04 Revision-RDMI+statique_v5

7/25/2019 04 Revision-RDMI+statique_v5

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Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

Rsistance des matriaux II5

Rvision du cours RDMI et statique

Notes de cours divises en 4 parties

1. Notions de contrainte (chap 1-4, 6)

2. valuation de la rsistance (chap 7 et 10)3. Dformations (chap 8 et 9)

4. Torsion avance (chap 6 et 16)

1


2/103



2

Contenu de la partie 1

Rvision des chapitres 1-4 et 6 du manuel Rsistance desmatriaux, 3e dition, Bazergui et al.

tudes des contraintes pour les trois types de chargementsimple dune membrure droite

z

yx

xP

yP

L

az

yx

L

T

Chargement axial Chargement en flexion Chargement en torsion

Traction-compression etrservoir sous pression

Combinaisons des chargements

Chap 1-4, 6


3/103



Conception de structures mcaniques

Critres de conception

1. Rsistance

2. Rigidit3. Instabilit

4. Fatigue

3

Contenu pour le cours MEC2405

Rvision RDM I, flexion gauche, analyse limite, concentration de contrainte

Rvision RDM I, mthodes nergtiques

Instabilit de membrures rigides, flambement de membrures lastiques

Chargements cycliques

Chap 1-4, 6


4/103




1. Rsistance Prdire les contraintes maximales et les

comparer un critre de dfaillance viter les dformations plastiques

2. Rigidit Prdire les valeurs maximales des

dformations ou des dplacements

3. Instabilit viter leffondrement de la structure suite

un phnomne dinstabilit

4. Fatigue Prdire la dure de vie dune structure

sous chargements cycliques

4

Chap 1-4, 6


5/103




1. Rsistance Prdire les contraintes maximales et les

comparer un critre de dfaillance

2. Rigidit Prdire les valeurs maximales

dformations ou les dplacements

3. Instabilit viter leffondrement de la structure

suite un phnomne dinstabilit

4. Fatigue Dure de vie dune structure sous

chargements cycliques

5

maxd d 10

Distribution de la contrainte tangentielle () est constante travers la paroi

Type:

r

r

t

p

x

Cylindre paroi mince sous pression

Contrainte dans la direction x,

x = 0

Contrainte dans la direction x,

x 0

OUVERT FERMou

Chap 1-4, 6

R i d i II Ch 1 4 6


16/103Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.


16

Cylindre ferm paroi mince soumis une pression interne p et

une force axiale F en tension

0oupr =mp r

t =

2 2m

xm

p r Ft r t

= +

Partie de la contraintedue la pression

Partie de la contrainte due la force extrieure F

r

x

r

t

p

x

b

F

Chap 1-4, 6

y

z

R i t d t i II




Exemple: Cylindre avec deux conditions dappui

17

F

En quilibre

p

piston 0xF pA F = =RA

p

ApA R=

RA

Fx Fx

Fx = 0

OUVERTp

complter

F

Appui la base

Appui en haut

R i t d t i II Ch 1 4 6




18

Flexion ordinaire

(moment flchissantMet effort tranchant V)

Dans la plupart des cas, les quations que lingnieur utilise pourcalculer les contraintes se rsument :

Chargement uni-axial

Chargement de flexion (Chapitres 3 et 4, R de M)

Chargement de torsion Chargement combin:

axial-flexion

axial-torsion flexion-torsion

flexion-axial-torsion

Contraintes

zy x

L

z yP

L

a

xxjxet

Flexion pure

(moment flchissantMseulement)

Chap 1-4, 6

R i t d t i II Ch 1 4 6




19

Flexion Pure Moment concentr (MB) sur une poutre rectangulaire pleine Moment interne (MAB) qui engendre la contrainte; ici MAB est gal MB

c = distance du plan neutre la fibre extrme (ici, c = h/2)

c

L

b

h

A B

6hbS 2z=

12

hbI

3

z=

0

0

yzxzxy

zy

===

==

z

AB

z

ABx S

M

I

cM==

Contraintes aux fibres extrmes

ABM

z

yx

L

BM

MBMAB x

Chap 1-4, 6

R i t d t i II

Ch 1 4 6




20

Flexion Pure Moment concentr sur une poutre rectangulaire paroi mince

z

ABx I

cM

=

x

y

z

ABM

b

h2/h

2/h

t

Contraintes auxfibres extrmes 2h

c=Rappel: Comment

calculerIz?

Chap 1-4, 6

ABx

z

y

I =

o

Augmentation linaire de lacontrainte normale en fonction de ladistance par rapport au plan neutre

R i t d t i II

Ch 1 4 6




21

Flexion pure

1 212

23

21

htIz = ++

3 4+

x

y

z b

h

t

2thy =

tb 2

h

1 23

4z

'z

AyII zz2

'43 2 += +

( )( )

+

=+ ttb

thttbIz 2212

22

23

43

4321 ++ += zzz III

( ) ( ) ( )( )ttbthttbhtIz 23261 233 ++=

t

Rappel: Comment calculerIz?

Chap 1-4, 6

Rsistance des matriaux II Chap 1 4 6


22/103



22

Dans la plupart des cas, les quations que l ingnieur utilisepour calculer les contraintes se rsument :


Chargement de flexion ordinaire: avec moment

flchissant et effort tranchant Chargement de torsion

Chargement combin:

axial-flexion axial-torsion

flexion-torsion


Flexion ordinaire

(moment flchissant et effort tranchant)

yP

L

a

xjxet

Chap 1-4, 6


23/103



24/103



24

1- Tracer le diagramme des efforts tranchantsLe diagramme des efforts tranchants varie dune quantit gale - (la force concentre) l endroit o celle-ci est applique

0+V

AR

CRP

h

b

L

x

y

z

AR CRba

P

x

xqV

qdx

dV

=

=

xVM

VdxdM

=

=

Chap 1-4, 6



25/103



25

2- Tracer le diagramme des moments flchissants

V

0

+

AR

CRP

zM

0

+

aRAz =max

ch

b

L

x

y

z

ARCR

P

ba

x

x

Vdx

dM

xVM ==

Chap 1-4, 6

Rsistance des matriaux II

Chap 1 4 6


26/103



26

3- Calculer la contrainteOn fait une coupe de la pice une distance x de lappui gauche

z

ABx I

c=

V

0

+

AR

BRP

ABM

0

+

maxz

xRAAB=

x

y

z VABM

x

y

z

x

x

x

RA

Chap 1-4, 6


Chap 1 4 6


27/103



27

3- Calculer la contrainte au point critiqueMAB est maximum x = a, l o V = 0

z

Ax S

aR

+=

x

y

z

P

V

x

a

ABM

V

0

+

AR

CR P

zM

0

+

maxz AR a=

x

x

zAx S aR=

x

RA

Chap 1-4, 6

Rsistance des matriaux II Chap 1-4 6


28/103



28

z

yx

L

zM

0

0

ABMz

y

L

ABMx

0=V

z

V

x

x

xqV

q

dx

dV

=

=

xVM

Vdx

dM

=

=

A B

Chap 1-4, 6

Exemple 1: Flexion pure



29/103



29

Charge uniformmentdistribue sur unepartie de la poutre

-

y

z x

-RA

RA

hRB

0 +

mNw /,0

02wRRaR AAA +

M

xqVqdx

dV==

xVMVdxdM ==

0w

RB

1l

1lRBaRA

la

0w

RA

z0

AA

x S

w2R

aR

+

=

q = -w0

x

x

z

0

AA

x S

w2R

aR

+

=

Points importants identifier

Chap 1-4, 6

Exemple 2



30/103



30

h

Il faut bien calculer les

ractions aux appuis

-

RB

RB

+

AR

AR

y

z

x

P

0w

z

V x

x

Ici, V passe par zro

deux sections de la pice ;il faut alors calcule x auxdeux endroits pour trouverles contraintes maximales

Chap 1-4, 6

Exemple 3



31/103



31

-RA

y

z

x x+x

RA

h

RA a

RB

P

a b

RB

x

Contrainte de cisaillement due l effort tranchant

xMxxM +

P x

x

V

z

xxV +V

x x+

xq

x

Dans cette poutre, une distance xde lorigine, isolons une section delongueur x

Chap 1 4, 6


Chap 1-4 6


32/103



32

)11.4(xVMM0M xxx == +

Un lment de poutre de longueur x est en quilibre:

y

zx

xV

xxV +

x xx +b

hxxV +xV

xM xxM +

)3.4(0 adAF xx ==

)12.412.4( betaIyMzx =avec

x

Chap 1 4, 6


Chap 1-4 6


33/103



33

Si on isole un lment de cette section daire dont le centrode est situ une distance de laxe neutre, il faut ajouter une force interne Fx pourque llment soit en quilibre:

'y

est mesure sur la facesur laquelle agit V

'

'A

c

xVx+xx

'y xF

y

z

x

b

xxV +

'

)13.4(0==

+

x

A

xx

A

xx FdAdAF

Cest cette force Fx qui causeune contrainte de cisaillement.

Chap 1 4, 6


Chap 1-4, 6


34/103



34

x+xxy

zx

b est mesur y1 (surface glissante)

est le second moment de toute la section par rapport z

Q est le premier moment de surface

xV

c

'y yx

b

V

1y

xy

'A

zI

' 'y yyx xyz z

V Q V A yI b I b

= = =

Chap 1 4, 6


Rsistance des matriaux II Chap 1-4, 6


35/103



35

La figure ci-dessous illustre la rpartition en intensit des contraintes decisaillement dues leffort tranchant dans un profil en I.

On remarque : les contraintes de cisaillement sont nulles aux fibres extrmes de la poutre

la contrainte de cisaillement est maximale laxe neutre de la poutre

la majeure partie de leffort tranchant est reprise dans lme de la poutre

les contraintes de cisaillement sont relativement constantes dans lme

Chap 1 4, 6




36/103



36

Exemple : Calculer les contraintes de cisaillement dues leffort tranchant Vy en A-A et en B-B :

Dimensions en mm

6 440 10zI mm=

AAB

B

20

6

105

125260

102

yV

y

x

z

Section A-A est dans lme de la poutre, sous la semelle suprieure.

Section B-B est dans la semelle suprieure, 20 mm de lextrmit gauche.

Chap 1 4, 6



37/103


s s a ce des a au5

37

la section dtude A-A :La contrainte de cisaillement se calcule :

o Q = le premier moment de laire de la section de la poutre qui est au dessusde la section d tude par rapport laxe neutre, soit

yxyz

V Q

I b =

( )mmbet

mmxyAQ

6

105,12712510102'' 33

=

===

AAb

6

10

5

125260

102

z

y

C ap , 6



38/103


5

38

la section dtude B-B :

B

B20

6

10

5

125260

102

z

y

( )3 3

' ' 20 10 125 25 10

10 , l'paisseur de la semelle

Q A y mmet

b mm

= = =

=

p ,

yxy

z

V Q

I b =



39/103


5

39

Dans la grande majorit des cas, les quations que l ingnieurutilise pour calculer la sollicitation se rsument :


Chargement de flexion


axial-flexion



z

yx

L

T

Torsion

xj

p ,


Chap 1-4, 6


40/103


5

40

Barreau circulaire plein

J

rTx =

2

4r

J

=

r x

y

z

T

T

y

zx

0

0

rxr

rx

==

===

Torsion

Contrainte de cisaillement

la surface externe

z

y

Vue plan yz

J: second moment polaire(constante de torsion)

p ,



41/103


5

41

Torsion

Tube circulaire

J

rTx =

0

0

rxr

rx

==

===


la surface externe

x

y

z

T

T

r

ir

y

zx

4 4( )

2e ir r

J

=

J= 2r3to r est le rayon moyen

p



42/103


5

42

TorsionTube rectangulaire paroi mince


moyenne dans la paroi

x = n = s = 0

xn = ns = 0tA

Mxxs

=

2

( )( )thtbA =

moyenprimtre

duintrieurl'

surfacelaestA

x

y

zb

h

t

xM

xM

p

est constantdans

lpaisseur


Chap 1-4, 6


43/103


5

43

yP

L

a

z

yx

xP

0

0

yzxzxy

zy

===

==

A

Px=

bI

QV)ou(

0

zxzxy

yzzy

=

===

z

zx S

M=

0

0

rxrrx ==

===

J rTx =

Rsum

x = n = s = 0

xn = ns = 0tA

Mxxs

=

2

z

yx

L

xMTou

x

y

z

b

h

t

xM

xM


Chap 1-4, 6


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5

44

yP

L

a

zy x

xP

Rsum

z

yx

L

xMTou

x

y

z

b

h

t

xM

xM

Exemples de section

AxialToutes les sectionsconstantes selon laxe x

Changements de sectionConcentration de contrainte

(chap. 10)Pression cyl. paroi mince

Section sans plan de symtrie flexion gauche (chap. 17)

Nouveaux en RDM II

Flexion section simple

Torsion section circulaire (x,r,)

Torsion section ferme mince (x,s,n)

Torsion section ouverte mince

Torsion section combine

Rvision partie 4


Chap 1-4, 6


45/103


5

45

Dans la grande majorit des cas, les quations que l ingnieurutilise pour calculer la sollicitation se rsument :


Chargement de flexion


axial-flexion



z

yx T

L

Pz


Chap 1-4, 6


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5

46

Contraintes aux fibres

externes (r: rayon externe)

Chargement combinFlexion-axial-torsion

2

4rJ

=

J

rTx =

4

4rI

=

2

rA =

A

P

I

cMz +=

r x

y

z

T

T

PP

z z


Chap 7 et 10


47/103


5

47

Contenu de la partie 2: Chapitres 7 et 10

Objectifs Comprendre la dfinition dun tat plan de contrainte

Calculer les contraintes selon une orientation arbitraire

Calculer les contraintes principales et leur orientation

Reprsenter ltat de contrainte laide du cercle de Mohr

Calculer la valeur du cisaillement maximal

valuer la rsistance dun matriau ductile avec les critres

dcoulement (Tresca et von Mises)


Chap 7 et 10


48/103


5

Toutes les contraintes agissant sur une des faces du cube unitaire sontnulles (ici, la face z) ainsi que toutes les contraintes agissant sur lesautres faces, dans la direction z. (z = 0 e txz=zx=yz=zy= 0)

Trs frquent en ingnierie

48

xy

z

xy

xz x

y

yxyz

z

zx

zy

tat plan de contrainte

x

xx

y

xy

yx

yx

xy

x

xy

z

xy

yx

y

Simplification un lment 2D

y

xy


Chap 7 et 10


49/103


5

49

tat plan de contrainte Contraintes en un point selon une orientation arbitraire (x-y)

On calcule les contraintes x ,y et xysuivant les directions x et y choisies

On dfinit un nouveau systme d axes xet y qui fait un angle avec le systme

x,y; laxe x positif est laxe de rfrence

En utilisant les quations dquilibre dansle systme x-y (Fx = 0; Fy=0; Mz=0),on tablit les expressions pour le calculdes contraintes x ,y et xy dans lenouveau systme

x

xy

xy

y

x

yy

x

x y

x

!Attention la convention

de signe de


Chap 7 et 10


50/103


5

50

Pour transformer x ,y et xy en x ,y et xy

( ) ( )

( ) ( )

' '

' ' '

0 cos 2 sin 22 2

0 sin 2 cos 22

x y x yx x xy

x yy x y xy

F

F

+ = = + +

= = +

x

xy

xy

y

x

yy

x

x y

x

(7.14)

(7.15)


Chap 7 et 10


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5

51

tat plan de contrainte Contraintes principales 1 , 2 et3 en un point

''' 20 yx

x

d

d

==

(7.14)( ) ( )2sin2cos22 xyyxyx

'x +

+

+

=

22

2

xy

2yxyx

2,1 +

+

=

(7.18) et (7.19)

(7.24)

Sur les plans o se trouvent les contraintes principales,les contraintes de cisaillement sont nulles.

Contraintesprincipales enun point

3 0ou valeur connuez = =


Chap 7 et 10


52/103


5

52

tat plan de contrainte Cercle de MohrPour tracer le cercle de Mohr dun tat plan de contrainte dans le plan x-y, on

procde de la faon suivante : Placer les points X (x ,xy) et Y (y , -xy) dans un systme daxes -

Joindre les deux points par une droite et dterminer le point d intersection Cavec laxe (c = (x + y) /2)

y

x

y

x

),( xyxX

),(' ''' yxxX

),(' ''' yxyY

C

2

),( xyyY

Le cercle de Mohrest le cercle dont le centre est C et qui passe par les points X et Y.

Ltat de contrainte selon le systme x-y est galement reprsent par le cercle

x

y

xy

yx

x

y


Chap 7 et 10


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5

53

tat plan de contrainte Cercle de Mohr Contraintes principales 1 et 2

Laxe 1 de la contrainte principale 1 fait un angle 1 avec laxe x

Sur les plans des contraintes principales, les contraintes de

cisaillement sont nulles.

x

y

1),( xyxX

),( xyyY

C

)0,(1 1)0,(2 2

12

( )yx

xy

= 22tg 1 !

Attention la valeurcalcule de 1


Chap 7 et 10


54/103


5

54

tat plan de contrainte Cercle de Mohr Cisaillement maximal max

En tat plan de contrainte, la contrainte de cisaillement maximal sesitue sur un plan dont la normale d est 45 par rapport laxe 1(sens trigonomtrique ngatif partir de l axe 1).

),( xyxX

),( xyyY

C

)0,(1 1)0,(2 2

),( maxdD

12

x

y

d

45

e


Chap 7 et 10


55/103


5

55

Chap. 10 - Critres dcoulement: Tresca

2/max YS=

1 Y1 S=

Essai de traction

1

23

max

max

min

3,2 1

Pice relle

1

2

3

max12

YSFS=

2),,min(),,max( 321321max =Cisaillementmaximal Cas gnral 3D

Lcoulement dunmatriau ductile seproduit lorsque maxatteint une valeurcritique.


Chap 7 et 10


56/103


5

56

[ ]213232221 )()()(21

++= YSFS

Lcoulement dun matriau ductile se produit lorsque lnergie dedistorsion atteint une valeur critique.

Contrainte quivalente de von Misesdans le systme daxes 1-2-3

Chap. 10 - Critres dcoulement: von Mises


57/103


Chap 8 et 9


58/103


5

58

Dformation

Les forces extrieures sur un solide causent : un dplacement de lensemble des points constituant le solide

un mouvement relatifentre les points du solide dformation du solide

Comme pour le cas des contraintes, ltude des dformations dans unsolide est ralise pour un tat plan. Ici, cest ltat plan de dformation,qui est diffrent de ltat plan de contraintes.

Les cts CAB dun lment unitaire delongueurs x et y avant lapplicationdune force extrieure se retrouvent enCAB aprs chargement.

Ce faisant, le point A sest dplac dela distance u selon l axe x et de v selonl axe y.

y

x

x

y

A

'A 'B

B

u v

C'C xy

2

uu x

x

+

vv xx+


Chap 8 et 9


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5

59

Dformations

Les dformations normales x et y et de cisaillement xy sont dfiniesde la faon suivante :

x

v

y

uCABBAC

yv

ACACCA

x

u

AB

ABBA

xy

y

x

+

==

==

=

=

'''

''

''

y

x

x

y

A

' 'B

B

u v

C'C

xy

2

u

u xx

+

vv x

x

+

Dformations: cest ce qui existe physiquement.

Contraintes: cest un concept commode pour faire des calculs


Chap 8 et 9


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5

60

Dformations

La mthode exprimentale la plus rpandue et la plus utile eningnierie pour lanalyse des contraintes est base sur la mesure desdformations laide desjauges de dformation

Connaissant les dformations, les contraintes peuvent trecalcules laide de la loi de Hooke (Chap. 9)

Ce sont les contraintes qui permettent dvaluer le facteur descurit (FS) dune pice soumise des forces extrieures connues

Une jauge mesure une dformation normale et elleest toujours dans un tat plan de contrainte parcequelle est colle sur une surface libre. Donc, 3 = 0.


Chap 8 et 9


61/103

Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 61

Fil dont la rsistance lectrique R varie avec son allongement. Ellemesure une dformation exclusivement dans laxe de son fil.

On colle solidement la jauge sur la surface de la pice. Lorsquuneforce agit sur la pice, celle-ci se dforme.

La jauge subit alors la mme dformation et sa rsistance lectriquevarie en consquence:

On enregistre le changement de rsistance.

Aprs une calibration adquate, on dduitla dformation.

Il nexiste aucune mthode simple qui permette de mesurer unedformation de cisaillement .

kRR =

Jauges de dformation

chantillon disque instrumente de 3 rosettes


Chap 8 et 9


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On sait que :o 3 en gnral est connue

On sait aussi que :(pour tat plan de contrainte en z)

et que :

(loi de Hooke)

Une jauge ne mesure quune dformation normale() Elle ne peut pas mesurer une dformation de cisaillement ()

321 ,, FS

xyyx ,,, 21

xyyxxyyx ,,,,


Chap 8 et 9


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partir de trois valeurs de dformation normale

(a, b, c) mesures suivant des orientationsquelconques mais connues, (a,b, c ) on peutdterminer x, y et xy de la faon suivante :

Dans ce systme, laxe x est laxe de rfrence.Les angles i sont mesurs partir de cet axe ;ils sont positifs dans le sens anti-horaire.

Ensemble de jauges: une rosette

ab

c

a

b

c

x

y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )cxy

cyxyx

c

bxy

byxyx

b

axy

ayxyx

a

+

++

=

+

++

=

+++=

2sin2

2cos22

2sin

2

2cos

22

2sin2

2cos22

Ceci constitue un systmede trois quations trois

inconnues x, y, xy

!Attention la convention

de signe de


Chap 8 et 9


64/103


Chap. 9 Relations contraintes-dformations

(Loi de Hooke)

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

GGG

E

E

E

yz

yz

xz

xz

xy

xy

yxzz

xzyy

zyxx

===

+=

+=

+=

;;

1

1

1 ( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]2133

1322

3211

1

1

1

+=

+=

+=

E

E

E

Axesx,y etz Axes 1,2 et3


Chap 8 et 9


65/103


Rappel: Proprits mcaniques

Module dYoung (E)

Module de cisaillement (G)

Coefficient de Poisson (v)

65

E

G )1(2 v

EG

+

=

L

Tv

=

FF

Direction longitudinale

Direction transversale


Chap 8 et 9


66/103


Questions :

Que vaut max (1, 2, 3)?

Quelle est l orientation de max ?

Quel est leffort tranchant quipasse dans le panneau?

x

y

F

F

tude des dformations dans un panneau de

cisaillement (sance de laboratoire no. 2)

Panneau

Cadre


67/103



68/103


2/F

cornirespanneau VVV +=

AV xypanneau =

A

x

yF

2/F 2/F

C

C

Coupe C-C

Panneau de cisaillement (sance de laboratoire no. 2)

On suppose la contrainteuniforme sur la surface A



69/103



69

0

0

=

==

xy

yx

12

xyF

2/F 2/F

),0( X

),0( Y

1

2

045x

03

2

1

=

==

3

21

Contraintes principales et orientation

Contraintes selon lesystme daxes x-y

1



70/103


x

y

F

2/F 2/F

x

y

F

2/F 2/F

030

0

60

060a

b

c

030

060

0

60 a

bc

Laboratoire tude ici




71/103


Relations pour une rosette 0o 60o

71

( )

( )

cos(2 60) sin(2 60)2 2 2

cos(0) sin(0)2 2 2

cos( 2 60) sin( 2 60)2 2 2

d'o on tire

23

2

3 3

x y x y xya

x y x y xyb

x y x y xyc

x b xy a c

by a c

+ = + +

+ = + +

+ = + +

= =

= +

a

b

c x

y2/1 2/3

2/32/1

1 0

060

060

Formules pour

rosette 60



72/103


Les dformations tant mesures suivant trois directions a,b et c connues, on peut calculer les dformations suivant les

directions x, y et z. ce stade, on peut :

calculer les dformations principales 1, 2, 3 puis

les contraintes principales 1, 2, 3ou

calculer les valeurs de x, y et xy puis les

contraintes principales 1, 2, 3




73/103


( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]2133

1322

33211

E

1E1

0oE

1

+=

+=

=+=

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

G

E

1E1

0oE

1

xy

xy

yxzz

xzyy

zzyxx

=

+=

+=

=+=

max2 = Y

SFS

( ) ( )321321max

2

xy

2

yxyx

2,1

,,min,,max

:veuton

222

=

+

+

=

0

;

223

2

2

2,1

==

+

+=

z

xyyxyx

( ) ( )2

,,min,,max 321321max

=

cbaxyyx ,,,,

On connait , , on mesure , ,a b c a b c



74/103


partir de x , y et xy on solutionne pour obtenirles dformations principales :

:deLoi

( )[ ] ( )[ ] 0)(011 2133 =+=+= EE

Hooke

(8.15)

( ) ( )321321max ,,min,,max =

2 2

1,2 2 2 2x y x y xy + = +



75/103


12

03

21

=

=

12

),0( X

),0( Y

03

2

1

=

=

=

030060

060 a

bc

3

)2/,( xyyY

3

ac

o120 o120

030

060

0

60a

bc

x

y

Cercle de Mohr: Contraintes Cercle de Mohr: Dformations


Chap 6 et 16


76/103


ObjectifsDessiner la propagation du flux de cisaillement sur la

section dune structure en torsion

Savoir calculer la contrainte de cisaillement et laconstante de torsion (J) pour une section ouverte (mince et paisse)

ferme Identifier la contrainte de cisaillement maximale dansune section compose (en utilisant la compatibilitgomtrique)

Rvision partie 4: Chapitres 6 et 16


Chap 6 et 16


77/103


T

T

T TT

TT

Sections fermes Sections ouvertes

tA

Txs 2

=J

tTxy=

3

3

1tbJ=

=

t

dsA

J2

4

JG

LT

=

y

zx

TTT T T

1

23 T

Section compose

J

Trx =

Compatibilit gomtrique

Formulegnrale

Section circulaire

trrr

J

rJ

ie 344

4

22

)(2

=

=

=

Rayon moyenT

77


Chap 6 et 16


78/103


Chapitre 16, TORSION AVANCE

16.1 Introduction

16.2 Mthode de Saint-Venant

16.3 Fonction de contraintes16.4 Quelques solutions particulires

16.4.1 Procdure

16.4.2 Barreau elliptique

16.4.3 Barreau triangulaire

16.4.4 Rsolution pour unesection rectangulaire

16.5 ...............

Chapitre 6, LA TORSION

6.1 Introduction

6.2 Sections circulaires

6.3 Tube parois minces6.4 Sections ouvertes

minces (mthode de calcul)

6.4.1 Section rectangulairemince

6.4.2 Application aux

profils minces6.5 .........

78


Chap 6 et 16


79/103


Section fermeq, le flux de cisaillement ( une dfinition),est une force / unit de longueur de paroi,

N / m. Sur une section ferme, q est constant

autour de la section mme si lpaisseur t varie

tdnq xs

t

t

xs

=2/

2/

)principalee(contraint0

Donc,

0

3 ==

=====

n

nsxnsnx

tTq

T

xns

x

79

est constant

danslpaisseur


Chap 6 et 16


80/103


Section ferme

Avec

et

On obtient :

et :

tdnq xs

t

t

xs

=2/

2/

AqT 2=

( ) 0== dsqshTMx

q = constant suivant la direction s

quation dquilibre

A = aire du primtre moyen

( ) Asdsh 2=

min2 tA

Txs=

txs paisseurl'surconstant

sd

T

Ad

q

)(sh

t

x n

s

80


Chap 6 et 16


81/103


est laire lintrieur duprimtre moyen de la section

Section ferme

Contrainte de cisaillement maximale

A

min2 tA

Txs=

T

tT x ns

81

xsest maximum pour t

min

Puisque q est constant selon s,

si t augmente, xs diminue


Chap 6 et 16


82/103


Dformation observe en torsion

x

Dans un barreau circulaire

s

xzxy

et

Dans un barreau prismatique

zouy

r

y

z

82


Chap 6 et 16


83/103


Dformations de cisaillement pour section prismatique

83

b

t


Chap 6 et 16


84/103


Dformations de cisaillement pour section prismatique

Changement de langle droit :

dans le plan x-z, donc xz et xz

dans le plan x-y, donc xy et xy

y

84


Chap 6 et 16


85/103


Rsolution pour une section rectangulaire

Si b/t > 10, k1 = k2 =1,0

Cest le cas que nous tudierons

k1k2

Constante de torsion xy

85Section 16.4.4 du volume

xy


S ( )

Chap 6 et 16


86/103


Section ouverte (barreau rectangulaire)

Contrairement une section ferme, leflux q, pour circuler, doit passer deuxfois (aller retour) sur lpaisseur t.

Ceci fait que le cisaillement change desens sur lpaisseur t et la section estbeaucoup moins efficace pour

transmettre de la torsion

Contraintes et constante de torsion

86

y

x

z

T

T

t y

xz

b

L

xy varie linairement selon zJtTxy=

331 tbJ=

)principalecontrainte(0Donc

00

3

==

====

z

xzyzzyx et


87/103


S ti

Chap 6 et 16


88/103


Section compose

Pour amliorer une section ouverte tellequun profil en I, on peut souder uneplaque sur toute la longueur de la poutre.

Pour lanalyse en torsion, on dcompose lapoutre combine en deux sections

ouvertes,1 et 2, et une section ferme, 3.

88

yx

z

1

2 3 T

x


Chap 6 et 16

S ti


89/103


Deux plaques parallles runies par unseul cordon de soudure constituent deuxsections ouvertes.

Par contre, les deux mmesplaques runies par deuxcordons de soudure sur touteleur longueur deviennent une

section ferme

T

x yx

z

x89

Section compose


S ti

Chap 6 et 16


90/103


Section compose

Exemple: Deux cordons de

soudure sur toute lalongueur du profil

90

Section ouverte

Section ferme

T

Illustration de la circulation du flux de cisaillement


S ti

Chap 6 et 16


91/103


Section compose

Exemple:On veut connatre TTOT permis

pour une valeur de SY connue.

91

1t

1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

LLLL === 321


Chap 6 et 16


92/103


Procdure de solution : 1- tablir la rpartition de Ttot dans

1 , 2 et 3 (quilibre)

2- Assurer la compatibilit dedformation comme un corps solide

3- Calculer les relations T-

4- Calculer les contraintes

5- Calculer TTOT permis

1

t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

LLLL === 321

92


Chap 6 et 16


93/103


321 TTTTTOT ++=

1t1b

2

b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL === 321

1t1b

2b2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

93


Chap 6 et 16


94/103


Solution :1- quilibre :

T1, T2 et T3 sont les parties

du couple total TTOT reprises

respectivement par lessections 1, 2 et 3.

321 TTTTTOT ++=

1t1b

2

b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL === 321

94


Chap 6 et 16


95/103


2- Compatibilit :

Les sections 1, 2 et 3 sont solidaires.Elles se dforment comme un corps solide

sous l action du couple TTOT

.

Donc,

Si on appelle =/L, on a :

1

2

3

i === 321

L

ii

==== 321

95


T

Chap 6 et 16


96/103


2- Compatibilit :

3- Relations T - :

ou que

iii

i

ii

ii GJ

T

GJ

LT==

Li

i

==== 321

33

3

22

2

11

1GJTGJTGJT ==

1t1b

2

b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL === 321

96


Chap 6 et 16


97/103


2- Compatibilit :

3- Relations T - :

Si les valeurs de Gi sont identiques :

iii

i

ii

ii GJ

T

GJ

LT==

GJ

T

GJJJ

TTT

GJ

T

GJ

T

GJ

T

TOT

TOT=++++

=== )( 321

321

3

3

2

2

1

1

i

ii L

==== 321

97

Rappel:Formule trigonomtrique

fdbeca

fe

dc

ba

++++===

Lorsque mme matriaudans sections 1,2 et 3


3 Relations T :

T

Chap 6 et 16


98/103


3- Relations T - :

J1 et J2 : constantes de torsion

pour une section ouverte

J3 : constante de torsion

pour une section ferme circulaire:

TOT

TOT

JT

JJJTTT

JT

JT

JT =

++++===

)( 321

321

3

3

2

2

1

1

( )322

3

1121 3

1tbtbJJ +=+

33

3

2

3

2

3

2

3 22444

tr

t

rA

t

primtreA

t

dsA

J

====

1t

i321 LLLL ===

1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

r

3t

A

98


T

Chap 6 et 16


99/103


4- Calcul de :

a) sections ouvertes (1)

TOT

TOT

J

T

J

T

J

T==

2

2

1

1

TOT

TOTxs J

tT

J

tT 1

1

111)( ==

1

111)( J

tTxs =

1t1b

2

b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL === 321

99

Mme approche pour section (2)

TOT

TOTxs

J

tT

J

tT 2

2

222)( ==


T

Chap 6 et 16


100/103


4- Calcul de :

a) sections ouvertes (1 et 2)

TOT

etdeTOT

ouvertxs J

tT 21maxmax )( =

TOT

TOTxs

J

tT 11)( =

TOT

TOTxs J

tT 22)( =

1t1b

2b 2t

L1

2

3

1T

1T

2T

2T

3T

3T

iLLLL === 321

100

Utiliser la plus grande paisseur pour calculerla contrainte maximale des sections ouvertes


Chap 6 et 16


101/103


4- Calcul de :

b) section ferme (3)

3

33

22

)(

tA

T

tA

Txs ==

TOT

TOT

J

T

J

T=

3

3

3

3

3

33 2

1

2)(

tAJ

JT

tA

T

TOT

TOTxs ==

t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

3T

3T

3

33 2

1)(

tAJ

JT

TOT

TOTxs =

101


Chap 6 et 16


102/103


5- Calcul de TTOT permis:

TTOT permis est le plus petitdes deux valeurs calcules .

1t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

33

22

)( tAJ

J

FS

ST TOTYfermTOT =

21max2

)(

etde

TOTYouvertTOT t

J

FS

ST =

102


Chap 6 et 16


103/103

Calcul de FS lorsque la valeur de T est connue:

a) sections ouvertes (1 et 2)

b) Section ferme (3)

1t1b

2b 2t

L

TOTT

1

2

3

TOTT

( )ouvertxs

YSFSmax2

=

21max2 etdeTOT

TOTY

tT

JSFS=

( )3

2 xs

YSFS

=

3

3

2

2

JT

tAJSFS

TOT

TOTY=

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