View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Tampereen teknillinen yliopisto
Teknisen suunnittelun laitos
EDE-21100 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 8 Syksy 2013.
Now we divide the structure to two beam elements with two nodal degrees of freedom. The nodes,
elements and global degrees of freedom are drawn in the figure below
The active degrees of freedom are presented by the ID-table below
Node dof1 dof2 1 0 0 2 const. 1 3 0 2
Element Node1 Node2 1 1 2 2 2 3
The element stiffness matrices are formed next.
The model stiffness matrix is scattered with the element stiffness matrix components. The constrained
displacement is in the first row and column of the stiffness matrix K
32 2 2 2
13 31 2 2 2 2
2
24 0 6 24 0 6
0 8 2 0 8 2 0
6 2 4 6 2 4 0i
i
L L FEI EI
L L L L QL L
L L L L L L Q
∆
=
∆ = = ⇒ =
∑K k
1 3 51 2
2 4 61 2 3
2 2
2 3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L L
L L L LEI
L LL
L L L L
− − = − − − −
k
const. 1 0 2
2
0
1
c.2 2
1 3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L L
L L L LEI
L LL
L L L L
− − = − − − −
k
0 0 const. 1
1
c.
0
0
Tampereen teknillinen yliopisto
Teknisen suunnittelun laitos
EDE-21100 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 8 Syksy 2013.
We solve first the second and third equations
1 1
2 22
1
2
0 08 2 4 1
32 4 1 26
02 1 31
31 4 127 7
Q QEIEI
Q QLL L
Q
Q LL
= ⇔ = ⇒∆ − ∆ −
− ∆ = =∆ − −−
Finally we solve the support reaction in the direction of ∆.
11 12 1 13 2 3 3
9624 6 12
7 7
EI EIF K K Q K Q L
L L L∆∆ = ∆ + + = ∆ − = ∆
Ele 1
Kimmokerroin E [Pa] 2E+11
Pinta-ala A [m2] 0.01
Neliömomentti [m4] 0.00001
x1 [mm] 0
x2 [mm] 4
y1 [mm] 0
y2 [mm] 3
x21 [mm] 4
y21 [mm] 3
le [mm] 5
Suuntakosinit
l = x21 / le 0.8
m = y21 / le 0.6
E*A/Le 400000000
E*Iz/Le3
16000
Solmu n1 1
Solmu n2 2
k lokaali 400000000 0 0 -400000000 0 0
0 192000 480000 0 -192000 480000
tai ke' 0 480000 1600000 0 -480000 800000
-400000000 0 0 400000000 0 0
0 -192000 -480000 0 192000 -480000
0 480000 800000 0 -480000 1600000
L 0.8 0.6 0 0 0 0
-0.6 0.8 0 0 0 0
(kannan vaihtomatriisi) 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.8 0.6 0
0 0 0 -0.6 0.8 0
0 0 0 0 0 1
k XY 256069120 191907840 -288000 -256069120 -1.92E+08 -288000
191907840 144122880 384000 -191907840 -1.44E+08 384000
-288000 384000 1600000 288000 -384000 800000
-256069120 -191907840 288000 256069120 191907840 288000
-191907840 -144122880 -384000 191907840 144122880 -384000
-288000 384000 800000 288000 -384000 1600000
2 2'
2 2
0 0 0 0
0 12 6 0 12 6
0 6 4 0 6 2
0 0 0 0
0 12 6 0 12 6
0 6 2 0 6 4
e
k k
L L
L L L L
k k
L L
L L L L
κ κ κ κκ κ κ κ
κ κ κ κκ κ κ κ
− − −
= − − − −
−
k
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
l m
m l
l m
m l
−
= −
L
T 'e e=k L k L
K 256069120 191907840 288000 Globaali jäykkyysmatriisi
191907840 144122880 -384000 K
288000 -384000 1600000
Gravitaatiokuormitus globaalikoordinaatistossa
rx 0 N/m
ry -100 N/m Pituuskoordinaatin funktio
Gravitaatiokuormitus lokaalikoordinaatistossa
rxp -60 N/m sauvaosuus
ryp (tämä on q alla) -80 N/m palkkiosuus
Ekvivalenttinen solmukuormitus sauvaosuudelle
-150 N lokaali vapausaste 1 (-60N/m * 5m / 2)
-150 N lokaali vapausaste 4 (rxp * le / 2)
Ekvivalenttinen solmukuormitus palkkiosuudelle
q le / 2 -200 N lokaali vapausaste 2 (-80N/m * 5m / 2)
q le^2 / 12 -166.666667 Nm lokaali vapausaste 3
q le / 2 -200 N lokaali vapausaste 5 (ryp * le / 2)
-q le^2 / 12 166.666667 Nm lokaali vapausaste 6
Lokaali ekvivalenttinen solmukuormitusvektori
f_ekv_l -150 N Alaindeksi l viittaa lokaaliin mittaukseen
-200 N (pilkkumittaukseen)
-166.666667 Nm
-150 N
-200 N
166.666667 Nm
Globaali ekvivalenttinen solmukuormitusvektori
0 N
-250 N
-166.666667 Nm
0 N
-250 N
166.666667 Nm
Globaali solmukuormitusvektori F
0 N
-750 N
166.666667 Nm
K-1
7.5016E-06 -9.999E-06 -3.75E-06
-9.9988E-06 1.333E-05 5E-06
-3.75E-06 5E-06 2.5E-06
Siirtymä Q 0.0068741 m 6.874 mm Q1
-0.00916734 m -9.167 mm Q2
-0.00333333 rad -0.191 ast Q3
'l m
m l
= − r r
Vlf
TV Vxy l=f L f
" " Vxy
e
= + ∑F P f
Elementin siirtymä qXY 0 m q1
0 m q2
0 rad q3
0.0068741 m q4
-0.00916734 m q5
-0.00333333 rad q6
Elementin solmuvoimavektori
f1x 0.00 N
f1y 1000 N
m1 3000 Nm
f2x 0.00 N
f2y -500 N
m2 0.00 Nm
Lokaali solmuvoimavektori fl = L fxy
f1x 600.00 N
f1y 800 N
m1 3000 Nm
f2x -300.00 N
f2y -400 N
m2 0.00 Nm
1
X
Y
Z
Normaalivoima
-600-566.667
-533.333-500
-466.667-433.333
-400-366.667
-333.333-300
OCT 25 201120:53:33
LINE STRESS
STEP=1SUB =1TIME=1N1 N2MIN =-600ELEM=1MAX =-300ELEM=10
UROTFACEL
1
X
Y
Z
Taivutusmomentti
-3000-2667
-2333-2000
-1667-1333
-1000-666.667
-333.333-.227E-11
OCT 25 201120:50:22
LINE STRESS
STEP=1SUB =1TIME=1SMIS6 SMIS12MIN =-3000ELEM=1MAX =-.243E-11ELEM=10
UROTFACEL
Vxy xy xy xy= −f k q f
Tampereen teknillinen yliopisto
Teknisen suunnittelun laitos
EDE-21100 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 8 Syksy 2013.
3. Pisteen P kohdalla CST-kolmioelementin muotofunktioiden N1 ja N2 arvot ovat 0.15 ja 0.25.
Määritä pisteen P koordinaatit.
1 2 3 1N N Nξ η ξ η= = = − −
( )1 1 2 2 3 3( , ) 1 4 3 1 3 2x N x N x N xξ η ξ η ξ η ξ η= + + = ⋅ + ⋅ + − − = − +
( )1 1 2 2 3 3( , ) 1 2 5 1 5 4 3y N y N y N yξ η ξ η ξ η ξ η= + + = ⋅ + ⋅ + − − = − −
0.15 0.25ξ η= =
(0.15,0.25) 3 2 0.15 0.25 2.95x = − ⋅ + =
(0.15,0.25) 5 4 0.15 3 0.25 3.65y = − ⋅ − ⋅ =
1
3
2
(1,1)(4,2)
(3,5)
y
P
x
1
2 3 4
5
1
2
3
4
ξ
η
Recommended