;

จากแผนผงัแสดงความสมัพนัธ์ของจาํนวนขา้งตน้ จะพบวา่ ระบบจาํนวนจริง

จะประกอบไปดว้ย

1.จาํนวนอตรรกยะ หมายถึง จาํนวนที$ไม่สามารถเขียนใหอ้ยูใ่น

1.จาํนวนอตรรกยะ หมายถึง จาํนวนที$ไม่สามารถเขียนใหอ้ยูใ่นรูปเศษส่วนของจาํนวนเตม็ หรือทศนิยมซํ- าได้

2. จํานวนตรรกยะ หมายถึง จํานวนที�สามารถเขียนให้อยูใ่นรูป

เศษสว่นของจํานวนเตม็หรือทศนิยมซํ #าได้

จาํนวนตรรกยะยงัสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1. จาํนวนตรรกยะที$ไม่ใช่จาํนวนเตม็ หมายถึง จาํนวนที$สามารถเขียนใหอ้ยูใ่นรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซํ- าได ้แต่ไม่เป็นจาํนวนเตม็

1. จาํนวนเตม็ หมายถึง I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

• ระบบจํานวนเตม็ จาํนวนเตม็ยงัสามารถแบ่งไดอ้ีกเป็น 3 ประเภทด้วยกนั

• สมบตัิการเท่ากนัของจํานวนจริง

กาํหนด a, b, c เป็นจํานวนจริงใดๆ

1. สมบตัิการสะท้อน a = a

2. สมบตัิการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a2. สมบตัิการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบตัิการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบตัิการบวกด้วยจํานวนที�เท่ากนั ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบตัิการคณูด้วยจํานวนที�เท่ากนั ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัตกิารบวกในระบบจาํนวนจริง

กาํหนด a, b, c เป็นจํานวนจริงใดๆ

1. สมบตัิปิดการบวก a + b เป็นจํานวนจริง

2. สมบตัิการสลบัที�ของการบวก a + b = b + c

3. สมบตัิการเปลี�ยนกลุม่การบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลกัษณ์การบวก 0 + a = a = a + 04. เอกลกัษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั$นคือ ในระบบจาํนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลกัษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั$นคือ ในระบบจาํนวนจริง จาํนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

•สมบตักิารคูณในระบบจาํนวนจริง

กาํหนดให ้a, b, c, เป็นจํานวนจริงใดๆ

1. สมบตัิปิดการคณู ab เป็นจํานวนจริง

2. สมบตัิการสลบัที�ของการคณู ab = ba

2. สมบตัิการสลบัที�ของการคณู ab = ba

3. สมบตัิการเปลี�ยนกลุม่ของการคณู a(bc) = (ab)c

4. เอกลกัษณ์การคณู 1 · a = a = a · 1นั$นคือในระบบจาํนวนจริง มี 1 เป็นเอกลกัษณ์การคณู

•สมบัตกิารคูณในระบบจาํนวนจริง

กาํหนดให ้a, b, c, เป็นจํานวนจริงใดๆ

5. อินเวอร์สการคณู axa-1 = 1 = a-1x a, a ≠ 0

นั$นคือ ในระบบจาํนวนจริง จาํนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคณู ยกเว้น 0

1−1−

6. สมบตัิการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

จากสมบตัิของระบบจาํนวนจริงที$ไดก้ล่าวไปแลว้ สามารถนาํมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ไดด้งันี-

ทฤษฎีบทที$ 1 กฎการตดัออกสาํหรับการบวก

เมื$อ a, b, c เป็นจํานวนจริงใดๆ

ถา้ a + c = b + c แล้ว a = b

ถา้ a + b = a + c แล้ว b = c

ถา้ a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที$ 2 กฎการตดัออกสาํหรับการคูณ

เมื$อ a, b, c เป็นจํานวนจริงใดๆ

ถา้ ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b

ถา้ ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ถา้ ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีที�เหลือและแบบฝึกต่างๆ ให้นกัเรียนศกึษาในแบบฝึกทกัษะคณิตศาสตร์เพิ�มเติม ค 31202 ครูขวญัแก้ว มีเหมือน

ศึกษาตัวอย่างก่อนนะ

ครับ

แล้วค่อยทาํแบฝึก