45

0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

  • Upload
    lethu

  • View
    221

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

������������ ����� �������������� �� �!�"# $���&%' ���)(+*��,�.-/�)0/���#����1+�� ��2�#�3(#-�3�+�/�)�����������(+��,�4�657��3�98:������(/(# ��;����<(=�9�.��,�<��>

?A@7BDCFEHGFEJIKCMLNLHCO@PBDLHCFQRSBDCMTPENU�VWCMX)YZQ7[�\!@PGMCM[]Q�UWBDCO@�^D_,@7B`?#CMENa�QbcPdPdfe CFGMgh@7BZ?#UNi:^�I`@PCMG&LNQkjDE d,lPl9m

n�@poPQ�GMGO@,^D\'q b�rPd�b�s ^,R#_�qt<gf@PCMGvuxw�y7z�{P|�}�|~D�k�.�������7w���|�w��

�����������9����7�����]���������9�)�����]�����������)�����W�N��� �H�v�¡��¢N£��x�����]���¤�]�����/�W�¥�<¦§�W�]���¤�]� �W£���W¨H�]���3�W©,����ª�¦H¨H�¡���]���W�9�W£P�9���¡���N�������]��¢§�¨H���)�A���«�v��¬�¦��]��­W�¡��¦N�¤¬¤®���©¯�]�v�<��¢H�]�)��°±�]���]��¨H­��J�]����¨N£²����©&³�´F�¡�W�¥µ:¶�·�¸¥¹»º)¼W¼�½�¾��v���N�H���v�]���N­��]�N���)���v�¡��­��v¿:�)��������9�/À,�W�]�O��¿:�)���������Wª�¦N£��vÁ��²�F¬/�W©��W���]����¨H�3£ �����]������¦H�]�W¢N£���ª���Â�·D�H�<¦N¨H�]¦§�W���<�W©��]�N��� ¦9�W¦§���3��� �FÀD��©Ã�W£¯�ÄÂ+¸��+�]�N���ÁH¦§�W���²�]�W��¬¥��� �H�W®�À,�,¦��]�������¤���;�]��­����]��¨N�P����£²©N���W�¤�¡�W���N�)��¦H�]�¤��©N��©±�]����¨N£²�]���£ �W�N­��]�N�k£�� �H������©N³�´F�¡���ÆÅ �����ª����N�W£�À,�W�]°§Â³D�D�]�H�&�]�Wª����]� ª��W®¤ÀD�¥�vÁ�¦N£����]���]�.À��9�����vÁ±�]���¤��³k´M�¡�W�ÇÅ �����]��­����9��£7�]����¨H£��]�;���W�'¢§��Ȥ¨N�W�¤�]�²�¡���]������£²¬<��ª�¦H�]�����)�ÄÂ�³���¥¢¤¬±¿:¦H�]�±�H¨H�v�)®�À,�����vÉ9�H���¥�¡���9����ªÊ��£ �W���D��©P£ �����]�����v�D��¨N�¡�x�]�9���D���Wª�¦N¨H�]���H­¥���N�W���,�N�W�NË��v�]�����v�v�]�W�]��� ���]�H���v£¯�����À��²�]�S�N�W�H¿:�N��­W£�� ­W��¢N£���¦H�]�W¢9�W¢H��£ �²�M¬�� ������£��)�W�O�3�W�¥�N���¡�S�W����¦N¦H�]�)Á���ª<���]���N­<�]�N�3£����N­��]�+�W©��]�N�3���N�W���]�v�O���N���HË��v�]������v�]�W��� �'ÌWÍNÎ,ϧ¿F����ª����N�������N�W£±£ �����]�����DÀ��²�]�N��� ÀD�W�]�O��¿:�)�������W¦H¦H�]�)Á�� ª<���]�����3©Ã�W�v�]���]�еÇÏ7¾�ÑÒÏÔÓ�Õ�µMÖ £���­�Ï&£���­,£��W­,Ï7¾�·D�H��� ��ª�¦��]�������&¦H�]�v�����W¨N��£²¬S°��H�)À��+¢§���O� ���W�N�N�v�v�]�����/©Ã�W�v�]���3Ð�µÇÏP¾�ÑKÏÔ×]ØÔÙ�µ:¹D�W���W�N�/Ú��v�]¨H�]°W���)®PÛ�¸¥¹;¶Üº�¼�¼�Ý�¾�ÂÞ+�&��£ ���.���N�)Àß�N�)Àà�W¨H�;�]�)��¨N�v�]��������ª�¦N£������D�]�N���vÁ����O�]���N�����W©��v��£�£�� �����W�!�]�������O�¡�W�¤���v��¬�¦H�]�W­W�¡�W¦H�N���&�N�W���<©Ã¨N�H�v�]�����H�¢N�W���)�x�W���]�N�;ÀD���]�O��¿M���W�������N�W¦N¦��]�)ÁH��ª<��¢N��£����M¬x��©7�]�H�����H�W���]���O�,�����v�]���D¦��]��¢N£���ªáÀ��²�]�N���x�]�N���]�Wª��;©Ã�W�v�]���]�,еÇÏ7¾�ÑÏÔÓ¡Õ�µ Ö £��W­,Ï&£���­�£���­,Ï7¾�ÂâM�3�]�H�;¦H�]�¤��������ÀD�������O�]� £�£9�W���]���W¨N���N�vÀÜ£ �����]������¦��]��¢N£���ª���]�N���kª���­��¤��¢§�;�W©§���N�H��¦§���N�H���¤�����¤�]�v�]���O�)®��]�v£¯���]�)�3�]��]�H���v�����v�]���N­;�¡����� ¨H��®W�]�H��¢§�W¨N�N�H�)�¥��� �O�¡���N���,�H���v�±�H���N­�¦H�]�W¢N£���ª!®W�W¦H¦H�]�)Á�� ª<���]������¨H�±�]���H­���©N£ �����]������¦§�����¤�]�����N��� �H��v���±���vÁ㢧�±��������®���9�ã�]�N�.��ä��������¤�¥���W�N�O���]¨N���]� �W�+��©;£ �����]�������&À��²�]�+­W�¤�±�+­��v��ª��v���]���x���9�/�W£�­����]���]�Hª������H���v�±�H���N­¦��]��¦§�v���]������Â�Þ+�'��£ �������H��À6�N�)À`©å¨H���]�N���.���±�����O�]��­����]�����J�W©��]�N�����<�H�vÀ6£ �����]������¦H�]�W¢N£���ª�� ª�� ­W�¤�3£��)�W�#�]�S�v������O���]�W�N­W�v�D���W�N�H���v�]�����H��¢§�v�MÀD���v�x�]�N���)���v�¡�W­W�v¿:�)�W�����W�N�.ÀD�W�]�O��¿:�)�������v��ª�¦N£��vÁ��²�F¬3�W©Ä�]�H�����H�W���]���O�,�����v�]���,¦��]��¢H£ �vª!®¦§�W������¢N£²¬'£��)�W�H���N­3�]�x�����H�N�����]� �W�'©Ç���v�]�W�]���W��£��)Àh����Ð�µÇÏP¾�ÑÒÏæ�ç è¡Õ�µÇ£���­,Ï7¾�Â

é ê�ë!ì,í;î�ïJð#ñ�ì;ò�î�ëóOô�õÔö�÷3øåù�úÄû+ü7ýWý�ú«þ�ý�ö±øåÿ��Wý��AôvõÔö¤ô.ô�õÔý'þvý�øåý��¤ö�úHô.úÄù±ôvÿ¯ùHúÜù���õÔö±þ��§úÄý�÷�÷3ÿåú�þ��� §ôvù�û�þ�ö� Ôõ��+ÿÃ÷������������������������xõÔö�þ��§úÔýW÷v÷���ÿ��ô�õÔý �Hý��Aù���ö!�þ��� Äô�ù�ûHþvö� ÄõÄÿ"#�%$Äú&)ô�ÿåù�ú�ÿÃ÷'�õÔùH÷�ý�ú«ö±ô�þvö�ú(�§ù�)+*�ôvõÄý�ú�úÄù! Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿå÷¡ô�ÿ", 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø,ôvÿ�)!ýãö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)�ö�úàüÄþvýWö��«ô�õÔý/÷��õÄý�)!ý/.¥ÿ¯ô�õpúÄù�ú10OúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÄøåý2 Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3��4Aó�úßô�õÄý! Ôö�÷¡ô5�Æý�.6��ýWö�þv÷�*7�ù�)� -$Äôvö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø8 Äþvù�üÄøåý�)ã÷<ùHú Pù�ÿåúHôxøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷3õÔö���ý'ö¤ô�ô�þ�ö�)ôvý��:�ù�úÔ÷�ÿ9�Äý�þ�ö±üÄøåý�ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô;�ÆùHþ ôvõÄý�ÿåþ' 7ù�ô�ý�úNôvÿåö�ø7�þ��� §ôvù�ûHþvö� ÄõÄÿ"�ö� - Äøåÿ"�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷3ü7ý<�ö�$7÷¡ý�ù��ô�õÔý��Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû+þ�ý�)!ö�þ��¤ö�üÄø¯ý��§ÿÃ÷��ù=��ýWþ��Aù��?>A@�ô�ö±ÿ;B C�DE�<ö+�ýWþ¡ô�ö±ÿåú«úÔö±ô�$Äþ�ö±øA�ù�)� -$§ô�ö¤ô�ÿåù�ú7ö±øA Äþvù�üÄøåý�)GFÆúÔö�)'ýWø���*IHÔú&�§ÿ¯úÔû÷�)!ö�ø¯øúÔù�ú-�Wý�þvù!÷�ù�ø9$§ôvÿ¯ùHúÔ÷�ô�ù�ö!÷�$Äÿ ô�ö±üÄø9�J�õÔùH÷�ý�ú+þvö�ú(�§ù�)�÷��§÷]ôvý�) ù��DõÄù�)!ù�ûHý�úÄýWù�$Ô÷�øåÿ¯úÔýWö±þ¥ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�L�ÿÃ÷�ö¤ô¥øåýWöH÷]ô öH÷õÔö�þ��Sù�ú�ôvõÄýM�=�=�N��������ö�÷�ô�õÄý OQP=���SRT����������ÿ¯ú7÷]ô�ö±ú(�ý3ù��U�¤ö±þvÿ¯ù�$Ô÷�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýV Äþvù�üÄøåý�)ã÷�*Hý�4 û&4�*Äö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯úÔû�ô�õÄýxøåý�úÄû�ô�õ/ù��ô�õÔý.÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô�úÄù�ú-�Wý�þvù5��ý<)ôvù�þ�ÿåú/ö�øåö±ô¡ôvÿ9�ýX.¥ÿ¯ô�õÄÿåú/öY.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý[�:ö�)ôvù�þ]\AF%^ULQ Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�øÔÿåú�ôvõÄý'�Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�ú2^Aù���ô�õÔýøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�4A_&õÄÿÃ÷�ÿ9)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9��ûHÿ��HýW÷] Ôþ�ù=�¤ö±üÔø��'÷¡ý<N$Äþvý;�þ��� §ô�ùHû�þ�ö� ÄõÔÿ98�%$Äú(�ô�ÿåù�úÔ÷�üÔöH÷¡ý<�!ù�ú!ô�õÔýX�ùHú=@]ý��ô�$Äþvý��`OQP=���SRa�����=�N�b�cedTf3gihijkhil=m�donVpNf3dTqahirSl�q?r�sUtTu<hiq?v=m�v�f3d[m�v�v�f�m�dTf3wMhil tau�fxv�dar�y3f3f3w�hil�zSq[r�s7{�|~}A���S�S�S�Ym�l<w2�I�U���S�S�S�V�Uh tTu,tTu�fktah tTgif �T��jkv�dar�pNf3w

y3dan�v<tarSzSdEm�v�u�hiy'u=m�qTu2s9�<l�yZtThirSl�q[�Uh tauM��rSdTqota��y�m�qaf���m3pNf3dEm�zSfZ��y�m�qTf#y3rSl�l�f3yZtahirSl��:� �S������m�l�w/hil/��u=m�v<taf3dX�5r�s7tau�fV��r�rS�`�Z��rSjkv�gifZ�<h t�nMr�sg�m�totThiy3fkv�darS��gif3jkq��AmXy�don<v�tTrSzSdTm�v�u�hiykv�f3dTqTv�f3yZtTh pNf3�M� �S�����[�Uf3qTf�m�dayEu qa��v�v�rSdataf3w hilYv=m�dat]�NnY�7{��:�Im�daf3f�d]�U�Im�dTw �I�I���%�S�S�S�S�S�S�Vm�l<w�m{�girNm�lX�Uf3qaf�m�dayEu;�=f�gigir��UqTu�hiv��-�~l�n[rSv�hil�hirSl�q��<�=l�w<hil�zSq��<m�l�w;y�rSl<y�gi�<qThirSl�qIrSd�dTf3y3rSjkjkf3l�w=m�tahirSl�q�fZ�<v<dTf3qTqaf�w;hil[tau�hiqIjxm�tTf3dTh�m�g�m�daf~tau�rSqTf7r�stau�fQm��<tTu<rSd� �qZ¡Im�l�w'w�r?l�r�tUl�f3y�f3qaqEm�dThig n;daf3¢�f�yZtUtTu<f7p<hifZ�Uq~r�s1tau�fQ�£m�tahirSl=m�g-{�y�hif3l�y3f]�=rS��l�w�m�tThirSl��

¤

Page 2: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

ÿåúHôvþvö�)ô�ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3�Jù��&øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýM Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�4����Aù�þvý�ù=�Hý�þ<*�÷¡ÿåú(�ý!ô�õÄýS÷�ý�ô<ù��¥ÿ¯úNô�ýWû�ýWþ<÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHúÔ÷�ù��&ö#øåÿ¯úÔýWö±þ�÷��§÷¡ô�ý�) �Æù�þ�)ã÷�öøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�*�ô�õÄý�þvýW÷�$Äø¯ô�ÿ¯ú`B C�De�ö±úãö�øå÷�ù�ü7ý¥þvý�ûNö±þ��§ý��'ö�÷�ö#�ù�úÔúÄý��ô�ÿåù�ú!ü7ý�ô3.�ýWý�ú'ô�õÔý;�ù�) Ôø¯ý�W9ÿ¯ô3��ù��&H7ú(�§ÿåúÄû�÷�õÄù�þ�ô;úÄù�ú-�Wý�þvù��ý<)ôvù�þ�÷�ÿåúA÷�$Äÿ¯ôvö�üÄø9�2�õÄùH÷�ý�ú+þvö�ú(�§ù�) øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷#P�� R��-�,�=�=�N�������N* �<ö±ú&��ôvõÄý#�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3��ù��Dö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåúÄû<ôvõÄýxø¯ýWúÄû±ôvõù��DôvõÄý�÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô�úÄùHú-��ýWþ�ù��Hý�)ôvù�þYFMö�÷k.�ý�øåø�öH÷�÷�ù�ø9�NÿåúÄû��¤ö±þvÿ¯ù�$Ô÷¥ù�ô�õÄýWþ�øåö±ô¡ôvÿ9�ý5 Äþvù�üÄøåý�)ã÷�L�ÿ¯úJö�ú��/øåö±ô¡ôvÿ9�ý�� R��-�,OQP�����R��������4

��ý'þvý�)ãö�þ��AôvõÔö¤ô�ü-$Ôÿ¯ø"�§ÿåúÄû`�þ��� §ô�ùHû�þ�ö� ÄõÄÿ"Y�%$Äú()ôvÿ¯ùHúÔ÷xôvõÔö¤ô<ö±þvýãö�÷xõÔö�þ��Üô�ù#üÄþvýWö��Üö�÷3ôvõÄý:OQP=���SRT�����=���xÿ¯ú7÷]ô�ö±ú(�ýù���ô�õÔý2$Äú(�§ýWþ�ø9�9ÿ¯úÔû!)ãö±ô�õÄý�)!ö±ô�ÿ"�ö�ø] Äþvù�üÄøåý�) ÿÃ÷�ý�÷� Pý��ÿåö�ø¯ø9�Üÿ9)� 7ùHþ¡ô�ö±úNô<ÿ¯ú�ôvõÄý/�öH÷¡ý!ù���øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷<ü7ý<�ö�$7÷¡ýãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ö� -0 Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú«ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷ F:ø¯ÿ9��ý'ôvõÄý � � hö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) B C���D%Lxö±þvý'ü7ýWø¯ÿåý��Hý��«ô�ù+ Pý�þ��Æù�þ�) )Y$(�õ�üPý�ô¡ôvý�þ<ùHúÜôvõÄý�ö���ýWþvö�û�ýô�õ7ö±úãôvõÄý�ÿåþQ.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý�ô�õÄýWù�þvý�ô�ÿ"�ö�ø($- ( 7ýWþ�üPù�$Äú&�Ä÷�4��AùHþ�ýWù=��ýWþ�*±÷�ÿ¯ú&�ý øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýx Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷�û�ý�ô�ý�ö�÷�ÿ¯ýWþ�ö±ú(�!ý�ö�÷�ÿ¯ýWþ�öH÷;ô�õÔýö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú��:ö�)ôvù�þ]\AF%^UL�ÿåú(�þvýWöH÷¡ý�÷�*��§ý�ôvý�þ�)'ÿåúÄÿåúÄû<ôvõÄýx÷�)ãö±øåøåýW÷¡ô8.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý¥ÿ¯úÔö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±üÔÿ¯øåÿ ô3�,�:ö��ô�ùHþ]\AF%^UL�ô�õÔö±ôÿ9) Ôø¯ÿåýW÷�ô�õÄý ö��Hý�þ�ö±ûHýN0Z�ö�÷�ý�õ7ö±þ��§úÄýW÷v÷;ù��÷�ù�ø9�9ÿ¯úÔû5>A@�ôvö�ÿ�� ÷�þ�ö±ú&�§ù�) ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�*�ÿÃ÷;ü7ù�ô�õSö.ôvõÄý�ùHþ�ý�ô�ÿ"�ö�ø¯ø9��ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû<ö�ú(�öM Äþ�ö��ô�ÿ"�ö�ø¯ø9�Sÿ9)� 7ùHþ¡ô�ö±úNô; Äþvù�üÄøåý�)+*�ö±ú(�#ÿ¯ô3õ7ö�÷�üPý�ýWúAô�õÔý�÷�$Ôü1@]ý��ô3ù���÷�$ÄüÔ÷�ý�K�$ÄýWúHôX.�ùHþ��/ü�����ö�ÿ�ö±ú&����ý�þ�$Äþ��¤ö±þYB ¤�¤ Dö±ú&���Aÿ"��ÿåö�ú(�ÿåù:B ���<DkÿåúAö, Ôþ�ýWø¯ÿ9)!ÿ¯úÔö�þ��/��ý�þ�÷�ÿ¯ùHúSù���ô�õÄÿÃ÷k Ôö� 7ýWþ�4���� "!�#%$'&( *),+-��&()�#%$/. _&õÄý -$Äþ� 7ùN÷¡ý«ù���ô�õÔÿå÷! Ôö� 7ýWþ/ÿÃ÷�ô3.�ù��ÆùHø9�I410,ÿåþv÷¡ô/ù���ö±øåøa*;.�ý«û�ÿ9��ý«ö �%$Äøåøa*.÷¡ýWø �,�ù�úNôvö�ÿ¯úÔý�� Äþvù9ù��kù��~>A@�ô�ö±ÿ2� ÷&ùHþ�ÿåû�ÿåúÔö±øPþvýW÷�$Äø ô5B C<Dkö±ú&�Sö �§ý�ô�ö±ÿåø¯ý<�/ö���ù�$ÄúNô�ù���ö±øåø�þ�ýWø¯ý��¤ö±úNô�ôvý��õÄúÔÿ9K�$Äý�÷�ÿåúNô�þvù1�1$(�ý<�Sÿåú/÷�$ÄüÔ÷�ý�K�$ÄýWúNôÿ9) Ôþ�ù=�Hý�)!ý�úNôv÷�ü��3��ö±ÿ&ö±ú(�3��ý�þ�$Äþ��¤ö±þJB ¤�¤ DT454�þ�ý��Nÿåù�$7÷5 Ôö� 7ýWþv÷!B C-* ¤�¤ D¥ù�úÔø��àö� ( 7ý�ö±þvý��àÿåúßôvõÄý!�Æù�þ�) ù�� ýNW9ôvý�ú(�§ý<�ö±ü7÷]ôvþvö�)ôv÷kù�þkô�ý��õÔúÄÿ9Wö±øNþ�ý� 7ùHþ¡ô�÷ôvõÔö¤ôDø¯ý��Çôkôvù�ô�õÔý�þvýWö��§ý�þkô�õÄý�ü-$Äþ��§ý�ú<ù��Ôþvý��ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯úÄû&ôvõÄý[�§ý�ô�ö±ÿåøå÷�ù��-)ãö±ú��3ô�ý<�õÄúÄÿ"�ö±ø÷¡ô�ý� 7÷�4.ó�úAô�õÔÿå÷' Ôö� 7ýWþX.�ýY�§ý���ý�øåù� «ö�ú�$-)�üPý�þ.ù���ýWø¯ý�)!ý�úNôvö�þ���*P÷¡ô�ÿåø¯ø7$Ô÷�ýN�%$Ôøa*�û�ýWúÄý�þ�ö±økô�ý<�õÄúÄÿ"K�$ÔýW÷ ô�õÔö±ô.ö±øåøåù=. ü7ù�ô�õAôvù�ù=�Hý�þ ö�ø¯økô�õÄý'÷]ôvý� Ô÷3ÿåúAû�þvýWö¤ô'�§ý�ô�ö±ÿåøa*�ö±ú(�Üö¤ô�ôvõÄý�÷vö�)!ý�ôvÿ�)!ý�ö�øå÷�ù�ù76PýWþ3ö2�ø¯ý�ö±úÄýWþ õÄÿåû�õAøåý��Hý�øU Ôÿ9�ô�$Äþvý�ù��;ô�õÄý, Äþ�ù9ù��348 ý<�ù�ú&�§ø���*�.�ý�ýNW1 Äøåù�þvý;ô�ùX.¥õÔö¤ô,ýNW9ô�ýWúHô�ô�õÄý?.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý;ÿ¯úÔö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±üÔÿ¯øåÿ ô3�;�:ö��ô�ù�þ�÷�\AF%^UL��Æù�þ,øåö±ô¡ôvÿ9�ýQ Äþvù�üÄøåý�)ã÷?F:÷�õÄù=.¥úô�ù!ÿ9)� Äø���ô�õÄý�ö���ýWþvö�û�ý�0EWö�÷�ý�õ7ö±þ��§úÄýW÷v÷�ù���÷�ù�ø9�9ÿ¯úÔû�þ�ö±ú(�Äù�) øåÿ¯úÄý�ö±þ�ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷�ÿåúB C1* ¤�¤ D�L?Wö±úSüPý'�%$Äþ�ô�õÄýWþ¥þ�ý<�1$(�ý<��4Dó�úô�õÔýX Äþvù1�ý�÷�÷�*�.�ý.ÿ¯úNô�þvù1�1$(�ý3ö±ú&�S÷¡ôvö±þ�ô�ÿåú���ý�÷]ôvÿ¯ûNö¤ô�ÿåúÄû5�¤ö�þ�ÿåù�$Ô÷�úÄý�.áøåö±ô¡ôvÿ9�ý; Äþvù�üÄøåý�)ã÷�ô�õÔö±ôk)'ÿåû�õNô�ü7ý.ù��kÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHôÿåúHôvý�þvýW÷¡ô�*;ö±ú&�ßö±þvý/�§ÿÃ÷��$Ô÷v÷¡ý<�àÿ¯ú )'ùHþ�ýJ�§ý�ô�ö±ÿåø�ÿåúàô�õÔý/�ÆùHø¯øåù=.¥ÿ¯úÔûJ÷�$Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú7÷�4_&õÄýW÷�ýãô�ý<�õÄúÄÿ"�ö�ø?�ù�úNô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�úÔ÷�ö±þvý÷�$-)�)!ö�þ�ÿ9��ý<�ÜöH÷;�ÆùHø¯øåù=.�÷�4:93ú«ô�õÄýãö���ýWþvö�û�ý�0EWö�÷�ý5�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�J÷¡ÿ"�§ý�*I.�ý'ÿåúHôvþ�ù1�1$&�ýãö/�9ÿåú(�«ù���øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷MFÇô�õ7ö¤ô#.�ý��ö�ø¯ø��;=<�P=��R?>-����@N���NR�ÿåúSö±úÔö�ø¯ùHû��,.¥ÿ ôvõ2 7ýWþ��Æý<)ôk�ù1�§ý�÷�LN*Nö�ú(�M$Ô÷�ý�ôvõÄý�) ôvù,�§ý�HÔúÄý3ö�e��O ���A�CB�P�< �D;�������ù���ø¯ÿåúÄýWö�þ�ý<K�$7ö¤ô�ÿåù�ú7÷÷�$(�õSôvõÔö¤ôkH7ú(�§ÿåúÄûã÷�)ãö±øåøk÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷�ùHúSôvõÄý<ö���ýWþvö�û�ý3ÿå÷[ Pù±ôvý�úNô�ÿÃö±øåø��/õÔö±þ��§ýWþ�ôvõÔö±ú+ÿåú/ôvõÄý�þ�ö±ú(�§ù�) �øÃö�÷v÷[ Äþvù� PùH÷�ý���ü��>A@�ô�ö±ÿT4E93ú#ô�õÔýY.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ýV�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�+÷�ÿ9�Äý�*(.�ýY�ù�úÔ÷�ÿ9�Äý�þ;�¤ö�þ�ÿåù�$Ô÷F�e��OG;��=RTR2o���H>���P7ID;��D<Y�S*�øåÿ��Hý�ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåúÄû!ô�õÔý��P=�=�N�J�������7BA�K���ù�� öAøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�4ML3÷¡ÿåúÄûAôvõÄýW÷�ýSúÔý�. Äþvù�üÄøåý�)ã÷�*~.�ý/ö�þ�ý�ö�üÄø¯ý�ô�ùJÿ9)� Äþ�ù=�Hý!ô�õÄý!�ùHúÄúÄý��ô�ÿåù�ú �:ö�)ô�ùHþ5�ÆùHþô�õÔý'÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ôX��ý��ô�ùHþ; Äþvù�üÄøåý�) ýW÷¡ôvö�üÄøåÿå÷�õÄý��Jÿ¯ú B C�* ¤�¤ DT4 8 Pý��ÿ�H&Wö±øåø���*e.�ý�÷�õÄù=.`ô�õ7ö¤ô;H7ú(�§ÿåúÄû+÷�)ãö±øåø�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷�ôvùSù�$Ôþþ�ö±ú(�§ù�)�ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷VFo.¥ÿ ôvõAúÄù�ú10OúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÄøåý' Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�-LN*§ÿå÷�ö±ô¥ø¯ý�ö�÷¡ô¥öH÷&õÔö±þ��+ö�÷�ô�õÔýMOQP=���SRa�����=�N�¥ÿ¯úÔ÷¡ôvö�ú(�ýxù��

N ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄûãô�õÔý'øåý�úÔû±ô�õ«ù���ôvõÄýã÷¡õÔù�þ�ô�ýW÷¡ô3úÔù�ú-�Wý�þvù/��ý<)ôvù�þ.ÿ¯úÒö±ú��+^�0E�Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�úÔö�øDøåö±ô¡ô�ÿ"�ý .¥ÿ¯ô�õÄÿåú�ö/�:ö��ô�ùHþ\7Fo^ULFOQPIFo^ULSR=^T�VU WVX;FÆøåù�û]^ULN*7.¥õÄý�þvý�PIF%^ULY B ¤7ZJ[ ^�D�ÿå÷�ö+ Ôö±þ�ö�)!ý�ô�ý�þxôvõÔö¤ô��§ý� Pý�ú&�Ä÷<ùHú«ôvõÄý/ö�ø�)!ùN÷]ô5 Pý�þ��Æý��ôøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷[$Ô÷�ý��+ÿ¯ú/ô�õÔý5�ù�ú7÷]ôvþ�$(�ô�ÿåù�ú#ö±ú(��X;F:ø¯ùHû]^UL�ÿå÷�ö�ú+ö�þ�üÔÿ ôvþvö�þ���÷�$- Pý�þvø¯ùHûHö±þvÿ¯ô�õ-)!ÿ"x�%$Äú&)ô�ÿåù�úU4

\]�Hý�ú!�Æù�þ]PIF%^ULSO [ ^«ôvõÄÿÃ÷ ÿ9)� Äþ�ù=�HýW÷�ôvõÄýY�ùHúÄúÄý<)ô�ÿåù�ú+�:ö�)ôvù�þk\AF%^ULSO ^?^`_�a&ù��kB ¤�¤ D,ü��J)!ù�þvý�ô�õÔö�úJö �:ö��ô�ù�þX^A4#F 8 ýWý8 $Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú ¤ 4 � �Æù�þM�§ý�ô�ö±ÿåøå÷ãö�ü7ù�$§ô!ô�õÄý#þvýW÷�$Äø¯ôv÷!ù���B ¤�¤ DE4 Lb�«ýAþvý�)ãö±þ���ô�õÔö±ô��%$Äú()ôvÿ¯ùHúcPIF%^UL'ÿÃ÷ãö Ôö�þvö�)!ý�ô�ýWþ'ô�õÔö±ô�§ý� 7ýWú(�Ä÷xù�úÜô�õÄý��ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúÜù���ô�õÄý'þvö�ú(�§ù�) ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�*�ö�ú(�Jÿ¯ô�ý�K�$Ôö�øå÷ [ ^pÿåú >A@�ô�ö±ÿ2� ÷#�ù�úÔ÷¡ô�þ�$(�ô�ÿåù�úÜöH÷.÷¡ô�$&�§ÿ¯ý<�ÿåú B C�* ¤�¤ DE4;ó�ú/ôvõÄÿÃ÷k Ôö� Pý�þk.�ýxû�ÿ9��ý�ö'ü7ý�ô¡ôvý�þ;�ù�úÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHú+÷�õÄù=.¥ÿåúÄû�ô�õÔö±ô ÷�)ãö±øåøåý�þ[�¤ö±ø9$ÄýW÷¥ù���PIFo^UL¥ö±þvýX PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý�4]_&õÔýÿ9) Ôþ�ù=�Hý�)!ý�úNô�.�ý+ ÄþvýW÷�ý�úNôãÿå÷MK�$Ôö�úNô�ÿ¯ôvö¤ôvÿ��Hý�ø9� )!ù1�§ýW÷¡ô`FÆúÔö�)'ýWø���*/PIFo^ULdOfe ^xø¯ùHû�ø¯ùHû]^�g,øåù�ûA^ULN*�ü-$Äô/K�$7ö±øåÿ ô�ö¤ô�ÿ9��ýWø��ÿåúHôvý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû(*�ö�÷ ÿ ôx÷¡õÔù=.�÷¥ô�õ7ö¤ô'>]@�ôvö�ÿ�� ÷X�øåöH÷�÷ ù��;þ�ö±ú(�§ù�) ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ÿÃ÷ úÔù±ô úÄý<�ý�÷�÷vö±þvÿ¯ø9�+ù� §ôvÿ�)ãö±ø,ö±ú(�Aô�õÄýWþ�ý<ÿÃ÷3þ�ù9ù�)ô�ù!õÄù� 7ýxôvõÔö¤ôx)!ùHþ�ý�÷�$ÄüÔ÷¡ôvö±úNôvÿåö�øÿ�)� Äþvù=��ý�)'ýWúNôv÷&ö±þvýX PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý�4

��ý&ö�øå÷�ù.þ�ýWøåö±ô�ý�ô�õÄý�ö��Hý�þ�ö±û�ý8�ö�÷�ý[�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3��ù����ù�)� -$Äô�ÿåúÄû�÷�)ãö±øåøÄ÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷�ôvù.ù�$ÄþDþvö�ú(�§ù�) ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷�ô�ùxù�ô�õÄýWþøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý# Äþvù�üÄøåý�)ã÷�*§ø¯ÿ9��ý.ô�õÔýMOQP=���SRa�����=�N�¥ÿ¯úÔ÷¡ôvö�ú(�ý�÷&ù��æ ��lXv=m�dotThiy3��g�m�d����%hotTm�he� ����qTu�r���f3wXtau=m�tUh s1l�r?m�gizSrSdTh tau�j y�m�l;fjiky3hif�lNtag n'm�v<v�dTr��<hijxm�taf£tau�fAgif3l�z�tTuXr�s1tTu<f7qTu�rSdotTf3qot~l<rSl*k3f�dar?pNf3yZtTrSdUhil

m�lNnFl���w�hijkf3l�qahirSl=m�g-g�m�tatahiy3f?�Uh tTu<hil2  ��rSdaqato��y�m�qTf�¡7v�rSg n�l�rSjkh�m�g(m�v�v�dar���hijxm�tThirSl#s9m�yZtTrSdaqnm1 ol1¡-pqlsr�t æ�u ��tau�f3l�vJwAxzy,{%|J}�~���wA������vJw��~f3��hiqat��{����<qTf����<f�lNtag n����£rSgiw�daf3hiyEu��7�£rSgiw<��m�qTqTf3d~m�l�w��~m�gifZp<h�� ������rS��qTf3dapNf3w'tau=m�t~��l�w�f3dUf3qTqTf3lNtTh�m�gig nxtau�f]qEm�jkfAm�qaqT��jkv�tThirSl�q~m�qU�Ch%tEm�h�� q��<rSl�f]y�m�lv�dar�pNfXtau�fXf3��hiqataf3l�y3fVr�sS�2vV�=� �=���ovJwd�,x����=����|Jw�����|V�,��~j�(wA�����ovJw��E��m#v=m�dotThiy3��g�m�dag n���qaf3s���gI��hil�wMr�s7rSl�fZ�"��m�n�s���l�yZtahirSl2s9m�jkhigihif3qQ�Uh tauMjxm�l�nm�v�v�gihiy�m�tahirSl�qUhil'y3dan�v<tarSzSdEm�v�uNnN�� �=rSd8y3g�m�dTh t�nN�(hil,tau�f;dTf3qat8r�sItTu<f;v�m�v�f3dQ��f;m�g �Im�n�q?daf3s�f3dQtarVtau�hiq?m3pNf3dEm�zSfZ��y�m�qTfXv�dTrS��gif3j m�q#�a�=l�w<hil�z#qTjxm�gig&qTrSgi�<tahirSl�q8tar#dEm�l<w�rSjf�����m�tThirSl�qa���1�Uu�higif?g�m�totThiy3f3q8m�dTf[��qaf3w,rSl�g n#tar'w<f�qay3dThi��f?��rSdaqato��y�m�qTf[v�darS��gif3jkq����~r���fZpNf�d�����f[daf3jxm�dT�'tau=m�t]tTu<f?t���r's�rSdTj8��g�m�tThirSl<qAm�dTff����<h pSm�gif3l�t��Im�l�w/m�gig�daf�qa��g taq[w�hiqTy3��qaqTf3wMhil�tau�hiq[v=m�v�f3d[y�m�l2��fXdTf3zNm�dTw<f�w2m�q?y�rSl<l�f3y3tahirSl�qx��fZt���f3f�l2tau�fVm3pNf�dTm�zSfZ��y�m�qTf#m�l�wM��rSdaqato��y�m�qTfy3rSjkv�gifZ�<h t�n;r�s� �w�h ��f3dTf3l�tE¡�g�m�tatahiy3fQv<dTrS��gif3jkq��

C

Page 3: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

N �ù�)� -$Äô�ÿåúÄûk)ãö=W§ÿ�)ãö�ø�÷¡ý�ôv÷kù��9ø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9� ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHô£��ý<)ô�ùHþv÷PôvõÔö¤ô,ö±þvýA.¥ÿ ôvõÄÿ¯ú<ö?�:ö�)ôvù�þ�\AF%^ULnOGPIF%^ULDR ^T�7R X;FÆøåù�ûQ^UL�Æþ�ù�) ô�õÄý<÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô�* �

N ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄû`.¥ÿ¯ô�õÄÿåúhö �:ö��ô�ùHþY\AF%^ULO PIF%^UL R�^T� R7X;FÆøåù�û]^UL�ô�õÔý+�ù=��ýWþ�ÿåúÄûJþ�ö��§ÿ9$Ô÷�ù��xö±ú�� ^�0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�øøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�*�ÿT4 ý�4�*�ô�õÄý+)ãö=W§ÿ9)Y$-) 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø¯ý+�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý���F��'F���L�L O )ãö=W��e�Äÿå÷¡ô<F & Z �'F���L�L .¥õÄýWþ�ý & þ�ö±úÄûHýW÷�ù=��ý�þ�ô�õÔýý�úNô�ÿåþ�ý�÷� Ôö��ý�÷� Ôö�úÄúÄý<�Sü���J*

N HÔú(�§ÿåúÄû(*DûHÿ��Hý�úßö±ú�^�0Z�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±ø�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý/üÔö�÷�ÿÃ÷� ö�ú(�àö#ô�ö±þvû�ý�ô5 Pù�ÿåúNô & *DöJøåö±ô¡ô�ÿ"�ýJ 7ùHÿ¯úNô .¥õÄùH÷�ý2�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý�Æþ�ù�) ô�õÄýxô�ö±þvû�ý�ô & ÿÃ÷�ö¤ôk)!ùH÷¡ôk\AF%^ULnOcPIFo^UL�RN^ � RJX;FÆøåù�û]^UL�ôvÿ�)!ý�÷&ô�õÄý5�ù=��ýWþ�ÿåúÄû�þ�ö��Äÿ�$Ô÷&ù���ôvõÄý�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�4

\]�Hý�ú �ÆùHþ PIF%^UL:O [ ^A*,ô�õÄý/HÔþv÷¡ô�þvý�øÃö¤ôvÿ¯ùHúÒÿ�)� Äþvù=��ý�÷5 Äþvý��9ÿåù�$Ô÷�ø�� �9úÄù=.¥úàü7ý�÷]ô��ùHúÄúÄý��ô�ÿåù�ú �:ö�)ô�ùHþY^��`_�a�ù��5B ¤�¤ D�ü��)!ù�þvý&ô�õÔö�ú [ ^A4[F 8 ý�ý 8 $ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�ú ¤ 4 �'�Æù�þQ�Äý�ôvö�ÿ¯øÃ÷�ö�ü7ù�$§ô�ôvõÄý�þvýW÷�$Äø ô�÷;ù��]B ¤�¤ DE4iLY_&õÄý ù±ô�õÔý�þ;ô3.�ù�þ�ýWøåö±ô�ÿåù�úÔ÷;ö�þ�ý&ôvõÄýkHÔþ�÷¡ôþvýW÷�$Äø ô�÷ ý�W1 Äø¯ÿ"�ÿ¯ô�ø9�`�ùHúÄúÄý<)ô�ÿåúÄûSô�õÄý��ù�) Ôø¯ý�W9ÿ¯ô3�+ù��]HÔú&�§ÿ¯úÔû+÷�)ãö±øåø,÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷¥ô�ù+þ�ö±ú(�§ù�) ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ôvù�ôvõÄý �ù=��ýWþ�ÿåúÄûþ�ö��§ÿ9$Ô÷ Äþvù�üÄøåý�)+4 > ø ôvõÄù�$Ôû�õhúÄý�ÿ¯ô�õÄýWþ� Äþ�ùHüÄøåý�) õÔöH÷'ü7ýWý�ú Äþ�ý��9ÿ¯ù�$Ô÷¡ø9� �ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ�ý<�àÿåú �ù�)� -$§ô�ö¤ô�ÿåù�ú7ö±øx�ù�)� Äø¯ý�W§ÿ ô3��*ô�õÔý��Jö±þvý�üPù±ôvõÜúÔö±ô�$Äþ�ö±ø7�ù�)� -$§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�ø~ Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷ ùHúÜøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷3ô�õ7ö¤ôV)'ÿåû�õNôxü7ý'ù���ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô.ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�4#_&õÄý'øÃö�÷¡ô Äþvù�üÄøåý�) ÿÃ÷;ö �¡û�$7ö±þ�ö±úNô�ýWý��5�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý��X�¤ö±þvÿåö�úNô,ù��Äô�õÄý[.�ý�øåøÄ÷]ô�$(�§ÿåý�� �øåùH÷�ýW÷¡ô£�Hý��ô�ù�þ7 Äþvù�üÔø¯ý�)!*=.¥õÔý�þvý�ôvõÄý&ý�þvþ�ùHþ�ÿåúÔ÷¡ô�ýWö��ù���ü7ýWÿ¯úÔû!)!ý�ö�÷�$Äþ�ý<�`.¥ÿ¯ô�õÒþvýW÷� 7ý<)ôxô�ù/ô�õÄý2�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý!ù���ô�õÄý!ûHÿ��Hý�úJô�ö±þvû�ý�ô�*�ÿÃ÷V)!ýWö�÷�$Äþvý�� .¥ÿ ôvõ«þvýW÷� 7ý<)ôxô�ù+ôvõÄý�.�ùHþv÷¡ô�öH÷¡ý#�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ýxù=��ýWþ&ö�ø¯ø� PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý.ôvö�þ�ûHý�ôk��ý<)ô�ùHþv÷�4>�øåø&ù�$Äþ!þvýW÷�$Äø¯ôv÷!ö±þvýSùHü§ôvö�ÿ¯úÄý<�pöH÷ �ù�þvù�øåøåö�þ�ÿåýW÷<ô�ùÒö )ãö�ÿ¯úpô�õÄýWù�þvý�) ô�õ7ö¤ôã÷¡õÄù=.�÷�ôvõÔö¤ô HÔú(�§ÿåúÄûà÷�)!ö�ø¯ø¥÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷ô�ùAù�$Äþ�þ�ö±ú(�§ù�) ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷xÿÃ÷�ö¤ô<øåýWöH÷]ô<öH÷xõÔö±þ��Òö�÷.ô�õÔýM.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý�ÿ¯úÔ÷¡ôvö�ú(�ýãù��QHÔú&�§ÿ¯úÔû:)!ö�W§ÿ�)ãö±ø�÷¡ý�ôv÷xù��&øåÿ¯úÄý�ö±þvø��ÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô8�Hý��ô�ù�þ�÷Dù��øåý�úÄû�ô�õ�ö±ôQ)!ùH÷¡ô]\7Fo^ULnO PIFo^UL [ ^FR2X;F:ø¯ùHû]^UL,ô�ÿ9)!ýW÷�öxúÄý�. øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ÿåú���ö�þ�ÿÃö±úNô;ôvõÔö¤ôQ.�ý;Wö±øåøÄô�õÔý

���V���N���A;���<� BKs�% @NP=�J< ���7BA�K���4n� ù±ôvÿ9�ý.õÔù=.áô�õÔÿå÷?�:ö�)ô�ùHþ&ÿå÷&ý�WNôvþ�ý�)!ý�ø9�S÷�)ãö�ø¯øT�A�§ý� Pý�ú(�Äÿ¯úÄûãùHúSôvõÄýV�¤ö±ø9$Äýxù�� PIF%^ULS*-\7Fo^UL�ö�ú#ü7ý�öH÷ ÷�)ãö±øåøkö�÷ [ ^ RVX;F:ø¯ùHû]^ULS4k_&õÄÿÃ÷ ÷�$ÄûHû�ýW÷¡ôv÷�ôvõÔö¤ô;�%$Äþ¡ôvõÄý�þ3ÿ¯ú��HýW÷¡ô�ÿåûHö¤ôvÿ¯ùHú/ù��Dö�ø�)!ùN÷]ôx Pý�þ��Æý��ô3øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�ö�ú(�+ô�õÔý�ùHúÄúÄý<)ô�ÿåù�ú+üPý�ô3.�ý�ý�ú+ôvõÄý#$ÄúÄÿ��Æù�þ�)�þ�ö��§ÿ9$Ô÷¥ö±ú&�Sù�ô�õÄýWþ¥øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�ÿåú��¤ö±þvÿåö�úHô�÷?)'ÿåû�õNô¥øåýWö��/ôvù'ý���ýWú+÷¡ô�þvù�úÄûHý�þk�ùHúÄúÄý<)ô�ÿåù�ú7÷üPý�ô3.�ý�ý�ú�ôvõÄýSö���ýWþvö�û�ý�0EWö�÷�ý�ö±ú(� .�ù�þ�÷¡ô�0Z�ö�÷�ý��ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�Üù��[�ù�)� -$§ôvÿ¯úÄûJ÷�õÄùHþ¡ô<øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýM��ý<)ôvù�þ�÷�4�ó�ú� 7ö±þ�ô�ÿ"N$ÄøÃö±þ<*I.�ý�ùHú=@]ý��ô�$Äþvý�ô�õÔö±ôDô�õÄýWþ�ý&ýNW§ÿÃ÷]ôDþ�ö±ú(�§ù�) �øÃö�÷v÷¡ý�÷,ù��7øåÿåúÄýWö�þ,ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷D÷�$(�õ�ô�õ7ö¤ô7HÔú(�§ÿåúÄû�÷�)!ö�ø¯øÄ÷�ù�ø9$§ôvÿ¯ùHúÔ÷,ù�ú�ô�õÄý¥ö���ýWþvö�û�ýÿÃ÷3ö±ô.øåýWöH÷]ôxö�÷�õ7ö±þ��Jö�÷.ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåúÄû!ô�õÔý�øåý�úÄû�ô�õJù���ô�õÔý'÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô3úÄù�ú-�Wý�þvù2��ý<)ôvù�þ ÿåú«ö�ú��!^�0Z�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±ø�øåö±ô¡ôvÿ9�ý.¥ÿ¯ô�õÄÿåúAöY�:ö�)ôvù�þ[\AF%^ULnO ^�� U WSRDX;FÆøåù�û]^UL�ÿåúSôvõÄý#.�ù�þ�÷]ôx�öH÷¡ý�4ó�ú#ô�õÔý5�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû/÷�$Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú7÷x.�ý<û�ÿ9��ý<ö/)'ùHþ�ý5�Äý�ôvö�ÿ¯øåý�� �§ýW÷��þvÿ� Äô�ÿåù�úAù��DôvõÄý�úÄý�. øåö±ô¡ôvÿ9�ýY Äþvù�üÄøåý�)ã÷¥ÿåúNô�þvù1�1$(�ý<�ÿåú/ôvõÄÿÃ÷k Ôö� Pý�þ<*Äö±ú&��ôvõÄý�úAþvý��9ÿåý�. Äþvý��9ÿåù�$Ô÷[.�ù�þ��ãÿåú+þvý�øÃö¤ôvý��+ö±þvýWöH÷�4����� ����������� �"!$#%�'&)(+*-,.���0/21> øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýãÿå÷�ô�õÄýS÷�ý�ô<ù���ÿåúNô�ýWþv÷�ý��ô�ÿåù�ú 7ùHÿ¯úNôv÷<ù��¥ö/þvý�û�$ÄøÃö±þ<*�ü-$§ô<úÄù�ô<úÄý��ýW÷v÷�ö�þ�ÿåø9�Jù�þ�ô�õÄùHû�ùHúÔö±øT*�^�0E�Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�úÔö�ø;û�þvÿ9�I4�Jö±ô�õÄý�)!ö±ô�ÿ"�ö�ø¯ø9��*Dÿ¯ô�Wö±úàüPýJ�§ý�÷��þ�ÿåü7ý<�ßö�÷<ô�õÄý#÷�ý�ô�ù���ö±øåø�ÿåúNô�ý�ûHý�þ�ø¯ÿåúÄýWö�þ,�ù�)�üÔÿ¯úÔö±ô�ÿåù�ú43 � + �65 R(RDR 5 387 + 7 Fo.¥ÿ ôvõ3 � Z:9�9:9VZ 3 7 Y<;XL§ù��Pö3÷¡ý<K�$Ôý�ú(�ý�ù��Ôø¯ÿåúÄý�ö±þvø���ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ý�úNôA��ý<)ôvù�þ�÷ + � Z�9:9:9DZ + 7 ÿåú \]$&�øåÿ9�§ý�ö±ú'÷� Ôö��ý>=@?J47_&õÄý&÷¡ÿ9)� ÄøåýW÷¡ôýNWÄö�) Ôø¯ý�ÿÃ÷�ôvõÄý���&RE�E���N� ;��=RTR�o���A; 7 *Dÿa4 ý�49*,ô�õÄý+÷¡ý�ô�ù��¥ö�ø¯ø8^�0E�Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�úÔö�øQ�Hý�)ôvù�þ�÷V.¥ÿ ôvõßÿåúHôvý�ûHý�þ,�ù9ù�þ��§ÿ¯ú7ö¤ô�ý�÷�4:_[.�ù�%$Äú(�Ôö�)!ý�úNôvö�øI�ùHúÔ÷]ô�ö±úNôv÷&öH÷�÷�ù1�ÿÃö¤ô�ý<�!ô�ùãö�ú��ãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ö±þvý�ôvõÄý]>-���CBA����J����B��K���ö�ú(�Sô�õÄý2��P=�=�N�J����2���7B��K��S�DôvõÄýV Ôö���9ÿåúÄûþ�ö��§ÿ9$Ô÷�ÿå÷�ôvõÄý�øÃö±þvû�ýW÷¡ô&þvö��§ÿ�$7÷�÷�$(�õ/ô�õÔö±ô5FÆù� Pý�úeL&÷� ÄõÔý�þvýW÷[�ýWúHôvý�þvý��+ö¤ôk�§ÿÃ÷]ôvÿ¯ú(�ô�øåö±ô¡ôvÿ9�ý' Pù�ÿåúNôv÷x�Äù�úÄù�ô¥ÿ¯úNô�ýWþv÷�ý��ô�*Äö�ú(�ô�õÔý,�ù=�Hý�þvÿ¯úÔûãþvö��§ÿ�$7÷�ÿÃ÷�ôvõÄý�÷�)ãö±øåø¯ý�÷]ô þ�ö��Äÿ�$Ô÷3÷�$&�õAô�õÔö±ô Fa�øåùH÷�ý��(L ÷� ÄõÔý�þvýW÷;�ý�úNô�ýWþ�ý<�Aö¤ôxö±øåøkøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýY Pù�ÿåúNôv÷'�ù=��ýWþ¥ô�õÔýý�úNôvÿ¯þvý.÷� Ôö��ý�4�\8K�$Ôÿ��¤ö±øåý�úNôvø���*HôvõÄý]>-���CBA����/����B��K��8Wö±úSüPý#�§ýNH7úÄý��+ö�÷�ô�õÔý.øÃö±þvû�ý�÷]ôED�÷�$(�õSôvõÔö¤ô¥ö±ú��`F:ù� Pý�ú&L�÷� ÄõÄý�þvý.ù��þ�ö��§ÿ9$Ô÷FD:F:úÄù±ô.úÄý��ýW÷v÷�ö�þ�ÿåø��!�ýWúHôvý�þvý��Aö�þ�ù�$Äú(�AöãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýY Pù�ÿåúNô�L;�ù�úNô�ö±ÿåúÔ÷Y�=R <MP��SRxP�����øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý, 7ùHÿ¯úNô�4 8 ÿ�)!ÿåøåö�þ�ø9��*7ô�õÔý��P=�=�N�J����+����B��K��XWö±úJüPý,�§ý�HÔúÄý<�Üö�÷ ô�õÔý'÷�)ãö±øåø¯ý�÷]ôGD�÷�$(�õJô�õÔö±ôxö�ú���Fa�øåùH÷�ý��(L ÷� ÄõÔý�þvý�ù���þ�ö��Äÿ�$Ô÷.D2�ùHúNôvö±ÿåúÔ÷��=R ;����=��RP�����øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý, 7ùHÿ¯úNô�4 ó�úAô�õÄÿÃ÷X Ôö� Pý�þ'.�ý�ÿ¯úNô�þvù1�1$(�ý�ö�úÄý�. K�$7ö±úNô�ÿ¯ô3��*7ô�õÄý�Ks� @NP��J< ���7BA�K��S*��ÄýNHÔúÄý<�Jö�÷�ô�õÄý'÷�)ãö�ø¯øåýW÷¡ô)D÷�$(�õ�ôvõÔö¤ô¥ö±øåø÷� ÄõÔý�þvýW÷�ù��kþ�ö��Äÿ�$Ô÷HDY�ù�úNôvö�ÿ¯ú �`>7>���P:I��<M�=RZ�V;KJMR��(�V����<M� �%Ks<:I����;ù��køÃö¤ô�ô�ÿ"�ýV 7ùHÿ¯úNô�÷�4kF 8 ý�ý 8 ý��ô�ÿåù�úd�5�ÆùHþöV�ÆùHþ�)ãö±ø��§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�úI4iL 0Ôù�þ�ô�ý��õÔúÄÿ9Wö±øPþ�ý�ö�÷�ù�úÔ÷�*�.�ý�ÿåúNô�þvù��-$(�ý.ö±øÃ÷¡ù<öY��ö�þ�ÿÃö±úNô�ù��ô�õÄýX$ÄúÄÿ��Æù�þ�) þvö��§ÿ�$7÷�*�ô�õÄý#���D�e�����A;���<�`BKs� @NP��J< ���7B��K��S*&.¥õÄÿ9�õ+�ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþv÷�úÄù�ô�ù�úÄø9�S÷� ÄõÄýWþ�ý�÷�*§ü-$Äô ö±þvüÄÿ ôvþvö�þ��2�ù�ú���ý�W�ü7ù1�§ÿåýW÷�4

9;�kö±øåø7ô�õÄý�÷¡ýVK�$Ôö±úNô�ÿ¯ô�ÿåýW÷�*9ù�úÄø9�'ô�õÄýH>(���LB�����M����B��K���õÔöH÷�þvý��ý�ÿ9��ý��/�ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þ�ö±üÔø¯ý ö±ô¡ôvý�úNô�ÿåù�úM�Æþvù�)�ö,�ù�) ($§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�ø�ù�)� Äø¯ý�W§ÿ ô3� 7ùHÿ¯úNô�ù��[�9ÿåý�.#4/óOô�ÿå÷�ýWöH÷��Üô�ùJ÷�ý�ýãôvõÔö¤ô5�ÆùHþ�ö±ú��«øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�*kôvõÄý2 Ôö���9ÿ¯úÄû#þ�ö��§ÿ9$Ô÷�ý<K�$Ôö±øÃ÷�õÔö�ø �&ô�õÔý�ø¯ýWúÄû±ôvõù��DôvõÄý�÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô�úÔù�ú-�Wý�þvùãøåö±ô¡ô�ÿ"�ýY��ý��ô�ùHþ�*Ô÷�ù`F:ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvý�ø9�-L[�ù�)� -$Äô�ÿåúÄûãô�õÔýY Ôö���NÿåúÄûãþ�ö��§ÿ9$Ô÷¥ÿÃ÷;�ù�)� -$§ô�ö¤ôvÿ¯ùHúÔö±øåø��ý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�úNô�ôvù�ù�)� -$§ôvÿ¯úÔûJô�õÔýFMö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ý�*7.¥ÿ¯ô�õÄÿåúßôvõÄý#÷�ö�)'ý+ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú�:ö��ô�ùHþ�L<ø¯ýWúÄû±ôvõpù��¥ôvõÄý#÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ôúÄùHú-��ýWþ�ù.øåö±ô¡ôvÿ9�ýk��ý��ô�ùHþ�4QF 8 ý�ý 8 $ÄüÔ÷�ý�)ôvÿ¯ùHú�C-4 �X�ÆùHþ�ö'�Äÿå÷�N$Ô÷v÷�ÿ¯ùHú�ù��Ôô�õÔýx�ù�)� -$Äôvö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø1�ù�)� ÄøåýNW§ÿ ô3��ù��Pô�õÄÿÃ÷7 Äþvù�üÄøåý�)+4iLÓ �~f3dTfS�(m�l�wYtTu�darS��zSu�rS�<t8tTu<fkdTf3qatQr�s�tau�fxv=m�v�f�d��1tTu<fkgif�l<z�tTu�r�s~mx�=l�h taf;qafZt8r�s] �gihil�f�m�dTg n5hil�w<f�v�f3l�w�f3lNtZ¡ApNf3y3tarSdTq8hiq]w�fZ�=l�f3wMm�q]tTu�f

jxm���hij?��j�gif3l�z�tauVr�s1tau�fApNf�yZtarSdTqUhilXtau�fAqTfZt��

Page 4: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

�3ý�ô�ýWþ�)!ÿåúÄÿåúÄû!ô�õÄý+��P=�=�N�J����/���7B��K��¥ù��DöãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý<ÿÃ÷�öM�øåöH÷�÷�ÿ9V Ôþ�ùHüÄø¯ý�)�ÿåú#ô�õÄý�û�ý�ù�)!ý�ô�þ��Sù��;ú�$()�üPý�þ�÷�*Äü($§ô ÿ¯ô3õÔöH÷þvý��ýWÿ��Hý��Ò÷�ù+�:ö±þ5�Hý�þ��Üøåÿ ô�ô�øåý/ö¤ô�ô�ýWúHôvÿ¯ùHú�Æþ�ù�) ö:�ù�)� -$§ô�ö¤ô�ÿåù�ú7ö±ø8�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3� Pù�ÿåúHô�ù��k�9ÿ¯ý�.#4���ý/÷�$Äû�ûHýW÷¡ô�ô�õÔö±ô<ô�õÔý�ù=�Hý�þvÿ¯úÔûJþvö��§ÿ9$Ô÷<ÿÃ÷�*�ü��àÿ¯ôv÷�ý�ø��3*�ö�úßÿ¯úNôvý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû Äþvù�üÔø¯ý�) ô�ùÜüPý#÷]ô�$(�§ÿåý��hö�÷'ö` Pù±ô�ýWúNô�ÿÃö±ø¥÷¡ù�$Äþ��ý�ù��X�ù�) ($§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�øõÔö�þ��§úÔýW÷v÷�43�«ý`�ù�ú=@]ý<)ô�$Ôþ�ý/ô�õÔö±ô/�ù�) ($§ô�ÿåúÄû�ô�õÄý:�ù=��ý�þvÿåúÄûÜþ�ö��§ÿ9$Ô÷'ÿÃ÷��H4A0OõÔö�þ���43�«ýAþvý�)ãö�þ���ô�õ7ö¤ô�ý��Hý�ú �Æù�þ!ô�õÔýýNWÄö�)ôk��ýWþv÷�ÿ¯ùHú�ù��,ô�õÔý' Ôþ�ùHüÄø¯ý�)+*§úÄù��H4A0OõÔö�þ��§úÔýW÷v÷�þvýW÷�$Äø¯ô¥ÿå÷k�$Äþ�þvý�úNôvø��M�9úÄù=.¥úI4�� ù=.�ý���ý�þ<*Hô�õÄý�ý�W§ö�)ô�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú/ô�ù'ô�õÔý�ù=�Hý�þvÿ¯úÔûSþ�ö��§ÿ9$Ô÷V Äþvù�üÄøåý�)$ÿå÷�úÔù±ô�ý��Hý�ú �9úÄù=.¥úJôvùAü7ý2�ù�)� -$§ô�ö±üÄøåý!ÿ¯úc�ePA�(�zB��NRZ�N�J< �� "�SR2o�# Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø,ô�ÿ9)!ý F,�]48LS*ö±ú&�+ô�õÄý'ö±úÔö�ø¯ùHû�ù�$7÷[ Äþ�ùHüÄøåý�) �ÆùHþ øåÿ¯úÔýWö±þ'�ù1�§ý�÷¥ÿå÷X�9úÄù=.¥ú+ô�ù�üPý,�ù�)� Äøåý�ôvý#�Æù�þ ô�õÄý�÷�ý��ù�ú(�#øåý��Hý�ø�ù��Dô�õÄý, 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øõÄÿåý�þ�ö±þ��õ��`B ����DT*ÄöM�øåöH÷�÷�ù��£ Äþvù�üÔø¯ý�)!÷[ Ôþ�ý�÷�$-)ãö�üÄø��M),$(�õ#õÔö±þ��§ýWþ�ôvõÔö±ú��]4A0Z�ù�)� Äøåý�ôvýxù�úÄý�÷�4_&õÄý! Äþvù�üÄøåý�) ù��3ý�÷]ôvÿ�)ãö¤ôvÿ¯úÔûÜôvõÄý������D�e������;���<� B��5Ks�% @NP=�J< ���7B��K��S*�õÔö�÷!üPý�ýWúfÿ9)� Äø¯ÿ"�ÿ¯ô�ø9� �ù�úÔ÷�ÿ9�Äý�þvý��ßüPýN�ÆùHþ�ý#ÿåú

�ùHúÄúÄý<)ô�ÿåù�ú�.¥ÿ¯ô�õM�Hý�)ôvù�þ]K�$Ôö�úHôvÿ���ö¤ôvÿ¯ùHú ^#B C�DT*9ö±ú&�,�Hù�ø9$-)!ý¥ýW÷¡ô�ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú� Äþvù�üÔø¯ý�)!÷kB C7��DT*Nü-$§ô�ùHúÄø9�#�Æù�þ;ôvõÄý ÷� 7ý<�ÿÃö±ø(Wö�÷�ýù��,ô�õÔý�ÿ¯úNô�ýWû�ýWþ�øåö±ô¡ôvÿ9�ý; 7 ö�ú(�#÷� Pý��ÿ H&#�ù�ú���ý�WSüPù��Äÿ¯ý�÷5F:÷� ÄõÄýWþ�ý�÷¥ù�þk Pù�ø9�9õÄý��§þ�ö�LN4;ó�ú#ô�õÄÿÃ÷k Ôö� 7ýWþx.�ý.ûHý�úÄýWþvö�ø¯ÿ9��ý.ôvõÄÿå÷úÔö±ô�$Äþ�ö±ø,û�ýWù�)!ý�ôvþ�ÿ"5 Äþvù�üÔø¯ý�) ôvù+ö�þ�üÔÿ ôvþvö�þ��+øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷xö±ú(� �ùHú��HýNW#ü7ù1�§ÿåýW÷�*�ö±ú&�Ü÷�õÄù=.6ô�õÔö±ô3ôvõÄý!û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ��Wý��+$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)þ�ö��§ÿ9$Ô÷&ÿÃ÷¥ö±ø9.�ö��§÷?.¥ÿ ôvõÄÿåú#ö,�:ö�)ô�ùHþ���F%^UL?�Æþvù�)�ô�õÄý5�ù=��ý�þvÿåúÄû�þ�ö��Äÿ�$Ô÷�4���� � ��/ * 1 � & ��(��C� # � � �����"!�#%�01_&õÄý� Ôö���NÿåúÄû+þvö��§ÿ9$Ô÷xö±ú(��ù=�Hý�þvÿ¯úÄû/þvö��§ÿ9$Ô÷.õÔö���ý'ü7ýWý�ú�ýNW9ô�ýWúÔ÷�ÿ��Hý�ø9�J÷]ô�$(�§ÿåý���ÿ¯ú �ù1�§ÿåúÄû+ô�õÔý�ù�þ���4��]P(B��S�xö±þvý'÷�ý�ô�÷xù��÷¡ô�þvÿ¯úÄûN÷/Fa�ö±øåøåý�� ��P�B���OQP=��B=��L�ù�� ÷¡ù�)!ý2H-W§ý��ßø¯ýWúÄû±ôvõ ^Zù=��ýWþ�ö:H7úÄÿ ôvý+ö�ø� ÔõÔö±üPý�ô��X*A.¥ÿ ôvõßôvõÄýF�� ö�) )!ÿåúÄû�LY�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ýüPý�ô3.�ý�ý�ú�÷]ôvþ�ÿåúÄûN÷;)!ýWöH÷�$Ôþ�ý<�Üö�÷ ô�õÔý'ú�$-)�ü7ýWþ3ù��8 PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHúÔ÷3ÿ¯ú.¥õÄÿ"�õJô�õÔý�ô3.�ù+÷¡ô�þvÿåúÄûH÷'�§ÿo6PýWþ�4 8 ÿ�)!ÿåøåö�þ�ø9�+ô�ù+øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�*ô�õÔý! 7ö���9ÿ¯úÔûÜþ�ö��§ÿ9$Ô÷!ö±ú(� �ù=�Hý�þvÿ¯úÄûÜþvö��§ÿ�$7÷�ù��3ö�ù1�§ýAö±þvýJ�§ý�HÔúÄý<�föH÷�ôvõÄý+øåö�þ�ûHýW÷¡ô!ö�ú(�p÷�)ãö±øåø¯ý�÷]ô!þvö��§ÿåÿ&÷�$(�õpô�õÔö±ôô�õÔý�� ö�) )!ÿåúÄû�÷� ÄõÄý�þvýW÷;�ý�úNôvý�þvý��#ö¤ô;�ù��Äý�.�ù�þ��Ä÷¥ö±þvý#�§ÿå÷o@]ù�ÿåúNô ù�þx�ù=��ýWþ&ô�õÄý�ýWúHôvÿ¯þvý<÷� Ôö��ý�� 7 *ÔþvýW÷� 7ý<)ô�ÿ9��ýWø���4Q> �ù��ÄýÿÃ÷2�ö�ø¯øåý�� >(�N��@N����R ÿ��.ôvõÄý: Ôö���NÿåúÄûàþ�ö��§ÿ9$Ô÷!ý<K�$7ö±øÃ÷'ô�õÄý �ù=��ýWþ�ÿåúÄû�þvö��§ÿ�$7÷�4áó�úZù�ô�õÄýWþM.�ùHþ��Ô÷�*�ô�õÄý �ù1�§ýAÿÃ÷M 7ýWþ��Æý<)ôSÿ��ÿ¯ô'ÿÃ÷Y PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý�ôvù 7ö±þ�ô�ÿ¯ô�ÿåù�úàôvõÄý/ýWúNô�ÿåþ�ý+÷� Ôö��ý�� 7 .¥ÿ ôvõpý�K�$Ôö�ø'F�� ö�) )!ÿåúÄû�L�÷� ÄõÄý�þvýW÷ �ýWúNô�ý�þvý��àö±ô�ôvõÄý+�ù1�§ý�.�ù�þ��Ä÷�4ó�úNô�ýWþ�ý�÷]ôvÿ¯úÄûHø���*~ Pý�þ��Æý��ô �ù��ÄýW÷�ö�þ�ýãþ�ö±þvýãü-$§ô��§ùJý�W9ÿÃ÷¡ô!F:÷�ý�ý B C ¤ * 8 ý��ô�ÿåù�ú3�=D�LN4���ù=.�ý���ýWþ�*kô�õÄý+÷�ö�)!ý�ÿå÷�úÄù±ô�ô�þ�$Äý2�ÆùHþøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�� ÿ¯ô.ÿÃ÷.úÄù±ôV PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý�ôvùJ Ôö�þ¡ôvÿ ôvÿ¯ùHúAô�õÔý:\Q$(�øåÿ"�§ýWö�úÜ÷� 7ö��ý = 7 .¥ÿ¯ô�õ�ý�K�$Ôö�ø,÷� ÄõÄýWþ�ý�÷ ù���þvö��§ÿ9$Ô÷.ü7ù�$Äú(�§ý<�Üö�.&ö���Æþvù�)��-4���ù=.�ý���ýWþ�*Hù�úÄýX�ö±ú�ö±ô¡ôvý�)� §ô�ôvù5 Ôö�þ¡ôvÿ ôvÿ¯ùHú!ô�õÄý.÷� Ôö��ýk.¥ÿ¯ô�õSö�ø�)!ùN÷]ô�÷� ÄõÄýWþ�ÿ"�ö�øÄüPù��Äÿ¯ý�÷�4A>�ú��!øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�úÔö±ô�$Äþ�ö±øåø���§ý�HÔúÄýW÷3ö� Ôö±þ�ô�ÿ¯ô�ÿåù�úAù���÷� Ôö��ý�ÿåúNô�ùãþvý�û�ÿåù�ú7÷�*§ôvõÄý��&P���P���P�[���D;�;i�S*Pù�ü§ô�ö±ÿåúÄý��+ü��J)ãö� - ÄÿåúÄû�ýWö��õ+ 7ùHÿ¯úNô ÿåúJ÷� 7ö��ýxôvùãô�õÔý�øåùH÷�ýW÷¡ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýk 7ùHÿ¯úNô;Fo.¥ÿ ôvõãô�ÿåýW÷;üÔþ�ù���ý�ú'ÿåú�÷¡ù�)'ý¥÷¡ôvö�ú(�Äö±þ�� .�ö��-LN4kóOô�ÿÃ÷;ýWöH÷��<ô�ù�÷�ý�ý&ôvõÔö¤ô�ý�ö��õ��;ù�þvù�úÄùHÿ-�ýWø¯ø(�ù�úNôvö�ÿ¯ú7÷ö±úfù� Pý�ú ÷� ÔõÄý�þvý/ù��3þ�ö��§ÿ9$Ô÷�ý�K�$Ôö�ø&ô�ù«ô�õÄý+ Ôö���NÿåúÄû�þvö��§ÿ9$Ô÷�*�ö±ú(�pÿå÷M�ù�)� Äøåý�ô�ýWø�� �ù�úNôvö�ÿ¯úÔý��ßÿåú ö �ø¯ùN÷¡ý<�p÷� ÄõÄý�þvý+ù��þ�ö��§ÿ9$Ô÷.ý�K�$Ôö�øDô�ù+ô�õÄýM�ù=��ý�þvÿåúÄûSþ�ö��§ÿ9$Ô÷�4,_&õÄýM�ù=��ý�þvÿåúÄûSþ�ö��§ÿ9$Ô÷xÿÃ÷xö±ø9.�ö��§÷xö¤ô�øåýWö�÷¡ô�ö�÷xøÃö±þvû�ý�öH÷.ô�õÄý� Ôö���9ÿ¯úÄû+þ�ö��§ÿ9$Ô÷�*ö±ú&�ãô�õÔýx÷�)ãö±øåø¯ýWþ&ÿå÷�ôvõÄýxûHö� /ü7ý�ô3.�ýWý�úSô�õÄý.ô3.�ù�þ�ö��§ÿåÿT*HôvõÄý#�øåùH÷�ý�þ¥ö±þvý�ôvõÄý �;ù�þvù�úÄùHÿ��ý�øåøÃ÷�ôvù� 7ýWþ��Æý<)ô�÷� ÔõÄý�þvýW÷�4���ý�÷�ö��ô�õ7ö¤ô�ö#øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýãÿÃ÷ P�0T Pý�þ��Æý��ô�ÿ���ôvõÄý/�ù=��ý�þvÿåúÄû/þ�ö��Äÿ�$Ô÷<ÿå÷<ö±ô5)!ùH÷¡ôFP«ôvÿ�)!ý�÷�ô�õÔý2 Ôö���9ÿåúÄû#þvö��§ÿ9$Ô÷�4 �«ýSö�þ�ý!ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�ý<�ÿåúføÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷'ôvõÔö¤ô�ö�þ�ýdP�0T Pý�þ��Æý��ôM�Æù�þ:P"! ¤ öH÷ã÷�)ãö±øåø¥ö�÷� PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý�4 ��ù±ôvÿ9�ý+ô�õÔö±ô'ôvõÄýAÿåúHôvý�ûHý�þ!øåö±ô¡ôvÿ9�ý<; 7 ÿå÷:PIFo^ULE0 Pý�þ��Æý�)ô'�Æù�þ]PIF%^ULHO [ ^A*�÷�ù$# ÿåúJô�þ��9ÿ¯úÔû�ô�ùJ)!ÿ¯úÄÿ9)!ÿ��Wý PIFo^UL%# .�ý5)ãö��Aö�÷v÷�$-)!ý,.¥ÿ ôvõÄù�$§ô.ø¯ùN÷�÷3ù���ûHý�úÄýWþvö�ø¯ÿ¯ô3�/ô�õÔö±ôPIF%^UL Y B ¤7Z [ ^�DE4 ��ý�÷�ö��AôvõÔö¤ô�öA÷�ý�K�$ÄýWú(�ýãù���øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷xÿå÷/�A;�<MP��SR/>-����@N���NR�ÿ��¥ÿ ô<ÿÃ÷ PIFo^ULE0E 7ýWþ��Æý<)ô5�ÆùHþ�÷¡ù�)!ý��%$Äú()ôvÿ¯ùHúPIF%^UL O�&1F [ ^ILxö�÷���)� §ôvù±ôvÿ9Wö±øåø��Ü÷�)ãö±øåø¯ýWþ.ô�õÔö�ú [ ^A4!ó3�§ý�ö±øåø���*I.�ýM.�ù�$Ôø9�Üø¯ÿ9��ý!ôvùJH7ú(�Òö±ø9)'ùN÷]ô# Pý�þ��Æý��ôxøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷#.¥ÿ ôvõPIF%^UL/O'��F ¤ L�ý�K�$Ôö�ø�ô�ù�ö��ùHúÔ÷¡ôvö±úNô¥ÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô�ù��,ô�õÔý5�§ÿ�)!ýWúÔ÷¡ÿåù�úU4>�úÔù±ô�õÔý�þ~�%$Äú(�Äö�)'ýWúNôvö±ø� Äþvù�üÔø¯ý�)`ÿåú��ù1�§ÿåúÄû�ôvõÄý�ùHþ��xÿÃ÷kôvõÄý?)!ö�W§ÿ�),$-) ø¯ÿ9��ýWø¯ÿåõÄù9ù1�5�§ý<�ù1�§ÿåúÄû(��ûHÿ��Hý�ú�ö ôvö�þ�ûHý�ô£ 7ùHÿ¯úNô�*

HÔú(��ôvõÄýx�ù1�§ý�.�ùHþ��,�øåùH÷�ýW÷¡ô,ôvùxô�õÄý&ô�ö±þvû�ý�ô�4~_&õÔý�ö±úÔö�ø¯ùHû�ù�$7÷U Äþvù�üÔø¯ý�) ù�ú!øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�*��ö�ø¯øåý���ô�õÔýx�øåùH÷�ýW÷¡ô7�Hý��ô�ù�þA Ôþ�ùHüÄø¯ý�)+*ÿÃ÷��Dû�ÿ9��ýWú/ö'øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý.ö�ú(�+ö<ô�ö±þvû�ý�ô[��ý<)ôvù�þ<*�H7ú(��ôvõÄýxøåö±ô¡ôvÿ9�ý' Pù�ÿåúNôx�øåùH÷�ýW÷¡ô�ôvù�ÿ¯ô�4(�3ÿ=6�ý�þvý�úNôvø��M�Æþvù�)�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�*9ÿåú!�ù1�§ÿ¯úÔûô�õÔý�ù�þ���)!ùH÷¡ôM.�ùHþ��ÒõÔöH÷Y�Æù1�$Ô÷¡ý<�pùHú H7ú(�§ÿåúÄûÒý*)2�ÿåý�úNô2�§ý��ù1�§ÿ¯úÔû�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷Y�ÆùHþã÷� Pý��ÿ H&+�ù��ÄýW÷�*Q.¥õÄýWþ�ý�ö�÷'ÿ¯úfô�õÔý�øåùH÷�ýW÷¡ô;�Hý�)ôvù�þx Ôþ�ùHüÄø¯ý�)�ôvõÄý<øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ÿÃ÷x$7÷�$Ôö�ø¯ø9�+�ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þvý��AöH÷k Ôö�þ¡ô ù��;ô�õÄý�ÿ¯ú- ($§ô�43ó�ú#ô�õÄÿÃ÷; 7ö� Pý�þ<*(.�ýY�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ô�õÔýøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý5�§ý��ù1�§ÿ¯úÔûM Äþ�ùHüÄøåý�) �ÆùHþ ÷� 7ý<�ÿ�H&�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�4���ý�÷vö��ãô�õÔö±ô3ö!øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�ÿå÷,���=�J�; JdB�����P�B���IV;�� ÿ��,ôvõÄý�þvý<ÿÃ÷�ö±ú#ý+)M�ÿ¯ýWúNôö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ()»ôvõÔö¤ô&ù�ú�ÿåú- -$Äô&öxô�ö±þvû�ý�ô8 Pù�ÿåúHô<*9ù�$§ô� -$§ôv÷�ô�õÔý3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý; Pù�ÿåúNô?�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô�ô�ù<ôvõÄý3ôvö±þvû�ý�ô�4[F,0Ôù�þ�)!ö�ø¯ø9��*�.�ý úÄýWý��!ôvù�ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ�öã÷¡ý<K�$Äý�ú(�ý�ù��Døåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷�ÿåú#õÄÿåû�õÄýWþ ö±ú(�+õÄÿåû�õÔý�þ;�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úI4 8 ý�ý 8 ý<)ôvÿ¯ùHú-,��Æù�þx�§ý�ôvö±ÿåøÃ÷�4iL0Ôù�þ¥ýNWÄö�) Ôø¯ý�*Äô�õÔýÿåúHôvý�ûHý�þ øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý ; 7 ÿÃ÷ ý�ö�÷�ÿ¯ø9�!�Äý��ù1�Äö�üÄøåý��¥û�ÿ9��ýWúJöãô�ö±þvû�ý�ô' 7ùHÿ¯úNô/. Y10 7 *Pô�õÄý��øåùH÷�ýW÷¡ô øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý 7ùHÿ¯úNô3ÿÃ÷3ýWö�÷�ÿåø��!�Æù�$Ôú(�ü���þvù�$Äú(�Äÿ¯úÄû!ý�ö��õ+�ù9ù�þ��§ÿåúÔö¤ôvý3ù��2.�ô�ù!ôvõÄý5�øåùH÷�ýW÷¡ô¥ÿ¯úNôvý�û�ýWþ�4_&õÄý�þ�ö±ú&�§ù�) �øÃö�÷v÷¡ý�÷Dù��ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷8�§ýNHÔúÔý��!ÿåú!ô�õÄÿÃ÷] Ôö� 7ýWþ�ö�þ�ý¥üÔöH÷¡ý<�!ù�ú!ýWöH÷¡ÿåø9�,�§ý<�ù1�Äö±üÔø¯ý PIFo^ULE0E 7ýWþ��Æý<)ô�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�*ö±ú&�Òô�õÄý#÷�)!ö�ø¯øåý�þ'ÿÃ÷ PIFo^ULS*;ôvõÄý+õÔö±þ��§ý�þ'ÿÃ÷<ôvù HÔú&�p÷�)!ö�ø¯ø&÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷�ô�ùÜô�õÄý+þ�ö±ú(�§ù�) ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�4 8 ù&*;ÿ ô!ÿÃ÷�ú7ö¤ô�$Ôþvö�øô�ùàöH÷���.¥õÔö±ô'ÿÃ÷'ô�õÔý#÷�)ãö±øåø¯ý�÷]ô��¤ö±ø9$Äý#ù��EPIF%^UL,�Æù�þ�.¥õÄÿ"�õ .�ý+�ö�úfý+)M�ÿ¯ýWúNô�ø9�àü-$Äÿåø9� �����J�; J B�����P�B��7ID;��PIF%^ULE0E Pý�þ��Æý�)ôøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�4�óOô�ÿå÷'�9úÄù=.¥ú B ,��(* ¤ ��DDô�õÔö±ô#��ý�þ��#û�ù9ù1�Jö±ø9)!ùH÷¡ô' Pý�þ��Æý��ô.øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷3ý�W§ÿå÷¡ô�*�ö��õÄÿ¯ý��9ÿ¯úÄû!�ùHúÔ÷]ô�ö±úNô�PIF%^UL]O3��F ¤ LS4×54 f3yZtTrSd?���=m�lNtTh k�m�tahirSl'hiq(tTu�f~v�dTrS�<gif�j r�s�jxm�v�v�hil�z]m�da��h tTdTm�dan?dTf�m�g=pNf�yZtarSdTq�tar?m]w�hiqay�dafZtTf~qTfZt�r�s�v�rShilNtTq~ 9fS� z��i��tTu�f~v�rShil�taq�r�s1mAg�m�totThiy3f�¡

hil;qT��yEuVmQ�Im3n;tau=m�t~f�m�yEu'pNf3yZtTrSd~hiqUjxm�v<v�f3wxtTrxmQl�f�m�dT�Nn'v�rShilNt��

,

Page 5: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

L�ú-�Æù�þ�ô�$ÄúÔö±ô�ýWø���*�ô�õÔý Ôþ�ù9ù��:÷xÿåú B , �1* ¤ �=DQ�§ù#úÄù±ô<ûHÿ��Hý'ö�ú«ý+)M�ÿ¯ýWúNôV Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvý'ô�ù#ü-$Äÿåø9�Òö�ú(� �Äý��ù1�§ý'ôvõÄýW÷�ý!øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�4��ö±þvÿåù�$Ô÷�ýNWÄö�) Ôø¯ý�÷�ù���ý�ö�÷�ÿ¯ø9�2�§ý��ù1�Äö±üÄøåýxøåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷¥ö±þvý.û�ÿ9��ý�ú/ÿ¯ú B ¤ C<DE*Äü-$§ô¥úÄùHúÄýxù���ô�õÄý�)�ÿÃ÷¥ö±ø9)'ùN÷]ô[ Pý�þ��Æý�)ô<*ÄÿT4 ý�4�*9ôvõÄý��ù�úÔø��Jö��õÄÿ¯ý���ý PIF%^UL�O � F [ ^ULS4�óOô�ÿÃ÷xúÔö¤ô�$Äþ�ö±ø�ô�ùAö�÷��Aÿ �&ö±ø9)!ùH÷¡ôX Pý�þ��Æý�)ô�ý�ö�÷�ÿ¯ø9�`�§ý��ù1�Äö±üÄøåý'øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷xýNW§ÿÃ÷]ô�ö¤ô�ö±øåøa4�ó�úô�õÔÿå÷X Ôö� Pý�þX.�ý�ÿ¯úÄÿ¯ô�ÿÃö¤ôvý�ô�õÔý�÷¡ô�$(�1�#ù��;ö�ø�)!ùN÷]ô; Pý�þ��Æý��ô øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷;�Æþ�ù�) ö/�ù�)� -$Äôvö¤ôvÿ¯ùHúÔö±øU 7ùHÿ¯úNô3ù��A�Nÿåý�.#*�ö±ú&�+.�ý<ûHÿ��Hýô�õÔýXH7þv÷¡ô�ý+)2�ÿåý�úNô[�ù�úÔ÷¡ô�þ�$(�ô�ÿåù�ú�ù���ýWöH÷¡ÿåø9���Äý��ù1�Äö�üÄøåý.ö�ø�)!ùH÷¡ô[ 7ýWþ��Æý<)ô&øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷?.¥ÿ ôvõ�PIFo^UL�O'��F e ^.øåù�û;øåù�û8^�g,øåù�ûA^ULS4

9X$Äþ�ö±ø9)'ùN÷]ô8 7ýWþ��Æý<)ô�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�ö�ø¯øåù=.hô�ù�÷�øåÿ¯ûHõHôvø��'ÿ9) Ôþ�ù=�HýYFÆü��ãö#)Y$Ôø ôvÿ� Äøåÿ"�ö¤ôvÿ��Hýx�:ö�)ô�ùHþ ��F�e øåù�ûQ^�g,ø¯ùHû;ø¯ùHû]^UL�L�ô�õÔý.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý��¤ö��Hý�þ�ö±ûHýN0Z�ö±÷�ýX�ù�úÄúÄý<)ôvÿ¯ùHú:�:ö��ô�ù�þ'\AF%^ULx�Æù�þxö±øåøDøåö±ô¡ô�ÿ"�ý Äþvù�üÄøåý�)ã÷'�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ý<�JÿåúJô�õÔÿå÷' Ôö� 7ýWþ�45> ø ôvõÄù�$ÄûHõúÄù�ô3÷�$ÔüÔ÷]ô�ö±úNô�ÿÃö±øT*§ôvõÄÿå÷ ÿ�)� Äþvù=��ý�)!ý�úNô�ÿ¯ú#ôvõÄýY�ù�úÄúÄý<)ôvÿ¯ùHú+�:ö�)ôvù�þ¥ÿÃ÷;K�$Ôö�ø¯ÿ¯ôvö±ô�ÿ9��ý�ø9�Sÿ9)� 7ùHþ¡ô�ö±úNô üPý�Wö�$Ô÷�ý�ÿ ô.÷¡õÄù=.�÷¥ô�õÔö±ôô�õÔý�þvý�ö±þvý�þvö�ú(�§ù�) �øÃö�÷v÷¡ý�÷¥ù��;øåÿ¯úÔýWö±þ ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷[�ÆùHþx.¥õÄÿ"�õ+HÔú(�§ÿåúÄûS÷�)ãö±øåøk÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úÔ÷ ÿå÷k Pù±ôvý�úNô�ÿÃö±øåø9�/õÔö�þ��Äý�þ¥ôvõÔö±ú+�ÆùHþô�õÔý3þ�ö±ú(�Äù�)6�øÃö�÷v÷�ù�þvÿ¯ûHÿ¯úÔö�ø¯ø9���ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þvý���ü��2>]@�ôvö�ÿa4n�AùHþ�ýWù=��ýWþ�*±ÿ¯ô�÷�$Ôû�û�ý�÷]ô�÷;ôvõÔö¤ô¥ÿ¯ô?)!ÿåû�õNô�üPýV 7ùN÷�÷�ÿåüÄø¯ý ô�ù,HÔú(�/ý��Hý�úüPý�ô¡ôvý�þ!ýWöH÷¡ÿåø9� �§ý��ù��Ôö±üÄøåý/ö�ø�)!ùH÷¡ô, Pý�þ��Æý��ôãøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�ô�õÔö±ô!ö�ø¯øåù=. ô�ù �%$Äþ�ô�õÄýWþ'þvý��-$(�ýSô�õÄý+�ùHúÄúÄý��ô�ÿåù�ú �:ö�)ôvù�þ�÷5�ÆùHþ'ö�ø¯øøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý# Äþvù�üÄøåý�)ã÷k�ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ�ý<��ÿåú+ô�õÄÿÃ÷k Ôö� 7ýWþ¥ü��/ö±ø9)'ùN÷]ô [ ^A4����� � �0� ��� ��� � *-(_&õÄÿÃ÷5.�ù�þ�� �§ÿåþvý�)ôvø��Òü-$Ôÿ¯ø"�Ä÷5$( 7ùHúàô�ý<�õÄúÄÿ"K�$ÔýW÷<ù��;>A@�ô�ö±ÿVB C<DE*���ö±ÿ&ö±ú(�5� ý�þ�$Äþ���ö�þ/B ¤�¤ D¥ö±ú(���.ùHø9�Äþ�ýWÿ9�õI* �.ù�ø"�1.&ö�÷v÷¡ýWþö±ú&�-� ö±øåý��9ÿ?B ¤�� DT*Pö±ú(�#ÿ¯ô3ÿÃ÷¥ôvõÄý#HÔú7ö±øU�Hý�þ�÷¡ÿåù�ú#ù��kB ����DT4¥ó�ú B C<DA>A@�ôvö�ÿ�÷�õÄù=.�ý�� W.ôvõÔö¤ô.ÿ �;ù�úÔýY�ö�úAý*)2�ÿåý�úNô�ø9�JHÔú(�A÷�)!ö�ø¯ø÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷,ôvù�þvö�ú(�§ù�) ø¯ÿåúÄý�ö±þ;ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷DùHú'ô�õÄý�ö��Hý�þ�ö±û�ý8.¥ÿ ôvõãúÄù�ú-0FúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÔø¯ý[ Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3���1F%^ULnO ¤ g=^�� ������*±ôvõÄý�ú!ù�úÔý�ö�úJý*)2�ÿ¯ýWúHôvø��Jö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvý�ô�õÔý�øåý�úÄû�ô�õJù���ô�õÔý'÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô.úÄù�ú(��ý�þvù2�Hý�)ôvù�þ3ÿ¯ú�ö±ú��+^�0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�ø�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýY.¥ÿ¯ô�õÔÿ¯ú�öF%.�ù�þ�÷¡ô�0Z�ö�÷�ý<LA 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø&�:ö��ô�ùHþ8\AF%^ULnO ^�� ������g��1F%^ULS*�.¥õÄýWþ�ý3ô�õÔý.÷�)ãö±øåø¯ýWþ�ôvõÄý.÷�$(��ýW÷v÷? Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3���1Fo^ULS*9ôvõÄý3øÃö±þvû�ýWþô�õÔý!ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú:�:ö��ô�ùHþX\AF%^ULN4 �"�Aù�þvý�ù=�Hý�þ<*7ý���ý�ú �Æù�þxøÃö±þvû�ýY�¤ö�ø�$Äý�÷xù����1Fo^UL F:÷vö����1F%^UL]O ¤ g�C�LS*Pô�õÄý �:ö�)ô�ùHþ'\7Fo^ULû�ÿ9��ýWúßü�� B C<D¥ÿÃ÷�þ�ö¤ôvõÄý�þ'øÃö±þvû�ý�4 �b0Ôù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû >]@�ôvö±ÿ2� ÷'÷�ý�)!ÿåúÔö±ø?.�ù�þ��e*���ö�ÿ�ö�ú(� ��ýWþ�$Ôþ��¤ö±þ!B ¤�¤ D�÷¡õÔù=.�ý<��ô�õÔö±ô,HÔú&�§ÿ¯úÔû÷�)!ö�ø¯ø&÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷�ôvù >A@�ô�ö±ÿ2� ÷'þ�ö±ú(�Äù�) ø¯ÿåúÄý�ö±þ'ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷!F%.¥ÿ¯ô�õhúÄù�ú10OúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÄøåý/ Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3���1F%^ULO ¤ g�^ ������� L�ÿå÷!ö±ôøåýWö�÷¡ô�ö�÷&õÔö�þ��/ö�÷k�ù�)� -$§ôvÿ¯úÄû�)ãö=W§ÿ9)ãö±ø�÷�ý�ôv÷&ù���øåÿ¯úÔýWö±þvø9�ãÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô;��ý<)ô�ùHþv÷�ô�õ7ö¤ô ö±þvý'.¥ÿ ôvõÄÿ¯úAö .�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ýx�:ö��ô�ùHþ^��`_�aQ�Æþ�ù�) ô�õÄý<÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô! �F��ÆùHþ�ö±ú��MH-W§ý��#" !��-*§ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHôvø��/ù��,ô�õÄý�÷�$(��ýW÷v÷[ Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3�$�1F%^UL�LN4�óOô�ÿ9) )!ý<�§ÿåö±ô�ýWø���Æù�øåøåù=.�÷;F%$7÷¡ÿåúÄû�÷¡ôvö�ú(�Äö±þ��!þvý�øÃö¤ô�ÿåù�ú7÷;ü7ý�ô3.�ýWý�ú�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýX Äþ�ùHüÄøåý�)ã÷;B C�%1* ��D%LDôvõÔö¤ô[>A@�ôvö�ÿ�� ÷�þvö�ú(�§ù�) Äþvù�üÄøåý�) ÿÃ÷�ö±ô�ø¯ý�ö�÷¡ô�öH÷õÔö�þ���ô�ù<÷�ù�ø9��ý&ù�ú'ôvõÄý�ö���ýWþvö�û�ý�öH÷;ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåúÄû3ô�õÄý�øåý�úÔû±ô�õ!ù��7ôvõÄý�÷¡õÔù�þ�ô�ýW÷¡ô;úÄù�ú(��ý�þvùV��ý<)ô�ùHþ;ÿ¯úãö�ú��Y^�0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�øøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý#.¥ÿ ôvõÄÿåú#ö,�:ö�)ô�ùHþ[\7Fo^ULnO ^?^ _�a�ÿåú/ôvõÄý#.�ù�þ�÷]ôk�öH÷¡ý�4 &_&õÄý[K�$ÄýW÷¡ô�ÿåù�ú�ù��e�Äý�ô�ýWþ�)!ÿåúÄÿåúÄûX$Ôú(�§ý�þA.¥õ7ö¤ôA�ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÔ÷�ô�õÄý&ú�$-)�ü7ýWþ,ù��7øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý[ 7ùHÿ¯úNô�÷�ÿåúÔ÷�ÿ9�Äý&ö'�ùHú���ýNW�üPù1�1�('fÿå÷þvù�$ÄûHõÄø��V Äþvù� Pù�þ�ô�ÿåù�ú7ö±øHô�ù.ô�õÄý[�Hù�ø9$-)!ý�õÔöH÷,ü7ýWý�ú'ýNW9ô�ýWúÔ÷¡ÿ9��ýWø��<÷¡ô�$&�§ÿ¯ý<��*±ü-$Äô7)!ùN÷]ôvø��#�ÆùHþ,ô�õÄýk�öH÷¡ý�ù��Ôô�õÄý&ÿåúHôvý�ûHý�þDøåö±ô¡ôvÿ9�ý

; 7 4�0ÄùHþ3ý�W§ö�)� Äø¯ý �Jö��WùSö±ú&�q9'�§ø9������ù B C�DD÷¡ô�$&�1�#ô�õÄý Äþvù�üÄøåý�) .¥õÄýWú)' ÿå÷.öS÷� ÄõÄýWþ�ý�ù���þ�ö��§ÿ9$Ô÷.D�*ÿ¯ú�ù�úÔúÄý��ô�ÿåù�ú.¥ÿ¯ô�õ $ÔúÄÿ��Hý�þ�÷�ö�ø8K�$Ôö�úHôvÿ���ö¤ôvÿ¯ùHúpö±ú(�ßø¯ù=. �§ýWúÔ÷�ÿ ô3�à÷�$ÄüÔ÷�ý�ôã÷�$-) Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�4 F 8 ýWýB C �D¥ö±ú&�ßþvýN�Æý�þvý�ú&�ýW÷<ô�õÄýWþ�ýWÿ¯ú �Æù�þ'ö�§ý�÷��þ�ÿ9 §ô�ÿåù�ú�ù���ô�õÄý�÷¡ý� Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�4iLàó�ú Ôö±þ�ô�ÿ"N$ÄøÃö±þ.ôvõÄý���÷¡õÄù=. ô�õÔö±ô'�ÆùHþ D�O ��F [ ^UL ôvõÄýãú�$-)�üPý�þ�ù���ÿåúHôvý�ûHý�þxøåö±ô¡ôvÿ9�ý Pù�ÿåúHô�÷!ÿ¯úhôvõÄýJ÷� ÔõÄý�þvý:�ö±ú �§ý��NÿÃö¤ôvý!�Æþ�ù�) ô�õÔýAýNW1 7ý<)ôvý�� ��ö�ø�$ÔýAü�� �:ö�)ôvù�þ�÷'ýNW1 7ùHúÄý�úNôvÿåö�ø�ÿ¯ú ^A*�ü-$§ô/�øÃö±ÿ9) ôvõÔö¤ô�ÿ��DqO ^��+*`��_�a/F��ÆùHþ'ö�ú���" ! ��L�ô�õÄýWúßôvõÄý/ú�$-)�ü7ýWþ�ù���ÿ¯úNôvý�û�ýWþ�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý/ Pù�ÿåúNôv÷�ÿ¯úpô�õÄý#÷� ÄõÄý�þvý�ÿÃ÷�ö�ø�.&ö��§÷�öH÷���)� §ô�ù�ô�ÿ"ô�ù#ôvõÄýM��ùHø�$()'ý�*kúÄù:)ãö±ô¡ô�ýWþ#.¥õÄý�þvý!ô�õÔý2�ý�úNôvý�þ<ÿÃ÷�øåù�Wö¤ôvý���42> �Äÿ=6�ý�þvý�úNôY�øÃö�÷v÷xù��k�ùHú���ýNWJüPù1�§ÿåýW÷<ÿÃ÷#�ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ�ý<�Üü��,�ö±úÔúÔö±ú�ö�ú(���;ý�)� Ôö�øåö�ÿåú B C7�<DE*9ü-$§ô<*9öH÷A$Ô÷�$Ôö±øT*Nù�úÄø9� �Æù�þ�ôvõÄý3÷� Pý��ÿÃö±øe�öH÷¡ý�ù���ô�õÄý3ÿ¯úNô�ýWû�ýWþ�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý); 7 4Dó�ú B C7�<D 'áÿÃ÷�ö�úè |1rQ��f~v�dTf3y3hiqTfS��� ����rSl�g nkv�dar�pNf3qetau�f£daf3qT��g t&s9rSd.-� ol1¡CpM�+/��<��m�l�wxdaf�jxm�da��q-tau=m�t�tTu<f£v�dar�r�s�y�m�l;��fUzSf3l�f3dEm�gih k3f3wxtar8m�l�nkl<rSl<��l�f3zSgihizShi��gif

-� ol1¡%p �+/`l r�t æ�u �0 �"t?qau�rS��giw���fxdTf3jxm�dT�Sf3wYtTu=m�t��em�q?rS��qaf�dopNf3w�hil+� �����(qTfZtotThil<z1-� ol1¡�p �+/��#m�gidaf�m�w<n zSh pNf3qQ��f�m��,rSl�fZ�"��m�n s���l�yZtahirSl�q��-�Uu�hiyEu y�m�l ��f

tadEm�l�qos9rSdajkf�w, 9��qahil�z;qatTm�l�w=m�dTw#taf3yEu�l�h ����f3q���qTf3fX� ������¡Ihil�tarxqatadTrSl�z;rSl�fZ�"�Im3nVs9�<l�yZtThirSl�qA��m�qTf3w5rSlVtTu�fQ��rSdTqota�"y�m�qaf?u=m�daw�l�f3qTq£r�s�m�v�v�dar���h �jxm�tahil�zQtau�f7qau�rSdataf3qat�pNf3yZtTrSdIv�darS��gif3j �Uh tau�hil;m]�<�<f3w;v�rSg n�l�rSjkh�m�g�s"m�yZtarSd'm1 �l�¡Cp�l r�t æ�u � �~r���f3pNf3d���hilxrSdTw�f3d�tar[m�dazS��f£tau=m�tIl�r?fjiky3hif3lNtm�gizSrSdTh tau�j y�m�lXqarSg pNf£�%hotTm�h�� q�rSdThizShil�m�g�v<dTrS��gif3j��Uh tTuxl�rSl<�"l�f3zSgihizShi��gif£v�darS�=m���higih t�nN��� ����qaf3f�jkq�tarQdTf����<hidTf~tau=m�tIl�rQfjiky3hif3l�tUm�gizSrSdah tTu�j y�m�lm�v�v�dar���hijxm�tTf7tau�f7��rSdaqato��y�m�qTfAg�m�totThiy3f]v�darS��gif3jkq��~h tau�hil |Vw�}£v�rSg n<l�rSjkh�m�g�s"m�yZtarSdTq��2 �~r[qav�f3y3h �=y7p�m�gi��fAr�s m1 �l�¡�hiqIzSh pNf3lVhilY� �����<�<�<t?� �J�Z��f3qatahijxm�tTf3q~mQs9m�y3tarSdTm1 �l�¡Cp�l438y�m�lV��fAw�f3dTh pNf3wXs�dTrSj tau�fAv�dTr�r�so�3N�Im�h(m�l�w5�Uf3dT��da��m�d[� �J�Z�-rSl�g n'v�dTr�pNf8tau�f?daf3qT��g tUs9rSdUtTu<f?qTu<rSdataf�qotA�=m�qahiq7v�dTrS�<gif�jV���<�<t7h t£hiq£f�m�qanVtarxjkr�w<h s�n;tTu<f�hid£v�dTr�r�s&tarxn<hif3giw5m

dTf3qa��g t�s9rSd�tau�f]qTu�rSdotTf3qot~hil<w�f3v�f3l�w<f�lNt£pNf3yZtarSd£v�darS��gif3jV�� �{�f3fAs�r�r�tal�r�taf8�Qs9rSdIjkrSdTf~hil<s�rSdTjxm�tahirSl�� ¡5 |1r[��f]v�dTf3y3hiqTfS����m�h1m�l�wV�~f3dT��da��m�d]� �J�Z�1rSl�g n;y3g�m�hij m�m1 �l�¡'pdl è ØÄÙ y3rSl�l�f3yZtThirSlVs9m�yZtTrSd��=�Uu�hiyEu'hiqUv�dar�pNf3w'hil;tTu�daf3fQqotTf3v�q��£ ,��¡���dTqat

tau�fZnk��qTfUqTjxm�gig<qTrSgi�<tahirSl�q£ �qEm3n���r�s�qTh k3f76? ol1¡o¡(r�s�dEm�l�w�rSj�gihil<f�m�d&f����=m�tahirSl�q�tarA�=l�wxgihil�f�m�dTg n8hil�w�f3v�f3l�w�f3l�tIg�m�totahiy�fUpNf3y3tarSdTq&�~h tau�hilxm�l Ó]ØÄÙs9m�y3tarSd�s�dTrSjtau�f£qau�rSdataf3qat�8�|V�2�o�(hil[tau�f£g�m�totThiy3fS�� "�N¡&tau�f3l���tTu�fZnx��qafUtau�f3qTf£gihil�f�m�dTg n8hil�w�f3v�f�l<w�f3l�tIpNf3yZtTrSdaq�tTrQzSfZtIm�l Ó ç è ØÄÙ m�v<v�dTr��<hijxm�tahirSltar;tau�f?qau�rSdataf3qatA��m�qThiq7v�darS��gif3jV��m�l�wM "�N¡I�=l=m�gig nN��tTu�fZn5y3rSl�l�f3yZtAtau�f?qau�rSdataf3qatA�=m�qahiq7v�darS��gif3j tTrxtTu<f?qTu<rSdataf�qot7pNf3yZtTrSdAv�darS��gif3j gir�rSqahil�zm�w�w�h tahirSl=m�gAl æ�ç è s"m�yZtarSd��9YfIrS��qTf3dapNfItau=m�tetau�fUgihil�f�m�def�����m�tThirSl�qer�se� �J�Z��u=m3pNf~qarSgi�<tahirSl�q�m�q&qTjxm�gig�m�q%l;: ç è ØÄÙ �N�Uu�hiyEu��Nh s���qaf�wkhil8tTu�fUv�dar�r�so�dTf3qa��g t£hilXgihil�f�m�dTg nXhil�w�f3v�f3l�w�f3l�t7g�m�tatahiy3fQpNf3yZtTrSdaq£�Uh tTu<hil#mSl � ç è ØÄÙ s9m�y3tarSd~s�dTrSj tTu<f8qau�rSdataf3qat7g�m�totahiy�fQ�=m�qahiq���|Iu�f3l�����f]rS��qaf�dopNfQtau=m�t~tTu�fqEm�jkfUtTf3yEu<l�h ���<fQ�<qTf3wXhilY� �J�Z��tTr?tadEm�l<qas�rSdTj�tTu<f�qaf7pNf3y3tarSdUhil�tar[m�l Ó]ØÄÙ ��m�v�v�dTr��<hijxm�taf£qarSgi�<tahirSl;tar?tau�fAqTu�rSdotTf3qotI�=m�qThiqIv�darS��gif3jV��y�m�l'm�giqTr��f8�<qTf3wVtTrkqau�r�� tau=m�t7tau�f8rSdahizShil=m�g�pNf3yZtTrSdaq]m�dTfQm l Ó]ØÄÙ �%m�v�v�dar���hijxm�tTf]qarSgi�<tThirSlXtTrktau�f8qau�rSdataf3qatAhil<w�f3v�f3l�w<f�lNt7pNf3yZtTrSdaq7v�darS��gif3jV�I|Uu<hiqm�gigir��Uq�tar?��qaf7��l�r��Ul;dTf3qT��g taqA� �S�<��<���tar?qarSg pNf£tTu<f7qTu�rSdotTf3qot�pNf�yZtarSd~v<dTrS��gif3j ��nxgir�rSqThil<z8rSl�g n;m�lXm�w�w�h tahirSl=m�g�s"m�yZtarSd?l� 9hil�qotTf�m�wXr�ssl æ�ç è ¡E�gif�m�w�hil�z?tarkm�l ×]ØÔÙ ��m�v�v�dTr��<hijxm�tafAqTrSgi��tThirSlxtTr[tau�fAqau�rSdataf3qatUpNf�yZtarSd~v<dTrS��gif3jV�

Page 6: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

^�0Z�§ÿ�)!ýWúÔ÷¡ÿåù�ú7ö±øU�ù�ú���ý�W/ 7ùHø��Nôvù� Pý#.¥ÿ ôvõ�� �:ö��ý�ô�÷�*Pö±ú(�/ô�õÔý<þ�ý�÷�$Ôø ô ÿÃ÷&ôvõÔö¤ô�ôvõÄý<ú�$-)�ü7ýWþ�ù��;ÿåúHôvý�ûHý�þ�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý# Pù�ÿåúHô�÷�ÿåú'Êÿå÷&ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ýWø��, Äþvù� Pù�þ�ô�ÿåù�úÔö�øÄô�ù�ô�õÔý;��ùHø�$()'ýX Äþvù=�Nÿ"�§ý<�!ô�õÔö±ô ' �ùHúNôvö±ÿåúÔ÷�ö�÷� ÄõÄýWþ�ý�ù��kþ�ö��§ÿ9$Ô÷��VF%^:R [ øåù�û��:LS4����>ZþvýW÷�$Äø¯ôA�Æù�þ�ö�þ�üÔÿ ôvþvö�þ��5�ù�ú���ý�W�üPù��Äÿ¯ý�÷;ÿå÷Q Äþvù=��ý���ü�� �X��ýWþ�*�0Äþvÿ¯ý���ý�ö�ú(� ,�ö±úÄú7ö±ú+B ¤ ,=D&.¥õÄù�÷¡õÄù=.fô�õ7ö¤ô�ôvõÄý�ú�$-)�üPý�þ�ù��ÿåúHôvý�ûHý�þ;øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýk 7ùHÿ¯úNô�÷;ÿ¯ú 'Zÿå÷�ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvý�ø9�# Äþvù� Pù�þ�ô�ÿåù�úÔö�ø9ô�ùxô�õÔýk��ù�ø9$-)!ý¥ù���'Y*� Äþvù=�9ÿ9�§ý<�#' �ù�úNô�ö±ÿåúÔ÷;ö�÷� ÔõÄý�þvý&ù��þ�ö��§ÿ9$Ô÷��VF%^ �JU W LN4�ó�ú 8 ý<)ôvÿ¯ùHú:�'.�ý&û�ý�úÔý�þ�ö±øåÿ��Wý�ôvõÄý¥þ�ý�÷�$Ôø ô;ù��7B ¤ ,=DÄôvùxö�þ�üÔÿ ôvþvö�þ���øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷�*�ö�ú(�!÷¡õÄù=.ßô�õÔö±ô;ô�õÄý¥ú�$-)�ü7ýWþ;ù��øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýX Pù�ÿåúNôv÷&ÿåú '`ÿÃ÷&ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ý�ø9� Äþ�ù� 7ùHþ¡ôvÿ¯ùHúÔö±ø7ô�ù�ô�õÔý'�Hù�ø9$-)!ý; Äþvù=�9ÿ9�Äý��ãôvõÔö¤ô1' �ùHúNôvö±ÿåúÔ÷�ö�÷� ÄõÄýWþ�ý.ù���þvö��§ÿ�$7÷�VF%^UL�ôvÿ�)!ý�÷¥üÄÿåû�û�ýWþ�ô�õÔö�ú/ôvõÄý5�ù=�Hý�þvÿ¯úÔû�þ�ö��§ÿ9$Ô÷&ù��,ô�õÔý�øåö±ô¡ô�ÿ"�ýMFM÷¡ýWý5_&õÄý�ùHþ�ý�) �-4 %�LN4_&õÄý2�ù=��ý�þvÿåúÄûSþ�ö��§ÿ9$Ô÷V Äþvù�üÔø¯ý�)$õÔöH÷xü7ýWý�úÒýNW9ô�ýWúÔ÷�ÿ��Hý�ø9�«÷¡ô�$(�§ÿåý�� �Æþvù�) öJ)ãö±ô�õÄý�)!ö±ô�ÿ"�ö�ø] 7ùHÿ¯úNô<ù��?�9ÿåý�.#*køåýWö��§ÿåúÄû

�Æù�þ¥ý�WÄö�)� Äøåý ôvù�ôvõÄýxô�þ�ö±ú7÷3�ÆýWþ�ýWú(�ý3ô�õÄýWù�þvý�)ã÷�ù�����ö�úÔö�÷���������:B ��DT*§ü($§ô�ÿ ô¥õÔöH÷&þ�ý<�ýWÿ��Hý���øåÿ¯ô¡ô�øåý�ù�þ&úÄùãö±ô¡ô�ýWúNô�ÿåù�úJ�Æþ�ù�)�ö�ù�)� -$§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�ø� 7ýWþv÷� Pý�)ôvÿ��Hý�4A_[.�ù'þvý�øåý��¤ö�úHô&þvýW÷�$Äø ô�÷¥ö±üPù�$§ô&ôvõÄý5�ù=�Hý�þvÿ¯úÄû�þvö��§ÿ9$Ô÷[ Äþvù�üÄøåý�)�ö�þ�ý��`( �ù�$Ôû�õÄøåÿ¯ú�� ÷[ Äþvù9ù��B ���D�ô�õ7ö¤ô�ôvõÄýxö±úÔö�ø¯ùHû�ù�$7÷A Äþvù�üÄøåý�) ù�úSø¯ÿåúÄýWö�þ?�ù1�§ýW÷�ÿå÷�õÔö�þ�� �ÆùHþ�ôvõÄý.÷�ý��ù�ú(��ø¯ý���ý�øPù��ôvõÄý' 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø7õÄÿåý�þ�ö±þ��õ���*Hö�ú(�,�ö±úÔúÔö±úT� ÷&ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) B C ,�D�÷¡õÔù=.¥ÿ¯úÄû�ô�õ7ö¤ô�ö ��ö�þ�ÿÃö±úNô&ù���ô�õÄý5�ù=��ý�þvÿåúÄû�þ�ö��§ÿ9$Ô÷[ Äþvù�üÔø¯ý�) �Æù�þ¥øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷#Fo.¥õÄý�þvý.ô�õÄý�úÄùHþ�)�§ý�HÔúÄý��/ü���ö±ú/ÿ¯ú- ($§ôx Ôö±þ�ö±øåøåý�øåù±ô�ù� 7ý3ÿå÷?$Ô÷�ý��I*§ÿ¯úÔ÷¡ô�ý�ö��Sù��kôvõÄýV$Ô÷�$Ôö±ø?\]$&�øåÿ9�§ý�ö±ú/úÄù�þ�)2LQWö±úSüPý�÷¡ùHø��Hý��Sÿ¯ú! 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øô�ÿ9)!ý?�Æù�þ;ö±ú��'H-W§ý�� �§ÿ9)'ýWúÔ÷�ÿ¯ùHúI4�4;ö�þ¡ôvø��V)!ù±ôvÿ��¤ö¤ôvý���ü���ù�$Äþ£.�ùHþ��MB ���<DE*�÷�ù�)!ý�ÿ¯úÄÿ¯ô�ÿÃö±ø� Äþvù�ûHþ�ý�÷�÷�ô�ù=.&ö±þ��Ä÷~$Äú(�§ýWþv÷¡ôvö�ú(�§ÿåúÄûô�õÔýV�ù�)� -$§ô�ö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø��ù�) Ôø¯ý�W9ÿ¯ô3�ãù��?F:ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ýWø��-LQ�ù�)� -$Äô�ÿåúÄû�ôvõÄýV�ù=��ýWþ�ÿåúÄû<þ�ö��Äÿ�$Ô÷�ù��køåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷&ö±ú(�Sø¯ÿåúÄý�ö±þk�ù1�§ý�÷õÔöH÷�üPý�ýWúSþvý��ýWúNô�ø9� )ãö��§ý ü��$�'$Äþ�$Ô÷�.&ö�)!ÿT*��Jÿ9��ÿÃö±ú(�ÿ¯ù'ö±ú(��ý�û�ý��:B C��DT4A_&õÄý.þvýWö��Äý�þ�ÿÃ÷�þ�ý��Æý�þvþ�ý<�'ô�ù�ô�õÔö±ô8 Ôö� 7ýWþ�ö�ú(�8 $Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú`C-4 �Y�Æù�þ[�%$Äþ�ô�õÔý�þ�ÿåú1�Æù�þ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú+ö�ü7ù�$§ô&ô�õÄý5�ù�)� -$§ô�ö¤ô�ÿåù�ú7ö±øI�ù�)� Äø¯ý�W§ÿ ô3��ù���ôvõÄý5�ù=�Hý�þvÿ¯úÔû�þ�ö��§ÿ9$Ô÷[ Äþvù�üÄøåý�)+4_&õÄýk Äþvù�üÔø¯ý�)»ù����§ý<�ù1�§ÿåúÄû<÷� Pý��ÿ He¥øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷;õÔöH÷;üPý�ý�ú2�ù�úÔ÷�ÿ"�§ý�þvý���ÿ¯ú2�ù1�§ÿ¯úÔûxô�õÄýWù�þ���*=�ÆùHþ�ýNWÄö�)� Äøåý¥ÿåú2�ù�úÔúÄý��ô�ÿåù�ú

.¥ÿ¯ô�õ ��ý<)ô�ùHþMK�$7ö±úNô�ÿ9�Wö±ô�ÿåù�úI4Zó�ú B ¤ C<D���ùHú�.&ö��ßö±ú&� 8 øåùHö�úÄý#û�ÿ9��ý+ Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø&ô�ÿ9)!ý`�§ý��ù��Äÿ¯úÄûàö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷ �Æù�þ!ô�õÔýþvùNù�ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�� 7 Z� 7 ö�ú(�ÒôvõÄý�ÿåþ �-$Ôö±øÃ÷����7 Z� �7 *�ö�÷Y.�ýWø¯ø&ö�÷Y�¤ö±þvÿ¯ù�$Ô÷<ù�ô�õÄýWþ�øåù=. �Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�úÔö�ø�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�4����Q0Äþvù�) ö�ù�)� -$§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�ø8�ù�)� ÄøåýNW§ÿ ô3� Pù�ÿåúNô�ù��x�9ÿåý�.#*DôvõÄýJ Ôþ�ùHüÄø¯ý�) õ7ö�÷�ü7ýWý�ú �ù�úÔ÷�ÿ9�Äý�þvý�� $Äú(�Äý�þ�ô�õÄý+úÔö�)!ý �V;�P=���S�SR#�=����RZP=�>e��P7ID;��V< O��R���>e����>���P����N��� �����4 >X�Äö� Äô�ÿåúÄû«÷�ÿ�)!ÿåøåö�þ�þvýW÷�$Äø¯ôv÷�ù�����þ�$(���ö�ú(� �3ö±ù�þ+B �D�ö±ú(� kù�üÔ÷¡ô�ýWÿ¯ú B C � D[�Æù�þ,�ù1�§ÿ¯úÔûö±ú&�A÷�$Äü7÷¡ý�ô�0�÷�$-) Äþvù�üÄøåý�)ã÷�* �Aÿ"��ÿåö�ú(�ÿåù B � ¤ DD÷¡õÄù=.�ý��/ôvõÔö¤ô�ôvõÄý�þvý�ö�þ�ý<÷�ý�K�$ÄýWú(�ý�÷�ù��;øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷3÷�$&�õ/ôvõÔö¤ôx÷¡ùHø��9ÿåúÄû!ô�õÔý�øåùH÷�ýW÷¡ô8�Hý��ô�ù�þ8 Äþvù�üÄøåý�) ÿÃ÷/�]4A0OõÔö±þ���47_&õÄýW÷�ý.þ�ý�÷�$Äø¯ôv÷�õÔö��Hý�ü7ýWý�ú/ÿ�)� Äþvù=��ý<�ãü��:0Ôý�ÿåû�ýxö±ú(� �Aÿ9��ÿÃö±ú(�ÿ¯ù!B ¤ �<D�ö±ú(��ô�õÄýWú¥ýWû�ý��!B � � D7ô�ù�÷�õÄù=.fô�õÔö±ôXF%$ÄúÔø¯ý�÷�÷�4 OG�]48L,ôvõÄý�þvý ö±þvý¥øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�ö±ú(�M�ù��ÄýW÷;ôvõÔö¤ô?�ö±úÔúÄù±ô�üPý�ý+)M�ÿ¯ýWúNô�ø9� �§ý<�ù1�§ý<�ãý��Hý�úö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ýWø��/�Æù�þxö±ú��+�ù�ú7÷]ô�ö±úNô3ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú!�:ö�)ô�ùHþ3÷�)ãö±øåø¯ýWþ�ô�õ7ö±ú [ �-4E��ù�ô�ÿ"�ý<ôvõÔö¤ô3ô�õÄý�û�ùNö±økù��;B � ¤ * ¤ ��*'� � DÿÃ÷�ù� - PùH÷�ÿ ôvý�ô�ù'ù�$Ôþv÷��~.¥õÔÿ¯øåý B � ¤ * ¤ ��*s� � D�ûHÿ��Hý ý�W� Ôø¯ÿ"�ÿ¯ô[�ù�úÔ÷¡ô�þ�$(�ô�ÿåù�úÔ÷�ù��køÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�ôvõÔö¤ôx�ö�úÄúÄù�ô�üPý3ý�ö�÷�ÿ¯ø9�2�§ý��ù1�§ý���*9ÿåúô�õÔÿå÷k 7ö� Pý�þk.�ýx÷�ýWö�þ��õ/�Æù�þ¥ý�W� Ôø¯ÿ"�ÿ¯ô;�ùHúÔ÷]ôvþ�$&)ô�ÿåù�ú7÷&ù���ý�ö�÷�ÿ¯ø9�/�§ý<�ù1�Äö�üÄø¯ýxøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷�4>�ø9)!ùH÷¡ôx 7ýWþ��Æý<)ô øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�õÔö��Hý.üPý�ýWúAýNW9ô�ýWúÔ÷�ÿ��Hý�ø9�/÷¡ô�$(�§ÿåý��!�Æþvù�) ö�)ãö¤ô�õÔý�)ãö¤ôvÿ9Wö±øU Pù�ÿåúNô�ù��A�9ÿ¯ý�.#4�ó�ú+ Ôö�þ¡ôvÿ9�$ÄøÃö±þ<*

¥ùHû�ý�þ�÷5B ,���D£ Äþvù=��ý��/ôvõÔö¤ô�ôvõÄý�þvý�ý�W§ÿå÷¡ôHPIF%^ULZ0T Pý�þ��Æý��ô3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷x�Æù�þ]PIF%^UL��G��ö±ú&�Aö±ú��!�Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�ú:^A*�ö±ú(���?$§ôvø¯ýWþ,B ¤ ��Dÿ9) Ôþ�ù=�Hý��ÒôvõÄý/þvýW÷�$Äø¯ô�ôvù PIFo^ULO C 5 &1F ¤ LS4 9X$Ôþ�ý�W� Pù�úÔý�úNô�ÿÃö±ø�ô�ÿ9)!ý+�ù�úÔ÷¡ô�þ�$(�ô�ÿåù�úßù��3ö±ø9)!ùH÷¡ô Pý�þ��Æý��ô'øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷'ÿåú_&õÄýWù�þvý�) ,&4 ,!ÿÃ÷&ýW÷v÷¡ýWúHôvÿåö�ø¯ø9�Sö�ú+ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)!ÿ9X�¤ö±þvÿåö�úHô¥ù���¥ùHû�ý�þ�÷(�� Ôþ�ù9ù��34ó�ú/ô�õÄÿÃ÷[ Ôö� Pý�þk.�ý#�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ôvõÄýV.�ùHþv÷¡ôk�ö�÷�ý#�ù�) Ôø¯ý�W9ÿ¯ô3�ãù��7�ù�) ($§ô�ÿåúÄûã÷¡õÔù�þ�ô[�Hý��ô�ù�þ�÷'F:ö�÷[.�ý�øåø�ö�÷¥÷�ù�ø9�9ÿ¯úÔû�ù�ô�õÄýWþ�ù�)� -$§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�ø�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý!ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú: Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�L¥ÿåú �A�+J<øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�4.ó�ú�öSþvý��ý�úNô3üÔþ�ý�ö��Nô�õÄþvù�$Ôû�õ: Ôö� 7ýWþ B ��DE*�¥ýWû�ý��õÔöH÷¥û�ÿ9��ýWú/ýWú(�þ��� §ô�ÿåù�ú#÷��õÔý�)!ýW÷�ö�ú(�+�ùHø¯øåÿå÷�ÿåù�ú+þ�ý�÷¡ÿÃ÷]ô�ö±úNô¥õÔö�÷�õ!�%$Äú(�ô�ÿåù�úÔ÷&ôvõÔö¤ô.ö±þvýxöH÷&õÔö±þ��/ô�ùãüÄþvýWö��Sö�÷k�ù�)� -$§ôvÿ¯úÔû÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô¥úÄùHú-��ýWþ�ù���ý<)ôvù�þ�÷�ÿåú#øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷k.¥ÿ¯ô�õ�2>-���Do��;~�SRa�JK(��R�K1���N4A_&õÄý�þvýW÷�$Äø¯ôv÷k Äþvù=��ý<��ÿåú�B ���D�ö��õÔÿ¯ý���ý�ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú�:ö��ô�ùHþv÷���Fo^ � U W Lk.¥õÔÿ9�õJö�þ�ý<÷�)ãö±øåø¯ýWþ�ô�õ7ö±úJö±ú��+ù±ôvõÄý�þx�9úÄù=.¥úAþvý��-$()ôvÿ¯ùHúI*7ü($§ô ù�úÔø��J�Æù�þ3øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷x.¥õÄýWþ�ý<ô�õÄý'÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô��ý<)ôvù�þ'ÿå÷�Ks� ��DK(��ÿå÷!÷�ù�)!ý�ôvý��õÄúÄÿ"�ö�ø¥÷¡ýWúÔ÷¡ý�4�_&õÄÿå÷!÷� 7ý<�ÿÃö±ø&÷]ôvþ�$&)ô�$Ôþ�ý+ÿå÷ �ù�)�)'ùHúpÿåúßôvõÄý!�ù�úÔ÷¡ô�þ�$(�ô�ÿåù�úßù�� øåö±ô¡ôvÿ9�ýüÔöH÷¡ý<�2 -$ÄüÔø¯ÿ"'��ý��!ýWú(�þ��� §ô�ÿåù�ú+÷��õÄý�)!ýW÷VB ,�DT*§ü-$Äôk�ÄùNý�÷�úÄù±ô�÷�ý�ý�) úÔý��ý�÷�÷vö±þ��'ô�ù'ü-$Äÿåø9�/ù�úÔýN0E.�ö��'ù�þk�ùHø¯øåÿÃ÷¡ÿåù�ú�þvýW÷�ÿÃ÷]ô�ö±úNôõÔöH÷¡õ:�%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�4.ó�ú 8 ý<)ôvÿ¯ùHú � .�ý<ýNW1 ÄøÃö±ÿåúJõÄù=.6ôvõÄý<ôvý��õÄúÔÿ9K�$Äý�÷; ÄþvýW÷�ý�úNôvý��AÿåúAô�õÔÿå÷' Ôö� 7ýWþ;)!ÿ¯ûHõNô3øåýWö��Aô�ùSùHúÄýN0E.&ö��ö±ú&� �ù�øåø¯ÿÃ÷¡ÿåù�úÜþ�ý�÷¡ÿÃ÷]ô�ö±úNôxõÔö�÷�õ`�%$Äú&)ô�ÿåù�ú7÷.ô�õÔö±ô�ö�þ�ý!ö�÷.õÔö�þ��Jô�ù#üÄþvýWö��#öH÷x÷¡ùHø��9ÿåúÄûSôvõÄýã÷¡õÔù�þ�ô�ýW÷¡ôV��ý��ô�ùHþX Äþvù�üÔø¯ý�) FÆùHþù±ôvõÄý�þxøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý Äþ�ùHüÄøåý�)ã÷�L ÿåú �A�+J�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�*�.¥ÿ ôvõÄÿ¯úÒö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú`�:ö�)ôvù�þ�÷3÷�ÿ9)'ÿåøÃö±þ.ô�ù/ô�õÄùN÷¡ý'ýW÷¡ôvö�üÄøåÿå÷�õÄý��Üÿ¯ú B ��DA�ÆùHþô�õÔý<÷� Pý��ÿåö�øI�øÃö�÷v÷&ù���øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷k 7ùN÷�÷�ýW÷v÷�ÿ¯úÄû $ÄúÄÿ"K�$Äý<÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ôk��ý<)ôvù�þ�÷�4>�úÔù±ô�õÔý�þ�þvý�øåý��¤ö±úNô] Ôö� 7ýWþ�ý�÷]ô�ö±üÄøåÿå÷�õÄÿåúÄû�þvýW÷�$Äø ô�÷�÷�ÿ�)!ÿåøåö�þ;ô�ù<ù�$Äþ�÷�*Hü-$§ô]�ÆùHþ�ö�÷� 7ý<�ÿÃö±ø&�øåöH÷�÷Dù��øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�ÿÃ÷;B � ,=DE*�.¥õÄý�þvýô�õÔý û�ùNö±øÄÿÃ÷;ôvù<ù�üÄôvö±ÿåúãõÔö�þ���0Où�ú-0Oö��Hý�þ�ö±û�ý8 Äþvù�üÄøåý�)ã÷].¥ÿ¯ô�õ/��ý�þ��,�ù�)� Ôö�)ô�þvý� ÄþvýW÷�ý�úNô�ö¤ô�ÿåù�úU*±þvö±ô�õÄýWþ;ô�õ7ö±ú�ÿ9)� Äþ�ù=�9ÿåúÄûxô�õÔý

�ùHúÄúÄý<)ô�ÿåù�ú �:ö��ô�ùHþ�4�ó�ú B � ,�D��Aÿ9��ÿÃö±ú(�ÿ¯ù#÷�õÄù=.�÷3ô�õÔö±ô<ÿ �&ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄûSôvõÄýã÷¡õÔù�þ�ô�ýW÷¡ôV��ý��ô�ùHþ' Ôþ�ùHüÄø¯ý�) FÆùHþV��ö�þ�ÿåù�$7÷ù±ôvõÄý�þ øåö±ô¡ô�ÿ"�ýY Äþ�ùHüÄøåý�)ã÷�L¥ÿå÷ õÔö±þ��+ÿ¯ú#ôvõÄýY.�ù�þ�÷]ôxWö�÷�ý<ù=��ýWþ�öM�øÃö�÷v÷¥ù��;øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷;.¥ÿ ôvõJö�÷� Pý��ÿåö�ø?�:J��V;=o�x Äþvù� Pý�þ�ô3��*Ôô�õÄýWúù�úÔý,�ö�ú �§ý�HÔúÄý�þ�ö±ú&�§ù�)�øåÿ¯úÄý�ö±þ3ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷X.¥ÿ ôvõÜù�úÔø��dX;FÆøåù�ûQ^ULk�¤ö±þvÿåö�üÄøåýW÷¥ôvõÔö¤ô�ö±þvý<õÔö�þ��Aô�ù/÷�ù�ø9��ý�ù�úAôvõÄý'ö��Hý�þ�ö±ûHý�4_&õÄÿÃ÷Y�9ÿåý�ø"�Ä÷<þ�ö±ú&�§ù�) ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷JF:ö±ú&� �þ��� §ô�ùHû�þ�ö� ÄõÄÿ"!ù�úÔýN0E.�ö��:�%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�LY.¥ÿ¯ô�õpö:),$(�õp÷�)ãö±øåø¯ýWþ�þvý� ÄþvýW÷�ý�úNôvö±ô�ÿåù�úæ : �£q7m[qahiw�f]dTf3jxm�dT����tau�f?jkr�tah pSm�tahirSl'tarxqata��w<n'tau�hiq~v�dTrS��gif3j hil � �S�S��hiq£qTrSjkf3u�r�� rSv�v�rSqTh tafQtarxrS��dTq���m�q~tau�fZn#y3rS��l�t~tTu<f?l���j?��f3d~r�sg�m�totThiy3f[v�rShilNtTq]hilYmXv�rSg n�tTrSv�f[tar'f3qatahijxm�tTf8h tTq7pNrSgi�<jkfN���~f3dafN����f8tadan#tar'zSfZtQm;��rS�<l�w,rSl5tau�f[l���j?��f3dAr�s�g�m�totThiy3f[v�rShilNtTq���s9rSd£y�rSlNpNfZ���r�w<hif�q��:r�s-��l<r��Ul'pNrSgi��jkfS�æ�æ �£qan�jkv<tar�tThiy�m�gig nN��rSl�g n#daf�qa��g taq£s9rSd~hil<�=l�h taf8s9m�jkhigihif3q~r�s&g�m�totThiy3f3q]m�dTf8hil�taf3dTf3qatahil�z;��f3y�m���qaf8tau�f?y3girSqTf3qot7pNf3y3tarSd]v�dTrS�<gif�j hiq~��l<r��Ul#tTr��fAqTrSg p�m���gifAhilXv�rSg n�l�rSjkh�m�g�tahijkf7hilXm�l�nx����f3wVw�hijkf3l�qahirSl,� �S�����

%

Page 7: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

÷�ÿ��Wý/ôvõÔö±úhôvõÄùH÷�ý`�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ý<�ßÿåúfôvõÄÿÃ÷M Ôö� Pý�þ<*? 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø��fø¯ý�ö��§ÿåúÄû�ô�ù Äþ�ö��ô�ÿ"�ö±ø�ö�ú(� Äþvù=��ö�üÄø9�ß÷¡ý<N$Äþvý#øåö±ô¡ô�ÿ"�ýAü7ö�÷�ý���þ��� §ô�ùHû�þ�ö� ÄõÔÿ9;�%$Äú(�ô�ÿåù�úÔ÷�4����� ���6�"��!��F�_&õÄýAþvýW÷¡ô�ù��.ô�õÄý Ôö� Pý�þ�ÿÃ÷ãùHþ�ûNö±úÄÿ9��ý<�pö�÷M�Æù�øåø¯ù=.�÷�4Zó�ú 8 ý��ô�ÿåù�ú C.�ýAÿ¯úNô�þvù1�1$(�ýAüÔö�÷�ÿ9+�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�úÔ÷/ö±ú(�húÄù�ôvö±ô�ÿåù�ú$Ô÷�ý��+ôvõÄþ�ù�$Äû�õÔù�$§ô¥ôvõÄý5 Ôö� 7ýWþ�*Ôö�ú(�#û�ÿ9��ý�ü7ö���9û�þvù�$Äú&�Sö±üPù�$Äô øåö±ô¡ôvÿ9�ý5 Äþvù�üÄøåý�)ã÷�ö�ú(�+�ù�)� -$Äôvö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø~�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3��4�ó�ú8 ý<)ô�ÿåù�ú��5.�ýX�§ý�HÔúÄý�ôvõÄý�FÆû�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ9��ý��&L7$ÄúÄÿ��Æù�þ�) þvö��§ÿ9$Ô÷�ö�ú(�ãþvý�øÃö¤ô�ý3ÿ ô�ô�ù�ù±ô�õÔý�þ�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý'K�$Ôö±úNô�ÿ¯ô�ÿåýW÷�4Dó�ú 8 ý<)ô�ÿåù�ú ,5.�ýÿåúÄÿ ôvÿåö±ô�ý ô�õÄý.ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)!ÿ"¥÷]ô�$(�1�'ù��kö±ø9)!ùH÷¡ôQ Pý�þ��Æý�)ô�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�ö�ú(�� ÄþvýW÷�ý�úNô�ôvõÄýxHÔþ�÷¡ôQ 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øÄô�ÿ9)!ýX�ù�úÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHú!ù��ýWöH÷¡ÿåø9���Äý��ù1�Äö�üÄøåý3ö±ø9)!ùH÷¡ô8 Pý�þ��Æý��ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�4A_&õÄýW÷�ý3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�ö�þ�ýx$7÷¡ý<��ÿåú 8 ý<)ô�ÿåù�úd�xô�ù��§ý�HÔúÄý3ö�úÄý�.Êþvö�ú(�§ù�)6�øåöH÷�÷�ù��ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷�ôvõÔö¤ô¥û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ9��ýW÷?>A@�ô�ö±ÿ2� ÷&ùHúÄý�4;ó�ú 8 ý<)ô�ÿåù�ú %,.�ýV Äþvù=��ý ô�õÄýV)ãö±ÿåúSôvý��õÄúÔÿ9Wö±ø�þ�ý�÷�$Ôø ô¥ù���ô�õÄýV Ôö� 7ýWþ��£HÔú&�§ÿ¯úÔû÷�)!ö�ø¯øD÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷3ôvù�ô�õÔý'þ�ö±ú&�§ù�) ø¯ÿåúÄý�ö±þxý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷3ù�� 8 ý<)ôvÿ¯ùHúq�Sÿå÷.ö¤ôxø¯ý�ö�÷¡ôxöH÷ õ7ö±þ��Jö�÷;HÔú(�§ÿåúÄû#÷¡õÔù�þ�ô FÆþvý�øÃö¤ôvÿ��Hý<ôvùô�õÔý3ûHý�úÄýWþvö�ø¯ÿ9��ý<��$ÄúÄÿ��Æù�þ�) þvö��§ÿ�$7÷�L�ø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9�'ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô&øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý'��ý<)ô�ùHþv÷�ÿ¯ú�ô�õÄý'.�ùHþv÷¡ô?Wö�÷�ý�4,ó�ú 8 ý<)ôvÿ¯ùHúd�#.�ý þvý�øÃö¤ôvýô�õÔÿå÷V Äþvù�üÔø¯ý�) ôvù/ù�ô�õÄýWþV.�ýWø¯ø7�9úÄù=.¥úÜøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý Äþvù�üÄøåý�)ã÷�*Pøåÿ9��ý!ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄû�ôvõÄý�øåý�úÔû±ô�õ�ù���ô�õÄý!÷¡õÔù�þ�ô�ýW÷¡ôV��ý��ô�ùHþ3ÿåúö#øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�4 8 ý<)ô�ÿåù�ú � �ù�ú(�ø�$&�§ýW÷#.¥ÿ¯ô�õßö#üÔþ�ÿåýN��÷�$-)�)!ö�þ��«ù��¥ù�$Ôþ5)ãö±ÿåúàþ�ý�÷�$Äø¯ôv÷�*�ö�ú(�à÷�ù�)!ýãù� Pý�ú� Äþvù�üÔø¯ý�)!÷5.¥õÄùH÷�ý÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú!.�ù�$Äø"�/ö�ø¯øåù=.áôvù,�%$Ôþ¡ôvõÄý�þ�ÿ9)� Äþvù=��ý3ô�õÄý5�ù�úÄúÄý<)ôvÿ¯ùHú/�:ö�)ô�ùHþv÷�ý�÷]ô�ö±üÄøåÿå÷�õÄý<�/ÿåú+ô�õÄÿÃ÷[ Ôö� 7ýWþ�4� � í���ò� òWë���í�ò���ó�ú'ô�õÄÿÃ÷�÷�ý��ô�ÿåù�úI*�.�ý&ÿåúNô�þvù��-$(�ý&ôvõÄý�úÄù�ôvö¤ôvÿ¯ùHú'ô�õÔö±ô].¥ÿ¯øåøÔüPýk$Ô÷�ý��'ÿ¯ú!ôvõÄý¥þvýW÷¡ô�ù��Pô�õÄýx 7ö� Pý�þ<*Hö±ú&��ôvõÄý�ú�.�ý¥üÄþvÿ¯ý��(��þvý�Wö±øåøüÔöH÷¡ÿ"ãúÄù�ô�ÿåù�úÔ÷�ö±üPù�$§ô�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�*�÷¡ôvö±ô�ÿÃ÷]ôvÿ9Wö±ø8�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý�*Dö�ú(�Òÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��Hý�þvý��1$(�ô�ÿåù�úÔ÷�4M0ÄùHþY)!ù�þvýãüÔö���NûHþ�ù�$Äú(�)ãö¤ôvý�þvÿåö�øö±üPù�$Äô�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�ô�õÄý�þvýWö��§ý�þ&ÿÃ÷¥þvýN�Æý�þvþvý��ãôvù'ô�õÄý�üPù9ù�� B � %=DT4 >��� ��*�� � �"!�*��0ÄùHþ¥ö±ú���HÔúÄÿ¯ô�ý<÷�ý�ô��[*9ô�õÔýx÷�ÿ9��ýxù���àÿÃ÷k�§ý�úÄù�ô�ý<�����[4�0ÄùHþ�ö±ú��ãþvýWö±ø 3U*�� 3��5�§ýWúÄù±ôvýW÷�ôvõÄýxøåö�þ�ûHýW÷¡ô�ÿåúHôvý�ûHý�þ&úÄù±ô¥ûHþ�ý�ö¤ô�ýWþô�õ7ö±ú 3U*�ö�ú(����3�� O � 3 5 ¤ g�C!�'ÿå÷.ôvõÄý!þ�ù�$Äú(�§ÿåúÄû+ù��H3ÒôvùSôvõÄý2�øåùH÷�ýW÷¡ôxÿ¯úNô�ýWû�ýWþ�4 0Ôù�þ<ö�ú��J÷¡ô�þvÿåúÄû�"�*ôvõÄý!ø¯ýWúÄû±ôvõ«ù��#"ÿÃ÷X�§ýWúÄù±ôvý��%$ "&$�4E0Äù�þ.ö±ú��! 7ùN÷¡ÿ¯ô�ÿ9��ý<þvýWö�ø " !'�(*&.�ýY.¥þvÿ¯ô�ý/B ¤#' "�D�ôvù/�§ýWúÄù±ôvý<ô�õÔý�ÿåúHôvý�þ��¤ö±ø8B ¤�( " Z�¤ 5 "�DE4;>�þvÿ¯ô�õ-)!ý�ôvÿ9ù� Pý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ù�ú�ÿåúNô�ýWþ��¤ö±øÃ÷Dö±þvý8�§ý�HÔúÄý<��ÿåú<ôvõÄý&ù�ü��9ÿ¯ù�$Ô÷U.&ö��xü���ýNW9ô�ýWú(�§ÿåúÄû.ô�õÄý&÷]ô�ö±ú(�Ôö±þ���ö±þvÿ¯ô�õ-)!ý�ôvÿ9�ù� Pý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷~ 7ùHÿ¯úNô�0.¥ÿÃ÷¡ý�*§ý�4 û(49* 3�R�B ¤�' "�DU�§ýWúÄù±ôvýW÷�ô�õÔý�ÿ¯úNô�ýWþ��¤ö�ø7B 3 ( "C3 Z 3 5 "C3(DT4n� ù±ô�ÿ"�ý.ôvõÔö¤ô�)Y+*�R�B ¤�' "�D�ÿ��Dö�ú(�/ù�úÄø9�ãÿ �,ô�õÔý.þvý�øÃö¤ôvÿ��Hýö��(�§ÿ ôvÿ��Hýxý�þvþ�ùHþ,$ ) ( *-$ g�$ *-$HÿÃ÷¥ö¤ô[)'ùN÷]ô "<4n0ÄùHþ¥ö±ú��!ô3.�ù PùH÷�ÿ ôvÿ��Hý3þvýWö�øå÷#) Z */. �(*1.�ý'.¥þvÿ ôvý0)213*�ÿ �)4. F ¤ g�C�L�R�*�*Äö�ú(�)657*xÿ ��)98 F,� g�C�L R!*=4H��ý'÷vö���ôvõÔö¤ô:)+ÿå÷.ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ýWø��/ý�K�$Ôö±økô�ù�*MF%.¥þvÿ ô�ô�ýWú;)6<=*�LS*�ÿ ��ü7ù�ô�õ>)657*�ö±ú&�9)61=*�*ÿT4 ý�4�*�) Y�* R=B ¤?' ¤ g�C�DE4 ��ù±ôvÿ9�ý.ô�õÔö±ô#)2<3*�ÿå÷�úÄù�ô&ö'÷���)�)!ý�ôvþ�ÿ"�þvý�øÃö¤ôvÿ¯ùHúI*9ÿa4 ý�49*�)�<3*x�§ù9ýW÷�úÄù�ô�ÿ9)� Äø9�6*�<3)e4�0Äù�þ¥ö�ú��) Z * ZA@ .��-*§ÿ��)�< @ ö�ú(�+*#< @ *§ôvõÄý�ú+)Sö�ú(��* ö�þ�ýV.¥ÿ¯ô�õÄÿåúAöY�:ö�)ôvù�þ �'ù�úÄýV�Æþvù�)�ô�õÄý�ù�ô�õÄýWþ�*§ÿT4 ý�4�*

B ) Z * ZA@ 9 FC)�< @ LEDFF*G< @ LIH FF)sgA��8J*/83�K)1L 9 FaC-4 ¤ L

ó�ú/ô�õÄý5 7ö� Pý�þk.�ý'$7÷¡ýxôvõÄý<÷]ô�ö±ú(�Ôö±þ��/öH÷���)� §ô�ù�ô�ÿ".úÄù±ô�ö¤ô�ÿåù�úJ�Æù�þ[�%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�4/0Äù�þ�ö�ú��ãô3.�ù� PùH÷�ÿ ôvÿ��Hýxþ�ý�ö±ø��%$Äú(�ô�ÿåù�úÔ÷L ZNM *�.�ý[.¥þ�ÿ¯ô�ý L O ��F M L,ù�þ M O �VF L L,ÿ��7ôvõÄý�þvý&ýNW§ÿÃ÷]ô�÷,öV�ù�úÔ÷¡ôvö�úHô @ ! �x÷�$(�õ�ô�õÔö±ô L F�3eL#8 @ R M F�3eLU�ÆùHþDö�ø¯øÄ÷�$ )2�ÿåý�úNôvø��øÃö±þvû�ý 3~4F��ý .¥þvÿ¯ô�ý L O � F M L ÿ � L O ��F M L.ö±ú&� L O �VF M LN4F��ý .¥þvÿ¯ô�ý L O3&1F M L ù�þ M O X;F L L ÿ�� L F�3�L � @ R M F�3eL�Æù�þxö±øåø @ ! �Sö�ú(�Jö±øåøD÷�$ )2�ÿ¯ýWúHôvø��#øÃö±þvû�ý3~4��«ý'ö±øÃ÷¡ùJ$Ô÷¡ý�úÄù±ô�ö¤ôvÿ¯ùHú���F L LN*]FÆþvýW÷� I4 �VF L L Z &1F L L Z X;F L L�L�ô�ù!�§ý�úÔù±ô�ý�ô�õÔý�øÃö�÷v÷¥ù��Dö�ø¯øU�%$Äú()ôvÿ¯ùHúÔ÷ M ÷�$(�õ+ôvõÔö¤ô M O ��F L LN*£F:þ�ý�÷� I4 M O �VF L LS*7ý�ô��4 LN*7ùHþ�ö±úJö�þ�üÄÿ¯ô�þ�ö±þ���*§ü($§ôxH-W§ý��I*-�%$Äú(�ô�ÿåù�ú+�Æþvù�)ô�õ7ö¤ô �øåöH÷�÷�4M0ÄùHþ�ý�W§ö�)� Äø¯ý�*~.�ý/.¥þvÿ¯ô�ý ��F ¤ Lxôvù �§ýWúÄù±ôvýSö±úßö�þ�üÔÿ ôvþvö�þ���ù�ú7÷]ô�ö±úNô�*,ù�þ,^�� �����.ô�ù �Äý�úÄù�ô�ý/ö�úßö±þvüÄÿ¯ô�þ�ö±þ�� Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø¯ø9�ãüPù�$Äú(�Äý��J�%$Äú(�ô�ÿåù�ú+ù��~^A4]> �%$Äú&)ô�ÿåù�ú L ÿÃ÷&úÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÄøåýxÿ � L F%^ULnO ^?OQP.������*§ÿa4 ý�49* L F%^UL�ÿÃ÷¥ö�÷���) Äô�ù±ôvÿ9Wö±øåø��÷�)!ö�ø¯øåý�þ&ôvõÔö±ú#ö±ú���ÿåú���ýWþv÷�ýX Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øÿåú+^A4

�ý�ô)=?* 0»ö�ú(�<;hü7ýxôvõÄý<÷¡ý�ôv÷¥ù���ôvõÄý�þvýWö±øÃ÷�*9ô�õÄý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔö±øÃ÷¥ö±ú(�/ôvõÄý�ÿ¯úNôvý�û�ýWþv÷�*§þvýW÷� 7ý<)ô�ÿ9��ýWø���4]_&õÄý �J0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�ø\]$&�øåÿ9�§ý�ö±ú�÷� Ôö��ý�ÿÃ÷~�Äý�úÄù�ô�ý�� = ? 4-�«ý?$Ô÷�ý�üPù�ø"��øåù=.�ýWþ~�öH÷¡ý�ø¯ý�ô¡ô�ýWþv÷?FÆý�4 û&4�*SRUL�ô�ù'�§ý�úÔù±ô�ý8��ý<)ô�ùHþv÷�*�ö±ú(��üPù�ø"�5$( - 7ýWþ£Wö�÷�ýøåý�ô¡ôvý�þ�÷XF:ý�4 û(49*UT L;ôvù,�§ýWúÄù±ôvý;)ãö¤ôvþ�ÿ"�ý�÷�47_&õÄý;^�0Z�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±ø7ÿ9�Äý�úNô�ÿ¯ô3��)!ö±ô�þvÿ W�*9ÿT4 ý�4�*Hô�õÄý'^�V�^!�§ÿÃö±ûHù�úÔö�ø()ãö¤ôvþ�ÿ�WM.¥ÿ ôvõ¤ � ÷�ùHú!ô�õÄý'�§ÿÃö±û�ùHúÔö±øT*±ÿÃ÷Q�§ýWúÄù±ôvý��4W 7 *HùHþ�÷�ÿ�)� Äø9��Wx.¥õÄý�úãôvõÄý;�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�ú�ÿÃ÷Q�ø¯ý�ö±þA�Æþvù�) ô�õÄý'�ùHúHôvýNW9ô�4A_&õÄýX�ù�ø9$-)!úÔ÷�ù��ö�)ãö¤ôvþ�ÿ�W6T2ö±þvýX$7÷�$Ôö�ø¯ø9�J�Äý�úÄù�ô�ý��+ü��ãôvõÄýY�ùHþ�þvýW÷� Pù�ú(�§ÿåúÄû'ø¯ù=.�ý�þ��öH÷¡ý3ø¯ý�ô¡ôvý�þ�÷�*Äý�4 û&4�*QX � Z:9�9:9DZ X 7 4Q> ÷ ö±ú+ýNW-�ý� §ô�ÿåù�úI*ô�õÔý�÷¡ôvö±ú&�Äö±þ��!$ÄúÄÿ¯ô'�Hý�)ôvù�þ�÷�*Ôÿa4 ý�49*ÔôvõÄý,�ù�ø9$-)!úÔ÷�ù��;ô�õÄý�ÿ9�Äý�úNô�ÿ¯ô3�J)ãö±ô�þvÿ W+W 7 *�ö±þvý5�§ý�úÔù±ô�ý<�9Y � Z�9:9:9DZ Y 7 4�óE� '[Z = 7 ÿå÷ö±ú«ö±þvüÄÿ ôvþvö�þ��/þ�ýWû�ÿåù�úAù���÷� Ôö��ý�*Pö�ú(�+R Y = 7 ÿÃ÷3ö/��ý��ô�ùHþ�*7' 5 R O[\ . 5 RA� . Y '^] �Äý�úÄù�ô�ýW÷3ö/�ù� ��/ù�� '»÷�õÄÿ��Çô�ý<�ü��_RA4]_&õÄý,` � úÔù�þ�) ù���ö,��ý<)ô�ùHþaR Y<= 7 ÿÃ÷:bcR�b O e d 3 �e *Äö�ú(�ãôvõÄý�ö�÷v÷¡ù1�ÿÃö¤ôvý��2�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý.ÿå÷k�Äÿå÷¡ô<FCR Z .~L�O[bcR ( .ab=40ÄùHþ�ö�)ãö¤ô�þvÿ�W6T O B X � Z�9:9�9VZ X 7�DE*-.�ý5�§ýNHÔúÔýfb�Tgb O )!ö�W e b�X e b=*-.¥õÄýWþ�ý:X e ö�þ�ý3ô�õÔýY�ùHø�$-)!úÔ÷&ù��?T 4�0ÄùHþk��ý��ô�ùHþ

Page 8: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

� Y = 7 ö�ú(�Ò÷¡ý�ô(' Z = 7 *,ø¯ý�ô,�§ÿÃ÷]ô�F � Z 'XL O ÿ¯ú-�������6b � (�� b'ü7ý�ô�õÄý/�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ýãüPý�ô3.�ý�ýWú � ö�ú(� '54d0ÄùHþ#��ý��ô�ùHþ� Y = 7 ö±ú(�#þvýWö�ø0D�*�ø¯ý�ôVF � Z D�LSO7\ � Y = 7 �-�§ÿå÷¡ô<F � Z�� L�� DU]'ü7ý�ô�õÄý�ù� Pý�úAüÔö�ø¯ø�ù���þ�ö��§ÿ9$Ô÷FDM�ý�úNô�ýWþ�ý<�#ÿ¯ú � *ö�ú(��XF � Z D�LSO \ � Y = 7 ���Äÿå÷¡ô<F � Z�� L�8 DU]<ÿ¯ôv÷&ôvù� Pù�øåù�ûHÿ9Wö±øI�øåùH÷�$Äþvý�4 �ZõÄýWú#ô�õÄý5�ý�úNô�ýWþ � O� Aÿå÷&ôvõÄý�ù�þvÿåû�ÿåúI*1.�ý<÷�ÿ9) Ôø��.¥þvÿ ôvý�'F�D=L�ö±ú(� �'F�D�LS4���ý�ù��Çôvý�úM$Ô÷�ýx)ãö¤ôvþ�ÿ�W�úÔù±ôvö±ô�ÿåù�ú'ô�ù,�§ý�úÄù�ô�ý�÷�ý�ô�÷�ù�����ý<)ôvù�þ�÷�4-0Äù�þ�ýNWÄö�)� Äøåý�*�)!ö±ô�þvÿ W��qY<=@?�� 7þvý� ÄþvýW÷�ý�úNôv÷¥ô�õÄý'÷¡ý�ô ù�� �J0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�øU��ý<)ôvù�þ�÷,\�� � Z:9�9:9VZ � 7 ]�*(.¥õÄýWþ�ý�� � Z:9:9�9DZ � 7 ö±þvýxô�õÔý,�ùHø�$()'ú7÷�ù����]4x_&õÄý�øåÿåúÄýWö�þ÷� Ôö��ý�÷� Ôö�úÄúÄý<�«ü���öA÷¡ý�ô�ù��[��ý<)ô�ùHþv÷��Zÿå÷Y�§ý�úÄù�ô�ý<�à÷� Ôö�úIF��~L O \ d e 3 e R�� e � B�� 9 3 e Y =a]�4q0Ôù�þ�ö�ú���÷¡ý�ô<ù��¥øåÿ¯úÄý�ö±þvø��ÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNôx��ý<)ôvù�þ�÷��A*1.�ý5�§ýNH7úÄý.ô�õÄý5�ý�úNô�ýWþ�ý<�SõÔö�ø �Dù� Pý�ú+ Ôö�þvö�ø¯øåý�øåý� Ôÿ� Pý����/F��~LnO \��ER� (#¤ g�C 8 3 e � ¤ g�C&]�4

>�� �����"!�#%�01>�ú �/0Z�§ÿ9)'ýWúÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±øT;9�=RTR�o����ÿå÷�ô�õÄý.÷¡ý�ô�ù���ö�ø¯ø7ÿ¯úNô�ýWû�ýWþ8�ù�)�üÄÿåúÔö±ô�ÿåù�úÔ÷#\ d 7e"! � 3 e + e �$3 e Y ;0]�ù���^Aø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9��ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHô��ý<)ôvù�þ�÷ + � Z:9:9�9VZ + 7«ÿ¯ú =@? F�� . ^ULS4J_&õÄý�÷¡ý�ô<ù��[��ý<)ô�ùHþv÷ + � Z�9:9�9VZ + 7ÜÿÃ÷5Wö±øåø¯ý<��ö5I����J"�'�Æù�þxôvõÄý�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�*,ö±ú(�«ô�õÔýÿåúHôvý�ûHý�þ ^ O �§ÿ�):FM÷� Ôö�úUF���L�L�ÿÃ÷��ö±øåøåý��àôvõÄý ����� B/ù���ôvõÄý+øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�4póE��ôvõÄý#þvö�ú-� ^Êý<K�$7ö±øÃ÷<ôvõÄý:�§ÿ�)!ýWúÔ÷¡ÿåù�ú � *�ô�õÄýWúô�õÔý�øåö±ô¡ôvÿ9�ýãÿå÷5Wö±øåø¯ý<��@ Ks;�;]���A��B!ùHþ @ Ks;�;�BA�<��D�-�JoP�����;�4� �ö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷<ö�þ�ý!ÿåú1HÔúÄÿ¯ô�ý!>�üPý�øåÿåö�úÒû�þvù�$- Ô÷V.¥ÿ¯ô�õàþvýW÷� Pý�)ô�ôvùAô�õÔý��ý<)ôvù�þ<ö��(�§ÿ ôvÿ¯ùHúÒù� Pý�þ�ö¤ô�ÿåù�úU*kö±ú(� Wö±ú�ü7ý�ý<K�$Äÿ��¤ö�ø¯ýWúHôvø�� �§ýNHÔúÔý��àö�÷#�Äÿå÷��þvý�ôvý!ö��-�§ÿ¯ô�ÿ9��ý�÷�$ÄüÄûHþ�ù�$- Ô÷.ù��6=@?J4!> üÔö�÷�ÿÃ÷�ö�ú#ü7ýY�ù�)� Ôö�)ô�ø9�Sþvý� Ôþ�ý�÷¡ýWúHôvý��+ü���ôvõÄý5)ãö¤ôvþ�ÿ�W��QO B + � $ 9:9:9 $ + 7�D Y =�?#� 7 õÔö��9ÿ¯úÄû'ôvõÄý<üÔöH÷¡ÿÃ÷k��ý<)ôvù�þ�÷¥ö�÷x�ù�ø9$-)!úÔ÷�4_&õÄý�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ûHý�úÄýWþvö±ô�ý<�«ü�� � ÿÃ÷Y�§ýWúÄù±ôvý�� �'F���LS4M��ù�ô�ÿ"�ýãôvõÔö¤ô �XF � L O \ � RA��R Y ; 7 ]�*~.¥õÔý�þvý� R ÿÃ÷�ôvõÄý2$Ô÷�$Ôö±ø)ãö¤ôvþ�ÿ�W�0T�Hý�)ôvù�þX)Y$Äø¯ô�ÿ9 Äøåÿ9Wö¤ô�ÿåù�úU4 �«ý $Ô÷�ý�úÄù�ôvö±ô�ÿåù�ú �'F���L�ôvù!�Äý�úÄù�ô�ý<ôvõÄýã÷¡ý�ô \ � RA��R3Y4; 7 ]'ý��Hý�ú .¥õÔý�ú �Hý��ô�ù�þ�÷)�ö±þvýxúÄù±ô¥øåÿ¯úÔýWö±þvø9��ÿ¯ú&�§ý� Pý�ú(�Äý�úNô�4Q_&õÔýV�-$Ôö±ø�ù��,ö!øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý �XF � LN*ÔÿÃ÷�ô�õÄý<÷�ý�ô

�XF���L � O \ R Y#÷� Ôö±úUF��XF � L�LS� B .5Y �'F���L 9%$ R Z .'& Y<;0]

ù���ö�ø¯ø~��ý��ô�ùHþv÷¥ÿåúAôvõÄý�øåÿ¯úÔýWö±þ3÷� Ôö�úAù��-�'F���L&ô�õ7ö¤ô3õ7ö���ý�ÿåúHôvý�ûHý�þ ÷��ö�øåö�þx Äþvù��-$()ô;.¥ÿ¯ô�õ«ö±øåøkøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýY�Hý�)ôvù�þ�÷�4k_&õÄý,�1$Ôö±øù���öSøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý'ÿå÷xö/øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�*kö±ú&�Üö2 PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý'üÔö�÷�ÿå÷X�ÆùHþ3ôvõÄý��1$Ôö±øDù��H�XF � L3ÿÃ÷.û�ÿ9��ý�úÜü�� � � O �!F��)(0��L OT�=*�.¥õÄýWþ�ý �)(ÿÃ÷ ôvõÄý'ô�þ�ö±úÔ÷� PùH÷�ý�ù��E�/4/F���ù�ô�ÿ"�ý�ô�õÔö±ôxÿ��E� ÿÃ÷xöSüÔöH÷¡ÿÃ÷�*Pÿ¯ô�õÔö�÷X�%$Äøåø]�ùHø�$()'ú«þvö�ú-�Aö±ú(�Jô�õÄýã÷�K�$Ôö±þvýY)ãö¤ôvþ�ÿ�W �)(0� ÿå÷ÿåú��Hý�þ�ô�ÿåüÄøåý�4iL_&õÄýF< �� �< Ks< B�"�SRZ��������ù��kö<øåö±ô¡ô�ÿ"�ý.�XF � LN*�Fa�§ý�úÔù±ô�ý<��* � F��'F���L�L�LS*§ÿÃ÷�ôvõÄý;)!ÿåúÄÿ�),$-)6�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý�ü7ý�ô3.�ýWý�úSö�ú���ô3.�ùFo�Äÿå÷¡ô�ÿåú()ôSL&øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý# 7ùHÿ¯úNô�÷¥ö±ú(�/ý�K�$Ôö�øå÷�ôvõÄý�ø¯ýWúÄû±ôvõ#ù��,ô�õÄý<÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô&úÄùHú-��ýWþ�ù!øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýV��ý��ô�ùHþ��

* � F��'F���L�L�O )!ÿ¯ú \<�§ÿÃ÷]ô�F�R Z .~Lk�-R�+O .5Y �'F���L ]EO )'ÿåúE\ bcR�bX�-R Y �'F���L',�\- ] ] 9_&õÄÿÃ÷X�ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú �ö±úÜü7ý�û�ý�úÔý�þ�ö±øåÿ��Wý��+ô�ùJ�§ýNHÔúÔý�ôvõÄý � ô�õ«÷�$(��ý�÷�÷�ÿ��Hý5)!ÿ¯úÔÿ�),$-) ö�÷ ô�õÄý'÷�)ãö±øåøåýW÷¡ô.* e ÷�$(�õAô�õ7ö¤ô �'F/* e L�ùHúNôvö±ÿåúÔ÷ � øåÿåúÄýWö�þ�ø9��ÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý# 7ùHÿ¯úNô�÷��

* e F��XF � L�L/O )'ÿåú \ D����§ÿ9):F:÷� Ôö±úUF��XF � L10 �'F�D�L�L�LG. � ]>�úÔù±ô�õÔý�þ�ÿ9)� 7ùHþ¡ô�ö±úNô;�ùHúÔ÷]ô�ö±úNô ö�÷v÷�ù��ÿåö±ô�ý<��ôvùSö!øåö±ô¡ôvÿ9�ý�ÿå÷�ô�õÄý5�ù=��ý�þvÿåúÄû!þvö��§ÿ�$7÷��;ôvõÄý5�ù=�Hý�þvÿ¯úÔû'þ�ö��Äÿ�$Ô÷>��F��'F���L�L�ù��;öøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�ÿå÷�ôvõÄý#)ãö=W§ÿ9)Y$-) �§ÿå÷¡ôvö�ú(�ý#�§ÿÃ÷¡ô<F�R Z �XF � L�L[.¥õÄý�ú�R�þvö�úÄû�ý�÷�ù=��ý�þ�ôvõÄý�ø¯ÿåúÄý�ö±þ�÷� Ôö±ú+ù����/�

�eF��XF � L�L�O )ãö=W2 ��3547698 �;: �

\<�§ÿÃ÷¡ô<F�R Z �XF � L�L ] 9>�÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý+ù��F�'F���L<ÿÃ÷�öJøåö±ô¡ô�ÿ"�ý �XF<�UL�÷�$&�õàô�õÔö±ô �'F��~L4Z �'F���LS4 �XF<�UL�ÿå÷'ö @ Ks;�;?���A��BS÷�$ÄüÔøåö±ô¡ô�ÿ"�ý+ù��F�'F���L<ÿ��ÿ¯ô�õÔö�÷'ôvõÄýJ÷�ö�)!ý+þ�ö±ú(�pö�÷ �XF � LN4 _&õÄý`�§ý�ô�ýWþ�)!ÿåúÔö±úNôãù��xö FÆþ�ö±ú-��^UL'øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý`�§ý�ô<F��'F���L�L!ÿÃ÷!ôvõÄý F%^�0Z�§ÿ9)'ýWúÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±ø�L��ùHø�$()'ýÜù���ô�õÔý`�%$Äú(�Ôö�)!ý�úNôvö�øX 7ö±þ�ö±øåø¯ýWø¯ý� Äÿ� Pý��=�/F � LN* ö±ú&�Zÿ ô+�§ù9ýW÷/úÄù±ô+�§ý� Pý�ú&�Zù�úZôvõÄý �õÔù�ÿ"�ýJù���ô�õÄý«üÔö�÷�ÿå÷ �/4óE� �'F���L�ÿÃ÷2�%$Ôø¯ø#�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±øT*¥ôvõÄý�ú �§ý�ô�F��XF � L�L�ý<K�$Ôö±øÃ÷�ôvõÄýÒö±üÔ÷�ù�ø9$§ô�ý ��ö�ø�$ÔýÜù���ô�õÄý�§ý�ôvý�þ�)'ÿåúÔö�úHô+ù���ôvõÄý ^�V ^üÔöH÷¡ÿÃ÷�)ãö¤ô�þvÿ�W $3�§ý�ô<F � L�$�4 �3ö��Äö�)!ö�þ��T� ÷'üPù�$Äú(�hûHÿ��HýW÷!öÒ÷¡ÿ9)� Äø¯ý:.&ö��Òô�ùàüPù�$Ôú(�fô�õÄý:�§ý�ô�ý�þ�)!ÿ¯ú7ö±úNô�ù��xö«øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýJöH÷�§ý�ô<F��'F���L�L�8?> e b + e b�4�� ö��Ôö�)ãö±þ��?� ÷�üPù�$Äú(�J�ö�ú�ü7ý')Y$&�õ�øåö�þ�ûHý�þ;ôvõÔö±úSô�õÄý.ö��ô�$Ôö�ø&�¤ö±ø9$Äý.ù��ôvõÄý'�Äý�ô�ýWþ�)!ÿåúÔö±úNô<*Nö�ú(�ÿ¯ôxý<K�$Ôö±øÃ÷3ô�õÄýM�§ý�ô�ý�þ�)!ÿ¯ú7ö±úNô.ÿ��¥ö±ú(�Üù�úÄø9�Aÿ ��ô�õÔý'ü7ö�÷�ÿå÷ � ÿå÷xùHþ¡ôvõÄù�ûHù�úÔö�øa4F�Jÿ¯ú-�Hù=.�÷��9ÿ2� ÷;HÔþ�÷]ô.ô�õÔý�ù�þvý�) FM÷¡ýWý:B � %1*I - I4¤�¤A@e¤ ,�D%L�ÿ9)� Äø¯ÿåýW÷�ôvõÔö¤ô ö�ú���þvö�ú-�2^«øåö±ô¡ô�ÿ"�ý �'F���L[�ùHúHô�ö±ÿåúÔ÷¥ö'úÄù�ú(��ý�þvù ��ý��ô�ùHþ¥ù���øåý�úÔû±ô�õAö±ô[)!ùN÷]ô

* � F��XF���L�L�8 [ ^V�§ý�ô=F��'F���L�L ��* 7 9 FaC-4 C�L

_&õÄý��;ù�þvù�úÄùHÿU�ýWø¯øÃ÷ ù���ö�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�*��§ý�HÔúÄý��Üü7ýWø¯ù=.#*e ÄøÃö��+ö�úJÿ9) Pù�þ�ôvö�úNô3þvù�øåý<ÿ¯úÜù�$ÄþX Äþ�ù9ù��:÷�4H0Ôù�þ'$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ÿ ô3��*Pö�ú(�ü��«ö�úÔö±øåù�û��`.¥ÿ ôvõÒô�õÄý!�§ýNH7úÄÿ ôvÿ¯ùHúàù���ô�õÄýSõÔö±ø���0Fù� 7ýWú� Ôö±þ�ö±øåøåý�øåý� Äÿ9 7ý<��*£.�ý�HÔþ�÷¡ôY�§ýNHÔúÔýãô�õÄýSõÔö±ø���0Fù� 7ýWú �;ù�þvù�úÄùHÿ]�ýWø¯øÃ÷�4��ù=.�ý��Hý�þ<*�.�ý¥þ�ý�)!ö�þ��<ô�õÔö±ô�ÿ¯ú!ôvõÄý�þvýW÷¡ô�ù���ô�õÔýx Ôö� Pý�þQ.�ý�ùHúÄø9��úÄýWý��'ô�õÔýx)!ù�þvý�÷]ô�ö±ú(�Äö�þ��'úÄù�ô�ÿåù�úÔ÷�ù���ù� Pý�ú�ö±ú&�M�øåùH÷�ý���;ù�þvù�úÔù�ÿ��ýWø¯øÃ÷�4

Page 9: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

� Y�� $-)�&()�#%$��T.���� ��R� I��YR��-�,RZP=RZ��;AP=��B��N� P��<= 7 O��-�����,R��. @,���'BJPA� ; J� @ b�R�b��7b .ab!P=��bcR�b]O b*.ab/�A�CB R>e������� B��N� . ;9�$I�o��P������ > � o���A;�; J��E� ��� �� 3 e ��� e @NP=��R��-���Q���SR;��P<P=�`B���e��RE� � �JK(� � R��(�=R-3 e +O�� e ��~P=�M���+J ;���RaR2o��� �XF � L���'B�;���RaR2o���S>(P���&R R Y��XF � L��QR��(� �,�(��; @���P >-�D� � �;ùHþ�ùHúÄù�ÿ[���D;�;~Pz@GR "�#R��(�#����R

�'F�R Z �'F���L�L�O \��:YA÷� Ôö±úIF��XF � L�LS� B .5Y<�XF���L 9 F�� ( RUL�� F�� ( .~Lc] 9

�'�-�:�D;�P���� B �E���N��>� P >-�D� � �&P=��PA�ePA'���V;�; ��;FCR Z �'F���L�L �E���N��>� ����=FCR Z �'F���L�L �q"�dB����n��� B �=�/R��(�JREP >-PA;�P��7o����;;�D;�P��JK1����E���N��>� ]��(RZ�N�JoP�� �2Pz@ �'F�R Z �'F���L�L!

0ÄùHþ3÷�ÿ�)� Äøåÿ"�ÿ¯ô3��*7ô�õÄý��;ù�þvù�úÄùHÿU�ýWø¯ø,ù��Dô�õÔý�ù�þvÿåû�ÿåú+R O Jÿå÷'�§ý�úÔù±ô�ý<�"�'F��XF � L�LS4E��ù±ôvÿ9�ý�ô�õ7ö¤ô ôvõÄý��;ùHþ�ùHúÄù�ÿ~�ý�øåø,ù��ô�õÔý�ÿåúNô�ý�ûHý�þ3øåö±ô¡ô�ÿ"�ý'ý�K�$Ôö�øå÷ ô�õÔý�õÔö�ø ��0Où� Pý�ú $ÄúÄÿ¯ôV�$Äü7ý��#�'F�; 7 L O �/FCW 7-LN4E��ý'úÄý�ý<�J÷¡ù�)!ý�÷�ÿ�)� Äøåý, Ôþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷ ö±üPù�$Äô�;ù�þvù�úÔù�ÿ��ýWø¯øÃ÷�*7ö�÷&øåÿå÷¡ô�ý<�SüPý�øåù=.#4]>�øåøI Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷¥ö�þ�ý.ýWöH÷¡ÿåø��/��ý�þvÿ�HÔý��+ö±ú(�Sô�õÔý�ÿåþx ÄþvùNù���ÿÃ÷&ø¯ý��Çô�ô�ù'ôvõÄý�þ�ý�ö��§ýWþ�4$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.(� �~P=�Y���8J�;��=RTR2o���)�XF � L��QR��-� �&P=��PA�ePAQ���D;�;i�YP�@F�XF���LV����R�"��@LJ2R��-�/@NP�;�;�P�O����� >���P`>(�N�SR2o�N�*)

N �C�(� �-��; @���P`>(�V� �&P���P���P�8���D;�;i��@NP=�J< � >-���SR��R2oP���P�@3÷� Ôö�úIF��'F���L�L+��� ��! ��?@NP=� ���+J�. YJ÷� 7ö±úIF��'F���L�L,R��-�����,�CI�"�SRo���Ks� ��DK(� ;9�=RTR�o��� >-PA��(R RqY��XF � L#�JK(�`�:R��(�=R2.5Y,�'F�R Z �XF���L�L!

N.- ;�;��&P���P���P�#���V;�;i���XFCR Z �'F���L�L1�EO��R��;R Y��XF���L ���=���+�z�s @�RE� B ��P >Co�N���'F�R Z �XF���L�LO/�XF��XF � L�L 5 R Pz@JR��-�@ Ks�CB��A<��D�(RZ��;£���D;�;~�=����P<�Vo��RE� BJRZP�R��(�,P��J �A��0 N.1 ��� �2���D;�;2�XFCR Z �'F���L�L;��PA�(RZ����-�[R��-�;P >-�D�2�2> �-����� VF�R Z * � F��'F���L�L�g�C�LX���CB �R�"�;��P��(RZ������ B ��2R��-�X�V;�P=���`B#�2> �-������XF�R Z �eF��XF � L�L�L3 N �C�(�5�=P�;=Ks<�� P�@Y���&P=��P��ePAQ���V;�;7���DK(��;��[�Hù�øTF��'F�R Z �'F���L�L�L/O �§ý�ô�F��XF � L�L3 N �C�(�2P`>(�D�"�&P=��PA�ePA[���D;�;0� � FCR Z �'F���L�L:"� R��(� ���NR;Pz@ �A;�;C>-PA��(Ra� ��A÷� 7ö±úUF��XF���L�L R��-��RX�=��� �SRa�Jo��R�;KJ+�D;�P������,RZP�RR��(���`RZP/�A�+J/P=R��-���F;���RaR2o���S>(P���&R4

N �C�(�M�V;9P���� B �&P=��PA�ePA[���D;�; ��'F�R Z �XF���L�L "� R��(�,���NRxP�@���;�;%>(P���&Ro� ��A÷� Ôö±úIF��XF � L�L R��(�=R;�=���M�=R ;������SR;�=� �V;9P�����RZPR R��(���`RZP/�A�+J/P=R��-���F;���RaR2o���S>(P���&R4

N �C�(�,���D;�;i�#� � F�R Z �XF���L�L��A�CB ��'F�R Z �XF � L�L,�����,��PA�(�=�$I+���'B�� J�< <���Ra�Jo� �7I�PAK1R8R��-�D��Y���V�&RE���#R5

>��� 6 * / &,�6� ��� !�*��F���A&)("* ,.� � / 1 *�� � �����"!�#%�01�ZõÄýWú �§ÿÃ÷��$Ô÷v÷¡ÿåúÄû �ù�)� -$§ô�ö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø�ÿå÷v÷�$ÄýW÷�þ�ýWøåö±ô�ý<��ô�ù�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�*;ÿ¯ô!ÿå÷�N$7÷]ôvù�)ãö±þ��Üôvù«öH÷�÷�$-)!ý�ôvõÔö¤ô'ô�õÄý+øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷'ö±þvýþvý� ÄþvýW÷�ý�úNô�ý<�Üü��Òö#üÔö�÷�ÿÃ÷#)ãö¤ô�þvÿ�W � ö�ú(��ô�õÔö±ôA� õÔöH÷�ÿåúHôvý�ûHý�þ<ýWúHôvþ�ÿåýW÷�4 9 ôvõÄý�þ�þ�ý� Äþ�ý�÷¡ýWúNôvö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ö±þvýM PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý�*ký�4 û&4�*öp÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ù��A; 7 �ö±úKü7ý �§ý�HÔúÄý��Kö�÷Sô�õÄýÒ÷�ý�ô#ù���ÿåúNô�ý�ûHý�þ+÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHúÔ÷Sô�ù öp÷��9÷¡ô�ý�) ù���õÔù�)!ù�ûHý�úÄýWù�$Ô÷/)'ù1�1$Ôøåö�þøåÿ¯úÄý�ö±þ&ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷�47_&õÄýW÷�ý.ö�ø ôvý�þvúÔö¤ôvÿ��Hý þvý� ÄþvýW÷�ý�úNô�ö¤ô�ÿåù�ú7÷�ö�þ�ý'�ù�)� -$Äôvö¤ôvÿ¯ùHúÔö±øåø9�'ý<K�$Äÿ��¤ö�ø¯ýWúHô�ô�ù!ûHÿ��9ÿåúÄû�ö�üÔö�÷�ÿÃ÷�*9ÿT4 ý�4�*��ÆùHþýNWÄö�) Ôø¯ý�*û�ÿ9��ý�ú�ö/÷��§÷]ôvý�) ù���õÄù�)!ùHû�ý�úÔý�ù�$7÷;)!ù1�1$ÄøÃö±þ.ø¯ÿåúÄý�ö±þxý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷.ù�úÔý Wö±ú �ù�)� -$§ôvý�ÿåú 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø,ôvÿ�)!ý!öüÔöH÷¡ÿÃ÷?�Æù�þ&ôvõÄý5�ùHþ�þvýW÷� 7ùHú(�§ÿåúÄû'øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�4ó�úJôvõÄÿÃ÷X 7ö� Pý�þ'.�ý��ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ô�õÔý,�ÆùHø¯øåù=.¥ÿåúÄû2 Äþvù�üÄøåý�)ã÷.ù�úÜøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�45> ø¯ø7 Äþvù�üÔø¯ý�)!÷.ö±þvý,�ÄýNHÔúÄý<�JÿåúJôvõÄý�ÿåþ�ö� - Äþvù�W�0ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú��ýWþv÷�ÿ¯ùHúI*�.¥õÄýWþ�ý'ô�õÔý!ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú`�:ö�)ô�ùHþ'\7Fo^ULXWö±ú�ü7ý�ö/�%$Äú(�ô�ÿåù�úÒù���ô�õÄýãþ�ö±ú(�:^pù���ô�õÔý'øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�4�_&õÔýýNWÄö�)ôk��ýWþv÷�ÿ¯ùHúSù���ôvõÄý# Äþvù�üÄøåý�)ã÷k�ùHþ�þvýW÷� Pù�ú(�Ä÷�ô�ù�ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHúM�:ö��ô�ùHþ[\7Fo^ULnO ¤ 4� Y�� $-)�&()�#%$��T.87 �'�-� 8 õÔù�þ�ô�ýW÷¡ô �;ý��ô�ùHþ�4�þvù�üÄøåý�) �:9<;>= ���(�A��=�V�2�];���RaR2o��� I��=�J"� �?�U�=��B=�%@NP��?�]�ePA���<�N��PH;9�=RTR�o���?�=����RZP=�� Y4�'F���L2P�@:;��D����R�� �=RH<MP��SRA\AF%^UL�R�* � F��'F���L�L��;O��-�����#^ "��R��(������� B`Pz@G�G���CB�\7Fo^UL:. ¤ "� R��-�/�`>7>���P:I��<M�=R2oP��@N����RZP=�3 ?�'�-� >e��P�IV;9�V< ����� I�� B������e� B2�A;i��P��� �<ø¯ýWúÄû±ôvõ/ý�÷]ôvÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú��������JoP��&�]O��-�����X�7��=�V� �I����J"�F�?�QP����,PA� ; J �(���RZP#���CB!�2�=��;�K(�,@* � �JK(�`�`R��(�=R * � F��XF���L�L�8A@* � 8 \AF%^UL�R-* � F��XF���L�L! B�C�(�H>e��PA< "���H>���P7ID;��D< �z� �e��R�K1���A;�; JJ�=����P<�Vo��RE� BRZP�R��(��;��D����R��`�S�SR2�<���R�oPA�`�������JoP�� P�@C9<;>= �jB��V��P=RZ� B>DFEHGI9I;F=�J� "�+�U�7����D� F�� ZLK L#O��(�N���F� "�5�:;���RaR2o��� I����J"�5���CBK "�5���E���=R2oP�����; ��%Ks<:I����+�nB����V,B�� @ * � F��'F���L�L#8 K P���* � F��'F���L�L%! \AF%^UL-R K æ � cedTrSjkhiqaf�v�darS��gif3jkqem�daf~m7l�m�tT��dTm�g=zSf3l�f3dEm�gih k�m�tThirSlxr�s�w�f3y3hiqThirSlkv�darS��gif3jkq1�~u<f�dafIrSl�f~hiq&m�qT�Sf3w[�Uu�fZtau�f3d�m7zSh pNf3lkhil�v��<t&qEm�tahiqa�=f3q&rSl�f~r�st���r[j8�<ta�=m�gig nxfZ�<y3gi��qah pNfQv<dTrSv�f3datahif�q��I 8MU� z��i�<taf�gig�h s(m?zSh pNf3l'hil�v<�<tUg�m�tatahiy3fQy3rSlNtEm�hil<q7m8qau�rSdatUl�rSl�k�f3dar[pNf�yZtarSd��=rSdUh tIw�r�f3q~l�r�t�� ¡S�~r���fZpNf3d��w�h ��f3dTf3lNtTg nXs9darSj w�f3y3hiqThirSlVv<dTrS��gif3jkq��<tTu�f]t���rxv�darSv�f3dotThif3q7m�daf]l�r�t7l�f3y3f3qTqTm�dThig nXf3��u=m���qotTh pNfS�£|Uu<fQv<dTrS��gif3j hiq�����l�w�f3d~tau�fQv�dTrSjkhiqaf7tTu�m�ttau�fkzSh pNf3l hil�v���t8qTm�tThiqo�=f3q8rSl<fkr�s�tTu�f[t���rVy3rSl�w�h tahirSl�q��1taf3gig&�Uu�hiyEu,r�s�tTu�f[t���rVv�dTrSv�f3datahif3q]hiqQqTm�tThiqo�=f3w��;�"s�tTu<fkhil�v��<tQqEm�tahiqa��f�q]l�f3h tau�f3dv�darSv�f3dot�n��<tTu�f3l#m�lNnXm�l�qa��f�dUhiqUm�y3y�f3v<tTm���gifS�

Page 10: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

_&õÄý2 Ôþ�ù�)'ÿÃ÷�ý2 Äþvù�üÄøåý�) ÿå÷�ýWöH÷¡ÿåø��Ò÷�õÄù=.¥úÒô�ù«ü7ý/ý�K�$Äÿ9��ö�ø¯ýWúNô<ô�ùAôvõÄýSøåý�úÔû±ô�õpýW÷¡ô�ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú��Hý�þ�÷¡ÿåù�úÒù�� 9I;F=#4 F 8 ýWý�Æù�þ�ý�WÄö�)� Äøåý`B � %1*U - U4JC ��0ZC ¤ DE4 L ��ù=.�ý���ýWþ�*�ôvõÄýM Äþvù�)!ÿÃ÷¡ýãö±ú&�«øåý�úÔû±ô�õÒý�÷]ôvÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷�ö±þvý'úÔù±ô5�9úÄù=.¥ú«ô�ùAüPýý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�úNô;ô�ùxôvõÄý�÷�ýWö±þ��õJFo��ý<)ô�ùHþ7HÔú(�§ÿåúÄû�L7��ýWþv÷�ÿ¯ùHú�ù�� 9<;>= �Æù�þA\AF%^UL ! ¤ *Hÿa4 ý�49*�ûHÿ��Hý�ú!ö±ú!ù�þ�ö��ø¯ý�ô�ù2FMö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ý�ø9�-L�ù�)� -$§ô�ýSô�õÄý/ø¯ýWúÄû±ôvõàù��¥ôvõÄý/÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô<úÔù�ú-�Wý�þvù:��ý��ô�ùHþ�ÿåúßö±ú��«øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�*;ÿ ô'ÿå÷�úÄù±ô,�ø¯ý�ö±þ�õÄù=. ô�ù:HÔú&�ß÷¡õÔù�þ�ô�øåö±ô¡ôvÿ9�ý��ý<)ôvù�þ�÷�4 � � _&õÄýÜ÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô2��ý��ô�ùHþ2 Äþvù�üÄøåý�)4ÿå÷��H4]0FõÔö�þ�� Fo$Äú(�§ýWþSþ�ö±ú(�§ù�)!ÿ��Wý�� þvý��1$(�ô�ÿåù�úÔ÷�LS*&ý���ý�úZÿåúáÿ¯ôv÷/ Äþ�ù�)!ÿå÷�ý��ýWþv÷�ÿåù�úI*Q�Æù�þ�ö±ú�� �ù�úÔ÷¡ôvö�úNôãö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú��:ö��ô�ùHþ�\7Fo^UL�� [ C B �1*/�7��DE4 _&õÄý: Äþvù�)!ÿÃ÷¡ý+��ýWþv÷�ÿåù�úpù��3ôvõÄý: Äþvù�üÄøåý�)ÿÃ÷Y�øåýWö�þ�ø9�«÷�ù�ø9�¤ö±üÄøåýãÿåú �H4k4M0Ôù�þ#\AF%^UL O �VF e ^�gDø¯ùHûA^UL.ô�õÄýJ Äþvù�üÄøåý�) ÿå÷�ÿ¯ú �ù�>]� B ¤ ��DT*;ö�ú(��Æù�þ#\AF%^UL O �VF [ ^ULÿ¯ô�ÿå÷ãö�øå÷�ùÒÿ¯ú �ù��H4 B ¤ DT4 F 8 ý�ý B C�%-*���Dx�ÆùHþãýWö±þvøåÿ¯ýWþ'þvýW÷�$Äø¯ôv÷�.¥ÿ¯ô�õZö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú �:ö��ô�ù�þ�\AF%^UL�O �VF%^ULS4iL 0,ÿ¯úÔö�ø¯ø9��*.¥õÄýWúJ\AF%^ULnO ��� � 7�� ���� ��"7 * � ���"7 �;ô�õÔý# Äþ�ùHüÄøåý�) Wö±ú+ü7ý<÷�ù�ø9��ý<��ÿåú+þ�ö±ú&�§ù�) Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øPô�ÿ9)!ý2B �=DT*7ö±ú(�!�§ý�ôvý�þ�)!ÿ¯úÄÿÃ÷¡ô�ÿ" Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø�ô�ÿ9)!ý<÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHúÔ÷¥ö±þvýV�9úÄù=.¥úSùHúÄø��/�Æù�þ[\AF%^ULnO ��� � 7 � � ���� ���"7 �� +* � ��"7 �'B , ¤ DT4

� Y�� $-)�&()�#%$��T.�� �'�-� 8 õÄù�þ�ô�ý�÷]ô&ó�ú(�§ý� 7ýWú(�§ý�úNô%�;ý��ô�ù�þ�÷�4�þvù�üÄøåý�) �:9�� ;>=%�����7��=�V� ��;��=RTR�o���FI��=� "�6� Pz@X������BV^ �A�=��B=�@NP=���/�N��RkP�@x^";���e���=�J;KJ���'B��j>-�D�CB��V�&R�;9�=RTR�o��� �=����RZP=���.��Z �XF � LY�JK(�`�`R��-�=R�b���b^8 \7Fo^UL R-*87IF��XF���L�L! B�C�(�H>e��P�IV;9�V<����� I�� B����n�e� B ��;i��P5�� �#ø¯ýWúÄû±ôvõ ýW÷¡ô�ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú �=�N���JoPA� �,O��(�N���J�7����D� � I��=�J"� � � PA�e�P�� ;KJM�(���:RZP �n�'B � �=��;�K(�@*87 �JK(�`� R��-�=R *87IF��'F���L�Lf8 @*+7J8 \AF%^ULSR *87�F��'F���L�L! ��'�(� >e��PA< "��� >���P7ID;��D< �e�=R2K1���A;�; J�=����P<�Vo��RE� B RZP`R��-�d;��D����R���N��R2�<M�=R2oP�� �=�N���JoPA� P�@,9�� ;>= �jB��V��P=RZ� B�DFEHGI9��L;>=J�� "�+�V�7����D� F � Z K L+O��(�N��� � "�`� ;���RaR2o����I����J"�`���CB K "�`��E���=R2oP�����; ��%Ks<:I����+��B����V,B�� @�* 7 F��XF � L�L#8 K P���* 7 F��XF���L�L ! \AF%^UL R K 9�� ;>= ÿå÷E�H4]0Fõ7ö±þ���F:ö�÷X$Ô÷�$Ôö±øT*ö±øåþ�ý�ö��1�+ÿåúÜÿ¯ôv÷' Äþvù�)!ÿå÷�ýY�Hý�þ�÷¡ÿåù�úeL?�Æù�þVK�$Ôö�÷�ÿ 0E Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø�ö� - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvÿ¯ùHúJ�:ö�)ôvù�þ�÷

\AF%^UL O ^��+*+��� � ���� ��+7 ��B � * ¤ ��DE4`_&õÄý Fo Äþ�ù�)!ÿå÷�ýM��ýWþv÷�ÿ¯ùHúÒù���L 9�� ;F= ÿÃ÷Y�ø¯ý�ö±þvø��«ÿ¯ú �]4x4M0Ôù�þ#\AF%^UL O �VF e ^�gDø¯ùHûA^ULô�õÔý: Äþ�ùHüÄøåý�) ÿÃ÷!ÿ¯ú �ù�>H� B C�1* ¤ �<DT*&ö±ú(� �Æù�þ \AF%^UL O �VF [ ^UL'ÿ¯ôãÿå÷ãö�øå÷�ù�ÿ¯ú �ù��H4 B C�1* ¤ DE4"93úpôvõÄýAö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)!ÿ"÷�ÿ9�§ý�*�ÿ ôxÿå÷X PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý<ô�ù/þ�ý<�1$(�ý�ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåúÄû 9�� ;>= .¥ÿ¯ô�õÄÿåú«ö2�:ö�)ôvù�þ [ ^�R�\AF%^UL�ô�ù+ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄû 9<;>= .¥ÿ ôvõÄÿåúö �:ö�)ôvù�þ,\7Fo^ULS*8.¥õÄý�þvýSüPù±ôvõ 9�� ;>=�ö�ú(� 9<;>=�ö�þ�ý!�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ý<�àÿ¯úfô�õÔý�ÿåþ!÷�ýWö�þ��õ ��ý�þ�÷�ÿ¯ùHúI4 F 8 ýWý/�ÆùHþ'ý�WÄö�)� ÄøåýB � %1*��õÔö� §ô�ýWþ]�<DE4 L 0ÄùHþ�ô�õÄý# Äþvù�)!ÿÃ÷¡ýV�Hý�þ�÷¡ÿåù�ú/ù��kôvõÄý# Äþvù�üÄøåý�)ã÷�*9ô�õÄý.ôvþvö�úÔ÷3�ÆýWþ�ýWú(�ý.ôvõÄý�ùHþ�ý�)!÷�ù��[B C�%1*%��D�ÿ�)�)!ý��Äÿåö±ô�ý�ø9�SûHÿ��Hýö#þvý��1$(�ô�ÿåù�ú�Æþvù�) DFEHGI9�� ;>= 7�� J � 7 � ô�ù FÆô�õÄý!�ù�)� Äøåý�)!ýWúHô<ù���L>DFE GI9<;>= J � 7 � 4+_&õÄýW÷�ýãþ�ý<�1$(�ô�ÿåù�úÔ÷V�Æþvù�) 9�� ;F= ôvù9<;>=�ÿ9)�)'ý<�§ÿÃö¤ô�ýWø��pû�ÿ9��ý+�§ý�ôvý�þ�)'ÿåúÄÿÃ÷]ôvÿ9J Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø�ô�ÿ9)'ýAö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷5�ÆùHþ!ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯úÔû9�� ;>= .¥ÿ¯ô�õÄÿåú �:ö�)ôvù�þ�÷\AF%^ULnO � ��� 7 � � ��� ���"7 �� +* � ��"7 ��*Ôö±ú&�/ Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿÃ÷¡ô�ÿ"X Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ôvÿ�)!ý<ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ()!÷8�ÆùHþ[\7Fo^ULnO � � � 7 � � ���� ��"7 � * � ��"7 ��4

� Y�� $-)�&()�#%$��T.�� �'�-����ù=��ý�þvÿåúÄû��ö��§ÿ9$Ô÷S4�þvù�üÄøåý�) ����� = ���U�A��=�V� �:;���RaR2o��� I����J"�F�?�Q�=��B=�n@NP=�Y���=��;=K(� @�`�JK(� �!R��-�=R��F��XF � L�L#8 @�48 \AF%^UL�RL�eF��XF � L�L3 ?�'�-� >e��PA< "��� >e��P�IV;9�V< �e�=R2K1���A;�; J/������P��Do�=RZ� BMRZP���� = �%��B��V��P=RZ�`B DFEHG���� = J �:"�+��7����D� F � Z K L2O��-������f"�M�M;��=RTR2o����I����J"�/���CB K "�/�1�E����R�oPA�e��; � �%Ks<:I����+�]B����D,B��� @ �eF��XF � L�L 8 K P=� ��F��'F���L�L�!\AF%^UL-R K

�8$Äþvþ�ýWúNô�ø9��*&úÄù �]4A0OõÔö±þ��§úÄý�÷�÷ãþvýW÷�$Äø¯ôSÿÃ÷/�9úÄù=.¥ú �Æù�þ���� =,4 ��ù=.�ý���ýWþ�*[.�ý �§ùßúÔù±ôSý���ý�ú �9úÄù=.�õÄù=. ôvùp÷¡ùHø��Hýô�õÔý2 Äþvù�üÄøåý�) FÆÿåúàÿ ô�÷<ý�W§ö�)ôY�Hý�þ�÷¡ÿåù�úU*kÿT4 ý�4�*~�Æù�þY\7Fo^ULFO ¤ L.ÿ¯úpúÄù�ú10Z�§ý�ô�ý�þ�)!ÿ¯úÔÿå÷¡ô�ÿ"� 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�ø�ô�ÿ9)!ý F,�]48LN*Dö�ú(��ô�õÔýö±ú7ö±øåù�û�ù�$Ô÷7 Äþvù�üÄøåý�) �ÆùHþ�øåÿ¯úÄý�ö±þ?�ù1�§ýW÷�ÿå÷8�9úÄù=.¥ú!ô�ù�ü7ý.õÔö±þ�� �Æù�þ�ô�õÄý.÷¡ý<�ùHú(�!ø¯ý���ýWøÔù��ôvõÄý; Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø7õÄÿ¯ýWþvö�þ��õ��!B ����DT48 ù&*1.�ý5Wö±ú+þ�ý�ö�÷�ù�úÔö�üÄø��M�ù�ú=@]ý<)ô�$Ôþ�ý.ô�õ7ö¤ô¥ô�õÔý<÷�ö�)'ýxÿÃ÷&ô�þ�$Äý'�Æù�þ&ôvõÄý5�ù=�Hý�þvÿ¯úÔû�þ�ö��§ÿ9$Ô÷[ Äþvù�üÔø¯ý�)�ù�ú+øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷�4� #%$� Y !A&(�� Y �T."! �'�-� �$I�����R?�������JoP���P�@VR��-� ��P������J����J����B��K���>e��P7ID;��V< PA��;���RaR2o���S� DFEHG���� = � "�$# � ���(�=��B�

¥ý<�ý�úNôvø���*VB C �=D õÔö�÷S÷¡õÄù=.¥úfô�õ7ö¤ô"DFE G���� = J ÿå÷ãÿåú >H� �ÆùHþM\ O C1*&ÿ¯ú �ù�>H� �ÆùHþM\7Fo^ULdO �VF e ^�g,ø¯ùHû(F%^UL�LS*ö±ú&�«ÿåú5�H4 0 �ù��]4 �Æù�þ#\AF%^UL O �VF [ ^ULS4!_&õÄýM Äþvù�üÄøåý�) �ö±úÒö±øÃ÷�ù+üPýSö� - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvý�� .¥ÿ ôvõÄÿ¯ú \ O ¤ 5 "/F%�Æù�þ�ö�ú���ùHúÔ÷¡ôvö±úNô�"�! ��L;ÿåú�þvö�ú(�§ù�) ý�W� Pù�úÔý�úNô�ÿÃö±ø7ô�ÿ9)!ý,B C ��DE*�\7Fo^ULnO � � � 7 � � ���� ��+7 � * � ��"7 �Dÿ¯úSþvö�ú(�§ù�) Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�øÄôvÿ�)!ý�*§ö�ú(�\AF%^ULnO � ��� 7 � � ��� ���"7 �� +* � ��"7 ��ÿåú:�§ý�ôvý�þ�)!ÿ¯úÄÿÃ÷¡ô�ÿ"X Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ôvÿ�)!ý�4� Y�� $-)�&()�#%$��T.�% �'�-����ø¯ùN÷¡ý�÷]ô �;ý<)ô�ùHþF4�þvù�üÄøåý�) �&�#;F=%���?�7��=�V� ��;���RaR2o��� I����J"�� �A�CB`RE���a����R;�=���NRZP=� & �'���$B=� @NP��� ;���RaR2o��� >(P���(R � Y��'F���L!�JK(�`� R��(�=R;�§ÿÃ÷¡ô<F & Z � L98 \AF%^UL R��§ÿÃ÷¡ô<F & Z �'F���L�L3 A�'�(� >e��P7ID;��V< �����"I��MB������e� B ��;��NP5���`�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ýAý�÷]ôvÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú �������JoP��&��O��(�N���J�7����D� �3I����J"�� �A�CB�RZ�=�T����R & ��PA�e�P�� ;KJ �-���`RZP ���CB � ���A;�K(� @K �JK(� �R��-�=R8�§ÿå÷¡ô<F & Z �XF���L�L 8 @K 8 \AF%^UL�R��Äÿå÷¡ô<F & Z �'F���L�L! �C�(�E>���P�< "���E>e��P7ID;��V< �e��R�K1���A;�; J`������P��Do�=RZ� B+RZP'�#;F= � ��B��V��P=RZ�`BDFEHG��#;F= J ��"�+�k�7����D� F�� Z & Z K L/O��-����� �f"�J�M;���RaR2o��� I��=�J"� � & � RZ�=�a���NR'�=����RZP=�+�5���CB K "�J���E����R�oPA�e��; �M� Ks<�I����+�B����D,B�� @x�§ÿÃ÷¡ô<F & Z �'F���L�LG8 K P��x�§ÿÃ÷]ô=F & Z �XF � L�L%! \7Fo^UL-R K æ Ó � daf3w���yZtThirSl,s9rSd7tau�fxfZ��m�yZt8y�m�qafV om�p ��¡7hiq]zSh pNf3l hil/� �S�����x|Iu�hiq]hiq]tau�fkrSl�g nYw�hidaf3y3t]daf3w���yZtThirSl ��l�r��Ul,tarVw=m�tafN�X|1f3yEu�l�hiy�m�gig nN�(m  tTdah p<h�m�g ¡edaf�w<��yZtThirSl;��f3t���f�f3l'tau�f£t���r?v�darS��gif3jkqIm�giqTrQf3��hiqataq�s9rSdIm�v<v�dTr��<hijxm�tahirSlks"m�yZtarSdTq?m's�rSd��Uu�hiyEuXm�v�v�dTr��<hijxm�tahil�z)( æ hiqI�Uc&��u=m�dawxrSd�=l�w<hil�z[qTu<rSdatIpNf3y3tarSdTq~hiqIqTrSg pSm��<gifAhilXv�rSg n�l�rSjkh�m�g�tahijkfS�(�~r?daf3w���yZtThirSl'hiqU��l�r��~lXs9rSdIm�lNn'r�tau�f3dUhil�taf3dTjkf3w�h�m�taf]m�v�v�dTr��<hijxm�tahirSlxs"m�yZtarSd��

¤ �

Page 11: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

_&õÄý��øåùH÷�ýW÷¡ôX�Hý�)ôvù�þV Äþvù�üÄøåý�)�ÿÃ÷V�9úÄù=.¥úAô�ù+üPý!ö±ô.øåýWöH÷]ô�ö�÷.õÔö�þ��«ö�÷ ô�õÄýã÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ôV��ý<)ôvù�þ' Äþ�ùHüÄøåý�) B ¤ =D7�Æù�þ�ö�ú��ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú �:ö��ô�ù�þ \AF%^ULN4G�Aù�þvý�ù=�Hý�þ<*;ÿ ô�ÿÃ÷��H4]0FõÔö�þ�� �Æù�þ2K�$ÔöH÷¡ÿ�0T Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø¥ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú �:ö��ô�ù�þ�÷,\7Fo^UL O^��+*+��� � ���� ��+7 �xB ¤ �=DT4n0Ôù�þ?\7Fo^ULnO �VF e ^�gDø¯ùHûA^UL�ôvõÄýV Äþvù�üÄøåý�) ÿÃ÷�ÿ¯ú+�ù�>H� B ¤ ��DT*Äö�ú(�M�ÆùHþ?\7Fo^ULnO �VF [ ^UL�ÿ¯ô¥ÿå÷&ö±øÃ÷�ù�ÿåú�ù��H4 B ¤ DE4MF 8 ýWýJB C�%1*���*?� � D~�ÆùHþ3ý�ö±þvø¯ÿåý�þ3þ�ý�÷�$Ôø ô�÷;.¥ÿ¯ô�õ�ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåù�ú!�:ö��ô�ù�þX\AF%^UL O �VFo^ULS4iL�0,ÿåúÔö±øåø9��*Pô�õÄý Äþvù�üÄøåý�)�ö�ú/üPý<ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ý<��ÿåú:�§ý�ôvý�þ�)'ÿåúÄÿÃ÷]ôvÿ9V Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ôvÿ�)!ý#.¥ÿ¯ô�õÄÿåú!\7Fo^ULnO ��� � 7 � � ���� ��"7 �� * � ���"7 �'B , ¤ *&C�C<DE4ó�úãôvõÄý'�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô?��ý<)ô�ùHþQ Äþvù�üÔø¯ý�)!*NôvõÄý ô�ö±þvû�ý�ôQ 7ùHÿ¯úNô & Wö±ú�üPýxö±þvüÄÿ ôvþvö�þ�ÿåø9�5�:ö±þ8�Æþvù�) ô�õÔý3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�4Dó�ú!�ù1�§ÿåúÄû<ôvõÄý�ùHþ���*��ö±þ��1�B ,�C<D�õÔöH÷x�ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ�ý<�/ö��¤ö�þ�ÿÃö±úNô�ù��,ô�õÔýY�øåùH÷�ýW÷¡ôx��ý<)ô�ùHþk Äþvù�üÄøåý�) .¥õÄý�þvýxô�õÄý,�§ÿå÷¡ôvö�ú(�ý�ù��Dô�õÄý�ô�ö±þvû�ý�ô?�Æþvù�) ô�õÔý�ù1�§ý ÿå÷�û�$Ôö�þvö�úNô�ý�ý<��ô�ù<üPý øåýW÷v÷;ôvõÔö±úãôvõÄý; 7ö���9ÿ¯úÔû<þvö��§ÿ9$Ô÷;ù��ôvõÄýX�ù1�§ý�4A_&õÄÿÃ÷] Äþvù�üÔø¯ý�) Fa�ö±øåøåý��!ôvõÄý I�P�Ks�'B�� B:B�"�SRZ���e���B�����P�B�����, Äþvù�üÔø¯ý�)!*������,L ÿÃ÷ ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû�üPý�Wö�$Ô÷�ýY�§ý<�ù1�§ÿåúÄû/.¥ÿ¯ô�õÔÿ¯úÜô�õÄý, Ôö���9ÿåúÄû�þ�ö��§ÿ9$Ô÷�*7ÿ���÷¡ùHø��¤ö�üÄø¯ý�*7õ7ö�÷X$ÄúÄÿ"K�$Ôý÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úI4:F�0Äù�þ<ô�õÄÿÃ÷�þvýWö�÷�ù�úU*�ô�õÄýM Ôö���9ÿ¯úÄû#þ�ö��§ÿ9$Ô÷.ÿÃ÷<÷¡ù�)!ý�ô�ÿ9)!ýM�ö±øåøåý��Òö±øÃ÷¡ù/ô�õÔý4��$ÄúÄÿ"K�$ÄýM�§ý��ù1�§ÿ¯úÔû �+þvö��§ÿ9$Ô÷�4iL 0ÄùHþøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�*;ô�õÔý#ö�úÔö±øåù�ûHù�$Ô÷Y Äþvù�üÄøåý�) .�ù�$Äø"�ßüPý/ô�õÄý!�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû&��û�ÿ9��ýWúfö«øåö±ô¡ôvÿ9�ý�� ö±ú&�pö 7ùHÿ¯úNô & .¥ÿ¯ô�õÔÿ¯ú �§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ýK � * � F��'F���L�L`g�C+�Æþvù�) �'F���LS*AHÔú&�Òô�õÄý F%$ÔúÄÿ9K�$Äý�L<øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýJ 7ùHÿ¯úNô,.¥ÿ¯ô�õÔÿ¯ú �§ÿå÷¡ôvö�ú(�ý K �Æþvù�) & 4«ó�úßûHý�úÄýWþvö�øQ.�ý/�ö�ú�ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ<ö#÷¡ÿ9)!ÿ¯øÃö±þ# Äþvù�üÔø¯ý�) �Æù�þ5�¤ö�ø�$Äý�÷xù�� K �§ÿo6PýWþ�ýWúNô#�Æþ�ù�) * � F��'F���L�L`g�C1*Dö±ø¯ô�õÔù�$ÄûHõ .¥õÄýWú K . * � F��'F���L�L�g�C+ô�õÔý÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÒÿÃ÷�úÄù±ô�úÄý��ýW÷v÷�ö�þ�ÿåø�� $ÄúÄÿ"K�$Ôý�4d�«ý/�ù�úÔ÷�ÿ"�§ý�þxôvõÄý/�öH÷¡ýM.¥õÔý�ú K O �eF��XF���L�L<ý�K�$Ôö�øå÷xôvõÄý/�ù=��ý�þvÿåúÄû/þ�ö��Äÿ�$Ô÷<ù��ô�õÔý.øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�4]_&õÄÿå÷kWö�÷�ý3ÿÃ÷�ÿ¯úNôvý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû�üPý�Wö�$Ô÷�ý.ô�õÄýWþ�ý.ÿÃ÷¥ö±ø9.�ö��§÷�ö�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýV 7ùHÿ¯úNôk.¥ÿ¯ô�õÄÿåú:�§ÿå÷¡ôvö�ú(�ýG��F��XF � L�L8�Æþ�ù�) ô�õÔýôvö�þ�ûHý�ô<4���ý�øåù=. .�ý#�Æù�þ�)ãö±øåø��J�§ýNHÔúÔý�ö±úAö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú!��ýWþv÷�ÿåù�ú+ù��Dô�õÄÿÃ÷k Äþvù�üÔø¯ý�)!4 8 ÿåú(�ýV�ÆùHþ ö±ú��/øåö±ô¡ô�ÿ"�ý �XF���L¥ö�ú(�ôvö�þ�ûHý�ô & *�ôvõÄý�þvý ÿÃ÷�ö�ø�.&ö��§÷�ö�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý; Pù�ÿåúNô8.¥ÿ¯ô�õÄÿåú/�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý)��F��'F���L�L]�Æþ�ù�) & *�.�ý;�Äù<úÄù±ô[�§ýNH7úÄýX�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý�ý�÷]ôvÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHúù�þk Ôþ�ù�)'ÿÃ÷�ýX�Hý�þ�÷¡ÿåù�úÔ÷�ù���ôvõÄÿå÷x Äþ�ùHüÄøåý�)+4� Y�� $-)�&()�#%$��T.�� �'�-� �'$Ôö±þ�ö±úNôvý�ý�� � ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý � ý<�ù1�§ÿåúÄû�>���P7ID;��D< �:D���� J ���~�7����D��;��=RTR2o���.� ���CBJ��RZ�=�a���NR�>(P���(R& Yà÷� Ôö±ú~F���L+�X���$B=�S@NP��2� ;��=RTR2o���E>-PA��(R�R Y �'F���L �JK(�`�R��-��RQ�§ÿÃ÷]ô�F & Z RUL 8 \AF%^UL �eF��XF � L�L+�;O��(�N���5^ "� R��(�M���A��B:Pz@R��-� ;��=RTR�o���� _&õÄý'�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû!þvý�øÃö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷&ö±þvý'�9úÄù=.¥ú#ö�)!ùHúÄû�ôvõÄý# Ôö�þvö�)'ý�ô�ýWþv÷�ù��;ö'øåö±ô¡ôvÿ9�ýG�'F���LS4

$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.�� �~P=�Y���8JM����� B#^c;���RaR2o���)� �* � F��XF���L�L�8=*87IF��'F���L�L#8 C ��F��'F���L�L#8 [ ^1*+7IF��XF � L�L 9 FaC-4 ��L

P=����P������+�/ @>�'F���L�� "�#R��(� BAK(��;T;���RaR2o���,Pz@6�XF � L��QR��-�D�¤ 8=* � F��XF � L�L�C �eF��XF���L � L�8 ^ FaC-4 ,�L

���'B¤ 8=* � F��XF � L�L�* 7 F��'F���L � L�8 ^ 9 FaC-4 ��L

$ �#T#� � 8 ýWý2B � %1*(_&õÄýWù�þvý�) ��4 =D��ÆùHþ5FaC-4 ��L&ö±ú(�B ��D��Æù�þYFTC14 ,�L�ö±ú&� FTC14 ��LS4��

>��� �����"!�#%�01 �?� ��� (+*��F&G1 �ý�ô-�XF��8LDüPý¥öxøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�4£> ú���÷�$ÔüÄøåö±ô¡ôvÿ9�ý6�XFCT L#Z �'F��8L]�§ýNHÔúÔýW÷�ö.úÔö±ô�$Äþ�ö±ø9ý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�ú(�ý&þ�ýWøåö±ô�ÿåù�ú'ù�ú �XF��?L;ö�÷£�ÆùHø¯øåù=.�÷��ô3.�ù�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýX Pù�ÿåúNôv÷�R Z .5Y��XF��8L�ö±þvý ý<K�$Äÿ��¤ö�ø¯ýWúHôVF%.¥þvÿ ô�ô�ýWú6R���� .~L�ÿ��,ö�ú(�ãù�úÔø��ãÿ�� R ( .5Y<�XFCT LS4A_&õÄý.þ�ý�ö��§ýWþ8�ö�úýWöH÷¡ÿåø9�V�õÔý���.ô�õÔö±ô���� ÿå÷Dö±ú�ý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�ú(�ý�þvý�øÃö¤ôvÿ¯ùHúI*�ÿa4 ý�49*±ÿ¯ô,ÿÃ÷,þ�ý��ÔýNW§ÿ9��ýXFCR���� RULS*H÷���)�)!ý�ô�þvÿ"XFCR���� .�� .���� RULö±ú&�Aô�þ�ö±ú7÷¡ÿ¯ô�ÿ9��ý+F�R���� .+D .���� ��H R���� ��LN4 _&õÔý����!0Oý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�ú(�ý �øåöH÷�÷3ù���R Y4�XF��?L�Fo�§ýWúÄù±ôvý�� B R�D �`L3ÿå÷ô�õÔý!÷�ý�ôxù���ö±øåø2."Y4�XF��?L.÷�$(�õÜô�õÔö±ô:R���� .]4 _&õÄý�K�$Ôù±ô�ÿåý�úNô �XF��8L`g �XFFT L]O \�B R�D � � RcY4�XF��8Lc]!ÿÃ÷3ô�õÄýã÷�ý�ôxù���ö�ø¯ø���J0Fý<K�$Äÿ��¤ö�ø¯ýWú(�ý5�øåöH÷�÷�ýW÷&ù��@�'F��?LS4k_&õÄý<ý<K�$Ôÿ��¤ö±øåý�ú&�ý�þvý�øÃö¤ô�ÿåù�ú���� ÿå÷ öM�ù�úÔû�þ�$Äý�ú(�ýV.¥ÿ ôvõAþ�ý�÷� Pý��ô�ô�ù!ôvõÄý�ö��(�§ÿ ôvÿ¯ùHúù� Pý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúI*§ÿT4 ý�4�*§ÿ�� R����gR�!kö±ú&��.���� ."!T*§ô�õÄýWú�F�R 5 .£L#��� FCR�! 5 ."!�LS4;óOôk�ÆùHø¯øåù=.�÷�ô�õÔö±ôk�Æù�þ�ö�ú���ô3.�ù!ý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�ú(�ý�øÃö�÷v÷�ýW÷/B R�D � ö±ú(� B .�D ��*Dô�õÔý/÷�$-) B R�D � 5 B .�D � O B R 5 .�D � ÿå÷,.�ý�øåø?�§ý�HÔúÄý<��*�ÿT4 ý�4�*;ÿ¯ô �§ù9ý�÷�úÄù�ô �§ý� 7ýWú(�ßùHúàô�õÔý�õÄùHÿ9�ý'ù���þvý� Ôþ�ý�÷¡ýWúHô�ö¤ôvÿ��HýW÷,RA* .Q*Dö�ú(�«ô�õÄý2K�$Äù�ô�ÿåý�úNô�XF��8L`g �XFFT L�ÿÃ÷<ö�úÒö��-�§ÿ¯ô�ÿ9��ýãûHþ�ù�$- .¥ÿ¯ô�õ�ôvõÄýS÷�$-)$ù� 7ýWþvö±ô�ÿåù�ú@3$Ô÷¡ôX�§ý�÷��þ�ÿåü7ý<��4/� ù±ôvÿ9�ýxô�õÔö±ô ÿ ���'F��8L¥ÿå÷¥þvý�ûNö±þ��§ý��+ö�÷ ö±ú:>�üPý�øåÿåö�ú#û�þvù�$- I*Äô�õÄýWúJ÷�$ÄüÔøåö±ô¡ô�ÿ"�ý �'FCT L¥ÿå÷�öã÷�$ÄüÄûHþ�ù�$- +ù���XF��8L¥ö�ú(�F��XF��8L`g �XFFT L Z 5 L&ÿÃ÷7@3$Ô÷¡ô¥ô�õÄý<÷¡ôvö�ú(�Äö±þ��!K�$Ôù±ô�ÿåý�úNô¥û�þvù�$( I4

�.þvù�$- �XF��?L�g �XFCT L'ÿå÷ HÔúÔÿ ôvýAÿ �xö±ú(�fù�úÄø9�àÿ��G�'FCT L�ÿÃ÷ãö �%$Ôø¯ø¥þ�ö±ú-�ß÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý#ù��G�XF��8LS*&ÿåú .¥õÔÿ9�õ �öH÷¡ý�*�ô�õÔý�ö�þ��Äÿ¯úÔö�ø¯ÿ¯ô3�ãù��,ô�õÔý�û�þvù�$- /ÿå÷

�/F��XF��8L�g �XFFT L�LSO �§ý�ô<F��XFCT L�L�§ý�ô�F��XF��8L�L 9

¤�¤

Page 12: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

\�øåý�)!ýWúHô�÷¥ù��,ô�õÔÿå÷ û�þvù�$- +�ö�ú+üPý<þvý� ÄþvýW÷�ý�úNôvý��J$Ô÷¡ÿåúÄû�÷�ý��Hý�þ�ö±ø�÷¡ôvö±ú&�Äö±þ���ôvý��õÄúÔÿ9K�$Äý�÷�*7ý�4 û(49*Ô÷¡ýWø¯ý<)ôvÿ¯úÄû�ö�$ÔúÄÿ9K�$Äý�þvý� Ôþ�ý�0÷�ý�úNôvö±ô�ÿ9��ý5�Æþvù�) ý�ö��õJý<K�$Äÿ��¤ö�ø¯ýWú(�ý��øÃö�÷v÷�4xóOô�ÿÃ÷3ý�ö�÷��+ô�ù#÷¡ýWý�ôvõÔö¤ô'�Æù�þxý��Hý�þ��#ý�K�$Äÿ9��ö�ø¯ýWú(�ý �øÃö�÷v÷,B R�D � ô�õÔý�þvý�ý�W9ÿÃ÷¡ôv÷.ö$ÄúÄÿ"K�$Äý.ý�øåý�)!ý�úNôGR�!?Y<�XF��8L 0)�/FCT L�÷�$(�õãôvõÔö¤ôGR�� � R�!a4 8 ù(*§ö, 7ùN÷�÷�ÿåüÄø¯ýx÷�ý�ô&ù��8Fo$ÄúÄÿ"K�$Ôý<L�þ�ý� ÄþvýW÷�ý�úNôvö±ô�ÿ9��ýW÷�ÿå÷�ûHÿ��Hý�úü��ãô�õÔý<÷¡ý�ô

�XF��8L 0��/FFT Lù��xö±øåø¥øåö±ô¡ôvÿ9�ý! Pù�ÿåúNôv÷�ô�õ7ö¤ô�üPý�øåù�úÄû«ô�ù�ô�õÔý+õ7ö±ø��3ù� Pý�ú Ôö�þvö�ø¯øåý�øåý� Äÿ9 Pý�� �/FCT LN4 �.ÿ9��ýWúfö±ú ö±þvüÄÿ¯ô�þ�ö±þ��Òøåö±ô¡ô�ÿ"�ý+ Pù�ÿåúNôRbY �'F���LS*&ôvõÄý �ùHþ�þvýW÷� Pù�ú(�§ÿåúÄû�þ�ý� ÄþvýW÷�ý�úNôvö±ô�ÿ9��ý+�ö±ú üPýJý*)2�ÿ¯ýWúHôvø�� �ù�) ($§ô�ý<�Zö�÷ �Æù�øåøåù=.�÷��:.¥þvÿ ôvý+R ö�÷4T��(*&ø¯ý�ô� !e Og� � e �#�Æù�þ�ö�ø¯ø � O ¤�Z:9:9�9VZ ^A*7ö±ú(�+÷¡ý�ô�R�!CO T F�� ( � !�LN4_&õÄý!þvý� ÄþvýW÷�ý�úNôvö±ô�ÿåù�ú«ù���ûHþ�ù�$- ÜýWø¯ý�)!ý�úNôv÷V$Ô÷�ÿåúÄû+��ý��ô�ùHþv÷.ÿåú �/FFT L 0 �XF��8LN*,ö�ø ôvõÄù�$ÄûHõ Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øT*�ÿÃ÷xúÄù±ô#��ýWþ��ý*)2�ÿ¯ýWúHô<4Üó�ú 7ö±þ�ô�ÿ"N$ÄøÃö±þ<*kôvõÄýSú�$-)�ü7ýWþ�ù���üÄÿ¯ôv÷�úÄý��ýW÷v÷�ö�þ��Üô�ùÜ÷¡ô�ùHþ�ýSö«÷¡ÿåúÄûHø¯ý�ûHþ�ù�$- àý�øåý�)!ýWúHô��ö�úàü7ýJ)Y$(�õßøÃö±þvû�ýWþô�õ7ö±úàøåù�û � ����4�9 ôvõÄý�þ5)!ùHþ�ýãý+)M�ÿ¯ýWúNô5.�ö��§÷xôvùAþ�ý� Äþ�ý�÷¡ýWúNôxûHþ�ù�$- Òý�øåý�)!ý�úNô�÷�ö±þvý� 7ùN÷�÷�ÿåüÄø¯ý�*U�ÆùHþ<ýNWÄö�) Ôø¯ýM$Ô÷�ÿåúÄûAô�õÔý

��ýWþ�)!ÿ¯ô�ý:��ùHþ�)ãö±ø-0ÄùHþ�)+*�ù�þ 8 )!ÿ ôvõq� ù�þ�)!ö�ø�0Ôù�þ�)!4V_&õÄý�÷¡ý�þ�ý� Äþ�ý�÷¡ýWúNôvö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷ ö�ø¯øåù=.`ô�ù+÷]ôvù�þvý�û�þvù�$( Aý�øåý�)!ý�úNôv÷X$Ô÷�ÿ¯úÔûù�úÔø��#øåù�û/$ �4$PüÄÿ¯ôv÷�*�ö�ú(�` Pý�þ��Æù�þ�) ô�õÄý'û�þvù�$( Jù� Pý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ÿåúÜøåÿ¯úÔýWö±þ3ô�ÿ9)!ý�45_&õÄý�ô�ý<�õÄúÄÿ"K�$ÄýW÷'�§ýW÷��þvÿåü7ý<�JÿåúJô�õÔÿå÷' Ôö� 7ýWþö±þvý'øåö�þ�ûHý�ø9�Aÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô#�Æþ�ù�) ô�õÄý�.&ö��Aû�þvù�$- «ý�øåý�)!ý�úNô�÷<ö±þvý�þvý� Ôþ�ý�÷¡ýWúHôvý���*�÷�ù+.�ý��§ù#úÄù�ô<ý�øÃö±üPù�þ�ö¤ô�ý�ù�ú«ô�õÄÿÃ÷<ö�ú���%$Äþ�ô�õÄýWþ�*7ö±ú(�/þ�ý��Æý�þ&ôvõÄý�þ�ý�ö��§ýWþ�ô�ù:B ��C1* � %�DI�Æù�þk)!ùHþ�ý#�§ý�ôvö±ÿåøÃ÷�4

kö±ô�ýWþ�ÿåú�ôvõÄÿå÷[ 7ö� Pý�þ?.�ý.úÄý�ý<��ôvù'÷vö�)� Äøåý ýWø¯ý�)!ý�úNôv÷8�Æþvù�) û�þvù�$( �� O �XF��8L`g �XFFT L?$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø���ö±ô�þ�ö±ú&�§ù�)+47_&õÄÿå÷�ö�ú/üPý�ýWöH÷¡ÿåø9�/�§ù�úÔý'$7÷¡ÿåúÄû�ö±ú+ý�øåý�)!ýWúHô�ö±þ��ãû�þvù�$- /ô�õÔý�ù�þvý�ôvÿ93ôvý��õÄúÄÿ"K�$Äý5�§ý�÷��þ�ÿåü7ý<�Sÿåú+ô�õÄýV�ÆùHø¯øåù=.¥ÿåúÄû, Ôþ�ù� 7ùN÷¡ÿ¯ô�ÿåù�úI4$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.�� � ��R�� I��V���n�%�RE� - I��V;=o���M����PAK�> ���CB M � Z�9:9�9DZNM 7`�V���V���N���=R2����Y���NR @NP=���? >�'�-�D� � @ K � Z�9:9�9DZLK 7�=���,� �-P=�N�D�qKs� @NP=�J< ; J/��R8���A�CB�P�< ��9\ ¤�Z:9�9:9VZ ����]��]R��(�V� R��(�;����P�K�> �V;9�V<M�V�&R

M O7

�e"! �

K e M e

"� B�"�SRT�J,IVK1RZ� B�Ks� @NP��J< ;KJJ�=R?�����'B�PA< P��������? $ �#T#� � 8 ÿ¯ú&�ý�ýWø¯ý�)'ýWúNôv÷ M � Z:9�9:9VZ M 7 ûHý�úÄýWþvö±ô�ý�ô�õÔý�ý�úNô�ÿåþvý¥û�þvù�$- I*�.�ýk�9úÄù=.fô�õ7ö¤ô]�ÆùHþ�ö±ú���ûHþ�ù�$- 'ý�øåý�)!ý�úNôa) Y��Kô�õÔý�þvýýNW§ÿÃ÷]ô�÷;ö±ú'ÿ¯úNôvý�û�ýWþA��ý<)ô�ùHþ�� O B K �� � Z�9:9�9VZLK �� 7 D7÷�$(�õ�ô�õÔö±ô d 7e"! � K �� e M e O )e4 �ý�ô�� üPý&ô�õÄý�÷�ý�ô;ù���ö�ø¯ø§ÿåúNô�ý�ûHý�þA�Hý�)ôvù�þ�÷ O B K � Z�9:9�9DZLK 7�D�÷�$&�õ!ô�õÔö±ô d K e M e O �JFÆÿåú��5LS4n� ù±ôvÿ9�ý�ô�õ7ö¤ôQ�ÆùHþ�ö�ú��2) Y��»ö±ú(�� Y�; 7 * d e K e M e O )!ÿ �kö�ú(�ãù�úÔø��ÿ���5Y�� 5 � 4A_&õÄý�þvýN�ÆùHþ�ý�*Hÿ�� K � Z�9:9:9(ZLK 7�ö±þvýX�õÔùH÷�ý�ú2$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)!ø9��ö¤ô&þvö�ú(�§ù�) ÿåú9\ ¤7Z:9�9:9VZ ����]�*Nô�õÄýWúSôvõÄý' Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�ô�õ7ö¤ô d e K e M e O )�ý�K�$Ôö±øÃ÷�ýNWÄö��ô�ø9�ãô�õÔýx÷�ÿ9��ýxù��8F�� 5 � L 0�\ ¤�Z:9�9:9VZ ����] 7 �§ÿ9�9ÿ9�Äý��/ü�� F ���5L 7 4 8 ÿ¯ú(�ý��$ÿÃ÷[ 7ýWþ�ÿåù1�§ÿ")!ù1�1$Äøåù4��� FÆÿT4 ý�4�*Äÿ¯ô¥ÿå÷&ÿåú��¤ö±þvÿåö�úHô?$Äú(�§ýWþ&ô�þ�ö±úÔ÷�øÃö¤ô�ÿåù�ú7÷�ü��M�Hý�)ôvù�þ�÷�ÿåú>���GR ; 7 LN*Äö±øåø�÷¡ý�ôv÷VF�� 5 � L 0�\ ¤7Z:9�9:9VZ ����] 7õÔö��Hý ôvõÄý<÷�ö�)!ýx÷�ÿ9��ý�*7ö±ú(�Sô�õÄý# Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3�ãôvõÔö¤ô,d e K e M e O3)ãÿÃ÷&ô�õÔý<÷�ö�)'ý'�ÆùHþ�ö±øåø )Y���4 �

9;�~ 7ö±þ�ô�ÿ"N$ÄøÃö±þ�ÿ¯úNôvý�þvýW÷¡ô&ÿåú/ô�õÄÿÃ÷k Ôö� 7ýWþ&ö�þ�ýVK�$Äù±ôvÿ¯ýWúNô&ûHþ�ù�$- Ô÷�� O �'F��8L`g �'FCT L?.¥õÄýWþ�ý:T �§ýNH7úÄýW÷¥ö�ú/ö±ø9)!ùH÷¡ôYP=�S�R��-P���PA�e��;H÷�$ÄüÔøåö±ô¡ô�ÿ"�ý¥ù�� �'F��?LS4]_&õÄý[�ÆùHø¯øåù=.¥ÿ¯úÔû.øåý�)�)ãö�ûHÿ��HýW÷;öV PùH÷v÷¡ÿåüÄøåýk.�ö���ôvù�ü-$Äÿåø9�ãö�ø�)!ùN÷]ô;ù�þ�ô�õÔù�û�ùHúÔö±ø§÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷�Æù�þ�ö�ú���ÿ¯ú( -$§ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý �XF��8LS4��Y&X%X�� �?.��<��� �NR%�XF � L�I��V� ;��=RTR�o���#Pz@x���A��BX^ ��� � >-P=� �R2��=�V������; �A���'B I��V� B�����P�B�����]>e��P���� B�K1���XR��-��RQP��d���>CK1R�,������REP�� . YA÷� 7ö±úIF���LX����R�K1�J�(�x� ;���RaR2o����>-PA��(R F .~LSY<�XF � L;�JK(� �MR��-��RI�§ÿå÷¡ô<F F .£L Z .£L�8�� ��~P=�V���+J�� . C [ ^FR � �P����#�����`��! �Do�V�&R�; J�n�'B �TO��R��,^ ����;�;��XRZP � ��I����J"�'P�@V�S@ Ks;�;e����� BY� K ID;���RaR2o��� �#" �'F���LX�JK(�`�/R��-�=R @NP��V�A;�;&R Y = 7

b��ER�bG<$�MRKb�R�b 9$ �#T#� � �ý�ô�� e O F��MR & e LN*-.¥õÄý�þvý & � Z:9:9�9DZ & 7 ö±þvý.ö�ú/ùHþ¡ôvõÄù�úÄùHþ�)ãö�øPü7ö�÷�ÿå÷&ù��,÷� Ôö±úUF � LN*Äý�4 û(49*§ÿ����'F���L�ÿå÷�ö,�%$Äøåø�þ�ö±ú-�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�*÷�ý�ô & e O Y e 4E��øåýWö�þ�ø9� � e Y �XF���L[�ÆùHþ.ö�ø¯ø � O ¤�Z:9:9�9VZ ^A4] �ý�ô,R3Y = 7 ü7ý'ö±úÜö�þ�üÔÿ ôvþvö�þ��2�Hý��ô�ù�þ<4 ��ýY.&ö±úNô�ôvù Äþvù=��ý3ô�õÔö±ô b � R�bG<%��RKbcR�b�4��«ý#�9úÄù=.ZôvõÔö¤ô�� e O%�MR & e 5 e .¥õÄý�þvý4b e b O7b F��MR & e L ( �MR & e b,8&�74Q_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*

b��ER�b O[b�F���R(' 5�) L R�b O7b*��R(':R 5�) R�b 9�?��ôvþ�ÿÃö±úÄûHø¯ý�ÿåúÄý<K�$7ö±øåÿ ô3��*7ö±ú&�J$7÷¡ÿåúÄû;b(':R�b]O bcR�b�Fo.¥õÄÿ"�õ+�Æù�øåø¯ù=.�÷[�Æþvù�)�ô�õÄýY�:ö��ô¥ô�õÔö±ô+' ÿÃ÷�ö±úAùHþ¡ôvõÄù�úÄùHþ�)ãö�ø�÷�ý�ô3ù����ý<)ôvù�þ�÷�LQ.�ý�ûHý�ô

��RUbcR�b ( b ) R�b/8 b � R�b,8&��RUb�R�b 5 b ) R�b 9

¤ C

Page 13: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

8 ù&*1.�ý�úÄýWý��Sô�ùM Äþvù=��ý3ô�õ7ö¤ô b ) R�b/8�� � bcR�b=4��?�ãôvõÄýxô�þvÿÃö±úÄûHø¯ýxÿåúÄý�K�$Ôö�ø¯ÿ¯ô3�Sö±ú&� ��ö�$(�õ���0 8 �õ�.&ö±þ���*b ) R�b/8

7�e"! �b e b�RK$ 3 e $ 8��dR

7�e;! �$ 3 e $&8 [ ^ �dRKb�R�b,8 �

C R&bcR�b 9

_&õÄÿÃ÷A Äþvù=��ý�÷,ô�õÔö±ô,b � R�bG<%� R b�R�b=47_&õÄý�øåÿ¯úÔýWö±þ�ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWú(�ý ù�����ý��ô�ùHþv÷ �Aÿ�)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�5�ÆùHø¯øåù=.�÷;üPý��ö�$Ô÷�ý¥ÿ � �+.�ý�þvýøåÿ¯úÄý�ö±þvø��'�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô�*�ôvõÄý�ú�ùHúÄý]�ù�$Äø9�XHÔú&��ö&úÄù�ú-�Wý�þvù[��ý��ô�ùHþER!÷�$(�õ.ô�õ7ö¤ô � R�O U*<�ù�úNô�þ�ö��§ÿ")ôvÿ¯úÔû:b��ER�b�<%��R bcR�b ! �-4�

8 ù �:ö±þ<*Q.�ý#õÔö���ý#÷¡õÔù=.¥úpõÄù=.�ô�ù $Ô÷�ý+øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷ãö±ú(�f÷�$ÄüÔøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷'ô�ù��§ý�HÔúÄý+HÔúÄÿ¯ô�ý:> ü7ýWø¯ÿÃö±ú û�þvù�$( Ô÷�4fóOôãÿå÷ãö�øå÷�ù PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý3ôvùM$Ô÷�ýXH7úÄÿ ôvý5>�üPý�øåÿåö�ú#û�þvù�$- Ô÷�ôvùM�§ýNHÔúÔý�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�4$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.�� � � ��R � I��M�C��� �RZ� - I��D;�o�A�:����PAK�><�x���CB M � Z:9:9�9VZNM 7 �2��� �DK(�V������Pz@ �D;��D<��D�(Ra�,P�@+�? "�C�(�V�&�?R��-����NR � F M � Z�9:9�9VZNM 7-LnO �

RqY ; 7 �7

�e"! �

3 e M e O ���"�!� ;���RaR2o�����,�A�CB �Ro� B���RE���J< ������&RV�N��R�"� �?�S�,�Äý�ô<F � F M � Z�9:9:9(ZNM 71L�L68 ���>�5O��R�� � �DK(��;��R Jq @J���'B�P��%; J� @ M � Z�9:9:9DZNM 7���V���N����RE�YR��-� �V�&R�����X����P�K�>��? $ �#T#� � � F M � Z�9:9:9DZNM 7-L;ÿÃ÷�ö<øåö±ô¡ô�ÿ"�ý3ü7ý<�ö�$Ô÷¡ý ÿ ô�ÿå÷�ö±ú�ö��(�§ÿ ôvÿ��Hý ÷�$ÄüÄû�þvù�$( ãù���; 7 4 �ý�ô�� !ÔüPý�ôvõÄý3÷�$ÄüÄûHþ�ù�$- !û�ýWúÄý�þ�ö¤ôvý��ü�� M � Z:9�9:9VZ M 7�4 � ù±ôvÿ9�ý�ô�õ7ö¤ô<ôvõÄý/K�$Äù±ôvÿ¯ýWúNôA; 7 g � F M � Z:9:9�9DZ M 7-Lxÿå÷�ÿå÷�ù�)!ùHþ� ÄõÔÿ9'ôvù � ! *~.¥ÿ¯ô�õßÿÃ÷�ù�)!ù�þ� ÄõÄÿÃ÷�) û�ÿ9��ýWú�ü��� F�B R�D�L O d e 3 e M e 4 óOôM�Æù�øåø¯ù=.�÷�ôvõÔö¤ô!ô�õÔýJ÷¡ÿ9��ý#ù�� � !¥ÿÃ÷M�§ý�ô=F � F M � Z:9:9�9VZNM 7-L�L�g7�Äý�ô<F ; 7 L O �§ý�ô<F � F M � Z:9�9:9VZ M 7-L�LN*�ö�ú(��§ý�ô<F � F M � Z:9�9:9DZ M 7-L�LnO ��� ! 8J����4 �

>��� H� ���"!�1 �"!�#%�����.!�1 � ��)#%�_&õÄýx÷]ô�ö¤ôvÿå÷¡ô�ÿ"�ö�øe�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý.ÿå÷&ö5)!ý�ö�÷�$Äþ�ý3ù��kõÔù=.Zô3.�ù, Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3���Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�úÔ÷�ö±þvýx�:ö�þ¥ö� Ôö�þ¡ô8�Æþ�ù�) ý�ö��õ�ù�ô�õÄýWþ�*§ö�ú(�ÿ¯ô&ÿÃ÷&ö,�ù�ú���ýWúÄÿåý�úNô�ôvù9ù�ø�ÿ¯ú/ô�õÔýxö�úÔö±ø9�§÷¡ÿÃ÷�ù��kþ�ö±ú(�Äù�)!ÿ��Wý��/ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)ã÷�ö±ú(�Sþ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHúÔ÷�4,ó�ú/ô�õÔÿå÷¥÷�$ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�ú/.�ýV�§ýNHÔúÔýô�õÔý.÷¡ôvö±ô�ÿÃ÷]ôvÿ9Wö±ø&�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý.ö±ú(��÷¡ôvö±ô�ýx÷¡ù�)!ý ÷¡ÿ9)� Äøåý;�:ö�)ôv÷�ô�õ7ö¤ô8.¥ÿåøåøPüPý;$7÷¡ý<��ÿåúãô�õÄýxö±ú7ö±ø9�9÷�ÿÃ÷�ù��ôvõÄý3ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷�ÿåú�ôvõÄÿå÷ Ôö� 7ýWþ�4M>�øåøDô�õÔýM Äþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷xù���ô�õÄý�÷¡ôvö±ô�ÿÃ÷]ôvÿ9Wö±øA�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý�÷]ô�ö¤ô�ý<�Üÿåú«ô�õÄÿÃ÷<÷�$ÄüÔ÷�ý�)ôvÿ¯ùHú�ö�þ�ý'ýWöH÷¡ÿåø9�`��ýWþ�ÿ�HÔý��I4 0Ôù�þ#)!ù�þvý�§ý�ôvö±ÿåøÃ÷�ô�õÄý�þvýWö��§ý�þ&ÿÃ÷¥þ�ý��Æý�þvþ�ý<�ãôvù`B � %1*C��õÔö� §ô�ýWþ � DE4� Y�� $-)�&()�#%$��T.�� 7 � ��R� ���'B � I��MRTOQP�BA"�N������RE�2�����'B�PA< �=�=�Jo��IV;��N�JP=�=���/� �3��P�Ks�(RZ�7ID;�� �J����R �F .�'�-�2��RZ�=R2"�SR�o���A;B�"�SRZ������� I��NRTOQ���V�� ���'B�� "�#R��-���VK(�A�(R2�R J

� F� Z �,LnO ¤C

�� ��� $�4�þ�\� O3) ] ( 4�þ�\�� O3) ] $ 9

��ý«÷vö��pôvõÔö¤ô+ô3.�ùpþvö�ú(�§ù�) �¤ö±þvÿÃö±üÄøåýW÷� Z � ö�þ�ý«ÿ9�Äý�úNô�ÿ"�ö�ø¯ø9� �§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ý<� F%.¥þvÿ¯ô¡ô�ýWú� ���,LSÿ �'ö±ú(�ZùHúÄø9�hÿ��4�þ�\� O )Q]3O 4�þ�\�� O )Q]:�Æù�þ/ý���ýWþ��J) Y �54 _&õÄýJþvýWö��Äý�þ/Wö±úZýWöH÷¡ÿåø9� �õÄý<��pôvõÔö¤ôSô�õÄý�÷]ô�ö¤ô�ÿÃ÷¡ô�ÿ"�ö±ø'�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý÷vö¤ô�ÿÃ÷�HÔýW÷�ô�õÄý $Ô÷�$Ôö±ø£ Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷�ù��Q�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý5�%$Äú(�ô�ÿåù�úÔ÷�*ÿT4 ý�4�* � F� Z �,L/. � F%.¥ÿ¯ô�õ«ý�K�$Ôö±øåÿ¯ô3�+ÿ���ö�ú(�Aù�úÔø��+ÿ �� ���,LS*� F� Z �,LnO � F�� Z LN*Äö±ú(� � F� Z�� L�8 � F� Z �,L 5 � F�� Z�� LS4_&õÄý?�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû' Äþvù� PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHú�÷�õÄù=.�÷,ô�õ7ö¤ô�ö� - Ôø��9ÿåúÄû�ö Fo 7ùN÷�÷�ÿåüÄø���þvö�ú(�§ù�)!ÿ9��ý<�(LU�%$Äú()ôvÿ¯ùHú'ô�ù.ô3.�ùV�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHúÔ÷A�§ù9ýW÷úÄù�ô�ÿ¯ú(�þ�ý�ö�÷�ý ôvõÄý<÷¡ôvö¤ôvÿå÷¡ô�ÿ"�ö�øI�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý�4

$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.������ ��R� Z � I��#RaOQP������CB�P�< �����Jo�7ID;��S�,P������Y�2��P�< <MP��+���NR��F �UP��5���+J �o>(P����J,IV; J/�����'B�P�< ��<� B��@ Ks�e��R2oP�� L O��R��MB�P�<M���� � �QR��-�5�SRE��R�"�SR2o���A;�B�"�SRZ������� I��NRTOQ���V� L F� LY���CB L F�� L "�Y�=R�<�P=�SR� F L F� L Z L F��,L�L�8 � F� Z � L FaC-4 %�L>�úÔù±ô�õÔý�þk$Ô÷�ýN�%$ÄøU Äþ�ù� 7ýWþ¡ô3�ãù���ôvõÄý<÷¡ôvö¤ôvÿå÷¡ô�ÿ"�ö�øI�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý.ÿÃ÷&ôvõÄýV�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû&4

$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.���� � ��R � Z�9:9:9(Z !M���'B"� � Z�9:9:9(Z �#!�I��kRTOQP ;�"�SRa�kPz@[REP�RE�A;�; JF��CB���>(�D�CB��D�(R~�����'B�PA< �=�=�Jo��IV;��N�3 �C�(�V�� F�F� � Z:9�9:9(Z !=L Z F�� � Z�9:9:9(Z �#!�L�L�8 !

�e"! �

� F� e Z � e L 9 FaC-4 ��L

¤ �

Page 14: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

_&õÄý�úÔýNW9ô? Ôþ�ù� 7ùN÷¡ÿ¯ô�ÿåù�úãö±ú&�2�ùHþ�ùHø¯øÃö±þ���÷�õÄù=. õÄù=. ô�ù5$7÷¡ý ô�õÄý.÷]ô�ö¤ô�ÿÃ÷¡ô�ÿ"�ö±ø��§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý¥ô�ù�ýW÷¡ô�ÿ9)ãö¤ô�ý3ýNW1 Pý�)ô�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ö�ú(� Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô�ÿåýW÷�4$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.��!�� @ ���'B�� �=���Y�����'B�PA< �=�=�Jo��IV;9�S� P������#����R � �A�CB L ����� B ) Z *�DS"�Y�2�����A;I�=��;�K(� B]@ Ks�e��R�oPA� �R��-�D�

$�\]W� IB L F�LED ( \AW1 UB L F��YLZD $�8 $ * ( )E$�R � F� Z � L FaC-4 � L> ÷¥ö��ù�þvù�øåøåö�þ���*�.�ýxÿ�)�)!ý��Äÿåö±ô�ý�ø9�SùHü§ôvö�ÿ¯ú/ô�õÔýV�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû(4

� # �#���� � . �T.���%�� @ ���CB � �����5�����CB�P�< �����Jo�7ID;��N� P=�=�N�V����R�� ���'B��U����� \ � Z�¤ ]"�5��>e��� BAo����RE�*�QR��-�D�$�4�þ�B �~F�L O ¤ D ( 4�þ�B �~F�� LnO ¤ D $ 8 � F� Z �,L 9 FaC-4 �L

_&õÄý8�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄûx Ôþ�ù� 7ùN÷¡ÿ¯ô�ÿåù�ú<ûHÿ��HýW÷,ö3÷¡ôvö�ú(�Äö�þ��<ö�)� Äø¯ÿ�H&Wö¤ô�ÿåù�ú<ô�ý��õÔúÄÿ9K�$Äý�ô�õ7ö¤ô�ö±øåø¯ù=.�÷�ô�ù.û�ýWúÄý�þ�ö¤ôvý�ö±ø9)!ùH÷¡ô~$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)÷vö�)� ÄøåýW÷Q�Æþ�ù�)�ö<û�þvù�$( �ü��!ö��-�§ÿåúÄû!ö<þvý�øÃö¤ô�ÿ9��ýWø��ã÷�)ãö±øåø7ú�$-)�ü7ýWþ�ù��kÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô¥÷�ö�) Ôø¯ý�÷�ôvõÔö¤ô¥ö±þvý úÔù±ô�ô�ù9ù5�:ö�þQ�Æþvù�)$ÄúÄÿ��Æù�þ�)+4$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.�� � � ��R]F�� Z 5 L�I��5���n�%�RE�k����PAK�> �A�CB ;���R�� � Z:9�9:9DZ � !dI���M��'B��j>-�D�CB��V�&R ��IVK1R%>(P����J,IV; J:��P=R ,B��D�(R2������;�; J�B�"�SRT�J,IVK1RZ� B�� �����'B�P�< �����Jo�7ID;��S�5P=�=��� � � K(� �/R��(�=RT4�þ�\ � e O M ]/< ¤ g ���G@NP��V�A;�; � O ¤�Z:9:9�9DZ ���'BM���8J M Y��? �'�-�D� �%@NP��Y���8J M Y �>�

4�þ � !�e"! �

� e O M � Y ¤��� R� ¤a' ¤

C ! � 9� � >(�=�SR2o�VKs;����+�?R��-�Y�SRZ�=R2"��R2o����;�B�"�SRZ���e����I���RaOQ���D� R��-�Y�JKs< ��O d !e;! � � e �A�CBJR��(� Ks� @NP=�J< BA"�SRa�J,IDK1R�oPA��� P=�=���+�"�Y�=R�<�P=�SR ��� !

�e;! �

� e Z ��� 8 ¤C ! _�� 9

_&õÄýxúÄý�WNôx Ôþ�ù� 7ùN÷¡ÿ¯ô�ÿåù�ú/û�ÿ9��ýW÷&ö .&ö��ãô�ù!ýW÷¡ô�ÿ9)ãö¤ôvý.õÔù=. )Y$&�õ+ö'û�ÿ9��ýWú!�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�ú+ÿå÷ ö�6�ý�)ôvý��/ü��J�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÄÿåúÄû&4$ �#&%/# � )�&�),#C$'�T.�� � �~P=�:���8J ���A�CB�P�< �=�=�Jo��IV;�� P������/����R � �,���'B �N�=�V�&R"� �#R��-�J�SRE��R�"�SR2o����; B�"�SRZ���e����I���RaOQ���D�B�"�SRT�J,IVK1R2oP�� ���CB R��-�+��P��'B��R2oP��e�A; B�"�SRa�J,IDK1R2oP�� P�@ �7����D� � "�!�CI�����R�;KJ �-�A; @JR��(�!�CIV>-����RE� B ���D;��=R2���� �7B7BA�R���=����S��P=�YPz@"� �7����D�� �n� ��� ��

� F� Z F� $ � L�LnO ¤C \AW1 � �����

4�þ�\�� $� ]4�þ�\��2] ( ¤ ���� � 8

¤C )ãö=W� ��� ����

4�þ�\��f$ O )Q]4�þ�\��_] ( ¤ ���� 9

>��� � � ��(+� �"!�� �'����� *-(+! ���./ 1 �� � ("�����.# �"! *��.1�Jö�ú��/øåö±ô¡ôvÿ9�ý<ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)ã÷[.�ù�þ���ü��2HÔþ�÷]ô;�ù�)� -$§ôvÿ¯úÔû�ö!þ�ýWøåö±ô�ÿ9��ý�ø9�2 Pù9ù�þ�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú+ô�ù!ôvõÄý5 Äþvù�üÔø¯ý�)�ÿåú+K�$Äý�÷]ôvÿ¯ùHúI*Ôö�ú(�ô�õÔý�úßÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý�ø9�Üÿ9)� Äþvù=�NÿåúÄûAÿ¯ô,$ÄúNôvÿ¯ø�öJ÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�ú�)!ý�ý�ô�ÿåúÄûÜ÷�ù�)!ý/�§ý�÷¡ÿåþ�ý<���ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úàÿÃ÷#�Æù�$Ôú(��4M\AWÄö�) Ôø¯ý�÷�ù���÷�$(�õÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��Hý<ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)ã÷�ö�þ�ýxôvõÄý � � àü7ö�÷�ÿå÷¥þvý��-$()ôvÿ¯ùHúJö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) B C���DT*�ö±ú&�:>A@�ôvö�ÿ~.�ù�þ�÷¡ô�0;ô�ù/ö���ý�þ�ö±ûHýN0Z�öH÷¡ý3þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHúö±ú&�Y�¤ö±þvÿÃö±úNôv÷?B C-* ¤�¤ *A����*A� ,�DT4 �Jö±ú���ù�ô�õÄýWþ~�%$Ôú(�Äö�)!ýWúHô�ö±øÄö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷£Wö±ú'ö±øÃ÷¡ù.ü7ýk�§ý�÷��þ�ÿåüPý��'ö�÷Dö±ú�ÿ ôvý�þ�ö¤ô�ÿ9��ý? Äþvù1�ýW÷v÷�*ý�4 û(49* \]$(�ø¯ÿ"�?� ÷<ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) ÷]ô�ö±þ�ôv÷V�Æþvù�) ô3.�ùAÿ¯ú- ($§ô�ú�$-)�üPý�þ�÷ ) Z *�*�ö�ú(�Òÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ��Hý�ø9� �ù�)� -$§ô�ý�÷�÷�)ãö±øåø¯ýWþ<ö±ú(�à÷�)ãö±øåø¯ýWþú�$-)�üPý�þ�÷[$ÄúNô�ÿåøôvõÄý�û�þvýWö±ô�ýW÷¡ôk�ù�)�)!ù�ú:�§ÿ9�9ÿå÷�ù�þ&ù��?)�ö�ú(�+*�ÿÃ÷?�Æù�$Ôú(��4_&õÄýãõÄÿåû�õÒøåý��Hý�ø�÷¡ô�þ�$()ô�$Äþ�ýãù��?)ãö�ú��«ÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ��Hý!ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷xÿå÷�ô�õÄý�÷vö�)!ý�ö±ú&�«ÿ¯ôY�ö�úÒü7ýM�ÆùHþ�),$ÄøÃö¤ô�ý<�«ö�üÔ÷¡ô�þ�ö�)ôvø��

.¥ÿ¯ô�õÄù�$§ô�ö±ú���þvýN�Æý�þvý�ú&�ý3ô�ù'ô�õÄý�÷� 7ý<�ÿ�H&' Äþvù�üÄøåý�)�ÿåú+K�$ÔýW÷¡ô�ÿåù�úI4A>�ø¯ô�õÔù�$ÄûHõSôvõÄý#)!ý�ô�õÔù��/ÿÃ÷&úÄù=.Ê÷¡ôvö±ú&�Äö±þ��Sö�ú(�Sÿ¯ô�õÔöH÷üPý�ý�úÒþvý� PýWö±ô�ý��Äø��`$7÷¡ý<�JôvùJ÷¡ùHø��Hý,)ãö±ú��JøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýM Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�*�ÿ¯ô�õÔö�÷xúÄý���ýWþ�ü7ýWý�úÒýNW1 Äøåÿ9�ÿ ôvø��`�Æù�þ�)Y$ÄøÃö¤ôvý���4!ó�úÒù�þ��§ý�þ.ôvùö���ùHÿ9�,$ÄúÄúÔý��ý�÷�÷vö±þ��<þvý� Pý�ôvÿ ôvÿ¯ùHúÔ÷�*Nö±ú(�'õÄÿåû�õÔø¯ÿåû�õNô�üPù±ôvõ�ôvõÄý ÷�ÿ�)!ÿåøåö�þ�ÿ¯ô�ÿåýW÷�ö±ú(���§ÿo6PýWþ�ýWú(�ý�÷�ö�)!ùHúÄû<ö±øåø§ô�õÔýW÷�ý�ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)ã÷�*üPý�øåù=. .�ý�ûHÿ��Hý ö±ú/ö±üÔ÷¡ô�þ�ö��ô]�Æù�þ�)Y$ÄøÃö¤ôvÿ¯ùHúãù��ôvõÄÿå÷�ÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��Hýx)!ý�ôvõÄù1��*§ö±ú(�M Ôþ�ý�÷¡ýWúHô�ö<û�ýWúÄý�þ�ö±ø& ÄþvùNù���ô�õÔö±ô�ô�õÔýX)!ý�ôvõÄù1�ÿ9) Ôø¯ÿåýW÷�÷¡ôvö�ú(�Äö�þ��/ 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø�ôvÿ�)!ý<ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷¥ö±ú(�/þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�úÔ÷�4��ù�)� -$Äôvö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø� Äþvù�üÔø¯ý�)!÷[Wö±ú+ü7ý�ö±ü7÷]ôvþvö�)ô�ø9�2�§ý�HÔúÄý��+ü���ûHÿ��9ÿåúÄû'ö�üÄÿåúÔö±þ���þvý�øÃö¤ôvÿ¯ùHúJ�ùHúÔ÷�ÿå÷¡ô�ÿåúÄû'ù��,ö�ø¯ø� Ôþ�ùHüÄø¯ý�) 0÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú! Ôö±ÿåþ�÷�4

� Y�� $-)�&()�#%$��T.(� �'�(� ;������AK(����� ������P��Do�=RZ� B REP �5ID��e��� J ���D;���R�oPA� � "�JR��-�J���NR"!$# P�@+��;�;?�SRT�J������ 3 �JK(�`� R��-�=RF�3 Z&% L Y'� @NP�����P�<M� % '�'�-�F>e��P7ID;��V< B����n��� B�I:J:���V;9�=R2oP��(� "�3),�7��=�V� �+�SRa�J���� 3cY)! # � �n�'B`� % �JK(� �R��-�=RF�3 Z&% L Y*� �UP��Y���8J2F�3 Z+% L Y,�F�AOQ�#��� J2R��(�=R % "�Y����P�;=K1R�oPA� RZPE>e��P7ID;��V<23

¤ ,

Page 15: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

8 ÿåú(�ý.úÄù, 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø7ô�ÿ9)!ý.ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) FÆùHþ�þvý��1$&)ô�ÿåù�úeL]�ö�ú2 PùH÷v÷¡ÿåüÄø9�'ù�$§ô� ($§ô�ö�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú % ù���÷�ÿ9��ý3÷�$- Pý�þ� 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øÿåú�$ 3?$�*Pÿ ô3ÿå÷;$Ô÷�$7ö±øåø��+ö�÷v÷�$-)!ý<�SôvõÔö¤ô3ô�õÄýWþ�ý�ý�W§ÿå÷¡ôv÷3ö� 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø �Ü÷�$&�õ/ôvõÔö¤ô2$ % $Q8 �£F�$ 3 $ L[�Æù�þ3ö±øåø8F�3 Z&% LHY�� 4[_&õÄÿå÷ÿÃ÷¥ô�õÔý,�öH÷¡ý5�Æù�þ3ö�ø¯ø£ Äþvù�üÄøåý�)ã÷x�ù�úÔ÷�ÿ"�§ý�þvý��#ÿåúAô�õÔÿå÷X Ôö� Pý�þ<4 ��ù=.�ý��Hý�þ<*-.�ý�þvý�)ãö±þ���ôvõÔö¤ô.ÿ¯úAûHý�úÄýWþvö�økþvý�øÃö¤ô�ÿåù�ú,� ÿÃ÷�úÄù�ôþvý�K�$Äÿåþ�ý<�JôvùAü7ýM Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø;ôvÿ�)!ý2�ù�)� -$§ôvö�üÄøåý�4 0Ôù�þ�ýNWÄö�) Ôø¯ý�*kÿåú«ôvõÄýM\pö� - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvý!÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ôV�Hý��ô�ù�þ# Ôþ�ùHüÄø¯ý�)+*)!ý�)�ü7ýWþv÷�õÄÿ9 /ÿåú�ôvõÄý<ö�÷v÷¡ù1�ÿåö±ô�ý���þ�ýWøåö±ô�ÿåù�ú � O \�F�� Z � LN� � Y<�XF � L ,G\- ]?D>b � b,8 \:RA* � F��XF � L�L ]<ÿÃ÷�úÔù±ôk 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øô�ÿ9)!ýM�ù�)� -$Äôvö±üÔø¯ý,�Æù�þ'\ � [ C Fo$ÄúÄøåýW÷v÷��H4 O 4;*]B ����D�LN4<óE�8)!ý�)�üPý�þ�÷¡õÄÿ9 Üÿåú � ÿå÷' Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø,ô�ÿ9)'ý��ù�)� -$§ôvö�üÄøåýF:ö�ú(�/ô�õÄýWþ�ýxý�W9ÿÃ÷¡ôv÷¥ö� Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø �J÷�$(�õ/ô�õ7ö¤ô $ % $ 8 �~FA$ 3?$ L8�ÆùHþ�ö±øåøQF�3 Z&% LSY,�#LS*9ôvõÄý�ú,�»ÿå÷¥ö�ú �]470Oþ�ýWøåö±ô�ÿåù�úI4> �Äý�ô�ýWþ�)!ÿåúÄÿÃ÷]ôvÿ9�ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)��6÷¡ùHø��HýW÷I Ôþ�ùHüÄø¯ý�) �fÿ��-�ÆùHþ�ö±ú�� 3�Y,! # *�ô�õÔý�ù�$Äô� -$§ô % O��+F�3�L,÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý�÷QF�3 Z&% L Y �,4óE����ÿÃ÷�ö!þvö�ú(�§ù�)'ÿ9��ý<�#ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)+*9ô�õÔý�ú:.�ý<÷�ö��Sô�õÔö±ô�� ÷�ù�ø9��ýW÷�� �� R��-�,OQP=���SRT���������k.¥ÿ¯ô�õ: Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3� � Fo 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø��ö,�%$Äú(�ô�ÿåù�ú#ù��,ô�õÄýxÿåú- -$§ô3ø¯ýWúÄû±ôvõ&L�ÿ �£�Æù�þ¥ö�ú��3MY*! # *§ô�õÄý# Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3�`F:ù=��ý�þ�ôvõÄý�ÿ¯úNôvý�þvúÔö±øþ�ö±ú(�Äù�)!úÄýW÷v÷�ù�����ö±øåù�úÄý�Lô�õ7ö¤ôYF�3 Z �+F�3�L�L Y � ÿÃ÷¥ö¤ô�øåýWöH÷]ô �£F�$ 3 $ LS4Q> ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)���÷�ù�ø9��ý�÷ � P�� R��-� �=�=���������¥ÿ��[F�3 Z �!F�3eL�L Y,� .¥ÿ ôvõ+ Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�ö¤ô;øåýWöH÷]ô �~FA$ 3?$ LN*�.¥õÔý�ú'ô�õÄý[ Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3�<ÿÃ÷A�ù�) ($§ô�ý<��ù=�Hý�þ�ô�õÄý¥ÿåúNô�ýWþ�úÔö�ø§þvö�ú(�§ù�)'úÔýW÷v÷�ù����»ö�ú(��ô�õÄý¥þ�ö±ú(�Äù�)»÷�ý�øåý��ô�ÿåù�úù��,ô�õÔý�ÿ¯ú- ($§ôF3Jö���ù�þ��§ÿåúÄû�ô�ùã÷¡ù�)!ýx÷� Pý��ÿ�HÔý<�!�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�ú#ù=��ýWþ¥ö±øåø�÷]ôvþ�ÿåúÄûH÷&ÿåú,! # ù��,øåý�úÔû±ô�õ $ 3 $ 40ÄùHþ;ö±øåø1.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý8 Äþ�ùHüÄøåý�)ã÷A�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ý<�<ÿåú�ôvõÄÿÃ÷7 Ôö� Pý�þ<*±û�ÿ9��ýWú�ô3.�ù.ô�ýWúHô�ö¤ôvÿ��Hý&÷�ù�ø9$§ôvÿ¯ùHúÔ÷ % � Z&% � �ÆùHþ�öX Ôþ�ùHüÄø¯ý�) 3U*ÿ¯ô�ÿÃ÷? 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø¯ý3ô�ù�ý*)2�ÿåý�úNô�ø9��÷�ý�øåý�)ô�ô�õÔý ��ü7ý�÷]ôL��ù���ô�õÄý3ô3.�ù(*Nÿa4 ý�49*9ô�õÄýWþ�ý.ÿÃ÷�ö, 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øÔôvÿ�)!ý�ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) ô�õ7ö¤ô¥÷¡ýWø¯ý<)ôv÷ö % e ÷�$(�õSôvõÔö¤ô3ÿ �kF�3 Z&% � LSY,� ù�þYF�3 Z+% � LSY,� *§ô�õÔý�ú�F�3 Z&% e LSY,�,4�óOôk�Æù�øåø¯ù=.�÷�ôvõÔö¤ô3ö�ú��Sö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)�ô�õÔö±ô ÷¡ùHø��HýW÷�ô�õÔý

Äþvù�üÄøåý�) .¥ÿ ôvõAúÄù�ú-0FúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÔø¯ýV Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3� �~FA$ 3?$ L�. $ 3?$ O � �����S*&Wö±ú#üPý<ýWöH÷¡ÿåø���ô�þ�ö±úÔ÷��Æù�þ�)!ý��/ÿ¯úNô�ù/ö±úAö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)�ô�õÔö±ô÷�ù�ø9��ýW÷.ôvõÄý2 Äþvù�üÔø¯ý�) .¥ÿ¯ô�õ� Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�Üý�W� Pù�úÔý�úNô�ÿÃö±øåø���øåùH÷�ý'ô�ù ¤ *�ü��Üþvý� PýWö±ô�ý<�§ø��«ýNW§ý��$§ô�ÿåúÄû#ôvõÄý�üÔöH÷¡ÿ"ãö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)ö! 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øxFÆý�4 û(49*�$ 3 $�R �£F�$ 3 $ L�Lxú�$-)�ü7ýWþ�ù���ô�ÿ9)'ý�÷<ö±ú&��÷�ý�øåý��ô�ÿåúÄû+ô�õÄýãüPýW÷¡ô�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úI4 8 ù&*I.�ý��ÄýW÷��þvÿ¯üPý�ö±ú��J÷�$(�õö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() ö�÷ã÷�ù�ø9�9ÿ¯úÄû«ô�õÔý: Äþ�ùHüÄøåý�) .¥ÿ¯ô�õ"�s ���q>e��P�I���IV�;=�R J=*x.¥ÿ¯ô�õÔù�$§ô�ý�W� Ôø¯ÿ"�ÿ¯ô�ø9�f÷¡ôvö±ô�ÿåúÄû�ô�õÄýAý�W§ö�)ôM�¤ö±ø9$ÄýAù��.ô�õÔý÷�$(��ýW÷v÷] Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3��4 ��ù�ô�ÿ"�ý�*9õÄù=.�ý��Hý�þ<*±ôvõÔö¤ô�ô�õÄÿÃ÷&ö� - ÄøåÿåýW÷�ùHúÄø9��ôvùJF:þvö�ú(�§ù�)!ÿ9��ý<�(L�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)ã÷Dô�õÔö±ô&÷�ù�ø9��ý3ö5 Äþvù�üÄøåý�)ÿåúÒô�õÄý OQP=���SRa�����=�N��4`_&õÄýS÷�$(��ýW÷v÷# Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3�«ö�)� Äø¯ÿ�H&Wö¤ô�ÿåù�úÒôvý��õÄúÔÿ9K�$Äý2.�ý#@3$Ô÷¡ô �ÄýW÷��þvÿ¯üPý�� )ãö��ÜúÔù±ôY.�ù�þ�� .¥õÄýWúö� ( Äø¯ÿåý��'ôvù�ö±ú�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ôvõÔö¤ô�÷¡ùHø��HýW÷�ö# Ôþ�ùHüÄø¯ý�) .¥ÿ¯ô�õ�úÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåýk Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3��*�ü($§ô�ùHúÄø��+P��+R��-�#�=�=���������N*�.¥õÄýWúô�õÔý�ÿ¯ú- ($§ô�ÿå÷;�õÄùH÷�ý�ú#ö¤ô¥þ�ö±ú(�§ù�)+4��ýN�ÆùHþ�ýx.�ý.û�ÿ9��ý�ôvõÄý.û�ý�úÔý�þ�ö±ø&�ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú/ù��kÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý3þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHú FÆùHþ¥ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)2LS*�.�ý ÿåø¯ø9$Ô÷¡ô�þ�ö¤ô�ý.ÿ¯ô?.¥ÿ¯ô�õ+ö5�:ö�)'ÿåøåÿåö�þýNWÄö�) Ôø¯ý�4���ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þ�\]$&�øåÿ9�?� ÷.ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)+4;_&õÄý'ÿåú- -$§ôxÿå÷.ö2 7ö±ÿåþ ù���ú�$-)�ü7ýWþv÷.3 O6FF) Z *NLN*�ö�ú(�:.�ýY.&ö±úNô ôvù2HÔú&�Aô�õÔýû�þvýWö±ô�ý�÷]ôY�ù�)�)!ù�ú �§ÿ9�9ÿå÷�ù�þ % O�û����FC) Z *NLN4 _&õÄý/ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) .�ùHþ��§÷�ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ýWø���*~)ãö±ÿåúNôvö�ÿ¯úÄÿåúÄûÜö±ô�ý�ö��õàÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúàö

Ôö�ÿ¯þ:" O F "� Z " � L ÷�$(�õJôvõÔö¤ô^" � .=" � ö�ú(�Jû����F " � Z " � LHO % 4,>�ôxý���ýWþ��#ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿåù�úI*ÿ���" � +O ��ôvõÄý!÷]ô�ö¤ô�ý'ÿÃ÷V$- e�Ôö¤ô�ý<��Æþvù�) FF"

� Z " � L ôvùF " � Z " � )!ù1�_" � LS4 4Dù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�økôvÿ�)!ý'ô�ýWþ�)!ÿåúÔö¤ôvÿ¯ùHúÜÿÃ÷.û�$Ôö�þvö�úHôvý�ý<�Aü7ý<�ö�$Ô÷¡ý!ö¤ô�ý���ý�þ��#ÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúJô�õÔý�%$Äú(�ô�ÿåù�ú L F "� Z " � L O=" � RS" � 5 ¤ �§ý<�þvýWöH÷¡ý�÷�ö¤ô.ø¯ý�ö�÷¡ô ü��#öM�:ö�)ôvù�þVC14H�ZõÔý�ú;" � O"�ãúÔù/)!ù�þvý5 Äþvù�ûHþ�ý�÷�÷¥ÿÃ÷x PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý�*ö±ú&�+ô�õÄý'ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)�ô�ý�þ�)!ÿ¯ú7ö¤ô�ý�÷k.¥ÿ¯ô�õJù�$§ô� -$Äô0"

�4¥ó�ú#ôvõÄýY�öH÷¡ý�ù��;øåö±ô¡ôvÿ9�ý5 Äþvù�üÄøåý�)ã÷�*Äô�õÔý�ÿåú- -$§ô ÿÃ÷X$Ô÷�$7ö±øåø��+öãøåö±ô¡ôvÿ9�ýüÔöH÷¡ÿÃ÷G35O �J*kö±ú&�JôvõÄýãö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) )ãö±ÿåúNôvö�ÿ¯úÔ÷xö#÷�ý�ô�ù���ø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9�Aÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô5��ý<)ôvù�þ�÷,"�O �%" �XF���LS*�ù�þ�ö+üÔö�÷�ÿÃ÷

�Æù�þ ô�õÄý�ÿ¯ú( -$§ôxøåö±ô¡ô�ÿ"�ýA�XF<�UL O �'F���LS4X_8�� Äÿ"�ö±øåø9��*7ô�õÄý�û�ùHö�ø�ÿÃ÷�ôvùMHÔú(�«ö�÷¡ý�ô3ù��;÷�õÄùHþ¡ô;�Hý��ô�ù�þ�÷�]4X_&õÄÿÃ÷ ÷�ý�ô.ÿå÷;�Æù�$Ôú(�ü��ÜÿåúÄÿ¯ô�ÿÃö±øåø��Ò÷¡ý�ô¡ôvÿ¯úÄû � ô�ù#ôvõÄý�ÿåú- -$§ô'üÔö�÷�ÿå÷�*�ö�ú(�«ô�õÄýWúàÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ��Hý�ø9�«ö� ( Äø��9ÿåúÄûJö±úàö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ô�õ7ö¤ô�ùHú�ÿåú- -$Äô � ö�ú(��hù�$§ô� -$Äôv÷<ö#üPý�ô�ô�ý�þ�÷¡ý�ô)��!a4/_&õÄÿÃ÷�û�ýWúÄý�þ�ö±ø;ÿ"�§ý�ö/ÿÃ÷V�ÆùHþ�)ãö±øåÿ9��ý��«ÿåúÒô�õÄý��ÆùHø¯øåù=.¥ÿ¯úÔû+�ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�úU4 F 8 ýWý0,ÿ¯û�$Äþ�ý ¤ �ÆùHþ<ö Äÿ")ôvù�þvÿåö�øPþvý� Ôþ�ý�÷¡ýWúHô�ö¤ôvÿ¯ùHú�ù���ôvõÄýxÿ¯úNôvý�ú(�§ý<�!$Ô÷¡ý.ù��,ÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ��Hý þvý��1$(�ô�ÿåù�úÔ÷�*Äö±ú&�ãô�õÔý' Ôþ�ù9ù���ù��£_&õÔý�ù�þvý�) C-4 C�C�üPý�øåù=. �ÆùHþ�%$Äþ�ô�õÄýWþ�ýNW1 ÄøÃö±ú7ö¤ô�ÿåù�ú7÷�4iL

3

eF�3�L"

F�3 Z "�L " !

��ýW÷

úÄù ��F�3 Z "�L %L F�3 Z " !�L�8L F�3 Z "�L�g�C

0,ÿ¯û�$Äþvý ¤ �;óOô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý.þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHú

� Y�� $-)�&()�#%$��T.(��� - �àÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý+þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�ú @���P�< >e��P�IV;��D<�� RZP�� RZ�=�a���NR >e��P�IV;��D< � !F"�:� R2K�>C;9�:F�� Z L Z Z � Z LO��-�����

N � "�Y�M���V;���R�oPA� ��B����n�%����/R��(�V����R ��� O \S"��<F�3 Z "�L�Y,� ]JPz@#�=��;�,B ��(RZ�N�J����;��SRZ�=RZ�S� � �JK(�`�!R��-��R#$ "&$&8 �~F�$ 3 $ Ln@NP���NPA<�� >(P�; J���P�< o��; � ���'B/��;�;£F�3 Z "�LSY,�

¤ �

Page 16: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

N L � � � 0S_ �ER��-�; Äþvù�û�þvýW÷v÷?�%$Äú(�ô�ÿåù�ú �"�,�dB���RZ�N�J< �� "�SR2o�H>-PA; J��ePA< o�A;£R2�<M� ��PA< >'K1RE��IV;���@ Ks���NR2oP��&��<�� >7>'����>-�A����#F�3 Z "<L Y � RZPE>(P��J�R���=�,���=R2oP�����;�� Ks<�I������ L F�3 Z "<L Y�0S_ �

N �ER��-�'ÿåúÄÿ¯ô�ÿÃö±øåÿ���ö¤ô�ÿåù�ú �%$Äú()ôvÿ¯ùHú ��"�!�5B��NRZ���J< ��%"��R2o� >(P�; J���P�< o��;kR2�<��:��P�<H>CK1RZ�7ID;�� @ Ks���NR2oP��c<M�`>�>C���� �����`�>e��P�IV;��D< ��-�SRE�A�e���)3MY*!$# REP2�A����%�R�o�A;I�SRE��RE� eF�3eL#���=R2"��@LJ�����!F�3 Z &F�3eL�L Y,�F�

N � �ER��-�<ù�$§ô� -$§ô#�%$Äú(�ô�ÿåù�ú ��"�2��B��NRZ�N�J< �� "�SR2o��>(P�;KJ��eP�< o��;8R��<M�!��PA< >'K1RE��IV;9� @ Ks�e��R2oP�� <M�`>�>C����`�=��;�,B�>(������F�3 Z "�L�Y � RZPMRZ�V�&RE��R���=�#��PA;�K1R�oPA�-����F�3 Z "�L+�T>-P=���J,ID; J2����R�"��@LJ�����!F�3 Z ��F�3 Z "<L�L Y �>�

N � � � �TR��-��ÿ ôvý�þ�ö¤ô�ÿ9��ý'÷]ôvý� �d"��� �o>e��P7I��7ID�;�"�SR�o� � >-PA; J��ePA< o�A;]R2�<��2P������D;��J��; ��P=�J�R�� < �JK(�`� R��-��R�@NP=�2���8J+P������D;��� ��P�;�������F>���P7ID;��D< � ! �EO��R���� �*� >���P7I���IV�;��R J����[�A�CB]@NP=�Y��;�;£F�3 Z "�LSY � �]R��-� P�K1R=>CK1R?" !%O � F�3 Z "�L5���=R2"� �?�S�� F�3 Z " !�L�Y,� �8�A�CB� @ �MF�3 Z ��F�3 Z "�L�L"��@N�A;i�����;R��-�D� L F�3 Z " ! L08 L F�3 Z "<L`g�C O��R��M� �*� >e��P7I��7ID�;��R J �ZP�������R��(�����A�CB�PA< � �-P�o���N�P�@ ���'B ���

_&õÄýk�ÆùHø¯øåù=.¥ÿåúÄû�ô�õÔý�ù�þvý�) ÷�õÄù=.�÷DôvõÔö¤ô�ÿ ôvý�þ�ö¤ô�ÿ9��ý þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHúÔ÷�ý�ö�÷�ÿ¯ø9�'ÿ�)� Äø9�!ô�õÄý3ýNW§ÿÃ÷]ôvý�ú(�ý�ù��k÷¡ôvö�ú(�Äö±þ��!þ�ö±ú(�§ù�)!ÿ��Wý����ù9ù��'þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�úÔ÷�4���ý þvý�)ãö�þ���ôvõÔö¤ô�ô�õÄý3úÄù±ôvÿ¯ùHúãù��ÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��Hý�þvý��1$(�ô�ÿåù�ú��ÆùHþ�),$Äøåö±ô�ý<��ÿåú��3ýNHÔúÔÿ ôvÿ¯ùHúJC14iC ¤ ö�ú(��$Ô÷�ý��ãÿåú_&õÄýWù�þvý�) C-4 C�C.ü7ýWø¯ù=.#*��ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþv÷;üPù±ôvõ �6ö±ú(� � ! ö�÷kOQP�����RT���������Q Äþ�ùHüÄøåý�)ã÷�4£_&õÄý;�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú/Wö±ú!üPý ýWöH÷¡ÿåø9��ýNW9ôvý�ú(�§ý<�ô�ù.ôvõÄýk�ö�÷�ý?.¥õÄý�þvý � !9ÿÃ÷;ö±ú!ö���ýWþvö�û�ý]Wö�÷�ý8 Äþvù�üÔø¯ý�)!*�õÄù=.�ý���ýWþkôvõÄÿå÷DÿÃ÷DúÄù�ô,úÄýWý��§ý<��ÿåú�ô�õÄÿÃ÷A Ôö� 7ýWþ�4�ó�ú 8 ý<)ôvÿ¯ùHú %X.�ý[.¥ÿåø¯ø÷�õÄù=.ÊôvõÔö¤ô ô�õÄý<ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý�þvý��1$&)ô�ÿåù�ú#ÿ9)� Äø¯ÿ"�ÿ¯ô ÿåú`>A@�ô�ö±ÿ2� ÷;.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý3ô�ùSö��Hý�þ�ö±ûHýN0Z�ö�÷�ý;�ù�úÄúÄý<)ôvÿ¯ùHúJö±ú(�!�¤ö±þvÿåö�úNôv÷k�ö�úüPý3ý�ö�÷�ÿ¯ø9� �:ö�)ôvù�þvý��ãÿåúNô�ù'ö±ú�ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý þvý��-$()ôvÿ¯ùHú�ü7ý�ô3.�ýWý�úSô3.�ù,.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ýk Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�*9ö±ú(��ö,.�ù�þ�÷]ô�0kô�ù'ö���ýWþvö�û�ýN0Z�öH÷¡ýþvý��1$(�ô�ÿåù�ú/ô�õÔö±ô�ÿ¯ú��Hù�ø9��ý.úÄù±ô�ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿåù�úI4'�� Y # Y&X �T.(�I��� @VR��(�N���F"�Y��� �RE������R���=�5���`BAK(�NR2oP�� @���P�< >e��P7ID;��V< � RZPE>e��P7ID;��V< � !��]R��(�V� R��(�N���F"�Y�E>(P�;KJ��eP�< o��;R2�<��,��� B�K(��R2oP�� @���P�< ��P�;������� � ���� R��-�,OQP�����Rx�����������'B2O��R��d� �*�:>���P7I���IV�;��R J��/RZPM��PA;��(���� � ! ���� R��(�YOQP����SR[����������'BMO��R����s ���:>e��P7I��7ID�;��R J�� $ �#T#� � �ý�ô2F�� Z L Z Z � Z LxüPýãö±ú�ÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ��Hý'þvý��-$()ôvÿ¯ùHú �Æþvù�) ��ô�ù � ! 4 ��ý2�§ý�HÔúÄý�ö#÷]ô�ö±ú(�Ôö±þ��` Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�øDô�ÿ9)!ýþvý��1$(�ô�ÿåù�ú«ü7ý�ô3.�ýWý�ú«ô�õÄý�ô3.�ù! Äþvù�üÄøåý�)ã÷�4Y> ÷v÷�$-)!ý�ôvõÔö¤ô�û�ÿ9��ýWúÜùHþvö��øåý�ö���ý�÷�÷ ô�ù#ö/÷�ù�ø9$§ôvÿ¯ùHú ��ô�ù! Äþvù�üÄøåý�) � !a* �÷vö¤ô�ÿÃ÷�HÔýW÷3ô�õÔý'øÃö�÷¡ô5�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú�ÿ¯ú«ô�õÄýM�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú.¥ÿ ôvõÒúÄù�ú10OúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÄøåýY Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3���1FA$ 3?$ LN4�_&õÔý'þvý��-$()ôvÿ¯ùHú .�ù�þ��§÷3öH÷�Æù�øåøåù=.�÷#F:÷�ý�ý 0,ÿ¯û�$Äþ�ý ¤ LS�¤ 4]93ú/ÿåú- -$§ôF3~*&�ù�)� -$§ôvý:"EO eF�3�LS4C-4]��ù�)� -$§ôvý � F�3 Z "�L�O�" !�ö±ú&�J�õÄý<���ÿ�� L F�3 Z " !"L#8 L F�3 Z "<L`g�C-4�(4¥óE��ôvõÄý5�õÄý����÷�$(��ý�ý<�Ä÷�*§þ�ý� Äøåö��ý^"#.¥ÿ¯ô�õ9" !ö±ú&�/þvý� PýWö±ô&ô�õÄý# Äþvý��9ÿåù�$Ô÷¥÷¡ô�ý� I4,&4¥óE��ôvõÄý5�õÄý�����:ö�ÿ¯øÃ÷�*Äø¯ý�ö���ý:"#$Äú&�õÔö±úÄûHý���*§ö�ú(�+þ�ý� 7ý�ö¤ôk$- +ô�ù9$ 3 $ g �1F�$ 3 $ L�ôvÿ�)!ýW÷�4�-4¥óE��ôvõÄý5�õÄý�����:ö�ÿ¯øÃ÷[�ÆùHþ $ 3?$ g��1F�$ 3 $ Lk�ùHúÔ÷¡ý<N$§ôvÿ��Hý ôvÿ�)!ý�÷�*§ôvõÄý�ú+ôvý�þ�)'ÿåúÔö±ô�ý<ö±ú&�Sù�$§ô� -$Äô % O'��F�3 Z "�LN4

óOô!ÿå÷'ÿ9) )!ý<�§ÿåö±ô�ý+ô�ù��ýWþ�ÿ��%��ô�õÔö±ô!ô�õÄý#ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) ÷vö¤ôvÿå÷�HÔýW÷�ô�õÔý+ÿåú��¤ö±þvÿåö�úHô+F�3 Z "�LdY�� ö±ô!ö�ø¯ø&ÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�4q��ý#úÄý�ý<�ô�ù Äþvù=��ý!ô�õ7ö¤ô<ôvõÄý/þ�$ÄúÄúÔÿ¯úÄûJô�ÿ9)'ý/ÿå÷, Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø�ÿåú3$ 3?$,ö±ú(��ôvõÔö¤ô�ô�õÄý/HÔúÔö±ø�ù�$Äô� -$§ô!÷�ö±ô�ÿÃ÷3H7ýW÷ �MF�3 Z+% L5.¥ÿ¯ô�õpõÄÿ¯ûHõ Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3��4 0Ôù�þ�ô�õÄý#þ�$ÄúÄúÄÿåúÄûJôvÿ�)!ý�*�úÄù�ô�ÿ"�ý/ô�õÔö±ôã÷�ÿåú(�ý F�3 Z "�LdY � */$ "&$�ÿå÷'üPù�$Äú(�Äý��fü��àö H-W§ý�� 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø&ÿåú$ 3 $Pÿåú«ö±øåøDÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�*ö�ú(�Üö�ø¯øD÷]ôvý� Ô÷VWö±úÜüPý 7ýWþ��ÆùHþ�)!ý��Üÿ¯ú 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�økôvÿ�)!ý�4 �«ý!úÄýWý��Aôvù/üPù�$Ôú(�AôvõÄý�ú�$-)�ü7ýWþxù��ÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�4- ký�ô ��üPý öV Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�øÔ÷�$(�õ!ô�õÔö±ô,$ "U$ 8��~FA$ 3?$ LA�Æù�þ�ö�ø¯ø£F�3 Z "�LSY �,*Nö±ú(�!øåý�ô��3üPý öV Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øÄüPù�$Äú&�§ÿ¯úÔûô�õÔýãþ�$ÄúÔúÄÿ¯úÔû#ô�ÿ9)'ýSù�� L 4�óOô#�Æù�øåø¯ù=.�÷.ôvõÔö¤ô�ôvõÄý�ÿåúÄÿ¯ô�ÿÃö±ø]�¤ö±ø9$Äýãù�� L F�3 Z "�LxÿÃ÷<ö±ô5)'ùN÷]ôYC�� � � _�� � � � ��*�ö±ú&�ÜôvõÔö¤ô L F�3 Z "�LÿÃ÷3ö�ø�.&ö��§÷ ö¤ô.ø¯ý�ö�÷¡ôVC O � �� � _�� � � � ��4 8 ÿ¯ú(�ý'ö±ô3ý���ý�þ��#÷�$(��ý�÷�÷��%$Äø,ÿ ôvý�þ�ö¤ô�ÿåù�ú L F�3 Z "�L;�§ý<�þvýWöH÷¡ý�÷¥ü��#ö2�:ö��ô�ù�þ#C1*ö�ú(�#ô�õÔýö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() ô�ýWþ�)!ÿåúÔö¤ôvýW÷A$( 7ùHú��:ö±ÿåø¯ÿåúÄûf$ 3 $ g �1F�$ 3 $ L8�ù�ú7÷¡ý<N$§ôvÿ��Hý�ôvÿ�)!ý�÷�*Hô�õÄý;)!ö�W§ÿ�),$-) ú�$-)�ü7ýWþ�ù��ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿåù�úÔ÷;ÿÃ÷�ö±ô])!ùH÷¡ôC��1FA$ 3?$ 5 �~FA$ 3?$ L�L�RK$ 3 $ g �1FA$ 3?$ LN*(.¥õÄÿ"�õ#ÿå÷[ Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øÿåú $ 3 $��Æù�þ�ö±ú���úÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý;�%$Ôú()ôvÿ¯ùHú��1F�RiLS40,ÿ¯ú7ö±øåø���*,øåý�ô�� ÷ Äþvù=��ý2�ù�þvþ�ý<)ôvúÄýW÷v÷�4 ��ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ<ôvõÄý!�ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔö±ø8 Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3��ù��¥ôvý�þ�)!ÿ¯úÔö±ô�ÿåúÄû .¥ÿ¯ô�õhö±úàÿåú(�ùHþ�þvý��ôö±ú7÷�.�ý�þ<*9û�ÿ9��ý�ú�ô�õÔö±ô�ôvõÄý<ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() Pý�þ��Æù�þ�)ã÷�ýNWÄö��ô�ø9���Q$- ��Äö¤ôvýxù� Pý�þ�ö¤ô�ÿåù�ú7÷�4 ��ý'�9úÄù=.áô�õÔö±ô#F�3 Z "<L Y*�6þvÿ¯ûHõNô&ö��Çô�ý�þô�õÔý�øåöH÷]ô�÷�$(��ýW÷v÷3�%$ÄøU$- e�Ôö¤ô�ý�*Ôö±ú&�/öH÷�÷�$-)!ý.ô�õÄý<ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ù�$§ô� -$§ô�÷�ö±ú#ÿåú(�ùHþ�þvý��ô&ö�úÔ÷�.�ý�þ % O ��F�3 Z "�LS*7ÿa4 ý�49* �MF�3 Z&% LÿÃ÷[�:ö±øÃ÷¡ý�4��?$§ôx.�ý#�9úÄù=.ÊôvõÔö¤ôx.¥õÔý�ú F�3 Z "�L Y,� ö±ú(� �MF�3 Z ��F�3 Z "�L�L�ÿÃ÷[�:ö±øÃ÷�ý�* � F�3 Z "�L[ Äþvù1�1$(�ýW÷�ö!úÄý�. " !�÷�ö±ô�ÿÃ÷3�%�9ÿåúÄû�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú L F�3 Z " !9L+8 L F�3 Z "�L`g�C .¥ÿ ôvõ Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3�àö¤ôãøåýWöH÷]ô$�1F�$ 3 $ LS4 8 ù&*�ô�õÔý: Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3��ôvõÔö¤ô �:ö±ÿåøå÷9$ 3 $ g �1FA$ 3?$ L�ùHúÔ÷�ý�N$Äô�ÿ9��ý<ôvÿ�)!ý�÷�ö±ú(�#ôvý�þ�)!ÿ¯úÔö±ô�ý�÷X.¥ÿ¯ô�õ�ù�$Äô� -$§ô % O ��F�3 Z "�L3ÿå÷xö±ô')!ùH÷¡ôMF ¤,( �1F�$ 3 $ L�L� � *�� � � �,8 � O� � �4Y>;�(�§ÿ¯úÔû$- Sô�õÄý'�ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÔö±øe Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô�ÿåýW÷Q�Æù�þ&ö±øåø& PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý;�¤ö�ø�$Äý�÷�ù����S*�.�ý3û�ý�ô�ô�õÔö±ô�ôvõÄý.ù=��ý�þ�ö±øåø- Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3�'ù��ô�ýWþ�)!ÿåúÔö¤ôvÿ¯úÔû.¥ÿ¯ô�õ+ô�õÄý#.¥þvù�úÔû'ö�úÔ÷�.�ý�þ¥ÿÃ÷¥ö¤ôk)!ùH÷¡ôXC��1FA$ 3?$ 5 �~FA$ 3?$ L�L�g � � 1.¥õÄÿ"�õ#ÿå÷&ý�W� Pù�úÔý�úNô�ÿÃö±øåø��/÷�)ãö±øåøT4��

¤ %

Page 17: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

� � î����í�ò�ë�� í��ïJò�ð�� �<ë#ï ðAëAò���î�íI í��ïJòWð�� �ý�ôH�'F���L;üPý3ö±úM^�0Z�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±øÔøåö±ô¡ô�ÿ"�ý.ö±ú(�!øåý�ô 'ZüPý3ö5�ù�ú���ý�W�üPù1�1�!ÿ¯ú= 7 4DóOô[�ö±úãüPý3÷�õÄù=.¥ú'ô�õ7ö¤ô�ÿ��I.�ý;�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþö!þ�ö±ú(�§ù�)!ø��S÷�õÄÿ��Çô�ý<�:�ù� ���ù��Dô�õÄý�üPù1�1��' 5 R Fo.¥õÄý�þvý:R«ÿÃ÷x�õÄùN÷¡ýWú+$ÄúÄÿ��Æù�þ�)'ø9�/ö±ô�þvö�ú(�§ù�)��^YLS*Äô�õÄýWú#ô�õÄý<ý�W1 7ý<)ô�ý<�ú�$-)�üPý�þ¥ù��,øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý# Pù�ÿåúNôv÷&ÿåú ' 5 R�ý�K�$Ôö�øå÷&ý�W§ö�)ôvø��

\AW1 2B �/F��XF � L'0 F!' 5 RUL�LZD?O

��ù�øTF+''L�Äý�ô=F��XF � L�L 9

ó�ú+ Ôö±þ�ô�ÿ"N$Ôøåö�þ�*9ÿ�� '6ÿÃ÷¥ö!÷� ÔõÄý�þvýxù��Dþvö��§ÿ�$7÷>D�*Äô�õÄýWú\AW1 2B �JF��'F���L 0 VF�R Z D�L�LZD'O ��ù�øTF VF�D�L�L

�§ý�ô=F��'F���L�L 9_&õÄÿÃ÷��ù�þvþvýW÷� 7ùHú(�Ä÷�ôvùÜôvõÄý#ÿ¯úNô�$Äÿ ôvÿ¯ùHúßôvõÔö¤ô!ô�õÔý!�§ý�ô�ýWþ�)!ÿåúÔö±úNôM�§ý�ô=F��'F���L�L�ÿå÷�ôvõÄý#ÿ¯ú���ýWþv÷�ý�ù���ô�õÄý:�§ýWúÔ÷�ÿ ô3�àù�� øåö±ô¡ôvÿ9�ý Pù�ÿåúHô�÷�ÿ¯ú#÷� 7ö��ý�4���ù±ôvÿ9�ý ôvõÔö¤ô&ôvõÄý�ö�)ô�$Ôö±ø�ú�$-)�ü7ýWþ�ù��køÃö¤ô¡ôvÿ9�ýV 7ùHÿ¯úNôv÷�ÿåú+ö'÷� 7ý<�ÿ�H& ' )ãö��2�§ý��9ÿåö±ô�ýxö±þvüÄÿ ôvþvö�þ�ÿåø9�Y�Æþvù�)ô�õÔý'ý�W1 7ý<)ôvö±ô�ÿåù�úI*�ý���ý�ú �Æù�þ.ô�õÔý'÷� 7ý<�ÿÃö±øA�öH÷¡ý�ù���÷� ÄõÄýWþ�ÿ"�ö�ø 'Y4 ��ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ;�ÆùHþ3ý�W§ö�)� Äø¯ý!ö/øåö±ô¡ô�ÿ"�ý'û�ýWúÄý�þ�ö¤ôvý��Aü��#ô3.�ùù�þ�ô�õÔù�û�ùHúÔö±ø1�Hý��ô�ù�þ�÷�Y � ö�ú(� Y � *�.¥õÄýWþ�ý ÿå÷�ö�øÃö±þvû�ýx�ù�úÔ÷¡ôvö�úHô<4���ù±ôvÿ9�ý¥ô�õ7ö¤ô�ôvõÄýX�Äý�ô�ýWþ�)!ÿåúÔö±úNô�ù���ô�õÄý.øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�ÿÃ÷ *÷�ù�ùHúSôvõÄý�ö���ý�þ�ö±ûHýx.�ýX.�ù�$Äø"��ý�W1 7ý<)ô¥ô�ù,HÔú(�J��ùHøTF!'XL`g øåö±ô¡ô�ÿ"�ýV Pù�ÿåúNôv÷&ÿåúÔ÷¡ÿ"�§ý$'Y4 � ù=.#*§ø¯ý�ô�'"O?VF�R Z [ L�üPýxô�õÔýù� Pý�ú+�§ÿÃ÷�.ù���þ�ö��§ÿ9$Ô÷ [ 4]_&õÄý�ö±þvýWö�ù�� '`ÿÃ÷?��ùHøTF!'XLnO� *Ä÷�ù�ùHúSôvõÄý�ö���ý�þ�ö±ûHýx.�ý'.�ù�$Ôø9�SýNW1 7ý<)ô¥ôvùYHÔú&��«øåö±ô¡ôvÿ9�ý Pù�ÿåúHô�÷�ÿåú 'Y4�� ù=.�ý���ýWþ�*Hÿ � RMO �(*�ôvõÄý ú�$-)�ü7ýWþ�ù���øåö±ô¡ô�ÿ"�ý; 7ùHÿ¯úNôv÷�ÿåú 'ZÿÃ÷?C�� [ � (¤ 4-\]��ýWú�.�ùHþv÷�ý�*Hÿ � R�O F g�C�LNY � *ô�õÔý�ú�' �§ù9ýW÷&úÔù±ôx�ùHúHô�ö±ÿåú+ö�ú���øåö±ô¡ôvÿ9�ý# 7ùHÿ¯úNô ö¤ô�ö�ø¯øT4

��ý'�§ý�HÔúÄý.ô�õÔý Ks�% @NP=�J< ���7BA�K���ù��,ö�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ö�÷�ô�õÔýx÷�)ãö±øåø¯ý�÷]ô[�¤ö±ø9$Äý D�O� -F��XF���L�L&÷�$(�õ/ô�õÔö±ô�ö±ú��ã÷� ÄõÔý�þvýVF�R Z D=L�ùHúNôvö±ÿåúÔ÷¥ö'ú�$-)�üPý�þ¥ù��,øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýV Pù�ÿåúHô�÷x�øåùH÷�ý.ô�ù'ô�õÔý�ýNW1 7ý<)ôvý��!�¤ö±ø9$Äý�4� Y�� $-)�&()�#%$ 7�.�� �UP��X���8Jk^A�zB��<M�V�(�JoP��e�A;%;9�=RTR�o��� �XF���L+�£R��(�8$ÄúÄÿ��Æù�þ�) þvö��§ÿ9$Ô÷� (F��'F���L�LH"�xR��(�k�J<M��;�;��N�SR >(P��J�R2����'�����A;D!�JK(�`�:R��(�=R

�/F��XF � L10 VF�R Z D=L�L�< �Hù�øTF VF�D�L�L�§ý�ô�F��XF � L�L

@NP=� ���+J:RqYA÷� 7ö±úIF��'F���L�L! _&õÄýJ�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû Äþvù� PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHúp÷¡õÔù=.�÷�ôvõÔö¤ô!ôvõÄý+$ÄúÄÿ��Æù�þ�) þvö��§ÿ�$7÷� (F��'F���L�L'ÿÃ÷ãö¤ô!ø¯ý�ö�÷¡ô!öH÷�øÃö±þvû�ý+ö�÷�ô�õÔý+�ù=��ýWþ�ÿåúÄûþ�ö��§ÿ9$Ô÷>��F��XF � L�LS4� �ö¤ôvý�þk.�ý'.¥ÿåøåøkö±øÃ÷¡ù!÷�õÄù=.áôvõÔö¤ô¥ôvõÄý#$ÄúÄÿ��Æù�þ�)�þ�ö��§ÿ9$Ô÷&ÿÃ÷¥úÄý��Hý�þ[)Y$&�õ+üÔÿ¯ûHû�ý�þ�ôvõÔö±ú+ô�õ7ö¤ô�4

$ �#&%/# � )�&�),#C$.7�.(� �~P=�Y���8J�;��=RTR2o���)�XF � L��0��F��XF � L�L��� -F��'F���L�L! $ �#T#� � _&õÄý' Äþ�ù9ù���ÿå÷�ÿ�)�)!ý��Äÿåö±ô�ý.ü7ý<�ö�$7÷¡ý;�Æù�þED 8 �eF��XF � L�L�ö�ú��'÷� ÄõÄýWþ�ý3ù��kþ�ö��§ÿ9$Ô÷ DY�ýWúHôvý�þvý��ãÿåú/ö,�§ý�ý� �õÄùHø¯ý�FÆÿT4 ý�4�*ö 7ùHÿ¯úNô�ÿåúA÷� Ôö��ý�ö¤ôx�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý �eF��XF � L�L?�Æþ�ù�)�ôvõÄý�øåö±ô¡ôvÿ9�ý<L[�§ù9ýW÷&úÔù±ôx�ùHúHô�ö±ÿåú+ö�ú���øåö±ô¡ôvÿ9�ý# 7ùHÿ¯úNô�4��

_&õÄý'$ÄúÄÿ��Æù�þ�)�þ�ö��§ÿ9$Ô÷[�ö�ú/üPýV$Ô÷¡ý<��ôvù�ý�÷]ôvÿ�)ãö±ô�ý.ô�õÄýxú�$-)�ü7ýWþ¥ù���øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý' 7ùHÿ¯úNô�÷k�ù�úNô�ö±ÿåúÄý��Sÿ¯ú#ö!÷� ÄõÔý�þvý�4� kö±ô�ý�þ&ÿåúô�õÔÿå÷A 7ö� Pý�þ<*�.�ý&úÄýWý���ô�ù�ý�÷]ôvÿ�)ãö±ô�ý�ô�õÄý¥ú�$-)�ü7ýWþ;ù���øåö±ô¡ôvÿ9�ýk 7ùHÿ¯úNôv÷DÿåúÔ÷�ÿ9�Äý�ö±þvüÄÿ ôvþvö�þ��#�ù�ú���ý�W�ü7ù1�§ÿåýW÷�4 8 ù(*�.�ý¥û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ9��ýô�õÔý5�§ýNHÔúÔÿ ôvÿ¯ùHú+ù���ôvõÄý#$ÄúÄÿ��Æù�þ�)�þ�ö��§ÿ9$Ô÷�ôvù!ö�þ�üÔÿ ôvþvö�þ��2�ù�ú���ý�W�ü7ù1�§ÿåýW÷�4� Y�� $-)�&()�#%$ 7�.87 �UP��V�A�+JX^A�zB��<M�V�(� oPA�e�A;?;��=RTR�o���E�'F���L+�AR��(��û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ��Wý���$ÄúÔÿ �ÆùHþ�) þvö��§ÿ9$Ô÷ @ -F��XF���L�L "�;R��(�X�J<��A;�;��S�SR>(P��J�R���=�������A;8D:�JK(� �:R��-��RT@NP=�����+J+��P��(�=�CIMI�P(B J#' ��P��(RZ����%����:�/�2> �(�N���.VF�R Z D�L�Z ' Pz@Y���7B��K��.D��[R��-� � Ks<�I��N�,Pz@;���RaR2o���S>(P���&Ro� ��-�J,B��YR��-� I�P(B J����=R2"� �?�S�

�JF��XF���L10�''LI< �Hù�øaF!'XL�§ý�ô<F��XF���L�L 9

��øåýWö±þvø9��*Pô�õÄý'û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ9��ý��`$ÄúÄÿ��Æù�þ�) þvö��§ÿ�$7÷ ÿÃ÷xö¤ôxø¯ý�ö�÷¡ôxöH÷ øÃö±þvû�ý'ö�÷ ô�õÄý�$ÄúÄÿ��Æù�þ�) þ�ö��§ÿ9$Ô÷��k�Æù�þ�ö±ú��#øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýA�'F���LS* -F��XF � L�L^8 @ -F��XF � L�LS4'ó�ú Ôö�þ¡ôvÿ9�$Äøåö�þ�* @ (F��XF � L�L.ÿå÷xö�ø�.&ö��§÷ øÃö±þvû�ýWþ�ô�õ7ö±ú«ô�õÄý��ù=�Hý�þvÿ¯úÄûSþvö��§ÿ�$7÷.��F��'F���L�LN4 ��ý'üPù�$Ôú(�ô�õÔý2FÆû�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ9��ý��&LQ$ÔúÄÿ �ÆùHþ�) þvö��§ÿ9$Ô÷8�Æþ�ù�) ö±üPù=��ý�*§ö±ú(�#÷�õÄù=.áôvõÔö¤ôk�ÆùHþ�ö±ú���øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý �XF � LN*§ô�õÄý2F:û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ��Wý��(L8$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)æ × ��l�ta��h tah pNf�g nN�N��fe��rS��giw?gihi�Sfetar7yEu<r�rSqaf��x��l<h s9rSdajkg n]m�t(dEm�l�w�rSj s9darSj����1�S���<t(tTu<hiq(hiq-l�r�t(v�rSqTqahi��gif���f3y�m��<qTf����[u=m�q(hil<�=l<h tTf�jkf�m�qT�<dTfS�|Iu�hiqUv�dTrS��gif3j hiq~f�m�qThig n;qarSg pNf�w'rS��qTf3dap�hil�z[tau=m�t~h t£hiqIf3l�rS��zSuVtarkyEu�r�rSqTf��,�<l�h s9rSdajkg nxm�t~dEm�l�w�rSj s9darSj tau�fAs9�<l�w=m�jkf3l�tTm�g1dTf3zShirSl��[ ��?¡r�s1tau�f]g�m�tatahiy3fN����f3y�m���qaf]tau�f]g�m�totThiy3fAdTf3v�f�m�tTq~hiw�f3l�tahiy�m�gig nx�~u<f�l;tTdTm�l�qTg�m�taf3wV�Nn����#s9rSd����� � �

¤ �

Page 18: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

þ�ö��§ÿ9$Ô÷�ÿå÷&úÔù±ôx)Y$&�õ/øÃö±þvû�ýWþ�ôvõÔö±ú/ô�õÄý5�ù=��ýWþ�ÿåúÄû�þ�ö��Äÿ�$Ô÷�4 8 Pý��ÿ�H&Wö±øåø���*1.�ý�÷�õÄù=.Zô�õ7ö¤ô @ -F��XF � L�L/O ��Fo^UL R ��F��'F���L�LS48>÷�ÿ�)!ÿåøåö�þ�þvýW÷�$Äø ô8.�öH÷] Äþvù=��ý<��ü����;�Hý�þ<*�0Ôþ�ÿåý��Wý ö±ú&�$,�ö±úÄú7ö±ú!ÿ¯ú B ¤ ,=DT*��ÆùHþ�ô�õÔý3÷� 7ý<�ÿÃö±ø&Wö�÷�ý�ù����'F���L�O ; 7 4-��ý ùHüÔ÷�ý�þ���ýô�õ7ö¤ô ôvõÄý Äþ�ù9ù���ù��;B ¤ ,=DDÿå÷.ö�ûHý�úÄýWþvö�øU�Hù�ø9$-)!ý�ö±þvû�$-)!ýWúHô.ö±ú(�Aÿ¯ô#�§ù9ýW÷3úÄù±ô'$Ô÷¡ý'ö±ú��#÷� Pý��ÿåö�ø~ Äþvù� Pý�þ�ô3�+ù���øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýA; 7 48 ù&*ÿ ô5�ö�úJüPý'ý�ö�÷�ÿ¯ø9�Aö��Äö� §ô�ý<�Aôvù+ö�þ�üÄÿ¯ô�þ�ö±þ��+øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�4���ýWø¯ù=. .�ý'þ�ý<�ö±øåø�ô3.�ù#÷¡ÿ9)� Äøåý�ûHý�ù�)!ý�ô�þvÿ9�ø¯ý�) )ãöH÷X Ôþ�ù=�Hý��AÿåúB ¤ ,=DE*Ôö±ú&��ôvõÄý�ú+$Ô÷�ýxô�õÄý�)�ôvùM Äþ�ù=�Hý�ôvõÄý�ü7ù�$Äú(�+ù�ú @ (F��XF � L�LS4��Y&X%X�� 7T."�����(����� $ �#&%/# � )�&�),#C$ ����� K�>�>-P=�N� ' "���:��P��&���CI�I�P�B Jd�� = 7 ��P��&RE�A�� ����:R��(�:Ks� �RHI���;�; VF ¤ L+�k���CB;���R " ! ��I�� ���8JE>-P=� �R2��=�Y�����A;� �'�-�D� �A;�;s>(P���(Ra�#O��R��s��qBA"��RZ������� "S@���PA< ' I��V;�PA���/REP/F ¤ 5 "SL '>

��Y&X%X�� 7T. �����(����� $ �#&%/# � )�&�),#C$'� ��� K�>�>-P=�N� ' "���:��P��&���CI�I�P�B Jd�� = 7 ��P��&RE�A�� ����:R��(�:Ks� �RHI���;�; VF ¤ L+�k���CB;���R2��� "�8 ¤ ��C�(�V�&�?��;�; >-PA��(Ra�#O��R��s�� BA"��RZ������� "�@���P�< F ¤G( "SL ' I��V;�PA���JRZP$'F

��ý5�ö±ú+úÄù=. Äþ�ù=�Hý ôvõÄý�üPù�$Äú(�+ùHúSôvõÄý#$ÄúÄÿ��Æù�þ�)�þ�ö��§ÿ9$Ô÷&ÿåú/ôvý�þ�)ã÷&ù��,ô�õÄý5�ù=��ý�þvÿåúÄû�þ�ö��§ÿ9$Ô÷�4'�� Y # Y&X 7�."! �UP��Y���8J#^A�zB��<M�V�(� oPA�e�A;�;���RaR2o���F�'F���L+�

@ &F��XF � L�L#8c��^���F��XF � L�L 9$ �#T#� � ký�ô�XF � L.üPý�ö!�%$Äøåø�þ�ö±ú-�JøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýãÿåú4= 7 .¥ÿ¯ô�õ��ù=�Hý�þvÿ¯úÔû/þ�ö��§ÿ9$Ô÷ ��F��'F���L�LS*Dö±ú&�«øåý�ô(' ü7ý�ö+�ùHú���ýNW«ü7ù1�1��ùHúNôvö±ÿåúÄÿåúÄûßöß÷� ÄõÄýWþ�ýJù��<þvö��§ÿ9$Ô÷ DGO ��^���F��'F���L�LN4 �«ý .�ö�úNôãô�ù Ôþ�ù=�Hý#ô�õÔö±ô��JF��XF � L�0 'XL9< � ��� � � ����� ��� �;: � � 4 �ý�ô�XF � !�LnO �XF � L`g D�ö�ú(� ' !CO '�g D<üPý<÷��ö±øåý��J��ýWþv÷�ÿåù�úÔ÷�ù��@�XF � L&ö�ú(� '5*Äö�ú(�!�ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þ&ôvõÄý<÷�ý�ô�ù��£ 7ùHÿ¯úNô�÷

�5O �XF�� ! L10�' ! O �XF � L'0 'D 9

��øåýWö±þvø9��*Q���5O3�JF��'F���!"L 0 ' !"LnO��JF��'F���L 0�''LS4���ý#.�ö�úHô�ô�ùM Ôþ�ù=�Hý ôvõÔö¤ô��� < ��ùHøaF!' !�L

�§ý�ô<F��'F�� ! L�L O��ùHøaF+''L�§ý�ô=F��'F���L�L 9

��ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þ,ôvõÄý8$ÔúÄÿ¯ùHú�ù��7ö±øåø �;ù�þvù�úÔù�ÿ��ý�øåøÃ÷ �'F�R Z �XF � ! L�L~.¥ÿ¯ô�õ��ýWúHôvý�þ�÷ R Y9�[4-��ù±ôvÿ9�ý�ô�õÔö±ô;ö�ø¯ø� Pù�ÿåúNôv÷2.5Y,�'F�R Z �XF � ! L�Lö±þvýx.¥ÿ¯ô�õÄÿåúJ�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý.�eF��XF���!"L�L�O �eF��XF � L�L�g DV�Æþvù�) RA4n�AùHþ�ýWù=��ýWþ ' !e�ùHúHô�ö±ÿåúÔ÷�ö�÷� ÔõÄý�þvý�ù���þ�ö��Äÿ�$Ô÷ ¤ 4A_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*�ü�� �ý�)�)!ö �-4 ,(*&�Æù�þ3ö�ø¯ø R Y;�%" ' !�ö�ú(� .3Y��XFCR Z �'F���!"L�LS*�.�ý<õÔö���ý . Y ' !%R�F ¤ 5 �eF��XF���L�L`g D�LS*ÿT4 ý�49*0�'F�R Z �XF � !�L�L�ZF ¤ 5 ��F��'F���L�L`g D�LnR ' !o4#F 8 �ö±øåÿåúÄû(*Ôô�õÄÿÃ÷¥ôvÿ�)!ý�*e Pý�þ��Æù�þ�)'ý<�!$Ô÷¡ÿåúÄûSöH÷¥ù�þvÿåû�ÿåú/ôvõÄýY�ý�úNô�ýWþ ù��,ô�õÔýY$ÄúÄÿ¯ô3÷� ÄõÄýWþ�ýY�ù�úNôvö�ÿ¯úÔý��ÿåú ' !a4 L 8 ÿåú(�ý �;ùHþ�ùHúÄù�ÿ��ý�øåøå÷�ö�þ�ýV�§ÿÃ÷%@]ùHÿ¯úNô ö�ú(�Sõ7ö���ý.ô�õÄý<÷vö�)!ýV��ùHø�$()'ý�*1.�ýxõÔö��Hý

��� O d 2 ��� ��ù�ø�F��'F�R Z �XF���!�L�L�L�Hù�øTF��'F��XF � ! L�L�L

O ��ùHø��� 2 ��� �XFCR Z �XF � !�L�L����ùHøaF��'F��'F�� ! L�L�L

8 ��ùHøTF!' !sR�F ¤ 5 �eF��XF � L�L�g D�L�L�Äý�ô<F��XF � ! L�L

O � ¤ 5 �eF��XF � L�LD � 7 �Hù�øaF!' !�L

�§ý�ô+�XF � ! L 9

0,ÿ¯ú7ö±øåø���*-$Ô÷�ÿ¯úÄû'ôvõÄý<ö�÷v÷�$() Äô�ÿåù�ú�D . ��^���F��XF � L�LS*&.�ýxû�ý�ô� ¤ 5 ��F��'F���L�L

D � 7 � � ¤ 5 ¤��^ ( ¤ � 7

O ¤� ¤G( �� 7 � 78 ¤

¤G( ��O �C 9

_&õÄÿÃ÷k Äþvù=��ý�÷�ôvõÄý#$- - Pý�þ�üPù�$Ôú(�9� � 5 ��ùHøaF+' !"L�g7�§ý�ô+�XF � !�LN4

¤ �

Page 19: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��ý.úÔù=.Zô�$Äþvú/ô�ù'ô�õÄýxøåù=.�ýWþ&ü7ù�$Äú(��4n ký�ô�� !�üPý3ôvõÄý�÷¡ý�ô¥ù��,ö�ø¯øøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýV Pù�ÿåúHô�÷�RqY��XF � !�L�÷�$(�õSôvõÔö¤ô&ôvõÄý �;ù�þvù�úÄùHÿ�ýWø¯ø �'F�R Z �XF���!�L�L�ÿåúHôvý�þ�÷¡ý<)ô�÷XF ¤�( ��F��XF � L�L�g D=L ' !E4�� ù±ô�ÿ"�ý3ô�õ7ö¤ô¥ÿ � �XFCR Z �XF � !�L�L�ÿåúNô�ýWþv÷�ý��ôv÷'F ¤�( ��F��'F���L�L`g D�L ' !E*9ô�õÄýWúR )Y$Ô÷¡ô<ü7ýM.¥ÿ¯ô�õÔÿ¯ú��§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý �eF��XF���!�L�L O ��F��'F���L�L�g D/�Æþvù�)GF ¤0( ��F��XF � L�L�g D=L R ' !T4 8 ù(*�ü�� �ý�)�)ãö �-4 �1* R Y ' !o4_&õÄÿÃ÷? Äþ�ù=�HýW÷�ô�õÔö±ôG� ! Z �[*Äö�ú(�6��� . ��� !a4 8 ÿ¯ú&�ý/�;ù�þvù�úÄùHÿe�ý�øåøå÷?�ù=�Hý�þH= 7 *IF ¤I( ��F��XF � L�L�g D=L ' !�ÿå÷Q�%$Äøåø��/�ù�úNôvö�ÿ¯úÔý��ÿåú/ôvõÄý#$ÄúÄÿåù�ú � 2 ����� �XFCR Z �XF � ! L�LS*7ö�ú(�

��� ! O d 2 ����� �Hù�øTF��'F�R Z �'F�� ! L�L�L��ù�øTF��'F��'F�� ! L�L�L

O �Hù�øaF � 2 ����� �'F�R Z �XF � ! L�L�L��ù�øTF��'F��'F�� ! L�L�L

. �Hù�øaF�F ¤G( �eF��XF � L�L�g D�L ' ! L�§ý�ô�F��XF � ! L�L

O � ¤G( ��F��XF � L�LD � 7 ��ù�øTF+' !9L

�Äý�ô<F��XF � ! L�L 9

L ÷�ÿåúÄû'ô�õÄý<öH÷�÷�$-)� §ô�ÿåù�ú�D�. ��^��eF��XF���L�LN*-.�ý.ÿ9)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�Sû�ý�ô� ¤G( ��F��XF � L�L

D � 7 ! � ¤G( ¤C=^ � 7 . ¤G( ¤C 9

_&õÄÿÃ÷k Äþvù=��ý�÷�ôvõÄý�ø¯ù=.�ý�þ&üPù�$Äú&�+��� 1 ��ù�øTF+' ! L`g7�§ý�ô<F��'F�� ! L�LS*Pö±ú(�!�ù�)� Äø¯ý�ô�ý�÷�ô�õÄý# Äþvù9ù��,ù��,ô�õÄýxôvõÄý�ùHþ�ý�)!4#�

L ÷�ÿåúÄû!ÿ¯úÄý<K�$Ôö±øåÿ ô3��eF��XF���L�LG8 [ ^dR�*87IF��'F���L�L�g�C,�Æþ�ù�) FaC-4 ��L8.�ý#�ö�ú#ü7ù�$Äú(� @ -F��XF���L�L¥ÿ¯ú+ô�ýWþ�)ã÷&ù�� *87�F��'F���L�LS�@ &F��XF � L�L#8 �

C ^ � U W * 7 F��XF � L�L 9 F,�(4 ¤ L

8 ÿ9)!ÿ¯øÃö±þvø���*~$7÷¡ÿåúÄûAôvþvö�úÔ÷3�ÆýWþ�ýWú(�ý!ôvõÄý�ùHþ�ý�)GFTC14 ,�LS*7.�ý2�ö�úàü7ù�$Äú(� @ &F��XF � L�L�ÿåúÒô�ýWþ�)ã÷<ù��&ô�õÄý�øåý�úÔû±ô�õpù���ô�õÄý+÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ôúÄùHú-��ýWþ�ù ��ý<)ô�ùHþ¥ÿ¯ú/ô�õÔý5�1$Ôö±økøåö±ô¡ô�ÿ"�ý��@ &F��'F���L�L#8 �

C ^ �¤

* � F��XF � L � L9 F,�(4 C�L

_&õÄý�÷¡ý�üPù�$Ôú(�Ä÷UWö±úxüPý]$Ô÷�ý��.ô�ù þ�ýWøåö±ô�ýDô�õÔý�ö���ýWþvö�û�ýN0Z�öH÷¡ý£�ù�) Ôø¯ý�W9ÿ¯ô3� ù���HÔú(�§ÿåúÄû ÷�)ãö±øåø�÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úÔ÷�ôvù�þ�ö±ú(�§ù�)Êý<K�$7ö¤ô�ÿåù�ú7÷ô�ù'ôvõÄý#.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ýV�ù�)� Äø¯ý�W§ÿ ô3��ù��,ö� - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvÿ¯úÄû 9�� ;>=ÊùHþ DFEHGI9<;>=#4óOô2.�ù�$Äø"�hü7ýAÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû�ô�ùàÿ9)� Äþvù=��ý#ü7ù�$Äú(�Ä÷ F,�-4 ¤ L!ö�ú(� F,�(4 C�LS4áó�ú Ôö�þ¡ôvÿ9�$Äøåö�þ�*�ÿå÷�ÿ ô�ôvþ�$Ôý#ô�õÔö±ô @ (F��XF���L�L O��F%^UL�R *+7IF��XF � L�Lx�ÆùHþ3ö�ú��+^�0Z�§ÿ9)'ýWúÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±ø�øåö±ô¡ô�ÿ"�ýA�XF � L��hó]÷ ÿ¯ô3ôvþ�$Ôý<ô�õ7ö¤ô @ &F��'F���L�LHO ��F%^UL`g�* � F��XF���L��<L��34�þ�ù=�9ÿåúÄûô�õÔýW÷�ý�ÿ9)� Äþvù=��ý��<ü7ù�$Äú(�Ä÷7.�ù�$Äø"��ÿ�)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�<þvýW÷�$Äø ôDÿåú'ö.þvý��1$(�ô�ÿåù�ú�ù��ÔôvõÄýk�ùHúÄúÄý��ô�ÿåù�úY�:ö�)ôvù�þ£�Æù�þ9��L;>=ßü���ö;�:ö��ô�ùHþ��F [ ^ULN*Ôö±ú&�2�ÆùHþ DFEHGI9<;>=`ü��Sö,�:ö�)ôvù�þ���Fo^ULS4� � �:�Dò���� ï+�ñ¥î�ï+�+�� �^�� î �kì�� �í �- ñ�ì ���.ìkìDò�ñG����ý/ö±þvýãÿåúHôvý�þvýW÷¡ô�ý<�Òÿ¯úßøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷<ôvõÔö¤ô�õ7ö���ý�üPù±ôvõßû�ù9ù1�Òö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)!ÿ"�ö±ú(�ÒûHý�ù�)'ý�ô�þvÿ9� Ôþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷�4`> ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)!ÿ9Wö±øåø���*.�ýM.�ù�$Äø9�«øåÿ��Hý'øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷#.¥õÄý�þvý!ô�õÔý2�øåùH÷�ýW÷¡ôV�Hý��ô�ù�þV Äþvù�üÔø¯ý�) �ö�ú«üPý�ý+)M�ÿ¯ýWúNô�ø9�Ü÷¡ùHø��Hý���4� ù±ôvÿ9�ý!ô�õÔö±ô�*7�§ýW÷� Äÿ¯ô�ý!ô�õÔý�H4]0Fõ7ö±þ��§úÄýW÷v÷�ù�� �#;>=#*¤ôvõÄýk�øåùH÷�ýW÷¡ô£�Hý��ô�ù�þ£ Äþvù�üÄøåý�) )!ö���üPý&ý*)2�ÿåý�úNôvø��<÷�ù�ø9�¤ö±üÄøåýQ�ÆùHþ?��>(���V �?�DøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�4�0Ôù�þDýNWÄö�)� Äøåý�*ÿåú�ôvõÄý¥ÿåúHôvý�ûHý�þ;øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý6; 7 *Hö.øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý[��ý��ô�ùHþR Y ; 7 �øåùH÷�ýW÷¡ô,ôvù�ö3ûHÿ��Hý�ú�ôvö�þ�ûHý�ô & Y�0 7 �ö�ú�üPý¥ýWöH÷¡ÿåø9�#�Æù�$Äú&��þvù�$Ôú(�§ÿåúÄûýWö��õM�ù9ù�þ��§ÿåúÔö¤ôvý¥ù�� & ô�ù<ô�õÄý;�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô�ÿåúNô�ýWû�ý�þ 3 e O � � e ��4 8 ÿåú(�ýk�ÆùHþ�ö�ú��YH-W§ý��M�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�ú'ô�õÄý'�øåùH÷�ýW÷¡ô]��ý<)ô�ùHþ] Äþvù�üÄøåý�)�ö�úJüPý�÷�ù�ø9��ý��Jÿ¯ú` Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ô�ÿ9)!ý�*�ÿ¯úÜù�þ��§ý�þ ô�ù/ Ôþ�ù� 7ýWþ�ø9�!�Æù�þ�)Y$ÄøÃö¤ôvý�ô�õÄÿÃ÷X Äþ�ùHüÄøåý�)�ù�úÄý�úÄý�ý<�Ä÷ ô�ùJ�ù�úÔ÷�ÿ"�§ý�þ3úÄù±ôxö÷�ÿ¯úÄûHø¯ý!øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�*�ü-$§ô�ö�ú«ÿåú1HÔúÄÿ¯ô�ý�÷�ý�K�$ÄýWú(�ý!ù���øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷xÿåúÒÿ¯ú(�þ�ý�ö�÷�ÿ¯úÔû!�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úI4�0ÄùHþ<÷¡ÿ9)� Äøåÿ9�ÿ ô3��*�ÿ¯ú�ôvõÄý2�§ýNH7úÄÿ ôvÿ¯ùHúüPý�øåù=. .�ýX�Æù1�$Ô÷¥ù�úJ�%$Äøåøkþ�ö±ú-�ãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�*Ôö�ø ôvõÄù�$Ôû�õ/ô�õÄÿÃ÷¥þvýW÷¡ô�þvÿ9�ô�ÿåù�úSÿÃ÷¥úÄù�ô¥úÄý��ýW÷v÷�ö�þ���4� Y�� $-)�&()�#%$ ��.���� ��R:\ � 7 ] 7� � I��`� ��� �VK(�D�e���`Pz@E@ Ks;�;[���A��Bq;9�=RTR�o���N� �'F�� 7&L Z = 7 ��+�:��� JR��(�=R5R��-�!��� �DK(�V�����\ �H7 ] 7� � "�¥ýWöH÷¡ÿåø��J�§ý��ù��Ôö±üÄøåý @VR��-�����,�CI�"�SRo�5�E>(P�; J���P�< o��;£R��<M�Y�A; ��P=�J�R�� < �#;F=�� �JK(� �+R��-��RC@NP��Y���+J#^ . ¤ ���CB& Y-0 7 � �#;F=��£F & L,P�K1R=>CK1Ra�#�;��=RTR�o���Y������REP��F�� �'F�� 7eLY�D;�P����N�SR8RZP &

¤

Page 20: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

_&õÄý<÷�ÿ�)� ÄøåýW÷¡ô ý�W§ö�)� Äø¯ý�ù��;ýWö�÷�ÿåø��!�§ý��ù��Ôö±üÄøåý<÷¡ý<K�$Äý�ú(�ý�ù��Døåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷�ÿÃ÷¥ûHÿ��Hý�ú#ü���ô�õÔý<ÿ¯úNôvý�û�ýWþ�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷F; 7 �ÄýNHÔúÄý<�ü�� )ãö¤ôvþ�ÿ"�ý�÷ � 7 OgW 7�4�9 ô�õÄýWþ<ýWöH÷¡ÿåø9� �§ý<�ù1�Äö±üÔø¯ýãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷,�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ý<�Üÿåú B ¤ C<D�ö�þ�ý!ôvõÄý`��P<P=RE;���RaR2o���S� �)7 Z� 7�*,ö�ú(�ô�õÔý�ÿåþ;�1$Ôö�øå÷ �7 ö�ú(� � �7 4���W0Äþvù�) ö3û�ýWù�)!ý�ôvþ�ÿ"] Pù�ÿåúNô,ù��(�9ÿ¯ý�.#*=.�ý?.�ù�$Äø"�<øåÿ��Hý�ô�õÔý �;ùHþ�ùHúÄù�ÿ��ýWø¯øÃ÷�ù��ÄôvõÄý&øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�ô�ù.üPý�öH÷,÷� ÄõÄýWþ�ÿ"�ö�øNöH÷U PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý�4

¥ý�)'ý�)�üPý�þ�ô�õ7ö¤ô&ô�õÄý/�;ù�þvù�úÔù�ÿ��ý�øåø �XF��XF��8L�L[�ù�úNôvö�ÿ¯ú7÷�ö�÷� ÔõÄý�þvýVF/* � F��XF��8L�L`g�C�L?.¥ÿ ôvõSþ�ö��§ÿ9$Ô÷�ý�K�$Ôö�øÔôvù�ôvõÄý' Ôö���9ÿåúÄûþ�ö��§ÿ9$Ô÷�*Nö�ú(�ãÿÃ÷8�ù�)� Äøåý�ô�ýWø��2�ù�úNôvö�ÿ¯úÔý��!ÿåú/ö�÷� ÄõÄýWþ�ý �XF��eF��XF��?L�L�LQ.¥ÿ¯ô�õ/þvö��§ÿ9$Ô÷�ý<K�$Ôö±ø7ô�ù�ô�õÄýV�ù=�Hý�þvÿ¯úÄû�þ�ö��Äÿ�$Ô÷�4 8 ù(*Nô�õÔý�øåùH÷�ý�þ�ÿå÷�ô�õÔýX�ù=�Hý�þvÿ¯úÔû�þvö��§ÿ�$7÷;ô�ù�ô�õÄýX Ôö���9ÿåúÄû<þ�ö��§ÿ9$Ô÷�*±ôvõÄý3üPý�ô�ô�ýWþ�ö�þ�ý¥ôvõÄý��;ùHþ�ùHúÄù�ÿe�ýWø¯øÃ÷�ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvý��'ü��ã÷� ÄõÔý�þvýW÷�4_&õÄÿÃ÷k)!ù±ôvÿ��¤ö¤ôvýW÷�ôvõÄýV�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû��§ýNH7úÄÿ ôvÿ¯ùHúI4� Y�� $-)�&()�#%$ ��.(� �UP��Y���8J P . ¤ �8�;��=RTR2o���)�XF��8L "� P���>-����@N���NR� @

�eF��XF��8L�L�83P:R � * � F��'F��8L�LC � 9

�~P=�/���8JF@ Ks�e��R�oPA��PIFo^UL+�V�:�����DK(�D�e���/Pz@-� @ Ks;�;]����� B���;���RaR2o���S�2\ � 7 ] 7� � �EO��-�����,^�"�MR��(��BA�<��D�-�JoP�� P�@�XF��H7(L ��"�PIF%^ULN��>-����@N���NR @ �XF�� 7(L "�FPIF%^ULN��>-����@N���NRn@NP��J���8J2^ . ¤ - ��� �VK(�D�e���+P�@�� @ Ks;�;8����� B��M;9�=RTR�o���N�_\ � 7 ] 7� � "�J��;�<MP��SR>(�N��@N����R/ @ �R�"� PIF%^ULN��>-����@N���NR?@NP=�V��PA<��]PIF%^UL/O &1F [ ^UL!

��ýSö±þvý�ÿåúHôvý�þvýW÷¡ô�ý<�«ÿåúp÷�ý�K�$ÄýWú(�ý�÷<ù��¥øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷�÷�$&�õÒô�õÔö±ô PIF%^UL<ÿå÷�ö�÷�÷�)ãö±øåø�öH÷5 PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý�4��AùHþ�ýWù=��ý�þ<*U.�ý2.�ù�$Äø"�øåÿ��Hý ôvõÄý3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷�ôvù�üPýxýWö�÷�ÿåø��M�§ý<�ù1�Äö±üÔø¯ý�47_&õÔý ÿåúHôvý�ûHý�þ�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý ; 7 *§ö�÷?.�ý�øåøPöH÷�ö�ø¯ø�ù�ô�õÄýWþ�÷�ý�K�$ÄýWú(�ý�÷ �.7 Z � �7 Z� 7 Z� �7ù��&ýWöH÷¡ÿåø9� �§ý<�ù1�Äö±üÔø¯ý!øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷5�ù�úÔ÷�ÿ"�§ý�þvý���ÿåú B ¤ C�DT*Dö±þvý:PIF%^ULE0E Pý�þ��Æý�)ô,�Æù�þFPIFo^ULFO � F [ ^ULN*,÷�ù#ô�õÔý��«ö�þ�ý!úÄù�ô�ö±ø9)!ùH÷¡ô Pý�þ��Æý�)ô<4 óOô.ÿå÷ úÔö¤ô�$Äþvö�ø�ôvù/ö�÷��+ÿ ��úÄùHú10Fô�þvÿ��9ÿÃö±øký�ö�÷�ÿ¯ø9�+�§ý��ù��Ôö±üÄøåý�ö±ø9)!ùH÷¡ô; Pý�þ��Æý�)ô.øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷ FÆÿT4 ý�4�*CPIF%^ULZ0T Pý�þ��Æý��ô.øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷.¥ÿ¯ô�õ PIF%^UL�O'&1F [ ^IL�L&ýNW§ÿÃ÷]ô<*§ù�þ&ô�õÔý<ö±ø9)'ùN÷]ôk Pý�þ��Æý��ô�úÄý�÷�÷¥ö�ú(�+ýWö�÷��2�§ý<�ù1�Äö±üÔÿ¯øåÿ ô3�/þ�ý<K�$Äÿ¯þvý�)!ýWúHô�÷&ö±þvý.ÿåú(�ù�)� Ôö¤ôvÿ¯üÔø¯ý�4ó�úJôvõÄÿÃ÷�÷¡ý<)ô�ÿåù�ú.�ý'÷¡ôvö�þ¡ô.ô�õÄýãö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)!ÿ9'÷]ô�$(�1�Jù���ö±ø9)!ùH÷¡ô' Pý�þ��Æý��ô<øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷xö±ú(�«û�ÿ9��ý�ô�õÄý HÔþ�÷¡ôxý+)2�ÿåý�úNô5�ù�ú-0÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúßù�� úÔù�ú10Fô�þvÿ��9ÿÃö±ø�ýWö�÷�ÿåø����§ý<�ù1�Äö±üÔø¯ý+ö±ø9)'ùN÷]ô 7ýWþ��Æý<)ô!øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷�459X$Äþ'øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷!ö±þvýPIFo^ULE0E 7ýWþ��Æý<)ô��Æù�þ PIF%^UL�Oe ^.øåù�û�ø¯ùHû]^�g,øåù�ûA^"O &1F [ ^ULS4`> ø ôvõÄù�$ÄûHõÒô�õÄÿÃ÷<ÿÃ÷<úÔù±ô�öJ÷�$ÄüÔ÷¡ôvö�úNô�ÿÃö±ø�ÿ9)� Äþvù=��ý�)!ýWúHô<ù=�Hý�þ PIFo^UL O � F [ ^ULV�Æþvù�) öK�$Ôö±úNôvÿ ô�ö¤ô�ÿ9��ý, 7ùHÿ¯úNô�ù��8�Nÿåý�.#*ÿ¯ôxÿå÷VK�$Ôö±øåÿ¯ôvö¤ôvÿ��Hý�ø9�#ÿ¯úNô�ýWþ�ý�÷]ôvÿ¯úÔû/üPý�Wö�$Ô÷�ý�ÿ¯ô<÷¡õÄù=.�÷ ô�õ7ö¤ôxúÄù�ú10Fô�þvÿ9�NÿÃö±ø,ýWöH÷¡ÿåø9�`�§ý��ù��Ôö±üÄøåýö±ø9)!ùH÷¡ôk 7ýWþ��Æý<)ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷&ý�W9ÿÃ÷¡ô�4

��ý�HÔþv÷¡ô5 ÄþvýW÷�ý�úNô�ö:�ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHú�ù��S��0T Pý�þ��Æý��ô<øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷<÷�$(�õ�ô�õÔö±ô<ô�õÔý2�ù�ú7÷]ôvþ�$(�ô�ÿåù�úàö±ú&�ÜôvõÄý/�§ý<�ù1�§ÿåúÄûJö±øåû�ù�0þvÿ ôvõ-) þ�$ÄúÜÿåú«ý�W1 7ùHúÄý�úNô�ÿÃö±ø,ôvÿ�)!ý�^�� � 7 �S4,_&õÄýWú .�ýã÷¡õÄù=. õÔù=. ô�ù+$Ô÷�ý'÷�)ãö±øåø]�§ÿ9)'ýWúÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±øDøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷.ù�üÄôvö±ÿåúÄý<�`$Ô÷�ÿ¯úÔûô�õÔÿå÷#�ù�úÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúAô�ù+ý*)2�ÿ¯ýWúHôvø��`�ù�úÔ÷¡ô�þ�$(�ô ��F e ^xøåù�û�øåù�ûQ^�g,ø¯ùHûA^ULE0E 7ýWþ��Æý<)ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷x÷�$(�õJôvõÔö¤ô.ô�õÄýM�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô'��ý��ô�ùHþ Äþvù�üÄøåý�) �ö±ú+üPý<÷¡ùHø��Hý��/ÿ¯ú+ Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø�ô�ÿ9)!ý�4]_&õÄý5�ù�úÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúSÿÃ÷¥üÔöH÷¡ý<�SùHúSôvõÄýV�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄûã÷�ÿ�)� Äøåý�ø¯ý�)�)!ö(4��Y&X%X�� ��.(7 �~P=� �A�+Jc;��=RTR2o��� �XF � L��!R��-����� �$I�"�SR!�c;9�=RTR�o�����=���NRZP=� � Y �'F���L �JK(�`� R��(�=R,�Äÿå÷¡ô<F � g�� Z �XF � L�LJ.FaC�g���L ��F��XF � L�L3 � ��>-���SR�o�DKs;��=�+�� @>�eF��XF � L�LG.3��R-* � F��'F���L�L�g�C:R��-�D�J�§ÿÃ÷¡ô<F � g�� Z �XF � L�L#.?* � F��XF � L�L3 $ �#T#� � �ý�ô �Kü7ý+ö`�§ýWý� ßõÄùHø¯ý�*;ÿa4 ý�49*;ö` Pù�ÿåúNô�ÿåúp÷� 7ö±úIF��'F���L�L'ö¤ô �§ÿå÷¡ôvö�ú(�ý �eF��XF � L�L#�Æþvù�) �XF � LN45��ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ<ô�õÔý Pù�ÿåúHô � �8*�ö±ú&�Òø¯ý�ô � Y �'F���LxüPýSö#øåö±ô¡ôvÿ9�ý2 7ùHÿ¯úNôY�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô�ôvù�� �84 �?� �ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�úàù��[�ù=��ýWþ�ÿåúÄû#þvö��§ÿ9$Ô÷�*�ÿ ô,)Y$Ô÷¡ô�üPýb � ( � �#b/8 ��F��'F���L�LS4?_&õÄý�þvýN�ÆùHþ�ý�*1�§ÿ��9ÿ"�§ÿåúÄûãü�� � .�ýxû�ý�ô b � gA� ( �#b,8 ��F��'F���L�L`g��-*7ö±ú(�/ü��ãô�þvÿåö�úÄû�øåýxÿ¯úÔý�K�$Ôö±øåÿ¯ô3�

�§ÿå÷¡ô<F � g�� Z �'F���L�L#. �§ÿå÷¡ô=F � Z �XF � L�L ( �§ÿå÷¡ô=F � gA� Z �7L�. �eF��XF���L�L ( ¤� �eF��XF���L�L/OC� R ��F��'F���L�L 9

��ýM$Ô÷¡ý'ôvõÄýãø¯ý�)�)!ö+ôvùAû�ÿ9��ýãö±úÒö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ()'ÿ"��ùHúÔ÷]ôvþ�$&)ô�ÿåù�ú�ù���P�0T Pý�þ��Æý��ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷V.¥ÿ¯ô�õ5P � �-42_&õÄý��ÆùHø¯øåù=.¥ÿåúÄûô�õÔý�ù�þvý�)�ÿÃ÷�ý�÷�÷�ý�úNô�ÿÃö±øåø9�#ö�úJö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)!ÿ"#�¤ö±þvÿåö�úNô ù��;ôvõÄý, Ôþ�ù9ù��;ù���ýNW§ÿå÷¡ô�ýWú(�ý�û�ÿ9��ýWúAÿ¯ú B ,��=DT4���ù±ô�õJô�õÄý, Äþ�ù1�ý��1$Äþvý�ôvùü-$Äÿåø"�+ô�õÄý�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý<ö±ú&�SôvõÄý<ùHúÄý.ô�ù2�§ý<�ù1�§ý�ÿ¯ô þ�$Ôú+ÿåú+ô�ÿ9)!ý#^�� � 7 �N4�óOô ÷¡õÔù�$Äø"�+ü7ý<úÔù±ô�ý<�/ô�õÔö±ôk�Æù�þ ö�ú��/^�0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�øøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�*�ÿåú5 Äþvÿ¯ú(�ÿ� Ôø¯ý�ô�õÄý?�øåùH÷�ýW÷¡ôI��ý��ô�ùHþU Äþvù�üÄøåý�) �ö�ú<ö±ø9.�ö��§÷�üPý�÷�ù�ø9��ý<�xÿ¯ú�ôvÿ�)!ý8^�� � 7 �AB CA�=DT42��ù=.�ý���ýWþ�*�ô�õÄý�ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)ù��5B CA��DQ�Æù�þ<ûHý�úÄýWþvö�ø�øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷�ÿÃ÷<þ�ö¤ôvõÄý�þ5�ù�)� ÄøåýNW�4/ó�ú�ôvõÄýãô�õÔý�ù�þvý�) üPý�øåù=. .�ý�÷¡õÔù=. õÄù=. ô�ùAü($Äÿ¯ø"�àöAøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý �XF � Lô�ùHû�ý�ô�õÄýWþ].¥ÿ ôvõ�÷¡ù�)!ýYF% Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øÔ÷�ÿ��Wý<L;ö�$1W§ÿ¯øåÿÃö±þ��<ÿ¯ú-�Æù�þ�)!ö±ô�ÿåù�ú�� ô�õÔö±ô�ö±øåø¯ù=.�÷,ôvù�÷�ù�ø9��ý&ô�õÔý;�øåùH÷�ýW÷¡ô]��ý<)ô�ùHþ] Äþvù�üÄøåý�)ÿåú+øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý �'F���LS*Ô÷¡ô�ÿåø¯økÿ¯ú+ô�ÿ9)!ý#^�� � 7 ��öH÷&ÿ¯ú�B CA��DE*§ü-$§ô;.¥ÿ¯ô�õAö )Y$&�õ+÷�ÿ�)� Äøåý�þ3ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)+4æMè ��rSlN�Im3n5m�l�w,{�girNm�l�fX� �����em�giqarxw�f3qTy3dThi��f?r�tau�f3dAfjiky3hif3l�tAw<f�y3r�w�hil�z'm�gizSrSdTh tau�jkq~s�rSd£qav�f3y3h �=y[g�m�totahiy�f3q�������t ����� � ���Ab� ��� � ���xb� m�dTftau�f?rSl�g n'hil<�=l�h tafQqTf����<f�l<y�f3qAr�seg�m�tatahiy3f�q£y�rSl<qThiw�f3dTf3w#s�rSd~�Uu�hiyEuVtau�fQv�dTrS��gif3j r�s&fjiky3hif�lNtAw�f3y3r�w�hil�zXm�w�jkh tTq£m�l#hil�taf3dTf3qatahil�z;m�qan�jkv<tar�tThiys�rSdTj?�<g�m�tThirSl��

C �

Page 21: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

'�� Y # Y&X ��.�� �'�-�����"�/�A� ��; ��P��J�R��s< �JKs�%� ���� �� R2�<��5^�� � 7 ��R��(�=R'PA� ��A>CK1RQ^ PAK1R�>'K1Ro�2���`^A�zBA�<��D�-�JoPA�e��;-�-�>(�N��@N����RH;���RaR2o��� �H7� P=����P������+�;R��-����� �DK(�V�����JP�@:;���RaR2o���S��\ �H7 ] 7� � "�B�����P(B��7ID;����� R��<M�#^����

7 � �H� ��� ��XR��-�����"�M�A���; ��P��J�R��s< �#;F= � �JKs� �%������� R��<M�'^�� � 7 �5R��-�=R;PA� ��A>CK1R;�J�=����RZP=� & Y 0 7 P�K1R=>CK1Ra�,��;��=RTR�o��� �=���NRZP=� �#;F= � F & LEY�XF�� 7 L,�V;9P����S�SR?REP & $ �#T#� � _&õÔý�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ÷]ô�ö±þ�ôv÷U�Æþ�ù�) ö±ú�ö�þ�üÄÿ¯ô�þ�ö±þ��'^�0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�øHý�ö�÷�ÿ¯ø9�5�§ý��ù1�Äö±üÄøåý�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýE�XF �

�LS*±ý�4 û&4�*�ôvõÄý�ÿ¯úNô�ýWû�ýWþøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýF�XF �

�LnO'; 7 û�ý�úÔý�þ�ö¤ô�ý<�'ü���ô�õÔý ÿ"�§ý�úNô�ÿ¯ô3� )!ö±ô�þvÿ W �

�O W=4�� ù±ô�ÿ"�ý�ô�õÔö±ô�ô�õÄý'�øåùH÷�ýW÷¡ôQ��ý<)ôvù�þ�ÿåú ; 7 ô�ù�ö�ôvö±þvû�ý�ô

& �ö�úSüPý�ýWö�÷�ÿåø����Æù�$Äú(�/ü��ãþvù�$Ôú(�§ÿåúÄû�ý�ö��õ!�ù9ù�þ��§ÿåúÔö¤ôvý3ù�� & ô�ù'ô�õÔýV�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô&ÿåúHôvý�ûHý�þ<4���ý�øåù=. .�ý�ö�÷v÷�$-)!ý3ô�õÔö±ôF��O3Wö±ú&��*Äÿåú! 7ö±þ�ô�ÿ"N$ÄøÃö±þ<*-�§ý�ô�F��'F��

�L�L�O ¤ ö�ú(� * � F��'F�� � L�L�O ¤ *Äü-$Äô¥ô�õÄý5�ù�úÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHú+.�ùHþ��§÷8�Æù�þ�ö�ú��SýWö�÷�ÿåø��!�§ý��ù��Ôö±üÄøåýøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�4

8 ô�ö±þ�ô�ÿåúÄû:�Æþvù�) ��*£.�ý�ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý�ø9��ü-$Äÿåø9�ßöÜ÷¡ý<K�$Ôý�ú(�ý�ù��¥øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýSüÔöH÷¡ý�÷� e ö±ú&�ßö�$1W§ÿåø¯ÿÃö±þ�� �Hý��ô�ù�þ�÷ � e �Æù�þ � O

¤7Z�9:9�9VZ � �Æù�þ ÷�ù�)!ý � O ��F%^xøåù�ûQ^UL&ô�ù�üPýY�§ý�ô�ý�þ�)!ÿ¯úÔý���4x_&õÄý5HÔúÔö±ø�ù�$§ô� -$§ô3ö�þ�ý�ü7ö�÷�ÿå÷F�bO � ? ö�ú(�A÷¡ý�ô ù��A�Hý�)ôvù�þ�÷� O B � � Z:9�9:9VZ � ? DT4n0Ôù�þ¥ýWö��õ �O ¤7Z:9�9:9VZ � *(��ý��ô�ùHþ � ! ö�ú(�Sü7ö�÷�ÿå÷6� ! ö±þvý'�ù�)� -$§ôvý��#ö�÷?�ÆùHø¯øåù=.�÷��¤ 4 0Äù�þ�ö�ú��:�Hý��ô�ù�þ ��YJ\ (#¤7Z � Z 5 ¤ ] 7 *�øåý�ô & O F ¤ g���L � ! O?� �ãö±ú(� �ù�)� -$Äô�ý'ô�õÄýM�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý!ù�� & �Æþvù�) ôvõÄý!øåö±ô¡ôvÿ9�ý

�XF�� ! OT� LN4xF���ý#.¥ÿ¯øåøk÷�õÄù=.ÊüPý�øåù=.ÊõÄù=.Êô�õÄÿÃ÷xWö±ú+ü7ý5�§ùHúÄý�ÿåúSôvÿ�)!ý#^�� �����-R(� ! 4 LC-4¥óE�;�Æù�þãö�ø¯ø �5Y \ (#¤7Z � Z 5 ¤ ] 7 *?�§ÿÃ÷]ô�F & Z �XF � ! OT� L�L � ¤ *�ô�õÄýWú ÷�ý�ô � O ( ¤ *�ö±ú(�ßô�ýWþ�)!ÿåúÔö¤ôvý!.¥ÿ¯ô�õ ù�$§ô� -$Äô

� O � ! O?� ö±ú(� � O B � � Z:9�9:9DZ � ! O?� DE4�(4]9 ô�õÄýWþ�.¥ÿÃ÷¡ý#F:ÿ �U�§ÿÃ÷¡ô<F & Z �'F�� ! O?� L�L�. ¤ �Æù�þ�÷¡ù�)!ý �<L7 Ôþ�ù1�ýWý��!ö�÷A�Æù�øåø¯ù=.�÷�4-� ù±ôvÿ9�ý&ô�õÔö±ô�÷¡ÿåú(�ý;�§ÿÃ÷]ô�F & Z �XF � ! OT� L�L !�-*§ÿ¯ôx)Y$Ô÷¡ô�ü7ý#�)+O U4,&4 �ý�ô � Y>\ ¤7Z:9�9:9VZ ^?]<÷�$(�õ/ô�õ7ö¤ô/" e +O �(4�-4 8 ý�ô � ! O & 4%(4 8 ý�ô)� ! ôvù'ô�õÄý#)ãö¤ôvþ�ÿ�WSùHü§ôvö�ÿ¯úÄý<�+ü��Sþ�ý� Äøåö��ÿåúÄû�ô�õÄý � ô�õ+�Hý�)ôvù�þ&ÿåú<� ! OT� .¥ÿ ôvõ � ! 4_&õÄý ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) $Ô÷¡ý�÷�ö# Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvý¥ô�ùYHÔú(�2�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô8��ý��ô�ùHþv÷;ÿåú�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý)�'F�� ! LS4 ��ý;.¥ÿåø¯ø�÷�õÄù=.hô�õÔö±ô�ô�õÔý;)ãö=W§ÿ9)Y$-)ú�$-)�üPý�þ.ù���ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿåù�úÔ÷; 7ýWþ��ÆùHþ�)!ý<�#ü��+ôvõÄý�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ÿÃ÷�� 8 F%^�g�C�L9øåù�û � ^ O"��Fo^xø¯ùHûQ^ULS*ö�ú(�+ô�õÔö±ôX�ÆùHþ3ö�ú��,�*Pô�õÔý�øåùH÷�ýW÷¡ôX�Hý��ô�ù�þX Äþvù�üÄøåý�)�ÿåú �XF � !�L;Wö±úJüPý!÷¡ùHø��Hý��AÿåúJôvÿ�)!ý ^�� ����� R�� ! 4�óOô'�Æù�øåø¯ù=.�÷�ô�õÔö±ô3ôvõÄý�ôvù±ô�ö±øDþ�$ÔúÄúÄÿåúÄû�ôvÿ�)!ý'ù��ô�õÔý<ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) ÿÃ÷

��F�� RN^ ������� R�� ? L/O ^ � � 7 �ö±ú&��ôvõÔö¤ô¥ôvõÄý5�øåùH÷�ýW÷¡ôk��ý��ô�ùHþ? Ôþ�ùHüÄø¯ý�)�ÿåú �'F���Lk�ö�ú+ö�øå÷�ù!ü7ý<÷�ù�ø9��ý<��ÿåú+ô�ÿ9)'ý#^���� 7 ��4_&õÄý#�ùHþ�þvý��ô�úÄý�÷�÷�ù��kô�õÔý<ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-)�ÿÃ÷&üÔöH÷¡ý<�SùHú/ôvõÄýV�:ö��ô&ô�õÔö±ôk�Æù�þ�ö±ú�� �*N �;ý�)ôvù�þ � � ! üPý�øåù�úÄûN÷�ô�ù!ôvõÄý�øåö±ô¡ôvÿ9�ýG�'F�� ! O?� LS4N � !�ÿå÷¥ö!ü7ö�÷�ÿå÷?�ÆùHþ&ô�õÄý�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýxû�ýWúÄý�þ�ö¤ôvý��/ü�� B � ! O?� $ � !<DT4N _&õÄý�÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ôk��ý��ô�ùHþ�ÿåú<�XF � ! L�õ7ö�÷&øåý�úÄû�ô�õ ¤ 4

_&õÄý!HÔþ�÷]ô� Äþvù� Pý�þ�ô3�àÿ�)�)!ý��Äÿåö±ô�ý�ø9���ÆùHø¯øåù=.�÷'ü�� �ù�úÔ÷¡ô�þ�$(�ô�ÿåù�úI4 0Äù�þ'ôvõÄýA÷¡ý<�ù�ú&� Äþvù� Pý�þ�ô3��*�ÿ ôãÿÃ÷M�øåýWö±þ�ô�õ7ö¤ô �XF � ! LÿÃ÷/öf÷�$Äü7÷¡ý�ô/ù��A�XF�B � ! O?� $ � ! D�LN4 ó�úKù�þ��§ý�þSô�ù Ôþ�ù=�Hý �XF � ! L O �'F�B � ! O?� $ � ! D�L2.�ý«ù�úÄø9� úÄý�ý<�Zô�ùh÷¡õÔù=. ôvõÔö¤ô+ô�õÔý� ô�õ �Hý��ô�ù�þ�ù��)� ! O?� FÆúÔö�)!ý�ø9��*-� ! O?� Y e L�ü7ýWø¯ùHúÄûH÷<ô�ù �'F�� ! LS4 ��ù�ô�ÿ"�ýSô�õÔö±ô � � ! O � ! OT� ��O d �

"�� ! O?� Y � 4 8 ù(*" e R"� ! O?� Y e O � � ! ( d ���

! e "�� ! O?� Y � O � � ! Y e ( d

���! e "

�� ! Y

�üPý�øåù�úÄûN÷�ôvù �'F�� ! LS4 8 ÿ¯ú(�ý " e O ',¤ * ö�øå÷�ù

� ! O?� Y e O ' F " e R�� ! OT� Y e L�üPý�øåù�úÄûN÷,ô�ù �XF � ! LS4 ��ù=.#*±øåý�ô�� ÷DûHý�ôDô�ù.ô�õÔý�ôvõÄÿåþ��, Äþvù� Pý�þ�ô3��4 ��ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ;ö±ú��<úÄùHú-��ýWþ�ùX��ý��ô�ùHþÿåú4�XF�� !�LN4 8 ÿ¯ú&�ý �'F�� !�L O �XF�B � ! O?� $ � !=D�LN*;ö±ú��«÷�$(�õàö:��ý<)ôvù�þ5�ö�úàü7ý/.¥þ�ÿ¯ô¡ôvý�úßö�÷A� ! O?� R 5 � ! R ��4��AùHþ�ýWù=��ý�þ<*÷�ÿ¯ú(�ýd� � !5Y �XF � ! OT� LN*].�ý!Wö±úföH÷�÷�$-)!ý/.¥ÿ¯ô�õÔù�$§ô!ø¯ùN÷�÷�ù��3û�ý�úÔý�þ�ö±øåÿ ô3�«ô�õÔö±ô � Y7\ (#¤7Z � Z 5 ¤ ]�4 8 ù&*;ô�õÔý/øåý�úÄû�ô�õfù��� ! O?� R 5 � !�R!�#ÿÃ÷ ö±ô3øåýWö�÷¡ô�ôvõÄýY)!ÿåúÄÿ�),$-)�ù���* � F��XF�� ! OT� L�L5F:ÿ �5��O"��L&ùHþX�§ÿÃ÷]ô�F ' � ! Z �XF � ! OT� L�L5F:ÿ � ��O ',¤ LS4��8$Äô* � F��XF�� ! OT� L�L#. ¤ ü��'ÿåú(�1$&)ô�ÿåù�úU*Äö±ú(�J�§ÿå÷¡ô<F ' � ! Z �'F�� ! O?� L�L/O �§ÿÃ÷]ô=F � ! Z �XF � ! O?� L�L#. ¤ ü��2�ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúI4�óOô?�Æù�øåøåù=.�÷ô�õ7ö¤ô* � F��XF�� !�L�L#. ¤ 4óOô�ÿÃ÷kö±øÃ÷�ù�ý�ö�÷��¥ô�ù�÷�ý�ýDôvõÔö¤ôU�Æù�þkö�ú�� �*Wô�õÄý]�§ý�ô�ýWþ�)!ÿåúÔö±úNôkù��NøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý��XF � !�LPý�K�$Ôö�øå÷I�Äý�ô<F��XF � !�L�L�OG� O ! �§ý�ô�F��XF ��L�LnO

� O ! üPý��ö�$Ô÷�ý«ý�ö��õ'� ! Wö±úÊüPý�ù�ü§ô�ö±ÿåúÄý�� �Æþ�ù�) � ! OT� ü�� HÔþ�÷¡ô! Pý�þ��Æù�þ�)!ÿ¯úÄûh÷¡ù�)!ý«ýWø¯ý�)'ýWúNôvö±þ�� ÿ¯úNôvý�û�ýWþ!�ù�ø9$-)!úù� Pý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�*�ö�ú(�fô�õÄýWú �§ÿ��9ÿ"�§ÿåúÄûßö��ùHø�$-)!úZü��3�(4"��ý`�ö�úhúÔù=. Äþvù=��ý+ôvõÔö¤ôãôvõÄýÜö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() 7ýWþ��ÆùHþ�)ã÷�ö±ô2)!ùH÷¡ô� O ��F%^xøåù�û]^UL�ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿåù�úÔ÷�4 8 ÿ¯ú&�ý�* � F��'F�� ! L�L�O ¤ ö�ú(�J�Äý�ô<F��XF � ! L�LnO"� O ! *Ôü����Aÿ¯ú(��ù=.�÷��Nÿ2� ÷QH7þv÷¡ô¥ô�õÄýWù�þvý�) FTC14iC�LN*

¤ O�* � F��XF�� !�L�L�8 [ ^#�§ý�ô<F��'F�� !�L�L �+* 7 O [ ^'� O�� ! * 7 � 9C ¤

Page 22: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

óOôk�Æù�øåøåù=.�÷�ô�õÔö±ô 48 F ¤ g�C�LZ^xø¯ùHû � ^MO'��Fo^xø¯ùHû]^ULÿÃ÷�ö�ú/$- - Pý�þ�üPù�$Äú(�Sù�úSô�õÄý')ãö=W§ÿ�),$-) ú�$-)�üPý�þ�ù��kÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿåù�úÔ÷�4[FÆóOôk�ö±ú+ö±øÃ÷¡ù�ü7ýx÷¡õÔù=.¥ú�ü��!öY��ùHø�$-)!ý.ö±þvû�$-)!ý�úNô�ô�õÔö±ô� O � F%^xøåù�ûA^UL�ÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷¥ö±þvý.þ�ý<K�$Ôÿ¯þvý��/ÿ¯ú#ùHþ��§ýWþ�ô�ù!þ�ý�ö��õ/ô�ýWþ�)!ÿåúÔö¤ôvÿ¯ùHúI4 L

��ý�W9ô`.�ý� Äþvù=��ý«ô�õ7ö¤ô`$- Pù�ú6ôvý�þ�)'ÿåúÔö±ô�ÿåù�ú �eF��XF�� 7 L�L � �MR * � F��'F�� 7 L�L`g�C14 �«ýp÷�õÄù=.$ô�õÔö±ôJÿ � ��F��XF�� 7 L�LJ.F,� g�C�L-R�* � F��XF�� 7 L�LN*ÔôvõÄý�ú#ôvõÄý�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) �ýWþ¡ô�ö±ÿåúÄø9�/ Pý�þ��Æù�þ�)!÷&ùHúÄý#)!ù�þvý�ÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúI4��?�� ký�)�)ãö�,(4 �-*Äÿ����eF��XF�� 7 L�LG.F,� g�C�L�* � F��'F�� 7 L�L�ôvõÄý�ú#ôvõÄý�þvýxýNW§ÿå÷¡ôv÷¥ö �Hý�)ôvù�þ � O'� ! OT� RqY<�XF � ! OT� L&÷�$(�õ/ô�õÔö±ô

�§ÿÃ÷¡ô<F � g�� Z �XF � ! OT� L�L�. * � F��XF � ! O?� L�L#. ¤ 9 �ý�ô)��Y=\ (#¤�Z � Z 5 ¤ ] 7 ü7ý+÷�$&�õÒô�õÔö±ô)� � R Fo)'ù1� ��LN*Dÿa4 ý�49*xF5� ( RUL�gA�5Y ; 7 4M��ýJ�øåö�ÿ�) ôvõÔö¤ô�ô�õÄý!�§ÿå÷¡ôvö�ú(�ýSù��& O F ¤ gA��L�� ! OT� �'�Æþvù�) ôvõÄý�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý �XF � ! OT� L�ÿÃ÷�ö±ô&øåýWöH÷]ô ¤ 4n��ù±ôvÿ9�ý.ô�õÔö±ô

& O F ¤ g���L � ! O?� �]O � ! OT� R�g�� 5 � ! O?� F5� ( RUL�gA�:Y � g�� 5 �XF � ! OT� L 9óOô'�Æù�øåø¯ù=.�÷ ô�õÔö±ôV�Äÿå÷¡ô<F & Z �'F�� ! O?� L�L O �§ÿÃ÷¡ô<F � g�� Z �XF � ! OT� L�L,. ¤ *ö±ú(�Jô�õÄýWþ�ý��Æù�þvý<ôvõÄý'ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) �§ù9ýW÷.úÄù±ô3ô�ýWþ�)!ÿåúÔö¤ôvýö¤ô¥ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿåù�ú,�4

��ýX�ùHú(�ø9$(�§ý�ô�õÄýX Äþ�ù9ù���ù��ô�õÄý ô�õÄýWù�þvý�) ü���ûHÿ��9ÿåúÄû�ö<÷�ÿ9) Ôø¯ý.ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) ô�ù�÷�ù�ø9��ý�ô�õÄý'�øåùH÷�ýW÷¡ôQ��ý<)ô�ùHþQ Äþvù�üÔø¯ý�) ÿåú�XF � !�Lkÿåú<ôvÿ�)!ý[^�� �����*R�� ! 8 ^�� � 7 ��4-��ù�ô�ÿ"�ý�ô�õÔö±ôDö�ú��.øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý? 7ùHÿ¯úNôDÿ¯ú �XF � !�LUWö±ú�üPý?.¥þ�ÿ¯ô¡ôvý�ú!ö�÷��

�R 5 B � � Z:9�9:9DZ � !<D ..¥õÄýWþ�ý R Y ; 7 ö±ú(�-.cY \ (#¤�Z � Z 5 ¤ ]

! 4 8 ù(*Pÿ¯ú«ù�þ��§ý�þ�ô�ù2H7ú(�AôvõÄý�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýY Pù�ÿåúNôV�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô ô�ù/÷�ù�)!ý�ôvö±þvû�ý�ô & *�.�ýY�ö�ú�ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ3ö�ø¯ø£��ý<)ô�ùHþv÷�ù��;ô�õÔýY�ÆùHþ�) & ( B � � Z�9:9�9VZ � !=D .pö�ú(�`�ù�)� -$§ôvý<ô�õÔý�ÿåþ'�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ý5�Æþvù�) �'F��

�LN4] �ý�ô .h÷�$(�õJô�õÔö±ô

�§ÿÃ÷]ô�F & ( B � � Z�9:9�9DZ � !�D . Z �XF � !�L�L¥ÿÃ÷k)!ÿåúÄÿ�)!ÿ9��ý<��*Pö�ú(�#øåý�ô.� � R�ô�õÔý<øåö±ô¡ôvÿ9�ý5��ý<)ô�ùHþ;�øåùH÷�ýW÷¡ô¥ô�ù & ( B � � Z:9:9�9DZ � !<D .Q4[_&õÔýøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý#��ý<)ô�ùHþ&ÿ¯ú<�XF � !�L[�øåùH÷�ýW÷¡ô�ôvù & ÿå÷F��R 5 B � � Z:9�9:9DZ � !<D .]4 �

_&õÄý�ô�õÄýWù�þvý�) û�ÿ9��ý�÷ ö�ú«ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ()'ÿ"5�ù�úÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúJù���ö±ø9)'ùN÷]ô' 7ýWþ��Æý<)ôxøåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷xö±ú(�Üö±ú«ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ô�ù#÷¡ùHø��Hý<ô�õÔý�øåùH÷�ýW÷¡ôQ�Hý�)ôvù�þ8 Äþ�ùHüÄøåý�)+*HõÔù=.�ý���ý�þ�ô�õÄý3þ�$ÔúÄúÄÿåúÄû<ôvÿ�)!ý.ÿå÷�õ�$Äû�ý�4£_&õÄý3úÄýNW9ô�ô�õÄýWù�þvý�) ÷¡õÔù=.�÷�õÄù=. ôvùY$Ô÷�ý�ôvõÄýW÷�ý øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷�Æù�þ�÷�)ãö±øåø��¤ö±ø9$ÄýW÷¥ù��~^«ô�ù!û�ý�ô�öM�ù�ú7÷]ôvþ�$(�ô�ÿåù�úSô�õÔö±ô�þ�$Äú7÷&ÿ¯ú+ Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�ø�ô�ÿ9)!ý�4'�� Y # Y&X ��.�� �'�-�����k�$I�"�SRa�8��@N�A< �;KJVPz@TPIF%^ULN��>-����@N���NRU���=� �;KJ�B�����P�B���IV;�� ;��=RTR�o���N�QO��R�� PIFo^UL/O ��F e ^.øåù�û�ø¯ùHû]^�g,øåù�ûA^UL3 $ �#T#� � ó�úJùHþ��§ýWþ¥ô�ùJ��ýWý� #ô�õÔý,�ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHú: 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø,ÿåú`^A*&.�ý5$Ô÷�ý,_&õÔý�ù�þvý�) ,(4 ,ãôvùSü-$Äÿåø"�Jö ��0T Pý�þ��Æý��ô øåö±ô¡ôvÿ9�ýT ÿ¯ú:�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHú � O øåù�û]^�gDø¯ùHû�ø¯ùHû]^A4���ù�ô�ÿ"�ýxô�õ7ö¤ô ÷�$(�õ+ö'øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý5�ö�ú/üPý5�ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvý��/ÿ¯ú+ô�ÿ9)!ý

C ����? � ��� ? � O C � � � ��"7 � �� � � ���"7 * � ��� ���+7 � * � ���� ��"7 � O ^ � ����� 9�AùHþ�ýWù=��ý�þ<*Hô�õÄý5�ø¯ùN÷¡ý�÷]ôk��ý<)ôvù�þ[ Äþvù�üÄøåý�)�ÿåú+ô�õÄÿÃ÷¥øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý5�ö�ú+ö�øå÷�ù'ü7ý<÷�ù�ø9��ý<�Sÿåú+ô�ÿ9)'ýYC � ��? � �� ? � O ^�� ������4

��ù=.f÷¡ý�ô@�'F�� 7 Lkô�ù.ô�õÄýk�§ÿåþvý�)ô�÷�$-) ù��~F%^�g �+L£�ù� ÄÿåýW÷,ù�� �XFCT LS*�ÿT4 ý�4�ô�õÄý&øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý&û�ý�úÔý�þ�ö¤ô�ý<�<ü��xô�õÔý�üÔø¯ù1��Y�§ÿÃö±ûHù�úÔö�ø)ãö¤ôvþ�ÿ�W2.¥ÿ ôvõ+^�g ��üÄøåù���§÷�*Äö±øåø�ý�K�$Ôö±ø�ôvù_T64A_&õÄýxøåö±ô¡ô�ÿ"�ýV�Hý�)ôvù�þ&ÿåú �'F�� 7 L?�øåùH÷�ýW÷¡ô�ôvù!ö�ô�ö±þvû�ý�ô & ÿå÷&ý�ö�÷�ÿ¯ø9���Æù�$Ôú(�Sü��üÄþvýWö��NÿåúÄû & ÿ¯úNôvù'^�g � üÄø¯ù1��§÷�*±ýWö��õ,.¥ÿ¯ô�õ � �ù9ùHþ��§ÿåúÔö±ô�ýW÷,ÿåú!ÿ ô<*Hö±ú&�5HÔú&�§ÿ¯úÔû3ôvõÄý6�XFFT L£��ý<)ôvù�þA�øåùH÷�ýW÷¡ôDô�ùxýWö��õ�üÄøåù1���4�AùHþ�ýWù=��ý�þ<*ôvõÄý�øåý�úÄû�ô�õàù��&ôvõÄýS÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô<úÄùHú-��ýWþ�ù:�Hý��ô�ù�þ�ÿåú �'F�� 7 Lxÿå÷)* � F��'FCT L�L�üPý�Wö�$Ô÷�ýM��ý<)ô�ùHþv÷'�Æþvù�) �§ÿo6PýWþ�ýWúNô�ù� ÄÿåýW÷.ù��aT ö±þvý�ùHþ¡ôvõÄù�ûHù�úÔö�øa4F0,ÿåúÔö±øåø9��*ôvõÄýM�ù=��ýWþ�ÿåúÄû�þ�ö��Äÿ�$Ô÷.ù�� �XF�� 7&L ÿÃ÷ e ^�g � ôvÿ�)!ý�÷ �eF��XFCT L�LS4 8 ù&*��XF��H7(L3ÿå÷PIF%^ULZ0T Pý�þ��Æý��ôx�Æù�þ

PIFo^UL�O e ^�g ���F��XFFT L�L* � F��'FCT L�L�g�C

83� e ^�g � O ��F e ^xøåù�û�øåù�û]^�gDø¯ùHûA^UL 9�

� � � ë��í�^�Wò��G�ï ñ����:� � î��áí�<ë#ïAî ��Sð��.ì;ò�î�ë��ó�ú«ô�õÄÿÃ÷�÷¡ý<)ôvÿ¯ùHú .�ýM�§ýNHÔúÔý!ö+�øåöH÷�÷.ù���þvö�ú(�§ù�)$ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷3ô�õÔö±ô�û�ý�úÔý�þ�ö±øåÿ��WýW÷'>A@�ôvö�ÿ�� ÷�ùHúÄý�4 >A@�ôvö�ÿ�� ÷# Äþvù�üÔø¯ý�) �ö±ú�üPý�§ý�÷��þ�ÿåü7ý<�#ö�÷[HÔú&�§ÿ¯úÔû�öã÷�)ãö±øåøQF:ý�4 û(49*-.¥ÿ ôvõAþ�ý�÷� Pý��ô¥ô�ù!ôvõÄý�ü7ù�$Äú(�+ Äþvù=��ý<�Sÿåú:_&õÄý�ùHþ�ý�) �-4 ��üPý�øåù=.;L�úÄù�ú-�Wý�þvù!ÿ¯úNô�ýWû�ýWþ÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÜô�ù#ö�õÄù�)'ùHû�ýWúÄý�ù�$Ô÷ øåÿåúÄýWö�þ3ý<K�$7ö¤ô�ÿåù�ú«ÿ¯ú �Fo^ULX��ö�þ�ÿÃö±üÔø¯ý�÷x.¥ÿ¯ô�õ �ù9ý*)2�ÿåý�úNô�÷'�õÔùH÷�ý�ú`$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)!ø9�Jö¤ôxþvö�ú(�§ù�)�Æþvù�)�ô�õÔý�ûHþ�ù�$- � 7MO ; 7

� � 7 � ù��Q^�0Z�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±ø£��ý<)ôvù�þ�÷;)!ù1�1$Äøåù �1Fo^ULS*��ÆùHþxö� - Äþvù� ÄþvÿÃö¤ô�ýWø��+�õÄùN÷¡ýWú:�%$Äú(�ô�ÿåù�úÔ÷ �1Fo^ULö±ú&� � F%^ULS4�� ý�þvý/.�ý!�ù�úÔ÷�ÿ"�§ý�þ�ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷,.¥ÿ ôvõ �ùNý+)2�ÿåý�úNôv÷�ÿ¯úhöJûHþ�ù�$- �� 7 PùH÷v÷�ÿ¯üÄø9���§ÿo6PýWþ�ýWúHô �Æþvù�) ; 7� � 7 � 4àó�úû�ýWúÄý�þ�ö±øT*�.�ý#�§ý�HÔúÄýxôvõÄýV�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû� Äþvù�üÄøåý�)+4

C�C

Page 23: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

� Y�� $-)�&()�#%$ �T.���� ��RI\ � 7 ]�I��Y� ��� �VK(�D�e���5Pz@ �n�%�RE� - I��D;�o���!����PAK�>&�+�8���'B�� F%^UL5�A�CB��QFo^ULVRTOQP2�=�DID�Ra���=� J-�o>-PA; J��eP��< o��;�R2�<��5��PA< >'K1RE��IV;�� � @ Ks�e��R�oPA�-�3 ��~P=�5�A�+J �Fo^ULS�zB��<M�D�-�JoP�����;I�=���NRZP=���dO B M � Z:9�9:9DZ M ? � 7 � D ( Y�� ? � 7 �7 �nB������e�VR��-����NR[P�@V��PA;�K1R�oPA�-�#RZPMR��-� ������P��Do�=RZ� B �(P�<MP����V����P�K�� ;���e�����,� �VK(��R�oPA�

� F���LnO �� � �:Y ; ? � 7 � �? � 7 ��e"! �

� e R M e O'�� � 9 F��-4 ¤ L

�'�-� ��ù�)'ùHû�ýWúÄý�ù�$Ô÷ 8 )!ö�ø¯øó�úNôvý�û�ýWþ 8 ù�ø9$§ô�ÿåù�ú�>���P7ID;��D< �?9��39�� ? � �2�� R��(�#` � ��P=�J< � "�3)[�A��=�D� �-�E���A�CB�PA<�� �-PA<�P�����V����PAK�� ;���e���=�Y� �DK(�=R2oP����MY � ? � 7 �7 �&�n�'B/��eP�� �<�N��P��NPA;�K1R2oP�� �Y � F���L ,�\ E]!Pz@�` � ��P=�J< ��R/<MP��SRGb*� b�8��QFo^UL3 9;�A�ù�$Ôþv÷�ý�*9ôvõÄý# Äþvù�üÄøåý�) ÿå÷&ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄûãùHúÄø��/.¥õÄý�úAöã÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú+ù��Dø¯ýWúÄû±ôvõAö¤ôx)!ùH÷¡ô��QF%^UL�ý�W§ÿå÷¡ôv÷�4 ��ý�øåù=. .�ý#�§ýNHÔúÔý<ö�:ö�)!ÿåø��Sù���ûHþ�ù�$- Ô÷'FÇôvõÔö¤ô¥ÿåú(�ø9$(�§ý�÷k>A@�ôvö�ÿ�� ÷&û�þvù�$( Ô÷&ö�÷&ö�÷� Pý��ÿÃö±øIWö�÷�ý<LN*9ö�ú(�/û�ÿ9��ýV�ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÔ÷?$Äú(�§ýWþ[.¥õÄÿ9�õ#ö!÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úù��Døåý�úÄû�ô�õ#ö¤ôx)!ùH÷¡ô��QF%^UL&ÿÃ÷&û�$7ö±þ�ö±úNô�ýWý��ãôvù!ýNW§ÿå÷¡ô�4

9X$Äþ¥ûHþ�ù�$- Ô÷&ö±þvýV Ôö±þ�ö�)!ý�ôvþ�ÿ9��ý<��ü��/ö�ú/ý�ö�÷�ÿ¯ø9�/�§ý<�ù1�Äö�üÄø¯ýV�:ö�)!ÿ¯ø9�Sù���øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷0\ �XF�� 7(Lc] 7���ö±ú(�+ö �%$Äú(�ô�ÿåù�ú �8Fo^ULS*ö±ú&�JýWö��õÜûHþ�ù�$- � 7�O��?F��XF�� 7(L Z �?F%^UL�L.ÿå÷V�§ý�HÔúÄý���ö�÷3ôvõÄýMK�$Ôù±ô�ÿåý�úNôxù�� �'F��H7(LX)'ù1�1$Ôø¯ù#ö±ú�ö� - Äþvù� Ôþ�ÿÃö¤ôvý�ø9�+�õÔùH÷�ý�ú

�%$ÄøåøU�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿ¯ùHúÔö±ø�÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý �'FCT 7-L#Z �XF�� 7&LN4

� Y�� $-)�&()�#%$ �T.(� �UP��;���8JY���=�J�; J B�����P(B��7ID;��-@N��< �; J Pz@S;��=RTR2o���N��\��XF�� 7 Lc] 7����EO��R�� B�����P(BA�������; ��P��J�R��s< �#;>= � �5���CB

@ Ks�e��R2oP����?F%^UL#���=R2"��@LJ����� �8Fo^UL#. C [ ^ ��F��'F��H7&L�L���B����n���#R��-�5�����DK(�D�e���,Pz@ �VK(P�R�o�D�(RA����P�K�>e�� 7�O��?F��XF�� 7eL Z �?F%^UL�L/O �XF��H7(L�g �XFFT 7-L F��-4 C�L

O��-�����H@NP=�M���+J�^�! � ���XFFT 7-L "� R��-� @ Ks;�;£������B!� K ID;���RaR2o���2P7I�RE�A��e� BMI:J`�`>7>'; J����� � �V< <���� ����`REPd;���RaR2o��� �XF�� 7(L���=��;�K(�+�8Fo^UL,�A�CB�B�����P(BA����F>e��P<��� B�K1��� �#;F=��

0Äþvù�) �ý�)�)ãöMC14 ¤�¤ .�ý�ÿ9)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9��ù�ü§ô�ö±ÿåú+ô�õÄýV�ÆùHø¯øåù=.¥ÿ¯úÔû �ù�þvù�øåøåö�þ���4� # �#���� � . �T.87 �UP��M�A�+J @N��< �; J Pz@:;��=RTR2o���N��\��XF�� 7(Lc] 7��

����'BF@ Ks�e��R2oP�� �?F%^UL�����R�"��@LJ����� R��-�/��PA�CB��R2oP��(������,��@��

�� �R2oP�� �2 !�2�;R��(�Y����P�K�>e�"�?F��XF��H7&L Z �?F%^UL�L O �'F�� 7&L�g �'FCT 7&L2�����3I��/��PA< >'K1RE� B �� R2�<M�E>(P�; J���P�< o��;��� ^ �A�CB:R��-�<M�=RT�JKI T 7 ����R�"� �8�N�

B R Y = 7 9 b�T 7UR�b�<%�?F%^UL R&bcR�b 9$ �#T#� � �Üö¤ô�þvÿ�W T 7 ÿÃ÷7 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�øHôvÿ�)!ýk�ù�)� -$§ôvö�üÄøåý�üPý�Wö�$Ô÷�ý�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý>�'F�� 7 LkÿÃ÷DýWöH÷¡ÿåø9�5�§ý��ù��Ôö±üÄøåý�*±÷�ù ôvõÄýk�§ý��ù1�§ÿ¯úÔû Äþvù1�ý��-$Äþ�ý �#;F= � þ�$ÄúÔ÷�ÿåú/ Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�øÔôvÿ�)!ý�4,ó�ú/ù�þ��§ý�þ�ô�ù�ü7ù�$Äú(�;b�T 7 R�b=*§÷�ÿ�)� Äø9�!ù�üÔ÷�ý�þ���ý¥ôvõÔö¤ô>�XF�� 7 LN* �8Fo^UL�ö�ú(��#;>= � ÷vö¤ôvÿå÷��%��ôvõÄýY�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú7÷¥ù��� �ý�) )ãö2C-4 ¤�¤ üPý�Wö�$Ô÷�ý �?F%^ULG. C [ ^���F��'F�� 7 L�L�. C [ ^'�§ÿÃ÷¡ô�FCR Z �#;>= � F�RUL�L[�Æù�þ�ö�ø¯øRqY<= 7 4��

��ù�ô�ÿ"�ý+ô�õ7ö¤ôSÿ��G�'F��H7(LdO ; 7 ÿÃ÷!ô�õÄýAÿåúNô�ýWû�ý�þãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�*�ö�ú(� �8Fo^ULdO �1Fo^ULS*�ô�õÄýWú � ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú"�14iC«û�ÿ9��ý�÷�)!ö±ô�þvÿ WT 7 O �1F%^UL�R-W�ö�ú(�>A@�ôvö�ÿ�� ÷xû�þvù�$( ��?F��XF�� 7 L Z �?F%^UL�LEO ; 7

� � 7 � ö�÷xö/÷� Pý��ÿÃö±ø]Wö�÷�ý�4F��ý�.¥ÿ¯øåø;÷¡ýWý'ô�õÔö±ô3ôvõÄÿå÷#�õÔù�ÿ"�ý'ù��û�þvù�$( � 7JÿÃ÷.úÄù±ô.ô�õÄý'üPýW÷¡ôV PùH÷v÷�ÿ¯üÄøåý,�Æù�þ.ù�$Äþ�ö±ú7ö±ø9�9÷�ÿÃ÷�*ö±ú&�Ü÷�ý�ô¡ôvÿ¯úÔû �'F�� 7&L¥ôvù+ö�ú«ö±ø9)!ùH÷¡ô' Pý�þ��Æý��ô.øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý!øåýWö��Ô÷�ôvùüPý�ô¡ôvý�þxþvýW÷�$Äø ô�÷�4xó�úÜô�õÄý'þ�ý�÷]ôxù��;ôvõÄÿÃ÷�÷¡ý<)ô�ÿåù�úU*e.�ýY Ôþ�ù=�Hý�ô�õÔö±ôV�Æù�þxö±ú��#� Y � ? � 7 �7 ö�ú(�Üö�ø¯øD÷�$ )M�ÿ¯ýWúNô�ø9�Aøåö�þ�ûHý � F%^ULS*ô�õÔýx÷�ý�ô � F���L�ö±ø9.�ö��§÷?�ùHúHô�ö±ÿåúÔ÷&÷�)ãö�ø¯ø�úÄùHú-��ýWþ�ù'÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHúÔ÷�47_&õÔý')ãö�ÿ¯ú+þ�ý�÷�$Ôø ô&ù���ô�õÄÿÃ÷[ Ôö� Pý�þ#Fo Äþ�ù=�Hý��Sÿ¯ú 8 ý��ô�ÿåù�ú %�L�ÿå÷ô�õ7ö¤ô.ö�ø ôvõÄù�$Ôû�õAôvõÄýW÷�ý�÷�)ãö±øåø,÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷3ö�þ�ý<û�$Ôö±þ�ö±úNôvý�ý��/ôvùSýNW§ÿÃ÷]ô<*Pô�õÄý��Jö±þvýY�ù�) ($§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�ø¯ø9�/õ7ö±þ��#ô�ù/HÔú(�`.¥õÔý�ú$�ÿÃ÷k�õÄùH÷�ý�ú!$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��+ö¤ô¥þvö�ú(�§ù�)!4

��ý:�NúÔù=. �Æþvù�) 4�þvù� PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHú C14 ¤ CÜôvõÔö¤ô � F���L'ÿÃ÷Sö�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý`.¥ÿ¯ô�õ �§ý�ô�ý�þ�)!ÿ¯ú7ö±úNôSö¤ô2)!ùH÷¡ô/�§ý�ô<F � F���L�L>8 ��� 7�4��ý�÷¡õÄù=. ô�õÔö±ô � F%��L.ö�ø�.&ö��§÷'�ù�úNôvö�ÿ¯ú7÷.÷�)ãö±øåø�÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úÔ÷xü��JüPù�$Äú&�§ÿ¯úÔû/ôvõÄý�÷�ÿ��Wý'ù���ûHþ�ù�$- � 7�*,ö±ú(�Üô�õÔý�úàö� - Ôø��9ÿåúÄû�Aÿåú-��ù=.�÷��9ÿ�� ÷8HÔþ�÷]ô&ô�õÔý�ù�þvý�)+4��Y&X%X�� �?."� �~P=�Y�A�+J#^ �]R��-�'����P�K�>�� 7O��8F��XF�� 7&L Z �?F%^UL�L B������e� B���&�,���n�%�R�oPA���2 !� �-�=�V� ��<� �=R�<�P=�SR

��� 7f8 � � �?F%^UL [ ^C * � F��XF�� 7 L�L �

79

CA�

Page 24: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

$ �#T#� � _&õÄý�÷�ÿ��Wý�ù���ôvõÄý!û�þvù�$- «ÿå÷ ��� 7 O �Äý�ô<F��XFFT 7(L�L`g7�§ý�ô<F��'F��H7(L�LN4 ��ýãüPù�$Äú(�Üô�õÔý!ô3.�ù+�§ý�ôvý�þ�)!ÿ¯úÔö�úNôv÷�÷�ý� Ôö�0þ�ö¤ô�ýWø���4 �8� ��ù�þvù�øåøåö�þ�� �-4 �(*HôvõÄý5�ùHø�$()'ú7÷¥ù��?T 7Sõ7ö���ý.ø¯ýWúÄû±ôvõ#ö±ôk)'ùN÷]ôb�T 7&Y e b/8 F���g�C�L �?F%^UL-R&b�Y e b O"� �?F%^UL`g�C 9

_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*9ü�� � ö��Äö�)ãö�þ��?� ÷�ÿ¯úÔý�K�$Ôö±øåÿ¯ô3��§ý�ô=F��'FCT 7 L�L#8 F�� �?F%^UL`g�C�L 7 9

��ý+üPù�$Ôú(�àôvõÄý:�§ý�ôvý�þ�)'ÿåúÔö�úHô!ù��.�XF��H7(L,$Ô÷�ÿ¯úÄû �Aÿåú-��ù=.�÷��9ÿ�� ÷<ÿåúÄý<K�$7ö±øåÿ ô3� FTC14iC�L)* � F��'F�� 7&L�L68 [ ^V�§ý�ô�F��XF��H7(L�L`��* 7 48 ùHø��9ÿåúÄû �Æù�þ;�§ý�ô<F��XF��H7(L�LS*-.�ýxû�ý�ô¥ôvõÔö¤ô¥ôvõÄýY�§ý�ô�ýWþ�)!ÿåúÔö±úNô¥ù��@�XF�� 7(L&ÿÃ÷¥ö¤ô�øåýWöH÷]ôYF�* � F��'F��H7(L�L`g [ ^UL 7 4/��ù�)�üÄÿåúÄÿåúÄû!ô�õÔýô3.�ù'üPù�$Ôú(�Ä÷�*-.�ýxûHý�ô&ô�õÔö±ô�û�þvù�$- �� 7 õÔö�÷kWö±þ��§ÿ¯ú7ö±øåÿ ô3�

��� 7�O �§ý�ô<F��XFCT 7(L�L�Äý�ô=F��XF�� 7 L�L 8 � � �?F%^UL [ ^

C�* � F��XF�� 7 L�L �79 F��-4 ��L

> üPù�$Äú&�#ù�ú#ô�õÔý�÷�ÿ��Wý�ù��Dô�õÄý'÷�)ãö�ø¯øåýW÷¡ô�úÄù�ú(��ý�þvù�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú#ôvùãý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHú �Üý�ö�÷�ÿ¯ø9�2�ÆùHø¯øåù=.�÷[�Æþvù�) 4�þvù� PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHú+C-4 ¤ Cö±ú&���Aÿåú-�Hù=.�÷��9ÿ2� ÷?HÔþ�÷¡ô�ôvõÄý�ùHþ�ý�) FaC-4 C�LS4'�� Y # Y&X �T.�� �UP�� �A�+J!� �DK(�=R2oP��&�5Y � ? � 7 �7 �� �Fo^ULSO �VF%^xø¯ùHû]^ULY�����Jo�7ID;��S��O��R�� ��P<��! �Do�V�&Ro� �� ������P�K�> � 7P�@X�J��<�/��� 7 8 ^���� 7 ���3�! i� �� � 7�O��?F��'F��H7&L Z �8Fo^UL�L�@NP��V��P�<M� �8Fo^UL�O ^�� �����?RA* � F��'F�� 7eL�L�� � R��-�����Y�CI�"�SRo�#�:�ePA���<�N��P��P�;�K1R2oP��,��Y � F%��L,P�@�;��D����R��`�=R�<MP��SR#b3�Qb O ��Fze �Fo^UL�L! � ������ î�í�kì��»ìDî � ���í� � �7ñG�:� í�ïJð#ñ�ì;ò�î�ëó�ú!ô�õÔÿå÷�÷¡ý<)ôvÿ¯ùHúM.�ýk Äþvù=��ý&ôvõÄýx)ãö±ÿåú!ô�ý<�õÄúÄÿ"�ö�øÔþvýW÷�$Äø ô�ù���ô�õÄýX Ôö� Pý�þ<4 � ö�)!ýWø���*�.�ý�÷¡õÔù=.fôvõÔö¤ôQHÔú(�§ÿåúÄû�÷�õÄù�þ�ô�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷ô�ù�þvö�ú(�§ù�) øåÿåúÄýWö�þ�ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷�ö�÷?�§ý�HÔúÄý��Sÿ¯ú 8 ý��ô�ÿåù�úd�/FÆùHúãô�õÄýxö���ýWþvö�û�ý�ö�ú(�M.¥ÿ¯ô�õSúÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåýx Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�-L;ÿÃ÷�ö±ôøåýWö�÷¡ô�öH÷�õ7ö±þ��ãö�÷QHÔú(�§ÿåúÄû'ø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9�'ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô?�Hý�)ôvù�þ�÷�ù��kø¯ýWúÄû±ôvõ�úÄù�ô?),$(�õ�üÄÿåû�ûHý�þ�ôvõÔö±ú�ô�õÄý.û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ��Wý���$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)þ�ö��§ÿ9$Ô÷�ÿåúJö±ú��+øåö±ô¡ôvÿ9�ýJFÆÿåúAôvõÄýY.�ù�þ�÷]ô;Wö�÷�ý�ö±ú&�+.¥ÿ ôvõJõÄÿåû�õ` Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3�-LS4 0Ôù�þ�)!ö�ø¯ø9��*&.�ýY Äþ�ù=�Hýxô�õÄý�õÔö±þ��§úÄý�÷�÷�ù��;ô�õÔýõÄù�)'ùHû�ýWúÄý�ù�$Ô÷;÷�)ãö�ø¯øÄÿåúNô�ýWû�ý�þ�÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHú� Äþ�ùHüÄøåý�) ù�� � ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú��-4 ¤ ù=�Hý�þ;û�þvù�$( Ô÷ �?F��XF�� 7eL Z �?F%^UL�LS*9ü���þvý��1$&)ô�ÿåù�ú �Æþvù�)ô�õÔý5�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû/��ö�þ�ÿÃö±úNô ù���9�� ;F= .¥õÄý�þvý<ôvõÄý,K�$Ôö�ø¯ÿ¯ô3�#ù���ö�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú b �ab=*Pÿ¯úÔ÷¡ô�ý�ö��#ù���ü7ýWÿ¯úÄû!)!ýWöH÷�$Äþvý��+.¥ÿ¯ô�õÜþ�ý�÷� Pý��ôô�ù'ôvõÄý<÷¡ÿ9��ý�ù��kôvõÄý<÷�)ãö�ø¯øåýW÷¡ôk 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø¯ý�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú * 7 F��XF � L�LS*7ÿå÷k)!ý�ö�÷�$Äþ�ý<�2.¥ÿ¯ô�õ#þvýW÷� 7ý<)ô¥ô�ùã÷�ù�)!ýxù±ôvõÄý�þk Ôö�þvö�)!ý�ô�ýWþ&ù��ÿåúHôvý�þvýW÷¡ô � F��XF � L�LS4� Y�� $-)�&()�#%$ !�.���� ��R � I��Y�A� �=�DID�RT���=� JH@ Ks���NR2oP���<�� >7>C����;9�=RTR�o���N�VRZP]>(P��J�R2����,������;��* ��'�-� �.ý�úÔý�þ�ö±øåÿ��Wý���ó�ú&�§ý� Pý�ú10�§ýWúHô��;ý�)ôvù�þ�÷F4�þvù�üÔø¯ý�) D�� ;>=�J �[�7����D� �M;���RaR2o����I��=� "� � Pz@M����� BM^ �#���$B=�H@NP=�J�`���NR#P�@Y^ ;���e���=�J;KJM��CB���>(�V�'B��D�(R;���RaR2o���5�=���NRZP=���� " �XF � L#� K(� �+R��-��R#b���b/8 \7Fo^UL-R � F��'F���L�L!

��ù�ô�ÿ"�ý¥ôvõÔö¤ô#9�� ;F= J ÿå÷�ö<÷� Pý��ÿåö�ø&Wö�÷�ý¥ù�� D�� ;F= J *�.¥õÄýWþ�ý � O *87�4���ýWþ�ýx.�ý�ö±þvý�ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�ý<�'ÿ¯úBD �L;>= ��J *HÿT4 ý�4�*Hô�õÔý Äþvù�üÄøåý�) ù��-HÔú(�Äÿ¯úÄûxöX)!ö�W§ÿ�)ãö±ø9ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ý�úNô�÷�ý�ôDù��ÔøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý[��ý<)ô�ùHþv÷�ô�õÔö±ô�ö±þvý�úÄù�ô£),$(�õ�øåù�úÔû�ý�þkô�õÔö�ú�ôvõÄý�û�ý�úÔý�þ�ö±øåÿ��Wý��$ÄúÄÿ��Æù�þ�)�þ�ö��Äÿ�$Ô÷�4_&õÄýxþvý��1$(�ô�ÿåù�ú/ÿå÷[ Pý�þ��Æù�þ�)!ý��/ÿ¯ú/ô3.�ùã÷¡ô�ý� Ô÷�4�0,ÿåþv÷¡ôk.�ýxþvý��1$(�ý D �L;>= J ôvùãö±ú+ÿ¯úNô�ýWþ�)!ý<�§ÿåö±ô�ýV Äþvù�üÄøåý�)+4���ý�W9ô�*1.�ýþvý��1$(�ý&ô�õÄÿÃ÷;ÿåúNô�ý�þ�)!ý��§ÿÃö¤ôvýk Äþvù�üÄøåý�) ôvùxô�õÄý; Äþ�ùHüÄøåý�)»ù���÷�ù�ø9�9ÿ¯úÔû.þ�ö±ú&�§ù�) ÿåúÔ÷¡ôvö�ú(�ý�÷;ù��� 9��*9�� ? � 4 ��ý¥þ�ý�)!ö�þ��<ô�õÔö±ôô�õÔýãÿ¯úNô�ýWþ�)!ý<�§ÿåö±ô�ýM Äþvù�üÔø¯ý�) ÿå÷�ö+.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý�ù�úÄý�*kÿT4 ý�4�*�ô�õÄý�H7þv÷¡ô5 Ôö±þ�ô�ù���ô�õÄýSþ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHú«ÿÃ÷<öA÷¡ôvö�ú(�Äö±þ�� .�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ýô�ù:.�ù�þ�÷¡ô�0Z�ö�÷�ýY Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿå÷¡ô�ÿ"��ùNù��Jþvý��1$(�ô�ÿåù�úI4�93úÔø��AôvõÄýS÷�ý��ù�ú(� Ôö±þ�ô�ù���ô�õÄýãþvý��-$()ôvÿ¯ùHúI*I�Æþvù�) ôvõÄýãÿåúHôvý�þ�)!ý��§ÿÃö¤ôvý

Äþvù�üÄøåý�)�ô�ùãôvõÄý5 Äþvù�üÔø¯ý�)�ù���÷�ù�ø9�9ÿ¯úÄûãþ�ö±ú&�§ù�)�ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�*7ÿå÷ öM.�ùHþv÷¡ô�0;ôvù�ö���ýWþvö�û�ýN0Z�öH÷¡ý3þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�úI4[_&õÄý�ö��1�¤ö±úNôvö�û�ýù��,ÿ¯úNôvþ�ù1�1$(�ÿ¯úÔû�ôvõÄý�ÿ¯úNôvý�þ�)'ý<�§ÿÃö¤ô�ý' Äþvù�üÄøåý�)�ÿå÷�ôvõÔö¤ô&ô�õÔýXH7þv÷¡ôk Ôö±þ�ô�ù��kôvõÄý�þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�ú Fo.¥õÄÿ"�õ+ÿåú���ùHø��HýW÷�÷¡ùHø��9ÿåúÄû,)ãö�ú��ÿåúÔ÷]ô�ö±ú(�ýW÷�ù��§ôvõÄý�ô�ö±þvû�ý�ôU Äþvù�üÄøåý�)2LÿÃ÷Dö ÷¡ôvö�ú(�Äö±þ��xþvý��1$(�ô�ÿåù�ú5.¥õÔý�þvý�ö±øåø� Äþ�ùHüÄøåý�)ã÷�ö�þ�ý�÷¡ùHø��Hý��xÿåú<ô�õÔý8.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý�4�93ú(�ýô�õÔýFD �L;>= Ôþ�ùHüÄø¯ý�) õÔö�÷&üPý�ýWú/þvý��-$(�ý<�ãô�ù�ô�õÔý�ÿ¯úNô�ýWþ�)!ý<�§ÿåö±ô�ý' Äþvù�üÄøåý�)+*Nô�õÄýV.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý¥ô�ùãö��Hý�þ�ö±û�ý�0EWö�÷�ý&þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHú�ö�úAü7ý�ýNW1 ÄþvýW÷v÷¡ý<�#ÿ¯ú«ö2�ùHú(�ý� §ô�$Ôö�ø¯ø9�#÷¡ÿ9)� Äø¯ýWþ3÷�ý�ô�ô�ÿåúÄû/.¥õÄýWþ�ý�ö�÷¡ÿåúÄûHø¯ý/Fo.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý�L�ÿ¯ú7÷]ô�ö±ú(�ý<ù��Dô�õÔý�ÿåúHôvý�þ�)!ý��§ÿÃö¤ôvý Äþvù�üÄøåý�)�ÿå÷¥þvý��-$(�ý<��ôvù!ö!÷�ÿ¯úÔû�øåý2FÆþ�ö±ú(�§ù�)2L�ÿåúÔ÷¡ôvö�ú(�ýxù��,ô�õÔý<ö���ý�þ�ö±ûHýN0Z�öH÷¡ýk Äþvù�üÔø¯ý�)!4_&õÄý�þ�ý�÷]ô ù��;ô�õÄÿÃ÷x÷¡ý<)ôvÿ¯ùHúAÿå÷3ù�þvûHö�úÄÿ��Wý��#ö�÷;�Æù�øåøåù=.�÷�4�ó�ú 8 $ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�ú %(4 ¤ .�ý�þvý��-$(�ý D�� ;F=`ôvù�ô�õÔý�ÿåúHôvý�þ�)!ý��§ÿÃö¤ôvý

Äþvù�üÄøåý�)+*Nö±ú(�'û�ÿ9��ý¥÷�$ )2�ÿåý�úNô8�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú7÷7�Æù�þDôvõÄý ÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷�ù��Pô�õÄý�øÃö¤ô�ô�ýWþ�4,ó�ú 8 $ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�ú$%-4iCX.�ýk Ôþ�ý�÷¡ýWúHô;ôvõÄýx.�ù�þ�÷]ô�0C ,

Page 25: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

8 ��)�üPù�ø \]W1 Äøåö�úÔö¤ôvÿ¯ùHú ¥ý��Æý�þvý�ú(�ý� 7 ý�ö�÷�ÿ¯ø9�/�§ý<�ù1�Äö�üÄø¯ý�PIFo^ULE0E 7ýWþ��Æý<)ô�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý _&õÄýWù�þvý�) %(4 �T 7 ö�ø�)!ùN÷]ô¥ù�þ�ô�õÔù�û�ùHúÔö±ø�÷�$ÄüÄøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�ù����XF�� 7 L \8K�$7ö¤ô�ÿåù�úF %(4 C�L� D �L;>=Kÿ¯ú- ($§ô�øåö±ô¡ôvÿ9�ý� ö�ø�)!ùN÷]ô¥ù�þ�ô�õÔù�û�ùHúÔö±ø�÷�$ÄüÄøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�ù����XF���L \8K�$7ö¤ô�ÿåù�úF %(4 ��L� �%$Ôø¯ø�þ�ö±ú(�S÷�$ÔüÄøåö±ô¡ôvÿ9�ý.ù����'F���L� 7 > ü7ýWø¯ÿÃö±ú#ûHþ�ù�$- F��XF��H7&L?)!ù1�1$Äøåù �XFCT 7(L�L �3ýNHÔúÔÿ ôvÿ¯ùHú��-4 ¤� kÿ¯úÔýWö±þ?�%$Äú&)ô�ÿåù�ú:)ãö� - ÄÿåúÄû_T 7ãôvù � \8K�$7ö¤ô�ÿåù�úF %(4 ,�LF � e

�Z � e � L �Hý��ô�ù�þ�÷�ÿ¯ú<�'F�� 7&L#V �'F���L�ù�$§ô� -$§ô�ü��ãôvõÄý<÷�ö�)� Äø¯ÿåúÄûãö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() ký�)�)ãö %(4 %

) e �

ûHþ�ù�$- SýWø¯ý�)!ý�úNôYF � e �)!ù1�_T 71LSY�� 7

) e ÷�$-)�ù��?) e ��ÆùHþ�� O ¤7Z:9�9:9(Z �Fo^UL�Fo^UL �;$-)�üPý�þ ù��,÷vö�)� ÄøåýW÷[$7÷¡ý<�Sôvù!û�ý�úÔý�þ�ö¤ô�ý.ýWö��õ ) e \8K�$7ö¤ô�ÿåù�úF %(4 ��L

� õÔù�)!ù�ûHý�úÄýWù�$Ô÷�øåÿ¯úÄý�ö±þ&ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�ú+ù=��ýWþ�� 7 FÆÿåú- -$Äô�ô�ù �ML� F��(L ÷�ý�ô¥ù��D÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷�ô�ù!ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�ú�� �3ýNHÔúÔÿ ôvÿ¯ùHú��-4 ¤� ÷�ù�ø9$§ôvÿ¯ùHúSôvù'ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHú��+ù�$Äô� -$§ô3ü�� �^ þ�ö±ú(�ãù�� � 7 Z T 7 Z � Z � ö�ú(� �� F%^UL ú�$-)�ü7ýWþ¥ù��7�¤ö±þvÿåö�üÄø¯ý�÷�ÿ¯ú ��?F%^UL ÷��ö�ø¯ÿåúÄû,�:ö��ô�ù�þk$7÷¡ý<�/ÿåú+ô�õÄý5�ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú+ù��T 7 \8K�$7ö¤ô�ÿåù�úF %(4 ¤ L�QFo^UL øåý�úÔû±ô�õ+ù��,ô�õÔý<÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHú,�!þvý�ô�$ÄþvúÄý��/ü�� � _&õÄýWù�þvý�) %(4 �\AF%^UL D �L;>=`ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåù�ú2�:ö�)ôvù�þ _&õÄýWù�þvý�) %(4 �PIF%^UL $( - 7ýWþ�üPù�$Äú(�/ù�ú`C �eF��XF���L�L`g�* � F��XF � L�L. e

�ù76�÷�ý�ôk�Hý�)ôvù�þ � e � ( � F � e � L� ù�$§ô� ($§ô�ù���� \8K�$7ö¤ô�ÿåù�úF %(4 ��L

_�ö�üÄø¯ý ¤ � 8 ��)�üPù�øÃ÷[$Ô÷¡ý<�+ÿ¯ú+ô�õÔý�þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHú/�Æþvù�)/D�� ;F= ��J ôvù��>��&� � ? � 4ô�ù�ö���ý�þ�ö±ûHýN0Z�öH÷¡ý�þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�ú��Æþvù�) ô�õÄý3ÿ¯úNô�ýWþ�)!ý<�§ÿåö±ô�ýx Ôþ�ùHüÄø¯ý�)»ôvù �?9��39`Fo_&õÄýWù�þvý�) %-4 ��LS47_&õÄý3þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHúãÿå÷�üÔö�÷�ý��!ùHúöx÷�ö�)� Äø¯ÿåúÄûV Äþvù1�ý��-$Äþ�ýVF, ký�)�)ãö %-4 %�Lkô�õÔö±ô�ÿå÷A�ÄýW÷��þvÿ¯üPý��'ö±ú(�'ö±ú7ö±ø9���Wý���ÿ¯ú 8 $Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú�%-4 �-47_&õÄþvý�ý�ô�ý<�õÄúÄÿ"�ö±ø§øåý�)�)ãö�÷F, ký�)�)ãö�÷ %-4 � * %(4 �ö±ú(�#%-4 ¤ ��LA$Ô÷�ý��Sÿ¯ú/ô�õÄý' Äþvù9ù��kù��~_&õÄý�ùHþ�ý�) %-4 �<ö�þ�ý' Äþvù=��ý��!ÿåú 8 $ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�ú(%(4 ,!ö=�Çôvý�þ&ýW÷¡ôvö�üÄøåÿå÷�õÄÿåúÄû÷�ù�)!ý<ÿ9) Pù�þ�ôvö�úNôx Äþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷�ù��,ôvõÄý�÷vö�)� Äøåÿ¯úÔû2 Äþvù��ý��1$Ôþ�ý�4�0Ôù�þ þvýN�ÆýWþ�ýWú(�ý�*ÄôvõÄý<úÄù�ôvö¤ôvÿ¯ùHúJö±ú(�A÷���)�üPù�øÃ÷k$Ô÷�ý��#ÿåúAô�õÔýþvý��1$(�ô�ÿåù�ú#ö±þvýxø¯ÿÃ÷]ôvý��+ÿåú+_,ö±üÔø¯ý ¤ 4�>��� � �F� ! �H� ��(+/ ���.! ��� � &)("* ,.� � /ó�ú�ôvõÄÿÃ÷�÷�$ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�úI*�.�ý'�ÄýNHÔúÄý3ô�õÔý3ÿåúNô�ý�þ�)!ý��§ÿÃö¤ôvýX Ôþ�ùHüÄø¯ý�)+*Hþvý��1$&�ýFD�� ;F= ôvù�ÿ¯ô�*Äö�ú(�M ÄþvýW÷�ý�úNô¥÷�$ )M�ÿ¯ýWúNô[�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú7÷�Æù�þ¥ÿ¯ôv÷ ÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHúI4A_&õÄý�ÿåúHôvý�þ�)!ý��§ÿÃö¤ôvý' Ôþ�ùHüÄø¯ý�)�ÿÃ÷¥ýW÷v÷¡ýWúNô�ÿÃö±øåø���ö�ú/ÿåú(�þvý�)!ýWúHô�ö±ø��Hý�þ�÷¡ÿåù�ú/ù���D�� ;F=V*-.¥õÔý�þvý.ûHÿ��Hý�ú#ö!÷¡ý�ôù��Døåÿ¯úÄý�ö±þvø��ãÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHôX��ý��ô�ùHþv÷ �]*Äù�úÄýxõÔöH÷�ô�ù HÔú(�#öã÷�ÿ¯úÔû�øåýx÷�øåÿ¯ûHõHôvø��/÷¡õÄùHþ¡ôvý�þ&øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý#��ý<)ô�ùHþ�4� Y�� $-)�&()�#%$ !�.(� �'�-��ó�ú(�þvý�)!ý�úNô�ö±ø��.ý�úÄýWþvö�ø¯ÿ9��ý<�Jó�ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô �;ý�)ôvù�þ�÷�4�þvù�üÄøåý�) � ����D�� ;>= J ���8�7��=�V� �:����� B�^;���RaR2o��� I����J"� �?�X�!����RXP�@'^ ;���e�����J; J���CB���>(�V�'B��D�(RX������REP����#�%" �XF���L�����R�"��@LJ����� b �ab ! \AF%^UL�R � F��XF���L�L��V�A�CB`�A�F%^ ( ¤ LN�zB��<M�V�(�JoP��e�A;C��J`>(���2>C;��A�e� � "h÷� Ôö±úIF � L��8���$B=� @NP��Y�:;��=RTR2o���Y�=����RZP=��� Y��XF���L ,�� �JK(� �!R��-�=R#bA�&b/8 b �ab(g�C& _&õÄý'�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû'ôvõÄý�ùHþ�ý�)�÷¡õÔù=.�÷�ôvõÔö¤ô D �L;>= J ÿÃ÷¥ý�ö�÷�ÿ¯ø9��þvý��1$(�ÿ¯üÔø¯ý.ô�ù ����D�� ;>= J 4

'�� Y # Y&X !�.87 �UP��/���8J @ Ks�e��R�oPA�-� � ���'BM\ �XR��-����� "�2��>e��P7I��7ID�;�"�SR�o� >-PA; J��ePA< o�A;8R2�<��/��� B�K(��R2oP���@���P�< ��P�;�������D�� ;>= J �� R��-� OQP����SRk���=�N���EO��R�� � �*�>e��P�I���IV�;=�R J����kREP/��P�; �(���� ���� D �L;>= J ��R��(� OQP=���SRT�����=�����TO��R��d� �*�>e��P�I����ID�;��R J��2 $ �#T#� � ��ý�û�ÿ9��ý�ö±ú#ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ýxþ�ý<�1$(�ô�ÿåù�ú F:÷�ý�ý 8 $Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú`C-4 %�L]�Æþvù�)/D�� ;F= J ô�ù ����D�� ;>= J 4��8�J_&õÄý�ùHþ�ý�) C14iC�C-*ô�õÔÿå÷kÿ�)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9� ÿ9)� Äø¯ÿåýW÷�ö¥÷]ô�ö±ú(�Ôö±þ�� Fo Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿÃ÷]ôvÿ9<LT��ùNù�� þvý��1$&)ô�ÿåù�úxüPý�ô3.�ý�ýWú3ôvõÄý;ô3.�ùk Äþvù�üÄøåý�)ã÷�4� �ý�ô��2F�� Z � Z �!LüPý<ö� Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿå÷¡ô�ÿ"xö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)�÷�ù�ø9�9ÿ¯úÔû ����D�� ;>= J ÿåú+ô�õÄý5.�ù�þ�÷¡ô[Wö�÷�ý'.¥ÿ¯ô�õ#úÄùHú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý' Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3� �1Fo^ULS4Q_&õÔýÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��Hý�þvý��1$(�ô�ÿåù�ú F�� Z L Z Z � Z L�ÿÃ÷,�ÄýNHÔúÄý<�ßö�÷#�Æù�øåø¯ù=.�÷�4�¥ý�øÃö¤ôvÿ¯ùHú ��ÿÃ÷�ô�õÄý+÷¡ý�ô�ù�� ö�ø¯ø'F�� Z �~L#.¥õÄýWþ�ý�$ÿå÷�ô�õÔýD�� ;>= ÿ¯ú( -$§ô#øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�*3ö�ú(� � " �'F���L�ÿÃ÷#ö )ãö=W§ÿ9)ãö±ø3÷�ý�ô#ù��<øåÿåúÄýWö�þ�ø9� ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô+øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý��ý��ô�ùHþv÷/÷�$(�õáô�õÔö±ô

C7�

Page 26: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

b �ab 8[b ��b=45Fa_&õÄÿå÷'�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úAÿÃ÷ ÿåúNô�þvù1�1$(�ý<�+ô�ùJ)!ö���ý�÷�$Äþvý�ô�õ7ö¤ô ôvõÄý�÷�ÿ9��ý<ù�� �àÿÃ÷x Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø,ÿ¯ú#ôvõÄý�ÿåú- -$Äô.÷�ÿ��Wý�4iLó�úÄÿ¯ô�ÿÃö±øåø���* �Aÿå÷�÷¡ý�ô�ô�ù�ôvõÄý�ÿåú- -$§ô�üÔö�÷�ÿå÷ &F � L�O �/4�L; 7ùHú!ô�ý�þ�)!ÿ¯ú7ö¤ô�ÿåù�úU*±ô�õÔý ÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��Hý&þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHúãù�$§ô� -$§ô�÷;ô�õÔý;N$Äþvþvý�úNô÷�ý�ô ��F�� Z �~L O �]4 4�þvù�ûHþ�ý�÷�÷�ö¤ôãýWö��õßÿ ôvý�þ�ö¤ôvÿ¯ùHúpÿÃ÷,)!ý�ö�÷�$Äþ�ý<�àü��Òô�õÄý!�%$Äú&)ô�ÿåù�ú L F�� Z �~L�O > 7e"! � bA� e bD��4 � ù±ôvÿ9�ýô�õ7ö¤ôM�%$Äú(�ô�ÿåù�ú L ÿå÷2 7ùHø��9úÄù�)'ÿÃö±ø&ôvÿ�)!ý �ù�)� -$§ô�ö±üÄøåý�4Êó�úhùHþ��Äý�þ!ô�ù �ù�)� Äøåý�ôvý#ô�õÄýJÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý#þvý��1$(�ô�ÿåù�ú .�ý+ûHÿ��HýAö Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿÃ÷]ôvÿ9Y 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�økôvÿ�)!ý'ù�þ�ö��øåý�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) �� FÇô�õÔý�ÿ¯ô�ýWþvö±ô�ÿ9��ý�÷¡ô�ý� &L�ô�õÔö±ô.ùHúÜÿåú- -$§ô�öSþ�ö±ú(�J^ßøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý'üÔö�÷�ÿÃ÷� ö±ú(� ^Zø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9�Òÿ¯ú&�§ý� Pý�ú(�Äý�úNôãøåö±ô¡ô�ÿ"�ýJ��ý<)ô�ùHþv÷ � " �XF � L�÷�$(�õàô�õ7ö¤ô \7Fo^ULSR � F��'F���L�L � b���b98 b ��b=*7H7ú(�Ä÷'ö÷�ý�ô ù��,øåÿ¯úÔýWö±þvø9�Sÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý5�Hý�)ôvù�þ�÷���!�÷�$&�õ/ôvõÔö¤ô2b �"! b087b:� b.ö�ú(� L F��"!9L�8 L F��~L�g�C .¥ÿ¯ô�õAúÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3� �1F%^ULN4>�øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() � F�� Z �~L7.�ù�þ��9÷;öH÷A�ÆùHø¯øåù=.�÷�4- �ý�ô � üPý¥ôvõÄý�ÿåú(�§ýNW!ù���öxøåù�úÄûHýW÷¡ô]��ý<)ô�ùHþ�ÿåú �A*Nÿa4 ý�49* b7� e b O b���b�*Hö±ú&�!ø¯ý�ô

� Oá÷� Ôö�úIF5� � Z:9�9:9(Z � e OT� Z � e _�� Z�9:9:9(Z � 7-L�üPý�ô�õÄý#Fo^ (2¤ LZ0E�Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�úÔö�ø�õ��� 7ýWþ� Ôøåö�úÄý�÷� Ôö�úÄúÄý���ü��3ôvõÄý&ù±ôvõÄý�þ7��ý<)ôvù�þ�÷�4U_&õÔýÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��Hý¥÷]ôvý� �ù�) ($§ô�ý�÷ �]O �/F�� Z � Z �!LDö�ú(���õÄý���§÷,ô�õ7ö¤ô]��ý<)ôvù�þ �¥÷vö¤ô�ÿÃ÷�HÔýW÷ � Y<�'F���L�, ��ö±ú(�+b7�Ub/8 b���b�g�C-4kóE�÷�ù(*±ôvõÄý�ú þ�ý� ÄøÃö��ý�÷ � e .¥ÿ¯ô�õ ��*Nö�ú(�!ù�$§ô� -$§ô�÷��"!%O B � � Z�9:9:9DZ � e OT� Z � Z � e _�� Z�9:9:9(Z � 7�DT4�9 ôvõÄý�þ�.¥ÿå÷�ý ÷�ÿ�)� Äø9�'ù�$§ô� -$§ôv÷�ô�õÔýÿåú- -$§ô3÷�ý�ô.� ! O �]4/� ù±ô�ÿ"�ýxôvõÔö¤ô�ÿåúAüPù±ô�õ:Wö�÷�ýW÷�*§ô�õÄý�ù�$§ô� ($§ô � ! ÷�ö±ô�ÿÃ÷3H7ýW÷&ôvõÄý�þ�ýWøåö±ô�ÿåù�ú�F�� Z � ! LSY � *Äÿa4 ý�49*�� ! " �XF � LÿÃ÷�öã÷¡ý�ô�ù��7^«øåÿåúÄýWö�þ�ø9�Sÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ý�úNô øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý#�Hý�)ôvù�þ�÷¥ö±ú(� b���! b08 b �ab,8 b:� b�4��Aù�þvý�ù=�Hý�þ<*9ÿ �;ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) �2F�� Z � Z �!L÷�$(��ýW÷v÷3�%$Äøåø9��þ�ý�ô�$ÄþvúÄý<�/ö��Hý�)ôvù�þ�� Y��XF � L ,�� ÷vö¤ôvÿå÷��%�9ÿ¯úÄû9b7�Ub�8 b���b�g�C-*HôvõÄý�úL F � Z � ! L�O L F�� Z �~L bA�&bV�bA� e b � O L F � Z �UL

b7�UbD�b �ab � 8

L F�� Z �~L, 9

_&õÄÿÃ÷/ Ôþ�ù=�HýW÷ãôvõÔö¤ô/ô�õÄý�ÿ¯ô�ý�þ�ö¤ôvÿ��HýÜ÷¡ô�ý� `÷�$&��ýWý��Ä÷/ö¤ô+ø¯ý�ö�÷¡ôJ.¥ÿ¯ô�õáôvõÄýÒ÷�ö�)'ý FÆúÄùHú10FúÔý�û�øåÿåû�ÿåüÄø¯ý�LM Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3� �1F%^ULSù��ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() �M4 �

_&õÄý'�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû!øåý�)�)ãö'ýW÷¡ôvö±üÔø¯ÿÃ÷¡õÔýW÷¥÷�$ )2�ÿåý�úNô;�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔ÷?�ÆùHþ&ô�õÄý<÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú+ù�� ����D�� ;F=V4

��Y&X%X�� !T."��� ��R ��� � �SF�� Z � Z �!LdI��!�>���P7I��7ID�;�"�SR2o� >-PA; J��ePA< o�A;[R��<M�+P=�����V;��:�A; ��P=�J�R�� < R��-�=R5PA�3��A>CK1R#�`���A��B/^;���RaR2o��� I��=� "�G�?�?�]@ Ks;�;U������B2�JK IN�N��R � " �XF � L��A�CB!��� F%^ ( ¤ LS�zBA�<��D�-�JoPA�e��;T��J`>(���2>C;��A�e� � "á÷� Ôö±úIF � L��/<M��B��S����J����7;��MP=�����D;��2����;�;���Y � ? � 7 �7 �[�A�CB��o>e��P��(,B�� B!R��(� �VK(��� J"� �A�-�SOQ�N���`BJO��R���/�=��;=,BJ�NPA;�K1R2oP��B�dY � F��(L �+P�K1R=>CK1Ra�,�;���RaR2o���M�=����RZP=��� Y �XF���L3 - ���JKs<���R��-��R�@NP��M�A�+J ���>'K1RXF � Z � Z �!L �JK(�`� R��-��R,b���b�! \AF%^UL/R � F��'F���L�L+�'R��(�M�=���NRZP=���� Z � Z �F>e��P(BAK(��� B�I J � � � �SF�� Z � Z �!L#���=R2"��@LJMR��-�/@NP�;�;9P=O����� >e��P >-���SR�o�N�

N R��(�V�SRE��R�"�SR2o����;-BA"�SRE�A�e��� I���RaOQ���D� R��-���VK(��� J � ���'BJ�Ks� @NP��J< ; JdB�"�SRa�J,IDK1RZ�`B � Y�� ? � 7 �7 "� �e�E�A;= �A,ID;��*�/� ��� ��� F�� Z � L�O ^ OQP.����� ZN @NP=�Y���8J @� Y�� ? � 7 �7 ���CB @��Y � F @�&L1,�\- ]2�AR��-� ��P��CBA�R�oPA�e�A; >���P7I��7ID�;��R J/R��-��R'� gY � "�Y�=R�;������SR

4�þ�\�� gY � $ �O @� Z � O @� ]EO �VF ¤ L Z

N @NP=�Y���8J @� Y�� ? � 7 �7 ���CB @��Y � F @�&L+�]R��-� ��P��'B��R2oP��e�A;£�CIV>-����RE��R�oPA�P�@ bA�&b "�5��R/<MP��SR\]W1 IB b7�Ub0$ � O @� Z � O @�=D?O & � b @�Qb�RUb���b�QF%^UL � 9

�'�-�D� �A@NP=�[���8J;���A�CB�PA< ��<� Bn>e��P<��� B�K1����� R��-�=Re��P�; ���N� �?9��39 � ? �2O��R�� ��P��(�j���E�A;� �7,ID;���>e��P�I��7ID�;��R J �1Fo^UL+� � � F�� Z � Z �!L��P�;��=�N������ D �L;>= J O��R���� �*� >���P7I���IV�;��R J ��� �VF��1F%^UL�L3 $ �#T#� � �ý�ô � üPý�öãþ�ö±ú&�§ù�)!ÿ9��ý��+ Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvýxô�õÔö±ô.÷�ù�ø9��ý�÷ � 9��*9 � ? �:.¥ÿ¯ô�õJúÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý# Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3�(�1F%^ULN4 ��ý.&ö±úNô�ôvùX Ôþ�ù=�Hý�ô�õ7ö¤ô�*��Æù�þ;ö±ú��V�¤ö±øåÿ9��ÿ¯ú( -$§ô�* � � F � Z � Z �!L,÷¡ùHø��HýW÷ ����D�� ;F= J .¥ÿ¯ô�õ Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3� �VF �1F%^UL�LS4�� ö�)!ý�ø9��*=.�ý.&ö±úNô;ô�ù5 Ôþ�ù=�Hý&ô�õÔö±ô]�Æù�þ�ö±ú���þ�ö±ú-�,^#øåö±ô¡ô�ÿ"�ý üÔö�÷�ÿå÷H�/*��%$ÄøåøÔþ�ö±ú-�!÷�$ÄüÔ÷�ý�ô�� " �XF � L�÷�$(�õ!ôvõÔö¤ô0b �ab/! \AF%^UL R � F��XF���L�LN*ö±ú&� Fo^ ( ¤ LZ0E�Äÿ�)!ý�ú7÷¡ÿåù�úÔö�ø¥õ��� Pý�þ� ÄøÃö±úÄý � " ÷� 7ö±úUF � LN*? Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvý � � F�� Z � Z �!L'ù�$§ô� -$Äôv÷SöÒøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý:�Hý�)ôvù�þ � Y�XF � L',���ù���øåý�úÄû�ô�õ%bA�&b/8 b���b�g�CY.¥ÿ ôvõ+úÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåýV Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3� �VF��1F%^UL�LS4æ 0 �Uf3jkf3j?��f3d�tTu�m�t��Nqahil�y3f��:qTrSg pNf3q��������� ��Yhil]tTu<fn{%vJ�j����y,��|J�jx���m�l�w?zSh pNf3l[mIpNf3y3tarSd���h t(hiq-f�m�qan]tar7yEu�f3yE�Qh s���hiq(m~y3rSdTdaf�yZt(qTrSgi��tThirSlQtTrm�l��������� ��Mhil�qotEm�l<y�fS��tau�fAqa��y3y�f3qaq~v�darS�=m���higih t�nxr�s���y�m�l'��f7fjiky3hif3lNtTg n;��r�rSqotTf3w's�dTrSj m�lNn;l�rSl<��l�f3zSgihizShi��gif~s9dTm�y3tahirSlXtar?fZ��v�rSl�f3l�tah�m�gig ny3girSqTf7tar[rSl�fS�

C�%

Page 27: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

> ÷v÷�$-)!ýM.¥ÿ ôvõÄù�$§ô�ø¯ùN÷�÷xù���ûHý�úÄýWþvö�ø¯ÿ¯ô3�Aô�õ7ö¤ô �+F��(L�ö±ø9.�ö��§÷.þ�ý�ô�$ÄþvúÔ÷<ö Fo 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø����ýWþ�ù�L3÷�ù�ø9$§ôvÿ¯ùHú �+F��&L Y � F��(L�ù��øåý�úÄû�ô�õ�b �!F��(L�b>8 �QFo^ULS4�_&õÄý#ö�÷v÷�$-)� §ôvÿ¯ùHúßù�ú � ÿÃ÷<ôvõÔö¤ô�4�þ�\ �+F � L +O E]MO �1F%^ULY.¥õÄý�ú � Y$� ? � 7 �7 ÿÃ÷,�õÔùH÷�ý�ú$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��!ö¤ô�þvö�ú(�§ù�)+4 8 ÿåú(�ý��+F��&L�ö±ø9.&ö��9÷Dþvý�ô�$ÄþvúÔ÷�ö#�¤ö�ø¯ÿ"�ã÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�ú ��Y � F��(LS*Nô�õÔý�ù�$§ô� -$§ô?��ý��ô�ùHþ ��ÿÃ÷�û�$Ôö±þ�ö±úNô�ýWý��ô�ù�ü7ýWø¯ùHúÄûxô�ù�ôvõÄý�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýF�'F���LS4 �«ý úÄý�ý<�'ô�ù<üPù�$Äú&�'ô�õÄýx Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3��ô�õÔö±ô���ö±øÃ÷�ù<÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý�÷ � gY ��ö±ú(�+b7�Ub/8=b �ab(g�C-4��ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þ&ö±ú/ýNW§ý��$§ô�ÿåù�ú/ù���� � F � Z � Z �!LnO���*§ö±ú&��øåý�ô �!F��(L�O���üPý.ô�õÄýxùHþvö��øåýX�ö�ø¯øe)ãö��§ýxü�� �M4���ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÄÿåúÄû�ùHúô�õÔý#��ö�ø�$Ôý.ù�� �#ö�ú(� �-*Ôö�ú(�SþvýW÷¡ô�þvÿ")ô�ÿåúÄû!ù�$Ôþ�ö¤ô¡ôvý�úNô�ÿåù�ú/ô�ù'ôvõÄý�úÄù�ú(��ý�þvùã÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úÔ÷�� +O I*1.�ýxû�ý�ô

4�þ�\-��gY �[D bA�&b/8 b���b�g�C&] OO �

�� ��4�þ�\��O @�:D � O @� ] RD4�þ�\�� gY �7D b7�Ub/8 b �ab(g�C2$ �O @�^D � O @��]

. ��� ���� �� �! �

4�þ�\ ��O @�^D,� O @��] R�F,4�þ�\-� gY � $ �O @�^D,� O @��] ( 4�þ�\&b7�Ub ! b �ab(g�C�$ � O @�:D � O @� ]�L Z

.¥õÄýWþ�ý'ô�õÔýS÷�$() )ãö±ô�ÿåù�úÔ÷xþ�ö±úÄûHý�ù=�Hý�þ�ö±øåø @�dY � ? � 7 �7 ö±ú(� @�qY B �!F @�&LZD�Z � F @�&L 0 VF �8F%^UL�LN4 �?�«öH÷�÷�$-)� §ô�ÿåù�ú�ù�ú �M*�Æù�þ�ö±ú�� @�cY � ? � 7 �7 ö±ú&� @�5Y � F @�eL�÷�$(�õ�ô�õÔö±ô � � b @� b 8��QF%^ULN*Dô�õÄý�ô3.�ù`�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú7ö±ø] Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô�ÿåýW÷<ÿ¯úÒôvõÄý�øÃö�÷¡ôýNW1 ÄþvýW÷v÷�ÿ¯ùHú/÷vö¤ô�ÿÃ÷��%�

4�þ�\��gY � $ �O @�^D � O @� ]]O �VF ¤ L Zö±ú&��*1$Ô÷�ÿ¯úÄû�Üö±þ���ù=�!ÿ¯úÔý�K�$Ôö±øåÿ¯ô3��*

4�þ�\&b7�Ub ! b �ab(g�C�$ �O @�:D � O @� ] 8\AW1 IB bA�&b0$ � O @�^D,� O @��D

b���b�g�C8 & � C b @�Qb�RKb���bb���b/R �8F%^UL � O'&1F ¤ L 9

>;�(�§ÿ¯úÔûM$- !�Æù�þ�ö±øåø� PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý'�¤ö�ø�$Äý�÷¥ù�� @�#ö±ú(� @� +O !.�ýxû�ý�ô4�þ�\�� gY �7D b7�Ub/8 b �ab(g�C ] . �

�� ���� �� �! �4�þ�\��O @�^D � O @��] R�F �VF ¤ L ( &1F ¤ L�L

O �VF,4�þ�\�� +O ]�L 9

��ù�ô�ÿ"�ý�ôvõÔö¤ô#�:O �!F��(L¥ö�ú(��4�þ�\ �+F � L.+O E] O �1Fo^UL[.¥õÄýWú � Y � ? � 7 �7 ÿÃ÷x$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��!�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý���4��?�+öH÷�÷�$-)� §ô�ÿåù�úU*ô�õÔý<÷]ô�ö¤ô�ÿÃ÷¡ô�ÿ"�ö±øI�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý � F�� Z � L¥ü7ý�ô3.�ýWý�ú �#ö±ú(� � ÿÃ÷&úÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý�4]_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*9ü�� ��ù�þvù�øåøÃö±þ��MC-4 ¤ ��*4�þ�\�� +O E] O 4�þ�\ �!F��(L+O E]

. 4�þ�\ �!F � L+O ] ( � F�� Z � L. �1F%^UL ( ^ OQP.����� 9

8 ù&*��Æù�þ�ö±øåø�úÄùHú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý �1Fo^ULS* 4�þ�\�� gY �7D bA�&b/8 b���b�g�C&],. �VF��1F%^UL ( ^?OQP.�����3LnO �VF �1F%^UL�LS4 �

�>�� � �F� / �@!�� ("�����.# �"! *��ó�úãôvõÄÿå÷&÷�$ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�úM.�ý3÷�õÄù=.hô�õÔö±ô8�ÆùHþ�ö� ( Äþ�ù� Äþvÿåö±ô�ýx�õÄùHÿ9�ý ù���ûHþ�ù�$- Ô÷ � 7 *Nö�ú(�M Ôö�þvö�)'ý�ô�ýWþv÷ �QF%^UL Z � F%^UL Z \7Fo^ULS*Nô�õÔý�þvýÿÃ÷¥ö!þ�ý<�1$()ôvÿ¯ùHú/�Æþvù�) ÷¡ùHø��9ÿåúÄû ���� D �L;>= ��J ÿåú/ôvõÄý#.�ù�þ�÷]ôk�öH÷¡ý.ô�ù�÷�ù�ø9�9ÿ¯úÔû �?9��39 � ? �SùHú/ôvõÄý<ö���ýWþvö�û�ý�4'�� Y # Y&X !�.���� ��R-PIF%^UL�. ¤ �JK(�`�:R��(�=R[R��(�N���,�CI�"��Ra�Y���������J�; JdB�����P�B���IV;9�S@N��< �; J!Pz@ PIF%^ULN��>-����@N���NR ;9�=RTR�o���N�* �C�(�V�&�@NP=�x�A�+J �QF%^UL�. ¤ � � F%^ULnO ^�� �����?�A�CB8\AF%^ULnO �QF%^UL�PIF%^UL�R e X;F:ø¯ùHû]^UL+�IR��-������"�x�X�����DK(�D�e���kP�@[��! �Do�V�&R�; J5��P�<H>CK1RZ�7ID;��- I��V;=o�������PAK�>&��� 7 P�@ �J��<� ��� 7%8 Fo^�� U WN\7Fo^UL�g � L 7 �JK(� �R��(�=R;�NPA;�������'���� D �L;>= ��J �� R��(�2OQP�����RV�������2O��R��M�s ���>e��P7I��7ID�;��R J/��� B�K(���N�'RZP���PA;��(���� � 9��39 � ? � P�� R��(�,�������������,O��R�� �ePA�(�j���T�7;� �7,IV;9� >���P7I���IV�;��R J2 $ �#T#� � �ý�ô/\ �XF�� 7-L ]�öY�:ö�)!ÿ¯ø9�ãù���ýWö�÷�ÿåø��2�§ý<�ù1�Äö�üÄø¯ý]PIF%^ULZ0T Pý�þ��Æý��ô�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�4�0Ôù�þ&ö±ú�� �QF%^UL�. ¤ ö±ú(� �Fo^ULnO ^���������*øåý�ôk\AF%^ULnO �QF%^UL�PIF%^UL�R�e X;F:ø¯ùHû]^UL&ö±ú(�

�?F%^UL�O ^ * � F��'F��H7(L�LZ\7Fo^UL¤ C 9 F %(4 ¤ L

C��

Page 28: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��ù�ô�ÿ"�ýxôvõÔö¤ô[�Æþvù�)�ôvõÄý5�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú#ù�� �8Fo^UL¥ö±ú(�/\AF%^ULS*7ö±ú(�Sô�õÄý<öH÷�÷�$-)� §ôvÿ¯ùHúSôvõÔö¤ôF�'F�� 7&L�ÿå÷ PIFo^ULE0E 7ýWþ��Æý<)ô<*(.�ý.ûHý�ô�?F%^UL/O ^ * � F��XF��H7&L�L �QFo^ULjPIF%^ULDe X;FÆøåù�û]^UL¤ C . � �QFo^ULVe ^ RJX;FÆøåù�û]^UL¤ C � C [ ^%�eF��XF�� 7&L�L�. C [ ^��eF��XF��H7(L�L 9

8 ù&*��?F%^UL�÷vö¤ôvÿå÷�HÔý�÷.ô�õÄý/�ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHú�ÿåú��3ýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú �-4 C-*�ö�ú(�.�ý2Wö±ú��§ýNH7úÄýSöJ�%$Äøåø�þ�ö±ú-��÷�$Äü7÷¡ý�ô T 7 Z �XF�� 7 LN*,ö�ú(�K�$Äù±ôvÿ¯ýWúNô<û�þvù�$- � 7 O �?F��XF�� 7 L Z �8Fo^UL�LFO �'F�� 7 L�g �XFFT 7 Lx÷�$&�õÜôvõÔö¤ô ��ùHþ�ùHø¯øÃö±þ����14 �#ö±ú(�q �ý�) )ãöM�-4 ,+õÄù�ø"�«ô�þ�$Äý�*ÿT4 ý�4�*

B R Y<= 7 9 b�T 7 R�b�< �?F%^ULnRKbcR�b F %(4 C�Lö±ú&�SûHþ�ù�$- �� 7/õÔöH÷¥÷¡ÿ9��ý�ö¤ôx)!ùN÷]ô

��� 7f8 � � �?F%^UL [ ^C * � F��XF�� 7eL�L �

7O � ^��JU WS\AF%^UL

� � 7 9��ý,�§ý�HÔúÄý�ö2 Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿå÷¡ô�ÿ"# Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ô�ÿ9)'ý�ù�þ�ö��ø¯ý<ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) � � � �¥÷�ö±ô�ÿÃ÷3�%�9ÿåúÄûãôvõÄý �ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔ÷�ÿåú� �ý�)�)!ö(%-4 ,

.¥ÿ¯ô�õ � O @ (4xóOôX�ÆùHø¯øåù=.�÷k�Æþvù�) ký�)�)ãö(%(4 ,Sô�õÔö±ô � � � � ÿå÷xö2 Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿå÷¡ô�ÿ"5 Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ô�ÿ9)'ý .�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ýxô�ù/ö��Hý�þ�ö±ûHýN0�öH÷¡ý�þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�ú`�Æþvù�) ����D�� ;>= ��J ôvù&�?9��39 � ? � 45_&õÄý'ÿ¯úNô�$Äÿ ôvÿ¯ùHúÜüPý�õÄÿåú(� Äþvù��ý��1$Ôþ�ý ��� � �¥ÿÃ÷3ô�õÄý �Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû&4MF 8 ýWý0,ÿ¯û�$ÄþvýJC14iL �Jö� 4�XFCT 7(LxôvùÜöÜ÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�'F � L:O � F��'FCT 7(L�L�"2�'F���L5$Ô÷�ÿåúÄûÜöJøåÿåúÄýWö�þ5�%$Äú(�ô�ÿåù�ú � .¥ÿ ôvõp÷�)!ö�ø¯ø

! ��

X �! �

� F � L

T 7 " �XF�� 7 L

� " �'F���L

��OT� F � L

X �

�XF ��Z �XF�� 7(L�L

0�ÿåû�$Ôþ�ý5C1� 8 ö�)� Äøåÿ¯úÄû!øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý# Pù�ÿåúHô�÷

�§ÿÃ÷]ôvù�þ�ô�ÿåù�úI*Ôÿa4 ý�49*7ö �%$Äú&)ô�ÿåù�ú#ôvõÔö¤ô ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvý�ø9�2 ÄþvýW÷�ý�þ���ý�÷?�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý�þ�ö¤ôvÿ¯ùN÷�4�93úÔý# 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø¯ý#.&ö��ãô�ù�ö��õÄÿåý���ýxôvõÄÿÃ÷¥ÿå÷ô�ù!)ãö� «ô�õÄýãö�ø�)!ùH÷¡ôxù�þ�ô�õÄùHû�ù�ú7ö±ø�÷�ý�ô^T 7Aô�ùAö±ú�ö±ø9)'ùN÷]ôxù�þ�ô�õÔù�û�ùHúÔö±ø,÷�$ÔüÔ÷¡ý�ô � O � FCT 7-L " �'F���Lxö±ú(�ÜýNW9ô�ýWú(� �ô�ùJ÷� Ôö�úIFCT 7-L.ü��ÜøåÿåúÄýWö�þ�ÿ¯ô3��4���ù=.#*~�ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þxôvõÄý$�;ù�þvù�úÔù�ÿA�ýWø¯øÃ÷ �'F ��Z �'F��H7(L�L.ù���ôvõÄý�PIF%^ULZ0T Pý�þ��Æý��ô�øåö±ô¡ôvÿ9�ý �'F��H7&LS40-$Ôú()ôvÿ¯ùHú � )ãö� Ô÷ ýWö��õ`�ý�øåø�ôvùSö2�ù�þvþ�ý�÷� Pù�ú(�Äÿ¯úÄû!þvý�ûHÿ¯ùHú � F��'F ��Z �XF��H7&L�L�Lx�ý�úNô�ýWþ�ý<�Aö±þvù�$Äú&� � F � LN4H4;ö±þ�ô�ÿ¯ô�ÿåù�ú+ô�õÔý Pù�ÿåúHô�÷kù��"�XF � L�ÿ¯úNô�ù.÷�$ÔüÔ÷¡ý�ôv÷�*¤ö���ù�þ��§ÿåúÄû&ô�ù ô�õÄý�÷¡ý�þ�ýWû�ÿåù�úÔ÷�4T4�ÿ"���� F%^ULI 7ùHÿ¯úNô�÷ � e Y<�'F���L�ö¤ô,þvö�ú(�§ù�)!*�ö±ú&�#)ãö� <ý�ö��õù��9ôvõÄý�)`ô�ù�ô�õÄý?�ý�úNôvý�þ � F � e L�ù��9ô�õÔý8�ùHþ�þvýW÷� Pù�ú(�§ÿåúÄû&þvý�û�ÿåù�úU4���ù�ô�ÿ"�ý;ôvõÔö¤ô,ýWö��õxþvý�ûHÿ¯ùHú � F��'F ��Z �XF��H7&L�L�LÿÃ÷köH÷�÷�ù1�ÿÃö¤ôvý��ô�ù!ö<ûHþ�ù�$- �ýWø¯ý�)'ýWúNôVB � D �

Y�� 7�4 8 ù(*NôvõÄýV 7ùHÿ¯úNôv÷ � e �§ý�HÔúÄý �Fo^UL�ûHþ�ù�$- �ý�øåý�)!ýWúHô�÷#) e O B � e D ��

Y � 7�4�L ÷�ý � ôvùHÔú(�/ö�÷�)ãö±øåø7úÄùHú-��ýWþ�ù�÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHú � O �!F��(L�ô�ù�ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHú��O B ) � Z:9�9:9(Z ) ? � 7 � DT4]_&õÔý ù�$Äô� -$§ô&ù���� � F � Z � Z �!L�ÿÃ÷8��ý��ô�ùHþ� O d e � e F � e ( � F � e L�LN4 ��ù�ô�ÿ"�ý'ô�õ7ö¤ô#�Y4�'F���L üPý�Wö�$Ô÷�ý d � e � e ÿÃ÷.ö�ú«ÿåúNô�ýWû�ý�þV�ù�)�üÄÿåúÔö±ô�ÿåù�úÜù���øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý���ý��ô�ùHþv÷�*ö±ú&� d e � e � e Y �XFCT 7 L0Z � O?��F��XF � L�LS42F 8 ý�ý: �ý�) )ãö#%-4��,�Æù�þV�§ý�ôvö±ÿåøÃ÷�4iL ��ý��Æù�þvý5)!ù=�9ÿ¯úÄûSô�ùSô�õÄý!ö��ô�$Ôö�ø£ Ôþ�ù9ù��3*e.�ýÿåú1�Æù�þ�)ãö±øåø���ý�W1 Äøåö�ÿ¯ú+.¥õ��2�Hý�)ôvù�þ�÷�� Z � Z �<ö�þ�ýxýNW1 Pý��ô�ý��/ôvù�÷�ö±ô�ÿÃ÷3�%�ãôvõÄý�ôvõÄþ�ýWý#�ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÔ÷&ÿåú ký�)�)ãö %-4 ,(4xF ¤ L �;ý��ô�ùHþ�fÿå÷M�§ÿÃ÷¡ô�þvÿ¯ü-$Äô�ý��hö±ø9)!ùH÷¡ô $ÔúÄÿ �ÆùHþ�)!ø9�ßö¤ôãþ�ö±ú(�§ù�) ü7ý<�ö�$Ô÷¡ý+�ù9ý+)M�ÿ¯ýWúNôv÷2) e O B � e D �

ö�þ�ý!�õÄùH÷�ý�úfÿ¯ú&�§ý� Pý�ú(�Äý�úNô�ø9��*ö±ú&�/ý�ö��õ+þ�ýWû�ÿåù�ú � F��'F ��Z �XF�� 7 L�L�Lk�ù�úNôvö�ÿ¯ú7÷&þ�ù�$Äû�õÄø9�!ô�õÔý�÷�ö�)!ý.ú�$-)�ü7ýWþ�ù��DøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý# 7ùHÿ¯úNô�÷?�Æþ�ù�) �XF � LN4;FaC�L%�;ý��ô�ùHþ�/�ÄùNý�÷�úÔù±ô�üPý�øåù�úÔûAô�ù�ö±ú��`H-W§ý<�àõ��� Pý�þ� ÄøÃö±úÄý � .¥ÿ ôvõßõÄÿåû�õ Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3�«ü7ý<�ö�$7÷¡ý/ýWö��õ � e ( � F � e L<ÿå÷�÷¡ù�)!ý�õÄù=.þ�ö±ú(�§ù�)!ø��/�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ý<�+.¥ÿ ôvõÄÿ¯ú � F��'F��'F�� 7&L�L�LN4XF���L 0,ÿåúÔö±øåø���*���ÿÃ÷�÷�õÄù�þ�ô¥ü7ý<�ö�$7÷¡ý�ÿ¯ô ÿÃ÷�öã÷�)ãö�ø¯øI�ù�)�üÔÿ¯úÔö±ô�ÿåù�ú#ù��;÷�õÄù�þ�ô

C �

Page 29: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��ý<)ôvù�þ�÷ � e ( � F � e LN*�ýWö��õßù�úÔýSø9�NÿåúÄû.¥ÿ ôvõÄÿåúßô�õÔý+þvý�ûHÿ¯ùHú � F��XF��XF��H7&L�L�LS4 _&õÔÿå÷'ÿÃ÷'ö�úßù=��ýWþv÷�ÿ9) Ôø¯ÿ�HÔý�� �§ýW÷��þvÿ� Äô�ÿåù�úù�� ô�õÄý#þvý��1$(�ô�ÿåù�úI430Äù�þ'ýNWÄö�) Ôø¯ý�*/ �ý�)�)!ö %-4 ,Üþvý�K�$ÄÿåþvýW÷ �§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ÿåù�ú �àôvùÒü7ý+ýNW9ô�þvý�)!ýWø�� �ø¯ùN÷¡ý/ô�ù$ÄúÄÿ��Æù�þ�)+4ßó�úù�þ��§ýWþ�ô�ù�ý�úÔ÷�$Äþvý�ôvõÄý.ö�ø�)!ùN÷]ôQ$ÔúÄÿ �ÆùHþ�) �Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�ú�ù�� ��*1.�ý;.¥ÿåø¯øPúÄý�ý<�ãôvù�÷�ø¯ÿåû�õNô�ø9��)!ù��Äÿ �%�'ô�õÔý.ö�ü7ù=�Hýx Äþvù��ý��1$Ôþ�ý�ü��÷vö�)� Äøåÿ¯úÄûY)!ö�ú��, Pù�ÿåúNôv÷'F � e �Z � e � L�ö±ú&�ãö��-�§ÿåúÄû,$- ãô�õÔýX�ùHþ�þvýW÷� Pù�ú(�§ÿåúÄû:) e � O B � e � D �

ôvù<ù�üÄôvö±ÿåú�ûHþ�ù�$- !ý�øåý�)!ý�úNôv÷) e O3d

�) e

�.¥õÄùH÷�ý#�§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ÿåù�ú#ÿÃ÷¥ýNW9ôvþ�ý�)'ýWø��J�øåùH÷�ý ôvùM$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!4

��ý.úÔù=.áû�ÿ9��ý.ö �Äý�ôvö�ÿ¯øåý��J�§ýW÷��þvÿ9 §ô�ÿåù�ú/ù��~ Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvý � � F�� Z � Z �+LS4n��ù�ô�ÿ"�ý.ô�õ7ö¤ô&ô�õÄýV Äþvù1�ý<�1$Äþvý3ù�$§ô�øåÿ¯úÔý��Sö�ü7ù=�Hý�§ù9ýW÷�úÄù±ôU$7÷¡ýDôvõÄý�ÿåú- -$§ôkõ��� Pý�þ� Äøåö�úÄý�� *�ö±ú(�V�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú�� gY � õÄùHø9�Ä÷I.¥ÿ ôvõ�õÄÿ¯ûHõV Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�;�Æù�þkö�ú��kH-W§ý��xõ��� 7ýWþ� Ôøåö�úÄý� 4;_&õÔý�þvýN�Æù�þvý�*Ôü7ýWø¯ù=. .�ý�÷�ÿ�)� Äø9�J.¥þvÿ¯ô�ý � � F � Z �UL�ÿ¯úÔ÷¡ô�ý�ö��#ù�� � � F � Z � Z �!LS*Pô�ùSý�)� ÄõÔöH÷¡ÿ9��ý�ôvõÄý5�:ö�)ô3ô�õÔö±ô �6�§ù9ýW÷úÄù�ôx$Ô÷¡ý.ôvõÄý�ÿ¯ú( -$§ô�õ��� 7ýWþ� ÄøÃö±úÔý � 4

4�þvù1�ý<�1$Äþvý ��� � �SF�� Z �~L#.�ù�þ��§÷<ö�÷5�Æù�øåø¯ù=.�÷�4M0,ÿ¯þ�÷¡ô�ù�� ö�ø¯øT*DúÄù±ôvÿ9�ýãô�õÔö±ô,$Ô÷�ÿåúÄû �&ö±ü7ö±ÿ2� ÷�úÔýWö±þvýW÷¡ôY ÄøÃö±úÔýSö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)B %=DE*�)!ö±ô�þvÿ W �fö±øåøåù=.�÷�ôvù+ö� - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvý�ö±ú��+��ý<)ô�ùHþ/RcYà÷� Ôö±úIF � LX.¥ÿ¯ô�õ«ö/øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý, Pù�ÿåúNô/."Y �'F��~L0Z �XF � L;.¥ÿ ôvõÄÿåú�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý �MO F [ ^�g�C�L�b �ab~�Æþvù�) RA4 ���!_&õÄý�þvýN�ÆùHþ�ý�*�$Ô÷�ÿåúÄû] ký�)�)ãö'C-4 ¤�¤ *<.�ý?�ö±ú5HÔú(��ö�ú�ö±ø9)!ùH÷¡ô�ùHþ¡ôvõÄù�ûHù�úÔö�ø�÷�$ÔüÄøåö±ô¡ôvÿ9�ý�XF � L�" �'F���L¥÷�$&�õSôvõÔö¤ô

B RqY�= 7 9 b � R�b�< ^�b �ab�RKbcR�b 9 F %(4 ��L �ý�ô � F�RUL O � T O?�7 Ràü7ý�ô�õÄý�ø¯ÿåúÄý�ö±þ�ôvþvö�úÔ÷��Æù�þ�)!ö±ô�ÿåù�ú+ô�õ7ö¤ôX)ãö� Ô÷�X e ô�ù ! e �ÆùHþ3ö±øåø � O ¤7Z:9�9:9(Z ^A4]��ù�)�üÄÿåúÄÿ¯úÔû F %(4 C�Lö±ú&� F�%-4 ��LS*7ö±ú(�J$Ô÷�ÿ¯úÄû:FTC14 ¤ LS*(.�ýxû�ý�ô

B R Y<= 7 9 ¤� � ^�b �ab�8Fo^UL � RKb�R�b,8 b � F�RUL�b,83� � ^�b �ab�?F%^UL � RUbcR�b F %(4 ,�L

ÿT4 ý�4�*&ôvõÄýÜøåÿ¯úÔýWö±þ/�%$Äú(�ô�ÿåù�ú � ÿÃ÷/�ø¯ùN÷¡ýJô�ùpö�úZù�þ�ô�õÄùHû�ù�ú7ö±ø&ô�þ�ö±ú7÷3�ÆùHþ�)ãö¤ôvÿ¯ùHúpôvõÔö¤ô#÷�Wö±øåýW÷�ö�ø¯ø'�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ýW÷�ü�� ö �:ö��ô�ùHþ^�b �ab(g �8Fo^ULS4

��ù�ô�ÿ"�ýxôvõÔö¤ôG�XFCT 7-L&ÿå÷3ö2�ù�)�)'ùHúA÷�$ÄüÔøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�ù��;ü7ù�ô�õ �'F�� 7&L¥ö±ú(� � O?��F��XF � L�LS4;_&õÔý#�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû!øåý�)�)ãö�÷¡õÔù=.�÷õÄù=.�ôvù $Ô÷�ý`�%$Äú&)ô�ÿåù�ú � ôvù�ûHý�ô�õÔý�þ/.¥ÿ¯ô�õ �§ý��ù1�§ÿ¯úÔûfö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() �#;>= � ô�ùh÷¡ÿ9)Y$Ôø ô�ö±úÄýWù�$Ô÷�ø��Z÷vö�)� Äøåý:�Æþvù�) û�þvù�$- 7÷� 7 O �'F�� 7 L�g �'FCT 7 L&ö�ú(���XF � L`g �XF � L#� � O?��F��XF � L�L�g �XFCT 7 LS4

��Y&X%X�� !T.�! �'�(�N���]"�;�5�N�A< >';�������A; ��P��J�R��s< R��(�=RAP�� ��A>CK1R£RaOQP5����� Bk^5;9�=RTR�o���N� �H7`���'B)� �£�n@ Ks;�;&����� BV�JK ID;��=RTR2o���T 7�" �'F��H7(L;�A�CB �F��P��(�E�J����AKs;���� ;���e�����xRa�����-��@NP��J<���R�oPA� � � K(� �2R��(�=R � O � FCT 7&L�" �'F���L+�7PAK1R�>'K1Ro�[RTOQP5�=���NRZP=���� Y��'F��H7(LY�A�CB � Y��XF � L5�JK(�`�:R��(�=R8R��(��@NPA;�;�P=O������-P�;�B��3)�2 �C�(�X����PAK�>��D;��V<M�D�(R[B � D � "� Ks� @NP=�J< ; J�BA"�SRa�J,IDK1RE� BJP=�=�N�6�'F���L�g �'F � L3 � � O?��F � L Y ��XF ��Z �XF�� 7 L�L+�?P��+�8���DKs��=��;��D�(R2; J�� � ( � F � LSY � F ��'F��'F�� 7 L�L�L3 � �C�(� BA"�SRa�J,IDK1R�oPA� Pz@ � ( � F � LF"�V�LJ�< <M�NRT�Jo�,��I�P�K1R?R��(�,P��J �A��&�?���'B�����>-���SR�o�DKs;��=�+�-\AW1 UB � ( � F � LEDTO �I � � Y �/FCT 7-L!

P=����P������+�/ @�;���RaR2o��� �H75"�Y�����J�; J�B�����P�B���IV;��*�8R��-�D�`R��-�5����<H>C;����� >���P<��� BAK1���5�JKs�(�E��>-PA; J��ePA< o�A;~R2�<M�! _&õÄýÒö��ô�$Ôö�ø' Ôþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷/ù���ôvõÄýà÷�ö�) Ôø¯ÿåúÄû ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) ö±þvý�úÄù±ô#ÿ�)� Pù�þ�ôvö�úHôJö±ô/ôvõÄÿå÷+ Pù�ÿåúNô�*�ö±ú&�Zô�õÔý Ôþ�ù9ù���ù��

�ý�)�)!ö %-4 %«ÿå÷M�§ý��Æý�þvþ�ý<�àôvù 8 $ÄüÔ÷�ý�)ôvÿ¯ùHú)%(4 �(4 >�øåø&ô�õ7ö¤ôM)ãö¤ô¡ôvý�þ�÷,�Æù�þ!úÄù=.�ÿÃ÷'ô�õÔö±ô!ô�õÄýA÷vö�)� Äøåÿ¯úÄûÒö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() û�ý�ú-0ý�þ�ö¤ôvýW÷[ Ôö�ÿ¯þ�÷¥ù��£�Hý�)ôvù�þ�÷#F ��Z � L Y �'F�� 7 L#V��XF � LN4���ýWø¯ù=. .�ýY�ÄýW÷��þvÿ¯üPý�õÄù=.Kô�ùM$Ô÷�ý<ö±ú��/÷�$(�õA÷vö�)� Äøåÿ¯úÄûM Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvýô�ùJ�ù�)� -$Äô�ý�ö!øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý,��ý��ô�ùHþ�� Y �XF���LS4X>k�Çô�ýWþ'�ÄýNHÔúÄÿåúÄûãôvõÄý5�%$Ôø¯ø,þvö�ú-�/÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý � "'�XF��~L�ö�ú(�#øåÿ¯úÄý�ö±þ;�%$Äú()ôvÿ¯ùHú� FFT 7 L�O � ÷vö¤ô�ÿÃ÷��%�NÿåúÄû:F %(4 ,�LS*Äö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) � � F�� Z �~L? Äþ�ù1�ý�ý��Ô÷¥ö�÷?�Æù�øåøåù=.�÷��¤ 4 k$ÄúAôvõÄý�÷vö�)� Äøåÿ¯úÔû2 Äþvù��ý��1$Ôþ�ý<ù��� �ý�) )ãö(%-4 %-* �Fo^UL�R �F%^UL¥ô�ÿ9)'ý�÷,Fo.¥õÄý�þvý IF%^UL O X;F:ø¯ùHû]^UL¥ÿÃ÷3öS÷�$- Pý�þvøåù�ûHö�0þ�ÿ¯ô�õ-)!ÿ"k�%$Äú&)ô�ÿåù�ú�ô�ù�üPý3÷� Pý��ÿ�HÔý<�(LDôvù�û�ýWúÄý�þ�ö¤ôvýk��ý<)ô�ùHþv÷ � e

�Y �'F��H7(L�ö�ú(� � e � Y��XF � LN*��Æù�þ � O ¤�Z:9�9:9VZ �Fo^ULö±ú(� � O ¤7Z�9:9:9DZ �Fo^ULS4

C-4 �ý�ô ) e �O B � e

�D �

Y � 7 ü7ý!ôvõÄý�û�þvù�$( «ýWø¯ý�)'ýWúNôv÷Y�ù�þvþ�ý�÷� Pù�ú&�§ÿ¯úÔûSôvùAøåö±ô¡ô�ÿ"�ý/ 7ùHÿ¯úNôv÷ � e �ö±ú(�I*I�Æù�þ�ý���ýWþ��

� O ¤�Z:9�9:9VZ �Fo^ULS*(�§ý�HÔúÄý�ûHþ�ù�$- SýWø¯ý�)'ýWúNô�) e O d ! � 7 ��! � ) e � 4

�(4 L ÷�ý.ùHþvö��øåý ��ô�ùM�ù�) ($§ô�ý<ö'úÄùHú-��ýWþ�ù!÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úB� O �+F��&LSY � F��&L ,�\- ]xô�ù!ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�ú���O B ) � Z:9�9:9DZ ) ? � 7 � DT4æ 2 |Uu<hiq;hiqxl�r�tXmYv=m�datahiy3��g�m�dTg n2y3dTh tahiy�m�g£v=m�dot;r�sAtTu�f#daf3w���yZtThirSl��7m�l�wJ��qThil<z v�r�rSdaf3d;darS��l�w�hil<z�v�dTr�y3f3w���dTf3q5 9fS� z��i�UdTrS�<l�w�hil�z,r �:tTu�fy3r�rSdaw�hil=m�taf3qkr�s �/�~h tau�daf�qav�f�yZt[tar#�=m�qahiq��!tTr#tau�f;y�girSqaf3qat[hilNtaf�zSf3daqkm�q?w�rSl<f'hil+� ����¡AdTf3qT�<g tTq8hil�qT���<qatTm�l�tah�m�gig n tau�f;qEm�jkfxy3rSl�l�f3yZtThirSls9m�y3tarSdTq~m�qI��qThil<z���m��=m�h�� qIl�f�m�dTf3qat~v�g�m�l�f]m�gizSrSdah tTu<j � �����

C

Page 30: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

,&4 0Äù�þ�ö�ú�� � Z �&*Äø¯ý�ô . e �O � e � ( � F � e � LS*Ôö�ú(�+ù�$§ô� -$§ô

�]O ? � 7 ��e"! �

� e! � 7 ���! �. e

�9 F %(4 ��L

��ù�ô�ÿ"�ý#ôvõÔö¤ôSþ�ö±ú&�§ù�)!úÄý�÷�÷!ÿÃ÷2$Ô÷�ý��fô3.¥ÿ"�ýJÿåú ô�õÔýJþ�ù�$§ô�ÿåúÄý��`HÔþ�÷]ô�ÿåúá÷¡ô�ý� ¤ ö�ú(�fô�õÄýWúáÿåú ÷¡ô�ý� G�-4`ó�úá÷]ôvý� ¤ *þ�ö±ú(�§ù�)!úÄýW÷v÷¥ÿÃ÷x$Ô÷�ý��+ôvù�þ�$Ôú#ô�õÄý'÷�ö�) Ôø¯ÿåúÄû2 Äþvù1�ý<�1$Äþvý �Fo^UL�R IF%^UL&ôvÿ�)!ý�÷3ö�ú(�#û�ýWúÄý�þ�ö¤ôvý<ö!þvö�ú(�§ù�) ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�ú �#ôvùüPýY ÔöH÷�÷�ý��JöH÷�ÿåú- -$§ô.ô�ù �J43ó�ú«÷¡ô�ý� ���þ�ö±ú(�Äù�)!úÄýW÷v÷¥ÿÃ÷;$7÷¡ý<�#ô�ù/þ�$ÄúJô�õÄý Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿÃ÷]ôvÿ9# Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvý � ù�úJÿåú- -$§ô��#ôvù�ù�)� -$§ô�ý3ö�÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHú>�(4 8 ÿ¯ú&�ý�� ÿÃ÷�ùHúÄø9��û�$7ö±þ�ö±úNô�ýWý���ô�ù#.�ù�þ��JP��!R��(�V�=�=�N��������*9ÿ ô�ÿÃ÷�ÿ9)� 7ùHþ¡ô�ö±úNô;ô�õ7ö¤ô�üPù±ôvõ�ôvõÄý�ÿåú- -$§ô�!ö±ú(��ô�õÔý¥ÿ¯úNô�ýWþ�ú7ö±ø9þvö�ú(�§ù�)'úÔýW÷v÷�ù�� � ö�þ�ý[�õÄùN÷¡ýWú!FMö±ø9)'ùN÷]ôSL~$ÄúÄÿ��Æù�þ�)'ø9��ö�ú(��ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHôvø��'ö¤ô�þ�ö±ú(�Äù�)+4���ý¥þ�ý�)ãö±þ��ô�õ7ö¤ô�*Dö±ø¯ô�õÔù�$ÄûHõ«ôvõÄý2�¤ö±ø9$Äý�ù��� �§ý� Pý�ú(�Ô÷<üPù±ô�õàùHú�ô�õÄý�þ�ö±ú&�§ù�)!úÄý�÷�÷V$Ô÷�ý��Òü��Üô�õÄýS÷vö�)� ÄøåÿåúÄû: Äþvù��ý��1$Ôþ�ýãö±ú&��ô�õÔö±ô$Ô÷�ý��:�§ÿåþvý�)ôvø��+ü�� �!*ÄôvõÄý<ô3.�ùM Äþvù1�ý��-$Äþ�ý�÷k$Ô÷�ý<ÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô.÷�ù�$Ôþ��ýW÷¥ù��Dþ�ö±ú&�§ù�)!úÄý�÷�÷�4 8 ù(*&�Æù�þ�ý�W§ö�)� Äø¯ý�*ÔûHÿ��Hý�ú#ô�õÔý�¤ö±ø9$Äý�ù����*Ôô�õÄýY�ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔö±øI�§ÿÃ÷¡ô�þvÿ¯ü-$Äô�ÿåù�úAù�� �!ÿÃ÷�ÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNôx�Æþvù�)�ô�õÄý5�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú7ö±øU�§ÿÃ÷¡ô�þvÿ¯ü-$Äô�ÿåù�ú#ù��,ô�õÄý�÷�ö�) Ôø¯ý�÷F � e

�Z � e � LS4���ý#.¥ÿåø¯øI$7÷¡ý.ô�õÔÿå÷[�:ö�)ô�ÿåú+ô�õÄý# Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿÃ÷¡ô�ÿ".ö�úÔö±ø9�§÷¡ÿÃ÷�ù���ô�õÄý<÷�$(��ýW÷v÷[ Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3��ù���ô�õÄý�þvý��1$&)ô�ÿåù�úU4ó�úãôvõÄý;�ÆùHø¯øåù=.¥ÿåúÄû<øåý�)�)ãö5.�ý; Äþvù=��ý&ôvõÔö¤ô¥ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) � � ÿå÷?�ùHþ�þvý��ô�*Nÿa4 ý�49*Nô�õÄý3ù�$§ô� -$§ô[��ý<)ô�ùHþ��3ü7ýWø¯ùHúÄûH÷�ô�ù�øåö±ô¡ôvÿ9�ý

�XF � LN*- Äþvù=�9ÿ9�§ý<�JK�$ÄýWþ����/ÿÃ÷¥ö±ú7÷�.�ý�þvý��J.¥ÿ ôvõAö,�¤ö�ø¯ÿ"�#÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHú,�:Y � F��(LN4��Y&X%X�� !T. % � ��R'� I��YR��-�YPAK1R�>'K1RQ�=���NRZP=� B������e� B��� ���2 ����2 � @��Y � F��(L��QR��-�D� ��Y<�XF � L!

$ �#T#� � �3ýNHÔúÄýxôvõÄý#��ý<)ôvù�þ� O ? � 7 ��e;! �

� e! � 7 ���! �

� e �9

L ÷�ÿåúÄû'ô�õÄý5�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú#ù���. e �ö�ú(�/ô�õÄý�øåÿ¯úÔýWö±þvÿ¯ô3�ãù�� � *-.�ýxû�ý�ô

�]O ? � 7 ��e"! �

� e! � 7 ���! �. e

�O �e �

� e F � e � ( � F � e � L�L/O���e �

� e � e ���� ( � F � L 9_&õÄý?HÔþ�÷]ôDôvý�þ�) d e

� � e � e � �øåýWö�þ�ø9��üPý�øåù�úÄûN÷,ô�ù �XF � L�üPý��ö�$Ô÷�ý�ÿ¯ô;ÿå÷;ö�ú�ÿåúNô�ýWû�ý�þDøåÿ¯úÔýWö±þA�ù�)�üÔÿ¯úÔö±ô�ÿåù�ú'ù��Pøåö±ô¡ô�ÿ"�ý[�Hý�)ôvù�þ�÷� e � Y��XF � LN4��«ý3úÄý�ý<�'ô�ù, Äþ�ù=�Hý&ô�õÔö±ô�ö�øå÷�ùxô�õÄý.÷¡ý<�ùHú(�'ô�ýWþ�) � F � L�üPý�øåù�úÄûN÷;ôvù�XF � LN4��«ý.÷¡õÄù=.hôvõÔö¤ô � Y��XFFT 7(LS48 ÿåú(�ý � )ãö� Ô÷>�XFFT 7-L�ô�ù �'F � LS*Äÿ¯ôk�Æù�øåøåù=.�÷�ô�õÔö±ô � F � L Y �'F � L#Z �'F���LS4

¥ý�)'ý�)�üPý�þ ô�õÔö±ô ��O��!F��(L]Y � F��(LN*PÿT4 ý�49*Ed e � e ) e O �`F:ÿ¯ú � 7-LN4 8 ÿåú(�ý�ö±øåø � e �üPý�øåù�úÔûãô�ù �XF��H7(LS* � ÿÃ÷ ö±øÃ÷�ù�öøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý# 7ùHÿ¯úNô¥ù��@�XF�� 7(L&ö�ú(� B � D �

Y�� 7�4]_&õÔý�û�þvù�$- /ý�øåý�)!ý�úNô;�ùHþ�þvýW÷� Pù�ú(�§ÿåúÄû�ô�ù!øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý#��ý<)ô�ùHþ � ÿÃ÷

B � D ��

O ? � 7 ��e"! �

� e! � 7 ���! �B � e

�D �

O �e � e �

) e �O �e � e ) e O'� 9

8 ÿåú(�ý � 7/ÿÃ÷�ô�õÄý5K�$Äù�ô�ÿåý�úNô�ù����XF��H7&L?)!ù1�1$Äøåù �XFCT 7-LS*§ôvõÄÿå÷x Äþ�ù=�HýW÷�ô�õ7ö¤ô � Y��'FCT 7-LN4��

_&õÄý'�Æù�øåøåù=.¥ÿ¯úÄû�ô�õÔþ�ýWý.øåý�)�)ãö�÷ ÷¡õÄù=.áô�õÔö±ô�*- Äþvù=�9ÿ9�Äý����?F%^UL�ÿÃ÷¥ÿåú+ö ÄþvýW÷��þvÿåü7ý<�Sþ�ö±úÄûHý�*� Äþvù1�ý��-$Äþ�ý � ÷�ö±ô�ÿÃ÷3H7ýW÷�ô�õÔý�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔ÷�ÿ¯ú� �ý�)�)!ö %(4 ,&4~_&õÄý ø¯ý�) )ãöH÷;ö±þvý? Ôþ�ù=�Hý���ÿ¯ú 8 $Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú$%(4 ,&*�ö=�Çôvý�þ�ý�÷]ô�ö±üÄøåÿÃ÷¡õÄÿåúÄû�÷�ù�)!ý[$Ô÷¡ý��%$Äø( Ôþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷ù��,ô�õÔý<÷�ö�) Ôø¯ÿåúÄû� Äþvù��ý��1$Ôþ�ý.ÿ¯ú 8 $ÔüÔ÷¡ý<)ôvÿ¯ùHú %(4 �(4_&õÄý'HÔþ�÷]ô�øåý�)�)ãö!÷¡õÔù=.�÷�ô�õÔö±ô�ôvõÄý�ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�ú��! Ôö�÷v÷¡ý<�/öH÷&ÿ¯ú( -$§ô�ôvù'ùHþvö��øåý ��ÿå÷¥ö�ø�)!ùH÷¡ôk$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��!�§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ý<��4

��Y&X%X�� !T. ��� @k^�b �ab7* � F��XF�� 7 L�L#. % �?F%^UL @ (F��'F���L�L����'BJ� �DK(�=R2oP�� ���2 � � �-PA;oB��,Ra�JK(�*�]R��(�V� R��(�Y��RZ�=R2"�SR�o���A;�B�"�SRZ���e���I��NRTOQ���V� �=���NRZP=��� �o>(������� B:��� ��A>CK1RkRZP � BAK1�J����!R��-�2�CI����VK1R2oP���P�@ � � F�� Z �~L �!�A�CB:�dKs� @NP��J< ;KJ BA"��RT�J,IDK1RE� B � Y� ? � 7 �7 "�M��R <MP��SR � F�� Z � L 8 � F%^UL`g�C ! � 7 ��_-� � ��>(�=�SR2o�VKs;����+��@NP=�2�A�+J >-PA; J��ePA< o�A;�; J I�P�Ks�'B�� B��Fo^UL]O ^ � ����� ���CB�JK�>-���J;�P������J�R��s< o�S@ Ks���NR2oP��*�F%^UL�OcX;FÆøåù�û]^UL��QR��-�5��RZ�=R2"�SR�o���A;�B�"�SRZ���e��� � F�� Z � L�O ^?OQP.�����E"�F�e�E�7;� �A,ID;��� _&õÄý3ù±ô�õÔý�þ�ô3.�ù<øåý�)�)ãö�÷�÷�õÄù=. ô�õÔö±ô�ôvõÄý ù�$§ô� ($§ô?�Hý��ô�ù�þ � ù��U Äþvù1�ý��-$Äþ�ý � � ÿÃ÷&÷�$ )M�ÿ¯ýWúNô�ø9�'þ�ö±ú&�§ù�) ö±ú(�/$Ô÷�$Ôö±øåø��÷�õÄù�þ�ô�*§ý���ý�ú#ö=�Çôvý�þx�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔÿ¯úÄû!ùHú/ôvõÄý�ÿåú- -$§ô ö�ú(�Sù�$§ô� ($§ô;�¤ö±ø9$ÄýW÷&ù���ùHþvö��øåý �!4

��

Page 31: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��Y&X%X�� !T. � - ��� Ks<M�'^�b �ab7* � F��XF�� 7(L�L:. ¤ C �8Fo^UL @ -F��XF � L�L/���'B:� �VK(��R�oPA� ��� � � �-PA;oB���RT�JK(�! �'�-�D� ��@NP��M�A�+J @�5Y� ? � 7 �7 � @��Y � F @�&L1,�\ E]��Q���CBJF%^ ( ¤ LS�zBA�<��D�-�JoPA�e��;?��J`>(�N�2>';������ � "h÷� Ôö±úIF � L��4�þ�\�� gY � $ � O @� Z � O @� ]EO �VF ¤ L 9

��Y&X%X�� !T.�� � @,^�b �ab7* � F��XF�� 7(L�L�. % �8Fo^UL @ &F��'F���L�L+�M� �VK(��R�oPA� ��� � ���-PA;oB��:RT�JK(���,�A�CB�@ Ks���NR2oP�� �?F%^UL+�N��R�"� �?�S��?F%^UL�O X;F%^ e �F%^UL �QF%^UL �eF��XF�� 7&L�L�L��QR��(�V� @NP=�,�A�+J @�dY � ? � 7 �7 ���'B @��Y � F @�(L+�

\AW1 UB bA�&b,$ ��O @� Z � O @��D'O & � b @�Qb�RUb �ab�QFo^UL � R�� ¤ 5 � F%^UL+�F%^ULC ! � 7 � 9

� ��>-���SR�o�DKs;��=�+�'@NP=�Y�A�+JE>(P�; J���P�< o��;�; J�I�P�Ks�CB�� B � F%^UL�O ^�� �����5���'B��JK�>-���J;�P������J�R��s< o�S@ Ks���NR2oP�� �F%^ULnO X;FÆøåù�ûQ^UL+�\AW1 UB bA�&b/$ ��O @� Z � O @��D?O & � b @�Qb�R&b �ab�QFo^UL � 9

��ý8�ù�)� Äø¯ý�ô�ý�ô�õÄý8 Äþ�ù9ù��9ù��§ô�õÄý�ô�õÔý�ù�þvý�)`ü���÷¡õÄù=.¥ÿåúÄû&ôvõÔö¤ôDÿ � IF%^ULÿÃ÷,ö� - Äþvù� Ôþ�ÿÃö¤ôvý�ø9�X�õÄùN÷¡ýWúI*�ô�õÄýWú�ô�õÄý�õ��� 7ù�ô�õÄý�÷¡ý�÷ù��� ký�)�)ãö�÷ %-4 � *4%-4 �ö±ú&�$%-4 ¤ ��ö�þ�ý.÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý<��4 ��ù±ôvÿ9�ý�ôvõÔö¤ô?�Æþ�ù�)»ôvõÄýV�§ýNHÔúÔÿ ôvÿ¯ùHú�ù�� �?F%^UL�O ^ * � F��XF��H7(L�LZ\7Fo^UL�g ¤ C�ö�ú(�ô�õÔý<ö�÷v÷�$-)� §ôvÿ¯ùHúSôvõÔö¤ô b���b ! \7Fo^UL @ (F��XF � L�LS*&.�ýxÿ9) )!ý<�§ÿåö±ô�ýWø��/û�ý�ô¤ C �?F%^UL @ -F��'F���L�L�O ^ * � F��XF��H7(L�LZ\7Fo^UL @ &F��'F���L�L � ^ * � F��'F��H7(L�L�b �ab 9 F %(4 %�L

8 ù&*9ô�õÄýVHÔþ�÷¡ôk�ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHú/ÿåú� �ý�)�)ãö�÷ %(4 � *%-4 �ö�ú(� %-4 ¤ ��ÿå÷¥÷vö¤ôvÿå÷�HÔý<��4 �«ý<ö�ø¯þvýWö��1�ãù�üÔ÷�ý�þ���ý<�ãôvõÔö¤ôYF�%-4 ,�LQ�Æù�øåø¯ù=.�÷8�Æþvù�)F %(4 C�L�ö±ú(� F %(4 ��LS4Dó�ú#ù�þ��§ý�þ�ôvù�÷�ö±ô�ÿÃ÷3�%�ãôvõÄýxô�õÔÿ¯þ��+õ��� Pù±ôvõÄýW÷�ÿå÷&ù�� ký�)�)ãö�%-4 ¤ �-*�.�ý�÷¡ý�ô

IF%^ULnO \AF%^UL�R [ ø¯ùHû]^�QFo^UL RVPIFo^UL O X;FÆøåù�ûQ^UL 9 F %(4 ��L

8 ùHø��9ÿåúÄû:F %-4���LQ�ÆùHþ[\7Fo^ULnO��Fo^UL �QFo^ULjPIFo^UL�g [ ø¯ùHû]^«ö�ú(�#÷�$Äü7÷]ôvÿ ô�$§ô�ÿåúÄû!ô�õÔÿå÷k�¤ö�ø�$Äýxÿåú+ô�õÄý5�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú#ù���?F%^ULS*(.�ýxû�ý�ô�?F%^UL O ^ * � F��'F�� 7 L�L

¤ C�F%^UL �QF%^UL�PIF%^UL

[ øåù�û]^. X;F%^ e �F%^UL �QF%^UL �eF��XF�� 7 L�L�L Z

.¥õÄýWþ�ýx.�ý¥õÔö��Hýk$Ô÷¡ý<�'ô�õÄýX 7ýWþ��Æý<)ôvúÄýW÷v÷Q�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú ��F��'F��H7(L�L#83PIF%^UL�* � F��'F��H7&L�L`g�Cxö�ú(�'ô�õÄý;�:ö��ô�ô�õÔö±ô �Fo^UL�g [ øåù�û8^ Oe �F%^UL`g,ø¯ùHû]^ne �F%^ULEO X;F�e IF%^UL�LN4 _&õÔÿå÷' Äþvù=��ý�÷�ôvõÔö¤ôV�Æù�þ�ö�ú��: Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øåø��AüPù�$Ôú(�§ý�� �%$Äú(�ô�ÿåù�ú �Fo^UL]O ^���������*ö±ú&� �F%^ULöH÷U�§ý�HÔúÄý<�xÿ¯ú/F�%-4���LN*�ôvõÄý�õ��� 7ù�ô�õÄý�÷¡ý�÷ù�� ký�)�)ãö�÷�%(4 � *�%(4 ¥ö�ú(� �ý�)�)!ö %-4 ¤ �¥ö±þvý�÷vö¤ô�ÿÃ÷�HÔý���*¤ö�ú(��ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) �÷vö¤ô�ÿÃ÷�HÔýW÷,ôvõÄý;�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔ÷Dÿåú� �ý�) )ãö %(4 ,&4£_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*��ÆùHþ�ö±ú��/Fo 7ùN÷�÷�ÿ¯üÔø��, Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿå÷¡ô�ÿ"�L�ùHþvö��øåý � ÷¡ùHø��9ÿåúÄû��?9��39 � ? �ù�ú'ôvõÄý�ö���ýWþvö�û�ýQ.¥ÿ¯ô�õãúÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý[ Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3��* � � ÷�ù�ø9��ý�÷ ���� D �L;>= ��J ÿåú'ô�õÄýx.�ù�þ�÷¡ô7Wö�÷�ýk.¥ÿ ôvõ'õÔÿ¯ûHõ Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3��4�

�>��� � �F� 1 �@/ &G��! � � &.("*6#%�����)("�ó�ú«ô�õÄÿÃ÷�÷�$ÔüÔ÷¡ý<)ôvÿ¯ùHú .�ý�ûHÿ��Hý'ö#÷�ÿ�)� Äøåýã÷�ö�)� Äø¯ÿåúÄû! Äþvù��ý��1$Ôþ�ý�ô�õÔö±ô<÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý�÷3ô�õÄý2�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú7÷3ÿåú �ý�)�)ãö %-4 %-4 _&õÄý�úI*.�ýÜýW÷¡ôvö�üÄøåÿå÷�õÊ÷�ù�)!ý«ö��-�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�øX Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷Sù���ôvõÄý«ù�$§ô� ($§ô+ù���ô�õÄýÒ÷vö�)� Äøåÿ¯úÄû Äþvù��ý��1$Ôþ�ýAôvõÔö¤ô+.¥ÿåø¯ø.ü7ý$Ô÷�ýN�%$Äøxÿåú8 $Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú %(4 ,&47_&õÔýx÷vö�)� ÄøåÿåúÄû� Äþ�ù1�ý��1$Äþvýxÿå÷&ÿåøåø�$Ô÷¡ô�þ�ö¤ôvý��+ÿåú 0,ÿåû�$Äþvý5C14$ �#T#� ��# ��Y&X%X�� !�."!�� � ��ý?HÔþv÷¡ô�÷¡õÔù=.àõÄù=.àô�ù�ö��õÄÿ¯ý���ý�ô�õÄý?HÔþ�÷]ôDô3.�ùX Ôþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷�ÿåú�ô�õÄý&øåý�)�)ãö-4 ��õÔùNùN÷¡ý�ÿåúHôvý�ûHý�þ�÷

K � Z�9:9:9DZLK 7�Y;\ ¤�Z:9�9:9VZ �§ý�ô�F��XF � L�L�gA�§ý�ô=F��'F���L�L ]$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��#ö¤ô3þvö�ú(�§ù�) ö±ú(�#øåý�ô � ! !�O=d e K e + e Y �'F���LS4��?� 4�þvù� PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHú+C-4 ¤ �-*~B � ! !�D � ÿå÷'�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý��+$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)!ø9�+ö±ôþ�ö±ú(�§ù�) ÿ¯ú �XF � L`g �'F � LS4M_&õÄýWúI*~�ù�)� -$§ôvý � ! ! O �#;>= �7F � OT� F � ! ! L�LS4 ��øåýWö�þ�ø9��* � O?� F � ! ! L3ü7ýWø¯ùHúÄûH÷3ô�ù+ôvõÄý��;ù�þvù�úÄùHÿ�ýWø¯ø ��;F � ! ! Z �'F�� 7 L�LN4 8 ù(*9ôvõÄý# Ôö�ÿ¯þ5F � ! ! Z�� ! !9L&÷vö¤ôvÿå÷�HÔý�÷�ô�õÄýVHÔþ�÷¡ô�ô3.�ù� Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷�4

� ¤

Page 32: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��ù=.#*]�õÔùNùN÷¡ý *MY=\ � Z�¤ ]/$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)!ø9�ßö¤ô�þ�ö±ú&�§ù�) ö±ú&�p÷�ý�ô � !]O F (#¤ L�� � ! !¥ö±ú(� � !HO F (#¤ L�� � ! !a4 ��øåýWö�þ�ø9��*7�ÆùHþö±ú�� � ! !�ö�ú(� � ! !o*,ô�õÔý/�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHúàù�� � ! ( � F � !�L O F (#¤ L���F � ! ! ( � F � ! !"L�LxÿÃ÷�÷���)�)!ý�ôvþ�ÿ"ãö±üPù�$Äô<ô�õÄýSù�þvÿ¯ûHÿ¯úI4 8 ù(*F � ! Z�� !�LD÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý�÷�ô�õÄý&ôvõÄÿ¯þ�� Äþvù� Pý�þ�ô3��4���ý¥úÄýWý���ô�ù#�õÄý<���ô�õÔö±ô;ô�õÄý[H7þv÷¡ôDô3.�ùV Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷;ö�þ�ý? ÄþvýW÷�ý�þ���ý��I4 8 ÿåú(�ý#B � ! !9D �ÿÃ÷5$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø�� �§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý���*;ö�øå÷�ù B ( � ! !�D � O ( B � ! ! D � ÿå÷Y$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!4AóOôY�Æù�øåø¯ù=.�÷xôvõÔö¤ô+B � ! D � ÿå÷Y$ÄúÄÿ��Æù�þ�)'ø9� �§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ý<�üPý��ö�$Ô÷�ý � ! ÿå÷'ö`�ù�ú���ý�W �ù�)�üÔÿ¯úÔö±ô�ÿåù�úÒù��;�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�úÔ÷ � ! ! ö±ú(� ( � ! ! 4q0�ÿåúÔö�ø¯ø9��*;÷�ÿ¯ú(�ýJ�ø¯ùN÷¡ý<�1�;ù�þvù�úÄùHÿQ�ýWø¯øÃ÷�ù���öøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý<ö±þvý.÷���)�)'ý�ô�þvÿ9�*

� ! ( � F � ! LnO F (#¤ L � F � ! ! ( � F � ! ! L�L�Y�F (#¤ L � ��;F��XF�� 7&L�LnO ��'F��'F��H7(L�L 9_&õÄÿÃ÷k Äþvù=��ý�÷�ôvõÔö¤ôYF � ! Z�� !�L&÷�ö±ô�ÿÃ÷3H7ýW÷�ô�õÔýVHÔþv÷¡ô&ô�õÄþvý�ýV Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷&ÿåú+ô�õÄý�øåý�)�)ãö-4ó�úSùHþ��Äý�þ�ô�ù!ö��õÄÿåý��Hý3ö±øÃ÷�ù�ôvõÄý;�Æù�$Äþ�ô�õ! Äþ�ù� 7ýWþ¡ô3��*N÷�ý�ô � O F � !-)!ù1�2T 7 L�ö�ú(� � O F � ! ( � F � ! ( � L�LS4/4�þvù� Pý�þ�ô3�� Y �/FFT 7 L�ÿ9)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�V�Æù�øåø¯ù=.�÷kü��.ôvõÄý?�ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú�ù�� � 4��«ý&÷¡õÔù=.Òô�õÔö±ôkô�õÔýQHÔþ�÷¡ôkô�õÔþ�ýWýQ Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷�ö±þvýQ ÄþvýW÷�ý�þ���ý<��4�?��ôvõÄý,�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�úAù�� � *&.�ý�õÔö���ý � ! ( � O � F � ! ( � L�ö±ú(� � ( � F � LSO � ! ( � F � !�LS4 8 ù(*Ôô�õÄý�÷¡ý<�ù�ú&�+ö�ú(�+ô�õÔÿ¯þ�� Äþvù� Pý�þ�ô�ÿåýW÷�ö�þ�ý�÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý<�#ü7ý<�ö�$Ô÷¡ýxôvõÄý��#ùHúÄø��+�§ý� 7ýWú(�Aù�ú � ( � F � LN4�ó�úJù�þ��§ýWþ¥ô�ù2 Ôþ�ù=�Hýxô�õÄý#H7þv÷¡ô; Äþvù� Pý�þ�ô3��*7úÄù±ôvÿ9�ýô�õ7ö¤ô � ! ( � O � ! ( F � ! )!ù1��T 7-LFY �XFCT 7-LS42_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�* � ! ( � Y � F��XFCT 7-L�L O �XF � LS*Dö±ú(� B � D � O B � ! D � * Äþvù=�9ÿ¯úÄû�ô�õ7ö¤ôYB � D � ÿå÷k�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ý<�/ÿ"�§ýWúHôvÿ9Wö±øåø���ô�ù`B � !�D � 4��

_&õÄý'÷�ö�) Ôø¯ÿåúÄû/ Ôþ�ù1�ý<�1$ÄþvýY Äþvù1�1$(�ýW÷X��ý��ô�ùHþv÷ � Y �'F���L ÷�$(�õAôvõÔö¤ôMB � D � ÿÃ÷V�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý��`$ÔúÄÿ �ÆùHþ�)!ø9�Aö¤ôxþvö�ú(�§ù�)ù=��ýWþ;ô�õÔý û�þvù�$( �XF���L�g �XF � LN4(��ù=.�ý��Hý�þ<*���ý<)ô�ùHþ � F:ü7ý��Æù�þvý�ôvõÄý þvý��1$&)ô�ÿåù�úM)!ù1�1$Äøåù � L�ÿå÷�úÄù±ô�úÄý��ýW÷v÷�ö�þ�ÿåø��,$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø���§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý��#ù=�Hý�þ�ö±ú��+÷¡ý�ô�ù��;øåö±ô¡ôvÿ9�ý#��ý��ô�ùHþv÷�4;Fo_&õÔÿå÷ ÿå÷X�1$Äýxô�ùSøåö±ô¡ô�ÿ"�ýY 7ùHÿ¯úNôv÷ � Y �XF � L ÷�$(�õ+ôvõÔö¤ô � O?��F � L�ø¯ÿåýW÷¥ùHúô�õÔý.üPù�$Ôú(�Äö±þ��ãù�� �;ù�þvù�úÄùHÿ��ý�øåøå÷�'F ��Z �XF��H7&L�LS4iL�ó�ú/ô�õÔý.úÔýNW9ô¥ø¯ý�) )ãö(*�.�ýxû�ÿ9��ý.÷¡ÿ9)� Äø¯ýV$- ( 7ýWþ�ö±ú(�/ø¯ù=.�ý�þ�üPù�$Äú(�Ô÷�ùHúô�õÔý# Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�Sù���ù�$§ô� ($§ô¡ôvÿ¯úÄû�ö�ú��S÷� Pý��ÿ HeV��ý��ô�ùHþ � Y��XF � LN4

��Y&X%X�� !T.��<��� �NR F ��Z � L I��!���D�e�����=RZ� B ������P���B����� REP � ����<H>C;�����M>e��P<���`BAK1���P�@ � �V< <�� � �2 /�C�(�V�&� @NP=� �A�+J@� Y �XF���L+��4�þ�\ � O @� ] 8 �§ý�ô<F��'F���L�L`g7�§ý�ô=F��'F � L�L! P=����P������+�] @ ��O?� F @� L I��D;�PA����� RZP+R��-����&RE���JoP=�/Pz@M���&P=��P��ePA���V;�;I� � F @�MZ �XF��H7(L�L�@NP=�#��PA<�� @� Y<�'F�� 7&L 0 �/FFT 7-L+�]R��-�D��4�þ�\ � O @� ]]O �§ý�ô�F��'F���L�L�gA�§ý�ô=F��'F � L�L! $ �#T#� � _&õÄý#$- ( 7ýWþ�ü7ù�$Äú(�+ÿÃ÷&ýWö�÷����£�Æù�þ�ö±ú�� @� Y��XF � LN*

4�þ�\ � O @� ]:8c4�þ�\�B � D � O B @� D � ]EO �§ý�ô=F��'F���L�L�gA�§ý�ô=F��'F � L�LüPý��ö�$Ô÷�ý�B � D � ÿÃ÷[$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��!�§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ý<�+ù=��ý�þ¥ö!÷�ý�ôF�XF � L`g �'F � L�ù��;÷¡ÿ9��ý#�§ý�ô<F��XF � L�L�g7�§ý�ô�F��XF � L�LS4��ù=.`ö�÷v÷�$()'ý � O?��F @� L Y � � F @�MZ �'F�� 7 L�L8�ÆùHþ ÷¡ù�)!ý @� Y<�'F�� 7 L10��/FCT 7 LN4���ý5�øÃö±ÿ9)�ô�õ7ö¤ô ÿ��[B � D � O B @� D � *Ôô�õÄýWú� O @� *Ôö±ú&��ôvõÄý�þvýN�ÆùHþ�ý 4�þ�\ � O @� ]^.34�þ�\�B � D � O B @� D � ]]O �Äý�ô<F��XF � L�L�g7�§ý�ô�F��XF � L�L 9 �ý�ôYB � D � O B @� D � *§ÿT4 ý�49* � ( @� Y<�'F � LS4;óOôk�ÆùHø¯øåù=.�÷�ô�õÔö±ôx��ý<)ô�ùHþ

. O � OT� F � L ( � OT� F @� LnO � O?� F � ( @� LüPý�øåù�úÄûN÷&ô�ùãøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý � OT�=F��XF � L�L�O �XFFT 7 LS4 8 ÿåú(�ý �'FCT 7 L�ÿÃ÷�öã÷�$ÄüÄøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�ù����'F�� 7 LS*7ö�ú(� @� Y �XF�� 7 LS*Pö±øÃ÷¡ù @� 5 .ÿÃ÷¥ö�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý' 7ùHÿ¯úNô¥ÿ¯ú��XF�� 7(LN4/��ù�úÔ÷�ÿ"�§ý�þ�ô�õÔý.ù� 7ýWú �;ùHþ�ùHúÄù�ÿ��ýWø¯øÃ÷� � F @�MZ �XF�� 7(L�L�ö�ú(� � � F @� 5 . Z �XF�� 7eL�LS4nL3÷¡ÿåúÄû'ô�õÔý�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú#ù���.àö±ú(�Sô�õÄý�õ��� Pù±ô�õÔýW÷�ÿå÷ � O?��F @� L�Y � � F @��Z �XF�� 7(L�LS*-.�ýxû�ý�ô

� OT� F � L�O � O?� F @� L 5 .5Y � � F @��Z �XF��H7&L�L 5 .�O � � F @� 5 . Z �'F�� 7&L�L ZÿT4 ý�4�* � O?�=F � L&ÿÃ÷[�øåùH÷�ý�þ�ô�ù @� 5 .«ôvõÔö±ú/ô�ùãö�ú��ãù�ô�õÄýWþ&øåö±ô¡ô�ÿ"�ýV Pù�ÿåúNô&ÿåú��XF��H7(LS4��?$§ôk.�ýV�NúÔù=. �Æþ�ù�)b �ý�) )ãö�%-4 %�ô�õÔö±ô� OT�=F � L�üPý�øåù�úÄûN÷.ô�ù#ôvõÄý �;ù�þvù�úÔù�ÿ]�ýWø¯ø ��;F ��Z �XF�� 7&L�LS*,ÿa4 ý�49* � O?��F � L<ÿå÷�ö¤ô<øåýWö�÷¡ô�ö�÷#�ø¯ùN÷¡ý'ôvù � Y �XF�� 7(LxöH÷xô�ùJö�ú��ù±ôvõÄý�þ¥øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý# Pù�ÿåúNô�4]_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*9ÿ ôx),$Ô÷¡ô�ü7ý � O @� 5 .]4n��ý<ö±øÃ÷¡ù �9úÄù=.áôvõÔö¤ô�üPù±ôvõ � ö�ú(� @� üPý�øåù�úÄû'ô�ù �/FFT 7-LS*ö±ú&��.5Y<�XFFT 7-LS4 8 ù(* � O @� 5 .àÿå÷[ PùH÷v÷¡ÿåüÄøåýxù�úÄø9�Sÿ��2. O� I*(.¥õÄÿ9�õ+ÿ9) Ôø¯ÿåýW÷ � O @� 4��

�ý�)�)!ö %-4 ¤�¤ �ö±ú/ü7ýV$Ô÷�ý���ô�ù'ýW÷¡ôvö�üÄø¯ÿÃ÷�õ�ô3.�ù�ÿ9)� 7ùHþ¡ô�ö±úNô? Ôþ�ù� 7ýWþ¡ôvÿ¯ý�÷�ù���ô�õÄý�÷vö�)� Äøåÿ¯úÔû'ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ù��� ký�)�)ãö %(4 %(4_&õÄý/�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�ú B � D � Ôþ�ù1�1$(�ý���ü��ÜôvõÄý/÷vö�)� ÄøåÿåúÄûJö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) ÿå÷Y$ÄúÄÿ��Æù�þ�)+4 � ù=.�ý���ýWþ�*?B � D �

ÿå÷�úÄù±ô�ÿ¯úàûHý�úÄýWþvö�ø$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��!�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý��#ù=��ýWþ � 7�4?_&õÔý#HÔþ�÷]ôx Äþvù� Pý�þ�ô3��ÿÃ÷¥ôvõÔö¤ô<*( Äþvù=�9ÿ9�§ý<� b���b.ÿÃ÷¥øÃö±þvû�ýxý�úÔù�$ÄûHõI*ÄôvõÄýY�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHú#ù��B � D �

ÿÃ÷&þ�ýWøåö±ô�ÿ9��ý�ø9�2�øåùH÷�ý.ô�ùM$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)+4

��C

Page 33: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��Y&X%X�� !T.�� � � �NR�F ��Z � LSI��A���D�e�����=RZ� BX������P���B�����VRZPxR��-�Q����<H>C;�����/>e��P���� B�K1���[Pz@ � �V< <�� �2 � � @I^�b���b * � F��XF�� 7&L�L�.% �?F%^UL @ (F��XF � L�L,�A�CB/� �DK(�=R2oP�� ���2 � � �(P�;oB=�5Ra�JK(�*�]R��(�V� @NP=�,�A�+JY����P�K�> �V;��D<M�V�&R M Y � 7 �

4�þ�\�B � D ��

O M ]/< ¤��� 7 9

$ �#T#� � 0,ÿ W�ûHþ�ù�$- �ý�øåý�)!ýWúHô M *9ö�ú(�ãøåý�ô @� üPý ôvõÄý'$ÄúÄÿ"K�$Ôý3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý' 7ùHÿ¯úNô&ÿ¯ú �XF�� 7 L�0��/FFT 7 L�÷�$(�õSô�õÔö±ôVB @� D ��

O M 48 ÿåú(�ý � Y �/FCT 7 LN*UB � D �

O M ÿ��;ö±ú(�+ù�úÔø���ÿ�� � O @� 4��«ý�ý�÷]ôvÿ�)ãö±ô�ýxô�õÔý# Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�!ôvõÔö¤ô � O @� 4��ù�ô�ÿ"�ý.ô�õ7ö¤ô�ÿ�� � Y � F�� � F @�MZ �XF��H7(L�L�LS*§ôvõÄý�ú � O @� 4]_&õÄý�þvýN�ÆùHþ�ý�*4�þ�\ � O @� ]:. �

�� ��� ����� � �� � � ��� � ��� � �;: � 4�þ�\ � O @� ] 9

�?� �ý�)�)!ö %(4 ¤�¤ *��Æù�þ�ö�ú�� @� Y � F�� � F @�MZ �'F�� 7&L�L�L 0�'F���LS* 4�þ�\ � O @� ]]O �§ý�ô�F��'F���L�L�gA�§ý�ô=F��'F � L�LN4 8 ù&*4�þ�\ � O @� ]:.

�Äý�ô<F��XF � L�L�§ý�ô<F��XF � L�L R!�JF � F�� � F @�MZ �'F��H7(L�L�L10 �XF���L�L 9

8 ÿ9)!ÿ¯øÃö±þvø���*§ÿ � � O @� *§ôvõÄý�ú � Y � F ��XF @�MZ �'F�� 7&L�L�LN4Q_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*4�þ�\ � O @� ]:8 �

�� ��� �� � �� � � ��� � ��� � �;: � 4�þ�\ � O @� ]:8

�§ý�ô=F��'F���L�L�§ý�ô�F��XF � L�L RS�JF � F ��XF @�MZ �'F�� 7 L�L�L10 �XF���L�L 9

ó�ú'ù�þ��§ý�þ�ô�ù#�ù�)� Äø¯ý�ô�ý�ô�õÔý? Ôþ�ù9ù��3*�.�ý�úÄý�ý<�<ôvùxýW÷¡ô�ÿ9)!ö±ô�ý�ô�õÔý¥ú�$()�üPý�þDù��Pøåö±ô¡ô�ÿ"�ý[ Pù�ÿåúNôv÷£�Æþvù�) �'F���L�ôvõÔö¤ô�üPý�øåù�úÔû ôvù� F�� � F @�MZ �XF�� 7(L�L�L&ö±ú&� � F ��'F @��Z �XF��H7&L�L�LS4 8 ÿ¯ú&�ý � � F @�MZ �XF�� 7(L�L[�ù�úNô�ö±ÿåúÔ÷¥ö±ú#ù� Pý�ú#÷� ÄõÄý�þvý�ù��,þvö��§ÿ9$Ô÷ * � F��'F��H7(L�L`g�C1*$Ô÷�ÿ¯úÔû+F�%-4 ,�L?.�ýxû�ý�ô&ôvõÔö¤ô � F�� � F @��Z �XF�� 7(L�L�LVFMö±ú(�/ô�õÔý�þvýN�Æù�þvý�*Äö�øå÷�ù � F ��'F @��Z �XF�� 7(L�L�L�Lk�ùHúHô�ö±ÿåúÔ÷&ö!÷� ÄõÔý�þvý.ù��,þ�ö��Äÿ�$Ô÷

^�b �ab� �?F%^UL R

* � F��XF�� 7 L�LC . @ &F��'F���L�L 9

_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*�ü�� ô�õÄýQ�ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú�ù�� @ (F��'F���L�LS*�ôvõÄý�ú�$-)�ü7ýWþ�ù��9øåö±ô¡ôvÿ9�ý] 7ùHÿ¯úNô�÷ÿ¯ú � F�� � F @��Z �XF�� 7(L�L�LQF:ö±ú&� � F ��'F @�MZ �XF�� 7(L�L�L�LÿÃ÷¥ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ý�ø9�ãý�K�$Ôö�ø�ô�ù��ùHøaF � F�� � F @��Z �XF�� 7 L�L�L

�§ý�ô�F��'F���L�L O ��ùHøaF � F ��'F @��Z �XF�� 7 L�L�L�Äý�ô<F��XF � L�L O ��ùHøaF � F��'F @��Z �XF�� 7 L�L�L�Äý�ô<F��XF � L�L 9

��ù�)�üÄÿåúÄÿ¯úÔû�ôvõÄÿÃ÷¥ýW÷¡ô�ÿ9)ãö¤ô�ýV.¥ÿ¯ô�õ#ôvõÄý#$- - Pý�þ�ö�ú(�+ø¯ù=.�ý�þ&üPù�$Äú(�Ô÷¥ù�ú/ô�õÄý# Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3�!ôvõÔö¤ô � O @� *(.�ýxû�ý�ô4�þ�\�B � D �

O M ] < �Äý�ô=F��XF � L�L�Äý�ô<F��XF � L�L R

�Hù�øTF � F��XF @�MZ �'F�� 7 L�L�L�§ý�ô=F��'F���L�L

O �Hù�øTF � F��XF @�MZ �'F��H7(L�L�L�§ý�ô<F � F��'FCT 7(L�L

O �Hù�øTF��'F @��Z �'F��H7(L�L�L�§ý�ô<F��'FCT 7&L�L

O �§ý�ô=F��'F�� 7&L�L�Äý�ô<F��XFFT 7 L�L O

¤��� 7 9

_&õÄý�÷¡ý<�ù�ú&�# Äþvù� Pý�þ�ô3�.ÿ9)� Äøåÿ¯ý�÷kôvõÔö¤ô<*= Äþvù=�Nÿ"�§ý<�fb �ab;ÿÃ÷køÃö±þvû�ý�ý�úÄù�$Äû�õU*WôvõÄý[�§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ÿåù�ú�ù�� � ( � F � LN*±ö�÷�û�ýWúÄý�þ�ö¤ôvý��ü��SôvõÄý!÷�ö�) Ôø¯ÿåúÄû2 Äþvù1�ý<�1$Äþvý�*ÔÿÃ÷3úÄù±ôX�ù�ú(�ý�úNô�þ�ö¤ôvý��#ù=�Hý�þ ö�ú��JH-W§ý���Fo^ ( ¤ LZ0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�økõ��� 7ýWþ� ÄøÃö±úÔý�4¥ó�ú:�:ö�)ô�*e.�ý Äþvù=��ý�öA÷¡ô�þvù�úÄûHý�þ5 Ôþ�ù� 7ýWþ¡ô3��*�ö±ú&�à÷¡õÄù=. ôvõÔö¤ô � ( � F � L�üPý�øåù�úÄûN÷�ô�ù«ö±ú��Üù���ôvõÄý�ô3.�ùAõÔö�ø ��0�÷� 7ö��ý�÷5�§ý�HÔúÄý��ßü��«ô�õÔýõ��� 7ýWþ� ÄøÃö±úÔý'.¥ÿ¯ô�õ#õÄÿåû�õ! Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3��4A_&õÄÿÃ÷¥ÿÃ÷�ô�þ�$Äý�ý��Hý�úJ�Æù�þ&ô�õÔý5�ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÔö±øI�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�ú#ù�� � ( � F � L�ûHÿ��Hý�ú � 4��Y&X%X�� !T.�� 7�� �NR�F ��Z � LSI��A���D�e�����=RZ� BX������P���B�����VRZPxR��-�Q����<H>C;�����/>e��P���� B�K1���[Pz@ � �V< <�� �2 � � @I^�b���b * � F��XF�� 7&L�L�.¤ C �8Fo^UL @ (F��XF � L�L,�A�CB!� �VK(��R�oPA� ��� � � �(P�;oB=�YRT�JK(���AR��-�D� @NP=�Y�A�+J�� Y+÷� Ôö±úIF � L',�\- ]!���'B M Y�� 70�

4�þ�\ � ( R�F � ( � F � L�L%! �_$(B � D ��

O M ]0. ¤% 9

�7�

Page 34: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

$ �#T#� � 0,ÿ W�ûHþ�ù�$- �ý�øåý�)!ýWúHô M *9ö�ú(�ãøåý�ô @� üPý ôvõÄý'$ÄúÄÿ"K�$Ôý3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý' 7ùHÿ¯úNô&ÿ¯ú �XF��H7(L�0��/FFT 7-L�÷�$(�õSô�õÔö±ôVB @� D ��

O M 48 ÿåú(�ý� �ý�)�)ãö�%(4 %#û�$Ôö±þ�ö±úNô�ýWýW÷ � Y=�/FCT 7-LN*A�ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHú B � D �

O M ÿå÷�ý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�úNô<ô�ù � O @� 4� �ý�ô#' O \�R�Y� � F @��Z �XF�� 7 L�LS� � (�R � F�R ( @� L ! ��]xüPýxù�úÄýxù���ôvõÄýxô3.�ù+FÆù� 7ýWú&L�õÔö�ø��HýW÷&ù���ô�õÄý �;ùHþ�ùHúÄù�ÿ��ý�øåø�� � F @�MZ �XF�� 7 L�L[�ÄýNHÔúÄý<�ü��ãô�õÔý<õ��� Pý�þ� ÄøÃö±úÄý � ( R � F�RUL�O �'(MR � F @� LS4;F 8 ý�ýF0,ÿåû�$Äþvý �-4iL 0�ÿåþ�÷]ôx.�ýxýW÷¡ô�ÿ9)!ö±ô�ýxôvõÄý# Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3�ãô�õÔö±ô � Y � F+''LS4

@�* � F��H7(L�g�C

* � F�� 7(L`g ,'

* � F��H7(L�g ,

� (�R � F @� L

� ( R � F�RUL

�'F @��Z � 7 L

0,ÿ¯û�$Äþvý��(�]_&õÄý5�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�ø��§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ÿåù�ú#ù��D÷vö�)� Äøåý��/øåö±ô¡ôvÿ9�ý# 7ùHÿ¯úNôv÷

8 ÿåú(�ý '`ÿÃ÷x�ù�úNôvö�ÿ¯úÄý<�Sÿåú+ô�õÄýxù� 7ýWú��;ùHþ�ùHúÄù�ÿ��ý�øåøH� � F @��Z �XF�� 7 L�LN*Ôü�� ký�)�)ãö %(4 ¤�¤ *4�þ�\ � Y � F!'XLc]EO �

�� ��� � � ��� � �;: � 4�þ�\ � O @� ]EO �§ý�ô<F��XF���L�L�§ý�ô�F��XF � L�L R!�JF � F+''L10 �XF � L�L 9

��ù�ô�ÿ"�ý'ô�õ7ö¤ô('6�ù�úNôvö�ÿ¯úÔ÷xö�ú«ù� 7ýWúÒ÷� ÄõÄýWþ�ý!ù���þ�ö��§ÿ9$Ô÷#* � F��XF��H7(L�L`g ,&4+F 8 ý�ý0,ÿåû�$Äþvý��-4iL _&õÔý�þvýN�Æù�þvý�*kü�� F %-4 ,�LN* � F+''L�ùHúNôvö±ÿåúÔ÷¥ö!÷� ÄõÄý�þvýxù��,þvö��§ÿ�$7÷^�b �ab� �?F%^UL R

* � F��XF�� 7(L�L, . @ &F��'F���L�L 9

�?�/�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú#ù�� @ -F��XF���L�LN*ÄôvõÄý�ú�$-)�üPý�þ�ù���øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý# Pù�ÿåúHô�÷&ÿ¯ú � F+''L&÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý�÷�/F � F!'XL'0 �'F���L�L�< ��ùHøaF � F+''L�L�§ý�ô�F��'F���L�L O

¤C�Hù�øaF � F��XF @�MZ �'F�� 7&L�L�L�L

�§ý�ô�F��'F���L�Lö±ú&�

4�þ�\ � Y � F+''L ] < ¤C�§ý�ô<F��XF���L�L�§ý�ô<F��'F � L�L R

�Hù�øaF � F��XF @�MZ �'F�� 7 L�L�L�L�§ý�ô�F��'F���L�L

O ¤C��ùHøaF � F��'F @��Z �XF�� 7 L�L�L�L�§ý�ô=F � F��XFFT 7(L�L�L

O ¤C��ùHøaF��XF @�MZ �'F�� 7&L�L�L�§ý�ô=F��'FCT 7-L�L

O ¤CER ��� 7 9

��ù�ô�ÿ"�ý.ô�õ7ö¤ô�ÿ�� � Y � F!'XL�ôvõÄý�ú � O @� ö±ú(� � ( R�F � ( � F @� L�L%! �(4A_&õÄý�þvýN�ÆùHþ�ý�*4�þ�\�B � D �

O M D � ( R�F � ( � F @� L�L ! � ]:.c4�þ�\ � Y � F+''L ]^. ¤, R!��� 7 9

��ý5�ö±ú+úÄù=. �ù�)� -$Äô�ý.ô�õÄý5�ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔö±ø� Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3��*4�þ�\ � ( R�F � ( � F � L�L ! �_$-B � D �

O M ] O 4�þ�\ � ( R�F � ( � F � L�L%!���DB � D ��

O M ]4�þ�\�B � D �

O M ]. ¤

, R ��� 7 R(4�þ�\�B � D ��

O M ] 9

� ,

Page 35: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

L ÷�ÿåúÄûE ký�)�)ãö %(4 ¤ C1*�4�þ�\�B � D ��

O M ]/5 ¤ g ��� 7e*±ÿT4 ý�4�*&��� 7nR�4�þ�\�B � D ��

O M ]:8c��g�C14 8 $ÔüÔ÷]ôvÿ ô�$§ô�ÿåúÄûxÿåú�ôvõÄý8 Ôþ�ý��Nÿåù�$7÷ÿåúÄý�K�$Ôö�ø¯ÿ¯ô3�2.�ý.ûHý�ô4�þ�\ � ( R�F � ( � F � L�L%! �_$(B � D �

O M ]0. ¤%9

�>��� � (+*E* �L1 *(� ���F� ���0/2/ ��1ó�úáôvõÄÿÃ÷+÷�$ÄüÔ÷�ý��ô�ÿåù�ú .�ý Ôþ�ù=�Hý� �ý�) )ãöH÷(%(4 � * %-4 pö�ú(� %-4 ¤ � $Ô÷¡ý<�áÿåúZô�õÔý�ö�úÔö±ø9�§÷¡ÿÃ÷�ôvõÄýÒö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) � � F�� Z �~L�ÿåú8 $Äü7÷¡ý<)ô�ÿåù�ú�%(4 C-4?_&õÔý�ÿ¯úNô�$Ôÿ ôvÿ¯ùHúJü7ýWõÄÿåú(�� �ý�) )ãö$%(4 � ÿÃ÷¥ôvõÔö¤ô.÷¡ÿåú(�ý�ûHþ�ù�$- #ý�øåý�)!ý�úNô�÷�) e

�ö�þ�ý�ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ý�úNô3ö�ú(�#úÄù�ôô�ù9ù �:ö±þ[�Æþvù�) $ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��/�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ý<��*§ô�õÔý�ÿåþ ÷�$()!÷G) e O d

�) e

�ö�þ�ý.ýNW9ô�þvý�)!ýWø��/�ø¯ùN÷¡ý.ôvùM$ÄúÄÿ��Æù�þ�)!4

$ �#T#� ��# ��Y&X%X�� !�.���� � 0�ÿåþ�÷]ôk�ùHúÔ÷¡ÿ"�§ýWþ�ôvõÄý'�Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�ú+ù���ö�÷¡ÿåúÄûHø¯ý.û�þvù�$- ãýWø¯ý�)!ý�úNô�) e �O B � e

�D �

ö�÷�ù�$§ô� -$Äôü��Òô�õÄýA÷vö�)� Äøåÿ¯úÔû Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvý�4 8 ÿ¯ú(�ý+^�b �ab7* � F��'F�� 7 L�L . % �?F%^UL @ (F��XF���L�L!ö�ú(� F %-4 ,�L�õÄùHø9�Ä÷'ôvþ�$Ôý/ü��pöH÷�÷�$-)� §ô�ÿåù�úU* �ý�)�)!ö�%(4 ¤ C<ôvý�øåøå÷[$7÷&ô�õÔö±ôk�Æù�þ�ö�ú��Sû�þvù�$- /ý�øåý�)!ý�úNô M Y � 7 *

4�þ�\ ) e �O M ]/< ¤

��� 7 9

8 ù&*±ô�õÔýx Äþvù�üÔö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3�,�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHú!ù��ýWö��õ�) e �ÿÃ÷�úÔù±ô;ô�ù9ùV�:ö�þA�Æþ�ù�) $ÔúÄÿ �ÆùHþ�)+47>;�-�Äÿ¯úÄûY$- �öxþ�ýWøåö±ô�ÿ9��ýWø���÷�)ãö±øåøÄú�$-)�üPý�þ

ù��0) e �.�ý#û�ý�ô�öÜûHþ�ù�$- pýWø¯ý�)'ýWúNô_) e O d ! � 7 �

�! � ) e � .¥õÄÿ"�õfÿÃ÷ãö±ø9)!ùH÷¡ôM$ÄúÄÿ��Æù�þ�)'ø9� �§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý���4 ó�ú Ôö±þ�ô�ÿ"N$Ôøåö�þ�*�ü��4�þvù� PùH÷�ÿ¯ô�ÿåù�ú!C-4 ¤�� *Nô�õÔý<÷]ô�ö¤ô�ÿÃ÷¡ô�ÿ"�ö±øI�Äÿå÷¡ôvö�ú(�ý�üPý�ô3.�ý�ýWú ) e ö±ú&�+ö $ÄúÔÿ �ÆùHþ�)!ø9�J�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý���� e Y�� ÿå÷ ö¤ôk)!ùH÷¡ô� FC) e Z � e L�8 ¤

C ! � 7 ��_�� 9 F %(4 � L

8 ÿåú(�ý�ô�õÄý'þ�ö±ú(�§ù�) �¤ö�þ�ÿÃö±üÄøåýW÷�) e ö±þvý<ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ý�úNô<*ü���4�þ�ù� 7ùN÷¡ÿ¯ô�ÿåù�ú`C14 ¤ �!ô�õÄý'÷]ô�ö¤ô�ÿÃ÷¡ô�ÿ"�ö±ø7�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý<üPý�ô3.�ý�ý�ú ��ý��ô�ùHþ�O B ) � Z�9:9:9(Z ) ? � 7 � D (àö±ú(�+ö $ÄúÄÿ��Æù�þ�)!ø��!�§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ý<� � Y�� ? � 7 �7 ÿÃ÷�ö¤ôk)!ùH÷¡ô

� F�� Z � L#8 ? � 7 ��e"! �

� FC) e Z � e L#8 �Fo^ULC ! � 7 �,_�� O ^��������^ P.����� O ^ OQP.����� 9 F %(4 �L

_&õÄý'ÿ¯úNô�$Äÿ ôvÿ¯ùHú«üPý�õÔÿ¯ú(� ký�)�)ãö(%(4 /ÿå÷3ôvõÔö¤ô<÷�ÿ¯ú(�ý!ýWö��õ . e �O � e � ( � F � e � L õ7ö�÷3ô�õÄý� Äþvù� Pý�þ�ô3�:�§ýW÷��þvÿåü7ý<�Üÿåú �ý�)�)!ö�%(4 ¤ �-*9ô�õÔý�úAö±øÃ÷¡ù_"2Fo.¥õÄÿ"�õ+ÿÃ÷¥ö'úÄù�ú(��ý�þvù!ø¯ÿåúÄý�ö±þk�ù�)�üÄÿåúÔö¤ôvÿ¯ùHú/ù���ôvõÄý . e

�� ÷�L�õÔö�÷¥ö!÷�ÿ�)!ÿåøåö�þk Äþvù� Pý�þ�ô3��4

$ �#T#� ��# �aYUX�X � !T. � � � 0,ÿ W @� Y�� ? � 7 �7 * @��Y � F @�(L ,�\- ]�*§ö�ú(� Fo^ (�¤ LZ0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�ø7õ��� 7ýWþ� Ôøåö�úÄý � " ÷� Ôö�úIF���LS48 ÿåú(�ý @� +O U*9ô�õÄýWþ�ý�ý�W9ÿÃ÷¡ôv÷¥ö��ù9ù�þ��§ÿåúÔö¤ôvý � ÷�$&�õSôvõÔö¤ô @� e +O'�-4A> ÷v÷�$()'ý#.¥ÿ¯ô�õÔù�$§ô�øåùH÷v÷&ù��,û�ý�úÔý�þ�ö±øåÿ ô3�!ôvõÔö¤ô @� � +O'�-4_&õÄýAù�$§ô� -$Äô�ù�� � � F � Z �UL'ÿÃ÷�öÒþ�ö±ú(�Äù�) �¤ö±þvÿÃö±üÄøåý+ô�õÔö±ô/�§ý� Pý�ú(�Ô÷ãù�úhô�õÔýAþvö�ú(�§ù�)!úÄý�÷�÷!ù��.ùHþvö��øåý � ö±ú(�fô�õÔýþ�ö±ú(�§ù�)!úÄýW÷v÷k$Ô÷�ý��`�-$Äþ�ÿåúÄûSô�õÄý�ýNW§ý��$§ô�ÿåù�úJù��;ô�õÄý'÷�ö�)� Äø¯ÿåúÄû2 Ôþ�ù1�ý<�1$Äþvý<ÿåúAô�õÄý��ù�)� -$§ôvö±ô�ÿåù�úAù��;F � e

�Z � e � L[�Æù�þ � O

¤7Z�9:9�9VZ � F%^UL�ö±ú(� � O ¤�Z:9�9:9VZ �F%^ULN4n0�ÿ�W!ô�õÄý.þ�ö±ú(�§ù�)!úÄýW÷v÷;ù�� � ö�ú(��÷vö�)� Äøåÿ¯úÄûY Äþ�ù1�ý��1$Äþvý�*NýNW-�ý� §ô8�Æù�þVF � Z ��LnO F ¤7Z�¤ LS40,ÿ¯ú7ö±øåø���*��Æù�þ&ô�õÔÿå÷&þvý�)ãö±ÿåúÄÿåúÄû'þ�$Äú+ù���ô�õÄý�÷vö�)� Äøåÿ¯úÔû, Äþvù1�ý<�1$Äþvý�*�H-W�ôvõÄý#�¤ö±ø9$Äýxù�� � � � ö±ú(�J�ù�ú7÷¡ÿ"�§ý�þ�ôvõÄý5�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�ø�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHú#ù�� � � � 4n��ù±ôvÿ9�ý.ô�õÔö±ô¥ô�õÄÿÃ÷k$ÄúÄÿ"K�$Äý�ø9�J�Äý�ô�ýWþ�)!ÿåúÄýW÷

N ô�õÄý#�¤ö±ø9$Äý�÷&ù�� � e � �Æù�þ�ö�ø¯ø]F � Z ��L+O F ¤7Z�¤ LS*N ô�õÄý#�¤ö±ø9$Äý�÷&ù�� � e � �ÆùHþ�ö±øåø � Z �&*N ô�õÄý#�¤ö±ø9$Äýxù���O�d e

�B � e

�D �

Y e *Äö±ú(�N ô�õÄý#�¤ö±ø9$Äýxù�� � O �!F��(LS4

��ýx Äþvù=��ý&ö�÷]ôvþ�ùHúÄû�ýWþD÷¡ôvö±ô�ý�)'ýWúNô;ô�õÔö�ú!ô�õÄý¥ùHúÄý¥ÿ¯ú!ôvõÄý¥øåý�)�)ãö-4 � ö�)!ýWø���*�.�ý�÷¡õÄù=.fô�õ7ö¤ô;ô�õÔý;�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�ø1 Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�4�þ�\-� gY � $ �O @� Z � O @� Z B F � Z ��L 9 � e � O @� e � Z B F � Z ��L�+O F ¤7Z�¤ L 9 � e � O @� e � ]

���

Page 36: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

ÿÃ÷¥ö¤ô&ø¯ý�ö�÷¡ô ¤ g %-4�� ù±ô�ÿ"�ý3ô�õ7ö¤ô&ô�õÄÿÃ÷[ Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�2�§ý� Pý�ú&�Ä÷&ù�úÄø9��ùHú�ô�õÔýV�ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔö±ø��§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHú/ù�� � � � *§üPý�Wö�$Ô÷�ý.ö�ø¯øù±ôvõÄý�þ#�Hý��ô�ù�þ�÷xö±þvýYH(W9ý<�Üü���ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÄÿåúÄû(4�>x�Hý�þ�ö±û�ÿåúÄû+ù=��ýWþ.ö�ø¯ø]Wö�÷�ýW÷�÷�$(�õÜôvõÔö¤ô �5O @�Òö±ú(���MO @�(*~.�ý!û�ý�ôxô�õÔö±ô4�þ�\��gY � $ �O @� Z � O @��]:. ¤ g %(40ÄùHþ�ö±ú���H-W§ý��!�¤ö±ø9$Äý�÷ @� e � * @� e � ö�ú(� @��*(�§ý�HÔúÄýxôvõÄý#��ý<)ô�ùHþ. O �

� e � � �! ��� ���@� e R�F @� e � ( � F @� e � L�L 9

��ù�ô�ÿ"�ýxôvõÔö¤ô<*Äû�ÿ9��ýWú � O @�(* � e � O @� e � �Æù�þ�ö�ø¯ø � Z �(*Äö�ú(� � e � O @� e � �Æù�þ�ö�ø¯ø]F � Z ��L+O F ¤7Z�¤ LS*�]O �e �

� e R�F � e � ( � F � e � L�L�O . 5 @� � R�F � � � ( � F @� � � L�L 9

��ý#.�ö�úHô&ôvù'üPù�$Ôú(�/ô�õÄý5�ù�ú(�§ÿ¯ô�ÿåù�ú7ö±ø� Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�ãô�õ7ö¤ô���Y � *ÄùHþ�*9ý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�úNô�ø9��*� � � ( � F @� � � L Y

� ( .@� �

O � ! 9

�ý�ô��GYß÷� Ôö±úUF � L3üPýãö/�Hý�)ôvù�þ.ù�þ�ô�õÄùHû�ùHúÔö±økô�ù � !;÷�$&�õJô�õ7ö¤ô��'(qR!R 8"�2�ÆùHþ�ö±ú���R Y � !o4!F,� ù±ô�ÿ"�ý'ôvõÔö¤ô<÷�ÿ¯ú(�ý �ÿÃ÷3ùHþ¡ôvõÄù�ûHù�úÔö�øô�ù � !a*�ô�õÄý,�%$Äú(�ô�ÿåù�ú;R��� �'( R!Rßÿå÷V�ù�úÔ÷¡ôvö�úHô.ù=��ýWþ � !a4 L 8 ÿåú(�ý � (�R R�! �/ÿ9) Ôø¯ÿåýW÷,R gY � !U�ÆùHþ.ö�ø¯ø��ý<)ôvù�þ�÷ RA*�ô�õÄýx�ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔö±ø1 Äþvù�ü7ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3�xô�õ7ö¤ô � � � ( � F @� � � LFgY � !§ÿÃ÷;ö¤ô;øåýWö�÷¡ô�ö�÷DüÄÿåû<ö�÷�ôvõÄýx�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�ø1 Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�ô�õ7ö¤ô �'( R�F � � � ( � F @� � � L�L%! �(4 8 ÿåú(�ýV^�b �ab7* � F��XF�� 7 L�L#. ¤ C �?F%^UL @ (F��'F���L�L¥ö�ú(� F�%-4 ,�L�õÄù�ø"�Ä÷�ôvþ�$Äýxü��SöH÷�÷�$-)� §ô�ÿåù�úU* �ý�)�)!ö�%(4 ¤ ��ôvý�øåøå÷[$7÷&ô�õÔö±ô¥ô�õÄý�øÃö¤ô�ô�ýWþk Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�Sÿå÷¥ö±ô�ø¯ý�ö�÷¡ô ¤ g %(4 �

_&õÄýxÿåúHô�$Äÿ¯ô�ÿåù�ú+ü7ýWõÄÿ¯ú&�d ký�)�)ãö %(4 ¤ ��ÿÃ÷�ô�õ7ö¤ôk��ý<)ô�ùHþ��3ÿÃ÷¥÷�õÄù�þ�ô�üPý�Wö�$Ô÷�ýxÿ ô¥ÿÃ÷¥ö�øåÿåúÄýWö�þx�ù�)�üÄÿåúÔö¤ôvÿ¯ùHú F%.¥ÿ¯ô�õ#÷�)!ö�ø¯ø�ù9ý+)M�ÿ¯ýWúNôv÷ � e L¥ù���÷¡õÄùHþ¡ô'��ý<)ô�ùHþv÷ . e � ø9�9ÿ¯úÔû2.¥ÿ ôvõÄÿåú � F ��XF��XF�� 7&L�L�LN4'>»ü7ù�$Äú(�JùHú#ô�õÄý'øåý�úÄû�ô�õJù��/bA�&b#�ö�úAü7ý'ýWöH÷¡ÿåø���ù�)� -$§ô�ý<�:$Ô÷�ÿ¯úÔû!ô�õÄý�ô�þvÿåö�úÄû�øåý�ÿ¯úÔý�K�$Ôö±øåÿ¯ô3��4x_&õÄÿÃ÷x.�ù�$Äø"�#øåýWö��+ôvùSöãþvýW÷�$Äø¯ô3÷¡ÿ9)!ÿ¯øÃö±þ ô�ùãôvõÄý�ùHúÄý�ÿåú _&õÄý�ùHþ�ý�) %(4 �-*Äü-$§ô.¥ÿ¯ô�õàö+øåö�þ�ûHý�þMFÆü��«ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvý�ø9� e � F%^UL�R �F%^UL�L'�¤ö±ø9$Äýãù��?\7Fo^ULS4 � ý�þvý .�ýM$Ô÷�ýM�ö±ú&�ý�øåøÃö¤ô�ÿåù�ú7÷xü7ý�ô3.�ýWý�ú«ô�õÄý$. e

��ý<)ôvù�þ�÷�ôvùM Äþvù=��ý3ö!üPý�ô�ô�ýWþ�ü7ù�$Äú(��4$ �#T#����# �aYUX�X � !T.�� � � 0,ÿåþv÷¡ô�*k.�ý` Äþvù=��ýJö�ú $- - Pý�þSüPù�$Ôú(�Zù�ú ôvõÄýÜøåý�úÔû±ô�õZù�� . e

�O � e � ( � F � e � L��ÆùHþö±øåøMF � e

�Z � e � LSÿåúáôvõÄý�þvö�úÄû�ýJù��<ô�õÔý�÷vö�)� Äøåÿ¯úÔûhö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) ù�� �ý�)�)!ö %-4 %-41��ý�9úÄù=. �Æþvù�) ký�)�)ãö)%(4 %ßô�õÔö±ô

� OT�=F � e � L Y ��'F � e �Z �XF�� 7(L�LS*kö�ú(�#ôvõÄý�þvýN�ÆùHþ�ý�b � OT�=F � e � L ( � e � b�8 �eF��XF�� 7(L�LS4FL ÷�ÿåúÄûF�%-4 ,�Lx.�ý�ÿ�)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�Aû�ý�ôô�õ7ö¤ô . e

�O � F � O?� F � e � L ( � e � L�õÔöH÷&ø¯ýWúÄû±ôvõAö¤ôx)!ùH÷¡ô

b . e �b�8 ��^�b���b/R ��F��'F��H7&L�L

�?F%^UL 9 F %-4 ¤ ��L

8 $Äü7÷]ôvÿ ô�$§ô�ÿåúÄû��?F%^ULnO X;F%^ e �F%^UL �QF%^UL �eF��XF�� 7&L�L�L&ÿåúNô�ù:F %(4 ¤ ��L8.�ý.ûHý�ôb . e

�b/8 � b �ab

X;F e �Fo^UL �QFo^UL�L O'& � b���be �F%^UL �QF%^UL � 9 F %-4 ¤�¤ L

�?�ãô�þvÿÃö±úÄûHø¯ýxÿåúÄý�K�$Ôö�ø¯ÿ¯ô3�Sö±ú&����ö�$(�õ���0 8 �õ�.&ö±þ���*Hÿ ô�ÿ9)�)'ý<�§ÿÃö¤ô�ýWø��/�Æù�øåø¯ù=.�÷�ôvõÔö¤ôbA�&b�8

? � 7 ��e"! �$ � e $

! � 7 ���! �b . e

�b/8 e � F%^UL&IF%^UL R+& � b �ab�R&b*� b�QFo^UL � 9

��ý,.&ö±úNô ôvùJ Ôþ�ù=�Hý�ö�üPý�ô�ô�ý�þMFo Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿå÷¡ô�ÿ"�L üPù�$Äú(�Üü��+�ù�)� -$§ôvÿ¯úÔûSôvõÄý �ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔö±ø,ýNW1 Pý�)ô�ö¤ôvÿ¯ùHúJù��,b7�UbD�=4 L ÷�ÿ¯úÔûô�õÔý5�§ýNHÔúÔÿ ôvÿ¯ùHú+ù�� �MF�%-4 ��LN*1.�ýxû�ý�ô\]W1 IB b7�Ub � $ �O @� Z � O @��D O \AW1 UB $ ? �

7 ��e"! �

@� e! � 7 ���! �. e

�Z ? �

7 ��e � ! �

@� e �! � 7 ���� ! �. e �

��<&G$ � O @� Z � O @�=D

O �e e � @�e @� e � �

� ��\AW1 UB $ . e

�Z . e ��

�� &�$ �O @� Z � O @��D

8 �e e � $ @�e @� e ��$ �

� ��$z\AW1 IB $ . e

�Z . e �

���&�$ �O @� Z � O @��DN$ 9

� %

Page 37: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��ý�ü7ù�$Äú(�!ý�ö��õ!ô�ýWþ�)1\AW1 UB $ . e �Z . e �

��/&G$ �O @� Z � O @��DP÷�ý� Ôö�þvö±ô�ý�ø9��4-��ù�ô�ÿ"�ý¥ôvõÔö¤ô<*�û�ÿ9��ýWú��O @��*���ý<)ôvù�þ � O �!F��(L�O

�+F @�&Lx�§ý� Pý�ú(�Ô÷ ùHúÄø��/ù�ú#ôvõÄý�þ�ö±ú(�Äù�)!úÄýW÷v÷¥ù��DùHþvö��øåý �J4x_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*ÄûHÿ��Hý�ú � O @��*I�Sÿå÷ ÿ¯ú&�§ý� Pý�ú(�Äý�úNô;�Æþvù�) . e �ö�ú(�

. e � �� *Ôö±ú(�

\AW1 UB $ . e �Z . e �

�� &G$ � O @� Z � O @�=D'O"\AW1 IB $ . e

�Z . e �

�� &G$ � O @�1D 9 F %-4 ¤ C�L

��ý#.¥ÿ¯øåøü7ù�$Äú(�/ô�õÔý#��ö�ø�$Ôý�ù��?F�%-4 ¤ C�L�ö�ú(�#÷¡õÔù=.Zô�õÔö±ô\]W� ~B $ . e

�Z . e �

��/&�$ �O @��D?O

�� � &�� ����� � � 7 � ! � 7 ��� ÿ �kF � Z ��LnO F � ! Z � !"L&�� ����� � � 7 � ! � 7 � R ���� � � � ù±ôvõÄý�þ�.¥ÿå÷�ý 9 F %-4 ¤ ��L

L ÷�ÿåúÄû:F %-4 ¤ ��L�ÿ¯ú+ô�õÔý�ýNW1 ÄþvýW÷v÷¡ÿåù�ú/�Æù�þ \AW1 UB bA�&bV�:$ �O @� Z � O @��DU.�ýxûHý�ô\AW1 IB bA�&b � $ � O @� Z � O @�=D 8

���e �

@� �e 5 �� e � � �! � e �� � � �

$ @� e $�RK$ @� e �A$C ! � 7 � �� R & � b �abV��QFo^UL � �F%^UL �

8 � IF%^UL RKb @�Qb � 5 �Fo^UL�� R�Fze �Fo^UL�b @�Qb�Lz�C ! � 7 � � R & � b���bD��8F%^UL � �Fo^UL �8 � ¤ 5 � F%^UL&IF%^UL

C ! � 7 � � R & � b �abV� b @�QbD��QFo^UL � �óOôk�Æù�øåøåù=.�÷?�Æþ�ù�) ô�õÄý5�ù�ú(Wö��9ÿ ô3�ãù��kô�õÔý<÷�K�$Ôö�þ�ýxþvùNù�ô8�%$Ôú()ôvÿ¯ùHú#ô�õÔö±ô

\AW1 UB bA�&b,$ ��O @� Z � O @��D O \]W1 UB e bA�&b � $ � O @� Z � O @��D8 e \AW1 UB bA�&b � $ � O @� Z � O @��D

8 & � b �ab�R&b @� b�QFo^UL � R � ¤ 5 � F%^UL+�F%^ULC ! � 7 � 9

ó�ú�ù�þ��§ý�þ.ô�ù:�ù�)� Äøåý�ô�ý'ôvõÄý� Äþ�ù9ù���ù���ô�õÄýãøåý�)�)ãö-*U.�ý!úÄýWý��Üô�ù+ Äþvù=��ý'ü7ù�$Äú(� F %-4 ¤ ��LS4�_&õÄýM�öH÷¡ý+F � Z ��L�O F � ! Z � !"Lÿ9) )!ý<�§ÿåö±ô�ýWø��/�Æù�øåø¯ù=.�÷8�Æþvù�) F�%-4 ¤�¤ LS�\AW1 IB $ . e

�Z . e

�&G$ � O @�1D 8 )ãö=W0b*. e � b � O & � b���bD��8F%^UL � �Fo^UL �

.¥õÄýWþ�ý¥ôvõÄý;)ãö�W9ÿ9)Y$() ÿÃ÷�ù=�Hý�þ�ö�ø¯ø . e �ÿåúãô�õÔý ÷�$( - 7ùHþ¡ô�ù���ô�õÔý3÷vö�)� Äøåÿ¯úÄû<ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)+4-� ù=.Zö�÷v÷�$-)!ý � O � !a*Hü-$Äô�� +O � !o*ö±ú&�«øåý�ô�� ÷<ü7ù�$Äú(� \AW1 UB $ . e

�Z . e

��<&�$�� O @�-DT4���ù±ôvÿ9�ý!ô�õÔö±ô )��#ÿå÷<ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô5�Æþ�ù�) . e

�ö±ú(��. e

��x�Æù�þ<ö�ø¯ø�� +O � 4

_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý\]W1 IB $ . e

�Z . e

�� &G$ � O @��D'O"\AW1 IB $ . e

�Z . e

�� &G$-) e O @) e D 9

��ý2.�ö�úNô<ô�ùJüPù�$Ôú(��ô�õÄý!�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�ø�ýNW1 Pý�)ô�ö¤ôvÿ¯ùHúàù�� $ . e �Z . e

�� &xû�ÿ9��ýWú ) e O @) e 4M� ù±ôvÿ9�ýãô�õÔö±ôY��ý<)ôvù�þ�÷ . e � ö�ú(�

. e ��¥ö±þvý�÷¡ôvö¤ôvÿå÷¡ô�ÿ"�ö�ø¯ø9�Aÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô2FÆüPý�Wö�$Ô÷�ý'ô�õÄý��`�ù�)!ý,�Æþ�ù�) �§ÿo6PýWþ�ýWúNô.þ�$ÄúÔ÷.ù���ô�õÄýã÷vö�)� Äøåÿ¯úÔû/ Äþvù1�ý��-$Äþ�ý�LS*�ö�ú(�÷���)�)!ý�ôvþ�ÿ"�ö�ø¯ø9�/�§ÿÃ÷¡ô�þvÿ¯ü-$Äô�ý�� F:ü��� �ý�)�)ãö %-4 %�LN4A_&õÄý�þvýN�ÆùHþ�ý�*

\AW1 UB $ . e �Z . e

���&ZD'O $ \AW1 IB . e

�D Z \AW1 IB . e

��oD &nO $ Z �&nO � 9 F %-4 ¤ ,�L

L ÷�ÿåúÄû:F %-4 ¤ ,�LS*1.�ý�ÿ�)�)!ý��Äÿåö±ô�ý�ø9��ûHý�ô$�\]W� IB $ . e

�Z . e

��<&�$S) e O @) e D $�O $z\AW1 UB $ . e � Z . e � �/&�$-) e O @) e D ( \]W� ~B $ . e � Z . e � �<&EDN$ 9 F %-4 ¤ ��L

��ù�ô�ÿ"�ý.ô�õ7ö¤ô�*Ôü�� F %-4 ¤�¤ LS*��ÆùHþ�ö±ú�� . e �ö�ú(��. e

��;ÿåú/ô�õÄý�þ�ö±úÄûHýxù��kôvõÄý<÷vö�)� Äøåÿ¯úÄû� Äþvù1�ý<�1$Äþvý�*

$ $ . e �Z . e

���&�$&8=b . e

�b�RKb . e

��Ab O'& � b �abV��QF%^UL � IF%^UL � 9

_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*9ü���4�þvù� PùH÷�ÿ¯ô�ÿåù�ú!C-4 ¤ %-*Nô�õÔý5�§ÿ=6�ý�þvý�ú&�ý2F %(4 ¤ ��L�ÿå÷ ö¤ôk)!ùH÷¡ôCER & � b���bD��8F%^UL � �Fo^UL � R � F�F . e

�Z . e

���$S) e O @) e L Z F . e � Z . e � �TL�L Z

.¥õÄýWþ�ý�F . e �Z . e

���$S) e O @) e L�ÿÃ÷�ôvõÄý#�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�ø��Äÿå÷¡ô�þvÿ¯ü($§ô�ÿåù�ú+ù��8F . e � Z . e � �TL�û�ÿ9��ýWúf) e 4;ó�úSô�õÄý'�ÆùHø¯øåù=.¥ÿ¯úÔû�øåý�)�)ãö-*�.�ýüPù�$Äú(�/ôvõÄý<÷]ô�ö¤ôvÿå÷¡ô�ÿ"�ö�øI�§ÿå÷¡ôvö�ú(�ý � F�F . e

�Z . e

���$S) e O @) e L Z F . e � Z . e � �EL�LS4

���

Page 38: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��Y&X%X�� !T.�� � �'�-�Y�SRE��R�"�SR2o����;�BA"��RZ������� I���RaOQ���D� F . e �Z . e

���$ ) e O @) e L,���CBJF . e � Z . e � �EL "�Y�=R�<�P=�SR� F�F . e

�Z . e

���$ ) e O @) e L Z F . e � Z . e � �EL�L#8 �

C-FTC ! � 7 � ( ¤ L 9$ �#T#� � ��ù�ô�ÿ"�ý�ô�õÔö±ô�F . e

�Z . e

�� L O6F � e � ( � F � e � L Z � e � � ( � F � e � � L�L¥ÿÃ÷3öSþvö�ú(�§ù�)'ÿ9��ý<�!�%$Äú(�ô�ÿåù�úÜù��;F � e � Z�� e � � LS*

.¥õÄýWþ�ý � e � ö±ú&� � e � � ö±þvý;�ù�)� -$§ô�ý<�ãö���ù�þ��§ÿåúÄûxô�ù�ô�õÄýX�ù�ú&�§ÿ ôvÿ¯ùHúÔö±øe�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHú�ù���ô�õÔý3÷vö�)� Äøåÿ¯úÄû�ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) FÆûHÿ��Hý�ú� O � e �ùHþ � O � e

��ELS4]_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*§ü�� 4�þvù� PùH÷�ÿ¯ô�ÿåù�ú!C-4 ¤ ,(*� F�F . e �Z . e

�� $S) e O @) e L Z F . e � Z . e � � L�L#8 � F�F � e

�Z�� e

�� $-) e O @) e L Z F � e � Z�� e � � L�L 9

�?� 4�þvù� PùH÷�ÿ¯ô�ÿåù�ú!C-4 ¤ -*9ôvõÄý5�§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý.üPý�ô3.�ý�ýWúF � e �Z�� e

��I$ ) e O @) e L&ö�ú(� F � e � Z�� e � �EL�ÿå÷¥ö±ôx)!ùH÷¡ô

� F�F � e �Z�� e

�� $S) e O @) e L Z F � e � Z�� e � � L�L 8 ¤

C )ãö=W�� �� �����4�þ�\ ) e O @) e $ � e � O @��Z�� e � ��O @� !F]

4�þ�\ ) e O @) e ]( ¤ ����

O ¤C )ãö=W�� �� �

�����4�þ�\ d � *��� � � ��� ) e � O @) e ( B @� D �

( B @� !�D ��

]4�þ�\ d ! � 7 �� ! � ) e � O @) e ]

( ¤ ����� 9�?� 4�þ�ù� 7ùN÷¡ÿ¯ô�ÿåù�ú C-4 ¤�� *&ô�õÔý Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�fö±ôSô�õÔý �§ýWúÄù�)!ÿåúÔö¤ôvù�þSý<K�$Ôö±øÃ÷ F ¤ g ��� 7 LNF ¤ 5 "SL��Æù�þ+÷¡ù�)!ý $ "S$08 C&O ! � 7 ��48 ÿ9)!ÿ¯øÃö±þvø���*�ôvõÄý; Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3�!ö¤ô�ô�õÄý3ú�$()'ýWþvö±ô�ùHþ�ý�K�$Ôö�øå÷XF ¤ gK��� 7 LNF ¤ 5 " !9LA�Æù�þ&÷¡ù�)!ý $ " ! $&8 C&O�� ! � 7 � O'�+��4DóOô8�Æù�øåø¯ù=.�÷�ô�õÔö±ô� F�F � e

�Z�� e

�� $S) e O @) e L Z F � e � Z�� e � � L�L 8 ¤

C ����F ¤ g ��� 7 LNF ¤ 5 " !"LF ¤ g ��� 71LNF ¤ 5 "�L ( ¤ ����

O ¤C ����" ! ( "¤ 5 "

����8 ¤

C$ " ! $ 5 $ "S$¤G( $ "S$

8 �C(FaC ! � 7 � ( ¤ L 9

L ÷�ÿåúÄû� �ý�)�)ãö�%-4 ¤ ,&*1.�ýxû�ý�ô&ô�õÔö±ô\AW1 IB $ . e

�Z . e

�� &G$ ��O @��D 8 CER+& � b���bD��QFo^UL � �F%^UL � R �

C(FaC ! � 7 � ( ¤ L O & � b���bD��QFo^UL � �F%^UL R ¤C ! � 7 � � Z

Äþvù=�9ÿ¯úÄû+F %(4 ¤ ��LQ�Æù�þ&ôvõÄý5�öH÷¡ýV.¥õÄýWú � O � !ö�ú(��� +O � !T4_&õÄý �ö�÷�ý5.¥õÄýWú � +O � !�ÿå÷.÷�ÿ�)!ÿåøåö�þ�4E��ùHúÔ÷�ÿ9�§ýWþ�ôvõÄý �ù�ú(�Äÿ ôvÿ¯ùHúÔö±ø£�§ÿå÷¡ô�þvÿåü-$§ô�ÿåù�úÜù��(. e

�Z . e �

���û�ÿ9��ýWú ��O @��4]� ù±ôvÿ9�ýô�õ7ö¤ô�)��'ÿå÷�ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNôk�Æþ�ù�) . e

�ö�ú(��. e ��

�� �Æù�þ�ö�ø¯ø � gY;\ � Z � ! ]�4]_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý

\]W� ~B $ . e �Z . e ��

�� &�$ �O @��D?OG\]W� IB $ . e

�Z . e ��

�� &G$-) e O @) e Z ) e � O @) e � D 9

�AùHþ�ýWù=��ý�þ<*(. e �ö±ú(�J) e ö±þvý#ÿ¯ú(�Äý� Pý�ú(�§ýWúNô2�Æþ�ù�) . e �

�� ö±ú(� ) e � üPý�Wö�$Ô÷�ý+ô�õÄý�� �ù�)!ý!�Æþ�ù�)G�§ÿo6�ý�þvý�úNô�þ�$ÔúÔ÷ãù��.ô�õÔý÷vö�)� Äøåÿ¯úÄûãö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)+47_&õÔý�þvýN�Æù�þvý�*

\]W� ~B $ . e �Z . e �

��/&G$-) e O @) e Z ) e ��O @) e �%D O \]W� ~B $ F . e

�$-) e O @) e L Z F . e � � �I$S) e ��O @) e �aL�&ZD

O $ \AW1 UB . e �$S) e O @) e D Z \AW1 IB . e � � ��$S) e ��O @) e ��D5& Z

.¥õÄýWþ�ý�*NöH÷]$Ô÷�$Ôö±øT*�F . e �$ ) e O @) e LXFÆþvýW÷� I4[F . e � � � $S) e � O @) e � L�L�ÿå÷�ô�õÄýV�ùHú(�§ÿ¯ô�ÿåù�úÔö�ø&�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvÿ¯ùHú�ù�� . e � ûHÿ��Hý�ú4) e F:þ�ý�÷� I4

. e � ��ûHÿ��Hý�ú_) e �TLS4� �ý�ô . O \]W1 UB . e �

��I$S) e ��O @) e �%DT4 ��ýx�9úÄù=. �Æþvù�) F %(4 ¤�¤ L�ô�õ7ö¤ô,b*.ab O &1FAb �ab(g1F��QF%^UL e IF%^UL�L�LS4 8 ÿåú(�ý

. e �ÿÃ÷�÷���)�)!ý�ôvþ�ÿ"�ö�ø¯ø9�2�§ÿÃ÷]ôvþ�ÿåü-$§ôvý���* $ \]W� IB . e

�D Z .'&�O $ Z .'&/O �-*Äö�ú(�

\]W1 IB $ . e �Z . e ��

���&G$S) e O @) e Z ) e ��O @) e �%D O $ \AW1 UB . e

�$S) e O @) e D Z .'&

O $ \AW1 UB . e �$S) e O @) e D Z .'& (=$ \AW1 UB . e

�D Z .'&

O \]W1 UB $ F . e �$S) e O @) e L Z . &ED ( \]W� IB $ . e � Z .'&ED 9

� �

Page 39: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

��ù�ô�ÿ"�ýxôvõÔö¤ô<*Äü�� F %(4 ¤�¤ LS*��ÆùHþ�ö±øåø . e �ÿåú/ôvõÄý�þ�ö±úÄûHý3ù���ôvõÄý<÷�ö�)� Äø¯ÿåúÄûãö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ()$ $ . e

�Z .'&�$ 8=b . e

�b�RKb .ab O'& � b �ab ��QFo^UL � �F%^UL � 9

_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*9ü��4�þvù� PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHú!C14 ¤ %(*�ôvõÄý5�§ÿo6PýWþ�ýWú(�ý.üPý�ô3.�ý�ý�ú \AW1 UB $ F . e �$S) e O @) e L Z .'&ZD�ö±ú(�d\AW1 IB $ . e � Z . &EDkÿÃ÷¥ö¤ô[)!ùH÷¡ô

CER & � b �ab ��QFo^UL � �F%^UL � R � F�F . e �$S) e O @) e L Z F . e � L�L 9

8 ÿåú(�ý2F%�Æù�þ�ö�ú�� � !"L?��ý<)ôvù�þ%. e �ÿÃ÷¥ö,�%$Äú()ôvÿ¯ùHúAù��[F . e

�Z . e

��TLN*Äü�� 4�þvù� PùH÷�ÿ¯ô�ÿåù�ú!C-4 ¤ ,'ö�ú(� �ý�) )ãö�%-4 ¤ ,&*

� F�F . e �$S) e O @) e L Z F . e � L�L#8 � F�F . e � Z . e � ��$-) e O @) e L Z F . e � Z . e � �EL�L�8 �

C-FTC ! � 7 � ( ¤ L 98 ù&*Äö±øÃ÷¡ù!ÿåú/ôvõÄÿÃ÷x�öH÷¡ý'.�ý�õ7ö���ý

\]W1 IB $ . e �Z . e ��

��/&�$ �O @��D 8 CER & � b �abV��QF%^UL � �Fo^UL � R �

C(FaC ! � 7 � ( ¤ L O & � b���bD��8F%^UL � �Fo^UL R ¤C ! � 7 � � 9

� � � �+��ò�ñG�.ìDò�î'ë��ó�ú!ô�õÔý; Äþvý��9ÿåù�$Ô÷�÷�ý��ô�ÿåù�úM.�ýk Äþvù=��ý��+Fa_&õÄý�ùHþ�ý�)!÷ %-4 �<ö±ú(��%(4 ��L,ô�õÔö±ô�ô�õÔý; Äþvù�üÄøåý�) ù���HÔú&�§ÿ¯úÔû5^#ø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9��ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHôøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýV��ý��ô�ùHþv÷�ù��Døåý�úÄû�ô�õ+úÄù±ôk)Y$&�õ+üÔÿ¯ûHû�ý�þ�ôvõÔö±ú/ô�õÄý�ûHý�úÄýWþvö�ø¯ÿ9��ý<�2$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)�þ�ö��Äÿ�$Ô÷#F:ÿ¯ú+ôvõÄý#.�ùHþv÷¡ôk�ö�÷�ý<L�þvý��1$&�ýW÷�ôvùô�õÔý' Ôþ�ùHüÄø¯ý�)�ù��~HÔú(�§ÿåúÄûã÷�)!ö�ø¯ø�ÿåúNô�ý�ûHý�þ¥÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷�ôvù�þ�ö±ú&�§ù�) øåÿ¯úÔýWö±þ¥ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ù�ú�ôvõÄý<ö���ýWþvö�û�ý�4kó�ú/ô�õÄÿÃ÷¥÷¡ý<)ôvÿ¯ùHú/.�ý÷�õÄù=.àõÄù=.Òô�õÔÿå÷�þ�ý�÷�$Ôø ôA�ö�ú<ü7ý�þvýN�Æù�þ�)Y$Ôøåö±ô�ý���öH÷�öX�ùHúÄúÄý��ô�ÿåù�ú<üPý�ô3.�ý�ýWú<ôvõÄý�ö��Hý�þ�ö±ûHýN0Z�ö�÷�ýDö±ú(�Y.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý]�ù�)� ÄøåýNW§ÿ ô3�ù��8��ö�þ�ÿåù�$7÷3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý!ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú` Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷�4Y>3÷'$Ô÷�$7ö±øT*�.�ý!þvýN�Æý�þ3ô�ù+ôvõÄýãö���ý�þ�ö±ûHýN0Z�öH÷¡ýV Äþvù�üÄøåý�) öH÷3ô�õÄý� Äþvù�üÄøåý�)ù��?HÔú(�Äÿ¯úÄûJö#úÔù�ú-�Wý�þvù/ÿåúNô�ý�ûHý�þ<÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú�ôvù#ö#þ�ö±ú&�§ù�) øåÿåúÄýWö�þ�ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúI*kü($§ôY.�ý!÷¡ô�þvýW÷v÷.ô�õ7ö¤ô�ô�õÔÿå÷�ÿå÷xý<K�$Ôÿ��¤ö±øåý�úNô�ôvùHÔú(�Äÿ¯úÄû`FMö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ýWø��-L�÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ôk��ý��ô�ùHþv÷�ÿåú#ö'þ�ö±ú(�Äù�)�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�4

��ý�ö±øÃ÷�ùS÷¡õÔù=.KôvõÔö¤ôxù�$Ôþ þvýW÷�$Äø ô�÷ ÿ9)� Äø9�/ôvõÄý'ýNW§ÿå÷¡ô�ýWú(�ý�ù��] Äþvù=�¤ö±üÄø9�#÷¡ý<N$ÄþvýY�þ��� §ô�ùHû�þ�ö� ÄõÔÿ9MFa�ù�øåøåÿå÷�ÿ¯ùHúJþvýW÷�ÿå÷¡ôvö�úHôSLõÔöH÷¡õJ�%$Äú(�ô�ÿåù�úÔ÷¥ü7ö�÷�ý��/ù�ú/ô�õÄý#.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý3õ7ö±þ��§úÄýW÷v÷�ù��Døåö±ô¡ôvÿ9�ýxö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú/ Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�4� # �#���� � . %T.���� ��R'PIF%^UL�O ^�� �����HI��V��@ Ks���NR2oP��J�JK(�`�2R��-�=R7R��-�����V�$I�"�SRa�X��@N�A< �; JMP�@�PIF%^ULN��>-����@N���NRQ�����J�; J:B�����P(B��7ID;��;���RaR2o���S�3 �~P=�:������� J>(P�;KJ��eP�< o��;�;KJ3I�P�Ks�CB�� B:@ Ks�e��R�oPA�-���]F��+LO � � �����+���'B �Fo^UL:O �VF%^xøåù�û]^UL��5R��(�N���:�CI�"�SRo�:���� �VK(�D�e���:P�@�����P�K�>e�f\�� 7 ] Pz@2�J��<�f��� 7 O ^�� � 7 �2�JK(�`� R��-��R#R��(��@NP�;�;�P�O����� "�JRT�JK(�! � @/R��-�����d"�:��>���P7I���IV�;�"�SR2o�>(P�; J���P�< o��;?R��<M�J�A; ��P=�J�R�� < � R��-��RVPA� ��A>CK1R#��Ks� @NP��J< ;KJ �`�(P����D� ���A�CB�P�< ���DK(�=R2oP�� �GY � ? � 7 �7 �'PAK1R�>'K1Ro��O��R���ePA�(�j���T�7;� �7,IV;9��>e��P�I���IV�;=�R JM�F��P�� ������P5��P�;�K1R2oP�� �!F%��L�Y � F���L'P�@ ;9�V����R��MO��R�� ��:��@N����REP����]F � F%^UL�L-@���P�< R��-�;���-P=�SRZ�N��R�3P=�+��<�P����M���V���N���A;�; J��#O��R��s�� � @N���NRZP=���]F � F%^UL�LE@���PA< �� B�P�O7�$B��� �MI�P�Ks�CB � � !�+�5���#R��-�D� R��-������"�J�:>���P7I���IV�;�"�SR2o�>(P�; J���P�< o��;]R2�<��M�A; ��P=�J�R�� < R��-��RXP�� ��A>CK1R;���8JJ������B,^ ;���RaR2o����I��=�J"�G� ��P�; ���N�+�S���R��-� OQP����SRX�������2���'BJO��R����s ���>e��P7I��7ID�;��R J��A�A�+JYP�@xR��(�T@NP�;�;9P=O�����H>���P7ID;��D<Y�+�7O��-�����nX;F ¤ L "�x�A�!���DIV�RT���=� JV�JK�>(�N����PA�-�SRZ���(R7���'B�>(P�; J���P�< o��;�; J�I�P�Ks�CB�� B@ Ks�e��R2oP��Pz@[^5)�2 ,B 9�� ;>=?D ����'B/�2�N��R � Z �'F���LYP�@x^ ;=��e���=�J; J ��CB��j>(�V�'B��D�(R[������REP����V� K(� �!R��-��R

b �ab�83X;F ¤ L-R��]F��Fo^UL�L RN^ �JU W RVPIFo^UL�R e � F%^UL RWø¯ùHû]^�R�* 7 F��XF � L�L 9� ,B DFE GI9<;>=?D/�]P�<H>CK1RZ� ���� >7>���P:I��<M�=R2oP�� @* � �JK(�`�:R��(�=R

* � F��'F���L�LX;F ¤ L-R��]F � F%^UL�L R�^ � R(PIF%^UL R e � F%^UL R�ø¯ùHû]^ 8 @* � 8=* � F��XF � L�L 9

� ,B DFE G���� =kD �]P�<H>CK1RZ�,�A�� >7>e��P:I��<���R�oPA� @� �JK(�`�:R��(�=R��F��'F���L�L#8 @�483X;F ¤ L-R��]F � F%^UL�LnRN^ �JU W RDPIF%^ULnR e �Fo^UL R�øåù�û]^ R ��F��'F���L�L 9

Page 40: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

� ,B D����5D��S��=�V� ��;i��P!�MRZ�=�a����RQ�=����RZP=� & Y#÷� 7ö±úUF � L��&�n�CBJ��;���RaR2o���5�=���NRZP=� � Y��XF � L5�JK(�`�:R��(�=Rb � ( & b,83X;F ¤ L-R��]F � F%^UL�L RN^ �JU W RVPIFo^UL�R e �Fo^UL R�øåù�ûQ^�R ��F��'F���L�L 9

$ �#T#� � ký�ô��QF%^ULEO e X;F ¤ L-R � F%^UL�R �]F � F%^UL�LN*�\7Fo^ULHO �QF%^UL�PIF%^UL e X;F ¤ L R�ø¯ùHû]^pö±ú&� � 7AüPýãö�÷'�§ýNHÔúÔý��«ÿ¯ú_&õÄý�ù�0þvý�) %-4 �14 ��ù±ôvÿ9�ý¥ô�õ7ö¤ôQ\AF%^UL�8 X;F ¤ L R e � F%^UL-R�øåù�ûQ^FRjPIF%^UL%R �]F � F%^UL�L/O ^�� �����;ö±ú(�f��� 7 8 Fo^�� U W�\AF%^UL�g � L 7 O ^�� � 7 ��4_&õÄýWþ�ý��Æù�þvý�*�ü��`_&õÄý�ùHþ�ý�) �-4 �-*ö±ú��#ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHú�� Y � ? � 7 �7 õÔöH÷.öSúÄù�ú(��ý�þvù/÷�ù�ø9$§ôvÿ¯ùHúJù���øåý�úÔû±ô�õÒö¤ôV)!ùH÷¡ô ��F e � F%^UL�LS4 �ý�ô �+F�RiL�üPý/ö+ Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿÃ÷]ôvÿ9� Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ô�ÿ9)'ý+ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) ô�ù:HÔú&�àúÄù�ú(��ý�þvùJ÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷<ù��¥ø¯ýWúÄû±ôvõ�.¥ÿ ôvõÄÿåúpö+�:ö��ô�ùHþ�]F � F%^UL�L,�Æþ�ù�) ô�õÄýA÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô:F%.¥ÿ¯ô�õ úÄùHú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý/ Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�-LS4 ��ý+�9úÄù=. ô�õ7ö¤ô�*8.¥õÄý�ú ÷�$(��ýW÷v÷3�%$ÄøT* �+F�RiLYHÔú(�Ä÷÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷&ù���øåý�úÄû�ô�õAö¤ôx)!ùN÷]ô

b �!F%��L�b,8 �]F��Fo^UL�L ��F e � F%^UL�L�8��QFo^UL 98 ù&*Äö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) �+F�RiL�÷¡ùHø��HýW÷�� 9��*9�� ? � ù�ú/ô�õÄý�ö���ýWþvö�û�ýx.¥ÿ¯ô�õ#úÄùHú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý; Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3��4���ù�)�üÄÿåúÄÿ¯úÔû �6.¥ÿ¯ô�õ+ô�õÔýþvý��1$(�ô�ÿåù�úÔ÷?�Æþvù�) _&õÄý�ùHþ�ý�)ã÷ %(4 �'ö�ú(� %-4 �-*1.�ý�û�ý�ô�ö� Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ô�ÿ9)!ý<ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-) F�RiL�ô�õ7ö¤ô ÷�ù�ø9��ýW÷CD�� ;>= ��J FÆÿåú#ô�õÔý.�ù�þ�÷]ôk�öH÷¡ý�ö±ú&�J.¥ÿ¯ô�õ#õÄÿåû�õ! Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�-L]�ÆùHþ�ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú/�:ö�)ôvù�þ

\AF%^ULnO �8F%^UL�RDPIF%^UL�R e X;F ¤ L-R�øåù�ûQ^�OcX;F ¤ L�R e � F%^UL�R�ø¯ùHûQ^dR��]F � F%^UL�L�RVPIFo^UL 9��ý<÷¡õÄù=.KõÄù=.áôvù�$Ô÷¡ýxôvõÄÿÃ÷¥ö±øåû�ù�þvÿ¯ô�õ-) ôvùã÷¡ùHø��Hýxö�ø¯ø�ôvõÄý# Äþvù�üÄøåý�)ã÷&ÿåú+ô�õÄý5�ù�ú(�ø�$Ô÷�ÿåù�úSù���ôvõÄýxô�õÔý�ù�þvý�)+4¤ 45B 9�� ;>=?D���$Ô÷]ô¥þ�$Äú �MO F���L&ö±ú(�+ù�$§ô� -$Äô.�A4��?� F��-4 ¤ LS*b �ab�8 \7Fo^UL R @ &F��'F���L�L#8 �

C ^ �JU W RT\AF%^UL R *87�F��'F���L�L�O�C X;F ¤ L RT^ �JU W R2PIFo^UL R �]F��Fo^UL�L R e � F%^UL R�ø¯ùHû]^FR *+7UF��XF � L�L 9

C-45B DFE GI9<;>=?DS93úÒÿ¯ú- ($§ô�üÔöH÷¡ÿÃ÷ �/*�þ�$Ôú � O F�� ��L#.¥õÄý�þvý � �'ÿÃ÷xôvõÄýãüÔö�÷�ÿÃ÷xù���ô�õÄý2�1$7ö±ø�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�*,ö±ú(��ù�$§ô� -$Äô¤ g�b���b�4��?� FTC14 ��LN*

b���b/.=*87IF��XF���L � L�. ¤* � F��'F���L�L

9

>�øÃ÷¡ù&*§ü�� F,�-4iC�LN*b �ab�8 \7Fo^UL R @ (F��XF � L � L�8 �

C ^ � RS\AF%^UL�g�* � F��'F���L�L�O�C X;F ¤ L-RN^ � R(PIF%^UL R��]F � F%^UL�L�R e � F%^UL�R�øåù�û]^�g�* � F��XF � L�L 9

�(45B DFE G���� =kD£_&õÄÿå÷�ôvÿ�)!ý�*-.�ýxþ�$Äú �MO F���L&ö±ú(�+ù�$§ô� -$Äô [ ^�b���b�g�C-4��?� FTC14 ��LS*[ ^�b���b�g�C . F [ ^�g�C�L�*+7�F��XF���L�LG. ��F��'F���L�L 9

�Aù�þvý�ù=�Hý�þ<*�ü��J_&õÄýWù�þvý�) �(4 %(*[ ^�b �ab(g�C^8 �

C ^ �JU W RS\AF%^UL R:�eF��XF���L�L/O�C X;F ¤ L-R�^ � U W RDPIF%^UL�R��]F � F%^UL�L�R e �Fo^UL R�øåù�û]^ R ��F��'F���L�L 9

,&45B D����5DÔó�ú!ù�þ��§ý�þ,ôvùVHÔú(�!ö.øåö±ô¡ô�ÿ"�ýk Pù�ÿåúNôQ�øåùH÷�ý�ô�ù.ôvö�þ�ûHý�ô & *�.�ý?HÔþ�÷]ô�þ�$Äú �MO F���L;ö±ú&�<ôvõÄý�úãý�W9ý<N$§ôvý ��ö�üÔö±ÿ2� ÷úÄýWö�þ�ý�÷]ôM ÄøÃö±úÄýAö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) B %=D;$Ô÷�ÿåúÄûà÷�$ÄüÔøåö±ô¡ô�ÿ"�ý � ö±ú(�fôvö�þ�ûHý�ô & 4 _&õÄýAþ�ý�÷�$Ôø ôãÿÃ÷�ö 7ùHÿ¯úNô2.¥ÿ¯ô�õÄÿåú �§ÿÃ÷]ô�ö±ú(�ý[ ^�b���b�g�C#�Æþ�ù�)�ô�õÔýxôvö±þvû�ý�ô�4A> ÷&ÿåú+ô�õÄý# Ôþ�ù9ù��~�Æù�þ&ôvõÄý5�ù=�Hý�þvÿ¯úÄû'þ�ö��§ÿ9$Ô÷? Äþvù�üÄøåý�)+*9ô�õÔÿå÷¥üPù�$Ôú(�#÷�ö±ô�ÿÃ÷3HÔý�÷

[ ^�b���b�g�C 8 � C X;F ¤ L-R�^ � U W RVPIFo^UL�R��]F � F%^UL�L�R e � F%^UL�R�øåù�û]^dR:��F��'F���L�L 9�

��ù�ô�ÿ"�ý�ôvõÔö¤ô.ÿ¯ú#ôvõÄýY Ôþ�ù9ù��;ù�����ùHþ�ùHø¯øÃö±þ��d�14 ¤ *Äô�õÔý,�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�úJù��DûHþ�ù�$- � 7 ÿ9) Ôø¯ÿ"�ÿ¯ô�ø9�:�§ý� Pý�ú(�Ô÷ ùHú#ô�õÄýY�%$Äú()ôvÿ¯ùHú� F%^ULS47_&õÄÿÃ÷Dÿå÷DüPý�Wö�$Ô÷�ý�ÿ¯ú�_&õÄý�ùHþ�ý�) %-4 �¥ôvõÄýx�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú'ù��7ûHþ�ù�$- �� 7 �§ý� Pý�ú&�Ä÷Dù�ú�ô�õÄýk�¤ö±ø9$Äý�ù����8Fo^ULS*�.¥õÔÿ9�õ'ÿ¯ú�ô�$Ôþ�úI*�§ý� 7ýWú(�Ä÷?F%�9ÿåöx\7Fo^UL�Lkù�úxôvõÄý8�¤ö�ø�$Äý�ù����QFo^ULS4��Aù�þvý�ù=�Hý�þ<*)ô�õÔý?�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú<ù����QF%^ULkÿåú�ô�õÄý? Äþvù9ù��§ù��C��ùHþ�ùHø¯øÃö±þ��E��4 ¤ �Äý� Pý�ú(�Ä÷ù�ú �]F��Fo^UL�LS4 8 ù(*�$ÔúÄø¯ý�÷�÷��]F�RiL;ÿÃ÷�ö#�ùHúÔ÷]ô�ö±úNôA�%$Äú(�ô�ÿåù�úI*Nû�þvù�$( � 7 Wö±ú!ü7ý3÷¡ýWø¯ý<)ô�ý<�'ù�úÄø9��ö��Çô�ý�þ�ô�õÄý;��ö�ø�$Ôý¥ù�� �Fo^ULDõÔöH÷üPý�ý�ú�õÄùH÷�ý�úU4X_&õÄý,�Æù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû/�ù�þvù�øåøåö�þ��/ÿ�)�)!ý��Äÿåö±ô�ý�ø9�!�Æù�øåø¯ù=.�÷;�Æþvù�) ��ù�þvù�øåøåö�þ�����4 ¤ ü��J÷¡ý�ô¡ôvÿ¯úÄû �Fo^UL O � Fo^.øåù�ûQ^ULö±ú&� �]F��+L O ¤ *&ö±ú&�fùHüÔ÷�ý�þ��NÿåúÄû«ô�õÔö±ôãô�õÄý �§ýNHÔúÔÿ ôvÿ¯ùHúhù��.ûHþ�ù�$- � 7 �§ù9ý�÷ãúÄù±ô/�Äý� Pý�ú(�hù�ú � F%^UL .¥õÄýWú �]F �:L'ÿå÷�ùHúÔ÷¡ôvö±úNô<4

,��

Page 41: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

� # �#���� � . %T.(� � ��R'PIF%^UL�O ^�� �����HI��V��@ Ks���NR2oP��J�JK(�`�2R��-�=R7R��-�����V�$I�"�SRa�X��@N�A< �; JMP�@�PIF%^ULN��>-����@N���NRQ�����J�; J:B�����P(B��7ID;��;���RaR2o���S�3 �UP��V������� J,� K�>(���J;�P����=�J�R�� < o�n@ Ks���NR2oP�� X;F:ø¯ùHû]^UL+�AR��-�����#�$I�"�SRa�'�,�����DK(�D�e���VP�@k����P�K�>&��\�� 7 ]/P�@;�J����/��� 7�O^�� � 7 �V�JK(�`�`R��-�=R?@NP�� ���8J � F%^ULSO � Fo^xø¯ùHû]^UL+�?R��(�/@NPA;�;�P=O����� "�YRT�JK(�! � @5R��-����� "�,� >e��P�I���IV�;="��R2o�E>(P�;KJ��eP�< o��;7R2�<����; ��P��J�R��s< �!FzR L2R��(�=R#P�� ��A>CK1R#��Ks�% @NP=�J< ; J � �-P����D� �����CB�P�< � �VK(��R�oPA���"Y�� ? � 7 �7 �#P�K1R=>CK1Ra� O��R�� �eP��&�j�e�E�7;� �A,ID;��>e��P7I��7ID�;��R J �!���-P��SRE�N�SR �ePA���<�N��P!��P�;�K1R2oP�� �+F���LFY � F%��L��ZP��+�H<MP=���,���D�e������;�;KJ��'�!��P�;�K1R2oP�� �N��R�"��@LJ����� ����B�P=O7�$BA�� �I�P�Ks�'B�� � !�*�2b �!F%��L�b/8 e � F%^UL%R3�§ý�ô�F � F���L�L`��*C? � 7 � ���7R��-�D�!R��-�����]"�V� >���P7I��7ID�;�"�SR2o��>(P�; J���P�< o��;�R2�<��#�A; ��P��J�R��s< R��-�=RP��q���>'K1Rx���+J/����� B,^ ;��=RTR�o����I����J"�.� ��P�; ���N�+����R��(�,OQP=���SRx���=���M���CB/O��R��d�s ���>���P7I���IV�;��R J��;���8JJP�@YR��(�S@NP�;�;�P�O�����>e��P7ID;��V<,�3)�2 ,B 9�� ;>=?D ����CBM� <M�:I��<M��;e���NRQPz@];=��e���=�J; J ��CB���>(�D�CB��D�(R8������REP����'P�@E;��D����R��2O��R�� ��/^ � RzPIF%^UL?R�X;FÆøåù�ûQ^UL @���P�< R��-�

�z�(P=�SRZ�S�SR � ,B DFE GI9<;>=?D - >7>e��P:I��<���RE� * � F��XF���L�LYO��R�� ���� @N����RZP=�x^T�DU WSRDPIFo^UL RVX;F:ø¯ùHû]^UL3 � ,B DFE G���� =kD - >�>e��P�I��<���RE�)�eF��XF � L�L5O��R�� ���� @N���NRZP=�k^T� R(PIF%^UL RDX;FÆøåù�û]^UL! � ,B D����5D ����=�D�:�A;i��P��YRZ�=�T����R7������REP�� & Y#÷� Ôö�úUF���L+� �n�'B,� ;���RaR2o���'������REP�� � Y �'F���LXO��R��s���BA"�SRE�A�e���?^T��R�PIFo^UL R

X;FÆøåù�û]^UL-R��eF��XF���L�L/@���PA< & ��ý.úÔù=.Zô�$Äþvú/ô�ù'ô�õÄý#�ù�úÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúSù��£�ùHø¯øåÿÃ÷¡ÿåù�ú/þ�ý�÷¡ÿÃ÷]ô�ö±úNô&õÔö�÷�õ/�%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�4n0Ôù�øåø¯ù=.¥ÿåúÄû!B ¤�� DT*-�Æù�þ¥ö±ú�� �MY � ? � 7 �7 *

�§ý�HÔúÄýV�%$Äú(�ô�ÿåù�ú ����\ � Z�¤ ] ? � 7 � � � 7/ü��

��F�RUL�O

7�e"! �M e 3 e 9

��ù�ô�ÿ"�ý�ôvõÔö¤ô;�%$Äú()ôvÿ¯ùHú ��)ãö� Ô÷ � F%^UL�üÄÿ¯ôv÷¥ôvù�øåù�û � ��� üÄÿ¯ôv÷�4&óE� �Fo^UL !Zøåù�û � ����*ÔôvõÄý�ú#ôvõÄý#�%$Äú(�ô�ÿåù�ú �ù�)� ÄþvýW÷v÷¡ý�÷ô�õÔý�ÿåú- -$§ô,RA*Pö�ú(�`�ùHø¯øåÿÃ÷¡ÿåù�úÔ÷ �

�F�RUL O �

�F .~LYF%�Æù�þ/R +O .~L3ö±þvý�û�$Ôö�þvö�úNô�ý�ý<�/ô�ù�ý�W9ÿÃ÷¡ô ü��SôvõÄýY Äÿåû�ýWù�úAõÄùHø¯ýY Äþ�ÿåú(�ÿ� Äøåý�4

��ý# Äþ�ù=�Hý ôvõÔö¤ô<*Äÿ���ôvõÄý#��ý�� �JÿÃ÷k�õÄùH÷�ý�ú#ö¤ô¥þ�ö±ú(�Äù�)+*9ô�õÄýWú+ô�õÄý�÷¡ý5�ù�øåø¯ÿÃ÷¡ÿåù�ú7÷�ö�þ�ý#�ù�)� -$§ô�ö¤ô�ÿåù�ú7ö±øåø��ãõÔö�þ��Sô�ù�H7ú(��4� # �#���� � . %T.87�� ��R'PIF%^UL�O ^ � ����� I��V��@ Ks���NR2oP��J�JK(�`�2R��-�=R7R��-�����V�$I�"�SRa�X��@N�A< �; JMP�@�PIF%^ULN��>-����@N���NRQ�����J�; J:B�����P(B��7ID;��;���RaR2o���S�3 �UP��V������� J,� K�>(���J;�P����=�J�R�� < o�n@ Ks���NR2oP�� X;F:ø¯ùHû]^UL+�AR��-�����#�$I�"�SRa�'�,�����DK(�D�e���VP�@k����P�K�>&��\�� 7 ]/P�@;�J����/��� 7 O^�� � 7 �X� K(� �!R��-��RQR��-�n@NPA;�;�P=O������"�VRT�JK(�� - ���JKs<M���eP]>���P7I���IV�;�"�SR2o�H>-PA; J��ePA< o�A;UR2�<��,��; ��P=�J�R�� < �����:��PA;���� >e��P7ID;��V<,�9�� ;>= � DFEHGI9I;F= � D>EHG���� = P���D���� ����MR��(�kOQP�����R7�������;�A�CBVO��R��F� �*��>e��P�I���IV�;=�R J��#O��R�� ��/R��-��@N����REP����8�2>(���V �?�`B�� �]P���P�;�;���� J��� !� ?�'�-�D� @NP��Y���+J @ ! ¤ ���'B � F%^UL�O )!ö�W \ @ R�ø¯ùHû � ��� 7 Z � F%^xøåù�û]^ULc]2�AR��(�N���,�CI�"��R/�eP]>���P7I���IV�;�"�SR2o�>(P�; J���P�< o��;UR2�<M�5��; ��P=�J�R�� < R��-��R8P��M��A>CK1R8�M�����'B�P�< B��:J �MY�� ? � 7 �7 �8PAK1R�>'K1Ro�;O��R��d��P��(�j���E�A;� �7,ID;��S>���P7I���IV�;��R JJ�A�������P�;�;="� oPA� ��� ��! ��QRTOQP ID��e��� J2�=����RZP=���GR +O . �JK(� �+R��-�=R �

�FCRUL�O �

�F .~L3

$ �#T#� � ��ù±ôvÿ9�ý�ô�õÔö±ô��Fo^UL�. @ RÆøåù�û � ��� 7�*�÷�ù'�%$Äú()ôvÿ¯ùHú ��ÿÃ÷;ö.õÔö�÷�õ,�%$Äú()ôvÿ¯ùHú�.¥ÿ ôvõ��ù�)� ÄþvýW÷v÷¡ÿåù�ú�þvö±ô�ÿåù @ 4£>3÷�÷�$-)!ý�*

�Æù�þV�ùHúNô�þ�ö��§ÿ")ôvÿ¯ùHúI*ÄôvõÔö¤ô �!F%��L O6F�R Z .~L3ÿå÷.ö2�ù�øåø¯ÿÃ÷¡ÿåù�ú`HÔú(�§ýWþ.ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) .¥ÿ¯ô�õ«úÄù�ú-0FúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÔø¯ý�÷�$(��ýW÷v÷x Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿ ô3��*ö±ú&�#úÄù±ôvÿ9�ý�ô�õÔö±ô3ÿ�� ��ÿÃ÷ ÷�$(��ýW÷v÷3�%$Ôøa*7ô�õÄýWú+R ( . Y � F���L ,/\- ]<ÿå÷.öãúÄùHú-��ýWþ�ùã÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú#ôvù�ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�ú ��ù��;øåý�úÄû�ô�õJö±ô)!ùH÷¡ô

bcR ( .ab,8 e � F%^UL 98 ÿåú(�ý � F%��L�ÿå÷3öã÷�$ÔüÄøåö±ô¡ôvÿ9�ý<ù��-; 7 *��§ý�ô�F � F���L�L�. �§ý�ô�F ; 7 L/O ¤ *7ö±ú&�A÷¡ùHø�$§ôvÿ¯ùHú+R ( . Y � F���L¥÷vö¤ôvÿå÷�HÔýW÷]�Aÿåú-��ù=.�÷��9ÿ�� ÷üPù�$Äú(� FTC14iC�L

bcR ( .ab08 e � F%^UL#8 e � F%^UL(�§ý�ô�F � F���L�L ��*C? � 7 � 9ó�úAù�þ��§ýWþ&ô�ùSö� - Äø9� ��ù�þvù�øåøÃö±þ�����4iC!ö±ú(�#ûHý�ô öM�ùHúNô�þ�ö��§ÿ")ôvÿ¯ùHú!.�ý�ù�úÔø��/úÄý�ý<�+ô�ùS÷�õÄù=.Kô�õÔö±ô �Fo^UL�O � F%^xøåù�û]^ULN4?_&õÔýøåù=.�ýWþ.üPù�$Ôú(� � F%^UL�O �VFo^.øåù�ûQ^UL ÿ9)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�`�Æù�øåøåù=.�÷;�Æþvù�) ô�õÄý2�§ý�HÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú�ù�� �Fo^UL . � Fo^xø¯ùHû]^ULS4M_&õÄý�$- - Pý�þüPù�$Äú(� � F%^UL O ��Fo^.øåù�û8^UL'�Æù�øåøåù=.�÷V�Æþ�ù�)$ôvõÄýM�:ö�)ô<ôvõÔö¤ô2��� 7 O ^�� ������4:_&õÄÿÃ÷5 Äþvù=��ý�÷.ô�õÔö±ô �Fo^UL O � F%^xø¯ùHû]^ULS*ö±ú&�pü��3��ù�þvù�øåøÃö±þ�� �14 CJô�õÔý�þvý/ý�W9ÿÃ÷¡ô� Ôþ�ùHüÔö±üÄÿåøåÿå÷¡ô�ÿ"/ Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±ø�ô�ÿ9)!ýJö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ-)ã÷�ô�ùàö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ýWø��à÷�ù�ø9��ý 9�� ;F=#*DFEHG09<;F=5* DFEHG���� =`ö�ú(� D���� ÿåú/ôvõÄý#.�ù�þ�÷]ôk�öH÷¡ý�ö±ú&�/.¥ÿ¯ô�õ#õÄÿåû�õ+ Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3��4#�

��ý'�ù�ú(�ø�$(�Äý ôvõÄý�÷¡ý<)ô�ÿåù�úJ.¥ÿ ôvõSô3.�ù�þvý�)ãö�þ��§÷�ö±üPù�$§ô�ô�õÄý#�õÄùHÿ9�ý ù��kô�õÔý3ûHþ�ù�$- Ô÷�� 7�ÿåúSôvõÄýX Ôþ�ý��Nÿåù�$7÷?�ù�þvù�øåøåö�þ�ÿåýW÷�4) Y&X � �� %?."� � R?����� I��#�z�(P=O�� R��(�=RQR��-�'����P�K�>e��� 7 B������e� B:��`R��-� >e��P<P�@��YPz@��AP���P�;�;9�=�Jo�N���� �� ���� !�+���CB��� � � �-������J��<����� 7�O ^� � 7 � � � >(�=�SR2o�VKs;9�=�+�n��1�]P=��PA;�;��=� J�� � �]OQ�5��P�Ks;�BF�-�=�=�V�J�<H>C; JB������e� B��Fo^UL�O @ øåù�û � ��� 70����-�SRE����BP�@x)!ö�WQ\ @ ø¯ùHû � ��� 7 Z � F%^xø¯ùHû]^UL ]��/I������AK��N� @ ø¯ùHû � ��� 7O � F%^dR�ø¯ùHû]^UL3

, ¤

Page 42: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

) Y&X � �� %?. � �]P=��P�;�;����Jo�S��� �� � �� !� �A�CB �� � �����H>e���NRTR J � �$I�,ID;��:�� RE���J<,�,P�@,R��(�M�`�(P�o���/Pz@'����P�K�> � 7H "�'�(�2P��%; J>e��P`>(�N�SR2o�S����� �DKs���� B�@NP=��R��(�]>e��P�Pz@�REPM��P!R��1��P�K��*��������R��-�=R � 73"�M�2����P�K�> Pz@Y�J��<�#^ � � 7 �,R��(�=RX����� I�������>����S���D�(RZ� B���,R��(� �VK(P�R�o�D�(RxP�@ ��� �����J�; J�B�����P(B��7ID;���PIFo^ULS��>(�N��@N����R ;��=RTR2o���G�'F�� 7 L <�P�B�Ks;�P:�/�JK ID;��=RTR�o���.�XFFT 7 LY�JK(�`�`R��-�=R ���2 !�*��-PA;oB��5RT�JK(��

� � î�ë#ñ��Wð��,ò�î�ë �<ë#ï î � ë �#í;î +��� ���ýãþ�ýWøåö±ô�ý��«ôvõÄý2�ù�) ($§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�ø]�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�Üù��QHÔú(�Äÿ¯úÄû F:ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ýWø��-L3÷¡õÔù�þ�ô�ýW÷¡ô�úÄù�ú(��ý�þvù#ÿ¯úNôvý�û�ýWþ<÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úÔ÷.ôvùþ�ö±ú(�§ù�) øåÿåúÄýWö�þ�ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷Q.¥ÿ ôvõ/�ù9ý+)M�ÿ¯ýWúNôv÷�ÿ¯úSö�÷�$Äÿ¯ôvö�üÄø9���õÔùH÷�ý�úãû�þvù�$( +F:ù�úãôvõÄý3ö��Hý�þ�ö±ûHý&ö�ú(�M.¥ÿ¯ô�õ�úÔù�ú10OúÄý�ûHø¯ÿåû�ÿåüÄøåý Äþvù�üÔö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�-LDô�ù�ô�õÄý'.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ýx�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�!ù��kö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåúÄû5�¤ö�þ�ÿåù�$Ô÷�øåö±ô¡ôvÿ9�ý; Äþvù�üÄøåý�)ã÷�4 8 ÿ¯ú&�ý�ôvõÄýx÷¡ý�ô�ù���ÿ¯úNô�ýWû�ýWþ÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�úÔ÷�ô�ùÜöAõÔù�)!ù�ûHý�úÄýWù�$Ô÷xøåÿ¯úÔýWö±þ�ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHú �Æù�þ�)ã÷<öAøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�*,ô�õÔý�þ�ý�÷�$Ôø ô,Wö±úàüPý�ÿåúHôvý�þ� Äþvý�ô�ý<�àö�÷<ö �ù�úÔúÄý��ô�ÿåù�úüPý�ô3.�ý�ý�ú�ô�õÄý¥ö��Hý�þ�ö±û�ý�0EWö�÷�ý;ö±ú(�Y.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ýQ�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�.ù��&�¤ö±þvÿåù�$Ô÷�øåö±ô¡ôvÿ9�ý8 Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�4~_&õÔý?�ù�úÄúÄý<)ôvÿ¯ùHú�ÿ9) )!ý<�§ÿåö±ô�ýWø��û�ÿ9��ý�÷�ö�øå÷�ù Ôþ�ù=�¤ö±üÔø��Ò÷¡ý<N$Äþvý+�þ��� Äô�ù�ûHþvö� ÄõÄÿ"!õÔö�÷�õ �%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�ô�õÔö±ôãö�þ�ý+ö�÷�õÔö±þ��Òôvù«üÄþvýWö��Òù�úßôvõÄý#ö���ý�þ�ö±ûHý�ö�÷�ô�õÔý.�ù�þ�÷]ôx�öH÷¡ýV�ù�)� Äø¯ý�W§ÿ ô3�/ù��,ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯úÔû,�¤ö±þvÿåù�$Ô÷&øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý# Äþvù�üÄøåý�)ã÷[.¥ÿ¯ô�õÄÿåú+ 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�ø��:ö�)ôvù�þ�÷�4]_&õÔý#.�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ýö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú/�:ö��ô�ù�þ�÷&ö��õÄÿåý��Hý��J�§ý� Pý�ú(�+ùHúSôvõÄý5�øÃö�÷v÷&ù��,ýWö�÷�ÿåø��2�§ý<�ù1�Äö�üÄø¯ýxøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷x$Ô÷¡ý<�Sÿåú+ô�õÄý5�ÄýNHÔúÄÿ¯ô�ÿåù�ú+ù��,ô�õÔý�øÃö�÷v÷�ù���ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷,FÆù�þ'�þ��� §ô�ùHû�þ�ö� ÄõÄÿ"xõÔöH÷¡õ:�%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�LN43ó�ú Ôö±þ�ô�ÿ"N$ÄøÃö±þ<*Ôÿ��nPIF%^ULZ0T Pý�þ��Æý��ô�ýWö�÷�ÿåø��+�§ý��ù1�Äö±üÄøåý<øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷ö±þvý5$Ô÷�ý��I*7ôvõÄý�ú`HÔú(�§ÿåúÄû/÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô3÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úÔ÷�ô�ùSþ�ö±ú&�§ù�) ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷,FÆù�þXHÔú(�Äÿ¯úÄû!�ùHø¯øåÿå÷�ÿåù�úÔ÷&ôvùSõÔöH÷¡õ`�%$Äú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�L¥ÿÃ÷3ö±ôøåýWö�÷¡ô.öH÷.õÔö±þ��Jö�÷.ö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåúÄûãôvõÄý'ø¯ýWúÄû±ôvõÜù���ô�õÄý!÷¡õÔù�þ�ô�ýW÷¡ôX�Hý��ô�ù�þ3ÿ¯ú�ö±ú��AøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý�*�ÿåúJô�õÔý .�ù�þ�÷¡ôX�öH÷¡ý�*e.¥ÿ¯ô�õÔÿ¯ú�ö�:ö��ô�ùHþA\7Fo^ULnO ^T�DU WVPIFo^UL�X;FÆøåù�û8^ULS4�\]�Hý�ú �Æù�þ�PIF%^UL�O [ ^Fo.¥õÄÿ9�õ2�ù�þvþ�ý�÷� Pù�ú&�Ä÷�*±öH÷�ö�÷� 7ý<�ÿÃö±ø(Wö�÷�ý�*±ôvù5>A@�ô�ö±ÿ2� ÷�þvö�ú(�§ù�)�øÃö�÷v÷3ù���ý<K�$7ö¤ô�ÿåù�ú7÷�*iL¥ôvõÄÿÃ÷3ÿ9)� Äþvù=��ýW÷; Äþvý��9ÿ¯ù�$Ô÷�ø��!�9úÄù=.¥úÜüPýW÷¡ôV�ù�úÄúÔý�)ôvÿ¯ùHú:�:ö��ô�ùHþ3ù��XB ¤�¤ D;ü��!)!ùHþ�ý�ô�õÔö�ú ��F%^ULN4F��ýö±øÃ÷�ù'÷�õÄù=.�ý��ãôvõÔö¤ô[HÔú&�§ÿ¯úÔû!÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô&÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷�ôvù!þvö�ú(�§ù�) ý<K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷�ÿå÷¥ö±ô&øåýWöH÷]ô¥ö�÷&õ7ö±þ��Sö�÷&ö� - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvÿ¯úÄû,.¥ÿ ôvõÄÿåúö,�:ö��ô�ù�þk^T�DPIF%^ULjX;FÆøåù�ûQ^UL&ö�ú���ù���ô�õÄýV�ÆùHø¯øåù=.¥ÿ¯úÔû Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷��

N B 9�� ;>=?D~�ù�)� -$§ô�ÿåúÄûãö�)ãö=W§ÿ9)!ö�ø�÷¡ý�ô¥ù��;÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô¥ø¯ÿåúÄýWö�þ�ø9�ãÿåú(�§ý� Pý�ú&�§ý�úNô;�Hý�)ôvù�þ�÷�*N B DFE G���� =kD£�ù�)� -$Äô�ÿåúÄû'ô�õÄý5�ù=��ý�þvÿåúÄû�þ�ö��§ÿ9$Ô÷�*Äö±ú(�N B D����5D~�ù�)� -$§ô�ÿåúÄûãö'øåö±ô¡ôvÿ9�ý#��ý��ô�ùHþ?.¥ÿ¯ô�õÔÿ¯ú`�§ÿÃ÷¡ôvö±ú&�ýV)ãö=W 2 �§ÿÃ÷¡ô<F�R Z �XF � L�L[�Æþvù�)�ö'û�ÿ9��ýWúSô�ö±þvû�ý�ô�*

ÿ9) Ôþ�ù=�9ÿåúÄû�B ¤�¤ D�ÿåúÒô�õÄý2Wö�÷�ýãù�� 9�� ;F= ü��)'ùHþ�ý'ôvõÔö±ú ��F [ ^ULS*Dö±ú(� �ùHúÄúÄý<)ô�ÿåúÄû#ôvõÄýSö���ýWþvö�û�ý��öH÷¡ýM�ù�)� Äø¯ý�W§ÿ ô3�«ù��÷�ù�ø9�NÿåúÄûÒþ�ö±ú(�§ù�) ý�K�$Ôö±ô�ÿåù�úÔ÷'ôvùÒô3.�ùÒúÄý�. �ù�)� -$§ôvö±ô�ÿåù�úÔö�øk Äþvù�üÄøåý�)ã÷!ù�úhøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷!ôvõÔö¤ô2)!ÿåû�õNô�üPýAù��3ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHôÿåúHôvý�þvýW÷¡ô�4��ý.ö�øå÷�ù�ûNö���ýx Pù�ø9�9úÄù�)!ÿÃö±øPô�ÿ9)!ý#�ù�ú7÷]ôvþ�$(�ô�ÿåù�úÔ÷�ù��,ýWöH÷¡ÿåø��2�Äý��ù1�Äö�üÄøåýHPIF%^ULZ0T Pý�þ��Æý��ô�øåö±ô¡ôvÿ9�ýW÷?.¥ÿ ôvõ�PIFo^UL�O'&1F [ ^ULS4

_&õÄý�÷¡ýk�ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHúÔ÷Dö±øåø¯ù=.pô�ù�ö��õÄÿåý��Hý�ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú5�:ö�)ô�ùHþv÷£^T�DU WJX;F [ øåù�ûQ^.øåù�û�ø¯ùHû]^UL?F��Æù�þ9��L;>=#*&DFEHG���� = ö�ú(�D���� L�ö±ú&�+^��JX;F2[ øåù�û]^xøåù�û�øåù�ûQ^UL#F��ÆùHþ 9<;>=;LS4 �ZõÔÿ¯øåý<ôvõÄÿå÷ ÿ�)� Äþvù=��ý�)!ý�úNô�ù=��ýWþ PIF%^UL O [ ^àÿå÷ úÄù±ô3÷�$ÄüÔ÷¡ôvö�úNô�ÿÃö±øT*Ôÿ¯ô÷�$Äû�ûHýW÷¡ôv÷�ô�õÔö±ô]�%$Äþ�ô�õÄýWþ;ÿ¯ú��HýW÷¡ô�ÿåûHö¤ôvÿ¯ùHú�ù��Pö�ø�)!ùH÷¡ôA 7ýWþ��Æý<)ô�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�÷7)'ÿåû�õNô�ö�ø¯øåù=.ßôvùXH7ú(�!ýWöH÷¡ÿåø��,�§ý��ù��Ôö±üÄøåýSPIF%^ULE0E Pý�þ��Æý�)ôøÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷'.¥ÿ¯ô�õ ),$(�õ«÷�)ãö±øåø¯ýWþHPIFo^ULS*�ý�4 û&4�*'PIF%^ULEO ^ a ù�þ.ý��Hý�ú�PIFo^ULHO3��F ¤ LN45_&õÄÿÃ÷X.�ù�$Ôø9�Aÿ9)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�Aþ�ý<�1$(�ý�ô�õÔýö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú/�:ö��ô�ù�þ?�ÆùHþ ö±øåø�ô�õÄý<ö�ü7ù=�HýX Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷&ü��/ö±üPù�$§ô [ ^A4>�úÔù±ô�õÔý�þ] PùH÷v÷¡ÿåüÄøåý�÷¡ù�$Äþ��ý¥ù��ÿ9)� Äþ�ù=�Hý�)!ý�úNô�ö±þvý¥üPý�ô¡ôvý�þ�ü7ù�$Äú(�Ä÷�þ�ýWøåö±ô�ÿåúÄûxô�õÄýx�%$Äú(�Äö�)'ýWúNôvö±øe�ùHúÔ÷]ô�ö±úNôv÷;öH÷�÷�ù1�ÿÃö¤ôvý��ô�ù�öxøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�4�9X$Äþ])ãö±ÿåú'ô�õÄýWù�þvý�) Fa_&õÄý�ùHþ�ý�) %(4 ��LD÷¡õÔù=.�÷,ô�õÔö±ô]HÔú(�§ÿåúÄû�÷�õÄùHþ¡ô�÷�ù�ø9$§ô�ÿåù�ú7÷;ù�ú'ô�õÔý ö���ýWþvö�û�ý�ÿå÷�ö¤ô�øåýWö�÷¡ô�öH÷õÔö�þ��+ö�÷?HÔú&�§ÿ¯úÔû �Hý��ô�ù�þ�÷�ô�õÔö±ô ö±þvý3úÔù±ôx)Y$&�õ/øåù�úÄûHý�þ�ô�õ7ö±úAö'úÄý�.`øåö±ô¡ôvÿ9�ýVK�$Ôö�úNô�ÿ¯ô3�/�ö�ø¯øåý��Sô�õÄý�ûHý�úÄýWþvö�ø¯ÿ9��ý<�2$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)þ�ö��§ÿ9$Ô÷�4]>�øåø�ù±ôvõÄý�þ¥þvýW÷�$Äø¯ôv÷�ö�þ�ý.ù�ü§ô�ö±ÿåúÄý��+ü��MHÔþ�÷¡ô�þ�ýWøåö±ô�ÿåúÄû'ô�õÄý�ûHý�úÄýWþvö�ø¯ÿ9��ý<�/$ÄúÔÿ �ÆùHþ�)�þ�ö��Äÿ�$Ô÷�ôvù!ô�õÄý5�ù=��ýWþ�ÿåúÄû'þvö��§ÿ�$7÷

Fo_&õÔý�ù�þvý�) �-4 %�LN*,ö�ú(��ô�õÄýWúàü7ù�$Äú(�§ÿåúÄûAôvõÄý/�ù=��ý�þvÿåúÄû#þvö��§ÿ�$7÷�ÿ¯úÒôvý�þ�)ã÷<ù��¥ù�ô�õÄýWþ<øåö±ô¡ôvÿ9�ý/�ùHúÔ÷]ô�ö±úNôv÷5$Ô÷¡ÿåúÄûJ÷¡ôvö�ú(�Äö±þ��ô�þ�ö±ú7÷3�ÆýWþ�ýWú(�ý�ô�õÄýWù�þvý�)ã÷3ö�ú(�Jù�ô�õÄýWþV.�ýWø¯ø7�9úÄù=.¥úJüPù�$Äú&�Ä÷�F,4�þvù� PùH÷�ÿ¯ô�ÿåù�ú C-4 �LS4�ó�ú 7ö±þ�ô�ÿ"N$ÄøÃö±þ<*AF,�-4 ¤ L3ö±ú&� F,�(4 C�L ÷�õÄù=.ô�õ7ö¤ô'ô�õÄý+û�ýWúÄý�þ�ö±øåÿ��Wý���$ÔúÄÿ �ÆùHþ�) þ�ö��Äÿ�$Ô÷@ -F��XF � L�L'ÿå÷'ö¤ô�)!ùH÷¡ô$��Fo^ � U W L�ôvÿ�)!ý�÷ * 7 F��XF���L�L�ùHþ'ö±ô )!ùH÷¡ô ��F%^ � L�ôvÿ�)!ýW÷¤ g�* � F��'F���L��<LS4;óOôx.�ù�$Äø"�/ü7ý�ÿåúNô�ý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû'ô�ùãÿ9)� Äþvù=��ý�F,�-4 ¤ L�ö�ú(� F,�-4iC�L�ôvù!÷�õÄù=.#*��ÆùHþ¥ýNWÄö�)� Äøåý�*9ôvõÔö¤ô

@ &F��'F���L�L#8 ��F%^UL�* 7 F��XF � L�L F � 4 ¤ L

ö±ú&�@ -F��XF � L�LG8 ��Fo^UL�g�* � F��'F���L � L 9 F � 4 C�L

�ZõÄý�ô�õÄýWþ�ôvõÄýW÷�ý üPù�$Äú&�Ä÷�õÄùHø9�ãô�þ�$Äý�ÿÃ÷�ö�ú7ö¤ô�$Ôþvö�øÔû�ýWù�)!ý�ôvþ�ÿ"xK�$Äý�÷]ôvÿ¯ùHúI*Nö�ú(�� Äþvù=�9ÿ¯úÄûxôvõÄý�) .�ù�$Äø"�ãüPý ù���ÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHôÿåúHôvý�þvýW÷¡ô�4 �Jù�þvý�ù=��ýWþ�*�ÿ¯ôJ.�ù�$Äø"�Zö±øåø¯ù=. ôvùßþ�ý<�1$(�ýAô�õÄý�ö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö±ô�ÿåù�ú �:ö��ô�ùHþv÷2�Æù�þ"9��L;>= ö±ú&��9<;>=�ü�� ��F [ ^ULö±ú&�1��Fo^ULS*;þvýW÷� 7ý<)ôvÿ��Hý�ø9��4J_�ù�ûHý�ôvõÄý�þ#.¥ÿ¯ô�õÒôvõÄý/�ùHúÔ÷¡ô�þ�$()ôvÿ¯ùHú�ù���üPý�ô�ô�ýWþ�ö±ø9)!ùH÷¡ô5 7ýWþ��Æý<)ô�ý�ö�÷�ÿ¯ø9� �Äý��ù1�Äö�üÄøåýãøåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷�*

,�C

Page 43: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

ô�õÔÿå÷Y.�ù�$Äø9�Òÿ9)�)!ý��§ÿÃö¤ôvý�ø9�«ÿ9)� Äþ�ù=�Hý'ô�õÄýSö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö¤ôvÿ¯ùHú �:ö�)ôvù�þ�÷V�Æù�þ<üPù±ôvõ 9<;>= ö±ú(� 9�� ;>= ô�ù�@3$Ô÷¡ô,^��JU WJX;F:ø¯ùHû]^ULS4��ù�úÔúÄý��ô�ÿåù�úÔ÷k.¥ÿ¯ô�õ«÷�$(�õJ÷�)ãö±øåøkö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåù�ú!�:ö�)ô�ùHþv÷¥ö�þ�ý,N$Äþvþ�ýWúNô�ø9�/�9úÄù=.¥ú#ù�úÄø9�J�Æù�þ�þvýW÷¡ô�þvÿ9�ô�ÿåù�úÔ÷�ù��Dô�õÄýJF%.�ù�þ�÷]ô�0�öH÷¡ý�L¥÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ô;�Hý��ô�ù�þX Äþvù�üÄøåý�) ô�ù/øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�÷;.¥ÿ¯ô�õ«÷� Pý��ÿåö�ø,÷¡ô�þ�$()ô�$Äþvý5.¥õÄý�þvý<ôvõÄý�÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô;��ý<)ô�ùHþ ÿÃ÷;$ÔúÄÿ9K�$Äý�ÿå÷.÷�ù�)!ýô�ý<�õÄúÄÿ"�ö�ø�÷¡ýWúÔ÷¡ýMB ��DE4

��ù�ô�ÿ"�ý3ô�õÔö±ô�ü��`FTC14 ��LS*9üPù�$Äú&� F � 4 C�L].�ù�$Ôø9�/ö±øÃ÷¡ù�ÿ�)� Äø9�`F � 4 ¤ LS4A>�øÃ÷¡ù&*�F � 4iC�LN*9ÿ �7�ù�þvþvý�)ô<*�.�ù�$Ôø9�Sü7ýxö�÷���) Äô�ù±ôvÿ9Wö±øåø��ù� Äô�ÿ9)!ö�ø�üPý�Wö�$Ô÷�ý���ù�ú�.&ö�� ö±ú&�#_&õÄù�)� Ô÷�ù�ú2FM÷¡ýWý;B � ��D%L�÷�õÄù=.�ý<�3ô�õÔö±ô�ô�õÄýWþ�ý�ýNW§ÿå÷¡ô�÷�ý�ø��(�1$Ôö�ø�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ýW÷�÷�$(�õxôvõÔö¤ô �eF��XF���L�L(R* � F��XF���L��<L�. ��F%^ULN*ö±ú(�#ü�� 4�þvù� PùH÷�ÿ ôvÿ¯ùHú �(4 C �eF��XF���L�L/8� (F��'F���L�L,8 @ &F��XF � L�LS4]�«ý �ù�ú�@]ý�)ô�$Äþvý�ô�õÔö±ô,F � 4 C�L&õÄùHø9�Ä÷ô�þ�$Äý�*kö±ú(�Üô�õ7ö¤ôxô�õÄýWþ�ý!ý�W9ÿÃ÷¡ô#�øåöH÷�÷�ýW÷3ù���þvö�ú(�§ù�) ý�K�$Ôö¤ôvÿ¯ùHúÔ÷x÷�$&�õÜôvõÔö¤ôVHÔú(�Äÿ¯úÄûA÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ôxúÄùHú-��ýWþ�ù#÷¡ùHø�$Äô�ÿåù�úÔ÷.ù�ú«ô�õÔýö���ýWþvö�û�ý Fo.¥ÿ ôvõ úÄù�ú10OúÄýWû�øåÿ¯ûHÿ¯üÄøåý! Äþ�ùHüÔö±üÔÿ¯øåÿ ô3�-L�ÿå÷ãö±ôãø¯ý�ö�÷¡ôãöH÷'õÔö±þ��pöH÷ãö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄûJôvõÄý#ø¯ýWúÄû±ôvõfù�� ô�õÔýJ÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ôúÄùHú-��ýWþ�ù��ý<)ô�ùHþ`FÆùHþ�HÔú(�§ÿåúÄûàö )ãö=W§ÿ�)ãö�ø�÷¡ý�ô!ù��x÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô!øåÿåúÄýWö�þ�ø9�àÿ¯ú&�§ý� Pý�ú(�Äý�úNô/��ý<)ôvù�þ�÷�L�ÿ¯úZö�ú�� ^�0E�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�øøÃö¤ô¡ôvÿ9�ý#.¥ÿ ôvõÄÿåú#ö,�:ö�)ô�ùHþk^�� U WVX;FÆøåù�û]^ULN4� �$ñ��Së#î � ���ï � ë'ì �_&õÄýSö�$§ô�õÔù�þY.�ù�$Ôø9��øåÿ��Hýãô�ùAôvõÔö±ú(� �ö��9ÿ ,�ö±úÄúÔö�úàö±ú(��> ø¯ý�W1��ö�þ��-�`�Æù�þ�ÿ¯úNôvý�þvýW÷¡ô�ÿåúÄû`�§ÿÃ÷��$Ô÷�÷�ÿåù�úÔ÷�ö±ú(� Pù�ÿåúNô�ý�þ�÷xôvùþvý�øåý��¤ö±úNô<þvýN�Æý�þvý�ú&�ýW÷�*n9'�§ý�� ¥ýWû�ý��«ö±ú&�àö±úßö±úÔù�ú���)'ù�$Ô÷�þvý��9ÿåý�.�ý�þV�Æù�þ�ô�õÄýWÿ¯þ,)ãö±ú��«ö�ú(� �¤ö±ø9$Ôö±üÄøåý/�ù�)�)!ý�úNôv÷<ô�õÔö±ôõÄýWø� Pý��/ô�ù�÷�ÿ9) Ôø¯ÿ��%�/ö�ú(�+ÿ�)� Äþvù=��ý3ô�õÄý# Ôþ�ý�÷¡ýWúHô�ö¤ôvÿ¯ùHúI*Äö±ú(��9'�§ý<� �.ùHø9�Äþ�ýWÿ9�õJ�Æù�þ¥õÄÿÃ÷¥ÿåú���ö�ø�$7ö±üÄøåý'�Æý�ý��ÄüÔö���Sö�ü7ù�$§ô¥ô�õÔý Ôö� 7ýWþ�4� �- í ë#ñG��B ¤ D �,4(>�õ7ö±þvù�úÄù=��ö�ú(� 9,4 �ý�û�ý���4 �ö¤ô�ô�ÿ"�ý# Äþvù�üÄøåý�)ã÷&ÿåú��H4 0 �ù��]4x4��Jö±ú�$Ô÷��þvÿ9 §ô�*(C�� ,&4B C�DF��4�>A@�ô�ö±ÿT4 �.ý�úÔý�þ�ö¤ô�ÿåúÄû�õÔö±þ��!ÿ¯ú7÷]ô�ö±ú(�ýW÷�ù���øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý; Äþvù�üÔø¯ý�)!÷'FÆý�W9ô�ý�ú&�§ý���ö�üÔ÷¡ô�þ�ö�)ôSLS4ó�ú��?��P<����� B�����=�#P�@XR��(������R��

- � � K(�A; - � J�<H>(P��J�Ks< PA�.�'�-��P=� J/Pz@��APA< >'K1R�����M� �� � � ��*- 7ö±û�ý�÷% @�¤ � � *�4�õÄÿåøåö��§ý�ø9 ÄõÄÿÃö-*s4�>5*sL 8 >5*�Jö�� ¤ %-41>H����4

B �=DF��41>]@�ôvö±ÿT47_&õÄý.÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô8��ý<)ôvù�þ? Äþ�ùHüÄøåý�) ÿ¯ú�� � ÿå÷��H4]0FõÔö�þ��M�Æù�þ&þvö�ú(�§ù�)'ÿ9��ý<�ãþvý��1$(�ô�ÿåù�úÔ÷'FÆý�W9ô�ý�ú&�§ý��+ö±üÔ÷¡ô�þ�ö��ô�LN4ó�ú �?��P������ B�������'Pz@;R��-� ��� R�� - � �%K(��; - � J�< >(P��J�Ks< P�� �'�-��P�� J�Pz@ �]P�<H>CK1R2���� � �� � � ���*� Ôö�û�ý�÷ ¤ � @e¤ (*�.ö±øåøåöH÷�*-_��,* L 8 >5* �Jö�� ¤ � 41>H����4

B ,�DF��4k>]@�ôvö±ÿ�ö�ú(� �X4 �X.�ùHþ���4 > ($ÄüÄøåÿ9N0T�Hý�� �þ��� §ô�ùN÷��§÷¡ô�ý�) .¥ÿ¯ô�õ .�ùHþv÷¡ô�0Z�öH÷¡ý �¤ö���ýWþvö�û�ý�0EWö±÷¡ý/ý�K�$Äÿ9�¤ö±øåý�ú(�ý�4 ó�ú�?��P������ B�������VPz@'R��(� ���R�� - � � K(�A; - � J�<H>-P=� �Ks< P�� �'�-��P=� J2Pz@��]P�<H>CK1R2����2� ��� � � ��*1 7ö±û�ý�÷8C � , @ C ��-*\�øT4;ö�÷�ù(*1_��Y* L 8 >5*%�Jö�� ¤ ���14�>H��� 4

B ��DF��4�>A@�ô�ö±ÿT* #4.,V$()!ö�þ�*Pö±ú(� �Y4 8 ÿ9��ö���$-)ãö±þ<4;>»÷�ÿ¯ý���ý�ö�ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-) �Æù�þ�ôvõÄý�÷�õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô øåö±ô¡ôvÿ9�ýY��ý<)ôvù�þ; Ôþ�ùHüÄø¯ý�)+4�ó�ú�?��P������ B�������VPz@;R��-� � � �`B - � �%K(��; - � J�<H>(P��J�Ks< P�� �'�-��P�� JMPz@ �APA< >'K1R������� ��/� � � �=*1 7ö±û�ý�÷8C % % @ C��7�1*� ý�þ�ö��9ø¯ÿåù�úU* ��þvý�49* �.þvý�ý��ý�* ��$Äø9�!C ��� ¤ 4�>H����4

B %=DF Q4 �&ö±üÔö�ÿa4T93ú �ù=�¤ö�÷��7�¤øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�þvý��-$()ôvÿ¯ùHú!ö�ú(�'ô�õÔý�úÄýWö�þ�ý�÷]ô�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýk Pù�ÿåúNôQ Äþvù�üÄøåý�)+4 �APA<:ID��e��REP��Jo���=*%(F ¤ LN� ¤A@e¤ �(*¤ � %(4-4�þ�ýWø¯ÿ9)!ÿ¯ú7ö±þ�� �Hý�þ�÷¡ÿåù�ú+ÿåú 8 _£>H� 8 ¤ � �14

B �<D � 4 �&ö±úÔöH÷��<N������4 ��ý�.ßü7ù�$Äú(�Ä÷,ÿåú'÷�ù�)!ý�ô�þ�ö±úÔ÷��Æý�þvý�ú(�ý�ôvõÄý�ùHþ�ý�)ã÷kÿåú<ôvõÄý&û�ý�ù�)!ý�ô�þ��xù��Ôú�$-)�ü7ýWþv÷�4� �=R��-�D<���R�"��� �-�- �%�e��;9�V�&*(C %(� %�C7� @ %7���1* ¤ ��-4

B � D �&4 ��ø��ù�)!ý�þ<ö±ú&� �(4 0�474 8 ý�ÿ��Æý�þ�ô�4 93úÒôvõÄý2�ù�)� Äø¯ý�W§ÿ ô3�«ù��x�ù�) ($§ô�ÿåúÄûJ÷�õÄù�þ�ô<ø¯ÿåúÄý�ö±þvø��Jÿåú(�§ý� 7ýWú(�§ýWúHô,��ý��ô�ùHþv÷�ö�ú(�÷�õÄù�þ�ô�ü7ö�÷�ýW÷�ÿ¯ú#ö�øåö±ô¡ô�ÿ"�ý�4�ó�ú��?��P<����� BA������5Pz@'R��(� � �=�SR - �%� K(�A; - � J�<H>-P=�J�Ks< P��'�C�(��P=� J/P�@��]PA< >'K1R�����M� ��� � � ��*& Ôö�û�ý�÷ � ¤�¤A@ ��C�-*�>�ô�øÃö±úNôvö(* �V>5* L 8 >5*%�Jö�� ¤ �(4�>H��� 4B =D �&4 ��þ�$&��/ö±ú&����4%�3ö±ù�þ<4[_&õÄý<õÔö�þ��§úÔýW÷v÷¥ù��]�§ý<�ù1�§ÿåúÄûãø¯ÿåúÄý�ö±þX�ù1�§ýW÷k.¥ÿ¯ô�õ Äþ�ý� Äþvù��ýW÷v÷¡ÿåúÄû&4 � 151 1 �-�����(������R�oPA�-�PA� � ��@NP=�J<M�=R2oP����C�(��P=� J=*'� %(FTC�LN� � �-¤ @ � � �1*7�Jö�þ�4 ¤ ��-4

B ¤ �=D�� 4 �&4 �8$Äô�øåý�þ<4 8 ÿ9)Y$Äø¯ôvö�úÄý�ù�$Ô÷? Ôö���9ÿåúÄû�ö�ú(�/�ù=��ýWþ�ÿåúÄû�ÿåúSý�$(�øåÿ"�§ýWö�ú/÷� Ôö��ý�4��[��P������ B�����=�YP�@'R��-� � PA�CB�PA� �=R��-���<M�=R2o����; P��Do�NR J=*eC��1����C ¤ @ �A���-* ¤ ��C14

,��

Page 44: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

B ¤�¤ D �&4 0��,4'��ö±ÿkö�ú(�:>54 474C��ýWþ�$Äþ��¤ö±þ<4Q>�úAÿ9)� Äþvù=��ý��J.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý ôvùSö���ýWþvö�û�ýN0Z�öH÷¡ýX�ù�úÔúÄý��ô�ÿåù�ú!�Æù�þ�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý5 Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷F:ýNW9ô�ýWú(�§ý���ö±üÔ÷¡ô�þ�ö��ô�LN4�ó�ú �[��P������ B�����=�xP�@?R��-� � ��R�� - �%� K(�A; J�< >(P��J�Ks< PA�F�?P�Ks�CB��=R2oP��(�kPz@ �]PA< >'K1RE��� �Do�V������5��� � � ��*& Ôö±ûHýW÷ , % �-@ ,s�7�1*��AÿÃö�)!ÿ ��ýWö��õI* 0 ]* L 8 >5*?9')ô�4 ¤ ��49ó�\�\/\x4

B ¤ C�D �&4 �Y4 ��ù�ú�.�ö��!ö±ú&��54 �&4�>Y4 8 ø¯ùNö±úÄý�4 > �-����� �k���CBA������+� � �=RTR2o���N�V�A�CB �[��PAK�>&�S4 8 Äþ�ÿåúÄûHý�þ �;ýWþ�øÃö±û&*���þ���ý��§ÿ¯ô�ÿåù�úI*¤ � 4

B ¤ �=D�óS4 �3ÿ¯ú�$Äþ<* � 4 ,xÿ¯ú(�Äø¯ýWþ�* #4 �ö���*Äö±ú&� 8 4 8 ö��Æþvö(4~>x ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö¤ô�ÿåúÄû�� �]4pô�ù .¥ÿ ôvõÄÿ¯ú#ö±ø9)!ùH÷¡ô�0E 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�ø-�:ö��ô�ùHþv÷�ÿå÷�]4A0OõÔö±þ���4/�APA<:ID��e��REP��Jo���=*�CA�(FTC�LN� C��� @ C ,��-*�C����-4 4�þvý�øåÿ�)!ÿåúÔö±þ��M��ýWþv÷�ÿ¯ùHúSÿåú�0-9 � 8 ¤ � 4

B ¤ ,�DF��4 �X��ýWþ�*�>Y4*0Ôþ�ÿåý��Wý�*�ö�ú(� 54�,�ö�úÄúÔö�úI4�>hþ�ö±ú(�Äù�) 7ùHø��9úÄù�)!ÿåö�ø 0Fô�ÿ9)!ý�ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ() �ÆùHþ;ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄû¥ô�õÔý?�Hù�ø9$-)!ýù��£�ùHú���ýNW�üPù1�§ÿåýW÷�4���PAK1�J�e�A;~P�@VR��-� - � +*C� � F ¤ LN� ¤A@e¤ ��* �Hö�úI4 ¤ � ¤ 4B ¤ ��DFLY4 0ÄýWÿ¯ûHý�ö±ú(� �,4%�Aÿ"��ÿåö�ú(�ÿåù(48_&õÄý<ÿåúÔö� - Ôþ�ù�W§ÿ9)!ö�üÄÿåø¯ÿ¯ô3�ãù��;øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý<ö±ú(�+�ù��Äÿ¯úÄûM Ôþ�ùHüÄø¯ý�)ã÷k.¥ÿ ôvõ: Äþvý� Äþvù1�ýW÷v÷�ÿ¯úÄû&4

�1P�K1�J����;UPz@$�]P�<H>CK1RZ�N�Y�A�CB J��SRE�D< �Vo�D�e���N�S*&C ��� ,(4[Fo_�ùãö� - PýWö�þ�4 4�þ�ýWø¯ÿ9)!ÿ¯ú7ö±þ��M��ý�þ�÷�ÿ¯ùHúSÿåúM� � � C ����C14iLS4B ¤ %=D 9,4 �.ùHø9�§þvý�ÿ"�õI45�~P�Ks�CB��=R2oP�� P�@$�7� J`>eRZP������ > � J/���;�=�Jo� �£P<P�;i�S4 ��ö�)�üÔþ�ÿ"�§û�ý�L�úÔÿ¯ý��Nþ�÷�ÿ ô3� 4�þ�ý�÷�÷�*-C ��� ¤ 4B ¤ �<D 9,4 �.ù�ø"�§þvý�ÿ"�õÜö±ú(� 8 4��.ù�ø"�1.&ö�÷v÷¡ýWþ�4F93úAô�õÔý'øåÿ9)'ÿ¯ôv÷.ù���úÄù�ú7ö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö�üÄÿ¯øåÿ¯ô3�/ù���øåö±ô¡ôvÿ9�ý, Äþvù�üÔø¯ý�)!÷�4���PAK1�J�e�A;APz@

�]P�<H>CK1RZ���Y���CB J��SRZ�V< �Do�V�����N�S* %�&F,��LS� � ,�� @ � %7�-*�C ����-4 4�þvý�øåÿ9)'ÿåúÔö�þ��M�Hý�þ�÷¡ÿåù�ú/ÿ¯ú 8 _H9 � ¤ � 4B ¤ � D 9,47�.ù�ø"�§þ�ýWÿ9�õU* 8 47�.ùHø9�-.�öH÷�÷�ý�þ<*,ö�ú(� 8 4�� ö�ø¯ý��9ÿa45��ù�øåø¯ÿÃ÷¡ÿåù�ú-0a�Æþvý�ýãõÔöH÷¡õÔÿ¯úÄû �Æþ�ù�) øÃö¤ô�ô�ÿ"�ýJ Äþ�ùHüÄøåý�)ã÷�4_ký<�õÄúÄÿ"�ö�ø

¥ý� 7ùHþ¡ôx_ %=0 ��� %-* \�øåý�)ôvþ�ùHúÄÿ" ��ùHø¯øåù1K�$Äÿ�$()�ù�úM��ù�)� -$§ô�ö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø���ù�) Ôø¯ý�W9ÿ¯ô3� F�\�� � �[LS* ¤ %-4B ¤ =D 9,4 �.ù�ø"�§þvý�ÿ"�õI* �Y4?�Aÿ"��ÿåö�ú(�ÿåù(* 8 4 8 ö��Æþvö(*�ö�ú(� �&4 0j474 8 ý�ÿ��Æý�þ�ô�45>; - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvÿ¯úÄû/÷¡õÄùHþ¡ôvýW÷¡ô3øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý ��ý��ô�ùHþv÷ ÿå÷.úÄù�ôõÔö�þ��Äý�þ�ô�õÔö�úAö� - Äþvù�W§ÿ�)ãö±ô�ÿåúÄû,�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô¥øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý#��ý<)ô�ùHþv÷�4 � �(@NP��J<���R�oPA���[��P����N��� ���� � ��RaRZ�N���S*%� ¤ FaC�LS� �7� @ % ¤ * ¤ �-4B C �=D �,4 �'$Äþ�$7÷�.&ö�)!ÿT* �,4 �Aÿ"��ÿåö�ú(�ÿåù(*Äö�ú(�d9,4 ¥ýWû�ý��e47_&õÄý#�ù�)!ø¯ý�W9ÿ¯ô3�ãù���ô�õÄý#�ù=��ý�þvÿåúÄû<þ�ö��§ÿ9$Ô÷? Äþvù�üÄøåý�)�ùHúSøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷ö�ú(�`�ù1�§ý�÷�43ó�ú �?��P<�����`BA�������Pz@YR��-� ���R�� - � �%K(��; � 1 151 �]PA�(@N�����V�����2P����]P�<H>CK1RZ�=R2oP�����;%�]P�<H>C;��CI��R J+���%�%�

� � � *&>;)!õÄý�þ�÷]ô<* �`>5*CL 8 >Y* ��$ÄúÄý5C ��� ,(49ó�\/\�\x4A_�ùãö� - PýWö�þ�4B C ¤ D�óS4 ��ùHú-�¤ö±øÃö<ö±ú(�M>Y4�_&ÿåý�ô �ö�� �ö±ÿåúÄýWúI4��Y�A�CB7I�P<P�BMPz@��]P�B����� �'�-��P=� J=*1�Hù�ø9$-)!ýXC1*��õÔö� Äô�ý�þ ¤ �(�.�J��ù��ÄýW÷�ö�ú(�!ú�$-)�üPý�þôvõÄý�ùHþ�� �-*� Ôö�û�ý�÷ ¤�¤ , ¤ @�¤�¤ ,(4T\�øå÷�ý��9ÿåý�þ<* ¤ � 4B C�C�D #4 ,�ö�úÄúÔö±úU4 - �%� K(�A;����N��o�NO7�;Pz@x��PA< >'K1RE���[���Vo�D�e����*���ùHø�$()'ýkC1*��õ7ö� §ôvý�þ ��> ø¯ûHù�þvÿ ôvõ-)!ÿ9�û�ý�ù�)!ý�ô�þ���ù��7ú�$()�üPý�þ�÷$�(*

Ôö�û�ý�÷[C7� ¤A@ C�% ��4£>�úÄú�$Ôö�ø�¥ý��9ÿåý�.`ó�ú(�49* 4;ö±øåù > ø ôvù(*C��ö�ø¯ÿ��Æù�þvúÄÿÃö-* ¤ � �14B CA�=D #4 ,�ö±úÄú7ö±úI4 �Aÿåú-��ù=.�÷��9ÿ�� ÷#�ùHú��HýNW�ü7ù1�1�«ô�õÄýWù�þvý�) ö±ú(��ÿåúNô�ý�ûHý�þ5 Ôþ�ùHû�þ�ö�)�)!ÿ¯úÄû&4� �=R��-�D<M�=R2o�S�!Pz@JP >-�����=R2oP��

���N�����=��� ��* ¤ C-F���LS� , ¤ � @ ,,��(*�>;$Äû(4 ¤ � �14B C ,�D #4 ,�ö±úÄúÔö�úI4' kö¤ô�ô�ÿ"�ý&ôvþvö�úÔ÷¡øÃö¤ôvýW÷;ù���öV Pù�ø9�Nô�ù� 7ý ö�ú(��ô�õÄý]0�þvù�üPý�úÔÿ�$Ô÷Q Äþvù�üÄøåý�)+4 �]PA<:ID��e��REP��Jo����* ¤ C(FaC�LN� ¤ % ¤A@e¤ ����*

¤ �C-4B C7��D #4�,�ö±úÔúÔö±ú<ö�ú(� 8 4 �;ý�)� Ôö�øåö(4 8 ö�)� Äø¯ÿåúÄû3øåö±ô¡ô�ÿ"�ý8 7ùHÿ¯úNô�÷�4Hó�ú �?��P<����� BA������kPz@8R��-�����R�� - �%� K(�A; - � J�<H>-P=� �Ks<

PA�.�'�-��P=� J+P�@��]P�<H>CK1R2����J� �� � � ��*& Ôö±ûHýW÷ % % @ � ��(*�\�øT4;ö�÷�ù(*1_��Y*%L 8 >Y* �Jö�� ¤ ��141>H����4B C�%=D �&4C�X4 �ö±ûHö�þ�ÿÃö�÷�* �54 � 4C �ýWúÔ÷]ôvþvö(* �Hþ�49*Äö±ú(�M�X4 0�474 8 �õÄúÄùHþ�þ<4�,xù�þ��9ÿ¯úÄý�0�ù�øåù±ôvö�þ�ý��!üÔö�÷�ýW÷¥ö�ú(�#÷�$(��ý�÷�÷�ÿ��HýV)'ÿåúÄÿ9)ãöù��,ö'øåö±ô¡ôvÿ9�ý<ö±ú(�+ÿ¯ôv÷&þvý��ÿ9 Äþvù1�ö±ø�øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý�4 �]PA<:ID��e��REP��Jo����* ¤ �(F ,�LS� �7��� @ � , � * ¤ �(4B C��<D5>Y47,�4 �ýWúÔ÷¡ô�þ�ö-*(�54�� 4� ký�úÔ÷¡ô�þ�ö-* �Hþ�49*�ö±ú&� ]4� kù=���öH÷���4 07ö�)ôvù�þvÿ¯úÔû Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�øå÷,.¥ÿ¯ô�õpþ�ö¤ôvÿ¯ùHúÔö±ø?�ù9ý*)2�ÿ¯ýWúHô�÷�4

�=R��-�D<M�=R2"�N� �-� - �%�e�A;��V�&*(C�% ¤ � � ¤ � @ �7� ,(* ¤ � C14B C � D5>Y4A �ù�ü7÷]ôvý�ÿåúI41_&õÄý&õÔö±þ��§úÄý�÷�÷�ù���÷¡ùHø��9ÿåúÄû3÷�$ÄüÔ÷�ý�ô;÷�$() .¥ÿ ôvõ, Ôþ�ý� Äþ�ù1�ýW÷v÷¡ÿåúÄû(4 � 151 1 �-�����(�N���NR2oP��(�;P�� � �(@NP=�J<M�=R2oP��

�'�-��P�� J=*%� %&F ,�LS� ,�� @ , %-* ��$Äø9� ¤ ��-4B C =D �&4D\x4��Jö��Wù�ö±ú(�#>Y4(��4�9'�§ø9������ù&4* �ö¤ô�ô�ÿ"�ý] Pù�ÿåúNôv÷�ÿåú�õÄÿåû�õ5�§ÿ9)!ý�úÔ÷�ÿåù�úÔö�øH÷� ÄõÄý�þvýW÷�4 P��e��Ro���(�,@�RZ�?@ K(��� �=R��-�D<���R��B�*

¤�¤ �-� , � @ % ¤ * ¤ ��-4B ��=D5>Y4��`( �ù�$Ôû�õÄøåÿ¯úU4J_&õÄý/�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�Üù��k�ù�)� -$§ô�ÿåúÄûAôvõÄý/�ù=��ý�þvÿåúÄû/þ�ö��Äÿ�$Ô÷<ù���ö:�ù1�§ý�4 � 1 1 1 �-���A�-������R�oPA�-�JPA�� �(@NP=�J<M�=R2oP�� �'�-��P=� J=*'��(� � �� @ � �,(*7� ù=�e4 ¤ � ,(4

,,

Page 45: 0/ # 1+ 2 # 3(#-daniele/papers/LatticeHash.pdfÿåúHôvþvö )ô ö±üÄÿåø¯ÿ¯ô 3 Jù &øÃö¤ô ô ÿ" ý M Äþvù üÔø¯ý)!÷ 4 Aù þvý ù = Hý þ

B � ¤ D �,4C�Jÿ9��ÿÃö±ú(�ÿ¯ù&4x_&õÄý<õÔö�þ��§úÔýW÷v÷�ù��DôvõÄý,�ø¯ùN÷¡ý�÷]ô;�Hý��ô�ù�þ; Äþ�ùHüÄøåý�) .¥ÿ ôvõ Äþvý� Äþvù1�ý�÷�÷�ÿ¯úÔû(4 � 1 1 1 �-�����(������R�oPA�-� PA�� �(@NP=�J<M�=R2oP�� �'�-��P=� J=* , �-F,��LN� ¤ C ¤ C @e¤ C ¤ �1*A�Jö�þ�4(C�� ¤ 4B ��C�D �,4s�Aÿ9��ÿÃö±ú(�ÿ¯ù&4�óZ)� Äþvù=�NÿåúÄû<øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý.üÔö�÷�ý��/�þ��� Äô�ùH÷��§÷]ôvý�)ã÷8$Ô÷¡ÿåúÄû�ô�õÄý ��ýWþ�)!ÿ¯ô�ý.úÄù�þ�)ãö±ø&�Æù�þ�)!4kó�ú �&4 8 ÿ¯ø9��ýWþ�)ãö±úU*ý<�§ÿ ôvù�þ<* �7� J`>�REP������`> � J`���CB � �=RTR�o���N���]P���@N�N���D�e�������]� � � � � ��*���ù�ø9$-)!ý,C ¤ , %�ù�� � ����R2K1�����YP=RZ�N�F�� �APA< >'K1RE��� �Vo�D�e����*- Ôö±ûHýW÷ ¤ C % @�¤ ,��-*�4�þ�ù=�9ÿ"�§ý�ú&�ý�* ¥óS* L 8 >5*C�Jö±þ<4-C ��� ¤ 4 8 Ôþ�ÿåúÄû�ýWþ�4B �7�=D �,4��Jÿ9��ÿÃö±ú(�ÿ¯ù&4�_&õÔý3÷�õÄù�þ�ô�ý�÷]ôQ�Hý��ô�ù�þ8 Äþvù�üÄøåý�) ÿå÷��H4]0Fõ7ö±þ���ôvù�ö� - Äþvù�W9ÿ9)ãö¤ôvý&ô�ùY.¥ÿ¯ô�õÔÿ¯úS÷�ù�)!ý'�ù�ú7÷]ô�ö±úNô�4 � -

�1P�K1�J����;UPA� �]P�<H>CK1R2�����* ��&F %�LS�iC �� �-@ C �7���1*7�Üö±þ<4(C �� ¤ 4 4�þvý�øåÿ�)!ÿåúÔö±þ��M��ýWþv÷�ÿåù�úSÿåú�0-9 � 8 ¤ � � 4B � ,�D �,4/�Aÿ"��ÿåö�ú(�ÿåù(4 �.ý�úÔý�þ�ö±øåÿ��Wý�� �ù�) 7ö�)ôJ�Nú7ö� Ô÷vö��§÷�*?����ø¯ÿ"AøÃö¤ô�ô�ÿ"�ýW÷�*¥ö±ú(� ý+)2�ÿåý�úNôSù�úÔýN0E.�ö����%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷M�Æþvù�)

.�ù�þ�÷]ô�0EWö�÷�ý5�ù�) Ôø¯ý�W9ÿ¯ô3�#ö�÷v÷�$-)� §ôvÿ¯ùHúÔ÷�43ó�ú �[��P������ B�����=�MP�@ R��(� � � ��B - �%� K(��; J�<H>(P��J�Ks< P�� �?P�Ks�'B���R�oPA�-��Pz@�]P�<H>CK1RZ��� �Do�V�����Y�5��� � � � ��*( 7ö±û�ý�÷S����% @ � %��1* ��ö±ú&�ù�$(��ý�þ<* � �X*%��ö±úÔö��Äö-* � ù=�e4(C���C149ó�\�\/\x4

B ����D �,4n�Aÿ"��ÿÃö±ú&�ÿåù(4póZ)� Äþvù=��ý<� �þ��� §ô�ùHû�þ�ö� ÄõÔÿ9SõÔö�÷�õ �%$Ôú()ôvÿ¯ùHúÔ÷�.¥ÿ ôvõ .�ù�þ�÷¡ô�0Z�ö�÷�ý��±ö���ýWþvö�û�ýN0Z�ö�÷¡ý��ùHúÄúÄý��ô�ÿåù�úI4fó�ú�?��P������ B�������VPz@'R��(� � � R�� - � � K(�A; - � J�<H>-P=� �Ks< P�� �'�-��P=� J2Pz@��]P�<H>CK1R2����2� ��� � � � ��*1 7ö±û�ý�÷ %�� @ % ¤�� *�AùHúNô�þ �ýWö�øa*��X$ �ý�4�* ��ö±ú7ö��Äö(* �Jö��JC ����C-4�>H��� 4

B � %=D �,4T�Aÿ"��ÿÃö±ú&�ÿåù#ö�ú(� 8 4��.ù�ø"�1.&ö�÷v÷¡ýWþ�4��]PA< >';��$I��R J P�@ � �=RTR�o��� �?��P7ID;��D<Y�3) - �7� J`>eRZP������ > � o� �x�N���2>(����R2�����*U�Hù�ø�0$-)!ý�% � ¤ ù��F�'�-��� ;�K1OQ��� � �&RE���J�e��R�oPA�e�A; �N�Jo�N�F�� 1 ���7��e���N�J����+���CB��]P�<H>CK1RZ��� �Do�V�����N4 ,xø9$�.�ý�þx>X�ö��§ý�)!ÿ"4Q$ÄüÄøåÿå÷�õÄý�þ�÷�* ��ùN÷]ôvù�úI* �JöH÷�÷vö��õ�$Ô÷�ý�ô�ôv÷�*s�Jö±þ<4(C ����C14

B ���<D �&4 �Aÿåø¯úÄùHþ�ö±ú(� �,4��x$7÷¡ý�)'ùHø¯øåý�þ<4 J�< <���RT�Jo� � �;���e����� �?P=�J<,��4 8 Äþ�ÿåúÄûHý�þ�0 �;ýWþ�øÃö±û&* ¤ ��A�-4B � � D 9,4 ¥ý�ûHý���4NóZ) Ôþ�ù=�Hý���ÿåúÔö� ( Äþ�ù�W§ÿ9)ãö±üÄÿåø¯ÿ¯ô3�.ù��ÔøÃö¤ô�ô�ÿ"�ý&ö±ú(�5�ù1�§ÿ¯úÔûX Äþvù�üÔø¯ý�)!÷~.¥ÿ¯ô�õY Ôþ�ý� Äþ�ù1�ýW÷v÷¡ÿåúÄû(4Hó�ú �?��P������ B�������

Pz@XR��-� � ��R�� - � � K(�A; � 1 1 1 �]PA�(@N�����V�����YP�� �]PA< >'K1RE��R�oPA�e��; �APA< >';��CI7�R JM���%�%� � � � *- Ôö±ûHýW÷/� ¤ � @ ��C�C1*��>�þvõ�$Ô÷�*�3ý�ú-)ãö�þ���* ��$Äø��!C ����-49ó�\�\/\x4

B �=D 9,4�¥ý�ûHý���4 ��ý�.�øÃö¤ô¡ôvÿ9�ý/ü7ö�÷�ý�� �þ��� §ôvù�û�þ�ö� ÔõÄÿ9/�ù�ú7÷]ôvþ�$(�ô�ÿåù�úÔ÷�4Òó�ú �?��P������ B�������`P�@JR��(� � ��R�� - � � K(�A; - � J�< >(P��J�Ks< P�� �'�-��P�� J�Pz@��]P�<H>CK1R2������ �� � � � � *Q 7ö±û�ý�÷ , ��� @ ,�C %-* 8 ö±ú �3ÿ¯ýWû�ù&*/�?>5*�L 8 >Y* ��$ÔúÄý!C��7�(4>H����4

B ,��=D �X4->Y4 ¥ù�ûHý�þ�÷�4£>KúÔù±ô�ýxùHúJ�ù=�Hý�þvÿ¯úÔûH÷�ö±ú(�/ Ôö���9ÿåúÄûH÷�4��1PAK1�J�e��;IPz@VR��(� � P��'B�P���`��R��(�V<M�=R2o����; P<�Vo��R J=*eC7�1� ��C�� @��� ¤ * ¤ �� �(4

B , ¤ D �X4 0�474 8 �õÄúÄùHþ�þ<4�>áõÄÿåý�þ�ö±þ��õ��<ù��� Pù�ø9�NúÔù�)!ÿåö�øÄôvÿ�)!ý øÃö¤ô�ô�ÿ"�ý3üÔö�÷�ÿå÷�þ�ý<�1$(�ô�ÿåù�ú�ö±øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ()!÷�4 �C�(��P=����R�o���A;2�]PA< >'K1RE��� �Vo�D�e����*%�A�&FaC @ ��LN� C� ¤ @ C�C ,(* ¤ � �14B ,�C�D5>Y4���ö�þ��1��4U>�øåû�ùHþ�ÿ¯ô�õ()'ÿ";�ù�)� ÄøåýNW§ÿ¯ô3�'ÿåú/�ù��Äÿ¯úÄû�ô�õÄýWù�þ��ãö±ú(�!ôvõÄý')'ÿåúÄÿ9)Y$-) �Äÿå÷¡ôvö�ú(�ýX Äþ�ùHüÄøåý�)+4�ó�ú��?��P������ B�������

Pz@xR��-��� �R�� - � �%K(��; - � J�<H>-P=� �Ks< PA� �C�(��P=� J2P�@��]P�<H>CK1R2���� � ��/� � ��*� Ôö�û�ý�÷ �C @e¤ �-*A\�ø%4;öH÷¡ù&*�_��Y*L 8 >5* �Üö�� ¤ ����41>H����4

,��