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Surfaces bicubiquesde

HermiteTiré de Michael E. Mortenson, Geometric Modeling. Wiley, 1997, 523p.

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Forme algébrique des surfaces bicubiques de Hermite

u, v [0, 1]

Sous forme matricielle, on obtient :

P = Ut A V où Ut = [u3 u2 u 1], Vt = [v3 v2 v 1],

a33 a32 a31 a30

A = a23 a22 a21 a20

a13 a12 a11 a10

a03 a02 a01 a00

Chacun des aij possède 3 coordonnées aijx, aijy et aijz ce qui donne au total 16 x 3=48coefficients scalaires algébriques et A est en fait une matrice 4 x 4 x 3.

Cette représentation est inappropriée pour l’animateur : on ne peut lui demander dedéfinir une telle surface en fixant ces 48 coefficients algébriques.

P

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Forme géométrique des surfaces bicubiques de Hermite

Notation :

Puv P(u, v)

Puuv P(u, v)

u u = uv = v

Pvuv P(u, v)

v u = uv = v

La surface est définie à partir de :ses 4 courbes frontières : les sommets P(0,0), P(0,1), P(1,0) et P(1,1),

les vecteurs tangents aux 4 sommets

Pu00, P

u01, P

u10 et Pu

11,

Pv00, P

v01, P

v10 et Pv

11,

des vecteurs de torsion aux 4 sommets : Puv00, P

uv01, P

uv10 et Puv

11.

Puvuv 2P(u, v)

u v u = uv = v

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Forme géométrique des surfaces bicubiques de Hermite

C’est une surface délimitée par 4 courbes de Hermite de degré 3 :

La fixation de l'un des 2 paramètres donne une courbe de Hermite de degré 3 enfonction de l'autre paramètre. La surface est donc constituée d'un réseau de 2familles de courbes de Hermite de telle sorte qu'une seule courbe de chacune des 2familles passe par chaque point P(u, v) .

P(u, 0) Pu0 = [P00 P10 Pu00 Pu

10] M U P(u, 1) Pu1 = [P01 P11 Pu01 Pu

11] M UP(0, v) P0v = [P00 P01 Pv

00 Pv01] M V P(1, v) P1v = [P10 P11 Pv

10 Pv11] M V.

Les vecteurs tangents à la surface en un point P(ui, vj) sont donnés par:

Ceci constitue un plan tangentà la surface.

Puuivj

P(u, v)

u u = uiv = vj

Pvuivj

P(u, v)

v u = uiv = vj

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Surfaces paramétriques de degré 3La formulation géométrique matricielle est donnée par Michael E. Mortenson :

P(u, v) = Ut Mt B M V avec M =

où

A = Mt B M ou encore B = (Mt) -1 A M-1

P(u,0) P(u,1)

P(0,v)

P(1,v)= B

2 –3 0 1-2 3 0 01 -2 1 01 -1 0 0

Il s’ensuit que :

Ut = [u3 u2 u 1],

Vt = [v3 v2 v 1],

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Calcul de Pu(u, v) et Pv(u, v) Pu(u, v) = U

t Nt B M V avec N = 0 6 -6 0

0 -6 6 00 3 -4 10 3 -2 0

Ut = [u3 u2 u 1],

Vt = [v3 v2 v 1],Pv(u, v) = U

t Mt B N V

Puv(u, v) = Ut N

t B N V

Il s’ensuit que :

Pu(0, v) Pu0v = [Pu

00 Pu01 Puv

00 Puv01] M V

Pu(1, v) Pu1v = [Pu

10 Pu11 Puv

10 Puv11] M V

Pv(u, 0) Pvu0 = [Pv

00 Pv10 Puv

00 Puv10] M U

Pv(u, 1) Pvu1 = [Pv

01 Pv11 Puv

01 Puv11] M U.

P(u,0) P(u,1) Pv(u,0) Pv(u,1)

P(0,v)

P(1,v)

Pu(0,v)

Pu(1,v)

= B

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Calcul d’une courbe intermédiaire P(u, v)1. Calcul de P(u, 0) Pu0 = [P00 P10 Pu

00 Pu10] M U et

P(u, 1) Pu1 = [P01 P11 Pu01 Pu

11] M U.

2. Calcul de Pv(u, 0) Pvu0 = [Pv

00 Pv10 Puv

00 Puv10] M U

Pv(u, 1) Pvu1 = [Pv

01 Pv11 Puv

01 Puv11] M

U. P(u, v) Puv = [P(u, 0) P(u, 1) Pv(u, 0) Pv(u, 1)] M V.

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Subdivision exacte d’une surface bicubique en 9 sous-surfaces bicubiques

Nouvellesurface Q

deHermite

w = 1

w = 0

vl

vk

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Subdivision exacte d’une surface bicubique en 9 sous-surfaces bicubiques

Q00 = Pik

Q10 = Pjk

Q01 = Pil

Q11 = Pjl

Qt00 = (uj - ui) Pu

ik

Qt10 = (uj - ui) Pu

jk

Qt01 = (uj - ui) Pu

il

Qt11 = (uj - ui) Pu

jl

Qw00 = (vl - vk) Pv

ik

Qw10 = (vl - vk) Pv

jk

Qw01 = (vl - vk) Pv

il

Qw11 = (vl - vk) Pv

jl

Qtw00 = (uj - ui) (vl - vk) Puv

ik

Qtw10 = (uj - ui) (vl - vk) Puv

jk

Qtw01 = (uj - ui) (vl - vk) Puv

il

Qtw11 = (uj - ui) (vl - vk) Puv

jl

Passage de [ui, uj] x [vk, vl] à [0, 1] x [0, 1] Reparamétrisation

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Propriétés des surfaces bicubiquesVecteur normal à la surface

Soit P(u, v) une telle surface, le vecteur normal unitaire à la surface P(u, v)au point (u, v) est de la forme suivante:

N(u, v) = (Pu x Pv) / || Pu x Pv ||

où Pu x Pv = (puy pv

z - pvy pu

z ) (pu

z pvx - pu

x pvz )

(pux pv

y - puy pv

x )

avec Pu (pux , pv

y , puz ) et Pv (pv

x , pvy , pv

z ).

P(1,0) P(0,0)

P(1,1) P(0,1)

n(u,v)

u=1u=0

v=0

v=1

pu

pv

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Surfaces bicubiques particulières

Surface plane définie à l’aide d’un point Q et de 2 vecteurs r et s | | au plan

Cette surface plane a la forme suivante: P(u,v) = Q + u r + v s, u,v [0,1]

où Q Q + s s s

B = Q+r Q+r+s s sr r 0 0r r 0 0

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Surfaces bicubiques particulières

Surface cylindrique

Un segment de droite Q0Q1 se déplace sur la courbe de Hermite P(u), u [0,1]tout en conservant une direction constante:

P(u) + v (Q1 - Q0) u,v [0,1] avec P(0) = Q0.

Q0 Q1 Q1- Q0 Q1- Q0

B = P(1) P(1) + Q1- Q0 Q1- Q0 Q1- Q0

pu0 pu

0 0 0pu

1 pu1 0 0

segment

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Surfaces bicubiques particulières

P(0) Q(0) Q(0) – P(0) Q(0) – P(0) B = P(1) Q(1) Q(1) – P(1) Q(1) – P(1)

Pu0 Qu

0 0 0Pu

1 Qu1 0 0

Cas spécial : Lorsque les 2 courbes de Hermite sont des segments de droite, nous avons un paraboloïde hyperbolique.

Surface guidée

Il s’agit de joindre 2 courbes de Hermite P(u) et Q(u) par le segment de droiteP(u) – Q(u) pour tout u dans [0,1].