106

01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

������������� �������������������������� ���

�!

�#"%$'&��(�()!� ���*����� � �+���+�,��- �

. /10230146587 9;:<0>=?465@7A01B

CD4FEHG�EI0KJI7L5@MFM�NOMFPRQ�0KQ�S<Q�EUT@VW=?XI0KEIMFX�EYZEI[F5@BRQ�7LE�M\Q]T8V,9^[F/1/K01EI:`_a58Q�4FE�7b5cQ�01X�P

de fhgji?kWl�imkkn

Page 2: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

����������� �

���������������������� "!���#%$&�('"��� ��)*���+)-,.���/'�01#321������45�627�98:��$�;<�(� ��)>=>$&27�;?#@)��6A% -B�2��6)C���� D!*�7$&27 "2��7�6=FEG$ �H��#@I"#@A3#@� �J��!�!KA@#@������#%$&��26LHMN�O;P� 2H)���I �6A@$ !Q�6)���RMTSPUV� ��)W� )�$ !��7�6)X4D Y�����OZ?����#@$&��� A[SPB��+���6BX$ E1':��� ��)����+)�2/#@�������O=\#@)]^:_ 26`"� ��)Y��� 2/2�B������62�27E.B�A@A@ a;<#@����27�7$"$")\� A3A������?���7��� �+8"2P!KB�4*A@#@2+���6)b27$�E.����#@�������$ !5�6�JA@#@�7���+����B���� LRMT�J���*#@2�!*��!5���?;��c)���I �6A%$ !d�Y����;e�f "!5�a$ Eg���� "!���� �:h� A@ D��#@�a���7��� ��8i;<��#@�j�J��� �i4����6��8J�����a�+�6)�B����6)-I����+#@� �D�k$ El���/'-;<#%���-�6#@m&�n��+$&B���)�21#@�b��Eo��;p=\#@�"B��7�621$&�>�Oq/rs� ��)>��� �\4����6��8a� �D c���6)�B����6)bI����+#@� �D�9$ E���P'C,o;<#%���WB�!W�7$ut6vb��$&B���)*2j0�#@�WA%�62�2R���*� �Jw�x7y�$ !5���+����#%$&��2�Lg�<���H����;z���Th��� �+8(��� �\45�<��!*!*A@#%�6)b�7$c�HI����+#%���f b$ E{���/'"hfA@#%8 �<2�B�4*27��#%��B���#@$&�K|}!5���+=aB�������#%$&����+ D!��7$&2� "27�7�6=(2�`D� ��)>)��6=>$&��27�7�+���7�62l�����<���+B*��#@� A:��$&A%�R$ EQ�����a,.B���!*B�4*A@#32����6)K0)��62�#%m&�X�+B�A@�62�L

~ �g�d�R�R�������O�R��J�

�6�����j�"�7�������������7� ���&���7������5@B�E 5 Vh5@7L0K/G� T@V'X�Bj�m[<Q�T:� B�58[F4F01XI5@/1/3� PRQ�B�T M5� V S<MFX�Q�01T MFP� 5@P�E�:AT@MA0 Q�E�B�58Q�01M5�;5c�3EI5"�@E�B�V S<MFX�Q�01T MW��Q�017AEIP� .�5@X 4'0KQ�EIB�5cQ�01T@M 01PWXI5@/1/KEI:�5X���n *¡��58MF:AQ�4FE]XIB+�?[?Q�T P+�?P Q�E�7 0KP�X 5@/K/1EI:'58Mu��¢7���n *¡��J���6�6���7� ��� �������W�WCD4<EY���n *¡��?£6 K¡����f¤¥�n¡0KP�5'V SFM<X�Q�0KT M`T@V,Q�4FE!T@S<Q�[FS?Q;T@V>Q�4<E![FBRE}¦m01T@SFP^BRT SFMF:�5@MF:aT@V 5d�� 5§�¨����b�]4<01X 4�0KP�5�8E}� :FE�[�E�MF:FEIM QY¦@58/1SFE'X 58/1XIS</ 58Q�EI:�¦m0 5`5�¨����C� ��©[���" Kª%¤«¡*¬'5@/G� T B�0 Q�4F7­��CD4FELB�T SFM<:V S<MFX�Q�01T M�0KP SFP�S658/1/G� � 5@PREI:AT MA= � T�®?EIP}¯ � 0KQ [*EIBR7 S<Q 5cQ�01T@MFP¯ 58B�0KQ�4F7AE�Q�0KX3T [*EIB�58Q�0KT MFP58MF:�Q�4<E E�®?XI/KSFP�03¦ E6°OT BX±h:FE�MFT@Q�E�: � �p² 5@MF:´³aµ>¶c·]T [*EIB�5cQ�01T@MFP��CD4FEi¸¹§��}ºK���^5@B�EM<T MF/10KMFE 58BWQ�B�58MFP�/158Q�0KT MAQ�5 � /KEIP�7b58[F[F01MQ��5UP�7L5@/1/6M\SF7 � E�B T@V01MF[FS?Q � 0KQ�P�Q�T!5!PR7b58/1/M\SF7 � E�BZT@V T S?Q�[FS<Q � 0KQ�P�;CD4<E}� 58B�E�S<P�S65@/K/G��Q�4<E T MF/3��[65@BRQZT@VWQ�4<E XIB+�?[?Q�T P+�?P Q�E�7Q�4658Q�0KPWMFT@Q�/K01MFEI5@B 5@MF:�Q�4mS<P�Q�4FE]P�E�XISFBR0KQ7��T@V Q�4FE]XIBj�m[<Q�T Pj�mP Q�EI7 X�B�SFX�0 5@/K/G� :FEI[*EIM<:FPT@M�Q�4FEI0KB]X 4FT 01X�E"��CD4FE � 0 Q][�E�B�7 S<Q�58Q�0KT M�01PDS<P�EI:`Q�T'B�EI5@B�B�5@M5� EHQ�4FEUT S<Q�[<S<Q � 0KQ�PDT@VQ�4FEL= � T�®<E�P!0KM T B�:FE�BHQ�T`7b5"�8E�Q�4FEA01MF[<S<Q � 0KQ�PHT@V EI5@X 4 = � T�® 0KM Q�4FE�V T /1/KT �]01M5�BRT SFMF:�:FEI[*EIMF:�T M�Q�4<E�T S<Q�[FS<Q^T@V�5@P^7b58M���= � T�®?EIPH58P;[*T P�PR0 � /KE"�DCD4FE�³aµ>¶ T [K°E�B�58Q�01T M`01P]T@V Q�EIM`SFP�E�:�Q�TL7L0@®�Q�4FE!PRS � �8E}�­�]0KQ�4�Q�4<E!:65cQ 5Q� NOMa7LT@PRQ^5@[F[F/K01XI58Q�0KT MFPQ�4FE]EIMFX�Bj�m[<Q�01T MA5@/G� T B�0 Q�4F7 0KP�5@P�PRSF7LE�:AQ�T � EO�\MFT �]ML5@MF:'Q�4FEDPREIXIBREIX��LT8V�Q�4FED:658Q�5:<EI[*EIMF:FP�T MF/3��T M�Q�4<E PREIX�B�EIX��`T@V Q�4FEUB�5@M<:FT 7A/G�LX 4FT P�E�Ms�8E}�:�

9^M�E 5@BR/G�![FB�T [*T P�5@/mV T@BW5@M�0 Q�EIB�58Q�E�: XIB+�m[<Q�T P+�mPRQ�E�7LPR�35@P�» SFXI0 V EIB�¼¾½ ¿¥¯:�]4F0KX 4X� 58P:<EIP�0G� MFE�:'58Q N 2D_ Q�THB�EIPRT /G¦@E3Q�4<E�� B�T �]0KM5�ZMFE�EI:�V T B,:F58Q 5ZPREIXIS<B�0KQ7��01M 0 Q�P [FB�Tm:FSFX(Q�P�CD4<E;B�T@SFMF:bV SFM<X�Q�0KT MbT8Vg» SFXI0 V EIB 465@P 5 XIT 7 � 01M65cQ�01T@MLT@VMFT Mb/K01MFEI5@B = � T ®?E�P 5@MF:�5À

Page 3: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� 0KQ�[�E�B�7 S?Q 58Q�01T M1�DCD4<E�01M<[FS<Q � 0KQ�P;5@BRE!:<0G¦m01:FE�:�0KM\Q�Ti� BRT SF[FP�T@VWV T@SFB^X�T MFPREIXIS?Q�0G¦@E� 0KQ�P}� .�5@X 4 � B�T S<[�01PDQ�B�5@MFPR/ 58Q�EI: � �`5ABRE}¦ E�B�PR0 � /KE = � T�®­� 03¦?0KM5�A5'V T@SFB � 0KQ�B�E�P�SF/ Q��CD4<E!T S?Q�[FS<Q � 0 Q�PDT@VW5@/1/*Q�4FE�= � T�®?EIP^5@B�EU[*EIBR7 S<Q�E�:a0KM�T B�:FE�BDQ�T'7L0@®�Q�4FEI7 �]4FE�MQ�4FE}� � EIX�T 7AE'Q�4FE'01MF[<S<QUQ�T�Q�4FE�V T /K/1T �]01M5��BRT SFMF:��LNOM » SFXI0 V EIBUT MF/3� Q7�3T � ®?EI: =� T�®?EIP�±�����58MF:�����·l� EIB�EDX 4<T P�E�M1��.�5@X 4L= � T�®�X 5@M � E SFPREI:A58Q�5@M���= � T�®�/1TmX 58Q�01T M58MF:bQ�4<E;X 4FT 0KXIEZ0KP?�8E}�L:FEI[*EIM<:FEIM Q�� YZEIX�Bj�m[<Q�01T M�0KP358XIXIT@7L[F/K01PR4FEI: � �LB�S<MFMF01MQ�!Q�4<E:F58Q 5 � 5@X����35@B�:<P;SFPR01M5��Q�4<E 0KM�¦ EIBRP�E T@V E 5@X 4 = � T�® �

CD4FE YH58Q 5 . MFXIB+�m[<Q�0KT M =mQ�5@MF:658B�:F±hYH. =5·p¼ À ¿!0KP`5@M 0K7L[<B�T ¦ E�:�¦ E�B�PR01T M T@V» SFX�0KV E�B�>N Ql�35@P>:FE}¦@EI/KT [�E�: 58Q+N 2 _ 5@MF:!5@:FT@[<Q�E�: � �HQ�4<E��(� = � ^58Q�0KT M65@/ 23SFB�EI5@S T@V=\Q 5@MF:F5@B�:FP>±� ;2 =5· 5@P Q�4FE;PRQ 58MF:65@BR:�XIB+�?[?Q�T P+�?P Q�E�7�V T B P�EIM<P�0KQ�0G¦@E � S<Q3SFMFXI/15@P�PR0 � E�::F58Q 5p± P�SFX 4 5@P � M65@MFX�0 5@/>Q�B�58MFP�5@X(Q�0KT MFPH5@M<: EI7L5@01/>7LE�P�P�5"� EIP�·�� YH. =�465@P � EIX�T 7LE5W� EI/1/9�\MFT �]M 58MF:­�]0K:FEI/3��SFPREI:�X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7­� CD4FEY�@E}��PR01J�E!T@V,YH. =`0KP �� � 0KQ�P58MF:�Q�4FE � /KT?X��AP�0KJIEH0KP ��� � 0 Q�P� CD4<01P � /KT?X��A01P :<0G¦m01:FE�:�01M Q�T�Q7� TA465@/G¦@EIPDT@V���� � 0KQ�PEI5@X 41�'CD4FE'7L5@01M [658BRQUT@V Q�4FE�BRT SFMF: V SFMFX(Q�0KT M 01PZQ�4<E��F£6 *¡����f¤¥�n¡[¯g�]4<01X 4��3T@B��\PT@M Q�4FE�BR0o� 4 QZ4F5@/KV�T@V�Q�4FE :658Q�5�SFP�0KM5��5�P�S � �@E�� T@V ��� � 0 Q�PH58MF: EI0o�@4\QW±hPR03®�° � 0 Q;Q�TV T@SFB+° � 0KQ�·�= � T�®?EIP}� CD4FE�����T S<Q�[FS<Q � 0 Q�P�T@V]Q�4FE�� V SFMFX(Q�0KT M 5@B�Ed³aµ>¶]EI: �]0KQ�4Q�4FE�/KE�V Q!465@/KV]T8VDQ�4FE�:F58Q 5 58MF: Q�4<EbQ7�3T 4F5@/G¦@EIP�5@BRE�E�®?X 4658M5� EI:�� CD4<E�XIT 7A[F/KE�Q�EPR[�E�XI0 � X 58Q�01T M�T@V>Q�4<E!YH. =�5@/o�@T B�0 Q�4F7 5@[F[*E 58B�P]01M ¼ À ¿N�

9^M E�®mQ�E�MFP�03¦ E X�Bj�m[<Q 58M65@/G�\Q�01X /10KQ�EIB�58Q�SFBRE T M YH. = �35@P�[FS � /10KP�4FE�: P�0KMFXIE�0KQ�P58:FT [<Q�01T M 01M À�� ½"½K��� E(Q�¯ M<T�PR4FT BRQ+°OX�S<Q�PJ�]4F01X 4 X 5@M B�EI:<SFXIE�Q�4FE`XIT@7L[F/KE�®?0KQ7� T@VX�Bj�m[<Q�5@M65@/3�?PR01P Q�T�/KEIPRP3Q�4658Mb465@/ V T@V E6®?465@SFP Q�0G¦@EHP�EI5@B�X 4d� EIBREZE}¦@EIB BREI[*T BRQ�EI:�0KMLQ�4<ET@[�E�Ma/K0KQ�E�B�58Q�SFB�ED�CD4FE �� � B�E�:FSFX(Q�01T@Mg¼ � ¿H±hS<MF:FEIB 5�X 4FT PREIM [F/ 5801M Q�E6®?QH58Q�Q�5@X��K·;01P � 5@PREI: T M Q�4<EV T@/1/1T �]0KM5� Pj�m7A7LE(Q�B+��SFMF:FE�B]XIT 7A[F/1E�7LE�M Q 58Q�01T M"!

#%$ YH. =1±'&)(+*p·0K7L[</101E�P Q�4658Q

,#-$ YH. =�± ,&�( ,*p·�]4<EIB�E ,. 0KP Q�4FE � 0 Q � � � 0 Q]XIT 7A[F/KEI7AEIM Q 58Q�01T M�T8V/. �103Bj�m[<Q 58M65@/G�mPR01P]X 5@MaE�®?[F/KT 0KQQ�4F01PAPj�m7A7LE(Q�B+� 0KV;Q7� T [F/15@01M Q�E�®mQ328X�01[F4<EIBRQ�E�®mQL[65@01BRP´±'&4�6¯1#5�j·'5@MF: ±'&�6�¯7#�6�·'5@B�E5�¦85@0K/ 5 � /KEu�]0 Q�48&4�9$ ,&�6s±hT B�PR017A01/15@B�/3�:#5�9$ ,#�6�·�� CD4FE�5cQ�Q 58X��@EIBAEIM<XIBj�m[<Q�P9&;�S<MF:FEIB 5@/K/8Q�4<E1� x7x �@E��mP<*V�]4<T P�E /1EI5@PRQ>P�0G� MF0 � X 5@M Q � 0 Q+01P J�EIB�TQ�,N VFPRSFX 4 5]XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ# 01PHE>=\S658/�Q�T�#5�^Q�4FE�M�Q�4<ELX�T B�BREIP�[*T MF:<01M5���@E��?* 01PU/K0o�@E�/G�aQ�T � E'Q�4<EABRE 5@/R�8E}�"�N V7#@$ ,#�6 Q�4FE�M ,* 0KPU/10o�8EI/3��Q�T � E'Q�4FEAB�E 58/R�@E}�"��µ;Q�4FE�Bj�]0KP�EAMFEI0 Q�4FE�BA* MFT B ,*

Page 4: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

XI5@M � EAQ�4FEbBRE 5@/��8E}�:� =?01M<XIE'Q�EIP Q�0KM5� �]4FE(Q�4FE�B # $ ,# 6 01P 7 SFX 4 Vh58PRQ�E�B Q�465@M 58ME�MFXIB+�m[<Q�0KT M1¯FQ�4<E X�T 7A[FS<Q 5cQ�01T@M65@/ P�5�¦?0KM5�A01P�¦ E�Bj��X�/1T PREZQ�T ���� �YZ0 � E;5@MF:���EI/1/K7b58Mg¼ � ¿ P�S5�:�@EIPRQ�EI:�E�®?4658SFPRQ�0G¦ EHPRE 5@BRX 4�T@V Q�4FE;EIM Q�0KB�Eb�8E}��PR[65@X�ET@M 5b[658B�5@/K/1EI/ 7L5@X 4F0KMFE"�]CD4FE���E�PRQ�017L58Q�EUQ�465cQZ5��>»>=?NDX 4F0K[ 7b5�� � E � S<01/KQH�]4F0KX 4XI5@M PRE 5@BRX 4 T MFEJ�@E�� E}¦ E�Bj� 7A01XIBRT P�E�XIT M<:1��2?� � SF01/K:F01M5�`5�P�EI5@B�X 4 7L5@X 4F0KMFEW�]0KQ�45A7L0K/1/K01T M�PRSFX 4 X 4F0K[FP¯ 5@/1/ PRE 5@BRX 4F01M5�b01M`[65@B�58/1/1E�/¥¯ À�� �'6 �@E��mPHX 5@M � E P�E 58B�X 4FE�: [*EIBPREIX�T MF:1� CD4FE EIM Q�01B�Es�@E}��P�[658XIE XIT M Q�5@01MFP�5 � T@S<Q�½�� À � � y �@E��?P`5@M<: 0KQ�XI5@M � EPRE 5@BRX 4FEI:`01M À�� x PREIXIT@MF:FPO�]4F01X 4�0KP 5 � T S<Q 5 :65��:� CD4FE���EIP Q�0K7b58Q�E�Q�4FEHXIT@PRQDT@V Q�4F01P7L5@X 4F0KMFEZQ�T � E� � � ° 7L0K/1/10KT MA5@MF:�Q�4FEUX�T PRQ�[*EIBDP�T@/1S<Q�01T M�Q�T � E� �� � � ���EI/1/K7b58Mg¼ � ¿[<B�EIPREIM Q�E�:�5�Q�017AE^7AEI7AT B+�AQ�B�5@:<EIT�a7LE(Q�4FTm:�V T B35 X 4FT P�E�M�[F/ 5@0KMK°Q�E�®mQ358Q�Q�5@X��W�]4F01X 4AQ 5"�8EIP ���/�3T BR:FP3T8V7AEI7AT Bj�'58MF:�� 6 T@[�E�B�58Q�01T MFP�[FBRT ¦?0K:FEI:���� 6E =\S65@/1P Q�4FE�M\SF7 � EIB�T8V^[*T PRP�0 � /1Ei�8E}�mP ±�� x7y V T B YH. =Q·��,9�P�[*EIXI015@/ XI5@P�E ±�� $��j·T8V Q�4F01PD7AE�Q�4FT?:�Q�5"�@E�P;5 � T S<Q �����]Q�017AEH5@MF: ������7LE�7LT@Bj�:¯*�]0KQ�4a5 � x7y [FB�E�[FB�TmXIE�P�P�°0KM5��Q�0K7LED���^EI/K/17L5@M P�SQ�:� EIP Q�P!5`PR[�E�XI015@/ [FSFBR[�T PREL7L5@X 4F0KMFEX�]4F0KX 4�[FBRT?:<SFXIE�P À����PRT /1S?Q�01T@MFP�[*EIB :F5 � �]0KQ�4 5@M 5�¦ E�B�5"� Ed�35@0 Q T@V�T MFEb:65��:���^E�E�PRQ�017L58Q�E�P�Q�465cQ�Q�4<E7L5@X 4F0KMFEbX�T PRQ�P�5 � T S<Q�� � °O7A01/K/10KT M 5@MF: Q�4FE�X�T PRQ�[*EIB!P�T /KS<Q�0KT M 0KP 5 � T S<Q�� À���À � � �CD4<E [<B�EI[<B�TmXIEIPRP�0KM5�b0KPDEIPRQ�017L58Q�E�:�Q�T�Q 5"�8EA�K� �W� EI5@B�P]T M�Q�4<E P�5@7AEH7b5@X 4<01MFED�CD4FE�� ���«©[�� ��£��l�n�6�J�"ª �?��"¤«¡*¬a01Mz�]4F01X 4 Q�4FEaV T BR7b58/�E6®?[FB�E�P�P�0KT M T@VUEI5@X 4

� 0KQU01M Q�4FE'XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q!01PZV T@SFMF:�5@PU5�³aµ>¶%PRSF7�T@V [FB�Tm:FSFX(Q�PUT@V Q�4FE � 0 Q�PHT@V Q�4<E[</ 5@0KM\Q�E�®mQb5@MF:�Q�4FEs�8E}�z� 5@PbP�S5�:�@EIPRQ�EI: 0KM ¼ � ¿¥� CD4FE`V T B�7L5@/D7L5@MF01[<SF/ 58Q�01T M<P�T@VQ�4FEIPRE E�®?[FBREIPRP�01T@MFPH7b5��`:FE�XIB�EI5@P�E Q�4FE��8E}��P�E 58B�X 4 E!�T B Q��H=mX 465@SF7 S</1/1E�B+°O2301X 4F/T¼ À � ¯À ½&¿P Q�SF:<01EI:�Q�4F01P 7LE(Q�4FTm:�58MF:�XIT M<XI/1S<:FEI:�Q�4658Q 0 Q BRE>=\SF01BREIPD58M�EIMFT@B�7AT SFP 587LT S<M\QT8V,X�T 7L[<S<Q�E�B�7AEI7AT B+�u�]4F0KX 4a7L5"�8EIP]Q�4FE>�]4FT /KEU5@[F[FBRT 5@X 4`017A[FB�58X�Q�0KX 5@/N�

NOM À � � ½9034F5@SF7 5@MF: .P¦@EIBRQ�P�E:¼ �"¿ P�4FT � EI: Q�4F58QH5A7LE�E�QZ0KM`Q�4FE�7A01:<:F/1E 58QRQ 5@X��XI5@M BREI:FSFX�E!Q�4FE��8E}�aP�E 58B�X 4 V T B^YH. =`B�E�:FSFX�EI: Q�Tb5LPR7b5@/K/ M\SF7 � EIB;T8V B�T S<MF:FP � �Q�4FEHV T /1/KT �]01M5��Vh58X�Q�T@B�P>! �SF7 � EIB]T@V/¶�T@SFMF:FP ¶�E�:FSFX(Q�01T@M#" 5@X(Q�T B

� � �%$ � $� � 6½ �

CD4<E}� 58/1P�TbP�4FT � EI: Q�4658QH5�P�/10G� 4 Q�/3��7LTm:F0 � EI:s¦@EIB�PR01T M T8V3YH. =�BREI:FSFX�EI: Q�T�PRE}¦@EIM�

Page 5: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

BRT SFMF:<P XI5@M � EDPRT /G¦@EI:W�]0KQ�4A5ZB�EI:<SFX�Q�01T M�Vh5@X(Q�T B T@V��K� �^T � E}¦ E�B¯mQ�4FE���[FB�T ¦@EI:'Q�4658Q5!7LE�E�QD0KMLQ�4<EZ7L0K:F:F/KE;58QRQ 5@X��AT@V Q�4F01P?�m0KMF:�0KP3MFT@QD5@[F[F/K01X 5 � /1EDQ�T'YH. =LBREI:FS<XIEI:�Q�TE�0o� 4 Q]T BD7AT BREHB�T SFM<:FP�NOM'Q�4FE�01B 7AE�Q�4FT?:�Q�4FE}��/KT?T"�!V T B�5HP�E(Q T@V :F58Q 5 � 0 Q�Pa±��9·,01MA5H7L0K:F:F/1E3B�T SFM<:b5@M<:5AP�E(Q;T@VP�@E}� � 0 Q�P�±��K·3V T BH�]4F01X 4�5@M��aX 4F5@M5� E!T@V,Q�4FEY¦85@/KSFEIP]T@VWQ�4FE�� � 0KQ�P^XI5@MFMFT@QX 4F5@M5� EHQ�4<E\¦85@/KSFEHT@V>Q�4FE�� � 0 Q�PD01M�E�0KQ�4<EIBD:F0KB�EIX(Q�0KT MFP���HMFT �]0KM5��Q�4FT PRE � ®?EI:�PRE�Q�P58MF: �@0G¦ E�M�P�E}¦@EIB�5@/ [</ 5@0KM\Q�E�®mQ32cXI01[<4FEIB Q�E�®mQ][65801B�P Q�4FEHV T /1/KT �]01M5��58/o� T BR0KQ�4F7 01PDSFPREI:"!À �]C B+� 5@/K/mQ�4FE��8E}�mP 01M��]4<01X 4'5@/K/mQ�4FE��@E�� � 0 Q�P 01M�!5@B�E JIE�B�T5�� 5@BRQ�0 5@/K/G�HE�MFXIB+�m[<Q5@MF: :FE�XIBj�m[<Q 5L[F/ 5@0KM Q�E�®mQ+28XI0K[F4FEIB Q�E6®?QZ[65@01B�Q�Td�@E�QZQ�4FE :658Q�5b01MaQ�4FE�7A01:F:</1EB�T SFM<:1��K��YZ01P�XI5@B�: Q�4FE-�@E}�mPUV T B>�]4F01X 4 Q�4<E�� � 0 Q�PU5@BRE�MFT@QUQ�4<EAP�5@7AEAS<MF:FEIBU[658BRQ�015@/EIMFX�Bj�m[<Q�0KT M 28:<EIXIB+�m[<Q�0KT M1��Q� " T@B Q�4FEUB�E�7b5801MF0KM5�X�@E��mP�Q�Bj��5@/K/ Q�4<E [*T PRP�0 � /1Eb¦85@/1S<EIPDT@V>Q�4FE\�8E}� � 0 Q�P]01M �{�

CD4<01P]5@/G� T B�0 Q�4F7 B�E =\SF01BREIP�5 � T S<Q � x7y���� ����� � � ��� E�MFXIB+�m[<Q�0KT M 28:FE�XIB+�?[?Q�01T@M�58QRQ�E�7L[<Q�P�NOM�Q�4FE3P�5@7AE<�@E 5@B}¯ YZT M65@/K: G �cYH5�¦m01E�P ¼ �D¿<:<EIP�X�B�0 � E�:�5a�\MFT �]M�[F/15@01M Q�E6®mQ X�Bj�m[<Q+°58M65@/G�\Q�01X 5cQ�Q 58X�� T M YH. = ���H0G¦ E�M P�S � X�01EIM Q :658Q�5Q¯ 0KQZXIT SF/K:´�m01EI/K: À�� /10KMFE 5@B^B�E�/ 5n°Q�01T M<P�4F0K[FP;587LT MQ�u�8E}� � 0KQ�P¯6Q�4\SFPZBREI:FS<XI01MQ�LQ�4<E�P�0KJIE!T@V�5LPRS � PRE>=\SFEIM Q\�8E}�aP�E 58B�X 4Q�T���� � � N QDE6®<[</1T 0 Q�EI:�Q�4FEHXIT BRB�E�/ 58Q�01T M � E(Q7�3E�EIMaQ�4FEHT S<Q�[FS<Q�PDT@V 5@:���5@X�EIM Q;= � T�®?EIP}¯:<SFE Q�TbQ�4FEI0KBZ01M<[FS<Q�P � E�01M5��:<EIB�03¦ E�: V BRT 7­¯5@7AT M5��T8Q�4FE�B;Q�4F0KM5� P}¯ 5�[65@0KB;T@V�0K:FEIMK°Q�01XI5@/ � 0KQ�P![FBRT?:<SFXIE�: � � Q�4FE � 0 Q�E6®?[65@MFPR01T M T@[�E�B�58Q�01T M1��CD4F0KP!X�T B�BREI/158Q�0KT M�X�T SF/K:BRE}¦@E 5@/ 5L/K01MFEI5@B]B�EI/158Q�0KT MFPR4F01[`5@7AT M5�'Q�4FE V T SFB � 0KQ�P^T8VR�@E���SFPREI:�Q�Tb7AT?:<0KV«�bQ�4FEIPRE= � T�®a01MF[<S<Q � 0KQ�P}�^CD4<E�Q7�3T ���&° � 0KQ�465@/3¦ EIP^T@V Q�4<E YH. =aB�E�P�SF/ QW± 0o� M<T B�0KM5�LN�<·]B�E�°X�EI03¦ EZQ�4<EIP�EUT S?Q�[FS<Q�P 01M<:FEI[*EIMF:<EIM Q�/3�:¯6P�T�EI5@X 4�[65@0KB3T@V 5@:���58XIEIM Q^= � T�®<E�P]XIT SF/K: � EE6®?[F/1T 0 Q�E�:�Q7�]0KXIED¯5�?0KEI/K:F01M5� À � � 0KQ�PDT8V/�8E}��01M?V T B�7L58Q�0KT M1�CD4FEb5@M65@/3�mP�01PU:FTmEIP MFT@Q!B�E =\SF01BREAQ�4FEL[</ 5@0KM\Q�E�®mQ & T BUXI01[<4FEIB Q�E�®mQA# � S<Q!SFP�E�P

Q�4FE)=\S65@M Q�0 Q7��& ² # 58MF:'B�E>=\SF0KB�E�P 5H4\S5� E]M\SF7 � EIB T8V�B�5@MF:FT@7 01MF[<S<Q�P}�,CD4FE^= � T�®[F5@01BRP<¦85@B+�'01MLQ�4FE;E6®mQ�EIM QDT8V XIT BRB�E�/ 58Q�01T M'Q�4FE��A[FB�Tm:FSFX�E;P�T!Q�4658Q¯mV T@B E6®F587L[F/KE"¯ Q�4<E[F5@01B =5½ 2@= � MFE�EI:FP 5 � T@S<Q À�� ��� P�5@7L[</1EIP � S<Q [65@0KB = � 2 = � MFEIE�:FPD5 � T S<Q À�� 6 � �,G 0KQ�45 � T S?Q À�� 6 � P�5@7A[F/KEIP¯m5@/K/ � S<Q3Q�4FE;[F5@01B = ��2@= � PR4FT SF/K:d� 0G¦@E^BREIPRSF/KQ�P>±h0N� ED�G¯m5UQ�T@Q�5@/ T@VÀ>� � 0KQ�P T8V��8E}�'01M?V T B�7L58Q�0KT M{·6� C TUE�®?[F/KT 0KQ 58/1/<[F5@01BRPWQ�4FEDX�Bj�m[<Q 58M65@/G�mP Q M<EIEI:<P35 � T S<QÀ � 6 y P�587L[F/KEIP}�WCD4FEU= � T�®<E�P :FT M<T@QD5@[<[�EI5@B Q�T�465�¦ E � EIE�M�:FEIPR0o� M<EI:bQ�T 7L0KMF017A01J�E

Page 6: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

Q�4FE�XIT@B�B�E�/ 58Q�01T M � S<QZQ�4FE}� 58B�E PRT 7LE��]4658Q � E�QRQ�EIBZQ�465@M 5�B�58MF:FT 7 X 4FT 0KXIE�01M Q�4F01PBREIPR[�E�X�Q�� =m01MFX�E Q�4FE]M\SF7 � EIB�T@V�P�5@7A[F/KEIP 01P,/ 5@Bj� EIBWQ�465@M�Q�4FE � y � PR01JIE]T@V*Q�4<E�P�5@7A[F/1EPR[65@X�E"¯FQ�4<01PD58QRQ 5@X��A01P3[FSFB�E�/G�LQ�4FE�T B�E(Q�01XI5@/¥¯?5@MF:�XI5@MFMFT@Q � EHXI5@B�BR01EI:bT S<Q�� ��T �3E�¦ EIB}¯V T@B^YH. =�B�EI:<SFXIE�: Q�TbE�0o� 4 Q�B�T@SFMF:FP�Q�4FE!P�5@7A[F/1EUPR01JIE T@V À � �'6 T B À�� � � ± 5 � T S<Q ��� � ·0KP�T M Q�4FEi¦@EIB��@E`T8V][FB�5@X(Q�0KX 5@/K0KQ7�:��CD4FEIBRE�V T BRE"¯ YH5�¦?0KEIP��W5@M658/G�mP�0KP�465@: [*EIM<E�Q�B�58Q�E�:7AT BREHB�T SFM<:FPDQ�465@M`[FBRE}¦m01T S<P�/G�bB�E�[�T B Q�E�:�58QRQ 5@X��\P}�YZSFBR01M5�'Q�4<E�/ 58PRQ�:FEIXI5@:FE PRE}¦@EIB�58/,XIB+�m[<Q�T P+�mPRQ�E�7LPa�]4F01X 4 58B�E\¦@58B�0 58M\Q�P^T8V�YH. =

� EIBRE'P�S5�:�@EIPRQ�EI:1� =?X 465@S<7 SF/1/KEIB�° 230KX 4F/,PRS5�:� E�PRQ�E�: Q�4FBREIE'P�SFX 4 X�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7APd¼ À�� ¯À � ¿N� C��3T!T@V Q�4FEI7 ±hXI5@/1/KEI: 0 � � 5@MF:90 � �:·�5@B�E � 5@PREI:�T@MLQ�4<E;YH. =�PRQ�BRSFX�Q�SFB�E��]0KQ�4Q�4FE BREI[F/15@XIE�7LE�M\Q�T@VHQ�4FE �#V SFMFX(Q�0KT M � ��M<T MFB�E�¦ E�B�P�0 � /1E V S<MFX�Q�01T MFP}� CD4FE�Q�4F01BR:T@MFE"¯ X 5@/K/1EI: CD4FE��HEIM<EIB�58/101J�EI:�YH. = =?X 4FE�7LE´± �UYH. =Q·�¯+01P!5@M 5cQ�Q�E�7L[?Q!Q�T�P�[*EIE�:S<[�YH. = ���UYH. =�4F5@P À�� BRT SFMF:<PH�]0 Q�4�Q�4FEUT BR0o� 0KM65@/�YH. =�� V S<MFX�Q�01T M � S<QH�]0KQ�4`5/15@B��@EIB � /KT?X��LP�0KJIEb�]4F0KX 4a0KPD:F0G¦m01:<EI:�01M Q�TA7AT BRE;Q�4658M�Q7� TA[65@BRQ�P� =?4FEUX�/ 5@0K7LP Q�4658Q�UYH. =�01MFX�B�EI5@P�E�P�Q�4FE]EIMFX�Bj�m[<Q�01T M'P�[*EIE�:bT@V�YH. =��]0KQ�4FT S<Q�:FE�XIBRE 5@PR01M5�U0KQ�P P�E�XISFBR0KQ7�:�

9^MFT@Q�4<EIBO¦85@B�015@M QD01P Q�4FE "*58PRQ�YH58Q�5�.�M<XIBj�m[<Q�01T M�9^/o� T BR0KQ�4F7 ±%"6E 5@/.·�� "6E 58/�� 58P:<EIP�0G� MFE�:LQ�T � E^E � X�01E�M\Q�/G�'0K7L[F/KEI7AEIM Q 5 � /1E T@M�5@MAEI0G� 4 Q � 0KQ 7L0KXIBRT [FB�TmXIE�P�PRT B�WCD4<E� B�PRQW¦@EIBRP�01T@M T8V " EI5@/7¼ � � ¿¥¯ XI5@/1/KEI: "6E 58/3° � ¯W465@P V T S<B B�T S<MF:FP� "6E 5@/@° � � 5@P � BRT:�@E�M� ��YZEIMK°O23T?E�B ¼ � ¿S<P�01MQ�'5 X 4FT P�E�Ma[</ 5@0KM\Q�E�®mQ]58QRQ 5@X��J�]0KQ�4 À�� � ��À � � � � E�MFXIB+�m[<Q�0KT MFP�CD4<E�X�B�EI58Q�T BRP T@V "6E 5@/?B�E 58X�Q�E�: � ��01M Q�BRT?:FS<XI01MQ�H5HMFE}�z¦ E�B�P�0KT M1¯\X 58/1/1E�:�"6E 5@/@° � ¯n�]0KQ�4E�0o� 4 Q;B�T SFM<:FPU5@MF: 5@:<:F0KQ�01T M658/g³aµ>¶]PZT@V Q�4FE [F/15@01M Q�E6®mQH5@MF: Q�4FE�XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQb�]0KQ�4PRS � �8E}�mP ¼ À�� ¯ À � ¿¥��23T@Q�4 ¦@EIB�PR01T M<P­� EIBRE :FE�P�XIBR0 � EI: 5@PaX�Bj�m[<Q�T:� B�58[F4F01XI5@/1/3� � E�QRQ�E�BQ�465@MaYH. =�0KM�P�E}¦@EIB�5@/>5@P�[*EIX(Q�P�

NOM Q�4<01P [658[�E�B��3E�:FE�P�X�B�0 � E�5 MFE�� �\01M<: T8V;5cQ�Q 58X�� Q�4658Q'X 58M � E�5@[<[F/10KEI: Q�T7L5@M�� YH. =�°O/K0o�@E`0KQ�EIB�58Q�E�:�XIB+�m[<Q�T P+�mPRQ�E�7LP}� CD4F01PL01PL5 X 4FT PREIM [F/ 5801M Q�E6®?Qb58QRQ 5@X���]4<01X 4�SFPREIPDT M</G��Q�4<E;B�E�P�SF/ Q 5@M Q3XI01[<4FEIB Q�E�®mQ�P��CD4FE � 58P�01X�Q�TmT / T@VQ�4FEH58QRQ 5@X��'01P�Q�4<E��¤ �[©[���6�7�jº:�5�Q�"¤«���]4F0KX 4A0KP�5Z[65@0KBWT@V*XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�P<�]4<T P�E][F/15@01M Q�E6®mQ�PW465�¦@E�[F5@BRQ�01XIS</ 5@B:<0 �EIB�E�MFXIE�P��CD4FE�Q7�3T [F/15@01M Q�E�®mQ�P XI5@M � EbX 4FT P�E�M�5cQ�B�5@M<:FT 7­¯�5@P /1T@M5� 5@P Q�4FE}�P�58Q�0KPRV«�LQ�4FEH:F0 E�B�E�MFXIEUXIT@MF:F0KQ�01T M�¯<5@M<:�Q�4FEHXIB+�m[<Q 5@MF5@/G�mPRQ�:FTmEIPDM<T@Q]465�¦ EHQ�T-�\MFT �Q�4FEI0KBR¦@58/1SFE�P�WCD4FE;58Q�Q�5@X���01P�P Q 58Q�01PRQ�01XI5@/F01MAM658Q�SFB�E^5@MF:AX 58MLVh5@0K/601M'B�5@BRE^0KMFPRQ�5@MFX�EIP�

CD4FE`7L5@01M BREIP�S</KQ�PA:FE�P�XIBR0 � EI: 01M Q�4<01P'[65@[*EIBA5@BREa58P'V T@/1/1T �]P­± MFT@Q�E�Q�4658Q�Q�4<EX�T 7A[F/1E6®<0 Q�0KEIPW�3E =\SFT@Q�E 5@B�E � 5@PREI: T M Q�4FEaMmS<7 � E�BbT@VZEIMFX�Bj�m[<Q�0KT MFPLMFEIE�:FEI: Q�TX�B�EI58Q�E 5@/K/^Q�4FE MFEIX�EIPRP�5@B+� [65@01BRP�T M Q�4FE Q 5@Bj� E�Q�7L5@X 4F0KMFE"¯O�]4F0K/1E�Q�4FE 58QRQ 5@X��\01MQ�58/o� T BR0KQ�4F7 0 Q�PREI/KV!SFPREIP�V E}� EIBa5@MF: PR017A[F/1E�B�T [*EIB�58Q�0KT MFP�·6� YH. = B�E�:FSFX�EI: Q�T PR03®BRT SFMF:<P��35@P � B�T"�@EIML01M'/1E�P�P�Q�4658M � � �UP�E�XIT MF:<P3T MA5U[�E�B�P�T@M65@/6XIT@7L[FS?Q�EIB�SFPR01M5�A� � �

Page 7: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

¶�T@SFMF:FP 03T 7L[</1E�®?0 Q7�� � �� � �� � � y� � 6 yÀ � � � xÀ"À ��� yÀ � � � �À � � � �À>� � x �À� � x 6À � � x �

����������� =?SF7A7L5@Bj�bT@V Q�4FEUXIB+�?[?Q 5@M658/G�mP�0KP�T8VWYH. = �X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P}�WYH. =ZB�E�:FSFXIE�:!Q�TDEI0o�@4\Q+BRT SFMF:<Pg�35@P � BRT:�@E�M!0KMH/1EIPRPQ�4658MUQ7� T�7L0KMmS?Q�EIPT@M 5�X�T 7A[FS<Q�E�B � � 5@MF5@/G�mP�0KM5� À���� � XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�PUX 4FT PREIM V B�T 7 5�[�TmT / T@V �� � � �XI5@MF:F0K:658Q�E�XI01[<4FEIB Q�E�®mQ�P�AYH. = BREI:FSFX�EI: Q�T�SF[ Q�T À B�T@SFMF:FP 01P � B�E 5D�85 � /1E�Vh5@P Q�EIBQ�465@M E�®?465@S<PRQ�03¦ E P�EI5@B�X 41¯ � S<Q YH. =>�]0 Q�4 À�� B�T SFM<:FP+PRQ�0K/1/ BRE>=\SF0KB�EIP/� x � PRQ�EI[FPk± �]4F0KX 40KP;PR/10o�@4\Q�/G��4<0o� 4FE�B^Q�465@M�Q�4FE XIT@7L[F/KE�®?0KQ7�`T@V�E6®?465@SFP Q�0G¦@E P�EI5@B�X 4[·��H9 PRSF7L7L5@B+��T@VQ�4FEUXIB+�?[?Q 5@M658/G�\Q�0KXHB�EIPRSF/KQ�P]T M`YH. =�BREI:FSFX�EI:`Q�T'01M Q�E�B�7AEI:F0158Q�E;MmS<7 � E�B]T@V,BRT SFMF:<P58[F[�EI5@B�P]0KM�Q�5 � /KE À �

=?T@7LE`B�E�P�E 58B�X 4FE�B�P�465�¦@E [FB�T@[�T PREI: Q�T P Q�BREIM5�@Q�4FEIM YH. = � � 7L5"�\01MQ��58/1/ Q�4<EPRS � �8E}�mP *� ]01M<:FEI[*EIMF:<EIM QC± T BU58QU/KE 5@P QHQ�T�:FEIBR0G¦@E'Q�4FEI7�0KM 5`7AT BRE XIT 7A[F/K01X 5cQ�EI:�35�� V B�T 7 5 /1T M5�@EIB�5@X(Q�S658/��@E�� *p·��zµZSFB'58QRQ 5@X�� XI5@M � E�XI5@B�BR01EI: T S?QLE�¦ E�M�01MQ�4F01P3X 5@PRE"��YH. =bB�E�:FSFXIE�:`Q�T�EI0G� 4 Q B�T@SFMF:FP��]0 Q�4�0KMF:FEI[*EIM<:FEIM Q�P�S � �@E}�mP�±h0N� ED�G¯��]0KQ�4� � ��� $ � � � 01MF:FE�[�E�MF:FE�M\Qu�@E�� � 0 Q�PX�]4F0KX 4�5@BRE�MFT@Q'X�T 7L[F58Q�0 � /1Ei�]0 Q�4 Q�4<EC�@E}�PRX 4FEI:<SF/10KM5� 5@/G� T BR0KQ�4<7d·O� 5@P � B�T"�@EIM�01M /1E�P�PUQ�465@M Q7�3Ta7L0KM\S<Q�E�P!SFPR01M5��Q�4<ELP�5@7LEX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P'58P 01M Q�4FE�XI5@P�E�T8V^:<EI[*EIMF:FE�M Q'P�S � �8E}�mP��CD4FE�V SF/K/ YH. = �]0 Q�4 0KMF:FE�°[*EIM<:FEIM QZPRS � �8E}�mPu±h0¥� E"�3¯5�]0KQ�4 À�� � ��� $ ½ � � 01M<:FEI[*EIMF:<EIM Q>�@E�� � 0KQ�P�· 01P � B�EI5"�c5 � /1E�]0 Q�4F0KM � y � PRQ�EI[FP}��9;P!5aB�E�P�SF/ Q�¯,5@M�� 7LTm:F0 � X 58Q�01T M T@V Q�4FEJ�@E�� PRX 4FEI:FS</101MQ� 5@/G� TD°BR0KQ�4F7 X 5@M<MFT@QW7L5"�8E3YH. =!7 S<X 4 PRQ�B�T M5�@EIB� CD4FED58QRQ 5@X��\P T M�YH. = BREI:FSFX�EI: Q�T � ��À��BRT SFMF:<P^58B�EUMFT@Q�01M��6SFEIM<XIEI: � ��Q�4FE &%[*EIBR7 S<Q�58Q�0KT M�5@MF:�Q�4FEUBREI[F/15@XIE�7LE�M\Q�T@V>Q�4<E& [�E�B�7 S<Q�58Q�0KT M � �`5@M���T8Q�4FE�B�[*EIBR7 S<Q�58Q�0KT M�X 5@M<MFT@Q]7L5"�@EZQ�4FEI7 /KEIPRP�PRSFXIX�EIPRPRV SF/N�µZM Q�4<EAT8Q�4FE�BH465@MF:1¯Q�4FE'B�E�[F/ 5@X�EI7AEIM QUT@V Q�4FE�T@B�:FE�BHT@V Q�4FE'EI0G� 4 QUYH. = = � T ®?E�P

Page 8: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

±«�]0KQ�4FT S<Q;X 465@M5� 0KM5�bQ�4FEI0KBa¦85@/1S<EIP�·�X 5@M 7L5"�@E YH. =`7 SFX 4��3EI5"�@E�B>!;YH. = �]0 Q�4 À �BRT SFMF:<P��]0KQ�4`5 [658BRQ�0KXISF/15@B3BREI[F/15@XIE�:�T B�:FE�BD01P � B�E 5D�85 � /1EH0KM�5 � T@S<Q ��� y PRQ�EI[FP}� CD4<EBREI[F/15@XIE�7LE�M Q;T@V Q�4FE>³aµ>¶ T [*EIB�5cQ�01T@M � ��Q�4<E!7AT B�EHX�T 7A[F/1E6®`5@:F:F0 Q�0KT M�T [�E�B�58Q�01T M7L5"�8EIP]Q�4F0KP�X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7 7 SFX 4­�3EI5"�@E�B��YH. =C�]0 Q�4`B�5@MF:<T 7 = � T�®<E�P^0KP]P�4FT �]MQ�T � E\¦ EIB+�`E 5@P+�`Q�T � B�E 5D���].P¦@EIM 5'7L0KMF017L5@/�X 465@M5� E T@V T@MFE!E�M Q�Bj��0KMaT@MFE!T8V,Q�4<EYH. =`= � T�®<E�P^XI5@M�7L5"�8E!YH. =�E 5@PR01E�B]Q�T � B�E 5D��� � YH. =�01P]P�4<T&�]M`Q�T � EUQ�BR0G¦m0 58/1/G�� B�E 5D�85 � /1Ei�]0 Q�4 PR03® EIMFX�Bj�m[<Q�0KT MFP'01M /1EIPRP Q�4658M � � ��PREIX�T MF:FP}¯?�]4F0K/1E �UYH. = �]0KQ�40KMF:FE�[�E�MF:FEIM Q3P�S � �8E}�mPD01P � BRE 5"�c5 � /KE��]0 Q�4 À�� E�MFXIB+�?[?Q�01T@MFP30KML/KEIP�P Q�4658M �!PREIX�T MF:FP}�

CD4F0KP 58QRQ 5@X��U01P,5@[F[F/K01XI5 � /1E 5@/KP�T�Q�TH5a�]0K:FE?¦85@BR01E(Q7�!T8V*YH. =�°O/10G�@E XIB+�?[?Q�T P+�?P Q�E�7LP}�NOMLV T BRQ�4FXIT 7A01MQ�![658[�E�B�P?� EZ:FE�P�X�B�0 � EZPRE}¦ E�B�5@/�E�®mQ�E�MFP�0KT MFP3Q�T T SFB MFE�� 5cQ�Q 58X�����» SK°X�0KV E�BWB�E�:FSFXIE�:AQ�THEI0G� 4 QWB�T@SFMF:FP XI5@M � E � B�T:�8EIMASFP�0KM5�H/1E�P�PWQ�4F5@M � � XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�P�±�� �[F5@01BRP�·��!CD4FE�"6E 5@/@° � X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7 X 58M � E � BRT:�@E�M �]0 Q�4 /1E�P�PZQ�465@M?� � � � X�01[F4<EIB+°Q�E�®mQ�Pb± À���� � [F5@01BRP�· 5@MF:AQ�4FE "6E 5@/@° � XIB+�?[?Q�T P+�?P Q�E�7 XI5@M � E � BRT:�@E�Mi�]0KQ�4 �RS<PRQ EI0o�@4\QX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P 5@M<:AT@MFE T@V*Q�4FE�01BW[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�P}�,9^P�5ZB�E 58X�Q�0KT M Q�TUT S<B 58Q�Q�5@X���T@M�"6EI5@/3° � ¯0 Q�P X�B�EI58Q�T BRP 01M Q�B�Tm:FSFXIE�: " EI5@/3° X¼ À:À ¿¥¯Q�]0 Q�4�5@M��LE}¦@EIM`MmS<7 � E�BDT@V>B�T S<MF:FP Y�?CD4FE}�PRS5�:� E�PRQUQ�4<E�SFP�E�T@V "6E 5@/@° �]0KQ�4 À � 5@MF::���bB�T@SFMF:FP}��"6E 5@/@° �³W¼ À � ¿,01PHP�0K7L0K/ 5@BDQ�T"6EI5@/3° �]0KQ�4 Q�4FE�E�®mQ�EIMFPR01T M T@V Q�4FE-�@E�� P�0KJIE Q�T À � � � 0KQ�P}� ^E�¦ E�BRQ�4<EI/1E�P�P}¯ "6E 5@/@° 58MF: "6E 58/3° H³ X 5@M � E � B�T:�8EIM V T B!5@M��? �� � À B�T S<MF:FP!Vh58PRQ�E�B!Q�465@M E6®?465@SFP Q�0G¦@EPRE 5@BRX 41�

YZ0 E�B�EIM Q�0 5@/ X�Bj�m[<Q 58M65@/G�\Q�01XHQ�E�X 4FMF0 =\SFE�PH5@BRE!58[F[F/10KX 5 � /1EZQ�TL465@PR4aV SFMFX(Q�0KT MFP¯*01M58:F:F0KQ�01T M�Q�T'XIBj�m[<Q�T Pj�mP Q�EI7AP� "6T B E�®<5@7A[F/KE"¯FQ�4<EUV T@/1/1T �]0KM5��7AEIPRP�5"� E�P^4F5@P�4�Q�T�Q�4<EP�5@7AEb¦@58/1SFEH0KM�_`EIB��\/KE � PZ=?M<E�V B�S9¼ À�� ¿ V SFMFX�Q�01T MC�]0 Q�4�Q7�3TA[65@PRP�E�P>!����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������ ���������������������������������������������� ��!���"������������#$���$���% ���!�$���!�$� &�'�� &����!����������������������������������������������������������������

�����������������(�'� �"�� �!��� %�) �*����!�$+��!��������,�-#!�� ��!����� ) #&�"�����$�!���) ���!� ) �����������*�'�,��#�����������������������������������������������������������������

����������������������#���#��������"�� � � ) �� .��� % &�'���� ) �$�!�� ������/��������#���� %

���$�$��������/��#&���&�" �������������������������������������������������������������������

58MF: Q�4FE V T /K/1T �]01M5� Q7�3T 7AEIP�P�5"� E�P 4F5@P�4 Q�T Q�4<E P�5@7AE¹¦85@/1SFE 0KM 5 ¦@58B�0 58M\Q T@V_`0G� 5D� SFX 4F0 � P H°��;5@PR4g¼ À �D¿V SFM<X�Q�0KT M��]0KQ�4�PR03®�BRT SFMF:<P>!½

Page 9: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�����������*�����(� % �������� ������*������#���*�����!#�� %

� ���#������������ % ���������� ������*������#���*�����!#�� % �

�g�d�R�R�������O�R��J� �P� �������>���>�d�R����� �a�����s���X���������P���

>¤ !b������¡[�f¤f�"ª9���������¥�"¡��"ª%�&��¤o� 01P 5 7LE(Q�4FTm:d�]4F01X 4`5@MF5@/G�mP�E�P Q�4FE;E!�EIX�Q�T@V+[F5@BRQ�01XIS</ 5@B:<0 �EIB�E�MFXIE�PL0KM [F/ 5@0KM Q�E�®mQ'[65801B�P�T@M Q�4FE�:F0 �EIBREIMFX�EIPAT@V�Q�4FE�B�E�P�SF/ Q 5@M QAXI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ[F5@01BRP��CD4FE�P�EL:F0 �EIBREIMFX�EIP�XI5@M � EbS<P�EI:�Q�Ta5@P�PR0o� M�[FB�T � 5 � 01/K0KQ�01EIP^Q�T�Q�4FEA[�T@P�P�0 � /1E�8E}�mPA5@MF: Q�T /KT?XI58Q�ELQ�4FE�7AT P Q�[FB�T � 5 � /KEd�@E��:� CD4F0KP 7AE�Q�4<T?: SFPRS65@/K/G� �3T Bj�\PAT@M7L5@M�� [F5@01BRPZT@V [F/ 5801M Q�E6®?Q�Pb�]0KQ�4 Q�4FE�P�5@7LE�[F5@BRQ�01XIS</ 5@B^:F0 �EIBREIMFX�EAS<P�01MQ��T MF/G�`Q�4<EBREIPRSF/KQ�5@M Q]XI01[<4FEIB Q�E�®mQ][65801B�P}� "6T BDYH. =�°O/K0o�8E;XIB+�m[<Q�T P+�mPRQ�E�7LP]Q�4<EH:F0 �EIBREIMFX�EH01PDX 4FTD°PREIM 58P�5 � ®?EI:¹³aµ>¶�E�: ¦85@/1S<EAT8V Q�4FE'Q7� T [F/ 5801M Q�E6®?Q�P��NOM�Q�4F01P 01M Q�B�Tm:FSFX�Q�01T Mp� EPR4FT � 4FT � Q�4FEIPRE!:<0 �EIB�E�MFXIE�P]X 5@M � E 5@MF5@/G�mJIE�:�58MF:�E�®?[F/1T@0KQ�E�:1�

G�EUMFT � 01M Q�B�Tm:FSFXIEHQ�4FEHV T /1/KT&�]0KM5� MFT8Q 58Q�01T M"!�#"�$H9;M`4FE6®F58:FEIX�017L5@/M\SF7 � EIB]01PD:<EIMFT@Q�EI: � ��5APRS � P�X�B�0K[<Q&% ±h0N� ED�G¯ À�� " $ À�� ·6�.('�)/.�*+$H9 Q'5@M�� 0KM\Q�EIBR7LE�:F0 58Q�EL[*T 0KM\Q :FSFB�0KM5��Q�4FE�EIM<XIBj�m[<Q�01T M T@V][F5@01BRP T@V]7AEIP+°P�5"� E�P¯ . 5@MF: .,'�5@B�EHQ�4FEUXIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ�A0KM Q�EIBR7LE�:F0 5cQ�Ec¦85@/KSFEIP]T@V>Q�4FEHQ7� TE�®?EIX�S<Q�0KT MFP�T@V Q�4FE 5@/o�@T B�0 Q�4F7­¯m5@MF: . * 01P]:FE � MFEI:`Q�T � E . * $-. ² . ' �&u± .p·�$ZCD4FE�& [*EIB�7�S<Q 58Q�01T Ma01PZ:<EIMFT@Q�EI: � � &u± .p·�� �T@Q�E�Q�4658Q & 5@PH5J¦@58B�0 5 � /1E:FEIMFT8Q�EIP]Q�4<E [</ 5@0KM\Q�E�®mQ��-i± . ·.$HCD4FE/-jE�®?[65@MFPR01T M`01PD:<EIMFT@Q�EI: � ��-d± .p·��� &u± . ·.$ZCD4FED0KMF0KQ�0 5@/\[*EIB�7�S<Q 58Q�01T M�� NOM�Q�4<01PW[658[�E�B,Q�4FEDE6®?01PRQ�EIMFX�E]T@V�� & 5@MF:�� & � �5@B�ED0G� MFT BREI:1¯ PR01MFX�E Q�4FE���465�¦ E�MFTUXIB+�?[?Q 5@M658/G�\Q�0KXDP�0o�@MF0 � XI5@MFX�ED01M�T SFB�5cQ�Q 58X����&0$ZCD4FEH[</ 5@0KM\Q�E�®mQ\±h58V Q�E�B3Q�4<Eb�\MFT �]M`0KMF0KQ�0 5@/6[*EIBR7 S<Q�58Q�0KT M � &Y· 01P3:FEIMFT8Q�EI: � �9&J�

&1' 0KP3Q�4FE;T@Q�4FE�BD[F/ 5801M Q�E6®?Q301M�Q�4FEH[65@0KB 5@MF: &2* $ &z²�&1' 0KP3Q�4FEH[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�P³aµ\¶\�

#/$HCD4FE�XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�P T@V�Q�4FE�XIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ�![F/15@01M Q�E�®mQ�P &-¯ &1'a± � E�V T BREDQ�4FE]01M�¦@EIB�PRE01MF0 Q�0 58/ [*EIBR7 S<Q 5cQ�01T@M � & � � ·H5@B�E':FE�MFT@Q�EI: � � # 5@M<::#3'��#4*�$@# ²%#5'U01PQ�4FEUXI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�PH³aµ\¶\��

Page 10: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

±��)(��\·�$HCD4FEH/KE�V Q 5@MF:�B�0G� 4 Q 4658/G¦ E�P T@V+Q�4<EZ[F/ 5801M Q�E6®?Q)& 5@BREZ:FE�MFT@Q�E�: � ����58MF:��B�EIPR[�E�X�Q�0G¦ E�/G�"�±�� (��:·.$ZCD4FE'/1E(V QU5@MF: BR0o� 4 QH4658/G¦ E�PHT@V�Q�4FE�X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ # 58B�E�:FE�MFT@Q�E�: � ��35@MF:�B�EIPR[�E�X�Q�0G¦ E�/G�"�� ) � � � ) � $ZCD4FE ��� � 0KQ�01MF[FS?Q�P�T8VDQ�4FE � V SFMFX(Q�0KT M 01M Q�4FEu¦@58B�01T@SFP!BRT SFMF:<P� =?E�E

� � SFBRE À �4 ^T@Q�EUQ�4658Q � $��X�� ) � � � ) ��$UCD4FEA��� � 0KQ�T S<Q�[FS<Q�P^T@V Q�4FE �%V SFM<X�Q�0KT M`01M�Q�4FE\¦85@B�0KT SFP]B�T@SFMF:FP}�D=?E�E

� � SFBRE À �= $HCD4FE�= � T�®?EIP^= À ¯*= �*¯9���}¯*= � �� ����3);� ����5)<� � � );� ����3$HCD4FE 0KMF[FS<Q T@V*= 01M!B�T S<MF: . 0KP :FE�MFT@Q�EI: � � � � ��V T B.���� � (������>( ��!��,CD4FEZT S<Q�[FS<Q T@V>=� 01MLB�T SFM<: .�0KP :FE�MFT@Q�EI: � �9� �"�c� CD4<E

¦@58/1SFEWT8VmQ�4FE�P�0@®HP�S � �@E�� � 0KQ�PEIM Q�E�B�0KM5�DQ�4FE = � T�®U=� 601P :FE�MFT@Q�EI: � � � ��� 5@M<:Q�4FE(¦@58/1SFE T@VWQ�4FE!PR03®a01M<[FS<Q � 0KQ�P^T@V,Q�4FE!E�®?[65@MF:<EI: :658Q�5´±h.a±«³\·j·H�]4F0KX 4 5@B�E³aµ\¶]EI:(�]0KQ�4 � ����Q�T]V T B�7 � � � 0KP :FEIMFT8Q�EI: � �A� ����a�>CD4FE = � T�®UM\SF7 � E�B W5@MF:LQ�4FE^B�T SFM<:�7b58B��@E�B .�5@B�E^T [<Q�0KT M65@/N� "6T B E�®<5@7A[F/KE � À ��#D:FE�MFT@Q�E�P3Q�4<E� B�P Q^PR03® � 0KQ�PDT@V�-i± � ·��7� À �$#�:FEIM<T@Q�E�P�Q�4FE � B�P Q^PR03® � 0KQ�PDT@V Q�4FEUP�S � �@E}� � À �� À � #H:<EIMFT@Q�EIP�Q�4FE 01MF[<S<Q�T@V,Q�4FE�= � T�® = À �]4F01X 4�01P � À � # $ � À ��#�² � À �$#&�� À ��#D:<EIMFT@Q�EIP3Q�4FE;T@S<Q�[FS?Q T@V>= À �]4F0KX 4�01P�� À ��#1$ � À ±�� À � #�·6��=?EIE � � SFBRE �K�

% �'&�(*),+-)/.0( 9;M¹¤«¡��*�7�[��¡��*��¡[��¨����!0KP;5L/101P Q�T@V�� PRS � �@E��mP\�]4<01X 4 0KP;MFT@Q;MFEIX�EIP�°P�5@B�0K/G�L:FEIBR0G¦@EI:aV BRT 7 Q�4FE\�@E���P�X 4FE�:FSF/10KM5�L5@/o� T@B�0KQ�4F7­�132 ��465 � � YH. = 4F5@P � � y87 � �A$@� � y �![*T PRP�0 � /1E�01M<:FEI[*EIMF:<EIM Q(�@E}�mP}¯ � S<Q T M</G� � x7y[*T PRP�0 � /1Ed�8E}�mP�8 ^T@Q�E�Q�465cQ'E}¦ E�Bj� �8E}� X 58M � Ed¦m01E}� EI: 5@PA5 P�[*EIX�0 5@/3Q7�m[*E�T@VZ58M0KMF:FE�[�E�MF:FEIM Qa�@E��:�

9 �:4 �";-< C>TUP�0K7L[F/K0KV«�UQ�4<ED[FB�T � 5 � 01/K01P Q�01X35@M65@/3�mP�01P,T@V T@SFB�58Q�Q�5@X��{¯��3E�5@PRP�SF7AEDQ�4658Q58/1/WQ�4<ELPRS � �@E��mP'5@B�EA01MF:<EI[*EIMF:FE�M Q���9 Q�Q�5@X��\P T M YH. =��]0KQ�4�:FE�[�E�MF:FE�M\Q P�S � �8E}�mPPREIE�7 Q�T � E �RSFP Q 5@P>P�S<XIXIE�P�P V SF/601M [FB�58X�Q�0KXIED¯ � S<Q Q�4FE�01B+Q�4FE�T B�E(Q�0KX 5@/m5@M658/G�mP�0KP>0KP 7�SFX 44F5@B�:FE�B�» E�Q'S<P B�E�X 5@/K/34FT � Q�4FE�YH. = � V SFMFX�Q�01T M � E�465�¦ EIPA01M�Q�4FE�P�E�Q�E�B�7AP� CD4FE �V S<MFX�Q�01T M Q 5D�@EIP!5���� � 0KQU0KMF[FS<Q 5@M<: 5 ��� � 0KQ\�8E}�"�LCD4FEA01M<[FS<QU01PHE6®?[65@MF:FE�: ± � �

Page 11: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

Plaintext (P)

F

K1

A a

F

K2

B b

F

K3

C c

F

K4

D d

F

K5

E e

F

K6

F f

F

K7

G g

F

K8

H h

Ciphertext (T)

� )���� ; � � YH. =�B�EI:<SFXIE�:aQ�T'E�0o� 4 Q�B�T S<MF:FP�À �

Page 12: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

input (32 bits)

E

48 bits

S1E

S2E

S3E

S4E

S5E

S6E

S7E

S8E

subkey (48 bits)

S1K

S2K

S3K

S4K

S5K

S6K

S7K

S8K

S1

S1I

S1O

S2

S2I

S2O

S3

S3I

S3O

S4

S4I

S4O

S5

S5I

S5O

S6

S6I

S6O

S7

S7I

S7O

S8

S8I

S8O

P

output (32 bits)

� )���� ; ��� � CD4FE �%V SFMFX(Q�0KT M�T@VWYH. = �Q�4FE/- E�®?[65@M<P�01T@M{·3Q�T ��� � 0KQ�P]5@MF:C³aµ>¶�E�: �]0KQ�4�Q�4FE\�@E��:� CD4FEUB�E�P�SF/ Q^0KP V EI:`01M Q�TQ�4FE!= � T�®?EIP�5@MF:�Q�4FEUBREIP�S</KQ 58M\Q � 0 Q�P]5@BREU[�E�B�7 S<Q�EI:1�

�H0G¦@EIM Q�4FE�³aµ>¶ ¦85@/1SFE�T@V;5@M 01MF[<S<QA[65@01B Q�T Q�4FE � V SFMFX(Q�0KT M 0 Q'01P�EI5@Pj� Q�T:<E�Q�E�B�7A01MFEH0 Q�P�³aµ>¶ ¦85@/1S<EU58V Q�E�B Q�4FEUE�®?[658MFP�0KT M � ��Q�4FEHV T B�7 S</ 5 !-i± . ·9² -i± . ' ·;$ -d± . ²�. ' · �

CD4<E(³aµ>¶ �]0KQ�4�Q�4FE\�@E��`:FT?E�P]MFT@Q�X 465@M5�@E Q�4FE>³aµ\¶ ¦85@/KSFEH01M�Q�4FE![F5@01B}¯F0¥� E"�3¯<Q�4<EE6®?[65@MF:FE�:d³aµ>¶ P Q 5��mPk¦85@/10K:'E}¦ E�M�58V Q�E�B Q�4FEa³aµ>¶ �]0KQ�4LQ�4FEc�8E}�:¯ � �'Q�4FE^V T BR7 SF/15 !± . ² *p·9² ± . ' ²8*p· $%. ²�. ' �

CD4<E^T S?Q�[FS<Q T@V�Q�4FE;= � T�®?EIP 01P�7A03®?EI: � ��Q�4FE & [*EIB�7�S<Q 58Q�01T MA5@M<:AQ�4mS<P Q�4FE�³aµ>¶T8V^Q�4FE�[65@0KB�58V Q�E�B Q�4FE�& [�E�B�7 S<Q�58Q�0KT M 01P!Q�4FE�[*EIB�7�S<Q�E�:z¦85@/KSFE�T@V�Q�4FE`= � T ®?E�P

À"À

Page 13: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

T@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶\¯ � ��Q�4FEHV T BR7 SF/15 !&u± . ·9² &u± . ' ·4$ &u± . ²8. ' · �

CD4<E T S<Q�[<S<QC³aµ>¶ T@VUQ�4<E �#V SFMFX(Q�0KT M 01P�/K01MFEI5@Bb0KM Q�4FE ³aµ\¶ T [�E�B�58Q�01T M Q�4658QX�T MFMFE�X�Q�P�Q�4FEU:F0 �EIBREIM Q�B�T SFM<:FP>!± . ²��X·g² ± . ' ²�� ' ·;$ ± . ²�. ' ·9² ±�� ²�� ' · �

CD4<E?³aµ>¶ T@V6[65801B�P+0KP+Q�4\SFP,0KM�¦85@BR0 5@M Q+0KM Q�4FE?�8E}�!5@MF:!01P+/10KMFE 58B 01MUQ�4FE - E6®?[65@MFPR01T M1¯Q�4FE &%[*EIB�7�S<Q 58Q�01T M�58MF:`Q�4FE>³aµ>¶ T [*EIB�5cQ�01T@M1�CD4FE�= � T�®?EIPH58B�E��\MFT �]M Q�T � E�MFT M /K01MFEI5@B� �HMFT �]/1EI:Q� E�T@V Q�4FEY³aµ>¶ T@VWQ�4<E0KMF[FS<Qb[65@0KB�PAX 5@MFM<T@QC� S658B�5@M Q�E�Es�\MFT �]/1E�:5� E T8VHQ�4FEs³aµ>¶ T@VZQ�4FE T S<Q�[FS<Qb[65@01BRP�

��P�S658/1/G�`PRE}¦ E�B�5@/,T S<Q�[<S<Qb³aµ>¶�PZ5@B�E [*T PRP�0 � /1E"�;9%P�[*EIX�0 5@/ X 5@PRE'5@B�0KP�E�Pa�]4FE�M � T@Q�40KMF[FS<Q�P]5@B�EHE =\S65@/¥¯<01MC�]4F01X 4`X 58P�E � T8Q�4�T S<Q�[FS<Q�P�7�SFPRQ � EHE>=\S65@/Q�T?T5� �^T �3E�¦ E�B¯�5X�B�SFX�0 5@/>T � PREIB+¦@5cQ�01T@M 01P^Q�4658Q^V T BH5@M��a[65@BRQ�01X�SF/ 5@B�01M<[FS<Qc³aµ>¶ MFT@QU5@/K/ Q�4FE�T S?Q�[FS<Q³aµ>¶]P�5@BRE�[*T P�PR0 � /KE"¯3Q�4FE [*T P�PR0 � /KEaT M<EIP�:FT MFT@Q�58[F[�EI5@BbS<MF0KV T BR7L/3�:¯35@MF: PRT 7LE³aµ>¶]EI:�¦85@/1SFE�P�5@[F[*E 5@BD7 S<X 4a7AT B�EZV BRE>=\SFE�M\Q�/G��Q�465@M�T@Q�4<EIB�P}�

23E(V T B�EO� E^[<B�TmXIEIE�:u� E��35@M Q�Q�T 7LE�M Q�01T@M'Q�4FEH�\MFT �]Mb:FE�P�0o�@ML[FBR01MFX�01[F/KEIP T@V*Q�4<E= � T ®?E�P ¼ À ¿�!À � ^TL= � T�®�01P]5�/K01MFEI5@B T B]5 � MFEUV SFMFX(Q�0KT M�T@V,0 Q�PD0KMF[FS<Q��K� 03465@M5� 0KM5� T M<E�01MF[<S<Q � 0 Q!Q�T 5@M = � T�® BREIP�S</KQ�P�01M X 4658M5� 01MQ� 58Q /KE 5@P Q�Q7� TT S<Q�[<S<Q � 0KQ�P��Q� ��± . · 5@MF: �H± . ² � �KÀ:À�� � · 7 SFPRQ�:F0 E�BD01M�58Q�/KE 5@P QDQ7�3T � 0KQ�P�� � ��± . ·��$ �H± . ² À"À����� � ·�V T B]5@M���X 4FT 0KXIEHT@V � 5@M<: � � �]CD4FEZ= � T�®?EIP<�3E�B�E^X 4FT P�E�M�Q�T 7L0KMF017A01J�E Q�4FE;:F0 E�B�E�MFXIE�P � E�Q7� EIE�M�Q�4FE�M\SF7-°

� E�B�T@V À � P�5@MF: � � P�0KM 5@M�� = � T�® T@S<Q�[FS?Qd�]4FEIM 5@M�� P�0KM5� /1E � 0KQb01PL4FEI/K:XIT MFP Q 5@M Q�NOMaYH. =`5@M��`= � T ®�465@P ��� � ��� [�T@P�P�0 � /1EH0KMF[FS<Q][F5@01BRP¯ 5@MF:�EI5@X 4�T M<E T8V Q�4FEI74F5@P 5@M'01MF[FS?Q<³aµ>¶ 58MF:b58MAT@S<Q�[FS?Q<³aµ>¶\� CD4FEIBRE;58B�EDT MF/3� ��� � À�� [*T P�PR0 � /KE Q�SF[</1EIPT8V^0KMF[FS<QA58MF: T S<Q�[FS<QW³aµ>¶�P}� CD4FE�B�E�V T@B�E"¯ E 58X 4 Q�SF[F/1EbB�EIPRSF/KQ�P�01M 5�¦ E�B�5"�@E�V BRT 7

À �

Page 14: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

V T@SFB![F5@01BRP�#�^T �3E�¦ E�B¯ MFT@Q 5@/1/ Q�4FELQ�SF[F/1E�P�E6®<0KPRQ�5@P 5aB�EIPRSF/KQ!T@V�5`[65@01B}¯W5@M<:�Q�4<EE6®?01PRQ�01M5��T@MFEIP]:FT�MFT8Q]465�¦ E 5 SFMF0 V T B�7 :F01P Q�BR0 � S<Q�01T M�� ��EIB+��017A[*T BRQ�5@M Q [FBRT [�E�BRQ�01EIPT8VDQ�4FE�= � T�®?EIP'5@BRE�:FEIBR0G¦@EI: V B�T@7#Q�4FE�5@M658/G�mP�0KP�T@VDQ�4FEbQ 5 � /1E�P�Q�465cQ P�S<7L7L5@B�0KJIEQ�4F01PD:<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT M"!% �'&�(*),+-)/.0( � 9�Q 5 � /1EAQ�4658Q P�4FT �]P Q�4<E�:F01P Q�B�0 � S<Q�01T M�T@VDQ�4FE�0KMF[FS<QY³aµ>¶�P'5@M<:T@S<Q�[FS?QY³aµ>¶]P!T@V 5@/1/ Q�4FEA[�T@P�P�0 � /1E'[65801B�PUT@V 5@M = � T�® 0KP XI5@/1/KEI: Q�4<E-�Q�"¤«����������"¤o���f�6¤f§ K�f¤¥�n¡C�¥��§ªo�>��£H� ©[�H¸ §��}º:� NOMAQ�4F01PWQ�5 � /1EDEI5@X 4AB�T � X�T B�BREIP�[*T MF:<P Q�T!5H[658BRQ�0KX�°S</ 5@B�01MF[<S<Qa³aµ>¶\¯�EI5@X 4 XIT@/1SF7AM�X�T B�BREIP�[*T MF:<P;Q�T�5A[65@B Q�01X�SF/ 58B^T S?Q�[FS<Qa³aµ>¶ 5@M<:Q�4FE�EIM Q�BR01EIP Q�4FE�7LPREI/3¦ EIP XIT S<M\Q Q�4<E;M\SF7 � EIB T@V[*T PRP�0 � /1E][65@0KB�P��]0KQ�4AP�S<X 4�5@Mb0KMF[FS<Q³aµ>¶ 5@M<:a58MaT S?Q�[FS<QO³aµ>¶\�

.�5@X 4a/101M<EH01M`5A[F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT M�Q 5 � /1EHX�T M Q 5@0KMFP ��� [*T PRP�0 � /1EH[65@0KB�P]01MÀ � :<0 �EIB�E�M Q;E�M\Q�B�0KEIP� CD4\SFP�01M`E 5@X 4`/10KMFEH01M�Q�4<E Q�5 � /1EZQ�4FE 5�¦ EIB�5"� E T@V,Q�4FEUEIM Q�BR01E�P0KPDE�®<5@X(Q�/G�bV T SFB�132 ��465 � � � C 5 � /1E � 01P'5 [65@B Q�0 58/ � [65@0KB�PX³aµ>¶ :F0KPRQ�BR0 � S?Q�01T@M Q 5 � /KE�T@VH= À � = À0 Q�PREI/KV>0KPD:FEIPRXIB�0 � E�:�0KM�Q�5 � /KE �Q�132 ��465 � ��� CD4FE � B�PRQ3/10KMFE]T@VQ 5 � /1E � PR4FT �]P3Q�465cQ3V T B�Q�4FE^JIE�B�T 0KMF[FS<Q<³aµ>¶(¯ Q�4<ET@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶ 7 SFP Q � EZJIE�B�T Q�TmT5¯<5@Pk� EHMFT@Q�0KXIE�:�5 � T ¦@E"� 9;/KP�T5¯mQ�4FE;:F0 �EIBREIM Q]/10KMFEIP0KM�Q�4FEHQ 5 � /1EH465�¦@E!:F0 E�B�E�M\Q]T@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶ :F0KPRQ�B�0 � S<Q�0KT MFP�

CD4FEUV T /K/1T �]01M5��:FE � M<0KQ�0KT M�:FEI5@/1PO�]0KQ�4�[65@01BRP�³aµ>¶ :F01P Q�BR0 � S<Q�01T M�Q�5 � /KEIP>!% �'&�(*),+-)/.0(�� » E�Q . � E'5�P�0@® � 0 Q>¦@58/1SFE'5@M<: � � E'5�V T@SFB � 0KQc¦@58/1SFED� G E'P�5��Q�4658Q . �J�"�­���" �� � � §���"¡�¸¹§��}º�0KV Q�4FE�B�E!01PZ5A[65@0KB^0KM­�]4F0KX 4 Q�4FE!01MF[<S<Qa³aµ>¶T8VWQ�4FE�= � T�®aE>=\S65@/KP . 5@MF:aQ�4FE T S<Q�[<S<Qc³aµ>¶ T@V,Q�4FE�= � T�®`E =mSF5@/1P �u�DN VWQ�4FEIBRE0KP;PRSFX 4 5L[65@01B��3EX�]BR0KQ�E . �u¯ 58MF: 0KV Q�4FEIBRE 01PZM<T�P�SFX 4 [65@0KBa� E P�5��aQ�4658Q .�J�"�J¡��n�O���" �� � � §�u�«©[�\¸ §��}º 5@MF:C�]B�0 Q�E . � �u�

132 ��465 � ��� 03T MFPR01:FE�B^Q�4FE!0KMF[FS<QH³aµ>¶ � À * � $ � � ""�DN Q^4F5@P;T M</G��E�0o� 4 Q�[�T@P�P�0 � /1ET@S<Q�[FS?Qd³aµ>¶�P}¯H�]4<01/1E`Q�4FE�T@Q�4FE�B�EI0G� 4 Q�E�M\Q�B�0KEIP�5@BRE�017A[*T P�PR0 � /KE"� CD4<E [�T@P�P�0 � /1ET@S<Q�[FS?Qi³aµ>¶�P � À * � 5@BRE À "�¯ � ":¯ � "�¯ � ":¯�½ "�¯ � "�¯� �" 5@MF: � "�� CD4FEIBRE�V T BRE"¯DQ�4<E0KMF[FS<Qa³aµ>¶ � À * � $ � � "�7L5 �aX 58SFP�E�T S?Q�[FS<Qc³aµ\¶ � À * � $ À "­±�� � "� À "n·��H9^/1PRT� � "� � "�5@MF:�� � "� � "��<µZM�Q�4FEUT@Q�4FEIBD4F5@MF: � � " � � "!5@M<: � � " � � "��

��������������� ��!#"%$'&�(*),+�-."/&10'$2"%3��.0'"�465�0'!#3����7&�4#�8!#�%�902���;:<3=4?>@�7&A!#���=�B!C$�"�5D!#���E�B5�-."�>�F,G

À �

Page 15: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� �� ��� ��� ���

�� ����

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � y � 6 � � � �'� �'6 � �'� y 6 �6�

� � � � � � � � � y � y �'6 y � 6� �

� � � 6 6 �'� y � 6 y � � � 6 6 6 �� �

� � � y � �'� �'� y � � y � 6 � y 6x � � � y 6 6 � � 6 � � � � �'6 6 � yy � � � 6 � � 6 y 6 � � � 6 � 6 � �'6��

6 � �'� � � � � � 6 � � 6 6 6 � �� �� � � �'6 � � � � � y 6 � � 6 6 �$

��'� 6 � � 6 � y � 6 6 � � �'� � 6 �'6

��� � y 6 6 � y � y � y � � � 6 �'�

���6 � � �'� 6 6 � � 6 y 6 y y � 6 �'6

� �� � � � � y y � � y y � y y � � 6

� � y y � � � � 6 y � y � y � 6 � 6��

� � � � y y � � y y � � � � � �� �

6 � 6 � � y � 6 � � 6 6 6 y � ����� � � � � y � �'6 y 6 6 � 6 � � y 6 6 �

� � � � � 6 �'� 6 6 6 6 y � � 6 6 � �'� �� 6 � � 6 y � � 6 6 � y y � � 6 6 � ���� � � � y 6 �'� � � 6 � � 6 6 � y 6 �� � �

� � � y y 6 � � �'6 y � � � � � � y� x � 6 6 � � � � � � � � � y � � 6 � � �� y � 6 y 6 6 � � 6 6 � 6 y � y � �'� �� � �

6 6 �'6 � 6 � � �'� � � 6 y � 6 6 ���� �

� y 6 6 6 � 6 6 � y � � � y �'� �'�� $ � y 6 6 � �'6 y � � � � 6 � 6 � � �� �� y � y � y � � y 6 6 y 6 6 y � �� � �

6 y � � � 6 � y � y � y � � y 6� � �

� �'� � � �'6 � � 6 y � � �'6 � � 6 �� � �

� � y 6 6 y � � � � � � � �'6 � �� � � � � 6 6 6 � � � � � 6 � 6 � � � �� ��� � � � 6 � � 6 � � 6 � � � y 6 6

� ��� � � � � 5@BRQ�0 5@/ [65@01BRP�³aµ>¶ :F01P Q�BR0 � S<Q�01T M�Q�5 � /KEHT@V = À �À � � À � À � À À:À � � À � � À � � � ½� À ½ � À � � À � À À � � À � À:À � � �� À À>� � À � � � À:À À� À � � ½ � À�� �À À � � � � � À ½ À"À � À � À�� � � À �

� � ����� � � = À Q 5 � /1E"�./®<5@7A[F/1E�P �L5@MF: � :FEI7AT MFP Q�B�5cQ�EUQ�4658Q�V T B�5 � ®<E�: 01MF[<S<QH³aµ\¶\¯ Q�4FE [�T@P�P�0 � /1ET@S<Q�[FS?Q(³aµ>¶]P!:<TaMFT8QU465�¦ E�5�SFM<0KV T BR7 :F01P Q�BR0 � S<Q�01T M���CD4FE�V T /1/KT&�]0KM5��:FE � MF0KQ�01T ME6®mQ�EIM<:FP^:<E � MF0 Q�0KT M��W�]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q�01E�P�

% �'&�(*),+-)/.0( � G EUP�5 ��Q�4658Q . �J�"�����" �� � ���R¤«� ©W�����"§���§¤«ª%¤«�f���e§�i�"¡´¸ §��}º!0 VV T@B^5�V B�58X�Q�0KT M���T8V,Q�4<E [F5@01BRP�0KMC�]4F01X 4`Q�4FE 01MF[<S<QH³aµ\¶ T8V,Q�4<E�= � T�®�E =\S65@/1P . ¯Q�4FEUT S<Q�[FS<QH³aµ>¶ E>=\S65@/KP �u�132 ��465 � � � � � " � "�BREIPRSF/KQ�P!V B�T@7 À�� T S?Q�T@V3Q�4FE ��� [65801B�P T@V^= À ¯,0¥� E"�3¯9�]0KQ�4

À>�

Page 16: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

= � T�® E�B�XIE�M Q 5"� E= À ½ � � �= � ½ � � �= � ½ � � �= � � � � = ½ � � = � � � � �=5½ ½:½K� �= � ½:½K� À

��������� � � >EIBRXIEIM Q�5"� EUT@V Q�4<EH[�T PRP�0 � /1E^EIM Q�BR01EIPD0KMbQ�4<Eb¦@58B�01T@SFP3[65801B�P<³aµ>¶ :F01P Q�BR03°� S<Q�0KT M�Q 5 � /KEIP}�[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �

��7� � "D � " B�E�P�SF/ Q�P�T MF/G�LV B�T 7 Q7�3TAT S<Q�T@V Q�4FE ��� [65@0KB�P]T@VW= À ¯60N� ED�G¯

�]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� �� 6 �

YZ0 E�B�EIM Q`:F0KPRQ�BR0 � S?Q�01T@MFP�5@[F[*E 5@B�0KM :F0 E�B�E�M\Q`/K01MFE�P`T8V�Q�4<E Q�5 � /KE"��NOM Q�T8Q 5@/� E�Q7� EIE�M´½ ��� 58MF: � ��� T@V+Q�4FEHE�M Q�B�0KEIPD58B�EH[*T P�PR0 � /KEZ5@MF: � E�Q7� EIE�M � � � 5@M<: � ���58B�EU017A[�T@P�P�0 � /1ED��CD4FE!E6®<5@X�Q^[�E�B�X�EIM Q 5"�@E!V T B]E 58X 4 = � T�®`01P]PR4FT �]M 01M�Q 5 � /1E � � NOM¦85@BR01T S<P�V T@B�7 SF/15@P 01M�Q�4F01P�[65@[*EIB�� E;5@[<[FB�T�®?017L58Q�E Q�4FE�[�E�B�XIE�M Q 5"� E^T@V Q�4FE][�T@P�P�0 � /1EE�M Q�B�0KEIP � � � ��� �

CD4FE�[65@0KB�Pd³aµ>¶�:F01P Q�B�0 � S<Q�01T M Q�5 � /1E�P�/1E�Q`SFP � MF: Q�4FE [*T P�PR0 � /KE 0KMF[FS<Qa5@M<:T@S<Q�[FS?QX¦85@/1SFE�P�T@V][65@0KB�PX�@0G¦ E�M Q�4FE�01B�0KMF[FS<Q�5@MF: T S<Q�[FS<QX³aµ>¶]P� CD4FE�V T /1/KT �]01M5�E6®<5@7L[</1EHP�4<T&�]P^5�P�0K7L[F/KEHX 5@PRE�!132 ��465 � ��� 03T MFPR01:FE�BbQ�4<E EIM Q�B+� � � " � " 0KM�Q�4<E [65@0KB�Pu³aµ>¶ :F01P Q�B�0 � S<Q�01T MQ�5 � /KE�T@V;= À � =?01M<XIE�Q�4<E�EIM Q�B+� � � " � "�465@PX¦85@/KSFE �K¯�T MF/3��Q7� T [65@0KB�P P�58Q�0KPRV«�Q�4FEIPREC³aµ\¶]P� CD4FE�P�E�[65@0KB�P�5@BRE�:FS658/1P� N V]Q�4FE � B�PRQ [65@01B�01P�� À � ¯7� À '� Q�4FEIM Q�4<ET8Q�4FE�B;[65@0KB]01P � À '� ¯"� À � �^2?�`/1TmT:�\01M5�A58Q^Q 5 � /1E � E P�E�E!Q�4F58Q;Q�4FEIPRE 01MF[<S<Q�P^7 SFPRQ� E À � "!5@MF: �:½ "(�]4<T P�E XIT BRB�E�P�[*T MF:F0KM5�LT@S<Q�[FS?Q�P�5@B�E � " 5@M<: � "!BREIPR[�E�X�Q�03¦ E�/G�:�

�E�®mQ/� E3PR4FT � 4FT � Q�T � MF: Q�4FE<�@E�� � 0 Q�P+SFPR01M5���\MFT �]M 01MF[<S<Q,[F5@01BRP 58MF:�T S?Q�[FS<Q³aµ>¶ T@V,5@Ma= � T�®�0KM�Q�4FE � V SFMFX(Q�0KT M1�132 ��465 � ��� 03T MFPR01:FE�B�= À 58MF:�5@PRP�SF7AE3Q�4F58Q,Q�4FE 01M<[FS<Q [65@01B 01P/� À � $ À ":¯ � À '� $� "U5@MF:�Q�4658Q Q�4FEc¦85@/KSFE;T8V Q�4FEZX�T B�BREIPR[�T M<:F01M5��P�03®i�@E�� � 0 Q�P 01P)� À � $ ��� "�� CD4FE�M

À�

Page 17: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

µZS<Q�[FS<Q T PRP�0 � /1E³aµ>¶ NOMF[FS<Q�P±�� À * � · ±�� À � ·À � �Q¯ � �-¯ À -J¯ À �-¯ � � ¯ ���i¯ ��½K¯ ���

� ��� ¯ �� ¯ � -u¯ À:À ¯ À �K¯ À � ¯ À � ¯ À �i¯ � � ¯ � ¯ � � ¯ � -J¯ ���-¯ � � ¯ � À ¯ � �� �QÀ ¯ � �*¯ À ¯ � À ¯ � ¯ � �� À �Q¯ �:½½ � � ¯ � � ¯ � s¯ À ½K¯ À�� ¯ À s¯ ���Q¯ � � ¯ ���-¯ � � ¯ � � ¯ ���� � � ¯ � �-¯ À�� ¯ �= s¯ � � ¯ �9 � � ¯ À�� ¯ À�� ¯ À �J¯ � �*¯ � � ¯ � � ¯ ���� � ½K¯ � � ¯ � �i¯ ���Q¯ ��-J¯ � �

��������� � � T PRP�0 � /1EA01MF[FS?Q(¦85@/KSFEIPHV T BHQ�4FEL0KMF[FS<Q(³aµ>¶@� À * � $ � � " � � Q�4FEAT S<Qj°[<S<QH³aµ\¶ ±h01M�4FE6®<5@:FEIX�017L5@/«·6�= � T�®�01MF[<S<Q T@P�P�0 � /1E �HE��?P

��� ¯ ��� � ½K¯ ���À � ¯ � � À:À ¯ � À � ¯ � � À ½K¯ � �À �-¯ � � À s¯ � �

����������� � T@P�P�0 � /1E\�8E}�mP^V T B � � "� �" � �a= À �]0 Q�4�01MF[<S<Q À "�¯ � "d± 01M�4FE6®F58:FEIX6°0K7b58/«·��Q�4FE^5@X�Q�S65@/601M<[FS<Q�P�T@V = À ± 58V Q�EIBR³aµ>¶�0KM5� Q�4FE]01MF[<S<Q 5@MF:i�8E}� � 0 Q�P�·�58B�E � À � $ � � "�¯� À '� $ À�� "D5@MF: Q�4FE T S?Q�[FS<Q�P 5@BRE)� À � $ À "�¯�� À '� $�� "DB�E�P�[*EIX�Q�0G¦@EI/G�"�WCD4FEDT S?Q�[FS<Q³aµ>¶ 0KP � À * � $ ":�9^P�P�S<7LE>� E(�\MFT � Q�465cQ � À � $ À "�¯ � À '� $ � " 5@MF: � À * � $ " 58MF:C�3E>�35@M QQ�T � MF: Q�4<EJ�8E}�´¦85@/KSFE�� À ����CD4FE�0KMF[FS<Qb³aµ>¶%0KP � À * � $@� À * � $ � � "'B�E� 5@B�:F/KEIPRPT8V,Q�4<E�5@X(Q�S658/g¦85@/KSFEUT@V4� À ��� 2?�`X�T MFP�S</KQ�0KM5��Q 5 � /1EA�W� E�XI5@M�PREIE Q�4658Q]Q�4FE!0KMF[FS<QQ�T Q�4FE = � T ® 465@P�EI0G� 4 Q�[�T@P�P�0 � 01/K0KQ�01EIP}� CD4FEIPRE E�0o� 4 Q�[*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PL7L5"�8E EI0o�@4\Q[*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIPZV T B Q�4FEd�8E}� ± � � � � $ � �s² � � ·�5@P!:FEIPRXIBR0 � EI: 01M�Q 5 � /KE � � .�5@X 4/K01MFE 01M`Q�4FE!Q 5 � /KE!:<EIP�X�B�0 � E�P;Q7�3T�[F5@01BRP��]0 Q�4�Q�4FE�P�5@7LE Q7�3T�0KMF[FS<Q�P � S?Qb�]0KQ�4aQ�4<ET@[F[�T@P�0KQ�EbT BR:FEIB}� .�5@X 4 [65801B /1E 58:FP!Q�T T MFEu�@E}�"¯�P�T EI5@X 4 /10KMFEL/KE 5@:<P!Q�TaQ7�3T��8E}�mP±«�]4F01X 4 5@BRE�� �­² � � 5@MF:?� �­²-� '

�·�� CD4FE'BR0o� 4 Q>�8E}��¦85@/1S<E�� À � 7 SFP QUT?X�XISFBU01MQ�4F01P Q�5 � /KE"�

À �

Page 18: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

= � T�®�01MF[<S<Q T@P�P�0 � /1E �HE��?P�KÀ ¯ � � �Q¯ �:½� �K¯ � � � � ¯ � �À� ¯ � À À ½K¯ � �

����������� � >T P�PR0 � /KE>�@E��?PDV T B1� � "� � " � ��= À �]0KQ�4�01MF[FS?Q � À ""¯ À "u± 01M�4FE6®F58:FEIX6°0K7b58/«·����P�01MQ�^58:F:F0KQ�01T MF5@/@[65801B�P1� E�X 5@M(� E(Q>5@:F:F0 Q�01T@M65@/cX 5@MF:<01:658Q�EIP V T B�� À ���/» E�Q�P+/1TmT:�5cQHQ�4FE�0KMF[FS<QU[65801B � À ��$@� À ":¯�� À '� $ À "s± �]0 Q�4 Q�4FE'P�5@7AE�� À � $@��� " ·�� CD4<E0KMF[FS<Q�PDQ�T'Q�4FE�= � T�®a5@B�EA� À � $ � ":¯ � À '� $ � � "!5@MF:aQ�4FEUT S<Q�[FS<Q�P^5@BRE � À � $ � "�¯

� À '� $ ½ ":�DCD4FE�T S?Q�[FS<Qa³aµ>¶ 0KP � À * � $ � ""�]CD4FE�[*T P�PR0 � /KEU01MF[FS?Q�P]Q�TLQ�4FE�= � T�®�]4<EIB�E � � "D � "^5@MF:�Q�4<E�X�T B�BREIPR[�T M<:F01M5�U[*T P�PR0 � /KE��@E��mP 5@BRED:FEIPRXIB�0 � E�:L0KM Q 5 � /1E�½K�CD4<EbB�0G� 4 Q��8E}��7 SFP Q TmXIXIS<B!0KM � T@Q�4 Q 5 � /KEIP}�aCD4FELT MF/3� XIT 7A7LT@M �8E}� ¦@58/1SFE�P�01MQ�5 � /KEIP � 5@MF:�½�5@BRE À ½ "�5@MF: ��� ":� CD4FE�P�E!Q7� Tu¦85@/KSFEIP�5@BREU01MF:F0KPRQ�01M5� S<01P�4F5 � /1E��]0KQ�4Q�4F01P 0KMF[FS<Q9³aµ>¶ PR01MFX�E À ½ "D² ��� " $ � � " $ � À * � ¯ � S<Q>7L5 � � E�XIT 7AE�:F01P Q�0KM5� SF0KP�465 � /1E� ��S<P�01MQ�b5�[65@0KBk�]0KQ�4�5�:F0 E�B�E�M\Q�0KMF[FS<QO³aµ>¶�¦85@/KSFEJ±�� À * � �$ � � " ·��

CD4FE V T /K/1T �]01MQ� E�®<5@7A[F/KE 01P�5@M E6®?Q�EIMFPR01T M T@V!E�®<5@7A[F/1E�½ Q�T 5 Q�4FBREIE�° B�T S<MF:X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7­�132 ��465 � ��� 9;PRP�SF7AE �3E 465�¦ E 5 XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�[65@0KBs�]4FT PRE [</ 5@0KM\Q�E�®mQ�³aµ>¶ 01P�\MFT �]M 5@M<: Q�4FEJ¦85@/1SFE�P�T@VDQ�4FEbPR03® � 0 Q�PA� �Q¯��}��¯4� � T@V Q�4FE�[F/15@01M Q�E�®mQY³aµ>¶ 5@B�EJ�EIBRT5� CD4FE�0KMF[FS<QY³aµ>¶ T@VDQ�4FE � B�PRQ B�T SFM<: 01P!JIEIBRT 01M 5@/1/ Q�4<E � 0KQ�P�E�M\Q�EIBR01M5� = À±�� À * ��# $ � À * � # $ � ·^58MF:�Q�4\SFP^Q�4FE T@S<Q�[FS?Qb³aµ>¶ T@V = À 01M�Q�4FE � B�PRQZB�T SFM<: 7 SFPRQ� EHJIE�B�T ±�� À * ��# $ � ·�� CD4<E /KE�V QD4F5@/KV+T@V+Q�4FEUXI01[<4FEIB Q�E�®mQ]0KPDX 5@/KXISF/158Q�E�:�5@P Q�4<E\³aµ>¶¦85@/KSFE�T8V Q�4FE /KE�V QZ4F5@/KV�T@V Q�4FE�[F/15@01M Q�E6®mQ�¯�Q�4FE T S?Q�[FS<QZT@V Q�4FE � B�PRQZB�T SFM<: 5@MF: Q�4<ET@S<Q�[FS?Q3T@V Q�4FE]Q�4F0KB�:AB�T S<MF:p±��"$��J² � ² �Y·�� =m01MFX�E�Q�4FE;[F/15@01M Q�E�®mQ�³aµ\¶ 5@M<:LQ�4<EX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ>³aµ>¶%5@BREX�\MFT �]M 5@MF: Q�4<E T S<Q�[FS<Q>³aµ>¶ T@V = À 01M�Q�4FE � B�P QHB�T@SFMF: 01P�\MFT �]M 5@PH� EI/1/N¯6Q�4FE!T S<Q�[<S<Qa³aµ>¶ T@V = À 01M�Q�4FE Q�4F0KB�:aB�T SFM<:�X 58M � E!X 5@/KXISF/158Q�E�:1�CD4<E 01MF[<S<Q;[F5@01B � À ����¯�� À '��� 01MaQ�4FE!Q�4F01BR:�BRT SFMF: 0KP^EI5@P�0K/G��E6®?Q�B�5@X(Q 5 � /1E!V BRT 7 Q�4<EX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�[65@0KB�N V�Q�4<E 01MF[<S<QZ[65801B�T@V = À 0KM�Q�4FE!Q�4F0KB�: BRT SFMF: 0KP � À ����$ À "�¯"� À '��� $ � "'5@M<:Q�4FEbT@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶j01P � À * ��� $ "bQ�4FE�M Q�4FEJ¦85@/1SFEAT@V � À ���^X 5@M � EAV T SFMF: 58P�01ME6®<5@7L[</1Es½ 5@MF: 0KQL7 SFPRQ�5@[F[*E 5@BL01M Q 5 � /KE � � ��P�0KM5� 5@:F:<0KQ�0KT M65@/D[F5@01BRPJ� E�XI5@M:<01P�XI5@B�:�PRT 7LEHT8V Q�4FEH[�T@P�P�0 � /1Eb¦85@/KSFEIP Q�01/K/�� EY�@E�Q�5�SFMF0 =mS<Eb¦@58/1SFEHT@V<� À ����� =?0KMFXIE

À ½

Page 19: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� À * ��� 0KP3MFT8Q XIT@MFPRQ�5@M Q�¯<Q�4FEIBREZP�4FT@SF/1:�M<T@Q � EH5@M��L01MF:F0KPRQ�01M5� S<01P�4F5 � /1E�¦85@/KSFEIP T@V Q�4<EPRS � �8E}�:�CD4FELV T /1/KT&�]0KM5��:FE � MF0KQ�01T M�E�®mQ�E�MF:FP :<E � MF0 Q�0KT MFPA��5@MF: � V T B SFPREu�]0KQ�4�Q�4FE �V S<MFX�Q�01T M"!

% �'&�(*),+-)/.0( � » E�Q . 58MF: � � E ��� � 0KQc¦85@/KSFEIP}�;G�E P�5���Q�4658Q . �J�"� ���" �� � ��R¤«�«©>�����"§���§¤«ª%¤«�N� � §�(� ©[�7� £6 *¡����N¤¥�n¡ 0KV*V T B 5HV B�5@X(Q�0KT M �AT@V58/1/<Q�4FED[�T@P�P�0 � /1ED0KMF[FS<Q[F5@01BRP3EIM<XIBj�m[<Q�EI: � ��5@/K/ Q�4FEZ[*T P�PR0 � /KEZP�S � �@E��d¦85@/1SFE�P 01Mu�]4F01X 4�Q�4FEZ01M<[FS<Qk³aµ>¶ T@VQ�4FE � V SFMFX�Q�01T MbE>=\S65@/KP�. ¯?Q�4FEZT S?Q�[FS<Qk³aµ\¶ E>=\S65@/KP �u� N V ��� � � EH:FEIM<T@Q�E;Q�4F01P[*T PRP�0 � 01/10 Q7� � � . �u�

� � 4 4 � NOM YH. = ¯,0 V . � �]0KQ�4 [<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � � � Q�4<E � V SFMFX(Q�0KT M Q�4FE�ME�¦ E�Bj� � ®?E�: 0KMF[FS<QZ[65@01B��Y¯��3'>�]0 Q�4��&* $�� ²��5' $ . X 58SFP�E�PZQ�4FE��jV SFMFX(Q�01T@MT@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶ Q�T � E � � ��Q�4FEUP�587LEZV B�5@X�Q�01T M �aT@V>Q�4FEU[*T P�PR0 � /KEHP�S � �8E}��¦85@/1S<EIP� ;-. .� C>T�[FB�T ¦@EAQ�4FE�/1E�7L7L5b0KQZP�S � XIE�P Q�T�P�4FT � Q�4FE'[FBRT [�E�BRQ7� V T@BZE 5@X 4 T@V�Q�4<E= � T�®?EIP}� " T@B�EI5@X 4 0KMF[FS<QH³aµ>¶ T@V,Q�4FE�:65cQ 5 ��*� Q�4FE�B�E 01P ��*� $ ��*� B�E}� 5@BR:F/1E�P�P�T@V� ����N VDQ�4FEIBRE�5@BRE ��[*T P�PR0 � /KEb0KMF[FS<Q![65@0KB�P!Q�TaQ�4FE�= � T�® �]0 Q�4 Q�4F01P 01M<[FS<Q�³aµ>¶Q�4658Q 7L5 ��X 5@S<P�EL5­� 03¦ E�M�T S?Q�[FS<Q\³aµ>¶\¯1�3EAX 5@M X 4FTmT P�EA[FBREIXI0KP�E�/G�����@E�� ¦85@/KSFEIP� � $ � �(²?� � ¯?EI5@X 4bQ 5D�m0KM5�!Q�4FE � ®<E�:�01MF[<S<Q3[F5@01B7� �R¯ � '� Q�T!T MFE;T8VQ�4FE^[�T@P�P�0 � /1E0KMF[FS<QA[65801B�P�� � ¯1��'� T@V�Q�4<E = � T�® 5@M<: Q�4mS<PLXI5@SFP�0KM5� Q�4FE�� 03¦ EIM T S<Q�[FS<QJ³aµ>¶(�CD4\SFP}¯ Q�4FEbV B�5@X�Q�01T M � 01P!4FEI/K: XIT@MFPRQ�5@M Q�V T B 5@/K/ Q�4FE�0KMF[FS<Q�[65@0KB�P¯W5@MF: Q�4FEIBRE�V T BREE =\S65@/1PDQ�4FE 5 ¦@EIB�5"� EUT ¦ EIB^5@/K/ Q�4FEU0KMF[FS<Q][65801B�P}�

NOM`T@Q�4FEIB]0KQ�EIB�58Q�E�:`X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7AP^Q�4F01PD/KEI7A7b5 :FTmEIP]MFT8Q]MFEIX�EIP�P�5@B�0K/G��4FT@/1:1� ��T&��°E�¦ E�B¯�� E 5@PRP�SF7AEaQ�4658Q'Q�4FE`V B�5@X(Q�0KT M 01P-¦ EIB+� XI/1T@P�E�Q�T �1¯?�]4F0KX 4 01P'SFPRS65@/1/3� Q�4<EXI5@P�ED�� .�;-. � ���";�� CD4FEb[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � T@V�. � � � Q�4FE9� V SFMFX�Q�01T M�01PUQ�4FEA[FBRT?:K°S<X�Q T@V ���'01M �]4F0KX 4 .�� ��� � � Q�4FE = � T�®?EIP�=��s± � � À (������ ( � !D· �]4FEIBRE. � .�6 . � . � . x . y . � . � $ -d± .p·]58MF: � � � 6 � � � � � x � y ��� � � $ & � � ±��W·6�

CD4FE!5 � T ¦ E :F01PRXISFPRP�01T@M 5 � T S<Q � MF:<01M5�'Q�4FE\�8E}� � 0KQ�P]EIM Q�E�B�01MQ��= � T�®?EIP�X 5@M � EE6®mQ�EIM<:FEI: Q�T � MF: Q�4FEaP�S � �8E}�mP�EIM Q�EIB�0KM5� Q�4FE � V SFM<X�Q�0KT M1� CD4FEa7LE(Q�4FTm:�0KPb5@PV T@/1/1T �]P !À �

Page 20: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

À � 034FT?T@P�E 5@Ma5@[F[FBRT [FB�0158Q�E;[F/ 5@0KM Q�E�®mQO³aµ>¶\��K� 03B�E 5cQ�E^5@Mb58[F[FB�T@[FB�0158Q�EDM\SF7 � EIB�T@V [F/ 5801M Q�E6®?Q�[F5@01BRP��]0 Q�4'Q�4FE]X 4FT@P�EIMb[F/ 5@0KMK°Q�E�®mQH³aµ>¶(¯6E�MFXIB+�m[<Q^Q�4FEI7 5@MF:­�@EIE�[�T M</G�bQ�4FEUB�E�P�SF/ Q 5@M Q�XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�[65801B�P}��Q� " T@B^EI5@X 4 [65@0KB^:FE�B�03¦ E�Q�4FE E�®?[*EIX(Q�EI: T S?Q�[FS<Qa³aµ>¶ T@V�58PZ7b58M���= � T�®?EIPH01MQ�4FE!/ 5@P Q;BRT SFMF: 58P;[*T P�PR0 � /KE V BRT 7 Q�4FE![F/ 5801M Q�E6®?Q�³aµ>¶ 58MF:�Q�4<E�XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ[65@01B}� ±� ^T8Q�EaQ�4658QLQ�4FEa01MF[FS?Q�[65@0KBLT8VZQ�4FEa/ 5@P Q�BRT SFMF: 0KPu�\MFT �]M PR01MFX�E 0KQ5@[F[*E 5@BRP^58P�[F5@BRQ]T@V>Q�4<E X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�[65@0KB�·��� � " T@B EI5@X 4�[*T P�PR0 � /KEa�8E}�J¦@58/1SFED¯mX�T SFM Q Q�4FE;M\SF7 � EIB T@V [F5@01BRP Q�4658Q BREIPRSF/KQ<�]0KQ�4Q�4FEUE�®?[*EIX(Q�EI:aT S<Q�[FS<QH³aµ>¶ SFP�0KM5��Q�4F0KPO�@E}�C¦85@/KSFEH01M�Q�4FEU/ 5@P Q]B�T SFM<:1� �]CD4FEbBR0o� 4 QY�@E}�p¦85@/KSFEL0KP Q�4FE�± 4FT [*E�V SF/K/G� S<MF0 =\SFE�·\�8E}� ¦@58/1SFEAP�S5�"� EIP Q�EI: � �5@/1/*Q�4FEU[65@0KB�P}�G�EA5@B�E�/KE�V Qb�]0 Q�4 Q�4FE'[FBRT � /KEI7 T8V [<SFP�4F0KM5��Q�4FEW�\MFT �]/1E�:5� E'T@V Q�4FEW³aµ>¶]PHT@VQ�4FEA[F/ 5@0KM Q�E�®mQ [65@0KB�P 5@P 7b58M�� BRT SFMF:<P 5@P [�T@P�P�0 � /1E ± 01M PRQ�E�[ ��·b�]0KQ�4FT S<Q 7L5"�\01M5�Q�4FEI7 5@/1/WJ�EIBRT?E�P�'G 4FEIM Q�4FEW³aµ>¶]P!T@V Q�4<EA[F5@01BRPU5@B�E'JIE�B�T5¯+0N� ED�G¯ � T@Q�4 Q�E�®mQ�P!5@B�EE =\S65@/¥¯ Q�4FEDT S<Q�[FS<Q�P�5@B�E E =\S65@/FQ�TmT5¯"�]4<01X 4'7b5D�@EIP�58/1/\Q�4FEO�8E}�mP E =\S65@/1/3��/K0o�8EI/G�"� CD4<E[<SFP�4F0KM5��7AEIX 4658MF01PR7 0KPZ5bP Q 58Q�01PRQ�01XI5@/+X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX�T@V Q�4FE X�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7 �]4F0KX 40KP�5@MaE6®mQ�EIM<P�01T@M�T@V Q�4FE P�0KM5� /1EHBRT SFMF:�5@M65@/3�mP�01P}�32 E�V T BRE(� E!:<E � MFE!0KQDV T BR7b58/1/G�J� E

�@0G¦ EU58Ma0KM<V T B�7L5@/*:FE � MF0KQ�01T M`5@MF:�Q�4<B�EIEUE6®F587L[F/KEIP}�% �'&�(*),+-)/.0( ���8)�(� .�; 4 ����� 9^P�P�TmXI0158Q�E�: �]0KQ�4 5@M�� [65@0KBUT@VDEIM<XIBj�m[<Q�01T M<P�5@B�E'Q�4<E³aµ>¶e¦85@/KSFEDT@V�0KQ�PWQ7�3TU[F/15@01M Q�E6®mQ�P¯ Q�4FE�³aµ>¶ T@V 0 Q�PWX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P}¯mQ�4FEO³aµ>¶�P T@V*Q�4<E0KMF[FS<Q�P^T8V E 5@X 4�B�T SFM<: 01M�Q�4FE Q7�3TbE�®?EIX�S<Q�0KT MFPZ58MF:aQ�4FEY³aµ>¶]P;T@VWQ�4FE T S<Q�[<S<Q�P^T@VEI5@X 4�B�T@SFMF:�01MLQ�4FE;Q7� T�E�®?E�XIS<Q�01T MFP}��CD4FEIPRE\³aµ>¶ ¦85@/1SFE�P3V T BR7 58Md�/¢7���n *¡��C��©Q�"�6¢�*���7���6¤o���N¤¥��� 9 X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXH465@P�5�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�"¯*�]4F0KX 4a0KP3Q�4<E [<B�T � 5 � 01/K0KQ7�'Q�465cQ�5B�5@MF:FT@7�[65@01B>�]0 Q�4�Q�4FEAX 4FT P�E�M [F/ 5801M Q�E6®?Q\³aµ>¶j465@PUQ�4FELB�T S<MF: 5@M<: XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ³aµ>¶]P'P�[*EIXI0 � EI: 01M Q�4FE�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X"��G E�:FE�MFT@Q�E�Q�4FE�[F/ 5801M Q�E6®?Q�PX³aµ>¶�T@V;5X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX � ����� 5@M<:a0 Q�PDXI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�PH³aµ\¶ � �����

CD4FE'V T /K/1T �]01M5�bE�®<5@7A[F/1E�:FE�P�X�B�0 � EIP!5�T MFE�° B�T S<MF: X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXW�]0KQ�4 [FBRT � 5n°� 01/10 Q7� À ��CD4F0KP�0KP Q�4FEbT M</G� T MFE6°OBRT SFMF:�X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXJ�]0 Q�4�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7���@B�E 5cQ�EIBQ�465@M �

�� CD4F01P;X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX 01Pa¦ EIB+� SFPRE�V SF/W5@MF: 01P;5@[F[F/K01X 5 � /1E!01M 5@M�� YH. =�°O/10G�@EX�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7­�

À �

Page 21: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

132 ��465 � ��� 9 T MFE6°OB�T@SFMF:`X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXb�]0KQ�4`[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� À 0KP(± V T B]58M�� ��*@· !

��� $ ±���* ( � "&·

� * $ � " � * $ � " 5@/3� 5��mP

��$ ±���* ( � "n·

F

CD4FEAV T /1/KT �]01M5��E6®<5@7L[</1E':FEIPRXIBR0 � EIP 5�P�0K7L[</1E T M<E�°OBRT SFMF:�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XW�]0KQ�4[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � �y � �

132 ��465 � � �� NOM�Q�4F0KP T MFE6°OB�T@SFMF:�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XH5@/K/*Q�4FE = � T�®�01MF[FS?Q�³aµ>¶�P E6®�°X�EI[<Q`T M<E�58B�E JIE�B�T5� µZMFE�= � T�® 01M<[FS<QC³aµ>¶ 01P�MFT8Q�JIEIBRT5¯H5@M<: 0KP�X 4FT P�E�M Q�T7L5n®?017A01J�E Q�4FE [FBRT � 5 � 01/10 Q7��Q�4658Q;Q�4FE 0KMF[FS<Qc³aµ\¶ 7b5��aX 5@S<P�E�Q�4FE�T S<Q�[<S<Q>³aµ>¶(�=m01MFX�E Q�4FE�B�E�5@B�EDPRE}¦@EIB�58/*0KMF[FS<Q � 0KQ�PWQ�4658Q 5@BREO� T 0KM5�H01M Q�THQ7� TUMFEI0G� 4 � T BR01M5� = � T ®?E�P� ��Q�4FE/- E�®?[65@M<P�01T@M­� EU465�¦ EUQ�T'EIMFPRSFB�EUQ�4F58QDQ�4FE>³aµ>¶]P�T8V>Q�4FEIPRE � 0KQ�P]58B�EHJIE�B�T5�CD4<EIB�E�58B�E�T M</G� Q7�3T [FBR0G¦858Q�E � 0 Q�P E�M\Q�EIBR01M5� EI5@X 4 = � T�® � CD4FEIPRE � 0KQ�P!X 5@M 4F5 ¦@EM<T M�JIE�B�T�³aµ>¶ ¦85@/1S<EIP� CD4<E � EIPRQ3P�SFX 4�[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� V T B3= À 01P � �y � ±h0¥� E"�3¯ Q�4FE�B�EZ0KP358ME�M Q�Bj�'Q�4658Q XIT M Q�5@01MFP À � [65@0KB�P Q�465cQ :<T?E�P3MFT@Q XI5@SFP�E�Q�4FE�01M<[FS<Q T@V Q�4FE�MFEI0G� 4 � T BR01M5�= �LT BH= � Q�T � E�MFT@M JIEIBRT�·��;CD4mS<P¯ 0KQ^01P^E 5@P+��Q�Td� E�QZ5bT MFE6°OBRT SFMF: X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� � �y � �]4F01X 4`01P !

� À ! � � "� -&" �]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� � �y ��4� (������>(3� � ! � � "� � " 58/G�35 �mP}�

� �

Page 22: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

CD4<01P]X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XHX 58M�5@/KP�T � Eb�]B�0KQRQ�E�M¹± V T B]5@M�����*3· 5@P !

��� $ ±���* ( ��� � ��� � ��� "&·

� * $ ��������� � ��� " � * $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � �y �$ &u± - ��� ��� ��� � "&·

��$ ±�� * ² � ��� ��� � � � "�( ��� � ��� ��� � "n·

F

µZMFE6°OB�T@SFMF:�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIPH�]0KQ�4`[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� ��5@BREU[�T PRP�0 � /1EUSFPR01M5�LMFT M`JIEIBRT0KMF[FS<QO³aµ>¶ 0KM`= �'T@B�= � �

CD4FEHV T /K/1T �]01MQ��E�®<5@7A[F/KEH:FEIPRXIB�0 � E�P�5�Q7� TD° B�T SFM<:`X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXb�]4F01X 4�01PDEI5@P+°0K/G�AT � Q�5@01M<EI: � ��X�T MFXI58Q�E�M658Q�0KM5� Q�4<E;Q7�3T'T M<E�°OBRT SFMF:�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP Q�4F58Q]5@BREZ:FE�°PRXIBR0 � EI:`01M�E�®<5@7A[F/1E�P À�� 5@MF: � !132 ��465 � � 9 Q7�3TD° B�T S<MF:aX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXb�]0KQ�4`[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� � �y � !

��� $ � ��� ��� � � � � ��� ��� ��� � "

� * $ ��������� � ��� " � * $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � �y �

�1* $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

��$ � � ����������� � ��� ��� ��� � "

F

F

� À

Page 23: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

G�EUX 5@M`MFT � V T BR7 SF/158Q�E;Q�4FEUE�®<5@X(Q;:FE � MF0 Q�01T@M�T@VW5'X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X !% �'&�(*),+-)/.0( � 9;M´��¢7���n K¡��s��©Q�"�j�*�������6¤o���f¤¥�]01P^5LQ�S<[F/1E � $V± ���/( ��� ( ��·O�]4FEIBRE���A5@M<: � 5@BRE � � 0 QM\SF7 � EIBRP>5@MF: ���U01P 5D/K01PRQ T@V*��EI/KEI7AEIM Q�P ��� $ ±�� �3(��76 (������>(����:·6¯EI5@X 4 T@VR�]4F0KX 4 01P;5b[65@0KB^T@V Q�4FE�V T BR7�� ��$ ±� �

�(� � � ·H�]4FEIBRE�� � � 58MF:�� � � 58B�E �� ��

� 0KQ M\SF7 � EIB�P�5@MF: � 01PUQ�4FE � /KT?X�� PR01JIEAT@V Q�4FEAXIBj�m[<Q�T Pj�mP Q�EI7­�`9 X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XP�58Q�0KP � E�PDQ�4FEHV T /K/1T �]01M5��B�E>=\SF0KB�E�7LE�M\Q�P>!� ��

$ Q�4<E BR0o� 4 Q]4658/KV>T@V ���� 6�

$ Q�4<E /KE�V Q]4658/KV>T@V ���i²�� ��� ��

$ Q�4<E BR0o� 4 Q]4658/KV>T@V �� � � ��

$ Q�4<E /KE�V Q]4658/KV>T@V �J²�� � �58MF:`V T@BDE}¦ E�Bj� �P� Q�� � � � ��� À !

� � � $ � � � ��

²�� ��� ��

% �'&�(*),+-)/.0( � 9 �6¤3¬n©*�a�Q�"¤«� �R¤«�«© �����7�[��������� �"¡e��¢7���n K¡�� ��©Q�"�j�*�������6¤o���f¤¥� � $± ���<( ����( ��·��"¡��u�"¡´¤«¡��*�7�[��¡��*��¡[�/¨���� *#0KPD5�[65@01B V T Bk�]4F0KX 4 &2* $ ��� 5@MF:�V T BQ�4FE � B�PRQX��B�T@SFMF:FP!T@V Q�4<E�EIMFX�Bj�m[<Q�01T M T8V Q�4FEb[65@01BUSFPR01M5�aQ�4FEL01MF:FE�[�E�MF:FE�M\QX�@E}�*#Q�4FE!01MF[FS?Qa³aµ>¶ T@VWQ�4<E ��� BRT SFMF:�E>=\S65@/KP�� �

�5@MF:`Q�4FE!T S<Q�[<S<Qc³aµ>¶ T@VWQ�4FE �V S<MFX�Q�01T M`E>=\S65@/KP�� � � �3.R¦@EIB+�a[F5@01BO�]4F0KX 4a0KP�M<T@QZ5'B�0G� 4 Q][65@0KBH�]0 Q�4`B�E�P�[*EIX�Q�Q�T'Q�4<EX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXU5@MF:�Q�4FEU01M<:FEI[*EIMF:<EIM Q��@E}��0KPDX 5@/K/1E�:a5 �R���n¡*¬\�Q�"¤«� �R¤«�«©­�����7�[�����?�7�

�«©[�J��©Q�"���*���7���6¤o���N¤¥�W�"¡��d� ©[�X¤«¡��*�7�[��¡��*��¡[�<¨����n�;CD4FBRT S5� 4<T S<Q;Q�4F01P^[65@[*EIB��3E BRE�V E�BQ�4FEI7�P�4FT B Q�/3� � ���6¤3¬n©*�g�Q�"¤«�35@MF: �R���n¡*¬>�Q�"¤«���% �'&�(*),+-)/.0( � CD4FEb���n¡����"����¡��"�f¤¥�n¡DT@V?5@M\��° B�T S<MF:UX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � � $ ± � �� ( � �� ( � � ·�]0 Q�4 5@M �i°OBRT SFMF: X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � 6 $ ± � 6� ( � 6� ( � 6 ·C�]4<EIB�E � � E>=\S65@/KPaQ�4<EP+� 58[F[�E�:W¦@58/1SFE T@V6Q�4FE Q7�3TU465@/3¦ E�PWT@V � 6� ¯ 0KP Q�4FE X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X � $ ± � �� ( ��� ( � 6 ·�]4<EIB�E ���`01P Q�4FEUXIT MFXI58Q�E�M658Q�01T M�T@V>Q�4FEU/K01PRQ�P � �� 5@MF: � 6� �

CD4FE V T@/1/1T �]0KM5�b:FE � MF0 Q�01T@MFP¯�/1EI7A7L5Q¯�X�T MFX�/1SFPR01T M 5@M<: Q�4FE�T B�E�7 :FEI5@//�]0KQ�4�Q�4<E[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�LT@V,X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP>!% �'&�(*),+-)/.0( �� ���n *¡�� ���£W�s��©Q�"�j�*�������6¤o���f¤¥� �F©Q�n�H�����"§���§¤«ª%¤«�f� ���� 0 V�� � � � � ��]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� ���� � ��Q�4FE � V S<MFX�Q�01T M1�

���

Page 24: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

% �'&�(*),+-)/.0( �� ¡ ��¢7���n *¡�� ��©Q�"�j�*�������6¤o���f¤¥� � ©Q�n�\�����"§���§¤«ª%¤«�f� ��� 0 V ��� 01PUQ�4<E[<B�Tm:FSFX�Q�T@V>Q�4<E [<B�T � 5 � 01/K0KQ�0KEIP T@V,0 Q�PO� BRT SFMF:FP !� � $

����� � �

�� �

�T@Q�E�Q�4658Q � � :FE � MF0 Q�01T@MFP � 5@MF: À"À Q�4FE�[FBRT � 5 � 01/10 Q7� T@V^5 X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX ��]4<01X 4 01P�Q�4FE�XIT M<X 58Q�EIM658Q�01T M T8V�Q�4FE�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�� � �]0KQ�4 Q�4FE�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X� 6 01PHQ�4FEA[FBRT?:FS<X�Q!T@V Q�4<EI01BU[FBRT � 5 � 01/10 Q�0KEIP>! � � $ � ��� � � ��� ��9;P!5`BREIP�S</KQ�¯ E}¦@EIBj��{°OBRT SFMF:�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X^X 5@M � EZ:FE�P�X�B�0 � EI:`5@P Q�4FEZX�T MFXI58Q�E�M658Q�0KT M�T@Vl� T@MFE�° B�T SFM<:X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIPH�]0KQ�4a[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�u�]4F01X 4a01P]Q�4FE [FBRT?:FS<X�QZT8V,Q�4<E�T MFE6°OBRT SFMF:aX 465@B+°58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXIPD[FBRT � 5 � 01/10 Q�0KEIP�� � .�; � 4 CD4<E�V T@B�7L5@/1/3�D:FE � MFEI:![FB�T � 5 � 01/K0KQ7�]T@V<5 X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X � $ ± ���/( ��� ( ��·0KP^Q�4FE�5@X(Q�S65@/ [FB�T � 5 � 0K/10KQ7�bQ�4658QH5@M�� � ®?E�: [</ 5@0KM\Q�E�®mQZ[F5@01B�P�58Q�01P V«�?0KM5� &2*�$ ��� 01P5�BR0o� 4 Q][65@0KBk�]4FE�M�B�58MF:FT 7 0KMF:FE�[�E�MF:FEIM Qa�@E��?P^5@BRE S<P�EI:�� ;-. .� CD4<E [FB�T � 5 � 01/K0KQ7� T@V 58M�� � ®?EI: [</ 5@0KM\Q�E�®mQ�[F5@01BLP�58Q�01PRV«�m0KM5� &2* $ ��� Q�T� E�5aB�0o�@4\Q�[65@0KB!0KP!Q�4<E�[FB�T � 5 � 0K/10KQ7��Q�4658Q 58Q�58/1/ Q�4FEbB�T SFM<:FP ! � �

� � � � � CD4<E[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� 58QLE 58X 4 B�T SFM<: 01PA01MF:<EI[*EIMF:FE�M Q�T@VH0KQ�PLE6®<5@X�Q�0KMF[FS<Q´± 58Pb[FBRT&¦@EI: 01M/KEI7A7b5 À · 5@MF: 0KMF:FEI[*EIM<:FEIM Q�T@VDQ�4FE�58X�Q�0KT M T8VDQ�4FEL[FB�E�¦?0KT SFP BRT SFMF:<P�±hPR01MFX�ELQ�4<E0KMF:FE�[�E�MF:FEIM Qu�@E��?PLXIT 7A[F/KE�Q�E�/G��B�5@M<:FT 7A01JIE�Q�4FE�01MF[<S<Q�P�Q�T EI5@X 4 = � T�® ¯3/KE 5�¦m01M5�T@MF/G�'Q�4<Ec³aµ>¶ ¦85@/1S<E � ®?EI:{·6��CD4FEIBRE�V T BRE"¯<Q�4FEZ[FBRT � 5 � 0K/10 Q7�'T@V>5 [65@0KB Q�T � EH5 BR0o� 4 Q[F5@01B 01P Q�4FEH[FBRT?:FS<X�QDT@V+Q�4FEZ[FBRT � 5 � 0K/10 Q�01E�P T8V � �

� � � � ¯Q�]4F0KX 4d� 58PD:FE � M<EI:a5 � T ¦@E58P]Q�4FEU[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�AT@V>Q�4<E X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX"�

"6T B][FB�5@X�Q�01X 58/ [FSFB�[*T PREIP^Q�4FE P�0o�@MF0 � XI5@M Q�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�J�]0KQ�4aBREIP�[*EIX(Q;Q�Tb5AX 465@B+°58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX 01PWQ�4FED[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� Q�4658Q 5H[65@0KB/�]4FT PRE][F/ 5@0KM Q�E�®mQR³aµ>¶�E =mSF5@/1PWQ�4FE]X 465@B+°58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � P [</ 5@0KM\Q�E�®mQ<³aµ\¶ 0KP35�BR0o� 4 Q [65@0KB�SFP�0KM5��5 � ®<E�:d�@E���± Q�4FE^T MFE��3E�Q�Bj�'Q�T� MF:{·�� CD4F0KPH[FB�T � 5 � 01/K0KQ7��0KPZMFT@QUX�T MFPRQ�5@M QHV T BH5@/K/>Q�4FEW�@E��mPi±h5@Pb� E�P�4FT � /158Q�E�BZ01MQ�4F01PH[F5@[�E�BU01M 5�P�[*EIXI015@/ X 58P�E ·6� �^T �3E�¦ E�B¯�� EL5@P�PRSF7LE�Q�4658QHQ�4<EAX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX � P[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�L01P]5X¦ E�Bj��� TmT?:�58[F[FB�T�®?017L58Q�01T M�T@V 0KQ¯Q�]4F0KX 4a0KPDSFP�S658/1/G�LQ�4FEUXI5@P�ED�

9�V Q�EIBDQ�4F01P V T BR7b58/ :F0KP�XIS<P�P�0KT M��3E P�4FT � 5 Q�4FB�E�E�°OBRT SFMF:`X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X !132 ��465 � � � 9;M E6®mQ�EIM<P�01T@M Q�TaQ�4FB�E�E�B�T@SFMF:FP!T@V Q�4<EbX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XL:FEIPRXIB�0 � E�:0KM�E�®<5@7A[F/KE À:À X 58M � EH58X 4F01E�¦ EI: � ��X�T MFX 5cQ�EIMF58Q�0KM5��0KQ?�]0KQ�4�Q�4FEZX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X;T@V

� �

Page 25: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

E6®<5@7L[</1E À�� �WCD4\SFP35 Q�4FB�E�E�°OBRT SFMF:LX 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XH�]0KQ�4L[FB�T � 5 � 0K/10KQ7��� � �y ��� 6�� � � � 0KP>!

��� $ � ��� ��� � � � � ��� ��� ��� � "

� * $ ��������� � ��� " � * $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � �y �

�1* $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

� * $ � ��� ��� � � � " � * $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � �y �

��$ � � ����� � ��� � ��� ��� ��� � "

F

F

F

�]4<EIB�EL01M Q�4FE'V T SFB Q�4�B�T SFM<:���*;$ � *K² � *<$ �2*<$ � *.�bG�EbPREIEAQ�4658Q\�]4FE�M Q�4<E[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�P :F0 �EIB>01M!Q�4FE � ¦ EDPR[�E�XI0 � EI: � 0 Q,/KT?XI58Q�0KT MFP¯&�]0KQ�4 [FBRT � 5 � 0K/10 Q7�U5 � T S<Q � � � Q�4FEIBRE^0KP35U:F0 E�B�EIM<XIE�T@V T MF/3� Q�4<B�EIE � 0 Q�P 58Q�Q�4FE�01MF[<S<Q T@VQ�4<E�V T S<BRQ�4AB�T@SFMF:1� 9�V Q�EIBQ�4FE � 0KQ�E6®?[65@MFPR01T M1¯ � ¦@EZ= � T�®?EIP 465�¦ E�MFT MAJIE�B�T 01MF[<S<Q�³aµ\¶ 58MF:AQ�4FB�E�E]465�¦ E�JIEIBRT0KMF[FS<QR³aµ>¶]P358MF:AQ�4\SFP J�EIBRT!T S?Q�[FS<Q<³aµ>¶�P}�WNOM'Q�4F0KP XI5@P�E�0KQ�0KP [�T@P�P�0 � /1EDQ�T :<EI:FSFX�EÀ � � 0KQ�PDT8V � * � � � * $� * ² * �

CD4F0KP�PRQ�BRSFX�Q�SFB�E T@V Q�4FBREIE B�T S<MF:FPC�]0KQ�4 5 JIE�B�T 01MF[<S<QC³aµ>¶ 01M Q�4<E�7A01:F:</1EBRT SFMF:a01PH¦ E�Bj�`SFP�E(V SF/ 5@MF:aV T@B�7AP]Q�4FE � EIP Q;[*T PRP�0 � /1E [FB�T � 5 � 01/K0KQ7�LV T BDQ�4FBREIE�° B�T S<MF:X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP 6 � 9�PR017A01/ 58B PRQ�BRSFX�Q�SFB�E3X 5@M � E SFPREI:�0KM � ¦@E�°OBRT SFMF:�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP�CD4<E;7A01:F:F/KEDB�T S<MF:�465@P JIE�B�T 0KMF[FS<Q35@MF:LT S<Q�[FS<Q<³aµ\¶]P 58MF:LQ�4FEIBRE;01P 5!P+�m7L7AE�Q�Bj�B:."�5�� � �%�B&'&�02��!C5 0 � 4 -."��9� $'"�5�� :�3=4?>.�B& !C$2� "�� �=46&'&2"�3��%� !#5E- 0'��� $'� !C$2��� ��!C$'!���02�B$2"/& 02"�� &,4#�

02��"/& & 02$'����0'��$2���A"�02��0 � 4 -�"��9� $'"�5���:<3=4?>.�B&��.�B!�� ���A"�02��02��� 3=�B& 0 �=46&'& "%3��%�,��$2463�!#3�"%�%" 0 ��� � "! G� �

Page 26: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

58B�T SFM<:a0 Q�¯<0N� ED� !

��� $ ±���* (��5*%·

� * � * $ � * �]0KQ�4aPRT 7AEH[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� ��#

�1* $ � * $��5* � * $���*"² � * �]0KQ�4aPRT 7AEH[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� ���

� * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

* $ �5* ��* $ ��*:² � * �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ���

- * $ � * � * $�� * �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��#

� $ ��� $ ±���* (��5*%·

F

F

F

F

F

G 4<EIB�EA01M Q�4FELPR03®mQ�4 B�T@SFMF: � * $ � * ² - * $ � * ² � * $ � * �LCD4FEAE�®?0KPRQ�E�MFXIELT@V35P Q�BR01M5� � * � * � * EIMFPRSFB�E�PDQ�4FEHE6®<0KPRQ�EIMFX�E T8V PRSFX 4a5 � ¦ E6°OB�T@SFMF:`X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX"�CD4<E�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X � P [FBRT � 5 � 01/10 Q7� 01P =\SF0KQ�E�/1T �jPR01MFX�EbQ�4<B�EIE�= � T�®�01M<[FS<Q�P�7 SFPRQ:<0 �EIBH01M � T@Q�4 BRT SFMF:FP � ** � *,58MF: � ** � *«¯>5@MF: P�0@® 01M Q�4FEW�]4FT /KE � ¦ E�° B�T S<MF:X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX"�ZCD4FE � EIP QH[FBRT � 5 � 0K/10 Q7��V T BZ5@M = � T�®�01P � yy � $ ���HCD4F0KPZ/10K7L0 Q�P Q�4<E

� ¦ E�° B�T S<MF: X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X � P�[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� Q�T � EL/1T � EIB!Q�465@M T@B�E>=\S658/ Q�T � �� � y $

�� ��$ y � NOM�Vh5@X�Q¯FQ�4FE � EIP Qa�\MFT �]M � ¦ E6°OB�T@SFMF:`X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXU465@P][FB�T � 5 � 0K/10KQ7�L5 � T S<Q��'� � � y �

Page 27: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

9^7LT MQ�'Q�4FEU7LT@PRQ]SFPRE�V SF/+X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P]5@B�EHQ�4<T P�EHQ�4F58Q�X 5@M � E 0 Q�E�B�58Q�EI:1�% �'&�(*),+-)/.0( � 9 X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � $ ± ���<( ����( ��·W01PWXI5@/1/KEI:'5@M�¤«�7�����"�f¤��"�>��©Q�"�6¢�*���7���6¤o���N¤¥�30KV>Q�4<E P+� 58[F[�E�: ¦85@/KSFEHT@V>Q�4FEHQ7� TL4658/G¦ E�P]T@V ��� E>=\S658/1P ���

G�E�XI5@M�X�T MFX 5cQ�EIMF58Q�E�5@M�0 Q�EIB�58Q�03¦ E�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�Q�T�0KQ�PREI/ VH5@M�� M\SF7 � EIBAT@VQ�017AEIP;5@MF: X 58M�� E�QHX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIPc�]0 Q�4 5@M 5@B � 0KQ�B�5@B+�`MmS<7 � E�BZT@V�BRT SFMF:FP}�!CD4<E58:Q¦85@M Q 5"� E]T@V�0KQ�EIB�58Q�03¦ EDX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P 0KP Q�4658QR� E�X 5@M � SF0K/1:A5@MJ��°OBRT SFMF:AX 465@B�5@X�°Q�EIBR01PRQ�01X]V T B 5@M��b/15@B�� E�� �]0 Q�4b5 � ®?EI:�BREI:FSFX(Q�0KT M�B�5cQ�E;T8VQ�4FE;[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�!V T B3EI5@X 458:F:F0KQ�01T MF5@/ BRT SFMF:1¯[�]4F0K/1EH0KMaMFT@Ma0 Q�EIB�58Q�03¦ EUX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P]Q�4FE B�EI:<SFX�Q�01T M`B�58Q�EUT@VQ�4FEU[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�LSFPRS65@/1/3�b0KMFXIBRE 5@PREIP�:FSFEHQ�T�Q�4FE 5 ¦85@/15@MFX 4FEUE� E�X�Q��CD4FE�B�E�58B�E�PRE}¦@EIB�58/P�\01MF:FP^T@V�0KQ�EIB�58Q�03¦ E X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXIP � S<Q;Q�4FE�PR017A[F/1E�PRQ^T MFE�P58B�E Q�4FE37AT P QWSFPRE�V SF/N�,CD4FE�P�E X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�P 5@BRE � 5@PREI: T@M�5;MFT M�JIEIBRTZ01M<[FS<Q/³aµ>¶Q�TDQ�4FE ��V SFMFX(Q�0KT MHQ�4658Q+7L5��HX 58SFP�E 5]JIEIBRT^T@S<Q�[FS?Ql³aµ>¶ ± 0¥� E"�3¯ Q7�3T�:F0 E�B�EIM Q>01M<[FS<Q�P

�m0KEI/1:LQ�4FEZP�5@7AEZT S<Q�[FS<Q6·6� CD4F01PD0KP3[*T P�PR0 � /KE;0KM�YH. =b0 V+58QD/KE 5@P Q Q�4<B�EIE;MFEI0G� 4 � T BR01M5�= � T�®?EIP :<0 �EIB�0KM�Q�4FEb[65801Bi± Q�4<01P�[<4FEIMFT@7LE�M65�01P!5@/KP�T�:<EIP�X�B�0 � E�: 01M ¼ ¯ À ¿.·���CD4<EP Q�BRSFX�Q�SFB�E T@V>Q�4FE�P�E X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXIP]01PD:<EIP�X�B�0 � E�:a0KM�Q�4FEHV T /1/KT �]01M5� E6®<5@7L[</1E"�132 ��465 � � � N V�Q�4FED01M<[FS<QR³aµ>¶�T@V Q�4<E � V SFMFX(Q�01T@M�01P 7L5@B��8EI: � ���a¯ P}� Q��� �Q�4FEIM�� E!465�¦@E Q�4FEHV T /1/KT&�]0KM5� 0 Q�EIB�58Q�03¦ EZX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX�!

��� $ ±���* (��5*@·4$ ±�� ( � ·

� * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

�1* $ � � * $ ��*D² � * $�� �]0KQ�4aPRT 7AEH[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�

��$ ±��5* (���*%· $ ± � (���·

F

F

CD4FE � EIP Q P�S<X 4AX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX3465@P,[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� 5 � T S<Q �6 � � �W9 � ¦ E�° B�T S<MF:'X 465@B+°58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � 5@PREI:`T M`Q�4F01PD0 Q�E�B�58Q�0G¦ EHX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXH465@P][FB�T � 5 � 0K/10KQ7�b5 � T S<Q �x7x � � � �

� �

Page 28: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

CD4FEUP Q 58Q�01PRQ�01XI5@/ � EI465�¦m01T@B T@V>7LT@PRQDX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�PD:FTmEIP]MFT@Q]58/1/1T � SFPDQ�T�/1TmT:�V T@B;Q�4FE�0KM Q�EIBRP�E�X�Q�0KT M T@V 5@/K/>Q�4FEW�@E��?PUPRS5�:� E�PRQ�E�: � �aQ�4FEX¦85@BR01T SFP;[65@01BRPZ5@Pb� E�:F0K:0KM E�®<5@7A[F/1E­½K¯ P�0KMFXIE�Q�4FE�01M Q�E�B�P�E�X�Q�01T M 01P�S<P�S65@/K/G� EI7A[<Q7� !�Q�4FEC�]B�T MQ��[65801B�P�:<TM<T@Q�MFE�XIEIPRP�5@BR01/3��/K01PRQLQ�4FE�B�0o�@4\Qd�@E}� 5@P�5 [*T P�PR0 � /KE ¦85@/KSFE"� �^T � E}¦@EIB¯a�3E��\MFT �Q�4658Q!Q�4FELB�0o�@4\QY�@E�� ¦85@/KSFELPR4FT SF/K: B�E�P�SF/ Q�V BRT 7 5@/1/ Q�4FE�B�0G� 4 Q�[F5@01BRP(�]4F0KX 4 TmXIXIS<B±h5@[F[FBRT�®<0K7b5cQ�EI/3�Q·��]0 Q�4`Q�4FE!X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � P;[FBRT � 5 � 01/10 Q7�:� 9^/1/ Q�4<E�T@Q�4FEIB�[�T@P�P�0 � /1E�8E}�­¦85@/1SFE�P;58B�EUVh5@01BR/G��B�5@MF:FT 7A/G��:F01P Q�B�0 � S<Q�EI:"! Q�4FE!E�®?[�E�X�Q�EI:´³aµ>¶ ¦85@/KSFEu± �]4F0KX 40KPDSFP�SF5@/1/3�bMFT8QDQ�4FEHBRE 5@/1¦85@/KSFEZ01M�Q�4FEU[65@0KB�·<�]0 Q�4�Q�4FE>�\MFT �]MaXI01[<4FEIB Q�E�®mQ][65801B XI5@MXI5@SFPREH5@M��d�8E}�J¦@58/1SFE�Q�T � EZ[*T P�PR0 � /KE"¯?5@MF:�E}¦@EIM�Q�4<Ec�]B�T MQ�X�@E��i¦85@/1S<EIP3PRS5�:� E�PRQ�EI:� � Q�4FE�B�0G� 4 Q�[65@0KB�P�58B�E =\SF0KQ�E�B�5@M<:FT 7­� 03T M<P�E>=\SFE�M Q�/G�"¯3Q�4<E�B�0o�@4\QX�@E}� 5@[F[*E 5@BRP�]0 Q�4�Q�4FE X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X � Pb[FB�T � 5 � 01/K0KQ7��± V B�T 7 B�0G� 4 Q�[65801B�P�·'[</1SFP�T8Q�4FE�B�B�5@M<:FT 7TmXIX�SFB�BREIMFX�EIPi± V BRT 7 �]BRT M5�`[65@01BRP�·6� C T � M<: Q�4FE-�@E}��� E �RSFPRQ 465�¦@E'Q�T�XIT SFM QUQ�4<EM\SF7 � E�B^T@V TmXIXIS<B�B�E�MFXIE�PZT@V E 5@X 4�T@V Q�4FE P�S5�:�@EIPRQ�EI:´�8E}�mP�DCD4<E!BR0o� 4 QH�@E��`01P]/10G�@EI/3�Q�T � EHQ�4<E T@MFEHQ�4658Q]TmXIX�SFB�P]7AT PRQ]T8V Q�EIM��

.�5@X 4 X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01Xa/1E(Q�PbS<Pb/1TmT:� V T BL5 [658BRQ�0KXISF/15@B'M\SF7 � EIBbT8V � 0KQ�PL0KM Q�4<EPRS � �8E}� T8VDQ�4FEL/ 5@P Q B�T@SFMF: ±h5@/1/ Q�4<E � 0 Q�P!Q�4658Q�EIM Q�E�B P�T 7AEb[F5@BRQ�01XIS</ 5@B!= � T�®<E�P�·6�CD4<E�7AT PRQ�SFPRE�V SF/>X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP^5@BRE Q�4FT P�E(�]4F01X 4a465�¦ E�5L7L5n®?017L5@/[FBRT � 5 � 0K/10 Q7�58MF:�5D7L5n®?017L5@/@M\SF7 � E�B>T8V<PRS � �@E�� � 0KQ�P1�]4<T P�E T?X�XISFBRB�E�MFXIE�P,X 58M � E�XIT SFM Q�EI:1�5� E�Q�¯0 Q�01P�MFT@Q^MFEIX�EIP�P�5@Bj�aQ�TLXIT SFM Q;T M 5@/K/Q�4FE![�T@P�P�0 � /1EUPRS � �@E�� � 0 Q�P}�DCD4FE 5@:K¦@58M\Q�5"� E�PT8V,X�T SFM Q�0KM5�LT@M�5@/K/ Q�4<E![*T P�PR0 � /KEHP�S � �@E}� � 0 Q�P�5@BREUQ�4FE\� TmT?:�01:<EIM Q�0 � X 58Q�01T M�T@V>Q�4<EBR0o� 4 QW�8E}� ¦85@/KSFE�5@MF: Q�4FE�P�7L5@/1/35@7AT SFM Q�T@V^:658Q�5 MFEIE�:FEI:1� ��T �3E�¦ EIB}¯ XIT@SFM Q�01MQ�Q�4FE;M\SF7 � E�B T@VT?X�XISFBRB�EIM<XIEIP3T@V+5@/K/FQ�4FE^[�T PRP�0 � /1EH¦85@/1SFE�P T8V+5 /15@B��@E^M\SF7 � EIB T@V � 0KQ�PS<P�S65@/K/G��:FE�7b58MF:FPZ4\S5� E!7LE�7LT@Bj�C�]4F0KX 4 X 5@M 7L5"�8E!Q�4<E 58QRQ 5@X��`017A[FB�58X�Q�0KX 5@/N�3G�EXI5@MbX�T SFM Q T Mb5 P�7L5@/1/KEIBWM\SF7 � E�B T@V P�S � �@E}� � 0 Q�P�EIM Q�E�B�0KM5� 5UP�7L5@/1/KEIB M\SF7 � EIB T@V =� T�®?EIP¯?5@MF:LSFP�E^5@/K/<Q�4FE�T@Q�4FEIB = � T�®?EIP T MF/G��Q�T 01:FE�M\Q�0KV«� 5@MF:b:<01P�XI5@B�:'Q�4<T P�EH�]B�T MQ�[F5@01BRP 0KM �]4<01X 4�Q�4FEA01MF[FS?Q(³aµ>¶]P!0KM P�SFX 4 = � T�®?EIP!X 5@M<MFT@Q X 5@S<P�ELQ�4FEAE�®?[�E�X�Q�EI:T@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶�P}�3=m01MFX�EH5 � T S<Q � � � T@V Q�4FEHEIM Q�B�01E�PD01MbQ�4FEH[65@0KB�P<³aµ\¶ :F01P Q�B�0 � S<Q�01T MQ�5 � /KEIPUT@V Q�4FEL= � T�®?EIP!5@B�E'0K7L[*T P�PR0 � /KE"¯ 5 � T S?Q � ��� T@V Q�4FEW�]BRT M5�`[65@01BRPHX 5@M � E:<01P�XI5@B�:<EI: � ��EI5@X 4�= � T�® � E(V T B�EZQ�4FE}�`58B�EU5@X(Q�S65@/K/G�bXIT SFM Q�EI:1�

CD4FE V T /1/KT&�]0KM5�]:FE � MF0KQ�01T M!5@MF: /KEI7A7b5O� 03¦ E SFPW5]Q�TmT / Q�T;E�¦85@/1S65cQ�E�Q�4FE SFP�5 � 01/10 Q7�T8VW5�XIT@SFM Q�01MQ�LPRX 4FEI7AE � 5@P�E�:�T M`5'X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X�!% �'&�(*),+-)/.0( � CD4FE^B�58Q�0KT � E(Q7�3E�EIM�Q�4<E^M\SF7 � EIB T@V B�0o�@4\Q [65801B�P 5@M<:LQ�4<E;5�¦ E�B�5"�@EX�T SFM Q]01M�5 XIT SFM Q�01M5��PRX 4FEI7AEU01P3XI5@/1/KEI:�Q�4FEY��¤3¬"¡��"ª��7�-¡��n¤o� �b���"�f¤¥�i��£c� ©[�����n K¡[�f¤«¡*¬� ��©[���i�35@M<:a0KPD:FEIMFT8Q�EI: � ��� �� �

�"½

Page 29: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

C>T � MF: Q�4<E�B�0G� 4 QW�@E�� 01M 5aXIT SFM Q�01M5� PRX 4FEI7AEd�3E�MFE�EI: 5�4F0G� 4 [FBRT � 5 � 0K/10 Q7�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXH5@MF:�E�MFT S5� 4�X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ][65@0KB�P Q�TW� S658B�5@M Q�E�EZQ�4FE;E�®?01P Q�EIM<XIEHT@V>P�E�¦�°E�B�5@/,B�0o�@4\QZ[65@01BRP�!CD4F01PH7AE 5@M<PZQ�4658Q;V T BU5�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XX�]0KQ�4 [FB�T � 5 � 01/K0KQ7� ��'� � � �� E]MFEIE�:bPRE}¦ E�B�5@/6Q�EIMFP�T@V*Q�4FT@SFP�5@M<:FP T8V [65801B�P}� ��T&��7b58M���[65@0KB�PP� E^MFE�EI:A:FEI[*EIM<:FPT@MAQ�4FE][FB�T � 5 � 01/K0KQ7�!T@V*Q�4FE]X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XD¯\Q�4FE]M\SF7 � EIB�T@V1�8E}� � 0 Q�P Q�4F58QR�3E�XIT@SFM QT@M�5@MF:AQ�4FEZ/KE}¦@EI/*T@V 01:<EIM Q�0 � X 58Q�01T MLT@V1�]BRT M5� [65801B�P�Q�4F58Q3XI5@M � E;:F0KP�XI5@B�:FE�: � E(V T B�EQ�4FE X�T SFM Q�0KM5�5�ZN V�� E�5@B�E�/1TmT:�\01M5�'V T B �s�8E}� � 0KQ�P^Q�4<EIM´� E�XIT SFM QZQ�4FE M\SF7 � EIB;T@VTmXIX�SFB�BREIMFX�EIP T8V ���'[*T P�PR0 � /KEu�8E}�p¦85@/1SFE�P!0KM ���AX�T SFM Q�E�B�P}�`CD4<EbXIT@SFM Q�EIBRP�X�T M Q 5@0KM58M 5�¦ E�B�5"� ELXIT S<M\Q!T@V�� 7 � 7 �6�� XIT SFM Q�PY�]4FE�B�E�� 01PUQ�4FEAM\SF7 � EIB�T8V [65@0KB�P}¯ 01PHQ�4<E5�¦@EIB�5D� EUXIT SFM Q�[*EIBDXIT@SFM Q�EI:a[65@0KBD5@MF:�� 0KP Q�4FEUB�58Q�0KT T@V>Q�4FEUXIT@SFM Q�EI:�Q�TA5@/K/ [65801B�P± 0¥� E"�3¯WXIT@SFM Q�EI: 5@MF: :F0KP�XI5@B�:FE�:{·�� CD4<E`BR0o� 4 QW�8E}� ¦85@/KSFE�01P�X�T SFM Q�E�:�5 � T S?Q�� ���Q�017AEIP!SFP�0KM5��Q�4<E�B�0o�@4\Q�[65@0KB�PY�]4<EIB�E � 0KP!Q�4FE�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X � P [FBRT � 5 � 01/10 Q7�:¯ [F/1SFPQ�4FE B�5@MF:FT 7 XIT@SFM Q�PUEIP Q�017L58Q�EI: 5 � T ¦ E V T B;5@/1/+Q�4<E�[�T PRP�0 � /1EY�@E}�mP}��CD4FE�PR0o� M658/>Q�TM<T 01PREHB�58Q�01T�T@V,5AX�T SFM Q�0KM5�'P�X 4FE�7LE 01P Q�4FEIBRE�V T BRE�!

� �� $ � � �� � ��� � � $ ��� ���

����

9 PR017A[F/1E'X�T B�T /K/ 5@B+� T@VDQ�4<01P!V T@B�7 SF/15`0KP!Q�4658Q�Q�4FE�PR0o� M658/�Q�T MFT 0KP�ELB�58Q�01T�T8V�5X�T SFM Q�0KM5��PRX 4FEI7AE�01PZ0KMF:FE�[�E�MF:FEIM QUT@V Q�4FE�5@7AT SFM Q;T@V�[65@0KB�P;S<P�EI: 0KM�Q�4FE�P�X 4FE�7LED�9^MFT@Q�4FEIB XIT BRT /1/15@Bj�!01P Q�4658Q :F0 �EIBREIM Q XIT SFM Q�01M5� P�X 4FE�7LE�P � 58P�EI:LT MLQ�4FE�P�5@7AE]X 465@B+°58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � S<QH�]0KQ�4`5':<0 �EIB�E�M Q^M\SF7 � E�B�T8V,PRS � �@E�� � 0KQ�PD465�¦ E :F0 �EIBREIM Q � �� ���P�S65@/K/G�p� E�B�E�/ 58Q�EAQ�4FE�M\SF7 � EIB!T@V][65@0KB�P MFEIE�:FEI: � � 5aXIT SFM Q�01M5� PRX 4FEI7AEbQ�TQ�4FE�M\SF7 � EIBUT@V�Q�4<EABR0o� 4 QH[F5@01BRPZMFEIE�:FEI:���CD4FE'MmS<7 � E�BUT@V B�0o�@4\QZ[65@01BRPHMFEIE�:FEI: 01P7L5@0KMF/G��5ZV SFMFX�Q�01T MAT@V*Q�4FE�P�0G� M65@/?Q�T MFT 01PRE]B�58Q�01T5�+G 4FEIMAQ�4FE � �� 01P 4<0o� 4'EIM<T S5� 41¯T@MF/G��5ZV E}� TmXIX�SFB�BREIMFX�EIP T@V*B�0G� 4 Q�[65@01BRP 5@BREDMFEIE�:FEI:AQ�TUSFMF0 =mS<EI/G��01:FE�M Q�0KV«� Q�4<E�BR0o� 4 Q

¦85@/KSFEbT8V Q�4FEbP�S � �8E}� � 0KQ�P�aG�E�T � P�EIB+¦ E�: E6®?[�E�B�017AEIM Q�5@/1/3� Q�4658QY�]4FEIM Q�4FE � ��0KP'5 � T S<Q À�� �K¯ 5 � T@S<Q � � � � � T?X�XISFBRB�EIM<XIEIPAT@V^B�0G� 4 Q�[65@0KB�P'5@BRE�P�S � XI0KEIM Q�� G 4FE�MQ�4FE � �� 0KP�7�SFX 4 4F0G� 4FEIB�E}¦@EIM � � � BR0o� 4 Q�[65@0KB�P�5@B�E SFPRS65@/1/3��EIMFT@S5� 41� G 4FE�M�Q�4<E� � 01P^7 SFX 4 PR7b5@/K/1E�B]Q�4FE 0K:FEIM Q�0 � X 5cQ�01T@M�T@V Q�4FE B�0G� 4 Qa¦85@/KSFE�T8V Q�4FE!P�S � �8E}� � 0KQ�PBRE>=\SF0KB�EIP�5@M`SFMFBRE 5@PRT M65 � /G��/15@B�� E;MmS<7 � E�B]T@V,[F5@01BRP�

NOMa7b5@M��`58QRQ 5@X��\PH�3E!SFP�E!P�E�¦ EIB�5@/>P�017�SF/KQ�5@MFEIT@SFP]X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXIP}�3NOM�T@B�:FE�B�Q�T7A01M<017A01JIEAQ�4FE`M\SF7 � EIBAT@VZX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�PLMFEIE�:FEI:�¯��3EaX 5@M [65@X�� Q�4<EI7 01M Q�T 7AT B�EE�XIT M<T 7L0KX 5@/ PRQ�BRSFX�Q�SFB�E�P�% �'&�(*),+-)/.0( � 9�� Q�"�6������0KP!5�PRQ�B�SFX(Q�SFBRELT8V3V T SFBUX�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P Q�4658Q PR017 SF/ Q 5@M<E�°T@SFP�/3�aX�T M Q 5@0KMFP]Q7�3T�X�01[F4FE�BRQ�E�®mQH[65@0KB�P�T@V T M<E�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�5@MF:aQ7� T�XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ

� �

Page 30: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

[F5@01BRP;T@V 5�PREIXIT@MF: X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX"�Z9^M � ������� 01PH5LPRQ�BRSFX�Q�SFB�E�T8V�EI0o�@4\Q;XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�PQ�4658Q P�0K7 SF/ Q 5@MFE�T SFPR/G� X�T M Q 5@0KMFP�V T SFB�XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q3[65@0KB�P�T@VEI5@X 4bT8V Q�4<B�EIE�X 465@B�5@X�Q�EIB�°0KPRQ�01XIP}�132 ��465 � � � CD4FEDV T /1/KT �]01M5�;V T@SFBW[F/15@01M Q�E6®mQ�PWV T BR7 5 =\S65@BRQ�E�Qc± �]4<EIB�E �4� 5@M<: ��658B�EHQ�4FEU[F/15@01M Q�E�®mQ�³aµ>¶�P]T@V Q�4FEUX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�P�·3!

À �]9 B�5@MF:<T 7 [F/15@01M Q�E6®mQ &J��K� & ² � ����Q� & ² �/6 �� � & ² � �9² �/6�

CD4<E'Q7� T`[65@01BRPZT@V�Q�4<E � B�PRQUX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX'5@B�E Q�4FE�[65@0KB�PH/ 5 � E�/1EI: ± À ¯��:·Z58MF:e±��Q¯� ·]58MF:`Q�4FEUQ7�3TA[65@0KB�P]T@V,Q�4FEUP�E�XIT MF:�X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX 5@B�EHQ�4<E![65801B�PD/15 � EI/1E�: ± À ¯ ��·58MF:¹±��K¯ � ·6�

CD4FEbSFP�ELT@V Q�4<EIP�EbPRQ�BRSFX�Q�SFB�E�P X 58M � EA:FT M<Eb01M Q7�3T � 5��mP�`G 4FEIM 58M 58QRQ 5@X��S<P�EIP?��[65801B�P�T@V E 5@X 4bT MFE;T8V Q7� T X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP�� E;X 58MbSFPREc� �� =\S65@B Q�E�Q�P?�]4F0KX 4X�T M Q 5@0KM�Q�4FELP�5@7AEb01M?V T B�7L58Q�0KT M 5@P E 5@X 4 T@V Q�4<Ei� [65@01BRP!T8VDE 5@X 4 X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX"�CD4\SFP}¯�� E�P�5�¦ E 4F5@/KVWQ�4FE :65cQ 5Q� �^P�0KM5�bQ�4FB�E�E X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP��3E�X 5@M P�5 ¦@E�� ��AT@VQ�4FE�:658Q�5Q� CD4FE�T@Q�4FE�B�5@[F[<B�T 5@X 4 0KP SFP�E�:z�]4<EIM 5@M 58Q�Q�5@X�� XI5@M P�0K7 SF/KQ�5@MFE�T SFP�/3�S<P�E]Q7�3T!X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXIP��]4F01/KEDXIT S<M\Q�01M5�UQ�4<E^P�5@7LE � 0 Q�P}�WCD4FEIMJ�3E�X 58Mb:F03¦?0K:FE Q�4<E:F58Q 5�PRT Q�465cQ 465@/ VDT@VDQ�4FE�[65@0KB�P�5@B�E � 5@P�E�: T M Q�4FE � B�P Q�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�58MF: Q�4<ET8Q�4FE�BH465@/KV T M Q�4FE'P�EIX�T MF:1� G 4<EIM =\S658BRQ�E(Q�PUX 58M � E'SFP�E�: � E'X 5@M P�5�¦@EA4F5@/KV�Q�4<E:F58Q 5Q¯F5@MF:��]4FEIMaT?X(Q�E�Q�P]X 5@M � EHS<P�EI:­�3E X 58M`P�5�¦ E � ���T@V Q�4FEU:658Q�5Q�

� ����� ���>�����&�>� �P� �"�u��� �R�J�����(�

NOM P�E�X�Q�0KT M �¹� E :FE � MFEI: Q�4FE MFT@Q�01T MFP�T@V�[65@0KB�P`5@MF: X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP}� NOM Q�4F01PPREIX(Q�01T@Md�3EH:FE�P�X�B�0 � EH4FT � 0KQ XI5@M � E;SFP�E�:�Q�T�XIB+�?[?Q 5@M658/G�mJIEUYH. =�B�E�:FSFXIE�:�Q�T V T SFBBRT SFMF:<P� CD4F01P]XIB+�m[<Q 5@MF5@/G�mP�0KP]01P)=\SF0KQ�EUP�017A[F/KEZP�0KMFXIEU0KQ]S<P�EIP^5'X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXb�]0KQ�4[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� À ¯ � S<Q30KQ P�E�Bj¦@EIP]5@P35�� TmT?:A01M Q�BRT?:<SFX�Q�T Bj�AE�®<5@7A[F/KE�Q�T!Q�4<E;7AE�Q�4<T?:LT@V:<0 �EIB�E�M Q�0 58/XIB+�?[?Q 5@M658/G�mP�0KP�� �

Page 31: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

NOM�Q�4<01P�58QRQ 5@X��(�3E]SFPRE]Q�4FE V T /K/1T �]01M5�^T MFE6°OB�T@SFMF:'X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X � � �]0KQ�4�[<B�T � °5 � 01/K0KQ7� À �]4<01X 4`01P]5@M�01M<PRQ 58MFXIEUT@V>Q�4FEUX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XU:FE�P�X�B�0 � EI:`01M�E6®F587L[F/KE � !

� �� $ � ��� ��� ��� � � ��� ��� ��� � "

� * $ � " � * $ � " 5@/3� 5��mP

� � $ � � ����������� � ��� ��� ��� � "

F

�]4<EIB�E 01M�Q�4FEUP�EIX�T MF:`B�T S<MF: � * $���*"² � * $ � ������������� "��NOM Q�4FE � BRPRQZBRT SFMF: Q�4FE X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X!465@P � *�$ � � *�$ � �]0KQ�4 [FB�T � 5 � 0K/3°0 Q7� À �'CD4FEAP�0KM5� /1E � 0KQU:F0 E�B�EIM<XIE � E(Q7�3E�EIM Q�4FEAQ7� T`[F/ 5@0KM Q�E�®mQ�P P Q 5@B Q�PUQ�T�[F/15 � 5BRT /1EH0KM�Q�4FEUP�E�XIT M<:�B�T@SFMF:�01Ma= À � =?0KMFXIEHQ�4FEU01MF[FS?Q�PDQ�TL= À :F0 E�B�T@MF/G�b01M�T MFE � 0 Q�¯5cQ!/KE 5@P QUQ7�3TaT S<Q�[<S<Q � 0KQ�PU7 S<PRQ!:F0 �EIB}�bC��?[<01X 58/1/G��P�SFX 4�Q7�3T � 0KQ�PUE�M\Q�EIBUQ�4FBREIE�=

� T�®?EIPH01M Q�4FE Q�4<01B�:�B�T SFM<: ± �.*"$ � *�² �1*"$ �1*3·�¯ �]4FEIBRE Q�4FE�B�E�01PZ5�:F0 �EIBREIMFX�E�T@VT@MFE � 0 Q;0KM�EI5@X 4 = � T ®a0KMF[FS<Q�^CD4\SFP}¯ 5 � T S<Q^P�03®aT S?Q�[FS<Q � 0KQ�P^:<0 �EIBZ5cQ^Q�4FE!Q�4F01BR:BRT SFMF:��HCD4FEIPRE � 0KQ�PH5@B�E(³aµ>¶�E�:p�]0 Q�4�Q�4FEX�\MFT �]M :F0 �EIBREIMFX�E T@V Q�4FE 01M<[FS<QHT@V = À0KMAQ�4FE;PREIX�T MF:�B�T@SFMF:�± � * $ � * ² � * ·�¯m7L5"�\01M5�!5!:F0 E�B�E�MFXIE^T@V 5 � T S<Q P�E�¦ E�M � 0KQ�P 01MQ�4FEZ0KMF[FS<Q3T@V Q�4FE^V T SFBRQ�4�B�T S<MF:�5@MF:�5 � T S?Q À:À � 0KQ�P301MLQ�4FEZE�M\Q�B�0KEIPDT@V Q�4FEU= � T ®?E�P± :FSFE�Q�T�Q�4FE - E�®?[65@M<P�01T@M{·��'=mSFX 4 58M�5�¦85@/15@MFX 4FE�7L5"�@E�PU0KQb¦@EIBj� /K0o�8EI/G��Q�4658QHQ�4<E0KMF[FS<Q T@V 5@/1/WQ�4FEb= � T ®?E�P!:F0 E�B�5cQ Q�4FE'V T SFBRQ�4�BRT SFMF:���.P¦ EIM 0KVD58M�0KMF[FS<Q!T@VD58M= � T�®�:FT?E�PZMFT@Q;:F0 �EIB�01M�T MFE�[F5@01B^0KQ^X 5@M :<0 �EIB;0KM 5@M<T@Q�4FE�BZ[65@0KB;58MF:�Q�4<E E�®<5@X(Q¦85@/KSFEHT@V � * 0KPDSFP�SF5@/1/3�b:F0 E�B�E�M\Q]V T BDE�¦ E�Bj�`[65@0KB�

CD4FEA� � T@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶ � 0KQ�PDT@V,= �K¯1�}��¯�= � 0KM �1**7 SFP Q � EHE =mSF5@/Q�T�J�EIB�T'PR01MFX�EQ�4FEI0KBD01MF[<S<QO³aµ>¶�P�5@BRE J�EIBRT5� =?01MFX�E � *:² �/* $ �.* $ *D² � */± P�EIE � �@SFB�E ��· Q�4FEIM * $ � * ² � * ² � * � ± À ·

G 4<EIM Q�4<E XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�[65@01B-¦85@/1S<EIP # 5@M<: #3'�5@B�E �\MFT �]M Q�4FEIM � 58MF: ��'�5@B�E�\MFT �]M Q�T � E Q�4FEI0KB^BR0o� 4 Q�465@/3¦ EIPX± � � �9$ �"·���=?0KMFXIE � *.¯0� *5@MF:`Q�4FE � � � 0 Q�P�T@V �/*58B�Eb�\MFT �]M1¯<Q�4FEZX�T B�BREIP�[*T MF:<01M5��� � � 0KQ�P T@V * 58B�Eb�\MFT �]M`5@Pk� EI/K/ � �bE =\S658Q�0KT M À �

� �

Page 32: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

Plaintext (P)

F

K1

A a

F

K2

B b

F

K3

C c

F

K4

D d

Ciphertext (T)

� ) ��� ; � � � YH. =�B�E�:FSFXIE�:aQ�T'V T@SFB]B�T SFM<:FP�CD4<EIP�E � � � 0KQ�P;5@B�E!Q�4FE�T S?Q�[FS<Qc³aµ\¶]PHT@V3= � T ®?E�P = �K¯P�}��¯ = � � CD4\SFP}¯1�3E-�\MFT �Q�4FE>¦85@/1SFE�P � ��� ¯ � '��� 5@MF: ��*��� T@V P�E�¦ E�M = � T�®?EIP�01M�Q�4<EUV T@SFBRQ�4`BRT SFMF:��

�H0G¦@EIM�Q�4<EHEIMFX�Bj�m[<Q�E�:a[F5@01BRP?� E S<P�EU5�PREI[65@B�58Q�EHX�T SFM Q�0KM5��[FBRT?X�EI:FSFBREZV T B EI5@X 4T@MFE�T@V^Q�4FE�P�E�¦ EIM = � T�®<E�P'01M Q�4FE�V T S<BRQ�4 B�T@SFMF:1� G�E�Q�Bj� 58/1/ Q�4FE ��� [�T@P�P�0 � /1E¦85@/KSFEIPDT8V4� ���^5@MF:�X 4FEIX���0 V;� � �)$ � ���P² � ���^5@MF: ��'

� �$ ��'��� ² � �����m0KEI/1:

� ���/² � '��� $ � *��� �

"6T BDEI5@X 4­�@E}�C� E XIT SFM Q]Q�4<E M\SF7 � E�B�T8V,[65801B�P V T@B��]4F01X 4�Q�4FEZQ�EIP Q;PRSFXIX�EIEI:<P�3CD4<EBR0o� 4 Q��8E}�-¦85@/1SFED0KP�P�S5�:�@EIPRQ�EI: � �A58/1/<Q�4FE^[F5@01BRP P�01M<XIEO�3E^SFP�E^5HX 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XO�]0KQ�4[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� À �]4<01X 4 X 58SFP�E�PU5@/1/ Q�4<E [65@0KB�P^Q�T � E�B�0G� 4 QZ[65801B�P}�;CD4FE�T@Q�4FE�B � �u�@E}�¦85@/KSFEIP�7L5�� TmXIXIS<B 0KM'P�T 7AE]T@V�Q�4FE][65@0KB�P�,N Q 0KP SFMF/K0o�@E�/G�!Q�4658Q 5b¦85@/1S<EDT?X�XISFBRP 0KML58/1/Q�4FEU[65@0KB�PDV T B��]4F0KX 4 ��*

�5@B�EU:F0 E�B�EIM Q;5@MF: ��*� 58B�EU:F0 �EIBREIM Q�� NOM`B�5@BRE XI5@P�E�Pa�]4FE�M7AT BREUQ�465@MaT MFE(�@E}�­¦85@/1S<E 0KP^PRS5�:� E�PRQ�EI: � �a5@/1/Q�4FE [65@01BRP�5AV E}� 5@:F:F0 Q�01T@M65@/[65801B�P

� À

Page 33: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

XI5@M � EZQ�B�0KEI:1¯FT@B Q�4FEU5@MF5@/G�mP�0KP T@V>Q�4FEHT8Q�4FE�BO�@E}� � 0KQ�P3X 5@M � EH:FT MFEU01M�[F5@B�5@/K/1E�/*V T B58/1/�Q�4FEUP�SFB+¦m0G¦m01M5�AX 58MF:F01:F58Q�E�P�=?T Vh58B?� EH465�¦ EZV T SFM<:­½ � � $ � � � 0 Q�P T8V Q�4FEZPRS � �8E}��T@V+Q�4FEZ/ 58PRQ BRT SFMF: ±�� � ·��N V^Q�4FE`P�S � �@E��?P�58B�E�X 5@/KXISF/158Q�E�:z¦m015 Q�4FEaYH. = �@E�� PRX 4FEI:<SF/10KM5� 58/o� T BR0KQ�4F7#Q�4FEIPRE58B�E � ��5@X(Q�S658/P�@E�� � 0KQ�PHT S<QUT@V�Q�4<E'YH. = �� �8E}� � 0 Q�P}¯+5@MF: À � �@E�� � 0KQ�PU5@B�E�P Q�0K/1/7A01PRP�0KM5�5� µZMFE�XI5@M MFT ��Q�B+� 5@/K/ Q�4<E � � �L[*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP�T8V�Q�4FE�7L0KP�PR01M5� � 0 Q�P'5@M<::<EIXIB+�m[<Q]Q�4FE>� 03¦ E�M`X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P]SFPR01M5��Q�4FEHB�E�P�SF/ Q�01MQ�W�@E}�mP}� CD4FEUBR0o� 4 QO�8E}��PR4FT SF/K:P�58Q�0KPRV«� Q�4FE��mM<T&�]Mb[F/ 5@0KM Q�E�®mQR³aµ>¶ ¦85@/1S<E]V T@B 58/1/<Q�4FE^[F5@01BRP¯ � S<Q�Q�4<E^T@Q�4FEIB7� � � � À

¦85@/KSFEIPD4F5 ¦@E!T@MF/G�b[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� � �*y ��Q�T'P�58Q�01P V«��Q�4F0KPDXIT M<:F0KQ�01T M1�=?T@7LE`B�E�P�E 58B�X 4FE�B�P�465�¦@E [FB�T@[�T PREI: Q�T P Q�BREIM5�@Q�4FEIM YH. = � � 7L5"�\01MQ��58/1/ Q�4<EPRS � �8E}�mP *� ]01M<:FEI[*EIMF:<EIM QC± T BU58QU/KE 5@P QHQ�T�:FEIBR0G¦@E'Q�4FEI7�0KM 5`7AT BRE XIT 7A[F/K01X 5cQ�EI:

�35�� V B�T 7 5 /1T M5�@EIB�5@X(Q�S658/��@E�� *p·��zµZSFB'58QRQ 5@X�� XI5@M � E�XI5@B�BR01EI: T S?QLE�¦ E�M�01MQ�4F01P�X 58P�E"�;C T � MF:�Q�4<E P�0@®�7A01PRP�0KM5� � 0KQ�P�T@V � � 58MF:�Q�T � MF: � �u� E SFPRE�5@MFT@Q�4FEIB[</ 5@0KM\Q�E�®mQO³aµ>¶�¦85@/1S<Eb�]0KQ�4�Q�4<EUV T@/1/1T �]0KM5��X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X � 6 !

� 6� $ � ��� ��� ��� � � ��� ��� ��� � "

� * $ � " � * $ � " 5@/3� 5��mP

� 6 $ � � ����������� � ��� ��� ��� � "

F

G 4<EIB�E 01M�Q�4FEUP�E�XIT MF:aB�T S<MF: � * $ ��*"² � * $ � ������������� "��CD4FE>¦85@/KSFEHT@V<� À * � � 0KPDJIE�B�T5� CD4\SFP}¯�� À * ��� $ � � 9^P�5 � T ¦@E\� E � MF: � À * ��� S<P�01MQ�E =\S658Q�0KT M À 58MF:�P�017A01/15@B�/3�W�3E X 58M � M<:`Q�4FEUXIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ�APR03®��8E}� � 0 Q�P � À ����� �T&� � EW�mM<T&� Q�4<E XIT 7A[F/KE�Q�E!V T SFBRQ�4 B�T@SFMF: P�S � �@E}� � � � �^P�0KM5��� � � E�[65@B+°Q�0 5@/K/G�A:FE�XIBj�m[<Q;5@/K/ Q�4FE\� 03¦ E�MaX�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P � ���R[�E�EI/K01M5��T���'Q�4FEUE!�EIX(Q;T@V>Q�4<E!/15@PRQBRT SFMF:��W9;P 5HB�EIPRSF/KQ�� E^BREI7L5@01MW�]0 Q�4L5HQ�4FB�E�E�° B�T SFM<:bXIB+�m[<Q�T P+�mPRQ�E�7 � NOMAQ�4F0KP XIB+�?[*°Q�T Pj�mP Q�EI7 Q�4<EbP�E�XIT M<: & * ¦85@/1S<EL/KE�Q�P SFP!X 5@/KXISF/158Q�E�Q�4<ELQ�4<01B�:�B�T S<MF: PRS � �@E�� � �Q�CD4<E�0KMF[FS<Q�PWQ�TZQ�4FEDQ�4F0KB�:�B�T@SFMF: � 5@MF: � ' 5@B�EO�\MFT �]ML5@P 465@/3¦ EIP�T@V Q�4FEDXI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�P

� �

Page 34: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

T8V�Q�4FEDQ�4FBREIE�° B�T S<MF:LX�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7­� CD4FE]01MF[<S<QR³aµ>¶ �.*\0KP E 5@PR01/G��X 5@/KXISF/158Q�E�:1�,CD4<ET@S<Q�[FS?QX³aµ>¶ �2*�01P �2*�$ � *5² ��*/�]4FEIBRE � * 5@M<: ��* 5@B�Ed�\MFT �]M1��CD4FE�XIT@SFM Q�01MQ�7AE�Q�4FTm:�01PASFPREI: 5"� 5801M Q�T X�T SFM QbQ�4FE�M\SF7 � E�BbT@VHTmXIX�SFB�BREIMFX�EIP�T8VZQ�4FEa[�T@P�P�0 � /1E�8E}�mPDT@V+58/1/6Q�4FE;EI0o�@4\Q = � T�®<E�P]58Q Q�4FE;Q�4F01BR:bBRT SFMF:1� CD4<Ec¦85@/1SFE�P Q�4658QD58B�E;X�T SFM Q�E�:V T@BZ5@/K/>Q�4FE [65@0KB�P;5@B�E /K0o�8EI/G��Q�TbQ�4FE�B�0o�@4\Qc�@E��´¦85@/1SFE�P�H9^PH5�B�E�P�SF/ Q;Q�4<E XIT 7A[F/KE�Q�E� ��01P V T@SFMF:��]0KQ�4�4F0G� 4�[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�"�

CD4FE &2*l¦85@/KSFEIPUSFPREI: 5 � T ¦@Eb5@BRE'01MFPRS � XI01E�M Q!Q�T � MF: 5�SFMF0 =mS<E � ��P�0KMFXIE�Q�4<E��*� � 58B�EbX�T MFP Q 5@M Q V T B�5@/1/ Q�4FE�[65@0KB�P}¯ 5@MF: Q�4\SFP Q�4FELB�0G� 4 QX�@E�� ¦85@/KSFEIP�5@B�EL01MF:F0KP+°Q�01M5�@SF01PR465 � /KE�V BRT 7jQ�4FEU5@/ Q�E�B�M658Q�0G¦@Ea�8E}�d¦85@/KSFEIP T � Q 5801MFE�: � �i³aµ>¶�0KM5��Q�4FEI7 �]0KQ�4��*� � � 9;/ Q�4FT SQ� 4z� E�XI5@M � MF: Q�4FEIPREaQ7� T [*T P�PR0 � 0K/10KQ�01E�P�V T B'E 5@X 4 = � T�®�¯30¥� E"�3¯�� �[*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP;V T B�� �K¯l�3ELX 5@MFM<T@Q�S<P�ELQ�4FEL5 � T ¦@Eu³aµ>¶ ¦@58/1SFE�P Q�T � M<: � À PR01MFX�E0KM � T@Q�4z³aµ>¶ ¦85@/1S<EIP'Q�4FE�B�E`01P � * $ � 5@MF: Q�4\SFP � * $ � 5@MF: � * $ � � �T@Q�EQ�4658Q � * $ � � * $ � 4658[F[�E�MFP BRE� 5@BR:F/1E�P�P T8V Q�4FEb�8E}��5@MF:�Q�4\SFP 5@/1/6Q�4<EZ[�T@P�P�0 � /1E¦85@/KSFEIP,T@V�� À 5@B�E E =\S65@/1/3��/K0o�8EI/G�US<P�01MQ�ZQ�4FE�P�E�³aµ>¶z¦85@/KSFEIP}�WC THPRT /G¦@E3Q�4<01PW[FBRT � /KEI7� EH465�¦ EZQ�T�SFP�EZ5@M�5@:F:F0 Q�0KT M65@/ X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01Xc�]4<01X 4�465@P 5 MFT M�JIE�B�T�0KMF[FS<Q�³aµ>¶V T@B^58/1/ Q�4FE!= � T ®?E�P^T@V Q�4FE � BRPRQ^B�T S<MF:1�3NOMa5@:F:<0KQ�0KT MC�3E\�35@M Q^Q�T � E 5 � /1EHQ�TL:F0KP+°Q�01M5�@SF01PR4AQ�4FEc�8E}�J¦@58/1SFE�P T@V 5@/1/FQ�4FEH= � T�®?EIP P�T�� E;X 4FTmT PRE^Q7� T X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP � �58MF: � �&�;CD4<EIP�E�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIPZXI5@M � E X 4FT PREIM 5@B � 0KQ�B�5@BR01/G��SFMF:FE�B;Q�4FE V T /1/KT �]01M5�Q7� TAXIT MF:<0KQ�0KT MFP !

� ��*� # �$ � V T B]5@/K/ Q�4FE!= � T�®?EIP]SFPR01M5�AEI0 Q�4FE�B � �� T@B � � � �� " T@BWE}¦@EIBj� [65@BRQ�01X�SF/ 5@BW= � T�®���*� # T@V Q�4FEDX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX � �� 01PW:F0 E�B�E�M\Q V BRT 7��*� # T@V � � � �

CD4<EIM � 58MF: � ' 5@B�E(�\MFT �]M � ��:FEIX�Bj�m[<Q�01T MaT@V,Q�4FE Q�4F01BR:�B�T SFM<: 5@MF: � * 01PO�\MFT �]M� � � * $ � * ²�� * $�� * ²�� * �WCD4FE�XIT S<M\Q�01M5� 7AE�Q�4<T?:A01P�SFPREI:LQ�T � MF: � �K�WCD4<01P Q�0K7LE0 Q 465@PUQ�T`SFP�EAQ�4FEL5@[F[FBRT [FBR0 58Q�E � * ¦85@/1S<E'V T@B EI5@X 4 [65801B�9 ^T � � ¯ � ' 5@MF: � * 5@B�E�\MFT �]M � �a:FEIX�Bj�m[<Q�0KT M T@VWQ�4FE PREIXIT@MF: B�T S<MF: 5@MF: � * 0KPa�\MFT �]M � � � * $ � * ² � * �CD4<EAX�T SFM Q�0KM5��7AE�Q�4<T?: � M<:FP�� À � ��P�01MQ� � À ¯ �A�*¯ � �`58MF: � � � E�X 58M :<EIXIB+�m[<QQ�4FE�T BR0o� 0KM65@/+XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�PHQ�TC� E(QZQ�4FE�X�T B�BREIPR[�T M<:F01M5��[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�PU58MF: Q�4FE�M�¦ EIBR0KV«�Q�4FEI0KB [F/ 5801M Q�E6®?QR³aµ>¶ ¦85@/KSFEIP}�,N V�� E � MF:AT MF/G��T MFE][*T P�PR0 � 0K/10KQ7�UV T B�58/1/<Q�4FE]P�S � �8E}�mPQ�4FEa¦@EIBR0 � XI58Q�0KT M�7 SFP Q PRSFXIX�EIEI:�� N V+PRE}¦@EIB�58/[�T@P�P�0 � 01/K0KQ�01EIP�58B�E^V T@SFMF:bQ�4FEIM�T@MF/G�'T M<ET8V�Q�4FEI7 01P /K0o�8EI/G� Q�T � Ei¦@EIBR0 � E�: PRSFXIX�EIPRPRV SF/K/G�:¯ 5@MF: Q�4mS<P Q�4FE�BR0o� 4 QX�8E}� XI5@M � E0K:FEIM Q�0 � E�:1�

���

Page 35: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

C��m[F01XI5@/1/3�:¯ À�� EIMFX�Bj�m[<Q�01T MFP;5@B�EUPRS � XI01E�M Q;V T BDQ�4<01P�58Q�Q�5@X��{� CD4FE�P�E À � E�MFXIB+�?[*°Q�01T M<P X�T M Q 5@0KMbE�0o� 4 Q [65@01BRP�T@VQ�4<E^X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X � � ¯mEI0o�@4\Q [65@0KB�P�T@V � 6 ¯\V T SFB�[65801B�PT8V � � 5@MF: V T SFBA[65@0KB�PAT@V � �&� NOM T BR:FEIBAMFT@QAQ�T�01MFX�B�EI5@P�E`Q�4FE�5@7LT@SFM QLT8VH:658Q�5M<EIEI:<EI: � EbSFPRELQ7� T�TmX�Q�E�Q�PUQ�4F58Q�TmXIX�SF[�� V T SFBU[65@0KB�PUT@V EI5@X 4 T@V Q�4FBREIEA[F/ 5801M Q�E6®?Q³aµ>¶\�

� ����� ���>�����&�>� �P� �/��� �R�u�����(�

CD4<ELX�Bj�m[<Q 58M65@/G�mPR01P T@V YH. = B�E�:FSFXIE�: Q�T`P�0@® B�T@SFMF:FP 01PU7AT B�E�X�T 7L[</1E�® Q�465@M Q�4<EX�Bj�m[<Q�5@M65@/3�?PR01PWT8V*Q�4FE V T SFB,B�T SFM<:X¦ EIBRP�0KT M1�,G�EDSFP�E Q7� TUPRQ�58Q�0KPRQ�0KX 5@/mX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P�]0 Q�4 [FBRT � 5 � 0K/10 Q7� �� y ¯ 5@MF: X 4FTmT PRE�Q�4FEC�@E�� ¦85@/1SFELQ�4658Q'0KP�XIT S<M\Q�EI: 7LT@PRQ'T@V Q�EIM1�.�5@X 4�T@MFE3T@V<Q�4FE Q7�3TZX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP,/KE�Q�P,SFP � MF:�Q�4FE1� � �@E�� � 0 Q�P>T@V � � �]4F0KX 4�5@B�ES<P�EI:�5cQ3Q�4<EZ01MF[<S<Q3T8V � ¦ E = � T�®?EIP 0KMbQ�4FE^P�0@®?Q�4�B�T S<MF:1¯ � S<Q3Q�4FB�E�EZT@V Q�4<EH= � T ®?E�P58B�E;X�T 7A7LT MAP�T!Q�4FE;Q�T@Q 58/*M\SF7 � E�B3T@Vg�8E}� � 0KQ�P V T SFM<: � �LQ�4FE^Q7� T X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P0KP � �K� CD4FE]T@Q�4<EIB À � �@E�� � 0 Q�P X 58M � E V T SFM<:A/158Q�E�B � ��7AE 5@MFP T8V�E6®?465@SFP Q�0G¦@E]P�E 58B�X 4T@B � � 5�7AT B�E�XI5@B�E(V SF/ XIT S<M\Q�01M5��T M Q�4<EJ�8E}� � 0 Q�PUEIM Q�EIB�0KM5��Q�4FE'EI0G� 4 Q�4�= � T�® 01MQ�4FEUP�0@®?Q�4aBRT SFMF:��

� �

Page 36: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

CD4FE � BRPRQ�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X � � 0KP>!

� �� $ ����� ��� ��� � ����� ��� ��� � "

� * $ � ������������� " � * $ ����� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

�1* $ � " � * $ � " 5@/3� 5��mP

�2* $ ����� ��� ��� � " � * $ ����� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

� � $ ��� ����������� ����� ��� ��� � "

F

F

F

G 4<EIB�E 01M�Q�4FEHV T SFB Q�4`B�T SFM<: � * $ � * ² � * $ ����� ��� ��� � ":�",03¦ E = � T ®?E�PD01M�Q�4<EZV T SFBRQ�4�B�T SFM<: ± = �K¯ = ¯��}��¯*= � ·3465�¦ EUJIE�B�T'01M<[FS<Q�³aµ>¶]P

±���*��� $ � · 5@MF:�Q�4\SFPDQ�4FE�01BDT S?Q�[FS<QH³aµ>¶]P^58B�EUJIE�B�Ts±���*��� $ � ·�� CD4FEUX�T B�BREIP�[*T MF:*°0KM5��T@S<Q�[FS?Qk³aµ>¶�P 01MAQ�4FE^P�03®mQ�4�B�T S<MF:�X 58M � E�V T SFMF: � �9�2* $ �.*}² *²�� *«� =?0KMFXIEQ�4FEHB�0G� 4 Q��8E}�d¦85@/KSFE;0KP MFT@QDPRS5�:� E�PRQ�EI: � ��5@/1/ Q�4<EH[65@01BRP>± :FSFEZQ�T Q�4FEH[FBRT � 5 � 0K/10KPRQ�0KXMF58Q�SFBREbT@V Q�4FELX 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X ·6¯�� EbXI5@MFMFT@Q�SFP�Eb5aPREI[65@B�58Q�ELXIT S<M\Q�01M5�a[FB�TmXIE�:FSFBREV T@B!Q�4<E�P�S � �@E}� � 0KQ�P!EIM Q�E�B�0KM5� E 5@X 4 = � T�® � NOM T@B�:FE�B�Q�T 0KMFXIBRE 5@PRE�Q�4FE � �� � EPR4FT SF/K: P�0K7 SF/ Q 5@MFE�T SFPR/G� XIT@SFM Q�T M PRS � �@E�� � 0 Q�P!EIM Q�E�B�01MQ� P�E�¦ EIB�5@/]= � T�®?EIP� CD4<E� EIP Q 5@[F[FBRT 5@X 4b0KPWQ�T XIT S<M\Q T MA5@/K/<Q�4FE � � XIT@SFM Q 5 � /KE]P�S � �8E}� � 0 Q�P Q�T:�@E�Q�4<EIB¯��]4F0KX 47L5n®?017A01J�EIPQ�4FE3[FBRT � 5 � 01/10 Q7�;Q�4658Q,Q�4FE B�0o�@4\Q��@E��Y¦85@/KSFE�01P+Q�4FE T MFE XIT S<M\Q�EI:�7AT PRQ T@V.°Q�EIM1� 9 PRQ�B�5@0o�@4\QRV T Bj�35@BR:�017A[F/1E�7LE�M Q 58Q�01T M'T@V Q�4F01P 7LE(Q�4FTm:�B�E =\SF01BREIP � � � X�T SFM Q�E�B�P}¯�]4<01X 4 01P!017A[FB�58X�Q�0KX 5@/ T@M 7LT@PRQ X�T 7A[FS<Q�E�B�P}� �^T � E}¦ E�B¯�Q�4FEb017A[FB�T ¦ E�: XIT@SFM Q�01MQ�[<B�TmXIEI:<SFB�E :FEIPRXIBR0 � EI:�58Q+Q�4FE E�MF:�T8V<Q�4<01P+P�E�X�Q�0KT M 58X 4F01E�¦ EIP E�®<5@X(Q�/G�HQ�4FE�P�5@7AE B�EIPRSF/KQ�]0 Q�4�7 SFX 4`P�7L5@/K/1EIB37LE�7LT B+�:�

CD4FEHP�5@7AEZE � XI0KEIM Q�5@/G� T B�0 Q�4F7%01P SFPREI:�Q�T � MF:�Q�4FE � � �@E�� � 0 Q�P T@V = À ¯6= �*¯ = � ¯�

Page 37: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

= 58MF: = � SFPR01M5��Q�4FEUP�EIX�T MF:aX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � 6 �]4F0KX 4a0KP>!

� 6� $ � � � ��� ��� � � ��� ������� � "

� * $ ��� � ��������� " � * $ � ��� ������� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

� * $ � " � * $ � " 5@/3� 5��mP

�2* $ � � � ��� ��� � " � * $ � ��� ������� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

� 6 $ � � � ��������� � ��� ������� � "

F

F

F

G 4<EIB�E 01M�Q�4FEHV T SFB Q�4`B�T SFM<: � * $ � * ² � * $ � � � ��� ��� � ":�9a� 5@01M�¯ � ¦@EU= � T�®<E�PD01MAQ�4FE�V T SFBRQ�4�B�T@SFMF:p± = À ¯6= �K¯F= � ¯6= 5@MF:�= � · 465�¦ E;JIEIBRT0KMF[FS<Q/³aµ\¶]P�,CD4FEDXIT 7A[FS<Q�EI:-�@E��X¦85@/1S<EIPWT@V Q�4FE XIT@7L7AT M'= � T ®?E�P3= �K¯\= 5@M<:b= �PR4FT SF/K: � E!Q�4FE�P�5@7LE 01M � T8Q�4�XI5@/1X�SF/ 5cQ�01T@MFPY±hT@Q�4FEIB+�]01P�E(�3E�P�4FT S</1: 58M65@/G�mJ�E!7AT B�E[F5@01BRPDT BDXIT M<P�01:<EIB]5@:F:<0KQ�0KT M65@/*X 58MF:F01:F58Q�E\�@E��mP��]0 Q�4`5@/17AT P Q 7L5n®?017L5@/�X�T SFM Q�P�·�� N VQ�4F01P Q�EIP Q^0KPDP�SFX�XIE�P�PRV S</¥¯{�3EU465�¦ E [FBRT � 5 � /3��V T SFM<: � � � 0KQ�P]T@V � � �YH. =�465@P � �@E�� � 0KQ�P� À � T@V�Q�4FE�7 5@BRE�PRQ�01/K/ 7A01PRP�01MQ�5�ZCD4FE�PR017A[F/1E�PRQc�35���Q�T

� MF:LQ�4FEI7j0KPWQ�T P�E 58B�X 4�5@/K/<Q�4<E � � � [*T P�PR0 � 0K/10KQ�01E�P V T B Q�4<E�E6®?[�E�X�Q�E�:�[F/15@01M Q�E6®mQ<³aµ>¶¦85@/KSFE T@V Q�4<E�:FEIX�Bj�m[<Q�E�: X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P}��9 Vh5@PRQ�EIBb�35 � 01PZQ�T�P Q 5@B QU/1TmT:�\01M5�LV T B;Q�4<EPR03®�7L0KP�P�0KM5� � 0 Q�PDT@V � � �]4F01X 4`EIM Q�E�B^= �­± Q�4<E T8Q�4FE�BDEI0o�@4\QH�8E}� � 0KQ�PDTmXIX�SFB]T MF/3��01MT8Q�4FE�BDP�S � �8E}�mP�·6�39 Q � BRPRQO� EUSFP�EUT SFBD[F5@BRQ�0 5@/��\MFT �]/1EI:Q� EUT@V+Q�4FE>�8E}��Q�T � /KQ�E�B3Q�4<E�@0G¦ E�M [65@0KB�P}� "6T B E 5@X 4 [F5@01B\�3EbX 4FEIX���0KV]58Q!Q�4FE � ¦ E`= � T�®?EIP 4F5 ¦m0KM5� � *��� $ �� ��Q�4FEUX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX"¯<Q�4FE>¦85@/1SFEHT8V4��*��� T � Q 5@0KMFEI: � � � 5@MF: � '�5@MF:�Q�4FE\�\MFT �]M�8E}� � 0KQ�P V T B�7 Q�4<E�E�®?[*EIX�Q�EI: ¦85@/1SFELV B�T 7 � *7$ � *[² *Q² � *«� N V�MFT@Q!Q�4FE�M Q�4F01PXI5@MFMFT8Q � Eb5�B�0G� 4 Q [65@01B}�Cµ;Q�4<EIBj�]0KP�EA0KQ 01P 5@/K7LT@PRQUXIE�BRQ�5@01MF/3� 5aBR0o� 4 Q [65@0KBJ±hPR01MFX�E

� �

Page 38: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

NOM Q�Tb= � T�® � � 0 Q�P �UE�� � 0 Q�P� � ��� � ���= À ����������� � ��������= � ��� � ����� � � � �����= � ����������� �����������= � ������� � � ����������= � ��������� ����������= � ������� � � ���������=Q½ � ��������� ����������= � ��� � ����� �����������

��������� � � �HMFT �]M � 0KQ�P]5cQ�Q�4FE � V Q�4�BRT SFMF:1�Q�4FE�XIT@MF:F0KQ�01T M XI5@M � E�P�58Q�0KP � E�: 5@X�XI0K:FEIM Q 58/1/G�aT MF/3� �]0 Q�4 [FBRT � 5 � 0K/10 Q7� � � 6 � ·���"6T BQ�4FEUB�E�7b5@0KMF:FE�BDT@V,Q�4FEUXIBj�m[<Q�5@M65@/3�mP�01PO� E!S<P�E T MF/G�bQ�4FEu±hBRT S5� 4</G�Q· �� y T@V>Q�4FEU[65801B�P�]4<01X 4 5@BRE � EI/K01E�¦ EI: Q�T � E`Q�4FEaB�0o�@4\QA[65801B�P}� CD4F01P � /KQ�B�58Q�01T M � BRE 58Q�/G� 0K7L[FBRT ¦ EIPQ�4FE�P�0G� M65@/+Q�T�M<T 01PRE�B�58Q�01TbT8V Q�4FE V T /K/1T �]01M5�LP�X 4FE�7LED¯1�]4F01X 4 T@Q�4FEIB+�]01PREX�3T S</1: � E0K7L[<B�5@X(Q�01XI5@/¥�

C 5 � /KE � :FEIPRXIBR0 � EIP�Q�4FE �\MFT �]M � 0KQ�P�T@V�Q�4FE �8E}� 5@MF: Q�4<E�0KMF[FS<Q�Q�T Q�4<E �V S<MFX�Q�01T Ma58Q�Q�4FE � V Q�4aB�T S<MF: 5@PRP�SF7A01MQ�J� E��\MFT � Q�4<E � �W�@E�� � 0KQ�P}� CD4FE :F0o�@0KQ�� � �7AE 58MFP;Q�4F58Q;Q�4FE � 0KQ;:FEI[*EIM<:FPHT M Q�4<E E�®<5@X(Q>¦@58/1SFE!T@V�Q�4FE 7A01PRP�0KM5�i�8E}� � 0KQ�P^Q�4658QE�M Q�EIB�= ��01M Q�4<ELPR03®mQ�4 B�T S<MF:1� � � �+7LEI5@MFPHQ�4F58Q 0KQU:FE�[�E�MF:FP T MF/G� T M �\MFT �]M �@E}�� 0KQ�P}��. 0o� 4 QY�@E�� � 0KQ�P!5@BRELMFT8Q�SFPREI: 5cQ�58/1/ 01M Q�4<EbP�S � �@E�� � � ¯ 5@MF: 58B�E'7b58B��@E�:� ��� � �3��CD4F01P�Q 5 � /KE!PR4FT �]P;Q�4F58Q � �­� SFE�P�PR01M5�bQ�4FE�PR03®a7A01P�PR01M5� � 0 Q�P�T@V�� � � E�XI5@M¦@EIBR0KV«� 0 Q�PZX�T B�BREIX(Q�MFE�P�P � ��X 5@/KXISF/158Q�0KM5� � 5@MF: � 'HV T BZEI5@X 4 B�0o�@4\QZ[65@01B � � 5�P�01MQ� /1EBRT SFMF: :FE�XIB+�?[?Q�01T@M �]0 Q�4 � � 5@MF: � �¹¦@EIB�0 V«�m01M5� Q�4658Q Q�4FEd¦85@/1SFE�P�T@V �4� * ��� ¯7�;� * ���58MF:?� � * ��� ± V T@Bc�]4F01X 4�5@/K/>Q�4FE�01MF[<S<QU5@MF:p�8E}� � 0 Q�PU5@BREX�\MFT �]M{·H5@B�E'58PHE�®?[�E�X�Q�EI:� � - * $ ��*5² � *.� "6SFBRQ�4FEIBR7LT@B�E"¯R� E�X 5@M ¦ E�B�0KV«� Q�4658Q�Q�4FEIBRE`5@B�Ed¦85@/KSFEIP�T@V�Q�4<E7A01PRP�0KM5� �8E}� � 0KQ�P�± V T@BbE 58X 4 = � T�®�P�E�[65@B�5cQ�EI/3�Q·AP�S<X 4 Q�4658QLQ�4FE T8Q�4FE�B�= � T ®?E�PT@S<Q�[FS?Q<³aµ>¶]P 5@B�E�5@P�E�®?[*EIX(Q�EI:�� CD4<E�¦@EIB�0 � X 5cQ�01T@MAT8V 7AT PRQ T@V*Q�4<E � � [*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PT8V,Q�4<E!PR03®�7A01PRP�01MQ� � 0KQ�P]T@V � � P�4<T SF/1:�Vh5@0K/¥¯F58MF: �]0 Q�4`4F0o� 4`[FBRT � 5 � 0K/10 Q7�bT M</G��T M<E[*T PRP�0 � 01/10 Q7�ZPRSFBj¦m0G¦@EIP}�WCD4F01Pg¦85@/1S<E X�T 7L[</1E�Q�EIP � � �/µHM</G�UEI0G� 4 Ql�@E}� � 0 Q�P>5@B�E 7A01P�PR01M5�M<T&�\��CD4FE���X 5@M � EZV T SFMF: � ��Q�B+�?0KM5�A5@/1/*Q�4FEA� � [*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP¯\T B � �`5@[<[F/G�m01MQ�'5PR017A01/15@B358M65@/G�mPR01P Q�T-�8E}� � 0 Q�PDQ�465cQ]EIM Q�E�BZ= � T ®?E�P^0KM�Q�4FE � V Q�4`B�T@SFMF:1�

�:½

Page 39: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��T&� 7 SFX 4 :65cQ 5�01PHM<EIEI:<EI:�� CD4FE'P�0G� M65@/>Q�T�MFT 0KP�E B�58Q�0KT�T@V�Q�4<E � B�P QU[65@BRQZT@VQ�4FE 5@/o�@T B�0 Q�4F7 ± �]4<01X 4 � MF:FP � � �@E�� � 0KQ�P�·301P� �� $ � � � � �� y� x $ � � � � � � �'� $ � � y �

CD4<E � �� 0KPb4F0G� 4 5@M<: Q�4\SFP�T M</G� ½ � � B�0o�@4\Qb[65@0KB�PbT8VHE 5@X 4 X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�5@B�EM<EIEI:<EI:1� =?01MFX�EHQ�4FE X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP��6[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�L01P �� y ¯5� E!M<EIEI:�5 � T S<Q À � � [65801B�PT8V,EI5@X 4�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XZV T@B Q�4FE 5@M658/G�mP�0KP� CD4FEA� ���T@V>Q�4FEU/158Q�E�BD[65@BRQ]0KP� � $ � y � À

� $ À�� �

CD4<01P]01P]/1T � EIB}¯ � S<QH�3E :FTAMFT@Q�X 58B�EUP�0KMFXIE\�3E X 58M�5@/K7LT@PRQDX�EIBRQ�5@01M</G��0K:FEIM Q�0KV«��5@M<:S<P�E�T MF/G�!Q�4FEc½ � � BR0o� 4 Q�[65@0KB�PWV BRT 7%Q�4<E � B�PRQ [65@B Qc± �]4F0K/1EDEI/K017A01M65cQ�01MQ�^7AT PRQ T@V*Q�4<EM<T 01PRE ·U5@MF: 0KM Q�EIBRP�E�X�Q Q�4FELP�E�Q�P�T@V3[�T@P�P�0 � /1E-�8E}� ¦@58/1SFE�P��C>T�BREI:FSFX�ELQ�4FELM\SF7 � E�BT8VXI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�P3M<EIEI:<EI:i� E^S<P�E =\S658BRQ�E(Q�P��]4F01X 4LXIT 7 � 01MFEDQ�4FE�Q7� T�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP�9^P,5�B�E�P�SF/ Q,T M</G� � � � X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P�±hB�E�[FB�E�P�E�M\Q�01M5� À � � [65@01BRP T8VFE 58X 4 X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X ·58B�EUMFEIE�:FEI:`V T B Q�4<E X�T 7A[F/1E(Q�EHXIB+�m[<Q 5@MF5@/G�mP�0KP�NOM T BR:FEIB!Q�T :FE�XIBRE 5@PRE�Q�4FE�587LT S<M\Q!T@V]7AEI7AT Bj� MFE�EI:FE�: 01M�Q�4FE � BRPRQ�[F5@BRQ�T@VQ�4F01P 58Q�Q�5@X��u� EH:FE}¦m0KP�EI:a5@M�E =mS<0G¦85@/1E�M Q � S<Q Vh58PRQ�E�BDXIT S<M\Q�01M5�'58/o� T BR0KQ�4F7 Q�465cQDSFP�E�PM<E� /K0o� 0 � /1E 7LE�7LT@Bj� 58MF: X 5@M XIT S<M\Q T M 5@/K/ Q�4FE'XIT SFM Q�5 � /1E�PRS � �8E}� � 0KQ�PHP�0K7 SF/KQ�5n°M<EIT SFPR/G�"�aCD4F0KP 5@/G� T BR0KQ�4<7 X 5@M � ELSFP�E�: 01M 5@M�� X�T SFM Q�0KM5��PRX 4FEI7AEbQ�4F58Q MFE�EI:FP 54\S5�@E!7AEI7AT Bj� � S<Q;5@M658/G�mP�E�P^5'B�E�/ 58Q�0G¦@EI/G�LP�7L5@/K/M\SF7 � EIB]T@V [65@01BRPY± 58V Q�EIB � / Q�EIBR01M5�T@S<Q�5@/K/ Q�4FEL01:FE�M\Q�0 � 5 � /1E-�]B�T MQ� [65@0KB�P�·6�aCD4<E�01:FEI5 � EI4F0KMF: Q�4F01P�5@/o� T@B�0KQ�4F7 0KP Q�T:<EIP�X�B�0 � E�Q�4FE^[65@01BRP 5@MF:bQ�4FE^[*T PRP�0 � /1E��@E}�J¦85@/1S<EIP � �L5(� B�5@[<41�WNOMbQ�4F01P<� B�58[F4bEI5@X 4[F5@01B 01P 5�¦@EIB Q�E�®�5@MF:�E}¦@EIB+��Q7�3T'[65801B�P<�]4F01X 4�PRS5�:� E�PRQ�5 XIT@7L7AT Mi�8E}�d¦85@/KSFE;4F5 ¦@E5 X�T MFMFE�X�Q�01M5��E�:5� EZ/15 � E�/1E�: � �LQ�4F01Pk¦85@/KSFE"�,CD4mS<P¯6E 58X 4­�8E}�u¦@58/1SFE;V T@B�7AP 5�X�/10 =\SFE

�]4<01X 4�X�T M Q 5@0KMFP 5@/K/ 0KQ�P P�SQ�:� EIP Q�0KM5� [65@0KB�P}�WCD4FE;/15@B��@EIPRQ XI/K0 =\SFE^XIT BRB�EIPR[�T@MF:FP3Q�T!Q�4<E�8E}�J¦85@/1SFE��]4F01X 4b01P XIT SFM Q�EI: � �LQ�4FE;/15@B��@EIPRQ M\SF7 � EIB T@V+[65@0KB�P�,NOM�T SFB 017A[F/1E�7LE�MK°Q�58Q�0KT M1¯>V T B!EI5@X 4 T@V Q�4FE � ¦@E�= � T�®?EIPY�3Ed�8EIE�[ 5 � 0KQ�7b5@Pj� T@V ��� � 0KQ�P}¯WT MFE � 0KQV T@B^EI5@X 4 [�T@P�P�0 � /1E(�@E��:� �U03¦ EIMaQ�4FE(¦@58/1SFE�P^T@V4� �R¯"��'� 5@M<: ��*� � E�P�E(QZQ�4<E � 0 Q�P�T@VQ�4FE\�@E���7b5@Pj�\P Q�4658Q]X�T B�BREIPR[�T M<:aQ�T'[*T P�PR0 � /KEb�@E��mP� .�5@X 4`[65@0KB 465@P � ¦@EUP�SFX 4 �@E}�7L5@Pj�mP}¯<T M<E^V T B E}¦@EIBj��= � T ® � 9 XI/10 =\SFE^0KP3:FE � MFE�:�5@P 5 P�E�Q T@V [65@0KB�P V T B<�]4<01X 4bV T BEI5@X 4 T@V�Q�4FE � ¦ E-�@E�� 7b58P��\P;Q�4<EIB�E�0KPH5�XIT@7L7AT M � 0 QZP�E(QU01M 5@/K/>Q�4FE�[65@0KB�PZ0KM�Q�4<EPRE�QJ± 0¥� E"�3¯*Q�4FE � 0KM65@B+� �R5@MF: ��T@[�E�B�58Q�01T M 0KP;MFT@M JIE�B�T�V T B;5@/1/+Q�4FE � ¦ EW�8E}��7b5@Pj�\P�·��" 01MF:F0KM5��Q�4FEA/ 58B�� E�PRQ XI/K0 =\SFEAX 5@M � EA:FT MFEA01M Q�4<EAV T /K/1T �]01MQ���35�� ! � B�P Q�X�T 7A[65@B�EQ�4FE��8E}�`7L5@P��\P;T8V E}¦@EIBj�a[65@0KBO�]0KQ�4a5@/K/Q�4FE V T /1/KT&�]0KM5�'[65@0KB�P]01M�Q�4FE![65@0KB�P�/101P Q�� 9 Q

� �

Page 40: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

EI5@X 4�X�T 7L[F5@B�0KP�T M'Q�4FE�B�EZ0KP�SFP�S658/1/G�A5cQ3/KE 5@P Q3T M<Ec�@E��b7L5@Pj�X�]0KQ�4<T S<Q35@M��LX�T 7A7LT M� 0KQDPRE�Q�� "6T B3Q�4FEHB�E�7b5801MF0KM5��[*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�P<� EHQ�B+�bQ�T ��58MF: � Q�4<EHB�EIPRSF/KQO�]0 Q�4�Q�4F01BR:[F5@01BRP¯?V T@SFBRQ�4�[65@01BRPD5@MF:�PRTAT@M�SFM Q�01/�MFT'7LT@B�EZ[65801B�P X 5@M � EU5@:F:FE�:�Q�T Q�4<EHXI/10 =\SFE"��H0G¦@EIM'Q�4FE]/15@B�� E�PRQ�X�/10 =\SFE�� E�X 5@MAE 5@PR01/3� XIT@7L[FS?Q�EDQ�4FE]X�T B�BREIP�[*T MF:<01M5�(�@E�� � 0KQ�P � �/KT?T"�m0KM5��58Q�EI5@X 4 �8E}��7L5@P��LV T B Q�4FE\�8E}�C¦85@/1S<EH0KQDBREI[FBREIP�E�M Q�P�

��P�01MQ��Q�4FELXI/K0 =\SFE�58/o� T BR0KQ�4F7 �]0KQ�4 � � � XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�P 0KQ Q 5D�@EIP 5 � T@S<Q � � �aPREIX6°T@MF:FPZT M 5 0OµU_ �9�� [�E�B�P�T@M65@/,X�T 7A[FS<Q�E�B^Q�T � MF: Q�4FEX�@E�� 0KM �� � T@V Q�4FE�Q�E�PRQ�PX�T MF:FS<X�Q�E�: T M YH. =�B�E�:FSFX�EI: Q�T PR03®�B�T@SFMF:FP}� G 4FEIM���� � XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�P�5@BRE�SFP�E�:Q�4FEZ[FBRT:� B�5@7 P�SFX�XIEIE�:FP]01Mb5@/17AT PRQ35@/K/ Q�4FEZXI5@P�E�P��CD4FEZ[FBRT:� B�5@7 SFP�E�P]5 � T@S<Q À���� �� �\Q�E�PLT8V;7AEI7AT Bj�"¯�7LT P Q�T@V��]4F01X 4 01P�:<E}¦ T8Q�EI: Q�T�¦85@B�0KT SFP [<B�EI[<B�TmXIEIPRP�E�:�Q 5 � /1EIPS<P�EI:`Q�T'P�[*EIE�:�SF[�Q�4<E!58/o� T BR0KQ�4F7 �

� ����� ���>�����&�>� �P� �b�����C� �R�J�����(�

YH. = BREI:FSFX�EI: Q�T E�0o� 4 Q�BRT SFMF:<P�X 5@M � E � BRT:�@E�M SFPR01M5� 5 � T@S<Q�� ���� � XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ[F5@01BRP;V T Bb�]4F0KX 4 Q�4FE�[F/ 5801M Q�E6®?Q>³aµ>¶%0KP &2*�$ ��� � � � � � � � ������� � � "�� CD4<E7AE�Q�4FTm: � MF:FP7� � � 0KQ�P T8V � � � À � 58:F:F0KQ�01T MF5@/Q�8E}� � 0KQ�P X 5@M � E]V T@SFMF:ASFP�0KM5�!PR017A01/15@B7L5@MF0K[FSF/158Q�0KT MFP,T@MAQ�4FE^[F5@01BRP�WCD4FE�B�E�7b5801MF0KM5�HEI0G� 4 Q?�8E}� � 0 Q�P�X 5@M � E�V T S<MF:LS<P�01MQ�E6®?465@SFP Q�0G¦@E!PRE 5@BRX 41�

� �

Page 41: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

CD4FEUV T /K/1T �]01M5��X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXH01PDSFPREI:a01M�Q�4F0KP]5@M65@/3�mP�01P !

��� $ ���� � ��� � � ����� ��� ��� � "

� * $ � ������������� " � * $ ����� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

$ &u± � � � ��� ��� � "n·

�1* $ ����� ��� ��� � " � * $ � �� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �'� 7 � yy � 7 y �$ &u± � �dÀ���� ��� � "n·

�2* $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

* $ � � ����������� " ��* $ � � ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �'� 7 � yy � 7 y �

- * $ ����� ��� ��� � " � * $ ����� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

��$ � � � � ��� � ����� ��� ��� � "

F

F

F

F

F

CD4F0KPZX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X 4F5@PZ[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� ��'� � � x�� � y �HCD4<E�01MF[FS?Qc³aµ>¶ 0KMaQ�4<E�P�03®mQ�4BRT SFMF:`T@V,5�B�0o�@4\Q][F5@01B 0KP� * $ � * ² - * $ � * ² � * $ � * $ ���� � � ��� � " �

03T@MFP�E =mS<EIM Q�/3�:¯ V T B � ¦ E�= � T�®?EIP ��*� � $ ��*� �

$ � 5@MF: ��*��� $ � �

� .�+ � CD4FE�B�ED01PW5@M'5@:F:F0 Q�0KT M65@/ � ¦@E�°OBRT SFMF:'X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X?�]0KQ�4�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� 5 � T S<Q� �

Page 42: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

���� � � � ��N Q�P][F/15@01M Q�E�®mQO³aµ>¶ 01P

��� $ ��������� ½ � � � � � � � ��� � "'�NOM Q�4<01PHX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�T M</G��V T@SFB = � T�®?EIP 01M Q�4<EAPR03®mQ�4 B�T@SFMF: P�58Q�01PRV«� � *� � $ � �CD4<EIB�E 5@B�E T8Q�4FE�B,X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P,V T B��]4<01X 4 E�0KQ�4<EIB,Q�4FE3[FBRT � 5 � 01/10 Q7�UT B Q�4FE3M\SF7 � E�BT8V SFMFX 4F5@M5� E�: = � T�®?EIP�0KM Q�4FE'P�0@®?Q�4 BRT SFMF: 5@B�E'P�7L5@/K/1EIB}¯+5@MF: Q�4\SFPUQ�4FE�01BUSFP�EA01P/KEIPRP^58:Q¦85@M Q 5"� E�T SFP}�

NOM BR0o� 4 QA[65@0KB�P�Q�4<E � ¦@E = � T�®?EIP�= �*¯]= ¯a���}¯�= � P�58Q�0KPRV«�8� *� � $ � *� �

$ �58MF: � *��� $ � ��2?��� * $ � * ²�� * $ � * ² � * ² � * � E XI5@M � M<: Q�4<E�T S?Q�[FS<Q³aµ>¶]P'T@V^Q�4FE�XIT BRB�E�P�[*T MF:F0KM5� = � T�®<E�PL0KM Q�4FE�EI0G� 4 Q�4 B�T S<MF:1� CD4FE`01MF[<S<Q':658Q�5T8VDQ�4FELEI0o�@4\Q�4 B�T@SFMF: 01PY�\MFT �]M V B�T 7�Q�4<E�XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�P� CD4FE�B�E(V T B�ED¯P�3E�XI5@M SFPREQ�4FE`XIT SFM Q�01M5� 7LE(Q�4FTm: Q�T � MF: Q�4FE � � PRS � �@E�� � 0 Q�P'EIM Q�EIB�0KM5��Q�4FE � ¦ E = � T ®?E�P5cQAQ�4FE`EI0o�@4\Q�4 BRT SFMF:���CD4FEaP�0o�@M65@/3Q�T�MFT@01P�E`B�5cQ�01T T8V;Q�4<01P'XIT S<M\Q�01M5��P�X 4FE�7LE`01P� � $ 6����

�� 7 �'� � � x�� � y $ À���� �03T S<M\Q�01M5�AT M � � P�S � �8E}� � 0KQ�P]:FEI7L5@MF:FP^5'4mSQ� E!7AEI7AT B+��T@V;� � � X�T SFM Q�E�B�P}� NOMQ�4F01P�X 58P�E!Q�4FE XI/10 =\SFE!7AE�Q�4FTm:a0KP^MFT8Q^BREIX�T 7L7AEIM<:FEI: PR01MFX�E!0 Q�P�XIT 7A[FS<Q�58Q�0KT M�Q�0K7LE

�@B�T �]P/¦ E�Bj� Vh5@PRQO±h7AT B�E Q�4658M =\S65@:FB�58Q�0KX 5@/K/G�Q·��]0KQ�4 Q�4FE3MmS<7 � E�B,T@V [F5@01BRP¯D�]4<01/1E�Q�4<EX�T 7A[FS<Q 5cQ�01T@M Q�017AE�T@V Q�4FEAXIT@SFM Q�01MQ�`7AE�Q�4FTm: 0KPU/101M<E 5@BZ0KM Q�4FEAM\SF7 � EIBUT@V [65@01BRP� �E}¦@EIBRQ�4FEI/KEIPRP¯�� EaXI5@M BREI:FS<XIE�Q�4FE`5@7AT SFM Q'T@V;7LE�7LT B+� � � X�T SFM Q�0KM5��T@M V E��3E�BPRS � �8E}� � 0KQ�P^EIM Q�E�B�0KM5�bV E}� EIB = � T�®?EIP}�ZCD4FE BREI7L5@01MF0KM5�b= � T�®?EIP;X 5@M � E�SFPREI: V T B0K:FEIM Q�0 � XI58Q�0KT M�T@V+PRT 7LEHT8V Q�4FEb�]BRT M5��[65@0KB�P\± 01Md�]4F0KX 4���*�� � ��*�� ·�� 9 � T S<Q � ���T8V Q�4FE'EIM Q�BR01E�PH01M Q�4<E�[65@01BRPb³aµ>¶%:F01P Q�BR0 � S<Q�01T MaQ 5 � /KEIPH58B�E�017A[*T P�PR0 � /KE 5@MF: Q�4mS<PEI5@X 4 BREI7L5@01MF0KM5�A= � T�®a:F01PRX 5@BR:FP � ��� T@V,Q�4FE\�]B�T M5�L[65@0KB�P�)03T SFM Q�0KM5�bT M � � �@E}�� 0KQ�P'Q�4\SFPL465@P � �� $ 6 � �

� �87 � � � 7 �'� � � x�� � y�

½:� � 5@M<:�XIT@SFM Q�01MQ� T M À � �8E}� � 0KQ�PL4658P� � $ 6 ���

� � 7 � � � � 7 �'� � � x�� � y�

� � � �NOM!XIT SFM Q�01M5�^P�X 4FE�7LE�P Q�4F58Q>XIT SFM Q,T M�5�B�E�:FSFXIE�: M\SF7 � EIB>T@V � 0KQ�P9� E3XI5@M�X 4FTmT PREQ�4FE'B�E�:FSFXIE�: PRE�Q T@V XIT SFM Q�5 � /1EA= � T ®?E�P�5@B � 0KQ�B�5@BR01/3�:� NOM Q�4F01PH[658BRQ�0KXISF/15@B;XI5@P�E-� EXI5@M X 4FT?T@P�E�Q�4FE'BREI:FSFX�EI:�P�E�Q(�]0KQ�4 Q�4FEA5@:Q¦85@M Q�5"� E�T@V301MFX�B�E 58P�01MQ��Q�4FE'X 465@B�5@X�Q�EIB�°0KPRQ�01X � PH[FBRT � 5 � 0K/10 Q7��58MF: Q�4FE'P�0G� M65@/ Q�T�MFT 0KP�E'B�5cQ�01T � � SFP�0KM5�`5�PR/10G� 4 Q�/G�a7AT?:F0 � EI:X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXX�]4F01X 4 0o� M<T B�E�PHT S<Q�[<S<Q � 0KQ�PZQ�4658Q 58B�E�MFT@QUX�T SFM Q�E�: 5@M����35 �"�LCD4<EPR/10G� 4 Q�/G��7LTm:F0 � EI: X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X'01PHPR017A01/15@B^Q�T`Q�4FELT@B�0o�@01M65@/ T MFEAE�®?XIE�[<Q Q�4658Q!01MQ�4FE � V Q�4aB�T SFM<:�T MF/3��T MFE � 0 Q^T8V4�4� * ��� 01P � ®?EI: 5@MF:a5@/1/Q�4FE!X�T 7 � 0KM658Q�01T MFPDT8V,Q�4<ET8Q�4FE�B]Q�4FB�E�E 5@B�E 5@/K/1T �3E�:"!

� * $ ��� � ��� ��� � "� - * $ &u± ��� � ��� ��� � " ·4$-. ��� � � ��� � " (

�QÀ

Page 43: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�]4<EIB�E � � � � ( À (3� (+� ( � ( � ( � ( � !�¯�. � � � ( � !�¯ � � � � ( � !a5@MF: � � � � ( � !��CD4<EIB�E(V T B�E!58QDQ�4FEUP�03®mQ�4aBRT SFMF:� * $%. ���� � ��� � "

�]4<EIB�E � $ � ² � ��CD4FE T MF/3� [�T PRP�0 � /1E�XIT 7 � 01M658Q�01T M 01M �]4F01X 4 � $ � 01P� � � � � � � � " � � � � � � � � "-�]4F0KX 4 4F5@PU[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� � yy � � 9^/1/ Q�4FE'T@Q�4<EIBHXIT@7-°� 01M658Q�01T M<P\±h0KM��]4<01X 4 �-$ � ·34F5 ¦@E 5@M�T ¦ E�B�5@/K/ [FB�T � 5 � 0K/10KQ7� 6 �

y � � G EUX 58MFMFT@Q�XIT@SFM QT@M Q�4FELPRS � �8E}� � 0KQ�P � � � S<Q 0 Q!0KPUPRQ�0K/1/ 58:Q¦m01P�5 � /1E Q�T�X 4FE�X�� Q�4FEA[�T PRP�0 � 01/K0KQ7�aT@V� * �� � * � �]4F0KX 4 01P^P�58Q�01P � EI: � � � � � T@V Q�4FE [65801B�P}�HCD4FEIBRE�V T BRE"¯ Q�4FE [FBRT � 5n°� 01/10 Q7�`T@V � * - *+01P � yy � � � � � 6 �y � $ � 6y � $ �6 ��CD4FE'[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�`T@V Q�4<E � ¦ E�° B�T S<MF:7ATm:F0 � E�:�X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXU01P � y87 �'� 7 � yy � � � � y87 �'� 7 � 6y � �

� �x 6 � � � CD4FE!P�0G� M65@/ Q�TLM<T 01PRE B�58Q�0KT'T@V5UXIT@SFM Q�01MQ� PRX 4FEI7AEH�]4F01X 4LXIT SFM Q T M'Q�4FE � � P�S � �@E�� � 0KQ�P E�M Q�EIBR01M5��= �K¯?= � ¯<=Q½ 5@M<:= � 0KP � �� $ 6 � �

� � 7 � � � 7 x 6 � ��À � � ��CD4F0KPHP�0G� M65@/,Q�T�MFT 0KP�E�B�5cQ�01T�58/1/1T �]P;Q�T�SFP�E'T M</G�5 � T S?Q � ¦ EDBR0o� 4 Q [F5@01BRP�,CD4<EIB�E(V T B�ED¯\0KQWS<P�EIP 5;Q�T@Q 5@/<5@7AT SFM QWT@V�5 � T S<Q4� �� � � [65@01BRP�CD4<EDP�0o�@M65@/\Q�THMFT 0KP�E B�58Q�01TZT@V*5ZX�T SFM Q�0KM5�HP�X 4<EI7AE��]4F01X 4�X�T SFM Q�P T M À � P�S � �8E}� � 0KQ�PE�M Q�EIBR01M5��Q�4FB�E�Eb= � T�®<E�PUT S<QUT@V3= �K¯>= � ¯ =5½�5@MF:�= � 01P � � $ 6 ���

� � 7 � � � � 7 x 6 � ��À � �K�CD4<01P�XIT S<M\Q�01M5� P�X 4<EI7AEa�]4F0KX 4bXIT@SFM Q�P T M À�� � 0 Q�P�MFE�EI:FP À�� � ��� [F5@01BRP 58MF:L4F5@P358M5�¦@EIB�5D� EHT@V 5 � T S<Q � � X�T SFM Q�P V T B 5@M��i�]B�T@M5�-�@E}�i¦@58/1SFEH58MF:`5 � T@S<Q � X�T SFM Q�P V T BQ�4FEUB�0G� 4 QH�@E}�C¦85@/KSFEJ± �A$ � � � � x � � � �x 6 � � $ � � � � � ·6�

9 P�SF7A7L5@Bj� T8V;Q�4<01PAXIBj�m[<Q�5@M65@/3�\Q�01X�7AE�Q�4FT?: SFPR01M5� � � ��7AEI7AT Bj� XIE�/1/1P'0KPb5@PV T@/1/1T �]P !À �^=?E�Q�SF[A5@M'58B�B�5���T@V�� � � XIT SFM Q�EIB�PR�]4F0KX 4'01PW0KMF0KQ�0 5@/K01JIE�: � ��J�EIBRT?E�P�WCD4FE�5@BRB�5��XIT BRB�EIPR[�T@MF:FP;Q�TbQ�4FE � � � ¦85@/1SFE�P;T@V Q�4FE À�� �@E}� � 0KQ�P;T@V�� � EIM Q�E�B�01MQ�`= � ¯ =Q½5@MF:a= � ��K� �BREI[FBRT?X�EIPRP^Q�4<E![*T P�PR0 � /KEb¦85@/1SFE�P^T8V;� � Q�4658Q�P�5cQ�01P V«��E 58X 4 � *

� � *� V T B Q�4<EEI0o�@4\QD= � T ®?E�P 01M Q�T�5!Q 5 � /1ED�WCD4F01P Q 5 � /KE^0KP3SFPREI:�Q�T P�[*EIE�:�SF[bQ�4<EZ[FB�T"� B�5@7­�

�Q� " T@BDE 5@X 4`XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�[65801BD:FT !±h5�·�9;PRP�SF7AE�� * $ � *o¯ � * $�� *F5@MF:�� $ �K�;0 5@/1X�SF/ 58Q�E ��*�� $ ��*

� 5@MF: � � ��V T B�= �K¯6= ¯9��}�¯*= � � ��� *�5@MF: � *o� 0 5@/1X�SF/ 58Q�E � �� V T@B]= � ¯ =Q½A5@M<:�= �

� ���9�± � ·�"6T BDE 5@X 4aT MFEUT@V>Q�4FE�= � T�®?EIP;= �K¯*= ¯*= � ¯*=5½�5@M<: = � X 4FE�X��`0 V;��*� ���*� � N V<��*� � ��*� V T B T@MFEHT@V+Q�4FE = � T�®?EIPDQ�4FE�M�:F01PRX 5@BR:�Q�4FEH[65801BD5@P5-�]BRT M5�'[65@0KB�

� �

Page 44: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

± X ·�"6T B3EI5@X 4�T MFE;T@VQ�4<EH= � T�®<E�P�= � ¯<=5½�5@M<:�= � !,V E(Q�X 4�V BRT 7jQ�4FE^[FB�E�[FB�TD°XIE�P�P�E�:AQ�5 � /KE 5@/K/mQ�4FEk¦85@/1S<EIP,T8V � � ��]4<01X 4'5@BRE [�T@P�P�0 � /1E V T B;��*� ��*� �"6T BDE 5@X 4a[�T@P�P�0 � /1Eb¦85@/KSFEHX 58/1XIS</ 58Q�E � � $ � � k² � ��:��NOMFXIBREI7AEIM Q � �T MFE�5@/K/<Q�4FE]X�T SFM Q�E�B�P XIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ� Q�T X�T 7 � 0KM658Q�01T MFP,T@V�Q�4FE][�T@P�P�0 � /1E¦85@/1SFE�P]T@V;� � � "¯ ��½ � 5@MF: � � � :�

� � ",01MF: Q�4FE EIM Q�B+��0KM�Q�4<E 5@BRB�5��UQ�4658Q,XIT M Q�5@01MFP>Q�4FE 7b5&®<0K7b58/ XIT SFM Q�WCD4FE E�M\Q�Bj�01MF:FE6®'01P 7AT P Q�/10o�8EI/3��Q�T � EDQ�4FE]B�EI5@/5¦85@/1S<EDT@V � � � D¯ �<½ � ^58MF: � � � O�]4F0KX 401P Q�4<E\¦85@/KSFEHT@V>Q�4FE À�� � 0 Q�P � À (������ ( ��� T@V � � �

C>T � MF:�Q�4FEHT@Q�4<EIB � 0KQ�P}¯K� E � /KQ�EIB35@/1/ Q�4FE;[65@01BRP 5@M<:�/1E 5�¦@E �RSFPRQ Q�4FEZ[65801B�P<�]0KQ�4Q�4FE�E�®?[�E�X�Q�EI:�� *� ¦85@/KSFE�SFP�0KM5� Q�4FEc�\MFT �]Mi¦85@/KSFEIP T@V ��5@MF:LQ�4FE��mM<T&�]M � 0KQ�P T@V � �E�M Q�EIBR01M5�b= � ¯6=5½A58MF:a= � ��CD4FEUE�®?[*EIX�Q�EI: M\SF7 � E�B�T8V Q�4FEUB�EI7L5@0KMF01M5��[65@01BRPD01P �K�CD4FE]MFE6®mQ � 0KQ�PP� E�5@B�ED/KT?T"�m0KM5�;V T BW5@B�E Q�4FEDQ7�3E�/G¦ E � 0 Q�P T@V � � Q�465cQ�XIT BRB�EIPR[�T@MF:Q�Ta= �`58MF: = �AG�E'SFP�EL5�P�0K7L0K/ 5@B^XIT SFM Q�01M5�`7LE(Q�4FTm:e±hE6®<[</1T 0 Q�01MQ��Q�4FE'EIM<465@MFX�EI:

� � XIBRE 58Q�EI: � �bQ�4<EZ4F0o�@4FEIB X�T MFX�EIM Q�B�58Q�0KT M�T@V+B�0G� 4 Q [65801B�P�· 5@M<:�Q�4FE�M � /KQ�E�B37AT B�E[F5@01BRP�'9V�]BRT M5�`[65@0KBH01PHMFT@Q :F0KP�XI5@B�:FE�: � � EI0 Q�4FE�BHQ�4F0KP � /KQ�E�BHT BU0KQ�PH[FB�E�:FEIX�EIP�PRT B�]0 Q�4L[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� � � 6 � 5@M<:LQ�4\SFP35@/17AT P Q 5@/1/FQ�4FE;BREI7L5@01MF0KM5�U[65@0KB�P 5@B�E�B�0G� 4 Q [65@01BRP�

��P�01MQ� Q�4FEb�\MFT �]M�P�S � �@E�� � 0KQ�P3T@V � � � EHX 58M�X 5@/KXISF/158Q�E]Q�4FEa¦@58/1SFE�P T@V�� � � 0KQ�PT8V�E 5@X 4 T@V � 5@MF: � ' V T@B;E 58X 4 [65@01B^5@MF: Q�4\SFP � � � 0KQ�P^T@V�E 58X 4 T8V �`5@MF: � ' ± � ��?$ � *K² � *@·6�aC 5 � /KE � PR4FT �]P�Q�4<E�:FEI[*EIM<:FEIMFX�E�T@VDQ�4<E � � 0 Q�P 58MF: Q�4<EbP�S � �@E��� 0KQ�P;T@V �(½�58QZQ�4<E P�E�¦ EIM Q�4 B�T@SFMF: T M Q�4FEW�\MFT �]M�58MF: SFM5�\MFT �]M P�S � �8E}� � 0KQ�P;T@V� � 58QUQ�4FELEI0o�@4\Q�4�BRT SFMF:���CD4FEb:F0G� 0KQ�P � ¯ � 5@MF: � 7LEI5@M�Q�4658Q Q�4FE���:<EI[*EIMF: T@MQ�4FEW¦85@/1SFE�T@V Q�4FE'SFM5�\MFT �]M �8E}� � 0 Q�PHE�M\Q�EIBR01M5��Q�4<EAX�T B�BREIPR[�T M<:F01M5�a= � T ® 01M Q�4<EE�0o� 4 Q�4�B�T SFM<:1� � � �F7AE 58MFP3Q�4F58Q]0KQ3:FEI[*EIMF:�T M</G�LT M�Q�4FE>�\MFT �]M � 0KQ�P T@V � � ��. 0o�@4\Q�8E}� � 0 Q�P]5@BREUMFT@Q]SFPREI: 5cQ�5@/1/0KM � � 5@M<:a58B�EU7b58B��@E�: � � � � �G�

CD4FE!E�®?[*EIX�Q�EI:s¦85@/KSFE T@V � * 0KPH�mM<T&�]M � ��Q�4FE V T@B�7 SF/15 � * $ � *"² � *.� G�E!XI5@MM<T&� /KT?T:�ZV T@B Q�4<E À�� 7A01PRP�01MQ� � 0 Q�P T@V�� � � ��E6®<4F5@SFPRQ�0G¦@EDP�E 58B�X 4'T@V � � � [*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PV T@B^E�¦ EIB+��[F5@01B}�DCD4mS<Pc�3EY�\MFT ��� ¯ � ' 5@MF: � ¯ � ' 58MF: ��� � 0KQ�P^T@V��Y½*� " T@B^EI5@X 4[F5@01B�� E�X 4FE�X�� Q�4658Q�Q�4FE�E�®?[*EIX(Q�EI:z¦85@/1SFEbT@V � * 4FT@/1:FP}� "6T B�Q�4FE�B�0G� 4 QX¦85@/1SFEbT@VQ�4FT PRE À�� �@E�� � 0KQ�P]Q�4<E!E6®<[*EIX(Q�E�: � *�4FT /K:FP�V T@B^58/17AT PRQ�5@/K/Q�4FE � /KQ�EIBREI:�[F5@01BRP�39^/1/Q�4FE'T@Q�4<EIBU[�T@P�P�0 � /1EX¦85@/KSFEIPUP�58Q�0KPRV«��Q�4FEAE�®?[�E�X�Q�EI: � *g¦85@/1SFE�T@MF/G�aV T B 5�V E�� [65801B�P± SFP�SF5@/1/3� � � �U[F5@01BRPP�]4F01/KE3Q�4FE]BR0o� 4 QP¦85@/KSFED4FT /K:FPWV T B À [65801B�P�·��WC>TUP�5�¦ E�XIT@7L[FS?Q�EIBQ�017AEO�3EZPRE 5@BRX 4�[FB�0K7b58B�01/3��V T B�Q�4<E À �Y�8E}�u�\0KQ�P EIM Q�E�B�0KM5��= À 5@MF:�= � 01MLQ�4FE;E�0o� 4 Q�4BRT SFMF:�� CD4FE}�bP�S � XIE^Q�T X�T 7L[<S<Q�E �;� * ��� 58P3P�E�EIM�01MAQ 5 � /1E � � 2?�LP�017A01/15@B 7AE�Q�4<T?:FP

� �

Page 45: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

NOM Q�Tb= � T�® � � 0KQ�P �UE�� � 0 Q�P� � � � � � �= À � � ������� � ����� � �= � ��� � ��� � �����������= � � ��� ����� � � � �,� �= � ������� �&� ��� ��� � �= �&� ��� � � ����������= � � ��� ��� � ���������=Q½ � � � ����� ����������= � ��� �&� � � �����������

� ��� � � � � �HMFT �]M � 0KQ�P]5cQDQ�4FEUP�E�¦ E�M\Q�4 B�T@SFMF:1�� E � MF:aQ�4FEIPRE À � � 0KQ�P^58MF:aQ�4FEIM � MF:aQ�4FE�T@Q�4FEIB�EI0G� 4 Q � 0KQ�P�DCD4F0KP^X�T 7L[</1E�Q�EIPDQ�4<EXI5@/1X�SF/ 5cQ�01T@M�T@V Q�4<E ��� � 0KQ�PWT@V � � �RµZMF/3��E�0o� 4 QR�8E}� � 0 Q�P 58B�E P Q�01/K/?7A01PRP�0KM5�H5@MF:�Q�4FE}�XI5@M � EDV T SFM<: � �'E6®<4F5@SFPRQ�0G¦@E^PRE 5@BRX 4bT@V"� �� X 58P�EIP}¯?S<P�01MQ�!T M<E�[F5@01BWT8V X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P}¯58MF:­¦@EIBR0KV«�m01M5��Q�4658QDQ�4<E [</ 5@0KM\Q�E�®mQO³aµ>¶ 01P�5@PDE6®?[�E�X�Q�E�:1�

C>T�P�5�¦ EH:<01P��'PR[65@XIEa�3EHXI5@M � / Q�EIB Q�4FE;[65@01BRP 5@P P�TmT M�5@P Q�4FE���5@BRE;X�B�E 5cQ�EI:`5@M<::<01P�XI5@B�: 58/1/�Q�4FE�0K:FEIM Q�0 � 5 � /KEu�]BRT M5� [65@0KB�PC± /1EI5 ¦m0KM5� � � � x� ��T@V�58/1/ Q�4FE�[65801B�P�·��CD4<EIB�E(V T B�ED¯�01M Q�4FE�X 58P�E�T@V�XIT@SFM Q�01MQ� T M � � � 0KQ�P}¯WQ�4FE � �� � � [65@01BRP 5@BRE�B�E�:FSFX�EI:Q�Tb5 � T S?Qa½ �� � [65@0KB�P}� "6T BDQ�4FEUX 5@PRE!T@V,XIT S<M\Q�01M5�'T M À�� � 0KQ�P��3E!:FE}¦m0KP�EI:�5@MFT@Q�4FEIBX�B�0 Q�EIBR01T MJ�]4F01X 4�:<01P�XI5@B�:<P37AT PRQ3T@V Q�4FEa�]B�T M5��[65@01BRP?�]4F0K/1E�/1EI5 ¦m0KM5��5@/K7LT P Q 5@/1/6Q�4<EBR0o� 4 Q^[65@0KB�P��CD4F0KP;XIBR0KQ�EIB�0KT M`01P � 5@P�E�: T M 5bXI5@B�E(V SF/1/3��X 4FT PREIM´� EI0o�@4\Q�01M5�AV SFMFX(Q�01T@M58MF: :F01PRX 5@BR:FP�5@M�� [65@0KBu�]4FT@P�Ep�3E�0o� 4 Q�01Pb/1T �3E�B�Q�4658M 5 [F5@BRQ�01XIS</ 5@BbQ�4FB�E�P�4FT@/1:1�CD4<01P]XIBR0KQ�E�B�0KT M�01P Q�4<E!E6®?Q�EIMFPR01T MaT@V>Q�4FE � /KQ�EIBR01M5��T@V Q�4FEU0K:FEIM Q�0 � 5 � /KEb�]B�T MQ�L[65801B�P

±«�]4FEIBRE Q�4FE!Q�4FBREIP�4<T /1: 0KPZ5@X(Q�S65@/K/G��J�EIB�T�·;5@MF: 0KP � 5@PREI: T M Q�4FE 01:<E 5LQ�4658QH5�BR0o� 4 Q[F5@01BAQ7�?[<01X 58/1/G� PRS5�:� E�PRQ�P`7AT BRE�[*T P�PR0 � /KEs�@E�� ¦85@/KSFEIPbQ�465@M 5 �]BRT M5� [65@0KB� CD4<E� EI0G� 4 Q�0KM5��V SFMFX(Q�01T@M 01P^Q�4FE�[FBRT?:FS<X�QUT@V�Q�4<E M\SF7 � EIBHT@V [*T P�PR0 � /KEX�@E��?PUT@V EI5@X 4 T@VQ�4FE � ¦@E�XIT SFM Q�5 � /1E`= � T�®?EIP­±h0N� ED�G¯>Q�4FE�M\SF7 � E�B�01M Q�4FE�XIT BRB�E�P�[*T MF:F0KM5� EIM Q�B+� 01MQ�4FE`[65@01BRPX³aµ>¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT M Q 5 � /1E�P�·�� CD4FE�Q�4FBREIPR4FT /1: 01P�X 4FT@P�EIM Q�T 7b5n®?0K7L0KJIEQ�4FEH5@7AT SFM Q3T@V+:F01PRX 5@BR:FEI:�[F5@01BRP¯K�]4<01/1E^/1EI5 ¦m0KM5� 5@P37b5@M��LB�0G� 4 Q3[65801B�P35@P [*T P�PR0 � /KE"�CD4<E � E�PRQWQ�4FB�E�P�4FT /K:X¦85@/1SFE<� 58PWE�®?[*EIB�0K7LE�M Q 5@/K/G�HV T SFM<: Q�T � E �QÀ�� ���]4F01X 4�:<01P�XI5@B�:<P5 � T S?Q � ½ � T8V^Q�4FEd�]B�T MQ��[65801B�P'58MF: /1E 5�¦@EIPA5@/17AT P Q'5@/1/ Q�4FE�BR0o� 4 Q�[65801B�P}� CD4F01PBREI:FS<XIEIP Q�4FEZM\SF7 � EIBDT8V+[65@01BRP?� EU5@X�Q�S65@/K/G�A5@M658/G�mJIE�V B�T 7 À�� ��� � Q�T�5 � T S<Q�½ � � ¯�]0 Q�4`5�XIT BRB�E�P�[*T MF:F0KM5�LBREI:FS<X�Q�0KT M�01M�Q�4<E BRSFMFMF0KM5��Q�0K7LEHT@V>Q�4<E!5cQ�Q 58X����

���

Page 46: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�4� � �4� '�

�4� � �4� '�� % ���!��� � % ���!��� � % ��� � % ������������"� �����"���"� ������� �"����������&���"� ���������"� �����"� ���"������"������� �&���"����� ���"��� �����"����"�&�"��� �&�����"��� ������� �"������"��������� �����"����� ������� �"���"��"�������"� �����"���"� �����"� ���"����"���&�"��� �������"��� ������� ���"����"���&���"� ���������"� �"����� �������

� ��� � � �� � CD4FEU[*T P�PR0 � /KEH01MFP Q 5@M<XIEIP�T@V � � "� � " � ��= � ± 01M � 0KM65@B+�5·6�CD4FE^58QRQ 5@X��\01MQ� [<B�T:� B�5@7 � M<:FP Q�4FEH�@E��'01M'/1E�P�P Q�4658MAQ7� T�7A01M\S<Q�EIP T ML5 0OµU_�°

*9�� [*EIBRP�T MF5@/,X�T 7L[<S<Q�E�Bc�]0KQ�4 �� � P�SFX�XIE�P�PUB�58Q�E�±hS<P�01MQ� À�� ��� � [65@0KB�P�·�� ��P�01MQ�� �� � � � [65801B�P Q�4FE^PRSFXIX�EIPRP B�58Q�E^0KP�01MFX�B�E 58P�EI:AQ�T!5@/17AT P Q À�� ��� �WCD4FE�[FBRT:� B�587 SFP�E�P� � � � � �\Q�E�P�T@V 7AEI7AT Bj�"¯ 7LT P Q T@V30 QHV T BZQ�4<ELX�T SFM Q�0KM5�`5@B�B�5 � ±hT MFE � �\Q�EAP�S � XIE�PV T@B EI5@X 4 X�T SFM Q�E�B�P�0KMFXIE'Q�4<EL7L5n®?017 S<7 XIT@SFM Q 01P 5 � T S<Q �K¯,5@M<:�Q�4\SFP Q�4FE'Q�T8Q 5@/58B�B�5���PR01J�E 0KP � � � � �\Q�E�P�·6¯ 5@M<:`Q�4FEU[FB�E�[FB�TmXIE�P�P�E�: P�[*EIE�: SF[�Q 5 � /1EIP}��CD4FE![<B�T:� B�5@7�]4<01X 4`XIT SFM Q�P^SFPR01M5� � 6 �^7AEI7AT Bj�bXIEI/K/1P � M<:FPDQ�4FE\�@E���SFP�0KM5�AT MF/G� � �� ��� [65@01BRP�

����� �������� ����� ������� ��������������� � !�#"���$&%��%��'(�)�+*

NOM 58:F:F0KQ�01T M Q�T Q�4FE�P Q 58Q�01PRQ�01XI5@/ � E�465�¦?0KT B�T8VDQ�4FE�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXi�3EbX 5@M SFPREbQ�4<E[*T PRP�0 � /1Es¦85@/KSFEIP�T@V 0KMF:F0G¦m0K:FS65@/�01MF[<S<Q�5@MF: T S?Q�[FS<Q � 0KQ�P�T8V Q�4FE = � T�®?EIP}�F» E�Q�P/KT?T"��58Q;Q�4FE � B�PRQ;B�T S<MF: T@V Q�4FE�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XD��G�E�4F5 ¦@E � � "� � " � � = �J�]0KQ�4[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � yy � � C,5 � /1E À�� :FEIPRXIBR0 � EIPDQ�4FEU[*T P�PR0 � /KEH01MF[<S<Q^5@MF:�T S<Q�[FS<QH¦85@/1SFE�P�G�E�XI5@M P�E�E�Q�4F58QLQ�4FE�0KMF[FS<Q � 0 Q�PAMmS<7 � E�B � 5@MF: � 5@B�Ea5@/G�35��mPbE>=\S658/¥� NOM58:F:F0KQ�01T M`V T B �'6� y T@V Q�4FE 0KMF[FS<Qa¦@58/1SFE�P;Q�4FE�� 58B�E � T@Q�4 � 5@MF:�V T B �� y T@V Q�4FE�7 Q�4FE}�58B�E � T@Q�4 À � N Vc�3E �mM<T&� Q�4FE­³aµ>¶ T@V;Q�4FEs�8E}� � 0KQ�PLE�M Q�EIBR01M5� Q�4FE�P�E`Q7�3T � 0KQ�PT8V = � 0KM Q�4FE � B�PRQbB�T S<MF: ± 0¥� E"�3¯ � 0KQ�P ½ 5@MF: � � T@VZQ�4FE­�@E}�Q·J� E�XI5@M SFPRE�T M</G�[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�PH�]4FT PRE XIT@B�B�E�P�[*T MF:F0KM5� � 0 Q�P�±h0N� ED�G¯ � 0 Q�P 5@MF: � ·]465�¦@E�Q�4FE!P�5@7AEY³aµ>¶

¦85@/KSFE�± X 5@SFPR01M5� � 0 Q�PHM\SF7 � EIBA��5@M<: � Q�T � E'E>=\S65@/.·��XµZQ�4FEIBU[65801B�P;T@V3[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�PXI5@MFMFT8QZP�5cQ�01P V«��Q�4FE X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX"��CD4FE PRQ�58Q�0KPRQ�01XIP;5@MF:�Q�4FE � � B�58Q�01TL5@B�E Q�4FE�M��

Page 47: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

Q7�]0KXIE 5@PH� TmT?:�¯F5@MF:`/1E(Q]SFP]SFP�E /1E�P�PDQ�4F5@M�465@/KV>Q�4<E M\SF7 � E�BDT@VW[65801B�P}�N Vl�3E>�\MFT � Q�4FEb¦85@/KSFEIP3T@V � T@Q�4 � 0KQ�P 01M�5X�8E}�d� EHX 58M`X 4<T?T PREZQ�4FEZQ7� T � 0KQ�P 01MQ�4FE [F/15@01M Q�E�®mQ�P^P� Q���Q�4FE � 0KQc¦85@/KSFEIP^EIM Q�E�B�0KM5��= �b58B�E � T@Q�4�JIEIBRT5�ZNOM�Q�4F01P^X 5@PRE�Q�4<EP Q 58Q�01P Q�01X�P,V T BW= � � E�XIT 7AEIP �'6� y 01M<PRQ�EI5@:�T@V

� yy � �,CD4\SFPR� EO� E�Q 5;Vh58X�Q�T@B,T@V Q�4<B�EIED0KM�Q�4<EP Q 58Q�01P Q�01X�P;58MF:aQ�4FE � �� �^CD4<E�4F0G� 4FEIB � ��#/1E�Q�P^S<P;SFPRE /1E�P�P]Q�465@M ��T@VWQ�4FE�[65801B�PM<EIEI:<EI:`T B�0G� 01M658/1/G�"�+9 Vh5@X�Q�T B T@V+V T SFB3X 5@M � EHE 5@PR01/G�AT � Q 5@0KMFEI: � ��5 X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XQ�4658Q 4FT /K:FP V T B 5@/K/ Q�4FE;0KMF[FS<Q�P30KMJ�]4F0KX 4 � 0KQ M\SF7 � EIB À 465@P<¦85@/1SFE À 5@M<: � T8Q�4 � 0KQ�PM\SF7 � E�B ��5@M<: � 465�¦ E\¦85@/1S<E � �

����� ��� ������� ��$ � ��$ ������ ��$������

CD4<E � ¦ E6°OB�T@SFMF:'X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X XI5@M � E E6®mQ�EIM<:FEI:'Q�THPR03®�B�T SFM<:FP � � XIT@MFX 58Q�EIM65cQ�01MQ�0 Q Q�T'Q�4<EUV T@/1/1T �]0KM5� X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X !

��� $ �����5À-À � ��� � � � � ��� � "

� * $ �����QÀJÀ � � � " � * $ ���� � � ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�L5 � T S<Q ��'� �$-&i±'� � - � ������� "&·

��$ � � ������� � � ���� � � ��� � "

F

CD4F0KP]X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXH465@PD[FBRT � 5 � 01/10 Q7� �'6 7 � � 7 � yy � �� ��'� � 5@M<:�Q�4\SFPDQ�4FEU[FBRT � 5 � 0K/10 Q7�T8V Q�4FEUXIT MFXI58Q�E�M658Q�EI:�PR03®�°OBRT SFMF:�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XU0KP]5 � T@S<Q ��'� � � � � � �

YH. =�BREI:FSFX�EI: Q�T�MF0KMFEbBRT SFMF:FP!X 5@M � E � B�T:�8EIM SFPR01M5� � � ° 7L0K/1/10KT M�[F5@01BRP � � 57AE�Q�4FTm: � 5@P�E�:aT M�Q�4<01PDP�0@®�°OB�T@SFMF:`X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXU5@MF:`SFP�0KM5�A5@Ma5@B�B�5 �bT@V P�01J�EA� � ��]0 Q�4 � �� $ 6����

�� 7 �'� � � � � ��À �WCD4<E � BRPRQ [F5@BRQ T@V Q�4FEZ58/o� T BR0KQ�4F7 Q�4658Q � MF:FP3Q�4FE � B�P Q

� � �@E�� � 0KQ�P]0KP;5@/K7LT@PRQ]Q�4FE P�587LE�5@P^0KM`Q�4FE�E�0o� 4 Q^B�T S<MF:FPZ58/o� T BR0KQ�4F7�E6®<X�EI[<Q;Q�4658Q0 QZX�T SFM Q�PUT M 5@/K/ Q�4FE�� � � 0 Q�PH58QZT MFXIED�!CD4<EAPREIX�T MF: [65@BRQZT@V�Q�4FE'5@/G� T BR0KQ�4<7 Q�4658QS<P�EIP^Q 5 � /KE � 01P�P�/10G� 4 Q�/3��:F0 �EIBREIM QZPR01MFX�E�Q�4<E��@E���PRX 4FEI:<SF/10KM5��58Q^Q�4FE!MF01M Q�4�B�T SFM<:

� �

Page 48: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

0KP � 5@PREI: T M 5�P�4F0 V QUT@V T MFE � 0 QH01M<PRQ�EI5@: T@V Q7�3T � 0 Q�P�!CD4FE'01MF[<S<QH[65@B QUPRQ�5 �mPHQ�4<EP�5@7AE"�

� ����� � �}� � �X� �������}�R���X��� ����� � �>� � � �R�J�����(�

CD4<ELV T /K/1T �]01M5�b0KQ�E�B�58Q�0G¦@EAX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXLXI5@M � E'SFP�E�: Q�T`XIB+�?[?Q 5@M658/G�mJIE´± 58Q /1EI5@PRQ0KM�[FB�0KMFXI0K[F/1E�·<¦85@B�015@M Q�PDT@V,YH. =d�]0 Q�4a5@M`5@B � 0KQ�B�5@Bj�bM\SF7 � EIB]T@V B�T SFM<:FP�� .�+ � +-)/. ( CD4FE\¦@58/1SFE À���� ��� ��� � "!0KPD:FEIM<T@Q�E�: � � ���

CD4FE 0KQ�EIB�58Q�03¦ EHX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XH0KP>!��� $ ± � ( � ·;$ À ������������� � ��� ��� ��� � "

� * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

�1* $ � � * $�� $ �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�L5 � T S<Q �6 � �À���� ��� ��� � "

� $ ± � ( �k·;$ � ��� ��� ��� � À � � ��� ��� � "

F

F

YZS<E;Q�T�Q�4FEZ0K7L[*T BRQ�5@MFX�E^T@V Q�4F01P 0KQ�EIB�5cQ�0G¦@E;X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XD¯?Q�4FB�T SQ� 4FT S<Q Q�4F0KP [65@[*EIB� E B�E�V E�BD0KQ�5@P\�«©[�(¤«�����j�"�f¤��"�W��©Q�"�j�*�������6¤o���f¤¥���� � 4 4 � � CD4FEU0KQ�EIB�58Q�03¦ EHX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XU465@P][FBRT � 5 � 01/10 Q7� � � 7 � 7 �'�y � �

� �6 � � � ;-. .� ��*� � �$ � T MF/3��58QDQ�4FB�E�E�= � T ®?E�P>!3= À ¯ = �'5@MF:�= �Q¯?V T B��]4F01X 4�!

� À * � � $ � À * � � $ � � " � À * ��� $ � �]0 Q�4�[FB�T � 5 � 0K/10KQ7� � �y ��4� * � � $ �4� *� �

$-��� " �4� * ��� $ � �]0 Q�4�[FB�T � 5 � 0K/10KQ7� �y ��;� * � � $ �;� *� �

$ ��� " �;� * ��� $ � �]0 Q�4�[FB�T � 5 � 0K/10KQ7� �'�y �58MF:`V T@B Q�4FEUT@Q�4FEIB�= � T�®?EIP�± = � ¯1��}�¯�= � ·3!

� ½

Page 49: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

^SF7 � E�BDT@VWBRT SFMF:FP B�T � 5 � 01/K0KQ7�� �6 � � �

x7x � � �½

�� � 6 �

��

� � � 6

À:À�

� � � �

À ��

� � � �
�� �*x7y

��������� �� CD4FE'[FBRT � 5 � 01/10 Q7��T@V�Q�4FE�0 Q�E�B�58Q�0G¦ E�X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXX¦ E�B�P�S<P M\SF7 � E�BHT@VBRT SFMF:<P�� *� � $ � *

� �$ � � *��� $ � 5@/3� 5��mP�

CD4\SFP � * $ � �]0KQ�4�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� � � 7 � 7 �'�y � �� �6 � � �

� � .�; � 4 � 2<� 5@M 0 Q�EIB�58Q�03¦ E�XIT MFXI58Q�E�M658Q�01T M T@V'Q�4FE 0KQ�EIB�58Q�03¦ E X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�]0 Q�4U0KQ�P�E�/KV<5@MF:>�]0KQ�4 Q�4FE�T MFE�° B�T S<MF:UX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXR�]0KQ�4U[FBRT � 5 � 01/10 Q7� À ± :FEIPRXIB�0 � E�:0KM�E�®<5@7A[F/1E � ·k� EY�@E�Q]X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�PH�]0 Q�4`[FB�T � 5 � 0K/10KQ�01E�P 5@P]P�S<7L7L5@B�0KJIE�:`0KM�Q 5n°� /1E À:À ��NOM 5@:F:<0KQ�0KT M Q�4FEL[F/ 5@0KM Q�E�®mQ(³aµ>¶�P�5@MF: Q�4FEbX�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�³aµ>¶]P�T@V Q�4FEIPREX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP�5@B�EHE =\S65@/�!

��� $ � $ À���� ��� ��� � ��������������� " $ ± � ( � ·

58MF:`V T@B Q�4FEUMFE6®?Q�BRT SFMF: ± �\� /¥� �5�65 � ¦@E�°OBRT SFMF:aX 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X ·� * $ �

58MF: � ¦ EUT@VW0 Q�P�= � T ®?E�P^P�58Q�0KPRV«����*� � $ � �

;-. .� CD4<E BREIPRSF/KQ�P T@V?Q�4F01P�Q�4FE�T B�E�7 5@BRE :FEIBR0G¦ E�: V BRT 7 :FE � M<0KQ�0KT M À:À 5@M<: /KEI7A7b51�K�CD4<E\³aµ>¶ :65cQ 5�:FSFBR01M5��Q�4<E 0KM Q�EIBR7LE�:F0 5cQ�EZBRT SFMF:FP�/1TmT:�\PD/10G�@E !��� $ ±�� ( � ·

� * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP� �

Page 50: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� * $ � � * $ � �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�L5 � T S<Q �6 � �� * $ � * ² � * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP� * $ � * $ � �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�L5 � T S<Q �6 � �� * $� * ² * $ � - * $ � 5@/3� 5��mP

���

58MF:aPRT�V T BRQ�4`V T B]58M���MmS<7 � E�B]T@V,BRT SFMF:<P�� .�+ � CD4FE�B�E�0KP!58MFT@Q�4<EIBY¦85@/KSFE'V T B>�]4F01X 4 /KEI7A7b5��`5@MF: Q�4FEIT BREI7 �`4<T /1:p�]0KQ�4Q�4FE P�5@7LE![FB�T � 5 � 0K/10KQ�01E�P��CD4F01Pc¦85@/KSFE�0KP ���1$ À � � � � �9� � ":�HCD4<EIB�E 5@B�E PRE}¦@EIB�58/58:F:F0KQ�01T MF5@/l¦85@/KSFEIPZV T@Bc�]4F01X 4 Q�4<E�[FB�T � 5 � 01/K0KQ�01EIP^5@BRE�P�7L5@/1/KEIB� CD4FE � EIPRQ T@V�Q�4FEI70KP ���4$ � ��À���� ��� � " V T BO�]4F01X 4`Q�4FE [FB�T � 5 � 0K/10KQ7�L01P]E6®F58X�Q�/3� �6 x7y �3CD4FE!E�®mQ�E�MFP�0KT MT8V Q�4F01PD0 Q�EIB�58Q�03¦ EHX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XZQ�T À� BRT SFMF:<P�4F5@P][FB�T � 5 � 01/K0KQ7� � �*x7y �

CD4FE�B�E�58B�E P�E}¦@EIB�5@/W[*T P�PR0 � /KEUQ7�m[*EIPZT8V�58Q�Q�5@X��\P¯�:FEI[*EIMF:<01M5��T@MaQ�4<E�M\SF7 � EIB^T@V58:F:F0KQ�01T MF5@/<BRT SFMF:FP 01M'Q�4<E�X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7 Q�465cQ358B�E]MFT@Q XIT ¦@EIB�E�: � ��Q�4FE]X 465@B�5@X�Q�EIB�°0KPRQ�01X 0 Q�P�E�/KV��!CD4FEb5cQ�Q 58X���T M�YH. = BREI:FS<XIEI: Q�T�EI0G� 4 QHB�T@SFMF:FPU01M PREIX�Q�01T M SFPREIP!5� ¦ E�° B�T S<MF:�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X 5@MF:�Q�4FEIBRE?� EIB�E Q�4FBREIE 58:F:F0KQ�01T MF5@/ B�T S<MF:FP� CD4F01P��\01MF:!T@V5cQ�Q 58X���01P�X 5@/K/1E�:L5 �:¶�° 58QRQ 5@X��{�WCD4<E^T@Q�4FEIB<�\01MF:<P T@V58Q�Q�5@X��\P358B�E^5 �"¶�° 5cQ�Q 58X����]0KQ�4Q7� T 5@:<:F0KQ�01T M658/DB�T SFM<:FP�5@M<: 5 À ¶�° 5cQ�Q 58X��¹�]0KQ�4 T MFE�5@:F:F0 Q�01T@M65@/DB�T@SFMF: ±«�]4FEIBREQ�4FE X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X!X 5@S<P�EIP � *Q�T � E � ®?EI:{·6�H9 � ¶�° 58QRQ 5@X���01P;5@/1PRTb[*T P�PR0 � /KE � S?QH0KQXI5@M � ELBREI:FS<XIEI: Q�T 5 À ¶O°O58Q�Q�5@X��´�]0KQ�4 5 � E(Q�Q�E�B�P Q 58Q�01PRQ�01X�P�5@M<:�Q�4<EbP�587LE9� �� �9 � ¶�° 5cQ�Q 58X�� 465@P'Q�4FE`5@:K¦@58M\Q�5"� E�Q�4F58Q'Q�4FE`B�0G� 4 Q'[65@01BRP'X 5@M � E`B�E�XIT:�@MF01J�EI: 5@/3°7AT P QY�]0 Q�4FT S?Q�7A01P Q 5"�8EIPi± Q�4<Eb[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� T@V]5��]B�T MQ� [65@0KBUQ�T�PRSFBj¦m0G¦@E�01PA� �*y �}·58MF: Q�4\SFP Q�4FEb7AEI7AT B+��BRE>=\SF0KB�EI7AEIM Q�P X 5@M � E�XIT 7AEbMFE}� /10G� 0 � /1E'SFP�0KM5��Q�4FEbX�/10 =\SFE7AE�Q�4FTm:1� "6T B 5 � ®?EI:�XIB+�m[<Q�T P+�mPRQ�E�7 0KQ 01P35@:Q¦m01P�5 � /KE^Q�T�SFP�E;Q�4FEZPR4FT BRQ�EIP QD[�T@P�P�0 � /1EX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX�:<SFE�Q�T!0 Q�P � E�Q�Q�EIB�PRQ�58Q�0KPRQ�01XIP}�WCD4\SFP¯?5 �:¶O°O58Q�Q�5@X�� 0KP 58:Q¦m01P�5 � /1E]T ¦ E�B5��"¶�° 5cQ�Q 58X���5@MF: � T@Q�4`5@BRE!58:Q¦m01P�5 � /1EHT ¦ E�B;5 À ¶�° 5cQ�Q 58X����

NOM Q�4FE�V T@/1/1T �]0KM5� P�EIX(Q�0KT MFP�Q�4FE 5@X(Q�S658/!5cQ�Q 58X��mP�T M YH. = BREI:FSFX�EI: Q�T � ��À��BRT SFMF:<PU5@B�E�:FE�P�X�B�0 � EI:���9;/K/ Q�4FEIPREL5cQ�Q 58X��mP � M<: PRT 7AE � 0KQ�PZT@V�Q�4FE�PRS � �8E}� T@V�Q�4<E/15@PRQ]BRT SFMF:�� CD4<E T8Q�4FE�B � 0KQ�PDT8V Q�4FEUP�S � �8E}�`T@V>Q�4FEU/15@PRQ]BRT SFMF:`X 5@M � E XI5@/1X�SF/ 5cQ�EI:S<P�01MQ� Q�4FE�P�E´�\MFT �]M � 0 Q�Pb5@MF: 5 B�EI:<SFX�Q�01T M T8VHQ�4FEaXIBj�m[<Q�T Pj�mP Q�EI7 Q�T 5�P�7L5@/1/KEIBM\SF7 � E�BDT@V,BRT SFMF:<P�XI5@M � EH:<T MFE"�?µZMF/3��EI0G� 4 Q � 0 Q�PD:FT'MFT@Q�58[F[�EI5@BD01M�Q�4FEHP�S � �@E��T8V Q�4FEU/ 5@P Q]B�T SFM<:�5@M<:�Q�4FE}��XI5@M � EZV T S<MF: � ��Q�Bj�m01M5�A5@/K/�Q�4FEA� �� [�T@P�P�0 � /1E>�8E}�mP�

� �

Page 51: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� ��� ����� � ��� �� �

NOM �:¶�° 58QRQ 5@X��\P�XIT SFM Q�01M5�LX 5@M � E :FT MFE!T M 58/1/ Q�4FE � 0 Q�P]T@VWQ�4FE P�S � �8E}��T@V,Q�4FE�/15@PRQBRT SFMF: E�M\Q�EIBR01M5� Q�4FE`= � T�®?EIP�Q�4F58Q�465�¦ E�J�EIB�T 0KMF[FS<QX³aµ>¶]P'58Q Q�4FE�B�T S<MF: Q�4658QV T@/1/1T �]PUQ�4FEb/ 5@P Q B�T@SFMF: T@VDQ�4FE�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XD� CD4FEbV T SFB}¯ P�0@®�¯,EI0o�@4\Q�5@MF: MF0KMFE�°BRT SFMF:a58QRQ 5@X��\P]:FEIPRXIBR0 � EI:�0KM�Q�4FEU[FBRE}¦m01T@SFP^PREIX(Q�01T@MFP�5@B�EHT@V>Q�4<01PDQ7�m[�ED�NOM�YH. =UB�E�:FSFXIE�: Q�T�EI0G� 4 Q,BRT SFMF:FP+Q�4<E � BRPRQ<� � PRS � �8E}� � 0KQ�P XI5@M � E V T@SFMF:�S<P�01MQ�Q�4FE 0 Q�EIB�58Q�03¦ E X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01Xk�]0 Q�4 � ¦@E B�T@SFMF:FP�±«�]4FT P�E3[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�U0KPW5 � T S<Q �

x7x � � � ·� �!5@M�5cQ�Q 58X��\�]4<01X 4 0KP>PR017A01/15@BQ�T�Q�4FE T MFE :FEIPRXIB�0 � E�: 01M!P�E�X�Q�0KT M ���^PR01M5�;5@M�5@BRB�5��T8VWP�0KJIE � 6 �c� E�4F5 ¦@E � �� $ 6 � �� � 7 � � � 7 x7x � � � $ À � � G�E!M<EIEI: 5 � T@S<Q � 6 � [65801B�P}�1��P�01MQ�

58M 5@B�B�5 ��T@V P�0KJIE�� � � � E'465�¦ E�� �� $ 6 ����� 7 x7x � � �

�À � �!9 � T@S<Q � ½ � ± À � � � � x ·�T@VQ�4FEU[65@0KB�PDX 58M � EU01:FE�M\Q�0 � E�:�01M`5@:Q¦85@MFX�E 5@PO�]B�T M5�'[65801B�P}�

� ��� ����� � ��� �� �

NOM �"¶�° 5cQ�Q 58X��mP}¯6XIT S<M\Q�01M5�'XI5@M � EH:FT@MFEUT M`5@/1/*Q�4FE � 0 Q�P T@V>Q�4<E PRS � �8E}��T@V>Q�4FEU/15@PRQBRT SFMF:��� T PRP�0 � 01/K0KQ7��X 4FE�X��\PDX 5@M � E�:FT MFE�V T B 5@/1/FQ�4FE�[FB�E�¦?0KT SFP B�T SFM<:�= � T�®?EIP� 9^M= � T ®X�]4FT P�E�01M<[FS<Q�³aµ>¶�01P�JIE�B�T P�4FT@SF/1:L5@/1PRTU465�¦ E^5@MLT@S<Q�[FS?Q<³aµ>¶�T8VJIE�B�T5¯\0N� ED�G¯Q�4FEUP�SFX�XIE�P�P�B�58Q�E T8V>Q�4F01PDX 4<EIX���01P �� y � "6T B Q�4FEHT@Q�4<EIB^= � T�®?EIP]Q�4FEHPRSFXIX�EIPRP;B�5cQ�EH01P5 � T S?Q � � � �NOM�YH. =�B�E�:FSFX�EI:aQ�TLM<01MFEUB�T@SFMF:FP]Q�4FE ��� � 0 Q�P]T@V � � X 58M � EHV T SFMF:aSFP�0KM5� � 6 y[F5@01BRPDSFP�0KM5��Q�4FEUP�E�¦ E�MK°OBRT SFMF: X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX"�WG�E(�\MFT � Q�4658Q>!��� $ ±�� ( � ·� * $ � � * $ � 5@/G�35��mP

� * $ � � * $ � �]0KQ�4`[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�b5 � T@S<Q �6 � �� * $ � � * $ � 5@/G�35��mP���

� * $ � � * $ � 5@/G�35��mP� * $ � � * $ * ² � * $ � * * $�� * � * $ � * ² � * $ � * ² �

� $ ±�� * (�� * ·

Page 52: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

G�E XI5@M X 4FE�X��aQ�4F58Q�� * ��* 5@MF: * ��* 5@MF: X�T SFM QZQ�4<E�[*T P�PR0 � /KE�TmXIXIS<B�B�E�MFXIE�PT8V>Q�4FE>�@E�� � 0 Q�P� 9 Q � * � * � ¦@E�= � T�®<E�PDP�58Q�01P V«� ��*�� $ ��*�

$ � 58MF:�Q�4\SFP ��*� 7�SFPRQ � EZJ�EIB�T­±«�]4F01X 4�4F5@[F[*EIMFP V T B<�]B�T MQ��[65@01BRP?�]0 Q�4�[FBRT � 5 � 01/10 Q7� �� y ·�¯*�]4F01/KE^Q�4<ET8Q�4FE�B�Q�4FB�E�E = � T�®?EIP^P�58Q�01PRV«� ��*�

��*�� ± �]4<01X 4 4658[F[�E�MFP]V T BO�]B�T M5�L[65@0KB�PO�]0KQ�4[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � � � ·�� CD4FE�B�E�V T@B�EUQ�4FEUXIT@SFM Q�01MQ�AT@M�5@/K/�Q�4FE ��� � 0KQ�P�T8V � � 465@P � �� $6 ��� 7 6�� � �� �87 � � � � 7 � ������ �

�� 6�$ 5@MF: XIT SFM Q�01M5� T@M À�� � 0 Q�P!465@P � � $ 6 ��� 7 6�� � �

� � 7 � � � � 7 � � � � 7 � ������ ��

� � � �.P¦@EIM 5�P�E�[65@B�58Q�E XIT S<M\Q�01M5�AT M�Q�4FEUPR03®��8E}� � 0KQ�PDEIM Q�E�B�0KM5�LEI5@X 4 = � T ®`0KPD[�T@P�P�0 � /1E�]0 Q�4 � �� $ 6 � 7 6 � � �

� 7 � � ��� 7 � � � � 7 � ���� � ��À�� � CD4FE!01:FE�M\Q�0 � XI58Q�0KT M�T@V Q�4FE\�]B�T MQ�L[65801B�P]/KE 5�¦ E�P

T@MF/G� � � � � � � �� y � x � � � � � � � � 6 �'T@V Q�4FEi�]BRT M5� [65801B�P�5@MF: Q�4mS<P T MF/3� 5 � T S?Q�T M<E�]BRT M5� [F5@01B 01P /1E�V Q [*EIB3EI5@X 4�B�0G� 4 Q3[F5@01B}�WCD4FE;X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX � P [FB�T � 5 � 0K/10KQ7� 01P�� � 6 �58MF:�Q�4mS<PY� ELMFE�EI: 5 � T S?Q � 6 y [65@0KB�PHV T BHQ�4FELXIB+�?[?Q 5@M658/G�mP�0KP��CD4F0KP�5cQ�Q 58X�� MFEIE�:FP7AT BRE :F58Q 5�Q�4658MaQ�4<E![FBRE}¦m01T@SFP �"¶O°O58Q�Q�5@X���T MaYH. =�B�E�:FSFXIE�:�Q�TLMF01M<E BRT SFMF:<P � S?QM<EIEI:<P�7�SFX 4�/1E�P�PD7AEI7AT Bj�"�WYZSFE;Q�T Q�4FEb¦@EIB+�d� TmT?:b01:FE�M\Q�0 � XI58Q�0KT M�T@V9�]BRT M5��[65801B�P± T MF/3� 5 � T S?Q EI0G� 4 Q [65801B�P�5@B�EbMFT@Q :<01P�XI5@B�:<EI:1¯ V T SFB!B�0G� 4 Q [65@0KB�P�5@MF: V T S<B��]B�T MQ�[F5@01BRP�·30KQ 01P][�T@P�P�0 � /1E^Q�TASFP�EHQ�4<E X�/10 =mS<EH7LE(Q�4FTm:�T M�58/1/�Q�4FE ��� � 0KQ�P�

. /1E�¦ E�M`BRT SFMF:<PDX 5@M � E � BRT:�@E�M � �bSFP�0KM5� Q�4FE;MF01MFE6°OBRT SFMF:�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXc�]0KQ�458M�5@BRB�5��'T@V PR01JIE � � � 58MF: � �� $ 6 ��� 7 6 � � �� � 7 � � � � 7 � � � � 7 � ���� � �

�� SFP�0KM5� � � x [65@0KB�P�,CD4FE;X�/10 =\SFE

7AE�Q�4FTm:�X 5@M�P Q�01/K/ � EDSFPREI:'T M ��� PRS � �@E�� � 0KQ�P/�]0KQ�4�� �� $ 6 ��� 7 6�� � �� � 7 � � � � 7 � ���� � �

�� 6 � �]0KQ�4

58M`0K:FEIM Q�0 � XI58Q�0KT M�Q�465cQ^/KE 5�¦ E�P � � 6 � � � 6 �)$ � � �]BRT M5�A[65@0KB�PD[*EIB]E 5@X 4`B�0G� 4 Q][65@0KB�À � BRT SFMF:<P�X 5@M � E � B�T"�@EIM SFPR01M5� Q�4FE�EI/KE}¦ E�MK°OBRT SFMF: X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01Xu�]0KQ�4 58M58B�B�5�� T8V3PR01JIE9� � � 5@MF: � �� $ 6 ��� 7 6 � � �

�� 7 � � � � 7 � � � � 7 � ���� � ��

� SFPR01M5� � � � [65@0KB�P}�ACD4<ELX�/10 =\SFE7AE�Q�4FTm: 01P MFT@QW[*T PRP�0 � /1E3PR01MFX�E ��� � ��� � 6 ��$ � �%$ [65@0KB�P 5@B�E3MFT@QW:<01P�XI5@B�:<EI:1�403T@SFM Q�01MQ�PRX 4FEI7AEIP�T M À�� 5@MF: � � � 0KQ�P]5@B�EHM<T@Q^5@:Q¦m01P�5 � /1EH:<SFEHQ�T�Q�4FEU/KT&� � �� �

À BRT SFMF:FP]XI5@M � E � BRT:�@E�MaSFPR01M5��Q�4FE À �n° B�T SFM<:`X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXb�]0KQ�4`5@M`5@BRB�5��T8V�PR01JIE?��� 6 5@MF: � �� $ 6 � � 7 6 � ����� 7 � � � 7 � � � � 7 � ���� � �

��:� SFPR01M5�8� x � [65@0KB�P}�jCD4F01P�01P�P Q�0K/1/

Vh58PRQ�E�BDQ�465@M�E6®<4F5@SFPRQ�0G¦@E!PRE 5@BRX 41¯ � S<Q�B�E =mS<01B�E�P]SFMFB�EI5@/10KPRQ�01XH5@7AT SFM Q�PDT@V,PR[65@X�E�5@M<:X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P}�

Page 53: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� � � � ��� � ��� �� �

NOM À ¶�° 58QRQ 5@X��\P�XIT SFM Q�01M5�LX 5@M � E :FT MFE!T M 58/1/ Q�4FE � 0 Q�P]T@VWQ�4FE P�S � �8E}��T@V,Q�4FE�/15@PRQBRT SFMF:�EIM Q�E�B�0KM5�`Q�4FEb= � T ®?E�PY�]0KQ�4�M<T M J�EIB�Ta01MF[<S<Q\³aµ\¶]P����EIB�0 � X 5cQ�01T@M T8V3Q�4<E¦85@/KSFEIP;T@V � *+0 Q�P�E�/KV 5@M<: [*T PRP�0 � 01/10 Q7��X 4FEIX��\P T M 5@/1/+Q�4<E�T@Q�4FE�B = � T�®?EIPU0KM Q�4FE�/15@PRQBRT SFMF: X 58M � E�:FT MFED� "6T BQ�4<T P�E3= � T�®?EIPg�]0KQ�4!5DJIE�B�T;0KMF[FS<Q9³aµ>¶ Q�4FE T@S<Q�[FS?Ql³aµ>¶PR4FT SF/K: � EHJ�EIBRT'Q�T?TQ¯<0¥� E"�3¯?Q�4FEHX 4FE�X���P�SFX�XIEIPRP^B�58Q�EH0KP �� y � =?01M<XIE;Q�4FEH01MF[<S<QO³aµ>¶ 01PX�T MFP Q 5@M Q�� EHX 5@M<MFT@Q :<01PRQ�01M5�@SF01PR4 � E(Q7�3E�EIM�P�E�¦ E�B�5@/PRS � �8E}�d¦85@/KSFEIP}� �^T �3E�¦ E�B¯FQ�4<EM\SF7 � E�B!T@V3P�SFX 4 ¦@58/1SFE�P!0KP PR7b58/1/�±hE�0o� 4 Q 01M�5@/K/WQ�4FE À ¶�° 58QRQ 5@X��\PU:FEIPRXIBR0 � EI: 4FE�B�E�·58MF: E 5@X 4 XI5@M � E�X 4FEIX��8EI: /158Q�E�B;0KM [65@B�5@/1/KEI/ � ��Q�4<E MFE�®mQU[658BRQZT8V Q�4FE�5@/G� T BR0KQ�4<7± EI0 Q�4FE�B�¦?015�E�®?465@SFP Q�03¦ E P�E 58B�X 4�T@B � �`5�:F0 E�B�E�M\Q�0 5@/ XIBj�m[<Q�5@M65@/3�mP�01P�58QRQ 5@X��K·6�

C>EIMaB�T SFM<:FP]X 5@M � E � BRT:�@E�MaS<P�01MQ�AQ�4FEUMF01MFE6°OBRT SFMF:�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01Xb�]4FE�B�E� * $ � � * $ � �]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� �6 � � * $ � � * $ � 58/G�35 �mP

� * $ ��$�� * � * $ � * ² * $�� * �G�E�XI5@M 01:FE�M Q�0KV«� Q�4FE�BR0o� 4 Q [F5@01BRP�E 58P�01/3�:�aCD4FT P�E�[F5@01BRP�P�5cQ�01P V«� � * $ � 58MF: Q�4<E� � � 0KQ�P�01M � *R�@T 01M5��T S<Q�T@V^= � ¯O��}�¯3= � 5@B�EbJIEIBRT5� CD4F01P 5@/1PRT 4FT /1:<P!V T B�� �*x 6 T@VQ�4FEb�]B�T@M5��[65@0KB�P� " T@B3Q�4FE;T@Q�4FE�B Q�4FBREIE = � T�®<E�PO�3EHX�T SFM QDQ�4FEH[*T PRP�0 � /1Ea¦85@/KSFEIP3T@VQ�4FEI0KB À�� �@E�� � 0KQ�P��]0KQ�4 � �� $ 6 ��� 7 6�� � �

� � 7 6 � � � $ � � 6 � CD4\SFP�� E MFEIE�: � � �^[65@0KB�P�C�� EI/3¦ E�B�T@SFMF:FP^X 5@M � E � B�T:�8EIM SFPR01M5�bQ�4FE�E�/1E�¦ EIM*°OB�T@SFMF: X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X\�]0KQ�4

� � $ 6 ��� 7 6�� � �� � 7 6 � � � $ � 6 �;5@MF:C�]0KQ�4 ��� 6 [65@0KB�P}�

"6T SFB Q�E�EIM BRT SFMF:FPLX 5@M � E � B�T:�8EIM SFPR01M5� Q�4FE À �n° B�T SFM<:�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X��]0KQ�4� � $ 6 ��� 7 6 � ���

� � 7 6 � � � $ � � y 5@MF:C�]0KQ�4 � x � [65@0KB�P}�"6T B^P�03®mQ�EIEIM BRT SFMF:FPa�3EW� E(Q � �� $ 6 ��� 7 6�� � �

� � 7 6 � � � $ ���HSFP�0KM5��Q�4FE À °OBRT SFMF:�X 465@B+°58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX"� CD4F01P'XI5@M � E � B�T:�8EIM�S<P�01MQ� � x � [65@0KB�P�8 ^T8Q�E�Q�4658Q'Q�4FEaX�B�EI58Q�0KT M T@V� x � [F5@01BRP301P37LT BRE;Q�0K7LE^XIT M<P�SF7A01M5�!Q�465@M�E6®<4F5@SFPRQ�0G¦@E PRE 5@BRX 4�V T B3Q�4<E � x7y [�T@P�P�0 � /1E�8E}�mP�

� ��� � ����� �� * $�� ����� �� * " � ����' * � ���

9 P�S<7L7L5@Bj�'T8VQ�4FE^XIB+�?[?Q 5@M658/G�\Q�0KX^BREIP�S</KQ�P35@[F[*E 5@BRP30KMAQ�5 � /1E À �K�,CD4FE;:FE�P�X�B�01[?Q�01T@M �

Page 54: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� T@V � [65@01BRP � [65@0KB�P �W� 0KQ�P 03465@B�5@X�Q�E�° � �� 03T@7L7AEIM Q�PB�MF:FP MFE�EI:FE�: S<P�EI: V T SFMF: B�0KPRQ�01XIP� � � � � � � À À À�� ¼ � ¿� � � � � � � � �� y � � y��� � � x � � � � � ��'� � � y À � � ¼ � � ¿� � ��� � � � � � ��'� � � y À � �Y¼ À � ¿� � 6 � � �%$ � � �

x7x � � � À � ¼ � � ¿ CD4<E!0 Q�EIB�58Q�03¦ EHX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XD�� � 6 x � 6 � � � � ��'� � � � � � À � � ¼ � � ¿ ./®mQ�E�MFP�0KT MaQ�T'P�03®�B�T SFM<:FP�� � 6 y � ��� ½ � � 6 � � 6�$ �À�� � � � � À�� � � � � 6 � � 6 �À:À � � x � � � ��� � � � � 6 � 6 � �À � � � 6 � À�� À:À � � � � � 6 � �À � � � � � �%$ ��� À:À � � � � � ¼ � � ¿À � � x � � À�� À � � � � � � � y��À � x � � 6�� ��� À � � � � � �:� ¼ � �n¿ �EIE�:FP;5'4\S5� EU7AEI7AT Bj�"�,G 0KQ�4

/KEIPRP�7AEI7AT B+��MFE�EI:FP � x � [65@01BRP�À�� � x � � x À�� À � �*x7y � � � =m/1T �3E�BDQ�465@M`E�®?4658SFPRQ�0G¦ E

PRE 5@BRX 41�

� ��� ��� � � =mSF7L7L5@B+��T@V>Q�4FEUX�Bj�m[<Q 58M65@/G�mPR01P]T@V,YH. =��T8V,EI5@X 4 � E�/1:�01P]58P]V T@/1/1T �]P !� .� ; (���� $UCD4FEUM\SF7 � EIB]T@V B�T SFM<:FP^0KM�Q�4FEUX�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7­�� 5 �")�;�� ( � ��� ��� $UCD4FE�MmS<7 � E�B T8V<[65801B�P M<EIEI:<EI:�Q�T�X�Bj�m[<Q�5@M65@/3�?J�E Q�4FE�XIB+�?[?Q�T P+�?P�°Q�EI7­��� ���������������������! "� ���$#%�'&(#*)����$�$+��$+,�-).#0/��*�$�1#*� ��� �2���3�4�����" (52�6�')87

� 5 �")�;�� ��� ��� $HCD4FE;M\SF7 � E�B3T@V [65@01BRP Q�4658Q35@B�E^5@X(Q�S65@/K/G��SFP�E�:�01MAQ�4FE^58Q�Q�5@X��{¯?E6®�°XI/1S<:F01M5�ZQ�4FE]01:FE�M Q�0 � 5 � /1E?�]B�T M5� [65@0KB�PWQ�4658Q�X 58M � E]E 5@PR01/G�!:F0KP�X 58B�:FE�:L:FS<B�01MQ�Q�4FEUXIT@/1/1E�X�Q�01T M�[<465@P�ED� �

Page 55: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�4� � �4� '�

�4� � $ �4� '�� % ���!��� � % ���!��� � % ���

����������� ���"���"��� ����������&������� �������"��� ��������������"��� ����������� �����&������������ �������"��� �"�����

� � ����� � � T PRP�0 � /1EH01M<[FS<Q�P�5@M<:aT S?Q�[FS<Q�PDV T B ��� "� � � �`= �­±h0KM � 01MF5@Bj�Q·��� ��),+�� .�� (�� $UCD4FELM\SF7 � E�B T8Vk�8E}� � 0KQ�PZV T SFMF: 01M Q�4<EA0KMF0KQ�0 5@/ 58QRQ 5@X�� ± SFP�0KM5�a5P�01MQ� /1E�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�·�� CD4FE�T@Q�4FEIB-�8E}� � 0KQ�P'X 5@M � E�V T SFMF: � � 5@SK®?01/K0 5@B+�Q�EIX 4<MF0 =\SFE�P�� �"; ��� + � ; ) � +-)�� $^CD4FE'M\SF7 � EIBUT@V B�T S<MF:FP 5@MF: Q�4FE�[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�`T@V Q�4FE'X 465@B�5@X�°Q�EIBR01P Q�01XHS<P�EI:`01M�Q�4FE 58Q�Q�5@X��{�� � $HCD4FE PR0o� MF5@/mQ�T;MFT@01P�E B�58Q�01T^T@VFQ�4<ED58Q�Q�5@X��{�,CD4FE3MmS<7 � E�BW01M � B�58X��@E�Q�P�±h0 V 5@M��Q·:FEIMFT8Q�EIP Q�4FEAM\SF7 � EIB T@VD0KMF0KQ�0 5@/ � 0KQ�PUV T@SFMF: �]0 Q�4 Q�4658Q � �� ��9;M 5@PRQ�EIB�0KP��:FEIMFT8Q�EIP Q�4658Q Q�4FEZX�/10 =mS<E;7AE�Q�4<T?:�0KP3[FBRE�V E�B�5 � /KE;T ¦ E�B Q�4FE;XIT SFM Q�01M5� 7AE�Q�4FTm:5@MF:aQ�4FEIM Q�4FE � �� 0KP^T MaQ�4FE!MmS<7 � E�B^T8V � 0KQ�P^V T S<MF:1�]CD4FE�T8Q�4FE�Bc�@E�� � 0KQ�P5@B�EZV T S<MF:aE�0KQ�4FEIBD0KM`[F5@B�5@/K/1E�/ T B]58Q^5�P�E�XIT M<:�[65@PRP�� . 4 4 � (0+ � $>¶]E 5@/X�T 7A7LE�M\Q�P�

� �)� �������� ����� ������� ��������������� � !�#"���$&%��%��'(�)�+*

NOM 5@:<:F0KQ�01T M�Q�T�Q�4FE�P Q 58Q�01PRQ�01XI5@/ � EI465�¦m01T@BZT@V Q�4FE�0 Q�EIB�58Q�03¦ E X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXX�3E�XI5@MS<P�EHQ�4FEU0KMF:F0G¦m0K:FS65@/�¦@58/1SFE�P�T8V Q�4FEU01MF[FS?Q�5@MF:`T S<Q�[<S<Q � 0KQ�PDT@V Q�4FE!= � T�®?EIP�NOM Q�4FE 0KQ�E�B�58Q�0G¦@E X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX � E 465�¦@E�Q�4<E�V T /K/1T �]01M5� � EI4F5 ¦m0KT B� G 4FE�M

� � "� � � � = � Q�4FE�¦@58/1SFE�P�T@VUQ�4FE 01M<[FS<Q � 0 Q�P�M\SF7 � EIB � 5@M<: � 5@BRE 5@/G�35��mP� T@Q�4 À ± P�EIE`Q 5 � /1E À ��·�� N QL:FTmEIPbM<T@Q�4658[F[�E�M 01M Q�4FE � B�P Q�BRT SFMF: 58MF: Q�4mS<P�0KQXI5@MFMFT8Q � E^SFPREI:�5@P 01MAP�E�X�Q�0KT M � À �W9^/1PRTY� EZ465�¦ E ��� "� � � �b= �Y�]4<EIB�E;01M ��'� T@VQ�4FEHX 58P�EIP � 0KQ M\SF7 � E�B ��E>=\S65@/KP � 5@MF:�01M 6�'� T@V Q�4FEHX 58P�EIP � 0 Q M\SF7 � EIB ��E =\S65@/1P À± P�E�E Q�5 � /1E À � ·��

Page 56: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�;� � �;��'�

�;� � $ �;��' �� % ���!��� � % ���!��� � % ���

���������"� ���������"� ������������������ ����������� ������������������ �����"����� �"���&����&������� ����������� �"���������������� �������"��� �������

��������� � � T PRP�0 � /1EU01M<[FS<Q�P]58MF:aT@S<Q�[FS?Q�PDV T B ��� "� � � �a= �­±h0KM � 01M658Bj�Q·��CD4FE-³aµ>¶ ¦@58/1SFE � 0 Q � T@V)�4� � 58MF: � 0 QA��T8V �;� � E =\S65@/1PHQ�4FEJ³aµ>¶ ¦85@/KSFE'T@VQ�4FE X�T B�BREIP�[*T MF:<01M5�C�8E}� � 0KQ�P^01M �4� � 5@MF::�;� � PR01MFX�E�Q�4<E�XIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ� � 0KQ�PZ01M

�4� � 5@M<: �;� ��5@BREZQ�4FEHP�5@7LE � 0KQD:FS<EUQ�T�Q�4FE � 0 Q]E�®?[65@M<P�01T@M1��N V Q�4FEI0KBk³aµ>¶�¦85@/1SFE0KP��\MFT �]M`Q�T � E À Q�4FEIM�Q�4<E [<B�T � 5 � 01/K0KQ7�'T@V>Q�4FEH0 Q�E�B�58Q�0G¦ E;X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � EIXIT@7LE�P� � 7 � 7 �y � � 7 � 6 $ �6 � �� �� � y �3N V,Q�4FEI0KB�³aµ>¶ ¦@58/1SFEU01PH�\MFT �]MaQ�T � E � Q�4FEIM`Q�4FE [FBRT � 5 � 0K/10 Q7�

� EIX�T 7AEIP � � 7 � 7 6y � � 7 � 6 $ �6 � �� �x $ x �

CD4FEUT@Q�4FEIBDX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXH:FEIPRXIB�0 � E�:­�]0 Q�4�Q�4<EHP�5@7AEH[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�A4658P]Q�4FEHT [K°[*T PR0KQ�EH:<01B�E�X�Q�01T M1� G 4FEIM � � "� � � �`= ��Q�4FE>¦@58/1SFEHT@V � 0 QDM\SF7 � EIB � 01P]5@/3� 5��mP �58MF: Q�4\SFP�Q�4FE�[FBRT � 5 � 01/10 Q�0KEIP 5@B�ELE�®?X 465@MQ� EI:1� N V]Q�4<Eu³aµ>¶ T@VDQ�4FEd�8E}� � 0KQ�P!01P �Q�4FEIM�Q�4<E [<B�T � 5 � 01/K0KQ7�L01P �� � y 58MF:a0 V À 0 QD01P�x $ x �

CD4FE�58Q�Q�5@X�� T M YH. = �]0 Q�4 À � B�T@SFMF:FP 0KP!M<T&� 58P!V T /K/1T �]P��CD4FE�B�E�58B�EbPRE}¦@EIMBRT SFMF:<P!0KM �]4F0KX 4 Q�4FEA01MF[FS?Q(³aµ>¶j01PU58P�P�S<7LE�: Q�T � E ����=?S<[F[�T@P�E'Q�4658Q¯ T@S<Q T@VQ�4FEIPRE P�E�¦ E�M�BRT SFMF:FP}¯�� E 465�¦ EX� B�T SFM<:FP-± � � � � ½:·O�]4FT PREX�@E�� � 0 Q;M\SF7 � EIB �T8V �4� � E =\S65@/1P��@E�� � 0KQ�M\SF7 � EIB �'T@V �;� �H�]NOMaQ�4<01P�X 5@PRE"¯�Q�4FE [FB�T � 5 � 01/K0KQ7��T8V,Q�4<EÀ� °OBRT SFMF:�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XH0KP

� ½� �'6��

� � ½� �'���

� � � $ � ��� ½� �'6��

� �À � � �

�� y7x �

"6T B Q�4FE;T@Q�4FEIB X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X�0KQ 01P À � � � � ���6 � � � C,5 � /1E À :FEIPRXIB�0 � E�P3Q�4<E;[FBRT � 5 � 0K/10 Q�01E�PV T@B�EI5@X 4�M\SF7 � E�B^T@V,E>=\S65@/K0KQ�01EIP]587LT MQ�'Q�4FE(�@E}� � 0 Q�P�5@MF:�Q�4<E!BREI/ 5cQ�0G¦@EHV B�E>=\SFE�MFX}�T8V,PRSFX 4s�8E}�mP�C>TU01MFX�B�E 58P�EDQ�4FED[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�i±hE�P�[*EIXI015@/1/3��0KM�Q�4FE�� T B�PRE]X 5@PREIP�·P� E�S<P�E =\S65@BRQ�E�Q�P

� 5@P�E�:�T M � T@Q�4 X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP�A=m01MFX�E � T@Q�4 X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP 5@/K/1T � XIT@SFM Q�01MQ�`T@M�

Page 57: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� T@V �8E}�mP [FB�T � 5 � 0K/10KQ7� [<B�T � 5 � 01/K0KQ7� P�SF7�T@V � M<EIEI:<EI:E>=\S658/1P B�58Q�0KT � BRPRQ�X 465@B T8Q�4FE�BDX 465@B [FBRT � 5 � 0K/10 Q�01E�P XI01[<4FEIB Q�E�®mQ�P

� ��'6 � À � � �� �*y7x À � � �� �*x � À � � � � �*x � À � � � � x 6À ��'6 � À � � �� �*y � À � � �� �*x � À � � � � �*x � À � � � � x �� 6 ��'6 � À � � �� �*y � À � � �� �*x7x À � � � � � �*x7x À � � � � � x7y� � x�'6 � À � � �� �*x $ À � � �� �*x � � �*x7y � x �� � x�'6 � À � � �� �*x � À � � �� �*x $ � �*x7y � x � 6 ��'6 � À � � �� �*x7x À � � �� �*y � À � � � � � �*x7x À � � � � � x7y� ��'6 � À � � �� �*x � À � � �� �*y � À � � � � �*x � À � � � � x �½ ��'6 � À � � �� �*x � À � � �� �*y7x À � � � � �*x � À � � � � x 6

� ��� ����� � BRT � 5 � 0K/10 Q�01E�P � ��M\SF7 � EIB]T@V��@E�� � 0KQ�PDE>=\S65@/K0KQ�0KEIP}�Q�4FEDP�587LE�= � T ®?E�P�� E]X 5@M'SFPREDQ�4FE�7%P�0K7 SF/ Q 5@MFE�T SFPR/G�:�+G�E�XI5@M'P�E�E]V BRT 7 Q�4FE Q�5 � /1EQ�4658Q�E�¦ EIM'Q�4<T S5� 4W� E�XI5@M'MFT � � B�E 5D� À�� B�T@SFMF:FPR�]0KQ�4�/1E�P�P Q�4658M�� x7y E�MFXIB+�m[<Q�0KT MFP¯0 QZ:FTmEIP;MFT@Qb� T B��`V T BH5@/K/>Q�4FEX�8E}�mP � S<QHT M</G�`V T BZ5�PR7b5@/K/>V B�5@X�Q�01T MaT@V�Q�4FE�7 � "6T BQ�4F01P^V B�5@X(Q�01T@M E�®?465@SFP Q�03¦ E'P�EI5@B�X 4 01PZP Q�0K/1/+Vh5@PRQ�EIB�!C,5 � /1E À� P�4FT �]PHQ�465cQ 5@/KQ�4FT S5� 4Q�4FEX�\MFT �]/1E�:5� E T8V Q�4FE PR[�E�XI0 � X � 0KQa¦85@/1SFE�P;:FS<B�01MQ�bQ�4FE�B�T SFM<:FPZT@V Q�4FE X 465@B�5@X�Q�EIB�°0KPRQ�01XIPAEIM<465@MFX�EIP�Q�4<E 58Q�Q�5@X�� 5@MF: :<EIXIBRE 5@PREIP�Q�4<E�M\SF7 � EIBLT@VU[65@0KB�PAMFEIE�:FEI:1¯]Q�4<E0K7L[<B�T ¦ E�7LE�M\Q]0KPDB�E�/ 58Q�0G¦ E�/G�bP�7L5@/1/ 5@MF:`:FT?E�P]MFT@Q�5��EIX(Q�Q�4FEUT ¦ EIB�5@/1/ X�T 7A[F/1E6®<0 Q7�:�

� � ���<���X�d��� � � �����

CD4<01P]P�E�X�Q�0KT M�:<EIP�X�B�0 � E�P^PRE}¦ E�B�5@/g¦85@B�015@M Q�PDT@VWYH. =`5@M<:a4FT � Q�4FE!58Q�Q�5@X��i� T B��\P;T@MQ�4FEI7­�

Page 58: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� ��� � $ � � � * �(��� ������� " ��� � � �� ����$&�

9^/1/,Q�4FE'58QRQ 5@X��\P � 5@P�E�:�T@M Q�4FE'0KQ�EIB�5cQ�0G¦@E X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XA5@BRE�01MF:FE�[�E�MF:FE�M\Q T@V Q�4<EX 4<T 01X�E�T@V Q�4FE�&�[*EIBR7 S<Q 5cQ�01T@M1�!CD4\SFP!5@M�� 7ATm:F0 � XI58Q�0KT M T@V�Q�4FE�& [*EIB�7�S<Q 58Q�01T M� ��58M���T8Q�4FE�BD[�E�B�7 S<Q�58Q�0KT M�X 5@M<MFT@Q]7L5"�@EHQ�4<E!5cQ�Q 58X���/1E�P�P]P�SFX�XIE�P�PRV S</¥�

� ��� � $ � � � * �(��� ����� $ ������ $ � ����� � % $ � ���

CD4<E YH. =�X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7 PR[�E�XI0 � EIP�5 X�EIBRQ�5@01M T@B�:FE�B�T@VHQ�4<E EI0G� 4 Q`= � T�®?EIP}� 97ATm:F0 � XI58Q�0KT M T@V Q�4FELT@B�:FE�B�T@V Q�4FE�= � T�®?EIP�X 5@M 7L5"�8EAQ�4FEbX�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7 7�SFX 4� E 5D�@EIB}� 03T MFP�0K:FEIB]V T B]E�®<5@7A[F/KE Q�4FE!XI5@P�E 01M��]4F0KX 4 � À ¯ ��½L5@MF: � � 5@BRE � B�T SQ� 4 QQ�T:� E(Q�4FE�B�0KM�Q�4F0KPDT B�:FE�BY± �\� /¥� �5�601M�Q�4<E � B�PRQ]Q�4FB�E�E![F/15@XIE�P�·D5@MF:�Q�4FE!T8Q�4FE�B;= � T ®?E�P58B�EbPRE�Q�01M 58M���T BR:FEIB}�aCD4FE�M Q�4FE�B�E�0KP�5aP�017A01/15@BZ0 Q�EIB�58Q�03¦ EAX 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X"�aCD4F01PX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXH01PD:FE�MFT@Q�E�: � � ���1$ À ����� ��� � "\�]4FEIBRE

= À ! � � "� � �]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� � �y �=5½ !4� � "� � �]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� � yy �= � ! � � "� � �]0 Q�4�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� � yy �58MF: ���� � �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � � 7 � y87 � yy � �

� �� ��

CD4FE À� °OBRT SFMF:aX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX 465@P;[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� �� ���

�� � � � 5@MF:aQ�4\SFPZQ�4<E À�� °

BRT SFMF: X�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7 X 5@M � E'58Q�Q�5@X��@E�: SFPR01M5� � � x [65@0KB�Pb�]0KQ�4?� �� $ 6 ��� 7 6 � � �� � 7 6 � � � $

� 6 � �CD4FE À ½&°OBRT SFMF:aX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX 465@P;[FB�T � 5 � 01/K0KQ7� �

� � �

�� �*x � 5@MF:aQ�4\SFPZQ�4<E À�� °

BRT SFMF: X�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7 X 5@M � E'58Q�Q�5@X��@E�: SFPR01M5� � x 6 [65@0KB�Pb�]0KQ�4?� �� $ 6 ��� 7 6�� � �� � 7 6 � � � $

� � � �NOMbQ�4FEIPREH58QRQ 5@X��\P3Q�4FE;X�/10 =\SFE�7AE�Q�4<T?:�XI5@M � E^S<P�EI:�:<SFE;Q�T Q�4FE^E�®?XIE�/1/KEIM Q 0K:FEIMK°Q�0 � XI58Q�0KT M�T@Vl�]B�T@M5�L[F5@01BRP\±hT M</G� � �*x � T8V Q�4FEI7 BREI7L5@01M[·��W9^P�0KM�Q�4FE 58QRQ 5@X�� � 5@P�E�:T@M�Q�4FEU0KQ�EIB�5cQ�0G¦@EZX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XZQ�4F01P]58QRQ 5@X��b01P 0KMF:FEI[*EIM<:FEIM Q^T@V+Q�4FEUX 4FT 0KXIEUT@V+Q�4<E

& [�E�B�7 S<Q�58Q�0KT M1�

½

Page 59: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� � � � $ � � � * �(��������� � %�* ��� �)����$ ���

NOM YH. = Q�4FEIBREb5@BREAQ7� T ³aµ>¶ T [*EIB�58Q�0KT MFPU01M EI5@X 4 B�T@SFMF:1�LCD4FE � B�PRQ(³aµ>¶�PUQ�4<EE6®?[65@MF:FE�:L0KMF[FS<QR�]0 Q�4 Q�4FE]P�S � �8E}�W�]0 Q�4F0KM Q�4FE � V S<MFX�Q�01T MX�]4F0K/1E3Q�4FEDT@Q�4FEIBP³aµ>¶]PQ�4FEUT S<Q�[FS<Q�T@V,Q�4FE � V SFMFX(Q�0KT M­�]0 Q�4�Q�4<E T8Q�4FE�B�4F5@/KV T@V>Q�4FE 01MF[<S<Q]:658Q�5Q��CD4FE V T@/3°/KT �]01M5�'P�S � P�E�X�Q�0KT MFP^:FEIPRXIB�0 � EUQ�4<B�EIE [*T P�PR0 � /KEH7LTm:F0 � X 58Q�01T MFP��]4<01X 4�BREI[F/15@XIEUPRT 7LET8V,Q�4<EY³aµ>¶ T [�E�B�58Q�01T M<P � �`5@:<:F0KQ�01T M�T [*EIB�58Q�0KT MFP�3CD4FE�P�5@7LE!5@M658/G�mP�0KP�4<T /1:FPDV T B7ATm:F0 � XI58Q�0KT M � ��PRS � Q�B�5@X�Q�01T M`T [*EIB�58Q�0KT MFP�

� � � � � . � ) � )�( ��+ ����� 9 � )/+ *)�( + � � �*( � +-)/. (

N V��3E^B�EI[</ 5@X�E�Q�4FE;TmXIX�SFB�BREIMFX�EIP T@V Q�4FE�³aµ\¶]P��]0KQ�4<01M'Q�4FE � V S<MFX�Q�01T M � ��5@:<:F0KQ�01T MT@[�E�B�58Q�01T MFP1� Ek�@E�Q 5�7�SFX 4Y� E 5"�8EIBWX�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7­�WCD4FE 58Q�Q�5@X��HSFPREIP Q�4FE V T /1/KT �]01M5�0 Q�E�B�58Q�0G¦ EHX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX�!

��� $ � ��� ��� ��� � ����� � � ��� � "

� * $ � � * $ � ��� � � ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �y �

�1* $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

��$ ����� � � ��� � � ��� ��� ��� � "

F

F

CD4<E � � � � ��� � � "� � P�4<T SF/1: � E E�®?[F/15@01MFE�:"! � � � � � � � � "301P+Q�4FE 01MF[FS?Q/³aµ>¶ T@VQ�4FE � V S<MFX�Q�01T M1�,CD4FEHE�®?[65@M<P�01T@M�Q�T ��� � 0 Q�P 0KP � � ������ � ��� � � � "D� CD4FEU5@:<:F0KQ�01T MLT@VQ�4FEH�@E��'X 5@SFPREIP Q�4FE]01M<[FS<QR³aµ>¶�Q�T � EIXIT@7LE � � ��� � � � ��� � � � "k�]0KQ�4'[FBRT � 5 � 01/10 Q7� �� y �CD4\SFP�Q�4FE!01MF[<S<QH³aµ\¶]P�T@V�5@/K/ Q�4FE�= � T�®?EIP;E6®?XIEI[?Q = � 0KP]JIEIBRT5¯[�]4F01/KEA� � * � $ � � "����T �3E�¦ EIB}¯"� � "� � � �`= � �]0KQ�4�[FBRT � 5 � 01/10 Q7� �

��

Page 60: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

CD4FE À ° B�T S<MF:�X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXU465@P][FB�T � 5 � 0K/10KQ7�s± �y � ·� $ � � � 6 ��CD4FE À ¶O°O58Q�Q�5@X��X�T SFM Q�0KM5��P�X 4<EI7AEb�]4F01X 4 � MF:<P Q�4FEHPR03®bP�S � �8E}� � 0KQ�P3EIM Q�E�B�01MQ�A= � 01MbQ�4FEZP�0@®mQ�EIE�M Q�4BRT SFMF:`465@P � �� $ 6 �6 � � 7 6 � � � 7 6 � � � 7 � $ � � � � CD4\SFP�Q�4FE 58QRQ 5@X���M<EIEI:<P;5 � T S<Q � � �;[65801B�PT8V^E�MFXIB+�m[<Q�0KT MFP� CD4FE�P�03®¹�@E�� � 0KQ�P�EIM Q�E�B�0KM5��= � X 5@M Q�4FEIM � E�V T@SFMF: SFP�0KM5� Q�4<EP�5@7AE EIMFX�Bj�m[<Q�01T MFP>�]0 Q�4 E}¦@EIM�4F0o� 4<EIBZPR0o� M658/ Q�T�M<T 01PRE�B�58Q�01T5� ./®?465@SFP Q�0G¦@E'P�E 58B�X 4T8V>Q�4FE � � � [*T P�PR0 � /KEc�@E��mPX±«�]0KQ�4 À � � ®?EI: � 0KQ�P�· BREIX�T&¦@EIBRP�Q�4FEHB�0G� 4 Q��@E��:� CD4FEZQ�T8Q 5@/X�T 7A[F/1E6®<0 Q7��T@V>Q�4<01P]58QRQ 5@X���0KP Q�4\SFP � � x �

� � � � � � . � ) � )�( � ��� � + � ��� 9 �

_`T?:F0 V«�m01M5��5@/K/ Q�4FE�³aµ>¶�P � �!5@:<:F0KQ�01T MFP X 4F5@M5� E Q�4FE [FB�T � 5 � 0K/10KQ7�;T@VFQ�4F01P+X 465@B�5@X�Q�EIB�°0KPRQ�01X V B�T 7 � �*y Q�T � � � �>CD4F0KP 4658[F[�E�MFP � EIXI5@SFPRE Q�4<E35@:<:F0KQ�01T M658/ 5@:F:F0 Q�0KT MUT [�E�B�58Q�01T M± V T B3E6®<5@7L[</1E � $ � � �W· :FT?E�P MFT@Q3X 465@M5�@E;Q�4FE;01MF[FS?Qk³aµ>¶ ± � * $ � * V T@B � * $ � ·�]0 Q�4 [<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �

�� CD4\SFP Q�4FE À�� ° B�T S<MF: X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XL465@P [FBRT � 5 � 01/10 Q7�:� �*y �&¯Q�4FE À ° B�T SFM<:`X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX 4F5@P][FB�T � 5 � 01/K0KQ7� � �*x � ¯FQ�4FE À � °OBRT SFMF:�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X4F5@P][FB�T � 5 � 01/K0KQ7�9� �*x7y 5@MF:�Q�4FE À �&°OB�T@SFMF:�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XH465@P][FBRT � 5 � 01/10 Q7� � �*x � �

CD4FE 5@MF5@/G�mP�0KPDT@V>Q�4F0KPD58Q�Q�5@X���PR4FT �]P�Q�4658Q � x 6 [65@0KB�P]5@BREHMFEIE�:FEI:`Q�T'XIB+�m[<Q 5@MF5@/3°0KJIE Q�4FE À � ° B�T SFM<: X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7­�'CD4FEA58Q�Q�5@X��\P T@M Q�4FE À ° B�T SFM<: 5@MF: À�� ° B�T SFM<:X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7APZ5@BREHP�/KT&� EIBDQ�465@M`E�®?465@SFP Q�03¦ E P�E 58B�X 41�

� � � � � � . � ) � )�( � ��� � + � ��� 9 � )�( ��( � � � )�� �����:( + %�1�� � ��� � ; )/5 + )�. (

YH. = 465@P 5@M E>=\SF03¦@58/1EIM Q :FE�P�XIBR01[<Q�01T M 01M��]4F0KX 4 Q�4FEAE�®?[65@MFPR01T M 01PU7AT ¦ EI: Q�T�Q�4<EE�MF:�T@V+Q�4FE � V SFMFX(Q�01T@M�5@MF:�5@/K/*Q�4FEHX 5@/KXISF/158Q�0KT MFP35@B�EZ:<T MFEHSFPR01M5� ��� � 0KQ�P301MFP Q�E 58:T8V ���*� CD4FE X�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7 �]4F01X 4 01P�Q�4<E BREIPRSF/KQ`T@V�7LTm:F0KV«�m0KM5� 5@/K/;Q�4FE�³aµ>¶]P0KM�Q�4F01P!:FEIPRXIB�0K[<Q�0KT M � � 5@:F:F0 Q�0KT MFP 01P MFT@Q E =\SF0G¦85@/KEIM Q�Q�TaQ�4<E�7LTm:F0 � EI: PRQ�5@MF:65@BR:X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7 5@P�:<EIP�X�B�0 � E�: 0KM Q�4FE [FBRE}¦m01T@SFP�P�S � PREIX(Q�01T@M1� NOM Q�4F0KP�P�S � P�EIX(Q�0KT M� E P�4FT � Q�4658Q]Q�4F0KP]XIBj�m[<Q�T Pj�mP Q�EI7 0KP�7�SFX 4­� E 5D�@EIB�Q�4658M`Q�4FE!7ATm:F0 � E�:�PRQ�5@MF:65@BR:X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7­�WG E X 5@M�P�5�¦ E3Q�4FE BREI[*E 58Q�EI: XI5@MFXIE�/1/158Q�0KT M!T8V MFT M J�EIB�T;01MF[FS?Q�³aµ>¶]PE�M Q�EIBR01M5� = ��01M Q�4FE�[FBRE}¦m01T@SFP X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X � � :FT 0KM5��0 Q 01M Q�4FE � B�P Q'5@:F:F0 Q�0KT M1¯PR01MFX�E':FSFB�0KM5��Q�4FEW¦85@B�0KT SFPHBRT SFMF:FPUQ�4<EL:65cQ 5 � 0KQ�PUEIM Q�E�B�01MQ�aEI5@X 4 = � T�®�5@BRE-�@EI[?QE6®?[65@MF:FE�:1� G�E�� E�QL5 Q7� TD°OBRT SFMF: 0KQ�EIB�5cQ�EI: X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01Xd�]0 Q�4 [FB�T � 5 � 01/K0KQ7� �� y�]4<01X 4 01P�X�T MFX 5cQ�EIMF58Q�E�: Q�T 5 PR01M5�@/1E�TmXIX�SFB�BREIMFX�E`T8V;5 T M<E�°OBRT SFMF: X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X

Page 61: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�]0 Q�4 [<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �� y 58QZQ�4FE � BRPRQHBRT SFMF:1�UCD4\SFPU5@M��{°OBRT SFMF: X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X(�]0KQ�458M`Tm:F:­� 465@P][FB�T � 5 � 0K/10KQ7� �� y �*±�� y ·

� � �� $ � � 6 � 6 � �CD4FE À °OBRT SFMF: X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01Xa465@Pb[<B�T � 5 � 01/K0KQ7��� � � 6 � 9 À ¶�° 58QRQ 5@X�� T@M Q�4<E

À � °OBRT SFMF: XIBj�m[<Q�T Pj�mP Q�EI7 �]4F01/KE�XIT SFM Q�01M5� Q�4FEaP�03®e�8E}� � 0KQ�PLE�M\Q�EIBR01M5� = � 01M Q�4<E/15@PRQ B�T SFM<: 4658P9� � $ 6 �6 � � 7 6 � ��� 7 6 � � � 7 � $ � y �&� CD4mS<PLT M</G� 5 � T S?Q�� � �L[65@01BRP'5@B�EM<EIEI:<EI:1� CD4FE3T@Q�4FE�BP�@E�� � 0 Q�P EIM Q�E�B�01MQ�ZQ�4FE /15@PRQ,B�T S<MF: X 58M � E3V T@SFMF:�SFPR01M5�ZPR017A01/15@BX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP�>CD4FE � E�PRQ+Q�4<B�EIE�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�P+465�¦ E [FB�T � 5 � 01/K0KQ�01EIP � E(Q7�3E�EIM � � � 658MF: � � � x ¯?5@MF:AQ�4FE;58Q�Q�5@X��\P � 5@PREI:�T@MLQ�4<EI7 X 5@M � MF: À�� �@E�� � 0 Q�P}�WCD4FEIBRE�V T BRE"¯ � � �[F5@01BRP 5@BRE;MFE�EI:FE�:�Q�T � MF:�Q�4FE � BRPRQ À � �@E�� � 0 Q�P�,CD4FEHB�E�7b5@0KMF01MQ� � ��� �@E}� � 0KQ�P3XI5@M� E�V T SFMF: � � E�®?465@S<PRQ�03¦ EAP�EI5@B�X 41�ACD4FE'Q�T@Q�5@/WX�T 7L[</1E�®?0 Q7� T@V Q�4F0KPU58Q�Q�5@X�� 01PHQ�4mS<P� � $ �

� ��� � ����$ � ���� � $ � ��� ��� � % $ � ���

NOMa5'B�5@MF:<T 7 = � T�®�Q�4<EIB�E 01P�5X¦ E�Bj�`4F0G� 4�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�´± 5 � T S<Q � � � � � · Q�4658Q]Q�4FEIBRE58B�EUQ7�3TL:F0 �EIBREIM QZ0KMF[FS<Q�P�Q�4658Q�:F0 �EIB�01M�Q�4<E Q7� T�7A01:F:F/KEH01MF[<S<Q � 0KQ�P^T@VW5@M = � T�®±«�]4F01X 4�:FT�MFT@Q;5��EIX(Q;Q�4<E�MFE�0o� 4 � T B�0KM5��= � T�®?EIP�·O�]4F01X 4 4F5 ¦@E�Q�4<E�P�587LE T S<Q�[FS<Q��NOM Q�4<01PHX 58P�E�Q�4FE�B�EA01PU5@M 0 Q�EIB�58Q�03¦ E�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XX�]4<01X 4 01Pu± �\� /¥� �5� Q�4FEL= � T�® 01P= À 58MF: � À * � $ � " · !

��� $ � ��� ��� ��� � � ��� ��� ��� � "

� * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

�1* $ � � * $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4aPRT 7AEH[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�

��$ � � ����������� � ��� ��� ��� � "

F

F

���

Page 62: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

03465@B �BRT � � À �'BRMF:FP À �'BRMF:FP ^E�EI:FE�: BRT � = � T�®?EIP X 465@B][FBRT � � �� 5@01BRP�� 6 À � ��� � � � � � � � � � 66� 6 À � ��� � � � � � 6 � � � � 6���� 6 � � ��� � �QÀ � � 6 � � x � � � x � 6 ��� 6 � � � ½ � ½ � � � � � � �'� � 6 �x� 6 � � ��� ��½ � � � y�� � � � � � $ � � �y� 6 � � �"½�� � � � � � � � x � � � � x � ����� 6 � � � ½ � ��� � � � � � 6 � � � � � � � x�� 6 � � �KÀ ��� � � � �'6 � � y � � �$� 6 � � ��� � � � � � � � � � � ��� � � � � ��'�� 6 � � ��� � � � � � �'� � � � ��� � $ � �'6

� � ����� � � 03465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXH[FB�T � 5 � 0K/10KQ�01E�P?�]0KQ�4�B�5@MF:<T 7 = � T�®?EIP}�� ½ � T@V Q�4FE^P�E(Q�PDT@V+E�0o� 4 Q]= � T�®?EIP 4F5 ¦@EHP�SFX 4�0 Q�EIB�58Q�03¦ E�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01Xa�]0 Q�4�[<B�T � °5 � 01/K0KQ7� �

�T B 7LT BRE"�LCD4FEbX�T B�BREIP�[*T MF:<01M5� À �n° B�T SFM<:�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X�P!4F5 ¦@Eb[FBRT � 5n°

� 01/10 Q7�:� � � � V T@BY�]4F0KX 4 Q�4FE9�:¶�° 58QRQ 5@X�� T M � �`P�S � �@E�� � 0 Q�P�M<EIEI:<P�� 6 � [65@0KB�P\�]0KQ�4� � $ � �'� �bC 5 � /KE À�� :<EIP�X�B�0 � E�P!Q�4<ELBREI/ 5cQ�01T@MFP�4F0K[ � E(Q7�3E�EIM Q�4FEL[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�aT@VQ�4FE'X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP}¯>Q�4FEAMmS<7 � E�BUT@V [65801B�PHM<EIEI:<EI:1¯,5@MF:�Q�4FE'[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�`Q�4F58Q!5PRE�Q�T@V B�5@M<:FT 7 = � T�®?EIP�465@PDPRSFX 4 5�X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XD�

NOM�= � T ®?E�P3X 4FT PREIM�5@P�V T SFB�B�5@MF:FT 7j[*EIBR7 S<Q�58Q�0KT MFPa± 5@P 01M'Q�4<E^T BR0o� 0KM65@/6YH. =L=� T�®?EIP�·]Q7�3T�:<0 �EIB�E�M QZ01M<[FS<Q�P]Q�4F58Q;:<0 �EIB�01MaQ�4FE�[<B�0G¦858Q�E � 0KQ�P�T@V T@MFE�= � T�®a7 SFPRQ4F5 ¦@E�:F0 �EIBREIM Q'T S<Q�[FS<Q�P� 23S<Q�Q�4FEIBRE�01P�5 4<0o� 4 [<B�T � 5 � 01/K0KQ7� Q�4F58Q Q�4<EIB�E�58B�EbQ7� T:<0 �EIB�E�M Qb0KMF[FS<Q�PL:F0 E�B�0KM5��0KM Q�4FE�0KMF[FS<Q � 0 Q�P'T@VZQ7� T = � T�®?EIPu�]4<01X 4 465�¦@EaQ�4<EP�5@7AE T@S<Q�[FS?Q�� NOMaQ�4<01PDX 58P�EUQ�4FE�B�E 01P�5@M`0KQ�E�B�58Q�0G¦@EHX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX>�]4F01X 4a01P(± �\� /¥� �5�Q�4FEb:<0 �EIB�E�MFXIEL01P 01M = À 5@MF: = ��5@M<: Q�4FEL:F0 �EIBR01M5� � 0 Q�P T@V Q�4<Eb:658Q�5�5@BRE � � � 0KQ

�KÀ

Page 63: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

7L5@Pj�C½= � ��� ��� � " · !

��� $ ½= � ��� ��� � � ��� ��� ��� � "

� * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

�1* $ � � * $�½= � ��� � ��� " �]0KQ�4aPRT 7AEH[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�

� $ � ��� ��� ��� � ½E ����������� "

F

F

NOM B�58MF:FT 7 Q�EIP Q�P � E V T SFMF: P�E�¦ EIB�5@/!58Q�Q�5@X��\P`Q�4658Q�SFPRE ��� � Q�T ��� � [65@01BRP�jG�EE�PRQ�017L58Q�E�Q�4F58Q!58Q�Q�5@X��\P!Q�4F58Q SFP�EAQ�4F0KP M\SF7 � E�B!T@V3[65@0KB�PUX 5@M � E'V T SFM<: V T BU7AT B�EQ�465@M � ��� T8V3Q�4<E À � °OBRT SFMF: XIB+�?[?Q�T P+�?P Q�E�7LP(�]4F01X 4 SFP�E�= � T�®?EIP X 4FT P�E�M 5@PHV T SFBB�5@MF:FT@7 [�E�B�7 S?Q 58Q�01T MFP}�G 0 Q�4'5;PR01M5� /KE37AT?:<0 � XI58Q�0KT M!0KM T MFEDE�M Q�Bj��T@V T MFE3T@V Q�4FE T@B�0o�@01M65@/mYH. = = � T ®?E�P

� E�X 58M V T@B�XIE Q�4F01PH= � T�® Q�T�465�¦ E�Q7�3T�:F0 E�B�E�M\QU0KMF[FS<Q�Pc�]0KQ�4 Q�4FE�P�5@7AE T S<Q�[FS<Q��"6T BHE6®<5@7L[</1E"¯+PRSFX 4 5�7LTm:F0 � X 58Q�01T M 7L5�� P�E(QUQ�4FE-¦85@/1SFE�T8V �H± � ·^Q�T � E'E>=\S65@/ Q�T�H± � ·c± 0¥� E"�3¯mQ�4FE;Q�4<01B�:J¦85@/1SFE^01MbQ�4FE � B�PRQ /101M<E�Q�T � E;E>=\S65@/*Q�T�Q�4FE � BRPRQ�¦85@/KSFE;0KMLQ�4<E� B�PRQ;/10KMFE ·6� CD4FEIBRE�V T BRE!Q�4FEIBRE 5@BRE Q7� T�:F0 E�B�EIM Q;01MF[FS?Q�P�± � 58MF: � ·��]0KQ�4aQ�4FE�P�5@7LET@S<Q�[FS?Qu± Q�4<E 01MF[<S<Qb³aµ>¶%01P � 5@MF: Q�4<E�T S<Q�[<S<Q>³aµ>¶ 01P � ·��UCD4FE'[FBRT � 5 � 0K/10 Q7��T@V� � � �LQ�4F0KP�= � T�®�01P �

� 6 � 9;M�0 Q�EIB�58Q�03¦ E^X 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KX � 5@PREI:�T M�Q�4F0KP [FBRT [�E�BRQ7�

� �

Page 64: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

4F5@P][FB�T � 5 � 01/K0KQ7� �� 6 5@M<:`0KP(± �\� /¥� �5�<Q�4FEU:F0 �EIBREIMFX�E!0KPD01Ma= À ·3!

��� $ � ��� ��� ��� � � ��� ��� ��� � "

� * $ � � * $ � 5@/3� 5��mP

� * $ � � * $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �� 6

��$ � � ����������� � ��� ��� ��� � "

F

F

CD4<EIB�E(V T B�EHQ�4FEH[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�AT@V>Q�4<E À °OBRT SFMF:�X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXH01P �� 6 � $ � � � x �4��P�01MQ�5 À ¶�° 58QRQ 5@X�� � � � [65801B�P�5@BREUMFEIE�:FEI:�Q�Tb5cQ�Q 58X���Q�4FE À�� ° B�T SFM<:a7AT?:<0 � E�:aYH. =d�]0KQ�4

� � $ 6 � 7 6 � � �� 7 6 � � � $ � 6�$ 0KMaT@B�:FE�B�Q�T � M<:aQ7� Tb01M<:F01P Q�01MQ� SF01PR465 � /KEc¦85@/1S<EIP]T@V,Q�4FE � B�P QPR03®��8E}� � 0 Q�P}�

� �)� ��$ ��� %�)� � � $�� $����#%�)� � � % $ � ���

9 XIB+�m[<Q�T P+�mPRQ�E�7 PR017A01/15@B Q�TbYH. =`0KMC�]4F01X 4`Q�4FE1- E6®?[65@MFPR01T Ma01P]EI/K017A01M658Q�EI:�5@M<:Q�4FE;= � T ®?E�P37L5@[AV T@SFB � 0KQ�P Q�T V T S<B � 0KQ�P 01P4=\SF0 Q�EH�3EI5"�{��.R¦@EIMbQ�4FE;X�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7APQ�4658Q]SFPREU[�E�B�7 S<Q�58Q�0KT MFP :<EIB�03¦ E�:`V BRT 7 Q�4FEHT B�0G� 01MF5@/= � T ®?E�P^58B�EHE 58P�01/3��5cQ�Q 58X��@EI:��"6T B'E6®F587L[F/KE"¯ S<P�01MQ��Q�4<E � BRPRQ�/K01MFE�P'T@VZQ�4<E�T BR0o� 0KM65@/]= � T�®?EIPi� E�XI5@M � MF:�Q�4<E

� �

Page 65: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

V T@/1/1T �]0KM5��V T SFB�°OBRT SFMF:�0KQ�EIB�58Q�03¦ EHX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01Xb�]0 Q�4�[FB�T � 5 � 0K/10KQ7� �6 x7y !

��� $ � ��� ��� ��� � � ��� ���� � � "

� * $ À ������������� " � * $ � ��� ���� � � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

� * $ � ��� ��� � � � " � * $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��

�2* $ À���� ��� ��� � " � * $ � ��� ��� ½ � � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� ��$ � *

* $ ��������� � ��� " ��* $ � ��� ��� ��� � " �]0KQ�4a[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �6$ � *

��$ � ��� ���� � � � ��� ��� ��� � "

F

F

F

F

��P�01MQ�b5��"¶�° 58QRQ 5@X��LT MF/3� � 6 � [65@0KB�P�5@B�EHM<EIEI:<EI:�Q�T � B�E 5D�bQ�4FE À�� °OB�T@SFMF:�XIB+�?[*°Q�T Pj�mP Q�EI7­� CD4FE�B�E�5@BRE�P�E�¦ E�B�5@/D58:F:F0KQ�01T MF5@/ X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01XIP!Q�4658Q�X 5@M � E�SFPREI: Q�T5cQ�Q 58X��bQ�4FEUX�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7 �]0KQ�4a5'P�0K7L0K/ 5@B 5@7AT SFM Q]T@V [65@0KB�P�

� ����� � �}� � �������2� �b�����>�d��� �5���

NOM Q�4F01P P�E�X�Q�0KT MX� ED:FEIPRXIB�0 � E 5@M�58QRQ 5@X��!T M�YH. =�B�E�:FSFXIE�:�Q�TZE�0o� 4 QWBRT SFMF:<PP�]0KQ�4�01MK°:<EI[*EIMF:FE�M QO�@E��?P 5@MF:b0 Q�P 5@[F[</101XI58Q�0KT M�Q�T!YH. =-�]0KQ�4 À�� B�T@SFMF:FP<�]0KQ�4L01MF:<EI[*EIMF:FE�M Q�8E}�mP�

� �

Page 66: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� ��� ��� �&� � ��$ �����

CD4<E 5cQ�Q 58X��ZT M!YH. =ZBREI:FSFX�EI: Q�T]EI0G� 4 Q+B�T SFM<:FP9�]0KQ�4U0KMF:FEI[*EIM<:FEIM Q��@E}�mP>01P � 58P�01XI5@/1/3�PR017A01/15@B Q�T�Q�4FEU58Q�Q�5@X��AT M�YH. =bB�EI:<SFXIE�:�Q�T�EI0G� 4 Q B�T@SFMF:FPD:FE�P�X�B�0 � EI:�0KM�P�E�X�Q�0KT M �G�E`PRQ 58BRQ � � SFP�0KM5� Q�4FE�P�5@7AEa5@/o� T@B�0KQ�4F7 Q�T � MF: Q�4FE � B�P Q � � � 0KQ�P'T@V � � 5@M<:Q�4FEIM [FBRT?X�EIEI: Q�T � MF: Q�4<EABREI7L5@01M<01M5� � 0KQ�PHT8V � � 5@MF: Q�4FE � 0 Q�PHT@V35@/K/,Q�4FE'T@Q�4FEIBPRS � �8E}�mP � �>¦85@B�015@M Q�P+T@V<Q�4F01P+58/o� T BR0KQ�4F7 � CD4<E358QRQ 5@X��HS<P�EIP+Q�4<E P�5@7LE�X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X58P�01M Q�4FE`58QRQ 5@X�� :FEIPRXIB�0 � E�: 0KM P�E�X�Q�0KT M [</1SFP À���� [F5@01BRPX�]0KQ�4 5@:<:F0KQ�01T M658/ Q7� TX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP�9�V Q�EIB � MF:F01MQ�'Q�4FE � BRPRQ � � � 0 Q�P T@V � � ¯Q� E � /KQ�EIB3Q�4FEU[65@0KB�P¯?01:FE�M Q�0KV«�AQ�4<E BR0o� 4 Q[F5@01BRP]5@MF:`:F01PRX 5@BR:a58/1/ Q�4FE>�]B�T M5�'[65801B�P(±«�]0KQ�4aBREI/ 5cQ�0G¦@EI/3�LV E�� EIBRB�T BRP�·6� CD4<E!T@Q�4FEIB

À � � 0 Q�P]T@V � � X 58MFMFT@Q � EHV T S<MF: �@E�QZPR01MFX�E>�3E!X 5@MFM<T@QZ58P�P�S<7LEUQ�465cQ�Q�4FE P�S � �8E}�mP58B�E`B�EI/158Q�E�: Q�T�EI5@X 4 T@Q�4FEIB � � Q�4FE �8E}� P�X 4FE�:FSF/K01M5� 5@/o� T@B�0KQ�4F7­� C>T 5�¦ T@01: Q�4F01P[<B�T � /KEI7 �3E � BRPRQ]/KT?T:��V T B � 0KQ�P T@V �(½K� C,5 � /1E � PR4FT �]PDQ�4FE � 0 Q�P 0KM �LQ�4658QDXI5@M � EXI5@/1X�SF/ 5cQ�EI:`V T BZ58M��s� 0G¦@EIM X�01[F4<EIBRQ�E�®mQJ± Q�4FEX�\MFT �]Mp�@E�� � 0 Q�P�Q�4FE�B�E�5@BRE 01BRB�E�/1E}¦85@M QQ�T T SFB'X 5@PRE ·6� "6T B�E 58X 4�T@V�Q�4FE�E�0o� 4 Qb= � T�®?EIPAT@V^Q�4FE`P�E}¦@EIM Q�4�B�T SFM<:�5@M<: V T BEI5@X 4 T@V�0KQ�P ��� [�T@P�P�0 � /1Ei�@E}� ¦@58/1SFE�PX�3E�X�T SFM Q'Q�4FE�M\SF7 � EIB�T8V^[F5@01BRP�V T B��]4F0KX 4Q�4F01P\�8E}�p¦85@/1SFE�0KPU[�T PRP�0 � /1ED�L9 �@E��p¦@58/1SFE�0KP [*T PRP�0 � /1E�V T BU5@M = � T�® 01M�5`[F5@01BH0 VQ�4FEIBRED01P,5@M�01MF[<S<Q [65@0KB Q�TZQ�4FE]= � T�®X�]4FT@P�EDXIT@7L[FS?Q 5 � /KE � 0 Q�PW4F5 ¦@E Q�4FEDXI5@/1X�SF/ 5cQ�EI:¦85@/KSFE"¯ Q�4<E�T@Q�4FEIB � 0KQ�P;465�¦@E�5@M���¦@58/1SFE!5@MF:�Q�4FE�T@S<Q�[FS?Qc³aµ>¶ 01P^5@P;E6®<[*EIX(Q�E�: � �Q�4FEUX 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X 5@MF:�Q�4<E!X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�PY± � � �2* $ � * ² � * $ � * ² � * ·���CD4FEU7AT PRQV BRE>=\SFE�M\Q/�@E��(¦85@/KSFE�01P+/10G�@E�/G�ZQ�T � E Q�4FE B�0o�@4\Ql�8E}�\¦85@/1SFED�W=m01MFX�E�Q�4FEIBRE30KP>M<T@Q>EIMFT SQ� 4:F58Q 5aQ�T 7L5"�@EAQ�4F0KP��@E�� ¦85@/KSFELS<MF0 =\SFEi� E�/KT?T:� V T@B!Q�4<E�P�E(Q T@VH�8E}� ¦85@/KSFEIP(�]0KQ�47L5n®?017L5@/�XIT SFM Q�PZ5@MF:`X 4FTmT P�EUQ�4<E � 0 Q�PDQ�4F58Q�465�¦ E!Q�4FEUP�5@7AE\¦@58/1SFEH0KM�5@/K/ Q�4<E!PRE�Q��CD4<T P�E � 0KQ�P]5@B�EH/K0o�8EI/G�LQ�T'465�¦ EUQ�4<E BR0o� 4 QO¦85@/KSFEIP}� CD4FE!T8Q�4FE�B � 0KQ�PDPRQ 5���SFMQ�mM<T&�]M��./®?[*EIB�0KEIMFX�E�465@PZPR4FT �]M Q�4658Q^Q�4FEW�\MFT �]M � 0KQ�PZT@V7� À � :¯"�;� � '5@MF::� � � �58B�E�58QQ�4FE;/KT?XI58Q�0KT MFP�:FE�MFT@Q�E�: � � � À � � 0 Q�P 01M � � "�¯ �:½ "Z5@MF: ��� ";B�E�P�[*EIX�Q�0G¦@EI/G�"� N V+P�T 7AE�T@VQ�4FEIPRE � 0KQ�P�5@BREUSFM5�\MFT �]M 0KQ]0KP�5@/17AT PRQ XIEIB Q 5@0KMF/G��:FSFEHQ�TL5A7A01P Q 5"�8EIM�¦85@/1SFEUT@V>Q�4<E�\MFT �]M � 0KQ�PDT@V � � �

2?�'Q�4FEa�\MFT �]/KEI:5� E^T@VQ�4FE^PRS � �8E}� � 0KQ�P�T@V Q�4FE�EI0G� 4 Q�4bBRT SFMF:J�3E;X 5@MLX 5@/KXISF/158Q�EPRE}¦@EIB�58/ 0KMF[FS<Q � 0 Q�P]T@V>Q�4FE P�E�¦ E�M\Q�4 B�T@SFMF:aV T@B]5@M���XI01[<4FEIB Q�E�®mQ� CD4FE 01M<[FS<Q]Q�T�Q�4<EPRE}¦@EIM Q�4 B�T S<MF: � 465@P 7A01PRP�01MQ� � 0 Q�P!Q�4658Q�E�M Q�EIB'58/1/ Q�4FE�= � T�®?EIP}� CD4<EIB�E�0KP�T M<E= � T�®p�]4FT PRE�01M<[FS<Q!:FEI[*EIMF:<P �RSFPRQ�T M T M<EL7A01PRP�01MQ� � 0 QY�]4<01/1E�Q�4FEb0KMF[FS<Q�P�T@V]58/1/Q�4FE`T@Q�4FE�BL= � T�®<E�Pb:FE�[�E�MF:�T@M Q7� T 7A01PRP�01MQ� � 0KQ�PL5cQL/KE 5@P Q�� CD4F01PL= � T�® 0KPb= À�]4<T P�EA01MF[<S<Q � 0KQUX�T SF/K: � E�X 58/1XIS</ 58Q�EI: 0KV 5@M T S<Q�[FS<Q T@V = � T@V Q�4FE'EI0G� 4 Q�4 B�T SFM<:

Page 67: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�35@PX�\MFT �]M1�aC T � MF: Q�4FEd�@E�� � 0KQ�P T@V � � � J�3EbQ�Bj��5@/K/�Q�4FE � � [*T P�PR0 � 0K/10KQ�01E�PHT@V0 Q�PH¦85@/1SFEUV T B^E 5@X 4 [F5@01B}¯ 5@M<: � MF: Q�4FE��8E}� � 0KQ�Pa¦85@/KSFE � �`Q�4FE!XIT S<M\Q�01M5�L7LE(Q�4FTm:1� �T � E 5@X 4�T@VWQ�4<E!0KMF[FS<Q�P^T@V4�4� � �Z5@MF: � � � �;465�¦ E!T MFE 7L0KP�P�0KM5� � 0KQ>!1�;� � �ZX�T SF/K:� E�XI5@/1X�SF/ 5cQ�EI:�0KV � À � Y�35@P>�\MFT �]M 5@MF: � � � �UX�T SF/K: � E X 5@/KXISF/158Q�E�:�0 V �;� � �� 58P�\MFT �]M1� C>T � MF: Q�4FE�P�E�P�S � �@E}� � 0 Q�P�� E�Q�Bj� 5@/1/ Q�4FE À � � [�T PRP�0 � 01/K0KQ�0KEIP T@V � À � 58MF: Q�4FE�7L0KP�P�0KM5� � 0KQ^T@V7�;� � � 5@MF: Q�4FEIM Q�4FE À � � [�T PRP�0 � 01/K0KQ�0KEIPDT@V7�;� � '58MF:�Q�4<E7A01PRP�0KM5� � 0KQ T@V � � � � �� �T&� � � 01PUXIT 7A[F/KE�Q�E�/G�p�\MFT �]M1�`C T � MF: �(½C�3E�BREI[*E 58QQ�4FEH5@/G� T BR0KQ�4<7 T@V � M<:F01M5��Y½ :FEIPRXIB�0 � E�:�5 � T&¦@Ec�]0KQ�4bQ�4<EZ:F0 �EIBREIMFX�E;Q�4F58Q MFT � � E�\MFT � 5@/1/ � � �WµZMF/3��T M<E � 0KQHT8V �(½�B�E�7b5801MFP^01MF:F0KPRQ�01M5� S<01P�4F5 � /1ED�UCD4F01P � 0KQH0KP � 0KQM\SF7 � E�B � T@V<� À � � �

=?T Vh5@BY�3E�SFPREI: Q�4FE � /KQ�E�B�E�: [F5@01BRP� CD4FEIPREa[F5@01BRP�5@B�E�5@P�PRSF7LE�: Q�T � E�BR0o� 4 Q[F5@01BRP��]4FT@P�E � * 01P^5@PZE6®<[*EIX(Q�E�:1�ZCD4FE���XI5@MFMFT@Q;4FEI/K[ � MF:<01M5� � � P�01M<XIE!Q�4FE�0KMF[FS<Q³aµ>¶]P T@V � ¦@E�T@VDQ�4FE�= � T�®?EIP'5@BRE�JIE�B�T PRT Q�4F0KP [65@B Q T@V � � X 58M MFT@Q � EbV T SFM<:5cQZ5@/K/¥�DCD4FE�T@Q�4FE�B^Q�4FB�E�E�= � T�®<E�PZ465�¦ E�XIT MFP Q 5@M QH0KMF[FS<Q�³aµ>¶�P^P�TbQ�4FEIBRE 5@BRE!Q7� T0KMF:F0KPRQ�0KM5� SF0KP�465 � /1E�¦@58/1SFE�P V T B Q�4FEHPRS � �8E}� � 0KQ�PDEIM Q�E�B�0KM5�'E 5@X 4 = � T�® � NOM`T BR:FEIB Q�T� MF: � � � E 4F5 ¦@E Q�T'SFP�E>�]B�T@M5�L[F5@01BRP V T B��]4F01X 4�Q�4<EHX 465@B�58X�Q�E�B�0KPRQ�0KXU4FT /1:<PD01M�Q�4<E� B�PRQ�Q�4FBREIE�T@VDQ�4FE � ¦ E�B�T@SFMF:FP}� "6B�T 7 MFT � T M � E�SFP�E�5@/1/ Q�4<E�[65@0KB�P 58MF: � / Q�EIBQ�4FEI7 � �`5�:F0 E�B�E�M\Q�X�B�0KQ�EIBR01T M�0KM`EI5@X 4`[F465@PRE!T@V>Q�4<E X�Bj�m[<Q�5@M65@/3�?PR01P}�

� � !�C>T � MF: � � �3E�:FE�XIB+�?[?QAQ7� T B�T SFM<:FP�T@V]Q�4FE�X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�PA5@MF: � E(Q Q�4<E¦85@/KSFEIP>T@V � 5@MF: � '�>G E 5@P�PRSF7AE Q�4F58Q Q�4FE � B�P Q,Q�4<B�EIE B�T@SFMF:FP T@V<Q�4FE3X 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X4<T /1:`01M�Q�4FE X 4FT PREIM [F5@01BRP�PRT � * 01P�5@P�E�®?[�E�X�Q�EI:´�]0KQ�4aJ�EIBRTb01M<[FS<QH³aµ>¶�P^EIM Q�E�B�01MQ�PR03®�= � T�®?EIP}��CD4mS<PH� EHX 58M�X 5@/KXISF/158Q�E]Q�4FEHT@S<Q�[FS?Q�³aµ>¶�P T8V>Q�4FEIPRE = � T�®?EIPD0KMbQ�4<EPR03®mQ�4 BRT SFMF: � � �2*�$ �.*�² *�² �*G�!=?01M<XIE � * $ � 58MF::��*��� 0KPZJIE�B�T�0KM Q�4FE PR03® =� T�®?EIP¯[� E�� E(Q]Q�4658Q �2* $���*�0KM�Q�4FE T S<Q�[FS<Q � 0KQ�P]T@V Q�4FEIPRE�= � T�®?EIP}�3CD4FE � / Q�EIBR01M5�X 4<T?T PREIPU5@/K/ Q�4FE [65@0KB�P;V T@Ba�]4F0KX 4 � *+5@MF::�2* P�58Q�01P V«� ��*� � ��*� � V T BH= À ¯+= �*¯+= ¯�}��}¯F= � �;�^PR01M5�UQ�4FE�B�E�P�SF/ Q 5@M Q [65@0KB�PR�3E�XIT@SFM Q3T MAQ�4FE À �HP�S � �@E�� � 0 Q�P�EIM Q�EIB�0KM5��= À58MF: = �L5@MF:aQ�4FE�7A01PRP�0KM5� � 0KQ�T@V��(½s± MFEIE�:FEI: V T@B�Q�4FE�:FE�XIB+�?[?Q�01T@M T@V,Q�4FE�PRE}¦@EIM Q�4BRT SFMF:[·��

C>T � MF:�Q�4FEUT@Q�4FEIB � 0 Q�P T8V � � �3E � / Q�E�B3Q�4FEU[65801B�P 5"� 5@0KM � ��SFP�0KM5��Q�4FE>�\MFT �]M� 0KQ�P�T@V � � Q�TLX 4FEIX���Q�4FE!T S<Q�[FS<Q�³aµ\¶ T@V�= À 5@M<: = �K¯�5@MF:aXIT S<M\Q;T M � � �D¯��}��¯� � � �D¯+5�P�EI[F5@B�58Q�E�XIT S<M\Q�01M5��V T@BZE 5@X 4 = � T�® ± � E'465�¦ EA5i¦ E�Bj��� TmTm: � /KQ�EIBR01M5��PRTQ�4FE�� ��#01P�4F0o�@4 EIMFT@S5� 4{·6�;NOM [65@B�5@/1/KEI/1� E XIT@SFM QHT M �;� � ��5@M<: T M � � � ��S<P�01MQ�Q�4FE]5@PRP�SF7A[<Q�0KT M Q�4F58Q � *\01P 58P E�®?[�E�X�Q�EI: � � Q�4FEDX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X(± V T SFBWBRT SFMF:FP�4FT@/1:{·58MF:�Q�4FE � /KQ�E�B Q�4658Q!:F01PRX 5@BR:FP!5@M���[F5@01BHV T B>�]4F0KX 4�� *��� �$ � V T B!= À ¯ = �Q¯<��}�¯�= �

���

Page 68: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

± P�0KMFXIEDT M</G� � � * � � �$ � ·6� =?E�¦ EIB�5@/6[*T P�PR0 � 0K/10KQ�01E�P,5@BRE3V T SFM<:'V T@BWP�T 7AEDT@V Q�4<E�= � T�®?EIP���8E}� � 0 Q�P}¯65@MF:�Q�4FEHV T /K/1T �]01MQ� [F465@PREIP^5@B�EUBRSFM�T MaEI5@X 4`T MFEUT@V>Q�4FE�7 01M�[65@B�5@/1/KEI/N�

� !�G�E�5@PRP�SF7AE � * $ � 5@MF: ��* $ � *«��CD4<EIM *4$ � *P�]4FE�B�E � 5@M<: � '�5@B�EXI5@/1X�SF/ 5cQ�EI: � � 5�[65@B Q�0 58/W:FEIX�Bj�m[<Q�01T M1�9��*��� 7 S<PRQ � E'J�EIB�Ta01M Q�4<EAPR03®�= � T ®?E�P�01M�]4<01X 4 � *��� $ � �DG�E � / Q�E�B^Q�4<E�[65@0KB�P^5@MF: /KE 5�¦ E!T MF/3��Q�4FT PRE�Q�4F58Q;4F5 ¦@E�� *��� $ � �CD4<EIM �3E XIT@SFM QaT@M E 5@X 4 T@V Q�4FE E�0o� 4 Qa= � T�®?EIP�T@VUQ�4FE � V Q�4 B�T@SFMF:1� =?E}¦@EIB�58/[*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP�X 5@M � E;V T SFM<:�V T@B3P�T@7LEHT@V Q�4FE � ��� � P}��9 /10KPRQ T8V,58/1/ Q�4FEH[*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PT8V�� 01P XIBRE 58Q�EI:�5@MF:bSFP�E�:�Q�T�Q�Bj�AE 5@X 4�T@MFE;T@V Q�4FEI7 0KM�[65@B�5@/1/KEI/601MAQ�4FE�V T /1/KT �]01M5�[<465@P�E�P�

� � ! 9 Q!Q�4FEAP�EIX�T MF: BRT SFMF: Q�4FE�B�EA7 SFP Q � E �4� * � � $ � � * � � $ � V T B�58M�� [F5@01B± Q�4FE�P�E�= � T�®�0KMF[FS<Q�P�:<TAM<T@Q]:FEI[*EIM<:�T M�Q�4<E :<0 �EIB�0KM5� � 0 Q�PDT@V>Q�4FEU[F/15@01M Q�E�®mQ�P�·�� �58MF: ��'W5@BRE V T@SFMF: � ��5^[658BRQ�015@/ :FE�XIBj�m[<Q�01T M��,NOM�5@:<:F0KQ�01T M * $ � *f² �1*f² � * PRT �4� * ���58MF: � � * ��� 5@B�E\�\MFT �]M 5@M<:aQ�4<EIB�EU7 S<PRQ � EA�4� * ��� � � * ��� 5@MF: � � * ��� � � * ��� � N V0 Q�:FT?E�P^M<T@Q�4FT /1:�V T B]E}¦@EIM T@MFE![F5@01B]0KQ]0KP]MFT@Q;5 � / Q�E�B�01MQ�A[<B�T � /KEI7­�3N Q�7 SFP Q � E!5�]BRT M5�>¦85@/1S<E T@V*Q�4FEDPRS � �@E��mP � ¯[��}�¯ � � �,9 PREI[658B�58Q�E�X�T SFM Q�0KM5�U01PW:<T MFE V T B EI5@X 4T8V>Q�4FEHP�0@®`= � T ®?E�P;= À ¯ = �K¯6= ¯1�}��¯*= � � CD4FEUXIT S<M\Q�01M5��T@M�Q�4FEHT@Q�4FEIB�= � T ®?E�P;= �58MF: = � 01P :FT MFEAT MF/3� V T BU[65@0KB�P\�]4FT P�E � * 0KP!58P�E�®?[*EIX(Q�EI: � � Q�4FEbX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XPR01MFX�ELT8Q�4FE�Bj�]01PREJ� EbXI5@MFMFT8Q��\MFT �jQ�4<EJ¦85@/KSFELT8V �;� * ��� 5@M<: � � * ��� � EIXI5@SFP�E �;� * ���58MF:�� � * ��� 5@BREbSFM5�\MFT �]M1� =?01MFX�E �;� * ��� 5@MF: � � * ��� 58B�EbX�T MFP Q 5@M Q�P!Q�4FE�B�E�5@BRELQ7� T0KMF:F0KPRQ�0KM5� SF0KP�465 � /1E(¦@58/1SFE�PUV T@BHE 5@X 4�T@V3Q�4FEI0KB>�@E}�mP}��9;PUSFPRS65@/R�3EAXIBRE 58Q�EA5`/K01PRQZT@VQ�4FEU[�T@P�P�0 � /1E � � ¦85@/1S<EIP]5@MF:�Q�B+��Q�4<EI7 0KM`[F5@B�5@/K/1E�/¥�

� � ! �D5@MF: � ' X 5@M � EDV T S<MF: � �A5U[65@B Q�0 58/<:FE�XIBj�m[<Q�01T MLT@V*Q�4FE]V T /1/KT �]01M5�ZBRT SFMF:<PS<P�01MQ��� � ¯P��}�¯�� � �A� *��# $ � 01M 5@/K/>Q�4FE'= � T ®?E�PHE�®?XIE�[<Q�= �K�UCD4\SFPA� *��� XI5@M � EV T@SFMF:�V T@B�= À ¯ = �K¯?�}��¯ = � � � � */$ ��*K² � *K²��*.��"6T BUE}¦@EIB+� [65801BHQ�4FE�B�EL7 SFPRQ� E ��*��� ��*� � �^CD4FEIBRE�V T BRE"¯E�¦ E�M 0 V T MF/3�`T MFE'= � T�® ± = À T BZ= �Q¯����}¯+= � ·]T@V T M<E[F5@01BU:FTmEIP MFT@Q 7L58Q�X 4 � *��� � *� � 0KQ 7 SFP Q � E'Q�4658QUQ�4FEJ¦85@/KSFEIP T@V � � ¯?�}��¯ � �58B�EW�]B�T MQ�5��N V3Q�4F01PH:FTmEIPUMFT8Q!4F5@[F[*EIM1¯ Q�4<EAX�T SFM Q�0KM5�`01PH:FT M<EA0KM [65@B�58/1/1E�/ V T BU58/1/Q�4FE�= � T�®?EIP^E�®?XIE�[<Q = �ASFP�0KM5�b58/1/ Q�4FE [65@0KB�P}� � � * � # �$ � ¯6Q�4\SFP;Q�4FE X 5@/KXISF/158Q�0KT M�T@V�4� * � � 0KPZ017A[�T@P�P�0 � /1E\�]0KQ�4FT S<Q;V SFBRQ�4FEIBU5@PRP�SF7A[<Q�01T MFP}�!CD4<EIB�E(V T B�EW� E'5@P�PRSF7AE Q�4658QQ�4FE-¦@58/1SFE�P!T@V � *,5@MF: � *,5@BREb5@P E�®?[*EIX(Q�EI: � � Q�4FELX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX"��CD4FE � / Q�EIBR01M5�:<01P�XI5@B�:<P35@M��'[65801BWQ�4F58Q :FT?E�P M<T@Q 465�¦ E ��*��� $ � V T B = À ¯?= �U5@MF:b= ¯���}�¯<= � S<P�01MQ��/*1$ � *Q² � *1$ �5*[² � *a±hPR01MFX�Ed�3E�58P�P�S<7LE���*� � $ � 01M Q�4FEIPRE`= � T�®?EIP�·�� CD4<EX�T SFM Q�0KM5�'T@V<� � ��� 0KPD:FT MFEUSFPR01M5�'Q�4<E � /KQ�E�B�E�:`[F5@01BRP�

� � 5@MF: � À !`CD4<E`[</ 5@0KM\Q�E�®mQ-³aµ>¶ SFP�E�: 5 � T ¦ E�01P'SFPREI/1E�P�P'Q�T � MF: � � 5@M<:� ½

Page 69: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� À PR01MFX�E'5@/1/+Q�4FE�[65@01BRPZ465�¦ E �4� * � � $ � � * � � $ � 5@MF: V T BZ5@/1/+Q�4FEA= � T�®?EIPHT@V�Q�4<E� B�PRQABRT SFMF: E�®?X�EI[<Q�= ��Q�4FE�B�E�01P���*��# $ � � CD4<E­�8E}� � 0 Q�P�XI5@MFMFT@Q � E�V T SFMF: 58Q58/1/+V T B;Q�4<EIP�EL= � T ®?E�P� "6T B � À 58MF: �A�u� E�7 SFP QUSFP�E'58MFT@Q�4<EIBH[F/15@01M Q�E6®mQb³aµ>¶(�G�E�MFEIE�: T@MF/G� À�� � P�SFX 4 [65@0KB�P¯R�]4F0KX 4 XI5@M � E�T � Q 5@0KMFEI: �]0KQ�4FT S<QA58:F:F01MQ� M<E}�X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P � � 5@BRB�5@M5�@01M5��PRT 7LE�T8V Q�4FE'T B�0G� 01M658/,XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�PU01M =\S65@B Q�E�Q�P�ACD4F01P[</ 5@0KM\Q�E�®mQb³aµ>¶%58MF: Q�4FE�58/o� T BR0KQ�4F7 T@V � MF:F0KM5��� À 5@MF: � ��5@B�EY¦ EIB+� P�0K7L0K/ 5@BDQ�TQ�4FEHX 58P�EHT@V � À 5@MF: � ��01M�Q�4FE;V T SFBDBRT SFMF:d¦@EIBRP�01T@M1� =?EIEU58Q3Q�4FEHE�MF:�T@V>P�EIX(Q�0KT M��V T@BD7LT BREH:FE�Q�5@01/KP�

CD4F0KP 58QRQ 5@X��W�35@P30K7L[</1EI7AEIM Q�EI:A01M 0 T M�5 0OµU_ *9�� [�E�B�P�T@M65@/*XIT 7A[FS<Q�EIB� N Q� MF:FPUQ�4FEJ�@E���0KM /1EIPRP Q�465@M Q7�3Ta7L0KM\S<Q�E�P\�]0 Q�4 �� � PRSFXIX�EIPRP B�58Q�E'SFP�0KM5� À��� � � �[F5@01BRP�<��P�0KM5�A� �� � ��� [65@01BRPWQ�4FE]PRSFXIX�EIP�P B�58Q�E]01P�5@/K7LT P Q À������ �WCD4FE][FB�T"� B�5@7 SFP�E�P� � � � � �mQ�EIPUT@V 7AEI7AT Bj�"¯ 7AT PRQHT8V 0 Q;V T B^Q�4FE�X�T SFM Q�0KM5��5@B�B�5�� ± T@V P�01J�E�� � � � �\Q�EIP�·58MF:aQ�4FE�[FBREI[FBRT?X�EIPRP�EI: T [?Q�017A01JI58Q�0KT MbQ�5 � /1E�P�]CD4FE![FB�T:�@B�5@7 �]4F0KX 4 XIT@SFM Q�P;S<P�01MQ�� 6 ��7LE�7LT B+� XIEI/K/1P � MF:FP�Q�4FE´�8E}� S<P�01MQ� T MF/3� � �� � � [F5@01BRP� 9^P�:FE�7LT M<PRQ�B�58Q�E�:� �aQ�4FE�P�E � � SFBREIP}¯+YH. =�BREI:FS<XIEI: Q�T�E�0o� 4 QHBRT SFMF:<Pb�]0KQ�4 0KMF:FE�[�E�MF:FEIM Q P�S � �@E��?P 01P58/17AT PRQ]58P�EI5@Pj�bQ�T'P�T /3¦ E 5@PDQ�4<E XI5@P�E T@V :FEI[*EIM<:FEIM Q^P�S � �8E}�mP�

� ��� ��� � ����������$ �����

YH. =��]0KQ�4�01MF:<EI[*EIMF:FE�M Q?�8E}�mP��]0KQ�4'58M���M\SF7 � EIB�T@V*B�T S<MF:FP 01PP¦mSF/KMFEIB�5 � /KE3Q�THPR017A03°/15@B�58QRQ 5@X��\P�<» E�Q�P X�T MFX�EIM Q�B�58Q�E^T M�YH. =-�]0 Q�4 À�� BRT SFMF:<P<�]0 Q�4b0KMF:FE�[�E�MF:FEIM Qk�@E}�mP}�9^Pc� E�MFT@Q�0KXIE�: 01M PREIX�Q�01T M � � E�X 58M � MF: EI0G� 4 QZ[*T P�PR0 � 0K/10KQ�01E�P]V T@B À�� � 0 Q�PZT8V � À �S<P�01MQ� � x � [65@0KB�P}�ACD4<B�EIEAX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P!XI5@M � E'SFP�E�:�Q�TaX�T&¦@EIBUQ�4FEAP�S � �@E�� � 0KQ�PE�M Q�EIBR01M5�b5@/1/�Q�4FE�= � T�®<E�P^0KM`Q�4FE À�� ��� BRT SFMF:1� CD4FE!Q�4FB�E�E!X 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KXIP^5@B�EHQ�4<E0 Q�E�B�58Q�0G¦ EAX 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01XL0KQ�PREI/ V�¯W5�PR017A01/ 58BH0KQ�E�B�58Q�0G¦@ELX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01XJ�]4F01X 4 0KP�MFT@MJ�EIBRTA0KM�Q�4FEH0KMF[FS<QO³aµ>¶]PDT@V = �Q¯ = � 5@MF:a= �]4FT@P�E À B�T S<MF:�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�A01P)� �*x7y58MF: 5�P�017A01/15@BX 4658B�5@X(Q�EIBR01P Q�01X��]0KQ�4!M<T M�J�EIB�T;01MF[FS?Ql³aµ>¶]P Q�TH= � ¯@=5½�5@MF:'= � �]4FT PREÀ� BRT SFMF: [FBRT � 5 � 01/10 Q7�`01PU5 � T S<Q � �*x � � 9;/ Q�T:� E(Q�4FE�B¯ 5 � T S?QA� x $ [F5@01BRPH5@B�E�M<EIEI:<EI:Q�T � M<:�Q7�3Tb[�T PRP�0 � 01/K0KQ�0KEIP V T BDQ�4FE�PR03® � 0KQ�P^E�M Q�EIBR01M5�LE 5@X 4 T8VWQ�4FE�= � T�®<E�P¯�E�®?XIE�[<Q= �C�]4FT@P�E � 0KQ�PU5@B�E'XIT@7L[F/KE�Q�EI/G�a:FE(Q�EIBR7L0KMFEI: � � Q7�3T`X 465@B�5@X�Q�EIBR01PRQ�01X�P�ACD4FEIBRE�V T BRE� � [*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�P V T@B � À � 58B�EHV T SFMF:���G�EHQ�B+��01M�[658B�5@/K/1EI/ 5@/1/�Q�4FE À � � [*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PT8V>Q�4FEb¦85@/1S<EZT@V � À � 5@MF:�B�E�:FSFXIEHQ�4FEHXIB+�?[?Q 5@M658/G�\Q�0KXZ[FB�T � /1E�7 Q�T'5�YH. =�B�E�:FSFX�EI:Q�T À� BRT SFMF:<P�D=m01MFX�E\� E(�mM<T&� 4FT � Q�TA58QRQ 5@X���YH. =�B�EI:<SFXIE�:aQ�T À B�T@SFMF:FPH�]0KQ�4/KEIPRP :658Q�5 01M 5�X�T 7A[F/1E6®<0 Q7� Q�4658Q 01P�PR7b58/1/1E�B � � 5aVh5@X�Q�T B�T8V � y Q�4FE�M Q�Bj�m0KM5��Q�4<EÀ � � [�T PRP�0 � 01/K0KQ�0KEIP>Q 5"�8EIP3S<[AQ�T Q7�]0KXIEDQ�4FE]Q�0K7LEDT8V � M<:F01M5�UQ�4<E^[*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�P,T@V � À�� �

���

Page 70: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

_`T PRQ,T@VFQ�4<E [*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�P+5@B�E :F0KP�X 58B�:FE�: :FSFBR01M5��Q�4F0KP BREI:FSFX(Q�0KT M 5@M<:�B�E�:FSFX(Q�01T@MFP Q�TV E��3E�B BRT SFMF:<P35@BRE^[*T PRP�0 � /1E��]0KQ�4LE�¦ E�M�P�7L5@/1/KEIBWX�T 7A[F/1E6®<0 Q7�:� CD4FEIBRE�V T BRE^Q�4<E�X�Bj�m[<Q+°58M65@/G�mPR01PUT@VD58/1/,Q�4FEbYH. =´�]0KQ�4 À�� B�T@SFMF:FP\�]0KQ�4�0KMF:FEI[*EIM<:FEIM QX�8E}�mP�Q�5"�@E�P�5 � T S<Q� y � P Q�EI[<P�5@M<:�SFPRE � x $ [65801B�P}�A.R¦@EIM Q�4FT SQ� 4 Q�4F01PU0KPU5@M�0K7L[<B�5@X(Q�01XI5@/>XIT 7A[F/1E6®?0KQ7�� T SFM<:1¯60KQD0KPD7 SFX 4`Vh5@PRQ�EIB Q�4F5@M`Q�4FEA� � y � XIT 7A[F/1E6®?0KQ7��T8V,E6®<4F5@SFPRQ�0G¦@E!PRE 5@BRX 41�

� � ��� � �>���>��������3�b� ����� ��� ��� � � �����������

CD4<E �HEIM<EIB�58/101J�EI:AYH. ='=?X 4FEI7AE�± �UYH. =Q· 01P�5@ML58QRQ�EI7A[<QWQ�TUP�[*EIEI:LSF[LYH. =��]4F0KX 4�35@P�PRS5�:� E�PRQ�E�: � � =?X 4658SF7 SF/K/1EIB�° 230KX 4F/7¼ À�� ¯ À � ¿¥� CD4<E P�[*EIE�: S<[ 01P�T � Q 5@0KMFEI: � �0KMFXIBRE 5@PR01M5�UQ�4<E;B�5cQ�01T � E�Q7� EIEIM�Q�4FE � /1TmX���P�01J�E;58MF:bQ�4<E^M\SF7 � EIB T@V XI5@/1X�SF/ 58Q�01T M<P T@VQ�4FE � V SFMFX(Q�0KT M1�

CD4FE �UYH. = � /KT?X��\P 5@BRE :F03¦?0K:FEI:�01M Q�T^[65@B Q�PWT@V � � � 0KQ�P,E 58X 41�WCD4FE � V SFMFX(Q�01T@M0KP3XI5@/1X�SF/ 58Q�EI:�T@MFXIEH[*EIB B�T SFM<:`T@MbQ�4FE;B�0o�@4\Q�7LT@PRQ [F5@BRQ¯F5@MF:�Q�4FEZBREIP�S</KQD0KP?³aµ>¶�E�:0KM Q�T'5@/K/�Q�4<E T8Q�4FE�BD[65@BRQ�P¯Q�]4<01X 4a5@B�EZQ�4FEIM`X}�mXI/K01XI5@/1/3�LBRT@Q 5cQ�EI:�Q�T'Q�4FEHB�0G� 4 Q�� 9�V Q�EIBQ�4FEb/15@PRQ BRT SFMF: Q�4FEAT B�:FE�B�T@V3Q�4FEL[65@BRQ�P!0KP!E6®?X 465@M5� E�: Q�Ta7b5"�8ELQ�4FELE�MFXIB+�m[<Q�0KT M58MF:�:FEIX�Bj�m[<Q�01T M�:F0 E�B T MF/3�b0KM�Q�4FEHT BR:FEIB3T@V+Q�4FEHPRS � �@E��mP�3CD4<E PRX 4FEI7AEH01P3P�4FT �]M0KM � � SFBRE � ¯Q�]4FEIBREY� 0KP Q�4FEUM\SF7 � EIB]T@V B�T S<MF:FP]T@V>Q�4FE �UYH. =�X�Bj�m[<Q�T@Pj�mPRQ�EI7­¯� � � �� $ � ��� � � �� � � ² �i± � �� �� � � ( * � · � �6� � (������ (� ! ( �6� À (������ (�� !� � � �� $ � �� �� � � � � À (������ (�� !�¯

� �1$ ± � � � �� (������>( � �� �� ·W01P�Q�4FE�[F/15@01M Q�E6®mQ358MF: ���� $ ± � �� �� (������ ( � � � �� · 01P Q�4FE^X�01[F4<EIB+°Q�E�®mQ��

� ��� ��� � � "���$ " ����� �����

CD4<01P]P�E�X�Q�0KT M�:FEIPRXIBR0 � EIP�P�E}¦@EIB�5@/+[FB�T [*EIB Q�0KEIP]T@V � YH. = �

À �]NOM �UYH. =d�]0 Q�4�����*¯� � � �� ²��?$�� � � � � �� � ��� À (������ (��� � !

���

Page 71: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

B(1)0 B(2)

0 B(3)0 B(q-1)

0 B(q)0

. . .

B(1)1 B(2)

1 B(3)1 B(q-1)

1 B(q)1

. . .

B(1)2 B(2)

2 B(3)2 B(q-1)

2 B(q)2

. . .

B(1)n-1 B(2)

n-1 B(3)n-1 B(q-1)

n-1 B(q)n-1

. . .

B(1)n B(2)

n B(3)n B(q-1)

n B(q)n

. . .

F

K1. . .

F

K2. . .

F

Ki. . .

F

Kn. . .

Ciphertext (swapped)

Plaintext

� )���� ; ��� � CD4FE �UE�MFEIB�5@/10KJIE�:aYH. =�=?X 4FE�7LED�

½ �

Page 72: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�]4FEIBRE � $��� � � �u± �

�� �� � � ( * � ·��CD4mS<P¯6Q�4FEHV T /K/1T �]01MQ��V T B�7�SF/ 5@EZ5@B�EUP�5cQ�01P � EI:�V T B]5@M�� ( � � � À (������ (���¹� ! !

� � � �� ² � � � �� $ � � � � � �� ² � � � � � ��

� � � �� $ � ��� �� ��� � � � � � �� $�� � � � � ��5@MF: V T BZ[65801B�PHT8V [</ 5@0KM\Q�E�®mQ�PZV T@Bc�]4F01X 4 � �� � � � � �� ¯R��}�¯ � �� �� 5@BREW�@E�[<Q XIT MK°PRQ 58M\Q�± 0¥� E"�3¯ � * �� � � � � �� $ ����� $�� * �� �� $ � ·3!

� * � � �� $ � * � � � � ��$ � * � � � � �� � �6� À (������ (���¹� ! ( � � � � � (������ (��*! �

�K�]NOM �UYH. = �]0KQ�4���� K¯ 58M���[65@0KBZT@V EIMFX�Bj�m[<Q�01T MFPH0KM´�]4F01X 4 � �� � � � 6 �� ¯R�}��¯� �� �� 5@B�E\�8EI[<Q^XIT M<PRQ 58M\Q�P�58Q�0KP � E�P>!

� * �� � � � � �� $ � * �� �� � � $ � * � � �� �

�Q� " T@B]5@M���T?:<: '58MF:`5@M���� Q�4FEHV T /K/1T �]01M5��E>=\S658Q�01T M�01P]P�58Q�0KP � E�:"! �� � �

� ��� �� $ �� � �

� ��� �� $ �� � �

� � � �� � � � � � (������ (��*! �

� �]NOM �UYH. =d�]0 Q�4�� $ �� À ¯� * ��� �� $ � � ����� � (������ (� !

017A[F/10KEIP Q�4658Q� * � � �� $ � � � � � À (������ (��� À !

5@MF:� * �� �� $ � * � � �� �

�]NOM �UYH. =d�]0 Q�4�� $ � � �K¯

� * � � �� $�� �

� * � 6 �� $���6� * ��� �� $ � � ����� � (������ (� !

½ À

Page 73: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�]4FEIBRE � � $ ��� � � � � � � "A5@MF: ��6 $ ��� � � ��� � � "'T B � � $ ��� � � ��� � � "5@MF: ��61$ � ��� ������� � " 0K7L[F/K01E�P3Q�465cQ� * � � �� $ � � � � � À (������ (��� � !

� * �� � � �� $ ��6� * �� �� $ � �

�]0KQ�4 [FBRT � 5 � 01/10 Q7� �� y P�0KMFXIE ��6� � �/² ��6(�]0KQ�4 [FBRT � 5 � 01/10 Q7� ���'CD4FE�B�EL5@B�E5@:F:F0 Q�01T@M65@/{¦@58/1SFE�P]V T@B � � 5@MF: ��6H�]0KQ�4�PR7b5@/K/1E�B [FB�T � 5 � 0K/10KQ�01E�P�

� �]NOM �UYH. =d�]0 Q�4�� $ � � À ¯

� * � � �� $ �

5@MF:� * ��� �� $ � � ����� � (������ (� !

± �]4FE�B�E � 01P�Q�4FEa¦@58/1SFE�SFP�E�:�01M�PREIX(Q�01T@M � ! ��$ À�� � � � � � � "n·�0K7L[</101E�P Q�4658Q� * � � �� $ � � � � � À (������ (��� À !

5@MF:� * �� �� $��

�]0KQ�4�[FB�T � 5 � 01/K0KQ7��5 � T S?Q �6 � � � �UYH. =­�]0KQ�4´�:$ � � À P�5cQ�01P � EIP;0KQ�V T BZ5@M��� � ���]0KQ�4�[FBRT � 5 � 01/10 Q7��5 � T S?Q � �6 � ��� � � � �

� ��� � � * " � ����' * � ��� $ ����� � �

CD4<01P�P�E�X�Q�0KT M':FEIPRXIBR0 � EIP 4FT ��Q�T XIB+�m[<Q 5@MF5@/G�mJIE �UYH. = V T@BP¦@58B�01T@SFPP¦85@/1SFE�P�T@V��`5@M<:*� G�ED5@PRP�SF7AE3Q�4658Q ^01P E}¦ E�M ± 5@PWPRS5�:� E�PRQ�EI:'01Md¼ À�� ¯ À�� ¿«·6¯ � S<Q M<T@Q�E Q�4658QWT?:F: ^XI5@M� EL58Q�Q�5@X��@E�: � � ¦85@BR0 5@M Q�P!T@V3T SFBUQ�E�X 4FMF0 =\SFED��9;/1/ Q�4FEb5cQ�Q 58X��mP � MF: Q�4FELP�S � �8E}�mP58MF: 5@B�E�0KMF:FE�[�E�MF:FEIM QAT@V]Q�4<EC�@E}� P�X 4FE�:FSF/10KM5� 5@/o�@T B�0 Q�4F7­� CD4FE�P�[*EIX�0 5@/3X 5@PRE�T@V�$ � 5@MF:��?$ À�� �]4F0KX 4 01PZPRS5�:� E�PRQ�EI: 01M ¼ À�� ¯ À�� ¿ 5@PH5bVh58PRQ�E�BH5@MF: 7AT BRE�P�E�XISFBRE58/KQ�E�B�M65cQ�0G¦@E�Q�T YH. =�0KP � B�EI5"�c5 � /1E-�]0KQ�4��RSFP Q PR03® XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�P 0KM 5�V B�5@X(Q�01T@M�T@VD5PREIX�T MF:�T@Ma5'[*EIB�PRT M65@/ X�T 7A[FS<Q�E�B�

½��

Page 74: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� � � � � < ( . ( 5�����)�(0+ � 2 + � +�+ ��� < .�; � $�

��P�0KM5��5-�\MFT �]M [F/ 5@0KM Q�E�®mQ^58QRQ 5@X��d� E 5@BREY�@0G¦ E�M P�E�¦ E�B�5@/>[F/ 5801M Q�E6®?Q�PX± E 5@X 4�T MFE T@VQ�4FE!V T@B�7 � � $ ± � � � �� ¯G�}��}¯ � �� �� ·�·^58MF: Q�4FE!XIT BRB�E�P�[*T MF:F0KM5��XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�PJ±hEI5@X 4 T M<ET8V Q�4FEHV T B�7 � �� $ ± � �� �� ¯3���}¯ � � � �� ·�·���CD4FE�M

��� � �

�i± � �� �� � � (+* � ·;$ �� � �

� � � � �� ² � � � �� �58MF:`V T@B]5@M�� �6� À (������ (�� !

����� ����� �

�u± � �� �� � � (+* � · $�� �� � � � � �� ² � �� � � � � �� �

CD4\SFP]Q�4<E T@S<Q�[FS?Q^T8V Q�4FE � V SFMFX(Q�01T@MFP]01P�i± � �� �� � � ( * � ·4$�� �� � � � � �� ² � �� � � � � �� ²

�� � �

� � � � �� ² � ��� �� �58MF:`Q�4FEU01MF[<S<Q]T@V>Q�4FE � V SFM<X�Q�0KT MFP]01P

� �� �� � � $ � �� � � � � �� ²� � ��� � �

�u± � �� �� � � (+* � · �

G�E�Q�4\SFPH4F5 ¦@E�� � 5@MF: � � T@V�EI5@X 4 T MFE T@V Q�4FE � � = � T�®?EIP}� 9^PU5bB�E�P�SF/ Qb� E�@E�Q�T MF/3�!V T@SFB X 4FT 0KXIEIP V T B Q�4FEDPR03®�PRS � �8E}� � 0 Q�P T@V*E 58X 4�= � T ® �;��P�0KM5�HQ7�3TUT BWQ�4FB�E�EE�MFXIB+�m[<Q�0KT MFP]Q�4FE X 4FT 0KXIEIP�X 58M � E � /KQ�E�B�E�: � ��/1EI5 ¦m0KM5�'T MF/G�bQ�4FE T MFE�P�Q�4658Q^5@[F[*E 5@B0KM`5@/1/*Q�4FEUEIM<XIBj�m[<Q�01T M<P¯*5@MF:�Q�4\SFP�5@/K/ Q�4FEUPRS � �@E�� � 0KQ�PDX 5@M � EZV T@SFMF:1�

� � � � � � � .�� � ( 5�����)�(0+ � 2 + � +�+ ��� < .�; � $�

��P�0KM5��5!X 4<T P�E�M`[</ 5@0KM\Q�E�®mQ358Q�Q�5@X��J�]0 Q�4L[65@01BRP?�]4FT@P�EZ[F/15@01M Q�E�®mQ?³aµ>¶]P 5@BREc�\MFT �]M� EZXI5@M�XIT 7A[FS<Q�E^Q�4FEZ01M<[FS<QD58MF:�T S<Q�[FS<Q�³aµ>¶]P T@V Q�4FE � V SFMFX�Q�01T M<P � �LQ�4FEZP�5@7LE7AE�Q�4FTm:�SFP�E�:b01M Q�4FEH�\MFT �]ML[F/15@01M Q�E�®mQ�58QRQ 5@X��{�WG�EDX 5@M'Q�4\SFP � MF:A5@/K/?Q�4FE]P�S � �8E}�mP± PRQ�5@BRQ�01M5�-�]0KQ�4`Q�4FE!PRS � �8E}� T8V,Q�4<E!/15@PRQ�B�T@SFMF: 58MF: � T B��\0KM5� � 58X����35@BR:FP;Q�T �35@B�:<PQ�4FE � B�P Q>B�T SFM<:{·SFP�0KM5�DQ�4FBREIE�[65@0KB�P T@V?XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�Pl�]0 Q�4U:F0 E�B�EIM Q>[F/15@01M Q�E6®mQ9³aµ\¶]P�

½ �

Page 75: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� � � � � � � .�� � ( 5�����)�(0+ � 2 + � +�+ ��� < .�; � $ � � 
��P�0KM5�A5'X 4<T P�E�M [F/ 5801M Q�E6®?QD58Q�Q�5@X��d�]0KQ�4`[F5@01BRPDP�58Q�01PRV«�m0KM5�� * � � �� $ � � ����� � (������ (� !

58MF:�58M�� � * � � �� �$ � ¯Q� EY�@E�Q� * � � � � � $ � � � � � À (������ (��� À !

58MF:� * �� � � � $ � * � � �� �

CD4FE�BREIPRQ>T@VmQ�4<E E�MFXIB+�m[<Q�0KT MU01P � 5@PREI: T M B�T@SFMF:FP>5@MF:HQ�4mS<P,5DX 4FT PREIM [F/ 5801M Q�E6®?Q5cQ�Q 58X���P�0K7L0K/ 5@B Q�TZQ�4FEDT M<E3V T BP� $�^X 5@M � EDSFP�E�:�Q�T � MF: ZPRS � �8E}�mP � � 5@M65@/3�?J�01M5�Q�4FB�E�EUXI01[<4FEIB Q�E�®mQ^[65@0KB�P�CD4FE'T@Q�4FEIB � À P�S � �@E}�mP!X 5@M � E�V T SFMF: SFPR01M5��Q�4FE'5 � T ¦ E�X 4FT PREIM [F/ 5801M Q�E6®?Q5cQ�Q 58X��i�]0KQ�4�Q7� TL5@:F:F0 Q�01T@M65@/ X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P}�

� � � ��� � � .�� � ( 5�����)�(0+ � 2 + � +�+ ��� < .�; � $ � � �

CD4<01P>58Q�Q�5@X��H01P+PR017A01/ 58B�Q�TDQ�4FE [<B�E}¦m0KT SFP>T MFE"¯85@MF: SFPREIP,X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ [65@01BRP+P�58Q�01PRV«�m0KM5� !� * � � �� $ � �� * � 6 �� $ ��6� * ��� �� $ � � ���6� � (������>( ! �

�]4<EIB�E � � 5@MF:�� 6 5@BRE]:FE � M<EI:�0KMLPREIX�Q�01T M � � À �WCD4FE�B�0G� 4 Q [F5@01BRP 58B�E^5 � T@S<Q �� y T@V 58/1/Q�4FE [65801B�P}�>G�E XI5@M�01:FE�M Q�0KV«� 7AT PRQ,T@V6Q�4<Ek�]B�T MQ�H[65@01BRP � �!X 4FEIX��\01MQ�UQ�4658Q Q�4FE 0KMF[FS<Q³aµ>¶jX 58MFMFT@Q�X 5@SFPREbQ�4<ELT S?Q�[FS<QY³aµ>¶(�>CD4F01P 465@[<[�E�MFP��]0KQ�4 [FBRT � 5 � 01/10 Q7� 5 � T S<Q� � � V T B EI5@X 4�= � T ® �WCD4\SFP T MF/3� � � � � $ � � À�� T@V�Q�4FEO�]B�T MQ�![65801B�P,B�EI7L5@0KM1� G 4FE�M � �'Q�4F0KP^0KP^/KEIP�P�Q�4658M � � � � 7 � $ �6 x � T@VWQ�4<E�[65@0KB�P}��CD4<01P�E�®?XIE�/1/1E�M QZ01:<EIM Q�0 � X 58Q�01T M7L5"�8EIPZ0 Q;[*T P�PR0 � /KE!Q�T�XIT M<P�01:<EIBZT M</G� ��� [65801B�P}¯ 58MF: 01:FE�M Q�0KV«��Q�4FE�Q�4<B�EIE�E�®?[�E�X�Q�EI:TmXIX�SFB�BREIMFX�EIP T@VBR0o� 4 Q�[65@0KB�P 5@7AT M5�ZQ�4FEI7­�,G�E^XI5@MAV S<BRQ�4<EIB :FEIX�B�E 58P�E^Q�4F01P�587LT S<M\QQ�T � � [65@01BRP � ��SFP�0KM5��=mSF5@BRQ�E�Q�P�T@V>Q7�3T-³aµ>¶ ¦85@/1SFE�P�

½ �

Page 76: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� � � �� � � .�� � ( 5�����)�(0+ � 2 + � +�+ ��� < .�; � $ � �� 
CD4<01P�58QRQ 5@X��(�3T Bj�\P�V T@BP� $�� � À B�T S<MF:FPWV T B � � �Q�,N Q�0KPWP�0K7L0K/ 5@B Q�TZQ�4FED[FBRE}¦m01T S<PT@MFEIP]SFPR01M5�� * � � �� $��

� * � � �� $ � � ���6� � (������ ( ! �

CD4FE�X 465@B�5@X�Q�EIB�0KPRQ�01X 4FT /1:<P­�]0 Q�4 [FB�T � 5 � 01/K0KQ7� � �6 � � � � � 6 � CD4<E 01:<EIM Q�0 � X 58Q�01T M/KE 5�¦ E�P � � � � �*x � � �� y � x T@V Q�4<E��]B�T M5�H[F5@01BRP�,CD4\SFP�0 V � � � � �*x ��� � 6 ��� � �6 � � � � � 6 ±h0N� ED�G¯� �

�� � � ½:· Q�4FE�M�Q�4FE;01:FE�M\Q�0 � XI58Q�0KT Mb0KP3E6®<X�EI/K/1EIM Q]58MF:�T MF/3�AQ�4FB�E�EZB�0G� 4 Q [65801B�P35@B�EM<EIEI:<EI:z± 587LT MQ�'Q�4FE � � ��� � � � 6 [65@01BRP^X�T MFPR01:FE�B�EI:[·]V T B]XIT@SFM Q�01MQ�LQ�4<E�TmXIXIS<B�B�E�MFXIE�PV T@B3E 58X 4�= � T�®�PREI[65@B�58Q�E�/G�"�<µZQ�4FEIB+�]01PREb�3EHXI5@M�XIT S<M\Q]T@M�P�E}¦@EIB�5@/+= � T�®?EIPDPR017 S</3°Q�5@MFE�T SFP�/3�bS<P�01MQ� 7LT@B�E;7AEI7AT B+�A5@MF:�5 � E�QRQ�EIB)� �� � 03T S<M\Q�01M5��T MbQ�4<E ��� � 0 Q�P T@VQ�4FEUP�S � �@E}�`T@V>Q�4<E /15@PRQ]BRT SFMF:`465@P

� �� $ ��� � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � 6 ��

� � � � � � � 6 � x �

CD4F0KPU58Q�Q�5@X���PR4FT �]PZQ�465cQ 5@M�� �UYH. =��]4F01X 4 01P^Vh5@PRQ�EIBZQ�4F5@M YH. =�01PH5@/KP�T�/KEIPRPPREIX�SFB�E�Q�465@MbYH. = � � YH. =X�]0KQ�4u� $ � UB�T@SFMF:FP 01P �RSFPRQ35@P�Vh5@PRQ 5@P YH. = � 03T MFPR01:FE�B�UYH. = �]0KQ�4�� $ � � À �]4F0KX 4 01PZPR/10o�@4\Q�/G��Vh5@P Q�EIBZQ�465@M YH. = �CD4FE�M Q�4FE�SFP�5 � /1EX 4F5@B�5@X(Q�E�B�01P Q�0KX�465@P(½ � À BRT SFMF:FP 5@M<: PR03® B�EI[*E�Q�0KQ�01T MFP;T@V Q�4FE�0KQ�EIB�58Q�03¦ E�X 465@B�5@X�°Q�EIBR01PRQ�01XD� CD4\SFP�0KQ�P][FB�T � 5 � 01/K0KQ7�L01P]5 � T S<Q � �6 � ��� y � � � � � �703T SFM Q�0KM5�LT@M�5@/K/ Q�4<E � �� 0KQ�PDT8V Q�4FEUP�S � �8E}�`T@V>Q�4FEU/15@PRQ]BRT SFMF:`465@P

� �� $ � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � 6 �

�� 6 � x �

CD4\SFP 5 � T S<Q ��� � BR0o� 4 QH[65801B�P;5@B�E�MFEIE�:FEI:1¯g� 03¦m01M5��5bQ�T@Q 58/,T@V � ��� � � $ � x � [65@01BRP�CD4<01P XIT 7A[F/1E6®?0KQ7� :FE�XIBRE 5@PREIP B�5@[F01:</G�s�]4<EIM � ELQ�Bj� Q�T`7L5"�@E � YH. = E}¦@EIM Vh5@P Q�EIB� ��7L5"�\01MQ�J� PRS � P Q 5@M Q�015@/1/3��PR7b5@/K/1E�B Q�4F5@M � K�

� � � � � � ����� + � �����*; � �"< )�( � ��� ��.�; )/+ *4 �. ; ��$ �

CD4<E � B�EI5"�\01M5��5@/o�@T B�0 Q�4F7 V T@B!Q�4<EbB�E�XIT 7A7AEIMF:FE�: X 58P�E�T@V��%$ � �MFEIE�:FP�P�0@® X�03°[<4FEIB Q�E�®mQ�Pc�]0KQ�4a[658BRQ�0KXISF/15@B][F/ 5801M Q�E6®?QH³aµ>¶ ¦85@/1SFE�P�DNOM`Q�4F0KP^PREIX�Q�01T M­�3E!:FEIPRXIBR0 � E½

Page 77: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

58M�58Q�Q�5@X��LT@MbQ�4FEHE6®mQ�EIM<P�01T@M�T@V � YH. =u�]4F0KX 4�SFP�E�PD01MF:<EI[*EIMF:FE�M Q]P�S � �8E}�mP¯[�]4F0KX 4M<EIEI:<P À�� EIMFX�Bj�m[<Q�01T MFP}� �T@Q�E!Q�4658Q^V T Bb� $ À�� 58MF:��$ � Q�4FE�E�®mQ�E�MF:FEI:�58QRQ 5@X��S<P�EIPDT@MF/G� À�� � � � $ À�� � � XI01[<4FEIB Q�E�®mQ � 0 Q�P 01M�T BR:FEIB Q�T � MF:�Q�4FE À�� � ��� $ ½ � � �@E}�� 0KQ�P}¯5� 03¦?0KM5�'5@Ma5@/17AT P QDT [<Q�017L5@/�B�58Q�0KT�T@V À � ���'X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ � 0KQ�PD[�E�B��8E}� � 0 Q��

CD4FEa58QRQ 5@X��8EIBbX 4<T?T PREIPL5 B�5@MF:FT@7 [F/ 5801M Q�E6®?Q &-¯ E�MFXIB+�m[<Q�PAQ�4FE�V T /1/KT �]01M5� À �[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�P}¯65@MF:`SFPREIP�T MF/G�LQ�4FEUBREIP�S</KQ 58M\Q�X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P}�

� CD4FEU[F/ 5@0KM Q�E�®mQ &%0 Q�PREI/KV��� CD4FE MF01M<E [F/ 5801M Q�E6®?Q�P T � Q�5@01M<EI: V B�T@7 & � � ³aµ>¶�0KM5� � � � � ��� � � "�¯� �A���A� � � � ":¯ ���A� � � � � � "�¯ � �A� � � �A��� ":¯ � � � �A���A� � ":¯ � - � � � ½= �"�¯��½ � � ��½ "�¯g½ � � � ½ � "A5@MF::� À � � -A����� "'01M Q�T � � � �� ± Q�4<E � B�P Q��� � 0KQ�PDT@V<&Y·��

� CD4FE P�0@® [</ 5@0KM\Q�E�®mQ�P�T � Q 5801MFE�: V B�T 7 & � ��³aµ>¶�0KM5� � � � - � �W½ "�¯� � �A� � �:��� "�¯ � � � ��½ KÀ "�¯ � � ½ � ½ � �4":¯ � À�� � � ��� " 5@M<:� �0-�- � � "!01M Q�T'5@/K/ Q�4<E � � � �� � /1TmX��mP}�

CD4FE�P�E(³aµ\¶ ¦@58/1SFE�P^58B�EHX 4FT PREIM � ��Q�4FEHV T /1/KT �]01M5� X�B�0 Q�EIBR0 5 !À �]CD4FE � B�PRQ`[F/15@01M Q�E�®mQ`01P�Q�4<E B�5@MF:FT@7L/3� X 4FT PREIM � 5@P�0KP�V T@B�Q�4FE :F0 �EIBREIM Q�015@/58Q�Q�5@X��{��K� ",0G¦@Ea[F/15@01M Q�E�®mQ�P'465�¦ EaQ�4FE`7b5&®<0K7b58/ M\SF7 � EIBAT@VHSFMFX 4F5@M5� E�: 01MF[<S<Q�P'Q�T =

� T�®?EIP�0KM Q�4FE� � � BRT SFMF: X�T 7L[F5@B�E�: Q�T�& 58MF: Q�T EI5@X 4 T8Q�4FE�B� " T@BLQ�4<E¦@58/1SFE�P;X 4FT PREIM 58Q;/1EI5@PRQ � ¦ E T8V Q�4FE!01MF[FS?Q�P;Q�TbE 58X 4 = � T�®�5@B�E!SFMFX 4658M5� EI:�¯�]4F01X 4`7b5D�@EIP]0 Q][�T PRP�0 � /1EZQ�T � MF:`Q�4FEUP�S � �@E}�`T@V>Q�4<E /15@PRQ]BRT SFMF:��

�Q� " T@SFB;T@Q�4FEIB^[F/ 5801M Q�E6®?Q�PZ465�¦ E 5�7b5n®?0K7b5@/ :<0 �EIB�E�MFXIE�01M�Q�4FE'= � T ®?E�PZT@V Q�4<E ��� B�T SFM<:1� CD4F01P�01P�S<P�EI: Q�T � MF: Q�4<E PRS � �8E}�mP�T@V!Q�4FE� � À ��� 58MF: 58/1/Q�4FEZPRS � PRE>=\SFEIM Q�B�T@SFMF:FP\± CD4FEIBREH01P MFT@Q E�MFT S5�@4d¦@58B�0 5 � 01/K0KQ7� 0KMLQ�4FEZ[FBRE}¦m01T S<P¦@58/1SFE�P Q�T � MF:a5@/1/*Q�4FT PREUP�S � �8E}�mP�·6�

� �^=?03® [</ 5@0KM\Q�E�®mQ�PU465�¦@Eb5�7b5&®<0K7b58/,:F0 E�B�EIM<XIEA01M Q�4FEb= � T�®?EIP!T@V3Q�4FE � B�P Q B�T SFM<:FP��CD4F0KP�7L5"�8EIP]0KQ][*T P�PR0 � /KE;Q�T � MF:�Q�4<E � B�PRQ PRS � �8E}�mP�

½ �

Page 78: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

CD4FELXIB+�?[?Q 5@M658/G�\Q�0KXb5@/G� T BR0KQ�4<7 01P 5@PUV T /K/1T �]P��9 Q � BRPRQ�Q�4FEL58Q�Q�5@X��@E�B!Q�BR01E�P Q�T� MF: Q�4FE PRS � �8E}� T@V Q�4FE�/ 5@P QZBRT SFMF:1�!.�5@X 4 T MFE T8V Q�4FE À [F5@01BRP;XIT@MFP�0KPRQ�0KM5��T@V &58MF: Q�4FE � BRPRQ � ¦@E�[F/ 5@0KM Q�E�®mQ�P 465@P'5 :F0 E�B�E�M\Q'PRE�Q'T@V�PR03® = � T�®<E�PX�]4FT PRE`0KMF[FS<Q³aµ>¶]P!0KM � � � �� 58B�EAJIEIBRT5�A9;/1/WQ�4FE'T@Q�4<EIB � � � �� ( � � � (������>(� !b4F5 ¦@Eb0KMF[FS<Q>³aµ>¶]P�]4<01X 4�5@B�E�Q�BR0G¦m0 58/1/G�`J�EIB�TQ�LCD4\SFP E 5@X 4�T MFE'T@V Q�4FE � BRPRQ� � À ��V S<MFX�Q�01T MFPH4F5 ¦@EQ�4FE�P�5@7LEL01MF[<S<Q�5@M<: T S<Q�[<S<Q�¦85@/KSFEIP 0KM 5@/K/�Q�4FE�[65801B�P}� NOM EI5@X 4 [65@01BUQ�4<E ��� �V S<MFX�Q�01T M�465@P]J�EIB�TA01M<[FS<Q�5@MF:�T S?Q�[FS<QH³aµ>¶]P�0KM�P�0@®�T@V>Q�4FEUEI0G� 4 Q^= � T�®?EIP}����P�01MQ�Q�4F01P<�\MFT �]/1E�:5� Ec� Eb� E(Q Q�4FE;T S?Q�[FS<Q?³aµ>¶ T@V Q�4FE�P�EZPR03®�= � T ®?E�P 01M'Q�4FE;/ 5@P Q>±�� ��� ·BRT SFMF: � ��Q�4<EUV T@B�7 SF/15 !

� * ± � �� �� � � (+* �"·4$ �� � 6

� * � � �� �

CD4<Eb01M<[FS<Q(³aµ\¶j0KP!EI5@P�0K/G� X�T 7L[<S<Q�E�: 5@P � * �� �� � � $ �/* � � �� 5@M<: Q�4FEA01M<[FS<Q!0KQ�PREI/ V 01P� � � �� � �T � �3E�Q�B+� 5@/1/ Q�4FE�[*T P�PR0 � /KE­�8E}� � 0 Q�P�V T B�EI5@X 4 = � T�® PREI[65@B�58Q�E�/G� 5@M<:X 4<EIX��'Q�4658Q V T B Q�4<Ea� 03¦ E�Mb01M<[FS<Q�³aµ>¶ � Ec�@E�Q Q�4FE�� 0G¦@EIMLT S<Q�[<S<Q?³aµ>¶ ¦85@/1S<E"� "6T BEI5@X 4 = � T ® Q�4FEIBREb58B�EA58Q /1EI5@PRQ � ¦@EL[65801B�P>�]4F0KX 4�XI5@M :<01PRQ�01M5�@SF01PR4p¦85@/KSFEIPUT@V Q�4<E�8E}� � 0 Q�P�bCD4FE´±h5@/17AT P QUXIEIB Q 5@0KMF/G� SFMF0 =\SFE�·>¦85@/KSFEAP�S5�:�@EIPRQ�EI: � � 5@/K/WQ�4FEA[65@0KB�PU01PQ�4FE(�@E}��T8V,Q�4<E!X�T B�BREIP�[*T MF:<01M5�b= � T�® �3CD4FE�B�E�V T@B�E"¯6Q�4FE(�]4<T /1EUP�S � �@E��aT8V,Q�4<E!/15@PRQBRT SFMF:A01PWV T@SFMF:1�; �T � 5H:FEIX�Bj�m[<Q�0KT MAT@V Q�4FE]/ 5@P Q�B�T SFM<:LXI5@M � E]:FT MFE]BREI:FSFX�01M5�UQ�4<EX�Bj�m[<Q�T Pj�mPRQ�EI7 Q�T � � À BRT SFMF:<P�

�T@Q�E Q�4658Q 0 V*Q�4FEDP�S � �@E��?P 5@BRED:FEIBR0G¦ E�: � ��Q�4FE]YH. =��@E���P�X 4<EI:FSF/K01M5� 5@/G� T BR0KQ�4<7Q�4FEIM ��� � 0 Q�P�T S<Q^T@VWQ�4FE �� �@E�� � 0 Q�P^5@B�E(�\MFT �]M 58Q�Q�4F0KP^[*T 01M Q�DCD4FE�T@Q�4FEIBRP;XI5@M� E�E 58P�01/3��V T@SFMF: � � Q�B+�m01M5� 5@/K/ Q�4FE�� �� [*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�P!T8V�Q�4FE�7A01P�PR01M5��EI0o�@4\QX�@E}�� 0KQ�P}�WG EHQ�4mS<P^[FBRT?X�EIE�:`Q�TL58M65@/G�mJ�EUQ�4FEUX 5@PREUT@V,0KMF:FE�[�E�MF:FEIM Q^P�S � �@E}�mP}�

NOM�Q�4<E;V T /1/KT �]01M5� � À BRT SFMF:<Pk�3E>�@E�Q Q�4FEH01MF[<S<QD5@M<:�Q�4FEZ0KMF[FS<Qk³aµ\¶ T@V Q�4<E� V SFMFX(Q�01T@M V BRT 7 Q�4FE ± [65@BRQ�0 5@/K/G� :FE�XIB+�?[?Q�EI:[·'X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P}� CD4FE�01MF[<S<QX³aµ>¶�01PXI5@/1X�SF/ 5cQ�EI: � ��Q�4FEHV T B�7 S</ 5 !

� * ± � �� �� � � (+* �

·;$ � * � � �� ² �� � 6

� * � � ��

�]4<EIB�E �]01P+Q�4FE B�T S<MF: M\SF7 � EIBk±�� �6� � À (������ (3� � À !D·��>NOM!Q�4F01P>X 58P�E Q�4FE � B�PRQ>Q�E�MX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P�5@B�E'SFPREI:1��CD4<Eb5@:<:F0KQ�01T M658/,V T SFBUXI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�P 58B�EAMFEIE�:FEI: [<B�017L5@BR01/G�Q�T � MF: �u± � À · P�0KMFXIEL01M Q�4FE � B�PRQ�P�0@® E�MFXIB+�m[<Q�0KT MFP�Q�4FEIBRE�5@B�EAQ�TmT�7L5@M�� JIEIBRT³aµ>¶ � 0 Q�P^5@MF:�7AT BRE\¦85@BR01E(Q7��01P�MFEIE�:FEI:1�]CD4FE�P�E�58:F:FEI:�XI01[<4FEIB Q�E�®mQ�P;:FTLMFT@Q^4FEI/K[

½"½

Page 79: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

0KM�Q�4FEc� ��� BRT SFMF:�PR01MFX�E;Q�4FE�B�Eb� E>� 5@M QDQ�4FEHT S<Q�[FS<QO³aµ>¶�PDT8V>Q�4FEU= � T ®?E�P�0KMbQ�4<E ��� BRT SFMF:�Q�T � EUJIEIBRT5�

NOM�Q�4FE BREI7L5@01MF0KM5� LBRT SFMF:<Pc�3E�SFP�E�5@/1/ Q�4<E À�� X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P}�ZCD4FE�58:F:F0KQ�01T MF5@/X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�PA465�¦ EaMFT M JIE�B�T :F0 �EIBREIMFX�EIPA01M 5@/1/ Q�4FE�= � T�®?EIPA01M 5@/1/ Q�4FE`B�T S<MF:FP¯�]4<EIB�EI5@P Q�4<E � BRPRQ Q�EIM�465@:�5�XIT M<PRQ 58M\Qk¦@58/1SFE^:FSFB�0KM5�!Q�4FE � BRPRQ � À B�T@SFMF:FP}� CD4<E0KMF[FS<QO³aµ>¶ 0KPDX 5@/KXISF/158Q�E�: � ��Q�4FEHV T B�7�SF/ 5 !

� * ± � �� �� � � (+* �

·4$ ��² �� � 6

� * ��� ��

�]4<EIB�E � 0KP Q�4FEUB�T@SFMF:`MmS<7 � E�BY±�� �6� À (������ (� !D· 5@MF: � 0KP�:$ � � * � � �� (�0 V � ����

� * � 6 �� (�0 V � $�*�

� � � � � � . ( � � ����)�. (��

�UYH. =Y�]0KQ�4W� $ $ � 01P � B�EI5"�c5 � /1E3SFP�0KM5� 5b�mM<T&�]MA[F/15@01M Q�E6®mQ�58Q�Q�5@X��Y�]0 Q�4 Q�4FB�E�EX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P}� G 0KQ�4�5��@E���P�X 4<EI:FSF/K01M5��P�017A01/15@B Q�T�YH. = ¯ �UYH. =A01P?¦mSF/KMFEIB�5 � /KE^Q�T 5�\MFT �]Ma[F/ 5@0KM Q�E�®mQ�58QRQ 5@X��u�]4FEIM ��$� � À 5@PO� EI/K/¥�

�UYH. =p�]0KQ�4 $ � 5@M<: � $ À � �35@P�PRS5�:� E�PRQ�E�: 01M ¼ À�� ¯ À � ¿¥��CD4FE À ° B�T SFM<:¦85@BR0 5@M Q 0KP E 5@PR01/3� � BRE 5"�c5 � /KEDSFP�0KM5�HQ�4FEH� $ � � À 58QRQ 5@X����]0 Q�4�Q�4<B�EIE]X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�P}�CD4<E À�� °OBRT SFMF:¹¦@EIBRP�01T@M 0KP � BRE 5"�c5 � /KE�SFP�0KM5� Q�4<E�E�®mQ�E�MFP�0KT M Q�T�� $ � s�]0 Q�4 PR03®X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P�0KM � � �;PREIX�T MF:FP�T MA5 0OµU_ �9�� [�E�B�P�T@M65@/FX�T 7L[<S<Q�E�B�WN V�01MF:<EI[*EIMF:FE�M Q�8E}�mP 58B�E�SFP�E�:bQ�4FE�Mb0 Q�01P � B�EI5"�c5 � /KEH�]0 Q�4 À�� XI01[<4FEIB Q�E�®mQ�P301M'Q�4<B�EIE�P�E�XIT M<:FP3T M'Q�4<EP�5@7AEHXIT 7A[FS<Q�EIB�

�UYH. = �]0KQ�4�9$ � 5@MF:p� $ � �b01P � B�E 5D�85 � /1E S<P�01MQ��Q�4FEW� $ � � ��58QRQ 5@X���]0 Q�4 ��� XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�Pd±�� � [65@0KB�P�·6� � YH. =s�]0KQ�4 $ � 5@MF: � $ � À 0KP � B�EI5"�c5 � /1ES<P�01MQ� Q�4FEc� $ � �� À 58Q�Q�5@X��W�]0KQ�49� ���� � � [65@01BRP 5@MF: � � $ 6 ���6 � � � 7 � � � � �

�� � �]0KQ�47AEI7AT B+�bT@V>PR01JIE � � � ��.P¦ EIM �UYH. =i�]0 Q�4 $ � 58MF:�� $ � � 01P�� E 5D�@EIBDQ�465@M`YH. =58MF:�01P � B�EI5"�c5 � /KE;SFPR01M5��� x 6 XI01[<4FEIB Q�E�®mQ�P��NOMC� EIM<EIB�58/¥¯F58M�� �UYH. =-�]4F01X 4�0KP Vh5@P Q�EIBQ�465@MaYH. =�0KP]5@/1PRT'/1EIPRP]P�EIX�SFB�EUQ�4F5@M�YH. = �

½ �

Page 80: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

~�� � �u���{����� �>���>�d�R����� �Y������� � � �J� ����� � �b�����4�>��P� � � � �R�u�����(�

NOM Q�4<01P�P�E�X�Q�01T M � E�:FE�P�X�B�0 � E P�E�¦ EIB�5@/UMFT ¦ E�/!5cQ�Q 58X��mP`T M YH. = B�EI:<SFXIE�: Q�T � � �BRT SFMF:<P��]4F0KX 4�58B�EUMFT@Q � 5@PREI:aT M`Q�4FEUXI0K[F4FEIB Q�E6®?Q^[65@0KBD[65@B�5@:F0o�@7 � CD4FE�P�E�58Q�Q�5@X��\P58B�E T@V Q�4FBREIE��\01M<:FP>! X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ`T MF/G� 58Q�Q�5@X��\P¯b�\MFT �]M [F/ 5801M Q�E6®?Q`5cQ�Q 58X��mP`5@M<:P Q 58Q�01P Q�01XI5@/��\MFT �]Ma[F/ 5@0KM Q�E�®mQ�58QRQ 5@X��\P}�

��� �(� � ��"������� � � � $&�'�* � � � �� �

�� � �� � + ; � ����;-.��*(�� � +�+ � � <

CD4<01P`58Q�Q�5@X�� 5@PRP�SF7AEIP�Q�465cQ`Q�4FE EI0o�@4\Q`[F/15@01M Q�E�®mQ � �mQ�EIP�5@B�E 9H= 03N�N�X 4658B�5@X(Q�EIBRP�]4<T P�E!7LT P Q;PR0o� M<0 � XI5@M Q � 0KQ�P�5@BRE!J�EIBRT?E�P�]CD4FE�NOM<0KQ�015@/ >EIB�7�S<Q 58Q�01T M¹±�� &Y·D7AT ¦ E�PQ�4FE�7LT P Q P�0o�@MF0 � XI5@M Q � 0KQ�P�T@V 5@/1/<Q�4FEIPRE � �\Q�E�P 01M Q�T!5!PR01M5�@/1E � �\Q�E"��CD4F0KP � �\Q�E^01P Q�4<E� V Q�4 � �\Q�E!T@V,Q�4FE�[*EIBR7 S<Q�EI:�[</ 5@0KM\Q�E�®mQH�]4F01X 4a01P]Q�4FE � BRPRQ � �\Q�E�T@VWQ�4FE B�0o�@4\Q�4658/KV���H0G¦@EIM�5 X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ)#%$ ±�� (��:·R�3EUXI5@M�E 5@PR01/3�bXI5@/1X�SF/ 58Q�E;E�0o� 4 Q � 0KQ�P3T@V+Q�4FEHT S?Q�[FS<QT8V Q�4FEUP�EIX�T MF:`B�T S<MF: � � � $ � ² �)$ �e² �*� " BRT 7 Q�5 � /KE � � �3E P�E�EHQ�4658QDQ�4FEIPREE�0o� 4 Q � 0KQ�P 5@BRE^Q�4<EZT S<Q�[FS<QDT@V+PRE}¦@EIMa= � T�®?EIPD0KMLQ�4FEZP�E�XIT M<:`BRT SFMF: ±«�]4FEIBRE;Q7� T�T@VQ�4FEI7�XIT 7AEHV B�T 7 = ·�� CD4<E�58QRQ 5@X��b01P]5@PDV T /K/1T �]P>!

À �DG E�Q�Bj� 58/1/�Q�4FE�[*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PUT@V^Q�4FEd�8E}� � 0 Q�P E�M\Q�EIBR01M5� = 0KM Q�4FE�PREIX�T MF:B�T SFM<: 5@MF: 5@/K/+Q�4FEX�8E}� � 0KQ�P;EIM Q�E�B�01MQ�bQ�4FE�PR03® = � T ®?E�P = À ¯ = �K¯+= �Q¯= � ¯+= �5@MF:�= � 01M'Q�4<E^Q�4<01B�:AB�T@SFMF:1� CD4FE�01B T S<Q�[FS<Q � 0KQ�P35@BRE�³aµ>¶]EI:i�]0 Q�4AQ�4FE�:658Q�5� 0KQ�PHEIM Q�E�B�01MQ��= 0KM Q�4FE'PREIXIT@MF:�BRT SFMF:�� CD4FB�E�E � 0KQ�PZ5@B�E�X�T SFM Q�E�: 01M � T@Q�4B�T SFM<:FP�5@MF:�Q�4\SFP � � � 0KQ�P�5@B�EHE6®<4F5@SFPRQ�0G¦@EI/G��Q�B�0KEI:1�

�K� �^P�0KM5�bQ�4FE�Q�BR01E�:��@E}� � 0KQ�PH5@MF: 5@M�� XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ>�3E � MF: Q�4FE T@S<Q�[FS?QHT@V Q�4<EP�03® = � T�®?EIPU0KM�Q�4FE Q�4F01BR: B�T S<MF: 5@MF: Q�4<E�01MF[FS?QU5@MF: T S<Q�[FS<QHT8V = 0KM�Q�4<EP�EIX�T MF:aB�T SFM<:1��Q�DG E!XIT 7A[65@BRE!Q�4<E�Q7�3T�X�T 7A[FS<Q�E�: T S<Q�[FS<Q � 0KQ�P;T@V = 01MaQ�4FE PREIXIT@MF: B�T SFM<:Q�T�Q�4<EI01BHE6®?[�E�X�Q�E�: ¦85@/KSFE"�!N V Q�4FE}� 5@B�E�:F0 E�B�E�M\QHQ�4FEIM Q�4FE�� � �@E�� � 0KQ�PU5@B�E

�]B�T M5�Q� 9 =\S65@BRQ�EIBDT@V+Q�4FEZQ�BR01EI:C�8E}�mP]465�¦ EHQ�4<EHE�®?[�E�X�Q�EI:�¦@58/1SFED��2?�LQ�Bj�m01MQ�

½ �

Page 81: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

5@:F:F0 Q�01T@M65@/X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�Pc� E�XI5@M :F0KP�XI5@B�:a7LT BREY�8E}�­¦85@/1SFE�P�DG�E�PRQ�T [s�]4FE�MT MFEUX 5@M<:F01:65cQ�EHB�E�7b5801MFP}�=m01MFX�EX�3E�P Q 5@B Q>�]0KQ�4:��� $ [*T PRP�0 � /1EX�8E}�mP�58MF: T MF/3� �

�T@V�Q�4FE�7 P�S<Bj¦m0G¦@E�E 5@X 4 Q�E�PRQ�¯

� E MFEIE�:�5 � T S<Q]/KT:� � ��� $ $ À�� � XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�P��G 4FEIM`Q�4FEUX�T B�BREIX�Q � � �8E}� � 0 Q�P�5@B�E:<E�Q�E�B�7A01MFE�:1¯Q� E!XI5@M�E�®?465@S<PRQ�03¦ E�/G��Q�B+��5@/K/ Q�4<EH[�T PRP�0 � /1Eb¦85@/KSFEIPDT@V>Q�4<E BREI7L5@01M<01M5�À ½ � 0KQ�P � � X 4FEIX��\01MQ� �]4FE(Q�4FE�B'Q�4FE�:FEIX�T?:<EI: [F/ 5@0KM Q�E�®mQ�P'5@B�E�9Z= 03N�N!X 465@B�58X�Q�E�B�P}�CD4<E 58QRQ 5@X���Q�4\SFP^MFEIE�:FPH5LQ�T@Q 5@/+T@V4� � $ PRQ�EI[FPZ5@MF: � � XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�P;Q�T � BRE 5"�aYH. =BREI:FS<XIEI:`Q�T�Q�4<B�EIE B�T@SFMF:FP}�

�� � �� � � ( .�+ � ;�+ ; � ���8;-. � (�� � +�+ ���-<

NOM`Q�4F0KP;5cQ�Q 58X��d�3E�5@P�PRSF7LEUQ�4F58Q^Q�4FE [F/ 5@0KM Q�E�®mQ � �\Q�EIP � E�/1T M5�'Q�TL5LPR7b58/1/1E�BDP�E(QZ01M�]4<01X 4�Q�4FE!Q�4FB�E�E�7AT PRQ^P�0G� MF0 � X 5@M Q � 0KQ�P;5@BRE!X�T MFP Q 5@M Q��;=?SFX 4 PRE�Q�PH5@B�EUQ�4<E�9H= 03N�NXI5@[F0 Q 5@/*/1E(Q�Q�E�B�P}¯?Q�4<EZ9H= 03NRN /KT �3E�B3X 58P�EH/1E(Q�Q�EIB�P 5@MF:bQ�4FEH9H= 03NRN�:F0o� 0 Q�P}�,CD4FEZQ�4FB�E�E7AT P Q3PR0o� MF0 � X 58M\Q � 0 Q�P T@V+5@/K/ Q�4FE;E�0o� 4 Q [F/ 5801M Q�E6®?Q � �\Q�EIP]58B�E�7LT ¦ E�:bQ�T!Q�4FBREIE � �\Q�E�P� �!Q�4FE 0KMF0KQ�0 5@/ [*EIBR7 S<Q�58Q�0KT M1�>CD4FEIPRE]Q�4FB�E�E � �mQ�EIP�5@BRE3Q�4<E � B�P Q � �mQ�EDT@V6Q�4<ED/1E�V Q,465@/ V58MF: Q�4FE � BRPRQ!5@MF: P�E�XIT MF: � �mQ�EIP T@V Q�4FE'B�0G� 4 QH465@/ V��'=?0KMFXIE�Q�4<E � B�PRQ!5@M<: PREIX�T MF:� �\Q�E�PZT@V Q�4FE!B�0o�@4\Q�4658/KV 58B�E XIT MFP Q 5@M Q;01M 58/1/Q�4<E![F/15@01M Q�E�®mQ � /1TmX��mP}¯*Q�4FE 01MF[FS?Q�P�T@V= � 5@M<:�= �U01M'Q�4<E � B�PRQ B�T@SFMF:L5@B�E]XIT@MFPRQ�5@M Q 5@M<:AQ�4mS<P Q�4FEI0KB T@S<Q�[FS?Q�P 5@B�E]XIT@MFPRQ�5@M Q58P<� EI/K/¥� G�E;XI5@MbXI5@/1X�SF/ 5cQ�E Q�4<E;T S<Q�[FS<Q � 0KQ�P�T@V Q�4FE^Q�4F01BR:LBRT SFMF: � �'Q�4FE^E =\S658Q�0KT M"!

� $���² � ² � � ±��:·

C�� T � 0KQ�P T@V]Q�4FE�E�0o� 4 Q�X�T MFP Q 5@M Q � 0KQ�P 01M � 465�¦ E�XIT@B�B�E�P�[*T MF:F0KM5� XIT M<PRQ 58M\Q � 0KQ�P0KM � !^T MFE T8V Q�4FEI7 01PZ5@M T S<Q�[FS<QHT@V3= ��58MF: Q�4FE�T@Q�4FE�BZ01PZ5@M T S<Q�[FS<QHT@V3= �p± P�E�EQ�5 � /KE � � ·���=m01MFX�E �0KP<�\MFT �]M1¯mQ�4FE]Q7� T � 0KQ�P�01M � 58B�E��mM<T&�]MbSF[LQ�T�5\³aµ\¶ �]0 Q�4L5X�T MFP Q 5@M Q�� CD4<EIP�E � 0KQ�P 5@BRE^T S?Q�[FS<Q�P3T@V+= �!5@M<:�= �Q�WC>Bj�m0KM5��5@/K/FQ�4FE ��� [*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PT8V>Q�4FE>�@E�� � 0 Q�P E�M\Q�EIBR01M5�L= ��0KM�Q�4FEZQ�4F01BR:�B�T S<MF:1¯5� EHX 5@M�X 4FE�X���Q�4658Q 01M�5@M���[F5@01BT8V,X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�PDQ�4<E T@S<Q�[FS?Q � 0KQDT@VW= ��P�58Q�01P � EIP � �1² �'�;$ �16�² � 6�� =?0KMFXIEH4F5@/KV+Q�4<E�8E}�mP]P�58Q�01P V«�LQ�4F01P X�T MF:F0 Q�0KT M1¯��3EHMFE�EI:`5 � T S<Q À � /1T"� 6 ��� $ ½!XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ�PDQ�T � MF:Q�4FEZPR03®u�@E�� � 0 Q�P3E�M Q�EIBR01M5��= ��01MAQ�4FE;Q�4F01BR:�B�T@SFMF:1� CD4FE;P�5@7AE;X�01[F4FE�BRQ�E�®mQ�PDXI5@M � ES<P�EI: Q�T � MF: Q�4<E�P�03®s�@E�� � 0 Q�P;E�M Q�EIBR01M5�a= �L01M Q�4<E�Q�4F0KB�: BRT SFMF:1�UCD4F0KPZ/1EI5�¦ EIP ���S<M5�\MFT �]Ms�@E�� � 0KQ�P¯5�]4F0KX 4aXI5@M � EZV T S<MF:a0KM ��� �;P Q�E�[FP��]0 Q�4�P�E�¦ E�M XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q�P�

���

Page 82: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�� � �� � � �. � ; ��;-.�� (�� � +�+ ��� <

CD4<01PZ5cQ�Q 58X��`0KP;58M E�®mQ�E�MFP�0KT M T@V,Q�4FE![FB�E�¦?0KT SFP;Q�4FB�E�E�° B�T SFM<: 58Q�Q�5@X��`5@MF: 58P�P�S<7LE�P±h5@P�Q�4FE�B�E�·�Q�4658Q�Q�4<E Q�4FB�E�E 7LT P Q�P�0G� MF0 � X 5@M Q � 0KQ�P�T@V!E 5@X 4 [F/ 5@0KM Q�E�®mQ � �\Q�E�5@B�EX�T MFP Q 5@M Q���NOM�Q�4F0KP]58Q�Q�5@X���Q7� T � 0 Q�PDT@V �j5@BREZV T SFMF: � ��Q�4FEUE =mSF58Q�0KT M"!

� $ �s² � ² � $ �s² � ² �

�]4<01X 4'01PWPR017A01/15@BQ�THE =mSF58Q�0KT M��K�WCD4FE�M�Q7�3TUT S<Q�[FS<Q � 0KQ�PO±hT MFED0KM'= �Z5@M<:AT@MFE 01MA= �0KM�Q�4FEHQ�4<01B�:`B�T@SFMF:{·D5@BRE(�\MFT �]MaSF[`Q�Tb5'XIT@MFPRQ�5@M Q���G EHQ�B+�`5@/1/�Q�4FEU[*T P�PR0 � /KE>�@E}�¦85@/KSFEIP T8V�Q�4FEDP�0@®W�@E�� � 0KQ�P T@V= �-±hT B PR017A01/ 58B�/G�U= ��·,01M Q�4FEDQ�4F0KB�:'B�T@SFMF:A5@MF:A5@/K/?Q�4<E[*T PRP�0 � /1E>�@E��d¦85@/1S<EIP]T@V+Q�4FEUPR03®`= � T ®?E�P�0KM�Q�4FEHV T SFB Q�4�B�T@SFMF:C�]4FT PRE!T S?Q�[FS<Q � 0KQ�P58B�E-³aµ\¶]EI: �]0KQ�4�Q�4<EL:65cQ 5 � 0KQ�PUE�M\Q�EIBR01M5� = � ± T B!= ��·H01M Q�4FE'Q�4F0KB�:�B�T SFM<:1�bG�EQ�Bj��5�Q�T@Q�5@/ T@V�� � �8E}� � 0KQ�P3EIM Q�E�B�01MQ�'Q�4FEZV T SFB Q�4�BRT SFMF:`5@MF:�PR03®i�@E}� � 0KQ�PDEIM Q�E�B�01MQ�Q�4FE!Q�4F01BR:�BRT SFMF:1¯ � S<Q � ¦ E � 0KQ�PZ5@BRE�XIT@7L7AT M ±hP�0@®��]4FEIM S<P�01MQ��= ��·]5@MF:�Q�4\SFPc� E4F5 ¦@E^Q�T Q�Bj� � � � [�T PRP�0 � /1EH�@E��-¦@58/1SFE�P�,G�E^M<EIEI:�5 � T@S<Q À � /1T"� 6 � � � $ À � ��½ $ � �X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ�P]Q�T'7L5"�@EHQ�4FEUXIT 7A[FS<Q�EI:­�@E}��S<MF0 =\SFED�

��� � � � ��$�� ��"'����� � � � � � � � �� �

�� � � � � + ; � ����;-.��*(�� � +�+ � � <

CD4<ELYH. =´�@E�� P�X 4<EI:FSF/K01M5�`5@/G� T BR0KQ�4<7 :<0G¦m01:FE�PZQ�4FE � �@E}� � 0KQ�P;01M Q�T�Q7� Ta4F5@/G¦@EIP�.�5@X 4`465@/ V,4F5@P � � � 0KQ�P¯65@M<:aPRSF[F[F/K01EIP Q�4FE\�@E�� � 0KQ�P Q�T�V T SFB�= � T�®?EIP}�03T M<P�01:<EIB+YH. =ZB�EI:<SFXIE�: Q�T]Q�4FB�E�E B�T S<MF:FP9�]0KQ�4U5]PR01M5�@/1E/�\MFT �]M [F/ 5801M Q�E6®?Q+28XI0K[F4FE�BRQ�E6®mQ[F5@01B}�LCD4FEAE�®?X�/1SFPR0G¦ E6°OT B\¦85@/1S<EAT8V3Q�4<ELT S?Q�[FS<Q!T@V Q�4FE � BRPRQ!B�T SFM<: 5@MF: Q�4FE�Q�4F01BR:BRT SFMF:`01PO�\MFT �]M � �bQ�4FEUE>=\S65cQ�01T@M"!

� ² � $���² � �

G�E � BRPRQ Q�Bj�A58/1/6Q�4FE � 6 � [*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP T@V T MFE;4F5@/KV T@VQ�4<Ec�@E��:� .�5@X 4�XI5@MF:F0K:658Q�E7L5"�8EIP 0KQH[*T P�PR0 � /KE�Q�T�XIT 7A[FS<Q�E�Q�4FEAT S<Q�[FS<Q T@V V T SFB!= � T�®?EIP 01M Q�4FE � BRPRQ!B�T SFM<:58MF: Q�4FE�T S<Q�[<S<Q�T@VUQ�4<E P�5@7AE = � T�®<E�P�01M�Q�4FE�Q�4F01BR: B�T S<MF:1� G Es�mM<T&� Q�4<EI01BE6®?[�E�X�Q�E�: E�®?XI/KSFP�03¦ E�° T Ba¦85@/KSFE"�;=?0KMFXIE Q�4FE�¦85@/KSFE 465@P À � � 0KQ�P¯*T MF/3�`5 � T@S<Q � � � y T@VQ�4FE XI5@MF:F0K:658Q�E�P;PRSFBj¦m0G¦@E Q�4F0KP^Q�EIPRQ�ZCD4\SFPc� EW� E�QZ5 � T S<Q � �'6 [�T@P�P�0 � 01/K0KQ�01EIPDV T B]Q�4<E�KÀ

Page 83: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� B�PRQ)� � � 0 Q�P T@V Q�4<Ec�@E��:��NOM�5!PR017A01/15@BP� 5��J�3Ec� E�Q 5 � T@S<Q � �'6 [�T PRP�0 � 01/K0KQ�0KEIPWV T B�Q�4<ET8Q�4FE�B � � � 0 Q�P]T@VWQ�4FEY�8E}�"�DCD4FEIBRE�V T BREY� E � MF:�5 � T S<Q � �'6 ��� �'6 $ � 6 �Z[*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�PV T@B]Q�4FEHV SF/1/9�8E}�"¯{�]4<01X 4�XI5@M � EUE�®?465@S<PRQ�03¦ E�/G��P�EI5@B�X 4<EI:1�DCD4FE XIT@7L[F/KE�®?0KQ7�bT@V,Q�4F01P58/o� T BR0KQ�4F7 01P35 � T S<Q � 6�$ ¯F5@MF:bX 5@M � EZB�E�:FSFX�EI:�Q�T�5 � T S?Q � 6 � � �LX 4FT?T@P�01MQ��Q�4FEc�@E}�� 0KQ�P]E�M\Q�EIBR01M5�LE 5@X 4 = � T ®`PRE>=\SFE�M\Q�0 5@/K/G��B�58Q�4FE�BDQ�465@Ma01M`[65@B�5@/1/KEI/¥¯<5@MF:a:F01PRX 5@BR:F01M5�[F5@BRQ�0 5@/ �@E}�mP;5@P]P�TmT M`5@PDQ�4FE���/1EI5@:�Q�TL5'X�T M Q�B�5@:F01X(Q�0KT M1�

��� � � � � � �������� ��' � ��$�� ��"'���(� ��� � � � ��� �� �

�� � � � � + ; � ����;-.��*(�� � +�+ � � <

NOM Q�4F01P�5cQ�Q 58X��e� E S<P�E Q�4<E Vh5@X�Q�Q�4658Q�0KM 5 [65@01BRPi³aµ>¶ :F0KPRQ�BR0 � S?Q�01T@M Q 5 � /1ED¯^0 V� E��\MFT � Q�4658Q�Q�4FE T S<Q�[FS<QC³aµ>¶ 0KP�JIE�B�T Q�4FEIM Q�4<E 01MF[FS?Qd³aµ>¶ 01PbJIEIBRT¹�]0KQ�4[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� �

�� �H0G¦@EIM�Q�4FEb[</ 5@0KM\Q�E�®mQ�5@MF:�Q�4FEbX�01[F4<EIBRQ�E�®mQ T8V]5@M E�MFXIB+�m[<Q�0KT M � EXI5@M EI5@P�0K/G� X 58/1XIS</ 58Q�E � ² � $ � ² �7�`CD4FEIM Q�4FEbV T /K/1T �]01M5�`5@/G� T BR0KQ�4<7 01P!SFP�E�:V T@B3E 58X 4�= � T�® ��034<T?T PREZT MF/3�LQ�4FEZE�MFXIB+�?[?Q�01T@MFP��]4FT PREHT S<Q�[<S<Q�³aµ>¶ V BRT 7 Q�4F01PD=

� T�®�0KP JIE�B�T­± �� y T8V>Q�4FEZE�MFXIB+�?[?Q�01T@MFP�·3!�� ��#l²�� � �<$ � � N V/� � #l² � � �<$ � Q�4<EIM�Q�4<EX�T B�BREIPR[�T M<:F01M5� � 0 Q�PWT8V � ² � $ ��²��HE =\S65@/ � �$#K² � �����>G EDX�T SFM Q�Q�4FEDM\SF7 � E�B T@VTmXIX�SFB�BREIMFX�EIPZT8VWE 58X 4�P�S<X 4s³aµ>¶ ¦85@/KSFE"� CD4FE�BR0o� 4 QO¦85@/KSFEU01P�P�S5�:�@EIPRQ�EI: � �`5 � T S<Q��T@V Q�4<EbEIM<XIBj�m[<Q�01T M<P�a. 58X 4 T@Q�4<EIBY¦85@/KSFE'01P P�S5�"� EIP Q�EI: � ��5 � T S<Q �

�� �y � T@V Q�4<EE�MFXIB+�m[<Q�0KT MFP� CD4<Ea¦85@/1S<E]Q�4658Q35@[F[*E 5@BRP 7AT P Q V BRE>=\SFE�M\Q�/G�A01P�/K0o�@E�/G� Q�T � E]Q�4FEH¦85@/1SFET8V � �$#:² � �����,CD4F0KPW5@/G� T B�0 Q�4F7 01P,S<P�EI: V T@B,E 58X 4A= � T�®�5@MF:!Q�4\SFPP� E � MF: � � � $ � �

� 0KQ�PUQ�4F58Q�5@BREu³aµ>¶]P�T@V Q�4FE�58X�Q�SF5@/?�8E}� � 0KQ�P�`CD4FEIM Q�Bj�m01MQ� � � [*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIPb� EXI5@M � MF: Q�4FE�V SF/K/ �� � 0 QW�@E��:� G�E�MFEIE�: 5 � T S<Q V T@SFB�T?X�XISFBRB�E�MFXIE�PLT@V�Q�4<E`BR0o� 4 Q¦85@/KSFE�T@V]Q�4<E­�8E}� ³aµ>¶ V T B�EI5@X 4�= � T�® ¯ 0N� ED�G¯,Q�T@Q 58/ T@V^5 � T S<Q � � � � À � $ � �[</ 5@0KM\Q�E�®mQ32cXI01[<4FEIB Q�E�®mQ][65801B�P}�

�� � � � � � �. � ; ��;-.�� (�� � +�+ ��� <

NOMLQ�4F0KP 5cQ�Q 58X��-� E;S<P�E;Q�4FE�Vh58X�Q Q�4658Q V T B 5@/1/FQ�4FEH= � T�®?EIP Q�4FE�B�E;0KP35\�3EI5"�'XIT BRB�E�/ 5n°Q�01T M � E(Q7�3E�EIM�Q�4<E?¦85@/1S<E3T@VFQ�4FEk³aµ>¶ T@VFQ�4<E3V T SFB>T S<Q�[FS<Q � 0KQ�P,5@MF:�Q�4FEk¦85@/KSFE T8V � 0KQM\SF7 � E�B � T@V Q�4FEZ0KMF[FS<Q�WNOM�[65@B Q�0KXISF/15@B¯ V T B E}¦ E�Bj�LQ7�3T�0KMF[FS<Q�P3T@V>5@M�= � T�® ¯<0 VQ�4<E³aµ>¶ T@V�Q�4FE]V T SFB�T S?Q�[FS<Q � 0 Q�P�T@V�Q�4FE � B�P Q30KMF[FS<Q E =mSF5@/1P Q�4<E^X�T B�BREIP�[*T MF:<01M5�\¦85@/1SFET8V Q�4FELP�E�XIT MF: 0KMF[FS<Q Q�4<EIM � T@Q�4 � 0KQ�P �`T@V Q�4<Eb01M<[FS<Q�5@B�EAE>=\S65@/<�]0KQ�4 5aX�EIB Q 5@0KM

� �

Page 84: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

[<B�T � 5 � 01/K0KQ7�:�UCD4F0KPH[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�`0KPZ:F0 �EIBREIM QHV T BZEI5@X 4 = � T�® 5@M<:p¦85@BR01E�P � E(Q7�3E�EIM� � �� 5@M<: � � ½ � �

�H0G¦@EIM Q�4FE`[F/ 5801M Q�E6®?QL5@M<: Q�4FEaX�01[F4<EIBRQ�E�®mQLT@VH5@M EIM<XIBj�m[<Q�01T Mz�3E`X 58M�E 58P�01/3�XI5@/1X�SF/ 5cQ�E � ��#�² � � � � �� ² � $���² � �

CD4<EIM Q�4FELV T /K/1T �]01MQ�a58/o� T BR0KQ�4F7 0KP!SFPREI: PREI[658B�58Q�EI/G� V T B E 58X 4 = � T�®�� "6T B E}¦@EIBj�E�MFXIB+�m[<Q�0KT M�X 5@/KXISF/158Q�E;Q�4FEJ±hPR01M5�@/1E � 0KQ6·�³aµ\¶ T@V+Q�4FEZV T S<BDT S<Q�[<S<Q � 0KQ�P T@V+Q�4<E � B�P QBRT SFMF: 58MF: Q�4FELV T SFB T S?Q�[FS<Q � 0KQ�P�T@V]Q�4<EbQ�4F0KB�: BRT SFMF: � ��Q�4FE�5 � T ¦ E�E =\S658Q�0KT M1�CD4<01PY¦85@/KSFEA01P�/K0o�8EI/G��Q�T � EbE =mSF5@/ Q�T�Q�4<Eu³aµ>¶ T8V � 0KQ!M\SF7 � EIB���T@V Q�4FE�01M<[FS<Q�PT8V Q�4FEA= � T�® 01M Q�4<EIP�E Q7� T`B�T SFM<:FP� � � #!01Pb�\MFT �]M SF[ Q�T�5i³aµ>¶ �]0 Q�4 Q�4<EW�@E}�± � �aQ�4FE [F/15@01M Q�E6®mQ6·^58MF:�Q�4\SFP � 0KQ;MmS<7 � E�B �LT@V Q�4FE 0KMF[FS<Q;01MaQ�4FE�Q�4F01BR: B�T S<MF: 01P�\MFT �]MaSF[aQ�Tb5X³aµ>¶ �]0KQ�4�5'XIT M<PRQ 58M\Q��]0KQ�4�5�4F0G� 4`[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�"� CD4F01P]XIT@MFPRQ�5@M Q0KP�Q�4FEp³aµ>¶ T8V�Q�4<E�X�T B�BREIP�[*T MF:<01M5� � 0KQ�M\SF7 � EIB � 0KM � �$#>² � ����� CD4\SFP � � $ ��² �X�3E � MF: Q�4FELXIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ�aT S?Q�[FS<Q � 0 Q!0KM Q�4FE'V T SFBRQ�4 BRT SFMF:�SF[�Q�TQ�4658QHX�T MFP Q 5@M Q>�]0KQ�4 5�4F0G� 4 [FBRT � 5 � 0K/10 Q7�:�;G�E�Q�B+� 5@/K/>Q�4FE ��� [*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP]T@V Q�4<E�8E}� � 0 Q�PZE�M Q�EIBR01M5��Q�4FE'XIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ��= � T�® 01M Q�4FE V T SFB Q�4 B�T S<MF: 5@MF: Q�4FE Q7� T[*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP�T@V�Q�4FE'XIT@MFPRQ�5@M Q�58MF:�¦ EIBR0KV«�aQ�4658QHQ�4FE�P�[*EIX�0 � X'T S?Q�[FS<Q � 0KQHT@V�Q�4FEL=� T�®�E =\S65@/1P30KQ�P E�®?[*EIX(Q�EI:�¦85@/1S<E"�WCD4FE;B�0o�@4\Qk�@E��i¦85@/1S<E;01P XIT S<M\Q�EI:�01Mb5 � T S<Q ��� �½ ��� T@VQ�4FE^E�MFXIB+�m[<Q�0KT MFP¯?:FEI[*EIM<:F01M5�!T MLQ�4FE;E6®<5@X�QD= � T ® � 9^M��-�]BRT M5�X�8E}�-¦85@/1SFE0KP]XIT SFM Q�EI:�0KM`5 � T@S<Q�465@/KV T@V Q�4FEUEIM<XIBj�m[<Q�01T M<P� CD4FE(�@E���¦@58/1SFEb�]4F0KX 4�0KPDXIT SFM Q�EI:7AT P Q V BRE>=\SFE�M\Q�/G� 0KPH/10o�8EI/3� Q�T � EAQ�4FE'B�0o�@4\Q\¦85@/KSFE"�'CD4F0KP�58QRQ 5@X�� � MF:FP�5�Q�T@Q 5@/,T@VPRE}¦@EIM � 0 Q�P>! P�0@®�T@V Q�4FE�7 58B�E 5@X�Q�S65@/g�@E�� � 0KQ�P^58MF:aQ�4FE!PRE}¦@EIM Q�4 0KP^5W³aµ>¶ T@V,Q7� T�8E}� � 0 Q�P}�

CD4FEa58QRQ 5@X�� T � Q 5@0KMFP Q�4<E � EIP QAB�EIPRSF/KQ�PW�]4FEIM Q�4FE�[FBRT � 5 � 0K/10 Q7� 0KP'5@P'4F0o� 4 5@P[*T PRP�0 � /1E"�bC T`01MFX�B�EI5@P�EAQ�4FEA[FB�T � 5 � 0K/10KQ7� �3ELSFP�ELT MF/3� EIMFX�Bj�m[<Q�01T MFP(�]0KQ�4�PR[�E�XI0 � X¦85@/KSFEIP'T@V � ��#c² � � �(�]4<01X 4�7L5n®?017A01J�EbQ�4<01PA[FB�T � 5 � 01/K0KQ7�"� " T@BA0KMFPRQ�5@MFX�E"¯k�]4FE�M� ��#c² � � � $ � Q�4<01P�[FBRT � 5 � 01/10 Q7� 01Pb5 � T@S<Q � � �QÀ � CD4<EIB�E 0KP�5�Q�B�5@:FE�T� � E�°Q7� EIE�M Q�4<EAM\SF7 � E�B!T@V35@/K/1T �3E�: ¦85@/KSFEIP 5@M<: Q�4FE'XIT BRB�EIPR[�T@MF:F01MQ�a[FBRT � 5 � 01/10 Q7�:��9^PQ�4FEZM\SF7 � EIBDT8V>5@/1/KT&� EI:d¦85@/KSFEIP 01MFX�B�EI5@P�E�P¯FQ�4<EZ[FB�T � 5 � 0K/10KQ7�':<EIXIBRE 5@PREIP]P�TW� EHMFEIE�:7AT BRED:658Q 5HQ�T X 58B�Bj� T S<Q�Q�4FE�58QRQ 5@X��{� ��T&� E}¦@EIB}¯F5@P Q�4<E^M\SF7 � EIB�T@V5@/1/KT �3E�:-¦85@/KSFEIP:<EIXIBRE 5@PREIPd� E�MFE�EI: 7AT B�E`:658Q�5 Q�T 7L5"�@E`Q�4FEaT?X�XISFBRB�EIM<XIE T@V;Q�4FE�P�E ¦85@/KSFEIPLP�S<V.°� XI01E�M Q�/G� [FB�T � 5 � /KE"� C 5 � /1E À ½ :FE�P�X�B�0 � EIP�Q�4FE � E�PRQ'Q�B�5@:FEIT� 5@X 4F01E�¦85 � /1E � � Q�4F01P5cQ�Q 58X���� C T 7L5"�8E�Q�4FE � E�PRQ�S<P�E T@VHQ�4F01Pb58Q�Q�5@X�� 0KQL01P�58:Q¦m01P�5 � /1E�Q�T S<P�E 5 � T S<Q� � � [F/ 5@0KM Q�E�®mQ+28XI0K[F4FEIB Q�E6®?Q][F5@01BRP¯<V T B��]4<01X 4��3EUX 58M � M<:�5@/K7LT@PRQ � � �8E}� � 0 Q�¯65@M<:PRE 5@BRX 4bE6®<4F5@SFPRQ�0G¦@EI/G��V T BWQ�4FEY±h5 � T@S<Q7� 6 � ·,BREI7L5@01MF0KM5�Z[*T P�PR0 � 0K/10 Q�01E�P,T@V*Q�4<EO�@E}�"� �^P+°

� �

Page 85: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

2<� ",0KMF:F0KM5� 9a¦@EIB�5"� E 23EIP Q]Q�B�58:FEIT�= � T ® 230KQ�P]T@V �BRT � 5 � 01/10 Q7� � 5@/KSFEIP .�M<XIBj�m[<Q�01T M<P= À = � � ��� À�� ½ = � = � ½ � � À���= � = À ���� ½ � ���= � = � ���� � ��½ �= = À ½ ��� À�� �= � = � �QÀ� � À � =5½ = � ��� À � � À��= � = � � � � À � À � �

� ��� � � � � �SF7 � EIBDT@V EIMFX�Bj�m[<Q�01T MFP�MFE�EI:FE�:aQ�T � M<: � ���]V T BDE 58X 4 = � T�® �0KM5�A5 � T S<Q ��½ � [F/15@01M Q�E�®mQ328X�01[F4<EIBRQ�E�®mQ][65@0KB�P�� E!XI5@M � MF:a5@/17AT PRQ � �X�@E}� � 0KQ�P�5@M<:PRE 5@BRX 4�E6®<4F5@SFPRQ�0G¦@EI/G��V T@B Q�4FEu± 5 � T S?Q � � � · B�E�7b5@0KMF01MQ� [�T@P�P�0 � 01/K0KQ�01EIP T@V Q�4FE\�@E��:�

�� � � � � � & � ����;-.��*(�� � +�+ � � <

CD4<01P � ¦ E6°OB�T@SFMF:�58QRQ 5@X���0KP�P�017A01/15@B Q�T!Q�4FE^[<B�E}¦m0KT SFP 5@/o� T@B�0KQ�4F7­�+G�E�X 5@MLX 5@/KXISF/158Q�E� ² $ � ² �*��CD4FEIM 5@M�01MF[<S<QY³aµ>¶ � 0KQ!T@V Q�4FE�= � T�®�01M Q�4FELP�EIX�T MF: 5@M<:V T@SFBRQ�4�B�T@SFMF: 0KPa�\MFT �]Ms�]0 Q�4�[<B�T � 5 � 01/K0KQ7� � E�Q7� EIE�M � � � 5@MF: � � ½ � �]9;P;5LB�E�P�SF/ Q�¯58M�T S<Q�[FS<Q � 0 Q3T8V � ²�- 01P?�mM<T&�]M�SF[�Q�T�5Y³aµ>¶ �]0KQ�4�5�XIT M<PRQ 58M\Q � ���C² � $ �58MF: �a² - $��W58MF:`Q�4\SFP

� ² - $ � ² �b² �s² � �

��P�0KM5� 5aX�T SFM Q�0KM5� 7AE�Q�4FT?:�Q�4658Q�XIT S<M\Q�P T M Q�4FEd�8E}� � 0KQ�P�EIM Q�EIB�0KM5��Q�4FE�P�587LE�=� T�®a01MaQ�4FE � B�PRQ;B�T S<MF:1¯�Q�4FE��8E}� � 0KQ�P;E�M\Q�EIBR01M5�bQ�4FE�X�T B�BREIPR[�T M<:F01M5��= � T ®a0KMaQ�4<E� V Q�4 B�T@SFMF:1¯�5@M<: Q�4FE�X�T MFP Q 5@M Q�¯P� E�X 58M � MF: À � � 0KQ�P�T@VDQ�4FEi�@E}� !LP�03® T@VDQ�4FEI758B�EZ58X�Q�SF5@/ �8E}� � 0KQ�P V BRT 7jQ�4FE � B�PRQ3B�T S<MF:1¯<PR03®b5@BREZ5@X(Q�S65@/��@E�� � 0 Q�P�V B�T 7jQ�4FE � V Q�4BRT SFMF:�¯�5@MF: Q�4FEbQ�4<01BRQ�EIE�M\Q�4 01P�5 ³aµ>¶ T@VDQ7� T��@E�� � 0 Q�P}� CD4FE�5@7AT SFM Q�T@V]:658Q�5M<EIEI:<EI:�Q�T � MF:�Q�4FEIPRE À �X�@E�� � 0KQ�P30KPD5 � T S<Q Q�4FEHP�5@7AEH5@P301M�Q�4<EZ[FB�E�¦m01T SFP]5cQ�Q 58X����

� �

Page 86: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

�� � � � � � ��) 2 �8;-.��*(�� � +�+ � � <

CD4<01P 58Q�Q�5@X�� 01P 5"� 5@01M P�0K7L0K/ 5@B�Q�T�Q�4FEA58QRQ 5@X�� T@M � ¦@EbBRT SFMF:FP}¯ � S<QY� EL5@/1PRT`4F5 ¦@EQ�T�XIT S<M\Q 58/1/+Q�4FE [*T PRP�0 � 01/10 Q�0KEIP�T@V Q�4FE�� � P�S � �8E}� � 0KQ�P;T@V�Q�4FE PR03®mQ�4 BRT SFMF:´�]4F0KX 4E�M Q�EIB = � T�®?EIPb�]4FT PRE T S<Q�[FS<Q � 0KQ�P;EIM Q�E�B;Q�4FE�X�T SFM Q�E�:�= � T�® 01M�Q�4FE � V Q�4 B�T SFM<:� � Q�4FE�& [*EIBR7 S<Q�58Q�0KT M1� NOM Q�T@Q 58/�� EAX�T SFM Q T M ��� � 0 Q�P� CD4FE�Q�T8Q 5@/ XIT 7A[F/1E6®?0KQ7�T8V3Q�4<01P!58Q�Q�5@X�� 01P 5 � T S<Q � x7x � � x7y � S<Q!Q�4FE � 5@PR01XAT [�E�B�58Q�01T Me±«�]4F01X 4 0KPUP�017A01/15@B;Q�T5LP�01MQ� /1E!5@[F[F/K01XI58Q�0KT M�T@V Q�4FE � V S<MFX�Q�01T M{·D01P^7 SFX 4 PR017A[F/1E�B]Q�465@M 58M EIMFX�Bj�m[<Q�01T M1¯58MF:`Q�4\SFPDQ�4FEHQ�0K7LE;MFEIE�:FEI: 0KPD7b58B�� 0KM65@/1/3��Vh5@PRQ�EIBDQ�4F5@M�E�®?465@SFP Q�03¦ E P�E 58B�X 41�

Page 87: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� ����� ��� �(���2�

���

Page 88: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

À � � À � À � À À:À � � À � � À � � � ½� À ½ � À � � À � À À � � À � À:À � � �� À À>� � À � � � À:À À� À � � ½ � À�� �À À � � � � � À ½ À"À � À � À�� � � À �

� ��� � � � � = À Q�5 � /1ED�

À À � À � � À:À � � � ½ � À � À � � À �� À � � ½ À � � À � À � � À À�� � � À:À � À � ½ À:À À�� � À � À � À � � � � � À�À � � À � À � À � � À"À � ½ À � � À � �

� ��� � � � � = ��Q�5 � /1ED�

À�� � � À � � � À À À � À � ½ À:À � � �À � ½ � � � � � À�� � � À � À � À:À À ÀÀ � � � � � À � � À"À À � À � À�� À � ½À À�� À � � � � � ½ � À� À � � À:À � À �

� ��� � � � � � = � Q�5 � /1ED�

½ À � À>� � � � � À�� À � � À:À À � � À�À � � À"À � À � � � ½ � À � À À�� À � �À�� � � � À � À:À ½ À � À� À � À � � � �� À � � À�� À À � � � � À:À À � ½ � À>�

� ��� � � � � = � Q�5 � /1ED�

� ½

Page 89: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� À � � À ½ À�� À:À � � � À À � � À � �À � À:À � À � � ½ À � À � À À�� � � � �� � À À:À À�� À � ½ � À� � À � � � � À>�À:À � À � ½ À À � � À � � À� � � À�� � �

� ��� � � � � � = Q�5 � /1ED�

À � À À � À � � � � � À � � � À � ½ À"ÀÀ�� À � � ½ À � � � À À � À � � À:À � �� À � À� � � À � � ½ � � À�� À À � À:À �� � � À � � À À�� À"À À>� À ½ � � � À �

� ��� � � � � � = � Q�5 � /1ED�

� À:À � À � À � � À � � À � � ½ À�� � ÀÀ � � À"À ½ � � À À�� À>� � À � � À � �À � À"À À � À � � ½ À � À � À� � � � � �� À:À À � � À � À�� ½ � � À À � � � À �

� ��� � � � � � =5½�Q�5 � /1ED�

À � � � � � À À:À À À � � � À � � À � ½À À À � � À�� � ½ � À � � À:À � À � � �½ À:À � À � À � À � � � � À�� À � À � �� À À>� ½ � À�� � À � À� À � � � � � À"À

� ��� � � � � � = � Q�5 � /1ED�

���

Page 90: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

"6B�T 7 C T230 Q = � T�® 230KQ�_a5@P�� 230 Q = � T�® 230 Q^_�5@Pj� _a0KP�P�0KM5�MFTQ� � � 0 Q ±h4FE6®5· M<T5� � � 0KQ ± 4FE�®5· = � T�®À = À À � ��� ��� ��� � � = �K� � = �K� � ��������������� =5½� � ����� ��� ��� � À ½ = � � � = � � ���������������� � � ��� ��� ��� � ��� = � � � ��������� � ���� � À���� ��� ��� � � À = � � � ������������� � = � À � ��� ��� ��� � À � = �Q� � = � � � ��������������� = �� � ����� ��� ��� � � � =Q½K� = � � À ������������À �½ � � � � ��� ��� � � = À � � � �������������� � �QÀ � ��� ��� � À�� = � � ��������� ������ = � À � ��� ��� ��� � � � = � � =5½*� À ���������KÀA��� = ÀÀ�� � � � ����� ��� � À�� = � � = � À �����KÀA�������À:À � � � � ��� ��� � � � = � � � ������������� �À � � � �CÀ���� ��� � � = �K� � � � �����������À � = � À � ��� ��� ��� � � � =Q½K� � ������������� � = �À � � � ������� ��� � � � = � = � � À ��������À �����À � � ��� � � ��� � À�� = �Q� � ����� ���������À�� � � ���QÀ � ��� � À = � � � = À � � ���������������À ½ = À � ��� ��� ��� � � = �K� = �K� À �KÀA����������� = �À�� � � ��� � ����� � À � = � � � ����� � �������À�� � � ��� � � ��� � � = � � � =5½*� � ���������������� � � � ��� �CÀ���� � � = À � � � �������������� À = � À � ��� ��� ��� � � = À � = �*� À À ������������� = �� � � � ��� ������� � � � =Q½K� � = � � � ������������������ � � ��� ��� � � � À:À = �Q� � ��� � ���������� � � � ��� ���QÀ � � À�� = � � ������� � ������ =5½ À � ��� ��� ��� � ��� = � � = À � À �������������KÀ = � � � � ��� ��� � ��� À � = �Q� = � � À ����À ����������:½ � � ��� ��� � � � � � = � � � ��������� � ���� � � � ��� ��� �CÀ�� ½ = �K� � � � ������������ � = � À � ��� ��� ��� � = À � � = �*� � ��������������� = �� � � � ��� ��� ����� �:½ =Q½K� � ����������� � �� À � � ��� ��� ��� � À = � � � ����� � ���������� � � ��� ��� ���QÀ � À = � � = � � � ���������������

� ��� ����� � � CD4<EA& [�E�B�7 S<Q�58Q�0KT M�Q 5 � /1ED����

Page 91: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� � ��� ������� � ����� �����l�R��� ���s�R�}�u� ��� �(��� � � � � ���� � � ���2�

���

Page 92: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � y � 6 � � � �'� �'6 � �'� y 6 �6�

� � � � � � � � � y � y �'6 y � 6� �

� � � 6 6 �'� y � 6 y � � � 6 6 6 �� �

� � � y � �'� �'� y � � y � 6 � y 6x � � � y 6 6 � � 6 � � � � �'6 6 � yy � � � 6 � � 6 y 6 � � � 6 � 6 � �'6��

6 � �'� � � � � � 6 � � 6 6 6 � �� �

� � � �'6 � � � � � y 6 � � 6 6 �$�

�'� 6 � � 6 � y � 6 6 � � �'� � 6 �'6� �

� � y 6 6 � y � y � y � � � 6 �'�� �

6 � � �'� 6 6 � � 6 y 6 y y � 6 �'6� �

� � � � � y y � � y y � y y � � 6� � y y � � � � 6 y � y � y � 6 � 6��

� � � � y y � � y y � � � � � ����

6 � 6 � � y � 6 � � 6 6 6 y � ��'��

� � � � � � 6 � � � y y �'6 � y � y� �� y � 6 � y � � y � � y y � � � ��'6�

� � � 6 y y � y y � 6 y y � � �� � � 6 � � y 6 � � y 6 � y � � y � y� � � � � � � �'� � � 6 � 6 6 � � � � �� x � � � y � 6 6 � �'� y 6 � �'� � � y �� y � � � �'� � � 6 6 y �'� 6 � 6 � y 6 y���� � � y � �'� y � 6 � � � y y y 6 �� � � � y y � � � 6 6 6 � y � y y 6 6�%$�

6 y 6 � � � � y �'� � � � 6 � � ����

� y � � � y y y y 6 6 � � � y ����� � � 6 � �'� y y � y 6 6 � 6 6 � 6�� �

� �'� �'� y y � � �'6 y � � � 6 � � ��� � � 6 � � � � � 6 �'� � 6 y y y � � �����

� 6 y � � � 6 � � y � �'� � 6 6 y 6�� �

6 � �'� y 6 6 6 � y � � � � � y �6 ��

� � � �'� � �'6 � 6 � y � � � 6 � �'66 ��

� � 6 � � � �'� � � � �'� � � � 6 �6 6�

�'� � y 6 6 � 6 6 6 6 y � � � � �'�6 � � � � � � � 6 y � y y 6 �'� 6 � � �'�6 � � �'6 � � 6 6 6 6 � � � � � 6 � 6 y 6 �6 x � y � � �'6 � � � �'� 6 6 6 � � 6 6 66 y � � � � �'� �'� �'� 6 � � � y � � � 6 �6���

�'� � 6 � 6 � 6 � � � � � � � � �6 � � �'6 6 6 � 6 y �'6 � � 6 y � � � y 66�$� � 6 6 �'� � 6 � � � � � �'� 6 � y � �6� � � 6 � y � 6 � 6 6 � � 6 y 6 y 6 66� �

�'6 6 6 6 � y y 6 � 6 y 6 y � � �6��� � 6 6 � � 6 �'� � 6 6 � � � � 6 y6� � y 6 y 6 � � � � 6 � y � � 6 � y6 �� y y 6 6 � 6 � y � � y 6 �'6 6 y �6� �

6 6 6 6 6 y � � 6 � � y � 6 � 6� � � � � y � �'6 y 6 6 � 6 � � y 6 6 �� � � � � 6 �'� 6 6 6 6 y � � 6 6 � �'� �� 6 � � 6 y � � 6 6 � y y � � 6 6 � ���� � � � y 6 �'� � � 6 � � 6 6 � y 6 �� � �

� � � y y 6 � � �'6 y � � � � � � y� x � 6 6 � � � � � � � � � y � � 6 � � �� y � 6 y 6 6 � � 6 6 � 6 y � y � �'� �� � �

6 6 �'6 � 6 � � �'� � � 6 y � 6 6 ���� �

� y 6 6 6 � 6 6 � y � � � y �'� �'�� $ � y 6 6 � �'6 y � � � � 6 � 6 � � �� � � y � y � y � � y 6 6 y 6 6 y � �� � �

6 y � � � 6 � y � y � y � � y 6� � �

� �'� � � �'6 � � 6 y � � �'6 � � 6 �� � �

� � y 6 6 y � � � � � � � �'6 � �� � � � � 6 6 6 � � � � � 6 � 6 � � � �� ��� � � � 6 � � 6 � � 6 � � � y 6 6

� � ������� � � CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V = À ��KÀ

Page 93: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � � � 6 y � � � � � y � � y 66�

� � � 6 � � y � � � � y �'� �'� �'6 y� � � � � � � y � 6 � 6 6 � y 6 � �� �� � � � � y � � � � y �'� � �'� y � �x � 6 � � � 6 � y y 6 � � � 6 � �'� 6

y � � �'6 y � y � y 6 6 �'� 6 � 6 � � ��� � y y � 6 � � 6 y � 6 � � y � y� �

� � � � � � � � � �'� � y y y � y �$�

� � 6 � �'� 6 � 6 y 6 � � � 6 6 6 �� �

� y y 6 �'� � �'� 6 y 6 6 � 6 6 � 6� � y 6 6 � 6 � y 6 �'� 6 � y y � � �� �

� � � � � � � � �'� � y 6 � � � y y� � y 6 y 6 �'� 6 � � � �'� � 6 � 6 6 ���

� y �'6 � � � 6 � � 6 � � y 6 � y���

� � 6 � y y � 6 � � � y � � � 6�'��

� � � � � � �'� 6 � 6 � �'� � �'� y �� �� y y � y � � y � � 6 �'� 6 6 � � ��'6�

� y 6 y 6 � �'6 � y � � � � y 6 6� � � � � � � � y y � � 6 � y � � 6 � �� � � � y y � �'� � 6 �'6 y 6 6 6 � � 6 6� x � y � 6 � � 6 � 6 6 6 6 6 6 � � �'� 6� y � � � y � 6 6 � 6 y � y 6 y � y y���� y � � y � � � � y 6 � � � 6 � 6� � � � y � y �'� � � 6 � � � � � � 6 y�%$�

6 � y � � 6 � 6 y � y � � y � 6���

� y � � 6 � 6 6 � 6 6 y 6 � � �����

� y � � � �'6 y � 6 6 6 � � 6 �'� 6�� �

� � y y �'6 � � � �'� 6 y 6 � � �'� 6�� �

� y 6 6 y � � � y � � 6 � � � y �����

� � � 6 �'� y y � � � � 6 � � � y�� � � 6 y y 6 6 6 � � y �'� y � � � 66 ��

� � � 6 � �'6 �'� � � � � 6 � � 6 � �'�6 ��

� � y � 6 �'� � 6 6 y � 6 y 6 � y6 6� � �'6 � � 6 6 � � 6 � � y � y � 66 � � � 6 � 6 � � 6 y � � 6 6 y � 6 �6 � � �'� � � � � � � 6 y � y �'� � � 6 �6 x � y � �'6 6 � y �'� � � � 6 y � � 6 66 y � 6 6 � � 6 6 �'� � � 6 � � 6 6 � y �6��� y � � 6 y � 6 � � � � � � � y y6 � � � � � 6 � �'6 6 � 6 y 6 � y 6 � �'�6�$�

� 6 � �'� 6 � y � � �'� � 6 �'� � 6 �6� � � � � � y 6 � � y y 6 y 6 6 � �6� �

6 6 y � � 6 6 y 6 � � � � � � 66���

�'� y � y � y � � � 6 � � � � 6 �6� �

6 6 6 � � � � 6 � � � y �'� 6 � � �6 ��

6 � � 6 �'� � 6 � 6 6 y 6 � � �'� 66� �

�'6 � y � 6 y 6 � � � � 6 � � 6 �� � � � � � 6 � � � y �'� y 6 �'6 � � � y� � � � �'� 6 � y 6 �'� 6 y � 6 � y y � �� 6 � � � y � y � � � � y � � 6 6 6 ���� �

6 6 y �'� 6 � � y � � �'6 � � 6 6 �� � �

� �'6 y � y � � � � � � y � 6 � �� x � � �'6 � y 6 � � � �'� � � � � � � y� y � � 6 � � � � � 6 � � � 6 y � y 6 6� � � y 6 6 6 y y � � 6 6 y 6 6 6 � ���� �

� � � �'� y 6 6 � � � � 6 � � � �'�� $ �

� 6 � � � � �'� � �'� � � � � � � y� � � � � 6 � � 6 6 6 � � 6 � � �'� �'� 6� � �

� y � � 6 � 6 6 y � � � 6 � 6 6 6� � �

� 6 y 6 � � y � �'� 6 6 � � �'� � �� � �

� � y �'� 6 � 6 � 6 � � � � � y 6 �� � � � � � �'� 6 � 6 � � � 6 y y � � y �� ��� � � � 6 � � 6 � � 6 � � � � � �'� y

� � ��������� � CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V = �*�� �

Page 94: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � 6 � � 6 �'6 � � � � � � 6 y �'�6�

� � � 6 � 6 � � � � �'6 �'� � y � �� � � y �'� � � y � y � � � � � � 6 6� �

� � � � � 6 � 6 � �'6 � � y � �'� �x � y 6 � � y �'� y 6 6 � 6 � 6 � � 6y � � �'� y y �'� � � �'6 6 � � � y � � ���

6 � � � � � � 6 �'� � � � � � � y� �� � � �'� � � � y � y y y y � � �$

��'� 6 � 6 �'� � y 6 � y � � y 6 � y

� �� �'� y � � � y � � � y y � � � 6 6

� �6 y 6 �'� 6 6 � � � 6 y � 6 � � � �

� �� � � � � �'6 �'6 � � � � � 6 �'� 6 6

� � � 6 � � � � 6 � 6 � � � 6 y 6 � 6��

� � � 6 � 6 � � �'� � � � � � 6 ���� � y � y 6 6 � � y 6 y 6 � y 6 ��'��

� � � � � �'6 � � � � 6 y 6 � � � �� �� � 6 6 y � � 6 � � � �'6 6 �'� � 6 6�'6�

� 6 � 6 � � � � � � 6 6 � 6 � � �� � � � � �'6 � 6 6 6 �'� 6 6 6 6 � � � �� � � � y � � y � y 6 � y y 6 6 � � �� x � � � 6 � 6 � � � � 6 6 6 6 y � 6� y � � y �'� 6 � � 6 � 6 6 6 � � y � �����

� y y � y 6 � � y 6 6 �'� y � 6 �� � � � � � y y � y 6 � � � 6 �'� � y y�%$� � 6 � � � 6 �'� 6 6 6 y � 6 y � 6���

� � y � � � y � � � � �'� 6 6 6 ����� � �'� 6 � 6 � 6 � � 6 6 � � 6 � 6�� �

� y � � � 6 � � �'6 � �'� � � � 6 ��� �

� 6 � y 6 � � y 6 � � 6 � �'� � � �����

� � � 6 � y � � �'� � 6 y � � � 6�� �

� y � � �'� y � y � 6 6 �'� � � � 66 ��

� � � � � � � � � 6 6 � �'� � y �'6 66 ��

�'� � � � � � 6 � � y y y � � 6 �6 6�

�'6 y � � 6 � �'� 6 � � � 6 � � � 66 � � 6 6 � y � 6 � � � �'6 � 6 y � � �6 � � � � 6 �'6 y � 6 �'� 6 6 6 � 6 � � �6 x � y � 6 � � 6 � 6 � � 6 6 � � �'� y6 y � y 6 � � � � � � � 6 � � � � �'� � y6���

� 6 � � y � y y y � 6 � � � 6 6 66 � � y 6 �'� � y � � � � 6 � � 6 6 � 66�$�

� 6 � � � � � y � �'� � � � � � 66� �

6 y � � 6 � � y � � � � � 6 � y6� �

�'� 6 y y � � � � � 6 6 � 6 � � y6���

�'� � y 6 � 6 6 6 � �'� � � � 6 y 66� � � 6 � � � 6 � � y 6 � � � � 6 y y6 �� � � 6 �'� � y �'� � 6 y y 6 6 � 6 �6� � � 6 � � � � � 6 y � y 6 � � � y� � � � �'� � y 6 � � 6 �'� � � y 6 � y �� � � 6 y 6 � � 6 � � 6 6 6 � 6 �'6 y y� 6 � 6 � � � 6 � � � � � 6 � y 6 � 6��� � � � y � y y � 6 6 6 y � �'6 � � 6� � �

� y 6 6 � y 6 6 6 �'6 6 � � � 6 � �� x � � y � �'� � � 6 6 y � � y 6 �'� 6 y� y � � � � � � y y � � � � � � y 6 �� � � � � 6 � 6 6 y � 6 � � � �'� � y 6��� �

� � �'6 � 6 6 y y 6 �'� 6 6 � � � �� $ �

6 y � � y � y � � � � � 6 � � 6� � � y � 6 6 � y � � � 6 6 y �'6 6 y 6� � �

6 6 y � � �'� � � � 6 � � � � � y� � �� 6 � 6 �'6 6 � y 6 � 6 � � y � �'�

� � � � y � y 6 6 6 6 �'� 6 y y 6 � 6 �� � � � y � � 6 �'� 6 � 6 6 � 6 � 6 �'� 6� ���

6 y � � � �'� � 6 6 � y � y 6 � �� � ������� � � CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V = �K�

� �

Page 95: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � � � � y � y � � � y � y � � � � �6�

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � y 6 � 6 � � 6 y � � y � y 6 �� �

� � � � � � �'6 � � �'6 � � � � � �x � � 6 6 � 6 �'6 � 6 6 � �'6 6 � 6 6 �y � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � 6 y � y � � y y 6 � � 6 � 6 y �� �

� � � � � � � � � � � � � � � �$� � � � � � � � � � � � � � � � �� �

� y y � y � � y y � � y � y y �� �

� �'6 � � � � � � �'6 � � �'6 � �'6 � �� �

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� y y � y � � y y � � y � y y ����

� y y � y � � y y � � y � y y ��'��

� � � � � � �'6 � � �'6 � � � � � �� �� � 6 6 � y 6 � � 6 6 � � 6 � y 6 6 ��'6�

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � 6 y � y � � y 6 � � 6 � 6 y �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � y� x � � � � � � � � � � � � � � � � �� y � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � y 6 � 6 � � 6 y � y � y � y 6 �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%$� � � � � � � � y � � � � � � � � ����

� y y � y � � y y � � y � y y �����

� y y � y � � y y � � y � y y ��� �

� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � y � � � � � �����

� y y � y � � y y � � y � y y ��� �

� � �'6 � �'6 � � �'6 � � � � � � �'6 �6 ��

� � � � � � � �'6 � � � �'6 � �'6 �'6 �6 ��

� � � � � � � � � � � � � � � �6 6� � 6 6 � 6 � � y 6 � � y � y y �6 � � � y 6 � 6 � � 6 y � � y � y 6 �6 � � � y y � y � � y y � � y � y y �6 x � � � � � � � � � � � � � � � � �6 y � � y y � y � � 6 y � � 6 � 6 6 �6��� � y 6 � 6 � � 6 y � � y � y 6 �6 � � � y � � � � � � � � � � � � � � �6�$�

� y 6 � 6 � � 6 y � � y � y 6 �6� �

� 6 6 � y 6 � � 6 6 � � 6 � y 6 6 �6� � � � � � � � � y � � � � � � � � �6��� � � � � � � � � � � � � � � � �6� � � 6 y � y � � y 6 � � 6 � 6 y �6 ��

� y � � � � � y � � � � � y � � � � � y6� �

� y � � � � � � y � � � y � � � � � � y� � � � y y � y � � y y � � y � y y �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 6 � � y y y � y � � 6 y � � 6 � 6 6 ���� �

� 6 y � y � � y 6 � � 6 � 6 y �� � �

� �'6 �'6 � �'6 � � � �'6 � � � � � � �� x � � � � � � � � � � � � � � � � �� y � � 6 6 � 6 � � y 6 � � y � y y � y� � �

� 6 y � y � � y 6 � � 6 � 6 y ���� �

� � � � � � � � � � � � � � � � y� $ �� y 6 � 6 � � 6 y � � y � y 6 �

� � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � �� y � � � � � � � � � � � � � � � y� � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � 6 y � y � � y 6 � � 6 � 6 y �� � � � 6 6 � 6 �'6 � 6 6 � �'6 6 � 6 6 �� ��� � � � � � � � � � � y � � � � � �

� � ����� � � � CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V = � �� �

Page 96: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � � � �'� � y � � 6 6 �'6 �'� 6 �6�

� � � � � �'� y � � y � 6 � � �'� y� � � 6 � y � � 6 6 y � y � � � 6 6� �

� � � � � � �'� y � y y � � y � yx � �'6 6 � � � � � 6 � � � y 6 � 6 � �y � � � � y � y 6 6 � � y � y � 6 �'���

6 � � � � 6 y y 6 � y 6 6 � y y� �� � � 6 � � �'� � � � �'� � � � � y$

� � y � � � y y 6 6 �'� 6 � y 6 � 6� �

� y � y � � � � � �'� � 6 � � � �� � � 6 6 � � �'� y � 6 y 6 6 y 6 6 6� �

� � � �'� � 6 �'� 6 � y �'� y y y 6 �� �

�'� � 6 6 � y � y � � 6 �'� 6 6 � � ���

� y � � � y �'� 6 � � � 6 � � 6 ���� � � � � � 6 � 6 � 6 � 6 � � � �'6�'��

� � � � � � � �'6 � 6 � �'� � y �'6 6� �� y y �'� �'� � � 6 y 6 � � y 6 � 6 ��'6�

� 6 � 6 �'� � � �'� � y � y � y y �� � � � � y 6 � � � � � y 6 � 6 � �'� �� � � � �'6 6 y � � � � � � � � y 6 � �� x � � � � 6 � � 6 � 6 6 � 6 � � � y� y � � y �'� 6 � � � 6 6 � � � y � � y �����

� y � � � � � 6 � � � 6 6 � y 6� � � � �'� � � y � � � � � y � � � � y�%$�

� � y 6 � � 6 y � 6 6 � �'6 6 �'� ����

� 6 � y 6 �'6 6 � y � � � � � � � �����

6 � �'6 � � 6 6 y � � � y � � � y�� �

� �'� 6 y y y y � � 6 � � � � 6 ��� � � y 6 � � 6 � y y � � y 6 � 6 �����

� 6 y 6 � � � 6 �'6 6 6 y 6 �'� �'� ��� �

� y � � � � � y y 6 � y � y 6 66 ��

� � � � � � 6 y � � � � y y � �6 ��

� � � y y 6 y � y �'� � � � � � � 66 6�

� � � � �'� � 6 �'6 6 6 6 �'� 6 � � 6 66 � � 6 � � � 6 6 �'� � � � � 6 y � � �6 � � y 6 � � � � y 6 6 y y 6 y 6 6 66 x � y � � � 6 � 6 y y � 6 6 � 6 y y6 y � �'6 � � � � � � � � � � � �'6 � � �6���

�'6 6 � 6 � �'6 6 6 � � � � � 6 6 �6 � � 6 � � y 6 � y � y y � � 6 6 6 �'�6�$� y � y � � � y 6 � � 6 6 �'� � 6 �6� � � � � 6 6 � y 6 � � y � �'� � � �'66� � � y 6 y � � �'6 6 � � �'6 6 y � � �6��� � y 6 y � � y � � � � 6 y � y 66� � � � � � � y � 6 � �'6 � � � y � y6 �� y � 6 � � y y � 6 �'� y �'� y 6 � �6� �

�'� � � 6 6 y �'� 6 � 6 6 � y 6 6 �'�� � � � � � � y � � y �'� � 6 � 6 y � �� � � � y y � �'� 6 � � � � � � � y �'6 y� 6 � � y � 6 y � y � y � � y � �'� y ���� � � �'� � � � � � � � 6 � 6 � � � � �� � �

� � � 6 � � � � � y � 6 6 � � y �� x � � � � y � � � � � � � � � � � � �� y � � � � y 6 6 6 �'6 6 � � � 6 � � �� � � � 6 6 6 � 6 � � 6 6 6 �'6 y 6 � y��� �

� � � � �'6 � � � �'� 6 � � � � 6 �'�� $ �

� � �'6 � 6 6 6 6 �'6 � � � � � � �� � �

� � � � � � y � � y 6 �'� � � � � y� � �� 6 6 6 � � � y � 6 6 6 y � � 6 �

� � �� � �'� 6 y � � 6 y 6 6 �'� 6 � �'� �

� � �� y �'6 6 � � � � � 6 6 � 6 6 � �

� � � � � �'� � 6 � � � 6 6 � 6 y � � �� ��� � y y � � 6 6 � � 6 � y 6 � y �

� � ����� � �� CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V = ��

Page 97: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � y � 6 y 6 � � 6 � y � y � � 66�

� � � 6 � �'� y �'� � 6 � � y y � 6� �

� � � � � y � y � � � �'6 6 � 6 �� �

� � � � � � � � � y � �'� 6 � �'� �x � �'� 6 � � � � � � 6 6 � � � � � �y � � � � � � � 6 6 �'6 � 6 y y 6 6 6�� y y � � 6 �'� 6 6 6 6 y y � � y 6� �

� � � y � 6 � y � � 6 y 6 � �'6 y �$�

�'� � 6 y � 6 y 6 � � � y � � 6 �� �

� � � � � � 6 6 6 �'� � � � y � 6 6� � � y 6 � 6 6 �'6 � 6 6 6 y � 6 � y� �

� � � �'6 � �'� � y � � � � 6 �'6 6 �� �

�'6 � 6 �'� y � � 6 � 6 y � 6 y � ���

� y � � � � �'� � y 6 � y 6 � y 6���

6 6 6 6 y 6 y 6 �'� � � 6 y � � 6�'��

� � � � � � � �'6 � � 6 y � � y y� �� y 6 y � y 6 y � y y � 6 � � y ��'6�

� � � 6 � � 6 � � �'� y 6 � y � �� � � y y �'6 � �'6 6 � y y 6 � � � 6 � 6� � � � � y 6 � y � 6 y �'� � � 6 � y �� x � 6 6 y y � � 6 y 6 y � � � � � �� y � � � � � y � � 6 y 6 � 6 � � 6 � �'�����

6 y � � � 6 � 6 6 y � � � 6 �'6 y� � � � � y y � � 6 6 y � y � 6 � 6 ��%$�

6 y � 6 � � � y � � y � 6 6 y ����

� y y � � 6 � y � 6 � y 6 � � �'�����

� � �'� 6 � � 6 y y y 6 6 y y 6 6�� �

� � � 6 �'6 6 y 6 � y y 6 � � � 6�� �

6 � � y � y � 6 y � y � 6 � � �'�����

� �'� � 6 � 6 � 6 y � 6 � y � 6 ��� �

� y y � y � 6 � � 6 6 � 6 � 6 �'66 ��

� � � � � y y � � � � � � y �'� �6 ��

6 � y � � � y y � � � � � 6 6 �6 6�

� y 6 � y 6 � 6 � y � � 6 � 6 6 �6 � � � � � � � y �'� � 6 6 y 6 � y y �6 � � �'� � � y �'6 y �'� � � � � � � � � �6 x � � 6 � 6 � � � � � � �'� �'� � �'� y �6 y � 6 6 � �'6 6 6 y 6 � � � � y y � �6��� � � � � 6 � 6 � � y 6 � � � 6 y6 � � y � � y � � 6 6 � � 6 y � 6 6 �6�$�

6 � � � � � y � y � � � � � 6 �6� � y � � y y � y � 6 � � 6 6 � y �6� �

�'6 � � � � � 6 6 6 y �'� y �'� 6 � �6��� � 6 y � � y � y � 6 6 � � y � 66� � y 6 6 y y � � 6 y 6 � � � 6 � 66 �� � y 6 � 6 � � 6 � 6 � y � �'� � 66� �

�'� � � � � y y 6 � � � 6 y 6 6 �� � � � �'6 � 6 � y � � y y � 6 � 6 y y� � � 6 y �'� � 6 6 6 � y � 6 y � 6 � �'6� 6 � � 6 6 � �'� � � y � 6 6 � � 6 6 ���� � � 6 6 6 y � � � �'� y y � � � � y� � �

� � � 6 y � � � y 6 y � 6 � � �'6� x � y �'6 � 6 � 6 6 � � 6 6 � y � � 6� y � � 6 6 � � � � � 6 �'� �'6 � � �'� � 6� � �

�'� 6 6 y � � 6 6 y 6 � � y 6 � � 6��� �

� � � � � � 6 � � � � 6 � � 6 � �� $ �6 � � � y 6 � y 6 y � 6 � y 6 y� � � � � � � y 6 � � y � y � y � � y� � �� � y y 6 6 6 � � � �'6 � � 6 6 � �

� � �� y � y � 6 6 6 � � 6 � �'6 y 6 6 �

� � �� y 6 6 6 y � 6 � 6 y 6 y 6 � �'�

� � � � 6 6 � � � y �'� � 6 � y y 6 y 6� ���

� � y y � � � � � � � � � � 6 6� � ����� � � � CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V = � �

���

Page 98: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � 6 � � � � � � �'6 � y 6 y y �6�

� � � � � �'6 6 6 � � � � � �'6 y � �� � � 6 �'6 6 y � y � y � � 6 6 � � 6� �

� � � � � � � � � � � �'6 6 y 6 6x � y � � 6 � � � � � 6 y � �'� y y yy � � 6 �'6 � � � � 6 � � � 6 y � y 6�� � y � �'6 � � 6 � � � � 6 y � � � y� �

� � � � � � y �'� � � �'6 � y y � �$�

�'� � � � y 6 6 � 6 y � 6 � y � �� �

� �'� y 6 �'6 6 � � � � y � � � � y� �

� 6 6 6 � � y � � � � 6 y � 6 � �� �

� � � � � � � � � 6 y � � � �'6 � 6� � y y 6 � 6 y � y y � � � � 6 � ���

� �'6 �'� �'� � 6 � 6 � y � 6 � � 6 6���

6 � � � y � � � y 6 � y � � y ��'��

� � � � � 6 � y � y � �'� � � � �� �� y �'� �'� � � 6 � � � � 6 � � 6 6 6�'6�

� � � � 6 � 6 � y � 6 � � � � �� � � � � 6 6 � y � 6 6 6 � � y � � � �� � � � � y 6 � � 6 y � 6 � 6 � y � 6� x � � � � 6 � � � �'� � 6 � � � 6 � �� y � � y �'� 6 6 6 6 � �'� � 6 6 � � �'� ����� � 6 � 6 y � � y � � 6 6 � � � �� � � � � y 6 6 y � y � y 6 � � y � 6 ��%$�

� � � 6 � � �'� � � � y � 6 y 6 ����

� 6 � � �'6 � � y � � � 6 � y � �����

� y 6 y � 6 � � y � � � 6 � �'� 6�� �

� � � � 6 y y y y � y � � 6 � 6�� � � � � � � 6 � 6 � 6 6 � �'� �'� � �����

� � 6 6 �'6 y 6 � �'6 6 6 � 6 y � ��� �

6 6 �'� � � 6 � 6 � � y � 6 � � � �6 ��

� � � � � � � � 6 � � 6 � 6 y � � �6 �� � 6 y 6 �'6 6 � � y � �'� 6 � 6 6 66 6�

�'� y � 6 � � �'� � � � �'6 6 � � � 66 � � � y 6 6 6 � y �'� � � � 6 6 y � �'�6 � � � 6 � y � 6 y � � 6 6 � � 6 �'6 66 x � 6 � 6 � y 6 � y � y � 6 � � y � 66 y � y �'� � �'� � y � � 6 6 � y 6 � 6 66��� � � 6 � 6 6 � � � � y y 6 �'6 6 � �6 � � � � � y � � y 6 � y y 6 6 � � 6 66�$�

6 6 � 6 � � � 6 � y � � y � �'6 �6� �

6 � � � � 6 � �'6 � � 6 � � � � y6� �

� y y 6 � y �'� 6 6 6 6 6 6 � 6 6 �6���

6 y y � 6 6 � y � � � 6 6 y � 66� � y 6 � 6 � � 6 � 6 � � � 6 � � �6 ��

6 � � � 6 6 6 � � 6 � � � � y � y6� �

6 6 6 � � 6 6 y � y � � y 6 � y� � � � y � 6 � � � � �'� � � y � � 6 y� � � � � � � y 6 6 y y � � 6 y � � �'�� 6 � 6 � � � y � �'� y y � y 6 � y 6 6��� �

� � y y � 6 � 6 6 � 6 � � � � y �� � �

� � � � � 6 6 6 � � y 6 6 6 � 6 � �� x � � y � � �'� � 6 6 y � � � y � � �� y � 6 � 6 6 � y � � 6 6 � 6 � � y �'� �� � � y y y � � 6 � � � � y � 6 � � ���� �

� 6 6 6 � � � 6 6 6 � y y � �'� �'�� $ � � � � y � � y � 6 � � 6 y � 6 6 �� � �

� y y � � 6 � 6 y � � � �'� � � � 6� � �

6 � � 6 � � � � 6 y 6 y y �'6 �'6 6� � �

� � � � �'6 � 6 y y � � 6 6 � y �� � �

6 � �'6 6 6 6 � � y �'� 6 y � 6 � y� � � � y y y 6 � � � 6 �'� � y � � 6 �� ���

� � � � � � � y � � 6 � � � � � y� � ����� � � � CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V =5½*�

� ½

Page 99: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

��������� �������������� ���� �

���

6� � � � � x � y � �

� � �$� � � � � � � � �

�� � ��

� y � � � � � � � � � � � � � � � ���

� � � y � � y �'� � � � y � � � y 6 �6�

� � � � � �'� � 6 � �'� 6 � � � y 6� � y � 6 � 6 y � � y y y 6 6 � � y� �

� � � 6 � � y �'6 � y � � �'� � � �x � � �'� y � � 6 y � � �'� � y � 6 � 6y � � � �'� � y � � � 6 y � 6 � 6 6 y�� y 6 � 6 � �'� y y � 6 � � � � � y� �

� � � � � y � 6 � � y �'� � 6 6 �'6$� � � � y � � � y 6 � y 6 �'6 6 � �� �

� � � y � y y � � � y � 6 6 � � �'�� �

6 � � y 6 y � � � �'� � 6 �'� 6 y 6� �

� � � 6 � �'� �'� y � y y y 6 y �'� �� � y � � �'� 6 � � y 6 6 y �'� 6 6 6 6��

� � y � � � � 6 �'� y 6 � y 6 � 6��� � � � 6 6 � 6 6 6 y � y � 6 � � y�'��

� � � � � � � �'6 � � � � 6 �'� y y� ��

� y � y 6 6 y y � y � y � � � ��'6�

� � � � y 6 � � 6 � � y 6 � �'� �� � � � 6 6 y � y 6 6 � � 6 6 � 6 6 6 �� � � � � y � 6 y � 6 y � � � y � y � �� x � � �'� y � y � 6 � 6 6 � � 6 y y y� y � � �'6 y � y � � � � y y 6 6 y � 6����

� y � � y 6 � y y � 6 y � � 6 �� � � � �'6 6 6 � � � � �'� � � 6 � 6 � y�%$� y � � � � � � 6 � � �'6 6 � y 6 y���

� � y 6 � � � � � � � � y 6 � � y����

6 � � �'� 6 � 6 � 6 � � 6 � 6 � 6�� �

� �'6 y � y � 6 6 y � � � 6 �'� 6 ��� � � y � � �'� � � � �'� � 6 6 6 � � �����

� � � y � 6 � � �'� 6 6 � 6 � y 6�� � � 6 � 6 y 6 � � 6 y 6 6 6 � y � 66 ��

� � � � y � � � � � � � y � 6 � � � �6 ��

� � 6 �'� 6 � �'� � � y y � �'� 6 6 y6 6� � � y � y � �'� 6 � y � � � � 6 �6 � � � � � y � � � y 6 6 �'� � � � � 66 � � � � � � � y 6 � � y 6 � � � � �6 x � � � y � 6 � � � � 6 � � 6 6 y �6 y � 6 y � y � � � y y � � � �'� � 6 66��� y y � � 6 6 y 6 � � y �'� 6 y 6 y6 � � �'� 6 y 6 � �'6 �'6 � 6 6 � � � � 6 y6�$� � � � � � 6 �'� � 6 � y � � � 6 6 66� � � � � 6 � 6 � � 6 y � � � 6 � � �6� �

6 6 � � � 6 �'� � y 6 � � y � � �'�6���

6 y y 6 � y 6 � 6 y � � y � �'� �6� � � � � � y 6 � � y � 6 � y � � y6 �� y 6 6 � 6 6 y �'6 � � � 6 � � � 66� � � �'6 � y y � 6 6 6 6 � 6 6 � � �� � � � � y 6 �'� 6 6 6 � � � � � � y y� � � � y � � � y � � � y �'� 6 6 � � �� 6 � y y y 6 � y � 6 � y � 6 6 y y 6��� � y y � 6 � � � �'� 6 6 � y � � � �'�� � �

� 6 �'6 � �'� � � � �'6 � 6 � 6 6 6 �� x � y � � � �'� � � � �'� � � � 6 � � �� y � � y 6 6 6 6 y � y � 6 y � � �'� �� � �

6 6 � 6 � � � 6 y 6 � �'� y �'� 6 ���� �

� � � � 6 y y 6 � 6 6 � y � � y� $ � � � � � � y � y � � 6 6 6 � � 6� � � � � � � 6 � �'� � � � � � � y � 6� � � � 6 y � � � � � y � � y � � � �� � �

� y y y y � � � � 6 � � � 6 � �� � �

6 6 � � �'� � 6 �'6 � � � � � 6 y �� � � y � � � � � � �'� y 6 y �'6 6 � � �� ���

� y y � � � y �'� � y � 6 � � � �� � ����� � � � CD4FE![F5@01BRP�³aµ\¶ :<01PRQ�B�0 � S<Q�0KT MbQ�5 � /1EHT8V = � �

���

Page 100: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� � ���>���>���&�2�

¼ À ¿ .O� "k�23B�0KX��@EI/K/¥¯��Q� �(�+_aTmT B�ED¯,_ �g¶(� SFB Q�0K/1/¥¯l¸{�N�6 [���N *���-¤«¡ � ©[�Y¸{¢��b�}ºK���-��£�«©[� ��<¸{¯{» EIX(Q�SFBRE �T@Q�E�P^0KM 03T 7A[FS<Q�EIB^=?X�01EIM<XIE"¯*9;:K¦@58MFXIE�P;01M 03Bj�m[<Q�T /1T"�"�:¯[<B�TmXIEIE�:F01MQ� P]T@V;0�¶5� C�µ � � � ¯*[<[1� � � ½K¯ À�� � � �

¼ �n¿ YH5�¦m01: 034F5@SF7­¯�� 5@MK° ��EIMF:<B�0o�^.P¦ E�BRQ�PRE"¯ �P�6�6���¥�"¡��"ª%�&��¤o����£ ��<¸ �R¤«�«©c�O�����" [�����¡[ *�J§����J��£Y���n K¡��n���?¸1� � [��¡������J��£Yª%¤«¡����"��£}�*�����n����¤«¡ §ªo� ��¨���¤ �[©[������¯g» EIX(Q�SFBRE �T@Q�E�P�0KM 03T 7A[FS<Q�EIBa=?X�01EIM<XIE"¯U9^:Q¦85@MFXIE�P�0KM 03B+�?[?Q�T /KT:�"�:¯;[FB�TmXIE�EI:F0KM5� P`T@V0�¶5� C�µ � �� ¯*[<[1� À�� � � � À:À ¯ À�� �� �

¼ �D¿ YX�LG ��YH5�¦?0KEIP}¯ ��¡ �"�����f¤3¬��"�N¤¥�n¡ ��£ ���n�7��¡[�f¤f�"ª��s���n¨n¡������ ¤«¡ �«©[� ��<¸� ª ¬*�n�6¤«�«©*�W¯ À�� � ½K¯F[FBR0G¦858Q�EHX�T 7A7 SFMF0KX 58Q�01T M1�

¼ � ¿ 2 EIBRQZYZEIMK°O23TmEIB¯ �P�6�6���¥�"¡��"ª%� ��¤o�X��£ �� ��� � ��� o¯ » EIX(Q�SFBRE ^T@Q�EIP^01M 03T@7L[FS?Q�EIB=mXI01E�MFXIED¯ 9;:K¦@58MFXIE�P 01M 03Bj�m[<Q�T /1T:�D�:¯`[FB�TmXIE�EI:F0KM5� P�T8V .4�c¶Oµ 0�¶�� �C � � � ¯[<[1� � � � � � � � ¯ À�� � � �¼ ¿ �c¦ T YZEIPR7LE�:<Q�¯��@EI5@MK°�� 5@X>=\SFE �ZSF01P =\S658Q�E�B¯A_�58B�X YH5�¦m01T5¯0 X�7�[��¡��*��¡���� ��£

�� *�%�� K� �n¡ ��¡"�� *� ¤«¡ ��<¸��u¸{�J�"ª«ª � �n�"ª3�"¡���©[� ��©Q�"���*���7���6¤o���N¤¥����¯u» EIX(Q�SFBRE �T@Q�E�P�0KM 03T 7A[FS<Q�EIBa=?X�01EIM<XIE"¯U9^:Q¦85@MFXIE�P�0KM 03B+�?[?Q�T /KT:�"�:¯;[FB�TmXIE�EI:F0KM5� P`T@V0�¶5� C�µ � ��� ¯*[<[1� � �� � ��½ � ¯ À�� ��� �

¼ � ¿HG ��YZ0 � E"¯ _ � .O� �^E�/1/K7b5@M�¯��/ºD©Q�" ����f¤��"� �P�6�����T�"¡��"ª%� ��¤o�­��£u�«©[�����O¸ Y�"�¥��?¡����6�����N¤¥�n¡­¸{�T�"¡����"�j�"¯ 03T 7A[FS<Q�EIB}¯ ��T /¥� À�� ¯ �T5� � ¯F[F[���½ ��� ��� ¯��@SFMFE À�� ½"½K�

¼¾½n¿ �(� "6E�01PRQ�EI/N¯ �P�6�6���7��¬"�j���[©*�k�"¡��� Y�"�T�?¸1���� *�6¤«�N�n¯ =?X�01E�M\Q�0 � X 9;7AEIBR01X 58M1¯ ��T /N� � � � ¯ �T5� ¯F[<[1� À � � �Q¯ _�5�� À�� ½��Q�

¼ � ¿!_ �,.O� �^E�/1/17L5@M1¯ � �P�6�����T�"¡��"ª%�n�N¤¥���g¤«�i��¢ � ���i�n�6���Q�����*��� !H¯+N .�.�. C B�5@MFP�NOM?V T B�7­�FCD4FE�T Bj�"¯ ��T@/¥� � � ¯ ^T5� � ¯F[F[1� � �QÀ�� ����� ¯��@SF/3� À�� ��� �¼ � ¿!_ � .O� �^E�/1/17L5@M1¯ ¶\� _aE�B��\/1ED¯9¶(�=?X 4FBRT [F[*EI/¥¯g»R�*G 5@PR4F01MQ�@Q�T M�¯ G �YZ0 � ED¯+= �

>T 4F/K0o�A5@MF: ��*=?X 4�� EI0KQ�JIE�B¯ �H���� *ª%� �Y��£\�"¡d��¡[¤«�f¤f�"ª � �f�����c�����7���P�6�����T�"¡��"ª%���n��«©[� ���O¸ Y�"�¥�!�k¡����6�����N¤¥�n¡ ¸{�¥�"¡����"���"¯!C E�X 4FMF0KX 5@/-¶]EI[*T BRQ¯�=<.�» ½ � ° � � �K¯=\Q 5@M<V T@B�:`SFMF0G¦@EIBRP�0KQ7�"¯*=?EI[?Q�EI7 � E�B À � ½ � �

¼ À�� ¿(¶�5@/K[F4 0c��_aE�B��\/1ED¯ � �9�n���/¸1��£6� �<�"��� ��¡���¢��­�"�#"\�n��©��1 *¡����N¤¥�n¡[¯$�@T@SFB�M658/ T@V03B+�m[<Q�T /KT:�"�"¯ ��T /¥� �Q¯ ^T5� À ¯6[F[1� � � � �� ¯ À�� � � �

���

Page 101: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

¼ À:À ¿!=m4FT��R0>_a03� 5"� S<X 4F0¥¯ � � � ��¢�� �7�[����¤ � ���"�N¤¥�n¡Q��¯mQ�EIX 4<MF01XI5@/ MFT@Q�E"¯ ^CDC>¯ À���� � �¼ À �n¿!=m4FT��R0,_a0G� 5"� SFX 4F0N¯��1©[� � � � � ��¤ �[©[���/£}�"�W¤«ª%�n¯ » E�X�Q�S<B�EA ^T@Q�EIP;0KM 03T@7L[FS?Q�EIB=mXI01E�MFXIED¯F9;:K¦@58MFXIE�PD01M 03B+�?[?Q�T /KT:�"�:¯?[FB�TmXIE�EI:F0KM5� P T8V�0�¶�� C�µ � ��� ¯F[F[1� � �:½ �

� � � ¯ À���� � �¼ À �D¿!=�� _a03� 5"�@SFX 4F0¥¯ �W��µZ4 Q 5K¯�_ � NT� 5cQ 5Q¯������:¢+§¤«��©Q�n��© £6 K¡����f¤¥�n¡� �c¢�"\�n��©�n¯[<B�TmXIEIE�:F01MQ� P]T@V =?.701�a¶�N 0OµU_ � � � ¯*[F[1� À ��� ��À �:½K¯6_�58B�X 4 À�� � � �¼ À � ¿!=m4FT��R0\_a03� 5"�@SFX 4F0¥¯ 9a�\01B�5]=m4F01B�5@01PR4F0¥¯�9c�\014F0KB�T]=m4F017A01J�S1¯��9�n���� (�"�T���?¡����6�6���f¤¥�n¡

� ª ¬*�n�6¤«�«©*� � � � ��¢��:¯k¶]E}¦m01E�� T@V;EI/KEIX�Q�B�0KX 5@/ X�T 7A7 SFMF0KX 58Q�01T MFP�/ 5 � T B�5cQ�T BR01EIP}¯��T@/¥� � � ¯ ^T5� � ¯F[F[1� � ��� � � ��½*¯ À�� ��� �

¼ À ¿ ^58Q�0KT M65@/ 23SFB�EI5@S T@V =mQ�5@MF:658B�:FP}¯ Y�"�¥� �k¡����6�����N¤¥�n¡ ¸{�T�"¡����"�j�"¯@�(� = �YZE�[65@B Q�7AEIM Q�T@V;03T@7L7AEIBRXIE"¯ ",N� =�[FS � � ��� ¯$� 5@M\S658Bj� À�� ½:½K�¼ À�� ¿UNOMQ� B�0K:H=?X 4658SF7 SF/K/1EIB�° 230KX 4F/¥¯� g *� � ¡��"ª%�&� �g�*��� Y�"�¥���?¡����6�����N¤¥�n¡c¸{�¥�"¡����"�j�< *¡��

¸{�n¡[�«©[��� ������� �<�"¡��"�7��� ��©*¤ !H�6¤¥�������&���7���i��¯ 41� YX�3CD4FEIPR01P¯b»+0KMFJ SFM<0G¦ E�B�PR0KQ7�:¯_a5 � À � �QÀ �¼ À ½n¿UNOMQ� B�0K:U=?X 465@S<7 SF/1/KEIB�° 230KX 4F/¥¯ �P�������¥�"¡��"ª%�&��¤o�R��£g�«©[� Y�"�¥� �k¡����6�����N¤¥�n¡b¸{�¥�"¡����"�j�

§�­�«©[��� ���«©[�� ��£ �l�n���J�"ª �?��"¤«¡*¬"¯P» EIX(Q�SFBRE ^T8Q�EIP!01M 03T 7L[<S<Q�E�B�=?X�01EIM<XIE"¯03B+�m[<Q�T:�@B�5@[F4��"¯ [FB�TmXIE�EI:F0KM5� P T8V�Q�4FE G�T Bj�mPR4FT [ T M 03B+�m[<Q�T:�@B�5@[F4��"¯�23SFBj�"6E�SFEIBRPRQ�E�01M1¯ �HEIBR7b5@M��"¯ _�5@BRX 4 � � � 9;[FBR01/5�*¯F[F[1� ��� � � ¯ À�� � �K�

¼ À�� ¿UNOMQ� B�0K:�=mX 465@SF7 S</1/1E�B+°O2301X 4F/N¯D��¡z� ©[� X����¤3¬"¡z�"¡�� � ¡��"ª%�&��¤o����£��Y� � �P¤ �[©[���¸{� ���7�������H��ª3�"�����W�7�W�«©[�3 ��<¸{¯<Q�EIX 4FM<01X 58/ B�EI[*T B Q�¯{» 01MFJHS<MF0G¦@EIB�PR0KQ7�"¯ À�� � �Q�

¼ À�� ¿U9a�\014F0KB�T =?4F017A01J�S1¯'=?4<T��R0�_`0G� 5D� SFX 4F0N¯��9�n��� Y�"�¥� �?¡����6�6���f¤¥�n¡ � ª ¬*�n�6¤«�«©*�� � � ��¯k» E�X�Q�S<B�E �T@Q�E�Pb01M 03T 7A[FS<Q�E�B�=?X�01E�MFXIED¯�9^:Q¦85@MFX�EIP�0KM 03Bj�m[<Q�T /1T"�"�:¯[<B�TmXIEIE�:F01MQ� P][email protected]�a¶Oµ 0�¶�� C � � ½K¯ [F[1� � � ½ � �:½ � ¯ À�� � ½K�

¼ � � ¿U9a�\014F0KB�T =?4F017A01J�S1¯'=?4<T��R0�_`0G� 5D� SFX 4F0N¯��9�n��� Y�"�¥� �?¡����6�6���f¤¥�n¡ � ª ¬*�n�6¤«�«©*�� � � ��¯69 � P Q�B�5@X�Q�P^T@V,.4�c¶Oµ 0�¶�� C � � ½*¯*[<[1� �ZNRN¥° À:À�� �ZN�N¥° À � ¯?9;[FBR01/ À���� ½K�

���������������

� ���! �"$#&%('*)� �+,#-� �

.�/�/

Page 102: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� ���! �"$#&%('*)� �+,#-� # %(+�����"�� �! $+���� ) "�� � � ���� � +�� �

� ����� "�� %('*)�� % �#�� #-'("�"$#-'(�*%�� ���

� ����� "�� %('*)�� % �#�� +� "$#-'*�(%�� �!�

" ����� "�� %('*)�� % �#�� +�#%$! �"$#!'(�(%&� ���

')( . *,+!-�./+!02143506-�.879.804:9127<;>=<:9;>0/?@=BA!7<C�D�.8D!;FE>;G:IH (�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(LKM'

')(ON *QPR:S14+!=9;FC�+T:9CU+!;>+!1V7<C�W!+!3!=X(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(LK�Y

Z �����\[ + �$]� �^� "`_*+ �"�� " � '&ab_,��" #�� " #-'(�*%�� �dc

Ye( . f�gihj.`:9:6./06kR=X(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l' /

Ye(ON N8gihj.`:9:6./06kR=X(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l' /

Ye(@f .gihj.`:9:6./06kR=X(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l'8N

Ye(mK n)Weopop.87<HpC8q�:S-!1V047<HRAe:6./+�.8EFHR=<;>=r(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l'8N

Ye(O' *,+!-�./+!02143506-�.879.804:9127<;>=<:9;>0/?@=BA!7<C�D�.8D!;FE>;G:IH (�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l'`K

c sJ� " +�� �! �� #��t�X�J� "�Z

u ( . vwCR3!;Gq�H);F+!xy:S-e1�z{A|1479oyWe:S./:S;FC�+ (J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l' u

u (ON vwCR3!;Gq�H);F+!xy:S-e1JC8793!147}C8q&:9-!1�nXD%C~P)12= (V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l' u

u (@f vwCR3!;Gq�H);F+!xy����gt=BDMHX.83e3!;F:9;>C�+!=�(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l'/�

u (@fe( . vwCR3!;Fq�HR;>+exy:S-!1�����gt=}�B;G:S-!;F+�:S-!1J��q�W!+!0�:S;FC�+�(�(J(J(J(J(J(l'/�

u (@fe(ON vwCR3!;Fq�HR;>+exU.8E>E%:S-!1�����gt= (�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l'/�

u (@fe(@f vwCR3!;Fq�HR;>+ex�.8EFEM:S-!1����VgB=�;F+y.8+�12��W!;F�/.8EF12+M:,��*�n�3e12=90479;FAe:S;FC�+�'/�

.�/ .

Page 103: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

u (mK gt.8+!3!C8o .8+!3To C)3!; � 123Tn�D%CP)14=5(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( Y�/

u (O' ��C�W!7}De;F:S=i:9C q�C�W!7}D!;G:S=tn�D|C~P)12= (J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( Y8f

� �����\[ + �$ +,�*% ���,� �*% � �! ����M � Z!�

�e( . *,;>x8-�:B7<C�W!+!3e=i(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( Y�'

�e(ON =<;GPR:S1412+T79C�W!+e3!=p(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( Y8�

� ��$������ ����"����,+�M� %^�����^� )`$��Ra�����X������ Z��

�e( . �V��*�n�Ae79C�A%127 :S;>14= (�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( Y8�

�e(ON � 7 H)A):6.8+�./EFHR=9;F=tC/q��V��*�n�(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( u N

�e(ON)( . � k�+!C�B+5A!E>.8;>+M:S1 PR:t./:9:S.806k q�C�7������ (J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( u f

�e(ON)(ON � 06-!C�=<12+ A!E>.8;>+M:91�PR:B./:<:6.806k�q�C�7������L(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( u f

�e(ON)(@f � 06-!C�=<12+ A!E>.8;>+M:91�PR:B./:<:6.806k�q�C�7���� N���� . (J(�(J(J(J(J(J( u K

�e(ON)(mK � 06-!C�=<12+ A!E>.8;>+M:91�PR:B./:<:6.806k�q�C�7���� f���� N (J(�(J(J(J(J(J( u K

�e(ON)(O' � 06-!C�=<12+ A!E>.8;>+M:91�PR:B./:<:6.806k�q�C�7������ �!� . (J(�(J(J(J(J(J( u '

�e(ON)(@Y "}-!1J.804:9W�.8E�D!7<1~.8k�;F+!x .8E>x�C879;F:9-!o q�C�7���� N���(J(�(J(J(J(J(J( u '

�e(ON)( u � C�+!04E>W!=<;>C�+!=r(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( u �

�$#&% #!�(' %*+�����"`� �! �+������ � ))��� #-�^����� "�� %*'()�� % �#�� �M[ " #-'(�*%�� c!�

.�/)( .*� ;FA!-!127 :S1 P):tC�+eEFH�.`:9:6./06kR=�(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( u �

.�/)( .�( .+� :S-!7<121 hI79C8W!+!3 .`:9:6./06kL(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( u �

.�/)( .�(ON,��+!C/:S-!147B:9-!79141�h 79C�W!+e35./:<:6.806k (V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( ��/

.�/)( .�(@f-� q�C�W!7jhI79C8W!+!3T./:9:S.806k (J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � .

.�/�N

Page 104: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

.�/)( N���+!C�B+TA!E .8;F+M:S1�PR:t./:<:6.806k�=r(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � .

.�/)( N)( .+� :S-!7<121 hI79C8W!+!3 .`:9:6./06kL(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � .

.�/)(Of nR:S./:S;F=<:9;>0~./E k�+!C�B+5A!E>.8;>+M:91�PR:t./:9:S.806k�= (V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( ��N

.�/)(Ofe( .+� :S-!7<121 hI79C8W!+!3 .`:9:6./06kL(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( ��N

.�/)(Ofe(ON,� q�C�W!7jhI79C8W!+!3T./:9:S.806k (J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( ��N

.�/)(Ofe(@f-� � ��1 hI7<C�W!+!35./:9:S.806k (�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �/K

.�/)(Ofe(mK � =9; PRh 79C�We+!35.`:9:6./06k (�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( ��'

� ����� ~�!_Q���R� ��Z

� ��$�� ��� + "`������� %(+ �� " +�_*' $+ #-� ~�!_Q���R� #%� �$ � � _�#R ��R� � #

� �*� ���� ������ ���

. n)Weopop.87<HpC8q�:S-!1V047<HRAe:6./+�.8EFHR=<;>=BC8qQ��* n (�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( Y

N �&.87<:9; .8E|A�.8;>7<=i����g 3!;>= :S79;FD!We:9;>C�+�:S.8D!E>1�C/q,n!. (J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( .2K

f n!.�:S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( .2K

K ��12790412+M:6./x�1wC/q�:S-e1TA%C�=<=9;>DeE>1�12+M:979;>14=p;F+\:S-!1��/.879;FC�W!=UA�.8;F79=y����g3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>14=i(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( .'

' ��C�=9=<;>D!EF1T;F+!A!We:U�/.8EFW!12=Uq�C�7 :S-!1T;>+eA!We:U����g�� .��� � f8K��wDMH :S-!1C�W):SA!We:}����g (�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( .~Y

Y ��C�=9=<;>D!EF1�k814HR=tq�C�7Bf8K���� � ��DMHTn!.V�B;F:9-T;F+!A!We: .��"!�fM'#�U(J(J(J(J(J( .~Y

u ��C�=9=<;>D!EF1�k814HR=tq�C�7Bf8K���� f$�JD�Hwn-.V�B;G:S-T;>+!AeWe:�N .%��!&.�'#� (J(J(J(J( . u

� ��+!C�B+TD!;F:9=B./:}:S-!1 � q�:9-w7<C�W!+!3 (J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( f u

.�/8f

Page 105: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

� ��+!C�B+TD!;F:9=B./:}:S-!1V=<14��14+M:S- 7<C�W!+!3 (J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(LK8K

.�/ "}-!1VA%C�=9=<;>D!EF1�;>+!= :6.8+e0212=BC8q�/��$����� �JDMHwn!N (�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(LKM'

. . "}-!1 A!7<C�D�.8D!;FE>;G:IH5C8q :S-!1 ;F:91279./:S;G��1 06-�.879.804:9127<;>=<:9;>0 ��1479=<W!=y+�W!oyD%127C8q&79C8W!+!3!= (J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(LK��

.�N n)Weopop.87<HpC8q�:S-!1V047<HRAe:6./+�.8EFHR=<;>=BC8qQ��* n (�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J(l'/f

.f ��C�=9=<;>D!EF1�;>+!A!W):S=t.8+!3TC�We:9A!We:S=}q�C�7Bf�N#��� /UDMHTn!N (�(J(�(J(J(J(J(J(l'`K

.~K ��C�=9=<;>D!EF1�;>+!A!W):S=t.8+!3TC�We:9A!We:S=}q�C�7tN�� � � /UD�HXnef�(�(J(�(J(J(J(J(J(l'8'

.�' �,79C8D�.8D!;FE>;F:9;>14= DMH�+�W!oyD%127BC8q&k81�HXD!;F:9=}12��W�.8EF;F:S;F12= (�(J(�(J(J(J(J(J(l'/Y

.Y � -�./7S.80�:S127<;>= :S;>0�Ae79C�D�./D!;>EF;F:S;F12=��B;F:S-X79.8+!3!C�o nXD%C~P)12= (�(J(J(J(J(J( Y .

. u � W!oyD%127}C8q&12+!047<HRAe:9;>C�+!=t+!14123!143w:SC � +e3 �����tq�C�7}1~.806-5n�D|C~P (J(J( �/K

.� n!.�:S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � u

.� n!N :S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � u

N�/ nefy:S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � u

N . n)K :S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � u

N�N n!' :S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8�

N8f neYy:S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8�

N/K n u :S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8�

N�' ne�y:S.8D!E>1 (�(J(�(J(V(�(J(J(�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8�

N8Y "}-!1Jz�A%127<oyWe:S./:S;FC�+�:6.8DeE>1�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8�

N u "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�n!. (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � .

N8� "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�n!N (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( ��N

N8� "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�nef (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8f

.�//K

Page 106: 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27selcuk/teaching/cs519/Biham-DC.pdf · /' 01#321 45 627 98: $;< ( )>=>$&27 ;?#@) 6a% -b 2 6)c d!* 7$&27 "2 7 6=feg$ h #@i"#@a3#@ j

f / "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�n)K (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �/K

f . "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�n!' (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( ��'

fMN "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�neY (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8Y

f�f "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�n u (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( � u

f8K "}-!1VA�./;>79=i����g 3!;F=<:979;>DeWe:S;FC�+ :6./D!E>1�C8q�ne� (J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( �8�

� �*� ����� ������ ���

. ��*�n�79143!W!02143w:9Cp14;>x�-M:B79C8W!+!3!= (J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( . /

N "}-!1J�{q�We+!04:9;>C�+XC8q���* n (�(J(�(J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( .�.

f ��*�n�79143!W!02143w:9C q�C�We7}79C�W!+e3!= (J(J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( f .

K "}-!1 ��12+!147S.8EF;�4123T��*�nwn)06-e12o 1 (J(�(J(V(�(J(�(J(J(�(J(�(J(J(J(J(J( u /

.�/�'