1

EEL 5771-001Introduction to Computer Graphics

Object representations

Nagalaxmi Yenuganti

2

Polygonal Modeling

• In 3D  computer  graphics, polygonal  modeling is  an  approach  for  modeling  or approximating their surfaces using polygons. 

• Polygonal modeling is well suited to scanline rendering and is therefore the method of choice for real-time computer graphics.

• Terminology:

– Polygon soup: a general set of unstructured polygons used to define a scene.

– Polygonal mesh: a set of connected polygons that together form a surface.

3

Polygonal Modeling

• Methods of creating polygonal meshes:      Build mesh by hand:

          Tessellate  a  theoretical  smooth  surface:  Tessellation  is  the  process  of  creating  a polygonal approximation from a smooth surface.

4

Polygonal Modeling

• Extrude  a  2D  polygon,  curve,  etc.  :  Extrusion  is  the  process  of moving  a  2D  cross-section through space to create a 3D solid.

• Revolve/sweep  a  2D  polygon  or  curve:  Revolution  is  the  process  of  rotating  a  2D cross-section about an axis to create a 3D solid.

5

Polygonal Modeling

• Polygonal mesh operations:

1. Creations - Create new geometry from some other mathematical object.

2. Binary Creations - Create a new mesh from a binary operation of two other meshes.

3. Deformations - Move only the vertices of a mesh.

4.  Manipulations  -  Modify  the  geometry  of  the  mesh,  but  not  necessarily topology.

5. Measurements - Compute some value of the mesh.

6

Polygonal Modeling• Polygon Simplification Algorithms:

• The  decimation  algorithm,  designed  to  reduce  iso-surfaces  containing  millions  of polygons, is quite fast. 

• It’s  also  topology  tolerant,  accepting  models  with  no  manifold  vertices  but  not attempting to simplify around those vertices.

• Problems with polygonal models:     They approximate smoothly curving surfaces.

     Tradeoff between realism and efficiency.

          Lots  of  polygons:  good  approximation,  slow  to  process  vs  Few  polygons:  fast processing, poor approximation.

7

Quadric Surfaces

7

• Surfaces represented by second- degree polynomials are quadratics. Sphere, ellipsoid, torus and cone come under general quadrics.

• Quadratic  surfaces,  particularly  spheres  and  ellipsoids  are  common  elements  of graphic scenes. 

Sphere Ellipsoid Torus Cone

8

Quadric Surfaces

8

Surface Equation Parametric Form

Sphere + =

Ellipsoid + = 1Torus

• There  are  some  limitations  to  the  general  quadrics, which  can be over  come by  “super quadrics”.

9

Super Quadrics (Super ellipse, Super ellipsoid)

9

• Formed by incorporating additional parameters into the quadratic equations. Increased flexibility for adjusting object shapes.

Super EllipseEllipse equation can represent super ellipse by allowing the exponent on the x and y terms to be variable.

Super EllipsoidEllipsoid equation can represent super ellipsoid by incorporating two exponent parameters.

Super ellipses plotted with diff values for parameters s and with radius equal on both the axes.

Super ellipsoids plotted with diff values for parameters s1 and s2, radius on all the axes are equal

10

Blobby Objects

• Some  objects  change  their  surface  characteristics  in  certain  motions  and  do  not maintain a fixed shape, and are named by blobby objects.

• Examples:  molecular  structures,  water  droplets  and  other  liquid  effects,  melting objects, and muscle shapes in the human body.

• These objects change their molecular shapes very easily, so they cannot be described simply with spheres or elliptical shapes.

• Need to model surface shapes so that the total volume remains constant.

• Several models have been developed to handle these kind of objects.

11

Gaussian bumps

• One way to represent blobby objects is to model them as a combination of Gaussian density functions, or bumps.

12

Meta-balls

• Other methods for generating blobby objects use density functions that fall off to 0 in a finite interval, rather than exponentially.

• The ”meta-ball” model describes composite objects as combinations of quadratic density functions of the form

• “Soft object” model uses the function

13

Meta-balls

Figure shows a user interface for a blobby object modeler using meta-balls.

14

Bezier Representations• Bezier surface patch is defined by its 4 x 4 Bezier geometry matrix GB, which specifies 

the control points of the surface.  

• The corner points of GB specify actual points on the edge of the interpolated surface, while the “inner” are intermediate points which indirectly specify the tangent vectors to the surface.

• The x, y, and z directions of the surface are calculated independently; thus, for a 3D surface patch,  there will  actually  be  separate  geometry matrices GBx, GBy, andGBz, one for each direction.  

• The geometry matrix GBk  is given by:

                                  where pi,j are coordinates in the k direction.

15

Bezier Representations• Without  loss of generality,   u controls the variation along from top to bottom along 

the  patch  (i.e.  from P0X to P3X),  and v from  left  to  right  (i.e.  from PX0 to PX3)  as specified above. 

• When either u or v is 0 or 1, the point being described lies precisely on the boundary of the surface.  Thus, u = v = 0 at control point P00, and u = v = 1 at control point P33  .

                                  

16

B-spline RepresentationsB-spline curve C(u) of degree p is defined by n + 1 control points and a knot vector U = { u0, u1, ...., um } has the following properties:

• B-spline  curve C(u)  is  a  piecewise  curve  with  each  component  a  curve  of degree p. This property allows us to design complex shapes with lower degree.

• Variation Diminishing Property : If the curve is in a plane (resp., space), this means no straight  line  (resp.,  plane)  intersects  a  B-spline  curve more times  than  it  intersects the curve's control polyline.

17

B-spline Representations• Local Modification Scheme: changing the position of control point Pi only affects the 

curve C(u) on interval [ui , ui+p+1]. 

• Bezier Curves Are Special Cases of B-spline Curves. 

• The affine invariance property – Applying geometric or even affine transformation to a B-spline curve, then the transformation can be applied to control points. Therefore, we do not have to transform the curve.

18

B-spline Representations

• NURBS  (Non-Uniform  Rational  B-splines)  is  one  of  the  important  geometric  entity incorporated  in  Computer  graphics  for  generating  and  representing  curves  and surfaces.

• It  is  commonly  used  in  computer-aided  design  (CAD),  manufacturing  (CAM),  and engineering  (CAE)  and  are  part  of  numerous  industry  wide  standards,  such as IGES, STEP, ACIS, and PHIGS.

• Three-dimensional NURBS surfaces can have complex, organic shapes. Control points influence the directions the surface takes.

19

Constructive Solid Geometry• Constructive  solid  geometry  (CSG)  (formerly  called  computational  binary  solid 

geometry) is a technique used in solid modeling. 

• CSG is a modeling technique that uses Boolean operations to combine 3D solids.

• The Boolean operators used by CSG are:Union, Intersection, Difference or Minus.

• An  object  is  stored  as  a  tree  with  operators  at  the  internal  nodes  and  simple primitives at the leaves.

    3D solid complex object represented by Boolean operators

20

Constructive Solid Geometry

CSG Tree representing a shape as a combination of binary Boolean operators

21

Constructive Solid GeometryAPPLICATIONS OF CSG

• Used in game engines like Quake engine, Unreal engine, Hammer and Torque game engine.

• Used in almost all engineering CAD packages.

• Used in ray tracing and particle transport.

• Used for some manufacturing or engineering computation applications.

• Few generic modelling languages and software are also supported by CSG.

22

Quadtrees

• Quadtrees are the data structures for storing pictures by employing Divide and Conquer mechanism.

• The picture area is divided into 4 sections. Those 4 sections are then further divided into 4 subsections. 

• Continue this process, repeatedly dividing a square region by 4. Then impose a limit to the levels of division otherwise we could go on dividing the picture forever. 

•  A pixel is the smallest subsection of the quad tree.

First three levels of a quad tree

23

Quadtrees

• Below image is stored in the form of quadtree as shown.

• Recursive pictures like in the figure can easily implemented using quadtrees.

24

Octrees

• An octree is a tree-structured representation that can be used to describe a set of binary valued volumetric data enclosed by a bounding cube.

• The octree is constructed by recursively subdividing each cube into eight sub-cubes, starting at the root node (a single large cube).

• Each cube in an octree can be one of three colors. A black node indicates that the cube is totally occupied (all of its data = 1), and a white node indicates that it is totally empty (all of its data = 0). 

• Both black cubes and white cubes are leaf nodes in the tree. A gray cube lies on the boundary of the object and is only partially filled. 

• It is an interior node of the tree and has eight equally sized children of different colors. 

25

Octrees

A simple two-level octree and its tree representation

• The octree branches very rapidly and it doesn’t take very many levels to generate lots of nodes. What tends to be difficult  is managing the geometry needed to divide the cubes and store the details at each node.

• As  in  the case of  the quadtree  the octree  is often built up dynamically as data become available. In this case dynamic construction often results in an unbalanced tree with areas of space being covered more finely than others.

26

Fractals

• Synthetic objects: regular, known dimension• Natural objects: recursive (self repeating), the higher the precision, the higher 

the details you get.• Example: tree branches, terrains, textures.• Classification:

– Self-similar: same scaling parameter s is used in all dimensions, scaled-down shape is similar to original

– Self-affine: self similar with different scaling parameters and transformations. Statistical when random parameters are involved.

• Fractal dimension:– Amount of variation of a self similar object. Denoted as D.– Fragmentation, roughness of the object.

• The fractal dimension of a self-similar fractal with a single scaling factor s is obtained using ideas from subdivision of a Euclidean object.

27

Fractal Dimension

The  relationship  between  the number  of  subparts  and  the scaling factor is

1 EDsnwhere DE is the Euclidean dimension.

We  can  define  the  fractal dimension  similarly  with  number of  subparts n  and    a  given  scaling factor s.

1 Dsn

28

FractalsKoch curve 

It is a closed fractal curve of infinite length within a finite region of space, enclosing a finite area. Initiator:

Generator:

29

Fractals

The fractal dimension of the Koch curve

n sD 1

D ln nln 1 s

n : number of pieces s : scaling factor

30

FractalsFractal generation with disjoint sets

• The Fatou set S(P) of P is the set of all points z   U such that the family of iterates {P ∈n} n≥1 is normal at z.

• The Julia set is closed, the Fatou set is open. The Julia and Fatou sets are disjoint. 

•  The Fatou components                     The  Fatou  set  S(P)  of  a  non  constant  holomorphic map  P  :  U → U  is  open. Connected components of this set are called the Fatou components of P. 

 • For any Fatou component D of P, the image P(D) is also a Fatou component of P.

 • For any Fatou component D of a rational function P there exist integers k ≥ 0 and n ≥ 1 such that the Fatou component P k (D) is invariant under P n . 

  •  Some  transcendental  functions  P  admit  a  Fatou  component  D  that  is  a wandering domain, i.e., D, P(D), P 2 (D), . . . are disjoint sets.

31

FractalsFractal generation with disjoint sets

There are 5 types of invariant Fatou components for a holomorphic map P : U → U: • Immediate basin of attraction• attracting petal • Siegel disc• Herman ring• Baker domain

32

FractalsFern and leaf generation

• Self-similar  structured  leaves  found  in  ferns  and  herbs  are  simple,  single  shaped leaves were subjected to different methods of calculating fractal dimension, the box-counting and the perimeter methods.

• Box-counting method: In order to create “square” boxes, the image was resized to a square  dimension  such  that  the  length,  measured  in  number  of  pixels,  was  of  a power of 2. 

• The image is scanned and converted to grayscale and the natural log of black points are plotted which helps in finding the fractal dimension of the leaf.

33

FractalsFern and leaf generation

• Perimeter Method : In order to determine the perimeter of a leaf, the outline of the leaf needed to be identified. 

• After the image was converted into a binary image, an edge detector and boundary will  be  used  to  create  an  image  that  is  completely  black  with  a  pixel  wide  white outline of the leaf. 

34

FractalsFractal via random midpoint displacement

• The easiest way to generate fractal-like behavior is to use midpoint displacement.

• Midpoint displacement  takes a  straight  line and  turns  it  into a  ragged  line  that can look  like  the  outline  of  a  mountain  range.  The  resulting  fractal  has  a  dimension between one and two.

•  Start with a straight line between points A and B. Create the midpoint, M, half way between A and B. Then displace the midpoint up or down by a random value. This creates two new lines joined at the midpoint. 

• Repeat  this displacement algorithm recursively  for each new  line segment. At each step, we also adjust the amplitude of the displacement by some method. One usually reduces it by an exponential function.

35

FractalsFractal via random midpoint displacement

• The result of this process resembles  jagged terrain. However  it  is fairly homogenous and isotropic. It tends to look fake to the eye. 

• Midpoint displacement can be done in higher dimensions as well, but the process gets more and more complex. 

• For  2D  terrain,  which  is  useful  for  RL  terrain  generation,  we  need  to  displace  the midpoint of a square and partition the square into four smaller ones, which are then recursively displaced. 

• The algorithm is know as Diamond-Square, referring to the two steps of displacement then partitioning.

36

Fractals

Generating trees and other objects of nature

• Hungarian botanist Aristid Lindenmayer developed a grammar-based system to model the growth patterns of plants.

• L systems can be used to  generate all of the recursive fractal patterns, they are incredibly useful because they provide a mechanism for keeping track of fractal structures that require complex and multi-faceted production rules.

• An L-system involves three main components:Alphabet. An L-system’s alphabet is comprised of the valid characters that 

can be included.Axiom. The axiom is a sentence (made up with characters from the alphabet) 

that describes the initial state of the system.Rules. The rules of an L-system are applied to the axiom and then applied 

recursively, generating new sentences over and over again.

37

Fractals

Generating trees and other objects of nature

• Alphabet: A B• Axiom: A• Rules: (A → AB) (B → A)

By  performing  the  above  steps  recursively  one  can generate the tree shown in the below figure

38

Fractals

Julia Sets

• Julia  set  fractals  are  normally  generated  by  initializing  a  complex  number   z  =  x  +  yi  where  i2 = -1  and x and y are image pixel coordinates in the range of about -2 to 2. 

• Then, z is repeatedly updated using:  z = z2 + c  where c is another complex number that gives a specific Julia set. 

• After numerous iterations, if the magnitude of z is less than 2 we say that pixel is in the Julia  set  and  color  it  accordingly.  Performing  this  calculation  for  a whole  grid  of  pixels gives a fractal image.

• For each transformation, the shape is duplicated into each half of the resulting shape, so it gets twice the amount of detail or number of lumps in the shape.

39

Fractals

• Some areas of  the shape can shrink and  rotate slightly  to generate spirals, while other areas shift to make repeating fractal copies.

• For  Julia  sets,  c  is  the  same  complex  number  for  all  pixels,  and  there  are many different Julia sets based on different values of c. By smoothly changing c we can transform  from  one  Julia  set  to  another  over  time,  creating  animated  fractal shapes.

40

Fractals

Mandelbrot set

• For the Mandelbrot set, c instead differs for each pixel and is x + yi, where x and y are the image coordinates (as was also used for the initial z value). 

• The Mandelbrot set can be considered a map of all Julia sets because it uses a different c at each location, as if transforming from one Julia set to another across space.

• A specific Julia set can be defined by a point in the Mandelbrot set matching its constant c value, and the look of an entire Julia set is usually similar in style to the Mandelbrot set at that corresponding location. 

• Points near the edges of the Mandelbrot set typically give the most interesting Julia sets.

41

Fractals

Here are six Julia sets and their corresponding locations in the Mandelbrot set:

42

Fractals

3-D fractals via quaternions

• Fractal exists not only in complex plane but also in higher dimensional space. 

• To realize the 3D fractal, the quaternion as the iteration variable is applied to create the 4D Julia set. 

• Quaternion Julia fractals are created by the same principle as the more traditional Julia set except that it uses 4 dimensional complex numbers instead of 2 dimensional complex numbers. 

• A 2D complex number is written as z = r + a i where i2 = -1. A quaternion has two more complex components and might be written as q = r + a i + b j + c k where r, a, b, and c are real numbers. 

43

Fractals3-D fractals via quaternions

• Dimension Reduction - Since it is rather hard to draw 4 dimensional objects one needs a way of rendering 4D quaternion fractals on a 2D screen.

•  The approach used here is to intersect the 4D solid with a plane, in essence this makes one of the quaternion components dependent on the other three. 

• To get a feel for the true nature of the quaternion fractal one needs create a whole series of slices along an axis perpendicular to the slice plane.

The  following  shows 6  slices moving the  cutting  plane  along  one  of  the quaternion  axes  from  the  origin  in steps of 0.1, c = (-0.08,0.0,-0.8,-0.03)

44

Shape GrammarsProcedural methods to generate natural and artificial shapes

• Shape  grammars  in  computation  are  a  specific  class  of  production  systems  that generate geometric shapes.

• A shape grammar consists of shape rules and a generation engine that selects and processes rules.

• A shape grammar minimally consists of three shape rules: a start rule, at least one transformation rule, and a termination rule.

• The generation engine  checks  the existing geometry, often  referred  to as Current Working Shape (CWS), for conditions that match the LHS of the shape rules.

• In the alternative scenario, the engine first chooses one of the grammar rules and then tries to find all matches of the LHS of this rule in the CWS.

45

Shape GrammarsProcedural methods to generate natural and artificial shapes

• Shape grammars are most useful when confined to a small, well-defined generation problem such as housing layouts and structure refinement.

• Because  shape  rules  typically  are defined on  small  shapes,  a  shape grammar  can quickly contain a lot of rules.

• The  Palladian  villas  shape  grammar  presented  by  William  Mitchell  for  example contains 69 rules, that are applied throughout eight stages.

• Parametric shape grammars are an extension of shape grammars. The new shape in the RHS of the shape rule is defined by parameters so that it can take into account more of the context of the already existing shapes.

• Despite their popularity and applicability in academic circles, shape grammars have not found widespread use in generic Computer Aided Design applications.

46

Particle Systems

• More flexible compared to triangle meshes when it comes to handling highly complex or dynamically changing shapes.

• A point-based geometry representation can be considered a sampling of a continuous surface, resulting in 3D positions pi.

• Instead of a completely unorganized point cloud, they use a set of depth images that are orthogonally sampled from a given input geometry.

• Similar to image-based approaches, this representation is also constructed from several views of an input object. 

•  Differs in that each pixel is a surface sample containing geometric position and (view independent) surface color.

47

Particle Systems

• Point-sampling of  a  circle with different quantization  levels  (left: 5 bit,  right:  10 bit) and different sampling densities (top: 2 π/32, bottom: 2 π/1024). 

• In  the  top  row  the  approximation error  between  the  continuous  circle  and  the discrete point  sets  is  dominated by  the distance between  samples while  in  the bottom row the error is dominated by the quantization. 

• Top left and bottom right are good samples since quantization error and sampling density are of the same order thus minimizing redundancy. 

48

Physically based ModelingModeling based on energy minimization

• Active contour model,  also  called snakes,  is  an  energy  minimizing, deformable spline influenced by image forces that pull  it towards object contours and internal forces that resist deformation. 

• Snakes may be understood as a special case of the general technique of matching a deformable model to an image by means of energy minimization.

• In  computer  vision,  contour  models  describe  the  boundaries  of  shapes  in  an image. Snakes in particular are designed to solve problems where the approximate shape of the boundary is known. 

• By being a deformable model, snakes can adapt to differences and noise in stereo matching  and  motion  tracking.  Additionally,  the  method  can  find Illusory contours in the image by ignoring missing boundary information.

49

Physically based ModelingModeling based on energy minimization

• They  depend  on  mechanisms  such  as  interaction  with  a  user,  interaction  with some higher  level  image understanding process, or  information  from  image data adjacent in time or space.

• Here we compute the  internal and external energies to control the deformations made to the snake and fitting of the contour onto the image.

Snakes active deformable models

50

References• https://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_solid_geometry• http://www.gdmc.nl/3dcadastre/literature/3Dcad_2004_05.pdf• http://www.cs.sjsu.edu/faculty/pollett/116b.1.05s/Lec02022005.pdf• https://www.cg.tuwien.ac.at/courses/CG2/SS2002/AdvancedModeling.pdf• http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/AV0405/DONAVANIK/bezier.html• http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/B-spline/bspline-curve-prop.html• https://en.wikipedia.org/wiki/Non-uniform_rational_B-spline• http://www.cs.ubc.ca/~pcarbo/cs251/welcome.html• http://www.hpl.hp.com/techreports/Compaq-DEC/CRL-90-12.pdf• https://www.graphics.rwth-aachen.de/media/papers/points1.pdf• http://courses.cs.vt.edu/~cs4204/lectures/polygonal_modeling.pdf• https://en.wikipedia.org/wiki/Polygonal_modeling• http://www.cs.virginia.edu/~luebke/publications/pdf/cg+a.2001.pdf• http://www.roguebasin.com/index.php?title=Fractals• http://natureofcode.com/book/chapter-8-fractals/• http://www.karlsims.com/julia.html• http://paulbourke.net/fractals/quatjulia/• http://www.math.tamu.edu/~mpilant/math614/StudentFinalProjects/SanPedro_Final.pdf• https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_grammar• http://3d.about.com/od/3d-101-The-Basics/a/Introduction-To-3d-Modeling-Techniques.htm• https://en.wikipedia.org/wiki/Active_contour_model