Bilangan kompleks

Kelompok 3 :

Bilangan Kompleks

Ridha Munawar (1304105010005)Furqan Baharsyah (1304105010068)

M. Reza Fahlevi Akbar (1304105010013)

Eo : Ahmad Zaman Huri

Materi

2

1. Complex Number, complex plane

2. Polar form of complex number, Powers and Roots

3. Derivative, Analytic Function

3

Bilangan Kompleks dan Operasinya

Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:

a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.

NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

4

• Contoh:

• Jadi, secara umum, (a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)

122

)57()24(

5274)52()74(

37

)25()34(

2354)23()54(

j

j

jjjj

j

j

jjjj

Perkalian Bilangan Kompleks

5

Contoh:

(3+j4)(2+j5)Untuk menyelesaikan perkalian ini caranya sama dengan menghitung

perkalian (3x+4y)(2x+5y).Caranya yaitu:

Kalikan kedua suku yang kiriKalikan kedua suku yang dalamKalikan kedua suku yang luarKalikan kedua suku yang kanan

Sehingga:= (3+j4)(2+j5)=6+j8+j15+j220= 6+j23-20 (karena j2=-1)= -14+j23

Perkalian Bilangan Kompleks

6

• Jika Perkaliannya memuat lebih dari dua faktor, maka perkaliannya dilakukan secara bertahap.

• Contoh:

(3+j4)(2-j5)(1-j2)= (6+j8-j15-j220)(1-j2)= (6-j7+20)(1-j2)= (26-j7)(1-j2)=26-j7-j52+j214=26-j59-14=12-j59

Perkalian Bilangan Kompleks

7

• Bilangan kompleks konjugat– Yaitu pasangan bilangan kompleks yang sama namun

berbeda tanda hubungnya.– Hasil kali dua bilangan kompleks konjugat selalu

menghasilkan bilangan ril.• Contoh:

(5+j8)(5-j8)=25+j40-j40-j264=25+64 (j2 = -1)=89

Perkalian Bilangan Kompleks

8

• Perhatikan langkah berikut:

• Jadi, secara umum bisa dikatakan:

(a+jb)(a-jb)=a2+b2

896425

185

85

)8(5)85)(85(

))((

222

222

22

22

j

j

jjj

bababa

Pembagian Bilangan Kompleks

9

• Pembagian bilangan kompleks dengan bilangan ril.• Contoh:

33,167,13

4

3

5

3

45jj

j

Pembagian Bilangan Kompleks

10

• Pembagian Bilangan kompleks dengan bilangan kompleks• Contoh:

• Untuk dapat melakukan hal ini, caranya yaitu dengan merubah terlebih dahulu penyebutnya menjadi bilangan ril

• Untuk merubah penyebut menjadi bilangan ril, bisa dilakukan dengan cara mengalikan penyebutnya dengan konjugatnya.

34

47

j

j

Pembagian Bilangan Kompleks

11

48,164,025

37

25

16

25

3716916

123228

)34)(34(

)34)(47(

34

47

j

jj

j

jj

jj

j

j

Sehingga proses pembagiannya adalah sbb:

Kesamaan Bilangan Kompleks

12

• Misalkan dua buah bilangan kompleks • a+jb dan c+jd

• Jika kedua bilangan tersebut dikatakan sama, maka • a+jb=c+jd

• Apabila bilangan ril dan imajinernya kita dekatkan menjadi• a-c=j(d-b)• Persamaan diatas hanya benar jika kedua ruas bernilai 0• a-c=0 sehingga a=c, dan d-b=0 sehingga d=b

• Berarti, dua buah bilangan kompleks dikatakan sama apabila,• Kedua bagian ril nya sama• Kedua bagaian imajiner nya juga sama

Kesamaan Bilangan Kompleks

13

• Contoh, jika x+jy=5+j4, maka x=5 dan y =4

• Bagaimana dengan persoalan berikut?

(a+b)+j(a-b)=7+j2, tentukan nilai a dan b.

• Penyelesaian:

5,2

5,4

52

92

2

7

b

a

b

a

ba

ba

Complex Plane

14

• Setiap bilangan dapat ditulis dalam bentuk grafis, yaitu ditulis dalam garis bilangan. Untuk bilangan komplek memiliki garis bilangan ganda yaitu kawasan real dan kawasan imajiner.

Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis

15

• Pernyataan grafis ini dikenal sebagai diagram Argand.• Perhatikan bilangan kompleks berikut ini,

• Apakah bisa dinyatakan dalam bentuk grafis?• Tentu bisa, uraikan dulu

4 adalah bilangan real positif j6 adalah bilangan imajiner positif

Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis

16

• Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut:

Polar Form of Complex Number

17

• Kadang-kadang akan lebih memudahkan jika bilangan kompleks a+jb dinyatakan dalam bentuk lain.

• Dalam diagram argand, misalkan OP adalah vektor a+jb. Dengan r adalah panjang vektor tersebut dan Ѳ adalah sudut yang dibentuk oleh OP.

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks

18

• Maka,r2=a2+b2 r = √(a2+b2)tan Ѳ=b/a Ѳ = tan-1 b/a.a = r cos Ѳ dan b = r sin Ѳ.

• Karena z = a+jb, maka z dapat dituliskan sebagai:z= r cos Ѳ + j r sin Ѳ atauz= r (cos Ѳ + j sin Ѳ)

• Bentuk ini dikenal sebagai bentuk kutub (polar) bilangan kompleks dengan,

r = √(a2+b2)Ѳ = tan-1 b/a

• Contoh:Nyatakanlah z = 4+j3 dalam bentuk kutub.

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks

19

• PenyelesaianGambarkan terlebih dahulu diagram sketsanya.

r = √(42+32) = √(16+9)r = √25 = 5Ѳ = tan-1 ¾ = 36052’Sehingga didapat,z= 5(cos 36052’ + j sin 36052’)

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks

20

• Dalam bentuk kutub bilangan kompleks, ada nama khusus untuk r dan Ѳ.– r disebut modulus dari bilangan kompleks z dan biasa

disingkat menjadi ‘mod z’– Ѳ disebut argumen dari bilangan kompleks z dan disingkat

menjadi ‘arg z’• Bentuk kutub bilangan kompleks selalu sama dan hanya

berbeda dalam harga r dan Ѳ saja. Sehingga seringkali digunakan simbol untuk menyatakan bentuk kutub tsb.

• Sehingga z= 5(cos 36052’ + j sin 36052’), bisa ditulis sebagai

r

'52365 0

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub

21

• Misalkan z1=r1(cos Ѳ1 + j sin Ѳ1) dan z2=r2(cos Ѳ2 + j sin Ѳ2)• Maka, z1.z2= r1(cos Ѳ1 + j sin Ѳ1).r2(cos Ѳ2 + j sin Ѳ2)• = r1r2 (cos Ѳ1 cos Ѳ2 + j sin Ѳ1 cos Ѳ2 + j cos Ѳ1 sin Ѳ2 + j2 sin

Ѳ1 sin Ѳ2)• Bila suku-sukunya kita susun kembali, dan dengan mengingat

bahwa j2 = -1, maka kita peroleh• z1.z2= r1r2 [(cos Ѳ1 cos Ѳ2 - sin Ѳ1 sin Ѳ2) + j (sin Ѳ1 cos Ѳ2 +

cos Ѳ1 sin Ѳ2)]– cos Ѳ1 cos Ѳ2 - sin Ѳ1 sin Ѳ2 = cos (Ѳ1+Ѳ2)– sin Ѳ1 cos Ѳ2 + cos Ѳ1 sin Ѳ2 = sin (Ѳ1+Ѳ2)

• Sehingga, z1.z2 = r1.r2 [cos (Ѳ1+Ѳ2) + j sin (Ѳ1+Ѳ2)]

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub

22

• Untuk mengalikan dua buah bilangan kompleks dalam bentuk kutub, – Kalikan kedua r nya.– Jumlahkan kedua sudutnya.

• Tapi dengan syarat tanda hubung bilangan kompleks tersebut harus positif.

• Contoh

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub

23

• Jadi, aturan untuk bembagian adalah bagikan r nya, dan kurangkan sudutnya.

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub

24

Pangkat dalam Bilangan Kompleks

25

Powers and Roots

26

Pangkat dalam Bilangan Kompleks

27

• Hasil yang kita peroleh tadi sangat penting, teorema ini dikenal dengan Teorema DeMoivre. Teorema ini mengatakan untuk mencari pangkat n dari suatu bilangan kompleks, kita pangkatkan r nya dengan n dan kita kalikan sudutnya dengan n.

• Contoh

Pangkat dalam Bilangan Kompleks

28

– Teorema DeMoivre juga berlaku untuk pangkat yang berupa pecahan, yaitu jika kita mencari akar-akar suatu bilangan kompleks.

– Contoh

Derivative, Analytic Function

• Fungsi Analitik

Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila f `(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks

w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y)

29

Turunan(Derivative)

30

31

32

TERIMA KASIH

33