Reverse Sensitivity Testing: What does it take to break the model? · 2020-04-21 · Insurance...

Reverse Sensitivity Testing:

What does it take to break the model?

Silvana Pesenti

Silvana.Pesenti@cass.city.ac.uk

joint work with Pietro Millossovich and Andreas Tsanakas

Insurance Data Science Conference, 16 July 2018

http://openaccess.city.ac.uk/18896/

Motivation

Motivation: Real-data example

Proprietary model of a London insurance market portfolio

Y = g(X)

Facts

• 500,000 Monte Carlo simulations of inputs X = (X1, . . . , X72) and

output Y

• no knowledge about distributional assumptions

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Risk measures

Risk assessment of Y through the risk measures:

VaRα(Y ) = inf{y ∈ R |P (Y ≤ y) ≥ α},

ESα(Y ) =1

1− α

∫ 1

α

VaRu(Y ) du.

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• 1. Which input factor is most important?

• 2. Which is the most plausible alternative

model that leads to an increase in the

risk measure?

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• 1. Which input factor is most important?

• 2. Which is the most plausible alternative

model that leads to an increase in the

risk measure?

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 2

Reverse sensitivity testing

Method

1. Define a stress on the output Y :

- increase of VaR or/and ES

2. Derive weights (change of measure) such that

- re-weighted output fulfils the required stress

- most plausible (minimal Entropy)

3. Analyse the stressed model

- sensitivity measure

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Model and applicability

Applicable

• in a Monte Carlo setting

• for n large

• for any distribution of Xi

• for any dependence structure of X

• under no restrictions on g

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Monte Carlo setup

• M Monte Carlo simulations of Y = g(X)

• Find weights w(1), . . . , w(M), such that the re-weighted output has

the required stress

X1 . . . Xn Y w

x(1)1 . . . x

(1)n y(1) = g(x

(1)1 , . . . , x

(1)n )

?...

. . ....

...

x(M)1 . . . x

(M)n y(M) = g(x

(M)1 , . . . , x

(M)n )

→ Weights w are analytical functions of the output.

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Stress on VaR

Weights for a stress on VaR

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Stress on VaR and ES

Weights for a stress on VaR and ES

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Numerical example

Insurance portfolio

Non-linear insurance portfolio

Y = L− (1−X4) min{

(L− d)+, l}

L = X3(X1 +X2),

where

• X1, X2 different lines of business

• X3 positive multiplicative risk factor, e.g. inflation

• X4 percentage lost due to default of the reinsurance company

• reinsurance limit l and deductible d

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Insurance portfolio - Weights

Stress:

• VaR0.95(Y ) by 10%

• ES0.95(Y ) by 13%

Y

RN

−de

nsity

010

300 400 500

VaR(Y) under Q

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Insurance portfolio - Output

● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ● ●

Y

empi

rical

dis

trib

utio

n

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

300 400 500

Baseline ModelStressed Model

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 10

Insurance portfolio - Input

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

50 100 150 200 250 300

X1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

150 200 250

X2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1.00 1.05 1.10

X3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

X4

empi

rical

dis

tr. fu

nctio

n

diffe

renc

e of

em

piric

al d

istr.

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 11

Insurance portfolio

X1 X2 X3 X4 Y

Mean 150 200 1.05 0.10 362

Mean, stressed 157 202 1.05 0.14 371

Relative increase 5% 1% 0% 44% 3%

Standard deviation 35 20 0.02 0.20 36

Standard deviation, stressed 43 21 0.02 0.26 50

Relative increase 25% 5% 1% 30% 38%

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 12

Which input factor is most important?

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 12

Sensitivity measures

Sensitivity measure

Sensitivity measure

Γi =Estressed(Xi)− E(Xi)

normalised

• depends on Y through the weights w.

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 13

Real-data example

Proprietary model of a London insurance market portfolio

Y = g(X)

Stress:

• VaR0.95(Y ) by 8%

• ES0.95(Y ) by 10%

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 14

Real-data example

0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Y

empi

rical

dis

trib

utio

n fu

nctio

ns

Figure 1: Empirical distribution of the output under the baseline model and

the stressed model.

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 15

Real-data example

●●

●●

●●

● ● ●

● ●●

● ●●

● ●

● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●

● ●● ●

●●

● ● ●● ●

● ●● ● ● ●● ●

● ● ●● ● ● ● ●

●

●

● ●● ●

●●

●● ●

●●

● ●

●

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

Input risk factor

Sen

sitiv

ity m

easu

re

1835

3 4712

5938 68 58

4 1634

52 69 1

41 2 61 5 40 6727 44 31 32 24 50 23 66

45 2557 15 8 22 65 64 43 17 21 60 28 13 29 39 20 55 46

9 42 1030 14 7 63 54

51

62

53 7071 36 49

72

1937 48

633 11 56

26

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 16

Thank you!

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 16

Appendix

Insurance portfolio - Assumptions

Assumptions:

• X1 ∼ (truncated) LogNormal with mean 150 and sd 35.

• X2 ∼ Gamma with mean 200 and sd 20.

• X3 ∼ (truncated) LogNormal with mean 1.05 and sd 0.02.

• X4 ∼ Beta with mean 0.1 and sd 0.2.

• X1, X2, X3 are independent.

• X4 dependent on L through a Gaussian copula with correlation 0.6.

• d = 380, l = 30.

Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti