3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Первая часть третьего издания «Практикума по атомной физике» со-

держит описания семи лабораторных работ, отражающих эксперименты и

теории, сыгравшие принципиальную роль в становлении и развитии кван-

товых представлений в физике.

В это издание включены работы, существенно модернизированные в

экспериментальной части, а также новые работы, разработанные в виде

учебно-методических комплексов в НИИЯФ МГУ.

Каждая работа включает теоретическую часть, описание и характери-

стики используемой аппаратуры, практические задания и порядок их вы-

полнения, а также контрольные вопросы, по которым студенты могут су-

дить о степени своей готовности к выполнению заданий. Следует отме-

тить, что теоретический раздел каждого описания не является полным и

дает лишь конспективное изложение изучаемого физического явления, с

которым студент в процессе подготовки должен ознакомиться самостоя-

тельно по литературе, рекомендуемой в конце каждой работы.

Ю.П. Синичкин

В.И. Цой

4

Лабораторная работа 1

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.

ИЗМЕРЕНИЕ ЯРКОСТНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

Введение

Т е п л о в о е излучение - это самосвечение вещества, обусловленное

тепловым движением входящих в его состав частиц. Так как тепловое

движение неустранимо (оно прекращается только при температуре, равной

абсолютному нулю, но такая температура, как известно, недостижима), то

и тепловое излучение вещества, его самосвечение, имеет место всегда.

Физический механизм этого излучения зависит от температуры и агре-

гатного состояния вещества. При низких температурах (Т 500-600 К) из-

лучение обусловлено колебательно-вращательным движением молекул, а

также колебаниями атомов или ионов, составлющих твердое тело. Энер-

гия, выделяемая при этом в единичных актах испускания, мала, и поэтому

практически весь спектр излучения тел при низких температурах находит-

ся в инфракрасной невидимой области.

С ростом температуры тела его энергия становится достаточной, чтобы

перевести атомы или молекулы в возбужденные электронные состояния.

Энергия излучения из этих состояний значительно больше, чем колеба-

тельно-вращательная, поэтому с увеличением Т весь спектр теплового из-

лучения смещается в сторону более коротких длин волн, т.е. в видимую

область.

Механизм теплового излучения металлов имеет свои особенности. В

металлах есть много свободных, т.е. принадлежащих не отдельным ато-

мам, а всей металлической решетке, электронов. При нагревании средняя

5

скорость движения этих электронов растет. Но поскольку “свободные”

электроны движутся в металлической решетке, то они периодически стал-

киваются с ее атомами, тормозятся и, как всякая заряженная частица, дви-

жущаяся с ускорением (в данном случае - отрицательным), излучают элек-

тромагнитные волны. Понятно, что кроме этого металл при нагревании из-

лучает также за счет колебательно-вращательного и электронного движе-

ний составляющих его атомов (ионов).

В процессе излучения тело теряет энергию и охлаждается. Для поддер-

жания постоянной температуры необходим приток энергии извне - за счет

поглощения внешнего излучения или тепла от окружающей среды, путем

нагрева электрическим током и т.д. При постоянной температуре излу-

чающее тело и окружающая среда находятся в состоянии термодинамиче-

ского равновесия, которое является основной отличительной чертой теп-

лового излучения.

Приведенная здесь сильно упрощенная схема механизма теплового из-

лучения не учитывает многих его особенностей. Однако независимо от

природы температурно излучающего вещества были экспериментально

установлены следующие качественные закономерности:

а) при любой температуре Т 0 К все тела излучают электромагнитные

волны;

б) интенсивность излучения не зависит от свойств окружающей cреды и

определяется только температурой данного тела;

в) c повышением температуры растет доля энергии теплового излучения,

приходящаяся на область коротких длин волн. При низкой (например,

комнатной) температуре излучение практически ограничено лишь очень

длинными инфракрасными невидимыми волнами. По мере нагревания ок-

раска тела начинает меняться, становясь сначала красной, а затем белой,

что указывает на смещение максимума излучения в коротковолновую об-

ласть спектра;

6

г) тепловое излучение в отличие от других видов излучения (люминесцен-

ции, рассеяния, отражения, тормозного, лазерного) является равновесным,

т.е. это электромагнитное излучение тела, находящегося в состоянии тер-

модинамического равновесия со средой.

Ц е л ь р а б о т ы: изучение основных законов теплового излучения;

практическое ознакомление с методами измерения температуры тела по

яркости его свечения; экспериментальное определение постоянных, харак-

теризующих излучение металла (вольфрама).

Основные характеристики теплового излучения

1. С п е к т р а л ь н а я и з л у ч а т е л ь н а я с п о с о б н о с т ь ,TE

или ,TE (синонимы: спектральная энергетическая светимость; спектраль-

ная поверхностная плотность излучения) - энергия, излучаемая единицей

поверхности тела (имеющего температуру Т) за 1 секунду в единичном

спектральном интервале. Для абсолютно черного тела эта величина обо-

значается через ,T или ,T .

2. И н т е г р а л ь н а я и з л у ч а т е л ь н а я с п о с о б н о с т ь TE

(синонимы: энергетическая светимость; поверхностная плотность излуче-

ния) - энергия, излучаемая единицей поверхности тела (имеющего темпе-

ратуру Т) за 1 секунду по всему спектру:

0 0, ,T T TE E d E d

Для абсолютно черного тела эта величина обозначается следующим обра-

зом:

0 0, ,T T Td d

.

7

3. О б ъ е м н а я с п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь и з л у ч е н и я

,T - энергия, содержащаяся в единице объема поля излучения (порож-

денного телом, имеющим температуру Т) в единичном спектральном ин-

тервале. Для абсолютно черного тела объемная плотность излучения ,T

связана с поверхностной плотностью излучения ,T соотношением

, ,4T Tc ,

где с - скорость света.

4. С п е к т р а л ь н а я п о г л о щ а т е л ь н а я с п о с о б н о с т ь

тела ,T или ,T - отношение энергии, поглощенной единицей поверх-

ности за 1 секунду в единичном спектральном интервале, к энергии па-

дающего на поверхность световому потоку, т.е. ,T или ,T выражает

долю поглощенной энергии. Так как тело не может поглотить энергии

больше, чем ее получает, то всегда ,T 1 (или ,T 1). Таким образом,

,T или ,T означают долю энергии, поглощенной единичной площад-

кой за 1 секунду.

Для а б с о л ю т н о ч е р н о г о т е л а ,T = ,T = 1.

Закон Кирхгофа для теплового излучения материальных тел

Поместим несколько различных тел с температурами Т1 , Т2 , Т3 , ... в от-

качанную адиабатическую оболочку с идеально отражающими стенками.

Тогда обмен энергией между телами возможен только за счет излучения и

поглощения ими электромагнитных волн. По законам термодинамики че-

рез некоторое время все тела будут иметь одну и ту же температуру, а

внутри оболочки установится электромагнитное поле, соответствующее

той же температуре, т. е. установится равновесное состояние между тепло-

вым излучением тел и поглощением ими электромагнитных волн.

8

Для этого случая Кирхгоф сформулировал один из основных законов

теплового излучения: отношение спектральной излучательной способно-

сти ,TE к спектральной поглощательной способности ,T не зависит от

природы тела (в противном случае равновесное излучение не могло бы

существовать там, где есть различные вещества) и является универсальной

функцией ,T , зависящей только от температуры и частоты. При этом от-

дельно взятые ,TE и ,T могут меняться от одного тела к другому, тогда

как их отношение универсально:

1 2

, ,,

, ,...T T

TT T

E E

. (1)

Среди многообразия тел особое место занимает такое, поглощательная

способность которого для всех частот при любой температуре равна еди-

нице: ,T =1. Его называют а б с о л ю т н о ч е р н ы м т е л о м (АЧТ).

Сравнивая определение АЧТ с законом Кирхгофа (1), cтановится очевид-

ным, что универсальная функция Кирхгофа ,T представляет собой спек-

тральную излучательную способность абсолютно черного тела.

Излучательная способность тела тем больше, чем больше его поглоща-

тельная способность. Так как для всех тел, кроме АЧТ, величина ,T 1,

то из всех тел при одной и той же температуре абсолютно черное тело об-

ладает наибольшей излучательной способностью. Из закона Кирхгофа вы-

текает также, что всякое тело при данной температуре излучает преимуще-

ственно лучи таких частот (длин волн), которые оно при той же темпера-

туре сильнее всего поглощает.

В дальнейшем мы будем рассматривать излучающие поверхности твер-

дых тел, спектр излучения которых является непрерывным (сплошным).

9

Абсолютно черное тело является идеализированным объектом и в при-

роде не существует. Наилучшим приближением к абсолютно черному те-

лу, по предложению Кирхгофа, является замкнутая полость, в стенке кото-

рой сделано малое отверстие, через которое излучение из полости может

выходить наружу. Полость поддерживается при постоянной температуре.

Если стенки полости непрозрачны, то при достаточно малых размерах от-

верстия в полости установится излучение, бесконечно мало отличающееся

от равновесного. Излучение, попадающее в полость через отверстие извне,

после многократного отражения от стенок, в конце концов, полностью по-

глощается ими. Через отверстие будет выходить практически такое же из-

лучение, какое испускалось бы абсолютно черной площадкой той же фор-

мы и размеров.

Законы излучения абсолютно черного тела

Из закона Кирхгофа следует, что знание аналитического вида функции

,T открывает возможность по формуле (1) рассчитать спектральную

энергетическую светимость ,TE для любого тела, если известна его по-

глощательная способность ,T , легко измеряемая экспериментально.

Рассматривая модель АЧТ, предложенную Кирхгофом, как равновес-

ную термодинамическую систему, Вину удалось вывести формулу, описы-

вающую распределение спектральной энергетической светимости АЧТ:

3,T F

T

, (2)

где F - функция, зависящая только от отношения частоты к температуре,

явный вид которой нельзя установить термодинамическими методами, не

рассматривая конкретного механизма испускания и поглощения. Однако в

формуле (2), являющейся прямым следствием термодинамики, вид функ-

ции не должен зависеть от конкретного механизма излучения и поглоще-

10

ния. Так как формула (2) получена с помощью термодинамики, она, безус-

ловно, верна, поэтому любая другая формула, полученная при помощи ка-

ких-либо специальных предположений о механизме излучения, обязатель-

но должна удовлетворять требованиям этой формулы, а именно, содержать

(кроме постоянных) куб частоты и функцию отношения /T.

Поскольку форма закона (2) не должна зависеть от конкретного меха-

низма излучения, то в качестве простейшей модели излучающего матери-

ального центра была выбрана модель линейного гармонического осцилля-

тора с собственной частотой . Находясь в полости с равновесным излуче-

нием, под действием хаотически меняющегося электромагнитного поля

излучения осциллятор будет совершать вынужденные колебания с хаоти-

чески меняющимися амплитудами и фазами, излучая и поглощая электро-

магнитные волны. Энергия осциллятора будет совершать беспорядочные

флуктуации вокруг значения . Излучаемая осциллятором за 1 секунду

энергия равна:

2 2 2

23 3

2 2d ν3 3

ε e (r) e= = ( π )c mc

2 ε , (3)

так как , 2(2 )r r 2

2кин пот

1= = (2πν ) =2 2 2

ε εm r m r ε ,

то есть 2

2 4 2 42

(2πν)( ) = (2πν) = (2πν) =(2πν)ε εr r

mm

С другой стороны, осциллятор, помещенный в поле излучения, объем-

ная спектральная плотность которого есть ,T , каждую секунду поглоща-

ет энергию этого поля. Поглощенная энергия определяется работой, кото-

рую затрачивает поле излучения, поддерживая колебания осциллятора. Ра-

бота, произведенная над осциллятором полем излучения в 1 секунду, рав-

на:

2

,πd =3 TeWm , (4)

11

где ,T - энергия электромагнитного поля частоты , содержащаяся в

единице объема полости.

В случае равновесия излучаемая и поглощаемая осциллятором энергии

должны совпадать друг с другом. Поэтому:

2

3,ν εT

8π=c

, (5)

где - средняя энергия осциллятора, колеблющегося с частотой .

Можно показать, что поверхностная плотность излучения ,T (т.е.

энергия, излучаемая единицей поверхности АЧТ в 1 секунду, в данном

случае единицей поверхности отверстия полости) связана с объемной

плотностью излучения ,T (т.е. с энергией, содержащейся в единице объ-

ема полости АЧТ) соотношением , 4Tc

,T , поэтому:

2

2,2 ν εTπ=c

. (6)

Согласно классическим представлениям энергия осциллятора может

изменяться непрерывно, причем при равновесии с излучением состояние

осциллятора, характеризуемое энергией , встречается с относительной

вероятностью , так что exp( κΤ получается в результате усреднения

по всем состояниям с этим весовым множителем. Полагая для краткости

, находим: 1/κΤ

0 0

0

0 0

=

exp(- / )d exp(- )dd- ln exp(- )d =d

exp(- / )d exp(- )dε ε ε ε

kT

kT

d 1 d 1= - ln = lnγ = =dγ γ dγ γ

kT (7)

12

Если это среднее значение энергии осциллятора, определенное класси-

чески, подставить в формулу излучения (6), то она дает:

2

32 2,

2πν 2π= = ννc cT

k TkT . (8)

Это - формула Релея-Джинса. Она согласуется с термодинамической

формулой Вина (2) и хорошо совпадает с опытом в области малых частот

(то есть в длинноволновой области излучения), в этой области интенсив-

ность излучения возрастает пропорционально квадрату частоты. Но для

больших частот она уже не верна. Опыт показывает, что интенсивность

достигает максимума при некоторой частоте, а затем снова падает. Однако

формула (8) не дает никаких указаний на этот максимум; наоборот, со-

гласно формуле Релея-Джинса (8), спектральная интенсивность растет как

квадрат частоты и в пределе очень больших частот, то есть очень малых

длин волн, становится бесконечно большой. То же самое справедливо и по

отношению к полной энергии излучения 0

,T T d

- этот интеграл рас-

ходится; имеет место, как говорят, “ультрафиолетовая катастрофа”.

Формула для спектральной энергетической светимости ,T (поверхно-

стной плотности излучения АЧТ), согласующаяся с опытом в любой об-

ласти частот, была получена Планком путем отказа от классических пред-

ставлений о непрерывности излучения и поглощения света веществом.

Предполагается, что энергия гармонического осциллятора может прини-

мать (помимо = 0) не произвольные, а только избранные значения, обра-

зующие дискретный ряд: , 2

, 3

, ... , где

- определенная величина,

зависящая только от собственной частоты осциллятора.

Если осциллятор изолирован, то по истечении достаточно длительного

времени он потеряет свою энергию на излучение и перейдет на самый низ-

кий энергетический уровень с энергией = 0. Но если осциллятор нахо-

13

дится в поле излучения полости, стенки которой поддерживаются при по-

стоянной температуре Т, то наряду с излучением будут происходить и ак-

ты поглощения, в результате которых возбуждаются и высшие энергетиче-

ские уровни. Установится вполне определенное состояние детального рав-

новесия, в котором число переходов с излучением в среднем равно числу

обратных переходов с поглощением. В этом состоянии будут возбуждены

все энергетические уровни, но с различными вероятностями. Вероятности

возбуждения энергетических уровней осциллятора пропорциональны ве-

личинам: 1 (для = 0), , exp(- / )kT exp(-2 / )kT

, ... .

Теперь в расчете средней энергии осциллятора фигурируют уже не

все энергии, как это было раньше, а лишь энергии вида (n =

0,1,2,3,...) и формально вычисление

0nn

отличается от предыдущего только

заменой интегрирования суммированием:

0 0 0 0n 0 n 0

n 0

/ )

) e

kT n

kT

n 0

0 0n 0 n 0

exp(- / ) exp(- )=

/ xp(- / ) exp(- )

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε

n n

n

n kT n n

n kT n

exp(-

exp(-

0 0n= 0

d d 1 d= - ln xp(-nγ ) = - ln = ln(1-exp(-γ ) =dγ dγ 1-exp(-γ ) dγ

ε εε0e

0 0 0 0

0 0 0

exp(-γ )= =

1-exp(-γ ) exp(γ ) -1 exp( / ) -1ε ε ε ε

ε ε ε kT (9)

Подставляя это выражение в формулу (6), получаем:

2

02

0,

2πν=exp( / ) -1

εεT kTc

. (10)

14

Величину можно определить из требования, чтобы выражение (10)

удовлетворяло общей термодинамической формуле Вина (2). Приравняв

(10) и (2), видно, что это требование сводится к выполнению соотношения:

02

0

/2π=exp( / ) -1

εεF

T c kT

. (11)

Но есть характеристика только самого осциллятора, а потому не может

зависеть от температуры Т - макроскопического параметра, определяюще-

го состояние вещества и излучения. Величина

может зависеть только от

собственной частоты осциллятора. Поэтому для того, чтобы правая часть

(11) была функцией только аргумента T , необходимо и достаточно, чтобы

h , (12)

где h - постоянная. Эта постоянная универсальна, поскольку в левой части

(11) стоит универсальная функция ( )FT . Величина h называется постоян-

ной Планка. Используя (12), получаем выражение для средней энергии

квантованного осциллятора в виде:

exp( / ) 1

h

h kT

,

т. е. она не равна kT, а зависит сложным образом от частоты . Значит, раз-

ным частотам соответствуют различные средние энергии осциллятора.

Однако при малых частотах квантовые свойства осциллятора оказываются

малозаметными и для получаем kT, что соответствует закону равномер-

ного распределения энергии осциллятора по степеням свободы.

Если теперь (12) подставить в формулу (10), то получаем формулу

Планка:

15

3

2,h

c exp( / ) 1T

h kT

. (13)

Обычно эту формулу в практических применениях пишут в переменных ,

используя соотношение , dν d , то есть 2, ,dνd

c

.

Поэтому в переменных , формула Планка имеет вид:

21

5 52

c2π h= =λ exp(h /λ ) -1 λ exp(c /λ ) -1

cc kT T

, (14)

где: c1 =2c2h= м2 Вт, с2 =hc/k =1,44 м К, так как h =

Дж с, k = 1,38 Дж К-1, с =

3,74 10-16

10

10-2

6,63 10-34 -23 3 108 м с-1.

Формула Планка (14) прекрасно согласуется с опытом во всем измерен-

ном диапазоне температур и длин волн. На рис. 1 представлены несколько

кривых, полученных при различных значениях Т. Видно, что с ростом тем-

пературы наблюдается смещение максимума в сторону коротких длин

волн.

Этот факт составляет содержание важного закона теплового излучения

АЧТ - закона смещения Вина, который математически выражается в виде

соотношения:

maxT = b = const (15)

где max длина волны, соответствующая максимуму излучения АЧТ. За-

кон смещения Вина следует из формулы Планка, которая позволяет опре-

делить константу b. Воспользовавшись условием максимума функции

(d,T/d = 0), дифференцируя (14), получаем уравнение:

xe x1

5 , (16)

16

где max max

c

λ λ2hc

x =k T

T

. Корень уравнения (16) x = 4,965, то есть

2

max

c= 4,965

λ T и -32

max

cλ = = 2,9×1

4,965T 0 м К, откуда b = 2, м К. 9 10-3

Как видно из рис. 1, c повышением температуры полная (интегральная)

энергия излучения АЧТ (то есть площадь под кривой ) растет, и как

было экспериментально установлено, растет пропорционально четвертой

степени температуры:

4Т . (17)

Этот факт составляет содержание еще одного из основных законов излуче-

ния АЧТ - закона Стефана - Больцмана.

Используя формулу Планка (14), можно обосновать закон (17) и в яв-

ном виде получить значение постоянной Стефана-Больцмана . Действи-

тельно, интегрируя формулу Планка по всему спектру, получим (вводя пе-

ременную λ

hcx =

k T)

4 4 3

3 20 0

,2

=1T T x

πk T xdeh c

dx . (18)

Последний интеграл равен 4

15 , тогда

44

3 2

25

T

π kT T

15h c

4 , (19)

т. е. 4

3 2

25π k

15h c 5,67 10-8 Вт м-2 К-4. Именно по этой формуле, зная из

опыта , ,k c , Планк впервые рассчитал численное значение h.

Для случая низких частот ν 1λ

h hc=kT k T

формула Планка приводит к

формуле Релея-Джинса (8), так как в этом случае экспоненту в знаменателе

17

формулы (13) целесообразно представить в виде ν=

νT

и фор-

мула (14) преобразуется к вид

exp 1+h

kT

hk

у:

-41

2λ

cλ

cΤ,ε = T . (20)

0 2 4 6 8 10 120

500

1000

1500

2000

25000 2 4 6 8 10 12

0

500

1000

1500

2000

2500

1100 K

1300 K

1500 K

1700 K

, T

Длина волны, мкм

Рис. 1. Зависимость спектральной излучательной способности АЧТ от длины волны при различных температурах

В области высоких частот ν 1λ

h hc=kT k T

экспонента в формуле План-

ка (13) и (14) оказывается гораздо больше единицы. Пренебрегая послед-

ней, получаем

-5 -5 21λ,

cλ exp c λ exp2

Τhcε = 2πc h = -

k T kT

. (21)

Эта формула, также как и формула (2), носит название формулы Вина.

Она, в частности, справедлива для всего видимого диапазона длин волн (

= 0,4 0,8 мкм) вплоть до температур 104 К.

18

Таким образом, из формулы Планка вытекают все основные законы те-

плового излучения АЧТ. На рис. 2 приведены кривые для при Т=1700

К, построенные по формулам (14), (20), (21), и проведено сравнение с экс-

периментом.

λ,Τε

Возвращаясь к термодинамической формуле Вина (2), следует заметить,

что, несмотря на присутствие неявной функции νF( )T

, она приводит к за-

кону смещения Вина (15) и закону Стефана-Больцмана (17). Запишем

формулу (2) в переменных ,T, используя, как и раньше соотношение

, dν d :

4

5c

λλc= FT

. (22)

Условие максимума функции d

= 0dλ

0

приводит к уравнению

5F(y)+ yF (y)= , (23)

где λcy =T

, решением которого является некоторое определенное числен-

ное значение

maxconst

λcy = =

T, (24)

т.е. приводит к закону смещения Вина (15). Интегрирование по всем дли-

нам волн функции

0 0

4 3 4== dλ = d ×T y F(y) y T

const (25)

приводит к закону Стефана-Больцмана (17), поскольку интеграл по у, бу-

дучи константой, от Т не зависит.

Значения постоянных в (24) и (25) могут быть получены только при ис-

пользовании конкретной модели элементарного излучателя (например, мо-

19

дели гармонического осциллятора, с помощью которой были получены

константы b и в формулах (15) и (17)).

0 2 4 6 8 10 12

500

1000

1500

2000

25000 2 4 6 8 10 12

500

1000

1500

2000

2500

длина волны, мкм

, T

3

2

1

Рис.2. Спектральная излучательная способность АЧТ при Т=1700 К.

1 - экспериментальная кривая, совпадающая с теоретической кривой Планка (14); 2 - теоретическая кривая Релея-Джинса (20);

3 - теоретическая кривая Вина (21).

Снова обратимся к модели квантового гармонического осциллятора,

предложенной Планком. Энергетическая система такого осциллятора

представляет собой систему равноотстоящих уровней (n =

0,1,2,3,...), где согласно (12),

0nn

0= νh , - частота колебаний осциллятора. В

этой системе переходы могут осуществляться только между соседними

уровнями. При таком переходе испускается квант света (т.е. частица - фо-

тон) с энергией

1 0 0n+ n- = ( +1) - = =

0νn n h ,

т.е. h, являясь минимальной энергией осциллятора, одновременно являет-

ся энергией дискретной частицы - фотона, который испускается гармони-

ческим осциллятором при квантовом переходе. Так возникла идея дис-

20

кретности излучения, тесно связанная с дискретностью энергии микрообъ-

ектов.

Электромагнитное поле в полости можно рассматривать как систему

устойчивых колебаний (систему стоячих волн), т.е. как набор осциллято-

ров, так как стоячая электромагнитная волна с частотой является излу-

чающей колебательной системой и может быть представлена как модель

осциллятора. Но это уже не тот гармонический осциллятор вещества, ко-

торый мы рассматривали раньше и среднюю энергию которого подсчиты-

вали. Однако, как показывает статистический расчет, энергия стоячих волн

с частотой в единице объема полости численно равна суммарной средней

энергии всех осцилляторов вещества, имеющих ту же частоту. Поэтому

множитель 2

38 νπ

c в формуле (5) можно интерпретировать как число осцил-

ляторов поля (стоячих волн) в единице объема полости, имеющих сред-

нюю энергию, равную .

Следует заметить, что гипотеза световых квантов, т.е. дискретности из-

лучения, встретила вначале сильное сопротивление. Сам Планк полагал,

что излучение не обладает квантовыми свойствами, а ими наделены только

осцилляторы вещества. Большая заслуга в укоренении квантовых свойств

излучения принадлежит Эйнштейну, который впервые выдвинул гипотезу

световых квантов и на основе этой гипотезы дал объяснение фотоэффекту.

Излучение реальных (нечерных) тел

Для нечерного тела согласно закону Кирхгофа (1)

E , (26)

где коэффициент поглощения < 1 c равным правом можно считать и

спектральным коэффициентом излучения (коэффициентом черноты), ко-

торый показывает, какую долю излучения АЧТ составляет излучение дан-

ного нечерного тела.

21

Для интегральной светимости нечерного тела имеем

d0 0

= dλ = λE E

. (27)

Многие тела при нагревании излучают непрерывный спектр, форма ко-

торого близка к спектру излучения АЧТ. К их числу в отдельных диапазо-

нах можно отнести твердые тела с шероховатой поверхностью. Такие тела

называются серыми (неселективными излучателями). Серое тело - это из-

лучатель, спектральный коэффициент излучения которого меньше едини-

цы и не зависит от : < 1. Кривая спектрального распределения

энергии серого тела E аналогична кривой распределения энергии АЧТ

при той же температуре Т.

Интегральная светимость серого тела выражается через интегральную

светимость АЧТ:

0

4= == dλ σE T

. (28)

Наибольший практический интерес среди различных материалов пред-

ставляют металлы, так как они широко используются в качестве искусст-

венных тепловых источников света и нагревать их до различных темпера-

тур можно путем пропускания через них электрического тока. Интеграль-

ная светимость металлов вычисляется по экспериментально установленной

зависимости

4= = [1-exp(- )]E σT βT σT 4 , (29)

где - коэффициент, зависящий от рода металла и имеющий порядок ве-

личины 10-4 (например, для железа = 2,76.10-4 К-1, для никеля = 1,15.10-4

К-1, для серебра = 0,53.10-4 К-1). По мере увеличения температуры излуча-

теля 1 exp( )T 1, т.е. излучение металлов приближается к излу-

чению АЧТ.

22

Соотношение (29) позволяет найти коэффициент , характеризующий

излучательную способность данного металла, из измерений 4==E E

σT

при различных температурах Т:

1 exp( )T , log(1- ) 2,3 1= - = log

log 1-β

T e T

. (30)

При T 1 с некоторой ошибкой можно считать 1 exp( )T T и

4 4= [1-exp(- )] =E βT σT βT σT BT 5 , (31)

где B = имеет порядок величины 10-12 Вт. М-2 К-5 .

Если, используя литературные данные по интегральной светимости

вольфрама построить график зависимости logE от , то получается

прямая с угловым коэффициентом, равным 5, что подтверждает прибли-

женное соотношение (31).

logT

Принцип измерения температуры

Тепловое излучение нагретых тел может быть использовано для изме-

рения их температуры. Существуют три метода измерения Т, основанные

на законах излучения нагретых тел: по спектральной излучательной спо-

собности тела E , по интегральной испускательной способности E и по

относительной излучательной способности на двух длинах волн. Рассмот-

рим более подробно первый метод, основанный на сравнении спектраль-

ной излучательной способности (светимости) нагретого тела со светимо-

стью АЧТ, так как именно этот метод используется в данной работе.

23

Пусть имеется черное тело, нагретое до некоторой температуры, и спе-

циальная пирометрическая лампа, нить накала которой может нагреваться

до различных температур путем изменения тока накала. Будем рассматри-

вать нить на фоне черного тела через светофильтр, выделяющий опреде-

ленный интервал длин волн. Регулируя ток накала, можно добиться исчез-

новения контура нити на фоне раскаленного черного тела. Это означает,

что светимость обоих тел совпала. Повторяя эту операцию для различных

температур черного тела, прокалибруем в шкале температур светимость

нити накала в зависимости от тока. После этого пирометрическая лампа

может уже служить в качестве термометра.

Если в качестве объекта излучения взять теперь любое нагретое тело и

использовать методику, примененную при калибровке нити пирометриче-

ской лампы, то можно определить температуру тела. Если оно излучает как

абсолютно черное тело, то его искомая температура находится сразу по

шкале пирометра. Реально тела не являются черными, так что найденное

указанным способом значение температуры, обычно называемой яркост-

ной, будет нуждаться в некоторой поправке.

Яркостной температурой нечерного тела, имеющего температуру Т, на-

зывается такая температура абсолютно черного тела, при которой его

яркость (светимость) для узкой области спектра равна яркости (светимо-

сти) исследуемого тела в той же спектральной области при истинной тем-

пературе Т.

ST

Яркостная температура тела отличается от его истинной термодинами-

ческой температуры. Это связано с тем, что, в соответствии с законом

Кирхгофа (26), любое тело излучает меньше, чем абсолютно черное при

той же температуре, т.е. при одинаковой их светимости температура ис-

следуемого тела должна быть выше температуры черного тела, найденного

в опыте.

24

При фиксированной длине волны = излучательная способность АЧТ

р т с ростом Т (см. рис. 1). Также с ростом Т растет в соответствии

с (26) излучательная способность реального (нечерного) тела для той же

длины волны (рис. 3), причем

асте

E , т. к.

1.

s

1

s1

1E

E

Рис. 3. К определению яркостной температуры нечерного тела.

Поскольку металлы в диапазоне видимых длин волн ведут себя как се-

рые тела, то их спектральный коэффициент излучения (коэффициент

черноты) практически остается постоянным и почти не зависит от Т (

const) в этом диапазоне. Поэтому именно для металлов рост кривых и

E на рис. 3 почти одинаков (почти параллелен).

Соотношение Кирхгофа (26) позволяет связать между собой яркостную

и термодинамическую температуры тела. Поскольку в измерениях дости-

гается равенство спектральной светимости металла (нечерного тела) E

25

при температуре Т со спектральной светимостью АЧТ при темпера-

туре , то ST

2 1

2 1

/ )

/ )

exp(c λ -1= = =

exp(c λ -1S

S

E TT

. (32)

Так как для видимого диапазона 2

1

c>>1

λ T, то можно пренебречь единица-

ми в числителе и знаменателе, т.е. по существу использовать формулу Ви-

на (21). В результате получаем

2

1

c 1 1ln = -λ ST T

и поскольку, как показывает опыт, Т и отличаются не сильно, для тем-

пературы Т изучаемого нечерного тела (металла) получаем:

ST

21

2

λ ln= -

cS

S

TT T

. (33)

Описание установки

Определение истинной температуры тела производится с помощью оп-

тического пирометра с исчезающей нитью и пересчетом полученных зна-

чений в Т по формуле (33). На рис. 4 представлена схема установки. ST

Объектив пирометра 2 проецирует изображение исследуемого тела 1 в

плоскость расположения нити накала пирометрической лампы 4. Нить на-

кала и изображение светящегося тела рассматриваются через окуляр 5. По-

воротом и вертикальным смещением пирометра необходимо добиться,

чтобы нить накала пирометра частично перекрыла изображение спирали

исследуемой лампы накаливания (рис.4а). В трубке окуляра пирометра на-

ходится красный светофильтр 6, максимальное пропускание которого со-

ответствует длине волны 1=0,66 мкм. Этот светофильтр необходим при

26

измерениях температуры всегда, но он может выводиться из поля зрения

при наводке объектива пирометра на резкое изображение спирали иссле-

дуемой лампы. Управление красным светофильтром осуществляется пово-

ротом выступающего кольца на окуляре пирометра. Кроме красного, име-

ется еще нейтральный светофильтр 3, предназначенный для равномерного

по всем длинам волн ослабления яркости изображения исследуемых тел,

температура которых превышает 14000С.

Рис. 4. Схема установки (нить накала пирометрической лампы 4 на рисунке повернута на 900). 4-а - совмещение нити пирометрической

лампы с изображением спирали исследуемой лампы.

В работе в качестве пирометра используется пирометр ПРОМИНЬ-М1,

позволяющий измерять температуру в диапазоне от 800 до 2000 0С.

Конструктивно прибор выполнен в виде малогабаритного переносного

прибора, внешний вид которого показан на рис. 5.

На приборе расположено 6 кнопок управления «Вкл», «+», «-», «ЗАП.»,

«МЕНЮ», «х100» и переключатель диапазонов и дисплей, на котором

отображается измеренная температура.

27

Рис. 5. Внешний вид пирометра. 1 – объектив; 2 – переключатель диапазонов; 3, 4 – кнопки дискретного изменения температуры пирометрической лампы; 5 – устройство ввода красного светофильтра; 6 – окуляр; 7 – гнездо питания,

8 - дисплей.

Назначение кнопок

Кнопка «Вкл» - кратковременное нажатие включает прибор, длитель-

ное нажатие отключает прибор.

Кнопки «+» и «-» - в основном режиме изменяют значение тока лампы с

дискретностью 1 0С. После 10 непрерывных увеличений (уменьшений)

температуры на 1 0С прибор выдает одиночный звуковой сигнал и теперь

будет увеличивать (уменьшать) температуру с шагом 10 0С (ускоренный

набор).

Кнопка «х 100» - при одновременном нажатии с кнопками «+», «-» уве-

личивает (уменьшает) ток лампы с дискретностью в 100 0С.

Переключатель диапазонов для переключения диапазонов измеряе-

мых температур. Если переключатель находится в положении I («утоплен-

ное состояние»), температура измеряется в диапазоне от 800 до 1450 0С;

при измерении температур в диапазоне от 1200 до 2000 0С переключатель

диапазонов необходимо перевести в положение II («отжатое состояние»).

28

При измерении температур ниже 900 0С измерения можно проводить с

выведенным красным светофильтром, расположенным перед окуляром пи-

рометра.

Кнопки «ЗАП.» и «МЕНЮ» для выполнения данной работы не требу-

ются. Их назначение можно узнать в Техническом описании и инструкции

по эксплуатации прибора у инженера практикума.

Объектом измерений в данной работе является вольфрамовая спираль

специальной лампы накаливания. Спираль располагается на расстоянии 1

метр от объектива пирометра. Напряжение и ток накала спирали регулиру-

ется автотрансформатором, встроенным в блок питания исследуемой лам-

пы. На этом же блоке расположены приборы, измеряющие силу тока и на-

пряжение на лампе накаливания.

Следует отметить, что в окуляре пирометра рассматривается не сама

спираль исследуемой лампы, а ее изображение, даваемое объективом. Яс-

но, что светимость изображения меньше светимости самой спирали вслед-

ствие потерь в объективе. Соответствующая поправка учтена при конст-

руировании пирометра и калибровке его шкал.

Задание 1. Определение истинной температуры спирали исследуемой

лампы при различных значениях тока и напряжения.

Порядок выполнения задания.

1. Включить накал нити пирометрической лампы. Нажатием кнопок «+»

и «-» нагреть нить до 8000С.

2. Вывести из поля зрения красный светофильтр.

3. Перевести переключатель диапазонов в положение I («утопленное

состояние»).

4. Тумблером на блоке питания включить накал исследуемой лампы,

ручкой “ток накала” установить ток, равный 2 А.

29

5. Продольным перемещением объектива пирометра добиться резкого

изображения спирали исследуемой лампы. Совместить часть нити пиро-

метра со спиралью лампы, как показано на рис. 4а.

6. Ввести красный светофильтр. Произвести измерение яркостной тем-

пературы спирали, для чего с помощью кнопок «+» и «-» и «х 100» (при

необходимости) добиться исчезновения изображения нити пирометра на

фоне спирали исследуемой лампы. Записать полученные яркостную тем-

пературу (отображенную на дисплее), ток и напряжение спирали иссле-

дуемой лампы.

7. Увеличивая силу тока через 0,5 А и фиксируя каждый раз значение

напряжения, измерить в каждом случае яркостную температуру спирали.

При этом нужно иметь в виду, что нить накала обладает тепловой инерци-

ей. Инерционен в восприятии яркостей также человеческий глаз, поэтому

все регулировки должны быть плавными. Каждое измерение температуры

(для одного и того же значения тока спирали исследуемой лампы) необхо-

димо произвести несколько раз, изменяя накал нити пирометра и вновь до-

биваясь ее исчезновения на фоне спирали исследуемой лампы.

8. Для каждого значения тока накала вычислить истинную температуру

спирали Т, учтя, что коэффициент черноты для вольфрама при 1 =

0,66 мкм равен 0,45. Так как и 1 являются постоянными величинами,

то расчетная формула (33) упрощается: поскольку

1

2

λ ln=

c

S

- 3,66 10-5 К-1,

то

. (34) 2-5= + 3,66×10ST T T

Формула (34) показывает, что термодинамическая температура серого тела

ненамного превышает его яркостную температуру.

30

Cледует помнить, что на шкалах пирометра температура указана в гра-

дусах Цельсия и требует пересчета на шкалу Кельвина.

9. Составить таблицу полученных значений I, V, T, и построить гра-

фик зависимости .

ST

= ST f T

Задание 2. Экспериментальное определение интегрального коэффици-

ента излучения = TE

и коэффициента , характеризующего излуча-

тельную способность вольфрама.

1. Полученные в задании 1 значения I, V, T позволяют эксперименталь-

но определить интегральный коэффициент излучения вольфрама. При

высоких температурах подводимая к спирали лампы мощность P = I V

полностью расходуется на излучение. Тогда = =P IS

T

VES

, где S - пло-

щадь светящейся поверности спирали (S = 0,6 см2), и = 4I V

S σ T

. Убе-

диться, что с увеличением T величина возрастает, приближаясь к 1, и,

таким образом, излучение вольфрама приближается к излучению АЧТ.

2. По найденным значениям , используя формулу (30), вычислить

для тех же температур T, что и при выполнении задания 1.

3. Используя приближенное соотношение (31), оценить величину B и

сравнить с рассчитанной величиной B= , где - величина, вычисленная

по формуле (30). Составить таблицу полученных значений T, , и B.

4. Построить зависимость log = logTI VES от l . ogT

5. Из полученного графика определить тангенс угла наклона. Это будет

n в законе Стефана-Больцмана для серого тела =TnE B T . Сравнить с тео-

ретическим значением n (см. формулу (31)). Объяснить результат. Оценить

погрешность.

31

Контрольные вопросы

1. Какова природа теплового излучения и каков физический механизм

теплового излучения при различных температурах?

2. Назовите основные характеристики теплового излучения. В чем суть

закона Кирхгофа?

3. Каковы законы излучения абсолютно черного тела?

4. Какова модель абсолютно черного тела?

5. Какова роль Планка в формировании квантовых представлений в фи-

зике? Какие идеи положены в основу вывода формулы Планка?

6. Какова теория излучения реальных (нечерных) тел?

7. Что такое яркостная температура TS и как она связана с истинной

температурой Т реального (нечерного) тела?

8. Принцип действия, конструкция и метод градуировки оптического

пирометра. Определение яркостной температуры тела.

Литература

1. Ландсберг Г.С. Оптика. М., 1976.

2. Матвеев А.Н. Оптика. М., 1985.

3. Бутиков Е.И. Оптика. М., 1986.

4. Оптика и атомная физика: Лабораторный практикум по физике / Под

ред. Р.И.Солоухина. Новосибирск, 1976.

32

Лабораторная работа 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА

Введение

Возникновение квантовых представлений в физике связано с теоретиче-

ским анализом законов теплового излучения. Исторически эти представле-

ния в первую очередь касались свойств вещества, а не поля излучения.

Моделируя излучающее тело набором гармонических осцилляторов,

Планк выдвинул гипотезу, согласно которой осциллятор вещества может

обладать только дискретным набором энергий nh ( n = 0, 1, 2,…) и в

процессе взаимодействия с полем изучения может менять свою энергию

порциями, равными h .

Постоянная величина , введенная Планком и носящая его имя, играет

роль одной из фундаментальных постоянных наряду с такими, как заряд и

масса электрона, скорость света, постоянная Больцмана. Как показало по-

следующее развитие квантовой физики, все механические моменты ато-

мов, молекул, электронов и ядер выражаются в единицах h. Кроме того,

постоянная Планка входит в ряд соотношений, играющих принципиаль-

ную роль в квантовой физике и определяющих дискретность состояний

микрочастиц и корпускулярно-волновую двойственность их свойств.

h

Ц е л и р а б о т ы : изучение законов внешнего фотоэффекта;

ознакомление с методами определения постоянной Планка; эксперимен-

тальное определение постоянной Планка, работы выхода и красной грани-

цы фотоэффекта методом задерживающего потенциала.

33

Квантовые свойства электромагнитного поля.

Осцилляторы излучения.

Трудности, связанные с введением квантовых представлений в излуче-

нии, определяются тем, что электромагнитное поле является физическим

объектом с бесконечным числом степеней свободы. Оно скорее напомина-

ет сплошную среду, чем систему отдельных точек. Чтобы задать состояние

электромагнитного поля в некоторый момент времени, надо определить

его в каждой точке пространства. Такие точки образуют непрерывную, а не

дискретную совокупность; пересчитать их нельзя.

Однако существует очень простой подход к этой задаче, основанный на

прямой аналогии между колебаниями электромагнитного поля и колеба-

ниями струны. Произвольное колебание струны можно разложить на от-

дельные гармонические колебания, каждое из которых характеризуется

определенным числом узлов. Любое данное колебание струны можно

представить как сумму гармонических колебаний, т.е. как сумму колеба-

ний без узлов, с одним узлом, с двумя, с тремя и т.д. Тем самым мы доби-

ваемся того, что колебательное движение струны представляется совокуп-

ностью гармонических колебаний, которые можно пронумеровать по чис-

лу узлов – основное, первое, второе и т.д. Причем каждое колебание харак-

теризуется амплитудой и фазой, а главное – происходит независимо от

другого колебания.

Подобно колебаниям струны электромагнитное поле может быть пред-

ставлено как совокупность отдельных, ничем не связанных между собой

гармонических колебаний с различными частотами и пространственными

распределениями фаз и амплитуд, т.е. можно представить электромагнит-

ное поле как совокупность осцилляторов излучения.

Распространив квантовые свойства осцилляторов вещества на осцилля-

торы поля, можно утверждать, что энергия осциллятора излучения прини-

мает допустимые значения, равные nh . Осциллятор излучения может

34

приобретать или терять энергию только при передаче сразу целого кванта,

т.е. порциями величины h . Если осциллятор возбужден до – го

квантового состояния, то он обладает энергией

n

nh , которую может

терять в этапов. Тогда с энергетической точки энергия может сказать,

что существует квазичастиц, каждая с энергией

n

n h . Эти частицы назы-

вают фотонами. (Строго говоря, энергия квантового осциллятора равна

/ 2nh h ).

Свойства фотонов

Из законов классической электродинамики следует, что поле излучения

обладает наряду с энергией

также и импульсом p

. Из уравнений Мак-

свелла эти величины определяются следующими соотношениями:

2 2

4 2E H1 dV

, 1

4p EH dV

c

.

где – скорость света; c E

и H

– напряженности электрического и маг-

нитного полей (интегрирование распространяется на весь объем, занимае-

мый полем).

В силу того, что для световой волны в вакууме векторы E

и H

взаимно

перпендикулярны и равны по величине, получаем

2 22

2E HEH E

,

что позволяет связать между собой энергию и импульс:

p nc

, (1)

35

где – направления распространения волны. n

Рассмотрим теперь, как влияет на импульс излучения квантование энер-

гии. Так как энергия квантуется в единицах h , то импульс, согласно со-

отношению (1), должен квантоваться в единицах /h c , т.е.

hν h hp= n = n = kc λ 2π

,

где (2 / )k n

– волновой вектор.

Одним из основных выводов теории относительности является связь

между энергией и релятивистской массой: 2mc . На этом основании ре-

лятивистская масса фотона

2hmc .

Однако, в отличие от обычных элементарных частиц, фотона не имеет

массы покоя . Действительно, для любой движущейся со скоростью 0m

частиц ее релятивистская масса

2 20 / 1 /m m c .

Возведя это выражение в квадрат, с учетом 2mc и p m , получим

2 2 20/ c p m c 2

/

.

Если теперь учесть, что согласно соотношению (1) для фотона p c ,

становится очевидным, что для фотона масса покоя = 0. 0m

Таким образом, фотон (или квант света) представляет собой элементар-

ную частицу с нулевой массой покоя, энергией h и импульсом

2hp k

, движущуюся со скоростью света. Кроме того, фотон обладает

собственным моментом импульса – спином.

36

Фотоэлектрический эффект

Квантовая природа электромагнитного излучения четко проявляется

при исследовании закономерностей вырывания электронов из вещества

под действием света. Это явление было названо ф о т о э ф ф е к т о м.

(точнее, внешним фотоэффектом).

В 1888 г. Герц заметил, что при освещении разрядного промежутка ме-

жду двумя электродами ультрафиолетовым светом напряжение пробоя

значительно уменьшается. А.Г. Столетов разработал методику исследова-

ния этого явления при низких напряжениях и установил ряд важных зако-

номерностей фотоэффекта. Было, в частности, выяснено, что под действи-

ем света с поверхности металла удаляется отрицательный заряд. Позднее

было показано, что его носителями является электроны.

Основные законы фотоэффекта в их современной трактовке можно

сформулировать следующим образом:

1. Сила фототока насыщения при освещении катода монохроматиче-

ским светом прямо пропорциональна интенсивности падающего излучения

(закон Столетова).

2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от

интенсивности падающего на фотокатод излучения (опыты Ленарда), но

является линейной функцией его частоты (закон Эйнштейна).

3. Для каждого вещества существует граничная частота 0 , когда фото-

эффект еще наблюдается, но ниже которой – исчезает при любых интен-

сивностях падающего света ("красная граница" фотоэффекта).

Эйнштейн в 1905 г. первым объяснил эти результаты, предположив, что

свет представляет собой поток фотонов с энергией h . Исходя из этого

представления, можно дать следующее объяснение фотоэффекту: погло-

щенный металлом фотон отдает свою энергию электрону, и если ее доста-

точно для преодоления удерживающих электрон связей, то последний по-

кидает металл. Так как вероятность поглощения электроном одновременно

37

двух квантов ничтожно мала, то каждый электрон заимствует энергию

лишь одного фотона. Поэтому число освобожденных в секунду электронов

(фототок) должно быть пропорционально числу поглощенных фотонов,

т.е. интенсивности света.

Рис. 1. Схема установки для исследования фотоэффекта.

Здесь следует добавить, что при освещении фотокатода очень мощным

световым потоком (например, лазерным излучением) возможен нелиней-

ный фотоэффект, возникающий благодаря одновременному действию на

электрон двух и даже нескольких фотонов. Вероятность этого процесса,

малая при слабых освещенностях, становится значительной при огромных

плотностях мощности излучения, создаваемых современными лазерами.

Для элементарного акта взаимодействия фотона с электроном металла

можно записать закон сохранения энергии – уравнение Эйнштейна:

2

2mh P , (2)

т.е. при фотоэффекте энергия фотона h расходуется на вырывание элек-

трона из металла (работа выхода ) и придание ему дополнительной кине-

тической энергии. Так как – величина постоянная для данного вещества,

то из (2) непосредственно следует второй закон фотоэффекта.

P

P

38

Если h ≥ P , то электрон способен покинуть металл, преодолев силы

связи; если же h < , то фотоэффект отсутствует. Таким образом, для

каждого металла существует некоторая минимальная частота, при которой

еще наблюдается фотоэффект. Эта частота определяется из соотношения

(2) при условии

P

max = 0

0 /Р h (3)

и носит название "красной границы" фотоэффекта.

В случае нелинейного (двухфотонного) фотоэффекта его красная гра-

ница сдвигается в длинноволновую область спектра, т.к. одновременное

действие двух фотонов частоты энергетически эквивалентно действию

одного кванта с частотой 2 . Тогда красная граница определяется из усло-

вия 0 / 2Р h , т.е. сдвинется в сторону меньших частот.

Экспериментальные методы определения постоянной Планка

По законам теплового излучения

Постоянная впервые была определена Планком из законов излучения

абсолютно черного тела. Используя формулу Планка (13)

h1, можно теоре-

тически вычислить постоянную в законе Стефана-Бальцмана (6) и по-

стоянную b в законе смещения Вина (8):

5 4 2 32 /15k c h ; 0,2014 /b hc k ,

где , и – соответственно постоянные Планка, Больцмана и скорость

света.

h k c

1См. лабораторную работу 1.

39

С другой стороны, константы и были измерены экспериментально

и оказались (в то время) равными:

b

= 5,67 10-8 Вт·м-2 К-4, b = 2,9 10-3 м·К.

Скорость света также была известна. Тогда, составляя систему двух

уравнений с неизвестным и , можно определить их значения. Планк

получил: = 6,548 10-34 Дж·c, = 1,346 10-23 Дж К.

c

h k

h k

По современным измерениям: = 6,625 10-34 Дж·c, k = 1,380 10-23 Дж К. h

По рентгеновским спектрам

Сплошной рентгеновский спектр часто называют тормозным излучени-

ем, и это название отражает физическую причину его возникновения. При

ударе об антикатод (анод) рентгеновской трубки электроны резко тормо-

зятся, а по законам классической электродинамики любая заряженная час-

тица, испытывающая ускорение (в данном случае – отрицательное), излу-

чает электромагнитные волны. Так как электроны в различных точках ан-

тикатода тормозятся по-разному, то образуется целый спектр рентгенов-

ского излучения.

На рис. 2 представлен ряд кривых распределения интенсивности излу-

чения в сплошном рентгеновском спектре, полученных при различных

значениях ускоряющего потенциала, приложенного к аноду. Характерной

особенностью этих кривых является их резкий обрыв со стороны коротких

длин волн ( ). Экспериментально был установлен закон, согласно ко-

торому произведение граничной длины волны на ускоряющий потенциал

есть величина постоянная для всех кривых:

min

. . .1 21 2min minV V const.

Теоретически этот закон может быть объяснен, исходя из предположе-

ния, что электрон, обладающий кинетической энергией , в момент тор-

можения может полностью потратить ее на излучение, причем частота та-

eV

40

кого излучения не может быть больше той, которая определяется из закона

сохранения энергии maxeV h

min /V hc e

.

Отсюда следует вышеуказанное экспериментальное соотношение:

или maxmin /c .

Если известны min и V из рентгеновских спектров, то зная заряд элек-

трона и скорость света, можно из этого уравнения найти . Определенная

таким образом величина оказалась равной 6,624·10-34 Дж·с. Отличитель-

ной особенностью измерений по рентгеновским спектрам является их

высокая точность. Это объясняется тем, что спад интенсивности при

h

h

h

min

очень резок, а значения напряжений на трубке при величине их пульсации

0,1 B устанавливаются с точностью 10-4 %.

Рис. 2. Распределение энергии излучения в сплошном рентгеновском спектре

41

По данным внешнего фотоэффекта

Постоянная Планка может быть определена из уравнения Эйнштейна

(2) при исследовании вольтамперных характеристик фотоэффекта. Указан-

ный метод носит название метода Милликена и Лукирского-Прилежаева.

Если записать уравнение (2) для двух различных частот возбуждающего

света 1 и 2 , а затем почленно их вычесть, то при этом исключается рабо-

та выхода , и уравнение позволяет выразить через кинетическую энер-

гию фотоэлектронов и частоту возбуждающего света:

P h

2 21 2

1 2

2 2m m

h

. (4)

Для измерения кинетической энергии фотоэлектронов часто использу-

ют метод задерживающего потенциала, состоящий в том, что фотоэлек-

троны заставляют проходить отрицательную разность потенциалов ,

способную скомпенсировать полностью их кинетическую энергию:

задV

2max

2задm

eV . (5)

Электроны в металле движутся с различными скоростями. Поэтому да-

же при действии света строго одной частоты вылетающие из фотокатода

электроны имеют непрерывный набор скоростей, и для определения

следует учитывать их максимальную скорость. Подставляя (5) в (4), полу-

чаем основное уравнение, из которого определяется постоянная Планка:

задV

1 2

1 2

зад задe V Vh

. (6)

42

Получение точных результатов, однако, сильно затрудняется тем, что

кривая зависимости фототока от величины тормозящего потенциала

(рис. 3) не пересекает ось абсцисс, а асимптотически к ней приближа-

ется.

J

задV

Поэтому величина оказывается в известной степени неопределен-

ной. Наличие фототока в области отрицательного потенциала указывает на

то, что фотоэлектроны действительно обладают кинетической энергией и

распределены по скоростям.

задV

Рис. 3. Вольтамперные характеристики фотоэффекта на цинке для разных частот

Наличие контактной разности потенциалов в исследуемом фотоэлемен-

те, а также ряд других затруднений приводили к тому, что подтвердить

уравнение Эйнштейна и получить точное значение удалось не сразу.

Лишь Милликен после целого ряда опытов смог это сделать с помощью

чрезвычайно усложненной схемы.

h

В методе Лукирского-Прилежаева вместо плоских катода и анода, кото-

рыми пользовались все экспериментаторы, был применен сферический

анод с отверстием для светового луча. В качестве фотокатода использовал-

43

ся шарик из исследуемого материала в центре сферы. Применение такой

конструкции значительно повысило точность измерений.

Во-первых, в таком фотоэлементе, благодаря особенностям движения

электрона в центрально-симметричном поле, вольтамперные характери-

стики довольно круто спадают к оси абсцисс. Поэтому максимальный за-

держивающий потенциал может быть определен достаточно точно.

Во-вторых, и это главное, значительно упрощается и уточняется опре-

деление контактной разницы потенциала , знание которой необходимо

для вычисления работы выхода. Если бы не было, то точно при нуле-

вом значении достигался бы ток насыщения, так как все фотоэлек-

троны, выбиваемые светом из катода в сферическом фотоэлементе, дос-

тигнут анода. Дальнейшее увеличение потенциала при той же освещенно-

сти не приведет к росту фототока.

kV

kV

задV

Реально контактная разность потенциалов между катодом и анодом из

разных металлов существует всегда и, в зависимости от знака, ускоряет

или задерживает фотоэлектроны независимо от приложенного внешнего

потенциала. Именно поэтому на рис. 3 насыщение фототока наступает не

при нулевом приложенном напряжении, а лишь при +1,6 В. Следователь-

но, в этом фотоэлементе существует = -1,6 В. Только в случае компен-

сации этого потенциала внешним напряжением все электроны смогут дос-

тичь анода, и наступит ток насыщения.

kV

С учетом уравнение Эйнштейна в методе задерживающего потен-

циала должно быть записано следующим образом:

kV

зад kh p e V V . (7)

Очевидно, что формула (6) при этом не изменится, так как = const.

Тогда для определения знания не нужно. Подсчитав и зная и

keV

h kV h kV

44

задV , по формуле (7) находим значение работы выхода , а затем из (3)

можно найти красную границу фотоэффекта. Таким образом, метод задер-

живающего потенциала позволяет определить все константы, входящие в

уравнение Эйнштейна.

P

Описание установки

В данной работе для определения постоянной Планка применяется уп-

рощенный фотоэлектрический метод задерживающего потенциала, осно-

ванный на формуле Эйнштейна.

На рис. 4 приведена схема установки. Изучение ртутной лампы 1 (типа

ДРШ-250) фокусируется линзой 2 на входную щель монохроматора УМ-2

(3). Изображение спектра ртути получается в плоскости выходной щели

прибора. Перемещая призму с помощью барабана длин волн 4, можно

пропустить через выходную щель свет различных линий ртутного спектра.

Этот квазимонохроматический световой поток падает на катод фотоэле-

мента 5, кожух которого одевается прямо на корпус выходной щели УМ-2.

Рис. 4. Схема экспериментальной установки.

45

Фототок, возникающий при подаче на анод фотоэлемента отрицатель-

ного напряжения, весьма мал (10-8 – 10-9 А). Поэтому для его регистрации

используется чувствительный цифровой вольтметр GDM-8135 (6), рабо-

тающий в режиме гальванометра: он измеряет падение напряжения на

входном сопротивлении вольтметра, обусловленное током фотоэлемента.

Ускоряющее и задерживающее напряжения подаются от регулируемого

стабилизированного источника постоянного тока Б5-47 (7): для смены по-

лярности напряжения меняются местами штекеры.

Внимание! При включенном питании фотоэлемента во избежа-

ние его порчи нельзя допускать попадания постороннего света на фо-

токатод.

Перед выполнением работы проверить, что сетевые тумблеры блока пи-

тания ртутной лампы, блока питания фотоэлемента Б5-47 и вольтметра

GDM-8135 находятся в положении «Выкл».

Задание 1. Снятие вольтамперных характеристик фотоэлемента

Порядок выполнения работы

1. Включить ртутную лампу тумблером «Сеть» на блоке питания ртутной

лампы.

2. Прогреть ртутную лампу в течение 5 минут.

3. Снять головку с выходной щелью монохроматора УМ-2 и заменить ее

окулярной головкой для визуального наблюдения спектра.

4. Установить входную щель монохроматора шириной 2 мм.

5. Вращением барабана окуляра добиться резкого изображения иглы-

указателя.

6. Совместить иглу-указатель с серединой фиолетовой линии ( = 405 нм)

спектра ртути.

46

7. Снять окулярную головку монохроматора, заменить ее на головку с вы-

ходной щелью.

8. Установить выходную щель монохроматора шириной 2 мм.

9. Кожух фотоэлемента плотно вставить на выступ корпуса выходной ще-

ли так, чтобы посторонний свет не попадал на фотоэлемент. В против-

ном случае при включении питания фотоэлемента возможен выход его

из строя.

10. Проверить правильность подсоединения блока питания фотоэлемента.

При наличии подсоединения коричневого штекера к гнезду «+» и чер-

ного штекера к гнезду «-» к фотоэлементу приложено запирающее на-

пряжение.

11. Установить значение напряжения питания фотоэлемента равным 00,0

В.

12. Проверить правильность подсоединения вольтметра GDM-8135. Он

служит для измерения падения напряжения на входном сопротивлении

вольтметра, обусловленного током фотоэлемента. В режиме измерения

необходимо:

а) положение переключателя рода работы и диапазона измеряемых ве-

личин перевести на измерение напряжения до 200 мВ;

б) черный штекер (с зеленой изолентой) вставить в гнездо с маркиров-

кой «COM»;

в) коричневый штекер вставить в гнездо с маркировкой «V-».

При наличии правильного подсоединения прибора включить тумблер

«Сеть».

13. Включить тумблер «Сеть» блока питания фотоэлемента Б5-47.

14. Провести измерение вольт-амперной характеристики (ВАХ) фотоэле-

мента в диапазоне отрицательных значений напряжения питания фото-

элемента. Для этого увеличивая значения отрицательного напряжения в

пределах от 0 до -9,0 В через 0,5 В фиксировать показания вольтметра

GDM-8135.

47

На рис. 5 приведена типичная ВАХ фотоэлемента.

Рис. 5. Типичная вольтамперная характеристика фотоэлемента

Необходимо отметить, что надежность полученных результатов зависит от

двух факторов:

1) для сглаживания флуктуаций показания вольтметра на его входе

параллельно входному сопротивлению помещен конденсатор ем-

костью 1 мкф, поэтому после изменения значения напряжения

питания фотоэлемента необходимо определенное время для ста-

билизации показаний вольтметра;

2) изменения фототока в области отрицательных значений от 0 до –

5,0 В напряжения питания фотоэлемента должны быть тщатель-

ными, каждая точка кривой ВАХ должна быть проверена не-

сколько раз.

15. Выключить блок питания фотоэлемента, предварительно установив

значение напряжения равным нулю.

48

16. Снять головку с выходной щелью монохроматора УМ-2 и заменить ее

окулярной головкой для визуального наблюдения спектра.

17. Совместить иглу-указатель с серединой синей линии (= 436 нм) спек-

тра ртути.

18. Снять окулярную головку монохроматора, заменить ее на головку с вы-

ходной щелью.

19. Включит блок питания фотоэлемента и снять ВАХ фотоэлемента для

синей (=436 нм) линии спектра ртути согласно п. 14.

20. Аналогичным образом снять ВАХ фотоэлемента для зеленой (= 546

нм) и желтой (= 578 нм) линий спектра ртути.

21. Выключить блок питания фотоэлемента, предварительно установив

значение напряжения питания равным нулю. Выключить вольтметр

GDM-8135 и блок пиния ртутной лампы.

Задание 2. Обработка результатов измерений. Вычисление постоянной

Планка h, частоты 0 и длины волны 0 красной границы фотоэффекта и

работы выхода P материала фотокатода.

Порядок выполнения работы.

1. По ВАХ фотоэлемента для всех измеренных длин волн спектра ртути

определить задерживающие потенциалы задV . Необходимо отметить,

что наличие темнового тока фотоэлемента, вольтамперная характери-

стика которого имеет линейную зависимость, экспериментально полу-

ченная ВАХ фотоэлемента (рис. 5) отличается от ВАХ фотоэффекта,

приведенной на рис. 3. Из рис. 5 видно, что величиной задV является не

точка обращения в нуль фототока, а точкой выхода вольтамперной ха-

рактеристики из линенйной зависимости. Поэтому для определения

задV необходимо аппроксимировать часть ВАХ, снятую при отрица-

тельных напряжениях свыше – 2,0 В, линейной зависимостью и опреде-

49

лить точку ВАХ, где ВАХ выходит на участок со слабым наклоном (см.

рис. 5).

2. Вычислить постоянную Планка по формуле

зад ik

ik

e Vh

, (8)

подставляя в нее всевозможные разности задV и . Усреднить по-

лученные результаты.

3. Построить зависимость задерживающего потенциала задV от частоты

и аппроксимировать ее линейной зависимостью

задhVe A

e . (9)

4. Определить постоянную Планка из наклона прямой: тангенс угла на-

клона равен отношению he

. Сравнить полученные двумя методиками

средние значения h и оценить, какая из двух методик дает более точ-

ный в сравнении с табличным значением результат.

5. Определить красную границу фотоэффекта. Для этого необходимо оп-

ределить частоту 0 и длину волны 0, соответствующие значению

задV = 0.

6. Определить работу выхода материала фотокатода по формуле

0P h . (10)

50

Контрольные вопросы

1. Каковы свойства фотонов? ( Энергия, импульс, масса покоя).

2. Основные законы фотоэффекта и объяснение этих законов с

помощью уравнения Эйнштейна.

3. Каковы экспериментальные методы определения постоянной

Планка?

4. В чем суть метода задерживающего потенциала? В чем труд-

ности определения h этим методом?

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.З. Оптика, атомная физика, физика

ядра и элементарных частиц. М.: Астраль, 2005.

2. Сивухин Д.А. Общий курс физики. Т.5. Атомная и ядерная физика. М.: ,

ФМЛ, МФТИ, 2002.

3. Шпольский Э. В. Атомная физика Т.I. М.: Наука, 1984.

51

Лабораторная работа 3

ЭФФЕКТ КОМПТОНА

Введение

Эффект Комптона относится к числу классических экспериментов, вы-

явивших корпускулярную природу электромагнитного излучения и в итоге

подтвердивших корпускулярно-волновой дуализм. Классическая электро-

динамика после работ Максвелла, казалось, однозначно утвердила волно-

вую природу электромагнитного излучения. Огромное число опытов по

дифракции и интерференции света неоспоримо подтверждали это. Однако

после открытия рентгеновских лучей и продвижения исследований в об-

ласть более жесткого рентгеновского излучения возникла принципиально

новая ситуация, указавшая на то, что свет высокой частоты (рентген, -

кванты) обладает явно выраженными свойствами частиц (корпускул).

В 1922–1923 гг. американский физик А. Комптон, исследуя рассеяние

ретгеновского излучения на легких элементах, установил, что рассеянное

излучение, наряду с излучением первоначальной длины волны , содер-

жит также излучение с большей длиной волны . Разность зави-

села только от угла рассеяния

0λ

λ λ -λ 0λ

между направлением рассеянного рентге-

новского излучения и первончальным пучком, не испытавшим рассяния.

Явление получило название э ф ф е к т а К о м п т о н а.

Физика явления

Следуя рассмотрению классической электродинамикой процесса взаи-

модействия электромагнитной волны с веществом, необходимо изучить

52

поведение электрона в волне. Если электрон вначале был свободен и поко-

ился, то под дествием волны он начинает колебаться и, будучи электриче-

ски заряженной частицей, сам начинает испускать электромагнитное излу-

чение. Если бы этот электический диполь оставался на месте, то он излу-

чал бы волну с той же частотой, что и падающая волна. Однако световое

давление заставляет двигаться с ускорением свободный электрон. В этом

случае внешнее излучение как бы догоняет двигающийся электрон и отно-

сительно него рассеивающая волна имеет большую длину волны. Расчет

доплеровского смещения для этого случая приводит к формуле

00 2 1 cos E

mc

, (1)

где E - энергия, полученная от падающего света, - масса электрона, -

скорость света, а

m c

- угол, под которым находится наблюдатель относи-

тельно направления первоначального пучка света.

Как видно, эта формула содержит наблюдаемую в опыте Комптона за-

висимость от угла . Однако, в отличие от установленного в экспери-

менте факта постоянства величины λ для данного угла , согласно фор-

муле (1) должна постоянно возрастать со временем, поскольку частица

получает энергию и, кроме того,

λ

λ должна зависеть от интенсивности

падающей волны, поскольку от нее зависит сила давления, а следовательно

и скорость электрона.

Указанные противоречия были разрешены Комптоном, когда он в мо-

дели взамодействия рассмотрел электромагнитное излучение (в данном

случае жесткое рентгеновское излучение) как поток частиц (фотонов или

квантов излучения), обладающих импульсом

00,E

0p k p kc c

, (2)

53

(где - волновой вектор, 0k

0 - частота падающего излучения) и энергией

0, 0E . (3)

Далее решалась задача упругого столкновения двух шаров – фотона и

свободного электрона, при условии, что начальная скорость электрона

равна нулю. В этом случае энергия электрона до столкновения равна

( - масса покоя электрона), а его импульс равен нулю. После столкнове-

ния (рис. 1) импульс электрона изменится и станет равным

20m c

0m

0p m v

(нере-

лятивистский случай), а его полная энергия (кинетическая энергия плюс

энергия покоя) будет равна 2 20c p m c 2 .

Рис. 1. Схема рассеяния фотона на свободном электроне.

Из законов сохранения энергии и имульса следует

2 20 0 0m c c p m c 2 2

k

, (4)

0k p , (5)

54

где и k - частота и волновой вектор рассеянного излучения.

Из полученных уравнений, проведя не сложные преобразования, имеем

2 200 0m c p m c

c c2

,

0k k p ,

откуда получаем

22 20 0 02k k k k m c p

22 20k k p

.

Приравнивая левые части, получим

2 20 0 022 2k k k k m c k k 0

.

Дальнейшие преобразования

0 0 0 0k k m c k k k k

,

0 0 0 1 cosk k m c k k ,

0 0

1 1 1 cosk k m c

приводят к выражению интересующей нас величины

0 1 cos , (6)

55

где и - длины волн фотона до и после столкновения, а постоянная

величина

0

0

0

2 0,0243 Am c

(7)

называется к о м п т о н о в с к о й д л и н о й в о л н ы электрона.

В случае рассеяния на другой частице, например, на протоне, в формуле

(7) следует заменить массу электрона на массу протона.

Формула (6) точно соответствует результатам эксперимента и получила

название к о м п т о н о в с к о г о с д в и г а (увеличение длины волны

рентгеновского кванта после рассеяния).

Ц е л ь ю р а б о т ы является экспериментальное наблюдение эффекта

Комптона.

Эксперимент Копмтона

Схема эксперимента, проведенного Комптоном, приведена на рис 2.

Рис. 2. Схема опыта Комптона.

Монохроматическое излучение рентгеновской трубки через ряд колли-

мирующих отверстий направлялось на рассеиватель, вещество которого

состояло из легких элементов. Таким веществом, в частности, служил гра-

56

фит. Расеянное излучение попадало на рентгеновский спектрограф, со-

стоящий из кристалла, на котором происходила дифракция рентгеновского

излучения, и ионизационной камеры, фиксирующей дифрагированные

рентгеновские кванты. По углу дифракции определялась длина волны рас-

сеянного излучения, которая измерялась при разных значениях угла .

Исследование спектра рассеянного излучения показало, что под различ-

ными углами рассеяния наблюдаются два пика. Один с длиной волны

(несмещенный компонент), а другой – с длиной волны , в соответст-

вии с формулой (6) большей по сравнению с . Смещенный компонент

соответствует рассеянию на свободном электроне, который образуется в

результате предварительного отрыва слабо связанного электрона (легкие

элементы, типа углерода, имеют на внешних оболочках слабо связанные

электроны) и последующего упругого рассеяния на нем рентгеновского

кванта. Несмещенный компонент соответствует рассеянию на всем атоме,

при этом переданный импульс от рентгеновского кванта всему атому на-

столько мал, что первоначальная энергия кванта остается неизменной

(длина волны сохраняется).

0λ λ

0λ λ

0λ

Базовая лабораторная установка

Базовая лабораторная установка – это действующая модель экспери-

ментальной установки. В ней отсутствует радиоактивный источник излу-

чения, а все результаты эксперимента содержатся в базе данных, получен-

ных на реальной экспериментальной установке.

На рис. 3 изображена блок-схема установки «Эффект Комптона» и схе-

ма сцинтилляционного -спектрометра.

Основными элементами установки являются:

1. Радиоактивный источник. Изотоп выбирается из расчета, чтобы

энергия -квантов, равная 662 кэВ, лежала в таком диапазоне, в котором

137Cs

57

другими эффектами взаимодействия -квантов с веществом рассеивателя

(фотоионизация, рождение электронно-позитроных пар) можно было пре-

небречь.

2. Рассеиватель. В качестве рассевателя выбрано органическое вещество

стильбен, состоящее из атомов углерода и водорода. Поскольку энергия

связи внешних электронов этих атомов мала (потенциал ионизации водо-

рода 13,6 эВ и первый потенциал ионизации углерода 11,6 эВ), то при

энергии -квантов 0,6-0,7 МэВ внешние электроны можно рассматривать

как свободные. Эффект рассеяния на всем атоме (когерентное рассеяние)

при данных условиях эксперимента будет мал и несмещенный компонент в

рассеянных лучах практически не будет наблюдаться.

Рис. 3. Блок-схема установки «Эффект Комптона». 1 – контейнер с радиоактивным источником 13 ; 2 – расеиватель – стильбен; 7Cs

3 – сцинтилляционный спектрометр: 3а – сцинтиллятор , 3б – свинцовая за-щита от космических лучей.

NaJ

3. Сцинтилляционный -спектрометр. В отличие от кристалл-

дифракционного спектрометра, использованного Комптоном, сцинтилля-

ционный спектрометр работает следующим образом. Гамма-квант, попадая

в специально подобранное вещество сцинтиллятора ( NaJ ), эффективно

поглощается, производя фотоионизацию. Поскольку энергия -кванта

значительно превышает энергию ионизации электрона, то практически вся

энергия -кванта переходит в кинетическую энергию ионизованного элек-

58

трона, которая, в свою очередь, целиком затрачивается на оптические пе-

реходы в атомах и тормозное излучение электрона в веществе сцинтилля-

тора. Свет люминесцентных вспышек попадает на фотокатод фотоэлек-

тронного умножителя (ФЭУ) и усиливается. При этом оказывается, что

амплитуда электрического импульса с ФЭУ пропорциональна энергии

первичного -кванта. Таким образом, это устройство одновременно опре-

деляет и энергию, и число -квантов, попавших в сцинтиллятор, тем са-

мым давая возможность найти распределение -квантов по энергии, то

есть спектр -квантов.

Зарегистрированные и усиленные электрические импульсы с помощью

специального устройства – амплитудного анализатора – распределяются

по каналам таким образом, что в конкретный канал попадают электриче-

ские импульсы только определенной амплитуды (энергии).

На рис. 4 приведен спектр таких импульсов. По оси абсцисс отложены

каналы, а по оси ординат – число импульсов, попавших в данный канал.

Наиболее выделяется в этом спектре пик А. Это так называемый пик пол-

ного поглощения или фотопик. Этот пик определяет максимальную энер-

гию -кванта.

Левее пика А виден минимум, после которого спектр выходит на неко-

торое плато с небольшими горбами. Эта часть спектра имеет непрерывный

характер без явно выраженных пиков. Эта часть спектра отражает ряд эф-

фектов и прежде всего комптоновское рассеяние. Попав в вещество сцин-

тиллятора ( N ) -кванты ведут себя по-разному: одни производят иони-

зацию, о которой уже говорилось, и полностью поглощаются веществом;

другие, сталкиваясь с электронами атомов, испытывают комптоновское

рассеяние и передают электронам часть своей энергии, после чего -

кванты покидает пределы сцинтиллятора.

aJ

Электроны отдачи, то есть электроны, получившие импульс от -

квантов, становятся свободными и по тем же причинам, что и выбитые фо-

59

тоэлектроны, создают сцинтилляционные вспышки и соответсвующие им

электрические импульсы определенных амплитуд. Однако, в отличие от

фотоэффекта, импульсы распределены непрерывно во всех каналах, по-

скольку комптоновские -кванты рассеиваются в сцинтилляторе под раз-

ными углами и, следовательно, передают электронам отдачи разную энер-

гию, от нуля до некоторого предельного максимального значения .

Получим эту величину, воспользовавшись формулой (6).

maxэлE

Рис. 4. Амплитудный спектр сцинтилляционного спектрометра.

Для этого прежде всего определим энергию -кванта при =1800, то

есть кванта, столкнувшегося в лоб с электроном. С учетом того, что

2 с

и E , преобразуем выражение (6) к виду:

0 0

2 2 2 1 cosc cm c

или

60

2 2

0 0

0, ,1 cos

m c m cE E

,

откуда искомая величина при =1800 равна

00

1800

20

,1 2

EE E

m c

. (8)

Если допустить, что 02

0

, 1E

m c , то максимально возможная энергия отра-

женного от электрона -кванта равна 20

12

m c . Другими словами, -квант в

соответствии с законами сохранения не может в парном столкновении пе-

редать всю свою энергию электрону.

Теперь определим максимальную энергию, которую может получить

электрон.

00max

эл 0 01800

20

1 2

EE E E E E

m c

,

откуда

20max

эл 20 0

2

2

EE

E m c

. (9)

Таким образом, спектр электронов отдачи должен обрываться после

, что и реализуется в виде минимума перед пиком полного поглоще-

ния.

maxэлE

Спектр, соответствующий области энергии электронов отдачи, имеет

довольно сложный характер, так как на него накладываются кривые таких

процессов, как пик обратного комптоновского рассеяния, пики рентгенов-

61

ского излучения, которые образуются при выбивании -квантами элек-

тронов из внутренних оболочек атомов свинца защитной оболочки или при

многократном рассеянии в ней -квантов. Все эти пики мало интенсивны,

и положение их определяется с небольшой точностью. Наиболее интенси-

вен из них пик С, соответствующий обратному рассеянию. Этот пик обра-

зуется при комптоновском рассеянии -кванта в веществе защитных обо-

лочек источника и детектора на

=1800 и затем поглощенного веществом

сцинтиллятора, который и выдает соответствующий пик.

Приборная часть базовой лабораторной установки

Внешний вид установки, которая выполнена в виде корпуса с прозрач-

ной крышкой, представлен на фотографии, приведенной на рис. 5, а на рис.

6 приведена фотография внутренней части установки.

Под прозрачной крышкой видны основные узлы установки:

1. Источник -квантов. На его боковой поверхности имеется светодиод,

фиксирующий «включение» источника, что соответствует выведению ам-

пулы с радиоактивным веществом на уровень коллимирующего отверстия

свинцового контейнера. «Включение» источника осуществляется кнопкой

«Источник» на передней панели корпуса прибора.

2. Рассеиватель. Рассеиватель установлен на специальной подвижной под-

ставке, которая позволяет с помощью рычажка «Перемещение рассеивате-

ля» на боковой стенке корпуса выводить рассеиватель из пучка -квантов.

3. Детектор -квантов. В установке представлена модель сцинтилляцион-

ного -спектрометра. С помощью кнопок «Поворот ФЭУ» на передней

панели прибора детектор может перемещаться, обеспечивая измерения под

разными углами от 00 до 900. Включение детектора производится кнопкой

«ФЭУ» на передней панели корпуса прибора.

62

Рис. 5. Внешний вид установки «Эффект Комптона».

Рис. 6. Расположение основных узлов внутри установки «Эффект Комптона». 1 – контейнер с радиоактивным изотопом; 2 – рассеиватель;

3 – детектор (сцинтилляционный спектрометр).

63

Программное обеспечение базовой лабораторной установки

Важной инструментальной частью эксперимента является компьютер, в

функции которого входят управление приборной частью установки, де-

монстрация процесса эксперимента, набор экспериментальных данных и

обработка результатов эксперимента (использование математических ме-

тодов, построение таблиц и графиков).

Путеводитель по программе

Методическое описание

Вход (ярлык на рабочем столе Windows)

Эксперимент

Данные пользователя

Калибровка спектрометра

Рассеяние - квантов

Обработка экспериментальных

результатов

Выход

Справка

На рабочем столе Windows имеется значок «Эффект Комптона» - вход в

программу. Войдя в нее, пользователь может попасть в любой пункт про-

граммы, указанный в путеводителе.

Прежде всего, пользователю целесообразно ознакомиться с пунктами

путеводителя, после чего можно перейти в раздел «Эксперимент».

Работа начинается с вводом данных пользователя, который будет рас-

поряжаться всеми результатами проведенных экспериментов и расчетов.

В режимах «Калибровка спектрометра» и «Рассеяние - квантов» в

верхней инструментальной строке расположены значки различных проце-

64

дур со всплывающими окнами пояснения. Наведя на них стрелку подвиж-

ного курсора и нажимая на левую клавишу мыши, можно вызвать требуе-

мую функцию.

Таким образом, управление экспериментом ведется как кнопками на

приборе, так и клавиатурой компьютера.

Функции значков

Следует отметить, что вся программа, каждый ее экран снабжен контек-

стно-зависимой справкой, в которой даются подробные пояснения, поэто-

му если после прочтения методического описания что-то остается неясным

или не запомнится, в «Справке» можно найти необходимые разъяснения.

В нижней части экрана имеется информационная строка, которая по-

стоянно представляет краткую информацию на данный момент времени.

Левая часть экрана (рис. 7) содержит окна, информирующие пользова-

теля о состоянии прибора и основного параметра – угла расеяния.

Правая часть экрана демонстрирует схему эксперимента, работающую в

автоматическом режиме, и при включении набора спектра переключается в

его демонстрацию. Над этой части экрана имеются указатели переключе-

ния режима работы: «Схема опыта», «Набор спектра», «Таблица». В окне

65

набора спектра по оси абсцисс отложены «каналы», а после калибровки –

энергия в кэВ. По оси ординат – число квантов, соответствующих числу

электрических импульсов, пришедших с детектора. Внизу, под окном

спектра, имеются три небольших информационных окна: левое окно пока-

завает суммарное по всем каналам число гамма-квантов, попавших в де-

тектор; в среднем окне указывается либо номер канала, либо энергия в том

месте по оси абсцисс, где находится маркер; правое окно показывает число

частиц в канале, занимаемом маркером, либо, если протяжкой маркера от-

крыта часть спектра, то будет указано число частиц в этой части спектра.

Рис. 7. Вид экрана с набранным спектром.

Методика проведения эксперимента

Основная з а д ач а э к с п е р и м е н т а состоит в том, чтобы изме-

рить энергию (или длину волны) рассеянных под разными углами -

66

квантов и сравнить полученную разность 0 с теоретически вы-

численной.

Калибровка прибора

Энергия не рассеянных -квантов определяется по пику полного по-

глощения. Устанавливая курсор на максимум этого пика, мы определим

соответствующий ему номер канала, энергию которого можно установить,

проведя калибровку спектрометра.

Калибровку следует провести для прямого пучка, когда рассеиватель

выведен из пучка, а детектор находится под углом 00 к направлению па-

дающего пучка. Сняв спектр в этом положении, необходимо определить

номер канала пика полного поглощения. Пик полного поглощения соот-

ветствует 662 кэВ.

Определив номер канала , соответствующего максимуму пика пол-

ного поглощения, находим калибровочный коэффициент

nN

662

nK

N кэВ. (10)

Величину калибровочного коэффициента следует ввести в диалоговое

окно и нажать «ОК», после чего спектр будет представлен в единицах кэВ

(ось абсцисс).

Время экспозиции.

Важным элементом эксперимента является погрешность. Спектральные

приборы характеризуются разрешающей способностью, однако для дости-

жения номинальной разрешающей способности необходимо выполнение

ряда условий, таких как стабильность работы аппаратуры (блоков питания,

усилителей и пр.). Если эти условия выполнены, то качество спектра будет

67

определяться статистикой, то есть чем больше будет зарегистрировано -

квантов, тем лучше будет проработана гистограмма спектра и с большей

точностью будет определено положение интересующих нас пиков. Коли-

чественное определение погрешности в интенсивности излучения

I связа-

но с вычислением статистической ошибки. Желательное значение относи-

тельной статистической ошибки III

(где I - абсолютная ошибка ин-

тенсивности, а I - интенсивность) обычно задается экспериментатором

при планировании эксперимента.

Поскольку интенсивность NIt

(число частиц, зарегистрированных

детектором в единицу времени) существенно уменьшается с углом рассея-

ния, то при малых временах экспозиции (времени счета) гистограмма на

экране монитора на больших углах рассеяния будет настолько плохой, что

определение положения того или иного пика рассеяния будет практически

невозможно.

Исходя из этого, нужно спланировать эксперимент так чтобы время

экспозиции было достаточно для получения заданной точности. Поскольку

относительная погрешность интенсивности излучения, связанная со слу-

чайным характером радиоактивного распада, равна

1 1IN I

t

, (11)

где - число частиц, зарегистрированных за время , то ясно, что чем

больше , а следовательно, и , тем меньше относительная статистиче-

ская ошибка

N t

N t

I .

Обычно при определении статистических ошибок используют интен-

сивность, просуммированную по всем каналам, однако можно определить

I в малой энергетической области, например, на участке, занимаемом оп-

ределенной спектральной линией, и тем самым определить ошибку, отно-

68

сящуюся к данной линии (здесь термин «линия» тождественен термину

«пик»). Поскольку нас будет интересовать качество всего спектра, то за

мы будем принимать суммарное число частиц, то есть показание левого

нижнего окна.

N

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, нам необходима относи-

тельная погрешность измерений, равная 1%, то есть I = 0,01. Установим

детектор, к примеру, под углом 200 и произведем набор спектра за относи-

тельно малый промежуток времени, например, за 10 секунд, и определим

грубо интенсивность 00

0

NI

t . Получив, предположим, 1000 фотонов в

сумме по каналам, мы определим интенсивность как 01000 10010I с-1.

Используя полученную оценку интенсивности, можно из формулы (11) оп-

ределить требуемое время экспозиции:

2 0

1 1 1000,0001 100

tI I

с. (12)

В диалоговое окно пункта «Набор спектра» следует ввести полученную

величину . t

При планировании эксперимента следует рассчитать указанным обра-

зом время экспозиции для каждого угла рассеяния, исходя из заранее за-

данной величины ошибки. Величина ошибки будет указана в задании.

Рассеяние гамма-квантов.

В этом разделе необходимо провести набор спектров, рассеянных под

разными углами.

С этой целью необходимо установить рассеиватель под пучок. Это по-

ложение фиксируется при помощи боковой рукоятки с характерным щелч-

ком в конце переключения. После этого кнопками «Поворот детектора»

69

установить фотоумножитель под нужным углом. Установка производится

при выключенном детекторе.

На шкале инструментов нажать кнопку «Регистрация» и в диалоговое

окно ввести вычисленные ранее значения или (статистическая ошибка

для каждого угла указана в задании) и нажать кнопку «ОК». Измерить по-

ложение пика полного поглощения, установив маркер на середину пика,

сохранить спектр и внести данные в таблицу.

t N

Вернуться в закладку «Схема опыта», установить новый угол и повто-

рить всю процедуру.

Следует отметить, что в области углов от 00 до 100 аппаратурные при-

чины обуславливают большую ошибку эксперимента, поэтому рекоменду-

ется начинать измерения при углах . 010

Порядок выполнения работы

Подготовка к работе.

1. Включить прибор (кнопка «Сеть» в правом нижнем углу на передней

панели прибора). При этом происходит автоматическая установка детекто-

ра в нулевое положение.

2. Включить компьютер.

3. На рабочем столе найти папку «Эффект Комптона» и открыть ее.

4. Открыть значок «Эксперимент» и вписать свои данные в окно «Дан-

ные пользователя».

5. Войти в меню.

Задание 1. Калибровка спектрометра.

1. Установить детектор под прямой пучок.

2. Убрать рассеиватель, передвинув его рычажком, расположенным на

левой боковой стенке прибора, до упора с характерным щелчком.

3. Включить детектор (кнопка «ФЭУ»).

70

4. Включить источник (кнопка «Источник»).

5. Нажать на значок «Регистрация».

6. Так как интенсивность прямого пучка большая, то набор спектра сле-

дует проводить с временем экспозиции = 10 с без расчета ошибки. t

7. Ввести в диалоговое окно калибровочный коэффициент, измерив

предварительно положение максимума пика полного поглощения (см.

формулу (10)).

8. Провести калибровку спектрометра, нажав кнопку «Калибровать» на

панели инструментов.

9. Сохранить спектр, нажав кнопку «Сохранить» на панели инструмен-

тов.

Задание 2. Набор спектров рассеянных -квантов.

В задании необходимо провести набор спектров -квантов, рассеянных

под углами

100, 200, 400, 600, 900. Для правильного отсчета угла рассея-

ния передвижение детектора следует осуществлять в одну и ту же сторону.

Это правило всегда используется, чтобы избежать влияния люфта в меха-

нических системах на показания отсчетов (в данном случае угла рассея-

ния).

Внимание. Во избежание поломки прибора выходить за пределы

углов 00 и 900 не рекомендуется.

1. Для каждого из углов рассчитать время экспозиции, исходя из требо-

вания I 0,4%.

С этой целью для каждого угла произвести грубую оценку интенсивно-

сти 0I (с временем набора = 10 с). Определить суммарное число -

квантов в спектре. Затем по формуле (12) расчитать время экспозиции .

t

t

71

Можно воспользоваться другим методом расчета, как указывалось ранее,

исходя из полученного значения . N

2. Произвести набор спектров с полученным временем экспозиции

или , вводя данные в диалоговое окно, и сохранить спектры. Затем на-

вести маркер на середину пика полного поглощения и нажать кнопку «В

таблицу» на панели инструментов.

t

N

Для угла 1800 убрать рассеиватель, установить детектор под прямой

пучок, навести маркер на пик С (обратное рассеяние, см. рис. 4) и нанести

значение энергии в таблицу, нажав на кнопку «Пик обр. рассеяния» на па-

нели инструментов.

3. Войти в меню и перейти к пункту «Обработка спектров».

4. Спектры, полученные под углами 100 и 900, распечатать.

Обработка спектров.

Обработка спектров ввиду ее простоты проводится на микрокалькуля-

торе.

В диалоговое окно вводятся рассчитанные пользователем данные:

0 - длина волны, соответствующая энергии E = 662 кэВ,

- комптоновская длина волны для электрона.

После этого, выделяя поочередно в таблице интересующую пользовате-

ля строку, произвести расчет для ранее полученной энергии рассеянного

гамма-кванта. Необходимо рассчитать величины:

1. Длины волн (в ангстремах).

2. Комптоновский сдвиг, полученный эксперимпентально (в ангстре-

мах).

3. Комптоновский сдвиг, полученный теоретически (в ангстремах).

Метод расчета подробно описан в «Справке».

Расчет производится только для первых трех значений углов ( 100,

200, 400). Для остальных углов результаты вычисляются автоматически,

72

поэтому переходить к построению графика следует после указанных трех

значений углов.

4. Построение графика произволится с помощью кнопки «Построение

графика».

Контрольные вопросы

1. Суть эксперимента Комптона.

2. Вывод формулы Комптона, связывающую комптоновский сдвиг

с углом рассеяния 0λ λ -λ гамма-квантов.

3. Электроны отдачи. Диапазон энергии электронов отдачи.

4. Базовая лабораторная установка.

5. Методика проведения эксперимента. Калибровка прибора. Время

экспозиции.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.З. Оптика, атомная физика, физика

ядра и элементарных частиц. М.: Астраль, 2005.

2. Сивухин Д.А. Общий курс физики. Т.5. Атомная и ядерная физика. М.: ,

ФМЛ, МФТИ, 2002.

3. Шпольский Э. В. Атомная физика Т.I. М.: Наука, 1984.

73

Лабораторная работа 4

ОПЫТ РЕЗЕРФОРДА

Введение

Метод зондирования вещества альфа-частицами, предложенный Резер-

фордом в 1911 году, явился основой метода зондирования вещества заря-

женными частицами, который является основным современным методом

исследования структуры частиц и свойств микромира.

Суть этого метода состоит в изучении закономерностей рассеяния (уп-

ругого и неупругого) частиц мишенью. Полученные закономерности пред-

ставляют собой макроскопические следствия процессов взаимодействия на

микроуровне. Правильная интерпретация этих процессов дает возмож-

ность реконструировать картину микромира - определить структуру час-

тиц, окружающих их полей, свойства симметрии микромира и т.д.

Объекты исследования методом зондирования весьма разнообразны:

это поверхности твердых тел, молекулы, атомы, атомные ядра, элементар-

ные частицы.

Энергии связи для этих объектов существенно различаются, от долей эВ

до тысяч МэВ. Поскольку предметом исследования является выявление

законов взаимодействия и структура частиц, то ясно, что энергия пучка

должна охватывать весь диапазон возможных энергий связи частиц в ис-

следуемых объектах. Это требование приводит к классификации физики

столкновений по энергии падающих частиц, так, например, исследования

атомных ядер лежат в области средних и высоких энергий от 106 эВ (МэВ)

до 109 эВ (ГэВ) и выше, а исследования электронной структуры атомов - в

области низких энергий от долей эВ до десятков тысяч. Эксперименталь-

74

ная техника существенно зависит от энергии пучка: если установка для ис-

следования электронной структуры атомов умещается на лабораторном

столе, то для исследования ядер и элементарных частиц строятся огромные

ускорители заряженных частиц. Эти принципы определяют обязательное

присутствие в установке как минимум трех элементов:

1) источника зондирующих частиц (это может быть радиоактивный

источник, электронная пушка, ускоритель);

2) мишени ("тонкой", "толстой", металлической, газовой и т.д.);

3)детектора рассеянных (выбитых) частиц.

Исследования обычно сводятся к изучению угловых и энергетиче-

ских закономерностей, зарядовому и массовому составу выбитых частиц.

Именно по этим результатам исследователь восстанавливает свойства час-

тиц и окружающих их полей.

Известно, что в начале ХХ века, по крайней мере, две модели атома

претендовали на правильное описание структуры атома. Модель Томсона

(капельная модель) и модель Резерфорда (планетарная или ядерная мо-

дель).

В соответствии с классическими представлениями модель Томсона бы-

ла предпочтительнее, однако, она не была в состоянии адекватно описать

спектральные закономерности излучения атома. Необходимо было найти

экспериментальный метод, который, отличаясь от спектральных методов,

ответил бы прямо на вопрос об истинной структуре атома. Таким методом

стал метод зондирования вещества альфа-частицами, предложенный Ре-

зерфордом в 1911 году.

Задача, поставленная Резерфордом, состояла в том, чтобы по угловому

распределению рассеянных на веществе альфа-частиц ответить на вопрос,

как распределены масса и заряд атома. С этой целью золотая фольга тол-

щиной в 1 мкм обстреливалась пучком альфа-частиц с энергией в несколь-

ко МэВ. Результаты опыта можно свести к двум наиболее важным пунк-

там: 1) большая часть альфа- частиц отклонялась на малые углы (в среднем

75

2°-3°), и распределение по углам этих частиц соответствовало нормально-

му закону, 2) некоторое число частиц отклонялось на большие углы, а от-

дельные частицы изредка рассеивались даже на углы, близкие к 180°.

Выводы, сделанные Резерфордом, сегодня общеизвестны: вся масса

атома практически целиком сосредоточена в положительно заряженном

малом объеме, называемом ядром. Размеры ядра на 4-5 порядков меньше

размеров атома, который, по модели Резерфорда, представляет собой сис-

тему электронов, двигающихся вокруг ядра наподобие планет вокруг

Солнца. Эти выводы были получены Резерфордом в результате тщательно-

го и нетривиального анализа экспериментальных результатов.

После опытов Гейгера и Марсдена (1913 год) ядерная модель укрепи-

лась в физике как модель, дающее правильное описание структуры атома.

Ц е л ь ю р а б о т ы является проверка формулы Резерфорда для за-

висимости дифференциального сечения рассеяния альфа-частиц на «тон-

кой» мишени от угла рассеяния.

Физические основы явления

Дифференциальное сечение рассеяния

Основной величиной, определяемой в любом столкновительном

эксперименте, является дифференциальное сечение рассеяния (упругого

или неупругого), характеризующее вероятность рассеяния в зависимости

от угла рассеяния.

Пусть под углом к оси падающего на мишень пучка частиц в элемен-

те телесного угла dΩ расположен детектор (см. рис. 1). Если J - плотность

потока пучка, а n - число рассеивающих центров, находящихся в объеме

мишени, занимаемом пучком, то число частиц, рассеянных в единицу вре-

мени в элемент телесного угла dΩ будет равно

76

( )dA d Jn , (1)

где ( )d и есть дифференциальное сечение рассеяния частицы под углом

.

Если бы в эксперименте определялось просто число рассеянных в еди-

ницу времени частиц dA, то в разных опытах эта величина была бы разная

(для заданного угла ), поскольку она зависит от плотности потока частиц

J, которая обычно разная в разных опытах. Гораздо удобнее измерять

дифференциальное сечение рассеяния одной частицы на одном рассеи-

вающем центре:

( ) dAdJn

. (2)

Эта величина характеризует вероятность одного акта упругого рассея-

ния под углом рассеяния , выраженную в единицах площади.

Рис. 1. Схема опыта Резерфорда. И – источник альфа-частиц, М – мишень, Д – детектор.

Дифференциальное сечение пропорционально элементу телесного угла

dΩ, занимаемому детектором, поэтому, чтобы избежать разнозначности в

77

разных экспериментах, обычно используют дифференциальное сечение

рассеяния, приведенное к единичному телесному углу:

( )( )dΩ

dI . (3)

Для того, чтобы определить ( )I , необходимо измерить две величины

J и dA и рассчитать число рассеивающих центров

0 mn n LS , (4)

где - концентрация атомов мишени, L – толщина мишени, - площадь 0n mS

поперечного сечения пучка частиц, и элемент телесного угла

2dS

dR

, (5)

где - площадь приемной части детектора, R - расстояние от детектора dS

до мишени.

Теория опыта Резерфорда

Выше мы дали общие определения величин, определяемых в опытах по

рассеянию. Теперь мы вернемся к основной нашей проблеме, к рассеянию

-частиц и еще раз опишем исторический опыт Резерфорда.

Итак, пучок -частиц, вылетающих из радиоактивного источника со

скоростью ~ 109см/с, направлялся на мишень, представляющую собой тон-

кую золотую фольгу толщиной 1 мкм, что составляет примерно 104 атом-

ных слоев. По числу вспышек на флуоресцирующем экране, поставленным

за мишенью, определялось число -частиц, прошедших через мишень и

78

рассеявшихся под углом . Как уже раньше отмечалось, подавляющее

число -частиц отклонялось на малые углы, в среднем на 2-3 градуса.

Однако, примерно одна из 104 падающих на мишень -частиц отклоня-

лась на большой угол, в том числе были и такие, которые рассеивались на-

зад, почти на 180°. Было также замечено, что рассеяние на малые углы

происходит в соответствии с законом нормального распределения случай-

ных величин.

Теперь, следуя рассуждениям Резерфорда, объясним полученные зако-

номерности и, в частности, ответим на вопрос о том, какая модель соответ-

ствует действительности, Томсона или Резерфорда.

Ясно, что если бы мишень состояла из твердых шариков, то ни одна из

-частиц не могла бы пройти через 104 слоев такого вещества. Рассмотрим

два случая: а) мишень построена из атомов Томсона, б) мишень построена

из атомов Резерфорда.

Модель Томсона. Атом Томсона - это положительно заряженная "капель-

ка", в которую вкраплены электроны, поэтому эта система уже на неболь-

шом расстоянии от нее нейтральна, как и положено атому. -частицы мо-

гут проникнуть в такую каплю, при этом они могут рассеяться как на по-

ложительном заряде капли, с максимумом электрической напряженности

на ее поверхности, так и на электронах внутри этой "капли". Каждая "кап-

ля" имеет радиус R~10-8 см.

Расчеты показывают, что средний угол рассеяния -частицы с энергией

5 МэВ на атоме Томсона составит очень малую величину ~ (0,02 - 0,03)°.

Если теперь -частицы попадает в мишень, состоящую из 104 слоев

атомов Томсона, то в результате многократных столкновений (в каждом

слое она будет испытывать столкновения, равновероятно отклоняющие ее

вправо и влево, вверх и вниз) вылетевшая из мишени -частицы будет

иметь средний угол отклонения (рассеяния), намного превышающий угол

рассеяния при однократном столкновении. Большая часть пучка -частиц

79

будет вылетать под углами (2-3)°. Однако Резерфорд вычислил вероят-

ность рассеяния -частицы в такой среде на угол 180° (т.е. учел столь не-

вероятный случай, когда почти при каждом столкновении -частица от-

клоняется все время в одну сторону). Вероятность такого случая составля-

ет величину ~ 10 -3000. Таким образом, ожидать, хотя бы и редких, но боль-

ших углов рассеяния в мишени из атомов Томсона бессмысленно.

Модель Резерфорда. Атом Резерфорда представляет собой малый тяжелый

керн (ядро), окруженный облаком электронов. Следует подчеркнуть, что

на момент постановки эксперимента постулаты Бора еще не были сформу-

лированы, поэтому такая модель вызывала определенные сомнения.

Если рассмотреть рассеяние -частицы на атоме Резерфорда, то следует

учесть возможность рассеяния как на внешних электронах, так и на ядре.

Рассеяние на электронах столь же мало, что и на атоме Томсона, т.е. со-

ставляет (0,02-0,03)° на отдельном атоме. Рассеяние на ядре (если масса

ядра намного превышает массу -частицы) может привести к большим уг-

лам рассеяния, в том числе и 180°.

Проследим движение -частицы в мишени, состоящей из атомов Резер-

форда. Поскольку размеры атома составляют величину ~ 10-8 см, то ми-

шень из 104 слоев должна быть полностью перекрыта атомами. Однако,

поскольку -частица движется с большой скоростью, то она испытывает

лишь едва заметные отклонения в электронной оболочке атома. Таким об-

разом, если -частица случайно не натолкнется на ядро, то она будет дви-

гаться также, как и в мишени из атомов Томсона, многократно рассеиваясь

и набирая средний по вылету из мишени угол рассеяния (2-3)°. Однако, в

отличие от мишени Томсона, -частица может столкнуться с тяжелым

ядром. Такое столкновение значительно менее вероятно, чем столкновение

с атомом в целом, потому что размеры ядра (как выяснилось) на 4-5 поряд-

ков меньше атома. В то же время вероятность столкновения -частицы с

ядром и ее отклонение на большой угол значительно больше, чем вероят-

80

ность отклонения на большой угол в мишени из атомов Томсона. Таким

образом, все экспериментальные результаты полностью объяснились с по-

зиций модели Резерфорда.

Нужно отметить, что мы рассмотрели качественно свойства модели Ре-

зерфорда, и уже из этого описания видно, что доказательства правильности

этой модели не столь просты, как кажется на первый взгляд. Ниже мы

кратко обсудим математическую модель рассеяния быстрой -частицы.

Рассеяние на одном центре. Формула Резерфорда.

Важным условием проведения эксперимента является требование на

толщину L мишени. Мишень должна быть "тонкой". Это означает, что

средняя длина свободного пробега -частицы между двумя последова-

тельными столкновениями с ядрами должна удовлетворять условию

L . (6)

Это условие обеспечивает однократность столкновения -частицы с ядра-

ми мишени (хотя в мишени имеется 104 атомных слоев).

Следует подчеркнуть, что величина дифференциального сечения

( )I , как подчеркивалось ранее, не зависит от числа рассеивающих

центров, поэтому в случае рассеяния -частицы на одном рассеивающем

центре эту величину мы будем рассматривать в качестве дифференциаль-

ного сечения. Важнейшим элементом в теории рассеяния является выбор

потенциала рассеяния ( ) . Эта величина является характеристикой U r

свойств вещества мишени и не зависит от условий эксперимента.

Резерфорд выбрал кулоновский потенциал, положив . Для ( ) /U r Ze r

простоты в качестве рассеивающего центра мы примем ядро золота, масса

81

которого много больше массы -частицы, поэтому отдачей ядра можно

будет пренебречь.

На рис. 2 изображены две близкие траектории -частицы в поле ядра

(заряд +Ze), находящегося в начале координат. Траектории отличаются

значениями прицельного параметра - расстояния до оси слева на рисун-

ке, соответствующего положению -частицы, когда она находится вдали

от ядра. - угол рассеяния. Задача имеет цилиндрическую симметрию с

азимутальным углом .

Рис. 2. Схема рассеяния -частицы на ядре.

Расчет траектории движения -частицы в кулоновском поле показыва-

ет, что ее траектория - гипербола, при этом прицельный параметр связан

с углом рассеяния соотношением:

2

2Ze ctgE

, (7)

82

где Ze - заряд частицы мишени (неподвижный рассеивающий центр), E –

энергия α - частицы.

Минимальное расстояние при сближении α -частицы с рассеивающей

частицей (рис. 2)

2

min 1 csc2

ZerE

. (8)

Теперь вернемся к определению дифференциального сечения рассеяния

(3) и преобразуем его к виду дифференциального сечения рассеяния на од-

ном центре:

1( )( )dAd dAI

d Jnd Jd

, (9)

где 1dAdAn

- число рассеянных α -частиц в единицу времени на одном

центре. Такое представление удобно для того, чтобы связать измеренный

макроскопический параметр (угол рассеяния ) с микроскопическим (не

измеряемым) параметром (прицельным параметром ).

Нетрудно видеть, что частицы, попавшие в площадку dS, обязательно

пройдут через элемент площади d кольца, расположенного на расстоя-

нии от оси, на которой находится рассеивающий центр. Число частиц,

прошедших через этот элемент площади в единицу времени, равно

1dA J d d . (10)

Отсюда

1( )dAdI

d Jd dd d

. (11)

83

Если выражение (11) проинтегрировать по φ в пределах от 0 до 2π, то d

будет представлять собой площадь пояса, изображенного слева на рис. 2.

Поскольку микроскопический, не измеряемый параметр, то воспользу-

емся формулой (7) и выразим d через измеряемую величину - угол рас-

сеяния . В результате будем иметь:

22

4

1( )2 sin

2

d ZeId E

, (12)

где 2/ sind dS R d d , R - расстояние до площадки dS. Соотношение

(12) представляет собой известную формулу Резерфорда.

Полученная формула определяет зависимость дифференциального се-

чения рассеяния от угла рассеяния. Качественные рассуждения о роли

многократных столкновений дают возможность восстановить картину

движения -частицы в веществе мишени. Альфа-частица всегда испытыва-

ет многократные столкновения, приводящие к разбросу в среднем в 2°-3°.

В этой области углов рассеяние по Резерфорду практически не дает вклада.

Начиная с углов рассеяния в 5°-6°, наоборот, резерфордовское рассеяние

становится превалирующим. Таким образом, до столкновения и после

столкновения с ядром -частица движется практически прямолинейно.

Поскольку ядра очень малы, то мишень почти прозрачна для -частиц, ко-

торые лишь изредка (и в силу условия L однократно) сталкиваются с

ядрами.

Базовая лабораторная установка

Учебный лабораторный комплекс представляет собой действующую

модель, которая является прототипом установки Резерфорда, на которой

84

были проведены знаменитые опыты, установившие ядерное (или,

планетарное) строение атома. В отличие от резерфордовской, предлагаемая

установка фиксирует рассеянные частицы высокоэффективным

полупроводниковым детектором и оборудована Измерительным

Комплексом (ИК) на базе персонального компьютера.

Базовая установка представляет собой вакуумированную камеру (каме-

ра рассеяния), в которой находится в соответствии со схемой (рис. 1) ис-

точник -частиц (Рu238), энергетический спектр которого состоит из двух

тесно расположенных линий 5491 кэВ и 5450 кэВ. Первая по интенсивно-

сти составляет ~ 65%, а вторая - 35 % . Средневзвешенное значение энер-

гии -частиц Е составляет величину ≈ 5,48 МэВ (рис. 3).

Поскольку при столкновении -частиц с молекулами воздуха -частиц

заметно теряют свою энергию, то камера рассеяния должна быть откачана

до давления ~ 1 мм ртутного столба. Мишенью служит золотая пленка

толщиной ≈ 1 мкм. Подвижный полупроводниковый детектор регистриру-

ет попадающие в него -частицы. Сигналы с детектора через зарядово-

чувствительный усилитель попадают либо на пересчетную схему, либо на

специальную спектрометрическую плату, вмонтированную в системный

блок компьютера. На экран компьютера выводится спектр рассеянных час-

тиц.

Приборная часть базовой лабораторной установки

На рис.4 представлен внешний вид установки. Под внешней

прозрачной крышкой видны: источник -частиц (1), мишень и коллиматор,

формирующий пучок -частиц (2), подвижный детектор (3),

жидкокристаллический индикатор для работы без компьютера (4).

В нижней части передней панели расположены кнопки управления:

«сеть», «включение детектора», «поворот детектора», «проверка вакуума»,

85

на левой боковой стенке расположена ручка управления мишенью (уб-

рать/выставить под пучок).

Рис. 3. Спектр -линий Pu238.

Рис. 4. Внешний вид установки.

86

Компьютерный вариант установки

Учебный лабораторный комплекс состоит из прибора-модели и персо-

нального компьютера. Компьютер управляет прибором, его различными

блоками и предлагает пользователю математический инструмент для обра-

ботки результатов эксперимента, проведения расчетов и построения таб-

лиц и графиков.

Компьютерно-программная часть

Как указывалось выше, компьютер управляет установкой, содержит не-

обходимую базу данных, программу обработки результатов эксперимента

и конкретную информацию.

Путеводитель по программной части

Следует отметить, что вся программа, каждый ее раздел снабжен

контекстно-зависимой справкой, в которой даются подробные пояснения,

поэтому, если после прочтения методического описания что-то остается

неясным или не запомнится, в "Справке" можно найти необходимые

разъяснения.

В нижней части экрана имеется информационная строка, которая по-

стоянно предоставляет краткую информацию на данный момент времени.

Работа начинается с включения компьютера (запрещается подключение

или отключение соединительных кабелей при включенных в сеть приборе

или компьютере).

На рабочем столе Windows имеется значок "Опыт Резерфорда" - вход в

программу. Войдя в нее, пользователь может попасть в любой пункт, ука-

занный на дереве. Если нас интересует пункт "Эксперимент", наведем на

него курсор и нажмем "Enter" или дважды левую клавишу мыши. Откроет-

87

ся программа и появится оглавление, соответствующее содержанию этого

пункта.

Методика проведения эксперимента

Главная задача состоит в определении углового распределения рассе-

янных -частиц. Из формул (1) и (2) следует, что для измерения диффе-

ренциального сечения рассеяния необходимо:

1. измерить величины:

dA - число рассеянных частиц, зарегистрированных в единицу времени де-

тектором под углом рассеяния ; ( /dA dN t — интенсивность излучения,

dN - полное число частиц, попавших в детектор за время t);

J - плотность потока частиц прямого пучка, т.е. частиц, зарегистрирован-

ных детектором без мишени ( / mJ N tS , где N - число частиц в прямом

пучке, - площадь отверстия коллиматора, определяющая сечение пуч-

ка, t — время измерения);

mS

2. рассчитать величины:

n - число рассеивающих ядер мишени, находящихся на пути -частиц

(формула (4));

dΩ - элемент телесного угла, занимаемого детектором (формула (5)).

Параметры установки:

1. Источник α -частиц: Pu238. Е=5,48 МэВ с интенсивностью счета под пря-

мым пучком – 105-106 имп/с.

88

2. Мишень: Золотая фольга толщиной L = 1 мкм и плотностью ρ = 19,3

г/см. Число Авогадро = 6,022 102 моль-1. Атомный вес золота AAu =

197,2. Заряд ядра золота ZAu = 79.

aN

3. Отверстие коллиматора: диаметр = 0,4 см. mD

4. Детектор: диаметр = 0,5 см. dD

5. Расстояние от центра мишени до детектора R = 12 см.

6. Давление в камере рассеяния р ~ 1 мм рт столба.

Описание экрана

В верхней части экрана расположена панель инструментов - это

значки для выполнения различных действий в данном разделе. Всплы-

вающие окна указывают на функцию значка, которая выполняется при на-

ведении на него курсора и нажатии левой клавиши мыши.

Главное меню программы проведения и обработки эксперимента:

1. Схема Опыта Резерфорда.

2. Определение плотности потока пучка.

3. Рассеяние на мишени.

4. Обработка экспериментальных данных.

5. Выход.

С левой стороны экрана (в экспериментальных разделах программы)

расположена панель, на которой указываются параметры эксперимента, а в

информационной строке приведены необходимые действия.

На каждом экране в панели инструментов приводится значок, откры-

вающий таблицы, в которые необходимо внести вычисленные значения. В

правой части экрана расположен счётчик частиц. При изменении положе-

ния детектора или мишени следует выключать детектор.

89

Полученные результаты кнопкой "В таблицу" вводятся в таблицу

экспериментальных результатов.

После проведения расчетов нажатие на кнопку "График" приводит к по-

строению графиков дифференциального сечения.

Время экспозиции

Основная погрешность в данных экспериментах возникает из-за слу-

чайного характера распада ядер и возникающего при этом разброса в из-

мерении интенсивности (числа частиц в единицу времени), регистрируе-

мой детектором.

Для достижения требуемой статистической точности необходимо вы-

брать такое время набора (время эксперимента), при котором выполнялась

бы заданная экспериментатором точность (относительная ошибка состав-

ляла бы заданный процент точности, указанный в задании).

( ) 1 1( )

dIII dA t dN

, (13)

где δI - относительная статистическая ошибка определения дифференци-

ального сечения I(θ), dI(θ) — абсолютная ошибка, dA - интенсивность рас-

сеянных под углом θ -частиц, t - время экспозиции. Таким образом, с уве-

личением t ошибка уменьшается и, следовательно, при увеличении угла θ

следует увеличивать и время t, если экспериментатор стремится не изме-

нять ошибку с изменением угла рассеяния.

Порядок выполнения работы

1. Вычислить элемент телесного угла dΩ, под которым виден детектор

из центра мишени.

90

2. До включения компьютера проверить, соединены ли интерфейсные

разъемы компьютера и установки (при работающем оборудовании под-

ключать или отключать кабели ЗАПРЕЩАЕТСЯ).

3. Включить компьютер, найти на рабочем столе "Опыт Резерфорда" и

открыть его.

4. Включить кнопку «сеть» прибора.

5. Кнопкой «проверка вакуума» проверить состояние вакуумированной

системы (в окне индикатора должно быть ~ 1 мм рт. столба).

6. Рукоятку, расположенную на левой боковой части прибора, повер-

нуть против часовой стрелки и вывести мишень (если она до этого находи-

лась в вертикальном положении) из-под пучка, уложив ее горизонтально.

При угле рассеяния θ = 0° измерить число частиц N прямого потока за

время t = 10 сек. Вычислить плотность тока пучка J (см. п. 1 эксперимен-

та). При изменении положения детектора или мишени детектор предвари-

тельно отключить.

7. Ввести мишень под пучок (предварительно отключив детектор). Ми-

шень должна быть зафиксирована в вертикальном положении. Измерение

величины dN в соответствии с условиями эксперимента следует начинать с

θ=10°. Провести измерения числа рассеянных частиц dN для углов θ = 10°,

20°, 30°, 40° и 50°, с учетом 10% точности. Для этого по формуле (13)

предварительно вычислить dN = dA·t.

8. Все результаты занести в таблицу.

9. Рассчитать по теоретической формуле (12) ( )TI для измеренных уг-

лов рассеяния и занести данные в таблицу.

10. Построить графики экспериментальной и теоретической кривых.

11. Восстановить потенциал рассеяния.

91

Бескомпьютерный вариант установки

Бескомпьютерный вариант установки демонстрирует всю

информационную часть эксперимента в окне индикатора выносного блока.

Это такие величины, как полное число частиц N, время экспозиции t и др.

Всю вычислительно-графическую часть работы обучающийся

проводит «вручную».

По существу содержание описания бескомпьютерного варианта мало

чем отличается от компьютерного, однако для удобства чтения мы

приведем текст полностью.

Методика проведения эксперимента

Главная задача состоит в определении углового распределения

рассеянных а-частиц.

Из формул (1) и (2) следует, что для измерения дифференциального

сечения рассеяния необходимо:

1. измерить величины:

dA - число рассеянных частиц, зарегистрированных в единицу времени де-

тектором под углом рассеяния ; ( /dA dN t — интенсивность излучения,

dN - полное число частиц, попавших в детектор за время t);

J - плотность потока частиц прямого пучка, т.е. частиц, зарегистрирован-

ных детектором без мишени ( / mJ N tS , где N - число частиц в прямом

пучке, - площадь отверстия коллиматора, определяющая сечение пуч-

ка, t — время измерения);

mS

2. рассчитать величины:

n - число рассеивающих ядер мишени, находящихся на пути -частиц

(формула (4));

92

dΩ - элемент телесного угла, занимаемого детектором (формула (5)).

Параметры установки:

1. Источник α -частиц: Pu238. Е=5,48 МэВ с интенсивностью счета под пря-

мым пучком – 105-106 имп/с.

2. Мишень: Золотая фольга толщиной L = 1 мкм и плотностью ρ = 19,3

г/см. Число Авогадро = 6,022 102 моль-1. Атомный вес золота AAu =

197,2. Заряд ядра золота ZAu = 79.

aN

3. Отверстие коллиматора: диаметр = 0,4 см. mD

4. Детектор: диаметр = 0,5 см. dD

5. Расстояние от центра мишени до детектора R = 12 см.

6. Давление в камере рассеяния р ~ 1 мм рт столба.

Время экспозиции

Основная погрешность в данных экспериментах возникает из-за слу-

чайного характера распада ядер и возникающего при этом разброса в из-

мерении интенсивности (числа частиц в единицу времени), регистрируе-

мой детектором.

Для достижения требуемой статистической точности необходимо вы-

брать такое время набора (время эксперимента), при котором выполнялась

бы заданная экспериментатором точность (относительная ошибка состав-

ляла бы заданный процент точности, указанный в задании).

( ) 1 1( )

dIII dA t dN

, (13)

где δI - относительная статистическая ошибка определения дифференци-

ального сечения I(θ), dI(θ) — абсолютная ошибка, dA - интенсивность рас-

93

сеянных под углом θ -частиц, t - время экспозиции. Таким образом, с уве-

личением t ошибка уменьшается и, следовательно, при увеличении угла θ

следует увеличивать и время t, если экспериментатор стремится не изме-

нять ошибку с изменением угла рассеяния.

Порядок выполнения работы

1. Вычислить элемент телесного угла dΩ, под кoторым виден детек-

тор из центра мишени.

2. Включить «сеть» прибора.

3. Кнопкой «проверка вакуума» определить состояние вакуумиро-

ванной системы (в окне индикатора должно быть ~ 1 мм рт. ст.)

4. Рукоятку, расположенную на левой боковой стороне прибора, по-

вернуть от себя и вывести мишень из-под пучка, зафиксировав в горизон-

тальном положении. При угле рассеяния θ =0˚ измерить число N за время t

= 10 сек. Вычислить плотность пучка J. (см. п.1 «Эксперимент»). При из-

менении положения детектора или мишени детектор следует предвари-

тельно отключить.

5. Ввести мишень под пучок (предварительно отключив детектор).

Мишень должна быть зафиксирована в вертикальном положении. Измере-

ния величины dN в соответствии с условиями эксперимента следует начи-

нать с θ = 10˚. Провести измерения числа рассеянных частиц dN для углов

θ = 10˚, 20˚, 30˚, 40˚ и 50˚ с учетом 10% точности. Для этого по формуле

(13) предварительно вычислить dN = dА t.

6. Все результаты занести в таблицу.

7. Рассчитать по теоретической формуле (12) ( )TI для измеренных

углов рассеяния θ и занести результаты в таблицу.

8. Построить графики экспериментальной и теоретической кривых:

a) 1( ) ( )ЭI f ; 2( ) ( )TI f ;

94

б) 43( )sin ( / 2) ( )ЭI f ; 4

4( )sin ( / 2) ( )TI f ;

Указать на графиках створ абсолютной ошибки ( )ЭdI на эксперимен-

тальных точках. Теоретические и экспериментальные точки изображаются

на одном графике.

dΩ = J = n =

θ dN t dA Iэксп(θ) dIэксп(θ) Iтеор(θ)

10

20

30

40

50

Таблицы следует построить для каждой из сторон измерений.

Контрольные вопросы

1. Модель атома Томсона.

2. Схема опыта Резерфорда.

3. Вывод формулы Резерфорда.

4. Объяснение рассеяния α-частиц.

5. Описание установки.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.З. Оптика, атомная физика, физика

ядра и элементарных частиц. М.: Астраль, 2005.

95

2. Сивухин Д.А. Общий курс физики. Т.5. Атомная и ядерная физика. М.: ,

ФМЛ, МФТИ, 2002.

3. Шпольский Э. В. Атомная физика Т.I. М.: Наука, 1984.

4. А.Бейзер. Основные представления современной физики. М., Атом-

издат,1973.

96

ВВЕДЕНИЕ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ 5 И 6

Эмпирические закономерности в спектре атома водорода

Спектр излучения атома водорода, как и спектры всех изолированных

атомов, состоит из отдельных резких линий и выделяется своей простотой.

Еще Бальмер (1885 г.), Ридберг (1890 г.) и Ритц (1908 г.) установили эмпи-

рически, что линии водорода могут быть сгруппированы по сериям, при-

чем их длины волн выражаются с высокой точностью формулой Бальмера-

Ридберга

2 21 2

1 1 1Rn n

, (В1)

где - волновое число; = 1, 2, 3, … - квантовое число, постоянное для

линии данной серии; = +1, +2, +3, … - квантовое число, характе-

ризующее линию данной серии.

1n

1n2n 1n 1n

В спектре водорода были обнаружены следующие серии:

серия Лаймана ( =1) целиком находится в области вакуумного ульт-

рафиолета

1n

2 22

1 1 11

Rn

n, = 2, 3, 4,… 2

серия Бальмера ( =2) имеет первые четыре линии в видимой области, а

остальные – в ультрафиолетовой части спектра (рис. В1)

1n

2 22

1 1 12

Rn

2

n, = 3, 4, 5,…

Первые линии этой серии получили специальные обозначения:

H (красная), = 6562,8 Å, = 3, 2n

H (голубая), =4861,3 Å, = 4, 2n

97

H (синяя), = 4340,1 Å, = 5, 2n

H (фиолетовая), = 4101,7 Å, = 6. 2n

В инфракрасной области было найдено три серии:

серия Пашена - 2 22

1 1 13

Rn

, n = 4, 5, 6,… 2

серия Бреккета - 2 22

1 1 14

Rn

n = 5, 6, 7,… 2

серия Пфунда - 2 22

1 1 15

Rn

n, = 6, 7, 8,… 2

Рис. В1. Серия Бальмера.

Каждая серия, как это следует из (В1), стремится к определнному пре-

делу или границе серии при 2n

21

Rn

.

Из сравнения приведенных формул видно, что все известные серии

атома водорода можно представить обобщеной формулой

1( ) ( )T n T n2 , (В2)

где , являющиеся функциями целых чисел, называются 2( ) /T n R n

спектральными термами. Существенно, что для каждой серии первый терм

98

имеет постоянное значение, а второе – переменное. Численное значение

термов могут повторяться в разных сериях одного и того же атома. Так,

например, постоянный терм серии Пашена является первым из

возможных переменных термов серии Бальмера и вторым переменным

термом для серии Лаймана. Это наводит на мысль, что комбинируя разно-

сти двух неравных термов из разных серий, можно получить волновое

число третьей серии. Этот вывод, блестяще подтверждаемый эксперимен-

том, носит название

2(3) /3T R

комбинационного принципа Ритца.

Глубокий физический смысл понятия «терм» был впервые вскрыт Бо-

ром, который увидел в комбинационном принципе яркое проявление свое-

образных квантовых законов, управляющих внутриатомными движениями.

Бор предположил, что каждому терму соответствует вполне определенное

энергетическое состояние атома. И так как набор термов для каждого ато-

ма дискретен, то атом может обладать только вполне определенным дис-

кретным рядом значений энергии. Тогда сериальные формулы и комбина-

ционный принцип есть не что иное, как выражение того факта, что свет

строго определенной частоты излучается лишь при скачкообразном изме-

нении энергетического состояния атома. Именно поэтому волновые числа

выражаются как разность двух термов.

Теория Бора

В 1911 г. Эрнст Резефорд, исходя из полученных им эксперименталь-

ных данных о рассеянии альфа–частиц, предложил планетарную модель

строения атомов. Эта модель полностью объяснила закономерности рас-

сеяния, но с точки зрения классической электродинамики атом Резерфорда

не имел права на существование по двум причинам.

1. При движении по груговой или эллиптической орбите вокруг ядра

электрон обладает ускорением. Однако согласно классической электроди-

намике любая заряженная частица двигаясь с ускорением должна излучать

99

электромагнитные волны, энергия которых пропорциональна квадрату ус-

корения. Непрерывно излучая и теряя при этом свою кинетическую энер-

гию, электрон должен очень быстро упасть на ядро. То есть «планетар-

ный» атом Резерфорда с точки зрения классической физики оказывается

нестабильным.

2. Уменьшение радиуса орбиты электрона приводит к непрерывному

росту частоты его вращения вокруг ядра. Тогда и частота излучения атома

также должна непрерывно увеливаться, т.е. спектр излучения любых ато-

мов должен быть сплошным. Однако в действительности атом – устойчи-

вая система и может излучать лишь линейчатый спектр.

Указанные противоречия так и не были объяснены в рамках докванто-

вых представлений. Причина этих противоречий оказалась в том, что зако-

ны классической физики были установлены для систем макроскопических

масштабов и их нельзя в полной мере распространять на системы с атом-

ными и субатомными размерами. Нильс Бор первым понял, что атом как

связанная микросистема, состоящая из положительно заряженного ядра и

вращающегося вокруг него электрона на орбите атомного размера, может

не подчиняться классическим законам. Для планетарной модели атома Бор

предположил наличие неклассических закономерностей, сформулировав

их в двух постулатах:

1. Атом может находиться лишь в дискретных устойчивых стационар-

ных энергетических состояниях, в которых он не излучает электро-

магнитные волны и не изменяет свою внутреннюю энергию, несмот-

ря на ускоренные движения входящих в его состав заряженных час-

тиц; каждое стационарное состояние обладает вполне определенной

энергией nE , которая может принимать ряд дискретных значений в

соответствии с условием (для круговых орбит)

2n n nhp mv r n

, (В3)

100

где np - момент количества движения электрона на орбите радиуса

; h - постоянная Планка; n - целое число (n = 1, 2, 3, …). nr

2. Атом излучает электромагнитные волны лишь при скачкообразном

переходе из одного стационарного состояния с большим значением

энергии 2nE в другое – с меньшей энергией 1nE . При этом излучает-

ся квант света h строго определенной частоты согласно условию

2nh E E 1n . (В4)

При обратном переходе 1n 2nE E энергия поглощается.

Сравнивая формулы (В4) и (В2), легко заметить, что их правые части

представляют собой разности двух постоянных чисел. Смысл nE ясен из

определения: это энергия -ого стационарного состояния. Тогда логично

предположить, что физическое содержание понятия «терм» будет тем же

самым с разницей лишь в константах. Так как

n

/c c , то из (В4) по-

лучим

2n 1nE Ehc hc

. (В5)

Сравнивая почленно величины, имеющие одинаковый физический смысл в

(В5) и (В2), получим

2( )ER nT nhcn

,

откуда

2nRchEn

, (В6)

то есть энергия стационарных состояний атома водорода принимает дис-

кретный, квантованный ряд значений, определяемых целым числом n.

Расмотрим теперь систему, состоящую из ядра с зарядом Ze и одного

электрона, вращающегося вокруг него по круговой орбите. При Z = 1 – это

атомарный водород, при Z = 2 – однократно ионизованный гелий He+, при

101

Z = 3 – дважды ионизованный литий Li++ и т.д. Ряд атомов и ионов, имею-

щих одинаковое количество электронов, называется изоэлектронным. Ряд

водорода – это H, He+, Li++, Be+++, …

Центростремительная сила, удерживающая электрон на орбите, являет-

ся в данном случае кулоновской. Тогда они просто равны:

2 2

2 кm v Zee F

r r . (В7)

Из (В7) можно найти кинетическую энергию электрона:

2 2

2 2em v ZeT

r . (В8)

Потенциальную энергию будем отсчитывать от ее значения для бесконеч-

но удаленного электрона:

2

к кr r

ZeU F dr F drr

, (В9)

Знак «-» во втором интеграле появился потому, что направления радиус-

вектора из центра окружности и r

кF

противоположны.

Полная энергия электрона на орбите

2

2ZeE T U

r . (В10)

До сих пор вывод формулы для энергии имеет чисто классический ха-

рактер. Осталось определить , так как r Z и известны. Но энергия элек-

трона в атоме принимает дискретный ряд значений, следовательно радиу-

сы орбит также дискретны. Здесь Бору пришлось ввести и применить

e

r

102

принцип соответствия в виде (В3). Решая систему уравнений (В3) и (В7) с

неизвестными и , находим nv nr

2 2

2 24ne

h nrZm e

. (В11)

Из выражения (В11) видно, что радиусы стационарных круговых орбит

растут пропорционально квадрату квантового числа n (рис. В2).

Подставляя (В11) в (В10), получим выражение для энергии в стацио-

нарных состояниях:

2 4 2

22 e

nm e

2ZE

h n . (В12)

Удобно представлять значения nE в виде диаграммы или, как ее чаще

называют, схемы энергетических уровней атома (рис. В3), где по верти-

кальной оси откладывается энергия стационарных состояний, а стрелки

обозначают возможные переходы между ними. В формуле (В12) значение

энергии получается отрицательным. Это обусловлено выбором нулевой

точки отсчета: полная энергия электрона, не связанного с атомом, считает-

ся равной нулю. Такое состояние соответствует ионизованному атому

( ) и отражается правой шкалой на схеме уровней, т.е. n nE в (В12) есть

полная энергия связи электрона с ядром. По этой шкале оказывается воз-

можным оценить абсолютное значение энергии самого глубокого уровня

при = 1. n

При возбуждении атома, т.е. при поглощении им дополнительной энер-

гии, электрон переходит на более удаленную орбиту и его связь с ядром

уменьшается. Поэтому более удобно за нуль отсчета принимать энергию

электрона в основном состоянии при = 1. Тогда n nE в электрон-вольтах

представляет собой энергию возбуждения атома в данном состоянии, ха-

103

рактеризуемым квантовым числом . Эти возможные состояния n nE на

схеме изображены гризонтальными прямыми или уровнями энергии.

Рис. В2. Круговые боровские стационарные орбиты. = 0,53 10-8 см-1. 1r

Излучательные переходы на схеме уровней условно изображаются

стрельками, направленными вниз. Стрелка начинается с уровня возбуж-

денного состояния 2nE и кончается на одном из более низких уровней 1nE

в строгом соответствии с (В4). Схема уровней наглядно демонстрирует

возникновение различных спектральных серий, каждая из которых харак-

теризуется постоянным значением 1nE . Стрелками вверх обозначаются пе-

реходы с поглощением энергии.

Выражение (В12) с точностью до знака энергии совпадает с (В6), если

положить

2 4

32 em eR

ch 109737,303 см-1. (В13)

Однако численное значение R в (В13) неколько отличается от значений

постояной Ридберга, найденной из точных спектроскопических измерений

по формуле (В1). Дело в том, что при выводе (В13) ядро предполагалось

104

Рис. В3. Схема энергетических уровней и излучательных переходов атома водорода.

105

неподвижным, как бы обладающим бесконечно большой массой. На самом

деле масса протона в 1836 раз больше массы электрона, и в силу конечно-

сти этого значения ядро, как и электрон, вращается вокруг их общего цен-

тра инерции. Чтобы учесть это обстоятельство, достаточно вместо массы

электрона ввести в (В13) приведенную массу электрона и ядра: em

1 /e

e e

mm M em M m M

, (В14)

где M - масса ядра.

Заменяя в (В13) на em , получаем в случае водорода

2 4

32 1

1 /(1 / )e

e

m eR Rm Mch m Me

109678,774 см-1, (В15)

что прекрасно согласуется с экспериментом. Здесь R соответствует бес-

конечно большой массе ядра и совпадает с (В13). Выражение (В15) пока-

зывает, что постоянные Ридберга для изотопов водорода (дейтерия с

2Д НM М и трития с массой 3Т НM М ), вследствие различия в приве-

денных массах, отличаются от RH для легкого водорода. Тогда по (В1)

длины волны линий, соответствующих одинаковым n1 и n2 в спектрах этих

атомов, должны быть разными. Это хорошо согласуется с наблюдаемым

сдвигом линий в спектрах дейтерия и трития по сравнению со спектром

водорода (изотопический сдвиг).

Для описания более тонких эффектов, например, расщепления спек-

тральных линий, излучаемых атомами, во внешнем поле, недостаточно

рассмотрения только круговых орбит.

В общем случае электрон, движущийся в кулоновском поле ядра, опи-

сывает эллиптическую орбиту. При этом электрон описывает эллиптиче-

скую орбиту, а ядро находится в фокусе орбиты.

Условия квантования для эллиптических орбит были даны Зоммер-

фельдом в следующем виде: если система с несколькими степенями свобо-

106

i

ды описывается обобщенными координатами и соответствующими

обобщенными импульсами

iq

/iP T q , то стационарны только те состоя-

ния, для которых

i i iPdq n h , (В16)

где - целые квантовые числа, а интегрирование расространяется на всю

область изменения . В случае эллипса, описываемого полярными коор-

динатами и

in

iq

r , имеем

2

0

P d n h

, (В17)

rP dr n h r , (В18)

где n и n - азимутальное и радиальное квантовые числа. В случае посто-

янства момента количества движения P

r

у овие (В17) дает, как и в слу-

чае круговой орбиты,

сл

2hP n

. (В19)

Интегрирование квантового условия (В18) накладывает ограничение на

эксцентриситет эллипса , который может принимать значения

21r

n n

n n n

. (В20)

где - главное квантовое число. n

Если рассматривать третью степень свободы, то условие квантования

(В16) для нее приводит к тому, что каждая орбита может быть сориентиро-

107

вана в пространстве не произвольным образом, а лишь так, что проекция

момента количества движения на любое фиксированное направление OZ

может принимать 2nφ+1 значений, кратных h/2π:

2ZhP m

, (В21)

где - магнитное квантовое число. m

Рис. В4. Различные орбиты электрона, соответствующие главному квантовому числу = 3. n

Теория Бора-Зоммерфельда с полной отчетливостью показала неприме-

нимость классической физики и первостепенное значеие квантовых зако-

нов для микроскопических систем, объяснив закономерности в спектрах

водорода и водородоподобных ионов, щелочных металлов, рентгеновских

спектрах. В ее рамках впервые получили объяснение закономерности пе-

риодической системы элементов. Точнейшее совпадение теории с экспе-

риментом придавало ей особую убедительность. Недаром Эйнштейн на-

звал теорию Бора «высшей музыкальностью в области теоретической мыс-

ли».

С другой стороны, теория не дала последовательного объяснеия интен-

сивностей и поляризации спектральных линий. Никак не удалось постро-

ить теорию простейшей двухэлектронной системы – атома гелия. Недос-

татки теории Бора являются следствием ее внутренней противоречивости

108

Действительно, с одной стороны, она привлекает чуждые классической

физике идеи квантования, а сдругой – пользуется для описания стационар-

ных состояний классической механикой. Наиболее правильную картину

внутриатомных физических явлений дала последовательная квантовая тео-

рия – квантовая механика, по отношению к которой теория Бора явилась

лишь важнейшим переходным этапом.

Квантово-механическое описание стационарных состояний.

Квантовые числа.

Основное отличие квантовой механики от теории Бора состоит в отказе

от представления о движении электрона по классически определенной ор-

бите. Применительно к микрочастице можно говорить не о ее месте на

траектории, а лишь о вероятности найти эту частицу в объеме ,

равной

dW dV

2( , , )dW x y z dV ,

где ( , , )x y z - волновая функция, подчиняющаяся уравнению движения

квантовой механики. В простейшем случае уравнение найдено Шрединге-

ром и для стационарных состояний нерелятивисткой частицы с массой m0

и энергией E имеет вид

22 2 2

02 2 2 2

80

mE U

x y z h

, (В22)

где U – потенциальная функция поля, в котором находится частица.

Вероятность пребывания электрна в единице объема 2

)( , ,x y z , рас-

считанная для каждой точки, создает представление об электронном обла-

109

ке, как о некотором статистическом распределении электронного заряда в

пространстве. Каждое стационарное состояние характеризуется своим рас-

пределением эектронной плотности, и переход из одного стационарного

состояния в другое сопровождается изменением размеров и конфигурации

электронного облака. Плотность электронного облака является функцией

расстояния от ядра . Интересно отметить для сравнения с теорией Бора,

что максимум радиальной плотности основного состояния атома водорода

соответствует точке , определяемой по формуле (В11), т.е. наиболее ве-

роятное расстояние электрона от ядра в точности равно радиусу первой

орбиты в теории Бора (рис. В5).

r

1r

С увеличением размера электронного облака, как правило, увеличивает-

ся его энергия nE , характеризуемая главным квантовым числом . Фор-

мой электронного облака определяется «орбитальный» момент количества

движения , характеризуемый квантовым числом . Ориентация облака в

пространстве определяет проекцию момента , характеризуемую кванто-

вым числом . Кроме орбитального, электрон имеет собственный момент

количества движения – спин , который может иметь в пространстве две

ориентации, что характеризуеися двумя значениями квантового числа :

-1/2 и +1/2. Однако нельзя представлять, что спиновый момент обусловлен

вращением электрона вокруг своей оси наподобие механического враще-

ния твердого шарика. Любые попытки такого механистического истолко-

вания спина приводят к противоречию с требованием теории относитель-

ности о невозможности превышения скорости света. Спин – такая же фун-

даментальная внутренняя характеристика электрона, как его заряд и масса.

n

lP l

lzP

lm

sP

sm

110

Рис. В5. Распределение радиальной плотности вероятности атома водорода для состояний 1s ( =1, =0), 2s ( =2, l =0), 3s (n =3, l =0). n l n

Таким образом, чтобы однозначно определить состояние электрона в

атоме, можно задать четыре физические величины ( nE , , , ) или, что

тоже самое, четверку квантовых чисел ( , , , ).

lP lzP szP

n l lm sm

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.З. Оптика, атомная физика, физика

ядра и элементарных частиц. М.: Астраль, 2005.

2. Сивухин Д.А. Общий курс физики. Т.5. Атомная и ядерная физика. М.: ,

ФМЛ, МФТИ, 2002.

3. Шпольский Э. В. Атомная физика Т.I. М.: Наука, 1984.

111

Лабораторная работа 5

СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА

Целью настоящей работы является ознакомление со спектром

атома водорода. В процессе ее выполнения необходимо измерить длины

волн излучения атома водорода в видимой области спектра и по результа-

там этих измерений определить постоянную Ридберга.

Метод определения постоянной Ридберга

Постоянная Ридберга R является одной из фундаментальных констант

атомной физики. Она входит в сериальные формулы водорода и водородо-

подобных ионов, щелочных металлов и в ряд других соотношений. Для

водорода длины волн линий излучения определяются формулой Бальмера-

Ридберга

2 21 2

~ 1 1 1Rn n

.

Теория Бора расшифровывает константу R :

2 4

3 109678,7742

1 e

m eeRch m M

см-1.

См. Введение к лабораторным работам 4 и 5.

112

Постоянная Ридберга имеет глубокий физический смысл. Если поло-

жить в формуле (В1) и 1 1n 2n , то ~

R . Физически переход атома

из основного стационарного состояния на уровень 2n с поглощением

энергии означает ионизацию атома, а ~

R отражает энергию такого пере-

хода. Таким образом, физически постоянная Ридберга есть э н е р г и я

и о н и з а ц и и атома водорода, выраженная в волновых числах. Этот

переход обозначен на рис. В3 стрелкой вверх.

Для экспериментального определения R по формуле (В1) необходимо

измерить длину волны спектральной линии и отождествить ее с опреде-

ленным спектральным переходом, т.е. найти и . 1n 2n

Фотография установки, на которой проводятся изучение спектра излу-

чения атома водорода, приведена на рис. 1. Визуально спектры излучения

атомов водорода и ртути наблюдаются с помощью монохроматора УМ-2

(1). Линза 2 фокусирует на входную щель монохроматора излучение водо-

родной лампы 3 или ртутной лампы 4. Блоки питания водородной и ртут-

ной ламп обозначены на рис. 1 как 5 и 6 соответственно.

Задание 1. Градуировка монохроматора УМ-2

Определение длин волн спектральных линий в спектре водорода

осуществляется по градуировочному графику, который необходимо по-

строить по известным линиям спектра ртути (рис. 2).

Буквой В обозначены формулы и рисунки, приведенные во Введении к лаборатор-ным работам 4 и 5.

113

Рис. 1. Общий вид экспериментальной установки.

Рис. 2. Спектр ртути.

Порядок выполнения работы.

1. Включить блок питания ртутной лампы ЭПС-111 в сеть ~ 220 В.

Тумблер блока «Сеть» перевести в положение «Вкл». Тумблер «Лампа

ДРШ» перевести в положение «Вкл». Нажать кнопку «Пуск» (лампа ино-

гда загорается и без нажатия кнопки). Прогреть ртутную лампу в течение 5

минут.

2. Установить входную щель монохроматора 0,1 мм. Наблюдая через

окуляр за спектром, вывести в поле зрения наиболее яркую желтую линию.

Если изображение иглы-указателя размыто, необходимо вращением кольца

окуляра добиться его максимальной резкости. (При необходимости можно

воспользоваться подсветкой иглы-указателя, для чего необходимо перевес-

ти тумблер «Указатель», расположенный в нижней части монохроматора, в

положение «Вкл»). В этом случае при отъюстированном приборе линии

114

спектра также будут резкими. Юстировка прибора производится обслу-

живающим персоналом практикума.

3. Вращением барабана длин волн в одну сторону последовательно ус-

танавливать точно иглу-указатель посередине всех линий спектра ртути,

записывая каждый раз длины волн и соответствующие им деления шкалы

барабана. Измерения провести три раза и усреднить полученные значения.

4. Выключить блок питания ртутной лампы ЭПС-111.

5. По полученным данным построить градуировочный график зависи-

мости длины волны (в ангстремах) от значения делений барабана.

Задание 2. Измерение длин волн в спектре водорода.

Порядок выполнения задания.

1. Включить блок питания водородной лампы ОУ-1 в сеть ~ 220 В.

Тумблер блока пиния «Сеть» (крайний левый тумблер на лицевой панели

блока) перевести в положение «Вкл».

2. Вращая барабан длин волн в одну сторону, снять отсчеты бараба-

на, соответствующие линиям спектра водорода.

3. Выключить блок питания водородной лампы ОУ-1.

4. По градуировочной кривой прибора УМ-2 найти длины волн, со-

ответствующие найденным значениям барабана.

Задание 3. Определение постоянной Ридберга.

Порядок выполнения задания.

1. Используя найденные значения длин волн в серии Бальмера, опре-

делить для каждой из них квантовые числа и , входящие в формулу

(В1).

1n 2n

2. Используя схему энергетических уровней атома водорода, приве-

денную на рис. В3, подставляя в (В1) эти числа и соответствующие длины

волн, подсчитать постоянную R для всех длин волн, после чего взять

среднее из этих значений. Найти ошибку эксперимента.

115

Контрольные вопросы

1. Каковы эмпирические закономерности в спектрах атома водорода?

Спектральные термы и их физический смысл.

2. Постулаты Бора и их математические условия.

3. Схема энергетических уровней атома водорода. Энергия связи и энергия

возбуждения электрона в атоме. Физический смысл постоянной Ридберга.

4. Теория Бора. Вывести формулу для энергии стационарных состояний в

атоме H по методу Бора.

5. Квантово-механическое описание строения атомов. Функция вероятно-

сти.

6. Квантовые числа. Что определяет каждое из четырех квантовых чисел?

116

Лабораторная работа 6

ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СДВИГ В СПЕКТРЕ АТОМА ВОДОРОДА

Введение

Спектр излучения атомного водорода, полученный на приборе не-

большого разрешения, является простейшим из спектров всех атомов.

Длины волн спектральных линий всех его серий хорошо описываются

формулой Бальмера (В1). Более детальный теоретический анализ, под-

тверждаемый экспериментами на спектральных приборах высокой разре-

шающей способности, показывает, однако, что каждая спектральная линия

водорода имеет сложную структуру, т.е. состоит из ряда очень близко рас-

положенных линий. Причинами возникновения такой структуры являются:

а) изотопический сдвиг, обусловленный наличием у водорода трех изо-

топов;

б) тонкая структура линий, связанная с релятивистской зависимостью мас-

сы электрона от скорости и взаимодействием собственного магнитного

момента электрона с его орбитальным магнитным моментом;

в) лэмбовский сдвиг и сверхтонкая структура, вызванные взаимодейст-

вием связанного электрона с нулевыми колебаниями электромагнитного

поля и взаимным влиянием магнитных моментов электрона и ядра.

Наибольшей величиной из указанных выше для атомов водорода облада-

ет изотопический сдвиг, причина которого раскрывается в рамках простой

теории Бора.

Буквой В обозначены формулы, приведенные во Введении к лабораторным работам 4 и 5.

117

Ц е л и р а б о т ы : ознакомление с теорией Бора; эксперимен-

тальное определение массы дейтерия из спектроскопических данных для

водорода и дейтерия.

Анализ сериальных формул

Формула Бальмера (В1), физическое содержание которой было

вскрыто теорией Бора, содержит два квантовых числа, определяющих

энергетические уровни начала и конца перехода, и постоянные R и Z :

22 21 2

~ 1 1RZn n

1 .

Для водорода Z =1, поэтому в (В1) Z отсутствует. Однако постоянными

эти величины являются только для каждого из атомов изоэлектронного ря-

да H , D , T , , , , … Для неодинаковых атомов +He ++Li +++Be R или R и

Z различны. Тогда для спектральных переходов в этих атомах, определяе-

мых одинаковыми и , длины волн излучения будут различными в со-

ответствии с приведенной формулой.

1n n2

Рассмотрим вначале и з о т о п и ч е с к о е с м е щ е н и е

линий при одинаковом значении Z . Тяжелый изотоп водорода – дейтерий

( DM = 2 а.е.м.) присутствует в естественной смеси изотопов водорода в

соотношении 1:5000. Поэтому его линии очень слабы и их трудно обнару-

жить. Существуют, однако, методы обогащения водорода дейтерием (элек-

тролиз воды и др.) и даже получения чистого . Используемая в данной

работе лампа заполнена H и D в таком, что их линии получаются соизме-

римыми по интенсивности. Причиной изотопического смещения является

зависимость постоянной Ридберга

D

R от массы ядра:

См. Введение к лабораторным работам 4 и 5.

118

11 e

R Rm M

.

Выведем формулу для определения «неизвестной» массы дейтерия

DM из спектроскопических измерений, т.е. из измерений H , и D

H D , причем Ошибка! Закладка не определена. H D , что

видно из (В15) и (В1).

Так как 1 1836Hem M , а Dem M еще вдвое меньше, то сомножитель

в (В15) можно разложить в ряд, ограничиваясь первыми членами:

1 1 .1 e

em M

m M

.. .

Тогда из (В1) следует:

2 21 2

1 1 eR m Mn n

1 1 . (1)

Сравним длины волн водорода и дейтерия для одинаковых спектральных

переходов. В этом случае изменение обусловлено только разными от-

ношениями Hem M и Dem M . Для линий H и D 1 2n и , откуда 2 3n

2 21 2 5 361 1n n . Тогда

51 136H H

eR mM

,

51 136D D

eR mM

(2)

51 1 136

H

D H D H H D

e MR mM M

,

119

или

361

5H H

D He D

M MM R m

. (3)

По этой формуле уже можно определить DM , но ее можно упростить, ис-

пользуя значение 1 H из (2):

1 1H H H

D D De e D

M M MM m m

.

Окончательно получим:

1

HD

H

De

MM

Mm

. (4)

Эта формула пригодна для любых линий серии, тогда как при исполь-

зовании соотношения (3) при переходе от линий H , D к H , D необ-

ходимо менять числовой коэффициент: вместо 536 брать 316 . Изменения

коэффициента требует также переход к другим линиям серии.

Рассмотрим теперь сходство и различия в спектрах ионов изоэлек-

тронного ряда по сравнению со спектром водорода. Для однократно иони-

зованного гелия 2Z , HeM = 4 а.е.м. Сериальные формулы для име-

ют вид:

+He

2 21 2

1 4 1He

emR

M n n

1 1

. (5)

120

Особый интерес представляют здесь серии линий, для которых – четное

число. Пусть , тогда

1n

1 2n

2 22 2 2

1 1 1 1 141 22

He HeR Rn n

2 ,

т.е. при эта формула дает линии, с точностью до значения 2 4,6,8,...n R

совпадающие с серией Лаймана для водорода. При нечетных получают-

ся линии, лежащие между ними.

2n

Еще до создания теории Бора в спектрах излучения некоторых звезд Пи-

керингом наблюдалась серия линий в видимой части спектра, совпадаю-

щая с серией Бальмера через одну линию. Эта серия была приписана водо-

роду в каком-то особом состоянии, так как получить ее в лабораторных

условиях не удавалось. Бор в работе «Спектры водорода и гелия» (1913 г.)

доказал, что серия Пикеринга принадлежит не водороду, а однократно ио-

низированному гелию.

Действительно, из (5) при 1 4n получаем

2 2 2 22 2

1 1 1 1 144 2 2

He HeR Rn n

,

что для четных в точности совпадает с серией Бальмера, а при

получаются промежуточные линии. Совпадение длин волн не

может быть полным, так как

2n

2 5,7,9,...n

HeR и HR несколько отличаются из-за разни-

цы в массах ядер (см. таблицу). Впоследствии эта серия была получена в

лабораторных условиях в спектре чистого гелия.

121

Длины волн излучения и в видимой области спектра, +He Ho

A

+He 6560,1 5411,6 4859,3 4541,6 4338,7 4199,8 4100,0

H 6562,8 - 4861,3 - 4340,5 - 4101,7

Описание установки

Установка собрана на базе дифракционного спектрографа ДФС–8, об-

ладающего большой дисперсией и разрешающей способностью. Обратная

линейная дисперсия прибора составляет 6 /мм. o

A

Оптическая схема прибора приведена на рис. 1. Свет от водородно-

дейтериевой лампы 1 с помощью конденсора 2 и поворотного зеркала 3

направляется на входную щель 4 спектрографа ДФС–8. Прибор собран по

автоколлимационной схеме, т.е. единственное сферическое зеркало явля-

ется объективом коллиматора и камеры одновременно. Поворотное зерка-

ло 5 направляет поток лучей на зеркало 6, откуда они в виде параллельного

пучка света падают на дифракционную решетку 7. После разложения в

спектр эти лучи снова падают на зеркало 6 и, сфокусированные по длинам

волн, собираются в плоскости фотопластинки 8, образуя спектр.

Рис. 1. Схема установки.

122

Прибор предназначен для фотографической регистрации спектра, но в

данной задаче для большей наглядности и быстроты удобнее проводить

визуальные измерения. Для этой цели прямо на кассете смонтирован оку-

ляр 9, в поле зрения которого размещена линейка с ценой деления 0,1 мм.

Таким образом, учитывая линейную дисперсию ДФС–8, можно фиксиро-

вать смещение спектра на 0,3 , что вполне достаточно для грубых изме-

рений.

o

A

Задание. Измерить разницу в длинах волн линий H , D и H , D в

серии Бальмера. Найти массу дейтерия в а.е.м.

Порядок выполнения задания.

1. Включить водородно-дейтериевую лампу (рис. 2). Для этого на блоке

питания вначале повернуть против часовой стрелки выключатель «Накал»

1. Через 2–3 мин. повернуть по часовой стрелке выключатель «Выс. напр.»

2.

2. Проверить фокусировку светящейся части лампы на щели ДФС–8.

3. Вращением маховика 3 установить на шкале длин волн 4 значение ~

650 нм. Продолжая вращать маховик и наблюдая в окуляр 5, найти крас-

ный дублет H D ( , o

6562,85AH D H ).

4. Включить блок питания 6 подсветки шкалы, которая располагается в

поле зрения окуляра.

5. Определить расстояние между компонентами дуплета в мм (расстоя-

ние между штрихами шкалы – 0,1 мм).

6. Пересчитать это расстояние в разность длин волн , приняв обрат-

ную линейную дисперсию прибора равной 6 /мм. o

A

123

7. Установить с помощью маховика 4 длину волны ~ 480 нм, найти ли-

нии H и D , проделать аналогичные измерения и найти . Таблич-

ное значен 32ие o

4861, AH .

Рис. 2. Эскиз лицевой стороны установки.

8. По измеренным значениям и с помощью формулы (4) найти

массу дейтерия, полагая HM = 1 а.е.м., = em 18361 а.е.м. Усреднить полу-

ченный результат и подсчитать ошибку эксперимента.

Контрольные вопросы

1. В чем причина изотопического сдвига спектральных линий? Как зави-

сит постоянная Ридберга от массы ядра?

2. Вывести рабочую формулу для определения массы дейтерия из спек-

троскопических измерений.

3. Как зависит длина волны излучения от заряда ядра для изоэлектронно-

го ряда водорода? Сравнить спектры излучения H и . +He

124

Лабораторная работа 7

ОПЫТ ФРАНКА И ГЕРЦА

Введение

Опыты Франка и Герца были задуманы авторами как исследование

механизма соударений электронов различных энергий с атомами газа. Для

этого была собрана установка (рис. 1), в которой главным элементом явля-

ется триод, заполненный одноатомным газом (первоначально – парами

ртути) при низком давлении. Положительный относительно катода потен-

циал сетки разгоняет электроны до энергии . Часть электронов стал-

кивается с атомами газа, отдает им свою энергию и тем самым замедляет-

ся.

УСКeV

Рис. 1. Электрическая схема опыта Франка и Герца.

Чтобы отделить замедленные электроны от остальных, был предло-

жен метод задерживающего потенциала. Суть его заключается в том, что

на анод лампы подается отрицательное относительно сетки напряжение

125

задержки ( ). Тогда электроны, кинетическая энергия которых у сетки

больше , достигнут анода и создадут анодный ток, а замедленные

электроны не смогут преодолеть задерживающий потенциал, вернутся на

сетку и будут участвовать в сеточном токе.

ЗАДV

ЗАДeV

Снимая вольтамперные характеристики в различных режимах,

Франк и Герц надеялись раскрыть закономерности и физический механизм

взаимодействия электронов с атомами. Однако все эксперименты приво-

дили к такому виду характеристик анодного тока, который не мог быть

объяснен в рамках классической электродинамики. Только квантовые

представления о строении атома позволили правильно понять наблюдав-

шиеся закономерности, и опыты Франка и Герца стали самым наглядным

доказательством правильности постулатов Бора о дискретности энергети-

ческих состояний атомов.

Ц е л и р а б о т ы: повторить опыт Франка и Герца; определить

функцию распределения электронов по энергии; определить резонансный

потенциал атома ртути; найти эффективное сечение неупругих соударений

электронов с атомами ртути.

Физика явления

Взаимодействие электронов с атомами

В 1913 г. Нильс Бор выдвинул два постулата, с помощью которых ему

удалось правильно объяснить строение и спектры простейшего из атомов –

водорода.

П о с т у л а т ы Б о р а

1. Из бесконечного множества электронных орбит атома, допускаемых

классической механикой, в центральном поле могут существовать только

некоторые дискретные орбиты, удовлетворяющие определенным кванто-

вым условиям. Электрон, находящийся на одной из этих орбит, несмотря

126

на то, что он движется с ускорением, не излучает электромагнитных волн.

Такая орбита называется стационарной.

2. Изменение внутренней энергии атома, ее поглощение или испуска-

ние, возможно только порциями – квантами. Величина кванта равна разно-

сти энергии тех стационарных состояний, между которыми происходит

переход электрона.

Стационарные состояния атома обычно изображаются как его уровни

энергии (рис. 2) на диаграмме энергий. Таких уровней у атома бесконечное

множество, но в данной задаче нас будут интересовать лишь два самых

нижних.

Не испытывая внешних воздействий, атом всегда находится в со-

стоянии с наименьшей энергией 1E . Минимальная энергия, которую может

поглотить атом при столкновении с электроном, равна 2 1E E . Уровень 2E

обычно называют резонансным. Пока кинетическая энергия электрона,

разгоняемого электрическим полем, не достигнет значения ,

атом эту энергию поглотить не может (переходы А на рис. 2). Лишь разо-

гнавшись до энергии , электрон сможет передать ее атому (переход Б

на рис. 2). Поэтому соударения движущегося свободного электрона с ато-

мом могут быть лишь двух типов: упругие и неупругие.

РЕЗ E 2 1EeV

РЕЗeV

У п р у г и е с о у д а р е н и я возникают в области между катодом и

сеткой (см. рис. 1) при условии УСКeV 2 1E E . В этом случае атом газа

не изменяет своей внутренней энергии, то есть не переходит в состояние

2E , и две частицы сталкиваются как упругие шарики. При этом сохраняет-

ся индивидуальная внутренняя и суммарная кинетическая энергия обеих

частиц. Электроны, испытавшие лишь упругие соударения, в дальнейшем

будем называть «быстрыми».

Н е у п р у г и е с о у д а р е н и я возникают при условии

.

УСКeV

РЕЗeV

127

Рис. 2. Схема уровней энергии атома.

При неупругих соударениях 1-го рода, когда электрон сталкивается с

невозбужденным атомом в состоянии 1E , кинетическая энергия электрона

полностью (в случае = ) или частично (в случае

) передается атому и увеличивает его внутреннюю энергию до

уровня

УСКeV

РЕeV

УСКeV РЕeV З УСКeV

З

2E . Только такое поглощение энергии атомом разрешено вторым

постулатом Бора. В результате столкновения атом возбуждается, а элек-

трон теряет всю или часть своей кинетической энергии и замедляется. Та-

кие электроны назовем «медленными».

На первый взгляд может показаться, что передача энергии от электрона

к атому при условии противоречит постулату Бора, так как

в этом случае кинетическая энергия электрона не равна энергии перехода

УСКeV РЕЗeV

2 1E E в атоме. Следует, однако, помнить, что в данном случае энергети-

чески квантованная система (атом) взаимодействует с не квантованной

классической частицей (свободным электроном), которая может прини-

мать или отдавать любые значения (доли) своей кинетической энергии при

условии . УСКeV РЕЗeV

128

Неупругие соударения 2-го рода возникают при взаимодействии элек-

трона любой энергии с возбужденным атомом. В этом случае атом может

отдать энергию перехода 2 1E E электрону, увеличивая его кинетическую

энергию и возвращаясь в стационарное состояние 1E . Однако такой про-

цесс имеет малую вероятность, прежде всего потому, что за время ~ 10-8

сек атом спонтанно переходит в основное состояние, излучая квант с энер-

гией 2h E E1 , и поэтому возбужденных атомов в газе значительно

меньше, чем возбужденных. В дальнейшем соударения 2-го рода не учи-

тываются.

Развитые здесь представления о упругих и неупругих соударениях, ос-

нованных на постулатах Бора, позволяют полностью интерпретировать ход

вольтамперных характеристик, полученных в опытах Франка-Герца.

Опыты Франка и Герца

Как было сказано выше, опыты проводились с ламповым триодом (рис.

1). Рассмотрим более подробно процессы, происходящие в такой лампе, ее

вольтамперные характеристики У(ai f V ) (зависимость анодного тока от

ускоряющего напряжения, анодная характеристика) и (зависи-

мость анодного тока от напряжения задержки,

З( )ai f V

характеристика задержки).

Для более полного понимания характера поведения вольтамперных ха-

рактеристик полезно изучить влияние на них концентрации атомов в колбе

лампы. Если концентрацию атомов уменьшить, доведя ее до такой величи-

ны, когда число столкновений с электронами будет ничтожно мало, то та-

кую лампу можно считать вакуумной.

Прежде всего, полезно изучить вольтамперные характеристики вакуум-

ной лампы.

129

Вакуумная лампа

Анодная характеристика. Вакуум в лампе должно быть таким, чтобы не

было столкновений электронов с остаточным (после откачки) газом лампы.

Это означает, что средняя длина свободного пробега электрона в колбе

лампы должна быть много больше размеров этой лампы

l

L ( l L ). Одна-

ко вполне подходит и менее жесткое условие l L . Такое условие может

быть выполнено для лампы, наполненной парами ртути при комнатной

температуре (Т 200С). В этом случае давление паров ртути невелико и

условие l L обычно выполняется. Анодная характеристика такой лампы,

приведенная на рис. 3, показывает, что при больших значениях анод-

ный ток насыщается. Ток насыщения возникает тогда, когда все электро-

ны, испускаемые раскаленной нитью в единицу времени, достигают анода.

УV

Рис. 3. Зависимость анодного тока вакуумной лампы от ускоряющего напряжения.

Возникает вопрос, почему ток насыщения не возникает непосредствен-

но со значений напряжения 0, т.е. почему существует область напря-

жений (заштрихованная часть кривой на рис. 3) до выхода на плато тока

насыщения. Причиной такого поведения вольтамперной характеристики

УV

130

является то, что электроны из раскаленной нити вылетают с разными ско-

ростями (разными энергиями). Энергии этих электронов распределены по

определенному закону ( )f E . В соответствие с этим законом есть некото-

рое количество очень медленных и очень быстрых электронов. Медленные

электроны образуют вокруг раскаленной нити электронное облако (раска-

ленная нить, потеряв электроны, становится положительно заряженной и

стремится вернуть обратно покинувшие ее электроны). Таким образом,

электронное облако становится неким препятствием для вылетающих

электронов, но по мере роста ускоряющей разности потенциалов элек-

тронное облако сжимается до размеров катода (уменьшается радиус объ-

емного заряда облака) и все электроны достигают анода.

УV

Плавный переход на кривой к току насыщения связан также и с тем, что

вдоль нити накала происходит заметное падение напряжения, поэтому на

разных ее участках действующее ускоряющее напряжение разное. УV

Характеристика задержки. Представляет интерес найти закон распреде-

ления по энергиям ( )f E электронов, покидающих катод. Это можно сде-

лать, сняв вольтамперную характеристику задержки З( )ai f V , т.е. зави-

симость анодного тока от задерживающей разности потенциалов при по-

стоянном значении . УV

Установив небольшое значение ускоряющего напряжения (в данном

случае является параметром) и изменяя , можно получить кривую,

приведенную на рис. 4. Область плато тока (не заштрихованная область)

указывает на то, что задерживающей разности потенциалов недостаточно

для того, чтобы затормозить электроны, и все они долетают до анода. В

заштрихованной области ток начинает падать из-за задержки электронов,

вначале самых медленных, а в конце, когда ток падает до нуля, самых бы-

стрых.

УV ЗV

131

Таким образом, по этой части характеристики видно, что к аноду элек-

троны приходят с разными скоростями. Поскольку функция распределения

есть число частиц , приходящихся на интервал энергии N E (от E до

E + E ), т.е. производная / , то для нахождения функции распреде-

ления электронов по энергии необходимо провести дифференцирование

характеристики задержки:

dN dE

З

( ) adidNf EdE dV

.

Здесь учтено, что ~ dN и ~ . adi ЗdV dE

Функция распределения изображена в заштрихованной области на рис.

4. Максимум этой кривой соответствует электронам с наиболее вероятным

значением энергии E . Крылья кривой указывают на то, что медленных и

быстрых электронов мало. Расстояние между точками а и б на полувысоте

кривой назовем шириной функции распределения. Чем более моноэнерге-

тичны электроны, тем уже кривая и меньше ширина функции распределе-

ния. Максимальная моноэнергетичность электронов достигается в специ-

ально разработанных электронных пушках, где ширина функции распреде-

ления электронов по энергии может достигать десятых и сотых долей эВ.

Газонаполненная лампа

Анодная характеристика. Перейдем теперь непосредственно к опыту

Франка и Герца. С этой целью в вакуумную лампу необходимо добавить

немного атомарного газа (Франк и Герц использовали пары ртути) до дав-

ления ~ 1 тор. В качестве такой лампы можно использовать ртутную лампу

(в колбе лампы находится капля ртути), нагретую до такой температуры,

когда l L . В этом случае электроны, испускаемые катодом и разгоняемые

ускоряющим напряжением между катодом и сеткой, начнут сталки-

ваться с атомами ртути.

УV

132

Рис. 4. Зависимость анодного тока вакуумной лампы от задерживающего напряжения и ее производная.

На вольтамперной характеристике такой лампы (рис. 5) в отличие от

вакуумной лампы можно видеть ряд максимумов и минимумов, являю-

щихся следствием неупругих столкновений электронов с атомами газа.

Разберем подробнее явления, происходящие в газонаполненной лампе.

До тех пор, пока энергия разгоняемых ускоряющим полем катод/сетка

электронов не достигнет значения = РЕЗeV 2E - 1E , в объеме катод-сетка

возможны только упругие соударения электронов с атомами. Поскольку

масса электрона намного меньше массы атома m M , то передача кинети-

ческой энергии от электрона к атому очень мала:

4КИН КИН/ 10eE E m M E .

Хотя при каждом столкновении электрон теряет первоначальное направле-

ние движения, в среднем электронный поток направлен вдоль электриче-

ского поля и энергия электронов определяется только разностью потен-

циалов катод/сетка. Практически не теряя до сетки своей кинетической

энергии, электроны преодолевают задерживающий потенциал сетка/анод,

133

и анодный ток растет с увеличением так же, как в вакуумном триоде

(рис. 5, участок кривой 1).

УV

Рис. 5. Зависимость анодного тока газонаполненной лампы от ускоряющей разности потенциалов (катод/сетка) при небольшой задерживающей разно-

сти потенциалов (сетка/анод). - резонансный потенциал. УVVЗ РV

При дальнейшем увеличении электронный поток в промежутке ка-

тод-сетка увеличивает свою кинетическую энергию, и как только кинети-

ческая энергия электронов

УV

КИНE достигнет значения атома газа, мо-

гут возникнуть неупругие столкновения, в результате которых энергия

электронов передается атомам, электроны замедляют свое движение и осе-

дают на сетке. В результате анодный ток уменьшается (рис. 5, участок

кривой 2). На рис. 6а заштрихованная область I представляет ту область

лампы, где в любой ее точке при условии

РЕЗeV

КИНE 2E - 1E могут произойти

неупругие соударения электронов с атомами.

Таким образом, первый максимум на вольтамперной характеристике

соответствует энергии электронов, при которой возникают их неупругие

столкновения с атомами ртути. Потенциал , соответствующий макси-

муму на вольтамперной характеристике, называется

IРV

резонансным.

134

Рис. 6. Области неупругих столкновений электронов с атомами ртути.

а) область I - ; б) области I и II - . 12'УeV E "

122УeV E

При дальнейшем увеличении ускоряющего поля электроны быстрее на-

берут необходимую для неупругих столкновений энергию и заштрихован-

ная область сдвинется влево ближе к катоду. Электроны, испытавшие не-

упругие соударения с атомами ртути, на оставшемся до сетки пути снова

смогут набрать энергию, достаточную для преодоления задерживающего

потенциала, и дадут вклад в анодный ток, который вновь начнет расти с

увеличением (рис. 5, участок кривой 3). УV

При дальнейшем увеличении ускоряющего напряжения, когда область

неупругих соударений сместится приблизительно на середину расстояния

135

между катодом и сеткой (заштрихованная область I на рис. 6б), оставшего-

ся расстояния до сетки будет достаточно, чтобы электроны могли набрать

энергию для нового неупругого соударения с атомами вблизи сетки (об-

ласть II на рис 6б) и испытав его попасть на сетку. На вольтамперной ха-

рактеристике появится второй максимум, при этом резонансный потенциал

, соответствующий этому максимуму, вдвое превышает . Потеря

электронами энергии при соударениях с атомами и появление медленных

электронов, которые не могут преодолеть задерживающего потенциала

сетка/анод, отражается в уменьшении анодного тока (рис. 5, участок кри-

вой 4).

IIРV I

РV

Второй максимум вольтамперной характеристики выражен менее четко

по сравнению с первым, так как вероятность соударения одного и того же

электрона с двумя атомами значительно меньше, чем вероятность одно-

кратного соударения. Третий и последующие максимумы соответствуют

трехкратному и т.д. соударениям и могут наблюдаться при очень тщатель-

ном подборе давления газа и геометрии лампы. Франку и Герцу удавалось

наблюдать пять максимумов в парах ртути.

Если измерить расстояние между максимумами на вольтамперной ха-

рактеристике лампы, то окажется, что оно составляет одну и ту же величи-

ну, равную , что соответствует энергии РЕЗV 12E возбуждения уровня 2E .

Возбуждение более высоко лежащих уровней при данных условиях экспе-

римента не происходит. Это связано с тем, что частота соударений элек-

трона с атомами газа велика, и как только электрон наберет энергию, рав-

ную или чуть превышающую энергию перехода 12E на первый возбуж-

денный уровень, он с большей вероятностью отдает ее атому. Это хорошо

прослеживается при измерении анодной характеристики с ростом темпера-

туры, а следовательно, и плотности паров ртути. Минимумы вольтампер-

ной характеристики опускаются и почти достигают оси абсцисс при тем-

136

пературе Т 1500С, что указывает на то, что упругого компонента в потоке

электронов практически не остается.

Нужно заметить, что схема уровней энергии атома ртути значительно

сложнее по сравнению с атомом водородом. Самые нижние из возбужден-

ных уровней представляют собой триплетное состояние . При этом

уровни триплета расположены настолько близко, что энергии разогнав-

шихся электронов вполне хватило бы для возбуждения каждого из них.

Однако в данном варианте опыта разрешающая способность прибора не

позволяла их наблюдать; для их наблюдения необходимо изменить конст-

рукцию лампы, что и сделали Франк и Герц в последних экспериментах.

30,1,2P

В экспериментально полученных вольтамперных зависимостях значе-

ние энергии электронов, соответствующее положению первого максимума,

отличается от резонансного. Это обусловлено тем, что начало вольтампер-

ной характеристики может не совпадает с началом координат в основном

из-за контактной разности потенциалов между изготовленных из разных

материалов катодом и сеткой, которая может достигать нескольких вольт.

Поэтому резонансный потенциал определяется по расстоянию между со-

седними максимумами на вольтамперной характеристике (см. рис. 5):

II IР РРЕЗV V V .

В опытах Франка и Герца с лампой, наполненной парами ртути, рас-

стояние между максимумами составляло величину, равную 4,9 эВ. Таким

образом, при достижении электроном энергии КИНE 4,9 эВ происходит

неупругое соударение электрона с атомом ртути, при этом последнему пе-

редается энергия, необходимая для возбуждения атома в первое возбуж-

денное состояние с энергией 2E . Атом находится в этом состоянии доста-

точно короткое время (~ 10-8 сек), после чего спонтанно переходит в не-

возбужденное состояние с испусканием фотона с энергией 2h E E1 . В

137

ультрафиолетовой области спектра должна появиться спектральная линия

с длиной волны

2 1

c hcE E

253,6 нм,

что позже и наблюдалось в опыте Франка и Герца.

Характеристика задержки. Вольтамперная характеристика задержки –

это зависимость анодного тока от задерживающего потенциала

при заданном значении ускоряющего напряжения ( выполняет роль

параметра).

З( )ai f V

УV УV

В случае, когда значение ускоряющего напряжения меньше резонансно-

го ( ), неупругих соударений электронов с атомами в лампе не про-

исходит, поэтому характеристика задержки такой лампы похожа на харак-

теристику задержки вакуумной лампы (рис. 7а).

УV РV

Если же , то появляется дополнительная ступенька, соответст-

вующая уменьшению анодного тока (рис. 7б). Этот факт нетрудно объяс-

нить. В результате неупругих столкновений вблизи сетки появляются две

группы электронов: быстрые, не испытавшие неупругих соударений, и

медленные, которые отдали свою кинетическую энергию атомам.

УV РV

При = 0 все электроны достигнут анода и анодный ток будет

пропорционален их числу. При постепенном увеличении задерживающего

напряжения все большая часть медленных электронов возвращается на

сетку (рис. 7б, участок кривой 1). Плавный спад кривой здесь также обу-

словлен разбросом электронов по скоростям.

ЗV ai

Начиная с некоторого значения задерживающего потенциала все

медленные электроны попадают на сетку, а задерживающего напряжения

еще не хватает, чтобы вернуть на сетку быстрые электроны, в результате

138

чего на вольтамперной характеристике появляется участок, где анодный

ток практически не меняется (рис. 7б, участок кривой 2). Очевидно, что

разность токов пропорциональна концентрации только тех электронов,

которые испытали неупругие соударения с атомами.

ai

При дальнейшем увеличении задерживающего поля начинают задержи-

ваться быстрые электроны и анодный ток плавно уменьшается до нуля

(рис. 7б, участок кривой 3).

Эффективное сечение неупругих столкновений

. у

Любые взаимодействия частиц имеет определенную вероятность. Их

количественной характеристикой является э ф ф е к т и в н о е с е ч е н и

е процесса, физический смысл которого заключается в следующем: для

осуществления с определенной вероятностью взаимодействия между элек-

троном и атомом обе частицы должны сблизиться на некоторое «прицель-

ное» расстояние r Тогда площадь круга радиуса r б дет называться эф-

фективным сечением соударения или вообще взаимодействия.

Математически сечение процесса можно определить следующим об-

разом:

0

( ) 2 ( , )e eW P W r rdr

,

где ( , - вероятность осуществления этого процесса в случае, когда

налетающий электрон имеет кинетическую энергию и прицельное рас-

стояние .

)eP W r

r

eW

Результаты измерения задерживающей характеристики в опыте Франка

и Герца позволяют оценить эффективное сечение неупругих соударений,

так как здесь измеряется полный анодный ток и его часть , обуслов-

ленная только медленными электронами. Выведем выражение для опреде-

ления

ai ai

через измеряемые параметра опыта.

139

а

б

Рис. 7. Зависимости анодного тока от задерживающего потенциала для разных значений ускоряющего потенциала: а) ; б) . УV РV УV РV

Анодный ток можно определить как ai jS , где j - плотность тока, -

площадь анода. Так как

S

vj en , то

140

Svai en , (1)

где - заряд электрона, - концентрация электронов, e n v

УV

- средняя ско-

рость электронов при данном ускоряющем напряжении .

Согласно теории столкновений скорость процесса, т.е. изменение числа

электронов в единицу времени, пропорциональна концентрациям соуда-

ряющихся частиц ( n электронов и атомов) и вероятности данного про-

цесса :

N

P

dn PnNdt

,

где вероятность неупругих столкновений vP . В последнем выраже-

нии - искомая величина, равная эффективному сечению неупругих со-

ударений электронов с атомами. Тогда

vdn nNdt

. (2)

Запишем число электронов n , испытавших неупругие столкновения за

время : t

vn tdn nN tdt

.

Очевидно, что vlt

, где l - расстояние катод-сетка. Тогда

n nNl . (3)

С другой стороны, из соотношения (1) следует:

141

vain

e S

. (4)

Тогда из соотношений (1), (3) и (4) найдем:

va

a

innNl e SnNl i Nl

ai

. (5)

Для расчета концентрации атомов используется известное соотно-

шение

N

p NkT , где p - давление газа. Тогда окончательно имеем

kTa

a

ii lp

. (6)

Описание установки

Приборный блок установки представляет собой действующую мо-

дель «Опыта Франка и Герца», полностью соответствующую своему лабо-

раторному прототипу.

Приборный блок содержит два модуля: модуль трехэлектродной

лампы и модуль управления (рис. 8).

Модуль трехэлектронной лампы. Трехэлектронная лампа находится

внутри приборного блока и максимально приближена к передней прозрач-

ной панели, что позволяет наблюдать за ее работой. На этой же панели

имеются: кнопка включения питания прибора и кнопки управления темпе-

ратурой колбы лампы, которая изменяет давление насыщенных паров рту-

ти в ней (кнопка - температура больше, кнопка - температура меньше).

Температурный режим нагрева колбы лампы задается тремя значениями (Т

142

200С, 800С и 1500С) и контролируется светодиодами, вынесенными на

верхнюю панель корпуса прибора.

Рис. 8. Приборный блок установки «Опыт Франка и Герца».

Модуль у равления. Пр дставляет собо систему связи с омпью -

ром

п е й к те и управления работой трехэлектродной лампы.

На верхней панели прибора расположены:

1. Электрическая схема установки с кнопками включения отдельных бло-

ков питания:

- блока накала;

- блока ускоряющего потенциала (катод-сетка);

- блока задерживающего потенциала

Предусмотрен компьютерный вариант работы

143

2. Кнопки управления, изменяющие разность потенциалов катод-сетка

(ускоряющий потенциал, пределы изменения 024 В) и сетка-анод

(задерживающий потенциал, пределы изменения 024 В).

УV ЗV

3. Индикатор, в верхней строке которого фиксируется анодный ток, а в

нижней строке и , соответственно. УV ЗV

Задание 1. Определение длины свободного пробега электронов.

В задании необходимо рассчитать среднюю длину свободного пробе-

га электрона для значений температуры = 200С, = 800С и = 1500С. 1T 2T 3T

Методика расчета основано на следующем. В лампе базовой экспери-

ментальной установки находится капля ртути. В зависимости от темпера-

туры меняется давление насыщенных паров ртути внутри колбы лампы, а

следовательно, и средняя длина свободного пробега электрона, двигающе-

гося от катода под действием ускоряющего поля . В установке имеется УV

возможность устанавливать три значения температуры = 200С, = 800С 1T 2T

и = 1500С. Для каждого значения температуры среднюю длину сво-3T T

бодного пробега электрона можно рассчитать по формуле

1n

.

Здесь - эффективное сечение неупругого столкновения электрона с ато-

мом ртути (величина сечения зависит от энергии налетающих электронов и

при кинE 5 эВ равна = 1,510-16 см2); - концентрация паров ртути,

которую можно рассчитать используя формулу

n

p nkT ,

144

где - температура в градусах Кельвина, = 1,38T k 10-16 эрг/град – посто-

янная Больцмана, p - давление в барах (система СГС), величина которого

для разных температур приведено в таблице.

Таблица. Давление насыщенных паров ртути при разных температурах

Температура 200С 800С 1500С

Давление, бар 1,33 118,37 3724

Задание 2. Определение функции распределения электронов по ско-

ростям.

Функция распределения электронов по скоростям определяется на

основе зависимости анодного тока лампы от задерживающего потенциала

З( )ai f V . Переменными параметрами являются плотность паров ртути и

ускоряющая разность потенциалов . УV

Порядок выполнения задания.

1. Включить прибор нажатием левой кнопки на передней панели

прибора.

2. Включить питание трехэлектродной лампы нажатием кнопок БН,

БУ, БЗ на верхней панели прибора.

3. Установить температуру нагрева ртути T = 200С. Для этого можно

воспользоваться кнопками (температура больше) и (темпера-

тура меньше) на передней панели блока.

4. Снять зависимость анодного тока от ускоряющего напряжения

У( ) для трех значений напряжения ЗV задерживающего по-ai f V

ля: ЗV = 0, ЗV =1 В и ЗV = 2 В.

5. Снять зависимость анодного тока от задерживающего потенциала

З( ) для трех значений напряжения УV ускоряющего поля: ai f V

УV = 0, УV = 3 В и УV =10 В.

145

6. Провести дифференцирование полученных зависимостей

З( ) . По полученным результатам определить наиболее ве-ai f V

роятную энергию электронов (максимум кривой maxE ) и энерге-

тический разброс ( E ).

Задание 3. Определение резонансного потенциала атома ртути.

Резонансный потенциал атома ртути определяется на основе зависи-

мости анодного тока лампы от приложенного ускоряющего напряжения

У( )ai f V . Переменными параметрами являются плотность паров ртути и

задерживающая разность потенциалов . ЗV

Порядок выполнения работы.

1. Установить температуру нагрева ртути T = 800С. Для этого можно

воспользоваться кнопками (температура больше) и (темпера-

тура меньше) на передней панели блока. Температура установлена

после того, как индикаторная лампа температуры перестает ми-

гать.

2. Установить задерживающее напряжение ЗV = 1 В.

3. Снять зависимость У( )ai f V .

4. То же самое повторить для значения задерживающего потенциала

= 2 В. ЗV

5. По полученным кривым определить резонансный потенциал РV .

6. Установить температуру нагрева ртути T = 1500С.

7. Повторить пункты 2-5.

8. По полученным кривым определить резонансный потенциал РV .

Задание 4. Определение эффективного сечения неупругих соударе-

ний.

Порядок выполнения работы.

1. Установить температуру нагрева ртути T = 800С или T = 1500С.

146

2. Установить ускоряющее напряжение на 1 – 2 В меньше значения

резонансного потенциала.

3. Снять зависимость анодного тока от задерживающего потенциала

З( ) . ai f V

4. Установить ускоряющее напряжение на 1 – 3 В больше значения

резонансного потенциала.

5. Снять зависимость анодного тока от задерживающего потенциала

З( ) . Убедиться в наличии на кривой зависимости плато ai f V

анодного тока (см. рис. 7б).

6. Найти по графику значения полного анодный ток ai и его части

ai , обусловленной медленными электронами. По формуле (6)

рассчитать эффективное сечение неупругих столкновений. Для

расчета использовать значения давления паров ртути p из табли-

цы, l = 3 мм.

7. Полагая эффективное сечение неупругих соударений кругом,

определить «прицельное» расстояние r . Сравнить r с радиусом

первой боровской орбиты для атома водорода a = 0,510-8 см.

Контрольные вопросы

1. Схема опытов Франка и Герца. Объяснить суть метода задерживаю-

щего потенциала.

2. Как могут взаимодействовать электрон с атомом? Упругие и неупру-

гие соударения.

3. Объяснить физические процессы, происходящие в газонаполненном

триоде при увеличении ускоряющего напряжения (задерживающий

потенциал постоянен).

147

4. Объяснить поведение зависимости анодного тока лампы от задержи-

вающего потенциала при постоянных значениях ускоряющего поля

( УV РV и

). УV РV

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.З. Оптика, атомная физика, физика

ядра и элементарных частиц. М.: Астраль, 2005.

2. Сивухин Д.А. Общий курс физики. Т.5. Атомная и ядерная физика. М.: ,

ФМЛ, МФТИ, 2002.

3. Шпольский Э. В. Атомная физика Т.I. М.: Наука, 1984.

148

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Лабораторная работа 1. Тепловое излучение.

Измерение яркостной тмпературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Лабораторная работа 2. Определение постоянной Планка. . . . . . . . . . . 32

Лабораторная работа 3. Эффект Комптона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Лабораторная работа 4. Опыт Резерфорда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Введение к лабораторным работам 5 и 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Лабораторная работа 5. Спектр атома водорода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Лабораторная работа 6. Изотопический сдвиг в спектре

атома водорода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Лабораторная работа 7. Опыт Франка и Герца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124