello è di tipo forward looking, cioè i valori attuali sono determi-nati dalle aspettative sui valori futuri. La IS ripropone una funzione decrescentenel tasso di interesse reale che sana una stortura nel modello classico e vienea sparire l'e�etto moltiplicatore che di fatto non è più osservato. Un aumentodel tasso reale atteso spinge gli agenti a spostare risorse di reddito nel periodosuccessivo per �nanziare un maggior consumo futuro. L'o�erta di risparmio au-menta, mentre si riduce l'ammontare di risorse destinate al consumo corrente.


La minor domanda di consumi correnti deprime a sua volta la produzione e ilreddito di equilibrio correnti.

La curva di phillips aumentata per le aspettative trova una rigorosa fon-dazione e tutto il sistema è determinato, oltre che dal moto proprio anche daltasso di interesse che è determinato dalla banca centrale che diventa così il deusex machina del sistema.

Non c'è da stupirsi se le banche lo hanno subito adottato ed è diventato labase dcisionale della politica monetaria.

9.4 Il meccanismo di trasmissione monetaria

Con questo modello è facile capire l'e�etto di uno shock monetario. Una vari-azione inattesa della politica monetaria, rappresentata da uno shock su at, sitrasmette esclusivamente attraverso il tasso di interesse nominale it. Un au-mento di at ad esempio, implica un incremento di it; questo aumento del tassodi interesse nominale spinge gli agenti a rivedere le decisioni di allocazione in-tertemporale del consumo. Ora il consumo futuro diventa più attraente delconsumo corrente, e quindi le famiglie sposteranno risorse, in base all'equazionedi Eulero dal presente al futuro. Dunque il consumo corrente diminuisce rispettoa quello futuro, e per via dell'equilibrio nel mercato dei beni diminuisce ancheil prodotto corrente yt e l'output gap xt. La rigidità nominale dei prezzi fa inmodo che la politica monetaria possa in�uire anche sulle variabili reali, comeconsumi e prodotto.

9.5 Superare la critica delle aspettative razionali

Per essere utilizzabile il modello deve superare la critica delle aspettative razion-ali, cioè se usato per predire i valori futuri non deve dare vita al fenomeno delleaspettative autorealizzanti.

La forma predittiva del modello è de�nita dall'evoluzione nel tempo dellevariabili endogene (come scarti dai loro valori stazionari) ed è sintetizzato dalledue equazioni stocastiche alle di�erenze che incorporano le condizoni di equilib-rio - la NKPC per il lato dell'o�erta e la IS dinamica per la domanda:

ˆEt (xt+1) = xt + 1σ [it − ρ− Et (πt+1)] + ut

βEt (πt+1) = πt − κ (xt)questo è un sistema dinamico del secondo ordine che può presentare dinamice

esplosive o convergenti in dipendenza dei parametri che lo de�niscono σ, ρ, β,κ.La cosa interessante è che se il sistema è stabile i valori attesi sono sempre

realizzati dando luogo al fenomeno delle aspettative autorealizzantesi, quindi persfuggire alla critica delle aspettative razionali il sistema deve essere instabile.Infatti in tal caso ogni piccola variazione dei disturbi porta a risultati diversirendendo la previsione vana.

Il sistema New keynesian nella sua forma predittiva per essere determinato


ha bisogno della regola di �ssazione di it. Se questa regola è puramente dis-crezionale, quindi aleatoria abbiamo

it = at

ed il sistema in forma matriciale diventa:(Ext+1

Eπt+1

)=

(1 + κ

σβ−1σβ

−κβ1β

)(xtπt

)+

(atσ − ut

0

)i cui autovalori si ricavano dalla soluzione dell'equazione

λ2 − Tr(A)λ+ det(A) = 0

Tr(A) =σβ + κ+ σ

σβ> 0

det(A) =1

β> 0

il discriminante dell'equazioneTr2 − 4Det, in base alle ipotesi sui parametriviene ad essere sempre positivo e gli autovalori in modulo minori di uno quindisistema è stabile signica che per qualsiasi valore di at si porta al suo punto diequilibrio dando vita al fenomeno delle profezie autorealizzanti.

Per evitare questo fenomeno Blanchard e Khan hanno trovato la seguentecondizione:

La matrice dei coe�cienti deve avere un numero di autovalori con modulo

maggiore di uno pari alle variabili non predeterminate.

Inoltre se Tr(A) > 0 e Det(A) > 0 condizione necessaria e su�ciente peravere autovalori esplosivi è:

Det(A) > 1Det(A) > Tr(A)− 1Considerando una regola In�ation targeting

it = gπ + at

il modello NKE diventa:(Ext+1

Eπt+1

)=

(1 + κ

σββg−1σβ

−κβ1β

)(xtπt

)+

(atσ − ut

0

)dunque

Tr(A) =σβ + κ+ σ

σβ> 0

det(A) =σ + κg

βσ> 0

le condizioni di e�cacia della policy implicano


κg > σ(β − 1)

κ(g − 1) > 0

la seconda condizione porta al Principo di Taylor

g > 1

ovvero il tasso di interesse deve aumentare in maniera superiore all'in�azioneper essere e�cace.

Un altro caso importante è quello in cui la banca centrale segue una regolache prescrive di aggiustare il tasso di interesse in funzione sia dell'in�azionecorrente che dell'output gap corrente. Una simile regola può essere espressa inquesto modo:

it = at + gπ + hx

in tal caso le condizioni di e�cacia richiedono:

κg + h > σ(β − 1)

κ(g − 1) + h(1− β) > 0

Che è il Principio di Taylor generalizzato.

9.6 I Modelli DSGE

9.6.1 Introduzione

Il successo dei modelli new Keynesian nella gestione della politica monetariahanno dato vita ad una nuova sintesi neoclassica: i modelli Dynamic stochasticgeneral equilibrium (DSGE).

Come altri modelli di equilibrio generale, i modelli DSGE descrivono il sis-tema economico come interazione tra agenti che decidono e le decisioni consid-erate riguardano il consumo, il risparmio, l'investimento, il lavoro, la monet.Gli agenti sono famiglie, imprese, governo e bancche centrali.

I modelli sono dinamici e, principalmente, stocastici, cioè considerano l'economiasoggetta a shock casuali quali il progresso tecnico, la variazione del prezzo delpetrolio o variazioni di politica economica. Come nel modello RBC e new key-nesian per descrivere la macroeconomia, i modelli DSGE usano Preferenze,in base alle quali le famiglie ottimizzano i loro obiettivi di consumo, lavoro erisparmio, Tecnologia, solitamente rappresentata da una funzione della pro-duzione in base alla quale ottimizzare i pro�tti delle imprese ma anche decideregli investimenti ed, in�ne le Istituzioni che impongono vincoli istituzionali qualiil livello delle tasse o la quantità di moneta.


I modelli macroeconomici previsionali tradizionali usati dalle banche centalinegli anni '70, �no ad oggi, stimavano prezzi e quantità in diversi settori usandomacro correlazioni. I modelli DSGE usano, invece, l' approccio microeconomicodell'ottimizzazione vincolata dei singoli agenti e sono molto più complicati, per-tanto trascurano spesso la multisettorialità ed includono meno variabili.

9.6.2 Il modello Smets-Wouters

Ciò che i modelli DSGE perdono nel dettaglio dei settori lo guadagnano nellacoerenza logica. La banca Centrale europea ha sviluppato un modello DSGEchiamato Smets-Wouters, che analizza l'economia dell'eurozona considerata untutt'uno in alternativa ai modelli di Area Vasta.

le equazioni nel modello Smets-Wouters descrivono le scelte di tre tipi diagenti: famiglie, impreseb e banca centrale. Le famiglie ottimizzano il rapportotra consumo ed ore lavorate, le imprese che ottimizzano il pro�tto e quindil'impiego di lavoro e capitale, la Banca Centrale controlla l'o�erta di moneta/il tasso base di riferimento. I parametri sono stimati con tecniche Bayesianein modo da descrivere la dinamica del PIL, dei consumi, degli investimenti, deiprezzi e dei salari.

per riprodurre la complicata dinamica dell'eurozona, diversi tipi di frizioni erigidità di prezzi e salari sono stati inseriti nel modello.

9.6.3 Critiche

Willem Buiter della London School of Economics ha detto che i modelli DSGEsi basano massicciamente sull'ipotesi di mercati completi e non riescono a de-scrivere le dinamiche non lineari delle �uttuazioni economiche. Hanno solo resola modellazione macroeconomica 'state-of-the-art' una questione privata connotevole dispendio di tempo e risorse sociali.

N. Gregory Mankiw, uno dei fondatori dei modelli DSGE New Keynesian,has notato che tutta questa ricerca ha avuto scarso impatto sulle indicazioni dipolitica economica tanto da rendere una intera decade di ricerca �an unfortunatewrong turn.'

Michael Woodford, rispondendo a Mankiw, dice che i modelli DSGE sonomolto usati nelle Banche centrali per prendere decisioni di politica monetariaed hanno molto in�uenzato, per esempio, Ben Bernanke. Comunque ciò chesi ricava dai modelli DSGE non è molto diverso dalle indicazioni di policy deimodelli Keynesiani.

Ma la critica più feroce è arrivata dalla crisi econica del 2008. Quasi tuttigli economisti hanno ammesso che questi modelli non sono stati in grado diprevederla e non forniscono alcuna indicazione su come uscirne tanto da portareRobert Solow a dire: 'I do not think that the currently popular DSGE modelspass the smell test. They take it for granted that the whole economy can bethought about as if it were a single, consistent person or dynasty carrying outa rationally designed, long-term plan, occasionally disturbed by unexpectedshocks, but adapting to them in a rational, consistent way... The protagonists


of this idea make a claim to respectability by asserting that it is founded onwhat we know about microeconomic behavior, but I think that this claim isgenerally phony. The advocates no doubt believe what they say, but they seemto have stopped sni�ng or to have lost their sense of smell altogether.'

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