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1
Quantum physicsQuantum physics(quantum theory, quantum (quantum theory, quantum
mechanics)mechanics)Part 3
2
Summary of 2Summary of 2ndnd lecture lecture
classical physics explanation of black-body radiation failed
Planck’s ad-hoc assumption of “energy quanta” of energy Equantum = h, modifying Wien’s radiation law,
leads to a radiation spectrum which agrees with experiment.
old generally accepted principle of “natura non facit saltus” violated
Opens path to further developments
3
OutlineOutline Introduction spin of the electron
Stern-Gerlach experiment spin hypothesis (Goudsmit, Uhlenbeck) spin states, superposition,…
cathode rays and electronst models of the atom Summary
4
normale Zeeman-EffectH-Atom im äußeren Magnetfeld B
e
r IA
L
n
z-Achse
B
H-AtomH-Atom
B 0
3-D Drehsymmetrie im Raum
B 0
1-D Drehsymmetrie um z-Achse
partielle Symmetriebrechung
Störpotential ( klassisch ):
e-Bahnbewegung magnetisches Moment eμ
2
rπ2v
e
rπA
eνeI
nAIAIμ
nrveμ 21
e
LμnvrmprLem2
eee
Bahndrehimpuls:
BLBLBμV zm2e
m2e
e ee
Störpotential:
5
BLV zm2e
eKlassisches Störpotential:
LV zm2Be
e LV zm2
Be
eQuantenmechanisch:
Störungsrechnung 1. Ordnung BmLEδee m2
e
mnzm2
Bemn
m
Aufhebung der m-Entartung BμmEδEδ Bmmn BμmEδEδ Bmmn
Bohrsches Magneton: 124
eB TJ1027,9
m2
eμ
B
eI
L
r
z
Experimentelle Beobachtung: B 0 B 0
2p
1s m 0
m 0m 1
m 1
E
1Δm 0Δm 1Δm
Spektrallinien spalten auf! Problem: Theorie wird quantitativ
nur schlecht bestätigt!
6
B 0 B 0
2p
1s m 0
m 0m 1
m 1
E
1Δm 0Δm 1Δm
eI
L
r
zB
Beobachtung des Photons in -Richtung
m 0: existiert nicht ( keine Dipolstrahlung entlang der Schwingungsachse )
m 1: Photonen sind rechts / links zirkular polarisiert
B
Beobachtung des Photons senkrecht zur -RichtungB
m 0: Photonen sind linear polarisiert in -RichtungB
m 1: Photonen sind linear polarisiert senkrecht zur -RichtungB
Drehimpulserhaltung wird vom Photon übernommenmΔLΔ z
m 1: e-Kreisschwingung -StrahlungB
m 0: e-Schwingung ∥ -StrahlungB
7
B 0 B 0
2p
1s m 0
m 0m 1
m 1
E
1Δm 0Δm 1Δm
eI
L
r
zB
Drehimpulserhaltung wird vom Photon übernommenmΔLΔ z
m 1: e-Kreisschwingung -StrahlungB
m 0: e-Schwingung ∥ -StrahlungB
Experimenteller Befund: Strahlungsübergänge mit m 1 finden nicht statt, bzw. sind stark unterdrückt ( höhere Multipolübergänge mit mehreren Photonen ).
Folgerung: Photonen tragen einen Eigendrehimpuls ( Spin ) von . 1
Theorie hierzu: Zeitabhängige Störungstheorie; Quantenfeldtheorie
Bemerkung: Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon.
8
4.3. Relativistische Korrekturen
• Elektron-Geschwindigkeit abhängig von ℓ Aufhebung der ℓ-Entartung
• Orientierung von nicht relevant m-Entartung bleibt erhalten
relativistische Massenzunahme
L
Störung ( klassisch ):
2e
2242ekin cmcpcmE
2ecm
p2e cm1cm 22
e
2
2cm
p81
cm
p21
22e
2
22e
2
1
23
e
22
e
2
cm8
pm2p
0kinE
23
e
22
cm8
pV
ΔV 2
cm8 23e
4 ΔV 2
cm8 23e
4Störoperator ( quantenmechanisch )
ip
Störungsrechnung 1. Ordnung mit Wasserstoff-Wellenfunktion ( s. Lehrbücher )
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
137
1107,297353
cεπ4
eα 3
0
2
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante
9
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
137
1107,297353
cεπ4
eα 3
0
2
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante
2
2
n n
ZRyE
1
n4
3
n
Zα1
n
ZRyE
21
22
2
2
n
1
n4
3
n
Zα1
n
ZRyE
21
22
2
2
n
Beispiel: Z 1 ( Wasserstoff )
1
01λ1
401
cm05,1δ
eV103,1Eδ
eV101Eδ
eV104Eδ5
12
502
nicht mehr entartet!
Generell: Der kleine Wert der Feinstrukturkonstante rechtfertigt Störungsrechnung. α10 25
Ry
Eδ n O α10 25
Ry
Eδ n O ≲
10
4.4. Der Spin des Elektrons
4.4.1. Das Stern-Gerlach-Experiment ( 1921 )
BN
S
Ag-Strahl
zz ezBB
inhomogen
Ofen
AgAg-DampfBlende
Glasscheibe
z
x
Ag-Strahl
N
S
Magnet
0
z0
Ag-
Dic
hte
B
0B↗B↗↗
11
BN
S
Ag-Strahl
zz ezBB
inhomogen
z0
Ag-
Dic
hte
B
0B↗B↗↗
Erklärung: Ag-Atome haben magnetisches Moment zB
zzzzμBμF
μ
Problem: Grundzustand des Ag-Atoms ist s-Zustand 0μ pulsBahndrehim
Hypothese: ( Goudsmith, Uhlenbeck, 1925 )
Elektronen tragen einen Eigendrehimpuls bzw. Spin magnet. Moments
Sμ
Bemerkung: Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon.
Quantenmechanischer Ansatz analog zum Bahndrehimpulsoperator:
s,,1s,sm,ms1sss SSz22
12
BN
S
Ag-Strahl
zz ezBB
inhomogen
z0
Ag-
Dic
hte
B
0B↗B↗↗
s,,1s,sm,ms1sss SSz22
Bahndrehimpuls: Operator des magnetischen Moments Bahndrehimpulsoperator
Ansatz: Magnetisches Spinmoment des Elektrons sγμ S
sγμ S
gyromagnetisches Verhältnis1925 war bekannt ( Untersuchung von Mehrelektronen-Atomen ): Das magnetische
Moment des Ag-Atoms wird nur von einem Valenzelektron getragen. Die übrigen magnetischen Momente kompensieren sich ( abgeschlossene Schalen ).
Folge: Kraft im Magnetfeld zB
SzB
zzB
Szzzz
zγmsγμF
13
BN
S
Ag-Strahl
zz ezBB
inhomogen
z0
Ag-
Dic
hte
B
0B↗B↗↗
s,,1s,sm,ms1sss SSz22
sγμ S
sγμ S
z
BSz
zγmF
Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen.
Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen.
Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen.
Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen.
Fazit: Beobachtung von zwei Stern-Gerlach-Peaks 2s 1 2
21
S21 ms Das Elektron ist ein Spin-½-
Teilchen.Das Elektron ist ein Spin-½-
Teilchen.
14
Das Vektormodell des Elektronen-Spins:
z
x
y
Kugelradius 31ss 21
21
21
Sm
21
sm
s
21
s
s
21
z
2432
s
s
21
z
2432
s 21 s 21
15
4.4.2. Der Einstein-de-Haas-Effekt ( 1915 )
Anwendung: Messung des gyromagnetischen Verhältnisses S des Elektronenspins.
Feldspule
Eisenzylinder
Torsionsfaden
Spiegel
z
Lichtquelle
Skala
Magnetfeld in Feldspule hinreichend groß, um Eisenzylinder bis zur
Sättigung zu magnetisieren.
Alle magnetischen Spinmomente sind voll in z-Richtung ausgerichtet.
Magnetfeld in Feldspule hinreichend groß, um Eisenzylinder bis zur
Sättigung zu magnetisieren.
Alle magnetischen Spinmomente sind voll in z-Richtung ausgerichtet.
16
Comparison with Bohr model***Comparison with Bohr model***
, 1, 2,3,zL n n
20
0, Bohr radiusn
n ar a
Z
Angular momentum (about any axis) assumed to be quantized in units of Planck’s constant:
Electron otherwise moves according to classical mechanics and has a single well-defined orbit with radius
Energy quantized and determined solely by angular momentum:
Bohr model Quantum mechanics
2
2, Hartree
2n h h
ZE E E
n
, , ,zL m m l l
020
1 , Bohr radiusZ
ar n a
2
2, Hartree
2n h h
ZE E E
n
Angular momentum (about any axis) shown to be quantized in units of Planck’s constant:
Energy quantized, but is determined solely by principal quantum number, not by angular momentum:
Electron wavefunction spread over all radii. Can show that the quantum mechanical expectation value of the quantity 1/r satisfies
17
6.6 The remaining approximations6.6 The remaining approximations
This is still not an exact treatment of a real H atom, because we have made several approximations. We have neglected the motion of the nucleus. To fix this we
would need to replace me by the reduced mass μ (see slide 1). We have used a non-relativistic treatment of the electron and in
particular have neglected its spin (see §7). Including these effects gives rise to
o “fine structure” (from the interaction of the electron’s orbital motion with its spin), and
o “hyperfine structure” (from the interaction of the electron’s spin with the spin of the nucleus)
We have neglected the fact that the electromagnetic field acting between the nucleus and the electron is itself a quantum object. This leads to “quantum electrodynamic” corrections, and in particular to a small “Lamb shift” of the energy levels.
18
7.1 Atoms in magnetic fields7.1 Atoms in magnetic fields
Interaction of classically orbiting electron with magnetic field:
v
Orbit behaves like a current loop:
2
Loop current= (- sign because charge )2
Magnetic moment current area
=2 2
where (the Bohr magneton).2
e Be
Be
eve
r
ev e Lr m vr
r m
e
m
In the presence of a magnetic field B, classical interaction energy is:
r
Corresponding quantum mechanical expression (to a good approximation) involves the angular momentum operator:
μ
Reading: Rae Chapter 6; B&J §6.8, B&M Chapter 8 (all go further than 2B22)
19
Splitting of atomic energy levelsSplitting of atomic energy levels
Suppose field is in the z direction. The Hamiltonian operator is
0ˆ ˆ ˆB z
z
BH H L
We chose energy eigenfunctions of the original atom that are eigenfunctions of Lz so these same states are also eigenfunctions of the new H.
0 0ˆ ;
ˆ .
m m
z m m
H E
L m
20
Splitting of atomic energy levels (2)Splitting of atomic energy levels (2)
0B
Predictions: should always get an odd number of levels. An s state (such as the ground state of hydrogen, n=1, l=0, m=0) should not be split.
(2l+1) states with same energy: m=-l,…+l
(Hence the name “magnetic quantum number” for m.)
0B
21
7.2 The Stern-Gerlach experiment***7.2 The Stern-Gerlach experiment***
( ) F μ B
Study deflection of atoms in inhomogeneous magnetic field. Force on atoms is
Gerlach
N
S
Produce a beam of atoms with a single electron in an s state (e.g. hydrogen, sodium)
Results show two groups of atoms, deflected in opposite directions, with magnetic moments
B Consistent neither with classical physics (which would predict a continuous distribution of μ) nor with our quantum mechanics so far (which always predicts an odd number of groups, and just one for an s state).
22
7.3 The concept of spin***7.3 The concept of spin***
Try to understand these results by analogy with what we know about the ordinary (“orbital”) angular momentum: must be due to some additional source of angular momentum that does not require motion of the electron. Known as “spin”.
Introduce new operators to represent spin, assumed to have same commutation relations as ordinary angular momentum:
Goudsmit Uhlenbeck
Corresponding eigenfunctions and eigenvalues:
Pauli
(will see in Y3 that these equations can be derived directly from the commutation relations)
23
Spin quantum numbers for an electronSpin quantum numbers for an electron
0ˆˆ ˆ ˆ( )
2 (Dirac's relativistic theory)(beyond 2B22)
2.00231930437 (Quantum Electrodynamics)
BH H g
g
g
B L S
General interaction with magnetic field:
From the Stern-Gerlach experiment, we know that electron spin along a given axis has two possible values.
So, choose
But we also know from Stern-Gerlach that magnetic moments associated with the two possibilities are
B So, have
Spin angular momentum is twice as “effective” at producing magnetic moment as orbital angular momentum.
24
A complete set of quantum numbersA complete set of quantum numbers
Hence the complete set of quantum numbers for the electron in the H atom is: n,l,m,s,ms.
Corresponding to a full wavefunction
Note that the spin functions χ do not depend on the electron coordinates r,θ,φ; they represent a purely internal degree of freedom.
H atom in magnetic field, with spin included:
25
7.4 Combining different angular 7.4 Combining different angular momentamomenta
1 12 2,
, ,j
j l l
m j j
So, an electron in an atom has two sources of angular momentum:
•Orbital angular momentum (arising from its motion through the atom)
•Spin angular momentum (an internal property of its own).
To think about the total angular momentum produced by combining the two, use the vector model once again:
Lx
Ly
Lz
Vector addition between orbital angular momentum L (of magnitude L) and spin S (of magnitude S): produces a resulting angular momentum vector J: quantum mechanics says its magnitude lies somewhere between |L-S| and L+S.(in integer steps).
L
S
L+S
|L-S|
For a single electron, corresponding `total angular momentum’ quantum numbers are
Determines length of resultant angular momentum vectorDetermines orientation
J L S
L
S