ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ

ФАКУЛТЕТ ПО ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

КАТЕДРА “ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ”––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Мария Енчева Тодорова

ЧИСЛЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА ДИНАМИКАТА НА МОЩНИСВРЪХКЪСИ ОПТИЧНИ ИМПУЛСИ

АВТОРЕФЕРАТ

на дисертационен труд за присъждане на образователна и научна степен

“ДОКТОР”

Професионално направление: 4.5 Математика

Научна специалност: Математическо моделиране и приложение на

математиката

Научни ръководители:

проф. д-р Михаил Димов Тодоров

проф. д-р Иван Георгиев Копринков

Научно жури:

проф. д-р Михаил Димов Тодоров, ТУ-София

проф. д-р Живко Димитров Георгиев, ТУ-София

проф. д-р Снежана Георгиева Гочева-Илиева - ПУ "Паисий Хилендарски"

проф. дфн Катя Желева Вутова- ИЕ-БАН

доц. дн Иванка Миткова Желева - РУ "Ангел Кънчев"

София, 2015г.

2

Дисертационният труд се състои от увод, 4 глави и заключение (авторска справка).Основният текст съдържа 116 страници, включващи 28 фигури и 5 таблици.Списъкът на цитираната литература съдържа 110 източника. В отделен списък сададени работите, в които са публикувани основните резултати на дисертацията - 8заглавия.

Дисертационният труд е обсъден и насрочен за защита на заседание на разширенсъстав на Катедрен съвет на катедра "Диференциални уравнения” към ФПМИ приТУ-София, състояло се на 14.09.2015 г.

Докторантът е зачислен в докторантура на самостоятелна подготовка със заповед№1601 от 07.05.2014г.

Докторантът е асистент в катедра "Електроенергетика и автоматика" в Колеж поенергетика и електроника към ТУ-София.

Защитата на дисертационния труд ще се състои на 22.01.2016 г. от 13.00 часа в зала2140 на ТУ-София на открито заседание на Научното жури.

Материалите по защитата са на разположение на интересуващите се в канцелариятана ФПМИ, блок 2, кабинет 2228–А.

Автор: Мария Енчева ТодороваЗаглавие: Числено изследване на динамиката на мощни свръхкъси оптични импулсиТираж: 30 бр.Печатна база при ТУ-София

3

Обща характеристика на дисертационния труд

Актуалност на изследванетоАктуалността на настоящото изследване се определя от уникалните

възможности за фундаментални и приложни изследвания, които физиката на високо-интензивните свръхкъси импулси предлага, а именно:

- Генерацията, контролиране на поведението и практическото използване намощни свръхкъси светлинни импулси е една от най-предизвикателните задачи насъвременната физика и авангардните технологии [1-3]. Това са импулси, генерираниот лазери и лазерни усилватели с активна среда титан-сапфир, които са основнитегенератори на този тип импулси. Типичните параметри на тези импулси са:продължителност на импулса от около 100 фемтосекунди (fs) до няколко fs( 151 fs 10 s ), импулсна мощност от няколко десетки гигавата (GW) доняколкостотин GW, интензитет при разпространение в материална среда в диапазона

1210 до 1410 2W / cm . Поведението на фемтосекундните импулси при разпространениев обемни нелинейни среди е сложно от физична и математическа гледна точка и не еокончателно изучено в своята цялост.

- Процесът на разпространение на свръхкъси оптични импулси е съпроводен сефекта самокомпресия [4-7], който е един от основните методи за генерация на най-късите и същевременно мощни светлинни импулси, достигащи продължителност отняколко фемтосекунди.

- Генерираните мощни компресирани импулси, освен за директни приложения,служат като начални възбуждащи импулси при получаването на най-късите досегапроцеси, създадени и контролирани от човека - импулсите с аттосекундна( 181 as 10 s ) продължителност [8,9].

- Свръхкъсите фемтосекундни и аттосекундни импулси са единствениятзасега инструмент, с който разполага съвременната наука, за изследване на реално-времевата динамиката на вътрешно-атомните [10] и вътрешно-молекулните процеси[11].

Настоящето изследване на динамиката на мощни свръхкъси импулси епредизвикателна задача и от математическа гледна точка, тъй каторазпространението на мощни фемтосекундни лазерни импулси се описва в рамкитена (3+1)-мерни нелинейни частни диференциални уравнения:

- нелинейно уравнение на Шрьодингер (НУШ),- нелинейно уравнение на обвивката (НУО).Уравненията НУШ и НУО са от тип нелинейни уравнения на Шрьодингер.

Численото им решаване е “специалитет” на относително тесен кръг изследователскигрупи по света и като правило пакетите компютърни програми не са достъпни. Етозащо това налага самостоятелно разработване на проблема и създаването на новипакети компютърни програми за неговото решаване.

За определени видове (1+1)-мерни скаларни нелинейни уравнения наШрьодингер съществуват аналитични решения, но (3+1)-мерните уравнения недопускат аналитични решения от тип Манаков и там по правило методът наобратното разсейване и/или асимптотични методи не работят. По тази причинатърсенето на решения се извършва с помощта на приближени методи [12-14] и вусловията на крайна комплекснозначна аритметика [15,16].

Обект на дисертационното изследване е поведението на мощни свръхкъсиоптични импулси при разпространението им в реални обемни нелинейни среди.

4

Предмет на изследването е получаване на резултати за обекта чрез числениметоди, алгоритми и техники, приложими за решаването на нелинейни частнидиференциални уравнения от тип нелинейни уравнения на Шрьодингер.

Основната цел на настоящата работа е числено изследване на поведението насвръхкъси оптични импулси при разпространението им в реални обемни нелинейнисреди на базата на (3+1)-мерното нелинейно уравнение на Шрьодингер и (3+1)-мерното нелинейно уравнение на обвивката.

Задачите, поставени в съответствие с определената цел, са:1. Построяване на математичен модел, описващ разпространението на оптичниимпулси в реална среда. Избор на подходящ метод за числено решаване на НУШ иразработване на компютърна програма за неговото реализиране.2. Тестване на числения алгоритъм на използваната схема.3. Числено изследване на поведението на импулсите при разпространението им вреални обемни нелинейни среди, описано чрез НУШ.4. На базата на резултатите от НУШ разработване на съответстваща компютърнапрограма за числено решаване на НУО.5. Тестване на числения алгоритъм на използваната схема.6. Провеждане на числено изследване на поведението на импулсите приразпространението им в реални обемни нелинейни среди, описано чрез НУО.

Структура на дисертациятаДисертацията се състои от увод, четири глави и заключение.Първа глава на дисертацията има уводен характер.- Дава се идея за извеждане на уравнението на състоянието за разпространение

на светлинни импулси в оптични влакна от уравненията на Максуел. Представен ематематическият модел на едно от основните видове (1+1)-мерно НУШ.

- Посочени са най-важните симетрии и произтичащите от тях закони зазапазване, които изразява разглежданото уравнение.

- Направен е кратък обзор за възможностите за получаване на точно решениена уравнението при отсъствие на нелинейност, при отсъствие на дисперсия, както ивъзможностите за решаването му чрез метода на обратната задача на разсейване(МОЗР).

- Разгледани са по-широко използваните методи, които се прилагат занамиране на числено решение - метод на крайните разлики и Split-step метод наФурие.

В Глава 2 е разгледано (3+1)-мерно уравнение от тип НУШ.- Изведени са закон за запазване на масата, закон за запазване на енергията,

както и закони за запазване на импулса по всяко едно от трите "пространствени"направления.

- Разгледано е линейно частно диференциално уравнение, съответстващо налинейната част на НУШ.

- Обоснован е методът на разцепване по физични процеси и по координати зачислено решаване на уравнението от разглеждания тип.

- Построен е числен алгоритъм за решаване на уравнението, записано вцилиндрични координати. За численото пресмятане е предложен методът на крайнитеразлики с прилагане на схема на Кранк-Никълсън, която е изследвана за ред наапроксимация и устойчивост.

- Разгледано е (3+1)-мерно НУШ и са предложени две схеми за решаването му.Към линейната част на диференчното уравнение и в двете схеми е приложен методътна Кранк-Никълсън, а за решаване на нелинейната част са приложени съответно

5

метод на Рунге-Кута и вътрешна итерация по нелинейност за всеки подслой поеволюционната променлива.

- Описан е методът, с който се изследват относителната грешка и скоростта насходимост на числените решения на диференчните аналози на НУШ и НУО.

В Глава 3 е разгледано (3+1)-мерното базисно НУШ, описващоразпространението на мощни фемтосекундни лазерни импулси в реални обемнинелинейни среди.

- Изведено е уравнението на състоянието и е построен безразмеренматематически модел.

- Изведени са закон за запазване на масата и закон за запазване на енергията.- Разработен е числен метод за решаване на НУШ, както и алгоритъм за

числените симулации.- Представени са резултатите от тестването на разработения алгоритъм.- Направен е анализ и е дадена физична интерпретация на резултатите,

получени от проведените числени експерименти.В Глава 4 е разгледано (3+1)-мерното нелинейно уравнение на обвивката.- Изведено е уравнението на състоянието, което включва нелинейното

уравнение на обвивката и свързаното с него кинетично уравнение, описващодинамиката на електронната концентрация, и е построен безразмерен математическимодел.

- Разработен е числен метод за решаване на НУО, при който уравнението еразцепено по физични процеси. Направена е апроксимация на диференциалнатазадача. Първо е разгледана линейната част на уравнението и приложената схема еизследвана за ред на апроксимация и устойчивост. Предложена е схема за численоторешаване на НУО.

- Направена е апроксимация на кинетичното уравнение.- Разработен е алгоритъм за числените симулации.- Направени са тестове на алгоритъма.- Направен е анализ и е дадена физична интерпретация на получените от

проведените числени експерименти резултати.

Основни моменти в съдържание на дисертациятаУвод

Посочена е актуалността на изследването, основната цел на изследването,задачите, които са изпълнени за осъществяването на основната цел, изброени сатрудностите, свързани с решаването на многомерните нелинейни частнидиференциални уравнения и е направен кратък преглед на съдържанието надисертацията.

Глава 1. (1+1)-мерни уравнения на Шрьодингер1.1. (1+1)-мерно нелинейно уравнение на Шрьодингер за оптични влакна

1.1.1. Физичен процес. Извод на уравнениетоИзложени са накратко водещите предположения и приближения за

извеждането от уравненията на Максуел на (1+1)-мерно нелинейно уравнение наШрьодингер (НУШ), което описва разпространението на светлинни импулси воптични влакна

222

2 02

A Ai A Az Т

(1.1)

6

и отчита само дисперсия2

222A

Т

и кубична нелинейност 2A A .

Така полученото (1+1)-мерно НУШ е едно от основните уравнения нанелинейната оптика в оптични влакна и е проучено обстойно в контекста на времевисолитони [17-19]. Параметърът 2 може да бъде положителен или отрицателен, взависимост от конкретната среда или дължината на вълната на оптичното лъчение.При 02 (среда с положителна дисперсия) импулсът обичайно се разширява иразцепва при разпространението си, а при 02 (среда с отрицателна дисперсия)могат да се намерят условия за стабилно разпространение на импулса и за формиранена времеви солитон. Нелинейният параметър е положителен в повечето среди[17,20].

1.1.2. Математически модел на задачатаУравнение (1.1) е приведено към безразмерен вид:

22

21 02

и иi и и

, (1.2)

зададени са начални и гранични условия.1.2. Аналогия с уравнението на Шрьодингер в квантовата механика

Посочена е структурната прилика на уравнение (1.1) с вълновото линейноуравнение на Шрьодингер в квантовата механика [21]. Тъй като в нелинейнотоуравнение на Шрьодингер еволюцията на процеса на разпространението на импулса епо направлението на пространствената променлива , формално може да се приеме,че има смисъл на „време”.1.3. Закони за запазване

За да е интегруема една динамична система с краен брой степени на свобода,тя трябва да притежава закони за запазване, равни на броя на степените й на свобода[22]. Нелинейните уравнения на Шрьодингер са динамични системи с безброй многостепени на свобода. На някои от тях, включително и на уравнение (1.2), съответствабезкрайна хамилтонова система, която се отнася към класа на интегруемитеуравнения и следователно има безброй закони за запазване (интеграли). Най-важнитезакони за запазване, които изразява разглежданото уравнение (1.2), са: закон зазапазване на енергията, закон за запазване на масата, закон за запазване на импулса.1.4. Аналитични решения на НУШ

Разгледано е получаване на аналитично решение на НУШ при отсъствие нанелинейност или при отсъствие на дисперсия. Представено е кратко описание наидеята на метода на обратната задача на разсейване, който може да се използва самоза ограничен брой реални системи, тъй като в уравнението трябва да се поставятмного допълнителни условия.1.5. Числени решения

Като правило уравненията за реални задачи са много сложни и не могат дабъдат решени аналитично в общия случай. Тъй като точни решения за уравнения оттип нелинейни уравнения на Шрьодингер могат да бъдат получени само за частнислучаи, а аналитичните методи като правило "работят" с добра точност само вограничени области на изменение на параметрите, се стига до необходимостта да сепотърсят други методи за изследването им. По тази причина започват да се развиватчислените методи за решаване на частни диференциални уравнения и съответнитекритерии за адекватност на тези методи - един от най-сложните раздели наизчислителната математика и научните пресмятания. Важна стъпка за численитеметоди е направена през 1928 година от Рихард Курант, Курт Фридрихс и Ханс Леви

7

с формулирането на необходимо условие за явното числено решение на някои частнидиференциални уравнения. Почти по същото време се появява спектралният признакза устойчивост на фон Нойман. Въпреки че тези достижения са отпреди почти 100години, те се използват и до днес.

За развитието на числените методи съществено влияят два фактора. Първият еразвитието на изчислителната техника. Съвременните суперкомпютри позволяват дабъдат решени много задачи, чието решаване е било невъзможно преди това. Вторияте развитието на науката като цяло, при което се появяват все по-нови задачи,решаването на които има важно практическо приложение. Решаването на тези задачиса предизвикателство за всеки, който се занимава с числено решаване надиференциални уравнения.

1.5.1. Метод на крайните разликиПредпочитан числен метод за решаване на нелинейни частни диференциални

уравнения от тип нелинейни уравнения на Шрьодингер е методът на крайнитеразлики, благодарение на неговата универсалност и наличието на добре разработенатеория - [15], [23-30].

За линейни диференциални уравнения отговор на въпроса, доколко намеренотоприближено решение се доближава до истинското решение, дава теоремата на Лакс,която често се цитира във вида [29]: Ако диференчната задача е устойчива иапроксимира диференциалната задача, то има сходимост на приближеното решениекъм точното. При това редът на апроксимация съвпада с реда на сходимост.

Теоремата на Лакс дава следния алгоритъм за изследване на определенадиференчна схема:

- да се изследва реда на апроксимация;- да се изследва устойчивостта.Като цяло е трудно да се изследва устойчивостта на схемата за нелинейни

уравнения. Поради това в повечето случаи изследвания за устойчивост се извършватсамо за линейната част на уравнението. Тези изследвания може да не са достатъчни,за да се гарантира устойчивостта на цялата схема, но са добра отправна точка заограниченията на големината на стъпката, използвана в схемата [13].

1.5.1.1. Метод на крайните разлики за линейни уравнения от типШрьодингер

Разгледана е линейната част на уравнение (1.2), за която е конструиранаравномерна мрежа и е дефинирана мрежова функция. Апроксимирани са операторите,дискретизирани са началното и граничните условия. За апроксимация надиференциалното уравнение са приложени явната и неявната схеми на Ойлер, както исхемата на Кранк-Никълсън. Уточнен е редът на апроксимация. Трите схеми саизследвани за устойчивост по метода на фон Нойман.

1.5.1.2. Метод на крайните разлики за нелинейни уравнения от типШрьодингер

Доколкото няма установен критерий за устойчивост на нелинейни частнидиференчни уравнения [31], са разгледани схеми, за които се получават добрирезултати при тестването им с известни точни решения [32].

1.5.2. Split-step метод на Фурие. Псевдоспектрален методНай-ефективният метод за решаване на някои типове (1+1)-мерни нелинейни

частни диференциални уравнения е така нареченият Split-step метод на Фурие [17],[33-35]. Името възниква поради две причини. Първо, методът се основава наразделянето на решението на малки стъпки, при всяка от които линейните инелинейни ефекти се пресмятат отделно. На второ място, за отделните стъпки енеобходимо да се извърши право и обратно дискретно преобразование на Фурие.

8

Дискретното преобразование на Фурие принадлежи към така нареченитепсевдоспектрални методи. По своята същност те са близки до диференчните методи,тъй като по направление също трябва да се построи равномерна мрежа с М наброй възли. Пресмятането на стойностите на функцията се извършва във всеки възелна мрежата.

Глава II. Анализ на (3+1) - мерни уравнения от тип нелинейни уравнения наШрьодингер

В тази глава разглеждаме (3+1)-мерното уравнение на Шрьодингер.2 2 2

22 2 2 0u u u ui u u

z x y

(2.1)

с началното условие 2 2 20, , ,0 / 2 / 2 / 2 , ,u x y exp x y u x y (2.2)

и гранични условия , , , 0u x y z , x , y , . (2.3)Тъй като целта е да се направи само анализ на задачата, без да се обвързва с

конкретна физична реалност, приемаме, че в уравнението коефициентите , , саположителни безразмерни константи.

В много задачи от нелинейната оптика се появяват уравнения от този вид.Въпреки своята простота, то изненадва с факта, че обхваща много явления. По тазипричина това и производните му уравнения продължават да предизвикват голяминтерес в математичeската и физичната литература.2.1. Закони за запазване

Както е посочено в Глава 1, интегруемите уравнения от тип НУШ иматбезброй много закони за запазване. За уравнения с размерност по-висока от (1+1),обаче, техният брой е краен [36]. За уравнение (2.1) са в сила само основните закониза запазване, посочени в Глава 1.

Наличието на краен брой закони за запазване не дава възможност за търсене нааналитично решение по метода на обратната задача на разсейване. Не са известниточни решения и с използването на други техники.

Доколкото най-простата диференчна схема - явната, е неустойчива, априлагането на неявна схема е свързано с много трудности поради високатаразмерност, се налага да се търсят други възможности за решаването на даденатазадача.2.2. Линейна част на уравнението

2.2.1. Метод на разцепването (Split-step-метод)Методът на разцепването се използва достатъчно широко при практическото

решаване на многомерни задачи [28]. За задачи с (3+1)-мерни уравнения преходът от nz към 1nz може да сеосъществи с използване на 3 спомагателни (дробни) стъпки:

1 /3/3 1/3, ,...,n n n sn s n ns sА u B u u u , (2.4)

където s 1, 2,3 , nsA е матрица, съответстваща на диференчната апроксимация на

дадения диференциален оператор, съдържащ производни само по х , у или (едномерен диференциален оператор), а десните страни са лесно изчислими.Матриците n

sA обикновено са диагонални и решението на системата при всякастъпка се свежда до последователно решаване на едномерни системи по съответнотонаправление. Методът на разцепването се нарича още метод на дробните стъпки

9

(split-step). Известни са, и понякога успешно се прилагат, варианти на метода наразцепването, в които разцепването се извършва по физични процеси.

2.2.1.1. Метод на разцепване по физични процесиРазглеждаме линейната част на уравнение (2.1), следвайки [27]:

2 2 2

2 2 2u u u ui iz x y

. (2.5)

Търсим решение в област G с граница .При 0z функцията е 2 2 2, , ,0 / 2 / 2 / 2 , ,u x y exp x y g x y ,

а на границата на областта - , стойността на функцията е , , , 0u x y z .Диференциалното уравнение (2.5) описва два различни физични процеса.

Единият процес (дифракцията на импулса) се описва с уравнението2 2

2 2u u uiz x y

при начални и гранични условия, съответно: u g при 0z , 0u на границата наобластта .Вторият процес е свързан с дисперсията в процеса на разпространение и се описва суравнението

2

2u uiz

при начални и гранични условия, съответно: u g при 0z , 0u на границата наобластта .

Показано е, че ако искаме да решим задачата числено в дискретен набор отточки nz z , трябва да решим последователно задачите, получени при разцепването:Задача 1:

2 21 1 1

2 2 0u u uiz x y

(2.6)

1пu u при пz z

Задача 2:2

2 0u uiz

(2.7)

11пu u при пz z

2.2.1.2. Метод на разцепване по координатиПоказано е, че решаването на уравнение (2.1) в дискретен набор от точки

nz z се свежда до решаването на три последователни задачи:Задача 1:

211 11

2u uiz x

(2.8)

11пu u при пz z .

Задача 2:2

12 122

u uiz у

(2.9)

10

112 11

пu u при пz z .Задача 3:

2

2 0u uiz

(2.10)

112пu u при пz z .

Численото пресмятане на задачата с използване на покоординатно разцепване,обаче, е трудно осъществимо на настоящия етап, тъй като изисква огромен обемкомпютърна памет.

2.2.2. Преминаване към цилиндрични координатиВ цилиндрични координати при наличие на аксиална симетрия по

направление на еволюционната променлива z редуцираното до (2+1)-мерно линейноуравнение разцепваме по физични процеси:

2

2

0

0

u иi r

z r r r

u uiz

(2.11)

2.2.3. Апроксимация на уравнениетоПоради наличието на бързото преобразование на Фурие в компютърните

библиотеки, въпреки наложените периодични гранични условия, при прилагане напсевдоспектралния метод схемата за решаване на (1+1)-мерното нелинейно уравнениена Шрьодингер е напълно явна и по този начин е възможно да се окаже по-ефективнаот схема, основаваща се на метода на крайните разлики. Това предимство се губи,когато схемата е в цилиндрична геометрия [13]. В този случай бързотопреобразование на Фурие трябва да се замени с преобразование на Хенкел. Въпреки,че са разработени алгоритми и за бързо преобразование на Хенкел, те не са толковабързи колкото бързото преобразование на Фурие и освен това обикновено изискватспецифично разпределение на точките от мрежата. По тази причина зафакторизираното уравнение (2.11) разглеждаме метода на крайните разлики.

Диференциалната задача (2.11) сме апроксимирали със схемата на Кранк-Никълсън:- За теоретичната грешка на апроксимацията на схемата в цели стъпки, следвайкиметода, изложен в [30], сме установили, че е от втори ред по всички променливи, т.е. 2 2 2, ,z rO h h h .

- Показали сме по метода на фон Нойман, че схемата е абсолютно устойчива.В такъв случай, съгласно теоремата на Лакс, се очаква численото решение да

клони към точното решение на диференциалната задача, когато стъпките по тритенаправления клонят към нула.

Решаването на диференчната задача е сведено до последователното решаванена две едномерни системи линейни алгебрични уравнения, откъдето се определячисленото решение, съответно на първия и втория полуслой.

Матриците на двете системи имат тридиагонална структура и за решаванетоим е удобно да се използва методът на прогонката. Този метод, известен още катоалгоритъм на Томас, представлява метод на Гаус, отчитащ лентовата структура наматрицата [26].2.3. Нелинейно уравнение на Шрьодингер

Пресмятането на нелинейното уравнение е най-голямото предизвикателствопри решаване на многомерните задачи. Включването на нелинейната част, подобно на

11

(1+1)-мерните уравнения може да се извърши в отделна стъпка. Този подход изискваосновното уравнение да се решава на три етапа, при всеки от които се разглеждаотделен ефект - дисперсия, дифракция и нелинейност. Разделянето на линейни инелинейни ефекти е удобно, но не е задължително [13].

Предложени са две схеми за решаване на нелинейното уравнение. Линейнатачаст на уравнението и в двете схеми е апроксимирана със схемата на Кранк-Никълсън.

При първата от тях решаването се извършва в три стъпки, при коетонелинейната част се решава в самостоятелна стъпка по класическия метод на Рунге-Кута.

Втората схема се реализира в две стъпки, като нелинейността е включена седнаква тежест за всяка от тях, а за да се получи неявна апроксимация и нанелинейния член и да се запази редът на точност на схемата, се въвежда вътрешнаитерация, следвайки идеята в [23,24].

Графично е показано, че има пълно съвпадение на резултатите от численатасимулация на динамиката на импулса и по двете схеми при еднакви начални данни ипри еднакви параметри на мрежата.2.4. Валидация

Посочени са стъпките, които ще се следват при провеждане на численияексперимент в следващите глави, както и методът, с който се изследват относителнатагрешка и скоростта на сходимост на числените решения.

Глава III. (3+1) – мерно нелинейно уравнение на Шрьодингер3.1. Състояние на проблема

В настоящата глава общата теория на числените симулации на (3+1)-мерниуравнения от тип нелинейни уравнения на Шрьодингер е приложена към решаване наактуален за съвременната физика проблем, а именно - пространствено-времеватадинамика на мощни фемтосекундни лазерни импулси (МФЛИ). Разпространението наМФЛИ в обемни нелинейни среди се описва в рамките на (3+1)-мерното нелинейноуравнение на Шрьодингер (НУШ). Дифракцията, дисперсията на груповата скоростот втори ред и Кер нелинейността на показателя на пречупване от трети ред формиратбазисен набор от оптични процеси, които са в състояние да опишат поведението наимпулса в широк кръг реалистични случаи. Съответното уравнение на Шрьодингер втова изследване се разглежда като базисно уравнение за разпространение.

В рамките на базисния набор от процеси НУШ е в състояние да описваразпространението на фемтосекудни лазерни импулси с параметри, вариращи взначително широк диапазон, като например къси импулси с продължителност,достигаща до няколко десетки фемтосекунди, и в зависимост от йонизационнияпотенциал на средата, интензитети, достигащи до 14 210 W / cm , така че приразпространението си да не предизвикват значима йонизация на средата.

С отчитане на тези процеси в приближение на бавно изменяща се амплитуда,носеща честота, центрирана около 0 , и в съпътстваща импулса координатнасистема, (3+1)-мерното НУШ за амплитудата Е на електрическото поле има вида

222 2 0 02

22 2 2

in nE i EE i E E

z k

, (3.1)

където z е координатата на разпространение на импулса, k е вълновото число, 2 е

напречният лапласиан, 2 е дисперсията на груповата скорост, / gt z v елокалното време в съпътстващата координатна система (движеща се с груповата

12

скорост gv на импулса), 0n е линейният показател на пречупване на средата, 2n енелинейният показател на пречупване на средата.

Първият, вторият и третият членове в дясната страна на НУШ отчитатсъответно дифракцията, дисперсия на груповата скорост от втори ред и кубичнанелинейност.

Изброените по-горе процеси представляват необходимия минимум, койтопозволява едно достатъчно добро описание на основните особености впространствено-времевото поведение на мощни фемтосекундни импулси приразпространение в обемни нелинейни среди. Базисният модел може да се разглеждакато достатъчно добър за импулси, до и по-дълги от няколко десетки фемтосекунди, иинтензитети, по-ниски и около 13 210 W / cm . Границите на приложимост на модела сеопределят не само от параметрите на импулса, но и от вида на нелинейната среда.Независимо от това, поведението на мощните фемтосекундни импулси не може да сесчита за окончателно изучено в рамките на базисния физичен модел, тъй катосъществуват различни диапазони от параметри на средата, в която се разпространяваимпулсът, за които не е изследвано поведението на импулса.

В настоящото изследване се имат предвид лазерни импулси спродължителност от порядъка на 100fs и интензитет в диапазона от 1210 до

14 210 W / cm .3.2. Постановка на задачата

При численото решаване на тази задача сме използвали някои резултати отанализа, изложени в Глава 2.

В цилиндрични координати, с отчитане на аксиална симетрия, размерността науравнението е (2+1). Началният импулс се приема линейно поляризиран,трансформационно ограничен, с аксиална симетрия и гаусова пространствено-времева форма, т.е. 2 2 2 2

0 0 0( , , 0) expЕ r z Е r w , където 0E е амплитудата наелектричното поле на началния импулс, който се приема за нормиран, така чеинтензитетът е 2I E .

По подходящ начин се преминава към безразмерен вид на уравнението, коетопри съответни означения добива вида

22

21 1 04 2 2

u u ui i i u u

, , 0 (3.2)

с начално условие 2 2, , 0 exp( )u , (3.3)

асимптотични условия , , 0u , , (3.4)

и условие за регулярност на решението в координатното начало

0

0u

. (3.5)

3.3. Закони за запазванеЗа уравнение (3.2) сме извели закон за запазване на масата и закон за запазване

на енергията.3.4. Описание на използвания числен метод

Поради многомерността и нелинейността на уравнение (3.2) прилагаме методана разцепването по физични процеси, който е показан в Глава 2.

13

Върху конструираната равномерна мрежа апроксимираме еволюционния

оператор и

с насочена напред крайна разлика: 1

, ,n nk l k lи ии O h

h

.

Оператора

апроксимираме в дивергентен вид посредством централна

крайна разлика 1/2 , 1 , 1/2 , 1 22

21 1 n n nl k l l k l l k l

l

u u uu О hh

,

където 11/2 2

l ll

, 1

1/2 2l l

l

.

Оператора2

2

апроксимираме също с централна крайна разлика

2

1, , 1, 22 2

2

n n nk l k l k lu u uu O h

h

.

Видът на диференчната схема върху мрежата е

1/2, 1/2,

12 1 1 1, , 2 2 2

1/2 , 1 , 1/2 , 1 1/2 , 1 , 1/2 , 12

2

, ,

11 2, , 1 1 1

1, , 1, 1,2

1 2 28

4

24

n s n s

n nn n nk l k l n n n

l k l l k l l k l l k l l k l l k ll

k l k l

nnk l k l n n n

k l k l k l k l

u ui u u u u u u

h h

u u

u ui u u u u

h h

1, 1,2

1/2 1/2 1/2, 1, , ,2 3.6

4n s n sn n n

k l k l k l k lu u u u

За всяко от уравненията в схемата към линейната част на уравнението смеприложили схемата на Кранк-Никълсън. За да се получи неявна апроксимация нанелинейния член и да се запази редът на точност на схемата, сме въвели вътрешнаитерация по s .

За линейната част на схемата в Глава 2 е установено, че е с втори ред наточност относно стъпките по трите направления и е безусловно устойчива.Алгоритъм на числените симулации

- Въвеждат се входните параметри: Р - налягане на средата, - дължина навълната, 2n - нелинеен коефициент на пречупване на средата, 2 - дисперсия нагруповата скорост, 0W - енергия на началния импулс, 0 - продължителност наначалния импулс, 0w - ширина на началния импулс.

- Въвеждат се параметрите, определящи мрежата: "актуалните" безкрайностиinfz , inf и inf по трите направления, стъпката по еволюционната променлива h и

броят на точките N и M , съответно по направленията и .- Задава се точността на вътрешната итерационна процедура.- Задава се началното приближение 0

,k lu на неизвестната функция.- Задават се граничните условия и условието за регулярност при 0 .- Първото уравнение в схемата (3.6) при съответните полагания се свежда до

система линейни алгебрични уравнения с тридиагонална матрица:1 1 1

2 2 2, 1 , , 11. 2. 3. 0n n n

k l k l k lu u u ,

14

за която са неизвестни дискретните стойности 1/2,

пk lu на търсеното решение в първия

полуслой.- Второто уравнение се свежда също до система линейни алгебрични

уравнения с тридиагонална матрица1 1 11, , 1,1. 2. 1. 0n n n

k l k l k lu u u ,

откъдето се определя численото решение 1,

пk lu на горния слой.

За намиране на стойностите на функцията във всеки полуслой е използванаспециална модификация на алгоритъма на Томас (метод на прогонката) за решаванена тридиагоналните комплексни линейни уравнения с избор на главен елемент[15,16]. Критерий за прекратяване на итерационната процедура е условието

1, 1 1,

1, 1,max

n s n s

n su u

u

, където е предварително зададена стойност ( 1 ). Тогава

се полага, съответно: 1/2 1/2, 1/2n n su u и 1 1, 1n n su u . При всяка стъпка навътрешната итерация алгебричните уравнения са линейни и със същата лентоваструктура на матриците [24].

-Пресметнатите стойности 1,

пk lu служат за начални условия при пресмятането

на стойностите на неизвестната функция на следващия слой.-Край на програмата при достигане на infz .

3.5. Тестване на числения алгоритъмЗа тестване на числения алгоритъм разглеждаме нелинейна среда газ аргон под

налягане, при което са въведени следните стойности за параметрите на средата иимпулса: 20

2 9,8.10n [ 2cm / W ], 2 0, 2 [ 2fs / cm ], 800 nm , 0 0,3W mJ , стойностна налягането 15atmP , продължителност на импулса 0 100fs и ширина наначалния импулс 0 0.9  mmw .

- Тестване на параметрите, определящи мрежата-Тестване на границите на областта

За численото решаване са тествани различни “актуални” безкрайности понаправленията и , върху които се удовлетворяват асимтотичните условия зазатихване на решението. Илюстрирано е значението на избора на “актуалните”безкрайности за решението на уравнението.

-Тестване на големината на стъпките по трите направленияВ пространствено-времевата област са построени равномерни мрежи с

различен брой възли по двете направления и различни стъпки h по еволюционнатапроменлива. В хода на тестването е установен оптималният брой възли на мрежата,както и големината на стъпката h по направлението 0 .

- Тестване на зададената точност на вътрешната итерационнапроцедура

Тъй като изследванията на числения алгоритъм са извършени за определеннабор от входни параметри, поради сложния характер на задачата, е избрана стойност

1210 . Броят на вътрешните итерации е един от основните критерии за определянена гъстота на мрежата. При достатъчно фина мрежа те са не повече от 3.

-Критерий за адекватност на решениетоЗа всеки слой по направлението на еволюционната променлива се пресмята

15

стойността на интеграла 2

V

и dV , която, съгласно закона за запазване, трябва да

остава постоянна. Нарушаване на това условие се забелязва при недостатъчна гъстотана мрежата.

-Тестване на числения алгоритъм за относителна грешка и сходимостЗа задачата не е известно аналитично решение. Поради многомерността на

диференчната схема, обстойно изследване за относителна грешка и скорост насходимост на числения метод е непосилна задача, тъй като много грубата мрежа недава адекватни резултати. По-фината мрежа, от своя страна, изисква провеждане намногобройни изчисления. По тази причина изследването е проведено в област, вкоято се очаква грешка, близка до теоретичната за линейната част - областта, в коятовсе още преобладават линейните ефекти при разпространението на импулса.Получените резултати са удовлетворителни при достатъчно фина мрежа.3.6. Числени експерименти

Проведени са множество изследвания за поведението на импулса приразлични начални условия за входния импулс, както и различни параметри на реалнисреди.3.7. Анализ и физична интерпретация на получените резултати

Основен физичен резултат при проведените изследвания е намеренатасамокомпресия на импулса в среда с положителна дисперсия на груповата скорост.Самокомпресията в случая е свързана с ефективно скъсяване на продължителносттана импулса (характеризирана като пълна ширина на полувисочина) порадинарастване на интензитета в резултат на самофокусировката, което доминира надестественото дисперсионно уширение. Ето защо, два от основните параметри,характеризиращи еволюцията на импулса при разпространението му са:

- коефициент на самокомпресия SCk - 0( ) ( 0) / ( )S Ck z z z ,

- коефициент на усилване по интензитет GIk - 0( ) ( ) / ( 0)I Gk z I z I z ,където ( )z и ( )I z са съответно продължителността и интензитета на импулса втекущата точка z в посока на разпространението му, а )0(0 z и )0(0 zI сасъответните входни параметри на импулса.Други основни параметри, характеризиращи поведението на импулса са:

- координата на максимална самофокусировка - SFz ,- координата на максимално усилване на интензитета - IGz ,- координата на максимална самокомпресия - SCz .За нелинейна среда в разглеждането е избран газ аргон под налягане. Изборът

на аргон е продиктуван от обстоятелството, че значителна част от експерименталнитеизследвания по разпространението на мощни фемтосекундни лазерни импулси сапроведени именно в тази среда. Това улеснява сравняването на резултатите отчислените симулации с експерименталните резултати. В допълнение, аргонът иманиска стойност на дисперсията на груповата скорост, което е благоприятно запредложения тук механизъм на компресия на импулса.

Числените симулации показват, че при енергия на импулса 0 0.3mJW иналягане 15atmP на газа, интензитетът на импулса не надминава 13 210 W / cm поцялата изследвана дистанция на разпространение. Съгласно теоретичнитеизследвания, този интензитет е под йонизационния “праг”, при който се наблюдаванепренебрежима йонизация на средата [37].

16

Общото поведение на импулса може да се илюстрира с еволюцията нанапречната ширина на импулса 02w (в равнината 0 ) (а), на нормиранияинтензитет 2

0 00, 0, ) / ( 0, 0, 0)E E ( b ) и на продължителността наимпулса (c) от разстоянието на разпространение при налягане на аргона 15atmP ,Фиг.3.1, [38].

0 0.2 0.40

50

100

0

10

200

500

1000

z SC

z SF

z IG

Propagation distance [ m ]

Pulse

dura

tion

[fs]

Nor

mal

ized

peak

inte

nsity

[arb

.uni

ts]Pu

lsew

idth

[m

] a

b

c

Фигура 3.1. Еволюция на напречната ширина на импулса ( а ), на нормирания интензитет ( b )и на продължителността на импулса ( с ) от разстоянието на разпространение при 15atmP

налягане на аргона.

Интензивното преобразуване на импулса започва с процеса насамофокусировка. Това води до свиване на импулса в напречно направление инамаляване на ширината му. Последната достига минимум при 0.459mSFz ,Фиг.3.1( а ). Самофокусировката предизвиква увеличаване на интензитета,Фиг.3.1(b ). Нетривиален резултат от тези изследвания е самокомпресия на импулсавъв времевата област, Фиг.3.1(c), преди обичайното му разцепване при по-нататъшното разпространение. Положенията на максимален интензитет на импулса ина максимална компресия не съвпадат, но са много близки една до друга, съответно

0.447 mIGz и 0.424mSCz .Това е много важно за практическото приложение на наблюдавания ефект, тъй

като позволява да се използва едновременно положителният ефект отсамокомпресията и усилването на интензитета. Например усилването на интензитетав точката на максимална компресия - SCz , е 7.13)( SCGI zk пъти.

Еволюцията на пространствено-времевата форма на импулса е показана наФиг.3.2. Както се вижда, получава се силно компресиран във времето единиченимпулс с усилен интензитет в точката на максимална компресия. Важно е да сеотбележи, че при този процес на преобразуване импулсът запазва пространствено-времевата си форма близка до тази на входния импулс. Обичайното разцепване наимпулса се получава при по-нататъшното му разпространение, Фиг. 3.2( с ).

17

z

a b c

Фигура 3.2. Еволюция на пространствено-времевата форма на МФЛИ при разпространениев аргон под налягане: ( а ) начален импулс, ( b ) компресиран и усилен по интензитет импулс вточката на максимална компресия 0,42 mSCz и ( с ) разцепен импулс при 0,48 mz

(след точката на максимален интензитет IGz )

Полученият резултат може да бъде обяснен в рамките на съществуващататеория, както и се подкрепя от някои от проведените експерименти поразпространение на МФЛИ в обемни нелинейни среди [4-7], [39-42].Самокомпресията в този случай може да бъде разбрана като ефективно скъсяване наимпулса в резултат на геометричното му преобразуване при запазване на физическатаму енергия

20

S

W z E dS d W

,

където 0W е енергията на входния импулс. Самофокусировката води до намаляванена напречното сечение S на импулса. Запазването на енергията на импулса, т.е. начетиримерния “обем”, означава съответно нарастване на импулса геометрично поотношение на интензитета 2E . При ниска дисперсия това води до ефективноскъсяване на импулса, характеризиран като пълна ширина на полувисочина.Последното зависи от стойността на дисперсията на груповата скорост. Тъй като тя заразглежданата среда, аргон, е малка - 20,2fs cm , уширяването на импулса въввремето е пренебрежимо в рамките на определен интервал на разпространение, аосновният ефект от самофокусировката се изразява в силно нарастване наинтензитета на импулса, Фиг.3.1(b ), 3.2( b ). Нарастването на интензитета на импулсапри пренебрежима времева дисперсия води до ефективно скъсяване в рамките наобичайното характеризиране на продължителността на импулса катопродължителност на полувисочина от интензитета, Фиг.3.1( с ).

Както бе споменато, този механизъм на самокомпресия на импулса същественозависи от ниската дисперсия на средата. Симулацията на разпространение на МФЛИв хипотетична среда със същите параметри, като тези на аргон, но с дисперсия нагруповата скорост, увеличена до 2,95 P [ 2fs cm ], показва, че до компресия наимпулса не се достига. Това е нов режим на самокомпресия на импулса. Този новрежим на самокомпресия на МФЛИ беше наречен самокомпресия в режим на нискадисперсия, а поведението на импулса при този режим на разпространение бешенаречен оптично цунами. Механизмът на самокомпресия в рамките на базиснотоНУШ е обяснен за първи път в това изследване [38]. Оптичното цунами не е солитон,но може да се разглежда като частична алтернатива на времеви солитон в случаите,когато такъв не съществува. Неговото поведение може да се контролира в определениграници. Варирайки параметрите, например налягането на средата или енергията на

18

импулса, ние можем да управляваме поведението на импулса при неговоторазпространение. Например, можем да получим максималния интензитет на импулсав дадена точка по направление на неговото разпространение.

Аналогични процеси на формиране на МФЛИ са наблюдавани и в другиинертни газове - неон и хелий [43]. По-високият йонизационен потенциал и по-малката дисперсия на груповата скорост на тези среди водят до подобряване настепента на самокомпресия и усилване на интензитета на импулса при значителноповишаване на входната енергия на импулсите, които могат да бъдат компресиранив рамките на предложената концепция.

Глава IV. Нелинейно уравнение на обвивката4.1. Състояние на проблема

Редица ефекти от поведението на мощните фемтосекундни лазерни импулси немогат да бъдат описани в рамките на (3+1)-мерното НУШ [44-47]. Реалнотоповедение на импулсите може силно да се различава от поведението на импулсите вобластта на валидност на НУШ, когато се отчитат допълнителни реалистичнифактори. Самокомпресия и стабилно (3+1)-мерно солитоноподобно разпространениена фемтосекундни лазерни импулси с продължителност няколко десеткифемтосекунди и в зависимост от йонизационния потенциал на средата, интензитетине по-високи от 1210 до 14 210 W / cm , е наблюдавано за първи път в атомни (Ar, Kr) имолекулни (CH4) газове [4,5,39] при положителна дисперсия. Наблюдаванотоповедение на импулса в този случай е съотнесено към влиянието на висшинелинейности и йонизация на средата.

Съществуват редица подходи при разширение и обобщаване на базисниямодел. Това зависи от аспектите на проблема, върху които се поставя акцент. Таканапример, отчитат се висши поправки към дисперсията на груповата скорост

3

3

3

,

4

4

4

, което позволява третиране на по-къси импулси. Друга насока

представлява отчитането на взаимни ефекти и влияния между отделните процеси.Такива са, например, самоизостряне на фронта на импулса (self-steepening) ипространствено-времева фокусировка, които съответно се отчитат чрез операторите

01 tT i и 101 tT i , пред нелинейния и дифракционния член [45].

За разлика от разгледаните стандартни поправки, водещи основно до по-високапрецизност при отчитането на поведението на импулса, обект на настоящеторазглеждане е разширение на базисния модел само с тези процеси, които могат дадоведат до съществена промяна в поведението на импулса. Към тях се отнасятвисшите нелинейности и влиянието на йонизацията върху показателя на пречупване,линейните и нелинейни загуби и дисперсията на груповата скорост.

Това налага да се премине към описание на базата на (3+1)-мерното нелинейноуравнение на обвивката. НУО значително превишава възможностите на (3+1)-мерното НУШ и позволява описанието на мощни свръхкъси светлинни импулси,достигащи едноциклов (single-cycle) режим, при условията на силна йонизация,водеща до динамика и на градивните частици, а оттам и на нелинейността на средата.

Макар и въведено през 1997г. [45], може да се приеме, че (3+1)-мерното НУО елегитимирано като едно от основните уравнения за описание на динамиката наМФЛИ относително неотдавна, през 2007 г., в обзорна работа на Л. Берже и съавтори[47].

19

Уравнението за разпространение на комплексната амплитуда ( , , , )A x y z t наелектрическото поле на импулса в съпътстващата координатна система в рамките наизползвания модел е (3+1)-мерното нелинейно уравнение на обвивката

1 2

0

2 2 40 02 4

1020

2

(1 ) ( ) ( )

,2 2 2

k k

MPI

c

A i T A iDAz k

i n T A h t t A t dt A i n T A Ac c

Aki T A A An

(4.1)

където z е координатата на разпространение на импулса; 0k е вълновото число,съответстващо на носещата честота 0 ; 2

е напречният лапласиан в декартовикоординати; D е дисперсионният оператор; c е скоростта на светлината във вакуум;

0п е линейният показател на пречупване; 2n и 4п са нелинейните показатели напречупване на средата, c е критичната концентрация на плазмата, еелектронната / плазмена концентрация, е сечението на ударна йонизацията, MPI екоефициент на загубите при многофотонна йонизация.

Полето е нормирано така, че 2AI е интензитетът на импулса. Така приетотопредставяне на електромагнитното поле и използваното уравнение наразпространение позволяват описание на разпространението на свръхкъси оптичниимпулси с продължителност от порядъка на периода на носещата вълна на импулса,т.е. около 2,5 fs за дължина на вълната 800 nm.

Началният импулс се приема линейно поляризиран, трансформационноограничен, с аксиална симетрия и гаусова пространствено-времева форма

2 2 2 2 2 20 0 0 0( , , 0, ) exp 2 2 2A x y z t A x w y w t . Продължителността на импулса 0

и напречната пространствена ширина на импулса 0w се дефинират като пълнаширина на полувисочина на профила на интензитета.

В НУО всеки физичен процес се описва с отделен член и това го прави особеноудобно за проследяване на индивидуалния принос на конкретните физични процеси:

- Дифракция: ATki 21

02 .

- Оператор на дисперсията: nt

n

n

in

kD

2

)(

!.

- Нелинейност на показателя на пречупване на неутралите:2 2 40 0

2 4(1 ) ( ) ( )k ki n T A h t t A t dt A i n T A Ac c

.

- Йонизационни процеси: 10202 2 2

MPI

c

Aki T A A An

.

Динамиката на електронната концентрация се описва с кинетичнотоуравнение

20

20( )( )( ) ( )nP

W I A ft I

, (4.2)

където n е плътността на неутралите, ( )W I е скоростта на фотойонизация,( )( )nW I описва генерцията на електрони от директна фотойонизация, 0( ) е

сечението на ударна йонизация, PI е йонизационният потенциал на атома,20( )

P

AI

описва ударната фотойонизация в резултат на обратно спирачно лъчение

(inverse bremsstrahlung) и ( )f описва електронната рекомбинация.Ключов момент при отчитане на влиянието на йонизацията е коректното

определяне на електронната плътност при йонизация на средата под въздействие налазерните импулси. Въпреки значителният брой теории, третиращи йонизацията насредата под влияние на интензивни оптични полета, тази на Переломов-Попов-Терентьев (ППТ) [48] показва най-сериозно експериментално потвърждение.

В някои конкретни случаи апроксимирането на експерименталните резултатисъс скорост на йонизация от типа на многофотонна йонизация MPIW , може да доведедо достатъчно прецизно описание

KKMPI IW , (4.3)

където k е к-фотонен коефициент на абсорбция, I е интензитетът и к е броят нафотони, необходими за директно йонизиране на атоми от тяхното основно състояние.4.2. Постановка на задачатаОписание на физичния процес. Математически модел

Съществен момент в настоящата работа е, че математическият модел [47],базиран на уравнения (4.1),(4.2), е доразработен, като е включено допълнителновлияние на йонизацията върху дисперсията на груповата скорост. С това, по нашемнение, моделът става завършен, тъй като на всеки интензивен процес, действащ вопределена посока, съществува поне един интензивен процес, действащ впротивоположна посока.

В разгледания от нас случай операторът на дисперсията D е ограничен дотрети ред.

Изключени са процесите, които за импулси с параметри в разглеждания от насдиапазон, имат пренебрежимо влияние - неинстантните процеси и рекомбинацията наелектрони.Влияние на йонизацията върху дисперсията на груповата скорост

В нашия модел се отчита за първи път влиянието на йонизацията върхудисперсията на груповата скорост [49]. Йонизацията на средата обичайно съпътстваразпространението на интензивни лазерни импулси в нелинейна среда. Полученатапри това плазма влияе не само на показателя на пречупване, което е добре познатефект и е обхванат в модела на [47], но и на дисперсията на груповата скорост -явление, предсказано за първи път в [49]. При не много висока степен на йонизацияна средата, дисперсията на груповата скорост )2(k се явява адитивна функция надисперсията на груповата скорост на неутралите )2(

0k и тази на плазмата )2(ik

)2()2(0

)2(ikkk . (4.4)

При нива на йонизация, ненадминаващи 1020 cm-3, дисперсията на груповатаскорост на плазмата с добро приближение може да се представи чрез следнияопростен израз

21

2 3(2) 5 3 2

2 4 1,58.10 [fs / cm]2

ei e

e

e Nk Nm c

, (4.5)

където е дължината на светлинната вълна в cm.По този начин разглежданият в настоящата работа модел се описва от

уравненията2 2

22 3 0 22 2

0 0 01 1

2 2 6t t t tnA i i A A k k ii A i A i A A

z k cx y

40 4 02 2

0 00

( )1 1

22 2nt i

t tc

U W In ki ii A A i A A Ac n A

(4.6)

и 20( )( )( )

nP

W I At I

. (4.7)

Координатна смяна и обезразмеряванеУравнение (4.6) е нелинейно частно диференциално уравнение от тип

Шрьодингер със степенна и дробно-рационална нелинейност, както и дисперсионничленове от по-висок ред. В цилиндрични координати и при предположение зааксиална симетрия по посоката на разпространение размерността на уравнението середуцира до (2+1). Уравненията (4.6) и (4.7) в безразмерен вид, в съпътстващакоординатна система и при определени означения, се записват съответно като

2 3

2 311 2 3i r r i

r r r r r r

2 2 4 41 2 3 4i i

21 1 1

(4.8)

и 1 2

. (4.9)

Началният импулс в безразмерен вид е 2 2, , 0 exp / 2 / 2r r , за

граничните условия е в сила: , , 0r , , r , а условието за

регулярност в координатното начало е0

0rr

.

Тъй като в началото на разпространението на импулса липсва йонизация насредата, предполагаме, че електронната концентрация е нула. Освен това къмграниците на областта тя също е пренебрежима, т.е. 0 , когато .4.3. Описание на използвания числен метод Решават се последователно две уравнения - линейно диференциално уравнениеот първи ред, определящо електронната концентрация, и редуцираното до (2+1)-мерно НУО в безкрайна област и със зададена начална форма на импулса. Отчитайки многомерността и нелинейността на участващите в уравнение (4.8)диференциални оператори, както и възможността за факторизирането им по физичнипроцеси, изходното уравнение се заменя с еквивалентната система диференциалниуравнения от еволюционен тип:

2 3

1 2 32 31 12

r ir r r

22

2 2 4 41 2 3 4i i

(4.10-a)

11 12

i r rr r r r r r

(4.10-b)

1 1 21А А

. (4.10-c)

Построяваме правоъгълна равномерна мрежа в направленията inf0 r r и

inf inf , а стъпката по еволюционната променлива приемаме за постоянна.Върху така конструираната мрежа мрежовите функции са ,

пk l и ,

пk l .

Еволюционния оператор

в уравнения (4.8) дискретизираме с насочена

напред крайна разлика: 1

, ,n nk l k l O h

h

.

Оператора на Лаплас 1 rr r r

апроксимираме в дивергентен вид чрез

централна крайна разлика върху равномерната мрежа в интервала inf0 r r :

1/2 , 1 , 1/2 , 1 22

21 1 n n nl k l l k l l k l

rl r

r r rr О h

r r r r h

,

където 11/2 2

l ll

r rr

, 1

1/2 2l l

lr rr

.

Апроксимираме операторите2

2

и3

3

с централни крайни разлики върху

равномерната мрежа в интервала inf max , както следва:

2

1, , 1, 22 2

2n n nk l k l k l O h

h

,

3

22, 1, 1, 2,3 3

1 2 2n n n nk l k l k l k l О h

h

.

Смесената производна дискретизираме с 6-точков шаблон:1 rr r r

2 21 1, 1 1, 1 1, 1 1 1, 1 1, 1 1, 12 2 2 2 2

12

п п п п п пk l l k l k l k l l k l k l rl l l l

r lr r r r r r О h h

h h r

.За да се запази вторият ред на точност по h , в уравнение (4.8) апроксимираме

оператора

с централна крайна разлика:

1, 1,

2

n nk l k l

h

,

1, 1,

12

n nр р р

k l k lh

, 2,4р .

23

Поради сложния характер на НУО извършваме анализа на два етапа.1. Разглеждаме линейното хомогенно диференциално уравнение

2 3

2 3 12 3i r ir r r

, ( 4.11)

за което прилагаме аналогично на (4.10) разцепване по физични процеси. Установилисме, че диференчният аналог на предложената схема е безусловно устойчив игрешката на апроксимацията е от втори ред относно трите независими променливи ,r и , което ни дава основание да твърдим, че има сходимост на решението надиференчната задача към диференциалната задача (4.11).

2. Разглеждаме нелинейното уравнение на обвивкатаНа базата на проведения в първия етап анализ и резултатите, получени в

Глава 3, за всяко от уравненията в схемата (4.10-а - 4.10-с) прилагаме схема от типа наКранк-Никълсън спрямо линейната част, а за да се получи неявна апроксимация и нанелинейните членове, въвеждаме вътрешна итерация по s , която прилагаме и спрямо

дробно-рационалния член 2

. Диференчният вид на факторизираното уравнение във

вътрешните възли на мрежата се записва със следната линеаризирана система оталгебрични уравнения:

1/3

, ,1 1, 1 1, 1 1, 1 1 1, 1 1, 1 1, 12 2 2 2 2

1 2 24

n nk l k l n n n n n n

k l l k l k l k l l k l k ll l l lr l

r r r r r rh h h r

1/3 1/3 1/31, , 1, 1, , 1,2

2 2 22

n n n n n nk l k l k l k l k l k li

h

1/3 1/3 1/3 1/32, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2,3

3 2 2 2 22

n n n n n n n nk l k l k l k l k l k l k l k lh

1/3, 1/3 1/3, 1/3 1/3, 1/32 2 2

, 1, 1,

2. 12

n s n s n s

k l k l k li

h

1/3, 1/3 1/3, 1/3 1/3, 1/34 4 4

, 1, 1,

4. 32

n s n s n s

k l k l k li

h

(4.12-а)

2/3 1/3, ,

2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 1/31 , 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 , 12 2 2 2 2

2 22

n nk l k l

n n n n n nk l l k l k l k l l k l k ll l l l

r l

h

i r r r r r rh r

1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/31 1, 1 1, 1 1, 1 1 1, 1 1, 1 1, 12 2 2 2 2

1 2 24

n n n n n nk l l k l k l k l l k l k ll l l l

r lr r r r r r

h h r

(4.12-b)

1 2/3, ,

1 2/3 1 1 2/3 2/31, , , , , 1, 1, 1, 1,2 4

n nk l k l

n n n n n n n n nk l k l k l k l k l k l k l k l k l

h

Аh

24

1, 1

, 1, 1, 2,

1 12 2

n s

n n nk l k l k l

k lh

. (4.12-с)

В уравнение (4.9) оператора

апроксимираме с насочена напред крайна

разлика: 1, ,п пk l k l O h

h

, а диференчният аналог на уравнение (4.9) е

11, , 1, ,1 2

2

n n n nk l k l k l k l

h

. (4.13)

Алгоритъм на числените симулации- Въвеждат се характерни константи, параметрите на средата, параметрите на входнияимпулс.- Въвеждат се параметрите, определящи мрежата и гъстотата на мрежата.- Задава се точността на итерационната процедура.- Задават се началните приближения на ,

пk l и ,

пk l .

- Задават се граничните условия.- Решава се диференчното кинетично уравнение (4.13):

Коефициентите 1 и 2 се пресмятат за всяка стойност 2,..., 1k M и1,...,l N , тъй като зависят от скоростта на йонизация W I и от функцията .

Стойностите на 1,k l се получават от диференчното уравнение1

1, ,1. 1.1 2. . 12 2k l k lh hh

.

- Последователно се решават диференчните уравнения на нелинейното уравнение наобвивката (4.12-а)- (4.12-с):

- пресмятане на 1/3,

nk l

Коефициентът 2 в уравнение (4.12-а) зависи от (2) (2) (2)0 ik k k и се пресмята

при всеки нов слой. Стойностите на неизвестната функция 1/3,

nk l се определят от

решението на линейната система алгебрични уравнения с петдиагонална матрица:

1/3 1/3 1/3 1/3 1/31 2, 1 1, 1 , 1 1, 1 2, 1

n n n n nk l k l k l k l k l . (4.14)

При решаването на всяка система е използвана итерация, приложена за нелинейнитечленове.

- пресмятане на 2/3,

nk l

Решава се системата линейни алгебрични уравнения с тридиагонална матрица2/3 2/3 2/3

2 , 1 2 , 2 , 1 2n n nk l k l k l (4.15)

с неизвестни 2/3,

nk l , в дясната страна на която участват вече пресметнатите стойности

1/3,

nk l .

-пресмятане на 1,

nk l

Коефициентът 1 в уравнение (4.12-с) зависи от ,k l и се пресмята във всекивъзел на мрежата. Уравнението се свежда до системата линейни алгебричниуравнения с тридиагонална матрица

25

1 1 13 , 3 , 3 , 3

n n nk l k l k l , (4.16)

като 2/3,

nk l са вече пресметнатите в (4.15) стойности. Решението на (4.16) дава

стойността на неизвестната функция 1,

nk l в горния, ( 1п )-ви слой, на еволюционната

променлива . За дробно-рационалния член 2

също е използвана вътрешна

итерация.За всяка от горните системи обръщането на матрицата е проведено със

специална модификация на метода на Гаус за лентови матрици с параметричнозададен брой на диагоналите [25].

По този начин решаването на уравнение (4.8) се свежда до последователнорешаване на системи комплексно-значни линейни алгебрични уравнения сдиагонални лентови матрици. Критерий за сходимост на вътрешната итерация еусловието , , ,n р s р n р s n р s р , ( 1/ 3;1р ), която при достатъчно малка

стъпка на еволюционната променлива е сходяща. Тогава предполагаме, че санамерени стойностите на мрежовата функция на новия еволюционен слой и полагамесъответно: 1/3 1/3, 1/3n n s и 1 1, 1n n s .- Пресметнатите стойности на функцията 1

,пk l служат за начални условия при

пресмятанията на следващия слой.- При достигане на infn z , край на пресмятането.4.4. Тестване на числения алгоритъм

За тестване на числения алгоритъм е разгледана нелинейна среда газ аргон подналягане при следните стойности за параметрите на импулса: 800 nm , 0 0,5W mJ , продължителност на импулса 0 150fs и ширина на началния импулс

0 0.9  mmw .Тестване на параметрите, определящи мрежатаПроведени са стандартни числени експерименти, включващи удвояване на

гъстотата на мрежата. Установено е, че въведенитe “актуални” безкрайности прирешаване на НУШ, са напълно достатъчни и за решаването на НУО. Поради по-сложния характер на задачата, се налага да се конструира по-фина мрежа. Установениса оптималния брой точки по направленията r и и оптималната стойност настъпката по еволюционната променлива.

Задаване на точността на вътрешната итерационна процедураИзбраната точност на итерационната процедура е 1210 . Увеличаването на

броя на вътрешните итерации е критерий за недостатъчна гъстотата на мрежата.Тестване на числения алгоритъм за относителна грешка и сходимостУстановено е, че скоростта на сходимост, дори и при по-груба мрежа, е

удовлетворителна.4.5. Числени експерименти

Като нелинейна среда отново се разглежда газ аргон под налягане. Причислените изследвания са използвани различни входни параметри за импулса.4.6. Анализ и физична интерпретация на получените резултати

Интензивното преобразуване на импулса започва с процеса самофокусировка.Това е съпроводено с увеличение на интензитета до стойности, които могат данадвишават йонизационния “праг” на средата. Йонизацията силно променяпараметрите на средата и по този начин влияе на цялостното поведение на импулса.

26

Фигура 4.1. Еволюция на йонизационния принос в дисперсията на груповата скороствътре в оптичния импулс

Йонизационният принос към дисперсията на груповата скорост( (2) 5 3 21.58 10 [fs  /cm]i ek N ) е изцяло отрицателен и следва моментния ход наелектронната плътност, фиг.4.1. Развитието на пълната дисперсия на груповатаскорост (тази на неутралите )2(

0k и на плазмата )2(ik , получена от йонизацията на

средата под влияние на самия импулс - )2()2(0

)2(ikkk ), е представено на фиг.4.2.

При ниски стойности на интензитета стойността на пълната дисперсия на груповатаскорост остава непроменена, тъй като йонизацията на средата е много малка ийонизационната част )2(

ik не оказва забележимо влияние. Когато интензитетътдостигне достатъчно високи стойности, за да причини йонизация на средата,големината на пълната дисперсия на груповата скорост рязко пада, стигайки доридо отрицателни стойности. Този ефект е наречен йонизационно индуцирана инверсияна пълната дисперсия на груповата скорост [50].

Фигура 4.2. Еволюция на пълната дисперсия на груповата скорост при разпространинието наимпулса

Получените резултати потвърждават възможността за постигане на инверсияна пълната дисперсия на груповата скорост под влияние на йонизацията на средата,предсказано за първи път в [49]. При подходящи условия може да се очаквасъществена промяна в динамиката на разпространението на импулса, дължащ се натози ефект. Това е първото наблюдение на инверсия на пълната дисперсия нагруповата скорост в реален динамичен режим на разпространение на импулса.

Следващите изследвания целят да установят влиянието на йонизационномодифицираните параметри на средата върху пространствено-времевото поведениена импулса.

Propagation distance [cm]0 5 10 15 20Gr

oup

veloc

ity d

isper

sion

[fs2 /c

m]

-0.4

0.4

0

0.8

1.2W = 2mJ = 150fsP = 5 atm

argon

Time duration [fs]0 100 200-100

W = 2mJ = 150fsP = 5 atmargon

0

-200Io

niza

tion c

ontri

butio

nto

GVD

[fs2 /c

m]

-0.4

-0.8

+0.4

-1.2

27

Поведението на радиуса на снопа по продължение на разпространението наимпулса е представено на фиг.4.3. Развитието на импулса започва съссамофокусировка и свиване на радиуса до около 45 μm . Прави впечатлениестабилизирането на напречния размер на импулса при разпространението му.

Фигура 4.3. Еволюция на радиуса на снопа по продължение на разпространението на импулса.

Поведението на пиковия интензитет на импулса по продължение на неговоторазпространение е представено на фиг.4.4.

Фигура 4.4. Еволюция на интензитета на импулса по продължение на неговото разпространение.

При самофокусирането пиковият интензитет рязко се увеличава, докатодостигне стойности, при които йонизационните загуби започват да ограничават по-нататъшното му увеличение, като го стабилизират при интензитети от порядъка на

13 24.10 W/cm .

Фигура 4.5. Еволюция на продължителността във времето на импулса по продължение на неговоторазпространение

Поведението на продължителността на импулса във времето по продължениена неговото разпространение е представено на фиг.4.5. Нарастването на пиковия

Propagation distance [cm]0 5 10 15 20

Pulse

dur

atio

n [fs

]

0

50

150

100

200W = 2mJ = 150fsP = 5 atm

argon

Propagation distance [cm]0 5 10 15 20

Peak

inte

nsity

[W/cm

2 ]

0

2.1013

4.1013

W = 2mJ = 150fsP = 5 atmargon

Propagation distance [cm]0 5 10 15 20

Beam

radi

us [

m]

0

50

100

150W = 2mJ = 150fsP = 5 atmargon

28

интензитет е съпроводено от самокомпресия на продължителността на импулса иначалната продължитеност от 150fs пада до около 50fs .

Получените резултати в това отношение са в добро съответствие секспериментално наблюдаваната самокомпресия на импулса от 150fs до 35 40fs .

Развитието на времевия профил на импулса по продължение на неговоторазпространение е представено на фиг.4.6. Както се вижда от фигурата, причислените симулации са получени главните етапи в развитието на импулса при

Фигура 4.6. Развитието на времевия профил на импулса при разпространението му в средата.

неговото разпространение – компресията на импулса, стабилизация на параметритему при разпространението и неговото разцепване. На първия етап (от z 0cm доz 5,9cm ) преобразуването на импулса започва с процеса самофокусировка.

Намаляването на напречното сечение на импулса от своя страна предизвикваувеличение на интензитета до стойности, които включват механизма на йонизация.Нарастването на интензитета на импулса води до ефективно скъсяване на неговатапродължителност.

Механизмът на самокомпресия съществено зависи от ниската дисперсия насредата ( 20 0.2 P [ 2fs /cm ]). На втория етап (от z 5,9cm до z 8, 2cm ) отразпространението на импулса се наблюдава относителна стабилност. Тя се дължи набаланса на процесите, обуславящи развитието на импулса. На третия етап (отz 11cm до z 16,8cm ) се наблюдава обичайното разцепване на импулса.

0-200 200

Time [fs]

z = 0 cm

z = 4.1 cm

z = 5.9 cm

z = 6.8 cm

z = 8.2 cm

z = 11 cm

z = 16.8 cmW = 2mJ = 150fsP = 5 atm

argon

29

Обобщени резултатиСъздадена е и използвана специална модификация на алгоритъма на Томас

(известен и като метод на прогонката в руската литература) за решаването накомплексно-значни системи линейни уравнения с мулти-диагонални лентови матрицис избор на главен елемент [15,16,25]. Извършени са необходимите тестове наалгоритмични програми на FORTRAN в комплексна аритметика и са извършениуспешни числени симулации, които са сравнени с известни в литературата решения.По този начин е проверена адекватността на разработения числен метод. Директноторешаване на уравнението в комплексни променливи изисква приблизително същитеизчислителни ресурси (като оперативна памет), както и с предварително отделяне нареалната и имагинерната част, но необходимото машинно време е около 4 пъти по-малко, тъй като броят на диагоналите в лентовата матрица е по-малък. Показано е, чевътрешната итерация, която е оригинално обобщение на класическия метод на Пикар,е ефективна при полиноми от по-висок ред и дробно-рационална нелинейност.

В рамките на (3+1)-мерното НУШ са получени следните основнирезултати:1. Разработен е метод за числено решаване на НУШ в крайни разлики.2. Описано е поведението на импулса като цяло и еволюцията на характеризиращитего параметри в среди с положителна дисперсия.3. За първи път е дефиниран минималният брой процеси, в рамките на който може дасе наблюдава самокомпресия на импулса.4. Предложен е механизъм на самокомпресията в рамките на минималния бройпроцеси.5. Установен е нов режим на разпространение на импулса в рамките на (3+1)-мернотоНУШ, наречен от нас оптично цунами.6. Предложена е концепцията за котролирано водене на импулси като алтернатива засреди, в които не съществува солитонно разпространение в рамките на (3+1)-мернотоНУШ.7. Очертани са физическите условия, при които описанието на МФЛИ инаблюдаваните ефекти в рамките на (3+1)-мерното НУШ е коректно.

В рамките на (3+1)-мерното НУО са получени следните основнирезултати:1. Базирайки се на един основен математически модел за описанието на МФЛИ, [47],е предложен собствен разширен модел, включващ влиянието на йонизацията върхутакъв основен параметър за разпространението на МФЛИ, какъвто е дисперсията нагруповата скорост.2. Разработен е метод за числено решаване на НУО и проведена голяма серия отчислени експерименти, показващи неговата адекватност и приложимост .3. Описано е поведението на импулса като цяло и еволюцията на характеризиращитего параметри в среда с положителна дисперсия при реалистични условия наразпространение и без каквито и да е ограничения върху формата на импулса.Симулирани са всички основни елементи на поведението на МФЛИ и, по-специално,самокомпресия и стабилизация на формата и параметрите на импулса в рамките наопределена дистанция на разпространение.4. За първи път е показана в реален режим на разпространение възможността заинвертиране на дисперсията на груповата скорост от положителна в отрицателна.5. Наблюдава се относителна стабилизация на импулса в напречна посока, както иотносителна стабилизация на продължителността на импулса. Важно е да сеотбележи, че при тези процеси импулсът запазва пространствено-времевата си формаблизка до тази на входния импулс.

30

6. Предложен е механизъм за обяснение на стабилизацията на импулса, доминиран отбалансираното действие на нелинейни процеси.

Приноси на дисертацията:- Разработен е числен алгоритъм за решаване на (3+1)-мерното нелинейно

уравнение на Шрьодингер.- Разработен е числен алгоритъм за решаване на (3+1)-мерното нелинейно

уравнение на обвивката.- Построени са неявни консервативни диференчни схеми на базата на

разцепване по физични процеси.- Предложен е оригинален начин за линеаризация на нелинейните членове в

уравненията, почиващ на класическата итерация на Пикар и компютърна реализацияв комплексно-значна аритметика.

- Числените алгоритми са реализирани на програмния език FORTRAN.- Направени са множество числени симулации за различни параметри на

оптичните импулси в реални обемни нелинейни среди.- Получените от числените симулации резултати са в съгласие с наличните

експериментални данни. Установени са някои закономерности при разпространениетона МФЛИ, отразени в основните резултати.

Получените в дисертацията резултати от численото изследване на динамикатана мощни свръхкъси оптични импулси имат научен и приложен характер.

Списък на публикациите, свързани с дисертацията1. M. D. Todorov, M. E. Todorova, T. P. Todorov, and I. G. Koprinkov, "Spatio-TemporalEvolution of Femtosecond Laser Pulses along Nonlinear Medium of Pressurized Argon",“Advanced Aspects of Theoretical Electrical Engineering”, Sozopol 2005 Summer School,pp.35-40 (2005).2. M. E. Todorova, T. P. Todorov, M. D. Todorov, I. G. Koprinkov, "Dependence of thepulse compression on the parameters of the input pulses and the nonlinear medium”,“Advanced Aspects of Theoretical Electrical Engineering”, Sozopol 2007 Summer School,Part II, 137 (2007).3.. T. P. Todorov, M. E. Todorova, M. D. Todorov, I. G. Koprinkov, "Self-compression ofhigh-energy femtosecond laser pulses using media of high ionization potential",“Advanced Aspects of Theoretical Electrical Engineering”, Sozopol 2007 Summer School,Part II, 143 (2007).4. I.G.Koprinkov, M.D.Todorov, M.E.Todorova, T.P. Todorov, J.Phys. B: At. Mol.Opt.Phys. 40 [2007] F1-F6 “Self-compression of high-intensity femtosecond laser pulsesin a low-dispersion regime” IF 2.024 (2006)5. M.D.Todorov, M.E.Todorova, T.P. Todorov, I.G.Koprinkov, Optics Communications,281[2008] 5249-5256, “Self-compression and controllable guidance of multi-millijoulefemtosecond laser pulses” IF 1.314 (2007)6. T.P. Todorov, M.E.Todorova, M.D.Todorov, I.G.Koprinkov, “Generation of Stable(3+1)-dimensional High – intensity Ultrashort Light Pulses”, in M.D.Todorov and C.I.Christov (Eds.), “Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences”, Sozopol2010, AIP CP, Melville, NY, 584-594 SJR 0.141 (2009)7. T. P. Todorov, M. E. Todorova, M. D. Todorov, I. G. Koprinkov , "SpatiotemporalStabilization of Ultrashort Light Pulses Propagating in Nonlinear Ionized Medium",Proceedings of the Cambridge University, BGSIAM, 12.2013 2014 162-174

31

8. T. P. Todorov, M. E. Todorova, M. D. Todorov, I. G. Koprinkov, "On the stablepropagation of high-intensity ultrashort light pulses", Optics Communications, 323 [2014]128-133 IF 1.438 (2013)

Литература1. Backus S., C.G.Durfee III, M.M.Murnane and H.C.Kapteyn, High power ultrafast lasers,Rev. Sci. Instr., 69, 1207 (1998)2. Walmsley Ian A. and Christophe Dorrer, Characterization of ultrashort electromagneticpulses, Advances in Optics and Photonics 1, 308 (2009)3. Baltu ka A., Th. Udem, M. Uiberacker, M. Hentschel, E. Goulielmaki, Ch. Gohle, R.Holzwarth, V.S. Yakovlev, A. Scrinzi, T. W. Hänsch, F. Krausz, Attosecond control ofelectronic processes by intense light fields, Nature London 421, 611 (2003).4. Koprinkov I.G., Akira Suda, Pengqian Wang, and Katsumi Midorikawa, Self-Shorteningof Femtosecond Laser Pulses Propagating in Rare Gas Medium, Jap. J. Apl. Phys., 38,L978, (1999).5. Koprinkov I.G., A. Suda, P. Wang, and K. Midorikawa, Self-Compression of High-Intensity Femtosecond Optical Pulses and Spatiotemporal Soliton Generation, Phys. Rev.Lett., 84, 3847, (2000).6. Tzortzakis S., B. Lamouroux, A. Chiron, S.D. Moustaizis, D. Anglos, M. Franco, B.Prade, A. Mysyrowicz, Femtosecond and picosecond ultraviolet laser filaments in air:experiments and simulations, Opt. Commun. 197, 131 (2001)7. Hauri C.P., W. Kornelis, F. W. Helbing, A. Heinrich, A. Couairon, A. Mysyrowicz, J.Biegert, and U. Keller, Generation of intense, carrier-envelope phase-locked few-cyclelaser pulses through filamentation, Appl. Phys. B 79(6), 673 (2004).8. Goulielmakis E., M. Schultze, M. Hofstetter, V.S. Yakovlev, J. Gagnon, M. Uiberacker,A.L. Aquila, E.M. Gullikson, D.T. Attwood, R. Kienberger, F. Krausz, U. Kleineberg,Single-Cycle Nonlinear Optics, Science 320, 614 (2008)9. Sansone G., E. Benedetti, F. Calegari, C. Vozzi, L. Avaldi, R. Flammini, L. Poletto, P.Villoresi, C. Altucci, R. Velotta, S. Stagira, S. De Silvestri, M. Nisoli, Isolated single-cycleattosecond pulses, Science 314, 443 (2006)10. Uiberacker, M., T. Uphues, M. Schultze, A.J. Verhoef, V. Yakovlev, M.F. Kling, J.Rauschenberger, N.M. Kabachnik, H. Schröder, M. Lezius, K.L. Kompa, H.-G. Muller, M.Vrakking J.J., S. Hendel, U. Kleineberg, U. Heinzmann, M. Drescher, and F. Krausz,Attosecond real-time observation of electron tunnelling in atoms, Nature London 446, 627(2007)11. Ergler Th., A. Rudenko, B. Feuerstein, K. Zrost, C.D. Schröter, R. Moshammer, J.Ullrich, Spatio-temporal imaging of ultrafast molecular motion: ‘collapse’ and revival ofD2 + nuclear wave packet, Phys.Rev. Lett. 97, 193001 (2006) .12. Boffetta G., A.R. Osborne, Computation of the Direct Scattering Transform for theNonlinear Schroedinger Equation, J. of Comput. Phys., 102 (1992)13. Couairon A., E. Brambilla, T. Corti, D.Majus, O. de J.Ramirez-Gґongora and M.Kolesik, Practitioner’s guide to laser pulse propagation models and simulation. Numericalimplementation and practical usage of modern pulse propagation models, Eur. Phys. J.Special Topics 199, 5 (2011)14. Tadmor Е., A review of numerical methods for nonlinear partial differential equations,Bull. Amer. Math. Soc. 49, 507 (2012)15. Samarskii A.A. and E.N.Nikolaev, Numerical Methods for Grid Equations, Nauka,Moscow (1978) (in Russian). English translation: Birkhauser, Basel, 1989.

32

16. Todorov M.D. and C.I. Christov, Conservative Numerical Scheme in ComplexArithmetic for Coupled Nonlinear Schroedinger Equations, Discrete and ContinuousDynamical Systems, Supplement:982–992 (2007)17. Agrawal G.P., Nonlinear Fiber Optics, 4th ed., Academic Press (2007)18. Meinel R., G. Neugebauer, and H. Steudel, Solitonen Nichtlineare Strukturen,Akademieverlag, Berlin (1991)19. Sulem C. and P.-L. Sulem, The Nonlinear Schrödinger Equation, AppliedMathematical Sciences, 139, Springer, New York (1999)20. Agrawal G.P., Nonlinear fiber optics: its history and recent progress [Invited],JOSA B 28. 12 (2011): A1-A1021. Додд Р., Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис, Солитоны и нелинейные волновыеуравнения, М.: Мир (1988)22. Ахмедиев Н.Н., Анкевич А., Солитоны нелинейные импулсы и пучки, M.,ФИЗМАТЛИТ (2003)23. Christov C.I., Numerical investigation of the long-time evolution and interaction oflocalized waves in Fluid Physics, eds M.G.Velarde & C.I.Christov, World Scientific,Singapore, 353 (1994).24. Christov C.I., S. Dost, G.A. Maugin, Inelasticity of Solitons in system of coupled NLSequations, Physica Scripta 50, 449 (1994)25. Christov C.I., Gaussian elimination with pivoting for multidiagonal systems, InternalReport 4, University of Reading, UK (1994)26. Димова Ст., Черногорова Т., Йотова А., Числени методи за диференциалниуравнения www.fmi.uni-sofia.bg/econtent/chmdu27. Марчук Г.И., Математическое моделирование в проблеме окружающей среды,М., Наука (1982)28. Самарский А.А., Теория разностных схем, М., Наука (1989)29. Самарский А.А. Введение в численные методы, М., Наука (1989)30. Yanenko N.N., Method of Fractional Steps, Gordon and Breach (1971).31. Jungel A., Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Institut fur Analysis undScientific Computing, TU Wien, Vorlesungsmanuskript (2013)www.asc.tuwien.ac.at/~juengel/scripts/nPDE32. Taha T.R., Ablowitz M.J., Analytical and Numerical Aspects of Certain NonlinearEvolution Equations. II. Numerical, Nonlinear Schrödinger Equation, J. Comput. Phys. 55(2), 203 (1984)33. Trefethen L.N., Trummer M.R., An Instability Phenomenon in Spectral Methods,SIAM J. Numer. Anal. 24(5), 1008 (1987)34. Gelb A., E. Tadmor, Spectral reconstruction of one- and two-dimensional piecewisesmooth functions from their discrete data, Mathematical Modeling and NumericalAnalysis 36, 167 (2002)35. Kawano K., T. Kitoh, Introduction to Optical Waveguide Analysis: SolvingMaxwel l’s Equation and the Schrodinger Equation, Wiley-Interscience (2001)36. Полянин А.Д., В.Ф. Зайцев, А.И. Журов, Методы решения нелинейныхуравнений математической физики и механики, М.: ФИЗМАТЛИТ (2005)37. Nurhuda M., A. Suda, M. Hatayama, K. Nagasaka, K. Midorikawa, Propagationdynamics of femtosecond laser pulses in argon, Phys. Rev. A 66, 023811 (2002)38. Koprinkov I.G., M.D. Todorov, M.E. Todorova,T.P. Todorov, Self-Compression ofHigh-Intensity Femtosecond Laser Pulses in Low Dispersion Regime, J. Phys. B: At. Mol.Opt. Phys. 40, F231 (2007)

33

39. Koprinkov I.G., A. Suda, P. Wang, K. Midorikawa, Generation of Light Bullets,NATO ASI "Soliton-Driven Photonics", Kluwer Academic Publishers, Edited by A.D.Boardman and A.P. Sukhorukov, 355 (2001)40. Wagner N.L., E.A. Gibson, T. Popmintchev, I.P. Christov, M.M. Murnane, H.C.Kapteyn, Self-compression of ultrashort pulses through ionization-induced spatiotemporalreshaping, Phys. Rev. Lett., 93 (17) 173902 (2004).41. Skupin S., G. Stibenz, L. Berge, F. Lederer, T. Sokollik, M. Schnürer, N.Zhavoronkov, G. Steinmeyer, Self-compression by femtosecond pulse filamentation:Experiments versus numerical simulations, Phys. Rev. E 74(5), 056604 (2006).42. Couairon A., M. Francko, A. Mysyrowics, J. Biegert, U. Keller, Pulse self-compressionto the single-cycle limit by filamentation in a gas with a pressure gradient, Opt. Lett.,30(19), 2657 (2005).43. Todorov T.P., M.E. Todorova, M.D. Todorov, I.G. Koprinkov, Self-compression ofhigh-energy femtosecond laser pulses using media of high ionization potential “AdvancedAspects of Theoretical Electrical Engineering”, Sozopol 2007 Summer School, Part II, 143(2007).44. Mlejnek M., E.M. Wright, J.V. Moloney, Femtosecond pulse propagation in argon: Apressure dependence study, Phys. Rev. E, 58, 4903 (1998).45. Brabec T., F. Krausz, Nonlinear Optical Pulse Propagation in the Single-Cycle Regime,Phys. Rev. Lett., 78, 3282 (1997).46. Brabec T., F. Krausz, Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics,REV. Mod. Phys.,72, 545 (2000).47. Bergé L., S. Skupin, R. Nuter, J. Kasparian, J.-P. Wolf, Ultrashort filaments of light inweakly ionized, optically transparent media, Eur. Phys. J. Special Topics 199 (2011),48. Perelomov A.M., V.S.Popov, M.V.Terent'ev, Ionization of Atoms in an AlternatingElectric Field Sov.Phys. JETP 23(5), 924 (1966)49. Koprinkov I.G., Ionization Variation of the Group Velosity Dispersion by HighIntensity Optical Pulses, Appl. Phys. B-Lasers and Optics, 79, 359 (2004)50. Todorov T.P., M.E. Todorova, M.D. Todorov, I.G. Koprinkov, “Generation of Stable(3+1)-dimensional High–intensity Ultrashort Light Pulses”, in M.D.Todorov and C.I.Christov (Eds.), Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, AIP CP,Melville, NY, 587 (2010)

34

ABSTRACT

Numerical Investigation of the Dynamics of High-intensityUltrashort Light Pulses

The generation, the controllable guidance and the practical application of high-intensityfemtosecond laser pulses is one of the most challenging problems of the modern laser physics. Inthis thesis is investigated the complete, (3+1)D, spatio-temporal dynamics of high-intensityultrashort laser pulses in nonlinear bulk medium.

The pulse propagation is governed by the (3+1)D nonlinear Schrödinger equation (NLSE)as well as by the (3+1)D nonlinear envelope equation (NEE). Implicit finite-difference schemesfor the both dynamical systems are developed. For the first time an operator splitting by physicalfactors of these types of equations is applied and its suitability is grounded. For the non-linearterms of the equations is used the so-called internal iteration, which is an original implementationof the classical Picard iteration for wave equations. Numerical treatment in complex arithmetic iscarried and the generalized Thomas algorithm for multidiagonal complex banded matrices withpivoting is used.

Significant and consistent physical results are obtained. For the first time the minimalnumber of processes providing a self-compression of the pulse is established. A new regime ofpropagation of the pulse is found and a controllable guidance concept as alternative to the solitonconcept based on (3+1)D NLSE is proposed.

For (3+1)D NEE realistic propagation regimes are considered and a self-compression ofthe pulse as well as a stable propagation of the compressed pulse are found out. The stronginfluence of ionization on the group-velocity dispersion can cause even its inversion from positiveto negative one.