Урок «Скалярное произведение векторов»1

Цель: познакомить учащихся со скалярным произведением векторов,

его свойствами и показать, как применяется скалярное произведение векторов при решении геометрических задач.

Демонстрации: презентация «Скалярное произведение векторов

Ход урока.

I. Повторение ранее изученного материала о свойствах векторов.1.Повторение свойств векторов:

Определение вектораВспомним свойства векторовКоординаты вектора с концами в точках A(xA, yA) и B(xB, yB)

определяются по формуле:

AB

xB xA yB yA

Длина вектора

Координаты суммы векторов a(xA, yA) и b(xB, yB) :

a

b xB xA yB yA

Координаты произведения вектора a(x, y) на число λ:

a x y

2. Диктант на вычисление координат и длины вектора2:

1

2

1

Даны точки A(2; -3), B(-1; 2), С(0; -4)1. Найдите координаты вектора AB2. Найдите координаты вектора ВС

3. Найдите длину вектора AB4. Найдите длину вектора BC5. Произведение 5 · AB:

3. Взаимопроверка диктанта по доске с выставлением оценки

(по количеству правильно выполненных заданий)

1. AB

3 5( )

2. BC

1 6( )

3. AB

3( )2 52 34

4. BC

12 6( )2 37

5. 5 AB

15 25( )

4. Выставление оценки

II. Объяснение нового материала.

1) Рассмотрим понятие угла между векторами

o Любые 2 вектора - a

и b

можно построить из одной точки.

o Углом между ненулевыми векторами и называется угол AOB

o Углом между любыми двумя ненулевыми векторами a

и b

называется угол между равными им векторами с общим началом.

2

o Если векторы параллельны или один из них равен нулю, то угол между ними считается равным нулю.Примеры:

∠ , ∠ a

c

1200 , ∠ b

c

900 , ∠ d

f

00 , ∠ d

c

1800 ,

a¿ b

, если α = 900

2) Обучающиеся записывают в тетрадях: Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: 5) Примеры: (первые 2 примеры учитель вычисляет сам,

остальные - обучающиеся с проверкой по доске)

1. , ,

2. , ,

3. , ,

4. , ,

5. , ,

4) Свойства скалярного произведения: (обучающиеся записывают в тетрадях).

3

I. Если a⃗⊥b⃗ , тο cos( a⃗ ; b⃗¿

)=0 ⇒ a⃗⋅⃗b=0

Если a⃗⋅⃗b=0 ( a⃗≠0⃗ ; b⃗≠ 0⃗ ), то cos ( a⃗ ; b⃗ )=0⇒ a⃗⋅⃗b=0 ,

a⃗⋅⃗b=0 ⇔ a⃗⊥ b⃗

II. a⃗↑↑ b⃗ a⃗⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|⋅cos 00 ⇒ a⃗⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|

III. , ⇒

IV. , то

V3. a⃗↑↓ b⃗ a⃗⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|⋅cos1800=−|⃗a|⋅|⃗b|

VI. a⃗⋅⃗a= a⃗2− скалярный квадрат вектораa⃗2=a⃗⋅⃗a=|⃗a|⋅|a⃗|⋅cos00=|a⃗|2

5) Скалярное произведение векторов в координатах:

Скалярным произведением векторов a

x1 y1 и b

x2 y2

называется число a

b x1 x2 y1 y2

Примеры:

a

b 0 3 7 1( ) 7

a

b 5 2 4 1( ) 6

6) Диктант на закрепление вычисления скалярного произведения в координатах: Вычислите скалярное произведение векторов: 1. a(1,1);

b(1,2)

3

4

2. a(-2,5); b(-9,-2)

3. a(-3,4); b(4,5)4. a(5,2); b(-9,4)5. a(-1,1); b(1,1)

самопроверка по доске с выставлением оценки.7) Итак, из вышеизложенного вытекают 2 очень важных следствия:

Следствие 1: a⃗≠ 0⃗ и b⃗≠ 0⃗ , то { a⃗⊥ b⃗⇔ x1 x2+ y1 y2=0¿

Следствие 2: a⃗⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|⋅cosα ⇒ cosα= a⃗⋅⃗b|⃗a|⋅|⃗b|

8) Примеры : Даны 2 вектора: и Вычислите:

1.

2.

3.

4.

5. , значит угол острый9) проверка ответов.10) Второе следствие позволяет важнейшую операцию нахождения угла между векторами свести к нескольким простым действиям4:Вычисление угла между векторами с координатами: a (a1, a2), b (b1, b2)

4

5

1. Вычислить скалярное произведение векторов:

2. Вычислить длину вектора a:

3. Вычислить длину вектора b:

4. Найти произведение длин векторов: 5. Разделить скалярное произведение векторов на

произведение их длин:

6. Домашнее задание:

6

1