Marcin StudniarskiWyk÷ady z analizy portfelowej, cz¾esc I

semestr letni 2011/12http://math.uni.lodz.pl/~marstud/dydaktyka.htm

1 Co to jest analiza portfelowa?

Analiza portfelowa zajmuje si¾e optymalnym inwestowaniem w papiery wartos-ciowe, g÷ównie w akcje. Analiza portfelowa ÷¾aczy w sobie elementy nauki o �-nansach, ekonomii zarz ¾adzania i matematyki (teoria optymalizacji, teoriaprawdopodobienstwa, metody numeryczne).Optymalizacji dokonuje si¾e pod wzgl¾edem dwóch kryteriów: zysku (maksy-

malizacja) i ryzyka (minimalizacja)�jest to przyk÷ad optymalizacji wielokry-terialnej (wektorowej).Portfel papierów wartosciowych jest to zestaw papierów wartosciowych,

które posiada inwestor.

2 Historia analizy portfelowej

Twórc ¾a analizy portfelowej by÷ekonomista amerykanski Harry Markowitz. Rozwin ¾a÷on teori¾e alokacji srodków �nansowych w warunkach niepewnosci, która zajmujesi¾e optymalizowaniem inwestycji w zale·znosci od spodziewanego zysku i ryzyka.Pierwsz ¾a publikacj ¾a z tej dziedziny by÷a praca:

� H. Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1(1952), 77-91.

W 1963 r. William Sharpe opublikowa÷teori¾e modelu jednowskaznikowegob¾ed ¾ac ¾a uproszczeniem teorii Markowitza.W 1990 r. H. Markowitz, W. Sharpe i M. Miller otrzymali nagrod¾e Nobla,

g÷ównie za prace z analizy portfelowej.

3 Cele analizy portfelowej

� Okreslenie charakterystyk papierów wartosciowych (g÷ównie doty-cz ¾acych zysku i ryzyka).

� Okreslenie kryteriów wyznaczania optymalnego sk÷adu portfelapapierów wartosciowych (np. dobrze jest inwestowac w akcje ró·znych �rmi to takie, które nie s ¾a dodatnio skorelowane, tzn. nie obserwuje si ¾e zgod-nych wahan ich kursów).

� Ocena posiadanego przez inwestora portfela w celu ewentualnej zmi-any jego sk÷adu. (Z regu÷y inwestor nie pozbywa si ¾e posiadanego portfela,lecz zamierza dalej inwestowac. Jednak, poniewa·z zmieniaj ¾a si ¾e warunkirynkowe, portfel ten po pewnym czasie mo·ze ju·z nie byc optymalny).

1

4 De�nicje papieru wartosciowego

De�nicja 1. Papier wartosciowy (security) jest to dokument (instrument�nansowy) potwierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji:

� nabycie prawa do wspó÷w÷asnosci �rmy,

� udzielenie kredytu rz ¾adowi, �rmie lub instytucji,

� uzyskanie prawa do otrzymania w przysz÷osci pewnej wartosci (najcz¾esciejw postaci innego papieru wartosciowego).

De�nicja 2. Papier wartosciowy to dokument lub zapis w systemie infor-matycznym na rachunku papierów wartosciowych, który ucielesnia prawamaj ¾atkowe w taki sposób, ·ze dane uprawnienia przys÷uguj ¾a osobie wskazanejjako uprawniona w tresci dokumentu (chocby jako okaziciel), a przed÷o·ze-nie go jest warunkiem koniecznym i wystarczaj ¾acym dla realizacji up-rawnienia. Ponadto, zniszczenie lub utrata dokumentu powoduje utrat¾euprawnien dopóki nie zostanie wydane postanowienie o umorzeniu doku-mentu.

5 Rodzaje papierów wartosciowych

5.1 Akcje

Akcja (stock, share) jest to dokument swiadcz ¾acy o udziale jego w÷asciciela wkapitale spó÷ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia:

� prawo do dywidend,

� prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy,

� prawo do udzia÷u w maj ¾atku spó÷ki w przypadku jej likwidacji.

Akcje dziel ¾a si¾e na zwyk÷e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo·zedotyczyc:

� g÷osu na zebraniach akcjonariuszy,

� pierwszenstwa w wyp÷acaniu dywidendy,

� pierwszenstwa w podziale maj ¾atku spó÷ki w przypadku jej likwidacji.

5.2 Obligacje

Obligacja (bond) jest to papier wartosciowy potwierdzaj ¾acy nabycie przezjego posiadacza prawa do otrzymania w okreslonym terminie sumy pieni¾edzyokreslonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek.Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery

wartosciowe danego emitenta w przysz÷osci i na z góry okreslonych warunkach.Podzia÷obligacji ze wzgl¾edu na okres do wykupu:

2

� krótkoterminowe (1-5 lat),

� srednioterminowe (5-12 lat),

� d÷ugoterminowe (powy·zej 12 lat).

Podzia÷obligacji ze wzgl¾edu na oprocentowanie:

� o sta÷ym oprocentowaniu,

� o zmiennym oprocentowaniu (mo·ze byc ustalane na pocz ¾atku lub na koncuokresu oprocentowania),

� zerokuponowe (bezodsetkowe) �brak odsetek jest rekompensowany sprzeda·z ¾aobligacji po cenie ni·zszej od wartosci nominalnej.

5.3 Prawa poboru i prawa do akcji

Prawo poboru nowych akcji (PPA) �ma zastosowanie w przypadku nowejemisji akcji przez spó÷k¾e; oznacza przys÷uguj ¾ace dotychczasowym akcjonarius-zom prawo pierwszenstwa do obj¾ecia nowych akcji, które mo·ze byc przedmiotemobrotu gie÷dowego.Prawo do akcji (PDA) � instrument �nansowy umo·zliwiaj ¾acy nabyw-

com akcji nowej emisji ich odsprzedanie, zanim zostan ¾a wprowadzone do obrotugie÷dowego.

5.4 Warranty subskrypcyjne

Warrant subskrypcyjny jest to dokument (certy�kat), cz¾esto do÷¾aczony doakcji lub obligacji, daj ¾acy posiadaczowi ograniczone lub nieustaj ¾ace prawo kupnapapierów wartosciowych lub innych aktywów po ustalonej cenie lub prawo dosubskrypcji przysz÷ych emisji obligacji tego samego emitenta.

5.5 Kwity depozytowe

Kwit depozytowy jest to papier wartosciowy wystawiony poza granicamikraju, dokumentuj ¾acy prawo w÷asnosci akcji spó÷ki zagranicznej.

5.6 Listy zastawne

Listy zastawne s ¾a to d÷u·zne papiery wartosciowe, których podstaw ¾a s ¾a wierzytel-nosci banków hipotecznych zabezpieczone hipotekami lub gwarancj ¾a okreslonychinstytucji (m.in. Skarb Panstwa i NBP). Emitent listów � bank hipoteczny,zobowi ¾azuje si¾e wobec ich posiadacza do spe÷nienia okreslonego swiadczeniapieni¾e·znego �wyp÷aty odsetek i wykupienia samego listu w sposób i w terminachokreslonych w warunkach emisji.

3

5.7 Certy�katy inwestycyjne

Certy�kat inwestycyjny jest to papier wartosciowy emitowany przez zamkni¾etyfundusz inwestycyjny. Jest on papierem wartosciowym na okaziciela, dlategomo·ze byc notowany na gie÷dzie.

5.8 Pochodne papiery wartosciowe (instrumenty pochodne)

Instrument pochodny (derivative) jest to kontrakt �nansowy, którego ro-zliczenie zale·zy od innego instrumentu zwanego bazowym (np. akcji, indeksu,obligacji, stopy procentowej). G÷ówne rodzaje instrumentów pochodnych to:

� opcje (kupna lub sprzeda·zy),

� kontrakty futures i forward.

UWAGA. W niniejszym wyk÷adzie nie b ¾edziemy zajmowac si¾e instrumen-tami pochodnymi. B¾edziemy rozwa·zac g÷ównie akcje i obligacje.

6 Stopa zysku z inwestycji

Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a okresla-j ¾ac ¾a efektywnosc inwestycji, w szczególnosci inwestycji w papiery wartosciowe.Okreslamy j ¾a wzorem

R :=Kk �Kp

Kp; (1)

gdzie:Kp > 0 �kapita÷pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu in-

westycji),Kk �kapita÷koncowy (posiadany na koncu inwestycji).Stop¾e zysku R podaje si¾e zwykle w procentach.Przekszta÷caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita÷koncowy:

Kk = Kp(1 +R): (2)

Stwierdzenie 1. Dany jest skonczony ci ¾ag inwestycji �nansowych w przedzi-a÷ach czasowych [ti�1; ti], i = 1; ::; n, gdzie t0 < t1 < ::: < tn. Za÷ó·zmy, ·ze kapi-ta÷koncowy dla poprzedniego okresu jest kapita÷em pocz ¾atkowym dla nast ¾epnegookresu. Je·zeli Ri jest stop ¾a zysku dla okresu [ti�1; ti], to stopa zysku dla okresu[t0; tn] wynosi

R =nYi=1

(1 +Ri)� 1: (3)

Dowód. Oznaczmy przezKi kapita÷posiadany w momencie ti, i = 0; 1; :::; n.Zgodnie z (2)

Ki = Ki�1(1 +Ri), i = 1; :::; n:

4

Zatem

K1 = K0(1 +R1);

K2 = K1(1 +R2) = K0(1 +R1)(1 +R2);

:::

Kn = K0

nYi=1

(1 +Ri): (4)

Poniewa·z Kn jest kapita÷em koncowym dla ca÷ego procesu inwestycji, wi¾ec musispe÷niac warunek (2), czyli

Kn = K0(1 +R): (5)

Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3). �Przy za÷o·zeniach Stwierdzenia 1 za÷ó·zmy dodatkowo, ·ze 1 +Ri > 0. Liczb¾e

�R := n

vuut nYi=1

(1 +Ri)� 1 (6)

nazywamy sredni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n-okresowej o stopach zysku Ri, i = 1; :::; n.Sens liczby �R jest nast¾epuj ¾acy: jest ona taka, ·ze inwestycja n-okresowa o

równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych �R, daje stop¾ezysku R okreslon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy·zszejsytuacji, otrzymamy

R =nYi=1

(1 + �R)� 1 = (1 + �R)n � 1 =nYi=1

(1 +Ri)� 1:

Stwierdzenie 2. Przy za÷o·zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + Ri > 0zachodzi nierównosc

�R � 1

n

nXi=1

Ri; (7)

tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznejstóp zysku z poszczególnych okresów.Dowód. Stosujemy znan ¾a nierównosc pomi¾edzy sredni ¾a geometryczn ¾a i

arytmetyczn ¾a liczb dodatnich a1; :::; an:

n

vuut nYi=1

ai �1

n

nXi=1

ai

(równosc zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ai s ¾a równe).

5

Niech ai := 1 +Ri, wówczas

�R = n

vuut nYi=1

(1 +Ri)� 1 �1

n

nXi=1

(1 +Ri)� 1

=1

n

n+

nXi=1

Ri

!� 1 = 1

n

nXi=1

Ri: �

7 Zasada obliczania procentu sk÷adanego

Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk÷adanego.Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta÷a stopaprocentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up÷ywie ka·zdego roku:

Kn = K0(1 +R)n; (8)

gdzie:R �stopa procentowa (b¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku dla ka·zdego roku),K0 �kapita÷pocz ¾atkowy,Kn �kapita÷po n latach (wartosc przysz÷a sumy K0 po n latach).W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita÷u m razy w ci ¾agu roku

(przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast¾epuj ¾acy wzór nawartosc przysz÷¾a sumy K0 po n latach:

Kn = K0

�1 +

R

m

�mn: (9)

Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale·znosci od cz¾estosci kapitalizacjiodsetek:kwartalna: Kn = K0

�1 + R

4

�4nmiesi¾eczna: Kn = K0

�1 + R

12

�12ndzienna: Kn = K0

�1 + R

365

�365nhipotetyczna ci ¾ag÷a : Kn = K0 lim

m!1

�1 +

R

m

�mn= K0 lim

m!1

"�1 +

1

m=R

�m=R#Rn

= K0 limx!1

��1 +

1

x

�x�Rn= K0e

Rn;

gdzie e � 2; 7183 �podstawa logarytmu naturalnego.Uwaga: wzrost cz¾estosci kapitalizacji odsetek ma niewielki wp÷yw na wzrost

wartosci przysz÷ej kapita÷u.

6

8 Zasada dyskonta

Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk÷adanego przedstawiona w odwrot-nej postaci. Przekszta÷caj ¾ac wzór (8), otrzymujemy

K0 =Kn

(1 +R)n; (10)

gdzie K0 nazywamy wartosci ¾a bie·z ¾ac ¾a (lub obecn ¾a) sumy pieni¾edzy Kn

uzyskiwanej w przysz÷osci (inaczej: wartosci ¾a zdyskontowan ¾a na okresbie·z ¾acy). Stop¾e procentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a.Interpretacja: wartosc bie·z ¾aca K0 wskazuje, jak ¾a sum¾e nale·zy zainwest-

owac na n lat, przy za÷o·zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacjiodsetek, aby otrzymac sum¾e równ ¾a Kn.

9 Efektywna stopa procentowa

W celu wyrównania efektu sródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾aguroku) nale·zy powi¾ekszyc stop¾e procentow ¾a R wyst¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartoscizwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej Ref . Zatem efektywnastopa procentowa spe÷nia równanie

K0(1 +Ref )n = K0

�1 +

R

m

�mn:

St ¾ad wynika, ·ze

Ref =

�1 +

R

m

�m� 1: (11)

10 Bank idealny i przep÷ywy pieni¾e·zne

Bankiem idealnym nazywamy abstrakcyjny bank, w którym:(a) odsetki z tytu÷u posiadania lokaty s ¾a równe oprocentowaniu zaci ¾aganych

kredytów,(b) nie wyst¾epuj ¾a ·zadne dodatkowe op÷aty (np. prowizje, op÷aty manipula-

cyjne),(c) wysokosc stopy procentowej nie zale·zy od wielkosci kapita÷u.Bank idealny nazywamy sta÷ym, je·zeli stopa procentowa nie zale·zy od d÷u-

gosci okresu, na jaki jest zawarta transakcja (np. roczne oprocentowanie lokatydwuletniej jest takie samo, jak lokaty trzyletniej).Rozwa·zamy n okresów o równej d÷ugosci.Strumieniem przep÷ywów pieni ¾e·znych nazywamy wektor (x0; x1; :::; xn),

gdzie x0 jest wyp÷at ¾a otrzymywan ¾a w momencie pocz ¾atkowym, x1 �wyp÷at ¾aotrzymywan ¾a na koniec pierwszego okresu, itd., xn �wyp÷at ¾a otrzymywan ¾a nakoniec n-tego okresu. Wyp÷aty mog¾e byc liczbami ujemnymi �wtedy oznaczaj ¾azobowi ¾azania. Ka·zda wyp÷ata jest natychmiast wp÷acana na rachunek w sta÷ym

7

banku idealnym, a jesli jest ujemna, to zaci ¾agana jest po·zyczka w tym samymbanku o podanej wartosci.Zak÷adamy, ·ze r jest stop ¾a procentow ¾a dla ka·zdego pojedynczego okresu w

sta÷ym banku idealnym (zarówno wk÷adu, jak i po·zyczki).Po n okresach przep÷yw pocz ¾atkowy x0 przyjmuje wartosc x0(1 + r)n, x1

przyjmuje wartosc x1(1 + r)n�1, itd., a xn nie ulega zmianie.Wartosc przysz÷¾a (FV �future value) strumienia (x0; x1; :::; xn) okreslamy

wzoremFV := x0(1 + r)

n + x1(1 + r)n�1 + :::+ xn: (12)

Wartosc obecn ¾a lub bie·z ¾ac ¾a (PV �present value) strumienia (x0; x1; :::; xn)okreslamy wzorem

PV := x0 +x11 + r

+x2

(1 + r)2+ :::+

xn(1 + r)n

: (13)

Stwierdzenie 3. Zachodzi równosc

PV =FV

(1 + r)n: (14)

Dowód. Dziel ¾ac równanie (12) przez (1 + r)n, otrzymujemy

FV

(1 + r)n= x0 +

x11 + r

+x2

(1 + r)2+ :::+

xn(1 + r)n

:

St ¾ad i z (13) wynika (14). �

11 Wewn¾etrzna stopa zwrotu

Do lepszego zrozumienia poj¾ecia wewn¾etrznej stopy zwrotu pos÷u·zy przyk÷ad in-westycji �nansowej polegaj ¾acej na lokowaniu i wycofywaniu pieni¾edzy w sta÷ymbanku idealnym.W÷asnosc 1. Za÷ó·zmy, ·ze roczna stopa procentowa w sta÷ym banku idealnym

wynosi r. Na pocz ¾atku pierwszego roku (w momencie 0) wp÷acamy do tego bankukwot ¾e a0. Kwot ¾e t ¾e dzielimy na n (niekoniecznie równych) cz ¾esci a1; :::; an,które podejmujemy z banku pod koniec kolejnych lat (w momentach odpowiednio1; :::; n) wraz z odsetkami nale·znymi za odpowiedni ¾a cz ¾esc kapita÷u. Wówczaswartosc obecna tej inwestycji �nansowej obliczona dla stopy dyskontowej r jestrówna zeru.Dowód. Wmomencie 1 podejmujemy z banku kwot¾e a1(1+r), w momencie

2 �kwot¾e a2(1 + r)2, itd., w momencie n �kwot¾e an(1 + r)n. Zatem wartosci ¾aobecn ¾a ca÷ej inwestycji �nansowej jest wartosc obecna strumienia przep÷ywówpieni¾e·znych

(�a0; a1(1 + r); a2(1 + r)2; :::; an(1 + r)n), gdzie a0 =nXi=1

ai:

8

Obliczaj ¾ac wartosc obecn ¾a tego strumienia na podstawie wzoru (13), otrzymamy

PV = �a0 + a1 + a2 + :::+ an = 0: �

Wewn¾etrzna stop ¾a zwrotu (IRR � internal rate of return) strumieniaprzep÷ywów pieni¾e·znych (x0; x1; :::; xn) nazywamy tak ¾a stop¾e procentow ¾a r, dlaktórej zachodzi równosc

x0 +x11 + r

+x2

(1 + r)2+ :::+

xn(1 + r)n

= 0: (15)

Z powy·zszego wzoru widac, ·ze wewn¾etrzna stopa zwrotu mo·ze istniec tylkodla tych strumieni, które zawieraj ¾a przep÷ywy w obu kierunkach, tzn. cz¾escwspó÷rz¾ednych wektora (x0; x1; :::; xn) jest dodatnia, a cz¾esc ujemna. Jednak iw tym przypadku jej istnienie nie zawsze jest zagwarantowane.Aby wyznaczyc wewn¾etrzna stop¾e zwrotu (przy za÷o·zeniu, ·ze istnieje), nale·zy

wyznaczyc rzeczywiste rozwi ¾azanie c równania wielomianowego

x0 + x1c+ x2c2 + :::+ xnc

n = 0; (16)

a nast¾epnie przyj ¾ac r := 1=c� 1 (wówczas c = 1=(1 + r)).Twierdzenie 1. (podstawowe twierdzenie o wewn¾etrznej stopie zwrotu).

(a) Je·zeli strumien przep÷ywów pieni ¾e·znych (x0; x1; :::; xn) spe÷nia warunki

x0 < 0 i xi � 0 dla ka·zdego i = 1; 2; :::;m; (17)

przy czym przynajmniej jeden przep÷yw xi jest dodatni, to istnieje jednoznacznerozwi ¾azanie rzeczywiste równania (16).(b) Je·zeli ponadto

Pni=0 xi > 0 (tzn. ÷¾aczna wartosc nominalna wp÷ywów

jest wi ¾eksza od nak÷adów), to wewn ¾etrzna stopa zwrotu r = 1=c�1 jest dodatnia.

12 Renta p÷atna z do÷u

Rozwa·zamy sytuacj¾e, gdy pod koniec okresu (np. roku) p÷acona jest sta÷asuma pieni¾e·zna, przy czym po zap÷aceniu jej wartosc jest kapitalizowana. Tak ¾asta÷¾a p÷atnosc nazywamy rent ¾a p÷atn ¾a z do÷u (annuity-immediate). Wartoscprzysz÷a takiej renty po n okresach dana jest wzorem

Pn = PnXi=1

(1 +R)i�1; (18)

gdzieR > 0 jest stop ¾a procentow ¾a obowi ¾azuj ¾ac ¾a w pojedynczym okresie. Wartoscprzysz÷a Pn jest sum ¾a wartosci przysz÷ych kolejnych wp÷at zapisanych w odwrot-nej kolejnosci, np. ostatni sk÷adnik sumy: P (1+R)n�1 dotyczy pierwszej wp÷aty,która w pierwszym okresie nie daje odsetek.W celu uproszczenia wzoru (18), skorzystamy ze wzoru na sum¾e cz¾esciow ¾a

szeregu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 6= 1:nXi=1

aqi�1 =a(1� qn)1� q : (19)

9

Przekszta÷caj ¾ac (18) zgodnie z (19) przy a = 1 i q = 1 +R, otrzymujemy

Pn = P1� (1 +R)n1� (1 +R) =

P

R[(1 +R)n � 1]: (20)

Wartosc bie·z ¾aca renty p÷atnej z do÷u jest dana wzorem (wynikaj ¾acym z poprzed-niego)

P =PnR

(1 +R)n � 1 : (21)

13 Renta p÷atna z góry

Rozwa·zamy sytuacj¾e podobn ¾a do poprzedniej, z t ¾a ró·znic ¾a, ·ze sta÷a kwota p÷a-cona jest na pocz ¾atku ka·zdego okresu (i w tym momencie jest kapitalizowana).Tak ¾a sta÷¾a p÷atnosc nazywamy rent ¾a p÷atn ¾a z góry (annuity-due). Wzór nawartosc przysz÷¾a po n latach ma teraz postac

Pn = P

nXi=1

(1 +R)i: (22)

W celu jego uproszczenia korzystamy z (19) przy a = q = 1 +R:

Pn = P (1 +R)1� (1 +R)n1� (1 +R) =

P

R(1 +R)[(1 +R)n � 1]: (23)

Wartosc bie·z ¾aca renty p÷atnej z góry jest dana wzorem

P =PnR

(1 +R)[(1 +R)n � 1] : (24)

14 Okreslanie wartosci papierów wartosciowych

Za÷ó·zmy najpierw, ·ze inwestor zatrzyma papier wartosciowy przez rok.Oznaczmy:P �wartosc papieru wartosciowego w momencie zakupu, czyli kap-

ita÷(pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup.C � wp÷ywy gotówkowe z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego (za-

k÷adamy dla uproszczenia, ·ze uzyskiwane s ¾a dok÷adnie po up÷ywie roku),R �stopa zysku papieru wartosciowego.Ze wzoru (2) wynika, ·ze C = P (1 +R), czyli

P =C

1 +R: (25)

Interpretacja: wartosc papieru wartosciowego jest to zdyskontowany przy-chód z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾ajest stopa zysku.

10

Uogólnienie. Rozwa·zamy papier wartosciowy, z tytu÷u którego otrzymu-jemy wp÷ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (25), otrzymujemy

P =nXi=1

Ci(1 +R)i

; (26)

gdzie:P �wartosc papieru wartosciowego,Ci �dochód z tytu÷u posiadania papieru wartosciowego, uzyskany w i-tym

okresie,R �stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w po-

jedynczym okresie.De�nicja. Wartosc papieru wartosciowego jest to suma zdyskon-

towanych na okres bie·z ¾acy wp÷ywów uzyskiwanych z tytu÷u posiadania tego pa-pieru wartosciowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku.Sposoby korzystania ze wzoru (26):1. Jesli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartos-

ciowych podobnego typu), to mo·zna porównac wartosc P z cen ¾a rynkow ¾a pa-pieru wartosciowego w celu podj¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op÷acalny,jesli cena nie przekracza P ).2. Mo·zna przyj ¾ac jako P cen¾e rynkow ¾a papieru wartosciowego i rozwi ¾azac

równanie (26) wzgl¾edemR w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowa-nia metod przybli·zonych. Znaj ¾ac R, mo·zna podj ¾ac decyzj¾e o zakupie (np.porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).

15 Okreslanie wartosci obligacji o sta÷ym opro-centowaniu

Rozwa·zmy obligacj¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartosci nominalnej M .Za÷ó·zmy, ·ze odsetki p÷acone po up÷ywie ka·zdego roku wynosz ¾a C. Zatem opro-centowanie obligacji wynosi C=M . Stosuj ¾ac (26), otrzymujemy wzór na wartoscobligacji:

P =

nXi=1

C

(1 +R)i+

M

(1 +R)n; (27)

gdziePni=1

C(1+R)i �zdyskontowany przychód z odsetek,

M(1+R)n �zdyskontowany przychód z wykupu obligacji.W (27) wyst¾epuj ¾a dwie ró·zne stopy procentowe:

1. C=M �stopa procentowa okreslaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji(jest sta÷a i znana w momencie zakupu).

2. R �stopa dyskontowa b¾ed ¾aca jednoczesnie stop ¾a zysku obligacji (zwanatak·ze stop ¾a rentownosci).

11

Wartosc R jest zmienna w czasie, gdy·z zale·zy od ceny rynkowej. W praktyceP jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.

16 Okreslanie wartosci akcji zwyk÷ych

Zysk z tytu÷u posiadania akcji pochodzi z dwóch zróde÷:

1. z dywidendy p÷aconej w danym okresie,

2. z przyrostu kapita÷u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu cenyakcji).

Za÷ó·zmy najpierw, ·ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up÷ywie n lat. Wówczasz (26) otrzymujemy

P =nXi=1

Di(1 +R)i

+Pn

(1 +R)n; (28)

gdzieP �wartosc akcji w chwili obecnej,Pn �wartosc akcji po n latach,Di �dywidenda wyp÷acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak÷adamy, ·ze

jest wyp÷acana z koncem roku),R �stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a,Pn

i=1Di

(1+R)i �zdyskontowany przychód z dywidend,Pn

(1+R)n �zdyskontowany przychód ze sprzeda·zy akcji.Za÷ó·zmy teraz, ·ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada÷. Wówczas znika

ostatni sk÷adnik po prawej stronie (28), a zamiast skonczonej sumy rozwa·zamyjej wartosc graniczn ¾a (o ile istnieje):

P = limn!1

nXi=1

Di(1 +R)i

=1Xi=1

Di(1 +R)i

: (29)

Wzór (29) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend.Uwagi. 1) Zbie·znosc szeregu w (29) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje

taka sta÷a A > 0, ·ze Di � D1Ai�1, i = 2; 3; ::: oraz A1+R < 1. Wówczas

limn!1

nXi=1

Di(1 +R)i

� limn!1

D1

nXi=1

Ai�1

(1 +R)i= D1

1Xi=1

Ai�1

(1 +R)i;

gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie A1+R 2

(0; 1), a wi¾ec zbie·znym.2)We wzorze (29) wyd÷u·zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskonc-

zonosci (co jest oczywiscie jedynie przybli·zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje,·ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita÷u z powodu zmian cen akcji. Nie ma onznaczenia, gdy nieplanuje si¾e sprzeda·zy akcji. Jedynym zród÷em dochodu z akcjistaje si¾e dywidenda.

12

Praktyczne zastosowanie wzoru (29). Dla wykorzystania tego wzoruniezb¾edna jest znajomosc dywidend otrzymywanych w przysz÷osci z tytu÷u posi-adania akcji. Na podstawie badan empirycznych zosta÷y zaproponowane ró·znemodele kszta÷towania si¾e wartosci dywidend.

16.1 Model sta÷ej wartosci dywidendy

Zak÷ada si¾e, ·ze �rma nie rozwija si¾e, osi ¾aga sta÷¾a (w przybli·zeniu) wartoscdochodów, a zatem wyp÷aca sta÷¾a dywidend¾e. Dla wyprowadzenia wzoru nawartosc akcji w tym przypadku, skorzystamy ze wzoru na sum¾e nieskonczonegoszeregu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 2 (�1; 1):

1Xi=1

aqi�1 =a

1� q : (30)

Podstawiaj ¾ac sta÷¾a wartosc D zamiast Di do (29), a nast¾epnie stosuj ¾ac (30) dlaa = q = 1

1+R , otrzymamy

P = D1Xi=1

1

(1 +R)i= D

11+R

1� 11+R

= D1

1+RR1+R

=D

R: (31)

W tym modelu stopa zysku akcji R = DP jest sta÷a i równa stopie dywidendy.

16.2 Model sta÷ego wzrostu dywidendy (model Gordona�Shapiro)

Zak÷ada si¾e, ·ze �rma rozwija si¾e w sta÷ym tempie, a zatem wyst¾epuje sta÷eroczne tempo (stopa) wzrostu dywidendy, które oznaczamy g, przy czym 0 <g < R. Jesli wi¾ec przez D1 oznaczymy dywidend¾e p÷acon ¾a w pierwszym roku,to dywidenda p÷acona w i-tym roku wyra·za si¾e wzorem

Di = D1(1 + g)i�1:

Uwzgl¾edniaj ¾ac powy·zsze w (29), a nast¾epnie stosuj ¾ac (30) dla a = 11+R i q =

1+g1+R , otrzymamy

P = D1

1Xi=1

(1 + g)i�1

(1 +R)i= D1

11+R

1� 1+g1+R

= D1

11+RR�g1+R

=D1R� g : (32)

Jesli chcemy wyznaczyc stop¾e zysku akcji, to przekszta÷camy (32) do postaci

R =D1P+ g:

Zatem stopa zysku akcji jest sum ¾a bie·z ¾acej stopy dywidendy D1=P i tempawzrostu dywidendy g. W praktyce g wyznacza si¾e na podstawie danych zprzesz÷osci, korzystaj ¾ac ze wzoru

g = rtre;

13

gdzie:rt �wspó÷czynnik zatrzymania, tj. udzia÷zysku zatrzymanego (nie

wyp÷aconego w formie dywidendy, a wi¾ec przeznaczonego na rozwój) w ca÷oscizysku �rmy,re � stopa zwrotu z zatrzymanych dochodów (mo·zna j ¾a oszacowac jako

przeci¾etn ¾a stop¾e zwrotu z inwestycji dokonanych przez �rm¾e w przesz÷osci).

16.3 Model dwóch faz

Model ten wynika z obserwacji, ·ze wiele �rm w pocz ¾atkowym okresie istnieniarozwija si¾e szybko, a po osi ¾agni¾eciu �dojrza÷osci�rozwój jest wolniejszy. Zak÷adasi¾e, ·ze:

1. przez N lat dywidenda rosnie w tempie g1,

2. nast¾epnie dywidenda rosnie zawsze w tempie g2, gdzie g2 < g1.

16.4 Model trzech faz

W modelu tym wyst¾epuj ¾a nast¾epuj ¾ace fazy rozwoju �rmy:

1. wzrost dywidendy w sta÷ym tempie g1 przez N1 lat,

2. wzrost dywidendy w zmiennym (malej ¾acym) tempie g2 przez N2 lat,

3. wzrost dywidendy w sta÷ym tempie g3 przez N3 lat,

przy czym g3 < g2 < g1.

17 Wartosc obecna netto

Wartosci ¾a obecn ¾a netto (NPV � net present value) inwestycji �nansowejnazywamy wartosc obecn ¾a (PV ) strumienia wszystkich przep÷ywów pieni¾e·znychzwi ¾azanych z t ¾a inwestycj ¾a. Inaczej mówi ¾ac, jest to wartosc obecna wp÷ywówzwi ¾azanych z inwestycj ¾a pomniejszona o wartosc obecn ¾a wydatków zwi ¾azanychz inwestycj ¾a.W÷asnosc 2. Dla dowolnej inwestycji �nansowej A oraz stopy procentowej

r > 0, jesli IRR(A) istnieje, to zachodzi równosc

r = IRR(A), NPVr(A) = 0;

gdzie NPVr(A) oznacza wartosc obecn ¾a netto inwestycji A obliczon ¾a dla stopyprocentowej r.Przyk÷ad 1. Rozwa·zmy jednoroczn ¾a obligacj¾e zerokuponow ¾a o wartosci

nominalnej 200 z÷, któr ¾a inwestor kupuje za 100 z÷. Wówczas wartosc obecnanetto inwestycji �nansowej w t¾e obligacj¾e jest równa wartosci obecnej strumienia

14

przep÷ywów pieni¾e·znych (�100; 200). Jesli za÷o·zymy, ·ze obowi ¾azuj ¾aca stopaprocentowa wynosi 10%, to wartosc obecna netto tej inwestycji jest równa

NPV = �100 + 200=1; 1 � 81; 8: (33)

Wartosc ta ró·zni si¾e od wartosci obecnej obligacji obliczonej wed÷ug wzoru (27),która wynosi

PV = 200=1; 1 � 181; 8:

18 Ocena efektywnosci inwestycji

Celem oceny efektywnosci inwestycji jest umo·zliwienie inwestorowi wyboru na-jkorzystniejszej inwestycji sposród dost¾epnych na rynku mo·zliwosci.W praktyce najcz¾esciej u·zywa si¾e nast¾epuj ¾acych kryteriów:1. Kryterium wartosci obecnej netto.2. Kryterium wewn¾etrznej stopy zwrotu.3. Zmody�kowane kryterium wartosci obecnej netto, uwzgl¾edniaj ¾ace

powtarzalnosc inwestycji.Stosowanie tych kryteriów wyjasnimy na przyk÷adzie.Przyk÷ad 2. Rozwa·zmy obligacj¾e jednoroczn ¾a A opisan ¾a w Przyk÷adzie 1

oraz obligacj¾e dwuletni ¾a B, tak·ze zerokuponow ¾a, któr ¾a mo·zna kupic za t¾e sam ¾acen¾e 100 z÷. Wartosc nominalna obligacji B wynosi 300 z÷. Mamy zatem doporównania nast¾epuj ¾ace strumienie przep÷ywów pieni¾e·znych:

A: (�100; 200) oraz B: (�100; 0; 300):

Sprawdzimy, która inwestycja jest korzystniejsza przy rocznej stopie 10%, sto-suj ¾ac kryterium 1. Korzystaj ¾ac z (33) i przeprowadzaj ¾ac analogiczne obliczeniadla obligacji B, otrzymamy

NPV (A) � 82; NPV (B) = �100 + 300=(1; 12) � 148:

Zatem wed÷ug kryterium 1 korzystniejsza jest inwestycja B.Aby zastosowac kryterium 2, nale·zy rozwi ¾azac równania:

A: � 100 + 200c = 0 oraz B: � 100 + 300c2 = 0;

a nast¾epnie wyznaczyc odpowiednie stopy zwrotu r z równania r = 1=c � 1.Otrzymamy

A: c =1

2, r = 1, B: c =

p3

3, r =

p3� 1 � 0; 7:

Zatem wed÷ug kryterium 2 korzystniejsza jest inwestycja A.Stosuj ¾ac kryterium 3 nale·zy uwzgl¾ednic fakt, ·ze inwestor, po otrzymaniu na

koniec pierwszego roku kwoty 200 z÷. mo·ze te pieni ¾adze ponownie zainwestowacw obligacje typu A, w wyniku czego na koniec drugiego roku otrzyma 400 z÷.

15

W tym przypadku porównujemy nast¾epuj ¾ace strumienie o jednakowej d÷ugosciczasowej:

A: (�100; 0; 400) oraz B: (�100; 0; 300):

Tutaj widac od razu bez ·zadnych obliczen, ·ze korzystniejsza jest inwestycja A.

19 Przestrzen probabilistyczna

Niech b¾edzie dowolnym zbiorem zdarzen elementarnych. Prawdopodobienstwoprzypisujemy podzbiorom zbioru nale·z ¾acym do tzw. klasy zdarzen F , gdzieF � 2. Zak÷adamy, ·ze F jest �-cia÷em podzbiorów , tzn. spe÷nia nast¾epu-j ¾ace warunki:S1. F 6= ;.S2. Je·zeli A 2 F , to nA 2 F .S3. Je·zeli Ai 2 F dla i = 1; 2; :::, to

S1i=1Ai 2 F .

Z powy·zszych warunków wynika, ·ze do F nale·z ¾a zdarzenia: (zdarzeniepewne) i ; (zdarzenie niemo·zliwe).Najmniejsze �-cia÷o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w Rn nazywamy

�-cia÷em zbiorów borelowskich w Rn i oznaczamy B(Rn).Prawdopodobienstwem nazywamy dowoln ¾a funkcj¾e P : F ! R spe÷nia-

j ¾ac ¾a warunki:A1. P (A) � 0 dla ka·zdego A 2 F ,A2. P () = 1,A3. Je·zeli Ai 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz Ai \Aj = ; dla i 6= j, to

P

1[i=1

Ai

!=

1Xi=1

P (Ai):

Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk¾e (;F ; P ), gdzie jestdowolnym zbiorem, F jest �-cia÷em podzbiorów , a P jest prawdopodobienst-wem okreslonym na F .W÷asnosci prawdopodobienstwa. Je·zeli (;F ; P ) jest przestrzeni ¾a prob-

abilistyczn ¾a i zbiory A; B; A1; :::; An nale·z ¾a do F , to spe÷nione s ¾a poni·zszewarunki:W1. P (;) = 0.W2. Je·zeli Ai \Aj = ; dla i 6= j, to P (

Sni=1Ai) =

Pni=1 P (Ai).

W3. P (nA) = 1� P (A).W4. Je·zeli A � B, to P (BnA) = P (B)� P (A).W5. Je·zeli A � B, to P (A) � P (B).W6. P (A) � 1.W7. P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to z równosci

=[!2

f!g

16

oraz z warunków A2 i W2 wynika, ·ze

X!2

P (f!g) = P [!2

f!g!= P () = 1: (34)

Przyk÷ad 3. Eksperci wskazali na 5 mo·zliwych stanów gospodarki w ci ¾agunajbli·zszego roku oraz na prawdopodobienstwa ich wyst ¾apienia:

stan gospodarki skrót prawdopodobienstwo

du·zy rozwój DRO 0; 1niewielki rozwój NRO 0; 3stagnacja STA 0; 2

niewielka recesja NRE 0; 3du·za recesja DRE 0; 1

Jesli przez oznaczymy zbiór wszystkich stanów gospodarki, to okreslona powy·zsz ¾atabelk ¾a funkcja prawdopodobienstwa P , po rozszerzeniu do wszystkich podzbiorówzbioru , spe÷nia warunki (A1)�(A3). Dla dowolnego podzbioru , obliczamyprawdopodobienstwo odpowiedniego zdarzenia z w÷asnosci (W2). Na przyk÷ad,je·zeli A = fDRO;NROg, jest zdarzeniem, ·ze wyst ¾api rozwój, to

P (A) = P (fDROg) + P (fNROg) = 0; 1 + 0; 3 = 0; 4:

20 Zmienne losowe

Niech (;F ; P ) b¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wek-torem losowym) o wartosciach w Rn nazywamy odwzorowanie X : ! Rntakie, ·ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w Rn zbiór X�1(A) nale·zy doF .Mo·zna wykazac, ·ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla

ka·zdego uk÷adu liczb �1; :::; �n 2 R mamy

X�1((�1; �1]� :::� (�1; �n]) 2 F :

Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to ka·zda funkcjaX : ! Rn jest zmienn ¾a losow ¾a.Przyk÷ad 4. Ustalono, ·ze stopa zysku akcji A zale·zy od stanu gospodarki

w nast¾epuj ¾acy sposób:

stan gospodarki prawdop. wyst ¾apienia stopa zysku RA akcji A

DRO 0; 1 20%NRO 0; 3 10%STA 0; 2 2%NRE 0; 3 �5%DRE 0; 1 �5%

17

Wówczas funkcja RA : � ! 7! RA(!) jest zmienn ¾a losow ¾a. Zauwa·zmy, ·zemo·ze ona przyjmowac te same wartosci dla ró·znych zdarzen elementarnych, np.RA(NRE) = RA(DRE) = �5%.Rozk÷adem prawdopodobienstwa zmiennej losowejX : ! Rn nazy-

wamy funkcj¾e PX : B(Rn)! R dan ¾a wzorem

PX(B) := P (X�1(B)) dla B 2 B(Rn): (35)

Mówimy, ·ze zmienna losowa X ma rozk÷ad dyskretny, je·zeli istnieje taki zbiórprzeliczalny S � Rn, ·ze PX(S) = 1.Uwaga. Jesli jest zbiorem skonczonym i F = 2, to mo·zna przyj ¾ac

S := X() (zbiór skonczony) i wtedy

PX(S) = PX(X()) = P (X�1(X())) = P () = 1: (36)

Zatem ka·zda zmienna losowa okreslona na skonczonym zbiorze zdarzen elemen-tarnych ma rozk÷ad dyskretny. Za÷ó·zmy, ·ze S = fx1; :::; xng i oznaczmy przezpi prawdopodobienstwo zdarzenia, ·ze zmienna losowa X przyjmuje wartosc xi(i = 1; :::; n). Wówczas, przyjmuj ¾ac B = fxig w (35), otrzymujemy

PX(fxig) = P (X = xi) = pi; (37)

gdzie P (X = xi) jest skróconym zapisem wyra·zeniaP (f! 2 : X(!) = xig). Ponadto z (36) i (37) wynika, ·ze

nXi=1

pi =nXi=1

PX(fxig) = PX(S) = 1: (38)

20.1 Wartosc oczekiwana zmiennej losowej o rozk÷adziedyskretnym

Wartosci ¾a oczekiwan ¾a (lub sredni ¾a) zmiennej losowejX : ! R o rozk÷adziedyskretnym, przyjmuj ¾acej skonczenie wiele wartosci, nazywamy liczb¾e

EX :=Xi2I

xiP (X = xi); (39)

gdzie X() = fxigi2I , I �skonczony zbiór indeksów, aWartosci ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X1; :::; Xn) : ! Rn, gdzie

wszystkie zmienne losowe Xi przyjmuj ¾a skonczenie wiele wartosci, nazywamywektor

EX := (EX1; :::; EXn): (40)

20.2 Wartosc oczekiwana zmiennej losowej w przypadkuogólnym

W przypadku dowolnej zmiennej losowej X : ! R mówimy, ·ze ma onawartosc oczekiwan ¾a, je·zeli jest ca÷kowalna, tzn.Z

jXj dP <1:

18

Wówczas wartosci ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb¾e

EX :=

Z

XdP: (41)

De�nicja (41) jest uogólnieniem de�nicji (39). W ogólnym przypadku do zde�n-iowania wartosci oczekiwanej wektora losowego u·zywamy wzoru (40) przy za-÷o·zeniu, ·ze wszystkie wspó÷rz¾edne maj ¾a wartosc oczekiwan ¾a.Ze wzoru (40) i z podstawowych w÷asnosci ca÷ki wynika nast¾epuj ¾ace twierdze-

nie.Twierdzenie 2. Niech X i Y b ¾ed ¾a zmiennymi losowymi na o wartosciach

w R. Za÷ó·zmy, ·ze istniej ¾a wartosci oczekiwane EX i EY . Wówczas:(a) Jesli X � 0, to EX � 0.(b) jEXj � E jXj.(c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje wartosc oczekiwana aX + bY i

E(aX + bY ) = aEX + bEY . (42)

21 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji

21.1 Metoda 1 �na podstawie danych z przesz÷osci

W metodzie tej wykorzystuje si¾e dane z pewnej ilosci okresów poprzedzaj ¾acychokres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest okreslonawzorem

Ri =Pi � Pi�1 +Di

Pi�1; (43)

gdzie Pi, Pi�1 oznaczaj ¾a wartosci akcji odpowiednio w okresach i, i� 1, a Di �dywidend¾e wyp÷acan ¾a w okresie i.Wzór (43) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapi-

ta÷pocz ¾atkowy Kp przyjmujemy jako równy Pi�1, a kapita÷koncowy Kk �jakorówny Pi+Di. Jesli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prog-nozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d÷ugosci) mo·zemyu·zyc sredniej arytmetycznej

R =1

n

nXi=1

Ri (44)

albo sredniej geometrycznej okreslonej wzorem (6).

21.2 Metoda 2 �wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku

Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej �rmy oraz ca÷ejgospodarki, mo·zna próbowac ocenic mo·zliwe stopy zysku w ró·znych sytuac-jach oraz prawdopodobienstwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowaniaprzysz÷ej stopy zysku u·zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod¾e t¾e nazywamyprognozowaniem ekspertowym.

19

Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb¾e

ER :=nXi=1

piRi; (45)

gdzie Ri �stopa zysku wyst¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, pi �prawdopodobienstwowyst ¾apienia i-tej sytuacji, n �liczba mo·zliwych ró·znych scenariuszy rozwoju.

22 Wariancja i odchylenie standardowe zmien-nej losowej

Niech X : ! R b¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jesli E�(X � EX)2

�<1, to t¾e liczb ¾e

nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy

VarX = D2X := E�(X � EX)2

�: (46)

Wariancj¾e mo·zna inaczej zapisac nast¾epuj ¾aco:

VarX = E(X2)� (EX)2: (47)

Dowód (47). VarX := E [(X � EX)2] = E [X2 � 2XEX + (EX)2] = E(X2) �(EX)2. �Ze wzorów (46) i (39) wynika, ·ze jesli X przyjmuje skonczon ¾a ilosc wartosci

xi, i 2 I, toVarX =

Xi2I

P (X = xi)(xi � EX)2: (48)

W÷asnosci wariancji. Jesli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X2) <1, toistnieje VarX i spe÷nia warunki(a) VarX � 0.(b) Var(�X) = �2VarX (� 2 R).(c) Var(X + �) = Var(X) (� 2 R).(d) VarX = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta÷a z

prawdopodobienstwem 1.Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek

z wariancji:�X = DX =

pVarX: (49)

23 Ryzyko papieru wartosciowego

Ryzyko w analizie portfelowej oznacza niepewnosc wyst ¾apienia oczekiwanejsytuacji w procesie inwestowania. Okresla ono tak·ze skal¾e zró·znicowania (rozproszenia)prognozy lub danych historycznych.Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartosciowe s ¾a

wariancja i odchylenie standardowe papieru wartosciowego.

20

23.1 Prognozowanie ekspertowe

Wprzypadku prognozowania ekspertowegowariancj ¾e papieru wartosciowegode�niujemy nast¾epuj ¾aco:

V :=nXi=1

pi(Ri � ER)2; (50)

gdzie Ri �stopa zysku wyst¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, pi �prawdopodobienstwowyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER � oczekiwana stopa zysku z inwestycji, danawzorem (45).Im mniejsza wartosc V , tym mniejsze ryzyko osi ¾agni¾ecia oczekiwanej stopy

zysku. Najmniejsz ¾a mo·zliw ¾a do osi ¾agni¾ecia wartosci ¾a jest 0. Wyst¾epuje onawtedy, gdy wszystkie mo·zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si¾e jednakow ¾astop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta÷ym oprocentowaniu.Przyk÷ad 5. Eksperci ocenili zachowania akcji A i B na podstawie ich

notowan z przesz÷osci. Np. sprawdzono, ·ze w czasie silnej hossy na gie÷dziewartosc akcji A wzrasta÷a srednio o 40% w ci ¾agu miesi ¾aca, w czasie powolnegowzrostu � ros÷a o 20%, itd. Analizuj ¾ac sytuacj¾e na gie÷dzie, mo·zna okreslicprawdopodobienstwa wyst ¾apienia poszczególnych stanów (od silnej hossy dosilnej bessy).

sytuacja prawdop. prognozowana zmianana gie÷dzie wyst ¾apienia akcja A akcja B

silna hossa 0; 1 40% 12%powolny wzrost 0; 2 20% 6%stabilizacja 0; 4 �5% 1%

powolny spadek 0; 2 �15% �5%silna bessa 0; 1 �20% �8%oczekiwana stopa zysku 1% 1%

Oczekiwana stopa zysku dla akcji A i b jest taka sama. Patrz ¾ac na tabelk¾emo·zna jednak ocenic, ·ze inwestycja w akcj¾e A jest bardziej ryzykowna. Rzeczy-wiscie, jesli skorzystamy z wzoru (50) do obliczenia wariancji obu akcji, a nast¾ep-nie obliczymy ich odchylenia standardowe, to otrzymamy

�A � 18; 3%; �B � 5; 7%:

23.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartosci histo-rycznych stóp zysku

Zak÷ada si¾e, ·ze rozk÷ad przysz÷ych stóp zysku b¾edzie si¾e charakteryzowa÷takimsamym ryzykiem, jakie wyst¾epowa÷o w dotychczasowych notowaniach. Wari-ancj¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si¾e wed÷ug wzoru

V :=1

n

nXi=1

(Ri �R)2; (51)

21

gdzie n �liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, Ri �stopy zysku uzyskanew kolejnych okresach, R �srednia historyczna stopa zysku, dana wzorem (44).Poniewa·z nie s ¾a okreslone prawdopodobienstwa wyst ¾apienia poszczególnych stópzysku Ri, przyjmuje si¾e, ·ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = Rzgodnie z wzorem (45), a zatem (51) jest szczególnym przypadkiem (50), gdziepi = 1=n dla i = 1; :::;m.W przypadku ma÷ej liczby danych (n � 30) do prognozowania wariancji

stopy zysku stosuje si¾e wyra·zenie

V :=1

n� 1

nXi=1

(Ri �R)2: (52)

Sens u·zycia tego wzoru wynika z faktu, ·ze V jest tzw. estymatorem nieob-ci ¾a·zonym wariancji, co wyjasnimy dok÷adniej w dalszej cz¾esci wyk÷adu.W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy

pierwiastek z odpowiedniego wyra·zenia, tzn.pV lub

pV .

24 Niezale·znosc zmiennych losowych

Zmienne losowe X1; :::; Xn o wartosciach w R, okreslone na zbiorze , gdzie(;F ; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale·znymi, je·zelidla dowolnych zbiorów B1; :::; Bn 2 B(R) zachodzi równosc

P (X1 2 B1; :::; Xn 2 Bn) = P (X1 2 B1) � ::: � P (Xn 2 Bn): (53)

W powy·zszym wzorze wyra·zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra·zenia

Pf! 2 : X1(!) 2 B1 ^ ::: ^Xn(!) 2 Bng;

podobna uwaga dotyczy wyra·zen po prawej stronie.Twierdzenie 3. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn s ¾a niezale·zne i maj ¾a

wartosc oczekiwan ¾a, to istnieje wartosc oczekiwana iloczynuQni=1Xi i zachodzi

równosc

E

nYi=1

Xi

!=

nYi=1

EXi: (54)

Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Yprzyjmuj ¾acych skonczenie wiele wartosci. Za÷ó·zmy, ·ze X() = fxigi2I , Y () =fyjgj2J , gdzie I, J �skonczone zbiory indeksów. Poniewa·z zbiory jednoelemen-towe fxig i fyjg s ¾a borelowskie, wi¾ec z (53) otrzymujemy

P (X = xi; Y = yj) = P (X = xi)P (Y = yj) (i 2 I, j 2 J).

22

St ¾ad na podstawie (39)

E(XY ) =Xi2I

Xj2J

xiyjP (X = xi; Y = yj)

=Xi2I

Xj2J

xiyjP (X = xi)P (Y = yj)

=

Xi2I

xiP (X = xi)

!0@Xj2J

yjP (Y = yj)

1A = EX � EY . �

Twierdzenie 4. Przy za÷o·zeniach Twierdzenia 3 zachodzi równosc

Var

nXi=1

Xi

!=

nXi=1

VarXi: (55)

Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno zewzorów (47), (42), (54) i ponownie z (47), otrzymujemy

Var(X + Y ) = Eh(X + Y )

2i� [E (X + Y )]

2

= E�X2 + 2XY + Y 2

�� [EX + EY ]2

= E(X2) + 2E (XY ) + E(Y 2)� (EX)2 � 2EX � EY � (EY )2

= E(X2)� (EX)2 + E(Y 2)� (EY )2 = VarX +VarY . �

25 Kowariancja i wspó÷czynnik korelacji zmien-nych losowych

Kowariancj ¾a ca÷kowalnych zmiennych losowych X i Y , spe÷niaj ¾acych warunekE jXY j <1, nazywamy liczb¾e

Cov(X;Y ) := E [(X � EX) (Y � EY )] : (56)

Z powy·zszej de�nicji i z Twierdzenia 2(c) otrzymujemy

Cov(X;Y ) = E [XY � (EX)Y �X(EY ) + EX � EY ]= E(XY )� 2EX � EY + E(EX � EY )= E(XY )� EX � EY; (57)

gdzie ostatnia równosc wynika z faktu, ·ze wartosc oczekiwana zmiennej losowejo sta÷ej wartosci jest równa tej sta÷ej.Jesli Cov(X;Y ) = 0, to zmienne losoweX i Y nazywamy nieskorelowanymi;

w przeciwnym przypadku �skorelowanymi.Korzystaj ¾ac z nierównosci Schwarza dla ca÷ek, mo·zna wykazac nast¾epuj ¾ac ¾a

nierównosc:jCov(X;Y )j �

pVarX �VarY ; (58)

23

przy czym równosc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobienstwem 1zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale·znosci ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczbya, b 2 R, ·ze

P fY = aX + bg = 1: (59)

Wspó÷czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich od-chyleniach standardowych nazywamy liczb¾e

�(X;Y ) :=Cov(X;Y )

�X�Y=

Cov(X;Y )pVarX �VarY

: (60)

Z nierównosci (58) wynika, ·ze j�(X;Y )j � 1, a równosc zachodzi tylko w przy-padku liniowej zale·znosci mi¾edzy zmiennymi X i Y .Z Twierdzenia 3 i z równosci (57) wynika, ·ze jesli zmienne losowe X i Y s ¾a

niezale·zne i maj ¾a wartosc oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane.Za÷ó·zmy teraz, ·ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skonczenie wiele wartosci

i ·ze dany jest rozk÷ad prawdopodobienstwa pary zmiennych losowych(X;Y ), tzn. dane s ¾a skonczone ci ¾agi liczbowe x1; :::; xn i y1; :::; yn oraz ci ¾ag liczbdodatnich p1; :::; pn takie, ·ze

nXi=1

pi = 1 oraz P (X = xi; Y = yi) = pi, i = 1; :::; n: (61)

Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (39) na wartosc oczekiwan ¾a, mo·zemy zapisacwzór (56) w postaci

Cov(X;Y ) =nXi=1

pi (xi � EX) (yi � EY ) : (62)

26 Korelacja papierów wartosciowych

Rozwa·zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiedniostopy zysku RA i RB akcji A i B. Niech �A i �B oznaczaj ¾a odpowiednioodchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za÷o·zenieich dodatniosci jest na ogó÷spe÷nione.W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru

(62), otrzymujemy nast¾epuj ¾ac ¾a de�nicj¾e:Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji �nansowych) A i B nazywamy

liczb¾e

Cov(RA; RB) :=nXi=1

pi (RA;i � ERA) (RB;i � ERB) ; (63)

gdzie:RA;i �stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B),pi �prawdopodobienstwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji,n �ilosc mo·zliwych sytuacji.

24

Korzystaj ¾ac ze wzorów (50), (60) i (63), otrzymujemy de�nicj¾e wspó÷czyn-nika korelacji akcji A i B:

�A;B : =Cov(RA; RB)

�A�B

=

Pni=1 pi (RA;i � ERA) (RB;i � ERB)pPn

i=1 pi(RA;i � ERA)2pPn

i=1 pi(RB;i � ERB)2: (64)

Jesli korelacj¾e okresla si¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku(RA;i; RB;i), i = 1; :::; n, to wzory okreslaj ¾ace kowariancj¾e i wspó÷czynnik ko-relacji akcji A i B przyjmuj ¾a postac

Cov(RA; RB) :=1

n

nXi=1

�RA;i � ~RA

��RB;i � ~RB

�; (65)

gdzie ~RA, ~RB � srednie arytmetyczne odpowiednio wielkosci RA;i, RB;i (i =1; :::; n),

�A;B : =Cov(RA; RB)

�A�B

=

Pni=1

�RA;i � ~RA

��RB;i � ~RB

�qPn

i=1(RA;i � ~RA)2qPn

i=1(RB;i � ~RB)2: (66)

W przypadku ma÷ej liczby danych, wspó÷czynnik 1=n wyst¾epuj ¾acy w (65) i (nie-jawnie) w (66) mo·ze byc zast ¾apiony przez 1=(n�1), podobnie jak przy obliczaniuwariancji akcji.Mówimy, ·ze akcje (inwestycje �nansowe) A i B s ¾a(a) dodatnio skorelowane, jesli �A;B > 0,(b) ujemnie skorelowane, jesli �A;B < 0,(c) nieskorelowane, jesli �A;B = 0,(d) doskonale (dok÷adnie) dodatnio skorelowane, jesli �A;B = 1,(e) doskonale (dok÷adnie) ujemnie skorelowane, jesli �A;B = �1.Uwaga. Wspó÷czynnik korelacji jest miar ¾a zale·znosci liniowej (por. wzór

(59)), tj. miar ¾a skupiania si¾e punktów (RA;i; RB;i) (w uk÷adzie wspó÷rz¾ednychna p÷aszczyznie) wokó÷linii prostej.

27 Model wartosci kapita÷u w czasie

Rozwa·zamy kapita÷K, którego wartosc w momencie t oznaczamy przez K(t),przy czym czas jest wyra·zony w latach. Kapita÷K mo·zna zatem traktowacjako funkcj¾e K : R ! R. Zak÷adamy, ·ze znana jest wartosc K(t0) kapita÷uK w momencie t0, przy czym K(t0) > 0. W celu aktualizacji wartosci tegokapita÷u na dowolnie wybrany moment tA odleg÷y od t0 o ca÷kowit ¾a ilosc lat,mo·zemy zastosowac wzór (8) na obliczanie procentu sk÷adanego (jesli tA > t0)

25

albo zasad¾e dyskonta (10) (jesli tA < t0). Przy obecnych oznaczeniach daje toodpowiednio

K(tA) = K(t0)(1 +R)tA�t0 , dla tA � t0 > 0; (67)

K(tA) =K(t0)

(1 +R)t0�tA= K(t0)(1 +R)

tA�t0 , dla tA � t0 < 0: (68)

Wzory (67) i (68) mo·zna uogólnic w ten sposób, ·ze dla dowolnego momentuczasowego t, bez wzgl¾edu na to, czy jest on wczesniejszy czy pózniejszy ni·z t0,wartosc kapita÷u zaktualizowana na moment t wynosi

K(t) = K(t0)(1 +R)t�t0 , t 2 R: (69)

28 Estymatory nieobci ¾a·zone

Rozwa·zamy model doswiadczenia polegaj ¾acy na n-krotnej realizacji pewnegodoswiadczenia losowego, którego modelem jest zmienna losowa X (o wartosci-ach rzeczywistych). Modelem takiej n-krotnej realizacji tego doswiadczenia jestn-wymiarowy wektor losowy (X1; :::; Xn), gdzie X1; :::; Xn s ¾a niezale·znymi zmi-ennymi losowymi, z których ka·zda ma taki sam rozk÷ad prawdopodobienstwa jakX. Taki wektor losowy (X1; :::; Xn) nazywamy n-elementow ¾a prób ¾a losow ¾a(prost ¾a) zmiennej losowej X.Niech ! 2 b¾edzie zdarzeniem elementarnym, w wyniku którego obser-

wujemy x1 = X1(!); :::; xn = Xn(!). Wówczas wektor (x1; :::; xn) nazywamyrealizacj ¾a próby losowej (X1; :::; Xn) odpowiadaj ¾ac ¾a zdarzeniu elemen-tarnemu !.Statystyk ¾a nazywamy ka·zd ¾a funkcj¾e rzeczywist ¾a Un = '(X1; :::; Xn) wek-

tora losowego (X1; :::; Xn) stanowi ¾acego prób¾e wyjsciowej zmiennej losowej X.Statystyk ¾a nazywa si¾e tak·ze realizacj¾e un = '(x1; :::; xn) zmiennej losowej Un.Za÷ó·zmy teraz, ·ze rozk÷ad zmiennej losowej X zale·zy od parametru � 2 R.

Wówczas rozk÷ad danej statystyki Un na ogó÷tak·ze zale·zy od �, pomimo tego,·ze sama statystyka nie jest funkcj ¾a �. Obserwacje statystyki Un mo·zna zatemwykorzystac do wnioskowania o parametrze �.Zmienn ¾a losow ¾a (statystyk¾e) Un = '(X1; :::; Xn), której realizacj¾e przyjmu-

jemy jako ocen¾e parametru �, nazywamy estymatorem parametru �.Estymator Un = '(X1; :::; Xn) parametru � nazywamy nieobci ¾a·zonym,

je·zeli EUn = �; w przeciwnym przypadku estymator Un nazywamy obci ¾a·zonym.Statystyk¾e

�X :=1

n

nXi=1

Xi (70)

nazywamy sredni ¾a z próby, a statystyk¾e

S2 :=1

n

nXi=1

(Xi � �X)2 (71)

26

�wariancj ¾a z próby.Stwierdzenie 3. Srednia z próby jest estymatorem nieobci ¾a·zonym wartosci

oczekiwanej EX.Dowód. Korzystaj ¾ac z liniowosci wartosci oczekiwanej (wzór (42)) oraz z

faktu, ·ze zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a ten sam rozk÷ad (a wi¾ec i wartoscoczekiwan ¾a) co X, otrzymujemy

E �X =1

n

nXi=1

EXi =1

n� nEX = EX. � (72)

Stwierdzenie 4. Wariancja z próby jest estymatorem obci ¾a·zonym wariancjiVarX.Dowód. Z de�nicji

S2 =1

n

nXi=1

(Xi � �X)2 =1

n

nXi=1

(X2i � 2Xi �X + �X2)

=1

n

nXi=1

X2i � 2 �X

1

n

nXi=1

Xi +1

n

nXi=1

�X2

=1

n

nXi=1

X2i � 2 �X2 + �X2 =

1

n

nXi=1

X2i � �X2:

St ¾ad, poniewa·z Xi maj ¾a ten sam rozk÷ad co X, otrzymujemy

E(S2) = E 1

n

nXi=1

X2i

!� E( �X2) = E(X2)� E( �X2): (73)

Zgodnie z (47) i (72) mamy

E(X2) = VarX + (EX)2; (74)

E( �X2) = Var �X + (E �X)2 = Var �X + (EX)2: (75)

Ponadto na mocy (70), w÷asnosci (b) wariancji oraz Twierdzenia 3

Var �X = Var

1

n

nXi=1

Xi

!=1

n2� nVarX =

1

nVarX. (76)

Ze wzorów (73)�(76) dostajemy

E(S2) = VarX �Var �X =

�1� 1

n

�VarX =

n� 1n

VarX;

co oznacza, ·ze S2 jest estymatorem obci ¾a·zonym parametru VarX. �Wniosek. Statystyka

S2 :=n

n� 1S2 =

1

n� 1

nXi=1

(Xi � �X)2

jest estymatorem nieobci ¾a·zonym wariancji VarX.Powy·zszy wniosek uzasadnia stosowanie wzoru (52) do prognozowania wari-

ancji stopy zysku w przypadku ma÷ej liczby danych.

27

29 Wariancja sumy zmiennych losowych

Dotychczas podalismy wzór na wariancj¾e sumy zmiennych losowych jedynie wprzypadku zmiennych losowych niezale·znych (wzór (55)). Obecnie podamy wzórdla przypadku ogólnego.Twierdzenie 5. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a wariancj ¾e, to ist-

nieje te·z wariancja sumyPn

i=1Xi i zachodzi równosc

Var

nXi=1

Xi

!=

nXi=1

VarXi + 2X

1�i<j�nCov(Xi; Xj): (77)

Dowód. Korzystaj ¾ac kolejno z (47), (42), ponownie z (47) oraz z (57),otrzymujemy

Var

nXi=1

Xi

!= E

24 nXi=1

Xi

!235� nXi=1

EXi

!2

=nXi=1

�E(X2

i )� (EXi)2�+ 2

X1�i<j�n

[E(XiXj)� EXi � EXj ]

=nXi=1

VarXi + 2X

1�i<j�nCov(Xi; Xj). �

Wniosek. Je·zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maj ¾a wariancj ¾e i s ¾a paraminieskorelowane, to zachodzi równosc (55).

30 Portfel dwóch akcji

Niech P oznacza portfel, w którym udzia÷y akcji A i B wynosz ¾a odpowiedniouA i uB . Udzia÷y te rozumiemy w sensie wartosciowym, a nie ilosciowym, coilustruje poni·zszy przyk÷ad.Przyk÷ad 6. Inwestor posiada portfel, w sk÷ad którego wchodzi 10 akcji

Exbudu (typ A) oraz 20 akcji Wedla (typ B). Aktualna cena jednej akcji Exbuduwynosi 45 z÷50 gr, a jednej akcji Wedla 16 z÷50 gr. Wobec tego udzia÷y tychakcji w portfelu wynosz ¾a:

uA =10 � 45; 5

10 � 45; 5 + 20 � 16; 5 t 0; 58; uB =20 � 16; 5

10 � 45; 5 + 20 � 16; 5 t 0; 42:

Ogólnie, udzia÷y akcji w portfelu s ¾a liczbami z przedzia÷u [0; 1], któresumuj ¾a si¾e do jednosci. Jest to równowa·zne warunkom:

uA � 0, uB � 0, uA + uB = 1: (78)

Oznaczmy oczekiwane stopy zysku akcji A i B odpowiednie przez RA i RB .Mog ¾a to byc równie·z srednie historyczne stopy zysku obliczone na podstawie

28

wczesniejszych notowan. Wówczas oczekiwana stopa zysku portfela P jestdana wzorem:

ERP = E(uARA + uBRB) = uAERA + uBERB : (79)

Zatem oczekiwana stopa zysku portfela jest sredni ¾a wa·zon ¾a oczekiwanych stópzysku obu akcji, przy czym wagami s ¾a udzia÷y tych akcji w portfelu.Korzystaj ¾ac z wzoru (77), mo·zemy wyznaczyc wariancj ¾e (stopy zysku)

portfela P :

VarRP = Var(uARA) + Var(uBRB) + 2Cov(uARA; uBRB)

= u2AVar(RA) + u2B Var(RB) + 2uAuB Cov(RA; RB); (80)

gdzie:Var(RA), Var(RB) �wariancje odpowiednio akcji A i B,Cov(RA; RB) �kowariancja akcji A i B.Przechodz ¾ac do ryzyka opisanego za pomoc ¾a odchylenia standardowego,

otrzymujemy z wzoru (80)

�P =pVarRP =

qu2A�

2A + u

2B�

2B + 2uAuB�A�B�A;B ; (81)

gdzie:�P �odchylenie standardowe (ryzyko) portfela P ,�A, �B �ryzyko odpowiednio akcji A i B,�A;B �wspó÷czynnik korelacji akcji A i B.Analizuj ¾ac wzory (79) i (81) widzimy, ·ze wartosci ERP i �P zale·z ¾a od udzi-

a÷ów poszczególnych akcji w portfelu oraz (w przypadku �P ) od korelacji mi¾edzyakcjami. Omówimy teraz ró·zne przypadki w zale·znosci od wartosci �A;B .

30.1 Przypadek �A;B = 1 (doskona÷a korelacja dodatnia)

Wzór (81) przyjmuje wówczas postac

�P =qu2A�

2A + u

2B�

2B + 2uAuB�A�B

=

q(uA�A + uB�B)

2= uA�A + uB�B : (82)

Geometrycznie oznacza to �na p÷aszczyznie, gdzie portfelowi P odpowiada para(�P ; ERP ) �·ze wszystkie portfele utworzone przez akcje A i B le·z ¾a na odcinku÷¾acz ¾acym punkty (�A; ERA) i (�B ; ERB). Jest to przypadek ma÷o interesu-j ¾acy dla inwestora, poniewa·z nie mo·zna uzyskac ryzyka portfela mniejszego ni·zminf�A; �Bg.

30.2 Przypadek �A;B = �1 (doskona÷a korelacja ujemna)Wzór (81) przyjmuje postac

�P =qu2A�

2A + u

2B�

2B � 2uAuB�A�B

=

q(uA�A � uB�B)2 = juA�A � uB�B j : (83)

29

Tutaj istnieje szansa na to, ·ze �P < minf�A; �Bg. W szczególnosci, mo·znauzyskac wartosc �P = 0, jesli

uA�A = uB�B : (84)

Uwzgl¾edniaj ¾ac równosc uA + uB = 1, czyli uA = 1� uB , otrzymujemy z (84)

(1� uB)�A = uB�B :

Przekszta÷cmy ten wzór w celu wyznaczenia uB :

�A � uB�A = uB�B , �A = uB(�A + �B):

St ¾aduB =

�A�A + �B

, uA =�B

�A + �B: (85)

Zatem udzia÷y akcji A i B w portfelu o zerowym ryzyku s ¾a dane wzorami(85). Oczekiwana stopa zysku takiego portfela wynosi

ERP = uAERA + uBERB =�BERA + �AERB

�A + �B: (86)

30.3 Przypadek �A;B = 0 (brak korelacji)

Wzór (81) przyjmuje postac

�P =qu2A�

2A + u

2B�

2B : (87)

Analiza wzoru (87) wykazuje, ·ze istnieje mo·zliwosc cz¾esciowej redukcji ryzykaportfela w stosunku do ryzyka akcji wchodz ¾acych w jego sk÷ad. Aby znalezcudzia÷y akcji tworz ¾ace portfel minimalnego ryzyka, nale·zy rozwi ¾azac równanie

d�PduA

=d

duA

qu2A�

2A + u

2B�

2B = 0: (88)

Mamy d�PduA

= 0 () uA�2A � �2B + uA�2B = 0 ()

uA =�2B

�2A + �2B

, st ¾ad uB =�2A

�2A + �2B

: (89)

Minimalne ryzyko tego portfela osi ¾agane przy udzia÷ach okreslonych wzorami(89) wynosi, zgodnie z (87),

�P =

s�4B�

2A + �

4A�

2B

(�2A + �2B)

2=

p�2A�

2B(�

2A + �

2B)

�2A + �2B

=�A�Bp�2A + �

2B

: (90)

Oczekiwana stopa zysku tego portfela wynosi

ERP =�2BERA + �2AERB

�2A + �2B

: (91)

30

31 Korelacja graniczna

Analizuj ¾ac wzór (81) okreslaj ¾acy ryzyko portfela dwóch akcji w ogólnym przy-padku, mo·zna postawic pytanie, dla jakich wartosci �A;B jest mo·zliwe obni·ze-nie ryzyka portfela poni·zej minf�A; �Bg. Okazuje si¾e, ·ze jest to mo·zliwe dlawartosci �A;B mniejszych od tzw. korelacji granicznej:

�gr := min

��A�B;�B�A

�: (92)

Stwierdzenie 5. Jesli �A;B < �gr, to istniej ¾a takie udzia÷y uA, uB, ·ze �P <minf�A; �Bg. Jesli �A;B � �gr, to minimaln ¾a wartosci ¾a �P jest minf�A; �Bg.W szczególnosci, jesli ryzyko obu akcji jest jednakowe (�A = �B), to dowolna

korelacja poza idealn ¾a dodatni ¾a (gdzie �A;B = 1) powoduje obni·zenie ryzykaportfela.

32 Zbiór portfeli dwóch akcji na p÷aszczyznie

Wszystkie portfele dwóch akcji A i B, przy dowolnej ich korelacji, mieszcz ¾asi¾e wewn ¾atrz trójk ¾ata, którego wierzcho÷kami s ¾a punkty A = (�A; ERA), B =(�B ; ERB) i portfel zerowego ryzyka P0 = (0; ERP0) (ten ostatni istnieje dla�A;B = �1).

33 Portfel wielu akcji �model Markowitza

Oznaczmy:m �liczba �rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m),nj �ilosc j-tych akcji znajduj ¾acych si¾e w portfelu.Zak÷adamy, ·ze nj (j = 1; :::;m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by÷

niepusty, trzeba za÷o·zyc, ·ze nj > 0 dla pewnego j. Liczby nj wyznaczaj ¾ask÷ad ilosciowy portfela. Nas interesuje sk÷ad procentowy (wartosciowy)portfela, tzn. jaki jest stosunek wartosci j-tych akcji w portfelu do ÷¾acznejwartosci wszystkich akcji znajduj ¾acych si¾e w tym portfelu.W celu wyznaczenia sk÷adu procentowego oznaczmy:pj �cena rynkowa j-tej akcji (pj > 0).Wówczas udzia÷procentowy (w sensie wartosci) j-tej akcji w portfelu okresla

liczbauj :=

njpjPmi=1 nipi

, j = 1; :::;m: (93)

Uwaga. ×atwo sprawdzic, ·ze

uj � 0; j = 1; :::;m;mXj=1

uj = 1 (94)

(tzw. równanie bud·zetowe).

31

Stwierdzenie 6. Wezmy dowolne liczby uj spe÷niaj ¾ace (94). Wówczasistniej ¾a takie liczby nieujemne n1; :::; nm, wyznaczone z dok÷adnosci ¾a do pro-porcjonalnosci, ·ze spe÷nione s ¾a równosci (93).Dowód. ×atwo sprawdzic, ·ze:(a) odwzorowanie (n1; :::; nm) 7�! (n1p1; :::; nmpm) przekszta÷ca zbiór

Rm+nf0g = f(n1; :::; nm) : ni � 0, i = 1; :::;mgnf(0; :::; 0)g

na siebie;

(b) odwzorowanie (y1; :::; ym) 7�!�

y1Pmi=1 yi

; :::; ymPmi=1 yi

�przekszta÷ca zbiór

Rm+nf0g na zbiórn(u1; :::; um) 2 Rm+ :

Pmj=1 uj = 1

o.

Z powy·zszych w÷asnosci (a), (b) wynika istnienie liczb n1; :::; nm spe÷niaj ¾a-cych równosci (93). Dowód jednoznacznosci: za÷ó·zmy, ·ze

uj =njpjPmi=1 nipi

=njpjPmi=1 nipi

, j = 1; :::;m:

Wówczas

nj = nj

�Pmi=1 nipiPmi=1 nipi

�= nj�;

gdzie � �wspó÷czynnik proporcjonalnosci, niezale·zny od j. �Uwaga. W teorii mo·zemy traktowac liczby uj spe÷niaj ¾ace za÷o·zenia Stwierdzenia

6 jako udzia÷y j-tych akcji w portfelu, o ile dopuscimy mo·zliwosc posiadaniaprzez inwestora dowolnych cz¾esci tych akcji (za÷o·zenie nieskonczonej podziel-nosci papierów wartosciowych).Zbiór

Pm :=

8<:u = (u1; :::; um) 2 Rm : ui � 0, i = 1; :::;m,mXj=1

uj = 1

9=; (95)

nazywamy zbiorem portfeli m-sk÷adnikowych. Wspó÷rz¾edna uj wektorau oznacza udzia÷j-tych papierów wartosciowych w portfelu u. Zbiór Pm jestsympleksem m-wymiarowym o wierzcho÷kach (0; ::; 0; 1i; 0; :::; 0), i = 1; :::;m,gdzie 1i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu.Dla dowolnego portfela u 2 Pm przyjmujemy nast¾epuj ¾ace oznaczenia:Rj �stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartosciowe,R = (R1; :::; Rm) �wektor (losowy) stóp zysku,� = (�1; :::; �m) � wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie �i := E(Ri)

(i = 1; :::;m),Kp �kapita÷pocz ¾atkowy inwestora,Kp;j := ujKp �cz¾esc kapita÷u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery

wartosciowe,Kk �kapita÷koncowy inwestora,Kk;j �kapita÷koncowy w j-tych papierach wartosciowych.Ze wzoru (2) otrzymujemy Kk;j = Kp;j(1 +Rj), j = 1; :::;m.

32

Stop ¾e zysku portfela u de�niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾alosow ¾a o wartosciach rzeczywistych:

R(u) :=Kk �Kp

Kp: (96)

W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b¾edziemy oznaczac iloczyn skalarny w przestrzeniRm:

hx; yi :=mXi=1

xiyi dla x = (x1; :::; xm), y = (y1; :::; ym): (97)

Stwierdzenie 7. Zachodzi równosc

R(u) = hu;Ri : (98)

Dowód.

R(u) =Kk �Kp

Kp=

Pmj=1Kk;j �

Pmj=1Kp;jPm

j=1Kp;j

=

Pmj=1Kp;j(1 +Rj)�

Pmj=1Kp;jPm

j=1Kp;j=

Pmj=1Kp;jRjPmj=1Kp;j

=Kp

Pmj=1 ujRj

Kp

Pmj=1 uj

=mXj=1

ujRj = hu;Ri . �

Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem

ER(u) = E

0@ mXj=1

ujRj

1A =mXj=1

uj�j = hu; �i : (99)

34 Macierz kowariancji wektora losowego

Niech X : ! Rm b¾edzie wektorem losowym. Jesli istniej ¾a wariancje VarXj ,j = 1; :::;m, to macierz

C := [cij ]mi;j=1, gdzie cij = Cov(Xi; Xj); (100)

nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X1; :::; Xm). Ist-nienie kowariancji Cov(Xi; Xj) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj¾etego za-÷o·zenia i ze wzoru (58).Stwierdzenie 8. Macierz kowariancji ma nast ¾epuj ¾ace w÷asnosci:(a) jest symetryczna, tzn. cij = cji dla dowolnej pary (i; j),(b) jest nieujemnie okreslona, tzn.

uCuT =mX

i;j=1

uiujcij � 0 dla ka·zdego u 2 Rm: (101)

33

Dowód. (a) wynika ze wzoru (56).(b) Rozwa·zmy zmienn ¾a losow ¾a Y :=

Pmi=1 uiXi. Jesli EXi = �i (i =

1; :::;m), to EY =Pm

i=1 ui�i oraz

0 � VarY = E�(Y � EY )2

�= E

24 mXi=1

ui(Xi � �i)!235

= E

24 mXi;j=1

uiuj(Xi � �i)(Xj � �j)

35 = mXi;j=1

uiujE�(Xi � �i)(Xj � �j)

�=

mXi;j=1

uiuj Cov(Xi; Xj) = uCuT . � (102)

Stosuj ¾ac cz¾esc (b) powy·zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) okreslonejwzorem (98) (gdzie u 2 Rm+ ), otrzymujemyWniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 Pm jest dana wzorem

VarR(u) = uCuT ; (103)

gdzie C jest macierz ¾a kowariancji wektora stóp zysku R = (R1; :::; Rm).Ryzyko portfela u jest okreslone jako odchylenie standardowe

�(u) =pVarR(u): (104)

Mówimy, ·ze macierz C jest dodatnio okreslona, je·zeli

uCuT > 0 dla ka·zdego u 2 Rmnf0g: (105)

Uwaga. Cz¾esto w literaturze macierz nieujemnie okreslon ¾a nazywa si¾emacierz ¾a dodatnio okreslon ¾a. Wówczas macierz spe÷niaj ¾ac ¾a warunek (105) nazywasi¾e macierz ¾a scisle dodatnio okreslon ¾a.Stwierdzenie 9. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodat-

nio okreslona wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a takie liczby u1; :::; um nie wszys-tkie równe zeru, ·ze zmienna losowa

Pmi=1 uiXi jest sta÷a z prawdopodobienstwem

jeden.Dowód. Zaprzeczenie warunku (105) oznacza, ·ze istnieje taki wektor u 6= 0,

·ze uCuT = 0. Na mocy (102) jest to równowa·zne warunkowi

E

24 mXi=1

uiXi �mXi=1

ui�i

!235 = 0: (106)

Wiadomo, ·ze wartosc oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeruwtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobienst-wem 1. Zatem warunek (106) oznacza, ·ze

Pmi=1 uiXi jest z prawdopodobienst-

wem 1 równa sta÷ejPm

i=1 ui�i. �

34

Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okreslona wtedy i tylkowtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych Xi zale·zy (z prawdopodobienstwemjeden) w sposób liniowy od pozosta÷ych zmiennych losowych.Dowód. Na mocy Stwierdzenia 9 macierz C nie jest scisle dodatnio okreslona

, 9u 6= 0,Pm

i=1 uiXi = � z prawdopodobienstwem 1, gdzie � jest pewn ¾a sta÷¾a.Wybieraj ¾ac sposród liczb ui jedn ¾a ró·zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a us), otrzymamyrównowa·zny warunek (tak·ze z prawdopodobienstwem 1)

Xs =1

us

0@�Xi 6=s

uiXi + �

1A . �Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela

u 2 Pm sytuacja opisana w powy·zszym wniosku oznacza, ·ze jeden z papierówwartosciowych znajduj ¾acych si¾e w portfelu mo·zna usun ¾ac, zast¾epuj ¾ac go kom-binacj ¾a pozosta÷ych papierów wartosciowych.

35 Zbiór mo·zliwosci i jego w÷asnosci

Odwzorowaniem Markowitza nazywamy odwzorowanie M : Pm ! R+ � Rokreslone wzorem

M(u) := (�(u); ER(u)): (107)

Zbiorem mo·zliwosci nazywamy zbiór wartosci odwzorowania M :

M :=M(Pm) = f(�(u); ER(u)) : u 2 Pmg: (108)

Stwierdzenie 10. Zbiór mo·zliwosci M ma nast ¾epuj ¾ace w÷asnosci:(a) jest zwarty i spójny,(b) je·zeli (x1; y) 2M i (x2; y) 2M, to

f�(x1; y) + (1� �)(x2; y) : � 2 [0; 1]g � M:

Dowód. (a) Ze wzorów (99), (103) i (104) wynika ci ¾ag÷osc odwzorowaniaM . ZatemM jest zwarty i spójny jako obraz ci ¾ag÷y zbioru zwartego i spójnegoPm.(b) Niech (xi; y) =M(ui), i = 1; 2 (gdzie ui 2 Pm). Nale·zy wykazac, ·ze

�(x1; y) + (1� �)(x2; y) = (�x1 + (1� �)x2; y) 2M dla ka·zdego � 2 [0; 1]:(109)

Ustalmy �� 2 [0; 1]. Funkcja

' : [0; 1] 3 t 7�! �(tu1 + (1� t)u2)

jest ci ¾ag÷a i '(0) = �(u2) = x2, '(1) = �(u1) = x1, zatem na mocy w÷asnosciDarboux przyjmuje wszystkie wartosci posrednie mi¾edzy x1 i x2. W szczegól-nosci, istnieje takie �t 2 [0; 1], ·ze

�(�tu1 + (1� �t)u2) = '(�t) = ��x1 + (1� ��)x2: (110)

35

Zbiór Pm jest wypuk÷y, zatem �u := �tu1+(1��t)u2 2 Pm . Niech ui = (ui1; :::; uim),i = 1; 2, wtedy

�u = (�tu11 + (1� �t)u21; :::; �tu1m + (1� �t)u2m):

Obliczmy stop¾e zysku portfela �u, zgodnie ze wzorem (98):

R(�u) =

mXj=1

(�tu1j + (1� �t)u2j )Rj

= �tmXj=1

u1jRj + (1� �t)mXj=1

u2jRj :

St ¾ad, korzystaj ¾ac z liniowosci wartosci oczekiwanej i z (99), otrzymujemy

ER(�u) = �tmXj=1

u1j�j + (1� �t)mXj=1

u2j�j

= �tER(u1) + (1� �t)ER(u2) = �ty + (1� �t)y = y: (111)

Ze wzorów (111) i (110) wynika, ·ze

M(�u) = (�(�u); ER(�u)) = (�(�tu1 + (1� �t)u2); y)= (��x1 + (1� ��)x2; y);

co konczy dowód (109). �Stwierdzenie 11. Jesli wszystkie wartosci �i ( i = 1; :::;m) s ¾a równe,

to zbiorem mo·zliwosci jest odcinek domkni ¾ety równoleg÷y do osi � (który mo·zeredukowac si ¾e do punktu).Dowód. Niech �� = �i dla i = 1; :::;m. Wówczas dla ka·zdego u 2 Pm mamy

na podstawie wzoru (99)

ER(u) =mXj=1

uj�j = ��mXj=1

uj = ��;

zatem funkcja ER(�) jest sta÷a na Pm. Poniewa·z funkcja �(�) jest ci ¾ag÷a, wi¾eczbiór jej wartosci osi ¾aganych na Pm jest zwarty i spójny w R, czyli jest przedzi-a÷em domkni¾etym. W konsekwencji obraz M(Pm) jest odcinkiem domkni¾etymrównoleg÷ym do osi �, po÷o·zonym na �wysokosci� ��. �Uwaga. W dalszym ci ¾agu b¾edziemy zak÷adac, ·ze nie wszystkie �i s ¾a równe.

36 Funkcje wypuk÷e i ich w÷asnosci

Zbiór A � Rn nazywamy wypuk÷ym, je·zeli dla dowolnych x, y 2 A

[x; y] := f�x+ (1� �)y : � 2 [0; 1]g � A: (112)

36

Niech f : A ! R b¾edzie funkcj ¾a okreslon ¾a na zbiorze wypuk÷ym A � Rn.Funkcj¾e f nazywamy(a) wypuk÷¾a, je·zeli dla dowolnych x, y 2 A i � 2 [0; 1],

f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y); (113)

(b) scisle wypuk÷¾a, je·zeli dla dowolnych x, y 2 A, x 6= y i � 2 (0; 1),

f(�x+ (1� �)y) < �f(x) + (1� �)f(y): (114)

Stwierdzenie 12 (w÷asnosci funkcji wypuk÷ych).(a) Jesli f : A! R jest wypuk÷a, to zbiór

Amin := fw 2 A : 8u 2 A, f(w) � f(u)g

wszystkich punktów minimalnych funkcji f jest wypuk÷y.(b) Jesli f : A ! R jest scisle wypuk÷a, to istnieje co najwy·zej jeden punkt

minimalny funkcji f .(c) Jesli f : A! R jest wypuk÷a, to ka·zdy punkt minimum lokalnego funkcji

f jest punktem minimalnym f .(d) Niech I b ¾edzie przedzia÷em w R i niech f : I ! R b ¾edzie funkcj ¾a wypuk÷¾a,

która ma punkt minimalny. Wówczas zbiór J wszystkich punktów minimalnychf jest przedzia÷em (który mo·ze redukowac si ¾e do punktu). Niech J = [�; �].Wtedy f jest scisle malej ¾aca na I \ (�1; �] i scisle rosn ¾aca na I \ [�;+1).Dowód (a). Niech x, y 2 Amin i niech � b¾edzie wspóln ¾a wartosci ¾a osi ¾agan ¾a

przez f w punktach zbioru Amin. Dla dowolnego � 2 [0; 1] mamy na podstawie(113)

f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y) = ��+ (1� �)� = �;

zatem �x + (1 � �)y 2 Amin. Wykazalismy w ten sposób, ·ze zbiór Amin jestwypuk÷y.(b). Dowód niewprost: przypuscmy, ·ze f posiada dwa ró·zne punkty mini-

malne x i y. Wówczas dla dowolnego � 2 (0; 1) mamy na podstawie (114)

f(�x+ (1� �)y) < �f(x) + (1� �)f(y) = �;

gdzie � jest okreslone tak jak w punkcie (a). Poniewa·z �x+ (1� �)y 2 A, wi¾ecpowy·zsza nierównosc jest sprzeczna z de�nicj ¾a punktu minimalnego. �

37 Ró·zniczkowalne funkcje wypuk÷e

Twierdzenie 6. Niech f : A! R b ¾edzie funkcj ¾a okreslon ¾a na zbiorze otwartymA � Rn. Za÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe pierwszego rz ¾edu wka·zdym punkcie zbioru A. Wówczas(a) f jest wypuk÷a wtedy i tylko wtedy, gdy

f(x) + hrf(x); y � xi � f(y), 8x, y 2 A; (115)

37

gdzie

rf(x) :=�@f

@x1(x); :::;

@f

@xn(x)

�:

(b) f jest scisle wypuk÷a wtedy i tylko wtedy, gdy

f(x) + hrf(x); y � xi < f(y), 8x, y 2 A, x 6= y: (116)

Dowód (a). Za÷ó·zmy, ·ze f jest wypuk÷a na A. Niech x, y 2 A i � 2 (0; 1].Wówczas

f(x+ �(y � x)) = f(�y + (1� �)x) � �f(y) + (1� �)f(x);

sk ¾adf(x+ �(y � x))� f(x)

�� f(y)� f(x):

Przechodz ¾ac do granicy przy �! 0+, otrzymujemy

hrf(x); y � xi = lim�!0+

f(x+ �(y � x))� f(x)�

� f(y)� f(x);

co dowodzi (115).Za÷ó·zmy teraz, ·ze zachodzi (115). Wezmy dowolne u, v 2 A i � 2 (0; 1).

Wówczas punkt w := �u+ (1� �)v nale·zy do A i mamy

v =w � �u1� � = w � �

1� � (u� w);

sk ¾ad

v � w = � �

1� � (u� w): (117)

Stosuj ¾ac warunek (115) do par w, u oraz w, v i uwzgl¾edniaj ¾ac (117) w drugimprzypadku, otrzymamy

f(w) + hrf(w); u� wi � f(u);

f(w) +

���1� �

�hrf(w); u� wi � f(v):

Pomnó·zmy teraz pierwsz ¾a z powy·zszych nierównosci przez � a drug ¾a przez 1��i dodajmy wyniki stronami. Uwzgl¾edniaj ¾ac de�nicj¾e w, otrzymamy

f(�u+ (1� �)v) = f(w) � �f(u) + (1� �)f(v):

Wykazalismy w ten sposób, ·ze f jest wypuk÷a na zbiorze A. �

38

38 Dwukrotnie ró·zniczkowalne funkcje wypuk÷e

Niech f : A ! R b¾edzie funkcj ¾a okreslon ¾a na zbiorze otwartym A � Rn. Za-÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz¾edu w ka·zdym punkciezbioru A. Macierz ¾a Hessego lub hesjanem funkcji f w punkcie x 2 A nazy-wamy macierz

r2f(x) :=

2666664@2f@x21(x) @2f

@x1@x2(x) � � � @2f

@x1@xn(x)

@2f@x2@x1

(x) @2f@x21(x) � � � @2f

@x2@xn(x)

......

. . ....

@2f@xn@x1

(x) @2f@xn@x2

(x) � � � @2f@x2n

(x)

3777775 : (118)

Twierdzenie 7 (wzór Taylora). Za÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodnecz ¾astkowe drugiego rz ¾edu na A. Niech x, y 2 A b ¾ed ¾a takimi punktami, ·zespe÷niony jest warunek (112). Wówczas istnieje taki punkt z 2 [x; y], ·ze

f(y) = f(x) + hrf(x); y � xi+ 12(y � x)r2f(z)(y � x)T : (119)

Twierdzenie 8. Za÷ó·zmy, ·ze f ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiegorz ¾edu na zbiorze otwartym i wypuk÷ym A. Jesli macierz Hessego r2f jest(a) nieujemnie okreslona na A, to f jest wypuk÷a na A;(b) dodatnio okreslona na A, to f jest scisle wypuk÷a na A.Dowód. Wezmy dowolne x, y 2 A. Poniewa·z A jest wypuk÷y, wi¾ec [x; y] �

A i z Twierdzenia 7 wynika istnienie takiego z 2 [x; y], ·ze spe÷niona jest równosc(119). W przypadku (a) r2f(z) jest nieujemnie okreslona i z (119) wynikanierównosc

f(y) � f(x) + hrf(x); y � xi (120)

i z Twierdzenia 6(a) otrzymujemy wypuk÷osc funkcji f . W przypadku (b)nierównosc (120) jest ostra dla y 6= x, poniewa·z r2f(z) jest dodatnio okreslona.Wówczas z Twierdzenia 6(b) wynika scis÷a wypuk÷osc f . �

39 Dalsze w÷asnosci zbioru mo·zliwosci

Stwierdzenie 13. (a) Rzut zbioru M na os ER jest przedzia÷em domkni ¾etymo koncach yl = mini �i, yu = maxi �i (gdzie yl < yu).(b) Dla ka·zdego y 2 [yl; yu] zbiór fx : (x; y) 2Mg jest przedzia÷em domkni ¾e-

tym (który mo·ze redukowac si ¾e do punktu). Oznaczmy ten przedzia÷przez[fmin(y); fmax(y)]. Wówczas funkcja fmin(�) jest ci ¾ag÷a i wypuk÷a, a funkcjafmax(�) jest ci ¾ag÷a.Dowód (a). Rzutem zbioru M na os ER jest zbiór fER(u) : u 2 Pmg.

Zbiór ten zawiera si¾e w przedziale [yl; yu], poniewa·z dla ka·zdego u 2 Pm

yl = yl

nXj=1

uj � ER(u) =mXj=1

uj�j � yunXj=1

uj = yu:

39

Pozostaje do wykazania, ·ze yl i yu s ¾a wartosciami ER(u) dla pewnych u. Niechyl = �j1 , wtedy dla u

1 = (0; ::; 0; 1j1 ; 0; :::; 0) mamy ER(u1) = �j1 = yl, podob-nie dla yu. �

40 Portfel minimalnego ryzyka

Niech y0 2 [yl; yu]. Portfel u0 2 Pm, dla którego

�(u0) = minf�(u) : u 2 Pm, ER(u) = y0g; (121)

nazywamy portfelem minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zyskuy0. Ka·zdy portfel u0, dla którego istnieje y0 spe÷niaj ¾ace warunek (121), nazy-wamy portfelem relatywnie minimalnego ryzyka.Portfel u0 2 Pm nazywamy portfelem minimalnego ryzyka, je·zeli

�(u0) = minf�(u) : u 2 Pmg: (122)

Zast¾epuj ¾ac w (122) �min� przez �max�, otrzymujemy de�nicj¾e portfelamaksymalnego ryzyka.Stwierdzenie 14. Je·zeli macierz kowariancji C wektora stóp zysku jest

dodatnio okreslona, to(a) dla ka·zdego y0 2 [yl; yu] istnieje dok÷adnie jeden portfel minimalnego

ryzyka dla y0;(b) istnieje dok÷adnie jeden portfel minimalnego ryzyka.Dowód. (a) Funkcja u 7�! �2(u) = uCuT (por. wzór (103)) jest scisle

wypuk÷a na Rm na mocy Twierdzenia 8(b), poniewa·z jej macierz ¾a Hessego wdowolnym punkcie u jest macierz 2C. Zbiór

fu 2 Pm : ER(u) = y0g (123)

jest wypuk÷y, wi¾ec na tym zbiorze funkcja �2(�) posiada co najwy·zej jeden punktminimalny (Stwierdzenie 12(b)), a poniewa·z zbiór ten jest zwarty, wi¾ec takipunkt istnieje. Zatem tak·ze funkcja �(�) posiada dok÷adnie jeden punkt mini-malny na zbiorze (123).(b) Dowód jest analogiczny do (a) z tym, ·ze zamiast (123) rozwa·zamy ca÷y

zbiór Pm. �

41 Brzeg zbioru mo·zliwosci

Stwierdzenie 15. Brzeg bdM zbioru mo·zliwosci M jest równy

Bmin [Bmax [Bl [Bu,

gdzieBmin := f(fmin(y); y) : y 2 [yl; yu]g �brzeg minimalny,Bmax := f(fmax(y); y) : y 2 [yl; yu]g �brzeg maksymalny,

40

Bl := f(x; y) 2M : y = ylg �brzeg dolny,Bu := f(x; y) 2M : y = yug �brzeg górny.Portfel u0 2 Pm nazywamy portfelem minimalnej oczekiwanej stopy

zysku, je·zeliER(u0) = minfER(u) : u 2 Pmg: (124)

Zast¾epuj ¾ac w (124) �min�przez �max�, otrzymujemy de�nicj¾e portfela maksy-malnej oczekiwanej stopy zysku.Uwaga. Z ci ¾ag÷osci funkcji �(�) i ER(�) oraz ze zwartosci zbioru Pm wynika

istnienie portfeli minimalnego i maksymalnego ryzyka oraz minimalnej i maksy-malnej oczekiwanej stopy zysku.Stwierdzenie 16. (a) Obrazy portfeli relatywnie minimalnego [maksymal-

nego] ryzyka wyznaczone przez odwzorowanie Markowitza le·z ¾a na brzegu mini-malnym Bmin [maksymalnym Bmax] .(b) Obrazy portfeli minimalnej [maksymalnej] oczekiwanej stopy zysku wyz-

naczone przez odwzorowanie Markowitza tworz ¾a brzeg dolny Bl [brzeg górnyBu].(c) Je·zeli istnieje dok÷adnie jedno i 2 f1; :::;mg takie, ·ze �i = yl [ �i = yu],

to istnieje dok÷adnie jeden portfel minimalnej [maksymalnej] oczekiwanej stopyzysku.Dowód (c). Niech �i0 = yl, wtedy z za÷o·zenia �i0 < �i dla wszystkich

i 6= i0. Wówczas portfelem minimalnej oczekiwanej stopy zysku jest u0 =(0; ::; 0; 1i0 ; 0; :::; 0). Dla ·zadnego innego portfela nie jest osi ¾agni¾eta wartosc yl,bo jesli u jest dowolnym portfelem ró·znym od u0, to uj > 0 dla pewnego j 6= i0.St ¾ad i z nierównosci �i0 < �j wynika, ·ze uj�j > uj�i0 i w konsekwencji

ER(u) =mXi=1

ui�i >

mXi=1

ui�i0 = �i0 = yl;

gdzie nierównosc �>�pomi¾edzy sumami wynika st ¾ad, ·ze dla j-tych sk÷adników wobu sumach zachodzi nierównosc �>�, a dla pozosta÷ych sk÷adników �nierównosc���. �

42 Relacja Markowitza

Relacj ¾e Markowitza �M w zbiorze portfeli m-sk÷adnikowych Pm okreslamynast¾epuj ¾aco:

u �M v , (ER(u) � ER(v) ^ �(u) � �(v)): (125)

×atwo wykazac, ·ze �M spe÷nia warunki:(a) zwrotnosc: 8u 2 Pm : u �M u;(b) przechodniosc: 8u, v, w 2 Pm : (u �M v ^ v �M w)) u �M w.Uwaga. Relacja Markowitza nie jest antysymetryczna: je·zeli u �M v i

v �M u, to ER(u) = ER(v) i �(u) = �(v), ale niekoniecznie u = v, poniewa·zodwzorowanie Markowitza nie jest ró·znowartosciowe (przyk÷ad: przecinaj ¾ace si¾ekrzywe portfeli dwóch ró·znych par akcji).

41

Portfel u 2 Pm nazywamy efektywnym, je·zeli jest elementem maksymal-nym w sensie relacji �M , tzn. spe÷nia warunek

8v 2 Pm : u �M v ) v �M u: (126)

Stwierdzenie 17. Portfel u0 2 Pm jest efektywny wtedy i tylko wtedy, gdydla ka·zdego u 2 Pm

(ER(u0) � ER(u)^�(u0) � �(u))) (ER(u0) = ER(u)^�(u0) = �(u)): (127)

Inaczej: Portfel u0 jest efektywny , nie istnieje u 2 Pm takie, ·ze ER(u0) �ER(u), �(u0) � �(u) i co najmniej jedna z tych nierównosci jest ostra. Oznaczato, ·ze nie mo·zna zwi¾ekszyc oczekiwanej stopy zysku portfela bez jednoczesnegozwi¾ekszenia ryzyka oraz nie mo·zna zmniejszyc ryzyka bez jednoczesnego zm-niejszenia oczekiwanej stopy zysku.

43 Granica efektywna zbioru mo·zliwosci

ZbiórF := fM(u) : u jest portfelem efektywnym g (128)

nazywamy granic ¾a efektywn ¾a zbioru mo·zliwosci.Stwierdzenie 18. (a) Punkt (x0; y0) nale·zy do F wtedy i tylko wtedy, gdy

M\ f(x; y) : x � x0 ^ y � y0g = f(x0; y0)g: (129)

(b) Je·zeli y0 2 [yl; yu] jest takim punktem, ·ze (fmin(y0); y0) =M(u0), gdzieu0 jest portfelem minimalnego ryzyka, i ·zaden inny punkt (fmin(y); y), gdziey > y0, nie jest obrazem portfela minimalnego ryzyka, to granica efektywna Fjest dana wzorem

F = f(fmin(y); y) : y 2 [y0; yu]g: (130)

Dowód. (a) Koniecznosc: Za÷ó·zmy, ·ze (x0; y0) 2 F . Wyka·zemy, ·zespe÷niona jest równosc (129). Inkluzja ���jest oczywista. Niech teraz (x; y) 2M spe÷nia warunki

x � x0 ^ y � y0: (131)

Z za÷o·zenia i z warunku (128) wynika, ·ze istnieje taki portfel efektywny u0, dlaktórego

(x0; y0) =M(u0) = (�(u0); ER(u0)): (132)

Poniewa·z punkt (x; y) nale·zy doM, wi¾ec jest obrazem pewnego portfela u:

(x; y) =M(u) = (�(u); ER(u)): (133)

Z warunków (131)�(133) otrzymujemy

�(u) � �(u0) ^ ER(u) � ER(u0): (134)

42

St ¾ad na podstawie Stwierdzenia 17 mamy

�(u) = �(u0) ^ ER(u) = ER(u0); (135)

a wi¾ec (x; y) = (x0; y0).Dostatecznosc. Za÷ó·zmy, ·ze punkt (x0; y0) spe÷nia (129). Z warunku

tego wynika w szczególnosci, ·ze (x0; y0) nale·zy do M, a wi¾ec jest obrazempewnego portfela u0 (czyli zachodzi (132)). Wyka·zemy, ·ze portfel u0 jest efek-tywny, pos÷uguj ¾ac si¾e Stwierdzeniem 17. Wezmy dowolne u 2 Pm; udowodnimyprawdziwosc implikacji (127). Przypuscmy, ·ze poprzednik tej implikacji jestspe÷niony, tj. zachodzi (134). Wtedy punkt (x; y) := (�(u); ER(u)) spe÷nia(131), a wi¾ec na podstawie (129) mamy (x; y) = (x0; y0). Zatem prawdziwy jestnast¾epnik implikacji (127).(b) Wyka·zemy najpierw inkluzj¾e ���w (130). Niech (�x; �y) = M(�u) 2 F .

Nale·zy sprawdzic dwa warunki: (i) �x = fmin(�y), (ii) y0 � �y � yu.Dowód (i). Na mocy Stwierdzenia 13(a) �y 2 [yl; yu]. St ¾ad i ze Stwierdzenia

13(b) otrzymujemy

fx : (x; �y) 2Mg = [fmin(�y); fmax(�y)]:

W szczególnosci, �x nale·zy do powy·zszego przedzia÷u, zatem �x � fmin(�y). Przy-puscmy, ·ze �x > fmin(�y). Wówczas dowolny portfel u 2 M�1((fmin(�y); �y)) spe÷-nia warunki

�(u) = fmin(�y) < �x = �(�u) oraz ER(u) = �y = ER(�u);

co jest sprzeczne z efektywnosci ¾a portfela �u. Wykazalismy w ten sposób, ·ze�x = fmin(�y).Dowód (ii). Wystarczy wykazac nierównosc y0 � �y. Przypuscmy, ·ze y0 > �y.

Poniewa·z u0 jest portfelem minimalnego ryzyka, wi¾ec

�(u0) � �(�u) oraz ER(u0) = y0 > �y = ER(�u);

co jest sprzeczne z efektywnosci ¾a portfela �u.Wyka·zemy teraz inkluzj¾e ���w (130). Wezmy dowolne y 2 [y0; yu]. Nale·zy

wykazac, ·ze punkt (fmin(y); y) jest obrazem pewnego portfela efektywnego. ZeStwierdzenia 13(b) wynika istnienie takiego portfela u, ·ze

M(u) = (fmin(y); y): (136)

Wyka·zemy, ·ze u jest portfelem efektywnym. Wezmy dowolny inny portfel vtaki, ·ze

ER(u) � ER(v) ^ �(u) � �(v): (137)

Na mocy Stwierdzenia 13(b) funkcja fmin jest wypuk÷a, a na mocy Stwierdzenia12(d) fmin jest scisle rosn ¾aca na [y0; yu] (bo y0 jest najwi¾ekszym punktem min-imalnym tej funkcji). Przypuscmy, ·ze ER(u) < ER(v). Wówczas z monoton-icznosci fmin oraz z (136) wynika, ·ze

�(u) = fmin(y) = fmin(ER(u)) < fmin(ER(v)) � �(v);

43

co jest sprzeczne z drug ¾a nierównosci ¾a w (137). Zatem ER(u) = ER(v). Przy-puscmy teraz, ·ze �(u) > �(v). Wówczas

�(v) < �(u) = fmin(ER(u)) = fmin(ER(v)) � �(v);

co daje sprzecznosc. Zatem �(u) = �(v), co konczy dowód efektywnosci portfelau. �

44 Inny wzór na wariancj¾e portfela

Rozwa·zamy portfel m papierów wartosciowych. Niech �i :=pVarRi oznacza

odchylenie standardowe i-tego papieru (i = 1; :::;m). Dotychczas wspó÷czynnikkorelacji i-tego i j-tego papieru by÷okreslony tylko wtedy, gdy oba odchyleniastandardowe by÷y ró·zne od zera. Obecnie przyjmujemy

�ij :=

� cij�i�j

gdy �i 6= 0 6= �j ;0 w przeciwnym przypadku.

(138)

gdzie cij = Cov(Ri; Rj).Stwierdzenie 19. Dla dowolnego portfela u 2 Pm

VarR(u) =mXi=1

�2iu2i + 2

m�1Xi=1

mXj=i+1

�ij�i�juiuj : (139)

Dowód. Korzystaj ¾ac z wzorów (103), (101) oraz z symetrii macierzy kowari-ancji, otrzymujemy

VarR(u) =mX

i;j=1

uiujcij =mX

i;j=1

ciiu2i + 2

m�1Xi=1

mXj=i+1

uiujcij : (140)

Dla i 6= j mamy ma podstawie (138) cij = �ij�i�j , natomiast dla i = j mamy

cii = Cov(Ri; Ri) = Eh(Ri � �i)

2i= VarRi = �

2i :

Podstawiaj ¾ac te równosci do (140), otrzymujemy (139). �

45 Szczególne przypadki portfeli efektywnych

Portfel zachowawczy �charakteryzuje si¾e tym, ·ze przejscie do innego port-fela zachowawczego o wy·zszym poziomie zysku wi ¾a·ze si¾e z mniejszym wzrostemryzyka ni·z wzrost zysku. Portfele zachowawcze s ¾a preferowane przez ostro·znychinwestorów.Portfel agresywny �charakteryzuje si¾e tym, ·ze przejscie do innego portfela

agresywnego o wy·zszym poziomie zysku wi ¾a·ze si¾e z wi¾ekszym wzrostem ryzykani·z wzrost zysku.

44

Portfel krytyczny �oddziela krzyw ¾a portfeli zachowawczych od krzywejportfeli agresywnych. Powy·zej tego portfela przyrost zysku zwi ¾azany jest zszybszym przyrostem ryzyka. Matematycznie oznacza to, ·ze jesli M(u) =(�(u); ER(u)) jest obrazem portfela krytycznego, to f 0min(ER(u)) = 1.Portfel minimalnego ryzyka �jest to charakterystyczny portfel zachowaw-

czy o najmniejszym globalnym ryzyku. Ryzyka tego nie da si¾e bardziej zm-niejszyc bez zmiany zasad inwestowania. Portfele minimalnego ryzyka s ¾a wyko-rzystywane przez fundusze inwestycyjne o niskim ryzyku i fundusze emerytalne.Portfel optymalny �jest to portfel o najwi¾ekszym zysku wzgl¾ednym odnos-

zonym do ryzyka. Geometrycznie oznacza to, ·ze prosta przechodz ¾aca przezpocz ¾atek uk÷adu wspó÷rz¾ednych jest w punkcie b ¾ed ¾acym obrazem portfela op-tymalnego styczna do wykresu funkcji fmin.

45