1 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН 1 1.1 Вступsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/1.pdfМножина вважається заданою, якщо

1 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН

Н.М. Д’яченко 1


1.1 Вступ Теорія множин (наївна) – вчення про властивості множин, переважно

нескінченних. Поняття множини належить до числа початкових матема-тичних понять, воно не визначається, а поясняється тільки за допомогою прикладів. Так, можна говорити про множину студентів у групі, про множину книг у бібліотеці ЗНУ, про множину планет Сонячної системи, про множину точок даної геометричної фігури, про множину розв’язків даної нерівності. Студенти в групі, книги в бібліотеці ЗНУ, планети Со-нячної системи, точки даної геометричної фігури, розв’язки даної нерів-ності є елементами відповідної множини. Множина вважається заданою, якщо вказано характеристичну властивість елементів цієї множини, тоб-то таку властивість, яку мають всі елементи цієї множини і тільки вони. Якщо характеристичною властивістю множини не володіє жодний еле-мент, то множина є порожньою. Наприклад, множина розв’язків нерівно-сті – порожня. 2cos >x

Теорія множин була створена в роботах математиків 19 ст. У пер-ших своїх роботах у цій області Б. Больцано1 (B. Bolzano), П.Дюбуа-Реймон2 (P. Du Bois-Reymond), Р. Дедекинд3 (R. Dedekind) при розгляді числових множин або множин функцій, ставили питання про кількісне порівняння нескінченних множин. Чи існують нескінченні множини різ-ної кількісної сили, різної потужності? Відповідь на це питання дав Г. Кантор4 (G. Cantor), який представив майже сучасний виклад теорії кар-динальних чисел і порядкових чисел і теорії цілком упорядкованих мно-жин. Можливість порівняння кількісної оцінки множин спирається на

1 Больцано Бернард (5.10.1781 – 18.12.1848) – чеський математик, філософ і логік. Народився в Празі. В 1800 за-кінч. філософ., в 1835 – теолог. факультет Праз. ун-ту з присудженням наукового ступеня доктора філософії. В 1805-20 займав кафедру історії релігії в Праз. ун-ті. За виступ проти австр. уряду відсунений від роботи (1820), відданий під таємний нагляд поліції і отримав заборону на публ. виступи. Б. Больцано надрук. (анонімно) тільки 5 невеликих матем. робіт і ряд філософ. праць. Основну частину великого рукоп. спадщини Б. Больцано чеські вчені дослідили після його смерті. Велика праця Б. Больцано “Вчення про функції” побачила світ у 1930 р. В ньому він випередив своїх послідовників К.Т.Вейєрштрасса, О.Л.Коши у великій кількості питань сучасного мат. аналізу. 2 Дюбуа-Реймон Пауль Давид (2.12.1831- 7.04.1889) –німецький математик. Народ. в Берліні. Закінчив Берлінський університет (1859). Працював в Фрейбурзі та Берліні. Осн. праці з матем. фізики, мат. аналізу, теорії функцій, варіаційного числення, теорії диф. рівнянь в частинних похідних. 3 Дедекинд Ричард Юліус Вільгельм (6.10.1831- 12.02.1916) – німецький математик, чл.. Берлин. АН (1880). Народ. в Браунштейті, навчався у К.Гауса і П.Дирихле в Гьотінгенському ун-ті. Прац. там же і в Цюріх. ун-ті, з 1862 – проф. Вищої техн. школи в Браунштейті. Осн праці з теорії алгебр. чисел, теорії упорядкованих множин, теорії функцій дійсної змінної з обґрунтуванням з теоретико-множинної точки зору та ін. Він сформулював систему аксіом арифметики (мають назву аксіом Піано), що містить зокрема принцип повної математичної індукції. 4 Кантор Георг – (3.03.1845 – 6.01.1918) – німец. математик, що створив теорію множин. Народ. в Петербурзі. В 1867 закінчив Берлін. ун-тет. Учень К.Т.Вейєрштрасса. В 1872-1913 проф. ун-та в Галлі. Розробив теорію нескін-ченних множин і теорію трансфінітних чисел. Створена Г.Кантором теорія множин (деякі її ідеї зустрічались у його попередників, зокрема, порівняно докладно розроб. Б.Больцано) не тільки лежить нині в основі мат. аналізу, але і стала причиною загального перегляду логічних основ матем. і вплинула на всю сучасн. структуру математики.



поняття взаємно однозначної відповідності. Між двома множинами мож-на установити взаємно однозначну відповідність, якщо вони складаються з однакового числа елементів. В узагальненні цього факту Г. Кантор ви-значив кількісну еквівалентність, або рівнопотужність, як можливість установити між множинами взаємно однозначну відповідність. Якщо множина A рівнопотужна множині , то ці множини мають те саме кар-динальне число. Цінність поняття потужності множини полягає у вияв-ленні нерівнопотужних нескінченних множин, якими є множина натура-льних і множина дійсних чисел. Перша є зчисленною множиною, а друга – потужності континуум.

B

У кожній нескінченній множині міститься підмножина, яка рівнопо-тужна даній множині, тобто в ній існує її правильна частина. Цієї власти-вості не мають скінченні множини. Саме тому нескінченна множина ви-значається, як така, що містить у собі правильну частину.

При розгляді множин довільної природи математики зустрілися з двома проблемами. По-перше, були отримані суперечності, антиномії5 в наївній теорії множин, що привело до створення на початку 20 ст. аксіо-матичної теорії множин. По-друге, у теорії множин з'явилися нерозв'яз-ні проблеми, такі як континуум-гіпотеза.

Континуум-гіпотеза – це гіпотеза, сформульована Г. Кантором, і по-лягає в тому, що всяка нескінченна підмножина континуума рівнопо-тужна або множині натуральних чисел, або ; іншими словами, гіпотеза про неіснування проміжної потужності між зчисленною і континуум. В межах традиційного теоретико-множинного розв’язування проблема не піддавалася вирішенню. Лише після того, як були формалізовані логічні засоби виводів доведень на основі виявлення аксіом теорії множин, стало можливим говорити про формальну нерозв’язність континуум гіпотези. В

RR

5 Антиномія, парадокс, – ситуація, коли в теорії множин доводяться два взаємовиключні один одне судження, причому кожне з цих суджень виведено переконливими засобами з точки зору даної теорії. На відмінність від софізму, навмисно невірного умовиводу з замаскованою помилкою, антиномії, як правило, свідчать про більш глибокі недоліки розглядуваної теорії. Часто виявлення антиномій приводить до істотного перегляду усієї теорії в цілому, звертає увагу на нові явища, і в кінцевому підсумку, служить стимулом подальших досліджень.

Антиномія “сільського цирульника”. Розглянемо сільського цирульника, котрий голить усіх тих та тільки тих мешканців свого селища, які не голяться самі. Чи голить він сам себе? Пропонується читачу логічно довести дві протилежні ситуації: цирульник голиться сам і цирульник не голиться сам. Поясніть у чому парадокс!

Вже в ант. філос. обговорюв. антиномії, відомі під назвою апорій. Наведемо одну із відомих апорій Зенона із Елеї (5с.д.н.е.) “Ахіллес і черепаха”. Нехай у пункті А знах. Ахіллес, а в пункті В на відстані 100 м. від А – черепа-ха. В один і той же момент Ахіллес рушає бігом із А в напр. до В і прямує наздогнати черепаху, а черепаха прямує із В геть від А з швидкістю, скажемо, в 100 р. меншою за швидкість Ахіллеса. Дійсність свідчить, що в подібному випадку Ахіллес достатньо швидко наздожене черепаху. З іншого боку, можна, як би встановить, що Ахіллес ніко-ли не наздож. черепаху (і навіть не досягне пункту В). Дійсно, до моменту, коли Ахіллес досягне середину С1 мар-шруту АВ, черепаха нехай на більшу відстань, а все ж віддалиться від В. Далі, Ахіллес добіжить до середини С2 відрізку С1В, потім до середини С3 відрізку С2В і т.д. Весь цей час черепаха буде віддалятися від В. Щоб досягти В, Ахіллесу, таким чином, необхідно побувати в кожному із нескінченної послідовності пунктів С1, С2, С3,..., Сn,... Однак, представляється вірним, що неможливо за скінченний час побувати в нескінченній кількості різних пунктів. Отже, Ахіллес ніколи не досягне пункту В і не наздожене черепаху. У чому парадокс? Бажаємо успіху!



1939г. К.Гьодель встановив недовідність заперечення континуум-гіпотези, а в 1963г. П.Коен показав невивідність самої континуум-гіпотези в припущенні несуперечності вказаної формальної системи. Чи є це остаточним результатом у проблемі континуума? Відповідь залежить від відношення до посилки про несуперечність формальної системи.

Ще одна важлива властивість множин – їхня обмеженість або необ-меженість. Вивчення цієї властивості допомагає відповісти на питання про обмеженість послідовностей і функцій, оскільки зводиться до дослі-дження на обмеженість їхньої множини значень. Уміння досліджувати на обмеженість множини є необхідною умовою вирішення всіх прикладних задач з точки зору відповідності їхнього результату фізичному змісту, апріорі – відповідності моделі задачі реальності.

У математиці часто необхідно доводити справедливість деякого тве-рдження (предиката) для всіх невід’ємних цілих )(xP x . У цьому випад-ку застосовується принцип математичної індукції (аксіома індукції). Один з результатів, що можна отримати за допомогою цього принципу – біном Ньютона, який представляє собою формулу розкладу довільної натуральної степені двочлена в многочлен. В цьому посібнику буде наве-дена формула бінома Ньютона для піднесення до натурального степеня. При довільному дійсному чи комплексному степені розклад представля-ється біноміальним рядом. Поступове засвоєння формули бінома Ньюто-на починається з її простіших часткових випадків (формул “квадрата су-ми” та “куба суми”) почалося ще в 11 ст. Заслуга І. Ньютона (I. Newton), власне кажучи, полягає в відкритті біноміального ряду.

«Множество есть многое, мыслимое нами как еди-

ное» (Г. Кантор)

1.2 Множини й операції над ними Під множиною розуміється будь-яка сукупність об'єктів, що назива-

ються елементами множини, об'єднаних за якоюсь ознакою. Запис означає, що об'єкт є елементом множини Aa∈ a A (належить

множині A ); у противному випадку Aa∉ . Множина, що не містить жод-ного елемента, називається порожньою і позначається ∅ . Запис BA⊂ ( A міститься в ) означає, що кожний елемент множини B A є елементом множини ; у цьому випадку множина B A називається підмножиною множини . Множини B A і називають рівними (B BA = ), якщо BA⊂ і

AB ⊂ .



Існують два основних задання множин: а) множина A визначається безпосереднім перерахуванням всіх еле-

ментів , тобто записується у вигляді naaa ,,, 21 …{ }naaaА ,,, 21 …= ;

б) множина A визначається як сукупність тих і тільки тих елементів із деякої основної (універсальної) множини , які мають загальну влас-тивість . У цьому випадку використовується позначення

Eα

{ })(: xExА α∈= , де запис означає, що елемент )(xα x має властивість α .

Приклад. Описати перерахуванням елементів множин: { }2: cos 2 1 0 2A x R x x π= ∈ = ∧ < ≤ .

Розв’язання. Розв’язком рівняння є множина 12cos2 =x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈π Znn ,2

. Обираючи з отриманої множини лише ті числа, що задово-

льняють нерівності π≤< 20 x , одержимо 3; ; ; 2

2 2A π ππ π⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭ .

Означення. Об'єднанням множин A і називається множина B{ }BxАxExBА ∈∨∈∈= :∪ .

Перетином множин A і називається множина B{ }BxАxExBА ∈∧∈∈= :∩ .

Різницею множин A і називається множина B{ }BxАxExBА ∉∧∈∈= :\ .

Якщо, зокрема, A - підмножина деякої універсальної множини E то різ-ниця E позначається

,A\ А A або C і називається доповненням множини E

A ( о множині E ).д Прямим або декартовим добутком множин A і називається мно-

жина B

},:),{( ByAxyxBA ∈∈=× . Наприклад, якщо }3,2{},2,1{ == BA , то

}3,2,1{=BA∪ , }2{=BA∩ , }1{\ =BA , }3{\ =AB , )}3,2(),2,2(),3,1(),2,1{(=×BA .

Приклад. Зобразити на координатній площині , де ABBABABA \,\,, ∪∩



{ }12:),( 22 +≤∈= xyRyxA , , { }1:),( 2 ≥∈= xRyxB . Розв’язання. Зобразимо спочатку обидві множини на одній коорди-

натній площині (див. рис. 1.3). На рис. 1.4-1.7 зображені множини відповідно. ABBABABA \,\,, ∪∩

Рис. 1.7

Рис. 1.6

Рис. 1.5

Рис. 1.4

Рис. 1.3

Властивості операцій над множинами A B B AA B B A

= ⎫⎬= ⎭

∪ ∪∩ ∩

10. комутативність операції . i∪ ∩

x A B x A x B x B x A x B A∈ ⇔ ∈ ∨ ∈ ⇔ ∈ ∨ ∈ ⇔ ∈∪ ∪ . Звідки, з одного боку, маємо ( )x A B x B A A B B A∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊂∪ ∪ ∪ ∪ , а, з іншого, – ( )x B A x A B B A A B∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊂∪ ∪ ∪ ∪ , Тому із означення рівності множин доходимо висновку: A B B A=∪ ∪ Комутативність перетину множин довести самостійно .

20. ( ) ( )( ) ( )A B C A B C

A B C A B C

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

∪ ∪ ∪ ∪

∩ ∩ ∩ ∩ассоциативність ( довести самостійно!).

30. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )A B C A C B C

A B C A C B C

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

∪ ∩ ∩ ∪ ∩

∩ ∪ ∪ ∩ ∪дистрибутивність ( довести самостійно!).

40. A B A B

A B A B

⎫= ⎪⎬

= ⎪⎭

∪ ∩

∩ ∪- закони двоїстості.



:

x A B x A B x A B

x A x B x A x B x A x Bx A B

A B A BÂèñí î âî ê A B A B

A B A B

∈ ⇔ ∉ ⇔ ∈ ⇔

∈ ∧ ∈ ⇔ ∉ ∨ ∉ ⇔ ∈ ∨ ∈ ⇔

∈

⎫⊂ ⎪⇔ =⎬⊂ ⎪⎭

∩ ∩ ∩

∪

∩ ∪∩ ∪

∪ ∩

50. AA = ( довести самостійно!). 60. BА⊂ BА⊃⇒ ( довести самостійно!).

Операції і природно узагальнюються на випадок довільної сім’ї множин. Нехай, наприклад, задана сім’я множин

∪ ∩,iÀ i I∈ , де -

індексна (скінченна або нескінченна) множина Тоді визначимо I

ii I

A∈∪ і

ii I

A∈∩ ;

{ }: :n ii I

А x E i I x А∈

= ∈ ∃ ∈ ∈∪ ;

{ }:i ii I

А x E x А i I∈

= ∈ ∈ ∀ ∈∩ .

Означення 2. Цілою частиною числа x називається найбільше ціле число, що не перевищує x , і позначається . ][x

Наприклад: [ . 3]4,2[;4]4[;1]2,1[;3]3 −=−−=−==

Приклад. Для заданої сім’ї множин , nА Nn∈ , де - множина на-

туральних чисел, знайти :

N

∩∪Nn

nNn

n AА∈∈

, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

nАn

1,1 .

Розв’язання. Крок 1. Побудуємо на числовій прямій (рис. 1.10) скінченну кількість

відрізків : nA [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=−=

41,1,

31,1,

21,1,1,1 4321 АААА і т.д.

-1 -0 ,8 -0 ,6 -0 ,4 -0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1

nAAAAA ,...,,,, 4321

Рис. 1.8

Знайдемо спочатку об'єднання даних множин. Оскільки [ ]1,11 −=А , а всі інші множини включаються в [ ]1,1− , тобто [ ]1,11 −⊂>∀ nАn , то



[ ]1,1−=∈∪

NnnА .

Тепер знайдемо перетин даних множин. Крок 2. Можна припустити, що

[ ]0,1−=∈∩

NnnА . (1.6)

Крок 2.1. Нехай [ ]0,1−∈x . Оскільки 01 ≥n

для будь-якого Nn∈ , то

nxNn 101 ≤≤≤−∈∀ . Тому ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−∈∈∀

nxNn 1,1 .

Таким чином, доведене включення . [ ] ∩Nn

nА∈

⊂− 0,1

Крок 2.2. Нехай . Припустимо супротивне: ∩Nn

nАx∈

∈ [ ]0,1−∉x . Випа-

док, коли , неможливий, тому що 1−<x NnАx n ∈∀∈ , і тоді nx ∀−≥ 1 .

Випадок, коли також неможливий, оскільки тоді для 0>x 11 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

xn ви-

конана нерівність n

x 1≥ , а це суперечить тому, що nn

x ∀≤ 1 .

Отже, , це разом з підсумком кроку 2.1 доводить (1.6). [ 0,1−⊂∈∩

NnnА ]

Узагальнені закони двоїстості: , .i i i ii I i I i I i I

A A A∈ ∈ ∈ ∈

= =∪ ∩ ∩ ∪ A

1.2 Відображення множин. Загальні поняття. Нехай X і Y – довільні множини, A X⊂ .

Означення. Якщо будь-якому елементу x A∈ ставиться у від-повідність єдиний елемент y Y∈ (позначення: ( )f x y= ), то така відповід-ність називається функцією (або функціоналом, або оператором, або ві-дображенням). Множина А називається областю визначення функції

. Позначення для області визначення: ( )f x ( ) fA D f D= = . Множина значень функції: ( ) ( ){ }: ( ) :E f y Y x D f f x y= ∈ ∃ ∈ = .

Якщо ( )D f X= , то функція називається скрізь визначеною. ( )f x

Способи задання функцій (детально вивчити самостійно ): 1) діаграмами;



2) таблицями; 3) аналітично (за допомогою формул):

а) явно y = f(x), б) неявно F(x,y)= 0,

в) параметрично ( )( )

,x t

t Ty t

ϕ

ϕ

=⎧⎪ ∈⎨=⎪⎩

;

4) графічно. Означення. Графіком функції називається множина

вигляду . :f X Y→

( ) ( ) ( ){ }, :G f x y X Y x X y f x= ∈ × ∈ ∧ =

Означення. Відображення називається сюр’єкцією, якщо

:f X Y→

( )E f Y=Приклад.

3

: ( ; ) ( ; )( )( ) ( ; )

ff x xE f

−∞ +∞ → −∞ +∞ ⎫⎪= ⇒⎬⎪= −∞ +∞ ⎭

f - сюр’єкція, тобто відображення «на».

Означення. Якщо ( )E f Y⊂ , то називається відобра-женням “в” (тобто

:f X Y→

X в Y ).

( )( )

2

: ( ; ) ( ; )

[0; ) ( ; )

ff x x

E f ≠

⎫−∞ +∞ → −∞ +∞⎪

= ⎬⇒⎪= +∞ ⊂ −∞ +∞ ⎭

f -відображення «в»

Означення. Нехай ( )A X D f⊂ = , тоді образом множини А при відображенні називається множина в вигляду :f X Y→ Y

( ) ( ){ },f A f x x A= ∈

( )[ ]

( ) [ ]2 ,

0;41;2

f x xf A

A

⎫= ⎪⇒ =⎬= − ⎪⎭

Означення. Нехай , тоді прообразом множини В при ві-дображенні називається множина в

B Y⊂:f X Y→ X вигляду

( ) ( ){ }1 ( ) :f B x D f f x B− = ∈ ∈ Означення. Відображення називається ін’єкцією :f X Y→

( )def

y E f⇔∀ ∈ { }1f y− -є одноточкова множина⇔



( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

x D f x D f x x f x f x

x D f x D f f x f x x x

⇔∀ ∈ ∧ ∈ ≠ ⇒ ≠ ⇔

⇔∀ ∈ ∧ ∈ = ⇒ =

Означення. Функція називається бієкцією, або взаємно одно-значним відображенням, якщо вона є одночасно сурє’кцією і інє’кцією.

( ) 2

: ( ; ) ( ; )f x xf

⎫= ⎪⇒⎬−∞ +∞ → −∞ +∞ ⎪⎭

-не сюр’єкція не бієкція; ⇒Приклад 1.

( ) 2

: ( ; ) [0; )f x xf

⎫= ⎪⇒⎬−∞ +∞ → +∞ ⎪⎭

сюр’єкція, не ін’єкція не бієкція; ⇒

( ) 2

: [0; ) [0; )f x xf

⎫= ⎪⇒⎬+∞ → +∞ ⎪⎭

і сюр’єкція і інєкція⇒ бієкція.

Приклад 2. Якщо X - множина відрізків на прямій вигляду [ ]{ , : , }X a b a b R a b= ∈ ∧ ≤ ( ; )Y = −∞ +∞, а , то розглянемо відображення

, яке кожному відрізку ставить у відповідність його довжину, тобто

:f X Y→

[ ]( ),f a b b a= − . Тоді ( ) [0; )E f = +∞ , тому - відображення

”в”, не є сюр’єкцією. Крім того,

:f X Y→

{ }( ) [ ] [ ]{ }1 2 1;3 , 4;6 ,f − = … - не є одноточ-ковою множиною, тому не є ін’єкцією, а тому і не є бієкцією.

Означення оберненої функції. Нехай - бієкція. Роз-глянемо довільний

:f X Y→

y Y∈ . Оскільки - сюр’єкція :f X Y→ ( )( )Y E f= ,

то для ( ):y Y x X y f x∈ ∃ ∈ = . А оскільки –ін’єкція, то такий :f X Y→ x X∈ – єди-

ний. Таким чином, кожному y Y∈ ми спі-вставили x X∈ , що установило деяку фун-кцію :g y Y x X∈ → ∈ , яка буде оберненою до . Позначення: :f X Y→ 1g f −= .

Приклад. Нехай [0; )X Y= = +∞ . 2 1( ) ( )f x x f y y−= ⇒ = .

Зауваження. Обернена функція до бієктивної – це та сама функція, але вона «діє в зворотному порядку», переводячи

в y Y∈ x X∈ . Порівняємо графіки вихід-ної і оберненої функцій:

2y x=

y x=

y x=



( ) ( ) ( ){ }, :G f x y X Y x X y f x= ∈ × ∈ ∧ = ,

( ) ( ) ( ){ }1 , :G f y x Y X y f x x X− = ∈ × = ∧ ∈ . Графіки відрізняються зміною порядку координат декартового добутку. Це означає, що у випадку функцій , де

, графік оберненої функції буде си-метричним до графіку вихідної функції відносно прямої з рів-нянням . Щоб уникнути уявного протиріччя в записі оберненої фун-кції замінюють позначення аргументів («х» на «у», а «у» на «х»). Напри-клад, у випадку функції , де , а

:f X Y→

( ; ) ( ;X i Y⊂ −∞ +∞ ⊂ −∞ +∞) 1 :f Y X− →:f X Y→

y x=

:f X Y→ [0; )X Y= = +∞ 2( )f x x= обернену функцію записують 1( )f x− = x замість 1( )f y y− = .

Можна навести еквівалентне означення взаємно однозначного ві-дображення (бієкції). Якщо кожному елементу x X∈ можна співстави-ти єдиний елемент y Y∈ , а кожному y Y∈ співставити єдиний елемент x X∈ , тоді таке відображення називається взаємно однозначним.

Означення складеної функції. Нехай , ,X T Y - довільні множини, :g X T→ і

- функції такі, що :f T Y→ ( ) ( )E g D f T= = . Тоді ому кожн x X∈ за допомогою функції :g X T→

співставляється єдине значення ( )t g x T= ∈ . Оскі-льки , то значенню ( ) ( )E g D f T= = t T∈ за допомогою функції співставляється єдине значення

:f T Y→( ) ( ( ))y f t f g x Y= = ∈ . Таким чином, утво-

рено відображення : X Yϕ → , яке кожному значенню x X∈ ставить у відповідність єдине значення y Y∈ за правилом ( ) ( ( ))y x f g x= ϕ = , тому утворена відповідність є функцією, що називається складеною або компо-зицією функцій g і , що позначається як f f gϕ = .

( ) ( )

( ) ( ( ))

g f

x t g x y f t

f g

y x f g x

X T Y= =

ϕ=

=ϕ =

⎯⎯→ ⎯⎯→

↓ ↑⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

Приклад 1. Нехай (0; ), ( ; ), [0; )X T Y= +∞ = −∞ +∞ = +∞ , тоді

22

( ) ln ,( ) ( ( )) (ln )

( )t g x x

y x f g x xy f t t

ϕ= = ⎫

⇒ = = =⎬= = ⎭

.

Приклад 2. Нехай ( ;0) (0; ), (0; ), ( ;X T Y )= −∞ ∪ +∞ = +∞ = −∞ +∞ , тоді 2

2( ) ,( ) ( ( )) ln

( ) lnt g x x

y x f g x xy f t t

ϕ⎫= =⇒ = = =⎬

= = ⎭.



Означення оберненої функції через композицію. Нехай -бієкція. Функція :f X Y→ :g Y X→ називається оберненою до функції , якщо :f X Y→ g f f g e= = , де ( )e x x= .

Приклад. Нехай [0; )X Y= = +∞ .

Тоді 2 1( ) ( )f x x f y y−= ⇒ = , оскільки ( )21( ( )) ( )f f y y y e y− = = = , а 1 2( ( )) | | ( )f f x x x x e x− = = = = .

1.3 Еквівалентність множин. Поняття потужності множин. Якщо між множинами і можна установити взаємно однозначну

відповідність, то говорять що ці множини еквівалентні або що вони ма-ють однакову потужність (рівнопотужні) і пишуть ~ .

A B

A BНа рис. 1.9 і 1.10 установлюється взаємно однозначна відповідність

між двома колами різних радіусів і двома відрізками різної довжини.

A

B

A

B

Рис. 1.10

Рис. 1.9 Зауваження. Бієкцію між відрізками і можна установити

за допомогою функції

],[ ba ],[ dc

caxabcdx +−

−−=ϕ )()( , графіком якої є пряма, що

проходить через точки з координатами і , тому ця функція ві-дображає відрізок на відрізок . Побудована відповідність є взаємно однозначною, оскільки кожному елементу

),( ca ),( db],[ ba ],[ dc

],[ bax∈ співвідносить один і тільки один елемент Bxy ∈ϕ= )( , до того ж, кожний елемент виявляється співвіднесеним одному і тільки одному

By∈

],[)( baacycdabx ∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−−= .

Теорема (властивості еквівалентних множин) (доведіть самостійно!). 10 ~ ∀ ; A A A20 ~ ~ ; A B ⇒ B A



30 ~ ~ ~ . A B ∧ B C ⇒ A CОзначення. Під правильною час-

тиною множини В розуміють таку її під-множину , яка не співпадає з множи-ною В, але еквівалентна їй, тобто

.

C

~C B C B C B⊂ ∧ ≠ ∧

EF

На рис. 1.11 зображено два відрізки DE i DC, що є відповідно гіпотенузою та катетом прямокутного трикутника DCE ( ). Як випливає з рис. 1.10, ці множини еквівалентні, тобто містять

«однакову кількість елементів». Із рис. 1.11 видно, що відрізок DF, що є підмножиною відрізка DE, є еквівалентним відрізку DC. Тому за наве-денною теоремою DF і DЕ еквівалентні. Значить, множина DF є правиль-ною частиною множини DЕ.

90oC∠ =

CD Рис. 1.11

Означення. Множина називається нескінченною (за Р.Дедекіндом) якщо вона має правильну частину. У супротивному випа-дку множина називається скінченною.

Множина DЕ точок гіпотенузи (рис. 1.11) є нескінченною, оскільки має правильну частину. Множина {1,2,3,4,5}A = не має правильної час-тини, оскільки будь-яка її підмножина містить «меншу кількість елемен-тів», ніж множина А. Взаємно однозначну відповідність між двома мно-жинами можна встановити в тому випадку, коли «кількість елементів» в цих множинах однакова. На перший погляд можна помилково припусти-ти, що «кількість точок», що належать гіпотенузі більша, ніж «кількість точок» катета. Це припущення помилкове, оскільки нами вже встановле-на взаємно однозначна відповідність між точками гіпотенузи і точками катета (рис. 1.10). Тому «кількості точок» гіпотенузи і катета однакові!

Приклад. Розглянемо множини )1,0[],1,0[ == BA , перша з яких, на перший погляд, «має на 1 елемент більше», ніж друга. Насправді, ці множини еквівалентні, і ми покажемо це. Трохи пізніше виявимо, що додавання або відкидання від нескінченної множини скінченної не змі-нює її потужності.

Розв’язання. Розглянемо послідовність nna21= . Відповідність між

елементами послідовності задамо за правилом (див. рис. 1.12).

BaАaBaАaBaАaBaАa

nn ∈↔∈∈↔∈∈↔∈∈↔∈=+132

2110;;1…



Усім іншим точкам множини A поставимо у відповідність точки з мно-жини з такою же координатою. Побудована відповідність є взаємно однозначною.

B

0 161 8

1 412 =a 2

11 =a 10 =a

0 161 8

1 412 =a 2

11 =a 10 =a

A

B Рис. 1.12

Означення. Кажуть, що множину А можна розбити на класи, якщо її можна представити у вигляді об’єднання множин, що взаємно не перетинаються, а саме:

:I

A A A Aα α βα

θ α β∈

= = ∀ ≠∩∪ .

Із теореми випливає, що за допомогою поняття еквівалентності множини можна задати відношення еквівалентності на сукупності всіх множин. Задання відношення еквівалентності дозволяє задати розбиття на класи. До одного і того ж класу ми віднесемо усі ті множини, що екві-валентні між собою.

Одним з таких класів є клас чотириелементних множин, напри-клад, його представниками є множини { } { } { }1,2,3,4 , 7,10, 28,34 , , , , ,...a b c d

Розглянемо клас множин, що ~N. Елементи цього класу, тобто множини, що йому належать будемо називати множинами потужності а, або зчисленними множинами.

Класи еквівалентних множин не можуть мати спільні елементи, тобто одна і та сама множина не може бути елементом одночасно декіль-кох класів еквівалентності. Кожному класу еквівалентних множин співс-тавимо деякий символ, який будемо називати потужністю множини з цього класу. Потужність множини A – це така властивість цієї множини, яка притаманна будь-якій множині , що еквівалентна B A . Потужність – це те загальне, що є у всіх, еквівалентних множин. Оскільки у всіх екві-валентних між собою скінченних множин цим загальним є кількість еле-ментів, то в застосуванні до нескінченних множин поняття потужності є



аналогом поняття кількості. Потужність – фундаментальне поняття теорії множин, що належить Г. Кантору.

Означення. Потужністю множини називається символ, що приписано класу еквівалентних множин, до якого належить ця множина. Позначення того, що множина А має потужність α : A α= .

Наприклад, класу 4-еламентних множин приписується символ 4. Тому будь-яка 4-елементна множина А має потужність 4, тобто 4A = . З означення зчисленної множини випливає, що будь-яка зчисленна множи-на А має потужність а, тобто A a= .

1.3 Принцип повної математичної індукції Теорема (принцип повної математичної індукції). Нехай Т(n) -

висловлювання, що залежить від n N∈ ,яке задовольняє наступним вимо-гам:

а) - вірне при фіксованому ; ( )0T n 0n N∈

б) вірне( )T n ( )1T n⇒ + -вірне, тоді –вірне. 0n n∀ ≥ ( )T n

Доведення. Припустимо супротивне: -невірне. ( )0 :n n T n∃ ≥

Розглянемо множину ( )0{ :P n n T n í åâ³ðí å= > − } . Елементи цієї множини будемо називати поганими. Позначимо { }* minn n= ∈ P

≥

. Оскіль-ки . * *

0 0. 1n n ò î n n> −

З одного боку, елемент - найменший номер множини пога-них елементів, тому - поганий.

*n P*n

З іншого боку, доведемо, що - не є поганим. Відомо, що - найменший номер множини поганих елементів, тому

*n *nP * 1n − - не є пога-

ним елементом, тобто твердження ( )* 1T n − є вірним. Застосуємо вимогу

б), знаючи, що *01n n− ≥ . Отримаємо: ( * 1T n )− -вірне ( )*T n⇒ –вірне. Ви-

сновок: - не є поганим. *nОтримане супротивне доводить теорему.



Приклад. Довести, що при всіх натуральних значеннях число ділиться націло на 6.

nnn 53 +

Розв’язання. 1) Перевіримо справедливість твердження при 1=n (тобто ): 0 1n =

1513 ⋅+ =6 і 16:6 = . Твердження справедливе.

2) Припустимо, що твердження справедливе при kn = , тобто , - натуральне число. Покажемо, що із зробленого припу-

щення випливає справедливість твердження при pkk 653 ≡+ p

1+= kn , тобто що ділиться націло на 6. ( ) ( 151 3 +++ kk )

Враховуючи припущення, перевіримо ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )131613666135151 33

+++≡+++≡≡++++≡+++

kkpkkpkkkkkk .

Оскільки з двох послідовних натуральних чисел завжди одне пар-не, то , де - натуральне число; тоді ( ) qkk 21 ≡+ q

( ) ( ) ( ) ( )16616151 3 ++≡++≡+++ qpqpkk , що й доводить справедливість твердження при 1+= kn , а разом з тим і при будь-якому n .

1.4 Властивості зчисленних множин

Означення. Множина називається зчисленною або множиною потужності а, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел.

Теорема 1 (критерії зчисленності множин). Множина є зчислен-ною тоді і лише тоді, коли її елементи можна перенумерувати., тобто представити у вигляді послідовності { }1 2 3, , , , êà à à à… … .

Доведення. Необхідність. Дано: М-зчисленна. Довести: елементи М можна перенумерувати. Доведення необхідності. М-зчисленна ~M N ϕ⇔ ⇔ ∃ − взаємно

однозначне відображення : M Nϕ → . Це означає, що кожному елементу співставляється єдине число із , яке задає номер цього еле-

мента. Таким чином, кожному елементу множини присвоєно номер. Це означає, що множину М перенумеровано: М=

a M∈ n N∈

{ }1 2 3, , , , êà à à à… … . Достатність. Дано: М={ }1 2 3, , , , êà à à à… … .



Довести: М-зчисленна множина, тобто треба побудувати взаємно однозначне відображення : M Nϕ → .

Доведення достатності. Шукане відображення будуємо таким чи-ном:

1 2{ , , ... , ...}

{1, 2, ... , ...}

nM a a a

N n

=

=.■

Теорема 2. Із будь-якої нескінченної множини можна виділити зчисленну підмножину.

Доведення проведемо за індукцією. 1) Оскільки множина М не порожня, то можна обрати довільний

елемент . З’ясуємо закономірність пошуку наступних елементів. Оскільки множина М – незчисленна, то множина

1à M∈

{ }1\M a не порожня і другий елемент обираємо з неї: { }2 \a M a∈ 1 1. При цьому, 2a a≠ . Оскільки множина М – незчисленна, то множина { }1 2\ ,M a a не порожня і другий елемент обираємо з неї: { }3 1\ ,a M a a∈ 2 1. При цьому, 3 2 3a a a a≠ ∧ ≠ .

2) Індуктивне припущення: припустимо, що побудовано вже n елементів { } . 1, , na a…

3) Оскільки множина М – незчисленна, то множина { }1\ , , nM a a… - не порожня і елемент 1na + обираємо з неї: { }1 1\ , ,n na M a a+ ∈ … . При цьо-му . n ia a i≠ ∀ < n

Висновок: для будь-якого 1n∀ ≥ можна побудувати елемент , при цьому, множина na M∈ { }1 2, , , ,nA a a a= … … утворюється з попарно

нерівних елементів, крім того, за теоремою 1 вона є зчисленною і A M⊂ .■

Теорема 3. Будь-яка нескінченна підмножина зчисленної множи-ни є зчисленною, тобто

М-зчисленна А⊂М : A-нескінченна }⇒ А - зчисленна

Доведення. Перебираємо елементи множини М. Оскільки всі елементи множини М мають свій певний номер, то при переборі елемен-ту множини А ми присвоюємо номер зустрічі в множині М при такому переборі. ■



Наслідок. Якщо із зчисленної множини відняти скінченну кіль-кість елементів, то множина, що залишиться, буде зчисленною.

Доведення. Оскільки М – зчисленна множина, а А - її скінченна підмножина (А⊂М), то множина М\А – нескінченна. Дійсно, у супротив-ному випадку, коли М\А і А – скінченні, множина ( \ )M M A A= ∪ , як об’єднання скінченних множин, була б скінченною.

Тепер маємо нескінченну підмножину М\А зчисленної множини М, яка за теоремою 3 є зчисленною. Висновок: множина М\А – зчислен-на. ■

Останній наслідок можна записати за допомогою формальної фо-рмули:

a – n = a Теорема 4 (властивості зчисленних множин)/

1) a+n=a

Об’єднання зчисленної і скінченної множини без спільних елементів є множиною зчислен-ною.

2) ...n

a a a n a a+ + + = ⋅ = Скінченне об’єднання зчисленних множин без спільних елементів є множиною зчисленною

3) 1 2 kn n n a+ + + + =… … Зчисленне об’єднання скінченних множин без спільних елементів є множиною зчисленною

4) ... ...a

a a a a a a+ + + + = ⋅ = Зчисленне об’єднання зчисленних множин без спільних елементів є множиною зчисленною.

Доведення. 1) Нехай дано А={а1, а2, . . . , аn} та В={b1, b2, b3, . . . },

причому A B∩ =∅ . Якщо множина С=А∪В, то С можна представити в формі послідовності вигляду

С={а1, а2, . . . , аn, b1, b2, b3, . . . }. Згідно до теореми 1, множина С – зчисленна. 2) Випишемо надані множини без спільних елементів:

{ }

{ }

{ }

(1) (1) (1) (1)1 1 2 3

(2) (2) (2) (2)2 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

, , ,..., ,...

, , ,..., ,...

...........................................

, , ,..., ,...

k

k

n n n nn k

A a a a a

A a a a a

A a a a a

=↓ ↓ ↓ ↓

=↓ ↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓ ↓=



A

A

n

,,,

Елементи множини випишемо в тому порядку, як зазначено на

схемі, тобто спочатку перші елементи усіх множин, потім другі елементи усіх множин і т.д., а саме:

1

n

ii

C=

=∪

{ }(1) (2) ( ) (1) (2) ( ) (1) (2) ( ) (1) (2) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, ,..., , , ,..., , , ,..., , , ,..., ,...n n n n

k k kC a a a a a a a a a a a a= . 3) Випишемо надані множини без спільних елементів:

{ }

{ }

{ }

1

2

(1) (1) (1) (1)1 1 2 3

(2) (2) (2) (2)2 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

, , ,...,

, , ,...,......................................

, , ,...,......................................

k

n

n

k k k kk n

A a a a a

A a a a a

A a a a a

→→→ →=

→→→ →=

→→→ →=

Елементи множини випишемо в тому порядку, як зазначено на

схемі, тобто спочатку усі елементи першої множини, потім другої і і т.д., а саме:

1i

i

C∞

=

=∪

{ }1 2

(1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,..., , , , ,..., ,..., , , ,..., ,...

k

k k k kn nC a a a a a a a a a a a a= .

4) Випишемо надані множини образом: А1={ . . . }; (1) (1) (1)

1 2 3, ,a a aА2={ . . . }; (2) (2) (2)

1 2 3, ,a a aА3={ . . . }; (3) (3) (3)

1 2 3, ,a a a. . . . . . . . . . . .

Якщо мы випишемо елемент , потім елементи та яких сума верхнього та нижнього індексів дорівнює 3, потім елементи у яких ця сума дорівнює 4, і т.д. за схемою

(1)1a (1)

2a (2)1a

1 2 4

3 5 8

6 9

10

7



(1) (2) (3)3 2 1, ,a a a (1)

4

то множина С=∪ буде представлена у формі послідовності: ∞

=1kkА

С = { a a a a . . . }, (1) (1) (2)1 2 1, , , ,

Звідки і випливає зчисленність множини С. ■ Означення. Множина називається не більш, ніж зчисленною,

якщо вона або скінченна, або зчисленна. Позначення: A a≤ . Тобто

( )def

A a A n A a≤ ⇔ = ∨ =

Узагальнення теореми 4. Не більш, ніж зчисленне об’єднання не більш, ніж зчисленних множин є множиною не більш, ніж зчисленною.

Тобто ( )i ii I

I a A a i I A a∈

≤ ∧ ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤∪ .

Теорема 5. Множина раціональних чисел :m m nn

⎧ ⎫= ∈ ∧ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

-

зчисленна, тобто a= .

Доведення. Розглянемо спочатку множину додатних раціональ-

них чисел, тобто :m m nn

+ ⎧ ⎫= ∈ ∧ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

. Представимо її у вигляді

1n

n

A∞

+

=

=∪ , де

{ }1 1, 2,3, , ,A k= … … ,

21 2 3, , , , ,2 2 2 2

kA ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

… … ,

…………. 1 2 3, , , , ,n

mAn n n n

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

… … .

………….

Згідно до узагальнення теореми 4, маємо: a+ ≤ .

}1

1

A нескінченнаA нескінченна

нескінченнаa

a

++

++

+

⊃ ⇒ −−

⎫− ⎪⇒ =⎬≤ ⎪⎭



~ ;{0}

a+ − −

+ −⇒ =

= ∪ ∪ ⇒

, як об’єднання двох зчисленних і одноелементної множин, є множи-ною зчисленною.■

Теорема 6. Якщо до нескінченної множини додати скінченну або зчисленну, то її потужність від цього не зміниться. Тобто

M нескінченнаM A M

А a− ⎫

⇒ =⎬≤ ⎭∪

Доведення. Оскільки М-нескінченна, то (теорема 2) :P M P∃ ⊂ -

зчисленна підмножина. Тоді ( ) } ( ) ~P A зчисленна P A PP зчисленна− ⇒−

∪ ∪ (теорема 4).

Нехай , тоді \S M P=( ) ( ) ~M A S P A S P A S P M= =∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ =

~M A M M A M⇒ ⇒∪ ∪ = .■

Теорема 7. \:

M незчисленнаM A M

A M A a− ⎫

⇒ =⎬⊂ ≤ ⎭.

Доведення. Множина \M A - -нескінченна, оскільки у супротив-ному випадку, коли \M A - скінченна, множина ( \ )M M A A= ∪ - не більш, ніж зчисленна (узагальнення теореми 4).

\S M A нескінченнаS A S

A a= − ⎫

⇒ =⎬< ⎭∪ (теорема 6) \M M A⇒ = .■

Із теореми 2 випливає, що із будь-якої нескінченної множини М можна виділити зчисленну підмножину A M⊂ , а із теореми 7 витікає, що множина \M A має ту саму потужність, тобто є еквівалентною мно-жині М. Тому множина \M A є правильною частиною множини М.

Висновок: будь-яка нескінченна множина має еквівалентну собі правильну частину, тому здійснюється означення Дедекінда нескінчен-ної множини.

Теорема 8. Множина, елементи якої визначаються n значками, кожен з яких незалежно від інших пробігає зчисленну множину значень, є множиною зчисленною, тобто

1 2

( )(1) (2), , ,{ : { , ,..., ,...,} 1, }i

n

kx x x i i i iM a x x x x i n M= ∈ ∧ = ⇒… a=

Доведення проведемо за індукцією. 1) Якщо n=1, тобто є тільки один значок, то множина

1 1{ : { , ,..., ,...,}} ~ { : }x i i i nM a x x x x a n M= ∈ ∈ ⇒ − зчисленна.



2) Індуктивне припущення. Нехай теорема здійснюється для n=m, тобто

1 2

( )(1) (2), , ,{ : { , ,..., ,...,} 1, }i

m

km x x x i i i i mM a x x x x i m M= ∈ ∧ = ⇒… a=

3) Розглянемо множину . 1 2 11 , , , ,{ }

m mm x x x xM a++ = …

Позначимо через ( )1

imM + множину тих элементів 1mM + , для яких

( )1

im m 1x x+ = + , де ( )

1i

mx + одне із можливих значень (m+1)-го значка, тобто по-кладемо . Внаслідок індуктивного припущення

множина - зчисленна, а оскільки

( )1 2 1 1

( )1 , , , , ,

{ im m m

im x x x x x

M a+ +

+ =…

}

1m( )

1i

mM +( )

11

im

i

M M∞

+ +=

= ∪ , то множина

теж зчисленна (теорема 4). ■ 1mM +

Наслідок 1. Скінченний декартовий добуток зчисленних множин є множиною зчисленною, тобто 1 2{( , , , ) : }n i i iM x x x x A A a M a= ∈ ∧ = ⇒ =… . Формальний запис:

n

n

a a a a a a× × × × = =… .

Наслідок 2. Множина точок (x, y) площини, у якої обидві коор-динати раціональні, є множиною зчисленною.

Наслідок 3. Множина многочленів 10 1 1...n n

na x a x a x a−− n+ + + + з ці-

лими коефіцієнтами зчисленна. Означення. Алгебраїчним числом називається корінь многоч-

лена з цілими коефіцієнтами. Наслідок 4. Множина алгебраїчних чисел зчисленна. ( довести

самостійно!)

SAPIENTY SAT! a n a± =

...n

a a a n a a+ + + = ⋅ =

1 2 kn n n a+ + + + =… … ... ...a

a a a a a a+ + + + = ⋅ =

a= n

n

a a a a a a× × × × = =… .



1.5 Числова пряма і нескінченні десяткові дроби

Означення. Нескінченним десятковим дробом (далі будемо писа-ти н.д.д.) називається число, записане у формі ±a0,a1a2a3 … an … , що є значенням суми

±a0,a1a2a3 … an … = =±(a0 + a1⋅1/10 + a2⋅1/100 + a3⋅1/1000 + …+ an⋅1/10n + …)

де а0 ∈ U {0}, аі ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, і ∈ Розглянемо два н.д.д.

0, 1000…=1/10; 0,0999… = 9⋅1/100 + 9⋅1/1000 +… = (9⋅10)/(100⋅9) = 1/10 = 0,1000… Вони є представленнями одного і того ж скінченного десяткового дробу 0,1. Надалі будемо пам’ятати про таку двоїстість представлення скінчен-ного десяткового дробу у формі нескінченного.

Таким же чином можна представляти число не тільки десятковим, а й двійковим, трійковим нескінченним дробом.

Встановимо відповідність між множиною н.д.д. і точками числової прямої.

( Повторити зі шкільного курсу математики поняття числової прямої!) 0 Е Р М Q Нехай ОЕ – одиничний відрізок. Розглянемо точку М на числовій прямій. Для визначеності точку М візьмемо справа від точки О. Постави-мо у відповідність точці М н.д.д., тобто виміряємо довжину відрізку ОМ.

Замітимо, що з аксіоми Архімеда випливає, що, маючи два відрізка АВ і СD різної довжини, ми можемо, повторюючи АВ в деякій кількості разів, отримати відрізок, довжина якого перевищує CD.

1. Відрізок ОЕ, повторений а0 разів – це відрізок ОР (ОР = а0⋅ОЕ) таким чином, що РМ< ОЕ i OP+OE>OM. Можливі два випадки:

1) М = Р, ОМ = а0⋅ОЕ, М→ а0,0000…, тоді відрізок ОM вже виміряли, СТОП,

2) М ≠ Р, поки що довжина ОМ наближена з нестачею до довжини ОР, продовжуємо вимірювання далі. 2. Нехай точка Q така, що PQ=ОЕ. Відрізок ділимо на 10 рівних

частин і знаходимо таке а1, що а1⋅1/10 ОЕ< РМ. Нехай т. В така, що ОВ=ОР+ а1⋅1/10 ОЕ. Знову можливі два випадки:

1) В = М, М→ a0,a10000…, тоді - СТОП. 2) В ≠ М, ОВ – наближення з нестачею довжини ОМ, тоді продовжує-

мо далі, ділячи відрізок ВС на 10 рівних частин.



В результаті перших випадків (М = Р або В = М, …) маємо відпові-дність точці М десяткового дробу з нулем в періоді, або скінченний деся-тковий дріб, тобто

a0,a1a2a3 … an000…= a0,a1a2a3 … an= =a0 + a1⋅1/10+ +a2⋅1/102+…+ an-1⋅1/10n-1 + an⋅1/10n ∈Q

У других випадках (М ≠ Р ∧ М ≠ В ∧ …) маємо поступове наближення відрізка ОМ скінченними десятковими дробами з нестачею:

a0,a1; a0,a1a2;…; a0,a1a2 … an;… Оскільки цей процес продовжується необмежено, то в результаті отрима-ємо нескінченний дріб без нулів в періоді:

a0,a1a2 … an… Примітка: якщо М знаходиться лівіше точки О, тоді цій точці буде відповідати нескінченний десятковий дріб М = - a0,a1a2 … an…

Домовленість: не розглядати нескінченні десяткові дроби з дев’яткою в періоді. Висновок: з урахуванням домовленості встановлена відповідність, яка кожній із точок числової прямої ставить у відповідність єдиний не-скінченний десятковий дріб. Навпаки, кожному н.д.д. можна поставити у відповідність точку на числовій прямій. А саме: якщо надано дріб a0,a1a2 … an…, то спочатку відкладається відкізок ОЕ a0 разів, потім від отриманої точки відклада-ється відрізок довжиною а1⋅1/10 ОЕ, потім а2⋅1/102 ОЕ і т.д. В результаті, отримаємо точку на числовій прямій, до того ж, єдину.

Таким чином, між множиною н.д.д. (з урахуванням домовленості) і множиною точок на числовій прямій встановлено взаємно однозначну відповідність.

1.6 Потужність континуума

Теорема 1: Множина точок відрізка [0,1] незчисленна. 4Пп: множина точок [0,1] – зчисленна. Між точками відрізку

[0,1] числової прямої та множиною н.д.д., що мають цілу частину 0, окрім числа 1,000.., існує взаємно однозначна відповідність, тому будемо шукати потужність вказаної множини н.д.д., пам’ятаючи домовленість про відсутність в запису н.д.д 9 в періоді.Тоді перенумеруємо елементи вказаної множини: a0 = 1 a1 = 0, a1

(1) a2(1) a3

(1) … a2 = 0, a1

(2) a2(2) a3

(2) …



a3 = 0, a1(3) a2

(3) a3(3) …

… an = 0, a1

(n) a2(n) a3

(n) … … ∡ b = 0, b1b2b3… b1 ≠ a1

(1) b∧ 1 ≠ 9 b2 ≠ a2

(2) b∧ 2 ≠ 9 … bn ≠ an

(n) b∧ n ≠ 9 …

Число b не співпадає з жодним з чисел послідовності 0{ }n na ∞=

і не має 9 в періоді. Тобто це число виявилося не перенумерованим, що не-можливо за припущенням. Отримано протиріччя.

Висновок: розглянута множина незчисленна. ■ Означення. Потужністю континуума або потужністю с на-

зивається потужність відрізку [0,1]. З означення випливає, що усі множини, що еквівалентні відрізку

[0,1], мають потужність континуума. Теорема 2: Будь-який інтервал (a,b), відрізок [a,b], півінтервал

[a,b) або (a,b] має потужність континуума. Доведення. Оскільки [0,1] c= і відомо, що [0,1] ∼ [a,b], то [ , ]a b c= .

Усі інші множини (а вони є нескінченними) можна отримати відкидан-ням із відрізка скінченної кількості точок, наприклад, (a,b) = [a,b]\{a,b} , неск. неск. скінч.

тому вони не змінюють потужності відрізка [a,b], залишаючись множи-нами потужності континуума. ■

Теорема 3. 1) ...

n

c c c n c c+ + + = ⋅ = Скінченне об’єднання множин без спільних елементів потужності с має потужність с.

2) ... ...a

c c c a c c+ + + + = ⋅ = Зчисленне об’єднання множин без спільних елементів потужності с має потужність с.

Доведення. 1) Нехай

1

: 1n

k i j kk

,M M M M i j M c k n=

= = ∅∀ ≠ ∧ =∩∪ ∀ =

∡ [0,1) і множину точок {сk = (k-1)/n, 1,k = n }, тоді



0 = c0<c1 <c2 < …<ck < …<cn =1. Таким чином, відрізок [0,1] розбили на n півінтервалів, кожен з яких має потужність с. Кожному з відповідних півінтервалів бієктивно спів стави-мо надані множини: [c0, c1) [c1, c2) … [ck-1, ck) … [cn-1, cn) ↨ ↨ ↨ ↨ ⇒ M1 M2 Mk Mn

⇒ 1

n

kk

M M=

=∪ ↔ [0,1] ⇒ M c= .■

2) Нехай 1

:k i j kk

M M M M i j M c k∞

=

= = ∅∀ ≠ ∧ = ∀ ∈∩∪ . Точки послі-

довності {сn = (n-1)/n, n ∈ }, тобто 0 = c0<c1 <c2 < …<ck < …<1, розбивають півінтервал [0,1) на зчисленну кількість півінтервалів. Встановимо бієкцію [ck-1, ck) ↔ Mk k∀ ∈ . Тоді

11

[ ,k kk

c c∞

−=∪ ) ↔

1k

k

M∞

=∪ ⇒ [0,1) ↔ M ⇒ ⇒ M c= .■

Наслідок 1. Множина дійсних чисел має потужність с: c=

Доведення. Представимо множину дійсних чисел у вигляді зчис-ленного об’єднання півінтервалів , тоді застосовуючи тео-

реми 2 і 3, отримаємо потрібне. ■

[ 1; )n

n n∈

= −∪

Наслідок 2. Множина ірраціональних чисел має потужність с: \ c=

Доведення. За наслідком 1 маємо c= , а за теоремою 5 п. 1.4 - a= , тоді за теоремою 7 п. 1.4 отримаємо \ c= . ■ Теорема 4: 1) Множина m усіх послідовностей натуральних чисел

має потужність с. 2) Множина усіх підмножин множини має потужність с. Доведення. 1) Розглянемо нескінченний двійковий дріб вигляду

q = 0, a1a2a3 … an …, де an {0,1} n∈ ∀ ∈ , тоді q∈[0,1). Розглянемо дві нескінченні двійкові дробі 0,1000… та 0,0111… = 1⋅1/22 + 1/23 +1/24 +…= (1/22)/(1 - 1/2) = 1/2 = 0,1000…

Домовимося не використовувати двійкові дроби з одиницею в періоді. Тоді мно-жина точок півінтервалу [0,1) і множина A нескінченних двійкових дробів з цілою час-тиною 0 і без одиниць в періоді еквівалентні. Доведення цього факту здійснюється анало-гічно тому, як це було зроблено для випадку н.д.д. в параграфі «Числова пряма і н.д.д.».

1 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною зростаючих послі-

довностей натуральних чисел і множиною


A . З одного боку, нехай а = 0, a1a2a3 … an… Нулі розташовуються на місцях

n < n < n <…. Маємо: 1 2 3 а = 0, a a a … a … → (n , n , n ,…) 1 2 3 n 1 2 3

Будь-який двійковий дріб однозначно встановлюється за послідовністю номерів місць знаходження нулів. А саме: число а однозначно отримаємо за номерами n1 , n2 , n3,… місць нулів, а на інших місцях вписуємо одиниці.

Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною зростаючих послі-довностей натуральних чисел і множиною m послідовностей натуральних чисел довіль-ного вигляду.

Нехай (k1 , k2 , k3,…) - довільна послідовність натуральних чисел, а (n1 , n2 , n3,…) - зростаюча, тобто n1< n2 < n3 < …, яку отримаємо наступним чином n1 = k1 n2 = k1 + k2 (*) n = k1 + k2 + k3 3… Таким чином, маємо (k1 , k2 , k3,…) → (n1 , n2 , n3,…). Відповідність в іншому порядку встановлюється за формулами: k1 = n1 k2 = n2 - n 1k = n3 – n2 3…, які є наслідками співвідношень (*).

Таким чином, отримано ланцюжок взаємно однозначних відповідностей: множина точок півінтервалу [0,1) ↔ ↔ множина A нескінченних двійкових дробів з цілою частиною 0 і без одиниць в періоді ↔ ↔ множина зростаючих послідовностей натуральних чисел ↔ ↔ множина m послідовностей натуральних чисел довільного вигляду.

Це і доводить той факт, що [0,1) ~ m. Тому множина m маэ потужність континуума. 2) Довести самостійно , що множина усіх скінченних наборів натуральних чисел

- зчисленна. Об’єднання цієї множини і множини m дасть множину усіх підмножин мно-жини , яка буде мати ту саму потужність, що і m, тобто потужність континуума. ■

Теорема 5. Якщо множина М складається з елементів, які визнача-ються n значками, кожен з яких, незалежно від інших, приймає значення в множині потужності с, тоді множина М має потужність с.

1 2, , ,{ : 1, }nx x x i i iM a x X X c i n M c= ∈ ∧ = ∀ = ⇒ =…

Доведення. Оскільки роздуми загальні для будь-якої кількості значків n, то наве-демо доведення для трьох значків. М = {ax,y,z : x ∈X, y ∈Y, z ∈Z, X = Y = Z = c}. Оскільки кожна з множин X, Y і Z має потужність с, то між ними і множиною m можна встановити взаємно однозначну відповідність, тобто ∀ x∈X →!(p1, p2, p3,…)∈ m, ∀ y∈Y →!(q1, q2, q3,…)∈ m, ∀ z∈Z →!(r1, r2, r3,…)∈ m. Тоді між елементами множини М і множиною m можна встановити взаємно однозначну відповідність за правилом: ξ∈М, ξ = ax,y,z →( p1, q1, r1; p2, q2, r2 ;p3, q3, r3,…)∈ m. Таким чином, потужність множини М та сама, що і m, тобто континуум.■

Наслідок 1. Скінченний прямий добуток множин потужності с має потужність с, тобто



1 2{( , , , ) : 1, }n i i iM x x x x X X c i n M c= ∈ ∧ = ∀ = ⇒… = . Формальний запис:

n

n

c c c c c c× × × × = =… .

Наслідок 2. Континуальне об’єднання континуальних множин кон-тинуальне, тобто

:I

M M M c I I c M cα αα

α∈

⎛ ⎞= = ∀ ∈ ∧ = ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ = .

Формальний запис: c c c⋅ = .

Доведення. Оскільки індексна множина I і множина дійсних чисел мають по-тужність с, то між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність, тобто ∀ α0∈Ι → ! x0∈ .

Множина {(x;y)∈ 2 : x = x0 ∧ y ∈ } визначає сукупність точок прямої на площині з рівнянням x = x0. Ця множина має потужність с (довести самостійно ), тому вона еквівалентна множині

0Mα , тобто

0Mα ↔ {(x;y)∈R2 : x = x0 , x0 ∈R }.

Таким чином,

0

0 I

M Mαα ∈

= ∪ ↔ {(x;y)∈ 0x ∈∪ 2 : x = x0 ∧ y ∈ } = 2.

Застосовуючи наслідком 1 із теореми 3 і останній наслідок 1 , отримаємо 2 c c c= × = .

Висновок: 2M c= = .■ Теорема 6. Якщо множина М складається з елементів, які визнача-

ються зчисленною кількістю значків, кожен з яких, незалежно від інших, пробігає множину потужності с, то множина М має потужність с, тобто

1 2, , , ,...{ : }ix x x i i iM a x X X c i M c= ∈ ∧ = ∀ ∈ ⇒ =…

Доведення. Xi ↔ m, тобто ϕi(xi) = (a1

( i ) ,a2( i ) ,a3

( i ) ,…) ∈ m.

1 2, , , ,...nx x xa … ∈М

↕ (a1( 1 ) ,a2

( 1 ) ,a3( 1 ) ,…)

(x1,x2,…,xn ,…) ↔ (a1( 2 ) ,a2

( 2 ) ,a3( 2 ) ,…) ↔ (a1

(1),a2(1),a1

(2),a3(2),a2

(2),a1(3),…)∈m

(a1( 3 ) ,a2

( 3 ) ,a3( 3 ) ,…)

…………………….. ‗ ‗ М = m = c ■



Наслідок. a

a

c c c c c c× × × × × = =… …

SAPIENTY SAT! c n c± = , c a c± = ,

...n

c c c n c c+ + + = ⋅ = ,

... ...a

c c c a c c+ + + + = ⋅ = ,

n

n

c c c c c c× × × × = =… ,

c c c⋅ = , a

a

c c c c c c× × × × × = =… …

c= , \ c= .

1.7 Порівняння потужностей

Повторимо означення потужності: Нехай усі множини розбито на класи еквівалентних (рівнопотужних) множин. Кожному такому класу ставиться у відповідність значок, який має назву потужності множини цього класу.

Якщо множина А належить якомусь класу із значком α, тобто має потужність α, то це записують так:

A = card A = α. Якщо, наприклад, множина n-елементна, то A = n. Якщо множина 3-елементна, то A = 3. Якщо А – зчисленна, то A = а , потужності континуума - A = с .

Означення порівняння потужностей. Нехай iα β - дві потуж-ності, тоді

{1 1

1) ~: : 2) : ~def A BA A B B B B A Bα β α β /< ⇔∀ = ∧∀ = ∃ ⊂

Якщо ми знаємо лише 2), а про 1) нам нічого не відомо, то α ≤ β. Приклади.

1) Нехай А = { a1 ,a2 ,…,a10 }, B = { b1 ,b2 ,…,b15 }, тоді A = 10 , B = 15

∡В1 = { b1 ,b2 ,…,b10 }⊂ B



В1 ~ A А В ~/Висновок: 10<15. 2) Розглянемо А = [ 0,1] і . A = c , = a A ~/

∡ A1 = { ½ ; ¼ ; 1/8 ; 1/16 ; … ; 1/2n ; …} A1 ~ Висновок: a < c.

Теорема. Множина усіх підмножин множини М, яку будемо позна-чати Т, має потужність більшу за потужність множини М, тобто M T< .

Доведення. В множині Т є, наприклад, ∅, М, усі одноелементні, двоелементні і т.п. підмножини множини М.

Нехай Т1 ⊂ Т, Т1 складається з одноелементних підмножин множи-ни Т. Т1 ~ М ⇒ M T≤ .

Пп.. Нехай М ~ Т. Тоді ∃ ϕ: М → Т бієкція, тобто ∀ m∈M ↔ !A∈T.

a ∈ M - “поганий” def

⇔ йому відповідає елемент ϕ(а) = А, такий що а ∉А, тобто а ∉ϕ(а).

b ∈ M - “хороший” def

⇔ йому відповідає елемент ϕ(b) = B, такий що b ∈B, тобто b ∈ϕ(b).

Множина “поганих” елементів не ∅. Дійсно, оскільки відомо, що ∅ ∈ Т, то знайдемо такий елемент a ∈ M, що ϕ(а) = ∅. Далі: оскільки а ∉ ϕ(а) = ∅, то елемент а – “поганий”.

Множина “хороших” елементів ≠ ∅. Дійсно, оскільки відомо, що М ∈ Т, то знайдемо такий елемент b ∈ M, що ϕ( b) = М. Далі: оскільки b ∈ ϕ( b) =М, то елемент b – “хороший”.

Розглянемо множину “поганих” елементів і тільки їх, позначимо її через S. S ⊂ M ↔ ! p ∈М: ϕ(p) = S p – “поганий” p – “хороший”

Дано. p ∈ S p – “поганий” ⇔ p∉ϕ(p) = S, тобто p ∉S . →/

Дано. p ∉S p – “хороший”⇔ p∈ϕ(p) = S, тобто p ∈S. →/



Висновок: неможливо встановити взаємно однозначну відповідність між М і Т. Отже, М Т та М Т ⇒ ~/ ⊂ M T< . ■

Потужність множини Т усіх підмножин множини М позначається 2MT = .

Найбільшої потужності не існує, тому що 22 22 2 2 .MMMM ..≤ ≤ ≤ ≤

Множина усіх підмножин континуальної множини має потужність, яка має назву гіперконтинуум, тобто - це гіперконтинуум. 2c

Із другої частини теореми 4 попереднього параграфа випливає, що 2 c= , тобто

2a c= . Запитання: чи існує проміжна потужність між а та с? Це запитання

носить назву гіпотеза континуума (див. «Вступ»). Теорема про проміжну множину. Нехай існує три множини, які

включаються таким чином А ⊃ А1 ⊃ А2, крім того, А ~ А2, тоді А ~ А1. Доведення.

A5 A4 A3

A2 A1

А

ϕ : А → A2 Будь-якому елементу множини A1 у відповідності ϕ буде відпо-відати елемент з множини A2. Сукупність таких елементів утворює підмножину A3 в мно-жині A2. За побудовою A1 ~ A3.

Аналогічно ϕ : А1 → A3 A2 ~ A4 ………

Mmm F

Маємо за побудовою; A ~ A2 , A1 ~ A3 , A2 ~ A4 , A3 ~ A5 ~… , А ⊃ А1 ⊃ А2 ⊃ А3 ⊃… . Звідки А\ А1 ~ А2 \А3~ А4 \А5~ … ,А1\ А2 ~ А3 \А4~ А5 \А6~ … .

Позначимо . Тоді 1

ii

D∞

=

=∩ A

A = (А\ А1) (А∪ 1\ А2) (А∪ 2 \А3) (А∪ 3 \А4) ∪…∪ D, А1 = (А1\ А2) ∪ (А2\А3) ∪ (А3 \А4) (А∪ 4 \А5) ∪ …∪ D.



Підкреслені однотипно множини еквівалентні, а непідкреслена частина об’єднання дає рівні множини. Висновок: А ~ А1 . ■

Теорема Е.Шрьодера – Ф.Бернштейна. Якщо кожна з множин А і В еквівалентна частині іншої, то ці множини еквівалентні, тобто

}1 1

1 1

: ~ ~: ~A A B A A BB B A B∃ ⊂ ⇒∃ ⊂ .

Інше формулювання через потужності множин:

( )A B B A A B≤ ∧ ≤ ⇒ = .

Доведення. A ~ B1 ⇔ϕ : A→B1. У відповідності ϕ кожному елемен-ту А буде відповідати єдиний елемент із В1. Ці елементи утворюють під-множину В2 у множині В. Тобто ∃ В2 В⊂ 1 : В2 ~ А1 і за умовою А1 ~ В ⇒ B ~ В2 Використаємо попередню теорему:

}}

21

1 2

1

1

~ ~ ;

~ ~ .~ ( )

B B B BB B B

B B A BA B за умовою

⇒⊃ ⊃

⇒

A1 B2 B2 B1 А B ■

Наслідок 1 (трихотомія) : Якщо α і β - дві потужності, то можливо одне з трьох

або α = β, або α < β, або α > β Доведення. Розглянемо дві довільні множини A i B такі, що A α= ,

а B β= . Нехай α = β, тоді ~A B . Отже, за означенням порівняння потуж-

ностей α β β α< ∧ </ / . Доведемо тепер, що не можуть одночасно виконуватися нерівності

α < β і α > β. Пп: нехай одночасно

α < β (∗) і

α > β. (∗∗) (∗) ⇒ 1’) А ~ В (∗∗)⇒ 1”) А В / ~/ 2’) ∃ В1⊂ В : В1 ~ А 2”) ∃ А1⊂ А : А1 ~ В За теоремою Е.Шрьодера – Ф.Бернштейна із 2’) та 2”) випливає, що А ~ В, а це суперечить 1’) і 1”). ■



Наслідок 2 (транзитивність порівняння потужностей множин) α < β ∧ β < γ ⇒ α < γ

Доведення. За умовою α < β ∧ β < γ. Нехай A = α , B = β , C = γ, тоді α < β ⇔ 1) А В ~/ 2) ∃ В1⊂ В : В1 ~ А β < γ ⇔ 1*) В ~ С / 2*) ∃ С1⊂ С : С1 ~ В Перевірити: α < γ ⇔ 1**) А С ~/ 2**) ∃ С2⊂ С : С2 ~ А С2 В1 С1 А В С 2**) перевіряємо за тією ж схемою, що і у попередніх твердженнях. Вона зображена на рисунку.

Перевіримо 1**) . Пп.

} } }2 1

2 1 2 1

~ ~~ ~~ ~C C C CA C B CA C C C C B C⇒ ⇒ ⇒ →/⊃ ⊃ .

Таким чином, повністю доведено α < γ. ■

Documents

1 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН 1 1.1 Вступsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/1.pdfМножина вважається заданою, якщо