（付録）「回折拡がりと回折限界」

1. 回折拡がり：円開口2. 絵解き解説：フラウンホーファー回折3. 回折限界：レーリー基準4. 光学的フーリエ積分5. 絵解き解説：光学的フーリエ積分6. フレネル核のフーリエ積分7. 参考：フレネル積分

暫定版修正・加筆の可能性あり

付録（９０１～９０４）のアプローチ：回折（diffraction）までの道標

1. 回折拡がり（diffraction: the spreading of waves）と回折限界（diffraction limit）について検討2. 虚数単位「ｉ」を使用する。3. お詫び：自己流かつ説明が飛躍する場面があります。

回折• フラウンホーファー回折と言えば「遠方で拡がる（回折拡がり）ビーム」を想像する。• 回折限界と言えば「レンズ近傍の焦点スポットサイズ（レンズの回折限界）」をイメージする。• 本付録では両者を比較、数式表記が共通であることを確認する。• 理論限界として「レーリー基準：Rayleigh criterion」を採用する。• 説明省略：アッベの顕微鏡の分解能「Abbe diffraction limit for a microscope」

９０４－1

９０４－2

参照：903

比較：回折条件（１）

フレネル回折（Fresnel diffraction）• フレネル近似を満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式• 入力側波動関数分布とフレネル核の畳み込み積分• 入力側波動関数分布とフレネル核の積に対するフーリエ積分を含む

( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 1 2 1, , ,all

u x y dx dy u x y h x x y yΛ= − −∫

フラウンホーファー回折（Fraunhofer diffraction）• フレネル・フラウンホーファー近似を満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式• 入力側波動関数分布のフーリエ積分を含む• 絶対値で考えるなら入力側波動関数分布のフーリエ積分

[ ] [ ]2 12 1 2 1 12, 1u h F u u F u hΛ Λ= → = =

12212 121, ikzD z e i zλ Λ λ≥ ≡

( )212 12 1 11, , 1D z h x yλ

( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1

122 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1, , , ,

ik x x y yz

allu x y h x y dx dy u x y h x y eΛ

− +

= ∫

略記：フーリエ積分

( ) ( ) ( )( )2 1 2 1

122 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1, , ,

ik x x y yz

allu x y h x y dx dy u x y eΛ

− +

= ∫

略記：フーリエ積分

略記：畳み込み積分 ( )( )

[ ]

2 2

1222 1 12 12

2 12 1 12

* ,ik x yzu u h h x y e

u h F u h

Λ

Λ

+

= =

=

９０４－3

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 1

2 1 12 12 1 12

212 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1

*12 2 2 1 1 0 1 1 12 1 1 12 1 1

*

, , ,

, , , ,

i x y

all

all

u u h h F u h

h x y dx dy u x y h x y e

h dx dy u x y h x y h x y

π ξ ζ

Λ Λ

Λ

Λ ξ ζ

− +

= = ⇔

=

=

∫∫ ( )

( ) ( ) ( )

[ ]

2 1 2 1

2 1 2 1

2

212 2 2 1 1 0 1 1

12 0

, ,

i x y

i x y

all

e

h dx dy u x y e

h F u

π ξ ζ

π ξ ζΛ ξ ζ

Λ

− +

− +

=

= ⇔

∫

レンズ付きフレネル回折（３）

次頁参照 ( ) ( )( )

( ) ( )2 21 1

12 *21 1 1 0 1 1 0 1 1 12 1 1, , , ,

ik x yf zfu x y u x y e u x y h x y

− +== →

理想的な凸レンズ：無収差、無損失、薄いが無限に大きい

是非、暗記しましょう• レンズ通過直後の波動関数u1に対するフレネル回折とレンズ入

射直前の波動関数u0に対するフラウンホーファー回折は焦点面で数式表現上、一致、等価

• レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は焦点面で数式表現上、一致、等価（別表現）

レンズ付きフレネル回折：入力側（レンズ通過直後）ｕ1

フラウンホーファー回折：入力側（レンズ入射直前）ｕ0

凸レンズの役割：フレネル核の複素共役

フレネル核参照903-11

光学的フーリエ変換：同一焦点のレンズを利用すればフレネル核も相殺可実は一枚でよい：光学的フーリエ積分（904）

12z f=

0u [ ]0F uΛ

[ ] [ ]*2 12 0 12 2 0u h F u h u F uΛ Λ= → =

*12h

レンズ：フレネル核相殺用

1u 2u

( )( )2 2

12212 ,

ik x yzh x y e

+

=

９０４－4

参照：903

レンズ付きフレネル回折（２）

前頁と異なる角度で描写

円開口：直径

回折拡がりスリット

ｚ軸

入射光：平行ビーム

D 注意：理想的な凸レンズ• 無収差、無損失、薄いが

無限に大きい• 凸レンズの円開口部以外

は不要なので前頁では消去している。

12z f=

波動関数

• レンズ入射直前（瞳関数）

• レンズ通過直後（次頁）

( ) ( )1 1 1 0 1 1 10, lim , ,u x y u x y z

εε

→= +

1z z= 2z z=

( )2 2 2,u x y←

( )1 1 1,u x y←( )0 1 1,u x y →

( ) ( )0 1 1 0 1 1 10, lim , ,u x y u x y z

εε

→= −

注意：スリットの役割

瞳関数 に開口情報を反映させることで見かけ上、

スリットを消去できる。

( )0 1 1,u x y

９０４－5９０４－5

レンズ無しフラウンホーファー回折

回折拡がり

ｚ軸

あたりまえですが：• 遠方でのみフラウンホーファー回折は有効である。• 近傍ではフラウンホーファー回折を使用しない。 2

12 1D zλ

フラウンホーファー近似（遠方）

フレネル近似（近傍）

212 1D z λ ≥

：小12z

12z：中

：大

注意：近軸近似はフラウンホーファー近似でもフレネル近似でも成立している。上図は回折拡がりをやや誇張しすぎている。参照903

12z f=

集光限界：レンズの回折限界

焦点面

注意：一粒で二度おいしいフラウンホーファー回折• 最初に、レンズ無しフラウンホーファー回折で拡がり角を求める。• 次に、焦点面にフラウンホーファー回折を適用してレンズの回折限界を求める。• レンズの回折限界を求める計算にレンズの存在感が薄い。• 但し、焦点面付近以外での「レンズ無しフラウンホーファー回折」の使用は不可

重要：レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は焦点面で数式表現上、一致、等価

フラウンホーファー回折で求めるビーム径

2ρ

2D a=

回折拡がり：円開口（１）

簡単のため：円開口による光波の回折

フラウンホーファー領域：フーリエ積分波動関数分布

円開口：直径

回折拡がり

スリット

ｚ軸

( )1 1 1,u x y

212 1D zλ

[ ]12 1h F uΛ

12z ( )2 2 2,u x y

入射光：平行ビーム

2D a=

( ) 2 2 21 1 1 1 1

2

, 10

2

u x y for x y aotherwise

D aS aπ

= + ≤

==

=

円開口の入力側波動関数分布（瞳関数）

円開口：面積

2D a=

円開口スリット

９０４－6

フラウンホーファー回折条件（遠方）

入力側 出力側

回折拡がり：円開口（２）

参照903-14• フラウンホーファー回折は入力側波動関数分布のフーリエ積分を含む。• 波動関数の絶対値は波の振幅、光強度は振幅の自乗に比例する。• 絶対値を求める場合、フレネル核は不要である。

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

122 1 2 112

2 22 1 2 1 2 2

12 12

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 112

21 1 1 1 1 12 2 2

, , ,

, ,

ik ikzx x y yz

all

ik ikx x y y x yz z

all

eu x y h x y dx dy u x y ei z

dx dy u x y e h x y e

Λ Λλ

Λ

− +

− + +

= ≡

→ =

∫

∫

212 2 21,h I u= ∝

９０４－7

座標変換：円座標

1,2 1,2cos , sini i i i i ix yρ θ ρ θ= == =

出力側波動関数計算例（904-11）

x

y( ),x y

ρθ

( ) ( )1 22 2

12

2,

Ju S ka

zδ ρρ Λ δ

δ= =

ベッセル関数：Bessel function

９０４－8

回折拡がり：円開口（３）

簡単のため：円開口による光波の回折

回折拡がり

スリット

ｚ軸

入射光：平行ビーム

( ) ( ) 22 1 2

2 212

2,

Ju ka

zδ ρρ δ

δ

∝ =

( )12J δδ

( ) 212J δ δ

δ3.83δ =

フレネル領域（近傍）

フラウンホーファー回折（遠方）2

12 1D zλ

212 1D z λ ≥

光強度：振幅の自乗に比例

エアリーディスク：Airy disk円形開口を通過した光は回折拡がりを生じるが、フラウンホーファー領域（遠方）では、中心に「エアリーディスク」とよばれる明領域がある。上図ではやや見にくいが同心円状の明暗のパターンが繰り返される。

2D a=

第一暗環

９０４－9

回折拡がり：円開口（４）

光強度：振幅の自乗に比例

( ) ( )

( )

22 1 2

2 212

1

2,

3.83 0.61 2 0

Ju ka

z

J

δ ρρ δδ

δ π δ

∝ =

= = × → =

( )12J δδ

( ) 212J δ δ

3.83δ =

3.83 12 122 0.61 1.22z z

a Dδ λ λρ = = =

第一暗環

第一暗環：回折拡がりビーム径の目安

3.832δρ =

第一暗環：the first dark ring

回折拡がりにおけるレーリー基準（やや不正確）レーリー基準とは回折光のビーム径の目安として第一暗環を採用する行為

９０４－10

回折拡がり

212 1D zλ

フラウンホーファー領域（遠方）

フレネル領域（近傍）

212 1D z λ ≥

ϑ

：小12z

12z：中

：大12z f=

集光限界：レンズの回折限界

焦点面重要：レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は焦点面で数式表現上、一致、等価

絵解き解説：フラウンホーファー回折（１）

3.832δρ =

第一暗環

3.832

12

tan 0.61 1.22 1.22z a D D

δρ λ λ λϑ ϑ=

= = →

フラウンホーファー回折で求めた拡がり角：レーリー基準 近軸近似

ｚ軸

フラウンホーファー回折で求めるビーム径

2D a=

あたりまえですが：• 遠方でのみフラウンホーファー回折は有効である。• 近傍ではフラウンホーファー回折を使用しない。

９０４－11

絵解き解説：フラウンホーファー回折（２）

条件：フラウンホーファー回折は遠方でのみ有効 フラウンホーファー近似（遠方）

入力側波動関数分布円開口

円開口：直径

拡がり角

スリット

ｚ軸

( )1 1 11 2u for D aρ ρ= ≤ =

212 1D zλ

12z

入射光：平行ビーム

( ) ( ) 22 1 2

2 212

2, 1.22

Ju ka

z Dδ ρ λρ δ ϑ

δ

∝ =

遠方：回折拡がりビーム

ϑ

( ) 22 2u ρ( )1 1u ρ

フラウンホーファー回折で求めた拡がり角：レーリー基準

第一暗環

フレネル近似

2D a=

計算例：円開口（１）

計算例

( ) ( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2

12 12

122 1 1 2

12 2 11 2 2

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2

cos2

1 1 1 1 1 10 0

, 2 cos12 120

2 2

cos cos sin sin cosik ikx x y y az z

allzk kx x

z k ixz

x x y y

dx dy u e d d e

z zx d x d ek k

ρ ρ θ θπ

ρ ρ ρ π θρ αα θ θ θ

ρ ρ θ θ θ θ ρ ρ θ θ

Λ Λ ρ ρ θ

Λ αρ ρ

− + − −

= = − −= − −

+ = + = −

=

→

∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

212

212

212

22 cos12

0 02

22 cos 12

0 00 02

2

121 0 10

2

122

1 22

2

a

k a ixz

k aix z

k az

z dx x d ek

zJ x d e dx xJ xk

zd dxJ x xJ x dx xJ xdx k dx

ρ

ρ π α

π ρα

ρ

πΛ αρ π

α πΛπ ρ

πΛρ

−

−

=

= →

= →

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫９０４－12

ベッセル関数：Bessel function

９０４－13

計算例：円開口（２）

計算例：続き

( )12

212

12 12

12

2 2

12 121 2 1 20

2 2 12 12 12

12 12 22 1 2 1

12 2 2 12 12 2 12

2

2

2 2

2

ikzk az

ikz ikz

ikz

z z k k exJ x aJ ak k z z i z

z ze k k eaJ a aJ kai z k k z z i z

e akai z

ρπΛ πΛ ρ ρ Λ

ρ ρ λ

ρπ ρ ρλ ρ ρ ρ

ρρ

→ = ≡

= =

=

( )

1212

2 1 2 112

2 2 21 1 12

12 12 122

2 2 212 2 12 12

12 12 12

21

12 21 1 1

2 12

12

22

21, ,

ikzikz

ik x x y yz

all

J ka J ka J kaz z ze aa a e

i z i zka ka kaz z z

J kaz

dx dy u e S S azka

z

ρ ρ ρρπ π

ρ ρ ρρ λ λ

ρ

Λ Λ π Λρ λ

− +

= =

= = ≡∫

絶対値

９０４－14

集光限界：レンズの回折限界

設定：有限開口レンズ

円開口：直径

スリット

ｚ軸

入射光：平行ビーム

注意：理想的な凸レンズ• 無収差、無損失、薄いが

無限に大きい• 凸レンズの円開口部以外

は光を遮断する。

12z f=

振幅分布

• レンズ入射直前（瞳関数）

• レンズ通過直後（次頁）

( ) ( )1 1 1 1 1 1 10, lim , ,u x y u x y z

εε

→= +

1z z= 2z z=

( )2 2 2,u x y←

( )1 1 1,u x y←( )0 1 1,u x y →

( ) ( )0 1 1 0 1 1 10, lim , ,u x y u x y z

εε

→= −

注意：スリットの役割

瞳関数 に開口情報を反映させることで見かけ上、

スリットを消去できる。

( )0 1 1,u x y

集光スポット

フレネル回折

( )11 22*u h uΛ →

再掲：レンズ付きフレネル回折（２）

参照：903

2D a=

９０４－15

レンズ無しフラウンホーファー回折

回折拡がり

ｚ軸

212 1D zλ

フラウンホーファー近似（遠方）

フレネル近似（近傍）

212 1D z λ ≥

：小 12z 12z：中 ：大

注意：近軸近似はフラウンホーファー近似でもフレネル近似でも成立している。上図は回折拡がりをやや誇張しすぎている。参照903

12z f=

集光限界：レンズの回折限界焦点面

注意：一粒で二度おいしいフラウンホーファー回折• 最初に、レンズ無しフラウンホーファー回折で拡がり角を求める。• 次に、焦点面にフラウンホーファー回折を適用してレンズの回折限界を求める。

レンズの回折限界を求める計算にレンズの存在感が薄い。但し、焦点面付近以外での「レンズ無しフラウンホーファー回折」の使用は不可

重要：レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は焦点面で数式表現上、一致、等価

フラウンホーファー回折で求めるビーム径

2ρ

2D a=

あたりまえですが：• 遠方でのみフラウンホーファー回折は有効である。• 近傍ではフラウンホーファー回折を使用しない。

2ρ

2 12@ z fρ =

９０４－16

回折限界：レーリー基準（１）

目的：フラウンホーファー回折で求めた結果をそのままレンズの回折限界で利用する。

焦点面：

出力側波動関数分布

円開口フラウンホーファー回折（参照：904-7）

第一暗環：回折拡がりビーム径の目安

レンズの回折限界焦点面でのビーム径

重要：• 本来、フラウンホーファー回折は遠方での回折拡がりを記述• ところが、レンズの回折限界に利用できる！• つまり、レンズ近傍の集光スポット計算にもフラウンホーファー回折

を適用可• 但し、焦点面のみ有効

12

3.83 12 122 0.61 1.22

1.22z f

z za Df

D

δ λ λρ

λ

=

=

= =

→

2 12@ z fρ =

第一暗環

3.832δρ =

3.83δ =

第一暗環：the first dark ring

( ) 212J δ δ

９０４－17

回折限界：レーリー基準（2）

集光限界：レンズの回折限界

設定：有限開口レンズ

円開口：直径

スリット

ｚ軸

入射光：平行ビーム

2D a=

f

光強度：振幅の自乗に比例

( ) ( ) 22 1 2

2 2

2,

Ju ka

fδ ρρ δ

δ

∝ =

集光スポットサイズ：レーリー基準

3.8322 δρ =

NA=sin tan3.83 3.832 20.61 1.22 0.61a ff f

a D NAδ δλ λ λρ ρΘ Θ== == = → =

開口数：numerical aperture

第一暗環：集光スポットサイズの目安

第一暗環：904-9

回折限界におけるレーリー基準（やや不正確）レーリー基準とは焦点面での集光スポットサイズの目安として第一暗環を採用する行為

やや物足らないかもしれません！レンズの回折限界といっても焦点面以外の状況はわからない。

aΘ

光学的フーリエ積分（１）

これから調べたいこと

• 理想的な凸レンズ（無収差、無損失、薄いが無限に大きい）• 前・後焦点面上の波動関数分布（瞳関数）の関係

01z f=

( )( ) ( )

2 1 1

*1 1 1 1 112

,

, ,

u x y

u x y h x y

→

=

( )3 2 2,u x y→( )0 0 0,u x y → ( )1 1 1,u x y →

12z f=

前焦点面波動関数分布

後焦点面波動関数分布

( ) ( )01 120 0 0 3 2 2, , ?z z fu x y u x y= =→

( )( )( )

1 1 1

0 101 1

,

* ,

u x y

u h x yΛ=

フレネル回折

凸レンズ：フレネル核の複素共役理想的なレンズ

注意：フレネル核の添字と距離の添字

フレネル回折

( )( )( )

3 2 2

2 212 2

,

* ,

u x y

u h x yΛ=

フレネル核

( )( )

01

2 2

012,ik x yzh x y e

+

= ( )( )

12

2 2

122,ik x yzh x y e

+

=

９０４－18

光学的フーリエ積分（２）

一部修正：参照904-18• レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は数式表記が焦点面で一致、等価• 凸レンズによる焦点面上の集光はレンズ無しフラウンホーファー回折で記述可能• 注意：括弧番号（１）～（４）は次頁で利用します。

01z f=

( )3 2 2,u x y→( )0 0 0,u x y → ( )1 1 1,u x y →

12z f=

( )( )( )

1 1 1

0 101 1

,

* ,

u x y

u h x yΛ=

レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は数式表記が焦点面で一致、等価

( ) ( )( )

3 2 2 2 2

1 1 1

12, ,

,

u x y h x y

F u x y

Λ=

×

（３）フラウンホーファー回折

レンズ無：仮想的

９０４－19

（１）フレネル回折

（２）フレネル核

( )( )

01

2 2

012,ik x yzh x y e

+

= ( )( )

12

2 2

122,ik x yzh x y e

+

=

（４）フレネル核

前焦点面波動関数分布

後焦点面波動関数分布

光学的フーリエ積分（３）

（１）フレネル回折：前焦点面波動関数分布とフレネル核の畳み込み積分

( ) ( )( )( ) ( )

1 1 1 0 1 101

0 0 0 0 0 1 0 1 001

, * ,

, ,all

u x y u h x y

dx dy u x y h x x y y

Λ

Λ

=

= − −∫

（２）フレネル核：焦点距離ｆ

レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は数式表記が焦点面で一致

( ) ( )( )( ) ( )

3 2 2 2 2 2

2 2

12

12 1 1 1

, * ,

, ,

u x y u h x y

h x y F u x y

Λ

Λ

=

=

( )( ) ( )2 2

121

2 23 3 3

23

12 2

2 3 3,ik ikx y x y

z fz fh x y e e+ +

== →

（４）フレネル核：焦点距離ｆ

( )( ) ( )2 2

010

2 21 1 1

11

02 2

1 1 1,ik ikx y x y

z fz fh x y e e+ +

== →

レンズ付きフレネル回折

（３）レンズ無しフラウンホーファー回折

９０４－20

光学的フーリエ積分（４）

畳み込みの定理：畳み込み積分のフーリエ積分は、それぞれの関数のフーリエ積分の積

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )12 12

3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1

22 2 0 1 1

22 2 0 0

2

0 1 1

20

2

1

2

0 0 2 2 2

0

2

1

0

2

2

01

01

01

0 2

0 0 0 01

1

1 1

, , , , , * ,

, * ,

, , ,

, , ,

, , ,ikz ikz

ikf

u x y h x y F u x y u x y u h x y

h x y F u h x y

h x y F u x y F h x y

F u x y h x y H x y

e eF u x y e F u x yi z

Λ Λ

Λ

Λ

Λ

Λ Λ ΛΛ λ

= = = =

=

= = ≡

( ) ( )2

3 2 2 0 0 0, ,

ikf

i kf

ei f

eu x y F u x yi f

λ

λ

=

=

フレネル核のフーリエ積分はフレネル核の複素共役（complex conjugate）を含む。（参照：904-25）

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0112 12*

1

2 22 2

2 1*2 2 2 2 2 2 2 212 12

122

2 2 2 2

01 01

01

, , , ,

, ,

ikz ikzh h

ik x yf

e eh x y H x y h x y h x y

h x y h x y e

Λ Λ=

+

= →

= =

定数項を除けばフーリエ積分

９０４－21

下記参照

光学的フーリエ積分（５）

整理：フーリエ積分

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2 0 2 012

12

2 2 2 22 2

12 12

2 0 2 0

2

3 2 2 0 0 0

2

0 0 0 0 0

, 2

,

22

3 2 2 0 0 0 0 0

, ,

,

, ,

i kf

iki kf x x y yz

all

z f kx x y yz f z f

i kfi x y

all

eu x y F u x yi f

e dx dy u x y ei f

eu dx dy u x y ei f

π λ

ξ ζλ λ λ λ

π ξ ζ

λ

λ

ξ ζλ

− +

= =

= = = =

− +

=

=

→

=

∫

∫

９０４－22

単なる変数の書き換え

大雑把な説明：光学的フーリエ積分

( ) *2 1 1 121,u x y u h=→ ( )3 2 2,u x y→( )0 0 0,u x y → ( )1 1 1,u x y →

理想的なレンズ

( )00 11*u h uΛ →

現実は複雑ですが：瞳関数の変化（赤矢印）

( )12 32*u h uΛ →

フレネル核の複素共役

フレネル回折 フレネル回折

( )0 0 0,u x y → ( )2

0 0 0 3,i kfe F u x y u

i fλ→ → ( )3 2 2,u x y→

定数項付きフーリエ積分

数学的に等価

９０４－23

後焦点面波動関数分布

前焦点面波動関数分布

絵解き解説：光学的フーリエ積分

前・後焦点面の結像関係：定数項付きフーリエ積分

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 0 2 012

2 0 2 012

2 2 2 22 2

12 12

2

3 2 2 0 0 0 0 0

22, 2

3 2 2 0 0 0 0 0,

, ,

, ,

iki kf x x y yz

all

i kfi x yz f k

x x y y allz f z f

eu x y dx dy u x y ei f

eu dx dy u x y ei f

π ξ ζπ λ

ξ ζλ λ λ λ

λ

ξ ζλ

− +

− += =

= = = =

=

→ =

∫

∫

お詫び：空間分布を色に例えたが、実際に色（波長）は変化しない。

ｚ軸

( )0 0 0,u x y ( )3 2 2,u x y

波動関数分布

波動関数分布

前焦点面 後焦点面

理想的なレンズ

f f

９０４－24

フレネル核のフーリエ積分（１）

二次元フーリエ積分： Fourier integral• 両者は本質的に同じです。• 必要に応じて使い分けます。

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 1 2 112

2 1 2 1

2 2 2 1 1 1 1 1

22 2 2 1 1 1 1 1

, ,

, ,

ik x x y yz

all

i x y

all

u x y dx dy u x y e

u dx dy u x y e π ξ ζξ ζ

− +

− +

=

=

∫∫

2 22 2

12 12

2

,

k

x yz z

πλ

ξ ζλ λ

=

= =

注意：変数変換

フレネル核のフーリエ積分：（次頁導出例 ）

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

2 2 121 112

2 1 2 112

2 2 12 122 212

2 *12 1 1 12 2 2 12 2 2

12 2 2 1 1 12 1 1

2 *12 12 2 2

12

, , ,

, ,

, ,

ik ikzx yz

ik x x y yz

allik ikz ikzx yz

eh x y e H x y h x y

H x y dx dy h x y e

e ei z e h x yi z

Λ

λ ΛΛ λ

+

− +

− +

= ⇔ =

=

= = ≡

∫

ちょっとおもしろいかもしれません• フレネル核のフーリエ積分はフレネル核の複素共役（complex conjugate）を含む。• ガウス関数のフーリエ積分はガウス関数である。（参照：307-18）

９０４－25

座標変換前

座標変換後

フレネル核のフーリエ積分（２）

導出例

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

2 1 2 112

2 21 2 1 1 2 1

12 12 12 12

22 21 2 1 2 1 2

12 12 12 12

21 2 2

12 12

12 2 2 1 1 12

2 21 1 2 2

2 2 22 1 1

2 2

, ,

2

ik x x y yz

allik ik ik ikx x x y y yz z z z

ik ik ik ikx x x x x xz z z z

k ikX x x xz z

H x y dx dy h x y e

e e dx e e dy H x H y

H x e e dx e e dx

e

− +

− −∞ ∞

−∞ −∞

− − −∞ ∞

−∞ −∞

= − −

=

= =

= =

→

∫

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

222 2

12

2 22 2

12 12

2 2 22 2 2

12 12 12

212 120

2 212 12

2 2 2212 12 4 412

22

2 2 1 12 lim 22 2 2 2

2 21 12 2

ik xziX iX

ik ikx xz z

X

ik ik ikx x xi iz z zk

z ze dX e e dXk k

z ze C X iS X e ik k

z ze i e e e z ek k

π ππ λ

π π

π π λ

−∞ ∞

−∞

− −

→∞

− − −=

=

= + = +

= + = →

∫ ∫

９０４－26

フレネル核のフーリエ積分（３）

導出例（続き）

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1 2 112

2 21 2 1 1 2 1

12 12 12 12

2 22 2

12 12

22

12

12 2 2 1 1 12 1 1

2 21 1 2 2

2 2 2 2

2 24 42 12 2 12

2 242 2 12

, ,

, ,

,

,

ik x x y yz

allik ik ik ikx x x y y yz z z z

ik ikx yi iz z

ik ikx iz z

H x y dx dy h x y e

e e dx e e dy H x H y

H x y H x H y

H x e z e H y e z e

H x y e z e e

π π

π

λ λ

λ

− +

− −∞ ∞

−∞ −∞

− −

− −

=

= =

=

= =

=

∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( )( )

22

12

12

2 212 2 212

412

* * *212 2 2 12 12 12 2 2 12 2 2

2*12 2 2

12

, , ,

, ,

y i

ikzi

ikikz x yz

z e

eh x y z e i z h x y h x y

e h x y ei z

π

π

λ

λ λΛ

Λλ

− +

= = =

≡ =

９０４－27

参考：フレネル積分（１）

フレネル積分： Fresnel integrals

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2

0 0

0

0

cos , sin

1lim lim2 2

12 2 2 2

x x

x i

x x

i

C x d S x d

e d C x iS x

C x S x

e d i

α

α

α α α α

α

π

π π πα

−

→∞ →∞

∞ −

= =

= +

= =

= + =

∫ ∫∫

∫

( ) ( )

( ) ( )

2 2

0 0cos , sin

2 21lim lim2

x x

x x

C x d S x d

C x S x

πα παα α

→∞ →∞

= =

= =

∫ ∫

別表記（フレネル積分）：誤差関数との類似性（参照：904-29）

ガウス積分：Gaussian integral

2

0 2e dα πα

∞ − =∫

誤差関数：error function

( )

( )

2

0

2erf

lim erf 1

x

x

x e d

x

α απ

−

→∞

=

=

∫

９０４－28

参考：フレネル積分（２）

フレネル積分： Fresnel integrals

( )

( )

( ) ( )

2

0

2

0

cos2

sin2

1lim lim2

x

x

x x

C x d

S x d

C x S x

πα α

πα α

→∞ →∞

=

=

= =

∫

∫

誤差関数：error function

( )

( )

2

0

2erf

lim erf 1

x

x

x e d

x

α απ

−

→∞

=

=

∫

( )C x ( )S x

( )C x

( )erf x

９０４－29