Ηλεκτρομαγνητικά Ηλεκτρομαγνητικά κύματακύματα

Ζαχαριάδου Αικατερίνη

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

Oρισμένα από τα σχήματα των διαφανειών είναι δανεισμένα από τα βιβλία:

SERWAY, Physics for scientists and engineers.YOUNG H.D., University Physics, Berkeley Physics Course.

Προτεινόμενη βιβλιογραφία:

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗ ΜΑΡΙΝΑ «Σημειώσεις Κυματικής-Οπτικής με στοιχεία Σύγχρονης Φυσικής για τους φοιτητές του τμήματος Ηλεκτρονικής» SERWAY, Physics for scientists and engineersYOUNG H.D., University Physics, Berkeley Physics Course HALLIDAY-RESNICK Επιστημονικές & Τεχνικές Εκδόσεις ΠνευματικούΖΗΣΟΣ A ., Φυσική Ι, Σύγχρονη Εκδοτική, Αθήνα 2006ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ Α. , ΣΚΟΥΝΤΖΟΣ Α., Φυσική της ροής,-Οπτική, Σύγχρονη Εκδοτική, Αθήνα 2011

από τις εξισώσεις του Maxwell προκύπτει ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο διαδίδονται στο χώρο υπό μορφή κύματος (ηλεκτρομαγνητικό κύμα) το οποίο διαδίδεται στο χώρο με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του φωτός, υποδηλώνοντας ότι και το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

Η θεωρία του Maxwell ενοποίησε τον ηλεκτρισμό, τον μαγνητισμό και την οπτική σε μια ενιαία θεωρία, την θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού, η οποία έχει δικαίως θεωρηθεί «η δεύτερη μεγαλύτερη ενοποίηση στην ιστορία της φυσικής μετά την ενοποίηση που οφείλεται στον Νεύτωνα».

Η θεωρία του Maxwell αποδεικνύει ότι τα πλάτη των ταλαντούμενων ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων ελαττώνονται πολύ πιο αργά (αντιστρόφως ανάλογα προς την απόσταση r από την πηγή τους) από ότι οι ηλεκτρικές δυνάμεις που ελαττώνονται αντιστρόφως ανάλογα προς το τετράγωνο της απόστασής (r2) από την πηγή τους. Η ιστορική αυτή πρόβλεψη άνοιξε το δρόμο για τον κόσμο των τηλεπικοινωνιών.

fc

Το 1887 μ.Χ, ο Ηeinrich Hertz (Χάινριχ Χέρτζ) παρήγαγε και ανίχνευσε για πρώτη φορά ηλεκτρομαγνητικά κύματα και απέδειξε ότι η ταχύτητά τους είναι ίδια με την ταχύτητα του φωτός επαληθεύοντας τις προβλέψεις του Maxwell.

Την εποχή εκείνη θεωρούσαν ως ηλεκτρομαγνητικά κύματα μόνο το ορατό φως και τα ραδιοκύματα. Σήμερα γνωρίζουμε ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα, το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα. Όλα τα είδη ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας έχουν κοινή ταχύτητα διάδοσης (στο κενό) ίση με την ταχύτητα του φωτός και διαφέρουν μόνο ως προς τη συχνότητα και το μήκος κύματος τα οποία συνδέονται μέσω της γνωστής σχέσης :

Τα ραδιοκύματα ~107m έως 0.1m. Δημιουργούνται από ηλεκτρονικά κυκλώματα και χρησιμοποιούνται συνήθως στη ραδιοφωνία και στην τηλεόραση.

Το ορατό φως από 400nm έως 700 nm ή από 4000 έως 7000 Α.

Το Ηλεκτρομαγνητικό φάσμα

Τα μικροκύματα 30cm έως ~ 1mm.

Παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώματα και έχουν πολλές εφαρμογές, όπως για παράδειγμα στα συστήματα ραντάρ. Μια ενδιαφέρουσα πολύ γνωστή οικιακή εφαρμογή αυτών των κυμάτων είναι οι φούρνοι μικροκυμάτων.

Η υπέρυθρη ακτινοβολία ~ 1 mm έως το μεγαλύτερο μήκος κύματος του ορατού φωτός 7x10-7 m. Εκπέμπονται από διάφορα θερμά σώματα και μόρια και απορροφώνται πολύ εύκολα από τα περισσότερα υλικά, αυξάνοντας τις ταλαντώσεις και τις κινήσεις των ατόμων του υλικού από το οποίο απορροφώνται άρα αυξάνοντας τη θερμοκρασία του.

Το Ηλεκτρομαγνητικό φάσμα

Η υπεριώδης ακτινοβολία : 380nm έως 60 nm. Ως γνωστόν ο Ήλιος είναι ισχυρή πηγή υπεριώδους ακτινοβολίας.

Οι ακτίνες Χ (ή ακτίνες Rontgen) : 10 nm έως 10-4 nm. Η πιο κοινή πηγή ακτίνων Χ είναι η επιβράδυνση ταχέων ηλεκτρονίων καθώς αυτά προσκρούουν σε έναν μεταλλικό στόχο. Οι ακτίνες Χ βρίσκουν μεγάλη εφαρμογή στην διαγνωστική ιατρική. Επιπλέον, επειδή το μήκος κύματός τους είναι όσο περίπου η απόσταση ανάμεσα στα μόρια των στερεών σωμάτων χρησιμοποιούνται στη μελέτη κρυσταλλικών δομών.

Οι ακτίνες γ είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που εκπέμπεται από ορισμένους ραδιενεργούς πυρήνες (όπως για παράδειγμα του ισοτόπου του κοβαλτίου ) ή από διασπάσεις στοιχειωδών σωματιδίων όπως είναι για παράδειγμα το μεσόνιο π0. Τα μήκη κύματός του κυμαίνονται από 10-10 nm έως 10-14 nm.. Είναι πολύ διεισδυτικές και βλαπτικές για τον ανθρώπινο οργανισμό.

Διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Πολλά από τα σημαντικά χαρακτηριστικά των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων αποκαλύπτονται με τη μελέτη του απλούστερου τύπου διαδιδόμενης ηλεκτρομαγνητικής διαταραχής που είναι το επίπεδο επίπεδο κύμα.κύμα.

Ένα τέτοιο κύμα προκύπτει αν υποθέσουμε ότι ο παρατηρητής του κύματος βρίσκεται αρκετά μακριά από την πηγή του κύματος και ότι τα ανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου που περιγράφουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο βρίσκονται σε κάθε χρονική στιγμή πάνω σε ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση που συνδέει την πηγή και τον παρατηρητή.

itkzEtzE ˆ)cos),( 0

2

k zkk ˆ

Κυματοάνυσμα: συνδέεται με την ταχύτητα διάδοσης (ή ταχύτητα φάσης) του κύματος k

f

2

Με εφαρμογή των εξισώσεων του Maxwell προκύπτει ότι αν το ηλεκτρικό πεδίο ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου περιγράφεται από μια εξίσωση κύματος της μορφής

jtkzBtzB ˆ)cos),( 0

Δηλαδή τα δύο κύματα εξαρτώνται μόνο από τη διεύθυνση διάδοσης, είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης (εγκάρσια κύματα) και έχουν την ίδια φάση (σύμφωνα κύματα).

itkzEtzE ˆ)cos),( 0

τότε αυτό συνδέεται με ένα μαγνητικό πεδίο το οποίο περιγράφεται από μια εξίσωση κύματος της μορφής:

Προκειμένου το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο να ικανοποιούν τις εξισώσεις του Maxwell, προκύπτει ότι όπως όλα τα κύματα έτσι και τα ηλεκτρομαγνητικά υπακούουν όσον αφορά στη διάδοσή τους σε μια εξίσωση κύματος της μορφής

02

2

2

2

2

2

2

2

t

AA

zyx

2

2

2

2

2

2

2

2

t

AA

xxx

η παραπάνω εξίσωση ταυτίζεται με την κλασσική εξίσωση κύματος που διαδίδεται με ταχύτητα υ

01

2

2

22

2

2

2

2

2

t

AA

zyx

η ταχύτητα διάδοσης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος δίδεται από τη σχέση:

1

Αν το κύμα διαδίδεται στο κενό: 00

1

ό

mF9

0 1036

1

mH7

0 104 00

1

c

η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό ισούται με την ταχύτητα του φωτός :

n

c

1111

0000

τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται μέσα από υλικό με διηλεκτρική σταθερά (ε) και μαγνητική διαπερατότητα (μ)

0

0

Όπου n: δείκτης διάθλασης του υλικού μέσου

cn

το κύμα διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα:

00

1

ό

με ταχύτητα:

itkzEtzE ˆ)cos),( 0

jtkzBtzB ˆ)cos),( 0

Αποδεικνύεται ότι ο λόγος των πλατών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι ίδιος με το λόγο των πλατών των στιγμιαίων τιμών τους,

B

E

B

E

0

0

Για διάδοση στο κενό cB

E

B

E

0

0

Μεταφορά ενέργειας ηλεκτρομαγνητικού κύματος-

το διάνυσμα Poynting τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μεταφέρουν κατά τη διάδοσή τους ενέργεια από τη μία περιοχή του χώρου στην άλλη

Η ολική πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (u)

( η ενέργεια ανά μονάδα όγκου) :

22

2

1

2

1BEuuu BE

2

0

20 2

1

2

1BEuuu BE

Για διάδοση στο κενό:

EEB

00

E

c

EB

2Eu 21Bu

Για διάδοση στο κενό:

20Eu

2

0

1Bu

ένταση (S) του ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε δοθέν σημείο του χώρου:

ο ρυθμός της μεταφερόμενης ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας που διέρχεται από μοναδιαία επιφάνεια κάθετης στη διάδοση του κύματος ή αλλιώς η ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας.

Μεταφορά ενέργειας ηλεκτρομαγνητικού κύματος-

το διάνυσμα Poynting

udt

εάν υ είναι η ταχύτητα διάδοσης, μετά από χρόνο dt το μέτωπο κύματος θα έχει διανύσει απόσταση udt

ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που έχει διαπεράσει τον όγκο dV είναι:

dtAdV

dtAdV

dtAEdVudU 2

η ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στη διεύθυνση διάδοσης (S)

είναι:

21EdVu

dt

dU

AS

για διάδοση στο

κενό :2

0 EcS

BE

S

BE

S

BE

S

0BE

S

Το μέγεθος S ορίζεται ως το μέτρο ενός διανύσματος (διάνυσμα Poynting).

Το διάνυσμα Poynting έχει φορά και διεύθυνση ίδια με τη φορά και διεύθυνση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος και μέτρο ίσο με την ηλεκτρομαγνητική ισχύ ανά μονάδα επιφάνειας, ορίζεται δηλαδή από τη σχέση:

BES

1

BES

0

1

για το

κενό :

Η ολική ηλεκτρομαγνητική ισχύς (P) που εξέρχεται από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια :

AdSP

AdSP

Η μέση τιμή του διανύσματος Poynting κατά τη διάρκεια ενός κύκλου του κύματος, ονομάζεται ένταση της ακτινοβολίας

BE

S

tkz

BEtkz

BEEBS

2cos1

2cos 00200

itkzEtzE ˆ)cos),( 0

jtkzBtzB ˆ)cos),( 0

200 BE

S

0

00

2BE

S

για το κενό :

Ένταση ακτινονοβολίας

20

0

200 2

1

2

1BEu

200 BE

S

cB

E

0

0

ucS η ένταση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται στο κενό ισούται με την πυκνότητα ενέργειάς του επί την ταχύτητα

του φωτός Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μεταφέρουν ενέργεια και ορμή κατά τη διεύθυνση διάδοσής τους όταν προσπίπτουν κάθετα σε μια επιφάνεια και απορροφούνται εξ’ ολοκλήρου από αυτήν ασκούν επάνω της μια πίεση η οποία ονομάζεται πίεση ακτινοβολίας.

η πυκνότητα ορμής (ορμή dp ανά στοιχειώδη όγκο dV) που

μεταφέρεται έχει μέτρο :2c

S

dV

dp

ο ρυθμός μεταφοράς της ορμής ανά μονάδα επιφάνειας : c

S

dt

dtAc

dV

dp

Adt

dV

dV

dp

AdtA

dpJ

11

μέσος ρυθμός μεταφοράς της

ορμής c

SJ

ο μέσος ρυθμός μεταβολής της ορμής ισούται με τη μέση δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια Α:

c

SJ

A

FP

c

Up

2

30

2

r

3

4

R

MG

R

MmGFg

Βαρυτική δύναμη σε απόσταση R από τον ήλιο:

Διάνυσμα Poynting σε απόσταση R από τον ήλιο:

2ακτ

4

Φ

RS

Δύναμη λόγω ακτινοβολίας:

22ακτ22

ακτΦ

4

1SP oooa r

cRr

crF

5.17Φ

r

3

16Φ

4

1

r

3

4

ακτ

0

22ακτ

2

30

cGM

rcR

R

MG

F

F

oa

g

Ο λόγος αυτός δεν εξαρτάται από την απόσταση R του σωματιδίου από τον Ήλιο

30r3

4 m

Σημειακή πηγή μονοχρωματικού φωτός ισχύος 60 Watt, ακτινοβολεί ισότροπα προς όλες τις διευθύνσεις. Προσδιορίστε το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου Ε, του μαγνητικού πεδίου Β και το άνυσμα Poynting σε απόσταση r=2m (μο=4π10-7Vs/Am c=3108m/s).

Η μέση τιμή του διανύσματος Poynting είναι:dt

dU

rdt

dU

AS

24

11

BES

0

1

Αλλά:

0

00

2BE

S

00

1

c 22

200

0

00 EcBES

cB

E

0

0

c

ErrEcrS

dto

oo

dU0μ

πππ

22222 2

42

14

mV

cdt

rEo 30

2

1

π

μdU

o

Wdt

dU60

BE

cTeslao

o ... 10 7

Μια πηγή laser ισχύος P=20KW εκπέμπει κυλινδρική δέσμη μονοχρωματικού φωτός μήκους κύματος λ=6200. Η διατομή της δέσμης έχει διάμετρο 1mm. Υπολογίστε τα πλάτη Εο και Βο του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου αντίστοιχα καθώς και τη μέση τιμή του ανύσματος Poynting .

SP

rW m

π 23 2255 10. /

S c E ES

cV mo o o

o

1

2

2312

. /

BE

cTeslao

o 103 10 8.

Ραδιοφωνικός σταθμός μέσης ισχύος P=105Watt εκπέμπει ομοιόμορφα σ’ όλο το χώρο. Σε απόσταση r =1 Km να βρεθεί το μέτρο του ανύσματος Poynting και τα πλάτη του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Υποθέστε ότι σε αυτή την απόσταση το κύμα είναι επίπεδο.

dE

dtS r S W m 4 0 0082 2π . /

S c E ES

cV mo o o

o

1

2

22 452

. /

BE

cTo

o 082 10 8.

dE

dtS r S W m 4 0 0082 2π . /