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Progresso Progresso

no no

Pensamento MatemáticoPensamento Matemático

Portugal – Mestrados do Instituto de Educação Portugal – Mestrados do Instituto de Educação Junho 2010Junho 2010

The Open UniversityMaths Dept University of Oxford

Dept of EducationPromoting Mathematical Thinking

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Esquema da apresentaçãoEsquema da apresentação

O que é a progressão no pensamento O que é a progressão no pensamento matemático? matemático?

Progressão em …Progressão em …– Desempenho (Desempenho (comportamentocomportamento))– Compreensão; conexão; ser capaz de falar Compreensão; conexão; ser capaz de falar

aceca de (aceca de (cogniçãocognição))– Independência e iniciativa (Independência e iniciativa (afecto + vontadelafecto + vontadel))– Formas de trabalhar (Formas de trabalhar (meiomeio))

LinguagemLinguagem– Para pensar e discutirPara pensar e discutir

Tarefas que revelam progressão e fornecem nova linguagem

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Estrutura da psique humana: Metáfora da Estrutura da psique humana: Metáfora da carruagemcarruagem

Comportamento

(enactividade)

Emoção (afecto)

Consciencialização (cognição)

VontadeImagens

mentais

Hábitos

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EntreEntre Quantos círculos podem existir entre as duas exibidas? Quantos círculos podem existir entre as duas exibidas?

Quantos números podem existir entreQuantos números podem existir entre1,50 and 1,591,500 and 1,5987

Âmbito das

mudanças

permitidas

Discreta e

contínua

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Diferença de 2Diferença de 2

Escreva 2 números com uma diferença de 2

Usando notação de coordenadas, escreva dois pontos à distância de duas unidades

E outros doisE outros dois

E dois números cuja distância mútua esteja entre 1,5 e 2

Básico Secundário

A progressão é visível no âmbito das escolhas

exibidas; na riqueza do campo de exemplos

que se podem usar

E outros dois

E dois pontos cuja distância mútua esteja entre 1,5 e 2

E outros dois

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Progressão por mudançasProgressão por mudanças Qualquer termo técnico indica uma mudança Qualquer termo técnico indica uma mudança

nas ‘formas de ver’nas ‘formas de ver’ O nome é uma recordação dessa mudançaO nome é uma recordação dessa mudança Para usar o termo de forma efectiva, oa Para usar o termo de forma efectiva, oa

alunos precisam de experienciar a mudançaalunos precisam de experienciar a mudança

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Vendo comoVendo como

✎ Levante a mão quando conseguir Levante a mão quando conseguir ver algo que sejaver algo que seja1/3 de alguma coisa; 1/3 de alguma coisa; de novo, diferente de novo, diferente Uma razão de 1 : 2Uma razão de 1 : 2

Âmbito das

mudanças

permitidas

Dimensões de

possível variação✎ Que outras coisas consegue ver?Que outras coisas consegue ver?

✎ Que assunções está a fazer?Que assunções está a fazer?

4/3 de alguma 4/3 de alguma coisacoisa

8

1n

1n 1

1

n n 1

Vendo o geral através de um exemplo

Consegue ver algo que seja:Um quinto de alguma coisaUm quarto de alguma coisaUm quarto de algo que seja uma diferença Um quinto da mesma coisa

Agora generali

ze!

14

−15

120

9

Qual foi a sua progressão nesta tarefa?Qual foi a sua progressão nesta tarefa?

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FracçõesFracções

11

Qual foi a sua progressão nesta Qual foi a sua progressão nesta tarefa?tarefa?

12

Contagem de triângulosContagem de triângulos

13

Qual foi a sua progressão nesta Qual foi a sua progressão nesta tarefa?tarefa?

14

Lendo um diagrama: Vendo como…Lendo um diagrama: Vendo como…

x3 + x(1–x) + (1-x)3

x2 + (1-x)2

x2z + x(1-x) + (1-x)2(1-z)

xz + (1-x)(1-z)xyz + (1-x)y + (1-x)(1-y)(1-z) yz + (1-x)(1-z)

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TangentesTangentes Em que ponto de y = xEm que ponto de y = x22 + 1 passa a tangente + 1 passa a tangente

pela origem?pela origem? E no caso de y = 4xE no caso de y = 4x22 + 1? + 1? E no caso de y = 9xE no caso de y = 9x22 + 1? + 1? Quando y = (λx)Quando y = (λx)22 + 1 , qual é o lugar + 1 , qual é o lugar

geométrico desse ponto (quando λvaria) ?geométrico desse ponto (quando λvaria) ? E no caso de y = f(λx)?E no caso de y = f(λx)?

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Progressão em matemática significa:Progressão em matemática significa:– Tornar-se melhor a …Tornar-se melhor a …– Saber mais de ...Saber mais de ...– Ser capaz de …Ser capaz de …– Tomar a iniciativa de…Tomar a iniciativa de…– Contribuir para uma atmosfera (milieu) Contribuir para uma atmosfera (milieu)

impulsionador do pensamento matemático…impulsionador do pensamento matemático…

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Progressão em quê?Progressão em quê? Uso de aptidõesUso de aptidões

– Imaginar & exprimirImaginar & exprimir– Especializar & generalizarEspecializar & generalizar– Conjecturar & convencerConjecturar & convencer– Enfatizar & ignorarEnfatizar & ignorar– Persistir e deixar cairPersistir e deixar cair

Uso de temas matemáticos:Uso de temas matemáticos:– Fazer e desfazer (inversos)Fazer e desfazer (inversos)– Invariância e VariaçãoInvariância e Variação– Liberdade & constrangimentoLiberdade & constrangimento– Estender & restringir o significadoEstender & restringir o significado

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O meu Website & Leituras O meu Website & Leituras complementarescomplementares

j.h.mason @ open.ac.ukj.h.mason @ open.ac.uk mcs.open.ac.uk/jhm3 vá para mcs.open.ac.uk/jhm3 vá para

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