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12 aprile 2005

Approximate Dynamic Factor Models: sviluppi della teoria e applicazioni –

parte prima

Andrea Brasili

Strategie e Studi – UniCredit Banca d’Impresa

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12 aprile 2005

Indice

• Stock-Watson papers on diffusion indexes

• Empirical application: inflation or IP

forecasts

• Determining the number of factors: Bai-Ng

•Empirical application: common and

local/industrial components

• A digression: the EM algorithm

• Primi cenni: principal components in the

frequency domain

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12 aprile 2005

Dynamic factor model

C’è una crescente letteratura che cerca di rispondere alla questione di come riassumere le informazioni contenute in cross section ampie.

Due metodologie:

Stock e Watson (1999) componenti principali “statiche”Forni Hallin Lippi Reichlin (1999)componenti principali dinamiche

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12 aprile 2005

Dynamic factor model

Si tratta sostanzialmente di riassumere l’informazione contenuta nelle serie disponibili in uno spazio più piccolo. Favero Marcellino (2003) mostrano che non vi sono differenze di performance sostanziali tra i due approcci quando lo scopo è generare un indicatore a scopo previsivo (es. Forecasting inflation SW 1999)

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12 aprile 2005

Dynamic factor model

Xt = ΛFt + et

di dimensioni

(N*T) = (N*r) * (r*T) + (r*T)Con la finalità di prevedere

Yt+1 = β’Ft + εt+1

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12 aprile 2005

Dynamic factor model II

Per la stima è necessario risolvere questo problema di ottimizzazione:

V(k) = min(NT)-1ΣNi=1 ΣT

t=1 (Xit – λ’kiFk

t)2

s.t.

Λk’Λk/N = Ik or Fk’Fk/T = Ik

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12 aprile 2005

Dynamic factor model III

La matrice dei fattori stimati è uguale a √T che moltiplica i k più grandi autovalori di XX’.

Stimata F, Λ sarà data semplicemente da

V(k) = max tr(Fk’(XX’)Fk)

…concentrating out Λk this is equal to

Λ = (Fk’Fk)-1Fk’X

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12 aprile 2005

Dynamic factor model IV

Xt = Commont + idiosynct

Xt = ΛFt + et

Questo, seguendo SW 1999, ricomprende la più generale rappresentazione in cui

F0t = (ft, ft-1….. ft-q)

Tenendo presente che in ogni caso i fattori non sono identificati, cioè vale

Xt = ΛG’GFt + et dove G’G = I

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12 aprile 2005

Dynamic factor model II

yht+h = β0 + Σm

j=1β’0Ft-j+1 + Σpj=1βγjzt-j+1 + εh

t+h

Four differences rispetto alla slide 5: dependent variable in h-step growth; lags of z (lagged transformed values of the variable of interest); there is an intercept; m-i lags of Ft (the estimated factors) are introduced.

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12 aprile 2005

Riferimenti bibliografici

• J. Bai, S. Ng, (2002), Determining the number of factors in approximate factor models, Econometrica, Vol. 70, N 1, pp. 191-221

  • J. H. Stock, M.W. Watson, (1989), New indexes of coincident and leading

economic indicators, “NBER macroeconomics Annual”, 4, pp 351-393;  • J. H. Stock, M.W. Watson, (1999), Diffusion indexes, “NBER WP 6702”

• J. H. Stock, M.W. Watson, (1999), Forecasting inflation, Journal of monetary economics 44. pp.293-335

• J. H. Stock, M.W. Watson, (2004), Forecasting with many predictors, prepared for the Handbook of economic forecasting

• Camacho M. and I. Sancho (2003) “Spanish diffusion indexes”, Spanish economic review, Vol. 5, No. 3, 2003, pp. 173-203

• Angelini E., J Henry, R. Mestre (2001) “Diffusion index-based forecasts for the euro area”, ECB Working Paper num. 61, April 2001.

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12 aprile 2005

Applicazione 1: la previsione dell’inflazione o della produzione

industriale

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12 aprile 2005

Data set

IT CPI EXCLUDING TOBACCO (FOI) NADJIT CPI - ALCOHOLIC BEVERAGES, TOBACCO & NARCOTICS NADJIT CPI - CLOTHING & FOOTWEAR NADJIT CPI - COMMUNICATIONS NADJIT CPI - EDUCATION NADJIT CPI - ENERGY NADJIT CPI - FOOD & NON ALCOHOLIC BEVERAGES NADJIT CPI-FURNISHINGS & HOUSEHOLD EQUIPMENT & MANTNC. OF HOUSE NADJIT CPI - GOODS (OVERAL INDEX EXCLUDING SERVICES) NADJIT CPI - RESTAURANTS & HOTELS NADJIT CPI - HEALTH NADJIT CPI - MISCELLANEOUS GOODS & SERVICES NADJIT CPI - RECREATION AND CULTURE NADJIT CPI - TRANSPORT NADJIT CPI - HOUSING, WATER, ELECTRICTY, GAS & OTHER FUELS NADJIT PPI: FOOD PRODUCTS BEVERAGES & TOBACCO NADJIT PPI: TEXTILES & TEXTILE PRODUCTS NADJIT PPI: LEATHER & LEATHER PRODUCTS NADJIT PPI: WOOD, WOOD PRODUCTS & CORK EXCEPT FURNITURENADJIT PPI: PULP,PAPER & PAPER PRODUCTS - PUBLISHING & PRINTING NADJIT PPI: COKE, REFINED PETROLEUM PRODUCTS & NUCLEAR FUEL NADJIT PPI: CHEMICALS, CHEMICAL PRODUCTS & MAN-MADE FIBRES NADJIT PPI: RUBBER & PLASTIC PRODUCTS NADJIT PPI: OTHER NON-METALLIC MINERAL PRODUCTS NADJIT PPI: BASIC METALS & FABRICATED METAL PRODUCTS NADJIT PPI: MACHINERY & EQUIPMENT - OTHER NADJIT PPI: ELECTRICAL & OPTICAL EQUIPMENT NADJIT PPI: TRANSPORT EQUIPMENT NADJIT PPI: FURNITURE MANUFACTURING - OTHER NADJIT PPI: FURNITURE MANUFACTURING NADJ

Produzione industrialeIntermedistrumentaliconsumo durevoliconsumo non durevoliConsumoEnergia Estraz.mineraliAttività manifatturiereAlimentariTessileCalzatureLegnoCartaCokeChimicaGommaNon-metalliferiMetallurgiaMacchineElettronicaMezzi trasp.AltreMobiliEnergiaTotale

Prezzi

IT REAL EFFECTIVE EXCHANGE RATE INDEX - CPI BASED SADJITLITALY INTERBANK 3 MTH (LDN:BBA)- OFFERED RATEIT GOVERNMENT BONDS - 10-YEAR(GROSS)m3 BRENTfat_totfat_totsafat_domfat_domsafat_estfat_estsaordordsaord_domord_domsaord_forord_forsaIT IMPORT VOLUME INDEX VOLNIT IMPORTS CIF CURNIT EXPORT VOLUME INDEX VOLNIT EXPORTS FOB CURN

...altro

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12 aprile 2005

Data set

Per un totale di 73 serie, dal 1991:2 al 2005:1 (wow! very up-to-date!). I dati sono a frequenza mensile e il campione è balanced, completo, non ci sono NA.N<T ma sono entrambi abbastanza grandi (with respect to empirical applications in literature).

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12 aprile 2005

Bai and Ng criteria

Per determinare il numero di fattori da utilizzare è ormai consolidato l’utilizzo dei criteri di Bai ed Ng. Questi sono basati sulla formulazione di una funzione di penalty che introduca un costo per l’overfitting, nell’ipotesi (certa) che un modello con k+1 fattori non possa adattarsi ai dati meno bene di uno con k. Due famiglie di criteri, PCp (panel Cp criteria) ICp (information Cp criteria)

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12 aprile 2005

Bai and Ng criteria

PCp (panel Cp criteria) ICp (information Cp criteria)

PC(k) = V(k,Festk)+kg(N,T)

PCp1(k) = V(k,Festk)+kσest(kmax)2((N+T)/NT)ln(NT/(N+T))

ICp1(k) = ln(V(k,Festk))+k((N+T)/NT)ln(NT/(N+T))

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12 aprile 2005

Bai and Ng criteria

Factors pcp1 pcp2 pcp3 icp1 icp2 icp3

1 0.79001 0.79362 0.78055 -0.20986 -0.20271 -0.22857

2 0.74513 0.75236 0.72621 -0.25147 -0.23718 -0.28889

3 0.7329 0.74374 0.70452 -0.25436 -0.23292 -0.31049

4 0.73047 0.74492 0.69263 -0.24675 -0.21817 -0.32159

5 0.73111 0.74918 0.68381 -0.23834 -0.20261 -0.33189

6 0.73348 0.75516 0.67672 -0.23129 -0.18841 -0.34355

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12 aprile 2005

applicazione 1

• Quanta varianza spiegano i fattori comuni?• Cosa accade utilizzando più lags delle variabili

nel data set? • A quali serie sono legati i fattori?• Come si formula il modello previsivo?

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12 aprile 2005

Matlab

E-views

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12 aprile 2005

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

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12 aprile 2005

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12 aprile 2005

Applicazione 2: estrazione di componenti comuni e componenti nazionali da un

indicatore di rischiosità

23

12 aprile 2005

How to disentangle common and idiosyncratic components

ttt FY )(

ijt

ijt

ijt

ijt INEY )(

Where Y is our cross section of n elements (regional activity indicators, or industry-specific indicators, or firms’ balance sheet data)

And F are the common factors (r << n)

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12 aprile 2005

Co-movements in EU banks’ fragility:a dynamic factor model approach

Andrea Brasili – Giuseppe Vulpes

UniCredit Banca d’ImpresaResearch Department

1st ICEEE

Venice 24-25 January 2005

25

12 aprile 2005

Riferimenti bibliografici

• Forni M. and L. Reichlin (1998) “Let’s Get Real: A Dynamic Factor Analytic Approach to Disaggregated Business Cycle”, Review of Economic Studies, 65, pp. 453-473

• Forni M. and L. Reichlin (2001) “Federal Policies and Local Economies: Europe and the US”, European Economic Review 45 pp 109-134.

• Forni M., M. Hallin, M. Lippi and L. Reichlin (2000) “The Generalised Dynamic Factor Model: Identification and Estimation”, The Review of economics and statistics 82 pp 540-554

• Pain D. and J. Vesala (2004) “Driving factors of credit risk in Europe”, mimeo, European Central Bank

• Vulpes and Brasili

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12 aprile 2005

Applicazione 3: estrazione di componenti comuni e componenti locali/settoriali

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12 aprile 2005

SECTORIAL ANALYSIS

The role of the European, Sectorial,

National and Idiosyncratic components in

the New Europe industrial sector dynamics

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12 aprile 2005

A digression: the EM algorithm

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12 aprile 2005

EM algorithm

Nel caso di variabili mancanti o serie incomplete, se si dispone cioè di un panel non bilanciato, la stima diviene:

V†(F, Λ) = min(NT)-1ΣNi=1 ΣT

t=1 Iit(Xit – λ’kiFk

t)2

dove Iit = 1 se Xit è osservato, 0 altrimenti. La J-esima iterazione è calcolata come

Q(X†,Fj-1,Λj-1,F,Λ) = EFj-1,Λj-1[V (F, Λ)|X†]