Спящие эксперты и их применение в предсказании: Юрий Калнишкан

Инвестиционный портфель Алгоритм Вовка Поправляльщики Спящие эксперты Волатильность

Спящие эксперты и их применение впредсказании

Юрий Калнишкан

Department of Computer Scienceand Computer Learning Research CentreRoyal Holloway, University of London

Декабрь 2013

Спящие эксперты, 1, Slide 1/58 Department of Computer Science, RHUL


Содержание

1. Формирование инвестиционного портфеля

2. Агрегирующий алгоритм Вовка

3. Эксперты-поправляльщики

4. Спящие эксперты

5. Применение к оценке неявной волатильности










Инвестирование

сегодня завтра

капитал W W S1S0

цена акции S0 S1

количество акций WS0

WS0

• капитал, инвестированный в акцию, умножается на S1/S0








WS0









WS0









WS0









WS0









WS0




Инвестиционный портфель

• пусть имеется M акций 0, 1, 2, . . . , M − 1• вкладываем в акцию i долю γ1,i капитала W• пусть между днём 0 и днём 1 цена акции i изменяется в

ω1,i раз• тогда

— сумма денег W γ1,i , вложенная в акцию i , превращаетсяв W γ1,iω1,i— капитал W превращается в W 〈γ1, ω1〉, гдеγ1 = (γ1,0, γ1,1, . . . , γ1,M−1) и ω1 = (ω1,0, ω1,1, . . . , ω1,M−1)





















Перекладываем деньги

• на следующий день мы продаём все акции, консолидируемнаш капитал и снова распределям его по акциям

• протокол:(1) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .

(2) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(3) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(4) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉

END FOR

— через PM обозначен симплекс в RM (т.е., множествораспределений на 0, 1, . . . , M − 1)

• наш капитал через T дней составляет WT =∏T

t=1〈γt , ωt〉







END FOR



t=1〈γt , ωt〉







END FOR



t=1〈γt , ωt〉



Эксперты

• пусть имеется N экспертов E1, E2, . . . , EN ; мы видим ихинвестиционные решения

• протокол:(1) эксперты начинают с капиталов W n

0 = 1, n = 1, 2, . . . , N(2) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .

(3) эксперты выдают распределения γnt ∈ PM , n = 1, 2, . . . , N

(4) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(5) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(6) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉(7) капиталы экспертов изменяются как W n

t = W nt−1 · 〈γn

t , ωt〉,n = 1, 2, . . . , N

END FOR



Эксперты

• пусть имеется N экспертов E1, E2, . . . , EN ; мы видим ихинвестиционные решения

• протокол:(1) эксперты начинают с капиталов W n

0 = 1, n = 1, 2, . . . , N(2) инвестор начинает с капитала W0 = 1FOR t = 1, 2, . . .

(3) эксперты выдают распределения γnt ∈ PM , n = 1, 2, . . . , N

(4) инвестор выдаёт распределение γt ∈ PM(5) цены акций меняются в ωt ∈ [0,+∞]M раз(6) капитал инвестора изменяется как Wt = Wt−1 · 〈γt , ωt〉(7) капиталы экспертов изменяются как W n

t = W nt−1 · 〈γn

t , ωt〉,n = 1, 2, . . . , N

END FOR



Использование советов экспертов

• мы хотим добиться, чтобы наш капитал был бы не(намного) меньше, чем у каждого из экспертов: WT & W n

T ,n = 1, 2, . . . , N— что такое &?— то чего удастся добиться...



Раздаём деньги• идея: к успешным экспертам надо прислушиваться больше

— успешный эксперт это тот, который заработал большеденег

• разделим наши деньги между экспертами поровну, и пустьдальше каждый эксперт вкладывает от нашего именистолько денег, сколько сумел заработать— после шага эксперт n управляет суммой 1

N W nT наших

денег— наш суммарный капитал составляет WT =

∑Nn=1

1N Wn

• выбрасывая все члены кроме n-го, получаем оценку

WT ≥ 1N

W nT

для всех n = 1, 2, . . . , N, T = 1, 2, . . .






N W nT наших


∑Nn=1

1N Wn


WT ≥ 1N

W nT

для всех n = 1, 2, . . . , N, T = 1, 2, . . .






N W nT наших


∑Nn=1

1N Wn


WT ≥ 1N

W nT

для всех n = 1, 2, . . . , N, T = 1, 2, . . .



Оптимальность

• мультипликативный коэффициент в неравенствеWT ≥ 1

N W nT нельзя понизить

• пусть M = N— пусть на первом шаге эксперт n вкладывает все деньги вакцию n (т.е., выдаёт n-ю вершину симплекса)— на первом шаге инвестор выдаёт γ1; для егонаименьшей компоненты n0 выполняется γ1,n0 ≤ 1

M— пусть теперь все акции кроме n0-й прогорают (ω1,m = 0для m 6= n0), а n0-я сохраняет стоимость (ω1,m = 1)— лучший эксперт n0 владеет капиталом 1— инвестор владеет суммой γ1,n0 ≤ 1/M = 1/N






































Обсуждение

• гарантия WT ≥ 1N W n

T может оказаться бесполезной— например, пусть все эксперты вкладывают деньгиодинаково; можно сказать, что у нас один настоящийэксперт, а не N— наш алгоритм обрабатывает эту ситуацию корректно идостигает WT = W n

T— величина N в знаменателе это плата за смешивание;плата взимается по “эффективному”, а не “формальному”числу экспертов

• если мы изначально поделим деньги между экспертами непоровну, а в соответствии с распределениемq = (q1, q2, . . . , qN) ∈ PN , то получим гарантиюWT ≥ qnW n

T




• гарантия WT ≥ 1N W n

T может оказаться бесполезной— например, пусть все эксперты вкладывают деньгиодинаково; можно сказать, что у нас один настоящийэксперт, а не N— наш алгоритм обрабатывает эту ситуацию корректно идостигает WT = W n

T— величина N в знаменателе это плата за смешивание;плата взимается по “эффективному”, а не “формальному”числу экспертов

• если мы изначально поделим деньги между экспертами непоровну, а в соответствии с распределениемq = (q1, q2, . . . , qN) ∈ PN , то получим гарантиюWT ≥ qnW n

T










Задача предсказания

• в дискретном времени последовательно случаются исходыω1, ω2, . . ., ωt ∈ Ω

• перед каждым исходом ωt мы выдаём предсказание γt ∈ Γ

• уклонение предсказания от исхода измеряется функциейпотерь λ : Γ× Ω → [0,+∞]— мы хотим минимизировать суммарные накопленныепотери Loss(T ) =

∑Tt=1 λ(γt , ωt)

• тройка 〈Ω, Γ, λ〉 (пространство исходов / пространствопредсказаний / функция потерь) называется игрой



























Бинарные игры• у бинарных игр два исхода Ω = 0, 1, а предсказания

можно выдавать из отрезка Γ = [0, 1]• квадратичная игра λ(γ, ω) = (ω − γ)2

• абсолютная игра λ(γ, ω) = |ω − γ|• логарифмическая игра

λ(γ, ω) =

− log2 γ, если ω = 1;− log2(1− γ), если ω = 0

• простая предсказательная игра: Γ = 0, 1 и

λ(γ, ω) =

0, если ω = γ;1, иначе






λ(γ, ω) =



λ(γ, ω) =







λ(γ, ω) =



λ(γ, ω) =







λ(γ, ω) =



λ(γ, ω) =







λ(γ, ω) =



λ(γ, ω) =




Эксперты• вместе с нами исходы предсказывают N экспертов

E1, E2, . . . , EN

FOR t = 1, 2, . . .(1) эксперты выдают предсказания γn

t ∈ Γ, n = 1, . . . , N(2) предсказатель выдаёт γt ∈ Γ(3) случается исход ωt ∈ Ω(4) предсказатель несёт потери λ(γt , ωt)(5) эксперты несут потери λ(γn

t , ωt), n = 1, 2, . . . , NEND FOR

• мы хотим, чтобы наши потери были не (намного) хуже,чем у любого эксперта— т.е., мы хотим гарантий вида Loss(T ) . LossEn(T ) длявсех n и T



Эксперты• вместе с нами исходы предсказывают N экспертов

E1, E2, . . . , EN

FOR t = 1, 2, . . .(1) эксперты выдают предсказания γn

t ∈ Γ, n = 1, . . . , N(2) предсказатель выдаёт γt ∈ Γ(3) случается исход ωt ∈ Ω(4) предсказатель несёт потери λ(γt , ωt)(5) эксперты несут потери λ(γn

t , ωt), n = 1, 2, . . . , NEND FOR

• мы хотим, чтобы наши потери были не (намного) хуже,чем у любого эксперта— т.е., мы хотим гарантий вида Loss(T ) . LossEn(T ) длявсех n и T



Потери и капитал• превратим потери в “капитал”: W n

t = e−η LossEn (t)

— на шаге t к потерям добавляется λ(γnt , ωt), а капитал

умножается на e−ηλ(γnt ,ωt)

— параметр η называется скоростью обучения (learningrate)

• мы хотели бы на шаге t добиться выполнения равенства

WT ≈ 1N

N∑n=1

W nT

• в задаче инвестирования мы добивались этого выдавая

γt =N∑

n=1

1N W n

t−1∑Nn=1

1N W n

t−1

γnt =

N∑n=1

(доля нашего капитала вуправлении эксперта n

)γn

t









WT ≈ 1N

N∑n=1

W nT


γt =N∑

n=1

1N W n

t−1∑Nn=1

1N W n

t−1

γnt =

N∑n=1


)γn

t









WT ≈ 1N

N∑n=1

W nT


γt =N∑

n=1

1N W n

t−1∑Nn=1

1N W n

t−1

γnt =

N∑n=1


)γn

t



Борьба за равенство капитала (1)

• достаточно добиться выполнения неравенства

Wt

Wt−1&

∑Nn=1

1N W n

t∑Nn=1

1N W n

t−1

на каждом шаге• то есть, найти предсказание γt , такое что

e−ηλ(γt ,ωt) &

∑Nn=1

1N e−η LossEn (t)∑N

n=11N e−η LossEn (t−1)

• имеем LossEn(t) = LossEn(t − 1) + λ(γnt , ωt)

— величину LossEn(t − 1) мы знаем, а ωt пока нет— значит, этого надо добиться для любого ωt





Wt

Wt−1&

∑Nn=1

1N W n

t∑Nn=1

1N W n

t−1



∑Nn=1









Wt

Wt−1&

∑Nn=1

1N W n

t∑Nn=1

1N W n

t−1



∑Nn=1








• итак, на шаге t мы хотим найти предсказание γt , такое чтодля любого ω выполняются неравенства

e−ηλ(γt ,ω) &N∑

n=1

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

или

λ(γt , ω) . −1η

lnN∑

n=1

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

где

pnt =

1N e−η LossEn (t−1)∑N




Смешиваемые игры (1)

• можно ли найти γt?• ответ зависит от геометрических свойств λ

• для смешиваемых игр найдутся η, такие что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN

найдётся γ, такая что для всех ω

λ(γ, ω) ≤ −1η

lnN∑

n=1

pne−ηλ(γn,ω)







λ(γ, ω) ≤ −1η

lnN∑

n=1

pne−ηλ(γn,ω)







λ(γ, ω) ≤ −1η

lnN∑

n=1

pne−ηλ(γn,ω)




• для смешиваемых игр достигаем неравенства капиталов

WT ≥N∑

n=1

1N

W nT

— напомню, что WT = e−η Loss(T )

• выбрасывая все члены кроме одного и логарифмируя,получаем гарантию

Loss(t) ≤ LossEn(t) +1η

ln N

— обычно есть наибольшая η, для которой гарантия верна




• для смешиваемых игр достигаем неравенства капиталов

WT ≥N∑

n=1

1N

W nT

— напомню, что WT = e−η Loss(T )

• выбрасывая все члены кроме одного и логарифмируя,получаем гарантию

Loss(t) ≤ LossEn(t) +1η

ln N

— обычно есть наибольшая η, для которой гарантия верна



Несмешиваемые игры

• для несмешиваемых игр для каждого η > 0 можемрассмотреть минимальное C = C (η), такое что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN


λ(γ, ω) ≤ −C1η

lnN∑

n=1

pne−ηλ(γn,ω)

• мы достигаем гарантии

Loss(t) ≤ C (η) LossEn(t) +C (η)

ηln N

— бывает, что эту гарантию нельзя оптимизировать по η



Несмешиваемые игры

• для несмешиваемых игр для каждого η > 0 можемрассмотреть минимальное C = C (η), такое что для любыхнаборов предсказаний γ1, . . . , γN и весов p1, . . . , pN


λ(γ, ω) ≤ −C1η

lnN∑

n=1

pne−ηλ(γn,ω)

• мы достигаем гарантии


ηln N

— бывает, что эту гарантию нельзя оптимизировать по η



Примеры

• квадратичная игра смешиваема при 0 < η ≤ 2• логарифмическая игра смешиваема при 0 < η ≤ 1• абсолютная и простая игра не смешиваемы

— у абсолютной игры C (η) бывает сколь угодно близко к 1— у простой игры C (η) > 2

• для несмешиваемых игр существуют другие алгоритмы сдругими оценками



Примеры






Примеры






Примеры







• константы a и b в гарантиях вида

Loss(t) ≤ a LossEn(t) + b ln N,

достигаемых агрегирующим алгоритмом, не улучшаются• доказательство весьма сложно: [Vovk, A Game of Prediction

with Expert Advice, 1998]




• константы a и b в гарантиях вида

Loss(t) ≤ a LossEn(t) + b ln N,

достигаемых агрегирующим алгоритмом, не улучшаются• доказательство весьма сложно: [Vovk, A Game of Prediction

with Expert Advice, 1998]



Начальные веса

• вместо WT ≈∑N

n=11N W n

T мы можем добиватьсясоотношения WT ≈

∑Nn=1 qnW n

T— где qn это произвольные веса, приписанные экспертамвместо 1/N

• получаем гарантию


ηln

1qn



Начальные веса

• вместо WT ≈∑N

n=11N W n

T мы можем добиватьсясоотношения WT ≈

∑Nn=1 qnW n

T— где qn это произвольные веса, приписанные экспертамвместо 1/N

• получаем гарантию


ηln

1qn



Алгоритм

параметры: η и распределение на экспертах q1, q2, . . . , qN

(1) инициализируем веса wn1 = qn, n = 1, 2, . . . , N

FOR t = 1, 2, . . .(2) считываем предсказания экспертов γn

t , n = 1, 2, . . . , N(3) нормируем веса pn

t = wnt /

∑Nn=1 wn

t(4) решаем систему (ω ∈ Ω):

λ(γ, ω) ≤ C (η)∑N

n=1 pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

относительно γ и выдаём решение γt(5) наблюдаем исход ωt

(6) обновляем веса экспертов wnt+1 = wn

t e−ηλ(γnt ,ω), n = 1, 2, . . . , N

END FOR










Определение

• позволим экспертам выдавать не предсказания, а функцииγn

t : Γ → Γ— потери такого эксперта подсчитываются задним числомкак λ(γn

t (γt), ωt)— эксперт-поправляльщик (second-guessing expert) выдаётне предсказание, а совет, как надо поправить итоговоепредсказание— обычный эксперт это частный случай поправляльщика:для него γn

t это константа• как использовать мнения поправляльщиков?




• позволим экспертам выдавать не предсказания, а функцииγn

t : Γ → Γ— потери такого эксперта подсчитываются задним числомкак λ(γn

t (γt), ωt)— эксперт-поправляльщик (second-guessing expert) выдаётне предсказание, а совет, как надо поправить итоговоепредсказание— обычный эксперт это частный случай поправляльщика:для него γn

t это константа• как использовать мнения поправляльщиков?



Выбор предсказания (повтор)• для смешиваемых игр на шаге t мы ищем γt из системы

уравнений где ω ∈ Ω:

λ(γt , ω) ≤ −1η

lnN∑

n=1

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

• например, для бинарной квадратичной игры системасостоит из двух уравнений

(γt)2 ≤ −1

2ln

N∑n=1

pnt e−η(γn

t )2

(1− γt)2 ≤ −1

2ln

N∑n=1

pnt e−η(1−γn

t )2



Выбор предсказания (повтор)• для смешиваемых игр на шаге t мы ищем γt из системы

уравнений где ω ∈ Ω:

λ(γt , ω) ≤ −1η

lnN∑

n=1

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

• например, для бинарной квадратичной игры системасостоит из двух уравнений

(γt)2 ≤ −1

2ln

N∑n=1

pnt e−η(γn

t )2

(1− γt)2 ≤ −1

2ln

N∑n=1

pnt e−η(1−γn

t )2



Выбор предсказания (повтор)• можно подобрать непрерывную функцию γ = σ(g0, g1),

выдающую решение системы

(γ)2 ≤ g0

(1− γ)2 ≤ g1

(при условии, что решение есть, а для смешиваемыхфункций потерь оно есть всегда)— такая функция называется функцией подстановки (и ихобычно много разных)

• коэффициенты g0 и g1 это непрерывные функции отпредсказаний экспертов γ1

t , . . . , γNt

• для всех разумных функций потерь ситуация устроенааналогично





(γ)2 ≤ g0

(1− γ)2 ≤ g1



t , . . . , γNt






(γ)2 ≤ g0

(1− γ)2 ≤ g1



t , . . . , γNt




Неподвижная точка

• разрешим экспертам быть поправляльщиками• чтобы сохранить все оценки, нам надо выдать

предсказание, являющееся неподвижной точкой функции

f (γt) = σ(g0(γ1t (γt), . . . , γ

Nt (γt)), g1(γ

1t (γt), . . . , γ

Nt (γt)))

• пространство предсказаний [0, 1] это компактное выпуклоеподмножество R






f (γt) = σ(g0(γ1t (γt), . . . , γ

Nt (γt)), g1(γ

1t (γt), . . . , γ

Nt (γt)))







f (γt) = σ(g0(γ1t (γt), . . . , γ

Nt (γt)), g1(γ

1t (γt), . . . , γ

Nt (γt)))




Теорема Брауэра• непрерывное отображение компактного выпуклого

подмножества евклидова пространства в себя имеетнеподвижную точку.

• итак, получаем, что если— существует непрерывная функция подстановки— пространство предсказаний Γ является компактнымвыпуклым подмножеством евклидова пространства— эксперты-поправляльщики выдают непрерывныефункции из Γ в Γ

• тогда мы можем добиться для них тех же гарантий, что идля обычных экспертов

• ссылка [A. Chernov et al, Supermartingales in Prediction withExpert Advice, 2010]
































• разрешим экспертам пропускать ходы• эксперт-специалист (specialist expert) может отказаться

выдавать предсказания на шаге t— тогда мы говорим, что эксперт спит— удобно говорить о специалистах, которые могут спать, испящих экспертах, которые спят сейчас

• что можно сделать с такими экспертами?• идея: считаем, что спящий эксперт присоединяется к

мнению неспящих
























Алгоритм (1)• спящего эксперта можно считать

экспертом-поправляльщиком, выдающим тождественнуюфункцию (отказывающимся от поправки)— но есть способ лучше

• посмотрим на неравенство

e−ηλ(γt ,ω) ≥N∑

n=1

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

• отделим члены, соответствующие спящим экспертам

e−ηλ(γt ,ω) ≥∑

n:En не спит

pnt e−ηλ(γn

t ,ω) +∑

n:En спит

pnt e−ηλ(γt ,ω)







n=1

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)



n:En не спит

pnt e−ηλ(γn

t ,ω) +∑

n:En спит








n=1

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)



n:En не спит

pnt e−ηλ(γn

t ,ω) +∑

n:En спит




Алгоритм (2)

• сумму по спящим экспертам можем вычесть; останется

e−ηλ(γt ,ω) ≥ 1Zt

∑n:En не спит

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

где Zt это суммарный вес экспертов, не спящих на шаге t• учёт спящих экспертов требуют минимальной

модификации агрегирующего алгоритма:— сумма берётся только по неспящим экспертам, причёмих веса нормируются к 1— спящие эксперты выдают “наше” предсказание γt ,поэтому их веса обновляются по формулеwn

t+1 = wnt e−ηλ(γt ,ωt) с помощью нашего предсказания γt



Алгоритм (2)

• сумму по спящим экспертам можем вычесть; останется

e−ηλ(γt ,ω) ≥ 1Zt

∑n:En не спит

pnt e−ηλ(γn

t ,ω)

где Zt это суммарный вес экспертов, не спящих на шаге t• учёт спящих экспертов требуют минимальной

модификации агрегирующего алгоритма:— сумма берётся только по неспящим экспертам, причёмих веса нормируются к 1— спящие эксперты выдают “наше” предсказание γt ,поэтому их веса обновляются по формулеwn

t+1 = wnt e−ηλ(γt ,ωt) с помощью нашего предсказания γt



Оценка

• в неравенстве

Loss(T ) ≤ LossEn(T ) +1η

ln N

можно выбросить члены, соответствующие шагам, когдаэксперт En спал

• получаем

Lossn(T ) ≤ LossnEn(T ) +1η

ln N

где сумма в Lossn берётся по шагам, когда En не спал



Оценка

• в неравенстве

Loss(T ) ≤ LossEn(T ) +1η

ln N

можно выбросить члены, соответствующие шагам, когдаэксперт En спал

• получаем

Lossn(T ) ≤ LossnEn(T ) +1η

ln N

где сумма в Lossn берётся по шагам, когда En не спал




• новых экспертов можно добавлять во время работы— например, новый эксперт может появиться оттого, чтопредсказательный алгоритм просмотрел достаточнобольшой сегмент данных и натренировался на нём

• вес нового эксперта, подключившегося в момент времениT , можно расчитать через наши потери Loss(T − 1), т.к.пока он не существовал, он “предсказывал” как мы




• новых экспертов можно добавлять во время работы— например, новый эксперт может появиться оттого, чтопредсказательный алгоритм просмотрел достаточнобольшой сегмент данных и натренировался на нём

• вес нового эксперта, подключившегося в момент времениT , можно расчитать через наши потери Loss(T − 1), т.к.пока он не существовал, он “предсказывал” как мы










Опцион• опцион на акцию это контракт такого вида:

Податель сего может купить акцию ABCltd в декабре 2014 года по цене 10$.

купить: опцион на покупку называется колл, а на продажу – путакцию: финансовый инструмент, с которым проводится сделка,

называется базовым активом; им может быть акция,фьючерс, индекс и т.д.

декабрь: опцион содержит дату исполнения/погашения опциона;владелец опциона может решить, использовать его или нет(данный опцион будет исполнен, если цена акции вдекабре 2014 года превысит 10$)— биржа (как правило) фиксирует четыре даты погашенияв году и допускает опционы только с этими датами

10$: цена, записанная в контракте, называется страйком



































Математическая формулировка

• опцион колл:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(ST − X , 0).

• опцион пут:Податель сего имеет право получить в моментвремени T сумму денег max(X − ST , 0).

• здесь:T – момент исполнения опционаST – цена базового актива в момент TX – страйк















Формулы Блэка-Шоулза• сколько должен стоить опцион?• колл: c = SΦ(d1)− Xe−rTΦ(d2)• пут: p = Xe−rTΦ(−d2)− SΦ(−d1)

d1 = (ln(S/X ) + (r + σ2/2)T )/(σ√

T )

d2 = (ln(S/X ) + (r − σ2/2)T )/(σ√

T )

где:X – страйкT – время до исполнения опционаS – текущая цена базового активаr – процентная ставка (часто принимается нулевой)σ – волатильностьΦ – функция распределения для нормальногораспределения




d1 = (ln(S/X ) + (r + σ2/2)T )/(σ√

T )

d2 = (ln(S/X ) + (r − σ2/2)T )/(σ√

T )





d1 = (ln(S/X ) + (r + σ2/2)T )/(σ√

T )

d2 = (ln(S/X ) + (r − σ2/2)T )/(σ√

T )




Волатильность

• волатильность – единственный ненаблюдаемый параметр• по теории Блэка-Шоулза(-Мёртона) логарифм цены акции

ln St совершает обобщённое броуновское движение, так чтовариация изменения логарифма цены за время ∆tсоставляет σ2∆t

• волатильность σ оценивается статистически понаблюдениям над ценой акции















Неявная волатильность (1)

• цена опциона – тоже наблюдаемая величина (можемпосмотреть котировку на бирже)

• используем формулы Б-Ш наоборот: подставим ценуопциона и рассчитаем волатильность

• такая волатильность называется неявной (ожидаемой,implied)
















• по теории Б-Ш волатильность определяется акцией ипотому неявная волатильность одинакова для всехопционов на данную акцию

• на практике получаем функцию σ(X , T )— единого общепризнанного объяснения этого феноменанет

• график σ(X ) при фиксированном T называется улыбкойволатильности

• неявная волатильность является распространённым иинтуитивно понятным (для трейдеров) параметром
























Предсказание неявной волатильности• имеется последовательность записей о сделках с

опционами на фиксированную акцию с фиксированнойдатой исполнения— данные предоставила биржа РТС

• требуется предсказать неявную волатильность дляследующей сделки— мы можем пользоваться всеми параметрами сделкикроме цены опциона, т.к. по ней неявную волатильностьможно просто подсчитать

• уклонение предсказания от исхода меняем квадратичнымипотерями— это не бинарная игра, но тоже смешиваемая

• посмотрим на опционы на акции РАО ЕЭС с исполнениемв декабре 2006 года; всего 13000 сделок
























Волатильность и номер сделки, 1000-2000

1000 1200 1400 1600 1800 2000 1000 1200 1400 1600 1800 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Transactions from 1000 to 2000



Волатильность и номер сделки, 10000-11000

10000 10200 10400 10600 10800 11000 10000 10200 10400 10600 10800 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9




Волатильность и страйк, 1000-2000

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

x 104

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9




Волатильность и страйк, 10000-11000

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9




Базовый алгоритм

• рассмотрим элементарный метод предсказания: будемпредсказывать неявную волатильность сделки как неявнуюволатильность из предыдущей сделки по опциону с тем жестрайком— поток транзакций расслаивается на временные ряды— в каждом ряде применяем что-то вроде ближайшегососеда

• применялось простое сглаживание по времени: скользящеесреднее с экспоненциальными весами— достигается небольшое улучшение

• более сложные методы из теории временных рядов недали существенного улучшения















Попытка улучшения• на краях графика транзакций мало

— предыдущая транзакция с данным страйком можетотстоять по времени довольно сильно— не лучше ли взять недавнюю транзакцию из соседнегострайка?

• будем рассматривать окрестности из страйков— предсказываем неявную волатильность при помощипоследней транзакции из окрестности

• каким должен быть размер окрестности?— в середине графика разумно использовать маленькиеокрестности, а с краю – большие

• но как конкретно подобрать размеры?— какой сосед ближе, во времени или в пространстве?
























Эксперты-специалисты• рассмотрим все окрестности – подмножества X состоящие

из последовательных страйков X1, X2, . . . , Xk где k ≤ d(d – максимальный диаметр окрестности)

• с каждой окрестностью свяжем трёх экспертов:1. эксперт, работающий на транзакциях с опционами сострайками из данной окрестности— получив транзакцию со страйком из своей окрестности,эксперт выдаёт волатильность из предыдущей транзакциисо страйком из этой окрестности— если страйк не попадает в окрестность, эксперт спит2. эксперт, работающий с опционами колл со страйками изданной окрестности3. эксперт, работающий с опционами пут со страйками изданной окрестности


















Результаты• рассматривались три опциона:

1. опционы на акции РАО ЕЭС с исполнением в декабре2006 года, 13 тысяч сделок2. опционы на акции Газпрома с исполнением в марте 2007года, 11 тысяч сделок3. опционы на индекс РТС (т.е., портфель акцийспециального вида) с исполнением в марте 2007 года, 8,5тысяч сделок

• на графиках показаны величины

Loss(T )− LossРТС(T )

где LossРТС(T ) это квадратичные потери проприетарногометода РТС (метод основан на подборе параметров ввыражении определённого вида для кривой σ(X ))



Результаты• рассматривались три опциона:

1. опционы на акции РАО ЕЭС с исполнением в декабре2006 года, 13 тысяч сделок2. опционы на акции Газпрома с исполнением в марте 2007года, 11 тысяч сделок3. опционы на индекс РТС (т.е., портфель акцийспециального вида) с исполнением в марте 2007 года, 8,5тысяч сделок

• на графиках показаны величины

Loss(T )− LossРТС(T )

где LossРТС(T ) это квадратичные потери проприетарногометода РТС (метод основан на подборе параметров ввыражении определённого вида для кривой σ(X ))



РАО ЕЭС

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

diameters 1 to 5naive algorithm



Газпром

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

−6

−4

−2

0

2

4

6




Индекс РТС

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8




Обсуждение (1)

• результаты в целом сравнимы с результатами регрессии соскользящим окном— это стандартный метод в предсказании неявнойволатильности

• с увеличением максимального диаметра окрестностирезультат улучшается, а потом начинает очень медленопадать— добавочный член в гарантии имеет порядокln(числа экспертов) и растёт с ростом числа экспертовмедленно— не следует бояться взять слишком много экспертов:агрегирующий алгоритм отберёт правильныx




• результаты в целом сравнимы с результатами регрессии соскользящим окном— это стандартный метод в предсказании неявнойволатильности

• с увеличением максимального диаметра окрестностирезультат улучшается, а потом начинает очень медленопадать— добавочный член в гарантии имеет порядокln(числа экспертов) и растёт с ростом числа экспертовмедленно— не следует бояться взять слишком много экспертов:агрегирующий алгоритм отберёт правильныx




• одни только окрестности диаметра 5 дают очень плохойрезультат; но добавление их к окрестностям диаметров 1-4улучшает результат— плохие в целом предсказатели где-то работают хорошо,и агрегирующему алгоритму удаётся этим воспользоваться


Documents

Спящие эксперты и их применение в предсказании: Юрий Калнишкан