Upload
trinhliem
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Overzicht bewijzen Wiskunde semester 1 2015-2016
De cursusdienst van de faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen aan de Universiteit
Antwerpen.
Op het Weduc forum vind je een groot aanbod van samenvattingen, examenvragen, voorbeeldexamens en veel meer, bijgehouden door je medestudenten.
www.weduc.be
WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2015-2016 BEWIJZEN
O 5.3.1 GEMIDDELDE WAARDE VERSUS MARGINALE WAARDE (P. 133)o Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we
o ddx
( ⟨ f ⟩ ( x ) )= ddx ( f (x )x )= x ∙ f
' ( x )−f (x )x2
Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk bepaald door de teller. Er geldt:
Als de gemiddelde functie stijgt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )≥0
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x ) of f ' ( x )≥ f ( x )x
Als de gemiddelde functie daalt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )≤0
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x )≤ f ( x ) of f ' ( x )≤ f ( x )x
Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )=0
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x )=f (x ) of f ' ( x )= f ( x )x
O 8.2.3. AFLEIDEN VAN IMPLICIETE FUNCTIES (P. 177)o Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke gegeven is in een
impliciete vorm F ( x , y )=0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm y= f ( x ) in
een punt x0 gevonden worden als f ' (x0 )=−Fx
' (x0, y0 )F y' (x0 , y0 )
met y0 bepaald door F (x0 , y0 )=0,
o voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul. o Je kan dit terugvinden door te vertrekken vanuit de totale differentiaal (hier in de verkorte notatie):o F ( x , y )=0o ⇓o dF ( x , y )=0o ⇓o F x
' dx+F y' dy=0
o ⇓o F y
' dy=−Fx' dx
o ⇓
o dydx=
−F x'
F y'
O
O
O
O
O 8.2.3. AFLEIDEN VIA IMPLICIETE FUNCTIES (P. 172)O Eigenschap 8.6 (Impliciete functie F ( x , y , z )=0)O
O
O
O
O
O
O
O
O
Ook dit resultaat kan je terugvinden vanuit de totale differentiaal (hier opnieuw in verkorte notatie), nu voor de drie veranderlijken:
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O GEVOLG 8.1. (RAAKLIJN) (P. 173)
Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken gegeven is in een impliciete vorm F ( x , y , z )=0, dan kunnen de partiële afgeleiden voor de (onbekende)
expliciete vorm z=f (x , y ) in een punt (x0 , y0 ) gevonden worden als
f x' (x0, y0 )=
−Fx' (x0 , y0 , z0 )
F z' ( x0 , y0 , z0 )
f y' (x0 , y0 )=
−F y' (x0 , y0 , z0 )
F z' (x0, y0 , z0 )
met z0 bepaald door F (x0 , y0 , z0 )=0,
F ( x , y , z )=0
⇓ dF ( x , y , z )=0
⇓F x' dx+F y
' dy+F z' dz=0
⇓ F z
' dz=−F x' dx−F y
' dy
⇓ dz=
−F x'
F z' dx−
F y'
F z' dy
⇓ ∂ z∂x=
−F x'
F z' en
∂ z∂ y
=−F y
'
F z'
o De vergelijking van de raaklijn in het punt P=( x0 , y0 ) aan de curve met impliciete vergelijking
F ( x , y )=0 luidt F x' ( x0 , y0 ) (x−x0 )+F y' (x0 , y0 ) ( y− y0 )=0
o Om dit aan te duiden vertrekken we van de vergelijking voor de raaklijn zoals we ze eerder vonden:
y− y0=f' (x0 ) (x−x0 ), met f de (onbekende) expliciete functie die bij de curve hoort.
o We weten nu dat
o f ' (x0 )=−Fx
' (x0, y0 )F y' (x0 , y0 )
ooo Invullen in de vergelijking van de raaklijn geeft
o y− y0=−F x
' (x0 , y0 )F y' (x0 , y0 )
(x−x0 )
o De noemer wegwerken geeft
o F y' (x0 , y0 ) ( y− y0 )=−F x
' (x0 , y0 ) (x−x0 );brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde resultaat.
O GEVOLG 8.2. (RAAKVLAK) (P. 174)O De vergelijking van het raakvlak in het punt P=( x0 , y0 , z0 ) aan het oppervlak met impliciete
vergelijking F ( x , y , z )=0 luidtO F x
' ( x0 , y0 , z0 ) (x−x0 )+F y' ( x0 , y0 , z0 ) ( y− y0 )+F z' (x0 , y0 , z0 ) ( z−z0 )=0Om dit aan te tonen vertrekken we van de vergelijking voor het raakvlak zoals we ze eerder zagen:
z−z0= f x' (x0 , y 0 ) (x−x0 )+ f y' (x0 , y0 ) ( y− y0 )
met f de (onbekende) expliciete functie die bij het oppervlak hoort.We weten nu dat
f x' (x0, y0 )=
−Fx' (x0 , y0 , z0 )
F z' ( x0 , y0 , z0 )
o en dat
f y' (x0 , y0 )=
−F y' (x0 , y0 , z0 )
F z' (x0 , y0 , z0 )
o Invullen in de vergelijking van het raakvlak geeft
o z−z0=−Fx
' (x0, y0 , z0 )F z' (x0 , y0 , z0 )
(x−x0 )−F y' (x0 , y0, z0 )F z' ( x0 , y0 , z0 )
( y− y0 )
De noemer wegwerken geeft
F z' (x0 , y0 , z0 ) ( z−z0 )=−F x
' (x0, y0 , z0 ) (x−x0 )−F y' (x0 , y0, z0 ) ( y− y0 );brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde resultaat.
O
O 8.3.1. SAMENGESTELDE FUNCTIES (P. 176)O ① Eigenschap 8.7 (Samengestelde functies – Kettingregel 1)
O
Dit kan verklaard worden door gebruik te maken van de totale differentiaal.
Er geldt immers (in verkorte notatie)
dz=f x' dx+ f y
' dy dx=g 'dt dy=h' dt
Invullen van de tweede en derde lijn in de eerste lijn geeft
dz= f x' ∙ (g' dt )+ f y' ∙ (h'dt )
of
dz=( f x' g '+ f y' h' )dt
Omdat ook dz=dϕdtdt
volgt het resultaat zoals geformuleerd in de eigenschap.
② Eigenschap 8.9 (Samengestelde functies – Kettingregel 3) (P. 178)
Ook dit kan verklaard worden door gebruik te maken van de totale differentiaal.
Als z=ϕ (t )=f ( x , y ) met x=g (t ) en y=h (t ),dan geldt (in verkorte notatie)
dzdt
= ∂ z∂xdxdt
+ ∂ z∂ y
dydt
of dϕdt
= ∂ f∂ xdgdt
+ ∂ f∂ yd hdt
of voluit ϕ ' ( t )=f x
' (g ( t ) , h (t ) )∙ g' ( t )+ f y' (g ( t ) , h ( t ) ) ∙ h' (t )
Als z=ϕ ( s , t )=f ( x , y ) met x=g (s , t ) en y=h (s , t ),dan geldt (in verkorte notatie)
∂z∂ s
= ∂z∂ x∂x∂ s
+ ∂ z∂ y
∂ y∂s
of ∂ϕ∂s
=∂ f∂ x∂g∂ s
+ ∂ f∂ y
∂h∂ s
∂z∂ t
= ∂z∂ x∂x∂ t
+ ∂ z∂ y
∂ y∂ t
of ∂ϕ∂t
=∂ f∂ x∂g∂t
+ ∂ f∂ y
∂h∂ t
of voluit• ϕ s
' ( s , t )=f x' (g ( s , t ) , h (s ,t ) ) ∙ gs' (s , t )+ f y
' (g (s ,t ) , h (s , t ) )∙ hs' ( s , t )
• ϕ t' ( s , t )=f x
' (g ( s , t ) , h ( s , t ) ) ∙ g t' (s ,t )+f y' (g ( s , t ) , h (s ,t ) ) ∙ ht' (s ,t )
Er geldt immers
dz=f x' dx+ f y
' dy dx=gs
' ds+gt' dt
dy=hs' ds+ht
' dtInvullen van de tweede en derde lijn in de eerste lijn geeft
dz=f z' ∙ (gs' ds+gt' dt )+ f y' ∙(hs' ds+ht' dt )
¿ ( f x' gs' + f y' hs' )ds+( f x' gt'+ f y' ht' ) dtOmdat ook
dz= ∂ϕ∂ sds+ ∂ϕ
∂tdt
volgt het resultaat zoals geformuleerd in de eigenschap.
O
O 8.3.2. HOMOGENE FUNCTIES (P. 179)O Eigenschap 8.10 (Homogene functies)
De identiteit wordt ook wel identiteit van Euler genoemd.
We kunnen deze eigenschappen aantonen door te vertrekken van de gelijkheid
f (tx , ty )≡ tm f ( x , y ),
en af te leiden naar t , naar x en naar y door toepassing van de kettingregels uit de vorige paragraaf.
Om verwarring te vermijden gebruiken we in dit bewijs de notaties f 1' en f 2
' wanneer we afleiden naar het eerste en tweede argument van de functie f .
Linker- en rechterlid afleiden naar t geeft∂∂ t [ f ( tx ,ty ) ]≡ ∂∂t [ tm f ( x , y ) ]
f 1' (tx , ty ) ∙ ∂ ( tx )
∂t+f 2
' ( tx , ty ) ∙ ∂ (ty )∂t
≡mtm−1 ∙ f (x , y )
f 1' (tx , ty ) ∙ x+ f 2
' (tx ,ty ) ∙ y≡mtm−1∙ f ( x , y );Dit geldt voor elke waarde van t . Kiezen we nu de waarde t=1, dan vinden we
x ∙ f 1' ( x , y )+ y ∙ f 2
' ( x , y )≡m∙ f ( x , y )of
Indien de functie f :R2→R homogeen is van graad m, en indien de partiële afgeleiden bestaan, dan geldt voor de partiële afgeleiden van eerste orde
de functies ∂ f∂ x en
∂ f∂ y zijn ook homogene functies, van graad m 1;
x ∙ ∂ f∂ x
(x , y )+ y ∙ ∂ f∂ y
( x , y )≡m∙ f ( x , y )
x ∙ f x' (x , y )+ y ∙ f y
' ( x , y )≡m∙ f ( x , y ),de identiteit van Euler.
Linker- en rechterlid afleiden naar x geeft∂∂x [ f ( tx , ty ) ]≡ ∂
∂x [ tm f ( x , y ) ]
f 1' (tx , ty ) ∙ ∂ ( tx )
∂ x+f 2
' ( tx , ty ) ∙ ∂ ( ty )∂ x
≡tm∙ f 1' ( x , y )
f 1' (tx , ty ) ∙ t+0≡tm ∙ (x , y )
of
f 1' ( tx , ty )≡tm−1 ∙ f 1
' ( x , y )
De functie f 1' of f x
' is dus homogeen van graad m−1.
Linker- en rechterlid afleiden naar y geeft∂∂ y [ f (tx , ty ) ]≡ ∂
∂ y [ tm f (x , y ) ]
f 1' (tx , ty ) ∙ ∂ ( tx )
∂ y+f 2
' ( tx , ty ) ∙ ∂ (ty )∂ y
≡tm f 2' (x , y )
0+ f 2' (tx ,ty ) ∙ t ≡ tm ∙ f 2
' ( x , y )
De functie f 2' of f y
' is dus homogeen van graad m−1.
O 9.1.2. VRIJE EXTREMA EXTREMA ZONDER NEVENVOORWAARDEN (P. 197)o Stelling 9.1 (Lokale extrema eerste orde voorwaarden)o
Stelling 9.2 (Lokale extrema tweede orde voorwaarde)
Een partieel afleidbare functie f :R2→R kan enkel een lokaal extremum bereiken in het punt
(x0 , y0 ), als dit punt een stationair of kritisch punt is, i.e.
{f x' (x0, y0 )=0f y' (x0 , y 0 )=0
Beschouw een partieel afleidbare functie f en een stationair punt (x0 , y0 ). Als de Hessiaan
H f (x0 , y0 ) positief of negatief definiet is, dan bereikt de functie in (x0 , y0 ) een lokaal extremum.
Indien H f (x0 , y0 ) negatief definiet is,
dan heeft f een lokaal maximum in (x0 , y0 ); Indien H f (x0 , y0 ) positief definiet is,
dan heeft f een lokaal minimum in (x0 , y0 ).Indien H f (x0 , y0 ) nondefiniet is, dan heeft f een zadelpunt in (x0 , y0 ).
Opmerking:
In andere gevallen kunnen we geen onmiddellijk besluit trekken, en is verder onderzoek noodzakelijk, eventueel door toepassing van andere methoden.
Bewijs:
Om deze eerste en tweede orde voorwaarden uit stellingen 9.1 en 9.2 aan te tonen, kijken we naar de hulpfunctie
g ( t )=f (x0+th , y0+tk )
met h en k willekeurige (kleine) positieve waarden.
Voor deze functie kunnen we volgende verbanden vinden met f :
De functie f bereikt een stationair punt in (x0 , y0 ),⇔ de functie g een stationair punt bereikt voor t=0;
De functie f bereikt een lokaal maximum in (x0 , y0 ),⇔ de functie g een lokaal maximum bereikt voor t=0.
De functie f bereikt een lokaal minimum in (x0 , y0 ),⇔ de functie g een lokaal minimum bereikt voor t=0.
Toepassing van de eerste kettingregel geeft g' (t )= f x
' (x0+th , y0+tk ) ∙h+ f yt (x0+ th , y0+tk )∙ k g' ' ( t )= f x2
' ' (x0+ th , y0+ tk ) ∙ h2+2 f xy' ' (x0+th , y 0+tk ) ∙ hk+f y2' ' (x0+th , y0+tk )∙ k 2
zodat g' (0 )=f x
' (x0 , y0 )h+ f y' (x0 , y0 )k g' ' (0 )=f x2
' ' (x0 , y0 )h2+2 f xy' ' (x0 , y0 )hk+f y2' ' (x0 , y0 )k2
De eerste orde voorwaarde zegt dat g' (0 )=0, en dit voor elke keuze van h en k .Hieruit volgt dat beide partiële afgeleiden nul moeten zijn, of
{f x' (x0, y0 )=0f y' (x0 , y 0 )=0
De tweede orde voorwaarde zegt dat een stationair punt een lokaal maximum is als g' ' (0 )<0 en een
lokaal minimum als g' ' (0 )>0, en dit voor elke keuze van h en k .Deze tweede afgeleide komt nu overeen met een kwadratische vorm in h en k , met geassocieerde matrix gelijk aan de Hessiaan in het stationair punt, nl. H f (x0 , y0 ) (zie definitie 9.2).
Er geldt dus g' ' (0 )<0 voor elke keuze van h en k indien H f (x0 , y0 ) negatief definiet is, en g' ' (0 )>0
voor elke keuze van h en k indien H f (x0 , y0 ) positief definiet is.
O 9.1.3. GEBONDEN EXTREMA EXTREMA MET NEVENVOORWAARDEN (P. 211)o Eigenschap 9.5 (Betekenis Lagrange-multiplicatoro
Deze eigenschap zegt m.a.w. dat de waarde van de Lagrange-multiplicator overeenstemt met de helling van f indien bekeken als functie van C, of dat je de Lagrange-multiplicator kan interpreteren als de ogenblikkelijke aangroei van de doelfunctie in het optimum indien de waarde van C in de nevenvoorwaarde met één eenheid wordt verhoogd.
Bewijs:
Het optimaal punt is een stationair punt, en dus geldt
f x' (x0 , y0 )=λ0 ∙ gx' (x0 , y0 )
f y' (x0 , y0 )= λ0 ∙ g y' (x0 , y0 )
en ook g (x0 , y0 )=C
zie stelling 9.3.Schrijf nu x0 en y0 als functie van C.Uit de derde gelijkheid volgt dgdC (xO (C ) , y0 (C ) )=dCdC=1
waarbij we het linkerlid kunnen herschrijven als (toepassing van kettingregel 1)
dgdC (x0 (C ) , y0 (C ) )=∂ g∂ x (x0 (C ) , y0 (C ) ) ∙
d x0dC
(C )+ ∂g∂ y (x0 (C ) , y0 (C ) ) ∙
d y0dC
(C )
Berekenen we nu de afgeleide van de functie f 0 naar C, dan vinden we achtereenvolgens d f 0dC
(C )= dfdC (x0 (C ) , y0 (C ) )
¿ ∂ f∂x ( x0 (C ) , y0 (C )) ∙
d x0dC
(C )+ ∂ f∂ y ( x0 (C ) , y0 (C )) ∙
d y0dC
(C )
toepassing kettingregel 1
¿ λ0 ∙∂ g∂x (x0 (C ) , y0 (C ) )∙
d x0dC
(C )+λ0 ∙∂g∂ y ( x0 (C ) , y0 (C ) ) ∙
d y0dC
(C )
voorwaarde stationair punt
¿ λ0( ∂g∂x (x0 (C ) , y0 (C ) )∙d x0dC
(C )+ ∂ g∂ y (x0 (C ) , y0 (C ) )∙
d y 0dC
(C )) ¿ λ0
Beschouw partieel afleidbare functies f en g en een optimaal punt (x0 , y0, λ0 ) met
functiewaarde f 0= f ( x0 , y0 ) voor het gebonden extremum-probleem: bepaal de extrema van f onder de voorwaarde g ( x , y )=C .Als de waarde van C varieert, dan hangt ook het optimum af van C, of x0=x0 (C ), y0= y0 (C ),
en f 0=f 0 (C )=f (x0 (C ) , y0 (C ) ) . Er geldt λ0=d f 0dC
(C )
↳=1