Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
����� I
������������ ���
x � ������������ ���������������� ���������� ��� �
� �!������� ��"#����� ��� ������ ����� �������������� ����� �� �������� ����� ��������� �������� ������ �� �� �� �� ������ ���� ���!���"��� � �������# �������$�%
������ ������ �������
� ��� �������� ������� ������ ��� ������� ����������� ��� ����
� ��� ���������� ������� ������ �����������
�������
� ��� ������� �����
�������
�� ��! A�B ��"���� "�� A ���#"�� B ��� B ������� � A
� ��� �������������������������
�� ��! A�B ��"���� "�� B ���#���� � A � A ������� � B$ %�"��A &������!� B' A ��������� ��������"� ��� B' A ����� � ���!#�� ������ ����� B
&���� �� � �����"� ��������� '����� � �����������(%)��� �����
� � ����$� ������ �������"��� ����� ���
��"��� ����*�( �+ ��� ������ ������� �"� ,��-. ������ A � B ���
����� �� ����� ���� �� �� � �� ����������# A� B.�( � + ��� �������� ������� �"� ,�-.�( e + ��� �������. ������ eA ������ ,� A- '���$���
����������� A(%/�������� ������� ��������� ������� �����%�� ��� � 0% �����
A 1
���������# ��� �� y 1 ax� 2 bx2 c ���������������� ������ ��� ��� x
��
B 1 fD � 3g� ��� D 1 b� � 4ac�
C 1 fD � 3� a � 3g 1 fD � 3g � fa � 3g�
5������ �� A� B� A� C%� �( ��������� �� �� A � ������ B% 6��� D 1 b� � 4ac � 3%
� ��� I� �������
�� ����
� ���� ���� ������� ������� y � ax� � bx� c ����� ������
�������� ����� x� � x� �x� � x� ��� D � �� � ������� ��������
���� ��� x � x� � x � x� �� ���������� A! "�� ��������#����� � ��� �� �$ A �� ������� B ������� �������! %������ �$ A������� B �! �! A� B!
�� &��#�� �� A� C! Boc����$����� �
������
y � ah�x �
b
�a
����D
�a�
i� �'�
(� �� A� fD � �g �� ��#���� ������� ������ )������� �'� ����#������� � ������� �$ ������ y � � ������� �� a � �!
"�� A� C!*�����+ ���� ����� ����� C �! �!
D � � � a � � �� �$ �
���� �'�������� �� y � � ��� ��� x!
(��� ���$�� ������� �������� y � ax� � bx � c �������� �����#�������� $����� ��� ��� �������������� $������ x ����! '!'���,� � ������ ��,� ��,� a � � �D � b� � -ac � �! N
"�����$���� ������ � � ��$�
����� �� ������ ������� $����
�� � ��,�� ������� ����.��� ����#����� ����$���� ������������� �����#��� ��� /�0���1 /���������1 ������� ���
����0��� ������������ � �������!
% � � � � � 2! %���� $��� ������ ���#���� X � ���� M ! 3������ � ������0 ������ ����.��� ����#�����+
� A �
�
�� �������� x �����,� ���#��� X���������0� �����0 x � M
�4
�� B �
���������� ���� M � � ���� �� �� �������� x�$ ���#��� X ���������0� �����0 jxj �M
�!
� � %���� A �� ����� ���� �! �! �� �� �������� x ���#��� X���������0� �����0 x � M ! 5�� �$��� �� ������� ��������
���� ���� ������� x � X ��� ������,� ���
����� x � M �� ����������� �! �! ����� ����� ����������#��� ���
����� x � M !
3��6�� A � eA � ������0 ������+
A � f�x � X � x � Mg�
eA � f�x � X + x �Mg�
3���� $�� � $������ ��� /����������1 /����� �����1 �������� $������ ��� /���� ��1!
�� %���� B �� ����� ���� �! �! �� ��������� ��� M � � ����,� ���� ��� �0��,� x � X ����� ����� ���
����� jxj �M ! 5��
��� �������� ����� ������ ������� ����� �
��������� ��� � ����M � � ����������� jxj�M �� ����� ����������� � ������ x � X � ����� ������� ���������� ����� ������x xM �X !���"���"�� ����� ������� ��M#� � �������� ������������ jxj�M �� ����������� �� �� ������"�� ����������� jxM j�M �$ ������� ��������� ��������"� B " eB ����� ���"���� ���%
B f�M � �% �x � X � jxj �Mg�
eB f�M � � �xM � X % jxM j � Mg� N
&�" ��"���� ����������� ��� ���"'��"� ��������"�� ����������� �������� �� � " �������� P !� ����( ��"����( ��� �����������x � M " jxj �M ��������������#� ��������� ������� � �� �� � �� �" �������� P ) �� ��� ���"'��"��
�� ���������� ��� � �� ��������� *����"� ��'"��������� �"�� " �������� �������� ��'"������( �"�� "������� "� ������������"�" � ������ +���� ,�'"������� �"�� ����� ���"����� �"� p�q� �� p) '���� q ) ���������� �"��� - ��������"� ���'��� �"�� p ������� ��'"�������� ��� ��� ��� ����� ���"���� ��"� p p�.� /���"���� � ��.� . .�.�*���� a p�q� b p��q�)�� ��'"������( �"��� 0��� ����"�
���������"� ��"( �"�� ���������� ���%
�# ��" pq� qp�� �� a b1
# ��" pq� � qp�� �� a � b1
�# ��" pq� � qp�� �� a � b1
� ����� " ���"�����"� �"�� a " b ���������� �������������� �����������"
a2 b pq� � qp�
qq�� ab
pp�
qq��
3����'"" �����"� " �������"� ��'"������( �"�� ��������������"%�# ��������"�����"%
a2 b b2 a� ab ba1
# ����'"��"�����"%
!a2 b# 2 c a2 !b2 c#� !ab#c a!bc#1
�# "���"��"�����"%
a!b2 c# ab2 ac1
�# � ���� ��'"�������� �"�� a ������"�� ���������
a2 � a� a � . a�
3����'"" ���"���"� " ���"� ������� ��� ������� ��������������� � �����'"�� �����"� " �������"�%�# � ��( ��'"������( �"�� a� b ���������� !" ��"���
�"���������# �"�� x ������ ���
b2 x a1
� ��� I� �������
�� ����
��� ����� ���� �������� ����� a � b � ������ a� b� � ���������� ������ �� b ������ �b�
�� ���� b �� �� �� ���������� ������������ ����� z ����� ���
bz � a�
��� ����� ���� ������ ����� a � b � ������ a�b�
������� ��� �������� ������� ��������� �� �!�������"�����#
� ���� a � b � b � c� �� a � c $���������������� ���� a � b� �� a% c � b% c &�� ���� c��� ���� a � b � c � d� �o a% c � b% d�'� ���� a � b � c � �� �� ac � bc��� ���� a � b � c � �� �� ac � bc�
( ������)�� ����� ��&������� �������� �������� #
N * ���+����� ��������" ������
Z * ���+����� !���" ������
Q * ���+����� �!�������" ������
( ���+����� Q ��+�� ��&��� �� �� ������ ������ ��,����������" ������� � �� � ��)�� ������� � ������� �������� &��������&���� ����� �+� &������)�� �������� ������� ��� x� � a�'�� a � N � �� ���'� ���)��� � ���+����� Q� ( ��������� ��������� x� � - �� ����� ��)���� � ���+����� Q�
.��� ������ �+� &������ ��)��� &�����" �������� ��&x� � a� x� � a� '�� a � N� &������� � ����"�������� ��)����� ���+���� �!�������" ����� &���� �������� � ����� ���+���������" ���������� ������" ������������
����� /�+� $��
���+��� ���" &������������ &������� � �� ���� ��)������������� �
�� ��������� ������� ����� � �� ������������
� �������� �������� ����� 0 )������'� ���� �'������������ ��� ���� �!�������� ����� ��+�� &��������� ���� ����� ��������� ���� � ���� ����������� &������������ ��� ������������ ��&���� �'����� ������ 1�'�����2� /&������ �!���������� ����� 3�4 ������������� ������ ��� ���� ����� ��356� �� ��3�4 � ��356� 7���'����� �!��������� ����� �-5�88 �������������� ��������� &���������� ��� ���� ����� �-�9696�����-�$96���� �� �-5�88 � �-�$96��
������# � ���������� &����������� ��� ����� ��������+�� ���� �!�������� ������ &������������ ������'� �� ����� �� ��� � :� ���'� ��&������� ,����� ����� ���������� ����
���� '������������� &��'������ a% aq % aq� % ��� �a
�� q� jqj � 8�
��� �������� ����� ������ ������� ����� �
���������
��� � ���
����
��
����� ��� � �
��
���
� ��
���
� ���
���
��
���
������������ ������ ������������ �������� ���������� �������� ��� ���!��������� � ���������� �"�� ����������� ���������������� � � ��� � �������# $������� ��� ������������ ������ ����%�������� �������� ���������� ������� ��!�� &������� � � ���� ���%�������� ���������� ����� � ��'��� ( � �������# ��������� �� �� ��) � ��(#
*���� ����&��� ��!� ���!������ ���+ ����������,+ ����� ����!������ ���+ ���������,+ ������������+ ��������,+ ������ �������������� �&����� ����&������ ������������� ���� ���!�����%���� ��������� � �������� � ����� � ��'��� ( � ������� � �������%��� �"�� ����������� ���������� ������ � ��'��� ) � �������#
-�������� ���������� ����� ���������,� ������������� ����%����,� ������ �����,� �� ����� ��'�, ( � �������# .��� ��������%��� ������������� ���������� ����� � ��'��� ( � ������� ��&������� �������� ���� !������ �� � ��� ��� � ����� &������� ��������������������� ������ � � ��� � �������#
����� �� � � � �������� ��� ����p
q�p � N � q � N� � ����������
��� ������ ��������������� ���������� ����� ������ ��!������ ����
�� �� ������������ ����� "kp
q�k � N� ������������� ���������� �����
� ������ ��!������ ����� �������#�� �� � � ��$�# ���!��� ������ ��k ����! �� %�������! &�� �������� �������� ��� ���� ���������! ������ �����! ��!�����! ���� �#��� �� � ' a�� a����an�b����bm�� ��
� ' a� (a�a����anb�b����bm � a�a����an
������� �z �
m
������� �z �
n
�
� ��������� ���������� ����� ���������� ��������� � ��%������ � ����� ����
�a�� a�a����an���
/�� ����� ������������ &������� &���� � ��� �� ����0� ����%����������0� ����� a� � ������������������ ��������,+ &�����a�� a�� ���� an� ��� ���!����� ��������,+ &����� ������� �& ������ ��%���1 )� 2� � 3� �� �� 4� 5� 6� (# 7��� � ����� ���� � ��� ��&,�������������� �����# .��� ����� ������ ����� &��� �� �0� ��,�%�� �� ����� � ��8 �
a�� a�a����an��� 3
9���� ���� 3 � ��� ��&,���� ������������� ���������� ������� � � �� ���� ��0�� +��� �, ���� �& ����� a�� a�� a�� ���� an� ��� �������
�� ��� I� �������
�� ����
�� ����� � ����������� �������� ������ ���� ���
�a�� a�a����an���� ���
��� ���� �� ���� �� ����� a�� a�� a�� ��� ������� �� ����� ����� �����
��� ����������� �������� ������
���� a � a�� a�a����an���� b � �a�� a�a����an���� �� ����� b �������������������� ����� a� � ����� a � !���� ���"��� ����� b
���� �!��� �#� ������� �!�������$�%� �� �� ������� ���������� ������� � ���� &�� �!��� �� ������� �!�������$�%� �� ��������� ����������� ������ '��"���� ��� ���������� �!����% ��� �#� ������� ���"����� �������� ����� � ����������� R� � ��� �����"����� ������(�� �� �� �!�������$�� �����������!���%� � ���"����� ����������� ����� � ���������� J
)!����� !���!� �!!�*��������� �����
+� a � ,�+#-�./012+,++��� �.�
3���� ���� �� ���% ����� ����!������ ������ � ������� ��!���������� � �����*�
#� b � #0�+,+,,+,,,+,,,,+,��� �/�
3���� ���� �� ���% � ����� ��!�� ����� +,� +,� � +,,� +,� � +,,,�+,� � +,,,, � � �
����� �� � � � �������� ��� ����� a � b� �������� ����������� ���� ���� �������� ���������������
� �������� ���������� �������� ������ )������ ����������� ����!�*��������� �(��������� ����� �-� $������� ����������� �!���
�n � a�� a����an 4�
��n� �
n� a�� a����an
� ����� ������� �� n��� ��������� ������������ ����� � �� a�� a�a����an��� ������������ � ������� � ����������� ���� �� ��!�*�������� �(�������� ����� ��� ���� �� ��� ���� n�� ����������� !����"���� � �����$�� � ��������$�� � !��������� �����
�������� !��������
�n � �a�� a����an� �n � �a�� a����an ��
��n�
5��������� !����"���� ��%��� !�������� !� � !�������� �!�6��������$�� � �!�*�% �� ���"���� R �x -�
����� �� � � � �������� ��� ��� ��!�"� ��#��������"� ����� �"����������� ���!������� �!������ ����$�#��� ���%������&
�� �k � �k '�
��k� k � N(
!� ��� �
�� ��� � �
n� ��� (
�� �� � �� � ��� � �n � ��� ("� �
n� �m ��� ��!�) n � m
��� �������� ����� ������ ������� ����� ��
�� �������� ���������� ������� ��������� ����������� ������ ��� ������������ ���
���������� ����
� � a�� a�a����an��� � � b�� b�b����bn���
�������� ������ ���� �� �� ��� ak � bk � k � �� �� �� ���� �� ��
f� � �g � fak � bk� k � �� �� �� ���g�
� ��������� f� � �g � fak � �� k � �� �� �� ���g��� ! ��� ����� ���������" � � � � � �� #���$�� ��� ���
�� � ������ ���� �� ���� � � �� ��� �%� a� � b�� �%� a� � b�
���������� ��&�" ��!� n� ��� a� � b�� a� � b�� ���� an�� � bn��� ��an � bn� �� ��
f� � �g � fa� � b�g � f�n � N ' ak � bk� k � �� n� �( an � bng�
)��� k � �� n� � ��������� ��� �������� ak � bk ������$���$� ������$� k �� � � n� � �&��������� ��& ��� n*��!���"��!�� �$ &����+� ,�� �������� �� ������$���$ !��� !�������������� an � bn� -����+���
f� � �g � fa� � b�g � f�n � N ' ak � bk� k � �� n� �( an � bng�
.� ��� ����$ �������� � � � ��������� � � � � � � ���� ���� ��� �$ ��%�� ������������ ������������ ���� � �������$���$ � �� � ��� �����"' � � �� � � �� � � ��
/�!��! ���� ��� �$ ��%�+� �����������+� �����������+����� � ����� ��� ���������� � � ��
%� ��������� ����������� ���������� ������ 0�����! �������� ������������ ����� � ������������ ����� �%�������!�� �!�����! j�j� �� ����!�� ��" 1� %��&������" ��$����" �%�� ���
���� �� �� ��$��� �� ���&�! 2� 3�&! �%���!� ���
� � �a�� a�a����an���� �� j�j � a�� a�a����an����
��&� � ��� ���� ��� j�j * ������������ ������������ ���� �
��%�! ��
��� �! ���� ����� ������$ ��� ������������ ���� � � �$ �����$� &�+ � ���$ %� � �� � ,�� ���� ��������� 4�����������$ ������������ ���� ��� ��� ������
5�� �* ������������� � * ���������� ����� �� ���������� � � ��
5�� �%� ���� � � ��������� 4� � �� � � ��� �� %� �! ������� ���'
�� � � �� ��� j�j � j�j�
�� � � �� ��� j�j � j�j�
3�&! �%���!� ����� ������$ �6�!������� �$ ��%�������������� �����
�� ��� I� �������
�� ����
��� � � � �� � � ��� ��������� � ��� �� ������������� ������� ��������� ������������ ����� � ���������� � ����������� ������� ��������� � ���� ���������� ���������� ����!� ������� � ��� "��� �������� �� � ������ ��������� ����������� ����� #� $%� ��������������� � ���� ��&���� ����� �����
� �� � � � �� � $ '��� �n� �
n
( n�� ������"���� � ���������� � �n�
�n( n�� ������"���� � � ����� ����� � � � �
����������� � � ����
���� ��������� ������������ ����� �������� ��)
�% �n� � � �n� �
n
� � � �n��� �*�� n � N+
$% � � � � �n ) �n � �n
�� ������������ ������ ��������� �������� � ��� � � �
� � �� � � � �� �������� ������������� ��� ������ ��������������� ������������ ���� ����
� � a�� a�a����an����
� � b�� b�b����bn����
� � c�� c�c����cn���
���� p m � �������� ������� ��� ����� ��������� ��!��������� �������� ak � bk bk � ck "k � #� $� %� ���&� '������'����� p � m� (���� p � �������) ������ '� ������ ��!������� �������� ak � ck ��� ���� ���������� ap � cp� ��'����� �������� ��*������� ��� ����� ������� � � � ��
�� ������� �������� ����� ������ � �����������
+���� $� ���� � � � � �������
�� ����� ������ � � �� �
����� ��� ����
���� ����� r� ��
� � r � �� ",&
� �& ���� � � � ����������� ��� "� � Q� � � Q&� (������� � �'�������� ��-��
���� �'����
� � ������ r �����
���� ����� �
�� �� ���
� ��� �
�� ��
.& ���� '� ���)��) ���� ���� � ��� �� � ������� �����!�������� /���� ���� � � � J � ����'����� ��� �'����������!
� � � � # �
� � a�� a�a����an���
(�� ��� � � � � � #� � � � #� ����
� � b�� b�b����bn���
���� p � �������) ������ '� ������ ��������� ��������ak � bk "k � #� $� %� ���&� /���� ���� � p � #� (����
a� � b�� ���� ap�� � bp��� ap � bp� "0&
��� �������� ����� ������ ������� ����� ��
�� ������� � � J � ���� � �� ����� ���� ������� ��������������� ����������� ������������ ������ � �������� ��� ��������������� ����� ���� �� p �������� �!� p"m� � ����� ��
bp�m � �� �#�
������� �� ��$��������� ���� r % a�� a����ap��bp���bp�m������������������ ������� �&�� ' �(� ������� �� � � r� )���� r %% b�� b����bp�m����� � b�� b����bp�m��bp�m��� � ���� ������� �#� �� ��r � �� '��� ������� �� � � r � � ����� r � Q� �*� � � � � �� �� ���� � � R � � R � � � � ��
�r � Q �r� � Q + � � r � r� � �� �,��
����� �� � � � ���� � � R � � � R � � � � ��������� ���
�� � J � � � � � ��
-���� .� ���� � � R �� � R � ��� ��������� ����� ���������������� ����������� ����� fxng � fyng� ��� ��� ��� n � N�������� ���������
xn � � � �� � yn� �,,�
yn � xn ��
��n� �,.�
������ % ��� �,/�
� ����� ��������� �,/� �� �����������0 ��!�� � ������� �,,� �����1�� �� � � ��� 2 ���� ��������� � ����� , ��3������� ��$���������
���� r � r� ����� ��
� � r � r� � ��� �,4�
' �,4� ������� �� r� � r � � � �������
�m � N + r� � r ��
��m� �,5�
' �,,� � �,4� ������� ��
xn � � � r � r� � �� � yn�
������ � ���� ������������� ������� ��������� �������
xn � r � r� � yn� �,6�
'������� ����������� �,5� �,.� �,6� � �������� ���������� ��� ��1$��������7 ���� �������
�
��m� r� � r � yn � xn �
�
��n�
�� ��� I� �������
�� ����
������ ����� ����
��m�
�
��n� ���
��������� ��� ������ ����������� ��� ������������� m � N ���� ����� n �N� ������ ��� n m ��������� ��� � �����������!�"���� ��������� � � �� � ���� ���� ���� �� � ������������������ �#�� �
�� ����������� ���������� ������������ ����$��������� ������ l ����� �%� ����� �� �& ������ ������ ����'
�� O� � ���(�����& ���)�� OE ����� � *���� + �������� ����������� ����� O ����� , ����� E ����� � , ����� E�
����������� ���� E ����������� O� !������������ ������ a�� a�a����an��� �������� � ���������� ����� M ��-���'.���� ������ �� O �� ���������� � � ����/�������� ������ �b�� b�b����bn��� , ����� M
� ��-���.���� ���� �� O �� ���'������� j�j�0�� ������ ���� ��)����� �������� ���� ��� �������� ����
1) ������ 2������ � ���&��� �.������- ���� ����� ������� ��������� �.������- ���� R � �������& �����& l ����'���������� �)����� ����)����� ����������3 ������� �.����'���� ����� ����������� ���������� ����� �������& �����& �
�������� �����& ���� �������& �����& ����������� ��������.������ ������ !�"���� � �����&(� ���� �������������������� R � ��������� ���� �������& �����& � �.����������� ����� ���� ��)����� ��������4�������� � �����.�- ���)������- ��� �������- ������
������������- �������- �������3
� ������ 5a� b6 fx 3 a � x � bg7%� ������� �a� b� fx 3 a � x � bg7#� ������������ 5a� b� fx 3 a � x � bg �a� b6 fx 3 a � x � bg�8���� a � b ��)����� ������� ������ �������� ������������
�a , ����� ������ b , ������7 ���)�� 5a� b6 ������� �a� b� ��'���������� 5a� b� � �a� b6 ��)����� ��������� ����������� ���������������� � ����� x ���� ��� a � x � b , �- ������������������������ � �������� ����������� ������������� ���� ������
������ ���������3�� ��������
�a�9�� fx 3 x � ag � ���� a� fx 3 x � ag7
��� ����� ��� ������� ������� ��
�� ����������
�a���� � fx � x � ag � ���� a� � fx � x � ag�
�� ������� � fx � x � Rg � ������� �������� ������������ �� �� ��� ��!�" #��� ������ A $��$%
�$ #����� ������ B � ��&� A�B ��� B �A � '����$ ��A $��$�$ ����������� ������� B� ������ J � R Q � R �
(������ ����$�
�) ��� � � ��*�� � #����� ���%�� ����!�� ��$ �� �!���� �) ������ A � B �)���$����������� ������ A � B � ���)���$ A �B�
(������ ����$�
�) ��� � � ��*�� � #����� ���%
�� ����!�� �� ������� A � � ������� B �)���$������������ ������ A � B � ���)���$ A � B�
������ ��� A � �+� ,� B � �-� .� � A � B � ��+� .� A � B �� �-� ,� ����� +�,��
/��� ��J � Q � R� J � Q � ��
'! � � ����� ������� � � ������� � ��!���
#���%���
x �� ������ ��� ������� �������
�� ������ � ������ ��� ������� �������� (����%�� X �������� ���� �X � R� �)���$ ������������ �����
��� ������ ������� ����� C �� �� �� #���� ���%��� X � �������!$ C � �
�C � R � x � X x � C� �+�
0�$�� ������� ����� C ���!1�
���"���� �+� �)��%1 ������ ������ �������� ������� X �
2���'���� ������� X � R �)���$ ������������ �����
���
�C � � R � x � X x � C �� �-�
0�$�� ����� C � �!������$1�
������1 �-� �)��1 ������������ �������� ������� X �
3��� ������� ������� �'������ �� ����� � � ���)�
'� �)��1 ������������ � � fX � �'������� �������g �� f�C � � R �C � R � x � X C � � x � Cg�
�� ��� I� �������
�� ����
����� � �� ���� eA � ����� ��������� ����
A � fC � ������� ��� �������� X � Rg�
� �� ������� A� f�x�X� x�Cg� ������� ����� ����������������� x �� ����� !"� ���#��
eA � f�x� � X $ x� � Cg� N
����� � !� ���� eB� ����
B � f��������� X �����#��� �����g�
� �� ������� B � f�C � R $ �x � X � x � Cg� ��%����
eB � f�C � R �xC � X $ xC � Cg� N
����� �� � � � ������� � ������� �������� �������� ���������� �����������
�� A � f�������� X � R � ����!��� ������g"#� B � fC $ ������ ���� �������� Xg"�� D � f�������� X ������� � ����!���%�g
�� ��������� ���� ������ ��� ���� ����#������� ��������� X �����#��� ������� ���& �'�������� ����(��� �"� #���� C �������� ������) ���� �������� X � *����#�� ��+�� #����� +��,�� C� ���� �������� ������) ���� ���(����� X � -��� �+����� �����#����� ������ #������� �������������� +������#�� ����� ������� ����)� ���&� �����'� ���+�� �������� �����,�� .�# �&�� � #���� M � �+�&���� ���&���������)�����$
" M � ������� ��� �������� X /+" ��+�� #���� M � ���,�� M � �� �������� ������) ���� ���(
����� X �0�� #���� M +�&�� � &���),�� ��'�� ��#��) ������) ��(
�� �������� X � 12���������� ���&������ ��#��) ������) ����� ����� ��������� 3��+' ������� ������ ���&����� ���(��� � +�&�� �� ����� � &���),��"� ������ ���& ��� �����4���&������5�
6 � � & � � � � � � �� 3���� M ��'����� ������ ������ ������������ ��������� X � ���� �'�������� ���&����� �������$
" �x � X � x �M / 7"
+" �� � M�x� � X $ x� � �� 8"
-�#�� ������� ��� #�������� �������� X �+���#���� supX #������ 4�������5"� -��� �+�����
fM � supXg � f�x � X � x �Mg � f�� � M �x� � X $ x� � ag�
��� ����� ��� ������� ������� ��
��� � � � �� � � ��� M � supX ���� ��� ������������� ��� � �������������� �������� X ��������� ���� X � ������� ����� x ������� �� �� x � �� � supX � � �� X ���� X� � � �������� ������� X� ����� !� � supX� � ! � X�
� �� � � � �� � � "# ���������$ ���% ������% &���� �������� �� ����� � �����& �������� X ��'������� ����$ �����$$ &���� M � � �������������
(� � �� � � � � � � )����M � supX � x� �X *�#����� eX ���������� �������� X� ���$'�� �# ���� +������� x � X� ��������$,'��
�����, x � x�� � � eX � fx � X - x � x�g .��#���� �� sup eX �M
��� � � � � � � � � ���� m ���������� ������ ������ ����������� ��������� X � ���� ���������� ��������� �������
�� �x � X � x � m��� �� � m �x� � X � x� � �
����� ������ ���� !������� X ���������� inf X "��������
#��$�!�!%� ��&�! ����!�
fm ' inf Xg ' f�x � X � x � mg � f�� � m �x� � X � x� � �g�
(���� �� � � � ! �������� � ��'�, ������� ����������$-�/ ����M �� $��$���$ ���% ������% &����, �����& �������� X0�/ ���� m �� $��$���$ ���% �����% &����, �����& �������� X( � � �� � � � � � 1 )���� � �����& �������� X ��'������� �& ���
��$ �����$$ &���� supX 2�������� ������� Y � ���$'�� �# ���������������3� ������ �������� X� � � Y � fy - y � �x� x � Xg)��#���� �� inf Y � � supX
�� ��������� ���� ������ ������� ������� � �! � ( ���� �������� ��������� ������������ ����� X
�������� ������ �� ���������� supX � ���� �������� ���������X �������� ������ �� ���������� inf X
� ��������!�� �&������ ���! ������������ ���) ���*��)����� + ������ !������ X �� ����� � � ������� *�� ��
��� ,��!��� -�!��� ��� �������
(� !������ X ������� *�� �� �� �����.���� �� ������ ��� ,��!���� !������� X ���.���� ��
+ � � ��) � �� � � ) +�������!� �� ��� ,��!���� !�������X
�����.���� �� + ������ !������ X �������� ����*� � �/,�!� ���������� ������ "(� +��� C ' c�� c�c����cn���� ���� c� 0�����.���� �� .��� ����� �����! C � c� 1 (� ��� c� 1 ( ' n� � N
2�������� ��
�x � X � x � C � n�� "3�
4��� x ' a�� a�a���� ' a�� fang 0 ������ ��) ,��!��� !�����/�� X � � �� "3� �������� �� 5 � a� � n� 6���!���! !������ E.���* �����) ,��!���� !������� X ��& &�& E 0 &����� �����/�� !������ .���* �����.���� ��* ������ � � ,�! !�������
�� ��� I� �������
�� ����
���� �������� ����� a�� ��������
X� � fx � X � x � a�� fangg�
������� X� ����� �� ���� ��� ������ �������� X � � ������ ��� ����� ����� a�! ������� X� ��"����� "����� X � X��
#���� E� $������� "����� %�� ������ ����� ������ ��������� X�� &�� ��� ������� E� ����� '�( �������� �(������ ���� )� *� +� ,� -� .� /� 0� 1� 23 � ��"���� � ��4������� a� �� max
x�X�
a� $ �������� �� "����� %�� ������ ����� ������
�������� X��#���� X� � fx � X � x � a�� a�a����g! �(%� X � X� � X�� ������
��� a�� maxx�X�
a� �������� �� ����� %�� ������ ����� ������
�������� X��
X� � fx � X� � a� � a�g � fx � X � x � a�� a�a�a����g�
#�%�� �� ������%��� � "����� "��%��������� fXkg��"����� ������� � "��%��������� %�� ������ ����� fakg������ �� X � X� � X� � ��� � Xk�� � Xk � ����
ak � maxx�Xk��
ak�
Xk � fx � Xk�� � ak � akg � fx � X � x � a�� a����akak�����g�
5�������� %�� �����6 %��� x � a�� a���� � a�� fang� #�������� x � supX � �� �� ��
�x � X � x � x� '/3
�x� � x �7x � X � ex � x�� '03
8����� "������� ��� x � X � "���� x � a�� fang� 9���"������� ��"����� ���� '/3� ��������� ��� ������� ����� �
x �� Xk "�� k � )� *� +� ���� '13
x � Xk "�� k � )� *� +� ���� '23
�m � x � Xm��� x �� Xm� '*)3
:� '13 ��%���� �� a� � a� � "��� x � x� ;�� ��"��� ������ '23� � ak � ak "�� k � )� *� +� ���� ���%�� " "��%����6 ���� x��"����%�� �������� x � x�
��� ����� ��� ������� ������� ��
����� � � x� � x � x� � a��� fa�
ng ��� ���� a�
�� a�� ���� a
�
k� ak
��� k � ��m� �� a�m� am � ������ ������ � �������� ex ����� �����
���� !������ ��������� X�� ��� ��� �� ������ a�
�� a� � ex � X�
������� ���
x� � ex � a�� a���� an��� � x� �� �� x� � ex � x � ex � X� � X�
�� ������ ������ ������� "#$ ������������ ����������% !������ex � Xm� ��� ���
x� � a�� a���� am��a�
m��� � a�� a���� am��amam����� � ex � x�
���� �������� x� � ex � x� �� ex � Xm � X &������ "#$ ���������'���� ������� "($ � "#$ �%���������� � � x � supX �� ���%�
������� ��)���������� ����� ���*�� ����� � ������������� ������ !������% ��������� X ������+������%
,��� ��������� X ������� *��� �% ��� ������+������% !��-
���� x� � �� �� ��������� f eX � x � X . x � x�g ������� �� ������-
+������%* ������ ������ supX � sup eX "��� /$ ��!���� �������������������� ����*� �������� ��������� X ����� ������ ���*��������
� � � � � � �� � � ,��� ��� !������% ��������� X ����+�����-�%� �� ����������% !������ x � X �����%������ � ���
x � �a�� a�a���� an��� "��$
����� a�� 0�������1�� �� ����� a� � ������ "��$ �� ���* x�X � a�
� 0�������1� �� ����%* �������%* ������ ��* !�������� ���������X � � �����%* a� � a
�
�2 a�
� 0 �������1� �� ����%* �������%* ���-��� ��* !�������� ���������X � � �����%* a�� a
�
�� a�� a�
� � � &��-����%� �������� ����������� ����� x� � �a��� a
�
����a�
n��� � �a�
�� fa�
ng�� �������� � ����%� ������� ����%������� ��� ����� x� ������������� ���*�� ������ ��������� �
� � � �� � / ���� X � Y � ������ ������� ������������ ����� ����� �
��� ���� x � X � ���� y � Y �������������������
x � y� "�/$
������ supX � inf Y � ������
�x � X �y � Y � x � supX � inf Y � y� "�3$
� �� ��� X 0 �������� ���������� ������������ ����*� ���%�!�������� ��������� Y � ���� "�/$� �� �� ������� � ��)�������supY 4��������� �� �������������� ��������� ��������� Y ���-�� ���%� !�������� ��������� X ������ ��)���������� inf Y ������������ ����%* �����
�x � X � x � supX� �y � Y � inf Y � y� "�5$
�� ��� I� �������
�� ����
�� ���� ���� ��� �� ������������ �������� ���� ����������������� ���
supX � inf Y� ����
�� ��������� ���� ���� ��� ���� ����� y � Y ������������ ����� !������� X " #����� ������ ����� !������� X �" " ����� supX ��� ���!��$�� �� ��� ������ ����� !�����%�� X " &��������� �� � '��� y � Y �(�������� ���������
supX � y� ��)�
�� ��������� ��)� ���� ��� supX ��� ������ ����� !��%����� Y " #����� ������ ����� !������� Y �" " ����� inf Y ������'���$�� �� ��� ������ ����� !������� Y " *����� supX �� inf Y " �
��� � � � �� � � ��� � � ����� ����������� ����� ����� ��
supX � � � inf Y� ����
����� �� ���� � ���� ������ �� �������
x � � � y� ��!�
��� �� �" �������� ��# ������ x � X � ������ y � Y � ����� �� ����$���� #���� �� ������� ��!�� ���� #� �� ��� ����#� ���%���� X ����%���� Y �&��� �� ��� ' ���� ���(��� �������� �� ���������� ������ �������
x �� ������ �� �������
�� �����
�� ������ ������ �������
�� ����� ���������� ��������� ���� � � � �������� ����� ���������� ����
� �� ��� �� ��� �������� ���� r� s� r�� s�� ���������������������
r � � � s� r� � � � s�� ���
�������� ���������
r � r� � � � s� s�� � �
!���� ���� � � � ����������� �� �"# � � � �� � �" ��� ��� ���������� ����� � � � �� ����� ���
������� � ������������ �� ! �� � � � � � � � � � � ���" $� �����% ��� � ��� ������������� ���� ��������� ������� ��� r � s� r� � s�" &������ �����������%���� �������� �� �������� ����� �������
r � r� � s� s�� �'�
(���� E ) ��*����� ���� ���� r � r�� E� ) ��*����� ���� ����s� s�" #�+�� �� ������� �� ���������� ������ ��*���� �x � �������� � ���������� ���� sup E � inf E� � �������� ���������
r � r� � supE � inf E� � s� s��
��� �����
��� ���������� ����� ��
������� ��� � � supE ���������� ����� ���� �� �� � � ������� � � ��
�� � �� � � � � � � � � ����� ���� � � �� ���������� ���
��� ��� � ���� � � ��� �!�� r " r� � � � �� � s" s�� #�$�%��� ���� � ��� &������� ��� �������� �'� ����� ��������� �� $������ r � r� �s � s�� (��� �n" '��� ��������� �����%���� �x '��� )� �� �������$�� � �(���$��� ���������� �� ��� � � ���� ��
�n�� � � � �n��� �
n��� � � �
n��� �*�
�$ $�$ ���� �+������, ��� � � � �+������ �� �( ���
�- �*� ������ �������� � � �� �������
rn � �n�� " �n��
� � � �� � �n�� " �n�� � sn� �.�
!��
sn � rn � �n�� � �n�� " �n�� � �n��
��
��n���
�
��n� �/�
������������� frng � fsng ���������� ����� �.� � �/� ��� ���� � �x '� �� .� ������� ������ � � ��� �
0�������� �+������, ��� �� ����!�� ��������� ��1��������, ���
����� $�$ ��-���� �������� �%���� �x '� �� ���
�� �������� ����� ����������� ����� ����������
�� ��, ���%������, �+������, ��� � � � ��(���� ��$��
�+������� ��� �� ��� �� ���, ��1�������, ��� r� s� r�� s�����������+�, �����
2 � r � � � s� 2 � r� � � � s�� �3�
�������� ��������rr� � � � ss�� �4�
����(������ ��� � � � ���(������� ��� � � � �� � �� ����������� ���� ���� ������������ ������
���� ����� ���������� � ���������� #�$�(������ �+������� ����(������ �������� ������!�� ��$�(������� �+������� ���� �������� '�� 0 $������ � ��%�� (��� supG� !�� G � ���%��� ��� ��� rr�� � r �r� � ��1�������� ���� ���������+�� ����� �3�� #�$�%������������� ����(�������
���� a� � 1��� ���� ��� �� b� � 1��� ���� ��� �� �m�
�m� ��������� �����%���� �������$��� �m� �m � �������
��� �����%���� �(���$�� �� ��� � � � ����������� �!��
�m � � � �m � a� " '� �m � � � �m � b� " '�
0������ k � N ��$� ����� ������� ��������
a� " b� " � � '2k�
�� ��� I� �������
�� ����
����� ��� ����� m �������� ��������
�m� �
m� ��k� ���
��� ��� �m� a� � � � �m � b� � ��
������������ ��� � ����� ���� � � ��� ���������� ������� �!�� ������ � � ��� "�#$��� ��������% �&� � �!� ��'���� ���� r� s� r�� s� ���������� �
n�k� �n�k� �n�k� �n�k �
��#����� rn ( �n�k�n�k� sn ( �n�k�n�k� ������ ����$#�� �!� � ������������
sn � rn ( ��n�k � �n�k��n�k � �n�k��n�k � �n�k� (
(�n�k
��n�k�
�n�k
��n�k�
��k
��n�k(
�
��n
��� ����� n � N��������� ����� ) x �� �������� � ( ��� �����#������ ��*% � �����*% ���� � � � ����������� ��'
��� ��� ��������+�� ��� � ( �� �� �� ( � ��� ����� � � R,)� ��� � � �� � � �� �� �� ( j�j � j�j,-� ��� � � �� � � �� ��� � � �� � � �� �� �� ( �j�j � j�j�.��� ���� ����#��� ��� -� ���������� )�� ��� �������� x�( ��
��� � � � / ����#��$�*� � �����*� ����� ����� ��� � �( ����������� ��0����� 1�� ��0���� ��#*���� ������� �� ����������� � �� ���� � � ��#������� ����# ����
�� ������� �������� ����� 2���� ����#��$� ��� ���'��3�� ������� � ��������� � �����*% ���� ������� ������
�4����� ��� � �������� �� �����3�� ��� ��3�����$�*%���� �x �� �� )�� 5��������� ����#����$���
�4�� �
�3����'�����6 � � ��� � � � � �� � ��� ����������� ���� �� �� �����
������ ���������
�� �� � � ( ��� �� �
� 5�#����� � ( �� �� � �� �� ( ��� �� � � �������� ��� � ( ��������������� ��� � � ��� 7���$#�� �������� �8� � ��������
n��
� � n��� ����
��� n��
� n�� / ���������� �������*� ���������� �n�
���'�� ������� ���� ���������� � �#*����� �# �����������
���* � �����*% ���� ��������
�n�� � �n�� � �� � � �n�� � �n��� ����
�n��
� n��
� � � � �n�� � n�� ��)�
��� �����
��� ���������� ����� ��
�������� �������� ������� � ����� �� ������� ���� ������������� ���� �������
��n�� � �
n��� � �
n��� ��� �� � � � ��n�� � �n��� � �n��� ���
�n�� � ��
n��� �
n��� � �� �� � �� � �n�� � ��n�� � �n���� ���
� ��� �
� �������� ��!���� �� �����"��� #��� ���� #�$�� ������� ��� � ��� ���� #��� rn % �n�� � �
n��� �
n��� �
����� #��� ���� #��� �n % �n�� � �n�� � �n��& ��'���� �� ���� ��� �#���� �������� � � �� ����#���
rn � � � �� � �n� �(�
)�� �n � rn %�
��n���
�
��n� ��*��� ��� ����� �� x ������� #��
� % ��& �+����)�#�� ��*������� ���������" ���)�� �,� �����$
�, ��!���� � ����!����&-������� #�� *���� �,� �������� �*������� x ��& ���
��� �.������� #��� �������� �����.�� �,��/
� ��� a �% �� ab % �� �� b % �0�� ��� a b � � c d �� �� ac bd0�� ��� a b� �� a�n�� b�n�� ��� ��1�)� n � N0�� ��� a b � �� �� an bn ��� ��1�)� n � N&2 � � �!� � � � � �& ���� � � � � �������
�� ����� � � �% ��
� �� ���� �� �������� � ������
�&� 3�
������ ��#��� ��#�,� *�)�� � � � � % & ���" �
n� �n 4
�����#��� ���1��!���� #��� � �������*�� � ��1��*��& 5�**�* � �� �� ��,���� ��*�� m � N � #�� �
m ��m& -1����#�� #�$
��� X ���!��� �� �����"��� #��� ����
�m�n
� n � N� � #���� Y 4
���!��� �� �����"��� #��� ����
�m�n
& � ��� ������� �� x � �$
.����� �.������� #��� x� ��������.�� ���!��� X � Y � �& �&
�
�n�m
� x ��
�n�m
� n � N� �6�
5�* *�* �n� � � �n� �� �� ����������� ����������� �.����$
��� #��� ������� #�� ��� n � N
� ��n ��n�m
�n�m
� x� ��n�m
�n�m
� � ��n� �7�
� ��� ����� �� x ����#���� #�� x� % � �& �& x %�
�
&
8�� � � �� �� ����!���
�
% ��
j�j&
�� ��� I� �������
�� ����
����� � � � � ������� ���� � � �� �� ��������� ����������������� ������� �������� �������� ���� ������� �� ��
����� �� ���� x � ��
�
� ��� �!�� �������� x� � �� �� ����
�� "�� �!�� ���������� #��� x� � � � y� � �� �� $x� y%� � ��&� � � �� �� �� x� y � �� �� � x � y� �
������� � ���'���� �������� ���� � ������ ������������ ������ ������ �������(� ����)
j � aj � jaj� jabj � jaj � jbj� $*+%
ja, bj � jaj, jbj� ja� bj � jjaj � jbjj� $*-%
.� ��� ��������� $*-%� / ������� ��������� �jaj � a � jaj �� jbj � b � jbj� ������� �� �$jaj, jbj% � a, b � jaj, jbj� �� � ja,, bj� jaj, jbj� &� � a� $a� b% , b� b� $b� a% , a� �� jaj� ja� bj,, jbj � jbj� jb� aj, jaj� ja� bj, jaj� /����������� ja� bj� jaj � jbj� ja� bj � jbj � jaj� �� � ja� bj � jjaj � jbjj�
����� �� � � ������� ������� ����� ���� � � �� &�(�����������
jx� aj � � $0�%����������� $���� 1�*% ���'���� ���������
a� � � x � a, ��
�� � �������� �!��' ��������� $0�% � ������� $a� �� a, �%2� ��������� ���������
jxj � �� (� � � ��
����������� ���'���� ���������
�� � x � ��
3��������jx� aj � �� � � �� $0*%
���������� ��� x � a� � � ��� x � a, � $���� 1�0%� �� � ��������
�!��' ��������� $0*% � �45����� 4� ����� ���������
�� ��� I� �������
�� ����
��� ��� x � � � y� ��
xm � �m � ym� ��
���� ��������������� ������ �� x �� ������ �������� ym � xm��������� ���� � ym � xm ! �y � x�ym�� " xym�� " ���" xm�� � #������ #�� x � $� y � $� y � x� ��� #���
$ � ym � xm � �y � xmym��� ��%
& '�� � '������(�� � ��#����� )�������� y � Y ����� ��� �� � �������� )������ ���*����� Y � ������ '���������+� �����+ y � p�,'� p - �������� �(� ��� ������� #���� �p � Y � ��,'� �� ��%
���' ��� #�� $ � ym � xm � �y � xmpm��� .����� '���� s � N ����#��� ���������� ����������� mpm�� � �$s/ ��,'�
$ � ym � xm � �y � x�$s� ��0
� ��� �k � �k - k1� '�����#�� ������*���� #���� � ��������������� ������� � � ��'��������� ��,'� xn � � � yn� ,'� xn ! �
n�s� yn !
! �n�s � xn � Q� yn � Q '�� �+��,� n � N ���� x ! xn � y ! yn ����������� ��0 ��������� ��'
$ � ymn � xm
n � �yn � xn�$s !
�
��n� ��2
���#�� )�� ����������� ���������� ��� �+��� n � N ��� ����� �� x � �� ��2� � ���*� �� ����������� ������ ��� #�+���
�� ��3 � �� ������� x �� xn � y �� yn� ���' ��� #�� �m ! a� �� ��
� - ��������#����� ������ m1� ������� �� #���� a � $�4'������������ #���� � ���' �� �� ��,�� #�� ����� ����*�����1
�� #����� ���������� +� � ����� n1� ������� �56 ���� $ � � � ����� �n � �n� � �
�� ����� ���������� ����
� ���������� ����� ������� ��� �#������� ���'���� � � '� ,�5 ���'���5��������#����,� ������� ��� ������ +��� �������� ���'���� ��� ��� )����������� ����������� 7��+��� � ��' ����' ��������1#����� ��' ���� � �,� ���������� '�� '������������� ��*'���� ������������ � ���������� � ����� 8�+�����
� ����� ������������ �������� ���� '�������� #�� ����1����� ����*'���� ����� '�� �+��,� n � N ������� n� '������#��'�������� #��6
� )�� ����*'���� ����� ��� n ! �/� �� ���'����*���� � ������'������� ����*'���� '�� ������
n ���' �� ������'������� )��,� ����*'���� '�� ���' +9�,� ����1�� n" ��
����� ����' '������������� �����+� ������� ��������������������
��� �����
��� ���������� ����� ��
�������� ������ �������� ���� �������� ��� � �� ������� �������
�� � �� � ���� n� �n�n� ����n� ��
�� ����
� ��� n � � ������� ���� ���� �� � ��� � !� �������" #� ��������$�!��� � �������$����� %��� $ ���� �$�� � �������$�&���� �������
�� � �� � ���� n� � �n� ��� ��n � ���n � ����n� ��
�� ����
���'��$�� � �'��� #���� ������ ������� ���� �$������� �n� ���"��$ #���
�� � �� � ���� n� � �n� ��� �n�n� ����n� ��
�� �n� ���� ����
����'��� � ���� ( #��� ������� ����" �)����
n� �
���n� � *n� +� �
�n� ���n� ����n� ��
��
,���� �'�����" ������� ���� ��$���� ����" � ����� %��� &$� ���� �������$��� ��� $('�� n � N� N
- � � �!� � � � .� ���� x���� �� ��� ���� n�N ��������������������� ��������
�� � x�n � � � nx� ����
� ��� n�� ���!���� ���� ���� �� � x�� � x�� � !� �������"#� ��� x � �� �� ������$�!��� � �������$����� �������� �����$�� � �������$����� ��������
�� � x�n�� � � � �n� ��x� ��.�
/�$� �������� ���� ��$���� ����" � ��� ��!��� �'��)#���0 ��� � � � x" ��� � � x � �" ��$ #�� ����� ��������
�� � x�n�� � �� � nx��� � x��
��� �� � nx��� � x� � � � �n� ��x� nx� � � � �n� ��x" �� ���nx
� � ��,���� �'�����" ��� x � �� �������$��� �������� ��.�" � ���&
�� �������� ���� ��$���� ���� ��� $('�� n � N � �'� ������������� /�$� a�� a�� ���� an 1����
� #��$�" � �) � ��
�'���#�( �����$��
nX
k��
ak" � ��
nX
k��
ak � a� � a� � ���� an�
�� ��� I� �������
�� ����
� ����� k ������ �������� ���������
���������� �������m�pX
k�