05 Frequency Response Analysis - WordPress.com · 2010-05-09 · Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY DINPRO / V / 3 Catatan penting: 1. Respons sistem order

DINPRO / V / 1Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY

FREQUENCY RESPONSE ANALYSIS

• Tujuan: Mhs mampu melakukan analisis responproses terhadap perubahan input sinus

• Materi: 1. Karakteristik respon sistem order satu terhadap

perubahan sinus input2. Nyquist Plot3. Bode Diagram

V


5.1. Karakteristiik Respons Order Satu Terhadap Sinus Input

( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==1s

KsXsYsG

τTinjau FT Sistem Order Satu:

Jika X(t) = A sin(ωt), dimana A adalah amplitude dan ω adalahfrekuensi (radian/waktu). Bentuk Laplace dari fungsi sinus tsbadalah X(s) = A ω /(s2+ ω2)

Sinusoidal Response:

(Pelajari lagi Bab II)

( ) ( )φωωτωτ

ωτ τ ++

++

= − tKAeKAtY t sin11 2222

( ) ( )φωωτ

++

= tKAtY sin1 22

t ∞ maka e-t/τ 0

dimana: φ = arctan(–ωτ)


Catatan penting:

1. Respons sistem order satu terhadap input sinus adalah jugaberbentuk gelombang sinus dengan frequency yang sama (ω)

2. Rasio output amplitude dan input amplitude adalah:

221 ωτ+==

KRatioAmplitudeAR

3. Output wave tertinggal di belakang (phase lag) input wavedengan sudut (angle) |φ|

Tiga catatan di atas tidak hanya berlaku untuk sistem order satu tapijuga untuk sistem linear yang lain.


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25

Ultimate Response of first order system to a sinusoidal input

Input wave

Output wave

A

B = A x (AR)

Phase shift (lag)


Tinjau Bilangan kompleks berikut: c = a + i bdimana: a = bagian real dan b = bagian imaginer

Modulus atau absolute value atau magnitude

( )[ ] ( )[ ] 2222 ImRe bacccr +=+==

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −−

ab

ab

cc arctantan

ReImtan 11θ

θcosra = θsinrb =

( ) θθθ ierirc =+= sincos ( )θθθ sincos iei +≡

Phase angle atau argument

dan dimana:maka:


Complex Plane and Complex Number

Real Axis

Imagiray Axis

I

Ra

b r

(a,b)

Notasi Polar

r ≡ magnitudeθ ≡ argument

θ

c = a + i b

θcosra =θsinrb =


( )biad −=

Jika d adalah conjugate dari c:

( )[ ] ( )[ ] 2222 ImRe baccdc +=+==

Magnitude

Argument

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=−= −

abcd 1tanargarg


Substitusi s = iω ke fungsi tansfer G(s)

( )11 2222 +

−+

=ωτωτ

ωτω KiKiG

( )[ ]122 +

=ωτ

ω KiGModulus

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

+=

+=

11

11 ωτωτ

ωτωτω

ii

iK

iKiG

Bilangan kompleks

( )[ ] ( )ωτω −= −1taniGumentrga

Amplitude Ratio

Phase Angle

Buktikan


Contoh 5.1: Tentukan amplitude ratio (AR) dan phase angle (φ) untuk beberapa fungsi transfer berikut:

a) Pure Capacitive Process ( )sKsG =

b) N Non-Interacting Capacities in Series

( )111 2

2

1

1

+++=

sK

sK

sKsG

N

N

τττL

c) Second Order Process ( )1222 ++

=ss

KsGζττ


a) Pure Capacitive Process

( )ωω

ωω

ω Kiii

iKiG −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 0

Penyelesaian:

Amplitude Ratio (AR) ( )ω

ω KiG =

Phase angle (φ) ( ) o90tan 1 −=∞−= −φ


b) N Non-Interacting Capacities in Series

( ) ( ) ( ) ( )ωωωω iGiGiGiG NL21=

φiercIngat =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) NiNN

ii eiGiGeiGiGeiGiG φφφ ωωωωωω === L212211 ;

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )NiN eiGiGiGiG φφφωωωω +++= LL 21

21

Maka:


Amplitude Ratio (AR)

( ) ( ) ( ) ( )ωωωω iGiGiGiGAR NL21==

22222

221

21

111 ωτωτωτ N

NKKKAR+++

=L

L

Phase Angle

Nφφφφ +++= L21

( ) ( ) ( )Nωτωτωτφ −++−+−= −−− 12

11

1 tantantan L


c) Second Order Process

( ) ( ) ( )( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−+−

++−=

++−=

ωζτωτωζτωτ

ωζτωτωζτωτω

2121

2121 22

22

2222 ii

iK

iKiG

atau ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22222222

22

212

211

ωζτωτωζτ

ωζτωτωτω

+−−

+−

−=

KiKiG

Amplitude Ratio (AR) ( )( ) ( )2222 21 ζτωωτ

ω+−

==KiGAR

Phase Angle (φ) ( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−== −

221

12tanarg

ωτζτωωφ iG

Phase lag karena φ < 0


5.2. NYQUIST PLOT

• Plot bilangan Real versus Imaginer untuk G(iω)

( ) ( )φφ cosRecos ×=×= ARataura

( )( )[ ] ( )( )[ ]22 ImRe ωω iGiGrAR +==

( )[ ]( )[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωωφ

iGiGanta

ReIm

Re

Im

φ

a

b

r

(a,b)

( ) ( )φφ sinImsin ×=×= ARataurb


NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER SATU( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==1s

KsXsYsG

τ

Kc=1

Kc=5

Kc=10


NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER DUA( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==11 2

2

1

1

sK

sK

sXsYsG

ττ

K1=1

K2=1

Merah:

τ1 = 1 & τ2 = 1

ζ = 1

Biru:τ1 = 0.25 & τ2 = 1 ζ = 1.25

ζ = 1.25

ζ = 1

NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER DUA( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==11 2

2

1

1

sK

sK

sXsYsG

ττ

ω: from –∞ to 0

ω: from 0 to ∞


( )1222 ++

=ss

KsGζττ

NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER DUAK=1

τ = 1


ω: from 0 to ∞

ζ = 0.5

ζ = 0.1


KRITERIA KESTABILAN NYQUIST

Jika Nyquist Plot mengelilingi titik (–1,0) dalam bidang

kompleks untuk ω = 0 s.d. ω → ∞ , dan searah

putaran jarum jam, maka sistem TIDAK STABIL.

(–1,0)Re

Im


NYQUIST PLOT

SISTEM ORDER TIGA( ) ( )

( ) ( )( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+++

==14121 sss

KsXsYsG c


ω: from 0 to ∞

Kc=50

Kc=15Sistem

menghasilkan

Respons yang

tidak stabil

jika Kc>15

Kc=5


5.3. Bode Diagram

• Penghargaan terhadap H.W. Bode

• Plot 2 kurva: MR vs ω dan φ vs ω

• Untuk fungsi transfer yang kompleks

• MR dan ω diplot dalam skala logaritma (range sangat lebar)

Sistem Order Satu:

221 ωτ+=

KAR

( )ωτφ −= −1tan

( ) ( )221log2

log ωτ+−=KAR

Anggap τ konstan; jadi τω merupakanvariabel bebas pengganti ω

Plot: log(MR) vs log(τω)


BODE DIAGRAM SISTEM ORDER SATU

log (τω)

log (τω)

log

(AR

)

log (τω) = 0τω = 1ω=1/τ

low frequency

high frequency

corner frequency


BODE DIAGRAM

SISTEM ORDER SATU

DENGAN BERBAGAI NILAI GAIN (K)

ω=1/τ

K=1

K=10

K=100

log (τω)

log (τω)

log

(AR

)


( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=15

112

1ss

sG

log (τω)

log (τω)

log

(AR

)an

gle

BODE DIAGRAM SISTEM ORDER DUA


BODE DIAGRAM SISTEM ORDER DUA ( )1222 ++

=ss

KsGζττ

ζ = 0.1

ζ = 1ζ = 10

log (τω)

log (τω)

log

(AR

)an

gle


KRITERIA KESTABILAN BODE

Sistem TIDAK STABIL, jika AR lebih besar

dari 1 (satu) pada crossover frequency (ωCO)

Crossover frequency: Frequency ketika phase lag (φ) sama dengan 180o → ωCO


BODE DIAGRAM

SISTEM ORDER TIGA( ) ( )

( ) ( )( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+++

==14121 sss

KsXsYsG c

log (τω)

log (τω)

log

(AR

)an

gle

Kc=50

Kc=1

log(AR)=0 → AR = 1Sistem dengan

Kc = 50

menghasilkan

respon yang

TIDAK STABIL,

karena AR > 1

pada ωCO

ωCO

Documents

05 Frequency Response Analysis - WordPress.com · 2010-05-09 · Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY DINPRO / V / 3 Catatan penting: 1. Respons sistem order