- WordPress.com · . DI SC RETE M AT H EM A TIC AL S TR U CT U RE S 10CS 34 UN IT – 8 6 Hours

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01

ETERCSID LACITAMEHTAM SERUTCURTS C( o nomm & ESC ot I ES )

tcejbuS :edoC C01 S34 .I A. skraM : 52 keeW/sruoH : 40 axE m ruoH s: 30

latoT Hou sr : 25 maxE raM sk : 001 TRAP – A

NU IT – 1 oH 6 u sr

teS oehT r :y steS dna Su ,stesb teS snoitarepO and eht swaL fo teS yroehT , gnitnuoC na d nneV ,smargaiD A tsriF droW no ilibaborP t ,y Co elbatnu dna nuocnU t elba Sets


slatnemadnuF fo Lo cig : cisaB sevitcennoC na d hturT selbaT , Lo cig Eq ecnelaviu – ehT swaL fo igoL ,c lacigoL noitacilpmI – seluR fo ecnerefnI


slatnemadnuF of Lo cig :.dtnoc ehT esU fo Qu ,sreifitna sreifitnauQ , Defi tin i sno dna eht sfoorP fo meroehT s


seitreporP fo eht :sregetnI lacitamehtaM dnI u ,noitc ehT lleW iredrO gn elpicnirP – lacitamehtaM dnI u ,noitc evisruceR snoitinifeD

PA TR – B


snoitaleR dna snoitcnuF : naisetraC stcudorP na d aleR it no s, snoitcnuF – lP ain dna enO -to- ,enO tnO o uF n snoitc – gnilritS srebmuN of the S noce d Ki ,dn Spe aic l uF nct ,snoi ehT

noegiP - eloh ,elpicnirP noitcnuF noitisopmoC dna nI v esre noitcnuF s


snoitaleR :.dtnoc seitreporP fo ,snoitaleR retupmoC ceR o noiting – Ze or -O en aM t secir na d detceriD G ,shpar laitraP sredrO – H essa argaiD m ,s ecnelaviuqE snoitaleR dna titraP i no s


:spuorG tinifeD i sno , selpmaxE , na d ratnemelE y seitreporP , ,smsihpromomoH ,smsihpromosI dna C cilcy ,spuorG ,stesoC dna s’egnargaL meroehT .

gnidoC oehT ry dna :sgniR stnemelE fo gnidoC T oeh r ,y ehT gnimmaH M ,cirte ehT iraP ty hC ,kce dna rotareneG secirtaM

D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 1

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com



puorG :sedoC gnidoceD htiw tesoC ,sredaeL gnimmaH secirtaM sgniR dna raludoM :citemhtirA ehT gniR erutcurtS – noitinifeD dna Ex elpma ,s Ri gn P por e tr i se na d

,serutcurtsbuS ehT sregetnI oludoM n

txeT B oo k:

1. aR l hp P. :idlamirG etercsiD dna lairotanibmoC 5,scitamehtaM ,noitidE P nosrae ,noitacudE .4002 retpahC( ,1.3 ,2.3 ,3.3 ,4.3 idneppA x ,3 C pah t re ,2 retpahC ,1.4 2.4 ,

retpahC 1.5 ot ,6.5 ahC p ret 1.7 ot ,4.7 C pah t re 1 ,1.6 ,2.61 ,3.61 5.61 ot ,9.61 dna tpahC re ,1.41 ,2.41 )3.41 .

ecnerefeR :skooB 1. htenneK H. :nesoR Di etercs taM h scitame dna i st ,snoitacilppA 7 dE iti ,no warGcM iH ll ,

102 0. 2. tnayaJ ugnaG l :y A esitaerT on tercsiD e aM t lacitameh utcurtS r ,se eniugnaS -P nosrae ,

102 0. 3. .D S. kilaM na d M K. . :neS etercsiD tamehtaM i lac :serutcurtS oehT ry dna noitacilppA s ,

egagneC ,gninraeL 4002 . 4. samohT soK h :y etercsiD scitamehtaM htiw pA p ,snoitacil ,reiveslE ,5002 R rpe i tn 8002 . D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 2

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


XEDNI HS EE T

TRAP – A P on ega .

NU IT – 1 teS :yroehT 5 - 51

NU IT – 2 slatnemadnuF fo Logi :c 61 - 92

NU IT – 3 dnuF slatnema fo Logic noc t :.d 03 - 83

NU IT – 4 seitreporP fo eht regetnI s: 93 - 49

PA TR – B P on ega .

NU IT – 5 snoitaleR dna :snoitcnuF 05 - 62

NU IT – 6 snoitaleR :.dtnoc 63 - 77

:spuorG 78 - 94 UNIT – 7

gnidoC oehT ry dna :sgniR 94 - 01 8

NU IT – 8 puorG C :sedo 01 9 - 21 0


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


TRAP – A

NU IT – I teS Th yroe : oH 6 u sr

steS dna S tesbu s ,

teS snoitarepO dna eht swaL fo teS oehT r ,y

gnitnuoC dna nneV ,smargaiD

A tsriF droW no ilibaborP t ,y

elbatnuoC dna

elbatnuocnU steS D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 4

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


DISRETE MAT MEH A IT CAL S RT UC UT RES U TIN I 6 H ruo s

eS t Theo yr

:steS A s te si a noitcelloc fo ob ,stcej llac ed el stneme fo eht s .te A tes nac be yb gnitsil sti stnemele b neewte :secarb A = .}5 ,4 ,3 ,2 ,1{ ehT mys b lo e is

ro( b ole n sg )ot a set. oF r sni t ecna 3 e .A I st noitagen si erper s detne yb ,e/ e.g. 7 e/ .A fI eht tes Is ,etinif sti mun b re fo ele em tn s

si per res detne | ,|A e.g. ,1{ = A fi ,2 ,3 ,4 neht }5 A| | = 5

emoS mi p tro a tn stes era eht iwollof ng :

1. ,3 ,2 ,1 ,0{ = N ·· = } · eht tes fo larutan .srebmun 2. Z { = ·· , · - ,3 - ,2 - ,3 ,2 ,1 ,0 ,1 ·· = } · eht tes .sregetni fo 3. Q = eht tes fo anoitar l mun b .sre 4. R = eht tes fo laer mun b sre . 5. C = eht tes fo xelpmoc mun b .sre

If S si eno fo esoht stes neht ew osla esu eht of l gniwol taton oi ns :

1. S + = tes fo p evitiso stnemele ni S , rof ni s ecnat

Z + = ,1{ ,2 ,3 ·· · } = eht tes fo evitisop sregetni .

2. S - tes = fo evitagen stnemele ni S , rof ins ecnat

Z- { = - ,1 - ,2 - ,3 ·· = } · eht tes evitagen fo sregetni .

3. S∗ = tes fo el stneme ni S ex gnidulc ,orez of r ecnatsni R∗ = eht set fo non z ore aer l rebmun s.

teS - redliub oitaton n: nA evitanretla yaw ot enifed a s ,te dellac tes - b liu d re ,noitaton si

yb gnitats a orp p ytre rp( e cid a )et P )x( rev i deif yb tcaxe ly sti ele m tne s, rof atsni n ec A = x{ e Z | 1 ≤ x ≤ }5 = tes“ fo sregetni x hcus taht 1 ≤ x ≤ ”5 — :.e.i A = 3 ,2 ,1{ ,

,4 }5 . nI :lareneg A = x{ e U | p(x)}, where U si eht esrevinu fo id s esruoc ni hw i hc eht etaciderp )x( P tsum be tni e rpr et de , or A = x{ })x( P | fi ht e esrevinu fo id s esruoc rof )x( P si mi p ylticil u tsredn oo .d nI s te yroeht eht mret vinu e lasr es t is oft ne esu d i n

ecalp fo esrevinu“ fo ”esruocsid a rof etaciderp nevig . D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 5

ex sserp taht an elem tne si detneserp

desu ot

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


nirP elpic fo oisnetxE n: owT stes era lauqe fi dna ylno fi ht ey eht evah emas

emele n ,st i e. :. = A B ≡ ∀ ( x x e A ↔ x e B) .

:tesbuS eW yas taht A si a tesbus fo tes B, ro A si deniatnoc ni B, dna ew tneserper

ti A“ ⊆ B ,” fi lla stnemele fo A era ni B, ,.g.e A fi = dna }c ,b ,a{

B = ,a{ ,b ,c ,d }e neht A ⊆ B.

reporP :tesbus A si a reporp tesbus fo B, erper s detne A“ ⊂ B ,” if A ⊆ B = A B, ,.e.i ereht si emos e el m tne ni B hcihw si ton ni A.

ytpmE :teS A tes htiw on stnemele si dellac empty tes ro( un ll ,tes

ro diov ,) tes dna si detneserper yb ∅ ro }{ .

etoN taht gnihton stneverp a tes morf p bisso ly b gnie na e el m tne fo na o reht set hw( i hc si ton eht emas sa bei gn a bus s te ! .) roF i n ecnats fi A = ,1{ ,a ,3{ ,}t ,1{ ,2 }}3 dna =B ,3{ ,}t neht ylsuoivbo B si na tnemele fo ,A

,.e.i B e A.

rewoP :teS The noitcelloc fo lla stesbus fo a tes A si dellac ht e op w re tes fo ,A

dna si detneserper )A(P . roF ,ecnatsni fi A = ,1{ ,2 ,}3 neht

)A(P = {∅, ,}1{ ,}2{ ,}3{ ,1{ ,}2 ,1{ ,}3 ,2{ ,}3 }A .

:stesitluM owT yranidro stes era lacitnedi fi ht ey evah eht emas ,stnemele os rof

ecnatsni , ,a ,a{ }b dna }b ,a{ era eht s ema es t b esuace ht ey h eva axe ctly eht as m e emele n ,st yleman a a dn b. ,revewoH ni mos e snoitacilppa ti thgim be use uf l to

wolla er p detae stnemele ni a .tes nI taht esac ew esu ,stesitlum hcihw ar e am t meh a it c la seititne ralimis to s ,ste ub t htiw p ylbisso er p detae emele n st . ,oS as

,stesitlum ,a{ ,a }b na d ,a{ }b luow d be deredisnoc effid ,tner ecnis in eht rif st eno eht eleme tn a o srucc iwt ce dna ni eht dnoces eno it o srucc no ly once .

teS Oper ta io sn : 1. noitcesretnI : ehT nommoc stnemele fo owt :stes

A B ∩ x{ = x( | e )A ∧ x( e })B .

A fI B ∩ = ∅, eht stes era dias ot be jsid o ni t.


ub t

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 2. : noinU ehT tes fo stnemele taht b gnole ot rehtie fo owt :stes

A ∪ B = x{ x( | e )A ∨ x( e B }) .

3. tnemelpmoC : ehT es t stnemele fo ni( eht lasrevinu )tes taht od ton b ole ng ot a nevig :tes

A = x{ e U | x e/ }A . 4. ecnereffiD ro evitaleR : tnemelpmoC ehT tes fo stnemele taht b gnole ot a tes tub

ton ot ehtona :r

A - B = x{ | x( e )A ∧ x( e/ B }) = A ∩ B .

5. cirtemmyS ecnereffiD : neviG owt ,stes rieht ys mm rte ic fid f re - en ec is ht e es t of stnemele taht b gnole ot rehtie eno ro the rehto s te tub ton bot .h

A ⊕ B x{ = x( | e )A ⊕ x( e })B .

tI nac be desserpxe osla ni eht gniwollof yaw :

A ⊕ A = B ∪ B - A ∩ B = A( - )B ∪ B( - )A .

gnitnuoC htiw nneV :smargaiD A nneV margaid htiw n stes gnitcesretni ni eht tsom eg n lare yaw d sedivi eht enalp

ni to 2n ger i sno . fI ew evah noitamrofni ab tuo eht mun b re fo stnemele fo emos p snoitro fo eht argaid ,m neht ew nac dnif eht mun b re fo stnemele ni hcae fo eht snoiger dna esu taht noitamrofni rof gniniatbo eht mun ber fo ele m stne ni rehto p snoitro fo the

plane.

: elpmaxE teL , M P dna C be eht stes fo stneduts gnikat ehtaM - matics ruoc s ,se

scisyhP uoc sesr dna retupmoC ecneicS sesruoc ser p ce - evit ly ni a ytisrevinu . emussA |M| = ,003 | P| = ,053 |C| = ,054 M| ,001 = | P ∩ M| ∩ C ,051 = | P| ∩ C ,57 = | M| P ∩ ∩ C = | .01 How

ynam stneduts era gnikat tcaxe ly eno fo esoht ?sesruoc .gif( 2. )7

eW ees taht M(| P∩ )- M( P∩ C∩ |) = 001 - 01 = ,09 M(| C∩ )- M( ∩ P ∩ C 051 = |) - P(| dna 041 = 01 ∩ C ) - M( ∩ P ∩ C 57 = |) - .56 = 01

nehT eht noiger serroc p gnidno ot stneduts gnikat citamehtaM s co sesru no ly has ytilanidrac 03 0-(90+10+ 041 ) = 06 . ylsuogolanA ew etupmoc eht mun b re fo stneduts

gnikat scisyhP sesruoc ylno )581( dna gnikat retupmoC ecneicS sesruoc no ly (235). D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 7

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ehT mus 06 + + 581 2 53 = 084 si eht mun b re fo stneduts gnikat ex tca ly one of oht s e esruoc s .

nneV margaiD s: nneV smargaid era cihparg atneserper - noit s fo stes sa cne desol saera ni eht .enalp

roF ,ecnatsni ni erugif ,1.2 eht elgnatcer rper e stnes eht lasrevinu tes eht( tes fo la l stnemele noc - deredis in a nevig )melborp dna eht dedahs noiger er p stneser a tes A .

ehT rehto fi serug rper es tne suoirav tes opera it o .sn


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


waL s fo set ht yroe : ehT tes op snoitare yfirev eht gniwollof orp pe eitr :s


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


dezilareneG noinU dna tnI ers ce it :no neviG a celloc - noit fo stes A 1 A , 2 . . . , , AN , rieht noinu si ifed n de sa eht tes tnemele fo s taht b gnole ot ta el ast eno fo eht es ts

ereh( n stneserper na ni reget ni eht egnar morf 1 ot :) N


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


,ylsuogolanA rieht noitcesretni si eht s te fo ele me stn taht b ole ng ot a ll t eh sets tlumis a suoen ly:

esehT snoitinifed nac be eilppa d ot etinifni snoitcelloc of stes sa .llew roF ecnatsni emussa taht Sm = nk{ | k ,4 ,3 ,2 = . . . = } tes selpitlum fo fo n retaerg naht .n hT en

P itra tio sn : A noititrap fo a tes X si a noitcelloc S fo non gnippalrevo non ytpme

stesbus fo X esohw noinu si eht elohw . X roF ecnatsni a noititrap X fo ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{ = ,6 ,7 ,8 ,9 eb dluoc }01

S ,1{{ = ,2 ,4 ,}8 ,3{ ,}6 ,5{ ,7 ,9 }}01 . neviG a noititrap S fo a tes , X yreve tnemele fo X b sgnole ot tcaxe ly eno mem b re fo

S.

: elpmaxE ehT oisivid n fo eht sregetni Z otni neve dna o dd mun b sre si a :noititrap S =

,E{ ,}O erehw E = n2{ | n e ,}Z O = 1 + n2{ n | e }Z .

Examp el : ehT snoisivid fo Z ni evitagen ni te ,sreg p evitiso regetni s dna orez is a

:noititrap S = Z{ + , Z -, }}0{ .

deredrO ,sriaP naisetraC Pro cud t:

nA yranidro pa ri ,a{ }b si a tes htiw wt o .stnemele nI a tes t eh redro fo eht stnemele si ,tnavelerri so ,a{ }b = {b, a}. fI eht redro fo eht stnemele si ,tnaveler

neht ew esu a tnereffid ob tcej dellac deredro ,riap detneserper ,a( )b . woN ,a( )b = ,b(

)a elnu( ss a = b). nI ge laren ( ,a b) = (a!, b!) i ff a = a! dna b = b!. D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 11

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


neviG owt stes ,A B, rieht naisetraC tcudorp B × A si eht tes fo lla deredro sriap ,a( )b hcus taht a e A dna b e B :

A × B = ,a({ )b | a( e )A ∧ })B e b( . ylsuogolanA ew nac enifed selpirt ro 3- selput ,a( ,b ,)c 4- selput ,a( ,b ,c ,)d

. . . , n- selput a( 1 , a2, . . . a , m ,) dna eht gnidnopserroc 3- ,dlof 4- .,dlof . . , n- dlof naisetraC rp o ud c st : A1 A × 2 × ·· A × · m =

a({ 1 , a2, . . . , am ) | a( 1 e A1) ∧ a( 2 e A2) ∧ ·· · ∧ a( m A e m }) .

If lla eht stes ni a etraC s nai rp o tcud era eht s ,ema neht ew nac esu na xe p :tneno A2 =

A × ,A A3

× A = × ···× A . A

A riF st droW no aborP bi il :yt I rtn o itcud :no emussA taht ew p mrofre an xe p re im tne su hc sa to gniss a nioc ro

gnillor a .eid ehT tes fo p elbisso semoctuo si dellac eht elpmas ecaps fo eht xe p .tnemire nA tneve si a tesbus of eht pmas le s ap c .e roF ,ecnatsni fi ew ssot a nioc eerht emit s , eht elpmas ecaps is

S — H{ H H ,H H T , H T H ,H T T , T H T ,H H T , T T T ,H T T } . ehT tneve ta“ tsael wt o sdaeh ni a ”wor dluow be eht tesbus

E — H{ H H ,H H T , T H H } . fI lla p elbisso semoctuo fo na xe p ire m tne evah t eh emas hilekil ood fo o ,ecnerrucc neht

eht ytilibaborp na fo A tneve ⊂ :elur s’ecalpaL yb nevig si S

roF ,ecnatsni eht ytilibaborp fo gnitteg at tsael owt sdaeh ni a r wo in eht ab evo xe p tnemire si 8/3 .


,A × A × A = .cte nI eg aren l: (m ti sem )

m

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


orP p seitre fo baborp :ytili teL P be a ytilibaborp cnuf - noit no a elpmas caps e S . T eh :n

EHT TPECNOC FO :YTILABORP |A|=)A(rP / |S| erehw |A| si na tneve dna |S| as si m ecaps elp |A|=)A(rP / |S|(=|S| - =|S|/)|A| 1- =)|S|/|A|( 1- )A(rP .

0=)A(rP fi dna ylno if 1=)A(rP dna 1=)A(rP fi dna no l fi y )A(rP = 0

NOITIDDA :MOREHT


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


esoppuS A dna B era 2 stneve si a elpmas ecaps S neht A BU si na tneve ni S isnoc ts gni fo semoctuo taht era ni A ro B or htob dna A ∩ B si na tneve is S snoc i ts i gn of emoctuo s

ommocerataht n to A na d B. lgnidrocca y by the picnirp le fo ad id it on we ah ev |BUA| = |+|A| B|- A| |B∩ and alumrof 1 sevig

|B|+|A|(=|S|/|BUA|=)BUA(rP - A| |S|/)|B∩ |A| = /|S + | |B|/|S| - A| ∩ |B / |S |

)BUA(rP rP+)A(rP= ( )B - A(rP ∩ )B

YLAUTUM EVISULCXE TNEVE S:

owT stneve A dna B ni a elpmas ecaps era dias ot eb lautum ex evisulc fi A ∩ B Ø= t eh n A(rP 0=)B∩ dna the dda i noit meroeht secuder ot =)BUA(rP )B(rP+)A(rP

If 1A , A.……2A n a er lautum y ex sulc ive ve e ,stn neht 1A(rP U nAU.……U2A )= )nA(rP+.…+)2A(rP+)1A(rP

LANOITIDNOC :YTILIBABORP

fI E si na tneve ni a etinif elpmas S htiw 0>)E(rP neht eht ilibaborp ty taht na neve t A in S srucco nehw E sah aerla dy o derrucc si dellac t eh ilibaborp ty fo A evitaler ot E ro eht

lanoitidnoc ilibaborp ty fo A , nevig E sihT ilibaborp t ,y detoned yb )E|A(rP si denifed by

A|=)E|A(rP ∩ /|E |E| morf siht A| ∩ |=|E E| . )E|A(rP A(rP ∩ =)E A| ∩ /|E |E|=|=S /|S| . )E(rP=)E|A(rP . P )E|A(r

Ex : elpma dniF eht ytilibaborp fo bo t gninia a mus fo 01 retfa gnillor owt riaf .ecid iF nd eht ytilibaborp taht fo taht wonk ew fi tneve tsael ta o en fo eht ecid swohs 5 p stnio .

nA ws re : eW ac ll E — gniniatbo“ mus ”01 na d F — ta“ l tsae eno fo t eh id ce wohs s 5

p ”stnio . ehT mun b re of p elbisso uo t oc m se si 6 × 6 — 36. ehT tneve gniniatbo“ a mus ”01 si E — ,})4 ,6( ,)5 ,5( ,)6 ,4({ os |E| — .3 neH ce t eh rp o libab i yt is P (E) — |E| |/ S| — 3/36 — 1/12.

,woN fi ew wonk taht ta l tsae eno fo eht ecid swohs 5 p stnio neht eht elpmas ecaps sknirhs to

F — ,1({ ,)5 ,2( ,)5 ,3( ,)5 ,4( ,)5 ,5( ,)5 ,6( ,)5 ,5( ,)1 ,5( ,)2 ,5( ,)3 ,5( ,)4 ,5( })6 , os | F| — ,11 na d eht syaw ot niatbo a mus 01 era E F n — ,})5 ,5({

| F n E| — 1, os eht ibaborp l yti is P E( ) F | — P E( ) F n P/ ( ) F — 1/ 11 .

YLLAUTUM DNI E TNEDNEP EVE TN S:

ehT ev tne A dna E ni a elpmas sp ca e S era dias ot eb lautum ly ni d tnednepe if the ilibaborp ty fo eht ecnerrucco fo A si nednepedni t fo eht ilibaborp ty fo eht ecnerrucco fo ,E

oS taht (rP=)A(rP A|E). roF hcus stneve A(rP ∩ .)A(rP=)E P (r )E


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


sihT si nwonk sa eht tcudorp elur ro eht noitacilpitlum meroeht for lautum ly i edn p nedne t stneve .

A eg n noitazilare fo ex noisserp si fi ………3A,2A,1A .. nA era autum lly in tnedneped ev tne s ni aps elpmas a ce S neht

1A(rP ∩ 2A ∩ ……… ……∩ rP=)nA ( .)1A P A(r )2 ……… .. nA(rP ) : elpmaxE emussA taht eht ytilibaborp taht a hs o reto stih a tegrat si p — ,7.0 dna aht t

gnittih eht tegrat ni fid f tnere stohs era edni p dne e tn stneve . niF :d 1. ehT orp b ytiliba taht eht hs o reto do se ton tih eht tegrat ni one shot. 2. ehT p ytilibabor aht t eht hs o reto do se on t h ti t eh t egra t eerht it mes in a wor . 3. ehT ytilibaborp taht eht hs o reto stih eht tegrat ta tsael ecno fa ter hs oot ni g rht e e it mes . nA rews :

1. P ( ton ih tt gni t eh egrat t ni eno s oh t) — 1 — 0 7. — 0 .3.

2. ton( P gnittih eht tegrat eerht semit ni a r )wo — 3.0 3 — .720.0 3. P ih( tt gni t eh egrat t ta ael st ecno ni t eerh shot )s — 1— .0 0 72 —

.379.0

ELBATNUOC DNA ELBATNUOCNU ES ST

A tes A si s eht eb ot dia c elbatnuo fi A is a nif i et se t . A tes hcihw si ton elbatnuoc is dellac na nuocnu at ble tes .

EHT NOITIDDA :ELPICNIRP

• |BUA| =|A |+| B|- A| ∩ |B is eht noitidda elpicnirp elur ro eht p elpicnir of noisulcni – oisulcxe n .

• A| - |A|=|B - A| ∩ |B • | A ∩ |B = |U| - |A| - |B| A|+ |B ∩ • UBUA| C|= |+|A| B |C|+| - A| |B∩ - B| ∩ C|- A| ∩ C A|+| ∩ B ∩ C| si ex dednet noitidda

elpicnirp • :ETON A| ∩ B |=|C ∩ A UBU C |

|U|= - |CUBUA| = |U| - |A| - |B| - B|+|C| ∩C |+| A A|+|B∩ ∩C|- A| B∩ |C∩

A| -B-C |A|=| - A| |B ∩ - A| ∩ C A|+| ∩ B ∩ C | D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 51

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


NU IT – II slatnemadnuF fo L :cigo oH 7 u sr

cisaB sevitcennoC dna T htur baT l ,se

cigoL ecnelaviuqE

ehT swaL fo ,cigoL

lacigoL noitacilpmI

seluR fo In ef r ecne D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 61

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


NU IT II 7 H ruo s

slatnemadnuF fo L cigo I tn r do uction: Propos ti i sno : A noitisoporp si a evitaralced ecnetnes taht si rehtie eurt ro tub( eslaf ton b .)hto F ro

,ecnatsni ht e gniwollof era orp p :snoitiso siraP“ si ni ”ecnarF ,)eurt( nodnoL“ si ni kramneD ” ,)eslaf( 2“ < ”4 ,)eurt( 4“ = 7 .”)eslaf( revewoH eht gniwollof era ton

orp p so ti snoi : tahw“ si ruoy eman ?” siht( si a ,)noitseuq od“ ruoy rowemoh k” ( siht si a moc m ,)dna siht“ es n cnet e si ”eslaf (ne rehti urt e ron ,)eslaf x“ si na eve n

num ”reb ti( ed p sdne no tahw x erper s ,)stne S“ o setarc ” ti( si ton neve a )ecnetnes . ehT t ur th ro heslaf oo d fo a orp p so i noit is ac ell d its hturt av lue.

cisaB sevitcennoC dna Truth Ta lb :se

sevitcennoC era desu gnikam rof dnuopmoc .snoitisoporp ehT niam seno are eht gniwollof dna p( q r erpe s tne gi nev prop noitiso s) :

Meani gn “not p” p“ dna q” p“ ro q (or b ”)hto

rehtie“ p or q, ub t on t b ”hto fi“ p neht q”

p“ fi dna no ly fi q”

ehT hturt eulav of a moc p dnuo orp p oitiso n ed p dne s ylno no eht eulav fo ti s tnenopmoc s. gnitirW F rof ”eslaf“ dna T rof ,”eurt“ ew nac ezirammus eht m gninae

fo eht sevitcennoc ni eht gniwollof :yaw

p q ¬p T T F T F F F T T F F T

etoN t ah t ∨ r erpe s stne a non -ex evisulc ,ro e.i ., p ∨ q si eurt nehw yna fo ,p q is true


R pe er se etn d ¬p

p ∧ q p ∨ q p ⊕ q

p → q

p ↔ q

Name eN ga it no

oitcnujnoC n Disj itcnu no

evisulcxE rO Im lp i tac ion

ociB ndi it onal

p p→ ↔ q

T T F F T F T T

F T T F

p ∧ q p ∨ q p ⊕ q T T T

F

T F F F

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


dna osla nehw b hto are t .eur nO eht rehto ha dn ⊕ stneserper na evisulcxe ,ro ,.e.i p

⊕ q si urt e ylno nehw yltcaxe eno p fo dna q si eurt .

,ygolotuaT ,noitcidartnoC :ycnegnitnoC

1. A orp p noitiso si dias ot be a ygolotuat fi ti s urt th eulav si T rof a yn sa s gi nm tne fo

hturt seulav ot sti oc mpon tne s. elpmaxE : ehT noitisoporp p ∨ p¬ si a ygolotuat .

2. A orp p noitiso si dias ot be a cidartnoc ti no if sti hturt eulav si F rof yna ass ngi m tne

fo hturt seulav ot sti oc mpon stne . elpmaxE : ehT noitisoporp p ∧ p¬ si a noitcidartnoc .

3. A orp p iso it no taht si rehtien a olotuat gy nor a c rtno a noitcid is dellac a c ycnegnitno .

p ¬p T F T F F T F T

✻

ygolotuat

dnoC itional Propo snoitis : A orp p noitiso fo eht fo mr fi“ p neht q” ro p“ i lpm i se q ,” detneserper p“ → q” si dellac a lanoitidnoc noitisoporp . roF :ecnatsni fi“ nhoJ si

morf ogacihC neht J nho si morf onillI i .”s ehT orp p noitiso p si dellac sisehtopyh ro ,tnedecetna dna eht orp p noitiso q si eht noisulcnoc ro tneuqesnoc .

etoN taht p → q si eurt syawla cxe tpe nehw p si eurt dna q si eslaf . ,oS eht gniwollof

secnetnes era :eurt fi“ 2 < 4 neht siraP si ni ”ecnarF eurt( → ,)eurt fi“ nodnoL is ni kramneD neht 2 < 4” af( l es → tr eu ) ,

fi“ 4 = 7 neht nodnoL si ni ”kramneD laf( es → slaf e .) H revewo t eh fo ll iwo ng no e


T F p ∨ p¬ p ∧ p¬

T F T F T F

✻

tcidartnoc i no

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 si :eslaf fi“ 2 < 4 t eh n noL d no is ni neD m ”kra eurt( → false) .

nI mi thg mees rts a egn taht p“ → q” si deredisnoc eurt nehw p is af l ,es rega dr l se s fo eht hturt eulav of q. T sih lliw b emoce reraelc nehw ew yduts setaciderp hcus sa fi“

x si a elpitlum fo 4 ht en x si a elpitlum fo .”2 That pmi l aci it no si ylsuoivbo eurt , hguohtla rof eht itrap c lu ra

esac x = 3 ti b semoce fi“ 3 si a elpitlum fo 4 neht 3 si a elpitlum fo 2”.

hT e orp p noitiso p ↔ q, daer p“ fi na d no ly if q ,” si dellac nocib - anoitid l. tI si true

esicerp ly nehw p dna q evah eht emas hturt ,eulav ,.e.i ht ey era both eurt ro b to h af esl .

lacigoL :ecnelaviuqE etoN taht eht oc mpo dnu orp p iso - snoit

p → q dna p¬ ∨ q evah eht emas t htur :seulav

p q ¬p ¬p ∨ q p → T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T

nehW owt moc p dnuo orp p snoitiso evah eht emas hturt seulav on rettam tahw urt t h eulav rieht noc st ti uent orp po is snoit ,evah yeht era dellac acigol l yl .tnelaviuqe F ro

ecnatsni p q → dna p¬ ∨ q era ,tnelaviuqe yllacigol dna ew etirw :ti

p → q ≡ p¬ ∨ q

etoN taht taht owt orp p snoitiso A dna B era lacigol ly uqe iva tnel cerp isely wh ne A ↔

B si a olotuat gy.

elpmaxE : eD s’nagroM swaL rof Logi .c ehT gniwollof orp p snoitiso era gol i lac l y

iuqe v :tnela

¬ p( ∨ )q ≡ p¬ ∧ q¬

p(¬ ∧ )q ≡ p¬ ∨ q¬


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


p q ¬p ¬q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q T T F F T F F T F F T F F T T F F F T T F T T F T F F F T T F F T T F T T F T T

elpmaxE : ehT gniwollof orp p snoitiso era yllacigol :tnelaviuqe

p ↔ q ≡ p( → q) ∧ q( → )p

,niagA siht nac be ch dekce htiw eht hturt tabl se :

p q p →q → p( → q ) ∧ q( p ↔ q T T T T T T T F F T F F F T T F F F F F T T T T

esicrexE : kcehC eht gniwollof lacigol :secnelaviuqe

p(¬ → q) ≡ p ∧ q¬

p → q ≡ q¬ → p¬

p(¬ )q ↔ ≡ p ⊕ q

C vno ers ,e C tno rapo tis ive: ehT esrevnoc fo a lanoitidnoc orp p noitiso p → q is ht e orp po is oit n q → p. sA ew evah ,nees eht ib - itidnoc o an l proposition is

tnelaviuqe ot eht noitcnujnoc fo a lanoitidnoc orp p noitiso na sti revnoc se.

p ↔ q ≡ p( → q) ∧ q( → )p

,oS rof ,ecnatsni s iya ng taht “J nho si deirram fi dna no ly fi he sah a sp ”esuo is ht e emas sa iyas ng fi“ J nho si deirram neht eh ah s a sp ”esuo dna fi“ eh ah s a sp esuo then

eh si ma irr ed”. D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 02

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID ERUTCURTS S 43SC01

etoN aht t ht e esrevnoc si ton tnelaviuqe ot eht gi nev lanoitidnoc orp p iso tio ,n rof ins ecnat fi“ J nho si rf om ogacihC neht J nho si morf ”sionillI si ,eurt tub eht srevnoc e

fi“ nhoJ si morf sionillI neht J nho morf si gacihC o” m ya be eslaf . ehT evitisopartnoc fo a lanoitidnoc orp p noitiso p → q si eht orp po- noitis q¬ →

¬p. ehT y era lacigol ly .tnelaviuqe roF ecnatsni eht noc - art p evitiso fo fi“ hoJ n si morf ogacihC neht J nho si morf llI i on si ” is “ fi

J nho si ton morf sionillI then J nho is on t orf m Chica og ”. LACIGOL :SEVITCENNOC weN snoitisoporp era ob deniat htiw t eh aid fo w ro d

ro arhp s se ekil ”ton“ , ”neht.…fi”,”dna” , dna fi“ dna no ly i ”f . hcuS wo dr s ro ph esar s ar e dellac lacigol tcennoc ives. ehT wen snoitisoporp deniatbo by eht esu fo ennoc ct sevi a er dellac dnuopmoc orp po is .snoit ehT lanigiro snoitisoporp morf hcihw a nuopmoc d

noitisoporp si deniatbo era dellac eht nopmoc e stn ro eht sevitimirp fo t eh nuopmoc d tisoporp ion. snoitisoporP hcihw od ton niatnoc any lo lacig noc n evitce era dellac si elpm tisoporp i no s

NOITAGEN : A noitisoporP deniatbo by itresni ng eht drow “n ”to ta na rporppa i eta ecalp

ni a nevig p noitisopor si dellac eht noitagen fo t eh gi nev soporp ti .noi The noitagen of a noitisoporp p si detoned by daer(p~ on“ t ”p )

Ex: :p 3 a si irp me un m eb r

:p~ 3 si a ton rp mi e ebmun r

hturT :elbaT p p~

0 1 1 0

NOITCNUJNOC : A dnuopmoc noitisoporp deniatbo by inibmoc ng owt nevig oitisoporp ns by ni s re ting eht

drow ”dna“ ni teb w ee n meht si dellac the co tcnujn i no fo the gi nev oporp si oit hT.n e noitcnujnoc fo owt porp o noitis p dna q si detoned by q^p ( daer p“ dna q )” .

• ehT noitcnujnoc q^p si eurt no ly nehw p si eurt dna q si ;eurt ni lla rehto sesac ti si af esl .

• Ex: p:√2 si na tari i ano l rebmun :q 9 is a rp i em rebmun p^ :q √2 si na ari lanoit rebmun dna si 9 a rp i em n rebmu

• hturT elbat : p q q^p 0 0 0 0 1 0


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


1 0 0 1 1 1

ID S CNUJ TION:

A dnuopmoc noitisoporp deniatbo by inibmoc ng owt nevig oitisoporp ns by ni s re ting eht

drow ”ro“ ni eewteb n meht si dellac eht noitcnujsid fo eht gi ev n tisoporp i ehT.no noitcnujsid fo owt noitisoporp p dna q si detoned by p�q daer( p“ ro q )” .

• ehT noitcnujsid p�q si eslaf no ly wh ne p si eslaf dna q si eslaf ; ni lla rehto sesac ti

eurt si . • Ex: p:√2 si na tari i ano l rebmun :q irp a si 9 me un m reb

p�q : √2 si na lanoitari rebmun ro 9 si a irp me nu rebm hturT t :elba • p q p�q

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

EVISULCXE TCNUJSID OI :N • ehT nuopmoc d noitisoporp p“ or q” ot be rt ue no ly w eh n e ti her p i t s ur e or q si t ur e

tub on t htob . ehT evisulcxe ro si detoned by s lobmy v. • Ex: p:√2 rebmun lanoitarri na si q : =3+2 5

Pv :q E ti h re √2 si na lanoitarri rebmun ro +2 3 5= b tu on t htob .

• hturT elbaT :

p q pvq 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

ro(LANOITIDNOC )NOITACILPMI : • A dnuopmoc noitisoporp deniatbo by gninibmoc owt nevig snoitisoporp by isu n g

eht sdrow ”fi“ dna eht“ n” ta airporppa te secalp si dellac a idnoc it ano l ro na im acilp t noi .. D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 22

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 • neviG owt snoitisoporp p dna ,q we c na mrof ht e dnoc iti ano sl “if ,p t neh q” dna i“ f

,q neht p:. ehT lanoitidnoc fi“ ,p neht si”q detoned yb p→q dna eht lanoitidnoc “if ,q neht ”p si detoned by q →p.

• ehT tidnoc i ano l p→q si eslaf no ly nehw p si eurt dna q si eslaf ni; lla rehto sesac ti

eurt si . • Ex: :p si 2 rebmun emirp a :q 3 is a rp mi e un m eb r p→ :q fI 2 si a p emir rebmun neht a si 3 n emirp u ;rebm ti si eurt • hturT elbaT :

p q p→q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

CIB O IDN IT ANO L: • eL t p na d q be wt o orp p ,snoitiso t neh t eh nujnoc cti no fo eht tidnoc i ano ls p→q dna q→p si dellac ib - lanoitidnoc fo p dna q. tI si p yb detoned ↔q . • p↔q si emas sa p( → )q �( q→p .) sA hcus p↔q si daer sa “ fi p neht q dna fi q

”p neht . • Ex: a si 2 :p rp i em rebmun :q 3 is a rp mi e un m eb r p↔q era rt ue .

hturT elbaT : p q p→q q→p p↔q 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

DENIBMOC TURT H TAB EL

P q ~p ^p q p�q pvq p→q p↔q 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


1 1 0 1 1 0 1 1 EIGOLOTUAT S; NOC T CIDAR T NOI S:

A dnuopmoc noitisoporp hcihw si wla a sy rt ue sseldrager fo the hturt av l seu fo sti

stnenopmoc si dellac a olotuat gy . A dnuopmoc noitisoporp hcihw si wla ays af l es seldrager s fo the rt u ht eulav s of i st

stnenopmoc si dellac a noitcidartnoc ro na sba urdity . A dnuopmoc noitisoporp taht nac eb rt ue ro eslaf idneped( ng nopu t eh truth av l seu fo sti

)stnenopmoc si dellac a negnitnoc cy e.I gnitnoc e ycn si a dnuopmoc orp p noitiso hcihw si rehtien a ygolotuat ron a noitcidartnoc .

LACIGOL LAVIUQE E ECN

• owT snoitisoporp ’u‘ dna ’v‘ era dias ot eb lacigol ly tnelaviuqe ehw ne rev u dna v

evah eht emas t htur ,eulav ro tnelaviuqe ly . • nehT ew w etir u�v. ereH eht s obmy l � sdnats rof gol“ i lac ly tnelaviuqe ”ot . • W neh eht snoitisoporp u dna v era ton lo lacig ly eq tnelaviu ew irw te u�v.

SWAL FO L GO I :C

oT etoned a lotuat go y and oT setoned a cidartnoc t noi . • waL fo elbuoD :noitagen roF any noitisoporp p, )p~~( �p • tnetopmedI :swal roF any snoitisoporp ,p )1 p( �p) �p )2 p( �p) �p • itnedI ty :swal roF any p noitisopor ,p p()1 � )oF �p p()2 � )oT �p • esrevnI :swal roF any rp o tisop noi ,p )1 p( �� )p � )2 oT (p� p~ )�Fo • evitatummoC :swaL For any p noitisopor p dna ,q p()1 � )q � q( � p()2 )p �q)� q( �p ) • noitanimoD :swaL roF na y )1 ,p noitisoporp (p�T )o � ( )2 oT p� )oF � oF • noitprosbA :swaL roF any noitisoporp p )1,q dna [p� p( � ])q � )2 p [p� p( � )q ] � p • eD - nagroM :swaL roF any p noitisopor p dna ,q ~)1 p( �q)��p��q 2) �(p� )q ��p ��q


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


• evitaicossA swaL : roF any noitisoporp p q, dna ,r )1 p � q( � )r � p( � )q �r )2 p�(q� )r � p( �q) �r • evitubirtsiD :swaL For any p noitisopor p q, dna r, )1 p � q( � r) � (p �q) � p( �r ) )2 p� q( � )r � (p� )q � (p� )r

• waL rof the noitagen fo a lanoitidnoc : neviG a dnoc ti lanoi p→ ,q sti noitagen is

deniatbo by isu ng eht gniwollof :wal � p( →q)�[p�(� )q ]

TON E: • ~ p( �q)≡ �p��q • �(p� )q ≡ �p �� q • � p( → )q ≡ [p�(� )q ] • (p→ )q ≡ � � p( → )q ≡ �[p�(� ])q ≡�p �q

EVITISNART DNA SU SB IT TUT NOI UR LES fI v,u ,w era itisoporp o sn hcus taht u�v dna v � ,w t neh u �w. si siht( t snar ti evi )elur

• uS esopp taht a dnuopmoc noitisoporp u si a olotuat gy dna p si a oc mpo tnen fo u,

ew ecalper cae h rucco r ecne of p ni u by a rp o sop it noi ,q neht ht e er s lu ti gn nuopmoc d noitisoporp v si osla a olotuat g sihT(y si ac ll de a tsbus ti noitu ur l )e .

• esoppuS taht u is a moc p dnuo noitisoporp hcihw atnoc ins a oporp is noit p. teL q be a noitisoporp hcus taht q �p , esoppus ew per l eca eno ro erom o secnerrucc fo p by q na d

niatbo a dnuopmoc orp p tiso i no v. nehT u �v si sihT( osla bus ts noituti )elur

NOITACILPPA OT GNIHCTIWS EN T KROW S • fI a hctiws p si op ,ne ew gissa n eht s lobmy o ot it dna if p si desolc we a ss ngi the s ot 1 lobmy ti . • Ex: tnerruc swolf morf eht lanimret A ot eht ret m lani B fi eht swi hct si clo des e.i if p si dengissa eht s lobmy 1. sihT krowten si detneserper by eht s lobmy p A P B


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID S SERUTCURT 43SC01 • Ex: lellarap krowten stsisnoc fo 2 sehctiws p dna q ni hw i hc t eh nerruc t fl wo s orf m

eht lanimret A ot eht lanimret B , fi p ro q ro htob era desolc e.i fi p ro q ro( )htob era dengissa eht lobmys 1. T sih krowten si per r tnese by p�q

:xE seireS krowten stsisnoc fo 2 sehctiws p dna q ni hcihw eht tnerruc swolf morf eht lanimret A ot eht lanimret B fi htob fo p dna q era desolc ; t ah t si if htob p dna q are

dengissa eht lobmys 1. T sih krowten si per r detnese by p�q

AUD LITY:

puS esop u si a dnuopmoc noitisoporp aht t atnoc i sn eht nnoc e sevitc � na d �. esoppuS we ecalper hcae ecnerrucco fo � dna � u ni by � na d � ylevitcepser .

oslA fi u sniatnoc oT dna oF sa ,stnenopmoc esoppus ew ecalper hcae o nerrucc ce fo To

dna oF yb oF dna oT evitcepser l ,y neht eht ser u gnitl dnuopmoc noitisoporp si dellac eht laud fo u dna si detoned by ud.

Ex: u: p � q( � �r) � (s � )oT ud: p � q( �� )r � (s � oF )

TON E: • u( d)d �u. ehT laud fo eht laud fo u si lacigol ly qe u tnelavi ot u. • roF any owt snoitisoporp u dna v if u � ,v neht ud �vd . sihT si nwonk sa eht

elpicnirp fo ilaud ty.

ehT sevitcennoc DNAN dna RON

p( ↑ =)q �(p � )q � � p � � q

p( ↓ =)q �(p � )q � � p � � q

ESREVNI,ESREVNOC DNA VITISOPARTNOC E

redisnoC a idnoc t lanoi (p→ )q , nehT : )1 q→p eht dellac si evnoc r es fo p→q

)2 �p→�q si dellac eht i vn erse fo p→q

)3 �q→�p si noc eht dellac t isopar t evi fo p→q


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


SELUR FO :ECNEREFNI

erehT tsixe selur fo cigol hcihw nac eb lpme o dey rof gnihsilbatse eht ilav dity of tnemugra s . esehT selur era dellac eht fo seluR erefnI n ec . )1 eluR fo evitcnujnoc :noitacifilpmis sihT elur setats taht rof any owt p or p snoitiso p dna q fi p�q si ,eurt neht p is eurt i e. p( �q )�p .

)2 eluR fo evitcnujsiD :noitacifilpma sihT elur setats taht rof any owt porp o noitis p dna q fi p si t eur t neh p�q si eurt i e. p� p( �q )

)3 )3 eluR fo S lly o :msig sihT elur setats taht rof any t eerh soporp ti snoi q,p r if p→q si

q dna eurt →r si ht eurt e n p→r is t eur . { e.i (p→q)� q( → }) � p( → )r :mrof ralubat nI p→q q→r � p( →r)

)4 )4 sudoM eluR(senop fo :)tnemhcateD sihT ur le setats taht fi p si eurt dna p→q si si q neht ,eurt ,eurt ie {p � p( →q }) �q. T raluba mrof

p p→q � q

)5 sudoM :snelloT sihT ur el setats taht fi p→q si eurt dna q si ,eslaf neht p is laf se. {(p→ )q ��q}�q ralubaT :mrof p→q

�q ��p

)6 eluR fo evitcnujsiD yS llo :msig sihT elur stat se t ah t fi p�q si eurt dna p si af l ,es q neht si .i eurt e. ({ p� )q ��p}�q ralubaT roF m p�q

�p � q

AUQ :SREIFITN 1. ehT sdrow VE”,”LLA“ E EREHT”,”EMOS”,”YR EX ”STSI are ellac d uq a sreifitn ni

eht tisoporp i no 2. ehT s lobmy � si desu to etoned eht ph sesar ROF“ ROF”,”LLA EV OF”,”YRE R

”HCAE dna ROF“ A YN siht.” si dellac sa revinu s la nauq t fi i re . 3. � si desu to etoned eht sesarhp ROF“ dna”EMOS EREHT“ EX a”STSI nd OF“ R

TSAELTA siht.”ENO s lobmy si dellac ex laitnetsi reifitnauq . A noitisoporp gnivlovni eht lasrevinu or eht ex netsi t ai l nauq t reifi si ac l del a fitnauq ied

etats m ne t

LACIGOL LAVIUQE E :ECN

D PE T. FO ,ESC TIBJS egaP 72

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


1. � x (p[, x)� ])x(q �(�x (p x )) �(� (q,x x )) 2. � x, (p[ x)� ])x(q �(�x (p x )) �(� ))x(q,x 3. � x, (p[ x)→ ])x(q �� x [, � (p x)� (q x)]

ELUR ROF AGEN T NOI FO A NAUQ TIFIED TNEMETATS : �{�x (p, x)} �≡ {x � (p x)} �{�x (p, x)}≡� {x � (p x })

SELUR FO :ECNEREFRETNI 1. ELUR FO UN LASREVI ACIFICEPS T NOI 2. ELUR FO LASREVINU NOITAZILARENEG

fI na nepo tnemetats )x(p si devorp ot eb eurt rof any artibra( r )y x nesohc morf a tes ,S neht eht deifitnauq nemetats t �x ,S€ (p x) si t eur .

SDOHTEM FO ORP OF DNA ID S FOORP :

TCERID.1 ORP O :F

ehT erid tc dohtem fo p gnivor a idnoc it ano l p→q sah eht gniwollof senil of ar nemug t :

)a h sisehtopy : tsriF emussa taht p si eurt

)b anA l :sisy gnitrats htiw eht sisehtopyh dna gniyolpme eht elur s swal/ o f

cigol dna rehto nwonk stcaf , refni taht q is eurt )c ulcnoC is p:no →q eurt si .

2. :FOORP TCERIDNI C idno it no p→q dna sti isopartnoc it ev �q→�p era lacigol ly .tnelaviuqe nO sisab fo siht

,foorp ew refni taht eht lanoitidnoc p→q si .eurt sihT dohtem fo gnivorp a tidnoc i ano l si dellac na tceridni ohtem d fo orp fo .

FOORP.3 YB OC N CIDART T OI N

ehT tceridni dohtem of p foor si tnelaviuqe ot wh ta si nwonk sa eht orp of by c no t dar ic it no . ehT senil fo ar ug m tne ni siht dohtem fo foorp fo t eh etats m ne t p→q era sa :swollof

)1 H :sisehtopy emussA taht p→q si eslaf e.i ssa ume taht p si t ur e na d q is af esl .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


anA)2 l :sisy gnitrats htiw eht sisehtopyh taht q si eslaf dna lpme o iy ng eht selur fo cigol dna rehto wonk n stcaf , fni er t ah t p is af l es . sihT c stcidartno the sa su pm it no t ah t p si

eurt

:noislucnoC)3 esuaceb fo eht noitcidartnoc rra i dev ni eht ana l sisy , ew refni taht p→ eurt si q

FOORP.4 YB UAHXE S NOIT : “�x €S (p, x ”) si eurt fi p(x si) eurt rof every )hcae( x ni fI.S S stsisnoc of no ly a li im t de

rebmun fo stnemele , we nac p evor t ah t the state tnem “�x €S (p, x ”) si eurt by disnoc e ir n g )a(p for hcae a ni S dna v ire f iy ng taht )a(p si eurt . hcus a dohtem fo p evor is lac l de m ohte d

fo noitsuahxe .

FOORP.5 FO IXE S ET N :EC “�x €S (p, x ”) si eurt fi yna eno tnemele a € S cus h taht )a(p si t eur si ex bih ti de . ecneH , the

tseb way fo ivorp ng a noitisoporp fo eht mrof “�x €S (p, x ”) si ot ex tibih eht ex ecnetsi of a eno hcus S€ aht t (p a) is eurt . sihT dohtem fo rp o fo si dellac foorp of exist ecne .

FOORPSID.6 YB NOC T CIDAR T NOI :

esoppuS ew hsiw ot di evorps a dnoc i lanoit p→q. rof siht esoporp ew trats htiw the

h sisehtopy aht t p si rt ue dna q is t eur , na d ne d pu htiw a rtnoc a cid t .noi nI iv ew of the noitcidartnoc , ew cnoc l edu taht eht lanoitidnoc p→q si ht.eslaf is met doh fo di vorps i gn

p→q si dellac D ORPSI OF YB IDARTNOC CTION

FOORPSID.7 YB OC U RETN MAXE P EL : “�x (p,S€ x ”) si eslaf fi any one ele m tne a S€ cus h taht a(p ) is af esl is exhi detib cneh e the

tseb yaw fo gnivorpsid a noitisoporp gnivlovni eht lasrevinu sreifitnauq si ot ex tibih tsuj eno esac ehw re eht orp p noitiso si af sl e. sihT em t doh fo foorpsid si ac ll ed DI RPS FOO BY

RETNUOC MAXE PLE


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


NU IT – III slatnemadnuF fo cigoL tnoc d :. oH 6 u sr

ehT esU fo reifitnauQ s

ifitnauQ e sr

snoitinifeD dna

sfoorP fo meroehT s


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


nU it I II 6 H ruo s

slatnemadnuF fo L cigo noc td.: Predi ac te ,s uQ fitna rei s

rP e cid a :set A etaciderp ro lanoitisoporp noitcnuf si a etats - tnem gniniatnoc selbairav . roF ecnatsni

“x + 2 = ,”7 X“ si ,”naciremA “x < y ,” p“ si a prime mun b ”re era setaciderp . T eh hturt eulav fo eht etaciderp ed p sdne no eht eulav dengissa ot sti .selbairav roF ecnatsni ew fi ecalper x htiw 1 ni eht etaciderp 2 + x“ = ”7 ew niatbo 2 + 1“ = 7 ,” hcihw si ,eslaf

tub fi ew ecalper ti htiw 5 ew teg “5 + 2 = ,”7 hcihw si .eurt eW tneserper a ciderp a et yb a rettel dewollof yb eht selbairav desolcne b neewte :sisehtnerap P )x( ,

(Q x, y ,) cte . nA elpmaxe rof P )x( si a eulav fo x rof hw i hc P (x) is t eur . A elpmaxeretnuoc si a eulav x fo rof hcihw )x( P si .eslaf ,oS 5 si na example rof “x + 2

= ,”7 elihw si 1 a cou tn erexample.

hcaE elbairav ni a etaciderp si demussa ot b gnole ot a esrevinu ( ro )niamod of

,esruocsid rof ecnatsni ni eht etaciderp “n si na o dd regetni ” ’n’ stneserper na getni e ,r os eht revinu se fo esruocsid fo n si eht tes lla fo etni g sre . In

X“ si remA i ”nac ew yam emussa taht X si a namuh b gnie , os ni siht esac ht e

esrevinu fo esruocsid si eht tes fo lla amuh n be ni gs.1

Qu tna ifiers:

neviG a etaciderp P ,)x( the ats et em tn of“ r emos x, P x( ”) ro( ereht“ si os me x

us ch taht (p x ,)”) detneserper “∃x P (x ,”) ah s a fed inite hturt ,eulav os ti is a orp p so ti oi n ni eht lausu .esnes roF ecnatsni fi )x( P si x“ + 2 = ”7 htiw eht sregetni

a s

esrevinu fo ,esruocsid t neh ∃ )x( P x si ,eurt ecnis ereht si deedni na tni e ,reg yleman ,5 hcus taht )5( P si a t eur nemetats t. ,revewoH fi

)x(Q si 2“ x = ”7 dna eht esrevinu fo ruocsid se si llits eht ,sregetni t neh ∃x Q(x) is

af esl . nO eht to h re h ,dna ∃x Q(x) dluow be eurt fi ew dnetxe eht esrevinu fo esruocsid ot eht lanoitar mun b .sre ehT s my bol

∃ si lac l de eht ex laitnetsi auq n ifit e .r


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


,ylsuogolanA eht ecnetnes rof“ lla ,x P ”)x( — osla rof“ yna ,x P ,”)x( rof“ yreve ,x P ,”)x(

rof“ hcae ,x ”)x( P —, detneserper “∀ ,”)x( P x sah a etinifed hturt .eulav roF ,ecnatsni fi ( P x) si “x + 2 = ”7 dna ht e

esrevinu fo esruocsid si eht ,sregetni eht n ∀ )x( P x si .eslaf revewoH fi )x(Q stneserper

(“ x + )1 2 = x2 2 + x + ”1 then ∀ )x(Q x si .eurt ehT mys b lo ∀ si ellac d eht nu iv re sal qua tn if ei r.

nI rp acide t se htiw erom naht eno elbairav ti si p elbisso ot esu lareves qu sreifitna at eht

emas ,emit for ecnatsni ∀x∀y∃ ,x( P z y , z ,) gninaem rof“ lla x dna lla y ereht si emos z hcus taht P ,x( y, z ”) .

etoN taht ni eg n lare the exis laitnet na d lasrevinu uq ifitna e sr tonnac be s paw p ,de i. ,.e

ni lareneg ∀x∃ ,x( P y y) snaem gnihtemos tnereffid morf ∃y∀x )y ,x( P . roF ecnatsni fi

x dna y tneserper namuh b sgnie dna ,x( P y) stneserper “x si a dneirf fo y”, neht ∀x∃y

P (x, y) snaem taht e yrev ob dy si a dneirf of ,enoemos tub ∃y∀ P x (x, y) m nae s t ah t si ereht enoemos hcus taht eve rybo yd si sih ro h re f dneir .

A etaciderp nac be laitrap ly qu deifitna , e. .g ∀x∃y P ,x( ,y z, )t . ehT selbairav deifitnauq x( dna y ni eht )elpmaxe era dellac dnuob rav i ,selba dna ht e rest (z na d t ni eht

)elpmaxe era dellac eerf .selbairav A laitrap ly uq a itn f dei p etacider si llits a derp icat ,e tub ed p gnidne no

rewef selbairav .

reneG a dezil eD Mo gr an aL ws f ro L cigo :

If ∃x P (x) si eslaf eht n t ereh si on eulav fo x rof hcihw P )x( si ,eurt ro ni rehto ,sdrow )x( P si syawla .eslaf ecneH

¬∃ )x( P x ≡ ∀x P¬ )x( .

nO eht rehto dnah , fi ∀ )x( P x si eslaf neht ti si ton tr eu taht yreve rof ,x )x( P ,sdloh

ecneh rof emos ,x )x( P tsum be .eslaf :suhT

¬∀ )x( P x ≡ ∃x P¬ )x( .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


sihT owt ur l se nac be ap deilp ni pets evisseccus s ot dnif eht n age it no fo a mo er oc mplex deifitnauq ,tnemetats rof :ecnatsni

¬∃x∀y (p x, y) ≡ ∀ ¬x ∀ )y ,x( P y ≡ ∀x∃ P¬ y )y ,x( .

esicrexE : etirW yllamrof eht tnemetats rof“ yreve laer mun b re ereht si a retaerg aer l

num ”reb . etirW eht noitagen fo taht tnemetats .

nA s rew : The st ta e em tn :si ∀x ∃y (x < y) eht( esrevinu fo id s esruoc si ht e real

num )sreb . tI s noitagen i :s ∃x ∀y ¬(x < y), .i ,.e �x �y (x < y). etoN( that gnoma real mun b sre x < y si uqe i av l tne ot x ≥ ,y tub fo lamr ly they era effid r tne rp e setacid ).

Proofs M lacitamehta tsyS sme , rP oofs: A lacitamehtaM syS - met stsisnoc :fo

1. : smoixA orp p snoitiso taht era demussa eurt . 2. : snoitinifeD desu ot etaerc wen stpecnoc morf dlo eno .s 3. denifednU : smret serroc p gnidno ot eht evitimirp stpecnoc of eht s metsy rof( in ecnats ni tes oeht ry eht mret ”tes“ si dnu efined .)

A meroeht si a orp p noitiso taht nac be devorp ot be .eurt An

ugra m tne taht sehsilbatse eht hturt fo a orp pos noiti si dellac a oorp f.

elpmaxE : evorP taht fi x > 2 dna y > 3 neht x + y > 5 .

: rewsnA gnimussA x > 2 dna y > 3 na d gnidda eht seitilauqeni mret yb t re m ew

:teg x + y > 2 + 3 = .5

tahT si na elpmaxe fo tcerid .foorp nI a tcerid rp o fo ew emussa eht yh p to he sis to teg h re

htiw smoixa dna rehto smeroeht ylsuoiverp devorp dna ew evired eht noisulcnoc morf ht em.


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


nA tceridni foorp ro foorp yb evitisopartnoc stsisnoc fo gnivorp eht evitisopartnoc fo eht derised ,noitacilpmi ,.e.i daetsni fo gnivorp p → q ew evorp q¬ → p¬ .

elpmaxE : evorP taht fi x + y > 5 neht x > 2 ro y > 3 .

: rewsnA eW tsum evorp taht x + y > 5 → x( > )2 � y( > )3 . An indi cer t rp oo f stsisnoc gnivorp fo x((¬ > )2 � y( > ))3 → ¬(x + y > )5 . nI :tcaf ((¬ x > )2 � y( > ))3

si eht mas e x( sa )2 ≤ � y( ,)3 ≤ gnidda os b hto seitilauqeni ew teg y + x ,5 ≤ hcihw si eht emas sa ¬( y + x > )5 .

foorP yb noitcidartnoC . nI a foorp yb noitcidartnoc ro oitcudeR( da ) mudrusbA ew emussa eht yh p sesehto dna eht noitagen fo t eh ulcnoc - is ,no dna rt y ot evired a

rtnoc a id c ,noit ,.e.i a orp p noitiso fo eht fo mr r � r¬ .

elpmaxE : evorP yb noitcidartnoc taht fi x + y > 5 neht rehtie x > ro 2 y > 3 .

: rewsnA eW emussa eht yh p sisehto x + y > .5 morF ereh ew tsum edulcnoc taht x >

2 ro y > 3. emussA ot eht co tn r yra taht “x > 2 ro y > ”3 si af l ,es so x ≤ 2 dna y ≤ 3. gniddA esoht seitilauqeni ew ge t x ≤ 2 + 3 = ,5 hcihw stcidartnoc eht yh p sisehto x + y > 5. morF ereh ew edulcnoc taht

eht noitpmussa “x 2 ≤ dna y ”3 ≤ nac on t be rig ,th os “x > 2 ro y > ”3 m su t be true.

krameR : Som ite m se ti si tluciffid ot siugnitsid h be neewt na tceridni pro fo dna a rp oo f

yb noitcidartnoc . nI na tceridni rp o fo ew evorp na noitacilpmi fo the mrof p → q yb gnivorp eht artnoc p evitiso q¬ → p¬ . In na rp o fo yb noitcidartnoc ew evorp

s hcihw( m ya ro yam ton be an )noitacilpmi yb gnimussa s¬ dna co rtn a oitcid n. nI tcaf rp o sfo yb noitcidartnoc era erom lareneg naht

tceridni rp oo sf .

√ esicrexE : evorP yb noitcidartnoc taht 2 si not a lanoitar mun b re , ,.e.i ereht era no

√ ni et sreg ,a b su hc taht 2 = b/a .

√ √ rewsnA : emussA taht 2 si ar t ,lanoi ,.e.i 2 = ,b/a erehw a dna b are i tn ge re s dna the

oitcarf n si nettirw ni le sa t .smret gnirauqS b hto sedis ew evah 2 = a2 b/ 2 , ecneh b 2 2

a = 2. iS n ec eht tfel ah nd edis ,neve si then a2 si ,neve tub siht mi plies t ah t a its fle is


an tnemetats

nivired g a

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


,neve os a = 2 a!. :ecneH b 2 2 a 4 = !2, dna :gniyfilpmis b2 = 2 a!2. Th si im eilp s t tah

b2 is ,neve os b si neve : b = b2 !. qesnoC u tne ly b/a = a2 !/ b2 ! = a! b/ !, co rtn a id tc ing eht yh p sisehto taht b/a saw in l tsae et r sm .

A mugr e tn s, R selu of fnI e er nce:

nA tnemugra si a es - ecneuq fo orp p snoitiso p1 p , 2 . . , . , pn dellac sesehtopyh ro( sesimerp ) dewollof yb a orp p noitiso q dellac .noisulcnoc nA tnemugra si lausu l y

wri tt ne : p1

p2

. pn � q

or

p1 , p2, . . . , pn / � q

ehT tnemugra si dellac dilav fi q si eurt revenehw p 1 p , 2 . , . . p , n era ;eurt esiwrehto ti si dellac i vn al di .

seluR fo ecnerefni era niatrec elpmis stnemugra nwonk ot be dilav dna desu ot ekam a rp o fo pets yb .pets roF ecnatsni eht tnemugra gniwollof si dellac sudom snenop ro

elur fo tnemhcated :

p → q p

� q

nI redro ot kcehc rehtehw ti si dilav ew tsum enimaxe eht hturt gniwollof :elbat

p q p → p q T T T T T T F F T F F T T F T F F T F F

fI ew lo ko won ta eht swor ni hcihw b hto p → q dna p era eurt uj( st eht tsrif or w) ew

D PE T. ,ESC FO IBJS T egaP 53

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ees aht t osla q si ,eurt so t eh ar ug me tn is va .dil

rehtO ur l se fo in ecneref era eht gniwollof :

emugrA n st era lausu ly nettirw gnisu eerht c ulo m .sn hcaE wor noc - sniat a al b ,le a ats te tnem dna eht nosaer taht uj s seifit eht rtni od noitcu of ht at st ta em tne in ht e ra g emu nt. tahT noitacifitsuj nac be eno eht fo gniwollof :


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 1. ehT st ta ement si a erp mise. 2. ehT ats te tnem ac n be devired f mor ts ateme stn o cc u irr ng reilrae ni eht a ugr me tn yb

gnisu a elur fo ecnerefni .

: elpmaxE redisnoC eht gniwollof :stnemetats I“ ekat eht sub ro I .klaw fI I klaw I get it .der I od ton eg t ti .der oferehT er I ekat eht ”.sub eW nac ezilamrof siht yb ac ll gni B = “I ekat eht ub s ,” W = “I ”klaw and T = “I eg t .”derit ehT sesimerp era B

� W , W → T dna ¬T , dna t eh noisulcnoc si B. ehT tnemugra nac be ircsed bed in eht

gniwollof :spets nosaer

P er mise

,2,1 Mo sud snelloT P er mise

,3,4 evitcnujsiD S lly o msig

deifitnauQ :stnemetatS eW etats eht selur rof setaciderp htiw eno ,elbairav tub ht ey nac be reneg - dezila ot

setaciderp htiw owt ro erom bairav l se . 1. lasrevinU aitnatsnI it no . fI � )x(p x si ,eurt neht )a(p si eurt hcae rof sp cifice tnemele a ni eht esrevinu fo id s ;esruoc .e.i : �x )x(p � a(p )

roF ,ecnatsni morf �x x( + 1 = 1 + 7 evired nac ew )x + 1 = 1 + 7.

2. Ex netsi t ai l oitaitnatsnI n. If �x (p x) si ,eurt neht )a(p si tr eu rof os me sp ice fic ele m tne a ni eht esrevinu fo id s ;esruoc i. .e :

�x )x(p � )a(p

ehT ecnereffid r se p tce to eht uoiverp s elur is eht er st ir c it on in ht e em aning fo a, hcihw won stneserper emos ton( )yna elem tne fo eht revinu se fo .esruocsid ,oS of r

,ecnatsni morf �x (x2 = )2 eht( esrevinu fo di ruocs se si eht laer mun b )sre ew red i ev √ √

ecnetsixe eht fo emos ele m ,tne hw i hc ew yam tneserper ± ,2 hcus ht ta ±( )2 2 .2 = D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 73

ts a met ent W T → ¬T ¬W B � W � B

)1

ste p

)2 )3 )4 )5

luR es of Inferen ec f ro

P i

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 3. lasrevinU noitazilareneG . fI )x(p si devorp ot be eurt rof a eg n re i c elem tne ni eht esrevinu fo ruocsid s ,e th ne � )x(p x ;eurt si :.e.i

(p x) � �x )x(p By “ ”cireneg ew naem na el tneme rof hcihw ew od ton ekam yna ussa m tp i no rehto th na

sti b gnignole ot eht esrevinu fo esruocsid . ,oS rof ,ecnatsni ew nac evorp � x([ x + )1 2 =

x2 x2 + ]1 + ,yas( rof laer mun b )sre yb gnimussa taht x si a cireneg laer mun b re dna

gnisu arbegla ot evorp x( )1 + 2 x = 2 1 + x2 + .

4. aitnetsixE l eneG r noitazila . fI )a(p si urt e rof emos sp cifice ele - tnem a ni ht e

esrevinu fo ,esruocsid neht � )x(p x si ;eurt :.e.i (p a)

� �x )x(p roF :ecnatsni morf 8 = 1 + 7 ew nac evired �x x( + 1 = )8 .

: elpmaxE wohS taht a elpmaxeretnuoc nac be desu ot evorpsid a lasrevinu ,tnemetats ,.e.i a fi si na elem tne in eht esrevinu d fo is oc urse,

t neh orf m ¬p(a) ew nac red i ev ¬�x )x(p . rewsnA : ehT tnemugra si sa :swollof

ets p tats e nem t rea os n )1 p¬ ( )a P er mise )2 �x )x(p¬ E ix ste laitn reneG ila za it on )3 ¬�x )x(p noitageN fo lasrevinU tS a et em tn


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


NU IT – VI rP o seitrep fo eht regetnI :s oH 7 u sr

lacitamehtaM noitcudnI

ehT lleW iredrO ng Princ pi l e

lacitamehtaM noitcudnI

evisruceR snoitinifeD


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


NU IT VI 6 H ruo s

seitreporP o f eht etnI eg rs

LACITAMEHTAM CUDNI TI NO :

ehT dohtem fo lacitamehtam noitcudni si desab no a elpicnirp dellac eht cudni it no elpicnirp .

NOITCUDNI :ELPICNIRP

ehT noitcudni elpicnirp setats sa swollof : tel )n(S etoned na nepo emetats nt taht sevlovni a

evitisop regetni n oppus. se taht ht e gniwollof noc di it no s oh ld ;

1. )1(S si t eur

2. fI revenehw )k(S si eurt rof emos ralucitrap , tub irartibra ly ohc s ne k Z€ + , neht )1+k(S si eurt . nehT n(S ) si eurt rof lla n € +Z . +Z ed n seto eht tes fo lla op si evit sregetni .

DOHTEM LACITAMEHTAMFO ITCUDNI ON

esoppuS ew hsiw ot rp o ev taht a iatrec n tnemetats )n(S si t ur e for lla int srege n ≥1 , th e

dohtem fo gnivorp hcus a tnemetats no eht sisab fo eht noitcudni elpicnirp si ddellac the dohtem fo tamehtam ical i cudn it .no sihT dohtem tsisnoc fo eht lof lowi gn t ow pets ,s

evitcepser ly dellac eht sisab pets dna eht tcudni i no ts pe

1) sisaB :pets irev fy th ta eht tnemetats )1(S si eurt ; i e. . irev fy taht )n(S si eurt 1=n rof .

2) noitcudnI :pets gnimussa taht )k(S si eurt , erehw k si na regetni ≥ ,1 wohs aht t )1+k(S si eurt .

ynaM orp p seitre fo p evitiso sregetni nac be devorp yb mat meh a cit a l

ni duct oi n. Principle of M ta hemati lac Induc it on:

teL P b a e porp - ytre fo p evitiso sregetni hcus :taht

1. sisaB etS p: )1( P si ,eurt dna

2. evitcudnI etS p: fi )n( P si ,eurt neht n( P )1 + si tr eu .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


nehT )n( P si eurt rof all p evitiso tni e sreg .

krameR : ehT esimerp P )n( ni eht evitcudni pets si dellac udnI c noit yH p isehto s.

ehT ytidilav fo eht elpicnirP fo lacitamehtaM udnI c noit si .suoivbo The sisab step

setats taht P )1( si eurt . nehT eht evitcudni st pe seilpmi taht P )2( si osla tru .e yB eht evitcudni pets niaga ew ees taht P )3( is tr ,eu dna os .no euqesnoC n lt y eht orp p ytre si eurt rof lla p evitiso tni ege sr .

krameR : nI eht sisab pets ew m ya ecalper 1 wi ht emos rehto regetni .m nehT ht e

noisulcnoc si taht eht orp p ytre is eurt rof eve ry regetni n retaerg naht or lauqe ot m.

: elpmaxE evorP taht eht mus fo eht n tsrif o dd p evitiso sregetni si

n2, ,.e.i 1 + 3 + 5 + •• • + n2( — )1 ‘ n2.

nA ws re : teL S )n( ‘ 1 + 3 + 5 + •• • + n2( — 1 .) eW tnaw ot evorp yb noitcudni taht

rof eve ry p evitiso regetni ,n S )n( ‘ n2. 1. sisaB etS p: fI n ‘ 1 ew evah S )1( ‘ 1 ‘ 12, os eht orp p ytre eurt si rof .1

2. evitcudnI etS p: ssA u em noitcudnI( sisehtopyH ) taht eht porp - ytre si tr eu rof emos

p evitiso regetni ,n :.e.i S )n( ‘ n2. eW tsum evorp taht ti si osla eurt rof n + ,1 ,.e.i S n(

+ )1 n( ‘ )1 + 2 . nI :tcaf

S n( + )1 ‘ 1 + 3 + 5 + •• • + n2( + )1 ‘ S )n( + n2 1 + .

tuB yb noitcudni yh pot ,siseh S )n( ‘ n2, ecneh :

S n( + )1 ‘ n2 + n2 + 1 ‘ n( )1 + 2 .

sihT co lpm e et s the i cudn t ,noi dna swohs taht eht orp p ytre si t eur rof la l

p evitiso ni et sreg .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


elpmaxE : evorP taht n2 + 1 ≤ 2m rof n ≥ 3 .

rewsnA : sihT si na ex elpma ni hcihw eht p or p ytre si ton true rof la l

p evitiso sregetni tub only rof sregetni retaerg th na ro lauqe ot .3

1. sisaB etS p: fI n ‘ 3 ew h eva n2 + 1 ‘ 2 • 3 + 1 ‘ 7 dna

2m 2 ‘ 3 ,8 ‘ os eht orp p ytre si rt ue ni siht esac .

2. evitcudnI etS p: emussA noitcudnI( ) sisehtopyH taht eht porp - ytre si

eurt rof emos p evitiso regetni ,n .e.i : n2 + 1 ≤ 2 m . tsum eW evorp taht

ti si la so eurt rof n + ,1 i ,.e. n(2 + )1 + 1 ≤ 2m+1 . By eht noitcudni

yh p sisehto ew wonk taht n2 2 ≤ m , dna ew osla evah taht 3 2 ≤ m fi n ≥ ,3 hen ec

n(2 + )1 + 1 ‘ n2 + 3 ≤ 2m + 2m ‘ 2 1+m .

sihT oc mpl sete eht dni u ,noitc dna swohs taht eht orp p ytre si eurt rof lla n ≥

3.

esicrexE : evorP eht gniwollof seititnedi yb :noitcudni

n n( + )1

• 1 + 2 + 3 + •• n + • ‘ 2

n n( + )1 n2( + )1

• 12 2 + 2 3 + 2 + •• n + • 2 ‘

• 13 + 23 + 33 + •• • + n3 ‘ 1( + 2 + 3 + •• )n + • 2.

rtS o gn roF m fo lacitamehtaM tcudnI noi : teL P be a orp p ytre fo p evitiso sregetni hcus :taht


.

. 6

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


1. sisaB etS p: )1( P si ,eurt dna

2. evitcudnI etS p: fi ( P k) si eurt rof lla 1 k ≤ n ≤ neht n( P )1 +

si true.

nehT )n( P si eurt rof all p evitiso tni e sreg .

: elpmaxE evorP taht yreve regetni n 2 ≥ si emirp ro a rp o tcud semirp fo . A sn rew

:

1. sisaB etS p: 2 si a p emir mun b ,re os eht p or p ytre sdloh f ro n ‘ .2

2. dnI u evitc etS p: ssA u em taht fi 2 ≤ k ≤ ,n neht k si a emirp mun b re ro a rp o tcud fo

semirp . ,woN rehtie n + 1 si a p emir mun ber ro ti si .ton fI ti si a emirp mun b re neht ti seifirev orp eht p .ytre fI ti si ton a emirp mun b ,re neht ti nac be nettirw sa eht

rp o ud ct fo owt p evitiso ,sregetni n + 1 ‘ k1 k 2 , hcus th ta noitcudni yh p sisehto hcae fo k1 a dn k2 tsum be a emirp ro a rp o tcud fo ,semirp

pro ud ct fo primes.

sihT setelpmoc t eh proof .

hT e lleW -Or gnired elpicnirP yrevE ytpmenon tes fo p evitiso sregetni sah a s tsellam el tneme .

√ √ : elpmaxE evorP taht 2 si lanoitarri (i .e. , 2 nac not be writ net as

p evitiso )sregetni gnisu eht llew - gniredro elpicnirp .

√ √ : rewsnA emussA taht 2 si tar i ano l, .i e ,. 2 ‘ ,b/a erehw a and b era i sregetn .

√ etoN taht ecnis 2 > 1 neht a > .b woN ew evah

si ,neve tub ht is eilpmi s that a it fles si

‘ a 4 !2, dna is m ilp fyin :g b2 ‘ 2 a!2. morF ereh ew ees

√ ecneH st tra i gn htiw a oitcarf n la re rp ese tn ita on fo 2 ‘ b/a ew dne up htiw na ot eh r


1 < k1 k , 2 < n + .1 yB

ecneh n + 1 si a

a tneitouq fo owt

2 ‘ a2 b/ 2, he ecn 2 b2 ‘ a2 . ecniS eht tfel dnah edis si ,neve neht a

2

,neve os a ‘ a 2 !. :ecneH 2 2b

√ that 2 a/b ‘ !.

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


√ oitcarf n la re serp e tn at oi n 2 ‘ b/a! htiw a rellams emun r rota b < a. eR p nitae g ht e

emas a gr um tne htiw t eh fract oi n a/b ! ew eg t rehtona noitcarf htiw na neve rellams

n mu re ator, na d os .no oS eht set fo p elbisso srotaremun of a f noitcar per er se tn gni nitcidartnoc g eht

√ aht t 2 is anoitar l

ecnerucceR snoitaler

ereH ew lo ko ta evisrucer snoitinifed rednu a tnereffid p tnio fo weiv . aR t reh naht snoitinifed ht ey lliw be deredisnoc sa oitauqe ns taht ew tsum os l .ev ehT poi tn i s

taht a evisrucer noitinifed si lautca ly a fed - noitini nehw ereht si eno dna no ly eno ob tcej s iyfsita ng ,ti ,.e.i nehw eht snoitauqe devlovni ni taht noitinifed evah a u in que os lut noi . ,oslA t eh noitulos ot esoht snoitauqe m ya edivorp a closed-form ( )ticilpxe alumrof rof eht ob tcej ed fin de .

ehT evisrucer pets ni a evisrucer noitinifed si osla dellac a ecnerrucer noitaler . W e

lliw sucof no htk - redro raenil ecnerrucer ,snoitaler hcihw era fo eht mrof

C0 xm + C1 xm-1 + C2 xm-2 + •• • + Ck xm-k ‘ bm ,

erehw C0 .O ‘ If bm O ‘ eht ecnerrucer noitaler si dellac .suoenegomoh esiwrehtO ti

si dellac non - suoenegomoh .

ehT sisab fo eht ucer r evis noitinifed si osla dellac ini t lai snoitidnoc fo eht

ecnerrucer . ,oS rof ni s ,ecnat ni eht r evisruce noitinifed of eht Fib no a cc i seque cn e, eht errucer n ec si

Fm ‘ Fm-1 + Fm- 2

or Fm — Fm-1 — Fm-2 ‘ O ,

dna eht laitini idnoc it no s are

F0 ,O ‘ F1 1 ‘ .


√ 2

lpicnirp e. ca tonn have a s am sell t le emen ,t lew l-or ed ring

ah s to b e f .esla euqesnoC n lt y, uo r pmussa t noi

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


enO yaw ot evlos emos cnerrucer e taler i no s si yb ,noitareti ,.e.i yb gnisu eht ecnerrucer er p detae ly litnu gniniatbo a ticilpxe esolc - mrof .alumrof roF ecnatsni

redisnoc eht gniwollof ecnerrucer ler ati :no

xm ‘ r xm-1 n( > ; )O x0 A ‘ .

yB gnisu eht ecnerrucer er p detae ly ew :teg

xm x r ‘ m-1 r ‘

ecneh eht noitulos si xm r A ‘ m .

nI eht gniwollof ew emussa taht eht stneiciffeoc C0 , C1, . . . , Ck era tsnoc a tn .

riF st Or red Recurrence Relat snoi . The egomoh n suoe esac nac be nettirw

ni eht gniwollof :yaw

xn ‘ r xn—1 n( > )O ; x0 A ‘ .

stI lareneg noitulos si

xn r A ‘ n ,

hcihw si a cirtemoeg ecneuqes htiw oitar r.

ehT non - suoenegomoh esac nac be nettirw ni eht gniwollof yaw :

xn ‘ r xn—1 + cn n( > ; )O x0 A ‘ .

gnisU eht mus m noita ,noitaton sti noitulos nac be ex rp desse ekil ht is:

n

xn r A ‘ n +

k 1=

eW enimaxe owt ralucitrap sesac . ehT tsrif eno i s


2 x0 ‘ A rm , m xm-2

3

‘ r xm-3 ‘ • • • ‘ r

ck rn—k . X

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


xn x r ‘ n—1 c + n( > O ;) x0 A ‘ .

erehw c si a co sn ta tn . ehT ulos it no si n

X xn ‘ A rn c + rn—k ‘ A rn + c k 1=

an d

xn n c + A ‘

axE mple : emussA th ta a yrtnuoc htiw yltnerruc p noitalupo htworg etar htrib( ar te sunim aed th )etar fo %1 p re raey , dna ti als o

seviecer OO1 dnasuoht argimmi n st p re raey hcihw( era ylkciuq detalimissa an d rper odu ec ta eht mas e etar sa eht evitan popula it .)no dniF sti pop talu i no in O1 sraey morf .won ssA( u em t tah lla eht stnargimmi evirra ni a elgnis hctab ta eht

dne fo eht ye ).ra

: rewsnA fI ew llac xn ‘ p noitalupo ni raey n morf ,won ew :evah

xn ‘ 1O.1 xn—1 + ,OO1 OOO n( > O ;) x0 OOO ,OOO ,OO1 ‘ .

sihT is t eh auqe it no ab evo wi ht r ‘ ,1O.1 c ‘ OO1 , OOO dna A ‘ O1 O, OO ,O OO , hence :

,OO1 ‘ ,OOO 1O.1 • OOO n OOO ,OO1 +

1 + OOO (1.O1n — . )1 S :o

,264 713 .

ehT dnoces ralucitrap esac is rof r ‘ 1 dna cm ‘ ,n d + c erehw c dna d era c no sta tn os( cm si na a tir hme it c seque cn :)e

xm ‘ xm—1 + c + d n n( > )O ; x0 A ‘ .


r n

— 1 r — 1

fi r , 1 ‘

fi r ‘ 1 .

OO1 noillim peo elp sah a

1O.1 n — 1 .1 O1 — 1

OO1 , xn

‘ ,OOO

OO O •

1O.1 n

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ehT noitulos si won

m X

xm + A ‘ c( + d )k + A ‘ + n c

k 1=

Second Order eR currence Rela it ons. er lation

C0 xm + C1 xm—1 + C2 xm—2 ‘ O .

tsriF ew lliw lo ko rof snoitulos fo eht fo mr xm ‘ c rm . By lp u igg ng ni ht e noitauqe ew eg t :

C0 c rm + C1 c rm—1 C + 2 r c m—2 , O ‘

ecneh r tsum be a tulos noi fo eht gniwollof tauqe i ,no lac l de eht rahc -

citsiretca noitauqe fo the rucer r cne e:

C0 r2 + C1 r + C2 ‘ O .

teL r 1 , r2 be eht owt ni( lareneg )xelpmoc ro sto fo eht ab evo .noitauqe yehT era dellac citsiretcarahc stoor . eW hsiugnitsid eerht :sesac

1. cnitsiD t Real Ro sto . nI ht is esac eht lareneg tulos i no fo t eh

r ruce er nce rela it no si

xm ‘ c1 rm + c2 rm ,

1 2

erehw c1 , c2 era yrartibra stnatsnoc .

2. elbuoD laeR .tooR fI r1 ‘ r2 ‘ r, the eg n lare os l noitu of eht

r ruce er nce rela it no si D PE T. ,ESC FO TIBJS egaP 74

d )1 + n( n

. 2

oN w ew lo ko ta eht cnerrucer e

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


xm ‘ c1 rm + c2 n rm ,

erehw c1 , c2 era yrartibra stnatsnoc .

3. xelpmoC stooR . nI siht esac eht noitulos dluoc be ex desserp in eht

emas yaw sa ni eht ac se fo id stin tc laer ro to ,s tub ni

redro ot diova eht esu fo xelpmoc mun b sre ew etirw ri — e r iα ,

r2 — e r — iα , ki — ci c + 2, k2 — c( i — c2 ,i ) hcihw :sdleiy i

xm — ki rm αn soc k + 2 rm αn nis .

: elpmaxE dniF a desolc - mrof alumrof rof eht iF b iccano ecneuqes denifed by :

Fm i+ — Fm + Fm—i n( > )0 ; F0 — ,0 Fi — 1 .

: rewsnA ehT ecnerrucer noitaler nac be nettirw

Fm — Fm—i — Fm—2 — 0 .

ehT arahc c siret t ci auqe ti no si

r2 — r — 1 — 0 .

stI ro sto ra e:2 ri — φ —

2 — yehT era tcnitsid laer ro ,sto os eht eg n are l tulos noi rof eht re ruc r ne ce is:

Fm — ci φm + c2 (—φ—i )m . gnisU eht laitini snoitidnoc ew teg eht eulav fo eht c stnatsno : (

n( — )0 ci + c2 — 0 D PE T. ,ESC FO TIBJS

√ 1 + 5

2 —

√ 1 5

; r2 — —φ—i .

√ ci — /1 5

√

egaP 84

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


EVISRUCER NIFED IT OI NS: UCER RR NE CE :SNOITALER - hT e ropmi t na t dohtem s to ex serp s eht

ecnarrucer alumrof ni ex tcilp mrof era )1 GNIKCARTKCAB ME OHT D )2 ETCARAHC R CITSI NOITAUQE DOHTEM

GNIKCARTKCAB :DOHTEM

sihT si elbatius dohtem rof aenil r non - moh o oneg us cer u err n ec noitaler fo eht ty ep xn= r x n-1 s+

ehT lareneg dohtem ot fi dn ex ticilp alumrof xn = r n-1 x1 + r(s n-1- /)1 r( - )1 wh ere r≠1 eht si e lareneg xp il ci t

CITSIRETCARAHC EQ AU T NOI M TE :DOH

sihT si elbatius dohtem ot dnif na ex ticilp alumrof rof a raenil uonegomoh s ecnarrucer noitaler

RAENIL SUONEGOMOH NOITALER :

A rucer r ecne noitaler fo eht type a n = r1 a n-1 r+ 2 a n-2 +.……+ r k a n-k erehw r i ’s‘ era stnatsnoc si a raenil suonegomoh ecnerrucer noitaler ( )RRHL fo de eerg k

)1 A noitaler cn = -2 c n-1 si a HL RR fo degr ee 1 . )2 A noitaler xn = 4 x + 5 si a raenil non HRR esuaceb 2 dn mret ni SHR is a

tnatsnoc . tI t’nseod oc nt nia x n-2 rotcaf . )3 A noitaler xn = xn-1 2+ x n-2 si a RRHL fo d eerge 2 )4 A noitaler x n = x2 + x n-2 si a non raenil , non RRH esuaceb t eh 1st ret m in RHS

si d dnoces a e eerg term .

CITSIRETCARAHC QE AU T :NOI

a n = r1 a n-1 + r 2 a n-2 …+ .. + r k a n-k .. )1( si K eerged fo RRHL a . x k = r1 x k-1 + r2 x k-2 r+.…+ k si dellac carahc t citsire noitauqe .

• teL a n = r1 a n-1 + r2 a n-2 eb RRHL fo eerged 2. sti citsiretcarahc noitauqe si x2 = r1 x + r2 ro x 2 –r1 x- r2 .0= fi eht ch citsiretcara eq noitau sah 2 di ts i cn t oor ts e1 , e2

neht eht ex ticilp alumrof fo eht ecnerrucer oitaler n ni a n= u e n 1 + v e n erehw u dna v sdneped no eht ini t lai seulav .

• teL an = r1 a n-1 + r2 an-2 eb a RRHL fo eerged 2 . stI ch citsiretcara qe u noita si x 2 –r1 x – r2 0= fi eht char citsiretca noitauqe sah detaeper stoor ,e eht n eht ex cilp i t

alumrof si an u= e n + v n e n erehw u dna v d pe e sdn no t eh ini lait eulav s.

PED T. ,ESC FO TIBJS egaP 94

n-1

n-1

2

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


TRAP – B

TINU – V leR a snoit na d F nu oitc n :s 7 Hours

naisetraC stcudorP dna snoitaleR

noitcnuF s

nialP dna enO - ot - enO

otnO noitcnuF s

gnilritS srebmuN fo eht dnoceS Ki dn

tcnuF laicepS i no s

ehT oegiP n- eloh elpicnirP

noitcnuF C tisopmo i no dna

esrevnI snoitcnuF


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


TINU V 7 Ho ru s

snoitaleR

oitcudortnI n

tcudorP :tes fI A dna B era any 2 non - pme ty tes s neht eht tcudorp tes fo A dna B era eht naisetraC tcudorp ro pro tcud fo A dna B.

A X B = ,a({ b) / a( ,AЄ b Є })B

A X B ≠ B X A

Ex :elpma )a( ,teL { = A 1, ,2 }3 B = { ,a }b

,nehT A X B ,1({ = ,2( ,)a ,2( ,)b ,1( ,)a ,)b ,3( a ,) ,3( })b

B X A ,a({ = 1 ,)2 ,a( ,) ,)3 ,a( ,b( ,)1 ,b( )3 ,b( ,)2 }

A X B ≠ B x A

)b( ,teL A = ,1{ }2 B = { ,a b} ,x{=C y}

B X C = ,a({ ,)x ,a( ,)y ,b( ,)x ,b( })y

A X B( X )C = ,1({ ,a( x ,)) ,1( ,a( ,))y ,1( ,b( x ,)) ,1( ,b( ,))y

,2( ,a( ))x ,2( ,a( ,))y ,b( ,2( ,))x ,b( ,2( y) })

A X B = { ,1( ,)a ,1( b ,2( ,) a ,) ,2( b)}

A( ,1(( ,)x ,)a ,1(({ = C X )B X ,)a ,)y ,1(( ,)b x ,) ,)b ,1(( )y ,

,2(( ,)a ,)x ,2(( ,)a ,)y ,2(( )b,2((,)x,)b , },)y * :skrameR a. A X B( X )C = A( X )B X C b. A X A = A2 c. fI R si eht R neht srebmun laer lla fo tes x R = R2, s te fo a ll niop ts ni enalp . d. ,a( )b = ,c( )d if a = c a dn b = d


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


aP r noitit :tes teL 'A' eb a non - pme ty .tes A noititrap fo 'A' ro ouq ti ne t tes fo 'A' is a noitcelloc P fo stesbus fo

'A' taht hcus .

)a( evE ry ele m tne fo A leb o emos ot sgn es t ni P

)b( fI A1 dna A2 era any owt tcnitsid srebmem fo ,P neht A1 n A2 = ф.

)c( ehT srebmem fo P era c kcolb' della s' ro llec' s'.

:elpmaxE

L ,te

,2 ,1{ = A ,3 ,4 }5 neht , P1 = ,1{{ ,2 ,}3 ,}4{ }}5{ P2 = ,1{{ ,}5 ,4{ ,}3 }}2{ P3 = ,}1{{ ,}2{ ,}3{ ,}4{ }}5{

:snoitaleR eL t A dna B eb any t ow non - pme ty stes . A r oitale n R orf m tes a A ot ht e tes B si a tesbus fo A x B.

fI ,a( b) Є R neht ew w esiwrehto ,b R a etir rw ew i a et R b ei( . ton a r detale to )b .

:elpmaxE

L ,te A = ,1{ ,2 ,3 ,4 ,}5 teL R eb a noitaler no A denifed sa a R b fi b<a . R = ,1({ ,)2 ,1( ,)3 ,1(

,)4 ,1( )5 ,2( 3 2( ,)4 ,2( ,) , ,3( ,)5 ,)4 ,3( 5 ,) ,4( )5 }

>= R � A X A.

niamoD R fo : moD )R( = ,1{ ,2 ,3 }4 � A

egnaR of )R( naR :R = { ,2 ,3 ,4 }5 � B

moD )R( = {x AЄ / x R y rof s emo x Є }A

naR )R( = {y Є B / x R y rof emos y Є }B

PED T. FO ,ESC TIBJS egaP 25

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 R - evitaleR :tes fI R si a noitaler morf A ot B and fi x AЄ neht eht R er la it ev s te fo x si

denifed sa

(R x) = {y /BЄ x R y }

fI A1 � A A fo tes evitaler R eht neht 1 is enifed d ,sa

R (A1) = {y Є /B x R y for emos x Є A1}

= U (R x) rof x Є A1

elpmaxE :

,teL

A = ,a{ ,b ,c d }

R = ,a({ ,)a ,a( b ,)c ,b( ,) )a ,c( )b ,c( ,d( })a

R a{ = )a( , }b

R )b( = c{ }

R a{ = )c( , }b

R )d( = a{ }

,teL

A1 = ,a{ }c eb a bus s te fo A ,

The ,n R (A1) = R )a( U R (c )

= ,a{ }b U ,a{ }b

= ,a{ b }

xirtaM of a noitaler / noitaleR :xirtaM teL A = a{ 1, a2, a3 ……… . am} dna B = b{ 1, b2 , b3 ... bn} owt yna eb etinif stes .

teL R eb noitaler morf A ot B neht eht irtam x fo eht noitaler R si denifed sa eht m x n irtam x,

MR= M[ ji ]

erehW M ji = ,1 fi a( i, bj) Є R


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


= ,0 fi a( i, bj) � R

:elpmaxE

,teL)a(

,2 ,1{ = A }3 dna B = x{ , }4 R = ,1({ x )4 ,2( ,)4 ,1( ) ( ,3 x })

� � uhT s, Mr =

�10�

)b( neviG MR = �

enifeD ,tes

A = a{ 1, a2, a3} dna B = b{ 1, b2 b , 3, b4} R = a({ 1, b2) a( ,1 b4) a( 2, b2) a( 2, b3) a( 3, b1) a( 3, b3 })

hpargiD fo a er l oita n: teL A eb a etinif tes and R eb a taler i no no .A nehT R nac be detneserper yllairotcip sa ,swollof

warD)a( a llams elcric for hcae tnemele fo A dna lebal eht selcric htiw eht idnopserroc n g

A fo tnemele . esehT selcric era dellac ecitreV" s".

warD)b( na worra morf ai ot aj fi ai R aj. esehT sworra era ."segde" dellac

ehT)c( r gnitluse erutcip itneserper ng the r noitale R si dellac eht d" irect de gr hpa of R" ro "R fo hpargid" .

:elpmaxE

,teL)a( A b qe e u ot la t eh es t

,1{ = A ,2 ,3 }4


� � �

01 �01�

�

� �

� � �

1001 � 110 0� � 101 0 �

. dniF taleR i no R.

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 R ,)3 ,1( ,)1 ,1({ = ,)1 ,2( ,3( ,)3 ,2( ,)2 ,4( })3

:margaiD 4

1

3 2

ehT "eergedni" of AЄ a i ele fo rebmun eht s m ne st b Є A s hcu t ah t b R a.

ehT "eergedtuo" of a un eht si A Є m reb fo elem ne t s b Є A hcus t ah t a R b

tnemelE s ergednI e eergedtuO

1 2 2

2 1 2

3 3 1

4 0 1

)b( fI A = ,1{ ,2 ,3 }4 dna B = ,1{ ,4 ,6 ,8 }9 dna :R A → B denifed yb

a R b fi b = a2 dniF. the od mai ,n R ,egna dna MR

,1{ = A ,2 ,3 }4 B = ,1{ ,4 ,6 ,8 9 }

R = ,x({ x/)y ,A y B dna y = X2}

,)4 ,2( ,)1 ,1({ = R ,3( )9 }

PED T. ,ESC FO TIBJS P ega 55

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


:niamoD moD (R) = ,1{ ,2 }3

naR ge: naR ,1{ = )R( 4, }9

� �

� � 10000

� 0000 0�

seitreporP o f taler a io :n 1. eR f :evixel a eb R teL es a no noitaler t .A

ehT R" elfer si x a( fi "evi , R Є )a V a AЄ or a R ,a V a Є A.

elpmaxE : { = A I }3 ,2 ,

R = 2( ,)1 ,1({ , ,)2 ,1( )2 ,3( 2) ,3( })3

ferehT o ,er R si elfer xi ev . A noitaler R no a tes A si non" -r fe lexi "ev fi ’a‘ si ton noitaler ot ’a‘ rof emos a AЄ ro a( , )a � emos rof R a Є A

A = ,1{ ,2 }3

R = { 2( ,)1 ,1( , ,3( ,)2 ,3( ,)1 3 }) >= ,2( )2 �R

ferehT o R ,er si ton - .evixelfer

2. vixelferrI e: er A l no R noita elferri si A tes a ix ev if a R ,a V a Є A .

elpmaxE : R = )2 ,3( )1 ,2( )2 ,1({ ,3( 1 })

,1( ,)1 ,2( )2 3( , )3 �R ecneh R is irr fe el xi ev . A aler noit R no a tes A i s elferri ton“ x ”evi fi ‘ ’a si ton ’a‘ ot noitaleR rof some a Є A .

elpmaxE : =R ,1({ ,3( )1 ,2( )2 ,1( )1 2) ,3( })1

,1( )1 Є R si R ecneh on“ t ferri lex ”evi .


� �

00001 � 0010 0�

� � Mr =

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 3. cirtemmyS :noitaleR teL R be a noitaler no a es t ,A eht n R si “s my metri ”c fi

b neht ,b R a revenehw R a ; V a Є ,A b Є A.

elpmaxE : teL A = ,1{ ,2 ,1( )1 ,1({ = R dna }3 2) )1 ,2( ,3( )2 ,2( )3 }

,eroferehT R si cirtemmys . A noitaler R no a i A tes s ton" eb ot dias s rtemmy i fi "c b R a dna b R a for some ,a b Є A .

elpmaxE : )2 ,3( )2 ,1({ = R dna }3 ,2 ,1{ = A ,1( 3) ,2( )1 ,2( 3)}

,eroferehT R si ton sym cirtem . 4. :cirtemmysA teL R be a noitaler no a tes A th ne R si A“ s my m ,”cirte fi revenehw a R b neht b R ,a V ,a b Є A.

R = )3 ,1( ,)2 ,1({ ,3( 2 })

,eroferehT R si as emmy t cir . A noitaler R no a tes A si dias ot eb ton" Asym "cirtem if a R b dna b R a rof os em ,a b AЄ R = ,1( )1 ,1({ 2 ( ) 1, )3 ,3( })2

R ton si s cirtemmy . 5. itnA – sy rtemm :ci teL R eb a noitaler no a tes si R neht ,A na ti symm rte ic if wh vene re a R b dna b R a neht a = b rof( emos ,a b Є A) Ex :elpma ,teL A = ,1{ ,2 }3 dna R ,1( ,)1 ,1({ = 2), ,3( )2 } R si itna -s my m cirte Є 1R1 1 dna = 1 .

elpmaxE : R )2 ,1({ = ,2( })1

1 ,2R 1R2 tub 2 = tna ton si R ecneh 1 i sym em tr ci . 6. evitisnarT :ytreporP teL R eb a noitaler no a tes ,A neht R si t snar ti evi if venehw er a R b dna b R ,c neht a R c V ,a ,b c Є ¸ A . Ex :elpma ,teL A = ,1{ 2, }3 dna R = ,1({ ,)1 ,1( 3 ,) ,2( ,)3 ,3( 1) ,2( ,)1 ,3( })3 a( ll uohs ld

fsitas y )

ecnelaviuqE :noitaler A noitaleR R si dias aviuqe na eb ot l ecne er l ta i no fi it ,si

)a( elfeR x evi


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


)b( S my m na cirte d

)c( isnarT it .ev

hT fere o ,er R si na iuqe v ecnela R ale t noi .

:cirtemmyS teL a R b

>= Є 1R 2

2 si ton 1 ot detaleR dna osla b si ton Relat de to a

,ecneH R si ton cirtemmys

evitisnarT : teL a R b and b R c

>= 1 R R 2 dna 2 3 ub t, 1 si ton detaleR to 3 dna osla si a on t detaleR ot c

,ecneH R si ton rt an is evit .

ferehT o ,er R si ton na elaviuqe n ec R ale t noi .

b. ,2( ,)2 ,1({ = R 1 ,1( ) )3 ,3( 1) ,2( )3 ,3( 2)}

:evixelfeR a R a V a Є A

,1R 1 >= 2 R ,2 3 R 3 ,eurt ton

,ecneH R si ton elfer ix ev

:cirtemmyS teL a R b

R 1 >= 3

R 3 >= 1

>= b R a

,ecneH R si cirtemmys .

snarT eviti : teL a R b and b R c

2 R 1 >= dna 2 R 3


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


R 1 >= 3

>= a R c

,ecneH R tisnart si i ev

,eroferehT R si ton na ecnelaviuqe noitaleR . c. A = ,1{ ,2 }3

R = A x A = ,1({ 1()1 , ,1()2 ,2()3 1 ,2()2 ,2() 3)( ,3 ,3()1 ,3()2 3 })

tI si fer lex ,evi s rtemmy ic dna evitisnart dna eh n ec R si na ecnelaviuqe

oitaleR n.

meroehT : teL" R eb an elaviuqe n ec noitaler on a es t ,A dna P be t eh coll tce i no fo all tcnitsid R - er lat evi set of A. Th ne P si a p noititra fo A, na d R si eht uqe ival cne e er l noita

denimreted by "P

RO

wohS" taht na elaviuqe n ec noitaler R ni a es t S w hcih si non - pme t ,y dete imr en a p ra it noit fo "S

:foorP ,neviG P = R{ )a( / V a Є }A

eW wonk taht V a Є ,A ew ,evah a R a

>= ,a( )a Є R

R Є a >= (a)

ferehT o ,er for every tnemele fo A oleb n sg ot eno fo es eht ts fo P. fI R )a( dna R )b( era 2 di )a(R stes evitaler tcnits n R )b( = Ф

fI ,elbissop tel x Є R )a( n R )b(

>= x dna )a( R Є x Є R )b(

a>= R x dna b R x


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


a>= R x dna x R b ecnis( R si s )cirtemmy

b R a>= ecnis( R is t snar ti )evi

R>= )a( = R )b( yb( )meroeht

ferehT o ,er fI R )a( ( R = b ( R n )a( R neht ,) b) = Ф.

ferehT o ,er rf mo eht oba v ,e P si a trap i noit fo eht tes A.

sihT noititrap senimreted eht noitaler R ni the se esn t ah t a R b fi a dna b gnoleb ot ht e emas kcolb fo eht p ra it noit .

ecneH …devorp ..

ETON* : ehT noititrap fo a tes A denimreted by na ecnelaviuqe italer no R si dellac eht noititrap decudni by R and si detoned by /A R.

noitalupinaM fo er l oita sn :

1. :tnemelpmoC teL R eb a er l noita morf A to .B ehT tnemelpmoc fo R si a noitaler

denifed sa a R b fi a R~ b, erehw R~ is t eh pmoc el nem t fo R.

>= ,a( )b R~ fi ,a( )b R~

2. nU ion: teL R dna S be 2 er lat snoi morf A ot .B ehT noinu R U S si a noitaler morf A ot B denifed ,sa

a R( U )S b fi rehtie a R b ro a S b

tahT si ,a( )b )b ,a( rehtie fi S U R Є Є R ro ,a( )b Є S .

3. noitcesretnI : teL dnaR S eb ler snoita morf A ot B. ehT noitcesretni R n S si a taler i no

morf A B ot d sa denife , a R( n )S b fi a R b dna a S b

tahT si n R Є )b ,a( S fi ( ,a )b Є R dna ( ,a )b Є S. 4. esrevnI : teL R eb a noitaler morf A ot .B The esrevni R-1 si a er l noita morf B to A

denifed sa , a R b if b R-1 a

,.e.i ,a( )b Є R fi ,b( )a Є R- l


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


Co noitisopm o f taler ion :s teL dnaR S eb taler i sno morf ot A naB d ot B evitcepser C ly . ehT tisopmoc i no fo dnaR i S s t eh

noitaler S o morf R A ot C denifed sa ,

S(a ereht fi c )R o -ex b tsi E B/a R b dna b S c.

R2 R= o R = ,a({ ,)a ,a( )c ,a( )b ,b( )a ,b( )c ,b( )b ,c( )a ,c( )b ,c( c }) S2 = S o S = ,a({ )a ,b( b) ,b( )c ,b( )a ( ,c )a ,c( c) }

evixelfeR usolc :er teL R eb a er l noita no a es t' A'. esoppuS R skcal a ralucitrap reporp ty, eht tsellams noitaler taht niatnoc R dna ,hcihw sessecorp eht derised orp p re ty si c della t eh

erusolc fo R htiw ser p ce t evi a porp erty ni qu noitse .

neviG a er l noita R no a 'tes t 'A h = 1R noitaler e ( )R U A t si eh "r elfe xi ev cl eruso fo R”.

elpmaxE :

,1{ = A ,2 }3

R = ,1({ ,2()2,1()1 ,1()1 3 ,3() })2 dnif eht elfer x vi e erusolc fo R.

:noituloS eW wonk ,taht R si ton elfer x evi uaceb se ,2( )2 Є R dna ,3( 3) Є R.

woN , =A ,1({ 1) )2 ,2( ,3( })3

ferehT o ,er R1 = R U =A ,1({ )1 ,1( )2 ,2( )1 ,2( )2 ,1( )3 ,3( )2 ,3( )3 }

R1 si eht fer lex evi cl eruso fo R.

cirtemmyS erusolc : fI R si ton s cirtemmy th ne t ereh ex stsi (x, )y A cus h taht (x, )y Є ,R ,y( tub x) Є R. oT ekam R mys m cirte ew n dee ot dda eht dro e sriap der of R-1.

R1 R U R = -1 ys" eht si m erusolc cirtem o "R f .

A = ,1{ ,2 }3

R = ,1({ )1 ,1( )2 ,2( )1 ( ,1 eht dnif })2 ,3( )3 sym rtem ic erusolc of R.

S tulo i no : eW wonk ,taht R si ton s cirtemmy b esuace ,1( 3) Є R tub 3( , )1 Є R dna ,3( 2 ) Є R tub ,2( )3 Є R.

elpmaxE : R-1 = ,1({ )1 ,2( )1 ,1( 2) ,3( )1 ,2( })3


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ferehT o ,er R1 = R U R-l = ,1({ )1 ,1( 2) ,2( )1 ,1( )3 ,3( )1 ,3( 2) ,2( })3

R1 llac si eht de s my m R fo erusolc cirte .

evitisnarT :erusolc eL t R eb a noitaler no a tes A eht tsellams art sn i noit noitaler gniniatnoc R si dellac eht evitisnarT" erusolc fo R" .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

AM ETERCSID LACITAMEHT SERUTCURTS 43SC01

TINU – IV eR l snoita oc ntd :. oH 7 u sr

seitreporP fo noitaleR s

retupmoC ngoceR i noit

oreZ - enO secirtaM

detceriD shparG

laitraP sredrO

essaH margaiD s

ecnelaviuqE snoitaleR and

titraP i sno


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID RTS SERUTCU 43SC01

TINU IV 7 Ho ru s

snoitcnuF

oitcudortnI n A nosrep gnitnuoc stneduts tneserp ni a ssalc as sngis a rebmun to e hca st nedu t ednu r

oitaredisnoc n. nI siht esac a ecnednopserroc eb t neew owt stes si :dehsilbatse neewteb stneduts atsrednu dn elohw srebmun . hcuS erroc s ecnednop si dellac uf n snoitc . noitcnuF s

era lartnec ot eht uts dy fo ph scisy dna ,noitaremune tub yeht o rucc in am ny rehto snoitautis sa llew . roF in ,ecnats eht ednopserroc n ec teb w nee eht d ata derots ni retupmoc

yromem dna ht e dradnats s slobmy a, ,b ...c z, 0, ,1 ... ,9 ? ,!, ...+ otni sgnirts fo 'O s dna s'I rof latigid rp o issec ng dna eht tneuqesbus ced o gnid fo eht irts n sg :deniatbo eseht ra e

tcnuf i no s. ,suhT ot dnatsrednu eht eg n lare u es fo ,snoitcnuf ew m tsu uts dy th rie eporp seitr ni eht eg n lare t smre fo tes oeht r ,y cihw h si lliw eb ew od ni this retpahc .

eD fin ti ion: teL A dna B eb owt stes . A itcnuf on f morf A to B is a ur le taht dengissa to

hcae tnemele e A ni x x tca l e eno y l tneme B ni y . tI si detoned by

A :f → B

toN e:

1. ehT tes dellac si A amod in fo f. 2. ehT tes ac si B l del amod in fo f.

eulaV of f: fI x si na el tneme fo A dna y si na tnemele fo B gissa n de to x, nettirw y = (f x) dna llac noitcnuf av l eu fo ta f x. ehT tnemele y t dellac si h fo egami e x rednu f .

elpmaxE : A dna }4 ,3 ,2 ,1{ = =B ,a{ ,b ,c }d

R ,2( ,)a ,1({ = b ,) ,3( c ,) ,4{ })d S = ,)b ,I({ ( )d ,2( ,)d ,I }


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ferehT o ,er R si a uf n noitc dna S si on t a uf nct .noi ecniS eht el tneme 1 sah t ow ami eg s dnab ,d i S s ton a cnuf t noi .

elpmaxE : teL A = 1{ , ,2 ,3 }4 ed t enimre ehtehw r ro ton eht iwollof ng relat snoi no A ra e

tcnuf i no s. 1. =f ,2({ ,)3 ,2( ,)4 ,1( 1), ,)213( ,4( })4

ecniS( tnemele 2 2 sah i 3 segam dna ,1 f si ton a cnuf it .no ) 2. })1,1(,)2,4(,)1,3({=g g si a noitcnuf 3. })4,4(,)1,2(,)4,1(,)4,3(,)1,2({=h h si a noitcnuf 4. teL =A ,0{ ,1± ,2± .}3 redisnoC eht tcnuf i no F: A→ ,R erehw R si eht tes fo la l laer

,srebmun denifed by )x(f x= 3 - x2 2 3+ x 1+ rof x�A. dniF eht f fo egnar . f )0( =1 f )1( 1= - 3=1+3+2 f (- )1 =-1-2- =1+3 -5


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 f )2( 8= -8- +6 1=7 f (- )2 =-8-8- =1+6 - 12 f )3( 72= - 1=1+9+81 9 � egnaR = ,1{ 3,- ,5 ,7 -2 ,1 }91 5. fI =A ,0{ ,1± }2± dna f: A→ R si denifed by (f x) x= 2-x ,1+ x�A ar eht dnif n eg . f )0( =1 f 1= )1( - 1=1+1 f (- )1 3=1+1+1= f )2( 4= - 3=1+2 f (- )2 7=1+2+4= � = egnaR ,1{ ,3 }7

sepyT of tcnuf ions:

1. erehwyrevE denifed - 2 A cnuf noit :f A ~ B si ever erehwy od fi denifed m fo nia f qe u la to A mod( f

= )A

Ex pma le: Y = )x(f= x 1+

=f mod ,ereH A

2. otnO tcejrus ro io n uf n tc i no


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


A :f noitcnuf A → B si otno ro noitcejrus fi Ran eg of f = B. In rehto sdrow , a f cnu it no f is noitcejrus ro otno if rof any eulav l in ,B th ere si ta tsael eno nemele t x ni A rof cihw h

)x(f = y .

3. ynaM o ot ne f nu noitc A noitcnuf F si dias ot eb am a ny- ot - eno fi noitcnuf a =f: ,b )a(f = w ,)b(f h ,a( ere b) E A .

:elpmaxE

eH er , 1: f=2 tub f (1) = f ,)2( hw e er 2,1 E A

4. enO - ot - eno f noitcnu ro in tcej io n A :f noitcnuf A → B si eno -to- eno ro noitcejni fi ( )a = a neht )b( f w ,b = h ere ,a b E A.

nI rehto fi sdrow a: f= b t f =f :)a( f neh )b( .

5. noitcejiB tcnuf ion

A :f noitcnuf A → B si noitcejiB fi ti si ob th otno eno dna -to- eno .

6. elbitrevnI f tcnu i no A noitcnuf :f A --- + B si dias ot eb na elbitrevni noitcnuf fi sti esrevni ,noitaler f-I si a

B morf noitcnuf → A .

A :f fI → B si ,noitcejiB eht n [- :I B --- A+ ex si f ,stsi s dia to eb i revn t .elbi


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID UTCURTS SER 43SC01

f- 1

B B A

f -- ))a(f(1 a

f -- ))b(f(1

f -1 B A

B = b{ 1, b2, b3} C = { c1, c2} D = d{ 1, d2, d3, d4}

teL f1: A f ,B 2: A ,D f3: B ,C :4f D B eb snoitcnuf denifed sa f ,swollo 1. 1f = ,1a({ b2) ( b ,2a 3 ( ) a3 })1b,

2. f2 = a({ 1, d2) a( 2, d1) a( 3 , d4 })

3. f3 = b({ 1, c2 b() 2, c2 ) b( 3, c1 })

4. f4 = { d( 1, b1 ) d( 2, b2 ) d( 3 b, 1 })

ytitnedI noitcnuf A noitcnuf :f ~A A cus h taht f )a( = a, fi' a Є A si dellac eht i ned tity nuf cti no ro i ned tit y

ppam gni A no . moD )t( = R na (t) = A

tnatsnoC noitcnuf A noitcnuf f: A B hcus aht t f ( )a ,c= �a� od m )f( ehw re c si a if x de elem ne t fo ,B is

dellac a tnatsnoc itcnuf on.


lpmaxE :e f

A a

b

c

ereH :f A B A = a{ 1, a2, a3}

)a(f

)b(f

)c(f

b

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


otnI noitcnuf A noitcnuf f: A B si s dia ot eb na otni uf nct noi if ereht ex tsi s emo b ni B hw i hc is on t

fo egami eht any A ni a u redn f.

3 si ton eht egami fo any elem ne t .

enO - ot - eno ecnednopserroc fI :f A B si eve r wy h ere d denife na d si ,evitcejiB neht idnopserroc ng ot eve ry a� A

ereht si na nu i euq b�B hcus taht f=b ( )a dna idnopserroc ng ot eve ry b�B ereht si na euqinu a�A hcus t ah t f .b=)a( rof siht nosaer a eve r erehwy d denife ib j noitce noitcnuf

morf A B si dellac sa eno - eno co err nops d ne ce morf A B Co noitisopm o f tcnuf io n

teL :f A B( dna :g B C( si any 2 ,snoitcnuf dna neht eht noitisopmoc fo f dna g si a noitcnuf o g A :f ifed C( n ,sa de )a( fo g =g [f ( )a ] ( ,C a( mod( )f .

esrevnI f tcnu i no

redisnoC a noitcnuf :f A B( . Then f si a noitaler f mor A to B htiw moD ( )f A( dna R na )f( (B. tI s esrevni , f - ,1 si a noitaler morf B ot A hcihw is hcus t ah t fi ehw n ve er a( , )b (f eht n

,b( )a (f -1)

,oslA moD f( - )1 naR = (f)


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID RTS SERUTCU 43SC01

naR f( - )1 na )f( moD= d f( - )1 -1 = f

eD f tini i no

A noitcnuf :f A B( si elbitrevni fi ti si esrevni noitaler f -1 is a cnuf ti no orf m B ot A .

,nehT f -1 si dellac eht in esrev uf n tc i no fo f. Ex: tel A = ,a{ ,b ,c }d and B = { ,e ,f ,g }h dna :f A B( b uf a e n denifed noitc b y f )a( = ,e= f )b( = ,e f )c( = ,h f )d( = g

,nehT sa a morf noitaler ,B ot A f r dae s f = ,a({ ,)e ,b( ,)e ,c( ,)h ( ,d })g A dn f -1 si a oitaler n morf ,A ot B nevig b y f -1 = ,e({ ,)a ,e( b ,) ,h( )c , g( , d })

,woN moD f( -1) = ,e[ ,h }g = R )f(na na d

naR f( -1) = ,a{ ,b ,c }d = A = oD m (f)

,oslA f( -1) -1 = f

hguohtlA f -1 si a noitaler morf B ot ,A ti si ton noitcnuf morf B ot ,A ceb a esu e si er lat de ot ’a‘ stnemele owt dna ‘ ’b rednu f -1 .

teL A = }4,3,2,1{ dna B = }8,7,6,5{ uf eht dna n noitc B ( A :f d fe i den b y

,6 = )1( f )2(f )3(f ,8= = = )4(f ,5 = 7

,nehT f = { ,)8 ,2( ,)6 ,1( ( ,3 ,)5 ,4( })7

� f -1 = 6({ , 1 ,) 8( , ,)2 3( , ,)5 7( , })4 nI siht ,esac f -1 si ton no ly morf noitaler a A ot B ub t a cnuf t noi a s lew l .

citsiretcarahC noitcnuf

oitcudortnI n


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


citsiretcarahC noitcnuf is a ceps i la type fo uf n tc i .no tI si very lufesu ni eht dleif fo retupmoc ecneics . rhT ough siht noitcnuf one ac n llet tehw h re na nemele t erp s tne ni ht e

tes ro on t. fI eht itcnuf on sah eht eulav 1 neht eht ralucitrap tnemele eb l sgno ot eht tes dna fi ti sah eulav 0 neht eht ton si tnemele neserp t in eht s te .

noitinifeD

detaicossA htiw eht esbus t a of � ew ac n ifed ne a citsiretcarahc uf n noitc fo A vo er � as

f: �→ ,0{ }1 hw ere fA (x) = 1 fi x� A

0 fi x� A

seitreporP fo eht scitsiretcarahc noitcnuf

1. fA n B(x) = f ( )x . f )x( P :foor i. if x � BnA neht x � A dna x � B � f (x) = 1 na d f B ( 1= )x � f (x) = 1 = f )x( . f )x( ii . if x� BnA neht f (x) = 0. tub fi x� AnB neht x� A dna x� B

� f (x) = 0 na d f B ( 0= )x � f (x) = 0 = f )x( . f )x( � morF esac 1 dna 2 f ( )x = f ( )x . f )x(

f AUB(x) = f (x + ) f )x( - f ( )x . f )x(


A B

A

A Bn A B

AnB

A

A Bn A B

A A Bn 2.

B

A B A B

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


:foorP i. teL x� AUB neht f BUA (x) = 1. tuB fi x � BUA neht ereht era ht r ee esac s

:1esac el t x � A tub not ni B t neh fA (x) = 1 na d fB (x 0=) � f )x( = 1 = f A (x ) + f A (x) - f A (x) . f B )x(

esuaceB[ ]0+0+1

2esac : el t x � B ub t on t in A

nehT fB (x) = 1 dna fA (x) = 0 � f (x f = 1 = ) A (x f + ) B (x ) - f A (x) . f B (x)

esuaceB[ 1+0 - ]0

3esac : let x � A dna x � B

nehT fA (x) = 1 dna fB (x 1 = ) � f (x f = 1 = ) A (x f + ) B (x ) - f A (x) . f B (x)

esuaceB[ 1+1 - ]1

AU B

Let x � A U B neht f BUA (x) 0=

x � A U B neht x � A dna x � B t eh n

fA (x) = 0 dna fB (x) = 0 � f BUA (x) = 0 = fA (x) + fB (x) - fA (x) . fB (x)

esuaceb[ 0+0 - ]1 � ac morF s dna i e ii . � f BUA (x) = fA (x) + fB (x) - fA (x) . fB (x)


AU B

A BU

A BU

� ii .

I f �

f (x) = f A (x) + f B (x) - f A (x) . f B (x)

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 A cirtemmys ecnereffid si evitaicossa no tes s

A( evorp oT � )B � C = A � (B � )C ew h ot eva vorp e f (A � )B � C f = )x( A � B( � C) (x) � x

f = SHL A( � )B � C = f D( � C) erehw D = A � B = f D + f c – 2 f D f c = f c + f D 1( -2 f c )

f = D f + A � B 1( -2 f c) = f c + f( A + f B - 2 f A f B) 1( – 2 f c) = f c + f A + f B - 2 f A f B - 2 f A f C - 2 f B f C + 4 f A f B f C = f A + (f B + f c – 2 f B f C) – 2 f A f( B + f C – 2 f B f C) = f A + f B + f C - 2 f B f C 1( - 2 f A) = f A + f B�C 1( - 2 f A) = f A + f B�C - 2 f A f B� C

= f A � B( �C) = RHS

A( � )B � C = A � B( � C )

eP r noitatum noitcnuf A noitatumrep on ’A‘ is a noitcejib fo A‘ ’ no to itsel .f teL ‘ ’A = { ,1a 2a , ,3a ----------- an erehW.} A si a etinif ,tes tatumrep a si P fi i no no A neht P nac eb per r ese n det sa , P = 1a 2a 3a ----------- na

1a(P ) (P a )2 a(P 3) ------ - na(P )


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


sihT si dellac sa owt enil noitaton fo a oitatumrep n fo A.

:ETON (a) fi |A| =n, neht P !n ereht erm noitatu no A b( ) ehT noitisopmoc fo owt snoitatumrep si niaga a ep noitatumr dellac Pro cud t fo

tatumrep ion. elcyC

redisnoC a noitatumrep P fo a tes A = { ,1a ,2a ,3a -------- }na In siht noitatumrep pus p eso r stnemele of A say ,1b{ ,2b ,3b -- -- - --- rb } era hcus th ta P

)1b( ,2b= P )2b( ,3b= .... .P b( r-1 ) b= r , P b( r ) b= 1 , dna eht gniniamer stnemele fo A era segami of ,sevlesmeht T neh P si dellac a c cy le of el n htg ’r‘ , dna si ed n deto by ,1b( ,2b

3b …… . rb ).

elpmaxE :1 A = ,1{ }4 ,3 ,2 dna P( )A = 1 2 3 4

3 2 4 1

)1(P = 3 ;4 = )3(P ; )4(P = 1 � f )4 ,3 ,1( o smr a c cy le fo l htgne 3 . � nI P eht stnemele ,1( 3, )4 smrof a c elcy dna ’2‘ sniamer ahcnu n deg . � P si a elcyc fo length 3.

elpmaxE :2 A = ,1{ ,2 ,3 ,4 ,5 }6 dna P = 1 2 3 4 5 6

3 2 4 6 5 1

;3 = )1(P = )3(P ;4 4(P ) = ;6 )6(P = 1 � ,1( ,3 ,4 )6 fo a smr c 5 dna 2( elcy remain hcnu a egn d) � P si a elcyc fo length 4.


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


tisopsnarT ion A elcyc fo el n htg 2 si dellac a ”noitisopsnart“ fi A = ,1a{ ,2a ,3a -- -- }na neht P = ,ia( aj), i ≠ a si j t isopsnar it no fo A.

:elpmaxE

,2 ,1{ = A ,3 ,4 ,5 }6 oc m up t e 1. ,4( ,1 ,3 )5 o ,5( ,6 )3 a dn 2. ,5( ,6 )3 o ,4( ,1 ,3 5 ) P1 = 1 2 3 4 5 6

3 2 5 1 4 6 P2 = ,5( ,6 )3 = 1 2 3 4 5 6

1 2 5 4 6 3 P1 P0 2 =

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

3 2 5 1 4 6 1 2 5 4 6 3 2. P2 0 P1 = ,5( ,6 )3 o 4( , ,1 ,3 )5 = 1 2 3 4 5 6

5 2 6 1 4 3

nevE dna ddo atumrep t oi ns

:elpmaxE A = ,1{ ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 8} eht rehtehw dnif gniwollof tatumrep i no a er neve ro ddo

1 2 3 4 5 6 7 8 PED T. ,ESC FO TIBJS egaP 57

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 1. P = P = ,1( )3 o ,1( )8 o ,1( 6) o ,1( 4) � P neve na si rep mutati no . a. P = ,4( )8 o ,3( ,5 ,2 )1 o ,2( ,4 ,7 1) P = ,4( )8 o ,3( )1 o ,3( 5) o ,2( )1 o ,2( )7 o ,2( 4) � P si na ddo tatumrep i no uaceb se ng rep si ex desserp sa a tisopmoc i no fo ddo rebmun

fo noitatropsnart .

:etoN dorP u tc fo eve n- neve noitatumrep si eve n

tcudorP fo eve n- ddo noitatumrep si ddo

tcudorP fo ddo - ddo rep m noitatu si ddo

nevE noitatumrep tonnac eb ex desserp in t mre s fo ddo

ddO noitatumrep tonnac eb ex desserp ni ret ms fo neve .

gnihsaH noitcnuf oitcudortnI n

esoppuS ew tnaw to erots eht liam da d sser of all ov t sre of a al r eg city in n ebmun r of

,selif derebmun morf 0 ot n-1 , ni hcus a yaw taht eht elif gniniatnoc eht sserdda an y nesohc retov nac eb detacol tsomla tnatsni ly. The gniwollof si one way fo niod g siht t sa k

,tsriF ot hcae retov l te us ngissa a euqinu evitisop regetni sa na id ne t noitacifi un m reb . eN x ,t ot cae h tacifitnedi i no ,rebmun l te su ssa ign a euqinu evitisop tni eger c la l de a key . ehT ke sy ac n eb su hc t tah owt noitacifitnedi nu srebm nac ah ve eht same key ub t owt

tnereffid ke sy era ton sa s dengi ot eht as me noitacifitnedi rebmun .

ferehT o er eht rebmun fo noitacifitnedi rebmun lliw eb lauqe ot eht rebmun fo ov t sre , tub k fo ,rebmun eht e sy nac ssel eb t nah t eh on . fo noitacifitnedi un m reb .

eD f tini i no

teL A d etone eht s te fo all syek and B ,2 ,1 ,0{ = ----- -- n( - t , })1 he es t fo la l elif s.


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


redisnoC na ever wy h ere denifed uf n noitc ‘ hn ; hn : A → B deificeps by hn )a( = ,r wh re e r si eht ,redniamer =r a n/ dna a � A . sihT fu noitcn senimreted a nu i euq .r rof an y

deificeps a � A , siht r lliw eb eno dna no ly one fo t eh srebmun f or m 0 ot n-1 , htob( evisulcni ).

h noitcnuf ehT n dellac si hsah i gn uf n noitc . roF ht is noitcnuf la fo tes a l ke sy is od main.

:ETON ehT yek n dee n to eb tnereffid morf eht noitacifitnedi .rebmun fI eht ke sy ar e lacitnedi htiw eht noitacifitnedi ,rebmun eht n eht od m nia fo ht e ah shing cnuf it no si ht e

tes fo lla noitacifitnedi num reb .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


TINU – IIV spuorG : oH 6 u sr

,snoitinifeD

,selpmaxE

atnemelE ry ,seitreporP

hpromomoH i ,sms

,smsihpromosI dna

C cilcy G ,spuor

,stesoC dna

s’egnargaL meroehT .

gnidoC hT yroe na d :sgniR

stnemelE fo gnidoC ,yroehT

ehT gnimmaH M ,cirte

ehT ytiraP ,kcehC dna

rotareneG secirtaM


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


TINU IIV 6 hrs

SPUORG

:noitcudortnI

eD f ,snoitini ,selpmaxE dna yratnemelE eporP rti se : nI m scitamehta , a rcsid e et org pu si a puorg G eq deppiu htiw eht etercsid t olopo gy. htiW

siht ygolopot G semoceb a lacigolopot puorg . A etercsid orgbus pu fo a acigolopot l puorg G si a puorgbus H esohw evitaler ygolopot si eht etercsid .eno roF ,elpmaxe eht

sregetni , Z, mrof a etercsid puorgbus of t eh r slae , R, tub eht lanoitar un m sreb , Q, od ton .

ynA puorg nac eb evig n eht ercsid te olopot gy. ecniS eve ry m pa morf a di etercs s ap ce i s suounitnoc , eht golopot i lac smsihpromomoh neewteb etercsid spuorg era ex tca ly th e

puorg smsihpromomoh neewteb eht rednu l gniy spuorg . eH n ,ec ereht si na msihpromosi neewteb eht ogetac ry fo spuorg dna eht ogetac ry fo etercsid spuorg . etercsiD spuorg nac erofereht eb deifitnedi htiw rieht rednu l iy ng on( n- acigolopot l) spuorg . htiW th si ni ,dnim

eht mret etercsid puorg yroeht si desu ot refer ot eht uts dy fo spuorg tuohtiw lacigolopot ,erutcurts ni noitcnitsidartnoc ot lacigolopot ro eiL puorg oeht r .y tI si ,dedivid lacigol l y

tub osla lacinhcet l ,y otni etinif puorg oeht ry, dna i etinifn puorg oeht ry .

erehT era emos co snoisac nehw a lacigolopot puorg ro eiL puorg si lufesu ly odne w de htiw eht etercsid lopot o yg , tsniaga' 'erutan . sihT h sneppa rof ex elpma ni eht oeht ry fo the rhoB noitacifitcapmoc , dna ni puorg ygolomohoc yroeht fo eiL spuorg .

:seitreporP

ecniS lopot lacigo uorg ps era moh o eg n suoe , one deen no ly kool ta a elgnis tniop ot

enimreted fi eht puorg si ercsid te. nI ,ralucitrap a lacigolopot puorg si etercsid fi dna no ly fi eht notelgnis noc t gninia eht itnedi ty si na nepo s te .

A etercsid puorg si eht s ema gniht sa a rez o- lanoisnemid eiL puorg (un oc u elbatn etercsid

spuorg era ton noces d-co elbatnu os srohtua ohw eriuqer eiL spuorg ot sitas fy siht ax moi od ton drager eseht org u sp sa eiL puorg s). ehT itnedi ty tnenopmoc fo a di etercs puorg si

tsuj eht laivirt puorgbus elihw eht puorg fo moc p stneno si i os m cihpro ot eht puorg sti fle .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ecniS eht ylno rodsuaH ff olopot gy no a etinif tes si eht etercsid ,eno a fi etin ffrodsuaH cigolopot la puorg tsum n irassece ly be csid r ete . tI swollof taht eve ry etinif puorgbus of a ffrodsuaH puorg si etercsid .

A etercsid puorgbus H fo G si oc tcapmoc fi ereht si a tcapmoc s tesbu K fo G hcus taht

KH = G.

etercsiD no lamr us b org u sp yalp na tnatropmi or le ni eht oeht ry of oc v re i gn spuorg dna lacol ly cihpromosi rg o .spu A etercsid amron l puorgbus fo a noc n detce puorg G

irassecen ly seil ni eht ec n ret fo G dna si erofereht naileba .

rehtO seitreporp :

• eve ry etercsid puorg si to lat ly etcennocsid d • yreve puorgbus fo a etercsid puorg si etercsid . • yreve tneitouq fo a etercsid puorg si etercsid . • eht tcudorp fo a etinif rebmun fo etercsid spuorg is ercsid te. • a etercsid puorg si tcapmoc no dna fi l y i si ti f fini et . • eve ry etercsid puorg si acol yll tcapmoc . • eve ry etercsid puorgbus fo a dsuaH o ffr puorg si desolc . • eve ry etercsid puorgbus fo a tcapmoc odsuaH r ff puorg si etinif .

:selpmaxE

• ezeirF spuorg na d llaw p repa spuorg era ercsid te puorgbus s fo eht yrtemosi puorg

fo eht aedilcuE n nalp e. repapllaW puorg s era co ,tcapmoc ub t rF i eze rg o spu ar e ton .

• A ecaps puorg si a etercsid puorgbus fo eht yrtemosi puorg fo naedilcuE s ecap of emos d mi noisne .

• A cr llatsy ogr cihpa org up lausu ly naem s a coco ,tcapm etercsid us b org up fo t eh seirtemosi fo emos lcuE i naed .ecaps ,semitemoS ,revewoh a cr llatsy ogr cihpa

puorg nac eb a tcapmococ etercsid puorgbus fo a n tnetopli ro elbavlos eiL puorg . • evE ry elgnairt puorg T si a etercsid us b puorg fo t eh yrtemosi puorg fo ht e rehps e

nehw( T si ,)etinif eht naedilcuE enalp ( nehw T sah a Z + Z us b puorg of fi tin e edni x ,) ro eht h py e cilobr enalp .

• aishcuF n spuorg era , by ,noitinifed etercsid us b puorg s fo the emosi try uorg p of eht cilobrepyh enalp . o A Fu naishc puorg aht t reserp v se ro i noitatne and tca s on the eppu r lah f-

enalp ledom fo eht hyp cilobre enalp si a etercsid puorgbus fo eht iL e PED T. ,ESC FO TIBJS egaP 08

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

ETERCSID LACITAMEHTAM SERUTCURTS 43SC01

puorg PS 2(L ,R ,) the puorg fo o noitatneir erp s gnivre isomet seir of the reppu flah -pl ena dom le fo eht yh p cilobre alp ne.

o A naishcuF puorg si semitemos deredisnoc sa a s laicep ac se fo a nainielK puorg , by iddebme ng eht hyp cilobre alp ne i lacirtemos ly otni eerht

lanoisnemid hyp cilobre s ecap dna ex gnidnet eht puorg a tc i no no ht e nalp e ot ohw eht ecaps el .

o ehT raludom puorg si ,2(LSP Z ,) thguoht fo sa a etercsid puorgbus fo ,2(LSP R). ehT raludom puorg si a tal t eci ni SP ,2(L R ,) ub t it is ton

tcapmococ . • nainielK spuorg ,era by ,noitinifed etercsid spuorgbus fo eht temosi ry puorg fo

cilobrepyh 3- ecaps . esehT edulcni isauq - naishcuF spuorg . o A nainielK puorg taht reserp v se noitatneiro and stca no eht reppu hal f

ecaps ledom fo h cilobrepy 3- ecaps si a etercsid puorgbus fo eht eiL uorg p ,2(LSP C ,) the puorg of o noitatneir ivreserp ng seirtemosi fo eht pu p re half-

ecaps ledom fo h cilobrepy 3- ecaps . • A ecittal ni a eiL puorg si a etercsid us b puorg su hc taht eht raaH saem ure fo the

tneitouq ecaps is fi etin .

puorG moh o prom h msi :

egamI fo a puorG oh mo ihprom ms (h) morf G(l fe t) ot H(rig )th . ehT rellams lavo i sn i ed H egami eht si of h. N lenrek eht si of h dna aN si a tesoc fo h.

nI scitamehtam , nevig owt spuorg (G, )* dna (H, ·), a puorg msihpromomoh orf m (G, )* ot (H, )· si a tcnuf i no h : G → H rof taht hcus all u dna v in G ti oh lds t ah t

PED T. ,ESC FO TIBJS 18 egaP

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


erehw eht puorg epo r noita no eht tfel dnah edis fo eht noitauqe si taht fo G dna no eht thgir t edis dnah ha t fo H .

morF siht reporp t ,y one nac ed du ec taht h maps eht itnedi ty ele m tne eG fo G to t eh

itnedi ty tnemele eH fo H, dna ti osla spam esrevni s ot sesrevni ni t eh esnes t ah t

h(u - 1) = h(u ) - 1.

ecneH one s nac a taht y h si" elbitapmoc htiw eht puorg "erutcurts .

redlO snoitaton rof eht hom hpromo msi h(x) may eb xh, hguoht siht may desufnoc eb a sa n edni x ro a lareneg .tpircsbus A erom tnecer ert nd si ot etirw puorg smsihpromomoh no

eht ri thg fo th rie ,stnemugra gnittimo rb a ekc t ,s os t ah t h(x) semoceb si pm ly x h. ihT s hcaorppa si laicepse ly p tnelaver ni saera fo rg o pu oeht ry erehw atamotua yalp a ,elor

ecnis ti cca o sdr retteb iw th eht noitnevnoc taht ua t atamo daer sdrow morf tfel ot thgir . nI ar sae fo scitamehtam erehw one isnoc d sre rg o spu dewodne htiw lanoitidda ,erutcurts a

hpromomoh si m semitemos snaem a pam hcihw stcepser ton no ly the rg o pu erutcurts ( sa )evoba tub osla eht ex art erutcurts . roF ,elpmaxe a msihpromomoh fo lacigolopot puorg s

si netfo deriuqer to be con it uoun s.

ehT yrogetac fo org pu s fI h : G → H dna k : H → K era puorg momoh o msihpr s, neht os si k o h : G → K. sihT

swohs taht eht ssalc fo lla ,spuorg rehtegot htiw puorg smsihpromomoh sa hprom ism ,s smrof a yrogetac .

sepyT fo momoh o cihpr pam s

fI eht msihpromomoh h si a noitcejib , neht eno nac wohs taht sti evni esr si osla a puorg

sihpromomoh m, dna h si dellac a puorg is romo p ih sm; ni iht s ,esac t eh gr puo s G dna H era dellac ihpromosi c: yeht reffid no ly ni eht noitaton fo rieht stnemele dna era lacitnedi rof lla lacitcarp .sesoprup

fI h: G → G si a puorg h momo ,msihpro ew lac l ti na sihpromodne m of G. fI truf h romre e ti si evitcejib na d cneh e na isom ,msihpro it si cal del an sihpromotua m. ehT tes of lla

smsihpromotua fo a rg o pu G, htiw uf n lanoitc noitisopmoc sa noitarepo , smrof flesti a ,puorg the hpromotua i ms puorg fo G. tI si detoned by (tuA G). sA na ex ,elpma t eh


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


msihpromotua uorg p of (Z, )+ sniatnoc no ly two ,stnemele eht itnedi ty noitamrofsnart dna noitacilpitlum htiw -1; it si i hpromos ic to Z/2Z .

nA sihpromipe m si a evitcejrus ,msihpromomoh aht t i ,s a oh mom hpro i ms hw i hc si tno o

as a uf n oitc n. A sihpromonom m is an vitcejni e hpromomoh ism, taht is, a sihpromomoh m hw i hc is eno - ot - eno uf a sa nct noi .

moH omo smsihpr fo naileba uorg ps

fI G na d H era abeli na ( .e.i )evitatummoc puorg s, neht ht e es t (moH G, H) fo lla uorg p

smsihpromomoh morf G ot H si flesti na eba il na puorg : eht s mu h + k fo wt o smsihpromomoh si denifed by

(h + k)(u) = h(u) + k(u) rof lla u ni G.

ehT ivitatummoc ty of H si dedeen ot p evor taht h + k si a ag in a puorg hom hpromo ism . ehT noitidda fo smsihpromomoh si bitapmoc le w ti h eht oc m op is noit fo omoh m smsihpro

ni eht gniwollof :esnes if f si ni oH m(K, G ,) h, k era el stneme fo (moH G, H ,) dna g si ni (moH H,L ,) ht e n

(h + k o ) f ( = h o f) + (k o f) na d g o (h + k) = (g o h) + (g o k) .

sihT swohs taht t eh es t (dnE G) fo lla smsihpromodne fo na naileba puorg smrof a gnir ,

eht msihpromodne ri gn fo G. roF ,elpmaxe eht msihpromodne gnir fo eht naileba uorg p itsisnoc gn fo eht cerid t s mu fo m seipoc fo Z/ Zn si cihpromosi ot eht gnir fo m-by-m secirtam htiw seirtne in Z/nZ. ehT evoba apmoc t ytilibi osla swohs taht the getac ory fo lla

naileba spuorg htiw puorg smsihpromomoh smrof a evitiddaerp getac ory; eht ex ecnetsi of tcerid smus dna w lle - eb h deva k slenre m seka siht ogetac ry the p otor t acipy l ex elpma fo na naileba yrogetac .

cilcyC puorg

nI puorg oeht ry, a cy cilc org pu si a puorg taht nac eb eg n are t de by a is n elg ,tnemele ni eht esnes taht eht puorg sah na tnemele g ellac( d a " rotareneg " fo eht rg o )pu hcus ,taht

nehw nettirw ,ylevitacilpitlum eve ry tnemele fo eht puorg si a rewop fo g a( lum it elp fo g nehw eht noitaton si )evitidda .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


noitinifeD

ehT is x ht6 elpmoc x stoor fo inu ty fo mr a c cilcy uorg p rednu tacilpitlum i .no z is a evitimirp ele m ne t, tub z2 si fo srewop ddo eht esuaceb ,ton z p a ton era ower fo z2.

A puorg G si dellac c lcy ic fi ereht ex stsi na e mel ent g in G hcus t ah t G = <g> = { gn | n si na egetni r .} ecniS any uorg p etareneg d by an tnemele ni a puorg si a s uorgbu p fo aht t

,puorg gniwohs taht eht no ly us b puorg fo a org up G taht sniatnoc g is G flesti seciffus ot wohs si G taht cyc cil .

roF ,elpmaxe fi G = { g0, g1, g2, g3, g4, g5 } si a ,puorg neht g6 = g0, dna G si lcyc i .c I n ,tcaf G si laitnesse ly the emas sa taht( ,si cihpromosi )ot eht tes { ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 5 } htiw

noitidda udom lo 6. roF ,elpmaxe 1 + 2 = 3 dom( )6 sdnopserroc ot g1·g2 = g3, dna 2 + 5 = 1 dom( )6 sdnopserroc to g2·g5 = g7 = g1, dna os .no enO nac esu eht i msihpromos φ

denifed b (φ y gi) = i.

roF eve ry evitisop regetni n ereht si tcaxe ly eno cilcyc puorg pu( ot )msihpromosi esohw redro si n, dna ereht si yltcaxe eno ni etinif c cy l ci puorg t( he sregetni u redn .)noitidda

,ecneH eht c cilcy spuorg era eht tselpmis spuorg dna yeht era etelpmoc ly cl deifissa .

ehT eman "c lcy i "c may eb :gnidaelsim ti si elbissop ot eg n are te etinifni ly am ny stnemele dna ton mrof any laretil yc ;selc taht ,si every gn si tcnitsid . tI( nac be ias d taht ti ah s no e

yletinifni ol ng c cy l ).e A uorg p detareneg ni siht way si ellac d na ni f etini cyc il c g or pu , dna si cihpromosi ot eht evitidda puorg of in et eg rs Z .

,eromrehtruF eht elcric puorg esohw( e stnemel era elbatnuocnu ) si on t a cilcyc puorg —a

cilcyc puorg wla a sy sah elbatnuoc stnemele .

ecniS eht cilcyc spuorg era naileba , ht ey are netfo nettirw evitidda ly and detoned Zn . ,revewoH siht noitaton nac eb citamelborp for nu rebm stsiroeht uaceb se it cilfnoc ts wi ht


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


eht lausu noitaton of r p- cida rebmun ir n sg ro lacol zi ati no ta a rp i em di e la . ehT neitouq t snoitaton Z/nZ, Z/n, na d Z (/ n) era nats d dra retla n sevita . We a tpod eht srif t fo t eseh he er

ot diova eht noisilloc fo noitaton . eeS osla eht noitces spuorgbuS dna aton ti no eb l wo .

enO may etirw eht puorg evitacilpitlum l ,y dna etoned ti by Cn, erehw n si eht redro hcihw( eb nac )∞ . roF ex ,elpma g3g4 = g2 ni C5, rehw sae 3 + 4 = 2 ni Z/5Z .

seitreporP

ehT latnemadnuf eht orem fo lcyc ic spuorg setats taht if G si a cilcyc puorg fo redro n neht eve ry puorgbus fo G si cilcyc . ,revoeroM eht redro fo any us b puorg fo G si a rosivid

fo n na d for e hca op is it ve vid i ros k fo n eht uorg p G ah s ex tca ly eno us b puorg fo ro der k. sihT ytreporp carahc t sezire etinif cilcyc :spuorg a puorg fo redro n si cilcyc fi dna no ly fi

rof eve ry rosivid d fo n eht puorg h sa ta tsom eno puorgbus of redro d. semitemoS eht tnelaviuqe tnemetats si :desu a puorg fo dro er n si lcyc ic fi dna no ly fi rof eve ry rosivid d

fo n eht puorg sah yltcaxe eno us b puorg fo ro d re d.

evE ry etinif lcyc ic uorg p si cihpromosi ot eht rg o pu 0[ { ] 1[ , ], 2[ ], ... , [n - ]1 } fo sregetni udom lo n rednu ,noitidda dna any tinifni e c cilcy uorg p is is hpromo ic to Z eht( set of la l

)sregetni rednu noitidda . ,suhT eno no ly n sdee to kool ta hcus spuorg ot dnatsrednu eht seitreporp fo c cilcy spuorg ni eg n .lare ,ecneH cilcyc spuorg era one of eht tselpmis

spuorg ot uts dy dna a nu rebm fo ecin p seitrepor a er nwonk .

a neviG c lcy ic puorg G of redro n (n may eb nifni i )yt dna eve rof r y g in G ,

• G si naileba ; taht ,si ieht r uorg p epo r ta i no is oc m :evitatum gh = hg f( or la l h ni G). sihT is os ecnis g + h dom n = h + g dom n.

• fI n si fini ,et t neh gn = g0 si eht itnedi ty ele m tne fo eht ,puorg ecnis kn mod n = 0 a rof n regetni y k .

• fI n = ,∞ neht ereht era ex tca ly owt stnemele taht eg n are te eht puorg no th ie r nwo : 1 yleman dna - f 1 o r Z

• fI n si ,etinif eht n ereht era ex tca ly (φ n) ele m stne taht eneg r eta the uorg p on t eh ir ,nwo erehw φ si eht reluE neitot t cnuf t noi

• evE ry us b puorg fo G cyc si l ci . nI d ,dee hcae etinif uorgbus p o f si G a uorg p fo { ,0 ,1 ,2 ,3 ... m - }1 htiw dda i noit udom lo m. dnA hcae etinifni puorgbus fo G is mZ rof emos ,m hcihw is biject evi ot os( cihpromosi t )o Z .

• Gn si i cihpromos to Z/nZ ( rotcaf puorg fo Z vo er nZ) ecnis Z/nZ = 0{ + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ... , n - 1 + nZ} { ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ... , n - }1 rednu

noitidda oludom n.


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


eroM lareneg l ,y if d is a vid i ros fo n, th ne eht n rebmu fo el stneme ni Z/n hcihw ah ve redro d φ si (d). The redro fo eht eudiser ssalc fo m is n / dcg (n,m).

fI p si a emirp rebmun , neht eht no ly uorg p ( pu to hpromosi ism) iw th p stnemele is t eh

puorg cilcyc Cp ro Z/pZ .

ehT rid e tc dorp tcu of owt c cilcy puorg s Z/nZ and Z/mZ si c lcy ic fi na d no ly fi n dna m era emirpoc . suhT e.g. Z/ 21 Z si eht id r tce p udor ct fo Z/3Z dna Z 4/ Z, tub on t t eh direct

tcudorp fo Z/6Z dna Z/2Z .

ehT noitinifed etaidemmi ly seilpmi taht cyc cil spuorg ah ve very is mple puorg tatneserp i no C∞ = < x | > dna Cn = < x | xn > rof nif i et n.

A amirp ry c cilcy uorg p si a puorg of eht rof m Z/pk erehw p si a prime rebmun . hT e

latnemadnuf meroeht fo naileba spuorg setats th ta eve ry etinif ly eg n are ted aileba n puorg si eht tcerid tcudorp fo etinif ly many etinif yramirp c cilcy dna etinifni c cilcy spuorg .

Z/nZ dna Z era osla co evitatumm sgnir . fI p si a rp i ,em neht Z/pZ si a etinif eif ld, la s o

detoned by Fp ro GF(p). yrevE dleif htiw p ele em stn si hpromosi ic to eno siht .

ehT stinu fo eht gnir Z/nZ a er eht srebmun co emirp ot n. yehT mrof a puorg rednu lpitlum i tac i no m oludo n htiw φ(n) stnemele ees( .)evoba tI si nettirw as (Z/nZ)×. roF

,elpmaxe nehw n = ,6 ew teg (Z/nZ)× = }5,1{ . nehW n = ,8 ew eg t (Z/nZ)× = }7,5,3,1{ . In ,tcaf ti is wonk n aht t (Z/nZ)× si c cilcy fi dna only fi n si 1 ro 2 ro 4 ro pk ro 2 pk for a n

ddo emirp mun reb p and k ≥ ,1 ni cihw h ac se eve ry rotareneg fo (Z/nZ)× si ac lled a timirp i ev oor t udom lo n. ,suhT (Z/nZ)× si c cilcy rof n = 6, ub t on t for n = ,8 wh re e it i s daetsni cihpromosi ot eht nielK ruof - puorg .

ehT puorg (Z/pZ)× si c cilcy wi ht p - 1 stnemele rof eve ry emirp p, dna si osla nettirw

(Z/pZ)* b uace se ti oc n stsis fo eht non - orez e el m ne ts. eroM ,yllareneg eve ry if tin e puorgbus fo eht evitacilpitlum puorg fo any dleif si cilcyc .

elpmaxE s

nI D2 na d D3 eht s my m yrte puorg for n- dlof ator t lanoi s my tem ry si Cn, fo tcartsba puorg

epyt Zn. nI D3 ereht era osla rehto s my m te ry org u sp hcihw era arbegla i lac ly eht ,emas s ee yrtemmyS spuorg ni D3 t ah t are lcyc ic sa tsba r ca t gr puo .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


etoN taht eht puorg S1 fo lla snoitator fo a elcric eht( elcric puorg ) si ton ,cilcyc ecnis ti si ton neve elbatnuoc .

ehT n ht stoor fo inu ty of rm a cilcyc puorg fo ro d re n rednu tlum i acilp t noi . ,.g.e 0 = z3 - 1

= (z - s0)(z - s1)(z - s2) rehw e si = e π2 i / 3 dna a gr puo fo {s0,s1,s2} rednu noitacilpitlum si ilcyc c.

ehT siolaG puorg fo eve ry etinif dleif ex noisnet fo a etinif dleif si etinif dna lcyc i ;c

esrevnoc l ,y nevig a etinif dleif F dna a etinif cilcyc puorg G, ereht si a nif ite fiel d ex oisnet n fo F esohw siolaG puorg si G .

noitatneserpeR

ehT elcyc shparg fo etinif cilcyc spuorg era lla n- dedis snogylop htiw eht stnemele ta eht ecitrev s. The d kra v etre x ni eht c elcy shparg b le ow dnats for eht tnedi ity le em ne t, dna the

rehto secitrev era t eh to h re stnemele of eht puorg . A c elcy stsisnoc fo evisseccus rewop s fo rehtie fo eht stnemele detcennoc ot eht itnedi ty tnemele .

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

ehT noitatneserper yroeht fo eht c cilcy puorg si a lacitirc esab esac for eht neserper t noita oeht yr fo erom lareneg etinif .spuorg nI eht oc m xelp esac , a erper s tatne i no fo a c cilcy

puorg d sesopmoce otni a tcerid mus fo raenil ,sretcarahc m ka ing t eh nnoc e tc i no eewteb n retcarahc oeht ry dna noitatneserper oeht ry tnerapsnart . nI eht evitisop ch siretcara cit esac ,

eht elbasopmocedni er p snoitatneser fo the c lcy ic uorg p mrof a ledom dna evitcudni sisab rof eht noitatneserper yroeht fo spuorg htiw lcyc ic S woly spuorgbus dna erom eneg r la ly eht noitatneserper oeht ry fo skcolb fo c cilcy cefed t.

spuorgbuS and n oitato n

llA spuorgbus dna tneitouq spuorg fo c cilcy uorg ps era c lcy ic. lacificepS ly, lla puorgbus s

fo Z era fo the fo mr mZ, w ti h m na ni te eg r .0≥ llA fo eseht us b puorg s are di ff e ner t, dna trapa morf eht laivirt rg o pu rof( m=0) lla era i os m cihpro ot Z. ehT ecittal of spuorgbus o f

Z si cihpromosi ot eht d lau fo eht ecittal fo n laruta srebmun o deredr by vid isibi il ty. lA l rotcaf spuorg fo Z era f ,etini ex tpec rof eht laivirt ex tpec i no Z }0{/ = Z/0Z. roF eve r y


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

TERCSID E LACITAMEHTAM SERUTCURTS 43SC01

sop i evit vid i ros d fo n, eht neitouq t puorg Z/nZ sah esicerp ly eno puorgbus redro fo d, the eno detareneg by eht er s eudi ssalc of n/d. Th ere era no ehto r us b .spuorg ehT cittal e of

spuorgbus si suht osi m cihpro ot t eh es t of divi sros fo n, deredro by ilibisivid t .y nI ,ralucitrap a c cilcy uorg p si elpmis fi dna no ly if i st redro eht( rebmun of sti elem )stne si

mirp e.

gnisU eht tneitouq org up rof ma il sm, Z/nZ si a s dradnat noitaton rof eht evitidda cycl ci puorg iw ht n stnemele . nI gnir ,ygolonimret eht s puorgbu nZ si osla eht i laed (n ,) os eht

tneitouq nac osla eb nettirw Z/(n) ro Z/n tuohtiw esuba fo taton i no . esehT sevitanretla do ton tcilfnoc htiw eht noitaton rof eht p- cida sregetni . ehT tsal mrof si ev ry moc nom ni

lamrofni ac l ;snoitaluc ti sah eht lanoitidda navda t ega taht ti r dae s the as me way th ta eht puorg ro gnir si netfo debircsed labrev l ,y eeZ" dom "ne .

sA a lacitcarp p ,melbor o en may eb nevig a inif te puorgbus C of ro d re n, detareneg by an

tnemele g, na d deksa ot fi dn t eh size m fo eht uorgbus p detareneg by gk for emos in et eg r k. ereH m lliw eb eht lams l tse int ge er > 0 hcus th ta mk elbisivid si by n. tI fereht si o er n/m

erehw m = (k, n) si eht aerg t tse moc m no di iv s ro of k dna n. tuP rehtona yaw , eht edni x fo eht puorgbus detareneg yb gk si m. sihT aer s gnino si nwonk sa t eh xedni suluclac

mhtirogla , ni t rebmun h oe ry.

msihpromodnE s

ehT msihpromodne gnir fo eht naileba puorg Z/nZ si hpromosi ic to Z/nZ flesti sa a ring. rednU siht sihpromosi m, eht rebmun r opserroc n sd ot eht msihpromodne fo Z/nZ t ah t

spam hcae tnemele ot eht mus fo r seipoc fo .ti sihT si a noitcejib fi dna no ly fi r si emirpoc htiw n, os eht sihpromotua m puorg fo Z/nZ si cihpromosi ot eht nu it uorg p

(Z/nZ)× ees( )evoba .

iS ralim l ,y the romodne p msih gnir fo the evitidda uorg p Z si cihpromosi to eht ring Z. tI s msihpromotua puorg si i cihpromos ot eht puorg of nu sti fo the ir ng Z, e.i . ot {- ,1 1+ }

C2 .

yllautriV lcyc ic org spu A puorg is ellac d triv u ylla cyc lic if ti niatnoc s a c cilcy us b puorg of fi etin edni x eht(

rebmun of tesoc s aht t the puorgbus has). nI rehto ,sdrow any ele m tne ni a lautriv ly c cilcy uorg p nac eb devirra ta by ppa l iy ng a rebmem of eht c cilcy us b puorg to a mem eb r ni a

niatrec etinif s .te evE ry c cilcy puorg si yllautriv c ,cilcy sa si eve ry etinif puorg . It is nwonk taht a etinif ly ge detaren etercsid rg o pu htiw ex tca ly owt e sdn si lautriv ly c lcy i c


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


rof( tsni ecna eht p tcudor fo Z/n dna Z). Every naileba uorgbus p fo a orG m vo hyp ilobre c puorg si lautriv ly cilcyc .

puorG mosi o msihpr

nI tcartsba al eg b ar , a rg o pu hpromosi si m si a noitcnuf neewteb owt uorg ps taht stes pu a

eno - ot - no e ednopserroc n ec teb w ee n eht el stneme fo eht puorg s ni a way th ta cepser ts th e nevig puorg .snoitarepo fI eht re ex stsi na msihpromosi neewteb owt ,spuorg neht the

spuorg era dellac si omo ihpr c. morF the pdnats o tni fo puorg th oe r ,y si o hprom ic puorg s evah eht emas p seitrepor dna deen ton eb sid tin dehsiug .

noitinifeD na d n tato i no

neviG owt puorg s (G, *) dna (H, ,) a puorg osi m msihpro morf (G, *) to (H, ) si a

evitcejib puorg omoh m ihpro sm morf G to H. dellepS ,tuo siht aem ns aht t a puorg msihpromosi si a evitcejib noitcnuf hcus taht rof lla u dna v ni G ti sdloh

taht

.

ehT owt puorg s (G, )* dna (H, ) era cihpromosi fi na ihpromosi ms exi .sts ihT s si

:nettirw

netfO retrohs dna erom s elpmi taton snoi nac eb u .des netfO ereht si on iugibma ty uoba t eht uorg p epo r ,noita dna ti nac eb imo tt de :

semitemoS eno ac n ev ne pmis ly irw te G = H. rehtehW cus h a on tat noi si po elbiss uohtiw t noisufnoc ro iugibma ty sdneped no etnoc x .t roF ex ,elpma eht qe u sla si ng si on t ev r y

elbatius nehw eht spuorg era htob us b spuorg fo the emas puorg . eeS osla eht ex pma l se .

esrevnoC l ,y nevig a org up (G, ,)* a s te H, dna a ib cej it no , ew ac n ekam H

a puorg (H, ) b gninifed y

.


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

ETERCSID LACITAMEHTAM SERUTCURTS 43SC01 If H = G dna = * neht eht tcejib i no si na otua m msihpro ( .v.q )

evitiutnI l ,y puorg iroeht s st weiv owt cihpromosi spuorg sa :swollof For eve ry tnemele g fo a puorg G, ereht ex stsi na elem ne t h fo H hcus taht h sevaheb' ni eht emas wa 'y sa g

arepo( t se htiw rehto stnemele fo eht puorg ni t eh emas way sa g). For ni st ,ecna fi g setareneg G, neht os do se h. sihT seilpmi ni ralucitrap taht G dna H era ni bij ce tive

ecnednopserroc . oS eht d noitinife fo na hpromosi ism is etiuq an t laru .

nA msihpromosi fo spuorg yam tnelaviuqe ly be d denife sa na elbitrevni msihprom ni eht yrogetac fo spuorg .

elpmaxE s

• ehT puorg fo lla laer nu srebm w ti h tidda i ,no (

lla evitisop laer srebmun htiw um tl lpi i noitac (

aiv eht osi m hpro is m

f(x) = ex

ees( ex laitnenop oitcnuf n).

• ehT puorg fo sregetni htiw( )noitidda si a us b rg uo p fo , dna eht rotcaf org up / si cihpromosi to eht rg o pu S1 fo elpmoc x ebmun rs fo tulosba e av lue 1 (w ti h

noitacilpitlum :)

nA msihpromosi si nevig b y

yreve rof x ni .


,)+, si cihpromosi ot t eh rg o pu fo + )×, :

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


• ehT nielK ruof - puorg is cihpromosi ot eht tcerid tcudorp fo t ow poc i se fo

ees( raludom citemhtira ), dna nac erofereht eb w nettir . rehtonA noitaton si hiD 2, esuaceb ti si a ehid d ar l puorg .

• gnizilareneG ,siht rof lla ddo n, hiD 2n si cihpromosi htiw eht rid e tc rp o tcud of

D hi n Z dna 2.

• fI (G, )* si na fni etini lcyc ic puorg , neht (G, )* si cihpromosi ot eht egetni rs w( i ht eht noitidda tarepo i )no . morF na arbegla ic tniop fo ,weiv siht snaem t ah t eht tes fo lla sregetni htiw( eht noitidda )noitarepo si eht no' l 'y etinifni c lcy ic puorg .

emoS spuorg nac eb nevorp ot eb ,cihpromosi yler ing no eht ax moi fo eciohc , elihw ti si

neve laciteroeht ly elbissopmi ot tcurtsnoc etercnoc sihpromosi sm . :selpmaxE

• ehT puorg ( , )+ si cihpromosi ot t eh uorg p ( , )+ fo lla elpmoc x un m sreb wit h oitidda n.

• ehT puorg ( , )· fo on n- orez elpmoc x srebmun with lum it acilp t noi as tarepo i no si cihpromosi ot eht org up S1 evoba denoitnem .

seitreporP

• ehT rek n le fo na omosi r ihp ms orf m (G, )* to (H, ,) si wla a sy e{ G} erehw eG si

eht ytitnedi fo eht puorg (G, * )

• ( fI G, si )* hpromosi ic to (H, ,) dna fi G si naileba t neh os si H.

• fI (G, )* si a puorg aht t is cihpromosi to (H, ) erehw[ f si eht sihpromosi ]m , neht fi a sgnoleb ot G and sah redro n, th ne os seod f( )a .

• fI (G, *) si a lacol ly etinif puorg taht si hpromosi ic to (H, ,) t neh (H, ) is osla

yllacol etinif .

• ehT suoiverp selpmaxe etartsulli taht puorg' 'seitreporp era wla a sy pr devrese b y ihpromosi ms s.

cilcyC org pu s

llA cilcyc spuorg fo a nevig redro era cihpromosi to .


*

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


teL G eb a c lcy ic rg oup dna n eb eht redro fo G. G si neht eht puorg areneg t de by < x > = {e,x, ... ,xn - 1 .} eW lliw wohs taht

nifeD e

, so taht . ,ylraelC is

vitcejib e.

nehT

ihw ch orp v se aht t

.

euqesnoC n sec

morF eht d ,noitinife ti swollof taht any osi m ro phism lliw pam eht i ned tit y tnemele fo G ot eht nedi tity nemele t fo H,

f(eG) = eH

taht ti lliw pam sesrevni ot i revn s se ,

dna erom lareneg l ,y n ht srewop to n ht srewop ,

rof lla u in G, dna taht the esrevni pam si a osl a gr puo ihpromosi sm .

ehT noitaler ieb" ng "cihpromosi s seifsita lla eht ax smoi fo na ecnelaviuqe aler t noi . fI f si na msihpromosi eewteb n owt spuorg G dna H, neht eve r ihty ng taht si t eur uoba t G taht is no ly r detale ot eht uorg p erutcurts nac be art alsn t de aiv f otni a rt ue di ott tnemetats uoba t

H eciv dna , v asre .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


smsihpromotuA

nA msihpromosi morf a puorg (G,*) ot flesti si dellac na otua m msihpro fo siht .puorg hT ti su si a bi cej it no hcus t tah

f(u) * f(v) = f(u * v).

nA msihpromotua syawla spam eht itnedi ty ot flesti . ehT egami rednu na msihpromotua fo a agujnoc cy ssalc si syawla a jnoc u ag cy ssalc eht( emas ro .)rehtona T eh egami fo an

tnemele sah eht emas ro d re sa taht el tneme .

ehT noitisopmoc fo two otua m smsihpro is a niag na ua t hpromo ism, dna wi ht iht s noitarepo eht tes fo lla ihpromotua ms s fo a org up G, detoned yb (tuA G), smrof its fle a

t ,puorg h e msihpromotua puorg fo G.

roF lla nailebA spuorg th ere si ta tsael eht motua o msihpr taht secalper eht puorg stnemele by rieht revni s se . ewoH v ,re ni spuorg ehw re lla el stneme era qe u la ot ieht r esrevni siht is

eht laivirt ,msihpromotua g.e . ni eht nielK ruof -gr puo . roF taht puorg lla snoitatumrep fo eht erht e on n- itnedi ty stnemele era romotua p ,smsih os eht otua m hpro i ms puorg is

cihpromosi ot S3 dna Dih3 . nI Zp rof a emirp rebmun p, eno non - itnedi ty tnemele nac eb decalper yb any ,rehto tiw h

gnidnopserroc segnahc ni eht rehto stnemele . ehT msihpromotua org pu si cihpromosi ot Zp - 1. roF ,elpmaxe rof n = ,7 pitlum l iy ng lla stnemele fo Z7 by ,3 oludom ,7 si na

msihpromotua fo redro 6 ni eht msihpromotua gr ,puo uaceb se 36 = 1 ( mo olud 7 ,) ihw l e rewol srewop od ton evig .1 suhT siht msihpromotua setareneg Z6. erehT si eno erom

msihpromotua htiw siht :ytreporp pitlum l gniy lla stnemele fo Z7 by ,5 oludom 7 . ferehT o ,er eht se owt dnopserroc ot eht stnemele 1 dna 5 fo Z6, ni taht redro or

ylesrevnoc .

ehT msihpromotua org up fo Z6 si cihpromosi ot Z2, esuaceb no ly ea hc fo eht t ow stnemele 1 dna 5 etareneg Z6, os trapa morf eht itnedi ty ew nac no ly etni r eseht egnahc .

ehT msihpromotua org up fo Z2 × Z2 × Z2 = hiD 2 × Z2 sah redro ,861 sa nac eb dnuof sa

wollof s. llA 7 non - tnedi ti y stnemele lp ay the emas ,elor so we ac n ohc o es hcihw p al ys eht elor fo ,0,1( 0). Any of eht iniamer ng 6 nac eb nesohc ot lp ay eht or le of )0,1,0( . sihT

senimreted hcihw sdnopserroc ot .)0,1,1( roF )1,0,0( ew nac oohc se morf ,4 hcihw senimreted eht tser . hT us ew evah 7 × 6 × 4 = 861 ua ot m .smsihpro yehT dnopserroc to

esoht fo eht onaF pl ena , fo hcihw eht 7 stniop oc r dnopser ot eht 7 non - itnedi ty elem ne ts.


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ehT senil gnitcennoc eerht stniop dnopserroc ot t eh uorg p po e noitar : ,a b, dna c no on e enil snaem +a b ,c= =c+a b, dna +b c a= . eeS osla eg n lare raenil puorg vo er if n eti sdleif .

oF r ailebA n puorg s all sihpromotua ms e tpecx ht e laivirt eno ra e ac ll ed retuo

msihpromotua s.

noN - nailebA spuorg h eva a non - laivirt ni ren msihpromotua ,puorg and bissop ly osla retuo otua m hpro i sms .

gnidoC yroehT na d sgniR

stnemelE fo gnidoC roehT y

gnidoC th yroe si deiduts by suoirav cifitneics di senilpics — hcus sa fni o noitamr oeht ry, lacirtcele ,gnireenigne scitamehtam , dna oc m retup neics ce — for t eh esoprup o f

ingised ng tneiciffe dna elbailer atad oissimsnart n .sdohtem sihT lacipyt ly sevlovni eht lavomer fo r nadnude cy dna eht noitcerroc ro( ed t )noitce fo srorre ni eht dettimsnart ad ta.

tI osla sedulcni eht uts dy fo eht seitreporp fo sedoc dna rieht ssentif rof a cificeps oitacilppa n.

,suhT ereht era yllaitnesse owt sa p stce ot gnidoC t oeh ry:

1. ataD noisserpmoc ,ro( so ecru gnidoc ) 2. rorrE noitcerroc ,ro( hc a lenn doc i gn ')

esehT owt sa p stce may be deiduts ni oc tanibm i no .

ehT ,tsrif ecruos docne i ,gn stpmetta ot erpmoc ss eht atad morf a ecruos ni redro ot

timsnart ti erom eiciffe ntl .y sihT ecitcarp si dnuof eve ry day no eht tenretnI erehw eht nommoc "piZ" ad ta co noisserpm si desu ot ecuder eht krowten daol dna ekam selif

rellams . ehT dnoces , lennahc idocne n ,g sdda ex art atad stib ot kam e eht t msnar i noiss fo


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


atad erom tsubor ot ecnabrutsid s erp s tne no eht rt na ms issi no ennahc l. ehT dro ani ry us re yam ton eb aw era of am ny snoitacilppa gnisu ch enna l doc in .g A t ipy c la cisum DC sesu

eht deeR - nomoloS oc de ot tcerroc of r cs r ta c eh s dna sud t. nI siht noitacilppa eht noissimsnart lennahc si t eh CD esti l .f lleC senohp osla esu idoc ng nhcet i seuq to roc r tce

rof eht idaf ng dna esion fo gih h fr euqe ncy r oida msnart is .nois ataD ,smedom t nohpele e ,snoissimsnart dna AN SA lla lpme oy ennahc l co gnid seuqinhcet ot teg the ib ts t orh u ,hg

rof elpmaxe eht obrut co ed dna CPDL sedoc .

ehT gnimmah :cirtem


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

ETERCSID LACITAMEHTAM SERUTCURTS 43SC01 3- tib yranib c bu e of r owT gnidnif ex elpma secnatsid : 001 - 110> sah atsid n ec 3 der(

gnimmaH cnatsid e ;)htap 010 - 111> sah ecnatsid 2 eulb( path ) 4- tib yranib h ebucrepy rof gnidnif H gnimma ecnatsid

owT elpmaxe :secnatsid 0010 - 1001> sah ecnatsid 3 der( ;)htap 0110 - 11> 10 sah ecnatsid 1 eulb( )htap nI fni o noitamr oeht ry, t eh aH gnimm id ats n ec neewteb owt sgnirts of qe u la htgnel si th e

rebmun fo snoitisop ta hcihw eht idnopserroc ng sym slob era fid f tnere . tuP rehtona wa ,y it


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


serusaem eht muminim ebmun r fo utitsbus it no s deriuqer ot ahc n eg eno gnirts otni t eh ,rehto ro eht rebmun of re ror s taht demrofsnart one gnirts otni eht rehto .

elpmaxE s

ehT gnimmaH atsid n ec bet neew :

• " enot d" dna " esor s" si 3. • 1011101 dna 1001001 is 2. • 6983712 dna 73322 69 is 3.

laicepS seitreporp

roF a if x de htgnel n, eht gnimmaH ecnatsid si a cirtem no eht rotcev spa ec fo eht wo sdr

fo taht el n ,htg sa ti suoivbo ly sllifluf eht co snoitidn fo non - ivitagen t ,y tnedi ity of selbinrecsidni dna s my m yrte , na d ti nac be wohs n isae ly by etelpmoc in noitcud aht t ti

seifsitas eht airt n elg eni q ilau ty sa w lle . ehT H gnimma ecnatsid b neewte owt sdrow a a dn b nac osla eb nees sa eht gnimmaH ew i thg fo a-b rof na etairporppa eciohc fo eht -

.rotarepo

roF yranib irts n sg a and b eht H gnimma atsid n ec si lauqe ot t eh mun b re fo seno in a ROX b. ehT cirtem ecaps fo el n htg -n ib nary st ,sgnir htiw eht H gnimma natsid c ,e i s

nwonk sa eht gnimmaH ebuc ; ti si tnelaviuqe sa a cirtem aps ce ot t eh tes fo ecnatsid s eewteb n secitrev ni a h ebucrepy gr hpa . One nac osla weiv a anib ry irts ng fo el n htg n sa a

rotcev ni Rn yb gnitaert hcae lobmys ni eht gnirts sa a laer drooc i ;etan htiw siht ,gniddebme eht irts ngs mrof eht secitrev fo na n- lanoisnemid h ebucrepy , dna eht

gnimmaH ecnatsid fo eht gnirts s is tnelaviuqe to eht nattahnaM atsid nce eb twe ne ht e citrev es .

yrotsiH dna ap lp i tac i no s

ehT gnimmaH ecnatsid si deman retfa drahciR gnimmaH , ohw decudortni it ni sih

latnemadnuf ap p re no H gnimma oc des rorrE gnitceted dna er ror oc r er c gnit sedoc ni 0591 . ]1[ tI si esu d ni noitacinummocelet ot tnuoc t eh rebmun of deppilf ib ts in a fix de - htgnel anib ry row d sa an etamitse fo rorre , dna t fereh o er si semitemos call de eht gis n la

cnatsid e. gnimmaH thgiew anal sisy of stib is desu ni es v are l id scipl seni i cn l nidu g noitamrofni yroeht , doc i gn oeht ry, dna cr yhpargotpy . ,revewoH rof gnirapmoc irts n sg fo

nereffid t el n ,shtg ro rts i sgn where ton tsuj noitutitsbus s ub t al os snoitresni ro eled t noi s evah ot eb ex ,detcep a erom detacitsihpos rtem ic ekil eht niethsneveL dist ecna is rom e


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


tairporppa e. roF q-ary st sgnir revo na ahpla b te fo ezis q 2 ≥ eht maH m gni dist ecna si deilppa ni esac fo o anogohtr l noitaludom , hw i el eht L ee dist cna e is desu of r ahp s e

taludom ion. fI q = 2 ro q ecnatsid htob 3 = s oc i cn i ed .

ehT gnimmaH ecnatsid is osla desu ni s citametsy s sa a erusaem fo citeneg ecnatsid .

nO a dirg s( u hc as a ch )draobsse , eht stniop ta a eeL dist na ce of 1 oc n its tute eht nov nnamueN en i obhg doohr fo taht tniop .

mhtiroglA xe a elpm

ehT P nohty noitcnuf )(ecnatsid_gnimmah moc p setu eht immaH ng atsid n ec teb w nee wt o

sgnirts ro( rehto elbareti )stcejbo fo lauqe ,htgnel by itaerc ng a ecneuqes fo orez dna eno seulav itacidni ng msim a sehct na d hctam es neewteb roc r dnopse i gn tisop i sno in eht wt o stupni , na d neht gnimmus ht e neuqes ec .

fed ,1s(ecnatsid_gnimmah :)2s tressa )1s(nel == (nel s )2 nruter 1hc(mus =! 2hc rof ,1hc 2hc ni s ,1s(piz 2))

ehT gniwollof C cnuf t noi lliw etupmoc eht gnimmaH natsid ec of owt regetni s

deredisnoc( sa anib ry ,seulav taht ,si sa secneuqes fo .)stib ehT gninnur emit fo t sih erudecorp si p lanoitropor ot eht gnimmaH atsid n ec rat eh r naht ot the num reb of b sti i n

eht i .stupn tI setupmoc eht esiwtib ex evisulc ro fo eht owt ,stupni dna t neh fi sdn t eh gnimmaH ew i thg fo eht tluser eht( rebmun of on n orez ib t )s su ing a n al rog i mht fo eW eng r

)0691( taht er p detae ly if n sd dna sraelc eht tsewol - redro oreznon ib t .

ehT gnimmaH cirtem ev'eW s nee os raf emoc s elpmi ex selpma fo sedoc . tahW si dedeen si emos on t noi fo oh w

ot erapmoc sdrowedoc . lacirtemroeG l ,y owt oc d sdrowe era ''raf`` morf hcae rehto if ereht era a`` ol t '' fo anidrooc t se erehw ht ey fid f .re Th si noiton si m eda erom edicerp ni the

gniwollof inifed it no .

noitinifeD 1.4.3 If , era srotcev in neht enifed ew


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

ETERCSID LACITAMEHTAM SERUTCURTS 43SC01 ot eb t eh gnimmaH ecnatsid neewteb na d . ehT noitcnuf is

dellac eht gnimmaH rtem ic. ehT hgiew t fo a tcev or ni( eht Hamm gni met cir ) si

.

etoN t ah t

)1.3(

rof any srotcev ,ro( erom lareneg l ,y any srotcev ni a raenil .)edoc isU n g ,siht ae si ti s wohs ot y th ta seifsitas eht seitreporp fo a :cirtem

• of r a ll na d fi ylno dna fi .

• , rof la l .

• rof , a ll .

Let dna let

sihT si lac l de eht llab of ar uid s about . cniS e si ,etinif siht llab sah no ly a etinif rebmun fo ele stnem . tI is ton drah ot tnuoc meht gnisu a il ttle bit fo cisab nibmoc i rot i .sc

ecniS siht tnuoc llahs eb dedeen al t ,re ew drocer ti ni t eh of l gniwol r tluse .

meL am 2.4.3 If na d neht


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


oorp f: teL

sihT si dellac eht llehs of uidar s about . tI si stsisnoc fo lla srotcev htiw yltcaxe

setanidrooc tnereffid morf . erehT era wa sy ot esoohc tuo fo etanidrooc s.

erehT era wa sy ot esoohc eseht setanidrooc ot eb tnereffid morf esoht ni . ,suhT

elpmaxE 3.4.3 If dna neht si dellac the NBSI edoc . sihT is an -ary raenil co ed fo el n htg . sihT is the as em

edoc desu ni koob gnirebmun ex tpec taht eht rebmun si detoned by no t eh edisni

c vo re fo a koob . oF r ,elpmaxe na d

sdrow edoc era . Th rie H gnimma sid t ecna is .

rotareneG irtam x

nI gnidoc oeht ry, a rotareneg xirtam si a sisab rof a raenil edoc , eg n itare ng lla sti

elbissop sdrowedoc . If eht irtam x si G dna eht enil ra edoc is C ,

w=c G


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


erehw w si a euqinu drowedoc fo eht raenil co ed C, c si a euqinu wor ,rotcev dna a noitcejib ex stsi neewteb w dna c. A rotareneg irtam x rof a (n, M = qk, d)q- edoc si fo

id m noisne k×n. H re e n is eht el n htg of a wedoc or ,d k si eht mun b re of fni orm ta i no bi ,st d si eht muminim dist ecna of t eh ,edoc dna q si eht rebmun fo s slobmy in t eh al ahp bet

(t uh s, q = 2 setacidni a yranib oc de, .).cte oN te taht eht mun reb fo tnadnuder stib si detoned r = n - k.

ehT s etsy m cita mrof for a eneg r rota irtam x si

erehw Ik is a k×k id itne ty irtam x dna P is fo di noisnem k×r. A rotareneg am t ir x nac be desu ot tcurtsnoc eht p ira ty kcehc irtam x rof a edoc ( dna civ e-

srev )a .

tnelaviuqE sedoC

sedoC C1 dna C2 era eq tnelaviu detoned( C1 ~ C2) fi eno edoc c na be c detaer morf t eh rehto aiv eht iwollof ng t ow rofsnart ma it no s:

1. etumrep tnenopmoc s, an d 2. elacs stnenopmoc .

tnelaviuqE sedoc ah ve the emas natsid ce.

ehT rotareneg secirtam fo tnelaviuqe sedoc ac n eb deniatbo morf eno rehtona aiv eht

gniwollof oitamrofsnart n :s

1. etumrep swor 2. elacs wor s 3. dda wor s 4. etumrep ,snmuloc na d 5. elacs snmuloc .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

CITAMEHTAM ETERCSID LA SERUTCURTS 43SC01

ytiraP - kcehc xirtam In idoc ng eht ory, a ytirap - kcehc ma xirt fo a line ra bl kco doc e C si a eg n rotare mat ir x fo

eht laud edoc . sA ,hcus a drowedoc c is ni C fi dna no ly fi eht irtam x- rotcev tcudorp HT =c 0.

ehT swor of a p ira ty ch kce irtam x era irap ty skcehc no eht doc e drow s fo a edoc . Th ta ,si yeht wohs how raenil snoitanibmoc fo niatrec d stigi fo ea hc owedoc rd lauqe z ore . roF

,elpmaxe eht irap ty kcehc xirtam

seificeps th ta of r cae h ,drowedoc di stig 1 na d 2 dluohs us m to z re o na d di ig ts 3 na d 4 dluohs mus to z ore .

gnitaerC a ytirap kcehc xirtam

ehT irap ty kcehc xirtam rof a nevig edoc nac eb devired morf sti rotareneg irtam x dna( eciv - )asrev . fI eht eg n rotare irtam x rof na [n,k]- ni si edoc ts dradna rof m

,

neht eht irap ty kcehc am t ir x nevig si b y

,

ceb a esu

HG T = P - P = 0.

noitageN si demrofrep in eht etinif dleif m do q. etoN taht fi eht citsiretcarahc fo eht

rednu l iy ng fi dle si 2 ,.e.i( 1 + 1 = 0 ni taht ,)dleif sa ni yranib sedoc , t neh - P = P, so ht e noitagen si assecennu ry .

roF ,elpmaxe fi a anib ry edoc sah eht rotareneg xirtam


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


ehT irap ty kcehc xirtam emoceb s

roF any v dila wedoc o dr x, Hx = .0 roF any i lavn id drowedoc , eht s rdny o em S seifsitas .

ytiraP kcehc

fI on rre or srucco du ir ng ,noissimsnart neht eht iecer v de oc d rowe d r si i acitned l ot eht

dettimsnart drowedoc x:

ehT reviecer pitlum li se H dna r to niatbo the mordnys e otcev r , hcihw etacidni s rehtehw na rorre sah o ,derrucc dna fi ,os rof hcihw wedoc o dr .tib imrofreP ng siht

noitacilpitlum ,niaga( ne t seir oludom :)2

ecniS eht s ny d emor z si eht llun rotcev , the eviecer r ac n oc n edulc that on er ror h sa rucco red. sihT noisulcnoc si desab no eht noitavresbo taht nehw eht atad rotcev si

deilpitlum yb , a egnahc fo sisab srucco otni a rotcev ecapsbus taht si eht lenrek fo . sA gnol as gnihton pah p sne irud ng rt na ms ssi i ,no lliw niamer ni the ke enr l fo a dn the

noitacilpitlum lliw dleiy eht llun rotcev .

esoC t nI scitamehtam , fi G si a puorg , H a si us b puorg o f G, dna g si tnemele na of G, eht n

gH = {gh : h ele na m tne fo H� is a el ft tesoc fo H ni G, dna

PED T. ,ESC FO TIBJS 1 egaP 30

}

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


Hg = {hg : h na ele m tne fo H� si a thgir tesoc of H ni G.

nO ly nehw H si lamron lliw eht thgir dna tfel esoc ts fo H ,edicnioc hw i hc is eno noitinifed fo ytilamron fo a puorgbus .

A tesoc si a tfel ro hgir t esoc t fo so em us b uorg p in G. ecniS Hg = g�g-1Hg� ,) eht ri hg t ) g ) )

emas . ecneH ti si ton lufgninaem ot kaeps fo a co tes sa ieb ng tfel ro ri hg t nu l se s eno tsrif seificeps eht gniylrednu puorgbus .

roF ab naile spuorg ro spuorg nettirw evitidda l ,y eht n noitato desu ahc n seg ot g+H na d

H+g ylevitcepser .

elpmaxE s

ehT evitidda cilcyc org up Z4 = ,0{ ,1 ,2 }3 = G sah a puorgbus H = ,0{ 2} ( cihpromosi t o Z2 .) ehT tfel oc s fo ste H ni G era

0 + H = ,0{ }2 = H

1 + H = ,1{ 3}

2 + H = ,2{ }0 = H

3 + H = ,3{ }1 .

erehT era erofereht wt o di ts i cn t esoc ts, H i st elf, dna 1 + H = 3 + H. etoN taht eve r y tnemele fo G si rehtie ni H ro ni 1 + H, taht ,si H � 1( + H� = G, os eht tcnitsid stesoc fo

H ni G trap i noit G. niS ce Z4 si na naileba puorg , eht ri thg oc stes lliw eb t eh same sa ht e fel t.

rehtonA ex elpma fo a tesoc oc m se morf eht t oeh ry fo vect ro sp seca . ehT stnemele )srotcev( of a v rotce sp eca mrof na nailebA org up rednu rotcev dda ti noi . tI si ton rah d ot

wohs taht secapsbus fo a rotcev ecaps era us b org u sp fo siht puorg . roF a rotcev ecaps V, a ecapsbus W, if a dna x de rotcev a ni V tes eht , s


}

(� stesoc Hg (of H� eht dna stesoc tfel g�(�-1Hg� fo( eht jnoc u etag us b puorg g-1Hg� era eht

)

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


era dellac af enif secapsbus , dna era stesoc (b hto tfel dna ,thgir ecnis eht puorg si nailebA ). nI smret fo cirtemoeg ,srotcev eseht eniffa sbus p seca era lla eht enil" s" o r

enalp" s" p lellara ot eht s ,ecapsbu hcihw si a enil ro enalp iog ng orht u hg the nigiro .

lareneG seitreporp

eW evah gH = H fi dna ylno fi g si na tnemele fo H, ecnis sa H si a us bgr ,puo it tsum be desolc dna tsum niatnoc t eh itnedi ty.

ynA owt tfel stesoc fo H in G era rehtie lacitnedi ro tniojsid — ,.e.i t eh fel t oc sets rof m a

noititrap fo G hcus taht eve ry tnemele fo G sgnoleb ot eno dna no ly one tfel oc .tes 1[ ] nI ralucitrap the itnedi ty is ni esicerp ly one oc s ,te dna taht tesoc si H ;flesti siht is osla eht

no ly tesoc i taht s a us bgr puo . eW nac ees siht raelc ly ni eht oba ve ex lpma es.

ehT tfel stesoc fo H ni G era eht ecnelaviuqe clas ses rednu eht uqe ecnelavi noitaler no G nevig by x ~ y fi dna no ly if x -1y � H. ralimiS stnemetats era osla rt ue rof ri thg esoc ts.

A tesoc tneserper a evit si a r erpe s evitatne ni eht elaviuqe n ec ssalc s .esne A set of sevitatneserper fo lla eht stesoc si dellac a revsnart s la . erehT era rehto t sepy fo

ecnelaviuqe snoitaler ni a ,puorg hcus sa jnoc u ,ycag taht mrof tnereffid cl sessa hcihw od ton evah eht orp p eitre s dessucsid h ere . emoS skoob no very deilppa puorg t eh or y

suoenorre ly itnedi fy eht agujnoc cy ssalc sa t' h 'e uqe elavi n ec ssalc as desoppo ot a ralucitrap t epy fo ecnelaviuqe ssalc .

xednI fo a s bu org up

llA tfel stesoc dna lla thgir stesoc evah eht s ema o redr mun( b re fo tnemele s, ro anidrac lity

ni eht ac se of na fni inite H ,) lauqe ot eht ro d re of H (b esuace H si flesti a oc s .)te mrehtruF o ,er eht rebmun fo tfel stesoc si lauqe ot eht rebmun fo thgir stesoc dna si

nwonk sa eht edni x fo H ni G, nettirw sa [G : H�. s'egnargaL meroeht swolla su ot etupmoc eht edni x ni eht esac wh ere G dna H era f eht rep sa ,etini formula:

|G�= [G : H� · |H�

sihT noitauqe osla dloh s ni eht ac se wh ere the gr spuo era in inif t ,e a tl hguoh t eh naem ing yam eb raelc ssel .


]

| ] .|

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

)�(bN� = ba N. ecniS yreve ri thg tesoc si a tfel ,tesoc ereht si on een d t o etaitnereffid tfel" "stesoc morf thgir" "stesoc .

s'egnargaL meroeht puorg( )yroeht

s'egnargaL meroeht , ni eht scitamehtam fo org up oeht ry, setats taht for any nif i et puorg

G, eht redro rebmun( fo )stnemele fo eve ry us b puorg H fo G sedivid the or red of G. hT e meroeht si deman retfa J hpeso argaL n eg .

foorP fo s'egnargaL meroehT

sihT nac be wohs n gnisu the oc n tpec of left co es ts fo H ni G. ehT l fe t stesoc era ht e

ecnelaviuqe sessalc of a niatrec elaviuqe n ec taler i no no G dna eht r erofe fo mr a par it noit fo G. lacificepS l ,y x dna y in G ra e er l deta fi dna no ly fi th ere e ix sts h in H hcus taht x = hy . fI we la taht wohs nac l esoc st fo H ah ve eht emas rebmun fo ,stnemele t neh ea hc esoc t fo H sah esicerp ly |H| nemele st . eW era neht enod ecnis eht o redr of H semit eht ebmun r fo stesoc si lauqe ot eht un m reb fo stnemele in G, ereht by gnivorp th ta eht redro H

sedivid eht redro fo G. ,woN if aH dna bH era two tfel esoc ts fo H, ew nac enifed a am p f : aH → bH yb gnittes f(x) = ba-1x. sihT pam si cejib evit uaceb se sti esrevni si nevig b y f -1(y) = ab-1y.

sihT foorp osla wohs s taht eht tneitouq fo the ro d re s |G| / |H| si qe u la ot the i edn x [G : H] eht( l fo rebmun ef t tesoc s fo H in G). fI ew etirw siht tnemetats sa

|G| = [G : H] · |H| ,

,neht nees sa a tnemetats tuoba lanidrac srebmun , ti si uqe i tnelav to eht Ax moi fo ohc i ec .

gnisU eht meroeht


,esac eht tes fo lla stesoc mrof a puorg dellac eht q tneitou puorg G� denifed by (aN� )

/N htiw eht noitarepo �

LACITAMEHTAM ETERCSID S SERUTCURT 43SC01

stesoC dna tilamron y

fI H is ton ron mal in G, t neh sti tfel stesoc era fid f tnere f or m sti thgir oc s te s. tahT ereht ,si si na a ni G hcus taht on nemele t b seifsitas aH = Hb. sihT snaem taht eht trap i noit fo G

otni eht tfel esoc ts fo H si a tnereffid noititrap naht eht noititrap fo G otni thgir esoc ts of H. tI( is tnatropmi to note taht mos e oc s ste yam oc i cn i ed . oF r exam lp e, fi a si in t eh

retnec o f G, t neh Ha = Ha.)

nO eht rehto ,dnah the puorgbus N si lamron fi and no ly if gN = gN rof lla g ni G. nI siht

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

LACITAMEHTAM ETERCSID SERUTCURTS 43SC01 A qesnoc u ecne fo eht meroeht si taht eht o redr fo any elem ne t a fo a etinif uorg p e.i( . ht e

tsellams evitisop regetni un m reb k iw th ak = ,e erehw e si eht itnedi ty tnemele fo ht e uorg p) sedivid eht redro fo taht ,puorg si ecn the redro fo a si qe u la ot eht redro of ht e

cilcyc puorgbus detareneg yb a. fI eht puorg h sa n stnemele , ti swollof

an = e.

sihT nac eb desu ot orp ve amreF t s' elttil meroeht dna sti ilareneg z ,noita uE l 're s t oeh rem . esehT laiceps ac s se erew nwonk gnol be erof the lareneg oeht r me saw orp v de .

ehT meroeht osla swohs taht any puorg fo p emir redro si c cilcy dna elpmis .

ecnetsixE fo spuorgbus of nevig o edr r

argaL n s'eg meroeht r sesia eht noc v esre noitseuq sa ot rehtehw every vid is ro fo the dro er

fo a puorg si eht redro fo emos .puorgbus sihT seod ton dloh ni areneg l: nevig a inif t e puorg G dna a di rosiv d of |G ,| ereht seod ton n irassece ly ex tsi a puorgbus o f G htiw dro re

d. ehT tsellams elpmaxe si eht gnitanretla puorg G = A4 hcihw sah 21 stnemele tub on puorgbus fo o redr .6 A CLT puorg si a etinif puorg htiw eht orp p re ty taht rof eve r y

rosivid fo eht redro fo eht ,puorg ereht si a rgbus o pu fo taht redro . tI si nwonk taht a TLC puorg tsum eb elbavlos dna taht yreve elbavlosrepus puorg si a C TL :puorg revewoh

ereht ex stsi elbavlos spuorg hcihw era ton C TL dna C TL puorg s hcihw a er on t lbavlosrepus e .

erehT era laitrap sesrevnoc ot gaL range s' eht o er m. roF lareneg ,spuorg s'yhcuaC th eroe m

seetnaraug eht ex ecnetsi fo an ele m ,tne na d eh n ec fo a c cilcy us b puorg , fo ro d re an y emirp gnidivid eht org up ;redro S oly w s' eht o mer ex sdnet siht ot eht ex si t ecne fo a

puorgbus of ro d re qe u la to eht am x lami rewop fo any emirp gnidivid eht puorg redro . roF elbavlos ,spuorg s'llaH smeroeht tressa eht ex ecnetsi fo a us b puorg fo ro d re lauqe ot any

yratinu rosivid fo the rg o pu redro taht( ,si a sivid or emirpoc ot sti oc fa )rotc . Hi yrots

argaL n eg did ton evorp argaL n s'eg meroeht ni sti lareneg .mrof eH ,detats ni his ra t elci snoixelféR rus al osér l noitu bégla ri euq sed é tauq i sno , 1[ ] taht if a pol ony im al ni n

selbairav h sa sti bairav l se detumrep ni lla n ! w ya s, eht un rebm of fid f nere t op l ony im al s taht era deniatbo si yawla s a rotcaf fo n .! F( or ex elpma fi eht selbairav x, y, dna z a er

detumrep ni lla 6 elbissop wa sy ni eht op l ny om ai l x + y - z neht ew teg a ot tal fo 3 tnereffid op l :slaimony x + y - z, x + z - y, na d y + z - x. etoN taht 3 si a af rotc fo ).6 Th e


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


rebmun fo cus h op l ony m slai si eht edni x ni t eh sym rtem ic puorg Sn fo eht s puorgbu H of snoitatumrep hcihw erp s evre eht op l laimony . F( or eht ex elpma fo x + y - z, eht puorgbus

H in S3 sniatnoc eht nedi tity na d eht rt na s sop ti noi ( yx ).) oS the is ze fo H di ediv s n .! W hti eht retal tnempoleved of tcartsba ,spuorg siht tluser fo argaL n eg no op l laimony s aw s cer o dezing ot ex dnet ot eht lareneg meroeht ab tuo etinif spuorg hcihw won sraeb ih s man e .

argaL n eg did ton evorp sih ;meroeht lla eh ,did laitnesse l ,y w sa ot csid u ss emos laiceps

cases. The tsrif etelpmoc foorp fo eht meroeht saw dedivorp by bA b ta i and bup l dehsi ni 3081 .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


TINU – 8 puorG :sedoC 6 Hours

gnidoceD htiw tesoC ,sredaeL

gnimmaH secirtaM sgniR dna

raludoM citemhtirA

ehT gniR erutcurtS

tinifeD noi dna selpmaxE

gniR seitreporP dna ,serutcurtsbuS

ehT sregetnI oludoM n


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


NU I T 8 7 Hour s sedoc puorG

SY LL ABUS Group Co sed : ceD o gnid iw th C so et L ae d re s, aH mm ni g Matr ci es R sgni a dn Mod lu ar A htir m te ic: ehT Ring St cur tu er – D fe ni ition na d

,selpmaxE gniR seitreporP na d Sub ts cur tu er s, The I tn eg re s Mod olu n In retupmoc s neic ce, gr uo p oc d se era a t epy of edoc . puorG oc d se oc n tsis fo n il aen r

kcolb sedoc hcihw era spuorgbus of Gn, erehw G etinif a si nailebA puorg . A citametsys puorg edoc C is a edoc revo Gn fo redro denifed yb n - k

smsihpromomoh hcihw enimreted eht irap ty ch kce b ti .s ehT er mai gnin k stib are the noitamrofni stib t eh m sevles .

noitcurtsnoC

puorG sedoc nac be oc n detcurts by sp aice l rotareneg irtam c se hw i hc r elbmese rotareneg

secirtam of raenil lb o kc oc d se ex tpec aht t eht stnemele of soht e mat ecir s ar e smsihpromodne fo eht puorg daetsni fo s slobmy morf eht s'edoc al ahp bet. roF ,elpmaxe

redisnoc eht rotareneg xirtam

ehT stnemele of siht irtam x era 2x2 secirtam hw i hc are hpromodne msi s. nI iht s oiranecs ,

hcae drowedoc nac eb detneserper sa erehw g1, ... gr era eht eg n tare o sr fo G.

gnidoceD w hti tesoC ael d re In eht leif d fo gnidoc yroeht , a tesoc redael si d denife sa a wo dr fo minimum thgiew i n

yna ralucitrap oc s te - taht ,si a drow htiw eht tsewol tnuoma fo non -z ore .seirtne semitemoS ereht era es v lare wo sdr fo lauqe muminim thgiew ni a oc s ,te a dn in aht t ac se,

yna one fo esoht wo sdr yam be nesohc ot eb the redael tesoc .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


tesoC sredael era desu in eht noitcurtsnoc fo a dradnats array for a raenil c edo , hw i hc can neht eb u des ot oced de deviecer v srotce . roF a re deviec rotcev y, eht d ce o ded egassem is

y - e, erehw e si eht tesoc redael fo y. tesoC sredael nac osla eb desu ot tcurtsnoc a saf t gnidoced ygetarts . roF hcae tesoc redael u ew etaluclac eht s emordny uH′. nehW ew

iecer ve v ew etaulave vH′ dna dnif eht gnihctam s emordny . ehT erroc s gnidnop esoc t redael si eht tsom ekil ly rorre p nretta dna ssa ew u em taht v+u saw eht drowedoc tnes .

lpmaxE e

A dradnats rra ay rof na [n,k]- a si edoc qn - k by qk yarra :erehw

1. ehT tsrif wor stsil lla oc d sdrowe htiw( eht 0 doc e drow no eht ex emert tfel ) 2. hcaE wor si a tesoc htiw eht ael tesoc d re ni eht f ri ts nmuloc 3. ehT tne ry ni eht i- ht or w dna j- ht nmuloc si eht s mu fo eht i-th esoc t l ae d re a dn

eht j- drowedoc ht .

roF ex pma ,el eht [n,k]- edoc C3 = 0{ , ,10110 1 ,0110 }11011 sah a sta dradn a rr ay as wollof :s

0 10110 01101 11011

00001 10111 01100 11010

00010 10100 01111 11001

00100 10010 01001 11111

01000 11110 00101 10011

10000 00110 11101 01011

00011 10101 01110 11000

10001 00111 11100 01010

etoN taht eht evoba si no ly eno ilibissop ty rof eht dradnats rra a ;y dah 000 11 neeb esohc n sa eht tsrif tesoc redael of ew i thg ,owt rehtona dradnats rra ay er p itneser ng eht doc e dluow

evah neeb detcurtsnoc .

PED T. ,ESC FO JS TIB egaP 111

www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


etoN taht eht tsrif wor sniatnoc eht 0 cev t ro na d eht sdrowedoc of C3 0( flesti gnieb a )drowedoc . ,oslA eht tsomtfel nmuloc sniatnoc eht srotcev fo muminim thgiew

itaremune ng v rotce s fo ew hgi t 1 fi tsr na d neht u gnis v srotce of wei hg t 2. etoN osla aht t hcae elbissop rotcev ni eht rotcev ecaps sraeppa yltcaxe on .ec

esuaceB hcae elbissop rotcev nac raeppa no ly ecno ni a dradnats ra ray emos ac re tsum eb

nekat gnirud noitcurtsnoc . A dradnats rra ay nac eb aerc t de sa swollof :

1. tsiL eht sdrowedoc fo C, gnitrats htiw ,0 sa t eh rif st wor 2. esoohC any rotcev fo muminim thgiew ton aerla dy ni eht ra ray. etirW siht sa eht

tsrif tne r en eht fo y xt row. sihT rotcev si oned ted eht ' tesoc 'redael . 3. lliF tuo eht or w by dda i gn eht esoc t ael d re ot t eh drowedoc ta eht t po fo each

muloc n. ehT mus fo eht i- ht tesoc edael r dna ht e j- ht wedoc o dr be emoc s the ne try wor ni i, oc l nmu j.

4. taepeR spets 2 dna 3 litnu lla stesoc/swor era detsil dna hcae otcev r raeppa s yltcaxe ecno .

gnimmaH secirtam

gnimmaH sedoc nac eb detupmoc ni raenil egla b ar smret orht u hg secirtam esuaceb gnimmaH sedoc era raenil edoc s. roF eht sesoprup fo gnimmaH ,sedoc t ow maH m gni

ecirtam s c na eb d denife : t eh edoc rotareneg mat xir dna the ytirap - kcehc xirtam :

dna


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


tiB noitisop fo atad eht a dn rap ity bits

sA denoitnem evoba , ro sw ,1 ,2 & 4 fo dluohs kool railimaf sa they am p t eh ad ta b ti s ot rieht irap t :stib y

• p1 srevoc d1, d2, d4 • p2 srevoc d1, d3, d4 • p3 srevoc d2, d3, d4

ehT iniamer ng swor ,3( ,5 ,6 )7 pam eht atad ot t rieh noitisop ni dedocne mrof dna eht r e

si no ly 1 ni aht t row so ti is an i ned t aci l oc py. nI tcaf , eseht ruof ro sw era raenil ly tnednepedni dna mrof eht itnedi ty irtam x (by d ,ngise ton icnioc d )ecne .

oslA sa denoitnem ,evoba t eh eerht swor fo dluohs eb railimaf . Th ese ro sw era used t o

etupmoc eht nys emord rotcev ta eht gniviecer end dna fi eht s emordny v rotce is t eh llun rotcev lla( )sorez neht eht deviecer drow si rorre - ;eerf fi non - orez neht eht eulav etacidni s hcihw tib sah f neeb il pp ed.

ehT 4 d ata stib — ssa e delbm sa a ve rotc — si erp - itlum deilp by ( .i e ,. ) a dn

nekat oludom 2 ot leiy d eht cne o ded v eula aht t is t snar im dett . ehT ro i lanig 4 atad ib ts are etrevnoc d ot 7 stib (h ecne eht n ema (gnimmaH" 7 )")4, htiw 3 p ira ty ib ts a dedd ot usne r e

neve irap ty gnisu eht ab evo atad tib evoc r sega . ehT tsrif elbat evoba hs o sw eht gnippam neewteb hcae atad dna irap ty tib otni sti lanif tib noitisop 1( hguorht )7 tub siht nac osla

eb detneserp in a nneV d gai r ma . The tsrif margaid ni siht lcitra e swohs th er e cric l se o( n e rof hcae ytirap )tib na d sesolcne atad stib taht hcae irap ty tib srevoc . ehT s dnoce argaid m

nwohs( ot eht ri )thg si lacitnedi ,tub ,daetsni eht b ti op is snoit era dekram .

roF eht er m rednia of siht ,noitces eht gniwollof 4 stib nwohs( sa a uloc mn cev t )ro iw ll b e desu sa a nnur gni ex :elpma


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


sgniR dna raludoM rA ith tem ci

gniR yroeht nI scitamehtam , gnir t eh yro si eht uts dy of ir ngs— ciarbegla serutcurts ni hw i hc dda i noit

dna noitacilpitlum era d denife dna h eva ralimis reporp ti se to t oh se fam li i ra morf t eh regetni s. gniR oeht ry ts u seid eht erutcurts fo ir n ,sg rieht erper s snoitatne , ,ro ni nereffid t

,egaugnal seludom , laiceps sessalc fo sgnir ( puorg ir n ,sg noisivid ,sgnir asrevinu l olevne gnip al eg b sar ), as llew sa na rra ay of orp p seitre aht t evorp d ot eb fo seretni t htob nihtiw eht oeht ry flesti dna for sti ilppa c ,snoita hcus as oh m igolo cal reporp ties na d

op l laimony seititnedi .

evitatummoC sgnir era hcum retteb dootsrednu naht ummocnon ta it ev .seno euD ot sti etamitni snoitcennoc htiw ciarbegla temoeg ry dna al ciarbeg rebmun oeht r ,y hcihw edivorp am ny larutan ex selpma fo evitatummoc ri ,sgn rieht th oe r ,y hcihw is deredisnoc t o

eb trap fo evitatummoc arbegla dna dleif oeht ry rehtar aht n fo lareneg ir ng t oeh r ,y si etiuq tnereffid ni ruovalf morf eht oeht ry of rieht cnon o evitatumm rapretnuoc ts. A riaf ly necer t

,dnert detrats ni eht s0891 htiw eht tnempoleved fo evitatummocnon eg o tem ry dna htiw eht evocsid ry fo tnauq um spuorg , stpmetta ot t nru eht tautis i no nuora d dna iub ld ht e

yroeht fo niatrec sessalc fo evitatummocnon gnir s ni a cirtemoeg noihsaf as fi yeht erew sgnir fo snoitcnuf no n( on-ex )tnetsi atummocnon' t evi ecaps s' .

yratnemelE itcudortni on

eD f tini i no

lamroF l ,y a ir ng si an A leb i na uorg p (R, )+ , to rehteg htiw a noces d nib ra y epo r ta i no * hcus rof taht lla a, b dna c in R,

a * (b * c) = (a * b) * c

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

(a + b) * c = (a * c) + (b * c)


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


,osla fi ereht exists a um l evitacilpit ytitnedi ni eht ,gnir th ta ,si na ele m ne t e hcus aht t of r lla a in R,

a * e = e * a = a

neht ti is dias to eb a ri gn w hti nu i yt . ehT rebmun 1 si a nommoc ex elpma fo inu a ty .

ehT ir ng ni w hcih e si lauqe ot eht evitidda edi n it ty tsum evah no ly no e elem .tne sihT gnir si dellac eht t laivir ri gn .

sgniR taht tis edisni rehto ir n sg a er lac l de rbus i gn s. paM s neewteb ir n sg hcihw ser p ce t

ht e r ni g tarepo i no s era ellac d gnir omoh m hpro isms. sgniR , ot eg ht re htiw gnir ,smsihpromomoh mrof a ogetac ry eht( ogetac ry of sgnir ). ylesolC r detale si eht noiton fo

slaedi , rec t nia stesbus fo sgnir cihw h esira sa rek n sle fo smsihpromomoh dna nac evres to enifed rotcaf sgnir . cisaB stcaf tuoba ,slaedi omomoh msihpr s dna fa rotc rings a er

rocer d de ni eht promosi h msi smeroeht dna ni eht Chi esen amer i dn er t oeh rem. A ir ng si c la l de mmoc u vitat e fi sti lpitlum i tac i no si ummoc t ta i ev . evitatummoC sgnir

elbmeser railimaf mun b re s sy t ,sme dna uoirav s snoitinifed rof c tatummo i ev sgnir a er engised d ot r revoce rp o seitrep nwonk morf ht e i sregetn . evitatummoC ri gn s are sla o

tnatropmi ni ciarbegla yrtemoeg . nI evitatummoc gnir oeht r ,y srebmun are netfo ecalper d by slaedi , dna eht d noitinife fo emirp laedi seirt ot erutpac eht se s ecne of rp i em srebmun .

tnI e larg ,sniamod non -t laivir evitatummoc sgnir erehw on owt on n- orez tnemele s ylpitlum ot evig ,orez ezilareneg rehtona p repor ty fo eht sregetni dna res ve sa eht orp p re

mlaer ot yduts ytilibisivid . lapicnirP laedi niamod s era getni r la sniamod ni hcihw eve r y laedi nac eb detareneg yb a is n elg ele m ,tne an rehto reporp ty derahs by eht sregetni .

naedilcuE sniamod era largetni sniamod ni hw i hc eht naedilcuE al irog thm nac be c eirra d uo t. tnatropmI ex selpma fo evitatummoc ir ngs ac n eb rtsnoc u detc as ir n sg of op l slaimony dna rieht rotcaf ir n sg . ammuS r :y Eu naedilc amod in >= p lapicnir laedi od m nia >= nu ique

noitazirotcaf niamod >= i largetn niamod >= oC m evitatum ri gn .

noN - evitatummoc gnir s elbmeser ir n sg fo am t secir ni am ny ser stcep . gniwolloF eht ledom fo arbegla ic eg o yrtem , stpmetta ah ve b nee am de tnecer ly ta nifed i gn non -

evitatummoc temoeg ry desab no on n- atummoc t evi ir n .sg noN - evitatummoc gnir s na d evitaicossa al sarbeg sgnir( taht era osla tcev or ecaps s) are netfo ts u deid aiv rieht seirogetac fo seludom . A eludom revo a gnir si an nailebA puorg taht eht ri gn ac st no sa a

gnir fo smsihpromodne , ev ry mu hc nika ot eht way sdleif largetni( do sniam ni hcihw eve ry on n- orez tnemele si )elbitrevni tca no tcev or aps c se . Ex lpma se fo non- ummoc t ta i ev


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


sgnir era nevig by sgnir fo erauqs secirtam ro erom lareneg ly by sgnir fo smsihpromodne fo nailebA spuorg ro mo ,selud dna b y dionom sgnir .

ehT cneurgnoc e italer no

raludoM citemhtira nac eb deldnah lacitamehtam ly by dortni u gnic a oc n ecneurg er l noita

no eht sregetni taht si elbitapmoc htiw eht po er ta i sno fo eht ir ng of i sregetn : tidda i no , noitcartbus , dna noitacilpitlum . roF a evitisop ni t rege n, owt ni t srege a and b era dias t o

eb neurgnoc t oludom n, :nettirw

fi rieht ecnereffid a - b is na int rege m tlu iple fo n. rebmun ehT n dellac si the uludom s of eht ecneurgnoc . nA tnelaviuqe noitinifed si taht htob srebmun evah eht same amer i dn e r

nehw divid de b y n .

roF ex elpma ,

esuaceb 83 - 41 = ,42 w hcih si a lum it elp fo 21 . roF tisop i ev n dna on n-n evitage a dna b , ecneurgnoc o f a na d b nac osla eb oht u thg fo a sa s res it gn th ta t eseh two num reb s vah t e eh

emas niamer d re retfa id v gnidi by eht m suludo n. S ,o

esuaceb htob ,srebmun nehw dedivid by ,21 ah ve eht emas redniamer .)2( ltnelaviuqE y , eht lanoitcarf strap fo do gni a lluf noisivid fo hcae fo eht srebmun by 21 era eht emas :

661.0 6 ... 83( / 21 = 6661.3 ,... 2/ 21 = ...6661.0 ). Fr mo eht roirp ifed noitin ew osla ees aht t rieht nereffid c ,e a - b = ,63 si a elohw mun b re ( ni t rege ) lum ti elp fo 12 (n = ,21 21/63

= )3 .

ehT emas elur sdloh rof evitagen seulav of a:

A er m kra on eht on t :noita esuaceB ti si nommoc to edisnoc r lareves oc ngr cneu e aler t noi s

rof tnereffid iludom ta eht emas ,emit eht suludom si i detaroprocn in eht no noitat . etips nI fo eht ret nary on t ,noita eht oc n rg u ecne er l noita for a evig n suludom si anib ry. ihT s dluow


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


evah neeb cl rerae fi the noitaton a ≡n b dah neeb ,desu daetsni fo the oc m nom t dar i lanoit aton it no .

ehT seitreporp taht ekam siht noitaler a oc n rg u ecne noitaler er( specti gn idda ti no ,

,noitcartbus dna )noitacilpitlum era eht iwollof ng . fI

dna

:neht

•

•

•

evitacilpitluM puorg fo sregetni oludom n nI raludom citemhtira eht tes fo oc n eurg n ec cl sessa evitaler ly emirp ot eht suludom n

mrof a puorg rednu noitacilpitlum dellac eht tlum i evitacilp puorg fo sregetni dom lu o n . tI si t dellac osla he uorg p fo rp i evitim eudiser lc a sess om ud ol n. eht nI yroeht sgnir fo , a

hcnarb of tcartsba al eg b ar , ti si ircsed b de sa eht uorg p fo stinu fo eht gnir fo tni e eg rs m oludo n. stinU( srefer to stnemele htiw a pitlum l aci it ev i esrevn . )

ihT s uorg p si adnuf m latne ni rebmun th oe ry. tI sah dnuof snoitacilppa ni cr pargotpy hy, regetni noitazirotcaf , dna ilamirp ty itset ng. roF ,elpmaxe yb gnidnif eht redro .ei( eht

)ezis fo eht ,puorg eno nac enimreted fi n si :emirp n si emirp fi dna no ly fi ht e redro si n - 1.

puorG smoixa tI si a arts i fthg o drawr ex esicre ot wohs taht rednu noitacilpitlum eht ecneurgnoc salc ses

(m do n) hcihw era evitaler l emirp y ot n yfsitas eht ax smoi rof na naileba rg o pu .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

ETERCSID TAM LACITAMEH SERUTCURTS 43SC01

esuaceB a ≡ b (m do n) seilpmi taht (dcg a, n) = cg d(b, n ,) eht noiton fo ecneurgnoc sessalc dom( n) hw i hc era evitaler ly emirp ot n si llew - denifed .

ecniS (dcg a, n) = 1 dna cg d(b, n) = 1 pmi l sei gc (d ab, n) = 1 eht s te fo cl sessa evitaler l y emirp to n si desolc dnu er mul pit il tac i no .

ehT larutan gnippam morf eht sregetni ot eht co rgn u ecne sessalc dom( n) taht sekat na

regetni ot sti ecneurgnoc ssalc dom( n) si a gnir msihpromomoh . sihT seilpmi taht eht ssalc niatnoc ing 1 si eht euqinu evitacilpitlum itnedi t ,y dna osla eht a aicoss t evi dna

evitatummoc swal .

neviG a, (dcg a, n) = ,1 gnidnif x iyfsitas ng xa ≡ 1 dom( n) si eht emas sa gnivlos xa + yn = ,1 hcihw nac eb enod by ammel s'tuozéB .

noitatoN

ehT ir ng fo sregetni m( od n) si oned t de or ,.e.i( eht ir ng of ni et eg sr

oludom t eh i laed nZ = (n) gnitsisnoc fo the mul pit l se fo n) ro by . epeD n gnid on ht e

rohtua sti puorg of un sti yam be writ net

rof( G namre iehniE t = )tinu ro sim rali n ato t .snoi sihT elcitra esu s

rutcurtS e fo srewoP 2

oludoM 2 ereht si ylno eno evitaler ly p emir oc ngr ecneu ,ssalc ,1 os si

aivirt l. M udo lo 4 eht er are wt o aler levit y mirp e cneurgnoc e ssalc e ,s 1 dna ,3 os

eht cilcyc puorg htiw owt stnemele .

oludoM 8 ereht era uof r evitaler ly emirp salc ses, ,1 ,3 5 dna .7 ehT qs u era fo hcae fo

,1 si eseht so eht nielK ruof - puorg .

oludoM 61 eht re era thgie er la it ev ly rp ime cl sessa ,1 3, ,5 7, ,9 11, 31 na d 51 .

si eht 2- noisrot puorgbus (ie. eht erauqs fo hcae tnemele si ,)1


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


so c ton si y cilc . ehT op w sre fo ,3 }11,9,3,1{ era a puorgbus o sa ,4 redro f era

eht srewop fo ,5 ,9,5,1{ 1 }3 . suhT The nrettap nwohs by 8 na d 16 oh l sd [1] of r ih g reh op w re s 2k, k > :2

si eht 2- noisrot uorgbus p os( si ton cyc li )c

dna eht srewop of 3 a era s puorgbu of dro er 2k - 2, so

srewoP fo ddo emirp s

roF rewop s of do d emirp s pk ht e puorg is cy :cilc ]2[

lareneG co etisopm numb sre

ehT esenihC redniamer meroeht ]3[ syas taht fi neht eht ri gn

si eht tcerid tcudorp fo the sgnir idnopserroc ng ot hcae fo sti emirp rewop f srotca :

ralimiS l ,y eht puorg fo u stin si eht tcerid tcudorp fo eht spuorg nopserroc id gn ot hcae fo eht p emir op w re caf t :sro

redrO

ehT redro of eht puorg si nevig by eluE r s' neitot t tcnuf noi : sihT

si eht tcudorp fo eht ro d sre fo eht c cilcy spuorg ni t eh di cer t dorp u tc .

enopxE nt

ehT tnenopxe si nevig by eht leahcimraC oitcnuf n (λ n ,) eht tsael nommoc elpitlum fo t eh sredro fo eht c cilcy .spuorg sihT naem s t ah t fi a dna n era ylevitaler p ,emir


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com


srotareneG

si cilcyc fi dna no ly fi sihT si eht esac esicerp ly w neh n si 2,

,4 a rewop fo na ddo rp i ,em ro eciwt a rewop fo na ddo rp i em . nI siht esac a neg er rota si dellac a rp i evitim toor oludom n.

ecniS lla eht n = ,1 ,2 .. ., 7 era ,cilcyc rehtona w ya ot etats siht :si fI n < 8

neht sah a p evitimir oor t. fI n ≥ 8 sah a imirp ti ev oor t elnu ss n is elbisivid by 4 or by owt tcnitsid ddo rp i sem .

nI ht e lareneg esac ereht si eno rotareneg rof hcae cilcyc tcerid tcaf or .

aT lb e

sihT elbat swohs eht erutcurts dna eneg r srota of rof llams seulav fo n. hT e

eg n tare o sr era on t uqinu e dom( n ;) e.g. dom( 61 ) b hto {- ,1 }3 dna {- ,1 5} iw ll krow . ehT eg n tare ors are detsil ni eht emas ro d re sa eht id r ce t srotcaf .

roF ex elpma ekat n = .02 snaem taht eht redro fo si 8 e.i( . eht r e era 8 srebmun ssel aht n 02 dna emirpoc ot ;)ti )02(λ = 4 taht eht ruof th rewop fo an y

rebmun evitaler ly emirp to 02 si ≡ 1 dom( 2 ;)0 na d sa rof the eg n are t ro s, 91 sah dro er 2, 3

sah ro d re 4, na d eve ry mem reb of si fo the rof m 91 a × 3b, erehw a si 0 or 1 dna b si ,0 ,1 ,2 ro 3.

ehT srewop fo 91 era }1±{ dna eht srewop fo 3 era ,3{ ,9 ,7 .}1 ehT rettal dna t eh ri

sevitagen dom( 02 ,) ,71{ ,11 ,31 }91 era lla eht srebmun ssel naht 02 dna irp me ot it. hT e tcaf taht the ro d re of 91 is 2 dna eht redro fo 3 si 4 i lpm i se aht t eht truof h rewop of ever y

fo rebmem si 1 ≡ dom( )02 .


www.rejinpaul.com

www.rejinpaul.com

Documents

- WordPress.com · . DI SC RETE M AT H EM A TIC AL S TR U CT U RE S 10CS 34 UN IT – 8 6 Hours