صفحة | 1

بسم الله الرحمن الرحیماقتصاد انرژیهای پایان پذیر

عباس ملکی

دانشیار در سیاستگذاری انرژی

دانشکده مهندسی انرژی

دانشگاه صنعتی شریف

فهرست مطالب

عنوانصفحه

مقدمه5

دسته بندی منابع 6

مفهوم پایان پذیری8

پویایی منابع بصورت خطی:10

استخراج با قیمت تعیین شده از طرف بازار12

فرموله کردن مسائل کلی12

هدف و محدودیتها:12

برآمدگی ضعیف:15

مدل بهینه بدون در نظر گرفتن تأثیر مخزن15

شرایط لازم بهینه یابی: شرایط کان-تاکر16

نظریه کان-تاکر16

شرایط بهینه برای منابع پایان پذیر بدون تأثیر مخزن17

شرایط لازم برای بهینه شدن: تغییرات شدنی21

راه حل برای مورد هتلینگ با هزینه نهایی ثابت:23

توابع عرضه منابع پایان پذیر26

یک مثال27

مسیرهای بهینه: مشخصات و دینامیک مقایسه ای28

مسیر استخراج با شرایط ثابت در طول زمان29

نقش پیشرفت تکنولوژی29

نقش انتظار قیمت29

تأثیرات مالیاتهای خرید و فروش31

نقش عوامل برونی محیط زیستی:33

نقش عامل برونی امنیت ملی33

نقش نرخ بازگشت سرمایه:34

نتیجه گیری35

مدلهای بهینه یابی با تأثیر باقیمانده مخزن36

شرایط لازم برای بهینه یابی: شرایط کان-تاکر36

تفسیر هزینههای فرصت40

شرایط حالت دائمی42

دیاگرام فازی برای تحلیل دینامیکی44

مثال49

استخراج با قیمتهای بازار51

تعادل رقابتی51

مدلهای هزینههاتلینگ54

مدل هزینههاتلینگ بدون تغییرات تکنولوژی54

مدلهای هزینههاتلینگ با در نظرداشت پیشرفت تکنولوژی59

مدلهای غیرهاتلینگ بدون تأثیر باقیمانده مخزن:59

بررسی مدلها با تأثیر باقیمانده مخزن61

مدل با اکتشافات جدید62

انحصار منابع پایان پذیر63

شرایط لازم برای بهینه سازی64

مشخص کردن راه حلهای انحصاری در برابر تعادل رقابتی65

مدل هزینههاتلینگ بدون تغییرات تکنولوژیک در حالت انحصار65

مدل هزینههاتلینگ: توابع تقاضا با کشش ثابت66

مدلهاتلینگ: توابع با تقاضای خطی68

مدلهای غیرهاتلینگی بدن تأثیر باقیمانده مخزن69

مدلهای غیرهاتلینگی با تأثیر مخزن70

خلاصه ای از مقاله اقتصاد منابع پایان پذیر از هاتلینگ70

نتیجه گیری76

مقدمه

تا قرن نوزدهم آنچه که بیشتر در اقتصاد مورد بحث قرار میگرفت، زمین و مستغلات بود. اما به تدریج و پس از انقلاب صنعتی در اروپا، منابع طبیعی نیز مورد توجه اقتصاددانان قرار گرفت. در قرن بیستم و بخصوص پس از جنگ جهانی دوم برنامه ریزان متوجه شدند که هرگونه رشد اقتصادی لاجرم با دسترس بودن منابع طبیعی ملازمه دارد. در اکثر سالهای قرن بیستم کسی به فکر آنکه این منابع محدود و پایان پذیر است نبود. اما اکنون بدون آنکه به عامل کاهش و پایان پذیری منابع طبیعی فکر کنیم، نمیتوانیم تجزیه و تحلیل صحیح از اقتصاد کلان داشته باشیم.

در گذشته در دروس اقتصاد مشاهده کردیم که اقتصاد علم تخصیص بهینه منابع کمیاب است[footnoteRef:2]. تخصیص بهینه بر اساس نظریه های مختلفی صورت می گیرد که در اقتصاد خرد، کلان، سیاسی، بین الملل، انرژی و بخصصوص در اقتصاد منابع طبیعی وجود دارد. اقتصاد منابع طبیعی تخصیص بهینه منابع طبیعی برای برآورده ساختن احتیاجات انسان را پی گیری می کند[footnoteRef:3]. منابع طبیعی عبارتند از آن دسته از مجموعه هایی که می تواند مورد استفاده انسان قرار گرفته (درحالیکه بشریت در ایجاد آنها نقشی نداشته) و در طبیعت وجود دارند. البته مابین منابع بالقوه و منابعی که مورد استفاده عملا قرار گرفته اند، فاصله بسیاری وجود دارد. [2: Begg, David; Stanley Fischer; and Rudiger Dornbusch; Economics; 9th Edition; London: McGraw-Hill, 2008, Pp. 8-11] [3: Dasgupta, P. S. & C. M. Heal; Economic Theory and Exhaustible Resources; Cambridge: Cambridge University Press, 1993, Pp. 4-6]

عمده منابع طبیعی عبارتند از زمین، نفت، ذغال سنگ، سنگهای معدنی، سنگهای قیمتی، موجودات زنده دریا، و زیباییهای طبیعی. منابع پایان پذیر عبارتند از منابعی که میتوان استفادههای محتملی از آن را یافت که عرضه آن به تدریج کاهش یابد مانند نفت، ذغال سنگ و سنگهای معدنی. اقتصاد سیاسی منابع پایان پذیر بر روی این موضوع متمرکز است که با ازدیاد بهره برداری از منابع پایان پذیر به تدریج دارندگان این منابع کاهش مییابند و هر چه این کاهش بیشتر باشد، احتمال آنکه کشورهای باقیمانده یک کارتل را تشکیل دهند افزایش مییابد. این اتفاق در دهه 1960 و در ارتباط با نفت خام افتاد و سازمان کشورهای صادر کننده نفت (اوپک) تشکیل شد و زمانی که کشورهای صنعتی از لحاظ تولید داخلی ارزان نفت خام به مشکل برخوردند، این کارتل نفتی توانست شوک نفتی سال 1973 را راهبری نماید[footnoteRef:4]. [4: Smith, James L.; “Inscrutable OPEC”; The Energy Journal; Vol. 26, No. 1 (2005); PP. 51-82]

نکته دیگر عدم قطعیت راجع به آینده است. گرچه در دو قرن اخیر راههایی برای استفاده بهتر و پیدانمودن منابع جدید انرژی با استعانت از فناوری پیشرفته پیدا شده است، اما همیشه پیشرفت تکنولوژی و دستیابی به ذخائری که تاکنون کشف نشده است، از لحاظ زمانی پس از دورههایی بوده است که نگرانی در مورد کمبود انرژی وجود داشته است. یعنی نااطمینانی از متغیرهای اصلی بازار انرژیهای پایان پذیر است[footnoteRef:5]. بهرهوری یکی از محرکهای اصلی برای توسعه تکنولوژیهای مربوط به انرژیهای جایگزین کمیابی منابع پایان پذیر است که این خود باعث افزایش قیمتهای برخی از منابع اصلی انرژی همچون نفت و گاز میشود[footnoteRef:6]. [5: Van Notten, W. F., et al; “The future shocks: On discontinuity and scenario development”; Technological Forecasting and Social Change; March 2004] [6: Jaffe, Adam B; & Robert N Stavins; “The energy-efficiency gap, What does it mean?” Energy Policy 1994, 22 (10) 804-810]

انرژی بصورت عمیقی بر روی اقتصاد، جامعه و محیط زیست تاثیر دارد.انرژی همچنان یک کالا در چارچوب اقتصاد است. انرژی حداقل دارای گردش مالی بیشتر از 7 میلیارد دلار در سال در تجارت جهانی است.[footnoteRef:7] بنابراین قواعد اقتصادی بر آن حاکم است. مثلا می توان گفت که نقطه تعادل و قیمت تعادلی در انرژی وجود دارد. اما اگر در بقیه کالاها قیمت تعادلی و منحنی های عرضه و تقاضا چشم انداز روشنی از رفتار کالا در بازار را نشان می دهد، د رمورد انرژی این گونه نیست[footnoteRef:8]. گرچه انرژی هم دارای منحنی عرضه و تقاضاست، اما این وجه ساده بیرونی انرژی است و داستان های بسیاری در داخل این داستن است که در ابتدا اصلا روشن نیست. اولین نکته آن است که در بخش عرضه، انرژی های اولیه همه از یک نوع نیستند. منابع متعددی، انرژی را عرضه می دارند مانند ذغال سنگ، نفت، گاز، باد، و آبهای پشت سد. هزینه های تولید هر کدام از این ها در هر نقطه با نقطه دیگر از هرکدام از انرژی های فوق متفاوت است. دومین نکته آن است که در بخش تقاضا، بهرحال مصرف کننده انرژی به هر صورت خواستار در اختیار گرفتن انرژی است و نمی تواند از آن صرفنظر کند. سومین نکته آنکه دست نامرئی آدام اسمیت احتمالا در بخش انرژی به انتخاب عقلایی نمی انجامد. یعنی بازار آزاد و بدون دخالت دولت در بخش انرژی امکان پذیر نیست. [7: Dukert, Joseph M.; Energy; London: Greenwood Press, 2009, p. XI.] [8: Dukert, P. 4]

دسته بندی منابع و ذخائر بصورتی است که دستیابی به آنها ملاک عمل است. در یک تقسیم بندی کلی منابع را به چند دسته تقسیم می کنیم.

1- منابع شناسایی شده: بخش مشخصی از دخائر طبیعی که مکان، کیفیت و مقدار آن توسط روش های زمین شناسی و اطلاعات جغرافیایی شناخته شده باشد.

2- منابع قابل اندازه گیری: شامل

-اثبات شده: منابعی که کیفیت و کمیت آنها با خطایی کمتر از 20 درصد از طریق بررسی های زمین شناسی تخمین زده شده است.

-احتمالی: منابعی که کمیت و یا کیفیت بخشی از آنها توسط تحلیل های نمونه ای و بخشی دیگر توسط روشه ای زمین شناسی تخمین زده شده است.

3- منابع استنباطی: منابع موجود در امتداد منابع اثبات شده ای ک بهره برداری نشده اند.

4- منابع کشف نشده: بخش های مشخص نشده ای از معدن که وجود دخائر در آن بر اساس تئوری و شناخت زمین شناسی حدس زده می شود.

5- منابع فرضی: منابع کشف نشده که مستدلا پیش بینی می شود در یک محدوده شناخته شده معدنی و بر اساس شرایط شناخته شده زمین شناسی وجود داشته باشند.

6- منابع انتظاری و یا حدسی: منابع کشف نشده ای که ممکن است انواع شناخته شده یا شناخته نشده آن در مجموعه های زمین شناختی وجود داشته باشد.

یک دسته بندی دوگانه برای منابع طبیعی میتوان در نظر گرفت. یکی از لحاظ خاصیت فیزیکی و دیگری مقیاس زمانی برای فرآیندهای تنظیم. تقسیم بندی از لحاظ فیزیکی منابع را میتواند به سه دسته بیولوژیک، منابع معدنی بدون در نظر گرفتن نفت و گاز و همچنین منابع انرژی تقسیم نماید. تقسیم بندی از لحاظ پیدایش این منابع در طول زمان و همچنین خاصیت بازیابی آنها به سه دسته مصرف پذیر، تجدید پذیر و پایان پذیر میانجامد.

دسترسی

خاصیت فیزیکی

بیولوژیک

منابع معدنی غیرانرژی

انرژی

محیط زیست

مصرف پذیر

محصولات کشاورزی مانند ذرت، دانههای خوراکی

نمک

تشعشعات خورشید، نیروی آب، اتانول

آلودگی صدا، آلودگیهای غیرماندگار، مانند آلودگی هوا، ذرات و آلودگی آب

تجدید پذیر

جنگلها، ماهیها، دامها، جانوران پرورشی، چوب، نهنگها، گلها، حشرات

چوب برای سوختن، نیروی آب، ژئوترمال

آبهای سطحی، هوا، ذرات معلق در هوا، جمعیت حیوانات، جنگلها

پایان پذیر

موجودات در حال انقراض

اکثر گونههای معادن مانند آهن، سنگ آهن، بوکسیت، نمک، پوشش فوقانی خاک

نفت، گاز طبیعی، ذغال سنگ، اورانیوم، سنگهای آغشته به نفت

صحراهای بکر، لایه ازون، سفرههای آبی

جدول 1: برخی از منابع طبیعی[footnoteRef:9] [9: Sweeney, James L.; “Economic Theory of Depletable Resources: An Introduction”; in A. V. Kneese and J. L. Sweeney (eds.); Handbook of Natural Resources and Energy Economics, Vol. III, Elsevier Science Publishers B. V., 1993, P. 761.]

مفهوم پایان پذیری

منابع تجدید پذیر منابعی هستند که در طبیعت یافت شده، پس از استفاده انسان از آنها، مجددا می تواند طبیعت آنرا ایجاد نماید. منابع تحدید ناپذیر منابع طبیعی هستند که با استفاده از آنها دیگر توسط طبیعت تجدید نشده و یا بیسار کند این عمل صورت می پذیرد. خاصیت پایان پذیری منابع به معنای آن است که بازیابی آنها آنچنان آهسته و کند صورت میگیرد که میتوان تصور کرد که طبیعت تنها یکبار آنها را عرضه کرده و بشریت تنها یکبار از آنها میتواند استفاده نماید. یکبار که از آنها استفاده بصورت مصرفی کردیم، آنها یا نخواهند توانست که تجدید شوند و یا اگر هم امکان پذیر باشد، به لحاظ زمانی آنقدر دراز مدت است که از بعد اقتصادی فعلا مقرون به صرفه نیست.

ذخائر انرژیهای پایان پذیر در صورت مصرف کاهش پیدا مینمایند. هر چه مصرف بیشتر باشد، سرعت کاهش آنها نیزافزایش مییابد. تاکنون برای افزایش ذخائر در زمانی که از آنها استفاده میشود، پروسه ای کشف نشده است، اما میتوان تعداد ذخائر را با کشف ذخائری که تا کنون برای بشر نامکشوف بوده است افزایش داد. زمانی که یک حوزه و یا منبع به صفر میرسد، دیگر امکان بهره برداری از آن وجود ندارد. ممکن است که حتی ذخائر منبع به صفر نرسد، اما استفاده از آن منبع دیگر اقتصادی نباشد.

تعریف انرژی پایان پذیر: یک ذخیره طبیعی زمانی پایان پذیر است که

· منبع در طول زمان و با مصرف آن کاهش یابد.

· مقدار منبع با گذشت زمان افزایش نیابد.

· نرخ کاهش منبع تابع افزایشی یکنواختی از نرخ مصرف منبع است.

· هیچگونه استفاده ای بدون داشتن یک منبع با مقدار مثبت ذخیره متصور نباشد.

فرض کنیم که St نشان دهنده مقدار منبع در آخر دوره t برای یک ذخیره معینی باشد و Et مقدار عددی استخراج از همان منبع در دوره t است. به Et اصطلاحا "نرخ استخراج" گفته میشود، ولی واحد آن همان مقدار کمی مانند تن و یا بشکه است و نباید آن را با مقدار ذخیره در واحد زمان اشتباه گرفت. حال میتوان مدل یک منبع پایان پذیر را با رابطه زیر تعریف نمود

(1)

(2)

(3)

(4)

مثالهای بسیاری میتواند این مفهوم را روشن سازد. مثلا یک حوزة نفت و یا گاز را در نظر بگیرید. سالها این حوزه میتواند دست نخورده باقی بماند تا زمانیکه این ذخیره نفتی کشف میشود. پس از آن در حالیکه از این منبع نفت و یا گاز استخراج میشود، مقدار آن برابر با مقداری که از آن ذخیره استخراج شده است، کاهش مییابد. مثلا هر بی تی یو[footnoteRef:10] که گاز از این حوزه تولید میشود، یک بی تی یو از آن ذخیره کم میشود. در این حالت . [10: بی تی یو واحد حرارتی انگلستان است. هر بی تی یو برابر 252 کالری و 1055 ژول است. یک کیلو وات ساعت برابر 3412 بی تی یو است.]

ولی ممکن است که ما نفت را بسرعت از یک منبع نفتی بیرون آوریم. در این حالت مقادیری از نفت در منبع در زیر زمین باقی میماند که نمیتوان با تکنولوژی فعلی آن را از زیر زمین بیرون کشید. در این حالت کاهش مقدار استخراج برابر با کاهش مخزن نیست، بلکه در انتهای دوره ما مقدار کمتری ذخیره در مخزن خود برای استخراج داریم. بنابراین .

اگر استخراج متوقف شود، مقدار منبع ما ثابت باقی خواهد ماند، مگر آنکه مثلا نشت نفت از مخزن داشته باشیم و این خود باعث صفر شدن منبع ما میشود. زمانی که در مخزن دیگر نفت و یا گاز نیست، دیگر نمیتوان از آن استخراج نمود. اغلب اتفاق میافتد که زمانی که مخزن دارای مقادیر نفت و گاز هست، دیگر نمیتوان استخراج را ادامه داد زیرا فشار مخزن به اندازه کافی کاهش پیدا کرده است. در این صورت مقدار مخزن از سطح بحرانی کمتر است.

نفت و گاز از تحول و تطور طولانی مواد آلی در طبیعت بوجود آمده اند. این فرآیند امروز نیز در حال انجام است و بصورت محدود، غیرقابل تجزیه و با نرخ کم مخازن نفت در برخی از مناطق افزایش پیدا میکنند. نشت از یک محزن نفت ممکن است باعث جابجایی نفت و یا گاز به مخزن دیگر و موجب افزایش حجم مخزن دوم شود. ما میتوانیم به چاهها گاز مجددا تزریق کنیم و مقدار گاز را در آن مخزن افزایش دهیم. بنایراین مدل ما در معادلات فوق به نظر انتزاعی میآید.

با رویکردی دیگر میتوان منابع پایان پذیر را منابع تجدیدپذیر با نرخ تجدیدپذیری کاهنده و با گرایش میل کردن به صفر تلقی کرد.

پویایی منابع بصورت خطی:

میتوان این چنین در نظر گرفت که با استخراج یک واحد از منابع پایان پذیر، تنها یک واحد از مخزن کاسته میشود.

فرضیه: پویایی منابع بصورت خطی[footnoteRef:11]: مخزن به اندازه یک واحد زمانی که استخراج منبع به اندازه یک واحد انجام میشود، کاهش مییابد. این کاهش مستقل از نرخ استخراج و باقیمانده مخزن است. [11: Linear Stock Dynamics]

چون

(1)

رابطة (1) را میتوان به صورت رابطة (5) نوشت:

(5)

معادلات (4) و (5) را میتوان با یکدیگر برای بیان شرایط پایان پذیری ترکیب کرد و به صورت معادله 6 نوشت:

(6)

معنی معادله (6) آن است که جمع استخراج از یک مخزن در کل زمان نمیتواند بزرگتر از حجم ابتدایی محزن باشد.

تمام معادلات فوق از لحاظ زمانی گسسته هستند. میتوان معادلات دیگری برای رفتار مخزن در زمانهای پیوسته در نظر گرفت. راه دیگر آن است که زمانهای گسسته را به اندازه ای کوچک در نظر بگیریم که به صفر میل کند.

معادلات فوق را برای زمانهای پیوسته با انتگرال نیز میتوان تعمیم داد. فرض کنیم که∈(t) نرخ استخراج و مدت فاصله زمانی L باشد. آنگاه نرخ استخراج گسسته، یعنی Et و ∈(t) با یکدیگر چنین رابطه ای خواهند داشت:

همچنین اگر ذخیره منبع پایان پذیر را S و یا S(t) بنامیم، آنگاه معادله (5) را میتوان اینگونه نوشت:

dS/dt= -∈(t)

بهرصورت در عمل محدودیتهای معادلات مربوط به به زمان پیوسته بیشتر است. مثلا در مورد منابع پایان پذیر و بخصوص انرژیهای فسیلی، فعالیتهای متعدد پشت سر هم وجود دارند تا بتوان از آنها استفاده کرد. قواعد حاکم بر این فعالیتها بیشتر در چارچوب اقتصاد است. بعنوان مثال ابتدائا مطالعات زمین شناسی در محدوده گسترده ای انجام میدهید. سپس انتخاب خودتان را با استفاده از دادهها محدود میکنید. آنگاه اکتشاف و لرزه نگاری چندبعدی و گمانه زنی انجام میدهید. پس از آن است که استخراج را شروع میکنید. نفت و گاز استحصالی به نقاط دیگری ممکن است برای پالایش و نهایتا مصرف انتقال یابند.

گرچه مقدار زمان و اندازه هر فرآیند با تصمصم گیری مدیران و محرکهای اقتصادی مشخص میشود، ولی مقدار و کیفیت هر مخزن و استخراج آن کلا محدود به آن چیزی است که طبیعت برای ما باقی گذارده است. میتوان نتیجه گرفت که منابع پایان پذیر بوسیله تعامل نیروهای اقتصادی و محدودیتهای طبیعی اداره میشوند.

ترکیب فرآیندها، کار را پیچیده تر میکند. هر مقدار مدل متغیرهای بیشتری را شامل شود، مدل پیچیده تر میشود. نظریه منابع پایان پذیر سئوالات بسیاری را پاسخ میدهد.

استخراج با قیمت تعیین شده از طرف بازار

ساده ترین مدل منابع پایان پذیر به یک مخزن بر میگردد که مالک آن کالای استخراج شده از مخزن را به قیمتهای بازار و بصورت ثابت و بدون آنکه قیمت تحت تأثیر فعالیت او باشد، میفروشد. قیمتها ممکن است در زمانهای متفاوت مختلف باشد، اما قیمتهای مربوط به آینده با قطعیت معلوم است و هرگونه عدم قطعیت در این مدل وجود ندارد.

فرموله کردن مسائل کلیهدف و محدودیتها:

اگر Pt و Et به ترتیب قیمت و نرخ استخراج در زمان t باشد، درآمد در زمان t عبارتست از Rt که تابع خطی از نرخ استخراج و قیمت میباشد.

(7) Rt= PtEt

هزینه کلی که صاحب مخزن در یک دوره زمانی متحمل میشود، بستگی به کل کالای استخراج شده درهمان دوره، مقدار باقیمانده در مخزن درانتهای دوره قبلی و در زمان t دارد،

یعنی: Ct(Et, St-1)

فرض میکنیم که تابع وابسته به زمان هزینه برای مالک مخزن کاملا بدون عدم قطعیت است. با توجه به دو تابع درآمد و هزینه همراه با محدودیت پایان پذیری مخزن، مالک مخزن بدنبال آن است که یک دوره زمانی برای استخراج را انتخاب نماید تا ارزش حال سود خود را بیشینه نماید. بصورت مشابه صاحب مخزن مقدار استخراج را طوری انتخاب مینماید تا ارزش مخزن را بیشینه نماید، در حالیکه ارزش مخزن بستگی به ارزش حال نزولی درآمد منهای هزینه دارد. برای بررسی موضوع ما دوره زمانی معینی که بصورت دلخواه بلند است، را بعنوان T در نظر میگیریم. اگر Π ارزش حال نزولی سود باشد، بنگاه با مسئله ماکزیمم شدن r روبرو خواهد شد. r نشانگر نرخ بازگشت آنی سرمایه برای مالک منابع مخزن است.

(8)

با شرط

St= St-1 - Et

برای همه t و

ST ≥ 0

Et ≥ 0

تابع هزینه در مدل زمان گسسته میتواند در اصل از انتگرال هزینه مشتق شود. اگر

g(∈(γ), S(γ))

تابع هزینه زمان پیوسته باشد ، آنگاه تابع زمان گسسته کمترین انتگرال شدنی هزینه بر روی فاصله زمانی مابین t و t+Lاست. با فرض آنکه مجموع استخراج عبارتست از Et و موجودی مخزن در t مقدار آن St-1 است:

(8)

که در آن

و

تابع زمان گسسته بستگی به عوامل g(∈(γ), S(γ)) و L و St-1 و Et دارد.

وجود تابع هزینه زمان پیوسته به محدودیتهایی در مشتقهای فرعی تابع هزینه زمان گسسته دلالت دارد. بعنوان مثال مشتق فرعی هزینه مخزن را در وضعیت ابتدایی در نظر میگیریم:

در حالیکه در فاصله زمانی مابین t و t+L اندازه گیری میشود.

وجود تابع هزینه، محدودیتهای بیشتری بر روی هزینه استخراج نهایی اعمال مینماید. از آنجا که Et تغییر مینماید، نرخ استخراج آنی یعنی ∈(γ) نیز طوری تغییر مینماید که جمع کل آن مساوی Et خواهد بود. خود انتگرال همه تغییرات در هزینههایی خواهد بود که وابسته به تغیرات (γ)∋ خواهد بود که این خود نیز مربوط به S(γ) است. بخاطر آنکه هزینه Ct(Et, St-1) نتیجه یک بهینه سازی تعریف شده است، بنابراین تأثیر آن بر روی کل هزینه برای افزایش کوچک در (γ)∋ برای همه زمانهای 𝛿 یکسان خواهد بود. برای محاسبه انتگرال، میتوانیم هزینه نهایی تغییرات آنی در نرخ استخراج در هر زمانی از جمله =t𝛾 را محاسبه کنیم. در =t𝛾 مشتق جزئی عبارتست از

(9)

معادله (10) نشاندهنده آن است که هزینه نهایی استخراج در یک فاصله زمانی گسسته از دو بخش تشکیل شده است. اولین بخش آن است که نشاندهنده آن است که هزینه اضافی مستقیما با استخراج اضافی در ارتباط است. بخش دوم میگوید هزینه تدریجی مقدار کمتری که از مخزن باقی مانده است، برای بقیه فاصله زمانی با استخراج بیشتر در ابتدای دوره زمانی در ارتباط است. بخش دوم سمت راست معادله (10) برابر با مشتق هزینه با توجه به ذخیره ابتدایی است. بنابراین این معادله را میتوان اینطور نوشت:

(10)

زمانی که در =t𝛾 اندازه گیری شده است.

معادله (11) محدودیت مهمیرا بر تابع هزینه زمان گسسته اعمال میسازد. این نکته نیز مهم است که تبدیل تابع هزینه زمان پیوسته به زمان گسسته و بالعکس با دقت کامل امکان پذیر نیست.

معادله (11) را میتوان با توجه به مشتق جزئی دوم گرفت.

(11)

نرخ استخراج بر هزینه نهایی استخراج (∂Ct/∂Et) تسلط دارد. یعنی هزینه نهایی به نرخ استخراج حساستر است تا به سطح و مقدار مخزن. اکثر نویسندگان در محاسبات خود این چنین فرض میکردند که تابع هزینه مستقل از باقیمانده مخزن است. هاتلینگ[footnoteRef:12] حتی فرض میکند که هزینه استخراج از نرخ استخراج نیز مستقل است. برخی دیگر از صاحبنظران این چنین انگاشته اند که تابع هزینه استخراج از مقدار باقی مانده مخزن مستقل است، اما هزینه استخراج نهایی یک تابع فزاینده از متغیر نرخ استخراج است. [12: Hotelling, H., 1931, “The Economics of Exhaustible Resources”; Journal of Political Economy; 39 (April), 137-175.]

این کار میتواند دلیل فیزیکی مانند کاهش فشار چاه در یک مخزن که با استخراج فشار آن تضعیف میشود داشته باشد. در این حالت هرچه مقدار کمتری از سیال مخزن وجود داشته باشد، هزینه بیشتری برای استحصال آن باید پرداخت. ولی وضعیت دیگری نیز میتواند مثلا در ابتدای دوره استخراج اتفاق بیفتد. مثلا پس از مدتی که ما از مخزن استخراج میکنیم مطابق با اقتصاد عیار و یا منحنی یادگیری و همراه پیشرفتهای تکنولوژیک هزینههای ما کمتر میشود.

مجموع هزینههای استخراج میتواند تابع افزایشی و یا کاهش یابنده از مقدار باقیمانده مخزن باشد، فارغ از این که هزینه نهایی افزایش و یا کاهش یابد.

برآمدگی ضعیف:

یک تابع دارای تحدب و یا برآمدگی ضعیف است که تنها و تنها اگر ماتریس هس[footnoteRef:13] آن، یعنی ماتریس مشتق جزئی دوم آن در هر نقطه مثبت نیمه معین باشد. یک ماتریس مثبت و نیمه معین است تنها و تنها اگر دترمینانت ماینر اصلی آن همه مثبت و یا صفر باشد. [13: Hessian Matrix]

تابع هزینه ما دارای دترمینانت ماینر اصلی از نوع ماتریس هس به شکل زیر است

که همه دارای مقادیر غیر منفی با توجه به فرضیه برآمدگی ضعیف هستند.

مدل بهینه بدون در نظر گرفتن تأثیر مخزن

اکنون ما میتوانیم به یک نوع ساده مدلی دست یابیم که برای تبیین رفتار بهینه عرضه منابع پایان پذیر سودمند است. در این مدل نرخ استخراج از مقدار باقی مانده مخزن مستقل است. "تأثیر مخزن" به معنای آن است که آیا تصمیم گیری در مورد استخراج در زمان حال بر روی هزینههای ناشی از پیامدهای آن بر روی باقیمانده مخزن در زمانهای آینده تأثیر دارد یا خیر.

فرضیه: تأثیر مخزن وجود ندارد: با این فرض کل هزینه استخراج و همچنین هزینه نهایی آن از مقدار باقیمانده مخزن مستقل است. بنابراین معادله 8 را میتوان بصورت زیر نوشت:

(13)

با شرایط برای همه tها

St = St-1 – Et

St ≥ 0

Et ≥ 0

روشهای بهینه سازی برای حل مسئله 13 وجود دارد. یکی از روشها شرایط کون-تاکر برای بهینه یابی معادله شماره 13 است.

شرایط لازم بهینه یابی: شرایط کان-تاکر نظریه کان-تاکر

برای حل مسئله بهینه سازی محدود، نظریه کان تاکر[footnoteRef:14] میتواند با تامین شرایط لازم برای بهینه یابی کمک کند. اگر [14: Kuhn-Tucker]

(M) max f(x)

با شرط

Gi(x)≤ 0, i= 1,…,k

در حالیکه x برداری از متغیرهای انتخابی، و f(x) تابع هدف و Gi(x) یکی از محدودیتهای نامساوی اعمال شده بر روی x است. اگرx* ارزش بهینه بردار x باشد، و Gi(x*)∇ گرادیان Gi(x) محاسبه شده در x* باشد و محدویتهای شمارش شده از 1 تا n که n≤k است، آنگاه کیفیت محدودیت در این محموعه وجود دارد زمانی که گرادیان Gi(x*)∇ برای i=1,…,n بصورت خطی مستقل باشد.

قضیه کان تاکر: فرض کنید که کیفیت محدودیت در x* وجود دارد. اگر x* یک جواب برای مسئله M باشد، آنگاه مجموعه ای از متغیرهای دوگانه مانند iλ برای i=1,…,k وجود دارند که رابطه زیر را راضی مینمایند:

(KT)

با در نظرداشت شرایط آهستگی تکمیل کنندگی برای هر i

(CS) λi ≥ 0

λiGi(x*) = 0

شروط کان تاکر برای بهینه سازی لازم است. در صورت وجود برآمدگی و یا تحدب ضعیف، شرط کان تاکر لازم و کافی است.

شرط کافی کان تاکر: فرض کنید f(x) یک تابع مقعر و یا توگود است و Gi(x) یک تابع محدب و یا برآمده برای همه iهاست. اگر x* یک نقطه امکان پذیر باشد و اگر ما بتوانیم متغیرهای دوگانه ای را پیدا کنیم که معادله (KT) و (CS) را راضی نمایند، آنگاه x* مقدار ماکزیمم (M) را پیدا مینماید.

ضریب افزایش یابنده لاگرانژ میتواند برای استفاده در نظریه کون تاکر در نظر گرفته شود. یک معادله لاگرانژی در نظر بگیرید:

شرایط لازم برای بهینه یابی درونی میتواند از طریق تابع لاگرانژ پیدا شود. نقطه ای که گرادیان تابع لاگرانژ در ارتباط با بردار x در آنجا صفر است.

در نقطه بهینه x* شرط KT برقرار است. اگر شرط CS نیز راضی شود، شرایط لازم برای بهینه بودن تکمیل میشود. ضریب لاگرانژ برای برقرار نمودن شروط لازم برای استفاده از قضیه کون تاکر است.

شرایط بهینه برای منابع پایان پذیر بدون تأثیر مخزن

شرایط لازم برای بهینه بودن نقطه داخلی میتواند از طریق یافتن نقطه ثابت نوع لاگرانژی معادله 13 پیدا شود. متغیر دوگانه برای هر محدودیت در مسئله بهینه یابی تعریف میشود. شرط پایان پذیری (رابطه 5) بعنوان یک محدودیت است و یک متغیر دوگانه برای هر t نیاز دارد. متغیر دو گانه در زمان را بوسیله tλ نمایش میدهیم. ما تفسیر مشخص اقتصادی از متغیر دوگانه بکار برده و tλ را ارزش حال قیمت سایه و یا ارزش حال هزینه فرصت مینامیم. بعلاوه محدودیت ما را به یک متغیردوگانه دیگر مانند 𝜇 راهنمایی میکند.

برای استفاده از نظریه کان-تاکر ما باید مطمئن شویم که کیفیت محدودیت برقرار است. یعنی گرادیان

بصورت خطی مستقل است.

استقلال خطی در این سیستم مشهود است زیرا مشتق Et برابر با یک است برای محدودیت t امین و صفر برای همه محدودیتهای دیگر. و زمانیکه کیفیت محدودیت راضی میشود، نظریه کان تاکر میتواند مورد استفاده قرار گیرد.

اگر لاگرانژ را با 𝓛 نشان دهیم معادله 13 را میتوانیم با توجه به بهینه یابی نامحدود چنین بنویسیم:

(14)

نظریه کان تاکر نشان میدهد که در نقطه بهینه، معادله لاگرانژی باید یک نقطه ثابت با توجه به هر st و هر Et داشته باشد. مشتق 𝓛 با توجه به هر متغیر شرایط اولیه لازم را میدهد:

این معادلات نشان میدهد که قیمت سایه ارزش حال مستقل زمانی است برای مدلهایی که هزینه استخراج به مابقی مقدار مخزن بستگی ندارد. بنابراین ما میتوانیم اندکس زمان را از حذف کرده و بجای آن λ را بعنوان قیمت سایه ارزش حال بنشانیم. ترکیب این موارد به ما شرایط بهینه لازم اولیه اساسی را به ما به صورت زیر میدهد:

(15)

(16)

بخش راست معادله 15 از دو بخش تشکیل شده است. هزینه نهایی استخراج بعلاوه ارزش حال هزینه فرصت[footnoteRef:15]. بنابراین نرخ استخراج در بازار رقابتی منابع پایان پذیر به نوعی انتخاب میشود که هزینه نهایی بعلاوه هزینه فرصت ارزش حال برابر با قیمت باشد. یعنی قیمت از هزینه نهایی استخراج تجاوز مینماید. [15: هزینه فرصت و یا هزینه فرصت از دست رفته یک تصمیم در باره بهترین آلترناتیو بعدی است که شما باید از دست بدهید تا بتوانید تصمیم مورد نظر را به اجرا درآورید. فرض کنید که اگر دانشجویان به دانشگاه نمیآمدند میتوانستند روزانه به کاری مشغول باشند ولی اکنون که به دانشگاه آمده اند، آن شغل و آن درآمد از دست رفته است. دانشجو یک هزینه حسابداری برای تحصیل دارد که هزینه ثبت نام و خرید کتاب و دفتر و غیره است و یک هزینه فرصت از دست رفته که همین درآمد صرفنظر شده است. این دو هزینه روی هم هزینه اقتصادی تحصیل علم دانشجو را مشخص میکند. یعنی هزینه اقتصادی کسب علم = هزینه حسابداری مسب علم + هزینه فرصت از دست رفته کسب علم (توانائیان فرد، حسن، فرهنگ تشریحی اقتصاد، تهران: نشر جهان رایانه، 1386، ص 741)]

در برخی از موارد مناسبتر است که هزینه فرصت ارزش حال را بنامیم یعنی

از آنجائیکه هزینه فرصت ارزش حال از زمان مستقل است، این پارامتر با نرخ بهره افزایش پیدا مینماید بدون آنکه از باقیمانده مخزن تأثیر پذیرد.

معادله 16 نشان میدهد که تاقبل از آنکه کل مخزن در افق زمانی ما پایان پذیرد، هزینه فرصت برای مدلهایی که تأثیر مخزن در نظر گرفته نمیشود، صفر است. در این مدلها قیمت برابر با هزینه نهایی است. یعنی در این مدل مانند محصولات متعارف دیگر دیگر قیمت برابر هزینه نهایی است.

شرایط کان تاکر برای این مورد هم کافی و هم لازم برای بهینه شدن است. اگر Ct(Et) یک تابع محدب است بنابراین –Ct(Et) تابعی مقعر است. تابع شماره 13 تابع مقعر است. محدودیتها خطی است و یک مجموعه امکان پذیر محدب را تعریف مینماید.

از آنجائیکه ما تأثیر مخزن را نادیده میگیریم تابع هزینه نیز محدب است. و شرط ثانویه نیز برای هر نرخی صادق است یعنی

تا زمانیکه هزینه نهایی یک تابع کاهش یابنده از نرخ استخراج در نقطه بهینه نیست، شرایط اولیه بهینه راضی کننده است.

نرخ استخراج بهینه برای هزینه فرصت ثابت بر اساس معادله 15 در شکل 1 آمده است. نرخ استخراج بهینه در جایی اتفاق میافتد که هزینه نهایی بعلاوه هزینه فرصت برابر با قیمت محصول استخراج شده باشد. در شکل 1 چون هزینه نهایی تابع افزایشی بر اساس نرخ استخراج است، هزینه فرصت بیشتر و یا هزینه نهایی بیشتر به معنای نرخ استخراج بهینه کمتر است. قیمت بیشتر با توجه به همان شرایط گفته شده در بالا به معنای نرخ استخراج بهینه بالاتر است.

شکل 1، نرخ استخراج بهینه برای λ ثابت

شکل 2، انتخاب λ برای مسیر استخراج بهینه

شکل 2 انتخاب λ بر اساس معادله 16 را نشان میدهد. شیب رو به بالای خط نشان دهنده باقیمانده مخزن در افق زمانی است اگر تنها معادله 15 بر نرخ استخراج حاکم بود و همچنین اگر شرایط غیر منفی بودن معادله 13 را میتوانستیم که در نظر نگیریم.

در یک قیمت مشخص مطابق شکل 1 هزینه فرصت بالاتر، به معنای انتخاب نرخ استخراج کمتر است. یعنی با هزینه فرصت بیشتر، مقدار بیشتری از منابع مخزن در افق زمانی باقی خواهد ماند (St).

مطابق شکل 2 برای λ به مقدار کافی بزرگ، ممکن است که اصلا استخراجی اتفاق نیفتد و مقدار مخزن در انتهای دوره معادل مقدار مخزن در ابتدای دوره باشد. برای λ به مقدار کافی کوچک، ممکن است شرایط غیرمنفی بودن به مخاطره بیفتد. زیرا St ممکن است منفی شود. مقدار λ در نرخ استخراج بهینه در نقطه ایست که (St). صفر شود. مگر آنکه برای همه مقادیر مثبت λ، St مثبت باقی میماند که در این صورت λ به صفر میل میکند. λ بهینه بستگی به مقدار اولیه مخزن، قیمت محصول استخراج شده و تابع هزینه نهایی در هر دوره زمانی دارد.

اشکال 1 و 2 با هم، ابزار مناسبی برای بررسی مسیر استخراج بهینه برای منابع پایان پذیر فارغ از مقدار باقیمانده مخزن میدهد. نظریه منابع پایان پذیر با توجه با اشکال فوق میتواند ایدههای اساسی زیر را به ما نشان دهد:

1- استخراج بهینه در هر زمان نیازمند اضافه کردن هزینه فرصت به هزینههای واقعی استخراج نهایی است.

2- هزینه فرصت تحت تأثیر شرایط گذشته، حال، و آینده است. هزینه فرصت منعکس کننده درآمد و یا هزینه تدریجی استخراج اضافی است.

شرایط لازم برای بهینه شدن: تغییرات شدنی

در شرایط لازم یکسان بصورت تئوریک و بدون درنظرداشت قیود اجرایی میتواند مقدار معادله 13 افزایش یابد. تغییرات شدنی جزیی در حول و حوش راه حل بهینه به ما میگوید این کار شدنی است اما ولی تغییرات در Π باید منفی باشد، زیرا Π خود بهینه است. تحت شرایط معادله 13 برای هر راه حل شدنی، از جمله راه حل بهینه، امکان افزایش استخراج در زمان t وجود دارد. اگر محزن سرانجام کاملا پایان پذیرد، بنابراین لازم است که برای جبران کردن بوسیله کاهش استخراج به همان مقدار در زمان دیگری مانند 𝜏که استخراج مثبت است این کار انجام شود. اگر این تغییرات را 𝛿Et و E𝜏𝛿 بنامیم آنگاه

𝛿Et = −𝛿E𝜏

با گرفتن مشتق کامل از تابع هدف در معادله 13 میتوانیم تأثیر Π را بر تغییرات استخراج محک بزنیم. اگر مسیر بهینه است، ترکیب تغییرات شدنی نباید Π را افزایش دهد.

(17)

با توجه به اینکه قدر مطلق𝛿Et و𝛿E𝜏 با هم یکی هستند، نابرابری در این رابطه مهم نیست، و میتوان معادله 18 را برای هر مقدار از t و 𝜏 در حالیکه نرخ استخراج در هر دو زمان مثبت است نوشت:

(18)

معادله 18 نشان میدهد که شرط لازم برای بهینه شدن آن است که ارزش حال قیمت منهای هزینه نهایی باید در هر دو لحظه از زمان یکسان باشد. اگر این شرط جاری نباشد، تغییر شدنی مانند آنکه استخراج در یک دوره افزایش یابد و در یک دوره مشابها کاهش یابد، ممکن است باعث افزایش ارزش حال سود گردد. بخش راست معادله 18 را ما به نام هزینه فرصت ارزش حال برای استخراج یک واحد از مخزن در هر زمان دیگری بغیر از زمان تفسیر کرده و به آن هزینه فرصت ارزش حال و یا λ میگوئیم.

اگر دو طرف معادله 18 در ضرب شوند، ما معادله ای معادل معادله 15 بدست خواهیم آورد یعنی

(19)

هزینه فرصت در معادله 19 منعکس کننده پایان پذیری کامل منبع است. اگر مقدار منبع سرانجام کاملا به انتها میرسد، آنگاه تصمیم برای استخراج در یک زمان ضرورت قطعی دارد با کاهش استخراج به همان مقدار در زمانی دیگر که میتواند قبل و یا بعد از زمان مورد نظر ما باشد. این ضرورت، هزینه فرصت برای استخراج اضافی را بیشتر میکند، به اندازه ای که ارزش حال قیمت منهای هزینه نهایی منبع در زمان دیگر را کمتر میکند. اگر مقدار مخزن در آینده به صفر نرسد، آنگاه هزینه فرصت برابر صفر خواهد بود. این نتیجه با افزایش و یا کاهش در استخراج در یک دوره زمانی مانند t و نه همهدیگر زمانها قابل مشاهده است. بدون پایان پذیری کامل هر دو تغییر شدنی است. اگر مسیر اصلی ما بهینه است، هیچ تغییری نمیتواند ارزش حال سود را افزایش دهد، و سمت راست معادله 18 برابر با صفر است. یعنی هزینه فرصتی وجود ندارد. معادله زیر که معادل معادله 16 است این نتیجه را بهتر نشان میدهد

(20)

برای همه t و اگر

St >0

ضریب لاگرانژ و یا تغییرات شدنی شرایط یکسانی را برای بهینه یابی نشان میدهد. اولین روش بیشتر بر اساس ریاضیات است و با بازدهی بیشتری همراه است. دومین روش نقش λ و یا هزینه فرصت را بخوبی نشان میدهد.

راه حل برای مورد هتلینگ با هزینه نهایی ثابت:

هارولد هتلینگ، استاد رشته زمین شناسی در دانشگاه استانفورد، در سال 1931 طی مقاله ای به نام "اقتصاد منابع پایان پذیر" در مورد استخراج و یا باقی نگاه داشتن نفت در مخزن بحث نموده است[footnoteRef:16]. این مقاله به دفعات مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. او در مورد مشوقهایی که یک دارنده مخزن برای استخراج مخزن و یا نگاه داشتن ذخائر در زیرزمین برای استخراج در آینده در پیش رو دارد استدلال مینماید. چارچوب نظریه هتلینگ بازار آزاد و بدون دخالت دولت است. اگر یک صاحب چاه نفت دو سناریو در پیش رو داشته باشد: میتواند همین الآن نفت را استخراج و بفروشد و یا این کار را در آینده بنماید. اگر او این کار را اکنون انجام دهد، او میتواند درآمد حاصل از فروش نفت را در بانک قرار داده و وجوه متعلق به خود را در بانک با گذشت زمان بیشتر نماید، زیرا با نرخ سود بانکی به پول او سود تعلق میگیرد. اما او میتواند نفت را در زیرزمین نگاه داشته و در آینده آن را استخراج نماید. در آنصورت تنها او درآمدی معادل فروش نفت به قیمت بازار را خواهد داشت که مقدار آن با فرض قیمت ثابت نفت در بازار به اندازه نرخ بازگشت سالانه سرمایه از مقدار قبلی کمتر است. تنها محرکی که برای صاحب مخزن وجود دارد که نفت را اکنون نفروخته و آن را در زیر زمین نگاه دارد و در آینده آن را استخراج نماید آن است که حداقل قیمت نفت با نرخ تنزیل[footnoteRef:17] و یا نرخ بازگشت سرمایه افزایش یابد. نرخ تنزیل برای شرکتهای نفت و گاز عموما بیشتر از 10 درصد است. [16: Hotelling, Harold; “The Economics of Exhaustible Resources”; The Journal of Political Economy; Volume 30, Number 2, April 1931] [17: نرخ تنزیل عبارت است از درصد بهره ای که بانک و یا وام دهنده از مبلغ وام یا ارزش اسمیبرات پیش از پرداخت باقیمانده مبلغ به مشتری کسر میکند. ]

اگر متوسط عمر یک نسل را 25 سال در نظر بگیریم و نرخ تنزیل را 10 درصد، در 25 سال نرخ سود سالانه در سرمایه گذاری اولیه با ضریب 10 ضرب خواهد شد و همچنین نرخ تنزیل 10 درصد سالانه، ارزش پول را در 25 سال با ضریب 10 کاهش خواهد داد. این بدان معنا خواهد بود که صاحب مخزن با نرخ تنزیل 10 درصد هیچ گونه نفعی در اینکه مقداری از نفت را در چاه نگهدارد و مثلا به فکر نسل بعدی ویا نسلهای بعدی باشد ندارد. مگر آنکه مطمئن باشد که 25 سال بعد قیمت نفت 10 برابر قیمت فعلی آن خواهد بود. یا در 50 سال بعد قیمت نفت 100 برابر قیمت حال آن خواهد شد.

بهرحال این یکی از بی شمار استدلالاتی است که در مورد ناعادلانه عمل نمودن اقتصاد مبتنی بر بازار کاملا آزاد و بدون قید و محدودیت عنوان میشود[footnoteRef:18]. [18: F. de Winter: "Economic and Policy Aspects of Solar Energy," Proc. of the Ninth Biennial Congress of the International Solar Energy Society, Montreal Canada, June 23-29, 1985, Pub. by Pergamon Press, NY., 1986, Vol. 4, pp 2207-2218. http://www.oilcrisis.com/hotelling ]

ساده ترین حالت برای یک مخزن که در کارهایهارولد هتلینگ به آن پرداخته شده است با این فرض است که هزینه نهایی به نرخ استخراج و باقیمانده مخزن بستگی ندارد. این مفروضات بشدت محدود کننده است.

فرضیه: هزینه هتلینگ: هزینه استخراج از باقی مانده مخزن مستقل است. هزینه نهایی استخراج از نرخ استخراج مستقل است.

اگر Ct هزینه نهایی استخراج در قضیه هتلینگ باشد، این هزینه با گذشت زمان تغییر میکند. آنگاه معادله 19 را میتوان این طور نوشت:

(21)

معادله 21 میگوید که نرخ استخراج بهینه برابر با صفر است اگر قیمت کمتر و یا مساوی هزینه نهایی بعلاوه هزینه فرصت باشد. قیمت هیچگاه از هزینه نهایی بعلاوه هزینه فرصت بیشتر نخواهد شد. شکل 3 این رابطه را نشان میدهد.

شکل (3): استخراج بهینه مطابق با نظریه هتلینگ

هزینه فرصت ارزش حال، یعنی λ در معادله شماره 16 مشخص شده و به ما میگوید که قیمت نمیتواند هیچگاه بیشتر از شود. اگر قیمت از مقدار بیشتر شود، استخراج در همان زمان، بی نهایت خواهد شد و St منهای بی نهایت خواهد گردید، که خود مغایر با معادله 16 است. بنابراین λ میتواند ارزش ماکزیمم (در کل زمان) معادل شود بشرطی که این مقدار منفی نباشد. اگر ارزش ماکزیمم منفی شود آنگاه λ=0 و هیچگونه استخراجی صورت نمیگیرد.

مطابق با فرضیه هتلینگ استخراج تنها زمانی میتواند اتفاق بیفتد که قیمت در یک مسیری افزایش مییابد که با قاعده هتلینگ مشخص میشود. یعنی

در زمانی که نرخ استخراج نامعین است. اگر قیمت بخواهد که بسرعت در یک فاصله زمانی افزایش پیدا نماید، استخراج در همان فاصله زمانی کمتر سودآور است تا منتظر پایان آن دوره باشیم. اگر در یک فاصله زمانی خیلی آرام افزایش پیدا نماید، استخراج سودآورتر است که هرچه بیشتر در ابتدای دوره انجام شود تا آنکه در طی فاصله زمانی اتفاق افتد.

فرضیههاتلینگ بصورت طبیعی ما را به تفسیر نظریه سرمایه از قاعده استخراج بهینه راهنمایی میکند. با معادله 21 ارزش حال (در زمان صفر) هر واحد درآمد خالص از هزینهها تنها λ است که مستقل از زمان استخراج است. بنابراین حجم بازار در زمان صفر از کل مخزن مساوی است با . اگر نرخ استخراج بهینه صفر است، بنابراین ارزش مخزن باید معادل نرخ بازگشت سرمایه افزایش یابد. صاحب مخزن از محل بازگشت سرمایه گذاری خود بجای گردش وجوه درآمد کسب میکند. بعلاوه گردش وجوه نقدی باید کمتر از ارزش باقیمانده مخزن پس از استخراج باشد.

زمانی که قیمت از قاعدههاتلینگ پیروی میکند، یعنی

آنگاه ارزش هر واحد مخزن تنها برابر است با درآمد خالص بر واحد هزینه استخراج، یعنی برای صاحب مخزن استخراج منبع و یا نگهداری آن تفاوتی نمیکند. بنابراین سرمایه بازیافته در این حالت برابر با نرخ بازگشت سرمایه است و در طول زمان ارزش مقدار موجودی انرژی مخزن به اندازه نرخ بازگشت سرمایه ترقی میکند.

زمانی که قیمت محصول با تبعیت از قاعدههاتلینگ ثابت میماند، و قیمتهای آینده انتظار میرود که زیر قیمت اکنون باشد، ارزش مخزن در زمان آینده کمتر از است. بنابراین اگر او مخزن را بدون استخراج نگاه دارد، دیگر حتی به مقدار سرمایه ایکه بصورت نقدی میتوانست همراه با نرخ بازگشت باشد نمیتواند درآمد کسب کند و بنابراین بهتر است که حتما استخراج را انجام دهد. اگرچه موردهاتلینگ بصورت تحلیلی معقول مینماید، اما فرض هزینههای صلب و بدون تغییر آن این مورد را کمتر سودمند ساخته و در عوض تنها به پیش بینی کلی بازار تبدیل نموده است.

توابع عرضه منابع پایان پذیر

در تئوری اقتصاد خرد، تابع عرضه محصول میتواند تابعی از تنها متغیر قیمت باشد که با بالا رفتن قیمت نتیجتا تولید نیز زیاد میشود. اگرچه اصولا قیمت یک کالا در آینده ممکن است در تصمیم گیریهای ما در حال حاضر تأثیر داشته باشد، اما در تابع عرضه، قیمت کالا در آینده را با اهمیت نمیدانند.

اما برای منابع پایان پذیر، مقدار عرضه در هر زمان، باید تابعی از قیمت در همان زمان و قیمت و هزینه در آینده در نظر گرفته شود. بنابراین نگرشی مانند تابع عرضه ایستا و کلاسیک با استخراج بهینه از یک مخزن پایان پذیر همخوانی ندارد.

اگر چه استخراج در هر زمان به آینده، حال، قیمتها و هزینهها بستگی دارد، اما همه اطلاعات ما در مورد نقش قیمت و هزینه آینده تنها در یک متغیر خلاصه شده است که آن هزینه فرصت و یا t∅ است. هزینه فرصت بخودی خود، وابسته به مقدار باقیمانده مخزن، و همه قیمتهای آینده و یا مشابها با مقدار ابتدایی مخزن، و همه قیمتهای گذشته، حال و آینده انرژی استخراجی است. بنابراین ما میتوانیم یک تابع عرضه مشابه با توابع عرضه متعارف نوشته و تنها بجای pt از t∅- Pt استفاده نمائیم. این معادله مانند معادلات عرضه ایستاست با این تفاوت که t∅ خود تابعی از قیمتهای دیگر است.

چنین تابعی در شکل 4 برای قیمتهاتلینگ و مورد هزینه نهایی نشان داده شده است. استخراج بهینه تابع افزایشی از t∅- Pt است اما مشخصه منحنی با گذشته متفاوت است. برای موردهاتلینگ، مقدار کمیتغییر در t∅- Pt میتواند باعث تغییر در استخراج بهینه از نرخ صفر تا مقدار زیادی شود. با افزایش هزینه نهایی استخراج، نرخ استخراج بهینه مداوما با افزایش t∅- Pt زیاد میشود و میتواند به سطح ماکزیمم ظرفیت که توسط عوامل دیگر عرضه محدود شده است برسد.

شکل (4) عرضه بعنوان تابعی از Pt -∅t

یک مثال

مثالی در مورد یک تابع هزینه درجه دوم که براحتی میتواند حل شود میآوریم

این تابع هزینه، استخراج بهینه را بعنوان تابعی از قیمت و هزینه فرصت بدست میدهد:

ما برای حل این مسئله فرض میکنیم در طول زمان تغییر نداشته باشیم، یعنی قیمت در طول زمان ثابت مانده و زمان نهایی در آنیده دور است. بنابراین اندکس t را از قیمت حذف میکنیم.

فرض کنید که τ آخرین زمانی باشد که در آن

آنگاه ما میتوانیم S𝜏 بعنوان تابعی از λ محاسبه کنیم

اگر λ>0 آنگاه S𝜏 =0 بنابراین ما یک معادله و دو نامعادله بدست آوردیم:

با تقریب میتوان نوشت

این شرایط، λ را یک تابع افزایشی برای قیمت و τ را یک تابع کاهشی برای قیمت مینماید. افزایش در M و یا در S0 به کاهش در λ و افزایش در τ میانجامد.

مسیرهای بهینه: مشخصات و دینامیک مقایسه ای

مدلهایی که تا کنون بحث کرده ایم میتوانند برای آزمایش مشخصات مسیر بهینه استخراج از یک منبع پایان پذیر که معادله 13 بر آن حاکم است بکار روند.

چند نمونه از نتایج تحلیل این مدلها در زیر خواهد آمد. توجه داشته باشید که در همه آنها تأثیر باقیمانده مخزن در نظر گرفته نشده و فرض میکنیم که رفتار مخزن خطی است.

مسیر استخراج با شرایط ثابت در طول زمان

در برخی از مقاطع تاریخی برای مدت زمان زیادی قیمتهای مربوط به منبع انرژی پایان پذیر تقریبا ثابت باقی مانده و یا نوسان آن بصورت تصادفی بوده است. بنابراین اکثرا صاحبان مخازن فرض میکنند که در آینده وضعیت مانند حال کم و بیش باشد.

از آنجا که هزینه و قیمت را ثابت فرض کردیم، قیمت بنابراین نمیتواند مسیرهاتلینگ را طی نماید. بنابراین مطابق نظریه هزینههاتلینگ همه مخزن در ابتدای دوره استخراج میشود. معادلات 21 و 16 میگوید که مخزن در لحظات اولیه استخراج کامل میشود.

با افزایش هزینه نهایی، استخراج مخزن شروع میشود، اما در دوره اول بیشتر از همه و بعد نرخ استخراج از هر دوره به دوره بعدتر شروع به کم شدن مینماید. این نتیجه گیری از معادله 15 بدست میآید و در شکل 4 نشان داده شده است. استخراج بهینه یک تابع افزایشی از

است. از آنجا که قیمت ثابت میماند بنابراین جمله فوق از هر دوره به دوره بعد باید کاهش یابد. . بنابراین با عدم تغییر تابع هزینه ، نرخ استخراج میباید کمتر در طول زمان شود.

نقش پیشرفت تکنولوژی

فنآوریهای جدید منجر به کاهش در تابع هزینه خواهد شد. اگر شرکت و یا صاحب مخزن انتظار کاهش هزینه داشته باشد، آنگاه این انتظار ممکن است حتی قبل از اتفاق افتادن بر نرخ استخراج تأثیر داشته باشد. ممکن است که استخراج در وهله اول کم بوده و به تدریج افزایش یابد تا به آنجا برسد که سرانجام کاهش یابد. این نتیجه گیری میتواند از معادله 15 حاصل شود. اگرچه

باید در سول زمان کاهش یابد زیرا تابع هزینه خود کمتر میشود، اما نرخ استخراج میتواند بسته به نرخ نسبی تغییر تابع هزینه بیشتر و یا کمتر شود.

نقش انتظار قیمت

انتظار در مورد شرایط آینده ممکن است که ایستا نباشد. تغییرات در تکنولوژی که فعالیت استخراج را عوض نموده و یا مکمل کارهای قبل است ممکن است که تابع تقاضا را نیز تغییر داده، همچنان که قیمت را تغییر میدهد. تغییر در نرخ مالیات و یا شرایط سیاسی بین المللی نیز بر روی قیمت تأثیر گذار است. گرچه ما در این بخش فکر میکنیم که قیمتهای جاری تغییر نمیکنند اما قیمتهای آینده را انتظار داریم که ممکن است که عوض شوند. تغییر در توقعات ما در مورد آینده خود نرخ استخراج جاری را تحت تأثیر قرار خواهد داد. فرض میکنیم که انتظارات ما درست است، گرچه آلترناتیوهای پیش بینی شده برای فعالیتهای جاری بستگی به این ندارد که نظر ما کاملا صحیح و یا کاملا اشتباه است.

فرض کنید که در آینده در زمان𝜏 در شرایط جدید قیمتها بالاتر از قیمت در گذشته باشند یعنی

این مسئله در سه سطح میتواند تحلیل شود. اول اگر λ تغییر ننماید چگونه انتظار تغییر قیمت میتواند St را تغییر دهد. دوم این روند در نهایت چگونه بر λ تأثیر خواهد دشات و نهایتا بر اساس تغییرات λ چگونه تصمیم گیری در مورد استخراج جاری خواهیم نمود.

معادله 15 نشان داد که اگر λ تغییر ننماید، استخراج در همه زمانهای بزرگتر از 𝜏 بیشتر خواهد شد ولی در زمانهای کمتر از آن ثابت خواهد ماند. اگر استخراج افزایش یابد، باقیمانده مخزن در درمان T کاهش پیدا خواهد نمود. ولی بهر صورت ذخیره نهایی و یا هزینه فرصت مطابق معادله 16 باید صفر باشد. یعنی اضافه شدن به مقدار λ نیاز به کم کردن St تا حد صفر شدن دارد. این مطلب در شکل 5 نشان داده شده است.

شکل (5): تأثیر قیمت آینده مورد انتظار بر افزایش λ

برای زمانهای قبل از 𝜏 تغییر در انتظار افزایش قیمت هزینه فرصت را افزایش میدهد اما بر دیگر المانهای معادله 16 تأثیری ندارد. برای زمانهای اولیه، استخراج بهینه باید بدلیل انتظارات تغییر یافته کاهش یابد، همانطور که در شکل 6 نشان داده شده است.

شکل (6) تأثیر افزایش λ بر نرخ استخراج سالهای اولیه

برای t>𝜏، هم هزینه فرصت و هم قیمت افزایش مییابد. بنابراین کاهش و یا افزایش استخراج بهینه بستگی به علامت تغییرات خالص جمله زیر دارد.

هرچند که λ باید به مقدار کافی افزایش پیدا کند که کاهش استخراج قبل از 𝜏 برابر با افزایش خالص استخراج پس از 𝜏 در مجموع گردد.

تأثیرات مالیاتهای خرید و فروش

مالیات بر منابع طبیعی خود یکی از منابع درآمدی برای حکومتهاست. این مالیاتها انواع مختلفی همچون مالیات بر ارزش کالا و همچنین مالیات ثابت را شامل میشوند. در اینجا فرض میکنیم که دولت تنها مالیات بر فروش بر مخزن ما وضع نموده است.

فرض میشود که X مقدار مالیات بر یک واحد از استخراج است و این در طول زمان پس از وشع این قانون ثابت است. همچنین میپنداریم که این مالیات تأثیری بر قیمت فروش پیش از مالیات نداشته و قیمت خالص محصول مخزن که به صاحب آن داده میشود تنها به مقدار مالیات خرید کمتر است.

مالیات لزوما هزینه فرصت منبع را کاهش میدهد. بنابراین با عنایت به معادله 15، استخراج در زمان t بسته به اینکه مجموع X +λ’ert کوچکتر، بزرگتر و یا مساوی با λert است، افزایش، کاهش یافته و یا ثابت میماند. λ و ‘λ هزینههای فرصت ارزش حال قبل و بعد از مالیات هستند.

با توجه به اینکه X به زمان وابسته نیست، در سالهای اولیه X +λ’ert بزرگتر از λert است و استخراج در حال کاهش است، زیرا λ’ از λ کوچکتر است. در این حالت در سالهای آخر، کاهش در هزینه فرصت فاکتور مسلط بر نامعادله روبروست و بنابراین استخراج افزایش مییابد.

تنها نتیجه مالیات خرید مستقل از زمان آن است که استخراج منبع پایان پذیر را از زمان جاری به آینده منتقل کرده و از این طریق در مصرف منابع طبیعی صرفه جویی میکند.

در صفحات بعد به این خواهیم پرداخت که مالیات خرید مستقل از زمان نیست. منطقا باید مالیات خرید با گذشت زمان حداقل به اندازه نرخ بازگشت سرمایه رشد یابد تا ارزش حال آن همان اندازه X باشد. اگر مالیات خیلی زیاد نباشد، بر استخراج در طول زمان اثر نخواهد داشت. همین طور میتوان تحلیل کرد که اگر مالیات بزرگتر از نرخ بازگشت سرمایه رشد نماید، مالیات باعث خواهد گشت که صاحب مخزن نسبت به استخراج مخزن سریعتر از زمانی عمل نماید مه مالیات در کار نیست.

مالیات باعث کاهش هزینه فرصت ارزش حال میشود. در زمان t استخراج افزایش، کاهش، و یا ثابت خواهد بود بسته به آنکه Xert+λ’ert کوچکتر، بزرگتر و یا مساوی با λert است. این رابطه دلالت دارد بر اینکه استخراج افزایش، کاهش و یا ثابت باقی خواهد ماند اگر (X+λ’-λ)ert کوچکتر، بزرگتر و یا مساوی صفر باشد. همچنین اگر مقدار (X+λ’-λ)ert در طول زمان تغییر نماید، علامت آن تغییر نمیکند، زیرا استخراج باید در همه زمانها یا افزایش پیدا کند و یا کاهش و یا بدون تغییر بماند. زیرا افزایش و یا کاهش مقدار جمله فوق معادله 16 را نقض میکند. اما (X+λ’-λ)ert =0 معادله 16 را نقض نمیکند. بنابراین اگر هزینه فرصت ارزش حال درست به اندازه مالیات کم شود یعنی

در اینصورت همه معادلات راضی میشوند. یعنی استخراج باید با مالیات و بدون مالیات یکی باشد.

برای X خیلی بزرگ، مالیات استخراج در همه زمانها کاهش خواهد داد. اگر نرخ مالیات بزرگتر از هزینه فرصت اولیه بود، یعنی X>λ آنگاه –(λ’-λ)

کاهش در هزینه فرصت باید از مالیات کوچکتر باشد زیرا λ’ نمیتواند منفی شود. اگر نرخ مالیات از هزینه فرصت قبل از مالیات بیشتر باشد، استخراج در هر زمان کاهش پیدا میکند و منبع نمیتواند کاملا در افق زمانی ما استخراج شود.

به همین طریق میتوان برای مالیات با رشد سریع نیز تحلیل نمود. هزینه فرصت بدلیل مالیات کاهش مییابد و در سالهای اولیه حتی بیشتر از نرخ مالیات کاهش پیدا میکند. زیرا مالیات سریعتر از هزینه فرصت ارزش حال رشد مینماید. و یا دقیقتر بگوئیم سریعتر از هزینه فرصت ارزش حال قبل و بعد از اعمال مالیات، مالیات رشد میکند. در این صورت در سالهای آخر، مقدار نسبی استخراج برعکس میشود. بنابراین در سالهای اول استخراج باید افزایش پیدا نماید، در سالهای آخر استخراج بدلیل افزایش سریع مالیات کاهش پیدا میکند.

نقش عوامل برونی[footnoteRef:19] محیط زیستی: [19: وقتی چیزی خارج از یک واحد تولیدی یا مصرفی بر آن واحد تأثیر میگذارد میگویند برونیها اثر خود را نشان میدهد. مثلا وقتی کنار خانه ای پارک سرسبز احداث میشود، بر قیمت آن اثر مثبت میگذارد و لی اگر کارخانه و یا مدرسه ای تاسیس شود که دود و یا سر و صدا داشته باشد، اثر منفی خود را میگذارد. یا وقتی کارخانه ای زباله و یا فاصلاب خود را در رودخانه مجاور میریزد، برونی منفی برای مزارع و خانههای اطراف دارد. (توانائیان فرد، حسن، فرهنگ تشریحی اقتصاد، تهران: نشر جهان رایانه، 1386، ص 398)]

فرض کنید که تخریب زیست محیطی نهایی بر یک واحد از استخراج از مخزن برابر با Dt است. فرض میشود که در گذشته صدمه زدن به محیط زیست برای صاحب مخزن هزینه نداشته است اما اکنون سیاستهای دولت تغییر پیدا کرده و باید هزینه آن را پرداخت نمود. بنابراین در حالت دوم مبلغی که صاحب مخزن میگیرد به اندازه Dt کاهش پیدا میکند. برای محاسبه این مقدار میتوان مانند تأثیر مالیات بر قیمت محصول مخزن عمل کرد. اگر ارزش حال Dt در طول زمان کاهش پیدا نماید، منطق حکم میکند که در سالهای اولیه کمتر تولید و در سالهای آخر بیشتر استخراج نمائیم. بدین جهت ارزش حال کمتر شده تخریب محیط زیست بر روی چرخه مخزن میتواند کمتر شود. صاحب مخزن اگر فرد باشد، پیامدهای زیست محیطی را به آینده موکول مینماید.

عکس این نیز صادق است، اگر ارزش حال Dt افزایش یابد، آنگاه صاحب مخزن تشویق میشود که زودتر مخزن را کاملا استخراج نماید.

نقش عامل برونی امنیت ملی

سیاستگذاری انرژی بحث در مورد موضوعاتی همچون تولید داخلی در یک کشور، منافع ملی و .. را مینماید. یکی از بحثها این است که اگر بیشتر انرژی مصرفی در داخل کشور تولید شود، امنیت انرژی بهبود خواهد یافت. در این زمینه بصورت خلاصه میتوان گفت که اگر منفعت ملی بر یک واحد از استخراج اضافی را Bt در زمان t بنامیم، صاحب مخزن برای بهینه نمودن سود خویش میتواند این متغیر را نیز در نظر بگیرد. اگر ارزش حال Bt در طول زمان کاهش پیدا نماید، نرخ استخراج بهینه اجتماعی از نرخ بهینه انفرادی (بدون در نظر گرفتن عامل امنیت ملی) بیشتر خواهد شد و بنابراین مالک مخزن سعی میکند که در زمانهای اولیه کمتر و در آخر بیشتر استخراج نماید. برعکس اگر ارزش حال Bt انتظار میرود که بیشتر شود، آنگاه بهینه اجتماعی حکم میکند که نرخ استخراج کمتر شود.

نقش نرخ بازگشت سرمایه:

یکی از نگرانیهای دیرپا در ادبیات منابع پایان پذیر به سمت گیریها و اعوجاج در نرخ بهره باز میگردد. این مورد توافق است که اگر نرخ بهره مورد استفاده توسط صاحب منبع پایان پذیر بیشتر از نرخ تنزیل اجتماعی باشد، مالک مخزن سریعتر از بهینه اجتماعی استخراج را انجام داده و مقدار کمتری از منابع را در مخزن برای آیندگان باقی میگذارد[footnoteRef:20]. اگر چه در مورد نرخ تنزیل اجتماعی همچنان بحث وجود دارد[footnoteRef:21]، اما بصورت کلی نرخ بهره مورد استفاده شرکتها بیشتر از نرخ بهینه اجتماعی است. این ممکن است که به این دلیل باشد که شرکتها باید مالیات درآمدهای خود را نیز بدهند. بنابراین تحلیل کلی این است که نرخ بازگشت سرمایه بالاتر مشوق استخراج سریعتر از حوزههای منابع پایان پذیر است. [20: Solow (1974)] [21: Lind 1986]

بحثی که در این جا مطرح است آن است که اگر نرخ بالای بهره هزینههای ما را افزایش ندهد، آنگاه این نرخ بالا باعث ازدیاد نرخ استخراج خواهد شد، اما اگرنرخ بالای بهره موجب ازدیاد هزینه شود، آنگاه ممکن است که نرخ استخراج کمتر از قبل شود.

فرض کنید که در شرایط جدید نرخ بهره r’ بیشتر از نرخ بهره در دوره قبل یعنی r است ولی قیمتها و هزینهها در دهر دو دوره یکسان است. نرخ بهره بالاتر هزینه فرصت ارزش حال را برای همه زمانهای آینده افزایش خواهد داد اگر λ ثابت بماند. بنابراین مطابق معادله 15، با فرض λ ثابت نرخ بیشتر بهره، نرخ استخراج را کمتر خواهد کرد و همچنین بدین وسیله St نیز ممکن است که کاهش پیدا نماید. ولی برای این که معادله 16 نیز معتبر بماند، λ باید کاهش پیدا کند یعنی λ’<λ

با توجه به معادله 15، تأثیر بر مسیر استخراج بستگی فقط به تغییرات خالص در هزینه فرصت ارزش حال دارد زیرا بقیه عوامل ثابت هستند. در دورههای اولیه λ’er’t<λert و E’>E یعنی نرخ استخراج بدلیل افزایش نرخ بهره افزایش مییابد. در یک نقطه، افزایش سریع فاکتور بخش تابع نمایی علامت نامعادله را تغییر خواهد داد و λ’er’t>λert یعنی از این نقطه به بعد استخراج کمتر خواهد شد که ناشی از کم شدن مقدار باقی مانده منبع است.

برای توابع هزینه ثابت، نرخ بهره بالا استخراج را در سالهای اولیه بالا میبرد. این رامیتوان از طریق نظریه سرمایه نیز متوجه شد. منابع زیرزمینی مانند سرمایه گذاری است. میتوان مخزن را استخراج نکرده باقی گذارد برای آنکه در انتظار درآمد بیشتری در آینده باشیم. نرخ بهره بالاتر ما را دلالت میکند که سرمایه گذاری کمتر از لحاظ اقتصادی جذابتر است و در صورتیکه بیشتر محزن در همان سالهای اولیه استخراج شود.

پیامد دیگر نرخ بالای بهره آن است که در اکثر مخازن پایان پذیر، هزینه سرمایه ای بخش مهمیاز هزینههای کلی و نهایی است. و نرخ بدست آوردن سرمایه با نرخ بهره افزایش پیدا میکند. بنابراین با افزایش نرخ بهره هزینههای استخراج نیز بالامیرود.

افزایش در نرخ بازگت سرمایه دو نیروی همسنگ تولید میکند: با افزایش نرخ رشد هزینه فرصت، نرخ استخراج بالا میرود و با بالا رفتن هزینه استخراج، نرخ استخراج معکوس میشود. هر کدام از این دو پیامد میتواند پیامد مسلط شود، و رابطه غیریکنواخت مابین نرخ بهره و نرخ استخراج را نشان دهد.[footnoteRef:22] [22: Jacobsen 1987]

کدام یک از این دو نیرو یا دو پیامد مسلط خواهد شد، بستگی به تغییرات نسبی در تابع هزینه نهایی و هزینه فرصت دارد. اگر تابع هزینه نهایی (محاسبه شده با نرخ استخراج اولیه) بیشتر از کاهش هزینه فرصت اولیه افزایش پیدا نماید، افزایش در نرخ بهره باعث کاهش نرخ استخراج اولیه خواهد شد. بالعکس. بنابراین هزینه فرصت ابتدایی کوچکتر از افزایش در هزینه نهایی است، تغییرات در هزینه نهایی باید مسلط باشد و نرخ بهره بالاتر نرخ استخراج بالاتر را به همراه خواهد داشت.

در صنعت استخراج نفت و گاز ایالات متحده آمریکا، تنها زمانی که هزینه فرصت بخش بزرگی از قیمت است، مانند آنچه که برای نفت خاورمیانه نیز صحیح است، و یا زمانی که نرخ بهره تأثیر کمیبر هزینه نهایی دارد، نرخ بهره بالاتر به ازدیاد استخراج خواهد انجامید.

نتیجه گیری

عوامل برونی مانند محیط زیست، امنیت ملی و... میتواند مسیر استخراج را در طول زمان تحت تأثیر قرار دهد. مشابها تغییرات در قیمتهای مورد انتظارو همچنین دگرگونی در نرخ بازگشت سرمایه نیز مسیر استخراج را میتواند تغییر دهد.پیامدهای تغییرات نرخ بهره بستگی به مقدار تغییر در تابع هزینه و هزینه فرصت اولیه دارد. جهت پیامدهای دیگر تغییرات بستگی به علامت عامل برونی و رشد یا کاهش ارزش حال آن تغییر دارد. برای منابع پایان پذیر، اطلاعات در مورد شرایط جاری و تغییرات آن کافی و وافی برای پیش بینی تغییرات در مسیر عرضه نیست. در عوض باید گفت که تغییر در شرایط حال بستگی به تغییر در شرایط آینده دارد.

نیاز به اطلاعات در مورد آینده و نقش مرکزی هزینه فرصت همچنان منطقی و مربوط به مدلهای کلی استخراج منابع پایان پذیر باقی میمانند.

مدلهای بهینه یابی با تأثیر باقیمانده مخزن

هزینه استخراج میتواند به باقیمانده مخزن از راههای متعدد وابستگی داشته باشد. زمانی که مقدار بیشتر مخزن استخراج میگردد، هزینه کلی و نهایی استخراج بر مبنای دشواری بیشتر برای استخراج باقیمانده افزایش مییابد. بعلاوه مخزن با مقدار انرژی کمتر ممکن است فارغ از نرخ استخراج هزینه افزایش پیدا نماید، مانند کاهش در حوزههای آبی سفرههای زیر زمینی پس از برداشت زیاد و یا استخراج انبوه معدن که فرونشست بقیه معدن را در پی دارد. بعلاوه در دورههای اولیه از استخراج منبع، یادگیری مطابق منحنی اقتصاد معیار و تجربه ممکن است باعث کاهش هزینهها گردد. اگر تجربه در دورههای بعد بکار آید، میتوان گفت که هزینه با کاهش در باقیمانده مخزن رفتار کاهنده بدلیل عامل داخلی دارد.

مجددا معادله 8 را بیاد میآوریم. همچنین شرایط کان-تاکر برای نتیجه گیری شرایط لازم جهت مسیر استخراج بهینه را بحث مینمائیم. با در نظر گرفتن فرض آنکه تابع هزینه مقعر است، تابع هدف ما نیز مقعر و و محدودیتهای شدنی محدب می