ОглавлениеВведение........................................................................................................................................................................3

О данной работе........................................................................................................................................................4

Благодарности...........................................................................................................................................................5

1 Расчет стальных изгибаемых элементов.............................................................................................................6

1.1 Исходные предпосылки................................................................................................................................6

1.2 Построение модели на примере стального симметричного двутавра.....................................................7

1.3 Решение задачи для стального симметричного двутавра..........................................................................9

1.4 Вывод основных зависимостей для изгибаемого стального элемента с учетом идеально пластической стадии...............................................................................................................................................12

1.5 Решение задачи для стального симметричного двутавра из разнородных сталей...............................15

1.6 Определение прогиба элемента с использованием нелинейной деформационной модели..............16

1.7 Вычисление остаточных напряжений и деформаций в элементах с использование нелинейной деформационной модели......................................................................................................................................21

1.8 Построение нелинейной деформационной модели для материалов с условным пределом текучести25

2 Расчет сталежелезобетонных элементов..........................................................................................................27

2.1 Исходные предпосылки..............................................................................................................................27

2.2 Расчет изгибаемых элементов....................................................................................................................31

2.3 Учет ниспадающей ветви диаграммы напряжения-деформации для бетона........................................35

3 Расчет железобетонных изгибаемых элементов..............................................................................................41

3.1 Исходные предпосылки..............................................................................................................................41

3.2 Расчет изгибаемых элементов....................................................................................................................41

3.3 Расчет предварительно напряженных железобетонных элементов.......................................................51

3.4 Отдельные уточнения по вычислению прогиба железобетонных элементов с использованием нелинейной деформационной модели.................................................................................................................58

3.5 Усовершенствование модели применительно к расчету железобетонных элементов.........................59

3.6 Расчет железобетонных элементов при действии продольных сил.......................................................60

3.7 Расчет внецентренно сжатых элементов с учетом ниспадающей ветви диаграммы напряжения-деформации для бетона.........................................................................................................................................63

3.8 Расчет внецентренно сжатых элементов для случая косого изгиба........................................................63

4 Учет специальных эффектов для сталежелезобетонных конструкций............................................................64

4.1 Учет усадки бетона......................................................................................................................................64

4.2 Учет ползучести бетона...............................................................................................................................64

4.3 Учет начальных напряжений в стальной части сечения обусловленных нагрузкой от свежеуложенного бетона.......................................................................................................................................64

4.4 Учет начальных напряжений от предварительного напряжения стальной части сечения....................64

1

4.5 Учет податливости соединения стальной и бетонной части сечения......................................................64

5 Выводы.................................................................................................................................................................65

6 Список иллюстраций...........................................................................................................................................66

2

ВведениеЖелезный конь приходит на смену крестьянской лошадке…

(Из произведений И. Ильфа и Е. Петрова).

Современные условия диктуют необходимость возведения все более сложных конструкций.

Значительное число возводимых на сегодня зданий и сооружений отличается наличием

большепролетных или высотных элементов. При этом складывается опасная тенденция, что

существующие и вновь развиваемые методики расчета не успевают развиваться так же

стремительно как возрастает сложность возводимых конструкций. Возникновению такой тенденции

способствует, в том числе значительное отставание отечественной нормативной базы от

зарубежных аналогов.

Несомненно, существующие в настоящее время программные комплексы, особенно так

называемого «тяжелого класса» (ANSYS, NASTRAN и т.д.) позволяют выполнять расчеты

практически любых конструкций с учетом физической и геометрической нелинейности (в том числе

и одновременно), учитывать образование трещин, различные диаграммы деформирования

материалов и т.д. Но также верно и то, что освоение подобных методов расчета с использование

данных программных комплексов не под силу большинству практических инженеров, а сами

данные программные комплексы предназначены скорее для решения машиностроительных, чем

чисто строительных задач.

Программные комплексы «среднего» класса (Лира, MicroFE и др.) более просты в освоении

для рядовых инженеров, но не позволяют детально просматривать как задаваемые начальные

параметры расчетов (например диаграммы деформирования бетона и алгоритмы учета

трещинообразования), так и результаты расчета (например образование трещин по высоте

элемента). То есть, данные программные комплексы скрывают от пользователя необходимые

настройки и выходные параметры, что не позволяет полноценно верифицировать результаты

выполненных расчетов.

Таким образом, в настоящее время образовался огромный разрыв в способах выполнения

расчетов – они выполняются либо вручную по устаревшим методикам, распространение которых на

сложные случаи неправомерно, либо с использованием компьютерных программных комплексов,

не позволяющих пользователю видеть алгоритмы расчета и промежуточные результаты.

Настоящая работа посвящена устранению этого разрыва в методиках расчета и позволяет, с

одной стороны, построить «с нуля» расчетную модель, с другой стороны, методом

последовательного усложнения довести данную модель до учета сложных эффектов, которые не

под силу даже многим современным расчетным программным комплексам, т.е. позволяет построить

логическую нить рассуждений и выводов от известных и понятных положений элементарной

строительной механики до секретов существующих расчетных комплексов.

По мере возможности в работе приводятся рассуждения и выводы на основе действующих

3

отечественных нормативных документов, в тех случаях, где это невозможно или нецелесообразно,

даются необходимые пояснения на основе зарубежных аналогичных документов и разработок.

Актуальность работы заключается в необходимости разработки современных методов

расчета железобетонных конструкций с учетом неупругих деформаций бетона и арматуры.

Разрабатываемые методы должны быть достаточно точными и отражать действительную работу

конструкций (в отличие от метода предельных усилий), а также быть достаточно простыми в

реализации и понимании и воспроизведении для простых инженеров (в отличии от программных

комплексов «тяжелого» класса типа ANSYS).

Научная новизна работы состоит в установлении основных теоретических зависимостей для

нелинейной деформационной модели. Разработанная модель позволяет достаточно легко и точно

оценить прочностные и деформативные параметры стальных и железобетонных элементов. Также

модель не требует глубоких знаний математического аппарата, изучения сходимости итерационных

процессов и т.д.

Работа состоит из пяти глав, таблиц и иллюстраций.

В первой главе приводятся основные исходные предпосылки, а также производится вывод

основополагающих зависимостей для дальнейших выводов и расчетов.

Во второй главе приводится вывод основных зависимостей для расчета сталежелезобетонных

конструкций. Также в главе приводятся результаты расчетов с использование различных диаграмм

деформирования материалов.

В третей главе содержится вывод зависимостей для расчета железобетонных элементов, в

том числе для случаев внецентренного сжатия и косого внецентренного сжатия.

В четвертой главе содержится вывод зависимостей для учета таких специальных эффектов

сталежелезобетонных конструкций как ползучесть, усадка, проскальзывание анкерных связей и др.

В пятой главе приведены основные выводы по данной работе.

О данной работеОсновной целью данной работы было восполнение пробелов в отечественной нормативной

литературе посвященной расчету железобетонных конструкций, несмотря на это, для целей

улучшения понимания материала в работе затронуты и стальные элементы.

В основном работа предназначена для инженеров-конструкторов, сталкивающихся на

практике с необходимостью расчета железобетонных элементов по нелинейной деформационной

модели. Также работа будет полезна студентам и аспирантам строительных ВУЗов.

Данный труд не является диссертационной работой, а также не претендует на абсолютную

новизну и актуальность. Работа не требует какой-либо официальной оценки, не требует признания

официальными органами и написана исключительно из добровольных бескорыстных соображений.

Работа является частным мнением одного автора и может быть оспорена или дополнена

любым специалистом в рассматриваемой области.

4

Автор не претендует на какие-либо авторские или иные смежные права и не возражает

против цитирования работы другими авторами, однако прошу Вас не заниматься откровенным

плагиатом, так рассматриваемые вопросы очень обширны и Вы можете приложить свои силы для

развития выдвинутых идей, а не бездумного их копирования.

Основные идеи данной работы были высказаны на проведенных мной семинарах, текст в

электронном виде находится в свободном доступе в сети Интернет. Возможно когда-нибудь этот

труд будет напечатан и в общедоступном печатном виде.

Работа изменяется и дополняется по мере сил и возможности.

БлагодарностиВыражаю искреннюю благодарность моим великим учителям, которые помогли написать

мне данный труд – Каширскому Ю.А., Карнету Ю.Н., Куршпелю В.Х., Дубинскому С.И.

Также выражаю благодарность всем моим друзьям, которые вдохновляли меня на

протяжении этой нелегкой работы. Выражаю признательность моим коллегам, которые

присутствовали на моих семинарах посвященных рассматриваемым вопросам. В основном в

результате подготовки к данным семинарам и появился данный труд.

Огромную благодарность выражаю свой жене Светлане и детям, и прошу у них прощения за

то время, которое я не мог провести с ними занимаясь данной работой.

5

1 Расчет стальных изгибаемых элементов

1.1 Исходные предпосылкиДля построения модели деформирования изгибаемого элемента будем полагать, что

справедлива гипотеза плоских сечений. Несмотря на то, что в общем случае гипотеза плоских

сечений не всегда выполняется (например, при кручении или в местах приложения значительных

локальных нагрузок), в рассматриваемой нами модели с достаточной для инженерных расчетов

точностью можно полагать, что гипотеза плоских сечений является справедливой.

Сформулируем основное положение гипотезы плоских сечений: сечения плоские и

перпендикулярные оси элемента до деформации остаются плоскими и перпендикулярными

после деформации. Для нашей модели наиболее ценной является первая часть данного

утверждения, т.е. то, что сечения плоские до деформации остаются плоскими и после

деформации. Какие выводы позволяет нам сделать данное утверждение? Данное утверждение

позволяет нам, задаваясь относительными деформациями на верхней и нижней грани сечения,

определять относительные деформации в любой точке по высоте сечения.

Как мы увидим в дальнейшем, при расчете железобетонных конструкций зачастую удобно

задаваться относительными деформациями не верхней и нижней граней сечения, а относительными

деформациями сжатого бетона и растянутой арматуры, однако принципиальной разницы в том, в

каких точках мы будем задаваться относительными деформациями, не существует.

Относительными деформациями называют отношение деформации некоторого участка

элемента к длине рассматриваемого участка. В нашем случае рассматриваются отдельные сечения

элемента, поэтому длина рассматриваемого участка является бесконечно малой, однако,

относительные деформации не будут являться бесконечно малой величиной.

Введем следующие обозначения:

- относительные деформации на уровне верхней грани сечения (относительные

деформации крайнего верхнего волокна). В случае если сжатая зона элемента находится вверху

данные относительные деформации иногда называют относительные деформации крайнего сжатого

волокна.

- относительные деформации на уровне нижней грани сечения.

При этом, относительные деформации будем задавать с учетом знака: знак "+" будем

принимать для растягивающих напряжений, а знак "-" будем принимать для сжимающих

напряжений. Данная система обозначений соответствует общепринятой системе, однако для вывода

наших зависимостей ее можно было бы принять любой.

Направим локальную (для сечения) ось X от верхней грани сечения к нижней, начало

координат введем в верхней грани сечения. В случае расчета внецентренно сжатых элементов

6

начало координат в некоторых случаях удобно располагать в центре тяжести сечения (для

получения нулевого эксцентриситета внешней силы относительно начала координат). Однако, как

мы увидим в дальнейшем, при выполнении нелинейных расчетов центр сопротивления сечения не

всегда совпадает с центром тяжести в геометрическом понимании этого термина.

Найдем относительные деформации в любой точке по высоте сечения. Очевидно, что

при , ;

при , ;

при (в любой точке по высоте сечения) относительные деформации найдем по

линейной интерполяции (используя выше приведенное положение гипотезы плоских сечений),

тогда

В случае, если напряжения пропорциональны относительным деформациям (т.е. соблюдается

закон Гука), можно записать:

, тогда

(1.)

Однако в общем случае (например, при работе материала за пределом текучести, точнее за

пределом пропорциональности) закон Гука не справедлив и нам понадобится более сложный прием

для определения напряжений по высоте сечения, даже при известных относительных деформациях.

1.2 Построение модели на примере стального симметричного двутавраРассмотрим симметричный двутавр со следующими геометрическими характеристиками:

, , , ,

Разделим сечение на некоторое количество слоев. Очевидно, что чем на большее число слоев

мы будем делить элемент, тем точнее будет решение задачи, однако тем больше потребуется

вычислений для решения задачи, что с учетом современного развития вычислительной техники не

представляет затруднений.

Для рассматриваемой задачи разделим двутавр на 60 слоев равной толщиной по 1см. В

общем случае, толщина слоев не обязательно должна назначаться равной, однако вывод уравнений

в этом случае несколько усложняется, и в нашем решении мы будем стремиться к назначению слоев

равной толщины.

В пределах каждого слоя введем обозначения:

- относительные деформации на уровне верхней грани слоя;

7

- относительные деформации на уровне нижней грани слоя

или - относительные деформации на уровне центра тяжести слоя

Заменим трапециевидную эпюру относительных деформаций в пределах каждого слоя на

прямоугольную, тогда в пределах каждого слоя напряжения будут равны:

при напряжениях меньше предела текучести, т.е. при ,

, т.е. напряжения в каждом слое будут равны произведению

модуля упругости данного слоя на относительные деформации в уровне центра тяжести слоя.

при достижении напряжениями предела текучести, очевидно (в случае если

рассматриваемый металл имеет горизонтальную площадку текучести). Для материалов с условным

пределом текучести, напряжения будут расти и после достижения условного предела текучести,

однако скорость роста деформаций изменится по сравнению с напряжениями до предела текучести,

данный эффект мы рассмотрим в дальнейшем.

Вычислив напряжения в каждом слое, можем записать выражения для усилия, создаваемого

каждым слоем:

, т.е. усилие, создаваемое каждым слоем, будет равно

произведению площади данного слоя на напряжение в данном слое. Данное усилие можно считать

приложенным в центре каждого слоя. Для того, чтобы система находилась в равновесии сумма

усилий в слоях должна равняться внешнему усилию, т.е. , при расчете изгибаемых

элементов (без продольной силы), очевидно должно выполняться условие .

Для слоев расположенных в полке рассматриваемого двутавра , .

Для слоев расположенных в стенке рассматриваемого двутавра ,

Момент усилия каждого слоя относительно центра тяжести рассматриваемого сечения

запишем в виде:

, где - расстояние от центра тяжести сечения до центра тяжести

соответствующего слоя. Для того, чтобы система находилась в равновесии сумма моментов усилий

в слоях должна равняться внешнему моменту, т.е.

В рассматриваемом случае (когда центр тяжести находится на расстоянии от верха

сечения), т.е.8

(1.)

Для самого верхнего (первого) слоя:

(1.)

Для второго слоя:

Для третьего:

(1.)

и т.д.

В случае если все слои одинаковой высоты, то для первого слоя , для второго слоя

, для третьего слоя и т.д.

1.3 Решение задачи для стального симметричного двутавраКак было сказано выше, разделим рассматриваемый двутавр на 60 слоев по 1см.

Пронумеруем слои от 1-го до 60-ти, за первый примем самый верхний слой.

Дальнейшие расчеты будем проводить в табличной форме с использованием табличного

процессора MS EXCEL. Выбор данной программы обоснован наличием в ней большого числа

внутренних формул которые в значительной мере позволяют упростить выполнение расчетов.

Входными параметрами для решения нашей задачи будут относительные деформации на

уровне верхней и нижней граней сечения, т.е. и . Выходными параметрами будем считать

продольную силу и изгибающий момент. Т.е. варьируя два входных параметра мы будем получать

два выходных параметра и сравнивать их с заданными внешними усилиями.

В первый столбец будем заносить номер слоя. Назначение номера слоя не обязательно, но

позволяет при упоминании удобно ссылаться на слой по его номеру, т.е. когда мы будем говорить о

каком-либо слое, мы будем говорить "слой номер …".

Во второй столбец будем заносить ширину слоя, т.е. 30 см для слоев полки двутавра и 1 см

для слоев стенки двутавра.

В третий столбец будем заносить толщину (высоту) слоя, т.е. 1см. Т.к. все слои в нашем

случае одинаковой высоты, то данный столбец можно и не создавать, но наличие данного столбца

удобно для дальнейших вычислений.9

В четвертом столбце будем получать площадь каждого слоя – произведение ширины слоя на

его высоту, т.е. произведение столбцов 2 и 3: .

В пятом столбце будем получать расстояние от верхней грани сечения до центра тяжести

каждого слоя.

В шестом столбце будем получать относительные деформации на уровне центра тяжести

каждого слоя, т.е. .

В седьмой столбец будем заносить модуль упругости данного слоя. Т.к. все слои в нашем

случае имеют одинаковый модель упругости (пока), то данный столбец можно и не создавать, но

наличие данного столбца удобно для дальнейших вычислений

В восьмом столбце будем получать напряжения в каждом слое, т.е. .

В девятом столбце будем получать усилие в каждом слое, т.е. .

В десятом столбце будем получать плечо для усилия в каждом слое, т.е. .

В одиннадцатом столбце будем получать момент усилия каждого слоя относительно центра

тяжести, т.е. .

В целом, задача сводится к получению таких значений относительных деформаций на

верхней и нижней грани сечения и , при которых внутренние усилия (т.е. суммы по столбцам

8 и 10) станут равны внешним усилиям, заданным в задаче.

Получаем таблицу следующего вида (на рисунке приведена только часть ячеек таблицы).

Рисунок 1-1. Схематический вид таблицы для расчета нормальных сеченийПример, найдем напряжения в рассматриваемом сечении, при которых момент

воспринимаемый сечением будет равен 1600кН*м.

Найдем момент инерции рассматриваемого сечения

10

Найдем момент сопротивления рассматриваемого сечения

В соответствии с положения теории о сопротивлении материалов аналитическое значении

максимальных напряжений, при которых воспринимаемый момент равен 1600кН*м составляет:

В соответствии с разработанной нами моделью напряжения в верхнем слое составили

.

Эпюра распределения напряжений по высоте сечения приведена на рисунке

Рисунок 1-2. Эпюра напряжений в нормальном сечении элементаКак видим, вид данной эпюры вполне согласуется с теоретическим, что говорит о

достаточной достоверности предлагаемой модели.

11

Погрешность вычисления напряжений составляет:

, что вполне достаточно для инженерных расчетов.

Для оценки погрешности вычисления относительных деформаций получим относительные

деформации в соответствии с теорией сопротивления материалов:

В соответствии с нашей моделью относительные напряжения на верхней и нижней грани

сечения при решении задачи составили , т.е. погрешность вычисления относительных

деформаций на верхней и нижней грани не превышает .

Покажем, что погрешность вычисления напряжений в нашей модели вызвана дискретностью

модели, т.е. разбивкой сечения на слои, а не неточностью введенных в модели зависимостей. Для

этого увеличим количество слоев в два раза, т.е. установим разбивку сечения по 0,5см по высоте. В

этом случае общее количество слоев составило 120. Напряжения в верхнем слое составили

. Погрешность вычисления напряжений составляет:

Таким образом, увеличение количества слоев в два раза уменьшило погрешность вычисления

напряжений также в два раза. Очевидно, что при необходимости мы можем получить результат с

любой интересующей нас точностью, увеличивая соответствующим образом количество слоев. Для

практических инженерных расчетов, как правило достаточно, чтобы погрешность вычисления

составляла не более 3-4%. В этом случае, в соответствии с приведенными выше выводами

достаточно разбивки сечения двутавра на 30 слоев по высоте – ожидаемая погрешность составит

3,5%, однако даже при разбивке сечения на 100-200 слоев по высоте современные вычислительные

машины позволяют получать результат вычислений не более чем за несколько секунд, что делает

данный вид расчетов доступным практически любому инженеру.

Разработанная нами модель, как показано выше, позволяет определять нормальные

напряжения в сечении, причем как максимальные по сечению, так и в любой точке сечения по его

высоте. Однако это не все на что способна наша модель. В нашей модели мы можем получить также

следующее:

- учесть пластические деформации материала и проследить вызванное этим образование

пластического шарнира или разрушение материала.

- получить эпюру распределения относительных деформаций и напряжений по высоте

сечения;

- получить кривизну элемента в рассматриваемом сечении, что позволит вычислить прогиб

изгибаемого элемента;

12

- получить значения касательных напряжений в сечении.

Т.е. на основании разработанной нами модели возможно произвести практически любые

расчеты изгибаемых элементов, а при некоторой модификации также и внецентренно сжатых

элементов.

1.4 Вывод основных зависимостей для изгибаемого стального элемента с учетом идеально пластической стадии

Пластическое течение материала характеризуется тем, что при достижении напряжениями в

материале некоторой величины (называемым пределом текучести) напряжения в материале

перестают расти (при физическом пределе текучести) или растут более медленным темпом (при

условном пределе текучести).

Как правило, предел текучести выражают через напряжения, т.е. пределом текучести

называют некоторое напряжение при котором дальнейшее увеличение деформаций происходит

. Покажем, что предел текучести может быть выражен также и через относительные деформации.

Так как при напряжениях до предела текучести соблюдается закон Гука, то предел текучести в

относительных деформациях:

(1.)

Из приведенного соотношения видно, что предел текучести в относительных деформациях,

так же как и в напряжениях есть величина различная для различных видов стали.

Для начала рассмотрим материалы с физическим пределом текучести, т.е. с ярко выраженной

горизонтальной площадкой текучести в этом случае для напряжений меньше предела текучести, т.е.

при , будет как и прежде выполняться соотношение , а

при будем принимать .

Для учета текучести в нашей модели добавим столбец с пределом текучести (перед столбцом

с напряжениями). А столбец с напряжениями дополним условием вида:

ЕСЛИ ТО ИНАЧЕ

В рассматриваемом примере примем, что .

Определим изгибающий момент в соответствии с теорией сопротивления материалов, при

котором напряжения достигнут предела текучести в крайнем сжатом и крайнем растянутом

волокне:

13

Для нашей дополненной модели при напряжениях в крайнем слое . Момент

воспринимаемый сечением составляет для модели содержащей 60 слоев.

Относительные деформации крайних волокон составляют при этом

Рисунок 1-3. Схематический вид таблицы с учетом предела текучести сталиПогрешность вычисления изгибающего момента, при котором начинается пластическое

течение материала составляет:

, .т.е. также вполне достаточно для практических инженерных

расчетов.

Рассмотрим, что будет происходить с сечением при дальнейшем увеличении относительных

деформаций крайних волокон.

При значении предела текучести достигли напряжения в слоях 1-6 и 55-

60, т.е. в стадии текучести находятся полки (слои 1-4 и 57-60) и частично стенка сечения.

Изгибаемый момент, воспринимаемый сечением, при этом составляет . Как видим, за

счет пластического течения материала изгибающий момент воспринимаемый сечением может быть

несколько больше предельного момента, определенного по упругой стадии.

При значении предела текучести достигли напряжения в слоях 1-26 и 35-60,

т.е. в стадии текучести находятся полки (слои 1-4 и 57-60) и практически вся стенка. Изгибаемый

момент, воспринимаемый сечением при этом, составляет

14

Рисунок 1-4. Эпюра нормальных напряжений с учетом неупругих деформаций сталиКак видим, увеличение относительных деформаций крайнего волокна не может приводить к

бесконечному увеличению изгибающего момента, воспринимаемому сечением, даже при

практически полном использовании материала по всей высоте сечения.

Относительное удлинение при разрыве для обычных сталей с физическим пределом

текучести составляет , однако из практических соображений рекомендуется

ограничивать относительные деформации стали до значения не более .

Определим предельный изгибающий момент, воспринимаемый сечением при деформациях

крайнего волокна . Изгибаемый момент, воспринимаемый сечением при этом,

составляет .

Как видим при увеличении относительных деформаций в 2,5 раза с до

изгибающий момент, воспринимаемый сечением увеличился с до

, т.е. в стадии образования пластического шарнира происходит увеличении

деформаций практически без увеличения внутренних усилий.

Таким образом, при полном использовании пластических свойств материала коэффициент

прироста несущей способности для стального двутавра может составить:

Т.е. прирост несущей способности составит для рассматриваемого сечения чуть менее 9%. В

общем случае прирост несущей способности будет зависеть от соотношения толщины полок и

стенки и будет тем меньше, чем больше относительная высота полок. Отметим также, что для

прямоугольного сечения .

15

1.5 Решение задачи для стального симметричного двутавра из разнородных сталей.

Учитывая, что в стальных двутаврах стенка воспринимает значительно меньшую долю

изгибающего момента по сравнению с полками, в некоторых случаях целесообразно изготовление

сварных двутавров в которых полки изготавливаются из более прочной стали чем стенка (например,

С345 и С255 соответственно).

Рассмотрим решение задачи, если полки имеют предел текучести , а стенка

имеет предел текучести .

С точки зрения классической теории сопротивления материалов, несущая способность такого

элемента будет ограничена напряжениями, при которых полка или стенка достигнут предела

текучести. В соответствии с нашей моделью этот момент наступает при значении .

Изгибаемый момент, воспринимаемый сечением при этом, составляет

При значении предела текучести достигли также напряжения в полке.

Изгибаемый момент, воспринимаемый сечением при этом, составляет

Предельный момент для рассматриваемого сечения составляет . Эпюра

нормальных напряжений в сечении при этом выглядит следующим образом:

Рисунок 1-5. Эпюра нормальных напряжений для сечения из разнородных сталейКак видим, в предельной стадии и полка и стенка достигают своих пределов текучести.

16

1.6 Определение прогиба элемента с использованием нелинейной деформационной модели

Прогиб упругой линейно деформируемой шарнирно опертой балки, как известно,

определяется по формуле:

(1.)

Выразим данное значение прогиба через максимальный изгибающий момент:

(1.)

Учтем, что кривизна изгибаемого элемента в упругой стадии может быть определена по

формуле:

(1.)

тогда можно получить формулу для определения прогиба через кривизну элемента:

(1.)

Данная формула позволяет определять прогиб изгибаемого элемента по кривизне в сечении с

максимальным изгибающим моментом полагая, что значение кривизны пропорционально

изгибающему моменту. Аналогичная формула применяется при определении прогиба

железобетонных элементов, кроме того, подобная формула может быть выведена для изгибаемых

элементов с любыми условиями закрепления (отличие будет только в первом множителе).

В разработанной нами модели кривизна может быть определена по формуле:

(1.)

Проверим разработанную нами модель на примере:

Пролет элемента , Нагрузка , сечение элемента ранее принятое:

, .

Определяем прогиб элемента в соответствии с теорией сопротивления материалов:

Дополним нашу таблицу ячейками для определения кривизны, а также определим

изгибающий момент:

17

При данном изгибающем моменте , кривизна , прогиб

.

Как видим, разработанная нами модель вполне пригодна для определения прогиба, причем

для этого нам не понадобилось значительно усложнять модель.

Проследим, как будет изменяться значение прогиба элемента при постепенном увеличении

нагрузки (точнее изгибающего момента, однако по значению изгибающего момента может быть

найдено и значение нагрузки).

При , кривизна , изгибающий момент , прогиб

.

При , кривизна , изгибающий момент ,

прогиб .

При , кривизна , изгибающий момент ,

прогиб .

При , кривизна , изгибающий момент ,

прогиб .

При , кривизна , изгибающий момент ,

прогиб .

При , кривизна , изгибающий момент ,

прогиб .

При , кривизна , изгибающий момент ,

18

прогиб .

При , кривизна , изгибающий момент ,

прогиб .

Построим график зависимости прогиба элемента от действующего изгибающего момента

(как мы уже отметили выше, от изгибающего момента может быть определена действующая

нагрузка, т.е. данный график может быть построен и в осях нагрузка-прогиб).

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 5 10 15 20

Рисунок 1-6. Диаграмма зависимости прогиба элемента от изгибающего моментаКак видно из графика, при некотором значении изгибающего момента происходит резкое

непрерывное нарастание прогиба. По сути, данное нарастание прогиба и считают обрушением

элемента.

Также необходимо отметить, что образование пластического шарнира произошло в балке не

резко, а на некотором участке. На данном участке прослеживается текучесть сначала полок

элемента, а затем и стенки.

Строго говоря, полученное нами значение прогиба элемента после наступления текучести не

является верным, так как выведенная нами формула для определения прогиба элемента в

зависимости от кривизны в сечении с наибольшим изгибающим моментом получена в

предположении, что кривизна элемента пропорциональна изгибающему моменту, поэтому

полученное нами значение прогиба является завышенным, т.к. на участках элемента вне зоны

пластического шарнира зависимость между изгибающим моментом и кривизной будет линейной.

Покажем, однако, что наша модель позволяет обойти и эту проблему, т.е. позволяет

19

корректно определять прогиб элемента и в стадии пластического шарнира.

Разобьем элемент на несколько участков. В пределах каждого участка будем полагать, что

изгибная жесткость является величиной постоянной, т.е. . Для сечении в которых

текучесть материала не достигнута, под модулем упругости следует понимать начальный модуль

упругости, для сечений с текучестью материала необходимо определить секущий модуль

упругости.

Для определения секущего модуля упругости воспользуемся выражением:

(1.)

Откуда

(1.)

Данный модуль упругости следует назначать для участка, в котором материал достиг предела

текучести.

Для примера определим прогиб нашей балки с использованием программы Лира. Разобьем

балку на 11 элементов, среднему элементу зададим модуль упругости:

Как видим, секущий модуль упругости значительно (почти в 7 раз) меньше "обычного"

модуля упругости.

Нагрузка при изгибающем моменте составляет

20

Загружение 1Мозаика перемещений по Z(G)Единицы измерения - мм

XYZ

-106.497 -88.659-88.659 -70.927-70.927 -53.195-53.195 -35.463-35.463 -17.732-17.732 -1.064-1.064 0

Рисунок 1-7. Деформированная схема балки с учетом образования пластического шарнираКак видим, максимальное значение прогиба по уточненной схеме составило 105мм, т.е.

значительно меньше полученного нами прогиба 347мм, что свидетельствует о том, что даже в

неупругой стадии прогиб изгибаемых элементов не возрастает мгновенно, т.е. изгибаемые элементы

могут еще в значительной мере сопротивляться возрастающей нагрузке.

Также отметим, что основной прогиб элемента образовался именно из-за кривизны в средней

зоне элемента, т.е. в зоне образования пластического шарнира.

Покажем, что вычисленное нами в программе Лира значение прогиба с использованием

секущего модуля упругости корректно отражает работу балки, для чего присвоим всем элементам

значение модуля упругости равное секущему.

21

Загружение 1Мозаика перемещений по Z(G)Единицы измерения - мм

XYZ

-345.966 -288.017-288.017 -230.414-230.414 -172.810-172.810 -115.207-115.207 -57.603-57.603 -3.456-3.456 0

Рисунок 1-8. Деформированная схема балки с назначением модуля упругости, равного секщемуКак видим полученное по данной схеме значение прогиба составляет 346мм, т.е. достаточно

близко к полученному нами ранее значению равному 347мм, что свидетельствует о корректности

выполненных нами вычислений.

В данном случае нам пришлось обратиться к дополнительной программе, поскольку наша

таблица не отражает распределение кривизны по длине элемента, также отметим что программа

Лира позволяет выполнять физически нелинейный расчет с использованием внутренних

алгоритмов, однако мы смогли выполнить расчет на основе собственных алгоритмов, кроме того не

все конечноэлементные программы обладают инструментарием для физически нелинейных

расчетов (например, программа SCAD). Также отметим, что задача была решена нами в

перемещениях (деформациях), что позволяет выполнять расчеты с учетом идеально горизонтальной

площадки текучести, в то время как большинство конечноэлементных программных комплексов

решают задачи в напряжениях, что приводит к значительным проблемам сходимости решения при

идеально горизонтальной площадке текучести, что заставляет зачастую придавать площадке

текучести некоторый наклон.

1.7 Вычисление остаточных напряжений и деформаций в элементах с использование нелинейной деформационной модели

Пластические деформации возникают при создании в стальных элементах напряжений выше

предела текучести. В этом случае, материал не возвращается в исходное состояние даже после

снятия нагрузки. Зачастую пластические деформации создаются искусственно для придания

22

необходимой формы стальным элементам – например при производстве гнутых стальных

профилей, однако данные деформации должны быть учтены в дальнейших расчетах.

По своему определению, пластические деформации не проходят для сечения бесследно – они

приводят к появлению остаточных деформаций и напряжений, весьма значительных.

Покажем, что с использованием нашей модели можно проследить появление остаточных

деформаций и напряжений, а также вычислить их значения.

Будем полагать, что при разгрузке (даже если материал перед разгрузкой находился в стадии

текучести) соблюдается закон Гука, что подтверждается результатами экспериментов.

Тогда можно записать для каждого слоя:

(1.)

Значение для , пользуясь законом Гука найдем из выражения:

где: , т.е. разница деформаций слоя до и после разгрузки. Как и раньше, мы

будем отыскивать такой уровень деформаций, при котором сумма внутренних усилий в элементе,

будет равна внешним усилиям.

Для отражения выведенных формул введем в нашу модель величины деформаций после

разгрузки.

В этом случае мы получаем 4 входных параметра – две пары относительных деформаций.

Первая пара, как и прежде будет соответствовать относительным деформациям под нагрузкой и по

сути, характеризовать деформационное нагружение модели, а вторая будет соответствовать

начальным деформациям, которые могут быть как пластическими, так и упругими.

Добавим столбцы для деформаций каждого слоя после разгрузки , для , , ,

а также для новых значений N и M.

Выходных параметров получаем также 4 – две пары внутренних усилий N и M.

Для начала рассмотрим случай, когда начальные деформации отличны от нуля и несколько

выше предела текучести (в деформационном понимании), а деформации нагрузки отсутствуют, т.е.

равны нулю.

23

Рисунок 1-9. Напряжения в сечении с учетом начальных пластических деформаций при принудительном последующем возврате в исходное состояние

Как видно из построенного графика (эпюры) напряжения после разгрузки до нулевых

деформаций внутренние усилия не равны нулю, найдем значение деформаций после разгрузки при

которых изгибающий момент после разгрузки будет равен нулю.

Рисунок 1-10. Напряжения в сечении с учетом начальных деформаций и последующей разгрузки (снятии внешних усилий)

Если проанализировать график, то можно заметить что эпюра внутренних напряжений после

24

разгрузки не является уравновешенной, однако в данном случае необходимо говорить об

уравновешенности усилий в слоях, а не напряжений.

Увеличим уровень начальных деформаций таким образом, чтобы начальные пластические

деформации втрое превысили предел текучести (в деформационном понимании).

Рисунок 1-11. Напряжения в сечении с учетом начальных деформаций втрое превышающих предельные упругие и последующем принудительном возврате к нулевым деформациям

Отметим, что при некотором уровне деформаций до разгрузки до нулевых деформаций (т.е. в

исходное положение), напряжения после разгрузки превысили предел текучести, что конечно же

неверно, так что наша модель нуждается в уточнении – "срезании" напряжений до предела

текучести.

25

Рисунок 1-12. Напряжения в сечении с учетом начальных деформаций втрое превышающих предельные упругие и последующем принудительном возврате к

нулевым деформациям с учетом предела текучести после разгрузкиКак видим, после уточнения нашей модели напряжения после разгрузки не превышают

предела текучести, отметим также, что независимо от уровня первоначальных напряжений и

деформаций, внутри сечения всегда присутствует зона, в которой деформации остаются упругими.

Однако, при разгрузке до нулевого внешнего момента в этой зоне также присутствуют остаточные

напряжения.

Теперь разработанная модель отражает тот факт, что после возникновения значительных

пластических деформаций и последующем возврате в исходное состояние (нулевых деформаций) в

сечении возможно возникновение пластических деформаций обратного знака.

Как видно из рисунка, разработанная модель не учитывает эффект Баушингера. Эффект

Баушингера состоит в том, что после возникновения некоторых пластических деформаций и

последующем создании напряжений обратного знака предел текучести снижается.

Для отражения эффекта Баушингера в разработанной модели уменьшим предел текучести

для волокон, которые ранее подверглись пластическим деформациям.

1.8 Построение нелинейной деформационной модели для материалов с условным пределом текучести

Ранее нами была разработана нелинейная деформационная модель с использованием

диаграммы напряжения-деформации с идеально горизонтальной площадкой текучести. Однако, как

показывают результаты экспериментов, даже далеко не все металлы обладают такой диаграммой.

Для многих металлов и их сплавов переход в зону текучести происходит постепенно, т.е. при

достижении предела текучести дальнейшее упрочнение продолжается, только более медленными

26

темпами.

В этом случае, будем полагать, что после предела текучести модуль упругости не равен

нулю, а равен некоторому значению , тогда будем полагать, что при напряжениях, не

превышающих предела текучести, т.е. при , будет как и прежде выполняться соотношение

. При напряжениях свыше предела текучести, будем считать

Как видим, учет последующего упрочнения не потребовал значительного уточнения нашей

модели. Добавим, что даже для материалов с условным пределом текучести напряжения не могут

возрастать до бесконечности – они в любом случае ограничиваются временным сопротивлением

, которое в данном случае является как бы "вторым пределом текучести".

В этом случае будем полагать, что при ,

27

2 Расчет сталежелезобетонных элементов

2.1 Исходные предпосылкиОсновные расчетные предпосылки примем аналогично принятым ранее для стальных

изгибаемых элементов. Как и ранее будем полагать, что в нашем случае является справедливой

гипотеза плоских сечений.

Сталежелезобетонные элементы представляют собой двухкомпонентную систему,

состоящую из бетона работающего совместно с жестким стальным профилем. Такие элементы

имеют ряд преимуществ, как по сравнению с чисто стальными элементами, так и по сравнению с

железобетонными элементами имеющими гибкую арматуру:

1. По сравнению со стальными элементами материалы используются более эффективно, т.к.

на единицу прочности сжатый бетон оказывается дешевле сжатых стальных элементов, в

особенности горячекатаных, например двутавров.

2. По сравнению с железобетонными элементами еще до набора прочности бетоном

сталежелезобетонные элементы обладают значительной прочностью, позволяющей производить

сборку каркаса, монтаж опалубки и т.д.

Как было сказано ранее, в соответствии с разработанной нами моделью можно произвести

расчет практически любых изгибаемых элементов на всех этапах нагружения, вплоть до

разрушения конструкции.

Одним из основных параметров, необходимых для расчетов по нелинейной деформационной

модели является зависимость между деформациями и напряжениями, т.е. диаграмма напряжения-

деформации.

Для стали как и ранее, будем применять двухлинейную диаграмму при сжатии растяжении.

Для бетона зависимость между напряжениями и деформациями более сложная и имеет

различные параметры при сжатии и растяжении. Учитывая, что прочность бетона при растяжении

значительно меньше его прочности на сжатие, а также учитывая образование трещин будем

принимать прочность бетона при растяжении равной нулю, т.е.

при , будем принимать

Как будет показано далее, подобное допущение не вносит значительной погрешности в

расчет железобетонных и сталежелезобетонных элементов.

При сжатии зависимость между напряжениями и деформациями для бетона в общем случае

является криволинейной, т.е. модуль упругости бетона является переменной величиной, которая

постепенно уменьшается от некоторого начального значения до нуля, а на более поздних этапах

загружения и до отрицательного значения, т.е. диаграмма напряжения-деформации для сжатого

бетона имеет ниспадающую ветвь.

Как было сказано ранее, наличие ниспадающей ветви в диаграмме напряжения-деформации,

28

вызывает во многих программах конечно-элементного анализа математические трудности, т.е.

отсутствие сходимости решения. Основной причиной наличия таких трудностей является тот факт,

что при учете ниспадающей ветви одному и тому же значению напряжений может соответствовать

два значения деформаций. Так как мы решаем нашу задачу в деформациях, то учет ниспадающей

ветви не вызывает проблем решения, т.к. каждому значению относительных деформаций

соответствует однозначно определяемое значения напряжения.

Для введения в нашу модель криволинейной диаграммы для сжатого бетона необходимо

выяснить основные математические параметры данной диаграммы. В отечественной нормативной

литературе отсутствуют указания об использовании криволинейной диаграммы, поэтому

заимствуем необходимые параметры из Eurocode 2.

Рисунок 2-13. Зависимость напряжения-деформации для сжатого бетона в соответствии с Eurocode 2В соответствие с Eurocode 2 зависимость напряжения-деформации для сжатого бетона

описывается выражением:

(2.)

Где

(2.)

- относительные деформации сжатого бетона, при которых напряжения в бетоне

достигают максимальной величины (временного сопротивления), данная величина зависит от

класса бетона, определяется по табл. 3.1 и для бетона, соответствующему отечественному бетону

классу В30 составляет .

29

, где - начальный модуль упругости, в соответствии с Eurocode 2

определяется при напряжениях в бетоне 0,4 от временного сопротивления, т.е. в обозначениях

соответствующих отечественным нормам при . Отечественные нормативные

документы не содержат информации о том, при каком уровне напряжений определен начальный

модуль упругости бетона, однако, как мы увидим в дальнейшем данный факт не будет приводить к

значительной погрешности в наших вычислениях.

Запишем приведенное выше выражение в соответствии с обозначениями принятыми в

отечественной нормативной литературе:

(2.)

или

(2.)

Как показывают результаты экспериментов, после достижения некоторых предельных

деформаций прочность бетона падает до нуля, такие деформации называют предельными, для

обычных (не высокопрочных) бетонов принято принимать предельные относительные деформации

.

Таким образом, зависимость между напряжениями и деформациями для бетона выразим

следующими условиями:

ЕСЛИ , то , ИНАЧЕ

ЕСЛИ , то , ИНАЧЕ

Как видим, при использовании криволинейной диаграммы зависимость напряжения-

деформации является весьма сложной, в связи с чем принимаются различные упрощения данной

диаграммы

30

Рисунок 2-14. Различные способы упрощения зависимости напряжения-деформации для сжатого бетонаНаиболее логичным упрощением можно считать аппроксимацию криволинейной диаграммы

множеством линейных участков, т.е. принять мультилинейную диаграмму, однако наличие

большого числа участков приводит к соответствующему числу условий, что будет

труднореализуемо в нашей модели.

Также применяют парабололинейную диаграмму, в этом случае восходящую ветвь

диаграммы описывают уравнением квадратной параболы, а нисходящую ветвь заменяют

горизонтальной прямой. Очевидным недостатком данной диаграммы, несомненно, является

отсутствие ниспадающей ветви, однако с учетом коэффициента надежности по бетону спрямление

ниспадающей ветви не вносит решающей погрешности.

В соответствии с Eurocode 2 зависимость между напряжениями и деформациям для сжатого

бетона при расчете сечений может приниматься в виде параболическо-линейной диаграммы

описываемой уравнениями:

При

(2.)

При

(2.)

или в обозначениях принятых в отечественной литературе:

31

при

при

Дальнейшим упрощением диаграммы является замена параболической части ломаной

прямой с двумя участками, т.е. трехлинейная диаграмма.

Следующее упрощение заключается в замене восходящей ветви прямой, т.е. двухлинейная

диаграмма, в этом случае

ЕСЛИ , то , ИНАЧЕ

ЕСЛИ , то , ИНАЧЕ

Приведенный модуль упругости бетона определяется из условия:

(2.)

где

Наиболее простой для реализации в нашей модели является, естественно, двухлинейная

диаграмма.

2.2 Расчет изгибаемых элементовПримем новые геометрические параметры для модели сталежелезобетонного элемента:

Слой сжатого бетона , стальной симметричный двутавр со следующими

геометрическими характеристиками: , , , ,

Отметим, что в действующих отечественных нормативных документах отсутствуют

методики расчета сталежелезобетонных элементов по нелинейной деформационной модели. В

различных учебных источниках прочность таких элементов рекомендуется определять по методу

предельных усилий, т.е. полагая, что усилия в бетоне сжатой зоны и стальном элементе достигают

предельных.

В соответствии со СНиП 2.03.05-84* «Мосты и трубы» расчет сталежелезобетонных

элементов производится на основе гипотезы плоских сечений, однако в основе предлагаемого в

данном документе способа расчета лежат аналитические зависимости. К сожалению, значительная

сложность напряженно-деформированного состояния рассматриваемых сталежелезобетонных

элементов не позволяет вывести аналитические зависимости для общего случая расчета и в данном 32

нормативном документе содержатся формулы выведенные при очень больших допущениях, наша

же модель позволяет выполнить расчет практически любого элемента, в том числе и с некоторым

нарушением гипотезы плоских сечений (например, при податливом соединении бетонной и

стальной части сечения между собой).

Для нашего примера будем полагать, что расчетное сопротивление бетона при сжатии

, расчетное сопротивление стали при растяжении и сжатии

Для первого приближения за предельный изгибающий момент будем принимать такой

изгибающий момент, при котором относительные деформации растяжения для стали не превысят

Для получения предельного изгибающего момента будем менять относительные деформации

таким образом, чтобы сумма продольных усилий в слоях равнялась нулю.

Обратим внимание, что относительные деформации в сжатой и растянутой зоне не равны –

деформации растянутой зоны значительно превышают деформации сжатой зоны.

В соответствии с разработанной нами моделью предельный момент для сечения составляет

Определим предельный момент для сечения в соответствии с методами предельных усилий.

Площадь двутавра , Предельное усилие в растянутой зоне

.

Высота сжатой зоны бетона .

Плечо внутренней пары .

Предельный момент для сечения:

Как видим, предельный изгибающий момент, определенный по методу предельных усилий

вполне соответствует определенному по нелинейной деформационной модели, причем если ранее

мы говорили о неточности нашей модели по сравнению с теоретическим решением из-за

дискретности разбивки по слоям, то в данном случае, несомненно, решение по нелинейной

деформационной модели является более точным, так как получено при меньшем количестве

допущений.

Обратим также внимание, что при относительные деформации сжатого

бетона достигли величины . Как мы отметили ранее, предельные относительные

деформации бетона следует ограничивать величиной . В этом случае предельный

33

момент для нашего сечения составит .

0

10

20

30

40

50

60

-4.E+08 -3.E+08 -2.E+08 -1.E+08 0.E+00 1.E+08 2.E+08 3.E+08 4.E+08

Рисунок 2-15. Эпюра напряжений в сечении при действии изгибающего момента равного предельному

Как мы видим, разрушение нашего изгибаемого элемента происходит со сжатой зоны бетона,

т.е. в соответствии с терминами теории железобетона элемент является переармированным, однако

как мы видим, высота сжатой зоны в предельной стадии не превышает и половины рабочей высоты

сечения.

Таким образом, разработанная нами нелинейная деформационная модель позволяет не

только определить прочность какого-либо сечения, но и определить с какой зоны (сжатой или

растянутой) будет начинаться разрушение элемента.

Как и ранее, мы можем определить прогиб элемента по его кривизне, а также построить

диаграмму момент-кривизна или момент-прогиб.

34

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20 25

Рисунок 2-16. Диаграмма момент-кривизна для заданного сеченияКак видно из диаграммы момент-прогиб, предельный момент для нашего сечения составляет

, однако при данном значении изгибающего момента в элементе возникают

значительные по величине прогибы, более того, значительная часть сечения находится в

пластической зоне, определим предельный момент для сечения, при котором стальной двутавр

работает только в упругой зоне, данный момент составляет , как видим данный

изгибающий момент значительно ниже предельного изгибающего момента, определенного по

методу предельных усилий.

Также из диаграммы момент-прогиб отметим, что наступление пластического шарнира

наступает постепенно на некотором участке, данный участок соответствует текучести нижней

полки двутавра, после этого на диаграмме опять появляется практически линейный участок,

соответствующий постепенному переходу стенки в стадию текучести, однако из-за того, что стенка

оказывает относительно малое влияние на величину изгибающего момента, данный участок

практически линейный.

Решение о возможности допущения пластических деформаций должно приниматься в

каждом конкретном случае, однако как видим, разработанная нами модель позволяет обоснованно

определить величину изгибающего момента при котором еще не наступает пластических

деформаций.

Как мы сказали ранее, изгибающий момент при использовании двухлинейной диаграммы

момент-кривизна практически соответствовал результату, определенному по методу предельных

усилий, рассмотрим влияние вида диаграммы на расчетную величину предельного изгибающего

момента, для чего применим параболо-линейную диаграмму.

35

0

10

20

30

40

50

60

-3.E+07 -2.E+07 -1.E+07 0.E+00 1.E+07 2.E+07 3.E+07

Рисунок 2-17. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона с использование параболо-линейной зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона

В этом случае предельная величина изгибающего момента , т. е.

незначительно отличается от величины, полученной при двухлинейной диаграмме, сделаем отсюда

один из очень важных выводов теории железобетона – для изгибаемых железобетонных элементов

величина предельного изгибающего момента для сечения незначительно зависит от вида диаграммы

для сжатого бетона.

Для проверки данного утверждения проверим изгибающий момент при линейной

зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона. В этом случае предельный изгибающий

момент составляет и отличается от полученных нами ранее значений

приблизительно на 15%, данное расхождение является весьма значительным, однако вспомним, что

получено оно при очень большом допущении о линейной работе бетона вплоть до разрушения.

Рассмотрим отдельно напряжения в сжатой зоне бетона с использованием нелинейной

деформационной модели, для чего построим график напряжений в сжатой зоне бетона по слоям 1-

20 при уровне относительных деформаций на верхней грани , ,

и , что соответствует величинам изгибающего момента , ,

и соответственно.

36

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

0 5 10 15 20

0.00050.0015

0.00250.0035

Рисунок 2-18. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона при различных уровнях нагрузки с использованием параболо-линейной зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона

Как видно из графика, при малых уровнях деформаций бетон сжатой зоны работает

практически линейно, однако при этом также видно, что нелинейная работа бетона становится

весьма заметной даже при напряжениях ниже расчетного сопротивления.

Также необходимо отметить, что при малых относительных деформациях бетона сжатой

зоны (т.е. при относительно малых нагрузках) все сечение бетона сжато, но при росте

относительных деформаций высота сжатой зоны уменьшается, в т.ч. в сечении бетона образуется

растянутая зона, т.е. при некотором уровне нагрузки напряжения в бетоне меняют знак с

сжимающих на растягивающие.

2.3 Учет ниспадающей ветви диаграммы напряжения-деформации для бетонаПостроим эпюру напряжений в бетоне с использованием криволинейной диаграммы для

сжатого бетона с ниспадающей ветвью, при этом также учтем, что при относительных деформациях

происходит разрушение (раздробление) бетона сжатой зоны, т.е. будем полагать что

при бетон разрушается, т.е. .

37

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

0 5 10 15 20

0.00050.0015

0.00250.0035

0.0045

Рисунок 2-19. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона при различных уровнях нагрузки с учетом криволинейной зависимости напряжения деформации для сжатого бетона

Как видно из графика, эпюра напряжений в сжатой зоне имеет ярко выраженный

криволинейный характер практически на всех этапах нагружения.

Отметим, что на начальных этапах загружения все сечение бетона (20см) является сжатым, в

последующем при увеличении нагрузки высота сжатой зоны бетона уменьшается и нижняя часть

бетона становится растянутой, при дальнейшем увеличении нагрузки вследствие разрушения

наиболее сжатого бетона высота сжатой зоны уменьшается, а сама сжатая зона при этом сдвигается

вниз. При этом нижняя часть бетона вновь оказывается сжатой. Таким образом, в нижней зоне

бетонного сечения присутствует участок, который испытывает в процессе нагружения сжатие,

затем растяжение, а потом опять сжатие.

Построим график момент-прогиб для заданного сечения с использованием криволинейной

диаграммы для бетона с ниспадающей ветвью.

38

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20 25 30

Рисунок 2-20. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом ниспадающей ветви диаграммы для сжатого бетона

Как видно из графика, на нем четко прослеживается ниспадающая ветвь, в пределах которой

увеличение прогиба (кривизны) элемента происходит без увеличения нагрузки.

Ранее нами было рассмотрено составное сечение, в котором в верхней (сжатой) части

сечения находился бетон, а в нижней части сечения находился стальной элемент в виде двутавра.

Рассмотрим сечение, в котором двутавр полностью омоноличивается бетоном, т.е. в пределах

высоты двутавра содержится также и слои бетона, которые могут быть как растянуты, так и сжаты.

В этом случае в пределах каждого слоя может быть и бетон, и стальные элементы. Для отражения

этого в нашей модели разделим в пределах каждого слоя ширину слоя бетона и ширину слоя стали,

т.е. введем дополнительный столбец с шириной слоя для бетона, а усилие в каждом слое будем

определять как сумму от слоя бетона и слоя стали.

Как и в последнем примере, будем принимать для сжатого бетона парабололинейную

диаграмму, однако не составит большого труда применить и любой другой вид диаграммы для

сжатого бетона.

Покажем эпюры напряжений для бетона и жесткой арматуры

39

0

10

20

30

40

50

60

0.E+00 5.E+06 1.E+07 2.E+07 2.E+07

0

10

20

30

40

50

60

-2.E+08 -2.E+08 -1.E+08 -5.E+07 0.E+00 5.E+07 1.E+08 2.E+08 2.E+08

Рисунок 2-21. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона (слева) и жесткой арматуре (справа)

Как видно из приведенных графиков, в пределах некоторого участка работает и бетон, и

стальная арматура. Предельный изгибающий момент для нашего сечения составляет .

Как видим, для нашего сечения присутствует значительная по высоте растянутая зона

бетона. Изменим нашу модель для учета растянутой зоны бетона. Как и для сжатого бетона, для

растянутого бетона существует множество моделей диаграмм напряжения-деформации. Будем

принимать зависимость напряжения-деформации для растянутого бетона в виде двухлинейной

диаграммы с горизонтальной ветвью, т.е. при , будем полагать , если при

этом , будем принимать . Предельные деформации бетона при

растяжении будем принимать на уровне .

Для нашего примера предельная растяжимость бетона . Как видим,

предельная растяжимость бетона очень низкая, поэтому образование трещины происходит уже при

очень малом уровне относительных деформаций на нижней грани сечении.

Определим предельный изгибающий момент для сечения с учетом растянутой зоны бетона.

данный изгибающий момент составляет , т.е. учет растянутой зоны бетона

практически не влияет на величину изгибающего момента, т.к. зона растянутого бетона в сечении

над трещиной очень мала (при нашей разбивке слоев по 1см определить данную зону не удалось).

Определим момент трещинообразования, т.е. изгибающий момент при котором

, данный изгибающий момент составляет . Как видим,

образование трещин в элементах без предварительного напряжения происходит при усилиях,

намного меньше предельных (порядка 10-15%). Таким образом, учет растянутой зоны бетона в

элементах без предварительного напряжения практически не оказывает влияния на прочность

сечений.

Эпюра напряжений в бетоне при моменте равном моменту трещинообразования выглядит

40

следующим образом

Построим диаграмму момент-прогиб для элемента с учетом работы бетона растянутой зоны

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20 25

Рисунок 2-22. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом трещинообразования в бетоне

Как видим, каких-либо особых изменений на диаграмме не произошло, рассмотрим более

подробно участок диаграммы вблизи момента образования трещины

41

0

10

20

30

40

50

60

-2.E+06 -1.E+06 -5.E+05 0.E+00 5.E+05 1.E+06 2.E+06 2.E+06

130

135

140

145

150

155

160

0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

Рисунок 2-23. Диаграмма изгибающий момент-кривизна в зоне момента трещинообразования в бетоне

Как видим, в момент трещинообразования происходит некоторое увеличение кривизны при

малом увеличении изгибающего момента, однако данное снижение жесткости не носит глобального

характера и не оказывает значительного влияния на жесткость элемента в целом.

42

3 Расчет железобетонных изгибаемых элементов

3.1 Исходные предпосылкиОсновные предпосылки разрабатываемой модели оставим такими же, как и в предыдущих

разделах.

При расчете железобетонных элементов принято полагать, что арматурные стержни

являются абсолютно гибкими, т.е. не имеют собственного момента инерции. В нашей модели

отражение данного допущения будет произведено автоматически, т.к. арматурные включения будут

задаваться одним слоем по высоте.

3.2 Расчет изгибаемых элементовВ соответствии с разработанной нами моделью можно рассчитывать железобетонные

элементы содержащие как слои бетона, так и слои арматуры. Рассмотрим расчет железобетонной

балки сечением 400х600мм, содержащую один ряд арматуры (2 диаметром 25мм, класса А400) в

сжатой зоне и два ряда арматуры в растянутой зоне (2х2 диаметром 25мм класса А400).

Определим предельный изгибающий момент для сечения по методу предельных усилий в

соответствии с действующими нормативными документами.

,

В соответствии с разработанной нами моделью предельный момент для сечений (при

относительных деформациях бетона сжатой зоны не более , . Как

видим, предельный изгибающий момент, полученный нами по нелинейной деформационной модели

достаточно хорошо совпал с полученным значением по методу предельных усилий.

Обратим внимание, что в соответствии с нашей моделью напряжения в сжатой арматуре не

достигли предела текучести, однако это не сказалось на окончательном итоге, т.к. в нашей модели

усилие не воспринятое сжатой арматурой оказалось воспринято сжатым бетоном.

Также обратим внимание, что в момент, когда деформации сжатого бетона достигают

предельных, деформации растянутой арматуры находятся далеко за пределами упругой работы

. Найдем изгибающий момент, при относительных деформациях арматуры нижнего слоя

43

равных предельным при упругой работе . Как видим, в этом случае

изгибающий момент для сечения составляет , т.е. значительно меньше

полученного по методу предельных усилий, одной из причин этого является тот факт, что

напряжения во втором слое арматуры не достигли предела текучести, т.е. меньше предельных.

Также необходимо отметить, что и усилия в сжатой зоне бетона, и усилия в сжатой арматуре далеки

от предельных - напряжения в сжатой арматуре .

Увеличим относительные деформации растянутой зоны таким образом, чтобы оба слоя

нижней арматуры достигли предела текучести. В этом случае предельный изгибающий момент

составляет , т.е. достаточно близок к полученному по методу предельных усилий.

Однако и в этом случае напряжения в сжатой арматуре далеки от предела текучести -

.

Для понимания работы сжатой арматуры построим график зависимости напряжений в

арматуре от величины изгибающего момента.

-360.0

-260.0

-160.0

-60.0

40.0

140.0

240.0

340.0

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ряд1

Ряд2Ряд3

Рисунок 3-24. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента без учета работы растянутого бетона

Как видно из графика, напряжения как в растянутой, так и сжатой арматуре практически

пропорциональны изгибающему моменту до образования пластического шарнира, при этом к

моменту образования пластического шарнира напряжения в сжатой арматуре достаточно малы.

44

Резкий рост напряжений в сжатой арматуре начинается после образования пластического шарнира.

Это можно объяснить тем, что растянутая арматура достигла предела текучести, вследствие чего

резко увеличиваются деформации растянутой зоны, высота трещины стремительно увеличивается, а

высот сжатой зоны уменьшается, естественно, что напряжения в сжатой зоне при этом

увеличиваются.

Также необходимо отметить, что напряжения в арматурных стержнях нижней зоны не равны,

т.к. один из рядов находится выше другого, а значит получает меньшие деформации. После того,

как арматурные стержни самого нижнего (1-го) ряда, достигли предела текучести, напряжения во 2-

м ряду арматуры растут более высокими темпами и, как уже было сказано, к моменту образования

пластического шарнира "догоняют" напряжения в арматурных стержнях 1-го ряда.

Как видим, положения метода предельных усилий о том, что усилия в бетоне сжатой зоны и

всех арматурных стержнях достигают предельных, достаточно хорошо характеризует работу

элемента в предельной стадии, однако не позволяет сделать каких-либо выводов относительно

поведения элемента на всех этапах нагружения.

Как обычно, для дальнейшего анализа созданной схемы построим диаграмму момент-

кривизна.

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0 10 20 30 40 50 60

Рисунок 3-25. Диаграмма изгибающий момент-кривизна без учета работы растянутого бетона

Как видно из графика, для нашего элемента наступление пластического шарнира происходит

практически одномоментно, а диаграмму можно с достаточной точностью считать двухлинейной.

Отметим также, что в отличии от классического мнения о пластических шарнирах,

диаграмма имеет не горизонтальную ветвь после образования пластического шарнира, т.е. на этом

45

этапе также имеет некоторое увеличение прочности (порядка 5%). Это имеет значение для методов

расчета статически неопределимых конструкций основанных на диаграммах момент-кривизна, в

частности для метода предельного равновесия, однако зачастую этим увеличением несущей

способности пренебрегают, и диаграмму с достаточной точностью можно считать двухлинейной с

горизонтальным участком.

Рассмотрим, как повлияет на нашу схему учет прочности бетона растянутой зоны. Для этого,

как и ранее, введем соответствующие условия при определении напряжений в бетоне.

На начальной стадии загружения мы увидим, что изгибающий момент в сечении растет

намного быстрее, чем в модели без учета работы бетона растянутой зоны (т.е. при одних и тех же

деформациях крайних волокон). Это объясняется тем, что в растянутой зоне значительная доля

усилий воспринимается бетоном.

При достижении относительными деформациями нижней зоны принятой предельной

растяжимости бетона, т.е. изгибающий момент в сечении не только перестает расти,

но и падает на определенном участке, это объясняется тем, что усилия в растянутой зоне не

воспринимаются бетоном и передаются на арматуру.

Здесь необходимо отметить, что мы приняли так называемый кинематический, т.е.

деформационный метод нагружения – определенные стадии загружения достигались увеличением

деформаций, а не нагрузки, поэтому на определенном этапе загружения изгибающий момент может

и падать. Традиционный же вид нагружения является силовым, поведение нашего сечения при

силовом нагружении мы рассмотрим далее.

Построим график зависимости напряжений в арматуре от изгибающего момента.

46

-400.0

-300.0

-200.0

-100.0

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ряд1

Ряд2Ряд3

Рисунок 3-26. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «деформационном»

варианте нагруженияКак видно из графика, на начальном этапе напряжения в арматуре растут не очень быстро,

т.к. растягивающие усилия воспринимаются и бетоном, и арматурой. После образования трещины

происходит резкий сброс изгибающего момента при одновременном росте напряжений в арматуре,

как сжатой, так и растянутой.

При дальнейшем нагружении (увеличении деформаций) все растягивающие усилия

передаются на арматуру и момент вновь начинает увеличиваться, т.е. на графике образуется

некоторая петля или прогиб, характеризующееся некоторым уменьшением несущей способности.

Очевидно, что данное уменьшение несущей способности будет более значимым для

слабоармированных элементов, в которых арматура растянутой зоны не способна воспринимать

значительные растягивающие усилия (влияние этого фактора мы рассмотрим далее).

Предельный изгибающий момент для нашего сечения значительно не изменился и составляет

. Таким образом, можно сделать вывод, что в предельной стадии учет работы

бетона в растянутой зоне не имеет какого-либо значения, т.к. зона растянутого бетона в сечении над

трещиной очень мала, а также вследствие незначительной прочности бетона на растяжение.

Для анализа деформаций построим, как и ранее диаграмму момент-кривизна.

47

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005

Рисунок 3-27. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения

Как видим, на диаграмме момент-кривизна появился участок в начале загружения, в котором

жесткость сечения выше, чем на остальных участках загружения – это объясняется работой

растянутой зоны бетона.

После образования трещины происходит, как мы уже отметили, некоторое уменьшение

момента с резким увеличением кривизны в сечении, при дальнейшем нагружении жесткость

сечения стабилизируется и остается практически постоянной до образования пластического

шарнира.

Рассмотрим, что будет происходить с принятым нами сечением при силовом нагружении, т.е.

таком виде нагружения при котором этапы нагружения характеризуются возрастанием внешней

нагрузки. В этом случае при достижении момента трещинообразования нами бы производилось

увеличение нагрузки несмотря на значительно возрастающие деформации.

Для отражения такого способа нагружения нам даже не потребуется дополнительных

вычислений – достаточно удалить из графика данные, соответствующее отмеченной ранее "петле"

изгибающего момента.

48

-400.0

-300.0

-200.0

-100.0

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ряд1

Ряд2Ряд3

Рисунок 3-28. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте

нагружения

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0 5E-05 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005

Рисунок 3-29. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте нагружения

Диаграмма момент-кривизна данного вида хорошо согласуется с опытными данными.

Откорректируем нашу модель, уменьшив площадь армирования в два раза. Как и в

предыдущем примере, будем учитывать работу бетона растянутой зоны.

49

-400.0

-300.0

-200.0

-100.0

0.0

100.0

200.0

0 50 100 150 200Ряд1

Ряд2Ряд3

Рисунок 3-30. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «деформационном»

варианте нагружения

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

140.0

160.0

180.0

200.0

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005

Рисунок 3-31. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения

Как видно из приведенных рисунков, после уменьшения площади арматуры в два раза

эффект уменьшения воспринимаемого изгибающего момента при образовании первой трещины

значительно усилился, а также стал ближе к предельной стадии. Можно сделать вывод, что для

50

слабоармированных элементов возможно такое напряженное состояние, что после образования

первой трещины сразу же наступит образование пластического шарнира, т.е. момент

воспринимаемый сечением до образования трещины будет больше момента воспринимаемого

сечением после образования трещины.

В соответствии с действующими нормами проектирование подобных элементов

настоятельно не рекомендуется. В этом случае рекомендуется устанавливать количество арматуры

таким образом, чтобы момент воспринимаемый сечением после образования трещины был не менее

момента воспринимаемого сечения перед образованием первой трещины. Также допускается не

соблюдать данное условие, но назначать предельный момент на 15% больше расчетного, т.е.

обеспечивать дополнительный резерв несущей способности.

Рассмотрим «силовой» вариант нагружения элемента.

-400.0

-300.0

-200.0

-100.0

0.0

100.0

200.0

0 50 100 150 200Ряд1

Ряд2Ряд3

Рисунок 3-32. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте

нагруженияКак видно из графика, при образовании трещины произошло резкое увеличение напряжений

в арматуре, причем не только для растянутой зоны, но и для сжатой. Увеличение напряжений в

сжатой зоне объясняется уменьшением высоты сжатой зоны и, соответственно, увеличением

относительных деформаций бетона и арматуры в сжатой зоне.

51

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005

Рисунок 3-33. Сравнение диаграмм изгибающий момент-кривизна при различных уровнях содержания арматуры в сечении

Как видно из графика, скачок деформаций после образования трещины стал намного больше,

чем в рассмотренном ранее примере. При реальной работе конструкций данный факт приведет к

резкому увеличению прогиба элемента после образования трещин.

Уменьшим площадь арматуры еще в два раза (т.е. в 4 раза относительно первоначальной

площади), но при этом повысим прочность в 4 раза относительно первоначальной, т.е. предельный

изгибающий момент должен оставаться приблизительно таким же, как и в первом примере.

Рассмотрим напряжения в арматуре и сравним их с балкой аналогичной несущей

способности армированной низкопрочной арматурой.

52

-2000.0

-1500.0

-1000.0

-500.0

0.0

500.0

1000.0

0 50 100 150 200 250 300 350 400Ряд1Ряд2Ряд3

Ряд4Ряд5

Ряд6

Как видим из рисунка, напряжения в растянутой арматуре выросли значительно и в

предельной стадии достигли своего предела текучести. Напряжения в сжатой арматуре тоже

несколько выросли, однако как и в элементе с низкопрочной арматурой напряжения не достигают

своего предела текучести.

Для анализа деформационных характеристик, как и ранее, построим диаграмму момент-

кривизна и сравним ее с аналогичной диаграммы для балки с низкопрочной арматурой.

53

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

0 5E-05 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005

Рисунок 3-34. Сравнение диаграмм изгибающий момент-кривизна при использовании обычной и высокопрочной арматуры и обеспечении равной прочности сечений

Как видно из диаграммы, предельный изгибающий момент для одной и второй балки

практически одинаковый и составляет для балки армированной низкопрочной

арматурой и для балки армированной высокопрочной арматурой.

Как видим, использование высокопрочной арматуры имеет значительный экономический

эффект – нам удалось уменьшить площадь арматуры в 4 раза без снижения прочности элемента.

Однако, как видно по диаграмме момент-кривизна элемент армированный высокопрочной

арматурой в предельной стадии имеет кривизну (а значит и прогиб) почти в 4 раза больше чем

аналогичный по прочности элемент, имеющий армирование низкой прочности. Практически

пропорциональное уменьшению площади арматуры увеличение кривизны (прогиба) связано с тем

что напряжения в растянутой арматуре выросли в 4 раза, а ее модуль упругости остался прежним,

что привело к увеличению деформаций арматуры.

Данное обстоятельство, а также чрезмерное раскрытие трещин в элементах армированных

высокопрочной арматурой не позволяет полноценно использовать такие железобетонные элементы.

3.3 Расчет предварительно напряженных железобетонных элементовДля полноценного использования свойств высокопрочной арматуры применяют способ

изготовления железобетонных элементов с предварительным напряжением арматуры. Суть

предварительного напряжения состоит в том, чтобы создать в бетоне усилия противоположные по

знаку тем, которые будут возникать в стадии эксплуатации, т.е. если в шарнирно опертой балке,

54

испытывающей в стадии эксплуатации растяжение в нижней зоне создать обжатие нижней зоны, то

при эксплуатации необходимо будет сначала преодолеть обжатие бетона, а уже потом произойдет

его растяжение и образование трещин.

Предварительное напряжение создается заданием арматуре значительных растягивающих

внешних усилий до укладки бетона, что позволяет после укладки бетона и набора им прочности

создать значительное обжатие данной зоны бетона пытающейся сократиться арматурой. В данном

случае арматура, как и в элементах без предварительного напряжения, всегда испытывает

растягивающие напряжения, а бетон имеет напряжения противоположные по знаку тем, что

действуют в стадии эксплуатации.

Рассмотрим, каким образом, предварительное напряжение может быть введено в нашу

модель. Технически предварительное напряжение арматуры создается приданием ей

растягивающих напряжений, т.е. деформаций, аналогично можно поступить и в нашей модели – для

растянутой арматуры задать некоторую разницу в деформациях по сравнению с окружающим ее

бетоном. Величина этой разницы (т.е. добавочной деформации), очевидно, определяется уровнем

желаемого предварительного напряжения и может быть определена по формуле: .

Значение предварительного напряжения обычно назначается при проектировании таким

образом, чтобы чрезмерное предварительное напряжение не приводило к появлению пластических

деформаций в арматуре, а слишком низкое предварительное напряжение не приводило к потере

требуемого эффекта из-за возникновения потерь предварительного напряжение.

Определение потерь предварительного напряжения выходит за рамки рассматриваемой нами

темы, поэтому просто зададимся значением предварительного напряжения . В этом

случае необходимое удлинение арматуры составит: .

Для отражения предварительного удлинения в нашей модели, будем отнимать данную

величину от деформаций арматуры, полученных по гипотезе плоских сечений.

В этом случае мы увидим, что при величине деформаций нижнего и верхнего волокна

равных нулю, наше сечение является неуравновешенным, что свидетельствует о том, что для

приведения предварительно напряженного элемента в недеформированное состояние необходимо

приложить некоторые усилия. Однако нас больше интересует состояние, при котором внешние

усилия равны нулю, т.е. к элементу не прикладывается внешняя нагрузка. В этом случае элемент

имеет место некоторый выгиб, обусловленный наличием обжатия бетона нижней зоны.

Для анализа напряженного состояния элемента рассмотрим график зависимости напряжений

в арматуре верхней и нижней зоны в зависимости от изгибающего момента.

55

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400Ряд1

Ряд2Ряд3

Как видим, при отсутствии внешних усилий, в арматуре присутствует предварительное

напряжение, однако оно меньше заданного первоначально и составляет

приблизительно . Это объясняется тем, что в результате обжатия бетона в нижней

зоне произошло уменьшение длины нижних волокон и соответствующее сокращение деформаций

арматуры вызвало частичную потерю предварительного напряжения. Данный факт не оказывает

значительного влияния на поведение элемента в дальнейшем, однако если деформации бетона

будут пластическими, т.е. произойдет ползучесть бетона в обжатой зоне, то часть предварительного

напряжения будет безвозвратно потеряно, к аналогичным потерям приводит и усадка бетона.

Отметим также, что при отсутствии внешних усилий арматура в верхней зоне также

испытывает некоторое растяжение, это объясняется тем, что в результате выгиба от

предварительного напряжения верхняя зона оказывается растянутой, однако в дальнейшем при

приложении нагрузки верхняя зона оказывается сжатой, т.е. в процессе нагружения напряжения в

арматуре верхней зоны меняют знак.

Также отметим, что в процессе приложения внешней нагрузки напряжения в растянутой

арматуре постепенно растут и достигают первоначального предварительного напряжения

. С этого момента напряжения в арматуре начинают расти значительно быстрее и

постепенно достигают предела текучести. Более быстрый рост напряжений в арматуре на данном

этапе объясняется преодолением предварительного напряжения в арматуре и образованием

трещины, вследствие чего растягивающие напряжения воспринимавшиеся ранее бетоном и

арматурой, воспринимаются только арматурой.56

Таким образом, предварительное напряжение позволяет продлить зону работы элемента без

трещин в растянутой зоне.

Отметим также, что на приведенных графиках отсутствует скачок (или петля)

соответствующий образованию трещин, что благоприятно сказывается на работе конструкций, т.е.

не приводит к скачкообразному увеличению напряжений в арматуре, кривизны и прогиба элемента.

Сравним напряжения в арматуре предварительного напряжения и в аналогичном по

армированию элементе, но без предварительного напряжения.

-2000.0

-1500.0

-1000.0

-500.0

0.0

500.0

1000.0

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400Ряд1Ряд2Ряд3

Ряд4

Ряд5Ряд6

Как видим, в предельной стадии напряжения в арматуре в обоих элементах достигают

предела текучести, т.е. в предельной стадии напряжения в арматуре зависят только от внешних

усилий и не зависят от начального напряжения, т.е. предварительное напряжение не может

оказывать сколько-нибудь заметное влияние на прочность элемента. Отметим также, что

замеченная нами ранее разница в напряжениях арматуры двух нижних рядов армирования в

предварительно напряженном элементе значительно меньше для предварительно напряженного

элемента. Это объясняется меньшей кривизной предварительно напряженного элемента, а значит и

меньшей разницей в деформациях слоев арматуры.

Для исследования деформационных характеристик построим диаграмму момент-кривизна.

57

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

-0.00005 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Выделим на этой диаграмме четыре участка:

Первый участок с относительно небольшой жесткостью – данный участок соответствует

работе элемента с трещинами в верхней зоне, обусловленных наличием предварительного выгиба,

наличие трещин в элементе, приводит в свою очередь к существенному снижению жесткости

элемента.

Второй участок соответствует работе элемента без трещин, что приводит к существенному

повышению жесткости элемента.

Третий участок соответствует образованию трещин в растянутой (нижней) зоне элемента и

вызванному этими трещинами существенному снижению жесткости элемента.

Четвертый участок соответствует образованию пластического шарнира. Отметим, что

высокопрочная арматура имеет, как правило, условный предел текучести, в связи с чем кривизна

будет расти не столь значительно, однако данный факт относится к свойствам материала и выходит

за рамки нашего рассмотрения.

Сравним деформации предварительно напряженного элемента и аналогичного по прочности

элемента армированного низкопрочной арматурой (т.е. с большим по площади содержанием

арматуры).

58

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

-0.00005 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Как видно из диаграммы, задаваясь некоторым значением предварительного напряжения,

можно достичь эффекта существенного снижения кривизны (прогиба), вполне соизмеримого с

элементами армированными значительно большей площадью арматуры, но низкой прочности.

Рассмотрим более подробно участок нагружения, при котором трещины отсутствуют как в

балке без предварительного напряжения, так и в балке с предварительным напряжением

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

-0.00003 -0.00002 -0.00001 0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005

Как видно из графика на участке работы без трещин, жесткость обоих элементов

59

приблизительно одинакова, т.е. при отсутствии трещин жесткость железобетонного элемента

определяется, в основном, бетоном, а не наличием арматуры и наличием напряжений в ней.

Рассмотрим поведение балки с одинаковым содержанием высокопрочной арматуры, но с

предварительным напряжением и без предварительного напряжения.

Как и ранее, для наглядности построим диаграмму момент-кривизна

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

-0.00005 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Рисунок 3-35. Диаграмма изгибающий момент-кривизна для балки с предварительным напряжением арматуры и без предварительного напряжения

Как видно из диаграммы, предельный момент для обеих балок практически одинаковый, что

позволяет сделать нам обобщающий вывод: предварительное напряжение не оказывает

значительного влияния на прочность нормальных сечений.

Необходимо также отметить, что кривизна (а значит, и прогиб) элемента с предварительным

напряжением при одном и том же уровне нагрузки меньше, чем в элементе без предварительного

напряжения. Иногда ошибочно полагают, что меньший прогиб предварительно напряженных

элементов объясняется их первоначальным выгибом – как видим из диаграммы, это не так –

начальный выгиб предварительно напряженного элемента есть, но основная разница в кривизне

(прогибе) возникает на этапе работы с трещинами элемента без предварительного напряжения. На

этом этапе жесткость элемента без предварительного напряжения сильно снижается, в то время как

элемент с предварительным напряжением по прежнему продолжает работу без трещин в растянутой

зоне.

Отметим также, что после образования трещин в растянутой зоне предварительно

напряженного элемента снижение его жесткости точно такое же, как и у элемента без

предварительного напряжения, т.е. после образования трещин жесткость элемента уже не зависит

60

от предварительного напряжения, это позволяет нам увидеть, что предварительное напряжение не

является панацеей от чрезмерных прогибов, оно лишь позволяет увеличить зону работы элемента

без трещин в растянутой зоне и, соответственно, жесткость только в пределах данного этапа

нагружения. Из этого можно сделать практический вывод, что приложение некоторой

дополнительной нагрузки в предварительно напряженном элементе может привести к

значительному приросту прогибов если в пределах данного этапа нагружения произойдет

образование трещин, причем намного большему чем вызванный ранее прогиб, пусть даже и от

большей по величине нагрузки.

Данный эффект наблюдается при приложении эксплуатационной нагрузки к предварительно

напряженным плитам, когда приложение незначительной дополнительной нагрузки (по сравнению

с ранее приложенной нагрузкой от веса плиты, пола перегородок и т.д.), вызывает образование

значительного дополнительного прогиба и нередко вызывает множество вопросов при

эксплуатации.

3.4 Отдельные уточнения по вычислению прогиба железобетонных элементов с использованием нелинейной деформационной модели

При вычислении прогибов стальных элементов нами была отмечена зависимость между

кривизной элемента и его прогибом. Данная связь наблюдается и для железобетонных элементов,

однако после образования трещин данное положение нуждается в некотором уточнении. Причиной

этого является разница в кривизне железобетонного элемента в сечении с трещиной и на участках

без трещин. Поясним это на следующем рисунке:

61

Рисунок 3-36. К учету неравномерности напряжений в арматуре в сечениях между трещинами в бетонеНа первом рисунке (a) изображен железобетонный элемент имеющей трещины в растянутой

зоне, на втором рисунке (b) изображено изменение изгибающего момента в элементе, будем пока

полагать, что изменение момента по длине элемента незначительно.

На третьем рисунке (c) изображено изменение напряжений сцепления бетона с арматурой.

Естественно, что в сечении с трещиной сцепление бетона с арматурой отсутствует, после чего

напряжения сцепления растут и достигают в некоторой точке своего максимума. В середине

расстояния между трещинами, напряжения сцепления, очевидно также равны нулю (по условию

симметрии).

На четвертом рисунке изображено изменение растягивающих напряжений в бетоне.

Очевидно, что в сечении с трещиной данные напряжения равны нулю, а в середине расстояния

между трещинами достигают своего максимума.

Изобразим изменение растягивающих напряжений в арматуре (e). Так как изгибающий

момент мы считаем постоянным, а часть усилий в сечении без трещины воспринимается бетоном,

то усилие в арматуре в сечении с трещиной максимально (все растягивающие усилия

воспринимаются только арматурой), а в середине расстояния между трещинами напряжения в

арматуре достигают своего минимума. С точки зрения прочности, нас интересует, конечно же

максимальное значение напряжений в арматуре, однако данный факт оказывает значительное

влияние на деформации элемента.

Изобразим изменение жесткости элемента (d). Как было отмечено ранее жесткость сечения с

трещиной намного меньше жесткости сечения без трещины, однако напряжения в бетоне

62

растянутой зоне в сечениях непостоянны, что приводит и к постепенному (а не скачкообразному)

изменению жесткости изгибаемого элемента.

Для учета неравномерной жесткости элемента в сечениях с трещиной и на участках без

трещины действующими нормативными документами предполагается осреднять жесткость

элемента, умножая жесткость в сечении с трещиной н коэффициент , где -

напряжения в арматуре при образовании трещины (при изгибающем моменте соответствующем

образованию трещин), а - напряжения в арматуре при данной величине нагружения, но не менее

и не более .

3.5 Усовершенствование модели применительно к расчету железобетонных элементов

Как видим, наша модель достаточно неудобна для расчета железобетонных конструкций,

основные недостатки нашей модели при расчете железобетонных конструкций:

- необходимость задавать ширину для каждого слоя, несмотря на то, что железобетонные

элементы, как правило, имеют одинаковую ширину;

- необходимость задавать арматуру в некоторый слой, в то время как более привычным будет

задание расстояния до оси арматуры.

Попробуем создать некоторую универсальную модель для расчета железобетонных

элементов прямоугольного сечения, для этого вынесем арматуры в отдельные слои (для удобства), а

бетонным слоям будем назначать одинаковую ширину. По высоте элемент разобьем на 100 слоев

(для большей точности). Предусмотрим 3 арматурных слоя, этого будет достаточно для

большинства практически применяемых железобетонных элементов.

Для арматурных слоев обозначим за расстояние между нижней гранью сечения и осью

арматурного слоя, тогда .

Относительные деформации на уровне центра тяжести каждого арматурного слоя будем

находить как и прежде по формуле .

3.6 Расчет железобетонных элементов при действии продольных силРанее нами рассматривались железобетонные элементы, в которых продольная сила

отсутствовала, т.е. элемент подвергался только действию изгибающих моментов. В чистом виде

такое напряженное состояние достаточно редко. Рассмотрим поведение железобетонных элементов

при действии продольных сил. Для этого нам не потребуется вводить какие-либо изменения в нашу

63

модель – будем устанавливать значение продольной силы равной не нулевому значению, а

выбранной величине.

При исследовании изгибаемых железобетонных элементов одними из основных параметров

для нас являлись кривизна элемента и его прогиб, вычисленный при данной кривизне. Для сжатых и

растянутых элементов наиболее ценной информацией является прочность сечения, поэтому в

нашем исследовании будем строить не диаграмму момент-кривизна, как ранее, а диаграмму

продольная сила - предельный изгибающий момент. В этом случае прочность элемента обеспечена,

если расчетное сочетание продольной силы и изгибающего момента находится внутри области

ограниченной диаграммой и, соответственно, не обеспечена, если расчетное сочетание выходит за

область диаграммы.

Построим данную диаграмму для сечения 40х60см, армированного 2-мя стержнями

диаметром 25мм у каждой из боковых граней.

Для начала определим максимальное значение продольной силы, возможное для нашего

сечения – естественно данное значение будет при центральном сжатии, т.е. при значении

изгибающего момента равном нулю.

Значение предельной продольной силы составляет . Как видим, при этом наше

сечение является равномерно сжатым.

Для построения диаграммы будем менять продольную силу с шагом приблизительно 1/20 от

максимального значения, т.е. по 250кН.

0.00

1000.00

2000.00

3000.00

4000.00

5000.00

6000.00

-1.E+02 0.E+00 1.E+02 2.E+02 3.E+02 4.E+02 5.E+02 6.E+02

Как видно из диаграммы, при нулевой продольной силе элемент способен воспринимать

некоторый момент, т.е. в данном случае элемент соответствует изгибаемому. При дальнейшем

увеличении продольной силы увеличивается и предельный элемент для сечения, т.е. При некотором

64

увеличении продольной силы можно повысить прочность изгибаемого элемента. Иногда это

кажется парадоксальным, однако вспомним, что прочность нашего изгибаемого элемента

исчерпывалось с достижениями напряжений в растянутой зоне предела текучести при растяжении,

поэтому внешняя сжимающая сила позволяет частично компенсировать это растяжение и прочность

элемента увеличивается. При дальнейшем нагружении продольной силой растянутая зона исчезает

совсем и прочность на действие изгибающего момента вновь снижается. Эти два участка работы

называют соответственно, случаем больших эксцентриситетов (т.е. при малой продольной силе) и

случай малых эксцентриситетов (при большой продольной силе). Естественно, что при

максимальной продольной силе предельный изгибающий момент равен нулю (т.е. сечение сжато

равномерно).

Добавим дополнительно два стержня в средней зоне элемента, т.е. общее армирование

элемента предусмотрим шестью арматурными стержнями и построим диаграмму момент-

продольная сила.

0.00

1000.00

2000.00

3000.00

4000.00

5000.00

6000.00

-1.E+02 0.E+00 1.E+02 2.E+02 3.E+02 4.E+02 5.E+02 6.E+02

Как видно из диаграммы, на участке соответствующем случаю больших эксцентриситетов

появилась некоторая неровность, т.е. выгиб. Этот выгиб соответствует наступлению текучести

арматурных стержней средней зоны, в остальном характер диаграммы остался неизменным.

Совместим две полученные диаграммы на одном графике.

65

0.00

1000.00

2000.00

3000.00

4000.00

5000.00

6000.00

-1.E+02 0.E+00 1.E+02 2.E+02 3.E+02 4.E+02 5.E+02 6.E+02

Рисунок 3-37. Диаграмма несущей способности внецентренно-сжатого элементаИз диаграммы видно, что граница между случаем больших и малых эксцентриситетов не

зависит от наличия стержней в средней зоне, а само наличие данных стержней практически не

оказывает влияния на предельный изгибающий момент при отсутствии продольной силы, но весьма

сильно сказывается на предельной продольной силе при отсутствии изгибающего момента, т.е. для

элементов близких к центрально сжатым добавление стержней в средней зоне столь же эффективно,

как и добавление стержней в угловых зонах элемента.

3.7 Расчет внецентренно сжатых элементов с учетом ниспадающей ветви диаграммы напряжения-деформации для бетона

Рассмотрим поведение железобетонных элементов при действии продольных сил с учетом

различных диаграмм деформирования для бетона. Как уже было отмечено ранее, отечественные

нормы не предлагают диаграммы с ниспадающей ветвью, в то время как зарубежные нормы

предоставляют такую возможность.

3.8 Расчет внецентренно сжатых элементов для случая косого изгибаРассмотренные выше способы расчета относились к случаю одноосного изгиба или

внецентренного сжатия при действии изгибающего в плоскости симметрии элемента, однако при

внецентренном сжатии зачастую возникает необходимость расчета элементов при действии

изгибающего момента в двух главных плоскостях.

66

4 Учет специальных эффектов для сталежелезобетонных конструкцийВ главе 2 были рассмотрены общие принципы формирования модели для

сталежелезобетонных элементов. В данной главе будут рассмотрены способы отражения некоторых

специальных эффектов в сталежелезобетонных конструкциях. К таким эффектам следует относить:

учет усадки бетона, учет ползучести бетона, учет начальных напряжений в стальной части сечение

обусловленных нагрузкой от свежеуложенного бетона, учет начальных напряжений от

предварительного напряжения стальной части сечения, учет податливости соединения стальной и

бетонной части сечения.

4.1 Учет усадки бетона

4.2 Учет ползучести бетона

4.3 Учет начальных напряжений в стальной части сечения обусловленных нагрузкой от свежеуложенного бетона

4.4 Учет начальных напряжений от предварительного напряжения стальной части сечения

4.5 Учет податливости соединения стальной и бетонной части сечения

67

5 ВыводыДля обобщения результатов нашего исследования подведем итоги и сделаем следующие

выводы:

1. Нелинейная деформационная модель позволяет с приемлемой для практических

целей точностью определять прочность железобетонных элементов, а при

некотором уточнении и деформационных характеристик.

2. Нелинейная деформационная модель дает хорошее совпадение результатов с

действующими строительными нормами при соблюдении принятых в данных

нормах предпосылок.

3. Нелинейная деформационная модель позволяет производить расчет практически

любых железобетонных элементов, при любом содержании арматуры в сечениях, в

том числе с предварительно напряженной арматурой и сталежелезобетонных

элементов.

4. Существенным недостатком модели является тот факт, что она позволяет

производить анализ отдельных сечений, а не элемента в целом, однако данный

недостаток модели легко преодолеть подставляя полученные диаграммы момент-

кривизна в программы конечноэлементного анализа или используя общие правила

строительной механики.

68

6 Список иллюстраций

Рисунок 1-1. Схематический вид таблицы для расчета нормальных сечений...........................................................................10Рисунок 1-2. Эпюра напряжений в нормальном сечении элемента............................................................................................11Рисунок 1-3. Схематический вид таблицы с учетом предела текучести стали..........................................................................13Рисунок 1-4. Эпюра нормальных напряжений с учетом неупругих деформаций стали...........................................................14Рисунок 1-5. Эпюра нормальных напряжений для сечения из разнородных сталей.................................................................16Рисунок 1-6. Диаграмма зависимости прогиба элемента от изгибающего момента.................................................................18Рисунок 1-7. Деформированная схема балки с учетом образования пластического шарнира.................................................20Рисунок 1-8. Деформированная схема балки с назначением модуля упругости, равного секщему........................................21Рисунок 1-9. Напряжения в сечении с учетом начальных пластических деформаций при принудительном последующем возврате в исходное состояние........................................................................................................................................................23Рисунок 1-10. Напряжения в сечении с учетом начальных деформаций и последующей разгрузки (снятии внешних усилий)...............................................................................................................................................................................................23Рисунок 1-11. Напряжения в сечении с учетом начальных деформаций втрое превышающих предельные упругие и последующем принудительном возврате к нулевым деформациям............................................................................................24Рисунок 1-12. Напряжения в сечении с учетом начальных деформаций втрое превышающих предельные упругие и последующем принудительном возврате к нулевым деформациям с учетом предела текучести после разгрузки...............25Рисунок 2-1. Зависимость напряжения-деформации для сжатого бетона в соответствии с Eurocode 2..................................28Рисунок 2-2. Различные способы упрощения зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона...........................29Рисунок 2-3. Эпюра напряжений в сечении при действии изгибающего момента равного предельному..............................32Рисунок 2-4. Диаграмма момент-кривизна для заданного сечения.............................................................................................33Рисунок 2-5. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона с использование параболо-линейной зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона.....................................................................................................................................................34Рисунок 2-6. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона при различных уровнях нагрузки с использованием параболо-линейной зависимости напряжения-деформации для сжатого бетона.......................................................................................35Рисунок 2-7. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона при различных уровнях нагрузки с учетом криволинейной зависимости напряжения деформации для сжатого бетона.........................................................................................................36Рисунок 2-8. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом ниспадающей ветви диаграммы для сжатого бетона....37Рисунок 2-9. Эпюра напряжений в сжатой зоне бетона (слева) и жесткой арматуре (справа).................................................38Рисунок 2-10. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом трещинообразования в бетоне.......................................39Рисунок 2-11. Диаграмма изгибающий момент-кривизна в зоне момента трещинообразования в бетоне............................40Рисунок 3-1. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента без учета работы растянутого бетона..............................................................................................................................................................42Рисунок 3-2. Диаграмма изгибающий момент-кривизна без учета работы растянутого бетона..............................................43Рисунок 3-3. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения...............................................................................44Рисунок 3-4. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения........................................................................................................................................................................45Рисунок 3-5. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте нагружения..............................................................................................46Рисунок 3-6. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте нагружения........................................................................................................................................................................................46Рисунок 3-7. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения...............................................................................47Рисунок 3-8. Диаграмма изгибающий момент-кривизна с учетом работы растянутого бетона при «деформационном» варианте нагружения........................................................................................................................................................................47Рисунок 3-9. Зависимость напряжений в сжатой и растянутой арматуре от величины изгибающего момента с учетом работы растянутого бетона при «силовом» варианте нагружения..............................................................................................48Рисунок 3-10. Сравнение диаграмм изгибающий момент-кривизна при различных уровнях содержания арматуры в сечении...............................................................................................................................................................................................49Рисунок 3-11. Сравнение диаграмм изгибающий момент-кривизна при использовании обычной и высокопрочной арматуры и обеспечении равной прочности сечений...................................................................................................................51Рисунок 3-12. Диаграмма изгибающий момент-кривизна для балки с предварительным напряжением арматуры и без предварительного напряжения........................................................................................................................................................57Рисунок 3-13. Диаграмма несущей способности внецентренно-сжатого элемента...................................................................62

69