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偏微分方程 PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E). 参考书目. 《 工程技术中的偏微分方程 》 , 潘祖梁,浙江大学出版社。. 《 数学物理方程 》 ,姜礼尚, 高教出版社。. 《 数学物理方法 》. 一 . 偏微分方程的基本概念. 自变量. 未知函数. 偏微分方程的一般形式. 一些概念. PDE 的阶. 古典解. 是指这样一个函数,它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续,同时用满足方程。. PDE 的解. 广义解. - PowerPoint PPT Presentation
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偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION
(P.D.E)
浙江大学数学系 2
参考书目
《数学物理方法》
《数学物理方程》,姜礼尚,
高教出版社。
《工程技术中的偏微分方程》,
潘祖梁,浙江大学出版社。
浙江大学数学系 3
一 . 偏微分方程的基本概念
),,,( 21 nxxxx 自变量
),,,()( 21 nxxxuxu 未知函数
0),,,,,,( 21
2
1
x
u
x
u
x
uuxF
n
偏微分方程的一般形式
浙江大学数学系 4
PDE 的阶
PDE的解
古典解
广义解
一些概念
是指这样一个函数,它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续,同时用满足方程。
线性 PDE
非线性 PDE
半线性 PDE
拟线性 PDE
完全非线性 PDE
浙江大学数学系 5
线性 PDE :
PDE 中对最高阶导数是线性的。
线性 PDE 中所有具同一最高阶数的偏导数组成的部分,称为线性方程的主部。
半线性 PDE :
拟线性 PDE :
拟线性 PDE 中,最高阶导数的系数仅为自变量的函数。
PDE 中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。
浙江大学数学系 6
举例(未知函数为二元函数)
0x
u1.
0
x
ua
t
u2.
atx
x
变换
解为: )(yfu
解为: )( atxfu 0u
a
浙江大学数学系 7
举例(未知函数为二元函数)
02
22
2
2
x
ua
t
u4.
02
tx
u3. 解为: )()( thxgu
atx
atx
变换
02
u
解为:
)()( atxhatxgu
浙江大学数学系 8
02
2
2
2
y
u
x
u5. 不易找出其通解,但还
是可以找出一些特解
任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。)(zf
r
1ln 也是解 22 yxr
063
3
x
u
x
uu
t
u6.
特解都不易找到
KDV 方程
举例(未知函数为二元函数)`
浙江大学数学系 9
7.u
xt euuu 拟线性 PDE
8.22 vvvvv yyyxxx 拟线性 PDE
9. )())(,( yxv
yyxx vvevvyxa 半线性 PDE
10. uuu xt sin 半线性 PDE
11. 222 uuu xt 非线性 PDE
浙江大学数学系 10
举例 ( 多元函数 )
02
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
t
u
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
u
z
u
y
u
x
u
拉普拉斯 (Laplace) 方程
热传导方程
波动方程
浙江大学数学系 11
二 . 定解问题的适定性
定解问题
PDE
定解条件初值条件边值条件
初、边值条件
初值问题、边值问题、混合问题
浙江大学数学系 12
经典的定解问题举例波动方程的初值问题(一维)
)(),(
)(),(
,0 ),,(
0
0
2
22
2
2
xtxt
u
xtxu
Rxttxfx
ua
t
u
t
t
浙江大学数学系 13
经典的定解问题举例热传导方程的初值问题(一维)
)(),(
,0 ),,(
0
2
22
xtxu
Rxttxfx
ua
t
u
t
浙江大学数学系 14
经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题
)())()((
),( ,0 22
2
2
2
xgn
uxux
Ryxy
u
x
u
0,1
1,0
0,0
第一边值问题( Dirichlet )
第二边值问题( Neumann )第三边值问题( Robin )
浙江大学数学系 15
经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题
)(),(),(),(
)(),(
0,0 ),,(
0
0
2
22
thtxutgtxu
xtxu
Lxttxfx
ua
t
u
Lxx
t
浙江大学数学系 16
何为适定性?存在性
唯一性
连续依赖性(稳定性)适定性
若 PDE 在附加条件及求解域的一定要求下,它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的,就称定解问题在相应的函数类中为适定的。
浙江大学数学系 17
三 . 物理模型与定解问题的导出
• 波动方程的导出
• 热传导方程的导出
浙江大学数学系 18
弦振动方程与定解问题 一长为 L 的柔软均匀细弦,拉紧后,当它受到与平衡位置垂直的外力作用时,开始作微小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置,求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用,弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化,但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
浙江大学数学系 19
取弦的平衡位置为 OX 轴,运动平面为 XOU
O
U
X
PQ
L
在时刻 t ,弦线在 x 点的位移为 u(x, t)
O
U
X
P
Q
xx x)(xT
)( xxT
此为上图中 PQ的放大图示
1
2
浙江大学数学系 20
假设弦线是均匀的,弦作微小振动,故可认为
xS 即表明弧段 PQ 在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke 定律,弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。
再由于弦是柔软的,弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。
浙江大学数学系 21
0cos)(cos)( 12 xTxxT
根据牛顿第二运动定律,
xfxTxxTt
ux
0122
2
sin)(sin)(
1x
u
),(1tan
txx
u
),(2tan
txxx
u
),(1sin
txx
u
),(2sin
txxx
u
1cos 1 1cos 2
(*1)
(*2)
浙江大学数学系 22
(*1) )()( xTxxT
这表明张力的大小与 x 也无关,即
0TT 常数
(*2)
,),(),(),(
02
2
02
2
xtxfx
txuxT
t
txux
,微分中值定理
),( xxxx
浙江大学数学系 23
02
2
02
2
fx
uT
t
u
令 0x ,可得微分方程方程
弦是均匀的,故 为常数,记
),(2
22
2
2
txfx
ua
t
u
),( , 002 txffT
a
方程改写为
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。
)0,0( tLx
浙江大学数学系 24
为了具体给出弦的振动规律,除了列出它所满足的方程外,由于弦开始时的形状和弦上各点的速度,对弦振动将有直接影响,由此必须列出初始条件
)()0,( xxu )()0,( xxt
u
或者边界条件
已知端点的位移
已知在端点受到垂直于弦的外力的作用
已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合
)(),(),(),0( thtLutgtu
)( ),(0
thx
uTtg
x
uT
Lxx
浙江大学数学系 25
四 . 二阶线性方程的分类 两个自变量情形
022
2
22
2
122
2
11
cuy
ub
x
ua
y
ua
yx
ua
x
ua
主部
目的:通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部,从而据此分类。
),(
),(
yx
yx
非奇异 0
yx
yx
( 1)
浙江大学数学系 26
),(
),(
yx
yx
),( yxu ),( u复合求导
x
u
x
u
x
u
y
u
y
u
y
u
2
2
2
22
2
222
2
2
2
2
)(2)(y
u
y
u
y
u
yy
u
y
u
y
u
2
2
2
22
2
222
2
2
2
2
)(2)(x
u
x
u
x
u
xx
u
x
u
x
u
yx
u
yx
u
yx
u
yxyx
u
yx
u
yx
u
22
2
22
2
22
)(
浙江大学数学系 27
022
2
22
2
122
2
11
cuy
ub
x
ua
y
ua
yx
ua
x
ua
022
2
22
2
122
2
11
Cuu
Bu
Au
Au
Au
A
系数之间的关系
22212
21111 )(2)(
ya
yxa
xaA
22212
21122 )(2)(
ya
yxa
xaA
yya
yxyxa
xxaA
22121112 )(
( 2)
( 1)
( 3)
浙江大学数学系 28
0)(2)( 22212
211
y
za
y
z
x
za
x
za
考虑
如若能找到两个相互独立的解
),( yxz ),( yxz
那么就作变换
),(
),(
yx
yx
从而有 02211 AA
( 4)
浙江大学数学系 29
两个引理
0)(2)( 22212
211
y
za
y
z
x
za
x
za
引理 1. 假设 是方程),( yxz
的特解,则关系式 是常微分方程( 4)Cyx ),(
0)(2)( 22212
211 dxadxdyadya ( 5
)的一般积分。
引理 2. Cyx ),(假设 是常微分方程( 5 )的一般
积分,则函数 ),( yxz 是( 4 )的特解。
浙江大学数学系 30
由此可知,要求方程( 4 )的解,只须求出常微分方程( 5 )的一般积分。
定义:常微分方程( 5 )为 PDE ( 1 )的特征方程
( 5 )的积分曲线为 PDE ( 1 )的特征曲线。
0)(2)( 22212
211 dxadxdyadya
11
221121212
a
aaaa
dx
dy ( 6
)
浙江大学数学系 31
记 2211212),( aaayx
定义 方程 (1) 在点 M处是
双曲型:
椭圆型:
抛物型:
若在点 M处,有 0),( yx
若在点 M处,有 0),( yx
若在点 M处,有 0),( yx
浙江大学数学系 32
双曲型 PDE 0),( 2211212 aaayx
11
221121212
a
aaaa
dx
dy 右端为两相异
的实函数
它们的一般积分为 ,),( Cyx Cyx ),(
),(
),(
yx
yx
由此令 ,方程( 1 )可改写为
),,,,(2
uuu
u 双曲型方程的第一标准型
t
s12
2
2
2
t
u
s
u 双曲型方程的第二标准型
浙江大学数学系 33
抛物型 PDE 0),( 2211212 aaayx
11
12
a
a
dx
dy
由此得到一般积分为 ,),( Cyx
),(
),(
yx
yx
由此令 ,其中 ),( yx),( yx 与
独立的任意函数。
浙江大学数学系 34
由于 0),( yx221112 aaa
22212
21111 )(2)(
ya
yxa
xaA
02
2211
y
ax
a
yya
yxyxa
xxaA
22121112 )(
0
22112211
y
ax
ay
ax
a
由此推出
浙江大学数学系 35
因此,方程( 1 )可改写为
),,,,(2
2
uu
uu
抛物型方程的标准型
0)(2)( 22212
21122
y
ayx
ax
aA
而
浙江大学数学系 36
椭圆型 PDE 0),( 2211212 aaayx
11
221121212
a
aaaa
dx
dy 右端为两相异
的复数
由此推出两族复数积分曲线为,),( Cyx Cyx ),(*
其中 ),(),(),( 21 yxiyxyx
),(),(),( 21* yxiyxyx
浙江大学数学系 37
),(
),(
2
1
yx
yx
由此令
从而方程( 1 )可改写为
, 满足方程( 4 ) i
0))(
()()(
2))(
( 22212
211
y
ia
y
i
x
ia
x
ia
0122211 iAAA
0 ,0 122211 AAA
2
2
2
2
uu
椭圆型方程的标准型
浙江大学数学系 38
总结0)( )( x,yI
0)( )( x,yII
0)( )( x,yIII
(双曲型 PDE )
(抛物型 PDE )
(椭圆型 PDE )
yx
u2
2
2
2
2
y
u
x
u或
2
2
x
u
2
2
2
2
y
u
x
u
浙江大学数学系 39
例 1 02 22 yyxyxx uyxyuux
0)()( 222 yxxyx,y 抛物型方程
x
y
x
xy
dx
dy
2 1cx
y
令 x
yy
010
12 xx
y
yx
yx
02 uy 0u
)()(),( hgu )()(),(x
yhy
x
ygyxu
浙江大学数学系 40
例 2 02 xxtt uau
0)( 2 at,x 双曲型方程
adt
dx 1catx
2catx
浙江大学数学系 41
例 30 yyxx uyu
Tricomi 方程椭圆型
双曲型
0y
0y
抛物型 0y
yx,y )(
0)(y ,0
0)(y ,0
0)(y ,0
y
y
dx
dy
浙江大学数学系 42
0y 0 dyyidx
Cyix 3
3
2
2
3
3
2y
x
0y 0 dyydx
Cyx 3)(3
2
2
3
2
3
)(3
2
)(3
2
yx
yx
03
1
uuu
)()(6
1 uuu
浙江大学数学系 43
课后作业:
P29
Ex 8
P30
Ex 14 ( 1 ) ( 3 )