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S y n e . h r o n i z i n g P o w e r i n S y n c h r o n o u s M a c h i n e sU n d e r S t e a d y a n d T r a n s i e n t C o n d i t i o n sBY H . V . PUTMAN1A s s o c i a t e , A . I . E . E .

Synopsis.-The a c c u r a c y o f a l l c a l c u l a t i o n s r e l a t i n g t o t h e S o f a r a s t h e a u t h o r i s a w a r e , no a t t e m p t a t a c o m p l e t e a n a l y s i sh u n t i n g o f s y n c h r o n o u s m a c h i n e s c o n n e c t e d m e c h a n i c a l l y t o r e c i p - o f t h e s u b j e c t h a s b e e n m a d e h e r e t o f o r e . T h e o b j e c t o f t h i s p a p e rr o c a t i n g a p p a r a t u s d ep e n d s l a r g e l y u p o n t h e c o r r e c t n e s s w i t h i s t o d e v e l o p a m e t h o d b y w h i c h t h e s y n c h r o n i z i n g p o w e r P 8 ma y b ew h i c h t h e v a l u e o f t h e s y n c h r o n i z i n g p o w e r P , ma y b e d e t e r m i n e d . c a l c u l a t e d f a i r t y a c c u r a t e l y u n d e r a n y c o n d i t i o n l i k e l y t o b e m e tT h u s , t h e c a l c u l a t i o n o f f l y w h e e l s n e c e s s a r y f o r t h e p a r a l l e l o p e r a - w i t h . T h e m e t h o d a p p l i e s o n l y t o s y n c h . r o n o u s m a c h i n e s o f t h et i o n o f e n g i n e d r i v e n g e n e r a t o r s d e p e n d s e n t i r e l y o n a c o r r e c t u s u a l d e f i n i t e p o l e c o n s t r u c t i o n . B l on d el ' s c o n c e p t i o n o f t w ov a l u e o f P 8 . L i k e w i s e , t h e W T R 2 w h i c h i t i s n e c e s s a r y t o i n c o r p o r a t e r e a c t i o n s w i t h s o m e m o d i f i c a t i o n s a n d e x t e n s i o n s i s f o l l o w e d g e n e r -i n t h e r o t o r s o f s y n c h r o n o u s n m o t o r s w h e n d r i v i n g c o m p r e s s o r s o r a l l y t h r o u g h o u t t h e p a p e r .pumps c a n b e c a l c u l a t e d c o r r e c t l y o n l y w h e n P 8 i s a c c u r a t e l y k n o w n . * * * * *S E C T I O N I . I N T R O D U C T I O N p r o d u c e d b y a n i n d u c ed v o l t a g e d u e t o t h e c h a n g i n gSYNCHRONIZING p o w e r , P 8 , ma y b e d e f i n e d a s f i e l d f l u x . T h e r e s u l t i s t h a t t h e a r m a t u r e r e a c t i o nt h e r a t e a t w h i c h t h e i n p u t p o w e r t o a s y n c h r o n o u s h a s n o t h a d t i m e t o f u n c t i o n a t l e a s t c o m p l e t e l y , a n dm o t o r c h a n g es w i t h c o r r e s p o n d i n g c h a n g e s i n t h e t h e f i e l d c u r r e n t h a s i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d t o make u pa n g u l a r d i s p l a c e m e n t . T h e d i s p l a c e m e n t r e f e r r e d t o f o r i t . T h i s i s p r e c i s e l y w h a t h a p p e n s i n a s y n c h r o n o u sh e r e i s n o t t h a t w h i c h a c t u a l l y e x i s t s b e t w e e n t h e r o t o r m o t o r d r i v i n g a c o m p r e s s o r . T h e a r m a t u r e r e a c t i o na n d t h e r o t a t i n g e l e c t r i c a l f i e l d i n t h e m o t o r b u t i t i s t h e f u n c t i o n s o n l y p a r t i a l l y a n d t h e f i e l d i s k e p t c o n t i n u a l l yd i s p l a c e m e n t b e t w e e n t h e r o t o r a n d a n i m a g i n a r y e l e c - i n a t r a n s i e n t s t a t e . O s c i l l o g r a m s o f t h e f i e l d c u r r e n tt r i c a l f i e l d w h i c h c o r r e s p o n d s i n p h a s e p o s i t i o n t o t h e t a k e n w h e n a m a c h i n e i s h u n t i n g o f t e n s h o w m a r k e dt e r m i n a l v o l t a g e . T h i s w i l l b e e x p l a i n e d m o r e f u l l y p u l s a t i o n s a m o u n t i n g t o a c o n s i d e r a b l e p e r c e n t a g e o fl a t e r . t h e a v e r a g e v a l u e .P . i s o f t e n c a l l e d a c o n s t a n t . I t w o u l d b e more c o r - T h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g P 8 i s t h u s n o t s i m p l y t h a tr e c t t o s a y t h a t P s i s c o n s t a n t f o r a g i v e n s e t o f o p e r a t - o f c a l c u l a t i n g t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e i n F i g . 1 ,i n g c o n d i t i o n s b e c a u s e i t s v a l u e c h a n g e s w i t h t h e l o a d , b u t r a t h e r t he m o r e c o m p l i c a t e d p r o b l e m o f c a l c u -t h e e x c i t a t i o n , a n d w i t h t h e f r e q u e n c y a t w h i c h t h em e c h a n i c a l l o a d p u l s a t e s .

I f , f o r a g i v e n s y n c h r o n o u s m o t o r o p e r a t i n g u n d e rc o n s t a n t e x c i t a t i o n , : a c u r v e i s p l o t t e d s h o w i n g t h ep o w e r i n p u t a s f u n c t i o n o f t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t ,i t w i l l a p p e a r s i m i l a r t o t h a t s h o w n i n F i g . 1 . LNo w i t i s o b v i o u s t h a t i f t h e m e c h a n i c a l l o a d o n t h em o t o r c h a n g e s v e r y s l o w l y , t h e r a t e o f c h a n g e o f p o w e rw i t h d i s p l a c e m e n t i s g i v e n b y t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t /t o t h e c u r v e a t t h e p o i n t c o r r e s p o n d i n g t o t h e g i v e nl o a d o n t h e m o t o r . I f , h o w e v e r , t h e m e c h a n i c a l l o a d /p u l s a t e s u p a n d d o w n r a p i d l y a s i t d o e s i n t h e c a s e o f a A N G U L A R D I S P L A C E M E N Tc o m p r e s s o r , t h e r a t e o f c h a n g e o f p o w e r w i t h t h e d i s - F i G . 1 - C U R V E S H O W I N G P O W E R A S F U N C T I O N O F D I S P L A C E -p l a c e m e n t i s n o l o n g e r g i v e n b y t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t M E N T U N D E R S T E A D Y L O A DDotted l i n e r e p r e s e n t s c h a n g e o f power w i t h d i s p l a c e m e n t under c o n d i t i o nt o t h e c u r v e b u t b y t h e s l o p e o f s o m e o t h e r l i n e s i m i l a r o f p u l s a t i n g l o a d .t o t h e d ot t ed l i n e i n F i g . 1 . l a t i n g t h e s l o p e o f t h e d o t t e d l i n e . I n t h e t h e o r e t i c a lT h e r e a s o n f o r t h e a b o v e p h e n o m e n o n i s n o t h a r d t o a n a l y s i s w h i c h f o l l o w s , t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t o f t h ef i n d . A s u d d e n i n c r e a s e i n t h e l o a d o n a m o t o r i s m a c h i n e w i l l b e c a l c u l a t e d f i r s t a c c o r d i n g t o B l o n d e l ' sa c c o m p a n i e d b y a s u d d e n i n c r e a s e i n t h e a r m a t u r e t h e o r y , t h e n t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e i n F i g . 1 , a n dr e a c t i o n w h i c h t e n d s t o b u c k d o w n , a n d d i s t o r t t h e f i n a l l y t h a t o f t h e d o t t e d l i n e .f i e l d f l u x . I t i S , h o w e v e r , i m p o s s i b l e f o r t h e f i e l df l u x t o c h a n g e i m m e d i a t e l y , a n d f o r t h e f i r s t i n s t a n t t h e S E C T I O N I I . T H E O R E T I C A L T R E A T M E N Te f f e c t o f t h e a r m a t u r e r e a c t i o n o n t h e f i e l d f l u x i s p r a c t i - T h e f o l l o w i n g s y m b o l s w i l l b e u s e d t h r o u g h o u t t h ec a l l y o f f s e t b y a s u d d e n i n c r e a s e i n t h e f i e l d c u r r e n t r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r :1 . E l e c t r i c a l E n g i n e e r , W e s t i n g h o u s e E l e e . & M t f g . Co.,E Noia votgeE a s t P i t t s b o u r g h , P a .P r e s e n t e d a t t h e P a c i f i c C o a s t C o n v e n t i o n o f t h e A . I . E . E . , E t = T e r m i n a l v o l t a g eS a l t L , a k e C i t y , U J t a h , S ' e p t . 6 - 9 , 1 9 2 6 . Eo= I m p r e s s e d v o l t a g e1 1 1 6

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S e p t . 1 9 2 6 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES 1 1 1 7I = C u r r e n t F r j c E i ( 2 )r = R e s i s t a n c e w h e r e c i s t h e p r o p o r t i o n a l i t y f a c t o r .x = R e a c t a n c e T h e r e s u l t a n t e x c i t a t i o n F r i s t h e s u m o f t h e a r m a t u r ex , = S y n c h r o n o u s r e a c t a n c e o p e r a t i n g o n t h e c o m - r e a c t i o n I m a n d t h e a p p l i e d e x c i t a t i o n F f ; t h u sp o n e n t o f c u r r e n t a t r i g h t a n g l e s t o E , F r Fx 8 = S y n c h r o n o u s r e a c t a n c e o p e r a t i n g o n t h e c o m -p o n e n t o f c u r r e n t i n p h a s e w i t h E ~ S u b s t i t u t i n g ( 3 ) i n ( 2 ) a n d s o l v i n g f o r E i ,o n e n t o f c u r r e n t i n p h a s e w i t h E nX t =Xs-Xs' _ _ F f mx e = E f f e c t i v e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e , x < x e < X c c ( 4 )z = I m p e d a n c e FVJ=/2 + X 8 2 = S y n c h r o n o u s i m p e d a n c e T h e term-j i s d e f i n e d b y m o s t w r i t e r s a s t h ezs = r 2 + x 8 2 = S y n c h r o n o u s i m p e d a n c e cm = C o e f . o f a r m a t u r e r e a c t i o n . ( R a t i o o f d e m a g n e t - n o m i n a l v o l t a g e a n d d e n o t e d b y E n . F r o m ( 4 ) i t mayi z i n g a m p e r e - t u r n s t o t h e n o - l o a d e x c i t a t i o n b e s e e n t h a t i t i s e q u a l t o t h e i n d u c e d v o l t a g e a t n oa m p e r e - t u r n s )F , r = R e s u l t a n t f i e l d e x c i t a t i o n l o a d . S u b s t i t u t i n g ( 1 ) i n ( 4 ) a n d r e p l a c i n g - jE f = . A p p l i e d f i e l d e x c i t a t i o n0 = P o w e r - f a c t o r a n g l e l a g g i n g b y E , na = A n g l e b e t w e e n I a n d E n r m

= A n g u l a r d i s p l a c e m e n t o f t h e r o t o r E t + I Z + = E nP = P o w e r i n p u td P o rPS = S y n c h r o n i z i n g p o w e r Et+I[r+j( x+ }1= E n , ( 6 )K ' = F a c t o r o f e f f e c t i v e n e s s o f a r m a t u r e r e a c t i o nN = N o . o f t u r n s o n f i e l d p o l eL = E f f e c t i v e i n d u c t a n c e o f t h e f i e l d T h e t e r m ( x + i s t h e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e ,r f = E f f e c t i v e r e s i s t a n c e o f t h e f i e l d cK = C o e f . o f c o u p l i n g b e t w e e n a r m a t u r e a n d f i e l d mE = D - c . v o l t a g e i m p r e s s e d o n t h e f i e l d x b e i n g t h e r e a l r e a c t a n c e , a n d c t h e r e a c t a n c e e q u i v -Cdp = O p e r a t o r a l e n t o f t h e a r m a t u r e r e a c t i o n . T h e c o m p l e t e b r a c k e ti n e q u a t i o n ( 6 ) i s , t h e r e f o r e , t h e s y n c h r o n o u s i m p e -i = C o m p o n e n t o f c u r r e n t i n p h a s e w i t h E n d a n c e a n d r e p r e s e n t e d b y z 8 .i i = C o m p o n e n t o f c u r r e n t a t r i g h t a n g l e s t o E n = Et+jIZ ( 7 )t = T i m e i n s e c .4 ' s i n c o t = P u l s a t i n g f l u x p r o v i d e d b y t h e d e m a g n e t i z - I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n e q u a -i n g c o m p o n e n t o f a r m a t u r e r e a c t i o n t i o n s ( 1 ) a n d ( 7 ) . T h e n o m i n a l v o l t a g e c o r r e s p o n d s t oc o = F r e q u e n c y o f t h e m e c h a n i c a l p u l s a t i o n i n r a d i a n s t h e i n d u c e d v o l t a g e , a n d t h e i m p e d a n c e h a s b e c o m ep e r s e c . s y n c h r o n o u s i m p e d a n c e . E q u a t i o n ( 1 ) a p p l i e s t o a l lif= C u r r e n t i n t h e f i e l d c i r c u i t e l e c t r i c a l d e v i c e s w h i l e e q u a t i o n ( 7 ) i s t h e f u n d a m e n t a li , r = R e s u l t a n t f l u x i n t h e f i e l d p o l e e q u a t i o n o f , a n d a p p l i e s o n l y t o , s y n c h r o n o u s m a c h i n e s .F o r a s y n c h r o n o u s m o t o r , e q u a t i o n ( 7 ) i s more c o n -T h e f u n d a m e n t a l e q u a t i o n o f a l l e l e c t r i c a l m a c h m e s v e n i e n t l y w r i t t e n

E i = E t + Iz ( 1 ) - E = J o - . ( 8 )E o b e i n g t h e i m p r e s s e d v o l t a g e .T h i s e q u a t i o n s i m p l y s t a t e s t h a t t h e i n d u c e d v o l t a g e T h e v e c t o r d i a g r a m f o r a s y n c h r o n o u s m o t o r b a s e di s t h e v e c t o r sum o f t h e t e r m i n a l v o l t a g e a n d t h e o n e q u a t i o n ( 8 ) i s s h o w n i n F i g . 2 . - E , h a s b e e ni m p e d a n c e d r o p . c h o s e n a s z e r o v e c t o r , s o t h a t v e c t o r i a l l yT h e i n d u c e d v o l t a g e i s p r o p o r t i o n e d t o t h e f l u x -Fn = E n + p r o d u c i n g i t a n d l a g s b e h i n d t h e f l u x b y 9 0 d e g . T h i s i s . E- + o .m a t h e m a t i c a l l , I t s h o u l d b e n ot ed i n c o n n e c t i o n w i t h F i g . 2 t h a t 0 i S .e x p r e s s e d ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t h e o w e r - f a c t o r a n g l e l a g g i n l g , a n d 6 i S t h e a n g l e b e -2 . Th e u s e o f a l i n e a r r e l a t i o n h e r e b e t w e e n F r a n d E t d o e s twee n I a n d F n . .n o t m e a n t h a t t h e e f f e c t o f s a t u r a t i o n i n t h e m a c h i n e h a s b e e n No w i t c a n b e shown t h a t t h e a n g l e b e t w e e n E n . a n dn e g l e c t e d . I n ] f a c t , t h e p r o p e r v a l u e o f c t o b e u s e d f o r a g i v e n E o i s t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t o f t h e m a c h i n e . I t i s ,s e t o f o p e r a t i n g c o n d i t i o n s m u s t b e d e t e rm i n e d f r o m t h e s a t u r a -t i o n c u r v e . C i s r e a . l l y t h e s l o p e o f - a s t r a i g h t l i n e f r o m t h e z e r o h o w e v e r , somewhat d i f f e r e n t f r o m t h e a n g u l a r d i s p l a c e -p o i n t t h r o u g h t h e o p e r a t i n g p o i n t o n t h e s a t u r a t i o n c u r v e . ment b e t w e e n t h e r o t o r a n d t h e r o t a t i n g e l e c t r i c a l f i e l d .

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1 1 1 8 PUTMAN: SYNCHRONIZIN1G POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .I t i s a c t u a l l y t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t b e t w e e n t h e T h u s , f r o m t h e i m a g i n a r y t e r m s i s o b t a i n e d t h er o t o r a n d a n i m a g i n a r y r o t a t i n g e l e c t r i c a l f i e l d c o r r e - e q u a t i o n ,s p o n d i n g i n p h a s e p o s i t i o n t o t h e t e r m i n a l v o l t a g e , w h i l e E ( s i n 8 c o s 0 + c o s 8 s i n 0 ) = I ( x 8 ' c o s 8 + r s i n 8 ), . t h e a c t u a l r o t a t i n g e l e c t r i c a l f i e l d c o r r e s p o n d s i n p h a s e o rp o s i t i o n t o t h e i n d u c e d v o l t a g e . T h e r e i s a d i s t i n c ta d v a n t a g e i n c a l c u l a t i n g t h e d i s p l a c e m e n t f r o m t h e s i n 8 [ E o c o s 6-I r ] = c o s 8 [ I x S ' - 0 s i n 6 ] ( 1 2 )t e r m i n a l v o l t a g e r a t h e r t h a n f r o m t h e i n d u c e d v o l t a g e o rs i n c e t h e t e r m i n a l v o l t a g e v e c t o r a l w a y s r o t a t e s a t I x 8 ' - Eo s i n 0u n i f o r m v e l o c i t y p r o v i d e d t h e f r e q u e n c y o f t h e i m - t a n E o s - Ir ( 1 3 )p r e s s e d v o l t a g e i s c o n s t a n t . B u t i n a m a c h i n e w h i c hi s h u n t i n g , t h e i n d u c e d v o l t a g e v e c t o r o r t h e a c t u a l T h i s e q u a t i o n , w h i c h w a s d e r i v e d b y B l o n d e l 4 , g i v e s t h ee l e c t r i c a l f i e l d i n t h e s t a t o r d o e s n o t r o t a t e u n i f o r m l y v a l u e o f t h e a n g l e 8 f o r a n y l o a d a n d p o w e r f a c t o r a n db e c a u s e o f t h e r e a c t a n c e , t h e I x d r o p p u l s a t i n g a s t h e c o n s e q u e n t l y t h e d i s p l a c e m e n t A / , s i n c e - , = 6 + 0 .c u r r e n t p u l s a t e s . I n p r o b l e m s i n v o l v i n g h u n t i n g , i t V e r y o f t e n , h o w e v e r , t h e f i e l d e x c i t a t i o n a n d c o n s e -i s n e c e s s a r y t o c a l c u l a t e t h e v a r i a t i o n s i n t h e s p e e d o f q u e n t l y t h e n o m i n a l v o l t a g e i s f i x e d , a n d i t i s d e s i r e dt h e r o t o r . T h i s i s d o n e b y c a l c u l a t i n g t h e a n g u l a r t o f i n d t h e d i s p l a c e m e n t a s f u n c t i o n o f t h e p o w e r u n d e rd i s p l a c e m e n t o f t h e m a c h i n e a s f u n c t i o n o f t i m e b u t t h i s c o n d i t i o n . 5i t i s e v i d e n t t h a t t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t m u s t b e E q u a t i o n ( 1 2 ) ma y b e r e w r i t t e n :r e f e r r e d t o a u n i f o r m l y r o t a t i n g v e c t o r . T h e a d v a n t a g e x s ' I c o s 8 + r I s i n 8 = E o s i n , 6 ( 1 4 )o f r e f e r r i n g t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t t o t h e t e r m i n a l I n a s i m i l a r m a n n e r t h e r e a l t e r m s o f e q u a t i o n ( 1 1 )v o l t a g e r a t h e r t h a n t o t h e i n d u c e d f o r a l l p r o b l e m s g i v e :c o n c e r n e d w i t h h u n t i n g a n d t h e c a l c u l a t i o n o f P s o n r I c o s 8 - x , I s i n 8 = E o c o s f - E n ( 1 5 )t h i s b a s i s i s t h u s a p p a r e n t .T h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t i s t h e r e f o r e E q u a t i o n s ( 1 4 ) a n d ( 1 5 ) ma y b e s o l v e d b y d e t e r m i n a n t s

/= ( O + 5 ) ( 9 ) f o r l c o s 8 a n d l s i n 8 a s f o l l o w s :T h e v a l u e o f A p c o r r e s p o n d i n g t o a g i v e n p o w e r i n p u t a t I r ( E o c o s E n ) + x s E o s i n -r 2 + x , X ,I Z S andI z s E o ~ ~ ~ ~ ~ ~ a n d

I s i n = r E O s i n ; - x S ( E o c o s - E , , ) ( 1 7 )% E nF I G . 2-VECTOR DIAGRAM O F SYNCHRONOUS MOTOR UNDER T h e s e a r e t h e t w o c o m p o n e n t s o f I a l o n g a n d a t r i g h tS T E A D Y L O A D a n g l e s t o E n , s o t h a t v e c t o r i a l l y

I ==Icos8+jIsin6 ( 1 8 )a g i v e n p o w e r f a c t o r i s e a s i l y d e t e r m i n e d f r o m e q u a t i o n A l s o f r o m t h e v e c t o r d i a g r a m F i g 2( 8 ) a s f o l l o w s :From F i g . ( 2 ) , E o = E o c o s , 6 + j E o s i ni l ( 1 9 )I z= I ( c o s 8 + j s i n 8 ) ( r + j x , ) T h e i n p u t p o w e r ma y now b e c a l c u l a t e d b y t e l e -= I [ ( r c o s 8 - x , s i n 8 ) + j ( x , ' c o s 8 + r s i n 8 ) J s c o p i n g ( 1 8 ) a n d ( 1 9 ) . T h u s :( 1 0 ) P = E o s i I c o s 8 + E 0 s i n i I s i n 8 ( 2 0 )I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a n x , ' i s u s e d w i t h t h e c o m - P. .p o n e n t o f c u r r e n t i n p h a s e w i t h E n o r t h a t c o m p o n e n t S u b s t i t u t i n g f o r I c o s 8 a n d I s i n 8 f r o m e q u a t i o n so f t h e c u r r e n t w h i c h i s maximum w h e n t h e a r m a t u r e ( 1 6 ) a n d ( 1 7 ) g i v e s t h e i n p u t p o w e r a s f u n c t i o n o f t h ec o i l s a r e d i r e c t l y u n d e r t h e c e n t e r s o f t h e f i e l d p o l e s . d i s p l a c e m e n t a s f o l l o w s :T h i s i s a c c o r d i n g t o B l o n d e l ' s w e l l - k n o w n t h e o r y o f t w o 1r e a c t i o n s a n d a m o u n t s t o t h e s a m e t h i n g a s D r . B e r g ' s 3 P = E o c o s x t [ r ( E o c o s f - E n ) + x , E o s i n 3 t ] ( r 2 + X i X , ' )m e t h o d w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t D r . B e r g b a s e d h i se q u a t i o n s o n t h e i n d u c e d v o l t a g e a s z e r o v e c t o r w h i c h 1i n t r o d u c e s a s l i g h t e r r o r e s p e c i a l l y a t l a r g e r l o a d s . + E o s i n V [ r E o s i n i - x , ( E o c o s f-En) ]+S u b s t i t u t i n g ( 1 0 ) i n ( 8 ) , (2xx'E , = E o [ c o s ( 8 6 + ) j s i n ( 8 6 + O ) ] _ _ _ ( 2 1 )- I [ r c o s 8 a - x s i n 8 ) + j ( x 8 ' c o s 8 + r s i n 8 ) ] ( 1 1 ) 4 . " ' S y n c h r o n o u s M o t o r s a n d C o n v e r t e r s , " ' M c G r a w H i l l &E q u a t i o n ( 1 1 ) m a y be s e p a r a t e d i n t o t wo e q u a t i o n s , c o . , 1 9 1 3 . B l o n d e l ' s e q u a t i o n i n v o l v e s + s i g n s b e c a u s e i t i so n en v o l i n g n l y r e a l t e r m s , t h e o t h e r o n l y i m a g i n a r y , d e r i v e d f o r t h e a l t e r n a t o r i n s t e a d o f t h e m o t o r .on inovngol 5 . I n c i d e n t a l l y , t h i s i S t h e p r o b l e m i n v o l v e d i n t h e c a W l c u l a -3 . B e r g a n d U p s o n , ' F i r s t C o u r s e i n E l e c t r i c a b l E n g i n e e r i n l g , " t i o n o f P 8 w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t t h e f i e l d t r a . n s i e n t m u l s , a l s oC h a p t e r XXXV, McGraw H i l l & C o . , 1 9 1 6 . b e c o n s i d e r e d .

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S e p t . 1 9 2 6 P t I T M V I A N : SYNCHRONIZING POWER I N ' SYNCHRONOUS MACHINES 1 1 1 9w h i c h r e d u c e s t o F i g . 3 . T h e r e a c t a n c e x S / w h i c h o p e r a t e s o n t h e e n e r g yE o E 2 c o m p o n e n t o f c u r r e n t w h i c h i s i p r o b a b l y a c t s a l m o s tP 0 r - ( r c o s x , ' s i n 4 i n s t a n t a n e o u s l y . A t l e a s t i t i s p r o b a b l e t h a t t h e c r o s s( r 2 - - x x , ' ) E 0 f l u x c a n b u i l d u p a n d d o w n a s f a s t a s a n y o f t h e f o r c e do s c i l l a t i o n s e n c o u n t e r e d i n c a s e s o f h u n t i n g w o u l d r e -+ s i n co s A ( x ; -x / ) ( 2 2 ) q u i r e . T h e m a i n f l u x , h o w e v e r , r e q u i r e s t i m e t o b u i l d) u p o r d o w n a n d s o x , c a n n o t f u n c t i o n i n s t a n t l y , o rE q u a t i o n ( 2 2 ) i s u s e f u l a s i t g i v e s t h e i n p u t p o w e r o f a r a t h e r t h a t p a r t o f x , w h i c h i s d u e t o a r m a t u r e r e a c t i o nd e f i n i t e p o l e s y n c h r o n o u s m o t o r f o r a g i v e n a n g u l a r c a n n o t f u n c t i o n i n s t a n t l y . H e n c e , t h e r e a c t a n c e w h i c hd i s p l a c e m e n t . A c l o s e a p p r o x i m a t i o n ma y b e m a d e t o o p e r a t e s o n a s u d d e n i n c r e a s e i n t h e w a t t l e s s c u r r e n t i s( 2 2 ) b y d i s r e g a r d i n g t h e r e s i s t a n c e . T h i s g i v e s t h e s o m e t r a n s i e n t o r e f f e c t i v e r e a c t a n c e w h i c h ma y b es o m e w h a t s i m p l e r e x p r e s s i o n , d e n o t e d b y x e a n d w h i c h l i e s b e t w e e n x , t h e r e a l r e a c -E I t a n c e , a n d x , , t h e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e , i t s v a l u e d e -P E i E X 5 / s i n 4 + s i n 4 ' c o s { ( X 8- X ' S ) p e n d i n g o n t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e w a t t l e s s c u r r e n t .X , X s E o T h e p o w e r g i v e n b y t h e m o t o r , c o r r e s p o n d i n g t o a n( 2 3 ) i n c r e a s e i n t h e d i s p l a c e m e n t f r o m i t s a v e r a g e v a l u e o fD i f f e r e n t i a t i n g ( 2 2 ) w i t h r e s p e c t t o 4 ' , t h e s l o p e o f t h e 4 t o ( 4 + A 4 , c a n b e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s u n d e r t h et a n g e n t l i n e s h o w n i n F i g . 1 i s o b t a i n e d :

d P E0P8= d 4 ( r 2 + x,X) [ X d c o s 2 V+ Eo ( x , c o s 4 A+ r s i n )(24)

w h e r eXd =X , -Xo r d i s r e g a r d i n g r e s i s t a n c e t e r m s i , E n - -d P

= E 1 1 \ F I G . 3-VECTOR D I A G R A M OF SYNCHRONOUS MOTOR SHOWINGP 8= - F E o _cos4 'd X S X / EFFECT OF S U D D E N INCREASE I N LOADE n 1 1 a b o v e a s s u m p t i o n s . T h e m e t h o d i s s i m p l y t o o b t a i nE o x , e x p r e s s i o n s f o r E o a n d I o a n d t e l e s c o p e t h e v e c t o r s .A s p o i n t e d o u t i n t h e b e g i n n i n g o f t h i s p a p e r , t h i s i s F r o m F i g E 3 ,n o t t h e P , t o b e u s e d i n p r o b l e m s o f h u n t i n g b e c a u s e i t E = F o [ c o s ( 4 + A 4 + j s i n ( + A ) ] ( 2 6 )d o e s n o t t a k e i n t o a c c o u n t t h e f i e l d t r a n s i e n t . I t d o e s , a n d b e f o r e t h e d i s p l a c e m e n t o c c u r r e dh o w e v e r , r e p r e s e n t t h e l o w e s t l i m i t o f t h e v a l u e w h i c h I z E - [ , , - Eo c o s 4 ' ] + j E o s i n 4 ( 2 7 )P 8 w o u l d a p p r o a c h i f t h e f o r c e d o s c i l l a t i o n s w e r e t o T h e r e f o r e , d i s r e g a r d i n g t h e r e s i s t a n c e , t h e i n i t i a l v a l u et a k e p l a c e v e r y s l o w l y - s o s l o w l y t h a t t h e a r m a t u r e o f t h e c u r r e n t , c o r r e s p o n d i n g t o t h e a v e r a g e d i s p l a c e -r e a c t i o n a n d c o n s e q u e n t l y t h e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e m e n t 4 ' , i s f r o m ( 2 7 )w o u l d h a v e t i m e t o f u n c t i o n c o m p l e t e l y a n d t h e r e F 0 s i n 4,,- F o c o s4(w o u l d b e n o f i e l d t r a n s i e n t . I = I ( 2 8 )T h e T r a n s i e n t P , o f t h e S y n c h r o n o u s M o t o r N e g l e c t i n g X s X

R e s i s t a n c e . 6 T h e r e a l c o m p o n e n t o f I c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n c r e a s e dI f a m a c h i n e w h i c h h a s b e e n o p e r a t i n g u n d e r s t e a d y d i s p l a c e m e n t (+4 A 4 ) i sl o a d a t d i s p l a c e m e n t 4 ' i s s u d d e n l y l o a d e d s o t h a t i t s E o s i n ( 4 + A 4 ( )d i s p l a c e m e n t i n c r e a s e s b y A 4 1 a l m o s t i n s t a n t a n e o u s l y , i( 2 9 )j u s t w h a t h a p p e n s ?I t i s a t o n c e a p p a r e n t f r o m t h e v e c t o r d i a g r a m , F i g . 3 , T h e i n c r e a s e i n t h e w a t t l e s s c o m p o n e n t i st h a t t h e I Z 8 v e c t o r i s i n c r e a s e d . T h i s m e a n s a n i n - F 0 [ c o s 4 ' - c o s ( 4 ' A v 4 ' ( 3 0c r e a s e i n t h e p o w e r , c u r r e n t , a n d a r m a t u r e r e a c t i o n o f t h e A i 1 = (0m a c h i n e . D i s r e g a r d i n g t h e r e s i s t a n c e f o r t h e p r e s e n t , X et h e I z s d r o p ma y b e c o n s i d e r e d a s m a d e u p o f t w o N o t e t h a t t h e e f f e c t i v e r e a c t a n c e i s u s e d h e r e , s i n c e , a sc o m p o n e n t s i 1 x 8 a n d i x 8 ' a c c o r d i n g t o B l o n d e l ' s t h e o r y w a s s h o w n a b o v e , i t i s t h e e f f e c t i v e r e a c t a n c e w h i c ho f t w o r e a c t i o n s . T h e s e c o m p o n e n t s a r e s h o w n i n l i m i t s a n i n c r e a s e i n t h e w a t t l e s s c u r r e n t . T h e w a t t -6 . A c o m p l e t e d e r i v a t i o n t a k i n g r e s i s t a n c e i n t o a c c o u n t i s l e s s c o m p o n e n t o f c u r r e n t c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n -g i v e n i D t h e a p p e n d i x . c r e a s e d d i s p l a c e m e n t i s t h e n

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1 1 2 0 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .E n - E o c o s E o o f t h e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e . No w w h e n a m o t o r i s= X Xe [ c o s 4 - c o s ( 4 + A , ) ] h u n t i n g , t h e d e m a g n e t i z i n g c o m p o n e n t o f a r m a t u r eX e X e r e a c t i o n i s a p u l s a t i n g r e a c t i o n a g a i n s t t h e f i e l d . I f

( 3 1 ) t h e p u l s a t i o n s t a k e p l a c e s l o w l y e n o u g h , t h e a r m a t u r eo r r e a c t i o n w i l l c a u s e t h e f i e l d f l u x t o p u l s a t e t h e s a m e E { ( 1 1 \ a m o u n t . I f , h o w e v e r , t h e p u l s a t i o n s a r e m o r e r a p i d ,i i = E o f X- E 4 c o s t h e f i e l d f l u x w i l l n o t h a v e t i m e t o f o l l o w t h e p u l s a t i o n s) c o s s i n t h e a r m a t u r e r e a c t i o n .- 1 c o s ( 4 , - _ _ _ T h e p r o b l e m t h e n i s m e r e l y t o f i n d o u t h ow mu ch-o s (+ ' A 4 , ) + ( 3 2 ) e f f e c t t h e a r m a t u r e r e a c t i o n h a s o n t h e f i e l d f l u x . T h i sX e E 0 x , i s a m e a s u r e o f t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e m / c t e r m i nT h e p o w e r a t d i s p l a c e m e n t ( 4 + A 4 ) i s t h e r e f o r e t h e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e x , . F o r v e r y h i g h s p e e dE 0 2 c o s ( 4 - A 4 s i n ( 4 , A ) p u l s a t i o n s m / c = 0 . F o r v e r y s l o w s p e e d p u l s a t i o n sP = , m l c = m / c , a n d i n g e n e r a l ,x e = x + K'm/c ( 3 7 )( 1 1 i w h e r e K ' i s t h e f a c t o r o f e f f e c t i v e n e s s o f a r m a t u r e r e a c -+ E o 2 s i n ( 4 + A / t ) l X- X j c o s { t i o n i n d e s t r o y i n g a n d b u i l d i n g u p t h e f i e l d f l u x i n t h em a i n p a t h .- 1 E _ _ _ _ } K ' ma y b e d e t e r m i n e d f r o m t h e f o l l o w i n g c o n s i d e r a -

- x c o s (;+ A {)+ E k ( 3 3 ) t o sXeX, ( 3 3 ) , t i o n s :R e f e r r i n g t o F i g . 4 , l e t t h e p u l s a t i n g f l u x p r o v i d e do rP= E L Y , s i n 2 ( V 4+ 0 0 0 02 X s ' 0

- ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i f+ s i n ( +Zv [ - ) )cosE

E 1 1 ] F I G . 4-DIAGRAM I L L U S T R A T I N G P U L S A T I N G ARMATURE+ E - c o s ( + A 4 , ) ( 3 4 ) R E A C T I O NE o 0 X 8 X e JD i f f e r e n t i a t i n g P w i t h r e s p e c t t o A 4 , , w e o b t a i n t h e b y t h e d e m a g n e t i z i n g c o m p o n e n t o f a r m a t u r e r e a c t i o nr a t e o f c h a n g e o f p o w e r w i t h r e s p e c t t o a n i n c r e a s e i n b e r e p r e s e n t e d b yt h e d i s p l a c e m e n t w h i c h i s P , . T h u s ~bi n c t .r 1 1 I w h e r eP S 9 = E o 2 0 ( X ' - X e c o s 2 ( 4 -+ 4 , ) w = f r e q u e n c y o f t h e p u l s a t i o n s i n r a d i a n s p e r s e c .\ X 8 L e t

1 N = N o . o f f i e l d t u r n s p e r p o l e .+Cos(41, ) ( Co s L = E f f e c t i v e i n d u c t a n c e o f t h e f i e l d . 7X , XJ r f = E f f e c t i v e r e s i s t a n c e o f t h e f i e l d . 7K = C o e f . o f c o u p l i n g b e t w e e n a r m a t u r e a n d f i e l d .+ n ( 3 5 ) E = D - c . v o l t a g e i m p r e s s e d o n t h e f i e l d .Eoxi} T h e e q u a t i o n o f t h e f i e l d c i r c u i t i s :w h i c h i s P , a t a n y d i s p l a c e m e n t ( , + A 4 . E = i f ( r f + p L ) + N K D c o o s c t . ( 3 8 )A t 4 , o r/ 1 1 E -N K+ c o c o s c o tP s = E o 2 1 t x / - x J e o s 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i f =rf+L(39)P S = E , 2 { X , ' X e c o s 2 4 r f - p L (9

_ _ E t h e p e r m a n e n t s o l u t i o n o f w h i c h i s :+ ( ~ - X , C o s 2 4 , + E n C o s 4 } ( 3 6 ) E N K c ( / L r f o Ee XS/0XLf7-CSCa-T h i s i s t h e v a l u e o f P , w h i c h s h o u l d b e u s e d i n a l l VfA/r'4+L2 c o J 2 \rp r o b l e m s o f h u n t i n g , a n d i s r e p r e s e n t e d b y t h e s l o p e o f ( 4 0 )t h e d o t t e d l i n e i n F i g . 1 . T h i s i s t h e p u l s a t i n g f i e l d c u r r e n t w h i c h e x i s t s i n aI t s t i l l r e m a i n s t o c a l c u l a t e t h e v a l u e o f X e t o b e u s e d m a c h i n e w h e n i t i s h u n t i n g . I t ma y b e s e e n f r o m ( 4 0 )i n z any g i v e n c a s e . I t h a s b e e n shown t h a t , i n v a l u e , B " e f c i e r e i t a c a n indcac,tewieX e l i e s i n b e t w e e n x a n d X 8 4-x r n m / c , w h e r e x i s t h e i n t e n d s t o c o n s i d e r t h e e f f e c t o f - t h e a m o r t i s s e u r w i n d i n g , a s w i l lr e a l r e a c t a n c e a n d r n / c i s t h e a r m a t u r e r e a c t i o n p a r t b e s e e r l a t e r .

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S e p t . 1 9 2 6 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYN-CHRONOUS MACHINES 1 1 2 1t h a t i f w i s s m a l l , t h e r e i s l i t t l e p u l s a t i o n i n t h e f i e l d Lc u r r e n t . I f , h o w e v e r , c o i s l a r g e r , t h e r e w i l l b e l a r g e r = 0 . 2 1 . ( f r o m o s c i l l o g r a m o f f i e l d t r a n s i e n t )p u l s a t i o n s . r fT h e r e s u l t a n t f l u x i n t h e f i e l d p o l e c a n b e o b t a i n e d A s s u m e t h a t t h e s p e e d o f t h e a b o v e m o t o r i s 8 0 r e v .f r o m t h e e q u a t i o n , p e r m i n . a n d t h a t i t i s d i r e c t - c o n n e c t e d t o a s i n g l e -d s r c y l i n d e r , d o u b l e - a c t i n g c o m p r e s s o r . A c o m p r e s s o r o fE- i f r f = N ( 4 1 ) t h i s t y p e h a s t w o p e a k s i n i t s t o r q u e c u r v e e v e r y r e v o -d t l u t i o n s o t h a t t h e s p e e d o f t h e i m p r e s s e d p u l s a t i o n s i so r 1 6 0 p e r m i n . o r c o = 1 6 . 7 5 r a d i a n s p e r s e c .From ( 3 7 )

( r =N fE-if r f ( 4 2 ) mX e x + K' ( 3 7 )F r o m e q u a t i o n ( 4 0 ) cN r f K Io L c o w h e r eE - i f r f x = c o s w tt - t a n - 'N / r f 2 + L 2 W t 2 r f K'=2(7( Lj 4f K 4 ) L W o r f**P r = v r f 2 2 0 2 s i n w t - t a n - ' r f + C S u b s t i t u t i n g t h e a b o v e v a l u e s f o r L / r f a n d c o i n ( 4 7 ) ,V ' r f 2 + L ' f( 4 4 ) i t i s f o u n d t h a t K ' = 0 . 2 7 3 w h i c h m e a n s t h a t t h e a r m a -) t u r e r e a c t i o n i n t h e m a i n f i e l d i s o n l y 2 7 . 3 p e r c e n tT h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n i n t h i s c a s e i s t h e s t e a d yc o m p o n e n t o f t h e r e s u l t a n t f l u x ( P r . From ( 4 4 ) i t e f f e c t i v e .*R ~ ~ ~ ~ ~ ~ T h ef f e c t i v e r e a c t a n c e ma y b e c a l c u l a t e d f r o mf o l l o w s t h a t t h e m a g n i t u d e o f t h e a - c . c o m p o n e n t o f t h e e q u a t i n t ( 3 7 t h u s :* ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e q u a t i o n 3 7 ) t h u s :r e s u l t a n t f l u x i s

r fK + X e = 0 . 3 0 + 0 . 2 7 3 X 0 . 5 5 = 0 . 4 5 ( 4 8 )b r = r f -(45) H a v i n g d e t e r m i n e d a l l t h e n e c e s s a r y c o n s t a n t s , t h eV r f 2 + L 2 C o 2 b e h a v i o r o f t h e m o t o r ma y now b e c a l c u l a t e d . A s s u m eNow w h e n c o i s v e r y s m a l l , t h e a r m a t u r e r e a c t i o n i s t h e m a c h i n e t o b e o p e r a t i n g a t f u l l - l o a d u n i t y p o w e r1 0 0 p e r c e n t e f f e c t i v e a n d f a c t o r s o t h a t 0 = 0 . T h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t ma yc > r = K P b e c a l c u l a t e d f r o m ( 1 3 ) .r f K ( P r f 06._ . _ K' = f L K v + 2 t a n 6 = 1 0 . 0 6 = 0 . 6 3 8 ( 4 9 ), v / r f 2 +L2cWV2rf2+L2 W 2 ( 4 6 ) S i n c e

o r 1 0 = 0 , =a= 3 2 . 6 d e g .K ' = _ ( 4 7 ) T h e n o m i n a l v o l t a g e a t f u l l - l o a d u n i t y p o w e r f a c t o r_1_L \ 2 ma y b e d e t e r m i n e d f r o m e q u a t i o n ( 1 5 ) . T h u sr f E J = = 0 . 8 4 3 - ( 0 . 0 6 X 0 . 8 4 3 - 0 . 8 5 X 0 . 5 4 ) = 1 . 2 6 ( 5 0 )IL \ R e s u m e o f c o n s t a n t s n e c e s s a r y f o r t h e c a l c u l a t i o n o fI n t h i s f o r m u l a ( - r e f e r s t o t h e f i e l d a l o n e a n d P . a t f u l l - l o a d u n i t y p o w e r f a c t o r , 8 0 r e v . p e r m i n . ,r / s i n g l e - c y l i n d e r d o u b l e - a c t i n g c o m p r e s s o r :i s t h e t i m e c o n s t a n t w h i c h d e t e r m i n e s t h e f i e l d t r a n s i e n t x , = 0 . 8 5 r = 0 . 0 6o c c u r r i n g w h e n t h e f i e l d c i r c u i t i s c l o s e d o n a c o n s t a n t X i = 0 . 6 0 x e = 0 . 4 5 ( 5 1 )v o l t a g e s o u r c e . I f t h i s t i m e c o n s t a n t i s d e t e r m i n e d V = 3 2 . 6 d e g . E n = 1 . 2 6b y a n o s c i l l o g r a m o f t h e s t a r t i n g c u r r e n t i n t h e f i e l d , N e g l e c t i n g r e s i s t a n c e , t h e v a l u e o f P ma y b e o b -t h e e f f e c t o f t h e a m o r t i s s e u r w i n d i n g i s a u t o m a t i c a l l y t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g ( 5 1 ) i n e q u a t i o n ( 3 6 ) .t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n . K ' i s t h u s d e t e r m i n e d a n d / 1 1 \ 1 \f r o m i t x e ma y b e c a l c u l a t e d b y e q u a t i o n ( 3 9 ) . P S = 0 . 6 0 - 0 . 4 5 0 . 4 2 +(o 4 5 - 0 . 8 5 0 . 7 1

S E C T I O N I I I . EXAMPLES AND C O N C L U S I O N STo d e t e r m i n e t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e v a r i o u s 1 . 2 6 83= 6 s ( 2f a c t o r s w h i c h a f f e c t t h e v a l u e o f P s , c o n s i d e r a t y p i c a l +0. 8 5 X 0 8 3 = 1 7 ' ( 2l o w - s p e e d s y n c h r o n o u s m o t o r , t h e c o n s t a n t s o f w h i c h Ef e t o Frqn c o f L aPu s i n s nP .a r e : x s = 0 . 8 5 r = 0 . 0 6 I f t h e m o t o r h a d b e e n d r i v i n g a t w o - c y l i n d e r , d o u b l e -x8 = O 0 . 6 0 x = 0 . 3 0 L ( 4 8 ) 8 . T h i s v a . l u e o f P 3 i S g i v e n o n a p e r c e n t a g e b a s i s . To g e tr n / c = - 0 . 5 5)itn k w . i t m u s t b e m u l t i p l i e d b y t h e k w . r a t i n g o f t h e m o t o r .

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1 1 2 2 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .a c t i n g c o m p r e s s o r , t h e t o r q u e c u r v e o f w h i c h w o u l d p r o a c h e s t h e b r e a k d o w n p o i n t . A t n o l o a d t h e f u n c -h a v e f o u r p e a k s p e r r e v o l u t i o n , w w o u l d b e t w i c e a s t i o n w o u l d t h e o r e t i c a l l y b e a s t r a i g h t l i n e .g r e a t a n d T h e d o t t e d l i n e s a r e c o n s t a n t p o w e r - f a c t o r c u r v e s a n dK' = 0 . 1 4 1 s h o w r o u g h l y t h e p o w e r f a c t o r w h i c h w i l l b e o b t a i n e da n d f o r v a r i o u s v a l u e s o f e x c i t a t i o n a n d l o a d .x e = 0 . 3 7 8 T h e h a l f - l o a d l i n e i s o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t . T h e r eW i t h t h i s v a l u e o f x , P s w o u l d b e s o m e w h a t g r e a t e r ,t h u s :

( O 6 0 0 . 3 7 8 ) 0 . 4 2 + ( . 3 7 8 0 . 8 5 ) 7 11 . 2 6+ 085 X 0 . 8 4 3 = 1 . 8 8 ( 5 3 ) 1

T h u s i t i s e v i d e n t t h a t t h e v a l u e o f P , f o r t h i s c a s e i s 1 2a b o u t 7 p e r c e n t g r e a t e r w h e n t h e m o t o r i s u s e d t o 1I0d r i v e a t w o - c y l i n d e r , d o u b l e - a c t i n g c o m p r e s s o r , t h a n 0 _ _ _ __I_ _ _ ii t i s w h e n d r i v i n g a s i n g l e - c y l i n d e r , d o u b l e - a c t i n g 0 0 . 2 5 1 0 0 7 0 . 1 5 1 5 0F I G . 6-CURVES SHOWING E F F E C T O F CHANGES IN LOAD O N T H E2 4 1 1 1 r - - m I V A L U I E OF TH E S Y N C H R O N I Z I N G P O W E R , P .22 L+ W 4 W;l 9 1 . I i s v e r y l i t t l e t e n d e n c y f o r t h e c u r v e t o d r o o p e v e n a t t h el o w e r e x t r e m i t y . T h i s s h o w s t h a t t h e m o t o r ma y b e- -tity tf+ o p e r a t e d a t h a l f l o a d a t a power f a c t o r a s p o o r a s 0 . 7I 6 kL m m t 4I I l a g g i n g o r e v e n l e s s w i t h o u t d a n g e r o f t h e m o t o r f a l l i n g1 . 2 1 xLg. t- - o u t o f s t e p . I n f a c t , i t w o u l d b e p o s s i b l e t o r e d u c e P ,0 - 8 I P . F . IA I e t o a v a l u e a s l o w a s 1 . 1 a t h a l f l o a d b y r e d u c i n g t h e0 6 - e x c i t a t i o n s u f f i c i e n t l y .0 _ 4 _ _ T h i s f a c t i s made us e o f i n c o n n e c t i o n w i t h t h e u n -0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 . 0 2 2 l o a d i n g o f t w o - c y l i n d e r , d o u b l e - a c t i n g c o m p r e s s o r s b yE n r e m o v i n g o n e c o n n e c t i n g r o d . O r d i n a r i l y t h e f l y w h e e li s s o d e s i g n e d t h a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c y c o r r e s p o n d s

F I G . 5-CURVES SHOWING S Y N C H R O N I Z I N G P O W E R , P . , ASFUNCTION OF THE NOMINAL V O L T A G E , Em a c h i n e . I n h i g h e r s p e e d m o t o r s t h i s d i f f e r e n c e w i l lb e s t i l l l e s s s o t h a t , w h i l e P 8 i s n o t e n t i r e l y i n d e p e n d e n t E ,- I Z - i Eo f t h e n a t u r e o f t h e l o a d , i t i s a p p r o x i m a t e l y s o , f o r E , .c o m p r e s s o r s o f t h e c o n v e n t i o n a l t y p e s a n d s p e e d s . rE f f e c t o f R e s i s t a n c e o n P , . 1 , - /T h e e f f e c t o f t h e r e s i s t a n c e o n t h e v a l u e o f P , ma y b e K/d e t e r m i n e d b y c a l c u l a t i n g P 8 f r o m e q u a t i o n ( 2 0 ) ,g i v e n i n a p p e n d i x , w h i c h g i v e s ' t 6 j ( r j x e " 9 zPS = 1 . 8 1 ( 5 4 ) F I G . 7-VECTOR D I A G R A M O F SYNCHRONOUS MOTOR SHOWINGT h i s r e p r e s e n t s a n i n c r e a s e o f o n l y 2 1 2 p e r c e n t i n t h e EFFECT OF S U D DEN INCREASE I N LOAD. (RESISTANCE TAKEN1 n T E 1 * 1 1 * * * T I I N T O A C C O U N T )v a l u e o f P , o b t a i n e d b y n e g l e c t i n g r e s i s t a n c e . I ts h o u l d a l s o b e n o t e d t h a t 6 p e r c e n t r e s i s t a n c e i s u n u s u - t o a b o u t t wi c e t h e r e v o l u t i o n s . T h i s i s a l l r i g h t f o ra l l y h i g h a n d h e n c e i t ma y b e c o n c l u d e d t h a t f o r t w o - c y l i n d e r , d o u b l e - a c t i n g c o m p r e s s o r s s i n c e t h e r e i sp r a c t i c a l w o r k t h e e f f e c t o f t h e r e s i s t a n c e may b e n o s e c o n d h a r m o n i c i n t h e t o r q u e c u r v e . B u t i f t h ed i s r e g a r d e d . m a c h i n e i s u n l o a d e d t h e r e i s a l a r g e s e c o n d h a r m o n i cE f f e c t o f E x c i t a t i o n o n P7. and,f s e v e r e h u n t i n g i s t o b e p r e v e n t e d , t h e n a t u r a lF i g . 5 6 s h o w s a f a m i l y o f t h r e e c u r v e s w h i c h g i v r e P 0 a s f r e q u e n c y m u s t b e b r o u g h t b e l o w i t . T h i s c a n b ef u n c t i o n o f t h e e x c i t a t i o n E n , f o r 1 1 4 l o a d , f u l l l o a d , a n d d o n e b y r e d u c i n g P s a n d r u n n i n g t h e m o t o r a t a p o o rh a l f l o a d . 9 I t ma y b e s e e n a t a g l a n c e t h a t t h e r e l a t i o n - @ l a g g i n g p o w e r f a c t o r . W h i l e s u c h o p e r a t i n g i s n o t t os h i p i s p r a c t i c a l l y l i n e a r f o r a g i v en l o a d , e x c e p t a t t h e b e r e c o m m e n d e d a s s t a n d a r d p r a c t i s e , i t i s v a l u a b l el o w e r e n d w h e r e t h e c u r v es d r o o p a s t h e m o t o r a p - t o k n o w t h a t i t ma y b e r e s o r t e d t o i n e m e r g e n c y c a s e s .

9 . T h e v a l u e s u s e d i n p l o t t i n g t h e c u r v e s i n F i g s . 5 a n d 7 w e r e E f f e c t o f L o a d o n P 8 .O b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g ( 5 1 ) i n e q u a t i o n s ( 1 3 ) , ( 1 5 ) , a n d ( 3 6 ) . F i g . 6 s h o w s a n o t h e r f a m i l y o f c u r v e s w h i c h g i v e s P 0

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S e p t . 1 9 2 6 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES 1 1 2 3a s f u n c t i o n o f l o a d f o r v a r i o u s p o w e r f a c t o r s . A t a a n ds l i g h t l y l a g g i n g p o w e r f a c t o r P . i s a l m o s t u n a f f e c t e d b y E ot h e l o a d , w h i l e a t 0 . 8 l e a d i n g p o w e r f a c t o r t h e r e i s a A i l = 2 X { X 8 ' [ C o s C - c o s ( 4 ' + A ) ]d e c i d e d i n c r e a s e i n P 8 w i t h l o a d . A t 0 . 8 l a g g i n g p o w e rf a c t o r t h e r e i s a d e c i d e d d e c r e a s e t o h a l f l o a d a f t e r w h i c h + r [ s i n ( 4 ' + A 4 / ) - s i n 4 ' ] } ( 1 0 )t h e v a l u e r e m a i n s p r a c t i c a l l y t h e s a m e . By a d d i n g A i a n d A i 1 t o t h e o r i g i n a l c o m p o n e n t s o fR a n g e o f P 8 . c u r r e n t , t h e n e w c o m p o n e n t s a r e o b t a i n e d .

I n c a l c u l a t i n g t h e v a l u e o f P 8 f o r a n u m b e r o f e n g i n e - 't y p e , s l o w - s p e e d s y n c h r o n o u s m o t o r s , t h e w r i t e r h a s r ( c o s E , +x 8 s i n V If o u n d t h a t t h e v a l u e i s p r a c t i c a l l y a l w a y s b e t w e e n r 2 +xx E o1 . 6 a n d 2 . 2 a t f u l l l o a d u n i t y p o w e r f a c t o r . I n g e n e r a l ,P 8 i s l o w i n m o t o r s o f l a r g e s i z e a n d v e r y s l o w s p e e d , + 2 + x . [ s i n ( 4 ' + A 4 ' ) - s i n 4 ]b u t h i g h e r i n m o t o r s o f s m a l l e r s i z e a n d h i g h e r s p e e d . r 2 + X 8 x eI t s v a l u e d e p e n d s l a r g e l y o n t h e r e a l r e a c t a n c e o f t h e - r [ c o s 4 - c o s ( 4 ' + A 4 ' ) ] } ( 1 1 )m a c h i n e a n d o n t h e r a t i o o f t h e n o - l o a d e x c i t a t i o n t o a n dt h e f u l l - l o a d a r m a t u r e r e a c t i o n . A l a r g e r e a c t a n c e a n d El o w r a t i o t e n d t o m a k e a l o w v a l u e o f P 8 .P=2 + x ' r s i n E n - lr 2 + { ( c o s E oA p p e n d i xT h e T r a n s i e n t P , o f t h e S y n c h r o n o u s M o t o r T a k i n g E o X[OCo(IR e s i s t a n c e i n t o A c c o u n t . + r 2 + X , ' X e X 8 [ c o s , - c o s ( 4 + A A ) ]I t h a s b e e n s h o w n i n E q u a t i o n s ( 1 6 ) a n d ( 1 7 ) t h a tu n d e r o r d i n a r y s t e a d y c o n d i t i o n s r n [ s i n e ( 4 + A ) - s i n , 6 ] } ( 1 2 )~ -+ T h e n e w v o l t a g e i s :w h e r e I i E o I c o s ( V + A 4 V ) + j s i n ( I + A V I ) } ( 1 3 )T e l e s c o p i n g t h e c u r r e n t a n d v o l t a g e , t h e p o w e r i sr ( E o c o s 4 ' - E n ) + x s E 0 s i n 4 ' ( 1 ) o b t a i n e d .r2XEa n d r I c o s 4 - E o J + x s i n 4r E o s i n 4 - x / ' ( E o c o s - E n ) P = E L 0 2 c o s ( + r 2 + x s x 8 't1= ~ r 2 + x . ' X ( 22 + x 8 x 8 x e { s i n ( 4 ' + A 4 ' ) - s i n 4 ' } - r { c o s 4 ' - c o s ( 4 ' + A 4 ) 1 1No w s u p p o s e 4 ' i s s u d d e n l y i n c r e a s e d t o ( 4 ' + A 4 ) . + r 2 + x r ' x o IJ u s t a s b e f o r e , t h e r e i s a n i n c r e a s e i n t h e I Z e d r o p a ss h o w n i n F i g . 7 w h i c h i s E nAI Z s = E o { - [ c o s 4 ' - c o s ( + A 4 ' ) ] rrsin4x-s c o s 4 ' E)+ j [ s i n ( 4 + A 4 / ' ) - s i n ] } 1 ( 3 ) + E o 2 s i n ( V I + A ' [ r 2 + x 8 x 8 'T h i s i n c r e a s e i n I z 8 i s m a d e u p o f t w o i z d r o p s .O n e i s d u e t o t h e r e a l c o m p o n e n t o f I , w h i c h i s x , ' { c o s A v - c o s ( 4 + A 4 ' ) } + r { s i n ( 4 + A 4 ' ) - s i n 4 ' 1A i ( r + j x 8 ' ) ( 4 ) + r2+ X s X t es i n c e i t i s a s s u m e d t h a t t h e c r o s s a r m a t u r e r e a c t i o n ( 1 4 )f l u x h a s t i m e t o f u n c t i o n . T h e o t h e r i z d r o p i s d u et o t h e w a t t l e s s c o m p o n e n t o f c u r r e n t i 1 , a n d i s I n t h e a b o v e e q u a t i o n l e t

j A i 1 ( r + j x e ) ( 5 ) r 2 + x , X -z 2w h e r e x e i s t h e e f f e c t i v e r e a c t a n c e . a n d ( 1 5 )H e n c e , f r o m t h e a b o v e s t a t e m e n t a n d e q u a t i o n s r 2 + X ' X = z o 2( 4 ) a n d ( 5 ) , S u b s t i t u t i n g ( 1 5 ) i n ( 1 4 ) a n d r e d u c i n g ,A I Z = Air- A iXe + j ( A i x 8 ' + A i 1 r ) ( 6 ) [-r ( x , - x e )E q u a t i n g r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f e q u a t i o n s ( 3 ) P = E 0 2 c o s ( 4 1 + A 4 ' ) 2 z 2a n d ( 6 ) ,A i r - z ^A i X e = E o [ c o s (4+ A4' ) - c o s 4 ' , ] ( 7 ) {- r s i n + x } ' c o s 4 ' }A i X , ' + A i 1 r = E o [ s i n ( 4 ' + A 4 ' ) - s i n 4 ' ] ( 8 ) 1 r E ~T h e r e f o r e + Z e 2 { X e s i n ( 4 ' - F A4 ) - r c o s ( 4 ' A 4 s ) - I 0 E 0 ]

r 2 + X 8 X 8 { ei n ('+A4')sin4'+E02 s i n ( 4 + A 4 ' ) L X 'X8Xe { X 8 ' c o s 4 ' - r s i n 4 ' 1+ r [ c o s ( , 6 + A 4 6 ) - c o S 4 ' ] }(9) 0 Z e

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1 1 2 4 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .1 B i b l i o g r a p h y+2 { r s i n ( l + A x)-xs' c o s ( + A x V ) } 1 . B e r g a n d U p s o n , F i r s t C o u r s e i n E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g ,1 9 1 6 , C h a p t s . XXXV a n d XXXVIII.X , ' E n 2 . S t e i n m e t z , A . I . E . E . T R A N S . , V O l . XXXIX, P a r t I I ,+ X 9 41(16) p . 1 2 1 5 .Z 2 E 6 3 . S t e i n m e t z , A l t e r n a t i n g - C u r r e n t P h e n o m e n a , 1 9 1 6 , C h a p t .X X I I .I n E q u a t i o n ( 1 6 ) , l e t 4 . S t e i n m e t z , E l e c t r i c a l A p p a r a t u s , 1 9 1 7 , C h a p t . X V I I I .

( x S - X e ) 5 . H e n n i n g s e n , C a l c u l a t i o n o f S y n c h r o n i z i n g P o w e r , G . E .C= X 2 { X , ' c o s - r s i n f } ( 1 7 ) R e v i e w u , 1 9 2 1 , p . 9 5 1 .Z 2 Z e 2 6 . B l o n d e l , S y n e h r o n o u s M o t o r s a n d C o n v e r t e r s , 1 9 1 3 ,S u b s t i t u t i n g ( 1 7 ) i n ( 1 6 ) , ( T r a n s l a t i o n b y C . 0 . M a i l l o u x ) P a r t 3 , C h a p t . I . A l s o s e eS u b s t i t u t i n g 1 7 ) i n ( 1 6 ) , ~ ~ ~ ~ f o o t - n o t e p . 9 5 .r 1 7 . D o h e r t y a n d S h i r l e y , A . I . E . E . T R A N S . , V O I . X X X V I I ,P = E o 2 C o s ( + A)[-rC+ 2 P a r t 2 , p . 1 2 0 9 .Z e2 S . D o h e r t y a n d N i c k l e , A . I . E . E . J O U R N . , P a p e r p r e s e n t e d a tA n n u a l C o n v e n t i o n o f t h e A . I . E . E . , W h i t e S u l p h u r S p r i n g s ,

xe S i r ( b A~ p res ~ A r E n 1 W. V a . , J u n e , 1 9 2 6 .X 6 s i n 4 1 + A V ) + r cos ( + + A )}_ 2E 9 . V. K a r a p e t o f f , V a r i a b l e A r m a t u r e L e a k a g e R e a c t a n c e ,0o J O U R N . o f A . I . E . E . , J u n e , 1 9 2 6 , p . 6 8 6 .1 0 . V . K a r a p e t o f f , H u n t i n g a n d P a r a l l e l O p e r a t i o n o f+o 2i n ( + + t + [ C + z1 S y n c h r o n o u s M a c h i n e s , T h e S i b l e y J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g ,+Ei ( 4 + 4 1 I x C+ Z e 2 M a r c h , 1 9 2 0 .x , ' E 1 D i s c u s s i o nI r s i n ( 4 + A 4 ' ) X s ' c o s ( 4 ' + A 3 a ) }+ z 2 F-] F . E . T e r m a n : T h e r e s u l t s o f M r . P u t m a n ' s c a r e f u l l y m a d ec a l c u l a t i o n s w i l l b e p a r t i a l l v u p s e t i f t h e m o t o r i s f e d b y l i n e s( 1 8 ) a n d t r a n s f o r m e r s t h a t h a v e c o n s i d e r a b l e i m p e d a n c e . T h i s i sD i f f e r e n t i P w i t h r e s p e c t t o A 4 t o g e t P, b e c a u s e M r . P u t m a n ' s d e r i v a t i o n assumes a c o n s t a n t v o l t a g e a tD i f f e r e n t i a t i n g P wlth re sp ec t t o A f to ge t Pe t h e motor t e r m i n a l s , a n d t h i s c o n s t a n t t e r m i n a l v o l t a g e i s n o t{ ZoFo o b t a i n e d i f t h e s u p p l y l i n e s a n d t r a n s f o r m e r s h a v e much i m p e -P S = F 0 2 C + Z2 Eo [ x 3 ' C o s ( 4 A ) d a n c e . I n s u c h a c a s e t h e s u r g i n g l i n e c u r r e n t c a u s e s a v a r y i n gv o l t a g e d r o p i n t h e l i n e . T h e e f f e c t o f t h e l i n e i m p e d a n c e canb e t a k e n i n t o a c c o u n t i n M r . P u t m a n ' s r e s u l t b y i n t e r p r e t i n gXe - X s t h e motor t e r m i n a l v o l t a g e t o b e t h e v o l t a g e n e a r e s t t h e motor+ r s i n ( 4 1 + A A ) + Z e 2 c o s 2 ( 4 + A ' ) } ( 1 9 ) t h a t i s s u b s t a n t i a l l y c o n s t a n t d u r i n g t h e s u r g i n g , a n d i n t e r -p r e t i n g t h e s o - c a l l e d " r e a l armature i m p e d a n c e " a s t h e a c t u a lb e c o m e s a r m a t u r e i m p e d a n c e . p l u s t h e l i n e a n d t r a n s f o r m e r i m p e d a n c eAt d i s p l a c e m e n t V / , ( 1 9 ) b e c o m e s b e t w e e n t h e m o t o r a n d t h e p o i n t o f c o n s t a n t v o l t a g e ._ _ _ _ E n S i n c e t h e s u p p l y l i n e c h a r a c t e r i s t i c s a r e l i k e l y t o b e b e y o n dP O = E 0 2 (C + 2 ) [ x S ' c o s 4 ' + r s i n J t h e d e s i g n e r ' s c o n t r o l , t h e m o s t c a r e f u l l y d e s i g n e d m o t o r c a n n o tt Z 0 2 E o / b e s a t i s f a c t o r y u n d e r a l l c o n d i t i o n s . I t i s t h e o l d s t o r y ove ra g a i n , t o t h e e f f e c t t h a t t h e p e r f o r m a n c e o f a p i e c e o f e l e c t r i c a lX e -X a p p a r a t u s c a n n o t b e o b t a i n e d w i t h 1 0 0 p e r c e n t a c c u r a c y w i t h o u t Z S 2 c o s 2 4 ( 2 0 ) c o n s i d e r i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n e t w o r k w i t h w h i c h t h ea p p a r a t u s i s a s s o c i a t e d .

w h i c h i s t h e r e q u i r e d v a l u e o f P , , t a k i n g r e s i s t a n c e i n t o F . K . B r a i n a r d : A c o n s i d e r a b l e p a r t o f M r . P u t m a n ' s p a p e rh c i h e r q i r d v a u o i s g i v nby e q u a t n (1 7 ) i s d e v o t e d t o t h e a p p a r e n t i n c r e a s e i n s v n c h r o n i z i n g power o f aa c c o u n t ; I n t h i s f o r m u l a , c 1 S g l v e n D y e q u a t l o n ( 1 7 ) , s y n c h r o n o u s m a c h i n e a s t h e f r e q u e n c y o f t h e i m p u l s e s i n c r e a s e s .a n d Z e a n d z o b y e q u a t i o n ( 1 5 ) . M r . P u t m a n c a l c u l a t e s v a l u e s o f P S c o r r e s p o n d i n g t o e a c hI f t h e r e s i s t a n c e t e r m s a r e d i s r e g a r d e d , h a r m o n i c i n t h e t a n g e n t i a l e f f o r t c u r v e o f m e c h a n i c a l p o w e r b u tu n f o r t u n a t e l y d o e s n o t s t a t e j u s t h o w h e w i l l u s e them i n o b -( x X e ) t a i n i n g t h e e l e c t r i c a l p o w e r p u l s a t i o n .XC X c 4 ' ( 2 1 ) P r e s u m a b l y h e w i l l u s e e q u a t i o n s s i m i l a r t o t h o s e w h i c h h ed e r i v e d i n h i s a r t i c l e s w h i c h a p p e a r e d i n t h e J o u r n a l o f t h eS u b s t i t u t i n g ( 2 1 ) i n e q u a t i o n ( 2 0 ) a n d n e g l e c t i n g r , F r a n k l i n I n s t i t u t e , Ma y a n d J u n e , 1 9 2 4 . I n t h e c a s e o f a s i n g l em a c h i n e c o n n e c t e d t o a n i n f i n i t e s y s t e m , t h e s e e q u a t i o n s r e s u l tf r o m t h e s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n :

P . , = F 0 2 t _ ) c o s 2 4 I d'+ T d + G 4 ' = f ( t ) ( 1 )w h e r e11 E n | + ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 = D i s p l a c e m e n t a n g l e .-X 8 ) c s e v c o s ( 2 T d = Da m pi ng t o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n p e r s e c o n d c h a n g ei n d i s p l a c e m e n t .

w h i c h i S t h e e x p r e s s i o n o b t a i n e d p r e v i o u s l y f o r t h e G = T o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n d i s p l a c e m e n t .c a s e o f n o r e s i s t a n c e , E q . ( 3 6 ) . f ( t ) = T o r q u e a t t h e s h a f t .

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S e p t . 1 9 2 6 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES 1 1 2 5T h i s e q u a t i o n i s t h e b a s i s o f a l l p r e v i o u s l y p u b l i s h e d work w e i g h t s u s p e n d e d b y a s p r i n g . A p u l s a t i n g f o r c e P c o r r e s p o n d -a l o n g t h i s l i n e s o f a r a s t h e x r i t e r k n o w s . , b u t i t d o e s n o t t a k e i n g t o t h e p u l s a t i o n i n t o r q u e r e q u i r e d b y t h e c o m p r e s s o r r e s u l t sa c c o u n t o f d a m p i n g c o r r e c t l y . I n f a c t , t h e w h o l e p h e n o m e n o n i n p u l s a t i o n s i n t h e r e a c t i o n o f t h e s u p p o r t P 1 w h i c h c o r r e s p o n d si s s o m e w h a t m o r e e o m p l i c a t e d t h a n t h i s e q u a t i o n i n d i c a t e s , a n d t o t h l e p o w e r d r a w n b y t h e motor f r o m t h e l i n e . T h i s i s t h e c a s ei t h a s o c c u r r e d t o t h e w r i t e r t h a t i t ma y b e t h e i n a c c u r a c y o f t h e w i t h o u t d a m p i n g .s o l u t i o n b a s e d o n t h e a b o v e e q u a t i o n w h i c h c a u s e s t h e d i s c r e p a n - Th e u s u a l a s s u m p t i o n c o n c e r n i n g d a m p i n g m e n t i o n e d a b o v ec i e s w h i c h M r . Putman h a s u n d o u b t e d l v o b s e r v e d a n d w h i c h h e i s t h a t t h e d a m p i n g c a n b e r e p r e s e n t e d b y a d a s h - p o t i n p a r a l l e lh a s a t t e m p t e d t o t a k e i n t o a c c o u n t b y m e a n s o f a P 8 w h i c h w i t h t h e e n t i r e s p r i n g a s i n F i g . 1 t h e d a m p i n g f o r c e b e i n g p r o -v a r i e s w i t h t h e f r e q u e n c y . p o r t i o n a l t o t h e v e l o c i t y o f W . T h i s l e a d s t o E q . ( 1 ) a b o v eTh e t r o u b l e i s t h a t t h e d a m p i n g t o r q u e i s a s s u m e d p r o p o r t i o n a l a n d i s o b v i o u s l y i n c o r r e c t s i n c e , a s s t a t e d p r e v i o u s l y , t h e d a m p e r sa c t on o n l y a p a r t o f t h e d i s p l a c e m e n t .t o w h i c h i s t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t A more a c c u r a t e a n a l o g y i s w h e r e t h e d a s h - p o t i s i n p a r a l l e ld t w i t h t h e l o w e r p a r t o f t h e s p r i n g o n l y a s i n F i g . 2 . Th e d i s -a n g l e o f t h e m a c h i n e . I t i s q u i t e o b v i o u s t h a t t h i s c a n n o t b e p l a c e m e n t o f t h e upper p a r t o f t h e s p r i n g c o r r e s p o n d s t o t h ec o r r e c t s i n c e a l l t h a t t h e d a m p i n g c a n p o s s i b l y d o i s t o p r e v e n t d i s p l a c e m e n t b e t w e e n i n t e r n a l a n d e x t e r n a l v o l t a g e s w h i l e t h et h e s h i f t i n g o f t h e f l u x r e l a t i v e t o t h e p o l e s . I t c a n n o t b y a n y d i s p l a c e m e n t o f t h e l o w e r p a r t c o r r e s p o n d s t o t h e d i s p l a c e m e n tp o s s i b i l i t y l i m i t t h e d i s p l a c e m e n t b e t w e e n i n t e r n a l a n d e x t e r n a l o f f l u x r e l a t i v e t o t h e p o l e s a n d t h i s l a t e r d i s p l a c e m e n t i s t h e p a r tv o l t a g e s r e s u l t i n g f r o m t h e i m p e d a n c e o f t h e a r m a t u r e . I n r w h i c h t h e d a m p e r s r e s t r i c t . E q . ( 2 ) a n d ( 3 ) g i v e t h e s o l u -o t h e r w o r d s i t a c t s o n o n l y a p a r t r a t h e r t h a n t h e w h o l e o f t h e t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h i s c o n d i t i o .d i s p l a c e m e n t . Th e a p p a r e n t i n c r e a s e i n s y n e h r o n i z i n g t o r q u e w i t h t h e f r e -q u e n c y o f t h e p u l s a t i o n c a n b e r e a d i l y u n d e r s t o o d f r o m F i g . 2 .I t s e e m s t o t h e w r i t e r t h a t t h i s p a r t o f M r . P u t m a n ' s p a p e r i s A s t h e f r e q u e n c y i n c r e a s e s , t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e l o w e r p a r tn o t q u i t e c o r r e c t e s p e c i a l l y i f h e u se s t h e s o l u t i o n o f E q . ( 1 ) t o*ofh e s p r i n g d e c r e a s e s , t h e u p p e r p a r t t a k i n g m ore o f t h e l o a dc o m p u t e p o w e r p u l s a t i o n s f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n s :1 . I t i n v o l v e s t a k i n g a c c o u n t o f d a m p i n g t w i c e s i n c e t h ee f f e c t o f t h e i n d u e e d c u r r e n t s i n t h e f i e l d w h i c h M r . Putmanc a l c u l a t e s i s r e a l l y d a m p i n g t o a c o n s i d e r a b l e e x t e n t a n d T di n E q . ( 1 ) i s a l s o a d a m p i n g f a c t o r .2 . A s s t a t e d a b o v e , E q . ( 1 a n d a n y t h i n g r e s u l t i n g f r o mi t s s o l u t i o n i s i n c o r r e c t .I t w o u l d s e e m much m o r e l o g i c a l a n d i t i s c e r t a i n l y muchs i m p l e r t o l u m p t h e e n t i r e e f f e c t o f d a m p i n g i n t o o n e f a c t o r , sw h i c h w i l l i n cl u de t h e e f f e c t o f t h e i n d u c e d c u r r e n t s i n t h e e n t i r ef i e l d s t r u c t u r e , a n d a s s u m e t h a t t h e d a m p i n g t o r q u e i s p r o -p o r t i o n a l t o t h e p r o d u c t o f t h i s f a c t o r ( w h i c h we w i l l c a l l H )a n d t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e f l u x r e l a t i v e t o t h e p o l e s .T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s f r o m w h i c h t h e p u l s a t i o n si n e l e c t r i c a l p o w e r c a n b e c o m p u t e d i f t h e a n a l y s i s o f t h e m e c h a n i - W

c a l p o w e r c u r v e i s k n o w n . G 1 2 +( w , H ) 2Qn-\[/ G1\lw HIL[ G 1Z I K ( 1 + GQJ+L G 2 F I G . 1( 2 ) a n d h e n c e t h e r e i s more l o a d p e r u n i t t o t a l d i s p l a c e m e n t t h a n f o r( S e c d e r i v a t i o n a t e n d o f d i s c u s s i o n ) . l o w f r e q u e n c i e s . I f t h e f r e q u e n c y b e c o m e s v e r y l a r g e , w h i l e t h ew e i g h t i s r e d u c e d s o t h at t h e a c c e l e r a t i n g f o r c e s r e m a i n f i n i t e , t h ea n H G2H d e f l e c t i o n o f t h e l o w e r p a r t o f t h e s p r i n g b e c o m e s v e r y s m a l l ,Yn = t a n - ' - t a n - I ( 3 ) p r a c t i c a l l y t h e e n t i r e d e f l e c t i o n o c c u r r i n g i n t h e u p p e r p a r t o f2 K G I X G ( t h e s p r i n g .G , - w n I 1 + G , yThis i s s h o w n b y p u t t i n g a a n H i n f i n i t e i n e q u a t i o n ( 2 ) w h i c ht h e n b e c o m e sw h e r eQ n = R a t i o o f e l e c t r i c a l t o m e c h a n i c a l p o w e r o f t h e n t h h a r m o n i c Q n = G -i n t h e p o w e r c u r v e . G2-O IG I = T o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n s h i f t o f f l u x a c r o s s t h e p o l e s . T h i s i s t h e e q u a t i o n f o r undamped o s c i l l a t i o n s w i t h r e s o n a n c eG 2 = T o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n d i s p l a c e m e n t b e t w e e ni n t e r n a l a n d e x t e r n a l v o l t a g e s . a t c =H = D a m p i n g t o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n p e r s e c o n d s h i f to f f l u x a c r o s s t h e p o l e s . I f t h e d a m p i n g i s z e r o , E q . ( 3 ) b e c o m e s= 2 7 r t i m e s t h e f r e q u e n c y o f t h e r a t h h a r m o n i c .- = P h a s e d i l l . b e t w e e n i n t e r n a l a n d e x t e r n a l v o l t a g e s . = GI = Moment o f i n e r t i a o f r e v o l v i n g p a r t s . G-nI n o r d e r t o c o m p u t e G 1 a n d G 2 i t i s o f c o u r s e n e c e s s a r y t o Gs i e p a r a t e t h e d i s p l a c e m e n t a n g l e 4 ' i n t o i t s t w o p a r t s , v i z : t h e R e s o n a n c e i s n o w a t w = 4d i s p l a c e m e n t b e t w e e n i n t e r n a l a n d e x t e r n a l v o l t a g e s , a n d t h e Id i s p l a c e m e n t o f t h e f l u x r e l a t i v e t o t h e p o l e s . I n o t h er w o rd s , a s t h e d a m p i n g o r t h e f r e q u e n c y v a r i e s b e t w e e nP e r h a p s t h e p r o b l e m c a n b e m o s t e a s i l y u n d e r s t o o d b y r e f e r - z e r o a n d i n f i n i t y , t h e s y n c h r o n i z i n g t o r q u e a p p a r e n t l y c h a n g e se n c e t o t h e m e c h a n i c a l a n a l o g y o f t h e f o r c e d o s c i l l a t i o n o f a f r o m Gt o G 2 .

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1 1 2 6 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .T h i s a g r e e s i n a g e n e r a l wa y w i t h M r . P u t m a n ' s c o n c l u s i o n s G , = T o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n s h i f t o f f l u x a c r o s s p o l e s .a n d d o e s n o t r e q u i r e t h e i d e a o f a P s w h i c h v a r i e s w i t h t h e G 2 = T o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n d i s p l a c e m e n t b e t w e e n i n -f r e q u e n c y . t e r n a l a n d e x t e r n a l v o l t a g e s .Th e w r i t e r h a s f o u n d a l s o t h a t i f T d i n E q . ( 1 ) i s c a l c u - 1l a t e d f r o m t h e s t r a i g h t p a r t o f t h e s p e e d - t o r q u e curve o f t h e G = 1 1 T o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n d i s p l a c e -m a c h i n e i n q u e s t i o n n e a r s y n c h r o n i s m , a s m e n t i o n e d b y M r . + lPutman i n h i s F r a n k l i n I n s t i t u t e a r t i c l e s r e f e r r e d t o a b o v e , t h e G , G 2v a l u e o f T d i s e n t i r e l y t o o g r e a t t o a c c o u L n t f o r t h e p u l s a t i o n s ment o f r o t o r r e l a t i v e t o t e r m i n a l v o l t a g e .o b s e r v e d i n o p e r a t i o n ; b u t i f t h i s s a m e v a l u e i s u s e d a s H H = D a mp in g t o r q u e p e r m e c h a n i c a l r a d i a n p e r s e c o n d s h i f ti n E q . ( 2 ) a n d ( 3 ) , t h e o b s e r v e d r e s u l t s c h e c k t h e c a l c u l a t i o n s o f f l u x a c r o s s t h e p o l e s .much m o r e a c c u r a t e l y . Th e t e s t d a t a w h i c h t h e w r i t e r h a s I = Moment o f i n e r t i a o f r e v o l v i n g p a r t s .c o v e r i n g t h i s p o i n t a r e v e r y m e a g e r , h o w e v e r , b n t s e e m t o b e c , , = 2 t i m e s t h e f r e q u e n c y o f t h e n t h h a r m o n i e .c o r r e c t .T h e a b o v e m e t h o d i s n o t b e y o n d c r i t i c i s m s i n c e t h e f o l l o w i n g q n _a s s u m p t i o n s a r e made w h i c h a r e n o t s t r i c t l y c o r r e c t :1 . Th e a r m a t u r e l o s s e s a r e n e g l e c t e d . Then2 . T h e t o t a l d i s p l a c e m e n t . a s w e l l a s t h e s e p a r a t e p a r t s o f t h e dd i s p l a c e m e n t , a r e a s s u m e d p r o p o r t i o n a l t o t h e t o r q u e u n d e r = H d + G I f ( 4 )s t e a d y l o a d o v er t h e r a n g e o f l o a d c o n s i d e r e d . d t3 . Th e d i r e c t m a g n e t i z i n g a n d d e m a g n e t i z i n g e f f e c t o f t h e S i n c ec u r r e n t i n d u c e d i n t h e f i e l d w i n d i n g , w h i c h M r . Putman s t r e s s e s , H d GIi s t a k e n a c c o u n t o f o n l y a s i t i s i n c l u d e d i n t h e d a m p i n g f a c t o r H . T , = G 2 1 2 , 4 ' 2 = + G ' 1C 3 d t C 2

T h e n/ / / / / /X/// < { = { 1 + { 2 = ( 1 + ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ G 2ll+G2 d tH e n c e

d 2 _ + C d 2 , +H d 3 4 ,o d t 2 G 2 J d t 2 G 2 d t 3} TdI d t 2 =1(1 + G 2 ) c1 + _ d t 3

. TB u t .T = T,-T3v v H e n c eT=HI d i t V G d ) i 4 1 , H c i jTz T = G d t ;~~~T+ I ( 1 + G)dt2 + H f d + G I V / 1G 2 c i t GIi cict, p W r i t i n g t h i s i n t h e o p e r a t o r f o r m , we h a v e

F I G . 2 pP 3 + ( 1 + G p2 +Hp +GI = f ( t ) ( 5 )Th e f i r s t a n d s e c o n d a s s u m p t i o n s a r e o b v i o u s l y a p p r o x i m a t i o n s ,b u t i f s u i t a b l e v a l u e s o f P 3 , P , i a n d P E 2 a r e t a k e n , t h e e r r o r f r o m N e g l e c t i n g t h e t r a n s i e n t , t h e s o l u t i o n f o r c o n s i s t s o f a c o n -t h e s e s o u r c e s i s p r o b a b l y n o t l a r g e . s t a n t t e r m c o r r e s p o n d i n g t o t h e a v e r a g e t o rq u ec a o s p l u s a v a r i a b l eT h e e r r o r f r o m t h e t h i r d a s s u m p t i o n i s p r o b a b l y n o t s o v e r y p a r t c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e r i e s d t a o c O S ( ( o n+ i e s ) 1 . Th eg r e a t , s i n c e t h e i n d u c e d c u r r e n t s i n t h e d a m p e r w i n d i n g h a v e a , s e c o n d p a r t r e p r e s e n t s t h e h u n t i n g d u e t o t h e h a r m o n i e s i n f ( t ) .d i r e c t m a g n e t i z i n g o r d e m a g n e t i z i n g c o m p o n e n t a s w e l l a s t h e O n l y t h e s e c o n d p a r t i s o f i n t e r e s t s i n c e t h i s d e t e r m i n e s t h e p o w e rc u r r e n t i n d u c e d i n t h e c o i l s . I n f a c t , t h e w h o l e e f f e c t o f t h e p u l s a t i o n s . T h e t r a n s i e n t p a r t o f t h e s o l u t i o n i s o b t a i n e d b yi n d u c e d c u r r e n t s i n b o t h t h e d a m p e r s a n d t h e e x c i t i n g w i n d i n g l e t t i n g t h e r i g h t h a n d member o f E q . ( 5 ) = 0 a n d s o l v i n go n t h e f i e l d p o l e s i s t o a t t e m p t t o h o l d t h e f l u x c o n s t a n t i n m a g n i - f o r A l , b u t t h i s r e p r e s e n t s o s c i l l a t i o n s w h i c h o c c u r f o r a s h o r t

t u d e a n d f i x e d i n p o s i t i o n r e l a t i v e t o t h e p o l e s a n d s o i t s e e m s t i m e o n l y a f t e r t h e m a c h i n e i s p a r a l l e l w i t h t h e s y s t e m a n d s o d ot h a t t h e e r r o r r e s u l t i n g f r o m i n c l u d i n g t h e w h o l e e f f e c t i n t h e o n e n o t i n t e r e s t u s .f a c t o r H c a n n o t b e s o v e r y g r e a t . Th e p e r m a n e n t h u n t i n g i s e a s i l y o b t a i n e d b y l e t t i n g p = j w 7Th e f o l l o w i n g i s t h e d e r i v a t i o n o f E q s . ( 2 ) a n d ( 3 ) : n , b e i n g t h e o r d e r o f t h e h a r m o n i c i n f ( t ) .L e t E q . ( 5 ) t h e n g i v e sT = T o r q u e c o r r e s p o i n d i n g t o m e c h a n i c a l p o w e r d e l i v e r e d b y I G a 0 3 H it h e m o t o r w h i c h i t i s a s s u m e d c a n b e e x p r e s s e d b y a a , = G I - W2 I ( 1 + +1j H-F o u r i e r s e r i e s o f t h e form f ( t ) = a O + z [ a n c o s ( c o a t wt2y C 9 J I+ a n ) ] . o r i n r e a l q u a n t i t i e sT 1 = Torque corresponding t o the ele ct r i ca l power delivered t o __________________________7,= t h e m o t o r w h i c h c a n a l s o b e e x p r e s s e d b y i a F o u r i e r s e r i e s X >)} { o H ~ , , HIT 3 = A c c e l e r a t i n g t o r q u e o f r e v o l v i n g p a r t s . 2 l{ l = D i s p l a c e m e n t o f ' f l u x r e l a t i v e t o t h e c e n t e r s o f t h e p o l e s . S i m i l a r l y f r o m ( 4 )+ 2 = D i s p l a c e m e n t b e t w e e n i n t e r n a l a n d e x t e r n a l v o l t a g e s .= + 1 + 4 ' 2 = D i s p l a c e m e n t o f r o t o r r e l a t i v e t o t h e t e r m i n a l b n = A J G 1 2 + V ( X 7 1 H ) 2v o l t a g e . D i v i d i n g ( 5 ) b y ( 4 ) , we h a v e

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S e p t . 1 9 2 6 PUTMXAN: SYNCHRONIZING POWER I N SYNCHRONOUS MACHINES 1 1 2 7w i n d i n g w i l l l i k e w i s e p u l s a t e a t t h e same f r e q u e n c y . T h i sQ 7 z = 1-Gi + ( 2H ) 2 p u l s a t i n g m . m. f . , a c t i n g o v e r t h e f i e l d w i n d i n g s h o r t - c i r c u i t e df G I 2 c o n 3 H I 2 t h r o u g h t h e e x c i t e r a r m a t u r e , w i l l i n d u c e c u r r e n t s i n t h i s w i n d i n gG ,tl-n2I1 ') +GH a n d we h a v e e s s e n t i a l l y a t r a n s f o r m e r w i t h t h e s e c o n d a r y s h o r t -2 G2 c e i r c u i t e d 2 . Th e m a g n e t i c a n d e l e c t r i c c i r c u i t s o f s u c h a t r a n s -( 2 ) f o r m e r a r e s h o w n i n F i g . 4 . I n t h i s f i g u r e , p i i s t h e p e r m e a n c e o f

Th e p h a s e l a g o f h , *i t h r e s p e c t t o a n w i l l b e t h e d i f f e r e n c e , t h e l e a k a g e p a t h s o f t h e a r m a t u r e , P 2 i S t h e p e r m e a n c e o f t h eb e t w e e n t h e i r p h a s e a n g l e s , a n d i s m u t u a l f l u x p a t h o f t h e f i e l d a n d a r m a t u r e , a n d p i i s t h e p e r -m e a n c e o f t h e l e a k a g e p a t h s o f t h e f i e l d w i n d i n g . Th e a l t e r -nHH I n a t i n g c o m p o n e n t o f a r m a t u r e m. m. f . i s n o w r e p r e s e n t e d b y a nC O n t H- 2 - w n H a l t e r n a t i n g c u r r e n t i n t h e w i n d i n g a , t h e f r e q u e n c y o f t h i s c u r r e n t- Y n = t a n - ' - 2 G - t a n - ' G ( 3 )

G , - W " 2 I I +G)I a IC . A . N i c k l e : Some o f t h e a s s u m p t i o n s i n t h i s p a p e r a r e s u f f i -c i e n t l y i n e r r o r t o a f f e c t s e r i o u s l y t h e c o r r e c t n e s s o f t h e r e s u l t s .T h e f i r s t p a r t o f S e c t i o n I I o f t h i s p a p e r d e a l s w i t h t h i s p r o b l e ma n d t h e r e s u l t s a r e i n a c c o r d w i t h t h o s e p r e s e n t e d i n a p a p e r ' b yR . E . D o h e r t y a n d t h e w r i t e r . O u r t r e a t m e n t o f s a l i e n t - p o l e A r m a t u r em a c h i n e s u n d er t r a n s i e n t c o n d i t i o n s , h o w e v e r , d o e s n o t a g re e w i t ht h e t r e a t m e n t j u s t p r e s e n t e d . IE q u a t i o n ( 3 4 ) , a c c o r d i n g t o t h e a u t h o r , i s t h e g e n e r a l e q u a t i o n

f o r p o w e r f o r s u s t a i n e d o s c i l l a t i o n s . T h i s i s n o t j u s t i f i e d b e c a u s ei t a p p l i e s o n l y when x e i s a p u r e r e a c t a n c e , s i n c e t h i s w a s t h ea s s u m p t i o n u n d e r w h i c h i t w a s d e r i v e d . But x , i s n o t a p u r e F i e l d P 3r e a c t a n c e f o r a l l c o n d i t i o n s o f o s c i l l a t i o n . I t a p p r o x i m a t e s ap u r e r e a c t a n c e when t h e r e s i s t a n c e o f t h e f i e l d w i n d i n g i s e i t h e rn e g l i g i b l e o r i n f i n i t e w i t h r e s p e c t t o i t s l e a k a g e r e a c t a n c e a t t h eo s c i l l a t i o n f r e q u e n c y , a s ma y b e s e e n f r o m t h e e q u i v a l e n tt r a n s f o r m e r d i a g r a m s h o w n i n F i g . 3 h e r e w i t h . I n t h i s d i a g r a m ,x i s t h e a r m a t u r e l e a k a g e r e a c t a n c e , x m i s t h e m u t u a l r e a c t a n c eo f t h e f i e l d a n d a r m a t u r e , X f i s t h e l e a k a g e r e a c t a n c e o f t h e f i e l d F I G . 4w i n d i n g , a n d r f 1 / s i s t h e f i e l d r e s i s t a n c e r e f e r r e d t o t h e a r m a t u r ef o r a f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n s t i m e s t h e e l e c t r i c a l f r e q u e n c y o f b e i n g t h e s a m e a s t h e f r e q u e n c y o f p u l s a t i o n o f a r m a t u r e m . m . f .t h e m a c h i n e . i n t h e a c t u a l m a c h i n e . I f t h i s f r e q u e n c y i s i n f i n i t e l y s m a l l , t h eI n s p e c t i o n o f F i g . 3 s h o w s t h a t a s s a p p r o a c h e s z e r o - i . e . , a r m a t u r e m . m . f . ma y s e n d f l u x t h r o u g h t h e p e r m e a n c e p i ,a s s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s a r e a p p r o a c h e d - r f / s a p p r o a c h e s w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e p e r m e a n c e o f t h e l e a k a g e p a t h s o f t h ei n f i n i t y a n d t h e f i e l d w i n d i n g i s e s s e n t i a l l y o p e n - c i r c u i t e d . Th e a r m a t u r e , a n d t h r o u g h t h e p e r m e a n c e P 2 , w h i c h i s t h e p e r m e a n c ei m p e d a n c e i s t h e n a p u r e r e a c t a n c e o f v a l u e ( x + x m ) - i . e . , t h e o f t h e m u t u a l p a t h o f t h e a r m a t u r e a n d f i e l d . At t h i s l o w e rs y n c h r o n o u s r e a c t a n c e i n t h e d i r e c t a x i s . A s s b e c o m e s l a r g e r , l i m i t o f f r e q u e n c y , d u e t o t h e f i e l d r e s i s t a n c e , f l u x c a n b e c r e a t e dr f / s b e c o m e s s m a l l e r a n d may b e c o m e q u i t e n e g l i g i b l e e v e n f o r a n d d e s t r o y e d i n t h e f i e l d w i n d i n g w i t h o u t o p p o s i t i o n . N e g l i g i -r a t h e r l o w v a l u e s o f s . As r f / s a p p r o a c h e s z e r o , t h e i m p e d a n c e b l e f l u x p a s s e s t h r o u g h t h e f i e l d l e a k a g e p a t h u n d e r t h i s c o n d i -o f F i g . 3 a g a i n b e c o m e s a p u r e r e a c t a n c e . I t i s e v i d e n t , h o w e v e r , t i o n , s i n c e i t i s s h u n t e d b y a p a t h e n t i r e l y o f i r o n o f r e l a t i v e l yt h a t x e i s n o t t h e l e a k a g e r e a c t a n c e o f t h e a r m a t u r e a s c o n c l u d e d v e r y g r e a t p e r m e a n c e . Th e r e a c t a n c e o f t h e a r m a t u r e w i n d i n gb y t h e a u t l h o r , b u t i s t h e t ra n s ie nt r ea c t a n c e , w h i c h ma y b e i s t h e n e v i d e n t l y t h e s y n c h r o n o u s r e a c t a n c e . When, h o w e v e r ,c o n s i u e r a b l y g r e a t e r i n s a l i e n t - p o l e m a c h i n e s . t h e f r e q u e n c y o f t h e c u r r e n t i n w i n d i n g a i s h i g h e n o u g h s o t h a tt h e r e s i s t a n c e o f t h e f i e l d w i n d i n g i s n e g l i g i b l e w i t h r e s p e c t t oX X f i t s l e a k a g e r e a c t a n c e , t h e s h o r t - c i r c u i t e d f i e l d w i n d i n g e f f e c t i v e l yp r e v e n t s a n y c h a n g e o f f l u x l i n k i n g i t s s e l f . I n t h i s c a s e , t h ep e r m e a n c e e n c o u n t e r e d b y t h e a r m a t u r e m . m . f . i s n o t o n l y p i ,

X e xM r f S t h e t r u e l e a k a g e p e r m e a n c e , b u t a l s o t h e p e r m e a n c e P 2 a n d p iD X m r f / S i n s e r i e s . Th e t o t a l a r m a t u r e f l u x i s c o r r e s p o n d i n g l y g r e a t e r t h a n. j u s t t h e a r m a t u r e l e a k a g e f l u x a n d t h e e f f e c t i v e r e a c t a n c e i s l i k e -w i s e g r e a t e r t h a n t h e armature l e a k a g e r e a c t a n c e i n t h e s a m ep r o p o r t i o n . T h i s r e a c t a n c e , a s d i s t i n g u i s h e d f r o m a r m a t u r eF I G . 3 l e a k a g e r e a c t a n c e , i s t e r m e d t r a n s i e n t r e a c t a n c e . I n c o m m e r c i a ls a l i e n t - p o l e m a c h i n e s , t h e t r a n s i e n t r e a c t a n c e i s o f t h e o r d e r o f

T h i s ma y a l s o b e i n t e r p r e t e d a s f o l l o w s : When a t h r e e - p h a s e 5 0 p e r c e n t h i g h e r t h a n t h e l e a k a g e r e a c t a n c e , a n d t h e e f f e c t o fs y s t e m o f c u r r e n t s o f c o t a o f a f i e l d l e a k a g e c a n n o t b e n e g l e c t e d a s h a s b e e n d o n e b y t h e a u t h o r .t h r e e - p h a s e m a h i e t h e r e x s t a unfrl roa tn s i u o i a T h u s , t h e f a c t t h at t h e a l t e r na t in g c o m p o n e n t o f f l u x l i n k i n g t h em. m. f . o f c on s t a n t a m p l i t u d e . T h i s m. m. f . r o t a t e s a t s y n - 2 . When a m a c h i n e i s o s c i l l a t i n g , i t d e l i v e r s o r c o n s u m e s p o w e r a n d ac h r o n o u s s p e e d , which i s t h e s p e e d a t which t h e p o l e s a r e r o t a t i n g , p u l s a t i n g a r m a t u r e m . m n . f . a l s o e x i s t s o ve r t h e q u a d r a t u r e a x i s . T h e r eand b y p r o p e r t i m e p h a s e o f t h e c u r r e n t s , a a t z er o power f a c t o r , i s , i n g e n e r a l , n o f i e l d w i n d i n g i n t h i s a x i s , a n d t h e f l u x i s a l w a y s p r o -'' ~ ~ ~ ~ p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t . Th e r e a c t a n c e i n t h i s a x i s w - i l l t h u s b e c o n s t a n tt h e r o t a t i n g m. m. f . m a y b e m a d e t o e x i s t a t e v e r y i n s t a n t r e g a r d l e s s o f t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t , i o n o f t h e m a c h i n e - i . e . , i t w i l ld i r e c t l y o v e r t h e f i e l d p o l e s . I f e a c h o f t h e t h r e e - p h a s e c U r r e n t S a l w a y s b e x i ' . A l t h o u g h t h e r e i s n o f i e l d w i n d i n g i n t h i s a x i s , t h e r e ma yp u l s a t e s i n a m p l i t u d e a t a frequency f , t h e m. m. f . o v e r t h e f i e l d b e a n a m o r t i s s e u r w i n d i n g - w h i c h a c t s a s a s h o r t - c i r c u i t e d s e c o n d a r y .I t m a y, h o w e v e r , b e s h own t h a t i n g e n e r a l t h e r e s i s t a n c e o f t h i s winding1 . S y n c h r o n o u s M a c h r i n e s - I , by R . E . Doherty and C . A . N i c k l e , compared t o i t s l e a k a g e r e a c t a n c e i s s o g r e a t a t o r d i n a r y f r e q u e n c i e s o fA . I . E . E . J O U R N A L . October 1 9 2 6 , p . 9 7 4 . o s c i l l a t i o n a s t o have a n e g l i g i b l e i n f l u e n c e on t h e q u a d r a t u r e r e a c t a n c e .

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1 1 2 8 PUTMAN: SYNCHRONIZING POWER IN SYNCHRONOUS MACHINES T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .f i e l d w i n d i n g i s z e r o d o e s n o t m e a n t h a t a r m a t u r e r e a c t i o n i s l a t i o n s a s s u m e c o n s t a n t t e r m i n a l v o l t a g e a t t h e m a c h i n e a n d i fe n t i r e l y i n e f f e c t i v e a s s t a t e d i n t h i s p a p e r o n t h e f i f t h p a g e i n t h e t h i s c o n d i t i o n i s n o t f u l f i l l e d , t h e s y n c h r o n i z i n g p o w e r i s l i k e l y t os e c o n d p a r a g r a p h . Th e f l u x l i n k i n g t h e f i e l d w i n d i n g i s , t h e r e - b e v e r y d i f f e r e n t . T h i s i s a p o i n t w h i c h i t i s w e l l t o r e m n e m b e r .f o r e , n o t a c o r r e c t m e a s u r e o f t h e e f f e c t i v e n e s s o f a r m a t u r e I had a n i n t e r e s t i n g e x p e r i e n c e w h i c h i l l u s t r a t e s t h i s p o i n tr e a c t i o n , a n d h e n c e t h e a u t h o r ' s e x p r e s s i o n f o r t h e f a c t o r K' i s c l e a r l y . A c e r t a i n s y n e h r o n o u s motor had b e e n d i r e c t l y c o n -i n v a l i d . n e c t e d t o a p a r t i c u l a r a i r c o m p r e s s o r . S e v e r e h u n t i n g w a sT h e r e i s s t i l l a n o t h e r p o i n t i n t h e c a l c u l a t i o n o f K ' w h i c h i s i n r e p o r t e d a n d d i f f i c u l t y wa s e x p e r i e n c e d i n k e e p i n g t h e motor i ne r r o r . I n d e r i v i n g t h e e x p r es s i on f o r K ' , t h e a u t h o r n e g l e c t s s u c h s t e p . I n v e s t i g a t i o n showed t h a t t h e m o t o r wa s s u p p l i e d b y at i m e - p h a s e r e l a t i o n s w h i c h o c c u r , a n d s i n c e t h i s p r o b l e m d i f f e r s d i e s e l - e n g i n e - d r i v e n g e n e r a t o r a b o u t 5 0 p e r c en t l a r g e r t h a n t h ef r o m t h e p r o b l e m o f s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s o n l y i n t h e t i m e m o t o r . T h i s e n g i n e d i d n o t h a v e n e a r l y a s l a r g e a f l y w i h e e l a se l e m e n t , t h i s i s a l t o g e t h e r u n j u s t i f i a b l e . W h e n t h e t i m e e l e m e n t i t s h o u l d h a v e h a d f o r d i r e c t c o n n e c t i o n t o t h e g e n e r a t o r .i s t a k e n i n t o a c c o u n t , t h e e l e m e n t o f damping w h i c h e x i s t s i s T e s t s showed a c u r r e n t p u l s a t i o n o f a b o u t 1 7 5 p e r c e n t , b a s e dr e a d i l y o b t a i n e d , a s w e l l a s a more a c c u r a t e v a l u e o f s y n c h r o n i z - o n t h e r a t e d m o t o r c u r r e n t . Th e p u l s a t i o n c o n s i s t e d l a r g e l y o fi n g p o w e r . W h e n t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n i s s u c h t ha t t h e t w o h a r m o n i c s , o n e d u e t o t h e c o m p r e s s o r a n d t h e o t h e r t o t h ef i e l d r e s i s t a n c e i s n e i t h e r n e g l i g i b l e n o r i n f i n i t e w i t h r e s p e c t t o e n g i n e .t h e f i e l d l e a k a g e r e a c t a n c e , x , i s n o t a p u r e r e a c t a n c e , b u t a n C a l c u l a t i o n s s h o w e d t h a t t o b r i n g t h e c u r r e n t p u l s a t i o n downi m p e d a n c e , a n d E q . ( 3 4 ) d o e s n o t a p p l y . t o 6 0 p e r c e n t , f i v e t i m e s a s much f l y w h e e l e f f e c t w T a s r e q u i r e d o n

InTEq. (38),(N 1]wro s w 1 ) i s thealternatingvoltage t h e e n g i n e a n d a b o u t t w i c e a s much o n t h e m o t o r . I t wa si n d u E e d i n t h e s h o r t - c i r c u i t e d f i e l d w i n d i n g . T h i s v o l t a g e i s i m p o s s i b l e t o a d d t h i s amount o f f l y w h e e l e f f e c t t o t h e e n gi n e, s oc o n s u m e d b y t h e r t a n c e i a n d l e r e a c t n c e o f i t h ev a i n d i n s t h e t r o u b l e w a s r e m e d i e d by s u b s t i t u t i n g a n i n d u c t i o n m o t o r i nOn t h e s i x t h p a g e , i m m e d i a t e l y b e l o w E q . ( 4 7 ) , t h e m e t h o d p l a c e o f t h e s y n c h r o n o u s m o t o r .O u t i e f o r o a i n n L / r e i s t i n b e r o r ith i t g i t h e r t * t h o f I t i s n o t l i k e l y a c o n d i t i o n a s b a d a s t h i s c o u l d oceur d u e t oe c t l i n g i n d u c t a i n c t o r i s t a n e c , w i c h m a b e s e v r a l t i m e s p o o r r e g u l a t i o n o f t r a n s f o r m e r s . S u c h an e x p e r i e n c e d o e s , h o w -g r e a t e r t h a n t h e p r o p e r r a t i o o f l e a k a i g e n d u c t a n c e t o r e s i s t a n c e . e v e r , make o n e r e a l i z e t h a t s y n e h r o n o u s m a c h i n e s w h i c h byrete t h a t h prprrtoo ekg inutac t o reisane t h e m s e l v e s mav b e h a v e q u i t e p r o p e r l v r o f t e n b e h a v e v e r i - b a d l yA l s o , s u c h a m e t h o d d o e s n o t t a k e t h e a m o r t i s s e u r w i n d i n g i n t o t m b qaccount c o r r e c t l y , f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n s : Th e a m o r t i s s e u r when c o n n e c t e d t o g e t h e r o r t o a s y s t e m h a v i n g p o o r r e g u l a t i o n .w i n d i n g i s a s h o r t - c i r c u i t e d s e c o n d a r y w i t h r e s p e c t t o t h e f i e l d Mr. N i c k l e s a y s t h a t my " e f f e c t i v e r e a c t a n c e x e " i s n o t a p u r el . 1 ^ l 1 > > l l . ~ ~ ~ r e a c t a n c e a s l a s s u m e . L a t e r h e s a y s , ' " H o w e v e r . i t i s e v i d e n t t b a tc o i l s , a n d t h e e q u a t i o n o f t h e g r o w t h o f f i e l d c u r r e n t when a r ac o n s t a n t v o l t a g e i s a p p l i e d i s o f t h e w e l l - k n o w n f o r m : X e i s n o t t h e l e a k a g e r e a c t a n c e o f t h e a r m a t u r e a s c o n c l u d e d b yt h e a u t h o r , b u t i s t h e t r a n s i e n t r e a c t a n c e w h i c h ma y b e c o n -i = A + A , e D l t + A , e D 2 tw h e r e- ( r 1 L 2 + r 2 L 1 ) + V ( r , L 2 - r 2 L 1 ) 2 + 4 M2 r 1 r (2 ( L L 2 - M 2 ) M L R

a n d- ( r , L 2 + r 2 L 1 ) - V ( r 1 L 2 - r 2 L 1 ) 2 + 4 1 2 r r 2 ( 2 )D 2 = 2 ( L 1 L 2 - M 2 ) ( F I . 5

Th e e q u a t i o n f o r t h e f i e l d c u r r e n t t h u s c om p r i s e s a c o n s t a n t s i d e r a b l y g r e a t e r i n s a l i e n t - p o l e m a c h i n e s . " Th e t e r m " t r a n -t e r m a n d two e x p o n e n t i a l c u r v e s , a n d a n o s c i l l o g r a m t a k e n u n d e r s i e n t r e a c t a n c e " h a s b e e n c l e a r l y d e f i n e d by Mr. D o h e r t y a ndt h e s e c o n d i t i o n s c a n n o t b e a n a l y z e d c o r r e c t l y a s a s i n g l e o t h e r w r i t e r s a n d i t i s a l w a y s t r e a t e d a s a p u r e r e a c t a n c e , s o t h a te x p o n e n t i a l c u r v e . W h e n t h e r e s i s t a n c e o f t h e s e c o n d a r y i s i f m y x e i s i n r e a l i t y t h e t r a n s i e n t r e a c t a n c e ( w h i c h I t h i n k i t i sr e l a t i v e l y g r e a t , D 2 b e c o m e s v e r y l a r g e a n d o n e o f t h e e x p o n e n t i a l n ot ) a s M r . N i c k l e s a y s , t h e n i t i s a t l e a s t a p u r e r e a c t a n c e . A l s oc u r v e s i n a v e r y s h o r t t i m e b e c o m e s n e g l i g i b l e . Th e c u r v e t h e n I d i d n o t s a y t h a t x e i s t h e l e a k a g e r e a c t a n c e o f t h e a r m a t u r e ; Ic o n t i n u e s a s a s i n g l e e x p o n e n t i a l , b u t t h e v a l u e o f L / r o b t a i n e d s a i d i t i s t h e l e a k a g e r e a c t a n c e o f t h e a r m a t u r e p l u s t h a t p a r tf r o m t h i s p a r t o f t h e c u r v e i s n o t t h e c o r r e c t v a l u e t o u s e f o r o f t h e d e - m a g n e t i z i n g a r m a t u r e r e a c t a n c e w h i c h i s e f f e c t i v e u n d e rt h e c o n d i t i o n w h e r e a d e f i n i t e s i n u s o i d a l v o l t a g e i s a p p l i e d t o t h e o s c i l l a t o r y c o n d i t i o n s .t h e f i e l d w i n d i n g . I am n o t s u i r e t h a t t h e e q u i v a l e n t d i a g r a m M r . N i c k l e g i v e sI n t h e t hi rd p a r t o f t h e p a p e r 3 , o n S y n c h r o n o u s M a c h i n e s , b y i n h i s F i g . 3 r e a l l y r e p r e s e n t s t h e p r e s e n t p r o b l e m . C e rt a i n l y t h eR . E . D o h e r t y a n d t h e w r i t e r , o u r t r e a t m e n t o f t h e p r e s e n t f i e l d a n d a r m a t u r e c i r c u i t s a r e n o t d i r e c t l y c o n n e c t e d i n s e r i e s .p r o b l e m i s g i v e n . When t h e p r o b l e m i s a n a l y z e d w i t h d u e They a r e o n l y m a g n e t i c a l l y c o u p l e d a s shown i n my F i g . 5 ( t h i sc o n s i d e r a t i o n t o t h e p o i n t s b r o u g h t o u t i n t h i s d i s c u s s i o n , t h e d i s c u s s i o n ) . B e f o r e o n e c a n j u s t i f y c o n c l u s i o n s b a s e d o n Mr.e x p r e s s i o n f o r s y n c h ro n i z in g p o w e r b e c o m e s : N i c k l e ' s e q u i v a l e n t , c i r c u i t i s n e c e s s a r y t o p r o v e i t s e q u i v a l e n c e .a (x S- a ) - b 2 Mr. N i c k l e s t a t e s t h a t t h e a l t e r n a t i n g v o l t a g e i n d u c e d i n t h e

' s [ b 2 + ( x , - a ) 2 J E 0 2 s i n 2 / ' ( 3 ) s h o r t - c i r c u i t e d f i e l d w i n d i n g i s c o n s u m e d b y t h e r e s i s t a n c e a n dl e a k a g e r e a c t a n e e o f t h e f i e l d w i n d i n g . I s a y i n t h e p a p e r t h a tw h e r e P i i s t h e s y n c h r o n i z i n g p o w e r u n d e r s t e a d y - s t a t e c o n - t h i s v o l t a g e i n d u c e d i n t h e f i e l d w i n d i n g i s c o n s u m e d by t h ed i t i o n s , 4 1 1 i s t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t c o r r e s p o n d i n g t o t h e r e s i s t a n c e a n d s e l f - i n d u c t i o n o f t h e f i e l d w i n d i n g . T h i s i s a na v e r a g e l o a d , a nd t h e f a c t o r s a a nd b a r e f u n c t i o n s o f t h e o s c i l l a - i m p o r t a n t p o i n t a s i t w i l l m a k e a d i f f e r e n c e i n t h e v a l u e o f K ' .t i o n f r e q u e n c y a n d ma y b e r e a d i l y - o b t a i n e d f r o m t h e c o n s t a n t s Th e p o i n t c a n b e d e m o n s t r a t e d q u i t e e a s i l y by r e f e r r i n o g t o m yo f t h e m a c h i n e . Th e damping t o r q u e p e r r a d i a n p e r s e c o n d i s F i g . 5 . I n t h i s f i g u r e t h e p u l sa t i n g c u r r e n t w h i c h f l o w s t h r o u g ha l s o o b t a i n e d , a nd i s g i v e n b y : t h e a r m a t u r e c i r c u i t i s r e p r e s e n t e d b y i l . Note t . h a t t h i s p u I -Td = b 2 K , 2 s i n 2 i k ' s a t i n g a r m a t u r e c u r r e n t f l