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LOGICA

COLEGIO TECNICO VICENTE AZUEROAREA DE MATEMÁTICAS UNDECIMO

Taller 3

 Nombre: _____________________________________________________ Grado _______ 

l

1. CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA

La L!"#a e$%&d"a la 'orma del ra(o)am"e)%o. La L!"#a Ma%em*%"#a e$ la d"$#"+l")a ,&e %ra%a de m-%odo$ dera(o)am"e)%o. E) &) )"el eleme)%al/ la L!"#a +ro+or#"o)a re!la$ 0 %-#)"#a$ +ara de%erm")ar $" e$ o )o al"do &)ar!&me)%o dado. El ra(o)am"e)%o l!"#o $e em+lea e) Ma%em*%"#a$ +ara demo$%rar %eorema$/ $") embar!o/ $e &$a e)'orma #o)$%a)%e +ara real"(ar #&al,&"er a#%""dad e) la "da.

DEINICIÓN 2 CLASES DE PROPOSICIONES

U)a +ro+o$"#") o e)&)#"ado e$ &)a ora#") ,&e +&ede $er 'al$o o erdadero +ero )o amba$ a la e(.Toda +ro+o$"#") #o)$%a de %re$ +ar%e$: &) $&e%o/ &) erbo 0 &) #om+leme)%o re'er"do al erbo. La +ro+o$"#") e$ &)eleme)%o '&)dame)%al de la L!"#a Ma%em*%"#a.

A #o)%")&a#") $e %"e)e) al!&)o$ eem+lo$ de +ro+o$"#"o)e$ *l"da$ 0 )o *l"da$/ 0 $e e4+l"#a el +or,&- al!&)o$e)&)#"ado$ )o $o) +ro+o$"#"o)e$. La$ +ro+o$"#"o)e$ $e ")d"#a) +or med"o de &)a le%ra m")5$#&la/ do$ +&)%o$ 0 la +ro+o$"#") +ro+"ame)%e d"#6a.

Eem+lo$. +: M-4"#o $e e)#&e)%ra e) E&ro+a.,: 1789 ;r: <4 83 = >$: Lo$ +re#"o$ de lo$ %el-'o)o$ #el&lare$ baar*) a '") de a?o.%: @ola #mo e$%*$B: Cme%e e$a 'r&%a

Lo$ e)&)#"ado$ + 0 , +&ede) %omar &) alor de 'al$o o erdadero/ +or lo %a)%o/ $o) +ro+o$"#"o)e$ al"da$. El ")#"$o r %amb"-) e$ &)a +ro+o$"#") al"da/ a&),&e el alor de 'al$o o erdadero de+e)de del alor a$"!)ado a la ar"able 4 e)de%erm")ado mome)%o. La +ro+o$"#") del ")#"$o $ %amb"-) e$%* +er'e#%ame)%e e4+re$ada a&),&e +ara de#"r $" e$ 'al$ao erdadera $e %e)drFa ,&e e$+erar a ,&e %erm")ara el a?o. S") embar!o/ lo$ e)&)#"ado$ % 0 )o $o) *l"do$/ 0a ,&e )o +&ede) %omar &) alor de 'al$o o erdadero/ &)o de ello$ e$ &) $al&do 0 el o%ro e$ &)a orde).E) !e)eral/ la$ +ro+o$"#"o)e$ +&ede) $er: S"m+le$ $" $lo %"e)e) &) $&e%o/ &) erbo 0 &) #om+leme)%o. E) #a$o #o)%rar"o/ $o) +ro+o$"#"o)e$ Com+&e$%a$. Cerrada$ $" %"e)e) de%erm")ado el $&e%o. Ab"er%a$ $" )o lo %"e)e) de%erm")ado. A'"rma%"a$ o Ne!a%"a$. Se!5) lo a'"rme) o )"e!&e). Herdadera$ o al$a$ $e!5) #orre$+o)da) o )o a la real"dad.

Eem+lo$.

6: A)a #ome +"((a 0 bebe re're$#o/ e$ &)a +ro+o$"#") #om+&e$%a/ #errada 0 a'"rma%"a. : Ella )o )ada m&0 r*+"do/ e$ &)a +ro+o$"#") $"m+le/ ab"er%a 0 )e!a%"a.J: KC&er)aa#a )o e$%* al )or%e del D.. 0 )o 6a#e 'rFo/ e$ &)a +ro+o$"#") #om+&e$%a/ #errada/ )e!a%"a 0 erdadera.l: > 3 1 e$ &)a +ro+o$"#") $"m+le/ #errada/ a'"rma%"a 0 erdadera.

m: 4<  4 8< e$ &)a +ro+o$"#") $"m+le/ ab"er%a 0 )e!a%"a.): a b 9 e$ &)a +ro+o$"#") #om+&e$%a/ ab"er%a 0 a'"rma%"a

CONECTORES LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS: T-rm")o$ de E)la#e. E4"$%e) #o)e#%"o$ o %-rm")o$ de e)la#e & o+eradore$ l!"#o$ ,&e +erm"%e) 'ormar +ro+o$"#"o)e$ #om+&e$%a$/ Lo$o+eradore$ o #o)e#%ore$ b*$"#o$ $o): E$%a$ +alabra$ +or #or%a$ ,&e $ea)/ )o debe) $&be$%"mar$e/ +&e$ $o) de !ra)"m+or%a)#"a. Ta)%o e$ a$F ,&e $e e$%&d"ara) al!&)a$ re!la$ m&0 +re#"$a$ +ara el &$o de e$%a #la$e de %-rm")o$ de e)la#e.Lo$ %-rm")o$ de e)la#e ,&e e$%&d"aremo$ e) e$%e #a+F%&lo $o) la$ +alabra$: «y», «o», «no», y «si…, entonces» 

ORLANDO MONSALHE AGUILAR DANIEL MORENO CAICEDO

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LOGICA CONUNCIÓN o+erador a)d 0Q SFmbolo Λ Se &%"l"(a +ara #o)e#%ar do$ +ro+o$"#"o)e$ ,&e $e debe)#&m+l"r +ara ,&e $e +&eda ob%e)er &) re$&l%adoerdadero. Se le #o)o#e #omo m&l%"+l"#a#") l!"#a 0$& $Fmbolo e$ ∧ a)dQ.

DIS2UNCIÓN o+erador or oQ SFmbolo ν

Co) e$%e o+erador $e ob%"e)e &) re$&l%ado erdadero#&a)do al!&)a de la$ +ro+o$"#"o)e$ e$ erdadera.Se #o)o#e #omo $&ma l!"#a 0 $& $Fmbolo e$ ∨ orQ.

Ne!a#") o+erador )o%Q SFmbolo ¬  ~ S& '&)#") e$ )e!ar la +ro+o$"#"). E$%o $"!)"'"#a ,&e $F al!&)a +ro+o$"#") e$ erdadera 0 $e le a+l"#a elo+erador )o% $e ob%e)dr* $& )e!a#") 'al$oQ 0 "#eer$a. E$%e o+erador $e ")d"#a +or med"o del $Fmbolo .

S& %abla de erdad e$ #omo $"!&e:

Eem+lo.Sea) la$ +ro+o$"#"o)e$: +: 2a e$ %arde.,: Te)!o ,&e dorm"rme.r: Me lea)%ar- %em+ra)o.El e)&)#"ado: 2a e$ %arde 0 %e)!o ,&e dorm"rme o )o me lea)%ar- %em+ra)o. Se +&ede re+re$e)%ar $"mbl"#ame)%ede la $"!&"e)%e ma)era: + ∧ , ∨ ¬r

PROPOSICIONES CONDICIONALES

U)a "m+l"#a#") o +ro+o$"#") #o)d"#"o)al/ e$ a,&ella ,&e e$%* 'ormada +or do$ +ro+o$"#"o)e$ $"m+le$ o #om+&e$%aQ +0 ,. Se ")d"#a de la $"!&"e)%e ma)era:

 +, $e lee $" + e)%o)#e$ ,Q

Eem+lo.U) +ro'e$"o)al d"#e S" a6orro me +odr- #om+rar &)a #a$a e) %re$ a?o$. U)a de#lara#") #omo e$%a $e #o)o#e #omo#o)d"#"o)al.Sea): +: A6orro.,: Podr* #om+rar &)a #a$a e) %re$ a?o$.De %al ma)era ,&e el e)&)#"ado $e +&ede e4+re$ar #omo: +,

S& %abla de erdad e$ de la $"!&"e)%e ma)era:

La ")%er+re%a#") de lo$ re$&l%ado$ de la %abla e$ la $"!&"e)%e:A)al"(a)do $" el +ro'e$"o)al m")%" #o) la a'"rma#") del e)&)#"ado a)%er"or: C&a)do + $"!)"'"#a ,&e a6orr 0 ,,&e $e #om+r la #a$a e) %re$ a?o$/ +or lo %a)%o +, el +ro'e$"o)al d"o la erdadQ.C&a)do + 0 ,' $"!)"'"#a ,&e +, '/ el +ro'e$"o)al m")%"/ 0a ,&e a6orr 0 )o $e #om+r la #a$a.C&a)do +' 0 , $"!)"'"#a ,&e a&),&e )o a6orr $e #om+r la #a$a 0a %e)Fa lo$ re#&r$o$Q/ a$F ,&e )o m")%"/ de %al'orma ,&e +, . C&a)do +' 0 ,' $e ")%er+re%a ,&e a&),&e )o a6orr %am+o#o $e #om+r la #a$a/ +or lo %a)%o +, 0a ,&e %am+o#o m")%".

PROPOSICIÓN ICONDICIONAL

Sea) + 0 , do$ +ro+o$"#"o)e$. U)a doble "m+l"#a#") o +ro+o$"#") e$ b"#o)d"#"o)al #&a)do + e$ erdadera $" 0 $olo $", e$ %amb"-) erdadera. O b"e) + e$ 'al$a $" 0 $lo $" , %amb"-) e$ 'al$a. Se ")d"#a dela $"!&"e)%e ma)era: +V, $e lee + $" 0 $lo $" ,Q

ORLANDO MONSALHE AGUILAR DANIEL MORENO CAICEDO

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LOGICAEem+lo.Sea el $"!&"e)%e e)&)#"ado:U)a +er$o)a +&ede o%ar/ $" 0 $lo $"/ %"e)e #rede)#"al de ele#%or +: U)a +er$o)a +&ede o%ar.,: T"e)e #rede)#"al de ele#%or.S& %abla de erdad e$.

La ")%er+re%a#") de lo$ re$&l%ado$ de la %abla e$ la $"!&"e)%e:

C&a)do + $"!)"'"#a ,&e &)a +er$o)a +&ede o%ar 0 , ,&e %"e)e #rede)#"al/ al $er e$%o #"er%o/ +V, . C&a)do +&)a +er$o)a +&ede o%ar 0 ,' )o +o$ee la #rede)#"al. S"!)"'"#a ,&e +V, ' C&a)do +' 0 , $"!)"'"#a ,&e &)a +er$o)a )o +&ede o%ar a&),&e %e)!a #rede)#"al e$%o e$ ,&e +V, '. C&a)do +' 0 ,' $e ")%er+re%a #omo ,&e )o +&ede o%ar/ )o %"e)e #rede)#"al/ +or lo %a)%o e$ #"er%o +V, .

Eem+lo.Re+re$e)%ar $"mbl"#ame)%e el e)&)#"ado: S" )o +a!o la l&(/ e)%o)#e$ me #or%ar*) la #orr"e)%e el-#%r"#a.2 S" +a!o la l&(/ e)%o)#e$ me ,&edar- $") d")ero o +ed"r- +re$%ado. 2 S" me ,&edo $") d")ero 0 +"do +re$%ado/ e)%o)#e$ )o +odr- +a!ar la de&da/ $" 0 $lo $" $o0 de$or!a)"(ado

Sol&#") +: Pa!o la l&(.

,: Me #or%ar*) la #orr"e)%e el-#%r"#a.r: Me ,&edar- $") d")ero.$: Ped"r- +re$%ado.%: Pa!ar la de&da.: So0 de$or!a)"(ado.

+,Q∧W+r ∨$QX∧Wr ∧$Q%XV

El )5mero de lF)ea$ de la %abla de erdad de+e)de del )5mero de ar"able$ de la e4+re$") 0 $e +&ede #al#&lar +or med"o de la $"!&"e)%e 'orm&la.

 No de lF)ea$ )

<

  do)de ) e$ el )5mero de ar"able$ d"$%")%a$.Eem+lo.Dada la $"!&"e)%e +ro+o$"#"): W+,Q∨,∧rQXVr,Q.Elaborar $& %abla de erdad.

Sol&#").La +ro+o$"#") %"e)e 3 ar"able$ +or %al el )&mero de lF)ea$ e$ <3  YLa +r"mera +ro+o$"#") +Q %e)dr* Z lF)ea$ erdadera$ 0 Z lF)ea$ 'al$a$/ la $e!&)da +ro+o$"#") ,Q %e)dr* < 0 < lF)ea$erdadera$ 0 'al$a$ 0 la %er#era +ro+o$"#") rQ %e)dr* &)a 0 &)a lF)ea$ erdadera 0 'al$a/ a$":

 + , r , +, ,∧rQ +,Q∨ ,∧rQ r, W+,Q∨,∧rQXVr,Q

TAUTOLOG[A/ E\UIHALENCIA 2 CONTRADICCIÓN

Ta&%olo!Fa e$ a,&ella +ro+o$"#") #om+&e$%aQ ,&e e$ #"er%a +ara %odo$ lo$ alore$ de erdad de $&$ ar"able$. U)

eem+lo %F+"#o e$ la +ro+o$"#") #o)%ra+o$"%"a #&0a %abla de erdad $e ")d"#a a #o)%")&a#").

 + , + , +, ,+ +,QV,+Q

ORLANDO MONSALHE AGUILAR DANIEL MORENO CAICEDO

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LOGICA N%e$e ,&e e) la$ %a&%olo!Fa$ +ara %odo$ lo$ alore$ de erdad el re$&l%ado de la +ro+o$"#") e$ $"em+re &)o. La$%a&%olo!Fa$ $o) m&0 "m+or%a)%e$ e) L!"#a Ma%em*%"#a 0a ,&e $e #o)$"dera) le0e$ e) la$ #&ale$ $e +&ede a+o0ar +arareal"(ar demo$%ra#"o)e$.

Se d"#e ,&e do$ +ro+o$"#"o)e$ $o) l!"#ame)%e e,&"ale)%e$/ o $"m+leme)%e e,&"ale)%e$. S" #o")#"de) $&$ re$&l%ado$ +ara lo$ m"$mo$ alore$ de erdad. Se ")d"#a) #omo +],.

E) el eem+lo a)%er"or/ $e +&ede ob$erar ,&e la$ #ol&m)a$ de +,Q 0 ,+Q $o) "!&ale$ +ara lo$ m"$mo$ alore$

de erdad/ +or lo %a)%o $e +&ede e$%able#er ,&e +,Q ] ,+Q

Co)%rad"##") e$ a,&ella +ro+o$"#") ,&e $"em+re e$ 'al$a +ara %odo$ lo$ alore$ de erdad/ &)a de la$ m*$ &$ada$ 0m*$ $e)#"lla e$ +∧ + . Como lo m&e$%ra $& #orre$+o)d"e)%e %abla de erdad.

 + + +∧ + 1 1

Eem+lo.S" $e %"e)e +: KEl #o#6e e$ erde/ la +ro+o$"#") +∧ + e,&"ale a de#"r ,&e El #o#6e e$ erde 0 el #o#6e

)o e$ erde. Por lo %a)%o $e e$%a #o)%rad"#"e)do/ e$ de#"r/ e$ &)a 'ala#"a.

LE2ES NOTALES EN LÓGICA

La$ le0e$ de l!"#a m*$ )o%able$ $o) la$ ,&e $e e)l"$%a)a #o)%")&a#"):

1.^ Le0 de doble )e!a#") ¬(¬ +Q V +

<.^ Le0e$ de "dem+o%e)#"a

+∨ +Q V +

+∧ +Q V +

3.^ Le0e$ a$o#"a%"a$

W+∨,Q∨rX V W+∨,∨rQXW+∧,Q∧rX V W+∧,∧rQX

Z.^ Le0e$ #o)m&%a%"a$

+∨,Q V ,∨ +Q+∧,Q V ,∧ +Q+V,Q V ,V+Q

7.^ Le0e$ d"$%r"b&%"a$

W+∨,∧rQX V W+∨,Q∧+∨rQXW+∧,∨rQX V W+∧,Q∨+∧rQX

9.^ Le0e$ de De Mor!a)

+∨,Q V +∧,Q+∧,Q V +∨,Q

ORLANDO MONSALHE AGUILAR DANIEL MORENO CAICEDO

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 N&e$%ro$ e#")"%o$ I!or/ o)*$/ Le) 0 S"m) $o) &)o$ )"?o$ +rod"!"o. Cada &)o 6abla &) "d"oma e4%"#o !r"e!o/ #6")o/ r&$o o $&e#oQ adem*$ de $&le)!&a )a%al 0 %o#a a la +er'e##") &) ")$%r&me)%o %&ba/ 'a!o%/ oboe o "olF)Q. El "d"oma ,&e 6abla)/ el ")$%r&me)%o ,&e %o#a) 0 la edad ,&e %"e)e) 7/ 9/ >& Y a?o$Q $o) d"$%")%o$ +ara #ada )"?o. Ded&#e/ +ara #ada &)o/ el "d"oma ,&e 6abla/ el ")$%r&me)%o ,&e %o#a 0 la edad ,&e %"e)e a$&m"e)do ,&e la$$"!&"e)%e$ a'"rma#"o)e$ $o) erdadera$.1. S" el ,&e 6abla $&e#o )o %o#a el oboe/ el de > a?o$ )o %o#a el "olF).<. S" el de > a?o$ )o %o#a el "olF)/ Le) %"e)e 9 a?o$.3. S" Le) %"e)e 9 a?o$/ S"m) )o %"e)e 9 a?o$.

Z. S" S"m) )o %"e)e 9 a?o$/ Le) %o#a el oboe.7. S" Le) %o#a el oboe/ Le) 6abla $&e#o.9. S" o)*$ )o 6abla r&$o/ el ,&e 6abla $&e#o )o %o#a el oboe.>. S" o)*$ 6abla r&$o/ el de o#6o a?o$ 6abla #6")o.Y. S" el de Y a?o$ )o %o#a el oboe/ Le) %"e)e 7 a?o$.;. S" Le) %"e)e 7 a?o$/ el de > a?o$ 6abla r&$o.1. S" el de > a?o$ 6abla r&$o/ Le) %o#a el oboe.11. S" Le) %o#a el oboe/ I!or )o 6abla !r"e!o.1<. S" Le) 6abla $&e#o/ el de 9 a?o$ %o#a el 'a!o%.

6%%+:``+ro'e^ale4(.blo!$+o%.#om`<11`3`ra(o)am"e)%o^lo!"#o^ma%ema%"#o.6%ml6%%+:``."%#6"6&a6&a"".ed&.m4`SerTe#`"bl"o%e#aH"r%&al`Ma%eD"$#re%a$`Ma%eD"$Ha(Arm^Ca+<Pro%.+d' 

Geogebra.

Orlando Monsalve Aguilar Daniel Moreno Caicedo