TEORI PERTUBASI.ppt

Mekanika Kuantum

Dr. Dian Fitriyani

Jurusan Fisika Universitas Andalas

Teori Gangguan StasionerTeori Gangguan Stasioner(Independent Perturbation Theory)(Independent Perturbation Theory)

Teori Perturbasi Degenerate

Teori Perturbasi Stasioner

Fine Structure dari atom Hidrogen

Efek Zeeman

Hyperfined Splitting

Teori Perturbasi nondegenerate

Teori Gangguan Stasioner

Tanpa Gangguan• Osilator harmonis• Osilator pegas• Getaran molekul, translasi,

rotasi dan vibrasi

Ada gangguan• Medan listrik• Redaman, medan gravitasi• Medan listrik (efek Stock),

Efek Zeeman

Permasalahan!• Bagaimana Hamiltonian H suatu sistem penganggu?

• Energi sistem (Eigen value) setelah diganggu?• Keadaan sistem (Eigen state) setelah diganggu?

Contoh: osilator tanpa gangguan• Klasik • Kuantum

Osilator dengan gangguan W, 1oH

W

Ho : Hamiltonian tanpa gangguan

H : Hamiltonian ada gangguanW : Penganggu (tak bergantung waktu) stasioner

Akibat adanya gangguan:• Dapat menaikkan dan menurunkan energi• Dapat mempertahankan dan menghilangkan degenerasi• Dapat terjadi degenerasiPergeseran tingkat-tingkat energi karena adanya perturbasi biasanya dihitung

dengan metoda aproksimasi

Degenerasi dalam satu tingkat energi terdapat fungsi gelombang yang berbeda

Nondegenerasi macam-macam gelombang yang mempunyai beberapa harga energi

Persamaan Nilai Eigen:

Bila i = 4 ada 4 macam yaitu 1 , 2 , 3 dan 4

,...,,i ; EH inp

ipo 3210

0 0 0 0n n nH E

Sistem tak terperturbasi

Hamiltonian awal:

[6.1]

Bila pada sistem diberi gangguan, maka nilai eigen dan fungsi eigen yang baru:

0 0 0 0n n nH E [6.3]

0 'H H H Sistem terperturbasi

Hamiltonian pengganggu (pertubasi)

Teori perturbasi nondegenerasi

Contoh : hamiltonian sistem osilator harmonik :

Kemudian sistem tersebut mendapat gangguan sehingga hamiltonian sistem menjadi hamiltonian sistem osilator tak harmonis :

H’

Asumsi :Teori gangguan dimulai dengan asumsi bahwa hamiltonian pengganggu (pertubation hamiltonian), H’, adalah sangat kecil dibanding dengan hamiltonian awal yaitu hamiltonian sebelum ada gangguan (unperturbed hamiltonian), H0, sehingga hamiltonian total (H) dapat ditulis : H = H0 + H’.

Untuk tujuan penekanan bahwa H’ ini adalah sangat kecil dibanding H0, maka H’ dituliskan dengan cara menyertakan sebuah parameter yang bernilai sangat kecil dan diberi notasi λ. sehingga H’ = λH’.

[6.4]

λ : parameter orderini juga mengartikan bahwa perubahan dari takterperturbasi menjadi terperturbasi berlangsung secara kontinyu atau berangsur-angsur (tidak mendadak/spontan).

Karena gangguan sangat kecil H’, maka gangguan tersebut hanya akan menimbulkan sedikit perubahan,

dan

Untuk memperoleh koreksi dapat dilakukan ekspansi sebagai berikut:

[6.5]

[6.6]

Note : 0, 1, 2 dst.... Menyatakan orde koreksi (tingkat ketelitian)

menyatakan orde koreksi pertama untuk nilai eigen

menyatakan orde koreksi pertama untuk Fungsi eigen

Dst.....

nnnon E E 0

0 1 2 ...n n n n Building the true states andtrue energiesto some order 0 1 2 ...n n n nE E E E

zero-order

first-order

second-order

Untuk keadaan stasioner berlaku:

0 0 0 0n n nH E

[6.3]

dimana H0 berubah menjadi:

Sehingga akibat gangguan menjadi,

[6.4]

[6.5]

[6.6]

Yang akan dihitung adalah semua koreksi terhadap 0 dan E0

Persamaan [6.4], [6.5], dan [6.6] disubtitusikan ke persamaan [6.3]

...2210 HHHH

nnn EH dan

Lalu samakan ruas kiri dan ruas kanan yang berorde sama

nnn EH

Orde kedua :

2

Orde pertama :

[6.7]

[6.8]

Keadaan awal

1 0000nnn EH

First-Order Energy

Untuk mendapatkan harga persamaan [6.7] dikalikan dengan

kemudian diintegralkan. Sehingga menjadi :

Operator H0 adalah Hermitian, sehingga :

= 1

1 0 0'n n nE H Energy [6.9]

Persamaan [6.9] adalah orde koreksi pertama untuk energi. Selanjutnya, untuk menemukan orde koreksi pertama untuk fungsi gelombang, maka masih digunakan persamaan [6.7] :

[6.7]

[6.10]

Untuk memperoleh kita mengekspansinya ke dalam suku-suku yang

terdiri atas himpunan fungsi eigen tak terperturbasi dari operator

hermitian H0

[6.11]

Persamaan [6.11] disubtitusikan ke persamaan [6.10], sehingga didapat :

Dikalikan dengan

Jika m ≠ n maka di dapat :

atau

[6.12]

[6.11]

diketahui :

[6.12]

Pers [6.12] disubtitusikan ke pers. [6.11]

0 0

1 0

0 0

'm n

n mn m n m

H

E E

First order State

Second-Order Energies

[6.8]

persamaan 6.8 digunakan untuk mendapatkan koreksi energi orde kedua

Seperti prosedur sebelumnya persamaan [6.8] dikalikan dengan kemudian diintegralkan. Sehingga menjadi :

Operator H0 adalah Hermitian, sehingga : = 1

= 1

Karena :

maka :

20 0

20 0

'm n

nm n n m

HE

E E

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori pertubasi degenerasi adalah untuk menghitung tingkat-tingkat energi baru yang dihasilkan akibat adanya degenerasi.Sebagai Contoh:Misalkan ada 2 Hamiltonian sistem yaitu :

Dengan sifat ortonormalitas pada keadaan eigen :

[6.16][6.16]

[6.15][6.15]

Degenerasi lipat-2

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Persamaan Eigen sebelum sistem terganggu :

Dimana sifat linier dari fungsi gelombang yakni :

Pertubasi H’ akan memecah degenerasi ketika , maka energi yang belum terperturbasi terbagi menjadi 2:

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Penyelesaian persamaan schrodinger :

Dimana , dan

[6.18][6.18]

Masukkan ke persamaan 6.18 maka akan menjadi:

Karena , maka :

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Sehingga inner produk

Karena hermitian, dengan menggunakan persamaan 6.16 dan 6.15, akan didapatkan :

Atau,

[6.21][6.21]

dimana,

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Dengan langkah yang sama akan didapatkan produk dari

[6.23][6.23]

Kalikan persamaan 6.23 dengan , dan subtitusi ke pers. 6.21

[6.24][6.24]

Jika tidak nol, maka persamaaan 6.24 merupakan nilai untuk

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Dengan menyelesaikan persamaan kuadratik 6.25 maka akan didapatkan 2 koreksi energi eigen yakni :

[6.26][6.26]

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Degenerasi orde tinggi

Untuk degenerasi yang lebih dari dua, maka lebih efektif jika digunakan matriks.Sebagai contoh tinjau ulang degenerasi orde 2 dalam bentuk matrik, dimana :

Defenisi perluasan komponen matriks untuk degenerasi orde ke-n :

[6.27][6.27]

[6.28][6.28]

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Contoh kasus pada sumur potensisal yang diganggu:

Dengan keadaan tetapnya :

Gambar 1

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Dimana nx, ny dan nz adalah bilang bulat positif, maka korespondensi energi yang diperbolehkan adalah :

Catatan: pada keadaan dasar bersifat non degenerasi, dengan energi:

Kemudian, bentuk eksistasi pertama berdegenerasi 3 dan total energi :

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Pertubasi/gangguan yang diberikan :

Dengan diberikannya gangguan potensial meningkat sebesar Vo pada seperempat kotak lihat gambar 1, sehingga koreksi energi pertama untuk keadaan dasar (pers 6.9):

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

sehingga:

Dimana,

Dengan demikian

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Jadi :

Persamaan karakteristik untuk W adalah:

Dan nilai eigennya adalah :

Orde pertama dalam

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Keadaan dasar sebelum terganggu :

Vektor eigen dari matriks W:

Untuk :

Teori Perturbasi Degeneratif

Teori Perturbasi Degeneratif

Keadaan dasar yang baik sebelum terganggu:

6.3 THE FINE STRUCTURE OF HYDROGEN

Hamilton = Energi Kinetik elektron + Energi Potensial coulomb

(6.41)

Pers (6.41) tidak akan di bahas lagi, sekarang kita akan membahas bagaimana pergerakkan inti yang benar : hanya dengan menukar m dengan massa reduksi (problem 5.1).

Setelah direduksi dengan massa reduksi, fine structure telihat lebih signifikan (lebih baik), disebabkan oleh :

1.Relativistic Correction2.Spin-orbit Coupling

Jika dibandingkan dengan energi Bohr (pers 4.70),

(6.42)

(4.70)

6.3 THE FINE STRUCTURE OF HYDROGEN

Dimana :

Konstanta Fine stucture

Tabel 6.1 : Proses Koreksi Energi Bohr Atom Hidrogen

6.3 THE FINE STRUCTURE OF HYDROGEN

6.3 .1 THE RELATIVISTIC CORRECTION

Bentuk pertama dalam Hamiltonian ditunjukkan sebagai energi kinetik :

(6.43)

Sehingga : (6.44)

Tetapi persamaan (6.43) merupakan pers yang klasik untuk energi kinetik ; Formula relativistic nya adalah :

(6.45)

Pers (6.45) merupakan bentuk pertama dari energi relastivistik total (tidak dihitung energi potensial, dimana kita tidak menghubungkannya dengan momentum), sedangkan bentuk kedua adalah energi diam.

6.3 .1 THE RELATIVISTIC CORRECTION

Kita dapat menjelaskan T dalam bentuk (Relativistic) momentum :

(6.46)

Termasuk kecepatan, sehingga dapat ditulis :

Pers di atas direduksi dari pers (6.43)Didalam batas nonrelativistik p << mc ; dikembangkanlah energi dari nomor paling kecil (p/mc)

6.3 .1 THE RELATIVISTIC CORRECTION

(6.49)

Sehingga diperoleh :

Kontribusi relativistik dari Hamiltonian , ditunjukkan :

Pada bentuk teori perturbasi yang pertama, nilai koreksi En diberikan dari nilai ekspeKtasi H’ dalam batas unperturbasi (pers 6.9) :

(6.50)

6.3 .1 THE RELATIVISTIC CORRECTION

Sekarang pers Schrodinger (untuk keadaan unpertubrasi) ditulis :

(6.51)

(6.52)

Subtitusi pers (6.51) ke pers (6.50) , Sehingga :

Persamaan-persamaan di atas hanya berlaku untuk atom Hidrogen,

dimana

(6.53)

En adalah energi Bohr pada persamaan keadaan dasar.

Subtitusi ke pers (6.52)

Sehingga :

6.3 .1 THE RELATIVISTIC CORRECTION

(6.54)

(6.55)

(6.56)

; a = jari-jari Bohr

Yang kedua tidak semudah menurunkan seperti pers 6.28, tetapi jawabannya adalah :

Ini ditunjukkan bahwa :

Atau eliminasi a menggunakan pers 4.72 dan menggunakan pers 4.70

Sehingga didapatkan koreksi relativistik lebih kecil dari En dari sebuah faktor

Sehingga diperoleh :

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

Gambar 6.7 : atom Hydrogen dari perputaran elektron

(6.57)

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

Medan magnetik dari proton : Jika kita gambarkan proton (dari penggambaran elektron) sebagai sebuah loop berarus (gambar 6.7), medan magnetik ini dapat dihitung dari hukum biot-savart :

Dengan sebuah arus efektif I = e/T, dimana e adalah muatan proton dan T adalah perioda orbit (waktu yang ditempuh untuk mengorbit). Pada bagian lain, momentum sudut orbital L dari elektron (di dalam lingkungan inti) adalah :

(6.58)

Selain itu, titik B dan L berada pada arah yang sama (ke atas, Gambar 6.7), jadi didapatkanlah persamaan :

menggunakan untuk menghilangkan

Di dalam persamaan dari

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

Gambar 6.8 : cincin berarus yang berotasi disekitar sumbunya.

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

Jika massa cincin adalah m, momentum angular cincin tersebut adalah momen

inersia (mr2) dikali dengan kecepatan angular (2π/T) :

Perbandingan gyromagnetik untuk bentuk ini adalah :

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

Disana adalah semata-mata perhitungan kalsik, sebagai sebuah pembalikan, momen magnetik elektron adalah dua kali dari jawaban klasik :

(6.59)

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

Interaksi Spin-Orbit : Meletakkan semua persamaan bersama-sama maka akan didapatkan :

Tetapi disana ada sebuah kesalahan serius didalam perhitungan ini : Kita telah meganalisis didalam bentuk awal dari elektron, tetapi ini bukan sebuah kerangka inersia, dimana ada percepatan dari elektron mengeorbit disekitar inti. Kita dapat mengatasi ini jika kita melakukan pendekatan kinematika, sebagaimana dikenal dengan Thomas Presisi. Di dalam konteks ini terdapat sebuah faktor ½ sehingga :

(6.60)

Ini adalah interaksi spin-orbit, pemisahan dari dua buah koreksi (modifikasi perbandingan gyromagnetik untuk elektron dan faktor Presisi Thomas). Ini hanya sebuah dasar perhitungan bentuk klasik. Fisisnya, ini diakibatkan oleh gaya torsi menggunakan momen dipole magnet dari perputaran elektron, oleh medan magnet proton.

Sekarang mekanika kuantum. total momentum angular menjadi :

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

(6.61)

Jadi

Dan oleh karena itu nilai eigen dari L.S adalah :

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

(6.63)

Di dalam kasus ini, tentu saja s = ½. Sementara itu nilai ekspektasi dari 1/r3 ( lihat problem 6.30) adalah :

Dan kita simpulkan bahwa :

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

(6.64)

Atau dirubah ke dalam bentuk En adalah ;

Ini merupakan proses kemajuan yang luar biasa, dengan mempertibangkan perbedaan mekanisme fisis, bahwa koreksi relativitas dan gabungan spin-orbit adalah sama (En

2/mc2). kita akan mendaptkan bentuk fine struktur (lihat problem 6.15) :

(6.65)

Dikombinasikan dengan persamaan Bohr, kitamendapatkan hasil untuk energi levels dari hydrogen, termasuk didalamnya fine structure :

Gambar 6.9 tingkatan energi dari atom hydrogen, temasuk di dalam bentuk Fine struktur (tanpa skala)

6.3 .2 SPIN-ORBIT COUPLING

6.4. Effect Zeeman

“Classical view”

e-

S

L

Bext

Medan Lemah Kuat Medan Medan sedang

strukturdominan

Efek Zeemandominan

• Perbandingan: and extB intB

' '' SO ZH H H

' ( 2 ).2Z ext

eH L S B

m

intBBext intBBext

Effect Zeeman adalah ketika atom ditempatkan dalam medan magnet luar (B), sehingga energi akan berpindah.

extslz BH .' ^

Sm

es

pemisahan Zeeman bergantung pada kuat medan eksternal yang sebanding dengan medan internal

Lrmc

eB

o324

1

6.4.1.Medan Lemah

intextB B

20

21tot n nj B j j extE E c g m B

n

e-

S

L

Bext

, , , jn l j mKeadaan eigen:

1Z B j j extE g m B

faktor Lande :( 1) ( 1) 3 / 4

12 ( 1)j

j j l lg

j j

Total momentum angular J = L + S (konstan).L dan S = presisi terhadap vektor. Dalam kasus tertentu, waktu rata – rata S merupakan proyeksi dari panjang J.

J

J

JSSave 2

.

11122

1.

2222 llssjjLSJJS

J

jj

lljjJ

J

JSSL

12

4/3111

.12

2

e-

S

L

Bext 6.4.2. Medan Kuat

intextB B 1 2Z B l S extE m m B

01 21

3

( 1)3

4 ( 1/ 2)( 1)l s

fs

l l m mEE

n n l l l

, , , ,l sn l m s mKeadaan eigen:

Jika , struktur dominan dari persamaan ,intBBext

4

3

2/11

6,132

2

2 j

n

nn

eVEnj

Pemisahan Paling Halus

E

01E

1S

0S

66 10E eV

21cm

Microwave - radiowave

• First observed in 1881 by Michelson

• Explained in 1924 by Pauli

• Radiation omnipresentin the interstellarmedium

4

12 2 4

4 31

3 2p

hfp e

gE S S

m m c a

Proton: e+, mpelectron: e- , me

SeBp

Sp

2p

p pp

g eM S

m

2e

e ee

g eM S

m

Two-particles system:

p eS S