83

المتتاليات والسالسل

. سندرس في هذه المحاضرة ها وأيضا استمراريتهانهايات التوابع وخواصدرسنا في المحاضرة السابقة

لمتتاليات والسالسل.ا

المتتاليات -6.1

:التعريف التقليدي للمتتالية6.1.1-

لكل حد من حدودها دليل يحدد مكان و تعرف المتتالية بأنها عدد ال نهائي من األعداد المرتبة وفق نظام معين ،

:عادة يرمز للمتتالية بأحد الرموز اآلتيةو د األخرى ،أو ترتيب هذا الحد بالنسبة إلى الحدو

)(,)(,)(,}{ 11 nNnnnnnn aaaa

:المتتالية بالشكل التالي وبالتالي تكتب

na, … , 3, a 2, a 1a :) n( a.

هو 1a:ذلك حتى تكون تسمية الحد متوافقة مع الدليل أيو ،لم نبدأ بالصفرو نالحظ هنا أننا بدأنا من العدد واحد

هكذا و هو الحد الثاني 2aاألول , الحد

:التي تأخذ الشكل التاليو ( n )إن أبسط متتالية هي متتالية األعداد الطبيعية

( n ): 1 , 2 , 3 , … , n.

و عن طريق .بالحد العام للمتتالية naنسمي .حيث إن هذه المتتالية من األعداد الطبيعية مرتبة بشكل متزايد

:طة الدليل ، نكون في الحقيقة قد حصلنا على عالقة من النوعتعيين وضع الحدود بوسا

1 2 3 ……. n.

.na ……. 3a 2a 1a

هذه العالقة تعّرف لنا و ، Rمجموعة جزئية من مجموعة األعداد الحقيقية و Nبين مجموعة األعداد الطبيعية

:بالشكل f: N → R :التابع

… ; nf ( n ) = a; …. ; 2= af ( 2 ) ; 1f ( 1 ) = a

:و هكذا يمكن أن نتوصل إلى التعريف التالي، المبسط للمتتالية

السادسةالمحاضرة

84

مستقره و لطبيعيةاالمتتالية هي تابع منطلقه مجموعة األعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية من األعداد :تعريف

EN:f مجموعة جزئية من مجموعة األعداد الحقيقة تمثل قيم المتتالية أي أن: هي متتالية عناصر

.R من مجموعة األعداد الحقيقة E المجموعة الجزئية

أو في Rيقة سيييوف نقتصييير دراسيييتنا على دراسييية المتتاليات العددية فقط ، التي تأخذ قيمها في األعداد الحق

.R األعداد الحقيقة مجموعة جزئية من

:المتتاليات العددية الشهيرة :(1مثال )

المتتالية المعرفة حسب القانون = n na هي:

1, 2, 3, … , n , …… (د الطبيعية)تسمى متتالية األعدا

المتتالية المعرفة بالشكل n

1an هي:

.,1

,....,3

1,

2

1,1

n )المتتالية التوافقية( ( )متتالية مقلوب األعداد الطبيعية

:دودةالمتتالية المح 6.1.2-

إذا كانت مجموعة قيمها محدودة إنها محدودة ، )na (نقول عن المتتالية

na; :أي تحقق الشرط التالي n N

:و نعطي مثال على ذلك

,....... :المتتالية إن( 1n

1,......,

3

1,

2

11 ألن محدودة 1,

n

10

.........,.... ( المتتالية 22

1,

2

1,

2

1,

2

1432

1 محدودة ألنan

22ألنه لدينا مثال محدودة 1 ,0 ,1 ,0 ,- … ( المتتالية 3 na.

:المتتالية الحسابية6.1.3 -

هذا الفرق و قدار ثابت ,متتالين فيها هو م حدين نقول عن المتتالية إنها متتالية حسابية إذا كان الفرق بين أي

متتالية الحسابية تكتب بالتالي فإن حدود الو .التي تبدأ بالحد األولو ثابت يدعى بأساس المتتالية الحسابية ,ال

بالشكل التالي:

,......)1(,.....,3,2,, 11111 bnabababaa

85

.bأساسها و 1aحيث إن حدها األول

bnaRn :و بالتالي فإن حدها العام يعطى بالشكل اآلتي )1(1

كتب بالشيييييكل ي :حدا األولى من متتالية األعداد الطبيعية بدءا من الحد األول nعلى أن مجموع يمكن أن نبرهن

:التالي2

)1n(nn...321Sn

:المتتالية الهندسية6.1.4 -

نسبة :قدار ثابت )مثالهو م متتالين فيها حدين بين أي نقول عن المتتالية إنها متتالية هندسية إذا كانت النسبة

عى بأساس هذه المتتالية تد نسبة أي حد إلى الحد الذي يسبقه(هذه النسبة الثابتة )و ،الحد الثاني إلى الحد األول(

2a, ad, ad, …. :لتالياتكتب بالشكل بالتالي فإن حدود المتتالية الهندسيةو .التي تبدأ بالحد األولو ،الهندسية

….. , 1-nad ,

.dأساسها و aهي متتالية هندسية حدها األول

,1 :نجد أن و بسهولة1

)1(

n

d

daS

n

أسييييياسيييييها هو التيو a حدا األولى من المتتالية الهندسيييييية , التي حدها األول هو المقدار nمجموع والذي يمثل

.d المقدار

:يات المتباعدةالمتتاليات المتقاربة والمتتال6.1.5-

:لتكن لدينا المتتالية التي حدها العام يأخذ الشكل التالي n

1nan

:أي المتتالية هي من الشكل التالي

,n

1n,,

999

1000,,

99

100,,

4

5,

3

4,

2

3,

1

2 نالحظ أن حدود هذه المتتالية

.ما كبر ترتيب حدودهاذلك كلو تقترب شي ا فشي ا من الواحد

ا" منتهيا" من عدد aذلك إذا وجد خارج أي جوار للعدد و )na (، إنه نهاية للمتتالية aنقول عن العدد :تعريف

.حدود المتتالية

.المتتاليات المتباعدةبالمتتاليات التي ليس لها نهاية و بالمتتاليات المتقاربة، aوتسمى المتتاليات التي لها نهاية

86

هذا و , aأو تتقارب من العدد aتتناهى نحو )na (فعندئذ نقول إن المتتالية )na (نهاية للمتتالية aان وإذا ك

lim :يكافئ ما يلي nn

a a

n :بالشكل التالي أو تكتب كذلك na a

:متتالية الثابتة( أبسط مثال على المتتالية المتقاربة هو ال1 :(2مثال )

…, a… , a , a , a , حيث أن: lim nn

a a

المتتالية التي حدها العام( 2n

an

32 2 :متقاربة أيضا ألنlim

na

n

.

: المتتالية( 3n

n 12 متباعدة ألن هي متتالية:

nu

n

lim

:الحظاتم

.هذه النهاية وحيدةو ( إذا كانت المتتالية متقاربة، فعندئٍذ يكون لها نهاية1

يدة2 ية متزا تال نت المت كا كذلك إذا و ( إذا قاربة. ية مت تال ية كمحدودة من األعلى فعندئذ تكون المت تال نت المت ا

.محدودة من األسفل تكون المتتالية متقاربة أيضا و متناقصة

.هالها النهاية نفسو رتيب حدود متتالية متقاربة، فإننا نحصل على متتالية متقاربة( إذا غيرنا ت3

.ها النهاية نفسهالو ( إذا أضفنا أو طرحنا عددا منتهيا من حدود متتالية متقاربة فإن المتتالية تبقى متقاربة4

السالسل العددية - 6.2

لتكن :1تعريف na نعرف متتالية جديدة ألعداد الحقيقية..متتالية من ا ns :كما يلي

n10n

101

00

a...aas

.............................

aas

as

0 :سوف ندعو مجموع حدود هذه المتتالية 1 2 ....n

n o

a a a a

87

لعام لهذه السلسلة بالحد ا naبالسلسلة العددية الالنهائية )أو باختصار بالسلسلة العددية( وندعو

ندعو المتتالية :2تعريف ns ذات الحدود

n10n a...aas

.بمتتالية المجامع الجزئية للسلسلة السابقة

نقول إن السلسلة :3تعريفn

n o

a

متقاربة نحوs وهذا ما نكتبه على الشكل ،

.saon

n

...aaa 210

. أي إذا كان: sإذا كانت متتالية مجاميعها الجزئية متقاربة نحو

sslim nn

ونقول عن هذه السلسلة إنها متقاربة مطلقا إذا كانت السلسلة

onna متقاربة.

n، قلنا عندئذ السلسلة sإذا كان :4تعريف

n o

a

إنها متباعدة نحو.

)الشرط الالزم لتقارب السالسل(. الحد العام للسلسلة المتقاربة يسعى إلى الصفر. :1نتيجة

(.نحو الصفر دون أن تتقارب السلسلة)العكس ليس صحيحا فقد ينتهي الحد العام

,... 0 إن السلسلة :(3مثال )n

1....

3

1

2

11

n

1

on

. 1ومتباعدة إذا كان 1)التي تعرف بسلسلة ريمان ( تكون متقاربة إذا كان

تستخدم سلسلة ريمان أحيانا الختبار تقارب بعض السالسل كالسلسلة التوافقية.

,.... إن السلسلة :(4مثال )3

1

2

11

n

1

1n

. 1وتباعدها ناتج من المقارنة بسلسلة ريمان عندما .، متباعدةالتوافقية التي تعرف بالسلسلة

ن تباعد السلسلة.يسعى إلى الصفر بالرغم مn1أن الحد العام هذا المثال يبين في الوقت نفسه:1مالحظة

من تباعد السلسلة التوافقية ينتج تباعد أي سلسلة من الشكل: :2مالحظة

....,c3

1

c2

1

c

1

cn

1

1n

88

ثابت كيفي. cحيث

0q ....,qq1q إن السلسلة :(5مثال ) 2

on

n

1qمتقاربة عندما qذات األساس بالسلسلة الهندسيةالتي تعرف 1ومتباعدة عندماq .

اختبارات التقارب - 6.3

ختبارات:التقارب في دراسة تقارب السالسل العددية أو تباعدها وسوف نذكر هنا أهم هذه اال تفيد اختبارات

اختبار المقارنة - 6.3.1

تحققان المتراجحة: nA و naالسلسلتين إذا كانت حدود أوال :

0A ,Aa nnn

.متقاربة مطلقا naمتقاربة كانت السلسلة nAوكانت السلسلة n من أجل كل

تحققان المتراجحة nA و naسلسلتين ال إذا كانت حدود ثانيا :

0A ,Aa nnn

.متباعدة أيضا naمتباعدة كانت السلسلة nAوكانت السلسلة n من أجل كل

,.... ادرس تقارب السلسلة :(7مثال )3

1

2

11

n

1

1n

nn الحل: بما أن فإن n

1

n

1an

ومن تباعد السلسلة التوافقية نستنتج تباعد السلسلة المعطاة.

. Cauchyكوشي اختبار - 6.3.2

ة مطلقا إذا كان:، التي تختلف حدودها عن الصفر ، متقارب na تكون السلسلة

,1alimq n

n

n

.ومتباعدة إذا تغير اتجاه المتراجحة أعاله

,.... ادرس تقارب السلسلة :(8مثال )27

3

9

2

3

1

3

n

1nn

89

الحل: باستخدام اختبار كوشي يكون:

,13

1

3 lim

n lim

3

n lima limq

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

1alimq,بما أن n

n

n

فإن السلسلة متقاربة.

D’alembert دالمبير تباراخ - 6.3.3

، التي تختلف حدودها عن الصفر ، متقاربة مطلقا إذا كان naتكون السلسلة

1a

alimq

n

1n

n

.ومتباعدة إذا تغير اتجاه المتراجحة أعاله

الحاالت في المقارنةيستخدم عادة اختبارا كوشي ودالمبير في حالة السالسل الهندسية بينما يستخدم دستور

األخرى.

... :ادرس تقارب السلسلة :(9مثال )!2

10101

!n

10 2

on

n

n10a!الحل. لنضع: nn :ولنتحقق بواسطة اختبار دالمبير فنالحظ أن

1 1

110 1 ! !10 10

lim lim lim lim 0 1 10 ! 1 !10 1

n n

n

n nn n n nn

na n

a n n n

وهذا يعني أن السلسلة المعطاة متقاربة

سالسل القوى الصحيحة. - 6.4

لتكن سلسلة التوابع من الشكل: تعريف سلسلة القوى: -6.4.1

(1) 2

0 1 0 2 0 0 0

0

........ ....n n

n n

n

a a x x a x x a x x a x x

متحول حقيقي. xو ثوابت حقيقية معطاة 0xو naحيث

90

,عداد( سلسلة قوى أو سلسلة صحيحة وتسمى األ1تسمى السلسلة ) 0,1,2,...na n معامالت سلسلة القوى

وتعود أهمية هذه السييييييالسيييييييل لكثرة اسييييييتخدامها في التطبيقات .xوهي ثوابت حقيقية غير متعلقة بالمتحول

العملية.

0xإذا أجرينا التحويل x y :نحصل على سلسلة القوى

(2) 2

0 1 2

0

........ ....n n

n n

n

a a y a y a y a y

نستخدم ( و2( لذلك سندرس السلسلة من الشكل )2( يكافئ دراسة تقارب السلسلة )1واضح أن دراسة السلسلة )

دون أن نمس بعمومية المسألة. yبدال من المتحول xالمتحول

(3) 2

0 1 2

0

........ ....n n

n n

n

a a x a x a x a x

:تقارب سلسلة القوى -6.4.2

xإذا كان (3بشييييكل عام, تتقارب سييييلسييييلة القوى في ) R وتتباعد عندماx R وعندما ,x R فإن

نصييف قطر تقارب سييلسييلة القوى ونسييمي المجال Rندعو السييلسييلة تكون متقاربة أو تكون متباعدة. ,R R

.مجال التقارب

وأحيانا ،مجالأن اختبار النسييبة أو اختبار دالمبير هو االختبار األكثر نجاحا في الحصييول على هذا ال

يفشل في ذلك وفي مثل هذه الحاالت نستخدم اختبارات أخرى.

0ان الحالتان الخاصييتR , R في الحالة األولى نقول إن السييلسييلة متقاربة .يمكن أن تحدث

0xفقط عند وفي الحالة الثانية نقول إن السلسلة تتقارب لجميع قيم ,x .

( يمكن قو3كل ما قيل عن )( باسييييتبدال1له عن سييييلسييييلة القوى في )x 0بx x , بمعنى إذا وجد

بحيث تتقارب سلسلة القوى غير سالب أو يساوي Rعدد 0

0

n

n

n

a x x

لمن أجل كل قيمة

x 0تحقق المتراجحييةx x R أيx x وتتبيياعييد من أجييل قيمx التي تحقق

0xالمتراجحة x R . ندعوR (ونسييييييمي المجال1نصييييييف قطر تقارب سييييييلسييييييلة القوى في )

,R R 0و مجال التقاربx مركز تقارب سلسلة القوى.

91

يحسب نصف قطر التقارب بالعالقة: 1 1

lim n

nn

a

a R

أو

1

lim n

nn

aR

a

.

ادرس تقارب السلسلة :(10مثال )0 !

n

n

x

n

.واوجد نصف تقاربها

سب اختبار داالمبير يكون لدينا:بح

1 ! 1

lim lim lim 01 ! 1

n

n n nn

a n

a n n

Rأي أن نصييف قطر تقارب هذه السييلسييلة هو وهذا يعني أن مجال تقاربها هو المجالx

.أي أن السلسلة المعطاة متقاربة على كل

:أوجد فترة تقارب المتسلسلة اآلتية :(11مثال )

1

1 3

n

nn

x

n

:باستخدام اختبار النسبة أو دالمبير :الحل

1

1 1

3lim lim . lim .

( 1)3 3( 1) 3

n n

n

n nn n nn

xa x n nx

a n x n

1المتسلسلة تتقارب إذا كان3

x 1تتباعد إذا كان و

3

x 3إذاx أي أن نصف قطر التقارب

3وفترة التقارب 3يساوي 3x 3ولنعالج التقارب عندx 3أي, 3x x .

3xحالة نعوض في المتسلسلة فنجد أن:

1

1 1 1

1 1 1

3 3 3

n

nn n n

x

n n n

المتباعدة وهي المتسلسلة التوافقية

3xوفي حالة فإن المتسلسلة تصبح

1 1

1 1

( 1) 1 ( 1)

3 3

n n

n nn n

92

ر فهي متقاربة إذا الحد العام لها يتقارب نحو الصفو القيمة المطلقة لحدودها متناقصةو وهي متسلسلة متناوبة

3فترة تقارب المتتالية هي 3x .

طريقة تايلور في نشر الدوال -6.4.3

:لنفرض أنه تمكنا من وضع دالة بشكل سلسلة قوى كما يلي

2

0 1 2( ) ( ) ( ) ..... ( ) ....(1)n

nf x a a x a a x a a x a

xتملك مشتقات من مراتب عليا في جوار fبفرض أن a.

xبوضع a ( 1في) 0نجد أن( )f a a تعويض كلو (1باالشتقاق مرة واحدة لـ )وx بـa

)1نجد أن )f a a . ثالثة وتعويض كلو وباالشتقاق مرة ثانيةx بــa نحصل على:

(2) (3)

2 3

( ) ( ), ,.....

2! 3!

f a f aa a

:( نحصل على1و بالتعويض في )

(2) ( )2( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ..... ( )2! !

nn

n

f a f af x f a f a x a x a x a R

n

:يعطى بإحدى الصورتينو يسمى الباقي nRحيث

)صورة الغرانج(

( 1)1( )

( )( 1)!

nn

n

f cR x a

n

)صورة كوشي(

( 1) ( )( )( )

!

n

n

f cR x c x a

n

a,بين cيكون xإذا كان من أجل كل x فإنlim 0nn

R

.ارب المتسلسلةمع الدالة في مجال تق هذا يعني أنه يتطابق مجموع المتسلسلةو (1وبالتالي تصبح العالقة )

93

(2) ( )2( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ..... ( ) ....(3)2! !

nnf a f a

f x f a f a x a x a x an

التي

)أو مفكوك متسلسلة تايلورتسمى )f x وفق تايلور في جوارx a

0aفي حالة نحصل على الصورة

(2) ( )2(0) (0)

( ) (0) (0) ..... ....(4)2! !

nnf f

f x f f x x xn

)أو مفكوك متسلسلة مكلورانالتي تسمى )f x وفق مكلوران في جوار الصفر.

أي أن وسنعتبر في كل األمثلة القادمة أنه يوجد تطابق السلسلة مع ناتج الدالة في مجال تقاربها

lim 0nn

R

.

ن السل ال يمكمكلوران هو دراسة تقاربها حيث توجد سو الغاية من نشر الدوال بشكل متسلسلة وفق تايلور

.لنقوم بنشر بعض الدوالو إيجاد تقاربها وفترة تقاربها دون وضعها بشكل تايلور أو مكلوران

) ننشر الدالة األسية -1 ) xf x e 0في جوار الصفر أو حسب ماكلوران أيa

( ) (0) 1 , ( ) (0) 1x xf x e f f x e f

( ) ( )( ) (0) 1, ( ) (0) 1x n x nf x e f f x e f

:(4ون سلسلة ماكلوران لهذه الدالة حسب العالقة )وتك

2 3

1 ..... ....(5)2! 3! !

nx x x x

e xn

ولنوجد مجال تقارب هذه السلسلة

1 1 ( 1)! 1lim lim . lim

! 1 4

n

n n nn

a n nR

a n

94

)إذا مجال تقارب السلسلة هو الفترة المفتوحة , ) .

نشر الدالة -2xe

( ونحصل على 1في المنشور ) xبـ xيتم بتعويض

2 3

1 ..... ( 1) ...........(6)2! 3! !

nx nx x x

e xn

x .

:نشر الدوال القطعية -3

:نحصل على 2القسمة على و (6)و (5بجمع )

2 4 2

cosh 1 ..... ......2 2! 4! 2 !

x x ne e x x xx x

n

:نحصل على 2القسمة على و (5من ) (6و بطرح )

3 5 2 1

sinh ..... ......2 3! 5! (2 1)!

x x ne e x x xx x x

n

ت التقارب و لنعطي بعض متسلسالت القوى المكتوبة بصورة مفكوك لدالة وفق تايلور أو مكلوران مع فترا

:المشار لكل منها وذلك كما يلي

sinyوقبل ذلك نعطي المثال التالي لنشر دالة مثلثية x

)انشر الدالة :(12مثال ) ) sinf x y x وفق مكلوران

( ) sin (0) 0f x x f

( ) cos (0) 1 ,cos sin( )2

f x x f x x

2( ) sin (0) 0 , sin sin( )

2f x x f x x

95

3( ) cos (0) 1 , cos sin( )

2f x x f x x

( ) ( )( ) sin( ) (0) sin( )2 2

n nn nf x x f

بالتعويض في و 1-و 1نالحظ أن المشتقات ذات المراتب الزوجية تنعدم بينما ذات المراتب الفردية تتناوب بين

دستور ماكلوران نجد أن

3 5 2 1

sin ..... ( 1) ......3! 5! (2 1)!

nnx x x

x xn

إليجاد نصف قطر التقارب لهذه المتسلسلة نطبق العالقة

1

1 (2 3)! (2 3)(2 2)(2 1)!lim lim . lim

(2 1)! 1 (2 1)!

n

n n nn

a n n n nR

a n n

أي نصف قطر التقارب هو

cosyنشر الدالة -2 x . بقة لنشر دالة بنفس المعالجة الساsin xنحصل على منشور

cos x في متسلسلة ماكلوران

2 4 2

cos 1 ..... ( 1) ......2! 4! 2 !

nnx x x

xn

دساتير أولر -6.5

لنشر الدالة i xe نجد أن

2 2 3 3 4 4

1 ..... ....2! 3! 4! !

n ni x i x i x i x i x

e ixn

بتعويض 2i نجد أن 1-بــ

96

2 3 4

1 .........2! 3! 4!

i x x ix xe ix

2 4 3 5

(1 .....) ( ......)2! 4! 3! 5!

x x x xi x

التعويض نجد أن و التجيبو وبمقارنة الطرف الثاني مع منشور الجيب

cos sin (*)i xe x i x

نحصل على iبــ iوبالتعويض في هذا الدستور

cos sin (**)i xe x i x

نستنتج أن (**)و (*)من

cos , sin2 2

i x i x i x i xe e e ex x

i

.وهذه الدساتير تسمى دساتير أولر

تمارين محلولة -6.6

:ة اآلتيةلأوجد فترة تقارب كل المتسلس :(1تمرين )

1

1

1

( 1)( 1) 2 (3 1)lim lim .

2 (3 2) ( 1)

n n

n

n nn nn

a n x n

a n n x

1( 1)( 1)(3 1)lim

2 (3 2) 2n

xn x n

n n

1أي أن المتسلسلة تتقارب عندما 2x 1تتباعد عندما و 2x يفشل اختبار داالمبير عندما و

1 2x 3أي عند, 3x x .

97

3xعند فإن المتسلسلة تصبح1 3 1n

n

n

عندماو التي تتباعد ألن حدها النوني ال يقترب من الصفر

3x فإن المتسلسلة تصبح1

( 1)

3 1

n

n

n

n

التي أيضا تتباعد ألن الحد النوني ال يقترب من الصفرو

:إذا فترة التقارب هي

1 3 2 1 2x x

:لتكن المتسلسلة الصحيحة :(2تمرين )

2 3

2 3..........

2.3 4.3 6.3

x x x

والمطلوب

كتابة الصيغة العامة لهذه المتسلسلة؟ -1

مجال تقاربها؟و تعيين نصف قطر التقارب -2

,3بيان إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة من أجل كل من القيمتين -3 3x x

صيغةيعطى الحد العام بال :الحل2 3

n

n n

xa

n

من أجل دراسة التقارب نطبق دالمبير

1

1

1

2 3lim lim .

2( 1)3

lim3( 1) 3

n n

n

n nn nn

n

a x n

a n x

xx n

n

98

1حتى تكون المتسلسلة متقاربة يجب أن يكون 3

x 3أي أن يكونx نصف قطر التقارب و

3R 3 بمجال التقارو 3x أي الفترة( 3,3)

3x من أجل نعوض فنجد أن

1 1 1........

2 4 6S

1 1 1(1 ........)

2 2 3S

3xنستنتج من أجل و إن ما بين القوسين ليس إال المتسلسلة التوافقية المتباعدة المتسلسلة غير متقاربة.

3xمن أجل نعوض فنجد:

1 1 1........

2 4 6S

1nالقيمة المطلقة لحدودها متناقصة ألن و نالحظ أنها سلسلة متناوبة na a ينتهي إلى حدها العامو

الصفر 1

lim 02n n

3ربة إذا من أجل فهي متقاx مجال التقارب يكون و متقاربة 3,3

لتكن المتسلسلة :(3تمرين )

2 3

2 31

.......... .....2 2 2.2 3.2 .2

n n

n nn

x x x x x

n n

.فترة التقارب ثم ادرس طبيعة المتسلسلة من أجل طرفي مجال التقاربو عين نصف قطر التقارب

نسبة ) دالمبير (نستخدم اختبار ال :الحل

99

1

1

1

22lim lim .

( 1)2

lim . 1 2( 1)2 1 2

n n

n

n nn nn

n

a x

a n x

xx nx

n

2Rإذا نصف قطر التقارب هو فترة التقارب هو و 2, 2

دراسة طبيعة المتسلسلة عند طرفي مجال التقارب يكون

2x من أجل نعوض فنجد أن

1 1 11 ........ ...

2 3S

n

وهي المتسلسلة التوافقية المتباعدة

2xومن أجل نعوض فنجد

1 1 ( 1)1 ........ ...

2 3

n

Sn

1nالقيم المطلقة لحدودها متناقصة و وهي متسلسلة متناوبة na a

limوحدها العام ينتهي إلى الصفر أي أن 0nn

a

فهي متقاربة إذا فترة التقارب هي

2 2x .

إضافـات مـدرس المقـرر

100