15
- , , - 2 2009

ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

���������� ��������� ������� ���������

���������� ������� ����������� ���������

��������� ������������� ���������� ����� �������

�����-!�������� �������� ����������� ����������" �����#

������� ������� � ������,

����� ������, � �� ���� ��

������� �� ������� �����

����� �������� � �����-��� ���� � ������� � ����������� �������

�� 2

�� ��� 2009

Page 2: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

��� 625.11 + 656.21 ��� 38 + 39.28

� 78

���� ���� ������ �: �.�. ������� , -� ����. ���, �����, ������ ��������-� � ������ ��� ���

������ ���� � ����������� � ���� !�"���, #�. �$���% «!#���� �, ������ ���� �, ������%� &���#��� ���� ������� � ��� & ����'(»

(������������% ������); �.�. �������, ��. ����. ���, �����, #�. �$���% «���' ������� ��#�%����»,

(#���� ���' �������������� ������); ����� �������� :

�.�. ������, ��. ����. ���, �����, #�. �$���% «/���� ����������� ������ » !�"���;

�.�. ���, -� ����. ���, ���$�����, #�. �$���% «��#�������' & #�������'���� 0����� �» !�"���;

�.�. ��������, ��. 0���. ���, �����, ���$����� �$��� «!��4� �<» !�"���, �.�. ������!����, ��. ����. ���, �����,

#���� ���' ������ =�!4> – $ � � !�"���, #�. �$���% «���� ���'���� &���#��� ����» =�!4> – $ � � !�"���.

� 78 ������� �������� �� #���� %, ������ ���� �,

���� ���'��� 0������� &���#��� ���� : ���� ������� %���% �����-���� �����% ���$����� � ��&������� ���� ��, !������, 20 – 24 ����� 2009 �. – !������: !�"���, 2009. – >�� 2. – 288 �.: ��.

ISBN 978-5-98710-086-8 A��'( ������� � ������� %�� � �����-���� ���� � ���$����� % � ��&�������

���� �� �������� ���%��� � �#� � ( ����������% 0$$��� ���% ����������% �$����������, ������� �(C�% ������� � ������ &�� � �� &�� � ����������� #��&�� � 0����� �� – � ���������� �� ������ �% �#� � � &���#�����&���� �������� �D � 2030 ��.

�����% ��� ����� � ���(��� ���� ����'�% ���$����� , ���E�E�% � !�������� ������������� �� ���� ���� ����% ����C�� � 20–24 ����� 2009 ��.

� ����� � ���(���� ���� ������ ����� ���, ����������% ��#��, �&������-���� ���, �� ����� �������� ����������� ��#�� � �#������ �� ����� 0����� ���� 0$$��� ���� �������� % �� #���� ��, ������ ���� , ������� ����C�� ����&� ��F����� ����������% �$����������.

/�&������� ���� � ������&���� ���� �� �% ���� ������ # ��� ��: !.�. ���&���� � – ����� �$��� «������ ���� � ���� ���'���� &���#��� ����» �!!> (�. ��������������, ��� �) �%��� ���'���� ���� >���������% G��� ��� ��, ��������� ����� � �������� ��� �� �.!. >������ – #���� ���� ������ � ��� �������, ��. ����. ���, �. � ��, ��� �.

�� 625.11 + 656.21 � 38 + 39.28

© !������ % ������������% �� ���� ��� ����% ����C�� �, 2009 ISBN 978-5-98710-086-8 © ������� � ������, 2009

Page 3: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

105

���'#��� � ����. � ���% ������ &� �H�/ ��(� ������'�� ���-��������.

�#�������% ���� ��������� � �������� ����� ����� � % � 0��� ���� ��-0����� ������� �������� � ���� ���'��� ����� ����% &�-��#�����&��% � � .

���������������� ������

1. ��������, <.J. K������� � ����� �����% ���� �������� �� ������ ���� � ������ �'��� ���� [>����] / <. J. ��������, <. <. =���0, !. ". /��'� � �. – <-��. ��. " ������ , 1976. – ���. 18.

2. ����������, G.<. K ��������� ����������� $���� % ������'� � ���������� �������# � �� ����������� $���� % ���'E��� � �� ���������� [>����] / G.<. ����������. – ����. G< ����, 1956. – >. 108. – M 2. – �. 179–182.

3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [>����] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003.

4. G fast method for implicit surface reconstruction based on radial basis functions network from 3d scattered points. Hanbo Liu, Xin Wang, WENYI QIANG. International Journal of Neural Systems, Vol. 17, No. 6 (2007), � World Scientific Publishing Company.

5. �� �����, ".D. ��E�� � ������ #� ���� ���� � ����'#��� �� � �'��-�# ���� ��%������ ����% [>����] / ".D. �� �����. – <�%������'(����: �#�����, �� ����� �. – 2007. – M 9.

�.�. ��������, .�. ������

���� ���������������� �!" ��� ��"� "� �#��$�%& '��!���$

��( #�"���"( ��#&���$ " ��$%)��"( #����#!�* ���'���� ��� �# � 0������� ��� ���� «����&���» ����E�� �

�� ���� ���'����, �� �������, �� 0������� . ��� #����� � ��-������ �' ���� �'��� �� ��� , ������� �(C � �������' ������� , ����&�� � ��� � ���� #���������' ���� �'��� #��� . >� � ����-� ��#����� �������� ����� ������� ��' ����&�� � ��� � ����.

������� � ���� �'��� ������ �E � �� �������� ������ ��� ��#�� ��&��� �������� �, ��� �����' ������� #����� % ������� � ����&�� � ��� ��&�� ��#��& �' � � �.

� ��#��'��� ���' � ���� ������� �� ��� «#� �����», ������� ���, ��������� � ��������� ��������, � ������ �� ��(� ���� ��-�� � ���� ��C��� � ���'��� ����&�� �� ��� .

Page 4: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

106

��� ������� ���& ��� � ���#���� ���#�� �� � �'�� ��� �-� �', ���$�������' ���#� ����C� �� �� # �����', 0����� � ��� � «#�����%» ������, ���� ����&�� � �� � ���� �� ������� ��.

������, ���, � ���% �������, �� �� �� ��� ����E�� � �����-���% � &�� � ���& ��� � ���#��, � ����% – ��� � � ����� �� 0����-� ������� �� # � ���� � � ��'��� ����� � ����� &�� � ���#��, ���% ���� � ���� &���#�����&���� ��� ����� ��� ����� ���'��� &� ������.

���� � ���, ��� ��������� ������� � &�� � �������(��� �� ���������� ����&�� � ��� , ��������, �� �&� ��������', � ���� ��� ���. ������ �� ��������� ������� , ����� # ����, ��� �� �����-��� � &�� �, �� � �� �����E����� ������� �, �������' ����� � ����-��� % �������' ������ � �����, �� �������� ���������.

������'�� �� � &�� ���# �� �� ��% ��#� ��� ��������&��� ������� �, �� ����'E�� � ��� ��� � �� ����� ������(� # ���� ��#��-E�� � ���&���� ���'� � �� ��% �� ����E�� ( � �����������.

>� �� �� ���% ��% &� �� ��% ��� ���# � �#��� ��������� , ��#��E�� � ������ �(� ��, ����� ������� � ���&� �� ��% �� ����� ������� ���#�� ������� � �����' �� ��% �� ����� �������� �� ���-��E� �������. H� ������� � �#��(� �����E����� . ��� ���'-E ���� ������ ������� � ���&� �������% �� ��% �� ���& ��� � ���#-�� �� ��&�� �����E�' 0,7 �/�2, �� ���#���� �����' ���&� – 0,3 �/�2.

� �����% (��� �� �%��� ���'�� �����) ���������� ������� % ���. ��� ������� ������ � ������� ����� ��� � �������( �� ��( ���� -����� �������� �� ��. �&� ��� �� �� ����������� ��������, ����-���� �� �� �� $��� ������ �� ������C � ���#� .

�� � &�� �� ��������% �� ��% ��#� ��� � �������� ����� $����.

��-������, � ������ ��������% �� ��% ������ ���������� ����-��� �. �������' 0���� ����� � ���� ������ ��� � ��% 0,6 �/�3.

��-������, �������' ������ � ����� � ������ ��������% �� ��% �� ��&� �����E�' 28 ��/� (1/10 ��/�) (� ��������� ������ ��������� 35 ��/� – 1/8 ��/�).

�� ���#���� �� # ��C�����(C � ������� ���, ����� �����-� � ��������� �� ��� � ����(���� ���'E ����� ������ ���� � �(� �������' � &�� � �� ���� � �������� ����� �� ���� � ��#�%��-� �� � ���' ��� &��% �����. >�&� #-# ������ � ��������� �� ��� ���� ���� � ���� � �E � ����� �� �� �� ������ � ���#�� � �� �� -���'��� ������� ��#��.

���'�#��� ������� ��#��(� ����� , �� �(C ��� ����� ������ . <���� ����&� � ��#����(� �� ��' ������ ������, � ������� �����-(��� �������� �� ��� � � ���� 5 000 �. � �� &� ����� �� � ����� �� ��������� ��E� 130 ��/� �����(� �����%��� ��#��E�� � ���&���� ���'�. < ������� � � �� �� � «����C�����(C �» �� ��� �� ���� � ������� ��#�%��� ��, � ��� ( ���� �� ( ���#��.

Page 5: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

107

J�� ���'��� ������ �� � ��� � � ��� �(��� �� ���������, 0�� ��&�� ��#���' � �� ���� ��� � ������� , � �� �����E�� � ����� -���, ���, � ���( �����', ���� �� �� �' � �� &�� ( ������ ��#������� ���$������� � &�� � � ���� ��� ( � � �# ���%��� � ��&� ����-�� ��� &���� ����� 0������� �������� ������ � ��� . ������� � ���� ��� � 0� � � � ����E���� #��� ���'��� ��� � 0�������� �������� ������ � ��� , ��&� ����� 0�������� ��� &���� �����.

< ���$�������' � &�� � � �� ��� ��� ���� �� ���C(� �� �-� �, ��� ����E����% #��� �������������� �� �� � � ����� ���'��� #���� � 0������� (. � ���# � 0� � $����� ��#� ��� ����� ��-��������' � ����� ����� � ����(�� �� ������� ���� � ������ -�� � ��� &���#�����&���� ��� .

�� 0��� ������ �� ��E �' ������ #� . ��-������, ������ �� � ��������% �������'( ������' �$���-

� ( � ����&�� &���#�����&���� ��� � ����. ��-������, �� ������ ���� ������ ������' ��������� ��E�� �,

������� ���'�� ����� ���' ��� #���� �� ������� � ����� #� . �� 0��� ������ ��������' ��#��E�� � � ������ �������� ��� ���#-������.

�-����' �, ������ �� �� ������� ��� �' ���' � ����&�� �, ����-�������(C�� ��������� ��E�� ��, ������� ����' �������� � �� � �-���.

�-���������, ������ �� ������� �' ��&��% �������' ����&�� � ��� � ���� � �������� 0������� .

��� ��#���� �������� ������ �����(� �#��E������ ���������-�� ����.

<�� ���, ������ �� ��� ������� % ��� �� ���� ���#� , ��� ���'�� # ���� ��� �'��% ������� ��#��E�� � � �� ��� ��&�� ����-� �' �������' � &�� � �� 0� � �� ��� � 20–30 ��/� ( � ����'E �' #��� ����� ���'��� �� ���&� � ���������), # ���� �����������(C��� ����� �������� ��� � ��������� ����&�� � ��&�� �����' ��E�����( ���-����' � 130 ��/�, ������� ���' � ������ ��C�����(C��� #�������� ��-����, �.�. ��# �������� #��� � ������� �� �����.

< ���� � �� ���, ������� �� # ���� �', ��#��E�� � ���&���� ���'� ��� ���������� �� � ��� �� ��% ��# ���� � �� ��������� �� ���.

� ��#��'��� �������(C � ���� ��� �� ����� � �' �������' ����� � ������� % �������' ������ � �����.

>��'�� # ���� ����� �'���� ��#��E�� � ��������( �������' � ��� �� ��� (�� ��� �'��� �� ������) ���'#� ���� ������ ��' ��E� 50 ��/� (������ 100–120 ��/�). G ������'�� �������' � �� �#� ��� ���-������ �� � ���, �� � �� � �� ��� ��#� �(� ����E����% #��� �-��E�� � ��#������� � &�� � ���#��.

� ��&��� (, �� ����� ��#��E�� � ��������% ������� � ���&��� ������ ��� ������ �� ��������' �������� ������� � ��-

Page 6: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

108

���� � ��E�� �� ��� ���� � ������ %. � �&�% �� ��% ������ �� �� -����' ����, ��� ������ ������� ���#�� �#� ���� ������ %. <� � -� ���'��, ��� �� � ������ #����( ������ �� �������(���. �� ��� ��-����� #����(��� ������� ���� ����� , �� ������� �� ���������-��% ������� ����������� ��#��E�� �, ��� �� �� � � ��#���� ��E� ��������.

� �������� ����� ��� #��� �������� �����% ����� ������-��� ��������% ��#��E�� %. K� # ��#��&�����% ����� ����� – ����� ����� ������� � �.

< �&�� 0������� ��� , �� �&�% ������ ���#�� ����������� ������� ������� �, �� ���� � � �� ����. � ��#��'��� �� �&�% ���-� �� � ����, � � �������� ��������� �� ���, ��#��E�� % � � ������ ����������� ������� ���� ������� � � �� ��#�%��� �� ���#-������. � �������� ��� #��� ���� �� ��� � #� ��#��E�� % # ����� � � � ��'��% ����� ������� � �. �������, ��� #���� � 0��% �-���� �������� ����� ������ ���� � #����� ���'��� ��� &���� �����.

�� ��'����' ���� � �C� � ���, ��� �� ��#��'��� �F��� �� -� #�� (�����) ��#��E�� % ��&�� ���� ��' ��������� ������� �������( ����� ������� � � �� ��C�����(C��� ����&�� � ��� . H� ����, ���� � ��������� , �������� ������ ���#��(� �� �� � �-��E�� % � ���� � �������' #���.

��� ��������� ������ �������% ����� ������� � � �� ���'E�-�� ��� ����� ���'��� �� ��� ��� �� ��������-� � ����% ���� .

���� ���� � �&�% �� ��% ������� ���� ������� � � �� ��#��E�� �� �� ���� ���� ��� � 2-5 �# ���'E� ��%, ������( ��&�� ����� �' �� ��� �'��� ������ ��#��E�� %. K������� � ����&�� � ��� � ���� �� ��#��E�� �� �� ���������� � ��� ������ �� �� �� � 10-������� ��#���� ( ����� ������� � �.

J�� �� ������� ���� �� �������, ������� � ����� ��� ��� �' ���' � �������� ����&�� �, �� 0�� �� ��������� � �� � ����� -���'��� ������ ��&�� ���' ���������� # ���� ����� � �������� ��-���% �� �� �� �� �F����, ������ ������� ���.

� �� &� �����, �� ������(C�% 0������� �� � ������� ��C���-����� �� # ��� #��� ���'��� ��� &���� �����. <�����&�� ��, ��� ��� �'�� ���������� �� �� �� � � ��'��� ������� � �� ���� ��-C�������� ���'E� ��� �' �� ���������� ����&�� �, ��� ���� ���� ���������� ����'E�� � #��� � �� ����&� � �������.

�� ��E�� ������ ���������%��� ��� &���#�����&���� ��� � ���&��� ������ ��#� ��� ������� �������� � ��������� �������-� % ����� ���� ���������.

� ������� , ������������ &���#�����&��� �� ��� ���� ��' �-��� ����� � � ����� ���� ��������� �� ��� . <�������� �����-� ���C � ����� � �(� ���� ������� � �����'�� � ������� �������-���� ��� #����(� ���������%���� ���� �� ��� � � ����� ���� �-��� ����� �� ���.

Page 7: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

109

K� # �� � � ������� � � ����� ���� ���� ����� �� ��� #-��(����� � ���, ��� �� � �� ��� ���C� ������� ����' ����&�'.

��%��� ���'��, �� ������ ���� ���� ���'���� ����� � � % � ������� ���� ���� ���� #����� �' ���� ����� � ����� ���� �� ���.

� �������� ���� ���'��� ���� �� ���� �� � �� ��� ������ �' � ������� ���������� � ��������.

� ������(C�% 0������� �� ������� ��� ����������', �� ��� ��, ������� ��� ���& �� �. �� ����'#��� ��&���% ����%���% ���� � �� ����� �� ��'��� �������� ��� � � #� ��������� � �-��% ������ , ��� ���'��� �� ��� ��� ���'E� ������������� ���������.

>� � ���#��, ���'��% ��� &���#�����&���� ��� ���'E ���� � � % ������ ����� � # ������ ����� ��� ����� ���� �� ���, ����-��� ��� ���� ������ , �������� ������� ���� �(C � ������.

� ������� �� ���, � ���� ��&�� �� �� �' ������� � ��������� � ���� ����� � ����� ���� �� ���, ��� ��������� ���'��% ������'-��% ������.

�� ��� � #� ���������� ��E�� � � ����� ����'#����� �� ��-� % � � � ��� ���� ���� �� ���������%���� ���. � 0��� ����� �� ��-� � #� �� ���� �' #���� � � ������ ��� , �������� ��� , ����-� ���'��% �����, ������� ��������% ��� �����%��� �A�, ����� ���'-��( ������� #�������� ������. <����� ����' �������� � ��� � ��� ����� ���'��� ���� ���������' ��������� � #� � ���� �� � ����� � ���% �����.

< ������ � ��( ����� 160 �� �����' ����� 130 �� ���. � ��� ��������� �� ��� �������� ����� 200 �. �� ����������� ��� ���� -���� � #� �� ������������ � � ��'��� #���� � � �� 350 �, ���-�� ��&�� ���� ����'#���' &���#��������� E���. � ����� ������ ���-��� �#��E���' ����'#��� � � ���� � 300 �.

��� ��������� ����� ���'��� ������ ����������� ��� ��-��� � ���������� � 0� � ������� �� . ���������%���� ��� �� ����-� ���'��� ������ ��������� ����� ���'��� ������ ����� 100 ���. ���.

<� �� ���� �� ��� ����' ������� �' ������� � ���� ������ � ����� ����� . ��� 0� � 59 �� ��� ��� ���� ��� ��������� �� ��� ���� ����� � ����� ����, ���� ����� ��� ����� ���� ������- �����.

������ � �� ����� ( ���'�� ���� ����� �� ��� ���� ��� �' ����� ���'�� 750 ��� ���., ����'#��� � �� 0��� � ����� ���� ���� ������&�� � ��������� �� ��� �C� 250 ��� ���.

� �� &� ����� �� ���E � ������� ���� ��#�� ���'���. �� ����, ��� � ������'��� ������ �� � &�� � ��F�� ���-

����' �� ���� ��� ��C����'( ������� �, �� � &�� � ����� – �����#��� �������� ��, ����� ����� � ������� � &�� � � ������ �� �������(���. ��� �' &� ����� ���'��% � � � �� � �����% (�.�. �

Page 8: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

110

11 �# ���'E�) # ������� � ���� ������ � ����� ����� ���� ����-�������#��, �������� � ����������� ����� ��.

�����. ����������� ����� � ���F����(� ������� � 0����� ������ , �

�� &� �����, �����(� ������ �' � ���������� ��������� ������E ��� ��-���� � 0$$��� ���� �������� ��, ��#����(C � ������� �' 0�� 0����-� (, �� ��� �� � �C���, �� ��������� � ��#������� � &�� � ���#��.

�. �. ��������, �. �. �����

!�,��#!/ #4�:�" ����� ���������������� �!" " �!" �� ��$%)��"(

�� �������� ���� �� ����&� ( � ������ ���� ( ������

� �� ���������%��� ��� &���#�����&���� ��� ��������� �$���� � � ������� ��C�����(C��� ��� . ��� ������� � ���% �$���� �������-���� �F���.

� ��&��� (, � ������� �F��� ��C������� �� #���&�� %, �� ��-����E ���, �� �����. �� �����, ��� �F��� �������� �����%, ����� �� ����� � �� �-� �� ����� ���� � ������ �� �������' ��&�� ����-� �'.

����& ���'��� �������� ������E���� $ ������-0����� ������� �� # � �������� ��, ��� �� # � �� ��&�� �� ���#���'�� �� #������ ��0$$��� ���� �������� % ��E�� %.

� ������ � ��� � �F���� ��� ����� � �', �� ��%��% ����, �����'-�#��. �� �� ��� ��-� ��', ����� ���� �' �� ���� ��� � �����'��� ������� �, ���# �� � ��, ��� #���� � �F���� ���'E� #��� � � ������ � ���� �#.

K������� ������������� ������� �� � ������ ������ , ����-���, «������» ����� ��&���� ������� �E �, ���� ���� �� ������'.

� �� &� ����� ������� �������� ����� �F��� ��#������ �� -���� ��� ��� � �����'��� ������� �, �� ������� #��� ���'��� ��-� &���� �����, �������' ���$�������' ��C�������� ����E���.

�������� "#�"�� "$���� #����. ������ �� � ����� «������» ������� �F��� �������(��� (�� -

��� ��� ��#���&����) �#� ���% ����������% 0���������% ���� ��%. �� 0��� � ��� ������ &������ ������ # �%��� ���'���.

� ������� �� ��� ��&�� ���������' �� ����� � GPS-�� ��� ���, ������������ � ���� #��� ���'��� ����� � ����&��.

��� #�� ��� GPS-�������� � ��������� �� ���� ����(-C � ���� � ��#��&��� �����E������ �� ��� ��� (���. 1)

Page 9: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

111

%���&� 1

������� GPS-��������

��& � #����� %

>������', ��

������% 10 000 "���# ���� % $$����� �'��%:

- ��� �, ������ ��� � 5+�- � ���� �* 20+�- �� &�� � (� �����$���, ���� �'�� ������ ���') 25+�- �� &�� � 200+�

����'����: * �!�����(, #� �����) #�����+�� #������ -��"����"( �� ��'��) �� #��(+�-��� 10–20 "

������ ���'��� ������� � #� � � �� ������� � ��&� ������-

C(C ��� ��� ������ �� ��� �� ��������� 1–3 �� � 1 ��. >� � ���#��, &� �� �� ����� � ���� #��� ���( �������� �-

����% ���&��% � ������ �����% ���$���� �����%��� ���' ��� ��� ����� �����, ��������� ����(C � �� ��� ��� �������' �� � #����� % ���� � 25 �# ��&� ��%, ������( #����(� ��� #�� ��� ������.

>� �� �� ��� � (�� ��&���� �� ��) ������ ����� � ���E� ����, ��#� ��� �C� �� �������, ���#��� � ������� ��#�� (� �. 1).

���. 1. �������� ���������� �������� �� ��� ����

�&� �� �������� � �������� ���� ��� ����� � �� ��% ����-��������� �������� ������, �� �������� ������ ������ ����' �������-��� �� ��� ��� ���� ���.

G���� ���� ��������, ���#���� � � &�� �� �������, ��#� �-(� �� #����� ��� ��� ����&�� , ����������� GPS-�� ��� �� � ������� .

Page 10: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

112

� �������� #�# ���� #��� ���' ������� ��&� �$���� ( � ���� ����� #����� � �� � #��.

G� ����� �����' #��� ���'��% ����� �� ��#������ ����� �' ��&-��� ���� �� �����%���� ���. !#-# � ����� ����� ���� ��&�� �� «�� ��'» �������( �����( ������, ����� �'�� ���� �' ���������&�� � ��������� �� ���.

J�� ������ �' ��� �� ���� �� ������ ������ ���'���, �� � ����� #�# ���'�� «�#F�#&(���» � ������'�� � ��������.

K���� ������� �� � ������ – #����� � � ��. >� �� ���%��-��% ���' ����������� ������� �������% ���, �� &� ��� #������� �������' (1:500) � ����' �# ��&� ������� #����� % �������%.

��� ���'��% ����� ������� ���� � � GPS-�� ��� �� ������ � � �������'��% ����# �� ������, �� �������� ��������� ����# ���� � #����� � ��������% ������� .

>��% 0����� ����, ��-������, ��#� �� ���#� ���'��( �������' #�#��, ��-������, �� ��� ���� �� ��� #�� ����% ������ � ����E�-� ( ������� � #����� %.

������ ����� �', ��� � ����� �����% # �E ���� �F���� �������� �F��� � �� ����� �� � ����� «<� ����». <� &� � 0��� ����� �� � ���� ������� ������ �����E����', ������( ������ �������' ���� -�'��� ����� , � ������� ���' ��%�� � ����� ���' .

«��'���» "#�"�� "$����. !# �� � ����� «������» �������� �F��� � ����� ������������

������� ����� "�� �����. ������ ����� �', ��� � #�� � �� ����� � ����'#��� �' ���� �'��� �� ��� (� ������, � ��&��� (, #�����), ������� ��C�������� ����E� �������' �F��� .

��������� �������������% ������ ����� �������� ����� ���� -��� #���� � �� � #�� ��� ����� � �����, �� ���� �� ���'�#��� ����-�����.

�����% # � � – ������� ����� � �����E���� #����� % �� � �� #-# ��%���� ���� ���� � (��������������' ����&�� � ��� � ���� ��&�� ��� ��' 5 �/��).

�����% �������� - �������� � ����� � �� �������� #����� %. >��� % – �������� ���'E�% E� �F��� (10 �). ����'E�� � E� �F��� � 5 � �� �� � � ���� ��� ( �����E����

� 10 �#, �� �� #���� � #�������% ������ ����'E���� � 4 �#, ��-���E����' ������ ������� ���&��%. ����� ����, � 2 �# ��#����� ��� ��-���� ���� ������ �����.

����� �' ������� ������ ����� ��&��, �� ��� � �� $ �� (, �#�������( !.�. ���&���� ��� (� �. 2).

Page 11: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

113

���. 2. ������!����"# �����$ ����� � 0��� ����� �&� ���� #�������� �� &�, ���� �'��� �����

���� �� � ����� � � ��#����(� �� ��' ������ �E �� #����� % ����� �' �$���� ( � ����&�� ����� ���#� ������.

��� ������ � �� ��� (��� ���, #������� ����) !.�. ���&���� ��� �����&�� ���� ���� �F��� �� �# � (� �. 3).

���. 3. ��%��������% �&���� �� $�'��� � 0��� ����� ����������� ������� � �E �� , E� �F��� ��&��

��� ��'�� ����' ����� ����. �� �������� �F��� � ����'#��� �� 0���������� ����������

� GPS-�� ��� ��� ������ ���' � � �, ��� ���'�� �������' ���� �� ����'��� ����� �� ���E� 25 ��.

� ����� �� ����C��� ����&� � �������' �F��� ����'��� ����� ������� � � ��� � ��% � ������.

� �� &� ����� ��� �F��� �� �������� ������ �������� � ���-������������� ����&�� � ��� � ���'E�� ������� . ��0���� ��� �F��� ���������#� �� ������ ���� ����� #� � ����������� ���.

Page 12: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

114

�"#��3!������ �#���) "�"���. < ��������� ����� ��#�� ���� �'��� �������� � �����, ����-

��� ���� �� �� ����(���. � �� &� ����� � ����'#��� � �� �F����, ��-� ��� ���, ��&� �� �������� � ������ ����� ��� ��&�� ��#�'�� ���'� 0$$��� ����.

�� � ��#� ����������' ����'#��� � ��������� #����� % ������ � � ��#��'���� � ��������� ���� (� �. 4).

���. 4. �����"� �'�����% �� ������ K��� �� � #����� � ��#����(� ��������' #����� � ���'�� ��� -

# ���� ��������% ��� . ��� #����� � �� ������� ���� �� �(��% ���� �����&��� ����'-

#��� � � ��%��� #����� �� 2–4 ������� (� �. 5). � 0��� ����� ������% � �#����% �������% #����(��� � ��%���

������� � �� ���� � ��� � �������. ��#��'��� #����� % �������-(��� �����(��� ������ ���� ��� ���� .

��� ����E��% �F��� ����� ��&�� ����'#���'�� �������� ������� �� ��������� �, ������C�� # ���'���� ���� � ����� &������� �-����'� � (� �. 6). �������%, ���' ������% ��� ��� � �� ����, #������-�� ������� � � ��� .

������ !�"��� K. G. ������ ������E�������� 0�� � ����� �� ��#��&���� �� ����� � �#����% ������ .

�� ������ ��� ��&�� ����� ���� �$��� ����' ��� �� � ���-������ ������� �� �� ������� � ��� �� �� ������ (������ ��-��'���), �� �� ���������'��� ������� ��, ��� ��#������ 0$$��� ��� ������� ����' ������� � ��� .

Page 13: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

115

���. 5. (��#"� '������ �� ������

���. 6. ������� ��%�������") �'�����# �� ������

4��������� "$����. < ����� ������ ��#��'��� #����� % ��� ����� ���' ��������

���� �� �% �� $ � �������� ������ ����� ���� ����� #����� % (� �. 7).

Page 14: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

116

���. 7. ���$������% �&����

J�� ����# 100–150 � ����E��% ��������% �F��� ��������' ���� -

��� ����'��� ����� (�������� �����%, GPS-�F����%, #����� �� ����-���), �� �������� �F��� �����, ���#���% � ����� �� �����E���� , ��-�� �������. � �� &� ����� ���� ��� ����'��� �����, ��������� � ��������� #����� �, ��&� ����� ����� ������ .

>��� ���� �� � �������� ������� 0� � �������� �F��� ��-� ��'�� ����'#��� � ��� ��C����.

��� �� ����� ������� �F��� � ������� ��� #���� � ���-����� ����� 2.2.

*.�. ���, �.�. ���, �.�. ����%�����, *.�. �����$"#

��� ��:% " ���#���!"$% ��:����#��* �$!�:�!"��;""

�����!��-"�%#��!��/#���� "�#!"!!� ��� «$�#!#" !���#�����!»

=GK «����� �����������» – ��� # ���C � ��������-

#������'�� � ����� �� % � � � ��'���� ������ � ����������% �-��� �%.

!��� ��� ��������� �&������� #���� � �� ���� ���'��� ��-��������� &���#��� ������ �'��� ����, ������������, zH�, &���#-�����&��� ���� %, �����E������ ��&��� � �����&�� %; ������ -���� &���#��� ������ �'��� ���� , ����������, �����, ����� &���#-�����&��� ���� , �&������� ��� , #� � �����&�� � & ����, ��C�-���������, �����E������� ���'�����#�%��������� �#���� �; ���C����-���� ������ ���� � �����%��� �����#��%, #�� ���'��% ������'��%

Page 15: ˇ ˆ ˙ · 3. Buhmann, M.D. Radial Basis Function: Theory and Implementations [] / M.D. Buhmann. – Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2003. 4. fast

288

������� ������� � ������,

����� ������, � �� ���� ��

������� �� ������� �����

����� �������� � �����-��� ���� � �������

� ����������� �������

�� 2

������ /.<. {������ ��� ��� � ����' 16.07.2009

D���� 60 � 84 / 16. ����' �$�����. ���. ���. �. 18,00. ��.- #. �. 20,02.

> �& 130 0�#.

K�������: !� !.�. G�����, 664047, �. !������, ��. G. <�������, 38