06Nov2012121035Sliding Mode Controllers

8/22/2019 06Nov2012121035Sliding Mode Controllers....

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S l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s f o r t h e b e n c h m a r k b i o r e a c t o r s y s t e m

S A L E H A L S H A M A L I

*

, M O H A M E D Z R I B I

*

A N D A H M E D

O T E A F Y

* *

*

E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , K u w a i t U n i v e r s i t y . P . O . B o x 5 9 6 9 , S a f a t 1 3 0 6 0 , K u w a i t .

*

E m a i l : s . a l s h a m a l i @ k u . e d u . k w

* *

E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , B o i s e S t a t e U n i v e r s i t y . 1 9 1 0 U n i v e r s i t y

D r . , B o i s e , I d a h o 8 3 7 2 5 , U S A .

A B S T R A C T

S t a t i c , d y n a m i c , a n d t w o c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l ( S M C ) s c h e m e s a r e p r o p o s e d

f o r t h e b i o r e a c t o r b e n c h m a r k p r o b l e m . A k e y s t e p i n t h e d e s i g n i s t h e i n t r o d u c t i o n o f a

n o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h e s t a t e e q u a t i o n s o f t h e b i o r e a c t o r d y n a m i c s i n t o

t h e g e n e r a l i z e d c o n t r o l l e r c a n o n i c a l f o r m . T h e f o u r p r o p o s e d s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s

a r e s h o w n t o d r i v e t h e s y s t e m t r a j e c t o r i e s t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s , h e n c e e n s u r i n g t h e

a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m o f t h e t r a n s f o r m e d s y s t e m a s w e l l a s t h e

o r i g i n a l s y s t e m . T h e p e r f o r m a n c e s o f t h e c o n t r o l l e d b i o r e a c t o r s y s t e m a r e s i m u l a t e d

u s i n g t h e n o m i n a l p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m . I n a d d i t i o n , t h e p e r f o r m a n c e s o f t h e s y s t e m

a r e s i m u l a t e d w h e n t h e s y s t e m p a r a m e t e r s a r e p e r t u r b e d . T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s i n d i c a t e

t h a t t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r s a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e t h e b i o r e a c t o r s y s t e m , a n d t h a t t h e

c l o s e d - l o o p s y s t e m p o s s e s s e s g r e a t i n s e n s i t i v i t y t o p a r a m e t e r v a r i a t i o n s .

K e y w o r d s : B i o r e a c t o r s y s t e m ; L y a p u n o v s t a b i l i t y ; N o n l i n e a r s y s t e m s ; S l i d i n g

M o d e C o n t r o l .

I N T R O D U C T I O N

C h e m i c a l p r o c e s s e s a r e k n o w n t o b e h i g h l y n o n l i n e a r s y s t e m s t h a t a r e o f t e n

d i c u l t t o c o n t r o l . A n e x a m p l e o f s u c h p r o c e s s e s i s t h e b i o r e a c t o r . T h e c o n t r o l

p r o b l e m o f t h e b i o r e a c t o r s y s t e m i s q u i t e c h a l l e n g i n g d u e t o t h e n o n l i n e a r i t y o f

t h e p r o c e s s a n d i t s s e n s i t i v i t y t o p a r a m e t e r v a r i a t i o n s . B o t h c a n l e a d t o

i n s t a b i l i t y o r p o o r p e r f o r m a n c e .

T h e b i o r e a c t o r i s a t a n k c o n t a i n i n g w a t e r , n u t r i e n t s , a n d b i o l o g i c a l c e l l s ;

n u t r i e n t s a n d c e l l s a r e i n t r o d u c e d i n t o t h e t a n k w h e r e t h e y m i x . T h e v o l u m e i n

t h e t a n k i s m a i n t a i n e d a t a c o n s t a n t l e v e l b y r e m o v i n g t a n k c o n t e n t s a t a r a t e

e q u a l t o t h e i n c o m i n g r a t e ; t h i s r a t e i s c a l l e d t h e o w r a t e a n d i t i s t h e v a r i a b l e

b y w h i c h t h e b i o r e a c t o r i s c o n t r o l l e d . T h e o b j e c t i v e o f t h e b i o r e a c t o r c o n t r o l l e r

i s t o m a i n t a i n t h e a m o u n t o f c e l l s a t a d e s i r e d l e v e l ( U n g a r , 1 9 9 0 ) .

K u w a i t J . S c i . E n g . 3 8 ( 1 B ) p p . 1 0 5 - 1 2 5 , 2 0 1 1


2/22

S e v e r a l r e s e a r c h e r s h a v e w o r k e d o n t h e c o n t r o l o f t h e b i o r e a c t o r . D o e r s c h u k

a n d S a r r a a n ( 1 9 9 9 ) c o m p a r e d c o n v e n t i o n a l c o n t r o l l e r s t o r a d i a l - b a s e d

f u n c t i o n c o n t r o l l e r s f o r t h e b e n c h m a r k b i o r e a c t o r c o n t r o l p r o b l e m . D o e r s c h u k

e t a l . ( 2 0 0 2 ) u s e d a h y b r i d n e u r a l n e t w o r k / c o n v e n t i o n a l c o n t r o l l e r t o c o n t r o l t h e

b e n c h m a r k b i o r e a c t o r p r o b l e m . A b u Z i t a r & H a s s o u n ( 1 9 9 5 ) d e s i g n e d a n e u r o -

c o n t r o l l e r f o r t h e b i o r e a c t o r , w h e r e t h e c o n t r o l l e r i s t r a i n e d w i t h r u l e s e x t r a c t e d

f r o m a g e n e t i c a l l y a s s i s t e d r e i n f o r c e m e n t l e a r n i n g s y s t e m . A g r a w a l & L i m

( 1 9 8 4 ) a n a l y z e d v a r i o u s c o n t r o l s c h e m e s f o r c o n t i n u o u s b i o r e a c t o r s . G o r i n e v s k y

( 1 9 9 7 ) u s e d i n d i r e c t a d a p t i v e c o n t r o l w i t h a n e r a d i a l b a s i s f u n c t i o n t o c o n t r o l

t h e b i o r e a c t o r . Z h a o & S k o g e s t a d ( 1 9 9 7 ) c o m p a r e d s e v e r a l c o n t r o l

c o n g u r a t i o n s f o r c o n t i n u o u s b i o r e a c t o r s . E f e & K a y n a k ( 1 9 9 7 ) u s e d c l a s s i c a l

a n d d y n a m i c a l n e u r a l n e t w o r k s t o i d e n t i f y a n d c o n t r o l a n o n l i n e a r b i o r e a c t o r

p l a n t . E f e e t a l . ( 1 9 9 9 ) p r o p o s e d a n e u r a l n e t w o r k - a s s i s t e d n o n l i n e a r c o n t r o l l e r

f o r a b i o r e a c t o r . A l s o , i n a r e c e n t w o r k , E f e ( 2 0 0 7 ) p r o p o s e d a v a r i a b l e s t r u c t u r e

c o n t r o l t e c h n i q u e f o r a M I M O b i o r e a c t o r s y s t e m i n w h i c h t h e c l o s e d - l o o p

s y s t e m i s i n s e n s i t i v e t o p a r a m e t e r v a r i a t i o n s . R a m a s w a m y e t a l . ( 2 0 0 5 ) p r o p o s e d

a m o d e l - b a s e d p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r t o c o n t r o l t h e b i o r e a c t o r t o a n u n s t a b l e

o p e r a t i n g p o i n t , a n d t h e e e c t o f c h a n g i n g t h e p r e d i c t i o n h o r i z o n i s a n a l y z e d .

D e r d i y o k & L e v e n t ( 1 9 9 7 ) u s e d a c o n v e n t i o n a l s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r t o

c o n t r o l t h e b e n c h m a r k b i o r e a c t o r . T h a m e t a l . ( 2 0 0 0 ) p r o p o s e d a v a r i a b l e

s t r u c t u r e c o n t r o l t e c h n i q u e f o r a c o n t i n u o u s b i o r e a c t o r . T h e d e r i v a t i v e o f t h e

i n p u t i s u s e d t o o v e r c o m e t h e c h a t t e r i n g e e c t . T h a m e t a l . ( 2 0 0 3 ) i n t r o d u c e d a n

a d a p t i v e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r f o r a c o n t i n u o u s b i o r e a c t o r s y s t e m . T h e d e s i g n

i s s h o w n t o b e r o b u s t w i t h r e s p e c t t o e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s a n d p a r a m e t e r

v a r i a t i o n s . A s l i d i n g m o d e c o n t r o l t e c h n i q u e f o r t h e r e g u l a t i o n o f t h e b i o r e a c t o r

s y s t e m i s i n t r o d u c e d b y F o s s a s e t a l . ( 2 0 0 1 ) , w h e r e t h e s l i d i n g s u r f a c e i s d e s i g n e d

a s a l i n e i n t e r s e c t i n g t h e p a r a b o l a o f e q u i l i b r i u m p o i n t s . D a g c i e t a l . ( 2 0 0 1 )

i n t r o d u c e d a t h r e e - p a r a m e t e r c o n t r o l l e r f o r t h e b i o r e a c t o r s y s t e m b a s e d o n

v a r i a b l e s t r u c t u r e c o n t r o l m e t h o d o l o g y .

I n t h i s p a p e r , f o u r s l i d i n g m o d e c o n t r o l ( S M C ) s c h e m e s a r e p r o p o s e d t o

c o n t r o l t h e b e n c h m a r k b i o r e a c t o r , i n c l u d i n g a s t a t i c S M C , a d y n a m i c S M C , a n d

t w o s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s b a s e d o n r e a c h i n g l a w s w i t h c o n t i n u o u s r i g h t - h a n d

s i d e s . T h e p r o p o s e d s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s r e s u l t i n f a s t r e s p o n s e s a n d a r e

r o b u s t t o c h a n g e s i n t h e p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : r s t , t h e b i o r e a c t o r p r o b l e m i s i n t r o d u c e d

a l o n g w i t h a n o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s t h e o r i g i n a l s y s t e m i n t o a f o r m

w h i c h i s s u i t a b l e f o r c o n t r o l d e s i g n . S e c o n d , a s t a t i c S M C i s p r e s e n t e d , f o l l o w e d b y

a d y n a m i c S M C i n t h e n e x t s e c t i o n . T h e n , t w o s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s b a s e d o n

c o n t i n u o u s r e a c h i n g l a w s a r e p r e s e n t e d . F i n a l l y , s i m u l a t i o n s t u d i e s o f t h e p r o p o s e d

c o n t r o l l e r s a r e p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d , f o l l o w e d b y s o m e c o n c l u d i n g r e m a r k s .

1 0 6S a l e h A l s h a m a l i , M o h a m e d Z r i b i a n d A h m e d O t e a f y


3/22

D y n a m i c m o d e l o f t h e b i o r e a c t o r

T h e b i o r e a c t o r b e n c h m a r k p r o b l e m s e t b y U n g a r ( 1 9 9 0 ) c o n s i s t s o f a t a n k

c o n t a i n i n g w a t e r , n u t r i e n t s a n d b i o l o g i c a l c e l l s . N u t r i e n t s a n d c e l l s m i x i n t h e

t a n k . T h e t a n k ' s v o l u m e i s m a i n t a i n e d a t a c o n s t a n t l e v e l t h r o u g h t h e r e m o v a l

o f t h e c o n t e n t s o f t h e t a n k a t a r a t e w h i c h i s e q u a l t o t h e i n c o m i n g o w r a t e .

O r i g i n a l m o d e l o f t h e b i o r e a c t o r

T h e n o r m a l i z e d d y n a m i c m o d e l o f t h e b i o r e a c t o r s y s t e m c a n b e w r i t t e n a s

( U n g a r , 1 9 9 0 ; F o s s a s , 2 0 0 1 ) :

_

c

1

t c

1

t u t c

1

1 c

2

t e

c

2

t = y

_

c

2

t c

2

t u t c

1

t 1 c

2

t e

c

2

t = y

1

1 c

2

t

1

w h e r e ,

c

1

t : t h e n o r m a l i z e d c e l l c o n c e n t r a t i o n ;

c

2

t : t h e n o r m a l i z e d a m o u n t o f n u t r i e n t p e r u n i t v o l u m e ;

: t h e g r o w t h r a t e p a r a m e t e r ;

: t h e n u t r i e n t i n h i b i t i o n p a r a m e t e r ;

u t : t h e n o r m a l i z e d o w r a t e ( c o n t r o l i n p u t ) .

T h e n o r m a l i z e d s t a t e v a r i a b l e s c

1

t a n d c

2

t , a n d t h e n o r m a l i z e d o w r a t e

u t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n t s ( E f e e t a l . , 1 9 9 9 ; F o s s a s e t a l . , 2 0 0 1 ) :

0


4/22

x

1

l n c

1

l n c

2

l n

c

1

c

2

5

x

2

1 c

2

1

c

1

c

2

p e

c

2

= y

6

w h e r e ,

p

1

1 c

z

7

T a k i n g t h e t i m e d e r i v a t i v e s o f E q s . ( 5 ) - ( 6 ) , a n d u t i l i z i n g ( 7 ) , t h e d y n a m i c

m o d e l o f t h e n o r m a l i z e d b i o r e a c t o r s y s t e m ( 1 ) i s t r a n s f o r m e d i n t o t h e f o l l o w i n g

g e n e r a l i z e d c o n t r o l l e r c a n o n i c a l f o r m :

_

x

1

x

2

_

x

2

f g u

8

w h e r e

f c

1

1 c

2

p e

2

c

2

= y

1

c

2

1

c

1

c

2

p

1

1 c

2

1 c

2

1

c

1

c

2

1

1 c

2

2

a n d

g c

2

e

c

2

= y

1

c

1

c

2

p

1

y

1 c

2

1

c

1

c

2

p c

1

c

1

c

2

1

1 C

2

2

:

A s s u m p t i o n : T h e q u a n t i t y g i s d i e r e n t f r o m z e r o a s l o n g a s t h e c o n s t r a i n t s

( 2 ) - ( 4 ) h o l d .

D e n e t h e e r r o r s i g n a l s e

1

a n d e

2

s u c h t h a t :

e

1

x

1

x

1 d

e

2

x

2

x

2 d

9

w h e r e x

1 d

a n d x

2 d

a r e t h e d e s i r e d c o n s t a n t v a l u e s o f x

1

a n d x

2

, r e s p e c t i v e l y . I t

c a n b e s h o w n t h a t x

1 d

l n

c

1 d

c

2 d

a n d x

2 d

0 , w h e r e c

1 d

i s t h e d e s i r e d n o r m a l i z e d

c e l l c o n c e n t r a t i o n a n d c

2 d

i s t h e n o r m a l i z e d a m o u n t o f n u t r i e n t p e r u n i t v o l u m e

a t s t e a d y s t a t e .



5/22

R e m a r k 1 T h e n o r m a l i z e d a m o u n t o f n u t r i e n t p e r u n i t v o l u m e a t s t e a d y s t a t e i s

r e l a t e d t o t h e d e s i r e d c e l l c o n c e n t r a t i o n t h r o u g h t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

c

2 d

1 c

2 d

c

1 d

1 1 0

F o r t h e c o m p l e t i o n o f t h e f o r t h c o m i n g p r o o f s , t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n i s

i n t r o d u c e d .

P r o p o s i t i o n 1 I f e

1

a n d e

2

c o n v e r g e t o z e r o a s t e n d s t o i n n i t y , t h e n x

1

; x

2

; c

1

a n d

c

2

c o n v e r g e t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s , r e s p e c t i v e l y .

P r o o f F r o m t h e e r r o r e q u a t i o n s ( 9 ) , i t i s c l e a r t h a t i f e

1

a n d e

2

c o n v e r g e t o z e r o a s t

t e n d s t o i n n i t y , t h e n x

1

a n d x

2

c o n v e r g e t o x

1 d

a n d x

2 d

, r e s p e c t i v e l y . F u r t h e r m o r e ,

i t c a n b e s e e n f r o m e q u a t i o n ( 5 ) t h a t i f c o n v e r g e s t o z e r o , ( i . e . ,

e

1

x

1

x

1 d

l n

c

1

c

2

l n

c

1 d

c

2 d

! 0 ) , t h e n

c

1

c

2

c o n v e r g e s t o

c

1 d

c

2 d

. A l s o , i f e

1


z e r o , t h e n 1 c

2

1

c

1

c

2

p e

c

2

= y

c o n v e r g e s t o z e r o . T h i s i m p l i e s t h a t 1

c

1

c

2

p

c o n v e r g e s t o z e r o a s c

2

2 0 ; 1 . T h u s , 1

c

1

c

2

p 1

c

1

c

2

1

1 c

2


1

c

1 d

c

2 d

1

1 c

2

. H e n c e , t h e f a c t t h a t 1

c

1

c

2

p c o n v e r g e s t o z e r o ( o r

c

1

c

2

p c o n v e r g e s t o 1 )

i m p l i e s , a f t e r u s i n g e q u a t i o n ( 1 0 ) , t h a t

c

1 d

c

2 d

1

1 c

2 d

c o n v e r g e s t o 1 . H e n c e , c

2

c o n v e r g e s t o c

2 d

, a n d c o n s e q u e n t l y c

1

c o n v e r g e s t o c

1 d

.

D E S I G N O F A S T A T I C S M C F O R T H E B I O R E A C T O R

L e t a n d W

1

b e p o s i t i v e s c a l a r s . D e n e t h e s l i d i n g s u r f a c e

1

s u c h t h a t :

1

_

e

1

e

1

x

2

l n

c

1

c

2

l n

c

1

c

2

1 c

2

1

c

1

p

c

2

e

c

2

= y

l n

c

1

c

2 d

c

2

c 1 d

1 1

D e n e t h e s i g n u m f u n c t i o n a s :

s i g n x

1 i f x > 0

0 i f x 0

1 i f x

>

>

:

P r o p o s i t i o n 2 T h e t r a n s f o r m e d b i o r e a c t o r s y s t e m ( 8 ) u n d e r t h e d i s c o n t i n u o u s

s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r :

1 0 9S l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s f o r t h e b e n c h m a r k b i o r e a c t o r s y s t e m


6/22

u

1

g

f 1 c

2

1

c

1

p

c

2

e

c

2

= y

W

1

s i g n

1

1 2

g u a r a n t e e s t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f x

1

t a n d x

2

t t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s .

P r o o f : D e n e t h e L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i d a t e V

1

1

2

2

1

. U s i n g e x p r e s s i o n

( 1 1 ) , t h e t i m e d e r i v a t i v e o f V

1

i s g i v e n b y :

_

V

1

1

_

1

1

e

1

_

e

1

1

_

x

2

x

2

1

f g u 1 c

2

1

c

1

p

c

2

e

c

2

= y

1 3

S u b s t i t u t i n g f o r t h e c o n t r o l l a w ( 1 2 ) i n t o ( 1 3 ) y i e l d s ,

_

V

1

1

W

1

s i g n

1

W

1

j

1

j :

T h e r e f o r e , s i n c e W

1

> 0 ;

_

V

1

, i s n e g a t i v e d e n i t e . T h u s , t h e s y s t e m

t r a j e c t o r i e s e x h i b i t a n i t e t i m e r e a c h a b i l i t y t o t h e s l i d i n g m a n i f o l d f r o m a n y

g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n . O n t h e s l i d i n g s u r f a c e

1

0 , t h e s y s t e m d y n a m i c s a r e

d e t e r m i n e d b y t h e r s t o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n _

e

1

e

1

. S i n c e i s a

p o s i t i v e s c a l a r , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t e

1

t a n d

_

e

1

t c o n v e r g e t o z e r o

a s y m p t o t i c a l l y . T h e r e f o r e , u s i n g ( 8 ) a n d ( 9 ) , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t x

1

a n d x

2

c o n v e r g e t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s . H e n c e , a c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 c

1

t , a n d

c

2

t c o n v e r g e t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s a s y m p t o t i c a l l y . T h e r e f o r e , t h e c o n t r o l

s c h e m e g i v e n b y ( 1 2 ) g u a r a n t e e s t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f t h e n o r m a l i z e d

c e l l c o n c e n t r a t i o n a n d t h e n o r m a l i z e d a m o u n t o f n u t r i e n t p e r u n i t v o l u m e t o

t h e i r d e s i r e d v a l u e s .

I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e s t a t i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s u e r s f r o m a

c h a t t e r i n g p r o b l e m d u e t o t h e s i g n u m f u n c t i o n . T h e n e x t t h r e e s e c t i o n s p r o p o s e

t h r e e d i e r e n t s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s w h o s e o b j e c t i v e s a r e e i t h e r t o a t t e n u a t e

o r t o e l i m i n a t e t h e c h a t t e r i n g p r o b l e m .

D E S I G N O F A D Y N A M I C S M C F O R T H E B I O R E A C T O R

S i r a - R a m i r e z e t a l . ( 1 9 9 6 ) p r o p o s e d t h e u s e o f a r o b u s t r e d u n d a n t f e e d b a c k

c o n t r o l l e r , b a s e d o n d y n a m i c a l s l i d i n g m o d e c o n t r o l , f o r n o n l i n e a r s y s t e m s f o r

w h i c h a s m o o t h f e e d b a c k c o n t r o l p o l i c y i s a v a i l a b l e .

M o t i v a t e d b y t h i s w o r k , a d y n a m i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r i s d e s i g n e d f o r t h e

n o r m a l i z e d b i o r e a c t o r . R e c a l l t h a t t h e m o d e l o f t h e b i o r e a c t o r c a n b e w r i t t e n a s



7/22

_

x

1

x

2

_

x

2

f g u :

1 4

L e t

1

a n d

2

b e p r o p e r l y c h o s e n p o s i t i v e d e s i g n p a r a m e t e r s . I t c a n b e s h o w n

t h a t t h e f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n c o n t r o l l e r :

u

1

g

f

1

x

2

2

x

1

x

1 d

1

g

f

1

1 c

2

1

c

1

c

2

p e

c

2

= y

2

l n

c

1

c

2 d

c

2

c

1 d

1 5


1

a n d x

2

t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s a s

t ! 1 . T h e r e f o r e , c o n t r o l l e r ( 1 5 ) g u a r a n t e e s t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f c

1

a n d c

2

t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s a s t ! 1 .

H o w e v e r , f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n c o n t r o l l e r s a r e g e n e r a l l y n o t v e r y r o b u s t .

H e n c e , a d y n a m i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r i s p r o p o s e d . T h i s c o n t r o l l e r c o n t a i n s

t h e s a m e t e r m s a s t h e f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n c o n t r o l l e r ( 1 5 ) p l u s a n a d d i t i o n a l

t e r m w h i c h i s u s e d f o r r o b u s t n e s s p u r p o s e s .

T o t h i s e n d , l e t

1

;

2

, a n d W

2

b e a p o s i t i v e s c a l a r s , a n d l e t t h e i n p u t -

d e p e n d e n t s w i t c h i n g s u r f a c e

2

x ; u b e s u c h t h a t ,

2

x ; u u

1

g

f

1

x

2

2

x

1

x

1 d

1 6

P r o p o s i t i o n 3 T h e t r a n s f o r m e d b i o r e a c t o r s y s t e m ( 8 ) u n d e r t h e d y n a m i c s l i d i n g

m o d e c o n t r o l s c h e m e :

u

1

g

f

1

1 c

2

1

c

1

c

2

p e

c

2

= y

2

l n

c

1

c

2 d

c

2

c

1 d

1 7

w i t h ,

_

W

2

s i g n u

1

g

f

1

x

2

2

x

1

x

1 d

1 8


1

t a n d x

2

t t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s

a s t ! 1 .

P r o o f : D e n e t h e L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i d a t e V

2

1 2

2

2

x ; u . I t c a n b e e a s i l y

c h e c k e d f r o m ( 1 6 ) - ( 1 8 ) t h a t

_

V

2

W

2

j

2

x ; u j


8/22

T h e r e f o r e , t h e t r a j e c t o r i e s a s s o c i a t e d w i t h t h e d y n a m i c s ( 1 6 ) e x h i b i t a n i t e

t i m e r e a c h a b i l i t y t o z e r o f r o m a n y g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n p r o v i d e d t h a t t h e

c o n s t a n t g a i n W

2

i s c h o s e n t o b e a s t r i c t l y p o s i t i v e c o n s t a n t . S i n c e

2

x ; u i s

d r i v e n t o z e r o i n n i t e t i m e , t h e o u t p u t y x

1

o n t h e s l i d i n g s u r f a c e

(

2

x ; u 0 ) i s g o v e r n e d , f r o m ( 1 4 ) , b y t h e s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n

x

1

1

_

x

1

2

x

1

x

1 d

0 . T h u s , x

1

t c o n v e r g e s t o i t s d e s i r e d v a l u e , x

1 d

, a s t

t e n d s t o i n n i t y a n d

_

x t c o n v e r g e s t o z e r o b e c a u s e

1

a n d

2

a r e p o s i t i v e

s c a l a r s . H e n c e , e

1

t a n d

_

e

1

t c o n v e r g e a s y m p t o t i c a l l y t o z e r o a n d t h u s x

2

t

c o n v e r g e s t o i t s d e s i r e d v a l u e x

2 d

0 a s t t e n d s t o i n n i t y .

T h e r e f o r e , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t t h e d y n a m i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r ( 1 7 ) -

( 1 8 ) g u a r a n t e e s t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f x

1

t a n d x

2

t t o t h e i r d e s i r e d

v a l u e s a s t e n d s t o i n n i t y . U s i n g P r o p o s i t i o n 1 , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t t h e

t r a j e c t o r i e s o f t h e o r i g i n a l m o d e l ( 1 ) , n a m e l y , c

1

t a n d c

2

t , a r e d r i v e n

a s y m p t o t i c a l l y t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s a s t ! 1 .

T o e l i m i n a t e t h e c h a t t e r i n g a s s o c i a t e d w i t h t h e s t a t i c a n d d y n a m i c s l i d i n g

m o d e c o n t r o l l e r s , w e p r o p o s e t w o c h a t t e r - f r e e S M C s c h e m e s .

F i r s t c h a t t e r - f r e e s m c f o r t h e b i o r e a c t o r

T h e w o r k i n t h i s s e c t i o n i s m o t i v a t e d b y t h e w o r k i n J a n a r d h a n a n ( 2 0 0 6 ) , w h e r e

a s e c o n d o r d e r s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r i s d e s i g n e d f o r t h e b e n c h m a r k b i o r e a c t o r

s y s t e m . T h e d e s i g n u t i l i z e s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h c o n t i n u o u s r i g h t - h a n d

s i d e o f t h e f o r m :

_

x t k

1

s i g

x 1 9

w h e r e s i g

x j x j

s i g n x , w i t h b e i n g s u c h t h a t 0


9/22

_

3

t f

3

e

2

g u :

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n p r o v e s t h e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e c l o s e d - l o o p

s y s t e m .

P r o p o s i t i o n 4 T h e t r a n s f o r m e d b i o r e a c t o r s y s t e m ( 8 ) u n d e r t h e c o n t i n u o u s s l i d i n g

m o d e c o n t r o l s c h e m e :

u

1

g

f

3

e

2

k

1

s i g

3

2 2

g u a r a n t e e s a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f x

1

t a n d x

2

t t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s a s

t ! 1 .

P r o o f : L e t V

3

1

2

2

3

b e a L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i d a t e . T a k i n g t h e t i m e

d e r i v a t i v e o f V

3

a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s o f ( 2 0 ) g i v e s

_

V

3

3

f

3

e

2

g u ,

w h i c h a f t e r s u b s t i t u t i n g f o r t h e c o n t r o l l a w ( 2 2 ) g i v e s

_

V

3

3

k

1

s i g

3

k

1

3

j

3

j

s i g n

3

k

1

j

3

j

1 j

:

T h u s ,

_

V

3

i s n e g a t i v e d e n i t e . H e n c e , t h e c h o i c e o f t h e c o n t r o l l e r ( 2 2 )

g u a r a n t e e s t h a t t h e s l i d i n g s u r f a c e

3

c o n v e r g e s t o z e r o i n a n i t e t i m e . N o w , t h e

e r r o r d y n a m i c s o n t h e s l i d i n g s u r f a c e , i . e .

3

0 , a r e g i v e n b y :

_

e

1

e

2

_

e

2

3

e

2

:

2 3

S i n c e

3

i s a p o s i t i v e s c a l a r , t h e s e c o n d e q u a t i o n o f ( 2 3 ) i m p l i e s t h a t e

2

a s y m p t o t i c a l l y c o n v e r g e s t o z e r o a s t t e n d s t o i n n i t y . N o w , w h e n

3

0 , t h e n

e

2

3

e

1

, w h i c h i m p l i e s t h a t e

1

c o n v e r g e s t o 0 a s t ! 1 . T h e r e f o r e , i t c a n b e

c o n c l u d e d t h a t t h e c o n t i n u o u s s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r ( 2 2 ) g u a r a n t e e s t h e

a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f x

1

t a n d x

2

t t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s a s t t e n d s t o

i n n i t y .

F i n a l l y , i n v o k i n g P r o p o s i t i o n 1 , i t s h o w s t h a t t h e o r i g i n a l s y s t e m t r a j e c t o r i e s ,

n a m e l y , c

1

t a n d c

2

t , c o n v e r g e t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s a s y m p t o t i c a l l y a s t e n d s

t o i n n i t y .



10/22

S e c o n d c h a t t e r - f r e e s m c f o r t h e b i o r e a c t o r

I n t h i s s e c t i o n , a s e c o n d c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l a w i s d e s i g n e d f o r t h e

b e n c h m a r k b i o r e c t o r s y s t e m . T h e d e s i g n i s m o t i v a t e d b y t h e w o r k i n B a n a v a r

( 2 0 0 6 ) . T h e d e s i g n m e t h o d o l o g y d i e r s f r o m t h e d e s i g n o f c l a s s i c a l s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r s i n t h a t t h e d y n a m i c s o f t h e s w i t c h i n g f u n c t i o n d o n o t d e p e n d o n t h e

s i g n m u m f u n c t i o n . H e n c e , t h e p r o p o s e d c o n t r o l l a w i s c o n t i n u o u s . R e c a l l t h a t

t h e e r r o r d y n a m i c s a r e g i v e n b y :

_

e

1

e

2

_

e

2

f g u :

2 4

L e t

4

b e a p o s i t i v e s c a l a r , a n d d e n e t h e s l i d i n g s u r f a c e

4

s u c h t h a t :

4

4

e

1

e

2

2 5

U s i n g e q u a t i o n s ( 2 4 ) - ( 2 5 ) , t h e t i m e d e r i v a t i v e o f

4

t a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s o f

( 2 4 ) i s g i v e n b y :

_

4

f

4

e

1

g u :

T h e c o n t r o l l a w i s d e s i g n e d s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g d y n a m i c s a r e i m p o s e d o n

t h e s l i d i n g s u r f a c e

4

:

_

4

k

2

4

t ;

w h e r e k

2

> 0 a n d i s c h o s e n s u c h t h a t _

4


11/22

T h e r e f o r e , b y a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f ,

_

V

4

i s n e g a t i v e d e n i t e . H e n c e , t h e

s l i d i n g m o d e i s a t t a i n e d i n a n i t e t i m e . T h e e r r o r d y n a m i c s o n t h e s l i d i n g

s u r f a c e , i . e .

4

0 , a r e n o w g i v e n b y :

_

e

1

e

2

_

e

2

4

e

2

2 7

S i n c e

4

i s a p o s i t i v e s c a l a r , t h e n t h e s e c o n d e q u a t i o n o f t h e e r r o r d y n a m i c s

( 2 7 ) i m p l i e s t h a t e

2

a s y m p t o t i c a l l y c o n v e r g e s t o z e r o a s t e n d s t o i n n i t y .

F u r t h e r m o r e , o n t h e s l i d i n g s u r f a c e g i v e n b y ( 2 5 ) , w e h a v e e

2

4

e

1

w h i c h

i m p l i e s t h a t e

1

c o n v e r g e s t o 0 a s t ! 1 . F i n a l l y , u t i l i z i n g P r o p o s i t i o n 1 , i t c a n

b e c o n c l u d e d t h a t x

1

t ; x

2

t ; c

1

t a n d c

2

t c o n v e r g e a s y m p t o t i c a l l y t o t h e i r

d e s i r e d v a l u e s .

S I M U L A T I O N S A N D D I S C U S S I O N

S i m u l a t i o n s a n d d i s c u s s i o n o f t h e f o u r p r o p o s e d s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s a r e

p r e s e n t e d . T h e s i m u l a t i o n s a r e c a r r i e d o u t u s i n g t h e n o m i n a l v a l u e s o f t h e

b i o r e a c t o r p a r a m e t e r s : 0 : 0 2 a n d 0 : 4 8 . T h e s y s t e m t r a j e c t o r i e s a r e f o r c e d

t o w a r d s t h e d e s i r e d p o i n t c

1

; c

2

0 : 1 2 0 7 ; 0 : 8 8 0 1 . T h e i n i t i a l s t a t e v a l u e s a r e

c h o s e n t o l i e w i t h i n 6 1 0 % o f t h i s p o i n t ( E f e e t a l . , 1 9 9 9 ) .

T h e p e r f o r m a n c e s o f t h e b i o r e a c t o r s y s t e m u n d e r t h e f o u r p r o p o s e d s l i d i n g

m o d e c o n t r o l l e r s a r e t e s t e d f o r t h e c a s e w h e n t h e n o m i n a l m o d e l p a r a m e t e r s a r e

u s e d , a n d t h e y a r e t e s t e d f o r t h e c a s e w e r e b o t h o f t h e p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m

a r e p e r t u r b e d b y 5 % .

F i r s t , c o n s i d e r t h e n o n l i n e a r s y s t e m ( 1 ) w i t h t h e s t a t i c s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r g i v e n b y ( 1 2 ) . T h e c o n t r o l l e r p a r a m e t e r s a r e c h o s e n t o b e 1 : 5 ,

a n d W

1

2 . T h e c o n t r o l l e d s y s t e m i s s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g M A T L A B .

T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 1 . I t i s c l e a r f r o m t h i s g u r e t h a t t h e

s y s t e m t r a j e c t o r i e s c

1

t a n d c

1

t c o n v e r g e t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s

a s y m p t o t i c a l l y . M o r e o v e r , t h e c o n t r o l l e r i s w i t h i n t h e r e q u i r e d l i m i t s , i . e .

0 ; 2 . T h e s i m u l a t i o n o f t h e p e r t u r b e d s y s t e m i s s h o w n i n F i g . 2 . I t i s c l e a r

t h a t t h e p e r t u r b a t i o n h a s n o t a e c t e d t h e p e r f o r m a n c e o f t h e b i o r e a c t o r . T h i s

i s t r u e b e c a u s e o f t h e r o b u s t n e s s o f t h e c o n t r o l l e r . T h e r e f o r e , i t c a n b e

c o n c l u d e d t h a t t h e s t a t i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s t h e

s y s t e m e v e n i n t h e p r e s e n c e o f p e r t u r b a t i o n . H o w e v e r , i t i s c l e a r t h a t t h i s

c o n t r o l l e r s u e r s f r o m c h a t t e r i n g . T h e o t h e r c o n t r o l l e r s a r e d e s i g n e d t o e i t h e r

a t t e n u a t e o r e l i m i n a t e t h e c h a t t e r i n g p r o b l e m .



12/22

F i g . 1 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e s t a t i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r .

F i g . 2 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e s t a t i c s l i d i n g

m o d e c o n t r o l l e r f o r t h e p e r t u r b e d s y s t e m .



13/22

T h e b i o r e a c t o r s y s t e m ( 1 ) i s t h e n s i m u l a t e d u s i n g t h e p r o p o s e d d y n a m i c

s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r g i v e n b y ( 1 7 ) - ( 1 8 ) . T h e c o n t r o l l e r p a r a m e t e r s a r e c h o s e n

t o b e

1

3 ;

2

3 a n d W

2

5 . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e d y n a m i c s l i d i n g

m o d e c o n t r o l l e r i s s h o w n i n F i g . 3 . T h e c o n t r o l l e r i s s h o w n t o d r i v e t h e s y s t e m

t r a j e c t o r i e s c

1

t a n d c

2

t t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s . I t i s c l e a r f r o m t h e g u r e t h a t

t h e c h a t t e r i n g h a s b e e n g r e a t l y r e d u c e d a s c o m p a r e d t o t h e r e s u l t s o f t h e s t a t i c

s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r g i v e n b y ( 1 2 ) . A g a i n , t h e r o b u s t n e s s o f t h e d y n a m i c

S M C c o n t r o l l e r i s o b v i o u s a s s h o w n i n F i g . 4 f o r t h e c a s e w h e n t h e s y s t e m

p a r a m e t e r s a r e p e r t u r b e d b y 5 % . T h e r e f o r e , t h e d y n a m i c s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r s u c c e e d e d i n s t a b i l i z i n g t h e b i o r e a c t o r s y s t e m u n d e r p e r t u r b a t i o n , a n d

i t s u c c e e d e d i n r e d u c i n g c h a t t e r i n g t o a g r e a t e x t e n t .

F i g . 3 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e d y n a m i c

s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r .



14/22

F i g . 4 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e d y n a m i c s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r f o r t h e p e r t u r b e d s y s t e m .

N e x t , t h e b i o r e c t o r s y s t e m g i v e n b y ( 1 ) i s s i m u l a t e d u s i n g t h e r s t c h a t t e r - f r e e

s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r g i v e n b y ( 2 2 ) . T h e c o n t r o l l e r p a r a m e t e r s a r e

k

1

1 ;

3

1 a n d

1

2

. F i g . 5 s h o w s t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f t h e

c l o s e d - l o o p t r a j e c t o r i e s t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s . T h e c o n t r o l l a w r e s u l t s i n a

s m o o t h c o n v e r g e n c e o f t h e s t a t e s c

1

t a n d c

2

t , a s w e l l a s a c h a t t e r - f r e e c o n t r o l

a c t i o n . T h e r o b u s t n e s s o f t h e c o n t r o l l e r i s e v i d e n t f r o m F i g . 6 w h e r e t h e

c o n t r o l l e r r e s p o n s e i s a l m o s t t h e s a m e a s t h a t f o r t h e u n p e r t u r b e d c a s e . I t i s

t h e r e f o r e c o n c l u d e d t h a t t h e r s t c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r

a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s t h e b i o r e a c t o r s y s t e m u n d e r s o m e v a r i a t i o n s i n t h e

p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m .



15/22

F i g 5 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e r s t

c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r .

F i g . 6 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e r s t

c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r f o r t h e p e r t u r b e d s y s t e m .



16/22

F i n a l l y , t h e c o n t r o l l e d b i o r e a c t o r s y s t e m g i v e n b y ( 1 ) i s s i m u l a t e d u s i n g t h e

s e c o n d c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r g i v e n b y ( 2 6 ) . T h e c o n t r o l l e r

p a r a m e t e r s a r e :

4

1 ; k

2

3 a n d

1

3

. T h e p e r f o r m a n c e o f t h e c h a t t e r - f r e e

s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r i s d e p i c t e d i n F i g . 7 . T h e g u r e s h o w s a n a s y m p t o t i c

c o n v e r g e n c e o f t h e s t a t e t r a j e c t o r i e s t o t h e i r n a l d e s t i n a t i o n p o i n t . T h e

a d v a n t a g e o f u s i n g a r e a c h i n g l a w w i t h c o n t i n u o u s r i g h t - h a n d s i d e i s a p p a r e n t

f r o m t h e o b t a i n e d c h a t t e r - f r e e c o n t r o l t r a j e c t o r y . T h e r o b u s t n e s s o f t h e

c o n t r o l l e r i s d e m o n s t r a t e d i n F i g . 8 . T h e r e f o r e , i t i s c o n c l u d e d t h a t t h e s e c o n d

c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r g i v e n b y ( 2 6 ) s t a b i l i z e s t h e c l o s e d - l o o p

s y s t e m a s y m p t o t i c a l l y w h i l e e l i m i n a t i n g t h e c h a t t e r i n g p r o b l e m .

F i g . 7 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e s e c o n d

c h a t t e r - f r e e s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r .



17/22

F i g . 8 . T h e s t a t e s a n d t h e c o n t r o l l e r v e r s e s t i m e f o r t h e s e c o n d c h a t t e r - f r e e s l i d i n g

m o d e c o n t r o l l e r f o r t h e p e r t u r b e d s y s t e m .

D e s p i t e t h e s a t i s f a c t o r y p e r f o r m a n c e s o f a l l t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r s , a f e w

d i e r e n c e s c o n c e r n i n g t h e c o n v e r g e n c e a n d t h e c o n t r o l a c t i o n s a r e o u t l i n e d . T h e

t i m e r e s p o n s e s o f t h e s t a t e t r a j e c t o r i e s e x h i b i t s o m e d i e r e n c e s d u e t o t h e

d i e r e n t s t r u c t u r e s a n d g a i n s o f t h e c o n t r o l l a w s . A m o n g t h e f o u r c o n t r o l l l e r s ,

t h e s t a t i c a n d s e c o n d c h a t t e r - f r e e c o n t r o l l e r s e x h i b i t f a s t e r r e s p o n s e c o m p a r e d t o

t h e o t h e r c o n t r o l l e r s . A s f a r a s t h e c o n t r o l a c t i o n i s c o n c e r n e d , t h e s t a t i c s l i d i n g

m o d e c o n t r o l l e r i s l e s s d e s i r a b l e d u e t o t h e c h a t t e r i n g e e c t . T h e r s t c h a t t e r -

f r e e S M C e x e r t s t h e l e a s t c o n t r o l e o r t , f o l l o w e d b y t h e d y n a m i c s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r .

A r e a s o n a b l e c o n c e r n t h a t m a y a r i s e i s t h e p o s s i b l e d i s c o n t i n u i t y o f t h e

p r o p o s e d c o n t r o l l e r s d u e t o t h e

1

g

t e r m . T h e r e f o r e , i t i s s h o w n i n F i g . 9 t h a t t h e

t e r m

1

g

i s b o u n d e d , i . e . g , d o e s n o t t e n d t o z e r o .

A n a l n o t e t o m e n t i o n h e r e i s t h a t f o r a l l t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r s , t h e

n o r m a l i z e d c e l l c o n c e n t r a t i o n c

1

, t h e n o r m a l i z e d a m o u n t o f n u t r i e n t c

2

p e r u n i t

v o l u m e , a n d t h e c o n t r o l a c t i o n , s a t i s f y t h e r e q u i r e d c o n s t r a i n t s g i v e n b y t h e

i n e q u a l i t i e s ( 2 ) - ( 4 ) .



18/22

F i g . 9 . T h e p l o t o f t h e t e r m f o r t h e s t a t i c s m c ( a ) , t h e d y n a m i c s m c ( b ) , t h e r s t

c h a t t e r - f r e e s m c ( c ) , a n d t h e s e c o n d c h a t t e r - f r e e s m c ( d ) .

C O N C L U S I O N

F o u r s l i d i n g m o d e c o n t r o l s c h e m e s a r e p r o p o s e d f o r t h e b i o r e a c t o r b e n c h m a r k

p r o b l e m . A n i m p o r t a n t s t e p i n t h e d e s i g n i s t h e i n t r o d u c t i o n o f a n o n l i n e a r

t r a n s f o r m a t i o n t h a t t r a n s f o r m s t h e o r i g i n a l n o n l i n e a r s y s t e m i n t o t h e

g e n e r a l i z e d c o n t r o l l e r c a n o n i c a l f o r m . A t r s t , a s t a t i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r i s

s h o w n t o d r i v e t h e s y s t e m t r a j e c t o r i e s t o t h e i r d e s i r e d p o i n t . H o w e v e r , t h i s

c o n t r o l l e r s u e r s f r o m c h a t t e r i n g d u e t o t h e u s e o f t h e s i g n u m f u n c t i o n . T h e n , a

r e d u n d a n t d y n a m i c s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r i s i n t r o d u c e d . T h e c o n t r o l l e r

d i s p l a y s r e d u c e d c h a t t e r i n g i n t h e c o n t r o l a c t i o n . F i n a l l y , t w o s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r s w h i c h a r e b a s e d o n r e a c h i n g l a w s w i t h c o n t i n u o u s r i g h t - h a n d s i d e

a r e p r o p o s e d . T h e s e t w o c o n t r o l l e r s p r o d u c e a s m o o t h c o n v e r g e n c e o f t h e

s y s t e m t r a j e c t o r i e s t o t h e i r d e s i r e d v a l u e s . F u r t h e r m o r e , t h e s e t w o c o n t r o l l a w s

y i e l d c h a t t e r - f r e e r e s p o n s e s . A s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s

p r o v e n f o r t h e f o u r p r o p o s e d c o n t r o l l e r s .



19/22

S i m u l a t i o n r e s u l t s a r e p r e s e n t e d f o r t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r s . T h e s i m u l a t i o n

r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r s a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e t h e

b i o r e a c t o r b e n c h m a r k s y s t e m f o r t h e c a s e o f n o m i n a l p a r a m e t e r v a l u e s , a n d f o r

t h e c a s e w h e n t h e s y s t e m p a r a m e t e r s a r e p e r t u r b e d b y 5 % . T h e r e f o r e , t h e

p r o p o s e d s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r s a r e i n s e n s i t i v e t o p a r a m e t e r v a r i a t i o n s .

R E F E R E N C E S

A b u Z i t a r , R . A . , & H a s s o u n , M . H . 1 9 9 5 . N e u r o - c o n t r o l l e r s t r a i n e d w i t h r u l e s e x t r a c t e d b y a

g e n e t i c a s s i s t e d r e i n f o r c e m e n t l e a r n i n g s y s t e m . I E E E T r a n s . o n N e u r a l N e t w o r k s , 6 0 : 8 5 9 - 8 7 9 .

A g r a w a l , P . & L i m , H . C . 1 9 8 4 . A n a l y s i s o f v a r i o u s c o n t r o l s c h e m e s f o r c o n t i n u o u s b i o r e a c t o r s .

A d v a n c e s i n B i o c h e m i c a l E n g i n e e r i n g & B i o t e c h n o l o g y , S p r i n g e r , B e r l i n .

B a n a v a r , R . N . , & S a n k a r a n a r a y a n a n , V . 2 0 0 6 . A S w i t c h e d F i n i t e - T i m e C o n t r o l l e r D e s i g n

M e t h o d o l o g y . L e c t u r e N o t e s i n C o n t r o l a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e s , 2 1 - 5 0 .

D a g c i , O . H . , E f e , M . O . , K a y n a k , O . , & Y u , X . 2 0 0 1 . V a r i a b l e s t r u c t u r e s y s t e m s i n c o n t r o l o f

b i o c h e m i c a l p r o c e s s e s . I E E E I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n I n d u s t r i a l E l e c t r o n i c s 3 : 1 6 9 0 - 1 6 9 5 .

D e r d i y o k , A . & L e v e n t , M . 1 9 9 7 . S l i d i n g m o d e c o n t r o l o f a b i o r e a c t o r . K o r e a n J o u r n a l o f

C h e m i c a l E n g i n e e r i n g 1 7 : 6 1 9 - 6 2 4 .

D o e r s c h u k , P . I . , & S a r r a a n , E . 1 9 9 9 . C o n v e n t i o n a l v s . R B F c o n t r o l o f a B e n c h m a r k P r o c e s s

C o n t r o l P r o b l e m . I n t e r n a t i o n a l J o i n t C o n f e r e n c e o n N e u r a l N e t w o r k s 4 : 2 2 1 6 - 2 2 1 9 .

D o e r s c h u k , P . I . , S a r r a a n , E . , M e k i c , M . , & D o e r s c h u k , D . O . 2 0 0 2 . H y b r i d N e u r a l N e t w o r k /

C o n v e n t i o n a l C o n t r o l o f a B e n c h m a r k P r o c e s s C o n t r o l P r o b l e m . P r o c e e d i n g s o f t h e 2 0 0 2

I n t e r n a t i o n a l J o i n t C o n f e r e n c e o n N e u r a l N e t w o r k s ( I J C N N ) 1 : 9 7 - 1 0 1 .

E f e , M . 2 0 0 7 . M I M O v a r i a b l e s t r u c t u r e c o n t r o l l e r d e s i g n f o r a b i o r e a c t o r b e n c h m a r k p r o c e s s . I S A

T r a n s a c t i o n s 4 6 : 4 5 9 - 4 6 9 .

E f e , M . , A b a d o g l u , E . & K a y n a k , O . 1 9 9 9 . A n o v e l a n a l y s i s a n d d e s i g n o f a n e u r a l n e t w o r k a s s i s t e d

n o n l i n e a r c o n t r o l l e r f o r a b i o r e a c t o r . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R o b u s t a n d N o n l i n e a r C o n t r o l 9 :

7 9 9 - 8 1 5 .

E f e , O . , & K a y n a k , O . 1 9 9 7 . I d e n t i c a t i o n a n d C o n t r o l o f a N o n l i n e a r B i o r e a c t o r P l a n t U s i n g

C l a s s i c a l a n d D y n a m i c a l N e u r a l N e t w o r k s . P r o c e e d i n g s o f I E E E I n t e r n a t i n a l S y m p o s i u m o n

I n d u s t r i a l E l e c t r o n i c s 3 : 1 2 1 1 - 1 2 1 5 .

F o s s a s , E . , R o s , M . , & F a b r e g a t , J . 2 0 0 1 . S l i d i n g m o d e c o n t r o l i n a b i o r e a c t o r m o d e l . J o u r n a l o f

M a t h e m a t i c a l C h e m i s t r y 3 0 : 2 0 3 - 2 1 7 .

G o r i n e v s k y , D . 1 9 9 7 . S a m p l e d - D a t a I n d i r e c t A d a p t i v e C o n t r o l o f B i o r e a c t o r U s i n g A n e R a d i a l

B a s i s F u n c t i o n N e t w o r k A r c h i t e c t u r e . J o u r n a l o f D y n a m i c S y s t e m s a n d C o n t r o l 1 1 9 : 9 4 - 9 6 .

J a n a r d h a n a n , S . 2 0 0 6 . R e l a y - f r e e S e c o n d O r d e r S l i d i n g M o d e C o n t r o l . I E E E I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e o n I n d u s t r i a l T e c h n o l o g y , 2 2 0 6 - 2 2 1 0 .

R a m a s w a m y , S . , C u t r i g h t , T . & Q a m m a r , H . 2 0 0 5 . C o n t r o l o f a c o n t i n u o u s b i o r e a c t o r u s i n g m o d e l

p r e d i c t i v e c o n t r o l . P r o c e s s B i o c h e m i s t r y 4 0 : 2 7 6 3 - 2 7 7 0 .

S i r a - R a m i r e z , H . , L i a n e s - S a n t i a g o , O . & F e r n a n d e z , N . A . 1 9 9 6 . O n t h e s t a b i l i z a t i o n o f n o n l i n e a r

s y s t e m s v i a i n p u t - d e p e n d e n t s l i d i n g s u r f a c e s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R o b u s t a n d N o n l i n e a r

C o n t r o l 6 : 7 7 1 - 7 8 0 .

T h a m , H . J . , H u s s a i n , M . A . , & R a m a c h a n d r a n , K . B . 2 0 0 0 . V a r i a b l e s t r u c t u r e c o n t r o l f o r a

c o n t i n u o u s b i o r e a c t o r . P r o c e e d i n g o f T E N C O N 1 : 4 3 3 - 4 3 6 .

T h a m , H . J . , R a m a c h a n d r a n , K . B . & H u s s a i n , M . A . 2 0 0 3 . S l i d i n g m o d e c o n t r o l f o r a c o n t i n u o u s

b i o r e a c t o r . C h e m i c a l a n d B i o c h e m i c a l E n g i n e e r i n g 1 7 : 2 6 7 - 2 7 5 .



20/22

U n g a r , L . H . 1 9 9 0 . A B i o r e a c t o r B e n c h m a r k f o r A d a p t i v e - N e t w o r k B a s e d P r o c e s s C o n t r o l , N e u r a l

N e t w o r k s f o r C o n t r o l , M I T P r e s s .

Z h a o , Y . & S k o g e s t a d , S . 1 9 9 7 . C o m p a r i s o n o f v a r i o u s c o n t r o l c o n g u r a t i o n s f o r c o n t i n u o u s

b i o r e a c t o r s . I n d u s t r i a l & E n g i n e e r i n g C h e m i c a l R e s e a r c h 3 6 : 6 9 7 - 7 0 5 .

S u b m i t t e d : 2 5 / 1 / 2 0 1 0

R e v i s e d : 2 9 / 6 / 2 0 1 0

A c c e p t e d : 2 7 / 9 / 2 0 1 0



21/22

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