02. Apendices

8/2/2019 02. Apendices

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I A lgunas fo rm ulas de derivadas e in teg ralesII F un cio n g ammaIII T abla de transform adas de L ap lace

I

AP-l

. ,


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IA P E N D I C EA lgu na s fo rm u la sd e der iv ada s ein teg r a les

Fo rm uLas de derivadas u y v son funciones de x; CIy C2son constantes.

d ( ) , ,1. ...,---CIU+ C2v =clu + C2l' (Regia de la suma)dx . d "2. - uv = uv + vu (Regia del producto)dx3 . d udx v

vu ' - uv'?v -

(Regia del cociente) dy dy du4. - =- .- (Regia de la cadena)dx du dxd du5. -u"=nu,,-I-dx (~t

d , Idu6.-lnu=-dx u.dxd ' du7. -e" =e"-dx dx

d du8. - b"= b" In b-dx (Lt'(I du9. - sen u =cos u -dx dx

d du10. - cos u =-sen Li -dx dxd . ? du11. - tan u = sec -if -dx dx

d , du12. - cot u =-csc-u ~dx dxd du13. - sec u =ec u tan u -dx dx

d du14. - csc u =-csc u cot u -dx dxd -I _ du15. -sen u . - , ~ -dx V I-u2 dxd -I I du17. -tan u =---dx 1 + u2 dx

d '-I -1 du16. -cos u =,~-dx V I-u2 dxd du18. - sec-ILl =---===dx uw-=-! dx

d du19. - senh u = cosh u -dx , dxd du20. - cosh u =enh u -dx dx

d du21. - senh-Iu =-===dx W+l" dxd -I I du23. -tanh u =--, -, lu i < Idx 1 - u: dx

d du22. -COSh-IU =-===dx w-=-! dxd I {hi24. -coth-ILI = --, -, l u i >dx I - u: dx

AP-2


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Fo rm u las de inteqrales u y v son funciones de x; C1 y C2 son constantes.2. I u dv =v - I v du (integraci6n por'partes)

I U Il+13. u " du =-- + C, 1 7 *n + 1 . I I. - du = In lu i + Cu , "I b ll5. b"du =-- + CIn b 6. I e" du = e" + C7. I cos u du =sen u + C 8.. I sen u du ~ - cos u + C

9. I se c2u du '= tan u + C. 11 . I sec u tan u du =ec u + C

13. I v I du = '= sen-I'!_+ Ca2 - u2 a10, . I cs c2u du =cot u + C12. I esc u cot u du =csc u + CI

I -I U14. ? ? du =- tan - + Ca- + u: a a15. I cosh u du =enh u + C 16. I senh u du =osh u + C

. uI 1 { senh-I ~ + C1 7. ,I du = ( ,I~?--?)V u2 + a2 In u + V u: + a: + C {I U, cosh - - + C1 a . ,.18. du = 2;I Vu2 - a2 In (u + Vu - cr) + CI { ~tanhd-I!!.. + C, lu i < a1 a a19. 2 ? du =a-~r .1 u, - coth 1 - + C, 1 1 1 > aa r=: ; 20. II l a + u l--? du =In -- + C((.2 - u: 2(( a - u

21. Itan,uelU = -In [ c o s u l + C . 22.; I cot u du = In I sen ul + C "I,I: :23. I se c u du = In [sec u + ta n u l + C 24. I esc u du =n lcsc u - cot ul + C

APE ND ICE I Algunas form ulas de derivadas e integrales AP-3


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A P E N D I C E

IIFunc iongamma

1(.1)\jI I! ~+ - = - t - - + - - + - - + - + - + - + - + - xI II UI II II II I,! ~I, F ig ur a A .l G rafica de la funci6 ngamma

AP-4

La definicion de la integral de Euler de la funcion gamma':' es

(I)La convergencia de la integral requiere que x-I > -1, 0 x > O . La relacion de recu-rrencia

I'(x + 1)= xf(x), ( 2 )que vimos en la seccion 5.3, puede obtenerse a partir de (I) empleando la integracion porpartes. Ahora, cuando x = 1,

y, por 10 tanto, la ecuacion (2) nos ciaf(2) = 1 f (1 ) =T(S) = 2f(2) = 2 . 1[(4) = 3f(3) = 3 2

y aSI sucesivamente. De esta forma se puede observar que cuando n es un entero positivo,[ ( 1 1 + 1 ) = n !.Por esta razon, a la funcion gamma a menudo se Ie llama funcion factorial generalizada.

A pesar de que la forma integral (I) no converge para x < 0, mediante una definicionalterna es posible demostrar que la funcion gamma se define para todos los mimerosreales y complejos excepto para x = + n, n = 0, 1,2, .... Como una consecuencia, (2)es realmente valida para x * ' = n, Considerada como una funcion de una variable realx, la grafica de I'(x) es como indica la figura A.l. Observe que los enteros no positivescorresponden a las asintotas verticales cle la grafica.

':'E sta fu nc i6 n fue d efin ida por prim era v ez por L eonhard E ule r en su lib ro lnstitutiones calculi integralispub lic ado en 1 76 8.


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~!,,..~,;. ~'~'T' _:~~. "En los problemas 23 y 24 de los ejercicios 5.3, utiJizamos el hecho de que I'( 1 / 2 ) =V1T . Este resultado puecle cleducirse a partir de (1) fijando el valor de x = 1 / 2 :

f e / 2 ) = l o o t - 1 /2 e - ' dt.o

(3)Establecemos t = u2 para poder escribir (3) como

f(~2) = 2 1 0 0 e - 1 I 2 duoo

Sin embargo, f " ' e - 1 I 2 du =o o e - ' " dvo 0

por 1 0 que [ f ( ~ ) Y = ( 2 1 o o e - 1 I 2 d u ) ( 2 r O e - F ' d v ) = 4 1 0 0 r o e - ( 1 I 2 + 1 ' 2 ) d U d V .o 0 0 0

Convertir a coordenadas pol ares u = cos 8, \I = sen 8 nos permite evaluar la integraldoble:

. ,." .

I'I

De aquf que,

4 1 0 0 l ~ e - ( I I ' + I ' ! ) d u d \ l = 4 f - l 2 1 O O e - ' ' r d , : d 8 = 11 ' .o 0 0 0

[r(~)2 =1' 0 f m =V1T.. .,I:

( 4 )En vista de (2) y (4), podemos encontrar val o res adicionales de la funci6n gamma.

POI' ejemplo, cuanclo x=;,- ~, a partir de (2) se puede declucir que I'( i ) =- i I'( - ~).Por lo tanto.T'(v-j ) = -2f(i) = -2V1T.

.i', I

EJER C IC IO S PA R A EL A PEN D IC E II La s respuesta s a 105 p ro blem as im p are s s ele cc io na do scom ienzan en la pag ina R ES P-34.

1. Evalue 10siguiente,a) f(S)c) f(-~)

b) f(7)d) rt - ~)

2. Utilice (1) y el hecho de que f(~) = 0.92 para evaluar rO x5 e-X 'd X. [S ug ere nc ia :oEstablezca t =5]

3. Utilice (I) y el hechode que f(~) = 0.89 para evaluar l o o x 4e - X) q x ., 01 1 ( 1 ) 34. Evahie 0 x3 In ~ dx. [Sugerencia: Establezca t =In x.]

5. Utilice el hecho de que fex) > 1 1 t' - Ie-Idt para demostrar que rex) no es acotada ao 'medida que x ---7 0+.

6. Uti lice e I) para deducir (2 ) para x > O .

A P E N D I C E I I Funci6n g amma AP-5I": 1,.


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IIIA p , E N D IC E

Tab la de tra n sfo rm ada sde Lap lacel(t)

1 . ]

2. t

3. t"

4. t-/2

5. tl/2

6. {X .

7. sen kt

8. cos kt

9. sen 2kt

10. co s2kt

.~ 11 . e O '

12. senh kt

13. cosh kt

14. senh2kt

.;{f(t)} = F(s)s

n ! . .-+-1' n es un entero positivos "

2S3/2I'(o + 1) ,--+""'-I-,a> -]

S(f

kS 2 + ~

SS 2 + k 2

2k 2S ( S 2 + 4 k 2 )

S 2 + 2~S ( S 2 + 4 k 2 )]

s-a

s

AP-6


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15. cosh 2k t S2 - 2 e5(S2 - 4k2)1 6. e"! (s - a ?1 7. elllf!' n ! . .---- 17 es Linentero POSltlYO(5 - ( / ) " + I'

Ie18. e" sen k t 'J 2(5 - ({ )- + k5 - a19. e" cos k t (s - af + I ?

k0. e a / senh kt (s - a y - es - (/1. e" cosh kt (5 - a ? - k 22k 52. t sen kt (S 2 + t ? ) 2

52 - /(2(S 2 + t ? ) 2

2k5 23. t cos k t

4. sen k t + 'k t cos k t(52 + Ie ?

2k 325. sen kt - kt cos kt(52 + k 2?

Zks '26 . t senh k t (52 - k 2 ) 2i+ I< ?(52 - t ? /

127 . t cosh kt

e " - e D ' ,28. a - bae" - be"29. a - b

30. 1 - cos kt

(s - a)(s - b)5

( s - a ) ( s - b )k 2

31. kt - sen kt52(52 + t? )

s(b2 . - (2)32. cos at - cos bt ( . 1 ' 2 + ( / 2 ) ( S 2 - + b2 )2k 2s

54 + 4k 4k ( S 2 + 2k2 )

S4 + 4 ek (S2 - 2t?)

54 + 4 k4

33. sen k t senh k t

34. sen kt cosh kt

35. cos kt senh kt

APEN D I C E III Tabla de transformadas de Laplace

,:,,'"i:

. , '

AP-7.,, ..I"I


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36. cos kt cosh ki. 37. 8(t)38. 8(t - a )39. qt(t - a )

e-a,\'

=s

40. Jo( !a)

41. S - aIn--s - b2(1 - cos at )42. -----2( 1 - cosh at).43. -----

44. sen at/

sen (It cos bt45. J a+b 1 a-b- arctan -- + - arctan --2 s 2 se-avs

a '47. __ e-u- /4f2v;{348. erfcC~)

e -({\/~s

sV Se-tlVs

VS(VS + b)51 _et lbe" ' f erfc ( b V t + ~) + erfc ( _ _ ! ! _ ). 2 V t . 2 V t52. em f(t)53 . f(t - a)qL(t - a)54. g(t)~(f - a )55 . [ C 1 I ) ( t )56. / ) : f ( t )

s(VS + b )F(s - a )e- t lSF(s)e- as9;{g(t + a)}s "F (s ) - .1 '( 1 1 - 1 1 '( 0 ) - . . . - f'"-I)(O)

57. f f ( T ) g ( t - T ) dro '

d"(- I)" -F(s)ds "J : d , )AP-8 APEN D I C E III Tabla de transformadas de Laplace

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