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INDICE GENERAL

0.1. Matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.2.1. Propiedades de las patrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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Trabajo Especial

Universidad Central del Ecuador

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematica

Doc. Hernan Aules

Trabajo de LatexMatrices

16 de julio de 2015

14 Sistemas de ecuaciones lineales

que no tenga solucion. Claramente no puede existir una solucion que satisfaga todas las ecuaciones.

Este sistemas tiene solucion puesto que no tiene ecuaciones inconsistentes y se determina por “sustitucion hacia atras”:

1. De la ultima fila (ecuacion) no nula se tiene que x4 = 4.

2. De la tercera ecuacion: x3 + 4 = -2 -> x3= -6

3. De la segunda ecuacion: x2 - 2(-6) = 4 -> x2 = -8.

4. Finalmente, de la primera ecuacion se obtiene que:

X1, X2, X3, X4 = (-19, -8,-6, 4).

La ultima ecuacion de este sistema, la que corresponde a la fila de ceros, es una ecuacion superflua:

0X1 + 0 X2 + 0X3+ 0X4 = 0

Observe que cualesquiera valores X1, X2, X3, y X4la satisfacen, de manera que no constituyo ninguna restriccion.Si se omite se obtiene un sistema con el mismo conjunto solucion.

Un sistema de ecuaciones puede contener ecuaciones superfluas o redundantes, en el sentido de que las restriccio-nes.

De esta manera no aportan informacion adicional para resolver el sistema.

Caracterizar dichas situaciones es uno de los objetivos mas importantes al estudiar los sistemas de ecuaciones li-neales, para esto, en el capitulo siguiente se utilizara la idea de dependencia e independencia lineal de las filas de lamatriz aumentada.

En esta etapa nos conformamos con observar, en cada ejemplo y ejercicio que se resuelva, que las ecuaciones re-dundantes se convierten en fila nulas, cuando se obtiene la forma escalonada de la matriz aumentada del sistema.

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1.3 Solucion de sistemas representados como matrices 15

1.3.4 Reduccion gaussiana y matriz escalonada

Al hacer operaciones elementales para resolver un cierto sistema, por reduccion guassiana, se busca darle forma esca-lonada a la matriz aumentada. En el siguiente ejemplo se verifica que para lograr este proposito no hay una secuenciaunica de operadores elementales (la forma escalonada), no siempre sera la misma.

Es decir, una matriz aumentada puede tener varias formas escalonadas (equivalentes), que no representan el mis-mo sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1. Ejemplo 1.9 Resolver el siguiente sistema 4 x 4, mediante reduccion gaussiana:

2x1 + −6x2 + 12x3 + 16x4 = 70x1 + −2x2 + 6x3 + 6x4 = 26

−1x1 + 3x2 +−3x3 + −7x4 = −304x2 + 3x3 + −6x4 = −26

Solucion 1. Solucion:la siguiente secuencia de operaciones elementales transforman la matriz aumentada en una formaescalonada:

2 −61 −2

12 166 6

−1 30 4

−3 −73 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣7026−30−26

12f1→

1 −31 −2

6 86 6

−1 30 4

−3 −73 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣3526−30−26

−f1 + f2f1 + f3→

1 −30 1

6 80 −2

0 00 0

3 13 2

∣∣∣∣∣∣∣∣35−95−26

−4f2 + f4→

1 −30 1

6 80 −2

0 00 0

3 13 2

∣∣∣∣∣∣∣∣35−9510

−f1 + f2f1 + f3→

1 −30 1

6 80 −2

0 00 0

1 1/30 1

∣∣∣∣∣∣∣∣35−95/35

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16 Sistemas de ecuaciones lineales

Pero tambien, si se inicia con la operacion elementalf1, f2→ para obtener el primer 1, en la posicion (1,1) y se

continua con las operaciones−2f1 + f2

→ ,f1 + f3→ ,

f2 , f3→ ,

2f2 + f3,→

−4f2 , f4→ ,

1/6f3→ ,

9f3 , f4→ , se obtiene finalmente otra forma escalonada:

1 −30 1

6 80 −2

0 00 0

1 1/30 1

∣∣∣∣∣∣∣∣35−95/35

Sin embargo, observe que las operaciones elementales−3f3 + f2

→ y−f2 + f1→ sobre esta ultima matriz la reducen

a la anterior forma escalonada, es decir, ambas formas escalonadas representan sistemas 4 x 4 con la misma solucion.

1. De la ultima ecuacion: x4 = 5

2. De la tercera ecuacion: x3 + 5/3 = 5/3 -> x3= 0

3. De la segunda ecuacion: x2 + 3(0) – 1 (??) = -4 -> x2 = 1

4. Finalmente: X1 - 2(-4) + 6(0) + 6 (??) = 26 -> x1 = -2.

Resumiendo, la unica solucion es (-2, 1, 0, 5).

1.3.5 Reduccion Gauss – JordanCuando se resuelve un sistema de ecuaciones por reduccion gaussiana, el proceso que corresponde a la sustitucionhacia atras, tambien puede ser realizado haciendo mas operaciones elementales, hasta obtener un sistema equivalentecuya solucion resulta evidente.

A|I3 =

2 6 1 1 0 0−1 0 1 0 1 02 7 5 0 0 1

f1, f2

−1 0 1 0 1 02 6 1 1 0 02 7 5 0 0 1

2f1 + f22f1 + f3

−1 0 1 0 1 00 6 3 1 2 00 7 7 0 2 1

− f1 1

6f2

1 0 −1 0 −1 00 1 1

216

13 0

0 7 7 0 2 1

− 7f2 + f3

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1 0 −1 0 −1 00 1 1

216

13 0

0 0 72

−76

−13 1

2

7f3

1 0 −1 0 −1 00 1 1

216

13 0

0 0 1 −13

−221

27

−1

2f3 + f2 f3 + f1

1 0 0 −13

−2321

27

0 1 0 13

821

−17

0 0 1 −13

−221

27

Luego, como resulta que A es equivalente a I3, cada sistema AXi = ei tiene solucion unica por ejempl, la solucion deAX2 = e2 es (−23

21 ,821 ,

−221 )t y la matriz buscada X = (X1, X2, X3), es:

X =

−13

−2321

27

13

821

−17−1

3−221

27

0.1. Matrices inversas

En la secci on anterior observamos que dada una matriz cuadrada A de orden , si es equivalente a la identidad se oodraencontrar una matriz X tal que AX = I, pero no sabemos si esta condicion es necesaria para garantizar la existenciade X. Por otra parte como el producto no es conmutativo, si existiera una matriz X tal que AX = I tampoco esrazonable esperar que para tal matriz se tenga tambien que XA = I.

Definicion 1. Definicion 2.13 (Matrices inversas)

Sea A ∈ M(n,R). Una matriz B ∈ M(n,R) se llama matriz inversa de AsiBA = I, y es inversa derecha de A siAB = I.// Ahora AB = I = BA,B se llama una inversa de A y decimos que A es invertible.

Ya se jutifico que dada una matriz Anxn, si para cada i = 1, 2, , ...., n hay un vector columna X que sea solucion delsistema Ax = ei, entonce

X = (X1, X2..., Xn)

es una inversa de A, es decir AX = I. Aplicando este mismo procedimiento a At, en algunos casos sera posible

encontrar una matriz Y talque AtY = I o en lo que es lo mismo, tal que

Y tA = I

Es decir Y t es una inversa izquierda de A. Y aunque el principal problema es conocer las condiciones necesarias paraque XyY t existan, si suponemos que existen, el siguiente teorema muestra que ambas matrices son lo mismo.

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0.2. Matrices elementales

Con la introduccion de las matrices elementales de alguna manera volvemos al tema de sistemas de ecuaciones lineales,aunque esta vez, interasados en expresar el proceso de aplicar operaciones elementales a una matriz como un productode matrices, lo cual sera un valiosos recurso para deducir nuevos resultados y equivalencias. Cada operacion elemental

fila, se puede asociar a una matriz llamada matriz elemental fila o simplemente matriz elemental, en la siguiente forma.

Ejemplo 2. Ejemplo 2.10 Las siguientes son matrices elementales 3x3

E(αf1) =

α 0 00 1 00 0 1

E(αf3) =

1 0 00 1 00 0 α

E(f1, f2) =

0 1 01 0 00 0 1

E(f2, f3) =

1 0 00 0 10 1 0

E(αf1 + f2) =

1 0 0α 1 00 0 1

E(αf3 + f2) =

1 0 00 1 α0 0 1

0.2.1. Propiedades de las patrices elementalesLas siguientes propiedades de las matrices elementales se comprueba directamente haciendo las multiplicaciones ma-triciales respectivamente.

Ejemplo 3. Ejemplo 2.11 Sea

A =

1 0 2−2 1 30 −1 −4

y las matrices elementales

E(f1, f3) =

0 0 10 1 01 0 0

E(2f1 + f2) =

1 0 02 1 00 0 1

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Haciendo las multiplicaciones matriciales comprobamos que

E(f1, f2)A =

0 −1 −4−2 1 31 0 2

E(2f1 + f2)A =

1 0 20 1 70 −1 −4

que es equivalente a hacer respectivamente las operaciones elementales que siguen

A = f1, f2 −→

0 −1 −4−2 1 31 0 2

A = 2f1 + f2 −→

1 0 20 1 70 −1 −4

La parte 1 del teorema anterior, permite describir el proceso de aplicar operaciones elementales a una matriz de unamanera bastante compacta que lo traslada al algebra de matrices. Asi la frase:”B es el resultado de aplicar operaciones elementales a A”se escribe tambien como:.existen matrices elementales E1, ...., Er, tales que (Er, ....E1)A = Bn

Con esto tenemos, que las tres frases siguientes expresan la misma idea.

1. B es equivalente a A

2. B se obtiene de A por medio de una secuencia de operaciones elementales

3. Existen matrices elementales E1, ...., Er, tales que (Er, ....E1)A = B.

Ejemplo 4. Ejemplo 2.12 Sea

A =

0 0 0 11 2 2 30 1 −1 2

a) Calcular una matriz B escalonada y otra matriz C escrita como producto de matrices elementales 3x3 tales que

B = CA

b) Lo mismo que en a, pero B es escalonada reducida

Solucion 2. Solucion:

a. Es suficiente aplicar operacines elementales sobre A hasta obtener unamatriz escalonada. En efecto.

A =

0 0 0 11 2 2 30 1 −1 2

f1, f2 −→

A =

1 2 2 30 0 0 10 1 −1 2

f2, f3 −→

A =

1 2 2 30 1 −1 20 0 0 1

= B

Por lo tanto

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C = E(f2, f3)E(f1, f2) =1 0 00 1 00 0 1

0 1 01 0 00 0 1

=

0 1 00 0 11 0 0

b. A partir de la matriz B se obtiene la forma escalonada reducida R:

B =

1 2 2 30 1 −1 20 0 0 1

−2f2 + f1 −→

1 0 4 −10 1 −1 20 0 0 1

−2f3 + f2 −→

1 0 4 −10 1 −1 00 0 0 1

f3 + f1 −→

1 0 4 −10 1 −1 20 0 0 1

=R

Entonces R = C1B donde C1 viene dada por C1 = E(f3 + f1)E(−2f3 + f2)E(−2f2 + f1)y como B = CA se tiene que R = C1CA con C1C = E(f3 + f1)E(−2f3 + f2)E(−2f2 + f1)E(f2, f3)E(f1, f2) =1 0 1

0 1 00 0 1

1 0 00 1 −20 0 1

1 −2 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

0 1 01 0 00 0 1

Ahora volvemos a las conticiones necesarias y

suficientes para la existencia de la matriz inversa, utilizando las matrices elementales.

Demostracion 1. Demostracion: La estrategia de prueba consiste en lo siguiente: primero si prueba a =⇒ b =⇒ c =⇒ aLuego d =⇒ c y e⇐⇒ ca =⇒ b existe R escalonada reducida y R1, ....Rt matrices elementales tales que R = (R1, ..Rt)A. Luego R es invertible

y por tanto no tiene filas nulas asi, R = In y A es equivalente a In.b =⇒ c A equivalente a In =⇒ existen R1, .....Rs matrices elementales tales que

In = (R,....Rs)A. Se concluye que A = R−1s ....R−1

1

c =⇒ a cada matriz elemental es invertible luego A lo es. d =⇒ c se B tal que AB = I y E1, ...., EB matrices

elementales tales que A = (E1...EB)H conH escalonada reducida.Por tatno AB = (E1...Es)(HB) = I. Si H no es la matriz indentidad, entonces su fila n-esima es nula, luego HB noes invertible, lo cual es una contradiccion. Ası H = I, con lo que A = E1...Es. Similarmente se prueba que e =⇒ c.

Adem’as es claro que c =⇒ d y que c =⇒ e. Este teorema muestra que la existencia de una matriz inversa derech,

es condicionsufu=iciente para garantizar la existencia de la inversa. Tambenla demostracion de la equivalencia c)justifica de una nueva forma el metodo de calculode la matriz inversa de la siguiente manera.

Otra deduccion del algoritmo de computo de A−1 Como se establecio en el teorema 2.22, basta que A tenga una inversa

derecha o izquierda para que sea invertible. Ademas esa inversa derecha o izquierda sera inversa de A. Ademas comoA debe ser equivalente a la identidad entonces.

(Et...E1)A = I =⇒ A−1 = Et...E1

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24 Sistemas de ecuaciones lineales

1.5 Caracterizacion de los sistemas, por su solucion

Seguidamente se dara un caracterizacion de los sistemas de ecuaciones lineales con solucion unica, infinito numerode soluciones o sin silucion, basados en las caracterısticas de la matriz del sistema a la matriz aumentada, ambas enuna forma escalonada, que se resumen en la nocion de rango.

1.5.1 Sistemas que no tienen solucion

El problema de decidir si un sistema de ecuaciones lineales tiene solucion o no, es el problema de reconocer si tieneecuaciones inconsistentes o no. Y esto se reconoce facilmente cuando el sistema tiene la forma escalonada y se observaal menos una ecuacion de la forma:

0X1 + 0 X2 +. . . + 0Xn = 1

Como en el ejemplo 1.8, matriz (A|b).

Tambien resulta facil de reconocer que hay ecuaciones inconsistentes, en un sistema en su forma inicial, cuandodos de ellas tienen iguales coeficientes asociados a las mismas variables y la constante a la derecha es distinta, porejemplo, la ecuaciones 2 y 4 del siguiente sistema:

x1 + −2x2 + 6x3 + 6x4 = 26

2x1 + −6x2 + 12x3 + 16x4 = 70

−1x1 + 3x2 +−3x3 + −7x4 = −30

4x2 + 3x3 + −6x4 = −26

Obtenga la forma escalonada de este sistema y verifique que en esta forma escalonada aparece una ecuacion inconsis-tente, o sea, el sistema no tiene solucion.

Sin embargo, en terminos del sistema inicial hay otros tipos de dependencia entre las ecuaciones que las puedenhacer inconsistentes. Este es un problema difıcil que se relaciona con los conceptos de rango e independencia lineal,que se estudiara mas adelante. Pero en todos los casos, cuando esto ocurre, la forma escalonada del sistema haraevidente la existencia de al menos una ecuacion inconsistente con la forma vista.

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1.5 Caracterizacion de los sistemas por su solucion 25

Finalmente observemos que en un sistema de ecuaciones lineales Ax = b, la presencia de al menos una ecuacioninconsistente, en la forma escalonada de la matriz aumentada del sistema hara que el rango de A y el rango de (A|b)sean distintos. Por ejemplo, en un sistema 4 x 4, la forma escalonada de la matriz (A|b) de un sistema inconsistentepuede ser:

(A | b) . . .→

1 ∗0 0

∗ ∗1 ∗

0 00 0

0 00 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∗∗10

Donde el sımbolo * representa cualquier numero real. En este caso la ecuacion que representa la tercer fila de la matrizanterior es inconsistente y hace que Rng (A) 6= Rng (A|b). Especıficamente,

2 = Rng (A) < Rng (A|b) = 3.

Y en general podemos reconocer que:

Rng (A) < Rng (A|b) ↔ Ax = b tiene ecuaciones inconsistentes.

1.5.2 Sistemas con solucion

Un sistemas Ax = b con solucion se dice que es consistente y, naturalmente, es un sistema que no tiene ecuacio-nes inconsistentes.

La ausencia de ecuaciones inconsistentes se refleja en que:

La forma escalonada de la matriz del sistema A y la forma escalonada de la matriz aumentada (A|b) tienen elmismo numero de filas no nulas.

Y esto es aquivalente a establecer que:

Rng (A) = Rng (A|b)

Por ejemplo los siguientes esquemas de matrices, que utilizan un * para indicar que en esa posicion puede apare-cer cualquier

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