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XXVI SEMINARIO NAZIONALE DI RICERCA IN DIDATTICA DELLA MATEMATICA

Rimini, 20 febbraio 2009

Controrelazione

Sandro Caparrini(Institute for the History and Philosophy of Science and Technology, Toronto)

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I diversi livelli di ragionamento della Relazione

• Filosofia e semiotica• Epistemologia della matematica• Didattica della matematica• Prassi dell’insegnamento• Storia della matematica

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Filosofi e semiologicitati nella Relazione

Aristotele, Dilthey, Eco, Feyerabend, Gadamer, Habermas, Hegel, Heidegger, James, Jung, Kuhn, Nietzsche, Peirce, Platone, Popper, Putnam, Rorty, Schleiermacher, Vattimo, Wittgenstein.

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Come procedere in questa Controrelazione: dal caso particolare alla

teoria generale

• Esempi ed esperienze• Osservazioni di storia della matematica

⇓ ⇓ ⇓• Filosofia e semiotica• Epistemologia della matematica• Didattica della matematica

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Gli esempi e le esperienze proposti nella Relazione

• didattica come disciplina teorica e come prassi quotidiana (“La problematica relazione fra teoria e pratica”, Malara & Zan, 2002)

• gli esempi e le esperienze descritti nella Relazione sono corollari della teoria

• le esperienze descritte nella Relazione si riferiscono a studenti “ideali”

• in particolare, non si tiene conto di studenti con difficoltà (Zan 2007) o disagi gravi

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I bastoncini da calcolo cinesi

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Il sistema lineare espresso con i bastoncini cinesi

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Risultati ottenuti con le bacchette cinesi

• “La iconicità [delle espressioni cinesi con le bacchette da calcolo] è più esplicita.”[Relazione, p. 66]

• “oggettualizzazione” [Relazione, pp. 63, 65, 67, 75]

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Il sistema lineare in numeri romani

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La “oggettualizzazione” in fisica

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Un’osservazione storicasui numeri complessi

“Spesso, didatticamente, si introducono “oggetti” matematici nuovi in quanto essi consentono di operare con efficacia. Abbiamo ricordato che, nella storia, l’introduzione di i = avvenne in quanto permise di determinare una radice reale di alcune equazioni di terzo grado. […] Il nuovo “oggetto” i = non è stato introdotto per dare una soluzione a x2 + 1 = 0.” [Relazione, p. 60]

−1

−1

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La Ars magna di Girolamo Cardano (1545)

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La nascita dei numeri complessi(Ars magna, cap. XXXVII)

La seconda specie di negativi riguarda la radice quadrata di un negativo. Se, per esempio, qualcuno ti dice: dividi 10 in due parti tali che una moltiplicata per l’altra dia 30 o 40; è ovvio che tale caso o questione è impossibile. Tuttavia opereremo così: dividiamo 10 in due parti uguali, otteniamo 5, che moltiplicato per se stesso dà 25; da 25 sottraiamo il prodotto 40 (come ti ho insegnato nel capitolo sulle operazioni del VI libro), otteniamo m:15, la cui radice quadrata aggiunta e sottratta da 5 fornisce due parti che moltiplicate tra loro dànno 40. Esse saranno dunque 5p:Rm:15 e 5p:Rm:15.

… e così progredisce la sottigliezza dell’aritmetica, la cui fine, come ho detto, è tanto raffinata quanto inutile.

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Una precisazione storicaNON “Cours d’analyse

algebrique”[Relazione, p. 8].

Gli storici parlano di Analyse algébriqueoppure di Coursd’analyse.

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I diagrammi di Eulero-Venn

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Ritorno alla teoria generale:un punto di vista tecnico

“Il riferimento all’ermeneutica è una scelta impegnativa, ad esempio basata sull’interpretazione attiva del segno che non può e non deve essere ridotta a un generico studio di esso.” [Relazione, p. 2]

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Filosofi e semiologicitati nella Relazione

Aristotele, Dilthey, Eco, Feyerabend, Gadamer, Habermas, Hegel, Heidegger, James, Jung, Kuhn, Nietzsche, Peirce, Platone, Popper, Putnam, Rorty, Schleiermacher, Vattimo, Wittgenstein.

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Filosofi e semiologioperanti nella Relazione

Peirce

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Il significato della Relazione

La Relazione èsostanzialmente il tentativo di “leggere”la didattica della matematica attraverso la teoria dei segni di Charles Peirce (1839-1914)

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Difetti della teoria dei segni di Peirce

• è un primo abbozzo di teoria• è sostanzialmente una catalogazione• è spesso vaga e di difficile interpretazione• ha caratteristiche metafisiche• è pre-scientifica (paragone con Popper, Kuhn,

Lakatos)• non è basata su dati empirici (psicologia, teorie

della visualizzazione, …)• paragone con Kant

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Citazioni da Peirce

• A sign, or representamen, is something which stands to somebody for something in some respect or capacity.

• An Icon is a Representamen whose Representative Quality is a Firstness of it as a First.

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Difficoltà sulla teoria di Peircegià rilevate nella Relazione

• “In Peirce … si trovano passi che conducono a entrambe le risposte.” [Relazione, p. 23]

• “…del resto lo stesso Peirce … non èchiarissimo in proposito.” [Relazione, p. 24]

• “…anche se Peirce non spiega dettagliatamente le modalità di quest’ultimo passaggio…”[Relazione, p. 46]

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Il significato del “sistema lineare cinese” nella Relazione

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L’esempio dei tableaux semantici

“Dunque il ricorso al metodo dei tableaux semanticiconsente di stabilire la validità logica di un enunciato composto […]. Queste scelte dipendono da aspetti che si collegano alla visualizzazione del procedimento […] aspetti che Peirce chiamerebbe diagrammatici.”[Relazione, p. 40]

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Uno schema “alla Peirce” di una dimostrazione classica

“[Nel classico procedimento “pitagorico”] l’aspetto iconico è senz’altro prevalente. Il punto da discutere è: in che modo si generalizza il procedimento dalla raffigurazione per n = 4 sopra proposta a un nintero positivo qualsiasi? […] Sintetizziamo il processo descritto nello schema seguente...”[Relazione, p. 34]

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La “catena semiosica”

• “La catena di interpretanti è potenzialmente infinita […] è come se […] si definisse il significato in un processo asintotico.” [Relazione, p. 23]

• “Abbiamo osservato che l’ assenza può essere considerata alla stregua di un segno, sebbene sui generis. Si potrebbe dunque ipotizzare che la constatazione di un’assenza sia il punto da cui prende le mosse il processo di semiosi illimitata.” [Relazione, p. 62]

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“Dialoghi” e princìpi matematici

“Si ricordi che un confronto sul piano dell’epistemologia richiede il riferimento a un complesso di principi generali tale da chiarire che cosa consente un accordo razionale, mentre un confronto ermeneutico richiede un dialogo e basta.”[Relazione, p. 61]

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Applicazioni alla didattica

“Le esperienze che abbiamo esaminato non intendono proporre al lettore una sorta di chiave applicativa univoca e rigorosamente definita, in quanto non riteniamo possibile (né sensato, almeno nel quadro teorico al quale facciamo riferimento) fornire esempi standardizzati di procedure didattiche. Troppe, peraltro, sarebbero le variabili in gioco per poter pensare di uniformare le scelte e gli atteggiamenti.”[Relazione, p. 75]

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L’esempio storico delle geometrie non-euclidee

“Fino all’Ottocento i frequenti tentativi di dimostrare il Postulato delle Parallele presupponevano che esso fosse, in effetti, un teorema della Geometria Assoluta. Secondo tale approccio, ciò che mancava era una dimostrazione. Ma i matematici di allora si erano concentrati sull’assenza sbagliata. Il momento chiave per ottenere di una nuova impostazione della questione fu, all’inizio del XIX secolo, il riconoscimento della “differenza” tra Geometria Assoluta e Geometria Euclidea: la seconda accetta il Postulato delle Parallele nella versione data di esso negli Elementi, mentre la prima prescinde sia da tale postulato che dalle sue negazioni. Scorporando il Quinto Postulato dalla Geometria Assoluta si è dunque creato un vuoto, un’assenza feconda: tale vuoto ha infatti potuto essere colmato sia in senso euclideo che non–euclideo.” [Relazione, p. 61]

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L’esempio storico dei numeri complessi di Bombelli (1572)