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CONJUNTOS

Orlando Monsalve Daniel Moreno Caicedo

COLEGIO TECNICO VICENTE AZUERO AREA DE MATEMÁTICAS UNDECIMO

Taller 2

Nombre: _____________________________________________________ Grado _______

1. Conceptualización¿Qué es un conjunto?Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común.Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año, etc., siendo cada alumno

del colegio, cada número impar, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de loscorrespondientes conjuntos.

¿Qué es un elemento?Elemento es cada uno de los objetos por los cuales está conformado un conjunto.

¿Cuáles son las formas de determinar un conjunto?Un conjunto puede determinarse de dos formas:

Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos. Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementosdel conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre,noviembre, diciembre}Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee:conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombraPor extensión: {Pulgar, Índice, Mayor, Anular, meñique}Por comprensión: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de la mano}, que se lee:conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano

¿Qué es la relación de pertenencia?Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y serepresenta de esta forma.

Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano} b= índice, entonces Ab

Cuando un elemento no está en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa dela siguiente manera

Ejemplo, A = {x/x es mes del año} b= índice, entonces Ab

Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su último elementoEjemplo: M = {x/x es mes del año} Porque sabemos que el último mes es Diciembre

Conjunto Infinito: Es el conjunto al cual no podemos nombrar su último elementoEjemplo: M = {x/x es número natural}Porque no sabemos que cual es el último número

Conjunto Universal: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema dereferenciaEjemplo: U = {x/x es un animal}

A = {x/x es un mamífero} B = {x/x es un reptil}

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CONJUNTOS


Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tenerelementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en la letra “a”.Conjunto de números impares múltiplos de 2.

Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de treinta días, solamente febrero pertenece adicho conjunto.

Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:

A = {x/x es un número natural} B = {x/x es un día de la semana}Son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.

Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Serepresentan por p(A).

Ejemplo: Dado el conjunto: A = {a, b, c, d}Formemos todos los subconjuntos: M = {a}, N = {b}, P = {c}, Q = {d}, R = {a, c}, T = {a, d},U = {b, c}, V = {b, d}, X = {c, d}, Y = {a, b, c}, Z = {a, b, d}, L = {b, c, d}.

El conjunto de las partes de A, es decir (A), será: p(A) = {M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}

¿Cuándo dos conjuntos son iguales?

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales a loselementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un número entero positivo}son iguales, ya que todo número entero positivo es un número natural.

¿Cuándo establece la inclusión o contenencia entre dos conjuntos?El conjunto A esta incluido en B si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y se

escribe: B A A esta incluido en B

¿Qué son los diagramas de Venn?Es la representación gráfica de un conjunto en la cual se sitúan dentro de una líneacerrada los signos representativos de los elementos del conjunto. En la figura semuestran las dos formas respectivas de representar el conjunto: A= {a, b, c, d, e}.

2. Operaciones entre conjuntos

Unión de conjuntos. Es la unión de los elementos de dos o más conjuntos, formando un nuevo conjuntocuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se repite,dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez; en esto se diferencia la unión deconjuntos del concepto clásico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces

como estén en el total de los conjuntos.Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}La unión de dichos conjuntos será: AUB= {d, f, g, h, b, c}

Propiedades de la unión de conjuntos:

1. Propiedad conmutativa. AUB = BUA

2. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:(AUB)UC = AU(BUC) = AUBUCSe puede demostrar mediante un ejemplo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

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Intersección de conjuntos. Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se representa por AnB, alnuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y B. Es lógico que laintersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos).Ejemplo: Dados los conjuntos A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}, su intersección será: AnB = {d, f}

Diferencia de conjuntos y complementario de un conjunto con

respecto a otro. Dados dos conjuntos A y B, se llamadiferencia de A para B, y se representa por A - B al conjuntode todos los elementos de A que no son elementos de B.Ejemplo: Si A = {a, b, j c, d, e} y B={a, b, m, n, p},A - B ={c, d, e.}. Dicho ejemplo está representado en la figura(A) en la que se comprueba que esta diferencia no goza de la propiedad conmutativa.

Producto cartesiano de dos conjuntos. Se llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B,y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), talesque Aa .y Bb Al decir «pares ordenados», serán diferentes los pares: (a, b) y (b, a), lo cual nos indica a su vez quedicho producto cartesiano no goza de la propiedad conmutativa. En efecto, al considerar, por ejemplo,los conjuntos: A = {a, b, c, d, e} y B = {m, n} podemos hallar el producto cartesiano de A x B,resultando:

A x B = {(a, m), (a, n), (b, m), (b, n), (c, m), (c, n), (e, m), (e, n).}.

Sin embargo, si hallamos el producto cartesiano de B x A:B x A = {(m, a), (m, b), (m, c), (m, d), (m, e), (n, a), (n, b), (n, c), (n, d), (n, e).}.

Observándose que en ellos los pares son diferentes, pues aunque están formados por los mismoselementos, están en distinto orden.

3. Analizar y justificar

Sean los conjuntos { } {} {} {} a) b) c) d) ( = e)

f)

4. Situaciones problema.

a. 97 ganaderos se dedican a la producción bovina; 83 ganaderos se dedican a la producción porcina y 51 ganaderos se dedican a la producción ovina. Además, 18ganaderos se dedican a las tres especies. 43 ganaderos se dedican a la producción bovinay porcina. 28 ganaderos se dedican a la producción porcina y ovina, 30 ganaderos sededican a la producción bovina y ovina, y el resto de ganaderos se dedican a otros tiposde especie.

Sean: U, el conjunto formado por todos los hacendados encuestados, B el conjunto formado por los hacendados que se dedican a la producción bovina, P el conjunto formado porquienes se dedican a la producción porcina y O el conjunto formado por quienes se dedicana la producción ovina.

i) Elaborar un diagrama de Venn que representa la situaciónii) ¿Cuántos hacendados tienen producción exclusivamente bovina?iii) ¿Cuántos hacendados tienen producción exclusivamente porcina?iv) ¿Cuántos hacendados tienen producción porcina y ovina, pero no bovina?v) ¿Cuántos hacendados tienen producción bovina y porcina, pero no ovina?vi) ¿Cuántos no producen alguna de las tres especies en mención?

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b) De un grupo de 120 estudiantes de un colegio, 50 estudiantes eligen como deporte el futbol,40 eligen baloncesto y 15 eligen futbol y baloncesto.

i) Hallar el número de estudiantes que no eligen baloncesto.ii) Hallar el número de estudiantes que eligen futbol o baloncesto.iii) Hallar el número de estudiantes que eligen baloncesto pero no eligen futbol.iv) Hallar el número de estudiantes que eligen futbol pero no eligen baloncesto.v) Hallar el número de estudiantes que eligen exactamente uno de los dos deportes.vi) Hallar el número de estudiantes que no eligen ni futbol, ni baloncesto.

c. En una escuela de idiomas hay 400 estudiantes. De ellos, 85 estudian francés, 50 estudianinglés y 120 de ellos estudian inglés o francés.

1. Los círculos separan el interior del rectángulo en las regiones 1, 2, 3 y 4. La siguiente proposiciónverdadera es:A. La región 1 representa los alumnos que estudian francés.B. La región 1 representa los alumnos que estudian francés e inglés.C. La región 1 representa los alumnos que estudian francés o inglés.D. La región 1 representa los alumnos que estudian francés y no estudian inglés.

2. Según el enunciado del problema, el diagrama que representa la información es.

A. B.

C. D.

3. El número de alumnos que estudia f rancés e inglés es:

A. 15, porque 70 + 15 + 35= 120, que es el total de alumnos que estudia francés o Inglés.B. 15, porque 120 + 15= 135, que es el total de alumnos que estudia francés o inglés, más los que

estudian ambos idiomas.C. 70, porque 120 - 50= 70, que es el número que adicionado con 50 nos da el total de alumnos

que estudia francés o inglés.D. 35, porque 120 - 85= 35, que es el número que adicionado con 85 nos da el total de alumnos

que estudian francés o inglés.

4

Francés Inglés

2

3

50X85

InglésFrancés

50 - XX

85 - X

InglésFrancés

5085

X

InglésFrancés

X50

85

InglésFrancés

1

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