110

C

طرق الهندسة الوصفية ) طريقة تغيير المستوي(

The Methods of Descriptive Geometry Replacing Planes of Projection

تعلم الطالب في المحاضرة السابعة:

التقاطع بين المستويات والمستقيمات

التقاطع بين المستويات

ع مثلث مع مستو ممثل بمستقيمين متوازيين:حالة تقاطع مستويين ممثلين بمستو كيفي محدود بأضال

( تقاطع مستويين محدودين بالمثلثين حيثΔ ABC )α (وΔ DEF )β :مع التنقيط

:حاالت خاصة في المسائل المحلولة وغير المحلولة

المستويان معلومان بأثريهما اللذين يتقاطعان في نقطة على خط األرض

يمر بخط األرض ونقطة معلومة:تقاطع مستو معلوم بأثريه مع مستو

المستويان معلومان بأثريهما واألثران األفقيان لهما متوازيان

المستويان يوازيان خط األرض

التقاطع بين المستقيمات والمستويات

تقاطع مستقيم مع المستوي المنصف األول

تقاطع مستقيم مع المستوي المنصف الثاني

الثامنةالمحاضرة

111

مقدمة -8-1

ضاع المستقيم دراستنا للفصول السابقة أن حل مسائل الهندسة الوصفية يكون سهال، عندما تكون أو كما الحظنا من خالل

والمستوي خاصة، أي عندما تكون موازية ألحد مستويات اإلسقاط أو عمودية عليه.

ا يوازي ندمفي هذه األوضاع تكون المساقط أكثر داللة، فهي تعطي صورة حقيقية لوضعية الشكل في الفراغ. فمثال ع

ن المسقط األفقي مستقيم ما المستوي األفقي لإلسقاط يظهر بطوله الحقيقي في المسقط األفقي، وتكون الزاوية المحصورة بي

ال كون المستقيم لهذا المستقيم وخط األرض مساوية لميل هذا المستقيم على المستوي الرأسي، وهذا ال يمكن أن يتوفر في ح

ويات اإلسقاط.في وضع عام بالنسبة لمست

فهو يوازي أحد مستويي اإلسقاط، وبالتالي يظهر بطوله الحق أو رأسيا إذا كان المستقيم منصوبا يقي في المستوي أيضا

توي يظهر بكبره الموازي له، أما إذا وازى مستويا ما أحد مستويي اإلسقاط فأننا نجد أن مسقط أي شكل يقع في هذا المس

أنه ال يظهر فاط الموازي له، وفي حال أن شكال ما مرسوم في مستوي مائل على مستوي اإلسقاط الحقيقي في مستوي اإلسق

بكبره الحقيقي في أي من المسقطين.

ا إلى إحدى الحاالت من هنا يتضح لنا أنه في كل مسائل الهندسة الوصفية يجب إرجاع الحالة العامة لمستقيم كيفي أو مستو م

ـالخاصة ـالمذكورة سابقا

المستوي في بترك المستقيم أو المستوي على وضعه الحالي وتغيير أحد مستويي اإلسقاط بحيث يصبح المستقيم أو أوال :

وضع خاص وهي الطريقة األولى.

ثانيا: ألحد مستويي بأن نقوم بتدوير المستقيم أو المستوي حول محور مناسب حتى يأخذ وضعية خاصة يصبح فيها مناسبا

هذه الطريقة الثانية.اإلسقاط و

قوم بتدوير نهناك طريقة هي عملية مزج بين طريقة تغير المستوي وطريقة الدوران وتسمى بطريقة التطبيق حيث ثالثا :

المستوي حول أحد أفقياته أو جبهياته، حتى يصبح أفقيا أو جبهيا ويظهر بكبره الحقيقي.

Replacing Planes of Projectionطريقة تغيير المستوي -8-2

لعامة للمستقيم يقصد بطريقة تغيير المستوي استخدام مستويات إضافية عمودية على أحد مستويي اإلسقاط لتحويل األوضاع ا

عن يمكن االستغناء 1عمودي على المستوي األفقي 4أو المستوي إلى أوضاع خاصة فعندما يكون المستوي

بحيث تكون بوضع أكثر 4بـ المستوي 2المستوي الرأسي األساسي ونقول عندها أننا غيرنا المستوي الرأسي

بالمستوي 1نا المستوي األفقينقول أننا غير 2عمودي على المستوي الرأسي 4مالئمة لحل المسألة وعندما يكون

قاط ،بحيث يكون بوضع أكثر مالئمة لحل المسألة، وفي كل من هاتين الحالتين تجري عمليات اإلس 4األفقي الجديد

بشكل عمودي كما هو في طريقة مونج.

تغيير المستوي الرأسي -1 -2 – 8

عمودي على 4بمستو إضافي جديد 2ونستعيض عن المستوي الرأسي 1مستوي األفقيفي هذه الحالة نثبت ال

1( إن الفصل المشترك بين المستويين هو خط أرض جديد ويرمز له بـ 8-1, من الشكل )14X لتعيين المسقط اإلضافي .

112

حتى ينطبق على 14Xحول خط األرض الجديد 4نمرر بها شعاع عمودي على المستوي الجديد Aلجديد لنقطة ا

1المستوي األفقي

x12

x14

zA

zA

zA

A

A2

A1

A4

Π1

Π2

Π4

Π4

90°

90°

A4

2-6

(1-8 الشكل )

جديد عن خط األرض ال 4Aسقط الرأسي الجديد ، ويمكن أن نستنتج أن بعد الم4Aفنحصل على المسقط الرأسي الجديد

14X يساوي إلىAZ 2وهو بعد المسقط لرأسي القديمA 12عن خط األرض القديمX ،ذا علم لذا نستطيع أن نقول أنه إ

،يمكن 4وطلب تعيين مسقط رأسي إضافي جديد على مستوي رأسي إضافي Aالمسقطان األفقي والرأسي لنقطة مثل

بحيث يكون البعد 4Aونعين المسقط الجديد 14Xعمودا على 1Aتحديد المسقط الجديد بسهولة بأن نسقط من المسقط األفقي

(.8-2كما في الشكل ) 12Xعن 2Aبعد AZيساوي إلى 14Xعن خط األرض

A2

A1

A4

Π1

Π1

Π4

Π2X12

X14

ZA

ZAA14

113

(2-8الشكل )

تغيير المستوي األفقي -8-2-2

عمودي 4الحالة نثبت المستوي الرأسي ونستغني عن المستوي األفقي ونستعيض عنه بمستوي إضافي جديدفي هذه

ه . أن الفصل المشترك بين المستويين)األفقي والرأسي الجديد( هو خط أرض جديد يرمز ل 2على المستوي الرأسي

24Xاألفقي اإلضافي لنقطة مثل . فمثال لتعيين المسقطB ،( نسقط من المسقط الرأسي 8-3الشكل )2B 24على عموداX

.12Xعن 1Bيساوي بعد 24Xعن خط األرض 4Bبحيث يكون البعد 4Bونعين المسقط الجديد

X12Π1

Π2 Π4

Π2

X24 B2

B1

B4

YB

YB

(3-8الشكل )

غ.( عملية تغيير المستوي األفقي في الفرا 4-8 الشكل )يبين

B2

B1

B

B12

X24

B4 X12

YB

YB

5-6

(4-8الشكل )

114

2و 1تغيير المستويين -8-2-3

على الترتيب 5و 4ونستعيض عنهما بمستويين إضافيين مساعدين 2و 1في هذه الحالة نستغني عن كل من

) 2عمودي على 4ويتم ذلك بأن نثبت المستوي الرأسي مثال ونستعيض عن المستوي األفقي بمستوي إضافي

ثبت ن(. ثم 2 -2 -8كما سبق في البند) 4Bثم نعين المسقط األفقي اإلضافي 24X( حيث خط األرض الجديد 5-8شكل

حيث خط األرض الجديد 4عمودي على 5بمستوي إضافي آخر 2ونستعين عن المستوي الرأسي 4المستوي

بمقدار بعد 45Xتبعد عن خط األرض 5Bبحيث أن 5على المستوي الجديد 5Bنعين المسقط الرأسي الجديد 45Xهو

2B 24عنX .وهكذا .....

X12

B2

B1

B4

B5

YB

YB

LB

LB

Π1

Π2

X24

X45

Π2

Π4

Π4

Π5

//

//

/

/

(5-8الشكل )

تطبيقات على تغيير المستوي -8-2-4

لمستوي األفقي اتغيير المستوي الرأسي واألفقي من أجل مستقيم ) تعيين الطول الحقيقي لقطعة مستقيمة (. من أجل تغيير

. A ,Bيكفي أن تجرى العملية من أجل نقطتين من نقاط المستقيم ABو الرأسي لمستقيم أ

يوازي 4في الفراغ. لذا اخترنا مستوي إضافي AB( عملية تغيير المستوي الرأسي لمستقيم كيفي 6-8 الشكل )يبين

المستقيم في الفراغ.

115

B2

B1

A1

B B4

B12A2

A12

A

A4

A14

a

a

a1

a2

a4

a

П2

П1

П4

X14X12

(6-8كل ) الش

يوازي المستقيم 4( المستوي المساعد اإلضافي8-7الشكل )أي أن خط األرض الجديد يوازي أحد المسقطين فمثال في

AB 1وفي نفس الوقت عمودي على 14لذلكX يوازي المسقط األفقي للمستقيمAB 1أي يوازيB 1A وبسهولة

.ABمستقيم، ويكون هذا المسقط بنفس الوقت هو الطول الحقيقي لل 4B 4Aأن نحصل على المسقط الرأسي الجديد نستطيع

لجديد اومسقطه الرأسي 14Xيوازي خط األرض 1B1Aمستقيما جبهيا مسقطه األفقي ABحيث جعلنا المستقيم الكيفي

4B4A يميل بزاويةφ .على المستوي األفقي لإلسقاط

=

=

/

/

A2

B1

A1B4

A4

X12

X14φ

B14

A14

A12 B12

(7-8الشكل )

116

( نفس الحالة لدى تغيير المستوي األفقي لإلسقاط. 8-8 الشكل )يبين

//

//

A2

A1

B2

B1

X12

X24

ΨB4 A4

( 8 – 8الشكل )

تحويل المستقيم الكيفي إلى مستقيم عمودي على مستوي اإلسقاط المساعد

في الفراغ كما سبق والثاني aمستوي موازي للمستقيم 4افيين األولفي هذه الحالة نستعين بمستويين مساعدين إض

5 4مستوي عمودي على كل من المستقيم والمستوي 14(، يوازي خط األرض الجديد 9-8 الشكل )فمثال فيX

بكبره الحقيقي كمستقيم جبهي وخط 4ظهر المستقيم في المستوي الجديد ، فيABللمستقيم 1B 1Aالمسقط األفقي

55، نعين المسقط األفقي الجديد 4B 4Aعمودي على الطول الحقيقي 45Xاألرض A B a 5 ونالحظ أن

النقطتين منطبقتان أي أن المسقط الجديد األفقي عبارة عن نقطة.

117

//

//

////

/

A2

B2

A1

B1

A4

B4

A5=B5

X45

X14

X12

///

(9-8الشكل )

.لتحويل مستقيم كيفي إلى مستقيم رأسي نحوله أوال إلى مستقيم جبهي ومن ثم إلى مستقيم رأسي

.لتحويل مستقيم كيفي إلى مستقيم منصوب نحوله أوال إلى مستقيم أفقي ومن ثم إلى مستقيم منصوب

بأثريه تغيير المستوي الرأسي من أجل مستو معين-8-2-5

ا منصوبا. إلى الوضع العمودي على مستوي اإلسقاط الرأسي أي جعله مستوي e1e ,2يمكن تحويل المستوي المعين بأثريه

غيير و ت( عموديا على األثر األفقي للمستوي الذي يبقى بدون 8-10الشكل ) 14Xلتحقيق هذا نفترض خط أرض جديد

خط األرض الجديد فيكفي تعيين نقطة 1eالتي يقطع فيها األثر األفقي 14نقطة األثر الرأسي الجديد يجب أن يمر من ال

يقع 1Aفقي مسقطها األ 2eواقعة على األثر الرأسي للمستوي 2Aواحدة أخرى من األثر الجديد، لذا نختار أي نقطة مثل

4Aي البعد يساو 2A 1A، بحيث أن 4Aعلى خط األرض ونعين مسقطها الجديد

118

//

//

e2

e1e4φ1

x12

A2

A1

A4α14

α12

X14

( 10-8الشكل )

، ويميل على 4عمودي على المستوي 4e 1eنالحظ من الشكل أن المستوي المنصوب 14Xعن خط األرض الجديد

وتساوي زاوية ميل 14Xوخط األرض 4eية المحصورة بين األثر وهي الزاو 1بزاوية مقدارها 1المستوي األفقي

. 1على 2e 1eالمستوي المعلوم

وذلك بتغييره إلى الوضع العمودي 2المعلوم على المستوي الرأسي 2e 1eويمكن الحصول على زاوية ميل المستوي

2عمودي على 25X، ويتم ذلك بأن نأخذ خط أرض جديد 2عمودي على 5بالنسبة لمستوي مساعد جديد

مع خط 2eنقطة تقاطع األثر الرأسي 15مع 5Aبوصل 5Aواقعة على األثر األفقي وهو Aونعين المسقط الجديد لنقطة

.5eنحصل على األثر الجديد للمستوي 25Xاألرض

وهي الزاوية المحصورة بين المستوي 2بزاوية مقدارها 2ويميل على 5عمودي على 5e 2eنالحظ أن المستوي

5 25وخط األرضX 2وتساوي زاوية ميل المستويe 1e 2على ( 11-8الشكل.)

119

//

//

e5

e2

e1

A1

A2

A5

φ2

x25

x12

( 11-8الشكل )

إيجاد الكبر الحقيقي للزاوية القائمة -8-3

كل الش، ABوالمسقط الرأسي للضلع BCو ABعلم فيه المسقطان األفقيان للضلعين ABCDالمطلوب تمثيل مستطيل

(8-12)

11-6

D2

D4

//

//

/

/

x

x

~

~

A2

A1

C2

B2

D1

C1

B1

A4

B4

C4

X14

X12

12-6

120

(12-8الشكل )

لذا نأخذ سقاط،يعتمد حل هذا المثال على أن الزاوية القائمة تظهر قائمة إذا كان أحد أضالعها يوازي أحد مستويات اإل

لهذا 4B 4Aونعين المسقط الرأسي ABويوازي الضلع 1عمودي على المستوي األفقي لإلسقاط 14Xمستويا مساعدا

مع خط التناظر من يتقاطع 4Bالمستقيم فيظهر بطوله الحقيقي وتظهر الزاوية القائمة بكبرها الحقيقي وعليه نقيم عمودا من

1C 4في نقطةC 4ثم نكمل رسم المستطيل بكبره الحقيقي في المستوي المساعد 2، وبنفس الطريقة نعيد تعيين النقطةC

(. 8-12 الشكل ). الحل موضح في 14Xعن خط األرض الجديد 4Cرتفع بمقدار بعد ي 1Cبخط تناظر من

جعل مستوي كيفي محدود بأضالع مثلث مستويا منصوبا أو رأسيا وإيجاد ميله على مستويات اإلسقاط -8-4

المستوي على التوالي، والمطلوب جعل هذا 2C 2B 2Aو 1C 1B 1Aمسقطاه األفقي والرأسي ABCالمعلوم مثلث

. 2و1منصوبا وإيجاد زاويتي ميله على مستويي اإلسقاط

الحل

المعطى، أي نبدأ ، ونأخذ مستويا رأسيا جديدا لإلسقاط عموديا على المستوي1C 1B 1Aنحافظ على المسقط األفقي للمثلث

أخذ ، ثم ن 1H 1Aمسقطه الرأسي)يوازي خط األرض(، ونحدد مسقطه األفقي 2H 2Aبإنشاء مستقيم أفقي في المستوي

موديا على يجب أن يكون ع 14Xالمستوي الرأسي الجديد عموديا على هذا المستقيم فأثره األفقي أي خط األرض الجديد

1H1A 4مستقيم األفقي، ونعين المساقط الجديدة للنقاط للالمسقط األفقيC 4B 4A المسقط الرأسي ارتفاعاتها عن بنقل فروق

تقع على مستقيم 4C 4B 4A، ففي الوضعية الجديدة أصبح المستوي منصوبا و المساقط الجديدة 2Aاألصلي بالنسبة للنقطة

يل هي زاوية م 14Xالتي يصنعها مع خط األرض الجديد φ، الزاوية ABCواحد هو األثر الرأسي الجديد للمستوي

(13-8الشكل )لى المستوي األفقي لإلسقاط، المستوي المنصوب ع

h2

h1

φ

A2

A1

B2

B1

C2

C1

/// /// //

//

~

~

B4

A4

C4

X14

X12

(13-8الشكل )

121

على أحد ABC( جعل المستوي 14-8يبين الشكل ) مساعدا عموديا ـ بنفس الطريقة استخدمنا مستويا رأسيا مستويا

المستوي الرأسي لإلسقاط.زاوية ميل المستوي على ψ. و أوجدنا الزاوية 2F 2Aجبهيات هذا المستوي

A1

C1

X24

C4

B1

A2

C2

B2

A4

B4

F1

F2

ψ

///

///

//

//

/

/

X12

V1

V2

(14-8الشكل )

إيجاد الكبر الحقيقي لمستو كيفي محدود بأضالع مثلث:-9-5

4إلسقاط مستويا منصوبا باالستعانة بمستو جديد ل ABC( وبنفس الخطوات السابقة جعلنا المستوي 8-15في الشكل )

وازيا ألحد م ABCلكبر الحقيقي لهذا الشكل يجب جعل المستوي المنصوب مستويا أفقيا أي جعل المثلث . وإليجاد ا

X12

h2

h1

φ

A2

A1

B2

B1

C2

C1

/// /// //

//

~

~

B4

A4

C4

X14

X45

≈

≈

««

»»

B5

A5C5

(15-8الشكل )

لألثر الرأسي للمثلث 45Xمستويات اإلسقاط لذلك نأخذ خط أرض جديد وبنقل 4C4A4B ،أي موازيا لـ ABCموازيا

التي تحدد الكبر الحقيقي لهذا المثلث. 5C 5B 5Aي الشكل نحصل على مساقط المثلث األبعاد كما ف

122

وجعله مستويا جبهيا. ABC( الحل نفسه لمستوي منصوب محدود بأضالع مثلث 16-8الشكل )يبين

A1

X12

B1

C1

A2

B2

C2

B4

A4

C4

X24

///

///

//

//

≈

≈

(16-8الشكل )

تعيين الزاوية الزوجية بين مستويين -9-6

ن المستويين المحصورة بين مستويين،هي الزاوية الحاصلة بين أثريهما وهي الزاوية الحاصلة من قطع هذيإن الزاوية

بمستو عمودي على فصلهما المشترك،أي مستوي عمودي على كال المستويين.

رك لهما تفي الحالة الخاصة عندما يكون المستويان منصوبين يكون المستوي الرأسي لإلسقاط عمودي على الفاصل المش

بينهما هي الزاوية فالزاوية بينهما تقاس مباشرة من المستوي الرأسي لإلسقاط . وإذا كان المستويان رأسيين فإن الزاوية

المحصورة بين أثريهما األفقيين.

ط عمل مساقأما إذا لم يكن المستويان في حالة خاصة،أي بشكل كيفي، يكفي إرجاع المسألة إلى الحالة الخاصة وذلك ب

ويصبح عندها المستويان منصوبين أو رأسيين وبالتا أو رأسيا لي يمكن مساعدة بحيث يصبح الفصل المشترك منصوبا

قياس الزاوية بينهما بشكل مباشر.

.ABضلع الفصل المشترك بينهما هو ال ABDو ABC( إيجاد الزاوية بين مستويين معينين بمثلثين 17-8الشكل )يبين

ثم 2B 2Aموازي للفصل المشترك 24Xستوي األفقي بأخذ خط أرض جديد قمنا بتغيير الم أفقيا وبالتالي جعله مستقيما

فأصبح المستقيم منصوبا أوجدنا 4B 4Aعمودي على الفصل المشترك 45Xغيرنا المستوي الرأسي بأخذ خط أرض جديد

نصوبين وأثرهما يحصران بينهما الزاوية الزوجية فأصبح الوضع النهائي للمستويين م Dو Cالمساقط الجديدة للنقطتين

المطلوبة.

123

X4

5

X24

X12

D1

B1

C1

A1

D2C2

A2

B2

A4B4

D4

C4

A5=B5

D5 C5

(17-8الشكل )

إضافات مدرس المقرر