Embed Size (px)
Citation preview
Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический
университет
ВВБУНДАЕВ
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Учебное пособие
Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов направления 270100 (550100) laquoСтроительствоraquo
специальностей 270102 (290300) laquoПромышленное и гражданское строительствоraquo 270106 (290600) laquoПроизводство строительных материалов изделий и конструкцийraquo 270109 (290700) laquoТеплога-зоснабжение и вентиляцияraquo 151001 (120100) laquoТехнология ма-
шиностроенияraquo вузов регионаraquo
Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2005
2
УДК 681306(075) 62010 5393 ББК 3297323-018я7 Б 61 Печатается по решению редакционно-издательского совета
Восточно-Сибирского государственного технологического университета Рецензенты дф-мн профессор ДС Сандитов ndash
Бурятский государственный университет им ДБанзарова дтн профессор СО Никифоров ndash Бурятский научный центр СО РАН
Бундаев ВВ Б 61 Руководство к решению задач по механике твердого
деформируемого тела матричными методами Учебное пособие Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 2005 ndash 223 с ISBN В пособии изложены современные высокоэффективные матрич-
ные методы расчета сложных стержневых систем при воздействии ста-тических нагрузок На конкретных типовых примерах подробно разо-браны особенности применения этих методов на основе которых раз-работаны соответствующие блок-схемы алгоритмов реализации каждо-го из этих методов и соответствующие компьютерные программы на языке Турбо Паскаль и в системе Mathcad В целях закрепления прой-денного материала в конце учебного пособия предлагаются задания для самостоятельного выполнения
Пособие предназначено для студентов старших курсов строи-тельных и машиностроительных специальностей вузов продолжаю-щих углубленное изучение отдельных разделов прочностных дисцип-лин и интересующихся использованием ЭВМ в технических расчетах Разработанные программы и методика проведения конкретных расче-тов могут быть полезны при выполнении НИРС курсовом и диплом-ном проектировании
Книга также может быть полезной для научных работников ас-пирантов и инженерно-технических работников различных отраслей машиностроительной промышленности и строительного производства ISBN copy Бундаев ВВ 2005 г
copy ВСГТУ 2005 г
3
Содержание Введение 5 1 Расчет статически определимых стержневых систем в матричном видеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8
11 Описание матричного алгоритма для расчета статически определимых плоских рамhelliphelliphelliphellip
8
111 Расчет рамы в среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphellip 15 12 Описание матричного алгоритма для расчета
фермhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
26 121 Пример расчета статически определимой
фермыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29 122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определим фермhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
41 123 Программа для расчета ферм на алгоритми-
ческом языке Турбо Паскаль helliphelliphelliphelliphelliphellip
44 2 Расчет статически неопределимых стержневых систем в матричном видеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
53
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
60
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
68
221 Пример расчета фермы методом силhelliphelliphellip 71 222 Блок-схема алгоритма расчета статически
неопределимых ферм методом сил helliphelliphelliphelliphellip
79 223 Программа для расчета статически неопре-
делимых ферм helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
82 3 Статический расчет систем методом конечных эле-ментовhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
4
311 Пример расчета ступенчатого бруса при рас-тяжении и сжатии helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
93
32 Пример расчета ступенчатого вала при круче-нии
102
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем МКЭ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
113
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ helliphelliphellip 117 35 Расчет рам методом конечных элементов helliphellip 122 351 Пример расчета плоской рамы helliphelliphelliphelliphelliphellip 135 352 Расчет рамы в среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphellip 146 36 Решение плоской задачи теории упругости в
среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
162 4 Автоматизация расчета конструкций МКЭhelliphelliphelliphelliphellip 176
41 Некоторые возможности использования про-граммного комплекса ANSYS helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
176
42 Подготовка параметров компьютера и вход в программу в интерактивном режиме helliphelliphelliphelliphelliphellip
176
43 Основные стадии решения задачи helliphelliphelliphelliphellip 177 431 Препроцессорная подготовка задачи helliphelliphellip 178 432 Приложение нагрузок и получение решения 181 433 Постпроцессорная обработка результатов счета helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
182
44 Примеры решения статических прочностных задач helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
183
441 Расчет стержневых систем helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 183 442 Решение задач теории упругости helliphelliphelliphelliphellip 193
5 Задания к самостоятельным работам helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 207 Общие указания о порядке выполнения заданий 207 Задание 1 Расчет статически определимых
ферм helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
208 Задание 2 Расчет статически неопределимых
ферм helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
212 Задание 3 Расчет ступенчатого вала при круче-нии МКЭ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
217
Задание 4 Расчет рам МКЭ helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 219 Библиография helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222
5
ВВЕДЕНИЕ
В связи с широким внедрением компьютерных технологий и математических методов в самые разнообразные сферы чело-веческой деятельности старые способы расчета инженерных со-оружений основанные на большом объеме ручного труда вы-числительного и графического характера при расчете сравни-тельно несложных сооружений уступают место новым методам [1-4] В настоящее время все более широкое развитие и распро-странение получают матричные методы расчета сложных инже-нерных сооружений с применением ЭВМ [5-7] Знание матрич-ных форм расчета инженерных сооружений ориентированных на использование ЭВМ становится неотъемлемой частью подго-товки высококвалифицированных специалистов способных к профессиональной адаптации в различных отраслях строитель-ного и машиностроительного производства Хотя матричная форма расчетов известна давно однако она долгое время не на-ходила широкого применения из-за ограниченных возможностей средств вычислительной техники а также из-за отсутствия дос-тупного программного обеспечения Имеющиеся программы бы-ли мало пригодны для учебных целей и рассчитаны на узких специалистов В то же время следует отметить что расчет в мат-ричной форме является наиболее универсальным приемлемым для любого вида конструкции независимо от свойств используе-мого материала типа внешних нагрузок и конфигурации объекта исследования В последние годы все большее распространение среди инженеров получают программные комплексы для ЭВМ (например ANSYS COSMOSWorks) основанные на матричных методах расчета различного рода инженерных конструкций и позволяющие автоматизировать процесс ввода исходных дан-ных получения решения и обработки результатов счета [8-10]
Таким образом в современных условиях возникает настоя-тельная необходимость внедрения компьютерных технологий в практику расчетов сооружений что предполагает существенную корректировку традиционных форм и методов организации учебного процесса соответствующую переработку учебных пла-
6
нов по дисциплинам прочностного цикла на кафедрах зани-мающихся подготовкой высококвалифицированных специали-стов Расчет сложных инженерных сооружений с использовани-ем современных средств вычислительной техники дает возмож-ность инженеру меньше заниматься рутинной вычислительной работой а больше времени уделять анализу результатов расче-тов пониманию работы сооружения в целом и той роли кото-рую играют его отдельные элементы устанавливать функцио-нальную связь между внешними воздействиями внутренними усилиями и формой конструкции что способствует свободному и целенаправленному поиску решений задач оптимального про-ектирования сооружения
В связи с изложенным при освоении курсов прочностного цикла необходимо более полно изучить соответствующие разде-лы и внести в них следующие коррективы
-в наиболее доступной форме ознакомить студентов с ос-новными понятиями и алгоритмами реализации современных численных методов расчета сложных систем
-выработать навыки составления соответствующих ком-пьютерных программ на алгоритмических языках а также со знанием дела использовать уже имеющиеся готовые программы
-научить студентов анализировать существующие и полу-ченные в результате расчетов конструктивные решения уметь находить оптимальные из них а также помочь формированию рационального логического мышления
Обеспечение прочности и надежности сооружений в соче-тании с высокой экономичностью возможны только при высо-кой квалификации инженера и овладении им современными ме-тодами сопротивления материалов строительной механики и теории упругости В связи с изучением матричных методов ре-шения задач указанных дисциплин студенту приходится повы-шать свою математическую подготовку и иметь дело с большим количеством учебной литературы В этом пособии основной ма-териал сосредоточен в одном месте что позволяет с минималь-ной затратой времени на практике использовать весь аппарат матричного расчета Изучение курса следует начинать с прора-
7
ботки теоретических положений рассматриваемого метода при этом необходимо составить краткий конспект и сделать соответ-ствующие выводы Лишь после этого следует перейти к разбору типовых примеров Без изучения теории приступать к самостоя-тельному решению задач невозможно так как только знание теории дает возможность решать любые задачи во всем их мно-гообразии
В данном пособии основные вопросы теоретических по-ложений иллюстрируются тщательно подобранными задачами решения которых сопровождаются подробными объяснениями Разработанные программы на алгоритмическом языке Турбо Паскаль и в математическом пакете Mathcad дают возможность проверить все результаты полученные ручным счетом и убе-диться в надежности и универсальности работы этих программ которые необходимы при выполнении прилагаемых в конце по-собия заданий для закрепления полученных знаний Самостоя-тельность выполнения этих заданий имеет первостепенное зна-чение для усвоения учебного материала изложенного в пособии Разработанные программы могут быть использованы студентами в студенческих научных кружках при исследовании напряженно-деформированных состояний разнообразных строительных и машиностроительных конструкций и их элементов
Таким образом изучая данное пособие студенты углуб-ляют свои знания в механике твердого деформируемого тела и овладевают современными методами решения сложных задач расчета и проектирования строительных и машиностроительных конструкций Разобранные в пособии примеры решения задач и приведенные задания к самостоятельным работам помогут сформировать у студентов устойчивый интерес к самостоятель-ным исследованиям в области инженерных расчетов Получен-ные знания и навыки будут служить основой для дальнейшего изучения студентами прочностных дисциплин
8
1 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
11 Описание матричного алгоритма для расчета плоских рам
Пусть дана статически определимая рама Пронумеруем все ее узлы и стержни причем за начало стержня будем прини-мать тот его конец который примыкает к узлу имеющий мень-ший номер
Для описания структуры рамы рассмотрим прямоуголь-ную матрицу cS в которой число строк равно числу узлов ра-мы У а число столбцов ndash числу ее стержней С При этом эле-ментами матрицы cS являются числа 1 -1 0 Заполнение мат-рицы производится по столбцам в соответствии с нумерацией стержней рамы Число laquo1raquo помещается в той строке номер ко-торой совпадает с номером узла являющимся началом стержня а число laquo-1raquo - в строке с номером концевого узла в остальных узлах столбца матрицы cS помещается число laquo0raquo Построенная
таким образом матрица cS называется структурной
С помощью этой матрицы cS определяется вектор проек-
ций стержней [ ]Тсе ПППППρ
Λρ
Λρρρ
21= по матричной формуле
CSП Tc
ρρminus= (11)
где
2
22
1
11
=
=
=
=
cx
cxС
ex
exe
x
x
x
x
ll
Пll
Пll
Пll
Пρ
Λρ
Λρρ
(12)
те eПρ
- вектор имеющий компонентами проекции lex и ley стержня с номером е на оси x и y общей для всех стержней рамы координат
9
( )Tyj ccccc ρΛ
ρΛ
ρϖρ21= - вектор координат узлов со-
ставленный из векторов
1
11
1
11
=
=
=
=
y
yy
j
jj y
xc
yx
cyx
cyx
c ρΛ
ρΛ
ρρ
(13)
где jcρ - вектор компонентами которого являются координаты узла с номером j Значок laquoTraquo обозначает операцию транспонирования матрицы Напомним что матрица АТ называется транспонированной если ее элементы
ija связаны с элементами исходной матрицы А со-
отношением jiij aa =
Зная компоненты вектора Пρ
можно определить длины стержней le и векторы их направляющих косинусов eαρ (е = 12hellipс) по формулам
eTee ППl
ρρsdot= (14)
ee
e Пl
ρρ 1=α
(15)
Перейдем теперь к установлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис11а) и общей хоу (рис11б) системах координат
б)
Рис11
а)
у
Qek
О
х
Qен
ek
х у
Nek
α
M
ly Xek
у
х
Mek е
Yek
Yен
Хен
0 Mен lx
10
Для стержня изображенного на рис11а можно составить уравнения равновесия в матричном виде
енek NFNρρ
= (16)
где
=
ek
ek
ek
ek
MQN
Nρ
=
ен
ен
ен
ен
MQN
Nρ
=
10010001
lF
Сравнивая силовые факторы на концах одного и того же стержня (см рис 11а и 11б) получим
енен NXρρ
sdotΨminus= екек NXρρ
sdotΨ= (17)
или
енен XNρρ
sdotΨminus= екек XNρρ
sdotΨ= (18)
где
=
ен
ен
ен
ен
MYX
Xρ
=
ек
ек
ек
ек
MYX
Xρ
minus=Ψ
1000cossin0sincos
αααα
Заметим что матрица Ψ связывающая усилия и силовые факторы на концах стержня является ортогональной ( Ψ=Ψminus1 ) Подставляя в формулу (16) выражения усилий в местной системе координат (18) получим
ененеk XXFXρρρ
sdotΦ=sdotΨsdotsdotΨminus= (19)
Перемножением соответствующих матриц можно полу-чить
minusminusminus
minus=ΨsdotsdotΨminus=Φ
1010001
xy llFρ
Заметим что матрица Φ устанавливающая связь между усилиями на концах стержня может быть непосредственно по-
11
лучена составлением уравнений равновесия для стержня изо-браженного на рис11б
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней ( рис12)
Пусть [ ]Txyjyjxjj PPPP =ρ
- вектор внешней нагрузки
приложенный к узлу j а [ ]Teeee MYXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда условие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(110)
Далее перейдем к
составлению уравнений равновесия для всей сис-темы в целом Обозна-чим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ21=
вектор внутренних уси-лий в стержнях фермы Компоненты этого век-тора выражаются через векторы усилий для
концевых сечений каждого стержня в виде равенств [ ]еkеkеkенененe MYXMYXY =
ρ
Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной мат-рицы cS
1YSPρρ
= (111)
Рис12
Pxyj j
Pyj
Pxj
Ye
Xe
12
Здесь прямоугольная блочная матрица 1S имеет 3У строки и 6С столбцов и получается из структурной CS заменой элементов 1
на блок 1E элементов -1 на блок 2E и элементов 0 на нуле-вую матрицу Ο те
=
000100000010000001
1E
=
100000010000001000
2E
=Ο
000000000000000000
Уравнения (111) необходимо дополнить соотношениями связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (19) которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде
02 =YSρ
(112)
где 2S квазидиагональная матрица
ΟΟΟ
ΟΟΟΟΟΟ
=
CE
EE
S
3
23
13
2 ΛΛΛΛ
блоки которой
)21(1001010010001001
3 Cell
E
exey
e Κ=
minus=
Объединив (111) и (112) получим матричное уравнение
YSSPQ
ρρρ
ρsdot
=
=
2
1
0
(113)
13
которое связывает внешние силы приложенные к узлам систе-мы с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней а также связь внутренних усилий между собой Уравнение (113) можно записать в более компактной форме
YSQρρ
sdot= (114)
Размерности векторов Qρ
и Yρ
соответственно равны (3У+3С)times1 и (6Сtimes1) а матрицы S - (3У+3С)times6С Следователь-но матрица S в общем случае не является квадратной Однако
с учетом того что среди компонентов вектора Pρ
имеются неиз-вестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки а также среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (напри-мер моменты в сечениях около шарниров) уравнение (114) за-писывается в виде
ZST P
ρρsdot= (115)
где вектор Tρ
получается из вектора Qρ
удалением тех элемен-тов которые соответствуют наложенным на систему связям (на-пример числу опорных стержней С0) а вектор Z
ρ - из вектора Y
ρ
удалением тех элементов которые являются заведомо нулевыми и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе Матрица PS получается из матрицы S удалением строк соот-
ветствующих удаленным элементам в векторе Qρ
и столбцов
соответствующих удаленным элементам вектора Yρ
Для разрешимости системы (115) необходимо чтобы мат-
рица PS была квадратной поэтому должно выполняться усло-вие
3У+3С-Соп = 6С-Ш или
3У = 3С+Соп-Ш те число уравнений равновесия равно числу неизвестных уси-лий
14
Кроме этого определитель системы det PS должен быть отличным от нуля Это условие означающее геометрическую неизменяемость конструкции является достаточным условием разрешимости рассматриваемой системы (115)
Тогда вектор неизвестных усилий Zρ
легко определяется решением системы (115)
TSZ P
ρρsdot= minus1 (116)
Затем строим вектор Yρ
после этого с использованием равенства (114) находим опорные реакции а с помощью соотношений (18) определяем внутренние усилия в элементах рассматривае-мой конструкции
Отметим два случая которые могут встретиться при рас-чете конструкций
-опорный стержень не совпадает ни с одним из направле-ний общей системы координат В этом случае вместо опорного стержня вводят некоторый конструктивный стержень произ-вольной длины направление которого совпадает с направлением опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опор-ными стержнями параллельными осям координат
-сосредоточенный момент действует в непосредственной близости около шарнира Для общности расчета этот момент следует считать приложенным на некотором малом удалении lx (lx rarr 0) от шарнирного узла При этом формируя матрицу 2S
при заполнении соответствующей матрицы eE 3 нужно поло-жить lex и ley равными нулю
При расчете стержневой системы на действие нескольких вариантов нагрузки 321 Κ
ρρρPPP в уравнениях (114) и (115)
вектор нагрузки Pρ
можно заменить матрицей нагрузки [ ]Κ
ρρρ321 PPPP = а вектора ZYTQ
ρρρρ - соответствующи-
ми матрицами ZYTQ
15
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляется аналогично с учетом их особенностей изложенных в п11
111 Расчет рамы в среде Mathcad
Исходные данные для рамы изображенной на рис13 а - характерный размер длин стержней рамы nuz -число узлов рамы nel- число элементов рамы
a 3= nuz 7= nel 6= Пронумеруем узлы и стержни рамы (см рис13) запишем
структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С (13)
16
Sc
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
1
0
1minus
=
Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей
системы координат xoy (11) и (12)
Вычислим длины стержней рамы (14)
Определяем направляющие косинусы (15)
17
Составим матрицу равновесия S1 которая получается из
структурной Sc заменой в последней элементов 1 на матрицу Е1 элементов -1 на Е2 а нули на соответствующие нулевые матри-цы Эта матрица устанавливает связь между векторами внешней нагрузки P и усилий во всех стержнях рамы Y по формуле
P = S1Y
где i-ой компонентой вектора Y являются усилия Yi = [Xin Yin Min Xik Yik Mik]T в i-м стержне
18
Сформируем теперь блочно-диагональную матрицу S2
устанавливающую связь между усилиями в начале и конце каж-дого стержня с помощью матричного соотношения S2middotY=0 (112)
- единичная квадратная матрица размер-ности nelmiddotnel
19
Получим матрицу S объединением матриц S1 и S2 с по-мощью встроенной в Mathcad функции stack
Запишем векторы внешних нагрузок действующие в каж-
дом узле рамы Опорные реакции в расчет не принимаются так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены
P2
3
0
0
= P1
0
0
0
= P3
3
0
0
= P4
0
0
0
=
20
Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов расположенных ниже Pi
Учет граничных условий nop - число опорных стержней
nsv - вектор компоненты которого соответствуют наложенным на систему связям В матрице S и в векторе Q необходимо уда-лить соответствующие строки и элементы
P5
0
0
0
= P6
0
0
0
= P7
0
10minus
0
=
Q
Qi 0larr
i 1 rows S( )isinfor
r1 3 isdot 2minuslarr
Qr1 i1+ 1minus Pi( )i1larr
i1 1 3isinfor
i 1 nuzisinfor
Q
=
Q20 10minus=
nop 3= nsv1 1= nsv2 2= nsv3 17=
21
Отметим что элементами составного массива А являются
матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях рамы Y
Используя равенство Q = SY определим опорные
реакции Rx1 = Q1 Ry1 = Q2 и R y6 =Q17
Z A1( ) 1minus A2sdot=
Q S Zsdot=
ZT 1 2 3 4 5
1 -6 -8 0 6 8=
QT 1 2 3 4
1 -6 -8 0 3=
22
Используя формулы перехода к местным системам коор-
динат определим усилия в сечениях стержней фермы i 1 nel=
Ry1 Q nsv 2( )= Ry6 Q nsv 3( )= Rx1 Q nsv 1( )=
Rx1 6minus= Ry1 8minus= Ry6 18=
- матрица перехода от локальной системы координат к глобальной
Xi i ilarr
Z Zlarr
k i 1minus( ) 6sdotlarr
k1 k 3+larr
k k 1+larr
X1i1 Zklarr
k1 k1 1+larr
X2i1 Zk1larr
i1 1 3isinfor
X1 X2( )T
= Xni Xi( )
1=
Xki Xi( )2
=
Xn1
6minus
8minus
0
=
Xk1
6
8
6
=
ψ i
α i( )1
α i( )2
0
α i( )2
α i( )1
minus
0
0
0
1
=
23
Xni Xki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня с номером i отнесенные к глобальной системе координат xoy
Nni ψ iminus Xnisdot= Nki ψ i Xkisdot=
Nn1
8
6
0
= Nk1
8
6
6
=
Nn2
8
3
6
= Nk2
8
3
9
=
Nn3
8
0
9
= Nk3
8
0
9
=
Nn4
0
8minus
9
= Nk4
0
8minus
15minus
=
Nn5
18minus
0
0
= Nk5
18minus
0
0
=
Nn6
0
10
15minus
= Nk6
0
10
0
=
24
По найденным значениям усилий в сечениях стержней рамы строим эпюры изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил
Nni Nki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня в локальной системе ко- ординат xioyi
25
Отметим что при разбиении балки на пять участков и за-мене действующей на нее распределенной нагрузки соответст-вующими узловыми силами получим численные значения внут-ренних усилий и моментов (рис14) практически не отличаю-щиеся от значений полученных по аналитическим формулам
26
Рис 14
12 Описание матричного алгоритма для расчета ферм
Описанный матричный алгоритм существенно упрощается в приложении к расчету плоской фермы так как в ее элементах действует только продольная сила eN постоянная по длине ка-ждого стержня Nен=Nек=Ne (рис15а) Перейдем теперь к уста-новлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис15а) и общей хоу (рис15б) системах координат
27
б)
Рис15 Очевидно что
)sin()sin()cos()cos(
αααα
eеkeен
eеkeен
NYNYNXNX
=minus==minus=
Здесь индексы laquoнraquo и laquoк raquo относятся соответственно к началу и концу стержня
В матричной записи эти соотношения имеют вид
eфен NFХρρ
minus= eфеk NFХρρ
= (117)
где
)sin()cos(
= α
αфFρ
=
ен
енен Y
XXρ
=
ek
ekек Y
XXρ
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней
Пусть [ ]Tyjxjj PPP =ϖ
- вектор внешней нагрузки прило-
женный к узлу j а [ ]Teee YXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда ус-ловие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(118)
О
Neн
е
х
х
у
у
Nek
а)
α х
е Yek
Xek
Yен
Хен
у
0
28
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для всей системы в целом Обозначим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ
21= вектор внутренних усилий в стержнях фермы Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ekенe XXYρρρ
minus== Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (118) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы cS
YSP c
ρρ=
Учитывая формулы (117) это соотношение можно запи-сать в виде
NSPρρ
minus= (119)
где [ ]Tce NNNNN ΛΛρ
21= - вектор усилий в стержнях фермы
Матрица S получается из структурной матрицы сS за-
меной элементов laquo1raquo на векторы фFρ
элементов laquo-1raquo на векторы
- фFρ
а элементов laquo0raquo - на нулевые векторы [ ]Т00
Далее из вектора Рρ
необходимо исключить элементы со-ответствующие опорным связям и получить вектор Q
ρ а из мат-
рицы S исключить соответствующие строки образуя матрицу
РS Тогда вектор неизвестных усилий Nρ
определится как ре-шение матричного уравнения
QNSP
ρρminus= (120)
29
Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-дующим выводам
во-первых матрица РS должна быть квадратной те раз-ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю
2У-С-Соп = 0 Это равенство известно как условие статической определимости фермы здесь Соп ndash число опорных стержней
во-вторых определитель матрицы РS должен быть отли-чен от нуля те
0det nePS что является условием геометрической неизменяемости фермы
Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений Для этого в матричном уравнении (120) векторы Q
ρ и N
ρ нужно
заменить соответствующими матрицами Q и N При этом столбцы этих матриц имеющие одинаковые номера отвечают одному и тому же нагружению Это свойство может быть ис-пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q дол-жен содержать лишь один элемент ndash1 расположенный в строке с номером соответствующим номеру узла в котором приложен груз Р = 1
121 Пример расчета статически определимой фермы Пусть дана ферма изображенная на рис16 Определить усилия N1 N2 hellip N17 в стержнях этой фермы 1Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см рис16) и за-
пишем структурную матрицу (см п11)
30
Рис16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minus
=
11000000000000000101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110100000000000000011
10987654321
cS
2Зададим координаты узлов (13)
=
40
1Cρ
00
2
=C
ρ
43
3
=C
ρ
03
4
=C
ρ
46
5
=C
ρ
06
6
=C
ρ
49
7
=C
ρ
09
8
=C
ρ
412
9
=C
ρ
012
10
=C
ρ
RB
HA
RA
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4
2 6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3м 3м 3м
α
31
3Найдем вектор проекций стержней фермы на оси общей системы координат (11)
[ ] ==Т
ППППППП 1754321
ρΛ
ρρρρρρ
=
times
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus=
0124
12
064603430040
11000000001010000000
011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011
ΜΜ
4
003
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
1716151413121110987654321Т
minus
minus
minus
minus
minus
=
По формуле (12) имеем
32
4
0
03
43
03
4
0174321
minus
=
=
=
=
minus
= ПППППρ
Λρρρρ
4Вычислим длины стержней фермы (14) например
[ ]
[ ]
[ ] 516943
43
3903
03
4164
040
3
2
1
=+=
sdot=
==
sdot=
==
minus
sdotminus=
l
l
l
Эти результаты соответствуют исходным данным на рис16 Длины остальных стержней равны
l1 = l5 = l9 = l13 = l17 = 4м l2 = l4 = l6 = l8 = l10 = l12 = l14 = l16 = 3м l3 = l7 = l11 = l15 = 5м
Эти значения также можно вычислить по формулам (14) 5Определим направляющие косинусы (15)
01
03
31
8060
43
51
01
03
31
10
40
41
43
21
=
sdot=
=
sdot=
=
sdot=
minus
=
minus
sdot=
αα
αα
ρρ
ρρ
По рис16 находим
33
8060
01
01
1
0
151173
141062
161284
11111
====
====
====
minus
=====
αααα
αααα
αααα
ααααα
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρρ
6Составим матрицу S и вектор внешней нагрузки Pρ
(119) =S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -1 0 3 0 c 1 4 1 s 0 5 -1 -c 0 1 6 0 -s -
10
7 -1 0 c 1 8 0 1 s 0 9 -
1 -c 0 1
10 0 -s -1 0 11 -1 0 c 1 12 0 1 s 0 13 -1 -c 0 1 14 0 -s -1 0 15 -1 0 c 1 16 0 1 s 0 17 -1 -c 0 18 0 -s -1 19 -1 0 20 0 1 Здесь введены обозначения s = 08 c =06
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TBAA RRHP 0800000000000 ΛΛρ
minus=
34
7Исключим из S и Pρ
элементы соответствующие опорным реакциям AA RH и BR формируем матрицу PS и
вектор Qρ
(120)
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TQ 00000800000000000 minus=ρ
=PS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -
1 0
3 -1
-c
0 1
4 0 -s
-1
0
5 -1
0 c 1
6 0 1 s 0 7 -
1 -c
0 1
8 0 -s
-1
0
9 -1
0 c 1
10 0 1 s 0 11 -1 -c 0 1 12 0 -s -1 0 13 -1 0 c 1 14 0 1 s 0 15 -1 -c 0 16 0 -s -1 17 -1 0
Матричная форма уравнений равновесия имеет вид (120) и представляет собой систему линейных алгебраических уравне-ний
8 Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента получим вектор продольных сил в стержнях заданной фермы
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=Nρ
[00 00 -25 15 20 -15 -25 30 20 -30 -25 45 -60 14 15 16 17 -45 75 00 -60]T
Компоненты вектора Nρ
показывают что верхний пояс фермы сжат а нижний ndash растянут Причем усилие в каком-либо стержне верхнего пояса по абсолютной величине равно усилию в стержне нижнего пояса смежной панели смещенного относи-тельно верхнего стержня влево параллельно раскосу В данной ферме стержень верхнего пояса сжат с меньшей силой чем рас-тянут стержень соответствующей панели нижнего пояса
Усилия в раскосах расположенных слева от линии дейст-вия силы Р отрицательны и равны -25 кН а усилие в раскосе 15 находящемся справа от нее положительно и равно 75 кН Знаки усилий в стойках расположенных слева и справа от линии действия силы Р противоположны знакам усилий в соответст-вующих раскосах Значения усилий в стойках по абсолютной величине равны опорным реакциям RA = 20 kH и RB = 60 kH фермы В стержнях 1 2 и 16 усилия отсутствуют
Необходимо отметить что систему уравнений (119) также можно получить непосредственно используя известный в строи-тельной механике метод вырезания узлов
Действительно последовательно вырезая узлы исходной фермы (см рис16) и составляя уравнения равновесия получим
Узел 1
=minus===
sumsum
00
21
1
2
NFNF
Y
x
N1
N2
36
Узел 2
=+sdot+==++sdot=
sumsum
0)sin(0)cos(
43
31
43
AY
Ax
RNNFHNNF
αα
Узел 3
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
65
53
632
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 4
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
87
75
874
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 5
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
109
97
1076
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 6
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1211
119
12118
αα
NNFNNNF
Y
x
37
Узел 7
=minusminussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1413
1311
141110
PNNFNNNF
Y
x
αα
Узел 8
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1615
1513
161512
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 9
=minussdotminus==sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
617
1715
1514
NNFNNF
Y
x
αα
Узел 10
=+==minus=
sumsum
00
2019
17
16
BY
x
RNFNF
Вектор правой части и матрица полученной системы ли-нейных алгебраических уравнений полностью совпадают с век-тором P
ρ и матрицей S которые были составлены в п6 данно-
го раздела 9Перейдем к построению линий влияния усилий в стерж-
нях например второй панели фермы При этом будем считать что верхний пояс фермы является грузовым В этом случае пе-ремещающийся груз Р=-1 может находиться в узлах 1 3 5 7 и
38
9 Тогда матрица неизвестных N и матрица нагружений Q (см п 12) имеют вид
=
181714171017617217
1831431036323
1821421026222
1811411016121
NNNNN
NNNNNNNNNNNNNNN
N
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
minus
minus
minus
minus
minus
=
000001
000
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
10
97531
Q
В результате приходим к матричному уравнению QNS p minus=sdot
1
3
4
5
6
7
8
9
39
Решив это уравнение находим матрицу влияния усилий влN
minusminusminusminus
minusminusminusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminus
minusminusminusminusminus
minus
minusminusminus
minus
=
175050250000000094062031000560370190007505025000560370190003106203100037075037000250502500037075037000310620310001903705600025050250001903705600031062094000000000001
влN
На рис17 графически изображены линии влияния усилий 98765 NNNNN
1 3 5 7 9
40
Рис 17
41
122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определимых ферм (рис18)
Обнуление векторов проекций стержней
1 neliПi Λρ
=
начало
nel = 17 nuz = 10 nuz2 = 20
Задание cS
Ввод Cρ
i = 1 nuz
j = 1 nel
pr[ij] =00
i = 1nuz
j = 1nel
ST[ji] = SC[ij] Транспонирование
матрицы CS
A
Исходные данные nel ndash количество стержней (элементов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная
матрица CS
C[nuz2] ndash вектор коорди-нат узлов фермы
Исходные данные nel ndash количество стержней (эле-ментов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная матри-
ца cS
C[nuz2] ndash вектор координат уз-лов фермы
42
i =1nel
j = nuz
ST[ij] ne 0
А
pr[i1]=pr[i1]-ST[ij]C[j1] pr[i2]=pr[i2]-ST[ij]C[j2]
i=1nel
22 ])2[(])1[(][ ipripril +=
i=1nel
j=12
][][][
iljiprji =α
B
да
нет
Вычисление значений компонентов вектора про-
екций стержней Пρ
Определение значений длин стержней li
Вычисление значений ком-понентов вектора направ-
ляющих косинусов αρ
43
Рис18
да
B1
j=1nel
i=1nuz
SC[ij]=1 нет
SZ[2i-1j]=α[j1] SZ[2i-1j]=α[j2]
SC[ij]=-1
SZ[2i-1j]=-α[j1] SZ[2i-1j]=-α[j2]
да
нет
Ввод Р
Получение матрицы PS и
вектора Qρ
Решение СЛАУ методом Гаус-са с выделением главного элемента
Печать вектора Nρ
конец
В
i=1nuz2
j=1nel
SZ[ij]=00
В1
Составление матрицы
S
44
123 Программа для расчета ферм на алгоритмиче-
ском языке Турбо Паскаль Program ferma uses Crt label 1 const nel=17 число стержней фермы nuz=10 число узлов фермы nuz2=20 удвоенное число узлов nopr=3 число уравнений которые нужно удалить type mas1=array[1nuz1nel] of integer mas2=array[1nel1nuz] of integer mas3=array[1nuz21nel] of real mas4=array[1nel1nel] of real mas5=array[1nel12] of real mas6=array[1nuz12] of real mas7=array[1nel] of real mas8=array[1nuz2] of real mas9=array[1nopr] of integer var ijki1integer ( sc-структурная матрица st-транспструкт матрица Dl-вектор длин стержней pr-вектор проекций ALFA-вектор направляющих косинусов c-вектор координат узлов p-вектор внешней нагрузки sz-прямоугматрица s n-вектор номеров строк которые нужно удалить из sz и p sp-матрица СЛАУ Q-вектор правой части СЛАУ ) scmas1 stmas2 dlQbxmas7 prALFAmas5 szmas3 cmas6 spaa1mas4 pmas8 nmas9 const ( задание структурной матрицы ) kscmas1=(( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) (-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
45
( 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1)) ( Задание значений вектора координат узлов ) kcmas6=((00 40) (00 00) (30 40) (30 00) (60 40) (60 00) (90 40) (90 00) (120 40) (120 00)) ( Задание значений вектора внешней нагрузки ) kpmas8=(0000000000000-8000000) ( Номера уравнений которые нужно удалить ) knmas9=(3420) procedure gauss const n=nel число линейных уравнений var linteger rreal begin1 (ввод матриц aa1bx ) a=sp b=q a1=a x=b l=0 (прямой ход метода Гаусса ) for i=1 to n do ( поиск главного элемента в i-ом столбце ) begin2 k=i r=abs(a1[ii]) for j=i+1 to n do
46
begin3 if abs(a1[ji])gtr then begin4 k=j r=abs(a1[ji]) end4 end3 if rltgt0 then begin5 if kltgti then begin6 ( перестановка i-го и k-го уравнений ) r=x[k] x[k]=x[i] x[i]=r for j=i to n do begin7 r=a1[kj] a1[kj]=a1[ij] a1[ij]=r end7 end6 ( исключение i-го неизвестного ) r=a1[ii] x[i]=x[i]r for j=i to n do a1[ij]=a1[ij]r for k=i+1 to n do begin8 r=a1[ki] x[k]=x[k]-rx[i] for j=i to n do a1[kj]=a1[kj]-ra1[ij] end8 end5 else
47
begin9 writeln(определитель системы равен нулю) l=1 i=n+1 end9 end2 if l=1 then writeln ( обратный ход метода Гаусса ) for i=n-1 downto 1 do for j=i+1 to n do x[i]=x[i]-a1[ij]x[j] writeln(Решение СЛАУ) for i=1 to n do writeln(x[i]=x[i]52) readln end1 BEGIN начало основной программы clrscr sc=ksc c=kc p=kp n=kn ( обнуление матрицы проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do pr[ij]=00 ( транспонирование матрицы sc ) for i=1 to nuz do for j=1 to nel do st[ji]=sc[ij] ( определение вектора проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to nuz do begin if st[ij]ltgt0 then begin pr[i1]=pr[i1]-st[ij]c[j1] pr[i2]=pr[i2]-st[ij]c[j2] end end
48
( вывод значений вектора проекций pr ) writeln(Значения вектора проекций pr) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(pr[ij]51) writeln end writeln readln ( вычисление длин стержней ) for i=1 to nel do dl[i]=sqrt(sqr(pr[i1])+sqr(pr[i2])) ( вывод значений длин стержней ) writeln(Значения длин стержней dl) for i=1 to nel do write(dl(i1)=dl[i]11 ) writeln readln ( определение вектора направляющих косинусов ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do ALFA[ij]=pr[ij]dl[i] ( вывод значений направляющих косинусов ) writeln(Значения направляющих косинусов ALFA) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(ALFA[ij]51) writeln end writeln readln ( обнуление матрицы sz ) for i=1 to nuz2 do for j=1 to nel do sz[ij]=00 for j=1 to nel do for i=1 to nuz do begin if sc[ij]=1 then begin sz[2i-1j]=ALFA[j1] sz[2ij]=ALFA[j2]
49
end if sc[ij]=-1 then begin sz[2i-1j]=-ALFA[j1] sz[2ij]=-ALFA[j2] end end ( вывод матрицы sz ) writeln(Значения элементов матрицы sz) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nuz2 do begin write(i2)) for j=1 to nel do write(sz[ij]41) writeln end writeln readln i1=0 for i=1 to nuz2 do begin 1 if (i=n[1])or(i=n[2])or(i=n[3]) then goto 1 else begin2 i1=i1+1 writeln(i=i1 i1=i11) for j=1 to nel do sp[i1j]=sz[ij] q[i1]=-p[i] end2 1end 1 readln ( вывод матрицы sp ) writeln(Значения элементов матрицы sp) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nel do begin
50
write(i2)) for j=1 to nel do write(sp[ij]41) writeln end writeln readln writeln(Значения элементов правой части -Q уравнений) for i=1 to nel do write( i1)q[i]43) writeln readln GAUSS END
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляются аналогично с учетом их особенностей (см п11)
51
2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений
Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-нонических уравнений имеет вид
=
+
sdot
0
00
2
1
2
1
21
22221
11211
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΚ
nP
P
P
nnnnn
n
n
R
RR
z
zz
rrr
rrrrrr
или RrZ + RP = 0
21) где Rr ndash матрица реакций во введенных дополнительных
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-зей
RP ndash вектор реактивных усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки
Z ndash вектор неизвестных перемещений Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам
sum intsum intprime
minus==EI
dsMMR
EIdsMM
r iPiP
kiik
где ki MM - изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-ных связей 1 =ki ZZ
MP ndash изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе соответствующей исходной системе
Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по
формулам Rr = MT
edBMed (22)
52
RP = - MTedBM
P (23) где Med ndash матрица влияния изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z1 = Z2 = hellip = Zn =1 Эта матрица со-держит n столбцов и m строк Число n равно числу единичных перемещений а m - числу сечений в которых вычисляются внутренние усилия Верхний индекс laquoТraquo в формулах (22) и (23) обозначает операцию транспонирования
B ndash матрица податливости отдельных не связанных эле-ментов
MP ndash вектор изгибающих моментов в любой статически
определимой системе от внешних сил Решая матричное уравнение (21) с учетом (22) и (23) по-
лучим вектор неизвестных Z = - R-1
rRP = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) (24)
Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле M = MedZ + MP (25)
или с учетом (24)
M = Med (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) + MP (26)
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad
Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы (рис21) Считаем что жесткости всех стержней рамы равны
EI = const Примем условно EI = 1
53
Рис 21
Решение Основная система метода перемещений (рис22)
Рис 22
Построим единичные и грузовые эпюры метода перемеще-ний
54
55
Вычисления проводим в среде Mathcad
EI 1= L 3= q 2=
56
Матрица подат-
ливости B рамы пред-ставляет собой квази-
диагональную матрицу состоящую из че-тырех матриц bi (i = 1234 - номера участков)
Med
0667minus
0333
0333
1333
1minus
05minus
0
0
0
0667
0
0
0667minus
0
0
0
0
0333minus
= MedEI
L2
2minus Lsdot
L
L
4 Lsdot
3minus Lsdot
15minus Lsdot
0
0
0
6
0
0
6minus
0
0
0
0
3minus
sdot=
MPq L2sdot
16
1
1minus
1minus
1
2
1minus
0
0
0
sdot= MP
1125
1125minus
1125minus
1125
225
1125minus
0
0
0
=
b1L
2 6sdot EIsdot
2
1
1
2
sdot= b2L
12 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
57
Так как на 4-ом участке один из концевых моментов всегда
равен 0 что соответствует шарнирному прикреплению этого участка к заданной раме то порядок матрицы податливости b4 можно понизить до первого
Существует также возможность понижения порядка мат-
риц входящих в выражение для результирующего вектора мо-ментов (26)
Заметим что для любой эпюры в сечениях 2 и 3 (рис22) являющихся границами участков 1 и 2 соответственно значения моментов одинаковы Это дает возможность сдвинуть блок b2 вверх по главной диагонали матрицы B сократив на единицу ранг квазидиагональной матрицы При этом совпавшие элемен-ты на главной диагонали суммируются
Далее в матрицах моментов Med MP и MP необходимо
избавиться от повторения строк соответствующих сечениям 2 и 3 вычеркнув одну из них Например в каждой матрице вычерк-
b3L
6 EIsdot
1
0
0
0
4
0
0
0
1
sdot= b4
L6 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
58
нем строку значений моментов в сечении 3 понизив тем самым порядок этих матриц на 1
Здесь M1P - обозначение в пакете Mathcad вектора М
Р Вычисляем матрицу реакций (22)
Вектор свободных членов (23)
Находим вектор неизвестных Z (24)
Rr MedT Bsdot Medsdot= Rr
2333
0667minus
0667minus
0556
=
RP MedTminus Bsdot M1Psdot= RP
1125minus
15minus
=
Z Rr( ) 1minusminus RPsdot= Z
1908
4989
=
59
Построение эпюры окончательных изгибающих моментов
(25)
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений
60
H = Med
TmiddotB ndash вспомогательная матрица
начало
N k
Ввод M0
Ввод B
Ввод Mp
Ввод M
I =1k
J =1N
MT[JI]=M0[IJ]
1
Обозначения N ndash кол-во неизвестных k ndash кол-во сечений М0 ndashматрица ед мо-ментов Мр-матрица грузовых моментов М
р М-матрица Мр МТ-трансп ед мат-рица В-м-ца подат-ливости
61
A = Med
TmiddotBmiddotMed ndash матрица реакций Rr C = Med
TmiddotBmiddotMP ndash вектор реактивных усилий в доп связях
RP
I = 1N
J = 1k
L = 1k
H[IJ]=H[IJ]+MT[IL]B[LJ]
I = 1N
J = 1k
L = 1k
A[IJ]=A[IJ]+H[IL]M0[LJ]
2 3
1 Выч H=MedTmiddotB
62
L=1k
C[I]=C[I]+H[IL]MP[L]
3
I=1N-1
J=I+1N
A[JI]=-A[JI]A[II]
Kk=I+1N
A[Jkk]=A[Jkk]+A[JI]A[Ikk]
C[J]=C[J]+A[JI]C[I]
4
X[N]=C[N]A[NN]
Обратный ход метода Гаусса
Реш СЛАУ
63
4
I=N-11-1
Q=C[I]
J=I+1N
Q=Q-X[J]A[IJ]
X[I]=QA[IJ]
I=1N
Печать X[I]
Вычисление вектора M[I]
I=1k
Конец
Печать вектора перемещений Z
64
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal (РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ М ПЕ-РЕМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ) PROGRAM RAMA_MP CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ И СЕЧЕНИЙ) N=2 M=9 () TYPE MASS = ARRAY[1M 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1M 1M] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1M] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1M] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR B1MASS FMASS1 BT1CMASS2 DMASS3 S0PS0P1SPCS0PMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) CONST KB1MASS= (( -0667 0667) () ( 0333 0 ) () ( 0333 0 ) () ( 1333 -0667) () ( -1 0 ) () ( -05 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 -0333)) ()
65
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) KFMASS1= ((05 025 0 0 0 0 0 0 0 ) () (025 05 0 0 0 0 0 0 0 ) () (0 0 05 025 0 0 0 0 0 ) () (0 0 025 05 0 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 05 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 2 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 05 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 0 1 05) () (0 0 0 0 0 0 0 05 1 )) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) KS0PMASS4= (1125-1125-11251125 225 -1125 0 0 0) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) KS0P1MASS4=(45 0 0 0 0 -225 0 0 0) () BEGIN (ВВОД МАТРИЦЫ ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) B1=KB1 WRITELN(МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( B1[IJ]116) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) F=KF WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO M DO WRITE( F[IJ]63) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P=KS0P
66
WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P1=KS0P1 WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P1[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO M DO FOR J=1 TO N DO BT1[JI]=B1[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO M DO FOR L=1 TO M DO C[IJ]=C[IJ]+BT1[IL]F[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO M DO D[IJ]=D[IJ]+C[IL]B1[LJ] FOR L=1 TO M DO CS0P[I]=CS0P[I]+C[IL]S0P1[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN D[JI]=-D[JI]D[II] FOR KK=I+1 TO N DO D[JKK]=D[JKK]+D[JI]D[IKK] CS0P[J]=CS0P[J]+D[JI]CS0P[I] END
67
X[N]=CS0P[N]D[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN Q=CS0P[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]D[IJ] X[I]=QD[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА МОМЕНТОВ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN CS0P[I]=0 FOR J=1 TO N DO CS0P[I]=CS0P[I]+B1[IJ]X[J] SP[I]=CS0P[I]+S0P[I] WRITELN(I2 SP[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
Заметим что матричный алгоритм расчета статически не-определимых рам методом сил аналогичен изложенному алго-ритму метода перемещений и осуществляется с учетом формул
X = - A-1
δ∆P = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) M = Med X + MP где Aδ ndash матрица единичных перемещений ∆P ndash вектор гру-
зовых перемещений Med ndash матрица единичных моментов MP ndash вектор грузовых моментов для основной системы метода сил B ndash матрица упругих податливостей стержней рамы
68
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил Выведем основные матричные соотношения для расчета
статически неопределимых ферм [1 4] Пусть для стержневой системы определена степень стати-
ческой неопределимости n и выбрана основная система Запи-шем систему канонических сил в матричном виде
0=∆+ PXAρ
δ (27)
где δA - матрица единичных перемещений
=
nnnn
n
n
A
δδδ
δδδδδδ
δ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ
21
22221
11211
(28)
ijδ - перемещение в основной системе по направлению си-
лы Хi вызванное единичной силой jX действующей по на-
правлению Хj При этом jiij δδ =
=
nX
XX
XΜ
ρ 2
1
-вектор неизвестных усилий ме-
тода сил
(
29)
∆
∆∆
=∆
nP
P
P
P Μ
ρ 2
1
- вектор грузовых перемещений
в основной системе
(
210)
69
Элементы iP∆ представляют собой перемещения в на-правлениях Хi (i = 12hellipn) возникающие под действием задан-ных внешних сил в основной системе
Если рассматриваются несколько вариантов нагружений то необходимо заменить векторы X
ρ и P∆
ρ соответственно на
матрицы
=
nn XXX
XXXXXX
X
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
2221
1211
21
21
21
22
11
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=∆
nPnP
PP
PP
P
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
где k ndash число вариантов нагружения При расчете статически неопределимых ферм на действие
неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и сво-бодные члены уравнений метода сил определяются соответст-венно по формулам
sum=ii
ikiik AE
lNNδ sum=∆
ii
iPiiP AE
lNN
(211)
где ki NN - продольные усилия в стержнях основной
системы от сил Pki NXX 11 == - продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки В формулах (211) суммирование распространяется на все стержни фермы
Усилия Pki NNN можно определить либо обычными способами либо с помощью матричных вычислений (см п12)
Матрицы δA и P∆ρ
с учетом формул (211) записываются в виде
едФTед NDNA
ρρ=δ
70
PФTедP NDN
ρρ=∆ (
212) где Pед NN
ρρ - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
ничных сил и от внешней нагрузки соответственно ФD - диаго-нальная матрица причем элемент этой матрицы расположенный на пересечении i-й строки и столбца i определяется как li(EiAi) где li ndash длина стержня i фермы а EiAi ndash его жесткость Значок (Т) обозначает операцию транспонирования вектора
Связь между окончательными значениями продольных сил Nρ
в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-лий в основной системе устанавливается векторным выражением
Pед NXNNρρρρ
+= (213)
Вектор Xρ
можно выразить из уравнения (27) 1
PAX ∆minus= minus ρρδ
Подставляя это равенство в (213) с учетом (212) оконча-тельно получим
)()( 1PедФ
TедедФ
Tедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+minus= minus (
214) Эта формула может быть использована для построения ли-
ний влияния усилий в статически неопределимой ферме Для этого вектор PN
ρ должен быть заменен соответствующей матри-
цей столбцы которой характеризуют усилия в статически опре-делимой основной системе при расположении единичных сил в узлах грузового пояса фермы
221 Пример расчета фермы методом сил Для статически неопределимой фермы (рис23а) опреде-
лить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния уси-лий в стержнях 1 8 2 если единичный груз перемещается по ее нижнему поясу Считать что стержни фермы изготовлены из одного материала а сечения их одинаковы
71
)
)
)
72
)
)
Рис23
Выполнение расчета 1 В заданной ферме узлов ndash 8 стержней ndash 13 опорных
стержней ndash 4 значит по формуле w = 2sdotУ-C-Co
где У ndash число узлов фермы С ndash число внутренних стерж-ней фермы Со ndash число опорных стержней
может быть определена степень свободы системы те w = 2sdot8-13 ndash4 = -1lt 0
Следовательно исходная ферма имеет одну лишнюю связь и является однажды статически неопределимой
Выбираем основную систему изображенную на рис23б Заметим что основную систему можно выбрать и по-другому например отбрасывая один из внутренних стержней
73
2 Пронумеруем стержни фермы так как показано на рис23аб и определим усилия в основной системе от единич-ной силы (рис23б) и от внешней нагрузки (рис23в) Для этого могут быть использованы способы расчета ферм изложенные в [12]
3 Используя результаты расчета составим векторы еди-ничной Nед и грузовой PN
ρ продольных сил
13121110987654321
д =еNρ
minusminusminus
minus
07070070700505050507070117070
13121110987654321
=PNρ
minus
minusminusminusminus
55335
5335
512512512512717
1515
717
74
4 Вычислим длины стержней фермы и запишем матрицу
ФD упругих податливостей элементов фермы l1 = l10 = l12 = l4 = 141sdotd l2 = l3 = l5 = l6 = l7 = l8 = l9 = l11 = l13
= d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=
100000000000004110000000000000100000000000004110000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000041100000000000001000000000000010000000000000411
13121110987654321
EAdDФ
5 Проводим последовательность матричных операций в
соответствии с формулой (214)
75
[ ]TPф EAdND 5555551251251251225151525 minusminusminusminusminussdot=
ρ
497)2530442()]512
512512512(50)1515(1)552525(7070[)( Тед
EAd
EAd
EAdNDN PФ
=++=+
++sdot++sdot++++sdot=ρρ
1
едед )( minusNDN ФT
ρρ)( ед PФ
T NDNρρ
=0172 7216497 =sdotEAd
dEA
едN-ρ
1едед )( minusNDN Ф
Tρρ
)( ед PФT NDN
ρρ=
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminus
0811
0811
0368368368368811716716811
В результате получаем вектор усилий в исходной ферме (рис23а)
76
minusminus
minus
minus
minus
=
++minusminus+minus++minus+minus+minus+minus
minusminusminus
minus
=
52785278
5144144144144
957171
95
50533811
50533811
50512368512368512368512368
7178111571615716
717811
13121110987654321
Nρ
6 Приступим к матричным вычислениям для построения линий влияния усилий в стержнях 1 8 2 фермы (рис23а) Для этого найдем усилия во всех стержнях основной системы в слу-чаях когда груз Р = 1 приложен в узлах грузового пояса фермы В нашем примере имеют место 2 случая приложения этого груза (рис23гд) Затем составляем матрицу PN столбцы которой соответствуют каждому из этих случаев Заменим в выражении (214) вектор PN
ρ на полученную матрицу и проведем аналогич-
ные матричные преобразования
77
103035300035035300120750207507025070250013530
05005030061
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=PN
0
05000
050010750075002500250
50050050051
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=EAdND PФ
78
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus
=
++minusminus+minus+++minusminusminus+++minus+minus+minus+minus+minus+minus+minus+minusminusminusminusminusminusminusminusminus
=
0006080
007680
1045700457040042904004290
0608000085900008590006470
13121110987654321
10003530414035304140
00003530414035304140
001025029307502930250293075029307502930250293075029302502930
061414035304140505860505860505860505860
353041400614140
13121110987654321
N
7 Используя 1-ю 8-ю и 2-ю строки матрицы N строим
линии влияния усилий в соответствующих стержнях (рис24)
79
Рис24 222 Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил
Обозначения исходных данных n-количество столбцов в матрице (векторе) k-количество стержней фермы N0-вектор продольных сил от ед
нагрузки в основной ферме деNρ
D-матрица податливостей ФD фермы NP-вектор продольных сил от
внешней нагрузки PNρ
в основной ферме
начало
n=1 k=13
ввод вектора N0
ввод матри-цы D
A A
ввод вектора
i=1k
j=1n
NT[ji]=N0[ij] NT-транспонированная мат-
рица ТедN
DNTH Т DNH
NP-вектор грузовых
продольных сил PNρ
80
81
Рис25 223 Программа для расчета статически неопределимых ферм
B
Решение СЛАУ
CXAρρ
=sdot
печать вектора
реакций Xρ
i=1k
C[i]=0
j=1n
C[i]=C[i]+N0[ij]X[j]
N[i]=C[i]+NP[i]
вывод Nρ
конец
XNC ед
ρρ=
Pед NXNNρρρ
+=
Nρ
ndash вектор результи-рующих продольных сил
82
В соответствии с блок-схемой изображенной на рис25
составляем программу на языке Turbo Pascal
PROGRAM FERMA_MS CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ И СТЕРЖНЕЙ) N=1 K=13 TYPE MASS = ARRAY[1K 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1K 1K] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1K] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1K] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR N0MASS DMASS1 NTHMASS2 AMASS3 NPNCMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ В ОСН ФЕРМЕ) CONST KN0MASS=((-0707) (-1 ) (-1 ) (-0707) ( 05) ( 05) ( 05) ( 05) ( 0 ) ( 0707) ( 0 ) (0707) (0))
83
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ DФ) KDMASS1= (( 564 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0564 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4)) (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСНОВНОЙ ФЕРМЕ) KNPMASS4=( -177-15-15-1771251251251255353-53535) BEGIN (ВВОД ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ) N0=KN0 WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДНАГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( N0[IJ]62) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) D=KD WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO K DO WRITE( D[IJ]62) WRITELN END
84
WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД ВЕКТОРА ГРУЗОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) NP=KNP WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НА-ГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO WRITE( NP[I]62) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO K DO FOR J=1 TO N DO NT[JI]=N0[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO K DO FOR L=1 TO K DO H[IJ]=H[IJ]+NT[IL]D[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO K DO A[IJ]=A[IJ]+H[IL]N0[LJ] FOR L=1 TO K DO C[I]=C[I]-H[IL]NP[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN A[JI]=-A[JI]A[II] FOR KK=I+1 TO N DO A[JKK]=A[JKK]+A[JI]A[IKK] C[J]=C[J]+A[JI]C[I] END X[N]=C[N]A[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN
85
Q=C[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]A[IJ] X[I]=QA[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В ИСХОДНОЙ ФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN C[I]=0 FOR J=1 TO N DO C[I]=C[I]+N0[IJ]X[J] N[I]=C[I]+NP[I] WRITELN(I2 N[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
3 СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии
Рассмотрим расчетную схему линейно-упругого стержня на рис31а Разобъём ось этого стержня на m равных частей (конечных элементов) соединенных между собой в n узлах (рис31б) Продольные перемещения u(x) в произвольной точке элемента будем считать линейными функциями координат (рис31в)
u x x( ) = +α α1 2 (31) или в матричной форме
[ ] [ ]u x x где T( ) = = minus1 1 2α α α α вектор не-известных коэффициентов Здесь значок laquoΤraquo обозначает опера-цию транспонирования переменная х - координата в глобальной системе осей ОХ
Применяя равенство (31) для узлов r s неизвестные пара-
метры α1 и α2 выразим через смещения узлов
rsr
srrrr x
xxuu
uxuminusminus
minus=+= 121 ααα
221sr
srss xx
uuxu
minusminus
=+= ααα
где ur и us смещения узлов r и s элемента е (рис31г)
87
Рис 31
Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(31) получим
u(x) = Nrur+Nsus (32) Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента
88
1ll
xxN
lN r
slXX
rs
ξξ=
minus=minus== minus
(33)
где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см рис31г)
Перепишем (32) в матричном виде u(x)=[N]δе (34)
где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы δe=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е
В каждом элементе е имеются свои функции перемеще-ний которые стыкуются в узловых точках При этом получается непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-ний для всего стержня те при таком выборе функции (33) зна-чения перемещений на концах смежных элементов являются одинаковими (рис31в)
Отметим что коэффициент α1 в (31) соответствует движению элемента е как твердого тела так как выражение для
продольной деформации εpartpart
=ux
содержит только коэффициент
α2 те
2αε =minus
=l
uu sr
Матрица жесткости элемента В состоянии равновесия вектор узловых усилий Fе=fr fs эле-мента е можно выразить через вектор узловых перемещений δe
Fe=[K]eδe (35) где [K]e- матрица жесткости элемента е
В развернутом виде формула (35) для стержневого эле-мента работающего на растяжение и сжатие имеет вид
ff
k kk k
uu
r
s
rre
rse
sre
sse
r
s
=
( ) ( )
( ) ( )
(36)
89
Здесь k rse( ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s
при условии что в узле r смещений нет В дальнейшем где это возможно значок laquo(е)raquo будем опускать
Построим матрицу жесткости элемента е в локальной сис-теме координат Оξ (рис31г) При этом часто используется принцип возможных перемещений в состоянии равновесия стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении δρu равна нулю
R u R u dvV
1 1 2 2 0δ δ δεσ+ minus =intintint (37)
Здесь V - объем элемента R=R1 R2 - вектор сил приложен-ных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним на-грузкам σ ε - нормальное напряжение и относительная линей-ная деформация в произвольном поперечном сечении элемента
Вычислим например коэффициент k22 матрицы жесткости стержня (рис31д) По определению k22=R2 при u1=0 u2=1 Поле перемещений точек элемента вызванное единичным смещением
узла 2 равно ul
( )ξξ
= times1 а напряжения σ = timesЕl
1 Так как
узел 1 закреплен то δu1=0 Пусть δu2- возможное (кинематиче-ски допустимое) смещение узла 2 Тогда возможные перемеще-ния стержня за счет δu2 будут δu(ξ)=(ξl)δu2 а соответствующие деформации δε=(1l)δu2
Из равенства (37) следует
R uul
El
dV ul
EAdV
l
2 22
2 20
11
δδ
δ ξ= =intintint int
или в силу произвола вариации
kl
EAdx EAl
l
22 20
1= =int
Определяя по аналогии остальные коэффициенты получа-ем матрицу жесткости стержневого элемента работающего на растяжение-сжатие
90
[ ]k
EAl
EAl
EAl
EAl
EAle
=minus
minus
=
minusminus
1 11 1
(38)
Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости стержневого элемента
Деформации внутри элемента е связаны с узловыми пере-мещениями его концов δе=[u1u2]т равенством
[ ] [ ]εξξ ξ
= = =du
ddd
N u B ue e e
( ) ( ) ρ ρ
(39)
где [Β]е=d[N]dξ - матрица-строка деформаций компонентами которой являются производные от функций форм по локальным координатам
[ ]B dNd
dNd l le
=
= minus
1 2 1 1ξ ξ
(310)
Приращение потенциальной энергии деформации элемента за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид
[ ]
[ ] [ ]= ==
intintintintintintintintintδεσδ ε
δdVB u E dV
u B E B dV ue e
eT
eT
e eV
VV
( )
(311)
Работа узловых сил [ ] ρF u ue
T= δ δ1 2 на возможных
вариациях перемещений в узлах [ ]δ δ δ ρu u ue
T= 1 2 равна приращению потенциальной энергии деформации (311)
[ ] [ ]δ δ ( ) ρ ρ ρ ρu B E B dV u u Fe
T
V e
T
e e eT
eintintint =
откуда следует ( ) ρ ρF B EBdV ue
Te
V
= intintint (312)
91
где [ ] [ ]k B EBdVе eT
v
= intintint - матрица жесткости стержневого эле-
мента размерности 2х2 Если в (312) модуль упругости Е заменить на соответст-
вующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука то эта формула в принципе справедлива для задач любой размерно-сти и для элементов любого типа
Определение статически эквивалентных узловых усилий Теперь из условия равновесия определим реактивные уси-
лия действующие на стержневой конечный элемент со стороны узлов в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить с обратным знаком
а) действие распределенной нагрузки
Рис 32
Пусть [ ] ρF F Fq q
T= 1 2 - вектор усилий в узлах элемен-
та уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивно-стью q (рис32)
Применим принцип возможных перемещений полная вир-туальная работа заданных внешних и реактивных усилий на со-ответствующих вариациях перемещений элемента находящего-ся в равновесии должна быть равна нулю
q ud F u F uq
l
δ ξ δ δ+ + =int 1q 1 2 20
0
Используя (34) это равенство перепишем в виде
92
q N u N u d F u F uq
l
( )1 1 2 2 1q 1 2 20
0δ δ ξ δ δ+ + + =int
Учитывая чтоN l и N l1 21= minus =ξ ξ а также про-извол вариаций узловых перемещений δu1 δu2 находим
F qN dx jjq j
l
= minus =int0
1 2( )
При q = const имеем ρF ql qlq
e T( ) [ ]= minus minus2 2
Отметим что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной сис-темы координат Оξ
б) действие температуры Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ) Тогда
компоненты вектора узловых сил [ ]TTTeT FFF 21 =ρ
опре-делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации потенциальной энергии деформации элемента
F u F u dvTV
1T 1 2 2δ δ δεσ+ = intintint
Учитывая что σ ξ α ξ ε ξ ξ ξ( ) ( ) ( ) ( ) = minus = = minus +E T du d u l u l u1 1 2 в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
F EAl
T dx jjT
l
= plusmn =intα
ξ( ) ( )0
1 2
При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
[ ] ρF TEA TEAT e
T= minusα α Компоненты F1T F2T направлены вдоль оси Оξ Таким образом полный вектор узловых усилий на элемент
93
[ ]ρF F Fe
T= 1 2 включает силы статически эквивалентные перемещениям элемента распределенной нагрузке и темпера-турному воздействию
[ ] ρ ρ ρ ρF K u F Fe e e q e T e= + + (313)
Этот вектор вычисляется в локальной системе координат
Составление уравнений равновесия бруса Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)
элементов составляются в глобальной системе координат ОХ единой для всех элементов конструкции (рис31а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы В случае одноосного растяжения и сжатия матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локаль-ной и глобальной координатах совпадают
Неизвестные узловые перемещения для ансамбля эле-ментов могут быть определены из уравнений равновесия узлов Например для узла с номером m можно записать
P Fm m ee m
+ minus =isinsum( ) 0 (314)
где Pm - внешняя сосредоточенная сила приложенная к узлу m по направлению оси ОХ
-Fme - усилие действующее на узел m со стороны эле-мента е Сумма в (314) берется по всем элементам содержащим узел m
311 Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии
Стержень изображенный на рис33а находится под дей-
ствием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q и сосредоточенной силы F=ql
94
Требуется построить эпюры перемещений u x( )prime и нор-мальных напряжений σ В расчетах принять ЕА=1
а) б) в) г)
Рис 33
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных эле-
мента с узлами в точках 12345 (рис33б) Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы координат направим вниз по оси стержня
Введем следующее обозначение k EAl
= и покажем все
усилия действующие на каждый конечный элемент и вырезан-ные узлы (рис34)
Расписывая уравнения равновесия (314) для каждого узла в отдельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
95
minus + minus + =
minus + + =
minus + + =
minus + + =
minus + =
2 2 02 4 2 0
2 32
0
22
0
0
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku R qlu ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
или 2 2
2 4 2
2 32
22
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku ql Rku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
minus = minusminus + minus =
minus + minus =
minus + minus =
minus + =
В матричном виде эта система записывается в виде (315)
В клетках обведенных пунктиром и расположенных сверху вниз по главной диагонали указываются вклады жесткостных харак-теристик каждого элемента в соответствии с их нумерацией (рис31б) Здесь k k k k k33 11
3222
34 123= + =( ) ( ) ( ) и тп Аналогич-
но заполняется вектор правой части в которой компоненты на-грузки элемента засылаются по нужным адресам Этот прием формирования глобальной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ реализующих МКЭ
96
Рис 34
(315)
97
или
[ ] K u Qρ ρ=
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной [ ]ρu u u u u u T= 1 2 3 4 5 - вектор неизвестных узловых пере-мещений ρQ - вектор внешних узловых сил
Учет граничных условий Матрица [K] в системе уравнений (315) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (315) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диагонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на к EAl11∆ ∆=
-члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в правую часть системы
В нашем примере система (315) с учетом сказанного может быть записана в виде
EAl
uuuuu
EA lql EA l
qlql
F
1 0 0 0 00 4 2 0 00 2 3 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1
20 50 5
1
2
3
4
5
minusminus minus
minus minusminus
=+
( )( )
∆∆
98
так как ∆ = 0 ЕА = 1 ql = F то
5050
0
1100012100
013200024000001
5
4
3
2
1
=
minusminusminus
minusminusminus
FlFlFl
Fl
uuuuu
Решение полученной системы линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестного вектора перемещений ρu
проведем методом главных элементов в виде таблицы 31
Таблица 31 mi u1 u2 u3 u4 u5 Свободные
члены 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4 -2 0 0 Fl -05 0 -2 3 -1 0 05Fl 0 0 0 -1 2 -1 05Fl 0 0 0 0 -1 1 Fl -05 - - 2 -1 0 Fl 1 - - -1 2 -1 05Fl -05 - - - -1 1 Fl 1 - - 15 - -05 125Fl -033333 - - -05 - 05 125Fl - - - - - 0333
33 166667Fl
Ответ 0 15Fl 25Fl 40Fl 50Fl В результате решения преобразованной системы полу-
чим
99
uFl
Fl
uFl Fl
Fl
uFl Fl Fl
Fl
uFl Fl
Flu
5
3
4
2
1
1 66670 33333
5 0
1 25 0 5 51 5
2 5
0 5 2 5 52
4 02 2 5
41 5
0
= =
=+ times
=
=+ +
=
=+ times
=
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения
4times15Fl-2times25Fl=Fl -2times15Fl+3times25Fl-4Fl=05Fl -25Fl+2times40Fl-5Fl=05Fl -4Fl+5Fl=Fl
Ответ [ ]ρu Fl F l F l F l T= 0 1 5 2 5 4 0 5 0 Линейные деформации каждого элемента вычисляются
по формулам (39) и (310)
ε
ε
ε
ε
(
( )
( )
( )
( )
( )
1)
2
3
4
1 1 015 15
1 1 152 5
15 2 5
1 1 2 54
2 5 4 0 15
1 1
= minus
=
= minus
= minus + =
= minus
= minus + =
= minus
l lFl
EA
FEA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
l lFl EA
Fl EAF
EAF
EA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
= minus + =
45
4 0 5 0
( )
Нормальные напряжения σ в центре каждого элемента равны
100
σ σ σ σ( ( ) ( ) ( ) 1) 2 3 41 5 1 0 1 5 1 0= = = =FA
FA
FA
FA
По результатам вычислений строим эпюры безразмерных пере-
мещений u EAFl
u x= prime( ) и напряжений σ (рис31вг) При по-
строении эпюры σ учитываем что нормальное напряжение на участках стержня где действует постоянная распределенная на-грузка изменяется по линейному закону а на участках где она отсутствует - постоянна
Подбор поперечных сечений бруса Проектировочный расчет проведем в системе Mathcad
Зададим размерности величин в привычном виде
Пусть дано
Тогда внешняя сила F будет равна
Допускаемое нормальное напряжение σadm 160МПаsdot=
Из эпюры на рис33г видно что опасными сечениями бруса являются сечения проходящие немного ниже точек 1 и 3 В этих точках максимальное нормальное напряжение
σmax 20FAsdot=
Из условия прочности при растяжении и сжатии
кН 1000 Nsdot= МПа 106 N
m2sdot=
м m= см 01 msdot=
l 1 мsdot= q 5кНм
sdot=
F q lsdot= F 5 103times N=
101
σmax σadmle находим параметр А площади допускаемого поперечного сече-ния
20F
Aadmsdot σadm
Таким образом при заданном значении σadm 160МПаsdot=
площадь поперечного сечения верхнего участка равна A1=125
см2 нижнего - 0625 см2 Округлим эти значения в большую сторону до значений оканчивающихся на цифры 0 или 5 Тогда для верхних двух участков можно принять А1 = 15 см2
для нижних - А2 = 10 см2 Для круглых поперечных сечений можно вычислить их
диаметры
Расчет вала при действии внешних крутящих моментов проводится аналогично Только в этом случае необходимо вме-
Aadm 20F
σadmsdot= Aadm 625 10 5minus
times m2=
A1 2 Aadmsdot= A1 125 10 4minustimes m2
= A2 Aadm=
d14 A1sdot
π= d1 0013m= d1 15 смsdot=
d24 A2sdot
π= d2 8921 10 3minus
times m= d2 10 смsdot=
102
сто сил рассматривать крутящие моменты а вместо распреде-ленных нагрузок ndash распределенные моменты Неизвестными в уравнениях являются углы φ поворота сечений величины GIk характеризуют жесткости участков вала
32 Пример расчета ступенчатого вала при кручении Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с непод-
вижно закрепленными концами находится под действием внеш-них крутящих моментов M и 4M (рис35)
Требуется
1) составить систему линейных уравнений по МКЭ 2) найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их через M
l и D
103
3) построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных ка-сательных напряжений τmax
4) построить эпюру крутящих моментов Mк 5) при заданном значении допускаемого касательного напряже-
ния τadm=70Мпа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
6) найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
7) составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реализую-щую алгоритм решения задачи
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый вал на 4 конечных элемента с
узлами в точках 12345 (рис35б) Начало координат совмес-тим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы коор-динат направим вправо по оси стержня
Введем следующие обозначения
82
16
16
502
16
4
44
3
33
2
22
1
11
4321
lGI
lGI
lGI
klGI
lGI
k
lGI
lGI
kl
GIl
GIl
GIk
GIGIGIGIGIGI
PPPPP
PPPPPPPPPPP
=sdot
==sdot
==
==sdot===
sdot====
где 410 DIP asymp -полярный момент инерции поперечного сечения вала Покажем все моменты действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис36)
Расписывая уравнения равновесия для каждого узла в от-дельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю не-известными
104
Рис36
=minus+minus=+minus++minus
=minus++minus=+minus++minus
=minusminus
004)(
0)(0)(
0
544
5444333
4333222
3222111
2111
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
105
или
=+minusminus=minus++minus
=minus++minusminus=minus++minus
=minus
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
5444
5444333
4333222
3222111
2111
4)(0)(
)(
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
В матричном виде эта система записывается в виде (316)
minus
minus=
minusminus+minus
minus+minusminus+minus
minus
B
A
MM
MM
kkkkkk
kkkkkkkk
kk
40
)()(
)(
5
4
3
2
1
44
4433
3322
2211
11
ϕϕϕϕϕ
(316)
или [ ] QK
ρρ=ϕ
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной
T][ 544321 ϕϕϕϕϕϕϕ =ρ
- вектор неизвестных узловых углов поворота сечений
Qρ
- вектор внешних узловых крутящих моментов Подставляя выражения для k1 k2 k3 k4 записанные через
жесткости GIp получим систему
106
minus
minus=
minusminusminus
minusminusminusminus
minus
B
A
p
MM
MM
lGI
40
8882416
1617115150
5050
5
4
3
2
1
ϕϕϕϕϕ
Учет граничных условий Предположим что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах
вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2 Тогда с учетом ска-занного в п 311 система (316) может быть записана в виде
∆times∆timestimes+minus
∆times+minus∆
=
minusminusminus
minus
2
2
1
1
5
4
3
2
1
)()(804
0)(50
)(
100000241600016171000151000001
lGIlGIM
lGIMlGI
lGI
p
p
p
p
p
ϕϕϕϕϕ
Так как ∆1=∆2=0 то
040
0
100000241600016171000151000001
0
0
5
4
3
2
1
minus
minus=
minusminusminus
minus
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
где pGIlM times
=0ϕ - обозначение
107
Так как ϕ1=ϕ5=0 то решаем 234 уравнения методом Гаус-са в виде таблицы 32
Таблица 32
mi ϕ2 ϕ3 ϕ4 Свобод-ные члены
1 15 -1 0 -ϕ0 -23 -1 17 -16 0 0 0 -16 24 -4ϕ0 1 0 493 -16 (-23)ϕ0 -4849
0 -16 24 -4ϕ0
0 40849 (-22849)ϕ0
Ответ (-1817)ϕ0 (-1017)ϕ0 (-1934)ϕ0 В результате решения преобразованной системы получим
5588203419
40849
49228
000
4 ϕϕϕ
ϕ primeminus=minus=sdotminus=
5882301710)
349()
341916
32( 00003 ϕϕϕϕϕ minus=minus=sdotminusminus=
0588211718
511710
00
00
2 ϕϕϕϕ
ϕ minus=minus=sdotminusminus
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного ре-
шения в исходные уравнения 15times(-105882ϕ0)-1times(-058823)=-ϕ0 -1times(-105882ϕ0)+17times(-058823ϕ0)-16times(-055882ϕ0)=0 -16times(-058823ϕ0)+24times(-055882ϕ0)=-4ϕ0
Ответ ϕ1=0 ϕ2=-105882ϕ0 ϕ3=-058823ϕ0 ϕ4=-055882ϕ0 ϕ5=0
или в векторном виде
108
T
minusminusminus= 0
3419
1710
17180 000 ϕϕϕϕ
ρ
Угловые деформации и максимальные касательные напря-жения в сечениях каждого элемента вычисляются по формулам
11
11
)(max
)(
sdot
minus=
sdot
minus=
K
He
K
He
llGR
llR
ϕϕ
τ
ϕϕ
γ
где R ndashрадиус поперечного сечения элемента e вала ϕH и ϕK ndash соответственно углы поворота левого и правого концов конечного элемента в глобальной системе координат
Тогда максимальные касательные в каждом элементе рав-ны
7941226117
76
03419
21
21
2941206117
8
34191710
11
3529422017
8
17101718
112
6470622017
9
17180
21
21
2
330)4(
max
33
0
0)3(
max
33
0
0)2(
max
330
)1(max
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
=sdot=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
minus=sdotminus=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕτ
109
Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов [ ]TKH
ek MMM =
ρ в каждом элементе е по формуле
[ ]
sdot
minus
minussdot=sdot=
K
Hpeeek l
GIkM
ϕϕ
ϕ1111)()()( ρρ
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и пра-
вом концах конечного элемента МН и МК ndash крутящие моменты на левом и правом концах
элемента соответственно
470590470590
55882058828055882058828016
558820588230
111116
470590470590
588230058821588230058821
588230058821
1111
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
0)3(
0
0
0)2(
0
0
2
2
2
1)1(
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
pK
p
pK
p
ppK
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ρ
ρ
ρ
110
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)3(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)4(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
ных углов поворота 0ϕϕ
касательных напряжений MD3
max sdotτ
и крутящих моментов MKM (рис37) Подбор сечений вала (проектировочный расчет) Пусть дано М=2 кНм τadm=70 Мпа ndash допускаемое каса-
тельное напряжение для стали Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по
модулю значение
3)4(
maxmax 794122DM
== ττ
Из условия прочности при кручении τmax le τadm
находим диаметр D
admDM τ=3794122
111
сммMDadm
adm 3141070
1027941227941223
6
3
3 =sdot
sdotsdot=
sdot=
τ
Рис 37
Таким образом при заданном значении τadm=70 Мпа оп-ределили диаметр Dadm из расчета на прочность Теперь округ-лим его до значения оканчивающегося на цифру 0 или 5 (в большую сторону) те в нашем случае диаметры первых двух участков вала можно принять равным D=45 мм а диаметры остальных участков 2D=90мм
Найдем максимальный угол поворота сечений ϕmax при-няв l=05м модуль сдвига для стали G=08105 Мпа М=2кНм IP=01D4
058821 02max ϕϕϕ ==
805321
)1054(10108050102
4211
3
0 =sdotsdotsdotsdot
sdotsdot=
sdotsdot
= minusPIGlMϕ
112
032276080532
058821max рад==ϕ
Указания к составлению программ на ЭВМ При численной реализации МКЭ заполнение матрицы же-
сткости [K] и вектора правой части Q ансамбля элементов производится с использованием упомянутого ранее метода пря-мых жесткостей учитывающего вклад каждого элемента в от-дельности по формулам
K k Q F F FIJ ije
e I JJ J jq
e
e JjT
e
e T= = + minus + minus
isin isin isinsum sum sum( )
( ) ( ) ( ) ( ) (317)
Здесь локальные номера ij узлов элемента е должны соответст-вовать глобальным номерам узлов ансамбля IJ Суммы берутся по всем элементам ансамбля содержащим узлы IJ В правые части формул (317) подставляются компоненты матриц жестко-сти и векторов приведенных узловых сил отдельных элементов вычисленные в глобальной системе координат
Рассмотрим более подробно один из вариантов процесса сборки глобальной матрицы жесткости ансамбля элементов
Разбитый на элементы стержень можно полностью описать двумя массивами - глобальными координатами узлов xi и матри-цей индексов элементов
Последний из них позволяет установить связь элементов друг с другом Под набором индексов данного элемента будем понимать глобальные номера узлов элемента выписанные в по-рядке возрастания их локальных номеров С помощью матрицы индексов обычно проводят сборку глобальной матрицы жестко-сти в виде двумерного массива SGL(neqneq) где neq -число сте-пеней свободы дискретной модели стержня Обозначим через IT(nsenel) матрицу индексов где nse - число степеней свободы элемента nel - количество элементов дискретной модели SE(nsense) - матрица жесткости элемента Алгоритм сборки со-стоит в том что для каждого элемента попарно следует пере-брать все индексы данного к-го элемента (включая и тот случай
113
когда индекс образует пару сам с собой) Пара локальных номе-ров IJ дает адрес (те строку и столбец) числа которое должно быть выбрано из матрицы жесткости элемента Другая же пара индексов IT(IK) IT(JK) определяет адрес в глобальной матрице жесткости по которому должен быть просуммирован выбран-ный коэффициент матрицы жесткости элемента Так как обра-ботка индексов происходит в порядке возрастания номеров эле-ментов то заполнение глобальной матрицы жесткости происхо-дит случайным образом
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем
МКЭ Блок-схема алгоритма реализующая МКЭ представлена
на рис38 Дадим некоторые пояснения к этому алгоритму На 1-м этапе производится ввод исходных данных (коор-
динат узлов и номеров конечных элементов) и их распечатка (для контроля) Вводится также информация о внешних нагруз-ках граничных условиях механических характеристиках мате-риала отдельных элементов конструкции (блок 2) Заполняются нулями глобальная матрица жесткости и вектор нагрузки (блок 3)
На 2-м этапе в цикле (блок 4) вычисляются матрицы жест-кости (блок 5) и векторы эквивалентных узловых сил для от-дельных элементов (блок 7) которые включаются в глобальную матрицу жесткости К (блок 6) и вектор нагрузки
ρQ (блок 8)
После выхода из цикла в векторе ρQ учитываются компо-
ненты внешних сосредоточенных узловых сил по соответст-вующим степеням свободы (блок 9) В результате завершения 2-го этапа оказывается сформированной матрица и правая часть системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относи-тельно неизвестных узловых перемещений
114
На 3-м этапе производится учет заданных граничных усло-вий (блок10) и решением полученной СЛАУ (блок 11) опреде-ляются неизвестные узловые перемещения
На 4-м этапе в цикле по элементам вычисляются деформа-ции и напряжения в отдельных конечных элементах (блоки 12-15) Общий выход осуществляется в блоке 16
Отметим что при решении больших задач ввиду ограни-ченности памяти ЭВМ матрицу жесткости ансамбля элементов обычно хранят в виде ленты шириной L Величина L равна рас-стоянию от наиболее удаленного ненулевого элемента матрицы до главной диагонали Изменение ширины ленты матрицы мож-но добиться с помощью изменения порядка нумерации узлов
Начало
Ввод исхданных
Обнуление матрицы К и вектора Q
1
1
2
3
115
1
Цикл по элементам
Построение матрицы жесткости элемента в глобальных коорди-натах
Формирование глобальной мат-рицы жесткости системы К
Вычисление эквивалентных узло-вых сил для элемента в глобальных координатах
Формирование глобаль-ного вектора нагрузки Q
Добавление внешних сосредо-точенных сил
2
4
5
6
7
8
9
116
2
Учет граничных условий
Решение СЛАУ
Цикл по элементам
Вычисление внутр сило-вых факторов в локаль-ных осях
Вычисление напряжений Оценка прочности
Печать результатов
Конец
10
11
12
13
14
15
16
Рис38
117
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ Program MCE Uses crt const nue=2 nel=4 число конечных элементов nuz=5 число узлов ансамбля элементов ndis=1число узловв которых заданы перемещения type mas1=array[1nel] of real mas3=array[1nel1nue] of integer mas5=array[1nue1nue] of real mas7=array[1nuz1nuz] of real mas8=array[1nuz] of real mas9=array[1ndis] of integer mas10=array[1ndis] of real mas12=array[1nue] of real mas14=array[1nel1nue] of real var ielijinteger ardleedeforsigmamas1 nugmas3 semas5 sglmas7 rezmas8 nsdmas9 dismas10 r1mas12 bbrzmas14 const kdlmas1=(10101010) keemas1=(10101010) knugmas3=((12) (23) (34) (45)) knsdmas9=(1) kdismas10=(00) karmas1=(20201010) procedure MEL var j1k1l1integer
118
eflq0psreal begin efl=ee[iel]ar[iel]dl[iel] for j1=1 to nue do for k1=1 to nue do se[j1k1]=00 se[11]=efl se[12]=-efl se[21]=-efl se[22]=efl for j1=1 to nue do begin writeln for k1=1 to nue do write(se[j1k1]51) end readln readln(q0) r1[1]=05q0dl[iel] r1[2]=05q0dl[iel] for j1=1 to nue do write( r1[j1]53) readln end Procedure MGL var j1k1l1m1n1integer begin for j1=1 to nue do begin l1=nug[ielj1] rez[l1]=rez[l1]+r1[j1] for k1=1 to nue do begin n1=nug[ielk1] sgl[l1n1]=sgl[l1n1]+se[j1k1] end end
119
end Procedure GRAN var i1j1k1l1integer begin for i1=1 to ndis do begin j1=nsd[i1] k1=nsd[i1] for l1=1 to nuz do begin rez[l1]=rez[l1]-sgl[l1j1]dis[i1] sgl[l1j1]=00 end for l1=1 to nuz do sgl[k1l1]=00 sgl[k1k1]=10 rez[k1]=dis[i1] end end Procedure PRAV var k1nqicinteger begin repeat write(Введите номер узла) readln(nq) write(Введите компоненты усилия) read(r1[1]) writeln rez[nq]=rez[nq]+r1[1] until nqgt=nuz end Procedure SISTEM var i1j1k1l1integer x1array[1nuz] of real q1real begin for i1=1 to nuz do for j1=i1+1 to nuz do
120
begin sgl[j1i1]=-sgl[j1i1]sgl[i1i1] for k1=i1+1 to nuz do sgl[j1k1]=sgl[j1k1]+sgl[j1i1]sgl[i1k1] rez[j1]=rez[j1]+sgl[j1i1]rez[i1] end x1[nuz]=rez[nuz]sgl[nuznuz] for i1=nuz-1 downto 1 do begin q1=rez[i1] for j1=i1+1 to nuz do q1=q1-x1[j1]sgl[i1j1] x1[i1]=q1sgl[i1i1] end l1=0 for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do begin l1=l1+1 rz[ielj1]=x1[l1] end l1=l1-1 end writeln(Массив перемещений разделенный по узлам) for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do write( rz[ielj1]53) writeln end end Procedure STRESS var j1integer begin for iel=1 to nel do begin1
121
defor[iel]=00 sigma[iel]=00 for j1=1 to nue do begin2 if j1=1 then bb[ielj1]=-1dl[iel] else bb[ielj1]=1dl[iel] defor[iel]=defor[iel]+bb[ielj1]rz[ielj1] end2 sigma[iel]=defor[iel]ee[iel] end1 for j1=1 to nel do write(j13)sigma[j1]54) writeln end
Begin clrscr dl=kdl nug=knug nsd=knsd dis=kdis ar=kar ee=kee for i=1 to nuz do begin rez[i]=00 for j=1 to nuz do sgl[ij]=00 end for iel=1 to nel do begin MEL MGL end PRAV GRAN SISTEM STRESS end
122
35 Расчет рам методом конечных элементов Матрица жесткости балочного элемента конструкции Рассмотрим расчетную схему линейно-упругой рамы в глобаль-ных (общей для всей системы) осях координат xyz (рис39а)
Рис 39
Разобъем ось этой рамы на m частей (конечных элемен-
тов) соединенных между собой в n узлах (рис39а) Каждому элементу под номером е поставим в соответствие систему ло-кальных осей координат xyz (рис39б) Рассмотрим в плоско-сти xy деформацию поперечного изгиба элемента На концах этого элемента укажем векторы узловых перемещений
[ ]Te uuuuu 4321)( =
ρ и узловых усилий [ ]Te RRRRR 4321
)( =ρ
Нумерация и положительные направ-ления компонентов этих векторов показаны на рис39б Связь
123
между ними обеспечивается как известно матрицей жесткости k(e) элемента е
)()()( ][ eee ukR ρρsdot= (318)
В дальнейшем там где возможно значок (е) будем опускать Прогиб балки w(x) в произвольном ее сечении будем считать функцией координаты x в локальной системе осей oxy (рис39б)
)( 34
2321 xxxxw prime+prime+prime+=prime αααα (319)
или в матричной форме [ ] [ ] minus=sdotprimeprimeprime=prime Tгдеxxxxw 4321
32 1)( ααααααвектор неизвестных коэффициентов
Применяя равенство (319) для концевых узлов элемента е
неизвестные параметры α1 α2 α3 α4 выразим через смещения
этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений
проходящих через соответствующие узлы
132332)(
)()0()0(
43221232
4324
34
232132211
ul
ul
ul
ul
lllxd
dwu
llllwuxd
dwuwu
minus+minusminus=rArr++=prime
=
+++===prime
===
αααα
αααααα
4233221341212 ul
ul
ul
ul
+minus+=α
Подставляя в (319) и выполняя преобразования получим
sum=
prime=prime4
1)()(
kkk xEuxw
(320)
где
124
)(23)(
2)(231)(
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
lx
lxxE
lx
lxxE
lx
lxxxE
lx
lxxE
prime+
primeminus=prime
primesdotminus
primesdot=prime
prime+
primesdotminusprime=prime
primesdot+
primesdotminus=prime
-функции перемещений известные под названием функций Эр-
мита Каждая из этих функций Ek(x) характеризует прогиб жест-
ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
направлению k (uk=1) (рис310)
Рис 310
Формулу (320) можно записать в матричном виде
[ ] uxNxw ρsdotprime=prime )()( (321)
где [ ])(xN prime - матрица-строка элементы которой являются функ-
циями локальной координаты х
[ ] [ ])()()()()( 4321 xExExExExN primeprimeprimeprime=prime (322)
125
Запишем теперь дифференциальные зависимости для из-
гиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах
)()(3
3
2
2
xdxwdEIQ
xdxwdEIM
primeprime
sdot=primeprime
sdot=
где М и Q ndash изгибающий момент и поперечная сила в сечении
балки положительные направления которых показаны на
рис39б Так как на концах балки (при x=0 и l) изгибающий
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми
значениями то с учетом их направлений можно записать
)()()()(
)0()0()0()0(
2
2
43
3
3
2
2
23
3
1
lxd
wdEIlMRlxd
wdEIlQR
xdwdEIMR
xdwdEIQR
primesdot==
primesdotminus=minus=
primesdotminus=minus=
primesdot==
Эти равенства с использованием формул (321) можно пе-
реписать в виде
[ ] [ ][ ] [ ] ulNEIRulNEIR
uNEIRuNEIRρρρρ
sdotprimeprimesdot=sdotprimeprimeprimesdotminus=sdotprimeprimesdotminus=sdotprimeprimeprimesdot=
)()()0()0(
43
21
Сравнивая эти соотношения с уравнением (318) запишем
матрицу жесткости элемента в виде
[ ]
primeprimeprimeprimeprimeminus
primeprimeminus
primeprimeprime
sdot=
)()()0(
)0(
lNlN
NN
EIk
или составляя выражения для производных с учетом
(320)(322) получим окончательно
126
[ ]
minusminusminusminus
minusminus
=
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIk
(323)
Отметим что элемент kij этой матрицы численно равен
реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис310)
Определение статически эквивалентных узловых уси-
лий
Пусть на элемент е рамы действует положительная попе-речная распределенная нагрузка интенсивностью q(x) (рис311)
Рис 311
Тогда силовые факторы qR
ρ в узловых сечениях элемента
эквивалентные этой нагрузке можно определить с помощью принципа возможных перемещений
0)()(0
=sdot+ intl
qT dwqRu ξξδξδρρ
(324)
127
Так как sum=
prime=4
1
)(k
kk xEuw δδ то из (324) следует
sum int=
=+4
1 0
0)()(k
l
kkqT dEquRu ξξξδδρρ
Следовательно для j-й компоненты вектора qRρ
получим
формулу
int =minus=l
jjq jdEqR0
)4321()()( ξξξ
При q(x)=const получим T
q qlqlqlqlR
minusminusminus= 22
121
21
121
21ρ
(325)
те компоненты этого вектора фактически являются реак-
тивными усилиями и моментами в балке с защемленными кон-
цами нагруженной распределенной нагрузкой q (рис311) Зна-
ки компонент jqRρ
соответствуют положительным направлениям
степеней свободы на рис39б
Преобразование локальных координат в глобальные
Необходимость в таком преобразовании возникает в связи
с составлением уравнений равновесия для всей конструкции в
целом в глобальной системе координат (рис312)
128
Рис 312
Связь между локальными )( zyxx primeprimeprime=primeρ и глобальными
)( zyxx =ϖ координатами записывается в виде
[ ] xtx ρρsdot=prime (326)
где [ ] )cos()cos()cos(
дтиzxtyxtxxt
ttttttttt
t
zx
yx
xx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
prime=
prime=
prime=
=
prime
prime
prime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
Заметим что [ ]t представляет собой матрицу вращений
локальных осей относительно глобальных
Если известны глобальные координаты концов ij элемента
балки то направляющие косинусы оси x (оси балки) определя-
ются по формулам (i lt j)
l
zzt
lyy
tl
xxt ij
zxij
yxij
xxminus
=minus
=minus
= primeprimeprime
129
где 222 )()()( ijijij zzyyxxl minus+minus+minus= - длина эле-
мента
Компоненты матрицы [ ]t должны удовлетворять усло-
виям ортогональности осей координат
00 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime zzzxyzyxxzxxzyzxyyyxxyxx tttttttttttt
0=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzzyyzyyxzxy tttttt
Кроме того между направляющими косинусами еди-
ничных векторов имеются зависимости
11 222222 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzyzxzzyyyxy tttttt
Условие ориентации относительно глобальной оси оу
главной центральной оси инерции сечения элемента oy записы-
вается в виде (рис312)
)cos(γ=primeyyt
В общем случае нагружения нумерация и положительные
направления узловых параметров (обобщенных перемещений и
усилий) элемента laquoеraquo в локальных осях xyz показаны на
рис313
130
Рис 313
Считаем что локальная система координат направлена от
узла с меньшим номером к узлу с большим номером по глобаль-
ной нумерации узлов всей конструкции В глобальных осях xyz
порядок нумерации и направления узловых параметров изобра-
жены на рис314
Рис 314
Согласно рис313 314 обозначим через
131
Tuuuu ][ 1221 primeprimeprime=prime Κρ и Tuuuu ][ 1221 Κϖ= векторы узловых пе-
ремещений элемента в локальных и глобальных координатах
соответственно Тогда связь между ними можно задать в виде
формулы
uTu ρρ ][=prime (327)
где [Т] ndash ортогональная матрица преобразования координат
([Т]-1=[Т]Т) Вид ее однозначно определяется из равенства (327)
и имеет блочно-диагональную структуру
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
=times
tt
tt
T1212
(328)
Каждый блок [ ]33times
t выполняет преобразование над поступа-
тельными или вращательными компонентами одного узла В ча-
стности для плоской рамы матрица преобразований имеет вид
[ ]
=
primeprime
primeprime
primeprime
primeprime
1000000000000000010000000000
yyxy
yxxx
yyxy
yxxx
tttt
tttt
T
(329)
Компонентами этой матрицы являются направляющие ко-
синусы между соответствующими осями локальной и глобаль-
132
ной систем координат
)()(
)cos()cos(
)(
)cos()(
)cos(
22ijij
xxyyyxxyyyxy
ijyx
ijxx
yyxxl
ttttyytxytl
yyyxt
lxx
xxt
minus+minus=
=minus=prime=prime=
minus==
minus=prime=
primeprimeprimeprimeprimeprime
primeprime
(330)
Заметим что угловые перемещения uiz и ujz при повороте
координат в плоскости изгиба не изменяются поэтому на соот-
ветствующих местах матрицы стоят единицы
Пусть Ru Tρρ
δ - работа узловых сил Rρ
на возможных пере-
мещениях uρδ в глобальной системе координат а Ru T primeprimeδρρ - рабо-
та узловых сил Rprimeρ
на возможных перемещениях u primeρδ в локаль-
ной системе координат Поскольку работа не зависит от того в
какой системе производятся вычисления то можно записать
RuRu TT primeprime=ρϖρϖ δδ Так как согласно (327) TTT Tuu ρρ δδ =prime то
RTuRu TTT prime=ρϖρϖ δδ Ввиду произвольности вектора Tuρδ получим
RTR T prime=ρρ
][ (331)
Учитывая (318) и (331) можно записать
uTkTukTR TT primeprime==ρρρ
][][][][][
Следовательно преобразование матрицы жесткости эле-
мента выполняется по матричной формуле
[ ] [ ] ][][ TkTk T sdotprime= (332)
133
Составление уравнений равновесия для стержневой
системы
Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат xyz единой для всех элементов конструкции (рис39а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы
Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной системе координат xyz Обозначим через ui вектор перемещений типового узла i Число элементов этого вектора равно числу сте-пеней свободы узла Матрицу внешних сил действующих в узле i в направлении перемещений ui обозначим через Ri
Векторы узловых перемещений и сил для всей конструк-ции обозначим
u=[u1u2hellipum]T R=[R1R2hellipRm]T где m ndash число узлов стержневой системы
Если на элемент конструкции действует внеузловая на-грузка то считаем что на узел i этого элемента действует вектор эквивалентной нагрузки R0i число элементов которого равно числу степеней свободы узла Для всей конструкции можно за-писать вектор R0=[R01 R02 hellip R0m]T
Тогда связь между узловыми силами и узловыми переме-щениями может быть представлена в виде равенства
R=Ku+R0 (333) или в развернутой форме
+
sdot
=
0m
0i
01
m
j
1
m
i
1
R
R
R
u
u
u
R
RΜ
Μ
Μ
Μ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚ
Μ
Μ
mmmjm
imiji
mj
kkk
kkk
kkkR
1
1
1111
134
Если предположить что силы действующие в узлах кон-струкции известны то равенство (333) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно компонентов вектора перемещений u
Ku=Q (334) где Q=R-Ro ndashвектор внешних сил Квадратная матрица K систе-мы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ) Эле-менты kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости k(e)
ij отдельных элементов по формуле )321()( mjikk e
ijij Κ==sum (335)
где суммирование выполняется по всем элементам входящим в стержневую систему При этом нужно учитывать то что
0)( =eijk если соответствующий элемент не соединяет узлы i j
Следовательно для получения ОМЖ можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня k(e)
ij распределить по соот-ветствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости поло-жение которых определяется нижними индексами и затем про-извести суммирование всех накладывающихся элементов
При формировании вектора Q в уравнении (334) можно воспользоваться аналогичным правилом
sum= )(eii QQ (336)
где суммирование производится по всем элементам сходящимся в узле i Описанный прием формирования объединенной матри-цы жесткости и вектора правой части называется методом пря-мых жесткостей и используется при составлении программ реа-лизующих МКЭ
Отметим что в матрице К все ненулевые элементы сгруп-пированы вблизи главной диагонали те образуют своеобразную ленту Ширину этой ленты можно определить по формуле
yee
ennnL sdot+minus= ]1)(max[ )(
min)(
max)( (337)
135
где )(min
)(max ee nn - максимальный и минимальный номера узлов
отдельного элемента по глобальной нумерации ny ndash число сте-пеней свободы в узле максимум берется по всем элементам стержневой конструкции С целью экономии памяти ЭВМ и времени обработки информации матрица K уравнения (333) часто хранится в виде прямоугольного массива размерности NtimesL где N ndash число неизвестных узловых параметров При этом нижний правый треугольник массива дополняется нулями От-метим что чем меньше ширина ленты тем эффективнее работа-ет программа Поэтому необходимо тщательно продумывать глобальную нумерацию узлов системы в то же время порядок нумерации элементов не так важен он определяет только после-довательность заполнения ОМЖ
Определим теперь вектор )(eRρ
узловых силовых факторов в этом элементе laquoеraquo в локальной системе координат oxy В силу формул (318)(327) имеем
)()( ]][[ ee uTkR ρρ= (338)
где )(euρ - вектор узловых перемещений элемента в глобальных координатах оху
Следовательно для вычисления внутренних силовых фак-торов в элементе рамы можно рассмотреть этот элемент отдель-но в виде балки нагруженной на концах вычисленными узловы-ми силовыми факторами По внутренним силовым факторам можно судить о прочности рассматриваемого стержневого эле-мента конструкции
351 Пример расчета плоской рамы Для рамы изображенной на на рис315 построить эпюру
изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1=I Моменты инерции ригелей также одинаковы и равны I2=2I
136
Решение (ручной счет) Примем условно параметр жесткости элемента рамы на
изгиб EI и на растяжение-сжатие EA равными 1 Схема нумера-ции и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис316
Рис 315
Рис 316
Вычислим матрицы жесткости отдельных конечных эле-
ментов в местных координатах направив ось оx от узла с мень-шим номером к узлу с большим номером По формуле (323) имеем
137
654321654321
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)1(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
121110987121110987
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)2(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
151413121110151413121110
333133300667033300333011100333011100001670001670667033300333133300333011100333011100001670001670
)3(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
138
121110654121110654
333166700667066700667044400667044400003330003330667066700333166700667044400667044400003330003330
)4(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
181716121110181716121110
000137500500037500375018700375018700002500002500500037500000137500375018700375018700002500002500
)5(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
Согласно (333) вычислим теперь матрицы жесткости эле-
ментов в глобальной системе координат xyz Используя формулы (332) составляем матрицы преобра-
зования координат Так как для горизонтальных стержней рамы локальные оси совпадают с направлением глобальных осей то матрица Т в этом случае является единичной Для вертикальных стержней
139
minus
minus
=
100000001000010000000100000001000010
T
Производя перемножение матриц по формуле (332) полу-чим для 4-й и 5-й стержней
121110654121110654
333106670667006670033300033300667004440667004440
667006670333106670033300033300667004440667004440
)4()4(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
181716121110181716121110
000103750500003750025000025000375001870375001870
500003750000103750025000025000375001870375001870
)5()5(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
140
Справа от матриц обозначены номера строк а под ними - номера столбцов соответствующие степеням свободы данного стержня Заметим что перемножение матриц при ручном счете удобнее производить в системе Mathcad
Для получения обобщенной матрицы жесткости всей рамы поместим все элементы матрицы жесткости )(e
ijk каждого стерж-ня е в ячейки ОМЖ согласно нижним индексам по формуле (335) и просуммируем все элементы попавшие в одну и ту же ячейку Например
88602500333011101920
29203750667000
99901870444016702000
644044402000
)5(1111
)4(1111
)3(1111
)2(11111111
)5(1210
)4(1210
)3(1210
)2(12101210
)5(1010
)4(1010
)3(1010
)2(10101010
)4(44
)1(4444
=+++=
=+++=
minus=+minus+=
=+++=
=+++=
=+++=
=+=+=
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkk
В результате получим объединенную матрицу жесткости (ОМЖ) прямоугольная лента (18times9) которой имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
2 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
3 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
4 0644 0 0667 0 0 0 -0444 0 0667
5 0525 -0480 0 0 0 0 -0333 0 0
6 2933 0 0 0 -0667 0 0667 0 0
7 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
8 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
9 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
10 0999 0 -0292 -0167 0 0 -0187 0 0375
11 0886 -0147 0 -0111 0333 0 -0250 0 0
141
12 5267 0 -0333 0667 -0375 0 0500 0 0
13 0167 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0111 -0333 0 0 0 0 0 0 0
15 1333 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0187 0 -0375 0 0 0 0 0 0
17 0250 0 0 0 0 0 0 0 0
18 1000 0 0 0 0 0 0 0 0
Векторы узловых сил эквивалентных внешним нагрузкам в глобальной системе xyz координат равны
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000300020000000300020000
000000000000000000000000
083250020000083250020000
181716121110)5(
121110654)4(
151413121110)3(
121110987)2(
654321)1(
T
T
T
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
=
=
minusminusminus=
=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Над элементами этих векторов указаны соответствующие
номера степеней свободы концов каждого стержня которые по-зволяют сформировать вектор правой части Q уравнения (334) с использованием формулы (336)
142
T
Q
minus
minusminus
minusminusminus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300020000
000300020000000000000000
083250020000083250020000
Таким образом получены левая и правая части системы линейных алгебраических уравнений вида (17) где u=[u1u2hellipu18]T- вектор неизвестных узловых перемещений ра-мы
Учет граничных условий Матрица K в системе уравнений (334) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию те
u1= u2 = u8 = u14 = u16 = u17 = u18 = 0 Так как размеры поперечных сечений стержней достаточ-
но малы по сравнению с их длинами то влиянием осевых де-формаций на перемещения в рамах можно пренебречь Поэтому расчет можно несколько упростить если считать что изменение длин элементов равны нулю те дополнительно принять u4 = u5 = u11 =0
Учет заданных перемещений можно произвести следую-щим образом Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (334) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диа-гонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на 11∆k -члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в
правую часть системы
143
Аналогично учитываются и остальные заданные переме-щения Тогда вектор правой части системы (334) преобразуется к виду
T
Q
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300000000
000300000000000000000000
083200000000083200000000
Решая эту систему одним из известных методов например методом Гаусса получим искомый вектор перемещений в гло-бальных осях oxy
T
u
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
Следовательно каждый узел исходной рамы при заданной внешней нагрузке получает перемещения выражаемые вектора-ми
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
TT
TT
TT
uu
uu
uu
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
65
43
21
==
minus==
=minus=
Вычислим теперь соответствующие векторы узловых си-ловых факторов для каждого элемента по формулам (338)
144
[ ][ ][ ][ ][ ] 027901616049605618501616049605
28261161606600279780161606602
000004469100000318735531200000
41761283500000000002835000000
797806596216100000003404216100
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
T
T
T
T
T
R
R
R
R
R
minusminusminusminus=
minusminusminus=
minusminus=
minusminusminusminus=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Используя эти узловые силовые факторы выписываем
формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис317)
Рис 317
M(x) = R2
(1)sdotx ndashqx22 = 2340sdotx ndash05sdotx2 (квадратичная фунция) M(0) = 0 M(5) = 23404sdot5-05sdot25 = -0798 кНм M(25) = 23404sdot25-05sdot252 = 2726 кНм
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке
мxxdx
xdM 342034042)(00 =rArr=minus=
M(234) = 23404sdot234-05sdot2342 = 2738 Q = 23404-qsdotx (линейная функция) Q(0) = 2340 Q(5) = -2660 кН N = 0161 кН
После построения эпюры Q значения продольной силы в стержнях рамы можно также найти вырезанием ее узлов и про-
145
ектированием всех сил на соответствующие оси При этом рас-тягивающая продольная сила считается положительной Окончательные эпюры M Q и N приведены на рис318 319 и 320 Эти эпюры полностью совпадают с эпюрами построенны-ми в [11] методом перемещений
Рис 318
Рис 319
146
Рис 320
352 Расчет рамы в среде Mathcad Решим эту же задачу (рис315) с использованием матема-
тического пакета Mathcad
ORIGIN 1=
l
5
5
6
3
4
= E
1
1
1
1
1
= A
1
1
1
1
1
= I
2
2
2
1
1
= α
0
0
0
πminus
2
πminus
2
=
147
148
se 1( )
02
0
0
02minus
0
0
0
0192
048
0
0192minus
048
0
048
16
0
048minus
08
02minus
0
0
02
0
0
0
0192minus
048minus
0
0192
048minus
0
048
08
0
048minus
16
=
se 3( )
0167
0
0
0167minus
0
0
0
0111
0333
0
0111minus
0333
0
0333
1333
0
0333minus
0667
0167minus
0
0
0167
0
0
0
0111minus
0333minus
0
0111
0333minus
0
0333
0667
0
0333minus
1333
=
149
R e qx qy( )
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qyminus le( )2sdot
12
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qy le( )2sdot
12
= R1 e P( )
0
05minus Psdot
Pminus lesdot
8
0
05minus Psdot
P lesdot
8
=
Q1
0
25minus
2083minus
0
25minus
2083
= Q2
0
0
0
0
0
0
= Q3
0
2minus
3minus
0
2minus
3
= Q4
0
0
0
0
0
0
=
150
T 1( )
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
= T 4( )
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
=
seg e( ) T e( )T se e( )sdot T e( )sdot= Q e( ) T e( ) Qesdot=
151
Составление матрицы индексов
ITT 1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
= IT1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
T=
nue 2= nse 6= neq 18= nel 5=
I 1 neq= J 1 neq= SGLI J 0= QGLI 0=
i1 1 nel= j1 1 3= k1 1 3=
IGi1 k1 ITi1 1 1minus( ) 3sdot k1+= JGi1 k1 ITi1 2 1minus( ) 3sdot k1+=
e 1 nel= i 1 nse= j 1 nse=
seg e i j( ) seg e( )i j= Q1 e i( ) Q e( )i=
SGL MIe i MIe j( ) SGL MIe i MIe j( ) seg e i j( )+=
QGL MIe i( ) QGL MIe i( ) Q1 e i( )+=
QGLT 1 2 3 4 5
1 0 -25 -2083 0 -25=
152
Учет граничных условий
Обновление матрицы системы в соответствии с заданными граничными условиями
i1 1 ndis=
nsd 1 1= nsd 2 2= nsd 3 4= nsd 4 5= nsd 5 8=
nsd 6 11= nsd 7 14= nsd 8 16= nsd 9 17= nsd 10 18=
QGL
j1 nsd i1larr
k1 nsd i1larr
QGLk1 QGLk1 SGLk1 j1 disi1sdotminuslarr
k1 k1 1+larr
k1 neqleif
l1 1 neqisinfor
QGLj1 disi1larr
i1 1 ndisisinfor
QGL
=
QGLT1 2 3 4 5
1 0 0 -2083 0 0=
neq 18=
k1 1 neq=
SGLnsdi1 k1 if k1 nsd i1 1 0( )=
disi1 0=
153
Решение системы уравнений
Векторы перемещений узлов рамы
Перемещения узлов элементов рамы в глобальных осях
minusminus
minusminusminus=
01811841218119391000000501150115011018119391181159102722
0000050110501150110
Ue
SGLk1 nsdi1 if k1 nsd i1 1 0( )=
UT 1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 -2272 0 0 1939 1501=
U SGL 1minus QGLsdot=
u1 0 0 2272minus( )T= u2 0 0 1939( )T=
u3 1501 0 0591( )T= u4 1501 0 1181minus( )T=
u5 1501 0 2841( )T= u6 0 0 0( )T=
k 1 nel= j 1 nse=
Uej k UMI k j=
154
minusminusminusminus
minusminusminusminus
=
02790282610417617978016160161604469128350659620000061850797803187300161601616055312283503404200000
R
Используя эту матрицу можно выписать формулы для
внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис321)
Uel klang rang T k( ) Ue klang rangsdot= Uel
0
0
2272minus
0
0
1939
1501
0
0591
1501
0
1181minus
1501
0
1181minus
1501
0
2841
0
0
1939
0
1501
1181minus
0
1501
1181minus
0
0
0
=
q 1= L l1=
R2 R 1lang rang( )2= R3 R 1lang rang( )
3= R5 R 1lang rang( )5= R6 R 1lang rang( )
6minus=
R2 23404= R3 0= R5 26596= R6 07978=
155
Рис 321 Изгибающий момент M и поперечная сила Q от внешних
сил в сечении х балки
32
2)(2
RxqxRxM +sdotminussdot=
(квадратичная функция)
Значения ординат эпюр в характерных точках
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке х0 Начальное приближение
M(x0) = 2739
Q x( )xM x( )d
d=
n 100= x 0Ln L=
M 0( ) 0= M 25( ) 2726= M L( ) 0798minus=
Q 0( ) 234= Q L( ) 266minus=
x0 root Q x( ) x( )= x0 234=
n 100= x 0Ln L=
156
Для стержня 2
M(x) = R2middotx +R3 (линейная функция)
0 xle l2le L l2= L 5=
R2 R 2lang rang( )2= R3 R 2lang rang( )
3= R5 R 2lang rang( )5= R6 R 2lang rang( )
6minus=
R2 02835minus= R3 0= R5 02835= R6 14176=
Q x( ) R2= const M 0( ) 0= M L( ) 1418minus=
Q 0( ) 0284minus= Q L( ) 0284minus=
x 0Ln L= n 100=
157
Для стержня 3
L l3= F 4=
R2 R 3lang rang( )2= R3 R 3lang rang( )
3= R5 R 3lang rang( )5=
158
R2 25531= R3 33187= R5 14469=
M 0( ) 3319minus= M 3( ) 4341= M 6( ) 0=
Q 0( ) 2553= Q 299( ) 2553= Q 3( ) 1447minus=
n 100= x 0Ln L=
Q L( ) 1447minus=
159
Для стержня 4
(линейная функция )
Для стержня 5
L l4= L 3=
R2 R 4lang rang( )2= R3 R 4lang rang( )
3= R5 R 4lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 07978= R5 01616=
Q x( ) R2= const
Q 0( ) 0162minus= M 0( ) 0798minus= M L( ) 1283minus=
n 100= x 0Ln L=
0 xle l5le L l5= L 4=
R6 12826=
R6 R 4lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=
160
(линейная функция)
Приступим теперь к построению упругой линии элементов рамы Запишем функции Эрмита
R2 R 5lang rang( )2= R3 R 5lang rang( )
3= R5 R 5lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 06185minus= R5 01616=
R6 00279=
Q x( ) R2= const
M 0( ) 0619= M L( ) 0028minus=
n 100= x 0Ln L=
R6 R 5lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=Q 0( ) 0162minus=
161
Функция формы
Формулы для прогибов элементов рамы w(xe)
E2 x L( ) 1 3x2
L2sdotminus 2
x3
L3sdot+= E3 x L( ) x 2
x2
Lsdotminus
x3
L2+=
E5 x L( ) 3x2
L2sdot 2
x3
L3sdotminus= E6 x L( )
x2minus
Lx3
L2+=
162
36 Решение плоской задачи теории упругости в среде
Mathcad Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном
состоянии (НДС) панели с квадратным отверстием посере-дине защемленной по боковым краям при действии сил тяжести Длина и высота панели L=10 м толщина h=1 На краю свободного отверстия задаем нулевые нормальные σn и касательные τn напряжения
Расчет этой задачи проведем методом конечных эле-ментов [1-3] Так как панель имеет две оси симметрии то рассматривается лишь четверть этой панели (рис322) На выделенную часть панели наносится сетка треугольных конечных элементов и указываются способы закрепления граничных узлов в соответствии с граничными условиями Внутри конечного элемента принимается линейная зави-симость перемещений от координат которая обеспечивает непрерывность поля перемещений во всей рассматривае-
163
мой области Деформации материала панели полагаем уп-ругими В каждом узле сетки прикладываем узловую на-грузку которая заменяет силу тяжести рассматриваемой панели
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задание исходных данных
Рис 322
164
Число конечных элементов ансамбля nel = 42 Число узлов ансамбля nuz = 32 neq = nuzmiddotnsu neq = 64
1 - пл напр состояние 2 - плоская деформация Толщина пластины
Упругие постоянные элементов
модуль Юнга
Коэффициент Пуассона
Разбиение области на конечные элементы задание номеров
узлов и КЭ
L 1= n 10= hLn
= h 01=
hx
h
h
h
h
h
h
= hy
h
h
h
h
h
h
=
165
Матрица координат узлов и глобальные номера узлов ансамбля элементов
nx 6= ny 6= nx1 4= ny1 4=
cuz k1 0larr
sx hx1minuslarr
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 nyisinfor
i1 nx1leif
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 ny1isinfor
i1 nx1gtif
i1 1 nxisinfor
cuz
=
cuz
1 2
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0 00 01
0 02
0 03
0 04
0 05
01 0
01 01
01 02
01 03
01 04
01 05
02 0
02 01
02 02
02 03
02 04
02 05
03 0
03 01
03 02
03 03
03 04
=
166
Генерация глобальных номеров узлов элементов ансамбля
nug37 1 25= nug37 2 29= nug37 3 26=
nug38 1 30= nug38 2 26= nug38 3 29=
nug39 1 26= nug39 2 30= nug39 3 27=
167
Формирование матрицы индексов степеней свободы
Формирование матрицы жесткости элемента k
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug42 1 32= nug42 2 28= nug42 3 31=
i 43 50= j 1 3= nug i j 0=
k 1 nel= i 1 3=
k 1 nel= i 1 3=
MIk 2 isdot 1minus 2 nugk isdot 1minus= MIk 2 isdot 2 nugk isdot=
x cuz 1lang rang= y cuz 2lang rang=
a k( )
x nugk 3( ) x nugk 2( )minus
x nugk 1( ) x nugk 3( )minus
x nugk 2( ) x nugk 1( )minus
= b k( )
y nugk 2( ) y nugk 3( )minus
y nugk 3( ) y nugk 1( )minus
y nugk 1( ) y nugk 2( )minus
=
Ak 05
1
1
1
x nugk 1( )x nugk 2( )x nugk 3( )
y nugk 1( )y nugk 2( )y nugk 3( )
= A1 5 10 3minustimes=
168
Матрица деформаций элемента под номером k
Матрица упругости элемента
Матрица жесткости элемента k
Формирование глобальной матрицы жесткости и правой части системы уравнений
i 1 neq= j 1 neq= sgli j 0=
i 1 6= j 1 6= k 1 nel=
169
Учет граничных условий
qtd14 05 Psdot= j1 1 neq=
qtd18 P= qtd20 P= qtd22 P= qtd24 05 Psdot=
qtd26 05 Psdot= qtd28 P= qtd30 P= qtd32 P=
qtd34 P= qtd36 05 Psdot= qtd38 05 Psdot= qtd40 P=
qtd42 P= qtd44 075 Psdot= qtd46 05 Psdot= qtd48 025 Psdot=
qtd50 05 Psdot= qtd52 P= qtd54 P= qtd56 05 Psdot=
qtd58 025 Psdot= qtd60 05 Psdot= qtd62 05 Psdot= qtd64 025 Psdot=
j 1 neq= i 1 rows nsd( )=
qtd jqtd j qtd j sgl j nsdi disisdotminuslarr
i 1 rows nsd( )isinfor= qtd nsdi( ) sgl nsdi nsdi( ) disisdot=
sglnsdi j sgl nsdi j( ) nsd i jif
0 otherwise
= sgl j nsdi sgl j nsdi nsd i jif
0 otherwise
=
qtd j1 0= qtd16 P=
170
Нахождение узловых перемещений
Построение линии прогибов верхней кромки панели
i 1 6= uei k ud MI k i( )=
rz i1 0larr
i1 i1 1+larr
rzj1 k1 udi1larr
j1 1 nsuisinfor
k1 1 nuzisinfor
rz
=
rz2 29 32238= rz2 25 29789= rz2 19 24556=
rz2 13 17509= rz2 7 8945= rz2 1 0=
w1 rz2 29= w2 rz2 25= w3 rz2 19=
w4 rz2 13= w5 rz2 7= w6 rz2 1=
171
Значения прогибов по верхней кромке выреза
Значения прогибов по оси симметрии панели rz224 = 18122
Горизонтальные перемещения по торцу выреза
Определение векторов деформаций и напряжений в эле-менте к
Вычисление главных напряжений и направления главной
площадки в элементе k
rz2 32 3115= rz2 28 29346= rz2 22 22084=
rz2 16 16632= rz2 10 9268= rz2 4 0=
rz2 18 15667= rz2 12 9315= rz2 6 0=
rz1 22 175minus= rz1 23 0734minus= rz1 24 0=
εel klang rang Bk ue klang rangsdot= σel klang rang D εel klang rangsdot=
σel 1lang rang583522
97254
383367
= σel 2lang rang
181125
4388
220592
= σel 3lang rang
178778
29796
389235
=
cck
σel klang rang( )1 σel klang rang( )
2+
2=
ggk
σel klang rang( )2 σel klang rang( )
1minus
2
2
σel klang rang( )3
2+=
172
Определение векторов деформаций и напряжений в узлах ансамбля элементов
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в узлах
σgel1 k cck ggk+= σgel2 k cck ggkminus=
k 1 nel= j 1 nue= i 1 nuz= j1 1 nue=
σ j1 i 0= ε j1 i 0= koli 0= kol nugk j( ) kol nugk j( ) 1+=
σ j1 nugk j σ j1 nugk j σelj1 k+= σ j1 iσ j1 i
koli=
ε j1 nugk j ε j1 nugk j εelj1 k+= ε j1 iε j1 i
koli=
cciσ1 i σ2 i+
2= ggi
σ2 i σ1 iminus
2
2
σ3 i( )2+=
σgl1 i cci ggi+= σgl2 i cci ggiminus=
173
Напряжения и деформации в направлении оси 0Z
Интенсивности напряжений и деформаций в узле i
σ4 i σ3 i= σ3 i ν σ1 i σ2 i+( )sdot mdef 2if
0 otherwise
=
ε4 i ε3 i= ε3 i νminus ε1 i ε2 i+( )sdot mdef 1if
0 otherwise
=
maxσi max σi( )= maxσi 85681=
εii2
2 1 ν+( )sdotε1 i ε2 iminus( )2 ε2 i ε3 iminus( )2+ ε3 i ε1 iminus( )2+
32
ε4 i( )2sdot+sdot=
maxεi max εi( )= maxεi 8505=
σxv1 σ1 29= σxv2 σ1 25= σxv3 σ1 19=
σxv4 σ1 13= σxv5 σ1 7= σxv6 σ1 1=
σxl1 σ1 29= σxl2 σ1 30= σxl3 σ1 31=
σxl4 σ1 32=
174
Нормальные напряжения sx по верней кромке и на оси симметрии панели
Касательные напряжения txy в вертикальном сечении
вблизи заделки
τ1 σ4 7= τ2 σ4 2= τ3 σ4 3=
τ4 σ4 4= τ5 σ4 5= τ6 σ4 6=
175
Нормальные напряжения sx в вертикальном сечении вдоль заделки
Нормальные напряжения sу в горизонтальном сечении на
уровне верхнего края выреза
σx1 σ1 1= σx2 σ1 2= σx3 σ1 3=
σx4 σ1 4= σx5 σ1 5= σx6 σ1 6=
σy1 σ2 22= σy2 σ2 16= σy4 σ2 4=σy3 σ2 10=
176
4 АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МКЭ
41 Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS
В настоящее время все более широкое распространение среди инженеров-расчетчиков находит программа ANSYS по-зволяющая решать самые разнообразные задачи во многих ин-женерных приложениях [8-10] Средства заложенные в этой программе могут учитывать различные нелинейности поведе-ния материала конструкции допускают наличие больших (ко-нечных) деформаций и углов поворота решать контактные зада-чи и многое другое Система меню панели инструментов и диа-логовые окна обеспечивают автоматический ввод исходных данных автоматическое разбиение области на сетку конечных элементов и выбор соответствующих действий В комплекс AN-SYS входят различные специализированные программы Напри-мер программа ANSYSMultiphysics предназначена для решения широкого круга инженерных задач позволяет проводить проч-ностные расчеты сооружений исследования в области тепло-проводности механики жидкостей и газов электромагнетизма а также решать связанные задачи Программа ANSYSMechanical служит для выполнения проектных разработок анализа и опти-мизации решение сложных задач прочности конструкций теп-лопередачи и акустики
42 Подготовка параметров компьютера и вход
в программу в интерактивном режиме Перед входом в пакет ANSYS необходимо установить раз-
решение дисплея не менее 1024times768 пиксел и задать цветовую палитру включающую в себя не менее 256 цветов Программа ANSYS может работать в двух режимах пакетном (Batch) и ин-терактивном (Interactive) В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается про-граммой пользователя которая составляется с помощью
177
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
178
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
179
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
180
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
181
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
182
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
183
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
184
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
185
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
186
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
187
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
188
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
189
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
190
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
191
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
192
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
193
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
194
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
195
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
196
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
197
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
198
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
199
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
200
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
201
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
202
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
203
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
204
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
205
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
206
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
207
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
208
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
209
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
210
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
211
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
212
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
213
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
214
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
215
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
216
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
217
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
218
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
219
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
220
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
221
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
222
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
223
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
224
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
225
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
226
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
227
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
228
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
229
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
230
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
231
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
232
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
233
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
234
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
235
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
236
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
237
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
238
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
239
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
240
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
241
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
242
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
243
7) сформировать вектор Qρ
и матрицу pS для записи сис-темы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде
8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты при необходимости провести дополнительные расчеты изменяя вектор внешней на-грузки
9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс со-стоящий из четырех горизонтальных стержней
10) провести расчет фермы с использованием блок-схемы (п122) и программы (п123)
11) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п 111) I)
II)
244
III)
IV)
V)
VI)
245
VII)
VIII)
IX)
246
X)
Рис1
Таблица 1 Внешние силы кН Размеры
м строки
Расчет ная схема P1 P2 P3 P4 P5 d h
Угол α град
пане-ли
1 I 5 6 1 2 2 30 45 45 2 2 II 4 8 3 6 1 40 60 30 3 3 III 3 0 5 7 8 50 75 45 2 4 IV 2 9 7 9 3 32 48 60 3 5 V 1 7 9 8 4 42 62 90 2 6 VI 0 1 10 5 5 52 76 30 3 7 VII 6 2 8 3 9 35 50 45 2 8 VIII 7 3 6 1 7 45 65 60 3 9 IX 8 4 4 4 6 38 55 30 2 0 X 9 5 2 0 0 48 70 45 3 в а б в а б в б а
Задание 2 Расчет статически неопределимых ферм Для заданной фермы (рис2) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях Варианты расчетных схем ферм и числовые данные к ним студент выбирает из таблицы 1
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (п221)
1) установить число лишних неизвестных и выбрать ос-новную систему
247
2) определить усилия в основной системе от единичной силы и от внешней нагрузки предварительно пронумеровав стержни фермы
3) составить векторы единичной едNρ
и грузовой PNρ
про-дольных сил
4) вычислить длины стержней фермы и сформировать мат-рицу ФD упругих податливостей стержней исходной фермы
5) провести последовательность матричных операций в со-ответствии с формулой
( ) PPФТедедФ
Тедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+sdotminus= minus1)(
и получить вектор усилий N
ρ в исходной ферме
6) используя блок-схему (п 223) и программу (п224) провести расчет на ЭВМ
7) заменив вектор PNρ
матрицей PN столбцы которой представляют собой усилия в соответствующих стержнях фермы от действия подвижной нагрузки Р = 1 в узлах грузового пояса провести аналогичные матричные вычисления
8) по результатам вычислений построить линии влияния лишнего неизвестного и усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс состоящий из четырех горизонтальных стержней
9) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п211) 10) сравнить результаты всех расчетов
248
I)
II)
III)
249
IV)
V)
VI)
VII)
250
VIII)
IX)
X)
Рис2
251
Задание 3 Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвиж-но закрепленными одним или двумя концами находится под действием внешних крутящих моментов (рис3)
Рис3
Требуется - составить систему линейных уравнений по МКЭ - найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их че-
рез M l и D - построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных
касательных напряжений τmax - построить эпюру крутящих моментов Т - при заданном значении допускаемого касательного на-
пряжения τadm=70МПа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
- найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
- составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реали-зующую алгоритм решения задачи
252
Таблица 2 строки l1l l2l l3l l4l d1D d2D
1 1 05 24 05 20 04 2 15 07 22 06 11 13 3 06 09 20 07 12 12 4 08 11 18 08 13 11 5 09 13 16 09 14 10 6 15 15 14 10 15 09 7 20 17 12 11 16 08 8 16 19 10 12 13 17 9 18 21 08 13 18 06 0 19 23 06 14 19 05 а б в а б в
Таблица 3 стро-
ки М1M M2M M3M MлевM MпрМ
1 -20 0 -13 infin -13 2 19 -10 14 -1 infin 3 -18 0 -13 infin 16 4 17 -08 12 infin infin 5 -16 07 -11 infin -14 6 15 0 10 15 infin 7 -14 05 -09 infin infin 8 13 0 08 11 infin 9 -12 05 -07 infin -15 0 11 0 06 -13 infin а б в в
Замечание 1 В таблице 3 значок ldquoinfinrdquo обозначает что соот-ветствующий конец вала неподвижно закреплен (заделан) Если значка ldquoinfinrdquo нет то соответствующая заделка отсутству-ет и к этому концу приложен момент Млев или Мпр
253
2 При знаке минус (-) внешний крутящий момент следует направить в противоположную сторону
Задание 4 Расчет рам МКЭ Для заданной рамы (рис4) с размерами и нагрузкой вы-
бранными из таблицы 4 требуется построить эпюры изгибаю-ших моментов M поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1 а риге-лей - I2
При выполнении задания необходимо -провести ручной счет МКЭ (см пример расчета в п321) -решить задачу в среде Mathcad (п322) -с помощью блок-схемы алгоритма решения задачи
(п312) составить и отладить программу на языке Турбо Пас-каль (аналогично программе в п313)
-сравнить результаты ручного счета с вычислениями на ЭВМ I) II)
F1
F2 F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05h1
05l2
F1 F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2
l3
05l1
254
III) IV)
V) VI)
F1
F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2 05l1
l1 l2
h1
h2
q1 q2
q3
F1 F2
F3
05l2
l1 l2
h1
h2
05l1 q1
q2
q3
F1
F2
F3
05l1 05l2 F1 F2
F3 q1 q2
q3
l1 l2
h1
h2
05h1
255
VII) VIII)
IX) X)
Рис4
05l1
05h
l1 l2
h1
h2 F3
F2 F1 q1
q2
q3
h1
h2
l1 l2
F1 F2
F3
q2 q1
q3
05h2
05l1 05l2
05l1 05l2
F1 F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05l1
05l2 F1
F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05h2
256
Таблица 4
Размеры м Внешние нагрузки
строк
Расч схе-ма по рис
4
l1 h1 l2 h2 F1 kH
F2 kH
F3 kH
q1 kHм
q2 kHм
q3 kHм
1
2
II
1 I 4 6 3 4 4 - - 1 - - 2 2 II 5 7 8 3 5 - - - 2 - 1 3 III 6 5 4 5 - 5 - - - 14 3 4 IV 7 4 4 6 - 6 - 2 - - 1 5 V 8 5 5 7 - - 6 - 3 - 2 6 VI 7 6 5 8 - - 8 - - 1 3 7 VII 8 7 3 7 6 - - 12 - - 1 8 VIII 6 8 4 3 6 - - - 2 - 2 9 IX 5 4 5 4 2 4 - - - 2 3 0 X 4 6 6 5 - 4 - 1 - - 1 в б а в б а
Список использованной литературы
1 Дарков АВ Шапошников НН Строительная механика
Учеб для строит спец вузов -8-е изд перераб и доп- МВысш шк1986 -607 сил
2 Образцов ИФ Савельев ЛМ Хазанов ХС Метод ко-нечных элементов в задачах строительной механики летатель-ных аппаратов Учеб пособие для вузов- МВысш шк1985-392 сил
3 Масленников АМ Расчет строительных конструкций численными методами Учеб пособие- Л Изд-во Ленингр ун-та 1987 -224 с
4 Руководство к практическим занятиям по курсу строи-тельной механики (статика стержневых систем) Учеб Пособие для студентов вузов Под ред ГККлейна ndash 4-е изд перераб и доп ndash МВысш шк 1980
257
5 Алгоритмизация расчетов сложных стержневых систем
Благонадежин ВЛ Воронцов АНСамсонов ЮП Под ред АВПетровского -ММоск энерг ин-т1986 -96 с
6 Норри Д де Фриз Ж Введение в метод конечных эле-ментов Пер с англ-М Мир 1981- 304 с ил
7 Бундаев ВВ Расчет рам методом конечных элементов Методические указания по строительной механике для студен-тов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 2003-36сил
8 ANSYS Basic Analysis Procedures Guide ANSYS Release 56 ANSYS Inc 1998
9 Каплун АБ Морозов ЕМ Олферьева МА ANSYS в руках инженера Практическое руководство ndash М Едиториал УРСС 2003 ndash 272 с
10 Сметанников ОЮ Статический анализ уголкового кронштейна В сб ANSYS 55ED (Московское представитель-ство CAD-FEM GmbH) (Ansys_edding_russian Education Struc-tural Bracket1999)
11 Бундаев ВВ Расчет плоской статически неопредели-мой рамы методом перемещений Методические указания по выполнению расчетно-проектировочной работы и контрольные задания для студентов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 1987-34сил
258
Учебное издание
Бундаев Валерий Викторович
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Редактор ТЮ Артюнина Ключевые слова руководство пособие Mathcad система рама ферма задача пример программа расчет метод МКЭ ANSYS Подписано в печать Формат 60times84 116 Услпл уч-издл Печоператив бумписч Тираж 100_экз С 38_____________________________________ Издательство ВСГТУ гУлан-Удэ улКлючевская 40в
3
Содержание Введение 5 1 Расчет статически определимых стержневых систем в матричном видеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8
11 Описание матричного алгоритма для расчета статически определимых плоских рамhelliphelliphelliphellip
8
111 Расчет рамы в среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphellip 15 12 Описание матричного алгоритма для расчета
фермhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
26 121 Пример расчета статически определимой
фермыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29 122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определим фермhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
41 123 Программа для расчета ферм на алгоритми-
ческом языке Турбо Паскаль helliphelliphelliphelliphelliphellip
44 2 Расчет статически неопределимых стержневых систем в матричном видеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
53
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
60
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
68
221 Пример расчета фермы методом силhelliphelliphellip 71 222 Блок-схема алгоритма расчета статически
неопределимых ферм методом сил helliphelliphelliphelliphellip
79 223 Программа для расчета статически неопре-
делимых ферм helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
82 3 Статический расчет систем методом конечных эле-ментовhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
4
311 Пример расчета ступенчатого бруса при рас-тяжении и сжатии helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
93
32 Пример расчета ступенчатого вала при круче-нии
102
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем МКЭ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
113
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ helliphelliphellip 117 35 Расчет рам методом конечных элементов helliphellip 122 351 Пример расчета плоской рамы helliphelliphelliphelliphelliphellip 135 352 Расчет рамы в среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphellip 146 36 Решение плоской задачи теории упругости в
среде Mathcad helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
162 4 Автоматизация расчета конструкций МКЭhelliphelliphelliphelliphellip 176
41 Некоторые возможности использования про-граммного комплекса ANSYS helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
176
42 Подготовка параметров компьютера и вход в программу в интерактивном режиме helliphelliphelliphelliphelliphellip
176
43 Основные стадии решения задачи helliphelliphelliphelliphellip 177 431 Препроцессорная подготовка задачи helliphelliphellip 178 432 Приложение нагрузок и получение решения 181 433 Постпроцессорная обработка результатов счета helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
182
44 Примеры решения статических прочностных задач helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
183
441 Расчет стержневых систем helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 183 442 Решение задач теории упругости helliphelliphelliphelliphellip 193
5 Задания к самостоятельным работам helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 207 Общие указания о порядке выполнения заданий 207 Задание 1 Расчет статически определимых
ферм helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
208 Задание 2 Расчет статически неопределимых
ферм helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
212 Задание 3 Расчет ступенчатого вала при круче-нии МКЭ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
217
Задание 4 Расчет рам МКЭ helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 219 Библиография helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222
5
ВВЕДЕНИЕ
В связи с широким внедрением компьютерных технологий и математических методов в самые разнообразные сферы чело-веческой деятельности старые способы расчета инженерных со-оружений основанные на большом объеме ручного труда вы-числительного и графического характера при расчете сравни-тельно несложных сооружений уступают место новым методам [1-4] В настоящее время все более широкое развитие и распро-странение получают матричные методы расчета сложных инже-нерных сооружений с применением ЭВМ [5-7] Знание матрич-ных форм расчета инженерных сооружений ориентированных на использование ЭВМ становится неотъемлемой частью подго-товки высококвалифицированных специалистов способных к профессиональной адаптации в различных отраслях строитель-ного и машиностроительного производства Хотя матричная форма расчетов известна давно однако она долгое время не на-ходила широкого применения из-за ограниченных возможностей средств вычислительной техники а также из-за отсутствия дос-тупного программного обеспечения Имеющиеся программы бы-ли мало пригодны для учебных целей и рассчитаны на узких специалистов В то же время следует отметить что расчет в мат-ричной форме является наиболее универсальным приемлемым для любого вида конструкции независимо от свойств используе-мого материала типа внешних нагрузок и конфигурации объекта исследования В последние годы все большее распространение среди инженеров получают программные комплексы для ЭВМ (например ANSYS COSMOSWorks) основанные на матричных методах расчета различного рода инженерных конструкций и позволяющие автоматизировать процесс ввода исходных дан-ных получения решения и обработки результатов счета [8-10]
Таким образом в современных условиях возникает настоя-тельная необходимость внедрения компьютерных технологий в практику расчетов сооружений что предполагает существенную корректировку традиционных форм и методов организации учебного процесса соответствующую переработку учебных пла-
6
нов по дисциплинам прочностного цикла на кафедрах зани-мающихся подготовкой высококвалифицированных специали-стов Расчет сложных инженерных сооружений с использовани-ем современных средств вычислительной техники дает возмож-ность инженеру меньше заниматься рутинной вычислительной работой а больше времени уделять анализу результатов расче-тов пониманию работы сооружения в целом и той роли кото-рую играют его отдельные элементы устанавливать функцио-нальную связь между внешними воздействиями внутренними усилиями и формой конструкции что способствует свободному и целенаправленному поиску решений задач оптимального про-ектирования сооружения
В связи с изложенным при освоении курсов прочностного цикла необходимо более полно изучить соответствующие разде-лы и внести в них следующие коррективы
-в наиболее доступной форме ознакомить студентов с ос-новными понятиями и алгоритмами реализации современных численных методов расчета сложных систем
-выработать навыки составления соответствующих ком-пьютерных программ на алгоритмических языках а также со знанием дела использовать уже имеющиеся готовые программы
-научить студентов анализировать существующие и полу-ченные в результате расчетов конструктивные решения уметь находить оптимальные из них а также помочь формированию рационального логического мышления
Обеспечение прочности и надежности сооружений в соче-тании с высокой экономичностью возможны только при высо-кой квалификации инженера и овладении им современными ме-тодами сопротивления материалов строительной механики и теории упругости В связи с изучением матричных методов ре-шения задач указанных дисциплин студенту приходится повы-шать свою математическую подготовку и иметь дело с большим количеством учебной литературы В этом пособии основной ма-териал сосредоточен в одном месте что позволяет с минималь-ной затратой времени на практике использовать весь аппарат матричного расчета Изучение курса следует начинать с прора-
7
ботки теоретических положений рассматриваемого метода при этом необходимо составить краткий конспект и сделать соответ-ствующие выводы Лишь после этого следует перейти к разбору типовых примеров Без изучения теории приступать к самостоя-тельному решению задач невозможно так как только знание теории дает возможность решать любые задачи во всем их мно-гообразии
В данном пособии основные вопросы теоретических по-ложений иллюстрируются тщательно подобранными задачами решения которых сопровождаются подробными объяснениями Разработанные программы на алгоритмическом языке Турбо Паскаль и в математическом пакете Mathcad дают возможность проверить все результаты полученные ручным счетом и убе-диться в надежности и универсальности работы этих программ которые необходимы при выполнении прилагаемых в конце по-собия заданий для закрепления полученных знаний Самостоя-тельность выполнения этих заданий имеет первостепенное зна-чение для усвоения учебного материала изложенного в пособии Разработанные программы могут быть использованы студентами в студенческих научных кружках при исследовании напряженно-деформированных состояний разнообразных строительных и машиностроительных конструкций и их элементов
Таким образом изучая данное пособие студенты углуб-ляют свои знания в механике твердого деформируемого тела и овладевают современными методами решения сложных задач расчета и проектирования строительных и машиностроительных конструкций Разобранные в пособии примеры решения задач и приведенные задания к самостоятельным работам помогут сформировать у студентов устойчивый интерес к самостоятель-ным исследованиям в области инженерных расчетов Получен-ные знания и навыки будут служить основой для дальнейшего изучения студентами прочностных дисциплин
8
1 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
11 Описание матричного алгоритма для расчета плоских рам
Пусть дана статически определимая рама Пронумеруем все ее узлы и стержни причем за начало стержня будем прини-мать тот его конец который примыкает к узлу имеющий мень-ший номер
Для описания структуры рамы рассмотрим прямоуголь-ную матрицу cS в которой число строк равно числу узлов ра-мы У а число столбцов ndash числу ее стержней С При этом эле-ментами матрицы cS являются числа 1 -1 0 Заполнение мат-рицы производится по столбцам в соответствии с нумерацией стержней рамы Число laquo1raquo помещается в той строке номер ко-торой совпадает с номером узла являющимся началом стержня а число laquo-1raquo - в строке с номером концевого узла в остальных узлах столбца матрицы cS помещается число laquo0raquo Построенная
таким образом матрица cS называется структурной
С помощью этой матрицы cS определяется вектор проек-
ций стержней [ ]Тсе ПППППρ
Λρ
Λρρρ
21= по матричной формуле
CSП Tc
ρρminus= (11)
где
2
22
1
11
=
=
=
=
cx
cxС
ex
exe
x
x
x
x
ll
Пll
Пll
Пll
Пρ
Λρ
Λρρ
(12)
те eПρ
- вектор имеющий компонентами проекции lex и ley стержня с номером е на оси x и y общей для всех стержней рамы координат
9
( )Tyj ccccc ρΛ
ρΛ
ρϖρ21= - вектор координат узлов со-
ставленный из векторов
1
11
1
11
=
=
=
=
y
yy
j
jj y
xc
yx
cyx
cyx
c ρΛ
ρΛ
ρρ
(13)
где jcρ - вектор компонентами которого являются координаты узла с номером j Значок laquoTraquo обозначает операцию транспонирования матрицы Напомним что матрица АТ называется транспонированной если ее элементы
ija связаны с элементами исходной матрицы А со-
отношением jiij aa =
Зная компоненты вектора Пρ
можно определить длины стержней le и векторы их направляющих косинусов eαρ (е = 12hellipс) по формулам
eTee ППl
ρρsdot= (14)
ee
e Пl
ρρ 1=α
(15)
Перейдем теперь к установлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис11а) и общей хоу (рис11б) системах координат
б)
Рис11
а)
у
Qek
О
х
Qен
ek
х у
Nek
α
M
ly Xek
у
х
Mek е
Yek
Yен
Хен
0 Mен lx
10
Для стержня изображенного на рис11а можно составить уравнения равновесия в матричном виде
енek NFNρρ
= (16)
где
=
ek
ek
ek
ek
MQN
Nρ
=
ен
ен
ен
ен
MQN
Nρ
=
10010001
lF
Сравнивая силовые факторы на концах одного и того же стержня (см рис 11а и 11б) получим
енен NXρρ
sdotΨminus= екек NXρρ
sdotΨ= (17)
или
енен XNρρ
sdotΨminus= екек XNρρ
sdotΨ= (18)
где
=
ен
ен
ен
ен
MYX
Xρ
=
ек
ек
ек
ек
MYX
Xρ
minus=Ψ
1000cossin0sincos
αααα
Заметим что матрица Ψ связывающая усилия и силовые факторы на концах стержня является ортогональной ( Ψ=Ψminus1 ) Подставляя в формулу (16) выражения усилий в местной системе координат (18) получим
ененеk XXFXρρρ
sdotΦ=sdotΨsdotsdotΨminus= (19)
Перемножением соответствующих матриц можно полу-чить
minusminusminus
minus=ΨsdotsdotΨminus=Φ
1010001
xy llFρ
Заметим что матрица Φ устанавливающая связь между усилиями на концах стержня может быть непосредственно по-
11
лучена составлением уравнений равновесия для стержня изо-браженного на рис11б
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней ( рис12)
Пусть [ ]Txyjyjxjj PPPP =ρ
- вектор внешней нагрузки
приложенный к узлу j а [ ]Teeee MYXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда условие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(110)
Далее перейдем к
составлению уравнений равновесия для всей сис-темы в целом Обозна-чим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ21=
вектор внутренних уси-лий в стержнях фермы Компоненты этого век-тора выражаются через векторы усилий для
концевых сечений каждого стержня в виде равенств [ ]еkеkеkенененe MYXMYXY =
ρ
Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной мат-рицы cS
1YSPρρ
= (111)
Рис12
Pxyj j
Pyj
Pxj
Ye
Xe
12
Здесь прямоугольная блочная матрица 1S имеет 3У строки и 6С столбцов и получается из структурной CS заменой элементов 1
на блок 1E элементов -1 на блок 2E и элементов 0 на нуле-вую матрицу Ο те
=
000100000010000001
1E
=
100000010000001000
2E
=Ο
000000000000000000
Уравнения (111) необходимо дополнить соотношениями связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (19) которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде
02 =YSρ
(112)
где 2S квазидиагональная матрица
ΟΟΟ
ΟΟΟΟΟΟ
=
CE
EE
S
3
23
13
2 ΛΛΛΛ
блоки которой
)21(1001010010001001
3 Cell
E
exey
e Κ=
minus=
Объединив (111) и (112) получим матричное уравнение
YSSPQ
ρρρ
ρsdot
=
=
2
1
0
(113)
13
которое связывает внешние силы приложенные к узлам систе-мы с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней а также связь внутренних усилий между собой Уравнение (113) можно записать в более компактной форме
YSQρρ
sdot= (114)
Размерности векторов Qρ
и Yρ
соответственно равны (3У+3С)times1 и (6Сtimes1) а матрицы S - (3У+3С)times6С Следователь-но матрица S в общем случае не является квадратной Однако
с учетом того что среди компонентов вектора Pρ
имеются неиз-вестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки а также среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (напри-мер моменты в сечениях около шарниров) уравнение (114) за-писывается в виде
ZST P
ρρsdot= (115)
где вектор Tρ
получается из вектора Qρ
удалением тех элемен-тов которые соответствуют наложенным на систему связям (на-пример числу опорных стержней С0) а вектор Z
ρ - из вектора Y
ρ
удалением тех элементов которые являются заведомо нулевыми и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе Матрица PS получается из матрицы S удалением строк соот-
ветствующих удаленным элементам в векторе Qρ
и столбцов
соответствующих удаленным элементам вектора Yρ
Для разрешимости системы (115) необходимо чтобы мат-
рица PS была квадратной поэтому должно выполняться усло-вие
3У+3С-Соп = 6С-Ш или
3У = 3С+Соп-Ш те число уравнений равновесия равно числу неизвестных уси-лий
14
Кроме этого определитель системы det PS должен быть отличным от нуля Это условие означающее геометрическую неизменяемость конструкции является достаточным условием разрешимости рассматриваемой системы (115)
Тогда вектор неизвестных усилий Zρ
легко определяется решением системы (115)
TSZ P
ρρsdot= minus1 (116)
Затем строим вектор Yρ
после этого с использованием равенства (114) находим опорные реакции а с помощью соотношений (18) определяем внутренние усилия в элементах рассматривае-мой конструкции
Отметим два случая которые могут встретиться при рас-чете конструкций
-опорный стержень не совпадает ни с одним из направле-ний общей системы координат В этом случае вместо опорного стержня вводят некоторый конструктивный стержень произ-вольной длины направление которого совпадает с направлением опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опор-ными стержнями параллельными осям координат
-сосредоточенный момент действует в непосредственной близости около шарнира Для общности расчета этот момент следует считать приложенным на некотором малом удалении lx (lx rarr 0) от шарнирного узла При этом формируя матрицу 2S
при заполнении соответствующей матрицы eE 3 нужно поло-жить lex и ley равными нулю
При расчете стержневой системы на действие нескольких вариантов нагрузки 321 Κ
ρρρPPP в уравнениях (114) и (115)
вектор нагрузки Pρ
можно заменить матрицей нагрузки [ ]Κ
ρρρ321 PPPP = а вектора ZYTQ
ρρρρ - соответствующи-
ми матрицами ZYTQ
15
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляется аналогично с учетом их особенностей изложенных в п11
111 Расчет рамы в среде Mathcad
Исходные данные для рамы изображенной на рис13 а - характерный размер длин стержней рамы nuz -число узлов рамы nel- число элементов рамы
a 3= nuz 7= nel 6= Пронумеруем узлы и стержни рамы (см рис13) запишем
структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С (13)
16
Sc
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
1
0
1minus
=
Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей
системы координат xoy (11) и (12)
Вычислим длины стержней рамы (14)
Определяем направляющие косинусы (15)
17
Составим матрицу равновесия S1 которая получается из
структурной Sc заменой в последней элементов 1 на матрицу Е1 элементов -1 на Е2 а нули на соответствующие нулевые матри-цы Эта матрица устанавливает связь между векторами внешней нагрузки P и усилий во всех стержнях рамы Y по формуле
P = S1Y
где i-ой компонентой вектора Y являются усилия Yi = [Xin Yin Min Xik Yik Mik]T в i-м стержне
18
Сформируем теперь блочно-диагональную матрицу S2
устанавливающую связь между усилиями в начале и конце каж-дого стержня с помощью матричного соотношения S2middotY=0 (112)
- единичная квадратная матрица размер-ности nelmiddotnel
19
Получим матрицу S объединением матриц S1 и S2 с по-мощью встроенной в Mathcad функции stack
Запишем векторы внешних нагрузок действующие в каж-
дом узле рамы Опорные реакции в расчет не принимаются так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены
P2
3
0
0
= P1
0
0
0
= P3
3
0
0
= P4
0
0
0
=
20
Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов расположенных ниже Pi
Учет граничных условий nop - число опорных стержней
nsv - вектор компоненты которого соответствуют наложенным на систему связям В матрице S и в векторе Q необходимо уда-лить соответствующие строки и элементы
P5
0
0
0
= P6
0
0
0
= P7
0
10minus
0
=
Q
Qi 0larr
i 1 rows S( )isinfor
r1 3 isdot 2minuslarr
Qr1 i1+ 1minus Pi( )i1larr
i1 1 3isinfor
i 1 nuzisinfor
Q
=
Q20 10minus=
nop 3= nsv1 1= nsv2 2= nsv3 17=
21
Отметим что элементами составного массива А являются
матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях рамы Y
Используя равенство Q = SY определим опорные
реакции Rx1 = Q1 Ry1 = Q2 и R y6 =Q17
Z A1( ) 1minus A2sdot=
Q S Zsdot=
ZT 1 2 3 4 5
1 -6 -8 0 6 8=
QT 1 2 3 4
1 -6 -8 0 3=
22
Используя формулы перехода к местным системам коор-
динат определим усилия в сечениях стержней фермы i 1 nel=
Ry1 Q nsv 2( )= Ry6 Q nsv 3( )= Rx1 Q nsv 1( )=
Rx1 6minus= Ry1 8minus= Ry6 18=
- матрица перехода от локальной системы координат к глобальной
Xi i ilarr
Z Zlarr
k i 1minus( ) 6sdotlarr
k1 k 3+larr
k k 1+larr
X1i1 Zklarr
k1 k1 1+larr
X2i1 Zk1larr
i1 1 3isinfor
X1 X2( )T
= Xni Xi( )
1=
Xki Xi( )2
=
Xn1
6minus
8minus
0
=
Xk1
6
8
6
=
ψ i
α i( )1
α i( )2
0
α i( )2
α i( )1
minus
0
0
0
1
=
23
Xni Xki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня с номером i отнесенные к глобальной системе координат xoy
Nni ψ iminus Xnisdot= Nki ψ i Xkisdot=
Nn1
8
6
0
= Nk1
8
6
6
=
Nn2
8
3
6
= Nk2
8
3
9
=
Nn3
8
0
9
= Nk3
8
0
9
=
Nn4
0
8minus
9
= Nk4
0
8minus
15minus
=
Nn5
18minus
0
0
= Nk5
18minus
0
0
=
Nn6
0
10
15minus
= Nk6
0
10
0
=
24
По найденным значениям усилий в сечениях стержней рамы строим эпюры изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил
Nni Nki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня в локальной системе ко- ординат xioyi
25
Отметим что при разбиении балки на пять участков и за-мене действующей на нее распределенной нагрузки соответст-вующими узловыми силами получим численные значения внут-ренних усилий и моментов (рис14) практически не отличаю-щиеся от значений полученных по аналитическим формулам
26
Рис 14
12 Описание матричного алгоритма для расчета ферм
Описанный матричный алгоритм существенно упрощается в приложении к расчету плоской фермы так как в ее элементах действует только продольная сила eN постоянная по длине ка-ждого стержня Nен=Nек=Ne (рис15а) Перейдем теперь к уста-новлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис15а) и общей хоу (рис15б) системах координат
27
б)
Рис15 Очевидно что
)sin()sin()cos()cos(
αααα
eеkeен
eеkeен
NYNYNXNX
=minus==minus=
Здесь индексы laquoнraquo и laquoк raquo относятся соответственно к началу и концу стержня
В матричной записи эти соотношения имеют вид
eфен NFХρρ
minus= eфеk NFХρρ
= (117)
где
)sin()cos(
= α
αфFρ
=
ен
енен Y
XXρ
=
ek
ekек Y
XXρ
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней
Пусть [ ]Tyjxjj PPP =ϖ
- вектор внешней нагрузки прило-
женный к узлу j а [ ]Teee YXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда ус-ловие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(118)
О
Neн
е
х
х
у
у
Nek
а)
α х
е Yek
Xek
Yен
Хен
у
0
28
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для всей системы в целом Обозначим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ
21= вектор внутренних усилий в стержнях фермы Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ekенe XXYρρρ
minus== Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (118) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы cS
YSP c
ρρ=
Учитывая формулы (117) это соотношение можно запи-сать в виде
NSPρρ
minus= (119)
где [ ]Tce NNNNN ΛΛρ
21= - вектор усилий в стержнях фермы
Матрица S получается из структурной матрицы сS за-
меной элементов laquo1raquo на векторы фFρ
элементов laquo-1raquo на векторы
- фFρ
а элементов laquo0raquo - на нулевые векторы [ ]Т00
Далее из вектора Рρ
необходимо исключить элементы со-ответствующие опорным связям и получить вектор Q
ρ а из мат-
рицы S исключить соответствующие строки образуя матрицу
РS Тогда вектор неизвестных усилий Nρ
определится как ре-шение матричного уравнения
QNSP
ρρminus= (120)
29
Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-дующим выводам
во-первых матрица РS должна быть квадратной те раз-ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю
2У-С-Соп = 0 Это равенство известно как условие статической определимости фермы здесь Соп ndash число опорных стержней
во-вторых определитель матрицы РS должен быть отли-чен от нуля те
0det nePS что является условием геометрической неизменяемости фермы
Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений Для этого в матричном уравнении (120) векторы Q
ρ и N
ρ нужно
заменить соответствующими матрицами Q и N При этом столбцы этих матриц имеющие одинаковые номера отвечают одному и тому же нагружению Это свойство может быть ис-пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q дол-жен содержать лишь один элемент ndash1 расположенный в строке с номером соответствующим номеру узла в котором приложен груз Р = 1
121 Пример расчета статически определимой фермы Пусть дана ферма изображенная на рис16 Определить усилия N1 N2 hellip N17 в стержнях этой фермы 1Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см рис16) и за-
пишем структурную матрицу (см п11)
30
Рис16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minus
=
11000000000000000101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110100000000000000011
10987654321
cS
2Зададим координаты узлов (13)
=
40
1Cρ
00
2
=C
ρ
43
3
=C
ρ
03
4
=C
ρ
46
5
=C
ρ
06
6
=C
ρ
49
7
=C
ρ
09
8
=C
ρ
412
9
=C
ρ
012
10
=C
ρ
RB
HA
RA
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4
2 6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3м 3м 3м
α
31
3Найдем вектор проекций стержней фермы на оси общей системы координат (11)
[ ] ==Т
ППППППП 1754321
ρΛ
ρρρρρρ
=
times
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus=
0124
12
064603430040
11000000001010000000
011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011
ΜΜ
4
003
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
1716151413121110987654321Т
minus
minus
minus
minus
minus
=
По формуле (12) имеем
32
4
0
03
43
03
4
0174321
minus
=
=
=
=
minus
= ПППППρ
Λρρρρ
4Вычислим длины стержней фермы (14) например
[ ]
[ ]
[ ] 516943
43
3903
03
4164
040
3
2
1
=+=
sdot=
==
sdot=
==
minus
sdotminus=
l
l
l
Эти результаты соответствуют исходным данным на рис16 Длины остальных стержней равны
l1 = l5 = l9 = l13 = l17 = 4м l2 = l4 = l6 = l8 = l10 = l12 = l14 = l16 = 3м l3 = l7 = l11 = l15 = 5м
Эти значения также можно вычислить по формулам (14) 5Определим направляющие косинусы (15)
01
03
31
8060
43
51
01
03
31
10
40
41
43
21
=
sdot=
=
sdot=
=
sdot=
minus
=
minus
sdot=
αα
αα
ρρ
ρρ
По рис16 находим
33
8060
01
01
1
0
151173
141062
161284
11111
====
====
====
minus
=====
αααα
αααα
αααα
ααααα
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρρ
6Составим матрицу S и вектор внешней нагрузки Pρ
(119) =S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -1 0 3 0 c 1 4 1 s 0 5 -1 -c 0 1 6 0 -s -
10
7 -1 0 c 1 8 0 1 s 0 9 -
1 -c 0 1
10 0 -s -1 0 11 -1 0 c 1 12 0 1 s 0 13 -1 -c 0 1 14 0 -s -1 0 15 -1 0 c 1 16 0 1 s 0 17 -1 -c 0 18 0 -s -1 19 -1 0 20 0 1 Здесь введены обозначения s = 08 c =06
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TBAA RRHP 0800000000000 ΛΛρ
minus=
34
7Исключим из S и Pρ
элементы соответствующие опорным реакциям AA RH и BR формируем матрицу PS и
вектор Qρ
(120)
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TQ 00000800000000000 minus=ρ
=PS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -
1 0
3 -1
-c
0 1
4 0 -s
-1
0
5 -1
0 c 1
6 0 1 s 0 7 -
1 -c
0 1
8 0 -s
-1
0
9 -1
0 c 1
10 0 1 s 0 11 -1 -c 0 1 12 0 -s -1 0 13 -1 0 c 1 14 0 1 s 0 15 -1 -c 0 16 0 -s -1 17 -1 0
Матричная форма уравнений равновесия имеет вид (120) и представляет собой систему линейных алгебраических уравне-ний
8 Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента получим вектор продольных сил в стержнях заданной фермы
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=Nρ
[00 00 -25 15 20 -15 -25 30 20 -30 -25 45 -60 14 15 16 17 -45 75 00 -60]T
Компоненты вектора Nρ
показывают что верхний пояс фермы сжат а нижний ndash растянут Причем усилие в каком-либо стержне верхнего пояса по абсолютной величине равно усилию в стержне нижнего пояса смежной панели смещенного относи-тельно верхнего стержня влево параллельно раскосу В данной ферме стержень верхнего пояса сжат с меньшей силой чем рас-тянут стержень соответствующей панели нижнего пояса
Усилия в раскосах расположенных слева от линии дейст-вия силы Р отрицательны и равны -25 кН а усилие в раскосе 15 находящемся справа от нее положительно и равно 75 кН Знаки усилий в стойках расположенных слева и справа от линии действия силы Р противоположны знакам усилий в соответст-вующих раскосах Значения усилий в стойках по абсолютной величине равны опорным реакциям RA = 20 kH и RB = 60 kH фермы В стержнях 1 2 и 16 усилия отсутствуют
Необходимо отметить что систему уравнений (119) также можно получить непосредственно используя известный в строи-тельной механике метод вырезания узлов
Действительно последовательно вырезая узлы исходной фермы (см рис16) и составляя уравнения равновесия получим
Узел 1
=minus===
sumsum
00
21
1
2
NFNF
Y
x
N1
N2
36
Узел 2
=+sdot+==++sdot=
sumsum
0)sin(0)cos(
43
31
43
AY
Ax
RNNFHNNF
αα
Узел 3
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
65
53
632
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 4
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
87
75
874
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 5
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
109
97
1076
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 6
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1211
119
12118
αα
NNFNNNF
Y
x
37
Узел 7
=minusminussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1413
1311
141110
PNNFNNNF
Y
x
αα
Узел 8
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1615
1513
161512
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 9
=minussdotminus==sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
617
1715
1514
NNFNNF
Y
x
αα
Узел 10
=+==minus=
sumsum
00
2019
17
16
BY
x
RNFNF
Вектор правой части и матрица полученной системы ли-нейных алгебраических уравнений полностью совпадают с век-тором P
ρ и матрицей S которые были составлены в п6 данно-
го раздела 9Перейдем к построению линий влияния усилий в стерж-
нях например второй панели фермы При этом будем считать что верхний пояс фермы является грузовым В этом случае пе-ремещающийся груз Р=-1 может находиться в узлах 1 3 5 7 и
38
9 Тогда матрица неизвестных N и матрица нагружений Q (см п 12) имеют вид
=
181714171017617217
1831431036323
1821421026222
1811411016121
NNNNN
NNNNNNNNNNNNNNN
N
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
minus
minus
minus
minus
minus
=
000001
000
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
10
97531
Q
В результате приходим к матричному уравнению QNS p minus=sdot
1
3
4
5
6
7
8
9
39
Решив это уравнение находим матрицу влияния усилий влN
minusminusminusminus
minusminusminusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminus
minusminusminusminusminus
minus
minusminusminus
minus
=
175050250000000094062031000560370190007505025000560370190003106203100037075037000250502500037075037000310620310001903705600025050250001903705600031062094000000000001
влN
На рис17 графически изображены линии влияния усилий 98765 NNNNN
1 3 5 7 9
40
Рис 17
41
122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определимых ферм (рис18)
Обнуление векторов проекций стержней
1 neliПi Λρ
=
начало
nel = 17 nuz = 10 nuz2 = 20
Задание cS
Ввод Cρ
i = 1 nuz
j = 1 nel
pr[ij] =00
i = 1nuz
j = 1nel
ST[ji] = SC[ij] Транспонирование
матрицы CS
A
Исходные данные nel ndash количество стержней (элементов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная
матрица CS
C[nuz2] ndash вектор коорди-нат узлов фермы
Исходные данные nel ndash количество стержней (эле-ментов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная матри-
ца cS
C[nuz2] ndash вектор координат уз-лов фермы
42
i =1nel
j = nuz
ST[ij] ne 0
А
pr[i1]=pr[i1]-ST[ij]C[j1] pr[i2]=pr[i2]-ST[ij]C[j2]
i=1nel
22 ])2[(])1[(][ ipripril +=
i=1nel
j=12
][][][
iljiprji =α
B
да
нет
Вычисление значений компонентов вектора про-
екций стержней Пρ
Определение значений длин стержней li
Вычисление значений ком-понентов вектора направ-
ляющих косинусов αρ
43
Рис18
да
B1
j=1nel
i=1nuz
SC[ij]=1 нет
SZ[2i-1j]=α[j1] SZ[2i-1j]=α[j2]
SC[ij]=-1
SZ[2i-1j]=-α[j1] SZ[2i-1j]=-α[j2]
да
нет
Ввод Р
Получение матрицы PS и
вектора Qρ
Решение СЛАУ методом Гаус-са с выделением главного элемента
Печать вектора Nρ
конец
В
i=1nuz2
j=1nel
SZ[ij]=00
В1
Составление матрицы
S
44
123 Программа для расчета ферм на алгоритмиче-
ском языке Турбо Паскаль Program ferma uses Crt label 1 const nel=17 число стержней фермы nuz=10 число узлов фермы nuz2=20 удвоенное число узлов nopr=3 число уравнений которые нужно удалить type mas1=array[1nuz1nel] of integer mas2=array[1nel1nuz] of integer mas3=array[1nuz21nel] of real mas4=array[1nel1nel] of real mas5=array[1nel12] of real mas6=array[1nuz12] of real mas7=array[1nel] of real mas8=array[1nuz2] of real mas9=array[1nopr] of integer var ijki1integer ( sc-структурная матрица st-транспструкт матрица Dl-вектор длин стержней pr-вектор проекций ALFA-вектор направляющих косинусов c-вектор координат узлов p-вектор внешней нагрузки sz-прямоугматрица s n-вектор номеров строк которые нужно удалить из sz и p sp-матрица СЛАУ Q-вектор правой части СЛАУ ) scmas1 stmas2 dlQbxmas7 prALFAmas5 szmas3 cmas6 spaa1mas4 pmas8 nmas9 const ( задание структурной матрицы ) kscmas1=(( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) (-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
45
( 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1)) ( Задание значений вектора координат узлов ) kcmas6=((00 40) (00 00) (30 40) (30 00) (60 40) (60 00) (90 40) (90 00) (120 40) (120 00)) ( Задание значений вектора внешней нагрузки ) kpmas8=(0000000000000-8000000) ( Номера уравнений которые нужно удалить ) knmas9=(3420) procedure gauss const n=nel число линейных уравнений var linteger rreal begin1 (ввод матриц aa1bx ) a=sp b=q a1=a x=b l=0 (прямой ход метода Гаусса ) for i=1 to n do ( поиск главного элемента в i-ом столбце ) begin2 k=i r=abs(a1[ii]) for j=i+1 to n do
46
begin3 if abs(a1[ji])gtr then begin4 k=j r=abs(a1[ji]) end4 end3 if rltgt0 then begin5 if kltgti then begin6 ( перестановка i-го и k-го уравнений ) r=x[k] x[k]=x[i] x[i]=r for j=i to n do begin7 r=a1[kj] a1[kj]=a1[ij] a1[ij]=r end7 end6 ( исключение i-го неизвестного ) r=a1[ii] x[i]=x[i]r for j=i to n do a1[ij]=a1[ij]r for k=i+1 to n do begin8 r=a1[ki] x[k]=x[k]-rx[i] for j=i to n do a1[kj]=a1[kj]-ra1[ij] end8 end5 else
47
begin9 writeln(определитель системы равен нулю) l=1 i=n+1 end9 end2 if l=1 then writeln ( обратный ход метода Гаусса ) for i=n-1 downto 1 do for j=i+1 to n do x[i]=x[i]-a1[ij]x[j] writeln(Решение СЛАУ) for i=1 to n do writeln(x[i]=x[i]52) readln end1 BEGIN начало основной программы clrscr sc=ksc c=kc p=kp n=kn ( обнуление матрицы проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do pr[ij]=00 ( транспонирование матрицы sc ) for i=1 to nuz do for j=1 to nel do st[ji]=sc[ij] ( определение вектора проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to nuz do begin if st[ij]ltgt0 then begin pr[i1]=pr[i1]-st[ij]c[j1] pr[i2]=pr[i2]-st[ij]c[j2] end end
48
( вывод значений вектора проекций pr ) writeln(Значения вектора проекций pr) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(pr[ij]51) writeln end writeln readln ( вычисление длин стержней ) for i=1 to nel do dl[i]=sqrt(sqr(pr[i1])+sqr(pr[i2])) ( вывод значений длин стержней ) writeln(Значения длин стержней dl) for i=1 to nel do write(dl(i1)=dl[i]11 ) writeln readln ( определение вектора направляющих косинусов ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do ALFA[ij]=pr[ij]dl[i] ( вывод значений направляющих косинусов ) writeln(Значения направляющих косинусов ALFA) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(ALFA[ij]51) writeln end writeln readln ( обнуление матрицы sz ) for i=1 to nuz2 do for j=1 to nel do sz[ij]=00 for j=1 to nel do for i=1 to nuz do begin if sc[ij]=1 then begin sz[2i-1j]=ALFA[j1] sz[2ij]=ALFA[j2]
49
end if sc[ij]=-1 then begin sz[2i-1j]=-ALFA[j1] sz[2ij]=-ALFA[j2] end end ( вывод матрицы sz ) writeln(Значения элементов матрицы sz) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nuz2 do begin write(i2)) for j=1 to nel do write(sz[ij]41) writeln end writeln readln i1=0 for i=1 to nuz2 do begin 1 if (i=n[1])or(i=n[2])or(i=n[3]) then goto 1 else begin2 i1=i1+1 writeln(i=i1 i1=i11) for j=1 to nel do sp[i1j]=sz[ij] q[i1]=-p[i] end2 1end 1 readln ( вывод матрицы sp ) writeln(Значения элементов матрицы sp) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nel do begin
50
write(i2)) for j=1 to nel do write(sp[ij]41) writeln end writeln readln writeln(Значения элементов правой части -Q уравнений) for i=1 to nel do write( i1)q[i]43) writeln readln GAUSS END
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляются аналогично с учетом их особенностей (см п11)
51
2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений
Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-нонических уравнений имеет вид
=
+
sdot
0
00
2
1
2
1
21
22221
11211
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΚ
nP
P
P
nnnnn
n
n
R
RR
z
zz
rrr
rrrrrr
или RrZ + RP = 0
21) где Rr ndash матрица реакций во введенных дополнительных
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-зей
RP ndash вектор реактивных усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки
Z ndash вектор неизвестных перемещений Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам
sum intsum intprime
minus==EI
dsMMR
EIdsMM
r iPiP
kiik
где ki MM - изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-ных связей 1 =ki ZZ
MP ndash изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе соответствующей исходной системе
Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по
формулам Rr = MT
edBMed (22)
52
RP = - MTedBM
P (23) где Med ndash матрица влияния изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z1 = Z2 = hellip = Zn =1 Эта матрица со-держит n столбцов и m строк Число n равно числу единичных перемещений а m - числу сечений в которых вычисляются внутренние усилия Верхний индекс laquoТraquo в формулах (22) и (23) обозначает операцию транспонирования
B ndash матрица податливости отдельных не связанных эле-ментов
MP ndash вектор изгибающих моментов в любой статически
определимой системе от внешних сил Решая матричное уравнение (21) с учетом (22) и (23) по-
лучим вектор неизвестных Z = - R-1
rRP = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) (24)
Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле M = MedZ + MP (25)
или с учетом (24)
M = Med (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) + MP (26)
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad
Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы (рис21) Считаем что жесткости всех стержней рамы равны
EI = const Примем условно EI = 1
53
Рис 21
Решение Основная система метода перемещений (рис22)
Рис 22
Построим единичные и грузовые эпюры метода перемеще-ний
54
55
Вычисления проводим в среде Mathcad
EI 1= L 3= q 2=
56
Матрица подат-
ливости B рамы пред-ставляет собой квази-
диагональную матрицу состоящую из че-тырех матриц bi (i = 1234 - номера участков)
Med
0667minus
0333
0333
1333
1minus
05minus
0
0
0
0667
0
0
0667minus
0
0
0
0
0333minus
= MedEI
L2
2minus Lsdot
L
L
4 Lsdot
3minus Lsdot
15minus Lsdot
0
0
0
6
0
0
6minus
0
0
0
0
3minus
sdot=
MPq L2sdot
16
1
1minus
1minus
1
2
1minus
0
0
0
sdot= MP
1125
1125minus
1125minus
1125
225
1125minus
0
0
0
=
b1L
2 6sdot EIsdot
2
1
1
2
sdot= b2L
12 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
57
Так как на 4-ом участке один из концевых моментов всегда
равен 0 что соответствует шарнирному прикреплению этого участка к заданной раме то порядок матрицы податливости b4 можно понизить до первого
Существует также возможность понижения порядка мат-
риц входящих в выражение для результирующего вектора мо-ментов (26)
Заметим что для любой эпюры в сечениях 2 и 3 (рис22) являющихся границами участков 1 и 2 соответственно значения моментов одинаковы Это дает возможность сдвинуть блок b2 вверх по главной диагонали матрицы B сократив на единицу ранг квазидиагональной матрицы При этом совпавшие элемен-ты на главной диагонали суммируются
Далее в матрицах моментов Med MP и MP необходимо
избавиться от повторения строк соответствующих сечениям 2 и 3 вычеркнув одну из них Например в каждой матрице вычерк-
b3L
6 EIsdot
1
0
0
0
4
0
0
0
1
sdot= b4
L6 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
58
нем строку значений моментов в сечении 3 понизив тем самым порядок этих матриц на 1
Здесь M1P - обозначение в пакете Mathcad вектора М
Р Вычисляем матрицу реакций (22)
Вектор свободных членов (23)
Находим вектор неизвестных Z (24)
Rr MedT Bsdot Medsdot= Rr
2333
0667minus
0667minus
0556
=
RP MedTminus Bsdot M1Psdot= RP
1125minus
15minus
=
Z Rr( ) 1minusminus RPsdot= Z
1908
4989
=
59
Построение эпюры окончательных изгибающих моментов
(25)
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений
60
H = Med
TmiddotB ndash вспомогательная матрица
начало
N k
Ввод M0
Ввод B
Ввод Mp
Ввод M
I =1k
J =1N
MT[JI]=M0[IJ]
1
Обозначения N ndash кол-во неизвестных k ndash кол-во сечений М0 ndashматрица ед мо-ментов Мр-матрица грузовых моментов М
р М-матрица Мр МТ-трансп ед мат-рица В-м-ца подат-ливости
61
A = Med
TmiddotBmiddotMed ndash матрица реакций Rr C = Med
TmiddotBmiddotMP ndash вектор реактивных усилий в доп связях
RP
I = 1N
J = 1k
L = 1k
H[IJ]=H[IJ]+MT[IL]B[LJ]
I = 1N
J = 1k
L = 1k
A[IJ]=A[IJ]+H[IL]M0[LJ]
2 3
1 Выч H=MedTmiddotB
62
L=1k
C[I]=C[I]+H[IL]MP[L]
3
I=1N-1
J=I+1N
A[JI]=-A[JI]A[II]
Kk=I+1N
A[Jkk]=A[Jkk]+A[JI]A[Ikk]
C[J]=C[J]+A[JI]C[I]
4
X[N]=C[N]A[NN]
Обратный ход метода Гаусса
Реш СЛАУ
63
4
I=N-11-1
Q=C[I]
J=I+1N
Q=Q-X[J]A[IJ]
X[I]=QA[IJ]
I=1N
Печать X[I]
Вычисление вектора M[I]
I=1k
Конец
Печать вектора перемещений Z
64
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal (РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ М ПЕ-РЕМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ) PROGRAM RAMA_MP CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ И СЕЧЕНИЙ) N=2 M=9 () TYPE MASS = ARRAY[1M 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1M 1M] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1M] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1M] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR B1MASS FMASS1 BT1CMASS2 DMASS3 S0PS0P1SPCS0PMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) CONST KB1MASS= (( -0667 0667) () ( 0333 0 ) () ( 0333 0 ) () ( 1333 -0667) () ( -1 0 ) () ( -05 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 -0333)) ()
65
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) KFMASS1= ((05 025 0 0 0 0 0 0 0 ) () (025 05 0 0 0 0 0 0 0 ) () (0 0 05 025 0 0 0 0 0 ) () (0 0 025 05 0 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 05 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 2 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 05 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 0 1 05) () (0 0 0 0 0 0 0 05 1 )) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) KS0PMASS4= (1125-1125-11251125 225 -1125 0 0 0) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) KS0P1MASS4=(45 0 0 0 0 -225 0 0 0) () BEGIN (ВВОД МАТРИЦЫ ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) B1=KB1 WRITELN(МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( B1[IJ]116) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) F=KF WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO M DO WRITE( F[IJ]63) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P=KS0P
66
WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P1=KS0P1 WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P1[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO M DO FOR J=1 TO N DO BT1[JI]=B1[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO M DO FOR L=1 TO M DO C[IJ]=C[IJ]+BT1[IL]F[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO M DO D[IJ]=D[IJ]+C[IL]B1[LJ] FOR L=1 TO M DO CS0P[I]=CS0P[I]+C[IL]S0P1[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN D[JI]=-D[JI]D[II] FOR KK=I+1 TO N DO D[JKK]=D[JKK]+D[JI]D[IKK] CS0P[J]=CS0P[J]+D[JI]CS0P[I] END
67
X[N]=CS0P[N]D[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN Q=CS0P[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]D[IJ] X[I]=QD[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА МОМЕНТОВ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN CS0P[I]=0 FOR J=1 TO N DO CS0P[I]=CS0P[I]+B1[IJ]X[J] SP[I]=CS0P[I]+S0P[I] WRITELN(I2 SP[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
Заметим что матричный алгоритм расчета статически не-определимых рам методом сил аналогичен изложенному алго-ритму метода перемещений и осуществляется с учетом формул
X = - A-1
δ∆P = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) M = Med X + MP где Aδ ndash матрица единичных перемещений ∆P ndash вектор гру-
зовых перемещений Med ndash матрица единичных моментов MP ndash вектор грузовых моментов для основной системы метода сил B ndash матрица упругих податливостей стержней рамы
68
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил Выведем основные матричные соотношения для расчета
статически неопределимых ферм [1 4] Пусть для стержневой системы определена степень стати-
ческой неопределимости n и выбрана основная система Запи-шем систему канонических сил в матричном виде
0=∆+ PXAρ
δ (27)
где δA - матрица единичных перемещений
=
nnnn
n
n
A
δδδ
δδδδδδ
δ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ
21
22221
11211
(28)
ijδ - перемещение в основной системе по направлению си-
лы Хi вызванное единичной силой jX действующей по на-
правлению Хj При этом jiij δδ =
=
nX
XX
XΜ
ρ 2
1
-вектор неизвестных усилий ме-
тода сил
(
29)
∆
∆∆
=∆
nP
P
P
P Μ
ρ 2
1
- вектор грузовых перемещений
в основной системе
(
210)
69
Элементы iP∆ представляют собой перемещения в на-правлениях Хi (i = 12hellipn) возникающие под действием задан-ных внешних сил в основной системе
Если рассматриваются несколько вариантов нагружений то необходимо заменить векторы X
ρ и P∆
ρ соответственно на
матрицы
=
nn XXX
XXXXXX
X
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
2221
1211
21
21
21
22
11
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=∆
nPnP
PP
PP
P
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
где k ndash число вариантов нагружения При расчете статически неопределимых ферм на действие
неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и сво-бодные члены уравнений метода сил определяются соответст-венно по формулам
sum=ii
ikiik AE
lNNδ sum=∆
ii
iPiiP AE
lNN
(211)
где ki NN - продольные усилия в стержнях основной
системы от сил Pki NXX 11 == - продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки В формулах (211) суммирование распространяется на все стержни фермы
Усилия Pki NNN можно определить либо обычными способами либо с помощью матричных вычислений (см п12)
Матрицы δA и P∆ρ
с учетом формул (211) записываются в виде
едФTед NDNA
ρρ=δ
70
PФTедP NDN
ρρ=∆ (
212) где Pед NN
ρρ - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
ничных сил и от внешней нагрузки соответственно ФD - диаго-нальная матрица причем элемент этой матрицы расположенный на пересечении i-й строки и столбца i определяется как li(EiAi) где li ndash длина стержня i фермы а EiAi ndash его жесткость Значок (Т) обозначает операцию транспонирования вектора
Связь между окончательными значениями продольных сил Nρ
в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-лий в основной системе устанавливается векторным выражением
Pед NXNNρρρρ
+= (213)
Вектор Xρ
можно выразить из уравнения (27) 1
PAX ∆minus= minus ρρδ
Подставляя это равенство в (213) с учетом (212) оконча-тельно получим
)()( 1PедФ
TедедФ
Tедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+minus= minus (
214) Эта формула может быть использована для построения ли-
ний влияния усилий в статически неопределимой ферме Для этого вектор PN
ρ должен быть заменен соответствующей матри-
цей столбцы которой характеризуют усилия в статически опре-делимой основной системе при расположении единичных сил в узлах грузового пояса фермы
221 Пример расчета фермы методом сил Для статически неопределимой фермы (рис23а) опреде-
лить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния уси-лий в стержнях 1 8 2 если единичный груз перемещается по ее нижнему поясу Считать что стержни фермы изготовлены из одного материала а сечения их одинаковы
71
)
)
)
72
)
)
Рис23
Выполнение расчета 1 В заданной ферме узлов ndash 8 стержней ndash 13 опорных
стержней ndash 4 значит по формуле w = 2sdotУ-C-Co
где У ndash число узлов фермы С ndash число внутренних стерж-ней фермы Со ndash число опорных стержней
может быть определена степень свободы системы те w = 2sdot8-13 ndash4 = -1lt 0
Следовательно исходная ферма имеет одну лишнюю связь и является однажды статически неопределимой
Выбираем основную систему изображенную на рис23б Заметим что основную систему можно выбрать и по-другому например отбрасывая один из внутренних стержней
73
2 Пронумеруем стержни фермы так как показано на рис23аб и определим усилия в основной системе от единич-ной силы (рис23б) и от внешней нагрузки (рис23в) Для этого могут быть использованы способы расчета ферм изложенные в [12]
3 Используя результаты расчета составим векторы еди-ничной Nед и грузовой PN
ρ продольных сил
13121110987654321
д =еNρ
minusminusminus
minus
07070070700505050507070117070
13121110987654321
=PNρ
minus
minusminusminusminus
55335
5335
512512512512717
1515
717
74
4 Вычислим длины стержней фермы и запишем матрицу
ФD упругих податливостей элементов фермы l1 = l10 = l12 = l4 = 141sdotd l2 = l3 = l5 = l6 = l7 = l8 = l9 = l11 = l13
= d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=
100000000000004110000000000000100000000000004110000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000041100000000000001000000000000010000000000000411
13121110987654321
EAdDФ
5 Проводим последовательность матричных операций в
соответствии с формулой (214)
75
[ ]TPф EAdND 5555551251251251225151525 minusminusminusminusminussdot=
ρ
497)2530442()]512
512512512(50)1515(1)552525(7070[)( Тед
EAd
EAd
EAdNDN PФ
=++=+
++sdot++sdot++++sdot=ρρ
1
едед )( minusNDN ФT
ρρ)( ед PФ
T NDNρρ
=0172 7216497 =sdotEAd
dEA
едN-ρ
1едед )( minusNDN Ф
Tρρ
)( ед PФT NDN
ρρ=
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminus
0811
0811
0368368368368811716716811
В результате получаем вектор усилий в исходной ферме (рис23а)
76
minusminus
minus
minus
minus
=
++minusminus+minus++minus+minus+minus+minus
minusminusminus
minus
=
52785278
5144144144144
957171
95
50533811
50533811
50512368512368512368512368
7178111571615716
717811
13121110987654321
Nρ
6 Приступим к матричным вычислениям для построения линий влияния усилий в стержнях 1 8 2 фермы (рис23а) Для этого найдем усилия во всех стержнях основной системы в слу-чаях когда груз Р = 1 приложен в узлах грузового пояса фермы В нашем примере имеют место 2 случая приложения этого груза (рис23гд) Затем составляем матрицу PN столбцы которой соответствуют каждому из этих случаев Заменим в выражении (214) вектор PN
ρ на полученную матрицу и проведем аналогич-
ные матричные преобразования
77
103035300035035300120750207507025070250013530
05005030061
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=PN
0
05000
050010750075002500250
50050050051
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=EAdND PФ
78
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus
=
++minusminus+minus+++minusminusminus+++minus+minus+minus+minus+minus+minus+minus+minusminusminusminusminusminusminusminusminus
=
0006080
007680
1045700457040042904004290
0608000085900008590006470
13121110987654321
10003530414035304140
00003530414035304140
001025029307502930250293075029307502930250293075029302502930
061414035304140505860505860505860505860
353041400614140
13121110987654321
N
7 Используя 1-ю 8-ю и 2-ю строки матрицы N строим
линии влияния усилий в соответствующих стержнях (рис24)
79
Рис24 222 Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил
Обозначения исходных данных n-количество столбцов в матрице (векторе) k-количество стержней фермы N0-вектор продольных сил от ед
нагрузки в основной ферме деNρ
D-матрица податливостей ФD фермы NP-вектор продольных сил от
внешней нагрузки PNρ
в основной ферме
начало
n=1 k=13
ввод вектора N0
ввод матри-цы D
A A
ввод вектора
i=1k
j=1n
NT[ji]=N0[ij] NT-транспонированная мат-
рица ТедN
DNTH Т DNH
NP-вектор грузовых
продольных сил PNρ
80
81
Рис25 223 Программа для расчета статически неопределимых ферм
B
Решение СЛАУ
CXAρρ
=sdot
печать вектора
реакций Xρ
i=1k
C[i]=0
j=1n
C[i]=C[i]+N0[ij]X[j]
N[i]=C[i]+NP[i]
вывод Nρ
конец
XNC ед
ρρ=
Pед NXNNρρρ
+=
Nρ
ndash вектор результи-рующих продольных сил
82
В соответствии с блок-схемой изображенной на рис25
составляем программу на языке Turbo Pascal
PROGRAM FERMA_MS CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ И СТЕРЖНЕЙ) N=1 K=13 TYPE MASS = ARRAY[1K 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1K 1K] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1K] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1K] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR N0MASS DMASS1 NTHMASS2 AMASS3 NPNCMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ В ОСН ФЕРМЕ) CONST KN0MASS=((-0707) (-1 ) (-1 ) (-0707) ( 05) ( 05) ( 05) ( 05) ( 0 ) ( 0707) ( 0 ) (0707) (0))
83
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ DФ) KDMASS1= (( 564 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0564 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4)) (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСНОВНОЙ ФЕРМЕ) KNPMASS4=( -177-15-15-1771251251251255353-53535) BEGIN (ВВОД ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ) N0=KN0 WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДНАГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( N0[IJ]62) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) D=KD WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO K DO WRITE( D[IJ]62) WRITELN END
84
WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД ВЕКТОРА ГРУЗОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) NP=KNP WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НА-ГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO WRITE( NP[I]62) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO K DO FOR J=1 TO N DO NT[JI]=N0[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO K DO FOR L=1 TO K DO H[IJ]=H[IJ]+NT[IL]D[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO K DO A[IJ]=A[IJ]+H[IL]N0[LJ] FOR L=1 TO K DO C[I]=C[I]-H[IL]NP[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN A[JI]=-A[JI]A[II] FOR KK=I+1 TO N DO A[JKK]=A[JKK]+A[JI]A[IKK] C[J]=C[J]+A[JI]C[I] END X[N]=C[N]A[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN
85
Q=C[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]A[IJ] X[I]=QA[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В ИСХОДНОЙ ФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN C[I]=0 FOR J=1 TO N DO C[I]=C[I]+N0[IJ]X[J] N[I]=C[I]+NP[I] WRITELN(I2 N[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
3 СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии
Рассмотрим расчетную схему линейно-упругого стержня на рис31а Разобъём ось этого стержня на m равных частей (конечных элементов) соединенных между собой в n узлах (рис31б) Продольные перемещения u(x) в произвольной точке элемента будем считать линейными функциями координат (рис31в)
u x x( ) = +α α1 2 (31) или в матричной форме
[ ] [ ]u x x где T( ) = = minus1 1 2α α α α вектор не-известных коэффициентов Здесь значок laquoΤraquo обозначает опера-цию транспонирования переменная х - координата в глобальной системе осей ОХ
Применяя равенство (31) для узлов r s неизвестные пара-
метры α1 и α2 выразим через смещения узлов
rsr
srrrr x
xxuu
uxuminusminus
minus=+= 121 ααα
221sr
srss xx
uuxu
minusminus
=+= ααα
где ur и us смещения узлов r и s элемента е (рис31г)
87
Рис 31
Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(31) получим
u(x) = Nrur+Nsus (32) Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента
88
1ll
xxN
lN r
slXX
rs
ξξ=
minus=minus== minus
(33)
где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см рис31г)
Перепишем (32) в матричном виде u(x)=[N]δе (34)
где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы δe=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е
В каждом элементе е имеются свои функции перемеще-ний которые стыкуются в узловых точках При этом получается непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-ний для всего стержня те при таком выборе функции (33) зна-чения перемещений на концах смежных элементов являются одинаковими (рис31в)
Отметим что коэффициент α1 в (31) соответствует движению элемента е как твердого тела так как выражение для
продольной деформации εpartpart
=ux
содержит только коэффициент
α2 те
2αε =minus
=l
uu sr
Матрица жесткости элемента В состоянии равновесия вектор узловых усилий Fе=fr fs эле-мента е можно выразить через вектор узловых перемещений δe
Fe=[K]eδe (35) где [K]e- матрица жесткости элемента е
В развернутом виде формула (35) для стержневого эле-мента работающего на растяжение и сжатие имеет вид
ff
k kk k
uu
r
s
rre
rse
sre
sse
r
s
=
( ) ( )
( ) ( )
(36)
89
Здесь k rse( ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s
при условии что в узле r смещений нет В дальнейшем где это возможно значок laquo(е)raquo будем опускать
Построим матрицу жесткости элемента е в локальной сис-теме координат Оξ (рис31г) При этом часто используется принцип возможных перемещений в состоянии равновесия стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении δρu равна нулю
R u R u dvV
1 1 2 2 0δ δ δεσ+ minus =intintint (37)
Здесь V - объем элемента R=R1 R2 - вектор сил приложен-ных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним на-грузкам σ ε - нормальное напряжение и относительная линей-ная деформация в произвольном поперечном сечении элемента
Вычислим например коэффициент k22 матрицы жесткости стержня (рис31д) По определению k22=R2 при u1=0 u2=1 Поле перемещений точек элемента вызванное единичным смещением
узла 2 равно ul
( )ξξ
= times1 а напряжения σ = timesЕl
1 Так как
узел 1 закреплен то δu1=0 Пусть δu2- возможное (кинематиче-ски допустимое) смещение узла 2 Тогда возможные перемеще-ния стержня за счет δu2 будут δu(ξ)=(ξl)δu2 а соответствующие деформации δε=(1l)δu2
Из равенства (37) следует
R uul
El
dV ul
EAdV
l
2 22
2 20
11
δδ
δ ξ= =intintint int
или в силу произвола вариации
kl
EAdx EAl
l
22 20
1= =int
Определяя по аналогии остальные коэффициенты получа-ем матрицу жесткости стержневого элемента работающего на растяжение-сжатие
90
[ ]k
EAl
EAl
EAl
EAl
EAle
=minus
minus
=
minusminus
1 11 1
(38)
Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости стержневого элемента
Деформации внутри элемента е связаны с узловыми пере-мещениями его концов δе=[u1u2]т равенством
[ ] [ ]εξξ ξ
= = =du
ddd
N u B ue e e
( ) ( ) ρ ρ
(39)
где [Β]е=d[N]dξ - матрица-строка деформаций компонентами которой являются производные от функций форм по локальным координатам
[ ]B dNd
dNd l le
=
= minus
1 2 1 1ξ ξ
(310)
Приращение потенциальной энергии деформации элемента за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид
[ ]
[ ] [ ]= ==
intintintintintintintintintδεσδ ε
δdVB u E dV
u B E B dV ue e
eT
eT
e eV
VV
( )
(311)
Работа узловых сил [ ] ρF u ue
T= δ δ1 2 на возможных
вариациях перемещений в узлах [ ]δ δ δ ρu u ue
T= 1 2 равна приращению потенциальной энергии деформации (311)
[ ] [ ]δ δ ( ) ρ ρ ρ ρu B E B dV u u Fe
T
V e
T
e e eT
eintintint =
откуда следует ( ) ρ ρF B EBdV ue
Te
V
= intintint (312)
91
где [ ] [ ]k B EBdVе eT
v
= intintint - матрица жесткости стержневого эле-
мента размерности 2х2 Если в (312) модуль упругости Е заменить на соответст-
вующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука то эта формула в принципе справедлива для задач любой размерно-сти и для элементов любого типа
Определение статически эквивалентных узловых усилий Теперь из условия равновесия определим реактивные уси-
лия действующие на стержневой конечный элемент со стороны узлов в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить с обратным знаком
а) действие распределенной нагрузки
Рис 32
Пусть [ ] ρF F Fq q
T= 1 2 - вектор усилий в узлах элемен-
та уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивно-стью q (рис32)
Применим принцип возможных перемещений полная вир-туальная работа заданных внешних и реактивных усилий на со-ответствующих вариациях перемещений элемента находящего-ся в равновесии должна быть равна нулю
q ud F u F uq
l
δ ξ δ δ+ + =int 1q 1 2 20
0
Используя (34) это равенство перепишем в виде
92
q N u N u d F u F uq
l
( )1 1 2 2 1q 1 2 20
0δ δ ξ δ δ+ + + =int
Учитывая чтоN l и N l1 21= minus =ξ ξ а также про-извол вариаций узловых перемещений δu1 δu2 находим
F qN dx jjq j
l
= minus =int0
1 2( )
При q = const имеем ρF ql qlq
e T( ) [ ]= minus minus2 2
Отметим что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной сис-темы координат Оξ
б) действие температуры Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ) Тогда
компоненты вектора узловых сил [ ]TTTeT FFF 21 =ρ
опре-делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации потенциальной энергии деформации элемента
F u F u dvTV
1T 1 2 2δ δ δεσ+ = intintint
Учитывая что σ ξ α ξ ε ξ ξ ξ( ) ( ) ( ) ( ) = minus = = minus +E T du d u l u l u1 1 2 в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
F EAl
T dx jjT
l
= plusmn =intα
ξ( ) ( )0
1 2
При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
[ ] ρF TEA TEAT e
T= minusα α Компоненты F1T F2T направлены вдоль оси Оξ Таким образом полный вектор узловых усилий на элемент
93
[ ]ρF F Fe
T= 1 2 включает силы статически эквивалентные перемещениям элемента распределенной нагрузке и темпера-турному воздействию
[ ] ρ ρ ρ ρF K u F Fe e e q e T e= + + (313)
Этот вектор вычисляется в локальной системе координат
Составление уравнений равновесия бруса Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)
элементов составляются в глобальной системе координат ОХ единой для всех элементов конструкции (рис31а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы В случае одноосного растяжения и сжатия матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локаль-ной и глобальной координатах совпадают
Неизвестные узловые перемещения для ансамбля эле-ментов могут быть определены из уравнений равновесия узлов Например для узла с номером m можно записать
P Fm m ee m
+ minus =isinsum( ) 0 (314)
где Pm - внешняя сосредоточенная сила приложенная к узлу m по направлению оси ОХ
-Fme - усилие действующее на узел m со стороны эле-мента е Сумма в (314) берется по всем элементам содержащим узел m
311 Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии
Стержень изображенный на рис33а находится под дей-
ствием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q и сосредоточенной силы F=ql
94
Требуется построить эпюры перемещений u x( )prime и нор-мальных напряжений σ В расчетах принять ЕА=1
а) б) в) г)
Рис 33
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных эле-
мента с узлами в точках 12345 (рис33б) Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы координат направим вниз по оси стержня
Введем следующее обозначение k EAl
= и покажем все
усилия действующие на каждый конечный элемент и вырезан-ные узлы (рис34)
Расписывая уравнения равновесия (314) для каждого узла в отдельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
95
minus + minus + =
minus + + =
minus + + =
minus + + =
minus + =
2 2 02 4 2 0
2 32
0
22
0
0
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku R qlu ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
или 2 2
2 4 2
2 32
22
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku ql Rku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
minus = minusminus + minus =
minus + minus =
minus + minus =
minus + =
В матричном виде эта система записывается в виде (315)
В клетках обведенных пунктиром и расположенных сверху вниз по главной диагонали указываются вклады жесткостных харак-теристик каждого элемента в соответствии с их нумерацией (рис31б) Здесь k k k k k33 11
3222
34 123= + =( ) ( ) ( ) и тп Аналогич-
но заполняется вектор правой части в которой компоненты на-грузки элемента засылаются по нужным адресам Этот прием формирования глобальной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ реализующих МКЭ
96
Рис 34
(315)
97
или
[ ] K u Qρ ρ=
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной [ ]ρu u u u u u T= 1 2 3 4 5 - вектор неизвестных узловых пере-мещений ρQ - вектор внешних узловых сил
Учет граничных условий Матрица [K] в системе уравнений (315) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (315) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диагонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на к EAl11∆ ∆=
-члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в правую часть системы
В нашем примере система (315) с учетом сказанного может быть записана в виде
EAl
uuuuu
EA lql EA l
qlql
F
1 0 0 0 00 4 2 0 00 2 3 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1
20 50 5
1
2
3
4
5
minusminus minus
minus minusminus
=+
( )( )
∆∆
98
так как ∆ = 0 ЕА = 1 ql = F то
5050
0
1100012100
013200024000001
5
4
3
2
1
=
minusminusminus
minusminusminus
FlFlFl
Fl
uuuuu
Решение полученной системы линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестного вектора перемещений ρu
проведем методом главных элементов в виде таблицы 31
Таблица 31 mi u1 u2 u3 u4 u5 Свободные
члены 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4 -2 0 0 Fl -05 0 -2 3 -1 0 05Fl 0 0 0 -1 2 -1 05Fl 0 0 0 0 -1 1 Fl -05 - - 2 -1 0 Fl 1 - - -1 2 -1 05Fl -05 - - - -1 1 Fl 1 - - 15 - -05 125Fl -033333 - - -05 - 05 125Fl - - - - - 0333
33 166667Fl
Ответ 0 15Fl 25Fl 40Fl 50Fl В результате решения преобразованной системы полу-
чим
99
uFl
Fl
uFl Fl
Fl
uFl Fl Fl
Fl
uFl Fl
Flu
5
3
4
2
1
1 66670 33333
5 0
1 25 0 5 51 5
2 5
0 5 2 5 52
4 02 2 5
41 5
0
= =
=+ times
=
=+ +
=
=+ times
=
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения
4times15Fl-2times25Fl=Fl -2times15Fl+3times25Fl-4Fl=05Fl -25Fl+2times40Fl-5Fl=05Fl -4Fl+5Fl=Fl
Ответ [ ]ρu Fl F l F l F l T= 0 1 5 2 5 4 0 5 0 Линейные деформации каждого элемента вычисляются
по формулам (39) и (310)
ε
ε
ε
ε
(
( )
( )
( )
( )
( )
1)
2
3
4
1 1 015 15
1 1 152 5
15 2 5
1 1 2 54
2 5 4 0 15
1 1
= minus
=
= minus
= minus + =
= minus
= minus + =
= minus
l lFl
EA
FEA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
l lFl EA
Fl EAF
EAF
EA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
= minus + =
45
4 0 5 0
( )
Нормальные напряжения σ в центре каждого элемента равны
100
σ σ σ σ( ( ) ( ) ( ) 1) 2 3 41 5 1 0 1 5 1 0= = = =FA
FA
FA
FA
По результатам вычислений строим эпюры безразмерных пере-
мещений u EAFl
u x= prime( ) и напряжений σ (рис31вг) При по-
строении эпюры σ учитываем что нормальное напряжение на участках стержня где действует постоянная распределенная на-грузка изменяется по линейному закону а на участках где она отсутствует - постоянна
Подбор поперечных сечений бруса Проектировочный расчет проведем в системе Mathcad
Зададим размерности величин в привычном виде
Пусть дано
Тогда внешняя сила F будет равна
Допускаемое нормальное напряжение σadm 160МПаsdot=
Из эпюры на рис33г видно что опасными сечениями бруса являются сечения проходящие немного ниже точек 1 и 3 В этих точках максимальное нормальное напряжение
σmax 20FAsdot=
Из условия прочности при растяжении и сжатии
кН 1000 Nsdot= МПа 106 N
m2sdot=
м m= см 01 msdot=
l 1 мsdot= q 5кНм
sdot=
F q lsdot= F 5 103times N=
101
σmax σadmle находим параметр А площади допускаемого поперечного сече-ния
20F
Aadmsdot σadm
Таким образом при заданном значении σadm 160МПаsdot=
площадь поперечного сечения верхнего участка равна A1=125
см2 нижнего - 0625 см2 Округлим эти значения в большую сторону до значений оканчивающихся на цифры 0 или 5 Тогда для верхних двух участков можно принять А1 = 15 см2
для нижних - А2 = 10 см2 Для круглых поперечных сечений можно вычислить их
диаметры
Расчет вала при действии внешних крутящих моментов проводится аналогично Только в этом случае необходимо вме-
Aadm 20F
σadmsdot= Aadm 625 10 5minus
times m2=
A1 2 Aadmsdot= A1 125 10 4minustimes m2
= A2 Aadm=
d14 A1sdot
π= d1 0013m= d1 15 смsdot=
d24 A2sdot
π= d2 8921 10 3minus
times m= d2 10 смsdot=
102
сто сил рассматривать крутящие моменты а вместо распреде-ленных нагрузок ndash распределенные моменты Неизвестными в уравнениях являются углы φ поворота сечений величины GIk характеризуют жесткости участков вала
32 Пример расчета ступенчатого вала при кручении Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с непод-
вижно закрепленными концами находится под действием внеш-них крутящих моментов M и 4M (рис35)
Требуется
1) составить систему линейных уравнений по МКЭ 2) найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их через M
l и D
103
3) построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных ка-сательных напряжений τmax
4) построить эпюру крутящих моментов Mк 5) при заданном значении допускаемого касательного напряже-
ния τadm=70Мпа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
6) найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
7) составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реализую-щую алгоритм решения задачи
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый вал на 4 конечных элемента с
узлами в точках 12345 (рис35б) Начало координат совмес-тим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы коор-динат направим вправо по оси стержня
Введем следующие обозначения
82
16
16
502
16
4
44
3
33
2
22
1
11
4321
lGI
lGI
lGI
klGI
lGI
k
lGI
lGI
kl
GIl
GIl
GIk
GIGIGIGIGIGI
PPPPP
PPPPPPPPPPP
=sdot
==sdot
==
==sdot===
sdot====
где 410 DIP asymp -полярный момент инерции поперечного сечения вала Покажем все моменты действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис36)
Расписывая уравнения равновесия для каждого узла в от-дельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю не-известными
104
Рис36
=minus+minus=+minus++minus
=minus++minus=+minus++minus
=minusminus
004)(
0)(0)(
0
544
5444333
4333222
3222111
2111
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
105
или
=+minusminus=minus++minus
=minus++minusminus=minus++minus
=minus
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
5444
5444333
4333222
3222111
2111
4)(0)(
)(
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
В матричном виде эта система записывается в виде (316)
minus
minus=
minusminus+minus
minus+minusminus+minus
minus
B
A
MM
MM
kkkkkk
kkkkkkkk
kk
40
)()(
)(
5
4
3
2
1
44
4433
3322
2211
11
ϕϕϕϕϕ
(316)
или [ ] QK
ρρ=ϕ
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной
T][ 544321 ϕϕϕϕϕϕϕ =ρ
- вектор неизвестных узловых углов поворота сечений
Qρ
- вектор внешних узловых крутящих моментов Подставляя выражения для k1 k2 k3 k4 записанные через
жесткости GIp получим систему
106
minus
minus=
minusminusminus
minusminusminusminus
minus
B
A
p
MM
MM
lGI
40
8882416
1617115150
5050
5
4
3
2
1
ϕϕϕϕϕ
Учет граничных условий Предположим что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах
вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2 Тогда с учетом ска-занного в п 311 система (316) может быть записана в виде
∆times∆timestimes+minus
∆times+minus∆
=
minusminusminus
minus
2
2
1
1
5
4
3
2
1
)()(804
0)(50
)(
100000241600016171000151000001
lGIlGIM
lGIMlGI
lGI
p
p
p
p
p
ϕϕϕϕϕ
Так как ∆1=∆2=0 то
040
0
100000241600016171000151000001
0
0
5
4
3
2
1
minus
minus=
minusminusminus
minus
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
где pGIlM times
=0ϕ - обозначение
107
Так как ϕ1=ϕ5=0 то решаем 234 уравнения методом Гаус-са в виде таблицы 32
Таблица 32
mi ϕ2 ϕ3 ϕ4 Свобод-ные члены
1 15 -1 0 -ϕ0 -23 -1 17 -16 0 0 0 -16 24 -4ϕ0 1 0 493 -16 (-23)ϕ0 -4849
0 -16 24 -4ϕ0
0 40849 (-22849)ϕ0
Ответ (-1817)ϕ0 (-1017)ϕ0 (-1934)ϕ0 В результате решения преобразованной системы получим
5588203419
40849
49228
000
4 ϕϕϕ
ϕ primeminus=minus=sdotminus=
5882301710)
349()
341916
32( 00003 ϕϕϕϕϕ minus=minus=sdotminusminus=
0588211718
511710
00
00
2 ϕϕϕϕ
ϕ minus=minus=sdotminusminus
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного ре-
шения в исходные уравнения 15times(-105882ϕ0)-1times(-058823)=-ϕ0 -1times(-105882ϕ0)+17times(-058823ϕ0)-16times(-055882ϕ0)=0 -16times(-058823ϕ0)+24times(-055882ϕ0)=-4ϕ0
Ответ ϕ1=0 ϕ2=-105882ϕ0 ϕ3=-058823ϕ0 ϕ4=-055882ϕ0 ϕ5=0
или в векторном виде
108
T
minusminusminus= 0
3419
1710
17180 000 ϕϕϕϕ
ρ
Угловые деформации и максимальные касательные напря-жения в сечениях каждого элемента вычисляются по формулам
11
11
)(max
)(
sdot
minus=
sdot
minus=
K
He
K
He
llGR
llR
ϕϕ
τ
ϕϕ
γ
где R ndashрадиус поперечного сечения элемента e вала ϕH и ϕK ndash соответственно углы поворота левого и правого концов конечного элемента в глобальной системе координат
Тогда максимальные касательные в каждом элементе рав-ны
7941226117
76
03419
21
21
2941206117
8
34191710
11
3529422017
8
17101718
112
6470622017
9
17180
21
21
2
330)4(
max
33
0
0)3(
max
33
0
0)2(
max
330
)1(max
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
=sdot=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
minus=sdotminus=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕτ
109
Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов [ ]TKH
ek MMM =
ρ в каждом элементе е по формуле
[ ]
sdot
minus
minussdot=sdot=
K
Hpeeek l
GIkM
ϕϕ
ϕ1111)()()( ρρ
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и пра-
вом концах конечного элемента МН и МК ndash крутящие моменты на левом и правом концах
элемента соответственно
470590470590
55882058828055882058828016
558820588230
111116
470590470590
588230058821588230058821
588230058821
1111
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
0)3(
0
0
0)2(
0
0
2
2
2
1)1(
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
pK
p
pK
p
ppK
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ρ
ρ
ρ
110
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)3(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)4(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
ных углов поворота 0ϕϕ
касательных напряжений MD3
max sdotτ
и крутящих моментов MKM (рис37) Подбор сечений вала (проектировочный расчет) Пусть дано М=2 кНм τadm=70 Мпа ndash допускаемое каса-
тельное напряжение для стали Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по
модулю значение
3)4(
maxmax 794122DM
== ττ
Из условия прочности при кручении τmax le τadm
находим диаметр D
admDM τ=3794122
111
сммMDadm
adm 3141070
1027941227941223
6
3
3 =sdot
sdotsdot=
sdot=
τ
Рис 37
Таким образом при заданном значении τadm=70 Мпа оп-ределили диаметр Dadm из расчета на прочность Теперь округ-лим его до значения оканчивающегося на цифру 0 или 5 (в большую сторону) те в нашем случае диаметры первых двух участков вала можно принять равным D=45 мм а диаметры остальных участков 2D=90мм
Найдем максимальный угол поворота сечений ϕmax при-няв l=05м модуль сдвига для стали G=08105 Мпа М=2кНм IP=01D4
058821 02max ϕϕϕ ==
805321
)1054(10108050102
4211
3
0 =sdotsdotsdotsdot
sdotsdot=
sdotsdot
= minusPIGlMϕ
112
032276080532
058821max рад==ϕ
Указания к составлению программ на ЭВМ При численной реализации МКЭ заполнение матрицы же-
сткости [K] и вектора правой части Q ансамбля элементов производится с использованием упомянутого ранее метода пря-мых жесткостей учитывающего вклад каждого элемента в от-дельности по формулам
K k Q F F FIJ ije
e I JJ J jq
e
e JjT
e
e T= = + minus + minus
isin isin isinsum sum sum( )
( ) ( ) ( ) ( ) (317)
Здесь локальные номера ij узлов элемента е должны соответст-вовать глобальным номерам узлов ансамбля IJ Суммы берутся по всем элементам ансамбля содержащим узлы IJ В правые части формул (317) подставляются компоненты матриц жестко-сти и векторов приведенных узловых сил отдельных элементов вычисленные в глобальной системе координат
Рассмотрим более подробно один из вариантов процесса сборки глобальной матрицы жесткости ансамбля элементов
Разбитый на элементы стержень можно полностью описать двумя массивами - глобальными координатами узлов xi и матри-цей индексов элементов
Последний из них позволяет установить связь элементов друг с другом Под набором индексов данного элемента будем понимать глобальные номера узлов элемента выписанные в по-рядке возрастания их локальных номеров С помощью матрицы индексов обычно проводят сборку глобальной матрицы жестко-сти в виде двумерного массива SGL(neqneq) где neq -число сте-пеней свободы дискретной модели стержня Обозначим через IT(nsenel) матрицу индексов где nse - число степеней свободы элемента nel - количество элементов дискретной модели SE(nsense) - матрица жесткости элемента Алгоритм сборки со-стоит в том что для каждого элемента попарно следует пере-брать все индексы данного к-го элемента (включая и тот случай
113
когда индекс образует пару сам с собой) Пара локальных номе-ров IJ дает адрес (те строку и столбец) числа которое должно быть выбрано из матрицы жесткости элемента Другая же пара индексов IT(IK) IT(JK) определяет адрес в глобальной матрице жесткости по которому должен быть просуммирован выбран-ный коэффициент матрицы жесткости элемента Так как обра-ботка индексов происходит в порядке возрастания номеров эле-ментов то заполнение глобальной матрицы жесткости происхо-дит случайным образом
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем
МКЭ Блок-схема алгоритма реализующая МКЭ представлена
на рис38 Дадим некоторые пояснения к этому алгоритму На 1-м этапе производится ввод исходных данных (коор-
динат узлов и номеров конечных элементов) и их распечатка (для контроля) Вводится также информация о внешних нагруз-ках граничных условиях механических характеристиках мате-риала отдельных элементов конструкции (блок 2) Заполняются нулями глобальная матрица жесткости и вектор нагрузки (блок 3)
На 2-м этапе в цикле (блок 4) вычисляются матрицы жест-кости (блок 5) и векторы эквивалентных узловых сил для от-дельных элементов (блок 7) которые включаются в глобальную матрицу жесткости К (блок 6) и вектор нагрузки
ρQ (блок 8)
После выхода из цикла в векторе ρQ учитываются компо-
ненты внешних сосредоточенных узловых сил по соответст-вующим степеням свободы (блок 9) В результате завершения 2-го этапа оказывается сформированной матрица и правая часть системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относи-тельно неизвестных узловых перемещений
114
На 3-м этапе производится учет заданных граничных усло-вий (блок10) и решением полученной СЛАУ (блок 11) опреде-ляются неизвестные узловые перемещения
На 4-м этапе в цикле по элементам вычисляются деформа-ции и напряжения в отдельных конечных элементах (блоки 12-15) Общий выход осуществляется в блоке 16
Отметим что при решении больших задач ввиду ограни-ченности памяти ЭВМ матрицу жесткости ансамбля элементов обычно хранят в виде ленты шириной L Величина L равна рас-стоянию от наиболее удаленного ненулевого элемента матрицы до главной диагонали Изменение ширины ленты матрицы мож-но добиться с помощью изменения порядка нумерации узлов
Начало
Ввод исхданных
Обнуление матрицы К и вектора Q
1
1
2
3
115
1
Цикл по элементам
Построение матрицы жесткости элемента в глобальных коорди-натах
Формирование глобальной мат-рицы жесткости системы К
Вычисление эквивалентных узло-вых сил для элемента в глобальных координатах
Формирование глобаль-ного вектора нагрузки Q
Добавление внешних сосредо-точенных сил
2
4
5
6
7
8
9
116
2
Учет граничных условий
Решение СЛАУ
Цикл по элементам
Вычисление внутр сило-вых факторов в локаль-ных осях
Вычисление напряжений Оценка прочности
Печать результатов
Конец
10
11
12
13
14
15
16
Рис38
117
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ Program MCE Uses crt const nue=2 nel=4 число конечных элементов nuz=5 число узлов ансамбля элементов ndis=1число узловв которых заданы перемещения type mas1=array[1nel] of real mas3=array[1nel1nue] of integer mas5=array[1nue1nue] of real mas7=array[1nuz1nuz] of real mas8=array[1nuz] of real mas9=array[1ndis] of integer mas10=array[1ndis] of real mas12=array[1nue] of real mas14=array[1nel1nue] of real var ielijinteger ardleedeforsigmamas1 nugmas3 semas5 sglmas7 rezmas8 nsdmas9 dismas10 r1mas12 bbrzmas14 const kdlmas1=(10101010) keemas1=(10101010) knugmas3=((12) (23) (34) (45)) knsdmas9=(1) kdismas10=(00) karmas1=(20201010) procedure MEL var j1k1l1integer
118
eflq0psreal begin efl=ee[iel]ar[iel]dl[iel] for j1=1 to nue do for k1=1 to nue do se[j1k1]=00 se[11]=efl se[12]=-efl se[21]=-efl se[22]=efl for j1=1 to nue do begin writeln for k1=1 to nue do write(se[j1k1]51) end readln readln(q0) r1[1]=05q0dl[iel] r1[2]=05q0dl[iel] for j1=1 to nue do write( r1[j1]53) readln end Procedure MGL var j1k1l1m1n1integer begin for j1=1 to nue do begin l1=nug[ielj1] rez[l1]=rez[l1]+r1[j1] for k1=1 to nue do begin n1=nug[ielk1] sgl[l1n1]=sgl[l1n1]+se[j1k1] end end
119
end Procedure GRAN var i1j1k1l1integer begin for i1=1 to ndis do begin j1=nsd[i1] k1=nsd[i1] for l1=1 to nuz do begin rez[l1]=rez[l1]-sgl[l1j1]dis[i1] sgl[l1j1]=00 end for l1=1 to nuz do sgl[k1l1]=00 sgl[k1k1]=10 rez[k1]=dis[i1] end end Procedure PRAV var k1nqicinteger begin repeat write(Введите номер узла) readln(nq) write(Введите компоненты усилия) read(r1[1]) writeln rez[nq]=rez[nq]+r1[1] until nqgt=nuz end Procedure SISTEM var i1j1k1l1integer x1array[1nuz] of real q1real begin for i1=1 to nuz do for j1=i1+1 to nuz do
120
begin sgl[j1i1]=-sgl[j1i1]sgl[i1i1] for k1=i1+1 to nuz do sgl[j1k1]=sgl[j1k1]+sgl[j1i1]sgl[i1k1] rez[j1]=rez[j1]+sgl[j1i1]rez[i1] end x1[nuz]=rez[nuz]sgl[nuznuz] for i1=nuz-1 downto 1 do begin q1=rez[i1] for j1=i1+1 to nuz do q1=q1-x1[j1]sgl[i1j1] x1[i1]=q1sgl[i1i1] end l1=0 for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do begin l1=l1+1 rz[ielj1]=x1[l1] end l1=l1-1 end writeln(Массив перемещений разделенный по узлам) for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do write( rz[ielj1]53) writeln end end Procedure STRESS var j1integer begin for iel=1 to nel do begin1
121
defor[iel]=00 sigma[iel]=00 for j1=1 to nue do begin2 if j1=1 then bb[ielj1]=-1dl[iel] else bb[ielj1]=1dl[iel] defor[iel]=defor[iel]+bb[ielj1]rz[ielj1] end2 sigma[iel]=defor[iel]ee[iel] end1 for j1=1 to nel do write(j13)sigma[j1]54) writeln end
Begin clrscr dl=kdl nug=knug nsd=knsd dis=kdis ar=kar ee=kee for i=1 to nuz do begin rez[i]=00 for j=1 to nuz do sgl[ij]=00 end for iel=1 to nel do begin MEL MGL end PRAV GRAN SISTEM STRESS end
122
35 Расчет рам методом конечных элементов Матрица жесткости балочного элемента конструкции Рассмотрим расчетную схему линейно-упругой рамы в глобаль-ных (общей для всей системы) осях координат xyz (рис39а)
Рис 39
Разобъем ось этой рамы на m частей (конечных элемен-
тов) соединенных между собой в n узлах (рис39а) Каждому элементу под номером е поставим в соответствие систему ло-кальных осей координат xyz (рис39б) Рассмотрим в плоско-сти xy деформацию поперечного изгиба элемента На концах этого элемента укажем векторы узловых перемещений
[ ]Te uuuuu 4321)( =
ρ и узловых усилий [ ]Te RRRRR 4321
)( =ρ
Нумерация и положительные направ-ления компонентов этих векторов показаны на рис39б Связь
123
между ними обеспечивается как известно матрицей жесткости k(e) элемента е
)()()( ][ eee ukR ρρsdot= (318)
В дальнейшем там где возможно значок (е) будем опускать Прогиб балки w(x) в произвольном ее сечении будем считать функцией координаты x в локальной системе осей oxy (рис39б)
)( 34
2321 xxxxw prime+prime+prime+=prime αααα (319)
или в матричной форме [ ] [ ] minus=sdotprimeprimeprime=prime Tгдеxxxxw 4321
32 1)( ααααααвектор неизвестных коэффициентов
Применяя равенство (319) для концевых узлов элемента е
неизвестные параметры α1 α2 α3 α4 выразим через смещения
этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений
проходящих через соответствующие узлы
132332)(
)()0()0(
43221232
4324
34
232132211
ul
ul
ul
ul
lllxd
dwu
llllwuxd
dwuwu
minus+minusminus=rArr++=prime
=
+++===prime
===
αααα
αααααα
4233221341212 ul
ul
ul
ul
+minus+=α
Подставляя в (319) и выполняя преобразования получим
sum=
prime=prime4
1)()(
kkk xEuxw
(320)
где
124
)(23)(
2)(231)(
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
lx
lxxE
lx
lxxE
lx
lxxxE
lx
lxxE
prime+
primeminus=prime
primesdotminus
primesdot=prime
prime+
primesdotminusprime=prime
primesdot+
primesdotminus=prime
-функции перемещений известные под названием функций Эр-
мита Каждая из этих функций Ek(x) характеризует прогиб жест-
ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
направлению k (uk=1) (рис310)
Рис 310
Формулу (320) можно записать в матричном виде
[ ] uxNxw ρsdotprime=prime )()( (321)
где [ ])(xN prime - матрица-строка элементы которой являются функ-
циями локальной координаты х
[ ] [ ])()()()()( 4321 xExExExExN primeprimeprimeprime=prime (322)
125
Запишем теперь дифференциальные зависимости для из-
гиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах
)()(3
3
2
2
xdxwdEIQ
xdxwdEIM
primeprime
sdot=primeprime
sdot=
где М и Q ndash изгибающий момент и поперечная сила в сечении
балки положительные направления которых показаны на
рис39б Так как на концах балки (при x=0 и l) изгибающий
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми
значениями то с учетом их направлений можно записать
)()()()(
)0()0()0()0(
2
2
43
3
3
2
2
23
3
1
lxd
wdEIlMRlxd
wdEIlQR
xdwdEIMR
xdwdEIQR
primesdot==
primesdotminus=minus=
primesdotminus=minus=
primesdot==
Эти равенства с использованием формул (321) можно пе-
реписать в виде
[ ] [ ][ ] [ ] ulNEIRulNEIR
uNEIRuNEIRρρρρ
sdotprimeprimesdot=sdotprimeprimeprimesdotminus=sdotprimeprimesdotminus=sdotprimeprimeprimesdot=
)()()0()0(
43
21
Сравнивая эти соотношения с уравнением (318) запишем
матрицу жесткости элемента в виде
[ ]
primeprimeprimeprimeprimeminus
primeprimeminus
primeprimeprime
sdot=
)()()0(
)0(
lNlN
NN
EIk
или составляя выражения для производных с учетом
(320)(322) получим окончательно
126
[ ]
minusminusminusminus
minusminus
=
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIk
(323)
Отметим что элемент kij этой матрицы численно равен
реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис310)
Определение статически эквивалентных узловых уси-
лий
Пусть на элемент е рамы действует положительная попе-речная распределенная нагрузка интенсивностью q(x) (рис311)
Рис 311
Тогда силовые факторы qR
ρ в узловых сечениях элемента
эквивалентные этой нагрузке можно определить с помощью принципа возможных перемещений
0)()(0
=sdot+ intl
qT dwqRu ξξδξδρρ
(324)
127
Так как sum=
prime=4
1
)(k
kk xEuw δδ то из (324) следует
sum int=
=+4
1 0
0)()(k
l
kkqT dEquRu ξξξδδρρ
Следовательно для j-й компоненты вектора qRρ
получим
формулу
int =minus=l
jjq jdEqR0
)4321()()( ξξξ
При q(x)=const получим T
q qlqlqlqlR
minusminusminus= 22
121
21
121
21ρ
(325)
те компоненты этого вектора фактически являются реак-
тивными усилиями и моментами в балке с защемленными кон-
цами нагруженной распределенной нагрузкой q (рис311) Зна-
ки компонент jqRρ
соответствуют положительным направлениям
степеней свободы на рис39б
Преобразование локальных координат в глобальные
Необходимость в таком преобразовании возникает в связи
с составлением уравнений равновесия для всей конструкции в
целом в глобальной системе координат (рис312)
128
Рис 312
Связь между локальными )( zyxx primeprimeprime=primeρ и глобальными
)( zyxx =ϖ координатами записывается в виде
[ ] xtx ρρsdot=prime (326)
где [ ] )cos()cos()cos(
дтиzxtyxtxxt
ttttttttt
t
zx
yx
xx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
prime=
prime=
prime=
=
prime
prime
prime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
Заметим что [ ]t представляет собой матрицу вращений
локальных осей относительно глобальных
Если известны глобальные координаты концов ij элемента
балки то направляющие косинусы оси x (оси балки) определя-
ются по формулам (i lt j)
l
zzt
lyy
tl
xxt ij
zxij
yxij
xxminus
=minus
=minus
= primeprimeprime
129
где 222 )()()( ijijij zzyyxxl minus+minus+minus= - длина эле-
мента
Компоненты матрицы [ ]t должны удовлетворять усло-
виям ортогональности осей координат
00 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime zzzxyzyxxzxxzyzxyyyxxyxx tttttttttttt
0=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzzyyzyyxzxy tttttt
Кроме того между направляющими косинусами еди-
ничных векторов имеются зависимости
11 222222 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzyzxzzyyyxy tttttt
Условие ориентации относительно глобальной оси оу
главной центральной оси инерции сечения элемента oy записы-
вается в виде (рис312)
)cos(γ=primeyyt
В общем случае нагружения нумерация и положительные
направления узловых параметров (обобщенных перемещений и
усилий) элемента laquoеraquo в локальных осях xyz показаны на
рис313
130
Рис 313
Считаем что локальная система координат направлена от
узла с меньшим номером к узлу с большим номером по глобаль-
ной нумерации узлов всей конструкции В глобальных осях xyz
порядок нумерации и направления узловых параметров изобра-
жены на рис314
Рис 314
Согласно рис313 314 обозначим через
131
Tuuuu ][ 1221 primeprimeprime=prime Κρ и Tuuuu ][ 1221 Κϖ= векторы узловых пе-
ремещений элемента в локальных и глобальных координатах
соответственно Тогда связь между ними можно задать в виде
формулы
uTu ρρ ][=prime (327)
где [Т] ndash ортогональная матрица преобразования координат
([Т]-1=[Т]Т) Вид ее однозначно определяется из равенства (327)
и имеет блочно-диагональную структуру
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
=times
tt
tt
T1212
(328)
Каждый блок [ ]33times
t выполняет преобразование над поступа-
тельными или вращательными компонентами одного узла В ча-
стности для плоской рамы матрица преобразований имеет вид
[ ]
=
primeprime
primeprime
primeprime
primeprime
1000000000000000010000000000
yyxy
yxxx
yyxy
yxxx
tttt
tttt
T
(329)
Компонентами этой матрицы являются направляющие ко-
синусы между соответствующими осями локальной и глобаль-
132
ной систем координат
)()(
)cos()cos(
)(
)cos()(
)cos(
22ijij
xxyyyxxyyyxy
ijyx
ijxx
yyxxl
ttttyytxytl
yyyxt
lxx
xxt
minus+minus=
=minus=prime=prime=
minus==
minus=prime=
primeprimeprimeprimeprimeprime
primeprime
(330)
Заметим что угловые перемещения uiz и ujz при повороте
координат в плоскости изгиба не изменяются поэтому на соот-
ветствующих местах матрицы стоят единицы
Пусть Ru Tρρ
δ - работа узловых сил Rρ
на возможных пере-
мещениях uρδ в глобальной системе координат а Ru T primeprimeδρρ - рабо-
та узловых сил Rprimeρ
на возможных перемещениях u primeρδ в локаль-
ной системе координат Поскольку работа не зависит от того в
какой системе производятся вычисления то можно записать
RuRu TT primeprime=ρϖρϖ δδ Так как согласно (327) TTT Tuu ρρ δδ =prime то
RTuRu TTT prime=ρϖρϖ δδ Ввиду произвольности вектора Tuρδ получим
RTR T prime=ρρ
][ (331)
Учитывая (318) и (331) можно записать
uTkTukTR TT primeprime==ρρρ
][][][][][
Следовательно преобразование матрицы жесткости эле-
мента выполняется по матричной формуле
[ ] [ ] ][][ TkTk T sdotprime= (332)
133
Составление уравнений равновесия для стержневой
системы
Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат xyz единой для всех элементов конструкции (рис39а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы
Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной системе координат xyz Обозначим через ui вектор перемещений типового узла i Число элементов этого вектора равно числу сте-пеней свободы узла Матрицу внешних сил действующих в узле i в направлении перемещений ui обозначим через Ri
Векторы узловых перемещений и сил для всей конструк-ции обозначим
u=[u1u2hellipum]T R=[R1R2hellipRm]T где m ndash число узлов стержневой системы
Если на элемент конструкции действует внеузловая на-грузка то считаем что на узел i этого элемента действует вектор эквивалентной нагрузки R0i число элементов которого равно числу степеней свободы узла Для всей конструкции можно за-писать вектор R0=[R01 R02 hellip R0m]T
Тогда связь между узловыми силами и узловыми переме-щениями может быть представлена в виде равенства
R=Ku+R0 (333) или в развернутой форме
+
sdot
=
0m
0i
01
m
j
1
m
i
1
R
R
R
u
u
u
R
RΜ
Μ
Μ
Μ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚ
Μ
Μ
mmmjm
imiji
mj
kkk
kkk
kkkR
1
1
1111
134
Если предположить что силы действующие в узлах кон-струкции известны то равенство (333) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно компонентов вектора перемещений u
Ku=Q (334) где Q=R-Ro ndashвектор внешних сил Квадратная матрица K систе-мы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ) Эле-менты kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости k(e)
ij отдельных элементов по формуле )321()( mjikk e
ijij Κ==sum (335)
где суммирование выполняется по всем элементам входящим в стержневую систему При этом нужно учитывать то что
0)( =eijk если соответствующий элемент не соединяет узлы i j
Следовательно для получения ОМЖ можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня k(e)
ij распределить по соот-ветствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости поло-жение которых определяется нижними индексами и затем про-извести суммирование всех накладывающихся элементов
При формировании вектора Q в уравнении (334) можно воспользоваться аналогичным правилом
sum= )(eii QQ (336)
где суммирование производится по всем элементам сходящимся в узле i Описанный прием формирования объединенной матри-цы жесткости и вектора правой части называется методом пря-мых жесткостей и используется при составлении программ реа-лизующих МКЭ
Отметим что в матрице К все ненулевые элементы сгруп-пированы вблизи главной диагонали те образуют своеобразную ленту Ширину этой ленты можно определить по формуле
yee
ennnL sdot+minus= ]1)(max[ )(
min)(
max)( (337)
135
где )(min
)(max ee nn - максимальный и минимальный номера узлов
отдельного элемента по глобальной нумерации ny ndash число сте-пеней свободы в узле максимум берется по всем элементам стержневой конструкции С целью экономии памяти ЭВМ и времени обработки информации матрица K уравнения (333) часто хранится в виде прямоугольного массива размерности NtimesL где N ndash число неизвестных узловых параметров При этом нижний правый треугольник массива дополняется нулями От-метим что чем меньше ширина ленты тем эффективнее работа-ет программа Поэтому необходимо тщательно продумывать глобальную нумерацию узлов системы в то же время порядок нумерации элементов не так важен он определяет только после-довательность заполнения ОМЖ
Определим теперь вектор )(eRρ
узловых силовых факторов в этом элементе laquoеraquo в локальной системе координат oxy В силу формул (318)(327) имеем
)()( ]][[ ee uTkR ρρ= (338)
где )(euρ - вектор узловых перемещений элемента в глобальных координатах оху
Следовательно для вычисления внутренних силовых фак-торов в элементе рамы можно рассмотреть этот элемент отдель-но в виде балки нагруженной на концах вычисленными узловы-ми силовыми факторами По внутренним силовым факторам можно судить о прочности рассматриваемого стержневого эле-мента конструкции
351 Пример расчета плоской рамы Для рамы изображенной на на рис315 построить эпюру
изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1=I Моменты инерции ригелей также одинаковы и равны I2=2I
136
Решение (ручной счет) Примем условно параметр жесткости элемента рамы на
изгиб EI и на растяжение-сжатие EA равными 1 Схема нумера-ции и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис316
Рис 315
Рис 316
Вычислим матрицы жесткости отдельных конечных эле-
ментов в местных координатах направив ось оx от узла с мень-шим номером к узлу с большим номером По формуле (323) имеем
137
654321654321
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)1(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
121110987121110987
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)2(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
151413121110151413121110
333133300667033300333011100333011100001670001670667033300333133300333011100333011100001670001670
)3(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
138
121110654121110654
333166700667066700667044400667044400003330003330667066700333166700667044400667044400003330003330
)4(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
181716121110181716121110
000137500500037500375018700375018700002500002500500037500000137500375018700375018700002500002500
)5(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
Согласно (333) вычислим теперь матрицы жесткости эле-
ментов в глобальной системе координат xyz Используя формулы (332) составляем матрицы преобра-
зования координат Так как для горизонтальных стержней рамы локальные оси совпадают с направлением глобальных осей то матрица Т в этом случае является единичной Для вертикальных стержней
139
minus
minus
=
100000001000010000000100000001000010
T
Производя перемножение матриц по формуле (332) полу-чим для 4-й и 5-й стержней
121110654121110654
333106670667006670033300033300667004440667004440
667006670333106670033300033300667004440667004440
)4()4(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
181716121110181716121110
000103750500003750025000025000375001870375001870
500003750000103750025000025000375001870375001870
)5()5(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
140
Справа от матриц обозначены номера строк а под ними - номера столбцов соответствующие степеням свободы данного стержня Заметим что перемножение матриц при ручном счете удобнее производить в системе Mathcad
Для получения обобщенной матрицы жесткости всей рамы поместим все элементы матрицы жесткости )(e
ijk каждого стерж-ня е в ячейки ОМЖ согласно нижним индексам по формуле (335) и просуммируем все элементы попавшие в одну и ту же ячейку Например
88602500333011101920
29203750667000
99901870444016702000
644044402000
)5(1111
)4(1111
)3(1111
)2(11111111
)5(1210
)4(1210
)3(1210
)2(12101210
)5(1010
)4(1010
)3(1010
)2(10101010
)4(44
)1(4444
=+++=
=+++=
minus=+minus+=
=+++=
=+++=
=+++=
=+=+=
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkk
В результате получим объединенную матрицу жесткости (ОМЖ) прямоугольная лента (18times9) которой имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
2 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
3 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
4 0644 0 0667 0 0 0 -0444 0 0667
5 0525 -0480 0 0 0 0 -0333 0 0
6 2933 0 0 0 -0667 0 0667 0 0
7 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
8 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
9 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
10 0999 0 -0292 -0167 0 0 -0187 0 0375
11 0886 -0147 0 -0111 0333 0 -0250 0 0
141
12 5267 0 -0333 0667 -0375 0 0500 0 0
13 0167 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0111 -0333 0 0 0 0 0 0 0
15 1333 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0187 0 -0375 0 0 0 0 0 0
17 0250 0 0 0 0 0 0 0 0
18 1000 0 0 0 0 0 0 0 0
Векторы узловых сил эквивалентных внешним нагрузкам в глобальной системе xyz координат равны
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000300020000000300020000
000000000000000000000000
083250020000083250020000
181716121110)5(
121110654)4(
151413121110)3(
121110987)2(
654321)1(
T
T
T
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
=
=
minusminusminus=
=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Над элементами этих векторов указаны соответствующие
номера степеней свободы концов каждого стержня которые по-зволяют сформировать вектор правой части Q уравнения (334) с использованием формулы (336)
142
T
Q
minus
minusminus
minusminusminus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300020000
000300020000000000000000
083250020000083250020000
Таким образом получены левая и правая части системы линейных алгебраических уравнений вида (17) где u=[u1u2hellipu18]T- вектор неизвестных узловых перемещений ра-мы
Учет граничных условий Матрица K в системе уравнений (334) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию те
u1= u2 = u8 = u14 = u16 = u17 = u18 = 0 Так как размеры поперечных сечений стержней достаточ-
но малы по сравнению с их длинами то влиянием осевых де-формаций на перемещения в рамах можно пренебречь Поэтому расчет можно несколько упростить если считать что изменение длин элементов равны нулю те дополнительно принять u4 = u5 = u11 =0
Учет заданных перемещений можно произвести следую-щим образом Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (334) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диа-гонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на 11∆k -члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в
правую часть системы
143
Аналогично учитываются и остальные заданные переме-щения Тогда вектор правой части системы (334) преобразуется к виду
T
Q
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300000000
000300000000000000000000
083200000000083200000000
Решая эту систему одним из известных методов например методом Гаусса получим искомый вектор перемещений в гло-бальных осях oxy
T
u
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
Следовательно каждый узел исходной рамы при заданной внешней нагрузке получает перемещения выражаемые вектора-ми
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
TT
TT
TT
uu
uu
uu
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
65
43
21
==
minus==
=minus=
Вычислим теперь соответствующие векторы узловых си-ловых факторов для каждого элемента по формулам (338)
144
[ ][ ][ ][ ][ ] 027901616049605618501616049605
28261161606600279780161606602
000004469100000318735531200000
41761283500000000002835000000
797806596216100000003404216100
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
T
T
T
T
T
R
R
R
R
R
minusminusminusminus=
minusminusminus=
minusminus=
minusminusminusminus=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Используя эти узловые силовые факторы выписываем
формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис317)
Рис 317
M(x) = R2
(1)sdotx ndashqx22 = 2340sdotx ndash05sdotx2 (квадратичная фунция) M(0) = 0 M(5) = 23404sdot5-05sdot25 = -0798 кНм M(25) = 23404sdot25-05sdot252 = 2726 кНм
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке
мxxdx
xdM 342034042)(00 =rArr=minus=
M(234) = 23404sdot234-05sdot2342 = 2738 Q = 23404-qsdotx (линейная функция) Q(0) = 2340 Q(5) = -2660 кН N = 0161 кН
После построения эпюры Q значения продольной силы в стержнях рамы можно также найти вырезанием ее узлов и про-
145
ектированием всех сил на соответствующие оси При этом рас-тягивающая продольная сила считается положительной Окончательные эпюры M Q и N приведены на рис318 319 и 320 Эти эпюры полностью совпадают с эпюрами построенны-ми в [11] методом перемещений
Рис 318
Рис 319
146
Рис 320
352 Расчет рамы в среде Mathcad Решим эту же задачу (рис315) с использованием матема-
тического пакета Mathcad
ORIGIN 1=
l
5
5
6
3
4
= E
1
1
1
1
1
= A
1
1
1
1
1
= I
2
2
2
1
1
= α
0
0
0
πminus
2
πminus
2
=
147
148
se 1( )
02
0
0
02minus
0
0
0
0192
048
0
0192minus
048
0
048
16
0
048minus
08
02minus
0
0
02
0
0
0
0192minus
048minus
0
0192
048minus
0
048
08
0
048minus
16
=
se 3( )
0167
0
0
0167minus
0
0
0
0111
0333
0
0111minus
0333
0
0333
1333
0
0333minus
0667
0167minus
0
0
0167
0
0
0
0111minus
0333minus
0
0111
0333minus
0
0333
0667
0
0333minus
1333
=
149
R e qx qy( )
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qyminus le( )2sdot
12
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qy le( )2sdot
12
= R1 e P( )
0
05minus Psdot
Pminus lesdot
8
0
05minus Psdot
P lesdot
8
=
Q1
0
25minus
2083minus
0
25minus
2083
= Q2
0
0
0
0
0
0
= Q3
0
2minus
3minus
0
2minus
3
= Q4
0
0
0
0
0
0
=
150
T 1( )
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
= T 4( )
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
=
seg e( ) T e( )T se e( )sdot T e( )sdot= Q e( ) T e( ) Qesdot=
151
Составление матрицы индексов
ITT 1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
= IT1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
T=
nue 2= nse 6= neq 18= nel 5=
I 1 neq= J 1 neq= SGLI J 0= QGLI 0=
i1 1 nel= j1 1 3= k1 1 3=
IGi1 k1 ITi1 1 1minus( ) 3sdot k1+= JGi1 k1 ITi1 2 1minus( ) 3sdot k1+=
e 1 nel= i 1 nse= j 1 nse=
seg e i j( ) seg e( )i j= Q1 e i( ) Q e( )i=
SGL MIe i MIe j( ) SGL MIe i MIe j( ) seg e i j( )+=
QGL MIe i( ) QGL MIe i( ) Q1 e i( )+=
QGLT 1 2 3 4 5
1 0 -25 -2083 0 -25=
152
Учет граничных условий
Обновление матрицы системы в соответствии с заданными граничными условиями
i1 1 ndis=
nsd 1 1= nsd 2 2= nsd 3 4= nsd 4 5= nsd 5 8=
nsd 6 11= nsd 7 14= nsd 8 16= nsd 9 17= nsd 10 18=
QGL
j1 nsd i1larr
k1 nsd i1larr
QGLk1 QGLk1 SGLk1 j1 disi1sdotminuslarr
k1 k1 1+larr
k1 neqleif
l1 1 neqisinfor
QGLj1 disi1larr
i1 1 ndisisinfor
QGL
=
QGLT1 2 3 4 5
1 0 0 -2083 0 0=
neq 18=
k1 1 neq=
SGLnsdi1 k1 if k1 nsd i1 1 0( )=
disi1 0=
153
Решение системы уравнений
Векторы перемещений узлов рамы
Перемещения узлов элементов рамы в глобальных осях
minusminus
minusminusminus=
01811841218119391000000501150115011018119391181159102722
0000050110501150110
Ue
SGLk1 nsdi1 if k1 nsd i1 1 0( )=
UT 1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 -2272 0 0 1939 1501=
U SGL 1minus QGLsdot=
u1 0 0 2272minus( )T= u2 0 0 1939( )T=
u3 1501 0 0591( )T= u4 1501 0 1181minus( )T=
u5 1501 0 2841( )T= u6 0 0 0( )T=
k 1 nel= j 1 nse=
Uej k UMI k j=
154
minusminusminusminus
minusminusminusminus
=
02790282610417617978016160161604469128350659620000061850797803187300161601616055312283503404200000
R
Используя эту матрицу можно выписать формулы для
внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис321)
Uel klang rang T k( ) Ue klang rangsdot= Uel
0
0
2272minus
0
0
1939
1501
0
0591
1501
0
1181minus
1501
0
1181minus
1501
0
2841
0
0
1939
0
1501
1181minus
0
1501
1181minus
0
0
0
=
q 1= L l1=
R2 R 1lang rang( )2= R3 R 1lang rang( )
3= R5 R 1lang rang( )5= R6 R 1lang rang( )
6minus=
R2 23404= R3 0= R5 26596= R6 07978=
155
Рис 321 Изгибающий момент M и поперечная сила Q от внешних
сил в сечении х балки
32
2)(2
RxqxRxM +sdotminussdot=
(квадратичная функция)
Значения ординат эпюр в характерных точках
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке х0 Начальное приближение
M(x0) = 2739
Q x( )xM x( )d
d=
n 100= x 0Ln L=
M 0( ) 0= M 25( ) 2726= M L( ) 0798minus=
Q 0( ) 234= Q L( ) 266minus=
x0 root Q x( ) x( )= x0 234=
n 100= x 0Ln L=
156
Для стержня 2
M(x) = R2middotx +R3 (линейная функция)
0 xle l2le L l2= L 5=
R2 R 2lang rang( )2= R3 R 2lang rang( )
3= R5 R 2lang rang( )5= R6 R 2lang rang( )
6minus=
R2 02835minus= R3 0= R5 02835= R6 14176=
Q x( ) R2= const M 0( ) 0= M L( ) 1418minus=
Q 0( ) 0284minus= Q L( ) 0284minus=
x 0Ln L= n 100=
157
Для стержня 3
L l3= F 4=
R2 R 3lang rang( )2= R3 R 3lang rang( )
3= R5 R 3lang rang( )5=
158
R2 25531= R3 33187= R5 14469=
M 0( ) 3319minus= M 3( ) 4341= M 6( ) 0=
Q 0( ) 2553= Q 299( ) 2553= Q 3( ) 1447minus=
n 100= x 0Ln L=
Q L( ) 1447minus=
159
Для стержня 4
(линейная функция )
Для стержня 5
L l4= L 3=
R2 R 4lang rang( )2= R3 R 4lang rang( )
3= R5 R 4lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 07978= R5 01616=
Q x( ) R2= const
Q 0( ) 0162minus= M 0( ) 0798minus= M L( ) 1283minus=
n 100= x 0Ln L=
0 xle l5le L l5= L 4=
R6 12826=
R6 R 4lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=
160
(линейная функция)
Приступим теперь к построению упругой линии элементов рамы Запишем функции Эрмита
R2 R 5lang rang( )2= R3 R 5lang rang( )
3= R5 R 5lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 06185minus= R5 01616=
R6 00279=
Q x( ) R2= const
M 0( ) 0619= M L( ) 0028minus=
n 100= x 0Ln L=
R6 R 5lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=Q 0( ) 0162minus=
161
Функция формы
Формулы для прогибов элементов рамы w(xe)
E2 x L( ) 1 3x2
L2sdotminus 2
x3
L3sdot+= E3 x L( ) x 2
x2
Lsdotminus
x3
L2+=
E5 x L( ) 3x2
L2sdot 2
x3
L3sdotminus= E6 x L( )
x2minus
Lx3
L2+=
162
36 Решение плоской задачи теории упругости в среде
Mathcad Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном
состоянии (НДС) панели с квадратным отверстием посере-дине защемленной по боковым краям при действии сил тяжести Длина и высота панели L=10 м толщина h=1 На краю свободного отверстия задаем нулевые нормальные σn и касательные τn напряжения
Расчет этой задачи проведем методом конечных эле-ментов [1-3] Так как панель имеет две оси симметрии то рассматривается лишь четверть этой панели (рис322) На выделенную часть панели наносится сетка треугольных конечных элементов и указываются способы закрепления граничных узлов в соответствии с граничными условиями Внутри конечного элемента принимается линейная зави-симость перемещений от координат которая обеспечивает непрерывность поля перемещений во всей рассматривае-
163
мой области Деформации материала панели полагаем уп-ругими В каждом узле сетки прикладываем узловую на-грузку которая заменяет силу тяжести рассматриваемой панели
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задание исходных данных
Рис 322
164
Число конечных элементов ансамбля nel = 42 Число узлов ансамбля nuz = 32 neq = nuzmiddotnsu neq = 64
1 - пл напр состояние 2 - плоская деформация Толщина пластины
Упругие постоянные элементов
модуль Юнга
Коэффициент Пуассона
Разбиение области на конечные элементы задание номеров
узлов и КЭ
L 1= n 10= hLn
= h 01=
hx
h
h
h
h
h
h
= hy
h
h
h
h
h
h
=
165
Матрица координат узлов и глобальные номера узлов ансамбля элементов
nx 6= ny 6= nx1 4= ny1 4=
cuz k1 0larr
sx hx1minuslarr
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 nyisinfor
i1 nx1leif
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 ny1isinfor
i1 nx1gtif
i1 1 nxisinfor
cuz
=
cuz
1 2
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0 00 01
0 02
0 03
0 04
0 05
01 0
01 01
01 02
01 03
01 04
01 05
02 0
02 01
02 02
02 03
02 04
02 05
03 0
03 01
03 02
03 03
03 04
=
166
Генерация глобальных номеров узлов элементов ансамбля
nug37 1 25= nug37 2 29= nug37 3 26=
nug38 1 30= nug38 2 26= nug38 3 29=
nug39 1 26= nug39 2 30= nug39 3 27=
167
Формирование матрицы индексов степеней свободы
Формирование матрицы жесткости элемента k
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug42 1 32= nug42 2 28= nug42 3 31=
i 43 50= j 1 3= nug i j 0=
k 1 nel= i 1 3=
k 1 nel= i 1 3=
MIk 2 isdot 1minus 2 nugk isdot 1minus= MIk 2 isdot 2 nugk isdot=
x cuz 1lang rang= y cuz 2lang rang=
a k( )
x nugk 3( ) x nugk 2( )minus
x nugk 1( ) x nugk 3( )minus
x nugk 2( ) x nugk 1( )minus
= b k( )
y nugk 2( ) y nugk 3( )minus
y nugk 3( ) y nugk 1( )minus
y nugk 1( ) y nugk 2( )minus
=
Ak 05
1
1
1
x nugk 1( )x nugk 2( )x nugk 3( )
y nugk 1( )y nugk 2( )y nugk 3( )
= A1 5 10 3minustimes=
168
Матрица деформаций элемента под номером k
Матрица упругости элемента
Матрица жесткости элемента k
Формирование глобальной матрицы жесткости и правой части системы уравнений
i 1 neq= j 1 neq= sgli j 0=
i 1 6= j 1 6= k 1 nel=
169
Учет граничных условий
qtd14 05 Psdot= j1 1 neq=
qtd18 P= qtd20 P= qtd22 P= qtd24 05 Psdot=
qtd26 05 Psdot= qtd28 P= qtd30 P= qtd32 P=
qtd34 P= qtd36 05 Psdot= qtd38 05 Psdot= qtd40 P=
qtd42 P= qtd44 075 Psdot= qtd46 05 Psdot= qtd48 025 Psdot=
qtd50 05 Psdot= qtd52 P= qtd54 P= qtd56 05 Psdot=
qtd58 025 Psdot= qtd60 05 Psdot= qtd62 05 Psdot= qtd64 025 Psdot=
j 1 neq= i 1 rows nsd( )=
qtd jqtd j qtd j sgl j nsdi disisdotminuslarr
i 1 rows nsd( )isinfor= qtd nsdi( ) sgl nsdi nsdi( ) disisdot=
sglnsdi j sgl nsdi j( ) nsd i jif
0 otherwise
= sgl j nsdi sgl j nsdi nsd i jif
0 otherwise
=
qtd j1 0= qtd16 P=
170
Нахождение узловых перемещений
Построение линии прогибов верхней кромки панели
i 1 6= uei k ud MI k i( )=
rz i1 0larr
i1 i1 1+larr
rzj1 k1 udi1larr
j1 1 nsuisinfor
k1 1 nuzisinfor
rz
=
rz2 29 32238= rz2 25 29789= rz2 19 24556=
rz2 13 17509= rz2 7 8945= rz2 1 0=
w1 rz2 29= w2 rz2 25= w3 rz2 19=
w4 rz2 13= w5 rz2 7= w6 rz2 1=
171
Значения прогибов по верхней кромке выреза
Значения прогибов по оси симметрии панели rz224 = 18122
Горизонтальные перемещения по торцу выреза
Определение векторов деформаций и напряжений в эле-менте к
Вычисление главных напряжений и направления главной
площадки в элементе k
rz2 32 3115= rz2 28 29346= rz2 22 22084=
rz2 16 16632= rz2 10 9268= rz2 4 0=
rz2 18 15667= rz2 12 9315= rz2 6 0=
rz1 22 175minus= rz1 23 0734minus= rz1 24 0=
εel klang rang Bk ue klang rangsdot= σel klang rang D εel klang rangsdot=
σel 1lang rang583522
97254
383367
= σel 2lang rang
181125
4388
220592
= σel 3lang rang
178778
29796
389235
=
cck
σel klang rang( )1 σel klang rang( )
2+
2=
ggk
σel klang rang( )2 σel klang rang( )
1minus
2
2
σel klang rang( )3
2+=
172
Определение векторов деформаций и напряжений в узлах ансамбля элементов
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в узлах
σgel1 k cck ggk+= σgel2 k cck ggkminus=
k 1 nel= j 1 nue= i 1 nuz= j1 1 nue=
σ j1 i 0= ε j1 i 0= koli 0= kol nugk j( ) kol nugk j( ) 1+=
σ j1 nugk j σ j1 nugk j σelj1 k+= σ j1 iσ j1 i
koli=
ε j1 nugk j ε j1 nugk j εelj1 k+= ε j1 iε j1 i
koli=
cciσ1 i σ2 i+
2= ggi
σ2 i σ1 iminus
2
2
σ3 i( )2+=
σgl1 i cci ggi+= σgl2 i cci ggiminus=
173
Напряжения и деформации в направлении оси 0Z
Интенсивности напряжений и деформаций в узле i
σ4 i σ3 i= σ3 i ν σ1 i σ2 i+( )sdot mdef 2if
0 otherwise
=
ε4 i ε3 i= ε3 i νminus ε1 i ε2 i+( )sdot mdef 1if
0 otherwise
=
maxσi max σi( )= maxσi 85681=
εii2
2 1 ν+( )sdotε1 i ε2 iminus( )2 ε2 i ε3 iminus( )2+ ε3 i ε1 iminus( )2+
32
ε4 i( )2sdot+sdot=
maxεi max εi( )= maxεi 8505=
σxv1 σ1 29= σxv2 σ1 25= σxv3 σ1 19=
σxv4 σ1 13= σxv5 σ1 7= σxv6 σ1 1=
σxl1 σ1 29= σxl2 σ1 30= σxl3 σ1 31=
σxl4 σ1 32=
174
Нормальные напряжения sx по верней кромке и на оси симметрии панели
Касательные напряжения txy в вертикальном сечении
вблизи заделки
τ1 σ4 7= τ2 σ4 2= τ3 σ4 3=
τ4 σ4 4= τ5 σ4 5= τ6 σ4 6=
175
Нормальные напряжения sx в вертикальном сечении вдоль заделки
Нормальные напряжения sу в горизонтальном сечении на
уровне верхнего края выреза
σx1 σ1 1= σx2 σ1 2= σx3 σ1 3=
σx4 σ1 4= σx5 σ1 5= σx6 σ1 6=
σy1 σ2 22= σy2 σ2 16= σy4 σ2 4=σy3 σ2 10=
176
4 АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МКЭ
41 Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS
В настоящее время все более широкое распространение среди инженеров-расчетчиков находит программа ANSYS по-зволяющая решать самые разнообразные задачи во многих ин-женерных приложениях [8-10] Средства заложенные в этой программе могут учитывать различные нелинейности поведе-ния материала конструкции допускают наличие больших (ко-нечных) деформаций и углов поворота решать контактные зада-чи и многое другое Система меню панели инструментов и диа-логовые окна обеспечивают автоматический ввод исходных данных автоматическое разбиение области на сетку конечных элементов и выбор соответствующих действий В комплекс AN-SYS входят различные специализированные программы Напри-мер программа ANSYSMultiphysics предназначена для решения широкого круга инженерных задач позволяет проводить проч-ностные расчеты сооружений исследования в области тепло-проводности механики жидкостей и газов электромагнетизма а также решать связанные задачи Программа ANSYSMechanical служит для выполнения проектных разработок анализа и опти-мизации решение сложных задач прочности конструкций теп-лопередачи и акустики
42 Подготовка параметров компьютера и вход
в программу в интерактивном режиме Перед входом в пакет ANSYS необходимо установить раз-
решение дисплея не менее 1024times768 пиксел и задать цветовую палитру включающую в себя не менее 256 цветов Программа ANSYS может работать в двух режимах пакетном (Batch) и ин-терактивном (Interactive) В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается про-граммой пользователя которая составляется с помощью
177
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
178
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
179
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
180
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
181
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
182
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
183
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
184
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
185
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
186
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
187
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
188
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
189
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
190
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
191
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
192
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
193
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
194
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
195
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
196
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
197
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
198
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
199
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
200
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
201
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
202
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
203
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
204
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
205
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
206
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
207
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
208
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
209
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
210
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
211
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
212
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
213
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
214
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
215
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
216
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
217
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
218
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
219
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
220
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
221
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
222
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
223
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
224
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
225
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
226
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
227
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
228
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
229
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
230
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
231
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
232
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
233
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
234
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
235
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
236
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
237
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
238
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
239
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
240
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
241
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
242
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
243
7) сформировать вектор Qρ
и матрицу pS для записи сис-темы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде
8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты при необходимости провести дополнительные расчеты изменяя вектор внешней на-грузки
9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс со-стоящий из четырех горизонтальных стержней
10) провести расчет фермы с использованием блок-схемы (п122) и программы (п123)
11) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п 111) I)
II)
244
III)
IV)
V)
VI)
245
VII)
VIII)
IX)
246
X)
Рис1
Таблица 1 Внешние силы кН Размеры
м строки
Расчет ная схема P1 P2 P3 P4 P5 d h
Угол α град
пане-ли
1 I 5 6 1 2 2 30 45 45 2 2 II 4 8 3 6 1 40 60 30 3 3 III 3 0 5 7 8 50 75 45 2 4 IV 2 9 7 9 3 32 48 60 3 5 V 1 7 9 8 4 42 62 90 2 6 VI 0 1 10 5 5 52 76 30 3 7 VII 6 2 8 3 9 35 50 45 2 8 VIII 7 3 6 1 7 45 65 60 3 9 IX 8 4 4 4 6 38 55 30 2 0 X 9 5 2 0 0 48 70 45 3 в а б в а б в б а
Задание 2 Расчет статически неопределимых ферм Для заданной фермы (рис2) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях Варианты расчетных схем ферм и числовые данные к ним студент выбирает из таблицы 1
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (п221)
1) установить число лишних неизвестных и выбрать ос-новную систему
247
2) определить усилия в основной системе от единичной силы и от внешней нагрузки предварительно пронумеровав стержни фермы
3) составить векторы единичной едNρ
и грузовой PNρ
про-дольных сил
4) вычислить длины стержней фермы и сформировать мат-рицу ФD упругих податливостей стержней исходной фермы
5) провести последовательность матричных операций в со-ответствии с формулой
( ) PPФТедедФ
Тедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+sdotminus= minus1)(
и получить вектор усилий N
ρ в исходной ферме
6) используя блок-схему (п 223) и программу (п224) провести расчет на ЭВМ
7) заменив вектор PNρ
матрицей PN столбцы которой представляют собой усилия в соответствующих стержнях фермы от действия подвижной нагрузки Р = 1 в узлах грузового пояса провести аналогичные матричные вычисления
8) по результатам вычислений построить линии влияния лишнего неизвестного и усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс состоящий из четырех горизонтальных стержней
9) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п211) 10) сравнить результаты всех расчетов
248
I)
II)
III)
249
IV)
V)
VI)
VII)
250
VIII)
IX)
X)
Рис2
251
Задание 3 Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвиж-но закрепленными одним или двумя концами находится под действием внешних крутящих моментов (рис3)
Рис3
Требуется - составить систему линейных уравнений по МКЭ - найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их че-
рез M l и D - построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных
касательных напряжений τmax - построить эпюру крутящих моментов Т - при заданном значении допускаемого касательного на-
пряжения τadm=70МПа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
- найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
- составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реали-зующую алгоритм решения задачи
252
Таблица 2 строки l1l l2l l3l l4l d1D d2D
1 1 05 24 05 20 04 2 15 07 22 06 11 13 3 06 09 20 07 12 12 4 08 11 18 08 13 11 5 09 13 16 09 14 10 6 15 15 14 10 15 09 7 20 17 12 11 16 08 8 16 19 10 12 13 17 9 18 21 08 13 18 06 0 19 23 06 14 19 05 а б в а б в
Таблица 3 стро-
ки М1M M2M M3M MлевM MпрМ
1 -20 0 -13 infin -13 2 19 -10 14 -1 infin 3 -18 0 -13 infin 16 4 17 -08 12 infin infin 5 -16 07 -11 infin -14 6 15 0 10 15 infin 7 -14 05 -09 infin infin 8 13 0 08 11 infin 9 -12 05 -07 infin -15 0 11 0 06 -13 infin а б в в
Замечание 1 В таблице 3 значок ldquoinfinrdquo обозначает что соот-ветствующий конец вала неподвижно закреплен (заделан) Если значка ldquoinfinrdquo нет то соответствующая заделка отсутству-ет и к этому концу приложен момент Млев или Мпр
253
2 При знаке минус (-) внешний крутящий момент следует направить в противоположную сторону
Задание 4 Расчет рам МКЭ Для заданной рамы (рис4) с размерами и нагрузкой вы-
бранными из таблицы 4 требуется построить эпюры изгибаю-ших моментов M поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1 а риге-лей - I2
При выполнении задания необходимо -провести ручной счет МКЭ (см пример расчета в п321) -решить задачу в среде Mathcad (п322) -с помощью блок-схемы алгоритма решения задачи
(п312) составить и отладить программу на языке Турбо Пас-каль (аналогично программе в п313)
-сравнить результаты ручного счета с вычислениями на ЭВМ I) II)
F1
F2 F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05h1
05l2
F1 F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2
l3
05l1
254
III) IV)
V) VI)
F1
F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2 05l1
l1 l2
h1
h2
q1 q2
q3
F1 F2
F3
05l2
l1 l2
h1
h2
05l1 q1
q2
q3
F1
F2
F3
05l1 05l2 F1 F2
F3 q1 q2
q3
l1 l2
h1
h2
05h1
255
VII) VIII)
IX) X)
Рис4
05l1
05h
l1 l2
h1
h2 F3
F2 F1 q1
q2
q3
h1
h2
l1 l2
F1 F2
F3
q2 q1
q3
05h2
05l1 05l2
05l1 05l2
F1 F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05l1
05l2 F1
F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05h2
256
Таблица 4
Размеры м Внешние нагрузки
строк
Расч схе-ма по рис
4
l1 h1 l2 h2 F1 kH
F2 kH
F3 kH
q1 kHм
q2 kHм
q3 kHм
1
2
II
1 I 4 6 3 4 4 - - 1 - - 2 2 II 5 7 8 3 5 - - - 2 - 1 3 III 6 5 4 5 - 5 - - - 14 3 4 IV 7 4 4 6 - 6 - 2 - - 1 5 V 8 5 5 7 - - 6 - 3 - 2 6 VI 7 6 5 8 - - 8 - - 1 3 7 VII 8 7 3 7 6 - - 12 - - 1 8 VIII 6 8 4 3 6 - - - 2 - 2 9 IX 5 4 5 4 2 4 - - - 2 3 0 X 4 6 6 5 - 4 - 1 - - 1 в б а в б а
Список использованной литературы
1 Дарков АВ Шапошников НН Строительная механика
Учеб для строит спец вузов -8-е изд перераб и доп- МВысш шк1986 -607 сил
2 Образцов ИФ Савельев ЛМ Хазанов ХС Метод ко-нечных элементов в задачах строительной механики летатель-ных аппаратов Учеб пособие для вузов- МВысш шк1985-392 сил
3 Масленников АМ Расчет строительных конструкций численными методами Учеб пособие- Л Изд-во Ленингр ун-та 1987 -224 с
4 Руководство к практическим занятиям по курсу строи-тельной механики (статика стержневых систем) Учеб Пособие для студентов вузов Под ред ГККлейна ndash 4-е изд перераб и доп ndash МВысш шк 1980
257
5 Алгоритмизация расчетов сложных стержневых систем
Благонадежин ВЛ Воронцов АНСамсонов ЮП Под ред АВПетровского -ММоск энерг ин-т1986 -96 с
6 Норри Д де Фриз Ж Введение в метод конечных эле-ментов Пер с англ-М Мир 1981- 304 с ил
7 Бундаев ВВ Расчет рам методом конечных элементов Методические указания по строительной механике для студен-тов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 2003-36сил
8 ANSYS Basic Analysis Procedures Guide ANSYS Release 56 ANSYS Inc 1998
9 Каплун АБ Морозов ЕМ Олферьева МА ANSYS в руках инженера Практическое руководство ndash М Едиториал УРСС 2003 ndash 272 с
10 Сметанников ОЮ Статический анализ уголкового кронштейна В сб ANSYS 55ED (Московское представитель-ство CAD-FEM GmbH) (Ansys_edding_russian Education Struc-tural Bracket1999)
11 Бундаев ВВ Расчет плоской статически неопредели-мой рамы методом перемещений Методические указания по выполнению расчетно-проектировочной работы и контрольные задания для студентов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 1987-34сил
258
Учебное издание
Бундаев Валерий Викторович
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Редактор ТЮ Артюнина Ключевые слова руководство пособие Mathcad система рама ферма задача пример программа расчет метод МКЭ ANSYS Подписано в печать Формат 60times84 116 Услпл уч-издл Печоператив бумписч Тираж 100_экз С 38_____________________________________ Издательство ВСГТУ гУлан-Удэ улКлючевская 40в
5
ВВЕДЕНИЕ
В связи с широким внедрением компьютерных технологий и математических методов в самые разнообразные сферы чело-веческой деятельности старые способы расчета инженерных со-оружений основанные на большом объеме ручного труда вы-числительного и графического характера при расчете сравни-тельно несложных сооружений уступают место новым методам [1-4] В настоящее время все более широкое развитие и распро-странение получают матричные методы расчета сложных инже-нерных сооружений с применением ЭВМ [5-7] Знание матрич-ных форм расчета инженерных сооружений ориентированных на использование ЭВМ становится неотъемлемой частью подго-товки высококвалифицированных специалистов способных к профессиональной адаптации в различных отраслях строитель-ного и машиностроительного производства Хотя матричная форма расчетов известна давно однако она долгое время не на-ходила широкого применения из-за ограниченных возможностей средств вычислительной техники а также из-за отсутствия дос-тупного программного обеспечения Имеющиеся программы бы-ли мало пригодны для учебных целей и рассчитаны на узких специалистов В то же время следует отметить что расчет в мат-ричной форме является наиболее универсальным приемлемым для любого вида конструкции независимо от свойств используе-мого материала типа внешних нагрузок и конфигурации объекта исследования В последние годы все большее распространение среди инженеров получают программные комплексы для ЭВМ (например ANSYS COSMOSWorks) основанные на матричных методах расчета различного рода инженерных конструкций и позволяющие автоматизировать процесс ввода исходных дан-ных получения решения и обработки результатов счета [8-10]
Таким образом в современных условиях возникает настоя-тельная необходимость внедрения компьютерных технологий в практику расчетов сооружений что предполагает существенную корректировку традиционных форм и методов организации учебного процесса соответствующую переработку учебных пла-
6
нов по дисциплинам прочностного цикла на кафедрах зани-мающихся подготовкой высококвалифицированных специали-стов Расчет сложных инженерных сооружений с использовани-ем современных средств вычислительной техники дает возмож-ность инженеру меньше заниматься рутинной вычислительной работой а больше времени уделять анализу результатов расче-тов пониманию работы сооружения в целом и той роли кото-рую играют его отдельные элементы устанавливать функцио-нальную связь между внешними воздействиями внутренними усилиями и формой конструкции что способствует свободному и целенаправленному поиску решений задач оптимального про-ектирования сооружения
В связи с изложенным при освоении курсов прочностного цикла необходимо более полно изучить соответствующие разде-лы и внести в них следующие коррективы
-в наиболее доступной форме ознакомить студентов с ос-новными понятиями и алгоритмами реализации современных численных методов расчета сложных систем
-выработать навыки составления соответствующих ком-пьютерных программ на алгоритмических языках а также со знанием дела использовать уже имеющиеся готовые программы
-научить студентов анализировать существующие и полу-ченные в результате расчетов конструктивные решения уметь находить оптимальные из них а также помочь формированию рационального логического мышления
Обеспечение прочности и надежности сооружений в соче-тании с высокой экономичностью возможны только при высо-кой квалификации инженера и овладении им современными ме-тодами сопротивления материалов строительной механики и теории упругости В связи с изучением матричных методов ре-шения задач указанных дисциплин студенту приходится повы-шать свою математическую подготовку и иметь дело с большим количеством учебной литературы В этом пособии основной ма-териал сосредоточен в одном месте что позволяет с минималь-ной затратой времени на практике использовать весь аппарат матричного расчета Изучение курса следует начинать с прора-
7
ботки теоретических положений рассматриваемого метода при этом необходимо составить краткий конспект и сделать соответ-ствующие выводы Лишь после этого следует перейти к разбору типовых примеров Без изучения теории приступать к самостоя-тельному решению задач невозможно так как только знание теории дает возможность решать любые задачи во всем их мно-гообразии
В данном пособии основные вопросы теоретических по-ложений иллюстрируются тщательно подобранными задачами решения которых сопровождаются подробными объяснениями Разработанные программы на алгоритмическом языке Турбо Паскаль и в математическом пакете Mathcad дают возможность проверить все результаты полученные ручным счетом и убе-диться в надежности и универсальности работы этих программ которые необходимы при выполнении прилагаемых в конце по-собия заданий для закрепления полученных знаний Самостоя-тельность выполнения этих заданий имеет первостепенное зна-чение для усвоения учебного материала изложенного в пособии Разработанные программы могут быть использованы студентами в студенческих научных кружках при исследовании напряженно-деформированных состояний разнообразных строительных и машиностроительных конструкций и их элементов
Таким образом изучая данное пособие студенты углуб-ляют свои знания в механике твердого деформируемого тела и овладевают современными методами решения сложных задач расчета и проектирования строительных и машиностроительных конструкций Разобранные в пособии примеры решения задач и приведенные задания к самостоятельным работам помогут сформировать у студентов устойчивый интерес к самостоятель-ным исследованиям в области инженерных расчетов Получен-ные знания и навыки будут служить основой для дальнейшего изучения студентами прочностных дисциплин
8
1 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
11 Описание матричного алгоритма для расчета плоских рам
Пусть дана статически определимая рама Пронумеруем все ее узлы и стержни причем за начало стержня будем прини-мать тот его конец который примыкает к узлу имеющий мень-ший номер
Для описания структуры рамы рассмотрим прямоуголь-ную матрицу cS в которой число строк равно числу узлов ра-мы У а число столбцов ndash числу ее стержней С При этом эле-ментами матрицы cS являются числа 1 -1 0 Заполнение мат-рицы производится по столбцам в соответствии с нумерацией стержней рамы Число laquo1raquo помещается в той строке номер ко-торой совпадает с номером узла являющимся началом стержня а число laquo-1raquo - в строке с номером концевого узла в остальных узлах столбца матрицы cS помещается число laquo0raquo Построенная
таким образом матрица cS называется структурной
С помощью этой матрицы cS определяется вектор проек-
ций стержней [ ]Тсе ПППППρ
Λρ
Λρρρ
21= по матричной формуле
CSП Tc
ρρminus= (11)
где
2
22
1
11
=
=
=
=
cx
cxС
ex
exe
x
x
x
x
ll
Пll
Пll
Пll
Пρ
Λρ
Λρρ
(12)
те eПρ
- вектор имеющий компонентами проекции lex и ley стержня с номером е на оси x и y общей для всех стержней рамы координат
9
( )Tyj ccccc ρΛ
ρΛ
ρϖρ21= - вектор координат узлов со-
ставленный из векторов
1
11
1
11
=
=
=
=
y
yy
j
jj y
xc
yx
cyx
cyx
c ρΛ
ρΛ
ρρ
(13)
где jcρ - вектор компонентами которого являются координаты узла с номером j Значок laquoTraquo обозначает операцию транспонирования матрицы Напомним что матрица АТ называется транспонированной если ее элементы
ija связаны с элементами исходной матрицы А со-
отношением jiij aa =
Зная компоненты вектора Пρ
можно определить длины стержней le и векторы их направляющих косинусов eαρ (е = 12hellipс) по формулам
eTee ППl
ρρsdot= (14)
ee
e Пl
ρρ 1=α
(15)
Перейдем теперь к установлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис11а) и общей хоу (рис11б) системах координат
б)
Рис11
а)
у
Qek
О
х
Qен
ek
х у
Nek
α
M
ly Xek
у
х
Mek е
Yek
Yен
Хен
0 Mен lx
10
Для стержня изображенного на рис11а можно составить уравнения равновесия в матричном виде
енek NFNρρ
= (16)
где
=
ek
ek
ek
ek
MQN
Nρ
=
ен
ен
ен
ен
MQN
Nρ
=
10010001
lF
Сравнивая силовые факторы на концах одного и того же стержня (см рис 11а и 11б) получим
енен NXρρ
sdotΨminus= екек NXρρ
sdotΨ= (17)
или
енен XNρρ
sdotΨminus= екек XNρρ
sdotΨ= (18)
где
=
ен
ен
ен
ен
MYX
Xρ
=
ек
ек
ек
ек
MYX
Xρ
minus=Ψ
1000cossin0sincos
αααα
Заметим что матрица Ψ связывающая усилия и силовые факторы на концах стержня является ортогональной ( Ψ=Ψminus1 ) Подставляя в формулу (16) выражения усилий в местной системе координат (18) получим
ененеk XXFXρρρ
sdotΦ=sdotΨsdotsdotΨminus= (19)
Перемножением соответствующих матриц можно полу-чить
minusminusminus
minus=ΨsdotsdotΨminus=Φ
1010001
xy llFρ
Заметим что матрица Φ устанавливающая связь между усилиями на концах стержня может быть непосредственно по-
11
лучена составлением уравнений равновесия для стержня изо-браженного на рис11б
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней ( рис12)
Пусть [ ]Txyjyjxjj PPPP =ρ
- вектор внешней нагрузки
приложенный к узлу j а [ ]Teeee MYXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда условие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(110)
Далее перейдем к
составлению уравнений равновесия для всей сис-темы в целом Обозна-чим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ21=
вектор внутренних уси-лий в стержнях фермы Компоненты этого век-тора выражаются через векторы усилий для
концевых сечений каждого стержня в виде равенств [ ]еkеkеkенененe MYXMYXY =
ρ
Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной мат-рицы cS
1YSPρρ
= (111)
Рис12
Pxyj j
Pyj
Pxj
Ye
Xe
12
Здесь прямоугольная блочная матрица 1S имеет 3У строки и 6С столбцов и получается из структурной CS заменой элементов 1
на блок 1E элементов -1 на блок 2E и элементов 0 на нуле-вую матрицу Ο те
=
000100000010000001
1E
=
100000010000001000
2E
=Ο
000000000000000000
Уравнения (111) необходимо дополнить соотношениями связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (19) которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде
02 =YSρ
(112)
где 2S квазидиагональная матрица
ΟΟΟ
ΟΟΟΟΟΟ
=
CE
EE
S
3
23
13
2 ΛΛΛΛ
блоки которой
)21(1001010010001001
3 Cell
E
exey
e Κ=
minus=
Объединив (111) и (112) получим матричное уравнение
YSSPQ
ρρρ
ρsdot
=
=
2
1
0
(113)
13
которое связывает внешние силы приложенные к узлам систе-мы с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней а также связь внутренних усилий между собой Уравнение (113) можно записать в более компактной форме
YSQρρ
sdot= (114)
Размерности векторов Qρ
и Yρ
соответственно равны (3У+3С)times1 и (6Сtimes1) а матрицы S - (3У+3С)times6С Следователь-но матрица S в общем случае не является квадратной Однако
с учетом того что среди компонентов вектора Pρ
имеются неиз-вестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки а также среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (напри-мер моменты в сечениях около шарниров) уравнение (114) за-писывается в виде
ZST P
ρρsdot= (115)
где вектор Tρ
получается из вектора Qρ
удалением тех элемен-тов которые соответствуют наложенным на систему связям (на-пример числу опорных стержней С0) а вектор Z
ρ - из вектора Y
ρ
удалением тех элементов которые являются заведомо нулевыми и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе Матрица PS получается из матрицы S удалением строк соот-
ветствующих удаленным элементам в векторе Qρ
и столбцов
соответствующих удаленным элементам вектора Yρ
Для разрешимости системы (115) необходимо чтобы мат-
рица PS была квадратной поэтому должно выполняться усло-вие
3У+3С-Соп = 6С-Ш или
3У = 3С+Соп-Ш те число уравнений равновесия равно числу неизвестных уси-лий
14
Кроме этого определитель системы det PS должен быть отличным от нуля Это условие означающее геометрическую неизменяемость конструкции является достаточным условием разрешимости рассматриваемой системы (115)
Тогда вектор неизвестных усилий Zρ
легко определяется решением системы (115)
TSZ P
ρρsdot= minus1 (116)
Затем строим вектор Yρ
после этого с использованием равенства (114) находим опорные реакции а с помощью соотношений (18) определяем внутренние усилия в элементах рассматривае-мой конструкции
Отметим два случая которые могут встретиться при рас-чете конструкций
-опорный стержень не совпадает ни с одним из направле-ний общей системы координат В этом случае вместо опорного стержня вводят некоторый конструктивный стержень произ-вольной длины направление которого совпадает с направлением опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опор-ными стержнями параллельными осям координат
-сосредоточенный момент действует в непосредственной близости около шарнира Для общности расчета этот момент следует считать приложенным на некотором малом удалении lx (lx rarr 0) от шарнирного узла При этом формируя матрицу 2S
при заполнении соответствующей матрицы eE 3 нужно поло-жить lex и ley равными нулю
При расчете стержневой системы на действие нескольких вариантов нагрузки 321 Κ
ρρρPPP в уравнениях (114) и (115)
вектор нагрузки Pρ
можно заменить матрицей нагрузки [ ]Κ
ρρρ321 PPPP = а вектора ZYTQ
ρρρρ - соответствующи-
ми матрицами ZYTQ
15
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляется аналогично с учетом их особенностей изложенных в п11
111 Расчет рамы в среде Mathcad
Исходные данные для рамы изображенной на рис13 а - характерный размер длин стержней рамы nuz -число узлов рамы nel- число элементов рамы
a 3= nuz 7= nel 6= Пронумеруем узлы и стержни рамы (см рис13) запишем
структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С (13)
16
Sc
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
1
0
1minus
=
Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей
системы координат xoy (11) и (12)
Вычислим длины стержней рамы (14)
Определяем направляющие косинусы (15)
17
Составим матрицу равновесия S1 которая получается из
структурной Sc заменой в последней элементов 1 на матрицу Е1 элементов -1 на Е2 а нули на соответствующие нулевые матри-цы Эта матрица устанавливает связь между векторами внешней нагрузки P и усилий во всех стержнях рамы Y по формуле
P = S1Y
где i-ой компонентой вектора Y являются усилия Yi = [Xin Yin Min Xik Yik Mik]T в i-м стержне
18
Сформируем теперь блочно-диагональную матрицу S2
устанавливающую связь между усилиями в начале и конце каж-дого стержня с помощью матричного соотношения S2middotY=0 (112)
- единичная квадратная матрица размер-ности nelmiddotnel
19
Получим матрицу S объединением матриц S1 и S2 с по-мощью встроенной в Mathcad функции stack
Запишем векторы внешних нагрузок действующие в каж-
дом узле рамы Опорные реакции в расчет не принимаются так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены
P2
3
0
0
= P1
0
0
0
= P3
3
0
0
= P4
0
0
0
=
20
Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов расположенных ниже Pi
Учет граничных условий nop - число опорных стержней
nsv - вектор компоненты которого соответствуют наложенным на систему связям В матрице S и в векторе Q необходимо уда-лить соответствующие строки и элементы
P5
0
0
0
= P6
0
0
0
= P7
0
10minus
0
=
Q
Qi 0larr
i 1 rows S( )isinfor
r1 3 isdot 2minuslarr
Qr1 i1+ 1minus Pi( )i1larr
i1 1 3isinfor
i 1 nuzisinfor
Q
=
Q20 10minus=
nop 3= nsv1 1= nsv2 2= nsv3 17=
21
Отметим что элементами составного массива А являются
матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях рамы Y
Используя равенство Q = SY определим опорные
реакции Rx1 = Q1 Ry1 = Q2 и R y6 =Q17
Z A1( ) 1minus A2sdot=
Q S Zsdot=
ZT 1 2 3 4 5
1 -6 -8 0 6 8=
QT 1 2 3 4
1 -6 -8 0 3=
22
Используя формулы перехода к местным системам коор-
динат определим усилия в сечениях стержней фермы i 1 nel=
Ry1 Q nsv 2( )= Ry6 Q nsv 3( )= Rx1 Q nsv 1( )=
Rx1 6minus= Ry1 8minus= Ry6 18=
- матрица перехода от локальной системы координат к глобальной
Xi i ilarr
Z Zlarr
k i 1minus( ) 6sdotlarr
k1 k 3+larr
k k 1+larr
X1i1 Zklarr
k1 k1 1+larr
X2i1 Zk1larr
i1 1 3isinfor
X1 X2( )T
= Xni Xi( )
1=
Xki Xi( )2
=
Xn1
6minus
8minus
0
=
Xk1
6
8
6
=
ψ i
α i( )1
α i( )2
0
α i( )2
α i( )1
minus
0
0
0
1
=
23
Xni Xki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня с номером i отнесенные к глобальной системе координат xoy
Nni ψ iminus Xnisdot= Nki ψ i Xkisdot=
Nn1
8
6
0
= Nk1
8
6
6
=
Nn2
8
3
6
= Nk2
8
3
9
=
Nn3
8
0
9
= Nk3
8
0
9
=
Nn4
0
8minus
9
= Nk4
0
8minus
15minus
=
Nn5
18minus
0
0
= Nk5
18minus
0
0
=
Nn6
0
10
15minus
= Nk6
0
10
0
=
24
По найденным значениям усилий в сечениях стержней рамы строим эпюры изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил
Nni Nki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня в локальной системе ко- ординат xioyi
25
Отметим что при разбиении балки на пять участков и за-мене действующей на нее распределенной нагрузки соответст-вующими узловыми силами получим численные значения внут-ренних усилий и моментов (рис14) практически не отличаю-щиеся от значений полученных по аналитическим формулам
26
Рис 14
12 Описание матричного алгоритма для расчета ферм
Описанный матричный алгоритм существенно упрощается в приложении к расчету плоской фермы так как в ее элементах действует только продольная сила eN постоянная по длине ка-ждого стержня Nен=Nек=Ne (рис15а) Перейдем теперь к уста-новлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис15а) и общей хоу (рис15б) системах координат
27
б)
Рис15 Очевидно что
)sin()sin()cos()cos(
αααα
eеkeен
eеkeен
NYNYNXNX
=minus==minus=
Здесь индексы laquoнraquo и laquoк raquo относятся соответственно к началу и концу стержня
В матричной записи эти соотношения имеют вид
eфен NFХρρ
minus= eфеk NFХρρ
= (117)
где
)sin()cos(
= α
αфFρ
=
ен
енен Y
XXρ
=
ek
ekек Y
XXρ
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней
Пусть [ ]Tyjxjj PPP =ϖ
- вектор внешней нагрузки прило-
женный к узлу j а [ ]Teee YXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда ус-ловие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(118)
О
Neн
е
х
х
у
у
Nek
а)
α х
е Yek
Xek
Yен
Хен
у
0
28
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для всей системы в целом Обозначим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ
21= вектор внутренних усилий в стержнях фермы Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ekенe XXYρρρ
minus== Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (118) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы cS
YSP c
ρρ=
Учитывая формулы (117) это соотношение можно запи-сать в виде
NSPρρ
minus= (119)
где [ ]Tce NNNNN ΛΛρ
21= - вектор усилий в стержнях фермы
Матрица S получается из структурной матрицы сS за-
меной элементов laquo1raquo на векторы фFρ
элементов laquo-1raquo на векторы
- фFρ
а элементов laquo0raquo - на нулевые векторы [ ]Т00
Далее из вектора Рρ
необходимо исключить элементы со-ответствующие опорным связям и получить вектор Q
ρ а из мат-
рицы S исключить соответствующие строки образуя матрицу
РS Тогда вектор неизвестных усилий Nρ
определится как ре-шение матричного уравнения
QNSP
ρρminus= (120)
29
Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-дующим выводам
во-первых матрица РS должна быть квадратной те раз-ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю
2У-С-Соп = 0 Это равенство известно как условие статической определимости фермы здесь Соп ndash число опорных стержней
во-вторых определитель матрицы РS должен быть отли-чен от нуля те
0det nePS что является условием геометрической неизменяемости фермы
Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений Для этого в матричном уравнении (120) векторы Q
ρ и N
ρ нужно
заменить соответствующими матрицами Q и N При этом столбцы этих матриц имеющие одинаковые номера отвечают одному и тому же нагружению Это свойство может быть ис-пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q дол-жен содержать лишь один элемент ndash1 расположенный в строке с номером соответствующим номеру узла в котором приложен груз Р = 1
121 Пример расчета статически определимой фермы Пусть дана ферма изображенная на рис16 Определить усилия N1 N2 hellip N17 в стержнях этой фермы 1Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см рис16) и за-
пишем структурную матрицу (см п11)
30
Рис16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minus
=
11000000000000000101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110100000000000000011
10987654321
cS
2Зададим координаты узлов (13)
=
40
1Cρ
00
2
=C
ρ
43
3
=C
ρ
03
4
=C
ρ
46
5
=C
ρ
06
6
=C
ρ
49
7
=C
ρ
09
8
=C
ρ
412
9
=C
ρ
012
10
=C
ρ
RB
HA
RA
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4
2 6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3м 3м 3м
α
31
3Найдем вектор проекций стержней фермы на оси общей системы координат (11)
[ ] ==Т
ППППППП 1754321
ρΛ
ρρρρρρ
=
times
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus=
0124
12
064603430040
11000000001010000000
011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011
ΜΜ
4
003
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
1716151413121110987654321Т
minus
minus
minus
minus
minus
=
По формуле (12) имеем
32
4
0
03
43
03
4
0174321
minus
=
=
=
=
minus
= ПППППρ
Λρρρρ
4Вычислим длины стержней фермы (14) например
[ ]
[ ]
[ ] 516943
43
3903
03
4164
040
3
2
1
=+=
sdot=
==
sdot=
==
minus
sdotminus=
l
l
l
Эти результаты соответствуют исходным данным на рис16 Длины остальных стержней равны
l1 = l5 = l9 = l13 = l17 = 4м l2 = l4 = l6 = l8 = l10 = l12 = l14 = l16 = 3м l3 = l7 = l11 = l15 = 5м
Эти значения также можно вычислить по формулам (14) 5Определим направляющие косинусы (15)
01
03
31
8060
43
51
01
03
31
10
40
41
43
21
=
sdot=
=
sdot=
=
sdot=
minus
=
minus
sdot=
αα
αα
ρρ
ρρ
По рис16 находим
33
8060
01
01
1
0
151173
141062
161284
11111
====
====
====
minus
=====
αααα
αααα
αααα
ααααα
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρρ
6Составим матрицу S и вектор внешней нагрузки Pρ
(119) =S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -1 0 3 0 c 1 4 1 s 0 5 -1 -c 0 1 6 0 -s -
10
7 -1 0 c 1 8 0 1 s 0 9 -
1 -c 0 1
10 0 -s -1 0 11 -1 0 c 1 12 0 1 s 0 13 -1 -c 0 1 14 0 -s -1 0 15 -1 0 c 1 16 0 1 s 0 17 -1 -c 0 18 0 -s -1 19 -1 0 20 0 1 Здесь введены обозначения s = 08 c =06
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TBAA RRHP 0800000000000 ΛΛρ
minus=
34
7Исключим из S и Pρ
элементы соответствующие опорным реакциям AA RH и BR формируем матрицу PS и
вектор Qρ
(120)
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TQ 00000800000000000 minus=ρ
=PS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -
1 0
3 -1
-c
0 1
4 0 -s
-1
0
5 -1
0 c 1
6 0 1 s 0 7 -
1 -c
0 1
8 0 -s
-1
0
9 -1
0 c 1
10 0 1 s 0 11 -1 -c 0 1 12 0 -s -1 0 13 -1 0 c 1 14 0 1 s 0 15 -1 -c 0 16 0 -s -1 17 -1 0
Матричная форма уравнений равновесия имеет вид (120) и представляет собой систему линейных алгебраических уравне-ний
8 Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента получим вектор продольных сил в стержнях заданной фермы
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=Nρ
[00 00 -25 15 20 -15 -25 30 20 -30 -25 45 -60 14 15 16 17 -45 75 00 -60]T
Компоненты вектора Nρ
показывают что верхний пояс фермы сжат а нижний ndash растянут Причем усилие в каком-либо стержне верхнего пояса по абсолютной величине равно усилию в стержне нижнего пояса смежной панели смещенного относи-тельно верхнего стержня влево параллельно раскосу В данной ферме стержень верхнего пояса сжат с меньшей силой чем рас-тянут стержень соответствующей панели нижнего пояса
Усилия в раскосах расположенных слева от линии дейст-вия силы Р отрицательны и равны -25 кН а усилие в раскосе 15 находящемся справа от нее положительно и равно 75 кН Знаки усилий в стойках расположенных слева и справа от линии действия силы Р противоположны знакам усилий в соответст-вующих раскосах Значения усилий в стойках по абсолютной величине равны опорным реакциям RA = 20 kH и RB = 60 kH фермы В стержнях 1 2 и 16 усилия отсутствуют
Необходимо отметить что систему уравнений (119) также можно получить непосредственно используя известный в строи-тельной механике метод вырезания узлов
Действительно последовательно вырезая узлы исходной фермы (см рис16) и составляя уравнения равновесия получим
Узел 1
=minus===
sumsum
00
21
1
2
NFNF
Y
x
N1
N2
36
Узел 2
=+sdot+==++sdot=
sumsum
0)sin(0)cos(
43
31
43
AY
Ax
RNNFHNNF
αα
Узел 3
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
65
53
632
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 4
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
87
75
874
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 5
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
109
97
1076
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 6
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1211
119
12118
αα
NNFNNNF
Y
x
37
Узел 7
=minusminussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1413
1311
141110
PNNFNNNF
Y
x
αα
Узел 8
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1615
1513
161512
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 9
=minussdotminus==sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
617
1715
1514
NNFNNF
Y
x
αα
Узел 10
=+==minus=
sumsum
00
2019
17
16
BY
x
RNFNF
Вектор правой части и матрица полученной системы ли-нейных алгебраических уравнений полностью совпадают с век-тором P
ρ и матрицей S которые были составлены в п6 данно-
го раздела 9Перейдем к построению линий влияния усилий в стерж-
нях например второй панели фермы При этом будем считать что верхний пояс фермы является грузовым В этом случае пе-ремещающийся груз Р=-1 может находиться в узлах 1 3 5 7 и
38
9 Тогда матрица неизвестных N и матрица нагружений Q (см п 12) имеют вид
=
181714171017617217
1831431036323
1821421026222
1811411016121
NNNNN
NNNNNNNNNNNNNNN
N
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
minus
minus
minus
minus
minus
=
000001
000
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
10
97531
Q
В результате приходим к матричному уравнению QNS p minus=sdot
1
3
4
5
6
7
8
9
39
Решив это уравнение находим матрицу влияния усилий влN
minusminusminusminus
minusminusminusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminus
minusminusminusminusminus
minus
minusminusminus
minus
=
175050250000000094062031000560370190007505025000560370190003106203100037075037000250502500037075037000310620310001903705600025050250001903705600031062094000000000001
влN
На рис17 графически изображены линии влияния усилий 98765 NNNNN
1 3 5 7 9
40
Рис 17
41
122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определимых ферм (рис18)
Обнуление векторов проекций стержней
1 neliПi Λρ
=
начало
nel = 17 nuz = 10 nuz2 = 20
Задание cS
Ввод Cρ
i = 1 nuz
j = 1 nel
pr[ij] =00
i = 1nuz
j = 1nel
ST[ji] = SC[ij] Транспонирование
матрицы CS
A
Исходные данные nel ndash количество стержней (элементов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная
матрица CS
C[nuz2] ndash вектор коорди-нат узлов фермы
Исходные данные nel ndash количество стержней (эле-ментов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная матри-
ца cS
C[nuz2] ndash вектор координат уз-лов фермы
42
i =1nel
j = nuz
ST[ij] ne 0
А
pr[i1]=pr[i1]-ST[ij]C[j1] pr[i2]=pr[i2]-ST[ij]C[j2]
i=1nel
22 ])2[(])1[(][ ipripril +=
i=1nel
j=12
][][][
iljiprji =α
B
да
нет
Вычисление значений компонентов вектора про-
екций стержней Пρ
Определение значений длин стержней li
Вычисление значений ком-понентов вектора направ-
ляющих косинусов αρ
43
Рис18
да
B1
j=1nel
i=1nuz
SC[ij]=1 нет
SZ[2i-1j]=α[j1] SZ[2i-1j]=α[j2]
SC[ij]=-1
SZ[2i-1j]=-α[j1] SZ[2i-1j]=-α[j2]
да
нет
Ввод Р
Получение матрицы PS и
вектора Qρ
Решение СЛАУ методом Гаус-са с выделением главного элемента
Печать вектора Nρ
конец
В
i=1nuz2
j=1nel
SZ[ij]=00
В1
Составление матрицы
S
44
123 Программа для расчета ферм на алгоритмиче-
ском языке Турбо Паскаль Program ferma uses Crt label 1 const nel=17 число стержней фермы nuz=10 число узлов фермы nuz2=20 удвоенное число узлов nopr=3 число уравнений которые нужно удалить type mas1=array[1nuz1nel] of integer mas2=array[1nel1nuz] of integer mas3=array[1nuz21nel] of real mas4=array[1nel1nel] of real mas5=array[1nel12] of real mas6=array[1nuz12] of real mas7=array[1nel] of real mas8=array[1nuz2] of real mas9=array[1nopr] of integer var ijki1integer ( sc-структурная матрица st-транспструкт матрица Dl-вектор длин стержней pr-вектор проекций ALFA-вектор направляющих косинусов c-вектор координат узлов p-вектор внешней нагрузки sz-прямоугматрица s n-вектор номеров строк которые нужно удалить из sz и p sp-матрица СЛАУ Q-вектор правой части СЛАУ ) scmas1 stmas2 dlQbxmas7 prALFAmas5 szmas3 cmas6 spaa1mas4 pmas8 nmas9 const ( задание структурной матрицы ) kscmas1=(( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) (-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
45
( 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1)) ( Задание значений вектора координат узлов ) kcmas6=((00 40) (00 00) (30 40) (30 00) (60 40) (60 00) (90 40) (90 00) (120 40) (120 00)) ( Задание значений вектора внешней нагрузки ) kpmas8=(0000000000000-8000000) ( Номера уравнений которые нужно удалить ) knmas9=(3420) procedure gauss const n=nel число линейных уравнений var linteger rreal begin1 (ввод матриц aa1bx ) a=sp b=q a1=a x=b l=0 (прямой ход метода Гаусса ) for i=1 to n do ( поиск главного элемента в i-ом столбце ) begin2 k=i r=abs(a1[ii]) for j=i+1 to n do
46
begin3 if abs(a1[ji])gtr then begin4 k=j r=abs(a1[ji]) end4 end3 if rltgt0 then begin5 if kltgti then begin6 ( перестановка i-го и k-го уравнений ) r=x[k] x[k]=x[i] x[i]=r for j=i to n do begin7 r=a1[kj] a1[kj]=a1[ij] a1[ij]=r end7 end6 ( исключение i-го неизвестного ) r=a1[ii] x[i]=x[i]r for j=i to n do a1[ij]=a1[ij]r for k=i+1 to n do begin8 r=a1[ki] x[k]=x[k]-rx[i] for j=i to n do a1[kj]=a1[kj]-ra1[ij] end8 end5 else
47
begin9 writeln(определитель системы равен нулю) l=1 i=n+1 end9 end2 if l=1 then writeln ( обратный ход метода Гаусса ) for i=n-1 downto 1 do for j=i+1 to n do x[i]=x[i]-a1[ij]x[j] writeln(Решение СЛАУ) for i=1 to n do writeln(x[i]=x[i]52) readln end1 BEGIN начало основной программы clrscr sc=ksc c=kc p=kp n=kn ( обнуление матрицы проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do pr[ij]=00 ( транспонирование матрицы sc ) for i=1 to nuz do for j=1 to nel do st[ji]=sc[ij] ( определение вектора проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to nuz do begin if st[ij]ltgt0 then begin pr[i1]=pr[i1]-st[ij]c[j1] pr[i2]=pr[i2]-st[ij]c[j2] end end
48
( вывод значений вектора проекций pr ) writeln(Значения вектора проекций pr) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(pr[ij]51) writeln end writeln readln ( вычисление длин стержней ) for i=1 to nel do dl[i]=sqrt(sqr(pr[i1])+sqr(pr[i2])) ( вывод значений длин стержней ) writeln(Значения длин стержней dl) for i=1 to nel do write(dl(i1)=dl[i]11 ) writeln readln ( определение вектора направляющих косинусов ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do ALFA[ij]=pr[ij]dl[i] ( вывод значений направляющих косинусов ) writeln(Значения направляющих косинусов ALFA) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(ALFA[ij]51) writeln end writeln readln ( обнуление матрицы sz ) for i=1 to nuz2 do for j=1 to nel do sz[ij]=00 for j=1 to nel do for i=1 to nuz do begin if sc[ij]=1 then begin sz[2i-1j]=ALFA[j1] sz[2ij]=ALFA[j2]
49
end if sc[ij]=-1 then begin sz[2i-1j]=-ALFA[j1] sz[2ij]=-ALFA[j2] end end ( вывод матрицы sz ) writeln(Значения элементов матрицы sz) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nuz2 do begin write(i2)) for j=1 to nel do write(sz[ij]41) writeln end writeln readln i1=0 for i=1 to nuz2 do begin 1 if (i=n[1])or(i=n[2])or(i=n[3]) then goto 1 else begin2 i1=i1+1 writeln(i=i1 i1=i11) for j=1 to nel do sp[i1j]=sz[ij] q[i1]=-p[i] end2 1end 1 readln ( вывод матрицы sp ) writeln(Значения элементов матрицы sp) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nel do begin
50
write(i2)) for j=1 to nel do write(sp[ij]41) writeln end writeln readln writeln(Значения элементов правой части -Q уравнений) for i=1 to nel do write( i1)q[i]43) writeln readln GAUSS END
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляются аналогично с учетом их особенностей (см п11)
51
2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений
Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-нонических уравнений имеет вид
=
+
sdot
0
00
2
1
2
1
21
22221
11211
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΚ
nP
P
P
nnnnn
n
n
R
RR
z
zz
rrr
rrrrrr
или RrZ + RP = 0
21) где Rr ndash матрица реакций во введенных дополнительных
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-зей
RP ndash вектор реактивных усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки
Z ndash вектор неизвестных перемещений Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам
sum intsum intprime
minus==EI
dsMMR
EIdsMM
r iPiP
kiik
где ki MM - изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-ных связей 1 =ki ZZ
MP ndash изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе соответствующей исходной системе
Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по
формулам Rr = MT
edBMed (22)
52
RP = - MTedBM
P (23) где Med ndash матрица влияния изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z1 = Z2 = hellip = Zn =1 Эта матрица со-держит n столбцов и m строк Число n равно числу единичных перемещений а m - числу сечений в которых вычисляются внутренние усилия Верхний индекс laquoТraquo в формулах (22) и (23) обозначает операцию транспонирования
B ndash матрица податливости отдельных не связанных эле-ментов
MP ndash вектор изгибающих моментов в любой статически
определимой системе от внешних сил Решая матричное уравнение (21) с учетом (22) и (23) по-
лучим вектор неизвестных Z = - R-1
rRP = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) (24)
Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле M = MedZ + MP (25)
или с учетом (24)
M = Med (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) + MP (26)
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad
Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы (рис21) Считаем что жесткости всех стержней рамы равны
EI = const Примем условно EI = 1
53
Рис 21
Решение Основная система метода перемещений (рис22)
Рис 22
Построим единичные и грузовые эпюры метода перемеще-ний
54
55
Вычисления проводим в среде Mathcad
EI 1= L 3= q 2=
56
Матрица подат-
ливости B рамы пред-ставляет собой квази-
диагональную матрицу состоящую из че-тырех матриц bi (i = 1234 - номера участков)
Med
0667minus
0333
0333
1333
1minus
05minus
0
0
0
0667
0
0
0667minus
0
0
0
0
0333minus
= MedEI
L2
2minus Lsdot
L
L
4 Lsdot
3minus Lsdot
15minus Lsdot
0
0
0
6
0
0
6minus
0
0
0
0
3minus
sdot=
MPq L2sdot
16
1
1minus
1minus
1
2
1minus
0
0
0
sdot= MP
1125
1125minus
1125minus
1125
225
1125minus
0
0
0
=
b1L
2 6sdot EIsdot
2
1
1
2
sdot= b2L
12 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
57
Так как на 4-ом участке один из концевых моментов всегда
равен 0 что соответствует шарнирному прикреплению этого участка к заданной раме то порядок матрицы податливости b4 можно понизить до первого
Существует также возможность понижения порядка мат-
риц входящих в выражение для результирующего вектора мо-ментов (26)
Заметим что для любой эпюры в сечениях 2 и 3 (рис22) являющихся границами участков 1 и 2 соответственно значения моментов одинаковы Это дает возможность сдвинуть блок b2 вверх по главной диагонали матрицы B сократив на единицу ранг квазидиагональной матрицы При этом совпавшие элемен-ты на главной диагонали суммируются
Далее в матрицах моментов Med MP и MP необходимо
избавиться от повторения строк соответствующих сечениям 2 и 3 вычеркнув одну из них Например в каждой матрице вычерк-
b3L
6 EIsdot
1
0
0
0
4
0
0
0
1
sdot= b4
L6 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
58
нем строку значений моментов в сечении 3 понизив тем самым порядок этих матриц на 1
Здесь M1P - обозначение в пакете Mathcad вектора М
Р Вычисляем матрицу реакций (22)
Вектор свободных членов (23)
Находим вектор неизвестных Z (24)
Rr MedT Bsdot Medsdot= Rr
2333
0667minus
0667minus
0556
=
RP MedTminus Bsdot M1Psdot= RP
1125minus
15minus
=
Z Rr( ) 1minusminus RPsdot= Z
1908
4989
=
59
Построение эпюры окончательных изгибающих моментов
(25)
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений
60
H = Med
TmiddotB ndash вспомогательная матрица
начало
N k
Ввод M0
Ввод B
Ввод Mp
Ввод M
I =1k
J =1N
MT[JI]=M0[IJ]
1
Обозначения N ndash кол-во неизвестных k ndash кол-во сечений М0 ndashматрица ед мо-ментов Мр-матрица грузовых моментов М
р М-матрица Мр МТ-трансп ед мат-рица В-м-ца подат-ливости
61
A = Med
TmiddotBmiddotMed ndash матрица реакций Rr C = Med
TmiddotBmiddotMP ndash вектор реактивных усилий в доп связях
RP
I = 1N
J = 1k
L = 1k
H[IJ]=H[IJ]+MT[IL]B[LJ]
I = 1N
J = 1k
L = 1k
A[IJ]=A[IJ]+H[IL]M0[LJ]
2 3
1 Выч H=MedTmiddotB
62
L=1k
C[I]=C[I]+H[IL]MP[L]
3
I=1N-1
J=I+1N
A[JI]=-A[JI]A[II]
Kk=I+1N
A[Jkk]=A[Jkk]+A[JI]A[Ikk]
C[J]=C[J]+A[JI]C[I]
4
X[N]=C[N]A[NN]
Обратный ход метода Гаусса
Реш СЛАУ
63
4
I=N-11-1
Q=C[I]
J=I+1N
Q=Q-X[J]A[IJ]
X[I]=QA[IJ]
I=1N
Печать X[I]
Вычисление вектора M[I]
I=1k
Конец
Печать вектора перемещений Z
64
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal (РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ М ПЕ-РЕМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ) PROGRAM RAMA_MP CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ И СЕЧЕНИЙ) N=2 M=9 () TYPE MASS = ARRAY[1M 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1M 1M] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1M] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1M] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR B1MASS FMASS1 BT1CMASS2 DMASS3 S0PS0P1SPCS0PMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) CONST KB1MASS= (( -0667 0667) () ( 0333 0 ) () ( 0333 0 ) () ( 1333 -0667) () ( -1 0 ) () ( -05 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 -0333)) ()
65
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) KFMASS1= ((05 025 0 0 0 0 0 0 0 ) () (025 05 0 0 0 0 0 0 0 ) () (0 0 05 025 0 0 0 0 0 ) () (0 0 025 05 0 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 05 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 2 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 05 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 0 1 05) () (0 0 0 0 0 0 0 05 1 )) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) KS0PMASS4= (1125-1125-11251125 225 -1125 0 0 0) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) KS0P1MASS4=(45 0 0 0 0 -225 0 0 0) () BEGIN (ВВОД МАТРИЦЫ ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) B1=KB1 WRITELN(МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( B1[IJ]116) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) F=KF WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO M DO WRITE( F[IJ]63) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P=KS0P
66
WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P1=KS0P1 WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P1[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO M DO FOR J=1 TO N DO BT1[JI]=B1[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO M DO FOR L=1 TO M DO C[IJ]=C[IJ]+BT1[IL]F[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO M DO D[IJ]=D[IJ]+C[IL]B1[LJ] FOR L=1 TO M DO CS0P[I]=CS0P[I]+C[IL]S0P1[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN D[JI]=-D[JI]D[II] FOR KK=I+1 TO N DO D[JKK]=D[JKK]+D[JI]D[IKK] CS0P[J]=CS0P[J]+D[JI]CS0P[I] END
67
X[N]=CS0P[N]D[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN Q=CS0P[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]D[IJ] X[I]=QD[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА МОМЕНТОВ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN CS0P[I]=0 FOR J=1 TO N DO CS0P[I]=CS0P[I]+B1[IJ]X[J] SP[I]=CS0P[I]+S0P[I] WRITELN(I2 SP[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
Заметим что матричный алгоритм расчета статически не-определимых рам методом сил аналогичен изложенному алго-ритму метода перемещений и осуществляется с учетом формул
X = - A-1
δ∆P = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) M = Med X + MP где Aδ ndash матрица единичных перемещений ∆P ndash вектор гру-
зовых перемещений Med ndash матрица единичных моментов MP ndash вектор грузовых моментов для основной системы метода сил B ndash матрица упругих податливостей стержней рамы
68
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил Выведем основные матричные соотношения для расчета
статически неопределимых ферм [1 4] Пусть для стержневой системы определена степень стати-
ческой неопределимости n и выбрана основная система Запи-шем систему канонических сил в матричном виде
0=∆+ PXAρ
δ (27)
где δA - матрица единичных перемещений
=
nnnn
n
n
A
δδδ
δδδδδδ
δ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ
21
22221
11211
(28)
ijδ - перемещение в основной системе по направлению си-
лы Хi вызванное единичной силой jX действующей по на-
правлению Хj При этом jiij δδ =
=
nX
XX
XΜ
ρ 2
1
-вектор неизвестных усилий ме-
тода сил
(
29)
∆
∆∆
=∆
nP
P
P
P Μ
ρ 2
1
- вектор грузовых перемещений
в основной системе
(
210)
69
Элементы iP∆ представляют собой перемещения в на-правлениях Хi (i = 12hellipn) возникающие под действием задан-ных внешних сил в основной системе
Если рассматриваются несколько вариантов нагружений то необходимо заменить векторы X
ρ и P∆
ρ соответственно на
матрицы
=
nn XXX
XXXXXX
X
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
2221
1211
21
21
21
22
11
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=∆
nPnP
PP
PP
P
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
где k ndash число вариантов нагружения При расчете статически неопределимых ферм на действие
неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и сво-бодные члены уравнений метода сил определяются соответст-венно по формулам
sum=ii
ikiik AE
lNNδ sum=∆
ii
iPiiP AE
lNN
(211)
где ki NN - продольные усилия в стержнях основной
системы от сил Pki NXX 11 == - продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки В формулах (211) суммирование распространяется на все стержни фермы
Усилия Pki NNN можно определить либо обычными способами либо с помощью матричных вычислений (см п12)
Матрицы δA и P∆ρ
с учетом формул (211) записываются в виде
едФTед NDNA
ρρ=δ
70
PФTедP NDN
ρρ=∆ (
212) где Pед NN
ρρ - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
ничных сил и от внешней нагрузки соответственно ФD - диаго-нальная матрица причем элемент этой матрицы расположенный на пересечении i-й строки и столбца i определяется как li(EiAi) где li ndash длина стержня i фермы а EiAi ndash его жесткость Значок (Т) обозначает операцию транспонирования вектора
Связь между окончательными значениями продольных сил Nρ
в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-лий в основной системе устанавливается векторным выражением
Pед NXNNρρρρ
+= (213)
Вектор Xρ
можно выразить из уравнения (27) 1
PAX ∆minus= minus ρρδ
Подставляя это равенство в (213) с учетом (212) оконча-тельно получим
)()( 1PедФ
TедедФ
Tедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+minus= minus (
214) Эта формула может быть использована для построения ли-
ний влияния усилий в статически неопределимой ферме Для этого вектор PN
ρ должен быть заменен соответствующей матри-
цей столбцы которой характеризуют усилия в статически опре-делимой основной системе при расположении единичных сил в узлах грузового пояса фермы
221 Пример расчета фермы методом сил Для статически неопределимой фермы (рис23а) опреде-
лить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния уси-лий в стержнях 1 8 2 если единичный груз перемещается по ее нижнему поясу Считать что стержни фермы изготовлены из одного материала а сечения их одинаковы
71
)
)
)
72
)
)
Рис23
Выполнение расчета 1 В заданной ферме узлов ndash 8 стержней ndash 13 опорных
стержней ndash 4 значит по формуле w = 2sdotУ-C-Co
где У ndash число узлов фермы С ndash число внутренних стерж-ней фермы Со ndash число опорных стержней
может быть определена степень свободы системы те w = 2sdot8-13 ndash4 = -1lt 0
Следовательно исходная ферма имеет одну лишнюю связь и является однажды статически неопределимой
Выбираем основную систему изображенную на рис23б Заметим что основную систему можно выбрать и по-другому например отбрасывая один из внутренних стержней
73
2 Пронумеруем стержни фермы так как показано на рис23аб и определим усилия в основной системе от единич-ной силы (рис23б) и от внешней нагрузки (рис23в) Для этого могут быть использованы способы расчета ферм изложенные в [12]
3 Используя результаты расчета составим векторы еди-ничной Nед и грузовой PN
ρ продольных сил
13121110987654321
д =еNρ
minusminusminus
minus
07070070700505050507070117070
13121110987654321
=PNρ
minus
minusminusminusminus
55335
5335
512512512512717
1515
717
74
4 Вычислим длины стержней фермы и запишем матрицу
ФD упругих податливостей элементов фермы l1 = l10 = l12 = l4 = 141sdotd l2 = l3 = l5 = l6 = l7 = l8 = l9 = l11 = l13
= d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=
100000000000004110000000000000100000000000004110000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000041100000000000001000000000000010000000000000411
13121110987654321
EAdDФ
5 Проводим последовательность матричных операций в
соответствии с формулой (214)
75
[ ]TPф EAdND 5555551251251251225151525 minusminusminusminusminussdot=
ρ
497)2530442()]512
512512512(50)1515(1)552525(7070[)( Тед
EAd
EAd
EAdNDN PФ
=++=+
++sdot++sdot++++sdot=ρρ
1
едед )( minusNDN ФT
ρρ)( ед PФ
T NDNρρ
=0172 7216497 =sdotEAd
dEA
едN-ρ
1едед )( minusNDN Ф
Tρρ
)( ед PФT NDN
ρρ=
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminus
0811
0811
0368368368368811716716811
В результате получаем вектор усилий в исходной ферме (рис23а)
76
minusminus
minus
minus
minus
=
++minusminus+minus++minus+minus+minus+minus
minusminusminus
minus
=
52785278
5144144144144
957171
95
50533811
50533811
50512368512368512368512368
7178111571615716
717811
13121110987654321
Nρ
6 Приступим к матричным вычислениям для построения линий влияния усилий в стержнях 1 8 2 фермы (рис23а) Для этого найдем усилия во всех стержнях основной системы в слу-чаях когда груз Р = 1 приложен в узлах грузового пояса фермы В нашем примере имеют место 2 случая приложения этого груза (рис23гд) Затем составляем матрицу PN столбцы которой соответствуют каждому из этих случаев Заменим в выражении (214) вектор PN
ρ на полученную матрицу и проведем аналогич-
ные матричные преобразования
77
103035300035035300120750207507025070250013530
05005030061
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=PN
0
05000
050010750075002500250
50050050051
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=EAdND PФ
78
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus
=
++minusminus+minus+++minusminusminus+++minus+minus+minus+minus+minus+minus+minus+minusminusminusminusminusminusminusminusminus
=
0006080
007680
1045700457040042904004290
0608000085900008590006470
13121110987654321
10003530414035304140
00003530414035304140
001025029307502930250293075029307502930250293075029302502930
061414035304140505860505860505860505860
353041400614140
13121110987654321
N
7 Используя 1-ю 8-ю и 2-ю строки матрицы N строим
линии влияния усилий в соответствующих стержнях (рис24)
79
Рис24 222 Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил
Обозначения исходных данных n-количество столбцов в матрице (векторе) k-количество стержней фермы N0-вектор продольных сил от ед
нагрузки в основной ферме деNρ
D-матрица податливостей ФD фермы NP-вектор продольных сил от
внешней нагрузки PNρ
в основной ферме
начало
n=1 k=13
ввод вектора N0
ввод матри-цы D
A A
ввод вектора
i=1k
j=1n
NT[ji]=N0[ij] NT-транспонированная мат-
рица ТедN
DNTH Т DNH
NP-вектор грузовых
продольных сил PNρ
80
81
Рис25 223 Программа для расчета статически неопределимых ферм
B
Решение СЛАУ
CXAρρ
=sdot
печать вектора
реакций Xρ
i=1k
C[i]=0
j=1n
C[i]=C[i]+N0[ij]X[j]
N[i]=C[i]+NP[i]
вывод Nρ
конец
XNC ед
ρρ=
Pед NXNNρρρ
+=
Nρ
ndash вектор результи-рующих продольных сил
82
В соответствии с блок-схемой изображенной на рис25
составляем программу на языке Turbo Pascal
PROGRAM FERMA_MS CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ И СТЕРЖНЕЙ) N=1 K=13 TYPE MASS = ARRAY[1K 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1K 1K] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1K] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1K] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR N0MASS DMASS1 NTHMASS2 AMASS3 NPNCMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ В ОСН ФЕРМЕ) CONST KN0MASS=((-0707) (-1 ) (-1 ) (-0707) ( 05) ( 05) ( 05) ( 05) ( 0 ) ( 0707) ( 0 ) (0707) (0))
83
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ DФ) KDMASS1= (( 564 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0564 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4)) (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСНОВНОЙ ФЕРМЕ) KNPMASS4=( -177-15-15-1771251251251255353-53535) BEGIN (ВВОД ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ) N0=KN0 WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДНАГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( N0[IJ]62) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) D=KD WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO K DO WRITE( D[IJ]62) WRITELN END
84
WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД ВЕКТОРА ГРУЗОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) NP=KNP WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НА-ГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO WRITE( NP[I]62) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO K DO FOR J=1 TO N DO NT[JI]=N0[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO K DO FOR L=1 TO K DO H[IJ]=H[IJ]+NT[IL]D[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO K DO A[IJ]=A[IJ]+H[IL]N0[LJ] FOR L=1 TO K DO C[I]=C[I]-H[IL]NP[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN A[JI]=-A[JI]A[II] FOR KK=I+1 TO N DO A[JKK]=A[JKK]+A[JI]A[IKK] C[J]=C[J]+A[JI]C[I] END X[N]=C[N]A[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN
85
Q=C[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]A[IJ] X[I]=QA[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В ИСХОДНОЙ ФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN C[I]=0 FOR J=1 TO N DO C[I]=C[I]+N0[IJ]X[J] N[I]=C[I]+NP[I] WRITELN(I2 N[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
3 СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии
Рассмотрим расчетную схему линейно-упругого стержня на рис31а Разобъём ось этого стержня на m равных частей (конечных элементов) соединенных между собой в n узлах (рис31б) Продольные перемещения u(x) в произвольной точке элемента будем считать линейными функциями координат (рис31в)
u x x( ) = +α α1 2 (31) или в матричной форме
[ ] [ ]u x x где T( ) = = minus1 1 2α α α α вектор не-известных коэффициентов Здесь значок laquoΤraquo обозначает опера-цию транспонирования переменная х - координата в глобальной системе осей ОХ
Применяя равенство (31) для узлов r s неизвестные пара-
метры α1 и α2 выразим через смещения узлов
rsr
srrrr x
xxuu
uxuminusminus
minus=+= 121 ααα
221sr
srss xx
uuxu
minusminus
=+= ααα
где ur и us смещения узлов r и s элемента е (рис31г)
87
Рис 31
Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(31) получим
u(x) = Nrur+Nsus (32) Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента
88
1ll
xxN
lN r
slXX
rs
ξξ=
minus=minus== minus
(33)
где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см рис31г)
Перепишем (32) в матричном виде u(x)=[N]δе (34)
где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы δe=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е
В каждом элементе е имеются свои функции перемеще-ний которые стыкуются в узловых точках При этом получается непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-ний для всего стержня те при таком выборе функции (33) зна-чения перемещений на концах смежных элементов являются одинаковими (рис31в)
Отметим что коэффициент α1 в (31) соответствует движению элемента е как твердого тела так как выражение для
продольной деформации εpartpart
=ux
содержит только коэффициент
α2 те
2αε =minus
=l
uu sr
Матрица жесткости элемента В состоянии равновесия вектор узловых усилий Fе=fr fs эле-мента е можно выразить через вектор узловых перемещений δe
Fe=[K]eδe (35) где [K]e- матрица жесткости элемента е
В развернутом виде формула (35) для стержневого эле-мента работающего на растяжение и сжатие имеет вид
ff
k kk k
uu
r
s
rre
rse
sre
sse
r
s
=
( ) ( )
( ) ( )
(36)
89
Здесь k rse( ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s
при условии что в узле r смещений нет В дальнейшем где это возможно значок laquo(е)raquo будем опускать
Построим матрицу жесткости элемента е в локальной сис-теме координат Оξ (рис31г) При этом часто используется принцип возможных перемещений в состоянии равновесия стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении δρu равна нулю
R u R u dvV
1 1 2 2 0δ δ δεσ+ minus =intintint (37)
Здесь V - объем элемента R=R1 R2 - вектор сил приложен-ных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним на-грузкам σ ε - нормальное напряжение и относительная линей-ная деформация в произвольном поперечном сечении элемента
Вычислим например коэффициент k22 матрицы жесткости стержня (рис31д) По определению k22=R2 при u1=0 u2=1 Поле перемещений точек элемента вызванное единичным смещением
узла 2 равно ul
( )ξξ
= times1 а напряжения σ = timesЕl
1 Так как
узел 1 закреплен то δu1=0 Пусть δu2- возможное (кинематиче-ски допустимое) смещение узла 2 Тогда возможные перемеще-ния стержня за счет δu2 будут δu(ξ)=(ξl)δu2 а соответствующие деформации δε=(1l)δu2
Из равенства (37) следует
R uul
El
dV ul
EAdV
l
2 22
2 20
11
δδ
δ ξ= =intintint int
или в силу произвола вариации
kl
EAdx EAl
l
22 20
1= =int
Определяя по аналогии остальные коэффициенты получа-ем матрицу жесткости стержневого элемента работающего на растяжение-сжатие
90
[ ]k
EAl
EAl
EAl
EAl
EAle
=minus
minus
=
minusminus
1 11 1
(38)
Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости стержневого элемента
Деформации внутри элемента е связаны с узловыми пере-мещениями его концов δе=[u1u2]т равенством
[ ] [ ]εξξ ξ
= = =du
ddd
N u B ue e e
( ) ( ) ρ ρ
(39)
где [Β]е=d[N]dξ - матрица-строка деформаций компонентами которой являются производные от функций форм по локальным координатам
[ ]B dNd
dNd l le
=
= minus
1 2 1 1ξ ξ
(310)
Приращение потенциальной энергии деформации элемента за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид
[ ]
[ ] [ ]= ==
intintintintintintintintintδεσδ ε
δdVB u E dV
u B E B dV ue e
eT
eT
e eV
VV
( )
(311)
Работа узловых сил [ ] ρF u ue
T= δ δ1 2 на возможных
вариациях перемещений в узлах [ ]δ δ δ ρu u ue
T= 1 2 равна приращению потенциальной энергии деформации (311)
[ ] [ ]δ δ ( ) ρ ρ ρ ρu B E B dV u u Fe
T
V e
T
e e eT
eintintint =
откуда следует ( ) ρ ρF B EBdV ue
Te
V
= intintint (312)
91
где [ ] [ ]k B EBdVе eT
v
= intintint - матрица жесткости стержневого эле-
мента размерности 2х2 Если в (312) модуль упругости Е заменить на соответст-
вующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука то эта формула в принципе справедлива для задач любой размерно-сти и для элементов любого типа
Определение статически эквивалентных узловых усилий Теперь из условия равновесия определим реактивные уси-
лия действующие на стержневой конечный элемент со стороны узлов в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить с обратным знаком
а) действие распределенной нагрузки
Рис 32
Пусть [ ] ρF F Fq q
T= 1 2 - вектор усилий в узлах элемен-
та уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивно-стью q (рис32)
Применим принцип возможных перемещений полная вир-туальная работа заданных внешних и реактивных усилий на со-ответствующих вариациях перемещений элемента находящего-ся в равновесии должна быть равна нулю
q ud F u F uq
l
δ ξ δ δ+ + =int 1q 1 2 20
0
Используя (34) это равенство перепишем в виде
92
q N u N u d F u F uq
l
( )1 1 2 2 1q 1 2 20
0δ δ ξ δ δ+ + + =int
Учитывая чтоN l и N l1 21= minus =ξ ξ а также про-извол вариаций узловых перемещений δu1 δu2 находим
F qN dx jjq j
l
= minus =int0
1 2( )
При q = const имеем ρF ql qlq
e T( ) [ ]= minus minus2 2
Отметим что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной сис-темы координат Оξ
б) действие температуры Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ) Тогда
компоненты вектора узловых сил [ ]TTTeT FFF 21 =ρ
опре-делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации потенциальной энергии деформации элемента
F u F u dvTV
1T 1 2 2δ δ δεσ+ = intintint
Учитывая что σ ξ α ξ ε ξ ξ ξ( ) ( ) ( ) ( ) = minus = = minus +E T du d u l u l u1 1 2 в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
F EAl
T dx jjT
l
= plusmn =intα
ξ( ) ( )0
1 2
При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
[ ] ρF TEA TEAT e
T= minusα α Компоненты F1T F2T направлены вдоль оси Оξ Таким образом полный вектор узловых усилий на элемент
93
[ ]ρF F Fe
T= 1 2 включает силы статически эквивалентные перемещениям элемента распределенной нагрузке и темпера-турному воздействию
[ ] ρ ρ ρ ρF K u F Fe e e q e T e= + + (313)
Этот вектор вычисляется в локальной системе координат
Составление уравнений равновесия бруса Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)
элементов составляются в глобальной системе координат ОХ единой для всех элементов конструкции (рис31а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы В случае одноосного растяжения и сжатия матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локаль-ной и глобальной координатах совпадают
Неизвестные узловые перемещения для ансамбля эле-ментов могут быть определены из уравнений равновесия узлов Например для узла с номером m можно записать
P Fm m ee m
+ minus =isinsum( ) 0 (314)
где Pm - внешняя сосредоточенная сила приложенная к узлу m по направлению оси ОХ
-Fme - усилие действующее на узел m со стороны эле-мента е Сумма в (314) берется по всем элементам содержащим узел m
311 Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии
Стержень изображенный на рис33а находится под дей-
ствием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q и сосредоточенной силы F=ql
94
Требуется построить эпюры перемещений u x( )prime и нор-мальных напряжений σ В расчетах принять ЕА=1
а) б) в) г)
Рис 33
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных эле-
мента с узлами в точках 12345 (рис33б) Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы координат направим вниз по оси стержня
Введем следующее обозначение k EAl
= и покажем все
усилия действующие на каждый конечный элемент и вырезан-ные узлы (рис34)
Расписывая уравнения равновесия (314) для каждого узла в отдельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
95
minus + minus + =
minus + + =
minus + + =
minus + + =
minus + =
2 2 02 4 2 0
2 32
0
22
0
0
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku R qlu ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
или 2 2
2 4 2
2 32
22
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku ql Rku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
minus = minusminus + minus =
minus + minus =
minus + minus =
minus + =
В матричном виде эта система записывается в виде (315)
В клетках обведенных пунктиром и расположенных сверху вниз по главной диагонали указываются вклады жесткостных харак-теристик каждого элемента в соответствии с их нумерацией (рис31б) Здесь k k k k k33 11
3222
34 123= + =( ) ( ) ( ) и тп Аналогич-
но заполняется вектор правой части в которой компоненты на-грузки элемента засылаются по нужным адресам Этот прием формирования глобальной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ реализующих МКЭ
96
Рис 34
(315)
97
или
[ ] K u Qρ ρ=
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной [ ]ρu u u u u u T= 1 2 3 4 5 - вектор неизвестных узловых пере-мещений ρQ - вектор внешних узловых сил
Учет граничных условий Матрица [K] в системе уравнений (315) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (315) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диагонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на к EAl11∆ ∆=
-члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в правую часть системы
В нашем примере система (315) с учетом сказанного может быть записана в виде
EAl
uuuuu
EA lql EA l
qlql
F
1 0 0 0 00 4 2 0 00 2 3 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1
20 50 5
1
2
3
4
5
minusminus minus
minus minusminus
=+
( )( )
∆∆
98
так как ∆ = 0 ЕА = 1 ql = F то
5050
0
1100012100
013200024000001
5
4
3
2
1
=
minusminusminus
minusminusminus
FlFlFl
Fl
uuuuu
Решение полученной системы линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестного вектора перемещений ρu
проведем методом главных элементов в виде таблицы 31
Таблица 31 mi u1 u2 u3 u4 u5 Свободные
члены 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4 -2 0 0 Fl -05 0 -2 3 -1 0 05Fl 0 0 0 -1 2 -1 05Fl 0 0 0 0 -1 1 Fl -05 - - 2 -1 0 Fl 1 - - -1 2 -1 05Fl -05 - - - -1 1 Fl 1 - - 15 - -05 125Fl -033333 - - -05 - 05 125Fl - - - - - 0333
33 166667Fl
Ответ 0 15Fl 25Fl 40Fl 50Fl В результате решения преобразованной системы полу-
чим
99
uFl
Fl
uFl Fl
Fl
uFl Fl Fl
Fl
uFl Fl
Flu
5
3
4
2
1
1 66670 33333
5 0
1 25 0 5 51 5
2 5
0 5 2 5 52
4 02 2 5
41 5
0
= =
=+ times
=
=+ +
=
=+ times
=
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения
4times15Fl-2times25Fl=Fl -2times15Fl+3times25Fl-4Fl=05Fl -25Fl+2times40Fl-5Fl=05Fl -4Fl+5Fl=Fl
Ответ [ ]ρu Fl F l F l F l T= 0 1 5 2 5 4 0 5 0 Линейные деформации каждого элемента вычисляются
по формулам (39) и (310)
ε
ε
ε
ε
(
( )
( )
( )
( )
( )
1)
2
3
4
1 1 015 15
1 1 152 5
15 2 5
1 1 2 54
2 5 4 0 15
1 1
= minus
=
= minus
= minus + =
= minus
= minus + =
= minus
l lFl
EA
FEA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
l lFl EA
Fl EAF
EAF
EA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
= minus + =
45
4 0 5 0
( )
Нормальные напряжения σ в центре каждого элемента равны
100
σ σ σ σ( ( ) ( ) ( ) 1) 2 3 41 5 1 0 1 5 1 0= = = =FA
FA
FA
FA
По результатам вычислений строим эпюры безразмерных пере-
мещений u EAFl
u x= prime( ) и напряжений σ (рис31вг) При по-
строении эпюры σ учитываем что нормальное напряжение на участках стержня где действует постоянная распределенная на-грузка изменяется по линейному закону а на участках где она отсутствует - постоянна
Подбор поперечных сечений бруса Проектировочный расчет проведем в системе Mathcad
Зададим размерности величин в привычном виде
Пусть дано
Тогда внешняя сила F будет равна
Допускаемое нормальное напряжение σadm 160МПаsdot=
Из эпюры на рис33г видно что опасными сечениями бруса являются сечения проходящие немного ниже точек 1 и 3 В этих точках максимальное нормальное напряжение
σmax 20FAsdot=
Из условия прочности при растяжении и сжатии
кН 1000 Nsdot= МПа 106 N
m2sdot=
м m= см 01 msdot=
l 1 мsdot= q 5кНм
sdot=
F q lsdot= F 5 103times N=
101
σmax σadmle находим параметр А площади допускаемого поперечного сече-ния
20F
Aadmsdot σadm
Таким образом при заданном значении σadm 160МПаsdot=
площадь поперечного сечения верхнего участка равна A1=125
см2 нижнего - 0625 см2 Округлим эти значения в большую сторону до значений оканчивающихся на цифры 0 или 5 Тогда для верхних двух участков можно принять А1 = 15 см2
для нижних - А2 = 10 см2 Для круглых поперечных сечений можно вычислить их
диаметры
Расчет вала при действии внешних крутящих моментов проводится аналогично Только в этом случае необходимо вме-
Aadm 20F
σadmsdot= Aadm 625 10 5minus
times m2=
A1 2 Aadmsdot= A1 125 10 4minustimes m2
= A2 Aadm=
d14 A1sdot
π= d1 0013m= d1 15 смsdot=
d24 A2sdot
π= d2 8921 10 3minus
times m= d2 10 смsdot=
102
сто сил рассматривать крутящие моменты а вместо распреде-ленных нагрузок ndash распределенные моменты Неизвестными в уравнениях являются углы φ поворота сечений величины GIk характеризуют жесткости участков вала
32 Пример расчета ступенчатого вала при кручении Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с непод-
вижно закрепленными концами находится под действием внеш-них крутящих моментов M и 4M (рис35)
Требуется
1) составить систему линейных уравнений по МКЭ 2) найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их через M
l и D
103
3) построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных ка-сательных напряжений τmax
4) построить эпюру крутящих моментов Mк 5) при заданном значении допускаемого касательного напряже-
ния τadm=70Мпа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
6) найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
7) составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реализую-щую алгоритм решения задачи
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый вал на 4 конечных элемента с
узлами в точках 12345 (рис35б) Начало координат совмес-тим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы коор-динат направим вправо по оси стержня
Введем следующие обозначения
82
16
16
502
16
4
44
3
33
2
22
1
11
4321
lGI
lGI
lGI
klGI
lGI
k
lGI
lGI
kl
GIl
GIl
GIk
GIGIGIGIGIGI
PPPPP
PPPPPPPPPPP
=sdot
==sdot
==
==sdot===
sdot====
где 410 DIP asymp -полярный момент инерции поперечного сечения вала Покажем все моменты действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис36)
Расписывая уравнения равновесия для каждого узла в от-дельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю не-известными
104
Рис36
=minus+minus=+minus++minus
=minus++minus=+minus++minus
=minusminus
004)(
0)(0)(
0
544
5444333
4333222
3222111
2111
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
105
или
=+minusminus=minus++minus
=minus++minusminus=minus++minus
=minus
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
5444
5444333
4333222
3222111
2111
4)(0)(
)(
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
В матричном виде эта система записывается в виде (316)
minus
minus=
minusminus+minus
minus+minusminus+minus
minus
B
A
MM
MM
kkkkkk
kkkkkkkk
kk
40
)()(
)(
5
4
3
2
1
44
4433
3322
2211
11
ϕϕϕϕϕ
(316)
или [ ] QK
ρρ=ϕ
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной
T][ 544321 ϕϕϕϕϕϕϕ =ρ
- вектор неизвестных узловых углов поворота сечений
Qρ
- вектор внешних узловых крутящих моментов Подставляя выражения для k1 k2 k3 k4 записанные через
жесткости GIp получим систему
106
minus
minus=
minusminusminus
minusminusminusminus
minus
B
A
p
MM
MM
lGI
40
8882416
1617115150
5050
5
4
3
2
1
ϕϕϕϕϕ
Учет граничных условий Предположим что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах
вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2 Тогда с учетом ска-занного в п 311 система (316) может быть записана в виде
∆times∆timestimes+minus
∆times+minus∆
=
minusminusminus
minus
2
2
1
1
5
4
3
2
1
)()(804
0)(50
)(
100000241600016171000151000001
lGIlGIM
lGIMlGI
lGI
p
p
p
p
p
ϕϕϕϕϕ
Так как ∆1=∆2=0 то
040
0
100000241600016171000151000001
0
0
5
4
3
2
1
minus
minus=
minusminusminus
minus
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
где pGIlM times
=0ϕ - обозначение
107
Так как ϕ1=ϕ5=0 то решаем 234 уравнения методом Гаус-са в виде таблицы 32
Таблица 32
mi ϕ2 ϕ3 ϕ4 Свобод-ные члены
1 15 -1 0 -ϕ0 -23 -1 17 -16 0 0 0 -16 24 -4ϕ0 1 0 493 -16 (-23)ϕ0 -4849
0 -16 24 -4ϕ0
0 40849 (-22849)ϕ0
Ответ (-1817)ϕ0 (-1017)ϕ0 (-1934)ϕ0 В результате решения преобразованной системы получим
5588203419
40849
49228
000
4 ϕϕϕ
ϕ primeminus=minus=sdotminus=
5882301710)
349()
341916
32( 00003 ϕϕϕϕϕ minus=minus=sdotminusminus=
0588211718
511710
00
00
2 ϕϕϕϕ
ϕ minus=minus=sdotminusminus
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного ре-
шения в исходные уравнения 15times(-105882ϕ0)-1times(-058823)=-ϕ0 -1times(-105882ϕ0)+17times(-058823ϕ0)-16times(-055882ϕ0)=0 -16times(-058823ϕ0)+24times(-055882ϕ0)=-4ϕ0
Ответ ϕ1=0 ϕ2=-105882ϕ0 ϕ3=-058823ϕ0 ϕ4=-055882ϕ0 ϕ5=0
или в векторном виде
108
T
minusminusminus= 0
3419
1710
17180 000 ϕϕϕϕ
ρ
Угловые деформации и максимальные касательные напря-жения в сечениях каждого элемента вычисляются по формулам
11
11
)(max
)(
sdot
minus=
sdot
minus=
K
He
K
He
llGR
llR
ϕϕ
τ
ϕϕ
γ
где R ndashрадиус поперечного сечения элемента e вала ϕH и ϕK ndash соответственно углы поворота левого и правого концов конечного элемента в глобальной системе координат
Тогда максимальные касательные в каждом элементе рав-ны
7941226117
76
03419
21
21
2941206117
8
34191710
11
3529422017
8
17101718
112
6470622017
9
17180
21
21
2
330)4(
max
33
0
0)3(
max
33
0
0)2(
max
330
)1(max
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
=sdot=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
minus=sdotminus=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕτ
109
Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов [ ]TKH
ek MMM =
ρ в каждом элементе е по формуле
[ ]
sdot
minus
minussdot=sdot=
K
Hpeeek l
GIkM
ϕϕ
ϕ1111)()()( ρρ
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и пра-
вом концах конечного элемента МН и МК ndash крутящие моменты на левом и правом концах
элемента соответственно
470590470590
55882058828055882058828016
558820588230
111116
470590470590
588230058821588230058821
588230058821
1111
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
0)3(
0
0
0)2(
0
0
2
2
2
1)1(
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
pK
p
pK
p
ppK
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ρ
ρ
ρ
110
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)3(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)4(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
ных углов поворота 0ϕϕ
касательных напряжений MD3
max sdotτ
и крутящих моментов MKM (рис37) Подбор сечений вала (проектировочный расчет) Пусть дано М=2 кНм τadm=70 Мпа ndash допускаемое каса-
тельное напряжение для стали Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по
модулю значение
3)4(
maxmax 794122DM
== ττ
Из условия прочности при кручении τmax le τadm
находим диаметр D
admDM τ=3794122
111
сммMDadm
adm 3141070
1027941227941223
6
3
3 =sdot
sdotsdot=
sdot=
τ
Рис 37
Таким образом при заданном значении τadm=70 Мпа оп-ределили диаметр Dadm из расчета на прочность Теперь округ-лим его до значения оканчивающегося на цифру 0 или 5 (в большую сторону) те в нашем случае диаметры первых двух участков вала можно принять равным D=45 мм а диаметры остальных участков 2D=90мм
Найдем максимальный угол поворота сечений ϕmax при-няв l=05м модуль сдвига для стали G=08105 Мпа М=2кНм IP=01D4
058821 02max ϕϕϕ ==
805321
)1054(10108050102
4211
3
0 =sdotsdotsdotsdot
sdotsdot=
sdotsdot
= minusPIGlMϕ
112
032276080532
058821max рад==ϕ
Указания к составлению программ на ЭВМ При численной реализации МКЭ заполнение матрицы же-
сткости [K] и вектора правой части Q ансамбля элементов производится с использованием упомянутого ранее метода пря-мых жесткостей учитывающего вклад каждого элемента в от-дельности по формулам
K k Q F F FIJ ije
e I JJ J jq
e
e JjT
e
e T= = + minus + minus
isin isin isinsum sum sum( )
( ) ( ) ( ) ( ) (317)
Здесь локальные номера ij узлов элемента е должны соответст-вовать глобальным номерам узлов ансамбля IJ Суммы берутся по всем элементам ансамбля содержащим узлы IJ В правые части формул (317) подставляются компоненты матриц жестко-сти и векторов приведенных узловых сил отдельных элементов вычисленные в глобальной системе координат
Рассмотрим более подробно один из вариантов процесса сборки глобальной матрицы жесткости ансамбля элементов
Разбитый на элементы стержень можно полностью описать двумя массивами - глобальными координатами узлов xi и матри-цей индексов элементов
Последний из них позволяет установить связь элементов друг с другом Под набором индексов данного элемента будем понимать глобальные номера узлов элемента выписанные в по-рядке возрастания их локальных номеров С помощью матрицы индексов обычно проводят сборку глобальной матрицы жестко-сти в виде двумерного массива SGL(neqneq) где neq -число сте-пеней свободы дискретной модели стержня Обозначим через IT(nsenel) матрицу индексов где nse - число степеней свободы элемента nel - количество элементов дискретной модели SE(nsense) - матрица жесткости элемента Алгоритм сборки со-стоит в том что для каждого элемента попарно следует пере-брать все индексы данного к-го элемента (включая и тот случай
113
когда индекс образует пару сам с собой) Пара локальных номе-ров IJ дает адрес (те строку и столбец) числа которое должно быть выбрано из матрицы жесткости элемента Другая же пара индексов IT(IK) IT(JK) определяет адрес в глобальной матрице жесткости по которому должен быть просуммирован выбран-ный коэффициент матрицы жесткости элемента Так как обра-ботка индексов происходит в порядке возрастания номеров эле-ментов то заполнение глобальной матрицы жесткости происхо-дит случайным образом
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем
МКЭ Блок-схема алгоритма реализующая МКЭ представлена
на рис38 Дадим некоторые пояснения к этому алгоритму На 1-м этапе производится ввод исходных данных (коор-
динат узлов и номеров конечных элементов) и их распечатка (для контроля) Вводится также информация о внешних нагруз-ках граничных условиях механических характеристиках мате-риала отдельных элементов конструкции (блок 2) Заполняются нулями глобальная матрица жесткости и вектор нагрузки (блок 3)
На 2-м этапе в цикле (блок 4) вычисляются матрицы жест-кости (блок 5) и векторы эквивалентных узловых сил для от-дельных элементов (блок 7) которые включаются в глобальную матрицу жесткости К (блок 6) и вектор нагрузки
ρQ (блок 8)
После выхода из цикла в векторе ρQ учитываются компо-
ненты внешних сосредоточенных узловых сил по соответст-вующим степеням свободы (блок 9) В результате завершения 2-го этапа оказывается сформированной матрица и правая часть системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относи-тельно неизвестных узловых перемещений
114
На 3-м этапе производится учет заданных граничных усло-вий (блок10) и решением полученной СЛАУ (блок 11) опреде-ляются неизвестные узловые перемещения
На 4-м этапе в цикле по элементам вычисляются деформа-ции и напряжения в отдельных конечных элементах (блоки 12-15) Общий выход осуществляется в блоке 16
Отметим что при решении больших задач ввиду ограни-ченности памяти ЭВМ матрицу жесткости ансамбля элементов обычно хранят в виде ленты шириной L Величина L равна рас-стоянию от наиболее удаленного ненулевого элемента матрицы до главной диагонали Изменение ширины ленты матрицы мож-но добиться с помощью изменения порядка нумерации узлов
Начало
Ввод исхданных
Обнуление матрицы К и вектора Q
1
1
2
3
115
1
Цикл по элементам
Построение матрицы жесткости элемента в глобальных коорди-натах
Формирование глобальной мат-рицы жесткости системы К
Вычисление эквивалентных узло-вых сил для элемента в глобальных координатах
Формирование глобаль-ного вектора нагрузки Q
Добавление внешних сосредо-точенных сил
2
4
5
6
7
8
9
116
2
Учет граничных условий
Решение СЛАУ
Цикл по элементам
Вычисление внутр сило-вых факторов в локаль-ных осях
Вычисление напряжений Оценка прочности
Печать результатов
Конец
10
11
12
13
14
15
16
Рис38
117
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ Program MCE Uses crt const nue=2 nel=4 число конечных элементов nuz=5 число узлов ансамбля элементов ndis=1число узловв которых заданы перемещения type mas1=array[1nel] of real mas3=array[1nel1nue] of integer mas5=array[1nue1nue] of real mas7=array[1nuz1nuz] of real mas8=array[1nuz] of real mas9=array[1ndis] of integer mas10=array[1ndis] of real mas12=array[1nue] of real mas14=array[1nel1nue] of real var ielijinteger ardleedeforsigmamas1 nugmas3 semas5 sglmas7 rezmas8 nsdmas9 dismas10 r1mas12 bbrzmas14 const kdlmas1=(10101010) keemas1=(10101010) knugmas3=((12) (23) (34) (45)) knsdmas9=(1) kdismas10=(00) karmas1=(20201010) procedure MEL var j1k1l1integer
118
eflq0psreal begin efl=ee[iel]ar[iel]dl[iel] for j1=1 to nue do for k1=1 to nue do se[j1k1]=00 se[11]=efl se[12]=-efl se[21]=-efl se[22]=efl for j1=1 to nue do begin writeln for k1=1 to nue do write(se[j1k1]51) end readln readln(q0) r1[1]=05q0dl[iel] r1[2]=05q0dl[iel] for j1=1 to nue do write( r1[j1]53) readln end Procedure MGL var j1k1l1m1n1integer begin for j1=1 to nue do begin l1=nug[ielj1] rez[l1]=rez[l1]+r1[j1] for k1=1 to nue do begin n1=nug[ielk1] sgl[l1n1]=sgl[l1n1]+se[j1k1] end end
119
end Procedure GRAN var i1j1k1l1integer begin for i1=1 to ndis do begin j1=nsd[i1] k1=nsd[i1] for l1=1 to nuz do begin rez[l1]=rez[l1]-sgl[l1j1]dis[i1] sgl[l1j1]=00 end for l1=1 to nuz do sgl[k1l1]=00 sgl[k1k1]=10 rez[k1]=dis[i1] end end Procedure PRAV var k1nqicinteger begin repeat write(Введите номер узла) readln(nq) write(Введите компоненты усилия) read(r1[1]) writeln rez[nq]=rez[nq]+r1[1] until nqgt=nuz end Procedure SISTEM var i1j1k1l1integer x1array[1nuz] of real q1real begin for i1=1 to nuz do for j1=i1+1 to nuz do
120
begin sgl[j1i1]=-sgl[j1i1]sgl[i1i1] for k1=i1+1 to nuz do sgl[j1k1]=sgl[j1k1]+sgl[j1i1]sgl[i1k1] rez[j1]=rez[j1]+sgl[j1i1]rez[i1] end x1[nuz]=rez[nuz]sgl[nuznuz] for i1=nuz-1 downto 1 do begin q1=rez[i1] for j1=i1+1 to nuz do q1=q1-x1[j1]sgl[i1j1] x1[i1]=q1sgl[i1i1] end l1=0 for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do begin l1=l1+1 rz[ielj1]=x1[l1] end l1=l1-1 end writeln(Массив перемещений разделенный по узлам) for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do write( rz[ielj1]53) writeln end end Procedure STRESS var j1integer begin for iel=1 to nel do begin1
121
defor[iel]=00 sigma[iel]=00 for j1=1 to nue do begin2 if j1=1 then bb[ielj1]=-1dl[iel] else bb[ielj1]=1dl[iel] defor[iel]=defor[iel]+bb[ielj1]rz[ielj1] end2 sigma[iel]=defor[iel]ee[iel] end1 for j1=1 to nel do write(j13)sigma[j1]54) writeln end
Begin clrscr dl=kdl nug=knug nsd=knsd dis=kdis ar=kar ee=kee for i=1 to nuz do begin rez[i]=00 for j=1 to nuz do sgl[ij]=00 end for iel=1 to nel do begin MEL MGL end PRAV GRAN SISTEM STRESS end
122
35 Расчет рам методом конечных элементов Матрица жесткости балочного элемента конструкции Рассмотрим расчетную схему линейно-упругой рамы в глобаль-ных (общей для всей системы) осях координат xyz (рис39а)
Рис 39
Разобъем ось этой рамы на m частей (конечных элемен-
тов) соединенных между собой в n узлах (рис39а) Каждому элементу под номером е поставим в соответствие систему ло-кальных осей координат xyz (рис39б) Рассмотрим в плоско-сти xy деформацию поперечного изгиба элемента На концах этого элемента укажем векторы узловых перемещений
[ ]Te uuuuu 4321)( =
ρ и узловых усилий [ ]Te RRRRR 4321
)( =ρ
Нумерация и положительные направ-ления компонентов этих векторов показаны на рис39б Связь
123
между ними обеспечивается как известно матрицей жесткости k(e) элемента е
)()()( ][ eee ukR ρρsdot= (318)
В дальнейшем там где возможно значок (е) будем опускать Прогиб балки w(x) в произвольном ее сечении будем считать функцией координаты x в локальной системе осей oxy (рис39б)
)( 34
2321 xxxxw prime+prime+prime+=prime αααα (319)
или в матричной форме [ ] [ ] minus=sdotprimeprimeprime=prime Tгдеxxxxw 4321
32 1)( ααααααвектор неизвестных коэффициентов
Применяя равенство (319) для концевых узлов элемента е
неизвестные параметры α1 α2 α3 α4 выразим через смещения
этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений
проходящих через соответствующие узлы
132332)(
)()0()0(
43221232
4324
34
232132211
ul
ul
ul
ul
lllxd
dwu
llllwuxd
dwuwu
minus+minusminus=rArr++=prime
=
+++===prime
===
αααα
αααααα
4233221341212 ul
ul
ul
ul
+minus+=α
Подставляя в (319) и выполняя преобразования получим
sum=
prime=prime4
1)()(
kkk xEuxw
(320)
где
124
)(23)(
2)(231)(
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
lx
lxxE
lx
lxxE
lx
lxxxE
lx
lxxE
prime+
primeminus=prime
primesdotminus
primesdot=prime
prime+
primesdotminusprime=prime
primesdot+
primesdotminus=prime
-функции перемещений известные под названием функций Эр-
мита Каждая из этих функций Ek(x) характеризует прогиб жест-
ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
направлению k (uk=1) (рис310)
Рис 310
Формулу (320) можно записать в матричном виде
[ ] uxNxw ρsdotprime=prime )()( (321)
где [ ])(xN prime - матрица-строка элементы которой являются функ-
циями локальной координаты х
[ ] [ ])()()()()( 4321 xExExExExN primeprimeprimeprime=prime (322)
125
Запишем теперь дифференциальные зависимости для из-
гиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах
)()(3
3
2
2
xdxwdEIQ
xdxwdEIM
primeprime
sdot=primeprime
sdot=
где М и Q ndash изгибающий момент и поперечная сила в сечении
балки положительные направления которых показаны на
рис39б Так как на концах балки (при x=0 и l) изгибающий
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми
значениями то с учетом их направлений можно записать
)()()()(
)0()0()0()0(
2
2
43
3
3
2
2
23
3
1
lxd
wdEIlMRlxd
wdEIlQR
xdwdEIMR
xdwdEIQR
primesdot==
primesdotminus=minus=
primesdotminus=minus=
primesdot==
Эти равенства с использованием формул (321) можно пе-
реписать в виде
[ ] [ ][ ] [ ] ulNEIRulNEIR
uNEIRuNEIRρρρρ
sdotprimeprimesdot=sdotprimeprimeprimesdotminus=sdotprimeprimesdotminus=sdotprimeprimeprimesdot=
)()()0()0(
43
21
Сравнивая эти соотношения с уравнением (318) запишем
матрицу жесткости элемента в виде
[ ]
primeprimeprimeprimeprimeminus
primeprimeminus
primeprimeprime
sdot=
)()()0(
)0(
lNlN
NN
EIk
или составляя выражения для производных с учетом
(320)(322) получим окончательно
126
[ ]
minusminusminusminus
minusminus
=
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIk
(323)
Отметим что элемент kij этой матрицы численно равен
реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис310)
Определение статически эквивалентных узловых уси-
лий
Пусть на элемент е рамы действует положительная попе-речная распределенная нагрузка интенсивностью q(x) (рис311)
Рис 311
Тогда силовые факторы qR
ρ в узловых сечениях элемента
эквивалентные этой нагрузке можно определить с помощью принципа возможных перемещений
0)()(0
=sdot+ intl
qT dwqRu ξξδξδρρ
(324)
127
Так как sum=
prime=4
1
)(k
kk xEuw δδ то из (324) следует
sum int=
=+4
1 0
0)()(k
l
kkqT dEquRu ξξξδδρρ
Следовательно для j-й компоненты вектора qRρ
получим
формулу
int =minus=l
jjq jdEqR0
)4321()()( ξξξ
При q(x)=const получим T
q qlqlqlqlR
minusminusminus= 22
121
21
121
21ρ
(325)
те компоненты этого вектора фактически являются реак-
тивными усилиями и моментами в балке с защемленными кон-
цами нагруженной распределенной нагрузкой q (рис311) Зна-
ки компонент jqRρ
соответствуют положительным направлениям
степеней свободы на рис39б
Преобразование локальных координат в глобальные
Необходимость в таком преобразовании возникает в связи
с составлением уравнений равновесия для всей конструкции в
целом в глобальной системе координат (рис312)
128
Рис 312
Связь между локальными )( zyxx primeprimeprime=primeρ и глобальными
)( zyxx =ϖ координатами записывается в виде
[ ] xtx ρρsdot=prime (326)
где [ ] )cos()cos()cos(
дтиzxtyxtxxt
ttttttttt
t
zx
yx
xx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
prime=
prime=
prime=
=
prime
prime
prime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
Заметим что [ ]t представляет собой матрицу вращений
локальных осей относительно глобальных
Если известны глобальные координаты концов ij элемента
балки то направляющие косинусы оси x (оси балки) определя-
ются по формулам (i lt j)
l
zzt
lyy
tl
xxt ij
zxij
yxij
xxminus
=minus
=minus
= primeprimeprime
129
где 222 )()()( ijijij zzyyxxl minus+minus+minus= - длина эле-
мента
Компоненты матрицы [ ]t должны удовлетворять усло-
виям ортогональности осей координат
00 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime zzzxyzyxxzxxzyzxyyyxxyxx tttttttttttt
0=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzzyyzyyxzxy tttttt
Кроме того между направляющими косинусами еди-
ничных векторов имеются зависимости
11 222222 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzyzxzzyyyxy tttttt
Условие ориентации относительно глобальной оси оу
главной центральной оси инерции сечения элемента oy записы-
вается в виде (рис312)
)cos(γ=primeyyt
В общем случае нагружения нумерация и положительные
направления узловых параметров (обобщенных перемещений и
усилий) элемента laquoеraquo в локальных осях xyz показаны на
рис313
130
Рис 313
Считаем что локальная система координат направлена от
узла с меньшим номером к узлу с большим номером по глобаль-
ной нумерации узлов всей конструкции В глобальных осях xyz
порядок нумерации и направления узловых параметров изобра-
жены на рис314
Рис 314
Согласно рис313 314 обозначим через
131
Tuuuu ][ 1221 primeprimeprime=prime Κρ и Tuuuu ][ 1221 Κϖ= векторы узловых пе-
ремещений элемента в локальных и глобальных координатах
соответственно Тогда связь между ними можно задать в виде
формулы
uTu ρρ ][=prime (327)
где [Т] ndash ортогональная матрица преобразования координат
([Т]-1=[Т]Т) Вид ее однозначно определяется из равенства (327)
и имеет блочно-диагональную структуру
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
=times
tt
tt
T1212
(328)
Каждый блок [ ]33times
t выполняет преобразование над поступа-
тельными или вращательными компонентами одного узла В ча-
стности для плоской рамы матрица преобразований имеет вид
[ ]
=
primeprime
primeprime
primeprime
primeprime
1000000000000000010000000000
yyxy
yxxx
yyxy
yxxx
tttt
tttt
T
(329)
Компонентами этой матрицы являются направляющие ко-
синусы между соответствующими осями локальной и глобаль-
132
ной систем координат
)()(
)cos()cos(
)(
)cos()(
)cos(
22ijij
xxyyyxxyyyxy
ijyx
ijxx
yyxxl
ttttyytxytl
yyyxt
lxx
xxt
minus+minus=
=minus=prime=prime=
minus==
minus=prime=
primeprimeprimeprimeprimeprime
primeprime
(330)
Заметим что угловые перемещения uiz и ujz при повороте
координат в плоскости изгиба не изменяются поэтому на соот-
ветствующих местах матрицы стоят единицы
Пусть Ru Tρρ
δ - работа узловых сил Rρ
на возможных пере-
мещениях uρδ в глобальной системе координат а Ru T primeprimeδρρ - рабо-
та узловых сил Rprimeρ
на возможных перемещениях u primeρδ в локаль-
ной системе координат Поскольку работа не зависит от того в
какой системе производятся вычисления то можно записать
RuRu TT primeprime=ρϖρϖ δδ Так как согласно (327) TTT Tuu ρρ δδ =prime то
RTuRu TTT prime=ρϖρϖ δδ Ввиду произвольности вектора Tuρδ получим
RTR T prime=ρρ
][ (331)
Учитывая (318) и (331) можно записать
uTkTukTR TT primeprime==ρρρ
][][][][][
Следовательно преобразование матрицы жесткости эле-
мента выполняется по матричной формуле
[ ] [ ] ][][ TkTk T sdotprime= (332)
133
Составление уравнений равновесия для стержневой
системы
Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат xyz единой для всех элементов конструкции (рис39а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы
Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной системе координат xyz Обозначим через ui вектор перемещений типового узла i Число элементов этого вектора равно числу сте-пеней свободы узла Матрицу внешних сил действующих в узле i в направлении перемещений ui обозначим через Ri
Векторы узловых перемещений и сил для всей конструк-ции обозначим
u=[u1u2hellipum]T R=[R1R2hellipRm]T где m ndash число узлов стержневой системы
Если на элемент конструкции действует внеузловая на-грузка то считаем что на узел i этого элемента действует вектор эквивалентной нагрузки R0i число элементов которого равно числу степеней свободы узла Для всей конструкции можно за-писать вектор R0=[R01 R02 hellip R0m]T
Тогда связь между узловыми силами и узловыми переме-щениями может быть представлена в виде равенства
R=Ku+R0 (333) или в развернутой форме
+
sdot
=
0m
0i
01
m
j
1
m
i
1
R
R
R
u
u
u
R
RΜ
Μ
Μ
Μ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚ
Μ
Μ
mmmjm
imiji
mj
kkk
kkk
kkkR
1
1
1111
134
Если предположить что силы действующие в узлах кон-струкции известны то равенство (333) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно компонентов вектора перемещений u
Ku=Q (334) где Q=R-Ro ndashвектор внешних сил Квадратная матрица K систе-мы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ) Эле-менты kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости k(e)
ij отдельных элементов по формуле )321()( mjikk e
ijij Κ==sum (335)
где суммирование выполняется по всем элементам входящим в стержневую систему При этом нужно учитывать то что
0)( =eijk если соответствующий элемент не соединяет узлы i j
Следовательно для получения ОМЖ можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня k(e)
ij распределить по соот-ветствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости поло-жение которых определяется нижними индексами и затем про-извести суммирование всех накладывающихся элементов
При формировании вектора Q в уравнении (334) можно воспользоваться аналогичным правилом
sum= )(eii QQ (336)
где суммирование производится по всем элементам сходящимся в узле i Описанный прием формирования объединенной матри-цы жесткости и вектора правой части называется методом пря-мых жесткостей и используется при составлении программ реа-лизующих МКЭ
Отметим что в матрице К все ненулевые элементы сгруп-пированы вблизи главной диагонали те образуют своеобразную ленту Ширину этой ленты можно определить по формуле
yee
ennnL sdot+minus= ]1)(max[ )(
min)(
max)( (337)
135
где )(min
)(max ee nn - максимальный и минимальный номера узлов
отдельного элемента по глобальной нумерации ny ndash число сте-пеней свободы в узле максимум берется по всем элементам стержневой конструкции С целью экономии памяти ЭВМ и времени обработки информации матрица K уравнения (333) часто хранится в виде прямоугольного массива размерности NtimesL где N ndash число неизвестных узловых параметров При этом нижний правый треугольник массива дополняется нулями От-метим что чем меньше ширина ленты тем эффективнее работа-ет программа Поэтому необходимо тщательно продумывать глобальную нумерацию узлов системы в то же время порядок нумерации элементов не так важен он определяет только после-довательность заполнения ОМЖ
Определим теперь вектор )(eRρ
узловых силовых факторов в этом элементе laquoеraquo в локальной системе координат oxy В силу формул (318)(327) имеем
)()( ]][[ ee uTkR ρρ= (338)
где )(euρ - вектор узловых перемещений элемента в глобальных координатах оху
Следовательно для вычисления внутренних силовых фак-торов в элементе рамы можно рассмотреть этот элемент отдель-но в виде балки нагруженной на концах вычисленными узловы-ми силовыми факторами По внутренним силовым факторам можно судить о прочности рассматриваемого стержневого эле-мента конструкции
351 Пример расчета плоской рамы Для рамы изображенной на на рис315 построить эпюру
изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1=I Моменты инерции ригелей также одинаковы и равны I2=2I
136
Решение (ручной счет) Примем условно параметр жесткости элемента рамы на
изгиб EI и на растяжение-сжатие EA равными 1 Схема нумера-ции и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис316
Рис 315
Рис 316
Вычислим матрицы жесткости отдельных конечных эле-
ментов в местных координатах направив ось оx от узла с мень-шим номером к узлу с большим номером По формуле (323) имеем
137
654321654321
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)1(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
121110987121110987
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)2(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
151413121110151413121110
333133300667033300333011100333011100001670001670667033300333133300333011100333011100001670001670
)3(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
138
121110654121110654
333166700667066700667044400667044400003330003330667066700333166700667044400667044400003330003330
)4(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
181716121110181716121110
000137500500037500375018700375018700002500002500500037500000137500375018700375018700002500002500
)5(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
Согласно (333) вычислим теперь матрицы жесткости эле-
ментов в глобальной системе координат xyz Используя формулы (332) составляем матрицы преобра-
зования координат Так как для горизонтальных стержней рамы локальные оси совпадают с направлением глобальных осей то матрица Т в этом случае является единичной Для вертикальных стержней
139
minus
minus
=
100000001000010000000100000001000010
T
Производя перемножение матриц по формуле (332) полу-чим для 4-й и 5-й стержней
121110654121110654
333106670667006670033300033300667004440667004440
667006670333106670033300033300667004440667004440
)4()4(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
181716121110181716121110
000103750500003750025000025000375001870375001870
500003750000103750025000025000375001870375001870
)5()5(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
140
Справа от матриц обозначены номера строк а под ними - номера столбцов соответствующие степеням свободы данного стержня Заметим что перемножение матриц при ручном счете удобнее производить в системе Mathcad
Для получения обобщенной матрицы жесткости всей рамы поместим все элементы матрицы жесткости )(e
ijk каждого стерж-ня е в ячейки ОМЖ согласно нижним индексам по формуле (335) и просуммируем все элементы попавшие в одну и ту же ячейку Например
88602500333011101920
29203750667000
99901870444016702000
644044402000
)5(1111
)4(1111
)3(1111
)2(11111111
)5(1210
)4(1210
)3(1210
)2(12101210
)5(1010
)4(1010
)3(1010
)2(10101010
)4(44
)1(4444
=+++=
=+++=
minus=+minus+=
=+++=
=+++=
=+++=
=+=+=
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkk
В результате получим объединенную матрицу жесткости (ОМЖ) прямоугольная лента (18times9) которой имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
2 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
3 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
4 0644 0 0667 0 0 0 -0444 0 0667
5 0525 -0480 0 0 0 0 -0333 0 0
6 2933 0 0 0 -0667 0 0667 0 0
7 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
8 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
9 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
10 0999 0 -0292 -0167 0 0 -0187 0 0375
11 0886 -0147 0 -0111 0333 0 -0250 0 0
141
12 5267 0 -0333 0667 -0375 0 0500 0 0
13 0167 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0111 -0333 0 0 0 0 0 0 0
15 1333 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0187 0 -0375 0 0 0 0 0 0
17 0250 0 0 0 0 0 0 0 0
18 1000 0 0 0 0 0 0 0 0
Векторы узловых сил эквивалентных внешним нагрузкам в глобальной системе xyz координат равны
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000300020000000300020000
000000000000000000000000
083250020000083250020000
181716121110)5(
121110654)4(
151413121110)3(
121110987)2(
654321)1(
T
T
T
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
=
=
minusminusminus=
=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Над элементами этих векторов указаны соответствующие
номера степеней свободы концов каждого стержня которые по-зволяют сформировать вектор правой части Q уравнения (334) с использованием формулы (336)
142
T
Q
minus
minusminus
minusminusminus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300020000
000300020000000000000000
083250020000083250020000
Таким образом получены левая и правая части системы линейных алгебраических уравнений вида (17) где u=[u1u2hellipu18]T- вектор неизвестных узловых перемещений ра-мы
Учет граничных условий Матрица K в системе уравнений (334) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию те
u1= u2 = u8 = u14 = u16 = u17 = u18 = 0 Так как размеры поперечных сечений стержней достаточ-
но малы по сравнению с их длинами то влиянием осевых де-формаций на перемещения в рамах можно пренебречь Поэтому расчет можно несколько упростить если считать что изменение длин элементов равны нулю те дополнительно принять u4 = u5 = u11 =0
Учет заданных перемещений можно произвести следую-щим образом Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (334) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диа-гонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на 11∆k -члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в
правую часть системы
143
Аналогично учитываются и остальные заданные переме-щения Тогда вектор правой части системы (334) преобразуется к виду
T
Q
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300000000
000300000000000000000000
083200000000083200000000
Решая эту систему одним из известных методов например методом Гаусса получим искомый вектор перемещений в гло-бальных осях oxy
T
u
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
Следовательно каждый узел исходной рамы при заданной внешней нагрузке получает перемещения выражаемые вектора-ми
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
TT
TT
TT
uu
uu
uu
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
65
43
21
==
minus==
=minus=
Вычислим теперь соответствующие векторы узловых си-ловых факторов для каждого элемента по формулам (338)
144
[ ][ ][ ][ ][ ] 027901616049605618501616049605
28261161606600279780161606602
000004469100000318735531200000
41761283500000000002835000000
797806596216100000003404216100
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
T
T
T
T
T
R
R
R
R
R
minusminusminusminus=
minusminusminus=
minusminus=
minusminusminusminus=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Используя эти узловые силовые факторы выписываем
формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис317)
Рис 317
M(x) = R2
(1)sdotx ndashqx22 = 2340sdotx ndash05sdotx2 (квадратичная фунция) M(0) = 0 M(5) = 23404sdot5-05sdot25 = -0798 кНм M(25) = 23404sdot25-05sdot252 = 2726 кНм
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке
мxxdx
xdM 342034042)(00 =rArr=minus=
M(234) = 23404sdot234-05sdot2342 = 2738 Q = 23404-qsdotx (линейная функция) Q(0) = 2340 Q(5) = -2660 кН N = 0161 кН
После построения эпюры Q значения продольной силы в стержнях рамы можно также найти вырезанием ее узлов и про-
145
ектированием всех сил на соответствующие оси При этом рас-тягивающая продольная сила считается положительной Окончательные эпюры M Q и N приведены на рис318 319 и 320 Эти эпюры полностью совпадают с эпюрами построенны-ми в [11] методом перемещений
Рис 318
Рис 319
146
Рис 320
352 Расчет рамы в среде Mathcad Решим эту же задачу (рис315) с использованием матема-
тического пакета Mathcad
ORIGIN 1=
l
5
5
6
3
4
= E
1
1
1
1
1
= A
1
1
1
1
1
= I
2
2
2
1
1
= α
0
0
0
πminus
2
πminus
2
=
147
148
se 1( )
02
0
0
02minus
0
0
0
0192
048
0
0192minus
048
0
048
16
0
048minus
08
02minus
0
0
02
0
0
0
0192minus
048minus
0
0192
048minus
0
048
08
0
048minus
16
=
se 3( )
0167
0
0
0167minus
0
0
0
0111
0333
0
0111minus
0333
0
0333
1333
0
0333minus
0667
0167minus
0
0
0167
0
0
0
0111minus
0333minus
0
0111
0333minus
0
0333
0667
0
0333minus
1333
=
149
R e qx qy( )
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qyminus le( )2sdot
12
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qy le( )2sdot
12
= R1 e P( )
0
05minus Psdot
Pminus lesdot
8
0
05minus Psdot
P lesdot
8
=
Q1
0
25minus
2083minus
0
25minus
2083
= Q2
0
0
0
0
0
0
= Q3
0
2minus
3minus
0
2minus
3
= Q4
0
0
0
0
0
0
=
150
T 1( )
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
= T 4( )
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
=
seg e( ) T e( )T se e( )sdot T e( )sdot= Q e( ) T e( ) Qesdot=
151
Составление матрицы индексов
ITT 1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
= IT1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
T=
nue 2= nse 6= neq 18= nel 5=
I 1 neq= J 1 neq= SGLI J 0= QGLI 0=
i1 1 nel= j1 1 3= k1 1 3=
IGi1 k1 ITi1 1 1minus( ) 3sdot k1+= JGi1 k1 ITi1 2 1minus( ) 3sdot k1+=
e 1 nel= i 1 nse= j 1 nse=
seg e i j( ) seg e( )i j= Q1 e i( ) Q e( )i=
SGL MIe i MIe j( ) SGL MIe i MIe j( ) seg e i j( )+=
QGL MIe i( ) QGL MIe i( ) Q1 e i( )+=
QGLT 1 2 3 4 5
1 0 -25 -2083 0 -25=
152
Учет граничных условий
Обновление матрицы системы в соответствии с заданными граничными условиями
i1 1 ndis=
nsd 1 1= nsd 2 2= nsd 3 4= nsd 4 5= nsd 5 8=
nsd 6 11= nsd 7 14= nsd 8 16= nsd 9 17= nsd 10 18=
QGL
j1 nsd i1larr
k1 nsd i1larr
QGLk1 QGLk1 SGLk1 j1 disi1sdotminuslarr
k1 k1 1+larr
k1 neqleif
l1 1 neqisinfor
QGLj1 disi1larr
i1 1 ndisisinfor
QGL
=
QGLT1 2 3 4 5
1 0 0 -2083 0 0=
neq 18=
k1 1 neq=
SGLnsdi1 k1 if k1 nsd i1 1 0( )=
disi1 0=
153
Решение системы уравнений
Векторы перемещений узлов рамы
Перемещения узлов элементов рамы в глобальных осях
minusminus
minusminusminus=
01811841218119391000000501150115011018119391181159102722
0000050110501150110
Ue
SGLk1 nsdi1 if k1 nsd i1 1 0( )=
UT 1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 -2272 0 0 1939 1501=
U SGL 1minus QGLsdot=
u1 0 0 2272minus( )T= u2 0 0 1939( )T=
u3 1501 0 0591( )T= u4 1501 0 1181minus( )T=
u5 1501 0 2841( )T= u6 0 0 0( )T=
k 1 nel= j 1 nse=
Uej k UMI k j=
154
minusminusminusminus
minusminusminusminus
=
02790282610417617978016160161604469128350659620000061850797803187300161601616055312283503404200000
R
Используя эту матрицу можно выписать формулы для
внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис321)
Uel klang rang T k( ) Ue klang rangsdot= Uel
0
0
2272minus
0
0
1939
1501
0
0591
1501
0
1181minus
1501
0
1181minus
1501
0
2841
0
0
1939
0
1501
1181minus
0
1501
1181minus
0
0
0
=
q 1= L l1=
R2 R 1lang rang( )2= R3 R 1lang rang( )
3= R5 R 1lang rang( )5= R6 R 1lang rang( )
6minus=
R2 23404= R3 0= R5 26596= R6 07978=
155
Рис 321 Изгибающий момент M и поперечная сила Q от внешних
сил в сечении х балки
32
2)(2
RxqxRxM +sdotminussdot=
(квадратичная функция)
Значения ординат эпюр в характерных точках
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке х0 Начальное приближение
M(x0) = 2739
Q x( )xM x( )d
d=
n 100= x 0Ln L=
M 0( ) 0= M 25( ) 2726= M L( ) 0798minus=
Q 0( ) 234= Q L( ) 266minus=
x0 root Q x( ) x( )= x0 234=
n 100= x 0Ln L=
156
Для стержня 2
M(x) = R2middotx +R3 (линейная функция)
0 xle l2le L l2= L 5=
R2 R 2lang rang( )2= R3 R 2lang rang( )
3= R5 R 2lang rang( )5= R6 R 2lang rang( )
6minus=
R2 02835minus= R3 0= R5 02835= R6 14176=
Q x( ) R2= const M 0( ) 0= M L( ) 1418minus=
Q 0( ) 0284minus= Q L( ) 0284minus=
x 0Ln L= n 100=
157
Для стержня 3
L l3= F 4=
R2 R 3lang rang( )2= R3 R 3lang rang( )
3= R5 R 3lang rang( )5=
158
R2 25531= R3 33187= R5 14469=
M 0( ) 3319minus= M 3( ) 4341= M 6( ) 0=
Q 0( ) 2553= Q 299( ) 2553= Q 3( ) 1447minus=
n 100= x 0Ln L=
Q L( ) 1447minus=
159
Для стержня 4
(линейная функция )
Для стержня 5
L l4= L 3=
R2 R 4lang rang( )2= R3 R 4lang rang( )
3= R5 R 4lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 07978= R5 01616=
Q x( ) R2= const
Q 0( ) 0162minus= M 0( ) 0798minus= M L( ) 1283minus=
n 100= x 0Ln L=
0 xle l5le L l5= L 4=
R6 12826=
R6 R 4lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=
160
(линейная функция)
Приступим теперь к построению упругой линии элементов рамы Запишем функции Эрмита
R2 R 5lang rang( )2= R3 R 5lang rang( )
3= R5 R 5lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 06185minus= R5 01616=
R6 00279=
Q x( ) R2= const
M 0( ) 0619= M L( ) 0028minus=
n 100= x 0Ln L=
R6 R 5lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=Q 0( ) 0162minus=
161
Функция формы
Формулы для прогибов элементов рамы w(xe)
E2 x L( ) 1 3x2
L2sdotminus 2
x3
L3sdot+= E3 x L( ) x 2
x2
Lsdotminus
x3
L2+=
E5 x L( ) 3x2
L2sdot 2
x3
L3sdotminus= E6 x L( )
x2minus
Lx3
L2+=
162
36 Решение плоской задачи теории упругости в среде
Mathcad Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном
состоянии (НДС) панели с квадратным отверстием посере-дине защемленной по боковым краям при действии сил тяжести Длина и высота панели L=10 м толщина h=1 На краю свободного отверстия задаем нулевые нормальные σn и касательные τn напряжения
Расчет этой задачи проведем методом конечных эле-ментов [1-3] Так как панель имеет две оси симметрии то рассматривается лишь четверть этой панели (рис322) На выделенную часть панели наносится сетка треугольных конечных элементов и указываются способы закрепления граничных узлов в соответствии с граничными условиями Внутри конечного элемента принимается линейная зави-симость перемещений от координат которая обеспечивает непрерывность поля перемещений во всей рассматривае-
163
мой области Деформации материала панели полагаем уп-ругими В каждом узле сетки прикладываем узловую на-грузку которая заменяет силу тяжести рассматриваемой панели
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задание исходных данных
Рис 322
164
Число конечных элементов ансамбля nel = 42 Число узлов ансамбля nuz = 32 neq = nuzmiddotnsu neq = 64
1 - пл напр состояние 2 - плоская деформация Толщина пластины
Упругие постоянные элементов
модуль Юнга
Коэффициент Пуассона
Разбиение области на конечные элементы задание номеров
узлов и КЭ
L 1= n 10= hLn
= h 01=
hx
h
h
h
h
h
h
= hy
h
h
h
h
h
h
=
165
Матрица координат узлов и глобальные номера узлов ансамбля элементов
nx 6= ny 6= nx1 4= ny1 4=
cuz k1 0larr
sx hx1minuslarr
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 nyisinfor
i1 nx1leif
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 ny1isinfor
i1 nx1gtif
i1 1 nxisinfor
cuz
=
cuz
1 2
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0 00 01
0 02
0 03
0 04
0 05
01 0
01 01
01 02
01 03
01 04
01 05
02 0
02 01
02 02
02 03
02 04
02 05
03 0
03 01
03 02
03 03
03 04
=
166
Генерация глобальных номеров узлов элементов ансамбля
nug37 1 25= nug37 2 29= nug37 3 26=
nug38 1 30= nug38 2 26= nug38 3 29=
nug39 1 26= nug39 2 30= nug39 3 27=
167
Формирование матрицы индексов степеней свободы
Формирование матрицы жесткости элемента k
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug42 1 32= nug42 2 28= nug42 3 31=
i 43 50= j 1 3= nug i j 0=
k 1 nel= i 1 3=
k 1 nel= i 1 3=
MIk 2 isdot 1minus 2 nugk isdot 1minus= MIk 2 isdot 2 nugk isdot=
x cuz 1lang rang= y cuz 2lang rang=
a k( )
x nugk 3( ) x nugk 2( )minus
x nugk 1( ) x nugk 3( )minus
x nugk 2( ) x nugk 1( )minus
= b k( )
y nugk 2( ) y nugk 3( )minus
y nugk 3( ) y nugk 1( )minus
y nugk 1( ) y nugk 2( )minus
=
Ak 05
1
1
1
x nugk 1( )x nugk 2( )x nugk 3( )
y nugk 1( )y nugk 2( )y nugk 3( )
= A1 5 10 3minustimes=
168
Матрица деформаций элемента под номером k
Матрица упругости элемента
Матрица жесткости элемента k
Формирование глобальной матрицы жесткости и правой части системы уравнений
i 1 neq= j 1 neq= sgli j 0=
i 1 6= j 1 6= k 1 nel=
169
Учет граничных условий
qtd14 05 Psdot= j1 1 neq=
qtd18 P= qtd20 P= qtd22 P= qtd24 05 Psdot=
qtd26 05 Psdot= qtd28 P= qtd30 P= qtd32 P=
qtd34 P= qtd36 05 Psdot= qtd38 05 Psdot= qtd40 P=
qtd42 P= qtd44 075 Psdot= qtd46 05 Psdot= qtd48 025 Psdot=
qtd50 05 Psdot= qtd52 P= qtd54 P= qtd56 05 Psdot=
qtd58 025 Psdot= qtd60 05 Psdot= qtd62 05 Psdot= qtd64 025 Psdot=
j 1 neq= i 1 rows nsd( )=
qtd jqtd j qtd j sgl j nsdi disisdotminuslarr
i 1 rows nsd( )isinfor= qtd nsdi( ) sgl nsdi nsdi( ) disisdot=
sglnsdi j sgl nsdi j( ) nsd i jif
0 otherwise
= sgl j nsdi sgl j nsdi nsd i jif
0 otherwise
=
qtd j1 0= qtd16 P=
170
Нахождение узловых перемещений
Построение линии прогибов верхней кромки панели
i 1 6= uei k ud MI k i( )=
rz i1 0larr
i1 i1 1+larr
rzj1 k1 udi1larr
j1 1 nsuisinfor
k1 1 nuzisinfor
rz
=
rz2 29 32238= rz2 25 29789= rz2 19 24556=
rz2 13 17509= rz2 7 8945= rz2 1 0=
w1 rz2 29= w2 rz2 25= w3 rz2 19=
w4 rz2 13= w5 rz2 7= w6 rz2 1=
171
Значения прогибов по верхней кромке выреза
Значения прогибов по оси симметрии панели rz224 = 18122
Горизонтальные перемещения по торцу выреза
Определение векторов деформаций и напряжений в эле-менте к
Вычисление главных напряжений и направления главной
площадки в элементе k
rz2 32 3115= rz2 28 29346= rz2 22 22084=
rz2 16 16632= rz2 10 9268= rz2 4 0=
rz2 18 15667= rz2 12 9315= rz2 6 0=
rz1 22 175minus= rz1 23 0734minus= rz1 24 0=
εel klang rang Bk ue klang rangsdot= σel klang rang D εel klang rangsdot=
σel 1lang rang583522
97254
383367
= σel 2lang rang
181125
4388
220592
= σel 3lang rang
178778
29796
389235
=
cck
σel klang rang( )1 σel klang rang( )
2+
2=
ggk
σel klang rang( )2 σel klang rang( )
1minus
2
2
σel klang rang( )3
2+=
172
Определение векторов деформаций и напряжений в узлах ансамбля элементов
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в узлах
σgel1 k cck ggk+= σgel2 k cck ggkminus=
k 1 nel= j 1 nue= i 1 nuz= j1 1 nue=
σ j1 i 0= ε j1 i 0= koli 0= kol nugk j( ) kol nugk j( ) 1+=
σ j1 nugk j σ j1 nugk j σelj1 k+= σ j1 iσ j1 i
koli=
ε j1 nugk j ε j1 nugk j εelj1 k+= ε j1 iε j1 i
koli=
cciσ1 i σ2 i+
2= ggi
σ2 i σ1 iminus
2
2
σ3 i( )2+=
σgl1 i cci ggi+= σgl2 i cci ggiminus=
173
Напряжения и деформации в направлении оси 0Z
Интенсивности напряжений и деформаций в узле i
σ4 i σ3 i= σ3 i ν σ1 i σ2 i+( )sdot mdef 2if
0 otherwise
=
ε4 i ε3 i= ε3 i νminus ε1 i ε2 i+( )sdot mdef 1if
0 otherwise
=
maxσi max σi( )= maxσi 85681=
εii2
2 1 ν+( )sdotε1 i ε2 iminus( )2 ε2 i ε3 iminus( )2+ ε3 i ε1 iminus( )2+
32
ε4 i( )2sdot+sdot=
maxεi max εi( )= maxεi 8505=
σxv1 σ1 29= σxv2 σ1 25= σxv3 σ1 19=
σxv4 σ1 13= σxv5 σ1 7= σxv6 σ1 1=
σxl1 σ1 29= σxl2 σ1 30= σxl3 σ1 31=
σxl4 σ1 32=
174
Нормальные напряжения sx по верней кромке и на оси симметрии панели
Касательные напряжения txy в вертикальном сечении
вблизи заделки
τ1 σ4 7= τ2 σ4 2= τ3 σ4 3=
τ4 σ4 4= τ5 σ4 5= τ6 σ4 6=
175
Нормальные напряжения sx в вертикальном сечении вдоль заделки
Нормальные напряжения sу в горизонтальном сечении на
уровне верхнего края выреза
σx1 σ1 1= σx2 σ1 2= σx3 σ1 3=
σx4 σ1 4= σx5 σ1 5= σx6 σ1 6=
σy1 σ2 22= σy2 σ2 16= σy4 σ2 4=σy3 σ2 10=
176
4 АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МКЭ
41 Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS
В настоящее время все более широкое распространение среди инженеров-расчетчиков находит программа ANSYS по-зволяющая решать самые разнообразные задачи во многих ин-женерных приложениях [8-10] Средства заложенные в этой программе могут учитывать различные нелинейности поведе-ния материала конструкции допускают наличие больших (ко-нечных) деформаций и углов поворота решать контактные зада-чи и многое другое Система меню панели инструментов и диа-логовые окна обеспечивают автоматический ввод исходных данных автоматическое разбиение области на сетку конечных элементов и выбор соответствующих действий В комплекс AN-SYS входят различные специализированные программы Напри-мер программа ANSYSMultiphysics предназначена для решения широкого круга инженерных задач позволяет проводить проч-ностные расчеты сооружений исследования в области тепло-проводности механики жидкостей и газов электромагнетизма а также решать связанные задачи Программа ANSYSMechanical служит для выполнения проектных разработок анализа и опти-мизации решение сложных задач прочности конструкций теп-лопередачи и акустики
42 Подготовка параметров компьютера и вход
в программу в интерактивном режиме Перед входом в пакет ANSYS необходимо установить раз-
решение дисплея не менее 1024times768 пиксел и задать цветовую палитру включающую в себя не менее 256 цветов Программа ANSYS может работать в двух режимах пакетном (Batch) и ин-терактивном (Interactive) В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается про-граммой пользователя которая составляется с помощью
177
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
178
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
179
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
180
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
181
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
182
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
183
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
184
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
185
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
186
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
187
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
188
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
189
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
190
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
191
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
192
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
193
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
194
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
195
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
196
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
197
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
198
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
199
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
200
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
201
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
202
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
203
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
204
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
205
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
206
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
207
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
208
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
209
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
210
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
211
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
212
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
213
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
214
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
215
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
216
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
217
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
218
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
219
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
220
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
221
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
222
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
223
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
224
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
225
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
226
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
227
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
228
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
229
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
230
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
231
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
232
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
233
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
234
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
235
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
236
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
237
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
238
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
239
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
240
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
241
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
242
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
243
7) сформировать вектор Qρ
и матрицу pS для записи сис-темы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде
8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты при необходимости провести дополнительные расчеты изменяя вектор внешней на-грузки
9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс со-стоящий из четырех горизонтальных стержней
10) провести расчет фермы с использованием блок-схемы (п122) и программы (п123)
11) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п 111) I)
II)
244
III)
IV)
V)
VI)
245
VII)
VIII)
IX)
246
X)
Рис1
Таблица 1 Внешние силы кН Размеры
м строки
Расчет ная схема P1 P2 P3 P4 P5 d h
Угол α град
пане-ли
1 I 5 6 1 2 2 30 45 45 2 2 II 4 8 3 6 1 40 60 30 3 3 III 3 0 5 7 8 50 75 45 2 4 IV 2 9 7 9 3 32 48 60 3 5 V 1 7 9 8 4 42 62 90 2 6 VI 0 1 10 5 5 52 76 30 3 7 VII 6 2 8 3 9 35 50 45 2 8 VIII 7 3 6 1 7 45 65 60 3 9 IX 8 4 4 4 6 38 55 30 2 0 X 9 5 2 0 0 48 70 45 3 в а б в а б в б а
Задание 2 Расчет статически неопределимых ферм Для заданной фермы (рис2) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях Варианты расчетных схем ферм и числовые данные к ним студент выбирает из таблицы 1
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (п221)
1) установить число лишних неизвестных и выбрать ос-новную систему
247
2) определить усилия в основной системе от единичной силы и от внешней нагрузки предварительно пронумеровав стержни фермы
3) составить векторы единичной едNρ
и грузовой PNρ
про-дольных сил
4) вычислить длины стержней фермы и сформировать мат-рицу ФD упругих податливостей стержней исходной фермы
5) провести последовательность матричных операций в со-ответствии с формулой
( ) PPФТедедФ
Тедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+sdotminus= minus1)(
и получить вектор усилий N
ρ в исходной ферме
6) используя блок-схему (п 223) и программу (п224) провести расчет на ЭВМ
7) заменив вектор PNρ
матрицей PN столбцы которой представляют собой усилия в соответствующих стержнях фермы от действия подвижной нагрузки Р = 1 в узлах грузового пояса провести аналогичные матричные вычисления
8) по результатам вычислений построить линии влияния лишнего неизвестного и усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс состоящий из четырех горизонтальных стержней
9) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п211) 10) сравнить результаты всех расчетов
248
I)
II)
III)
249
IV)
V)
VI)
VII)
250
VIII)
IX)
X)
Рис2
251
Задание 3 Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвиж-но закрепленными одним или двумя концами находится под действием внешних крутящих моментов (рис3)
Рис3
Требуется - составить систему линейных уравнений по МКЭ - найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их че-
рез M l и D - построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных
касательных напряжений τmax - построить эпюру крутящих моментов Т - при заданном значении допускаемого касательного на-
пряжения τadm=70МПа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
- найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
- составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реали-зующую алгоритм решения задачи
252
Таблица 2 строки l1l l2l l3l l4l d1D d2D
1 1 05 24 05 20 04 2 15 07 22 06 11 13 3 06 09 20 07 12 12 4 08 11 18 08 13 11 5 09 13 16 09 14 10 6 15 15 14 10 15 09 7 20 17 12 11 16 08 8 16 19 10 12 13 17 9 18 21 08 13 18 06 0 19 23 06 14 19 05 а б в а б в
Таблица 3 стро-
ки М1M M2M M3M MлевM MпрМ
1 -20 0 -13 infin -13 2 19 -10 14 -1 infin 3 -18 0 -13 infin 16 4 17 -08 12 infin infin 5 -16 07 -11 infin -14 6 15 0 10 15 infin 7 -14 05 -09 infin infin 8 13 0 08 11 infin 9 -12 05 -07 infin -15 0 11 0 06 -13 infin а б в в
Замечание 1 В таблице 3 значок ldquoinfinrdquo обозначает что соот-ветствующий конец вала неподвижно закреплен (заделан) Если значка ldquoinfinrdquo нет то соответствующая заделка отсутству-ет и к этому концу приложен момент Млев или Мпр
253
2 При знаке минус (-) внешний крутящий момент следует направить в противоположную сторону
Задание 4 Расчет рам МКЭ Для заданной рамы (рис4) с размерами и нагрузкой вы-
бранными из таблицы 4 требуется построить эпюры изгибаю-ших моментов M поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1 а риге-лей - I2
При выполнении задания необходимо -провести ручной счет МКЭ (см пример расчета в п321) -решить задачу в среде Mathcad (п322) -с помощью блок-схемы алгоритма решения задачи
(п312) составить и отладить программу на языке Турбо Пас-каль (аналогично программе в п313)
-сравнить результаты ручного счета с вычислениями на ЭВМ I) II)
F1
F2 F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05h1
05l2
F1 F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2
l3
05l1
254
III) IV)
V) VI)
F1
F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2 05l1
l1 l2
h1
h2
q1 q2
q3
F1 F2
F3
05l2
l1 l2
h1
h2
05l1 q1
q2
q3
F1
F2
F3
05l1 05l2 F1 F2
F3 q1 q2
q3
l1 l2
h1
h2
05h1
255
VII) VIII)
IX) X)
Рис4
05l1
05h
l1 l2
h1
h2 F3
F2 F1 q1
q2
q3
h1
h2
l1 l2
F1 F2
F3
q2 q1
q3
05h2
05l1 05l2
05l1 05l2
F1 F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05l1
05l2 F1
F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05h2
256
Таблица 4
Размеры м Внешние нагрузки
строк
Расч схе-ма по рис
4
l1 h1 l2 h2 F1 kH
F2 kH
F3 kH
q1 kHм
q2 kHм
q3 kHм
1
2
II
1 I 4 6 3 4 4 - - 1 - - 2 2 II 5 7 8 3 5 - - - 2 - 1 3 III 6 5 4 5 - 5 - - - 14 3 4 IV 7 4 4 6 - 6 - 2 - - 1 5 V 8 5 5 7 - - 6 - 3 - 2 6 VI 7 6 5 8 - - 8 - - 1 3 7 VII 8 7 3 7 6 - - 12 - - 1 8 VIII 6 8 4 3 6 - - - 2 - 2 9 IX 5 4 5 4 2 4 - - - 2 3 0 X 4 6 6 5 - 4 - 1 - - 1 в б а в б а
Список использованной литературы
1 Дарков АВ Шапошников НН Строительная механика
Учеб для строит спец вузов -8-е изд перераб и доп- МВысш шк1986 -607 сил
2 Образцов ИФ Савельев ЛМ Хазанов ХС Метод ко-нечных элементов в задачах строительной механики летатель-ных аппаратов Учеб пособие для вузов- МВысш шк1985-392 сил
3 Масленников АМ Расчет строительных конструкций численными методами Учеб пособие- Л Изд-во Ленингр ун-та 1987 -224 с
4 Руководство к практическим занятиям по курсу строи-тельной механики (статика стержневых систем) Учеб Пособие для студентов вузов Под ред ГККлейна ndash 4-е изд перераб и доп ndash МВысш шк 1980
257
5 Алгоритмизация расчетов сложных стержневых систем
Благонадежин ВЛ Воронцов АНСамсонов ЮП Под ред АВПетровского -ММоск энерг ин-т1986 -96 с
6 Норри Д де Фриз Ж Введение в метод конечных эле-ментов Пер с англ-М Мир 1981- 304 с ил
7 Бундаев ВВ Расчет рам методом конечных элементов Методические указания по строительной механике для студен-тов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 2003-36сил
8 ANSYS Basic Analysis Procedures Guide ANSYS Release 56 ANSYS Inc 1998
9 Каплун АБ Морозов ЕМ Олферьева МА ANSYS в руках инженера Практическое руководство ndash М Едиториал УРСС 2003 ndash 272 с
10 Сметанников ОЮ Статический анализ уголкового кронштейна В сб ANSYS 55ED (Московское представитель-ство CAD-FEM GmbH) (Ansys_edding_russian Education Struc-tural Bracket1999)
11 Бундаев ВВ Расчет плоской статически неопредели-мой рамы методом перемещений Методические указания по выполнению расчетно-проектировочной работы и контрольные задания для студентов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 1987-34сил
258
Учебное издание
Бундаев Валерий Викторович
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Редактор ТЮ Артюнина Ключевые слова руководство пособие Mathcad система рама ферма задача пример программа расчет метод МКЭ ANSYS Подписано в печать Формат 60times84 116 Услпл уч-издл Печоператив бумписч Тираж 100_экз С 38_____________________________________ Издательство ВСГТУ гУлан-Удэ улКлючевская 40в
7
ботки теоретических положений рассматриваемого метода при этом необходимо составить краткий конспект и сделать соответ-ствующие выводы Лишь после этого следует перейти к разбору типовых примеров Без изучения теории приступать к самостоя-тельному решению задач невозможно так как только знание теории дает возможность решать любые задачи во всем их мно-гообразии
В данном пособии основные вопросы теоретических по-ложений иллюстрируются тщательно подобранными задачами решения которых сопровождаются подробными объяснениями Разработанные программы на алгоритмическом языке Турбо Паскаль и в математическом пакете Mathcad дают возможность проверить все результаты полученные ручным счетом и убе-диться в надежности и универсальности работы этих программ которые необходимы при выполнении прилагаемых в конце по-собия заданий для закрепления полученных знаний Самостоя-тельность выполнения этих заданий имеет первостепенное зна-чение для усвоения учебного материала изложенного в пособии Разработанные программы могут быть использованы студентами в студенческих научных кружках при исследовании напряженно-деформированных состояний разнообразных строительных и машиностроительных конструкций и их элементов
Таким образом изучая данное пособие студенты углуб-ляют свои знания в механике твердого деформируемого тела и овладевают современными методами решения сложных задач расчета и проектирования строительных и машиностроительных конструкций Разобранные в пособии примеры решения задач и приведенные задания к самостоятельным работам помогут сформировать у студентов устойчивый интерес к самостоятель-ным исследованиям в области инженерных расчетов Получен-ные знания и навыки будут служить основой для дальнейшего изучения студентами прочностных дисциплин
8
1 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
11 Описание матричного алгоритма для расчета плоских рам
Пусть дана статически определимая рама Пронумеруем все ее узлы и стержни причем за начало стержня будем прини-мать тот его конец который примыкает к узлу имеющий мень-ший номер
Для описания структуры рамы рассмотрим прямоуголь-ную матрицу cS в которой число строк равно числу узлов ра-мы У а число столбцов ndash числу ее стержней С При этом эле-ментами матрицы cS являются числа 1 -1 0 Заполнение мат-рицы производится по столбцам в соответствии с нумерацией стержней рамы Число laquo1raquo помещается в той строке номер ко-торой совпадает с номером узла являющимся началом стержня а число laquo-1raquo - в строке с номером концевого узла в остальных узлах столбца матрицы cS помещается число laquo0raquo Построенная
таким образом матрица cS называется структурной
С помощью этой матрицы cS определяется вектор проек-
ций стержней [ ]Тсе ПППППρ
Λρ
Λρρρ
21= по матричной формуле
CSП Tc
ρρminus= (11)
где
2
22
1
11
=
=
=
=
cx
cxС
ex
exe
x
x
x
x
ll
Пll
Пll
Пll
Пρ
Λρ
Λρρ
(12)
те eПρ
- вектор имеющий компонентами проекции lex и ley стержня с номером е на оси x и y общей для всех стержней рамы координат
9
( )Tyj ccccc ρΛ
ρΛ
ρϖρ21= - вектор координат узлов со-
ставленный из векторов
1
11
1
11
=
=
=
=
y
yy
j
jj y
xc
yx
cyx
cyx
c ρΛ
ρΛ
ρρ
(13)
где jcρ - вектор компонентами которого являются координаты узла с номером j Значок laquoTraquo обозначает операцию транспонирования матрицы Напомним что матрица АТ называется транспонированной если ее элементы
ija связаны с элементами исходной матрицы А со-
отношением jiij aa =
Зная компоненты вектора Пρ
можно определить длины стержней le и векторы их направляющих косинусов eαρ (е = 12hellipс) по формулам
eTee ППl
ρρsdot= (14)
ee
e Пl
ρρ 1=α
(15)
Перейдем теперь к установлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис11а) и общей хоу (рис11б) системах координат
б)
Рис11
а)
у
Qek
О
х
Qен
ek
х у
Nek
α
M
ly Xek
у
х
Mek е
Yek
Yен
Хен
0 Mен lx
10
Для стержня изображенного на рис11а можно составить уравнения равновесия в матричном виде
енek NFNρρ
= (16)
где
=
ek
ek
ek
ek
MQN
Nρ
=
ен
ен
ен
ен
MQN
Nρ
=
10010001
lF
Сравнивая силовые факторы на концах одного и того же стержня (см рис 11а и 11б) получим
енен NXρρ
sdotΨminus= екек NXρρ
sdotΨ= (17)
или
енен XNρρ
sdotΨminus= екек XNρρ
sdotΨ= (18)
где
=
ен
ен
ен
ен
MYX
Xρ
=
ек
ек
ек
ек
MYX
Xρ
minus=Ψ
1000cossin0sincos
αααα
Заметим что матрица Ψ связывающая усилия и силовые факторы на концах стержня является ортогональной ( Ψ=Ψminus1 ) Подставляя в формулу (16) выражения усилий в местной системе координат (18) получим
ененеk XXFXρρρ
sdotΦ=sdotΨsdotsdotΨminus= (19)
Перемножением соответствующих матриц можно полу-чить
minusminusminus
minus=ΨsdotsdotΨminus=Φ
1010001
xy llFρ
Заметим что матрица Φ устанавливающая связь между усилиями на концах стержня может быть непосредственно по-
11
лучена составлением уравнений равновесия для стержня изо-браженного на рис11б
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней ( рис12)
Пусть [ ]Txyjyjxjj PPPP =ρ
- вектор внешней нагрузки
приложенный к узлу j а [ ]Teeee MYXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда условие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(110)
Далее перейдем к
составлению уравнений равновесия для всей сис-темы в целом Обозна-чим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ21=
вектор внутренних уси-лий в стержнях фермы Компоненты этого век-тора выражаются через векторы усилий для
концевых сечений каждого стержня в виде равенств [ ]еkеkеkенененe MYXMYXY =
ρ
Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной мат-рицы cS
1YSPρρ
= (111)
Рис12
Pxyj j
Pyj
Pxj
Ye
Xe
12
Здесь прямоугольная блочная матрица 1S имеет 3У строки и 6С столбцов и получается из структурной CS заменой элементов 1
на блок 1E элементов -1 на блок 2E и элементов 0 на нуле-вую матрицу Ο те
=
000100000010000001
1E
=
100000010000001000
2E
=Ο
000000000000000000
Уравнения (111) необходимо дополнить соотношениями связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (19) которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде
02 =YSρ
(112)
где 2S квазидиагональная матрица
ΟΟΟ
ΟΟΟΟΟΟ
=
CE
EE
S
3
23
13
2 ΛΛΛΛ
блоки которой
)21(1001010010001001
3 Cell
E
exey
e Κ=
minus=
Объединив (111) и (112) получим матричное уравнение
YSSPQ
ρρρ
ρsdot
=
=
2
1
0
(113)
13
которое связывает внешние силы приложенные к узлам систе-мы с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней а также связь внутренних усилий между собой Уравнение (113) можно записать в более компактной форме
YSQρρ
sdot= (114)
Размерности векторов Qρ
и Yρ
соответственно равны (3У+3С)times1 и (6Сtimes1) а матрицы S - (3У+3С)times6С Следователь-но матрица S в общем случае не является квадратной Однако
с учетом того что среди компонентов вектора Pρ
имеются неиз-вестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки а также среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (напри-мер моменты в сечениях около шарниров) уравнение (114) за-писывается в виде
ZST P
ρρsdot= (115)
где вектор Tρ
получается из вектора Qρ
удалением тех элемен-тов которые соответствуют наложенным на систему связям (на-пример числу опорных стержней С0) а вектор Z
ρ - из вектора Y
ρ
удалением тех элементов которые являются заведомо нулевыми и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе Матрица PS получается из матрицы S удалением строк соот-
ветствующих удаленным элементам в векторе Qρ
и столбцов
соответствующих удаленным элементам вектора Yρ
Для разрешимости системы (115) необходимо чтобы мат-
рица PS была квадратной поэтому должно выполняться усло-вие
3У+3С-Соп = 6С-Ш или
3У = 3С+Соп-Ш те число уравнений равновесия равно числу неизвестных уси-лий
14
Кроме этого определитель системы det PS должен быть отличным от нуля Это условие означающее геометрическую неизменяемость конструкции является достаточным условием разрешимости рассматриваемой системы (115)
Тогда вектор неизвестных усилий Zρ
легко определяется решением системы (115)
TSZ P
ρρsdot= minus1 (116)
Затем строим вектор Yρ
после этого с использованием равенства (114) находим опорные реакции а с помощью соотношений (18) определяем внутренние усилия в элементах рассматривае-мой конструкции
Отметим два случая которые могут встретиться при рас-чете конструкций
-опорный стержень не совпадает ни с одним из направле-ний общей системы координат В этом случае вместо опорного стержня вводят некоторый конструктивный стержень произ-вольной длины направление которого совпадает с направлением опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опор-ными стержнями параллельными осям координат
-сосредоточенный момент действует в непосредственной близости около шарнира Для общности расчета этот момент следует считать приложенным на некотором малом удалении lx (lx rarr 0) от шарнирного узла При этом формируя матрицу 2S
при заполнении соответствующей матрицы eE 3 нужно поло-жить lex и ley равными нулю
При расчете стержневой системы на действие нескольких вариантов нагрузки 321 Κ
ρρρPPP в уравнениях (114) и (115)
вектор нагрузки Pρ
можно заменить матрицей нагрузки [ ]Κ
ρρρ321 PPPP = а вектора ZYTQ
ρρρρ - соответствующи-
ми матрицами ZYTQ
15
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляется аналогично с учетом их особенностей изложенных в п11
111 Расчет рамы в среде Mathcad
Исходные данные для рамы изображенной на рис13 а - характерный размер длин стержней рамы nuz -число узлов рамы nel- число элементов рамы
a 3= nuz 7= nel 6= Пронумеруем узлы и стержни рамы (см рис13) запишем
структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С (13)
16
Sc
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
1
0
1minus
=
Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей
системы координат xoy (11) и (12)
Вычислим длины стержней рамы (14)
Определяем направляющие косинусы (15)
17
Составим матрицу равновесия S1 которая получается из
структурной Sc заменой в последней элементов 1 на матрицу Е1 элементов -1 на Е2 а нули на соответствующие нулевые матри-цы Эта матрица устанавливает связь между векторами внешней нагрузки P и усилий во всех стержнях рамы Y по формуле
P = S1Y
где i-ой компонентой вектора Y являются усилия Yi = [Xin Yin Min Xik Yik Mik]T в i-м стержне
18
Сформируем теперь блочно-диагональную матрицу S2
устанавливающую связь между усилиями в начале и конце каж-дого стержня с помощью матричного соотношения S2middotY=0 (112)
- единичная квадратная матрица размер-ности nelmiddotnel
19
Получим матрицу S объединением матриц S1 и S2 с по-мощью встроенной в Mathcad функции stack
Запишем векторы внешних нагрузок действующие в каж-
дом узле рамы Опорные реакции в расчет не принимаются так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены
P2
3
0
0
= P1
0
0
0
= P3
3
0
0
= P4
0
0
0
=
20
Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов расположенных ниже Pi
Учет граничных условий nop - число опорных стержней
nsv - вектор компоненты которого соответствуют наложенным на систему связям В матрице S и в векторе Q необходимо уда-лить соответствующие строки и элементы
P5
0
0
0
= P6
0
0
0
= P7
0
10minus
0
=
Q
Qi 0larr
i 1 rows S( )isinfor
r1 3 isdot 2minuslarr
Qr1 i1+ 1minus Pi( )i1larr
i1 1 3isinfor
i 1 nuzisinfor
Q
=
Q20 10minus=
nop 3= nsv1 1= nsv2 2= nsv3 17=
21
Отметим что элементами составного массива А являются
матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях рамы Y
Используя равенство Q = SY определим опорные
реакции Rx1 = Q1 Ry1 = Q2 и R y6 =Q17
Z A1( ) 1minus A2sdot=
Q S Zsdot=
ZT 1 2 3 4 5
1 -6 -8 0 6 8=
QT 1 2 3 4
1 -6 -8 0 3=
22
Используя формулы перехода к местным системам коор-
динат определим усилия в сечениях стержней фермы i 1 nel=
Ry1 Q nsv 2( )= Ry6 Q nsv 3( )= Rx1 Q nsv 1( )=
Rx1 6minus= Ry1 8minus= Ry6 18=
- матрица перехода от локальной системы координат к глобальной
Xi i ilarr
Z Zlarr
k i 1minus( ) 6sdotlarr
k1 k 3+larr
k k 1+larr
X1i1 Zklarr
k1 k1 1+larr
X2i1 Zk1larr
i1 1 3isinfor
X1 X2( )T
= Xni Xi( )
1=
Xki Xi( )2
=
Xn1
6minus
8minus
0
=
Xk1
6
8
6
=
ψ i
α i( )1
α i( )2
0
α i( )2
α i( )1
minus
0
0
0
1
=
23
Xni Xki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня с номером i отнесенные к глобальной системе координат xoy
Nni ψ iminus Xnisdot= Nki ψ i Xkisdot=
Nn1
8
6
0
= Nk1
8
6
6
=
Nn2
8
3
6
= Nk2
8
3
9
=
Nn3
8
0
9
= Nk3
8
0
9
=
Nn4
0
8minus
9
= Nk4
0
8minus
15minus
=
Nn5
18minus
0
0
= Nk5
18minus
0
0
=
Nn6
0
10
15minus
= Nk6
0
10
0
=
24
По найденным значениям усилий в сечениях стержней рамы строим эпюры изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил
Nni Nki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня в локальной системе ко- ординат xioyi
25
Отметим что при разбиении балки на пять участков и за-мене действующей на нее распределенной нагрузки соответст-вующими узловыми силами получим численные значения внут-ренних усилий и моментов (рис14) практически не отличаю-щиеся от значений полученных по аналитическим формулам
26
Рис 14
12 Описание матричного алгоритма для расчета ферм
Описанный матричный алгоритм существенно упрощается в приложении к расчету плоской фермы так как в ее элементах действует только продольная сила eN постоянная по длине ка-ждого стержня Nен=Nек=Ne (рис15а) Перейдем теперь к уста-новлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис15а) и общей хоу (рис15б) системах координат
27
б)
Рис15 Очевидно что
)sin()sin()cos()cos(
αααα
eеkeен
eеkeен
NYNYNXNX
=minus==minus=
Здесь индексы laquoнraquo и laquoк raquo относятся соответственно к началу и концу стержня
В матричной записи эти соотношения имеют вид
eфен NFХρρ
minus= eфеk NFХρρ
= (117)
где
)sin()cos(
= α
αфFρ
=
ен
енен Y
XXρ
=
ek
ekек Y
XXρ
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней
Пусть [ ]Tyjxjj PPP =ϖ
- вектор внешней нагрузки прило-
женный к узлу j а [ ]Teee YXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда ус-ловие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(118)
О
Neн
е
х
х
у
у
Nek
а)
α х
е Yek
Xek
Yен
Хен
у
0
28
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для всей системы в целом Обозначим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ
21= вектор внутренних усилий в стержнях фермы Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ekенe XXYρρρ
minus== Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (118) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы cS
YSP c
ρρ=
Учитывая формулы (117) это соотношение можно запи-сать в виде
NSPρρ
minus= (119)
где [ ]Tce NNNNN ΛΛρ
21= - вектор усилий в стержнях фермы
Матрица S получается из структурной матрицы сS за-
меной элементов laquo1raquo на векторы фFρ
элементов laquo-1raquo на векторы
- фFρ
а элементов laquo0raquo - на нулевые векторы [ ]Т00
Далее из вектора Рρ
необходимо исключить элементы со-ответствующие опорным связям и получить вектор Q
ρ а из мат-
рицы S исключить соответствующие строки образуя матрицу
РS Тогда вектор неизвестных усилий Nρ
определится как ре-шение матричного уравнения
QNSP
ρρminus= (120)
29
Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-дующим выводам
во-первых матрица РS должна быть квадратной те раз-ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю
2У-С-Соп = 0 Это равенство известно как условие статической определимости фермы здесь Соп ndash число опорных стержней
во-вторых определитель матрицы РS должен быть отли-чен от нуля те
0det nePS что является условием геометрической неизменяемости фермы
Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений Для этого в матричном уравнении (120) векторы Q
ρ и N
ρ нужно
заменить соответствующими матрицами Q и N При этом столбцы этих матриц имеющие одинаковые номера отвечают одному и тому же нагружению Это свойство может быть ис-пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q дол-жен содержать лишь один элемент ndash1 расположенный в строке с номером соответствующим номеру узла в котором приложен груз Р = 1
121 Пример расчета статически определимой фермы Пусть дана ферма изображенная на рис16 Определить усилия N1 N2 hellip N17 в стержнях этой фермы 1Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см рис16) и за-
пишем структурную матрицу (см п11)
30
Рис16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minus
=
11000000000000000101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110100000000000000011
10987654321
cS
2Зададим координаты узлов (13)
=
40
1Cρ
00
2
=C
ρ
43
3
=C
ρ
03
4
=C
ρ
46
5
=C
ρ
06
6
=C
ρ
49
7
=C
ρ
09
8
=C
ρ
412
9
=C
ρ
012
10
=C
ρ
RB
HA
RA
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4
2 6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3м 3м 3м
α
31
3Найдем вектор проекций стержней фермы на оси общей системы координат (11)
[ ] ==Т
ППППППП 1754321
ρΛ
ρρρρρρ
=
times
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus=
0124
12
064603430040
11000000001010000000
011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011
ΜΜ
4
003
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
1716151413121110987654321Т
minus
minus
minus
minus
minus
=
По формуле (12) имеем
32
4
0
03
43
03
4
0174321
minus
=
=
=
=
minus
= ПППППρ
Λρρρρ
4Вычислим длины стержней фермы (14) например
[ ]
[ ]
[ ] 516943
43
3903
03
4164
040
3
2
1
=+=
sdot=
==
sdot=
==
minus
sdotminus=
l
l
l
Эти результаты соответствуют исходным данным на рис16 Длины остальных стержней равны
l1 = l5 = l9 = l13 = l17 = 4м l2 = l4 = l6 = l8 = l10 = l12 = l14 = l16 = 3м l3 = l7 = l11 = l15 = 5м
Эти значения также можно вычислить по формулам (14) 5Определим направляющие косинусы (15)
01
03
31
8060
43
51
01
03
31
10
40
41
43
21
=
sdot=
=
sdot=
=
sdot=
minus
=
minus
sdot=
αα
αα
ρρ
ρρ
По рис16 находим
33
8060
01
01
1
0
151173
141062
161284
11111
====
====
====
minus
=====
αααα
αααα
αααα
ααααα
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρρ
6Составим матрицу S и вектор внешней нагрузки Pρ
(119) =S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -1 0 3 0 c 1 4 1 s 0 5 -1 -c 0 1 6 0 -s -
10
7 -1 0 c 1 8 0 1 s 0 9 -
1 -c 0 1
10 0 -s -1 0 11 -1 0 c 1 12 0 1 s 0 13 -1 -c 0 1 14 0 -s -1 0 15 -1 0 c 1 16 0 1 s 0 17 -1 -c 0 18 0 -s -1 19 -1 0 20 0 1 Здесь введены обозначения s = 08 c =06
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TBAA RRHP 0800000000000 ΛΛρ
minus=
34
7Исключим из S и Pρ
элементы соответствующие опорным реакциям AA RH и BR формируем матрицу PS и
вектор Qρ
(120)
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TQ 00000800000000000 minus=ρ
=PS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -
1 0
3 -1
-c
0 1
4 0 -s
-1
0
5 -1
0 c 1
6 0 1 s 0 7 -
1 -c
0 1
8 0 -s
-1
0
9 -1
0 c 1
10 0 1 s 0 11 -1 -c 0 1 12 0 -s -1 0 13 -1 0 c 1 14 0 1 s 0 15 -1 -c 0 16 0 -s -1 17 -1 0
Матричная форма уравнений равновесия имеет вид (120) и представляет собой систему линейных алгебраических уравне-ний
8 Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента получим вектор продольных сил в стержнях заданной фермы
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=Nρ
[00 00 -25 15 20 -15 -25 30 20 -30 -25 45 -60 14 15 16 17 -45 75 00 -60]T
Компоненты вектора Nρ
показывают что верхний пояс фермы сжат а нижний ndash растянут Причем усилие в каком-либо стержне верхнего пояса по абсолютной величине равно усилию в стержне нижнего пояса смежной панели смещенного относи-тельно верхнего стержня влево параллельно раскосу В данной ферме стержень верхнего пояса сжат с меньшей силой чем рас-тянут стержень соответствующей панели нижнего пояса
Усилия в раскосах расположенных слева от линии дейст-вия силы Р отрицательны и равны -25 кН а усилие в раскосе 15 находящемся справа от нее положительно и равно 75 кН Знаки усилий в стойках расположенных слева и справа от линии действия силы Р противоположны знакам усилий в соответст-вующих раскосах Значения усилий в стойках по абсолютной величине равны опорным реакциям RA = 20 kH и RB = 60 kH фермы В стержнях 1 2 и 16 усилия отсутствуют
Необходимо отметить что систему уравнений (119) также можно получить непосредственно используя известный в строи-тельной механике метод вырезания узлов
Действительно последовательно вырезая узлы исходной фермы (см рис16) и составляя уравнения равновесия получим
Узел 1
=minus===
sumsum
00
21
1
2
NFNF
Y
x
N1
N2
36
Узел 2
=+sdot+==++sdot=
sumsum
0)sin(0)cos(
43
31
43
AY
Ax
RNNFHNNF
αα
Узел 3
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
65
53
632
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 4
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
87
75
874
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 5
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
109
97
1076
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 6
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1211
119
12118
αα
NNFNNNF
Y
x
37
Узел 7
=minusminussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1413
1311
141110
PNNFNNNF
Y
x
αα
Узел 8
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1615
1513
161512
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 9
=minussdotminus==sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
617
1715
1514
NNFNNF
Y
x
αα
Узел 10
=+==minus=
sumsum
00
2019
17
16
BY
x
RNFNF
Вектор правой части и матрица полученной системы ли-нейных алгебраических уравнений полностью совпадают с век-тором P
ρ и матрицей S которые были составлены в п6 данно-
го раздела 9Перейдем к построению линий влияния усилий в стерж-
нях например второй панели фермы При этом будем считать что верхний пояс фермы является грузовым В этом случае пе-ремещающийся груз Р=-1 может находиться в узлах 1 3 5 7 и
38
9 Тогда матрица неизвестных N и матрица нагружений Q (см п 12) имеют вид
=
181714171017617217
1831431036323
1821421026222
1811411016121
NNNNN
NNNNNNNNNNNNNNN
N
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
minus
minus
minus
minus
minus
=
000001
000
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
10
97531
Q
В результате приходим к матричному уравнению QNS p minus=sdot
1
3
4
5
6
7
8
9
39
Решив это уравнение находим матрицу влияния усилий влN
minusminusminusminus
minusminusminusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminus
minusminusminusminusminus
minus
minusminusminus
minus
=
175050250000000094062031000560370190007505025000560370190003106203100037075037000250502500037075037000310620310001903705600025050250001903705600031062094000000000001
влN
На рис17 графически изображены линии влияния усилий 98765 NNNNN
1 3 5 7 9
40
Рис 17
41
122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определимых ферм (рис18)
Обнуление векторов проекций стержней
1 neliПi Λρ
=
начало
nel = 17 nuz = 10 nuz2 = 20
Задание cS
Ввод Cρ
i = 1 nuz
j = 1 nel
pr[ij] =00
i = 1nuz
j = 1nel
ST[ji] = SC[ij] Транспонирование
матрицы CS
A
Исходные данные nel ndash количество стержней (элементов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная
матрица CS
C[nuz2] ndash вектор коорди-нат узлов фермы
Исходные данные nel ndash количество стержней (эле-ментов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная матри-
ца cS
C[nuz2] ndash вектор координат уз-лов фермы
42
i =1nel
j = nuz
ST[ij] ne 0
А
pr[i1]=pr[i1]-ST[ij]C[j1] pr[i2]=pr[i2]-ST[ij]C[j2]
i=1nel
22 ])2[(])1[(][ ipripril +=
i=1nel
j=12
][][][
iljiprji =α
B
да
нет
Вычисление значений компонентов вектора про-
екций стержней Пρ
Определение значений длин стержней li
Вычисление значений ком-понентов вектора направ-
ляющих косинусов αρ
43
Рис18
да
B1
j=1nel
i=1nuz
SC[ij]=1 нет
SZ[2i-1j]=α[j1] SZ[2i-1j]=α[j2]
SC[ij]=-1
SZ[2i-1j]=-α[j1] SZ[2i-1j]=-α[j2]
да
нет
Ввод Р
Получение матрицы PS и
вектора Qρ
Решение СЛАУ методом Гаус-са с выделением главного элемента
Печать вектора Nρ
конец
В
i=1nuz2
j=1nel
SZ[ij]=00
В1
Составление матрицы
S
44
123 Программа для расчета ферм на алгоритмиче-
ском языке Турбо Паскаль Program ferma uses Crt label 1 const nel=17 число стержней фермы nuz=10 число узлов фермы nuz2=20 удвоенное число узлов nopr=3 число уравнений которые нужно удалить type mas1=array[1nuz1nel] of integer mas2=array[1nel1nuz] of integer mas3=array[1nuz21nel] of real mas4=array[1nel1nel] of real mas5=array[1nel12] of real mas6=array[1nuz12] of real mas7=array[1nel] of real mas8=array[1nuz2] of real mas9=array[1nopr] of integer var ijki1integer ( sc-структурная матрица st-транспструкт матрица Dl-вектор длин стержней pr-вектор проекций ALFA-вектор направляющих косинусов c-вектор координат узлов p-вектор внешней нагрузки sz-прямоугматрица s n-вектор номеров строк которые нужно удалить из sz и p sp-матрица СЛАУ Q-вектор правой части СЛАУ ) scmas1 stmas2 dlQbxmas7 prALFAmas5 szmas3 cmas6 spaa1mas4 pmas8 nmas9 const ( задание структурной матрицы ) kscmas1=(( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) (-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
45
( 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1)) ( Задание значений вектора координат узлов ) kcmas6=((00 40) (00 00) (30 40) (30 00) (60 40) (60 00) (90 40) (90 00) (120 40) (120 00)) ( Задание значений вектора внешней нагрузки ) kpmas8=(0000000000000-8000000) ( Номера уравнений которые нужно удалить ) knmas9=(3420) procedure gauss const n=nel число линейных уравнений var linteger rreal begin1 (ввод матриц aa1bx ) a=sp b=q a1=a x=b l=0 (прямой ход метода Гаусса ) for i=1 to n do ( поиск главного элемента в i-ом столбце ) begin2 k=i r=abs(a1[ii]) for j=i+1 to n do
46
begin3 if abs(a1[ji])gtr then begin4 k=j r=abs(a1[ji]) end4 end3 if rltgt0 then begin5 if kltgti then begin6 ( перестановка i-го и k-го уравнений ) r=x[k] x[k]=x[i] x[i]=r for j=i to n do begin7 r=a1[kj] a1[kj]=a1[ij] a1[ij]=r end7 end6 ( исключение i-го неизвестного ) r=a1[ii] x[i]=x[i]r for j=i to n do a1[ij]=a1[ij]r for k=i+1 to n do begin8 r=a1[ki] x[k]=x[k]-rx[i] for j=i to n do a1[kj]=a1[kj]-ra1[ij] end8 end5 else
47
begin9 writeln(определитель системы равен нулю) l=1 i=n+1 end9 end2 if l=1 then writeln ( обратный ход метода Гаусса ) for i=n-1 downto 1 do for j=i+1 to n do x[i]=x[i]-a1[ij]x[j] writeln(Решение СЛАУ) for i=1 to n do writeln(x[i]=x[i]52) readln end1 BEGIN начало основной программы clrscr sc=ksc c=kc p=kp n=kn ( обнуление матрицы проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do pr[ij]=00 ( транспонирование матрицы sc ) for i=1 to nuz do for j=1 to nel do st[ji]=sc[ij] ( определение вектора проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to nuz do begin if st[ij]ltgt0 then begin pr[i1]=pr[i1]-st[ij]c[j1] pr[i2]=pr[i2]-st[ij]c[j2] end end
48
( вывод значений вектора проекций pr ) writeln(Значения вектора проекций pr) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(pr[ij]51) writeln end writeln readln ( вычисление длин стержней ) for i=1 to nel do dl[i]=sqrt(sqr(pr[i1])+sqr(pr[i2])) ( вывод значений длин стержней ) writeln(Значения длин стержней dl) for i=1 to nel do write(dl(i1)=dl[i]11 ) writeln readln ( определение вектора направляющих косинусов ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do ALFA[ij]=pr[ij]dl[i] ( вывод значений направляющих косинусов ) writeln(Значения направляющих косинусов ALFA) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(ALFA[ij]51) writeln end writeln readln ( обнуление матрицы sz ) for i=1 to nuz2 do for j=1 to nel do sz[ij]=00 for j=1 to nel do for i=1 to nuz do begin if sc[ij]=1 then begin sz[2i-1j]=ALFA[j1] sz[2ij]=ALFA[j2]
49
end if sc[ij]=-1 then begin sz[2i-1j]=-ALFA[j1] sz[2ij]=-ALFA[j2] end end ( вывод матрицы sz ) writeln(Значения элементов матрицы sz) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nuz2 do begin write(i2)) for j=1 to nel do write(sz[ij]41) writeln end writeln readln i1=0 for i=1 to nuz2 do begin 1 if (i=n[1])or(i=n[2])or(i=n[3]) then goto 1 else begin2 i1=i1+1 writeln(i=i1 i1=i11) for j=1 to nel do sp[i1j]=sz[ij] q[i1]=-p[i] end2 1end 1 readln ( вывод матрицы sp ) writeln(Значения элементов матрицы sp) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nel do begin
50
write(i2)) for j=1 to nel do write(sp[ij]41) writeln end writeln readln writeln(Значения элементов правой части -Q уравнений) for i=1 to nel do write( i1)q[i]43) writeln readln GAUSS END
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляются аналогично с учетом их особенностей (см п11)
51
2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений
Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-нонических уравнений имеет вид
=
+
sdot
0
00
2
1
2
1
21
22221
11211
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΚ
nP
P
P
nnnnn
n
n
R
RR
z
zz
rrr
rrrrrr
или RrZ + RP = 0
21) где Rr ndash матрица реакций во введенных дополнительных
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-зей
RP ndash вектор реактивных усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки
Z ndash вектор неизвестных перемещений Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам
sum intsum intprime
minus==EI
dsMMR
EIdsMM
r iPiP
kiik
где ki MM - изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-ных связей 1 =ki ZZ
MP ndash изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе соответствующей исходной системе
Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по
формулам Rr = MT
edBMed (22)
52
RP = - MTedBM
P (23) где Med ndash матрица влияния изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z1 = Z2 = hellip = Zn =1 Эта матрица со-держит n столбцов и m строк Число n равно числу единичных перемещений а m - числу сечений в которых вычисляются внутренние усилия Верхний индекс laquoТraquo в формулах (22) и (23) обозначает операцию транспонирования
B ndash матрица податливости отдельных не связанных эле-ментов
MP ndash вектор изгибающих моментов в любой статически
определимой системе от внешних сил Решая матричное уравнение (21) с учетом (22) и (23) по-
лучим вектор неизвестных Z = - R-1
rRP = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) (24)
Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле M = MedZ + MP (25)
или с учетом (24)
M = Med (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) + MP (26)
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad
Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы (рис21) Считаем что жесткости всех стержней рамы равны
EI = const Примем условно EI = 1
53
Рис 21
Решение Основная система метода перемещений (рис22)
Рис 22
Построим единичные и грузовые эпюры метода перемеще-ний
54
55
Вычисления проводим в среде Mathcad
EI 1= L 3= q 2=
56
Матрица подат-
ливости B рамы пред-ставляет собой квази-
диагональную матрицу состоящую из че-тырех матриц bi (i = 1234 - номера участков)
Med
0667minus
0333
0333
1333
1minus
05minus
0
0
0
0667
0
0
0667minus
0
0
0
0
0333minus
= MedEI
L2
2minus Lsdot
L
L
4 Lsdot
3minus Lsdot
15minus Lsdot
0
0
0
6
0
0
6minus
0
0
0
0
3minus
sdot=
MPq L2sdot
16
1
1minus
1minus
1
2
1minus
0
0
0
sdot= MP
1125
1125minus
1125minus
1125
225
1125minus
0
0
0
=
b1L
2 6sdot EIsdot
2
1
1
2
sdot= b2L
12 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
57
Так как на 4-ом участке один из концевых моментов всегда
равен 0 что соответствует шарнирному прикреплению этого участка к заданной раме то порядок матрицы податливости b4 можно понизить до первого
Существует также возможность понижения порядка мат-
риц входящих в выражение для результирующего вектора мо-ментов (26)
Заметим что для любой эпюры в сечениях 2 и 3 (рис22) являющихся границами участков 1 и 2 соответственно значения моментов одинаковы Это дает возможность сдвинуть блок b2 вверх по главной диагонали матрицы B сократив на единицу ранг квазидиагональной матрицы При этом совпавшие элемен-ты на главной диагонали суммируются
Далее в матрицах моментов Med MP и MP необходимо
избавиться от повторения строк соответствующих сечениям 2 и 3 вычеркнув одну из них Например в каждой матрице вычерк-
b3L
6 EIsdot
1
0
0
0
4
0
0
0
1
sdot= b4
L6 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
58
нем строку значений моментов в сечении 3 понизив тем самым порядок этих матриц на 1
Здесь M1P - обозначение в пакете Mathcad вектора М
Р Вычисляем матрицу реакций (22)
Вектор свободных членов (23)
Находим вектор неизвестных Z (24)
Rr MedT Bsdot Medsdot= Rr
2333
0667minus
0667minus
0556
=
RP MedTminus Bsdot M1Psdot= RP
1125minus
15minus
=
Z Rr( ) 1minusminus RPsdot= Z
1908
4989
=
59
Построение эпюры окончательных изгибающих моментов
(25)
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений
60
H = Med
TmiddotB ndash вспомогательная матрица
начало
N k
Ввод M0
Ввод B
Ввод Mp
Ввод M
I =1k
J =1N
MT[JI]=M0[IJ]
1
Обозначения N ndash кол-во неизвестных k ndash кол-во сечений М0 ndashматрица ед мо-ментов Мр-матрица грузовых моментов М
р М-матрица Мр МТ-трансп ед мат-рица В-м-ца подат-ливости
61
A = Med
TmiddotBmiddotMed ndash матрица реакций Rr C = Med
TmiddotBmiddotMP ndash вектор реактивных усилий в доп связях
RP
I = 1N
J = 1k
L = 1k
H[IJ]=H[IJ]+MT[IL]B[LJ]
I = 1N
J = 1k
L = 1k
A[IJ]=A[IJ]+H[IL]M0[LJ]
2 3
1 Выч H=MedTmiddotB
62
L=1k
C[I]=C[I]+H[IL]MP[L]
3
I=1N-1
J=I+1N
A[JI]=-A[JI]A[II]
Kk=I+1N
A[Jkk]=A[Jkk]+A[JI]A[Ikk]
C[J]=C[J]+A[JI]C[I]
4
X[N]=C[N]A[NN]
Обратный ход метода Гаусса
Реш СЛАУ
63
4
I=N-11-1
Q=C[I]
J=I+1N
Q=Q-X[J]A[IJ]
X[I]=QA[IJ]
I=1N
Печать X[I]
Вычисление вектора M[I]
I=1k
Конец
Печать вектора перемещений Z
64
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal (РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ М ПЕ-РЕМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ) PROGRAM RAMA_MP CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ И СЕЧЕНИЙ) N=2 M=9 () TYPE MASS = ARRAY[1M 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1M 1M] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1M] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1M] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR B1MASS FMASS1 BT1CMASS2 DMASS3 S0PS0P1SPCS0PMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) CONST KB1MASS= (( -0667 0667) () ( 0333 0 ) () ( 0333 0 ) () ( 1333 -0667) () ( -1 0 ) () ( -05 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 -0333)) ()
65
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) KFMASS1= ((05 025 0 0 0 0 0 0 0 ) () (025 05 0 0 0 0 0 0 0 ) () (0 0 05 025 0 0 0 0 0 ) () (0 0 025 05 0 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 05 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 2 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 05 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 0 1 05) () (0 0 0 0 0 0 0 05 1 )) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) KS0PMASS4= (1125-1125-11251125 225 -1125 0 0 0) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) KS0P1MASS4=(45 0 0 0 0 -225 0 0 0) () BEGIN (ВВОД МАТРИЦЫ ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) B1=KB1 WRITELN(МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( B1[IJ]116) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) F=KF WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO M DO WRITE( F[IJ]63) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P=KS0P
66
WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P1=KS0P1 WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P1[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO M DO FOR J=1 TO N DO BT1[JI]=B1[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO M DO FOR L=1 TO M DO C[IJ]=C[IJ]+BT1[IL]F[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO M DO D[IJ]=D[IJ]+C[IL]B1[LJ] FOR L=1 TO M DO CS0P[I]=CS0P[I]+C[IL]S0P1[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN D[JI]=-D[JI]D[II] FOR KK=I+1 TO N DO D[JKK]=D[JKK]+D[JI]D[IKK] CS0P[J]=CS0P[J]+D[JI]CS0P[I] END
67
X[N]=CS0P[N]D[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN Q=CS0P[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]D[IJ] X[I]=QD[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА МОМЕНТОВ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN CS0P[I]=0 FOR J=1 TO N DO CS0P[I]=CS0P[I]+B1[IJ]X[J] SP[I]=CS0P[I]+S0P[I] WRITELN(I2 SP[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
Заметим что матричный алгоритм расчета статически не-определимых рам методом сил аналогичен изложенному алго-ритму метода перемещений и осуществляется с учетом формул
X = - A-1
δ∆P = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) M = Med X + MP где Aδ ndash матрица единичных перемещений ∆P ndash вектор гру-
зовых перемещений Med ndash матрица единичных моментов MP ndash вектор грузовых моментов для основной системы метода сил B ndash матрица упругих податливостей стержней рамы
68
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил Выведем основные матричные соотношения для расчета
статически неопределимых ферм [1 4] Пусть для стержневой системы определена степень стати-
ческой неопределимости n и выбрана основная система Запи-шем систему канонических сил в матричном виде
0=∆+ PXAρ
δ (27)
где δA - матрица единичных перемещений
=
nnnn
n
n
A
δδδ
δδδδδδ
δ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ
21
22221
11211
(28)
ijδ - перемещение в основной системе по направлению си-
лы Хi вызванное единичной силой jX действующей по на-
правлению Хj При этом jiij δδ =
=
nX
XX
XΜ
ρ 2
1
-вектор неизвестных усилий ме-
тода сил
(
29)
∆
∆∆
=∆
nP
P
P
P Μ
ρ 2
1
- вектор грузовых перемещений
в основной системе
(
210)
69
Элементы iP∆ представляют собой перемещения в на-правлениях Хi (i = 12hellipn) возникающие под действием задан-ных внешних сил в основной системе
Если рассматриваются несколько вариантов нагружений то необходимо заменить векторы X
ρ и P∆
ρ соответственно на
матрицы
=
nn XXX
XXXXXX
X
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
2221
1211
21
21
21
22
11
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=∆
nPnP
PP
PP
P
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
где k ndash число вариантов нагружения При расчете статически неопределимых ферм на действие
неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и сво-бодные члены уравнений метода сил определяются соответст-венно по формулам
sum=ii
ikiik AE
lNNδ sum=∆
ii
iPiiP AE
lNN
(211)
где ki NN - продольные усилия в стержнях основной
системы от сил Pki NXX 11 == - продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки В формулах (211) суммирование распространяется на все стержни фермы
Усилия Pki NNN можно определить либо обычными способами либо с помощью матричных вычислений (см п12)
Матрицы δA и P∆ρ
с учетом формул (211) записываются в виде
едФTед NDNA
ρρ=δ
70
PФTедP NDN
ρρ=∆ (
212) где Pед NN
ρρ - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
ничных сил и от внешней нагрузки соответственно ФD - диаго-нальная матрица причем элемент этой матрицы расположенный на пересечении i-й строки и столбца i определяется как li(EiAi) где li ndash длина стержня i фермы а EiAi ndash его жесткость Значок (Т) обозначает операцию транспонирования вектора
Связь между окончательными значениями продольных сил Nρ
в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-лий в основной системе устанавливается векторным выражением
Pед NXNNρρρρ
+= (213)
Вектор Xρ
можно выразить из уравнения (27) 1
PAX ∆minus= minus ρρδ
Подставляя это равенство в (213) с учетом (212) оконча-тельно получим
)()( 1PедФ
TедедФ
Tедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+minus= minus (
214) Эта формула может быть использована для построения ли-
ний влияния усилий в статически неопределимой ферме Для этого вектор PN
ρ должен быть заменен соответствующей матри-
цей столбцы которой характеризуют усилия в статически опре-делимой основной системе при расположении единичных сил в узлах грузового пояса фермы
221 Пример расчета фермы методом сил Для статически неопределимой фермы (рис23а) опреде-
лить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния уси-лий в стержнях 1 8 2 если единичный груз перемещается по ее нижнему поясу Считать что стержни фермы изготовлены из одного материала а сечения их одинаковы
71
)
)
)
72
)
)
Рис23
Выполнение расчета 1 В заданной ферме узлов ndash 8 стержней ndash 13 опорных
стержней ndash 4 значит по формуле w = 2sdotУ-C-Co
где У ndash число узлов фермы С ndash число внутренних стерж-ней фермы Со ndash число опорных стержней
может быть определена степень свободы системы те w = 2sdot8-13 ndash4 = -1lt 0
Следовательно исходная ферма имеет одну лишнюю связь и является однажды статически неопределимой
Выбираем основную систему изображенную на рис23б Заметим что основную систему можно выбрать и по-другому например отбрасывая один из внутренних стержней
73
2 Пронумеруем стержни фермы так как показано на рис23аб и определим усилия в основной системе от единич-ной силы (рис23б) и от внешней нагрузки (рис23в) Для этого могут быть использованы способы расчета ферм изложенные в [12]
3 Используя результаты расчета составим векторы еди-ничной Nед и грузовой PN
ρ продольных сил
13121110987654321
д =еNρ
minusminusminus
minus
07070070700505050507070117070
13121110987654321
=PNρ
minus
minusminusminusminus
55335
5335
512512512512717
1515
717
74
4 Вычислим длины стержней фермы и запишем матрицу
ФD упругих податливостей элементов фермы l1 = l10 = l12 = l4 = 141sdotd l2 = l3 = l5 = l6 = l7 = l8 = l9 = l11 = l13
= d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=
100000000000004110000000000000100000000000004110000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000041100000000000001000000000000010000000000000411
13121110987654321
EAdDФ
5 Проводим последовательность матричных операций в
соответствии с формулой (214)
75
[ ]TPф EAdND 5555551251251251225151525 minusminusminusminusminussdot=
ρ
497)2530442()]512
512512512(50)1515(1)552525(7070[)( Тед
EAd
EAd
EAdNDN PФ
=++=+
++sdot++sdot++++sdot=ρρ
1
едед )( minusNDN ФT
ρρ)( ед PФ
T NDNρρ
=0172 7216497 =sdotEAd
dEA
едN-ρ
1едед )( minusNDN Ф
Tρρ
)( ед PФT NDN
ρρ=
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminus
0811
0811
0368368368368811716716811
В результате получаем вектор усилий в исходной ферме (рис23а)
76
minusminus
minus
minus
minus
=
++minusminus+minus++minus+minus+minus+minus
minusminusminus
minus
=
52785278
5144144144144
957171
95
50533811
50533811
50512368512368512368512368
7178111571615716
717811
13121110987654321
Nρ
6 Приступим к матричным вычислениям для построения линий влияния усилий в стержнях 1 8 2 фермы (рис23а) Для этого найдем усилия во всех стержнях основной системы в слу-чаях когда груз Р = 1 приложен в узлах грузового пояса фермы В нашем примере имеют место 2 случая приложения этого груза (рис23гд) Затем составляем матрицу PN столбцы которой соответствуют каждому из этих случаев Заменим в выражении (214) вектор PN
ρ на полученную матрицу и проведем аналогич-
ные матричные преобразования
77
103035300035035300120750207507025070250013530
05005030061
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=PN
0
05000
050010750075002500250
50050050051
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=EAdND PФ
78
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus
=
++minusminus+minus+++minusminusminus+++minus+minus+minus+minus+minus+minus+minus+minusminusminusminusminusminusminusminusminus
=
0006080
007680
1045700457040042904004290
0608000085900008590006470
13121110987654321
10003530414035304140
00003530414035304140
001025029307502930250293075029307502930250293075029302502930
061414035304140505860505860505860505860
353041400614140
13121110987654321
N
7 Используя 1-ю 8-ю и 2-ю строки матрицы N строим
линии влияния усилий в соответствующих стержнях (рис24)
79
Рис24 222 Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил
Обозначения исходных данных n-количество столбцов в матрице (векторе) k-количество стержней фермы N0-вектор продольных сил от ед
нагрузки в основной ферме деNρ
D-матрица податливостей ФD фермы NP-вектор продольных сил от
внешней нагрузки PNρ
в основной ферме
начало
n=1 k=13
ввод вектора N0
ввод матри-цы D
A A
ввод вектора
i=1k
j=1n
NT[ji]=N0[ij] NT-транспонированная мат-
рица ТедN
DNTH Т DNH
NP-вектор грузовых
продольных сил PNρ
80
81
Рис25 223 Программа для расчета статически неопределимых ферм
B
Решение СЛАУ
CXAρρ
=sdot
печать вектора
реакций Xρ
i=1k
C[i]=0
j=1n
C[i]=C[i]+N0[ij]X[j]
N[i]=C[i]+NP[i]
вывод Nρ
конец
XNC ед
ρρ=
Pед NXNNρρρ
+=
Nρ
ndash вектор результи-рующих продольных сил
82
В соответствии с блок-схемой изображенной на рис25
составляем программу на языке Turbo Pascal
PROGRAM FERMA_MS CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ И СТЕРЖНЕЙ) N=1 K=13 TYPE MASS = ARRAY[1K 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1K 1K] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1K] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1K] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR N0MASS DMASS1 NTHMASS2 AMASS3 NPNCMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ В ОСН ФЕРМЕ) CONST KN0MASS=((-0707) (-1 ) (-1 ) (-0707) ( 05) ( 05) ( 05) ( 05) ( 0 ) ( 0707) ( 0 ) (0707) (0))
83
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ DФ) KDMASS1= (( 564 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0564 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4)) (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСНОВНОЙ ФЕРМЕ) KNPMASS4=( -177-15-15-1771251251251255353-53535) BEGIN (ВВОД ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ) N0=KN0 WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДНАГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( N0[IJ]62) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) D=KD WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO K DO WRITE( D[IJ]62) WRITELN END
84
WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД ВЕКТОРА ГРУЗОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) NP=KNP WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НА-ГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO WRITE( NP[I]62) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO K DO FOR J=1 TO N DO NT[JI]=N0[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO K DO FOR L=1 TO K DO H[IJ]=H[IJ]+NT[IL]D[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO K DO A[IJ]=A[IJ]+H[IL]N0[LJ] FOR L=1 TO K DO C[I]=C[I]-H[IL]NP[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN A[JI]=-A[JI]A[II] FOR KK=I+1 TO N DO A[JKK]=A[JKK]+A[JI]A[IKK] C[J]=C[J]+A[JI]C[I] END X[N]=C[N]A[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN
85
Q=C[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]A[IJ] X[I]=QA[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В ИСХОДНОЙ ФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN C[I]=0 FOR J=1 TO N DO C[I]=C[I]+N0[IJ]X[J] N[I]=C[I]+NP[I] WRITELN(I2 N[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
3 СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии
Рассмотрим расчетную схему линейно-упругого стержня на рис31а Разобъём ось этого стержня на m равных частей (конечных элементов) соединенных между собой в n узлах (рис31б) Продольные перемещения u(x) в произвольной точке элемента будем считать линейными функциями координат (рис31в)
u x x( ) = +α α1 2 (31) или в матричной форме
[ ] [ ]u x x где T( ) = = minus1 1 2α α α α вектор не-известных коэффициентов Здесь значок laquoΤraquo обозначает опера-цию транспонирования переменная х - координата в глобальной системе осей ОХ
Применяя равенство (31) для узлов r s неизвестные пара-
метры α1 и α2 выразим через смещения узлов
rsr
srrrr x
xxuu
uxuminusminus
minus=+= 121 ααα
221sr
srss xx
uuxu
minusminus
=+= ααα
где ur и us смещения узлов r и s элемента е (рис31г)
87
Рис 31
Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(31) получим
u(x) = Nrur+Nsus (32) Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента
88
1ll
xxN
lN r
slXX
rs
ξξ=
minus=minus== minus
(33)
где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см рис31г)
Перепишем (32) в матричном виде u(x)=[N]δе (34)
где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы δe=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е
В каждом элементе е имеются свои функции перемеще-ний которые стыкуются в узловых точках При этом получается непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-ний для всего стержня те при таком выборе функции (33) зна-чения перемещений на концах смежных элементов являются одинаковими (рис31в)
Отметим что коэффициент α1 в (31) соответствует движению элемента е как твердого тела так как выражение для
продольной деформации εpartpart
=ux
содержит только коэффициент
α2 те
2αε =minus
=l
uu sr
Матрица жесткости элемента В состоянии равновесия вектор узловых усилий Fе=fr fs эле-мента е можно выразить через вектор узловых перемещений δe
Fe=[K]eδe (35) где [K]e- матрица жесткости элемента е
В развернутом виде формула (35) для стержневого эле-мента работающего на растяжение и сжатие имеет вид
ff
k kk k
uu
r
s
rre
rse
sre
sse
r
s
=
( ) ( )
( ) ( )
(36)
89
Здесь k rse( ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s
при условии что в узле r смещений нет В дальнейшем где это возможно значок laquo(е)raquo будем опускать
Построим матрицу жесткости элемента е в локальной сис-теме координат Оξ (рис31г) При этом часто используется принцип возможных перемещений в состоянии равновесия стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении δρu равна нулю
R u R u dvV
1 1 2 2 0δ δ δεσ+ minus =intintint (37)
Здесь V - объем элемента R=R1 R2 - вектор сил приложен-ных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним на-грузкам σ ε - нормальное напряжение и относительная линей-ная деформация в произвольном поперечном сечении элемента
Вычислим например коэффициент k22 матрицы жесткости стержня (рис31д) По определению k22=R2 при u1=0 u2=1 Поле перемещений точек элемента вызванное единичным смещением
узла 2 равно ul
( )ξξ
= times1 а напряжения σ = timesЕl
1 Так как
узел 1 закреплен то δu1=0 Пусть δu2- возможное (кинематиче-ски допустимое) смещение узла 2 Тогда возможные перемеще-ния стержня за счет δu2 будут δu(ξ)=(ξl)δu2 а соответствующие деформации δε=(1l)δu2
Из равенства (37) следует
R uul
El
dV ul
EAdV
l
2 22
2 20
11
δδ
δ ξ= =intintint int
или в силу произвола вариации
kl
EAdx EAl
l
22 20
1= =int
Определяя по аналогии остальные коэффициенты получа-ем матрицу жесткости стержневого элемента работающего на растяжение-сжатие
90
[ ]k
EAl
EAl
EAl
EAl
EAle
=minus
minus
=
minusminus
1 11 1
(38)
Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости стержневого элемента
Деформации внутри элемента е связаны с узловыми пере-мещениями его концов δе=[u1u2]т равенством
[ ] [ ]εξξ ξ
= = =du
ddd
N u B ue e e
( ) ( ) ρ ρ
(39)
где [Β]е=d[N]dξ - матрица-строка деформаций компонентами которой являются производные от функций форм по локальным координатам
[ ]B dNd
dNd l le
=
= minus
1 2 1 1ξ ξ
(310)
Приращение потенциальной энергии деформации элемента за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид
[ ]
[ ] [ ]= ==
intintintintintintintintintδεσδ ε
δdVB u E dV
u B E B dV ue e
eT
eT
e eV
VV
( )
(311)
Работа узловых сил [ ] ρF u ue
T= δ δ1 2 на возможных
вариациях перемещений в узлах [ ]δ δ δ ρu u ue
T= 1 2 равна приращению потенциальной энергии деформации (311)
[ ] [ ]δ δ ( ) ρ ρ ρ ρu B E B dV u u Fe
T
V e
T
e e eT
eintintint =
откуда следует ( ) ρ ρF B EBdV ue
Te
V
= intintint (312)
91
где [ ] [ ]k B EBdVе eT
v
= intintint - матрица жесткости стержневого эле-
мента размерности 2х2 Если в (312) модуль упругости Е заменить на соответст-
вующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука то эта формула в принципе справедлива для задач любой размерно-сти и для элементов любого типа
Определение статически эквивалентных узловых усилий Теперь из условия равновесия определим реактивные уси-
лия действующие на стержневой конечный элемент со стороны узлов в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить с обратным знаком
а) действие распределенной нагрузки
Рис 32
Пусть [ ] ρF F Fq q
T= 1 2 - вектор усилий в узлах элемен-
та уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивно-стью q (рис32)
Применим принцип возможных перемещений полная вир-туальная работа заданных внешних и реактивных усилий на со-ответствующих вариациях перемещений элемента находящего-ся в равновесии должна быть равна нулю
q ud F u F uq
l
δ ξ δ δ+ + =int 1q 1 2 20
0
Используя (34) это равенство перепишем в виде
92
q N u N u d F u F uq
l
( )1 1 2 2 1q 1 2 20
0δ δ ξ δ δ+ + + =int
Учитывая чтоN l и N l1 21= minus =ξ ξ а также про-извол вариаций узловых перемещений δu1 δu2 находим
F qN dx jjq j
l
= minus =int0
1 2( )
При q = const имеем ρF ql qlq
e T( ) [ ]= minus minus2 2
Отметим что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной сис-темы координат Оξ
б) действие температуры Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ) Тогда
компоненты вектора узловых сил [ ]TTTeT FFF 21 =ρ
опре-делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации потенциальной энергии деформации элемента
F u F u dvTV
1T 1 2 2δ δ δεσ+ = intintint
Учитывая что σ ξ α ξ ε ξ ξ ξ( ) ( ) ( ) ( ) = minus = = minus +E T du d u l u l u1 1 2 в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
F EAl
T dx jjT
l
= plusmn =intα
ξ( ) ( )0
1 2
При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
[ ] ρF TEA TEAT e
T= minusα α Компоненты F1T F2T направлены вдоль оси Оξ Таким образом полный вектор узловых усилий на элемент
93
[ ]ρF F Fe
T= 1 2 включает силы статически эквивалентные перемещениям элемента распределенной нагрузке и темпера-турному воздействию
[ ] ρ ρ ρ ρF K u F Fe e e q e T e= + + (313)
Этот вектор вычисляется в локальной системе координат
Составление уравнений равновесия бруса Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)
элементов составляются в глобальной системе координат ОХ единой для всех элементов конструкции (рис31а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы В случае одноосного растяжения и сжатия матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локаль-ной и глобальной координатах совпадают
Неизвестные узловые перемещения для ансамбля эле-ментов могут быть определены из уравнений равновесия узлов Например для узла с номером m можно записать
P Fm m ee m
+ minus =isinsum( ) 0 (314)
где Pm - внешняя сосредоточенная сила приложенная к узлу m по направлению оси ОХ
-Fme - усилие действующее на узел m со стороны эле-мента е Сумма в (314) берется по всем элементам содержащим узел m
311 Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии
Стержень изображенный на рис33а находится под дей-
ствием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q и сосредоточенной силы F=ql
94
Требуется построить эпюры перемещений u x( )prime и нор-мальных напряжений σ В расчетах принять ЕА=1
а) б) в) г)
Рис 33
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных эле-
мента с узлами в точках 12345 (рис33б) Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы координат направим вниз по оси стержня
Введем следующее обозначение k EAl
= и покажем все
усилия действующие на каждый конечный элемент и вырезан-ные узлы (рис34)
Расписывая уравнения равновесия (314) для каждого узла в отдельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
95
minus + minus + =
minus + + =
minus + + =
minus + + =
minus + =
2 2 02 4 2 0
2 32
0
22
0
0
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku R qlu ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
или 2 2
2 4 2
2 32
22
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku ql Rku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
minus = minusminus + minus =
minus + minus =
minus + minus =
minus + =
В матричном виде эта система записывается в виде (315)
В клетках обведенных пунктиром и расположенных сверху вниз по главной диагонали указываются вклады жесткостных харак-теристик каждого элемента в соответствии с их нумерацией (рис31б) Здесь k k k k k33 11
3222
34 123= + =( ) ( ) ( ) и тп Аналогич-
но заполняется вектор правой части в которой компоненты на-грузки элемента засылаются по нужным адресам Этот прием формирования глобальной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ реализующих МКЭ
96
Рис 34
(315)
97
или
[ ] K u Qρ ρ=
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной [ ]ρu u u u u u T= 1 2 3 4 5 - вектор неизвестных узловых пере-мещений ρQ - вектор внешних узловых сил
Учет граничных условий Матрица [K] в системе уравнений (315) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (315) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диагонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на к EAl11∆ ∆=
-члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в правую часть системы
В нашем примере система (315) с учетом сказанного может быть записана в виде
EAl
uuuuu
EA lql EA l
qlql
F
1 0 0 0 00 4 2 0 00 2 3 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1
20 50 5
1
2
3
4
5
minusminus minus
minus minusminus
=+
( )( )
∆∆
98
так как ∆ = 0 ЕА = 1 ql = F то
5050
0
1100012100
013200024000001
5
4
3
2
1
=
minusminusminus
minusminusminus
FlFlFl
Fl
uuuuu
Решение полученной системы линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестного вектора перемещений ρu
проведем методом главных элементов в виде таблицы 31
Таблица 31 mi u1 u2 u3 u4 u5 Свободные
члены 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4 -2 0 0 Fl -05 0 -2 3 -1 0 05Fl 0 0 0 -1 2 -1 05Fl 0 0 0 0 -1 1 Fl -05 - - 2 -1 0 Fl 1 - - -1 2 -1 05Fl -05 - - - -1 1 Fl 1 - - 15 - -05 125Fl -033333 - - -05 - 05 125Fl - - - - - 0333
33 166667Fl
Ответ 0 15Fl 25Fl 40Fl 50Fl В результате решения преобразованной системы полу-
чим
99
uFl
Fl
uFl Fl
Fl
uFl Fl Fl
Fl
uFl Fl
Flu
5
3
4
2
1
1 66670 33333
5 0
1 25 0 5 51 5
2 5
0 5 2 5 52
4 02 2 5
41 5
0
= =
=+ times
=
=+ +
=
=+ times
=
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения
4times15Fl-2times25Fl=Fl -2times15Fl+3times25Fl-4Fl=05Fl -25Fl+2times40Fl-5Fl=05Fl -4Fl+5Fl=Fl
Ответ [ ]ρu Fl F l F l F l T= 0 1 5 2 5 4 0 5 0 Линейные деформации каждого элемента вычисляются
по формулам (39) и (310)
ε
ε
ε
ε
(
( )
( )
( )
( )
( )
1)
2
3
4
1 1 015 15
1 1 152 5
15 2 5
1 1 2 54
2 5 4 0 15
1 1
= minus
=
= minus
= minus + =
= minus
= minus + =
= minus
l lFl
EA
FEA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
l lFl EA
Fl EAF
EAF
EA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
= minus + =
45
4 0 5 0
( )
Нормальные напряжения σ в центре каждого элемента равны
100
σ σ σ σ( ( ) ( ) ( ) 1) 2 3 41 5 1 0 1 5 1 0= = = =FA
FA
FA
FA
По результатам вычислений строим эпюры безразмерных пере-
мещений u EAFl
u x= prime( ) и напряжений σ (рис31вг) При по-
строении эпюры σ учитываем что нормальное напряжение на участках стержня где действует постоянная распределенная на-грузка изменяется по линейному закону а на участках где она отсутствует - постоянна
Подбор поперечных сечений бруса Проектировочный расчет проведем в системе Mathcad
Зададим размерности величин в привычном виде
Пусть дано
Тогда внешняя сила F будет равна
Допускаемое нормальное напряжение σadm 160МПаsdot=
Из эпюры на рис33г видно что опасными сечениями бруса являются сечения проходящие немного ниже точек 1 и 3 В этих точках максимальное нормальное напряжение
σmax 20FAsdot=
Из условия прочности при растяжении и сжатии
кН 1000 Nsdot= МПа 106 N
m2sdot=
м m= см 01 msdot=
l 1 мsdot= q 5кНм
sdot=
F q lsdot= F 5 103times N=
101
σmax σadmle находим параметр А площади допускаемого поперечного сече-ния
20F
Aadmsdot σadm
Таким образом при заданном значении σadm 160МПаsdot=
площадь поперечного сечения верхнего участка равна A1=125
см2 нижнего - 0625 см2 Округлим эти значения в большую сторону до значений оканчивающихся на цифры 0 или 5 Тогда для верхних двух участков можно принять А1 = 15 см2
для нижних - А2 = 10 см2 Для круглых поперечных сечений можно вычислить их
диаметры
Расчет вала при действии внешних крутящих моментов проводится аналогично Только в этом случае необходимо вме-
Aadm 20F
σadmsdot= Aadm 625 10 5minus
times m2=
A1 2 Aadmsdot= A1 125 10 4minustimes m2
= A2 Aadm=
d14 A1sdot
π= d1 0013m= d1 15 смsdot=
d24 A2sdot
π= d2 8921 10 3minus
times m= d2 10 смsdot=
102
сто сил рассматривать крутящие моменты а вместо распреде-ленных нагрузок ndash распределенные моменты Неизвестными в уравнениях являются углы φ поворота сечений величины GIk характеризуют жесткости участков вала
32 Пример расчета ступенчатого вала при кручении Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с непод-
вижно закрепленными концами находится под действием внеш-них крутящих моментов M и 4M (рис35)
Требуется
1) составить систему линейных уравнений по МКЭ 2) найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их через M
l и D
103
3) построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных ка-сательных напряжений τmax
4) построить эпюру крутящих моментов Mк 5) при заданном значении допускаемого касательного напряже-
ния τadm=70Мпа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
6) найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
7) составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реализую-щую алгоритм решения задачи
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый вал на 4 конечных элемента с
узлами в точках 12345 (рис35б) Начало координат совмес-тим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы коор-динат направим вправо по оси стержня
Введем следующие обозначения
82
16
16
502
16
4
44
3
33
2
22
1
11
4321
lGI
lGI
lGI
klGI
lGI
k
lGI
lGI
kl
GIl
GIl
GIk
GIGIGIGIGIGI
PPPPP
PPPPPPPPPPP
=sdot
==sdot
==
==sdot===
sdot====
где 410 DIP asymp -полярный момент инерции поперечного сечения вала Покажем все моменты действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис36)
Расписывая уравнения равновесия для каждого узла в от-дельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю не-известными
104
Рис36
=minus+minus=+minus++minus
=minus++minus=+minus++minus
=minusminus
004)(
0)(0)(
0
544
5444333
4333222
3222111
2111
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
105
или
=+minusminus=minus++minus
=minus++minusminus=minus++minus
=minus
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
5444
5444333
4333222
3222111
2111
4)(0)(
)(
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
В матричном виде эта система записывается в виде (316)
minus
minus=
minusminus+minus
minus+minusminus+minus
minus
B
A
MM
MM
kkkkkk
kkkkkkkk
kk
40
)()(
)(
5
4
3
2
1
44
4433
3322
2211
11
ϕϕϕϕϕ
(316)
или [ ] QK
ρρ=ϕ
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной
T][ 544321 ϕϕϕϕϕϕϕ =ρ
- вектор неизвестных узловых углов поворота сечений
Qρ
- вектор внешних узловых крутящих моментов Подставляя выражения для k1 k2 k3 k4 записанные через
жесткости GIp получим систему
106
minus
minus=
minusminusminus
minusminusminusminus
minus
B
A
p
MM
MM
lGI
40
8882416
1617115150
5050
5
4
3
2
1
ϕϕϕϕϕ
Учет граничных условий Предположим что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах
вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2 Тогда с учетом ска-занного в п 311 система (316) может быть записана в виде
∆times∆timestimes+minus
∆times+minus∆
=
minusminusminus
minus
2
2
1
1
5
4
3
2
1
)()(804
0)(50
)(
100000241600016171000151000001
lGIlGIM
lGIMlGI
lGI
p
p
p
p
p
ϕϕϕϕϕ
Так как ∆1=∆2=0 то
040
0
100000241600016171000151000001
0
0
5
4
3
2
1
minus
minus=
minusminusminus
minus
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
где pGIlM times
=0ϕ - обозначение
107
Так как ϕ1=ϕ5=0 то решаем 234 уравнения методом Гаус-са в виде таблицы 32
Таблица 32
mi ϕ2 ϕ3 ϕ4 Свобод-ные члены
1 15 -1 0 -ϕ0 -23 -1 17 -16 0 0 0 -16 24 -4ϕ0 1 0 493 -16 (-23)ϕ0 -4849
0 -16 24 -4ϕ0
0 40849 (-22849)ϕ0
Ответ (-1817)ϕ0 (-1017)ϕ0 (-1934)ϕ0 В результате решения преобразованной системы получим
5588203419
40849
49228
000
4 ϕϕϕ
ϕ primeminus=minus=sdotminus=
5882301710)
349()
341916
32( 00003 ϕϕϕϕϕ minus=minus=sdotminusminus=
0588211718
511710
00
00
2 ϕϕϕϕ
ϕ minus=minus=sdotminusminus
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного ре-
шения в исходные уравнения 15times(-105882ϕ0)-1times(-058823)=-ϕ0 -1times(-105882ϕ0)+17times(-058823ϕ0)-16times(-055882ϕ0)=0 -16times(-058823ϕ0)+24times(-055882ϕ0)=-4ϕ0
Ответ ϕ1=0 ϕ2=-105882ϕ0 ϕ3=-058823ϕ0 ϕ4=-055882ϕ0 ϕ5=0
или в векторном виде
108
T
minusminusminus= 0
3419
1710
17180 000 ϕϕϕϕ
ρ
Угловые деформации и максимальные касательные напря-жения в сечениях каждого элемента вычисляются по формулам
11
11
)(max
)(
sdot
minus=
sdot
minus=
K
He
K
He
llGR
llR
ϕϕ
τ
ϕϕ
γ
где R ndashрадиус поперечного сечения элемента e вала ϕH и ϕK ndash соответственно углы поворота левого и правого концов конечного элемента в глобальной системе координат
Тогда максимальные касательные в каждом элементе рав-ны
7941226117
76
03419
21
21
2941206117
8
34191710
11
3529422017
8
17101718
112
6470622017
9
17180
21
21
2
330)4(
max
33
0
0)3(
max
33
0
0)2(
max
330
)1(max
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
=sdot=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
minus=sdotminus=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕτ
109
Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов [ ]TKH
ek MMM =
ρ в каждом элементе е по формуле
[ ]
sdot
minus
minussdot=sdot=
K
Hpeeek l
GIkM
ϕϕ
ϕ1111)()()( ρρ
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и пра-
вом концах конечного элемента МН и МК ndash крутящие моменты на левом и правом концах
элемента соответственно
470590470590
55882058828055882058828016
558820588230
111116
470590470590
588230058821588230058821
588230058821
1111
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
0)3(
0
0
0)2(
0
0
2
2
2
1)1(
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
pK
p
pK
p
ppK
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ρ
ρ
ρ
110
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)3(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)4(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
ных углов поворота 0ϕϕ
касательных напряжений MD3
max sdotτ
и крутящих моментов MKM (рис37) Подбор сечений вала (проектировочный расчет) Пусть дано М=2 кНм τadm=70 Мпа ndash допускаемое каса-
тельное напряжение для стали Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по
модулю значение
3)4(
maxmax 794122DM
== ττ
Из условия прочности при кручении τmax le τadm
находим диаметр D
admDM τ=3794122
111
сммMDadm
adm 3141070
1027941227941223
6
3
3 =sdot
sdotsdot=
sdot=
τ
Рис 37
Таким образом при заданном значении τadm=70 Мпа оп-ределили диаметр Dadm из расчета на прочность Теперь округ-лим его до значения оканчивающегося на цифру 0 или 5 (в большую сторону) те в нашем случае диаметры первых двух участков вала можно принять равным D=45 мм а диаметры остальных участков 2D=90мм
Найдем максимальный угол поворота сечений ϕmax при-няв l=05м модуль сдвига для стали G=08105 Мпа М=2кНм IP=01D4
058821 02max ϕϕϕ ==
805321
)1054(10108050102
4211
3
0 =sdotsdotsdotsdot
sdotsdot=
sdotsdot
= minusPIGlMϕ
112
032276080532
058821max рад==ϕ
Указания к составлению программ на ЭВМ При численной реализации МКЭ заполнение матрицы же-
сткости [K] и вектора правой части Q ансамбля элементов производится с использованием упомянутого ранее метода пря-мых жесткостей учитывающего вклад каждого элемента в от-дельности по формулам
K k Q F F FIJ ije
e I JJ J jq
e
e JjT
e
e T= = + minus + minus
isin isin isinsum sum sum( )
( ) ( ) ( ) ( ) (317)
Здесь локальные номера ij узлов элемента е должны соответст-вовать глобальным номерам узлов ансамбля IJ Суммы берутся по всем элементам ансамбля содержащим узлы IJ В правые части формул (317) подставляются компоненты матриц жестко-сти и векторов приведенных узловых сил отдельных элементов вычисленные в глобальной системе координат
Рассмотрим более подробно один из вариантов процесса сборки глобальной матрицы жесткости ансамбля элементов
Разбитый на элементы стержень можно полностью описать двумя массивами - глобальными координатами узлов xi и матри-цей индексов элементов
Последний из них позволяет установить связь элементов друг с другом Под набором индексов данного элемента будем понимать глобальные номера узлов элемента выписанные в по-рядке возрастания их локальных номеров С помощью матрицы индексов обычно проводят сборку глобальной матрицы жестко-сти в виде двумерного массива SGL(neqneq) где neq -число сте-пеней свободы дискретной модели стержня Обозначим через IT(nsenel) матрицу индексов где nse - число степеней свободы элемента nel - количество элементов дискретной модели SE(nsense) - матрица жесткости элемента Алгоритм сборки со-стоит в том что для каждого элемента попарно следует пере-брать все индексы данного к-го элемента (включая и тот случай
113
когда индекс образует пару сам с собой) Пара локальных номе-ров IJ дает адрес (те строку и столбец) числа которое должно быть выбрано из матрицы жесткости элемента Другая же пара индексов IT(IK) IT(JK) определяет адрес в глобальной матрице жесткости по которому должен быть просуммирован выбран-ный коэффициент матрицы жесткости элемента Так как обра-ботка индексов происходит в порядке возрастания номеров эле-ментов то заполнение глобальной матрицы жесткости происхо-дит случайным образом
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем
МКЭ Блок-схема алгоритма реализующая МКЭ представлена
на рис38 Дадим некоторые пояснения к этому алгоритму На 1-м этапе производится ввод исходных данных (коор-
динат узлов и номеров конечных элементов) и их распечатка (для контроля) Вводится также информация о внешних нагруз-ках граничных условиях механических характеристиках мате-риала отдельных элементов конструкции (блок 2) Заполняются нулями глобальная матрица жесткости и вектор нагрузки (блок 3)
На 2-м этапе в цикле (блок 4) вычисляются матрицы жест-кости (блок 5) и векторы эквивалентных узловых сил для от-дельных элементов (блок 7) которые включаются в глобальную матрицу жесткости К (блок 6) и вектор нагрузки
ρQ (блок 8)
После выхода из цикла в векторе ρQ учитываются компо-
ненты внешних сосредоточенных узловых сил по соответст-вующим степеням свободы (блок 9) В результате завершения 2-го этапа оказывается сформированной матрица и правая часть системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относи-тельно неизвестных узловых перемещений
114
На 3-м этапе производится учет заданных граничных усло-вий (блок10) и решением полученной СЛАУ (блок 11) опреде-ляются неизвестные узловые перемещения
На 4-м этапе в цикле по элементам вычисляются деформа-ции и напряжения в отдельных конечных элементах (блоки 12-15) Общий выход осуществляется в блоке 16
Отметим что при решении больших задач ввиду ограни-ченности памяти ЭВМ матрицу жесткости ансамбля элементов обычно хранят в виде ленты шириной L Величина L равна рас-стоянию от наиболее удаленного ненулевого элемента матрицы до главной диагонали Изменение ширины ленты матрицы мож-но добиться с помощью изменения порядка нумерации узлов
Начало
Ввод исхданных
Обнуление матрицы К и вектора Q
1
1
2
3
115
1
Цикл по элементам
Построение матрицы жесткости элемента в глобальных коорди-натах
Формирование глобальной мат-рицы жесткости системы К
Вычисление эквивалентных узло-вых сил для элемента в глобальных координатах
Формирование глобаль-ного вектора нагрузки Q
Добавление внешних сосредо-точенных сил
2
4
5
6
7
8
9
116
2
Учет граничных условий
Решение СЛАУ
Цикл по элементам
Вычисление внутр сило-вых факторов в локаль-ных осях
Вычисление напряжений Оценка прочности
Печать результатов
Конец
10
11
12
13
14
15
16
Рис38
117
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ Program MCE Uses crt const nue=2 nel=4 число конечных элементов nuz=5 число узлов ансамбля элементов ndis=1число узловв которых заданы перемещения type mas1=array[1nel] of real mas3=array[1nel1nue] of integer mas5=array[1nue1nue] of real mas7=array[1nuz1nuz] of real mas8=array[1nuz] of real mas9=array[1ndis] of integer mas10=array[1ndis] of real mas12=array[1nue] of real mas14=array[1nel1nue] of real var ielijinteger ardleedeforsigmamas1 nugmas3 semas5 sglmas7 rezmas8 nsdmas9 dismas10 r1mas12 bbrzmas14 const kdlmas1=(10101010) keemas1=(10101010) knugmas3=((12) (23) (34) (45)) knsdmas9=(1) kdismas10=(00) karmas1=(20201010) procedure MEL var j1k1l1integer
118
eflq0psreal begin efl=ee[iel]ar[iel]dl[iel] for j1=1 to nue do for k1=1 to nue do se[j1k1]=00 se[11]=efl se[12]=-efl se[21]=-efl se[22]=efl for j1=1 to nue do begin writeln for k1=1 to nue do write(se[j1k1]51) end readln readln(q0) r1[1]=05q0dl[iel] r1[2]=05q0dl[iel] for j1=1 to nue do write( r1[j1]53) readln end Procedure MGL var j1k1l1m1n1integer begin for j1=1 to nue do begin l1=nug[ielj1] rez[l1]=rez[l1]+r1[j1] for k1=1 to nue do begin n1=nug[ielk1] sgl[l1n1]=sgl[l1n1]+se[j1k1] end end
119
end Procedure GRAN var i1j1k1l1integer begin for i1=1 to ndis do begin j1=nsd[i1] k1=nsd[i1] for l1=1 to nuz do begin rez[l1]=rez[l1]-sgl[l1j1]dis[i1] sgl[l1j1]=00 end for l1=1 to nuz do sgl[k1l1]=00 sgl[k1k1]=10 rez[k1]=dis[i1] end end Procedure PRAV var k1nqicinteger begin repeat write(Введите номер узла) readln(nq) write(Введите компоненты усилия) read(r1[1]) writeln rez[nq]=rez[nq]+r1[1] until nqgt=nuz end Procedure SISTEM var i1j1k1l1integer x1array[1nuz] of real q1real begin for i1=1 to nuz do for j1=i1+1 to nuz do
120
begin sgl[j1i1]=-sgl[j1i1]sgl[i1i1] for k1=i1+1 to nuz do sgl[j1k1]=sgl[j1k1]+sgl[j1i1]sgl[i1k1] rez[j1]=rez[j1]+sgl[j1i1]rez[i1] end x1[nuz]=rez[nuz]sgl[nuznuz] for i1=nuz-1 downto 1 do begin q1=rez[i1] for j1=i1+1 to nuz do q1=q1-x1[j1]sgl[i1j1] x1[i1]=q1sgl[i1i1] end l1=0 for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do begin l1=l1+1 rz[ielj1]=x1[l1] end l1=l1-1 end writeln(Массив перемещений разделенный по узлам) for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do write( rz[ielj1]53) writeln end end Procedure STRESS var j1integer begin for iel=1 to nel do begin1
121
defor[iel]=00 sigma[iel]=00 for j1=1 to nue do begin2 if j1=1 then bb[ielj1]=-1dl[iel] else bb[ielj1]=1dl[iel] defor[iel]=defor[iel]+bb[ielj1]rz[ielj1] end2 sigma[iel]=defor[iel]ee[iel] end1 for j1=1 to nel do write(j13)sigma[j1]54) writeln end
Begin clrscr dl=kdl nug=knug nsd=knsd dis=kdis ar=kar ee=kee for i=1 to nuz do begin rez[i]=00 for j=1 to nuz do sgl[ij]=00 end for iel=1 to nel do begin MEL MGL end PRAV GRAN SISTEM STRESS end
122
35 Расчет рам методом конечных элементов Матрица жесткости балочного элемента конструкции Рассмотрим расчетную схему линейно-упругой рамы в глобаль-ных (общей для всей системы) осях координат xyz (рис39а)
Рис 39
Разобъем ось этой рамы на m частей (конечных элемен-
тов) соединенных между собой в n узлах (рис39а) Каждому элементу под номером е поставим в соответствие систему ло-кальных осей координат xyz (рис39б) Рассмотрим в плоско-сти xy деформацию поперечного изгиба элемента На концах этого элемента укажем векторы узловых перемещений
[ ]Te uuuuu 4321)( =
ρ и узловых усилий [ ]Te RRRRR 4321
)( =ρ
Нумерация и положительные направ-ления компонентов этих векторов показаны на рис39б Связь
123
между ними обеспечивается как известно матрицей жесткости k(e) элемента е
)()()( ][ eee ukR ρρsdot= (318)
В дальнейшем там где возможно значок (е) будем опускать Прогиб балки w(x) в произвольном ее сечении будем считать функцией координаты x в локальной системе осей oxy (рис39б)
)( 34
2321 xxxxw prime+prime+prime+=prime αααα (319)
или в матричной форме [ ] [ ] minus=sdotprimeprimeprime=prime Tгдеxxxxw 4321
32 1)( ααααααвектор неизвестных коэффициентов
Применяя равенство (319) для концевых узлов элемента е
неизвестные параметры α1 α2 α3 α4 выразим через смещения
этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений
проходящих через соответствующие узлы
132332)(
)()0()0(
43221232
4324
34
232132211
ul
ul
ul
ul
lllxd
dwu
llllwuxd
dwuwu
minus+minusminus=rArr++=prime
=
+++===prime
===
αααα
αααααα
4233221341212 ul
ul
ul
ul
+minus+=α
Подставляя в (319) и выполняя преобразования получим
sum=
prime=prime4
1)()(
kkk xEuxw
(320)
где
124
)(23)(
2)(231)(
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
lx
lxxE
lx
lxxE
lx
lxxxE
lx
lxxE
prime+
primeminus=prime
primesdotminus
primesdot=prime
prime+
primesdotminusprime=prime
primesdot+
primesdotminus=prime
-функции перемещений известные под названием функций Эр-
мита Каждая из этих функций Ek(x) характеризует прогиб жест-
ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
направлению k (uk=1) (рис310)
Рис 310
Формулу (320) можно записать в матричном виде
[ ] uxNxw ρsdotprime=prime )()( (321)
где [ ])(xN prime - матрица-строка элементы которой являются функ-
циями локальной координаты х
[ ] [ ])()()()()( 4321 xExExExExN primeprimeprimeprime=prime (322)
125
Запишем теперь дифференциальные зависимости для из-
гиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах
)()(3
3
2
2
xdxwdEIQ
xdxwdEIM
primeprime
sdot=primeprime
sdot=
где М и Q ndash изгибающий момент и поперечная сила в сечении
балки положительные направления которых показаны на
рис39б Так как на концах балки (при x=0 и l) изгибающий
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми
значениями то с учетом их направлений можно записать
)()()()(
)0()0()0()0(
2
2
43
3
3
2
2
23
3
1
lxd
wdEIlMRlxd
wdEIlQR
xdwdEIMR
xdwdEIQR
primesdot==
primesdotminus=minus=
primesdotminus=minus=
primesdot==
Эти равенства с использованием формул (321) можно пе-
реписать в виде
[ ] [ ][ ] [ ] ulNEIRulNEIR
uNEIRuNEIRρρρρ
sdotprimeprimesdot=sdotprimeprimeprimesdotminus=sdotprimeprimesdotminus=sdotprimeprimeprimesdot=
)()()0()0(
43
21
Сравнивая эти соотношения с уравнением (318) запишем
матрицу жесткости элемента в виде
[ ]
primeprimeprimeprimeprimeminus
primeprimeminus
primeprimeprime
sdot=
)()()0(
)0(
lNlN
NN
EIk
или составляя выражения для производных с учетом
(320)(322) получим окончательно
126
[ ]
minusminusminusminus
minusminus
=
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIk
(323)
Отметим что элемент kij этой матрицы численно равен
реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис310)
Определение статически эквивалентных узловых уси-
лий
Пусть на элемент е рамы действует положительная попе-речная распределенная нагрузка интенсивностью q(x) (рис311)
Рис 311
Тогда силовые факторы qR
ρ в узловых сечениях элемента
эквивалентные этой нагрузке можно определить с помощью принципа возможных перемещений
0)()(0
=sdot+ intl
qT dwqRu ξξδξδρρ
(324)
127
Так как sum=
prime=4
1
)(k
kk xEuw δδ то из (324) следует
sum int=
=+4
1 0
0)()(k
l
kkqT dEquRu ξξξδδρρ
Следовательно для j-й компоненты вектора qRρ
получим
формулу
int =minus=l
jjq jdEqR0
)4321()()( ξξξ
При q(x)=const получим T
q qlqlqlqlR
minusminusminus= 22
121
21
121
21ρ
(325)
те компоненты этого вектора фактически являются реак-
тивными усилиями и моментами в балке с защемленными кон-
цами нагруженной распределенной нагрузкой q (рис311) Зна-
ки компонент jqRρ
соответствуют положительным направлениям
степеней свободы на рис39б
Преобразование локальных координат в глобальные
Необходимость в таком преобразовании возникает в связи
с составлением уравнений равновесия для всей конструкции в
целом в глобальной системе координат (рис312)
128
Рис 312
Связь между локальными )( zyxx primeprimeprime=primeρ и глобальными
)( zyxx =ϖ координатами записывается в виде
[ ] xtx ρρsdot=prime (326)
где [ ] )cos()cos()cos(
дтиzxtyxtxxt
ttttttttt
t
zx
yx
xx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
prime=
prime=
prime=
=
prime
prime
prime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
Заметим что [ ]t представляет собой матрицу вращений
локальных осей относительно глобальных
Если известны глобальные координаты концов ij элемента
балки то направляющие косинусы оси x (оси балки) определя-
ются по формулам (i lt j)
l
zzt
lyy
tl
xxt ij
zxij
yxij
xxminus
=minus
=minus
= primeprimeprime
129
где 222 )()()( ijijij zzyyxxl minus+minus+minus= - длина эле-
мента
Компоненты матрицы [ ]t должны удовлетворять усло-
виям ортогональности осей координат
00 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime zzzxyzyxxzxxzyzxyyyxxyxx tttttttttttt
0=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzzyyzyyxzxy tttttt
Кроме того между направляющими косинусами еди-
ничных векторов имеются зависимости
11 222222 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzyzxzzyyyxy tttttt
Условие ориентации относительно глобальной оси оу
главной центральной оси инерции сечения элемента oy записы-
вается в виде (рис312)
)cos(γ=primeyyt
В общем случае нагружения нумерация и положительные
направления узловых параметров (обобщенных перемещений и
усилий) элемента laquoеraquo в локальных осях xyz показаны на
рис313
130
Рис 313
Считаем что локальная система координат направлена от
узла с меньшим номером к узлу с большим номером по глобаль-
ной нумерации узлов всей конструкции В глобальных осях xyz
порядок нумерации и направления узловых параметров изобра-
жены на рис314
Рис 314
Согласно рис313 314 обозначим через
131
Tuuuu ][ 1221 primeprimeprime=prime Κρ и Tuuuu ][ 1221 Κϖ= векторы узловых пе-
ремещений элемента в локальных и глобальных координатах
соответственно Тогда связь между ними можно задать в виде
формулы
uTu ρρ ][=prime (327)
где [Т] ndash ортогональная матрица преобразования координат
([Т]-1=[Т]Т) Вид ее однозначно определяется из равенства (327)
и имеет блочно-диагональную структуру
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
=times
tt
tt
T1212
(328)
Каждый блок [ ]33times
t выполняет преобразование над поступа-
тельными или вращательными компонентами одного узла В ча-
стности для плоской рамы матрица преобразований имеет вид
[ ]
=
primeprime
primeprime
primeprime
primeprime
1000000000000000010000000000
yyxy
yxxx
yyxy
yxxx
tttt
tttt
T
(329)
Компонентами этой матрицы являются направляющие ко-
синусы между соответствующими осями локальной и глобаль-
132
ной систем координат
)()(
)cos()cos(
)(
)cos()(
)cos(
22ijij
xxyyyxxyyyxy
ijyx
ijxx
yyxxl
ttttyytxytl
yyyxt
lxx
xxt
minus+minus=
=minus=prime=prime=
minus==
minus=prime=
primeprimeprimeprimeprimeprime
primeprime
(330)
Заметим что угловые перемещения uiz и ujz при повороте
координат в плоскости изгиба не изменяются поэтому на соот-
ветствующих местах матрицы стоят единицы
Пусть Ru Tρρ
δ - работа узловых сил Rρ
на возможных пере-
мещениях uρδ в глобальной системе координат а Ru T primeprimeδρρ - рабо-
та узловых сил Rprimeρ
на возможных перемещениях u primeρδ в локаль-
ной системе координат Поскольку работа не зависит от того в
какой системе производятся вычисления то можно записать
RuRu TT primeprime=ρϖρϖ δδ Так как согласно (327) TTT Tuu ρρ δδ =prime то
RTuRu TTT prime=ρϖρϖ δδ Ввиду произвольности вектора Tuρδ получим
RTR T prime=ρρ
][ (331)
Учитывая (318) и (331) можно записать
uTkTukTR TT primeprime==ρρρ
][][][][][
Следовательно преобразование матрицы жесткости эле-
мента выполняется по матричной формуле
[ ] [ ] ][][ TkTk T sdotprime= (332)
133
Составление уравнений равновесия для стержневой
системы
Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат xyz единой для всех элементов конструкции (рис39а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы
Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной системе координат xyz Обозначим через ui вектор перемещений типового узла i Число элементов этого вектора равно числу сте-пеней свободы узла Матрицу внешних сил действующих в узле i в направлении перемещений ui обозначим через Ri
Векторы узловых перемещений и сил для всей конструк-ции обозначим
u=[u1u2hellipum]T R=[R1R2hellipRm]T где m ndash число узлов стержневой системы
Если на элемент конструкции действует внеузловая на-грузка то считаем что на узел i этого элемента действует вектор эквивалентной нагрузки R0i число элементов которого равно числу степеней свободы узла Для всей конструкции можно за-писать вектор R0=[R01 R02 hellip R0m]T
Тогда связь между узловыми силами и узловыми переме-щениями может быть представлена в виде равенства
R=Ku+R0 (333) или в развернутой форме
+
sdot
=
0m
0i
01
m
j
1
m
i
1
R
R
R
u
u
u
R
RΜ
Μ
Μ
Μ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚ
Μ
Μ
mmmjm
imiji
mj
kkk
kkk
kkkR
1
1
1111
134
Если предположить что силы действующие в узлах кон-струкции известны то равенство (333) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно компонентов вектора перемещений u
Ku=Q (334) где Q=R-Ro ndashвектор внешних сил Квадратная матрица K систе-мы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ) Эле-менты kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости k(e)
ij отдельных элементов по формуле )321()( mjikk e
ijij Κ==sum (335)
где суммирование выполняется по всем элементам входящим в стержневую систему При этом нужно учитывать то что
0)( =eijk если соответствующий элемент не соединяет узлы i j
Следовательно для получения ОМЖ можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня k(e)
ij распределить по соот-ветствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости поло-жение которых определяется нижними индексами и затем про-извести суммирование всех накладывающихся элементов
При формировании вектора Q в уравнении (334) можно воспользоваться аналогичным правилом
sum= )(eii QQ (336)
где суммирование производится по всем элементам сходящимся в узле i Описанный прием формирования объединенной матри-цы жесткости и вектора правой части называется методом пря-мых жесткостей и используется при составлении программ реа-лизующих МКЭ
Отметим что в матрице К все ненулевые элементы сгруп-пированы вблизи главной диагонали те образуют своеобразную ленту Ширину этой ленты можно определить по формуле
yee
ennnL sdot+minus= ]1)(max[ )(
min)(
max)( (337)
135
где )(min
)(max ee nn - максимальный и минимальный номера узлов
отдельного элемента по глобальной нумерации ny ndash число сте-пеней свободы в узле максимум берется по всем элементам стержневой конструкции С целью экономии памяти ЭВМ и времени обработки информации матрица K уравнения (333) часто хранится в виде прямоугольного массива размерности NtimesL где N ndash число неизвестных узловых параметров При этом нижний правый треугольник массива дополняется нулями От-метим что чем меньше ширина ленты тем эффективнее работа-ет программа Поэтому необходимо тщательно продумывать глобальную нумерацию узлов системы в то же время порядок нумерации элементов не так важен он определяет только после-довательность заполнения ОМЖ
Определим теперь вектор )(eRρ
узловых силовых факторов в этом элементе laquoеraquo в локальной системе координат oxy В силу формул (318)(327) имеем
)()( ]][[ ee uTkR ρρ= (338)
где )(euρ - вектор узловых перемещений элемента в глобальных координатах оху
Следовательно для вычисления внутренних силовых фак-торов в элементе рамы можно рассмотреть этот элемент отдель-но в виде балки нагруженной на концах вычисленными узловы-ми силовыми факторами По внутренним силовым факторам можно судить о прочности рассматриваемого стержневого эле-мента конструкции
351 Пример расчета плоской рамы Для рамы изображенной на на рис315 построить эпюру
изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1=I Моменты инерции ригелей также одинаковы и равны I2=2I
136
Решение (ручной счет) Примем условно параметр жесткости элемента рамы на
изгиб EI и на растяжение-сжатие EA равными 1 Схема нумера-ции и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис316
Рис 315
Рис 316
Вычислим матрицы жесткости отдельных конечных эле-
ментов в местных координатах направив ось оx от узла с мень-шим номером к узлу с большим номером По формуле (323) имеем
137
654321654321
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)1(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
121110987121110987
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)2(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
151413121110151413121110
333133300667033300333011100333011100001670001670667033300333133300333011100333011100001670001670
)3(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
138
121110654121110654
333166700667066700667044400667044400003330003330667066700333166700667044400667044400003330003330
)4(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
181716121110181716121110
000137500500037500375018700375018700002500002500500037500000137500375018700375018700002500002500
)5(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
Согласно (333) вычислим теперь матрицы жесткости эле-
ментов в глобальной системе координат xyz Используя формулы (332) составляем матрицы преобра-
зования координат Так как для горизонтальных стержней рамы локальные оси совпадают с направлением глобальных осей то матрица Т в этом случае является единичной Для вертикальных стержней
139
minus
minus
=
100000001000010000000100000001000010
T
Производя перемножение матриц по формуле (332) полу-чим для 4-й и 5-й стержней
121110654121110654
333106670667006670033300033300667004440667004440
667006670333106670033300033300667004440667004440
)4()4(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
181716121110181716121110
000103750500003750025000025000375001870375001870
500003750000103750025000025000375001870375001870
)5()5(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
140
Справа от матриц обозначены номера строк а под ними - номера столбцов соответствующие степеням свободы данного стержня Заметим что перемножение матриц при ручном счете удобнее производить в системе Mathcad
Для получения обобщенной матрицы жесткости всей рамы поместим все элементы матрицы жесткости )(e
ijk каждого стерж-ня е в ячейки ОМЖ согласно нижним индексам по формуле (335) и просуммируем все элементы попавшие в одну и ту же ячейку Например
88602500333011101920
29203750667000
99901870444016702000
644044402000
)5(1111
)4(1111
)3(1111
)2(11111111
)5(1210
)4(1210
)3(1210
)2(12101210
)5(1010
)4(1010
)3(1010
)2(10101010
)4(44
)1(4444
=+++=
=+++=
minus=+minus+=
=+++=
=+++=
=+++=
=+=+=
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkk
В результате получим объединенную матрицу жесткости (ОМЖ) прямоугольная лента (18times9) которой имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
2 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
3 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
4 0644 0 0667 0 0 0 -0444 0 0667
5 0525 -0480 0 0 0 0 -0333 0 0
6 2933 0 0 0 -0667 0 0667 0 0
7 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
8 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
9 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
10 0999 0 -0292 -0167 0 0 -0187 0 0375
11 0886 -0147 0 -0111 0333 0 -0250 0 0
141
12 5267 0 -0333 0667 -0375 0 0500 0 0
13 0167 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0111 -0333 0 0 0 0 0 0 0
15 1333 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0187 0 -0375 0 0 0 0 0 0
17 0250 0 0 0 0 0 0 0 0
18 1000 0 0 0 0 0 0 0 0
Векторы узловых сил эквивалентных внешним нагрузкам в глобальной системе xyz координат равны
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000300020000000300020000
000000000000000000000000
083250020000083250020000
181716121110)5(
121110654)4(
151413121110)3(
121110987)2(
654321)1(
T
T
T
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
=
=
minusminusminus=
=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Над элементами этих векторов указаны соответствующие
номера степеней свободы концов каждого стержня которые по-зволяют сформировать вектор правой части Q уравнения (334) с использованием формулы (336)
142
T
Q
minus
minusminus
minusminusminus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300020000
000300020000000000000000
083250020000083250020000
Таким образом получены левая и правая части системы линейных алгебраических уравнений вида (17) где u=[u1u2hellipu18]T- вектор неизвестных узловых перемещений ра-мы
Учет граничных условий Матрица K в системе уравнений (334) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию те
u1= u2 = u8 = u14 = u16 = u17 = u18 = 0 Так как размеры поперечных сечений стержней достаточ-
но малы по сравнению с их длинами то влиянием осевых де-формаций на перемещения в рамах можно пренебречь Поэтому расчет можно несколько упростить если считать что изменение длин элементов равны нулю те дополнительно принять u4 = u5 = u11 =0
Учет заданных перемещений можно произвести следую-щим образом Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (334) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диа-гонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на 11∆k -члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в
правую часть системы
143
Аналогично учитываются и остальные заданные переме-щения Тогда вектор правой части системы (334) преобразуется к виду
T
Q
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300000000
000300000000000000000000
083200000000083200000000
Решая эту систему одним из известных методов например методом Гаусса получим искомый вектор перемещений в гло-бальных осях oxy
T
u
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
Следовательно каждый узел исходной рамы при заданной внешней нагрузке получает перемещения выражаемые вектора-ми
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
TT
TT
TT
uu
uu
uu
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
65
43
21
==
minus==
=minus=
Вычислим теперь соответствующие векторы узловых си-ловых факторов для каждого элемента по формулам (338)
144
[ ][ ][ ][ ][ ] 027901616049605618501616049605
28261161606600279780161606602
000004469100000318735531200000
41761283500000000002835000000
797806596216100000003404216100
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
T
T
T
T
T
R
R
R
R
R
minusminusminusminus=
minusminusminus=
minusminus=
minusminusminusminus=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Используя эти узловые силовые факторы выписываем
формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис317)
Рис 317
M(x) = R2
(1)sdotx ndashqx22 = 2340sdotx ndash05sdotx2 (квадратичная фунция) M(0) = 0 M(5) = 23404sdot5-05sdot25 = -0798 кНм M(25) = 23404sdot25-05sdot252 = 2726 кНм
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке
мxxdx
xdM 342034042)(00 =rArr=minus=
M(234) = 23404sdot234-05sdot2342 = 2738 Q = 23404-qsdotx (линейная функция) Q(0) = 2340 Q(5) = -2660 кН N = 0161 кН
После построения эпюры Q значения продольной силы в стержнях рамы можно также найти вырезанием ее узлов и про-
145
ектированием всех сил на соответствующие оси При этом рас-тягивающая продольная сила считается положительной Окончательные эпюры M Q и N приведены на рис318 319 и 320 Эти эпюры полностью совпадают с эпюрами построенны-ми в [11] методом перемещений
Рис 318
Рис 319
146
Рис 320
352 Расчет рамы в среде Mathcad Решим эту же задачу (рис315) с использованием матема-
тического пакета Mathcad
ORIGIN 1=
l
5
5
6
3
4
= E
1
1
1
1
1
= A
1
1
1
1
1
= I
2
2
2
1
1
= α
0
0
0
πminus
2
πminus
2
=
147
148
se 1( )
02
0
0
02minus
0
0
0
0192
048
0
0192minus
048
0
048
16
0
048minus
08
02minus
0
0
02
0
0
0
0192minus
048minus
0
0192
048minus
0
048
08
0
048minus
16
=
se 3( )
0167
0
0
0167minus
0
0
0
0111
0333
0
0111minus
0333
0
0333
1333
0
0333minus
0667
0167minus
0
0
0167
0
0
0
0111minus
0333minus
0
0111
0333minus
0
0333
0667
0
0333minus
1333
=
149
R e qx qy( )
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qyminus le( )2sdot
12
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qy le( )2sdot
12
= R1 e P( )
0
05minus Psdot
Pminus lesdot
8
0
05minus Psdot
P lesdot
8
=
Q1
0
25minus
2083minus
0
25minus
2083
= Q2
0
0
0
0
0
0
= Q3
0
2minus
3minus
0
2minus
3
= Q4
0
0
0
0
0
0
=
150
T 1( )
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
= T 4( )
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
=
seg e( ) T e( )T se e( )sdot T e( )sdot= Q e( ) T e( ) Qesdot=
151
Составление матрицы индексов
ITT 1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
= IT1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
T=
nue 2= nse 6= neq 18= nel 5=
I 1 neq= J 1 neq= SGLI J 0= QGLI 0=
i1 1 nel= j1 1 3= k1 1 3=
IGi1 k1 ITi1 1 1minus( ) 3sdot k1+= JGi1 k1 ITi1 2 1minus( ) 3sdot k1+=
e 1 nel= i 1 nse= j 1 nse=
seg e i j( ) seg e( )i j= Q1 e i( ) Q e( )i=
SGL MIe i MIe j( ) SGL MIe i MIe j( ) seg e i j( )+=
QGL MIe i( ) QGL MIe i( ) Q1 e i( )+=
QGLT 1 2 3 4 5
1 0 -25 -2083 0 -25=
152
Учет граничных условий
Обновление матрицы системы в соответствии с заданными граничными условиями
i1 1 ndis=
nsd 1 1= nsd 2 2= nsd 3 4= nsd 4 5= nsd 5 8=
nsd 6 11= nsd 7 14= nsd 8 16= nsd 9 17= nsd 10 18=
QGL
j1 nsd i1larr
k1 nsd i1larr
QGLk1 QGLk1 SGLk1 j1 disi1sdotminuslarr
k1 k1 1+larr
k1 neqleif
l1 1 neqisinfor
QGLj1 disi1larr
i1 1 ndisisinfor
QGL
=
QGLT1 2 3 4 5
1 0 0 -2083 0 0=
neq 18=
k1 1 neq=
SGLnsdi1 k1 if k1 nsd i1 1 0( )=
disi1 0=
153
Решение системы уравнений
Векторы перемещений узлов рамы
Перемещения узлов элементов рамы в глобальных осях
minusminus
minusminusminus=
01811841218119391000000501150115011018119391181159102722
0000050110501150110
Ue
SGLk1 nsdi1 if k1 nsd i1 1 0( )=
UT 1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 -2272 0 0 1939 1501=
U SGL 1minus QGLsdot=
u1 0 0 2272minus( )T= u2 0 0 1939( )T=
u3 1501 0 0591( )T= u4 1501 0 1181minus( )T=
u5 1501 0 2841( )T= u6 0 0 0( )T=
k 1 nel= j 1 nse=
Uej k UMI k j=
154
minusminusminusminus
minusminusminusminus
=
02790282610417617978016160161604469128350659620000061850797803187300161601616055312283503404200000
R
Используя эту матрицу можно выписать формулы для
внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис321)
Uel klang rang T k( ) Ue klang rangsdot= Uel
0
0
2272minus
0
0
1939
1501
0
0591
1501
0
1181minus
1501
0
1181minus
1501
0
2841
0
0
1939
0
1501
1181minus
0
1501
1181minus
0
0
0
=
q 1= L l1=
R2 R 1lang rang( )2= R3 R 1lang rang( )
3= R5 R 1lang rang( )5= R6 R 1lang rang( )
6minus=
R2 23404= R3 0= R5 26596= R6 07978=
155
Рис 321 Изгибающий момент M и поперечная сила Q от внешних
сил в сечении х балки
32
2)(2
RxqxRxM +sdotminussdot=
(квадратичная функция)
Значения ординат эпюр в характерных точках
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке х0 Начальное приближение
M(x0) = 2739
Q x( )xM x( )d
d=
n 100= x 0Ln L=
M 0( ) 0= M 25( ) 2726= M L( ) 0798minus=
Q 0( ) 234= Q L( ) 266minus=
x0 root Q x( ) x( )= x0 234=
n 100= x 0Ln L=
156
Для стержня 2
M(x) = R2middotx +R3 (линейная функция)
0 xle l2le L l2= L 5=
R2 R 2lang rang( )2= R3 R 2lang rang( )
3= R5 R 2lang rang( )5= R6 R 2lang rang( )
6minus=
R2 02835minus= R3 0= R5 02835= R6 14176=
Q x( ) R2= const M 0( ) 0= M L( ) 1418minus=
Q 0( ) 0284minus= Q L( ) 0284minus=
x 0Ln L= n 100=
157
Для стержня 3
L l3= F 4=
R2 R 3lang rang( )2= R3 R 3lang rang( )
3= R5 R 3lang rang( )5=
158
R2 25531= R3 33187= R5 14469=
M 0( ) 3319minus= M 3( ) 4341= M 6( ) 0=
Q 0( ) 2553= Q 299( ) 2553= Q 3( ) 1447minus=
n 100= x 0Ln L=
Q L( ) 1447minus=
159
Для стержня 4
(линейная функция )
Для стержня 5
L l4= L 3=
R2 R 4lang rang( )2= R3 R 4lang rang( )
3= R5 R 4lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 07978= R5 01616=
Q x( ) R2= const
Q 0( ) 0162minus= M 0( ) 0798minus= M L( ) 1283minus=
n 100= x 0Ln L=
0 xle l5le L l5= L 4=
R6 12826=
R6 R 4lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=
160
(линейная функция)
Приступим теперь к построению упругой линии элементов рамы Запишем функции Эрмита
R2 R 5lang rang( )2= R3 R 5lang rang( )
3= R5 R 5lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 06185minus= R5 01616=
R6 00279=
Q x( ) R2= const
M 0( ) 0619= M L( ) 0028minus=
n 100= x 0Ln L=
R6 R 5lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=Q 0( ) 0162minus=
161
Функция формы
Формулы для прогибов элементов рамы w(xe)
E2 x L( ) 1 3x2
L2sdotminus 2
x3
L3sdot+= E3 x L( ) x 2
x2
Lsdotminus
x3
L2+=
E5 x L( ) 3x2
L2sdot 2
x3
L3sdotminus= E6 x L( )
x2minus
Lx3
L2+=
162
36 Решение плоской задачи теории упругости в среде
Mathcad Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном
состоянии (НДС) панели с квадратным отверстием посере-дине защемленной по боковым краям при действии сил тяжести Длина и высота панели L=10 м толщина h=1 На краю свободного отверстия задаем нулевые нормальные σn и касательные τn напряжения
Расчет этой задачи проведем методом конечных эле-ментов [1-3] Так как панель имеет две оси симметрии то рассматривается лишь четверть этой панели (рис322) На выделенную часть панели наносится сетка треугольных конечных элементов и указываются способы закрепления граничных узлов в соответствии с граничными условиями Внутри конечного элемента принимается линейная зави-симость перемещений от координат которая обеспечивает непрерывность поля перемещений во всей рассматривае-
163
мой области Деформации материала панели полагаем уп-ругими В каждом узле сетки прикладываем узловую на-грузку которая заменяет силу тяжести рассматриваемой панели
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задание исходных данных
Рис 322
164
Число конечных элементов ансамбля nel = 42 Число узлов ансамбля nuz = 32 neq = nuzmiddotnsu neq = 64
1 - пл напр состояние 2 - плоская деформация Толщина пластины
Упругие постоянные элементов
модуль Юнга
Коэффициент Пуассона
Разбиение области на конечные элементы задание номеров
узлов и КЭ
L 1= n 10= hLn
= h 01=
hx
h
h
h
h
h
h
= hy
h
h
h
h
h
h
=
165
Матрица координат узлов и глобальные номера узлов ансамбля элементов
nx 6= ny 6= nx1 4= ny1 4=
cuz k1 0larr
sx hx1minuslarr
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 nyisinfor
i1 nx1leif
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 ny1isinfor
i1 nx1gtif
i1 1 nxisinfor
cuz
=
cuz
1 2
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0 00 01
0 02
0 03
0 04
0 05
01 0
01 01
01 02
01 03
01 04
01 05
02 0
02 01
02 02
02 03
02 04
02 05
03 0
03 01
03 02
03 03
03 04
=
166
Генерация глобальных номеров узлов элементов ансамбля
nug37 1 25= nug37 2 29= nug37 3 26=
nug38 1 30= nug38 2 26= nug38 3 29=
nug39 1 26= nug39 2 30= nug39 3 27=
167
Формирование матрицы индексов степеней свободы
Формирование матрицы жесткости элемента k
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug42 1 32= nug42 2 28= nug42 3 31=
i 43 50= j 1 3= nug i j 0=
k 1 nel= i 1 3=
k 1 nel= i 1 3=
MIk 2 isdot 1minus 2 nugk isdot 1minus= MIk 2 isdot 2 nugk isdot=
x cuz 1lang rang= y cuz 2lang rang=
a k( )
x nugk 3( ) x nugk 2( )minus
x nugk 1( ) x nugk 3( )minus
x nugk 2( ) x nugk 1( )minus
= b k( )
y nugk 2( ) y nugk 3( )minus
y nugk 3( ) y nugk 1( )minus
y nugk 1( ) y nugk 2( )minus
=
Ak 05
1
1
1
x nugk 1( )x nugk 2( )x nugk 3( )
y nugk 1( )y nugk 2( )y nugk 3( )
= A1 5 10 3minustimes=
168
Матрица деформаций элемента под номером k
Матрица упругости элемента
Матрица жесткости элемента k
Формирование глобальной матрицы жесткости и правой части системы уравнений
i 1 neq= j 1 neq= sgli j 0=
i 1 6= j 1 6= k 1 nel=
169
Учет граничных условий
qtd14 05 Psdot= j1 1 neq=
qtd18 P= qtd20 P= qtd22 P= qtd24 05 Psdot=
qtd26 05 Psdot= qtd28 P= qtd30 P= qtd32 P=
qtd34 P= qtd36 05 Psdot= qtd38 05 Psdot= qtd40 P=
qtd42 P= qtd44 075 Psdot= qtd46 05 Psdot= qtd48 025 Psdot=
qtd50 05 Psdot= qtd52 P= qtd54 P= qtd56 05 Psdot=
qtd58 025 Psdot= qtd60 05 Psdot= qtd62 05 Psdot= qtd64 025 Psdot=
j 1 neq= i 1 rows nsd( )=
qtd jqtd j qtd j sgl j nsdi disisdotminuslarr
i 1 rows nsd( )isinfor= qtd nsdi( ) sgl nsdi nsdi( ) disisdot=
sglnsdi j sgl nsdi j( ) nsd i jif
0 otherwise
= sgl j nsdi sgl j nsdi nsd i jif
0 otherwise
=
qtd j1 0= qtd16 P=
170
Нахождение узловых перемещений
Построение линии прогибов верхней кромки панели
i 1 6= uei k ud MI k i( )=
rz i1 0larr
i1 i1 1+larr
rzj1 k1 udi1larr
j1 1 nsuisinfor
k1 1 nuzisinfor
rz
=
rz2 29 32238= rz2 25 29789= rz2 19 24556=
rz2 13 17509= rz2 7 8945= rz2 1 0=
w1 rz2 29= w2 rz2 25= w3 rz2 19=
w4 rz2 13= w5 rz2 7= w6 rz2 1=
171
Значения прогибов по верхней кромке выреза
Значения прогибов по оси симметрии панели rz224 = 18122
Горизонтальные перемещения по торцу выреза
Определение векторов деформаций и напряжений в эле-менте к
Вычисление главных напряжений и направления главной
площадки в элементе k
rz2 32 3115= rz2 28 29346= rz2 22 22084=
rz2 16 16632= rz2 10 9268= rz2 4 0=
rz2 18 15667= rz2 12 9315= rz2 6 0=
rz1 22 175minus= rz1 23 0734minus= rz1 24 0=
εel klang rang Bk ue klang rangsdot= σel klang rang D εel klang rangsdot=
σel 1lang rang583522
97254
383367
= σel 2lang rang
181125
4388
220592
= σel 3lang rang
178778
29796
389235
=
cck
σel klang rang( )1 σel klang rang( )
2+
2=
ggk
σel klang rang( )2 σel klang rang( )
1minus
2
2
σel klang rang( )3
2+=
172
Определение векторов деформаций и напряжений в узлах ансамбля элементов
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в узлах
σgel1 k cck ggk+= σgel2 k cck ggkminus=
k 1 nel= j 1 nue= i 1 nuz= j1 1 nue=
σ j1 i 0= ε j1 i 0= koli 0= kol nugk j( ) kol nugk j( ) 1+=
σ j1 nugk j σ j1 nugk j σelj1 k+= σ j1 iσ j1 i
koli=
ε j1 nugk j ε j1 nugk j εelj1 k+= ε j1 iε j1 i
koli=
cciσ1 i σ2 i+
2= ggi
σ2 i σ1 iminus
2
2
σ3 i( )2+=
σgl1 i cci ggi+= σgl2 i cci ggiminus=
173
Напряжения и деформации в направлении оси 0Z
Интенсивности напряжений и деформаций в узле i
σ4 i σ3 i= σ3 i ν σ1 i σ2 i+( )sdot mdef 2if
0 otherwise
=
ε4 i ε3 i= ε3 i νminus ε1 i ε2 i+( )sdot mdef 1if
0 otherwise
=
maxσi max σi( )= maxσi 85681=
εii2
2 1 ν+( )sdotε1 i ε2 iminus( )2 ε2 i ε3 iminus( )2+ ε3 i ε1 iminus( )2+
32
ε4 i( )2sdot+sdot=
maxεi max εi( )= maxεi 8505=
σxv1 σ1 29= σxv2 σ1 25= σxv3 σ1 19=
σxv4 σ1 13= σxv5 σ1 7= σxv6 σ1 1=
σxl1 σ1 29= σxl2 σ1 30= σxl3 σ1 31=
σxl4 σ1 32=
174
Нормальные напряжения sx по верней кромке и на оси симметрии панели
Касательные напряжения txy в вертикальном сечении
вблизи заделки
τ1 σ4 7= τ2 σ4 2= τ3 σ4 3=
τ4 σ4 4= τ5 σ4 5= τ6 σ4 6=
175
Нормальные напряжения sx в вертикальном сечении вдоль заделки
Нормальные напряжения sу в горизонтальном сечении на
уровне верхнего края выреза
σx1 σ1 1= σx2 σ1 2= σx3 σ1 3=
σx4 σ1 4= σx5 σ1 5= σx6 σ1 6=
σy1 σ2 22= σy2 σ2 16= σy4 σ2 4=σy3 σ2 10=
176
4 АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МКЭ
41 Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS
В настоящее время все более широкое распространение среди инженеров-расчетчиков находит программа ANSYS по-зволяющая решать самые разнообразные задачи во многих ин-женерных приложениях [8-10] Средства заложенные в этой программе могут учитывать различные нелинейности поведе-ния материала конструкции допускают наличие больших (ко-нечных) деформаций и углов поворота решать контактные зада-чи и многое другое Система меню панели инструментов и диа-логовые окна обеспечивают автоматический ввод исходных данных автоматическое разбиение области на сетку конечных элементов и выбор соответствующих действий В комплекс AN-SYS входят различные специализированные программы Напри-мер программа ANSYSMultiphysics предназначена для решения широкого круга инженерных задач позволяет проводить проч-ностные расчеты сооружений исследования в области тепло-проводности механики жидкостей и газов электромагнетизма а также решать связанные задачи Программа ANSYSMechanical служит для выполнения проектных разработок анализа и опти-мизации решение сложных задач прочности конструкций теп-лопередачи и акустики
42 Подготовка параметров компьютера и вход
в программу в интерактивном режиме Перед входом в пакет ANSYS необходимо установить раз-
решение дисплея не менее 1024times768 пиксел и задать цветовую палитру включающую в себя не менее 256 цветов Программа ANSYS может работать в двух режимах пакетном (Batch) и ин-терактивном (Interactive) В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается про-граммой пользователя которая составляется с помощью
177
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
178
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
179
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
180
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
181
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
182
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
183
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
184
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
185
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
186
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
187
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
188
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
189
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
190
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
191
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
192
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
193
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
194
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
195
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
196
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
197
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
198
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
199
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
200
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
201
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
202
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
203
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
204
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
205
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
206
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
207
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
208
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
209
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
210
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
211
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
212
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
213
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
214
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
215
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
216
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
217
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
218
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
219
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
220
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
221
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
222
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
223
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
224
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
225
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
226
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
227
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
228
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
229
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
230
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
231
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
232
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
233
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
234
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
235
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
236
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
237
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
238
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
239
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
240
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
241
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
242
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
243
7) сформировать вектор Qρ
и матрицу pS для записи сис-темы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде
8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты при необходимости провести дополнительные расчеты изменяя вектор внешней на-грузки
9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс со-стоящий из четырех горизонтальных стержней
10) провести расчет фермы с использованием блок-схемы (п122) и программы (п123)
11) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п 111) I)
II)
244
III)
IV)
V)
VI)
245
VII)
VIII)
IX)
246
X)
Рис1
Таблица 1 Внешние силы кН Размеры
м строки
Расчет ная схема P1 P2 P3 P4 P5 d h
Угол α град
пане-ли
1 I 5 6 1 2 2 30 45 45 2 2 II 4 8 3 6 1 40 60 30 3 3 III 3 0 5 7 8 50 75 45 2 4 IV 2 9 7 9 3 32 48 60 3 5 V 1 7 9 8 4 42 62 90 2 6 VI 0 1 10 5 5 52 76 30 3 7 VII 6 2 8 3 9 35 50 45 2 8 VIII 7 3 6 1 7 45 65 60 3 9 IX 8 4 4 4 6 38 55 30 2 0 X 9 5 2 0 0 48 70 45 3 в а б в а б в б а
Задание 2 Расчет статически неопределимых ферм Для заданной фермы (рис2) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях Варианты расчетных схем ферм и числовые данные к ним студент выбирает из таблицы 1
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (п221)
1) установить число лишних неизвестных и выбрать ос-новную систему
247
2) определить усилия в основной системе от единичной силы и от внешней нагрузки предварительно пронумеровав стержни фермы
3) составить векторы единичной едNρ
и грузовой PNρ
про-дольных сил
4) вычислить длины стержней фермы и сформировать мат-рицу ФD упругих податливостей стержней исходной фермы
5) провести последовательность матричных операций в со-ответствии с формулой
( ) PPФТедедФ
Тедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+sdotminus= minus1)(
и получить вектор усилий N
ρ в исходной ферме
6) используя блок-схему (п 223) и программу (п224) провести расчет на ЭВМ
7) заменив вектор PNρ
матрицей PN столбцы которой представляют собой усилия в соответствующих стержнях фермы от действия подвижной нагрузки Р = 1 в узлах грузового пояса провести аналогичные матричные вычисления
8) по результатам вычислений построить линии влияния лишнего неизвестного и усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс состоящий из четырех горизонтальных стержней
9) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п211) 10) сравнить результаты всех расчетов
248
I)
II)
III)
249
IV)
V)
VI)
VII)
250
VIII)
IX)
X)
Рис2
251
Задание 3 Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвиж-но закрепленными одним или двумя концами находится под действием внешних крутящих моментов (рис3)
Рис3
Требуется - составить систему линейных уравнений по МКЭ - найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их че-
рез M l и D - построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных
касательных напряжений τmax - построить эпюру крутящих моментов Т - при заданном значении допускаемого касательного на-
пряжения τadm=70МПа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
- найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
- составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реали-зующую алгоритм решения задачи
252
Таблица 2 строки l1l l2l l3l l4l d1D d2D
1 1 05 24 05 20 04 2 15 07 22 06 11 13 3 06 09 20 07 12 12 4 08 11 18 08 13 11 5 09 13 16 09 14 10 6 15 15 14 10 15 09 7 20 17 12 11 16 08 8 16 19 10 12 13 17 9 18 21 08 13 18 06 0 19 23 06 14 19 05 а б в а б в
Таблица 3 стро-
ки М1M M2M M3M MлевM MпрМ
1 -20 0 -13 infin -13 2 19 -10 14 -1 infin 3 -18 0 -13 infin 16 4 17 -08 12 infin infin 5 -16 07 -11 infin -14 6 15 0 10 15 infin 7 -14 05 -09 infin infin 8 13 0 08 11 infin 9 -12 05 -07 infin -15 0 11 0 06 -13 infin а б в в
Замечание 1 В таблице 3 значок ldquoinfinrdquo обозначает что соот-ветствующий конец вала неподвижно закреплен (заделан) Если значка ldquoinfinrdquo нет то соответствующая заделка отсутству-ет и к этому концу приложен момент Млев или Мпр
253
2 При знаке минус (-) внешний крутящий момент следует направить в противоположную сторону
Задание 4 Расчет рам МКЭ Для заданной рамы (рис4) с размерами и нагрузкой вы-
бранными из таблицы 4 требуется построить эпюры изгибаю-ших моментов M поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1 а риге-лей - I2
При выполнении задания необходимо -провести ручной счет МКЭ (см пример расчета в п321) -решить задачу в среде Mathcad (п322) -с помощью блок-схемы алгоритма решения задачи
(п312) составить и отладить программу на языке Турбо Пас-каль (аналогично программе в п313)
-сравнить результаты ручного счета с вычислениями на ЭВМ I) II)
F1
F2 F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05h1
05l2
F1 F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2
l3
05l1
254
III) IV)
V) VI)
F1
F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2 05l1
l1 l2
h1
h2
q1 q2
q3
F1 F2
F3
05l2
l1 l2
h1
h2
05l1 q1
q2
q3
F1
F2
F3
05l1 05l2 F1 F2
F3 q1 q2
q3
l1 l2
h1
h2
05h1
255
VII) VIII)
IX) X)
Рис4
05l1
05h
l1 l2
h1
h2 F3
F2 F1 q1
q2
q3
h1
h2
l1 l2
F1 F2
F3
q2 q1
q3
05h2
05l1 05l2
05l1 05l2
F1 F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05l1
05l2 F1
F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05h2
256
Таблица 4
Размеры м Внешние нагрузки
строк
Расч схе-ма по рис
4
l1 h1 l2 h2 F1 kH
F2 kH
F3 kH
q1 kHм
q2 kHм
q3 kHм
1
2
II
1 I 4 6 3 4 4 - - 1 - - 2 2 II 5 7 8 3 5 - - - 2 - 1 3 III 6 5 4 5 - 5 - - - 14 3 4 IV 7 4 4 6 - 6 - 2 - - 1 5 V 8 5 5 7 - - 6 - 3 - 2 6 VI 7 6 5 8 - - 8 - - 1 3 7 VII 8 7 3 7 6 - - 12 - - 1 8 VIII 6 8 4 3 6 - - - 2 - 2 9 IX 5 4 5 4 2 4 - - - 2 3 0 X 4 6 6 5 - 4 - 1 - - 1 в б а в б а
Список использованной литературы
1 Дарков АВ Шапошников НН Строительная механика
Учеб для строит спец вузов -8-е изд перераб и доп- МВысш шк1986 -607 сил
2 Образцов ИФ Савельев ЛМ Хазанов ХС Метод ко-нечных элементов в задачах строительной механики летатель-ных аппаратов Учеб пособие для вузов- МВысш шк1985-392 сил
3 Масленников АМ Расчет строительных конструкций численными методами Учеб пособие- Л Изд-во Ленингр ун-та 1987 -224 с
4 Руководство к практическим занятиям по курсу строи-тельной механики (статика стержневых систем) Учеб Пособие для студентов вузов Под ред ГККлейна ndash 4-е изд перераб и доп ndash МВысш шк 1980
257
5 Алгоритмизация расчетов сложных стержневых систем
Благонадежин ВЛ Воронцов АНСамсонов ЮП Под ред АВПетровского -ММоск энерг ин-т1986 -96 с
6 Норри Д де Фриз Ж Введение в метод конечных эле-ментов Пер с англ-М Мир 1981- 304 с ил
7 Бундаев ВВ Расчет рам методом конечных элементов Методические указания по строительной механике для студен-тов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 2003-36сил
8 ANSYS Basic Analysis Procedures Guide ANSYS Release 56 ANSYS Inc 1998
9 Каплун АБ Морозов ЕМ Олферьева МА ANSYS в руках инженера Практическое руководство ndash М Едиториал УРСС 2003 ndash 272 с
10 Сметанников ОЮ Статический анализ уголкового кронштейна В сб ANSYS 55ED (Московское представитель-ство CAD-FEM GmbH) (Ansys_edding_russian Education Struc-tural Bracket1999)
11 Бундаев ВВ Расчет плоской статически неопредели-мой рамы методом перемещений Методические указания по выполнению расчетно-проектировочной работы и контрольные задания для студентов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 1987-34сил
258
Учебное издание
Бундаев Валерий Викторович
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Редактор ТЮ Артюнина Ключевые слова руководство пособие Mathcad система рама ферма задача пример программа расчет метод МКЭ ANSYS Подписано в печать Формат 60times84 116 Услпл уч-издл Печоператив бумписч Тираж 100_экз С 38_____________________________________ Издательство ВСГТУ гУлан-Удэ улКлючевская 40в
9
( )Tyj ccccc ρΛ
ρΛ
ρϖρ21= - вектор координат узлов со-
ставленный из векторов
1
11
1
11
=
=
=
=
y
yy
j
jj y
xc
yx
cyx
cyx
c ρΛ
ρΛ
ρρ
(13)
где jcρ - вектор компонентами которого являются координаты узла с номером j Значок laquoTraquo обозначает операцию транспонирования матрицы Напомним что матрица АТ называется транспонированной если ее элементы
ija связаны с элементами исходной матрицы А со-
отношением jiij aa =
Зная компоненты вектора Пρ
можно определить длины стержней le и векторы их направляющих косинусов eαρ (е = 12hellipс) по формулам
eTee ППl
ρρsdot= (14)
ee
e Пl
ρρ 1=α
(15)
Перейдем теперь к установлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис11а) и общей хоу (рис11б) системах координат
б)
Рис11
а)
у
Qek
О
х
Qен
ek
х у
Nek
α
M
ly Xek
у
х
Mek е
Yek
Yен
Хен
0 Mен lx
10
Для стержня изображенного на рис11а можно составить уравнения равновесия в матричном виде
енek NFNρρ
= (16)
где
=
ek
ek
ek
ek
MQN
Nρ
=
ен
ен
ен
ен
MQN
Nρ
=
10010001
lF
Сравнивая силовые факторы на концах одного и того же стержня (см рис 11а и 11б) получим
енен NXρρ
sdotΨminus= екек NXρρ
sdotΨ= (17)
или
енен XNρρ
sdotΨminus= екек XNρρ
sdotΨ= (18)
где
=
ен
ен
ен
ен
MYX
Xρ
=
ек
ек
ек
ек
MYX
Xρ
minus=Ψ
1000cossin0sincos
αααα
Заметим что матрица Ψ связывающая усилия и силовые факторы на концах стержня является ортогональной ( Ψ=Ψminus1 ) Подставляя в формулу (16) выражения усилий в местной системе координат (18) получим
ененеk XXFXρρρ
sdotΦ=sdotΨsdotsdotΨminus= (19)
Перемножением соответствующих матриц можно полу-чить
minusminusminus
minus=ΨsdotsdotΨminus=Φ
1010001
xy llFρ
Заметим что матрица Φ устанавливающая связь между усилиями на концах стержня может быть непосредственно по-
11
лучена составлением уравнений равновесия для стержня изо-браженного на рис11б
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней ( рис12)
Пусть [ ]Txyjyjxjj PPPP =ρ
- вектор внешней нагрузки
приложенный к узлу j а [ ]Teeee MYXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда условие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(110)
Далее перейдем к
составлению уравнений равновесия для всей сис-темы в целом Обозна-чим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ21=
вектор внутренних уси-лий в стержнях фермы Компоненты этого век-тора выражаются через векторы усилий для
концевых сечений каждого стержня в виде равенств [ ]еkеkеkенененe MYXMYXY =
ρ
Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной мат-рицы cS
1YSPρρ
= (111)
Рис12
Pxyj j
Pyj
Pxj
Ye
Xe
12
Здесь прямоугольная блочная матрица 1S имеет 3У строки и 6С столбцов и получается из структурной CS заменой элементов 1
на блок 1E элементов -1 на блок 2E и элементов 0 на нуле-вую матрицу Ο те
=
000100000010000001
1E
=
100000010000001000
2E
=Ο
000000000000000000
Уравнения (111) необходимо дополнить соотношениями связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (19) которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде
02 =YSρ
(112)
где 2S квазидиагональная матрица
ΟΟΟ
ΟΟΟΟΟΟ
=
CE
EE
S
3
23
13
2 ΛΛΛΛ
блоки которой
)21(1001010010001001
3 Cell
E
exey
e Κ=
minus=
Объединив (111) и (112) получим матричное уравнение
YSSPQ
ρρρ
ρsdot
=
=
2
1
0
(113)
13
которое связывает внешние силы приложенные к узлам систе-мы с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней а также связь внутренних усилий между собой Уравнение (113) можно записать в более компактной форме
YSQρρ
sdot= (114)
Размерности векторов Qρ
и Yρ
соответственно равны (3У+3С)times1 и (6Сtimes1) а матрицы S - (3У+3С)times6С Следователь-но матрица S в общем случае не является квадратной Однако
с учетом того что среди компонентов вектора Pρ
имеются неиз-вестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки а также среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (напри-мер моменты в сечениях около шарниров) уравнение (114) за-писывается в виде
ZST P
ρρsdot= (115)
где вектор Tρ
получается из вектора Qρ
удалением тех элемен-тов которые соответствуют наложенным на систему связям (на-пример числу опорных стержней С0) а вектор Z
ρ - из вектора Y
ρ
удалением тех элементов которые являются заведомо нулевыми и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе Матрица PS получается из матрицы S удалением строк соот-
ветствующих удаленным элементам в векторе Qρ
и столбцов
соответствующих удаленным элементам вектора Yρ
Для разрешимости системы (115) необходимо чтобы мат-
рица PS была квадратной поэтому должно выполняться усло-вие
3У+3С-Соп = 6С-Ш или
3У = 3С+Соп-Ш те число уравнений равновесия равно числу неизвестных уси-лий
14
Кроме этого определитель системы det PS должен быть отличным от нуля Это условие означающее геометрическую неизменяемость конструкции является достаточным условием разрешимости рассматриваемой системы (115)
Тогда вектор неизвестных усилий Zρ
легко определяется решением системы (115)
TSZ P
ρρsdot= minus1 (116)
Затем строим вектор Yρ
после этого с использованием равенства (114) находим опорные реакции а с помощью соотношений (18) определяем внутренние усилия в элементах рассматривае-мой конструкции
Отметим два случая которые могут встретиться при рас-чете конструкций
-опорный стержень не совпадает ни с одним из направле-ний общей системы координат В этом случае вместо опорного стержня вводят некоторый конструктивный стержень произ-вольной длины направление которого совпадает с направлением опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опор-ными стержнями параллельными осям координат
-сосредоточенный момент действует в непосредственной близости около шарнира Для общности расчета этот момент следует считать приложенным на некотором малом удалении lx (lx rarr 0) от шарнирного узла При этом формируя матрицу 2S
при заполнении соответствующей матрицы eE 3 нужно поло-жить lex и ley равными нулю
При расчете стержневой системы на действие нескольких вариантов нагрузки 321 Κ
ρρρPPP в уравнениях (114) и (115)
вектор нагрузки Pρ
можно заменить матрицей нагрузки [ ]Κ
ρρρ321 PPPP = а вектора ZYTQ
ρρρρ - соответствующи-
ми матрицами ZYTQ
15
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляется аналогично с учетом их особенностей изложенных в п11
111 Расчет рамы в среде Mathcad
Исходные данные для рамы изображенной на рис13 а - характерный размер длин стержней рамы nuz -число узлов рамы nel- число элементов рамы
a 3= nuz 7= nel 6= Пронумеруем узлы и стержни рамы (см рис13) запишем
структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С (13)
16
Sc
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
1
0
1minus
=
Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей
системы координат xoy (11) и (12)
Вычислим длины стержней рамы (14)
Определяем направляющие косинусы (15)
17
Составим матрицу равновесия S1 которая получается из
структурной Sc заменой в последней элементов 1 на матрицу Е1 элементов -1 на Е2 а нули на соответствующие нулевые матри-цы Эта матрица устанавливает связь между векторами внешней нагрузки P и усилий во всех стержнях рамы Y по формуле
P = S1Y
где i-ой компонентой вектора Y являются усилия Yi = [Xin Yin Min Xik Yik Mik]T в i-м стержне
18
Сформируем теперь блочно-диагональную матрицу S2
устанавливающую связь между усилиями в начале и конце каж-дого стержня с помощью матричного соотношения S2middotY=0 (112)
- единичная квадратная матрица размер-ности nelmiddotnel
19
Получим матрицу S объединением матриц S1 и S2 с по-мощью встроенной в Mathcad функции stack
Запишем векторы внешних нагрузок действующие в каж-
дом узле рамы Опорные реакции в расчет не принимаются так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены
P2
3
0
0
= P1
0
0
0
= P3
3
0
0
= P4
0
0
0
=
20
Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов расположенных ниже Pi
Учет граничных условий nop - число опорных стержней
nsv - вектор компоненты которого соответствуют наложенным на систему связям В матрице S и в векторе Q необходимо уда-лить соответствующие строки и элементы
P5
0
0
0
= P6
0
0
0
= P7
0
10minus
0
=
Q
Qi 0larr
i 1 rows S( )isinfor
r1 3 isdot 2minuslarr
Qr1 i1+ 1minus Pi( )i1larr
i1 1 3isinfor
i 1 nuzisinfor
Q
=
Q20 10minus=
nop 3= nsv1 1= nsv2 2= nsv3 17=
21
Отметим что элементами составного массива А являются
матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях рамы Y
Используя равенство Q = SY определим опорные
реакции Rx1 = Q1 Ry1 = Q2 и R y6 =Q17
Z A1( ) 1minus A2sdot=
Q S Zsdot=
ZT 1 2 3 4 5
1 -6 -8 0 6 8=
QT 1 2 3 4
1 -6 -8 0 3=
22
Используя формулы перехода к местным системам коор-
динат определим усилия в сечениях стержней фермы i 1 nel=
Ry1 Q nsv 2( )= Ry6 Q nsv 3( )= Rx1 Q nsv 1( )=
Rx1 6minus= Ry1 8minus= Ry6 18=
- матрица перехода от локальной системы координат к глобальной
Xi i ilarr
Z Zlarr
k i 1minus( ) 6sdotlarr
k1 k 3+larr
k k 1+larr
X1i1 Zklarr
k1 k1 1+larr
X2i1 Zk1larr
i1 1 3isinfor
X1 X2( )T
= Xni Xi( )
1=
Xki Xi( )2
=
Xn1
6minus
8minus
0
=
Xk1
6
8
6
=
ψ i
α i( )1
α i( )2
0
α i( )2
α i( )1
minus
0
0
0
1
=
23
Xni Xki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня с номером i отнесенные к глобальной системе координат xoy
Nni ψ iminus Xnisdot= Nki ψ i Xkisdot=
Nn1
8
6
0
= Nk1
8
6
6
=
Nn2
8
3
6
= Nk2
8
3
9
=
Nn3
8
0
9
= Nk3
8
0
9
=
Nn4
0
8minus
9
= Nk4
0
8minus
15minus
=
Nn5
18minus
0
0
= Nk5
18minus
0
0
=
Nn6
0
10
15minus
= Nk6
0
10
0
=
24
По найденным значениям усилий в сечениях стержней рамы строим эпюры изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил
Nni Nki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня в локальной системе ко- ординат xioyi
25
Отметим что при разбиении балки на пять участков и за-мене действующей на нее распределенной нагрузки соответст-вующими узловыми силами получим численные значения внут-ренних усилий и моментов (рис14) практически не отличаю-щиеся от значений полученных по аналитическим формулам
26
Рис 14
12 Описание матричного алгоритма для расчета ферм
Описанный матричный алгоритм существенно упрощается в приложении к расчету плоской фермы так как в ее элементах действует только продольная сила eN постоянная по длине ка-ждого стержня Nен=Nек=Ne (рис15а) Перейдем теперь к уста-новлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис15а) и общей хоу (рис15б) системах координат
27
б)
Рис15 Очевидно что
)sin()sin()cos()cos(
αααα
eеkeен
eеkeен
NYNYNXNX
=minus==minus=
Здесь индексы laquoнraquo и laquoк raquo относятся соответственно к началу и концу стержня
В матричной записи эти соотношения имеют вид
eфен NFХρρ
minus= eфеk NFХρρ
= (117)
где
)sin()cos(
= α
αфFρ
=
ен
енен Y
XXρ
=
ek
ekек Y
XXρ
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней
Пусть [ ]Tyjxjj PPP =ϖ
- вектор внешней нагрузки прило-
женный к узлу j а [ ]Teee YXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда ус-ловие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(118)
О
Neн
е
х
х
у
у
Nek
а)
α х
е Yek
Xek
Yен
Хен
у
0
28
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для всей системы в целом Обозначим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ
21= вектор внутренних усилий в стержнях фермы Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ekенe XXYρρρ
minus== Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (118) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы cS
YSP c
ρρ=
Учитывая формулы (117) это соотношение можно запи-сать в виде
NSPρρ
minus= (119)
где [ ]Tce NNNNN ΛΛρ
21= - вектор усилий в стержнях фермы
Матрица S получается из структурной матрицы сS за-
меной элементов laquo1raquo на векторы фFρ
элементов laquo-1raquo на векторы
- фFρ
а элементов laquo0raquo - на нулевые векторы [ ]Т00
Далее из вектора Рρ
необходимо исключить элементы со-ответствующие опорным связям и получить вектор Q
ρ а из мат-
рицы S исключить соответствующие строки образуя матрицу
РS Тогда вектор неизвестных усилий Nρ
определится как ре-шение матричного уравнения
QNSP
ρρminus= (120)
29
Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-дующим выводам
во-первых матрица РS должна быть квадратной те раз-ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю
2У-С-Соп = 0 Это равенство известно как условие статической определимости фермы здесь Соп ndash число опорных стержней
во-вторых определитель матрицы РS должен быть отли-чен от нуля те
0det nePS что является условием геометрической неизменяемости фермы
Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений Для этого в матричном уравнении (120) векторы Q
ρ и N
ρ нужно
заменить соответствующими матрицами Q и N При этом столбцы этих матриц имеющие одинаковые номера отвечают одному и тому же нагружению Это свойство может быть ис-пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q дол-жен содержать лишь один элемент ndash1 расположенный в строке с номером соответствующим номеру узла в котором приложен груз Р = 1
121 Пример расчета статически определимой фермы Пусть дана ферма изображенная на рис16 Определить усилия N1 N2 hellip N17 в стержнях этой фермы 1Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см рис16) и за-
пишем структурную матрицу (см п11)
30
Рис16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minus
=
11000000000000000101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110100000000000000011
10987654321
cS
2Зададим координаты узлов (13)
=
40
1Cρ
00
2
=C
ρ
43
3
=C
ρ
03
4
=C
ρ
46
5
=C
ρ
06
6
=C
ρ
49
7
=C
ρ
09
8
=C
ρ
412
9
=C
ρ
012
10
=C
ρ
RB
HA
RA
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4
2 6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3м 3м 3м
α
31
3Найдем вектор проекций стержней фермы на оси общей системы координат (11)
[ ] ==Т
ППППППП 1754321
ρΛ
ρρρρρρ
=
times
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus=
0124
12
064603430040
11000000001010000000
011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011
ΜΜ
4
003
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
1716151413121110987654321Т
minus
minus
minus
minus
minus
=
По формуле (12) имеем
32
4
0
03
43
03
4
0174321
minus
=
=
=
=
minus
= ПППППρ
Λρρρρ
4Вычислим длины стержней фермы (14) например
[ ]
[ ]
[ ] 516943
43
3903
03
4164
040
3
2
1
=+=
sdot=
==
sdot=
==
minus
sdotminus=
l
l
l
Эти результаты соответствуют исходным данным на рис16 Длины остальных стержней равны
l1 = l5 = l9 = l13 = l17 = 4м l2 = l4 = l6 = l8 = l10 = l12 = l14 = l16 = 3м l3 = l7 = l11 = l15 = 5м
Эти значения также можно вычислить по формулам (14) 5Определим направляющие косинусы (15)
01
03
31
8060
43
51
01
03
31
10
40
41
43
21
=
sdot=
=
sdot=
=
sdot=
minus
=
minus
sdot=
αα
αα
ρρ
ρρ
По рис16 находим
33
8060
01
01
1
0
151173
141062
161284
11111
====
====
====
minus
=====
αααα
αααα
αααα
ααααα
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρρ
6Составим матрицу S и вектор внешней нагрузки Pρ
(119) =S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -1 0 3 0 c 1 4 1 s 0 5 -1 -c 0 1 6 0 -s -
10
7 -1 0 c 1 8 0 1 s 0 9 -
1 -c 0 1
10 0 -s -1 0 11 -1 0 c 1 12 0 1 s 0 13 -1 -c 0 1 14 0 -s -1 0 15 -1 0 c 1 16 0 1 s 0 17 -1 -c 0 18 0 -s -1 19 -1 0 20 0 1 Здесь введены обозначения s = 08 c =06
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TBAA RRHP 0800000000000 ΛΛρ
minus=
34
7Исключим из S и Pρ
элементы соответствующие опорным реакциям AA RH и BR формируем матрицу PS и
вектор Qρ
(120)
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TQ 00000800000000000 minus=ρ
=PS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -
1 0
3 -1
-c
0 1
4 0 -s
-1
0
5 -1
0 c 1
6 0 1 s 0 7 -
1 -c
0 1
8 0 -s
-1
0
9 -1
0 c 1
10 0 1 s 0 11 -1 -c 0 1 12 0 -s -1 0 13 -1 0 c 1 14 0 1 s 0 15 -1 -c 0 16 0 -s -1 17 -1 0
Матричная форма уравнений равновесия имеет вид (120) и представляет собой систему линейных алгебраических уравне-ний
8 Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента получим вектор продольных сил в стержнях заданной фермы
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=Nρ
[00 00 -25 15 20 -15 -25 30 20 -30 -25 45 -60 14 15 16 17 -45 75 00 -60]T
Компоненты вектора Nρ
показывают что верхний пояс фермы сжат а нижний ndash растянут Причем усилие в каком-либо стержне верхнего пояса по абсолютной величине равно усилию в стержне нижнего пояса смежной панели смещенного относи-тельно верхнего стержня влево параллельно раскосу В данной ферме стержень верхнего пояса сжат с меньшей силой чем рас-тянут стержень соответствующей панели нижнего пояса
Усилия в раскосах расположенных слева от линии дейст-вия силы Р отрицательны и равны -25 кН а усилие в раскосе 15 находящемся справа от нее положительно и равно 75 кН Знаки усилий в стойках расположенных слева и справа от линии действия силы Р противоположны знакам усилий в соответст-вующих раскосах Значения усилий в стойках по абсолютной величине равны опорным реакциям RA = 20 kH и RB = 60 kH фермы В стержнях 1 2 и 16 усилия отсутствуют
Необходимо отметить что систему уравнений (119) также можно получить непосредственно используя известный в строи-тельной механике метод вырезания узлов
Действительно последовательно вырезая узлы исходной фермы (см рис16) и составляя уравнения равновесия получим
Узел 1
=minus===
sumsum
00
21
1
2
NFNF
Y
x
N1
N2
36
Узел 2
=+sdot+==++sdot=
sumsum
0)sin(0)cos(
43
31
43
AY
Ax
RNNFHNNF
αα
Узел 3
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
65
53
632
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 4
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
87
75
874
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 5
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
109
97
1076
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 6
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1211
119
12118
αα
NNFNNNF
Y
x
37
Узел 7
=minusminussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1413
1311
141110
PNNFNNNF
Y
x
αα
Узел 8
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1615
1513
161512
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 9
=minussdotminus==sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
617
1715
1514
NNFNNF
Y
x
αα
Узел 10
=+==minus=
sumsum
00
2019
17
16
BY
x
RNFNF
Вектор правой части и матрица полученной системы ли-нейных алгебраических уравнений полностью совпадают с век-тором P
ρ и матрицей S которые были составлены в п6 данно-
го раздела 9Перейдем к построению линий влияния усилий в стерж-
нях например второй панели фермы При этом будем считать что верхний пояс фермы является грузовым В этом случае пе-ремещающийся груз Р=-1 может находиться в узлах 1 3 5 7 и
38
9 Тогда матрица неизвестных N и матрица нагружений Q (см п 12) имеют вид
=
181714171017617217
1831431036323
1821421026222
1811411016121
NNNNN
NNNNNNNNNNNNNNN
N
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
minus
minus
minus
minus
minus
=
000001
000
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
10
97531
Q
В результате приходим к матричному уравнению QNS p minus=sdot
1
3
4
5
6
7
8
9
39
Решив это уравнение находим матрицу влияния усилий влN
minusminusminusminus
minusminusminusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminus
minusminusminusminusminus
minus
minusminusminus
minus
=
175050250000000094062031000560370190007505025000560370190003106203100037075037000250502500037075037000310620310001903705600025050250001903705600031062094000000000001
влN
На рис17 графически изображены линии влияния усилий 98765 NNNNN
1 3 5 7 9
40
Рис 17
41
122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определимых ферм (рис18)
Обнуление векторов проекций стержней
1 neliПi Λρ
=
начало
nel = 17 nuz = 10 nuz2 = 20
Задание cS
Ввод Cρ
i = 1 nuz
j = 1 nel
pr[ij] =00
i = 1nuz
j = 1nel
ST[ji] = SC[ij] Транспонирование
матрицы CS
A
Исходные данные nel ndash количество стержней (элементов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная
матрица CS
C[nuz2] ndash вектор коорди-нат узлов фермы
Исходные данные nel ndash количество стержней (эле-ментов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная матри-
ца cS
C[nuz2] ndash вектор координат уз-лов фермы
42
i =1nel
j = nuz
ST[ij] ne 0
А
pr[i1]=pr[i1]-ST[ij]C[j1] pr[i2]=pr[i2]-ST[ij]C[j2]
i=1nel
22 ])2[(])1[(][ ipripril +=
i=1nel
j=12
][][][
iljiprji =α
B
да
нет
Вычисление значений компонентов вектора про-
екций стержней Пρ
Определение значений длин стержней li
Вычисление значений ком-понентов вектора направ-
ляющих косинусов αρ
43
Рис18
да
B1
j=1nel
i=1nuz
SC[ij]=1 нет
SZ[2i-1j]=α[j1] SZ[2i-1j]=α[j2]
SC[ij]=-1
SZ[2i-1j]=-α[j1] SZ[2i-1j]=-α[j2]
да
нет
Ввод Р
Получение матрицы PS и
вектора Qρ
Решение СЛАУ методом Гаус-са с выделением главного элемента
Печать вектора Nρ
конец
В
i=1nuz2
j=1nel
SZ[ij]=00
В1
Составление матрицы
S
44
123 Программа для расчета ферм на алгоритмиче-
ском языке Турбо Паскаль Program ferma uses Crt label 1 const nel=17 число стержней фермы nuz=10 число узлов фермы nuz2=20 удвоенное число узлов nopr=3 число уравнений которые нужно удалить type mas1=array[1nuz1nel] of integer mas2=array[1nel1nuz] of integer mas3=array[1nuz21nel] of real mas4=array[1nel1nel] of real mas5=array[1nel12] of real mas6=array[1nuz12] of real mas7=array[1nel] of real mas8=array[1nuz2] of real mas9=array[1nopr] of integer var ijki1integer ( sc-структурная матрица st-транспструкт матрица Dl-вектор длин стержней pr-вектор проекций ALFA-вектор направляющих косинусов c-вектор координат узлов p-вектор внешней нагрузки sz-прямоугматрица s n-вектор номеров строк которые нужно удалить из sz и p sp-матрица СЛАУ Q-вектор правой части СЛАУ ) scmas1 stmas2 dlQbxmas7 prALFAmas5 szmas3 cmas6 spaa1mas4 pmas8 nmas9 const ( задание структурной матрицы ) kscmas1=(( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) (-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
45
( 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1)) ( Задание значений вектора координат узлов ) kcmas6=((00 40) (00 00) (30 40) (30 00) (60 40) (60 00) (90 40) (90 00) (120 40) (120 00)) ( Задание значений вектора внешней нагрузки ) kpmas8=(0000000000000-8000000) ( Номера уравнений которые нужно удалить ) knmas9=(3420) procedure gauss const n=nel число линейных уравнений var linteger rreal begin1 (ввод матриц aa1bx ) a=sp b=q a1=a x=b l=0 (прямой ход метода Гаусса ) for i=1 to n do ( поиск главного элемента в i-ом столбце ) begin2 k=i r=abs(a1[ii]) for j=i+1 to n do
46
begin3 if abs(a1[ji])gtr then begin4 k=j r=abs(a1[ji]) end4 end3 if rltgt0 then begin5 if kltgti then begin6 ( перестановка i-го и k-го уравнений ) r=x[k] x[k]=x[i] x[i]=r for j=i to n do begin7 r=a1[kj] a1[kj]=a1[ij] a1[ij]=r end7 end6 ( исключение i-го неизвестного ) r=a1[ii] x[i]=x[i]r for j=i to n do a1[ij]=a1[ij]r for k=i+1 to n do begin8 r=a1[ki] x[k]=x[k]-rx[i] for j=i to n do a1[kj]=a1[kj]-ra1[ij] end8 end5 else
47
begin9 writeln(определитель системы равен нулю) l=1 i=n+1 end9 end2 if l=1 then writeln ( обратный ход метода Гаусса ) for i=n-1 downto 1 do for j=i+1 to n do x[i]=x[i]-a1[ij]x[j] writeln(Решение СЛАУ) for i=1 to n do writeln(x[i]=x[i]52) readln end1 BEGIN начало основной программы clrscr sc=ksc c=kc p=kp n=kn ( обнуление матрицы проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do pr[ij]=00 ( транспонирование матрицы sc ) for i=1 to nuz do for j=1 to nel do st[ji]=sc[ij] ( определение вектора проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to nuz do begin if st[ij]ltgt0 then begin pr[i1]=pr[i1]-st[ij]c[j1] pr[i2]=pr[i2]-st[ij]c[j2] end end
48
( вывод значений вектора проекций pr ) writeln(Значения вектора проекций pr) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(pr[ij]51) writeln end writeln readln ( вычисление длин стержней ) for i=1 to nel do dl[i]=sqrt(sqr(pr[i1])+sqr(pr[i2])) ( вывод значений длин стержней ) writeln(Значения длин стержней dl) for i=1 to nel do write(dl(i1)=dl[i]11 ) writeln readln ( определение вектора направляющих косинусов ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do ALFA[ij]=pr[ij]dl[i] ( вывод значений направляющих косинусов ) writeln(Значения направляющих косинусов ALFA) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(ALFA[ij]51) writeln end writeln readln ( обнуление матрицы sz ) for i=1 to nuz2 do for j=1 to nel do sz[ij]=00 for j=1 to nel do for i=1 to nuz do begin if sc[ij]=1 then begin sz[2i-1j]=ALFA[j1] sz[2ij]=ALFA[j2]
49
end if sc[ij]=-1 then begin sz[2i-1j]=-ALFA[j1] sz[2ij]=-ALFA[j2] end end ( вывод матрицы sz ) writeln(Значения элементов матрицы sz) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nuz2 do begin write(i2)) for j=1 to nel do write(sz[ij]41) writeln end writeln readln i1=0 for i=1 to nuz2 do begin 1 if (i=n[1])or(i=n[2])or(i=n[3]) then goto 1 else begin2 i1=i1+1 writeln(i=i1 i1=i11) for j=1 to nel do sp[i1j]=sz[ij] q[i1]=-p[i] end2 1end 1 readln ( вывод матрицы sp ) writeln(Значения элементов матрицы sp) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nel do begin
50
write(i2)) for j=1 to nel do write(sp[ij]41) writeln end writeln readln writeln(Значения элементов правой части -Q уравнений) for i=1 to nel do write( i1)q[i]43) writeln readln GAUSS END
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляются аналогично с учетом их особенностей (см п11)
51
2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений
Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-нонических уравнений имеет вид
=
+
sdot
0
00
2
1
2
1
21
22221
11211
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΚ
nP
P
P
nnnnn
n
n
R
RR
z
zz
rrr
rrrrrr
или RrZ + RP = 0
21) где Rr ndash матрица реакций во введенных дополнительных
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-зей
RP ndash вектор реактивных усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки
Z ndash вектор неизвестных перемещений Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам
sum intsum intprime
minus==EI
dsMMR
EIdsMM
r iPiP
kiik
где ki MM - изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-ных связей 1 =ki ZZ
MP ndash изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе соответствующей исходной системе
Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по
формулам Rr = MT
edBMed (22)
52
RP = - MTedBM
P (23) где Med ndash матрица влияния изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z1 = Z2 = hellip = Zn =1 Эта матрица со-держит n столбцов и m строк Число n равно числу единичных перемещений а m - числу сечений в которых вычисляются внутренние усилия Верхний индекс laquoТraquo в формулах (22) и (23) обозначает операцию транспонирования
B ndash матрица податливости отдельных не связанных эле-ментов
MP ndash вектор изгибающих моментов в любой статически
определимой системе от внешних сил Решая матричное уравнение (21) с учетом (22) и (23) по-
лучим вектор неизвестных Z = - R-1
rRP = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) (24)
Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле M = MedZ + MP (25)
или с учетом (24)
M = Med (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) + MP (26)
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad
Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы (рис21) Считаем что жесткости всех стержней рамы равны
EI = const Примем условно EI = 1
53
Рис 21
Решение Основная система метода перемещений (рис22)
Рис 22
Построим единичные и грузовые эпюры метода перемеще-ний
54
55
Вычисления проводим в среде Mathcad
EI 1= L 3= q 2=
56
Матрица подат-
ливости B рамы пред-ставляет собой квази-
диагональную матрицу состоящую из че-тырех матриц bi (i = 1234 - номера участков)
Med
0667minus
0333
0333
1333
1minus
05minus
0
0
0
0667
0
0
0667minus
0
0
0
0
0333minus
= MedEI
L2
2minus Lsdot
L
L
4 Lsdot
3minus Lsdot
15minus Lsdot
0
0
0
6
0
0
6minus
0
0
0
0
3minus
sdot=
MPq L2sdot
16
1
1minus
1minus
1
2
1minus
0
0
0
sdot= MP
1125
1125minus
1125minus
1125
225
1125minus
0
0
0
=
b1L
2 6sdot EIsdot
2
1
1
2
sdot= b2L
12 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
57
Так как на 4-ом участке один из концевых моментов всегда
равен 0 что соответствует шарнирному прикреплению этого участка к заданной раме то порядок матрицы податливости b4 можно понизить до первого
Существует также возможность понижения порядка мат-
риц входящих в выражение для результирующего вектора мо-ментов (26)
Заметим что для любой эпюры в сечениях 2 и 3 (рис22) являющихся границами участков 1 и 2 соответственно значения моментов одинаковы Это дает возможность сдвинуть блок b2 вверх по главной диагонали матрицы B сократив на единицу ранг квазидиагональной матрицы При этом совпавшие элемен-ты на главной диагонали суммируются
Далее в матрицах моментов Med MP и MP необходимо
избавиться от повторения строк соответствующих сечениям 2 и 3 вычеркнув одну из них Например в каждой матрице вычерк-
b3L
6 EIsdot
1
0
0
0
4
0
0
0
1
sdot= b4
L6 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
58
нем строку значений моментов в сечении 3 понизив тем самым порядок этих матриц на 1
Здесь M1P - обозначение в пакете Mathcad вектора М
Р Вычисляем матрицу реакций (22)
Вектор свободных членов (23)
Находим вектор неизвестных Z (24)
Rr MedT Bsdot Medsdot= Rr
2333
0667minus
0667minus
0556
=
RP MedTminus Bsdot M1Psdot= RP
1125minus
15minus
=
Z Rr( ) 1minusminus RPsdot= Z
1908
4989
=
59
Построение эпюры окончательных изгибающих моментов
(25)
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений
60
H = Med
TmiddotB ndash вспомогательная матрица
начало
N k
Ввод M0
Ввод B
Ввод Mp
Ввод M
I =1k
J =1N
MT[JI]=M0[IJ]
1
Обозначения N ndash кол-во неизвестных k ndash кол-во сечений М0 ndashматрица ед мо-ментов Мр-матрица грузовых моментов М
р М-матрица Мр МТ-трансп ед мат-рица В-м-ца подат-ливости
61
A = Med
TmiddotBmiddotMed ndash матрица реакций Rr C = Med
TmiddotBmiddotMP ndash вектор реактивных усилий в доп связях
RP
I = 1N
J = 1k
L = 1k
H[IJ]=H[IJ]+MT[IL]B[LJ]
I = 1N
J = 1k
L = 1k
A[IJ]=A[IJ]+H[IL]M0[LJ]
2 3
1 Выч H=MedTmiddotB
62
L=1k
C[I]=C[I]+H[IL]MP[L]
3
I=1N-1
J=I+1N
A[JI]=-A[JI]A[II]
Kk=I+1N
A[Jkk]=A[Jkk]+A[JI]A[Ikk]
C[J]=C[J]+A[JI]C[I]
4
X[N]=C[N]A[NN]
Обратный ход метода Гаусса
Реш СЛАУ
63
4
I=N-11-1
Q=C[I]
J=I+1N
Q=Q-X[J]A[IJ]
X[I]=QA[IJ]
I=1N
Печать X[I]
Вычисление вектора M[I]
I=1k
Конец
Печать вектора перемещений Z
64
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal (РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ М ПЕ-РЕМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ) PROGRAM RAMA_MP CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ И СЕЧЕНИЙ) N=2 M=9 () TYPE MASS = ARRAY[1M 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1M 1M] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1M] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1M] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR B1MASS FMASS1 BT1CMASS2 DMASS3 S0PS0P1SPCS0PMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) CONST KB1MASS= (( -0667 0667) () ( 0333 0 ) () ( 0333 0 ) () ( 1333 -0667) () ( -1 0 ) () ( -05 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 -0333)) ()
65
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) KFMASS1= ((05 025 0 0 0 0 0 0 0 ) () (025 05 0 0 0 0 0 0 0 ) () (0 0 05 025 0 0 0 0 0 ) () (0 0 025 05 0 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 05 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 2 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 05 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 0 1 05) () (0 0 0 0 0 0 0 05 1 )) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) KS0PMASS4= (1125-1125-11251125 225 -1125 0 0 0) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) KS0P1MASS4=(45 0 0 0 0 -225 0 0 0) () BEGIN (ВВОД МАТРИЦЫ ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) B1=KB1 WRITELN(МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( B1[IJ]116) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) F=KF WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO M DO WRITE( F[IJ]63) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P=KS0P
66
WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P1=KS0P1 WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P1[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO M DO FOR J=1 TO N DO BT1[JI]=B1[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO M DO FOR L=1 TO M DO C[IJ]=C[IJ]+BT1[IL]F[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO M DO D[IJ]=D[IJ]+C[IL]B1[LJ] FOR L=1 TO M DO CS0P[I]=CS0P[I]+C[IL]S0P1[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN D[JI]=-D[JI]D[II] FOR KK=I+1 TO N DO D[JKK]=D[JKK]+D[JI]D[IKK] CS0P[J]=CS0P[J]+D[JI]CS0P[I] END
67
X[N]=CS0P[N]D[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN Q=CS0P[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]D[IJ] X[I]=QD[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА МОМЕНТОВ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN CS0P[I]=0 FOR J=1 TO N DO CS0P[I]=CS0P[I]+B1[IJ]X[J] SP[I]=CS0P[I]+S0P[I] WRITELN(I2 SP[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
Заметим что матричный алгоритм расчета статически не-определимых рам методом сил аналогичен изложенному алго-ритму метода перемещений и осуществляется с учетом формул
X = - A-1
δ∆P = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) M = Med X + MP где Aδ ndash матрица единичных перемещений ∆P ndash вектор гру-
зовых перемещений Med ndash матрица единичных моментов MP ndash вектор грузовых моментов для основной системы метода сил B ndash матрица упругих податливостей стержней рамы
68
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил Выведем основные матричные соотношения для расчета
статически неопределимых ферм [1 4] Пусть для стержневой системы определена степень стати-
ческой неопределимости n и выбрана основная система Запи-шем систему канонических сил в матричном виде
0=∆+ PXAρ
δ (27)
где δA - матрица единичных перемещений
=
nnnn
n
n
A
δδδ
δδδδδδ
δ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ
21
22221
11211
(28)
ijδ - перемещение в основной системе по направлению си-
лы Хi вызванное единичной силой jX действующей по на-
правлению Хj При этом jiij δδ =
=
nX
XX
XΜ
ρ 2
1
-вектор неизвестных усилий ме-
тода сил
(
29)
∆
∆∆
=∆
nP
P
P
P Μ
ρ 2
1
- вектор грузовых перемещений
в основной системе
(
210)
69
Элементы iP∆ представляют собой перемещения в на-правлениях Хi (i = 12hellipn) возникающие под действием задан-ных внешних сил в основной системе
Если рассматриваются несколько вариантов нагружений то необходимо заменить векторы X
ρ и P∆
ρ соответственно на
матрицы
=
nn XXX
XXXXXX
X
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
2221
1211
21
21
21
22
11
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=∆
nPnP
PP
PP
P
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
где k ndash число вариантов нагружения При расчете статически неопределимых ферм на действие
неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и сво-бодные члены уравнений метода сил определяются соответст-венно по формулам
sum=ii
ikiik AE
lNNδ sum=∆
ii
iPiiP AE
lNN
(211)
где ki NN - продольные усилия в стержнях основной
системы от сил Pki NXX 11 == - продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки В формулах (211) суммирование распространяется на все стержни фермы
Усилия Pki NNN можно определить либо обычными способами либо с помощью матричных вычислений (см п12)
Матрицы δA и P∆ρ
с учетом формул (211) записываются в виде
едФTед NDNA
ρρ=δ
70
PФTедP NDN
ρρ=∆ (
212) где Pед NN
ρρ - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
ничных сил и от внешней нагрузки соответственно ФD - диаго-нальная матрица причем элемент этой матрицы расположенный на пересечении i-й строки и столбца i определяется как li(EiAi) где li ndash длина стержня i фермы а EiAi ndash его жесткость Значок (Т) обозначает операцию транспонирования вектора
Связь между окончательными значениями продольных сил Nρ
в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-лий в основной системе устанавливается векторным выражением
Pед NXNNρρρρ
+= (213)
Вектор Xρ
можно выразить из уравнения (27) 1
PAX ∆minus= minus ρρδ
Подставляя это равенство в (213) с учетом (212) оконча-тельно получим
)()( 1PедФ
TедедФ
Tедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+minus= minus (
214) Эта формула может быть использована для построения ли-
ний влияния усилий в статически неопределимой ферме Для этого вектор PN
ρ должен быть заменен соответствующей матри-
цей столбцы которой характеризуют усилия в статически опре-делимой основной системе при расположении единичных сил в узлах грузового пояса фермы
221 Пример расчета фермы методом сил Для статически неопределимой фермы (рис23а) опреде-
лить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния уси-лий в стержнях 1 8 2 если единичный груз перемещается по ее нижнему поясу Считать что стержни фермы изготовлены из одного материала а сечения их одинаковы
71
)
)
)
72
)
)
Рис23
Выполнение расчета 1 В заданной ферме узлов ndash 8 стержней ndash 13 опорных
стержней ndash 4 значит по формуле w = 2sdotУ-C-Co
где У ndash число узлов фермы С ndash число внутренних стерж-ней фермы Со ndash число опорных стержней
может быть определена степень свободы системы те w = 2sdot8-13 ndash4 = -1lt 0
Следовательно исходная ферма имеет одну лишнюю связь и является однажды статически неопределимой
Выбираем основную систему изображенную на рис23б Заметим что основную систему можно выбрать и по-другому например отбрасывая один из внутренних стержней
73
2 Пронумеруем стержни фермы так как показано на рис23аб и определим усилия в основной системе от единич-ной силы (рис23б) и от внешней нагрузки (рис23в) Для этого могут быть использованы способы расчета ферм изложенные в [12]
3 Используя результаты расчета составим векторы еди-ничной Nед и грузовой PN
ρ продольных сил
13121110987654321
д =еNρ
minusminusminus
minus
07070070700505050507070117070
13121110987654321
=PNρ
minus
minusminusminusminus
55335
5335
512512512512717
1515
717
74
4 Вычислим длины стержней фермы и запишем матрицу
ФD упругих податливостей элементов фермы l1 = l10 = l12 = l4 = 141sdotd l2 = l3 = l5 = l6 = l7 = l8 = l9 = l11 = l13
= d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=
100000000000004110000000000000100000000000004110000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000041100000000000001000000000000010000000000000411
13121110987654321
EAdDФ
5 Проводим последовательность матричных операций в
соответствии с формулой (214)
75
[ ]TPф EAdND 5555551251251251225151525 minusminusminusminusminussdot=
ρ
497)2530442()]512
512512512(50)1515(1)552525(7070[)( Тед
EAd
EAd
EAdNDN PФ
=++=+
++sdot++sdot++++sdot=ρρ
1
едед )( minusNDN ФT
ρρ)( ед PФ
T NDNρρ
=0172 7216497 =sdotEAd
dEA
едN-ρ
1едед )( minusNDN Ф
Tρρ
)( ед PФT NDN
ρρ=
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminus
0811
0811
0368368368368811716716811
В результате получаем вектор усилий в исходной ферме (рис23а)
76
minusminus
minus
minus
minus
=
++minusminus+minus++minus+minus+minus+minus
minusminusminus
minus
=
52785278
5144144144144
957171
95
50533811
50533811
50512368512368512368512368
7178111571615716
717811
13121110987654321
Nρ
6 Приступим к матричным вычислениям для построения линий влияния усилий в стержнях 1 8 2 фермы (рис23а) Для этого найдем усилия во всех стержнях основной системы в слу-чаях когда груз Р = 1 приложен в узлах грузового пояса фермы В нашем примере имеют место 2 случая приложения этого груза (рис23гд) Затем составляем матрицу PN столбцы которой соответствуют каждому из этих случаев Заменим в выражении (214) вектор PN
ρ на полученную матрицу и проведем аналогич-
ные матричные преобразования
77
103035300035035300120750207507025070250013530
05005030061
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=PN
0
05000
050010750075002500250
50050050051
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=EAdND PФ
78
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus
=
++minusminus+minus+++minusminusminus+++minus+minus+minus+minus+minus+minus+minus+minusminusminusminusminusminusminusminusminus
=
0006080
007680
1045700457040042904004290
0608000085900008590006470
13121110987654321
10003530414035304140
00003530414035304140
001025029307502930250293075029307502930250293075029302502930
061414035304140505860505860505860505860
353041400614140
13121110987654321
N
7 Используя 1-ю 8-ю и 2-ю строки матрицы N строим
линии влияния усилий в соответствующих стержнях (рис24)
79
Рис24 222 Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил
Обозначения исходных данных n-количество столбцов в матрице (векторе) k-количество стержней фермы N0-вектор продольных сил от ед
нагрузки в основной ферме деNρ
D-матрица податливостей ФD фермы NP-вектор продольных сил от
внешней нагрузки PNρ
в основной ферме
начало
n=1 k=13
ввод вектора N0
ввод матри-цы D
A A
ввод вектора
i=1k
j=1n
NT[ji]=N0[ij] NT-транспонированная мат-
рица ТедN
DNTH Т DNH
NP-вектор грузовых
продольных сил PNρ
80
81
Рис25 223 Программа для расчета статически неопределимых ферм
B
Решение СЛАУ
CXAρρ
=sdot
печать вектора
реакций Xρ
i=1k
C[i]=0
j=1n
C[i]=C[i]+N0[ij]X[j]
N[i]=C[i]+NP[i]
вывод Nρ
конец
XNC ед
ρρ=
Pед NXNNρρρ
+=
Nρ
ndash вектор результи-рующих продольных сил
82
В соответствии с блок-схемой изображенной на рис25
составляем программу на языке Turbo Pascal
PROGRAM FERMA_MS CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ И СТЕРЖНЕЙ) N=1 K=13 TYPE MASS = ARRAY[1K 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1K 1K] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1K] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1K] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR N0MASS DMASS1 NTHMASS2 AMASS3 NPNCMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ В ОСН ФЕРМЕ) CONST KN0MASS=((-0707) (-1 ) (-1 ) (-0707) ( 05) ( 05) ( 05) ( 05) ( 0 ) ( 0707) ( 0 ) (0707) (0))
83
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ DФ) KDMASS1= (( 564 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0564 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4)) (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСНОВНОЙ ФЕРМЕ) KNPMASS4=( -177-15-15-1771251251251255353-53535) BEGIN (ВВОД ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ) N0=KN0 WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДНАГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( N0[IJ]62) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) D=KD WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO K DO WRITE( D[IJ]62) WRITELN END
84
WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД ВЕКТОРА ГРУЗОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) NP=KNP WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НА-ГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO WRITE( NP[I]62) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO K DO FOR J=1 TO N DO NT[JI]=N0[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO K DO FOR L=1 TO K DO H[IJ]=H[IJ]+NT[IL]D[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO K DO A[IJ]=A[IJ]+H[IL]N0[LJ] FOR L=1 TO K DO C[I]=C[I]-H[IL]NP[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN A[JI]=-A[JI]A[II] FOR KK=I+1 TO N DO A[JKK]=A[JKK]+A[JI]A[IKK] C[J]=C[J]+A[JI]C[I] END X[N]=C[N]A[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN
85
Q=C[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]A[IJ] X[I]=QA[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В ИСХОДНОЙ ФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN C[I]=0 FOR J=1 TO N DO C[I]=C[I]+N0[IJ]X[J] N[I]=C[I]+NP[I] WRITELN(I2 N[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
3 СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии
Рассмотрим расчетную схему линейно-упругого стержня на рис31а Разобъём ось этого стержня на m равных частей (конечных элементов) соединенных между собой в n узлах (рис31б) Продольные перемещения u(x) в произвольной точке элемента будем считать линейными функциями координат (рис31в)
u x x( ) = +α α1 2 (31) или в матричной форме
[ ] [ ]u x x где T( ) = = minus1 1 2α α α α вектор не-известных коэффициентов Здесь значок laquoΤraquo обозначает опера-цию транспонирования переменная х - координата в глобальной системе осей ОХ
Применяя равенство (31) для узлов r s неизвестные пара-
метры α1 и α2 выразим через смещения узлов
rsr
srrrr x
xxuu
uxuminusminus
minus=+= 121 ααα
221sr
srss xx
uuxu
minusminus
=+= ααα
где ur и us смещения узлов r и s элемента е (рис31г)
87
Рис 31
Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(31) получим
u(x) = Nrur+Nsus (32) Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента
88
1ll
xxN
lN r
slXX
rs
ξξ=
minus=minus== minus
(33)
где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см рис31г)
Перепишем (32) в матричном виде u(x)=[N]δе (34)
где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы δe=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е
В каждом элементе е имеются свои функции перемеще-ний которые стыкуются в узловых точках При этом получается непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-ний для всего стержня те при таком выборе функции (33) зна-чения перемещений на концах смежных элементов являются одинаковими (рис31в)
Отметим что коэффициент α1 в (31) соответствует движению элемента е как твердого тела так как выражение для
продольной деформации εpartpart
=ux
содержит только коэффициент
α2 те
2αε =minus
=l
uu sr
Матрица жесткости элемента В состоянии равновесия вектор узловых усилий Fе=fr fs эле-мента е можно выразить через вектор узловых перемещений δe
Fe=[K]eδe (35) где [K]e- матрица жесткости элемента е
В развернутом виде формула (35) для стержневого эле-мента работающего на растяжение и сжатие имеет вид
ff
k kk k
uu
r
s
rre
rse
sre
sse
r
s
=
( ) ( )
( ) ( )
(36)
89
Здесь k rse( ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s
при условии что в узле r смещений нет В дальнейшем где это возможно значок laquo(е)raquo будем опускать
Построим матрицу жесткости элемента е в локальной сис-теме координат Оξ (рис31г) При этом часто используется принцип возможных перемещений в состоянии равновесия стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении δρu равна нулю
R u R u dvV
1 1 2 2 0δ δ δεσ+ minus =intintint (37)
Здесь V - объем элемента R=R1 R2 - вектор сил приложен-ных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним на-грузкам σ ε - нормальное напряжение и относительная линей-ная деформация в произвольном поперечном сечении элемента
Вычислим например коэффициент k22 матрицы жесткости стержня (рис31д) По определению k22=R2 при u1=0 u2=1 Поле перемещений точек элемента вызванное единичным смещением
узла 2 равно ul
( )ξξ
= times1 а напряжения σ = timesЕl
1 Так как
узел 1 закреплен то δu1=0 Пусть δu2- возможное (кинематиче-ски допустимое) смещение узла 2 Тогда возможные перемеще-ния стержня за счет δu2 будут δu(ξ)=(ξl)δu2 а соответствующие деформации δε=(1l)δu2
Из равенства (37) следует
R uul
El
dV ul
EAdV
l
2 22
2 20
11
δδ
δ ξ= =intintint int
или в силу произвола вариации
kl
EAdx EAl
l
22 20
1= =int
Определяя по аналогии остальные коэффициенты получа-ем матрицу жесткости стержневого элемента работающего на растяжение-сжатие
90
[ ]k
EAl
EAl
EAl
EAl
EAle
=minus
minus
=
minusminus
1 11 1
(38)
Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости стержневого элемента
Деформации внутри элемента е связаны с узловыми пере-мещениями его концов δе=[u1u2]т равенством
[ ] [ ]εξξ ξ
= = =du
ddd
N u B ue e e
( ) ( ) ρ ρ
(39)
где [Β]е=d[N]dξ - матрица-строка деформаций компонентами которой являются производные от функций форм по локальным координатам
[ ]B dNd
dNd l le
=
= minus
1 2 1 1ξ ξ
(310)
Приращение потенциальной энергии деформации элемента за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид
[ ]
[ ] [ ]= ==
intintintintintintintintintδεσδ ε
δdVB u E dV
u B E B dV ue e
eT
eT
e eV
VV
( )
(311)
Работа узловых сил [ ] ρF u ue
T= δ δ1 2 на возможных
вариациях перемещений в узлах [ ]δ δ δ ρu u ue
T= 1 2 равна приращению потенциальной энергии деформации (311)
[ ] [ ]δ δ ( ) ρ ρ ρ ρu B E B dV u u Fe
T
V e
T
e e eT
eintintint =
откуда следует ( ) ρ ρF B EBdV ue
Te
V
= intintint (312)
91
где [ ] [ ]k B EBdVе eT
v
= intintint - матрица жесткости стержневого эле-
мента размерности 2х2 Если в (312) модуль упругости Е заменить на соответст-
вующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука то эта формула в принципе справедлива для задач любой размерно-сти и для элементов любого типа
Определение статически эквивалентных узловых усилий Теперь из условия равновесия определим реактивные уси-
лия действующие на стержневой конечный элемент со стороны узлов в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить с обратным знаком
а) действие распределенной нагрузки
Рис 32
Пусть [ ] ρF F Fq q
T= 1 2 - вектор усилий в узлах элемен-
та уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивно-стью q (рис32)
Применим принцип возможных перемещений полная вир-туальная работа заданных внешних и реактивных усилий на со-ответствующих вариациях перемещений элемента находящего-ся в равновесии должна быть равна нулю
q ud F u F uq
l
δ ξ δ δ+ + =int 1q 1 2 20
0
Используя (34) это равенство перепишем в виде
92
q N u N u d F u F uq
l
( )1 1 2 2 1q 1 2 20
0δ δ ξ δ δ+ + + =int
Учитывая чтоN l и N l1 21= minus =ξ ξ а также про-извол вариаций узловых перемещений δu1 δu2 находим
F qN dx jjq j
l
= minus =int0
1 2( )
При q = const имеем ρF ql qlq
e T( ) [ ]= minus minus2 2
Отметим что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной сис-темы координат Оξ
б) действие температуры Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ) Тогда
компоненты вектора узловых сил [ ]TTTeT FFF 21 =ρ
опре-делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации потенциальной энергии деформации элемента
F u F u dvTV
1T 1 2 2δ δ δεσ+ = intintint
Учитывая что σ ξ α ξ ε ξ ξ ξ( ) ( ) ( ) ( ) = minus = = minus +E T du d u l u l u1 1 2 в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
F EAl
T dx jjT
l
= plusmn =intα
ξ( ) ( )0
1 2
При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
[ ] ρF TEA TEAT e
T= minusα α Компоненты F1T F2T направлены вдоль оси Оξ Таким образом полный вектор узловых усилий на элемент
93
[ ]ρF F Fe
T= 1 2 включает силы статически эквивалентные перемещениям элемента распределенной нагрузке и темпера-турному воздействию
[ ] ρ ρ ρ ρF K u F Fe e e q e T e= + + (313)
Этот вектор вычисляется в локальной системе координат
Составление уравнений равновесия бруса Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)
элементов составляются в глобальной системе координат ОХ единой для всех элементов конструкции (рис31а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы В случае одноосного растяжения и сжатия матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локаль-ной и глобальной координатах совпадают
Неизвестные узловые перемещения для ансамбля эле-ментов могут быть определены из уравнений равновесия узлов Например для узла с номером m можно записать
P Fm m ee m
+ minus =isinsum( ) 0 (314)
где Pm - внешняя сосредоточенная сила приложенная к узлу m по направлению оси ОХ
-Fme - усилие действующее на узел m со стороны эле-мента е Сумма в (314) берется по всем элементам содержащим узел m
311 Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии
Стержень изображенный на рис33а находится под дей-
ствием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q и сосредоточенной силы F=ql
94
Требуется построить эпюры перемещений u x( )prime и нор-мальных напряжений σ В расчетах принять ЕА=1
а) б) в) г)
Рис 33
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных эле-
мента с узлами в точках 12345 (рис33б) Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы координат направим вниз по оси стержня
Введем следующее обозначение k EAl
= и покажем все
усилия действующие на каждый конечный элемент и вырезан-ные узлы (рис34)
Расписывая уравнения равновесия (314) для каждого узла в отдельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
95
minus + minus + =
minus + + =
minus + + =
minus + + =
minus + =
2 2 02 4 2 0
2 32
0
22
0
0
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku R qlu ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
или 2 2
2 4 2
2 32
22
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku ql Rku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
minus = minusminus + minus =
minus + minus =
minus + minus =
minus + =
В матричном виде эта система записывается в виде (315)
В клетках обведенных пунктиром и расположенных сверху вниз по главной диагонали указываются вклады жесткостных харак-теристик каждого элемента в соответствии с их нумерацией (рис31б) Здесь k k k k k33 11
3222
34 123= + =( ) ( ) ( ) и тп Аналогич-
но заполняется вектор правой части в которой компоненты на-грузки элемента засылаются по нужным адресам Этот прием формирования глобальной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ реализующих МКЭ
96
Рис 34
(315)
97
или
[ ] K u Qρ ρ=
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной [ ]ρu u u u u u T= 1 2 3 4 5 - вектор неизвестных узловых пере-мещений ρQ - вектор внешних узловых сил
Учет граничных условий Матрица [K] в системе уравнений (315) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (315) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диагонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на к EAl11∆ ∆=
-члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в правую часть системы
В нашем примере система (315) с учетом сказанного может быть записана в виде
EAl
uuuuu
EA lql EA l
qlql
F
1 0 0 0 00 4 2 0 00 2 3 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1
20 50 5
1
2
3
4
5
minusminus minus
minus minusminus
=+
( )( )
∆∆
98
так как ∆ = 0 ЕА = 1 ql = F то
5050
0
1100012100
013200024000001
5
4
3
2
1
=
minusminusminus
minusminusminus
FlFlFl
Fl
uuuuu
Решение полученной системы линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестного вектора перемещений ρu
проведем методом главных элементов в виде таблицы 31
Таблица 31 mi u1 u2 u3 u4 u5 Свободные
члены 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4 -2 0 0 Fl -05 0 -2 3 -1 0 05Fl 0 0 0 -1 2 -1 05Fl 0 0 0 0 -1 1 Fl -05 - - 2 -1 0 Fl 1 - - -1 2 -1 05Fl -05 - - - -1 1 Fl 1 - - 15 - -05 125Fl -033333 - - -05 - 05 125Fl - - - - - 0333
33 166667Fl
Ответ 0 15Fl 25Fl 40Fl 50Fl В результате решения преобразованной системы полу-
чим
99
uFl
Fl
uFl Fl
Fl
uFl Fl Fl
Fl
uFl Fl
Flu
5
3
4
2
1
1 66670 33333
5 0
1 25 0 5 51 5
2 5
0 5 2 5 52
4 02 2 5
41 5
0
= =
=+ times
=
=+ +
=
=+ times
=
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения
4times15Fl-2times25Fl=Fl -2times15Fl+3times25Fl-4Fl=05Fl -25Fl+2times40Fl-5Fl=05Fl -4Fl+5Fl=Fl
Ответ [ ]ρu Fl F l F l F l T= 0 1 5 2 5 4 0 5 0 Линейные деформации каждого элемента вычисляются
по формулам (39) и (310)
ε
ε
ε
ε
(
( )
( )
( )
( )
( )
1)
2
3
4
1 1 015 15
1 1 152 5
15 2 5
1 1 2 54
2 5 4 0 15
1 1
= minus
=
= minus
= minus + =
= minus
= minus + =
= minus
l lFl
EA
FEA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
l lFl EA
Fl EAF
EAF
EA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
= minus + =
45
4 0 5 0
( )
Нормальные напряжения σ в центре каждого элемента равны
100
σ σ σ σ( ( ) ( ) ( ) 1) 2 3 41 5 1 0 1 5 1 0= = = =FA
FA
FA
FA
По результатам вычислений строим эпюры безразмерных пере-
мещений u EAFl
u x= prime( ) и напряжений σ (рис31вг) При по-
строении эпюры σ учитываем что нормальное напряжение на участках стержня где действует постоянная распределенная на-грузка изменяется по линейному закону а на участках где она отсутствует - постоянна
Подбор поперечных сечений бруса Проектировочный расчет проведем в системе Mathcad
Зададим размерности величин в привычном виде
Пусть дано
Тогда внешняя сила F будет равна
Допускаемое нормальное напряжение σadm 160МПаsdot=
Из эпюры на рис33г видно что опасными сечениями бруса являются сечения проходящие немного ниже точек 1 и 3 В этих точках максимальное нормальное напряжение
σmax 20FAsdot=
Из условия прочности при растяжении и сжатии
кН 1000 Nsdot= МПа 106 N
m2sdot=
м m= см 01 msdot=
l 1 мsdot= q 5кНм
sdot=
F q lsdot= F 5 103times N=
101
σmax σadmle находим параметр А площади допускаемого поперечного сече-ния
20F
Aadmsdot σadm
Таким образом при заданном значении σadm 160МПаsdot=
площадь поперечного сечения верхнего участка равна A1=125
см2 нижнего - 0625 см2 Округлим эти значения в большую сторону до значений оканчивающихся на цифры 0 или 5 Тогда для верхних двух участков можно принять А1 = 15 см2
для нижних - А2 = 10 см2 Для круглых поперечных сечений можно вычислить их
диаметры
Расчет вала при действии внешних крутящих моментов проводится аналогично Только в этом случае необходимо вме-
Aadm 20F
σadmsdot= Aadm 625 10 5minus
times m2=
A1 2 Aadmsdot= A1 125 10 4minustimes m2
= A2 Aadm=
d14 A1sdot
π= d1 0013m= d1 15 смsdot=
d24 A2sdot
π= d2 8921 10 3minus
times m= d2 10 смsdot=
102
сто сил рассматривать крутящие моменты а вместо распреде-ленных нагрузок ndash распределенные моменты Неизвестными в уравнениях являются углы φ поворота сечений величины GIk характеризуют жесткости участков вала
32 Пример расчета ступенчатого вала при кручении Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с непод-
вижно закрепленными концами находится под действием внеш-них крутящих моментов M и 4M (рис35)
Требуется
1) составить систему линейных уравнений по МКЭ 2) найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их через M
l и D
103
3) построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных ка-сательных напряжений τmax
4) построить эпюру крутящих моментов Mк 5) при заданном значении допускаемого касательного напряже-
ния τadm=70Мпа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
6) найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
7) составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реализую-щую алгоритм решения задачи
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый вал на 4 конечных элемента с
узлами в точках 12345 (рис35б) Начало координат совмес-тим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы коор-динат направим вправо по оси стержня
Введем следующие обозначения
82
16
16
502
16
4
44
3
33
2
22
1
11
4321
lGI
lGI
lGI
klGI
lGI
k
lGI
lGI
kl
GIl
GIl
GIk
GIGIGIGIGIGI
PPPPP
PPPPPPPPPPP
=sdot
==sdot
==
==sdot===
sdot====
где 410 DIP asymp -полярный момент инерции поперечного сечения вала Покажем все моменты действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис36)
Расписывая уравнения равновесия для каждого узла в от-дельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю не-известными
104
Рис36
=minus+minus=+minus++minus
=minus++minus=+minus++minus
=minusminus
004)(
0)(0)(
0
544
5444333
4333222
3222111
2111
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
105
или
=+minusminus=minus++minus
=minus++minusminus=minus++minus
=minus
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
5444
5444333
4333222
3222111
2111
4)(0)(
)(
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
В матричном виде эта система записывается в виде (316)
minus
minus=
minusminus+minus
minus+minusminus+minus
minus
B
A
MM
MM
kkkkkk
kkkkkkkk
kk
40
)()(
)(
5
4
3
2
1
44
4433
3322
2211
11
ϕϕϕϕϕ
(316)
или [ ] QK
ρρ=ϕ
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной
T][ 544321 ϕϕϕϕϕϕϕ =ρ
- вектор неизвестных узловых углов поворота сечений
Qρ
- вектор внешних узловых крутящих моментов Подставляя выражения для k1 k2 k3 k4 записанные через
жесткости GIp получим систему
106
minus
minus=
minusminusminus
minusminusminusminus
minus
B
A
p
MM
MM
lGI
40
8882416
1617115150
5050
5
4
3
2
1
ϕϕϕϕϕ
Учет граничных условий Предположим что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах
вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2 Тогда с учетом ска-занного в п 311 система (316) может быть записана в виде
∆times∆timestimes+minus
∆times+minus∆
=
minusminusminus
minus
2
2
1
1
5
4
3
2
1
)()(804
0)(50
)(
100000241600016171000151000001
lGIlGIM
lGIMlGI
lGI
p
p
p
p
p
ϕϕϕϕϕ
Так как ∆1=∆2=0 то
040
0
100000241600016171000151000001
0
0
5
4
3
2
1
minus
minus=
minusminusminus
minus
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
где pGIlM times
=0ϕ - обозначение
107
Так как ϕ1=ϕ5=0 то решаем 234 уравнения методом Гаус-са в виде таблицы 32
Таблица 32
mi ϕ2 ϕ3 ϕ4 Свобод-ные члены
1 15 -1 0 -ϕ0 -23 -1 17 -16 0 0 0 -16 24 -4ϕ0 1 0 493 -16 (-23)ϕ0 -4849
0 -16 24 -4ϕ0
0 40849 (-22849)ϕ0
Ответ (-1817)ϕ0 (-1017)ϕ0 (-1934)ϕ0 В результате решения преобразованной системы получим
5588203419
40849
49228
000
4 ϕϕϕ
ϕ primeminus=minus=sdotminus=
5882301710)
349()
341916
32( 00003 ϕϕϕϕϕ minus=minus=sdotminusminus=
0588211718
511710
00
00
2 ϕϕϕϕ
ϕ minus=minus=sdotminusminus
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного ре-
шения в исходные уравнения 15times(-105882ϕ0)-1times(-058823)=-ϕ0 -1times(-105882ϕ0)+17times(-058823ϕ0)-16times(-055882ϕ0)=0 -16times(-058823ϕ0)+24times(-055882ϕ0)=-4ϕ0
Ответ ϕ1=0 ϕ2=-105882ϕ0 ϕ3=-058823ϕ0 ϕ4=-055882ϕ0 ϕ5=0
или в векторном виде
108
T
minusminusminus= 0
3419
1710
17180 000 ϕϕϕϕ
ρ
Угловые деформации и максимальные касательные напря-жения в сечениях каждого элемента вычисляются по формулам
11
11
)(max
)(
sdot
minus=
sdot
minus=
K
He
K
He
llGR
llR
ϕϕ
τ
ϕϕ
γ
где R ndashрадиус поперечного сечения элемента e вала ϕH и ϕK ndash соответственно углы поворота левого и правого концов конечного элемента в глобальной системе координат
Тогда максимальные касательные в каждом элементе рав-ны
7941226117
76
03419
21
21
2941206117
8
34191710
11
3529422017
8
17101718
112
6470622017
9
17180
21
21
2
330)4(
max
33
0
0)3(
max
33
0
0)2(
max
330
)1(max
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
=sdot=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
minus=sdotminus=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕτ
109
Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов [ ]TKH
ek MMM =
ρ в каждом элементе е по формуле
[ ]
sdot
minus
minussdot=sdot=
K
Hpeeek l
GIkM
ϕϕ
ϕ1111)()()( ρρ
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и пра-
вом концах конечного элемента МН и МК ndash крутящие моменты на левом и правом концах
элемента соответственно
470590470590
55882058828055882058828016
558820588230
111116
470590470590
588230058821588230058821
588230058821
1111
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
0)3(
0
0
0)2(
0
0
2
2
2
1)1(
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
pK
p
pK
p
ppK
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ρ
ρ
ρ
110
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)3(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)4(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
ных углов поворота 0ϕϕ
касательных напряжений MD3
max sdotτ
и крутящих моментов MKM (рис37) Подбор сечений вала (проектировочный расчет) Пусть дано М=2 кНм τadm=70 Мпа ndash допускаемое каса-
тельное напряжение для стали Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по
модулю значение
3)4(
maxmax 794122DM
== ττ
Из условия прочности при кручении τmax le τadm
находим диаметр D
admDM τ=3794122
111
сммMDadm
adm 3141070
1027941227941223
6
3
3 =sdot
sdotsdot=
sdot=
τ
Рис 37
Таким образом при заданном значении τadm=70 Мпа оп-ределили диаметр Dadm из расчета на прочность Теперь округ-лим его до значения оканчивающегося на цифру 0 или 5 (в большую сторону) те в нашем случае диаметры первых двух участков вала можно принять равным D=45 мм а диаметры остальных участков 2D=90мм
Найдем максимальный угол поворота сечений ϕmax при-няв l=05м модуль сдвига для стали G=08105 Мпа М=2кНм IP=01D4
058821 02max ϕϕϕ ==
805321
)1054(10108050102
4211
3
0 =sdotsdotsdotsdot
sdotsdot=
sdotsdot
= minusPIGlMϕ
112
032276080532
058821max рад==ϕ
Указания к составлению программ на ЭВМ При численной реализации МКЭ заполнение матрицы же-
сткости [K] и вектора правой части Q ансамбля элементов производится с использованием упомянутого ранее метода пря-мых жесткостей учитывающего вклад каждого элемента в от-дельности по формулам
K k Q F F FIJ ije
e I JJ J jq
e
e JjT
e
e T= = + minus + minus
isin isin isinsum sum sum( )
( ) ( ) ( ) ( ) (317)
Здесь локальные номера ij узлов элемента е должны соответст-вовать глобальным номерам узлов ансамбля IJ Суммы берутся по всем элементам ансамбля содержащим узлы IJ В правые части формул (317) подставляются компоненты матриц жестко-сти и векторов приведенных узловых сил отдельных элементов вычисленные в глобальной системе координат
Рассмотрим более подробно один из вариантов процесса сборки глобальной матрицы жесткости ансамбля элементов
Разбитый на элементы стержень можно полностью описать двумя массивами - глобальными координатами узлов xi и матри-цей индексов элементов
Последний из них позволяет установить связь элементов друг с другом Под набором индексов данного элемента будем понимать глобальные номера узлов элемента выписанные в по-рядке возрастания их локальных номеров С помощью матрицы индексов обычно проводят сборку глобальной матрицы жестко-сти в виде двумерного массива SGL(neqneq) где neq -число сте-пеней свободы дискретной модели стержня Обозначим через IT(nsenel) матрицу индексов где nse - число степеней свободы элемента nel - количество элементов дискретной модели SE(nsense) - матрица жесткости элемента Алгоритм сборки со-стоит в том что для каждого элемента попарно следует пере-брать все индексы данного к-го элемента (включая и тот случай
113
когда индекс образует пару сам с собой) Пара локальных номе-ров IJ дает адрес (те строку и столбец) числа которое должно быть выбрано из матрицы жесткости элемента Другая же пара индексов IT(IK) IT(JK) определяет адрес в глобальной матрице жесткости по которому должен быть просуммирован выбран-ный коэффициент матрицы жесткости элемента Так как обра-ботка индексов происходит в порядке возрастания номеров эле-ментов то заполнение глобальной матрицы жесткости происхо-дит случайным образом
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем
МКЭ Блок-схема алгоритма реализующая МКЭ представлена
на рис38 Дадим некоторые пояснения к этому алгоритму На 1-м этапе производится ввод исходных данных (коор-
динат узлов и номеров конечных элементов) и их распечатка (для контроля) Вводится также информация о внешних нагруз-ках граничных условиях механических характеристиках мате-риала отдельных элементов конструкции (блок 2) Заполняются нулями глобальная матрица жесткости и вектор нагрузки (блок 3)
На 2-м этапе в цикле (блок 4) вычисляются матрицы жест-кости (блок 5) и векторы эквивалентных узловых сил для от-дельных элементов (блок 7) которые включаются в глобальную матрицу жесткости К (блок 6) и вектор нагрузки
ρQ (блок 8)
После выхода из цикла в векторе ρQ учитываются компо-
ненты внешних сосредоточенных узловых сил по соответст-вующим степеням свободы (блок 9) В результате завершения 2-го этапа оказывается сформированной матрица и правая часть системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относи-тельно неизвестных узловых перемещений
114
На 3-м этапе производится учет заданных граничных усло-вий (блок10) и решением полученной СЛАУ (блок 11) опреде-ляются неизвестные узловые перемещения
На 4-м этапе в цикле по элементам вычисляются деформа-ции и напряжения в отдельных конечных элементах (блоки 12-15) Общий выход осуществляется в блоке 16
Отметим что при решении больших задач ввиду ограни-ченности памяти ЭВМ матрицу жесткости ансамбля элементов обычно хранят в виде ленты шириной L Величина L равна рас-стоянию от наиболее удаленного ненулевого элемента матрицы до главной диагонали Изменение ширины ленты матрицы мож-но добиться с помощью изменения порядка нумерации узлов
Начало
Ввод исхданных
Обнуление матрицы К и вектора Q
1
1
2
3
115
1
Цикл по элементам
Построение матрицы жесткости элемента в глобальных коорди-натах
Формирование глобальной мат-рицы жесткости системы К
Вычисление эквивалентных узло-вых сил для элемента в глобальных координатах
Формирование глобаль-ного вектора нагрузки Q
Добавление внешних сосредо-точенных сил
2
4
5
6
7
8
9
116
2
Учет граничных условий
Решение СЛАУ
Цикл по элементам
Вычисление внутр сило-вых факторов в локаль-ных осях
Вычисление напряжений Оценка прочности
Печать результатов
Конец
10
11
12
13
14
15
16
Рис38
117
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ Program MCE Uses crt const nue=2 nel=4 число конечных элементов nuz=5 число узлов ансамбля элементов ndis=1число узловв которых заданы перемещения type mas1=array[1nel] of real mas3=array[1nel1nue] of integer mas5=array[1nue1nue] of real mas7=array[1nuz1nuz] of real mas8=array[1nuz] of real mas9=array[1ndis] of integer mas10=array[1ndis] of real mas12=array[1nue] of real mas14=array[1nel1nue] of real var ielijinteger ardleedeforsigmamas1 nugmas3 semas5 sglmas7 rezmas8 nsdmas9 dismas10 r1mas12 bbrzmas14 const kdlmas1=(10101010) keemas1=(10101010) knugmas3=((12) (23) (34) (45)) knsdmas9=(1) kdismas10=(00) karmas1=(20201010) procedure MEL var j1k1l1integer
118
eflq0psreal begin efl=ee[iel]ar[iel]dl[iel] for j1=1 to nue do for k1=1 to nue do se[j1k1]=00 se[11]=efl se[12]=-efl se[21]=-efl se[22]=efl for j1=1 to nue do begin writeln for k1=1 to nue do write(se[j1k1]51) end readln readln(q0) r1[1]=05q0dl[iel] r1[2]=05q0dl[iel] for j1=1 to nue do write( r1[j1]53) readln end Procedure MGL var j1k1l1m1n1integer begin for j1=1 to nue do begin l1=nug[ielj1] rez[l1]=rez[l1]+r1[j1] for k1=1 to nue do begin n1=nug[ielk1] sgl[l1n1]=sgl[l1n1]+se[j1k1] end end
119
end Procedure GRAN var i1j1k1l1integer begin for i1=1 to ndis do begin j1=nsd[i1] k1=nsd[i1] for l1=1 to nuz do begin rez[l1]=rez[l1]-sgl[l1j1]dis[i1] sgl[l1j1]=00 end for l1=1 to nuz do sgl[k1l1]=00 sgl[k1k1]=10 rez[k1]=dis[i1] end end Procedure PRAV var k1nqicinteger begin repeat write(Введите номер узла) readln(nq) write(Введите компоненты усилия) read(r1[1]) writeln rez[nq]=rez[nq]+r1[1] until nqgt=nuz end Procedure SISTEM var i1j1k1l1integer x1array[1nuz] of real q1real begin for i1=1 to nuz do for j1=i1+1 to nuz do
120
begin sgl[j1i1]=-sgl[j1i1]sgl[i1i1] for k1=i1+1 to nuz do sgl[j1k1]=sgl[j1k1]+sgl[j1i1]sgl[i1k1] rez[j1]=rez[j1]+sgl[j1i1]rez[i1] end x1[nuz]=rez[nuz]sgl[nuznuz] for i1=nuz-1 downto 1 do begin q1=rez[i1] for j1=i1+1 to nuz do q1=q1-x1[j1]sgl[i1j1] x1[i1]=q1sgl[i1i1] end l1=0 for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do begin l1=l1+1 rz[ielj1]=x1[l1] end l1=l1-1 end writeln(Массив перемещений разделенный по узлам) for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do write( rz[ielj1]53) writeln end end Procedure STRESS var j1integer begin for iel=1 to nel do begin1
121
defor[iel]=00 sigma[iel]=00 for j1=1 to nue do begin2 if j1=1 then bb[ielj1]=-1dl[iel] else bb[ielj1]=1dl[iel] defor[iel]=defor[iel]+bb[ielj1]rz[ielj1] end2 sigma[iel]=defor[iel]ee[iel] end1 for j1=1 to nel do write(j13)sigma[j1]54) writeln end
Begin clrscr dl=kdl nug=knug nsd=knsd dis=kdis ar=kar ee=kee for i=1 to nuz do begin rez[i]=00 for j=1 to nuz do sgl[ij]=00 end for iel=1 to nel do begin MEL MGL end PRAV GRAN SISTEM STRESS end
122
35 Расчет рам методом конечных элементов Матрица жесткости балочного элемента конструкции Рассмотрим расчетную схему линейно-упругой рамы в глобаль-ных (общей для всей системы) осях координат xyz (рис39а)
Рис 39
Разобъем ось этой рамы на m частей (конечных элемен-
тов) соединенных между собой в n узлах (рис39а) Каждому элементу под номером е поставим в соответствие систему ло-кальных осей координат xyz (рис39б) Рассмотрим в плоско-сти xy деформацию поперечного изгиба элемента На концах этого элемента укажем векторы узловых перемещений
[ ]Te uuuuu 4321)( =
ρ и узловых усилий [ ]Te RRRRR 4321
)( =ρ
Нумерация и положительные направ-ления компонентов этих векторов показаны на рис39б Связь
123
между ними обеспечивается как известно матрицей жесткости k(e) элемента е
)()()( ][ eee ukR ρρsdot= (318)
В дальнейшем там где возможно значок (е) будем опускать Прогиб балки w(x) в произвольном ее сечении будем считать функцией координаты x в локальной системе осей oxy (рис39б)
)( 34
2321 xxxxw prime+prime+prime+=prime αααα (319)
или в матричной форме [ ] [ ] minus=sdotprimeprimeprime=prime Tгдеxxxxw 4321
32 1)( ααααααвектор неизвестных коэффициентов
Применяя равенство (319) для концевых узлов элемента е
неизвестные параметры α1 α2 α3 α4 выразим через смещения
этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений
проходящих через соответствующие узлы
132332)(
)()0()0(
43221232
4324
34
232132211
ul
ul
ul
ul
lllxd
dwu
llllwuxd
dwuwu
minus+minusminus=rArr++=prime
=
+++===prime
===
αααα
αααααα
4233221341212 ul
ul
ul
ul
+minus+=α
Подставляя в (319) и выполняя преобразования получим
sum=
prime=prime4
1)()(
kkk xEuxw
(320)
где
124
)(23)(
2)(231)(
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
lx
lxxE
lx
lxxE
lx
lxxxE
lx
lxxE
prime+
primeminus=prime
primesdotminus
primesdot=prime
prime+
primesdotminusprime=prime
primesdot+
primesdotminus=prime
-функции перемещений известные под названием функций Эр-
мита Каждая из этих функций Ek(x) характеризует прогиб жест-
ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
направлению k (uk=1) (рис310)
Рис 310
Формулу (320) можно записать в матричном виде
[ ] uxNxw ρsdotprime=prime )()( (321)
где [ ])(xN prime - матрица-строка элементы которой являются функ-
циями локальной координаты х
[ ] [ ])()()()()( 4321 xExExExExN primeprimeprimeprime=prime (322)
125
Запишем теперь дифференциальные зависимости для из-
гиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах
)()(3
3
2
2
xdxwdEIQ
xdxwdEIM
primeprime
sdot=primeprime
sdot=
где М и Q ndash изгибающий момент и поперечная сила в сечении
балки положительные направления которых показаны на
рис39б Так как на концах балки (при x=0 и l) изгибающий
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми
значениями то с учетом их направлений можно записать
)()()()(
)0()0()0()0(
2
2
43
3
3
2
2
23
3
1
lxd
wdEIlMRlxd
wdEIlQR
xdwdEIMR
xdwdEIQR
primesdot==
primesdotminus=minus=
primesdotminus=minus=
primesdot==
Эти равенства с использованием формул (321) можно пе-
реписать в виде
[ ] [ ][ ] [ ] ulNEIRulNEIR
uNEIRuNEIRρρρρ
sdotprimeprimesdot=sdotprimeprimeprimesdotminus=sdotprimeprimesdotminus=sdotprimeprimeprimesdot=
)()()0()0(
43
21
Сравнивая эти соотношения с уравнением (318) запишем
матрицу жесткости элемента в виде
[ ]
primeprimeprimeprimeprimeminus
primeprimeminus
primeprimeprime
sdot=
)()()0(
)0(
lNlN
NN
EIk
или составляя выражения для производных с учетом
(320)(322) получим окончательно
126
[ ]
minusminusminusminus
minusminus
=
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIk
(323)
Отметим что элемент kij этой матрицы численно равен
реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис310)
Определение статически эквивалентных узловых уси-
лий
Пусть на элемент е рамы действует положительная попе-речная распределенная нагрузка интенсивностью q(x) (рис311)
Рис 311
Тогда силовые факторы qR
ρ в узловых сечениях элемента
эквивалентные этой нагрузке можно определить с помощью принципа возможных перемещений
0)()(0
=sdot+ intl
qT dwqRu ξξδξδρρ
(324)
127
Так как sum=
prime=4
1
)(k
kk xEuw δδ то из (324) следует
sum int=
=+4
1 0
0)()(k
l
kkqT dEquRu ξξξδδρρ
Следовательно для j-й компоненты вектора qRρ
получим
формулу
int =minus=l
jjq jdEqR0
)4321()()( ξξξ
При q(x)=const получим T
q qlqlqlqlR
minusminusminus= 22
121
21
121
21ρ
(325)
те компоненты этого вектора фактически являются реак-
тивными усилиями и моментами в балке с защемленными кон-
цами нагруженной распределенной нагрузкой q (рис311) Зна-
ки компонент jqRρ
соответствуют положительным направлениям
степеней свободы на рис39б
Преобразование локальных координат в глобальные
Необходимость в таком преобразовании возникает в связи
с составлением уравнений равновесия для всей конструкции в
целом в глобальной системе координат (рис312)
128
Рис 312
Связь между локальными )( zyxx primeprimeprime=primeρ и глобальными
)( zyxx =ϖ координатами записывается в виде
[ ] xtx ρρsdot=prime (326)
где [ ] )cos()cos()cos(
дтиzxtyxtxxt
ttttttttt
t
zx
yx
xx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
prime=
prime=
prime=
=
prime
prime
prime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
Заметим что [ ]t представляет собой матрицу вращений
локальных осей относительно глобальных
Если известны глобальные координаты концов ij элемента
балки то направляющие косинусы оси x (оси балки) определя-
ются по формулам (i lt j)
l
zzt
lyy
tl
xxt ij
zxij
yxij
xxminus
=minus
=minus
= primeprimeprime
129
где 222 )()()( ijijij zzyyxxl minus+minus+minus= - длина эле-
мента
Компоненты матрицы [ ]t должны удовлетворять усло-
виям ортогональности осей координат
00 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime zzzxyzyxxzxxzyzxyyyxxyxx tttttttttttt
0=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzzyyzyyxzxy tttttt
Кроме того между направляющими косинусами еди-
ничных векторов имеются зависимости
11 222222 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzyzxzzyyyxy tttttt
Условие ориентации относительно глобальной оси оу
главной центральной оси инерции сечения элемента oy записы-
вается в виде (рис312)
)cos(γ=primeyyt
В общем случае нагружения нумерация и положительные
направления узловых параметров (обобщенных перемещений и
усилий) элемента laquoеraquo в локальных осях xyz показаны на
рис313
130
Рис 313
Считаем что локальная система координат направлена от
узла с меньшим номером к узлу с большим номером по глобаль-
ной нумерации узлов всей конструкции В глобальных осях xyz
порядок нумерации и направления узловых параметров изобра-
жены на рис314
Рис 314
Согласно рис313 314 обозначим через
131
Tuuuu ][ 1221 primeprimeprime=prime Κρ и Tuuuu ][ 1221 Κϖ= векторы узловых пе-
ремещений элемента в локальных и глобальных координатах
соответственно Тогда связь между ними можно задать в виде
формулы
uTu ρρ ][=prime (327)
где [Т] ndash ортогональная матрица преобразования координат
([Т]-1=[Т]Т) Вид ее однозначно определяется из равенства (327)
и имеет блочно-диагональную структуру
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
=times
tt
tt
T1212
(328)
Каждый блок [ ]33times
t выполняет преобразование над поступа-
тельными или вращательными компонентами одного узла В ча-
стности для плоской рамы матрица преобразований имеет вид
[ ]
=
primeprime
primeprime
primeprime
primeprime
1000000000000000010000000000
yyxy
yxxx
yyxy
yxxx
tttt
tttt
T
(329)
Компонентами этой матрицы являются направляющие ко-
синусы между соответствующими осями локальной и глобаль-
132
ной систем координат
)()(
)cos()cos(
)(
)cos()(
)cos(
22ijij
xxyyyxxyyyxy
ijyx
ijxx
yyxxl
ttttyytxytl
yyyxt
lxx
xxt
minus+minus=
=minus=prime=prime=
minus==
minus=prime=
primeprimeprimeprimeprimeprime
primeprime
(330)
Заметим что угловые перемещения uiz и ujz при повороте
координат в плоскости изгиба не изменяются поэтому на соот-
ветствующих местах матрицы стоят единицы
Пусть Ru Tρρ
δ - работа узловых сил Rρ
на возможных пере-
мещениях uρδ в глобальной системе координат а Ru T primeprimeδρρ - рабо-
та узловых сил Rprimeρ
на возможных перемещениях u primeρδ в локаль-
ной системе координат Поскольку работа не зависит от того в
какой системе производятся вычисления то можно записать
RuRu TT primeprime=ρϖρϖ δδ Так как согласно (327) TTT Tuu ρρ δδ =prime то
RTuRu TTT prime=ρϖρϖ δδ Ввиду произвольности вектора Tuρδ получим
RTR T prime=ρρ
][ (331)
Учитывая (318) и (331) можно записать
uTkTukTR TT primeprime==ρρρ
][][][][][
Следовательно преобразование матрицы жесткости эле-
мента выполняется по матричной формуле
[ ] [ ] ][][ TkTk T sdotprime= (332)
133
Составление уравнений равновесия для стержневой
системы
Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат xyz единой для всех элементов конструкции (рис39а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы
Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной системе координат xyz Обозначим через ui вектор перемещений типового узла i Число элементов этого вектора равно числу сте-пеней свободы узла Матрицу внешних сил действующих в узле i в направлении перемещений ui обозначим через Ri
Векторы узловых перемещений и сил для всей конструк-ции обозначим
u=[u1u2hellipum]T R=[R1R2hellipRm]T где m ndash число узлов стержневой системы
Если на элемент конструкции действует внеузловая на-грузка то считаем что на узел i этого элемента действует вектор эквивалентной нагрузки R0i число элементов которого равно числу степеней свободы узла Для всей конструкции можно за-писать вектор R0=[R01 R02 hellip R0m]T
Тогда связь между узловыми силами и узловыми переме-щениями может быть представлена в виде равенства
R=Ku+R0 (333) или в развернутой форме
+
sdot
=
0m
0i
01
m
j
1
m
i
1
R
R
R
u
u
u
R
RΜ
Μ
Μ
Μ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚ
Μ
Μ
mmmjm
imiji
mj
kkk
kkk
kkkR
1
1
1111
134
Если предположить что силы действующие в узлах кон-струкции известны то равенство (333) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно компонентов вектора перемещений u
Ku=Q (334) где Q=R-Ro ndashвектор внешних сил Квадратная матрица K систе-мы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ) Эле-менты kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости k(e)
ij отдельных элементов по формуле )321()( mjikk e
ijij Κ==sum (335)
где суммирование выполняется по всем элементам входящим в стержневую систему При этом нужно учитывать то что
0)( =eijk если соответствующий элемент не соединяет узлы i j
Следовательно для получения ОМЖ можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня k(e)
ij распределить по соот-ветствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости поло-жение которых определяется нижними индексами и затем про-извести суммирование всех накладывающихся элементов
При формировании вектора Q в уравнении (334) можно воспользоваться аналогичным правилом
sum= )(eii QQ (336)
где суммирование производится по всем элементам сходящимся в узле i Описанный прием формирования объединенной матри-цы жесткости и вектора правой части называется методом пря-мых жесткостей и используется при составлении программ реа-лизующих МКЭ
Отметим что в матрице К все ненулевые элементы сгруп-пированы вблизи главной диагонали те образуют своеобразную ленту Ширину этой ленты можно определить по формуле
yee
ennnL sdot+minus= ]1)(max[ )(
min)(
max)( (337)
135
где )(min
)(max ee nn - максимальный и минимальный номера узлов
отдельного элемента по глобальной нумерации ny ndash число сте-пеней свободы в узле максимум берется по всем элементам стержневой конструкции С целью экономии памяти ЭВМ и времени обработки информации матрица K уравнения (333) часто хранится в виде прямоугольного массива размерности NtimesL где N ndash число неизвестных узловых параметров При этом нижний правый треугольник массива дополняется нулями От-метим что чем меньше ширина ленты тем эффективнее работа-ет программа Поэтому необходимо тщательно продумывать глобальную нумерацию узлов системы в то же время порядок нумерации элементов не так важен он определяет только после-довательность заполнения ОМЖ
Определим теперь вектор )(eRρ
узловых силовых факторов в этом элементе laquoеraquo в локальной системе координат oxy В силу формул (318)(327) имеем
)()( ]][[ ee uTkR ρρ= (338)
где )(euρ - вектор узловых перемещений элемента в глобальных координатах оху
Следовательно для вычисления внутренних силовых фак-торов в элементе рамы можно рассмотреть этот элемент отдель-но в виде балки нагруженной на концах вычисленными узловы-ми силовыми факторами По внутренним силовым факторам можно судить о прочности рассматриваемого стержневого эле-мента конструкции
351 Пример расчета плоской рамы Для рамы изображенной на на рис315 построить эпюру
изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1=I Моменты инерции ригелей также одинаковы и равны I2=2I
136
Решение (ручной счет) Примем условно параметр жесткости элемента рамы на
изгиб EI и на растяжение-сжатие EA равными 1 Схема нумера-ции и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис316
Рис 315
Рис 316
Вычислим матрицы жесткости отдельных конечных эле-
ментов в местных координатах направив ось оx от узла с мень-шим номером к узлу с большим номером По формуле (323) имеем
137
654321654321
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)1(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
121110987121110987
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)2(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
151413121110151413121110
333133300667033300333011100333011100001670001670667033300333133300333011100333011100001670001670
)3(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
138
121110654121110654
333166700667066700667044400667044400003330003330667066700333166700667044400667044400003330003330
)4(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
181716121110181716121110
000137500500037500375018700375018700002500002500500037500000137500375018700375018700002500002500
)5(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
Согласно (333) вычислим теперь матрицы жесткости эле-
ментов в глобальной системе координат xyz Используя формулы (332) составляем матрицы преобра-
зования координат Так как для горизонтальных стержней рамы локальные оси совпадают с направлением глобальных осей то матрица Т в этом случае является единичной Для вертикальных стержней
139
minus
minus
=
100000001000010000000100000001000010
T
Производя перемножение матриц по формуле (332) полу-чим для 4-й и 5-й стержней
121110654121110654
333106670667006670033300033300667004440667004440
667006670333106670033300033300667004440667004440
)4()4(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
181716121110181716121110
000103750500003750025000025000375001870375001870
500003750000103750025000025000375001870375001870
)5()5(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
140
Справа от матриц обозначены номера строк а под ними - номера столбцов соответствующие степеням свободы данного стержня Заметим что перемножение матриц при ручном счете удобнее производить в системе Mathcad
Для получения обобщенной матрицы жесткости всей рамы поместим все элементы матрицы жесткости )(e
ijk каждого стерж-ня е в ячейки ОМЖ согласно нижним индексам по формуле (335) и просуммируем все элементы попавшие в одну и ту же ячейку Например
88602500333011101920
29203750667000
99901870444016702000
644044402000
)5(1111
)4(1111
)3(1111
)2(11111111
)5(1210
)4(1210
)3(1210
)2(12101210
)5(1010
)4(1010
)3(1010
)2(10101010
)4(44
)1(4444
=+++=
=+++=
minus=+minus+=
=+++=
=+++=
=+++=
=+=+=
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkk
В результате получим объединенную матрицу жесткости (ОМЖ) прямоугольная лента (18times9) которой имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
2 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
3 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
4 0644 0 0667 0 0 0 -0444 0 0667
5 0525 -0480 0 0 0 0 -0333 0 0
6 2933 0 0 0 -0667 0 0667 0 0
7 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
8 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
9 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
10 0999 0 -0292 -0167 0 0 -0187 0 0375
11 0886 -0147 0 -0111 0333 0 -0250 0 0
141
12 5267 0 -0333 0667 -0375 0 0500 0 0
13 0167 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0111 -0333 0 0 0 0 0 0 0
15 1333 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0187 0 -0375 0 0 0 0 0 0
17 0250 0 0 0 0 0 0 0 0
18 1000 0 0 0 0 0 0 0 0
Векторы узловых сил эквивалентных внешним нагрузкам в глобальной системе xyz координат равны
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000300020000000300020000
000000000000000000000000
083250020000083250020000
181716121110)5(
121110654)4(
151413121110)3(
121110987)2(
654321)1(
T
T
T
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
=
=
minusminusminus=
=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Над элементами этих векторов указаны соответствующие
номера степеней свободы концов каждого стержня которые по-зволяют сформировать вектор правой части Q уравнения (334) с использованием формулы (336)
142
T
Q
minus
minusminus
minusminusminus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300020000
000300020000000000000000
083250020000083250020000
Таким образом получены левая и правая части системы линейных алгебраических уравнений вида (17) где u=[u1u2hellipu18]T- вектор неизвестных узловых перемещений ра-мы
Учет граничных условий Матрица K в системе уравнений (334) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию те
u1= u2 = u8 = u14 = u16 = u17 = u18 = 0 Так как размеры поперечных сечений стержней достаточ-
но малы по сравнению с их длинами то влиянием осевых де-формаций на перемещения в рамах можно пренебречь Поэтому расчет можно несколько упростить если считать что изменение длин элементов равны нулю те дополнительно принять u4 = u5 = u11 =0
Учет заданных перемещений можно произвести следую-щим образом Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (334) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диа-гонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на 11∆k -члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в
правую часть системы
143
Аналогично учитываются и остальные заданные переме-щения Тогда вектор правой части системы (334) преобразуется к виду
T
Q
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300000000
000300000000000000000000
083200000000083200000000
Решая эту систему одним из известных методов например методом Гаусса получим искомый вектор перемещений в гло-бальных осях oxy
T
u
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
Следовательно каждый узел исходной рамы при заданной внешней нагрузке получает перемещения выражаемые вектора-ми
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
TT
TT
TT
uu
uu
uu
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
65
43
21
==
minus==
=minus=
Вычислим теперь соответствующие векторы узловых си-ловых факторов для каждого элемента по формулам (338)
144
[ ][ ][ ][ ][ ] 027901616049605618501616049605
28261161606600279780161606602
000004469100000318735531200000
41761283500000000002835000000
797806596216100000003404216100
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
T
T
T
T
T
R
R
R
R
R
minusminusminusminus=
minusminusminus=
minusminus=
minusminusminusminus=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Используя эти узловые силовые факторы выписываем
формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис317)
Рис 317
M(x) = R2
(1)sdotx ndashqx22 = 2340sdotx ndash05sdotx2 (квадратичная фунция) M(0) = 0 M(5) = 23404sdot5-05sdot25 = -0798 кНм M(25) = 23404sdot25-05sdot252 = 2726 кНм
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке
мxxdx
xdM 342034042)(00 =rArr=minus=
M(234) = 23404sdot234-05sdot2342 = 2738 Q = 23404-qsdotx (линейная функция) Q(0) = 2340 Q(5) = -2660 кН N = 0161 кН
После построения эпюры Q значения продольной силы в стержнях рамы можно также найти вырезанием ее узлов и про-
145
ектированием всех сил на соответствующие оси При этом рас-тягивающая продольная сила считается положительной Окончательные эпюры M Q и N приведены на рис318 319 и 320 Эти эпюры полностью совпадают с эпюрами построенны-ми в [11] методом перемещений
Рис 318
Рис 319
146
Рис 320
352 Расчет рамы в среде Mathcad Решим эту же задачу (рис315) с использованием матема-
тического пакета Mathcad
ORIGIN 1=
l
5
5
6
3
4
= E
1
1
1
1
1
= A
1
1
1
1
1
= I
2
2
2
1
1
= α
0
0
0
πminus
2
πminus
2
=
147
148
se 1( )
02
0
0
02minus
0
0
0
0192
048
0
0192minus
048
0
048
16
0
048minus
08
02minus
0
0
02
0
0
0
0192minus
048minus
0
0192
048minus
0
048
08
0
048minus
16
=
se 3( )
0167
0
0
0167minus
0
0
0
0111
0333
0
0111minus
0333
0
0333
1333
0
0333minus
0667
0167minus
0
0
0167
0
0
0
0111minus
0333minus
0
0111
0333minus
0
0333
0667
0
0333minus
1333
=
149
R e qx qy( )
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qyminus le( )2sdot
12
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qy le( )2sdot
12
= R1 e P( )
0
05minus Psdot
Pminus lesdot
8
0
05minus Psdot
P lesdot
8
=
Q1
0
25minus
2083minus
0
25minus
2083
= Q2
0
0
0
0
0
0
= Q3
0
2minus
3minus
0
2minus
3
= Q4
0
0
0
0
0
0
=
150
T 1( )
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
= T 4( )
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
=
seg e( ) T e( )T se e( )sdot T e( )sdot= Q e( ) T e( ) Qesdot=
151
Составление матрицы индексов
ITT 1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
= IT1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
T=
nue 2= nse 6= neq 18= nel 5=
I 1 neq= J 1 neq= SGLI J 0= QGLI 0=
i1 1 nel= j1 1 3= k1 1 3=
IGi1 k1 ITi1 1 1minus( ) 3sdot k1+= JGi1 k1 ITi1 2 1minus( ) 3sdot k1+=
e 1 nel= i 1 nse= j 1 nse=
seg e i j( ) seg e( )i j= Q1 e i( ) Q e( )i=
SGL MIe i MIe j( ) SGL MIe i MIe j( ) seg e i j( )+=
QGL MIe i( ) QGL MIe i( ) Q1 e i( )+=
QGLT 1 2 3 4 5
1 0 -25 -2083 0 -25=
152
Учет граничных условий
Обновление матрицы системы в соответствии с заданными граничными условиями
i1 1 ndis=
nsd 1 1= nsd 2 2= nsd 3 4= nsd 4 5= nsd 5 8=
nsd 6 11= nsd 7 14= nsd 8 16= nsd 9 17= nsd 10 18=
QGL
j1 nsd i1larr
k1 nsd i1larr
QGLk1 QGLk1 SGLk1 j1 disi1sdotminuslarr
k1 k1 1+larr
k1 neqleif
l1 1 neqisinfor
QGLj1 disi1larr
i1 1 ndisisinfor
QGL
=
QGLT1 2 3 4 5
1 0 0 -2083 0 0=
neq 18=
k1 1 neq=
SGLnsdi1 k1 if k1 nsd i1 1 0( )=
disi1 0=
153
Решение системы уравнений
Векторы перемещений узлов рамы
Перемещения узлов элементов рамы в глобальных осях
minusminus
minusminusminus=
01811841218119391000000501150115011018119391181159102722
0000050110501150110
Ue
SGLk1 nsdi1 if k1 nsd i1 1 0( )=
UT 1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 -2272 0 0 1939 1501=
U SGL 1minus QGLsdot=
u1 0 0 2272minus( )T= u2 0 0 1939( )T=
u3 1501 0 0591( )T= u4 1501 0 1181minus( )T=
u5 1501 0 2841( )T= u6 0 0 0( )T=
k 1 nel= j 1 nse=
Uej k UMI k j=
154
minusminusminusminus
minusminusminusminus
=
02790282610417617978016160161604469128350659620000061850797803187300161601616055312283503404200000
R
Используя эту матрицу можно выписать формулы для
внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис321)
Uel klang rang T k( ) Ue klang rangsdot= Uel
0
0
2272minus
0
0
1939
1501
0
0591
1501
0
1181minus
1501
0
1181minus
1501
0
2841
0
0
1939
0
1501
1181minus
0
1501
1181minus
0
0
0
=
q 1= L l1=
R2 R 1lang rang( )2= R3 R 1lang rang( )
3= R5 R 1lang rang( )5= R6 R 1lang rang( )
6minus=
R2 23404= R3 0= R5 26596= R6 07978=
155
Рис 321 Изгибающий момент M и поперечная сила Q от внешних
сил в сечении х балки
32
2)(2
RxqxRxM +sdotminussdot=
(квадратичная функция)
Значения ординат эпюр в характерных точках
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке х0 Начальное приближение
M(x0) = 2739
Q x( )xM x( )d
d=
n 100= x 0Ln L=
M 0( ) 0= M 25( ) 2726= M L( ) 0798minus=
Q 0( ) 234= Q L( ) 266minus=
x0 root Q x( ) x( )= x0 234=
n 100= x 0Ln L=
156
Для стержня 2
M(x) = R2middotx +R3 (линейная функция)
0 xle l2le L l2= L 5=
R2 R 2lang rang( )2= R3 R 2lang rang( )
3= R5 R 2lang rang( )5= R6 R 2lang rang( )
6minus=
R2 02835minus= R3 0= R5 02835= R6 14176=
Q x( ) R2= const M 0( ) 0= M L( ) 1418minus=
Q 0( ) 0284minus= Q L( ) 0284minus=
x 0Ln L= n 100=
157
Для стержня 3
L l3= F 4=
R2 R 3lang rang( )2= R3 R 3lang rang( )
3= R5 R 3lang rang( )5=
158
R2 25531= R3 33187= R5 14469=
M 0( ) 3319minus= M 3( ) 4341= M 6( ) 0=
Q 0( ) 2553= Q 299( ) 2553= Q 3( ) 1447minus=
n 100= x 0Ln L=
Q L( ) 1447minus=
159
Для стержня 4
(линейная функция )
Для стержня 5
L l4= L 3=
R2 R 4lang rang( )2= R3 R 4lang rang( )
3= R5 R 4lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 07978= R5 01616=
Q x( ) R2= const
Q 0( ) 0162minus= M 0( ) 0798minus= M L( ) 1283minus=
n 100= x 0Ln L=
0 xle l5le L l5= L 4=
R6 12826=
R6 R 4lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=
160
(линейная функция)
Приступим теперь к построению упругой линии элементов рамы Запишем функции Эрмита
R2 R 5lang rang( )2= R3 R 5lang rang( )
3= R5 R 5lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 06185minus= R5 01616=
R6 00279=
Q x( ) R2= const
M 0( ) 0619= M L( ) 0028minus=
n 100= x 0Ln L=
R6 R 5lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=Q 0( ) 0162minus=
161
Функция формы
Формулы для прогибов элементов рамы w(xe)
E2 x L( ) 1 3x2
L2sdotminus 2
x3
L3sdot+= E3 x L( ) x 2
x2
Lsdotminus
x3
L2+=
E5 x L( ) 3x2
L2sdot 2
x3
L3sdotminus= E6 x L( )
x2minus
Lx3
L2+=
162
36 Решение плоской задачи теории упругости в среде
Mathcad Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном
состоянии (НДС) панели с квадратным отверстием посере-дине защемленной по боковым краям при действии сил тяжести Длина и высота панели L=10 м толщина h=1 На краю свободного отверстия задаем нулевые нормальные σn и касательные τn напряжения
Расчет этой задачи проведем методом конечных эле-ментов [1-3] Так как панель имеет две оси симметрии то рассматривается лишь четверть этой панели (рис322) На выделенную часть панели наносится сетка треугольных конечных элементов и указываются способы закрепления граничных узлов в соответствии с граничными условиями Внутри конечного элемента принимается линейная зави-симость перемещений от координат которая обеспечивает непрерывность поля перемещений во всей рассматривае-
163
мой области Деформации материала панели полагаем уп-ругими В каждом узле сетки прикладываем узловую на-грузку которая заменяет силу тяжести рассматриваемой панели
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задание исходных данных
Рис 322
164
Число конечных элементов ансамбля nel = 42 Число узлов ансамбля nuz = 32 neq = nuzmiddotnsu neq = 64
1 - пл напр состояние 2 - плоская деформация Толщина пластины
Упругие постоянные элементов
модуль Юнга
Коэффициент Пуассона
Разбиение области на конечные элементы задание номеров
узлов и КЭ
L 1= n 10= hLn
= h 01=
hx
h
h
h
h
h
h
= hy
h
h
h
h
h
h
=
165
Матрица координат узлов и глобальные номера узлов ансамбля элементов
nx 6= ny 6= nx1 4= ny1 4=
cuz k1 0larr
sx hx1minuslarr
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 nyisinfor
i1 nx1leif
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 ny1isinfor
i1 nx1gtif
i1 1 nxisinfor
cuz
=
cuz
1 2
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0 00 01
0 02
0 03
0 04
0 05
01 0
01 01
01 02
01 03
01 04
01 05
02 0
02 01
02 02
02 03
02 04
02 05
03 0
03 01
03 02
03 03
03 04
=
166
Генерация глобальных номеров узлов элементов ансамбля
nug37 1 25= nug37 2 29= nug37 3 26=
nug38 1 30= nug38 2 26= nug38 3 29=
nug39 1 26= nug39 2 30= nug39 3 27=
167
Формирование матрицы индексов степеней свободы
Формирование матрицы жесткости элемента k
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug42 1 32= nug42 2 28= nug42 3 31=
i 43 50= j 1 3= nug i j 0=
k 1 nel= i 1 3=
k 1 nel= i 1 3=
MIk 2 isdot 1minus 2 nugk isdot 1minus= MIk 2 isdot 2 nugk isdot=
x cuz 1lang rang= y cuz 2lang rang=
a k( )
x nugk 3( ) x nugk 2( )minus
x nugk 1( ) x nugk 3( )minus
x nugk 2( ) x nugk 1( )minus
= b k( )
y nugk 2( ) y nugk 3( )minus
y nugk 3( ) y nugk 1( )minus
y nugk 1( ) y nugk 2( )minus
=
Ak 05
1
1
1
x nugk 1( )x nugk 2( )x nugk 3( )
y nugk 1( )y nugk 2( )y nugk 3( )
= A1 5 10 3minustimes=
168
Матрица деформаций элемента под номером k
Матрица упругости элемента
Матрица жесткости элемента k
Формирование глобальной матрицы жесткости и правой части системы уравнений
i 1 neq= j 1 neq= sgli j 0=
i 1 6= j 1 6= k 1 nel=
169
Учет граничных условий
qtd14 05 Psdot= j1 1 neq=
qtd18 P= qtd20 P= qtd22 P= qtd24 05 Psdot=
qtd26 05 Psdot= qtd28 P= qtd30 P= qtd32 P=
qtd34 P= qtd36 05 Psdot= qtd38 05 Psdot= qtd40 P=
qtd42 P= qtd44 075 Psdot= qtd46 05 Psdot= qtd48 025 Psdot=
qtd50 05 Psdot= qtd52 P= qtd54 P= qtd56 05 Psdot=
qtd58 025 Psdot= qtd60 05 Psdot= qtd62 05 Psdot= qtd64 025 Psdot=
j 1 neq= i 1 rows nsd( )=
qtd jqtd j qtd j sgl j nsdi disisdotminuslarr
i 1 rows nsd( )isinfor= qtd nsdi( ) sgl nsdi nsdi( ) disisdot=
sglnsdi j sgl nsdi j( ) nsd i jif
0 otherwise
= sgl j nsdi sgl j nsdi nsd i jif
0 otherwise
=
qtd j1 0= qtd16 P=
170
Нахождение узловых перемещений
Построение линии прогибов верхней кромки панели
i 1 6= uei k ud MI k i( )=
rz i1 0larr
i1 i1 1+larr
rzj1 k1 udi1larr
j1 1 nsuisinfor
k1 1 nuzisinfor
rz
=
rz2 29 32238= rz2 25 29789= rz2 19 24556=
rz2 13 17509= rz2 7 8945= rz2 1 0=
w1 rz2 29= w2 rz2 25= w3 rz2 19=
w4 rz2 13= w5 rz2 7= w6 rz2 1=
171
Значения прогибов по верхней кромке выреза
Значения прогибов по оси симметрии панели rz224 = 18122
Горизонтальные перемещения по торцу выреза
Определение векторов деформаций и напряжений в эле-менте к
Вычисление главных напряжений и направления главной
площадки в элементе k
rz2 32 3115= rz2 28 29346= rz2 22 22084=
rz2 16 16632= rz2 10 9268= rz2 4 0=
rz2 18 15667= rz2 12 9315= rz2 6 0=
rz1 22 175minus= rz1 23 0734minus= rz1 24 0=
εel klang rang Bk ue klang rangsdot= σel klang rang D εel klang rangsdot=
σel 1lang rang583522
97254
383367
= σel 2lang rang
181125
4388
220592
= σel 3lang rang
178778
29796
389235
=
cck
σel klang rang( )1 σel klang rang( )
2+
2=
ggk
σel klang rang( )2 σel klang rang( )
1minus
2
2
σel klang rang( )3
2+=
172
Определение векторов деформаций и напряжений в узлах ансамбля элементов
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в узлах
σgel1 k cck ggk+= σgel2 k cck ggkminus=
k 1 nel= j 1 nue= i 1 nuz= j1 1 nue=
σ j1 i 0= ε j1 i 0= koli 0= kol nugk j( ) kol nugk j( ) 1+=
σ j1 nugk j σ j1 nugk j σelj1 k+= σ j1 iσ j1 i
koli=
ε j1 nugk j ε j1 nugk j εelj1 k+= ε j1 iε j1 i
koli=
cciσ1 i σ2 i+
2= ggi
σ2 i σ1 iminus
2
2
σ3 i( )2+=
σgl1 i cci ggi+= σgl2 i cci ggiminus=
173
Напряжения и деформации в направлении оси 0Z
Интенсивности напряжений и деформаций в узле i
σ4 i σ3 i= σ3 i ν σ1 i σ2 i+( )sdot mdef 2if
0 otherwise
=
ε4 i ε3 i= ε3 i νminus ε1 i ε2 i+( )sdot mdef 1if
0 otherwise
=
maxσi max σi( )= maxσi 85681=
εii2
2 1 ν+( )sdotε1 i ε2 iminus( )2 ε2 i ε3 iminus( )2+ ε3 i ε1 iminus( )2+
32
ε4 i( )2sdot+sdot=
maxεi max εi( )= maxεi 8505=
σxv1 σ1 29= σxv2 σ1 25= σxv3 σ1 19=
σxv4 σ1 13= σxv5 σ1 7= σxv6 σ1 1=
σxl1 σ1 29= σxl2 σ1 30= σxl3 σ1 31=
σxl4 σ1 32=
174
Нормальные напряжения sx по верней кромке и на оси симметрии панели
Касательные напряжения txy в вертикальном сечении
вблизи заделки
τ1 σ4 7= τ2 σ4 2= τ3 σ4 3=
τ4 σ4 4= τ5 σ4 5= τ6 σ4 6=
175
Нормальные напряжения sx в вертикальном сечении вдоль заделки
Нормальные напряжения sу в горизонтальном сечении на
уровне верхнего края выреза
σx1 σ1 1= σx2 σ1 2= σx3 σ1 3=
σx4 σ1 4= σx5 σ1 5= σx6 σ1 6=
σy1 σ2 22= σy2 σ2 16= σy4 σ2 4=σy3 σ2 10=
176
4 АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МКЭ
41 Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS
В настоящее время все более широкое распространение среди инженеров-расчетчиков находит программа ANSYS по-зволяющая решать самые разнообразные задачи во многих ин-женерных приложениях [8-10] Средства заложенные в этой программе могут учитывать различные нелинейности поведе-ния материала конструкции допускают наличие больших (ко-нечных) деформаций и углов поворота решать контактные зада-чи и многое другое Система меню панели инструментов и диа-логовые окна обеспечивают автоматический ввод исходных данных автоматическое разбиение области на сетку конечных элементов и выбор соответствующих действий В комплекс AN-SYS входят различные специализированные программы Напри-мер программа ANSYSMultiphysics предназначена для решения широкого круга инженерных задач позволяет проводить проч-ностные расчеты сооружений исследования в области тепло-проводности механики жидкостей и газов электромагнетизма а также решать связанные задачи Программа ANSYSMechanical служит для выполнения проектных разработок анализа и опти-мизации решение сложных задач прочности конструкций теп-лопередачи и акустики
42 Подготовка параметров компьютера и вход
в программу в интерактивном режиме Перед входом в пакет ANSYS необходимо установить раз-
решение дисплея не менее 1024times768 пиксел и задать цветовую палитру включающую в себя не менее 256 цветов Программа ANSYS может работать в двух режимах пакетном (Batch) и ин-терактивном (Interactive) В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается про-граммой пользователя которая составляется с помощью
177
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
178
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
179
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
180
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
181
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
182
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
183
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
184
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
185
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
186
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
187
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
188
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
189
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
190
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
191
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
192
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
193
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
194
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
195
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
196
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
197
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
198
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
199
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
200
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
201
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
202
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
203
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
204
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
205
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
206
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
207
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
208
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
209
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
210
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
211
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
212
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
213
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
214
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
215
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
216
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
217
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
218
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
219
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
220
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
221
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
222
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
223
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
224
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
225
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
226
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
227
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
228
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
229
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
230
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
231
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
232
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
233
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
234
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
235
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
236
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
237
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
238
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
239
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
240
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
241
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
242
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
243
7) сформировать вектор Qρ
и матрицу pS для записи сис-темы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде
8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты при необходимости провести дополнительные расчеты изменяя вектор внешней на-грузки
9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс со-стоящий из четырех горизонтальных стержней
10) провести расчет фермы с использованием блок-схемы (п122) и программы (п123)
11) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п 111) I)
II)
244
III)
IV)
V)
VI)
245
VII)
VIII)
IX)
246
X)
Рис1
Таблица 1 Внешние силы кН Размеры
м строки
Расчет ная схема P1 P2 P3 P4 P5 d h
Угол α град
пане-ли
1 I 5 6 1 2 2 30 45 45 2 2 II 4 8 3 6 1 40 60 30 3 3 III 3 0 5 7 8 50 75 45 2 4 IV 2 9 7 9 3 32 48 60 3 5 V 1 7 9 8 4 42 62 90 2 6 VI 0 1 10 5 5 52 76 30 3 7 VII 6 2 8 3 9 35 50 45 2 8 VIII 7 3 6 1 7 45 65 60 3 9 IX 8 4 4 4 6 38 55 30 2 0 X 9 5 2 0 0 48 70 45 3 в а б в а б в б а
Задание 2 Расчет статически неопределимых ферм Для заданной фермы (рис2) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях Варианты расчетных схем ферм и числовые данные к ним студент выбирает из таблицы 1
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (п221)
1) установить число лишних неизвестных и выбрать ос-новную систему
247
2) определить усилия в основной системе от единичной силы и от внешней нагрузки предварительно пронумеровав стержни фермы
3) составить векторы единичной едNρ
и грузовой PNρ
про-дольных сил
4) вычислить длины стержней фермы и сформировать мат-рицу ФD упругих податливостей стержней исходной фермы
5) провести последовательность матричных операций в со-ответствии с формулой
( ) PPФТедедФ
Тедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+sdotminus= minus1)(
и получить вектор усилий N
ρ в исходной ферме
6) используя блок-схему (п 223) и программу (п224) провести расчет на ЭВМ
7) заменив вектор PNρ
матрицей PN столбцы которой представляют собой усилия в соответствующих стержнях фермы от действия подвижной нагрузки Р = 1 в узлах грузового пояса провести аналогичные матричные вычисления
8) по результатам вычислений построить линии влияния лишнего неизвестного и усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс состоящий из четырех горизонтальных стержней
9) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п211) 10) сравнить результаты всех расчетов
248
I)
II)
III)
249
IV)
V)
VI)
VII)
250
VIII)
IX)
X)
Рис2
251
Задание 3 Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвиж-но закрепленными одним или двумя концами находится под действием внешних крутящих моментов (рис3)
Рис3
Требуется - составить систему линейных уравнений по МКЭ - найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их че-
рез M l и D - построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных
касательных напряжений τmax - построить эпюру крутящих моментов Т - при заданном значении допускаемого касательного на-
пряжения τadm=70МПа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
- найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
- составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реали-зующую алгоритм решения задачи
252
Таблица 2 строки l1l l2l l3l l4l d1D d2D
1 1 05 24 05 20 04 2 15 07 22 06 11 13 3 06 09 20 07 12 12 4 08 11 18 08 13 11 5 09 13 16 09 14 10 6 15 15 14 10 15 09 7 20 17 12 11 16 08 8 16 19 10 12 13 17 9 18 21 08 13 18 06 0 19 23 06 14 19 05 а б в а б в
Таблица 3 стро-
ки М1M M2M M3M MлевM MпрМ
1 -20 0 -13 infin -13 2 19 -10 14 -1 infin 3 -18 0 -13 infin 16 4 17 -08 12 infin infin 5 -16 07 -11 infin -14 6 15 0 10 15 infin 7 -14 05 -09 infin infin 8 13 0 08 11 infin 9 -12 05 -07 infin -15 0 11 0 06 -13 infin а б в в
Замечание 1 В таблице 3 значок ldquoinfinrdquo обозначает что соот-ветствующий конец вала неподвижно закреплен (заделан) Если значка ldquoinfinrdquo нет то соответствующая заделка отсутству-ет и к этому концу приложен момент Млев или Мпр
253
2 При знаке минус (-) внешний крутящий момент следует направить в противоположную сторону
Задание 4 Расчет рам МКЭ Для заданной рамы (рис4) с размерами и нагрузкой вы-
бранными из таблицы 4 требуется построить эпюры изгибаю-ших моментов M поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1 а риге-лей - I2
При выполнении задания необходимо -провести ручной счет МКЭ (см пример расчета в п321) -решить задачу в среде Mathcad (п322) -с помощью блок-схемы алгоритма решения задачи
(п312) составить и отладить программу на языке Турбо Пас-каль (аналогично программе в п313)
-сравнить результаты ручного счета с вычислениями на ЭВМ I) II)
F1
F2 F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05h1
05l2
F1 F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2
l3
05l1
254
III) IV)
V) VI)
F1
F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2 05l1
l1 l2
h1
h2
q1 q2
q3
F1 F2
F3
05l2
l1 l2
h1
h2
05l1 q1
q2
q3
F1
F2
F3
05l1 05l2 F1 F2
F3 q1 q2
q3
l1 l2
h1
h2
05h1
255
VII) VIII)
IX) X)
Рис4
05l1
05h
l1 l2
h1
h2 F3
F2 F1 q1
q2
q3
h1
h2
l1 l2
F1 F2
F3
q2 q1
q3
05h2
05l1 05l2
05l1 05l2
F1 F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05l1
05l2 F1
F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05h2
256
Таблица 4
Размеры м Внешние нагрузки
строк
Расч схе-ма по рис
4
l1 h1 l2 h2 F1 kH
F2 kH
F3 kH
q1 kHм
q2 kHм
q3 kHм
1
2
II
1 I 4 6 3 4 4 - - 1 - - 2 2 II 5 7 8 3 5 - - - 2 - 1 3 III 6 5 4 5 - 5 - - - 14 3 4 IV 7 4 4 6 - 6 - 2 - - 1 5 V 8 5 5 7 - - 6 - 3 - 2 6 VI 7 6 5 8 - - 8 - - 1 3 7 VII 8 7 3 7 6 - - 12 - - 1 8 VIII 6 8 4 3 6 - - - 2 - 2 9 IX 5 4 5 4 2 4 - - - 2 3 0 X 4 6 6 5 - 4 - 1 - - 1 в б а в б а
Список использованной литературы
1 Дарков АВ Шапошников НН Строительная механика
Учеб для строит спец вузов -8-е изд перераб и доп- МВысш шк1986 -607 сил
2 Образцов ИФ Савельев ЛМ Хазанов ХС Метод ко-нечных элементов в задачах строительной механики летатель-ных аппаратов Учеб пособие для вузов- МВысш шк1985-392 сил
3 Масленников АМ Расчет строительных конструкций численными методами Учеб пособие- Л Изд-во Ленингр ун-та 1987 -224 с
4 Руководство к практическим занятиям по курсу строи-тельной механики (статика стержневых систем) Учеб Пособие для студентов вузов Под ред ГККлейна ndash 4-е изд перераб и доп ndash МВысш шк 1980
257
5 Алгоритмизация расчетов сложных стержневых систем
Благонадежин ВЛ Воронцов АНСамсонов ЮП Под ред АВПетровского -ММоск энерг ин-т1986 -96 с
6 Норри Д де Фриз Ж Введение в метод конечных эле-ментов Пер с англ-М Мир 1981- 304 с ил
7 Бундаев ВВ Расчет рам методом конечных элементов Методические указания по строительной механике для студен-тов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 2003-36сил
8 ANSYS Basic Analysis Procedures Guide ANSYS Release 56 ANSYS Inc 1998
9 Каплун АБ Морозов ЕМ Олферьева МА ANSYS в руках инженера Практическое руководство ndash М Едиториал УРСС 2003 ndash 272 с
10 Сметанников ОЮ Статический анализ уголкового кронштейна В сб ANSYS 55ED (Московское представитель-ство CAD-FEM GmbH) (Ansys_edding_russian Education Struc-tural Bracket1999)
11 Бундаев ВВ Расчет плоской статически неопредели-мой рамы методом перемещений Методические указания по выполнению расчетно-проектировочной работы и контрольные задания для студентов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 1987-34сил
258
Учебное издание
Бундаев Валерий Викторович
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Редактор ТЮ Артюнина Ключевые слова руководство пособие Mathcad система рама ферма задача пример программа расчет метод МКЭ ANSYS Подписано в печать Формат 60times84 116 Услпл уч-издл Печоператив бумписч Тираж 100_экз С 38_____________________________________ Издательство ВСГТУ гУлан-Удэ улКлючевская 40в
11
лучена составлением уравнений равновесия для стержня изо-браженного на рис11б
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней ( рис12)
Пусть [ ]Txyjyjxjj PPPP =ρ
- вектор внешней нагрузки
приложенный к узлу j а [ ]Teeee MYXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда условие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(110)
Далее перейдем к
составлению уравнений равновесия для всей сис-темы в целом Обозна-чим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ21=
вектор внутренних уси-лий в стержнях фермы Компоненты этого век-тора выражаются через векторы усилий для
концевых сечений каждого стержня в виде равенств [ ]еkеkеkенененe MYXMYXY =
ρ
Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной мат-рицы cS
1YSPρρ
= (111)
Рис12
Pxyj j
Pyj
Pxj
Ye
Xe
12
Здесь прямоугольная блочная матрица 1S имеет 3У строки и 6С столбцов и получается из структурной CS заменой элементов 1
на блок 1E элементов -1 на блок 2E и элементов 0 на нуле-вую матрицу Ο те
=
000100000010000001
1E
=
100000010000001000
2E
=Ο
000000000000000000
Уравнения (111) необходимо дополнить соотношениями связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (19) которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде
02 =YSρ
(112)
где 2S квазидиагональная матрица
ΟΟΟ
ΟΟΟΟΟΟ
=
CE
EE
S
3
23
13
2 ΛΛΛΛ
блоки которой
)21(1001010010001001
3 Cell
E
exey
e Κ=
minus=
Объединив (111) и (112) получим матричное уравнение
YSSPQ
ρρρ
ρsdot
=
=
2
1
0
(113)
13
которое связывает внешние силы приложенные к узлам систе-мы с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней а также связь внутренних усилий между собой Уравнение (113) можно записать в более компактной форме
YSQρρ
sdot= (114)
Размерности векторов Qρ
и Yρ
соответственно равны (3У+3С)times1 и (6Сtimes1) а матрицы S - (3У+3С)times6С Следователь-но матрица S в общем случае не является квадратной Однако
с учетом того что среди компонентов вектора Pρ
имеются неиз-вестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки а также среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (напри-мер моменты в сечениях около шарниров) уравнение (114) за-писывается в виде
ZST P
ρρsdot= (115)
где вектор Tρ
получается из вектора Qρ
удалением тех элемен-тов которые соответствуют наложенным на систему связям (на-пример числу опорных стержней С0) а вектор Z
ρ - из вектора Y
ρ
удалением тех элементов которые являются заведомо нулевыми и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе Матрица PS получается из матрицы S удалением строк соот-
ветствующих удаленным элементам в векторе Qρ
и столбцов
соответствующих удаленным элементам вектора Yρ
Для разрешимости системы (115) необходимо чтобы мат-
рица PS была квадратной поэтому должно выполняться усло-вие
3У+3С-Соп = 6С-Ш или
3У = 3С+Соп-Ш те число уравнений равновесия равно числу неизвестных уси-лий
14
Кроме этого определитель системы det PS должен быть отличным от нуля Это условие означающее геометрическую неизменяемость конструкции является достаточным условием разрешимости рассматриваемой системы (115)
Тогда вектор неизвестных усилий Zρ
легко определяется решением системы (115)
TSZ P
ρρsdot= minus1 (116)
Затем строим вектор Yρ
после этого с использованием равенства (114) находим опорные реакции а с помощью соотношений (18) определяем внутренние усилия в элементах рассматривае-мой конструкции
Отметим два случая которые могут встретиться при рас-чете конструкций
-опорный стержень не совпадает ни с одним из направле-ний общей системы координат В этом случае вместо опорного стержня вводят некоторый конструктивный стержень произ-вольной длины направление которого совпадает с направлением опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опор-ными стержнями параллельными осям координат
-сосредоточенный момент действует в непосредственной близости около шарнира Для общности расчета этот момент следует считать приложенным на некотором малом удалении lx (lx rarr 0) от шарнирного узла При этом формируя матрицу 2S
при заполнении соответствующей матрицы eE 3 нужно поло-жить lex и ley равными нулю
При расчете стержневой системы на действие нескольких вариантов нагрузки 321 Κ
ρρρPPP в уравнениях (114) и (115)
вектор нагрузки Pρ
можно заменить матрицей нагрузки [ ]Κ
ρρρ321 PPPP = а вектора ZYTQ
ρρρρ - соответствующи-
ми матрицами ZYTQ
15
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляется аналогично с учетом их особенностей изложенных в п11
111 Расчет рамы в среде Mathcad
Исходные данные для рамы изображенной на рис13 а - характерный размер длин стержней рамы nuz -число узлов рамы nel- число элементов рамы
a 3= nuz 7= nel 6= Пронумеруем узлы и стержни рамы (см рис13) запишем
структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С (13)
16
Sc
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
0
1
1minus
0
0
0
0
0
1
0
1minus
=
Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей
системы координат xoy (11) и (12)
Вычислим длины стержней рамы (14)
Определяем направляющие косинусы (15)
17
Составим матрицу равновесия S1 которая получается из
структурной Sc заменой в последней элементов 1 на матрицу Е1 элементов -1 на Е2 а нули на соответствующие нулевые матри-цы Эта матрица устанавливает связь между векторами внешней нагрузки P и усилий во всех стержнях рамы Y по формуле
P = S1Y
где i-ой компонентой вектора Y являются усилия Yi = [Xin Yin Min Xik Yik Mik]T в i-м стержне
18
Сформируем теперь блочно-диагональную матрицу S2
устанавливающую связь между усилиями в начале и конце каж-дого стержня с помощью матричного соотношения S2middotY=0 (112)
- единичная квадратная матрица размер-ности nelmiddotnel
19
Получим матрицу S объединением матриц S1 и S2 с по-мощью встроенной в Mathcad функции stack
Запишем векторы внешних нагрузок действующие в каж-
дом узле рамы Опорные реакции в расчет не принимаются так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены
P2
3
0
0
= P1
0
0
0
= P3
3
0
0
= P4
0
0
0
=
20
Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов расположенных ниже Pi
Учет граничных условий nop - число опорных стержней
nsv - вектор компоненты которого соответствуют наложенным на систему связям В матрице S и в векторе Q необходимо уда-лить соответствующие строки и элементы
P5
0
0
0
= P6
0
0
0
= P7
0
10minus
0
=
Q
Qi 0larr
i 1 rows S( )isinfor
r1 3 isdot 2minuslarr
Qr1 i1+ 1minus Pi( )i1larr
i1 1 3isinfor
i 1 nuzisinfor
Q
=
Q20 10minus=
nop 3= nsv1 1= nsv2 2= nsv3 17=
21
Отметим что элементами составного массива А являются
матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях рамы Y
Используя равенство Q = SY определим опорные
реакции Rx1 = Q1 Ry1 = Q2 и R y6 =Q17
Z A1( ) 1minus A2sdot=
Q S Zsdot=
ZT 1 2 3 4 5
1 -6 -8 0 6 8=
QT 1 2 3 4
1 -6 -8 0 3=
22
Используя формулы перехода к местным системам коор-
динат определим усилия в сечениях стержней фермы i 1 nel=
Ry1 Q nsv 2( )= Ry6 Q nsv 3( )= Rx1 Q nsv 1( )=
Rx1 6minus= Ry1 8minus= Ry6 18=
- матрица перехода от локальной системы координат к глобальной
Xi i ilarr
Z Zlarr
k i 1minus( ) 6sdotlarr
k1 k 3+larr
k k 1+larr
X1i1 Zklarr
k1 k1 1+larr
X2i1 Zk1larr
i1 1 3isinfor
X1 X2( )T
= Xni Xi( )
1=
Xki Xi( )2
=
Xn1
6minus
8minus
0
=
Xk1
6
8
6
=
ψ i
α i( )1
α i( )2
0
α i( )2
α i( )1
minus
0
0
0
1
=
23
Xni Xki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня с номером i отнесенные к глобальной системе координат xoy
Nni ψ iminus Xnisdot= Nki ψ i Xkisdot=
Nn1
8
6
0
= Nk1
8
6
6
=
Nn2
8
3
6
= Nk2
8
3
9
=
Nn3
8
0
9
= Nk3
8
0
9
=
Nn4
0
8minus
9
= Nk4
0
8minus
15minus
=
Nn5
18minus
0
0
= Nk5
18minus
0
0
=
Nn6
0
10
15minus
= Nk6
0
10
0
=
24
По найденным значениям усилий в сечениях стержней рамы строим эпюры изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил
Nni Nki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня в локальной системе ко- ординат xioyi
25
Отметим что при разбиении балки на пять участков и за-мене действующей на нее распределенной нагрузки соответст-вующими узловыми силами получим численные значения внут-ренних усилий и моментов (рис14) практически не отличаю-щиеся от значений полученных по аналитическим формулам
26
Рис 14
12 Описание матричного алгоритма для расчета ферм
Описанный матричный алгоритм существенно упрощается в приложении к расчету плоской фермы так как в ее элементах действует только продольная сила eN постоянная по длине ка-ждого стержня Nен=Nек=Ne (рис15а) Перейдем теперь к уста-новлению связей между усилиями действующими на концы стержня е в местной уох primeprime (рис15а) и общей хоу (рис15б) системах координат
27
б)
Рис15 Очевидно что
)sin()sin()cos()cos(
αααα
eеkeен
eеkeен
NYNYNXNX
=minus==minus=
Здесь индексы laquoнraquo и laquoк raquo относятся соответственно к началу и концу стержня
В матричной записи эти соотношения имеют вид
eфен NFХρρ
minus= eфеk NFХρρ
= (117)
где
)sin()cos(
= α
αфFρ
=
ен
енен Y
XXρ
=
ek
ekек Y
XXρ
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы где схо-дятся nj стержней
Пусть [ ]Tyjxjj PPP =ϖ
- вектор внешней нагрузки прило-
женный к узлу j а [ ]Teee YXX =ρ
- вектор усилий на конце стержня е примыкающего к рассматриваемому узлу Тогда ус-ловие равновесия узла j записывается в виде
sum=
=jn
eej XP
1
ρρ
(118)
О
Neн
е
х
х
у
у
Nek
а)
α х
е Yek
Xek
Yен
Хен
у
0
28
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для всей системы в целом Обозначим через
[ ]Tce YYYYYρ
Λρ
Λρρρ
21= вектор внутренних усилий в стержнях фермы Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ekенe XXYρρρ
minus== Связь между вектором внешних нагрузок
[ ]Tyj PPPPPρ
Λρ
Λρρρ
21= и вектором Yρ
представляет собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (118) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы cS
YSP c
ρρ=
Учитывая формулы (117) это соотношение можно запи-сать в виде
NSPρρ
minus= (119)
где [ ]Tce NNNNN ΛΛρ
21= - вектор усилий в стержнях фермы
Матрица S получается из структурной матрицы сS за-
меной элементов laquo1raquo на векторы фFρ
элементов laquo-1raquo на векторы
- фFρ
а элементов laquo0raquo - на нулевые векторы [ ]Т00
Далее из вектора Рρ
необходимо исключить элементы со-ответствующие опорным связям и получить вектор Q
ρ а из мат-
рицы S исключить соответствующие строки образуя матрицу
РS Тогда вектор неизвестных усилий Nρ
определится как ре-шение матричного уравнения
QNSP
ρρminus= (120)
29
Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-дующим выводам
во-первых матрица РS должна быть квадратной те раз-ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю
2У-С-Соп = 0 Это равенство известно как условие статической определимости фермы здесь Соп ndash число опорных стержней
во-вторых определитель матрицы РS должен быть отли-чен от нуля те
0det nePS что является условием геометрической неизменяемости фермы
Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений Для этого в матричном уравнении (120) векторы Q
ρ и N
ρ нужно
заменить соответствующими матрицами Q и N При этом столбцы этих матриц имеющие одинаковые номера отвечают одному и тому же нагружению Это свойство может быть ис-пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q дол-жен содержать лишь один элемент ndash1 расположенный в строке с номером соответствующим номеру узла в котором приложен груз Р = 1
121 Пример расчета статически определимой фермы Пусть дана ферма изображенная на рис16 Определить усилия N1 N2 hellip N17 в стержнях этой фермы 1Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см рис16) и за-
пишем структурную матрицу (см п11)
30
Рис16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminusminusminus
minus
=
11000000000000000101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110110000000000000011011000000000000001101100000000000000110100000000000000011
10987654321
cS
2Зададим координаты узлов (13)
=
40
1Cρ
00
2
=C
ρ
43
3
=C
ρ
03
4
=C
ρ
46
5
=C
ρ
06
6
=C
ρ
49
7
=C
ρ
09
8
=C
ρ
412
9
=C
ρ
012
10
=C
ρ
RB
HA
RA
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4
2 6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3м 3м 3м
α
31
3Найдем вектор проекций стержней фермы на оси общей системы координат (11)
[ ] ==Т
ППППППП 1754321
ρΛ
ρρρρρρ
=
times
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus=
0124
12
064603430040
11000000001010000000
011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011000000001010000000011
ΜΜ
4
003
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
03
43
03
40
1716151413121110987654321Т
minus
minus
minus
minus
minus
=
По формуле (12) имеем
32
4
0
03
43
03
4
0174321
minus
=
=
=
=
minus
= ПППППρ
Λρρρρ
4Вычислим длины стержней фермы (14) например
[ ]
[ ]
[ ] 516943
43
3903
03
4164
040
3
2
1
=+=
sdot=
==
sdot=
==
minus
sdotminus=
l
l
l
Эти результаты соответствуют исходным данным на рис16 Длины остальных стержней равны
l1 = l5 = l9 = l13 = l17 = 4м l2 = l4 = l6 = l8 = l10 = l12 = l14 = l16 = 3м l3 = l7 = l11 = l15 = 5м
Эти значения также можно вычислить по формулам (14) 5Определим направляющие косинусы (15)
01
03
31
8060
43
51
01
03
31
10
40
41
43
21
=
sdot=
=
sdot=
=
sdot=
minus
=
minus
sdot=
αα
αα
ρρ
ρρ
По рис16 находим
33
8060
01
01
1
0
151173
141062
161284
11111
====
====
====
minus
=====
αααα
αααα
αααα
ααααα
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρρ
6Составим матрицу S и вектор внешней нагрузки Pρ
(119) =S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -1 0 3 0 c 1 4 1 s 0 5 -1 -c 0 1 6 0 -s -
10
7 -1 0 c 1 8 0 1 s 0 9 -
1 -c 0 1
10 0 -s -1 0 11 -1 0 c 1 12 0 1 s 0 13 -1 -c 0 1 14 0 -s -1 0 15 -1 0 c 1 16 0 1 s 0 17 -1 -c 0 18 0 -s -1 19 -1 0 20 0 1 Здесь введены обозначения s = 08 c =06
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TBAA RRHP 0800000000000 ΛΛρ
minus=
34
7Исключим из S и Pρ
элементы соответствующие опорным реакциям AA RH и BR формируем матрицу PS и
вектор Qρ
(120)
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]TQ 00000800000000000 minus=ρ
=PS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 0 1 2 -
1 0
3 -1
-c
0 1
4 0 -s
-1
0
5 -1
0 c 1
6 0 1 s 0 7 -
1 -c
0 1
8 0 -s
-1
0
9 -1
0 c 1
10 0 1 s 0 11 -1 -c 0 1 12 0 -s -1 0 13 -1 0 c 1 14 0 1 s 0 15 -1 -c 0 16 0 -s -1 17 -1 0
Матричная форма уравнений равновесия имеет вид (120) и представляет собой систему линейных алгебраических уравне-ний
8 Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента получим вектор продольных сил в стержнях заданной фермы
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=Nρ
[00 00 -25 15 20 -15 -25 30 20 -30 -25 45 -60 14 15 16 17 -45 75 00 -60]T
Компоненты вектора Nρ
показывают что верхний пояс фермы сжат а нижний ndash растянут Причем усилие в каком-либо стержне верхнего пояса по абсолютной величине равно усилию в стержне нижнего пояса смежной панели смещенного относи-тельно верхнего стержня влево параллельно раскосу В данной ферме стержень верхнего пояса сжат с меньшей силой чем рас-тянут стержень соответствующей панели нижнего пояса
Усилия в раскосах расположенных слева от линии дейст-вия силы Р отрицательны и равны -25 кН а усилие в раскосе 15 находящемся справа от нее положительно и равно 75 кН Знаки усилий в стойках расположенных слева и справа от линии действия силы Р противоположны знакам усилий в соответст-вующих раскосах Значения усилий в стойках по абсолютной величине равны опорным реакциям RA = 20 kH и RB = 60 kH фермы В стержнях 1 2 и 16 усилия отсутствуют
Необходимо отметить что систему уравнений (119) также можно получить непосредственно используя известный в строи-тельной механике метод вырезания узлов
Действительно последовательно вырезая узлы исходной фермы (см рис16) и составляя уравнения равновесия получим
Узел 1
=minus===
sumsum
00
21
1
2
NFNF
Y
x
N1
N2
36
Узел 2
=+sdot+==++sdot=
sumsum
0)sin(0)cos(
43
31
43
AY
Ax
RNNFHNNF
αα
Узел 3
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
65
53
632
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 4
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
87
75
874
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 5
=minussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
109
97
1076
NNFNNNF
Y
x
αα
Узел 6
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1211
119
12118
αα
NNFNNNF
Y
x
37
Узел 7
=minusminussdotminus==+sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1413
1311
141110
PNNFNNNF
Y
x
αα
Узел 8
=sdot+==+sdot+minus=
sumsum
0)sin(0)cos(
1615
1513
161512
αα
NNFNNNF
Y
x
Узел 9
=minussdotminus==sdotminusminus=
sumsum
0)sin(0)cos(
617
1715
1514
NNFNNF
Y
x
αα
Узел 10
=+==minus=
sumsum
00
2019
17
16
BY
x
RNFNF
Вектор правой части и матрица полученной системы ли-нейных алгебраических уравнений полностью совпадают с век-тором P
ρ и матрицей S которые были составлены в п6 данно-
го раздела 9Перейдем к построению линий влияния усилий в стерж-
нях например второй панели фермы При этом будем считать что верхний пояс фермы является грузовым В этом случае пе-ремещающийся груз Р=-1 может находиться в узлах 1 3 5 7 и
38
9 Тогда матрица неизвестных N и матрица нагружений Q (см п 12) имеют вид
=
181714171017617217
1831431036323
1821421026222
1811411016121
NNNNN
NNNNNNNNNNNNNNN
N
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
minus
minus
minus
minus
minus
=
000001
000
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
10
00
00
00
00
00
10
97531
Q
В результате приходим к матричному уравнению QNS p minus=sdot
1
3
4
5
6
7
8
9
39
Решив это уравнение находим матрицу влияния усилий влN
minusminusminusminus
minusminusminusminusminusminus
minusminusminusminus
minusminus
minusminusminusminusminus
minus
minusminusminus
minus
=
175050250000000094062031000560370190007505025000560370190003106203100037075037000250502500037075037000310620310001903705600025050250001903705600031062094000000000001
влN
На рис17 графически изображены линии влияния усилий 98765 NNNNN
1 3 5 7 9
40
Рис 17
41
122 Блок-схема алгоритма расчета статически
определимых ферм (рис18)
Обнуление векторов проекций стержней
1 neliПi Λρ
=
начало
nel = 17 nuz = 10 nuz2 = 20
Задание cS
Ввод Cρ
i = 1 nuz
j = 1 nel
pr[ij] =00
i = 1nuz
j = 1nel
ST[ji] = SC[ij] Транспонирование
матрицы CS
A
Исходные данные nel ndash количество стержней (элементов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная
матрица CS
C[nuz2] ndash вектор коорди-нат узлов фермы
Исходные данные nel ndash количество стержней (эле-ментов) фермы nuz ndash число узлов фермы nuz2 ndash удвоенное число узлов этой фермы SC[nuznel] ndash структурная матри-
ца cS
C[nuz2] ndash вектор координат уз-лов фермы
42
i =1nel
j = nuz
ST[ij] ne 0
А
pr[i1]=pr[i1]-ST[ij]C[j1] pr[i2]=pr[i2]-ST[ij]C[j2]
i=1nel
22 ])2[(])1[(][ ipripril +=
i=1nel
j=12
][][][
iljiprji =α
B
да
нет
Вычисление значений компонентов вектора про-
екций стержней Пρ
Определение значений длин стержней li
Вычисление значений ком-понентов вектора направ-
ляющих косинусов αρ
43
Рис18
да
B1
j=1nel
i=1nuz
SC[ij]=1 нет
SZ[2i-1j]=α[j1] SZ[2i-1j]=α[j2]
SC[ij]=-1
SZ[2i-1j]=-α[j1] SZ[2i-1j]=-α[j2]
да
нет
Ввод Р
Получение матрицы PS и
вектора Qρ
Решение СЛАУ методом Гаус-са с выделением главного элемента
Печать вектора Nρ
конец
В
i=1nuz2
j=1nel
SZ[ij]=00
В1
Составление матрицы
S
44
123 Программа для расчета ферм на алгоритмиче-
ском языке Турбо Паскаль Program ferma uses Crt label 1 const nel=17 число стержней фермы nuz=10 число узлов фермы nuz2=20 удвоенное число узлов nopr=3 число уравнений которые нужно удалить type mas1=array[1nuz1nel] of integer mas2=array[1nel1nuz] of integer mas3=array[1nuz21nel] of real mas4=array[1nel1nel] of real mas5=array[1nel12] of real mas6=array[1nuz12] of real mas7=array[1nel] of real mas8=array[1nuz2] of real mas9=array[1nopr] of integer var ijki1integer ( sc-структурная матрица st-транспструкт матрица Dl-вектор длин стержней pr-вектор проекций ALFA-вектор направляющих косинусов c-вектор координат узлов p-вектор внешней нагрузки sz-прямоугматрица s n-вектор номеров строк которые нужно удалить из sz и p sp-матрица СЛАУ Q-вектор правой части СЛАУ ) scmas1 stmas2 dlQbxmas7 prALFAmas5 szmas3 cmas6 spaa1mas4 pmas8 nmas9 const ( задание структурной матрицы ) kscmas1=(( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) (-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
45
( 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1 1 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1)) ( Задание значений вектора координат узлов ) kcmas6=((00 40) (00 00) (30 40) (30 00) (60 40) (60 00) (90 40) (90 00) (120 40) (120 00)) ( Задание значений вектора внешней нагрузки ) kpmas8=(0000000000000-8000000) ( Номера уравнений которые нужно удалить ) knmas9=(3420) procedure gauss const n=nel число линейных уравнений var linteger rreal begin1 (ввод матриц aa1bx ) a=sp b=q a1=a x=b l=0 (прямой ход метода Гаусса ) for i=1 to n do ( поиск главного элемента в i-ом столбце ) begin2 k=i r=abs(a1[ii]) for j=i+1 to n do
46
begin3 if abs(a1[ji])gtr then begin4 k=j r=abs(a1[ji]) end4 end3 if rltgt0 then begin5 if kltgti then begin6 ( перестановка i-го и k-го уравнений ) r=x[k] x[k]=x[i] x[i]=r for j=i to n do begin7 r=a1[kj] a1[kj]=a1[ij] a1[ij]=r end7 end6 ( исключение i-го неизвестного ) r=a1[ii] x[i]=x[i]r for j=i to n do a1[ij]=a1[ij]r for k=i+1 to n do begin8 r=a1[ki] x[k]=x[k]-rx[i] for j=i to n do a1[kj]=a1[kj]-ra1[ij] end8 end5 else
47
begin9 writeln(определитель системы равен нулю) l=1 i=n+1 end9 end2 if l=1 then writeln ( обратный ход метода Гаусса ) for i=n-1 downto 1 do for j=i+1 to n do x[i]=x[i]-a1[ij]x[j] writeln(Решение СЛАУ) for i=1 to n do writeln(x[i]=x[i]52) readln end1 BEGIN начало основной программы clrscr sc=ksc c=kc p=kp n=kn ( обнуление матрицы проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do pr[ij]=00 ( транспонирование матрицы sc ) for i=1 to nuz do for j=1 to nel do st[ji]=sc[ij] ( определение вектора проекций pr ) for i=1 to nel do for j=1 to nuz do begin if st[ij]ltgt0 then begin pr[i1]=pr[i1]-st[ij]c[j1] pr[i2]=pr[i2]-st[ij]c[j2] end end
48
( вывод значений вектора проекций pr ) writeln(Значения вектора проекций pr) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(pr[ij]51) writeln end writeln readln ( вычисление длин стержней ) for i=1 to nel do dl[i]=sqrt(sqr(pr[i1])+sqr(pr[i2])) ( вывод значений длин стержней ) writeln(Значения длин стержней dl) for i=1 to nel do write(dl(i1)=dl[i]11 ) writeln readln ( определение вектора направляющих косинусов ) for i=1 to nel do for j=1 to 2 do ALFA[ij]=pr[ij]dl[i] ( вывод значений направляющих косинусов ) writeln(Значения направляющих косинусов ALFA) for i=1 to nel do begin write(i2)) for j=1 to 2 do write(ALFA[ij]51) writeln end writeln readln ( обнуление матрицы sz ) for i=1 to nuz2 do for j=1 to nel do sz[ij]=00 for j=1 to nel do for i=1 to nuz do begin if sc[ij]=1 then begin sz[2i-1j]=ALFA[j1] sz[2ij]=ALFA[j2]
49
end if sc[ij]=-1 then begin sz[2i-1j]=-ALFA[j1] sz[2ij]=-ALFA[j2] end end ( вывод матрицы sz ) writeln(Значения элементов матрицы sz) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nuz2 do begin write(i2)) for j=1 to nel do write(sz[ij]41) writeln end writeln readln i1=0 for i=1 to nuz2 do begin 1 if (i=n[1])or(i=n[2])or(i=n[3]) then goto 1 else begin2 i1=i1+1 writeln(i=i1 i1=i11) for j=1 to nel do sp[i1j]=sz[ij] q[i1]=-p[i] end2 1end 1 readln ( вывод матрицы sp ) writeln(Значения элементов матрицы sp) write( ) for j=1 to nel do write(j1 ) WRITELN for i=1 to nel do begin
50
write(i2)) for j=1 to nel do write(sp[ij]41) writeln end writeln readln writeln(Значения элементов правой части -Q уравнений) for i=1 to nel do write( i1)q[i]43) writeln readln GAUSS END
Отметим что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляются аналогично с учетом их особенностей (см п11)
51
2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ
21 Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений
Для n раз кинематически неопределимой рамы система ка-нонических уравнений имеет вид
=
+
sdot
0
00
2
1
2
1
21
22221
11211
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΚ
nP
P
P
nnnnn
n
n
R
RR
z
zz
rrr
rrrrrr
или RrZ + RP = 0
21) где Rr ndash матрица реакций во введенных дополнительных
связях в основной системе от единичных перемещений этих свя-зей
RP ndash вектор реактивных усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки
Z ndash вектор неизвестных перемещений Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам
sum intsum intprime
minus==EI
dsMMR
EIdsMM
r iPiP
kiik
где ki MM - изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнитель-ных связей 1 =ki ZZ
MP ndash изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
основной статически определимой системе соответствующей исходной системе
Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по
формулам Rr = MT
edBMed (22)
52
RP = - MTedBM
P (23) где Med ndash матрица влияния изгибающих моментов в основ-
ной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z1 = Z2 = hellip = Zn =1 Эта матрица со-держит n столбцов и m строк Число n равно числу единичных перемещений а m - числу сечений в которых вычисляются внутренние усилия Верхний индекс laquoТraquo в формулах (22) и (23) обозначает операцию транспонирования
B ndash матрица податливости отдельных не связанных эле-ментов
MP ndash вектор изгибающих моментов в любой статически
определимой системе от внешних сил Решая матричное уравнение (21) с учетом (22) и (23) по-
лучим вектор неизвестных Z = - R-1
rRP = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) (24)
Окончательные значения изгибающих моментов в нумеро-
ванных сечениях заданной системы можно найти по формуле M = MedZ + MP (25)
или с учетом (24)
M = Med (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) + MP (26)
211 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad
Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы (рис21) Считаем что жесткости всех стержней рамы равны
EI = const Примем условно EI = 1
53
Рис 21
Решение Основная система метода перемещений (рис22)
Рис 22
Построим единичные и грузовые эпюры метода перемеще-ний
54
55
Вычисления проводим в среде Mathcad
EI 1= L 3= q 2=
56
Матрица подат-
ливости B рамы пред-ставляет собой квази-
диагональную матрицу состоящую из че-тырех матриц bi (i = 1234 - номера участков)
Med
0667minus
0333
0333
1333
1minus
05minus
0
0
0
0667
0
0
0667minus
0
0
0
0
0333minus
= MedEI
L2
2minus Lsdot
L
L
4 Lsdot
3minus Lsdot
15minus Lsdot
0
0
0
6
0
0
6minus
0
0
0
0
3minus
sdot=
MPq L2sdot
16
1
1minus
1minus
1
2
1minus
0
0
0
sdot= MP
1125
1125minus
1125minus
1125
225
1125minus
0
0
0
=
b1L
2 6sdot EIsdot
2
1
1
2
sdot= b2L
12 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
57
Так как на 4-ом участке один из концевых моментов всегда
равен 0 что соответствует шарнирному прикреплению этого участка к заданной раме то порядок матрицы податливости b4 можно понизить до первого
Существует также возможность понижения порядка мат-
риц входящих в выражение для результирующего вектора мо-ментов (26)
Заметим что для любой эпюры в сечениях 2 и 3 (рис22) являющихся границами участков 1 и 2 соответственно значения моментов одинаковы Это дает возможность сдвинуть блок b2 вверх по главной диагонали матрицы B сократив на единицу ранг квазидиагональной матрицы При этом совпавшие элемен-ты на главной диагонали суммируются
Далее в матрицах моментов Med MP и MP необходимо
избавиться от повторения строк соответствующих сечениям 2 и 3 вычеркнув одну из них Например в каждой матрице вычерк-
b3L
6 EIsdot
1
0
0
0
4
0
0
0
1
sdot= b4
L6 EIsdot
2
1
1
2
sdot=
58
нем строку значений моментов в сечении 3 понизив тем самым порядок этих матриц на 1
Здесь M1P - обозначение в пакете Mathcad вектора М
Р Вычисляем матрицу реакций (22)
Вектор свободных членов (23)
Находим вектор неизвестных Z (24)
Rr MedT Bsdot Medsdot= Rr
2333
0667minus
0667minus
0556
=
RP MedTminus Bsdot M1Psdot= RP
1125minus
15minus
=
Z Rr( ) 1minusminus RPsdot= Z
1908
4989
=
59
Построение эпюры окончательных изгибающих моментов
(25)
212 Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений
60
H = Med
TmiddotB ndash вспомогательная матрица
начало
N k
Ввод M0
Ввод B
Ввод Mp
Ввод M
I =1k
J =1N
MT[JI]=M0[IJ]
1
Обозначения N ndash кол-во неизвестных k ndash кол-во сечений М0 ndashматрица ед мо-ментов Мр-матрица грузовых моментов М
р М-матрица Мр МТ-трансп ед мат-рица В-м-ца подат-ливости
61
A = Med
TmiddotBmiddotMed ndash матрица реакций Rr C = Med
TmiddotBmiddotMP ndash вектор реактивных усилий в доп связях
RP
I = 1N
J = 1k
L = 1k
H[IJ]=H[IJ]+MT[IL]B[LJ]
I = 1N
J = 1k
L = 1k
A[IJ]=A[IJ]+H[IL]M0[LJ]
2 3
1 Выч H=MedTmiddotB
62
L=1k
C[I]=C[I]+H[IL]MP[L]
3
I=1N-1
J=I+1N
A[JI]=-A[JI]A[II]
Kk=I+1N
A[Jkk]=A[Jkk]+A[JI]A[Ikk]
C[J]=C[J]+A[JI]C[I]
4
X[N]=C[N]A[NN]
Обратный ход метода Гаусса
Реш СЛАУ
63
4
I=N-11-1
Q=C[I]
J=I+1N
Q=Q-X[J]A[IJ]
X[I]=QA[IJ]
I=1N
Печать X[I]
Вычисление вектора M[I]
I=1k
Конец
Печать вектора перемещений Z
64
213 Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal (РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ М ПЕ-РЕМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ) PROGRAM RAMA_MP CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ И СЕЧЕНИЙ) N=2 M=9 () TYPE MASS = ARRAY[1M 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1M 1M] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1M] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1M] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR B1MASS FMASS1 BT1CMASS2 DMASS3 S0PS0P1SPCS0PMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) CONST KB1MASS= (( -0667 0667) () ( 0333 0 ) () ( 0333 0 ) () ( 1333 -0667) () ( -1 0 ) () ( -05 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 0 ) () ( 0 -0333)) ()
65
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) KFMASS1= ((05 025 0 0 0 0 0 0 0 ) () (025 05 0 0 0 0 0 0 0 ) () (0 0 05 025 0 0 0 0 0 ) () (0 0 025 05 0 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 05 0 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 2 0 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 05 0 0 ) () (0 0 0 0 0 0 0 1 05) () (0 0 0 0 0 0 0 05 1 )) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) KS0PMASS4= (1125-1125-11251125 225 -1125 0 0 0) () (МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) KS0P1MASS4=(45 0 0 0 0 -225 0 0 0) () BEGIN (ВВОД МАТРИЦЫ ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) B1=KB1 WRITELN(МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( B1[IJ]116) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) F=KF WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO M DO BEGIN FOR J=1 TO M DO WRITE( F[IJ]63) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P=KS0P
66
WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ) S0P1=KS0P1 WRITELN(МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТОПРЕДСИСТЕМЕ) FOR I=1 TO M DO WRITE( S0P1[I]63) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO M DO FOR J=1 TO N DO BT1[JI]=B1[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO M DO FOR L=1 TO M DO C[IJ]=C[IJ]+BT1[IL]F[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO M DO D[IJ]=D[IJ]+C[IL]B1[LJ] FOR L=1 TO M DO CS0P[I]=CS0P[I]+C[IL]S0P1[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN D[JI]=-D[JI]D[II] FOR KK=I+1 TO N DO D[JKK]=D[JKK]+D[JI]D[IKK] CS0P[J]=CS0P[J]+D[JI]CS0P[I] END
67
X[N]=CS0P[N]D[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN Q=CS0P[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]D[IJ] X[I]=QD[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА МОМЕНТОВ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ) FOR I=1 TO M DO BEGIN CS0P[I]=0 FOR J=1 TO N DO CS0P[I]=CS0P[I]+B1[IJ]X[J] SP[I]=CS0P[I]+S0P[I] WRITELN(I2 SP[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
Заметим что матричный алгоритм расчета статически не-определимых рам методом сил аналогичен изложенному алго-ритму метода перемещений и осуществляется с учетом формул
X = - A-1
δ∆P = - (MTed BMed)-1middot( MT
edBMP) M = Med X + MP где Aδ ndash матрица единичных перемещений ∆P ndash вектор гру-
зовых перемещений Med ndash матрица единичных моментов MP ndash вектор грузовых моментов для основной системы метода сил B ndash матрица упругих податливостей стержней рамы
68
22 Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил Выведем основные матричные соотношения для расчета
статически неопределимых ферм [1 4] Пусть для стержневой системы определена степень стати-
ческой неопределимости n и выбрана основная система Запи-шем систему канонических сил в матричном виде
0=∆+ PXAρ
δ (27)
где δA - матрица единичных перемещений
=
nnnn
n
n
A
δδδ
δδδδδδ
δ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ
21
22221
11211
(28)
ijδ - перемещение в основной системе по направлению си-
лы Хi вызванное единичной силой jX действующей по на-
правлению Хj При этом jiij δδ =
=
nX
XX
XΜ
ρ 2
1
-вектор неизвестных усилий ме-
тода сил
(
29)
∆
∆∆
=∆
nP
P
P
P Μ
ρ 2
1
- вектор грузовых перемещений
в основной системе
(
210)
69
Элементы iP∆ представляют собой перемещения в на-правлениях Хi (i = 12hellipn) возникающие под действием задан-ных внешних сил в основной системе
Если рассматриваются несколько вариантов нагружений то необходимо заменить векторы X
ρ и P∆
ρ соответственно на
матрицы
=
nn XXX
XXXXXX
X
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
2221
1211
21
21
21
22
11
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=∆
nPnP
PP
PP
P
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
где k ndash число вариантов нагружения При расчете статически неопределимых ферм на действие
неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и сво-бодные члены уравнений метода сил определяются соответст-венно по формулам
sum=ii
ikiik AE
lNNδ sum=∆
ii
iPiiP AE
lNN
(211)
где ki NN - продольные усилия в стержнях основной
системы от сил Pki NXX 11 == - продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки В формулах (211) суммирование распространяется на все стержни фермы
Усилия Pki NNN можно определить либо обычными способами либо с помощью матричных вычислений (см п12)
Матрицы δA и P∆ρ
с учетом формул (211) записываются в виде
едФTед NDNA
ρρ=δ
70
PФTедP NDN
ρρ=∆ (
212) где Pед NN
ρρ - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
ничных сил и от внешней нагрузки соответственно ФD - диаго-нальная матрица причем элемент этой матрицы расположенный на пересечении i-й строки и столбца i определяется как li(EiAi) где li ndash длина стержня i фермы а EiAi ndash его жесткость Значок (Т) обозначает операцию транспонирования вектора
Связь между окончательными значениями продольных сил Nρ
в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-лий в основной системе устанавливается векторным выражением
Pед NXNNρρρρ
+= (213)
Вектор Xρ
можно выразить из уравнения (27) 1
PAX ∆minus= minus ρρδ
Подставляя это равенство в (213) с учетом (212) оконча-тельно получим
)()( 1PедФ
TедедФ
Tедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+minus= minus (
214) Эта формула может быть использована для построения ли-
ний влияния усилий в статически неопределимой ферме Для этого вектор PN
ρ должен быть заменен соответствующей матри-
цей столбцы которой характеризуют усилия в статически опре-делимой основной системе при расположении единичных сил в узлах грузового пояса фермы
221 Пример расчета фермы методом сил Для статически неопределимой фермы (рис23а) опреде-
лить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния уси-лий в стержнях 1 8 2 если единичный груз перемещается по ее нижнему поясу Считать что стержни фермы изготовлены из одного материала а сечения их одинаковы
71
)
)
)
72
)
)
Рис23
Выполнение расчета 1 В заданной ферме узлов ndash 8 стержней ndash 13 опорных
стержней ndash 4 значит по формуле w = 2sdotУ-C-Co
где У ndash число узлов фермы С ndash число внутренних стерж-ней фермы Со ndash число опорных стержней
может быть определена степень свободы системы те w = 2sdot8-13 ndash4 = -1lt 0
Следовательно исходная ферма имеет одну лишнюю связь и является однажды статически неопределимой
Выбираем основную систему изображенную на рис23б Заметим что основную систему можно выбрать и по-другому например отбрасывая один из внутренних стержней
73
2 Пронумеруем стержни фермы так как показано на рис23аб и определим усилия в основной системе от единич-ной силы (рис23б) и от внешней нагрузки (рис23в) Для этого могут быть использованы способы расчета ферм изложенные в [12]
3 Используя результаты расчета составим векторы еди-ничной Nед и грузовой PN
ρ продольных сил
13121110987654321
д =еNρ
minusminusminus
minus
07070070700505050507070117070
13121110987654321
=PNρ
minus
minusminusminusminus
55335
5335
512512512512717
1515
717
74
4 Вычислим длины стержней фермы и запишем матрицу
ФD упругих податливостей элементов фермы l1 = l10 = l12 = l4 = 141sdotd l2 = l3 = l5 = l6 = l7 = l8 = l9 = l11 = l13
= d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
=
100000000000004110000000000000100000000000004110000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000041100000000000001000000000000010000000000000411
13121110987654321
EAdDФ
5 Проводим последовательность матричных операций в
соответствии с формулой (214)
75
[ ]TPф EAdND 5555551251251251225151525 minusminusminusminusminussdot=
ρ
497)2530442()]512
512512512(50)1515(1)552525(7070[)( Тед
EAd
EAd
EAdNDN PФ
=++=+
++sdot++sdot++++sdot=ρρ
1
едед )( minusNDN ФT
ρρ)( ед PФ
T NDNρρ
=0172 7216497 =sdotEAd
dEA
едN-ρ
1едед )( minusNDN Ф
Tρρ
)( ед PФT NDN
ρρ=
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminus
0811
0811
0368368368368811716716811
В результате получаем вектор усилий в исходной ферме (рис23а)
76
minusminus
minus
minus
minus
=
++minusminus+minus++minus+minus+minus+minus
minusminusminus
minus
=
52785278
5144144144144
957171
95
50533811
50533811
50512368512368512368512368
7178111571615716
717811
13121110987654321
Nρ
6 Приступим к матричным вычислениям для построения линий влияния усилий в стержнях 1 8 2 фермы (рис23а) Для этого найдем усилия во всех стержнях основной системы в слу-чаях когда груз Р = 1 приложен в узлах грузового пояса фермы В нашем примере имеют место 2 случая приложения этого груза (рис23гд) Затем составляем матрицу PN столбцы которой соответствуют каждому из этих случаев Заменим в выражении (214) вектор PN
ρ на полученную матрицу и проведем аналогич-
ные матричные преобразования
77
103035300035035300120750207507025070250013530
05005030061
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=PN
0
05000
050010750075002500250
50050050051
13121110987654321
minus
minus
minusminusminusminusminusminusminusminus
=EAdND PФ
78
minusminus
minusminus
minusminus
minusminus
minus
minus
=
++minusminus+minus+++minusminusminus+++minus+minus+minus+minus+minus+minus+minus+minusminusminusminusminusminusminusminusminus
=
0006080
007680
1045700457040042904004290
0608000085900008590006470
13121110987654321
10003530414035304140
00003530414035304140
001025029307502930250293075029307502930250293075029302502930
061414035304140505860505860505860505860
353041400614140
13121110987654321
N
7 Используя 1-ю 8-ю и 2-ю строки матрицы N строим
линии влияния усилий в соответствующих стержнях (рис24)
79
Рис24 222 Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил
Обозначения исходных данных n-количество столбцов в матрице (векторе) k-количество стержней фермы N0-вектор продольных сил от ед
нагрузки в основной ферме деNρ
D-матрица податливостей ФD фермы NP-вектор продольных сил от
внешней нагрузки PNρ
в основной ферме
начало
n=1 k=13
ввод вектора N0
ввод матри-цы D
A A
ввод вектора
i=1k
j=1n
NT[ji]=N0[ij] NT-транспонированная мат-
рица ТедN
DNTH Т DNH
NP-вектор грузовых
продольных сил PNρ
80
81
Рис25 223 Программа для расчета статически неопределимых ферм
B
Решение СЛАУ
CXAρρ
=sdot
печать вектора
реакций Xρ
i=1k
C[i]=0
j=1n
C[i]=C[i]+N0[ij]X[j]
N[i]=C[i]+NP[i]
вывод Nρ
конец
XNC ед
ρρ=
Pед NXNNρρρ
+=
Nρ
ndash вектор результи-рующих продольных сил
82
В соответствии с блок-схемой изображенной на рис25
составляем программу на языке Turbo Pascal
PROGRAM FERMA_MS CONST (ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) (КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ И СТЕРЖНЕЙ) N=1 K=13 TYPE MASS = ARRAY[1K 1N] OF REAL MASS1= ARRAY[1K 1K] OF REAL MASS2= ARRAY[1N 1K] OF REAL MASS3= ARRAY[1N 1N] OF REAL MASS4= ARRAY[1K] OF REAL MASS5= ARRAY[1N] OF REAL VAR N0MASS DMASS1 NTHMASS2 AMASS3 NPNCMASS4 XMASS5 IJLKKINTEGER QREAL (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ В ОСН ФЕРМЕ) CONST KN0MASS=((-0707) (-1 ) (-1 ) (-0707) ( 05) ( 05) ( 05) ( 05) ( 0 ) ( 0707) ( 0 ) (0707) (0))
83
(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ DФ) KDMASS1= (( 564 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0564 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0564 0) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4)) (ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСНОВНОЙ ФЕРМЕ) KNPMASS4=( -177-15-15-1771251251251255353-53535) BEGIN (ВВОД ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ) N0=KN0 WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДНАГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO N DO WRITE( N0[IJ]62) WRITELN END WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ) D=KD WRITELN(МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ) FOR I=1 TO K DO BEGIN FOR J=1 TO K DO WRITE( D[IJ]62) WRITELN END
84
WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВВОД ВЕКТОРА ГРУЗОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) NP=KNP WRITELN(ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НА-ГРУЗКИ В ОСНФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO WRITE( NP[I]62) WRITELN WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN FOR I=1 TO K DO FOR J=1 TO N DO NT[JI]=N0[IJ] (ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ) FOR I=1 TO N DO FOR J=1 TO K DO FOR L=1 TO K DO H[IJ]=H[IJ]+NT[IL]D[LJ] FOR I=1 TO N DO BEGIN FOR J=1 TO N DO FOR L=1 TO K DO A[IJ]=A[IJ]+H[IL]N0[LJ] FOR L=1 TO K DO C[I]=C[I]-H[IL]NP[L] END (РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ) FOR I=1 TO N-1 DO FOR J=I+1 TO N DO BEGIN A[JI]=-A[JI]A[II] FOR KK=I+1 TO N DO A[JKK]=A[JKK]+A[JI]A[IKK] C[J]=C[J]+A[JI]C[I] END X[N]=C[N]A[NN] FOR I=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN
85
Q=C[I] FOR J=I+1 TO N DO Q=Q-X[J]A[IJ] X[I]=QA[II] END WRITELN(ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ) FOR I=1 TO N DO WRITELN(I2 X[I]74) WRITELN(ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ ltENTERgt) READLNREADLN (ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ) WRITELN(ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В ИСХОДНОЙ ФЕРМЕ) FOR I=1 TO K DO BEGIN C[I]=0 FOR J=1 TO N DO C[I]=C[I]+N0[IJ]X[J] N[I]=C[I]+NP[I] WRITELN(I2 N[I]74) END WRITELN(ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ ltEN-TERgt) READLNREADLN END
3 СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
86
31 Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии
Рассмотрим расчетную схему линейно-упругого стержня на рис31а Разобъём ось этого стержня на m равных частей (конечных элементов) соединенных между собой в n узлах (рис31б) Продольные перемещения u(x) в произвольной точке элемента будем считать линейными функциями координат (рис31в)
u x x( ) = +α α1 2 (31) или в матричной форме
[ ] [ ]u x x где T( ) = = minus1 1 2α α α α вектор не-известных коэффициентов Здесь значок laquoΤraquo обозначает опера-цию транспонирования переменная х - координата в глобальной системе осей ОХ
Применяя равенство (31) для узлов r s неизвестные пара-
метры α1 и α2 выразим через смещения узлов
rsr
srrrr x
xxuu
uxuminusminus
minus=+= 121 ααα
221sr
srss xx
uuxu
minusminus
=+= ααα
где ur и us смещения узлов r и s элемента е (рис31г)
87
Рис 31
Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(31) получим
u(x) = Nrur+Nsus (32) Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента
88
1ll
xxN
lN r
slXX
rs
ξξ=
minus=minus== minus
(33)
где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см рис31г)
Перепишем (32) в матричном виде u(x)=[N]δе (34)
где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы δe=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е
В каждом элементе е имеются свои функции перемеще-ний которые стыкуются в узловых точках При этом получается непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемеще-ний для всего стержня те при таком выборе функции (33) зна-чения перемещений на концах смежных элементов являются одинаковими (рис31в)
Отметим что коэффициент α1 в (31) соответствует движению элемента е как твердого тела так как выражение для
продольной деформации εpartpart
=ux
содержит только коэффициент
α2 те
2αε =minus
=l
uu sr
Матрица жесткости элемента В состоянии равновесия вектор узловых усилий Fе=fr fs эле-мента е можно выразить через вектор узловых перемещений δe
Fe=[K]eδe (35) где [K]e- матрица жесткости элемента е
В развернутом виде формула (35) для стержневого эле-мента работающего на растяжение и сжатие имеет вид
ff
k kk k
uu
r
s
rre
rse
sre
sse
r
s
=
( ) ( )
( ) ( )
(36)
89
Здесь k rse( ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s
при условии что в узле r смещений нет В дальнейшем где это возможно значок laquo(е)raquo будем опускать
Построим матрицу жесткости элемента е в локальной сис-теме координат Оξ (рис31г) При этом часто используется принцип возможных перемещений в состоянии равновесия стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении δρu равна нулю
R u R u dvV
1 1 2 2 0δ δ δεσ+ minus =intintint (37)
Здесь V - объем элемента R=R1 R2 - вектор сил приложен-ных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним на-грузкам σ ε - нормальное напряжение и относительная линей-ная деформация в произвольном поперечном сечении элемента
Вычислим например коэффициент k22 матрицы жесткости стержня (рис31д) По определению k22=R2 при u1=0 u2=1 Поле перемещений точек элемента вызванное единичным смещением
узла 2 равно ul
( )ξξ
= times1 а напряжения σ = timesЕl
1 Так как
узел 1 закреплен то δu1=0 Пусть δu2- возможное (кинематиче-ски допустимое) смещение узла 2 Тогда возможные перемеще-ния стержня за счет δu2 будут δu(ξ)=(ξl)δu2 а соответствующие деформации δε=(1l)δu2
Из равенства (37) следует
R uul
El
dV ul
EAdV
l
2 22
2 20
11
δδ
δ ξ= =intintint int
или в силу произвола вариации
kl
EAdx EAl
l
22 20
1= =int
Определяя по аналогии остальные коэффициенты получа-ем матрицу жесткости стержневого элемента работающего на растяжение-сжатие
90
[ ]k
EAl
EAl
EAl
EAl
EAle
=minus
minus
=
minusminus
1 11 1
(38)
Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости стержневого элемента
Деформации внутри элемента е связаны с узловыми пере-мещениями его концов δе=[u1u2]т равенством
[ ] [ ]εξξ ξ
= = =du
ddd
N u B ue e e
( ) ( ) ρ ρ
(39)
где [Β]е=d[N]dξ - матрица-строка деформаций компонентами которой являются производные от функций форм по локальным координатам
[ ]B dNd
dNd l le
=
= minus
1 2 1 1ξ ξ
(310)
Приращение потенциальной энергии деформации элемента за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид
[ ]
[ ] [ ]= ==
intintintintintintintintintδεσδ ε
δdVB u E dV
u B E B dV ue e
eT
eT
e eV
VV
( )
(311)
Работа узловых сил [ ] ρF u ue
T= δ δ1 2 на возможных
вариациях перемещений в узлах [ ]δ δ δ ρu u ue
T= 1 2 равна приращению потенциальной энергии деформации (311)
[ ] [ ]δ δ ( ) ρ ρ ρ ρu B E B dV u u Fe
T
V e
T
e e eT
eintintint =
откуда следует ( ) ρ ρF B EBdV ue
Te
V
= intintint (312)
91
где [ ] [ ]k B EBdVе eT
v
= intintint - матрица жесткости стержневого эле-
мента размерности 2х2 Если в (312) модуль упругости Е заменить на соответст-
вующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука то эта формула в принципе справедлива для задач любой размерно-сти и для элементов любого типа
Определение статически эквивалентных узловых усилий Теперь из условия равновесия определим реактивные уси-
лия действующие на стержневой конечный элемент со стороны узлов в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить с обратным знаком
а) действие распределенной нагрузки
Рис 32
Пусть [ ] ρF F Fq q
T= 1 2 - вектор усилий в узлах элемен-
та уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивно-стью q (рис32)
Применим принцип возможных перемещений полная вир-туальная работа заданных внешних и реактивных усилий на со-ответствующих вариациях перемещений элемента находящего-ся в равновесии должна быть равна нулю
q ud F u F uq
l
δ ξ δ δ+ + =int 1q 1 2 20
0
Используя (34) это равенство перепишем в виде
92
q N u N u d F u F uq
l
( )1 1 2 2 1q 1 2 20
0δ δ ξ δ δ+ + + =int
Учитывая чтоN l и N l1 21= minus =ξ ξ а также про-извол вариаций узловых перемещений δu1 δu2 находим
F qN dx jjq j
l
= minus =int0
1 2( )
При q = const имеем ρF ql qlq
e T( ) [ ]= minus minus2 2
Отметим что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной сис-темы координат Оξ
б) действие температуры Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ) Тогда
компоненты вектора узловых сил [ ]TTTeT FFF 21 =ρ
опре-делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации потенциальной энергии деформации элемента
F u F u dvTV
1T 1 2 2δ δ δεσ+ = intintint
Учитывая что σ ξ α ξ ε ξ ξ ξ( ) ( ) ( ) ( ) = minus = = minus +E T du d u l u l u1 1 2 в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
F EAl
T dx jjT
l
= plusmn =intα
ξ( ) ( )0
1 2
При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
[ ] ρF TEA TEAT e
T= minusα α Компоненты F1T F2T направлены вдоль оси Оξ Таким образом полный вектор узловых усилий на элемент
93
[ ]ρF F Fe
T= 1 2 включает силы статически эквивалентные перемещениям элемента распределенной нагрузке и темпера-турному воздействию
[ ] ρ ρ ρ ρF K u F Fe e e q e T e= + + (313)
Этот вектор вычисляется в локальной системе координат
Составление уравнений равновесия бруса Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)
элементов составляются в глобальной системе координат ОХ единой для всех элементов конструкции (рис31а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы В случае одноосного растяжения и сжатия матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локаль-ной и глобальной координатах совпадают
Неизвестные узловые перемещения для ансамбля эле-ментов могут быть определены из уравнений равновесия узлов Например для узла с номером m можно записать
P Fm m ee m
+ minus =isinsum( ) 0 (314)
где Pm - внешняя сосредоточенная сила приложенная к узлу m по направлению оси ОХ
-Fme - усилие действующее на узел m со стороны эле-мента е Сумма в (314) берется по всем элементам содержащим узел m
311 Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии
Стержень изображенный на рис33а находится под дей-
ствием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q и сосредоточенной силы F=ql
94
Требуется построить эпюры перемещений u x( )prime и нор-мальных напряжений σ В расчетах принять ЕА=1
а) б) в) г)
Рис 33
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных эле-
мента с узлами в точках 12345 (рис33б) Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы координат направим вниз по оси стержня
Введем следующее обозначение k EAl
= и покажем все
усилия действующие на каждый конечный элемент и вырезан-ные узлы (рис34)
Расписывая уравнения равновесия (314) для каждого узла в отдельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
95
minus + minus + =
minus + + =
minus + + =
minus + + =
minus + =
2 2 02 4 2 0
2 32
0
22
0
0
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku R qlu ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
или 2 2
2 4 2
2 32
22
1 2 0
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
ku ku ql Rku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku ku ql
ku ku F
minus = minusminus + minus =
minus + minus =
minus + minus =
minus + =
В матричном виде эта система записывается в виде (315)
В клетках обведенных пунктиром и расположенных сверху вниз по главной диагонали указываются вклады жесткостных харак-теристик каждого элемента в соответствии с их нумерацией (рис31б) Здесь k k k k k33 11
3222
34 123= + =( ) ( ) ( ) и тп Аналогич-
но заполняется вектор правой части в которой компоненты на-грузки элемента засылаются по нужным адресам Этот прием формирования глобальной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ реализующих МКЭ
96
Рис 34
(315)
97
или
[ ] K u Qρ ρ=
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной [ ]ρu u u u u u T= 1 2 3 4 5 - вектор неизвестных узловых пере-мещений ρQ - вектор внешних узловых сил
Учет граничных условий Матрица [K] в системе уравнений (315) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (315) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диагонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на к EAl11∆ ∆=
-члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в правую часть системы
В нашем примере система (315) с учетом сказанного может быть записана в виде
EAl
uuuuu
EA lql EA l
qlql
F
1 0 0 0 00 4 2 0 00 2 3 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1
20 50 5
1
2
3
4
5
minusminus minus
minus minusminus
=+
( )( )
∆∆
98
так как ∆ = 0 ЕА = 1 ql = F то
5050
0
1100012100
013200024000001
5
4
3
2
1
=
minusminusminus
minusminusminus
FlFlFl
Fl
uuuuu
Решение полученной системы линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестного вектора перемещений ρu
проведем методом главных элементов в виде таблицы 31
Таблица 31 mi u1 u2 u3 u4 u5 Свободные
члены 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4 -2 0 0 Fl -05 0 -2 3 -1 0 05Fl 0 0 0 -1 2 -1 05Fl 0 0 0 0 -1 1 Fl -05 - - 2 -1 0 Fl 1 - - -1 2 -1 05Fl -05 - - - -1 1 Fl 1 - - 15 - -05 125Fl -033333 - - -05 - 05 125Fl - - - - - 0333
33 166667Fl
Ответ 0 15Fl 25Fl 40Fl 50Fl В результате решения преобразованной системы полу-
чим
99
uFl
Fl
uFl Fl
Fl
uFl Fl Fl
Fl
uFl Fl
Flu
5
3
4
2
1
1 66670 33333
5 0
1 25 0 5 51 5
2 5
0 5 2 5 52
4 02 2 5
41 5
0
= =
=+ times
=
=+ +
=
=+ times
=
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения
4times15Fl-2times25Fl=Fl -2times15Fl+3times25Fl-4Fl=05Fl -25Fl+2times40Fl-5Fl=05Fl -4Fl+5Fl=Fl
Ответ [ ]ρu Fl F l F l F l T= 0 1 5 2 5 4 0 5 0 Линейные деформации каждого элемента вычисляются
по формулам (39) и (310)
ε
ε
ε
ε
(
( )
( )
( )
( )
( )
1)
2
3
4
1 1 015 15
1 1 152 5
15 2 5
1 1 2 54
2 5 4 0 15
1 1
= minus
=
= minus
= minus + =
= minus
= minus + =
= minus
l lFl
EA
FEA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
l lFl EA
Fl EAF
EAF
EA
l lFl EAFl EA
FEA
FEA
= minus + =
45
4 0 5 0
( )
Нормальные напряжения σ в центре каждого элемента равны
100
σ σ σ σ( ( ) ( ) ( ) 1) 2 3 41 5 1 0 1 5 1 0= = = =FA
FA
FA
FA
По результатам вычислений строим эпюры безразмерных пере-
мещений u EAFl
u x= prime( ) и напряжений σ (рис31вг) При по-
строении эпюры σ учитываем что нормальное напряжение на участках стержня где действует постоянная распределенная на-грузка изменяется по линейному закону а на участках где она отсутствует - постоянна
Подбор поперечных сечений бруса Проектировочный расчет проведем в системе Mathcad
Зададим размерности величин в привычном виде
Пусть дано
Тогда внешняя сила F будет равна
Допускаемое нормальное напряжение σadm 160МПаsdot=
Из эпюры на рис33г видно что опасными сечениями бруса являются сечения проходящие немного ниже точек 1 и 3 В этих точках максимальное нормальное напряжение
σmax 20FAsdot=
Из условия прочности при растяжении и сжатии
кН 1000 Nsdot= МПа 106 N
m2sdot=
м m= см 01 msdot=
l 1 мsdot= q 5кНм
sdot=
F q lsdot= F 5 103times N=
101
σmax σadmle находим параметр А площади допускаемого поперечного сече-ния
20F
Aadmsdot σadm
Таким образом при заданном значении σadm 160МПаsdot=
площадь поперечного сечения верхнего участка равна A1=125
см2 нижнего - 0625 см2 Округлим эти значения в большую сторону до значений оканчивающихся на цифры 0 или 5 Тогда для верхних двух участков можно принять А1 = 15 см2
для нижних - А2 = 10 см2 Для круглых поперечных сечений можно вычислить их
диаметры
Расчет вала при действии внешних крутящих моментов проводится аналогично Только в этом случае необходимо вме-
Aadm 20F
σadmsdot= Aadm 625 10 5minus
times m2=
A1 2 Aadmsdot= A1 125 10 4minustimes m2
= A2 Aadm=
d14 A1sdot
π= d1 0013m= d1 15 смsdot=
d24 A2sdot
π= d2 8921 10 3minus
times m= d2 10 смsdot=
102
сто сил рассматривать крутящие моменты а вместо распреде-ленных нагрузок ndash распределенные моменты Неизвестными в уравнениях являются углы φ поворота сечений величины GIk характеризуют жесткости участков вала
32 Пример расчета ступенчатого вала при кручении Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с непод-
вижно закрепленными концами находится под действием внеш-них крутящих моментов M и 4M (рис35)
Требуется
1) составить систему линейных уравнений по МКЭ 2) найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их через M
l и D
103
3) построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных ка-сательных напряжений τmax
4) построить эпюру крутящих моментов Mк 5) при заданном значении допускаемого касательного напряже-
ния τadm=70Мпа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
6) найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
7) составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реализую-щую алгоритм решения задачи
Выполнение расчета Разобъем рассматриваемый вал на 4 конечных элемента с
узлами в точках 12345 (рис35б) Начало координат совмес-тим с точкой 1 (заделкой) а ось ОХ глобальной системы коор-динат направим вправо по оси стержня
Введем следующие обозначения
82
16
16
502
16
4
44
3
33
2
22
1
11
4321
lGI
lGI
lGI
klGI
lGI
k
lGI
lGI
kl
GIl
GIl
GIk
GIGIGIGIGIGI
PPPPP
PPPPPPPPPPP
=sdot
==sdot
==
==sdot===
sdot====
где 410 DIP asymp -полярный момент инерции поперечного сечения вала Покажем все моменты действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис36)
Расписывая уравнения равновесия для каждого узла в от-дельности получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю не-известными
104
Рис36
=minus+minus=+minus++minus
=minus++minus=+minus++minus
=minusminus
004)(
0)(0)(
0
544
5444333
4333222
3222111
2111
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
105
или
=+minusminus=minus++minus
=minus++minusminus=minus++minus
=minus
B
A
MkkMkkkk
kkkkMkkkk
Mkk
5444
5444333
4333222
3222111
2111
4)(0)(
)(
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
В матричном виде эта система записывается в виде (316)
minus
minus=
minusminus+minus
minus+minusminus+minus
minus
B
A
MM
MM
kkkkkk
kkkkkkkk
kk
40
)()(
)(
5
4
3
2
1
44
4433
3322
2211
11
ϕϕϕϕϕ
(316)
или [ ] QK
ρρ=ϕ
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-нечных элементов Эта матрица имеет симметричную ленточ-ную структуру является неотрицательно определенной
T][ 544321 ϕϕϕϕϕϕϕ =ρ
- вектор неизвестных узловых углов поворота сечений
Qρ
- вектор внешних узловых крутящих моментов Подставляя выражения для k1 k2 k3 k4 записанные через
жесткости GIp получим систему
106
minus
minus=
minusminusminus
minusminusminusminus
minus
B
A
p
MM
MM
lGI
40
8882416
1617115150
5050
5
4
3
2
1
ϕϕϕϕϕ
Учет граничных условий Предположим что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах
вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2 Тогда с учетом ска-занного в п 311 система (316) может быть записана в виде
∆times∆timestimes+minus
∆times+minus∆
=
minusminusminus
minus
2
2
1
1
5
4
3
2
1
)()(804
0)(50
)(
100000241600016171000151000001
lGIlGIM
lGIMlGI
lGI
p
p
p
p
p
ϕϕϕϕϕ
Так как ∆1=∆2=0 то
040
0
100000241600016171000151000001
0
0
5
4
3
2
1
minus
minus=
minusminusminus
minus
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
где pGIlM times
=0ϕ - обозначение
107
Так как ϕ1=ϕ5=0 то решаем 234 уравнения методом Гаус-са в виде таблицы 32
Таблица 32
mi ϕ2 ϕ3 ϕ4 Свобод-ные члены
1 15 -1 0 -ϕ0 -23 -1 17 -16 0 0 0 -16 24 -4ϕ0 1 0 493 -16 (-23)ϕ0 -4849
0 -16 24 -4ϕ0
0 40849 (-22849)ϕ0
Ответ (-1817)ϕ0 (-1017)ϕ0 (-1934)ϕ0 В результате решения преобразованной системы получим
5588203419
40849
49228
000
4 ϕϕϕ
ϕ primeminus=minus=sdotminus=
5882301710)
349()
341916
32( 00003 ϕϕϕϕϕ minus=minus=sdotminusminus=
0588211718
511710
00
00
2 ϕϕϕϕ
ϕ minus=minus=sdotminusminus
=
Проверка осуществляется подстановкой полученного ре-
шения в исходные уравнения 15times(-105882ϕ0)-1times(-058823)=-ϕ0 -1times(-105882ϕ0)+17times(-058823ϕ0)-16times(-055882ϕ0)=0 -16times(-058823ϕ0)+24times(-055882ϕ0)=-4ϕ0
Ответ ϕ1=0 ϕ2=-105882ϕ0 ϕ3=-058823ϕ0 ϕ4=-055882ϕ0 ϕ5=0
или в векторном виде
108
T
minusminusminus= 0
3419
1710
17180 000 ϕϕϕϕ
ρ
Угловые деформации и максимальные касательные напря-жения в сечениях каждого элемента вычисляются по формулам
11
11
)(max
)(
sdot
minus=
sdot
minus=
K
He
K
He
llGR
llR
ϕϕ
τ
ϕϕ
γ
где R ndashрадиус поперечного сечения элемента e вала ϕH и ϕK ndash соответственно углы поворота левого и правого концов конечного элемента в глобальной системе координат
Тогда максимальные касательные в каждом элементе рав-ны
7941226117
76
03419
21
21
2941206117
8
34191710
11
3529422017
8
17101718
112
6470622017
9
17180
21
21
2
330)4(
max
33
0
0)3(
max
33
0
0)2(
max
330
)1(max
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
DM
DM
llDG
=sdot=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
=sdot=
minus
minussdot
minussdotsdot=
minus=sdotminus=
minussdot
sdotsdotminussdotsdot=
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕ
ϕτ
ϕτ
109
Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов [ ]TKH
ek MMM =
ρ в каждом элементе е по формуле
[ ]
sdot
minus
minussdot=sdot=
K
Hpeeek l
GIkM
ϕϕ
ϕ1111)()()( ρρ
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и пра-
вом концах конечного элемента МН и МК ndash крутящие моменты на левом и правом концах
элемента соответственно
470590470590
55882058828055882058828016
558820588230
111116
470590470590
588230058821588230058821
588230058821
1111
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
0)3(
0
0
0)2(
0
0
2
2
2
1)1(
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus=
minus+minussdot
=
minusminus
sdot
minus
minus=
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
M
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
pK
p
pK
p
ppK
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ρ
ρ
ρ
110
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)3(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
529410
529410058821
0588212
21111
2
0
0
2
2
2
1)4(
minus
=
minus
=
minus=
sdot
minus
minus=
MM
lGI
lGI
lGI
M
p
ppK
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕρ
По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
ных углов поворота 0ϕϕ
касательных напряжений MD3
max sdotτ
и крутящих моментов MKM (рис37) Подбор сечений вала (проектировочный расчет) Пусть дано М=2 кНм τadm=70 Мпа ndash допускаемое каса-
тельное напряжение для стали Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по
модулю значение
3)4(
maxmax 794122DM
== ττ
Из условия прочности при кручении τmax le τadm
находим диаметр D
admDM τ=3794122
111
сммMDadm
adm 3141070
1027941227941223
6
3
3 =sdot
sdotsdot=
sdot=
τ
Рис 37
Таким образом при заданном значении τadm=70 Мпа оп-ределили диаметр Dadm из расчета на прочность Теперь округ-лим его до значения оканчивающегося на цифру 0 или 5 (в большую сторону) те в нашем случае диаметры первых двух участков вала можно принять равным D=45 мм а диаметры остальных участков 2D=90мм
Найдем максимальный угол поворота сечений ϕmax при-няв l=05м модуль сдвига для стали G=08105 Мпа М=2кНм IP=01D4
058821 02max ϕϕϕ ==
805321
)1054(10108050102
4211
3
0 =sdotsdotsdotsdot
sdotsdot=
sdotsdot
= minusPIGlMϕ
112
032276080532
058821max рад==ϕ
Указания к составлению программ на ЭВМ При численной реализации МКЭ заполнение матрицы же-
сткости [K] и вектора правой части Q ансамбля элементов производится с использованием упомянутого ранее метода пря-мых жесткостей учитывающего вклад каждого элемента в от-дельности по формулам
K k Q F F FIJ ije
e I JJ J jq
e
e JjT
e
e T= = + minus + minus
isin isin isinsum sum sum( )
( ) ( ) ( ) ( ) (317)
Здесь локальные номера ij узлов элемента е должны соответст-вовать глобальным номерам узлов ансамбля IJ Суммы берутся по всем элементам ансамбля содержащим узлы IJ В правые части формул (317) подставляются компоненты матриц жестко-сти и векторов приведенных узловых сил отдельных элементов вычисленные в глобальной системе координат
Рассмотрим более подробно один из вариантов процесса сборки глобальной матрицы жесткости ансамбля элементов
Разбитый на элементы стержень можно полностью описать двумя массивами - глобальными координатами узлов xi и матри-цей индексов элементов
Последний из них позволяет установить связь элементов друг с другом Под набором индексов данного элемента будем понимать глобальные номера узлов элемента выписанные в по-рядке возрастания их локальных номеров С помощью матрицы индексов обычно проводят сборку глобальной матрицы жестко-сти в виде двумерного массива SGL(neqneq) где neq -число сте-пеней свободы дискретной модели стержня Обозначим через IT(nsenel) матрицу индексов где nse - число степеней свободы элемента nel - количество элементов дискретной модели SE(nsense) - матрица жесткости элемента Алгоритм сборки со-стоит в том что для каждого элемента попарно следует пере-брать все индексы данного к-го элемента (включая и тот случай
113
когда индекс образует пару сам с собой) Пара локальных номе-ров IJ дает адрес (те строку и столбец) числа которое должно быть выбрано из матрицы жесткости элемента Другая же пара индексов IT(IK) IT(JK) определяет адрес в глобальной матрице жесткости по которому должен быть просуммирован выбран-ный коэффициент матрицы жесткости элемента Так как обра-ботка индексов происходит в порядке возрастания номеров эле-ментов то заполнение глобальной матрицы жесткости происхо-дит случайным образом
33 Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем
МКЭ Блок-схема алгоритма реализующая МКЭ представлена
на рис38 Дадим некоторые пояснения к этому алгоритму На 1-м этапе производится ввод исходных данных (коор-
динат узлов и номеров конечных элементов) и их распечатка (для контроля) Вводится также информация о внешних нагруз-ках граничных условиях механических характеристиках мате-риала отдельных элементов конструкции (блок 2) Заполняются нулями глобальная матрица жесткости и вектор нагрузки (блок 3)
На 2-м этапе в цикле (блок 4) вычисляются матрицы жест-кости (блок 5) и векторы эквивалентных узловых сил для от-дельных элементов (блок 7) которые включаются в глобальную матрицу жесткости К (блок 6) и вектор нагрузки
ρQ (блок 8)
После выхода из цикла в векторе ρQ учитываются компо-
ненты внешних сосредоточенных узловых сил по соответст-вующим степеням свободы (блок 9) В результате завершения 2-го этапа оказывается сформированной матрица и правая часть системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относи-тельно неизвестных узловых перемещений
114
На 3-м этапе производится учет заданных граничных усло-вий (блок10) и решением полученной СЛАУ (блок 11) опреде-ляются неизвестные узловые перемещения
На 4-м этапе в цикле по элементам вычисляются деформа-ции и напряжения в отдельных конечных элементах (блоки 12-15) Общий выход осуществляется в блоке 16
Отметим что при решении больших задач ввиду ограни-ченности памяти ЭВМ матрицу жесткости ансамбля элементов обычно хранят в виде ленты шириной L Величина L равна рас-стоянию от наиболее удаленного ненулевого элемента матрицы до главной диагонали Изменение ширины ленты матрицы мож-но добиться с помощью изменения порядка нумерации узлов
Начало
Ввод исхданных
Обнуление матрицы К и вектора Q
1
1
2
3
115
1
Цикл по элементам
Построение матрицы жесткости элемента в глобальных коорди-натах
Формирование глобальной мат-рицы жесткости системы К
Вычисление эквивалентных узло-вых сил для элемента в глобальных координатах
Формирование глобаль-ного вектора нагрузки Q
Добавление внешних сосредо-точенных сил
2
4
5
6
7
8
9
116
2
Учет граничных условий
Решение СЛАУ
Цикл по элементам
Вычисление внутр сило-вых факторов в локаль-ных осях
Вычисление напряжений Оценка прочности
Печать результатов
Конец
10
11
12
13
14
15
16
Рис38
117
34 Программа реализации МКЭ на ЭВМ Program MCE Uses crt const nue=2 nel=4 число конечных элементов nuz=5 число узлов ансамбля элементов ndis=1число узловв которых заданы перемещения type mas1=array[1nel] of real mas3=array[1nel1nue] of integer mas5=array[1nue1nue] of real mas7=array[1nuz1nuz] of real mas8=array[1nuz] of real mas9=array[1ndis] of integer mas10=array[1ndis] of real mas12=array[1nue] of real mas14=array[1nel1nue] of real var ielijinteger ardleedeforsigmamas1 nugmas3 semas5 sglmas7 rezmas8 nsdmas9 dismas10 r1mas12 bbrzmas14 const kdlmas1=(10101010) keemas1=(10101010) knugmas3=((12) (23) (34) (45)) knsdmas9=(1) kdismas10=(00) karmas1=(20201010) procedure MEL var j1k1l1integer
118
eflq0psreal begin efl=ee[iel]ar[iel]dl[iel] for j1=1 to nue do for k1=1 to nue do se[j1k1]=00 se[11]=efl se[12]=-efl se[21]=-efl se[22]=efl for j1=1 to nue do begin writeln for k1=1 to nue do write(se[j1k1]51) end readln readln(q0) r1[1]=05q0dl[iel] r1[2]=05q0dl[iel] for j1=1 to nue do write( r1[j1]53) readln end Procedure MGL var j1k1l1m1n1integer begin for j1=1 to nue do begin l1=nug[ielj1] rez[l1]=rez[l1]+r1[j1] for k1=1 to nue do begin n1=nug[ielk1] sgl[l1n1]=sgl[l1n1]+se[j1k1] end end
119
end Procedure GRAN var i1j1k1l1integer begin for i1=1 to ndis do begin j1=nsd[i1] k1=nsd[i1] for l1=1 to nuz do begin rez[l1]=rez[l1]-sgl[l1j1]dis[i1] sgl[l1j1]=00 end for l1=1 to nuz do sgl[k1l1]=00 sgl[k1k1]=10 rez[k1]=dis[i1] end end Procedure PRAV var k1nqicinteger begin repeat write(Введите номер узла) readln(nq) write(Введите компоненты усилия) read(r1[1]) writeln rez[nq]=rez[nq]+r1[1] until nqgt=nuz end Procedure SISTEM var i1j1k1l1integer x1array[1nuz] of real q1real begin for i1=1 to nuz do for j1=i1+1 to nuz do
120
begin sgl[j1i1]=-sgl[j1i1]sgl[i1i1] for k1=i1+1 to nuz do sgl[j1k1]=sgl[j1k1]+sgl[j1i1]sgl[i1k1] rez[j1]=rez[j1]+sgl[j1i1]rez[i1] end x1[nuz]=rez[nuz]sgl[nuznuz] for i1=nuz-1 downto 1 do begin q1=rez[i1] for j1=i1+1 to nuz do q1=q1-x1[j1]sgl[i1j1] x1[i1]=q1sgl[i1i1] end l1=0 for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do begin l1=l1+1 rz[ielj1]=x1[l1] end l1=l1-1 end writeln(Массив перемещений разделенный по узлам) for iel=1 to nel do begin for j1=1 to nue do write( rz[ielj1]53) writeln end end Procedure STRESS var j1integer begin for iel=1 to nel do begin1
121
defor[iel]=00 sigma[iel]=00 for j1=1 to nue do begin2 if j1=1 then bb[ielj1]=-1dl[iel] else bb[ielj1]=1dl[iel] defor[iel]=defor[iel]+bb[ielj1]rz[ielj1] end2 sigma[iel]=defor[iel]ee[iel] end1 for j1=1 to nel do write(j13)sigma[j1]54) writeln end
Begin clrscr dl=kdl nug=knug nsd=knsd dis=kdis ar=kar ee=kee for i=1 to nuz do begin rez[i]=00 for j=1 to nuz do sgl[ij]=00 end for iel=1 to nel do begin MEL MGL end PRAV GRAN SISTEM STRESS end
122
35 Расчет рам методом конечных элементов Матрица жесткости балочного элемента конструкции Рассмотрим расчетную схему линейно-упругой рамы в глобаль-ных (общей для всей системы) осях координат xyz (рис39а)
Рис 39
Разобъем ось этой рамы на m частей (конечных элемен-
тов) соединенных между собой в n узлах (рис39а) Каждому элементу под номером е поставим в соответствие систему ло-кальных осей координат xyz (рис39б) Рассмотрим в плоско-сти xy деформацию поперечного изгиба элемента На концах этого элемента укажем векторы узловых перемещений
[ ]Te uuuuu 4321)( =
ρ и узловых усилий [ ]Te RRRRR 4321
)( =ρ
Нумерация и положительные направ-ления компонентов этих векторов показаны на рис39б Связь
123
между ними обеспечивается как известно матрицей жесткости k(e) элемента е
)()()( ][ eee ukR ρρsdot= (318)
В дальнейшем там где возможно значок (е) будем опускать Прогиб балки w(x) в произвольном ее сечении будем считать функцией координаты x в локальной системе осей oxy (рис39б)
)( 34
2321 xxxxw prime+prime+prime+=prime αααα (319)
или в матричной форме [ ] [ ] minus=sdotprimeprimeprime=prime Tгдеxxxxw 4321
32 1)( ααααααвектор неизвестных коэффициентов
Применяя равенство (319) для концевых узлов элемента е
неизвестные параметры α1 α2 α3 α4 выразим через смещения
этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений
проходящих через соответствующие узлы
132332)(
)()0()0(
43221232
4324
34
232132211
ul
ul
ul
ul
lllxd
dwu
llllwuxd
dwuwu
minus+minusminus=rArr++=prime
=
+++===prime
===
αααα
αααααα
4233221341212 ul
ul
ul
ul
+minus+=α
Подставляя в (319) и выполняя преобразования получим
sum=
prime=prime4
1)()(
kkk xEuxw
(320)
где
124
)(23)(
2)(231)(
2
32
43
3
2
2
3
2
32
23
3
2
2
1
lx
lxxE
lx
lxxE
lx
lxxxE
lx
lxxE
prime+
primeminus=prime
primesdotminus
primesdot=prime
prime+
primesdotminusprime=prime
primesdot+
primesdotminus=prime
-функции перемещений известные под названием функций Эр-
мита Каждая из этих функций Ek(x) характеризует прогиб жест-
ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
направлению k (uk=1) (рис310)
Рис 310
Формулу (320) можно записать в матричном виде
[ ] uxNxw ρsdotprime=prime )()( (321)
где [ ])(xN prime - матрица-строка элементы которой являются функ-
циями локальной координаты х
[ ] [ ])()()()()( 4321 xExExExExN primeprimeprimeprime=prime (322)
125
Запишем теперь дифференциальные зависимости для из-
гиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах
)()(3
3
2
2
xdxwdEIQ
xdxwdEIM
primeprime
sdot=primeprime
sdot=
где М и Q ndash изгибающий момент и поперечная сила в сечении
балки положительные направления которых показаны на
рис39б Так как на концах балки (при x=0 и l) изгибающий
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми
значениями то с учетом их направлений можно записать
)()()()(
)0()0()0()0(
2
2
43
3
3
2
2
23
3
1
lxd
wdEIlMRlxd
wdEIlQR
xdwdEIMR
xdwdEIQR
primesdot==
primesdotminus=minus=
primesdotminus=minus=
primesdot==
Эти равенства с использованием формул (321) можно пе-
реписать в виде
[ ] [ ][ ] [ ] ulNEIRulNEIR
uNEIRuNEIRρρρρ
sdotprimeprimesdot=sdotprimeprimeprimesdotminus=sdotprimeprimesdotminus=sdotprimeprimeprimesdot=
)()()0()0(
43
21
Сравнивая эти соотношения с уравнением (318) запишем
матрицу жесткости элемента в виде
[ ]
primeprimeprimeprimeprimeminus
primeprimeminus
primeprimeprime
sdot=
)()()0(
)0(
lNlN
NN
EIk
или составляя выражения для производных с учетом
(320)(322) получим окончательно
126
[ ]
minusminusminusminus
minusminus
=
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIk
(323)
Отметим что элемент kij этой матрицы численно равен
реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис310)
Определение статически эквивалентных узловых уси-
лий
Пусть на элемент е рамы действует положительная попе-речная распределенная нагрузка интенсивностью q(x) (рис311)
Рис 311
Тогда силовые факторы qR
ρ в узловых сечениях элемента
эквивалентные этой нагрузке можно определить с помощью принципа возможных перемещений
0)()(0
=sdot+ intl
qT dwqRu ξξδξδρρ
(324)
127
Так как sum=
prime=4
1
)(k
kk xEuw δδ то из (324) следует
sum int=
=+4
1 0
0)()(k
l
kkqT dEquRu ξξξδδρρ
Следовательно для j-й компоненты вектора qRρ
получим
формулу
int =minus=l
jjq jdEqR0
)4321()()( ξξξ
При q(x)=const получим T
q qlqlqlqlR
minusminusminus= 22
121
21
121
21ρ
(325)
те компоненты этого вектора фактически являются реак-
тивными усилиями и моментами в балке с защемленными кон-
цами нагруженной распределенной нагрузкой q (рис311) Зна-
ки компонент jqRρ
соответствуют положительным направлениям
степеней свободы на рис39б
Преобразование локальных координат в глобальные
Необходимость в таком преобразовании возникает в связи
с составлением уравнений равновесия для всей конструкции в
целом в глобальной системе координат (рис312)
128
Рис 312
Связь между локальными )( zyxx primeprimeprime=primeρ и глобальными
)( zyxx =ϖ координатами записывается в виде
[ ] xtx ρρsdot=prime (326)
где [ ] )cos()cos()cos(
дтиzxtyxtxxt
ttttttttt
t
zx
yx
xx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
prime=
prime=
prime=
=
prime
prime
prime
primeprimeprime
primeprimeprime
primeprimeprime
Заметим что [ ]t представляет собой матрицу вращений
локальных осей относительно глобальных
Если известны глобальные координаты концов ij элемента
балки то направляющие косинусы оси x (оси балки) определя-
ются по формулам (i lt j)
l
zzt
lyy
tl
xxt ij
zxij
yxij
xxminus
=minus
=minus
= primeprimeprime
129
где 222 )()()( ijijij zzyyxxl minus+minus+minus= - длина эле-
мента
Компоненты матрицы [ ]t должны удовлетворять усло-
виям ортогональности осей координат
00 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime zzzxyzyxxzxxzyzxyyyxxyxx tttttttttttt
0=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzzyyzyyxzxy tttttt
Кроме того между направляющими косинусами еди-
ничных векторов имеются зависимости
11 222222 =++=++ primeprimeprimeprimeprimeprime zzyzxzzyyyxy tttttt
Условие ориентации относительно глобальной оси оу
главной центральной оси инерции сечения элемента oy записы-
вается в виде (рис312)
)cos(γ=primeyyt
В общем случае нагружения нумерация и положительные
направления узловых параметров (обобщенных перемещений и
усилий) элемента laquoеraquo в локальных осях xyz показаны на
рис313
130
Рис 313
Считаем что локальная система координат направлена от
узла с меньшим номером к узлу с большим номером по глобаль-
ной нумерации узлов всей конструкции В глобальных осях xyz
порядок нумерации и направления узловых параметров изобра-
жены на рис314
Рис 314
Согласно рис313 314 обозначим через
131
Tuuuu ][ 1221 primeprimeprime=prime Κρ и Tuuuu ][ 1221 Κϖ= векторы узловых пе-
ремещений элемента в локальных и глобальных координатах
соответственно Тогда связь между ними можно задать в виде
формулы
uTu ρρ ][=prime (327)
где [Т] ndash ортогональная матрица преобразования координат
([Т]-1=[Т]Т) Вид ее однозначно определяется из равенства (327)
и имеет блочно-диагональную структуру
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
=times
tt
tt
T1212
(328)
Каждый блок [ ]33times
t выполняет преобразование над поступа-
тельными или вращательными компонентами одного узла В ча-
стности для плоской рамы матрица преобразований имеет вид
[ ]
=
primeprime
primeprime
primeprime
primeprime
1000000000000000010000000000
yyxy
yxxx
yyxy
yxxx
tttt
tttt
T
(329)
Компонентами этой матрицы являются направляющие ко-
синусы между соответствующими осями локальной и глобаль-
132
ной систем координат
)()(
)cos()cos(
)(
)cos()(
)cos(
22ijij
xxyyyxxyyyxy
ijyx
ijxx
yyxxl
ttttyytxytl
yyyxt
lxx
xxt
minus+minus=
=minus=prime=prime=
minus==
minus=prime=
primeprimeprimeprimeprimeprime
primeprime
(330)
Заметим что угловые перемещения uiz и ujz при повороте
координат в плоскости изгиба не изменяются поэтому на соот-
ветствующих местах матрицы стоят единицы
Пусть Ru Tρρ
δ - работа узловых сил Rρ
на возможных пере-
мещениях uρδ в глобальной системе координат а Ru T primeprimeδρρ - рабо-
та узловых сил Rprimeρ
на возможных перемещениях u primeρδ в локаль-
ной системе координат Поскольку работа не зависит от того в
какой системе производятся вычисления то можно записать
RuRu TT primeprime=ρϖρϖ δδ Так как согласно (327) TTT Tuu ρρ δδ =prime то
RTuRu TTT prime=ρϖρϖ δδ Ввиду произвольности вектора Tuρδ получим
RTR T prime=ρρ
][ (331)
Учитывая (318) и (331) можно записать
uTkTukTR TT primeprime==ρρρ
][][][][][
Следовательно преобразование матрицы жесткости эле-
мента выполняется по матричной формуле
[ ] [ ] ][][ TkTk T sdotprime= (332)
133
Составление уравнений равновесия для стержневой
системы
Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат xyz единой для всех элементов конструкции (рис39а) При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам используя глобальную нумерацию степеней свободы
Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной системе координат xyz Обозначим через ui вектор перемещений типового узла i Число элементов этого вектора равно числу сте-пеней свободы узла Матрицу внешних сил действующих в узле i в направлении перемещений ui обозначим через Ri
Векторы узловых перемещений и сил для всей конструк-ции обозначим
u=[u1u2hellipum]T R=[R1R2hellipRm]T где m ndash число узлов стержневой системы
Если на элемент конструкции действует внеузловая на-грузка то считаем что на узел i этого элемента действует вектор эквивалентной нагрузки R0i число элементов которого равно числу степеней свободы узла Для всей конструкции можно за-писать вектор R0=[R01 R02 hellip R0m]T
Тогда связь между узловыми силами и узловыми переме-щениями может быть представлена в виде равенства
R=Ku+R0 (333) или в развернутой форме
+
sdot
=
0m
0i
01
m
j
1
m
i
1
R
R
R
u
u
u
R
RΜ
Μ
Μ
Μ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚΚΚΚΚΚ
ΚΚ
Μ
Μ
mmmjm
imiji
mj
kkk
kkk
kkkR
1
1
1111
134
Если предположить что силы действующие в узлах кон-струкции известны то равенство (333) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно компонентов вектора перемещений u
Ku=Q (334) где Q=R-Ro ndashвектор внешних сил Квадратная матрица K систе-мы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ) Эле-менты kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости k(e)
ij отдельных элементов по формуле )321()( mjikk e
ijij Κ==sum (335)
где суммирование выполняется по всем элементам входящим в стержневую систему При этом нужно учитывать то что
0)( =eijk если соответствующий элемент не соединяет узлы i j
Следовательно для получения ОМЖ можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня k(e)
ij распределить по соот-ветствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости поло-жение которых определяется нижними индексами и затем про-извести суммирование всех накладывающихся элементов
При формировании вектора Q в уравнении (334) можно воспользоваться аналогичным правилом
sum= )(eii QQ (336)
где суммирование производится по всем элементам сходящимся в узле i Описанный прием формирования объединенной матри-цы жесткости и вектора правой части называется методом пря-мых жесткостей и используется при составлении программ реа-лизующих МКЭ
Отметим что в матрице К все ненулевые элементы сгруп-пированы вблизи главной диагонали те образуют своеобразную ленту Ширину этой ленты можно определить по формуле
yee
ennnL sdot+minus= ]1)(max[ )(
min)(
max)( (337)
135
где )(min
)(max ee nn - максимальный и минимальный номера узлов
отдельного элемента по глобальной нумерации ny ndash число сте-пеней свободы в узле максимум берется по всем элементам стержневой конструкции С целью экономии памяти ЭВМ и времени обработки информации матрица K уравнения (333) часто хранится в виде прямоугольного массива размерности NtimesL где N ndash число неизвестных узловых параметров При этом нижний правый треугольник массива дополняется нулями От-метим что чем меньше ширина ленты тем эффективнее работа-ет программа Поэтому необходимо тщательно продумывать глобальную нумерацию узлов системы в то же время порядок нумерации элементов не так важен он определяет только после-довательность заполнения ОМЖ
Определим теперь вектор )(eRρ
узловых силовых факторов в этом элементе laquoеraquo в локальной системе координат oxy В силу формул (318)(327) имеем
)()( ]][[ ee uTkR ρρ= (338)
где )(euρ - вектор узловых перемещений элемента в глобальных координатах оху
Следовательно для вычисления внутренних силовых фак-торов в элементе рамы можно рассмотреть этот элемент отдель-но в виде балки нагруженной на концах вычисленными узловы-ми силовыми факторами По внутренним силовым факторам можно судить о прочности рассматриваемого стержневого эле-мента конструкции
351 Пример расчета плоской рамы Для рамы изображенной на на рис315 построить эпюру
изгибающих моментов М поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1=I Моменты инерции ригелей также одинаковы и равны I2=2I
136
Решение (ручной счет) Примем условно параметр жесткости элемента рамы на
изгиб EI и на растяжение-сжатие EA равными 1 Схема нумера-ции и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис316
Рис 315
Рис 316
Вычислим матрицы жесткости отдельных конечных эле-
ментов в местных координатах направив ось оx от узла с мень-шим номером к узлу с большим номером По формуле (323) имеем
137
654321654321
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)1(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
121110987121110987
600148000800048000480019200480019200002000002000800048000600148000480019200480019200002000002000
)2(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
151413121110151413121110
333133300667033300333011100333011100001670001670667033300333133300333011100333011100001670001670
)3(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=k
138
121110654121110654
333166700667066700667044400667044400003330003330667066700333166700667044400667044400003330003330
)4(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
181716121110181716121110
000137500500037500375018700375018700002500002500500037500000137500375018700375018700002500002500
)5(
minusminusminusminus
minusminusminus
minus
=primek
Согласно (333) вычислим теперь матрицы жесткости эле-
ментов в глобальной системе координат xyz Используя формулы (332) составляем матрицы преобра-
зования координат Так как для горизонтальных стержней рамы локальные оси совпадают с направлением глобальных осей то матрица Т в этом случае является единичной Для вертикальных стержней
139
minus
minus
=
100000001000010000000100000001000010
T
Производя перемножение матриц по формуле (332) полу-чим для 4-й и 5-й стержней
121110654121110654
333106670667006670033300033300667004440667004440
667006670333106670033300033300667004440667004440
)4()4(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
181716121110181716121110
000103750500003750025000025000375001870375001870
500003750000103750025000025000375001870375001870
)5()5(
minusminus
minusminusminusminus
minusminus
=prime= TkTk T
140
Справа от матриц обозначены номера строк а под ними - номера столбцов соответствующие степеням свободы данного стержня Заметим что перемножение матриц при ручном счете удобнее производить в системе Mathcad
Для получения обобщенной матрицы жесткости всей рамы поместим все элементы матрицы жесткости )(e
ijk каждого стерж-ня е в ячейки ОМЖ согласно нижним индексам по формуле (335) и просуммируем все элементы попавшие в одну и ту же ячейку Например
88602500333011101920
29203750667000
99901870444016702000
644044402000
)5(1111
)4(1111
)3(1111
)2(11111111
)5(1210
)4(1210
)3(1210
)2(12101210
)5(1010
)4(1010
)3(1010
)2(10101010
)4(44
)1(4444
=+++=
=+++=
minus=+minus+=
=+++=
=+++=
=+++=
=+=+=
kkkkk
kkkkk
kkkkk
kkk
В результате получим объединенную матрицу жесткости (ОМЖ) прямоугольная лента (18times9) которой имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
2 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
3 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
4 0644 0 0667 0 0 0 -0444 0 0667
5 0525 -0480 0 0 0 0 -0333 0 0
6 2933 0 0 0 -0667 0 0667 0 0
7 0200 0 0 -0200 0 0 0 0 0
8 0192 0480 0 -0192 0480 0 0 0 0
9 1600 0 -0480 0800 0 0 0 0 0
10 0999 0 -0292 -0167 0 0 -0187 0 0375
11 0886 -0147 0 -0111 0333 0 -0250 0 0
141
12 5267 0 -0333 0667 -0375 0 0500 0 0
13 0167 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0111 -0333 0 0 0 0 0 0 0
15 1333 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0187 0 -0375 0 0 0 0 0 0
17 0250 0 0 0 0 0 0 0 0
18 1000 0 0 0 0 0 0 0 0
Векторы узловых сил эквивалентных внешним нагрузкам в глобальной системе xyz координат равны
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000300020000000300020000
000000000000000000000000
083250020000083250020000
181716121110)5(
121110654)4(
151413121110)3(
121110987)2(
654321)1(
T
T
T
T
T
Q
Q
Q
Q
Q
=
=
minusminusminus=
=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Над элементами этих векторов указаны соответствующие
номера степеней свободы концов каждого стержня которые по-зволяют сформировать вектор правой части Q уравнения (334) с использованием формулы (336)
142
T
Q
minus
minusminus
minusminusminus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300020000
000300020000000000000000
083250020000083250020000
Таким образом получены левая и правая части системы линейных алгебраических уравнений вида (17) где u=[u1u2hellipu18]T- вектор неизвестных узловых перемещений ра-мы
Учет граничных условий Матрица K в системе уравнений (334) является вырож-
денной поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно те с точностью до жесткого смещения тела Что-бы исключить это необходимо поставить граничные условия те наложить внешние связи на конструкцию те
u1= u2 = u8 = u14 = u16 = u17 = u18 = 0 Так как размеры поперечных сечений стержней достаточ-
но малы по сравнению с их длинами то влиянием осевых де-формаций на перемещения в рамах можно пренебречь Поэтому расчет можно несколько упростить если считать что изменение длин элементов равны нулю те дополнительно принять u4 = u5 = u11 =0
Учет заданных перемещений можно произвести следую-щим образом Пусть например известно что перемещение u1=∆ Тогда система уравнений (334) может быть преобразована с помощью следующих операций
-все коэффициенты в первой строке за исключением диа-гонального к11 приравнивают нулю
-компоненту Q1 заменяют на 11∆k -члены содержащие заданное значение u1=∆ переносят в
правую часть системы
143
Аналогично учитываются и остальные заданные переме-щения Тогда вектор правой части системы (334) преобразуется к виду
T
Q
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000000300000000
000300000000000000000000
083200000000083200000000
Решая эту систему одним из известных методов например методом Гаусса получим искомый вектор перемещений в гло-бальных осях oxy
T
u
minus
minus
=
181716151413
121110987
654321
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
Следовательно каждый узел исходной рамы при заданной внешней нагрузке получает перемещения выражаемые вектора-ми
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
TT
TT
TT
uu
uu
uu
000000000000841200005011
181100005011591000005011
939100000000272200000000
65
43
21
==
minus==
=minus=
Вычислим теперь соответствующие векторы узловых си-ловых факторов для каждого элемента по формулам (338)
144
[ ][ ][ ][ ][ ] 027901616049605618501616049605
28261161606600279780161606602
000004469100000318735531200000
41761283500000000002835000000
797806596216100000003404216100
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
T
T
T
T
T
R
R
R
R
R
minusminusminusminus=
minusminusminus=
minusminus=
minusminusminusminus=
minusminusminus=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Используя эти узловые силовые факторы выписываем
формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис317)
Рис 317
M(x) = R2
(1)sdotx ndashqx22 = 2340sdotx ndash05sdotx2 (квадратичная фунция) M(0) = 0 M(5) = 23404sdot5-05sdot25 = -0798 кНм M(25) = 23404sdot25-05sdot252 = 2726 кНм
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке
мxxdx
xdM 342034042)(00 =rArr=minus=
M(234) = 23404sdot234-05sdot2342 = 2738 Q = 23404-qsdotx (линейная функция) Q(0) = 2340 Q(5) = -2660 кН N = 0161 кН
После построения эпюры Q значения продольной силы в стержнях рамы можно также найти вырезанием ее узлов и про-
145
ектированием всех сил на соответствующие оси При этом рас-тягивающая продольная сила считается положительной Окончательные эпюры M Q и N приведены на рис318 319 и 320 Эти эпюры полностью совпадают с эпюрами построенны-ми в [11] методом перемещений
Рис 318
Рис 319
146
Рис 320
352 Расчет рамы в среде Mathcad Решим эту же задачу (рис315) с использованием матема-
тического пакета Mathcad
ORIGIN 1=
l
5
5
6
3
4
= E
1
1
1
1
1
= A
1
1
1
1
1
= I
2
2
2
1
1
= α
0
0
0
πminus
2
πminus
2
=
147
148
se 1( )
02
0
0
02minus
0
0
0
0192
048
0
0192minus
048
0
048
16
0
048minus
08
02minus
0
0
02
0
0
0
0192minus
048minus
0
0192
048minus
0
048
08
0
048minus
16
=
se 3( )
0167
0
0
0167minus
0
0
0
0111
0333
0
0111minus
0333
0
0333
1333
0
0333minus
0667
0167minus
0
0
0167
0
0
0
0111minus
0333minus
0
0111
0333minus
0
0333
0667
0
0333minus
1333
=
149
R e qx qy( )
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qyminus le( )2sdot
12
05minus qxsdot lesdot
05minus qysdot lesdot
qy le( )2sdot
12
= R1 e P( )
0
05minus Psdot
Pminus lesdot
8
0
05minus Psdot
P lesdot
8
=
Q1
0
25minus
2083minus
0
25minus
2083
= Q2
0
0
0
0
0
0
= Q3
0
2minus
3minus
0
2minus
3
= Q4
0
0
0
0
0
0
=
150
T 1( )
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
= T 4( )
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1minus
0
0
0
0
0
0
0
1
=
seg e( ) T e( )T se e( )sdot T e( )sdot= Q e( ) T e( ) Qesdot=
151
Составление матрицы индексов
ITT 1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
= IT1
2
3
4
4
5
2
4
4
6
T=
nue 2= nse 6= neq 18= nel 5=
I 1 neq= J 1 neq= SGLI J 0= QGLI 0=
i1 1 nel= j1 1 3= k1 1 3=
IGi1 k1 ITi1 1 1minus( ) 3sdot k1+= JGi1 k1 ITi1 2 1minus( ) 3sdot k1+=
e 1 nel= i 1 nse= j 1 nse=
seg e i j( ) seg e( )i j= Q1 e i( ) Q e( )i=
SGL MIe i MIe j( ) SGL MIe i MIe j( ) seg e i j( )+=
QGL MIe i( ) QGL MIe i( ) Q1 e i( )+=
QGLT 1 2 3 4 5
1 0 -25 -2083 0 -25=
152
Учет граничных условий
Обновление матрицы системы в соответствии с заданными граничными условиями
i1 1 ndis=
nsd 1 1= nsd 2 2= nsd 3 4= nsd 4 5= nsd 5 8=
nsd 6 11= nsd 7 14= nsd 8 16= nsd 9 17= nsd 10 18=
QGL
j1 nsd i1larr
k1 nsd i1larr
QGLk1 QGLk1 SGLk1 j1 disi1sdotminuslarr
k1 k1 1+larr
k1 neqleif
l1 1 neqisinfor
QGLj1 disi1larr
i1 1 ndisisinfor
QGL
=
QGLT1 2 3 4 5
1 0 0 -2083 0 0=
neq 18=
k1 1 neq=
SGLnsdi1 k1 if k1 nsd i1 1 0( )=
disi1 0=
153
Решение системы уравнений
Векторы перемещений узлов рамы
Перемещения узлов элементов рамы в глобальных осях
minusminus
minusminusminus=
01811841218119391000000501150115011018119391181159102722
0000050110501150110
Ue
SGLk1 nsdi1 if k1 nsd i1 1 0( )=
UT 1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 -2272 0 0 1939 1501=
U SGL 1minus QGLsdot=
u1 0 0 2272minus( )T= u2 0 0 1939( )T=
u3 1501 0 0591( )T= u4 1501 0 1181minus( )T=
u5 1501 0 2841( )T= u6 0 0 0( )T=
k 1 nel= j 1 nse=
Uej k UMI k j=
154
minusminusminusminus
minusminusminusminus
=
02790282610417617978016160161604469128350659620000061850797803187300161601616055312283503404200000
R
Используя эту матрицу можно выписать формулы для
внутренних силовых факторов каждого элемента Например для стержня 1 имеем (рис321)
Uel klang rang T k( ) Ue klang rangsdot= Uel
0
0
2272minus
0
0
1939
1501
0
0591
1501
0
1181minus
1501
0
1181minus
1501
0
2841
0
0
1939
0
1501
1181minus
0
1501
1181minus
0
0
0
=
q 1= L l1=
R2 R 1lang rang( )2= R3 R 1lang rang( )
3= R5 R 1lang rang( )5= R6 R 1lang rang( )
6minus=
R2 23404= R3 0= R5 26596= R6 07978=
155
Рис 321 Изгибающий момент M и поперечная сила Q от внешних
сил в сечении х балки
32
2)(2
RxqxRxM +sdotminussdot=
(квадратичная функция)
Значения ординат эпюр в характерных точках
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке х0 Начальное приближение
M(x0) = 2739
Q x( )xM x( )d
d=
n 100= x 0Ln L=
M 0( ) 0= M 25( ) 2726= M L( ) 0798minus=
Q 0( ) 234= Q L( ) 266minus=
x0 root Q x( ) x( )= x0 234=
n 100= x 0Ln L=
156
Для стержня 2
M(x) = R2middotx +R3 (линейная функция)
0 xle l2le L l2= L 5=
R2 R 2lang rang( )2= R3 R 2lang rang( )
3= R5 R 2lang rang( )5= R6 R 2lang rang( )
6minus=
R2 02835minus= R3 0= R5 02835= R6 14176=
Q x( ) R2= const M 0( ) 0= M L( ) 1418minus=
Q 0( ) 0284minus= Q L( ) 0284minus=
x 0Ln L= n 100=
157
Для стержня 3
L l3= F 4=
R2 R 3lang rang( )2= R3 R 3lang rang( )
3= R5 R 3lang rang( )5=
158
R2 25531= R3 33187= R5 14469=
M 0( ) 3319minus= M 3( ) 4341= M 6( ) 0=
Q 0( ) 2553= Q 299( ) 2553= Q 3( ) 1447minus=
n 100= x 0Ln L=
Q L( ) 1447minus=
159
Для стержня 4
(линейная функция )
Для стержня 5
L l4= L 3=
R2 R 4lang rang( )2= R3 R 4lang rang( )
3= R5 R 4lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 07978= R5 01616=
Q x( ) R2= const
Q 0( ) 0162minus= M 0( ) 0798minus= M L( ) 1283minus=
n 100= x 0Ln L=
0 xle l5le L l5= L 4=
R6 12826=
R6 R 4lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=
160
(линейная функция)
Приступим теперь к построению упругой линии элементов рамы Запишем функции Эрмита
R2 R 5lang rang( )2= R3 R 5lang rang( )
3= R5 R 5lang rang( )5=
R2 01616minus= R3 06185minus= R5 01616=
R6 00279=
Q x( ) R2= const
M 0( ) 0619= M L( ) 0028minus=
n 100= x 0Ln L=
R6 R 5lang rang( )6minus=
Q L( ) 0162minus=Q 0( ) 0162minus=
161
Функция формы
Формулы для прогибов элементов рамы w(xe)
E2 x L( ) 1 3x2
L2sdotminus 2
x3
L3sdot+= E3 x L( ) x 2
x2
Lsdotminus
x3
L2+=
E5 x L( ) 3x2
L2sdot 2
x3
L3sdotminus= E6 x L( )
x2minus
Lx3
L2+=
162
36 Решение плоской задачи теории упругости в среде
Mathcad Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном
состоянии (НДС) панели с квадратным отверстием посере-дине защемленной по боковым краям при действии сил тяжести Длина и высота панели L=10 м толщина h=1 На краю свободного отверстия задаем нулевые нормальные σn и касательные τn напряжения
Расчет этой задачи проведем методом конечных эле-ментов [1-3] Так как панель имеет две оси симметрии то рассматривается лишь четверть этой панели (рис322) На выделенную часть панели наносится сетка треугольных конечных элементов и указываются способы закрепления граничных узлов в соответствии с граничными условиями Внутри конечного элемента принимается линейная зави-симость перемещений от координат которая обеспечивает непрерывность поля перемещений во всей рассматривае-
163
мой области Деформации материала панели полагаем уп-ругими В каждом узле сетки прикладываем узловую на-грузку которая заменяет силу тяжести рассматриваемой панели
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задание исходных данных
Рис 322
164
Число конечных элементов ансамбля nel = 42 Число узлов ансамбля nuz = 32 neq = nuzmiddotnsu neq = 64
1 - пл напр состояние 2 - плоская деформация Толщина пластины
Упругие постоянные элементов
модуль Юнга
Коэффициент Пуассона
Разбиение области на конечные элементы задание номеров
узлов и КЭ
L 1= n 10= hLn
= h 01=
hx
h
h
h
h
h
h
= hy
h
h
h
h
h
h
=
165
Матрица координат узлов и глобальные номера узлов ансамбля элементов
nx 6= ny 6= nx1 4= ny1 4=
cuz k1 0larr
sx hx1minuslarr
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 nyisinfor
i1 nx1leif
sy hy1minuslarr
sx sx hxi1+larr
k1 k1 1+larr
sy sy hy j1+larr
cuzk1 1 sxlarr
cuzk1 2 sylarr
j1 1 ny1isinfor
i1 nx1gtif
i1 1 nxisinfor
cuz
=
cuz
1 2
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0 00 01
0 02
0 03
0 04
0 05
01 0
01 01
01 02
01 03
01 04
01 05
02 0
02 01
02 02
02 03
02 04
02 05
03 0
03 01
03 02
03 03
03 04
=
166
Генерация глобальных номеров узлов элементов ансамбля
nug37 1 25= nug37 2 29= nug37 3 26=
nug38 1 30= nug38 2 26= nug38 3 29=
nug39 1 26= nug39 2 30= nug39 3 27=
167
Формирование матрицы индексов степеней свободы
Формирование матрицы жесткости элемента k
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug40 1 31= nug40 2 27= nug40 3 30=
nug42 1 32= nug42 2 28= nug42 3 31=
i 43 50= j 1 3= nug i j 0=
k 1 nel= i 1 3=
k 1 nel= i 1 3=
MIk 2 isdot 1minus 2 nugk isdot 1minus= MIk 2 isdot 2 nugk isdot=
x cuz 1lang rang= y cuz 2lang rang=
a k( )
x nugk 3( ) x nugk 2( )minus
x nugk 1( ) x nugk 3( )minus
x nugk 2( ) x nugk 1( )minus
= b k( )
y nugk 2( ) y nugk 3( )minus
y nugk 3( ) y nugk 1( )minus
y nugk 1( ) y nugk 2( )minus
=
Ak 05
1
1
1
x nugk 1( )x nugk 2( )x nugk 3( )
y nugk 1( )y nugk 2( )y nugk 3( )
= A1 5 10 3minustimes=
168
Матрица деформаций элемента под номером k
Матрица упругости элемента
Матрица жесткости элемента k
Формирование глобальной матрицы жесткости и правой части системы уравнений
i 1 neq= j 1 neq= sgli j 0=
i 1 6= j 1 6= k 1 nel=
169
Учет граничных условий
qtd14 05 Psdot= j1 1 neq=
qtd18 P= qtd20 P= qtd22 P= qtd24 05 Psdot=
qtd26 05 Psdot= qtd28 P= qtd30 P= qtd32 P=
qtd34 P= qtd36 05 Psdot= qtd38 05 Psdot= qtd40 P=
qtd42 P= qtd44 075 Psdot= qtd46 05 Psdot= qtd48 025 Psdot=
qtd50 05 Psdot= qtd52 P= qtd54 P= qtd56 05 Psdot=
qtd58 025 Psdot= qtd60 05 Psdot= qtd62 05 Psdot= qtd64 025 Psdot=
j 1 neq= i 1 rows nsd( )=
qtd jqtd j qtd j sgl j nsdi disisdotminuslarr
i 1 rows nsd( )isinfor= qtd nsdi( ) sgl nsdi nsdi( ) disisdot=
sglnsdi j sgl nsdi j( ) nsd i jif
0 otherwise
= sgl j nsdi sgl j nsdi nsd i jif
0 otherwise
=
qtd j1 0= qtd16 P=
170
Нахождение узловых перемещений
Построение линии прогибов верхней кромки панели
i 1 6= uei k ud MI k i( )=
rz i1 0larr
i1 i1 1+larr
rzj1 k1 udi1larr
j1 1 nsuisinfor
k1 1 nuzisinfor
rz
=
rz2 29 32238= rz2 25 29789= rz2 19 24556=
rz2 13 17509= rz2 7 8945= rz2 1 0=
w1 rz2 29= w2 rz2 25= w3 rz2 19=
w4 rz2 13= w5 rz2 7= w6 rz2 1=
171
Значения прогибов по верхней кромке выреза
Значения прогибов по оси симметрии панели rz224 = 18122
Горизонтальные перемещения по торцу выреза
Определение векторов деформаций и напряжений в эле-менте к
Вычисление главных напряжений и направления главной
площадки в элементе k
rz2 32 3115= rz2 28 29346= rz2 22 22084=
rz2 16 16632= rz2 10 9268= rz2 4 0=
rz2 18 15667= rz2 12 9315= rz2 6 0=
rz1 22 175minus= rz1 23 0734minus= rz1 24 0=
εel klang rang Bk ue klang rangsdot= σel klang rang D εel klang rangsdot=
σel 1lang rang583522
97254
383367
= σel 2lang rang
181125
4388
220592
= σel 3lang rang
178778
29796
389235
=
cck
σel klang rang( )1 σel klang rang( )
2+
2=
ggk
σel klang rang( )2 σel klang rang( )
1minus
2
2
σel klang rang( )3
2+=
172
Определение векторов деформаций и напряжений в узлах ансамбля элементов
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в узлах
σgel1 k cck ggk+= σgel2 k cck ggkminus=
k 1 nel= j 1 nue= i 1 nuz= j1 1 nue=
σ j1 i 0= ε j1 i 0= koli 0= kol nugk j( ) kol nugk j( ) 1+=
σ j1 nugk j σ j1 nugk j σelj1 k+= σ j1 iσ j1 i
koli=
ε j1 nugk j ε j1 nugk j εelj1 k+= ε j1 iε j1 i
koli=
cciσ1 i σ2 i+
2= ggi
σ2 i σ1 iminus
2
2
σ3 i( )2+=
σgl1 i cci ggi+= σgl2 i cci ggiminus=
173
Напряжения и деформации в направлении оси 0Z
Интенсивности напряжений и деформаций в узле i
σ4 i σ3 i= σ3 i ν σ1 i σ2 i+( )sdot mdef 2if
0 otherwise
=
ε4 i ε3 i= ε3 i νminus ε1 i ε2 i+( )sdot mdef 1if
0 otherwise
=
maxσi max σi( )= maxσi 85681=
εii2
2 1 ν+( )sdotε1 i ε2 iminus( )2 ε2 i ε3 iminus( )2+ ε3 i ε1 iminus( )2+
32
ε4 i( )2sdot+sdot=
maxεi max εi( )= maxεi 8505=
σxv1 σ1 29= σxv2 σ1 25= σxv3 σ1 19=
σxv4 σ1 13= σxv5 σ1 7= σxv6 σ1 1=
σxl1 σ1 29= σxl2 σ1 30= σxl3 σ1 31=
σxl4 σ1 32=
174
Нормальные напряжения sx по верней кромке и на оси симметрии панели
Касательные напряжения txy в вертикальном сечении
вблизи заделки
τ1 σ4 7= τ2 σ4 2= τ3 σ4 3=
τ4 σ4 4= τ5 σ4 5= τ6 σ4 6=
175
Нормальные напряжения sx в вертикальном сечении вдоль заделки
Нормальные напряжения sу в горизонтальном сечении на
уровне верхнего края выреза
σx1 σ1 1= σx2 σ1 2= σx3 σ1 3=
σx4 σ1 4= σx5 σ1 5= σx6 σ1 6=
σy1 σ2 22= σy2 σ2 16= σy4 σ2 4=σy3 σ2 10=
176
4 АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МКЭ
41 Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS
В настоящее время все более широкое распространение среди инженеров-расчетчиков находит программа ANSYS по-зволяющая решать самые разнообразные задачи во многих ин-женерных приложениях [8-10] Средства заложенные в этой программе могут учитывать различные нелинейности поведе-ния материала конструкции допускают наличие больших (ко-нечных) деформаций и углов поворота решать контактные зада-чи и многое другое Система меню панели инструментов и диа-логовые окна обеспечивают автоматический ввод исходных данных автоматическое разбиение области на сетку конечных элементов и выбор соответствующих действий В комплекс AN-SYS входят различные специализированные программы Напри-мер программа ANSYSMultiphysics предназначена для решения широкого круга инженерных задач позволяет проводить проч-ностные расчеты сооружений исследования в области тепло-проводности механики жидкостей и газов электромагнетизма а также решать связанные задачи Программа ANSYSMechanical служит для выполнения проектных разработок анализа и опти-мизации решение сложных задач прочности конструкций теп-лопередачи и акустики
42 Подготовка параметров компьютера и вход
в программу в интерактивном режиме Перед входом в пакет ANSYS необходимо установить раз-
решение дисплея не менее 1024times768 пиксел и задать цветовую палитру включающую в себя не менее 256 цветов Программа ANSYS может работать в двух режимах пакетном (Batch) и ин-терактивном (Interactive) В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается про-граммой пользователя которая составляется с помощью
177
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
178
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
179
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
180
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
181
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
182
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
183
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
184
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
185
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
186
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
187
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
188
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
189
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
190
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
191
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
192
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
193
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
194
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
195
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
196
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
197
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
198
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
199
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
200
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
201
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
202
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
203
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
204
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
205
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
206
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
207
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
208
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
209
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
210
специальных команд При этом первой строкой в файле про-граммы должна быть строка batch Этот режим не требует по-стоянной связи с компьютером
В интерактивном же режиме пользователь все время об-щается с компьютером посредством команд и задания соответ-ствующих параметров Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон
Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуще-ствляется в следующем порядке
-настройка параметров Пуск (Start) rarr Все программы rarr ANSYS Interactive -Run После входа в интерактивный режим диалог пользователя
осуществляется через многооконный laquoГрафический интерфейс пользователя (GUI)raquo
Основными элементами окна являются ndash Меню утилит (Utility menu) которое занимает верхнюю
строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур
ndash Окно ввода (ANSYS input) оно служит для набора ко-манд и вывода сообщений в Output Window
ndash Главное меню (ANSYS Main menu) содержащее основ-ные функции и этапы выполнения программы
ndash Графическое окно представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель графики результатов анализа и тп)
ndash Линейка инструментов (Toolbar) позволяет иметь бы-стрый доступ к часто исполняемым командам
ndash Окно вывода (Output Window) которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы
43 Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выде-
ляют три стадии
211
- Preprocessing ndash препроцессорная (предварительная) под-готовка задачи
- Приложение нагрузок и получение решения - Postprocessing ndash постпроцессорная обработка результатов
счета 431 Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов по-
строение модели и приложение нагрузок включая и граничные условия Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров выбираются системы координат и типы конечных элементов указываются упругие постоянные и физико-механические свойства материала строится твердотельная мо-дель которая покрывается сеткой конечных элементов выпол-няются необходимые действия с узлами и элементами сетки
В программе ANSYS на различных этапах препроцессор-ной подготовки задачи можно использовать разные координат-ные системы декартовые цилиндрические сферические эллип-тические и тороидальные Эти системы необходимы для разме-щения в пространстве геометрических объектов определения направлений степеней свободы в узлах сетки задания свойств материала в разных направлениях для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов
Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы Эта база данных разделена на таблицы ко-ординатных систем типов элементов свойств материала клю-чевых точек узлов сетки нагрузок и тп Как только в таблице появляются данные на них можно ссылаться по входному номе-ру таблицы Для выбора данных могут быть использованы раз-личные способы например разделение модели на компоненты или слои представляющие собой выделенные группы геометри-ческих объектов Программа использует ту часть базы данных которая необходима для определенного вида расчетов
212
Способы геометрического моделирования В программе ANSYS существует возможность непосред-
ственного построение модели в интерактивном режиме работы При этом чаще всего используется так называемое laquoвосходящее моделированиеraquo при котором пользователь строит модель по-следовательно переходя от простых к более сложным объектам Те сначала задаются ключевые точки затем по порядку свя-занные с ними линии поверхности и объемы Кроме этого в про-грамме ANSYS поверхность можно построить также методом laquoобтягивания каркасаraquo Суть этого метода заключается в зада-нии некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды Построенная та-ким образом поверхность будет в точности соответствовать ука-занным сечениям
В программе ANSYS также имеется возможность исполь-зовать так называемые геометрические примитивы (например окружности и прямоугольники в двумерном случае параллеле-пипеды сферы конусы и цилиндры в трехмерном) которые создаются за одно обращение к меню В твердотельном модели-ровании кроме восходящего можно применить также и нисхо-дящий способ Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов Например пользователь опреде-ляет объемный примитив а программа автоматически находит связанные с ним поверхности линии и ключевые точки Прими-тивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели Кроме этого существует еще один спо-соб создания геометрической модели в ANSYS - это импорт мо-дели предварительно построенной с помощью другой програм-мы
Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сло-жение вычитание пересечение деление склеивание и объеди-нение) для создания окончательного вида модели
213
Создание сеточной области конечных элементов На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется
соответствующей сеточной областью конечных элементов Вы-бор конечных элементов производится из библиотеки програм-мы ANSYS которая содержит более 80 типов конечных элемен-тов Каждый из этих элементов используется только в своей об-ласти расчетов (прочностной тепловой и тд) и определяет ха-рактерную форму элементов (линейную плоскую в виде бруска и тд) а также размерность (2D или 3D) элемента Для выбран-ного типа элементов необходимо задать константы определяю-щие характерные свойства элемента Например для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь попереч-ного сечения момент инерции высота и др Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности нелинейности анизотропности и тд) а также зависимости этих свойств от температуры от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения кривых ползучести Анизо-тропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы Описание анизотропной пла-стичности требует задания кривых laquoнапряжение-деформацияraquo для разных направлений
В программе ANSYS предусмотрено четыре способа гене-рации сетки использование метода экструзии создание упоря-доченной сетки автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение
Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты состоящие из параллелепипедов клиновидных элементов или их комбина-ции Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости буксировки поступательного и враща-тельного перемещений
При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
214
стью Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей ограниченных четырьмя линиями
Создание произвольной сетки производится автоматиче-ски при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображе-ния ее реальной геометрии Кроме того можно изменять разме-ры ячейки сетки указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти При построении сетки мож-но указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек коэффициент растяже-ния или сжатия вдали от границ задать ограничения на кривиз-ну границы а также фиксированные узлы с заданными размера-ми сетки в окрестности такого узла Произвольная сетка может строиться из треугольных четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфи-гурацией границ
Отметим что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки Например могут быть изменены ат-рибуты узлов и элементов Если модель состоит из повторяю-щихся областей то можно построить сетку только для некото-рой области модели а затем копировать эту область Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели
После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область оцени-вая и изменяя сетку до тех пор пока расчетная погрешность се-точной дискретизации не станет меньше наперед заданной вели-чины или не будет достигнуто заданное число итераций Такой способ построения сетки называется адаптивным
432 Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его оп-
ций нагрузок шага решения и запуском задачи на счет В программе ANSYS можно использовать два метода ре-
шения задач h-метод может применяться при любом типе рас-
215
четов (статическом динамическом тепловом и тд) а p-метод - лишь при линейном статическом анализе При прочих равных условиях первый из этих методов требует более частой сетки чем второй Задание метода осуществляется с помощью коман-ды
Main Menu ndash Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering произ-
водится выбор соответствующей опции Discipline options Отметим что в программе ANSYS под нагрузками пони-
мают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия) Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках по линиям и поверхностям) либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам) Вид нагрузок зависит от вида проводи-мого анализа Например при расчете теплопередачи нагрузкой приложенной в точке является тепловой поток
После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет Ре-зультаты счета записываются в специальный файл и базу дан-ных Причем в файле могут храниться результаты для всех ша-гов решения а в базе данных записывается только один набор результатов
Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время программа ANSYS переупорядочивает рас-положение узлов и элементов в сеточной области
433 Постпроцессорная обработка результатов счета Постпроцессорные средства программы ANSYS позволя-
ют представить результаты решения задачи (laquoфайл результа-товraquo) в виде графиков и таблиц Возможны два подхода к ре-зультатам для постпроцессорной обработки
- использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов которые относятся ко всей модели в целом или ее части Массивы результатов можно делить на части сортировать преобразовывать комбинировать
216
вместе с наборами исходных данных находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний цветных полос или поверх-ностей равного уровня отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред Можно также представлять результа-ты в виде векторов вдоль заданной кривой определять те участ-ки сетки которые необходимо измельчать для уточнения реше-ний форматировать результаты счета для включения в отчет создавать листинги или графические изображения
- использование постпроцессора истории нагружения по-зволяет выделить результаты зависящие от времени или каких-либо независимых параметров дает возможность наглядно представить эти зависимости Этот способ полезен для обработ-ки решения нестационарных задач
Методику работы с программой ANSYS разберем на при-мерах
44 Примеры решения статических прочностных задач 441 Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы изображенной на рис 41
Рама имеет следующие размеры свойства и нагрузки L1 = 5м L2 = 6м h1 = 4 м h2 = 3 м ширина сечения участков рамы width = 008 м высота сечения стоек рамы Hsech1 = 006 м высота сечения ригелей Hsech2 = 0075 м интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кНм сосредоточенная сила F = 4 кН модуль упругости Е = 200 ГПа коэффициент Пуассона nu = 03
217
Введем следующие обозначения момент инерции стоек I1 момент инерции ригелей I2 Ar1 Ar2 ndash соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей
Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI) Предварительная подготовка (Preprocessing) Решение данной задачи начинается с ввода заголовка
Utility menu rarr File rarr Change Titlehellip В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи
Rama OK
Рис41
218
Для решения задачи требуется ввести исходные данные Utility menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем однострочном поле Selection открывшегося ок-
на печатаем название и величину вводимых параметров L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=008 Hsech1=006 Hsech2=0075 Ar1=Hsech1width Ar2=Hsech2width I1=(widthHsech13)12 I2=(widthHsech23)12 qe=1 F=4
После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close)
Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints)
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Key-
points rarr In Active CShellip Выбор In Active CShellip(Active Coordinate Systems) позволит
задавать положение ключевых точек в текущей глобальной сис-теме координат
Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки) а также координаты xyz в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме) После вво-да промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
219
кнопки Apply (применить) Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице
Координаты ключевых точек точек
x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК Теперь для получения модели балки свяжем между собой
заданные ключевые точки прямыми линиями Preprocessor rarr Modeling rarr Create rarr Lines rarr Lines rarr
Straight Linehellip Появившимся курсором отметим на графическом экране
обе концевые ключевые точки каждого участка После рисова-ния каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply для завершения работы - ОК
Сообщим программе типы элементов которые будут ис-пользованы при расчете
Preprocessor rarr Element Type rarr AddEditDeletehellip rarr Addhellip
В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать
Beam rarr 2D elastic 3 rarr OK После этого в открывшемся окне Element Types должна
появиться запись Type 1 Beam3 Выбираем в том же окне Optionshellip и во вновь открыв-
шемся окне Beam3 element type options в поле Member force + moment output (K6) выбираем Include Output Закрываем окно ОК Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close
220
Теперь зададим свойства материала рамы Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Isotropichellip В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties
вводим EX 20e8 PRXY 03
OK Сообщаем программе программе размеры элементов До-
пустим необходимо разбить все участки исходной рамы на эле-менты длиной 1 м каждый
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr SizeCntrls rarr
ManualSize rarr Global rarr Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК Создадим теперь сетку конечных элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Mesh rarr Lines Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точ-
ки на концах каждого участка рамы Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы Пронумеруем элементы PlotCtrls rarr Numbering а в поле ElemAtrib numbering установим Element numbers Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off) Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок Эта операция как и предыдущие должна завершаться нажатием ОК Теперь изобразим на графи-ческом дисплее перенумерованные элементы Utility menu rarr
Plot rarr Elements Таким образом конечно-элементная модель рамы создана
Целесообразно сохранить ее в файле Utility menu rarr File rarr Save Ashellip В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним db
Установим теперь константы элементов
221
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Con-
stantshelliprarrAddEditDelete rarr Addhellip В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants вы-
бираем Type 1 BEAM3 rarr OK В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответст-
вующие поля Константы Для стоек рамы Для ригелей
AREA Ar1 Ar2 IZZ I1 I2
HEIGHT Hsech1 Hsech2 Закрываем окна ОК rarr Close Теперь меню Preprocessor можно закрыть Наложение граничных условий нагружение и решение (So-
lution) Откроем меню Solution (Решение) Main Menu rarr Solution rarr Analysis Type rarr New Analysis rarr
Static rarr OK Сначала зададим нумерацию узловых точек Utility menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В открывшемся
окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers остальные поля отключим (off)
Задание граничных условий в перемещениях Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора) Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displacement rarr On nodes Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом
изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей поэтому в открывшемся окне Apply UROT on Nodes в
222
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY а в окне Dis-placement value зададим значение 0 Нажимаем кнопку Apply Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см рис41) зададим от-сутствие только вертикальных перемещений а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы) ОК Кроме этого пре-небрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в ис-ходной раме те примем что перемещения UX UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см рис41)
Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис41)
Main Menu rarr Solution rarr Apply rarr Structural rarr Pressure rarr On Beams Образовавшимся курсором выделяем элементы рас-сматриваемого участка рамы Нажимаем кнопку ОК
В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры VALI = 1 VALJ = 1 IOFFST = 0 JOFFST =0 в соответствии с рис42 ОК Отметим что в программе ANSYS за положитель-ное направление распределенной нагрузки принимается направ-ление против оси OY
Рис42
Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине пра-вого горизонтального участка те к 16-му узлу на схеме разбие-ния рамы (рис43)
223
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Structural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК
В открывшемся окне Apply FM on Nodes в соответствующие по-ля введем FY (направление силы F поле Lab) и -4 (величина си-лы F поле VALUE) После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне
Расчетная схема рамы показана на рис43
Рис43
Теперь можно приступить к решению задачи Main Menu rarr Solution rarr Solve rarr Current LS Это означает что решение должно быть получено на те-
кущем шаге нагружения (Current Load Step LS) В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК Через некоторое время решение будет закончено о чем свидетельствует появление со-общения Solution is done
224
Обзор результатов (Postprocessing)
Main Menu rarr General Postproc rarr Real Results rarr By Load
Stephellip В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагруже-
ния 1) ОК Для изображения изогнутой формы рамы Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr De-
formed Shapehellip Выберем Def + Undeformed Нажимаем на кнопку ОК в
результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние которые показаны на рис44
Рис44
Выведем таблицу координат узлов по оси Х
225
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarr Sorted
Listing rarr Sort Nodeshellip Далее в поле ORDER выберем Ascending Order в поле
Item Comp выберем Node loc X Таблица выводится на графиче-ском экране (рис45)
Рис45
Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У)
226
Main Menu rarr General Postproc rarr List Results rarrNodal So-lutionhellip
Таблица показана на рис46
Рис46
227
442 Решение задач теории упругости
Требуется определить напряженно-деформированное со-стояние в однородной изотропной панели с квадратным отвер-стием посередине находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам Эта панель имеет следующие физические параметры Е = 20104 МПа (модуль упругости бе-тона) ν = 0167 (коэффициент Пуассона бетона) Размеры пане-ли высота и ширина L = 10 м сторона квадратного выреза 04L толщина h = 1 м
Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза Так как панель имеет две оси симметрии то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис 322)
Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI)
Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы созданные в ANSYS в
процессе работы будут иметь указанное имя Utility Menu rarr File rarr Change jobname Вводим Panel и нажимаем ОК Utility Menu rarr File rarr Change Title Вводим NDS Panel OK Для решения задачи введем некоторое количество пере-
менных Utility Menu rarr Parameters rarr Scalar Parametershellip В нижнем поле Selection набираем название и величину
вводимого параметра F = 1 (величина параметра объемной си-лы) Accept rarr перевод набранного текста в верхнее окно Items Close
Установка фильтров
228
Данная операция позволяет исключить из всех меню AN-SYS пункты не относящиеся к типу анализа решаемой задачи
Main Menu rarr Preferences В открывшемся окне Prefer-ences for GUI Filtering установить флажок Structural нажать кнопку ОК Таким образом выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный
8-узловой элемент PLANE82 Main Menu rarr Preprocessor rarr Element type rarr
AddEditDelete В окне Element Types нажать кнопку Addhellip(добавить но-
вый тип элемента) В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid а в правом окне Se-lection ndash Quad 8 node 82 OK В окне Element Types выбрать Op-tions (свойства элемента) выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs wthk (плосконапряженный элемент с указанием толщины) Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options а нажатием Close ndash Element Type
Выбор параметров элементов Параметры задаются для таких элементов чьи свойства
нельзя в полной мере описать положением их узлов (например толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов) В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину
Main Menu rarr Preprocessor rarr Real Constants rarr
AddEditDelete rarr Addhellip(добавить к существующему списку наборов параметров) ОК (константы ndash для элемента
229
PLANE82) Ввести значение 10 для THK (толщина 10 м) ОК Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга коэффициент Пуассо-
на) не зависят от геометрии элемента поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться от-дельно Кроме того для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала В зависимо-сти от постановки задачи свойства материала могут быть линей-ные нелинейные анизотропные температурно зависимые и т д
В данном примере задается изотропный материал с посто-янными свойствами
Main Menu rarr Preprocessor rarr Material Props rarr Material
Models rarr Structural rarr Linear rarr Elastic rarr Isotropic rarrOK (набор свойств для материала 1)
В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 20е10 а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) ndash 0167 Закроем окно ОК
Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера Для того чтобы сохранить их в файле Paneldb не-обходимо на инструментальной панели выбрать команду Tool-bar rarr SAVE_DB
Создание модели построение прямоугольников В данной задаче модель создается при помощи геометри-
ческих примитивов и автоматического построения сетки Пря-моугольные примитивы строятся по следующим параметрам площадь четыре линии и четыре ключевые точки
Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников большого и маленького
Начнем с большого прямоугольника Так как панель обла-дает двумя осями симметрии то центр глобальной системы ко-
230
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели
Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling-Create rarr Area-
Rectangle rarr By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля
вводим значения 0 50 0 50 для X1X2 Y1 и Y2 (переход - кла-виша ltTABgt) ndash координаты противоположных углов прямо-угольника нажимаем кнопку Apply (применить) для определе-ния первого прямоугольника Затем вводим 0 20 0 20 (X1X2Y1Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза) Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и за-крытия окна
Таким образом в графическом окне созданы два прямо-угольника одинакового цвета
Изменение параметров изображения Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas) Эта опция расположена в пункте PlotCtrls ос-новного меню (Utility Menu)
Utility Menu rarr PlotCtrls rarr Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем
ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников В ре-зультате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис47)
231
Рис47
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только уда-
лить область ограниченную маленьким прямоугольником Main Menu rarr Preprocessor rarr Modeling rarr Operate rarr Boo-
leans-Subtract rarr Areas Отмечаем мышью область из которой производится уда-
ление (большой прямоугольник) Apply Затем отмечаем ма-ленький прямоугольник подлежащий удалению ОК (рис48)
232
Рис48
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB Сохранение геометрических параметров модели Utility Menu rarr File rarr Save as Вводим имя файла Model of Paneldb в нижней строке ОК Установка размера элемента Установка рекомендуемого размера элементов Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarr Size Cntrls rarr
Manual Size rarrGlobal ndash Size
233
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 05 Если взять значение 10 то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается ОК
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется сво-бодное (Free) разбиение
Main Menu rarr Preprocessor rarr Meshing rarrMesh rarr Areas-Free
Образовавшимся курсором обозначаем полученную об-ласть модели ОК Сохраним данные в файле Paneldb
Toolbar rarr SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели законче-
но (рис49)
Рис49
Получение решения
234
Этап решения начинается с задания граничных условий а также указания метода и параметров расчета
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматиче-ски то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна Поэтому сначала зададим ключевые линии а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений
Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarr Apply rarr Struc-
tural rarr Displasement ndash On Keypoints Курсором мыши указываем две ключевые точки на край-
ней левой границе рассматриваемой сеточной области (верти-кальной оси симметрии исходной панели) ОК В появившемся окне Apply UROT on KPs выберем UX (горизонтальные переме-щения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения) Устано-вим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы лежащие между ключевыми точка-ми) Apply Аналогично вводим нулевые перемещения на ниж-ней горизонтальной границе сеточной области Apply На пра-вой вертикальной границе в окне Apply UROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям) в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes ОК (рис410)
Сохраним данные в файле Paneldb Toolbar rarr SAVE_DB
Задание объемных сил Main Menu rarr Solution rarr Define Loads rarrStructural rarr
ForceMoment rarr On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные гра-
ничные узлы сетки кроме угловых и нажимаем ОК В открыв-шемся окне Apply FM on Nodes в поле Lab выбираем параметр
235
FY направление силы F) в поле Apply as ndash Constant value и в поле Value вводим значение силы равное ndashF2 Apply Анало-гично вводим значение силы ndashF4 и значение ndashF соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной об-ласти (кроме точек совпадающих с заделкой) В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента поэтому в нем за-даем значение силы равное -34middotF OK (см рис410)
Рис410
Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи
236
Main Menu rarr Solution rarr Solve - Current LS rarr OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом инфор-
мационном окне закроем его (File rarr Close) Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью Solution is done
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются
в базе данных (файл Paneldb) и в файле результатов (файл Panelrst) Заметим что если задача предполагает несколько ша-гов нагружения то в базе данных сохраняются результаты толь-ко текущего шага нагружения Результаты расчета по всем ша-гам нагружения сохраняются в файле результатов
Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор вы-
ходных данных то задаем следующую команду Main Menu rarr General Postproc rarrRead Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном
состоянии Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results - Deformed
Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию
Def + undeformed OK В результате на экране дисплея появляются одновременно
исходная и деформированная формы модели (рис411)
237
Рис411
Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается
что переход к пластическому состоянию материала происходит когда эквивалентные напряжения σэкв рассчитанные по гипотезе
238
Хубера-Мизеса достигают предельного значения Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид
213
232
221 )()()(
22 σσσσσσσ minus+minus+minus=экв
где σ1 σ2 σ3 ndash главные напряжения Имея картину изо-линий эквивалентных напряжений можно установить опасное сечение панели
Main Menu rarr General Postproc rarr Plot Results rarr Contour
Plot rarr Nodal Solution В поле ItemComp открывшегося окна выбираем Stress (на-
пряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scroll-меню ОК (рис412)
Рис412
На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряже-
ний изображены цветными полосами Под рисунком дается ле-генда для расшифровки числовых значений напряжений В ле-
239
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56425) и минимальное (SMN = 1293) значения эквивалентных напряже-ний Для получения более точных результатов счета можно вер-нуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче ndash зона вблизи заделки в верхней его части) по-строить более мелкую сетку и решить задачу заново
Для облегчения просмотра картин изолиний полезно уда-ление с экрана дисплея границ элементов
Utility Menu rarr Plot Ctrls rarr Style rarrEdge Options В окне Edge Options в поле [Edge] выбрать опцию Edge
OnlyAll (показывать только границы областей) в поле [Gline] ndash DashedSolid (сплошными линиями) в поле [Replot] ndash Replot (обновить картинку после выполнения команды) ОК
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать по-
разному Так например в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил а в направлении оси х ndash нулю Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах лежащих на границах области
Main Menu rarr General Postproc rarr List Result rarr Reaction Solu
В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне) ОК
Выход из программы ANSYS
При завершении работы с программой ANSYS данные
можно сохранять в различном объеме геометрия и граничные условия (save Geom + Loads) геометрия граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu) сохранять все в том числе и результаты счета (save + Everything) ничего не со-хранять (No Save)
240
Tool bar rarr Quit Выбираем последний пункт ОК
5 ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗА-
ДАНИЙ 1Выполнению работ должно предшествовать изучение соот-ветствующей темы по настоящему пособию и конспекту лек-ций составленному с использованием дополнительной лите-ратура [1-4]
2 Исходные данные для выполнения работ необходимо вы-брать из указанной в задании таблицы согласно своему шиф-ру который сообщается студенту преподавателем ведущим практические занятия Для этого под шифром представляю-щим собой трехзначное число следует расположить три бук-вы русского алфавита например
шифр 2 6 3
буквы а б в
В таблице из вертикальных столбцов обозначенных внизу соответствующей буквой нужно выбрать числа стоящие в той горизонтальной строке номер которой совпадает с номером бу-квы
Например в задании 1 для указанного выше шифра номер расчетной схемы (рис1) совпадает с последней цифрой шифра те с номером III-ей схемы внешние силы Р1=4кН Р2=1кН Р3=5кН hellip размеры d=50м h=75м угол α=300
241
панели - 3 Замечание Студенты-заочники выбирают данные из таб-
лиц в соответствии с шифром ndash тремя последними цифрами но-мера зачетной книжки
3 При выполнении заданий необходимо соблюдать следую-щие требования
а)аккуратно начертить расчетную схему указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде подставляя при необходимости числовые данные в промежу-точные буквенные выражения
в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями эскизами вырезанных узлов и отсе-ченных частей рамы
г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу реше-ния задачи с указанием характерных ординат их знаков и размерностей рассматриваемых величин Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word а все черте-жи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба
4Выполненную работу необходимо защитить в сроки уста-новленные графиком самостоятельной работы студентов Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы
5Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на од-ной стороне
Задание 1 Расчет статически определимых ферм Для заданной фермы (рис1) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях
242
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (смп121)
1) пронумеровать узлы и стержни фермы сформировать структурную матрицу cS
2) задать координаты узлов 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы
координат 4) вычислить длины стержней 5) определить направляющие косинусы 6) составить вектор внешней нагрузки P
ρ и матрицу S
243
7) сформировать вектор Qρ
и матрицу pS для записи сис-темы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде
8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты при необходимости провести дополнительные расчеты изменяя вектор внешней на-грузки
9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс со-стоящий из четырех горизонтальных стержней
10) провести расчет фермы с использованием блок-схемы (п122) и программы (п123)
11) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п 111) I)
II)
244
III)
IV)
V)
VI)
245
VII)
VIII)
IX)
246
X)
Рис1
Таблица 1 Внешние силы кН Размеры
м строки
Расчет ная схема P1 P2 P3 P4 P5 d h
Угол α град
пане-ли
1 I 5 6 1 2 2 30 45 45 2 2 II 4 8 3 6 1 40 60 30 3 3 III 3 0 5 7 8 50 75 45 2 4 IV 2 9 7 9 3 32 48 60 3 5 V 1 7 9 8 4 42 62 90 2 6 VI 0 1 10 5 5 52 76 30 3 7 VII 6 2 8 3 9 35 50 45 2 8 VIII 7 3 6 1 7 45 65 60 3 9 IX 8 4 4 4 6 38 55 30 2 0 X 9 5 2 0 0 48 70 45 3 в а б в а б в б а
Задание 2 Расчет статически неопределимых ферм Для заданной фермы (рис2) требуется определить про-
дольные усилия во всех ее стержнях Варианты расчетных схем ферм и числовые данные к ним студент выбирает из таблицы 1
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (п221)
1) установить число лишних неизвестных и выбрать ос-новную систему
247
2) определить усилия в основной системе от единичной силы и от внешней нагрузки предварительно пронумеровав стержни фермы
3) составить векторы единичной едNρ
и грузовой PNρ
про-дольных сил
4) вычислить длины стержней фермы и сформировать мат-рицу ФD упругих податливостей стержней исходной фермы
5) провести последовательность матричных операций в со-ответствии с формулой
( ) PPФТедедФ
Тедед NNDNNDNNN
ρρρρρρρ+sdotminus= minus1)(
и получить вектор усилий N
ρ в исходной ферме
6) используя блок-схему (п 223) и программу (п224) провести расчет на ЭВМ
7) заменив вектор PNρ
матрицей PN столбцы которой представляют собой усилия в соответствующих стержнях фермы от действия подвижной нагрузки Р = 1 в узлах грузового пояса провести аналогичные матричные вычисления
8) по результатам вычислений построить линии влияния лишнего неизвестного и усилий в стержнях той панели фермы номер которой указан в последней колонке таблицы 1 При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс состоящий из четырех горизонтальных стержней
9) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п211) 10) сравнить результаты всех расчетов
248
I)
II)
III)
249
IV)
V)
VI)
VII)
250
VIII)
IX)
X)
Рис2
251
Задание 3 Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвиж-но закрепленными одним или двумя концами находится под действием внешних крутящих моментов (рис3)
Рис3
Требуется - составить систему линейных уравнений по МКЭ - найти вектор узловых углов поворота ϕρ выразив их че-
рез M l и D - построить эпюры углов поворота )(xϕ и максимальных
касательных напряжений τmax - построить эпюру крутящих моментов Т - при заданном значении допускаемого касательного на-
пряжения τadm=70МПа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону) оканчивающегося на цифру 0 или 5
- найти максимальный угол поворота сечений ϕmax приняв l=05 м G=08sdot105 Мпа
- составить программу для ЭВМ на языке Паскаль реали-зующую алгоритм решения задачи
252
Таблица 2 строки l1l l2l l3l l4l d1D d2D
1 1 05 24 05 20 04 2 15 07 22 06 11 13 3 06 09 20 07 12 12 4 08 11 18 08 13 11 5 09 13 16 09 14 10 6 15 15 14 10 15 09 7 20 17 12 11 16 08 8 16 19 10 12 13 17 9 18 21 08 13 18 06 0 19 23 06 14 19 05 а б в а б в
Таблица 3 стро-
ки М1M M2M M3M MлевM MпрМ
1 -20 0 -13 infin -13 2 19 -10 14 -1 infin 3 -18 0 -13 infin 16 4 17 -08 12 infin infin 5 -16 07 -11 infin -14 6 15 0 10 15 infin 7 -14 05 -09 infin infin 8 13 0 08 11 infin 9 -12 05 -07 infin -15 0 11 0 06 -13 infin а б в в
Замечание 1 В таблице 3 значок ldquoinfinrdquo обозначает что соот-ветствующий конец вала неподвижно закреплен (заделан) Если значка ldquoinfinrdquo нет то соответствующая заделка отсутству-ет и к этому концу приложен момент Млев или Мпр
253
2 При знаке минус (-) внешний крутящий момент следует направить в противоположную сторону
Задание 4 Расчет рам МКЭ Для заданной рамы (рис4) с размерами и нагрузкой вы-
бранными из таблицы 4 требуется построить эпюры изгибаю-ших моментов M поперечных Q и продольных N сил Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1 а риге-лей - I2
При выполнении задания необходимо -провести ручной счет МКЭ (см пример расчета в п321) -решить задачу в среде Mathcad (п322) -с помощью блок-схемы алгоритма решения задачи
(п312) составить и отладить программу на языке Турбо Пас-каль (аналогично программе в п313)
-сравнить результаты ручного счета с вычислениями на ЭВМ I) II)
F1
F2 F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05h1
05l2
F1 F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2
l3
05l1
254
III) IV)
V) VI)
F1
F2
F3
l1 l2
h1
h2
q1
q2
q3
05l2 05l1
l1 l2
h1
h2
q1 q2
q3
F1 F2
F3
05l2
l1 l2
h1
h2
05l1 q1
q2
q3
F1
F2
F3
05l1 05l2 F1 F2
F3 q1 q2
q3
l1 l2
h1
h2
05h1
255
VII) VIII)
IX) X)
Рис4
05l1
05h
l1 l2
h1
h2 F3
F2 F1 q1
q2
q3
h1
h2
l1 l2
F1 F2
F3
q2 q1
q3
05h2
05l1 05l2
05l1 05l2
F1 F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05l1
05l2 F1
F3
F2
q1
q2
q3
l1 l2
h1
h2 05h2
256
Таблица 4
Размеры м Внешние нагрузки
строк
Расч схе-ма по рис
4
l1 h1 l2 h2 F1 kH
F2 kH
F3 kH
q1 kHм
q2 kHм
q3 kHм
1
2
II
1 I 4 6 3 4 4 - - 1 - - 2 2 II 5 7 8 3 5 - - - 2 - 1 3 III 6 5 4 5 - 5 - - - 14 3 4 IV 7 4 4 6 - 6 - 2 - - 1 5 V 8 5 5 7 - - 6 - 3 - 2 6 VI 7 6 5 8 - - 8 - - 1 3 7 VII 8 7 3 7 6 - - 12 - - 1 8 VIII 6 8 4 3 6 - - - 2 - 2 9 IX 5 4 5 4 2 4 - - - 2 3 0 X 4 6 6 5 - 4 - 1 - - 1 в б а в б а
Список использованной литературы
1 Дарков АВ Шапошников НН Строительная механика
Учеб для строит спец вузов -8-е изд перераб и доп- МВысш шк1986 -607 сил
2 Образцов ИФ Савельев ЛМ Хазанов ХС Метод ко-нечных элементов в задачах строительной механики летатель-ных аппаратов Учеб пособие для вузов- МВысш шк1985-392 сил
3 Масленников АМ Расчет строительных конструкций численными методами Учеб пособие- Л Изд-во Ленингр ун-та 1987 -224 с
4 Руководство к практическим занятиям по курсу строи-тельной механики (статика стержневых систем) Учеб Пособие для студентов вузов Под ред ГККлейна ndash 4-е изд перераб и доп ndash МВысш шк 1980
257
5 Алгоритмизация расчетов сложных стержневых систем
Благонадежин ВЛ Воронцов АНСамсонов ЮП Под ред АВПетровского -ММоск энерг ин-т1986 -96 с
6 Норри Д де Фриз Ж Введение в метод конечных эле-ментов Пер с англ-М Мир 1981- 304 с ил
7 Бундаев ВВ Расчет рам методом конечных элементов Методические указания по строительной механике для студен-тов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 2003-36сил
8 ANSYS Basic Analysis Procedures Guide ANSYS Release 56 ANSYS Inc 1998
9 Каплун АБ Морозов ЕМ Олферьева МА ANSYS в руках инженера Практическое руководство ndash М Едиториал УРСС 2003 ndash 272 с
10 Сметанников ОЮ Статический анализ уголкового кронштейна В сб ANSYS 55ED (Московское представитель-ство CAD-FEM GmbH) (Ansys_edding_russian Education Struc-tural Bracket1999)
11 Бундаев ВВ Расчет плоской статически неопредели-мой рамы методом перемещений Методические указания по выполнению расчетно-проектировочной работы и контрольные задания для студентов строительных специальностей Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ 1987-34сил
258
Учебное издание
Бундаев Валерий Викторович
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Редактор ТЮ Артюнина Ключевые слова руководство пособие Mathcad система рама ферма задача пример программа расчет метод МКЭ ANSYS Подписано в печать Формат 60times84 116 Услпл уч-издл Печоператив бумписч Тираж 100_экз С 38_____________________________________ Издательство ВСГТУ гУлан-Удэ улКлючевская 40в
