ДОКЛАДЫ m k bcsl.bas-net.by/xfile/doklad/2009/04-2009/o8uif4.pdf · 3 DOKLADY OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES OF BELARUS Published bimonthly The journal has been published

1

ДОКЛАДЫ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ

НАУК БЕЛАРУСИ

Выходит шесть номеров в год

Журнал основан в июле 1957 года

МИНСК, БЕЛОРУССКАЯ НАУКА, 2009, ТОМ 53, № 4

Учредитель – Национальная академия наук Беларуси

Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я:

М. В. Мясникович (главный редактор), С. А. Чижик (заместитель главного редактора),

С. В. Абламейко, И. М. Богдевич, Н. А. Борисевич, Г. А. Василевич, П. А. Витязь, И. Д. Волотовский, И. В. Гайшун, В. Г. Гусаков, С. А. Жданок, Н. А. Изобов, А. Ф. Ильющенко, Н. С. Казак, А. А. Коваленя, Ф. Ф. Комаров, Е. Ф. Конопля,

И. В. Котляров, Н. П. Крутько, В. А. Лабунов, Ф. А. Лахвич, О. Н. Левко, А. И. Лесникович, В. Ф. Логинов, А. А. Махнач, А. А. Михалевич, А. Г. Мрочек,

П. Г. Никитенко, Ю. М. Плескачевский, В. И. Семенков, А. Ф. Смеянович, Л. М. Томильчик, В. М. Федосюк, Л. В. Хотылева, И. П. Шейко

Адрес редакции:

220072, Минск, ул. Академическая, 1, к. 119, т. 284-19-19

http:/nasb.gov.by/rus/publications/dan/ E-mail: [email protected]

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Демиденко В. М. Условия эффективной разрешимости квадратичной задачи выбора .................................. 5 Маталыцкий М. А., Колузаева Е. В. Марковские сети массового обслуживания произвольной тополо-гии с доходами ........................................................................................................................................................ 10 Еровенко В. А., Мартон М. В. Обобщение теоремы Като об устойчивости на существенно полурегуляр-ные операторы ........................................................................................................................................................ 18 Шамукова Н. В. Диофантовы приближения с моническими полиномами и немонотонной правой частью 23 Уснич А. В. Некоммутативные кластерные мутации ......................................................................................... 27 Килбас А. А., Жуковская Н. В. Решение в замкнутой форме линейных неоднородных уравнений типа Эйлера с дробными производными....................................................................................................................... 30 Деменчук А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний .................. 37

ФИЗИКА

Гусак Н. А. Эффект невзаимности в кинетических явлениях в фоторефрактивных кристаллах ................... 43 Малик А. А., Сацункевич И. С. О рождении (τ−τ+)-атома на коллайдере ВЭПП-4М ................................... 47 Жестков С. В., Романенко А. А. Построение и анализ солитоноподобных решений (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1)-мерных уравнений Шредингера с законом нелинейности утроенной степени ..................................... 52

Национальная

академия наук

Беларуси

2

ХИМИЯ

Анищенко И. В., Андрианов А. М. Исследование конформационной подвижности петли V3 ВИЧ-1 субтипа А для рационального конструирования лекарственных препаратов (на англ. яз.)..................... 58 Бабенко А. С., Синелёв В. А., Бритиков В. В., Тутубалина Е. А., Гилеп А. А., Усанов С. А. Экс-прессия генов CYP19A1, CYP1B1 и ERBB2 в опухолевой ткани молочной железы человека ............... 64 Матрунчик Ю. В., Воробьева Е. В., Крутько Н. П., Басалыга И. И. Влияние ПАВ различной при-роды на свойства полимерного гидрогеля на основе полиакриловой кислоты ........................................ 68 Герловский Д. О., Литвинко Н. М., Кучуро С. В., Грось Н. Н. Антиконкурентное ингибирование активности панкреатической фосфолипазы А2 под действием 2-пропаноил-5-(2,4,6-триметилфенил)-циклогексан-1,3-диона ................................................................................................................................ 73

БИОЛОГИЯ

Мороз И. В., Еремин А. Н., Михайлова Р. В., Лобанок А. Г. Сравнительная характеристика ката-лаз, синтезируемых Penicillium piceum F-648 A3 в различных условиях культивирования .................... 77 Кулеш В. Ф. Рост и выживаемость личинок пресноводной креветки Exopalaemon modestus (Heller) на сбросной воде теплоэлектростанции ..................................................................................................... 82 Галиновский Д. В., Евтушенков А. Н. Экспрессия генов биосинтеза β-каротина в различных штаммах грамотрицательных бактерий ..................................................................................................... 88

МЕДИЦИНА

Чакова Н. Н., Михаленко Е. П., Шлома Е. Н., Чеботарева Н. В., Кругленко С. С., Шелкович С. Е., Крупнова Э. В., Демидчик Ю. Е. Полиморфизм генов ферментов биотрансформации ксенобиоти-ков у больных раком яичников................................................................................................................... 92

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Астапенко В. Н. Коровые аномалии электропроводности и палеорифты Восточно-Европейской плат-формы .............................................................................................................................................................. 97

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Витязь П. А., Сосновский Л. А., Щербаков С. С. Новые подходы в механике деформируемых систем 102 Пинчук Л. С., Банный В. А., Гольдаде В. А. Эффект усиления радиоадсорбции наноразмерными компонентами полимерных композитов ........................................................................................................ 111 Сычевский В. А. Математическое моделирование технологического процесса сушки древесины .......... 115

АГРАРНЫЕ НАУКИ

Цыганов А. Р., Шелюто Б. В., Шелюто А. А. Агроэкономическая эффективность возделывания кор-мовых культур в системе зеленых и сырьевых конвейеров .......................................................................... 120

Редактор Т. П. П е т р о в и ч Компьютерная верстка Н. И. К а ш у б а

Сдано в набор 07.07.2009. Выпуск в свет 06.08.2009. Формат 60×841/8. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 14,88. Усл. кр.-отт. 16,04. Уч.-изд. л. 16,4. Тираж 218 экз. Заказ 368.

Цена номера: индивидуальная подписка − 17250 руб.; ведомственная подписка − 42814 руб. Республиканское унитарное предприятие «Издательский дом «Беларуская навука». ЛИ № 02330/0494405 от 27.03.2009. Ул. Ф. Скорины, 40, Минск, 220141. Свидетельство 387.

Отпечатано в РУП «Издательский дом «Беларуская навука».

© «Издательский дом «Беларуская навука» Доклады НАН Беларуси, 2009



Беларуси

3

DOKLADY OF THE NATIONAL ACADEMY

OF SCIENCES OF BELARUS

Published bimonthly

The journal has been published since July, 1957

MINSK, BELORUSSKAYA NAUKA, 2009, Vol. 53, No 4

Founder − National Academy of Sciences of Belarus

E d i t o r i a l B o a r d: M. V. Miasnikovich (Editor-in-Chief),

S. A. Chizhik (Associate Editor-in-Chief), S. V. Ablameyko, I. M. Bogdevich, N. A. Borisevich, G. A. Vasilevich, P. A. Vitiaz, I. D. Volotovski, I. V. Gaishun, V. G. Gusakov, S. A. Zhdanok, N. A. Izobov,

A. F. Ilyushchanka, N. S. Kazak, A. A. Kovalenya, F. F. Komarov, E. F. Konoplya, I. V. Kotlyarov, N. P. Krutko, V. A. Labunov, F. A. Lakhvich, O. N. Levko,

A. I. Lesnikovich, V. F. Loginov, A. A. Makhnach, A. A. Mikhalevich, A. G. Mrochek, P. G. Nikitenko, Yu. M. Pleskachevsky, V. I. Semenkov, A. F. Smeyanovich,

L. M. Tomilchik, V. M. Fedosyuk, L. V. Khotyleva, I. P. Sheiko

Address of the Editorial Office: 220072, Minsk, 1 Akademicheskaya Str., room 119

telephone: 284-19-19 http://nasb.gov.by/eng/publications/dan/

E-mail: [email protected]

CONTENTS

MATHEMATICS

Demidenko V. M. Conditions of effective solvability of the quadratic problem of selection.................................. 5 Matalytski M. A., Koluzaeva E. V. Markovian queuing networks of arbitrary topology with incomes ................ 10 Erovenko V. A., Marton M. V. Generalization of Kato stability theorem to essentially semiregular operators .... 18 Shamukova N. V. Diophantine approximations by monic polynomials and nonmonotonic right-hand side........... 23 Usnich A. V. Non-commutative cluster mutations................................................................................................... 27 Kilbas A. A., Zhukovskaya N. V. Closed solution of linear inhomogeneous differential equations of Euler type with fractional derivatives ........................................................................................................................................ 30 Demenchuk A. K. Control problem of a spectrum of strongly irregular periodic oscillations ................................ 37

PHYSICS

Gusak N. A. Nonreciptocity effect in kinetic phenomena in photorefractive crystals ............................................. 43 Malik A. A., Satsunkevich I. S. Production of the (τ−τ+)-atom at VEPP-4M ......................................................... 47 Zhestkov S. V., Romanenko A. A. Constructing and analysis of soliton-like solutions of (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1)-dimensional Schrodinger equations with the third power nonlinearity law .................................................. 52

CHEMISTRY

Anishchenko I. V., Andrianov A. M. Study of the conformational mobility of the HIV-1 subtype A V3 loop for the rational structure-based drug design ................................................................................................................... 58



Беларуси

4

Babenko A. S., Sinelyov V. A., Britikov V. V., Tutubalina E. A., Gilep A. A., Usanov S. A. Expression of CYP19A1, CYP1B1 and ERBB2 genes in human breast cancer tissues................................................................... 64 Matrunchik Ju. V., Vorobieva E. V., Krutko N. P., Basalyga I. I. Influence of different-nature surfactants on the properties of polyacryl acid-based polymer hydrogel ......................................................................................... 68 Gerlovskij D. O., Litvinko N. M., Kuchuro S. V., Gros N. N. Anticonpetitive inhibition of the activity of pancreatic phospholipase under the action of 2-propanoil-5-(2,4,6-trimethylphenyl)-cyclohexane-1,3-dione ......... 73

BIOLOGY

Moroz I. V., Eryomin A. N., Mikhayilova R. V., Lobanok A. G. Comparative characterization of catalases synthesized by Penicillium piceum F-648 A3 under different cultural conditions .............................................. 77 Kulesh V. F. Growth and survival of larvae of the freshwater shrimp Exopalaemon modestus (Heller) in liquid wastes of a thermoelectric power station ................................................................................................. 82 Galinousky D. V., Evtushenkov A. N. Expression of b-carotene synthesis genes in different strains of gram negative bacteria ............................................................................................................................................... 88

MEDICINE

Chakova N. N., Mikhalenka A. P., Shloma E. N., Chebotareva N. V., Kruglenko S. S., Shelkovich S. E., Krupnova E. V., Demidchik Yu. E. Gene polymorphism of biotransformation enzymes in ovarian cancer patients ............................................................................................................................................................. 92

EARTH SCIENCES

Astapenko V. N. Crustul anomalies of the electrical conductivity and paleotrougs of the East European platform 97

TECHNICAL SCIENCES

Vityaz P. A., Sosnovskiy L. A., Sherbakov S. S. New approaches in mechanics of deformable systems.............. 102 Pinchuk L. S., Bannyi V. A., Goldade V. A. Effect of radio absorption intensification by nanosize components of polymer composites .............................................................................................................................................. 111 Sychevskij V. A. Mathematical simulation of the technological process of wood drying........................................ 115

AGRARIAN SCIENCES

Tsyganov A. R., Sheliuto B. V., Sheliuto A. A. Agroeconomic efficiency of forage crops cultivation for green mass and raw in crop rotation ................................................................................................................................... 120



Беларуси

5

Доклады Национальной академии наук Беларуси

2009 июль–август Том 53 № 4

МАТЕМАТИКА

УДК 519.1

В. М. ДЕМИДЕНКО

УСЛОВИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧИ ВЫБОРА

(Представлено академиком И. В. Гайшуном)

Институт математики НАН Беларуси, Минск Поступило 14.04.2008

Введение. Квадратичная задача выбора (КЗВ) относится к классу NP-трудных проблем, что делает актуальным выявление ее эффективно разрешимых, в частности, строго разрешимых слу-чаев. Теоретическая и практическая значимость этой задачи обусловлена тем, что многие опти-мизационные комбинаторные задачи являются ее частными ограниченными версиями, включая оптимизационные задачи на графах, подстановках и аксиальные транспортные задачи. Перечис-ленные задачи являются адекватными математическими моделями многих реальных прикладных задач размещения оборудования, планирования производства, маршрутизации транспортных средств и организации поставок. Описание эффективно разрешимых случаев ограниченных вер-сий КЗВ, таких как задача о коммивояжере, линейная и квадратичная задачи о назначениях при-ведены в монографиях и обзорных работах [1–4].

В данном сообщении с помощью общего метода, предложенного для построения строго раз-решимых случаев оптимизационных задач на подстановках [5], описаны условия достижения целевого функционала КЗВ на подстановке специального вида. Предложенные условия описы-вают в пространстве четырехиндексных матриц конус, для представителей которого гарантиро-вана строгая разрешимость квадратичной задачи назначений. Матрицы из этого конуса названы обобщенными матрицами Монжа, так как условия, которым они удовлетворяют, расширяют из-вестные одноименные условия [3; 4] на случай четырехиндексных матриц. Изложенные в дан-ной работе результаты обобщают классическую теорему о перестановке трех систем, получен-ную Харди, Литтльвудом и Пόлиа [6], а также ее обобщения, описанные в [7].

Постановка задачи и предварительные сведения. Пусть nR – пространство веществен-ных четырехиндексных матриц, Sn – симметрическая группа, действующая на множестве

1,N {1 2 , }n , , n= … , и , , ,( )i j ka= ∈A nR . Тогда КЗВ в теоретико-групповой постановке формули-

руется следующим образом: найти подстановку 0σ , которая доставляет минимум функционалу

, ,σ( ),σ( )1 1(σ) n n

i j i ji jf a

= ==∑ ∑A на Sn, где σ( )i – элемент из 1,N n , в который подстановка σ переводит

i∈ 1,N n . Так как σ полностью определяется набором элементов 1,σ( ), N ni i∈ , то в дальнейшем она

обозначается σ σ(1), ,σ( )n= … . Любая матрица , , ,( )i j ka= ∈A nR определяется двухиндексной

вещественной матрицей , , ,( )i j ka=A , где 21,, , , N ni j k ∈ – декартовому квадрату множества

1,N n . Таким образом, КЗВ можно рассматривать как задачу поиска минимума функционала

, ,σ ,1 1(σ) n n

i j i ji jf a

= ==∑ ∑A

на подгруппе 2 2{σ |σ , σ( ),σ( ) ,σ }nn nS S i j i j S= ∈ = ∈ симметриче-

ской группы 2nS , действующей на 2

1,N n . Заметим, что КЗВ с матрицей , , ,( )i j ka=A единичного



Беларуси

6

ранга совпадает с известной квадратичной задачей о назначениях. В указанном случае , ,, , , i j ki j ka a b= ⋅ , где ,( )i jA a= и ,( )kB b= – две двухиндексные матрицы [8].

Известно [5], что любая подстановка nS∈σ определяет в 1,N n две пары подмножеств вида:

⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2

σ σ σ1,1 1, 1,2 1, 1,1{ N |σ( ) σ( 1 )}, { N \ };n nI i i n i I i I= ∈ > + − = ∈ (1)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 2

σ σ σ2,1 2, 2,2 2, 2,1{ N |σ( ) σ( 2 )}, { N \ }.n nI i i n i I i I= ∈ < + − = ∈ (2)

Первые подмножества σ1,1I и σ

2,1I из (1) и (2) определяют две подстановки

σ1,1

σψ ( , 1 )i I

i n i∈

= + −∏ ,σ2,1

σφ ( , 2 )i I

i n i∈

= + −∏ ,

связанные с σ . Напомним, что согласно [5], подстановочным функционалом называется любое отображение : nf S R↓ , где R – поле вещественных чисел, а приращение f на упорядоченной паре подстановок σ,ρ nS∈ определяется как разность (σ,ρ) (ρ) (σ)f f fΔ = − . В работе [5] дока-зано утверждение, устанавливающее достаточные условия достижения минимума для любого функционала f на подстановке 0σ 1,3,5,…,6,4,2= , а именно

Т е о р е м а 1. Пусть задан произвольный функционал : nf S →R , тогда если для произ-вольной подстановки nS∈σ выполняются неравенства

σ(σ,σ ψ ) 0fΔ ≤ , ( , ) 0f σΔ σ σ φ ≤ ,

то подстановка 0σ минимизирует f на симметрической группе nS , где σψσ и σϕσ – про-изведения соответствующих подстановок.

Реализация условий теоремы 1 для функционала Af позволяет сформулировать условия дос-тижения его минимума на подстановке 0σ в терминах обобщенных условий Монжа. Согласно

[4], условия Монжа для двухиндексных матриц nnjiaA ×∈= R)( , имеют вид

0,,,, ≤−−+ kjijki aaaa для всех 1, ,ni j k< < ∈N . (3)

Введем в 21 n,N лексикографический порядок ≺ и определим для матрицы

)(~,,, kjia=A

условия следующего вида:

0≤−−+ rsjiqpkrskqpji aaaa ,,,,,,,,,,,, для всех 21N,,,,, ,nsrqpkji ∈≺≺ . (4)

Условия (4) являются расширением (3) на множество 21N ,n и пространство nR . В дальнейшем

матрица nR∈A называется обобщенной четырехиндексной матрицей Монжа, если соответ-

ствующая ей двухиндексная матрица ~ ∈A удовлетворяет условиям (4). Приращения функционала Af и условия их знакопостоянства. Чтобы упростить запись

формул для вычисления приращений Af на паре подстановок qρσσ, , где 21,=q и σψρ =1 ,

σϕρ =2 , будем считать, что ⎡ ⎤ σ212 ,/ In ∈ , если n – нечетное, σ

221 ,I∈ при любом n и ⎡ ⎤ σ∈+ 2,22/)1( In , если n – четное. При указанных соглашениях, используя технику, предложенную в [9] для вы-числения приращений функционала квадратичной задачи о назначениях, можно показать, что для Af справедливо следующее

П р е д л о ж е н и е 1. Пусть задана матрица n∈A R и подстановка nS∈σ , тогда при-ращение функционала Af на паре подстановок , qσ σ ρ , где 1,2q = , вычисляется по формуле



Беларуси

7

1, 2, 3,( , ) ( ) ( ) ( )q q q q

f σ σ σΔ σ σ ρ = + +∑ ∑ ∑A A A A ,

где ,1 ,1

, , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( )1, (A) (q q

i j n q i n q j i n q j n q i j n q i j i n q j n q i n q j i jqi I j I

a a a aσ σ

σσ + − σ + − + − σ + − σ + − σ σ + − + − + − σ σ

∈ ∈= + + +∑ ∑ ∑ −

, , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ),i j i j i n q j i n q j n q i j n q i j n q i n q j n q i n q ja a a aσ σ + − σ σ + − + − σ + − σ + − + − σ + − σ + −− − −

,1 ,2

, , ( ), ( ) , , ( ), ( 1 ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( )2,

, , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , 1 , ( )

( ) (q q

i j n q i j i n q j n q i n j n q i j i j n q i n q j i n q jqi I j I

i j i j i n q j i n q j n q i j n q i j n q i n j n q i

a a a a

a a a a

σ σ

σσ + − σ + − σ + − σ + − + − σ σ + − + − σ σ + −

∈ ∈

σ σ + − σ σ + − + − σ + − σ + − + − σ + −

= + + + −

− − −

∑ ∑ ∑A

, ( ) ),n q jσ + −

,2 ,1

, , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( )3,

, , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , (

( ) (q q

i j i n q j i n q j i j n q i j n q i n q j n q i n q j n q i jqi I j I

i j i j i n q j i n q j n q i j n q i n q j n q i n q j n

a a a a

a a a a

σ σ

σσ σ + − + − σ σ + − σ + − σ + − + − + − σ + − σ

∈ ∈

σ σ + − σ σ + − + − σ + − σ + − + − + − σ +

= + + + −

− − −

∑ ∑ ∑A

), ( ) ).q i j− σ

В дальнейшем слагаемые, стоящие в скобках после знака двойной суммы в )(,∑σ q1 A , )(,∑σ q2 A

и )(,∑σ q3 A , будем называть их общими членами. Из теоремы 1 и предложения 1 вытекают дос-

таточные условия общего вида для достижения минимума функционала Af на подстановке 0σ .

П р е д л о ж е н и е 2. Пусть матрица nR∈A такова, что для любой подстановки nS∈σ и 1,2q = выполняются соотношения

01 ≤∑ )(,σ

q A , 02 ≤∑ )(,σ

q A , 03 ≤∑ )(,σ

q A . (5)

Тогда подстановка 0σ минимизирует функционал Af на симметрической группе nS .

Однородная система линейных неравенств (5) определяет в пространстве nR некоторый ко-нус. Однако ввиду большой размерности системы (5) (число неравенств имеет факториальный от n порядок) практически невозможно находить ее решения при достаточно больших n, т. е. пред-ставителей данного конуса. По этой причине затруднена также проверка принадлежности ему заданной матрицы nR∈A . С целью облегчения решения указанных задач в следующем разделе приводятся упрощенные условия, гарантирующие выполнение (5). Эти условия представляют собой однородные системы линейных неравенств полиномиальной от n размерности, следствием которых является система (5).

Упрощенные условия достижения минимума функционала Af . Из предложений 1, 2

следует, что функционал Af достигнет минимума на подстановке 0σ , если все суммы )(,∑σ q1 A ,

)(,∑σ q2 A и )(,∑σ q3 A будут неположительными при 1, 2q = . Ниже формулируются условия,

которые гарантируют выполнение указанных свойств. П р е д л о ж е н и е 3. Пусть матрица n

kjia R∈= )( ,,,A удовлетворяет неравенствам

,0,0 ,,,1,,1,,,,1,,1,,,1,1,,,,,1,1,,, ≤−−+≤−−+ −+−+−+−+−+−+−+−+ skjinrjnirjinskjnirkjninsjisjninrkji aaaaaaaa

где ⎣ ⎦2/,1 nji ≤≤ , nk ≤<≤1 , nsr ≤<≤1 . Тогда сумма )(,∑σ11 A является неположительной

при любой подстановке nS∈σ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предложения 1 следует, что сумма )(,∑σ11 A будет неположи-

тельной при любой nS∈σ , если ее общий член неположителен для любых σ1,1,i j I∈ , т. е. если

для указанных ji, выполняется неравенство



Беларуси

8

, , ( 1 ), ( 1 ) , 1 , ( 1 ), ( ) 1 , , ( ), ( 1 ) 1 , 1 , ( ), ( )

, , ( ), ( ) , 1 , ( ), ( 1 ) 1 , , ( 1 ), ( ) 1 , 1 , ( 1 ), ( 1 ) 0.i j n i n j i n j n i j n i j i n j n i n j i j

i j i j i n j i n j n i j n i j n i n j n i n j

a a a a

a a a aσ + − σ + − + − σ + − σ + − σ σ + − + − + − σ σ

σ σ + − σ σ + − + − σ + − σ + − + − σ + − σ + −

+ + + −

− − − ≤

Положим kin =−+ )( 1σ , =)(iσ , rjn =−+ )( 1σ , sj =)(σ , тогда непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что левая часть приведенного неравенства записывается в виде

)()( ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, skjinrjnirjinskjnirkjninsjisjninrkji aaaaaaaa −+−+−+−+−+−+−+−+ −−++−−+ 11111111 .

В силу (1) для множества σ11,I должны выполняться соотношения 1 , / 2i j n≤ ≤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ и nk ≤<≤1 , nsr ≤<≤1 , из которых и условий предложения 3 следует справедливость требуемого неравен-

ства для любых 1,1,i j I σ∈ . Таким образом, неположительность суммы )(,∑σ11 A доказана.

Следующее утверждение гарантирует неположительность сумм )(,∑σ 12 A и )(,∑σ 13 A .

П р е д л о ж е н и е 4. Пусть матрица nkjia R∈= )( ,,,A удовлетворяет неравенствам

,0,0 ,,1,1,,1,,,1,1,,1,,,,1,,,,,,1,,, ≤−−+≤−−+ −+−+−+−+−+−+−+−+ skjninsjnisjninskjnirkjinrjirjinrkji aaaaaaaa

,0,0 ,,1,1,,,1,,1,1,,,1,,1,,,,,,1,,,, ≤−−+≤−−+ −+−+−+−+−+−+−+−+ ksinjnrsijnrsinjnksijnkrinjrijrinjkrij aaaaaaaa

где ⎣ ⎦21 /ni ≤≤ , ⎡ ⎤21 /nj ≤≤ , ji ≠ и nk ≤<≤1 , nsr ≤<≤1 , srk ,≠ sr,≠ . Тогда суммы

)(,∑σ 12 A и )(,∑σ 13 A неположительны при любой подстановке nS∈σ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся в справедливости неравенства 012 ≤∑ )(,σ A . Очевидно,

это неравенство имеет место, если общий член суммы )(,∑σ 12 A неположителен при любых σ∈ 1,1Ii , σ∈ 2,1Ij . Из второго равенства предложения 1 следует, что общий член рассматриваемой

суммы допускает равносильную запись

),()( ,,1,1,,1,,,1,1,,1,,,,1,,,,,,1,,, skjninsjnisjninskjnirkjinrjirjinrkji aaaaaaaa −+−+−+−+−+−+−+−+ −−++−−+

где =σ )(i , kin =−+σ )1( и rj =σ )( , sjn =−+σ )1( . В силу (1) для элементов σ∈ 1,1Ii и σ∈ 2,1Ij

должны выполняться соотношения ⎣ ⎦2/1 ni ≤≤ , ⎡ ⎤2/1 nj ≤≤ , ji ≠ и nk ≤<≤1 , nsr ≤<≤1 , где элементы ,,, kji попарно различны в силу их определения и ji ≠ . Из полученных соотно-шений и первых двух неравенств предложения 4 следует неположительность рассматриваемого общего члена и, следовательно, – самой суммы )(,∑σ 12 A . По аналогии доказывается справедли-

вость неравенства 013 ≤∑ )(,σ A .

В следующих двух утверждениях формулируются условия неположительности сумм )(,∑σ 21 A , )(,∑σ 22 A и )(,∑σ 23 A , обеспечивающих знакопостоянство приращения ),( σϕσσΔ Af .


,0,0 ,,,2,,2,,,,2,,2,,,2,2,,,,,2,2,,, ≤−−+≤−−+ −+−+−+−+−+−+−+−+ rjinskjniskjinrjnisjninrkjirkjninsji aaaaaaaa

где 2 , / 2i j n≤ ≤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ и nk ≤<≤1 , nsr ≤<≤1 . Тогда сумма )(,∑σ 21 A является неположитель-

ной при любой подстановке nS∈σ .



Беларуси

9


,0,0 ,,2,2,,2,,,2,2,,2,,,,2,,,,,,2,,, ≤−−+≤−−+ −+−+−+−+−+−+−+−+ rjninrkjnirkjninrjnisjinskjiskjinsji aaaaaaaa

,0,0 ,,2,2,,,2,,2,2,,,2,,2,,,,,,2,,,, ≤−−+≤−−+ −+−+−+−+−+−+−+−+ skinjnrkijnrkinjnskijnsinjrijrinjsij aaaaaaaa

где ⎡ ⎤22 /ni ≤≤ , ⎡ ⎤211 /)( +≤≤ nj , ji ≠ и nk ≤<≤1 , nsr ≤<≤1 , ,, srk ≠ sr,≠ . Тогда

суммы )(,∑σ 22 A и )(,∑σ 23 A неположительны при любой подстановке nS∈σ .

Прямым следствием предложений 2–6 является результирующее утверждение. Т е о р е м а 2. Пусть для матрицы nR∈A выполняются все условия предложений 3–6.

Тогда подстановка 0σ минимизирует Af на nS . Нетрудно проверить, что условия предложений 3, 4 выполняются для обобщенных матриц

Монжа. Таким образом, из теоремы 2 непосредственно вытекает С л е д с т в и е. Если для обобщенной матрицы Монжа nR∈A выполняются условия пред-

ложений 5 и 6, то подстановка 0σ минимизирует функционал Af на nS . Полученная теорема 2 обобщает классическую теорему о перестановке трех систем Харди,

Литтльвуда и Пόлиа [6], а также ее обобщения, описанные в работе [7] для квадратичной задачи о назначениях, функционал которой определяется матрицей A единичного ранга.

Литература

1. L a w l e r E. L., L e n s t r a J. K., R i n n o o y K a n A. H. G., S h m o y s D. B. The traveling salesman problem. Chichester, 1985.

2. G u t i n G., P u n n e n A. P. The traveling salesman problem and its variations. Dordrecht, 2002. 3. B u r k a r d R. E., D e i n e k o V. G., v a n D a l R. et al. // SIAM Rev. 1998. Vol. 40, N 3. P. 496−546. 4. B u r k a r d R. E., K l i n z B., R u d o l f R. // Discrete Appl. Math. 1996. Vol. 70. P. 95−161. 5. Д е м и д е н к о В. М. // Докл. НАН Беларуси. 2003. Т. 47, № 2. C. 15−18. 6. Х а р д и Г. Х., Л и т т л ь в у д Д. Е., П о л и а Г. Неравенства. М., 1948. 7. B u r k a r d R. E., C e l a E., R o t e R., W o e g i n g e r G. J. // Math. Program. 1998. Vol. 82. P. 125−158. 8. B u r k a r d R. E., C e l a E., D e m i d e n k o V. M. et al. Perspectives of easy and hard cases of the quadratic

assignment problem. Graz, 1997. (Report / Institute of Mathematics, Techn. Univ. Graz: N 104). 9. Д е м и д е н к о В. М. // Дискретная математика. 2007. Вып. 19, № 1. С. 105−132.

DEMIDENKO V. M.

[email protected]

CONDITIONS OF EFFECTIVE SOLVABILITY OF THE QUADRATIC PROBLEM OF SELECTION

Summary

The cone, for which strong resolvability of the quadratic problem of selection is guaranteed, is described in the four-index matrixes space.



Беларуси

10



УДК 519.872

М. А. МАТАЛЫЦКИЙ, Е. В. КОЛУЗАЕВА

МАРКОВСКИЕ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ С ДОХОДАМИ

(Представлено членом-корреспондентом Ю. С. Хариным)

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Гродно Поступило 28.04.2008

Введение. Как известно, функционирование любой марковской сети массового обслужива-ния (МО) можно описать с помощью цепи Маркова с непрерывным временем. Первая работа, посвященная исследованию марковских сетей МО, а именно, экспоненциальных сетей с дисцип-линами обслуживания FIFO в системах опубликована 52 года назад и принадлежит Дж. Джек-сону [1]. Позже были введены в рассмотрение другие экспоненциальные сети, имеющие различ-ные практические применения в качестве математических моделей в компьютерной технике, производстве, страховании и других областях. С описанием и некоторыми результатами по их исследованию в стационарном и переходном режимах можно ознакомиться в монографиях [2–5]. В данной работе рассматривается новый класс сетей МО – марковские сети с доходами произ-вольной топологии (НМ(Howard-Matalytski)-сети [6; 7; 14]). Частный случай таких сетей со звез-дообразной топологией изучен в работах [8–10].

Основанием для получения описанных ниже результатов послужила работа Р. Ховарда [11], в которой было введено понятие цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем и дохо-дами, являющимися константами, и предложены некоторые методы анализа таких цепей с не-большим числом состояний. Следует заметить, что для сетей МО это является существенным ограничением – обычно рассматриваются замкнутые сети с большим числом состояний или от-крытые сети со счетным числом состояний. В данной статье предлагаются методы нахождения ожидаемых доходов в таких сетях.

Постановка задачи. Рассмотрим открытую сеть МО Джексона с однотипными заявками, со-стоящую из n систем массового обслуживания (СМО) 1 2, ,..., nS S S . Под состоянием сети пони-мается вектор 1 2( ) ( , ) ( , ,..., , )nk t k t k k k t= = , где ik – число заявок в системе iS в момент времени t , 0[ , )t t∈ +∞ , 1,i n= . Для унификации обозначений введем систему 0S (внешнюю среду), из которой в сеть поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ . Обозначим через

( )i ikμ интенсивность обслуживания заявок в системе iS , когда в ней (в очереди и на обслужи-вании) находится ik заявок, 1,i n= ; 0 jp – вероятность поступления заявки из системы 0S в сис-

тему jS , 01

1n

jj

p=

=∑ ; ijp – вероятность перехода заявки после обслуживания из системы iS

в систему jS , 0

1n

ijj

p=

=∑ , 1,i n= . Заявка при переходе из системы iS в систему jS приносит сис-

теме jS некоторый доход и соответственно доход системы iS уменьшается на эту величину,

, 0,i j n= . Требуется найти ожидаемые (средние) доходы систем сети за время t при условии, что нам

известно ее состояние в начальный момент 0t . Будем рассматривать эту задачу в трех случаях, когда доходы от переходов между состояниями сети являются:



Беларуси

11

а) детерминированными величинами, зависящими от состояний сети; б) детерминированными функциями, зависящими от состояний сети и времени; в) случайными величинами (СВ) с заданными моментами первого и второго порядков, ин-

тенсивности обслуживания заявок в СМО сети не зависят от числа заявок в них. В этом состоит новизна в постановке задачи. Напомним, что в [11] рассматриваются цепи Маркова с небольшим числом состояний и доходами, при этом доходы от переходов между состояниями цепи являют-ся детерминированными величинами, не зависящими от времени. Очевидно, что случай а) явля-ется частным случаем случая б). Во всех случаях будем считать, что СМО сети являются одно-линейными.

Системы уравнений для ожидаемых доходов и их решения. Рассмотрим случай б). Пусть ( , )iv k t – полный ожидаемый доход, который получает система iS за время t , если в начальный

момент времени сеть находится в состоянии 0( , )k t ; ( )ir k – доход системы iS в единицу време-ни, когда сеть находится в состоянии k ; iI – n -вектор с нулевыми компонентами, за исключе-нием компоненты с номером i , которая равна 1; 0 ( , )i ir k I t+ – доход системы iS , когда сеть со-вершает переход из состояния ( , )k t в состояние ( , )ik I t t+ + Δ за время tΔ ; 0 ( , )i iR k I t− − – до-ход этой системы, если сеть совершает переход из состояния ( , )k t в состояние ( , )ik I t t+ + Δ ;

( , )ij i jr k I I t+ − – доход системы iS (расход или убыток системы jS ), когда сеть изменяет свое

состояние из ( , )k t на ( , )i jk I I t t+ − + Δ за время tΔ , , 1,i j n= . Пусть сеть находится в состоянии ( , )k t . В течение интервала времени tΔ она может остаться

в состоянии k или перейти в состояния ( )ik I− , ( )ik I+ , ( )i jk I I+ − , , 1,i j n= . Возможные пе-реходы между состояниями сети, их вероятности и доходы системы iS от таких переходов пред-ставлены в таблице. Например, если сеть остается в состоянии ( , )k t t+ Δ , то ожидаемый доход системы iS составит ( )ir k tΔ плюс ожидаемый доход ( , )iv k t , который она получит за остав-

шиеся t единиц времени; вероятность такого события равна 1

1 λ μ ( ) ( ) Δ (Δ )n

j j jj

k u k t o t=

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ,

где 1, 0,

( )0, 0.

xu x

x>⎧

= ⎨ ≤⎩ Аналогично, если сеть переходит из состояния ( , )k t в состояние

( , )i jk I I t t+ − + Δ , j i≠ , с вероятностью ( ) ( ) ( )j j j jik u k p t o tμ Δ + Δ , она приносит системе iS до-ход в размере ( , )ij i jr k I I t+ − плюс ожидаемый доход сети за оставшееся время, если бы началь-ным состоянием сети было состояние ( )i jk I I+ − .

Таблица

Возможные переходы между состояниями сети

Вероятности переходов

Доходы системы iS от переходов между состояниями

( , ) ( , )k t k t t→ + Δ 1

1 λ μ ( ) ( ) ( )n

j j jj

k u k t o t=

⎛ ⎞− + Δ + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ( ) ( , )i ir k t v k tΔ +

( , ) ( , )jk t k I t t→ + + Δ , j i≠ 0 ( )jp t o tλ Δ + Δ ( ) ( , )i i jr k t v k I tΔ + +

( , ) ( , )jk t k I t t→ − + Δ , j i≠ 0( ) ( ) ( )j j j jk u k p t o tμ Δ + Δ ( ) ( , )i i jr k t v k I tΔ + −

( , )k t → ( , )c sk I I t t+ − + Δ , , ,c s i j≠ ( ) ( ) ( )s s s sck u k p t o tμ Δ + Δ ( ) ( , )i i c sr k t v k I I tΔ + + −

( , ) ( , )ik t k I t t→ + + Δ 0 ( )ip t o tλ Δ + Δ 0 ( , ) ( , )i i i ir k I t v k I t+ + +

( , ) ( , )ik t k I t t→ − + Δ 0( ) ( ) ( )i i i ik u k p t o tμ Δ + Δ ( )0 , ( , )i i i iR k I t v k I t− − + −

( , )k t → ( , )i jk I I t t+ − + Δ , j i≠ ( ) ( ) ( )j j j jik u k p t o tμ Δ + Δ ( , ) ( , )ij i j i i jr k I I t v k I I t+ − + + −

( , )k t → ( , )i jk I I t t− + + Δ , j i≠ ( ) ( ) ( )i i i ijk u k p t o tμ Δ + Δ ( , ) ( , )ji i j i i jr k I I t v k I I t− − + + − +



Беларуси

12

Тогда, используя формулу полной вероятности для условного математического ожидания, для ожидаемого дохода системы iS можно получить систему разностных уравнений, которая при 0tΔ → сводится к системе разностно-дифференциальных уравнений (РДУ):

0 01 1

( , )( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

n ni

j j j i j i j j j j j i jj j

dv k tk u k v k t p v k I t k u k p v k I t

dt = =

⎡ ⎤⎡ ⎤= − λ + μ + λ + + μ − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

1

( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )n

j j j ji i i j i i i ij i i jjj i

k u k p v k I I t k u k p v k I I t=≠

⎡ ⎤μ + − + μ − + +⎣ ⎦∑

1μ ( ) ( ) ( , ) μ ( ) ( ) ( , )

n

j j j ji ij i j i i i ij ij i jjj i

k u k p r k I I t k u k p r k I I t=≠

⎡ ⎤+ − − − + +⎣ ⎦∑

0 0 0 0, 1,

( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )n

s s sc i c s i i i i i i i i i ic sc s i

k p v k I I t p r k I t k u k p R k I t r k=≠

μ + − + λ + −μ − +∑ . (1)

Число уравнений в этой системе равно числу состояний сети. Для замкнутых сетей в случае а) система уравнений (1), в свою очередь, представима в виде

системы конечного числа линейных неоднородных ОДУ с постоянными коэффициентами, кото-рая в матричной форме может быть записана в виде

( ) ( ) ( )ii i

d t Q t A tdtΝ

= + Ν , (2)

где ( ) ( (1, ), (2, ),..., ( , ))Ti i i it v t v t v l tΝ = – искомый вектор доходов системы iS , l – число состояний

сети. Решение системы (2) можно найти, используя прямой метод ( ) (0)Ati it eΝ = Ν +

( τ)

0(τ) τ

tA t

ie Q d−∫ или метод преобразований Лапласа, тогда ( ) ( )* ( ) ( ) (0)i i it W t Q t H tΝ = + Ν ,

где ( )W t , ( )H t – обратные преобразования Лапласа соответственно матрицам 11 ( )sI As

−−

и 1( )sI A −− , 0

( ) * ( ) ( ) ( )t

i iW t Q t W u Q t u du= −∫ . Можно доказать, что для общего ожидаемого дохо-

да сети справедливо выражение 1

( , ) ( , ) ( ) ( ) α( )n

ii

V k t k t g k t k t== ν = +Θ +∑ , где ( )g k – так называе-

мый вектор прибылей; ( )kΘ – вектор весов состояний k; 0α( ) tt J→∞⎯⎯⎯→ , 0J – нулевой вектор-

столбец. В случае а) система уравнений (1) будет выглядеть ( )( )i

i id t

Q A tdtΝ

= + Ν , а ее решение

( ) ( ) ( ) (0)i i it W t Q H tΝ = + Ν , 1,i n= . Однако не следует забывать, что число состояний замкнутой сети МО равно 1

1nn Kl C −+ −= , где K – число заявок, обслуживающихся в сети, и оно является до-

вольно большим при относительно небольших n и K , т. е. число уравнений в системе (2) будет также достаточно большим. Расчеты на ПЭВМ показали, что такими метода-ми удобно находить ожидаемые доходы для систем сетей с относительно небольшим простран-ством состояний (l < 100); прямым методом это можно сделать для сетей бóльшей размерности, чем методом преобразований Лапласа. Для нахождения ожидаемых доходов можно также при-менить численные методы [12].

Для открытых сетей, когда число уравнений в системе (1) бесконечно, находить ожидае- мые доходы в системах сети в случае а) можно, используя метод z-преобразований. Пусть



Беларуси

13

{ }1 2( , ,..., ) / 1, 1,n kz z z z z k n∈ < = , введем многомерное z-преобразование для ожидаемого дохода

системы iS :

1 2

1 21 2 1 2

0 0 0 0, 11,

( , ) ... ( , ,..., , ) ... ( , ) ln

n i

n kk k ki i n n i l

k k k k li n

z t v k k k t z z z v k t z∞ ∞ ∞ ∞

= = = = ==

ϕ = ⋅ ⋅ =∑ ∑ ∑ ∑ ∏ .

Рассмотрим систему уравнений (1) в случае а). Обозначим через α ( )i k следующую сумму:

1

0 0 0 0

α ( ) μ ( ) ( ) ( ) μ ( ) ( ) ( )

λ ( ) μ ( ) ( ) ( ) ( ), 1, .

n

i j j j ji ij i j i i i ij ij i jj

i i i i i i i i i i

k k u k p r k I I k u k p r k I I

p r k I k u k p R k I r k i n

=⎡ ⎤= + − − − + +⎣ ⎦

+ − − + =

∑

(3)

Пусть для простоты μ ( ) μi i i ik k= , ( )i ir k r= , ( )ij ijr k r= , 0 0( )i ir k r= , 0 0( )i iR k R= , , 1,i j n= , то-гда справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 1 . Функция ( , )i z tϕ удовлетворяет соотношению

01

( , ) ( , ) ( , )λ ( , ) μ ( 1) μn

i i ii j j j ji j j j i i ij

j j i

z t z t z tz t z k p k z p k pt z z=

⎧ ⎡∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ⎪= − ϕ − + − − +⎢⎨∂ ∂ ∂⎢⎪ ⎣⎩∑

{ }

00

λ( , )μ μ ( 1) μ ( , )

jji

i i ij j j j j ji j i i ij i ii j

pz tk p k p z p z k p z z t

z z

⎡ ⎤⎤∂ϕ+ + − − + ϕ +⎢ ⎥⎥

∂ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦

0 { } { }( , ) ( , )j jj jij j ij i i ij i j j ji i

j j i

p zzk p k p z t k p z t

z z z

⎛ ⎞λ ⎫⎪μ −μ − ϕ −μ ϕ +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎭⎝ ⎠

{ ( ){ } { }

, 1 1,

( , ) 1μ 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( )1

nns cc s s

s s sc s c c cc s ls c c lc s i

z t z zk p z z t z t z t R z

z z z z= =≠

⎡ ⎫⎛ ⎞ ⎤∂ϕ ⎪+ + ϕ + ϕ + ϕ +⎢ ⎬⎜ ⎟ ⎥∂ −⎢ ⎪⎝ ⎠ ⎦⎣ ⎭∑ ∏ , (4)

где

1 11

1 1 1

{ }1 1 1 1 1j-1

0 0 0 0( , ) ... ... ( ,..., ,0, ,... , ) ... ...j j n

j j n

k kk kji i j j n nj

k k k kz t v k k k k t z z z z− +

− +

∞ ∞ ∞ ∞

− + += = = =

ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =∑ ∑ ∑ ∑

00, 1,

1, ,

( , ) lj

l

n ki lk

k ll jl n l j

v k t z∞

== =

≠= ≠

∑ ∏ , 1,j n= ,

( ) 0 0 0 0 01

( ) μ μ λ μ 1 λ μ μ1 1 1 1

n ji i ij ji ij i ij ji i i i i i i i j i

j i i i j

zz z zR z p r p r p r p R p r

z z z z=

⎛ ⎞= − + − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠∑ . (5)

Теорема доказывается путем умножения обеих частей системы (1) на 1

ln k

ll

z=∏ , суммирования

по всем , 1,lk l n= , от 0 до +∞ и преобразованиями получающихся при этом многократных рядов. Как видно, полученные соотношения для z-преобразований ожидаемых доходов систем сети

имеют сложный вид, решить их аналитически даже с учетом (5) невозможно; в [13] предложен алгоритм нахождения доходов, используя соотношения (4).



Беларуси

14

Анализ ожидаемых доходов в случае в). Рассмотрим динамику изменения доходов некото-рой системы iS НМ-сети типа Джексона. Пусть в начальный момент t0 = 0 доход этой системы был равен 0iv . Нас интересует доход системы ( )iV t в момент времени t . Для этого можно разбить

отрезок [ ]0,t на m частей длиной ttm

Δ = , устремляя m к +∞ . Выпишем вероятности тех собы-

тий, которые могут произойти на l-м отрезке времени, 1,l m= . При этом возможны следующие ситуации: 1) с вероятностью 0λ ( )ip t o tΔ + Δ в систему iS поступит заявка из системы 0S , которая принесет ей доход в размере 0ir , где 0ir – CВ с функцией распределения (ф. р.) 0 ( )iF x ; 2) с веро-ятностью 0μ ( ( )) ( ( )) ( )i i i ik l u k l p t o tΔ + Δ из системы iS заявка перейдет во внешнюю среду, при этом ее доход уменьшится на величину 0iR , где 0iR – CВ с ф. р. 0 ( )iF x ; 3) с вероятностью μ ( ( ) ( ( )) ( )j j j jik l u k l p t o tΔ + Δ заявка перейдет из системы jS в систему iS , при этом доход iS

возрастет на величину jir , а доход системы jS уменьшится на эту величину, 1, ,j n j i= ≠ , где

jir – CВ с ф. р. 1 ( )jiF x ; 4) с вероятностью μ ( ( )) ( ( )) ( )i i i ijk l u k l p t o tΔ + Δ заявка из системы iS по-ступит в систему jS , при этом доход системы iS уменьшится на величину ijR , а доход системы

jS возрастет на эту величину, где ijR – CВ с ф. р. 2 ( )ijF x , , 1,i j n= ; 5) с вероятностью

( )01 λ μ ( ( )) ( ( )) ( )i i i ip k l u k l t o t− + Δ + Δ на отрезке времени tΔ изменение состояния системы iS не

произойдет. Очевидно, что ji jir R= с вероятностью 1, , 1,i j n= , т. е. 1 2( ) ( )ij ijF x F x= , , 1,i j n= .

Кроме того, за каждый малый промежуток времени tΔ система iS увеличивает свой доход на величину ir tΔ , будем считать, что ir является СВ с ф. р. ( ), 1,iF x i n= .

Пусть ( )ild tΔ – изменение дохода i-й СМО на l-м отрезке времени величиной tΔ . Тогда из вышеуказанного следует

0 0

0 0

с вероятностью λ ( ),

с вероятностью μ ( ( )) ( ( )) ( ),

с вероятностью μ ( ( )) ( ( )) ( ), 1, , ,( )

с вероятностью μ ( ( )) ( ( ))

i i j

i i i i i i

ji i j j j jiil

ij i i i i

r r t p t o t

R r t k l u k l p t o t

r r t k l u k l p t o t j n j id t

R r t k l u k l

+ Δ Δ + Δ

− + Δ Δ + Δ

+ Δ Δ + Δ = ≠Δ =

− + Δ

( )0

( ), 1, , ,

с вероятностью 1 λ μ ( ( )) ( ( )) ( ).ij

i i i i i

p t o t j n j i

r t p k l u k l t o t

⎧⎪⎪⎪⎨⎪ Δ + Δ = ≠⎪⎪ Δ − + Δ + Δ⎩

Введем обозначения для соответствующих математических ожиданий:

{ } 10

( )ji ji jiM r xdF x a∞= =∫ , { } 2 ,

0( )ij ji ijM R xdF x b

∞= =∫ , 1,i j n= , { }0 0 0

0( )i i iM r xdF x a

∞= =∫ ,

{ }0

( )i i iM r xdF x с∞= =∫ , { }0 0 0

0( )i i iM R xdF x b

∞= =∫ , 1,i n= , ji jia b= , , 1,i j n= .

Суммируя ожидаемые доходы на различных отрезках времени, получим следующие при-ближенные соотношения:

{ } ( ) ( ) ( )0 0 01 00 0

( ) ( ) λ μ min ( ), μ min ( ),t tn n

i i i i i i j ji ji j j i i i ij ijj j

v t M V t v c a p t a p N s m ds N s m ds b p= =

= = + + + −∑ ∑∫ ∫ ,

1,i n= ;

( ) ( )0 0 0 0 01 1 0

( ) λ μ min ( ),tn n

i i i i i i i i i ii i

M V t v c a p t b p N s m ds= =

⎡ ⎤⎧ ⎫ = + + −⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦∑ ∑ ∫ ,



Беларуси

15

где ( )iN s – среднее число заявок в системе iS на интервале времени [ ]0, s . В случае, когда CВ

jir , ijR , 0ir , 0iR являются независимыми по отношению к СВ ir , , 1,i j n= , дисперсия доходов

системы iS удовлетворяет соотношению

( )20 0 2 0 00

( ) λ μ min ( ),t

i i i i i i i iDV t a p t b p N s m ds⎧⎪= + +⎨⎪⎩

∫

( ) ( )2 21 0 0μ min ( ), μ min ( ),

t tn

j ji ji j j i ij ij i ijj i

a p N s m ds b p N s m ds=≠

⎫⎡ ⎤⎪+ −⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪

⎭

∑ ∫ ∫

( ) ( )0 0 0 00

λ μ min ( ),t

i i i i i i i ic a p t b p N s m ds⎧⎪ + − +⎨⎪⎩

∫

( ) ( )2

1 0 0μ min ( ), μ min ( ),

t tn

j ji ji j j i ij ij i ij

a p N s m ds a p N s m ds=

⎫⎡ ⎤⎪− ⎬⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎭

∑ ∫ ∫ , 1,i n= .

Заметим, что общий ожидаемый доход сети не зависит от , , , 1,ij ijr R i j n= , поскольку эти до-ходы взаимно погашают друг друга (если заявка переходит из одной СМО сети в другую, то до-ход последней СМО увеличивается на некоторую величину, а доход первой СМО уменьшается на ту же самую величину).

Анализ доходов в сетях с разнотипными заявками. Рассмотрим сеть МО произвольной топологии с разнотипными заявками и доходами, состояния сети которой в момент времени t описывается вектором ),,...,,,...,,...,,,,...,,(),()( 212222111211 tkkkkkkkkktktk nrnnrr== , где ick – число заявок типа c в системе iS сети, 1,i n= , 1,c r= . Пусть ( , )v k t полный ожидаемый доход, кото-рый получает некоторая система сети за время t, если в начальный момент времени сеть нахо-дится в состоянии k. В общем случае, когда функционирование сети описывается марковским процессом ( )k t , 0t ≥ , систему РДУ для доходов ее систем можно записать в виде

, 1 , 1

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )n r

icjs ic jsi j c s

dv k t k k v k t k v k I I tdt = =

= Α −Λ + Φ + −∑ ∑ , (6)

где ( )kΛ , ( )icjs kΦ – некоторые неотрицательные функции; icI – вектор размерности n r× с нуле-выми компонентами, за исключением компоненты с номером ( 1)r i c− + , которая равна единице.

Для решения системы (6) можно применить метод последовательных приближений. Пусть ( , )mv k t – приближение дохода ( , )v k t на m-й итерации, 1( , )mv k t+ – решение системы (6), полу-

ченное методом последовательных приближений, 0,1,2,...m = ,

( ) ( ) ( )1

, 1 , 10

( )( , ) ( ,0) ( ) ( , ) 1( )

t n rk t k x k t

m icjs m ic jsi j c s

kv k t e v k e k v k I I x dx ek

−Λ Λ −Λ+

= =

⎧ ⎫ Α⎪ ⎪ ⎡ ⎤= + Φ + − + −⎨ ⎬ ⎣ ⎦Λ⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑∫ . (7)

Очевидно, что ( ,0) ( ,0)mv k v k= , и пусть 0 ( , ) ( ) lim ( , )t

v k t v k v k t→∞

= = .

Т е о р е м а 2 . Последовательные приближения ( , )mv k t , 1,2,...m = , сходятся при t→∞ к стационарному решению системы уравнений (6), если оно существует.

Можно указать случаи, когда такое решение существует и когда нет. Для практического применения метода более важны следующие утверждения.



Беларуси

16

Т е о р е м а 3. Последовательность { }( , )mv k t , 0,1,2,...m = , построенная по схеме (7), при любом ограниченном нулевом приближении 0 ( , )v k t сходится при m→∞ к единственному ре-шению системы уравнений (6).

Т е о р е м а 4. Любое приближение ( , )mv k t , 1m ≥ , представимо в виде степенного ряда

0( , ) ( ) l

m mll

v k t d k t∞

== ∑ , коэффициенты которого удовлетворяют рекуррентным соотношениям

[ ][ ]

11

1 10

( ) ( 1) ( )( )( ) ( ,0) !! ( ) ( )

l ulmu

m l uu

k D kkd k v k ul k k

+−

+ +=

⎧ ⎫−Λ −Α⎪ ⎪= − +⎨ ⎬Λ Λ⎪ ⎪⎩ ⎭∑ , 0l ≥ , 10 ( ) ( ,0)md k v k+ = ,

0 0( ) ( ,0)δl ld k v k= ,

где , 1 , 1

( ) ( ) ( )n r

ml icjs ml ic jsi j c s

D k k d k I I= =

= Φ + −∑ ∑ , 0lδ – символ Кронекера. Если ( ) 1kΛ ≥ , то ряд схо-

дится при любом конечном 0t > . Доказательство теорем 2–4 во многом аналогично доказательству соответствующих утвер-

ждений для приближений зависящих от времени вероятностей состояний марковских сетей с разнотипными заявками и многолинейными СМО [2], для нахождения которых также был применен метод последовательных приближений.

Последнее утверждение позволяет находить ожидаемые доходы систем сети с помощью ПЭВМ с большим числом состояний за приемлемое процессорное время. Если свести систему (6) к системе линейных неоднородных ОДУ и решить прямым методом, то это время будет, по крайней мере, на порядок больше. Рассмотрим примеры применения НМ-сетей в качестве мате-матических моделей.

П р и м е р 1 (анализ определенных доходов в банковских сетях). Действующая в нашей стране платежная система может быть кратко охарактеризована следующим образом. На верх-нем уровне банковской сети находится Национальный (Центральный) банк (ЦБ), ниже – круп-ные периферийные банки (ПБ) с их филиалами. Все межбанковские расчеты осуществляются расчетным центром ЦБ с помощью банковской компьютерной сети по платежным транзакциям банков и их клиентов через корреспондентские счета, открывающиеся на балансе каждого банка.

Используя НМ-сети, можно найти ожидаемые доходы от переходов между состояниями бан-ковской сети, соответствующих поступлению запросов (заявок) в ПБ, из ПБ в ЦБ, из ЦБ во внешнюю среду (например, международную банковскую сеть) и получение ответов на эти за-просы. Заявками могут служить транзакции о переводе денег в банки.

П р и м е р 2 (оценка ожидаемых доходов в сети Интернет). При обращении к сети Интернет запрос (заявка) поступает от пользователя в АТС, при этом он платит некоторую плату. При передаче запроса далее Интернет-сервис провайдеру (поставщик Интернет-услуг) часть платы пользователя передается этой организации, АТС при этом несет расходы за содержание ком-муникационного оборудования, включая расходы на зарплату работникам. Когда сообщение передается наоборот, от провайдера в АТС, то АТС получает плату (доход) от провайдера за использование канала. Далее все происходит аналогично. При этом важной задачей является оценка ожидаемых доходов различных организаций, осуществляющих передачу и обработку запросов пользователей в сети Интернет, при решении которой можно использовать HM-сети.

П р и м е р 3 (оценка ожидаемых доходов в логистических транспортных системах). Предпо-ложим, что автотранспортное предприятие, имеющее K большегрузных автомобилей и нахо-дящееся в пункте 1S , осуществляет перевозку грузов между пунктами 1 2, ,..., nS S S . Перевозка груза из пункта iS в пункт jS приносит предприятию некоторый, в общем случае, случайный доход; при этом предприятие несет материальные убытки, связанные с расходами на топливо и зарплату водителю, , 1,i j n= . После перевозки груза из пункта iS в пункт jS автомобиль воз-

вращается в пункт 1S , перевозя при этом попутные грузы через некоторые пункты, находящиеся



Беларуси

17

в направлении от jS к 1S . При этом, как правило, доход получает и получатель груза в пункте

jS , а расходы на перевозку может осуществлять отправитель, находящийся в пункте iS ,

, 1,i j n= . Моделью таких перевозок может служить замкнутая НМ-сеть, состоящая из n СМО

1 2, ,..., nS S S , в которой обслуживаются K заявок. Для оценки ожидаемых доходов ее систем можно использовать методы, описанные выше.


1. J a c k s o n J. R. // Operations Research. 1957. Vol. 5, N 4. P. 518–521. 2. М а т а л ы ц к и й М. А. Сети массового обслуживания в стационарном и переходном режимах. Гродно, 2001. 3. М а т а л ы ц к и й М. А., Р о м а н ю к Т. В. Приближенные методы анализа сетей с центральной системой

обслуживания и их применения. Гродно, 2003. 4. И в н и ц к и й В. А. Теория сетей массового обслуживания. М., 2004. – 772 с. 5. М а т а л ы ц к и й М. А., Р у с и л к о Т. В. Математический анализ стохастических моделей обработки исков

в страховых компаниях. Гродно, 2007. 6. P a n k o v A. V. // Computer Science. 2003. Vol. 3, N 5. P. 19–29. 7. К о л у з а е в а Е. В., М а т а л ы ц к и й М. А. // Вестн. ГрГУ. Сер. 2. 2008. № 1. С. 22–29. 8. М а т а л ы ц к и й М. А., П а н ь к о в А. В. // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2004. № 2. С. 86–91. 9. M a t a l y t s k i M., P a n k o v A. // Computer Science. 2004. Vol. 4, N 7. P. 23–32. 10. М а т а л ы ц к и й М. А., П а н ь к о в А. В. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006.

Т. 13, вып. 1. С. 123–125. 11. Х о в а р д Р. А. Динамическое программирование и марковские процессы. М., 1964. 12. M a t a l y t s k i M., P a n k o v A. // Computer Science. 2005. Vol. 5, N 8. P. 7–17. 13. М а т а л ы ц к и й М. А., К о л у з а е в а Е. В. // Вестн. ГрГУ. Сер. 2. 2008. № 3. С. 15–22. 14. М а т а л ы ц к и й М. А., К о л у з а е в а Е. В. // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. 2008. № 4. С. 113−119.

MATALYTSKI M. A., KOLUZAEVA E. V.

[email protected]

MARKOVIAN QUEUING NETWORKS OF ARBITRARY TOPOLOGY WITH INCOMES

Summary

Methods of finding expected incomes for Markov queuing networks of arbitrary architecture with incomes are considered. Examples of application of such networks as mathematical models of various objects are obtained.



Беларуси

18



УДК 517.984

В. А. ЕРОВЕНКО, М. В. МАРТОН

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КАТО ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НА СУЩЕСТВЕННО ПОЛУРЕГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ


Белорусский государственный университет, Минск Поступило 01.10.2008

Хорошо известно, что, согласно теореме Гольдмана, свойство нормальной разрешимости операторов неустойчиво при возмущениях. Работа посвящена анализу дополнительных условий на операторы с замкнутой областью значений и бесконечномерным ядром и коядром, для ко- торых сохраняется свойство замкнутости области значений при компактных возмущениях. А именно, рассматривается подкласс нормально разрешимых операторов – существенно полуре-гулярных операторов.

Пусть Х − комплексное банахово пространство и Т ∈ B(X) – ограниченный линейный опера-тор с областью определения X и областью значений R(T) ⊂ Х. Для оператора Т определим сле-дующие числовые характеристики: nul(T) := dimN(T), где N(T) := {x ∈ X: Tx = 0} − ядро операто-ра T; def(T) := codimR(T) = dim(X / R(T)) − дефект оператора Т (размерность коядра); ind(T) := nul(T) − def(T) – индекс оператора T.

Оператор Т ∈ B(X) называется верхним полуфредгольмовым (нижним полуфредгольмовым) и обозначается Ф+(Х) (соответственно Ф−(Х)), если

Т ∈ Ф+(Х) := {Т ∈ B(X): ( )R T = R(Т), nul(T) < ∞}

(Т ∈ Ф−(Х) := {Т ∈ B(X): )(TR = R(Т), def(T) < ∞}).

Обозначим обобщенное ядро оператора Т∈В(Х) через

N ∞(Т) := ∪{N(Тk): k = 1,2,…}

и обобщенную область значений оператора Т∈В(Х) через

R ∞(Т) := ∩{R(Тk): k = 1,2,…}.

Оператор Т ∈ В(Х) называется полурегулярным, если его область значений замкнута, ( )R T = R(Т) и выполняется включение N(Т) ⊂ R ∞(Т). Простейшими примерами полурегулярных

операторов в Т∈В(Х) являются ограниченные снизу операторы и суръективные операторы. В терминах состояний Тейлора–Халберга последние классы операторов можно описать, соответ-ственно, как Т∈1 и Т∈I (см. определения в [1]).

Следует отметить, что включение N(Т) ⊂ R ∞(Т) эквивалентно другим включениям, которые можно описать в терминах обобщенного ядра и области значений или обобщенной области зна-чений:

N(Т) ⊂ R ∞(Т) ⇔ N ∞(Т) ⊂ R ∞(Т) ⇔ N ∞(Т) ⊂ R(Т).

Оператор Т ∈ В(Х), следуя Мюллеру [2, определение 3.2] будем называть существенно полу-регулярным, если его область значений замкнута, т. е. ( )R T = R(Т) и выполняется включение



Беларуси

19

N(Т) ⊂ е R ∞(Т), т. е. если размерность выступа нулей оператора Т на обобщенной области значе-ний R ∞(Т) конечна, а именно, если k(Т) := dim [N(T) / (N(T) ∩ R ∞(Т))] < ∞.

Заметим, что если имеет место включение N(Т) ⊂ е R ∞(Т), то для числа k: = k(Т), в соответст-вии с терминологией Каашука, оператор Т обладает свойством P(S; k) для S = I [3, определение 2.1], а в терминологии Грабинера, в силу теоремы 3.7 (b) из [4], оператор Т имеет почти равно-мерный спуск k.

Отметим, что полурегулярные и полуфредгольмовы операторы являются существенно полу-регулярными. Обратное, вообще говоря, неверно. На контрпримере можно показать, что сущест-вуют существенно полурегулярные операторы, которые не являются полуфредгольмовыми опе-раторами, т. е. класс существенно полурегулярных операторов шире класса полуфредгольмовых операторов.

К о н т р п р и м е р 1. Пусть H − гильбертово пространство с ортонормированным бази-сом {еij: i, j − целые, i ≥ 1}, на котором определен ограниченный оператор Т с помощью ра-венств Теi0 = 0, Теij = еij–1, для j ≠ 0. Тогда N(Т) = L {еi0: i ≥ 1}, N(Т) ⊂ R ∞(Т) и )(TR = R(Т), т. е. Т − полурегулярный оператор и, следовательно, существенно полурегулярный. Так как размер-ность ядра и коядра оператора бесконечна, тогда оператор T не является полуфредгольмовым.

Известно, что для полуфредгольмовых операторов справедливы теоремы Като об устой-чивости свойства полуфредгольмовости, даже с сохранением индекса, при малых по норме и при компактных возмущениях оператора (теорема IV.5.26 в [5]).

Т е о р е м а 1. Пусть X и Y – банаховы пространства и оператор Т ∈ В(Х, Y) – полуфред-гольмов. Если линейный оператор А − компактный, действующий из X в Y, то тогда Т + А ∈ В(Х, Y) − полуфредгольмов оператор и ind(Т + А) = ind(Т).

Сформулируем теорему, в которой описаны известные свойства полуфредгольмовых опера-торов (теорема 6.12.2 [6]) и которая будет использоваться в доказательстве основного результата работы, а именно теоремы 3.

Т е о р е м а 2. Если Х, Y, Z – банаховы пространства, оператор Т ∈ B(X, Y), а оператор S ∈ B(Y, Z), тогда

1. S, Т – верхние полуфредгольмовы ⇒ SТ – верхний полуфредгольмов; 2. SТ – верхний полуфредгольмов ⇒ Т – верхний полуфредгольмов; 3. S, Т – нижние полуфредгольмовы ⇒ SТ – нижний полуфредгольмов; 4. SТ – нижний полуфредгольмов ⇒ S – нижний полуфредгольмов.

Если оператор К ∈ B(X, Y) компактный, то верны следующие утверждения: 5. Т – верхний полуфредгольмов, К компактный ⇒ Т + К − верхний полуфредгольмов; 6. Т – нижний полуфредгольмов, К компактный ⇒ Т + К − нижний полуфредгольмов. Рассмотрим несколько вспомогательных утверждений необходимых для доказательства ос-

новного результата работы и введем следующие определения. Пусть М – некоторое подпространство векторного пространства Х. Для каждого элемента

х ∈ Х обозначим через π(x) класс смежности пространства Х по М, содержащий х, иными слова-ми π(x) = {x + m: m ∈ M} = x + М.

Факторпространством пространства Х по подпространству М, обозначается Х / М, называется пространство, элементами которого являются классы смежности по подпространству М.

Линейное отображение π: Х → Х / М называется каноническим отображением (или фактор-отображением).

Для ограниченного линейного оператора Т на банаховом пространстве Х и пусть М – некото-рое его подпространство, М ⊂ Х, обозначим сужение оператора Т на подпространство М через Т | М, т. е. (Т | М) х = Tх для х ∈ М.

В следующей известной лемме дается эквивалентная формулировка существенно полурегу-лярного оператора в терминах полуфредгольмовых операторов.

Л е м м а 1. Пусть Т ограниченный линейный оператор на банаховом пространстве Х, т. е. Т ∈ В(Х). Следующие утверждения эквивалентны:

a) Т – существенно полурегулярный;



Беларуси

20

б) существует замкнутое подпространство М ⊂ Х такое, что ТМ = М и сужение оператора Т | М является нижним полуфредгольмовым оператором, а фактороператор T / М : Х / М → Х / М является верхним полуфредгольмовым.

Доказательство этой леммы см. в [7, лемма 1; 8, лемма 1]. При доказательстве основного результата работы используются следующие свойства спект-

рального радиуса существенного спектра Фредгольма [9, лемма 15]. Л е м м а 2. Пусть T ограниченный линейный фредгольмов оператор в банаховом простран-

стве Х, т. е. T ∈ Ф(Х) и пусть М замкнутое подпространство пространства Х такое, что T(М) ⊂ М. Тогда для спектрального радиуса существенного спектра Фредгольма справедливы неравенства

rе(T | М) ≤ rе(T) и rе(T / М) ≤ rе(T),

где T / М – фактороператор, порожденный оператором T на факторпространстве Х / М. Для доказательства сформулированного в следующей теореме результата понадобится вспо-

могательное рассуждение, сформулированное ниже в лемме 3, справедливое для любого опера-тора Т ∈ В(Х). Напомним, что класс полуфредгольмовых операторов с конечномерным ядром, т. е. Ф+(Х), и класс полуфредгольмовых операторов с конечной коразмерностью области значе-ний, т. е. Ф−(Х), являются открытыми подмножествами в банаховом пространстве В(Х) и, следо-вательно, их дополнения В(Х) \ Ф+(Х) и В(Х) \ Ф−(Х) – замкнутые подмножества. Рассмотрим следующие числовые характеристики для любого оператора Т ∈ В(Х)

d+(T) = dist (T, В(Х) \ Ф+(Х));

d−(T) = dist (T, В(Х) \ Ф−(Х)).

Заметим, что оператор Т ∈ Ф+(Х) тогда и только тогда, когда d+(T) > 0 и оператор Т ∈ Ф−(Х) тогда и только тогда, когда d−(T) > 0. Определим полуфредгольмовы радиусы r+(T) и r−(T) для операто-ра T следующим образом:

r+(T) = sup{ε ≥ 0: T − λI ∈ Ф+(Х) для |λ| < ε};

r−(T) = sup{ε ≥ 0: T − λI ∈ Ф−(Х) для |λ| < ε}.

Очевидно, что r+(T) ≥ d+(T) и r−(T) ≥ d−(T). В дальнейшем нам понадобится аналог формулы спек-трального радиуса, полученный Я. Земанеком [10, теорема 1], для полуфредгольмовых радиусов r+(T) и r−(T), а именно для любого оператора Т ∈ В(Х) справедливы формулы

( ) ( ) ( )1/ 1/ lim d supd

n nn nn n

r T T T+ + +→∞= = ;

( ) ( ) ( )1/ 1/ lim d supd

n nn nn n

r T T T− − −→∞= = .

Покажем теперь справедливость следующей вспомогательной леммы. Л е м м а 3. Пусть Т, S ∈ В(Х) и ТS = SТ, тогда если Т ∈ Ф+(Х) и rе(S) < r+(T), то

Т + S ∈ Ф+(Х), а если Т ∈ Ф−(Х) и rе(S) < r−(T), то Т + S ∈ Ф−(Х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из строгого неравенства rе(S) < r+(T) и формул для

спектрального радиуса существенного спектра Фредгольма rе(S) и полуфредгольмового радиуса r+(T) следует, что существует такое нечетное n, что || π(Sn) || < d+(Tn), где через π обозначено каноническое отображение из В(Х) в алгебру Калкина В(Х) / К(Х), где К(Х) – множество компактных операторов на банаховом пространстве Х, и π(T) = T + К(Х), для Т ∈ В(Х). Кро- ме того, по определению, норма элемента π(Sn) в фактор-алгебре В(Х) / К(Х) равна

( ) ( )|| p || inf || ||,n n

K ХS S K

∈= +

К поэтому из строгого неравенства || π(S n) || < d+(Tn) и определения inf

в формуле для || π(Sn) || следует, что найдется такой компактный оператор K0, что || Sn + K0|| < d+(Tn). Из последнего неравенства следует, что



Беларуси

21

0 < d+(Tn) − || Sn + K0|| ≤ d+(Tn + Sn + K).

Поскольку d+ (Tn + Sn + K) > 0, тогда оператор Tn + Sn + K ∈ Ф+(Х) и, следовательно, по свойству устойчивости полуфредгольмовых операторов относительно компактных возмущений (см. тео-рему 1) имеем, что Tn + Sn ∈ Ф+(Х). Пользуясь условием коммутируемости операторов Т и S, ТS = SТ, получим следующее равенство для нечетного n:

Tn + Sn = (Tn–1 – S Tn–2 + … + Sn–1) (T + S).

Заметим, что если Т1, Т2 ∈ В(Х) и Т2Т1 ∈ Ф+(Х), соответственно, Т2Т1 ∈ Ф−(Х), то Т1 ∈ Ф+(Х), соот-ветственно, Т2 ∈ Ф−(Х) (см. теорему 2). Поэтому из последнего равенства получаем, что Т + S ∈ Ф+(Х). Для доказательства того, что если Т ∈ Ф−(Х) и rе(S) < r−(T), то Т + S ∈ Ф−(Х), дос-таточно заметить, что для сопряженного оператора Т′ ∈Ф+(Х′) и Т′ S′ = S′ Т′ , а rе(S′) = rе(S) и r+(S′) = r−(S), поэтому по ранее доказанному имеем, что Т′ + S′ ∈ Ф+(Х′) и следовательно Т + S ∈ Ф−(Х). Лемма доказана.

Основной целью данной работы является анализ некоторых обобщений теорем устойчивости Като на существенно полурегулярные операторы, поскольку класс существенно полурегулярных операторов занимает промежуточное положение между нормально разрешимыми и полуфред-гольмовыми операторами. Известно, что для полуфредгольмовых операторов справедливы тео-ремы Като об устойчивости свойства полуфредгольмовости, даже с сохранением индекса, при малых по норме и при компактных возмущениях оператора. Для того, чтобы возмущенный опе-ратор Т + S, где S∈В(Х) − достаточно малый по норме или компактный оператор, обладал теми же свойствами, что и существенно полурегулярный оператор Т, необходимо было наложить на оператор S дополнительное ограничение. Таким ограничением явилось требование перестано-вочности операторов Т и S.

Докажем основной результат работы, где получена характеристика для возмущения операто-ра, при которой сохраняется свойство существенной полурегулярности, а значит и замкнутости области значений.

Т е о р е м а 3. Пусть Т и S ограниченные линейные коммутирующие операторы, т. е. Т, S ∈ В(Х) и ТS = SТ, и пусть Т – существенно полурегулярный оператор. Существует такое ε(Т) > 0, что если для спектрального радиуса существенного спектра Фредгольма оператора S выполняется неравенство rе(S) < ε(Т), то оператор Т + S также существенно полурегулярный.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим сужение оператора Т на подпространство R ∞ (T) через T | R ∞ (T), т. е. T | R ∞(T) х = Tх для х ∈ R ∞ (T), а фактороператор, порожденный оператором T на факторпространстве Х / R ∞(T) через T / R ∞(T), т. е. T / R ∞(T) [х] = [Tх] для [х] ∈ Х / R ∞(T), где [х] означает элемент факторпространства Х / R ∞(T) и называется смежным классом линейного под-пространства R ∞(T). Так как оператор T существенно полурегулярный, то по лемме 1, дающей эквивалентную характеристику существенно полурегулярных операторов в терминах операторов сужения и фактороператоров, имеем, что T | R ∞(T) ∈ Ф−(Х) и T / R ∞(T) ∈ Ф+(Х), т. е. введенные в доказательстве теоремы операторы являются полуфредгольмовыми. Так как операторы Т и S коммутируют, ТS = SТ, то справедливо включение SR ∞(T) ⊂ R ∞(T), т. е. замкнутое подпростран-ство R ∞(T) ⊂ Х инвариантно относительно оператора S, поэтому можно определить сужение оператора S | R ∞(T) и фактороператор S / R ∞(T). Очевидно, что условие коммутируемости для операторов T | R ∞(T), S | R ∞(T) и T / R ∞(T), S / R ∞(T) сохраняются

(T | R ∞(T))(S | R ∞(T)) = (S | R ∞(T))(T | R ∞(T));

(T / R ∞(T))(S / R ∞(T)) = (S / R ∞(T))(T / R ∞(T)).

По лемме 2 для спектральных радиусов существенного спектра Фредгольма оператора S, его су-жения S | R ∞(T) и фактороператора S / R ∞(T), порожденного оператором S, справедливы нера-венства

rе(S | R ∞(T)) ≤ rе(S) и rе(S / R ∞(T)) ≤ rе(S).



Беларуси

22

Используем полученный в лемме 3 результат для полуфредгольмовых операторов T | R ∞(T) ∈ Ф−(Х) и T / R ∞(T) ∈ Ф+(Х), используемых для доказательства утверждения теоремы. Возьмем в качестве ε(Т) из формулировки теоремы число

ε(Т) = min{r−(T | R ∞(T)), r+(T / R ∞(T))}.

Тогда в силу доказанного выше вспомогательного утверждения следует, что T | R ∞(T) + S | R ∞(T) – оператор класса Ф−(R ∞(T)), а T / R ∞(T)+S /R ∞(T) – оператор класса Ф+(Х / R ∞(T)). Таким образом, по лемме 1 оператор Т + S является существенно полурегулярным. Теорема доказана.

Отметим существенность условия перестановочности операторов Т и S для устойчивости свойства замкнутости области значений, даже при наличии свойства N(Т) ⊂ е R∞(Т), в теореме 3. Для соответствующего примера можно воспользоваться аналогами операторов из примера 2.5 [9], с помощью которых было показано, что множество всех полурегулярных операторов не яв-ляется открытым.

К о н т р п р и м е р 2. Пусть H − гильбертово пространство с ортонормированным бази-сом {еij: i, j − целые, i ≥ 1}, на котором определены ограниченные операторы Т и S с помощью равенств Теi0 = 0, Sеi0 = (ε/i)еi1 и Теij = еij–1, Sеij = 0, для j ≠ 0. Тогда ||S|| = ε, ТS ≠ SТ, N(Т) = L {еi0: i ≥ 1}, N(Т) ⊂ R∞(Т) и )(TR = R(Т), т. е. Т − полурегулярный оператор, но область значений R(Т + S) незамкнута, поэтому оператор Т + S не является существенно полурегулярным.

Доказанное обобщение теоремы Като можно использовать для нахождения условий устойчи-вости различных существенных спектров при коммутирующих возмущениях.


1. Е р о в е н к о В. А. Функциональный анализ: спектральные и фредгольмовы свойства линейных операторов. Минск, 2002.

2. M ü l l e r V. // J. Oper. Theory. 1994. Vol. 31. P. 363−380. 3. K a a s h o e k M. A. // Indag. Math. 1965. Vol. 27, N 3. P. 452−466. 4. G r a b i n e r S. // J. Math. Soc. Japan. 1982. Vol. 34, N 2. P. 317−337. 5. К а т о Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972. 6. H a r t e R. Invertibility and singularity for bounded linear operators. N. Y., 1988. 7. K o r d u l a V. // Proc. Roy. Irish Acad. 1996. Vol. 96A, N 1. P. 105−109. 8. K o r d u l a V., M ü l l e r V. // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 124, N 10. P. 3055−3061. 9. K o r d u l a V., M ü l l e r V., R a k o č e v i ć V. // Studia Math. 1997. Vol. 123, N 1. P. 1−13. 10. Z e m a n e k J. // Bull. Polish Acad. Sc. 1984. Vol. 32, N 1−2. P. 67−76.

EROVENKO V. A., MARTON M. V.

[email protected]

GENERALIZATION OF KATO STABILITY THEOREM TO ESSENTIALLY SEMIREGULAR OPERATORS

Summary

The stability properties of bounded essentially semiregular operators in Banach space as generalizations of semi-Fredholm operators are discussed. This article is devoted to the proof of generalization of Kato theorem for essentially semiregular operators at commuting perturbations.



Беларуси

23



УДК 511.36

Н. В. ШАМУКОВА

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ С МОНИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ И НЕМОНОТОННОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

(Представлено академиком Н. А. Изобовым)

Белорусский государственный экономический университет, Бобруйский филиал Поступило 09.01.2009

Согласно классической теореме Дирихле, для любого действительного числа α найдется бес-конечно много натуральных чисел q и целых p, для которых неравенство 2α /p q q−− < имеет бесконечное число решений. Перепишем это неравенство в виде

1αq p q−− < (1)

и будем понимать левую часть неравенства как значение модуля многочлена первой степени αx y− в целой точке ( , )q p . Точное поведение левой части неравенства (1) в 1924 г. определил А. Я. Хинчин [1]. Пусть ( )ψ x – монотонно убывающая функция положительного аргумента х, μA – мера Лебега измери-

мого множества A⊂ℜ , символ Виноградова << в неравенстве D<<B означает, что существует некоторое 0c > , для которого D cB< . Хинчин доказал, что неравенство

ψ( )qx p q− < , [ ],x I a b∈ = , (2)

имеет для почти всех х конечное или бесконечное число решений ( , )p q ∈Ν×Ζ в зависимости от

сходимости или расходимости ряда 1ψ(q)

q

∞

=∑ .

В теории трансцендентных чисел неравенства типа (2) имеют важное значение, когда в левой части стоит целочисленный полином произвольной степени. Обозначим через

( )1max jj n

H H P a≤ ≤

= = высоту полинома

11 1 0( ) n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + +… , , 0ja Z j n∈ ≤ ≤ .

Пусть 1( )nL ψ есть множество всех x I∈ , для которых неравенство

( ) ( )1ψP x H< (3)

выполняется бесконечно часто в полиномах ( ) [ ]P x x∈Ζ при некоторой функции 1ψ :R R+ → . В работах [2; 3] получен полный аналог теоремы Хинчина для монотонно убывающей функции

1ψ ( )x . Было доказано, что

11

11

11

1

0, если ψ ( ) ;μ ( )

, если ψ ( ) .

n

Hn

n

H

H HL

b a H H

∞−

=∞

−

=

⎧ < ∞⎪⎪ψ = ⎨⎪ − = ∞⎪⎩

∑

∑ (4)



Беларуси

24

Значительно раньше при 1ψ ( ) nH H − −ε= , ε 0∀ > , такой результат получил В. Г. Спринджук [4]. Теорема Хинчина в случае сходимости справедлива и без требования монотонности. Недав-

но В. В. Бересневич [5] получил (4) в случае сходимости без требования монотонности функции 1ψ ( )x . В работах [6; 7] была построена метрическая теория разрешимости неравенства (3) в слу-

чае монических (со старшим коэффициентом равным единице) многочленов

11 1 0( ) , , 0 1n n

n jP x x a x a x a a Z j n−−= + + + + ∈ ≤ ≤ −… .

В данной работе мы обобщаем [5] на монические полиномы. Т е о р е м а. Пусть 1( )nM ψ – множество x I∈ , для которых неравенство

1( ) ψ ( )P x H< (5)

имеет бесконечное число решений в монических многочленах ( )P x . Тогда 1μ ( ) 0,nM ψ = если ряд

21

1ψ ( )n

HH H

∞−

=∑ сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если α – ближайший к х корень полинома ( )P x , то нетрудно [4] по-лучить неравенство

1 11

1α 2 ( ) '( ) ψ ( ) '( )nx P x P H P− −−− < α << α . (6)

Неравенство (6) задаёт некоторый интервал σ( )P . Нетрудно получить оценку '( )P x H<< . Далее доказательство распадается на четыре этапа.

1. Добавим к (5) неравенство для производной

1

21( ) ψ ( ), '( ) .P x H H P H< < α << (7)

Наряду с σ( )P введём интервал

( )1σ P = { }11: α ( ) ( )x I x c n P−′∈ − < α . (8)

Ясно, что из (6) и (8) следует

( ) ( )1 1μσ ψ ( )μ σP H P<< . (9)

Оценим сверху значение ( )P x на интервале ( )1σ P , разложив ( )P x в ряд Тейлора

( )1

1( ) ( )( )!

n i i

iP x P x

i== α −α∑ . (10)

Имеем неравенства 1( )( ) ( )P x c n′ α − α < ,

( ) 22 21 11/ 2 ''( )( ) 1/ 2 ''( ) ''( ) 1/ 2 ( )P x P c n P c n

−α − α < α α <

при достаточно большом Н. Оценив оставшиеся члены разложения в (10), получим

1( ) 2 ( )P x c n< . (11)

Определим класс полиномов { }( ) ( ): , ,j j jP H P x a H a H i j= = ≤ ≠ .

Для упрощения обозначений будем считать, что 1j n= − . Зафиксируем вектор

( )2 11, , , ,nb H a a−= … и через 1( , )nP H b− будем обозначать подкласс 1( )nP H− с фиксированным



Беларуси

25

вектором b . Заметим, что при различных полиномах 1( )P x и 2 ( )P x и 1( ) 1/ 4c n = интервалы

( )1 1σ P и ( )1 , 2σ nP не пересекаются. В самом деле, в противном случае на пересечении интерва-

лов мы имели бы противоречивое неравенство 1 2 11 ( ) ( ) 4 ( ) 1.P x P x c n≤ − < < Поэтому

( )( )1

1,

μσ μnP P H b

P I−∈

≤∑ .

Теперь из (9) и оценки # 21( , ) n

nP H b H −− << получаем

( )1

21

1 1( , )μσ ψ ( )

n

n

H Hb b P H bP H H

−

∞ ∞−

= =∈<<∑ ∑ ∑ ∑ . (12)

Так как по условию теоремы ряд из правых частей неравенства (12) сходится, то по лемме Бореля–Кантелли множество точек x I∈ , попадающих в бесконечное число интервалов ( )σ P при выполнении (7), имеет нулевую меру.

2. Теперь вместо системы неравенств (7) рассмотрим систему

1

21( ) ψ ( ), 1 '( )P x H P H< < α ≤ . (13)

Множество ( )σ P определим как и ранее. Находим интервал

( )2σ P = { }11: α '( )x I x H P−−∈ − < α . (14)

Из (6) и (14) получаем 1 2μσ ( ) ψ( )μσ ( )P H H P<< . (15)

Введём вектор 1b , у которого одна из координат равна Н, остальные n-3 фиксированы. Для упрощения изложения будем считать, что ( )1 2 21, , ,...,nb H a a−= . Множество многочленов с фик-

сированным 1b обозначим через 1( , )nP H b− . Число различных векторов 1b не превосходит

( ) 3 32 1 n nH H− −+ << . Дальнейшее рассуждение зависит от взаимного расположения интервалов

( )2 1σ P и ( )2 2σ P при различных 1P и 2P из 1( , )nP H b− .

а) Пусть для интервала ( )2 1σ P и любого интервала ( )2 2σ P выполняется неравенство

( ) ( )( ) ( )2 1 2 2 2 1μ σ σ 0,5μσP P P∩ < . (16)

Такой интервал ( )2 1σ P будем называть существенным. Ясно, что из (16) для существенных интервалов выполняется неравенство

( )1

2( , )

μσ 2 1.nP P H b

P I−∈

≤ <<∑ (17)

Из (15) и (17) следует, что

( )1 1

21

1 1( , )μσ ψ ( )

n

n

H Hb P P H bP H H

−

∞ ∞−

= =∈<< < ∞∑ ∑ ∑ ∑ .

Вновь применяя лемму Бореля–Кантелли, завершаем доказательство. б) Интервал ( )2 1σ P будем называть несущественным, если существует интервал ( )2 2σ P та-

кой, что на пересечении интервалов ( )2 1σ P ∩ ( )2 2σ P = ( )1 2ν ,P P справедливо неравенство



Беларуси

26

( ) ( )1 2 2 1μ , 0,5μσP P Pν ≥ . (18)

Нетрудно вновь показать, используя (10) и (13), что для ( )2σx P∈ справедливы неравенства

11 2( ) , '( ) , 1,2P x H P x H j−<< << = . (19)

На интервале ( )1 2,P Pν многочлен 2 1( ) ( ) ( )R x P x P x= − – линейный, ( )R x a x b= + , и по (19) удовлетворяет неравенствам

11 2,a x b H a H−+ << << . (20)

Из (20) следует 2a x b a−+ << , что по теореме Хинчина выполняется бесконечно часто толь-ко для множества нулевой меры. Из (18) видно, что и все точки несущественных интервалов об-ладают тем же свойством.

3. Вместо системы неравенств (13) рассмотрим систему неравенств

( )1( ) ψ , '( ) 1, 0 1/ 3vP x H H P v−< < α ≤ < < . (21)

Введём вектор 1b , интервал ( )2σ P , существенные и несущественные интервалы как в пре-дыдущем пункте. В случае существенных интервалов получим тот же результат, а в случае не-существенных – придём к системе неравенств

1 2 ,v va x b H a H− ++ << << ,

которая приводит к 1 2v

va x b a−−+ << . При 0 1/ 3v< < показатель степени 1 2 1v

v− > , вновь можно

применить теорему Хинчина. 4. Осталось рассмотреть систему неравенств

1

31( ) ψ ( ), '( )P x H P H −<< α << . (22)

В этом случае, пользуясь сходимостью ряда 21

1ψ ( )n

HH H

∞−

=∑ , можно заменить правую часть

в первом неравенстве (22) на величину 2nH − + . Аналогичная система неравенств проанализиро-вана в [6].

Таким образом, все возможные значения '( )P α рассмотрены. Теорема доказана.


1. K h i n t c h i n e A. J. // Math. Ann. 1924. Vol. 92. P. 115–125. 2. Б е р н и к В. И. // Acta Arithmetica. 1989. Vol. 53, N 1. P. 17–28. 3. B е r e s n e v i c h V. V. // Acta Arithmetica. 1999. Vol. 90, N 2. Р. 97–112. 4. С п р и н д ж у к В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск, 1967. – 184 с. 5. B е r e s n e v i c h V. V. // Acta Arithmetica. 2005. Vol. 117, N 1. Р. 71–80. 6. Ш а м у к о в а Н. В., Б е р н и к В. И. // Докл. НАН Беларуси. 2006. Т. 50, № 3. С. 30–32. 7. Ш а м у к о в а Н. В. // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. 2007. № 2. С. 23–27.

SHAMUKOVA N. V.

[email protected]

DIOPHANTINE APPROXIMATIONS WITH MONIC POLYNOMIALS AND NONMONOTONIC RIGHT-HAND SIDE

Summary

In the article it was proved that integral monic polynomials of arbitrary degree and with the convergence limitation of some series can approximate zero with a given order on a set of zero measure and nonmonotonic right-hand side.



Беларуси

27



УДК 512.643.4

А. В. УСНИЧ

НЕКОММУТАТИВНЫЕ КЛАСТЕРНЫЕ МУТАЦИИ



Кластерные мутации для двух переменных определяются как автоморфизмы поля ( , )K x y=C , где C – поле комплексных чисел, заданных по правилу

1( , ) ,k

kyx y y

x⎛ ⎞+μ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (1)

где k – некоторое фиксированное натуральное число. Данная мутация является простейшим примером кластерных мутаций для большего числа переменных, изучение которых было ини-циировано в работах С. Фомина и А. Зелевинского [1; 2]. В настоящее время кластерные мута-ции активно изучаются в таких областях, как теория представлений [4], теория Тейхмюллера [5], 3-Калаби-Яу категории и во многих других. Для нас представляет интерес другой вопрос – не-коммутативное обобщение мутации, которое еще мало изучалось.

Основным свойством этого преобразования является то, что его итерации будут задаваться по-линомами Лорана, т. е. ( , ) ( ( , ), ( , ))n

k x y P x y Q x yμ = , где рациональные функции 1 1, [ , , , ]P Q x x y y− −∈C . Определим некоммутативные мутации по формуле

1 1( , ) ( , (1 ))kk x y x yx x y− −μ + . (2)

Под словом некоммутативные мы имеем в виду то, что переменные x, y не коммутируют между собой. Соответственно некоммутативным аналогом полиномов Лорана является кольцо некоммутативных полиномов 1 1, , ,L x x y y− −= < >C или, что то же самое, групповое кольцо сво-бодной группы от двух образующих.

Основным результатом этой работы является следующая теорема, утверждающая, что итерации

2μ лежат в кольце некоммутативных полиномов Лорана, т. е. 1 12 ( , ) , , ,n x y L x x y y− −μ ∈ = < >C .

Далее будем считать, что x, y являются матрицами большого размера. Соответственно если матрицы достаточно общие, то все формулы, которые будем писать, имеют для них смысл.

Итак, для удобства далее обозначим 2μ черезμ

1 1 2: ( , ) ( , (1 ))x y x yx x y− −μ + . (3)

Напомним, что в работе [3] мы изучали отображение, заданное на паре матриц по формуле

1 1: ( , ) ( , ( ) )T X Y Y Y Y X Y− −+ . (4)

Определим рекуррентную последовательность по формулам 0X x= , 1

1 ( )X x x yx−= μ = , ( )n

nX x= μ .



Беларуси

28

Докажем следующую лемму. Л е м м а. 1 1( , ) ( , )n n n nT X X X X− += . Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим сначала, что 0 1 1 2( , ) ( , )T X X X X= . Для этого посчитаем 2X :

1 1 2( , ) ( , (1 ))x y x yx x y− −μ = + , 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2( , ) (( ) ( (1 ))( ),( ) (1 ( (1 )) ))x y x yx x y x yx x yx x y− − − − − − −μ = + + + , 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

2 ( ) ( ) ( (1 ))( ) (1 ) ( )X x x yx x y x yx x y y x yx x y y x yx− − − − − − − − − −= μ = + = + = + . Теперь определим 0 1( , )T X X :

1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 1 1 1 2( , ) ( ,( ) ) ( , ( ) ) ( , )T X X X X X X X X x y y xx x yx X X− − − − − −= + = + = .

Доказательство утверждения леммы абсолютно аналогично. Теперь докажем основную теорему. Т е о р е м а. Для любого натурального n выполняется 1 1( ), ( ) , , ,n nx y L x x y y− −μ μ ∈ = < >C .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Во-первых, заметим, что элемент 1 1q x y xy− −= инвариантен относи-тельно μ :

1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (1 )) ( )( (1 ))q x y x y x yx x y x yx x y x y xy q− − − − − − − − − −μ = μ μ μ μ = + + = = . (5)

Поэтому 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n nx x yx yq y q− − − − − −μ = μ = μ = μ . Поскольку q – обратимый элемент L, то из того, что ( )n x Lμ ∈ будет следовать, что 1( )n y L−μ ∈ , поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что ( )n x Lμ ∈ для всех натуральных n.

Из леммы следует, что достаточно доказать, что некоммутативными полиномами Лорана яв-ляются итерации преобразования T, примененные к 1

0 1( , ) ( , )X X x x yx−= . Воспользуемся резуль-татом, сформулированным в [3, теорема 1]. Было доказано, что если ,X Y — общие n n× матри-цы, то можно построить 2 3n n× матрицу

1 1

11 2 1 1 1

( )( , )

(1 )

X Y Y Y X YM X Y

Y X Y XY Y XYX Y

− −−

− − − −

⎛ ⎞+= Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

(6)

такую, что левый квадрат этой матрицы 1 1 2 1(1 )

X YU

Y X Y XY− −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

и ее правый квадрат

1 1

2 1 1 1

( )Y Y Y X YU

Y XY Y XYX Y

− −

− − −

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

удовлетворяют соотношению 2 21 2U U Id= = − . Кроме того,

с помощью матрицы 2 1U U U= можно задать отображение на множестве 2 3n n× матриц: :P M UM→− , такое что 1P T−Ψ Ψ = . Учитывая эти результаты, нам достаточно показать, что 1

0 1( , )nP X X−Ψ Ψ – некоммута-тивные полиномы Лорана. С помощью формулы (6) посчитаем 1

0 1( , )X X−Ψ

1 1 1 1

10 1 1 1 2 1 1 1 1 1

( )( , )

(1 )

x x yx x y y x yxM X X

x y x x x y xyx x y xyx yx

− − − −−

− − − − − − −

⎛ ⎞+= Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

. (7)

Заметим, что коэффициенты M являются полиномами Лорана, поэтому коэффициенты мат-риц 1U , 2U также принадлежат L, а значит и коэффициенты матрицы 2 1U U U= . Соответственно все коэффициенты матрицы 1

0 1( ) ( , )n nU M P X X−− = Ψ будут лежать в L, следовательно 1

0 1 0 1( , ) ( , )n nP X X T X X L−Ψ Ψ = ∈ , что и требовалось доказать.



Беларуси

29

В частности, из этой теоремы следует, что итерация мутации, примененная к коммутирую-щим переменным x, y тоже дает полиномы Лорана, и это доказательство отлично от доказатель-ства, приведенного в основополагающей работе [1]. Однако в отличие от коммутативного случая пока неясно, будут ли эти некоммутативные полиномы Лорана иметь положительные коэффи-циенты.


1. F o m i n S., Z e l e v i n s k y A. // J. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 15, N 2. P. 497–529. 2. F o m i n S., Z e l e v i n s k y A. // Cluster algebras II: Finite type classification. Invent. math. 2003. Vol. 154, N 1.

P. 63–121. 3. У с н и ч А. В. // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 3. C. 21−24. 4. K e l l e r B., C a l d e r o P. // Inv. Math. 2008. Vol. 172. P. 169–211. 5. F o c k V., G o n c h a r o v A. // Publications Mathématiques de l’IHÉS. 2006. Vol. 103. P. 1–211.

USNICH A. V.

ausnich@mail. ru

NON-COMMUTATIVE CLUSTER MUTATIONS

Summary

In the work non-commutative cluster mutations are defined and studied. For a particular mutation matrix it is proved that the iteration of cluster mutation is assigned by non-commutative Laurent polynomials, and this gives an independent proof of the Laurent phenomenon in the commutative case.



Беларуси

30



УДК 517.923

А. А. КИЛБАС, Н. В. ЖУКОВСКАЯ

РЕШЕНИЕ В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЭЙЛЕРА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ


Белорусский государственный университет, Минск Поступило 11.02.2009

Настоящая работа посвящена решению в замкнутой форме неоднородного дифференциаль-ного уравнения порядка { }α (α 0, 1,2,... )m m+ > ∈ =

00

(D )( ) ( ), ( 0; 0; 0)m jj

j mj

A x y x f x x Aα+α++

== > α > ≠∑ (1)

с дробными производными 0D j yα++ и комплексными коэффициентами ( 0,1,..., )jA j m∈ = на

положительной полуоси (0; )+ = +∞ . Здесь 0D yα+ − так называемая левосторонняя производная Римана–Лиувилля порядка α 0,> определяемая формулой [1, § 5.1]

[ ]0 10

1 ( )(D )( ) , ( 0; 1),( ) ( )

n x

nd y t dty x x ndx n x t

α+ α− +

⎛ ⎞= > = α +⎜ ⎟ Γ −α −⎝ ⎠∫ (2)

где ( )nΓ −α − гамма-функция [2, п. 1.1] и [ ]α − целая часть α .

В частности, если ,lα = ∈ то ( )0Dm my y+ = и уравнение (1) принимает вид

( )

0( ) ( ), ( 0; , ).

ml j l j

jj

A x y x f x x m l+ +

== > ∈∑ (3)

При 0l = и f(x) ≡ 0 уравнение (3) известно как дифференциальное уравнение Эйлера [3, 5.2.27]. Поэтому мы называем (1) уравнением типа Эйлера.

В ряде работ были установлены формулы явных решений отдельных типов линейных одно-родных и неоднородных уравнений с дробными производными и краевых задач типа Коши и Коши для них. При этом были использованы метод сведения к интегральным уравнениям Вольтерра [4–6], метод прямого и обратного преобразований Лапласа [7, гл. v.5–v.7; 8; 9, гл. 4–5], операционный метод [10–12], композиционный метод [13; 14]. Основные результаты и обзор библиографии работ по этой тематике приведены в [15, гл. 3–5].

В [15, п. 5.4.1] для решения уравнения (1) с 1mA = был предложен метод, основанный на применении прямого и обратного преобразований Меллина M и 1M − [1, § 1.4]

1

0( )( ) ( ) , ( ),sM s x x dx s

∞−ϕ = ϕ ∈∫ (4)

1 1( )( ) ( ) , ( Re( )).2

c is

c iM g x x g s ds c s

i

+ ∞− −

− ∞= =π ∫ (5)



Беларуси

31

Этот метод, использованный в [15, п. 5.4.2] для решения уравнения (1) с двумя дробными производными 1( 1, 1)m A= = , основан на соотношении

0(1 )( )( ) ( )( ), ( 0,1,2,...),

(1 )jj sMx D y s My s j

s jα+α++

Γ −= =Γ − −α −

(6)

справедливом для подходящих функций ( )y x [1, § 7.3]. Применяя преобразование Меллина (4) к обеим частям равенства (1), учитывая (6) и формулу

для гамма-функции [2, 1.2(1)]

( 1) ( ), ( ),z z z zΓ + = Γ ∈ (7)

после применения обратного преобразования (5) Меллина к полученному соотношению и ис-пользования равенства 1M Mf f− = (справедливое для подходящих функций f ), получим реше-ние уравнения (1) в виде

( ) ( )1 ( )

( ) ,(1 )

Mf sy x M x

P s−

α

⎛ ⎞⎡ ⎤= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟−⎣ ⎦⎝ ⎠

(8)

0

( ) ( )( ) ( ),( ) ( )

mj m

j

s sP s A P ss j sα

=

Γ Γ= =Γ −α − Γ −α

∑ (9)

0 1 1 2( ) ( 1) ... ( 1)...( 1) ( )( )...( ),m m m mP s A A s A s s m A s s s s s s= + −α − + + −α − −α − + = − − − (10)

где 1 2, ,..., ms s s – корни многочлена ( ).mP s Введя функцию

( )1 1( )(1 )

G x M xP s

−α

α

⎛ ⎞⎡ ⎤= =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟−⎣ ⎦⎝ ⎠ 1 2

1 ( ) , ( Re( ))2 ( )( )( )...( )

sc i

m mc i

s x ds c siA s s s s s s s

−+ ∞

− ∞

Γ − α =π Γ − − −∫ (11)

и учитывая свойство свертки преобразования Меллина ( )0

( ) ( )M G t f xt dt s∞

α⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ( )(1 )( )( ),MG s Mf sα −

представим решение (8) уравнения (1) в виде 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) .t dty x G t f xt dt G f tx x

∞ ∞

α α⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

Непосредственно показывается, что ( ) 0G tα = при 1t > и поэтому

1

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .

x t dty x G t f xt dt G f tx xα α

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ (12)

Непосредственно проверяется, что (12) является решением уравнения (1) в предположении, что интегралы сходятся.

Вычислим интеграл Меллина–Барнса в правой части (11), используя известную технику, ос-нованную на теории вычетов [2, п. 2.1.3]. Из свойств гамма-функции [2, п. 1.1] следует, что функция ( )sΓ −α аналитична по s∈ за исключением простых полюсов 0, ( ),s k k= α − ∈ с

вычетом ( 1) ,!

k

k− что означает

0( 1)( ) ~ , ( , ).

!( )

ks s k k

k s k−Γ −α →α − ∈−α +

(13)

Поэтому подынтегральная функция в правой части (11)

1

( )( )( )( )...( )

s

m

s xg ss s s s s

−Γ −α=Γ − −

(14)



Беларуси

32

при любом фиксированном 0x ≠ есть аналитическая функция от s за исключением полюсов

1 2 0, ,..., , , ( ).ms s s s s s s k k= = = = α − ∈ (15)

Следовательно, ( ) mG x Aα равна сумме вычетов функции ( )g s относительно всех особых точек. В зависимости от того, какие из полюсов в (15) различны или не совпадают, ( )G xα в (11) бу-

дет иметь различные значения. Непосредственно доказывается, что во всех этих случаях ( )G xα выражается в терминах обобщенной гипергеометрической функции [ ],p qF z определяе-

мой обобщенным гипергеометрическим рядом [2, 4.1(1)]

1 1

01 1

,..., ( ) ...( ),..., ( ) ...( ) !

kp k p kp q

kq k q k

a a a a zF zb b b b k

∞

=

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (16)

с комплексными параметрами , , ( 1,..., ; 1,..., ).i ja b i p j q∈ = = Здесь 0( ) , ( , ),kz z k∈ ∈ − так называемый символ Похгаммера:

0( ) 1, ( ) ( 1)...( 1), ( , ).kz z z z z k z k= = + + − ∈ ∈ (17)

Известно [15, п. 1.6], что ряд (16) сходится абсолютно для всех z∈ при ,p q≤ а для 1p q= + − при 1z < и

1

1 11, Re 0.

q q

j ij i

z b a+

= =

⎛ ⎞= − >⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (18)

Далее мы дадим явные выражения для ( )G xα в (11) при следующих соотношениях между полюсами в (15):

Случай 1) ( , 1,..., , ), ( 1,..., )i j is s i j m i j s k i m≠ = ≠ ≠ α − = ни при каком 0.k∈

Случай 2) 1 2 ... ms s s k= = = ≠ α − ни при каком 0.k∈ Случай 3) 1 0,..., ln n∃ ∈ такие, что 1 1,..., , ( , 1,..., ,l l i js n s n s s i j l m= α − = α − ≠ = + ),i j≠

( 1,..., ).is k i l m≠ α − = + Случай 4) 0 0n∃ ∈ и (1 )l l m< < такое, что 1 0 1... , ( 1,..., ).l js s n s s j l m= = = α − ≠ = +

Случай 5) 0 0n∃ ∈ такое, что 1 2 0... .ms s s n= = = = α − В случаях 2)–5) выражения для ( )G xα будут получены в терминах обобщенной гипергео-

метрической функции (16) и пси-функции Эйлера [2, п. 1.7]

'( )( ) , ( ), (1).( )

zz zz

Γψ = ∈ γ = −ψΓ

(19)

Следующее утверждение дает явное выражение для ( )G xα в первом случае. Т е о р е м а 1. Пусть , 0, ( 0, 1, ..., ), 0,j mm A j m A∈ α > ∈ = ≠ и пусть корни 1,..., ms s

многочлена ( )mP s в (10) такие, что ( , 1,..., , ), ( 1,..., )i j is s i j m i j s k i m≠ = ≠ ≠ α − = ни при каком

0k∈ . Тогда при 0 1x< ≤

11

111 1,

1 , , ..., ( )1( ) .1, ..., 1( ) ( ) ( ) ( )

ismm im mm m

im mm j i i jj j j i

s s s xxG x F xs s AA s s s s

−−α

α +== = ≠

⎡ ⎤−α −α −α Γ −α= +⎢ ⎥−α + −α +Γ α α − Γ −⎣ ⎦

∑∏ ∏

(20)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что условие (18) при 1x = принимает вид ( 1 ) 0,m − + α > и поэтому обобщенный гипергеометрический ряд 1 [ ]m mF x+ определен при



Беларуси

33

0 1.x< ≤ Докажем теперь формулу (20). Выбрав 1max[Re( ), ..., Re( ), ]mc s s> α и учитывая (14) и (13), имеем

0 1 0 1

( 1)( ) ( ) ( ) lim ( )! ( )( ) ( )i

k sm

m ms ks k s sk i k jj

xA G x res g s res g s s kk s s k s s

−∞ ∞

α →α−=α− == = = =

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + = −α + +⎢ ⎥Γ −α + −⎣ ⎦

∑ ∑ ∑∏

1 0 11, 1 1,

( )( ) ( )lim ( ) .( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )

i

i

ss km mi

i m m ms si k ij j i i jj j i j j j i

s xs x xs s xs s s k k k s s s s

−− ∞−α

→= = == ≠ = = ≠

⎡ ⎤ Γ −αΓ −α −⎢ ⎥− = +⎢ ⎥Γ − Γ α − α − − Γ −⎣ ⎦

∑ ∑ ∑∏ ∏ ∏

(21) Далее, используя формулы

0( 1)( ) ( ), ( , ),

(1 )

k

kk k−Γ α − = Γ α α∈ ∈

−α (22)

0( )1 1 , ( , ),

( 1)j k

j j j k

sk

k s s s−α

= α∈ ∈α − − α − −α +

(23)

в силу (16) из (21) получаем (20). Случай 2) характеризует следующее утверждение. Т е о р е м а 2. Пусть , 0, ( 0, 1, ..., ), 0,j mm A j m A∈ α > ∈ = ≠ и пусть 1,..., ms s − такие

корни, что 1 ... ms s k= = ≠ α − ни при каком 0k∈ . Тогда для 0 1x< ≤

1

( 1)1 1

11 11

1 , , ..., 1 ( )( ) lim .1, ..., 1 ( 1)! ( )( ) ( )

ms

m mm s smm

s sx s xG x F xs s A m sA s

−−α −

α + →

⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤−α −α −α Γ −α⎜ ⎟= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟−α + −α + − ΓΓ α α − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

(24) Если 2,m ≥ то для 0 1x< ≤

1 11

1 11

1 , , ...,( )

1, ..., 1( )( ) m mmm

s sxG x F xs sA s

−α

α +⎡ ⎤−α −α −α

= +⎢ ⎥−α + −α +Γ α α − ⎣ ⎦

[ ]1

( 2 )2 ( )

0

21 ( )lim ( ) ( ) ln( ) ,( 1)! ( )

m jsm j

s sjm

m s x s s xjA m s

− −−−

→=

⎛ ⎞⎡ ⎤−⎛ ⎞ Γ −α⎜ ⎟ψ −α −ψ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− Γ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠∑ (25)

где 0, ( , )m

m jj

⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠ − биномиальный коэффициент

! , (0 ),! ( )!

0, ( ).

m j mmj m j

jj m

⎧ ≤ ≤⎛ ⎞ ⎪ −= ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ >⎩

Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (24) доказывается аналогично формуле (20) теоремы 1 с учетом того, что функция ( )g s в (14) имеет полюс 1s s= порядка m, и c выбирается как

1max[Re( ), ].c s> α Равенство (25) следует из (24) согласно формуле

[ ]/

( )( )

( ) ( ) ( ) ln( )( )

sss xs

s x s s xs

−−⎡ ⎤Γ −α⎢ ⎥Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

Γ −α= ψ −α −ψ −Γ

(26)

с использованием правила Лейбница вычисления производной порядка (m – 2) от произведения двух функций в (26).



Беларуси

34

Следующие три утверждения доказываются аналогично доказательству теорем 1 и 2 с учетом соотношений между полюсами 1,..., ms s и 0, ( ),k kα − ∈ в случаях 3)−5). При этом мы исполь-зуем обозначения

1

0 10 1

0, ( , ), 1, ( 1, ).m

k j jk j l

a a a a m l a−

−= = +

= ∈ = < + ∈∑ ∏

Т е о р е м а 3. Пусть 0, 0, ( 0, 1, ..., ), 0, 1,j mm A j m A n∈ α > ∈ = ≠ = − и пусть 1,..., ms s −

такие, что существуют 1 0,..., ,ln n ∈ такие, что 1 1,..., ,l ls n s n= α − = α − ( , 1,..., , ),i js s i j l m i j≠ = + ≠ ( 1,..., ).is k i l m≠ α − = + Тогда при 0 1x< ≤

1

1

1 1 1 1

( 1)( )! ( ) ( ) ( )

j

j

n k kl

l mj k nm i ji j l

x xG xA k k n k k s−

−−α

α= = + = = +

−= +Γ α − − α − −

∑ ∑∏ ∏

1 1

11 1

( 1)( 1)! ( 1) ( 1) ( 1)

l ln m n

l mm l l l j l jj j l

xA n n n n n s

+ + −α+ +

−= = +

− ×+ Γ α − − − + + −α +∏ ∏

1 1 12 1

1 1 1

1, 1, 2, 1,..., 1, 1, ..., 12, 2, 2,..., 2, 2, ..., 2

l l l l l l l mm m

l l l l l l l m

n n n n n n s n sF x

n n n n n n s n s− +

+ +− +

⎡ ⎤−α + − + − + + −α + + −α ++⎢ ⎥+ − + − + + −α + + −α +⎣ ⎦

1

1 1, 1

1 ( 1)! ( ) ( ) ( )

i in nl

l mim i i j i i jj j i j l

xA n n n n n s

+ −α+

= = ≠ = +

− ×Γ α − − α − −

∑∏ ∏

1

0 1, 1

1 1 1ln( ) ( )in l m

ij j j i j li j i i j

x nj n n n n s

−

= = ≠ = +

⎡ ⎤γ + + ψ α − + + + +⎢ ⎥

− − α − −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑

1 1 1,

( )1 .( ) ( ) ( )

ismi

l mi lm i i j i jj j l j i

s xA s s n s s

−

= + = = + ≠

Γ −αΓ + −α −

∑∏ ∏

(27)

Т е о р е м а 4. Пусть { }\ 1 , 0, ( 0, 1, ..., ), 0, 1 ,j mm A j m A l m∈ α > ∈ = ≠ < < и пусть

1, ..., ms s − такие, что существует 0 0 ,n ∈ такое, что 1 2 0... ,ls s s n= = = = α −

1 ( 1,..., ).js s j l m≠ = + Тогда для 0 1x< ≤

0

0 0

1

0 0 1

1 1

0 0 01

( 1)( )! ( )( ) ( )

( 1)( 1)! ( 1) ( 1 )

k kn

mlkm jj l

n m n

mm jj l

x xG xA k k n k k s

xA n n n s

−α −

α= = +

+ + −α+ +

= +

−= +Γ α − − α − −

− ×+ Γ α − − + + −α

∑∏

∏

1

0 0 1 02 1

0 0 1 0

1, ..., 1, , 1 , ..., 12, ..., 2, 2, 2 , ..., 2

l

l mm m

l ml

n n s n sF x

n n s n s

+

++ +

+

⎡ ⎤⎢ ⎥−α + + −α + + −α

+⎢ ⎥+ + + −α + + −α⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

00

( 2 )2

01

0 0 1

2 ( 1)1 lim( 1)! ( ) ( ) ( )

l ksl

n ms nkm ji j l

l s n xkA l s i s s s

− −−−

−→α−= = = +

⎛ ⎞⎡ ⎤−⎛ ⎞ Γ −α + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎢ ⎥−α + Γ −⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

∑∏ ∏



Беларуси

35

0 1

( ) ( )0 1 1

0 10 0 0

1 1 ( 1)(1) ( ) ( 1) ! ( 1) !( ) ( ) ( )

kn mk k k kk k k

i j l jn k k

i n n s n

−

+ += = +

⎡ ⎤−⎢ ⎥ψ −ψ α − − − − − + +

− α − − α −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑

1 0 1,

( )1 .( ) ( ) ( )

ismi

mli lm i i i jj l j i

s xA s n s s s

−

= + = + ≠

Γ −α−α + Γ −

∑∏

(28)

Т е о р е м а 5. Пусть { }\ 1 , 0, ( 0, 1, ..., ), 0,j mm A j m A∈ α > ∈ = ≠ и пусть 1, ..., ms s − та-

кие, что существует 0 0 ,n ∈ такое, что 1 2 0... .ms s s n= = = = α − Тогда для 0 1x< ≤

0 00 1 11

0 0 00

( 1) ( 1)( )( 1)! ( 1)! ( )( )

n m nk kn

mkm m

x x xG xA A n nk k n k

+ + −α+ +−α −

α=

− −= + ×+ Γ α − −Γ α − −

∑

00

1( 2 )

20 02 1 1

00 0

, 1, 1, ..., 1 2 ( 1)1 lim2, 2, 2, ...,2 ( 1)! ( ) ( )

mm ksm

m m ns nkm im

n m s n xF xkn A m s i s

+− −−−

+ + −→α−= =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎡ ⎤− α −⎛ ⎞ Γ −α + +⎜ ⎟⎢ ⎥ + ×⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − −α + Γ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∏

0 1

( ) ( )0 1

0 0 0

1 ( 1)(1) ( ) ( 1) ! .( ) ( )

knk k k

k ki

n ki n n

−

+=

⎡ ⎤−ψ −ψ α − − − +⎢ ⎥− α −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ (29)

З а м е ч а н и е 1. При 1m = и 1 1A = из теорем 1 и 3 вытекают утверждения, полученные в [15, теоремы 5.18 и 5.19] в терминах так называемой обобщенной функции Райта [2, п. 4.1].

З а м е ч а н и е 2. В теоремах 2, 4 и 5 получены утверждения, характерные для дифференци-альных уравнений дробного порядка (1) при 2.m ≥

З а м е ч а н и е 3. Полагая ,lα = ∈ из теорем 1–5 мы получим соответствующие утвер-ждения для обыкновенного дифференциального уравнения (3) порядка ,m l+ при этом в форму-лах (20), (24), (27)–(29) нужно положить .lα =

З а м е ч а н и е 4. Теорема 5 может рассматриваться как предельный случай теоремы 4 при

,l m= если предположить, что 1

0, .m

k ki m

a a= +

= ∈∑

В теоремах 1–5 установлены явные выражения для ( )G xα в пяти случаях. Остальные случаи сводятся к рассмотренным с помощью подстановок.

Работа выполнена в рамках НИР БГУ № 602/25 «Функции гипергеометрического типа и их приложения в математике и механике», входящей в государственную программу Республики Беларусь «Математические модели», а также при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект Ф08МС-028).


1. С а м к о С. Г., К и л б а с А. А., М а р и ч е в О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987.

2. Б е й т м е н Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции. М., 1965. Т. 1: Гипергеометрическая функ-ция. Функции Лежандра.

3. З а й ц е в В. Ф., П о л я н и н А. Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнени-ям. М., 1997.

4. B a r r e t t J. H. // Canad. J. Math. 1954. Vol. 6, N 4. P. 529–541. 5. Д ж р б а ш я н М. М., Н е р с е с я н А. Б. // Изв. АН Арм. ССР. Мат. 1968. Т. 3, № 1. С. 3–29. 6. К и л б а с А. А., М а р з а н С. А., Т и т ю р а А. А. // Докл. РАН. 2003. Т. 389, № 3. С. 734–738. 7. M i l l e r K. S., R o s s B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York,

1993. 8. G o r e n f l o R., M a i n a r d i F. // Fractals and fractional calculus in Continuum Mechanics / Eds. A. Corpintary,

F. Mainardi). CISM courses and lectures. 1997. Vol. 378. P. 223–276.



Беларуси

36

9. P o d l u b n y I. Fractional differential equations. San Diego, 1999. 10. Л у ч к о Ю. Ф., Я к у б о в и ч С. Б. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 2. С. 247–256. 11. L u c h k o Yu. F., S r i v a s t a v a H. M. // Comput. Math. Appl. 1995. Vol. 29, N 8. P. 73–85. 12. L u c h k o Yu. F., G o r e n f l o R. // Acta Math. Vietnam. 1999. Vol. 24, N 2. P. 207–233. 13. К и л б а с А. А., S a i g o M. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 2. С. 195–204. 14. B o n i l l a B., K i l b a s A. A., R i v e r o M. et al. // Indian J. Pufe Appl. Math. 2000. Vol. 31, N 1. P. 93–109. 15. K i l b a s A. A., S r i v a s t a v a H. M., T r u j i l l o J. J. Theory and applications of fractional differential equations.

Amsterdаm, 2006.

KILBAS A. A., ZHUKOVSKAYA N. V.

[email protected]

CLOSED SOLUTION OF LINEAR INHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS OF EULER TYPE WITH FRACTIONAL DERIVATIVES

Summary

Linear inhomogeneous differential equations with a finite number of the Riemann–Liouville fractional derivatives, being analogues of Euler-type ordinary differential equations, are investigated. Using the direct and inverse Mellin transforms and the residue theory, partial solutions of the considered equations are established in terms of the generalized hypergeometric function and of the Euler psi-function.



Беларуси

37



УДК 517.925 + 517.977

А. К. ДЕМЕНЧУК

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ СПЕКТРОМ СИЛЬНО НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ



При изучении периодических решений периодических дифференциальных систем достаточ-но длительное время, вплоть до конца 1940-х годов, ответ на вопрос о возможности сущест-вования решений, период которых несоизмерим с периодом изменения параметров самой системы или с периодом внешнего воздействия, считался отрицательным. Видимо, первым, кто указал на ошибочность такой гипотезы, был Х. Массера. В работе [1] отмечается, что утвердительный ответ долго казался невероятным, и, возможно, поэтому проблема не изучалась. Х. Массера привел условия существования решений дифференциальных систем с иррацио-нальным отношением периодов решения и системы. В дальнейшем это направление развивалось в работах [2–5] и др. Впоследствии периодические решения, период которых несоизмерим с периодом системы, названы сильно нерегулярными [6–8], подразумевая под этим их не-обычность в сравнении с ранее изучавшимися.

Сложившееся в теории периодических дифференциальных уравнений и теории колебаний предположение сначала о невозможности, а затем об исключительности сильно нерегулярных колебаний отчасти было продиктовано схожей ситуацией в прикладных областях. В теории механических колебаний широко использовалось предположение о том, что поддерживаемые внешней гармонической силой колебания всегда происходят с частотой этой силы или кратной ей. Между тем еще в первой половине 1930-х годов Н. Д. Папалекси изучал возможность пара-метрического воздействия на двухконтурные параметрические системы не только на кратных, но и на несоизмеримых частотах. В последнем случае возбуждение колебаний осуществлялось на частоте, несоизмеримой с частотой изменения параметров [9]. Отсутствие в то время технических возможностей широкого использования этих явлений не стимулировало более глубокого их изучения. Практическое применение параметрический метод нашел лишь 20 лет спустя, когда, в частности, были созданы параметрические полупроводники с управляемой емкостью.

Известен ряд систем, преобразующих энергию источника высокочастотных колебаний в низкочастотные, частота которых практически не зависит от частоты источника [10–13] и др. В таких системах реализуется задаваемое определенным образом воздействие на колебания, приводящее к периодическому вкладу энергии от внешнего гармонического источника, с целью генерирования, усиления или преобразования колебаний. При этом колебательные процессы осуществляются на собственной частоте колебаний системы, в общем случае несоизмеримой с частотой внешней силы. Изменение времени пролета заряда через короткое пространство взаимодействия применяется в электронике. Так, в [10] исследован случай, когда гармоническая сила, с которой поле конденсатора действует на пролетающий заряд, имеет частоту, несоиз-меримую с частотой собственных колебаний заряда. При этом возможно установление устой-чивых незатухающих колебаний на собственной частоте, т. е. сильно нерегулярных колебаний. В [10] такие колебания названы аргументными.

Осуществимость аргументных колебаний при переходе к макроскопическим массам (пер-воначально вызывавшая сомнения) была доказана в [11] на примере электромеханической



Беларуси

38

колебательной системы, что нашло применение в ряде электротехнических устройств [12]. В обзоре [13] показано, что некоторые неавтономные системы, а именно системы с высоко-частотным источником энергии, могут вести себя как автоколебательные, характерной осо-бенностью которых является независимость частотного спектра колебаний от спектра источ-ника. При этом механизмы возбуждения автоколебаний могут быть различными. Как отмечено в [13], на наличие таких систем не обращали должного внимания, вследствие чего они не нашли отражения в литературе по теории колебаний.

Условия протекания процесса, когда колебания системы описываются сильно нерегуляр-ными решениями, в физике называются асинхронным режимом [11; 13]. Автоколебательные системы, функционирующие в асинхронном режиме, обладают рядом ценных для техники качеств: стабильность частоты и ее независимость от частоты источника, возможность плавной регулировки частоты. Это делает весьма привлекательным синтез таких систем и их исполь-зование в технических целях. Задача конструирования систем, обладающих асинхронным ре-жимом, может быть сформулирована в виде задачи управления спектром нерегулярных коле-баний, которая состоит в следующем.

Пусть управляемая система описывается уравнением ( , , ), , ,nx f t x u t x= ∈ ∈ правая часть которого обеспечивает существование и единственность решений и периодична или почти периодична по t. Управление u принимает значения в некотором допустимом множестве, опре-деляемом постановкой конкретной задачи.

Задачу выбора такого управления u, чтобы у данного уравнения появились нерегулярные периодические решения, спектр частот которых содержит заданное подмножество L, будем называть задачей управления спектром нерегулярных колебаний с целевым множеством частот L. В том случае, когда требуется лишь наличие нерегулярных колебаний, без конкретного указания спектра частот, будем иметь задачу возбуждения нерегулярных колебаний.

Для регулярных колебаний спектр считается предопределенным правой частью уравнения. В контексте управления речь может идти только об увеличении или уменьшении амплитуды тех или иных гармоник. Выбор же частот, отличных от кратных частот правой части, для регуляр-ных колебаний невозможен. Поэтому задача управления спектром в работах по математической теории колебаний для нестационарных систем не рассматривалась. В связи с этим представляют интерес даже простейшие случаи задачи управления частотным спектром дифференциальных систем.

В настоящей работе рассматривается следующая задача. Пусть задана линейная система управления

( ) , , , 2,nx A t x Bu t x n= + ∈ ∈ ≥ (1)

где ( )A t – непрерывная ω -периодическая ( )n n× -матрица, B – постоянная ( )n n× -матрица. Предположим, что управление задается в виде обратной связи, линейной по фазовым пере-менным ( )u U t x= (2)

с непрерывной ω -периодической ( )n n× -матрицей ( )U t . Требуется выбрать такую матрицу ( )U t (коэффициент обратной связи), чтобы замкнутая система

( ( ) ( ))x A t BU t x= + (3)

имела сильно нерегулярные периодические решения, спектр частот которых содержит заданное подмножество частот. Эта задача является обобщением задачи о назначении спектра для неста-ционарного случая, но принципиально отлична от задач управления мультипликаторами, решав-шихся в работах [14; 15] и др.

Предварительно заметим, что если свободная система ( )x A t x= имеет сильно нерегулярные периодические решения, то задача возбуждения сильно нерегулярных периодических колебаний тривиально разрешима. Задача же управления спектром сильно нерегулярных колебаний остается содержательной.



Беларуси

39

Рассмотрим сначала случай, когда матрица B невырожденная. Пусть требуется, чтобы спектр нерегулярных колебаний замкнутой системы (3) содержал частоту λ . Выбором матрицы обратной связи

11( ) ( ( ) ( ))U t B A t A t−= − + (4)

управления (2) система (1) приводится к однородной системе 1( )x A t x= с матрицей коэф-фициентов 1( )A t с любыми наперед заданными свойствами, включая и сильную нерегулярность периодических решений.

Пусть блочно-диагональная ( )n n× -матрица

1 2 2( ) diag ( , ( )),A t A A t= (5)

где 2A – постоянная (2 2)× -матрица с собственными числами i± λ такими, что отношение чисел ω и λπ/ иррационально, 2 ( )A t – произвольная ( 2) ( 2)n n− × − -матрица с непрерывными ω -периодическими элементами. Тогда однородная система с матрицей коэффициентов 1( )A t будет иметь периодическое решение

1 2 3 4( ) col ( cos sin , cos sin ,0, ,0),x t c t c t c t c t= λ + λ λ + λ … (6)

где коэффициенты 1 4,... ,c c зависят от двух произвольных вещественных постоянных. По-скольку числа ω и Ω несоизмеримы, то (6) является сильно нерегулярным решением замкнутой системы (3).

Таким образом, если матрица B невырожденная, 2n ≥ , то задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний с частотой λ для уравнения (1) с обратной связью (2) имеет решение (4), (5). Колебания замкнутой системы (3) с матричным коэффи-циентом (4), (5) представлены в виде (6).

З а м е ч а н и е. Если требуется, чтобы нерегулярные колебания (6) замкнутой системы (3) содержали высшие гармоники, необходимо добавить диагональные блоки в (5) с соответствую-щими собственными значениями, при этом число частот будет не больше половины размерности системы.

Перейдем теперь к случаю, когда матрица B вырожденная. Пусть

rank , ( ),B r n n r d= < − = (7)

причем первые d строк матрицы B нулевые. Обозначим через ,r nB матрицу размерности r n× , составленную из остальных ненулевых строк матрицы B. В силу (7) ранг матрицы ,r nB также равен r.

Будем предполагать, что матрица ( )A t имеет нулевое среднее значение, т. е.

0

1 ( ) 0,А A s dsω

= =ω ∫

(8)

а ее правый верхний блок (12), ( )d rA t размерности d r× тождественно равен нулю, т. е.

(12), ( ) 0.d rA t ≡ (9)

Пусть требуется, чтобы спектр нерегулярных периодических колебаний замкнутой управ-лением (2) системы (1) содержал множество частот 1{ , , }rL ′= λ … λ , попарно различных, соизмеримых между собой и несоизмеримых с 2 /π ω . В таком случае найдется наиболь- шее положительное вещественное λ , которому будут кратны числа 1,..., r′λ λ , т. е. j jkλ = λ

( , 1, )jk N j r′∈ = . Обозначим 2 /Ω = π λ , при этом отношение чисел ω и Ω иррационально.



Беларуси

40

Имеет место Т е о р е м а . Пусть система (1) удовлетворяет условиям (7)–(9). Тогда задача управления

спектром сильно нерегулярных периодических колебаний (1)–(3) с целевым множеством частот L разрешима тогда и только тогда, когда мощность целевого множества не превосходит величины [ / 2]n .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о с т а т о ч н о с т ь. Как вытекает из [5], требуемый для решения поставленной задачи ω -периодический коэффициент обратной связи управления (2) следует искать в виде ( ) ( ),U t U U t= + где U – постоянная ( )n n× -матрица, ( )U t – непрерывная ω -периодическая ( )n n× -матрица с нулевым средним значением. Такое разложение матрицы

( )U t будем называть в дальнейшем каноническим. С учетом (8) замкнутая система (3) распадается на два уравнения

x BUx= , (10)

( ( ) ( )) 0.A t BU t x+ = (11)

Обозначим матрицы, составленные соответственно из d первых и r остальных столбцов матрицы U через ,n dU и ,n rU . Тогда в силу (7), (9) систему (10) можно записать в виде

[ ] [ ], ,[ ] , , [ ]0, ,d d

n d n rr r n r n rx x B U x B U x= = +

где [ ][ ]col ( , )drx x x= , [ ]

1col ( , , )ddx x x= … , [ ] 1col ( , , )r d nx x x+= … . Первая из полученных систем

не имеет отличных от стационарных периодических решений. Поэтому возьмем [ ] ( ) 0dx t ≡ . Тогда вторая из систем примет вид

,[ ] , [ ].n rr r n rx B U x= (12)

Так как ранг матрицы ,r nB равен r, r n< , то ранг расширенной ( ( ))r n r× + -матрицы, составленной из ,r nB и единичной ( )r r× -матрицы ,r rE также равен r. Следовательно, линейная алгебраическая система

, , ,r n r rB Y E= (13)

где Y – неизвестная постоянная ( )n r× -матрица, разрешима относительно Y. Пусть 0Y U= какое-либо частное решение системы (13).

Возьмем постоянную ( )r r× -матрицу 1U , среди собственных чисел которой имеются

1, , ,ri i ′± λ … ± λ (14)

соответствующие частотам из целевого множества L. Положим

, 0 1,n rU U U= (15)

где 0U – частное решение системы (13), 1U – матрица с собственными числами (14). Тогда система (12) примет вид [ ] , 0 1 [ ] 1 [ ]r r n r rx B U U x U x= =

и будет иметь Ω -периодическое решение

[ ]1

( ) cos sin ,r

r j j j jj

x t A t B t′

== λ + λ∑ (16)

где коэффициенты jA , jB – произвольные вещественные постоянные.



Беларуси

41

Значит, если выбрать постоянную ( )n n× -матрицу U так, что ее блок ,n dU из первых d

столбцов состоит из произвольных вещественных чисел, а блок ,n rU из остальных r столбцов определяется соотношением (15), то система (10) будет иметь 2r′ -параметрическое семейство Ω -периодических решений [ ]( ) col [0, ...,0, ( )]rx t x t= (17)

c целевым множеством частот L. Согласно [5], определяемая равенством (17) функция ( )x t будет удовлетворять замкнутой

управлением (2) системе (1), если эта функция является решением системы (11). Для этого должно выполняться тождество

( ( ) ( )) ( ) 0.A t BU t x t+ ≡ (18)

Представим матрицу )(tA в блочном виде. Пусть (11), ( )d dA t , (21)

, ( )r dA t – левые верхний

и нижний, а (12), ( )d rA t , (22)

, ( )r rA t – правые верхний и нижний блоки матрицы ( )A t (нижние индексы указывают размерность). Тогда тождество (18) в силу (9), (17) примет вид

(22), , , [ ]( ( ) ( )) ( ) 0,r r r n n r rA t B U t x t+ ≡

где , ( )n rU t – ( )n r× -матрица, составленная из последних r столбцов матрицы ( )U t . Элементами

блока , ( )n dU t из первых d столбцов матрицы ( )U t могут быть произвольные непрерывные ω - периодические функции с нулевым средним значением.

Рассмотрим алгебраическую систему

(22), , , ( ) 0,r n n r r rB Z A t+ = (19)

где ,n rZ – неизвестная ( )n r× -матрица. Так как ранг матрицы ,r nB равен r, r n< , то система (20)

разрешима относительно ,n rZ , причем ее решение, наряду с элементами матрицы (22), ( )r rA t ,

в качестве свободных параметров может содержать произвольные функции. Пусть , 0 ( )n rZ Z t= – какое-либо ω -периодическое решение с нулевым средним значением системы (19). Полагая

, 0( ) ( )n rU t Z t= (20)

имеем выполнение тождества (18), при этом элементами блока , ( )n dU t из первых d строк

матрицы ( )U t будут произвольные ω -периодические функции с нулевым средним. Таким образом, при выполнении условий теоремы для системы (3) разрешима задача

управления спектром нерегулярных колебаний с целевым множеством L. Требуемая для этого матрица обратной связи управления (2) имеет канонический вид ( ) ( )U t U U t= + , где у по-

стоянной ( )n n× -матрицы U блок ,n dU из первых d столбцов состоит из произвольных вещест-

венных чисел, блок ,n rU из остальных r столбцов определяется равенством (15), элементами блока , ( )n dU t из первых d строк матрицы ( )U t будут произвольные ω -периодические функции

с нулевым средним, а блок , ( )n rU t из остальных r строк определяется равенством (20). Сильно нерегулярное периодическое решение с целевым множеством частот L замкнутой управлением (2) системы (1) представлено тригонометрическим многочленом (16), (17) и содержит 2r′ произвольных постоянных.

Н е о б х о д и м о с т ь. Допустим противное. Пусть найдется непрерывный ω -пе-риодический матричный коэффициент ( )U t обратной связи (2) такой, что замкнутая система (3)



Беларуси

42

имеет сильно нерегулярное периодическое решение ( )x t с целевым множеством частот L и | | [ / 2]L n> . Из [5] вытекает, что ( )x t является решением стационарной системы

( ) ,x A BU x= +

откуда в силу (7), (8) следует, что первые d и последние r компонент вектора ( )x t удовлетворяют

соответственно системам [ ] 0dx = и [ ], ,[ ] , , [ ].

dn d n rr r n r n rx B U x B U x= + Как видим, первые d ком-

понент решения ( )x t не имеют частот из целевого множества L, поскольку могут быть только постоянными. Поэтому частоты целевого множества L, мощность которого по предположению больше чем [ / 2]n , будут иметь только последние r компонент вектора )(tx , удовлетворяющие второй из полученных систем. Однако спектр частот периодического решения такой системы определяется чисто мнимыми комплексно-сопряженными парами собственных значений ( )r r× -

матрицы ,, n rr nB U , число которых не превосходит величины [ / 2]n . Полученное противоречие завершает доказательство.

Работа выполнена в Институте математики НАН Беларуси в рамках ГПФИ «Математические модели».


1. M a s s e r a J. L. // Bol. de la Facultad de Ingenieria. 1950. Vol. 4, N 1. P. 37–45. 2. К у р ц в е й л ь Я., В е й в о д а О. // Чехосл. матем. журн. 1955. Т. 5, № 3. С. 362–370. 3. Е р у г и н Н. П. // Прикл. матем. и механика. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 148–152. 4. Г а й ш у н И. В. // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23, № 8. С. 684–686. 5. Г р у д о Э. И. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 9. С. 1499–1504. 6. D e m e n c h u k А. К. // Math. Bohemica. 2001. Vol. 126, N 1. P. 221–228. 7. D e m e n c h u k A. // Mathematica (Cluj). 2004. T. 46(69), N 1. P. 67–74. 8. D e m e n c h u k A. K. // Publikacie electrotechnickog faculteta Univ. Beograd. Ser. Math. 2006. Vol. 17. P. 1–7. 9. К а р а с е в М. Д. // Успехи физич. наук. 1959. Т. LXIX, вып. 2. С. 222–266. 10. П е н н е р Д. И., Д у б о ш и н с к и й Я. Б., Д у б о ш и н с к и й Д. Б., К о з а к о в М. И. // ДАН СССР.

1972. Т. 204, № 5. С. 1065–1066. 11. П е н н е р Д. И., Д у б о ш и н с к и й Д. Б., К о з а к о в М. И. и др. // Успехи физич. наук. 1973. Т. 109,

вып. 1. С. 402–406. 12. Д у б о ш и н с к и й Я. Б., В е р м е л ь А. С., Д у б о ш и н с к и й Д. Б., К о з а к о в М. И. // Бюллетень

изобретений. 1972. № 21. С. 192. 13. Л а н д а П. С., Д у б о ш и н с к и й Я. Б. // Успехи физич. наук. 1989. Т. 158, вып. 4. С. 729–742. 14. B r u n o v s k y P. // J. of Differential Equations. 1969. Vol. 6, N 3. P. 296–313. 15. Л а п т и н с к и й В. Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. Минск, 1998.

DEMENCHUK A. K.

[email protected]

CONTROL PROBLEM OF A SPECTRUM OF STRONGLY IRREGULAR PERIODIC OSCILLATIONS

Summary

The linear control periodic system with reverse communication is considered. The control problem of a spectrum of irregular oscillations is solved.



Беларуси

43



ФИЗИКА

УДК 06:07:12

Н. А. ГУСАК

ЭФФЕКТ НЕВЗАИМНОСТИ В КИНЕТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ В ФОТОРЕФРАКТИВНЫХ КРИСТАЛЛАХ

(Представлено академиком Н. С. Казаком)

Белорусский национальный технический университет, Минск Поступило 10.12.2008

В работе [1] была отмечена невзаимность прямого и обратного процессов в кинетике реше-ток заряда, возбуждаемых стоячей световой волной в фоторефрактивном кристалле при наличии внешнего электрического поля. Там показано, что с помощью такого поля и решетки свободных носителей, порождаемых светом, в кристалле создается еще одна решетка свободных носителей, смещенная относительно первой на четверть пространственного периода и изменяющая сущест-венным образом характер процесса из-за возникающей в системе обратной связи. В результате оказывается, что время перехода системы в стационарное состояние становится бóльшим време-ни обратного процесса, происходящего после одновременного устранения и неоднородного све-тового и внешнего электрического полей.

Указанный выше эффект невзаимности вызывается внешним воздействием на кристалл. Су-ществует, однако, и внутренняя причина для его проявления, причем он может наблюдаться да-же при возбуждении кристалла однородным световым полем. Ниже показано, что в фото-рефрактивном кристалле с большой концентрацией доноров и малой концентрацией акцепторов времена установления и исчезновения фотопроводимости должны быть разными. При этом уже прямой процесс становится более быстрым, чем обратный.

Обозначим концентрацию доноров в фоторефрактивном кристалле через N1. Согласно работе [2], скорость изменения концентрации однократно ионизированных доноров 1N + подчиняется кинетическому уравнению

11 1 1 1 1 1(β )( ) γ ,e

N S I N N N Nt

++ +∂ = + − −

∂ (1)

где Ne – концентрация электронов в зоне проводимости; β1 – вероятность тепловой генерации электронов; S1 – сечение оптического поглощения; γ1 – коэффициент рекомбинации; I – интен-сивность света.

Будем считать, что кристалл обладает также акцепторами, для которых выполняется кинети-ческое уравнение

22 2 2 2 2 2(β ) γ ( ) ,e

N S I N N N Nt

−− −∂ = − + + −

∂ (2)

где N2 и 2N − – концентрация нейтральных и заряженных акцепторов соответственно. Это урав-нение было введено в рассмотрение в работе [3].

При воздействии однородного светового поля в кристалле соблюдается условие электроней-тральности



Беларуси

44

1 2 .eN N N+ −= + (3)

Для стационарного состояния можно записать

1 1 21 2

1 2 2,e

N N NN n nN N N

+ −

+ −−= =

− (4)

где 1 1 2 21 2

1 2

β β, .γ γ

S I S In n+ += =

Смысл этого выражения состоит в том, что коцентрацию свободных носителей системы можно вычислять двумя способами при известных концентрациях 1N + и 2N − . Однако эти вели-чины нам заранее неизвестны. Выразим их через Ne. Согласно (4) находим

1 11

1,

e

n NNN n

+ =+

(5)

22

2.e

e

N NNN n

− =+

(6)

Подстановка данных выражений в (3) превращает условие электронейтральности в уравне-ние относительно eN , которое зависит только от известных величин – концентрации активных центров и их кинетических коэффициентов. Для нахождения решения этого уравнения придадим ему удобную форму

( )2 2 21 2 2 1 1 1 2 1

1 11 0e e e

N nN N n n N N n N n n NN N

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + − − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (7)

Обычно значения концентрации 1N для различных кристаллов лежат в узком интервале 24 2510 10÷∼ m–3 [4]. Что касается остальных параметров этого уравнения, то для них характерен

большой разброс значений при переходе от одного типа кристалла к другому. Будем считать по-этому величины 1 2 2, ,n n N свободно варьируемыми параметрами в уравнении (7).

Рассмотрим вначале ситуацию, когда выполняется условие

( )1 2 2 1, , « .n n N N (8)

При очень малых значениях концентрации акцепторов, удовлетворяющих более сильному неравенству 2 1 1« ,N n N (9) из уравнения (7) получаем 1 1 .eN n N= (10)

В этом случае eN зависит только от параметров доноров. По мере роста N2 появляется зави-симость eN и от N2, причем увеличение N2 сопровождается уменьшением eN и при

2 1 1»N n N (11) вместо (10) имеем

1 1

2.e

n NNN

= (12)

Получающиеся отсюда значения Ne оказываются значительно меньшими значений Ne, соот-ветствующих выражению (10).

При дальнейшем увеличении N2 концентрация Ne продолжает уменьшаться, причем выраже-ние (12) видоизменяется и при N2 = N1 оно трансформируется в выражение 1 2eN n n= .



Беларуси

45

Позволим теперь параметру n1 выйти за пределы ограничения (8). Из структуры уравнения (7) видно, что рост n1 изменяет выражение (10) только с приближением значений n1 к величине N1. Так, при N2 = N1 вместо (10) имеем Ne ≈ 0,6N1 и при n1 » N1 для Ne находим Ne = N1. Аналогич-но видоизменяется и выражение (12). При n1 ≈ N2 оно переходит в выражение

1 1

2 1e

n NNN n=

+, (12΄)

которое с ростом n1 дает Ne = N1. Видно, что выражения (10) и (12) изменяются существенно только при очень больших значениях n1.

Из уравнения (7) следует также, что неограниченный рост параметра n2 не приводит к изме-нению выражения (10) в случае (9) и сопровождается ростом Ne до значения (10) в случае (11). Если же при 2n →∞ положить 1n →∞ , то это уравнение дает 1eN N= . В условиях отсутствия рекомбинации и на донорах и на акцепторах концентрация свободных носителей равнялась бы концентрации доноров.

Приведенные выражения для Ne в зависимости от значений разных параметров кристалла по-зволяют вычислять концентрацию свободных носителей в различных стационарных состояниях. Найдем теперь уравнение для Ne, описывающее переход системы из одного стационарного со-стояния в другое. Поскольку условие электронейтральности должно соблюдаться для любого момента времени, то в соответствии с (1)–(3) искомое уравнение имеет вид

1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2( )( ) ( ) ( )ee

N S I N N S I N N N N Nt

+ − + −∂ ⎡ ⎤= β + − + β + − γ + γ −⎣ ⎦∂, (13)

где первые два слагаемые дают общее число электронов, поставляемых в зону проводимости в едини-цу времени донорами и заряженными акцепторами, а выражение с квадратными скобками представля-ет собой общее число рекомбинированных в единицу времени электронов. Это уравнение является обобщением соответствующего уравнения из работы [5] на случай двух типов активных центров.

Из данного уравнения следует выражение для Ne в стационарном состоянии, которое воспри-нимается, на первый взгляд, как отличающееся от выражения (4). Нетрудно убедиться, однако, что эти выражения эквивалентны.

Пусть кристалл обладает концентрацией акцепторов N2, удовлетворяющей неравенству (8). Тогда в соответствии с (5) и (6) имеем 1 1« N N+ , 2 2N N− = и уравнение (13) приобретает вид

( ) ( )1 1 1 1 2e

e eN S I N N N Nt∂= β + − γ +

∂. (14)

Будем считать, что кристалл, пребывая в темноте, находится в невозбужденном стационар-ном состоянии. Пусть в момент времени t = 0 он подвергается воздействию постоянного свето-вого возбуждения с интенсивностью I. Задача состоит в нахождении времени перехода кристал-ла в возбужденное стационарное состояние. Представив Ne в виде

Ne = 0 Ie eN N+ , I

eN = 0eNα , (15)

где 0eN и I

eN – концентрация электронов в отсутствие поля и вызванная полем, соответственно, удобно от (14) перейти к уравнению, зависящему только от безразмерных величин

0

20

2 2e

e

NLx N N

⎛ ⎞∂α = − α + α⎜ ⎟⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠. (16)

Здесь введены обозначения

r

tx =τ

, 11 0r

e

NL S IN

= τ , ( )02

12

reN N

τ =γ +

. (17)

При 02 » eN N и небольших значениях интенсивности света в уравнении (16) можно пренеб-

речь квадратичным слагаемым. Однако при 02 ~ eN N коэффициент при 2α становится не малым

и необходимо уже учитывать все слагаемые нелинейного уравнения.



Беларуси

46

Положим для определенности этот коэффициент равным 0,5 – своему максимально возмож-ному значению. В этом случае решение уравнения (16) можно представить в виде [6]

( ) 11

axb с

axece

−

−−α = α+

, (18)

где

22 1 1

c LL

α =+ +

, 2 1a L= + , 11

aca−=+

. (19)

Пусть теперь кристалл находится в возбужденном стационарном состоянии и в момент вре-мени t = 0 освещение исчезает. Тогда процесс затухания данного состояния описывается уравне-нием (16) без источника (L = 0). В этом случае решение уравнение (16) имеет вид

( )

( )1 0,5 1

c xd

c xe

e

−

−αα =

+ α −. (20)

Из выражений (18) и (20) следует, что кинетика развития фотопроводимости рассматриваемых кристаллов зависит не только от параметров материала, но также и от интенсивности света. При этом с ростом интенсивности света время установления стационарного состояния сокращается.

Сопоставим времена прямого и обратного процессов. Согласно (18) величина ( )( )bcα −α

уменьшается в e раз при

( )ln 1b

re c c

ta

⎡ + − ⎤⎣ ⎦= τ . (21)

Для обратного процесса аналогично находим

0,5ln1 0,5

cd

rcet

⎛ ⎞+ α= τ⎜ ⎟⎜ ⎟+ α⎝ ⎠. (22)

Отсюда видно, что времена tb и td оказываются меньшими времени τr, причем прямой про-цесс всегда совершается быстрее обратного. Действительно, при малых L (L » 1) имеем

1 .d

bt L

et= + (23)

При L » 1 достигается максимально возможное значение этого отношения

( )( )

2 12,4

ln 2 1

d

betet−

= ≅−

. (24)

Таким образом, в данной работе показано, что в фоторефрактивном кристалле с малой концен-трацией акцепторов время перехода в возбужденное состояние (и обратно) сокращается с увеличе-нием интенсивности света. При этом бóльшим оказывается сокращение времени прямого процесса.

Литература 1. Г у с а к Н. А. // ЖТФ. 2009. Т. 79, вып. 3. С. 63–70. 2. К у х т а р е в Н. В. // Письма в ЖТФ. 1976. Т. 2, вып. 24. C. 1114–1118. 3. F a y e b a t i P., M a h g e r e f t e n D. // S. Opt. Soc. Am. B. 1991. Vol. 8, N 5. P. 1053–1063. 4. B u s e K. // Appl. Physics B. 1997. Vol. 74. P. 273–291. 5. Г у с а к Н. А. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 2. C. 96–101. 6. К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1976.

GUSAK N. A. [email protected]

NONRECIPROCITY EFFECT IN KINETIC PHENOMENA IN PHOTOREFRACTIVE CRYSTALS

Summary It is shown that in a photorefractive crystal with a low concentration of acceptors a time of transition to the excited stated (and inversely)

decreases with increasing the light intensity. In this case, the decrease of time of the direct process appears to be larger.



Беларуси

47



УДК 539.12

А. А. МАЛИК, И. С. САЦУНКЕВИЧ

О РОЖДЕНИИ ( )− +τ τ -AТОMA НА КОЛЛАЙДЕРЕ ВЭПП-4М

(Представлено членом-корреспондентом Л. М. Томильчиком)

Институт физики им. Б. И. Степанова НАН Беларуси, Минск Поступило 16.02.2009

В [1] авторы предложили использовать реакцию ( )e e− + − +→ τ τ как наиболее перспективную для образования связанного состояния +τ и −τ лептонов, возможность существования которого предсказана в 1975 г. в работе [2]. До недавнего времени рождение ( )− +τ τ , аналога позитрония, ( )e e− + и ( )− +μ μ -системы, казалось весьма проблематичным. Но после эксперимента группы КЕДР [3] на ускорителе ВЭПП-4М (Россия, Новосибирск) можно утверждать, что наблюдение рождения ( )− +τ τ доступно уже сейчас.

В работе приведена сводка энергетического спектра и основных каналов распада связанного состояния τ -лептона и его античастицы. С помощью методики работы [4] тщательно оценены сечения рождения связанных ортосостояний +τ и −τ пары. Показано, что эксперимент группы КЕДР по припороговому рождению пар +τ и −τ автоматически включал первые в мире наблю-дения рождения связанного состояния пары +τ и −τ , на что члены группы не обратили внима-ния.

Основные свойства ( )− +τ τ -атома. Стандартная электрослабая модель достаточна для описания водородоподобных атомов типа ( )− +τ τ . Энергетические уровни ( )− +τ τ -атома имеют вид [5]

2

2 225 кэВ.

4nmE

n nτα= − = − (1)

Второе равенство в этой формуле получено для 1( ) 133,3m−τα [6] и 1776,84mτ = МэВ [7]. Зная

энергетический спектр этого атома, можно рассмотреть его различные распады. Мы предвидим два типа распада ( )− +τ τ -атома: слабый и электромагнитный [8]. При слабом распаде возможен распад любого из составных τ -лептонов, прекращающий существование атомарного состояния. Соответствующая ширина распада

32(( ), - распад) 2 4,53 10 эВ,t

− + −τ

τΓ τ τ τ = Γ = = × (2)

где τΓ – полная ширина распада τ -лептона и tτ – его время жизни [7]. При электромагнитном распаде ( )− +τ τ -атома −τ и +τ аннигилируют. Для аннигиляции

необходимо, чтобы волновая функция ( )rΨ не обращалась в ноль при r = 0, т. е. (0) 0Ψ ≠ . Здесь r-расстояние между −τ и +τ . Поэтому в низшем порядке теории возмущений аннигиляция происходит только при L = 0, т. е. в S состоянии. Каналы электромагнитной аннигиляции 3

1n S состояния ( )− +τ τ -атома и их соответствующие ширины приведены ниже [8]. Фотонный канал



Беларуси

48

( )− +τ τ → γ + γ + γ (3) имеет ширину

2 6 5

3 32( 9) 1,95 10(( ) 3 ) эВ.

9m

n n

−− + τπ − α ×Γ τ τ → γ = =

π (4)

Два лептонных канала ( ) ,e e− + − +τ τ → + (5)

( )− + − +τ τ →μ + μ (6) имеют одинаковую ширину

5 3

3 37,04 10(( ) ) эВ.

6me en n

−− + − + τα ×Γ τ τ → + = = (7)

Адронный канал ( ) адроны− +τ τ → (8)

существенно отличает поведение ( )− +τ τ -системы от эволюции позитрония. Для ( )− +τ τ можно вычислить ширину адронного канала, используя экспериментальные

данные аннигиляции на e e− + коллайдерах при 2полE mτ∼

( адроны) 2 ( ).e e e e− + − + − +σ + → ≈ σ + →μ +μ (9) Следовательно 2(( ) адроны) 2 1,41 10 эВ.ee

− + −Γ τ τ → ≈ Γ = × (10)

Пренебрегая (( ) 3 )− +Γ τ τ → γ , получаем полную ширину

33

28,1(( ), - распад) 4 4,5 10 эВ.n ee n− + −⎛ ⎞Γ ≈ Γ τ τ τ + Γ = + ×⎜ ⎟

⎝ ⎠ (11)

Используя вышеприведенные результаты, можно достаточно точно вычислить сечение рож-дения ( )− +τ τ в e e− + аннигиляции.

Сечение рождения ( )− +τ τ в e e− + аннигиляции. Рассмотрим аннигиляцию e e− + пары на пороге рождения − +τ τ . Сечение этого процесса связано с нерелятивистской функцией Грина [9]

0 26( ) Im (0,0, ) ,E G Emτ

⎧ ⎫π⎪ ⎪σ = σ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(12)

где 2 2

0 24

3 3s mτ

πα πασ = ≈ , так как 24s mτ≈ на пороге; а G(0,0, E) – кулоновская функция Грина,

2Ψ (0)(0 0 )0

nn

n n

G EE m i| |, , = ,− −∑ (13)

где nm – масса n-го связанного состояния ( )− +τ τ . Используя соотношение Im(1 / ( 0)) ( )x i x− = πδ , получаем формулу для сечения следующего вида:

2

( ) 2 20

24( ) | (0) | ( ),nn n

ns s m

mτ

πσ = σ Ψ δ −∑ (14)

где 2s E= . Однако в реальном рождении ( )− +τ τ необходимо учесть различные факторы, ко-торые существенно уменьшат эффективное сечение. Мы должны оценить радиационные по-



Беларуси

49

правки к борновскому сечению за счет излучения фотона и усреднить сечение по разбросу энергий e− и e+ пучков. Предположим, что энергии центра масс распределены вокруг 0E равномерно. Тогда получим

0

0

1

00

( ) ( ) ( (1 )),2

E E

E E

dEE dxF x s xE

+Δ

−Δσ = σ −

Δ∫ ∫ (15)

где ( )F x – функция Кураева–Фадина [4] учитывает влияние излучения фотона начальными частицами. В низшем порядке теории возмущения достаточно взять первый член ( )F x :

2

12

42( ) , ln 1 .e

mF x xm

β− τ⎛ ⎞α= β β = −⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎝ ⎠ (16)

Подставляя σ и ( )F x в (15) и интегрируя с учетом того, что мы находимся на пороге рождения − +τ τ пар, получаем

0

0

2( ) 2 1

0 0 33( ) | (0) | ,

E En

n nn E E

dEE xEm

+Δβ−

−Δτ

πσ = σ Ψ βΔ

∑ ∫ (17)

где

2

21 .nn

mxE

= − (18)

Для упрощения вводим новые переменные 0 02E mτ= + ε , EΔ = Δε , 2E mτ= + ω и 2n nm m Eτ= + . В новых переменных

.nn

Exmτ

ω−= (19)

Интегрируя (17) по ω , находим

2( ) 2

0 0 2

0 00 0

3 1( ) | (0) |

( ) ( ) ,

nn

n

n nn n

m

E EE Em m

τβ β

τ τ

πσ ε = σ Ψ ×Δε

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε + Δε − ε − Δε −⎪ ⎪θ ε + Δε − −θ ε − Δε −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

(20)

где θ – обычная скачкообразная функция.

Подставляя 0σ в последнее уравнение и учитывая, что 3 3

23| (0) |

8nm

nταΨ =π

, имеем окончатель-

ное выражение для сечения рождения ( )− +τ τ в e e− + аннигиляции в виде

2 5

( ) 0 00 0 03

1( ) ( ) ( ) .8

n n nn n

n

E EE E

m m mn

β β

τ τ τ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε + Δε − ε − Δε −π α ⎪ ⎪σ ε = θ ε + Δε − −θ ε − Δε −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δε ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭∑ (21)

Рождение ( )− +τ τ на ВЭПП-4М. Электрон-позитронный коллайдер ВЭПП-4М является установкой со встречными электрон-позитронными пучками в диапазоне энергии от 2 до 6 ГэВ в системе центра масс. На этом ускорителе реализована методика калибровки средней энергии ускоренных электронов и позитронов методом резонансной деполяризации с рекордной отно-сительной точностью 610− , не достигнутой ни в одной ускорительной лаборатории мира. Такая методика дает возможность измерять массу элементарных частиц с чрезвычайно высокой точ-



Беларуси

50

ностью. Недавно проводилось измерение массы τ -лептона на ВЭПП-4М в припороговой области, используя детектор КЕДР [3]. На основе (21) можно оценить число ( )− +τ τ -состояний, появившихся в этом эксперименте. Разброс энергии начальных пучков на ВЭПП-4М 2 1,07 МэВΔε = . Измерения проводились в девяти точках вокруг порога рождения τ -лептона.

Связанное состояние ( )− +τ τ дает максимальный вклад в одной из этих точек при средней энергии 1776 896 МэВE = , , что соответствует в наших обозначениях 0ε 0= . При таких условиях в (21) аргумент первой θ -функции положительный, а второй – отрицательный. Пренебрегая nE , получим окончательную формулу для сечения рождения ( )− +τ τ

2 5

( ) 00 2 3

1( ) .8

n

n mm n

β

ττ

⎛ ⎞ε + Δεπ ασ ε = ⎜ ⎟Δε ⎝ ⎠∑ (22)

Для 0,08β ≈ это сечение равняется 7,7 пб. Так как интегральная светимость установки КЕДР

была 11,605 пбL −= , то количество возникших ( )− +τ τ должно быть

( ) 12 событий.N Lττ = σ (23)

Группа КЕДР обнаружила [3] при энергии 1776,896 МэВE = 6 ττ событий. При этом регист-рировался одноэлектронный канал конечного состояния. Авторы считали, что электроны (по-зитроны) появляются как продукты распада свободных − +τ τ пар. А это, вообще говоря, неверно. Обнаруженное количество электронов (позитронов) в этом случае

2 2 события,eN N Bττ τ= (24)

где 0,1785Bτ = – брэнчинг слабого распада τ -лептона [7], eτ→ νν . Это обнаруженное число электронов (позитронов) содержит вклад как от распадов свободных, так и связанных τ -лептонов. Есть два способа распада ( )− +τ τ в электроны (позитроны).

1. Слабый распад составных лептонов ( )− +τ τ такой же, как и для свободных ( )− +τ τ . В этом случае невозможно определить, что обнаруженные электроны (позитроны) являются продуктом распада свободных − +τ τ или ( )− +τ τ .

2. Аннигиляция ( )− +τ τ в e e− + пары. Члены e e− + пары коллинеарные и имеют энергию 2цмE mτ , что невозможно для e e− + пары от свободных − +τ τ . Возникавшие от ( )− +τ τ e e− +

пары отбрасывались экспериментальным обрезанием по энергии, ибо КЕДР регистрировал полную энергию с учетом 2200 МэВE < . Поэтому только слабый распад составных лептонов

( )− +τ τ дает вклад в рождение обнаруженных электронов (позитронов), а этот вклад можно вычислить следующим образом:

( ) ( ) 2 0,5.ne

n nN L Bττ τ

τ⎛ ⎞Γ

= σ ⎜ ⎟Γ⎝ ⎠∑ (25)

Это означает, что при обнаружении четырех электронов (позитронов) в детекторе при энер-гии 1776,896 МэВE = один будет продуктом распада связанного состояния. Так что полное за-фиксированное число свободных − +τ τ равнялось 4, а ( )− +τ τ – 12. При этом сечение рождения свободных − +τ τ пар 2,85 пб.об

ττσ Это уменьшенное сечение не имеет существенного влияния на вычисленную массу τ -лептона. Однако обнаруженные 12 ( )− +τ τ событий являются первым экспериментальным указанием на существование ( )− +τ τ .



Беларуси

51

Результаты группы КЕДР будут улучшены на китайском коллайдере BEPC II. Электрон-позитронный коллайдер BEPC II имеет высокую светимость [10] и усовершенствованный детек-тор BES III, которые позволят однозначно идентифицировать ( )− +τ τ .


1. M a l i k A. A., S a t s u n k e v i c h I. S. // Proc. Int. Workshop, Quantum Systems: New Trends and Methods, Minsk, Belarus, June 9–13, 1999.

2. M o f f a t J. W. // Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 35. P. 1605. 3. А н а ш и н В. В. и др. // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 85. С. 429. 4. К у р а е в Э. А., Ф а д и н В. С. // Ядерная физ. 1985. Т. 41. С. 733–742. 5. A v i l e z C., M o n t e m a y o r R., M o r e n o M. // Lettere Al Nuovo Cimento Series 2. 1978. Vol. 21. P. 301. 6. M a r c i a n o W. J., S i r l i n A. // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 1851. 7. A m s l e r C. et al. // Phys. Lett. B. 2008. Vol. 667. P. 1. 8. P e r l M. P. // SLAC-PUB-6025. 1992. 9. V o l o s h i n M. // Phys. Lett. B. 2003. Vol. 556. P. 153. 10. M o X. H. // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2007. Vol. 169. P. 132.

MALIK A. A., SATSUNKEVICH I. S.

[email protected]; [email protected]

PRODUCTION OF THE ( )− +τ τ -ATOM AT VEPP-4M

Summary

Basic properties of a possible bound state of τ+ and τ− are given in this article. A total cross section of ( )− +τ τ production in electron positron annihilation taking into account radiative corrections and experimental widths of initial beams is calculated. It is shown that modern experiment is able to observe ( )− +τ τ .



Беларуси

52



УДК 517 + 530.1

С. В. ЖЕСТКОВ1, А. А. РОМАНЕНКО2

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ СОЛИТОНОПОДОБНЫХ РЕШЕНИЙ (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1)-МЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА

С ЗАКОНОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ УТРОЕННОЙ СТЕПЕНИ

(Представлено членом-корреспондентом Л. М. Томильчиком) 1Могилевский государственный университет им. А. А. Кулешова, Могилев 2Белорусско-Российский университет, Могилев Поступило 09.01.2009

Введение. Известно [1], что уравнения Шредингера с различными типами нелинейностей представляют интерес для приложений.

Цель работы – построение солитоноподобных решений уравнений Шредингера с законом нелинейности утроенной степени. Отметим, что вопрос о применимости классических методов построения солитонов к указанным уравнениям является открытым. Авторы используют чис-ленно-аналитический метод, развитый в работах [2; 3].

I. Одномерная модель уравнения Шредингера. Рассмотрим уравнение Шредингера вида

( ) 2 4 6 0m m mt x xxi u cu pu Ku E u u R u u Q u u+ + + + + + = , (1)

где 0, , , , , ,m c p K E R Q> − произвольные действительные числа. Солитоноподобное решение будем строить в виде

( ){ }0 1( , ) ( )exp , ,u t x v i k t k x t x= ξ + + ψ ξ = α +β + ϕ (2)

где 0 1, , , , ,k kα β ϕ ψ − произвольные действительные числа, ( )v ξ − неизвестная функция. Под-ставляя (2) в (1), получим

( )12 2 1 4 1 6 1

20 1 1

a) 2 ( ) 0,

б) 0,

.

m m m

c p k v

p v hv Ev Rv Qv

h K k ck pk

+ + +

′α + β + β ξ =

′′β + + + + =

= − − −

(3)

Рассмотрим случай, когда ( ) constv dξ ≡ = . Тогда уравнение (3, а) будет удовлетворено. Из уравнения (3, б) найдем 2 4 6 0m m mh Ed Rd Qd+ + + = . (4)

Следовательно, справедлива Т е о р е м а 1. Пусть число *d является корнем уравнения (4). Тогда уравнение (1) имеет

решение вида ( ){ }0 1( , ) expu t x d i k t k x∗= + + ψ , которое носит чисто колебательный характер.

Заметим, что уравнение (4) является кубическим уравнением относительно величины 2md . Рассмотрим случай, когда

12 0с p kα + β + β = . (5)

Тогда уравнение (3, а) будет удовлетворено для любой гладкой функции ( )v ξ . Для ее опре-деления из уравнения (3, б) получим



Беларуси

53

2 1 4 1 6 1m m mv Av Bv Cv Dv+ + +′′ = − − − , (6)

где

2 2 2 2, , ,h E R QA B C Dp p p p

= − = = =β β β β

.

К уравнению (6) добавим краевые условия [4]

( ) 0, ( ) 0v v′±∞ = ±∞ = . (7)

Краевая адача (6), (7) определяет существование светлого солитона. Ее решение строится в виде

0 1 2

1( ) ( ), ,2

( ) exp( ) exp( ),

v Fm

F

−μξ = ξ μ =

ξ = λ + λ αξ + λ −αξ (8)

где 0 1 20, 0, 0,λ > λ > λ > α – произвольные действительные числа. Подставляя (8) в (6), найдем

2 2 22 2 0 0 0

0 1 2 2 2

2 2 2 2 30 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0 0

2 3 , , ,2 3 3

2 3 , ( 1).3 3 6 4 2

B C ABAA A A

B C A D B C AA A B

λ − λ μα + − λμ= α μ λ = λ λ =μ + + μα + γα

λ − λ μα + − λ + λ + λ − λ= γ = μ μ +

+ μα + γα λ + λ μα − + γλ α

(9)

Следовательно, справедлива Т е о р е м а 2. Пусть выполнены условия (5), (9). Тогда уравнение (1) имеет решение вида

( ) ( )( )0 1 2 0 1( , ) exp( ) exp( ) expu t x i k t k x−μ= λ + λ αξ + λ −αξ + +ψ . (10)

Решение (10) обобщает известное [4] солитонное решение для нелинейности удвоенной сте-пени и представляет интерес для приложений.

На рис. 1 представлены графики огибающих одномерных солитонов. II. Двумерная модель уравнения Шредингера. Рассмотрим уравнение Шредингера вида

2 4 6 0, 0,

,

m m mz

xx yy

iu p u Ku E u u R u u Q u u mu u u

⊥

⊥

+ Δ + + + + = >Δ ≡ +

(11)

где , , , ,p K E R Q − произвольные действительные числа. Солитоноподобное решение уравнения (11) будем строить в виде ( , , ) ( , )exp( )u x y z U x y ikz= , (12)

где k − действительное число, ( , )U x y − неизвестная функция. Подставляя (12) в уравнение (11), получим

2 1 4 1 6 1m m mU AU BU CU DU+ + +⊥Δ = − − − , (13)

где ( ) , , , .A k K p B E p C R p D Q p= − = = = Переходя в полярную систему координат ( , )r ϕ и предполагая, что огибающая солитона не зависит от полярного угла ϕ , уравнение (13) приве-дем к виду

2 1 4 1 6 11 m m mU U AU BU CU DUr

+ + +′′ ′+ = − − − . (14)

К уравнению (14) добавим краевые условия [4] (0) 0, ( ) 0U U′ ′= +∞ = . (15)

Рис. 1. Графики огибающих одномерных солито-нов при следующих значениях параметров: А = 1,0;В = 0,2; С = 0,1; 1 – m = 0,25; D = 0,036533(3), λ1 = λ2 = 0,1355; 2 – m = 0,5; D = 0,02722(2); λ1 = λ2 = 0,1166(6)



Беларуси

54

Краевая задача (14), (15) определяет существование огибающей осесимметричного солито- на. Для ее решения используем численно-аналитический метод [2; 3]. В качестве асимпто- тики на бесконечности берется решение следующей краевой задачи: 2 1mU AU BU +′′ = − −

4 1 6 1m mCU DU+ +− , ( ) 0, ( ) 0U U ′+∞ = +∞ = . Ее решение дается формулой

( )0 1 2( ) exp( ) exp( )U r r r −μ= λ + λ α + λ −α (16)

с учетом соотношений (9). Пусть r∗ точка из [ )0,+∞ такая, что при r r∗≥ можно использовать асимптотическое пред-

ставление (16). Тогда решение уравнения (14) можно продолжить гладким образом до точки 0r = , начиная с решения следующей задачи Коши:

2 1 4 1 6 1

0 1

1 ,

( ) , ( ) ,

m m mU U AU BU CU DUr

U r U U r U

+ + +

∗ ∗

′′ ′+ = − − −

′= = (17)

где 0 1,U U − значения асимптотической функции (16) и ее производной в точке r∗ . Задача Коши (17) эквивалентна интегральному уравнению

( )

( )

( )

0 1

2 1 4 1 6 1

2 1 4 1 6 1

( ) ln

ln ( ) ( ) ( ) ( )

ln ( ) ( ) ( ) ( ) .

rm m m

r

rm m m

r

rU r U U rr

r s AU s BU s CU s DU s ds

s s AU s BU s CU s DU s ds

∗

∗

∗∗

+ + +

+ + +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

− − − −

− − −

∫

∫

(18)

Применяя к уравнению (18) принцип сжимающих отображений [5], получим локальную тео-рему об однозначной разрешимости задачи Коши (17).

Т е о р е м а 3. Пусть выполнены условия

{ }

{ }

2 4 6 2 2

2 4 6

1 ln (2 1) (4 1) (6 1)2

(2 1) (4 1) (6 1) ln 1;

m m m

rm m m

r

r A m B m C m D r r

A m B m C m D s s ds∗

∗+ + Γ + + Γ + + Γ − +

+ + Γ + + Γ + + Γ <∫

( )

( )

2 1 4 1 6 1 2 20 1

2 1 4 1 6 1

1ln ln2

ln .

m m m

rm m m

r

rU U r r A B C D r rr

A B C D s s ds∗

+ + +∗ ∗

∗

+ + +

⎛ ⎞+ + Γ + Γ + Γ + Γ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Γ + Γ + Γ + Γ ≤ Γ∫

Тогда в области , 0r r U∗− ≤ δ ≤ ≤ Γ , где δ − достаточно малое число, а Γ − конечное положи-тельное число, уравнение (18) имеет единственное решение, которое можно построить мето-дом последовательных приближений или численно.

Теорема утверждает, что за конечное число шагов можно численно построить решение урав-нения (18) на отрезке [ ]0, r∗ . При этом эквивалентное интегральное уравнение в окрестности точки 0r = примет вид



Беларуси

55

()

( )

2 1

04 1 6 1

2 1 4 1 6 1

0

( ) (0) ln ( ) ( )

( ) ( )

ln ( ) ( ) ( ) ( ) ,

rm

m m

rm m m

U r U r s AU s BU s

CU s DU s ds

s s AU s BU s CU s DU s ds

+

+ +

+ + +

= + − −

− −

− − −

∫

∫

(19)

где (0)U −неизвестная амплитуда солитона. Значение (0)U подбирается таким образом, чтобы график осесимметрично-го солитона на отрезке [ ]0, r∗ гладким образом переходил в график асимптотической функции (16).

Обозначим (0)U = Δ . Тогда в окрестности точки 0r = из (19) получим

( )2 2 1 4 1 6 11( )4

m m mU r r A B C D+ + +≈ Δ + Δ − Δ − Δ − Δ .

На рис. 2 представлены графики огибающих двумерных солитонов. Из результатов численного моделирования следует, что с увеличением размерности про-

странства амплитуда двумерного солитона увеличивается по сравнению с одномерным, а шири-на уменьшается (т. е. солитон сжимается).

III. Трехмерная модель уравнения Шредингера. Рассмотрим уравнение Шредингера вида [6]

( )20

00

2xx yyki K Nkξ ττ′′

ψ + ψ + ψ − ψ + ψ + ψ ψ = , (20)

где 0 0, ,k z t k z K′ξ = τ = − − произвольное действительное число; 2 3( ) m m mN E R QΙ = Ι + Ι + Ι – функ-ция отклика, определяющая закон утроенной степени, , ,E R Q −произвольные действительные числа. В случае 0 0k ′′ < , который соответствует отрицательной дисперсии, с помощью замены

0

0

2kk−

τ = τ′′

и возвращения к старой переменной τ , уравнение (20) преобразуется к виду

2 4 6 0m m mxx yyi K E R Qξ ττψ + ψ + ψ +ψ + ψ + ψ ψ + ψ ψ + ψ ψ = . (21)

Переходя к полярным координатам ,ρ ϕ на плоскости ,x y и считая, что функция ψ не за-висит от полярного угла ϕ , из (21) получим

2 4 61 0m m mi K E R Qξ ρρ ρ ττψ + ψ + ψ + ψ + ψ + ψ ψ + ψ ψ + ψ ψ =ρ

. (22)

Решение уравнения (22) будем строить в виде

2 2( , , ) ( )exp( ), 0,U r ik k rψ ρ τ ξ = ξ > = ρ + τ . (23)

Подставляя (23) в (22), найдем

2 1 4 1 6 12 ,

, , , .


A k K B E C R D Q

+ + +′′ ′+ = − − −

= − = = = (24)

К уравнению (24) добавим краевые условия [4]

(0) 0, ( ) 0U U′ ′= +∞ = . (25)

Краевая задача (24), (25) определяет существование огибающей осесимметричного солитона. Она решается аналогичным образом, причем асимптотика солитона на бесконечности определя-ется формулой (16).

Рис. 2. Графики огибающих двумерных солитонов при значениях параметров: А = 1,0; В = 0,2; С = 0,1; 1 – m = 0,25; D = 0,036533(3); 2 − m = 0,5; D = 0,02722(2)



Беларуси

56

Соответствующая задача Коши имеет вид

2 1 4 1 6 1

0 1

2 ,

( ) , ( ) .


U r U U r U

+ + +

∗ ∗

′′ ′+ = − − −

′= = (26)

Она эквивалентна интегральному уравнению

( )

( )

20 1

2 1 4 1 6 1

2 2 1 4 1 6 1

1 1( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) .

rm m m

r

rm m m

r

U r U U rr r

s AU s BU s CU s DU s ds

s AU s BU s CU s DU s dsr

∗

∗

∗∗

+ + +

+ + +

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

− − − −

− − −

∫

∫

(27)

Применяя к уравнению (27) принцип сжимающих отображений [5], получим локальную тео-рему об однозначной разрешимости задачи Коши (26).

Т е о р е м а 4. Пусть выполнены условия

2 4 6(2 1) (4 1) (6 1) ( ) 1m m mA m B m C m D r⎡ ⎤+ + Γ + + Γ + + Γ Ι <⎣ ⎦ ,

21( )r r

r rr sds s ds

r∗ ∗

Ι ≡ +∫ ∫ ,

2 2 1 4 1 6 10 1

1 1 ( )m m mU U r A B C D rr r

+ + +∗

∗

⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ − + Γ + Γ + Γ + Γ Ι ≤ Γ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠.

Тогда в области , 0r r U∗− ≤ δ ≤ ≤ Γ , где δ − достаточно малое число, а Γ − конечное число, уравнение (27) имеет единственное решение, которое можно построить методом последова-тельных приближений или численно.

Теорема утверждает, что за конечное число шагов можно численно построить решение урав-нения (27) на отрезке [ ]0, r∗ . При этом эквивалентное интегральное уравнение в окрестности точки 0r = примет вид

( )

( )

2 1 4 1 6 10

0

2 2 1 4 1 6 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ,

rm m m

rm m m

U r U s AU s BU s CU s DU s ds

s AU s BU s CU s DU s dsr

+ + +

+ + +

= + − − − −

− − −

∫

∫ (28)

где (0)U −неизвестная амплитуда солитона. Значение (0)U подбирается таким образом, чтобы график осесимметрич-ного солитона на отрезке [ ]0, r∗ гладким образом перехо-дил в график асимптотической функции (16).

Обозначим (0)U = Δ . Тогда в окрестности точки 0r = из (28) получим

( )2 2 1 4 1 6 11( )6

m m mU r r A B C D+ + +≈ Δ + Δ − Δ − Δ − Δ .

На рис. 3 представлены графики огибающих трехмер-ных солитонов.

Рис. 3. Графики огибающих трехмерных со-литонов при значениях параметров: А = 1,0; В = 0,2; С = 0,1; 1 – m = 0,25; D = 0,036533(3); 2 − m = 0,5; D = 0,027222(2)



Беларуси

57

Из результатов численного моделирования следует, что с увеличением размерности про-странства амплитуда трехмерного солитона увеличивается, и при этом происходит его сжатие по сравнению с двумерным случаем, что согласуется с физическими представлениями о распро-странении света в средах с неоднородным распределением показателя преломления.


1. A n j a n B i s w a s // Applied Math. and Comput. 2003. Vol. 136. P. 443–452. 2. Ж е с т к о в С. В., Р о м а н е н к о А. А. // Докл. НАН Беларуси. 2005. Т. 49, № 6. С. 50–52. 3. Ж е с т к о в С. В., Р о м а н е н к о А. А. // Докл. НАН Беларуси. 2006. Т. 50, № 4. С. 46–49. 4. К и в ш а р ь Ю. С., А г р а в а л Г. П. Оптические солитоны. М., 2005. 5. Д е м и д о в и ч Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967. 6. А х м е д и е в Н. Н., А н к е в и ч А. Солитоны. М., 2003.

ZHESTKOV S. V., ROMANENKO A. A.

[email protected]

CONSTRUCTING AND ANALYSIS OF SOLITON-LIKE SOLUTIONS OF (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1)-DIMENSIONAL SCHRODINGER EQUATIONS WITH THIRD POWER NONLINEARITY LAW

Summary

The problem of existence of soliton-like solutions of (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1)-dimensional Schrodinger equations with the third power nonlinearity law is investigated. The numerical-analytical method of constructing solitons is developed.



Беларуси

58



ХИМИЯ

УДК 577.322.5:543.25

I. V. ANISHCHENKO1, A. M. ANDRIANOV2

STUDY ON THE CONFORMATIONAL MOBILITY OF THE HIV-1 SUBTYPE A V3 LOOP FOR THE RATIONAL STRUCTURE-BASED DRUG DESIGN

(Presented by Corresponding Member I. A. Mikhailopulo)

1 United Institute of Informatics Problems of NAS of Belarus, Minsk 2 Institute of Bioorganic Chemistry of NAS of Belarus, Minsk Submitted 10.02.2009

Introduction. The efficiency of contemporary approaches to the computational drug design depends extensively on the quality of determining the 3D structure of a target macromolecule as well as on the availability of reliable data on its structurally conservative segments offering the most suitable landing places for ligands that may serve as potential candidates for developing effective therapeutic agents.

The HIV-1 gp120 V3 loop giving rise to the virus principal neutralizing determinant and determinants of cell tropism and cell fusion is considered as one of the promising targets for anti-AIDS drug studies. Recent findings on the structure, function, antigenicity, and immunogenicity of V3 are the evidence of its major influence on multiple functions of the gp120 protein, and indeed, on the entire functional HIV-1 Env complex (reviewed in [1; 2]). Therefore, in spite of disappointing progress over more than a decade, studies on the design of HIV-1 drugs and vaccines to protect against viral infection have still been focused on gp120 V3 loop [2]. Currently, the research teams involved in this work pay particular attention to examining the principles of spatial organization of this cryptic site of gp120 followed by defining the biological role of its individual amino acids in the virus life cycle [2]. Nevertheless, comprehensive analysis of the literature makes it clear [1; 2] that relatively little is known about structural properties of V3, and available data provide insufficient and conflicting information on its structure. To all appearance, the ambiguity of knowledge of the V3 loop structure can be provoked by the high variability of its amino acid sequence [3], which stimulates the structural reconstruction of the fragment resulting in differences of its 3D structures in various viral isolates. Collation of the V3 amino acid sequences in the diverse virus modifications bears witness that, in spite of the intensive mutations of the primary structure, this site of gp120 is well disposed towards preserving the individual segments both in its central region and the terminal stretches [3]. This evidence allows one to suppose that these segments may also retain the 3D folds forming the structurally rigid sites of V3. It is obvious that the data on such inflexible stretches may provide a basis for informational support of protein engineering projects that use the V3-target for developing anti-HIV-1 drugs of a new generation [2].

Now the preferences in the structural research of V3 are mostly given to the HIV-1 subtype B dominating in the North America, Western Europe, the Middle East, Eastern Asia and Latin America, whereas the similar studies on subtype A prevailing not only in Eastern Africa and Central Asia but also in Eastern Europe, including the Republic of Belarus and, therefore, offering the target of our great interest, have not been put into practice.

In recent study [4], we have computed the ensemble of the low-energy structures for the consensus amino acid sequence of the HIV-1 subtype A V3 loop (SA-V3 loop) and specified its most probable conformation satisfying general criteria commonly used as a measure of the quality of protein structures in terms of their 3D folds and local geometry. To reveal common structural motifs in the HIV-1 V3



Беларуси

59

variable loops, the simulated structures and their individual stretches were compared with those of V3 deciphered by NMR spectroscopy and X-ray studies for diverse virus isolates in different environments. As a result, regardless of sequence variability and medium inconstancy, the V3 loop was shown to form three structurally inflexible sites located in its central immunogenic part as well as in the N- and C-terminals involved in co-receptor usage.

The results described below enlarge the evidence for study [4] in which the 3D model of the HIV-1 SA-V3 loop was built by homology modeling methodology. The purpose of the present paper was to look into the dynamic behavior of this static 3D structure of V3 followed by determining its rigid segments and evaluating the masking effect that can occur due to interaction of the SA-V3 loop with two virtual molecules constructed previously [5; 6] by tools of computer-aided modeling and named FKBP and CycA peptides.

To reach the object of view, the molecular dynamics trajectory was computed for the SA-V3 loop on the basis of its 3D structure [4] and the data on the conformational mobility of V3 obtained by molecular dynamics (MD) simulations were collated with the ones derived in work [4]. At the final point of computations, molecular docking of V3 with the FKBP and CycA peptides was implemented and inter-atomic contacts appearing in the simulated complexes were analyzed to specify the V3 stretches keeping in touch with the ligands.

As a matter of record, the individual V3 segments containing the highly conserved and biologically meaningful residues of gp120 were shown to retain their 3D main chain shapes presenting the forward-looking targets for anti-AIDS drug researches. From the data on molecular docking, synthetic analogs of the CycA and FKBP peptides were suggested being suitable frameworks for making a reality of the V3-based anti-HIV-1 drug projects.

Methods. Molecular dynamics computations. The MD simulations were implemented by the GROMACS computer package [http://www.gromacs.org/] using the GROMOS96 force field parameter set 53A6. The starting 3D structure of V3 generated previously [4] was placed in a cubic box so that the smallest distance between its walls and the V3 atoms was greater than the half of the cut-off radius of the Coulomb and Lennard-Jones potentials fixed at 1.4 nm. Simple point charge water model was utilized to set the parameters of explicit solvent on which the periodic boundary conditions were imposed in all directions. Before the MD computations, the initial V3 model was subjected to the procedure of energy minimization realized in free space by the steepest descent method. The MD simulations were carried out at a temperature of 310 K during 10 ns time domain with a 1 fs step at fixed pressure and number of atoms. To integrate Newton’s equations of motion, the common leap-frog algorithm was used. To control the temperature, the weak coupling scheme to an external bath [http://www.gromacs.org/] was employed in the calculations with the 0.1 ps characteristic time. As with the temperature coupling, the system was linked to a «pressure bath» by exponential relaxation of pressure [http://www.gromacs.org/] with the 1.0 ps time constant.

Every 10 ps, the geometric parameters of the MD structures and the data on their energy characteristics were recorded into the trajectory file. Comparison of the MD conformations between themselves and with the input structure was performed in terms of the values of root-mean-square deviations computed both in Cartesian (cRMSD) and angular (aRMSD) spaces. To this effect, the GROMACS routines were implicated in the studies.

The MD simulations were run in parallel on the SKIF K-1000 computer cluster on 64 CPUs. Molecular docking simulations. Molecular docking of the SA-V3 loop with the CycA and FKBP

peptides [5; 6] was executed by the Hex 4.5 program [7] which presents an interactive molecular graphics package for calculating and displaying feasible docking modes of pairs of protein and DNA molecules and employs the spherical polar Fourier correlations to accelerate the computations. The energy refinement of the built structural complexes was performed by the Minimize program of the Tinker software tools [8]. 3D structures of the FKBP and CycA peptides used in the docking simulations were taken from our recent studies [5; 6] where they were predicted basing on the X-ray conformations for the identical sites of the FK506-binding protein and cyclophilin A. To analyze the simulated over-molecular ensembles, the SwissPdbViewer computer program [9] was put into effect.

Results and Discussion. Looking into the data of MD simulations gives ground to make a conclusion analogous to that arising from the collation of the static V3 structures observed in various



Беларуси

60

HIV-1 isolates in different environments [4]: inspection of the MD trajectory generated for the SA-V3 loop within the 10 ns time domain is evidence of the high flexibility of its 3D structure becoming apparent in terms of both Cartesian coordinates and dihedral angles. In the first case, the root-mean square deviations of the MD structures from the starting V3 model rise steeply to 10.4 Å, and in the latter case, they are as large as 87º. When analyzing the dynamic behavior of the SA-V3 loop, one needs to note that, in spite of the diversity of spatial folds materialized in the MD trajectory, its 3D variable structures keep in the course of modeling the values of potential and total energy, the spread of which from the average does not overstep the limits of 0.03 %. This evidence obtained by intensive scanning of the conformational V3 space confirms the data of our previous NMR-based studies on the V3 loops

from diverse HIV-1 strains (see, e. g., [10; 11]) indicating that V3 is able to adopt a wide variety of 3D shapes which, however, take up the close positions on its energy surface. In this connection, it would be advisable to investigate the dynamic characteristics of the individual V3 segments of different length and, first of all, those which have been identified previously [4] to be structurally rigid. Fig. 1 gives the particular information on the structural changes of V3 segments 3–7, 15–19, and 28–32 which is presented by the time dependence of the cRMSD values calculated for all of the points of the MD trajectory and the starting SA-V3 loop model [4]. Analysis of this graphics shows that the stretches indicated hold their spatial folds during the MD computations: the amplitudes of cRMSD occurring for V3 sites 3–7, 15–19, and 28–32 do not exceed 2.5, 2.1, and 2.6 Å, respectively, and the corresponding means come to 1.9, 1.1, and 1.2 Å. As it would be expected, the core V3 sequence Gly-Pro-Gly-Gln-Ala-Phe [1; 2] located in the central part of its immunogenic crown also demonstrates the structural inflexibility: in this instance, the average of a standard deviation of the Cartesian atomic coordinates from the ones of the initial structure amounts to 1.1 Å. The results of a thorough study of the conformational V3 freedom carried out for the stretches of variable length are shown in Fig. 2 by the series of graphics pointing out that, together with the immunogenic crest of the SA-V3 loop, its longer central sites actually preserve their 3D folds within the computa-tional time. Insight into the data given in Fig. 2 displays that such a persistent situation exists to the point of coverage of the gp120 immunogenic crown (segment 11–24) [1; 2] which is not subjected to substantial structural rearrangements either. At the same time, segments of the V3 loop stem embracing the amino acids of the N- and C-terminals mani-fest much higher conformational mobility as compared to the middle of V3, making a key contribution to its structural transformations in the Cartesian space.

Fig. 3 provides information on the dyna-mic behavior which the SA-V3 loop exhibits in the geometric space of dihedral angles. This figure illustrates the data on the means of

Fig. 1. The time dependence of the cRMSD values (Å) com-puted between all of the MD conformations and the inputstructure of the SA-V3 loop for its segments 3–7, 15–19, and 28–32 (graphics 1, 2, and 3 respectively). For a better repre- sentation, each series is smoothed over 25 neighboring points

Fig. 2. The averages of the cRMSD (Å) calculated for the structures of the MD trajectory and starting point and concerning the SA-V3 loop stretches of different length. Graphics 1–11 show the means of cRMSD for the V3 segments comprised 4 to 14 amino acids re-spectively. Polyline nodes refer to the residue numbers presenting the central parts of the corresponding V3 sites: for example, num-ber 2 denotes the center of tetrapeptide, whereas numeral 2.5 indi- cates the one of pentapeptide and so on



Беларуси

61

aRMSD computed for the MD structures and the starting model and described as the function of the residue number in the V3 sequence. Evaluation of the angular fluctuations of the SA-V3 loop proves that the major portion of its amino acids demonstrates in the process of the MD simulations the great spread of the dihed-rals. Nevertheless, having analyzed the data obtained, we conclude that the individual resi-dues integrated principally in the centre of the V3 loop conserve their main chain torsional angles, giving rise to the islet of relative «con-formational tranquility» along the V3 polypep- tide chain. As follows from Fig. 3, the list of the amino acids that evince the structural stability in terms of angular coordinates is practically exhausted by those covering V3 segment 14–23. We have mentioned above that this V3 segment determines extensively the immunogenicity of gp120, and some of its residues contribute to co-receptor usage [1]. Furthermore, local structures of such single V3 amino acids as Thr-2, Thr-8, Lys-10, Ile-26, and Ile-27 do not go through the dramatic reorganization at the time of simulations (see Fig. 3).

When examining the time changes of local V3 structure (Fig. 3), special attention should be paid to the following fact: the residues of V3 segments 3–7 and 28–32 that have been identified to be conserved in the Cartesian space (Fig. 1) show the high amplitudes of fluctuations of the dihedral angles, which implies that the close spatial folds of these segments may be composed of different local minima of their amino acids. This finding derived from the MD computations falls into line with that of our work [4] which came out from confronting the static V3 models decoded by computational modeling, X-ray crystallography, and NMR spectroscopy. In this connection, we have expressed our view [4], whereby conservatism of the 3D shapes of the segments in question comprising the V3 residues engaged in cell tropism [1] may be essential to specifically recognize the receptors of target cells, whereas the higher mobility of their individual residues may be necessary to make favorable contacts with them followed by safe fixation on the cellular membrane surface. Moreover, the conformational features of V3 segment 3–7 described above should also promote the V3 loop to be glycosylated and protected against neutralizing antibodies: it is known [12] that V3 asparagines located at positions 6 and 7 organize the highly conserved glycosylation site for specific binding to the N-linked glycan, which modulates the interaction of the HIV-1 phenotypically diverse clades A and B with CD4 and chemokine receptors and serves to block access to the neutralization regions on gp120 of different isolates. As such, the data on the conformational mobility of V3 obtained in the present study are the evidence of the validity of the structure-based anti-AIDS drug design strategy [13] aimed at the use of the N-linked glycosylation sites of gp120 as potential conformational epitopes.

Thus, the joint analysis of the static and dynamic models of V3 testifies to the presence of invariant and, consequently, weak units within its variable sequence exposing the universal targets to set out of the search for the potential anti-AIDS drugs with a broadly neutralizing activity. In this context, they may be utilized as the most convenient landing-places for molecular docking of the V3 loop and ligand structures followed by selecting chemical compounds suitable as a basis for the rational design of safe and effective therapeutic agents.

In the light of study [14], whereby V3 is a high-affinity ligand for immunophilins present in human blood, we have lately generated two virtual molecules, namely, FKBP and CycA peptides [5; 6] that, according to our computations, are capable of the effecive blockade the functionally crucial V3 sites and may serve as promising chemicals for anti-AIDS drug studies. At the same time, the FKBP peptide originated from delving into the structural complex of the FK506-binding protein with the peptide of V3 imitating its immunogenic crown [5], whereas the CycA peptide followed from the analogous studies on cyclophilin A and the entire V3 loop from Minnesota (MN) HIV-1 isolates [6] relating to the virus clade B. Posterior veritication of the capacity of the both generated molecules for V3

Fig. 3. The means of aRMSD (deg.) in the dihedrals φ (■) and ψ(●) computed for the MD structures and starting SA-V3 loop model and described as the function of the residue number in its amino acid sequence



Беларуси

62

Fig. 4. Structural complexes of the SA-V3 loop (balls) with (a) CycA and (b) FKBP peptides (tubes)

masking realized by their docking with the MN-V3 loop indicated [6] that it exhibits two alternative sites to interact with the CycA and FKBP peptides. As shown in study [6], one of these sites belongs to the immunogenic tip of V3, whereas the other unifies the residues of its N- and C-terminals associated with co-receptor usage [1]. As the 3D structures of the SA- and MN-V3 loops differ substantially but expose the stretches with the close spatial folds [4], it is of interest to evaluate the blocking effect which can be achieved as a result of binding of the SA-V3 loop to the CycA and FKBP peptides. Fig. 4 describes the structural complexes of the SA-V3 loop with the CycA and FKBP peptides generated by molecular docking followed by energy refinement via the Tinker software tools. Analysis of the inter-atomic contacts appearing in the complex «SA-V3 loop/CycA peptide» (Fig. 4, a) makes it possible to identify the region of V3 that becomes very intimate with the ligand and shares in the specific high-affinity interactions. From the data obtained, this region belongs to the V3 immunogenic tip Gly-Pro-Gly-Gln-Ala-Phe which, as mentioned above, makes in the MN-V3 loop one of the most probable sites for binding to the CycA and FKBP peptides [6]. Examination of the constituents of the energy function describing the potential surface of the simulated complex testifies to the availability of energetically favorable contacts of the ligand with the core V3 sequence resulting in the masking of this structurally conserved and functionally crucial stretch of the HIV-1 principal neutralizing determinant. Since the V3 immunogenic tip gives rise to the closely related spatial folds in diverse virus isolates and different environments [15], one may expect that synthetic molecule reproducing the amino acid sequence of the CycA peptide may display the biological activity to various HIV-1 strains, which suggests a possible use of this molecule or its chemically modified forms as an alternative to the V3-directed antibodies widely adopted to neutralize the virus infectivity.

Studies on the structural complex presented in Fig. 4, b illustrate that, unlike the CycA peptide, a determinative contribution to its stabilization falls to the effective interactions of the FKBP-derived molecule with the residues of V3 N- and C-terminals organizing in the MN-V3 loop the binding site for the CycA and FKBP peptides alternative to its immunogenic tip [6]. In the case of interest, cooperation of the SA-V3 loop with the FKBP peptide is accompanied by getting into close contacts of the ligand with some of the critical amino acids of V3 comprising the ones of its segments 3–7 and 28–32 that were found earlier [4] to be structurally frozen, which, evidently, should implicate the limitation of their active participation in co-receptor use. Besides, our docking simulations show (Fig. 4, b) that the binding of the FKBP peptide to the SA-V3 loop ought to entail the masking of its N-terminal glycosylation site that is able to result in the blocking of access of the N-linked glycan to this conformational epitope followed by elevation of V3 immunogenicity.

Summing up, in order to interplay with the FKBP and CycA peptides, the SA- and MN-V3 loops disclose the same sites residing in the structurally inflexible segments of gp120 which contribute considerably to its immunogenicity and infectivity.

In such a way, summary analysis of the data on molecular docking obtained here and previously [5; 6] shows that they agree with the literature evidence for a high affinity of the HIV-1 V3 variable loops to immunophilins [14] and testify to the possibility of realizing the efficacious and specific interactions of V3 with their peptides leading to the formation of energetically stable complexes, where the immunogenic V3 crest or/and its terminal sites involved in co-receptor binding prove to be covered by the ligands.



Беларуси

63

Conclusion. Synthesizing all the data derived makes it possible to concentrate attention on the individual segments of the HIV-1 V3 loop forming its functionally active sites and preserving the 3D folds in all the cases in question. First of all, it concerns the core V3 sequence giving rise to the virus immunogenic tip as well as the N- and C-terminal stretches playing an important role in cell tropism. It is clear that these highly conserved V3 sites may be prime targets for eliciting neutralizing antibody responses, affecting HIV-1 tropism, and increasing the immunogenicity of AIDS drugs. Beyond all shadow of doubt, some of the structurally conserved amino acids found here and the part of which in the virus functioning has not been deciphered are also to be in the limelight of research teams that are involved in tackling the HIV-1 pandemic [2].

Evidently, the structure-based studies analogous to those above are to be carried out for other virus subtypes: enlarging the base of data on the V3 variable structures is highly probable to let discovering the common targets for elaborating the HIV-1 agents with a broad cross-clade neutralizing activity. In this context, one of the perspective approaches to solving the problem is a technique of comparative modeling that, as shown previously [4], is capable of resulting in the correct structural predictions, which gives a good chance to decipher the 3D structures of the V3 variable loops followed by their collating and disclosing the invariant structural elements. It is obvious that the inflexible V3 segments give rise to Achilles’ heel in the HIV-1 «redoubts» and, therefore, their detection is of great importance to successful design of the V3-based anti-AIDS drugs able to stop the HIV’s spread. In particular, synthetic copies of the CycA and FKBP peptides which, according to our computations, feel a strong attraction to the V3 rigid sites ought to experience the extensive experimental test to be considered as the coming applicants for the role of «magic bullets» displaying a wide-ranged neutralization of this functionally crucial domain of the HIV-1 envelope glycoprotein gp120.

In addition, the computational V3 model proposed above provides for a productive basis to gain a better insight into the principles of virus functioning, and, therefore, it can be used in subsequent studies for investigating the structure-functional relationship as well as for examining the structural effects of mutations or distinguish between various forms of the V3 loop under different conditions, which is required for achievement of anti-HIV-1 drug and vaccine projects.

Acknowledgment. This study was supported by grants from the Union State of Russia and Belarus (scientific program SKIF-GRID; № 4С-Г/07–111) as well as from the Belarusian Foundation for Basic Research (project X08–003).

Literature 1. H a r t l e y O., K l a s s e P. J., S a t t e n t a u Q. J., M o o r e J. P. // AIDS Res. Hum. Retroviruses. 2005. Vol. 21, N 2. P. 171−189. 2. S i r o i s S., S i n g T., C h o u K. C. // Curr. Protein Pept. Sci. 2005. Vol. 6, N 5. P. 413−422. 3. L a R o s a G. J., D a v i d e J. P., W e i n h o l d K. et al. // Science. 1990. Vol. 249. P. 932–935. 4. А н и щ е н к о И. В., А н д р и а н о в А. М. // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 3. С. 79–86. 5. A n d r i a n o v A. M. // J. Biomol. Struct. Dynam. 2008. Vol. 26, N 1. P. 49–56. 6. A n d r i a n o v A. M. // J. Biomol. Struct. Dynam. 2009. Vol. 26, N 4. P. 445–454. 7. M u s t a r d D., R i t c h i e D. W. // Proteins: Struct. Funct. Bioinf. 2005. Vol. 60, N 2. P. 269–274. 8. R e n P., P o n d e r J. W. // J. Phys. Chem. B. 2003. Vol. 107. P. 5933–5947. 9. G u e x N., P e i t s c h M. C. // Electrophoresis. 1997. Vol. 18. P. 2714–2723. 10. A n d r i a n o v A. M., V e r e s o v V. G. // Biochemistry (Moscow). 2006. Vol. 71. P. 1119–1128. 11. A n d r i a n o v A. M. // J. Biomol. Struct. Dynam. 2008. Vol. 26, N 2. P. 247–254. 12. M a l e n b a u m S. E., Y a n g D., C a v a c i n i L. et al. // J. Virol. 2000. Vol. 74, N 23. P. 11008–11016. 13. S i r o i s S., T o u a i b i a M., C h o u K. C., R o y R. // Curr. Med. Chem. 2007. Vol. 14, N 30. P. 3232–3242. 14. E n d r i c h M. M., G e h r i n g H. // Eur. J. Biochem. 1998. Vol. 252, N 3. P. 441–446. 15. A n d r i a n o v A. M. // J. Biomol. Struct. Dynam. 2004. Vol. 22, N 2. P. 159−170.

ANISHCHENKO I. V., ANDRIANOV A. M.


STUDY ON THE CONFORMATIONAL MOBILITY OF THE HIV-1 SUBTYPE A V3 LOOP FOR THE RATIONAL STRUCTURE-BASED DRUG DESIGN

Summary Molecular dynamics simulations were implemented for the HIV-1 subtype AV3 loop on the basis of its static 3D structure followed by

determining the rigid V3 segments and evaluating by molecular docking methodology the masking effect that can occur due to interaction of the V3 loop with the two virtual molecules constructed previously by tools of computational modeling and named CycA and FKBP peptides. As a result, the V3 segments preserving their structural parameters during the molecular dynamics computations were defined to present the universal targets for anti-AIDS drug researches. From the data on molecular docking, synthetic analogs of the CycA and FKBP peptides were suggested being suitable frameworks for making a reality of the V3-based anti-HIV-1 drug projects.



Беларуси

64



УДК 577.152.1.03:577.112.4

А. С. БАБЕНКО1, В. А. СИНЕЛЁВ1, В. В. БРИТИКОВ2, Е. А. ТУТУБАЛИНА2, А. А. ГИЛЕП1, член-корреспондент С. А. УСАНОВ1

ЭКСПРЕССИЯ ГЕНОВ CYP19A1, CYP1B1 И ERBB2 В ОПУХОЛЕВОЙ ТКАНИ МОЛОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ ЧЕЛОВЕКА

1Институт биоорганической химии НАН Беларуси, Минск 2Белорусский государственный университет, Минск Поступило 18.03.2009

Введение. Согласно данным Всемирной организации здравоохранения, по числу случаев смерти злокачественные новообразования уступают лишь заболеваниям сердечно-сосудистой системы, что справедливо как для развитых, так и для развивающихся стран. В последнее время число ежегодно регистрируемых случаев развития злокачественных новообразований увеличи-вается [1; 2]. Несмотря на успехи в области молекулярной биологии, биофизики, биохимии и других смежных дисциплин, вопрос о молекулярных механизмах развития злокачественных новообразований остаётся открытым. Одним из наиболее распространённых типов злокачест-венных новообразований является рак молочной железы. Согласно [3], от 60 до 75 % случаев развития этого заболевания связано с нарушениями биосинтеза и метаболизма стероидных гор-монов (CYP19, CYP1B1), от 20 до 30 % связывают с гипер-экспрессией гена ERBB2 и 5–10 % − с наследственными факторами (BRCA1, BRCA2).

По данным [4], одним из важнейших генов, вовлекаемых в процесс злокачественного пере-рождения ткани молочной железы, опосредованный нарушениями биосинтеза и метаболизма эстрогенов, является ген CYP19A1, кодирующий фермент ароматазу. Несмотря на то что этот фермент обладает рядом свойств, присущих всем членам семейства цитохрома Р450, его главной отличительной чертой является реакция ароматизации. В результате этой реакции метильная группа в С19 положении отщепляется, а стероидное кольцо А превращается в ароматическое. Уровень и место экспрессии ароматазы играет важную роль в росте и развитии опухолей молоч-ной железы. Гиперэкспрессия ароматазы в ткани молочной железы приводит к гиперплазии и развитию различных морфологических нарушений [4]. Bruno R. D. et al. [5] обнаружили, что на-рушения в функционировании гена CYP1B1 могут способствовать развитию злокачественных новообразований. Этот ген кодирует цитохром Р450 с массой около 60,7 кДа, который катализирует преимущественно гидроксилирование эстрадиола по 4-положению, в результате чего образуется 4-гидроксипроизводное эстрадиола, обладающее сильным канцерогенным эффектом. Экспрес-сия CYP1B1 зарегистрирована как в ткани молочной железы, так и в тканях легкого, почек и пря-мой кишки. Подобно другим членам семейства CYP1 (CYP1A1 и CYP1A2), CYP1B1 является индуцибeльным ферментом. За его индукцию ответственны такие полициклические ароматиче-ские углеводороды, как бензопирен, 2,3,7,8-тетрахлородибензо-p-диоксин (2,3,7, 8-TCDD), 3-метилхолантрен (3MC) и 7,12-диметилбензантрацен (DMBA) и др. В свою очередь CYP1B1 уча-ствует в активации подобных веществ. Таким образом, можно заключить, что ген CYP1B1 мо-жет оказывать влияние на развитие злокачественных новообразований, как путём активации по-тенциальных экзогенных канцерогенов, так и посредством образования метаболитов эстрогенов, обладающих канцерогенным потенциалом [5; 6].

Несмотря на то что гены CYP19A1, CYP1B1 как маркеры злокачественных новообразований обладают значительным потенциалом [7], до сих пор не сложилось единого мнения о возможно-сти использования уровня экспрессии этих генов в качестве маркера прогресса опухолей. Иначе обстоит дело с использованием гена ERBB2. Этот ген является одним из наиболее изученных



Беларуси

65

маркеров злокачественных новообразований человека. Установлено, что 25–30 % опухолей мо-лочной железы являются ERBB2-опосредованными и повышенный уровень экспрессии этого гена сочетается с высоким метастатическим потенциалом опухоли. В настоящее время ген ERBB2 официально одобрен FDA как маркер злокачественных новообразований и в связи с этим пациенты с диагнозом «рак молочной железы» проходят обязательное тестирование на предмет наличия гиперэкспрессии этого гена в опухолевой ткани [8].

Хотя в литературе и имеются данные об уровне экспрессии генов CYP19A1, CYP1B1, ERBB2, а также оценка связи полиморфных состояний этих генов с уровнем экспрессии и ак-тивностью продуктов в опухолевой ткани [9; 10], исследования взаимосвязи относительного уровня экспрессии этих генов до сих пор не проводились. Изучение связи уровней экспрессии ERBB2, CYP1B1 и CYP19A1 в опухолевой ткани молочной железы может помочь раскрыть по-тенциал оценки относительного уровня экспрессии CYP19A1 и CYP1B1 как маркеров злокаче-ственного перерождения ткани молочной железы.

Цель работы – оценка относительного уровня экспрессии генов ERBB2, CYP19A1 и CYP1B1 в образцах солидных карцином молочной железы человека и обнаружение с помощью корреля-ционного анализа возможной взаимосвязи между относительным уровнем экспрессии вышеупо-мянутых генов.

Материалы и методы. Образцы кДНК были получены на базе Республиканского научно-практического центра онкологии и медицинской радиологии им. Н. Н. Александрова. Общую фракцию РНК выделяли из солидных карцином молочной железы человека с помощью набора «РНК–ВТК» (ИБОХ, Беларусь). Качество полученных образцов общей РНК оценивали по соот-ношению поглощения образцов при 260 и 280 нм на спектрофотометре SPECORD M40, а также с помощью электрофореза в агарозном геле; кДНК получали с помощью набора «РЕВЕРТА» (Амплисенс, Россия). Для оценки уровня экспрессии генов ERBB2 и GAPDH использовали на-бор «cerbB2TM» (ИБОХ, Беларусь). Уровень экспрессии генов CYP19A1 и CYP1B1 оценивали методом стандартной кривой (Standard curve). В качестве калибровочных проб использовались последовательные разведения плазмидной ДНК, содержащей участки кДНК генов CYP19A1 и CYP1B1. Плазмидную ДНК получали с помощью набора Wizard® Plus SV Minipreps DNA Purification System (Promega, США). Концентрацию плазмидной ДНК определяли с помощью спектрофотометра SPECORD M40.

Для оценки уровня экспрессии генов CYP19A1 и CYP1B1 по принципу TaqMan [11] с помо-щью программного обеспечения Primer Express были сконструированы специфические олиго-нуклеотидные праймеры и флуоресцентные зонды (табл. 1).

Т а б л и ц а 1. Праймеры и зонды для амплификации генов CYP19A1 и CYP1B1 в режиме реального времени

Праймеры и зонды Нуклеотидная последовательность Длина участка

CYP19A1_5 TTAGCAGAGAAACGTGGTGAC CYP19A1_3 CGTGGGATTACAACTTCTCC 142 п. о. CYP19A1_FAM-BHQ1 ACCAGTGCATATTGGAAATGCTGATCGCAGCTCC CYP1B1_5 CACCAGGTATCCTGATGTGC CYP1B1_3 AAATACTTCGGTACGCGAAG 136 п. о. CYP1B1_FAM-BHQ1 CGAGTGCAGGCAGAATTGGATCAGGTCGTGG

Для проведения ПЦР в режиме реального времени использовали амплификатор Applied

Biosystems 7500. Реакция протекала в инкубационной среде объемом 25 мкл, содержащей 50 нг кДНК-матрицы, 0,5 мкМ каждого олигонуклеотидного праймера для амплификации, 0,2 мкМ флуоресцентно-меченного зонда, 0,2 мМ каждого dNTP, 50 мМ KCl, 25 мМ Трис–HCl, 2 мМ MgCl2 и 2,5 МЕ Taq ДНК-полимеразы (ИБОХ, Беларусь). ПЦР состояла из первичной денатура-ции ДНК при + 94 °С в течение 5 мин и 45 циклов амплификации, проводимых при следующих условиях: денатурация при + 94 °C в течение 10 с, отжиг праймеров и синтез ДНК при + 60 °C в течение 10 с. Измерение флуоресценции образца проводилось в конце каждого цикла ампли-фикации. Полученные количественные данные обрабатывали с помощью программного обес- печения Applied Biosystems. Статистический анализ данных выполняли с использованием



Беларуси

66

программы R-system. Для выявления свя-зи между уровнем экспрессии генов ис-пользовали коэффициент корреляции Спирмана (rs) [12].

Результаты и их обсуждение. В ре-зультате анализа нуклеотидных последо-вательностей исследуемых генов были сконструированы специфические олиго-нуклеотидные праймеры для амплифика-ции кДНК генов CYP1B1, CYP19A1 с по-мощью ПЦР в режиме реального времени. Создана система калибровочных проб для определения исходного количества копий кДНК CYP1B1, CYP19A1 и оптимизиро-ваны условия постановки ПЦР в режиме реального времени. Величины эффектив-ности (Eff%) и коэффициента линейной регрессии R^2 составили 95–105 % и 0,99 соответственно (рисунок), что говорит об оптимальной эффективности реакции и ли-нейности калибровочной кривой. Для срав-нения на рисунке представлены калибро-вочные кривые, полученные в результате

амплификации кДНК генов ERBB2 и GAPDH с помощью набора cerbb2TM. Относительный уровень экспрессии генов ERBB2, CYP19A1, CYP1B1 определяли в 50 об-

разцах опухолевой ткани молочной железы человека. Значения относительного уровня экспрес-сии генов лежали в диапазонах, приведенных в табл. 2.

Полученные в результате количественной ПЦР данные об уровне экспрессии генов ERBB2, CYP19A1, CYP1B1 и GAPDH были подвергнуты корреляционному анализу, который показал, что между уровнями экспрессии генов ERBB2/GAPDH, CYP19A1/GAPDH и CYP1B1/GAPDH существует статистически значимая связь (rs = 0,620, P < 0,01; rs = 0,781, P < 0,01; rs = 0,790, P < 0,01 соответственно). Следует отметить, что нами выявлена корреляция между уровнем экс-прессии генов ERBB2/CYP19, ERBB2/CYP1B1 и CYP19/CYP1B1 (rs = 0,447, P < 0,01; rs = 0,570, P < 0,01; rs = 0,568, P < 0,01 соответственно). В силу того, что корреляция уровня экспрессии ис-следуемых генов с уровнем экспрессии выбранного нами референсного гена GAPDH достаточно сильна, последний был использован для нормализации данных и расчёта относительного уровня экспрессии генов ERBB2, CYP19A1 и CYP1B1.

В парах ERBB2/CYP19A1 (Р = 0,638), ERBB2/CYP1B1 (Р = 0,438) статистически значимой корреляции относительного уровня экспрессии выявить не удалось. При этом была выявлена статистически значимая корреляция в паре CYP19A/CYP1B1 (rs = – 0,508, P < 0,001). Хотя работ, посвящённых оценке уровня экспрессии генов с помощью ПЦР в режиме реального времени, в настоящее время становится больше, нам не удалось обнаружить литературных данных по оценке относительного уровня экспрессии ERBB2, CYP19A1 и CYP1B1 в опухолевой ткани мо-лочной железы человека способом, аналогичным используемому в настоящей работе. В [13] со-общили о наличии статистически значимой корреляции (rs = 0,14, P < 0,01) между уровнями экс-прессии генов CYP19A1 и CYP1B1 в образцах опухолевой ткани молочной железы. Исследо-вание проводили с помощью иммуногистохими-ческого окрашивания. Размер выборки составил 698 образцов.

В то же время в [14] сообщили об отсутствии статистически значимой корреляции между уров-нями экспрессии генов CYP19A1 и CYP1B1 в опу-

Стандартные кривые амплификации

Т а б л и ц а 2. Диапазоны значений относительного уровня экспрессии генов ERBB2, CYP19A1, CYP1B1

Ген Минимальное значение Максимальное значение

ERBB2 0,03 3,39 CYP19A1 0,01 21,90 CYP1B1 0,36 4,9



Беларуси

67

холевой ткани молочной железы человека. Оценка уровня экспрессии также проводилась с по-мощью иммуногистохимического анализа (Р > 0,07). По мнению авторов, такой результат могла дать слишком малая выборка (29 образцов).

Данные об относительном уровне экспрессии генов ERBB2, CYP19A1 и CYP1B1, нормали-зованные по GAPDH, анализировались с помощью регрессионного анализа. Согласно результа-там этого анализа, 30,8 % дисперсии относительного уровня экспрессии CYP1B1 может быть обусловлено воздействием CYP19A1, причём наилучшим образом эта зависимость может быть описана с помощью кубической кривой (P < 0,001, R^2 = 0,308). Однако воздействием CYP1B1 может быть объяснено 27,2 % дисперсии относительного уровня экспрессии CYP19A1, причём данная зависимость носит экспоненциальный характер (Р < 0,001, R^2 = 0,272). В отношении других пар ERBB2→CYP19A1, ERBB2→CYP1B1, CYP1B1→ERBB2 и CYP19A1→ERBB2 ста-тистически значимых результатов регрессионного анализа не обнаружено.

Таким образом, в результате проведенной работы установлено, что между относительным уровнем экспрессии гена CYP19A1 и CYP1B1 существует статистически значимая взаимосвязь, в то время как между относительным уровнем экспрессии генов ERBB2, CYP19A1, CYP1B1 та-кая взаимосвязь не очевидна. Видимо, это связано с различными механизмами инициации и раз-вития опухолей, опосредованных нарушениями в функционировании систем биосинтеза и мета-болизма стероидных гормонов (CYP1B1, CYP19) и ERBB2-опосредованных опухолей. Увеличение выборки исследуемых образцов и выявление новых потенциальных маркеров злокачественного перерождения тканей молочной железы, возможно, помогут внести ясность в вопрос взаимосвя-зи между функционированием генов, ответственных за биосинтез и метаболизм стероидных гормонов, а также гена ERBB2.


1. C o k k i n i d e s V., B a n d i P., S i e g e l R. et al. // Cancer Prevention & Early Detection Facts & Figures. 2008. Atlanta, GA: American Cancer Society, 2007.

2. C o l d i t z G. A., S e l l e r s T. A., T r a p i d o E. // Nat. Rev. 2006. Vol. 6. Р. 75–83. 3. K i n o s h i t a Y., C h e n S. // Cancer Research. 2003. Vol. 63. P. 3546–3555. 4. B r o d i e A., N j a r V., M a c e d o L. F. et al. // Urologic Oncology: Seminars and Original Investigations. 2009.

P. 53–63. 5. B r u n o R. D., N j a r V. C. // Bioorg. Med. Chem. 2007. Vol 15, N 15. P. 5047–5060. 6. L i n P., C h a n g b H., H o c W. L. et al. // Lung Cancer. 2003. Vol. 42. P. 255–261. 7. R u d q u i s t T. R. Repro Print AB. Stockholm, 2003. − 64 p. 8. H u a n g H. J., N e v e n P., D r i j k o n i n g e n M. et al. // Breast Cancer Res. Treat. 2005. Vol. 91. Р. 81–87. 9. K u l k a J., T o k e s A.-M., K a p o s i-N o v a k P. et al. // Pathology Oncology Res. 2006. Vol. 12. P. 197. 10. S u z u k i T., M i k i Y., N a k a m u r a Y. et al. // Endocrine-Related Cancer. 2005. Vol. 12. P. 701–720. 11. W o n g M. L., M e d r a n o J. F. // Biotechniques. 2005. Vol. 39, N 1. P. 75–85. 12. R o c a-P a r d i ñ a s J., C a d a r s o-S u á r e z C., T a h o c e s P. G., L a d o M. J. // Stat. Med. 2009. Vol. 28, N 2.

P. 240–259. 13. Y a n g X. R., P f e i f f e r R. M., G a r c i a-C l o s a s M. et al. // Cancer Res. 2007. Vol. 67. P. 10608–10617. 14. R a h m a n M., L a x S. F., S u t t e r C. H. et al. // Drug. Metab. Dispos. 2008. Vol. 36, N 5. P. 963–970.

BABENKO A. S., SINELYOV V. A., BRITIKOV V. V., TUTUBALINA E. A., GILEP A. A., USANOV S. A.

[email protected]

EXPRESSION OF CYP19A1, CYP1B1 AND ERBB2 GENES IN HUMAN BREAST CANCER TISSUES

Summary

This article is devoted to the study of a relative expression level of CYP19A1, CYP1B1, and ERBB2 genes in samples of human breast tumors. The aim was to detect a possible relationship between relative expression levels of these genes using correlation analysis. A relative gene expression level of ERBB2, CYP19A1, CYP1B1 was determined in 50 tumor samples of human breast tissue in real-time PCR. These quantitative data were normalized to GAPDH. We found a statistically significant correlation between the relative expression level of CYP19A/CYP1B1 (rs = – 0.508, P < 0.001). Between ERBB2/CYP19A1 (P = 0.638) and ERBB2/CYP1B1 (P = 0.438) a statistically significant correlation of the relative expression level was unable to identify what can be explained to different mechanisms of initiation and development of tumors caused by either the distortion of biosynthesis and metabolism of steroid hormones (CYP1B1, CYP19) or ERBB2-proxy tumors.



Беларуси

68



УДК 541.182.644

Ю. В. МАТРУНЧИК, Е. В. ВОРОБЬЕВА, академик Н. П. КРУТЬКО, И. И. БАСАЛЫГА

ВЛИЯНИЕ ПАВ РАЗЛИЧНОЙ ПРИРОДЫ НА СВОЙСТВА ПОЛИМЕРНОГО ГИДРОГЕЛЯ НА ОСНОВЕ ПОЛИАКРИЛОВОЙ КИСЛОТЫ

Институт общей и неорганической химии НАН Беларуси, Минск Поступило 09.04.2009

Введение. В литературе достаточно подробно освещены вопросы взаимодействия водорас-творимых синтетических полимеров с поверхностно-активными веществами (ПАВ) различного типа. Исследования в этом направлении остаются актуальными в связи с необходимостью выяс-нения влияния ПАВ на свойства полимеров и их поведение в растворах, а также с целью получе-ния новых материалов, сочетающих свойства полимеров и ПАВ [1; 2]. Изучение взаимодействия полимеров и ПАВ традиционно осуществляют сравнением свойств (вязкость, поверхностное на-тяжение, рН и т. д.) растворов исходных компонентов и их смесей. К сожалению, известные ме-тоды исследования не могут быть применены к полимерным гидрогелям (ПГГ) – материалам с пространственной трехмерной сеткой, построенной из химически «сшитых» макромолекул по-лимеров. Принципиальное различие в размерности линейных полимеров и ПГГ как объектов исследования является причиной их различного фазового состояния: гидрогель представляет собой нерастворимый (сильно набухающий) в воде продукт и взаимодействие с ПАВ в этом слу-чае происходит не в растворе, а на границе раздела фаз гель/жидкость.

В ряде работ изучены процессы набухания полиэлектролитных гелей в растворах ПАВ; экс-периментально установлено образование мицелл в толще гидрогеля и возникновение упорядо-ченных структур [3; 4]. В литературе также описано поведение полимерных гидрогелей, которые после достижения равновесного набухания диспергированы до частиц определенного размера [5; 6]. В этом случае исследования проводились с дисперсией, в которой гидрогелевые частицы яв-ляются дисперсной фазой, а в качестве дисперсионной среды использована вода, растворы со-лей, апротонные растворители. В результате объединения указанных подходов высказано пред-положение, что в случае диспергированных гидрогелей ПАВ взаимодействуют с поверхностью раздела фаз гель/жидкость и, проникая внутрь частиц гидрогеля, образуют мицеллярные области в толще геля. Вопросы взаимодействия дисперсий ПГГ с растворами ПАВ различного типа практически не описаны в литературе и представляют научный интерес с точки зрения выясне-ния особенностей поведения полимерных гидрогелей в присутствии ПАВ различной природы.

Цель работы – исследование коллоидно-химических свойств дисперсии частиц полимерного гидрогеля на основе полиакриловой кислоты (ПАК) и поливинилового спирта (ПВС) в водных растворах поверхностно-активных веществ в зависимости от типа и концентрации ПАВ.

Экспериментальная часть. Полимерный гидрогель получен смешиванием водных раство-ров ПАК и ПВС в кислой среде (рН < 3) при избытке ПАК в комплексе (ПАК : ПВС = 10 : 1) с последующей термообработкой при 120 °С [7]. Равновесно набухший ПГГ (степень набухания 670 г воды/г полимерной матрицы) диспергирован до фракции менее 0,2 мм путем пропускания через сито (ИСО 3310). В воде или водном растворе ПАВ частицы ПГГ образуют дисперсию с концентрацией дисперсной фазы 50 %. В системе содержание гидрогелевых частиц остается постоянным во всех исследуемых вариантах, меняются тип и концентрация ПАВ в растворе, ок-ружающем частицы геля.

В работе использованы поверхностно-активные вещества: олеат натрия (ТУ 6-09-810-63), до-децилсульфат натрия (ТУ 6-09-64-75), цетилпиридиний хлорид (ТУ 6-09-15-121) и Тритон Х 100 (AppliСhem, Германия) в виде водных растворов с концентрацией 1, 3 и 5 %масс.



Беларуси

69

Реологические исследования проводили во всех случаях через сутки после смешивания ком-понентов в дисперсии на ротационном вискозиметре «Brookfield» марки «LV DV++Pro». Ис-пользовали цилиндрическую измерительную систему (шпиндели LV-1, LV-2, LV-3, LV-4) во всем диапазоне скоростей вращения (от 0,3 до 200 об/мин) при термостатировании 20 °С с точ-ностью до 0,5 °С.

Фотографии дисперсии частиц ПГГ в водных растворах поверхностно-активных веществ по-лучали при помощи оптического микроскопа «МБС-10» (Россия) при увеличении в 100 крат и обрабатывали с помощью ПЭВМ.

Результаты и их обсуждение. В исследуемой системе дисперсной фазой являются нерас-творимые набухшие частицы гидрогеля, дисперсионной средой – вода. Каждая отдельно взятая набухшая частица ПГГ, помещенная в воду, может быть представлена как гомогенная упругая среда, в которой положение зарядов сетки фиксировано, а противоионы движутся свободно [3; 5]. Поверхность частиц ПГГ, полученного сшивкой макромолекул полиакриловой кислоты, име-ет отрицательный заряд, обусловленный присутствием карбоксильных групп в диссоциирован-ном состоянии. Подвижные противоионы располагаются достаточно близко к зарядам полимер-ной основы гидрогеля вследствие действия электростатических сил и в то же время пытаются покинуть объем, занимаемый полиэлектролитной сеткой. В результате на границе гидрогель–раствор образуется двойной электрический слой (ДЭС). В свою очередь, молекулы воды форми-руют около границы раздела фаз гидратный слой. Введение в такую дисперсную систему ПАВ, молекулы которых состоят из ионной и гидрофобной частей, оказывает влияние на заряд по-верхности и состояние ДЭС, а также на структуру гидратных слоев жидкости, окружающих ка-ждую частицу.

При введении в дисперсию катионоактивного ПАВ (цетилпиридиний хлорид) электростати-ческое взаимодействие противоположно заряженных групп сетки гидрогеля и ПАВ приводит к разрушению (коллапсу) гидрогеля и выделению поглощенной воды. Нейтрализация противо-положных ионных зарядов ПГГ и ПАВ гидрофобизирует поверхность гидрогеля и способствует ее взаимодействию с неполярными частями молекул ПАВ. В результате на гидрофобизирован-ных участках полимерной сетки гидрогеля происходит мицеллообразование ПАВ, гидрофиль-ность сетки резко снижается и гидрогель разрушается с выделением воды.

На рис. 1, где приведено изображение образца дисперсии частиц ПГГ в водном растворе катионного ПАВ, видны области, образованные молекулами ПАВ с участием полимерной сетки гидрогеля. Коллапс набухшего ПГГ происходит практически сразу после введения ка-тионного ПАВ, что свидетельствует о быстром проникновении раствора ПАВ внутрь частиц гидрогеля.

Введение в дисперсию частиц гидрогеля ПАВ неионогенного типа (Тритон Х) сопровожда-ется увеличением вязкости системы (рис. 2). В исследуемом случае выделение поглощенной во-ды из частиц ПГГ не наблюдается. Стабильность системы обусловлена дополнительной гидро-филизацией поверхности дисперсных частиц за счет образования полимолекулярных гидратных слоев из молекул неионогенных ПАВ, которые не диссоциируют в водных растворах, но прояв-ляют тенденцию к сольватации [8]. Сольватированные молекулы неионогенного ПАВ легко проникают внутрь частиц ПГГ и равномерно распределя-ются в воде за счет образования водородных связей между атомами кислорода этоксиэтильных групп ПАВ с карбок-сильными группами ПГГ как в межчастичном пространст-ве, так и внутри набухших частиц. Установлено, что суще-ственный рост вязкости системы ПГГ–ПАВ (Тритон Х) по сравнению с дисперсией гидрогеля без добавок ПАВ в 2,3–4,5 раза в области напряжений сдвига от 0,5 до 1,5 Па на-блюдается при концентрации ПАВ в системе, превышаю-щей ККМ (2,2·10–4 моль/л [9]). Мицеллярные области, свя-занные с полимерной основой гидрогеля как водородными связями, так и гидрофобными взаимодействиями, способ-ствуют увеличению прочности системы. Аналогичным об-разом образуются полимер-коллоидные комплексы между

Рис. 1. Изображение образца дисперсии частиц ПГГ в водном растворе цетилпири- диний хлорида



Беларуси

70

мицеллами полиэтиленгликоля и мак-ромолекулами полиметакриловой ки-слоты за счет взаимодействия этокси-этильных групп ПАВ с карбоксильны-ми группами поликислоты [10].

Вязкость композиции на основе ПГГ и ПАВ анионного типа (додецил-сульфат натрия), как следует из рис. 2, выше по сравнению с ПГГ в индивиду-альном состоянии. На границе раздела фаз гель−раствор молекулы анионного ПАВ отталкиваются от поверхности час-тиц гидрогеля вследствие одноименно-го заряда. Это приводит к уплотнению двойного электрического слоя на гра-нице раздела фаз и препятствует про-никновению молекул ПАВ внутрь набухших частиц и их равномерному распределению. С другой стороны, из-

вестно, что в присутствии ПАВ в воде вокруг неполярных участков молекул ПАВ происходит перестройка граничных слоев воды, направленная на минимизацию контакта неполярных групп с водой. Это способствует ассоциации неполярных групп за счет гидрофобных связей, причем наиболее стабильными являются ассоциаты с более плотной упаковкой [11]. Гидрофобные взаи-модействия возникают между неполярными участками как молекул ПАВ, так и макромолекул полимеров в сетке гидрогеля.

Таким образом, при введении анионных ПАВ в дисперсию гидрогеля электростатическое от-талкивание одноименно заряженных групп сетки геля и молекул ПАВ и «выталкивание» со сто-роны молекул воды неполярных фрагментов ПАВ и макромолекул полимеров приводит к струк-турированию системы. Об этом свидетельствует увеличение вязкости композиции гидрогеля с додецилсульфатом (рис. 2).

Рис. 3. Изображение композиций ПГГ с додецилсульфатом (концентрация 5 %) (а) и олеатом натрия

с концентрацией 1 % (б), 3 % (в) и 5 % (г)

Рис. 2. Зависимость вязкости от напряжения сдвига композиций ПГГ с ПАВ неионогенного (Тритон Х) (1), анионного (додецил-сульфат натрия) (2) типов и ПГГ без добавок ПАВ (3). Концен- трация ПАВ 5 %



Беларуси

71

Экспериментально установлено, что в случае ПАВ анионного типа – олеата натрия – вяз-кость композиции ПГГ–ПАВ почти на порядок выше по сравнению с ПГГ и более, чем в сто раз превышает вязкость раствора ПАВ с аналогичной концентрацией. Гораздо более высокая вяз-кость системы, содержащей ПГГ и олеат натрия, по сравнению с композицией, включающей до-децилсульфат, свидетельствует о формировании структуры за счет одновременного действия нескольких факторов.

Одной из причин наблюдаемого отличия в реологических свойствах композиции ПГГ с олеатом натрия является отсутствие проникновения раствора мыла внутрь гидрогелевых частиц, что показа-но рефрактометрическим методом в результате исследования ПГГ после контакта с раствором ПАВ. Отсутствие олеата натрия внутри частиц гидрогеля подтверждается также сравнением изображений композиций ПГГ с додецилсульфатом и олеатом натрия (рис. 3). В первом случае структура доста-точно однородная, тогда как во втором варианте на фотографиях отчетливо видны частицы гидроге-ля, расположенные внутри структуры, образованной мицеллами мыла.

Соотношение гидрофильных и гидрофобных участков молекул ПАВ (гидрофильно-липо-фильный баланс, ГЛБ) также можно отнести к факторам, влияющим на прочность формирую-щейся структуры (таблица). Более высокая гидрофильность ПАВ способствует равномерному распределению молекул ПАВ в межчастичном пространстве и проникновению внутрь частиц ПГГ. Количество и плотность мицелл ПАВ в таком случае уменьшается, что приводит к сниже-нию прочности структуры композиции ПГГ с додецилсульфатом и реагентом Тритон Х. Как следует из данных таблицы, значения предела текучести системы выше почти в 20 раз для Рк1 и в 10 раз для Рк2 в структуре ПГГ с олеатом натрия по сравнению с ДДС.

Реологические параметры композиций ПГГ–ПАВ (концентрация ПАВ 5 %)

Наименование ПАВ в составе композиции ГЛБ Предел текучести, Па Вязкость, Па·с

Рк1 Рк2 ηо* ηm*

ДДС 40 3,3 8,6 1,7 1,2 Тритон Х-100 18 7,3 15,0 2,85 1,44 Олеат натрия 12-14 64,6 85,1 118,2 93,7

При изучении изображения композиции ПГГ с олеатом натрия обращает на себя внимание

наличие большого количества воздушных пузырьков, каждый из которых окружен белым орео-лом из молекул ПАВ (рис. 3, г). Пенообразование является дополнительным фактором структу-рообразования системы. Молекулы ПАВ адсорбируются на поверхности раздела фаз газ–жидкость (т. е. на поверхности воздушного пузырька) так, что гидрофильная часть молекулы располагается в полярной среде (вода), а гидрофобная часть – в неполярной среде (воздух). Та-кое расположение анионоактивных молекул ПАВ придает отрицательный заряд поверхности воздушного пузырька, находящегося в дисперсионной среде. Одноименный заряд молекул ПАВ, полимерной сетки гидрогеля, а также воздушных пузырьков вызывает электростатическое от-талкивание составляющих дисперсии, что повышает устойчивость системы [11]. В случае олеата натрия кратность пены и стабильность пенного каркаса выше вследствие более высокой про-должительности существования межпузырьковых пленок и их большей толщины по сравнению с додецилсульфатом [12].

Следует отметить, что неионогенные ПАВ считаются «малопенными», а ряд катионных ПАВ, хоть и обладает превосходной пенообразующей способностью, но их пену можно полно-стью погасить введением небольшого количества анионного ПАВ или полиэлектролита (напри-мер, соли полиакриловой кислоты) [11; 12].

Заключение. Таким образом, поведение дисперсии частиц полимерного гидрогеля на основе ПАК и ПВС в водных растворах ПАВ принципиально различается в зависимости от природы ПАВ. Показано, что присутствие ПАВ катионного типа приводит к коллапсу ПГГ с выделением воды, что обусловлено снижением гидрофильности гидрогеля вследствие нейтрализации проти-воположных ионных зарядов поверхности ПГГ и ПАВ. Возрастание вязкости композиции на основе ПГГ и неионогенного ПАВ в 2,3–4,5 раза в области напряжений сдвига от 0,5 до 1,5 Па по сравнению с дисперсией гидрогеля без добавок ПАВ связано со структурообразованием как



Беларуси

72

в межчастичном пространстве, так и внутри набухших частиц за счет водородных связей между атомами кислорода этоксиэтильных групп ПАВ с карбоксильными группами ПГГ.

Результаты сравнения влияния ПАВ анионного типа – додецилсульфата натрия и олеата на-трия – на реологические свойства композиций ПГГ–ПАВ при одинаковом содержании ПАВ по-казали существенно более высокие значения реологических характеристик для структуры ПГГ с олеатом натрия. Распределение мицеллярных областей мыла в дисперсионной среде, более низкий гидрофильно-липофильный баланс олеата натрия и, как следствие, более высокая плот-ность мицеллярных областей обеспечивают формирование за счет гидрофобных взаимодействий прочной структуры, включающей мицеллы ПАВ и частицы ПГГ.

Взаимодействие гидрогеля с олеатом натрия приводит к получению продукта с новыми свойствами в результате структурообразования, отличающимися от свойств исходных компо-нентов. Научные результаты, полученные в этом направлении, важны для оценки возможного практического использования композиций на основе полимерных гидрогелей и ПАВ, например, в качестве моющих и чистящих композиций, более эффективных по сравнению с ПАВ в инди-видуальном состоянии.


1. Б и л а л о в А. В., Б а б а е в А. А., Т р е т ь я к о в а А. Я. и др. // Высокомолекулярные соединения. 2005. Т. 47, № 11. С. 1942.

2. Я с и н а Л. Л., А л и е в И. И., В а с с е р м а н А. М. и др. // Высокомолекулярные соединения. 2002. Т. 44, № 6. С. 1017.

3. Б е к т у р о в Е. А., С у л е й м е н о в И. Э. Полимерные гидрогели. Алматы, 1998. – 237 с. 4. Х а н д у р и н а Ю. В., Р о г а ч е в а В. Б., З е з и н А. Б., К а б а н о в В. А. // Высокомолекулярные соединения.

1994. Т. 36, № 2. С. 229. 5. С а м ч е н к о Ю. М., У л ь б е р г З. Р., К о м а р с к и й С. А. и др. // Коллоидный журн. 2003. Т. 65, № 1. С. 87. 6. B e l m a I. // J. Appl. Polym. Sci. 2004. Vol. 91, N 2. Р. 1289. 7. М а т р у н ч и к Ю. В., В о р о б ь е в а Е. В., Б а с а л ы г а И. И., К р у т ь к о Н. П. // Весцi НАН Беларусi. Сер.

хiм. навук. 2008. № 4. С. 81–84. 8. R o s a F., B o r d a d o J., C a s q u i l h o M. // Polymer. 2002. Vol. 43, N l. Р. 63. 9. Х а р и т о н о в а Т. В., И в а н о в а Н. И., Р у д н е в А. В., С у м м Б. Д. // Вестн. Московского ун-та. 2003.

Т. 44, № 6. С. 417. 10. Я с и н а Л. Л. // Высокомолекулярные соединения. 2002. Т. 44, № 6. С. 1017. 11. Ш а х о в а Л. Д. // Строительные материалы. 2007. № 3. С. 16. 12. W a l h a u s s e r K. H. // Surfactant Sci. Ser. 1985. Vol. 16. Р. 488.

MATRUNCHIK Yu. V., VOROBIEVA E. V., KRUTKO N. P., BASALYGA I. I.

[email protected]

INFLUENCE OF DIFFERENT-NATURE SURFACTANTS ON THE PROPERIES OF POLYACRYL ACID-BASED POLYMER HYDROGEL

Summary

The article presents the results of investigation of the colloid-chemical properties of dispersion of polyacryl acid-based polymer hydrogel (PHG) in aqueous solutions of surfactants depending on the surfactant type and concentration. It is shown that a cation-type surfactant evolves absorbed water and a non-ionic surfactant practically does not exert any influence on the rheological properties of hydrogel dispersion. Results of comparison of anion-type (soldium dodecylsulfate and sodium oleate) surfactants have revealed essentially higher values of rheological characteristics for the structure of PHG with soldium oleate. The cross-linking, when hydrogel interacts with sodium oleate, yields a product with new properties differing from those of the initial components.



Беларуси

73



УДК 577.152.3

Д. О. ГЕРЛОВСКИЙ, Н. М. ЛИТВИНКО, С. В. КУЧУРО, Н. Н. ГРОСЬ

АНТИКОНКУРЕНТНОЕ ИНГИБИРОВАНИЕ АКТИВНОСТИ ПАНКРЕАТИЧЕСКОЙ ФОСФОЛИПАЗЫ А2 ПОД ДЕЙСТВИЕМ

2-ПРОПАНОИЛ-5-(2,4,6-ТРИМЕТИЛФЕНИЛ)-ЦИКЛОГЕКСАН-1,3-ДИОНА

(Представлено академиком Ф. А. Лахвичем)

Институт биоорганической химии НАН Беларуси, Минск Поступило 04.05.2009

Введение. Установление механизма действия ферментов является одной из ключевых про-блем энзимологии, что непосредственно связано с изучением строения их активных центров. Для решения этой проблемы успешно применяются ингибиторы ферментов. Знание химического строения и реакционной способности ингибиторов в сочетании с исследованием их специфиче-ского влияния на активность биокатализаторов дало возможность охарактеризовать природу функциональных групп активных центров многих ферментов, среди которых и фосфолипазы [1–4]. Ингибирование фосфолипаз, также как и других ферментов, может быть конкурентным, не-конкурентным и смешанным.

Однако фосфолипазы характеризуются многоцентровым связыванием с субстратом. Сущест-вует несколько участков в белковой глобуле, ответственных за следующие акты каталитического процесса: распознавание межфазной поверхности (центр распознавания поверхности), связыва-ние субстрата (анионный и катионный центры) и трансформацию субстрата до продуктов (ката-литический центр), а также связывание кофактора (два центра), совокупность которых составля-ет активную трехмерную полость фермента, в общем именуемую активным центром. Это созда-ет определенные трудности при определении типа ингибирования, которых можно избежать при использовании схемы, предложенной Деннисом [5]. Ранее нами в таких же условиях было пока-зано, что наблюдаемое ингибирование активности панкреатической фосфолипазы А2 (КФ 3.1.1.4, ФЛА2) в присутствии триметиламина, который моделирует фрагмент субстрата, соответ-ствующий положительно заряженной азотсодержащей группе последнего, носит конкурентный характер [6]. Свойства конкурентных ингибиторов по отношению к активности секреторных и внутриклеточных ФЛА2 обнаружили 3,5-функционализированные производные тиотетроновой кислоты [7].

Существенный ингибиторный эффект на активность фермента в условиях, моделирующих пищеварение, проявил предшественник в химическом синтезе действующего вещества пести-цида «грасп» (тралкоксидима) – 5-мезитилзамещенный циклогексановый β-трикетон, соедине-ние I [8].

Цель работы – изучение кинетики ингибирующего действия соединения I (2-пропаноил-5-(2,4,6-триметилфенил)-циклогексан-1,3-диона) на активность панкреатической ФЛА2 и установ-ление типа ингибирования.

Материалы и методы. В работе использовали коммерческий препарат ФЛА2 поджелу-дочной железы свиньи (фирма Sigma), фосфатидилхолин (ФХ, фирма Sigma). 2-пропаноил-5-(2,4,6-триметилфенил)-циклогексан-1,3-дион (соединение I) был любезно предоставлен канд. хим. наук Д. Б. Рубиновым.

Кинетические исследования влияния соединения I на липолитическую реакцию, катализи-руемую ФЛА2, осуществляли с использованием субстрата в мицеллярной фазе [5].



Беларуси

74

Соединение I растворяли в диметилсульфоксиде (ДМСО), преинкубировали в течении 60 мин с ФЛА2 (5 мкмоль/мл, 10 мкг фермента). Субстрат переводили в мицеллярную фазу солюбилиза-цией пленки, образующейся после удаления растворителя из раствора ФХ в хлороформе, раство-ром дезоксихолата натрия (ДОХ, анионный детергент). В серии экспериментов общая концентра-ция липида и детергента (А) составляла 6, 9, 12 мМ, для каждого значения использовали следую-щие соотношения субстрата (ФХ) и детергента (ДОХ): 1 : 2; 1 : 5; 1 : 7; 1 : 11. Реакцию гидролиза смешанных мицелл фосфолипида с ДОХ проводили при комнатной температуре, начинали добав-лением в среду раствора ФЛА2 (10 мкг/мл) и останавливали добавлением ЭДТА до конечной кон-центрации 15 мМ. В контроле вместо соединения I добавляли такое же количество ДМСО.

Продукты ферментативной реакции анализировали с помощью тонкослойной хроматографии на силикагеле в системе растворителей хлороформ/метанол/вода 65 : 25 : 4. Пластины проявляли реагентом на фосфолипиды [9], пятна фосфолипида и его лизопроизводного (лизо-ФХ) вырезали и анализировали в них содержание фосфора по методу, описанному в [9]. Степень гидролиза оп-ределяли в начальный период времени (до 2 мин) по количеству образовавшегося лизо-ФХ по отношению к сумме концентраций лизо-ФХ и непрореагировавшего ФХ. Скорость реакции вы-ражали в мкмоль⋅мин–1⋅мг–1.

Результаты и их обсуждение. При исследовании гидролиза ФХ в мицеллярной фазе, сфор-мированной как с помощью нейтрального детергента тритона Х-100, так и анионного ДОХ, ус-тановлен существенный ингибиторный эффект соединения I по отношению к активности пан-креатической ФЛА2 [10]. На графике, характеризующем зависимость «доза–эффект», было пока-зано, что ингибирующее действие соединения I на активность ФЛА2 проявляется в две стадии, предположительно, зависящих от взаимодействия с сайтами в активном центре фермента, имею-щими разное сродство к ингибитору [8]. При гидролизе панкреатической ФЛА2 ФХ в ламелляр-ной фазе обнаружено инициирующее действие соединения I на начальном этапе реакции, кото-рое затем сменяется ингибированием [8].

ФЛА2 относится к ферментам, осуществляющим межфазный катализ. Поэтому липолитическая реакция, катализируемая ФЛА2, характеризуется двумя константами: константой равновесия образо-вания комплекса фермент-поверхность раздела фаз (Кs) и константой Михаэлиса (Кm). Таким обра-зом, для исследуемого эффектора конкуренция может идти за два разобщенных пространственно в молекуле фермента сайта связывания: с поверхностью раздела фаз и каталитическим центром суб-страта. В связи с этим с целью выяснения механизма действия соединения I целесообразно на основе кинетических исследований количественно охарактеризовать обе стадии фосфолиполиза.

Двухкомпонентная модель Денниса, которую мы использовали [5], включает в себя связы-вание растворимого в воде фермента (E) с межфазной мицеллярной поверхностью (A – смешан-ная мицелла), затем взаимодействие с фосфолипидами (B), входящими в состав мицелл, и ката-литический гидролиз субстрата до соответствующих продуктов (P-продукты):

где A – смешанная мицелла (общая концентрация фосфолипида и детергента в объеме, мМ); В –

концентрация фосфолипида на поверхности раздела фаз ( [ ][ ] [ ]DPL

PLB+

= – мольная доля, PL –

концентрация фосфолипида, D – концентрация детергента); P – продукты реакции. Определение кинетических констант при начальных скоростях реакции осуществляли в сис-

теме, в которой концентрация фосфолипида в составе межфазной поверхности поддерживается постоянной ([В] = const), тогда как общая концентрация мицеллярных центров связывания ([A]) изменяется (рис. 1). Полная доступность для фермента всех молекул субстрата в мицеллярной фазе позволяет количественно охарактеризовать как стадию связывания фермента с поверхно-

стью раздела «липид–вода» (определение KS, 1

1

kkKS−= ), так и каталитическую стадию (опреде-

ление Km, 2

32

kkkKm+= − ) и установить, на какой из них проявляется действие ингибитора (рис. 2).



Беларуси

75

Рис. 1 Зависимость в двойных обратных координатах скорости гидролиза ФХ под действием ФЛА2 (10 мкг/мл) от суммарной молярной концентрации фосфолипида и детергента при гидролизе смешанных мицелл ФХ: ДОХ-Na: без (А) и в присутствии 5 мМ соединения I (Б)

Сравнение полученных значений констант реакций в присутствии ингибитора (Kmi = 1,6⋅10–4 М, KSi = 1,3⋅10–2 М, Ki = 5,3⋅10–3 М) и без него (Km = 3⋅10–4 М, KS = 1,0⋅10–2 М) показывает, что зна- чения как Km, так и KS в присутствии ингибитора изменились. Сравнивая вторичную зависи-мость 1/(V)B от 1/В (рис. 2), выведенную из зависимости 1/(V)А от 1/А в присутствии ингибитора (рис. 1, Б) и без него (рис. 1, А), видно, что угол наклона кри-вых не изменился, а пересече-ние с 1/(V)B наблюдается в раз-ных точках, т. е. Vmax > Vmaxi (1,7⋅102 и 0,74⋅102 мкмоль⋅мин–1⋅мг–1 соответственно). Параллель-ные кривые в двойных обрат-ных координатах (1/(V)i от 1/[S]), а также снижение Vm и Km в присутствии ингибито-ра характерны исключительно для частного случая смешан-ного типа торможения, которое известно под названием со- Рис. 2. Зависимость 1/V (при А→бесконечности) от значения 1/В



Беларуси

76

прягающего (бесконкурентного) или антиконкурентного торможения [11]. Оно давно описано для цитохромоксидазы азидом, пепсина гидразином и арилсульфатазы под действием цианида и гидразина, однако встречается очень редко [11].

Заключение. Таким образом, графическим методом Лайнуивера–Берка в двойных обратных координатах определен механизм ингибирования 5-мезитилзамещенным циклогексановым β-трикетоном фосфолиполиза с участием ФЛА2 по типу сопрягающего или антиконкурентного торможения.

Такой редкий тип ингибирования имеет место в том случае, когда ингибитор (I) повышает сродство фермента (E) к субстрату (S). Впоследствии комплекс EIS не способен распадаться на продукты реакции, поэтому усиление связывания субстрата с образованием неактивного ком-плекса EIS приводит к торможению реакции [11]. Это коррелирует с полученными нами ранее данными о стимуляции в присутствии соединения I гидролиза липосом из ФХ на начальном эта-пе реакции и последующем ее ингибировании [8]. Влияние соединения I на фосфолиполиз в этих условиях может последовательно осуществляться за счет взаимодействия мезитилового или три-кетонного фрагментов с гидрофобными сайтами и аргининовыми остатками фермента, необхо-димыми для участия в катализе.


1. B e r g O. G., G e l b M. H., T s a i M.-D., J a i n M. K. // Chem. Rev. 2001. Vol. 101. P. 2613–2653. 2. D a l P i a z F., C a s a p u l l o A., R i c c i o R. et al. // Chembiochem. 2002. Vol. 3. P. 664–671. 3. C h e u n g A. K., S n a p p e r M. L. // J. Am. Chem. Soc. 2002. Vol. 124. P. 11584–11585. 4. O k a d a M., F u j i i M., Y a m a g a M. et al. // Genes cells. 2002. Vol. 7. P. 985–986. 5. D e n n i s E. A. // J. Biol. Chem. 1994. Vol. 269. P. 13057–13060. 6. Л и т в и н к о Н. М. // Весцi НАН Беларусі. Сер. хім. навук. 1986. № 4. С. 80–86. 7. Л и т в и н к о Н. М., Р а х у б а Г. Н., К у ч у р о С. В. и др. // Весцi НАН Беларусі. Сер. хім. навук. 2008. № 1.

С. 86–93. 8. Л а х в и ч Ф. А., Л и т в и н к о Н. М., К у ч у р о С. В. и др. // Докл. НАН Беларуси. 2008. Т. 52, № 1. С. 70–74. 9. V a s k o v s k y V. E., K o s t e v s k y E. V., V a s e n d i n L. N. // Chromatogr. 1975. Vol. 114, N 1. P. 129–141. 10. Л и т в и н к о Н. М., К у ч у р о С. В., Р а х у б а Г. Н. и др. // Весці НАН Беларусі. Сер. хім. навук. 2007. № 3.

С. 99−104. 11. У э б б Л. Ингибиторы ферментов и метаболизма. М., 1966. С. 73,170.

GERLOVSKIJ D. O., LITVINKO N. M., KUCHURO S. V., GROS N. N.

[email protected]

ANTICONPETITIVE INHIBITION OF THE ACTIVITY OF PANCREATIC PHOSPHOLIPASE UNDER THE ACTION OF 2-PROPANOIL-5-(2,4,6-TRIMETHYLPHENYL)-CYCLOHEXANE-1,3-DIONE

Summary

The kinetics of the inhibiting action of 2-propanoil-5-(2,4,6-trimethylphenyl)-cyclohexane-1–3-dione (compound I) on the activity of pancreatic ФЛA2 is investigated. The Linuiver-Berk graphical method in double reverse coordinates has defined the inhibiting mechanism of phospholipase with the participation of ФЛА2 in type of conjugating or anticompetitive deceleration by this 5-mesityl-substituted cyclohexane β-triketone (Kmi = 1.6·10–4 M, KSi = 1.3·10–2 M, Ki = 5.3·10–3 M) and without it (Km = 3·10–4 M, KS = 1.0·10–4 M), Vmax > Vmaxi, 1.7·10 and 0.74·10 μ mole·min–1·mg–1 respectively. In experiment the action of compound I upon phospholipolysis can be made in succession due to the interaction of mesithyl or ketone fragments with hydrophobic sites and agrinyl residues of enzyme necessary for participation in catalysis.



Беларуси

77



БИОЛОГИЯ

УДК 579.22 + 577.152.1

И. В. МОРОЗ1, А. Н. ЕРЕМИН2, Р. В. МИХАЙЛОВА1, академик А. Г. ЛОБАНОК1

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КАТАЛАЗ, СИНТЕЗИРУЕМЫХ PENICILLIUM PICEUM F-648 A3 В РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ КУЛЬТИВИРОВАНИЯ

1Институт микробиологии НАН Беларуси, Минск 2Институт химии новых материалов НАН Беларуси, Минск Поступило 10.12.2008

Введение. Каталаза (КФ 1.11.1.6), катализирующая метаболически значимую реакцию раз-ложения пероксида водорода, принадлежит к числу наиболее активных ферментов. Каталаза может проявлять умеренную пероксидазную активность и катализировать реакции окисления Н2О2 различных доноров водорода, например спиртов. Фермент применяется для деградации остаточных количеств Н2О2, используемого в технологиях различных отраслей промышленности [1; 2]. Перспективно применение каталазы совместно с супероксиддисмутазой в медицине и косметологии [3; 4]. Практическая значимость каталазы обуславливает поиск новых микроор-ганизмов – продуцентов фермента и способов повышения их биосинтетической способности.

Ранее нами отобран продуцент внеклеточной каталазы – мицелиальный гриб Penicillium piceum F-648 [5], получен его вариант (P. piceum F-648 А3), адаптированный к Н2О2 [6], оптими-зирован состав питательной среды для культивирования гриба [7]. Известно, что спирты оказы-вают положительный эффект на образование каталаз микроорганизмами [8–10].

Цель работы – сравнить биосинтез внеклеточных каталаз P. piceum F-648 A3 при культиви-ровании на средах, различающихся наличием спиртовой добавки, и кинетически охарактеризо-вать указанные ферменты.

Объекты и методы исследования. В качестве объекта исследования использовали мицели-альный гриб P. piceum F-648 A3 – продуцент внеклеточной каталазы, хранящийся в научной кол-лекции типовых и промышленно ценных непатогенных микроорганизмов Института микробио- логии НАН Беларуси. Гриб культивировали в колбах Эрленмейера объемом 250 мл, содержав- ших 50 мл питательной среды, на качалке (180–200 об/мин) в течение 96 ч при 27 оС. В качестве посевного материала применяли споровую суспензию P. piceum F-648 А3 (9,0–9,7·106 спор на 1 мл питательной среды). По окончании культивирования биомассу гриба отделяли фильтрованием. Фильтраты культуральных жидкостей (КЖ) центрифугировали при 6000 g в течение 10 мин и использовали для анализа.

Спирты добавляли к основной среде в начале культивирования. В опытах использовали од-ноатомные первичные спирты (метанол, этанол и бутанол – 0,05–5 об. %); а также многоатомные спирты (глицерин – 2–4 об. %, маннит и сорбит – 2–4 % по массе).

Активность каталазы определяли титрометрическим методом [11]. За единицу активности принимали количество фермента, расщепляющее за 1 мин 1 мкмоль Н2О2 (0,034 мкг) и выражали в ед/мл, а также в ед/мг биомассы (продуцирующая способность мицелия гриба).

Концентрацию белка определяли по методу [12]. Кинетическую характеристику каталитической активности и операционной стабильности ка-

талаз проводили при 30 °С в 10 мМ фосфатном буфере. За расходованием Н2О2 следили спек-трофотометрически на приборе «Ultrospec-2100» (Amersham Pharmacia Biotech, Швеция) по уменьшению поглощения света при длине волны 245 нм. Каталазную активность образцов КЖ характеризовали начальными скоростями расходования Н2О2 (v0, M⋅c–1), используя при расчетах



Беларуси

78

молярный коэффициент поглощения Н2О2, равный 72,4 М–1⋅см–1. Из зависимости v0 расходова-ния Н2О2 от его начальной концентрации в среде (М) в обратных координатах вычисляли макси-мальную скорость каталазной реакции (Vмакс, M⋅c–1) и константу Михаэлиса (KМ, М). Удельную активность каталазы выражали в ФЕ (мкмоль Н2О2/мин⋅мг белка). Эффективную константу ско-рости инактивации каталазы в ходе разложения Н2О2 (kин, c–1), характеризующую операционную стабильность фермента, определяли графически по методике [13]. Для этого строили линейные анаморфозы кинетических кривых расходования Н2О2 в координатах 1/ln ([H2O2]0/[H2O2]t) от 1/t, где t – время, с. Отрезок, отсекаемый на оси абсцисс, равен kин.

Влияние спиртов на рост P. piceum F-648 А3 и образование каталазы

Спирт Концентрация спирта, об. % Конечный рН среды Биомасса, мг/мл Белок, мкг/мл Каталаза

ед/мл ед/мг

Контроль 0 3,5 10,75 23,26 109,50 10,18 0,05 3,5 9,29 21,10 86,16 9,27 0,1 3,5 9,19 20,04 78,56 8,55 Метанол 1 3,3 8,31 17,14 62,33 7,50 2 3,3 6,2 12,85 45,25 7,29 4 3,0 1,67 10,95 19,10 1,44 Бутанол 1 3,4 9,66 20,4 42,5 4,40 2 4,1 0,26 16,7 0 0 Глицерин 2 3,9 10,18 26,88 100,21 9,84 4 3,7 10,78 29,73 105,90 9,82 Сорбит* 2 3,5 11,00 30,75 106,10 9,64 4 3,7 11,18 28,38 104,24 9,32 Маннит* 2 3,5 10,74 31,18 105,65 9,84 4 3,6 11,37 27,74 99,81 8,78

П р и м е ч а н и е. * – концентрация спирта выражена в массовых %. Результаты и их обсуждение. Известно, что при наличии метанола (4 об. %) в питательной

среде происходит увеличение в 2,1 раза уровня образования внеклеточной каталазы Aspergillus niger G-IV-10 и в 2,0 раза содержания белка [9]. Введение 1 об.% этанола в среду с 2 % декстрина повышает в 1,2 раза уровень синтеза фермента грибом Thermoascus aurantiacus WSH 03–01 [10]. Стимулирующее действие этанола на образование каталазы Thermoascus aurantiacus WSH 03–01 авторы [10] связывают с прямой индукцией биосинтеза фермента спиртом, как его субстратом, и опосредованной индукцией H2О2, образующимся в присутствии этанола при регенерации НАДН в дыхательной цепи.

Исследование влияния спиртов на рост P. piceum F-648 А3 и биосинтез внекле-точной каталазы показало (таб-лица), что многоатомные спир-ты незначительно повышали накопление биомассы грибом и снижали на 3–14 % (в зави-симости от используемой кон-центрации) уровень образова-ния фермента и продуцирую-щую способность мицелия. При этом отмечено увеличение про-дукции белка, не обладающего каталазной активностью.

Одноатомные первичные спирты существенно влияли на рост P. piceum F-648 А3 и био-синтез каталазы. Метанол и бу-

Рис. 1. Влияние концентрации этанола на образование каталазы P. piceum F-648 A3 (а, 1), продуцирующую способность мицелия (а, 2), накопление гри- бом биомассы (б, 3) и белка (б, 4) в культуральной жидкости



Беларуси

79

танол подавляли как рост гриба, так и биосинтез фермента (таблица). Осо-бо следует отметить, что внесение этанола в питательную среду приве-ло к снижению в 1,2–1,7 раза накоп-ления биомассы грибом, повышению в 1,2–4,5 раза его биосинтетической способности и увеличению в 1,1–2,2 раза содержания белка в КЖ (рис. 1). Максимальный уровень образования каталазы обнаружен при наличии в среде 4 об. % этанола, при этом продуцирующая способность мице-лия гриба возросла в 7,6 раза.

Данные сравнительного анализа кинетических параметров реакции разложения пероксида водорода ка-талазами, синтезируемыми проду-центом на питательных средах без добавления (КАТ) и с добавлением этанола (КАТэ) представлены на рис. 2–4. При исследовании влияния концентрации белка КАТ и КАТэ на v0 разложения Н2О2 (рис. 2, в) уста-новлено, что скорость расходования Н2О2 в 4,1–4,9 раза выше при ис-пользовании КАТэ (2) по сравнению с КАТ (1). Ход зависимостей свиде-тельствует, что оба образца содержат как минимум две формы каталазы, одна из которых проявляет макси-мальную активность при концентраци-ях белка в среде < (1,8–2,8)·10–4 мг/мл, а другая – при более высоких. Ранее нами показано, что в КЖ P. piceum F-648 А3 фермент пред-ставлен, по крайней мере, в виде двух типов ассоциатов, различающихся по каталитической ак-тивности [6]. Одни ассоциаты эффективно катализируют разложение Н2О2 при его малых концен-трациях в среде, другие – при концентрации Н2О2 более 30–70 мМ. У P. piceum F-648 А3 в КЖ преобладает каталаза с низким сродством к Н2О2.

Каталаза относится к группе ферментов с низкой операционной устойчивостью, так как в процессе разложения Н2О2 быстро теряет свою активность [13]. Главной причиной снижения операционной стабильности каталазы является ее разрушение активными формами кислорода: НО• и НО2

• радикалами, которые образуются при гомолитическом распаде пероксидного комплек-са фермента. Для количественной характеристики операционной стабильности КАТ и КАТэ ис-пользовали эффективную константу скорости инактивации [13]. На рис. 2, а приведены анаморфо-зы кинетических кривых ферментативного разложения Н2О2, катализируемого КАТэ. Зависимости имеют излом. Начальный участок кинетической кривой (до излома) характеризует каталитический процесс, на начальной стадии которого отсутствует инактивация фермента активными кислород-содержащими радикалами. Как правило, его длительность составляет ∼ 1 мин и зависит от концен-трации каталазы и Н2О2 [13]. После излома снижение активности каталазы характеризуется эффек-тивной kин (рис. 2, б), которая зависит от концентрации белка и используемого образца. Как видно, операционная стабильность КАТэ существенно выше, чем КАТ (ср. 1 и 2, рис. 2, б).

Так как операционная стабильность и каталитическая активность КАТ и КАТэ зависели от содержания белка в реакционной среде (рис. 2, б и 2, в), подробно изучено влияние концентра-ции белка на величину эффективной КМ, которая в определенной степени отражает сродство Н2О2

Рис. 2. Анаморфозы кинетических кривых разложения 50 мМ Н2О2в присутствии 0,4⋅10–4 (1) и 18,9⋅10–4 (2) мг/мл белка КАТэ (а); влия-ние концентрации белка на эффективную константу скорости инакти-вации каталазы (б) и начальную скорость (в) при разложении 50 мМ Н2О2, катализируемом КАТ (1) и КАТэ (2) при 30 оС



Беларуси

80

к каталазе, и на отношение Vмакс/КМ, характеризующее эффек-тивность каталитического про-цесса. Из данных, приведенных на рис. 3, следует, что эффек-тивность разложения Н2О2 иссле-дуемыми каталазами возрастает с увеличением в среде концен-трации белка (рис. 3, б). Однако КАТэ характеризуется в 2,6–3,4 раза большей эффективностью разложения Н2О2 (рис. 3, б), но более низким сродством Н2О2 к ферменту (рис. 3, а), чем КАТ. Особенно существенно разли-чаются величины КМ для КАТэ и КАТ при высокой концентра-ции белка в реакционной среде. Хорошо выраженный максимум КМ при концентрации белка в ре-акционной смеси ∼ 9,0⋅10–4 мг/мл и плечо – при содержании белка ∼ 2,0–4,0⋅10–4 мг/мл обнаружены у КАТ (рис. 3, а, 1). Изменение ве-личины КМ КАТэ характеризует-ся небольшим максимумом при концентрации белка ∼ 2,0⋅10–4 мг/мл, а с ее увеличением постоянно возрастает (рис. 3, а, 2).

Характер зависимостей ве-личины КМ от концентрации белка в реакционной смеси ука-зывает на взаимосвязь между степенью ассоциации каталазы и

ее каталитической активностью. Возможно, при наличии в реакционной среде определенной концентрации ферментного белка создаются условия для формирования прочного пероксидного комплекса фермента ([Fe3 +⋅⋅⋅H2O2]), что находит отражение в минимальных величинах KМ. Ката-лаза проявляет высокую удельную активность в условиях, когда облегчается продуктивный рас-пад пероксидного комплекса фермента по гетеролитическому механизму [13].

На рис. 4, а показано влияние концентрации Н2О2 на операционную стабильность КАТ (1) и КАТэ (2), характеризуемую эффективной kин. Как видно, численное значение kин возрастает с увеличением концентрации Н2О2. Во всем изученном диапазоне концентраций Н2О2 величины kин для КАТэ существенно меньше по сравнению с аналогичным показателем для КАТ. Напри-мер, в присутствии 40 мМ Н2О2 операционная стабильность КАТ в 3,9 раза ниже, чем КАТэ.

КАТэ отличается от КАТ в 3,7 раза большей удельной активностью (рис. 4, б). Следует отме-тить, что каталазы из разных источников характеризуются величиной удельной активности в диапазоне (2,07–27,4)·104 ед/мг белка [14]. Этот показатель для каталаз P. vitale, A. niger и пе-чени быка составляет 3,0·104, 2,14·104, 9,18·104 ед/мг белка [15]. Удельная активность КАТэ рав-на 39,8·104 ед/мг белка, что существенно выше, чем в случае других каталаз (рис. 4, б).

Положительное влияние этанола на свойства внеклеточной каталазы P. piceum F-648 А3 мо-жет быть связано с его воздействием на ассоциацию фермента в КЖ. Следует отметить, что кро-ме белков в КЖ в большой концентрации присутствуют низкомолекулярные соединения фе-нольной природы, поглощающие в УФ-области при 275–280 и ∼ 320 нм. Так как указанные со-единения гидрофобны, они легко образуют прочные комплексы с белками. Видимо, при внесении

Рис. 3. Влияние концентрации белка на Км (а) и отношение Vмакс/КМ (б) при разложении Н2О2 в присутствии КАТ (1) и КАТэ (2) при 30 оС



Беларуси

81

этанола в питательную среду, с одной стороны, увеличивается растворимость фенольных производных, что отражается на комплексообразовании этих соедине-ний с белками, а с другой − этанол обра-зует ферментсубстратный комплекс с ка-талазой, что ведет к конформационным изменениям фермента. Вероятно, конфор-мационно измененная каталаза, связанная с этанолом, ассоциирует в меньшей сте-пени в среде, содержащей спирт, и, в ито-ге, это отражается на каталитических свойствах фермента.

Заключение. Изучено влияние одно- и многоатомных спиртов на биосинтез внеклеточной каталазы Р. piceum F-648 А3 и проведен сравнительный кинетический анализ каталаз, продуцируемых грибом на питательных средах, различающихся на-личием спиртовой добавки. Установлено, что этанол является активатором синтеза каталазы Р. piceum F-648 А3, обеспечи-вающим повышение уровня образования фермента и продуцирующей способности мицелия гриба в 4,5 и 7,6 раза. Выявлено различие свойств каталаз, синтезируемых Р. piceum F-648 А3 на питательных средах без добавления и с добавлением этанола. Наличие этанола в питательной среде обеспечивает синтез P. piceum F-648 А3 каталазы с повышенными начальной скоростью и эффек-тивностью разложения Н2О2 в 4,1–4,9 и 2,6–3,4 раза соответственно. Фермент характеризуется вы-сокой операционной стабильностью и удельной активностью, превышающей в 1,5–19,2 раза этот показатель, описанный для других каталаз.

Литература 1. A m o r i m A. M., G a s q u e s M. D. G., A n d r e a u s J., S c h a r f M. // Annals of the Brasilian Academy of Science. 2002. Vol. 74, N 3. P. 433–

436. 2. A k e r t e k D., T a r h a n L. // Appl. Biochem. Biotechnol. 1995. Vol. 50, N 3. P. 291–303. 3. М а к с и м е н к о А. В. // Успехи совр. биол. 1993. Т. 113, № 3. С. 351–365. 4. Д и е л К., К о л я д е н к о Е. В., К р а в ч е н ко А. В. // Укр. журнал дерматологiї, венерологiї, косметологiї. 2005. № 3. С. 25–32. 5. М и х а й л о в а Р. В., Л о б а н о к А. Г., Ш и ш к о Ж. Ф., Я с е н к о М. И. // Микол. и фитопатол. 1998. Вып. 1. С. 60–64. 6. П а в л о в с к а я Ж. И., М и х а й л о в а Р. В., М о р о з И. В., Е р е м и н А. Н. // Прикл. биохим. и микробиол. 2003. Т. 39,

№ 1. С. 31–36. 7. М о р о з И. В., М и х а й л о в а Р. В., П а в л о в с к а я Ж. И., Л о б а н о к А. Г. // Микробное разнообразие: состояние, стратегия сохранения,

биотехнологический потенциал ICOMID 2008: Матер. междунар. конф. Пермь–Н. Новгород–Пермь, 2008. С. 73–74. 8. Г о с п о д а р ь о в Д. В., М а н д р и к С. Я., Л у щ а к В. I. // Укр. бiохiм. журн. 2005. Т. 77, № 2. С. 162–165. 9. G r o m a d a A., F i e d u r e k J. // J. Basic Microbiol. 1997. Vol. 37, N 2. P. 85–91. 10. F a n g F., L i Y., D u G. C. et al. // Sheng Wu Gong Cheng Xue Bao. 2004. Vol. 20, N 3. P. 423–428. 11. Б и л а й В. И. Методы экспериментальной микологии. Киев, 1973. – 243 с. 12. B r a d f o r d M. M. // Anal. Biochem. 1976. Vol. 72, N 1–2. P. 248–254. 13. Е р е м и н А. Н., Л и т в и н ч у к А. В., М е т е л и ц а Д. И. // Биохимия. 1996. Т. 61, № 4. С. 664–679. 14. S w i t a l a J., L o e w e n P. C. // Arch. Biochem. Biophys. 2002. Vol. 401, N 2. P. 145–154. 15. Л а т ы ш к о Н. В., Г у д к о в а Л. В. // Укр. биохим. журн. 1996. Т. 68, № 4. С. 69–73.

MOROZ I. V., ERYOMIN A. N., MIKHAYILOVA R. V., LOBANOK A. G.

[email protected]

COMPARATIVE CHARACTERIZATION OF CATALASES SYNTHESIZED BY PENICILLIUM PICEUM F-648 A3 UNDER DIFFERENT CULTURAL CONDITIONS

Summary In the studies of the influence of mono- and polyalcohols on biosynthesis of extracellular catalase by P. piceum F-648 A3 it was found that ethanol serves as

an activator of catalase synthesis. Introducing 4 % (v/v) ethanol into the nutrient medium ensures an increase in the enzyme production and fungal mycelium productivity 4.5 and 7.6 times, respectively. Under the above-mentioned conditions the fungus synthesizes catalase with an elevated initial rate and Н2О2 decomposition efficiency – 4.1–4.9 times and 2.6–3.4 times respectively. The enzyme is characterized by high operational stability and specific activity exceeding 1.5–19.2 times this parameter in other catalases.

Рис. 4. Влияние концентрации Н2О2 на эффективную константу скорости инактивации каталазы при разложении Н2О2 (а) при 30 оСв присутствии КАТ (1) и КАТэ (2) и сравнение удельной актив-ности образцов КАТ (1) и КАТэ (2) при разложении 15–60 мМ Н2О2 в присутствии 2,0⋅10–4 мг/мл белка при 30 оС (б)



Беларуси

82



УДК 591.5:595.3

В. Ф. КУЛЕШ

РОСТ И ВЫЖИВАЕМОСТЬ ЛИЧИНОК ПРЕСНОВОДНОЙ КРЕВЕТКИ EXOPALAEMON MODESTUS (HELLER)

НА СБРОСНОЙ ВОДЕ ТЕПЛОЭЛЕКТРОСТАНЦИИ

(Представлено академиком Л. М. Сущеней)

Белорусский государственный педагогический университет им. Максима Танка, Минск Поступило 04.03.2009

Введение. В настоящее время все большее значение придается экономии энергии, особенно в тех странах, где запасы энергоносителей ограничены. Потребность в освоении и развитии энергетики на возобновляемых ресурсах становится все более очевидной при возрастающем спросе на топливо, особенно на нефть, росте требований к уровню жизни населения и состоянию окружающей среды. Одним из таких значимых источников в Беларуси является низкопотенци-альное тепло водных ресурсов. Особенно актуально это по отношению к водоемам-охладителям энергетических объектов. Так, для водоема-охладителя Лукомльской ГРЭС среднесуточное до-полнительное тепло достигает 43 550, а для озера Белого (водоем-охладитель Березовской ГРЭС) 15 200 Гкал в год [1].

Таким образом, повышение коэффициента полезного действия сбросного подогретого тепла является важнейшей экономической задачей. Несмотря на определенные успехи в этом направ-лении в нашей стране – разведение растительноядных рыб, акклиматизация пресноводной, вос-точной речной креветки Macrobrachium nipponense (De Haan) – эффективность использования сбросного тепла невысокая. Один из перспективных путей его утилизации – увеличение произ-водства рыбы за счет потребления естественной кормовой базы водоемов-охладителей [2; 3].

Многолетние наблюдения за состоянием кормовой базы в водоеме-охладителе Березовской ГРЭС показали, что вселения одного кормового вида беспозвоночных недостаточно для запол-нения свободной экологической ниши всей акватории водоема, подверженного интенсивному температурному воздействию, в результате которого исчезают аборигенные кормовые виды гид-робионтов. Восточная речная креветка населяет более глубокие зоны водоема, а литораль оста-ется практически свободной. В связи с этим целью данной работы был выбор перспективного объекта для интродукции в данные экосистемы для обогащения их кормовой базы. В качестве такого объекта впервые предлагается пресноводная креветка с сокращенным личиночным разви-тием Exopalaemon modestus (Heller) (Palaemonidae, Decapoda). Работа посвящена исследованию личиночного развития этого вида на сбросной воде Березовской ГРЭС, что имеет первостепен-ное значение при обосновании и прогнозировании результатов его акклиматизации в новые ме-стообитания. Личиночный период является наиболее уязвимым этапом онтогенеза у пресновод-ных креветок. Он характеризуется максимальной смертностью по сравнению с другими стадия-ми жизненного цикла и зависит прежде всего от качества воды, обеспеченности пищей, абиотических факторов среды [3]. Поэтому выбор того или иного интродуцента в первую оче-редь основан на том, насколько условия окружающей среды будут благоприятны для прохожде-ния личиночной стадии.

Материалы и методы. При исследовании Капчагайского водохранилища (бассейн реки Или, Казахстан) экспедицией Института зоологии НАН Беларуси в 1987 г. впервые для данного региона был обнаружен новый вид пресноводных креветок, идентифицированный крупнейшим знатоком данной систематической группы Л. Б. Холтхейсом (L. B. Holthuis) как Exopalaemon modestus (Heller) [3].



Беларуси

83

Креветки были доставлены в аквариальную Института зоологии НАН Беларуси и в инкубцех опытного рыбхоза «Белоозерский» для исследования роста и развития на сбросной воде Березовской ГРЭС (Брестская обл.). Анализ показателей качества воды из теплого сбросного канала показал, что она является благоприятной не только для пресноводных креветок с широким диапазоном экологи-ческой пластичности, но и для получения личинок широкопалого рака Astacus astacus L [4].

Яйца измерялись сразу же после откладки на плеоподы самок на стадии «без глазка» под би-нокуляром с помощью микрометра.

Развитие, рост и выживаемость личинок исследовали при индивидуальном содержании каж-дой особи в стеклянных стаканах объемом 100 мл без аэрации и при содержании группы личи-нок в аквариуме с аэрацией. Воду брали из теплого сбросного канала и отфильтровывали с по-мощью мельничного сита № 21,5 (441 ячея на 1 см2). Для поддержания заданной температуры использовали термостатирующие устройства. Воду в стаканах меняли каждые сутки, в аквариу-ме вода аэрировалась и ее меняли 1 раз в 7 сут. Эксперименты проводили при температуре 16–19 оС (индивидуальное содержание), 20–22 оС (индивидуальное содержание), 20–22 оС (совмест-ное содержание в аквариуме, начальная плотность посадки 10 экз/л), 25–28 оС (индивидуальное содержание). Личинок не кормили. Общую длину личинок измеряли от острия рострума до кон-ца тельсона (исключая щетинки) под бинокуляром с применением микрометра.

Изменчивость показателей роста и развития оценивали используя стандартное отклонение (s. d.). В качестве меры изменчивости был взят коэффициент вариации (c. v., %). Удельную ско-рость весового роста (СW, сут–1) рассчитывали по формуле

τ−= τ )ln(ln 0WWCW , (1)

где Wτ – конечная масса, мг; W0 – начальная масса, мг; τ – период роста, сут. Полученный материал обрабатывали с применением программного пакета «STATISTICA–6.0». Результаты и их обсуждение. Личиночное развитие палемонидных креветок (сем.

Palaemonidae, Rafinesque,1815) достаточно хорошо освещено в литературе. Детальная морфоло-гия ранних личиночных стадий описана для многих видов во всем мире [5–7]. Было показано, что метаморфоз со свободно плавающими личинками зоеа (5–11 стадий зоеа) типичен для видов, обитающих в высокопродуктивных солоноватых и морских водах с большим содержанием ми-неральных солей и достаточным освещением, чтобы поддержать фито- и зоопланктон. В про-дукционно бедных пресных внутренних водах они не вcтречаются и только креветки с сокра-щенным личиночным развитием (с непитающейся личиночной стадией) могут успешно в них существовать [7; 8]. По этой причине пресноводные креветки с сокращенным личиночным раз-витием (1–3 стадии зоеа) наиболее пригодны в качестве интродуцентов в водоемы-охладители умеренной зоны для обогащения их кормовой базы. Видом наиболее перспективным для этой цели, в дополнение к Macrobrachium nipponense, может быть Exopalaemon modestus.

Благодаря широкому диапазону экологической пластичности (температурный интервал жиз-недеятельности – от 1 оС и выше 35 оС, летальные пороги содержания кислорода в воде – 0,57–0,96 мг/л) эта креветка занимает обширный ареал, доходя до сибирских рек на севере, а на юге – до водоемов оз. Тайвань. В больших количествах она населяет реки и озера Китая, Кореи, Даль-него Востока (водоемы бассейна Амура, Уссури). Максимальные скопления Exopalaemon modestus приурочены к литоральной зоне водоемов. Основу их пищи составляют остатки от-мерших макрофитов и донный детрит [9–11].

Особо следует указать на то, что обычно популяции E. modestus сосуществуют вместе с по-пуляциями восточной речной креветки M. nipponense. Последняя предпочитает большую глуби-ну и, следовательно, занимает другую экологическую нишу [12], что было отмечено нами и для Капчагайского водохранилища. В конце ХХ в., как полагают, с балластными водами E. modestus попал в западную часть Северной Америки, в р. Колумбия и водоемы ее бассейна [13]. Креветка заняла одно из лидирующих мест в бентосном сообществе этих водоемов. Ее численность в не-водных обловах составила от 0,004 до 2,0 экз/м2, а биомасса – от 0,14 до 0,30 г/м2 [14].

E. modestus имеет весьма значимую коммерческую ценность. Благодаря своим небольшим размерам этот вид является пищевым объектом для многих видов рыб. Например, в оз. Ханка эта



Беларуси

84

креветка занимает первое место в их пищевом спектре [9]. Установлено также, что четыре вида пресноводных креветок, среди которых и E. modestus, являются экономически важными для се-верной части Китая [12]. В некоторых больших озерах продукция Exopalaemon modestus соста-вила половину или даже большую часть от всего улова креветок. Ее высушивают и продают как продукт питания. Из-за превосходного пищевого аромата эта креветка в последние годы завое-вала весь рынок Китая и выращивать ее в прудовой аквакультуре стало выгодно [15; 16].

В Капчагайском водохранилище размер половозрелых креветок, зарегистированный нами, колебался от 26 до 48 мм. Речная форма этого вида в районе оз. Ханка не превышает 50 мм, а озерная может достигать 75 мм. Длина карапакса половозрелых особей E. modestus из озера Young-am, расположенного на юге Корейского полуострова, составляет 7,69–16,74 мм, что по нашим расчетам находится в интервале 30,0–70,0 мм общей длины и, вероятно, соответствует озерной форме [9; 11].

Средняя плодовитость составила 68 ± 19 яиц (30–127) при средней длине самки 35,8 ± 3,29 мм (28–45). Этот показатель выше плодовитости (32–68 яиц) креветок из реки Nak-dong (Корея), соответствует плодовитости речной формы E. modestus из оз. Ханка, но почти в три раза ниже средней абсолютной плодовитости этого вида из Корейского озера Young-am, которая равна 182 ± 68 яиц (60–353) при длине карапакса 7,69–16,74 мм [9; 11; 17].

Период эмбриогенеза довольно продолжительный. В лабораторных условиях в зависимости от температуры (15–34 оС) он длился от 14 до 42 сут. Потери яиц в среднем при температуре 18–20 оС составили 53,6 % (табл. 1). Для сравнения, продолжительность эмбриогенеза у креветок с полным личиночным превращением, Macrobrachium rosenbergii (De Man) и M. nipponense, при температуре 22–30 оС составила 19–32 и 11–21 суток соответственно, а потери яиц для M. nipponense колебались в зависимости от длины яйценосных самок в пределах 52–74 % [3].

Т а б л и ц а 1. Соотношение абсолютной плодовитости (E) и количества личинок I стадии зоеа (Z–I) у Exopalaemon modestus

Показатель Среднее ± s. d Минимум Максимум n, число измерений

Длина самки, мм 36 ± 5,06 27 44 22 E, число яиц 63 ± 18,03 33 97 22 Z-I, число личинок 29 ± 10,59 14 49 22 Потери яиц, % 53,6 ± 8,53 32,7 71,2 22

Нами установлено, что период личиночного развития Exopalaemon modestus при выращива-

нии на сбросной воде теплоэлектростанции состоит из двух стадий зоеа, которые ранее были описаны при выращивании личинок этого вида в лабораторных условиях в солоноватой воде 3,12–4,03 ‰ [17]. Выклюнувшиеся из яиц личинки сразу же начинают вести бентосный образ жизни. Их тело заполнено желтком, который занимает почти всю цефалоторакальную впадину. Запас желтка вполне достаточен для того, чтобы личинки в течение всего периода метаморфоза не питались экзогенной пищей. Они обычно опускаются на дно, цепляясь за субстрат при помощи второй и третьей пары максиллапед, мало двигаясь или не двигаясь вообще, а потревоженные рывком перемещаются назад благодаря быстрым сокращениям абдомена и широкому тельсону. В отличие от них личинки с полным или полусокращенным периодом личиночного развития плавают в толще воды, активно ударяя по воде екзоподами максиллапед. Их тело расположено под наклонным углом, обращенным вниз. Жировые включения у личинок этих креветок невели-ки и сразу же после первой линьки они нуждаются в питании оформленной пищей из окружаю-щей среды. В таком состоянии они чрезвычайно уязвимы по сравнению с видами с сокращен-ным периодом личиночного развития и характеризуются высокой смертностью. Для них период развития зоеа – самый сложный и наиболее трудоемкий этап при разведении в аквакультуре.

Количество личинок I стадии зоеа E. modestus, которое можно получить в лабораторных ус-ловиях, прямо пропорционально зависит от абсолютной плодовитости и адекватно описывается уравнением линейной регрессии

Y = 0,528X – 4,275 (R2 = 0,837), (2)

где Y – количество личинок I стадии зоеа, X – абсолютная плодовитость, число яиц (рис. 1).



Беларуси

85

Размерно-весовые показатели при выра-щивании на сбросной воде Березовской ГРЭС приведены в табл. 2, и они значитель-но выше, чем у других пресноводных креве-ток с полусокращенным или полным типом личиночного развития со свободно плаваю-щей личинкой [3; 5]. В течение личиночного периода, от I стадии зоеа и до стадии после-личинка, средняя длина увеличивается не-значительно: от 4,08 и до 4,70 мм. Размер-ный спектр личинок достаточно однороден, что показывают коэффициенты вариации. Близкие данные по размеру тела личинок этого вида из р. Nak-dong (Корея) были по-лучены в лабораторных условиях при темпе-ратуре 26,8–27,7 оС и солености 3,12–4,04 ‰. Средний размер тела личинок I, II стадий зоеа и послеличинки от начала рострума и до конца тельсона составил 3,76; 4,17 и 4,76 мм соот-ветственно [17].

Т а б л и ц а 2. Размерно-весовые показатели личинок Exopalaemon modestus при развитии в лабораторных условиях на сбросной воде Березовской ГРЭС

Показатель Средняя ± s. d Минимальная Максимальная c. v., % n, число измерений

I стадия зоеа Общая длина, мм 4,08 ± 0,12 3,90 4,30 2,8 115 Длина карапакса, мм 3,44 ± 0,12 3,20 3,80 3,5 115 Масса тела, мг 0,54 ± 0,11 0,25 0,80 19,7 92

II стадия зоеа Общая длина, мм 4,47 ± 0,23 4,10 5,0 5,35 108 Длина карапакса, мм 3,85 ± 0,23 3,50 4,40 5,8 108 Масса тела, мг 0,80 ± 0,15 0,54 1,35 19,3 86

Послеличинка Общая длина, мм 4,70 ± 0,26 4,30 5,40 5,5 83 Длина карапакса, мм 4,0 ± 0,24 3,60 4,70 6,0 83 Масса тела, мг 1,02 ± 0,24 0,55 1,55 23,4 80

Средняя масса тела Exopalaemon modestus в течение личиночного периода увеличивается

примерно в два раза: от 0,54 мг до 1,02 мг. В отличие от размерных показателей, колебания мас-сы тела характеризуются большим размахом. Коэффициент вариации длины I стадии зоеа и мас-

сы тела различается более чем в 7, а у по-слеличинок более чем в 4 раза (см. табл. 2).

Взаимосвязь (рис. 2) длины (L, мм) и сы-рой массы тела (W, мг) хорошо описывается степенным уравнением, которое имеет вид

W = 0, 0019L4,0 (R2 = 0,812). (3)

Температура оказывает прямое воздей-ствие на продолжительность развития и вы-живаемость личинок пресноводных креве-ток с «полным» личиночным развитием, на-пример, M. nipponense и M. rosenbergii [3]. Те же закономерности характерны и для ви-да с сокращенным периодом метаморфоза.

Рис. 1. Зависимость количества личинок I стадии зоеа от абсолютной плодовитости Exopalemon modestus. Прямая – согласно (2), точки – экспериментальные данные

Рис. 2. Зависимость между сырой массой тела (W, мг) и дли-ной (L, мм) личинок Exopalaemon modestus. Кривая – соглас- но (3), точки – экспериментальные данные



Беларуси

86

Интенсивность роста личинок Exopalaemon modestus в зависимости от температуры может быть описана экспоненциальным уравнением

W = a e bτ, (4)

где W – сырая масса личинки, мг; a и b – константы; τ – время роста, сут. Параметры уравнений роста личинок в зависимости от температуры приведены в табл. 3. На рис. 3 видно, что расчет-ные кривые вполне удовлетворительно описывают экспериментальные величины.

Т а б л и ц а 3. Удельная скорость роста и параметры уравнений связи интенсивности роста личинок Exopalaemon modestus с температурой при различных условиях содержания

Температура, оС Период роста, сут

Удельная скорость роста, сут–1

Диапазон массы тела, мг a b R2 n Уравнение

Совместное содержание 20–22 8 0,080 0,58–1,36 0,612 0,076 0,846 39 (5)

Раздельное содержание 16–19 10 0,081 0,50–1,38 0,663 0,068 0,765 75 (6) 20–22 5 0,120 0,50–1,50 0,596 0,104 0,639 58 (7) 25–26 5 0,160 0,57–1,45 0,640 0,147 0,916 22 (8)

При температуре 16–19 оС личиночная стадия самая длинная и составляет 8–10 сут, т. е. пер-

вые послеличинки появляются на 8-е, а последние завершают период личиночного развития на 10-е сут. За это время до стадии «послеличинка» выживают только 53 % особей, что говорит о неблагоприятном воздействии низкой температуры (рис. 4). Удельная скорость роста, как вид-но из табл. 3, также очень низкая. Максимальное количество послеличинок получено при 20–22 оС. В этих оптимальных условиях при раздельном содержании продолжительность личиноч-ного периода сократилась до 4–5 сут, выживаемость составила 100 %, а удельная скорость роста достигла 0,120 сут–1. При повышенной температуре 25–26 оС продолжительность личиночного периода составляет также 4–5 сут, а удельная скорость роста в этих условиях максимальная и близка к аналогичному показателю для скорости личиночного развития M. nipponense и M ro-senbergii – 0,212 и 0,234 соответственно [3]. Однако в этом варианте выживаемость личинок Exopalaemon modestus уже на II стадии зоеа резко снижается до 70 % и остается без изменений до конца метаморфоза (рис. 4).

Следует обратить внимание, что на продолжительность личиночного развития, скорость рос-та и выживаемость оказывают существенное влияние и конкурентные отношения. При одинако-

Рис. 3. Рост личинок Exopalaemon modestus в зависимости от температуры и способа содержания: 1 – кривая согласно (6), температура 16–19 оС, раздельное содержание; 2 – (7), темпе-ратура 20–22 оС, раздельное содержание; 3 – (5), температура 20–22 оС, совместное содержание; 4 – (8), температура 25–26 оС, раздельное содержание. Точки – средние значения из всего диапазона данных, полученных за указанный период

Рис. 4. Выживаемость личинок Exopalaemon modestus при различной температуре: 1 – 16–10 оС; 2, 3 – 20–22 оС; 4 – 25–26 оС; 1, 2, 4 – раздельное содержа-ние в стаканах; 3 – совместное содержание в аква- риуме



Беларуси

87

вой температуре 20–22 оС выживаемость послеличинок при совместном содержании снизилась от 100 до 82 %, а продолжительность личиночного периода увеличилась до 8 сут и удельная скорость роста оказалась такой же, как и при самой низкой температуре (табл. 3, рис. 4).

Заключение. Впервые полученные данные дают основание утверждать, что в условиях во-доема-охладителя теплоэлектростанции самый уязвимый этап онтогенеза – личиночное развитие Exopalaemon modestus – протекает успешно и характеризуется высокой выживаемостью. Кревет-ки с сокращенным периодом личиночного развития акклиматизируются в новых условиях и займут свободную экологическую нишу в литоральной зоне данных водоемов. Увеличится кормовая база для промысловых видов рыб, а также появится новый диетический пищевой объект для человека.

При разведении в аквакультуре этот вид имеет несомненные преимущества перед другими пресноводными креветками. Сокращенное личиночное развитие Exopalaemon modestus продол-жается всего несколько суток, характеризуется высокой выживаемостью, не требует трудоемких биотехнических мероприятий на поддержание многодневной личиночной культуры и дополни-тельных затрат на дорогостоящие стартовые корма.


1. К о в а л е н к о Э. В. // Природные ресурсы. 1998. № 1. C. 27–33. 2. К о н ч и ц В. В. Растительноядные рыбы как основа интенсификации рыбоводства Беларуси. Минск, 1999. 3. Х м е л е в а Н. Н., К у л е ш В. Ф., А л е х н о в и ч А. В., Г и г и н я к Ю. Г. Экология пресноводных креве-

ток. Минск, 1997. 4. К у л е ш В. Ф., А л е х н о в и ч А. В., К о ж у х В. И. и др. // Вопр. рыбного хозяйства. 2008. Вып. 24.

С. 281–284. 5. А л е х н о в и ч А. В., К у л е ш В. Ф. // Экология. 2001. № 6. С. 454–458. 6. J a l i h a l D. R., S a n k o l i K. N., S h e n o y S. // Crustaceana. 1993. Vol. 65, N 3. P. 365–376. 7. M a g a l h a e s C., W a l k e r I. // Crustaceana. 1988. Vol. 55, N 3. P. 279–292. 8. K e n s l e y B., W a l k e r J. // Smithsonian Contributions to Zool. 1982. N 362. P. 1–28. 9. К у р е н к о в И. И. // Тр. Амурской ихтиологической экспедиции. М., 1950. № 1. С. 379–390. 10. H o l t h u i s L. B. // Siboga Exped. Monogr. 1950. Vol. 39a9. P. 98–268. 11. O h C. W., S u h H. L., P a r k K. Y. et al. // J. of Crustacean Biology. 2002. Vol. 22, N 2. P. 357–366. 12. G u o Z. L., W a n g X. Q., Z h a n g J. I. P. // Crustaceana. 2005. Vol. 78, N 7. P. 839–850. 13. E m m e t t R. L., H i n t o n S. A., L o g a n D. J., M c C a b e G. T. // J. Biological Invasions. 2002. Vol. 4, N 4.

P. 447–450. 14. Z e u g S, O’L e a r y G., S o m m e r T., H a r r e l l B. // IEP Newsletter. 2002. Vol. 15, N 1. P. 13–15. 15. L i X. Z., L i u R. Y., L i a n g X. Q. // Biodiversity Science. 2003. Vol. 11, N 5. P. 393–406. 16. H u T. J., Y e T. Y., Z h a n g Z. M. et al. // Scientific Fish Farming. 2002. N 2. P. 31. 17. K w o n C. S., U n o Y. // La Mer. 1968. Vol. 6, N 2. P. 263–278.

KULESH V. F.

[email protected]

GROWTH AND SURVIVAL OF LARVAE OF THE FRESHWATER SHRIMP EXOPALAEMON MODESTUS (HELLER) IN LIQUID WASTES OF A THERMOELECTRIC POWER STATION

Summary

The growth and survival of larvae of the freshwater shrimp Exopalaemon modestus (Heller) were analyzed under the temperatures 16–19 oC, 20–22 oC, 25–26 oC in liquid wastes of the Berezovskaya electric power station (Belarus). It is shown that the larval period consists of two stages of zoea and continues 5–10 days depending on the temperature. The survival comes to 54–100 %. An average length of zoea I, II and postlarval is 4.08 ± 0.12 mm, 4.47 ± 0.23 mm and 4.70 ± 0.26 mm respectively, and an average mass is 0.54 ± 0.11 mg, 0.80 ± 0.15 mg and 1.02 ± 0.24 mg respectively.



Беларуси

88



УДК 576.851.49:663.1

Д. В. ГАЛИНОВСКИЙ1, А. Н. ЕВТУШЕНКОВ2

ЭКСПРЕССИЯ ГЕНОВ БИОСИНТЕЗА β-КАРОТИНА В РАЗЛИЧНЫХ ШТАММАХ ГРАМОТРИЦАТЕЛЬНЫХ БАКТЕРИЙ

(Представлено академиком Л. В. Хотылёвой)

1Институт генетики и цитологии НАН Беларуси, Минск 2Белорусский государственный университет, Минск Поступило 11.05.2009

Введение. Каротиноиды представляют собой широко распространенный в природе класс жирорастворимых пигментов с разнообразными функциями. В организме человека каротиноиды являются предшественником витамина А, который играет важную роль в реакциях, обеспечи-вающих зрительную функцию, а также необходим для нормального состояния слизистых оболо-чек. В хозяйственной деятельности каротиноиды производят как витаминные препараты в фар-мацевтической промышленности, пищевые добавки для животных, как антиоксиданты и пище-вые красители в пищевой промышленности и др. Широкое применение каротиноидов приводит к ежегодному росту объемов использования данных пигментов, что создает все возрастающий спрос на эти вещества. Бактерии Pantoea agglomerans способны синтезировать каротиноиды и накапливать в клетках зеаксантин в гликозилированной форме. За последние десятилетия сдела-ны важные открытия в расшифровке структуры генов, обеспечивающих синтез каротиноидов (crt-генов). Установлено, что у P. agglomerans имеется шесть генов, объединенных в crt-кластер, которые обеспечивают синтез зеаксантина и его гликозилирование [1], изучены некоторые осо-бенности функционирования и регуляции генов данного кластера [2]. Несмотря на значительный прогресс в изучении биохимических и генетических аспектов биосинтеза каротиноидов, продук-тивность имеющихся бактериальных штаммов недостаточно высокая для промышленного ис-пользования. В связи с этим конструирование продуцентов каротиноидных пигментов при по-мощи генно-инженерных подходов представляется актуальной задачей.

Гидрофобные каротиноиды связываются с клеточной мембраной [3], и продуктивность штаммов может быть ограничена не количеством каротиноидов, которое способна синтезиро-вать клетка, а количеством пигмента, которое может вместить ее мембранная система без функ-циональных нарушений [4]. Следовательно, для эффективной экспрессии crt-генов важную роль имеют особенности физиологии клеток, в которых синтезируются пигменты. Важным этапом на пути создания продуцентов каротиноидных пигментов является поиск оптимального штамма-хозяина для экспрессии генов биосинтеза каротиноидов, т. е. штамма, обладающего максималь-ной мембранной емкостью. С помощью современных методов молекулярной биологии можно осуществить перенос и экспрессию генов crt-кластера бактерий Р. agglomerans в клетки других микроорганизмов. Этим открывается возможность использования микроорганизмов, способных накапливать большее количество каротиноидов. Предпринятые ранее эксперименты позволили клонировать [5] и экспрессировать гены синтеза β-каротина в разных штаммах E. coli и показать различия в продуктивности данных штаммов [6].

Цель работы – изучить экспрессию генов crt-кластера бактерий Р. agglomerans 206, обеспе-чивающих биосинтез β-каротина, в различных штаммах грамотрицательных бактерий.

Материалы и методы. В качестве источника генов биосинтеза β-каротина использовали плазмиду pHRP308–1-31ee [6]. Указанная плазмида обеспечивала способность клеток синтези-ровать β-каротин, что фенотипически проявлялось в свойстве желтой окраски колоний. Плазми-



Беларуси

89

да pHRP308–1-31ee сконструирована на основе вектора pHRP308 [7], несущего ген устойчивости к гентамицину. Плазмида pHRP308 является мобилизуемой и для ее переноса в реципиентные клетки требуется функция генов tra-области плазмиды pRP4 [8]. Бактериальный штамм E. coli BW19851 несет интегрированные в свой геном необходимые гены tra-области, поэтому может быть донором плазмиды pHRP308–1-31ee [9]. Данную плазмиду вводили в бактерии E. coli BW19851 посредством трансформации по методике с использованием холодного раствора 0,1М CaCl2 [10]. Отбор трансформантов проводили на плотной LB-среде с гентамицином в кон-центрации 10 мкг/мл.

Из бактериального штамма E. coli BW19851 плазмида pHRP308–1-31ee путем конъюгации передавалась в различные штаммы грамотрицательных бактерий. Перенос осуществляли совме-стным культивированием донора и реципиента на нитроцеллюлозной мембране на чашке Петри с плотной LB-средой в течение 40–60 мин при 28 ºС. Затем бактериальные клетки смывали с мембраны 0,9 %-ным раствором NaCl и высевали по 100 мкл из разных разведений на плотную LB-среду с селективными факторами, исключавшими рост донора и реципиента. В качестве ре-ципиентов в работе использовали штаммы Pseudomonas aureofaciens BU, Ps. aureofaciens B1249, Ps. caryophylli B1296, Ps. chlororaphis B1246, Ps. chlororaphis B1391, Ps. fluorescens B894, Ps. men-docina B972, Ps. palleronii B1328, Ps. pseudoalcaligenes B1295, Ps. putida KT2442, Ps. putida B899, Ps. putida BS394, Ps. saccharophila B902 Ps. stutzeri B975, Comamanas testosteroni B1241, Agrobactherium tumefaciens 2592, Agr. tumefaciens 1D1, Alcaligenes ruhlandii B1333, Erwinia chrysanthemi 49, Er. chrysanthemi 49–50.

Для получения спонтанных мутантов, устойчивых к ампициллину, 1 мл бактериальной куль-туры в стационарной фазе роста концентировали в 10 раз и высевали на плотную LB-среду, со-держащую антибиотик в концентрации 50 мкг/мл.

Для количественного определения каротиноидов бактериальные штаммы, содержащие плаз-миды с генами crt-кластера, выращивали в течение 24 ч при температуре 28 ºС и аэрации в LB бульоне, содержащем 5 мкг/мл гентамицина. Клетки из 8 мл культуры осаждали центрифугиро-ванием и экстракцию пигментов проводили 4 мл смеси метанол−хлороформ (2 : 1) в течение 40–60 мин [11]. После чего измеряли оптическую плотность раствора при длине волны 461 нм. Па-раллельно с выделением каротиноидов проводили определение белка по методу Брэдфорда [12]. Продукцию каротиноидов выражали в количестве мкг пигментов на 1 мг общего клеточного белка либо в мкг пигментов на 1 мл культуры клеток. Для каждого штамма проводили не менее трех измерений, полученные данные подвергали статистической обработке.

В случаях, когда фенотипический признак, сообщенный плазмидой, проявлялся нечетко, и необходимо было подтвердить наличие плазмиды в бактериальных клетках, проводили выде-ление плазмидной ДНК по методике щелочного лизиса [10]. Проверка осуществлялась с помо-щью реакций рестрикции с использованием эндонуклеазы EcoRI (Fermentas, Литва) в соответст-вии с рекомендациями фирмы-производителя. При расщеплении плазмиды pHRP308–1-31ee ферментом EcoRI образовывалось два фрагмента размером 12 т. п. н., который соответствует вектору pHRP308, и 7 т. п. н., который соответствует фрагменту crt-кластера бактерий P. agglo-merans 206. Последующее разделение продуктов гидролиза молекул ДНК осуществляли при по-мощи электрофореза в 1 %-ном агарозном геле с использованием ТАЕ-буфера [10].

Результаты и их обсуждение. Для переноса плазмиды pHRP308–1-31ee в клетки других бактерий использовали штамм E. coli BW19851, обеспечивающий конъюгативный перенос мо-билизуемых плазмид. После введения плазмиды pHRP308–1-31ee в клетки данных бактерий у гентамицин-резистентных клонов подтверждали наличие плазмиды с генами биосинтеза β-каротина и использовали в качестве доноров для коньюгативного переноса pHRP308–1-31ee. Ус-тойчивость к гентамицину является селективным маркером на наследование плазмиды, поэтому бактерии, которые планировали использовать в качестве реципиентов, проверяли на чувстви-тельность к гентамицину. Все проверенные бактерии были чувствительны к данному антибиоти-ку за исключением C. testosteroni B1241. В дальнейших экспериментах мы не использовали этот штамм. В качестве контрселективного маркера против донорских клеток использовали устойчи-вость к ампициллину, поэтому были получены реципиентные клетки, устойчивые к ампицилли-ну. Для штаммов Ps. aureofaciens B1249 и Ps. saccharophila B902 не удалось отобрать клетки, резистентные к ампициллину, поэтому данные штаммы не использовали в дальнейшей работе.



Беларуси

90

В качестве реципиентов использовали штаммы грамотрицательных бактерий, которые были чувствительны к гентами-цину и устойчивы к ампициллину. Для 14 штаммов отобрали трансконъюганты, ус-тойчивые к гентамицину и ампициллину, и проводили количественное определение каротиноидов. Бактерии Ps. caryophylli B1296, Ps. pseudoalcaligenes B1295, Ps. putida KT2442, Ps. putida BS394, Ps. saccharophila B902, Agr. tumefaciens 2592, Agr. tumefaciens 1D1, Er. chrysanthemi 49, Er. chrysanthemi 49−50, содержащие плазмиду, либо вообще не продуцировали пигменты, либо их продук-тивность была очень низкой (самой высо-кой продуктивностью среди этих бактерий обладали Ps. caryophylli B1296 – 0,14 мкг

пигментов на мг белка (рис. 1)). Ps. aureofaciens BU, Ps. chlororaphis B1391, Ps. mendocina B972, Ps. palleronii B1328, Ps. putida B899 продуцировали на 20–40 % каротина больше по сравнению с P. agglomerans 206 (рис. 1). При использовании в качестве реципиента Alc. ruhlandii B1333 не удалось отобрать бактерии, устойчивые к гентамицину, что свидетельствовало об отсутствии в клетках плазмиды pHRP308–1-31ee. Остальные три штамма – Ps. chlororaphis B1246, Ps. fluorescens B894, Ps. stutzeri B975 – продуцировали в два и более раза больше пигментов, чем P. agglomerans 206 (рис. 1). Особенно выделялись Ps. fluorescens B894 и Ps. stutzeri B975, кото-рые накапливали соответственно в 2,5 и 3,2 раза больше каротина по сравнению с бактериями P. agglomerans 206. Как указывалось выше, каротиноиды в бактериальных клетках связываются с липофильными структурами, а именно клеточными мембранами. Можно предположить, что данные штаммы обладают особенностями строения мембран, которые позволяют накапливать большее количество пигмента.

Кроме особенностей организации мембранной системы клетки, на свойства мембран оказы-вают влияние факторы внешней среды, например температура. Поэтому в следующей серии экс-периментов оценивали влияние температурного фактора на способность накапливать кароти-ноиды бактериями Ps. fluorescens B894 и Ps. stutzeri B975, несущими плазмиду pHRP308–1-31ee. В качестве контроля использовали P. agglomerans 206.

Штаммы P. agglomerans 206, Ps. fluorescens B894 и Ps. stutzeri B975 выращивали при тем-пературе 28 ºС (является оптимальной), а также при температуре 18 и 37 ºС. Для бактериальных культур определяли содержание каротиноидов и общего клеточного белка. Результаты измере- ний представлены на рис. 2. Для Ps. fluorescens B894 и Ps. stutzeri B975 наибольшее количество пигмента накапливалось при температуре 28 ºС, и разница с 18 и 37 ºС составляла более чем 2,5 раза. Для P. agglomerans 206 максимум продукции пигментов также наблюдался при 28 ºС, хотя разница с 18 ºС была не такой значительной, как для других штаммов.

Рис. 2. Содержание каротиноидов (а) и общего клеточного белка (б) в культуре клеток у различных штаммов бакте- рий в зависимости от температуры культивирования: 1 – P. agglomerans 206, 2 – Ps. fluorescens B894 с плазмидой pHRP308-1-31ee, 3 – Ps. stutzeri B975 с плазмидой pHRP308-1-31ee

Рис. 1. Уровень продукции каротиноидных пигментов (в мкг на мг белка) различными бактериями, несущими плазмиду pHRP308-1-31ee: 1 – Ps. caryophylli B1296, 2 – Ps. palleronii B1328, 3 – Ps. putida B899, 4 – Ps. mendocina B972, 5 – Ps. aureofaciens BU, 6 – Ps. chlororaphis B1391, 7 – Ps. chlororaphis B1246, 8 – Ps. fluo-rescens B894, 9 – Ps. stutzeri B975, 10 – E. coli XL1-Blue [6], 11 – E. coli DH5α [6], 12 – P. agglomerans 206



Беларуси

91

Для всех бактерий максимальное количество белка содержалось в культурах, которые выра-щивали при 18 ºС. При культивировании бактерий Ps. fluorescens B894 и Ps. stutzeri B975 при 37 ºС количество белка в пробах было очень низким, что свидетельствовало об отсутствии роста культур. Содержание общего клеточного белка является параметром, характеризующим метабо-лическое состояние клеток культуры. Чем больше содержание клеточного белка в культуре, тем выше метаболическая активность клеток. Из полученных результатов можно заключить, что оп-тимальной температурой культивирования бактерий Ps. fluorescens B894 и Ps. stutzeri B975, со-держащих плазмиду pHRP308–1-31ee, является температура 18 ºС и при повышении температуры рост культуры угнетается вплоть до полного подавления при 37 ºС. Оптимальная температура рос-та не совпадает с температурой, при которой накапливается максимальное количество β-каротина.

Обычно при понижении температуры культивирования бактерий наблюдается ингибирование роста микроорганизмов (холодовой шок), что связано с увеличением вязкости мембраны, «замер-занием» мембраны. Клеточные меха низмы, которые включаются при холодовом шоке, направле-ны на то, чтобы предотвратить «замерзание» мембраны и поддержать ее полужидкое состояние, обеспечивающее функциональность. Возможно, в бактериальных клетках β-каротин, связываясь с клеточной мембраной, увеличивает ее текучесть, компенсируя тем самым влияние пониженной температуры. В то время как при повышенной температуре и накоплении некоторого количества каротиноидов мембрана разжижается настолько, что не может выполнять свои биологические функции. Этим можно объяснить токсический эффект, проявившийся при 37 ºС. В таком случае способность синтезировать каротиноиды может быть конкурентным преимуществом при темпера-туре ниже оптимума культивирования и, наоборот, служить фактором, угнетающим рост, при тем-пературе выше оптимальной. Можно предполагать, что мутации, приводящие к повышению вяз-кости мембраны, смогут снять токсическое действие β-каротина и способствовать увеличению ем-кости мембран, а значит, и увеличению продуктивности штаммов.

Заключение. Генетическую конструкцию на основе плазмиды широкого круга хозяев, несу-щую гены биосинтеза каротиноидов, посредством конъюгации передали в клетки различных штаммов грамотрицательных бактерий. Полученные штаммы накапливали β-каротин, что фено-типически проявлялось как признак желтой окраски бактериальных колоний. Наибольшее коли-чество пигмента продуцировали бактерии Ps. stutzeri B975, несущие плазмиду с crt-генами. По-казано, что данные бактерии накапливали в 3,2 раза больше пигмента по сравнению с бактериями дикого типа P. agglomerans 206. Установлено, что наибольшее количество β-каротина данный штамм накапливал при температуре 28 ºС.

Литература 1. S e d k o v a N., L u a n P i e r r e E. R o u v i è r e, Q i o n g C h e n g // J. Applied and Environmental Microbiology. 2005. Vol. 71,

N 12. Р. 8141–8146. 2. С е л е з н ё в а Ю. В. Генетический контроль синтеза каротиноидных пигментов у бактерий Pantoea agglomerans: Дис. … канд. биол. наук.

Минск, 2006. 3. R u t h e r A., M i s a w a N., B ö g e r P., S a n d m a n n G. // Appl. Microbiol. Biotechnol. 1997. Vol. 48. P. 162–167. 4. A l b r e c h t M., M i s a w a N., S a n d m a n n G. // Biotechnology Letters. 1999. Vol. 21. P. 791–795. 5. Г а л и н о в с к и й Д. В., С е л е з н ё в а Ю. В., Е в т у ш е н к о в А. Н. // Весці НАН Беларусі. Cер. біял. навук. 2006. № 5. С. 40–43. 6. Г а л и н о в с к и й Д. В., Б а р а й Ю. В., Е в т у ш е н к о в А. Н. // Весці НАН Беларусі. Cер. біял. навук. 2009. № 1. С. 68–71. 7. Catalog of the cloning vector collection / Department of microbial genetics, National institute of genetics; Comp. and ed. by S. Yasuda, S. Tamura,

M. Yamamoto. Mishima, 2006. 8. H a a s e J., L u r z R., G r a h n A. M. et al. // J. of Bacteriology. 1995. Vol. 177, N 16. P. 4779–4791. 9. M e t c a f W. W., J i a n g W., W a n n e r B. L. // Gene. 1994. Vol. 138. P. 1–7. 10. М а н и а т и с Т., Ф р и ч Э., С э м б р у к Дж. Молекулярное клонирование. М., 1984. 11. H u n d l e B. S., B e y e r P., K l e i n i g H. et al. // Photochemistry and photobiology. 1991. Vol. 54, N 1. P. 89–93. 12. Д о с о н Р., Э л и о т Д., Э л и о т У., Д ж о н с К. Справочник биохимика. М., 1991. C. 466–477.

GALINOUSKY D. V., EVTUSHENKOV A. N.

[email protected]

EXPRESSION OF β-CAROTENE SYNTHESIS GENES IN DIFFERENT STRAINS OF GRAM NEGATIVE BACTERIA

Summary A plasmid based on a broad host range vector is harboring genes of synthesis of β-carotene. The plasmid was transferred to different strains of gram negative

bacteria by conjugation. The obtained strains collected β-carotene and had yellow pigmentation of bacterial colonies. Strain Psedomonas stutzeri B975 harboring the plasmid produced the maximum yield of pigment. This strain collected β-carotene 3.2 as much as wild-type bacteria Pantoea agglomerans 206. We revealed the optimal growth temperature and the maximum pigment collecting temperature of Ps. stutzeri B975 caring the β-carotene synthesis genes.



Беларуси

92



МЕДИЦИНА

УДК 618.11–006.6:577.212.04

Н. Н. ЧАКОВА1, Е. П. МИХАЛЕНКО1, Е. Н. ШЛОМА2, Н. В. ЧЕБОТАРЕВА1, С. С. КРУГЛЕНКО 1, С. Е. ШЕЛКОВИЧ3, Э. В. КРУПНОВА1, Ю. Е. ДЕМИДЧИК2

ПОЛИМОРФИЗМ ГЕНОВ ФЕРМЕНТОВ БИОТРАНСФОРМАЦИИ КСЕНОБИОТИКОВ У БОЛЬНЫХ РАКОМ ЯИЧНИКОВ

(Представлено академиком Е. П. Демидчиком) 1Институт генетики и цитологии НАН Беларуси, Минск 2Белорусский государственный медицинский университет, Минск 3 Минский городской клинический онкологический диспансер Поступило 11.03.2009

Среди злокачественных новообразований женской половой сферы рак яичников (РЯ) пред-ставляет собой наиболее сложную медицинскую проблему. Отсутствие патогмоничных симпто-мов и агрессивное клиническое течение карцином указанной локализации определяют необхо-димость детального изучения их патогенеза, особенно молекулярно-биологических механизмов устойчивости опухолевых клеток к современным методам цитостатической терапии [1].

Рак яичников относится к опухолям со сравнительно высокой чувствительностью к лекарст-венному противоопухолевому лечению, хотя эффективность химиотерапии варьирует в широких пределах. Следует полагать, что одной из возможностей повышения эффективности и ограниче-ния токсичности лечения следует считать индивидуальный подход к подбору лекарственных средств, основанный на генотипировании пациентов по основным ферментам биотрансформа-ции ксенобиотиков (ФБК) [2]. Расчеты показывают, что почти 95 % индивидуальных различий в эффективности и токсичности цитостатиков могут быть генетически обусловленными [3]. Ключевым фактором, влияющим на действие лекарств, считается инактивация их активных ме-таболитов внутри клетки путем связывания с тиоловыми группами глутатиона, в результате чего образуется нетоксичный конъюгат, выводимый из клетки. Эти реакции катализируются глутати-он-S-трансферазами (GST). У человека описаны несколько изоформ этих ферментов (М1, Т1 и др.), каждая из которых кодируется своим геном (соответственно GSTМ1, GSTТ1). Гены GST характеризуются выраженным природным полиморфизмом, обусловленным различиями в по-следовательности нуклеотидов. Наиболее изучен делеционный полиморфизм генов GSTМ1 и GSTТ1, при котором соответствующие белки не образуются. Такие «нулевые» генотипы GSTМ1(–) и GSTТ1(–) встречаются у здоровых европеоидов с частотой 40–50 % и 10–20 % соот-ветственно [4]. За счет полиморфизмов GST-генов детоксикационная способность ферментов у некоторых людей оказывается существенно сниженной, что может повышать чувствитель-ность к химиотерапии и при этом ухудшать ее переносимость [5].

Другим важным ферментом в метаболизме лекарственных препаратов у человека является ариламин-N-ацетилтрансфераза (NAT) [6]. Известны две изоформы NAT: NAT1 и NAT2. Счита-ется, что NAT2 обладает меньшей специфичностью и метаболизирует более широкий круг ве-ществ, поэтому именно NAT2 привлекает большее внимание исследователей. По фенотипиче-ским проявлениям активности NAT2 людей относят к «быстрым» или «медленным» ацетилято-рам. Особенностью полиморфизма NАТ2 являются выраженные этнические различия. Среди популяций Европы и Северной Америки от 40 до 70 % являются «медленными» ацетиляторами,



Беларуси

93

тогда как среди популяций тихоокеанского побережья Азии (японцы, китайцы, корейцы) «мед-ленными» ацетиляторами являются только от 10 до 30 % представителей [7]. «Быстрым» ацети-ляторам для достижения терапевтического эффекта приходится вводить более высокие дозы ле-карственных средств, а у «медленных» ацетиляторов даже стандартные дозы могут вызвать по-бочные токсические проявления.

С другой стороны, в литературе широко обсуждается вопрос о влиянии полиморфизма этих генов на формирование риска целого ряда новообразований, так как одной из основных причин развития онкопатологии являются неблагоприятные факторы окружающей среды [4; 8–10]. Роль генетического полиморфизма ФБК в отношении РЯ детально не изучалась. Данная область ис-следований представляется также весьма перспективной в связи с тем, что некоторые ФБК, в частности глутатион-S-трансферазы, участвуют в биосинтезе и метаболизме стероидных гор-монов. Влияние генетического полиморфизма ФБК на органы репродуктивной сферы может быть связано с модификацией кинетики биосинтеза и распада андрогенов и эстрогенов.

В настоящем сообщении представлены данные по определению связи полиморфизма генов ферментов детоксикации (GSTМ1, GSTТ1 и NAT2) с риском возникновения РЯ.

Материал и методы. В исследование включены 41 больная раком яичников и 26 пациен-ток с доброкачественными эпителиальными опухолями яичников, обследованных и леченных в Минском городском клиническом онкологическом диспансере с июля 2008 г. по январь 2009 г. Контрольная группа была представлена выборкой из 66 женщин без онкологических заболеваний.

Для элиминации влияния факторов, заведомо изменяющих вероятность развития заболева-ния, при формировании контрольных групп был использован метод направленного подбора с учетом возраста, пола и профессиональной принадлежности.

Возраст пациенток со злокачественными эпителиальными новообразованиями яичников варьировал от 18,7 до 78,8 лет, составляя в среднем 56,2 года.

При оценке степени распространения опухоли по классификации FIGO в значительном числе наблюдений выявлена III–IV стадии заболевания (33; 80,5 %) (табл. 1). Преобладающим гистологическим вариантом был серозный тип, установленный в 28 (68,3 %) случаях, муциноз-ная аденокарцинома выявлена у 3 (7,3 %) больных, эндометриоидная – у 6 (14,6 %), светлокле-точный рак – у 2 (4,9 %). Другие морфологические формы были диагностированы у 2 (4,9 %) пациенток.

Хирургическое лечение на первом этапе проведено 39 (95,1 %) больным, 3 (4,9 %) пациентам лечение начато с курсов полихимиотерапии. Стандартная операция (экстирпация матки с при-датками, резекция большого сальника) выполнена в 22 (53,7 %) случаях, двусторонняя аднексэк-томия, резекция большого сальника – 7 (17,1 %) больным. Комбинированные операции выпол-нены 8 (19,5 %) пациентам. Операции заключались в пангистерэктомии, оментэктомии с резек-

цией различных отделов толстой кишки, тазовой перитонэтомией. Другие виды хирургических вмешательств выполнены 4 (9,8 %) больным. Полная циторедукция (отсутствие визуально оп-ределяемых опухолей) произведена в 9 (21,9 %) наблюдениях. Циторедуктивная операция в опти-мальном объеме (остаточные опухоли менее 1 см) выполнена у 18 (43,9 %) больных. В остальных случаях произведена субоптимальная циторедук-ция (14; 34,1 %). В настоящее время 37 (90,2 %) пациенток проходят курс полихимиотерапии на основе препаратов платины. Две больные умер-ли от прогрессирования опухолевого процесса.

Выделение тотальной ДНК из лейкоцитов пе- риферической крови выполняли методом Mathew [11]. Последовательности использованных в ра-боте праймеров представлены в табл. 2.

Т а б л и ц а 1. Характеристика клинических наблюдений

Признак Количество больных

Возраст: средний менее 35 лет 36–50 лет 51–65 лет 66 лет и более

56,2

2 (4,9 %) 12 (29,3 %) 17 (41,5 %) 10 (24,4 %)

Распространение опухоли (FIGO): стадия IA стадия IС стадия IIВ стадия IIIA стадия IIIВ стадия IIIС стадия IV

1 (2,4 %) 5 (12,2 %) 2 (4,9 %) 1 (2,4 %) 6 (14,6 %)

18 (43,9 %) 8 (19,5 %)



Беларуси

94

Т а б л и ц а 2. Последовательность использованных праймеров

Ген Прямой праймер Обратный праймер Размер продукта Источник

GSTM1 5’gaactccctgaaaagctaaagc3’ 5’gttgggctcaatatacgggg3’ 215 п. н. GSTT1 5’ ttccttactggtcctcacatctc3’ 5’tcaccggatсatggccagca3’ 480 п. н. [12] Albumin 5’gccctctgctaacaagtcctac3’ 5’gccctaaaaagaaaatcgccaatc3’ 350 п. н. NAT2 5’gctgggtctggaagctcctc3’ 5’ttgggtgatacatacacaaggg3’ 547 п. н. [9]

Условия ПЦР для каждого из фрагментов были подобраны экспериментально. Типирование

образцов по генам GSTM1 и GSTT1 проводили путем мультиплексной ПЦР с использованием в качестве внутреннего контроля фрагмента гена альбумина. Продукты амплификации фракцио-нировали в 1,5 %-ном агарозном геле с бромистым этидием и визуалировали в УФ-свете. Гомо-зиготность по «нулевым аллелям» генов GSTT1 и GSTM1 определяли по отсутствию на элек-трофореграммах фрагментов амплификации размером 480 и 215 п. н. соответственно.

Для исследования полиморфизма гена NAT2 методом ПЦР-ПДРФ анализа, амплифициро-ванный фрагмент (547 п. н.) подвергали рестриктному расщеплению эндонуклеазами KpnI (C481T), TagI (G590A) и BamHI (G857A). Продукты рестрикции, полученные в результате обра-ботки эндонуклеазами KpnI и BamHI, фракционировали в 1,2 %-ном агарозном геле, а после раз-резания эндонуклеазой TagI – в 2,5 %-ном. Результаты электрофоретического разделения фраг-ментов визуализировали в УФ-свете. Получаемые варианты длин рестриктных фрагментов после обработки соответствующими рестриктазами представлены в табл. 3.

Т а б л и ц а 3. Результаты рестрикции амплифицированного фрагмента гена NAT2 Полиморфизм C481T G 590A G 857A Аллель 481C 481T 590G 590A 857G 857A Длины фрагментов, п. н. 433 + 114 547 222 + 170 + 155 392 + 222 + 155 490 547

Статистическая обработка материала проводилась с использованием пакета прикладных про-

грамм «Statistica for Windows 6.0». При сравнении частот генотипов использовался стандартный критерий χ2 Пирсона. Об ассоциации генотипов с предрасположенностью к РЯ судили по вели-чине отношения шансов (ОШ), которую рассчитывали по стандартной формуле ОШ = (A/B)/(C/D), где A и B – количество больных, имеющих и не имеющих мутантный генотип соответственно, и C и D – количество человек в контрольной группе, имеющих и не имеющих мутантный гено-тип. OR указан с 95 %-ным доверительным интервалом [13].

Результаты и обсуждение. Имеется большое количество работ, в которых исследуется ассо-циация генетического полиморфизма ферментов детоксикации GSTТ1, GSTТ1 и NAT2 с пред-расположенностью к различным онкозаболеваниям. Ряд публикаций показывают, что у онколо-гических больных наблюдается увеличение частоты гомозиготных делеций GSTМ1 и GSTТ1 [3; 7; 8]. Что касается гена NAT2, то, согласно действующей номенклатуре, в нем выявлено 13 точ-ковых мутаций. Обнаружено влияние однонуклеотидных замен в позициях 481, 590 и 857 на ак-тивность фермента. Показано увеличение частоты «медленных» ацетиляторов среди больных раком мочевого пузыря [6] и «быстрых» ацетиляторов – среди больных колоректальным раком [6; 9] и раком легкого [10].

Результаты нашего исследования показали, что частота встречаемости GSTТ1, GSTМ1 и NAT2 генотипов в контрольной группе совпадала с данными литературы по европеоидным популяци-ям [4]. Данные анализа их ассоциации с подверженностью к РЯ представлены в табл. 4.

В группах пациентов с опухолями как доброкачественными, так и злокачественными, часто-та встречаемости генотипа GSTM1(–) (42,3 и 39,0 %) не отличалась от контрольной группы (44,0 %). Частота генотипа GSTT1(–) в группах пациентов с доброкачественными опухолями (23,1 %) и больных РЯ (22,0 %) были выше в 1,7 раза, чем в контрольной группе (13,6 %), однако статистическая достоверность отношения шансов при этом не достигалась. Оценка относитель-ного риска рака яичников для людей с различными комбинациями генотипов GSTT1 и GSTM1 также не показала статистически достоверную связь какой-либо комбинации, в том числе и в слу-чае наличия двух нулевых генотипов (GSTТ1(–)/GSTМ1(–)), с предрасположенностью к возник-новению данной патологии (табл. 5).



Беларуси

95

Т а б л и ц а 4. Распределение GSTТ1, GSTМ1 и NAT2 генотипов у больных раком яичников

Аллель Контроль (n = 66) Доброкачественные опухоли (n = 26) Больные раком яичников (n = 41)

n % n % ОШ n % ОШ

GSTT1(−) GSTT1(+)

9 57

13,6 82,4

6 20

23,1 76,9

1,90 (0,60–6,01) 0,52 (0,16–1,66)

9 32

22,0 78,0

1,78 (0,62–4,94) 0,56 (0,20–1,56)

GSTM1(−) GSTM1(+)

29 37

44,0 56,0

11 15

42,3 57,7

0,94 (0,37–2,34) 1,06 (0,42–2,67)

16 25

39,0 61,0

0,82 (0,37–1,81) 1,22 (0,55–2,71)

NAT2 C481T CC CT TT G590A GG GA AA G857A GG GA AA

16 39 11

31 29 6

43 23 0

24,2 59,1 16,7

47,0 43,9 9,1

65,1 34,9

3

18 5

13 12 1

20 6 0

11,5 69,2 19,3

50,0 46,2 3,8

76,9 23,1

0,41 (0,11–1,54) 1,56 (0,59–4,09) 1,19 (0,37–3,84)

1,12 (0,45–2,79) 1,09 (0,44–2,72) 0,40 (0,04–3,49)

1,78 (0,62–5,06) 0,56 (0,19–1,59)

6

27 8

26 14 1

31 10 0

14,6 65,9 19,5

63,4 34,1 2,5

75,6 24,4

0,53 (0,19–1,50) 1,33 (0,59–3,00) 1,21 (0,44–3,32)

1,95 (0,88–4,35) 0,66 (0,29–1,48) 0,25 (0,02–2,15)

1,65 (0,69–3,97) 0,60 (0,25–1,44)

Т а б л и ц а 5. Распределение частот комбинаций генотипов GSTM1, GSTТ1 у больных РЯ

Генотип Контроль (n = 66) Больные раком яичников (n = 41) ОШ (95 % ДИ)

n % n %

GSTT1(+)/GSTM1(+) GSTT1(+)/GSTM1(–) GSTT1(–)/GSTM1(+) GSTT1(–)/GSTM1(–)

34 23 3 6

51,5 34,9 4,5 9,1

19 13 6 3

46,4 31,7 14,6 7,3

0,81 (0,37–1,77) 0,87 (0,38–1,99) 3,60 (0,85–15,29)0,79 (0,19–3,35)

Однако частота индивидуумов, имеющих генотип GSTT1(–)/GSTM1(+), в группе больных РЯ

(14,6 %) была в 3,2 раза выше, чем в контрольной группе (4,5 %). В табл. 4 представлены также результаты исследования связи с РЯ трех точковых мутаций

гена NAT2, влекущих, как уже говорилось выше, снижение скорости реакции ацетилирования. Можно видеть, что генотипы 481СС, 590АА и 857GA обладают некоторым защитным эффектом, так как в контрольной группе встречаются в 1,5–3,5 раза чаще, чем у пациентов с доброкачест-венными опухолями и у больных РЯ.

В зависимости от результатов генотипирования по трем сайтам обследованных индивидуу-мов делили на «быстрых» и «медленных» ацетиляторов. К «быстрым» ацетиляторам относили обладателей трех доминантных аллелей в гомозиготном состоянии 481СС, 590GG и 857GG, а также тех, у кого только один из трех исследуемых генотипов находится в гетерозиготном со-стоянии (481СТ, 590GG, 857GG; 481СС, 590GА, 857GG и 481СС, 590GG, 857GА). Все осталь-ные комбинации генотипов составили группу «медленных» ацетиляторов. В контрольной группе частота «быстрых» ацетиляторов равнялась 33,3 % и статистически достоверно не отличалась от показателя у пациентов с доброкачественными опухолями (26,9 %) и у больных РЯ (39,0 %) (табл. 6).

Наибольшей информативностью обладали данные, полученные при сравнительном анализе «быстрых» и «медленных» ацетиляторов, имеющих различные комбинации генотипов по GSTТ1 и GSTМ1. Было выявлено, что рисковая значимость для носителей комбинации генотипов GSTТ1(+)/GSTМ1(–) зависит от типа ацетилирования и составляет 1,74 для «быстрых» и 0,58 для «медленных» ацетиляторов (см. табл. 6). Противоположная тенденция наблюдалась у боль-ных РЯ с комбинацией генотипов GSTТ1(–)/GSTМ1(+). В данном случае риск развития РЯ не зависел от типа ацетилирования (OR = 3,33 для «быстрых» и OR = 3,46 для «медленных» ацети-



Беларуси

96

Т а б л и ц а 6. Комбинации генотипов GSTM1, GSTТ1 и NAT2 у больных раком яичников

Генотип Контроль (n = 66) Больные раком яичников (n = 41) ОШ (95 % ДИ)

n % n %

Быстрые ацетиляторы (всего), из них: GSTT1(+)/GSTM1(+) GSTT1(+)/GSTM1(–) GSTT1(–)/GSTM1(+) GSTT1(–)/GSTM1(–)

22

14 7 1 0

33,3

21,2 10,6 1,5 –

16

7 7 2 0

39,0

17,1 17,1 4,8 –

1,28 (0,57–2,88)

0,76 (0,28–2,09) 1,74 (0,56–5,37)

3,33 (0,29–37,98) –

Медленные ацетиляторы (всего), из них: GSTT1(+)/GSTM1(+) GSTT1(+)/GSTM1(–) GSTT1(–)/GSTM1(+) GSTT1(–)/GSTM1(–)

44

21 15 2 6

66,7

31,8 22,7 3,1 9,1

25

12 6 4 3

61,0

29,3 14,6 9,8 7,3

0,78 (0,35–1,76)

0,41 (0,18–0,97) 0,58 (0,21–1,65)

3,46 (0,60–19,81) 0,79 (0,19–3,35)

ляторов). Следует отметить, что из общего числа наблюдений (n = 107), комбинация из двух го-мозиготных делеций GSTТ1(–)/GSTМ1(–) обнаружена только у 1 (0,9 %) «быстрого» ацетилято-ра, что было в 9,3 раза ниже, чем встречаемость данной комбинации в группе «медленных» аце-тиляторов (n = 9,0; 8,4 %). При этом наличие комбинации GSTТ1(–)/GSTМ1(–) не имело риско-вой значимости для развития рака яичников ни у «быстрых», ни у «медленных» ацетиляторов.

Заключение. Таким образом, полученные результаты в целом свидетельствуют в пользу свя-зи полиморфизма генов ФБК с риском возникновения РЯ. Полученные данные указывают также на то, что исследованные в настоящей работе полиморфные гены взаимодействуют друг с дру-гом в детерминации риска данного заболевания. При этом необходимо подчеркнуть, что точ-ность прогноза предрасположенности к заболеваемости РЯ повышается с увеличением количе-ства анализируемых генов. Однако данные выводы мы считаем предварительными в связи с не-достаточно большой статистической выборкой.

В дальнейшем мы планируем представить оценку влияния полиморфизма исследуемых генов на результат химиотерапии у обследованных пациентов, так как ФБК участвуют в инактивации многих цитостатиков, включая цисплатин и циклофосфамид. Известно, что полиморфизм коди-рующих их генов может влиять на эффективность и токсичность химиотерапии.

Литература 1. З а л у ц к и й И. В. Эпидемиология злокачественных новообразований в Беларуси. Минск, 2006. 2. П и р у з я н Л. А. // Вести РАН. 2004. Т. 74. С. 610–618. 3. E v a n s W. E. // N. Engl. J. Med. 2003. Vol. 348, N 6. P. 538–549. 4. Г у л я е в а Л. Ф. // Новосибирск: Серия «Экология», 2000. Вып. 57. – 85 с. 5. M c I l w a i n C. C. // Oncogene. 2006. Vol. 25, N 11. P. 1639–1648. 6. W a l r a v e n J. M., Z a n g Y., T r e n t J. O. // Curr. Drug Metab. 2008. Vol. 9, N 6. P. 471–486. 7. H e i n D. W., G r a n t D. M., S i m E. // Pharmacogenetics. 2000. Vol. 10. P. 291–292. 8. B r o c k m ö l l e r J., C a s c o r b i I., K e r b R. // Cancer Res. 1996. Vol. 56, N 17. P. 3915–3925. 9. G i l J. P. // Carcinogenesis. 1998. Vol. 9, N 1. P. 37–41. 10. C a s c o r b i I. // Cancer Res. 1996. Vol. 56, N 17. P. 3961–3966. 11. M a t h e w C. C. // Human Press: Methods in Molecular Biology. 1984. Vol. 2. P. 31–34. 12. A r a n d M., M u h l b a u e r R., H e n g s t l e r J. // Anal Biochem. 1996. Vol. 236, N 1. Р. 184–186. 13. Ф л е т ч е р Р. Клиническая эпидемиология: Основы доказательной медицины. М., 2004.

CHAKOVA N. N., MIKHALENKA A. P., SHLOMA E. N., CHEBOTAREVA N. V., KRUGLENKO S. S., SHELKOVICH S. E., KRUPNOVA E. V., DEMIDCHIK Yu. E.

[email protected]

GENE POLYMORPHISM OF BIOTRANSFORMATION ENZYMES IN OVARIAN CANCER PATIENTS

Summary The aim of this research was to study the polymorphism of GSTT1, GSTM1 and NAT2 in ovarian cancer patients. The

highest odd ratio for an ovarian cancer risk reached 3.60 (95 % CI 0.85–15.29) in the GSTT1(–)/GSTM1(+) genotypes.



Беларуси

97



НАУКИ О ЗЕМЛЕ

УДК 550.311:551.24

В. Н. АСТАПЕНКО

КОРОВЫЕ АНОМАЛИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ПАЛЕОРИФТЫ ВОСТОЧНО-ЕВРОПЕЙСКОЙ ПЛАТФОРМЫ

(Представлено академиком Р. Г. Гарецким)

Белорусский научно-исследовательский геологоразведочный институт, Минск Поступило 30.03.2009

Магнитотеллурические методы более пятидесяти лет используются для изучения геоэлек-трического строения земной коры и мантии. Естественно, что на первых порах основное внима-ние уделялось исследованию отдельных аномалий электропроводности, причем, с позиций ана-лиза структуры электромагнитного поля. Геологическая интерпретация построенных геоэлек-трических моделей весьма часто оставалась на втором плане. По мере накопления эксперимен-тальных данных, полученных в различных районах мира, стали выделяться общие особенности пространственного размещения коровых зон повышенной электропроводности. Наиболее ярко проявляется аномальная электропроводность литосферы в районах, тектонически активных в настоящее время: в зонах субдукции, рифтообразования, коллизии литосферных плит [1–3]. Но и в стабильных районах – на щитах и платформах, также обнаружено множество коровых ано-малий электропроводности. Часто эти аномалии или наиболее проводящая их часть являются линейными и выделяются не только магнитотеллурическими, но и магнитовариационными ме-тодами. В ряде случаев подобные коровые аномалии электропроводности приурочены к контак- ту разновозрастных пород фундамента с различным вещественным составом пород и связаны с палеотектоническими процессами формирования материков [1].

Сопоставление параметров и геолого-тектонический анализ расположения аномалий на ре-гиональном уровне не всегда возможно провести из-за редкой сети наблюдений − например, Восточно-Европейская платформа (ВЕП) сравнительно детально изучена магнитотеллурическими методами только в своей западной части. На рисунке приводится с некоторыми упрощениями положение известных коровых аномалий электропроводности на территории ВЕП, основные сведения о которых содержатся в публикациях ряда авторов [1; 4–8]. Пространственное положе-ние аномалий электропроводности само по себе представляет интерес для геологов и геофизиков, и детальный анализ параметров аномалий в связи с геолого-тектоническим строением ВЕП еще впереди. Обращает на себя внимание приуроченность значительного числа аномалий к системе палеорифтов, занимающих центральную часть ВЕП [9]. В данной статье уделим основное вни-мание именно этим аномалиям электропроводности, поскольку анализ проводимости земной коры в совокупности с данными других геофизических полей позволит глубже понять глубинное строение литосферы и развитие палеорифтов.

Волыно-Среднерусская система прогибов простирается через всю Восточно-Европейскую платформу: от границы Тейссейра–Торнквиста на юго-западе до Предтиманского прогиба на северо-востоке. Ранние палеорифты запада и центральной части ВЕП заполнены катаплатфор-менным чехлом, который подразделяется на дальсландский и нижнебайкальский структурные комплексы, перекрытые верхнебайкальским комплексом плитного чехла [10; 11]. Катаплатфор-менный чехол сложен практически неметаморфизованными осадочными и частично вулкано-генными породами и имеет мощность от 0,5 до 5,0 км. Предполагается, что на раннебайкальском



Беларуси

98

этапе развития ВЕП (900–650 млн лет) закладывалась и развивалась широкая сеть авлакогенов, прогибов и грабенов. Различные части Волыно-Среднерусской системы прогибов имеют отли-чия в формировании и развитии: Волыно-Оршанский прогиб формировался при невысоких ско-ростях прогибания, а северо-восточная часть формировалась в условиях рифтового режима [10]. В настоящее время сложилось мнение, что рифтогенные структуры Среднерусской системы раз-вивались по раннепротерозойским подвижным поясам и возможно в значительной степени на-следуют их [12].

Схема основных тектонических элементов Восточно-Европейской платформы [9] и положение коровых электропро-водящих зон: а – границы платформы; б – щиты (БЩ – Балтийский, УЩ – Украинский); в – границы антеклиз и си-неклиз (антеклизы: Бе – Белорусская, Во – Воронежская, ВУ – Волго-Уральская; синеклизы: Ба – Балтийская, Мо – Московская, Ме – Мезенская); г – Полоцко-Курземский пояс разломов; д−е – системы палеорифтов: д – ранних (ВС – Волыно-Среднерусская система прогибов: 1 – Волынский, 2 – Оршанский палеопрогибы; Среднерусский авлакоген: 3а – Валдайская, 3б – Тверская, 3в – Сухонская ветви; 4 – Яренская впадина; авлакогены: 5 – Кажимский (Вятский). 6 – Серноводско-Абдулинский, 7 – Пачелмский, 8 – Днепровско-Донецкий; грабены: 9 – Гжатский, 10 – Московский, 11 – Ладожский, 12 – Двинский, 13 – Лешуконский); е – поздних (14 – Припятский, 15 – Днепровско-Донецкий, 16 – Вятский прогибы); ж – зона перикратонных опусканий, синхронных в развитии с ранними палеорифтами; з – Гот-ландский пояс; и – контур Слободского позднепротерозойского тектоно-геодинамического узла; к – условная южная граница Клайпедской сигмоиды; л – разломы; номера 17–19 – тектонические структуры: 17 – Латвийская седловина, 18 – Подлясско-Брестская впадина, 19 – Полесская седловина; м – зоны электропроводности: 1 – LGB – Лапландский гранулитовый пояс, 2 – Печенегско-Аллареченская, 3 – Кейвская, 4 – Имандра-Варзугская, 5 – Кусла-Ярвинская и Тикшеозерская, 6 – Кемская, Ондомская, Ветреного пояса, 7 – Карельско-Онежская, 8 – Заонежская, 9 – Ладожская, 10 – Outokumpu, 11 – KSB – Kainuu Schist Belt, 12 – Oulu, 13 – Южно-Финляндская, 14 – Ботническая, 15 – Storavan-Skoleftea, 16 – Кулдиго-Лиепайская, 17 – Валмиеро-Локновская, 18 – Чудская, 19 – Ильменская, 20 – Крестцовская (Валдайская), 21 – Любимская, 22 – Западно-Литовская (Клайпедская магнитовариационная), 23 – Полоцкая, 24 – Ор-шанская (Оршанско-Ильменская магнитовариационная), 25 – Московско-Тамбовская, 26 – Белорусской антеклизы, 27 – Бобовнянская и Бобруйская, 28 – Гомельская, 29 – аномалии Припятского прогиба: Житковичская, Шестовичская и Южно-Припятская, 30 – Северо-Германская магнитовариационная, 31 – Карпатская магнитовариационная, 32 – Яво-ровская, 33 – Волынская, 34 – Коростенская, 35 – Черновицко-Коростенская, 36 – Кировоградская (магнитовариаци-онная), 37 – Донбасская (магнитовариационная), 38 – Приазовская, 39 – Обоянская (Курская), 40 – Тимано-Северо- уральская (Тимано-Печерская), 41 – Уральская



Беларуси

99

При рассмотрении гипотез о возможном механизме образования авлакогенов наиболее при-нятыми являются предположения о существовании системы сдвигов, образовавшихся при фор-мировании напряжений на юго-западной и северо-восточной границах ВЕП [12]. Определяю-щую роль при этом играли нисходящие мантийные потоки вещества, возникшие при коллизион-ных процессах на тех же границах.

В настоящее время дискуссируется вопрос о тектоногеодинамических предпосылках, привед-ших к развитию авлакогенов. По одному представлению Волыно-Оршанская система прогибов и Среднерусский авлакоген являются границей, разделяющей три крупных сегмента коры ВЕП – Фенноскандию, Волго-Уралию и Сарматию, а Пачелмский авлакоген является границей между Волго-Уралией и Сарматией [13]. Процесс объединения трех сегментов коры в единую Восточно-Европейскую платформу проходил в палеопротерозое (2,0–1,8 млрд лет). Это положение оспари-вается в [14], где рифейские авлакогены рассматриваются как наложенные образования по отно-шению к структурам кристаллического фундамента. Положение границы между Фенноскандией и двумя другими блоками ВЕП является дискуссионным. Имеются альтернативные схемы блоко-вого строения северной части ВЕП с большим числом блоков [12; 15]. Проведенные на территории России комплексные профильные геофизические исследования хотя и принесли много новых дан-ных по глубинному строению территории, но окончательно вопрос о границах блоков не решили [12].

Проведенное сейсмогравитационное моделирование строения земной коры по ряду профи-лей, пересекающих рифтогенные структуры ВЕП, показало, что глубины этих структур дости-гают 8–15 км, а ниже предполагаемой поверхности фундамента залегает толща пород со скоро-стями продольных сейсмических волн 5,0–6,0 км/с и плотностями 2,50–2,65 г/см3 [12]. Предпо-лагается, что породы этого комплекса имеют вулканогенно-осадочный генезис. Наибольшая мощность аномального слоя (до 15 км) зафиксирована на профиле 1-ЕВ в восточной части Твер-ской ветви Среднерусского авлакогена. Пробуренная здесь Северо-Молоковская скважина вскрыла в верхней части фундамента низкоскоростной слой со скоростями продольных волн не более 5,3 км/с. Анализ керна показал, что породы аномальной части фундамента представлены бластомилонитами и мигматитами, которые можно рассматривать как вещественное проявление зоны палеодетачмента, образовавшейся на глубинах 10–15 км и выведенной на поверхность фундамента в результате развития Среднерусского авлакогена [16].

В консолидированной коре переходной зоны от Московской синеклизы к Балтийскому щиту обнаружен ряд структур, которые представляют последовательные надвиги пластин коры с юга на север. Надвиги начинаются от подошвы коры и поднимают высокоплотные породы нижней коры до глубин 18–12 км. В верхней части коры Валдайской ветви имеются также признаки на- двига более плотных пород на предполагаемые низкоскоростные рифейские породы катаплат-форменного чехла [12]. По данным магнитотеллурических исследований, под Валдайской вет-вью на глубинах, превышающих 8 км, расположена проводящая область, которая формирует ли-нейную Крестцовскую магнитовариационную аномалию [17].

В восточной части Среднерусских авлакогенов в пределах Сухонской ветви выполнены мно-гочисленные сейсмические профили по проекту «Рифей» и др., а также проведены магнитотел-лурические исследования [4; 12; 18]. Сейсмоплотностное моделирование показывает присутст-вие в верхах фундамента низкоскоростной области с плотностью пород менее 2,6 кг/см3 [12]. Нижние границы этой аномальной области достигают глубины 8 км, а поперечные размеры – 50 км. Так же как и на Валдайской ветви сейсмические исследования обнаружили признаки на- двигов пластин коры в полосе глубин 5–15 км [12]. Проведенные здесь магнитотеллурические исследования выявили Любимскую коровую аномалию электропроводности [4; 12; 18]. На Бука-ловской и Дьяконовской площадях в земной коре обнаружен проводящий слой с суммарной проводимостью до 4500 См и с глубиной до верхней кромки 9 км и только в северо-западной части Дьяконовской площади – до 14 км [18]. Сопротивление пород фундамента аномальной зо-ны в рамках слоистой модели оценивается в 0,6–1,0 Ом⋅м. Другими исследователями проведена интерпретация в рамках градиентной модели и установлено уменьшение сопротивления от вер-хов фундамента до глубин порядка 20 км в пределах Сухонской ветви [4; 12].

Сходные результаты по скоростным и плотностным моделям земной коры получены и для Пачелмского авлакогена, который, как предполагается, отражает положение контакта крупных литосферных блоков – Сарматии и Волго-Уралии. Отличие полученных моделей коры от Вал-



Беларуси

100

дайской и Сухонской ветвей состоит в меньшей дифференцированности плотноскоростных моделей [12]. Московско-Тамбовская аномалия электропроводности расположена на глубинах 4–25 км. Требуются дополнительные исследования для уточнения параметров аномалии.

В Оршанской впадине при интерпретации магнитотеллурических зондирований в рамках гра-диентной модели установлено плавное увеличение сопротивления с глубиной от 8 Ом⋅м в верхах фундамента до 150 Ом⋅м на глубине 10 км [7]. Суммарная продольная проводимость аномального слоя не превышает 700–1000 См, что в несколько раз меньше, чем проводимость аномальных сло-ев фундамента в Сухонской ветви авлакогена. В пределах Волынского палеопрогиба расположена Волынская аномалия электропроводности. Параметры аномалии составляют: глубина залегания – 1–2 км, мощность – до 2 км, суммарная электропроводность – до 1000 См [8].

Обращает на себя внимание схожесть характеристик аномалий электропроводности, располо-женных в пределах всей системы Среднерусских авлакогенов, и по глубине залегания кровли и по величине проводимости. Некоторые различия в оценках глубины залегания связаны, видимо, с методическими вопросами регистрации, обработки и интерпретации. Все эти аномалии располага-ются в верхней части коры. Увеличение электропроводности может быть связано с присутствием в породах коры электроннопроводящих минералов либо с повышенной трещиноватостью и порис-тостью пород фундамента, насыщенных высокоминерализованными водами [7]. Возможно и соче-тание обоих факторов. Электроннопроводящие породы – шунгиты обнаружены в пределах Ладож- ского грабена, заполненного дальсландским (среднерифейским) структурным комплексом пород (1,1–1,35 млрд лет) [11]. Удельное сопротивление шунгитов изменяется в широких пределах (3⋅10–4 – 3⋅102 Ом⋅м) в зависимости от содержания углерода. Детальное исследование Ладожской зоны магни-тотеллурическими методами дало сложную картину распределения аномальных проводящих слоев в коре [4]. Проводящие слои находятся непосредственно в верхах разреза на глубинах 0,2–0,7 км и на глубинах 1–12 км. Минимальное сопротивление 5 Ом⋅м достигается на глубине 10 км.

Шунгиты также встречаются в пределах Онежской мульды, в которой мощность осадочно-вулканогенных образований оценивается в 2 км, из которых до 200–300 м приходится на долю шунгитовых сланцев. По данным магнитотеллурических исследований, с этими породами связа-на Заонежская аномалия электропроводности с суммарной проводимостью до 600 См [19].

По данным сейсмоплотностного моделирования на профиле 1-ЕВ, Заонежской и Ладожской аномалиям электропроводности соответствуют области пониженной плотности в коре (2,6 г/см3) до глубин 5–10 км [12]. Подобная плотность пород может быть связана со значительной их по-ристостью и, в случае связности пористого пространства, неизбежно вызовет падение сопротив-ления. Предполагается, что подобные аномальные коровые зоны отражают пространственное положение границы коллизионных блоков на различных этапах формирования континентальной коры ВЕП в архее и нижнем протерозое [12]. Ширина новообразованных зон возрастает от Бал-тийского щита в сторону Московской синеклизы. В процессе формирования коры в коллизион-ных зонах могли накапливаться значительные объемы углеродистого вещества, которые в про-цессе коллизии блоков могли погрузиться на значительную глубину.

В пределах более молодого (девонского) Днепрово-Донецкого грабена установлена Донбас-ская аномалия электропроводности, которая имеет сложное строение с двумя проводящими слоями: первый на глубине 2 км с проводимостью 500–2000 См, а второй – на глубине 10 км с проводимостью 1000–10000 См [8]. В Донбассе обнаружены мощные угольные месторождения и, видимо, существует определенная связь аномальных проводящих зон с этими месторожде-ниями. Следует также упомянуть Подмосковный угольный бассейн и Московско-Тамбовскую аномалию электропроводности в Пачелмском авлакогене. Пространственная корреляция пере-численных верхнекоровых аномалий электропроводности в пределах Среднерусской системы прогибов и областей распространения углеродистых пород позволяет предположить более ши-рокое присутствие углеродсодержащих пород в фундаменте ВЕП.

Вторая группа аномалий, расположенная в пределах западной части ВЕП, является более глу-бинной с глубиной верхней кромки 10–30 км, находится в средней и нижней коре и обладает прово-димостью не превышающей 1000 См. К таким аномалиям следует отнести Полоцкую (Н = 20– 30 км; S = 300 См), Белорусской антеклизы (Н = 8–12 км; S < 50 См), Бобовнянскую и Бобруйскую (Н = 10–15 км; S < 200 Cм), Гомельскую (Н = 20–30 км; S < 100 См), Припятского прогиба (Н = 10–



Беларуси

101

20 км; S < 150 См), Коростенскую (Н = 15 км; S = 500 См), Черновицко-Коростенскую (Н = 15 км; S = 1000 См). Все эти аномалии образовались в пограничной зоне Фенноскандии и Сарматии, а так-же частично приурочены к Припятскому грабену. Они, видимо, связаны с зонами разуплотнения в коре, в том числе и с зонами листрических разломов [7]. Небольшая величина суммарной электро-проводности свидетельствует о флюидной причине аномальной электропроводности.

В Полоцко-Курземском поясе разломов Западно-Литовская и Полоцкая аномалии расположены в нижней коре и по своим параметрам существенно отличаются от аномалий Среднерусской систе-мы прогибов. Хотя результаты гравимагнитного моделирования указывают на присутствие в верх-ней части фундамента севера Беларуси слоев с пониженной плотностью, но отсутствие сейсморазве-дочных и высокочастотных магнитотеллурических данных в этом районе не позволяет подтвердить это предположение [7]. Суммарная электропроводность осадочного чехла и верхней части фунда-мента здесь на порядок меньше, чем в пределах палеорифтов. В то же время четыре аномалии, рас-положенные севернее, у Балтийского побережья, имеют сходные параметры: глубины до кровли проводящей части коры – 1–2 км, наиболее проводящая часть аномалии – на 8–15 км и ее суммарная продольная проводимость 500–1000 См, а у Ильменской аномалии – более 5000 См [4].

Отметим еще одно обстоятельство – все аномалии электропроводности, расположенные в пределах системы палеорифтов ВЕП, и аномалии Балтийского побережья одновременно прояв-ляют себя как магнитовариационные аномалии. Единственное исключение – Волынская аномалия. Этот факт отражает существенное превышение протяженности аномалий над их шириной и связан с двухмерностью авлакогенов и систем региональных разломов повышенной проницаемости.

Проведенный анализ пространственного положения аномалий электропроводности показы-вает, что в пределах палеорифтов Восточно-Европейской платформы широко распространено увеличение электропроводности верхней коры. На это обстоятельство следует обратить при-стальное внимание, как на возможный индикатор поисков месторождений рудных и нерудных полезных ископаемых

Литература 1. H j e l t S.-E., K o r j a T. // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1993. Vol. 79. P. 137–177. 2. J o n e s A. G. // Tectonophysics. 1998. Vol. 286. P. 273–298. 3. А с т а п е н к о В. Н. // Докл. НАН Беларуси. 2003. Т. 47, № 2. С. 94–97. 4. К о в т у н А. А. Строение коры и верхней мантии на северо-западе Восточно-Европейской платформы по данным магнито-

теллурических зондирований. Л., 1989. 5. K o r j a T., E n g e l s M., Z h a m a l e t d i n o v A. A. et al. // Earth Planets Space. 2002. Vol. 54. P. 535–558. 6. Ж а м а л е т д и н о в А. А. // Физика Земли. 1996. № 4. С. 12–29. 7. Г а р е ц к и й Р. Г., К а р а т а е в Г. И., А с т а п е н к о В. Н., Д а н к е в и ч И. В. Геофизические поля и динамика тектоно-

сферы Беларуси. Минск, 2002. 8. К у л и к С. Н., Б у р а х о в и ч Т. К. // Физика Земли. 2007. № 4. С. 21–27. 9. Г а р е ц к и й Р. Г. // Лiтасфера. 2007. № 2(27). С. 3–13. 10. Н а г о р н ы й М. А. Тектоника Волыно-Среднерусской системы прогибов. Минск, 1990. 11. Н а г о р н ы й М. А. // Лiтасфера. 2002. № 1(16). С. 18–30. 12. С е л е м е н е в С. И. Структура земной коры центральной части Русской платформы по комплексу геолого-геофизических

данных: Автореф. дис. … канд. геол.-минер. наук. М., 2006. 13. B o g d a n o v a S. V. // Europrobe in Jablonna. 1993. P. 33–38. 14. А к с а м е н т о в а Н. В., Н а й д е н к о в И. В. // Лiтасфера. 2006. № 2(25). С. 142–154. 15. Э р и н ч е к Ю. М., С м ы с л о в А. А., Е р х о в В. А., М и л ь ш т е й н Е. Д. // Глубинные исследования недр в СССР. Л.,

1989. С. 83–94. 16. Ч а м о в Н. П., К о с т ы л е в а В. В., Г о р б а ч е в В. И. и др. // Геотектоника. 2002. № 3. С. 9–21. 17. Р о к и т я н с к и й И. И., К у л и к С. Н., Л о г в и н о в И. М., Р о к и т я н с к а я Д. А. // Физика Земли. 1982. № 11. С. 101–

106. 18. Ф е л ь д И. В., Ш е й н к м а н А. Л., К а з а н ц е в а Е. В. // Физика Земли. 1986. № 5. С. 83–89. 19. Г о л о д М. И. // Коровые аномалии электропроводности. Л., 1984. С. 75–79.

ASTAPENKO V. N.

[email protected]

CRUSTUL ANOMALIES OF THE ELECTRICAL CONDUCTIVITY AND PALEOTROUGS OF THE EAST EUROPEAN PLATFORM

Summary A map of crustal anomalies of electrical conductivity of the East European Platform is presented. It is shown that a great many anomalies

are situated in troughs of the Platform. Most of the good conductors (S > 1000 S) occur in the upper crust (0–15 km) of aulacogen and troughs.



Беларуси

102



ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 531.539.538

Академик П. А. ВИТЯЗЬ1, Л. А. СОСНОВСКИЙ2, С. С. ЩЕРБАКОВ3

НОВЫЕ ПОДХОДЫ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ 1Объединенный институт машиностроения НАН Беларуси, Минск 2Межведомственная лаборатория «ТРИБОФАТИКА», Гомель–Минск–Гродно–Брест 3Белорусский государственный университет, Минск Поступило 01.01.2009

Изучаемые объекты. При контактном взаимодействии деформируемых твердых тел в ряде механических систем и конструкций происходит как локальное деформирование в зоне контак-та, так и объемное деформирование тел в целом под действием внешней нагрузки. Данные сис-темы называются силовыми (рис. 1; 2) и изучаются в трибофатике [1–3]. Если обратиться к си-ловой системе ролик/вал, то, с одной стороны, нагрузка FN (рис. 1) вызывает контактные дефор-мации и изгиб вала в целом, а с другой, нагрузки M, Mk, Q вызывают неконтактные растяжение–сжатие, изгиб, кручение [1–3].

Из экспериментальных исследований [1–3] известно, что трактовки напряженно-деформи-рованного состояния таких систем, как чисто контактного либо как, например, чисто изгибного содержат существенную погрешность. Исключения представляют предельные случаи, когда тела не содержат больших внутренних полостей (например, система шар/шар), либо длина стержня намного превосходит его толщину (например, изгиб балки).

Расчет напряженно-деформированного состояния в условиях сложного нагружения (локально-го в области контакта и объемного) может быть выполнен численно, например, методом конечных элементов [4]. Однако в этом случае для достаточно широкого диапазона нестационарных гранич-ных задач (например, при исследовании динамического изменения напряженно-деформируемого состояния, особенно в 3-мерной постановке) требуется разработка специальных расчетных схем и алгоритмов, которые влекут за собой существенные затраты ресурсов (временных, машинных). Кроме того, даже для статических расчетов в случае сложного напряженного состояния следует оценить, насколько точно полученное численное решение аппроксимирует искомое.

В работе [5] предложена общая классификация контактных задач применительно к силовым системам машин. На рис. 2 показана та часть общей классификации, которая относится к клас-сификации контактных задач для тел вращения по двум признакам: характеру нагружения и ус-ловиям деформирования.

Рис. 1. Расчетная схема силовой системы ролик/вал при действии контактной (FN) и некон- тактных (M, Mk, Q) нагрузок

Рис. 2. Классификация контактных задач для тел вращения по условиям деформирования



Беларуси

103

Согласно работам [2; 3], тип контакта В со-ответствует простейшей механической модели для системы колесо/рельс. Данная модель пред-назначена для комплексных износоусталостных испытаний на машинах серии СИ [6–8]. Здесь ролик (элемент 2) имитирует колесо, а кольцо (элемент 1) – рельс [3].

Принципиальная особенность системы ролик/ кольцо (рис. 2, В) по сравнению с соответствую-щей традиционной контактной задачей (рис. 2, А) для системы ролик/ролик состоит в том, что в зо-не взаимодействия кольца с роликом трехмерное напряженное состояние обусловлено как полем контактных напряжений, так и полем напряже-ний вследствие изгиба.

Постановка задачи. При построении механико-математических моделей для исследования напряженно-деформированного состояния силовых систем [9] будем учитывать действие как распределенных нормальных p(S) и касательных q(S) усилий на контактной поверхности S, так и воздействие неконтактных (M, N, Q) нагрузок исходя из следующих основных положений.

1. По крайней мере одна из нагрузок вызывает в системе как локальные контактные дефор-мации, так и объемное деформирование хотя бы одного из элементов системы.

2. Напряжения, обусловленные контактной и неконтактной нагрузками, действуют одновре-менно и в единой области.

3. Форма и площадь контакта дополнительно определяются изменением кривизны поверхно-сти элемента системы, который подвергается объемному деформированию.

4. Сила и коэффициент трения зависят от дополнительных граничных условий в области кон-такта, налагаемых действием неконтактной нагрузки.

Таким образом, применительно к силовой системе будем решать две граничные задачи (рис. 3): контактную для взаимодействия элементов системы

( ) ( , )cnn cS

p F Sσ = , ( ) ( , )cn cS

fp F Sτσ = , ( ) 0cij ρ→∞σ → (1)

и задачу теории упругости для неконтактных нагрузок

( )

Q bSQ Q F= , ( )N bSN N F= , ( )NS bM M F= ( )

u

bi iSu u= , (2)

где S(x, y) – площадка контакта; cF и bF – контактная и неконтактная силы; f – коэффициент трения; ρ – расстояние от центра контакта; ( )c

ijσ – напряженное состояние при контакте; n⊥ S, || Sτ , Q, N, M – внутренние поперечное и продольное усилия, а также внутренний момент; u –

перемещения; QS , NS , MS , uS – множества точек твердого тела, к которым приложены внеш-ние нагрузки, соответствующие внутренним усилиям и перемещениям.

Напряженно-деформированное состояние. Особенностью напряженного состояния ряда типичных силовых систем (например, ролик/вал, ролик/кольцо) является то, что если напряжен-ное состояние одного из взаимодействующих элементов (ролика) является чисто контактным

( ) ( )n

ij ij ijτσ = σ + σ , , , ,i j x y z= , (3)

где ( )nijσ , ( )

ijτσ – напряжения, обусловленные соответственно нормальной p(x, y) и касательной

нагрузками q(x, y), то в другом элементе (вале или кольце) помимо контактных напряжений так-же действуют напряжения, обусловленные неконтактной нагрузкой [3; 10; 11],

( ) ( ) ( )n b

ij ij ij ijτσ = σ + σ + σ , (4)

где ( )bijσ – напряжения, вызванные неконтактной нагрузкой.

Рис. 3. Общая схема нагружения силовой системы



Беларуси

104

Поскольку в типичных силовых системах взаимодействующие тела (ролик и вал/кольцо) в области контакта ограничены поверхностями второго порядка [1–3], то в данном случае пло-щадка контакта S(x, y) имеет форму эллипса, а нормальные усилия на площадке контакта рас-

пределены по эллиптическому закону ( ) 22220 //1, byaxpyxp −−= ( 0p – максимальное давле-

ние в центре контакта, а и b – полуоси эллипса) [12; 13]. Расчет напряжений ( )hs

ijσ в любой точке M(x, y, z) при 0z < полупространства при действии на поверхность нормальных усилий p(x, y) проводится численными методами с использованием функций влияния ( )B

ijG из фундаментального решения задачи Буссинеска [10; 11]

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

,, , , , ,hs B

ij ijS

x y z p G x y z d dξ η

σ = ξ η ξ − η− ξ η∫∫ . (5)

Необходимо учесть, что в точке приложения единичной нагрузки в задаче Буссинеска ( )BijG →∞ . Это приводит к тому, что для точек z = 0 поверхности полупространства расчет, в

соответствие с (5), не сходится. Расчет напряжений в любой точке M(x, y, 0) поверхности полу-пространства при действии нормально распределенных усилий p(x, y) проводится в соответствии со следующей общей формулой [3]:

( ) ( )( ) ( ), ,0 ,surf Sij ijx y x yσ = σ , (6)

где ( )( ) ,Sij x yσ – напряжения на поверхности полупространства, вызванные действием давления,

распределенного по области S(x, y). Таким образом, напряжения ( )n

ijσ в формулах (3) и (4) с учетом (6) будут

( )( )

( )

,

,

hsijn

ij surfij

⎧ σ⎪σ = ⎨σ⎪⎩

при 0 ,при 0 .

zz<=

(7)

Расчет напряженного состояния ( )ijτσ , вызванного действием силы трения, которая моделиру-

ется распределением касательных усилий q(x, y), также выполняется численными методами с использованием функций влияния ( )C

ijG из решения задачи Черрути для действия сосредоточен-ной касательной силы на полупространство [10; 11]

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

,, , , , ,C

ij ijS

x y z q G x y z d dτ

ξ ησ = ξ η ξ − η− ξ η∫∫ . (8)

Напряжения от неконтактных нагрузок будем определять, применяя теорию изгиба бруса [3]:

( ) ( ) ( ) ( )b M N Qij ij ij ijσ = σ + σ + σ , (9)

где индексы M, N и Q соответствуют внутреннему моменту, продольному и поперечному усилиям. Объединенное напряженное состояние, определяемое выражением (2), с учетом (3)–(7) имеет

вид [3; 11]

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

, , ,

, , , , , , , , , , .

n b hs surf b Bij ij ij ij ij ij ij ij ijz zS

S C M N Qij ij ij ij ij

S

p G x y z d d

x y q G x y z d d x y z x y z x y z

τ τ

ξ η

ξ η

⎡⎡ ⎤ ⎢σ = σ + σ + σ = σ ∨σ + σ + σ = ξ η ξ − η− ξ η∨⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢⎣⎤σ + ξ η ξ − η− ξ η + σ + σ + σ⎦

∫∫

∫∫ (10)

Рассмотрим результаты численного расчета применительно к силовой системе ролик/вал в соответствии с выражением (10). Из распределений, представленных на рис. 4, хорошо видно,

;



Беларуси

105

Рис. 4. Распределение напряжений: а – ( )n

xxσ ; б – ( )bxxσ ; в – ( )n

xxσ + ( )bxxσ ( 0)Q > ; г – ( )n

xxσ – ( )bxxσ ( 0)Q < (d), отнесенных

к максимальному p0, в окрестности площадки контакта (y = 0, а/b = 0,5)

что напряженно-деформированное состояние силовой системы значительно отличается (качест-венно и количественно) от таковых при традиционно отдельно изучаемых контакте и изгибе.

Состояние поврежденности. В силовой системе (в отличии, например, от изгибаемого вала) все шесть независимых компонент тензора напряжений являются ненулевыми. В общем случае предельное состояние по критерию контактной усталости (образование микротрещин) в некото-рой точке силовой системы может быть обусловлено несколькими различными компонентами. Таким образом, предел выносливости для нее определяется по каждой компоненте тензора на-пряжений как экстремальное значение ее распределения при действии предельной нагрузки

limF∗ [1; 3; 14–16]. Для однородного изотропного деформируемого твердого тела предельные нормальные и касательные напряжения (*lim)

nσ и (*lim)τσ , а также предельное главное напряжение

(*lim)1σ и предельная интенсивность напряжений (*lim)

intσ определяются следующим образом [3; 14; 15]:

( )( )(*lim)

lim,max ,n iidV i

F dV∗σ = σ , , ,i x y z= ; ( )( )(*lim)lim, ,

max ,ijdV i jF dVτ ∗σ = σ , , , ,i j x y z= , i j≠ ;

( )( )(*lim)

1 lim1 max ,dV

F dV∗σ = σ ; ( )( )(*lim)int limint max ,

dVF dV∗σ = σ , (11)

где dV – элементарный объем нагруженного тела. Аналогичным образом определяются предельные напряжения ( *lim)

ij±σ , , , ,i j x y z= ; ( *lim)

i±σ ,

1, 2, 3i = ; (*lim)intσ для твердого тела в общем случае.

Тогда условия для ограничения опасных объемов имеют вид

( ) { }(*lim)/ ,ij kkijV dV dV V= σ ≥ σ ⊂ , , , ,i j x y z= , при , при ,

n i jk

i j=⎧

= ⎨τ ≠⎩ (12)

{ }(*lim)( ) 1/ ,i i kV dV dV V= σ ≥ σ ⊂ , 1, 2, 3i = ; { }(*lim)

int int int/ , kV dV dV V= σ ≥ σ ⊂ ; ,T iji j

V V= ∪ , (13)

где Vk – рабочий объем деформируемого твердого тела.

;

105



Беларуси

106

Рис. 5. Объединение опасных объемов и его сечения при f = 0,05, b/a = 0,813

Меры поврежденности определяются формулой

( ) /ij kijV Vω = , /T T kV Vω = . (14)

Поскольку опасные объемы могут иметь произвольную и сложную форму и их аналитиче-ское определение является затруднительным, то их величины вычисляют методом Монте-Карло.

В качестве примера на рис. 5 представлены результаты вычисления опасных объемов в усло-виях контактного взаимодействия в соответствии с (12) при следующих исходных данных:

( lim)00,3n p∗σ = , ( lim)

00,09 p∗τσ = . Из рис. 5 видно, что наибольшими по величине являются опас-

ные объемы V(zz), V(xz) и V(yz), соответствующие напряжениям ( )nzzσ , ( )n

xzσ и ( )nyzσ .

Поскольку опасные объемы являются мерой поврежденности деформируемых тел, то, анали-зируя рис. 5, можно указать конкретные области (зоны), в которых возможно зарождение и раз-витие как поверхностных, так и внутренних трещин. Очевидно, что образование необратимых повреждений (первичных трещин) с большей вероятностью реализуется там, где соответствую-щие опасные объемы пересекаются.

Предельное состояние силовых систем. К настоящему времени разработано более 30 тео-рий предельных (напряженных) состояний деформируемого твердого тела, называемых также теориями прочности [17–19].

В ряде теорий принимается, что предельное состояние материала независимо от того, нахо-дится он в линейном или сложном напряженном состоянии, наступает при достижении некото-рым механическим параметром ϕ (напряжением) предельной величины ∗ϕ . Общим у данных теорий является то, что трехмерная характеристика предельного состояния заменяется одномер-ной – наибольшей.

В энергетической теории предельное состояние материала принимается зависящим от всех компонент тензора напряжений либо от всех трех действующих главных напряжений 1 2 3( )σ ≥ σ ≥ σ . Современные теории предельных состояний, как правило, также учитывают свойства материала путем введения в критерий прочности или пластичности соответствующих коэффициентов ( jm ), определяемых экспериментально.

В работах [3; 19] поставлена и решена более общая задача разработки теории предельных со-стояний не деформируемого твердого тела, а силовой системы, которая находится в коррозион-ной среде (Ch) под воздействием контактной, повторно-переменной (внеконтактной) и тепловой нагрузок. Для решения такой сложной задачи применен наиболее общий – энергетический под-



Беларуси

107

ход. Данная теория основывается на ряде положений, одним из которых является то, что пре-дельное состояние определяется не всей подводимой к силовой системе энергией U, а лишь ее эффективной (опасной) частью effU << U, которая затрачивается на повреждение. Критерием

предельного состояния служит условие достижения эффективной энергией effU критической

величины 0U в некоторой области ограниченных размеров элемента силовой системы – в его опасном объеме [19; 20]. Энергия 0U считается фундаментальной для данного вещества кон-стантой; она не должна зависеть от условий испытания, видов подводимой энергии, механизмов повреждения [19].

Обобщенный критерий предельного состояния силовой системы имеет вид

( , ) ( , )

0( , , , , ( ), )eff V W V WkU T E T Ch V m U∑Σ Λ = , (15)

где ,T E – тензоры напряжений и деформаций; TΣ – температура от всех источников тепла; km , 1, 2, ...,k = – некоторые характеристики свойств контактирующих материалов; \i jΛ – параметры

(функции) взаимодействия необратимых повреждений, обусловленных нагрузками разной при-роды. Тензоры ,T E с индексом V обусловлены действием объемных нагрузок (общие случаи трехмерного изгиба, кручения, растяжения–сжатия), а с индексом W – контактным взаимодейст-вием элементов системы.

Из общей энергии выделяется ее эффективная часть. Для этого вводятся коэффициенты Aσ (V), Aτ (V) и TA (V) соответствующей размерности, которые определяют долю поглощенной энергии

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }\ \eff

M T TdU V V A V T dE A V T dE A V kdTτ σ σ σ τ τ ΣΣ = Λ Λ ⎡ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎤ +⎣ ⎦ , (16)

где Tτ – тензор фрикционно-сдвиговых напряжений (тензор сдвига); Tσ – тензор нормальных напряжений (растяжения–сжатия) (тензор отрыва).

Проверка упрощенного варианта критерия (16) для случая упругого деформирования выпол-нена для материалов разных классов по результатам соответствующих экспериментальных ис-следований многих авторов (более 300 результатов испытаний). В работе [20] можно найти ана-лиз литературных источников. Коэффициент корреляции очень высок (не менее r = 0,722), но в большинстве случаев он превышает r = 0,9.

Трение в силовой системе. Традиционно сила трения считается зависимой лишь от одного силового фактора – нормальной контактной нагрузки. При исследовании механических систем, называемых силовыми, в которых в единой области формируется напряженно-деформированное состояние при действии как контактной, так и неконтактной нагрузок, напряжения и деформа-ции, вызванные неконтактной нагрузкой, формируют дополнительные граничные условия на поверхности контакта. Это приводит к существенному изменению характеристик трения.

Сила трения в силовой системе F может рассматриваться как некоторая функция обычной силы трения [3] при скольжении (качении) ( )cF , которая возникает в окружном направлении

(объект – пара трения), и неконтактной составляющей ( )bF силы трения, которая дополнительно возникает вследствие возбуждения неконтактных (циклических) напряжений (деформаций). В общем случае cила трения в силовой системе может быть представлена как векторная сумма составляющих ( )cF и ( )bF :

( ) ( )c bF F F= + , (17)

где ( ) ( )c cNF f F= , ( )( ) cb

bF f P= , ( )b bS

P p s ds= ∫ – дополнительна контактная нагрузка, вызванная

распределением контактного давления



Беларуси

108

( ) ( )( )0 0,b b zz bS z S zp p u= == σ , (18)

где z S⊥ ; S – область контакта; ( ) ( )0 0,zz bS z S zu= =σ – граничные условия в области контакта

в результате действия неконтактной силы. Рассмотрим их формирование на примере системы ролик/вал.

Ненулевые компоненты напряженно-деформированного состояния консольно закрепленного вала, вызванные изгибающей нагрузкой Fb, в области контакта определяются в соответствии с формулами

( ) ( )( ) ( )24 1

b byy

F y lR z

I−

σ = ++ ν

; ( ) ( )1b byy yyEε = σ ; ( ) ( ) ( )b b b

zz xx yyEνε = ε = − σ , (19)

где 42 / 64I R= π ; Е – модуль Юнга; ν – коэффициент Пуассона; R2 – радиус вала; l = l1 – l2, l1 –

длина вала, l2 – расстояние от точки закрепления вала до начала координат. Перемещения точек области контакта, соответствующие напряженно-деформированному со-

стоянию (19), равны

( ) ( )

0

b bi ii

zu di

== ε∫ ( ), ,i x y z= . (20)

Рассмотрим простейший подход к определению контактных усилий pb для заданных пере-мещений ( )b

zu . Представим площадку контакта и полупространство под ней в виде цилиндрического сжи-

маемого стержня сечением в форме площадки контакта. Высоту стержня примем равной R2, по-

скольку в системе координат, связанной с областью контакта, ( )2

0bz

z Ru

=−= . Тогда постоянным

на поверхности контакта (стержня) перемещениям ( )bzu можно поставить в соответствие кон-

тактную (сжимающую стержень) силу bP :

( )

2

bz

b bu EP p S

R= = . (21)

В случае кулоновской зависимости между нормальной силой и силой трения для силовой системы получим

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/

0/ / / 1 / 1

byyc b c c c c

N N N b N b N pf F F F F F f F f P F f P F f kpσ

⎡ ⎤⎛ ⎞σ⎢ ⎥⎜ ⎟= = + = + = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦,

(22) где

( ) ( )( )0

/0 0 0

3 32 4

bb b yyyy b zp

N

F pkp F p p

=σ

σ⎛ ⎞σ ν⎜ ⎟ = = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (23)

Анализ формулы (22) и рис. 6, а показывает, что в силовой системе при одновременном дей-ствии контактной и внеконтактной нагрузок результирующий коэффициент (сила) трения каче-ния в зоне растяжения уменьшается по сравнению с коэффициентом (силой) чистого трения ка-чения, а в зоне сжатия напротив – увеличивается.

Указанные закономерности в качественном и количественном (в пределах порядка) отноше-нии соответствуют результатам экспериментов (рис. 6, б). Следует отметить, что эксперимен-тальное исследование выявило асимметрию изменения коэффициента трения при действии не-



Беларуси

109

Рис. 6. Аналитическая (а) и экспериментальная (б) зависимости между коэффициентом трения в силовой системе и соотношением контактных и неконтактных максимальных напряжений в области контакта

контактной нагрузки относительно коэффициента трения качения, что может быть вызвано влиянием малоизученных физико-химических явлений в области контакта.

Представленная зависимость имеет большое практическое значение, поскольку она дает воз-можность управлять процессами трения с помощью неконтактных нагрузок так же эффективно как и с помощью контактных.

Выводы. 1. Предложено принципиально новое развитие традиционной механики деформи-руемых тел: исследуются механические состояния не отдельного нагруженного тела, а деформи-руемой системы как целого, состоящего из двух взаимодействующих тел при наличии как кон-тактной, так и неконтактной нагрузки (такие системы называют силовыми).

2. Установлено, что силовые системы формируются двумя различающимися способами. Пер-вый: контактные и неконтактные нагрузки прилагаются независимо (системы типа ролик/вал – см. рис. 1), однако они возбуждают соответствующие напряжения одновременно и в единой об-ласти деформируемых тел; эта область называется опасным объемом (см. рис. 5). Второй: кон-тактная нагрузка одновременно является и изгибающей (системы типа ролик/кольцо – см. рис. 2, В). В обоих случаях напряженное состояние одного элемента системы (ролика) является чисто кон-тактным, а другого (вала либо кольца) – совмещенным. Обнаруживается и третий тип силовой системы, в которой напряженное состояние обоих элементов классифицируется как совмещен-ное (кольцо/кольцо – см. рис. 2, С).

3. Предложена и реализована принципиально новая методика наиболее полного – комплекс-ного изучения механического состояния деформируемой системы и ее элементов; она включает последовательную постановку и триединое решение задач об их напряженно-деформированном состоянии, состояниях поврежденности и предельном состоянии. В работе приведены конкрет-ные результаты исследования системы типа ролик/вал по такой методике (см. рис. 4, 5).

3.1. Представлено общее решение задачи о совмещенном напряженно-деформированном со-стоянии деформируемых систем, анализ которого приводит к двум заключениям:

а) изменение локального поля контактных напряжений (деформаций), когда на него накла-дывается поле напряжений (деформаций), обусловленных объемным деформированием, по су-ществу, представляет собой новый класс задач в механике контактного взаимодействия;

б) возмущение поля напряжений (деформаций), обусловленных объемным деформировани-ем, в локальной области, в которой одновременно возбуждается поле контактных напряжений (деформаций), по существу, представляет собой новый раздел теории упругости – теорию упру-гости, освобожденную от принципа Сен-Венана.

3.2. В отличие от известных подходов, в рамках которых повреждаемость оценивается лишь в точке либо опасном сечении деформируемых тел, дано общее решение задачи о состоянии по-врежденности силовой системы, которое построено на базе представления об объемной мере поврежденности, называемой опасным объемом. Тем самым открывается возможность прогно-зирования зон возможного появления и развития первичного (начального) трещинообразования.



Беларуси

110

3.3. В отличие от известных подходов, в рамках которых оценка предельного состояния вы-полняется лишь для наиболее напряженной точки деформируемого тела, изложено общее реше-ние задачи о предельном состоянии силовых систем в конечной области с критическим уровнем напряжений в ней. Оно позволяет давать прогноз отказа элементов системы по разным критери-ям достижения предельного состояния (объемное разрушение – разделение на части; критиче-ское поверхностное разрушение – предельный износ и др.).

3.4. В отличие от известных подходов, в рамках которых характеристики трения (в паре тре-ния) определяются лишь при действии контактной нагрузки, дано общее решение задачи о силе и коэффициенте трения в силовой системе, в основу которого положен анализ деформированно-го состояния в области контакта. Тем самым удается учесть влияние на изменение характери-стик трения не только контактной нагрузки, но и деформаций, обусловленных неконтактными нагрузками (рис. 6).

4. Общее заключение состоит в том, что механико-математические модели, разрабатываемые в рамках трибофатики, являются существенным развитием в перспективном направлении смеж-ных с нею дисциплин механического цикла (механики деформируемого твердого тела, механики контактного взаимодействия, трибологии, механики поврежденности, механики усталостного разрушения).

Литература 1. С о с н о в с к и й Л. А. Основы трибофатики. Гомель, 2003. 2. S o s n o v s k i y L. A. Tribo-Fatigue. Wear-fatigue damage and its prediction (Foundations of engineering mechan-

ics). Springer, 2004. 3. С о с н о в с к и й Л. А. Механика износоусталостного повреждения. Гомель, 2007. 4. Ж у р а в к о в М. А., З а х а р и к А. М., Б о с я к о в С. М., Щ е р б а к о в С. С. // Трение и износ. 2006. № 1.

С. 12–16. 5. С о с н о в с к и й Л. А., Щ е р б а к о в С. С. // Современные методы проектирования машин. Расчет, конструи-

рование, технология: Материалы II Междунар. науч.-техн. конф., Минск, 6–10 дек. 2004 г. Минск, 2005. T. 4. С. 44–55. 6. Трибофатика. Термины и определения. ГОСТ 30638–99. Минск, 1999. 7. С о с н о в с к и й Л. А., М а т в е ц о в В. И., Щ е р б а к о в С. С. // Современные проблемы путевого ком-

плекса. Повышение качества подготовки специалистов и уровня научных исследований: Тр. Междунар. науч.-техн. конф., Москва, 19–20 окт. 2004 г. М., 2004. T. IV. С. 37.

8. Т ю р и н С. А., М а т в е ц о в В. И., Щ е р б а к о в С. С. и др. // Вестн. БелГУТА. 2005. № 2. С. 54–63. 9. Ж у р а в к о в М. А., С о с н о в с к и й Л. А., Щ е р б а к о в С. С. // Х Белорус. матем. конф.: Тез. докл. Меж-

дунар. науч. конф. Минск, 3–7 нояб. 2008 г. Минск, 2008. Ч. 2. С. 120–122. 10. Щ е р б а к о в С. С. // Динамiка, мiцнiсть i надiйнiсть сiльскогосподарськiх машин: Тр. I Междунар. науч.-

техн. конф., Тернополь, Украина, 4–7 окт. 2004 г. Тернополь, 2004. С. 400–407. 11. Ж у р а в к о в М. А., Щ е р б а к о в С. С. // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-тэхн. навук. 2008. № 1. С. 48–57. 12. Д ж о н с о н К. Механика контактного взаимодействия. М., 1989. 13. Modern Tribology Handbook / Ed. by B. Bhusan et al. CRC Press, 2000. 14. Ж у р а в к о в М. А., Щ е р б а к о в С. С. // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2007. № 1. С. 117–122. 15. Ж у р а в к о в М. А., Щ е р б а к о в С. С. // Х Белорус. матем. конф.: Тез. докл. Междунар. науч. конф.

Минск, 3–7 нояб. 2008 г. Минск, 2008. Ч. 2. С. 121–122. 16. Ж у р а в к о в М. А., Щ е р б а к о в С. С. // Тр. V Междунар. симпозиума по трибофатике (ISTF 2005),

Иркутск, Россия, 3–7 октяб. 2005 г. Иркутск, 2005. Т. 1. С. 375–390. 17. П и с а р е н к о Г. С., Л е б е д е в А. А. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при

сложном напряженном состоянии. Киев, 1969. 18. Т р о щ е н к о В. Т. и др. Сопротивление материалов деформированию и разрушению: справ. пособие. Киев, 1994. 19. С о с н о в с к и й Л. А. Статистическая механика усталостного разрушения. Минск, 1987. 20. С о с н о в с к и й Л. А., Б о г д а н о в и ч А. В. Теория накопления износоусталостных повреждений. Го-

мель, 2000.

VITYAZ P. A., SOSNOVSKIY L. A., SHERBAKOV S. S.

[email protected]

NEW APPROACHES IN MECHANICS OF DEFORMABLE SYSTEMS

Summary New approaches to mechanical and mathematical modeling of tribo-fatigue systems simultaneously subject to complex

loading are considered. A new method of comprehensive study of the mechanical state of a deformable system and its elements including the statement and solution of stress-strain state, damage and limiting state problems is presented. Results of a roller/shaft type system research by such a method are given.



Беларуси

111



УДК 539.61:537.874

Л. С. ПИНЧУК, В. А. БАННЫЙ, В. А. ГОЛЬДАДЕ

ЭФФЕКТ УСИЛЕНИЯ РАДИОАДСОРБЦИИ НАНОРАЗМЕРНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИТОВ

(Представлено членом-корреспондентом Н. К. Мышкиным)

Институт механики металлополимерных систем им. В. А. Белого НАН Беларуси, Гомель Поступило 14.07.2008

Введение. Массовая эксплуатация радиотехнических устройств СВЧ породила в ХХI в. гло-бальную проблему электромагнитной безопасности [1], а также технические проблемы электро-магнитной совместимости радиоэлектронной техники и систем защиты информации. Радиопо-глощающие материалы (РПМ) и электромагнитные экраны на их основе, первоначально приме-нявшиеся лишь при конструировании объектов военной техники, малозаметных для радио-локационных систем обнаружения, стали эффективным средством решения этих проблем. РПМ на основе функционально наполненных термопластов по технологическим и технико-экономи-ческим критериям вошли в ряд наиболее перспективных средств радиозащиты. Природа напол-нителя, его дисперсность, а также технология формирования композита оказывают значительное влияние на радиофизические характеристики полимерного РПМ [2; 3].

Термическое формирование наполненных металлами полимерных композитов сопровожда-ется физико-химическим взаимодействием компонентов [4; 5]. При контактировании вязкотеку-чего связующего и наполнителей образуются новые фазы на основе макромолекул и присоеди-ненных к ним атомов и атомных групп вещества наполнителя [5–7]. Полимеры являются радио-прозрачными материалами и практически не участвуют в процессе поглощения и рассеяния энергии электромагнитного излучения. Согласно представлениям радиофизики, в полимерных композитных электромагнитных экранах функции радиопоглотителей выполняют лишь арми-рующие элементы и функциональные наполнители – металлические, ферритовые, сегнетоэлек-трические [2; 3]. При оценке эффективности экранов из полимерных композитов физико-хи-мические процессы на межфазных границах полимер–наполнитель до сих пор не учитывались. Можно представить, что новые фазы, которые образуются при формировании полимерных ком-позитов и отличаются по физико-химической структуре от полимеров и вещества наполнителей, будут оказывать влияние на радиофизические свойства РПМ и электромагнитных экранов на их основе.

Цель работы – установить взаимосвязь и оценить степень влияния физико-химических про-цессов, протекающих на границах полиэтилен–радиопоглощающий наполнитель (металлы, фер-риты) при термическом формировании композитных материалов, на параметры отражения, рас-сеяния и ослабления ими энергии СВЧ-излучения.

Методика эксперимента. Для приготовления образцов использовали полиэтилен низкой плотности (ПЭ) и наполнители − порошки магнитно-мягкого феррита (ММФ, размер частиц менее 200 мкм), карбонильного железа (Fe) и электролитической меди (Cu). Диаметр частиц Fe и Cu составлял 3−10 мкм.

Смесь ПЭ и наполнителя подвергали экструзионному гранулированию (Т = 130 ºС). Из гра-нулята методом прессования с нагревом формировали образцы в виде пластин толщиной 3 мм.

Радиофизические параметры РПМ оценивали рефлектометрическим методом, используя измеритель Р2-61. Регистрировали коэффициент отражения и ослабление энергии СВЧ-из-



Беларуси

112

лучения в диапазоне частот 8,0−12,0 ГГц при нормальном падении на образец электромагнитной волны.

Структуру композитных РПМ изучали методами оптической и растровой электронной мик-роскопии.

Результаты и их обсуждение. Физико-химическое взаимодействие полимерного связующе-го и оксидов металлов в процессе их контактирования при температуре выше температуры плав-ления полимера обусловливает образование химических связей между макромолекулами свя-зующего и веществом частиц наполнителя [5; 6].

На рис. 1 сопоставлены температурные зависимости адгезии ПЭ к стали [4], а также коэффи-циента отражения R и ослабления энергии S СВЧ-излучения образцами РПМ состава ПЭ−Fe. Видно, что зависимость R(T) при температурах Т ≤ 260 °С находится в обратной корреляции с зависимостью A(T). При Т > 260 °С величина R приближается к постоянному значению. Зави-симости S(T) и A(T) подобны, но первый максимум S(T) смещен в область низких температур на 25 °С и соответствует Т ~ 185 °С.

Это можно объяснить следующим образом. Прочность адгезионных соединений ПЭ–Fe зави-сит от температуры формирования, а также от химического строения оксидного слоя на части-цах наполнителя. В работе [8] приведены данные, свидетельствующие, что в исходном состоя-нии частицы железа покрыты оксидной пленкой, которая представляет собой γ-Fe2O3. С ростом температуры на поверхности частиц появляется фаза α-Fe2O3. При температуре T > 190 °С кри-сталлы α-Fe2O3 растут, а фаза γ-Fe2O3 переходит в Fe3O4. При T = 210 °С образование Fe3O4 ин-тенсифицируется, а ее рост обусловливает снижение адгезии. Это сопровождается увеличением отражающей способности образцов. Установившееся значение R при Т > 260 °С (рис. 1, б) мож-но объяснить образованием на частицах наполнителя оксидной пленки стабильного состава Fe3O4, отражающая способность которой постоянна.

Видимо, рост S (рис. 1, в) в диапазоне температур 165−185 °С связан с физико-химическим взаимодействием расплава ПЭ и пленки γ-Fe2O3, покрывающей частицы железа. Это сопровож-

дается диффузией и ростом концентрации ионов Fe в ПЭ [5; 6]. Снижение S при Т > 185 °С соответствует образованию на частицах слоя оксида α-Fe2O3, который плохо поглощает энергию электромагнитного излучения и хуже «растворяется» расплавом ПЭ. Наблюдаемый при Т > 260 °С рост S обусловлен образованием на частицах слоя, состоящего из нового оксида Fe3O4, вступлением «растворенных» ионов Fe в химические реакции с мак-ромолекулами ПЭ и формированием вокруг частиц на-полнителя новой фазы металлсодержащих соединений карбоксилатного типа, что экспериментально доказано в работах [5; 7]. Появление в структуре композита еще одной металлсодержащей фазы усиливает рассеяние энергии электромагнитного излучения, проходящего через образец. Аналогичное явление – формирование фазы ПЭНП−Au зарегистрировано при ионно-плазмен-ном напылении металла на полимерную пленку [9].

На рис. 2, а приведен анализ зависимостей R(ν) для РПМ состава ПЭ–Сu, который показывает, что отража-тельная способность образцов практически не зависит от температур формирования: расхождение значений R на кривых 1–3, соответствующих одинаковым частотам радиоизлучения, находится в пределах ошибки измере-ния. Это вызвано тем, что в исследованном диапазоне температур стехиометрический состав оксидной плен-ки, покрывающей частицы меди, практически не изме-няется [5]. Для окисления гемиоксида Сu2О, покры-

Рис. 1. Зависимости прочности А (а) адгезионныхсоединений ПЭ−сталь [4], коэффициента отра-жения R (б) и ослабления S (в) энергии элек-тромагнитного излучения для образцов РПМ состава ПЭ–Fe от температуры их формирования



Беларуси

113

вающего частицы в исходном состоянии, и превращения его в оксид СuO необхо-димы более высокие температуры (около 400 °С), превышающие температуру термо-окислительной деструкции ПЭ.

На рис. 2, б приведены температурные зависимости ослабления энергии электромаг-нитной волны, проходящей через образцы ПЭ–Сu, которые свидетельствуют, что по-вышение температуры формирования образ-цов со 165 до 260 °С приводит к снижению параметра S на 30 %. Видимо, это вызвано интенсивным «растворением» частиц меди в связующем и образованием в образце фазы металлсодержащих соединений. Вследствие этого масса металлического наполнителя, от-вечающего за электромагнитные потери, снижается.

Для прямой экспериментальной про-верки существенности наличия в связую-щем РПМ состава ПЭ–Сu наночастиц меди и фазы медьсодержащих макромолекул вы-полнен следующий эксперимент. Сравни-вали ослабление S энергии СВЧ-излучения образцами состава ПЭ–Сu (1 : 1 по массе) двух типов. В первом случае образцы фор-мировали методом прессования с нагревом (T1 = 165 °С), а затем выдерживали сформи-рованные образцы в термостате (T2 = 105 °С) в течение 4 и 8 ч. Во втором случае образцы получали путем прессования смеси порош-ков ПЭ и меди в форме без нагрева. Давле-ние прессования P = 1000 МПа налагали на смесь в ступенчатом режиме, чтобы исклю-чить плавление ПЭ и обеспечить удаление воздуха из прессовки. При таком режиме формирования на поперечных срезах об-разцов (пластины толщиной 3 мм) воздуш-ные включения в микроскоп не видны. Результаты этого эксперимента представлены на рис. 3.

Видно, что спеченные образцы (кривые 1–2) значительно (при ν = 10–12 ГГц – практически вдвое) превосходят неспеченные (кривая 3) по параметрам ослабления энергии СВЧ-излучения. Если допустить, что сплошность всех образцов практически одинакова, это может быть вызвано только возникновением в спеченных образцах дополнительных центров рассеяния энергии в виде окружающей частицы новой фазы металлополимеров и возникновением в ней металлических наночастиц.

Морфология коллоидных частиц металла, возникающих в поверхностных слоях полимерной пленки, разделяющей пару металлических электродов, впервые была представлена в работе [10]. Аналогичное явление имеет место в исследуемых образцах. На рис. 4 приведена электронная фотография коллоидных частиц меди в спеченных композитных образцах. Видно, что вблизи частиц наполнителя образуется «облако» дендритных частиц наноразмерного диапазона. Регу-лирование процессов их образования и распределения в полимерном связующем открывает но-вые возможности повышения эффективности металлополимерных электромагнитных экранов с помощью нанотехнологий.

Рис. 2. Зависимости коэффициента отражения R (а) и ослабле-ния S энергии электромагнитного излучения (б) от частоты νэлектромагнитной волны и температуры Т формирования об-разцов состава ПЭ−Cu (кривые 1–3) и ПЭ (кривая 4): а) 1, 4 – Т =165 ˚С; 2 – 210; 3 – Т = 260 ˚С; б) 1 – ν = 9 ГГц; 2 – 10; 3 – ν = 11 ГГц

Рис. 3. Ослабление (S) энергии электромагнитного излучения образцами РПМ в зависимости от частоты (ν) излучения и ус-ловий формирования образцов: кривые 1 и 2 – спеченные об-разцы, обработаны при Т = 105 ˚С в течение 4 и 8 ч; кривая 3 – неспеченные прессованные образцы



Беларуси

114

Аналогичные процессы имеют место при контактировании ферритов с полимерными расплавами. При окислении расплав-ленного ПЭ в контакте с ММФ происходит растворение поверх-ностного слоя частиц феррита [11]. Этот процесс происходит следующим образом. Входящие в состав кристаллической куби-ческой решетки шпинели ионы Fe, Mn и Zn сольватируются окисленными макромолекулами и продуктами их термодеструк-ции и переходят в граничный с частицами ММФ полимерный слой. При охлаждении расплава они выкристаллизовываются в полимерной матрице. Наряду с этим часть оксидов железа всту-пает в химическое взаимодействие с компонентами окисленного расплава, в результате чего образуются металлсодержащие со-единения карбоксилатного типа [12]. В результате на границах полимер–феррит образуется новая фаза, участвующая в погло-щении и рассеянии энергии СВЧ-излучения.

Заключение. Радиофизические характеристики наполнен-ных металлами и ферритами полимерных композитов сущест-венно зависят от структуры и физических свойств новых фаз, образующихся на границах полимер–наполнитель. Этот процесс

определяется температурно-временными режимами формирования композита, которые обуслов-ливают степень окисления макромолекул и частиц наполнителя, их активность в химических реак-циях, интенсивность диффузии металла в полимерной матрице и вероятность формирования в ней металлических коллоидных частиц. В результате полимерное связующее утрачивает присущую ему радиопрозрачность, поскольку в нем формируются центры, на которых происходит погло-щение и рассеяние энергии СВЧ-излучения. Стимуляция образования таких центров соответст-вует категории нанотехнологии. Модифицирование полимерного связующего наноразмерными частицами обусловливает эффект усиления радиоадсорбционных характеристик полимерных РПМ.

Литература 1. Г р и г о р ь е в Ю. Г., Х е й ф е ц Л. И., С т е п а н о в В. С. и др. Электромагнитные поля и здоровье человека / Под

ред. Ю. Г. Григорьева. М., 2002. 2. А л е к с е е в А. Г., Г у с е в а О. М., С е м и ч е в В. С. Композиционные ферромагнетики и электромагнитная безо-

пасность. СПб., 1998. 3. Л ы н ь к о в Л. М., Х и ж н я к А. В., Ч е м б р о в и ч В. Е. и др. Гибкие конструкции экранов электромагнитного излуче-

ния / Под ред. Л. М. Лынькова. Минск, 2000. 4. Б е л ы й В. А., Е г о р е н к о в Н. И., П л е с к а ч е вс к и й Ю. М. Адгезия полимеров к металлам. Минск, 1971. 5. E g o r e n k o v N. I., L i n D. G., B e l y i V. A. // J. of Polym. Sci.: Polym. Chem. Ed. 1975. Vol. 13. P. 1493–1498. 6. К а л н и н ь М. М. Адгезионное взаимодействие полиолефинов со сталью. Рига, 1990. 7. Е г о р е н к о в Н. И., Л и н Д. Г., Б е л ы й В. А. // Докл. АН СССР. 1974. Т. 214, № 6. С. 1376–1379. 8. G o l d a d e V. A., P i n c h u k L. S., M a k a r e v i c h A. V., K e s t e l m a n V. N. Plastics for Corrosion Inhibition. Berlin;

Heidelberg; New York, 2005. 9. В о л ы н с к и й А. Л., М о и с е е в а С. В., Д е м е н т ь е в А. И. и др. // Высокомолекулярные соединения, серия А. 2006.

Т. 48, № 7. С. 1125–1134. 10. G o l d a d e V. A., P i n c h u k L. S., T s v e t k o v a E. A. // Proc. 10th Int. Symp. on Electrets. Delphy, 1999. P. 35–38. 11. P i n c h u k L. S., G o l d a d e V. A., M a k a r e v i c h A. V., K e s t e l m a n V. N. Melt Blowing: Equipment, Technology,

and Polymer Fibrous Materials. Berlin, 2002. 12. B a n n y i V. A., M a k a r e v i c h A. V., P i n c h u k L. S. // Proc. 33d European Microwave Conf. (EuMC2003). Munich,

2003. P. 1123–1126.

PINCHUK L. S., BANNYI V. A., GOLDADE V. A.


EFFECT OF RADIO ABSORPTION INTENSIFICATION BY NANOSIZE COMPONENTS OF POLYMER COMPOSITES

Summary Radiophysical characteristics of polymer composite materials filled with metals and ferrites have been studied as depend-

ent on the intensity of physical-chemical processes at the interfaces between the polymer binder and filler particles during thermal molding of a composite. The kinetics of these processes controlled by varying time and temperature regimes of the composite formation and dispersivity of the filler is shown to be a determining factor in the structure formation of new phases at the polymer-filler interface and the probability of appearing colloidal particles in the polymer matrix affecting much scatter-ing and absorption parameters of the energy of SHF radiation.

Рис. 4. Морфология дендритных кол-лоидных медных частиц в ПЭ связую- щем вблизи частицы наполнителя



Беларуси

115



УДК 519.6:539:536

В. А. СЫЧЕВСКИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА СУШКИ ДРЕВЕСИНЫ

(Представлено членом-корреспондентом В. Л. Драгуном)

Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси, Минск Поступило 08.09.2008

Введение. В работе проводится расчет технологического процесса сушки пиломатериалов из сосны. Для этого используется ГОСТ 19773-84 «Пиломатериалы хвойных и лиственных по-род. Режимы сушки в камерах периодического действия» [1].

Цель работы – показать потенциальные возможности численного эксперимента в модели-ровании технологических процессов сушки.

Математическая модель. Приведем математическую модель процесса сушки, сопровож-дающейся образованием напряжений и деформаций в древесине. Учитывая тот факт, что для решения задачи применялся метод конечных элементов, запишем уравнения тепломассоперено-са и механического движения в декартовых координатах [2]. Уравнение массопроводности име-ет вид

0 0 0 0 0 0 0Wx Wy Wz Wx Wy WzW W W W T T Ta a a a a at x x y y z z x x y y z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ = ρ + ρ + ρ + ρ δ + ρ δ + ρ δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1)

с граничным условием

( )0пов W рj W W= ρ β − . (2)

Уравнение теплопроводности

0 0x y z фT T T T Wc Qt x x y y z z t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ = λ + λ + λ + ε ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3)

с граничным условием

пов 0 ф( ) (1 ) ( ).c W pq T T Q W W= α − −ρ − ε β − (4)

Уравнение движения

0;

0;

0;

xyxx xz

xy yy yz

yzxz zz

x y z

x y z

x y z

∂σ∂σ ∂σ+ + =

∂ ∂ ∂∂σ ∂σ ∂σ

+ + =∂ ∂ ∂

∂σ∂σ ∂σ+ + =∂ ∂ ∂

(5)

{ } [ ] { } { }( )0 ,Dσ = ε − ε (6)

где {ε0} – вектор деформаций, который определяется следующим образом:



Беларуси

116

{ } ( ) ( ) ( )T 2 2 20

1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 0 .2 2 2 2 2 2

W W W⎧ ⎫ε = +βΔ − +βΔ − +βΔ −⎨ ⎬⎩ ⎭

(7)

Результаты и их обсуждение. Расчеты показывают, что распределение и динамика напря-жений в материале имеют сложный характер. Однако наибольшие их значения достигаются на поверхности. Опишем развитие напряжений у поверхности материала. На рис. 1 представлена схема образца, где в силу симметрии задачи изображена его одна четвертая часть. Тепломассо-обмен тела с окружающей средой осуществляется через стороны AB и BC. Пока влагосодержа-ние у поверхности не достигло значения предела гигроскопичности процессы тепло- и массопе-реноса проходят без деформирования материала и напряжений в нем. Как только влагосодержание опускается ниже предела гигроскопичности, появляются напряжения. Сначала они зарождаются вблизи точки B (рис. 1), где реализуется наибольшая усадка. Затем охватывают всю поверхность АВС, а наибольшие их значения по-прежнему остаются в области около точки В. В дальнейшем напряжения на сторонах АВ и ВС формируются несколько разными способами. На поверхности АВ вблизи точки В образуется ярко выраженный максимум, левее которого вплоть до точки А напряжения практически одинаковы (рис. 2, а, кривая 2). В дальнейшем напряжения со стороны точки В падают, а максимум смещается в сторону точки А. Некоторое время напряжения в районе точки А возрастают, а в районе точки В − падают. После чего напряжения уменьшаются на всей поверхности АВ. Уменьшается и величина максимума на кривой и, не доходя до точки D, он ис-чезает. Кривая напряжения переходит в монотонную кривую (рис. 2, а, кривая 7). С последую-щим высыханием материала напряжения падают до нуля. На начальном этапе сушки на стороне ВС, вблизи точки В, также образуются максимальные напряжения (рис. 2, б). Однако в данном случае четко выра-женного максимума возле точки В не создается. Кривая формируется так, что в окрестности точки С напряжения уве-личиваются, а возле точки В – умень-шаются. Достигнув своих максимальных значений возле С, напряжения в послед-ствии падают на всей поверхности ВС и в конце процесса сушки стремятся к нулю.

Несколько по иному ведут себя на-пряжения при большей толщине ВС ма-териала. В первый момент они развива-ются подобно ранее описанному слу-чаю. Напряженное состояние возникает вблизи точки В. Однако формирующий-ся максимум на стороне АВ не столь четко выражен как в предыдущем слу-чае (рис. 3, а, кривая 2). Сейчас он дви-жется к точке А и доходит до нее.

Рис. 1. Схематическое изображение

изучаемого материала

Рис. 2. Динамика напряженного состояния в материале размерами 0,15 × 0,015 м: а – на верхней поверхности АВ: 1 – 0,1 ч; 2 – 0,55; 3 – 2,0; 4 – 4,0; 5 – 6,0; 6 – 8,0; 7 – 12,0 ч; б – на боковой поверхно- сти ВС: 1 – 0,1 ч; 2 – 0,55; 3 – 1,0; 4 – 2,0; 5 – 4,0; 6 – 12,0 ч



Беларуси

117

Одновременно с этим напряжения со стороны точки В падают и образуется монотонная кри-вая, спадающая от точки А к точке В (рис. 3, а, кривая 6). В дальнейшем напряжения снижа-ются на всей поверхности. На стороне ВС не образуется максимума, а кривая напряжений формируется сразу в монотонную кривую с мак-симальным напряжением у точки С и мини-мальным значением возле точки В (рис. 3, б). По мере сушки материала напряжения дости-гают максимума в окрестности точки С, а за-тем стремятся к нулю.

Таким образом, можно выделить три наи-более опасные области в отношении развивае-мых напряжений. Это области возле точек А и С и промежуток между точками B и D. Заме-тим, что поведение напряжений в материале будет еще сложнее при переменных граничных условиях (различные значения агента сушки на разных ступенях сушки).

Предельное состояние материала к меха-ническим нагрузкам определяется достижением напряжениями такой критической комбина-ции, при которой устанавливается предельное равновесие между нагрузкой, обусловленной градиентом влагосодержания, и внутренними силами сопротивления. Самое малое увеличе-ние нагрузки приведет к потере устойчивости, связанной с разрушением волокон древесины, образованием сетки трещин и разрывов вплоть до полного разрушения сплошности. Под проч-ностью будем подразумевать свойство материала сопротивляться разрушению или развитию пластических деформаций. Для описания напряженного состояния материала воспользуемся ве-личиной интенсивности нормальных напряжений σи:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2и

1 6 ,2 xx yy yy zz zz xx xy yz zxσ = σ − σ + σ −σ + σ −σ + σ + σ + σ

а для плоского напряженного состояния

2 2 2и 3 .xx yy xx yy xyσ = σ + σ −σ σ + σ

Тогда за наступление предельного равновесного состояния примем условие

при σ=σ , где σпр – предел прочности или текучести на растяжение.

На прочность материала и напряженное состояние в нем, как показали расчеты, оказывают влияние температура и влагосодержание. Это следует из экспериментально полученных выра-жений для модуля упругости и прочности от W и T [3–5]. Ниже приводятся функциональные за-висимости модуля упругости и прочности, взятые из [3]

2( , ) 430(0,000056 0,0141 1)(1 2,3 );E T W T T W= − + − (8)

2п.п ( , ) 10,3(0,000054 0,0131 1)(1 2,37 ).T W T T Wσ = − + − (9)

Рис. 3. Динамика напряженного состояния в материале раз-мерами 0,15 × 0,075 м: а – на верхней поверхности АВ: 1 –0,5 ч; 2 – 2,5; 3 – 5,0; 4 – 20,0; 5 – 40,0; 6 – 60,0; 7 – 80,0; 8 – 100,0; 9 – 140,0 ч; б – на боковой поверхности ВС: 1 –0,5 ч; 2 – 2,5; 3 – 5,0; 4 – 20,0; 5 – 40,0; 6 – 60,0; 7 – 80,0; 8 – 140,0 ч



Беларуси

118

Как видно из (8), (9) модуль упругости и прочность материала уменьшаются с повышением W и T и имеют сложную функцию от времени в процессе сушки.

Типичное изменение σи во времени дает следующую картину. Пока влагосодержание W больше 0,3 кг/кг σи = 0. Когда W достигает значения 0,3 кг/кг, то величина σи становится отлич-ной от нуля. Достигнув максимума, σи в дальнейшем падает, приближаясь к нулю. Зависимости σи = σи(t) и σпр = σпр(t) предоставляют наглядную картину возможного трещинообразования и разрушения материала. Так, если σи = σи(t) пересекает первоначально выше расположенную кри-вую σпр = σпр(t), то образовавшиеся в материале напряжения приведут к его разрушению. Если же кривая σи = σи(t) на всем протяжении сушки ниже кривой σпр = σпр(t), то трещинообразования (или пластических деформаций) не будет.

На основе разработанной методики проведены расчеты для режимов низкотемпературного процесса сушки пиломатериалов из древесины сосны от 1-М до 8-Н. В соответствии с ГОСТ 19773-84 мягкие режимы обеспечивают бездефектную сушку пиломатериалов при полном со-хранении природных физико-механических свойств древесины, в том числе ее прочности и цве-та, а также состояния в ней смолы. Нормальные режимы обеспечивают бездефектную сушку пи-ломатериалов при сохранении прочности древесины, но с возможным незначительным измене-нием ее цвета. Форсированные режимы обеспечивают сушку пиломатериалов при сохранении прочности на изгиб, растяжение и сжатие, но при некотором снижении прочности на скалывание с возможным потемнением древесины. Анализ полученных данных показал хорошее согласие расчета с требованиями ГОСТа. Расчеты также предсказывают необходимость промежуточного этапа влаготеплообработки при переходе со второй ступени режима на третью для режима 6-М и для режимов от 7-М до 8-Н, что соответствует требованиям ГОСТ 19773-84.

Рис. 4. Прочность и напряжение в древесине для режимов: а – 4-М; б – 4-Н; в – 4-Ф; г – 7-М, где кривые обозначают: 1 – напряжение возле точки А; 2 – прочность возле точки А; 3 – напряжение возле точки С; 4 – прочность возле точки С; 5 – напряжение в точке отрезка ВD; 6 – прочность в точке отрезка ВD



Беларуси

119

В качестве примера на рис. 4, а–в представлены графики развития прочности сосны и напря-жений в древесине для режимов 4-М, 4-Н и 4-Ф. На рис. 4, а–в от точки 1, указанной вертикаль-ной черточкой на оси времени, влево изображен этап прогрева материала на температуру 8 oС выше температуры первого этапа сушки при влажности воздуха 0,95–0,97, что обеспечивает очень низкий влагообмен с агентом сушки. Видно, что на этапе прогрева прочность в рассматри-ваемых точках поверхности сильно падает, так как влагосодержание практически остается по-стоянным, а температура резко повышается. От точки 1 до точки 2 реализуется первый этап сушки. Прочность в указанных точках резко возрастает благодаря уменьшению влажности и тем-пературы поверхности. Когда влагосодержание поверхности и прилегающего к нему слоя мате-риала опустится ниже предела гигроскопичности и в материале возникнет градиент влагосодер-жания, то в нем появятся напряжения, вызванные недопущенными усадками. Однако напряжения еще гораздо меньше прочности. Переход с первой ступени сушки на вторую приводит к резкому возрастанию как прочности, так и напряжений в материале. Второй этап сушки отмечен точками 2 и 3. От точки 3 вправо изображена третья ступень сушки. Самые большие напряжения в мате-риале возникают при переходе со второй ступени на третью. После достижения своих макси-мальных значений напряжения в материале падают, стремясь к нулю по мере исчезновения гра-диента влагосодержания. Расчет прекращали после того, как среднее влагосодержание материа-ла опускалось ниже 0,06. Из рис. 4, а–в также видно, что наибольшая прочность и напряжения достигаются при мягком режиме сушки. Они уменьшаются для нормального режима и прини-мают наименьшие значения для форсированного. Эта же тенденция сохраняется для всех режи-мов сушки.

На рис. 4, г представлен режим сушки 7-М. Отличие его от предыдущего случая в том, что после второй ступени производится влаготеплообработка, которая характеризуется резким паде-нием прочности и напряжений в материале. Понижение прочности на поверхности связано с по-вышением ее температуры и влагосодержания. Возрастание влагосодержания на поверхности происходит, в основном, за счет притока влаги с внутренних слоев материала. Резкое снижение влагообмена между телом и агентом сушки в конечном итоге выравнивает влагосодержание по толщине материала и уменьшает его градиенты. Это приводит к снижению напряжений в мате-риале и способствует сушке без трещин на третьей ступени.

Заключение. Дана математическая модель процесса тепломассопереноса и напряженно-деформированного состояния. Изучено развитие напряженно-деформированного состояния на поверхности пиломатериала в процессе сушки. Проведен численный расчет технологического процесса сушки на основе ГОСТ 19773-84 «Пиломатериалы хвойных и лиственных пород. Ре-жимы сушки в камерах периодического действия». Анализ полученных результатов указывает на принципиальную возможность разработанных математической модели и численной методики расчета описывать технологические процессы сушки.

Литература 1. Пиломатериалы хвойных и лиственных пород. Режимы сушки в камерах периодического действия: ГОСТ 19773–84. Введ.

01.01.85. М., 1996. – 20 с. 2. С ы ч е в с к и й В. А. // Инженерно-физич. журн. 2009. Т. 82, № 4. С. 674–687. 3. С к у р а т о в Н. В. // Деревообрабатывающая промышленность. 1982. № 7. С. 11–14. 4. Ш у б и н Г. С. Сушка и тепловая обработка древесины. М., 1990. 5. У г о л е в Б. Н., Л а п ш и н Ю. Г., К р о т о в Е. В. Контроль напряжений при сушке древесины. М., 1980.

SYCHEVSKIJ V. A.

[email protected]

MATHEMATICAL SIMULATION OF THE TECHNOLOGICAL PROCESS OF WOOD DRYING

Summary

A mathematical model for heat and mass transfer and stress-deformed state of material is presented for description of the technological process of wood drying. The performed calculations have shown that maximum stresses appear near the sample surface. A detailed study of the development of stresses with time has made it possible to determine maximum mechanical load zones. In view of this information, the technological process of drying is calculated using GOST 19773-84 “Carving Materials of Soft and Hardwoods. Drying Regimes in Chambers of Batch Operation”. The analysis of the results obtained has shown that in principle, the developed mathematical models and the numerical calculation methods can describe drying processes.



Беларуси

120



АГРАРНЫЕ НАУКИ

УДК 633.2/.3:631.445.2(476)

Академик А. Р. ЦЫГАНОВ1, Б. В. ШЕЛЮТО2, А. А. ШЕЛЮТО2

АГРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВОЗДЕЛЫВАНИЯ КОРМОВЫХ КУЛЬТУР В СИСТЕМЕ ЗЕЛЕНЫХ И СЫРЬЕВЫХ КОНВЕЙЕРОВ

1Президиум НАН Беларуси, Минск 2Белорусская государственная сельскохозяйственная академия, Горки Поступило 11.03.2009

Введение. Повышение продуктивности сельскохозяйственных животных за счет создания прочной кормовой базы является одной из ключевых задач, стоящих перед агропромышленным комплексом республики.

Решение этой задачи во многом определяется такой организацией кормовой базы, когда обеспечивается бесперебойное и равномерное поступление зеленого подножного корма и сырья для заготовки сена, сенажа, силоса, травяной муки на протяжении всего летнего периода.

Разработка организационных и технологических принципов создания зеленых (пастбищных) и сырьевых конвейеров, а также оценка их экономической и энергетической эффективности яв-ляется актуальной задачей для современного кормопроизводства Республики Беларусь. Эффек-тивный конвейер позволяет не только улучшить экономические показатели использования сель-скохозяйственной техники, трудовых ресурсов, сельскохозяйственных угодий, но и повысить качество производимых кормов за счёт оптимизации сроков сева и использования культур в со-ответствии с их биологическими особенностями.

Зеленый конвейер предназначен для обеспечения поголовья скота свежим зеленым кормом в течение летнего вегетационного периода. Основу кормовой базы в этот период в большинстве хозяйств республики составляют пастбища. Выпас на хороших пастбищах способствует укреп-лению здоровья животных, обеспечивает хороший и дешёвый нагул, повышает иммунитет жи-вотных, способствует росту их продуктивности.

Основу пастбищного зеленого конвейера составляют виды и сорта многолетних бобовых и зла-ковых трав, возделываемые, как правило, в составе пастбищных травосмесей различной скороспело-сти. Подбор видов и сортов трав и создание на их основе ранне-, средне- и позднеспелых травостоев обеспечивает высокое качество пастбищного корма, позволяет выровнять поступление зеленой мас-сы по месяцам пастбищного сезона, снизить отрицательные последствия пастбищной дегрессии.

Сырьевой конвейер следует рассматривать как систему организационно-технологических ме-роприятий, обеспечивающих непрерывное поступление высококачественного сырья на протяже-нии всего периода заготовки кормов на стойловый период. Непрерывность достигается за счет проведения последовательной уборки различных по скороспелости сельскохозяйственных куль-тур, выращиваемых в основных и промежуточных посевах.

При организации конвейера необходимы не только хорошо отработанные зональные техно-логии возделывания культур, но и их комплексная оценка по продуктивности, экономической и энергетической эффективности с целью снижения себестоимости кормов.

При этом необходимо учитывать, что природно-климатические условия республики с ее влажным и мягким климатом способствуют развитию травосеяния, интенсификации использо-вания сенокосов и пастбищ. Травяные корма, получаемые на пашне, сенокосах и пастбищах, со-держат почти все необходимые для животных питательные вещества: протеин, углеводы, вита-мины, минеральные элементы, причём в соотношениях, наиболее благоприятных для нормаль-ного развития животных.



Беларуси

121

Зеленый корм обладает высоким коэффициентом полезного действия. При хорошем траво-стое корова за день в состоянии съесть 60–75 кг зеленой массы, что достаточно для производства 15 кг молока. В условиях Беларуси за 5–5,5 месяцев пастбищного периода хозяйства получают 55 % годового удоя молока, свыше 60 % прироста говядины.

Использование зеленых кормов экономически эффективно, на получение травяного фуража расходуется сравнительно небольшое количество трудовых и энергетических затрат.

Главный недостаток зеленых кормов – скоротечность фазы роста и развития растений, когда в зеленой массе все элементы питания, биологически активные соединения находятся в соотношени-ях и состояниях, наиболее удовлетворяющих физиологическим потребностям животных. Таким пе-риодом у злаковых трав является кущение-трубкование, у других семейств – стеблевание-ветвление. После этого у растений начинается интенсивное развитие генеративных органов, сопровождающееся резким изменением их химического состава, усиленным образованием трудноперевариваемых угле-водистых соединений, что резко снижает поедаемость трав животными, их усвояемость.

Чтобы этот недостаток не повлиял на продуктивность животных, в структуру зеленых и сырьевых конвейеров наряду с многолетними травами, являющимися их основой, необходимо включать полевые культуры, дающие урожай в те периоды, когда наблюдается недостаток кор-мов из трав: озимую рожь, культуры из семейства капустных (рапс, сурепица, редька масличная, горчица белая, кормовая капуста), зернобобовые, кукурузу, однолетние бобово-злаковые смеси.

Структура посевных площадей этих культур и многолетних трав определяется типом кон-вейера, почвенно-климатическими условиями, а также специализацией хозяйств.

Цель работы – на основе анализа научных данных, полученных в полевых опытах, проведен-ных Белорусской государственной сельскохозяйственной академией, а также расчетных показа-телей дать оценку продуктивности и экономической эффективности зеленых и сырьевых кон-вейеров с различной структурой валовой продукции и составом кормовых культур.

Результаты и их обсуждение. Оценка продуктивности и экономической эффективности куль-тур, выращиваемых в сырьевом конвейере, представлены в табл. 1. Анализ данных, представлен-ных в таблице показывает, что по сбору сухого вещества с гектара преимущество имеет люцерна посевная, выращиваемая на фоне фосфорно-калийного питания Р90К140 на дерново-подзолистой легкосуглинистой почве с содержанием в пахотном слое гумуса 1,7 % подвижных форм Р2О5 – 178 и К2О – 92 мг/кг почвы. По сравнению с другими травами и травосмесями прибавка урожайности составила от 7,7 до 68,0 ц/га сухой массы. Из однолетних кормовых культур наиболее высокую продуктивность по сбору сухого вещества имели посевы горохоовсяной смеси с промежуточной культурой – поукосным просо. В сумме он составил 108,2 ц/га сухого вещества.

Т а б л и ц а 1. Агроэкономическая эффективность возделывания культур сырьевого конвейера

Выход с 1 га Переменные затраты

Маржинальный доход

Маржинальныйдоход на 1 КПЕ

Культура Сухого вещества

Обменной энергии

Кормопротеи-новых единиц

тыс. руб/га балл тыс.

руб/га балл тыс. руб/га балл

Суммабалов

ц балл ГДж балл ц балл

Овсяница тростниковая (Р60К90 – контроль) 49,1 1 44,2 1 37,3 1 355,0 8 206,7 1 5,5 2 14

Овсяница тростниковая (N180Р60К90) 88,7 2 81,3 2 70,0 2 559,5 4 486,4 4 6,9 4 18 Люцерна посевная (Р90К140) 117,1 8 109,1 8 122,9 8 490,1 5 931,6 8 7,6 6 43 Люцерна посевная + овсяница тро-стниковая (Р90К140)

109,4 7 102,1 6 102,8 7 481,2 6 866,6 7 8,4 8 41

Галега восточная + овсяница трост-никовая (Р90К140)

89,1 3 82,9 3 82,8 5 398,2 7 863,8 6 8,3 7 31

Горохоовсяная смесь, поукосно просо (N90Р80К120)

108,2 6 107,9 7 89,1 6 660,3 3 670,3 5 7,5 5 32

Кукуруза + донник (навоз + N60Р60К90) 99,8 5 100,1 5 75,3 4 1051,2 1 367,4 2 4,9 1 18 Озимое тритикале, поукосно горо-хоовсяная смесь, поукосно ози-мый рапс *(N90Р90К120)

90,6 4 85,0 4 73,3 3 698,7 2 427,7 3 5,8 3 19

* без рапса.



Беларуси

122

Посевы кукурузы с донником, а также сборное поле озимого тритикале на зеленую массу с горохоовсяной смесью – поукосно были на 8,4–17,6 ц/га менее урожайными (7,8–16,3 %).

По выходу обменной энергии преимущество среди изученных культур имела люцерна по-севная (109,1 ГДж/га) и сборное поле горохоовсяной смеси с поукосным просо (107,9 ГДж/га). Наименее продуктивными по выходу обменной энергии были злаковые травы (овсяница трост-никовая на фоне фосфорно-калийного питания Р60К90 и на этом же фоне с азотом N180).

Оценка экономической эффективности проводилась по таким показателям, как сумма пере-менных затрат, уровень маржинального дохода с одного гектара посевов и в расчете на 1 кормо-протеиновую единицу. Расчеты показали, что многолетние травы являются наименее затратны-ми звеньями сырьевого конвейера с уровнем переменных затрат от 355,0–559,5 тыс. руб/га. В этой группе наименее затратными были одновидовые посевы овсяницы тростниковой на без-азотном фоне Р60К90 и бобово-злаковой травосмеси.

Из однолетних кормовых культур наибольший уровень переменных затрат имели посевы ку-курузы с донником – 1051,2 тыс. руб/га, а на втором месте по затратности сборное поле озимого тритикале с поукосными посевами горохоовсяной смеси и рапса. С учетом урожайности культур сырьевого конвейера рассчитан маржинальный доход от их возделывания, как разница между стоимостью продукции и суммой переменных затрат, связанных с выращиванием той или иной культуры.

По уровню маржинального дохода на первом месте была люцерна посевная (931,6 тыс. руб/га) и несколько ниже травосмесь люцерны с овсяницей тростниковой (866,6 тыс. руб/га). Наимень-шим уровнем маржинального дохода характеризовались две культуры: кукуруза с подсевным донником (367,4 тыс. руб/га) и посевы овсяницы тростниковой на фоне фосфорно-калийного удобрения Р60К90 (206,7 тыс. руб/га).

По уровню маржинального дохода на 1 кормопротеиновую единицу наилучшими были вари-анты многолетних бобово-злаковых травосмесей и одновидовые посевы люцерны. Наиболее низкий уровень был у кукурузы с донником, а также овсяницы тростниковой.

Таким образом, самыми эффективными культурами изучаемого сырьевого конвейера стали одновидовой посев люцерны и многолетние бобово-злаковые травосмеси – люцерны посевной и галеги восточной с овсяницей тростниковой.

На основе проведенных ранее исследований в соответствии с программой работы на 2006–2010 гг. рассчитана экономическая эффективность различных типов зеленых конвейеров, разли-чающихся между собой структурой произведенной валовой продукции. Изучались 4 типа зеле-ных конвейеров (табл. 2).

Т а б л и ц а 2. Схемы зеленых конвейеров, 2006–2008 гг.

Укосный (многолетние травы – 100 %)

Пастбищный (многолетние травы – 100 %)

Укосный (многолетние травы – 49,2 %; однолетние травы – 50,8 %)

Укосный (многолетние травы – 64 %; однолетние травы – 13 %; кукуруза –

7 %, промежуточные культуры)

Травосмеси

1. Ежа сборная 2. Овсяница луговая 3. Тимофеевка луговая 4. Клевер луговой раннеспе-лый

5. Клевер луговой раннеспе-лый + овсяница луговая

6. Клевер гибридный 7. Клевер гибридный + дву-кисточник тростниковый

1. Раннеспелая злаковая: ежа сборная; овсяница красная

2. Среднеспелая бобово-злаковая: райграс пастбищный; тимофеевка луговая; мятлик луговой; овсяница луговая; клевер ползучий

3. Позднеспелая бобово-злаковая: клевер луговой; клевер ползучий; тимофеевка луговая; кострец безостый; овсяница красная

1. Озимый рапс 2. Озимая рожь + озимая вика3. Ежа сборная 4. Овсяница луговая 5. Клевер луговой + ранне-спелый + овсяница луговая

6. Клевер гибридный + кост-рец безостый

7. Пелюшкоовсяная смесь Iи II срока сева

8. Поукосные посевы пелюш-коовсяной смеси и рапса

1. Овсяница тростниковая (на фоне РК)

2. Овсяница тростниковая 3. Люцерна посевная 4. Люцерна посевная + овся-ница тростниковая

5. Галега восточная + овся-ница тростниковая

6. Горохоовсяная смесь, поукосно просо на з/м

7. Кукуруза + донник 8. Озимое тритикале, по-укосно однолетние травы, поукосно озимый рапс



Беларуси

123

Т а б л и ц а 3. Экономическая эффективность различных типов зеленых конвейеров, 2008 г.

Доля культур в произведенной продукции, %

Показатель

Многолетние травы – 100 %

Многолетние травы – 49,2 %; однолетние травы – 50,8 %

Многолетние травы – 64 %; однолетние травы – 13 %; кукуруза – 7 %; промежуточные культуры

(просо, однолетние травы) – 16 %

укосный пастбищный укосный укосный

Сухое вещество, ц/га (балл) 92,7 (4) 85,8 (3) 79,6 (2) 77,1 (1) КПЕ, ц/га (балл) 89,9 (3) 114,1 (4) 76,5 (2) 71,4 (1) Обменная энергия, ГДж/га (балл) 84,2 (3) 97,8 (4) 74,3 (2) 73,1 (1) Переменные затраты, тыс. руб.

(балл) 456,8 (3) 335,6 (4) 466,7 (2) 492,4 (1)

Маржинальный доход, тыс. руб/га (балл)

676,6 (3) 1174,2 (4) 528,6 (2) 479,1 (1)

Маржинальный доход, на 1 КПЕ, тыс. руб/га (балл)

7,5 (3) 10,2 (4) 6,9 (2) 6,7 (1)

Сумма баллов 19 23 12 6

Результаты расчетов экономической эффективности, представленные в табл. 3, показали, что

по сбору сухого вещества на первом месте находится зеленый конвейер укосного типа из много-летних трав (доля многолетних трав в произведенной продукции 100 %) – 92,7 ц/га. На втором месте пастбищный конвейер с использованием трех типов травосмесей различной скороспелости (ранне-, средне- и позднеспелой) – 85,8 ц/га. Последнее место по сбору сухого вещества занима-ет сырьевой конвейер с долевым участием в произведенной продукции многолетних трав – 64 %, однолетних трав – 13 %, кукурузы – 7 % и промежуточных посевов проса на зеленую массу и однолетних трав – 16 %. Его продуктивность по сухому веществу составила 77,7 ц/га.

По выходу кормопротеиновых единиц и обменной энергии преимущество имеет пастбищ-ный конвейер, на втором месте укосный с долевым участием валовой продукции многолетних трав 100 %. Наиболее высокими переменными затратами характеризовался сырьевой конвейер с включением кроме многолетних трав однолетних промежуточных культур. А наименьшие пе-ременные затраты имел пастбищный конвейер. Разница в сумме переменных затрат составила 31,8 %. Выявилась закономерность, которая заключается в том, что затратность сырьевых кон-вейеров последовательно возрастает при замене многолетних трав однолетними кормовыми культурами, в первую очередь кукурузой.

Наиболее высокий маржинальный доход с 1 га имели пастбищный и укосный зеленый кон-вейер на основе многолетних трав. Такая же закономерность проявилась при расчете маржи-нального дохода на одну кормопротеиновую единицу.

Таким образом, с точки зрения продуктивности, качества сырья и эффективности использо-вания ресурсов наиболее эффективными являются конвейеры из многолетних трав, прежде всего пастбищного типа.

Заключение. В результате сравнительной оценки экономической эффективности четырех типов зеленых и сырьевых конвейеров, различающихся структурой валовой продукции и хозяй-ственным использованием, выявлено преимущество пастбищного и укосного типов на основе многолетних трав. Они продуктивнее зеленых конвейеров с использованием наряду с многолет-ними травами однолетних трав, кукурузы и промежуточных посевов по сбору кормопротеино-вых единиц на 17,5–59,8 %, обменной энергии – на 13,3–33,8 % и обеспечивают повышение маржинального дохода с 1 га посева на 27,9–145,5 %.

Наиболее продуктивными и экономически эффективными культурами являются многолетние травы – люцерна и бобово-злаковая травосмесь люцерны с овсяницей тростниковой. Они обес-печивают наивысшую продуктивность по выходу сухого вещества – 109,4–117,1 ц/га, кормопро-теиновых единиц – 102,8–122,9 ц/га, обменной энергии – 102,1–109,1 ГДж/га, а также наивыс-ший доход с 1 га – 866,6–931,6 тыс. руб/га.

С точки зрения эффективности использования ресурсов наиболее эффективным является па-стбищный конвейер, обеспечивающий максимальный маржинальный доход 1174,2 тыс. руб/га, что выше конвейеров укосного типа в 1,7–2,4 раза. Однако с точки зрения хозяйственной целе-сообразности такой конвейер можно использовать для выпаса животных. Для производства гру-



Беларуси

124

бых кормов на стойловый период целесообразно вводить конвейер укосного типа из многолет-них трав, обеспечивающих бесперебойное поступление зеленой массы и наиболее полное ис-пользование вегетационного периода года.


1. Программа по обеспечению животноводства растительным белком на 2008–2012 гг. Минск, 2008. С. 4–8. 2. Ш е л ю т о Б. В., Ш л а п у н о в В. Н., Ш е л ю т о А. А. Зеленые и сырьевые конвейеры. Минск, 2008. –

240 с. 3. К у к р е ш Л., К у к р е ш Е. // Агроэкономика. – 2003. – № 7. – С. 14–16. 4. Н и к о н ч и к П. И. Агроэкономические основы систем использования земли. Минск, 2007. – 532 с. 5. Организационно-технологические нормативы возделывания сельскохозяйственных культур: Сб. отраслевых

регламентов. Минск, 2005. – 460 с. 6. Программа и методика проведения научных исследований по межведомственной координационной программе

фундаментальных и приоритетных прикладных исследований по научному обеспечению развития агропромышленно-го комплекса Российской Федерации / В. М. Косолапов, А. С. Шпаков, А. А. Кутузова и др. М., 2007. – 174 с.

TSYGANOV A. R., SHELIUTO B. V., SHELIUTO A. A.

[email protected]

AGROECONOMIC EFFICIENCY OF FORAGE CROPS CULTIVATION FOR GREEN MASS AND RAW IN CROP ROTATION

Summary

The article shows the results of research on estimation of the agroeconomic efficiency of forage crops cultivation in crop rotation for green mass and raw in the conditions of Belarus. The efficiency of crop rotation for green mass and raw was esti-mated according to the structure of gross produce and economic usage. We have established an advantage of pasture and hay types of crop rotation on the basis of perennial grasses. Among the crops examined, the most productive and economically efficient are alfalfa for sowing as single crop and in combination with Festuca orientalis.



Беларуси

125



РЕФЕРАТЫ

УДК 519.1

Д е м и д е н к о В. М. Условия эффективной разрешимости квадратичной задачи выбора // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 3. C. 5−9.

В пространстве четырехиндексных матриц описан конус, для представителей которого гарантируется строгая раз-решимость квадратичной задачи о выборе. Условия, определяющие этот конус, являются расширением условий клас-сической теоремы о перестановке трех систем Харди, Литтльвуда и Пόлиа, а также ее обобщений, полученных к на-стоящему времени для квадратичной задачи о назначениях, функционал которой определяется четырехиндексной матрицей единичного ранга.

Библиогр. – 9 назв.

УДК 519.872

М а т а л ы ц к и й М. А., К о л у з а е в а Е. В. Марковские сети массового обслуживания произвольной то- пологии с доходами // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 10−17.

Рассматриваются методы нахождения ожидаемых доходов в системах марковских сетей массового обслуживания произвольной топологии с доходами. Приводятся примеры применения таких сетей в качестве математических моде-лей различных объектов.

Табл. 1. Библиогр. – 14 назв.

УДК 517.984

Е р о в е н к о В. А., М а р т о н М. В. Обобщение теоремы Като об устойчивости на существенно полурегу- лярные операторы // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 18−22.

Рассмотрены свойства существенно полурегулярных ограниченных операторов в банаховом пространстве, занимающих промежуточное положение между нормально разрешимыми и полуфредгольмовыми операторами. Получена характеристка для возмущающих операторов, при которых сохраняется свойство существенной полурегулярности оператора, с помощью которой можно обобщить теорему Като об устойчивости полуфредгольмовых операторов при компактных возмущениях.

Библиогр. − 10 назв.

УДК 511.36

Ш а м у к о в а Н. В. Диофантовы приближения с моническими полиномами и немонотонной правой ча- стью // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 23−26.

Для целочисленных многочленов со старшим коэффициентом равным единице установлен полный аналог клас-сической теоремы Хинчина о приближении действительных чисел рациональными. Ранее такой результат был доказан только при дополнительном требовании монотонности правых частей неравенств.


УДК 512.643.4

У с н и ч А. В. Некоммутативные кластерные мутации // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 27−29.

Определяются и изучаются некоммутативные кластерные мутации. В частном случае доказывается, что итерация кластерной мутации задается некоммутативными полиномами Лорана, и это дает независимое доказательство фено-мена Лорана в коммутативном случае.


УДК 517.923

К и л б а с А. А., Ж у к о в с к а я Н. В. Решение в замкнутой форме линейных неоднородных уравнений типа Эйлера с дробными производными // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 30−36.

Исследуются линейные неоднородные дифференциальные уравнения с конечным числом дробных производных Римана–Лиувилля, являющиеся аналогами обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера. Применяя прямое и обратное преобразования Меллина и используя теорию вычетов, устанавливаются частные решения в замкнутой фор-ме рассматриваемых уравнений в терминах обобщенных гипергеометрических функций и пси-функции Эйлера.




Беларуси

126

УДК 517.925 + 517.977

Д е м е н ч у к А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 37−42.

Рассматривается линейная система управления ( ) , , , 2,nx A t x Bu t R x R n= + ∈ ∈ ≥ где ( )A t – непрерывная ω -

периодическая ( )n n× -матрица с нулевым средним значением, B – постоянная ( )n n× -матрица. Выбором управления в виде обратной связи ( )u U t x= с непрерывной ω -периодической ( )n n× -матрицей ( )U t решается задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний с заданным целевым множеством частот.


УДК 06:07:12

Г у с а к Н. А. Эффект невзаимности в кинетических явлениях в фоторефрактивных кристаллах // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 43−46.

Показано, что в фоторефрактивном кристалле с малой концентрацией акцепторов время перехода в возбужденное состояние (и обратно) сокращается с увеличением интенсивности света. При этом бóльшим оказывается сокращение времени прямого процесса.


УДК 539.12

М а л и к А. А., С а ц у н к е в и ч И. С. О рождении ( )− +τ τ -атома на коллайдере ВЭПП-4М // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 47−51.

В работе приведены основные свойства возможного связанного состояния τ+ и τ− лептонов. Вычислено полное сечение рождения (τ+τ−) в электрон-позитронной аннигиляции с учетом радиационных поправок и экспериментальных ширин по энергии начальных пучков. На этой основе показано, что современный эксперимент позволяет наблюдать (τ−τ+).


УДК 517 + 530.1

Ж е с т к о в С. В., Р о м а н е н к о А. А. Построение и анализ солитоноподобных решений (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1)-мерных уравнений Шредингера с законом нелинейности утроенной степени // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 52−57.

Исследованы вопросы существования солитоноподобных решений (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1)-мерных уравнений Шредингера с законом нелинейности утроенной степени. На основе численно-аналитического метода, развитого авто-рами, представлены графики огибающих двумерных и трехмерных, симметричных солитонов. Дано математическое обоснование возможности их построения.


УДК 577.322.5:543.25

А н и щ е н к о И. В., А н д р и а н о в А. М. Исследование конформационной подвижности петли V3 ВИЧ-1 суб-типа А для рационального конструирования лекарственных препаратов (на англ. яз.) // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. C. 58−63.

На основе статической модели трехмерной структуры петли V3 ВИЧ-1 подтипа А методами молекулярной динамики про-ведено исследование ее конформационных свойств и идентифицированы структурно жесткие участки полипептидной цепи. Методами молекулярного докинга осуществлена оценка блокирующего эффекта, который может иметь место при взаимодейст-вии петли V3 с двумя виртуальными молекулами (CycA и FKBP пептиды), сконструированными ранее с помощью средств компьютерного моделирования. В результате установлено, что сегменты петли V3, сохраняющие структурные параметры в течение молекулярно-динамических расчетов, представляют собой универсальные мишени для разработки противовирусных препаратов нового поколения. Исходя из данных молекулярного докинга петли V3 c CycA и FKBP пептидами, высказано пред-положение, что их синтетические аналоги могут рассматриваться в качестве перспективных фармакологических субстанций для реализации белково-инженерных проектов по созданию лекарственных препаратов для терапии СПИДа.

Ил. 4. Библиогр. – 15 назв.

УДК 577.152.1.03:577.112.4

Б а б е н к о А. С., С и н е л ё в В. А., Б р и т и к о в В. В., Т у т у б а л и н а Е. А., Г и л е п А. А., У с а н о в С. А. Экс-прессия генов CYP19A1, CYP1B1 и ERBB2 в опухолевой ткани молочной железы человека // Докл. НАН Белару- си. 2009. Т. 53, № 4. С. 64−67.

Изучен относительный уровень экспрессии генов CYP19A1, CYP1B1 и ERBB2 в образцах опухолей молочной железы человека. Цель состояла в обнаружении с помощью корреляционного анализа возможной взаимосвязи между относительным уровнем экспрессии указанных генов. Относительный уровень экспрессии генов ERBB2, CYP19A1, CYP1B1 определяли в 50 образцах опухолевой ткани молочной железы человека методом ПЦР в реальном времени. Полученные количественные данные были нормализованы по GAPDH. Нами выявлена статистически значимая корре-ляция между относительного уровня экспрессии CYP19A/CYP1B1 (rs = –0,508, P < 0,001). Между ERBB2/CYP19A1 (Р =



Беларуси

127

0,638) и ERBB2/CYP1B1 (Р = 0,438) статистически значимой корреляции относительного уровня экспрессии выявить не удалось, что может быть связано с различными механизмами инициации и развития опухолей, опосредованных нарушениями в функционировании систем биосинтеза и метаболизма стероидных гормонов (CYP1B1, CYP19) и ERBB2-опосредованных опухолей.

Табл. 2. Ил. 1. Библиограф. – 14 назв.

УДК 541.182.644

М а т р у н ч и к Ю. В., В о р о б ь е в а Е. В., К р у т ь к о Н. П., Б а с а л ы г а И. И. Влияние ПАВ различной приро-ды на свойства полимерного гидрогеля на основе полиакриловой кислоты // Докл. НАН Беларуси. 2009. T. 53, № 4. С. 68−72.

Приведены результаты исследования коллоидно-химических свойств дисперсии частиц полимерного гидрогеля (ПГГ) на основе полиакриловой кислоты в водных растворах поверхностно-активных веществ (ПАВ) в зависимости от типа и концентрации ПАВ. Показано, что ПАВ катионного типа приводит к выделению поглощенной воды, неионоген-ное ПАВ практически не оказывает влияния на реологические свойства дисперсии гидрогеля. Результаты сравнения ПАВ анионного типа (додецилсульфата натрия и олеата натрия) показали существенно более высокие значения реологических характеристик для структуры ПГГ с олеатом натрия. Структурообразование при взаимодействии гидрогеля с олеатом натрия приводит к получению продукта с новыми свойствами, отличающимися от свойств исходных компонентов.

Табл. 1. Ил. 3. Библиогр. – 12 назв.

УДК 577.152.3

Г е р л о в с к и й Д. О., Л и т в и н к о Н. М., К у ч у р о С. В., Г р о с ь Н. Н. Антиконкурентное ингибирование ак-тивности панкреатической фосфолипазы А2 под действием 2-пропаноил-5-(2,4,6-триметилфенил)-циклогексан- 1,3-диона // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 73−76.

Изучена кинетика ингибирующего действия 2-пропаноил-5-(2,4,6-триметилфенил)-циклогексан-1,3-диона (со-единение I) на активность панкреатической ФЛА2. Графическим методом Лайнуивера–Берка в двойных обратных координатах определен механизм ингибирования фосфолиполиза с участием ФЛА2 по типу сопрягающего или анти-конкурентного торможения этим 5-мезитилзамещенным циклогексановым β-трикетоном (Kmi = 1,6⋅10–4 М, KSi = 1,3⋅10–2 М, Ki = 5,3⋅10–3 М) и без него (Km = 3,0⋅10–4 М, KS = 1,0⋅10–2 М), Vmax > Vmaxi, 1,7⋅102 и 0,74⋅102 мкмоль⋅мин–1⋅мг–1

соответст-венно. Влияние соединения I на фосфолиполиз в условиях эксперимента может последовательно осуществляться за счет взаимодействия мезитилового или трикетонного фрагментов с гидрофобными сайтами и аргининовыми остатка-ми фермента, необходимыми для участия в катализе.


УДК 579.22 577.152.1

М о р о з И. В., Е р е м и н А. Н., М и х а й л о в а Р. В., Л о б а н о к А. Г. Сравнительная характеристика каталаз, синтезируемых Penicillium piceum F-648 A3 в различных условиях культивирования // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 77−81.

При изучении влияния одно- и многоатомных спиртов на биосинтез внеклеточной каталазы Р. piceum F-648 А3 ус-тановлено, что этанол является активатором синтеза каталазы Р. piceum F-648 А3. Введение 4 об. % этанола в питатель-ную среду обеспечивает повышение уровня образования фермента и продуцирующей способности мицелия гриба в 4,5 и 7,6 раза. В указанных условиях гриб синтезирует каталазу с повышенными начальной скоростью и эффективностью разложения Н2О2 в 4,1–4,9 и 2,6–3,4 раза соответственно. Фермент характеризуется высокой операционной стабильно-стью и удельной активностью, превышающей в 1,5–19,2 раза этот показатель, описанный для других каталаз.


УДК 591.5:595.3

К у л е ш В. Ф. Рост и выживаемость личинок пресноводной креветки Exopalaemon modestus (Heller) на сбросной воде теплоэлектростанции // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 82−87.

Проведены экспериментальные работы по выращиванию личинок пресноводной креветки с сокращенным перио-дом личиночного развития Exopalaemon modestus на сбросной воде Березовской ГРЭС. Показано, что выживаемость личинок в течение личиночного периода составляет до 100 %. Рекомендована интродукция этого вида в водоемы-охладители теплоэлектростанций.


УДК 576.851.49:663.1

Г а л и н о в с к и й Д. В., Е в т у ш е н к о в А. Н. Экспрессия генов биосинтеза β-каротина в различных штаммах грамотрицательных бактерий // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 88−91.

В клетки грамотрицательных бактерий передавали плазмиду, содержащую гены биосинтеза каротиноидов на основе век-тора широкого круга хозяев. Полученные штаммы накапливали β-каротин, что фенотипически проявлялось как признак желтой окраски бактериальных колоний. Наибольшее количество пигмента продуцировали бактерии Psedomonas stutzeri B975, несущие плазмиду с crt-генами, которые накапливали в 3,2 раза больше пигмента по сравнению с бактериями дикого типа Pantoea agglomerans 206. Установлены оптимальные температурные условия для культивирования Ps. stutzeri B975, синтезирующего пигмент, а также температура, оптимальная для биосинтеза β-каротина данными бактериями.




Беларуси

128

УДК 618.11–006.6:577.212.04

Ч а к о в а Н. Н., М и х а л е н к о Е. П., Ш л о м а Е. Н., Ч е б о т а р е в а Н. В., К р у г л е н к о С. С., Ш е л - к о в и ч С. Е., К р у п н о в а Э. В., Д е м и д ч и к Ю. Е. Полиморфизм генов ферментов биотрансформации ксенобиотиков у больных раком яичников // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 92−96.

Изучен генетический полиморфизм GSTT1, GSTM1 и NAT2 у больных раком яичников. Установлено, что наи-больший риск возникновения рака яичников характерен для носителей комбинации генотипов GSTT1(–)/GSTM1(+) (ОШ 3,60; 95 % ДИ 0,85–15,29).


УДК 550.311:551.24

А с т а п е н к о В. Н. Коровые аномалии электропроводности и палеорифты Восточно-Европейской плат- формы // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 97−101.

Приводится схема коровых аномалий электропроводности Восточно-Европейской платформы. Показано, что значительная часть аномалий приурочена к системе палеорифтов и имеет близкие параметры глубины верхней кромки и суммарной проводимости. Предполагается, что причиной возникновения аномалий может быть повышенная кон-центрация электроннопроводящих пород верхней части коры авлакогенов, а также флюиды в области повышенной трещиноватости и пористости земной коры.


УДК 531.539.538

В и т я з ь П. А., С о с н о в с к и й Л. А., Щ е р б а к о в С. С. Новые подходы в механике деформируемых систем // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 102−110.

Рассмотрены новые подходы к механико-математическому моделированию трибофатических систем, одновре-менно подверженных контактному и неконтактному нагружениям. Представлена принципиально новая методика комплексного изучения механического состояния деформируемой системы и ее элементов, включающая постановку и решение задач о напряженно-деформированном состоянии, поврежденности и предельном состоянии. Приведены результаты исследования системы типа ролик/вал по данной методике.


УДК 539.61:537.874

П и н ч у к Л. С., Б а н н ы й В. А., Г о л ь д а д е В. А. Эффект усиления радиоадсорбции наноразмерными компонентами полимерных композитов // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 3. С. 111−114.

Радиофизические характеристики полимерных композитных материалов, наполненных металлами и ферритами,

исследованы в зависимости от интенсивности физико-химических процессов, протекающих на границах между поли-мерным связующим и частицами наполнителя при термическом формировании композита. Показано, что кинетика таких процессов, регулируемая изменением температурно-временных режимов формирования композита и дисперс-ности наполнителя, определяет структуру новых фаз, возникающих на границах раздела полимер−наполнитель, и вероятность формирования в полимерной матрице коллоидных частиц, существенно влияющих на параметры рассея-ния и поглощения композитом энергии СВЧ-излучения.


УДК 519.6:539:536

С ы ч е в с к и й В. А. Математическое моделирование технологического процесса сушки древесины // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 115−119.

Приведена математическая модель тепломассопереноса и напряженно-деформированного состояния материала для описания технологических процессов сушки древесины. Проведенные расчеты показали, что максимальные напряжения возникают вблизи поверхности образца. Детальное изучение развития во времени напряжений позволило определить зоны максимальных механических нагрузок. С учетом полученной информации выполнен численный расчет технологи-ческого процесса сушки на основе ГОСТ 19773–84 «Пиломатериалы хвойных и лиственных пород. Режимы сушки в камерах периодического действия». Анализ полученных результатов показал принципиальную возможность разработан-ных математической модели и численной методики расчета описывать технологические процессы сушки.


УДК 633.2/3:631.445.2(476)

Ц ы г а н о в А. Р., Ш е л ю т о Б. В., Ш е л ю т о А. А. Агроэкономическая эффективность возделывания кормо- вых культур в системе зеленых и сырьевых конвейеров // Докл. НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 120−124.

Рассмотрены результаты исследований по оценке агроэкономической эффективности возделывания кормовых куль-тур в системе зеленых и сырьевых конвейеров в условиях Беларуси. Оценка эффективности зеленых и сырьевых конвей-еров проводилась по структуре валовой продукции и хозяйственному использованию. Выявлено преимущество паст-бищного и укосного типов конвейеров на основе многолетних трав. Среди изучаемых культур наиболее продуктивными и экономически эффективными являются люцерна посевная в одновидовых посевах и в смеси с овсяницей тростниковой.




Беларуси

Documents

ДОКЛАДЫ m k bcsl.bas-net.by/xfile/doklad/2009/04-2009/o8uif4.pdf · 3 DOKLADY OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES OF BELARUS Published bimonthly The journal has been published